Histoire des mathématiques
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1. Le troisi me manuscrit volume 6 jusque l inconnu est le premier texte un peu d velopp o D Alembert ait expos ses id es en m canique GAZETTE DES MATH MATICIENS L EDITION DES UVRES COMPLETES DE D ALEMBERT 1717 1783 69 c leste Du point de vue de l histoire des id es ce manuscrit n est pas seulement un trait technique de m canique c leste newtonienne c est aussi un t moin essentiel de l histoire de la philosophie naturelle L image que l on se faisait jusqu pr sent de la crise du syst me newtonien survenue en 1747 est d s maintenant renouvel e par la d couverte de ce manuscrit et l analyse fine de la chronologie des travaux de D Alembert en 1747 1748 sur le mouvement de la Lune La datation des diff rentes parties a t possible par comparaison avec des pi ces de la correspondance et ce que l on sait de la pol mique sur la gravitation newtonienne entretenue en particulier par Euler Clairaut Buffon et D Alembert comment justifier la divergence entre le calcul et l observation pour les valeurs du moyen mouvement de l apog e lunaire Les conjectures de D Alembert n taient connues que par des passages elliptiques de la correspondance Il envisage la possibilit d une force magn tique propre au systeme Terre Lune alors qu au m me moment Clairaut remet en cause la formulation de la loi newtonienne d attraction Dans les chapitres consacr s la d termination de l orbite D Al2. 1754 56 On peut consid rer qu en r unissant certains des articles de l Encyclop die on obtiendrait la mati re d un trait d algebre Nous avons pourtant renonc publier les articles de D Alembert dans l Encyclop die deuxi me s rie sous forme de volumes th matiques Le classement serait trop arbitraire et ne refl terait pas la vie propre de l entreprise encyclop dique Mais nous pr parons une sorte d Organon c est dire un mode d emploi d taill qui regroupera des Tables et les outils indispensables une lecture avis e des articles dispers s alphab tiquement La troisi me s rie s ordonnera autour des Opuscules mal connus et rarement exploit s C est dans ces volumes successifs que D Alembert a d pos au gr de son inspiration et de l actualit savante les fruits de son travail math matique apr s 1761 Dans la quatri me s rie on verra D Alembert homme de lettres tel qu il apparut sur la sc ne publique partir de 1752 traducteur pol miste historien th oricien de la musique m taphysicien de la m taphysique sobre et sceptique qui tait celle de Locke Encourag par le succ s du Discours pr liminaire D Alembert publie des M langes de litt rature d histoire et de philosophie enrichis au fil des r ditions deux volumes en 1753 quatre en 1759 un cinqui me en 1767 Nous rangerons dans la m me s rie lesEloges lus dans les s ances publiques de l Acad mie et l Hist
3. Aux m nes de Melle de Lespinasse et Sur la tombe de Mile de Lespinasse Il tait rare que D Alembert exprim t ses sentiments De sant GAZETTE DES MATH MATICIENS L EDITION DES UVRES COMPLETES DE D ALEMBERT 1717 1783 63 fragile il ne put jamais effectuer le voyage d Italie r v et dut s arr ter en chemin chez Voltaire pr s de Gen ve Il entretint avec celui ci une correspondance assidue plus de cinq cents lettres chang es jusqu la mort de Voltaire qui porte les chos du combat philosophique men en commun Leur dialogue pistolaire d buta en 1746 mais les deux crivains ne devinrent intimes que lors de la visite de D Alembert Ferney en 1756 Abordant toutes les grandes affaires auxquelles Voltaire tait m l cette correspondance claire les opinions politiques et philosophiques de D Alembert moins engag et plus sceptique que le patriarche Il batailla tout de m me quelquefois contre le fanatisme et son crit Sur la destruction des J suites 1765 circula dans toute l Europe Les contemporains craignaient ses talents de pol miste aux d pens de la soci t des Gens de Lettres ou des adversaires de l Encyclop die Homme de lettres et philosophe il est rest g om tre jusqu au bout comme l attestent les huit volumes d Opuscules math matiques publi s partir de 1761 Il laissa m me sa mort un neuvi me volume sous forme manuscrite Au fil des ann es D Alembert
4. active ce S minaire Ind pendamment du S minaire Sammy et moi avions des s ances de travail en vue de la r daction d un article qui d velopperait des id es nouvelles n es propos de la formule de K nneth Nous allions de d couverte en d couverte Sammy ayant un don extraordinaire pour
