Points sur les faces d`un cube Sommaire • Fiche d`identification
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1. m Points sur les faces d un cube ELLE Sommaire SFODEM E M de COTE Fiche d identification Fiche professeur Fiche l ve Sc nario s d usage Compte rendu s d exp rimentation Fiche technique m Ba Points sur les faces d un cube aE A I EE E Fiche Professeur i SFODEM aaay Programme officiel Objectifs p dagogiques Description de l activit Pr requis Int r t instrument e Acc s au sommaire IREM de Montpellier Comp tences exigibles 4 calculer la longueur d un c t d un triangle rectangle partir de celles des deux autres 3 conna tre la nature des sections d un cube par un plan parall le une ar te Commentaires 3 ce sera une occasion de faire des calculs de longueurs et d utiliser les propri t s rencontr es au cours des ann es ant rieures e Rep rer les obstacles l apprentissage de la g om trie dans l espace e Savoir choisir une repr sentation pertinente pour le probl me tudi e R investir l utilisation du th or me de Pythagore dans l espace Savoirs th or me de Pythagore nature des sections du cube par un plan parall le une ar te Savoir faire trac s g om triques main lev e ou avec instruments de dessin Calculs de longueurs dans un cube Ce probl me met tous les l2. Phase Acteur Description de la t che Situation Outils et supports Dur e l pieve Momoni Individuelle Travail la maison Recherche Enseignant S lection des gt proc dures l ves et recensement des erreurs El ve Mise en commun 3 enseignant situation de d bat dans collective 45 min la classe 4 Enseignant Visualisation de la Chase 10 min solution Acc s au sommaire Cette dur e est donn e titre indicatif et pr visionnel IREM de Montpellier Page 3 sur 11 ER A SFODEM Points sur les faces d un cube aE Fiche technique Mpate Nom du fichier Logiciel utilis Description Mode d emploi Acc s au sommaire IREM de Montpellier cubspher g3w geospacW La commande A fait appara tre la sph re La commande B fait appara tre le cube La commande M fait appara tre les trois points d intersection Utilisation du logiciel geospacW Page 4 sur 11 m Points sur les faces d un cube aE Li r i I EE E Fiche l ve Mer SFODEM LA NONC Vous disposez d un cube de 10cm d ar te et vous d signez par A un de ses sommets D terminez tous les points du cube situ s 15 cm de A CONSIGNES La premi re narration de recherche est pr sent e par des consignes orales qui prennent la forme suivante
3. Je vous propose un probl me o vous aurez tous beaucoup de choses m crire Pourquoi Et bien tout simplement parce que je vous demande de ne pas vous contenter de me donner la r ponse mais de me raconter en d tail tout ce que vous avez fait pour la trouver ou pour essayer de la trouver Vous me d crirez vos essais toutes les pistes que vous avez essay es m me si elles n ont abouti rien Toute mon attention ira sur la qualit et la pers v rance de votre recherche Je ne tiendrai pas compte de l orthographe ou de la syntaxe J attacherai plus d importance la pr cision de cette narration qu au r sultat trouv lui m me Ces consignes orales sont tay es par une phrase crite la fin de l nonc par exemple Raconte sur ta feuille les diff rentes tapes de ta recherche les remarques les aides les observations que tu as pu faire et qui t ont fait changer de m thode ou qui t ont permis de trouver Ce serait bien si tu pouvais joindre tous tes brouillons num rot s donner des pr cisions sur la dur e et l organisation de ton travail Acc s au sommaire IREM de Montpellier Page 5 sur 11 m F Points sur les faces d un cube aE ne l E E E Comptes rendus d exp rimentations n SFODEM Pre 1 PROCEDURES ELEVES En seconde ou en troisi me on rel ve des approches tr s semblables Ces diff rentes m thodes de recherche traduisent l
4. une premi re approche du probl me en r alisant une repr sentation plane du cube proc dure 5 6 7 8 Ils adoptent souvent une m thode exp rimentale identique celle de la g om trie plane trac s mesures sur le dessin mais la suite de ces essais l utilisation et l interpr tation de leurs r sultats traduisent des profils d l ves tr s diff rents quant leur perception d un probl me de g om trie dans l espace Nous relevons deux types de d marches d l ves les uns restent dans un probl me de g om trie plane Caroline Guy les autres ont une bonne image mentale de l objet en trois dimensions en repla ant le probl me dans l espace Alexandre Cl ment Ad laide Ils restent en g om trie plane Caroline encha ne les proc dures 6 et 1 Elle sait dessiner la repr sentation en perspective cavali re d un cube mais elle ne l interpr te pas Elle transforme donc ce probl me de g om trie dans l espace en un probl me de g om trie plane en travaillant sur les dessins Les solutions d pendent du centre du cercle trac aucun retour l objet cube n est envisag IREM de Montpellier Page 8 sur 11 Dans cette figure il n y a que deux points 15 cm du point On les nomme E et F Dans cette figure un seul point passe 15 cm du point le point C Avec d autres figures si je change le sommet je trouve d autres solutions Certains l ves laborent une
