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Tese 7 MB - Técnico Lisboa

1. 34 4 horas 44 4 horas 1 0 1 0 1 0 0 8 0 8 0 8 20 6 20 6 20 6 E G 304 30 4 20 4 a oO o a a 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 0 0 2 04 0 6 0 8 LO 0 0 2 04 0 6 0 8 1 0 Grau de Hidrata o Grau de Hidrata o Grau de Hidrata o x oras a oras a oras 54 4 h 64 4 h 72 4 h 1 0 1 0 1 0 0 8 0 8 0 8 8 30 6 30 6 30 6 E E E 8 g amp 30 4 20 4 204 Es Es 3 a a 0 2 0 2 0 2 0 0 0 do 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 do 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 do 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 Grau de Hidratag o Grau de Hidratag o Grau de Hidratag o a oras oras E oras 82 4 h 92 4 h 102 4 h 1 0 1 0 1 0 0 8 0 8 0 8 E 3 30 6 30 6 30 6 E E 3 20 4 304 gos y a Que 3 3 3 na n a 0 2 0 2 0 2 So 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 Bo 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 Bo 0 2 04 0 6 0 8 1 0 Grau de Hidrata o Grau de Hidrata o Grau de Hidrata o 112 4 horas 122 4 horas 132 4 horas 1 0 1 0 1 0 0 8 0 8 0 8 E E 50 6 20 6 20 6 E G E o o o 5 0 4 5 0 4 50 4 3 2 gt n na a 0 2 0 2 0 2 So 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 Bo 0 2 04 0 6 0 8 LO Bo 0 2 0 4 0 6 0 8 10 Grau de Hidratag o Grau de Hidrat
2. 17 5 horas 44 4 horas 72 4 horas 1 0 1 0 1 0 0 8 0 8 0 8 A g g 30 6 30 6 30 6 E E E o e Q 150 4 150 4 15 0 4 3 3 3 a a 0 2 0 2 0 2 y j 0 9 30 40 50 60 70 o 30 40 50 60 70 2 30 40 50 60 70 Temperatura Celsius Temperatura Celsius Temperatura Celsius Figura 7 8 Modelo unidimensional Campo de temperatura s 17 5 44 4 e 72 5 horas 68 17 5 horas 0 02 04 06 08 1 1 1 0 3 0 8 0 7 0 6 ps 0 4 3 o 0 2 0 1 o 1 0 3 0 8 0 7 j ps 0 4 03 Ri 0 2 0 1 0 02 04 06 08 1 a 44 4 horas 72 4 horas 1 0 9 0 8 10 7 10 6 o 0 4 10 3 0 2 01 o 0 2 0 4 06 08 1 a Figura 7 9 Modelo bidimensional Grau de hidratac o s 17 5 44 4 e 72 5 horas 17 5 horas 44 4 horas 72 4 horas 1 0 1 0 1 0 0 8 0 8 0 8 30 6 20 6 20 6 E amp Q 20 4 304 20 4 3 3 3 a n n 0 2 0 2 0 2 Bo 0 2 04 0 6 0 8 LO Bo 0 2 04 0 6 0 8 1 0 Bo 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 Grau de Hidratag o Grau de Hidratag o Grau de Hidratag o Figura 7 10 Modelo unidimensional Grau de hidratac o as 17 5 44 4 e 72 5 horas Tabela 7 2 Caracteristicas do ensaio Modelo bidimensional de elementos hibridos Tipo de cimento Condutividade T rmica Calor Especifico Energia de Activac o Taxa de produc o de calor Calor libertado
3. 64 4 horas 72 4 horas 1 0 1 0 1 0 0 8 0 8 0 8 30 6 30 6 30 6 E E E 304 804 20 4 3 3 3 n n a 02 0 2 0 2 0 30 40 50 60 70 0 30 40 50 60 70 0 30 40 50 60 70 Temperatura Celsius Temperatura Celsius Temperatura Celsius 82 4 horas 92 4 horas 102 4 horas 1 0 1 0 1 0 0 8 0 8 0 8 30 6 30 6 30 6 E E E 30 4 30 4 20 4 3 g 3 n n n 02 0 2 0 2 0 30 40 50 60 70 09 30 40 50 60 70 0 30 40 50 60 70 Temperatura Celsius Temperatura Celsius Temperatura Celsius 112 4 horas 122 4 horas 132 4 horas 1 0 1 0 1 0 0 8 0 8 0 8 E E 50 6 20 6 20 6 E o o o 50 4 50 4 5 0 4 3 2 gt n n n 0 2 0 2 0 2 09 30 40 50 60 70 0 30 40 50 60 70 0 30 40 50 60 70 Temperatura Celsius Temperatura Celsius Temperatura Celsius K 2 Grau de Hidratacao 1 2 horas 3 2 horas 4 2 horas 1 0 1 0 1 0 0 8 0 8 0 8 E E 50 6 20 6 20 6 E 3 3 3 2 30 4 304 304 3 3 2 n n n 02 0 2 0 2 Bo 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 Bo 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 Bo 0 2 04 0 6 0 8 1 0 Grau de Hidrata o Grau de Hidrata o Grau de Hidrata o 6 5 horas 11 5 horas 17 5 horas 1 0 1 0 1 0 0 8 0 8 0 8 30 6 30 6 30 6 E E E o o o 50 4 5 0 4 50 4 3 3 3 n an a 02 0 2 0 2 Bo 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 Bo 0 2 04 0 6 0 8 LO Bo 0 2 04 0 6 0 8 1 0 Grau de Hidratag o Grau de Hidratag o 122 Grau de Hidratag o 24 0 horas
4. N mero de pontos Grau do polin mio que Posi es e respectivos de Gauss poss vel integrar de modo pesos dos pontos de exacto Gauss P n p 2n 1 Wi P 0 1 1 Wi 2 Steele P Fa oh 2 3 P FR Wi Wa _v3 P A P 0 3 5 v3 P E 5 W 3 _ 8 Wa 9 5 W 5 Nota O intervalo de integrac o de todos os integrais referidos no mbito da quadratura de Gauss o intervalo 1 1 Para justificar a express o p 2 n 1 vera Tabela F 1 suficiente considerar o seguinte sugere se que se acompanhem as seguintes considera es com o exemplo do polin mio de grau p 5 atr s descrito Suponha que se pretende integrar de um modo exacto um polin mio de grau p sendo p um n mero mpar e O n mero de coeficientes ci no polin mio de grau p igual a p 1 e Uma vez que existem p 1 coeficientes ci o sistema de equa es n o lineares F 9 vai ter p 1 equa es e Para que o sistema de equa es F 9 possa ser resolvido o n mero de inc gnitas deve ser tamb m p 1 108 e Uma vez que as inc gnitas s o as posi es dos pontos de Gauss e respectivos pesos Pl P2 P3 W1 W2 W3 o n mero de pontos de Gauss n tem de ser metade do n mero de inc gnitas p 1 i e n p 1 2 e Nesta express o pode se explicitar p resultando p 2 n 1 que o resultado que se pretende demonstrar Qualquer que seja o valor de n o valor de
5. 0 5 1 0 0 5 0 0 0 5 1 0 1 0 Pyle 1 P e e Figura 4 3 Polin mios de Legendre 1 0 0 5 0 0 0 5 1 0 1 0 0 5 0 0 0 5 1 0 Pragrange 1 1 ar E Pragrange ale 5 1 Figura 4 4 Polin mios de Lagrange de 1 grau 1 0 0 5 0 1 0 0 5 0 5 1 0 Pragrange 1 ale u 1 PLagrange 2 e e F Da Pragrange 3 5 1 Figura 4 5 Polin mios de Lagrange de 2 grau Os polin mios de Lagrange s o os mais intuitivos uma vez que s o obtidos directamente atrav s do produto das v rias rectas que tomam o valor zero em todos os n s em que se pretende que a func o se anule Existe ainda um coeficiente que serve apenas para se obter o valor unit rio 36 no nico n em que se pretende que a func o seja diferente de zero Prova se 31 que o polin mio interpolador nico Os polin mios de Lagrange grau l T Tj Prtagrangel grau k II E 2 4 49 jah s o a nica op o para implementar a formula o convencional do m todo dos elementos finitos em problemas unidimensionais O gradiente no caso de problemas unidimensionais simplifica ficando V Ox Assim o vector B ser composto pela derivada em x dos polin mios de Lagrange previamente apresen tados d grau l a dm re Su 4 50 de ES grau de II x zj 5 ou de forma a ser program vel d grau l grau l 1 grau l Pra
6. 0 88889 W3 3 0 55556 O valor exacto do integral de um polin mio de grau 5 no intervalo 1 1 pode ser obtido atrav s de moda 8 5 v3 Ta I ERA f gfe 210 V3 8 5 v3 9 No caso de a fun o f x ser n o polinomial ou polinomial de grau superior a 5 a express o F 10 1 5 f x dx x ais F 11 i fornece um valor aproximado do integral J O valor do integral calculado com o segundo membro de tanto mais correcto quanto mais a func o f x se aproximar de um polin mio do tipo E 1 Sempre que se deseje um valor mais correcto para o integral existe a possibilidade de se utilizar mais pontos de Gauss P e correspondentes pesos W O estudo agora realizado com um polin mio de grau 5 pode ser feito de um modo semelhante com polin mios de qualquer grau Na tabela F 1 apresenta se os resultados que se obt m quando se faz o estudo com polin mios de grau 1 grau 3 grau 5 e grau 7 Na tabela encontram se Os valores das posi es dos pontos de amostragem e dos pesos para um dado n mero de pontos de Gauss Por observac o da tabela F 1 pode concluir se que com n pontos de Gauss obt m se o valor exacto do integral de um polin mio de grau p 2n 1 ou inferior Quando se pretende a soluc o exacta do integral de um polin mio de grau p o n mero de pontos de Gauss que se tem de utilizar n p 1 2 ou superior 107 Tabela F 1 Posic o dos pontos de Gauss e respectivos pesos
7. f x f a f a z a x a B 1 O teorema pode ser enunciado de acordo com 49 do seguinte modo Teorema B 1 Se f uma fun o que admite derivadas at ordem n no ponto x a ent o existe um e um s polin mio P de grau lt n que satisfaz as n 1 condi es Este polin mio definido pela equac o 97 Ap ndice C Formulacao Incremental do Fluxo de Calor Pretende se obter a formulac o incremental da expressao Quod Ar f a exp 6 C 1 onde Ea p qe C 2 A func o f a definida por trogos lineares fla fo foda C 3 Por forma a obter o resultado pretendido necess rio aproximar exp recorrendo ao teorema de Taylor ver ap ndice B Por comodidade define se g exp 8 CA Nas express es apresentadas o indice 0 significa que se est a referir ao valor tomado no instante inicial da grandeza onde for aplicado As primeiras derivadas de g tomam a forma E EAN a g B g Gp C 5 E E E E E 2 Ho a a a a a C 6 9 RP RP RP RP RT T 6 6 Substituindo na express o geral do teorema de Taylor B 1 truncada no terceiro termo para facilitar a exposi o obt m se E Ea Ea An RT PO RD Ea Ea 1 2 RTARTA or oT C 7 99 ou depois de simplificar So te sr Fa Ba E ST ernennen T 1 T y 1 2 goll Bo To Pol Bo T2 Substituindo C 9 em C 1 e utilizando a formula
