Contribuciones de incertidumbre
Contents
1. Curso elaborado para el CEM por DM A M S nchez P rez J de Vicente y Oliva J M ONE D az de la Cruz Cano y J Carro de Vicente Portela LMM INDUSTRIALES ETSII UPM ETSII UPM Centro Espa ol de Metrolog a NIPO 706 08 001 6 Se prohibe la reproducci n total o parcial de este documento cualquiera que sea el medio o tecnolog a que se utilice sin permiso escrito del Centro Espa ol de Metrolog a Como excepci n se autorizan 1 La reproducci n en papel para uso personal de los estudiantes registrados 2 Las citas breves siempre con expresi n de la fuente en publicaciones divulgativas docentes cient ficas o profesionales CEM Curso Virtual de Metrolog a unidad 3 102. dx puede deducirse mediante la variable tiempo a partir de la siguiente igualdad f x dx ya que el blanco ocupar esa posici n dos veces en cada periodo y la duraci n correspondiente es 2dt siendo T el periodo del movimiento y wT 2x todo ello de acuerdo con la din mica del mismo Teniendo en cuenta la ecuaci n horaria se escribe 2 mes O A T T T w VA x2 es decir FO TIVA x que se representa en la figura 1 Las definiciones 1 permiten obtener A 1 xX u dx 0 A T vA un x2 1 4 2 A o f a dx T J A VA a x2 2 La segunda de las integrales es inmediata y se puede calcular por ejemplo mediante el cambio de variable x A cos u que modifica el intervalo entre los l mites u 1 y u 0 CEM Curso Virtual de Metrolog a unidad 3 7 Funci n de densidad en U XIA Figura 1 4 4 Ejercicio De nuevo se plantea evaluar tipo B la temperatura de una sala para realizar una correcci n en las medidas de un mensurando sabiendo que la temperatura de la sala siempre se encuentra entre C y C y que el equipo de acondi cionamiento determina una variaci n c clica de la temperatura sensiblemente senoidal en el tiempo Determine el valor 6 y la desviaci n t pica u 9 que cabe asignar a dicha temperatura expresando los resultados con dos cifras significativas a 0 C b u 0 C Tambi n la componente de repetibilidad puede ser objeto de
3. evaluaci n tipo B En efecto la evalu aci n tipo A apartado 3 de esta unidad exige la repetici n de un n mero importante de medidas En muchos casos se recomienda que la extensi n de la muestra sea n gt 10 y no es recomendable evaluar la contribuci n de repetibilidad mediante una desviaci n t pica muestral con n lt 5 Cuando se trata de un n mero importante de mensurandos como la medida de alguna magnitud en cada una de las piezas de una serie de fabricaci n con decenas de miles de unidades por ejemplo no es econ micamente viable la repetici n de medidas sobre una misma pieza CEM Curso Virtual de Metrolog a unidad 3 8 Normalmente cada magnitud se mide una vez y no cabe de esta medida obtener informaci n de repetibilidad Sin embargo la dispersi n de valores realmente se producir a si se midiese varias veces y su origen como se indic en la unidad 1 es fundamentalmente debido al instrumento y a la natural indefinici n del mensurando Una soluci n que se adopta en estos casos es hacer de vez en cuando una buena determinaci n de repetibilidad s apoyada en un n mero importante de medidas n por ejemplo diez o veinte sobre varias piezas por ejemplo entre cinco y diez para disponer de un n mero importante de medidas que permitan calcular s con gran n mero de grados de libertad Este m todo exige disponer de certezas suficientes sobre la estabilidad de la poblaci n estad stica entre determina ciones de s p
4. Em Curso de metrolog a por internet DE METROLOG A M dulo experimental POLIT CNICA Primer Apellido Segundo Apellido Telejercicio Nombre Unidad 3 v0 2 Matr cula Clave Unidad 3 Contribuciones de incertidumbre 1 Recomendaciones del CIPM Con objeto de uniformizar los resultados de las medidas el CIPM Comit Internacional de Pesas y Medidas redact una recomendaci n en 1981 H que posteriormente se matiz en 1986 P Estas recomendaciones se reproducen en la GUM Y que es actualmente el documento internacional con mayor respaldo para la estimaci n de las incertidumbre de los resultados de las medidas La primera recomendaci n del CIPM se resume en los siguientes puntos 1 Dependiendo del m todo empleado para su determinaci n num rica las componentes de la in certidumbre de medida pueden agruparse en dos categor as a las que se estiman mediante procedimientos estad sticos sobre los valores obtenidos al reit erar medidas de un mensurando a las que se propuso denominar de tipo A y b las que se aprecian por otros m todos a las que se sugiri denominar de tipo B 2 Ambos tipos de componentes deben cuantificarse mediante varianzas o cantidades equivalentes debiendo caracterizarse las situaciones de dependencia en su caso por las correspondientes covarlanzas 3 La incertidumbre as determinada puede multiplicarse por un factor superior a la unidad al objeto de obtener una incertidumbre