5. calculs sans application imm diate souvent difficiles suivre o la post rit d nichera des joyaux Contrairement d autres il aimait insister sur les difficult s et d crire avec nettet les impasses des raisonnements usuels Son scepticisme y trouvait de nouveaux aliments mais n est ce pas en explorant les apories que les solutions un jour apparaissent Il a produit peu de grandes synth ses d ouvrages didactiques L dition critique et compl te permettra de ressaisir les fils conducteurs D Alembert trouvera peut tre les lecteurs qu il souhaitait ceux qui s int ressent vraiment au progr s des Sciences qui savent que le vrai moyen de le h ter est de bien d m ler tout ce qui peut le suspendre qui connoissent enfin les bornes de notre esprit amp de nos efforts amp les obstacles que la nature oppose nos recherches esp ce de lecteurs laquelle seule les Savans doivent faire attention amp non cette partie du public indiff rente amp curieuse qui plus avide du nouveau que du vrai use tout en se contentant de tout effleurer Encyclop die tome VI 761b 1756 Bibliographie succincte Dix huiti me si cle num ro sp cial 16 D Alembert 1984 Hankins Thomas L Jean D Alembert Science and the Enlightenment Clarendon Press Oxford 1970 r d Gordon amp Breach 1990 Jean D Alembert savant et philosophe portrait plusieurs voix Centre International de Synth se Ed d
6. chez lui int gration des quations diff rentielles ordinaires nombres imaginaires et logarithmes des nombres n gatifs questions d ailleurs tr s li es aux probl mes du calcul int gral enfin cordes vibrantes un probl me de m canique qui a t l occasion de d couvertes analytiques tr s importantes sur l int gration des quations aux d riv es partielles GAZETTE DES MATH MATICIENS L EDITION DES UVRES COMPLETES DE D ALEMBERT 1717 1783 67 Toute sa vie D Alembert a donn une place primordiale au calcul int gral domaine qu il a approfondi et largi inlassablement Ainsi D Alembert tablit sur des bases solides la th orie de l int gration des diff rentielles rationnelles gr ce sa d monstration du th or me fondamental de l alg bre Il tudie aussi de mani re syst matique des types importants d integrales irrationnelles Dans ce domaine qui deviendra un peu plus tard celui des int grales dites elliptiques il introduit des m thodes alg briques uniformes et obtient des r sultats int ressants de r duction des int grales fondamentales La lecture de ce volume permettra de faire le lien entre les recherches alg briques de D Alembert ses travaux d analyse et ses r sultats de m canique Ces textes appartiennent d j la maturit du savant autour de sa trenti me ann e Son ducation de g om tre et ses premiers travaux dix ans auparavant sont r v l s par les manuscrits qui seront
7. ni atterrir pendant deux jours C tait ma premi re visite aux Etats Unis elle devait durer 5 mois Certes Eilenberg n tait pas un inconnu pour moi car depuis la fin de la guerre j avais commenc m interesser la Topologie alg brique J avais notamment tudi l article paru en 1944 aux Annals of Mathematics o Eilenberg exposait sa th orie de l homologie singuli re une de ces th ories qui pr sentent d embl e un caract re d finitif J avais de mon c t r fl chi la formule de Kunneth qui donnait les nombres de Betti et les coefficients de torsion du produit de deux complexes simpliciaux En fait il s agit l de calculer les groupes d homologie du produit tensoriel de deux groupes diff rentiels gradu s en fonction des groupes d homologie de chacun d eux La solution fait intervenir non seulement le produit tensoriel des groupes d homologie des facteurs mais un nouveau foncteur de ces groupes le foncteur Tor Lors de ma premi re rencontre avec Sammy j tais tout content de lui raconter cela Et ce fut le point de d part de notre collaboration Au moyen de la poste d abord Puis Sammy vint passer Paris l ann e 1950 51 Il participa mon S minaire de l Ecole Normale consacr cette ann e l la cohomologie des groupes aux suites spectrales et la th orie des faisceaux Sammy y fit deux expos s sur les suites spectrales Armand Borel et Jean Pierre Serre prirent aussi une part