5. discussion autour des diff rentes repr sentations en perspective cavali re du cube suivant l angle des fuyantes ou le coefficient de r duction Cette approche exp rimentale est galement mise en uvre sur le dessin du patron du cube en encha nant les proc dures 5 et 1 comme le montre la copie de Guy 3 Il suffit de tracer une sph re de 15 cm de rayon Mais une sph re est trop compliqu e r aliser je vais mettre le cube plat IREM de Montpellier Page 9 sur 11 Pour ce type d l ves un travail de rem diation est n cessaire avant d envisager tout nouvel apprentissage en g om trie dans l espace Des activit s reposant sur l interaction entre repr sentations et maquettes leur permettront de se constituer progressivement des repr sentations mentales indispensables tout raisonnement dans un probl me de g om trie dans l espace Ils replacent le probl me dans l espace Apr s avoir eu une d marche exp rimentale sur des dessins proc dures 6 5 une tude critique de leurs r sultats et un retour la situation spatiale du probl me am nent les l ves s engager dans des proc dures calculatoires 9 10 13 Ils expliquent leurs changements de strat gies comme Alexandre qui a r alis un dessin semblable celui de Guy et qui ajoute Cette figure n apporte rien vu que c est un volume que l on cherche et non une surface plane Vu que ce patron est un cube ce cer
6. ves en activit Il permet de conna tre les diff rentes repr sentations et interpr tations utilis es par les l ves pour traduire une situation spatiale Il est l occasion d un r investissement de notions d j vues dans les classes pr c dentes La solution n tant pas du tout triviale cela permet de justifier le recours des calculs en g om trie dans l espace et de faire prendre conscience aux l ves de l int r t d une recherche labor e Au lyc e variante de l nonc Vous avez un cube de 10cm d ar te Vous appelez A un sommet de ce cube combien y a t il de points sur les ar tes du cube 15cm du sommet Recherche exp rimentale avec construction de maquettes et repr sentations en perspective Lors de la correction le logiciel permet la visualisation conjointe de la sph re et du cube sous diff rents points de vue Acc s la liste des sc narios Page 2 sur 11 J M EN ER A SFODEM Points sur les faces d un cube Sc narios d usage E M M0 pa der Sc nario 1 Phase Acteur Description de la t che Situation Outils et supports Dur e 1 El ve Recherche Individuelle 10 min 2 El ve Recherche groupe 20 min El ve Mise en commun 3 enseignant situation de d bat dans collective 15 min la classe 4 HR RAS AO Classe enti re 10 min probl me Sc nario 2
7. cle est une boule de 15 cm de rayon De m me Cl ment l ve de 3 crit Je dessine les trois faces o est repr sent le point Vue de droite Vue de face Vue de dessus Je remarque l il nu qu il n y a aucun point sur le cube qui soit 15 cm de A Mais parfois il y a des trompe l il STOP Je m arr te l me rendant compte de ma b tise car en fait le point C est bien plus cart de que de D C ou B Mais pour qu il y ait des points 15 cm de sur le cube il faut que AC soit sup rieur 15 cm REPERES IREM n 33 Enseigner la g om trie dans l espace Freddy Bonaf Mireille Sauter IREM de Montpellier Voir et raisonner la conqu te de l espace au coll ge IREM de Strasbourg IREM de Montpellier Page 10 sur 11 3 CONCLUSION Les l ves qui arrivent r soudre ce probl me ont une bonne image mentale du cube en dimension 3 ils savent extraire des sous figures planes ici des triangles rectangles partir de la repr sentation en perspective cavali re Un travail de rem diation pour les l ves en difficult serait de construire des maquettes en papier en carton puis de dessiner et tudier les diff rentes repr sentations de ces maquettes Il faudrait galement faire la d marche inverse c est dire partir de la repr sentation construire l objet Enfin un travail plus approfondi sur les repr sentations consisterait dessiner en vraie grand
8. des points r pondant la question Utilisations de dessins Proc dure 5 Patron et cercle L l ve dessine un patron du cube rep re un point A trace un cercle de centre A de rayon 15 cm ce dessin est parfois r alis l chelle 1 2 Il affirme que les intersections de ce cercle avec les repr sentations des faces du cube sont les solutions Proc dure 6 Perspective et cercle IREM de Montpellier Page 6 sur 11 L l ve dessine le cube en perspective cavali re rep re un point A trace un cercle de centre A de rayon 15 cm ce dessin est parfois r alis l chelle 1 2 S il observe des intersections il affirme que les intersections de ce cercle avec les repr sentations des faces du cube sont les solutions S il n observe aucun point d intersection il affirme qu il n existe pas de solution Proc dure 7 Vue et cercle L l ve dessine une vue du cube c est dire un carr de 10 cm de c t rep re un point A et trace un cercle de centre A de rayon 15 cm Comme ce cercle ne coupe pas le carr il affirme qu il n existe pas de solution Proc dure 8 Dessin des faces et cercle L l ve dessine en vraie grandeur une face contenant A et un cercle de centre A de rayon 15 cm Il affirme qu il ne peut y avoir aucun point sur les trois faces contenant A Utilisation de calculs Proc dure 9 Localisation et calcul L l ve calcule la diagonale d une face contenant A et affirme qu il ne peut y avoir aucu
