1 Pour se faire la main... 2 Racines carrées
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1. HT e e en calculant d abord chaque parenth se e en supprimant les parenth ses et en regroupant les termes qui donnent un r sultat simple R ponse voir page 16 Exercice 3 Calculer A a c a b b c a c see c 1 5 5 x 04 z 2 3 1 Ida 2 3 T 9 2 S po E i 3 re Tee 5 3 1 T 3 R ponse voir page 16 2 Racines carr es Exercice 4 Exprimer sans racine carr e Je JS S V V3 2 y2 V7 4 3 T 3 a selon les valeurs de a R ponse voir page 16 w E Exercice 5 Ecrire aussi simplement que possible 2 57 3 VT 3 V7 v3 v2 2 WIVI V2 V3 R ponse voir page 16 2 V5 V2V3 5V2 S V3 1 5 2V6 _ 5 2V6 V2 V3 V2 Va Ainsi M thode Pour rendre rationnel un d nominateur on utilise l identit a b a b a b 1 2 2 V2 2 V2 2 V2 1 2 V2 2 V2 2 V2 4 2 2 Exercice 6 Rendre rationnels les d nominateurs des expressions suivantes 2 V3 2 V2 V2 V3 V5 V2 V3 1 TE R ponse voir page 16 v2 1 V2 1 V5 V2 V3 V2 V2 V3 1 v3 Exercice 7 V rifier les galit s suivantes V4a 2V3 1 Vv3 V3 V5 7T 4V3 2 V3 3 V5 V2 V3 2V3 1 3 2V9 2V2 Exercice 8 Simplifier les nombres suivants A V3 V2 V3 V2 g V3 V2 V3 V22. apprendre galement 5 L encore apprendre et placer sur un cercle trigonom trique 9 Valeurs absolues On appelle valeur absolue de x R le r el not x d fini par lel T sixzZ gt 0 T x six lt 0 lt a a lt x lt a gt In quations pour un r el positif a on H p P a 4 gt rt lt a ou a lt r 2 Enfin pour deux r els x et y quelconques on a lt y 2 lt y NB en g n ral on n a pas x y x y on dispose seulement de l in galit triangulaire ke yl lt ll lyl Exercice 47 Repr senter graphiquement les solutions des in quations du premier encadr ci dessus de deux fa ons e sur un axe r el e en construisant la repr sentation graphique de la fonction x Exercice 48 R soudre les in quations suivantes 1 3l lt 4 2 2x 11 gt 5 3 r 2 gt 5 4 r 1 lt 2r 3 5 2r 3 lt 7 Indication voir page 15 R ponse voir page 18 10 Equations polyn miales du premier degr Rappel Si a b c et d sont des nombres r els ou complexes et b et d ne sont pas nuls a C alors si et seulement si ad bc Exercice 49 R soudre les quations suivantes s 10 O 5 70 R ponse voir page 18 Exercice 50 R soudre les quations suivantes 5 2x 3 4 5x 7 19 2 x 11 A x 3 7x 17 8 5x 3 1
3. 2x3 x 1 Exercice 13 R duire et ordonner les polyn mes suivants P x T 8x 3 4x 229 5x 2 5x3 7x 1 3 5 5 Q z S x 4 3x S 2 5 4x 3 T R x x Ly2 2 2 S a 4a a a a 5a a T x 4x r 2 r3 5 x 7 2x 2 5 2 3 R ponse voir page 16 Somme de polyn mes M thode on consid re les polyn mes A 2 5x 4r B 8x 4x 6 C 22 3 2 2 Pour calculer la somme B C on recopie sur 3 lignes les polyn mes ordonn s en laissant de l espace pour les puissances manquantes A 4x 5x 2 B 4x 48e 6 C 9x a 2 3 puis on additionne par colonnes On trouve imm diatement A B C 27 3x 5x 1 Exercice 14 Former les polyn mes A B C A B C A B C A B C avec A 3g 4r 5 B 2r 4 5r C 3 r 4r R ponse voir page 16 Exercice 15 M me question avec A 5a 3ab 7b B 9b 8ab 6a C 7b 3ab 4a R ponse voir page 16 Produit de deux polyn mes une variable d entiers l cole primaire en r servant de l espace pour les puissances manquantes Soient les polyn mes A 3r 2 5r et B 2x 4r 3 Calculer le produit A B A 3x 5xr 2 B 2x 4r 3 3 A 9x 15x 6 Ar A 12x 20x 8x 2x 2 A 67 107 4x AB 6r 1277 197 24x7
4. 2 ajz lnl e 1 V1 2e BIT gt R ponse de Ifexercice 85 1 si I3 l ln 2 1 or res Pl gt ln e 1 war en je 5 UI 3 7 cosg BIT gt e SIT gt ln cosg sin z ZIP LA 2Vef Te 3 1 TIE 243 3 n10 Pisa H I5 0 2 55
5. 73 22 32 4 L A3 3 2 255 272 5 F 10 ET x x G 4x 3y z Ja z y R ponse voir page 16 Puissances r elles Pour x un r el strictement positif et a r el par d finition on pose a alng x expla ln x e R gles de calcul pour x y deux r els strictement positifs et a 8 deux r els at x af xt et ay x x U E x et z g f T x D a 8 S A Convention usuelle souffre d un probl me de parenth sage et pourrait d signer 19 et 2 Or les r gles de calcul donnent x x donc on convient habituellement que la notation v d signe ete Exercice 11 Simplifier 412 3 2 2 3 AZ BT pL F 1 Ya JET sL Z 1 G 77 xr au x 7x 11 sr ka ax TS 2 a K a Le Meg P a a o a est un r el strictement positif et n un entier naturel non nul R ponse voir page 16 Exercice 12 exercice fondamental Exprimer en fonction de e les nombres suivants A e B e T 0 63t D etet Hame a Ime 2e 7 3 R ponse voir page 16 5 Sommes et produits de polyn mes Les polyn mes seront d finis pendant l ann e mais vous avez d j travaill avec des expressions polynomiales par exemple x 3x 1 ou x 2r 1 Un polyn me doit imp rativement tre ordonn selon les puissances croissantes ou quelquefois d croissantes Par exemple on n crit jamais x 2x3 1 mais