5. anterioridad a la calibraci n que ahora se considera se trata de una contribuci n tipo B Si se realiza una estimaci n estad stica sobre una correcci n de temperatura que no se mide asumiendo una funci n de densidad de probabilidad determinada la contribuci n es tipo B porque no se han realizado medidas de la temperatura 3 Evaluaciones tipo A Cuando se reiteran medidas de un mensurando X para realizar una evaluaci n tipo A de la disper si n de las mismas contribuci n de repetibilidad hay que tener en cuenta que se trabaja con una muestra de la poblaci n de todas sus medidas posibles muestra poblacional y que en general no se conoce su funci n de distribuci n ni los par metros caracter sticos de la misma Si se imagina por un momento que la funci n de densidad de probabilidad de dicha variables fuese conocida f X se podr an obtener la media y la varianza de la misma mediante lt x gt pu oo 00 1 Vx 07 a f dx La media u y la desviaci n t pica o se identificar an con el valor que mejor caracteriza al mensu rando y con una medida de la dispersi n de valores repetidos Sin embargo la nica informaci n disponible es la muestra poblacional En este caso la Estad stica proporciona m todos para estimar los par metros u o desconocidos Aunque no hay una opci n nica en la mayor parte de las reas metrol gicas se emplean los siguientes estimadores sobre la muestra poblacional de e
6. las que son de tipo B La realizaci n de un n mero suficiente de medidas del patr n de calibraci n en un punto de la escala del instrumento para obtener la varianza muestral repetibil idad La utilizaci n de la temperatura de una sala para efectuar una correcci n en las medidas admitiendo que la temperatura se distribuye uniformemente dentro del intervalo de temperatura en la que se encuentra controlada la sala por ejemplo Q0 1 C La utilizaci n de la informaci n del certificado de calibraci n de los pa trones empleados para calibrar el instrumento sabiendo que dicho certificado fue obtenido un a o antes por la misma unidad que ahora calibra el instrumento El empleo de un coeficiente de dilataci n lineal cuyo valor se toma de un manual t cnico solvente La incertidumbre t pica del coeficiente anterior estimada como una unidad de la ltima cifra significativa del valor de dicho coeficiente CEM Curso Virtual de Metrolog a unidad 3 2 Aunque la clasificaci n de las contribuciones de incertidumbre en tipo A o B no es esencial a efectos de c lculo pues todas ellas se van a combinar de la misma forma s es conveniente agruparlas en una u otra de estas categor as porque eso ayuda a clarificar la funci n modelo a construir S lo son contribuciones de tipo A las que se estiman estad sticamente a partir de medidas hechas durante la cal ibraci n Si se utilizan medidas obtenidas en la misma sala pero con
7. lculo de la incertidumbre t pica compuesta u lt a partir de las recomendaciones del CIPM indic c mo car acterizar la incertidumbre expandida mediante un factor k resultante de establecer un intervalo de cobertura de la distribuci n resultante para un cierto nivel de confianza Posteriormente se comenz a trabajar en un primer suplemento de la GUMP que estableciera las bases para propagar distribuciones en vez de varianzas mediante t cnicas adecuadas como el m to do de Monte Carlo Desde el a o 2 004 exist a un borrador de dicho documento que se ha hecho oficial en oto o del 2 007 publicado por OIML Organizaci n Internacional de Metrolog a Legal En este curso seguiremos el procedimiento recomendado por la GUM para la estimaci n de las in certidumbres de medida En esencia las contribuciones consideradas determinan una funci n modelo con n variables de entrada X X Para cada una de ellas X hay que conocer su valor estimado por x y su desviaci n t pica u x y las covarianzas entre variables de entrada en su caso adem s de un par metro que caracterice la menor o mayor confianza en aquella desviaci n t pica lo que suele hacerse facilitando el n mero de grados de libertad que es tanto mayor cuanto mayor sea la fiabilidad de u x 2 Clasificaci n de las contribuciones 2 1 Ejercicio En la calibraci n de un instrumento se han identificado todas las contribuciones siguientes Se ale