8. 8 2 Laje de um Armaz m 8 3 Torre E lica 9 1 Resultados 9 2 Formacao 9 3 Desenvolvimentos Futuros Refer ncias Bibliogr ficas Bibliografia A Formula o incremental da lei Constitutiva B Teorema de Taylor xiii 63 63 64 64 65 66 67 70 71 71 71 75 83 83 85 85 87 9 95 97 C Formula o Incremental do Fluxo de Calor 99 D Forma Incremental dos m todos 101 E Discretizacao no Tempo do Fluxo de Calor 103 F Integragao Num rica 105 G Input Principal 111 H Input da funcao f a 113 I Inputs 115 1 Temperatura Prescrital e 115 2 Convecc o Radiacao 22 2 ee 115 J Resultados do Modelo Bidimensional 117 J 1 Temperatura ee 117 J 2 Grau de Hidrata o 2 22 22 ee 118 K Resultados do Modelo Unidimensional de Elementos Convencionais 121 K 1 Temperatura 121 K 2 Grau de Hidrata o ee 122 Xiv Lista de Tabelas 1 1 Principais propriedades do bet o 2 2 2 0 nn nn nn 5 1 2 Composi o qu mica e finura do cimento 2 o e e 6 2 1 Condi es de fronteiral ee 12 2 2 Calor libertado a tempo infinito Qoo 2 su oak ae Sea a e eee Es ad 17 2 3 Par metros a utilizar na modela o num rica 22 22 2 nn ee 19 6 1 Caracter sticas do ensaio Converg ncia das solu es 2 22 222 51 7 1 Caracter sticas dos ensaios Modelo unidimensional de elementos h bridos
9. de Aproxima 0 8 1 Elemento 2 Elementos 0 4 4 Elementos Tt T 8 Elementos 1 0 1 5 2 0 25 3 0 39 4 0 Ln N de Graus de Liberdade Figura 6 8 Grau de hidrata o aproxima es fracas 7 horas Aref 0 072 N Grau de Aproxima o 0 8 0 6 Q ref 1 Elemento 2 Elementos 0 4 4 Elementos i 0 2 8 Elementos 1 0 15 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 Ln N de Graus de Liberdade Figura 6 9 Grau de hidrata o aproxima es fracas 14 horas are 0 480 do 5 Grau de Aproximaca 0 8 per 0 6 1 Elemento 2 Elementos 0 4 4 Elementos IA 0 2 8 Elementos 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 Ln N de Graus de Liberdade Figura 6 10 Grau de hidrata o aproxima es fracas 48 horas are 0 801 6 4 Aproximacoes Fortes O aumento do grau de aproximac o cessado no momento em que se considera que j existem dados suficientes para tirar as conclus es pretendidas pois nao faz sentido aumentar indefinida mente o grau quando deixa de ser evidente que existam melhorias na soluc o Assim considera se suficiente apresentar apenas aproximacoes at ao grau nove Para permitir comparar de forma directa os gr ficos que agora s o apresentados com os seus cong neres correspondentes
10. Elemento 0 0 aaa dd 15 2 0 2 5 3 0 Ln N de Graus de Liberdade Figura 6 11 Temperatura 7 horas Tref 27 708 C 10 0 Figura 6 12 Polin mio de Lagrange grau 21 Nos gr ficos 6 13 a 6 15 vis vel que parte dos erros num ricos j referidos se obt m sempre boas solu es quando se utilizam aproxima es fortes O problema passa a ser o desperd cio de recursos computacionais As oscila es vis veis na converg ncia para a solu o de refer ncia devem se a problemas de precis o num rica mas est o sempre a baixo de 1 pelo que se podem considerar desprez veis 6 4 2 Converg ncia do Grau de Hidrata o Nas figuras a 6 18 vis vel a converg ncia do modelo no que diz respeito ao grau de hidrata o quando se utilizam aproxima es fortes Verifica se que para graus de aproxima o superiores a cinco e esquecendo erros num ricos provenientes do aumento do grau o erro da grau de hidrata o tamb m sempre inferior a 1 57 1 001 Grau de Aproximag o 0 998 Y 2 0 2 5 3 0 3 5 Ln N de Graus de Liberdade rr 1 Elemento 2 Elementos 4 Elementos 8 Elementos Figura 6 13 Temperatura aproxima es fortes 7 horas Tref 27 708 C 1 0010 1 0005 Grau de Aproxima o 5 T 5 9 1 0000 7
11. feita uma compara o en tre v rias abordagens Ressalva se ainda que partida todas as solu es apresentadas neste cap tulo s o aproxima es num ricas pelo que a proximidade entre resultados n o implica ne cessariamente que a solu o real esteja de facto pr xima No entanto se todos ou grande parte dos modelos dessem resultados semelhantes seria necess ria uma reflex o profunda acerca das hip teses admitidas se posteriormente houvesse um grande desfasamento para os resultados experimentais Para efeitos de compara o s o utilizados dois programas cujas informa es podem ser encontradas em 44 ambos utilizam elementos finitos h bridos que aproximam directamente a temperatura e o grau de hidrata o sendo um unidimensional 33 como o modelo aqui criado e outro bidimensional 44 Posto isto come a se por comparar resultados com o modelo unidimensional e posteriormente faz se o confronto com o modelo bidimensional 63 7 2 Modelo Unidimensional Por conven o quando nada for dito em contr rio todos os gr ficos temperatura tempo apresen tados nesta secc o representam medicoes feitas no centro da laje Para facilitar a an lise opta se por utilizar um refinamento mais apertado do que qualquer um dos utilizados em e correr ambos os modelos com o mesmo n mero de elementos e com o mesmo grau de aproximac o O cimento do tipo CA CEM I 42 5R 2 As propriedades t rmicas do bet o a geometri
12. 1 0010 1 0005 Grau de Aproximag o 5 J a 5 7 9 2 9 zn 1 a 1 0000 A 1 Elemento ref 4 Ea m 2 Elementos 4 Elementos 0 9995 8 Elementos 0 9990 L Lu Lu aa 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 Ln N de Graus de Liberdade Figura 6 18 Grau de hidrata o aproxima es fortes 48 Horas are 0 801 59 6 5 Conclus es Em suma e para o problema ensaiado utilizando graus de aproxima o iguais ou superiores a cinco consegue se sempre boas solu es partida quanto maior for o grau utilizado melhor ser a solu o obtida No entanto mostrou se que o grau n o pode ser aumentado indefinidamente atendendo a que aparecem erros de precis o num rica No exemplo criado o erro ocorreu quando se utilizou elementos de grau vinte e tr s Sugere se que relativamente a este valor seja dada uma margem de seguran a ou pelo menos se confira que n o est o a aparecer resultados descabidos sempre que se opte por graus pr ximos deste valor vis vel que o refinamento p converge mais rapidamente para uma boa solu o do que o refinamento h Observando os gr ficos e escolhendo uma malha que permita obter boas solu es com o menor n mero poss vel de graus de liberdade verifica se que o n mero de elementos n o preponderante Assim escolhendo correctamente o grau de aproxima o um nico elemento parece ser suficiente embora tal possa
13. 64 7 2 Caracter sticas do ensaio Modelo bidimensional de elementos h bridos 69 8 1 Caracter sticas dos ensaios Laje de armaz m o e e 73 8 2 Caracter sticas dos ensaios Torre e lical o o 80 F 1 Posi o dos pontos de Gauss e respectivos pesos 22 22 2 o 108 XV Lista de Figuras 2 1 Modelo unidimensional ee 10 ero a HA ea ee A Oe aa 11 2 3 CONVEC O a ach beg eee Bl de A o A a a e a a d 11 ia E A A Bw a de 11 A A Ge gO Be ee ah eae Hie 14 ee 16 2 7 Fun o de hidrata o f a CA CEMI425R o o 18 FA A 29 4 2 Tabela de incidencias nen 33 CALI AAA e a sd e Gr ndo 36 De ds ae Gk Pk Bnd 36 bh do DE SR Re a a ek A TD ee 36 aiaia bas ook HS ke Ge a eee DAE RG Be ad 39 4 7 Snap trough e snap back 22 2 2 aa 40 Mako OM a ae A A 44 5 2 Fluxograma da solu o inicial 2 22 2 CC o o 45 ee ee Eee ar 45 E rod 50 ee 51 ora a a a de 51 6 4 Temperatura prescrita 1 elemento de grau l 53 6 5 Temperatura aproxima es fracas 7 horas Tref 27 708 C 2 2 2 54 6 6 Temperatura aproxima es fracas 14 horas Tre 36 868 C cc 54 6 7 Temperatura aproxima es fracas 48 horas Tre 26 372 C ooo 54 xvil 6 8 Grau de hidrata o aproxima es fracas 7 horas amp ref 0 072 55 6 9 Grau de hidra
14. Sensores vez demorada estas calibra es foram feitas recorrendo ao bom senso e a sucessivas tentativas Sensor 3 nn o gt w N pa Temperatura Celsius 0 5 10 15 20 Tempo dias Figura 8 10 Valores medidos nos sensores Olhando novamente para a figura interessa identificar tend ncias gerais que poste riormente possam permitir de alguma forma verificar as hip teses assumidas neste exemplo Como era expect vel a temperatura m xima obtida no sensor 3 que se localiza a meio da fundac o onde consequentemente a energia demora mais tempo a dissipar Apesar do sensor 4 ser o primeiro a entrar em contacto com o bet o aquele em que o pico de calor ocorre mais tarde Este facto explicado pela proximidade do macico rochoso que vai absorver algum calor Posteriormente verifica se que este sensor tamb m aquele que demora mais tempo a retornar a valores pr ximos da temperatura ambiente aparecendo uma zona com declive constante O macico rochoso revela alguma in rcia t rmica e se verdade que demorou algum tempo at elevar a sua temperatura tamb m leva algum tempo a dissipar o calor acumulado depois de ter 78 aumentado a temperatura Tal como na figura 8 6 opta se por modelar 5m de terreno onde se utiliza uma malha de 5 elementos de grau 5 uma vez que se esperam gradientes relativamente baixos Quanto a zona de bet o
15. peT 2 14 2 5 2 Analogia com a Mec nica dos S lidos A mesma express o pode ser obtida por analogia com a teoria da an lise de estruturas Embora menos bvia esta dedu o mais simples de compreender por pessoas com forma o base em engenharia civil A dificuldade desta nova abordagem perceber de que forma se relacionam as grandezas deste problema com os deslocamentos extens es rela es constitutivas tens es e esforcos Partir se dos deslocamentos que neste caso correspondem temperatura T at obter o fluxo de calor Q equivalente aos esforcos Sendo o deslocamento uma grandeza conhecida poss vel atrav s da equa o de compatibilidade 2 15 obter as extens es que neste caso correspondem ao gradiente no espaco da temperatura VT e VI 2 15 Note se que se obteria um resultado id ntico caso se come asse pelos esfor os 15 Uma vez conhecido o gradiente t rmico pode determinar se o equivalente s tens es atrav s da relac o constitutiva A lei de Hooke utilizada na mec nica mais concretamente na teoria da elasticidade linear aqui substitu da pela Lei de Fourier equa o 2 3 Por fim basta aplicar a condic o de equil brio 2 10 para obter o resultado que foi obtido anteriormente em 2 14 Apresenta se na figura um esquema gr fico demonstrando a analogia com a an lise estrutural
