1 LAGUERRE - Henri Poincaré Papers
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1. UVRES DE LAGUERRE PUBLI ES SOUS LES AUSPICES DE L ACAD MIE DES SCIENCES PAR MM CH HERMITE H POINCAR et E ROUCH MEMBRES DE L INSTITUT TOME I ALG BRE CALCUL INT GRAL CHELSEA PUBLISHING COMPANY BRONX NEW YORK mu onI9 sv d 55 SECOND EDITION THE PRESENT SECOND EDITION IS REPRINT IN TWO VOL UMES UNALTERED EXCEPT FOR THE CORRECTION OF ERRATA OF WORK FIRST PUBLISHED IN TWO VOLUMES AT PARIS IN 1898 anp 1905 RESPECTIVELY IS PUBLISHED AT New York IN 1972 AND IS PRINTED ON ACID FREE PAPER INTERNATIONAL STANDARD BOOK NUMBER 0 8284 0263 9 LIBRARY OF CONGRESS CATALOG CARD NUMBER 70 125075 LIBRARY OF CONGRESS CLASSIFICATION NUMBER DEWEY DECIMAL CLASSIFICATION NUMBER 510 924 PRINTED IN THE UNITED STATES OF AMERICA PR FACE Dans cette Notice sur la vie et les travaux de Laguerre j aurai plus parler de ses travaux que de sa vie Son exis tence utile et laboricuse n a t ni agit e ni bruyante Sans ambition partag entre ses devoirs professionnels les joies de l tude et celles de la famille les seuls v nements de sa vie ont t des d couvertes Laguerre naquit Bar le Duc le avril 1834 D s le d but de ses tudes son talent naissant fut remarqu de ses ma tres mais il ne devait pas quitter les bancs du lyc e sans avoir montr qu il tait autre chose qu un bon colier En 1853 n tant enc2. de l espace c est ainsi en particulier qu il fat amen comprendre le premier le r le important que joue l aire du triangle sph rique dans la G o m trie de la sph re ct tendre la th orie des foyers toutes les courbes alg briques planes ct sph riques L tude des courbes ct des surfaces alg briques se rattache directement la th orie des formes homog nes et de leurs invariants tout th or me sur ces formes est susceptible en cffet d autant d interpr tations g om triques qu on peut imaginer de syst mes nouveaux de coordonn e Laguerre cr deux de ces syst mes le premier est applicable aux courbes trac es sur les surfaces du second ordre le deuxi me est ce qu il a appel l quation mixte ct met en vidence les tangentes qu on peut mener la courbe d un point ext rieur Sa connaissance approfondie de la th orie des formes alors naissante lui permit de tirer de ces deux inventions tout le parti possible Parmi ces r sultats je citerai scule ment l tude qu il fit d une surface du troisi me ordre r ci proque de celle de Steiner Les courbes et les surfaces anallagmatiques attiraient celte poque l attention des g om tres les plus minents plusieurs de leurs propri t s les plus importantes ont t d couvertes par Laguerre Il tudiait en m me temps toutes les courbes du quatri me ordre ct en particulier l hypocy clo de trois rebroussements la cardi
3. perdue Malgr les soins pieux dont Laguerre entour le mal fit pendant six mois de continuels progr s Il mourut le 14 ao t 1886 dans sa ville natale Bar le Duc Il sera regrett non seulement de ses amis mais de tous les hommes qui s int ressent la Science et qui savent com bien de secrets il emport s dans la tombe Porxcar TABLE DES MATI RES Pages PR FACE soie rs ts A POSE RE ne rade 05 v ALG BRE Sur la th orie des quations num riques m 3 Sur le des manants dans la th oric des quations num riques 8 Sur une formulc nouvelle permettant d obtenir par approximations succes sives les racines d une quation dont toutes les racines sont r clles 51 Sur la r solution des quations num riques dont toutes les racines sont et eue ae 52 Sur la r solution des quations num riques 56 Remarques sur quelques points de th oric des quations num riques 64 Sur la r gle des signes de Descartes pronos cree 407 Sur la d termination d une limite sup rieure des racines d une quation et sur la s paration des Sur m thode pour obtenir par approximation les racines d une quation alg brique qui toutes ses racines 87 Sur l approximation des fonctions circulaires au m
4. ait au service des d butants toutes les ressources d une rudition vaste s re Ses nouvelles fonctions ne d tourn rent pas Laguerre de ses recherches g om triques c est cette poque qu il cr a la G om trie de direction Il est peu d exemples qui fassent mieux voir combien l id e la plus simple peut devenir f conde quand un esprit ing nieux et profond s en empare On peut regarder une droite ou un cercle comme la trajectoire d un point mobile mais ce point peut parcourir sa trajec toire dans deux sens oppos s c est ce qui conduit consi d rer une droite comme form e de deux semi droites et un cercle comme form de deux cycles De ce point de vue les autres courbes se r partissent en deux classes les courbes de direction qui sont susceptibles de se d composer analy tiquement comme la droite en deux trajectoires parcourues en sens contraire et celles pour lesquelles une semblable d composition est impossible PR FACE Le parti que Laguerre su tirer de cette distinction montre qu elle n est nullement arbitraire Elle conduit en particulier une transformation g om trique nouvelle qui promet de n tre pas moins utile que les transformations d j connues Pour r soudre un probl me nouveau nous cherchons tou jours le simplifier par une s rie de transformations mais cette simplification un terme car il dans tout probl me quelque chose d essent