8. nde a una distribuci n uniforme de probablidad entre un valor m nimo fmin Y Otro m ximo fmax Siendo nula la probabilidad para los valores fuera del intervalo At fmax fmin la utilizaci n de la definiciones 1 determinan max 1 At gt tdt fmin 37 H 1 At 2 Imin fmax J AY ar 2 des g 2 12 min Funci n de densidad uniforme A If Figura 1 CEM Curso Virtual de Metrolog a unidad 3 5 4 1 Ejercicio Para realizar una correcci n t rmica en el resultado de una medici n se eval a tipo B la temperatura de una sala que siempre se encuentra entre C y C Se sabe adem s que el equipo de acondicionamiento determina una distribuci n sensiblemente uniforme de la temperatura en dicho intervalo Determine el valor 6 y la desviaci n t pica u 9 que cabe asignar a dicha temperatura expresando los resultados con dos cifras significativas a 0 C b u 0 C 4 2 Ejercicio Para corregir la discretizaci n de las lecturas de un instrumento de divisi n de escala E se decide sumar a cualquier resultado una correcci n de escala adi tiva centrada en la lectura del instrumento en la hip tesis de que el valor del mensurando que se mide puede encontrarse en cualquier punto del intervalo definido por lectura E 2 Determine el valor de la correcci n aditiva cg y su desviaci n t pica ug a cg E b ug E En algun
9. or ejemplo la existencia de un sistema de control estad stico del proceso de fabricaci n que mediante la determinaci n temporal de algunos par metros del mismo permita actuar para que la serie se mantenga con una variabiliadad admisible Si sobre una magnitud a medir con especial relevancia en cada pieza se realizasen tres medidas n 3 y se adoptase la media aritm tica como valor de la misma la contribuci n de repetibilidad se expresar a mediante s yn En el caso de medir una ica vez sobre cada pieza la contribuci n coincidir a con s Una situaci n parecida surge cuando se trata de evaluar la dispersi n de medidas destructivas como por ejemplo la carga de rotura de una probeta en un ensayo de tracci n o compresi n En estos casos es inevitable una evaluaci n tipo B en la que el an lisis de series hist ricas de ensayos similares y de resultados de las verificaciones de la m quina de ensayo junto con la experiencia de quien la realiza son elementos esenciales Otra fuente importante de medidas destructivas o con muestras poblacionales muy reducidas se pre senta en los an lisis qu micos En estos casos la experiencia personal y la de otros buenas pr cticas de laboratorio son factores importantes para una buena evaluaci n tipo B 4 5 Ejercicio Para determinar la contribuci n de repetibilidad en la medida del di metro d de una pieza se efect an medidas cada dos mil piezas realizando medidas en cadaunade pieza
10. os casos se utilizan distribuciones triangulares que priman m s la presencia de la variable en el centro que en los extremos del intervalo figura 2 CEM Funci n de densidad triangular A If Figura 2 Curso Virtual de Metrolog a unidad 3 4 3 Ejercicio Para realizar una correcci n t rmica similar a la del ejercicio 4 1 se eval a tipo B la temperatura de una sala que siempre se encuentra entre C y ec En este caso el equipo de acondicionamiento determina una mayor probabilidad de encontrar la temperatura hacia el centro del intervalo y por experiencias real izadas durante cierto tiempo se admite una funci n de densidad triangular como la de la figura 2 Determine el valor 6 y la desviaci n t pica u 9 que cabe asignar a dicha temperatura expresando los resultados con dos cifras significativas a 0 C b u 8 C Tambi n es posible encontrar funciones de densidad no uniforme definidas en un intervalo con la concavidad hacia las ordenadas positivas es decir en las que existe mayor probabilidad de que la variable se encuentre en los extremos que en el centro del intervalo Un ejemplo de este tipo puede derivarse del oscilador arm nico simple Si en un ejercicio de tiro al blanco imaginamos un blanco puntual que se mueve en el eje de abscisas entre x A y x A con la ecuaci n horaria x A sen wt p la probabilidad de que el blanco se encuentre entre x y x
11. s La desviaci n t pica poblacional resulta s um Esta desviaci n t pica incluye la dispersi n de di metros de cada pieza y la variabili dad entre piezas Determine la desviaci n t pica de repetibilidad para el di metro a partir de n medidas simples en la misma o en diferentes piezas y el n mero de grados de libertad de aquella en los dos casos siguientes Conn 1 a u d um b vlu d Conn 3 c u d um d v u d La cuantificaci n de la contribuci n de las derivas tambi n puede evaluarse tipo B apoy ndose en los registros hist ricos de calibraci n y medida En las unidades 6 y 7 se presentan algunos casos CEM Curso Virtual de Metrolog a unidad 3 9 5 Referencias 1 Reccomandation 1 C1 1981 Proc s Verbaux des S ances CIPM tome 49 Session 70 1981 p g 26 2 Reccomandation 1 y 2 C1 1986 Proc s Verbaux des S ances CIPM tome 54 Session 75 1986 p gs 35 36 3 ISO et al Guide to the expression of Uncertainty in MeasurementM ISO 1995 ISBN 92 67 10188 9 Gu a para la expresi n de la incertidumbre de medida Traducci n CEM 2000 NIPO 165 00 004 0 4 OIME Guide OIML G 1 101 Evaluation of measurement data Supplement 1 to the Guide to the expression of uncertainty in measurement Propagation of distributions using a Monte Carlo method Edition 2 007 E 60 pp 5 EA 4 02 rev 00 Expressions of the Uncertainty of Measurements in Calibration EA 1999