16. s aprox imacoes fracas inclui se novamente as aproximacoes de grau cinco Conv m referir que a partir de certo ponto os gr ficos referentes s aproxima es fortes podem apresentar oscilac es que se devem a problemas de precis o num rica e nao a problemas nas solu es obtidas Assim na interpreta o dos gr ficos seguintes figuras a 6 18 conveniente reparar na margem de erro que existe relativamente soluc o de refer ncia pois em muitos casos apresenta valores bastante abaixo de 1 6 4 1 Converg ncia do Campo de Temperatura Descartando o desperdicio de recursos computacionais existe muitas vezes a tend ncia para pen sar que o grau de aproximac o dos elementos pode ser aumentado indefinidamente convergindo sempre para a soluc o exacta Na realidade esta ideia n o correcta Ao aumentar o grau da aproxima o a solu o converge para a exacta mas a partir de um certo ponto come am a aparecer erros num ricos que levam muitas vezes rotura do programa Na figura vis vel que para um elemento a solu o deixa de ter significado quando se utilizam graus superiores a vinte e um Os polin mios de Lagrange s o inst veis para graus elevados i e O polin mio come a a ter oscila es grandes Na figura apresenta se o polin mio de Lagrange 56 de grau vinte que toma o valor um em 0 148 e zero nos restantes n s de interpola o 0 8 0 6 Tef 0 4 0 2
17. 1 Ler e com o intuito de conter poss veis erros num ricos escalar os dados 2 Calcular e guardar de forma esparsa os coeficientes constantes n o nulos do sistema resol vente 42 3 Inicializar o tempo t 0 e o campo do grau de hidrata o a resolver as condi es iniciais para obter o campo de temperatura T e da taxa de varia o no tempo T 4 Implementar o incremento de tempo t t t inicializar as vari veis incrementais t 0 e T 0 calcular e guardar de forma esparsa os elementos do sistema resolvente constantes no incremento t 5 Calcular os coeficientes que dependem do tempo e resolver o sistema 6 Actualizar os valores do grau de hidrata o a a 6a 7 Verificar a converg ncia das vari veis incrementais e caso a margem prescrita como crit rio de converg ncia n o tenha sido atingida voltar ao passo 5 8 Actualizar as vari veis do sistema T T T e t t t e voltar ao passo 4 caso ainda n o se tenha atingido o tempo de an lise ou seja t lt tmaz Na figura 5 1 apresenta se o fluxograma do programa e na figura 5 20 fluxograma do c lculo da solu o inicial Apenas a t tulo de exemplo inclui se ainda na figura 5 3 o fluxograma do c lculo da matriz de rigidez K As restantes matrizes e de modo geral os vectores foram implementados seguindo o mesmo tipo de l gica pelo que desnecess rio apresentar os restantes fluxogramas apesar de existirem algum
18. 5m s onde v m s representa a velocidade do vento O coeficiente de radiac o h dado por 25 e 4 8 0 075 T 278 15 se T gt 278 15K hy 2 25 4 8e se Ta lt 278 15K onde e representa o coeficiente de emissividade que varia no intervalo 0 85 0 95 Refira se que as defini es adoptadas para he e hp foram escolhidas entre varias poss veis Faz se notar que nas condi es definidas anteriormente todas as vari veis variam no tempo 21 Capitulo 3 Variacao no Tempo 3 1 Introdu o Os problemas t rmicos dependem do espa o e parte de situa es muito espec ficas tamb m do tempo Deste modo qualquer modelo que almeje obter resultados correctos tem de integrar esta vari vel na sua formula o A abordagem a problemas cujas grandezas se v o alterando pode ser feita de v rias formas g separar as vari veis no tempo e no espa o Ot a x b t 3 1 No presente trabalho optou se por uma estrat gia incremental calculando as varia es das grandezas e aplicando 25 v x t volz to v x t 3 2 onde v e vo representam a grandeza em estudo no instante t e no instante inicial respectivamente t o incremento de tempo e dv o incremento da grandeza A via seguida consiste em definir uma sequ ncia incremental de problemas aproximando nu mericamente as derivadas no tempo Existem diferentes t cnicas para definir as aproxima es e o valor do increm
19. BC FOR SIDE 1 1 PRESCRIBED TEMP 2 PRESCRIBED FLUX 3 CONV amp RAD BC FOR SIDE 2 1 PRESCRIBED TEMP 2 PRESCRIBED FLUX 3 CONV amp RAD DURATION OF TEST HOURS TIME INCREMENT HOURS PRINT STEP NUMBER gt onnan READ IN READ_TIME DEGREE IN STRESS APPROXIMATION BY DEFAULT gt oauan READ IN DATA BASE ELEMENTS WITH DIFFERENT DEGREE IN STRESS APPROXIMATION NUMBER OF THE ELEMENT amp DEGREE OF APPROXIMATION PLOT 1 NON SCALED 0 SCALED SOLUTION un READ IN DATA PLOT X IN GLOBAL COORDINATES OF THE POINT TO BE PLOTTED un READ IN DATA PLOT SEC 112 Ap ndice H Input da fun o f a 21 0 00 0 05 0 10 0 15 0 20 0 25 0 30 0 35 0 40 0 45 0 50 0 55 0 60 0 65 0 70 0 75 0 80 0 85 0 90 0 95 1 00 0 00 0 65 0 91 1 00 0 98 0 94 0 86 0 75 0 63 0 51 0 41 0 32 0 24 0 18 0 13 0 09 0 06 0 04 0 02 0 01 0 00 NUMBER OF SAMPLING POINTS ALFA F ALFA SAMPLING POINT NUMBER 113 Ap ndice I Inputs 1 1 Temperatura Prescrita 0 0 17 0 240 0 17 0 2 0 0 17 0 240 0 17 0 H SAMPLING POINTS TIME HOURS TEMPERATURE CELSIUS SAMPLING POINTS TIME HOURS TEMPERATURE CELSIUS I 2 Conveccao Radiacao 0 0 17 0 2400 0 17 0 2 0 0 17 0 2400 0 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 90 0 90 0 90 0 90 NUMBER OF SAMPLING POINTS TIME HOURS AMBIENT TEMPERATURE CELSIUS WIND VELOCITY M S EMISSIVITY 0 85 0 95 NUMBER OF SAMPLING
20. Figueiras JA Modelling of concrete at early ages Application to an externally restrained slab Cement and Concrete Composites 2006 28 6 572 585 Van Breugel K Prediction of temperature development in hardening concrete In Preven tion of thermal cracking in concrete at early ages Report 15 R Springenschmid Ed E amp FN SPON 1998 Gutsch A Properties of early age concrete Experiments and modelling In Early Age Cracking in Cementitious Systems EAC 01 Haifa 2001 Atrushi D Bjontegaard O Kanstad T Sellevold E Creep deformations in hardening concrete Test method investigations and the effect of temperature IPACS Document Subtask 3 2 2001 Holt E Early age autogeneous shrinkage of concrete VTT Publications Technical Re search Centre of Finland 2001 Jennings HM Johnsont S Simulation of microstructure development during the hydration of a cement compound J Am Ceramic Society 1986 11 790 795 Van Breugel K Simulation of Hydration and Formation of Structure in Hardening Cement Based Materials Tese de Doutoramento Technical University of Delft 1991 87 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Navi P Pignat C Simulation of cement hydration and the connectivity of the capillary pore space Advanced Cement Based Material 1996 4 2 58 67 Bentz D Three dimensional computer simulation of Portland cement hydration and mi crostructu
21. O bin mio recursos computacionais qualidade da solu o determina a malha mais adequada para cada aplica o mas necess rio atender aos condicionantes de tempo 6 2 Testes Como se apresenta na figura 6 1 para esta an lise considera se uma laje suficientemente grande em planta de forma a que seja poss vel admitir como nulo o fluxo de calor nas faces laterais Nas faces superior e inferior considera se uma temperatura imposta T 25 C condic o de Dirichlet Apesar de ter pouca aplicac o pr tica esta a condic o de fronteira que origina maiores gradientes de temperatura no interior da peca sendo portanto a mais desfavor vel para este estudo Utiliza se sempre o mesmo tipo de cimento CA CEM I 42 5R na notac o de 2 e arbitra se uma espessura h 0 5m uma vez que parece ser um valor equilibrado para chegar a um bom compromisso As restantes caracter sticas do testes est o resumidas na tabela 6 1 T Tr 0 5m l T To l i lt 1 0 Tr T Figura 6 1 Caracteriza o dos testes de converg ncia das solu es Na figura 6 2 apresenta se a evolu o da temperatura e do grau de hidrata o de refer ncia na sec o m dia e nas sec es extremas da pe a Como era expect vel devido condi o de fronteira nas sec es de extremidade a temperatura constante e igual a 25 C Na figura ilustra se a distribui o de refer ncia da temperatura e do grau de hidrata o na sec o em
22. es _TPL txt e HTF txt s o apresentados os valores das mesmas grandezas em v rios instantes mas em todo o dom nio semelhan a do que sucedia anteriormente existem mais dois programas criados em ambiente Mathematica que processam automaticamente a informa o ali contida criando uma anima o da evolu o das grandezas ao longo do tempo no dom nio Os ficheiros de car cter mais informativo e portanto dispens veis na maior parte das aplica es s o e _RES txt onde se escreve as op es gerais tomadas as v rias grandezas lidas e escaladas as matrizes e vectores elementares as matrizes e vectores globais o sistema resolvente e a solu o em cada instante e _SCL txt onde se escrevem as escalas usadas 46 e _INF txt onde se apresentam as informa es relativas ao armazenamento interno de vari veis e que pode ser til caso se pretenda acrescentar funcionalidades ao programa e _ALFA txt onde se escreve os valores lidos para a func o de hidratac o f a 47 Capitulo 6 Convergencia das Solucoes 6 1 Introdu o Antes de apresentar os problemas de aplica o importa analisar a converg ncia das solu es do modelo anteriormente descrito Assim principia se por fazer uma an lise de sensibilidade ao grau de aproximac o e ao n mero de elementos no sentido de encontrar um equil brio entre a qualidade dos resultados e a efici ncia computacional E certo que