5. ans cette longue num ration de d cou vertes je n ai pu tre court ct je wai pas m me l excuse d avoir t complet puisque je n ai signal ni les applications de la m thode de Monge ni celles du principe du dernicr multiplicateur mais la prodigieuse f condit de Laguerre rendait ma t che difficile S il tait vrai qu on ne p t rencontrer gloire sans la chercher Laguerre serait rest toujours ignor mais heureu xv sement ses beaux travaux lui avaient attir l estime et bient t l admiration des juges les plus comp tents ct il ne devait pas attendre en vain qu on lui rendit justice lui ouvrit ses portes le 11 mai 1883 peu de temps apr s M Bertrand lui confiait la suppl ance de la chaire de Phy sique math matique au Coll ge de France est triste de penser que Laguerre ne put jouir que pen dant peu de temps de cette double et l gitime r compense Il eut encore le temps cependant dans les quelques Le ons qu il fit au Coll ge de France d exposer sous un jonr tout nouveau cette belle th orie de l attraction des cllipso des qu il avait compl t e par ses travaux personnels N peine l Acad mie des Sciences Les examens d entr e l cole Polytechnique loign rent d abord puis la ma ladie l obligea quitter toutes ses occupations Sa sant qui avait toujours t d licate us e par un tra vail incessant et opini tre tait irr m diablement
6. e th orie tait loin d tre compl te bien des points et non des moins importants res taient encore claircir comment pouvait se faire la trans formation des propri t s m triques des figures et en parti culier des relations entre les angles Le jeune lyc en r solut du premier coup ce probl me qui pr occupait les fondateurs de la G om trie moderne sa solution simple et l gante fut publi e dans les Nouvelles Annales de Math matiques Il entra le quatri me l cole Polytechnique Si son rang de sortie fut un peu moins brillant nous devons pas nous en tonner car il fut l cole ce qu il fut dans la vie Le monde ne lui apparaissait pas comme un champ clos ni les hommes comme des rivaux qu il faut devancer tout prix Ce qu il cherchait dans l tude ce n tait pas le succ s mais PREFACE re le savoir malheureusement le chemin le plus court vers ces premiers rangs si ardemment convoit s n est pas toujours le travail original ct libre qui fait perdre de vue le but auquel d autres pensent sans cessc Devenu officier d artillerie et envoy Metz Mutzig puis Strasbourg il ne publia rien pendant dix ans Il rem plissait ses devoirs militaires avec une scrupuleuse ponc tualit et ses camarades pouvaient croire que sa profession l absorbait tout entier Ils se trompaient Lagucrre poursui vait silencieusement les tudes qu il avait si brillamment commenc es e
7. erre n a pas eu le temps de urer imaginaires mals dont Laguerre n a pa toutes les cons quences su ais i opri t s celles endent aux Quelles sont parmi ces propr i t s celles qui s el XIV PREFACE quations transcendantes Laguerre s en pr occupe et est ainsi amen approfondir la classification en genres des transcendantes enti res personne ne s est avanc aussi loin que lui dans cette th orie l une des plus difficiles de lyse L tude des fractions continues alg briques nous per mettra sans doute un jour de repr senter les fonctions par des d veloppements beaucoup plus conve ents que les s ries de puissances mais peu de g om tres ont os s aventurer dans ce domaine inconnu qui nous r serve bien des sur prises Laguerre fut conduit par ses recherches sur les polyn mes qui satisfont une quation diff rentielle lin aire De tous les r sultats qu il obtint je n en veux citer qu un parce que c est le plus surprenant et le plus suggestif D une s rie divergente on peut d duire une fraction continue con vergente c est l un nouveau mode d emploi l gitime des s ries divergentes qui est sans doute destin un grand avenir Tel est ce vaste ensemble de travaux alg briques ct analy tiques o Lagucrre a su chose rare s lever aux aper us g n raux sans jamais perdre de vue les applications particu li res et m me num riques Je m arr te d