12. total mayor pero a condici n de indicar siempre el valor de dicho factor Al utilizar varianzas y covarianzas los valores que resultan de combinar las contribuciones individ uales pueden obtenerse mediante leyes estad sticas de propagaci n bien conocidas Desde un punto de vista pr ctico la propuesta inicial del CIPM supuso desechar la hip tesis de que todas las contribuciones de incertidumbre respondiesen a leyes normales trabajar siempre con desviaciones t picas o varianzas y no identificar la incertidumbre con un intervalo de confianza sino directamente con la desviaci n t pica resultante u La multiplicaci n de esta ltima por un factor de cobertura k habitualmente entre 2 y 3 y que debe especificarse siempre como parte del resultado de medida permite obtener unos valores de incertidumbre expandida U m s seguros para las decisiones habituales en la mayor parte de las aplicaciones especialmente en la industria de forma que U ku CEM Curso Virtual de Metrolog a unidad 3 1 Sin embargo subsist a la necesidad de armonizar la incertidumbre expandida de los resultados de las medidas por lo que la segunda recomendaci n I ya adelant que esta cuesti n estaba siendo considerada por un grupo de trabajo de ISO Organizaci n Internacional de Normalizaci n en el que tambi n estaban representadas otras organizaciones El trabajo de dicho grupo se public formalmente en 1993 BI y adem s de presentar el c
13. vamente La raiz cuadrada de esta ltima es la desviaci n t pica muestral o experimental La expresi n s yn se denomina desviaci n t pica muestral o experimental de la media Todos ellos son estimadores estad sticos de los par mteros de las correspondientes distribuciones CEM Curso Virtual de Metrolog a unidad 3 4 4 Evaluaciones tipo B Cuando se eval an contribuciones de incertidumbre tipo B la mayor dificultad estriba en formular una hip tesis adecuada Por ejemplo si se admite que una variable se encuentra entre un valor m ni mo y otro m ximo el intervalo que ambos definen no puede ser ni muy exageradamente grande ni excesivamente peque o y debe justificarse adecuadamente Cuantificar la fiabilidad de este tipo de hip tesis no es sencillo El apartado G 4 de la GUM proporciona algunas pautas al respecto No obstante en la mayor parte de los casos se admite que las evaluaciones tipo B se han realizado con experiencia y buen juicio por lo que resultan muy seguras En estas condiciones es correcto asumir un n mero infinito de grados de libertad tal y como se indica en el punto G 4 3 de GUMP y en E2 del documento EA 4 02P Una forma frecuente de realizar evaluaciones tipo B es suponer que la variable en cuesti n posee una funci n de densidad de probabilidad sencilla pero adecuada a su descripci n En estos casos las expresiones 1 permiten determinar los par metros de la misma Por ejemplo si la variable T respo
14. xtensi n n ES Ill 3 Ill 1 II Ra 2 Ambos estimadores son variables aleatorias y en particular una muestra de medias aritm ticas tam bi n apunta a la media poblacional u pero su varianza estima la varianza poblacional dividida por la extensi n de la muestra n es decir x x 2 3 w x E A n El n mero de grados de libertad asociados a s y u x es n 1 porque se han utilizado en su determi naci n los n valores de la muestra y un valor dependiente de los mismos x como se observa en la segunda expresi n de CEM Curso Virtual de Metrolog a unidad 3 3 3 1 Ejercicio Se mide diez veces una resistencia el ctrica de nominal 1 kQ obteni ndose los siguientes valores en ohmios Determine a El estimador de la media de la poblaci n de medidas en ohmios con cuatro cifras significativas H Q b El estimador de la desviaci n t pica de la poblaci n de medidas en ohmios y con dos cifras significativas T Q c Qu valor debe asignarse a la resistencia en ohmios y con cuatro sifras significativas d Cu nto vale la incertidumbre t pica de la contribuci n de repetibilidad aso ciada al resultado anterior en ohmios y con dos cifras significativas u x Q e Cu l es el n mero de grados de libertad de u x vlu x Las expresiones suelen conocerse como media muestral o experimental y varianza muestral o experimental respecti
Download Pdf Manuals
Related Search