6. In36 ln T ln2 25 In21 21In14 3ln 0 875 3 en fonction de In2 et In5 1 1 2 In 500 MS ln6 25 In Iin 1n In 25 2 3 ndication voir page 15 5 El Ea G D un voir page 17 Exercice 30 Calculer 1 V2 et 1 s V2 1 25 En d duire que In 3 2V2 4n V2 1 TA In V2 1 Indication voir page 15 Exercice 31 Calculer y sachant que Iny In 7 5V2 8In V2 1 7In V2 1 Indication voir page 15 pe Ea G n h voir page 17 Exercice 32 Simplifier A 1m 2 va In 2 v3 2 s a 2 LR ES a B n hd voir page 17 Exercice 33 Simplifier les nombres suivants e n2 In e In e voir page 17 ere In e 2 In e pe a G B n hd Exercice 34 Montrer que les fonctions suivantes sont impaires 201 22 1 us gi tIn x Vx2 1 hiso ITR In a U 300 x e z 1 On n oubliera pas de v rifier que leur ensemble de d finition est centr en 0 Exercice 35 R soudre les quations suivantes a In x 5 In x 61 In x 7 x 6l b In x 5 In 337 Indication voir page 15 R ponse voir page 17 Exercice 36 Simplifier 1 1 a e 3 2 b e M3 c e In In 2 d In el7 fente eh NE me REsp In e 3 R ponse voir page 17 AT 8 Exercice 37 Soit f r e e b Montrer que pour tous r els a et b on a f a b F a FC 1 f a f b Questi
7. 2sin 2x z g gt 2cos 2x g9 x gt 2cos 2g cos zx sin 2z sin x h 6sinx 2 1 Ha e h gt 4cos x j 2 x gt 6 sin xz 2 cos gt ig cos x cos x sin l 2 1 cos x 3 2 5 2 h 0 h5 x gt hg z gt x sin x cos x 5x 1 a 1 2 1 2 h o hg h9 z gt x 1 x 1 lnx 7 2 2 W TE lng uh r 3e ub x 2x en 7 1 x T uj cos Tel us x gt 9 _ wb 7 LK L Tn wie la a U _ L 1 i 262 e j 1 e re 7 W xz ez l ug TLE a ug re _ _ 9 gz S 620 eT 1 S i e z 2 vire E v3 gt L a 2 TT 1 Tae 1 1 2 Wh T CE cost VITE S VIT sin 1 sin 3 2 S cos 2x R ponse de Ifexercice 82 x gt ln z R ponse de Ifxercice 83 A une constante additive pr s on trouve ze pl 5 p14 H Te L 4x9 1424 17x3 92 17 2 6 ji ii fiizr nr fire faite faite z 12 3 2 i x gt In g ITR ITR Th g 92 zA 93 Kni ga 3 z 1 1 1 1 h x gt ln 2z 1 h izr hs Rai U h 22 1 T 4 x 12 6 27 1 R ponse de l exercice 84 A une constante additive pr s 19 a 4 r L bir gt aac 1 e z t C i z firr 2Vx h z gt cos 2x ir Zan 3x k Lia 20 Dr CA 156 n x E 3 1 2g zr e q S t x gt ln cos z WIN 15 Wl gt T
8. 5 a3 1 __ 1 _ a b a b a b R ponse de RESTOS 23 Toujours vrai On obtient en effet x 5 gt 0 R ponse de lfexercice 26 A a b a a b ab ab b B a b a ab a b ab bt C 4a 1 D a 2b E a 2b a 2ab 4b F a b a b 2a 1 2b 2 7 G a 1 a2 t a2 2 1 H a 1 a 2n a2 1 1 a 2n 2 1 M a J a 1 a 2 a 1 K a 2b a 2b L 2a b P a b 22n Z a 2 a da o a ana E S a R ponse de ES 27 32n 1 Z HE LR 27 A T R T LLL an 5 3 Cn Dnr 5 97 3 2 7 1 a2 126 R ponse de I exercice 28 9 3r 2 39 8 1 pt one G eMe 5 n Bn sia 1l nsia 1 07 1 R ponse de l exercice 29 1 4In2 9n2 3ln2 Zin 3In2 2 2n2 2In3 In3 2In2 2In3 2In2 In3 111n2 3 3In5 2In2 2In5 4In2 2In5 2In2 2In2 21In5 R ponse de ifexercice 31 on trouve y 17 12V2 R ponse de lfexercice 32 A B 0 R ponse de Ilexercice 33 1 1 1 2 3 9 2 5 R ponse de lfexercice 35 dans les deux cas si x est solution de l quation consid r e alors 13 v 273 x v rifie x 13x 26 0 Ce trin me admet deux racines r elles z on et 13 273 T2 Or xz 5 gt 0 et x2 5 lt 0 donc le premier membre de ces deux 2 quations n est pas d fini en x2 et x est la seule solution possible pour les deux quati
9. 9x10 16 152y 4 25y5 R ponse de llexercice 19 A 9 4x 6 5a y C 4 25x 9 16y D 4 9a x 1 4 E 9x 24xy 16y 25 F 4 9x 16 25y 8 5y 1 5 3 G 9x 24xy 122 16y 16yz 4z H Ge EL Hz 25 4x 15 4xy 5x2 9 16 3 2yz 2 R ponse de I exercice 20 A x 8x 16 x 4 Cane 4x 1 2x 1 E x 2y yt x y R ponse de exercice 21 A 5 2xy x 1 C 1 5a 2x 5y 2x 5y B x baz 9a x 3a D 9x 6x 1 3x 1 F 4a x 4ax 1 2ax 1 B 2ab 3x 1 D 1 12a2b 3x 10y 3x 10y E y 5ax 2b 5ax 2b F 5x 8 x 2 G 2x 3 2x 1 H x 3x 2 x 6 3x 2 I 5x 2 3x 5 J a b 2 a b 2 a b K ax 1 a x L ax by ay bx M 4 b 1 b 1 a 3 a 3 2a b 3c 2a b 3c 2a b 3c 2a b 3c 7 a x 2 b 5 y A B C 2 b2 3 x 2 a T K T R ponse de llexercice 221 pAg 1 x 1 7 3a 1 x 1 G H 3 I ax by 8 1 1 2 2 2 1 R ponse de Ilexercice 23 A B G D 7 5 15 a 2a 1 __ 5 F FA G 1 x 4 1 1 x 2 x x 2 I 2x y2 2 x 1 x 2 1 b R ponse de llexercice 24 2 B 2 3 x 1 5x 5 PET 4a b 2x D E 1 F
10. C 5 4V3 D 0 E 30V2 F 3 V3 1 G 4V2 1 z toujours d fini H Vx 1 si x gt 0 pas d fini pour x lt 0 J 2V3 et K V42 R ponse de I exercice 9 1 1 a 12 x 11 x 10 x 9 22 2 3 B Cn He ne LS n 0 n alb 1 Pes de A 343x y B 32a C a D ETS E 455 S saba 5 G 10a2x5y7 rara de RE 27 T 15 8 i F G 7T x11 2 5 37 n2 28 K a L M af P aT R ponse de Ex A e C ex ef D 1 e e E 1 5 z 2 ro 2 _ e 1 e 2 e7 e7 R ponse de ETE P x Q x 3x Ta LB 52 7x 1 1 1 S a 56 2 2 U T T x x 2 6 2 5 2 R ponse de llexercice 141 A B C 9g 10x 12 A B C 5x 4 B A B C x 81 6 A B C 3x 2r 02 R ponse de Ilexercice 15 A B C 15a 14ab 9b A B C 3a 2ab 9b 16 A B C 5a Rah 5b 10x 47 7x9 14x B 20x 151 87 6x D 2x4 2x9 2x 18x 20 F 35 8x 19 22 19 8x A B C 7a 8ab 23b R ponse de ilexercice 16 A 4r C 2175 6x 2377 10 20x E 25x 50 9x3 50x 16x 4x 2x 1 4 G 32 4x 1 H 1676 16 52 1948 69 70x 25 1 R ponse de exercice 16 A e 1 B x C 2x 1 D a 2 E Ax x y F 3xy x y G 3xy x y x 3y x 3xy 9y K 2a 5 4a 10a 25 4 2544 B 16