23. es utilizadas adiante resultam ali s de uma investiga o contratada Terreno a Estrutura real b Modelo utilizado em 2 46 Figura 8 6 Torre e lica e modelo utilizado em 2 46 Esta estrutura axissim trica pelo que em 46 foi utilizado o modelo bidimensional representado na figura 8 6 onde o vermelho simboliza o bet o o azul o anel met lico e o verde o terreno tendo se constatado que o erro cometido era aceit vel Contudo verificou se que as linhas isot rmicas eram perpendiculares ao eixo central ver figura 8 7 pretendendo se ent o saber se possivel obter bons resultados aproximando o comportamento na zona central da torre com um modelo unidimensional Na realidade verifica se na figura 8 8 que a maioria dos sensores foram de facto colocados na zona que agora se pretende analisar o que vai permitir uma melhor comparac o com o modelo criado Na figura 8 9 ainda vis vel uma aproximac o da zona central da estrutura onde se inclu ram as posi es dos sensores cotadas bem como uma fotografia de pormenor Uma betonagem destas dimens es nao obviamente instant nea o que tem de ser tido em 76 0 9 dias 1 3 dias 1 55 lso Las l 40 las I 30 los 20 y 15 10 2 3 dias 5 0 dias Is I 2 e 9 0 dias 2 dias F
24. inicial ie Programa tempo an lise N o Processa e guarda os Monta e resolve o Faz as incid ncias coeficientes que sistema dependem do incremento de tempo N o Actualiza o grau de Diferen a lt hidrata o Toler ncia Sim Actualiza os valores nodais da Imprime a solu o temperatura Figura 5 1 Fluxograma do programa da estrutura ficando o programa encarregue de gerar a malha Na segunda situa o o utilizador deve definir o n mero de elementos que pretende e as coordenadas dos n s inter elementares tamb m pedida a escala a utilizar nos comprimentos definida sobre o comprimento total e n o sobre um elemento Com o intuito de mitigar eventuais erros num ricos conveniente que o valor desta escala seja escolhido por forma a que o comprimento escalado de cada elemento se situe pr ximo da unidade no caso de uma malha regular ou seja L E A 5 1 Nelementos onde L representa o valor da escala L o comprimento total e Nelementos O numero de elementos Recomenda se tamb m algum cuidado na escolha da toler ncia num rica valor a partir do qual um determinado n mero tomado como nulo Ao prescrever uma toler ncia grande o programa corre mais rapidamente mas pode n o convergir para a solu o correcta pelo que necess rio algum cuidado A partida salvaguardando eventuais casos particulares um valor da ordem dos 44 Calcula a Soluc o Inicial Atribui o grau de hidratac o inicial pret
25. o incremental Qoo a0 d Ar fo f 5a go 1 Boe Bolo eae introduzindo C 1 Ar fogo Qood Ar fo l ur oll Bor a E 5 Bo J simplificando sa dol ET 580150 225 calamidad ibm d do 1 4 Fear A 2 a O resultado pretendido obtido atrav s do desenvolvimento da express o anterior T d bee 6250 apPoRa To fo fo fo T Ra 14 WR da fo fo ya Jel To s To C 8 C 9 C 10 C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 Para obter o resultado C 16 na forma apresentada necess rio utilizar mais termos da s rie de Taylor Tal n o foi feito por uma quest o de clareza na explicac o uma vez que n o existe qualquer complicac o conceptual adicional 100 Ap ndice D Forma Incremental dos m todos 9 Aplicando a formulac o incremental v vo dv em v e em Y da express o geral dos m todos 0 v vo 1 O tio 0 to obt m se vo du vo 1 0 tdo H t o dv Simplificando chega se equa o pretendida du dttp 06160 ou fazendo mudanca de termo 0 t v dv Otto 101 D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 Ap ndice E Discretizacao no Tempo do Fluxo Calor Partindo da forma incremental da lei de Arrhenius T lA d E Gg Lo da amp obo Ra To fo onde fo fo 6T Ra 1 da Re l fo fo To T 1 T e 1 H Re EPI 5
26. the scope of the model created but that is not the case of the second However with the fairly common large wind turbine structures whose foundations are cast in one pour it is of concern whether it is possible to approximate the temperature field on the central axis of the foundation Keywords Hydration of cement Conventional finite elements Heat transfer Early age concrete Agradecimentos Em primeiro lugar quero agradecer ao ilustre Professor Joao Teixeira de Freitas pela sua disponi bilidade paci ncia e orientac o Gracas sua extraordin ria sapi ncia foi me poss vel adquirir um conjunto de compet ncias que muito dificilmente conseguiria de outra forma N o posso tamb m deixar de agradecer a compreens o demonstrada durante o per odo em que decorreu o meu julgamento decorrente de um acidente de viac o em que estive envolvido Quero tamb m agradecer ao Doutor J lio Pargana co orientador deste trabalho por ter estado sempre dispon vel e pelo nimo constante Agrade o ao Eng Cuong Pham pela partilha constante de informa es e resultados Ao Professor Carlos Tiago pela ced ncia da licen a do programa WinEdt e Eng Maria Jos Duarte pela Introdu o ao ATEX Agrade o ainda ao Professor Miguel Azenha por ter disponibilizado os valores dos seus trabalhos experimentais e Funda o para a Ci ncia e Tecnologia FCT pela bolsa que me atribuiu Gostaria de deixar uma palavra de apre o s Professora
27. ticas de acordo com a Teoria Cl ssica de Maxwell ou atrav s de fot es discretos de acordo com a hip tese de Planck Bar OR a os y Figura 2 4 Radiac o 11 2 4 Condi es de Fronteira De acordo com o exposto na sec o 2 3 existem tr s modos de transmiss o de calor Interessa no entanto perceber de que forma os modos estudados se concretizam ao n vel da fronteira Assim neste ponto principia se por fazer uma observa o f sica do problema esquecendo a parte num rica Numa fase posterior faz se a apresenta o dos modelos matem ticos a utilizar e respectivas simplifica es Ap s observa o da natureza verifica se que qualquer um dos tr s modos se pode subdividir em duas categorias conforme se sistematizou na tabela 2 1 Tabela 2 1 Condi es de Fronteira L e Livre Condu o e Imposta 7 e Natural Convecc o e Forcada ae e Ondas Curtas Radia o e Ondas Longas A conduc o depende para al m da temperatura do elemento em an lise de dois factores temperatura do corpo em contacto e fluxo de calor entre ambos Logo sempre que se im puser uma das duas vari veis chama se a conduc o de imposta Por oposic o quando quer a temperatura quer o calor puderem variar chama se de livre Da mesma forma a convecc o pode ser subdividida em natural e forcada Como j foi dito entende se por convecc o uma troca de calor entre um corpo s lido e um fluido envolve
28. 05 0 07 0 04 0 07 0 85 0 04 0 04 0 04 0 04 0 03 0 04 0 03 0 04 0 90 0 02 0 02 0 02 0 02 0 02 0 02 0 02 0 02 0 95 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 0 01 1 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 19 2 5 4 Condi es de Fronteira Na sec o 2 4 definem se os tipos de fronteira poss veis Agora necess rio traduzi los matemati camente Como nota pr via conv m referir que todos os modelos t m as suas limita es pelo que implicam necessariamente algumas simplifica es Por forma a introduzir as condi es fronteira o mais correctamente poss vel e para posteriormente se conseguir interpretar os resul tados necess rio compreender al m das equa es as simplifica es subjacentes Em seguida apresentar se o os tr s tipos de fronteira que ser o utilizados Neumann Dirichlet e Robin 1 Fronteira de Neumann Na mec nica a fronteira de Neumann ou fronteira est tica define uma fronteira sujeita a uma for a imposta o que aqui corresponder a um fluxo de calor definido Fisicamente representa a condu o com o fluxo de calor imposto Matematicamente pode ser traduzida pela equa o seguinte em que n define a normal exterior unit ria nio t 2 20 Sempre que se considera o fluxo de calor igual a zero est a admitir se que n o existem trocas de calor com o meio Neste caso particular a fronteira passa chamar se adiab tica Esta condi o muito utilizada para
29. AAA ref 5 3 T Nr N 0 9995 0 9990 DE co oA o er les 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 Figura 6 14 Temperatura aproxima es fortes 14 horas Tref Ln N de Graus de Liberdade 1 0010 1 0005 1 0000 Grah de Aproximag o T 0 9995 ref 0 9990 0 9985 0 9980 Figura 6 15 Temperatura aproxima es fortes 48 horas Tref 2 0 2 5 Ln N de Graus de Liberdade 58 3 0 3 5 4 0 e f 1 Elemento 2 Elementos 4 Elementos 8 Elementos 36 868 C ie as 1 Elemento 2 Elementos 4 Elementos 8 Elementos 26 372 C 1 003 1 002 a Grau de Aproxima o L T Q ref amp Elemento 1 001 5 7 E gt m 2 Elementos 5 L 9 5 1 000 AN 4 4 Elementos l A 8 Elementos 0 999 x_Aa _ _ _ _ o u 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 Ln N de Graus de Liberdade Figura 6 16 Grau de hidrata o aproxima es fortes 7 horas amp ref 0 072 1 0015 5 1 0010 Qa u 1 0005 Elemento Grau de Aproximag o 5 5 E 2 Elementos 7 9 7 5 1 0000 o DOS 4 Elementos 7 9 t amp 8 Elementos 0 9995 m roun E pom o 2 0 25 3 0 3 5 4 0 Ln N de Graus de Liberdade Figura 6 17 Grau de hidrata o aproxima es fortes 14 horas amp ref 0 480