8. reprenait les m mes probl mes jamais satisfait des solutions provisoires qu il proposait que ce soit sur les fondements de la m canique les propri t s des fluides les perturbations plan taires la figure de la Terre ou les r solutions d quations diff rentielles 2 Une dition n cessaire la recherche Les m moires de D Alembert sont dispers s dans les publications acad miques et il reste dans les biblioth ques de nombreux manuscrits publier Les uvres de D Alembert publi es au XIX me si cle ne contiennent aucun texte scientifique Pour les trait s il faut recourir aux ditions originales qui ont eu quelques reprints sept volumes chez Culture et Civilisation aujourd hui puis s J Gabay pour la seconde dition du Trait de dynamique Slatkine pour les El ments de musique Il manque une dition de r f rence fiable compl te tablie partir des manuscrits lorsqu il y en a et clair e d un appareil de notes et d introductions Nous en poss dons maintenant pour Newton pour Euler pour Gauss Des quipes suisses et allemandes continuent un travail patient et indispensable pour diter les Bernoulli et Leibniz La France est moins active La H me R publique s est occup e de ses grandes figures n 77 JUILLET 1998 64 A M CHOUILLET F DE GANDT I PASSERON scientifiques Descartes Fermat Pascal Lagrange et Laplace dont elle a financ l edition mais elle a malheureusement
9. L EDITION DES UVRES COMPLETES DE D ALEMBERT 1717 1783 61 pour constituer les Tables de la Lune ou du retour de la com te de Halley calcul par Clairaut Il se plaignait de n tre pas assez reconnu en France et refusa n anmoins le poste de Directeur de l Acad mie de Berlin que lui offrait le Roi de Prusse Fr d ric Il Jean Le Rond D Alembert n 77 JUILLET 1998 62 A M CHOUILLET F DE GANDT 1 PASSERON Avec l Encyclop die D Alembert devint l un des chefs du parti des philosophes Le projet avait pris naissance modestement il s agissait de traduire un dictionnaire en deux volumes la Cyclop dia d Ephraim Chambers Quand l entreprise devint plus ambitieuse D Alembert en partagea la direction avec Diderot Responsable de la partie math matique il recruta des auteurs et crivit lui m me plus de 1500 articles sur des sujets vari s en particulier l article Gen ve qui fit grand bruit et fut la cause principale de l interdiction de l ouvrage en 1759 Les Genevois furent scandalis s qu on propose d tablir un th tre Gen ve et qu on pr sente leurs pasteurs comme de fades d istes fort peu attach s aux dogmes chr tiens Dans le Discours pr liminaire de 1751 qui ouvre le premier tome D Alembert et Diderot propos rent une organisation unifi e du savoir et une classification g n rale des sciences qui revendiquait une filiation baconienne C est cette occasion que D Alembert
10. M langes litt rature histoire philosophie musique e Cinqui me S rie Correspondance g n rale La premi re s rie Sciences math matiques I comprend les uvres scientifiques publi es et manuscrites jusqu en 1756 C est la p riode des grands trait s comme le Trait de dynamique premi re dition 1743 et les Recherches sur diff rens points importans du syst me du monde 1754 1756 C est aussi la p riode des m moires les plus connus sur le calcul int gral les quations aux d riv es partielles les cordes vibrantes les logarithmes complexes l usage des s ries trigonom triques en m canique c leste Les Ce Groupe D Alembert est constitu d une trentaine de chercheurs fran ais et trangers coordonn s par un comit compos d Eric Brian Michelle Chapront Anne Marie Chouillet Fran ois De Gandt Christian Gilain Irene Passeron J rome Viard Cet article doit naturellement beaucoup au travail collectif du Groupe D Alembert GAZETTE DES MATH MATICIENS L EDITION DES UVRES COMPLETES DE D ALEMBERT 1717 1783 65 quations aux d riv es partielles apparaissent sur plusieurs fronts la fois l occasion de travaux sur les vibrations les vents ou la r sistance des fluides Mais comme le rappelle Condorcet dans son Eloge D Alembert n a donn aucun grand ouvrage sur le calcul Il a cependant grandement contribu au Trait du calcul int gral de L A de Bougainville