11. en utilisant la d finition de e et les formules de trigonom trie donnant le cosinus d une somme Exercice 71 Mettre sous forme alg brique placer sur un cercle trigonom trique et crire sous forme trigonom trique c les nombres suivants GT ba oaen dza f e77 g F i jT jT 3 1 2 2 h e j e3 k ie 4 l DE 1 m v2 iv 2 2 2 2 11 Ne pas h siter poursuivre l exercice R ponse voir page 18 r 2ir 5 E Exercice 72 On pose w e 5 Calculer w Montrer que e 7 Calculer w w w3 wt w w w w et remarquer que w n a que 5 puissances distinctes 2013 9 GT t5 es ot Que vaut w Calculer de m me w7 t w72 w73 wT wT w6 R ponse voir page 18 27 Exercice 73 M me exercice avec w el Formules d Euler et ei e cos 0 L sin 0 cos 2 i0 sat Ka i i0 eT cos isin e e sing 2i Exercice 74 D velopper a b puis calculer et TED pour x un r el quelconque En d duire 1 cos x g cos 4e 4 cos 2x 3 R ponse voir page 18 Exercice 75 D velopper eT e 2 ei e o x est un r el quelconque En d duire S 1 cos z sint x cos 6x cos 4x 2 cos 2x 16 R ponse voir page 18 Exercice 76 D montrer que pour tout r el x on a 3 cin 1 cos sin x a cos 7x cos 5x 3 cos 3x 3cos x 14 Calculs de limites Rappel Soit f et g deux fonctions d fi
12. et seulement si son discriminant A b 4ac est positif ou nul b VA b VA 2a ei 2a Dans ce cas ces racines valent b la somme des racines vaut alors S a et le produit vaut P i a b Si le discriminant est nul il y a alors une racine double qui vaut a a Enfin la fonction x ax bx c est du signe de a sauf entre les racines s il y en a Exercice 52 D montrer les r sultats ci dessus et faire les repr sentations graphiques corres pondant aux diff rents cas Remarque essayer de ne pas passer c t d ventuelles racines videntes En effet on a l galit x a x B x a B x af Exemple d utilisation si l quation x 5x 6 0 admet deux solutions a et B alors leur somme vaut 5 et leur produit 6 Or6 6xX1 3x2 et6 1 7et3 2 5 On obtient ainsi facilement et sans calcul l galit x 5x 6 x 2 x 3 les solutions sont donc 2 et 3 Exercice 53 R soudre les quations suivantes a 8a 6x 1 0 b x 10x 16 0 coja V2 V8 x 4 0 dje a 2 2a 0 ex 1 r e r 0 f 2 8r 6 0 g 8x 6 1 0 h x 6x 0 i 3x 8 5 1692 13x 1 U Kie 4ax 3a 0 1 124 125 0 m 6x 7x 1 0 5 S Q R fan 5 lt S a E de CA E D fe LD ll voir page 18 Exercice 54 R soudre les quations sui
13. ponse voir page 16 Exercice 19 Utiliser les identit s classiques pour d velopper les produits suivants 2 3 2 3 A GT 39 4 2524 9 16y 1 2 1 D a r bt a r 30 4 9a P 1 40 E 3x 4y 5 3x 4y 5 F 1 a Zy 1 HA TX T ST R a RE G 3x 4y 2z 5 3 5 et E e aT sl R ponse voir page 16 Exercice 20 Compl ter de fa on obtenir une expression de la forme T U A x 16 B x 9a C 4r 4x D 9x 67 E x yt F 4a x 1 R ponse voir page 16 Exercice 21 D composer en un produit de facteurs les expressions suivantes A 5 5 2 5x2y S 2 B 18abx 12abx 2ab 2 y y 2 y 4 C ax Bau E 25a x4y 4b y 2 3 2i z a by Qx 3 3x 5 Q a b 2 2ab 2 a K a x 1 z a 1 b x y xy a b D F 2x 3 4 2x 3 H 5x 3x 2 4x2 3x 2 J L N ne M a P 10 a b 8 4a Bb 9c2 16a2b R ponse voir page 16 Exercice 22 Simplifier les expressions suivantes en admettant qu elles sont d finies E 7a x5 a 2a b x _ 10a x y 2b2x4 7 3a3bx Aatx8y D x gp te p 6 1 x x ai x 9ax 6a ax by H z3 9x pe t2r 1 ag b2y2 7 322 9x 091 R ponse voir page 16 Exercice
14. tan 5x 10 Indication voir page 15 R ponse voir page 17 2 Formules conna tre par c ur et pour les deux premi res colonnes voir sur le cercle trigonom trique vous trouverez sur internet Deuxi me s rie de formules cos a b cosacosb sinasinb cos a b cosacosb sinasinb sin a b sinacosb cosasinb sin a b sinacosb cosasinb tan a tan b tana tan b tan a b tan a b 1 tana tan b 1 tana tanb Exercice 42 D montrer les formules sur la tangente d une somme Formules de duplication cos 2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a sin 2a 2cosasina Valeurs remarquables T T T T 0 T 6 4 3 2 2 1 cosg 1 Y vy 0 1 2 2 2 1 2 sing 0 VE 2 1 0 2 2 2 3 tang U Z 1 V3 X 0 X non d fini attention Exercice 43 R soudre les syst mes suivants 2 T lt x lt 2T v2 s S1 SN T so COST R ponse voir page 17 5 5 5 5 Exercice 44 En remarquant que 27 TL Z calculer cos i sin 22 tan 22 12 6 4 12 12 12 R ponse voir page 17 A in 2 2 Exercice 45 Simplifier G nE S R ponse voir page 17 mna cosa Exercice 46 Calculer sin x D en fonction de sing et cosx en d duire la r solution des quations sin x cosx 1 puis sin x cosx V2 R ponse voir page 18 3 Formules apprendre galement 4 Formules