30. FEUP Porto 2003 Teixeira de Freitas J Pargana J Pham C Hybrid Mixed Finite Element Modelling of the Early Age Thermal Response of Concrete Congress on Numerical Methods in Engineering Coimbra 2011 Azenha M Comportamento do bet o nas primeiras idades Fenomenologia e an lise termo mec nica Tese de Mestrado FEUP Porto 2004 Faria R Azenha M Temperatures and stress due to cement hydration on the R C foun dation of a wind tower A case study Engineering Structures 30 2392 2400 2007 Ulm F Coussy O Couplings in early age concrete from material modeling to structural design Splids Structures Vol 35 31 32 4295 4311 1996 Koric S Hibbeler L Thomas B Explicit coupled thermo mechanical finite element model of steel solidification Int J Numerical Methods in Engineering 2009 Apostol T Calculo Volume 1 Editora Revert Barcelona 1979 90 Bibliografia Almeida P Introdu o ao ATEX Escolar Editora Lisboa 1996 Teixeira de Freitas J Almeida J Pereira E Non Conventional Formulations for the Finite Element Method IST Lisboa 1999 Page C Professional Programmer s Guide to Fortran 77 University of Leicester 1995 Oetiker T Partl H Hyna I Schlegl E Uma n o t o pequena introdu o ao ATEX 2e Cam bridge 2007 Pereira O Introduc o ao M todo dos Elementos Finitos na An lise de Problemas Planos de Elasticidade IST Lisboa 2005 Grupo de An lise de Estruturas do IST Tabela
31. K C H T H t Rro Ry Reo 06t Q Q Quin dv 0 4 16 C I phop dre 4 17 Q yro ars 4 18 Q wn so drS 4 19 Bus YT Ryo drS 4 20 6 inserida a lei de Arrehenius 3 25 obtendo se a defini o da matriz de hidrata o A e o termo residual associado b t K C H AJT 06t R o Re Reo Roo Ra 06t Q Q 0 4 21 A I v Qoo Aro y dV 4 22 Rao PTQ Roo dV 4 23 Ra Ana dv 4 24 4 3 2 Balan o Energ tico As mesmas equa es podem ser obtidas fazendo o balan o energ tico do sistema Assim uti lizando a conven o da mec nica o trabalho das for as interiores dado por W i eTodV f ul KaudV 4 25 31 onde e e o representam o campo de deforma es e de tens es respectivamente u simboliza o campo de deslocamentos e Kg o coeficiente de amortecimento O trabalho das for as exteriores tem a seguinte express o We u pdr u FdV 4 26 em que p representa as for as aplicadas na fronteira e F o campo de for as de massa Utilizando as mesmas express es mas alterando as grandezas para o problema t rmico como feito anteriormente tem se W eTodV TpcT dV 4 27 We Tn odr TQdV 4 28 para o trabalho das for as interiores e exteriores respectivamente Introduzindo a lei de Fourier e a defini o do gradiente t rmico obt m se W VT kN TAV TpcT dv 4 29 ou p
32. P em que a fun o f x deve ser avaliada e os respectivos pesos W Wa e W3 Uma vez que f x um polin mio do tipo F 1 a express o F 3 passa a ser J Walco cP cP c3P c4P c5P W2 co c Po caP 2 r c4P3 csP3 F 4 W3 co H amp P cP c3P3 c4P c5 P3 ou colocando em evid ncia os coeficientes c J Wi Wa W3 co W P WaPo W3P3 c1 W p Wa P2 W3p2 c2 F 5 Wip W2P3 W3p3 c3 W pt W2Py W3p3 c4 W p W2P3 W3p3 Cs Neste exemplo relativo ao polin mio de grau 5 pretende se que a expressao de J seja exacta mente igual a de J faj F 6 ou seja de acordo com as defini es F 3 e F 200 0c 302 0c3 2 4 0c5 Wy Wa W3 co W P WP W3P3 c1 Wipt WaP3 W3p3 c2 F 7 Wip W2P3 W3p3 c3 Wipt WaP3 W3p3 ca W p W P3 W3p3 s Uma vez que os coeficientes c s o arbitr rios para que a igualdade F 8 se verifique sempre 106 suficiente que W W Wa Wi Pi WaP2 W3P3 0 Wipi WaP3 Wap 3 F 8 Wip W2P3 W3p3 0 Wipi WaP3 W3p3 5 Wip WoP3 W3p3 0 Para obter os valores de P P2 P3 W1 W2 e W3 resolve se o sistema F 9 de seis equa es n o lineares a seis inc gnitas A respectiva soluc o dada por P 8 0 77459 P gt 0 0 00000 Pg Y 0 77459 eS W 0 55556 W gt
33. POINTS TIME HOURS AMBIENT TEMPERATURE CELSIUS WIND VELOCITY M S EMISSIVITY 0 85 0 95 115 Ap ndice J Resultados do Modelo Bidimensional J 1 Temperatura 1 2 horas 3 2 horas 4 2 horas 1 65 1 65 1 65 09 60 09 Iso 09 e0 0 8 las 0 8 las 0 8 las 07 07 07 150 50 150 0 6 06 0 6 145 145 145 05 05 05 140 140 140 04 DA 04 35 35 35 0 3 03 0 3 02 30 02 130 02 130 01 25 01 125 01 25 0 2 0 4 06 08 1 0 2 04 06 08 1 0 2 0 4 06 08 1 a 6 5 horas 11 5 horas 17 5 horas 65 65 65 60 150 150 0 8 las 0 8 las 0 8 las 07 07 07 150 50 50 0 6 0 6 0 6 145 145 145 05 05 05 140 140 140 04 DA 04 135 135 135 0 3 03 0 3 02 30 02 130 02 30 01 25 01 125 01 25 0 0 2 0 4 06 08 1 0 0 2 04 06 08 1 a 0 0 2 0 4 06 08 1 zu 24 0 horas 34 4 horas 44 4 horas 65 es 65 60 E 150 ae ES Es E 07 so so so 0 6 145 145 45 05 ho o no 0 4 135 135 135 03 va 30 20 30 01 25 25 25 02 04 06 08 y 2 02 04 06 08 o 02 04 06 08 toe 117 54 4 horas 64 4 horas 1 65 09 Ei 08 Ls 07 50 05 45 05 ao 04 35 03 02 30 01 25 02 04 06 08 1 a 82 4 horas 92 4 horas 1 65 09 Ei 08 Ls 08 55 a7 07 50 so 05 06 las las 05 05 ao ao 04 04 35 35 03 03 02 30 02 30 01 25 01 25 02 04 06 08 1 2 02 04 06 08 1 ar 112 4 horas 122 4 horas 65 EO 08 55 a7 so 06 las 05 140 04 35 03 02 30 01 25 02 04 06 08 1 a J 2 Grau de Hidratacao 1 2 horas 3 2 ho
34. a determina o de Q Este valor obtido pelo integral no tempo da taxa de calor libertado durante o processo de hidrata o do cimento Neste estudo recorre se a valores de Q retirados da literatura e que se apresentam na tabela 2 2 Tabela 2 2 Calor libertado a tempo infinito Q Qoo kJ kg Tipos de Cimento Quo CA CEM I 52 5R 383 9 CA CEM I 42 5R 370 5 CA CEM II A L 42 5R 352 5 CA CEM II BL 32 5N 270 3 CA CEM IV 32 5N 296 4 CB CEM I 52 5R 394 6 CB CEM I 42 5R 358 3 CB CEM II AL 42 5R 333 9 CB CEM IIB L 32 5N 303 5 CB CEM II BL 32 5R White 256 1 e Fonte de calor Q A fonte de calor devido s reac es de hidrata o ser definido pela lei de Arrhenius 25 Q Arfla ezp 52 2 18 onde E a energia de activa o J mol R a constante universal dos gases J mol K Ar o valor m ximo da produ o de calor J s e f a define a evolu o da taxa de calor normalizada em fun o do grau de hidrata o a A fun o f a bem como E e Ar s o determinados experimentalmente Existem v rios m todos experimentais para determinar as grandezas que constam da equa o 2 18 Neste trabalho os valores s o directamente retirados da bibliografia 2 De Jr referir por uma questao de coer ncia que na fonte utilizada os valores sao determinados atrav s de dois processos cujas descric es podem ser encontradas em 30 Por m na tabela s
35. do programa Neste cap tulo principia se por clarificar o conceito gen rico de algoritmo explica se o fun cionamento interno do programa e introduzem se os aspectos pr ticos da utiliza o do software 5 2 Algoritmo De modo gen rico um algoritmo pode ser visto como uma receita para executar bem uma tarefa independentemente do operador Dito de outra forma um algoritmo pode ser considerado como uma sequ ncia de passos que em teoria dispensa a imagina o e inspira o de quem os segue mas que apesar disso continua a permitir a obten o do resultado esperado Usualmente associa se a palavra algoritmo a conjuntos de opera es num ricas mas a verdade que uma receita culin ria ou um trajecto pr definido entre dois locais podem tamb m ser apelidados de algoritmos 41 O facto de ser obtido o resultado esperado nao por si s satisfat rio pois uma vez que se est a padronizar uma determinada operac o importa que o resultado seja obtido da forma tao eficiente quanto poss vel Por exemplo existem muitos trajectos para ir do ponto A ao ponto B mas sobretudo se for necess rio fazer a viagem com grande frequ ncia interessa que o caminho a percorrer seja t o curto ou t o r pido quanto poss vel Assim o conceito de algoritmo pode de acordo com 39 ser formalizado do seguinte modo e A descric o de um procedimento numa linguagem cujo vocabul rio e regras matem ticas s o definidos de forma pr
36. dos Eu g 30 4 3 n 0 2 0 30 40 50 60 70 Temperatura Celsius 6 5 horas 1 0 0 8 E 30 6 E o 50 4 3 n 0 2 09 30 40 50 60 70 Temperatura Celsius 24 0 horas 1 0 0 8 E 30 6 Ss Soa o a 02 0 30 40 50 60 70 Temperatura Celsius 3 2 horas 4 2 horas 1 0 1 0 0 8 0 8 2 2 20 6 20 6 E o o 50 4 50 4 gt 3 n n 0 2 0 2 0 30 40 50 60 70 0 30 40 50 60 70 Temperatura Celsius Temperatura Celsius 11 5 horas 17 5 horas 0 5 1 0 0 4 0 8 30 3 30 6 E E 2 o 50 2 50 4 3 3 n n 0 1 0 2 09 30 40 50 60 70 09 30 40 50 60 70 Temperatura Celsius Temperatura Celsius 34 4 horas 44 4 horas 1 0 1 0 0 8 0 8 30 6 20 6 G 8 8 30 4 30 4 3 3 n n 0 2 0 2 0 30 40 50 60 70 0 30 40 50 60 70 Temperatura Celsius 121 Temperatura Celsius 54 4 horas
37. e de que as hip teses sao pelo menos plaus veis Todavia falta saber at que ponto estas hip teses s o v lidas na simulac o de casos reais Assim s o utilizados dois casos experimentais retirados de 2 4 45 46 que se apresentam em seguida 8 2 Laje de um Armaz m O primeiro caso a betonagem de uma laje estrutural de um armaz m que servir para ar mazenamento de leite que se ilustra na figura 8 1 Trata se de uma laje de grandes dimens es em planta cuja betonagem ter for osamente de ser faseada Na figura encontram se as dimens es da laje bem como o faseamento das betonagens e o local dos sensores t rmicos em planta Conforme se pode observar trata se de um exemplo de aplica o claro para um modelo unidimensional As dimens es da laje mesmo considerando as etapas de betonagem 6 x 137m tornam a influ ncia das fronteiras de extremidade muito diminuta na zona central O ensaio portanto claramente controlado pelas faces superior e inferior da pe a Considerou se a condi o de convec o em ambas as fronteiras adoptando para o solo 17 C e um conjunto de valores medidos por um sensor para a temperatura ambiente Considera se a velocidade do vento nula em ambas as faces numa porque est em contacto com o solo e na outra porque se 71 O Pilar X Sensor de temperatura face superior e inferior x e e e Figura 8 2 Planta da laje 4 trata do interior de um pavilh o conform