11. apparut comme philosophe sur la place publique Les d buts de l Encyclop die coinciderent avec l entr e de D Alembert dans les salons Il fit la connaissance de Julie de Lespinasse chez Madame du Deffand C est cette derni re qui le prot gea pour son lection l Acad mie fran aise en 1754 acad mie que D Alembert fr quenta assid ment Il en devint le secr taire perp tuel lorsque le poste fut vacant en 1772 Cette fonction l amena prononcer et crire de nombreux Eloges tr s admires La r daction d un Eloge tait l occasion de d crire l uvre d un auteur de porter un jugement critique et de d ployer toutes les ressources de l art oratoire Grand amateur de musique il a vulgaris les th ories de Rameau dans ses El ments de musique 1752 et dans les articles fondamental et gamme de l Encyclop die Abordant plusieurs genres litt raires il fut aussi traducteur de Tacite et synonymiste un divertissement litt raire fort pris l poque Faut il dire que sa vie priv e fut terne Il fut en tous cas plus discret que beaucoup de ses contemporains En 1764 Julie de Lespinasse se f cha avec sa protectrice madame du Deffand et D Alembert apr s une maladie assez s rieuse en 1765 consentit d m nager pour s tablir dans la m me maison que Julie rue Saint Dominique Fort attach Julie il ignorait tout de ses liaisons et exprima sa douleur lorsqu elle mourut en 1776 dans deux crits
12. embert formule la solution l aide d imaginaires et ces r sultats sur les quations diff rentielles sont rapprocher des textes du volume 4 R fraction r sistance des fluides mouvement de la lune on voit sur ces trois objets comment les travaux math matiques et physiques de D Alembert s interp n traient troitement en un seul domaine de recherche Des outils math matiques nouveaux s laboraient et une m thodologie claire se dessinait Dans le traitement des questions physico math matiques D Alembert avait le souci de tout r duire des probl mes clairement pos s en d finissant nettement les hypoth ses simplificatrices Il avait conscience des limites du traitement d un ph nom ne et ne nourrissait aucune confiance aveugle dans les pouvoirs des math matiques Mais la plupart des questions physico math matiques sont si com pliqu es qu il est n cessaire de les envisager d abord d une mani re g n rale et abstraite pour s lever ensuite par degr s des cas simples aux compos s Si on a fait jusque ici quelques progr s dans l tude de la nature c est l observation constante de cette M thode qu on en est redevable R flexions sur la cause g n rale des Vents p viii Berlin 1747 n 77 JUILLET 1998 70 A M CHOUILLET F DE GANDT I PASSERON Il affichait souvent son scepticisme professant qu il faut savoir attendre et douter En attendant il laborait des
13. es Archives contemporaines 1989 Michel Paty D Alembert Paris les Belles Lettres 1998 D Alembert et l Encyclop die Recherches sur Diderot et sur l Ency clop die n 21 octobre 1996 pp 69 178 Voir aussi le n 22 avril 1997 pp 123 145 uvres compl tes de D Alembert e Premi re s rie Sciences math matiques I 1 Formation de D Alembert et premiers travaux responsable J Peiffer 2 Trait de Dynamique 1743 et manuscrits connexes 3 Trait de l quilibre et du mouvement des fluides 1744 volumes para tre prochainement GAZETTE DES MATH MATICIENS L EDITION DES UVRES COMPLETES DE D ALEMBERT 1717 1783 71 4 Calcul int gral et cordes vibrantes responsables C Gilain et U Botazzini 5 R flexions sur la cause g n rale des vents 1747 responsable F De Gandt 6 Premiers textes de m canique c leste 1747 1749 responsables M Cha pront et I Passeron 7 Recherches sur la pr cession des quinoxes 1749 responsable J Souchay 8 Essai d une nouvelle th orie de la r sistance des fluides 1749 1752 responsables M Paty et G Grimberg 9 Recherches sur diff rents points importants du syst me du monde 1754 1756 1 10 Recherches sur diff rents points importants du syst me du monde 1756 I e Deuxi me s rie Articles de l Encyclop die Volumes 1 6 responsable E Brian e Troisi me s rie Sciences math matiques II Opuscules volu
14. la fin de l activit de D Alembert D autres in dits sont venus enrichir et compliquer notre dition Trois ensembles de manuscrits Berlin et Paris ont des cons quences capitales for ant r crire le d veloppement de la m canique de la n 77 JUILLET 1998 68 A M CHOUILLET F DE GANDT 1 PASSERON th orie des fluides et de la m canique c leste L tude des m moires in dits de l Acad mie des Sciences sur la r fraction de la sph re permet d expliciter l origine du principe g n ral de la dynamique Celle ci est traditionnellement rapport e aux probl mes d oscillation des pendules c est dire une question de m canique des corps solides Mais les premi res recherches de D Alembert en m canique 1741 1742 avant la r daction du Trait de dynamique 1742 1743 portaient sur des probl mes de d placement d un corps solide dans un fluide sous le titre de r fraction de la sph re Il proposait d aborder ces probl mes fort difficiles d une mani re directe en consid rant les propri t s du mouvement des corps et des fluides La solution v ritable devait venir plus tard dans son uvre gr ce au traitement par les quations aux d riv es partielles Entre temps D Alembert se contenta de transcrire ces premiers travaux sur les fluides et la r fraction dans son Trait de l quilibre et du mouvement des fluides 1744 o les r sultats sont pr sent s com