15. 23 Calculer les expressions suivantes sans vous pr occuper de leur d finition Pa Fe 3x 1 p 2t Ax 3 T LL 6 21 14 5 15 3 _ 1 2 pa 1 2 a a 1 a a 1 a 2 1 2a 1 2a 1 Aa2 1 2 E 1 3 LE F x 2 2 1 1 x2 1 1 PLL zx2 1 A 1 4 2 1 1 2 x 2 x2 A a2 2x x 2 x 3 I l T 2x J 1 x 2 2 z3 r xr 1 x2 1 z x 2 4 x2 2x R ponse voir page 16 Exercice 24 Simplifier les expressions suivantes sans vous pr occuper de leur d finition 1 Ax z 3x l A x x B 2 6 x 1 5 x 1 x 3 a b a ab 3a 1 4 a b C x x D x x a 5 a2 b2 a2 ab a 5 z U xr 1 1 LD T Yy T y _ m 1 x l Ra y P TL J TEU TU T LL b a b b2 A g ba H 4 b a b a b ab b a 2 a b R ponse voir page 17 5 x 95 Exercice 25 R soudre lt S Indication voir page 15 R ponse voir page 17 Exercice 26 Pour a b r els et n un entier naturel non nul factoriser A a B a 0 C 16a 8a 1 D af 4a2b 4b4 E a 8b F a 2a b 2b G a 1 H a2 1 41 J 8 a 2 20 5 K a 4 L 4a b 4ab M a 4 P a b 4ab R ponse voir page 17 Somme des termes d une suite g om trique pour q r el ou complexe 1 q 1 n 1 I g 1 4 siq l1 siq 1 Exercice 27 Cal
16. 3V3 2 V3 1 V3 1 D V75 V12 V27 F H 9 1 V3 2 1 2Vr x J 7 4V3 4 7 4v3 E 2V8 3V32 2V08 G 4 32 1 x K Vi2 3V7 V12 3V7 Pour G et H on s int ressera galement l ensemble de d finition de l expression en fonction de x R ponse voir page 16 3 Calculs de factorielles Pour n N 0 on pose n 1 x 2x x n 1 x n Par convention 0 1 12 12 1 1 8 3110 9 10 Pour n N 0 et a b deux r els strictement positifs simplifier Exercice 9 Simplifier n 3 n 2 1 u a S mo Cn o un A 7 n 1 n Un n b2n Indication voir page 15 R ponse voir page 16 4 Puissances Pour x un r el ou complexe non nul et n un entier naturel non nul par d finition on a r xx x et z 1 a n fois R gles de calcul pour x y deux r els non nuls et m n deux entiers relatifs a x at a et xy a x y 1 gor g et Sgen gm zh min Tt LEI x R gle d criture lorsqu on a un produit on n crit pas bx2x3 X a et encore moins bx2 x ax3 m me au cours d un calcul on crit directement pab en respectant imp rativement l ordre alphab tique des lettres Exercice 10 Calculer les expressions suivantes A 7xy 3x2y 9x4y B 2a b C F5 x 0 2 l 32 2 3 2 D zyx 3 Jz x 70 YV E ja L x LIP
17. 66 17 14 x 1 13 4 x 1 5 x 3 172 15 x 1 1 14 3r 1 x 1 x 3 2 x 2 x 1 38 BLC 2x 1 2 3x 2 5 x 1 3x 1 2x 3 7 2x 1 2x 1 x r 7 2 x 2 3 1 3 x 1 x She 2 T 0 1 5 edp KB e Mp 2 3 12 4 R ponse voir page 18 Exercice 51 R soudre les quations suivantes x 1 x 2 x 3 0 x 3 x 4 x 5 0 2x 1 x 1 x 3 0 2x 1 x 4 3z 1 0 x 5x 1 4x 3 3x 4 0 5x 3x 7 0 p 3x 0 5x 8x 0 4x Tx 3 0 BIR LE U 3z 5 0 5x2 7 3x 4 0 PLT LD PLL 4x 1 x 3 x 3 5x 2 x 3 x 5 x 3 3x 4 0 z 5 4x 1 x 25 0 x 4 5x 9 x 16 0 5x Us 2 x 3 4 x 1 x 2 x 4 x 9 0 5x 125 0 4x 49 0 100 0 r 81 9x 64 1 2x 5 0 2x 7 4x 9 0 5x 1 x 1 3x 1 x 4 die 1 9 x 1 0 7 81 x 5 0 5 5g 0 1 1 1 x 2 0 3z 12x 0 3x 1 x 3 3x 1 2x 5 R ponse voir page 18 11 Trin mes r els Soit a b c trois r els avec a 0 L quation ax bx c 0 admet deux racines r elles si
18. 7 23z 6 M thode apr s avoir ordonn les polyn mes on dispose les calculs comme une multiplication Exercice 16 Effectuer les produits suivants r duire et ordonner les r sultats A 42 7 2x x 2x B 5x 2 3x 4x C 7x4 22 4r 82 5 D 2x 4 92x x 5 2x E 2x Tx 5x 3x 5x 4 Fat 2x a 2x 4 2 NI 00 G 3x 1 LE 1 H 4z 7x 2x 5 R ponse voir page 16 6 Identit s remarquables D montrer et apprendre les identit s suivantes a b4 c a L c 2bc 2ca 2ab a b a 3a2b 3ab b3 a b a 3a2b 30 b a b a ab b a b a b a ab b a b x a x b a b x ab Factorisation pour a b r els ou complexes et n un entier naturel non nul a b a La 1 a 2b 1 a 31 Es ab 2 pt Cette formule est mettre en relation avec la somme de termes d une suite g om trique rappel e un peu plus loin ci dessous Exercice 17 D montrer que pour tous r els a b c on a les galit s a b a b 4ab b c a b e bc ca ab Exercice 18 Factoriser A x 92x 1 B C 4x 4x 1 D E 4x 8x y 4ry F x y x y H G x y 2 y K 8a 125 R
19. 8 12 Deux quations deux inconnues R solution de syst mes lin aires de deux quations deux inconnues par combinaison 3z 2y 4 Exemple R soudre a 3r 2y 4 x5 E _ 17 Seby x3 donne par soustraction 28y 17 d o y ae S AXO donne par addition 38r dt dose 1 Br Du 1 x2 p Tama 13 17 14 17 Puis on v rifie en reportant dans les quations 3 x 2 x 4et 5x 6x l 14 28 13 28 Exercice 61 R soudre successivement 2 173 T Sa S1 4 2 S2 4 75 1 Br LU 2 2 l 3 y R ponse voir page 18 10 Exercice 62 M me exercice 4 2x 6e7 4e den Ge G Faits S2 o e t 2y 3 TL L el 3 R ponse voir page 18 g e e 10 Exercice 63 R soudre MET 2 e 5 R ponse voir page 18 4cosx cosy 1l Exercice 64 R soudre 4 2cosz 3cosy 2 OST y ST R ponse voir page 18 Exercice 65 Somme et produit R soudre les deux syst mes suivants sr y 65 T y 30 S1 S2 lng lny ln1000 lng lny 3ln6 Indication voir page 15 R ponse voir page 18 Exercice 66 Deux syst mes non lin aires R soudre les deux syst mes suivants U 3e 2ee Indication voir page 15 R ponse voir page 18 13 18 Il o be e 19 erty 30 Nombres complexes L encore pas question de faire un cours complet sur les nombres complexes Formul