8. icl pour ainsi dire que toute trans formation cest impuissante modifier De l l importance de la notion g n rale d invariant que doit rencontrer dans toute question de Math matiques clle devait s introduire n cessairement dans la th orie des quations diff rentielles lin aires et fournir le moyen d amener ces quations par des op rations convenables au plus haut degr possible de sim plicit Cette id e est due aussi Laguerre et M Halphen montr combien elle tait f conde en d veloppant ce point de vue nouveau sa th orie des invariants diff rentiels J arrive la partie la plus remarquable de l uvre de Laguerre je veux parler de ses travaux sur les quations alg briques Le th or me de Sturm permettait d j une dis cussion compl te la m thode de Newton donnait une approximation rapide ct ind finie La question semblait donc puis e Mais ce n tait pas la premi re fois que Laguerre abordant un champ o les esprits superficiels ne croyaient plus avoir rien glaner en rapportait une moisson nouvelle La m thode de Sturm il faut bien lc reconna tre a t plus admir e qu appliqu e Pour obtenir le nombre des racines r elles d une quation on pr f re g n ralement em VR ployer des moyens d tourn s propres chaque tas paih culier on ne pouvait donc trouver de nouveau qu en dehors du cas g n ral La d monstration classique de la
9. o de la lemniscate PR FACE les cassiniennes planes et sph riques les biquadratiques gauches ses r sultats l gants qu il tablissait toujours par une d monstration simple ct ing nieuse font nettement ressortir les rapports qui lient entre elles ces questions diff rentes A c t de la G om trie alg brique se d veloppe la G o m tric infinit simale laquelle se rattache l tude de courbure des lignes des surfaces Cette branche de la Science doit aussi beaucoup Laguerre Il a appliqu tant t les ressources du Calcul diff rentiel tant t celles des m thodes alg briques qu il avait cr es Je citerai seulement ses recherches sur les lignes g od siques et sur la courbure des surfaces anallagmatiques Le c l bre th or me de Poncelet est une interpr tation g om trique lumineuse de l addition des arg monts ellip tiques Laguerre l claircit encore approfondit les cas particuliers le rattache aux d couvertes de Jacobi ne g n ralise et l tend aux fonctions hyperelliptiques Le th o r me d addition de ces fonctions si compliqu sous sa forme alg brique est remarquablement simple et l gant sous son nouveau v tement g om trique ne puis que signaler en passant une ing nieuse exten sion du th or me de Joachimstahl aux surfaces du second ordre et j ai h te d arriver un M moire trop peu connu et dont la port e philosophique est tr s g
10. ore que candidat l cole Polytech nique il se signala par un travail original Dans le programme d admission cette cole la place d honneur appartient la G om trie analytique Cette Science se renouvelait alors par une r volution en quelque sorte inverse de la r forme cart sienne Avant Descartes le hasard seul ou le g nie permettait de r soudre une ques tion g om trique apr s Descartes on pour arriver au r sultat des r gles infaillibles pour tre g om tre il suffit d tre patient Mais une m thode purement m canique qui demande l esprit d invention aucun effort peut tre r ellement f conde Une nouvelle r forme tait done n ces saire Poncelet et Chasles en furent les initiateurs Gr ce eux ce n est plus ni un hasard heureux ni une longue patience que nous devons demander la solution d un probl me mais une connaissance approfondie des faits math matiques et de leurs rapports intimes Les longs calculs d autrefois sont devenus inutiles car on peut le plus souvent en pr voir le r sultat Laguerre jou dans cette r forme un r le tr s impor tant que son premier travail de jeunesse permettait d j de pressentir La th orie des propri t s projectives de Poncelet l une des plus utiles des m thodes modernes permet de d duire d une proposition connue une infinit de propositions nouvelles Mais en 1853 cett
11. oyen des fonctions alg briques Sur quelques propri t s des quations alg briques qui ont toutes leurs racines 35 Sur un probl me d Alg bre Sur la d termination d quations num riques ayant un nombre donn de racines imaginaires s sens 123 Sur les quations alg briques dont le premier membre satisfait une qua tion lin aire du second ordre ses eee doss Deere 126 Th or mes g n raux sur les quations alg briques 0 133 Sur unc propri t des polyn mes X de Legendre seses T G Sur la s paration des racines des quations dont le premicr membre est d composable en facteurs r els ct satisfait unc quation lin aire du second ordre 41 Sur une extension de la at