15. me une application du principe g n ral de la dynamique La lecture attentive de ces m moires sur la r fraction fait appara tre une id e fondamentale qui sous tend le principe g n ral l id e de la destruction et de la compensation des mouvements qui rapproch e de l tude des pendules compos s pourrait avoir guid l laboration du principe g n ral de la dynamique Cette analyse et celle de l Essai sur la r sistance des fluides c est dire depuis l expos du probl me jusqu sa solution d velopp e permet de comprendre la progression de la pens e de D Alembert sur un point essentiel Ces m moires in dits sur la r fraction seront publi s leur place chronologique dans le m me volume que le Trait de dynamique Un autre manuscrit s est r v l crucial il constitue une premi re version en latin dat e de 1749 d un ouvrage paru trois ans plus tard Essai d une nouvelle th orie de la r sistance des fluides La pr sentation usuelle du d veloppement de la m canique des fluides ne tient plus d sormais et nous avons la preuve que D Alembert avant Euler a expos un certain nombre de concepts et d id es fondamentaux Nous avons aussi constat que presque tout tait faire en ce qui concerne l histoire de la science des fluides et qu il restait d brouiller l cheveau des discussions des ann es 1730 1755 entre Jean et Daniel Bernoulli D Alembert Euler et d autres
16. mes 1 9 responsable P Cr pel Nouvelles recherches sur la r sistance des fluides M moires et articles e Quatri me s rie M langes litt rature histoire philosophie musique Traduction de Tacite El ments de musique Essai sur les l ments de philosophie Destruction des J suites Belles Lettres et crits personnels Eloges et textes acad miques e Cinqui me s rie Correspondance g n rale 1 Correspondance 1746 1756 responsable A M Chouillet avec la collaboration d E Brian de J D Candaux et d I Passeron Puis un volume par tranche de 250 lettres peu pr s Le nombre de volumes par s rie d pendra des choix techniques de calibrage et de pr sentation adopt s en commun par CNRS Editions et ses partenaires n 77 JUILLET 1998 SAMUEL EILENBERG 72 Samuel Eilenberg GAZETTE DES MATHEMATICIENS NECROLOGIE SAMUEL EILENBERG 1913 1998 amuel Eilenberg est d c d New York le 30 janvier 1998 apr s trois ann es v cues dans un tat de sant pr caire Je voudrais voquer ici le math maticien et surtout l ami que j avais peu peu d couvert au cours d une troite collaboration qui dura au moins cinq ans et qui m a beaucoup appris J ai rencontr Sammy pour la premi re fois la fin de d cembre 1947 il tait venu m accueillir l a roport de La Guardia New York une ville ensevelie sous la neige et o les avions n avaient pu d coller
17. oire des membres de l Acad mie La correspondance cinqui me s rie pourrait rester ouverte en per manence sur le pupitre du lecteur des uvres de D Alembert tant elle apporte un contrepoint utile d hommages courtisans d opinions priv es d intrigues de querelles et d amities La Correspondance g n rale com prendra les lettres de et D Alembert environ 2200 lettres D ici deux ans le premier volume 1746 1756 devrait tre pr t sortir si les vents restent favorables Il comprendra environ 250 lettres notamment la corres pondance amoureuse avec la marquise de Cr qui mais aussi les changes jusqu ici in dits entre D Alembert et Cramer On voit dans ces lettres l uvre s laborer les doutes se pr ciser les certitudes se construire n 77 JUILLET 1998 66 A M CHOUILLET F DE GANDT I PASSERON 3 Un tr sor de math matiques inexploit Le nom de D Alembert est familier aux math maticiens d aujourd hui puisqu une grande diversit de r sultats math matiques est associ e son nom Citons les plus courants e Le principe de D Alembert souvent nomm principe de la dyna mique a connu des versions successives parfois difficiles reconna tre d une formulation l autre les forces de liaison ne travaillent pas selon une formulation du d but XX me si cle ou comme l exprimait Condor cet ce principe consiste s parer en deux parties l ac