20. RENTREE 2015 Pour pr parer son entr e en Sup il n y a pas besoin de r viser le programme de terminale vous avez t accept en pr pa vous avez le bac vous avez donc le niveau Ce n est pas pour autant que vous n avez rien faire pendant les vacances d t Tout d abord sachez qu l crit du concours Agro Veto l preuve de fran ais et de LV 1 ont chacune le m me coefficient 2 et que les maths sciences physiques et SVT ont galement chacune le m me coefficient 4 D autre part nous attirons votre attention sur le fait que la calculatrice est in terdite certains crits et oraux du concours Agro Veto en Math matiques Elle sera donc interdite pendant la plupart des DS de math matiques de l ann e Tant en maths qu en physique chimie il est important d tre l aise en calculs Le calcul est un outil interm diaire entre les premi res lignes crites qui ne sont que la traduction du probl me et la conclusion c est donc quelque chose de fon damental Quelqu un qui ne sait pas calculer juste a un s rieux handicap en classe pr paratoire Et les carts peuvent tre normes entre celui qui fait un calcul juste enti rement d taill et crit et celui qui fait le m me calcul de t te et faux en 30 secondes ou qui ne sait pas le faire On ne peut s am liorer en calcul qu en en faisant et certainement pas en se conten tant de regarder les autres faire ce n est pas e
21. aire Soient z et lt deux nombres complexes z2 2 7 2 ga SER z VSS ou encore z z z 0 1 E i E PR S1 Z e z PI z P pour tout entier n z z et extension aux entiers n gatifs si z Z 0 Exercice 67 Donner la forme alg brique des nombres complexes suivants a 3 4i 4 3i b 3 i 2 1 f 1 nu l 1 i 3 iVv2 iV2 1 c 2 iv3 2 iv3 2 Bi 6 3i 3i g 5 k 3 2i 1 2i 3 di 2 1 7 4 a m 2 1 2i 2 i i1 3 R ponse voir page 18 Exercice 68 Ecrire en fonction du conjugu Z de z le conjugu du nombre complexe Z 2i 1 i Z 2i 3z Z 3 i 2iz Z 2 iz 2z 4 3i ete 5i 2z R ponse voir page 18 Exercice 69 r soudre dans C les quations suivantes d inconnue z et donner les solutions sous forme alg brique _ iz 3 i 2 i z 2i iz 2 3i 2iz i 4z 8 4i 0 Z A gt 2Z 1 E 4 4 z 2 43 9i 4 0 iz 2 2z i 2 0 2z2 iz 4 2iz 7 4i R ponse voir page 18 Ici a et a d signent des nombres r els et n un entier naturel D abord la d finition efn cosa isin a Puis un formulaire ia ia i a a 1 ia 3 ia n ina os i a e xet e e eia Le e e eia eia Exercice 70 Placer le nombre e dans le plan complexe ainsi que son conjugu D mon trer les deux premi res formules de l encadr
22. bstitution Indication de l exercice 77 s pour a comparer x et yx au voisinage de 00 e pour b c factoriser num rateur et d nominateur s pour d e utiliser le r sultat encadr L L lever au carr et revoir cours et exercices sur les pour f penser la limite d une compos e pour g minorer Indication de l exercice 78 Factoriser par 6 retr s x etr e e et e Indication de l exercice 79 Factoriser par s r et xt pour f 15 e xinx pour f2 s e et x pour fs 1 ln x ln 1 HA e factoriser par e pour fs e d terminer la limite de ce qui est dans l exponentielle puis conclure en utilisant la limite d une compos e e quantit conjugu e e factoriser e dans le logarithme aaah de l exercice 82 Ne pas chercher midi quatorze heures Indication de LS b c l m o s int grer soit de la forme Auw d velopper d 1 Va a p e crire In 1 x d terminer une constante telle que la fonction 8 k d terminer une constante telle que la fonction int grer soit de la forme AE U u v de la forme v e R ponse de lfexercice 1 A 2a 3b 5c B 6 C a 9 R ponse de l exercice 2 32 A 15 R ponse de llexercice 3 A B A S T CS Der 301 i 17 B F 128 2 R ponse de l exercice 4 R ponse de lfexercice 5 R ponse de lfexercice 6 R ponse de llexercice 8f 10
23. cation de llexercice 38 il y a quatre cas envisager suivant le signe de x et celui de In x Indication de l exercice 41 Equation 3 cosa cos a Equation 6 tana tan a Equations 7 amp 8 sina cos a Indication de Ilexercice 48 Pour 4 trin mes paragraphe suivant Indication de Ifexercice 53 Pour les quations b c d e h k chercher d abord des racines videntes en utilisant la somme et le produit Indication de llexercice 54 Pas besoin de discriminant pour les quations 2 3 4 Indication de l exercice 55 Bien v rifier que les ventuelles solutions trouv es sont de vraies solutions et en particulier dans le domaine de d finition de l quation Pour 2 lever au carr une premi re fois puis une deuxi me apr s avoir isol la racine Indication de lfexercice 56 Ne pas h siter tracer Pallure du graphe des deux premi res fonctions Indication de l exercice 57 e pour c etc r duire au m me d nominateur e pour g on en fait traiter un syst me de deux in quations Indication de l exercice 58 s Pour 2 distinguer deux cas suivant le signe de x 1 puis lever au carr si n cessaire s Pour 3 m me d marche Indication de I exercice 65 trouver deux nombres dont la somme vaut S et le produit P c est r soudre l quation du second degr x Sx P 0 le d montrer Indication de l exercice 66 par su
