Utilisation de la Méthode des Solutions Manufactur[...]
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1. Cette commande permet de transformer l expression pr c dente en objet formule de Code Aster qui pourra tre valu e dans le logiciel de la mani re suivante CLIMIT AFFE CHAR THER F MODELE MO SOURCE F GROUP MA SURFACI SOUR SS ez 3 Bibliographie 1 American Institute for Aeronautics and Astronautics Guide for the Verification and Validation of Computational Fluid Dynamics Simulations 1998 2 American Society of Mechanics Engineers Guide for Verification and Validation in Computational Solid Mechanics 2006 3 Eric Chamberland Andr Fortin Michel Fortin Comparison of the performance of some finite element discretizations for large deformation elasticity problems Computers amp Structures Vol 88 no 11 12 pp 664 673 2010 4 Module Sympy de Python http code google com p sympy Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html2. mes qui peuvent tre tr s complexes et non lin aire Son principe est simple on se donne explicitement la solution chercher sous la forme d une expression analytique et partir de cette solution on construit les donn es blocages chargements n cessaires l obtention de cette solution Il est int ressant de noter que cette m thode est tr s couramment utilis e en m canique des fluides Ainsi American Institute of Aeronautics and Astronautics AIAA l a incluse dans ses normes d assurance qualit logicielle en 1998 bib1 Cette pratique est beaucoup plus rare en m canique des solides ainsi l American Society of Mechanical Engineers ASME ne l a int gr e dans sa norme qu en 2006 bib2 soit beaucoup plus r cemment Cela n est pas li une difficult particuli re des tudes pouss es en m canique des solides ayant t men es gr ce cette m thode bib3 Dans la suite de ce document nous allons exposer le principe de cette m thode sur un exemple simple puis la d marche de validation applicable Nous d taillerons ensuite la mise en uvre informatique dans Code Aster Principe g n ral et utilisation pour la v rification 2 1 La M thode des Solutions Manufactur es en thermique Le principe de cette m thode est tr s simple nous allons l illustrer sur un exemple de thermique lin aire 2D Avant tout nous rappelons les quations d un probl me de thermique lin aire Dans le d
3. probl me tudi Il est n anmoins essentiel de faire la remarque suivante pour obtenir la solution recherch e il faut bien affecter des conditions aux limites sur tout le bord 5 Q du domaine d tude Au choix suite une partition de la fronti re cela peut tre un m lange de conditions de Dirichlet et de Neumann L obligation d imposer des conditions sur toute la fronti re est notamment d au fait qu une absence de condition aux limites est implicitement une condition de Neumann nul Or l quation 3 montre que l on n a pas le choix de la valeur de cette condition Dans l exemple pr sent nous faisons le choix d imposer une condition de Neumann sur 0 2 et des conditions de Dirichlet sur 0 Q4 00 et oo 30 l Dessin 1 Domaine d tude Une fois les quations pr c dentes obtenues on passe la phase mod lisation On commence par choisir une discr tisation l ments finis V lin aire quadratique On mod lise dans son logiciel d l ments finis pr f r le domaine 2 auquel on applique les chargements si 0x y T x y et q4n x y Apr s r solution on obtient la solution approch e T x y f 2 2 Techniques de v rification Gr ce la MSM diff rentes v rifications sont r alisables 2 2 1 Choisir une solution de r f rence dans l espace d approximation TEV C est la v rification la plus simple car on doit alors obtenir T x y T x y A noter que du fait de r solution num rique on
4. 0 par la formule e log 2 log 2 en On v rifie de l ordre de convergence est en accord avec la th orie Par exemple pour une solution T suffisamment r guli re en utilisant le norme L l ordre de convergence d un l ment lin aire est au minimum de 2 tandis l ordre de convergence d un l ment quadratique est au minimum de 3 2 3 Aspects informatiques 2 3 1 Calcul symbolique A la lecture des grands principe de la m thode il est vident que le passage de l expression analytique de la solution recherch e aux donn es d entr es du probl me l ments finis r soudre n cessite de nombreuses op rations de d rivation et d alg bre Pour faciliter et automatiser cette tape on s appuie des fonctionnalit s de calcul symbolique Elles sont fournies par le module Sympy bib4 du langage Python Il s agit d un module int gralement crit en Python d une grande simplicit d utilisation Pour faciliter la mise en uvre de la MSM a t d velopp e une classe Python TensorModule qui d finit l objet tenseur ainsi que ses m thodes produit simplement et doublement contract trace d terminant Nous avons aussi d velopp les principaux op rateurs s appliquant sur ces tenseurs gradient gradient sym trique divergence Laplacien Sur la base de cette classe nous avons d fini un autre module HookTensor qui permet simplement d implanter diff rents tenseurs de Hook isotrope anisotrope orthotrope avec a
5. Code Aster Pr Titre Utilisation de la M thode des Solutions Manufactur Date 06 09 2011 Page 1 6 Responsable Josselin DELMAS Cl U2 08 08 R vision 7212 Utilisation de la M thode des Solutions Manufactur es pour la v rification logicielle R sum Ce document pr sente l utilisation de la M thode des Solutions Manufactur es pour la validation logicielle de Code Aster Le principe de cette m thode est d taill sur un exemple simple de diffusion thermique Cet exemple nous permet de pr ciser l int r t de cette approche et particuli rement de pr senter la d marche de validation qui peut tre mise en uvre Enfin l implantation informatique de la M thode des Solutions Manufactur es bas e sur l utilisation du calcul symbolique est d taill e Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Version Code Aster default Titre Utilisation de la M thode des Solutions Manufactur Date 06 09 2011 Page 2 6 Responsable Josselin DELMAS Cl U2 08 08 R vision 7212 Table des Mati res INTOJ UO In En Re i ai 22 Techniques de V NMICATION 2232088 st nomme os au e a aAa ma bass Don aa AA aiaa 4 2 2 1 Choisir une solution de r f rence dans l espace d approximation ssssssssssssssr