9. e A en suivant les ar tes il d compose 15 cm en 10 cm une ar te issue de A 5cm et il trouve donc 6 points solutions Proc dure 15 Calculs de volumes Lorsque le cours sur la sph re a t fait l l ve calcule le volume du cube et de la sph re et les compare IREM de Montpellier Page 7 sur 11 2 QUELQUES ELEMENTS D ANALYSE Utilisation de la maquette A travers les crits des l ves on voit que l utilisation d une maquette proc dure 4 n est pas satisfaisante pour eux c est du bricolage ce ne sont pas de vraies math matiques Pour les uns il ne s agit que d une premi re approche exp rimentale comme l crit Marie l ve de 3 Je trouve gr ce une ficelle des r sultats approximatifs qui ne me permettent pas une r ponse scientifique Pour d autres l ves en g n ral des l ves en difficult c est la seule solution qu ils proposent et bien que la d marche et les solutions soient correctes ils ne sont pas satisfaits de leurs propositions Michel 3 arrive en classe avec un cube en carton dont il a vid les faces une ficelle est tendue l int rieur sur sa copie il crit C tait difficile j ai essay mais je n arrive pas faire autre chose mais j ai un peu trouv D marche exp rimentale en g om trie dans l espace et profils d l ves Except s les l ves qui ne proposent que la proc dure maquette tous les l ves ont
10. es conceptions correctes ou erron es des l ves pour r soudre des probl mes de g om trie dans l espace On trouve des proc dures relevant de d marches exp rimentales utilisant des mesures sur maquettes ou dessins et des d marches calculatoires en appliquant fr quemment le th or me de Pythagore Les proc dures d crites ci dessous ont t mises en uvre par des l ves de seconde on trouve des proc dures identiques chez les l ves de troisi me qui cherchent les points solutions sur les ar tes et non sur les faces Consid rations sur l nonc Proc dure 1 Localiser le sommet L l ve s interroge clairement sur la d pendance ou l ind pendance de la nature de la solution avec le choix initial du sommet A Proc dure 2 Plein ou vide Au cours de sa recherche l l ve prouve le besoin de savoir si une sph re ou un cube sont des objets pleins ou vides car il a la certitude que cela a une incidence sur la nature de la r ponse Proc dure 3 Sph re Apr s quelques essais l l ve affirme que la solution de ce probl me est donn e par la recherche de l intersection d une sph re et d un cube Utilisations d une maquette Proc dure 4 Localisation existence et maguette L l ve r alise une maquette creuse du cube en grandeur r elle ou l chelle il rep re un sommet A Il place l extr mit d une ficelle de longueur convenable en A et d place l autre extr mit Il affirme qu il existe
11. eur diff rentes sections du cube la maquette pouvant tre un objet de contr le ou une tape interm diaire Acc s au sommaire IREM de Montpellier Page 11 sur 11
12. n point sur les trois faces contenant A Proc dure 10 Localisation existence et calcul L l ve calcule la diagonale d une face contenant A puis la diagonale du cube il constate que 15 est compris entre ces deux longueurs Il affirme qu il existe des points r pondant la question sur les trois faces ne contenant pas A Proc dure 11 Localisation essais et existence L l ve calcule la diagonale d une face contenant A Il calcule ensuite l aide du th or me de Pythagore la distance de A quelques points sur des ar tes des faces ne contenant pas A Il choisit le milieu d une de ces ar tes constate qu il convient et affirme qu il existe des points r pondant la question sur les trois faces ne contenant pas A Proc dure 12 Localisation et balayage L l ve dessine plusieurs plans contenant une ar te passant par A Dans chacun d eux l aide d un calcul ou d un dessin il d termine un ou plusieurs points r pondant la question Il propose une solution obtenue point par point sans se prononcer sur sa forme Proc dure 13 Localisation sur une face et arc de cercle L l ve r alise un triangle rectangle dont un c t est une ar te passant par A l aide du th or me de Pythagore il recherche tous les points 15 cm de A situ s sur la face perpendiculaire cette ar te Il constate qu ils d terminent un arc de cercle Proc dure 14 Cheminement sur les ar tes L l ve cherche des points 15 cm d
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