24. cosg 1 sin x poy d o les solutions S 2kr k Z U E 2kr k z Pour la seconde quation on trouve 5 2 2kr k z R ponse de Ifexercice 48 2 lt 3oux gt 2 3 toujours vrai 1 1 lt x lt 7 4 45 6 R ponse de lfexercice 49 s 1 R ponse de lfexercice 50 R ponse de lfexercice 51 2 lt z lt 5 29 x 5 2 z 3 2 TT TTI R ponse de l exercice 53 1 1 a b 8 2 472 c V2 V8 d a 2 e l 7 PHA V22 1 2 g ro ije a k 3a a Dr S 2 1 m 1 Attention Pas de calcul de discriminant pour h i et 1 R ponse de edre Tij 10 1 7 2 de 3 7 4 1 7 R ponse de lfexercice 55 R ponse de lfexercice 56 1 ze R ponse de llexercice 57 b toujours vrai a toujours vrai duS l d Lal seuil V1 VI n 7 T 2 4 T 2 2 e J co 3 U 4 oe f 1 2 U 4 7 g 2 5 U 9 12 h 1 oo R ponse de Ifexercice 58 1 1 4 __3V3 2V2 4 18 Pas de solution 3 R ponse de exercice 59 On trouve 2 racines r elles V5 et 2 complexes i R ponse de Ifexercice 60 Pour la premi re Ing 6 ou 7 d o x e ou e Pour la 7 seconde In x 7 donc x eV our e7 R ponse de Ifexercice 61 gt 1 s 2 ml ZE R ponse de Ifexercice 62 sir Z E I ND Il R ponse de If
25. culer en fonction de n An 1 3 9443 Bn 1 4 16 1 147 Cn 1 a a a 1 a x Dn u0 un o un 5 41 xx Indication voir page 15 R ponse voir page 17 Exercice 28 Calculer An 9 27 3 Tt on factorisera par 3 pour se ramener la formule encadr e Calculer de m me Bn a a a et Cn 3742 43048 4 g2n 4 R ponse voir page 17 7 Logarithmes et exponentielles Il n est pas question de donner ici les constructions des fonctions exponentielle et logarithme qui feront l objet d un chapitre de cours mais seulement de rappeler les principales r gles de calcul e La fonction In est d finie sur R et v rifie pour tous r els a et b strictement positifs In ab lt lna lnb et In1 0 1 a 00 e lnb d o ma lna et Im 5 lna ln Ecrire In xy In x In y exige d avoir x gt 0 et y gt 0 e la fonction exp est d finie sur R et v rifie exp a b exp a exp b pour tous r els a et b On note usuellement exp a ef o lne 1 Enfin pour tout r el x strictement positif et pour tout entier relatif et m me tout r el on a exp Inxz zx et lng alng Exercice 29 Calculer les nombres suivants 1 en fonction de In2 i 1 ln 106 In512 In0 125 In 8 4 In72 2In3 2 en fonction de In2 et In3 1
26. er 1 1 1 1 ERE 3 Ua Ty Ua oI fR a 1 etc en utilisant la formule donnant la d riv e de u et pas celle de la d riv e de U R ponse voir page 18 Exercice 81 Justifer la d rivabilit et calculer la d riv e des les fonctions suivantes mettre le r sultat sous une forme propice une ventuelle tude de signe f x 1 faizr x 1 x 2 3x 1 1 2 3z 2x 1 2 1 Va 2 5 gt cos 2x a frizr grrr g4 g7 h m 6 cos x 6 cos x 9 sin COS h4 z gt x sin COST gt ln TK T gr h7 ui sing MA i e L E g ket fe E 1 TTL 1 sinx ITR A 1 sinx R ponse voir page 19 u7 v iti v3 f2 1 f ay akl x 3 fs gt 3x E x 27 3 TR 2 a x 2 gs zr D LT aai pie sinf 2e 7 Cse TR S 1 cos x ha x gt In 5r 1 hg x gt Inlnx uz x e e 1 u5 T LA ef 1 ug x gt ln e e 1 Vz 1 vo g Vz l va xt tan 2x f3 fe fo 93 g6 T gt 99 h3 he hg u3 u6 ug 32 6x 1 3 x 2 7 2 3 TR Th x x 4 gt V2x 3 x 2 gt Sin 2g cos x gt 2sin x cos sin x cos x In x 1 gt ln 7 2z 2 e7 7 1 ln wre T TR l1 e T 13 16 P
27. er la limite en 00 des fonctions suivantes x3 3lng e e fi a 50x T In g e ha inx 3 e77 yr e cosx e fax x20 22013 ln 1 x e fa x ln 1 g ng j e s f5 x cn 26 2e er 2 fotr e 3Vr z In 27 1 c0s x s fUr Va Vr EL Vx s fa x ln e 1 2x Indication voir page 15 R ponse voir page 18 15 D riv es Pour u et v deux fonctions d rivables Fonction D riv e Observations utu uw v Au Au est un r el uv uv u v u avecneZ nu tu u ne s annule pas si n Z 1 10 u ne s annule pas u U u vu uv S s v ne s annule pas v v xe e zr e ln TR HA fog f a Pig xg bien justifier la d rivabilit de la compos e F Im f F f ne s annule pas u avec a R au lu u gt 0 1 2 A VA y est d finie sur R et d rivable sur R N ba sin cos cos sin 2 1 tan 1 tan COS Exemple d river la fonction F x gt Vx 1 e la fonction g x gt x 1 est d finie et d rivable sur 1 oo et pour tout x gt 1onax 1 gt o0 s la fonction f y yy est d rivable sur R Donc F f o g est d rivable sur 1 co comme compos e et pour x 1 on a F x f g x g x Exercice 80 1 2Vzxz 1 Justifier la d rivabilit et calculer les d riv es des fonctions suivantes 1 1 Fire fire z fise 2 fie 1 1 1 1 TETE fiso an fiso T fi gt r
28. exercice 63 On trouve x In2 y ln B 1 2 R ponse de llexercice 64 On trouve cos x 5 et cosy 1 d o z F ety T 1 25 40 et S2 12 18 R ponse de EE Jp 18 y 17 S2 a oY S ou E donc finalement une seule solution x In5 et y ln 6 NN e 25 R ponse de Ifexercice 67 272 R ponse de Ifexercice 68 TTP R ponse de I exercice 69 TETP R ponse de llexercice 71 1 3 T a 1 b S c 1 d 1 f 1 g i e 2 1 3 AT 2 2 T r h i j 0 k V2 V2 er 1 e 6 m e 4 2 2 Reponse h w013 E a 1 bT FJa exercice TE F 6a 52 ab f bt d o ei er 4 edit 4e 2it L 6 4e 2it e it re 1e ET 74 e 7 etiz e2it L 4 e2it 2e it 1 e it e it eir R ponse de EE 0 7 040 0 0 oo lt A 1 R ponse de exercice 78 1 0 1 2 1 R ponse de Ilexercice 79 0 1 00 1 z oo 0 2 R ponse de Ifexercice 80 N 1 1 1 pre Re z LA G TR 4 5 1 2 3 4 x 1 LP 119 1 x 1 5 is 1 4 6 8 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 5 R ponse de exercice 81 1 1 PL 3x DPE 6 x 1 2 5 Lit 2r 3 ki b ire fa f5 x 3 2 fe 2 x 4 1 bigo 2 ixo 6r 4 3x 18x 26 fr 1 x fs x fo Paa EE TT E r TT S 1 H 3 E TH x 2 2a x x 2 Fe V2x 3 j i 1 j T 2 S 1 TR Tr GEH S Vz 2x F5 I5 5 x2 1 5 ga x 2 g7