38. gerar algum desconforto na aplica o a casos reais Na pr tica o principal factor a considerar na gera o de uma malha o tempo que n o foi at ao momento tido em conta nesta an lise N o faz obviamente sentido dizer aqui quanto tempo demorou cada uma das corridas do programa visto que tal varia de computador para computador No entanto como ordem de grandeza um processador Intel R Core TM i3 CPU M330 2 13GHz demora vinte e quatro segundos para fazer uma an lise a dez dias utilizando quatro elementos de grau sete Relativamente ao operador n o existe diferen a no tempo gasto ao adoptar qualquer uma das malhas apresentadas O nico acr scimo encontrado deve se utiliza o de malhas de elementos finitos de diferentes dimens es que n o foram consideradas neste cap tulo pois n o se encontraram vantagens que as justifiquem Assim verifica se que para este exemplo existe claramente margem para utilizar aproxima es fortes aumentando a confian a na resultado Posto isto conv m referir que do ponto de vista da qualidade dos resultados o refinamento sobretudo influenciado pela geometria pelas condi es de fronteira e pelo carregamento Neste problema o carregamento torna se pouco importante pois o calor libertado pelos v rios tipos de cimento sempre da mesma ordem de grandeza para cada tipo de cimento Por m continua a ser necess rio ponderar a geometria e as condi es de fronteira Se por um la
39. o do bet o existe logo uma liberta o de calor Contudo conforme foi abordado existem algumas d vidas acerca de como se deve iniciar a reac o Assim este parece um terreno prop cio realiza o de novos trabalhos Um outro caminho poss vel a cria o de um modelo em que seja poss vel introduzir os sistemas de refrigera o utilizados em barragens Este modelo tem for osamente de ser tridi mensional por forma a permitir modelar adequadamente as estruturas em causa Existem neste campo concreto propostas mais pr ticas para o desenvolvimento das t cnicas de refrigera o Tem sido tentado at agora sem sucesso o recurso a flu dos que possam ser mais competitivos do que a gua na rela o custo qualidade Existe ainda uma equipa que est a trabalhar com o intuito de alterar o pr prio m todo de refrigera o i e em vez de apenas passar gua ou outro flu do numa canaliza o pr pria e constru da para o efeito fazer uma rega controlada a partir do interior do bet o durante o tempo da reac o A ltima sugest o prende se com a rela o do problema t rmico com o problema mec nico sabido que a evolu o das propriedades mec nicas do bet o fortemente influenciada pela evolu o das temperaturas No entanto os modelos termo mec nicos que existem actualmente 85 desprezam em certa medida esta relac o Sabe se que comparativamente a influ ncia do comportamento mec nico no campo de temp
40. o ajustadas no sentido de permitirem um an lise ao longo do tempo No cap tulo 4 segue se o segundo princ pio fundamental do Professor Edward Wilson 27 6 N o se deve utilizar um programa de an lise estrutural a menos que se perceba completa mente a teoria e aproxima es subjacentes Sendo este um problema sem solu o anal tica necess rio recorrer a m todos num ricos para obter uma solu o Com este enquadramento optou se pelo m todo dos elementos finitos pelo que neste ponto s o apresentados os conceitos e as equa es necess rios sua aplica o Neste cap tulo ainda feito um par ntesis na exposi o para falar de alguns aspectos num ricos necess rios implementa o do m todo dos elementos finitos No cap tulo 5 retomada a linha que vinha a ser seguida e apresentado o modelo criado Faz se a ponte entre os conceitos te ricos previamente apresentados e os aspectos pr ticos da sua aplica o De forma muito resumida explica se o funcionamento do programa desenvolvido A qualidade das solu es obtidas atrav s do m todo dos elementos finitos muito dependente das aproxima es utilizadas Assim no cap tulo 6 calibra se a malha de elementos e o grau de aproxima o no sentido de obter um compromisso entre o tempo dispendido os recursos consumidos e a qualidade do resultado No cap tulo 7 feita a valida o do modelo por compara o com programas existentes Sendo este
41. o apenas apresentados os valores que ser o efectivamente utilizados para f a Ea e Ar A fun o de hidrata o f a interpolada linearmente entre os valores medidos experi mentalmente como se mostra na figura 2 7 1 0 0 8 0 6 f a 0 4 0 2 Bo 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 a Figura 2 7 Fun o de hidrata o f a CA CEM I 42 5R A normalizac o da func o de hidratac o garante a condic o maz 1 2 19 e em consequ ncia da defini o 2 17 a hidrata o total atingida para a condi o a 1 experimentalmente muito dif cil determinar o valor inicial da fun o de hidrata o sendo usual admitir que f a 0 0 Olhando para a equa o 2 18 conclui se que se f a tomar o valor zero ent o Q ser nulo Isto um problema que conforme se ver adiante aparece no c lculo na soluc o inicial pois na tabela 2 3 verifica se que f a 0 0 A implicac o imediata uma libertac o de calor nula no instante inicial Caso nao seja acautelada esta situac o nao permite dar inicio a hidratac o Calor especifico pc O calor especifico do bet o de acordo com 2 influenciado por v rios factores tais como volume dos agregados propor o gua cimento tipo de agregados e temperatura No entanto verifica se que este par metro tem sempre uma variacao inferior a 10 no 18 intervalo 5 50 C que cont m a esmagadora maio
42. p que se obt m sempre um n mero mpar E por este motivo que conforme foi atr s referido se deve passar p para o valor mpar imedi atamente superior quando se utiliza a express o n p 1 2 e o valor de p par A express o gen rica da quadratura de Gauss com n pontos J y Wif Py F 12 i 1 109 Ap ndice G Input Principal 111 WRORRPREHH 0 5 0 3 0 1 35 0 24D 5 2 6 0 43830 0 2 15D 8 290 0 337867 88 0 100 0 0 25 4 H 0 15 PRINT DATA 1 PRINT 0 DON T PRINT READ IN DATA CONTROL PRINT MATRICES PRINT SYSTEM PRINT SYSTEM SOLUTION PRINT SOLUTION IN DOMAIN SCALING CRITERION 1 SCALE SYSTEM 0 DON T SCALE SYSTEM NUMERICAL ZERO TOL TRAPEZOIDAL RULE 1 EULER 2 BACKWARD EULER 3 CRANK NICHOLSON METHOD MESH Regular O Irregular 1 sas READ IN DAT_MESH NUMBER OF ELEMENTS LENGTH LENGTH SCALE TEMPERATURE SCALE Celsius cm READ IN DAT MATERIAL SPECIFIC HEAT Ro c amp CONDUCTIBILITY k NUMBER OF ELEMENTS WITH DIFFERENT PROPERTIES if gt 0 repeat SPECIFIC HEAT Ro c amp CONDUCTIBILITY k ACTIVATION ENERGY Ea amp RATE CONSTANT At CEMENT CONTENT CC amp TOTAL HEAT GENERATION Q_inf NUMBER OF ELEMENTS WITH DIFFERENT PROPERTIES if gt 0 repeat ACTIVATION ENERGY Ea amp RATE CONSTANT At CEMENT CONTENT CC amp TOTAL HEAT GENERATION Q inf ADIABATIC TEST 1 YES 0 NO a READ IN DATA LOAD
43. rmica ko 2 79 W mK Calor Especifico pc 2040 kJ m K Geometria e Malha de Elementos Finitos na Zona de Bet o Espessura da peca 2m N mero de Elementos 2 Grau de Aproximacao 13 Geometria e Malha de Elementos Finitos na Zona de granito Espessura da peca 5m Numero de Elementos 5 Grau de Aproximac o 5 Integra o no tempo Passo 15 min valores medidos at ao segundo dia no sensor 1 enquanto os valores da empresa B reproduzem melhor as restantes medi es Neste caso n o existe uma tend ncia clara para uma companhia pelo que n o poss vel concluir qual foi o fornecedor consequ ncia pr tica desta incerteza que inviabiliza a realiza o de afina es adicionais uma vez que se pode estar a cair no erro de em vez de melhorar a solu o adulterar os resultados conduzindo a solu o para o fornecedor errado E ent o prefer vel assumir as limita es encontradas e apresentar apenas conclus es gerais tendo em conta sobretudo o andamento e n o tanto o afastamento 80 aD o 50 550 T E 340 Sensor 3 40 ae 3 Modelo E 530 amp 30 E E Modelo 2 E 520 8 20 a 5 5 Fo amp 10 Temp Ambiente a Temp Ambiente 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 Tempo dias Tempo dias Empresa A Empresa B Figura 8 12 Torre E lica Sensor 3 Modelo
44. s o no instante inicial Assim utilizando o m todo de Galerkin a obten o da solu o inicial pode ser sumarizada nos seguintes passos 1 As fun es de aproxima o da temperatura s o utilizadas para impor em m dia a condi o de equil brio t rmico 2 10 vi Voo Qo dV a pc TodV 4 39 2 O primeiro termo integrado por partes de forma a obter de forma explicita o termo associado s condi es de fronteira BT oo dV if yv nto dl if wb Qo dV a pcTy dV 4 40 3 As condic es 2 3 e 2 15 s o impostas por forma a obter a matriz de rigidez do elemento obtendo se o seguinte resultado depois de expandir o termo de fronteira B koB dVTp I vi nto dl wn oo dl vinta dl Juro dV ote Y todV 4 Introduzindo as defini es 4 11 e 4 14 obt m se o sistema K C To Q Q Fo 470 dV HT onde Q lt gt wt dro Rio lt gt Juno dl et doav erario pa 4 41 4 42 4 43 4 44 4 45 Olhando para o sistema 4 42 verifica se que ser necess rio fornecer uma primeira estima tiva para a T ou para T por forma a dar in cio ao c lculo esse o sentido da condi o inicial E imperativo recorrer condic o inicial de temperatura prescrita quando se pretende realizar um teste adiab tico uma vez que neste caso T nulo Neste caso para a temperatura inicial dever ser prescrito o valor medido aqu