18. oubli D Alembert Un projet d dition est aussi un puissant stimulant pour la recherche collective Les m thodes et r sultats des savants de l poque des Lumi res les liens nouveaux qu ils ont tablis entre physique et math matique les d veloppements immenses qu ils ont apport s au calcul infinit simal tout cela m rite d tre pr sent discut comment Les tudes sur Galil e ou Leibniz sont ins parables des entreprises d dition Le dix huiti me si cle reste explorer Au d but des ann es 1990 prenant la suite de projets d j anciens un Groupe D Alembert s est constitu pour mener bien l dition critique des uvres compl tes Encourag s par un voeu de l Acad mie des Sciences qui consid re l dition de D Alembert comme une priorit nous avons trouv des appuis institutionnels successifs d abord l objet d un Groupement de recherches GDR 1044 du CNRS de 1992 1996 le projet d dition est maintenant aid par le Programme CNRS Archives de la cr ation et h berg l Universit de Cergy Pontoise Nous pr sentons ici le travail de ce groupe et l tat d avancement du projet Progressivement s est impos un plan d dition en cinq s ries e Premi re S rie Sciences math matiques I Deuxi me S rie Articles de l Encyclop die e Troisi me S rie Sciences math matiques II Opuscules math ma tiques et autres recherches e Quatri me S rie
19. publi s dans le volume 1 Formation de D Alembert et premiers crits Ce premier volume des uvres qui sera largement in dit correspond essentiellement la p riode ant rieure son entr e l Acad mie en mai 1741 D Alembert s aguerrit en commentant et critiquant des ouvrages math matiques Descartes Newton Bernoulli L H pital Reyneau Guisnee De Gua Ces textes nous donnent des informations pr cieuses sur l apprentissage math matique de D Alembert au contact des travaux de ses pr d cesseurs Ils t moignent de sa lecture des grands textes d un pass proche comme les Principia de Newton dans la nouvelle dition que Le Seur et Jacquier venaient de donner D Alembert reconna t galement sa dette envers Jean Bernoulli dont il analyse les travaux en d veloppant sa conception du calcul oppos la m taphysique seul le calcul pouvant conf rer la certitude aux math matiques Il prolonge en commentant Guisn e puis de Gua un d bat qui a eu un certain relief au d but du XVIII me si cle sur la valeur compar e des m thodes de l cole fran aise Descartes Fermat et du calcul leibnizien Ces bauches de jeunesse constituent le premier groupe de manuscrits importants et d j rep r s l autre tant l ensemble des projets laiss s inachev s sa mort Opuscules Dans notre dition des Opuscules le volume 9 in dit s ajoutera au huit publi s Il s agit en somme du d but et de
20. tion des forces motrices consid rer l une comme produisant seule le mouvement du corps dans le second instant et l autre comme employ e d truire celui qu il avait dans le premier instant ce principe si simple r duisait la consid ration de l quilibre toutes les lois du mouvement e Le crit re de D Alembert si limsup untl lt 1 alors la s rie de terme Un g n ral positif un converge e Le th or me de D Alembert ou D Alembert Gauss ou encore th or me fondamental de l alg bre les seuls polyn mes coefficients complexes qui sont irr ductibles sont ceux du premier degr C est alg briquement clos e Le paradoxe de D Alembert dans certaines conditions assez usuelles un corps solide se d pla ant dans un fluide n prouverait aucune r sistance de la part du fluide Ce paradoxe a intrigu les plus grands math maticiens et m caniciens On a tent d y r pondre par deux voies diff rentes d une part en introduisant la viscosit dans les quations Navier Stockes d autres part gr ce la th orie des sillages et des couches limites pour les fluides parfaits ou non e Le D Alembertien ou op rateur des cordes vibrantes syst mes diff rentiels hyperboliques Parmi les volumes de notre dition c est probablement dans le volume 4 Calcul int gral et cordes vibrantes un des premiers para tre que le math maticien se trouvera le plus facilement
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