29. n regardant un champion de tennis jouer que vous apprendrez jouer presque comme lui mais bien en vous exer ant tous les jours Il faut arriver en septembre en tant bien au point sur cet aspect du programme du lyc e et il faudra continuer vous entra ner r guli rement tout au long de l ann e Cette s rie d exercices a t con ue dans ce but Il n y a pas de mode d emploi type chacun de voir son organisation en faire un peu tous les jours dans des domaines vari s reste l id al Apprenez galement les formules qui sont propos es et v rifiez r guli rement que vous ne les avez pas oubli es Pour vous aider vous y mettre s rieusement sachez qu une valuation not e est pr vue la rentr e Vous apporterez ce polycopi la rentr e pour le premier cours de ma th matiques Il se peut que certaines r ponses soient erron es merci de les signaler l adresse c kammerer orange fr ou jerome dhote wanadoo fr R visions de Terminale Sup exercices de calcul 1 Pour se faire la main Exercice 1 Supprimer les parenth ses et les crochets dans les expressions suivantes les r ponses doivent tre crites sous forme ordonn e A a b c 2a 3b 4c b a 2a 3b 5c B 12 a b 6 15 b a 15 C a b 5 a b 7 a 3 R ponse voir page 16 Exercice 2 Calculer de deux fa ons
30. nies sur R Si f est une fonction born e et si lim g x 0 alors lim f x g x 0 T 00 T 00 R sultats ces r sultats savoir par c ur permettent de lever des ind terminations l im P 0 T oo gz e lim 00 T co T lim In x 0 z 0 Exercice 77 D terminer la limite en 00 des fonctions suivantes 2 a xm ey b x gt a domiy Te digo DZ rs x 1 E cT LE Goga P L nue g x 2 sinx r ng Indication voir page 15 R ponse voir page 18 Une technique essentielle pour calculer une limite est de mettre en facteur le terme pr pon d rant x5 4x4 2z 30 E le D terminer la limite e de F x zemple D terminer la limite en 00 x Sd 4 5 l S m g 00 lim x Kac etc Mais de tous les termes du num rateur ie PKL GO le terme pr pond rant c est dire celui qui cro t le plus vite vers 00 est le terme en x En faisant une remarque similaire pour le d nominateur on est donc amen crire 1 44 2 20 F x o a d o lim F x 1 ES 5 00 Au num rateur Exercice 78 Utiliser cette technique pour d terminer la limite en 00 des fonctions suivantes R __ 3 g ne 2 1 r 32 2 x 1 x 3x 1 e g3 x 99 22 x 1 ln x D BIT s 2x ln x _ 20 g sat c EI Indication voir page 15 R ponse voir page 18 Exercice 79 D termin
31. ons Pour 17 z DL z T solution et la seconde en admet une seule savoir x1 R ponse de RCE 3 a b 2 c d 2 In 2 R ponse de Ifexercice 37 la fonction est impaire lim f x 1et 00 R ponse de lexercice 38 HA le second membre on a gt 0 mais x 61 lt 0 donc la premi re quation n admet aucune 1 h e 17 f 1 g lm f 1 si HT S 1 si 0O lt x lt l on trouve f x 1 s 1i lt r lt 0 a si lt 1 R ponse de EEEREN l 0 s gt sepi B z gt gt gt TZ TZ e 12 R ponse de Ilexercice 40 la fonction tan est d finie sur R E kr k Z elle est 7 T T p riodique et impaire strictement croissante sur al de limite c et 00 aux bornes de cet intervalle R ponse de Ifexercice 41 kr k SU Sik z 2k S2 z Tk z u 5T aka ke 7 6 5 2 4 2 4 s TE rmrez u TE eS 3 3 5 G T L Ss 3 4 k z u L kr k z Se 2 Kk T 6 16 57 5kr 57 S7 Z 42 kezu Z L Rk keL 7 IE 6 17 T 2k 2k s T Tk Luz Les 2 11 6 2kr So r 2kr k stul LN S T 3 2kr k ZL L l E Su kr k Z R ponse de l exercice 43 Tik z Br T 27 SUIT S2 x S1 x S2 x 3 R ponse de Exerci 4 2 2 cos 2 V2 V3 1 sin Z 2 V5 1 tan v3 2 R ponse de Ifexercice 45 sin 2a cos 2a sin a cos a cosa pour a LK E z R ponse de lfexercice 46 T singz
32. ons subsidiaires d terminer la parit de cette fonction et en calculer les limites en 00 et OO R ponse voir page 17 Exercice 38 Simplifier pour x non nul l expression f x zezla z Indication voir page 15 R ponse voir page 17 Exercice 39 R soudre les in quations suivantes 1 e 5 gt 12 1 lt e 2 3 etting gt 2 e 5 lt Ve 4 R ponse voir page 17 8 Trigonom trie Avertissement au lecteur toutes les formules de ce paragraphe sont savoir sur le bout des doigts et pas seulement savoir pr tend ment retrouver L encore pas question de faire ici un cours complet sur les fonctions trigonom triques cos sin tan seulement de brefs rappels e la fonction sin R R est 27 p riodique pour tout r el x sin x 27 sin x et impaire pour tout r el x sin x sin x s la fonction cos R R est 27 p riodique et paire pour tout r el x cos x cos x sin e la fonction tan est d finie sur R IE kr k z elle est m p riodique pour tout r el COS x tan x 7 tan x et impaire 1 et une invitation tr s ferme aller revoir vos cours de lyc e sur la question Exercice 40 Faire l tude de la fonction tan COS domaine de d finition parit p riodicit limites aux bornes de l ensemble de d finition d riva 1 bilit montrer que sa d riv e est tan 1 tan zi tableau de variation e