12. r gle des signes de Des cartes est d une grande simplicit Laguerre en a trouv une plus simple encore me t t l qu un Avantage secon daire mais la d monstration nouvelle s applique scule ment aux polyn mes entiers mais encore aux series infinies Ainsi transform le th or me de Descartes devient un 1m strument d une flexibilit merveilleuse mani par Lagucrre il le conduit des r gles l gantes bien plus simples que celles de Sturm et s appliquant des classes tr s d quations Une d elles qui vrai dire qu e que celle de Sturm le m me degr de Laguerre ne s y arr te pas d ailleurs plutot vers les cas particuliers simples par son instinct scientifique ATA La m thode de Newton consiste remplacer r soudre par une quation du premier degr so en a tr s peu Laguerre la remplace par une u deuxi me degr qui en diff re moins encore L tion est plus rapide de plus la m thode n est jamais en d faut au moins quand toutes les racines sont r elles Le proc d nouveau est surtout avantageux quand le premier membre de l quation est un de ces polyn mes g satisfont une quation diff rentielle lin aire et dont le r le ant Je ne puis non plus passer sous silence tique cst si import t calculer les racines une m thode ing nieuse pour i inai is
13. rande Ce qui pour titre Sur les syst mes lin aires t publi en 1867 dans le Journal de l cole Polytechnique Les substitutions lin aires ont acquis dans l Analyse une telle importance qu il nous semble aujourd hui difficile de traiter une seule question sans qu elles s y introduisent ff x PREFACE Laguerre devinait d j sans doute l avenir r serv cette th orie et il en d veloppait en quelques pages tous les points essentiels Mais il ne se bornait pas l Depuis le commencement du si cle de grands efforts ont t faits pour g n raliser le con cept de grandeur des quantit s r elles on s est lev aux quantit s imaginaires aux nombres complexes aux id aux aux quaternions aux imaginaires de Gallois Le domaine de l Analyse s agrandissait ainsi sans cesse et de tous c t s Laguerre s l ve un point de vue d o l on peut embrasser d un coup d il tous ces horizons Toutes ces notions nou velles et en particulier les quaternions sont ramen es aux substitutions lin aires Pour faire comprendre la port e de cette vue ing nicuse qu il me suffise de rappeler les beaux travaux de M Sylvester sur ce sujet Laguerre applique ces principes la th orie des formes quadratiques et celle des fonctions ab liennes et il Te trouve ct compl te sur divers points les r sultats de M Her mite Sans doute il n y a dans tout cela qu une notation no
14. t accumulait d importants mat riaux Quand il revint Paris en 1864 pour remplir les fonc tions de r p titeur l cole Polytechnique il lui e t t facile en d voilant les secrets qu il devait dix ans de tra vail de publier un important volume de G om trie qui imm diatement class hors de pair Il n en fit rien Les id es g n rales n avaient de prix ses yeux que par les applica tions particuli res o elles pouvaient conduire Il com muniqua donc ses r sultats qu un un avec sobri t presque avec avarice Difficile satisfaire il ne voulait rien livrer que de parfait Ce n est qu en 1870 qu il fit la salle Gerson un Cours public o il exposa ses vues d ensemble sur l emploi des imaginaires en G om trie et dont les premi res Le ons furent seules publi es Aucune des ressources nouvelles de la G om trie sup rieure ne lui fut trang re il en cr a quelques unes il les mania toutes avec habilet et bonheur Les r sultats sont trop nombreux pour que je puisse songer les analyser ou m me les num rer tous Sur cent quarante M moires PR FACE qu il nous laiss s plus de la moiti sont des travaux de G om trie et marquent la place qu a tenue Laguerre dans ce mouvement dont j ai parl plus haut et d o est sortie la G om trie moderne Il s occupa d abord de repr senter d une fa on concr te les points imaginaires du plan et
15. uvelle mais qu on ne s y trompe dans les Sciences math matiques une bonne notation a la m me importance philosophique qu une bonne classification dans les Sciences naturelles Le M moire que je cite en est d ailleurs la meil leure preuve Laguerre touche toutes les branches de l Ana lyse et force pour ainsi dire une multitude de faits sans aucun lien apparent se grouper suivant leurs affinit s natu relles Depuis 1874 Laguerre faisait partie du Jury d admission l cole Polytechnique Ces d licates fonctions ne pou vaient tre confi es un examinateur plus comp tent et plus PREFACE xt scrupuleux Ces juges si redout s sont jug s leur tour et quelquefois s v rement par les candidats malheureux ou par leurs professeurs Jamais un condamn n a protest contre un arr t de Laguerre Il savait mieux que personne distin guer le vrai savoir quelquefois moins brillant de cette ru dition superficielle due une pr paration habile Aussi quelle souffrance pour lui quand un candidat dont il avait d s l abord devin le m rite se troublait dans la suite de l examen et restait au dessous de lui m me C est ce moment de sa vie que j ai commenc le con na tre et que j ai pu appr cier non seulement son rare talent de g om tre mais sa conscience sa droiture et sa grande l vation morale Je me rappellerai toujours avec reconnais sance la complaisance avec laquelle il mett
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