45. se que tirando partido da simetria axial poss vel obter bons resultados com um modelo bidimensional 34 Agora pretende se saber se tirando novamente partido do comportamento pr ximo do eixo poss vel obter uma boa solu o no eixo recor rendo a um modelo unidimensional At data e com base na literatura consultada este caso 75 nunca foi testado com um modelo unidimensional pelo que existe todo o interesse em saber se aplic vel Refer ncias a este ensaio podem ser encontradas em 2 46 Com o fim das energias f sseis vista e mais recente com o receio dos desastres nucleares as energias alternativas t m vindo a ganhar for a Falando no caso portugu s tonaram se bastante comuns torres com cerca de 100m de altura onde s o instaladas p s que rondam os 50m de envergadura No entanto estruturas deste porte obrigam necessariamente a funda es com enormes dimens es Estas torres apresentam funda es que em planta t m dimens es na ordem dos 20 x 20 x 2m feitas geralmente em bet o armado sendo betonadas de uma s vez Como facilmente percept vel neste ponto do trabalho atendendo s grandes quantidades de bet o envolvidas s o estruturas onde grande a probabilidade de aparecimento de fendilha o prematura ou de instala o de um estado de fendilha o eminente causado pelo calor de hidrata o Assim estamos perante um caso pr tico onde estas an lises fazem todo o sentido as medi
46. seguintes express es para a condi o de Neumann n 60 t 3 7 de Dirichlet T T 3 8 e de Robin nT o ho T Rao 3 9 onde ho hero her 3 10 Rro hero Ta her To gt Ta 3 11 O coeficiente her denota a varia o da convec o e radia o e dado por her Ohe hy 3 12 24 onde a varia o do coeficiente de convec o dh definida por 3 95v sev lt 5m s he 3 13 7 6 v0 d0 8 7 608 sev gt 5m s e a varia o do coeficiente de radia o 0h por 0 075267 se Tu gt 278 15K dh 3 14 0 se Ty lt 278 15K 3 4 Fonte de Calor de Hidrata o Esta grandeza definida pela lei de Arrhenius 2 18 No entanto Q ser substitu da pela taxa do grau de hidratac o 2 17 Q Ar f a exp B T 3 15 onde BIT 3 16 Ser pois necess rio definir a lei de Arrhenius bem como as grandezas nela envolvidas para a formulac o incremental Assume se que a evoluc o da produc o de calor normalizada func o do grau de hidratac o atrav s da func o f a definida por trocos lineares como se ilustra na figura f a fo fido 3 17 Tomando esta hip tese e recorrendo ao Teorema de Taylor ver ap ndice B a equa o 3 15 pode no caso geral ser escrita na forma incremental atrav s de d dodo ag La abo Ra 3 18 onde re fo oT Ra 1 lt oe fo To a 3 19 T 1 1 a T Re O 580 1 Bo 3 20 O
47. um problema sem solu o anal tica foi a nica forma encontrada para realizar um confronto sistem tico de resultados Nenhuma das solu es presentes neste cap tulo a priori exacta mas o facto de haver diferentes modelos a obter solu es semelhantes d obviamente alguma garantia sobretudo sabendo que os outros modelos j foram validados Aproveita se ainda este cap tulo para avaliar as diferentes hip teses e formula es do problema Uma vez que n o foi encontrado nenhum programa igual ao que foi criado este ponto surge naturalmente como justifica o das diferen as encontradas O cap tulo 8 cont m a compara o do modelo criado com dois ensaios experimentais reais realizados por um investigador nesta rea Por fim as conclus es obtidas s o apresentadas no cap tulo 9 Capitulo 2 Definicao do Modelo 2 1 Introdu o O car cter exot rmico da reacc o de hidratac o do cimento associado a uma baixa condutivi dade t rmica do bet o faz com que a temperatura suba uma vez que o calor produzido n o facilmente dissipado Assim s o originadas variac es de volume no material que conduzem ao aparecimento de tens es devido restri o nas deforma es Estas tens es por sua vez caso ultrapassem o valor de fendilha o ir o originar a abertura de fendas Os modelos de c lculo usuais n o permitem integrar de forma adequada os efeitos do calor de hidrata o pelo que ser necess rio cria
48. 40 Modelo 40 T B a Sensor 2 Sensor Mz 30 330 5 E 3 320 3 E E 210 210 o Temp Ambiente A Temp Ambiente 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 Tempo dias Tempo dias Empresa A Empresa B Figura 8 13 Torre F lica Sensor 4 Na figura 8 11 est o representados os resultados do sensor 1 visivel que o modelo n o representa adequadamente as oscila es medidas pelo sensor De facto no caso de estruturas ao ar livre existem factores que n o s o integrados no modelo tais como a chuva existe a indica o de que choveu e o ciclo dia noite mesmo considerando que a temperatura a mesma n o indiferente ser de dia ou de noite devido diferente radia o Assim sendo insuficiente a defini o das condi es ambientais normal que o programa n o reproduza exactamente as oscila es que ocorrem pr ximo da superf cie embora partida deva obter as tend ncias medidas o que se verifica O sensor 3 encontra se a meia altura da funda o sendo portanto o local que sofre menos influ ncia das condi es de fronteira Conforme se pode observar na figura 8 12 n o surpreende que este seja o ponto onde sao obtidos melhores resultados com erros na ordem dos 5 C Os valores obtidos recorrendo aos coeficientes da empresa B est o mais pr ximos dos medidos embora n o seja poss vel afirmar com certeza que foi este o fornecedor Os resultados num ricos e experimentais referentes ao sensor 4 est o representados na fi
49. 5 26 27 28 Temperatura Celsius Figura 7 4 Comparac o com modelo h brido unidimensional Secc o no instante inicial 36 1 0 334 208 Elementos Hibridos 3 Ei e E 30 6 330 T 5 30 4 228 5 E E 2 26 Elementos Convencionais o2 24 Elementos H bridos 0 2 4 6 8 10 0 0 2 4 6 8 10 Tempo dias Tempo dias Figura 7 5 Compara o com modelo h brido unidimensional Convecc o e Qo 0 Posto isto conclui se que parte de pequenos detalhes que se prendem com a implementa o das equa es do problema ambos os programas fornecem valores id nticos 7 3 Modelo Bidimensional Na compara o com o modelo bidimensional seguida uma estrat gia diferente Uma vez que j foram testadas separadamente algumas situa es consideradas mais cr ticas agora faz se a compara o directa com um teste escolhido pelos autores deste segundo programa 44 Este caso apresenta duas fronteiras com fluxo nulo e duas com convec o pelo que na pr tica se trata de um ensaio unidimensional Na figura 7 6 6 definido o problema geometria condic es de fronteira e discretizac o do mo delo bidimensional O elemento do modelo bidimensional hibrido utiliza aproximac es de grau nove para a temperatura e para o grau de hidrata o o modelo convencional utiliza aproxima es de grau nove para a temperatura Nas condic es de fronteira apresentadas o f
50. 80 1 Bo D e introduzindo a discretizac o no tempo em a bta da dt o vem da 1 T f lt 6 Ro Mig 6 u A TO Simplificando 1 fo T 1 o Ra IS Sabendo que ao SE henpl Bo e introduzindo em ven Que OE 1 da Bolo aos fo 7 55 Ro Denotando Anne n 1 Ago Bofo Ar O6t fo de E 8 E 9 Aa Aro EL E 10 To Roo l E 11 Bo obt m se 104 Ap ndice F Integracao Num rica Este ap ndice foi baseado em 43 Na figura F I est representada uma func o polinomial de quinto grau cuja express o gen rica dada por f x co tea cox 034 caat esa F 1 O integral exacto do polin mio no intervalo 1 1 dado por I f f a de f co tera 020 0327 cart c52 da F 2 2co 202 2C4 Figura F 1 Func o polinomial de grau 5 Suponha se agora que se pretende avaliar o integral de f x por interm dio do somat rio de avalia es da fun o f x em determinados pontos multiplicadas por pesos adequados No caso do polin mio gen rico de grau 5 mostra se adiante que para obter um resultado exacto se deve avaliar a fun o f x em tr s pontos de amostragem P e multiplicar cada um desses valores por pesos W O integral avaliado desta forma designado por J sendo J Wi f Pi W2f P2 W3f P3 F 3 105 Falta contudo saber a posi o dos pontos de amostragem P P gt e
51. Rela es Constitutivas o o ke Equil brio Compatibilidade VTO Q pcT e VT Q T Figura 2 6 Equa o de calor por analogia com a teoria de an lise de estruturas 2 5 3 Defini o das Grandezas Nesta subsec o feita a caracteriza o das grandezas necess rias utiliza o das equa es anteriores concretizando as para o problema presente e Condutividade t rmica k A condutividade t rmica ir variar ao longo do tempo pelo que ser necess rio traduzir matematicamente a evolu o deste par metro De acordo com a varia o de k pode ser traduzida pela express o emp rica k koo 1 33 0 330 2 16 onde ko o valor da condutividade do bet o ap s a forma o de presa e a representa o grau de hidrata o e Grau de hidrata o a O grau de hidrata o definido em cada instante pelo r cio entre o calor libertado at ao momento e aquele que ser libertado at ao final do processo Q t A 2 17 16 Na aplicac o do modelo a casos reais nao f cil estimar o valor inicial deste par metro uma vez que dif cil afirmar com certeza em que momento come am as reac es condu centes hidratac o sobretudo devido ao transporte onde aproveitada a tixotropia que o bet o possui na fase inicial Todavia usual admitir a t 0 0 e Quantidade calor a tempo infinito Qo Um dos problemas da aplica o da defini o 2 17