33. rimitives Pour u et v deux fonctions continues donc admettant des primitives U et V on a Fonction Primitives Observations u v U V cte AU AU cte est un r el 1 u u avec n Z 1 E LUTT cte u ne s annule pas si n Z_ TL 1 U In u cte cas pr c dent pour n 1 u ne s annule pas U zr e z gt e cte 1 x TH In cte sur R T Pg xg fog cte F F ln f cte f ne s annule pas a TOR 1 a 1 uTu avec amp 1 u cte u gt 0 a l sin cos cte cos sin cte 1 tan 5 tan cte COS o cte d signe une constante arbitraire r elle S 1 Exercice 82 D terminer l ensemble des primitives de z gt sur R x Indication voir page 15 R ponse voir page 19 Remarque tous les calculs suivants rel vent d une stricte application du formulaire ci dessus Exercice 83 Calculer les primitives des fonctions suivantes puis d river le r sultat obtenu pour contr ler la r ponse fixe t 35x18 14g1 3x8 20x4 56x3 511 18 1 1 1 1 1 fi zr RTK fa fait z z al VT ITR TER ae TS E 0 A E EF E 1 7 E H 2 Ga GR Ga hi x gt h x gt h3 x gt h4 x gt 1 de LL Gae LDS x 13 2x 14 R ponse voir page 19 Exercice 84 Calculer une primitive des fonctions suivantes puis d river le r sultat obtenu 1 ajz 47 5x z Hr 2x 1 cz x 1 T 1 1 2 3 gt e
34. t graphe COS R ponse voir page 17 Premi re formule cos sin 1 Premi re s rie de formules pour un r el a quelconque cos a cos a sin a sina tan a tana cos Tr a cosa sin 7 a sina tan m a tana cos t a cosa sin 7 a sina tan r a tana T x UT T 1 cos Z a sina sin Z a cosa tan a 2 2 2 tana T lt PT T 1 cos Z a sina sin E F a cosa tan t a 2 2 2 tana R solution d quations trigonom triques a est un r el donn sin x sina 4 gt il existe k Z tel que x a 2kr ou z m a 2kr cos x cosa lt il existe k Z tel que x a 2kr ou x a 2kr tanx tana 4 il existe k Z tel que x a kr Exemple r soudre l quation sin 3x sin x sin3xz sing lt ilexiste k Z tel que 3x x 2kr ou 3x n x 2kn lt ilexiste k Z tel que 2x 2kr ou 4x rx 2kr il existe k Z tel que z kr ou s K 2 L ensemble des solutions est S kx k Z U 1 kS ske Z Exercice 41 R soudre les quations suivantes 1 sing sin r 3x 2 sin 2x 3 sin 3x 5 3 cos2gx cos 5 0 4 tanx tan x 2 5 cos 2 x cos 3x 6 tan x D tan 3x 0 7 cosg sin A 8 cos4x sin TT E 5 9 sin x cos 2x 0 10 sin2x cos3x 0 11 tan3x
35. vantes 1 1 7 1 2 3x 1 2x 1 9x 1 1 S 2 Rs 2x 1 9x 1 1 1 x 1 3 a ZZ a x 1 TP LL 24 x 2 a E SIS s 8 oj je B lt 3 D 02 C1 voir page 18 Exercice 55 R soudre rigoureusement les quations suivantes xx 1 x 3 5x 9 2 ver 4 vz 2 1 3 Vr 4 Vr 2 1 Indication voir page 15 R ponse voir page 18 Exercice 56 R soudre sans tableau de signes ni le moindre calcul les in quations suivantes 2x 1 5 lt 0 2 5 2 8 2 gt 0 3 Z lt 0 1 3x 1 ei a ct ndication voir page 1 E D fe LD ll voir page 18 Exercice 57 R soudre les in quations et syst mes d in quations suivante a z 1 gt 22 3 b 2x 1 lt x 4 3 1 4 1 C lt d gt 1 xz 1 x 2 x x e 5g 4 x 4z 3 gt 0 f x 5x 4 x 9x 14 lt 0 x 3 5 lt x 14x 50 lt 26 h 0 lt lt 1 ndication voir page 15 Sl S Ea G G un 2 voir page 1 Exercice 58 R soudre les in quations suivantes 2 Vt 1 lt 0 1 zx 1l lt Vzr 4 2 ndication voir page 15 S TS Ea G G un 0 voir page 1 Exercice 59 R soudre l quation x 4x 5 0 R ponse voir page 18 Exercice 60 R soudre successivement les quations suivantes 42 In x mx 1 lng Ing 42 0 R ponse voir page 1
36. z gt x 1 DE a Ja g vx 1 1 h x gt sin 2x i z gt cos 3x jjzr 1 z 1 2 KIC xt 2x x 1 mx x 2 x2 2 2 es js 2x 1 Tr 16 x HIE gt o x T 3 x2 x 3 z3 1 T ge e TI gt s e V1 e7 e 2 evy t z gt tang u z gt re vizr Jz E 5 1 w rt gt PLA z xr v ef eo a Des a je va z KE a r e Aei singe Yl gt e7 cos g sin T lr gt eje o 1 2e COS T sin x Indication voir page 15 R ponse voir page 19 Exercice 85 Calculer les int grales suivantes 2 1 ne SIS K JT f G L foa I3 a li I5 JA costut pjat v 2p T 10 0 1075 275 g R ponse voir page 19 14 Indication de l exercice 9 pour Cn rappels de cours sur les puissances dans le paragraphe 4 Indication de l exercice 25 d velopper puis factoriser Indication de l exercice 27 identifier soigneusement la raison avant d appliquer une formule e calculer Bn e pour Cn la raison se voit e pour Dn commencer par factoriser par 5 avant de chercher la raison Indication de l exercice 29 0 125 27 Indication de llexercice 30 fonction de In 1 V2 ne pas oublier la quantit conjugu e et tout exprimer en Indication de l exercice 31 se reporter l exercice ci dessus pour simplifier la somme Indication de l exercice 35 attention l ensemble de d finition de ces deux quations Indi
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