6. n aura pas galit parfaite mais la diff rence doit tre de l ordre de la pr cision machine 1 E 15 De mani re concr te si on utilise des l ments lin aires il faudra alors choisir une solution lin aire 2 2 2 Choisir une solution de r f rence hors de l espace d approximation TEV Dans le cas de figure o TV on n a plus l galit du paragraphe pr c dent Par contre on peut assez facilement mesurer la vitesse de convergence de T vers T quand h 0 Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fal html Code Aster cu Titre Utilisation de la M thode des Solutions Manufactur Date 06 09 2011 Page 5 6 Responsable Josselin DELMAS Cl U2 08 08 R vision 7212 On pr cise que la vitesse de convergence avec la finesse h du maillage de la solution calcul e vers la solution analytique dans une norme donn e se d finit comme le plus grand r el amp gt Q tel que T x y T x y lt C xA o C estind pendant de 4 Pour mesurer la vitesse de convergence on proc de comme suit On r alise des maillages de plus en plus fins du domaine Q Pour chacun des maillages on d termine la solution T Pour chacun des maillages on mesure dans une norme bien choisie l erreur e T T x On calcule l ordre de convergence asymptotique de e vers 0 quand h
7. ngles nautiques Ces classes sont plac s dans le r pertoire bibpyt Utilitai des sources de Code Aster 2 3 2 Mise en uvre dans Code Aster Dans cette partie nous d crivons comme la MSM est mise en uvre dans le langage de commandes de Code Aster Pour ce faire nous nous basons sur l exemple de thermique lin aire pr c dent et d taillons les principales tapes n cessaires La mise en oeuvre pr cise est r alis e dans le cas test tp1p107a import sympy On importe le module de calcul symbolique Sympy pour utiliser ses fonctionnalit s X Y sympy symbols XY On d finit les variables d espace qui seront utilis es pour le calcul symbolique T sympy Function T S sympy Function s On d finit le nom des fonctions T sera bien videmment la temp rature et f le terme source Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster Ho Titre Utilisation de la M thode des Solutions Manufactur Date 06 09 2011 Page 6 6 Responsable Josselin DELMAS Cl U2 08 08 R vision 7212 T 100 X 6 VY X x6 On donne l expression de la solution manufactur e que l on cherche retrouver S Lambda sympy diff sympy diff T X X sympy diff sympy diff T Y Y On d duit l expression du terme source de l quation 2 SS FORMULE NOM PARA X Y VALE str S
8. omaine Q on recherche le champ de temp rature T x y tel que AT s dans Q IT T sur 00 1 AVT n q sur 00 o T4 et q sont respectivement la temp rature et le flux impos s sur des parties de la fronti re Les tapes de la M thode des Solutions Manufactur es sont les suivantes On choisit un domaine d tude 2D arbitraire Q comportant les fronti res 00 avec conditions de Dirichlet et Q avec conditions de Neumann Par choisir on entend choisir la forme du domaine Ainsi nous choisissons la forme de la figure 1 On choisit une solution arbitraire disons T x y x y En r injectant l expression pr c dente dans 1 on d duit les expressions edu terme source s x y AAT A 6x 6 y 2 edu terme de Dirichlet Talx y x y 3 edu terme de Neumann qalx y AVT x y 4 Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copylett fdl html Code Aster Ho Titre Utilisation de la M thode des Solutions Manufactur Date 06 09 2011 Page 4 6 Responsable Josselin DELMAS Cl U2 08 08 R vision 7212 Si on veut imposer cette condition sur le bord alors on on connait l expression de la normale savoir 7 1 of On obtient donc qalx y A T x y A 3A x 5 Arriv ce stade on dispose des informations n cessaires la mod lisation du
9. rnnennne 4 2 2 2 Choisir une solution de r f rence hors de l espace d approximation sssssssssssssnnnnnns 4 2 3 ASDECISIMONMATIQUES 22210202 8h anna rommte one dannrednee nano autel Pine done ra mate due tante d ottomane 5 PENRE o E e L EA Run nn din edf den tas 5 2 3 2 Mise en uvre dans Code Aster siieeireenrenneennnnneennnnn 5 O BDOTI C onca a a aa 5 Manuel d utilisation Fascicule u2 08 Fonctions avanc es et contr le des calculs Copyright 2015 EDF R amp D Document diffus sous licence GNU FDL http www gnu org copyleft fdl html Code Aster ou Titre Utilisation de la M thode des Solutions Manufactur Date 06 09 2011 Page 3 6 Responsable Josselin DELMAS Cl U2 08 08 R vision 7212 1 Introduction La v rification d un logiciel scientifique consiste s assurer de l absence d erreur dans la programmation de la mod lisation implant e Une approche classique et tr s fiable consiste comparer le r sultat du logiciel celui d une solution analytique Malheureusement pour les probl mes complexes et ou non lin aires les solutions analytiques deviennent tr s difficile obtenir C est dans ce cadre que la M thode des Solutions Manufactur es est particuli rement int ressante La M thode des Solutions Manufactur es est une m thode de v rification de logiciels scientifiques Il s agit d une m thode syst matique d obtention de solutions analytiques pour des probl
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