52. a da peca a malha de elementos finitos e o passo de integrac o no tempo utilizado nos ensaios est o definidos na tabela 7 1 De referir ainda que nas compara es efectuadas com o modelo unidimensional de elementos h bridos se utilizou como condic o inicial para a hidratac o a que sugerida em 33 i e f a 0 0 1 Tabela 7 1 Caracter sticas dos ensaios Modelo unidimensional de elementos h bridos Propriedades T rmicas do Bet o Tipo de cimento CA CEM I 42 5R Condutividade T rmica ko 2 6 W mK Calor Espec fico pc 2400 kJ m K Energia de Activac o E 43 83k J mol Taxa de produc o de calor Ar 2 15 x 10 W kg Calor libertado a tempo infinito Qo 355 2kJ kg Peso vol mico do cimento Ce 290 kg m Geometria e Malha de Elementos Finitos Espessura da pe a 0 30 m N mero de Elementos 4 Grau de Aproxima o 7 Integra o no tempo Passo 15 min 7 2 1 Teste Adiab tico O primeiro ensaio simula um teste adiab tico Esta condi o muito utilizada para calibrar os ensaios experimentais pelo que parece ser a escolha ideal para principiar a valida o do modelo Este teste tem ainda a vantagem de na pr tica se a distribui o inicial de temperatura for constante reduzir todo o dom nio a um ponto distribui o de temperaturas constante o que facilita a interpreta o de resultados Considera se uma temperatura de 25 C no instante da betonagem 64 Como se pode o
53. a A 76 8 7 Resultados no dominio Modelo bidimensional 2 77 i Gok Be as a BA a 77 8 9 Torre e lica Sensoresl ooa a a ee 78 8 10 Valores medidos nos sensores 2 2 2 2 rn nn nn nn 78 8 11 Torre F lica Sensor 1 22 0 0 nn 79 8 12 Torre F lica Sensor A 81 8 13 Torre E lica Sensor A 2 2 HH m nn nn 81 F 1 Fun o polinomial de grau 5 ee 105 xix Notacao Em nome da clareza as abreviatura e s mbolos s o aqui introduzidos pela ordem da sua primeira aparic o no texto evitando se assim repetic es desnecess rias Note se ainda que por vezes o mesmo s mbolo pode ter significados diferentes ao longo do trabalho Por m embora possa parecer confuso nesta listagem ao longo do texto s o tomadas precau es para evitar d vidas Lista de Abreviaturas IST Instituto Superior T cnico FCT Funda o para a Ci ncia e Tecnologia EC2 EN 1992 1 1 Lista de Vari veis Cap tulo fea Valor de dimensionamento da tens o de rotura do bet o compress o fek Valor de caracter stico da tens o de rotura do bet o compress o eim Valor m dio da tens o de rotura do bet o trac o Ecs M dulo de elasticidade do bet o aos 28 dias SiO2 S lica Al203 xido de alum nio Fe203 xido de ferro CaO xido de c lcio MgO Oxido de magn sio SO3 Tri xido de enxofre K0 xido de pot ssio xxi Capitulo SP Eros Fluxo de calor tens es Temperatura a s
54. a encontrada na defini o de alguns par metros importantes nomeadamente o tipo de cimento e o momento exacto em que cada sensor ficou submerso no bet o Todavia este tipo de d vidas s o naturais na interpreta o de ensaios sobretudo quando apenas se tem acesso a valores medidos e a trabalhos realizados sobre o assunto 1 e quando n o se assistiu in loco aos ensaios Assim as conclus es aqui retiradas devem ser vistas com alguma cautela embora 83 pareca seguro tecer algumas considerac es Conclui se que desde que se defina de forma criteriosa alguns dados o modelo unidimensional fornece bons resultados dentro do seu dominio de aplica o Existem obviamente limita es como a nao considerac o da radiac o solar directa considerada indirectamente atrav s da tem peratura ambiente e da chuva Todavia aquilo que se verifica que a n o considera o expl cita destes factores n o conduz a solu es necessariamente erradas excepto naturalmente em casos extremos isto existem discrep ncias ao n vel das oscila es mas as tend ncias parecem ser bem modeladas A laje de bet o do armaz m encontra se perfeitamente dentro do dom nio de aplica o do modelo e os resultados falam de facto por si Conclui se portanto que nestes casos podem ser utilizados modelos unidimensionais com seguran a A torre e lica um pouco diferente uma vez que ficaram bastantes mais d vidas relativamente a alguns par metros im
55. a tempo infinito Peso vol mico do cimento Propriedades Termicas do Bet o CA CEM I 42 5R ko 2 6 W mK pc 2400 kJ m K Ea 43 83k J mol Ar 2 15 x 108W kg Qe 355 2k J kg Ce 400kg m Espessura da pe a Geometria e Malha de Elementos Finitos Modelo Unidimensional Im N mero de Elementos 1 Grau de Aproximac o 9 Integra o no tempo Passo 15 min Na figura 7 11 s o apresentadas as evolu es da temperatura e do grau de hidrata o ao longo do tempo em ambos os modelos sendo vis vel a proximidade dos valores relativos ao grau de hidratac o Na evoluc o de temperatura existem pequenas discrep ncias ap s o valor m ximo mas sempre inferiores a 2 C Diferen as desta ordem podem ser devidas apenas a 69 problemas de precis o nomeadamente a diferencas nos valores da toler ncia num rica Para clarificar as diferencas apresentam se na figura as distribui es da temperatura e do grau de hidratac o ao longo da secc o em cinco instantes de tempo onde se representa com linha cont nua os resultados do modelo criado e a tracejado os resultados do modelo bidimensional 70 LO Elementos Convencionais Z Elementos H bridos a 5530 30 6 3 Elementos Convencionais HE Ss 340 50 4 5 30 0 2 Elementos Hibr dos 2 A 2 4 6 8 10 y 2 4 6 8 10 Tempo dias Tempo dias Figura 7 11 C
56. ac o constante de 10Wm K Optou se por com base naquele coeficiente calcular a temperatura ambiente m dia e determinar uma velocidade m dia do vento correspondente ou seja 0 01m s Na tabela 8 2 pode ser encontrada a ficha t cnica do ensaio 35 35 EN Senor E a Sensor a si 625 6 320 320 3 Modelo 3 Modelo 515 515 a a 510 510 j 5 ii 5 Temp Ambiente Temp Ambiente 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 Tempo dias Tempo dias Empresa A Empresa B Figura 8 11 Torre E lica Sensor 1 Nas figuras 8 11 e 8 13 apresentam se os resultados para os v rios sensores con siderando as empresas A e B Observa se que os valores da empresa A modelam melhor os 79 Tabela 8 2 Caracter sticas dos ensaios Torre e lica Propriedades T rmicas do Betao Tipo de Cimento CEM II A L 42 R Empresa A Condutividade T rmica Keo 2 6 W mK Calor Especifico pe 2400 kJ m K Energia de Activac o Ea 51 02k J mol Taxa de produ o de calor Ar 3 553 x 10 W kg Calor libertado a tempo infinito Qo 352 5kJ kg Empresa B Condutividade T rmica ko 2 6 W mK Calor Especifico pc 2400 kJ m K Energia de Activac o E 41 30kJ mol Taxa de produc o de calor Ar 7 683 x 10 W kg Calor libertado a tempo infinito Qo 333 9k J kg Peso vol mico do cimento Ce 220 kg m Propriedades T rmicas do Granito Condutividade T
57. ag o 123 Grau de Hidratag o
58. aio se considera que o solo permanece sempre com uma temperatura constante de 17 C o que nao completamente fiel realidade Nessa fronteira devia ser imposta 74 uma condic o de conduc o em vez da condic o adoptada No entanto apesar de tudo as diferen as s o sempre inferiores a 5 C o que parece razo vel 30 gt 530 25 2 ensor 0 25 E E 320 3 a 4 E 815 215 10 Temp Ambiente 10 Temp Ambiente 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 Tempo dias Tempo dias a 5cm do topo b 5cm do solo Figura 8 4 Evoluc o das temperaturas CA CEM I 42 5R 30 30 se 325 g q 320 220 2 2 E E 815 815 10 Temp Ambiente 10 Temp Ambiente 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 Tempo dias Tempo dias a 5cm do topo b 5cm do solo Figura 8 5 Evoluc o das temperaturas CB CEM I 42 5R Neste momento n o ainda claro como deve ser modelado o in cio do processo de hidrata o Contudo 4 semelhanca do que feito por exemplo no software comercial DIANA bastante utilizado na resoluc o destes problemas optou se pelo push over isto por forgar a primeira iterac o nao nula no primeiro passo do processo de an lise incremental 8 3 Torre E lica Por fim optou se por ensaiar a fundac o de uma torre e lica cujo comportamento tridimen sional No entanto verificou
59. ando da betonagem Prescrever um valor para T a 34 condic o inicial mais corrente uma vez que se aplica generalidade das situacoes Neste caso dada a dificuldade em arbitrar valores precisos para este par metro opta se por assumir que na soluc o inicial o seu valor suficientemente pequeno para poder ser tomado como zero embora tal seja apenas uma aproximac o para iniciar o processo 4 5 1 Hidrata o O in cio do processo de hidrata o n o ainda claro sendo por isso mat ria de investigac o Actualmente pensa se que existe uma liberta o inicial de calor o que implica f a 0 e com e gt 0 Todavia nos resultados experimentais disponibilizados tabela 2 3 tal n o considerado Matematicamente caso se considere nula a liberta o de calor inicial f a 0 0 o sistema torna se indeterminando e o processo de hidrata o n o iniciado Para contornar este problema alguns autores arbitram um valor para f a 0 diferente de zero 33 No entanto para resolver o problema considerando como nula a liberta o inicial de calor basta arbitrar para o grau de hidrata o um valor suficientemente pr ximo da origem cuja finalidade unicamente dar in cio ao processo iterativo Esta alternativa conhecida como push over e utilizada por exemplo no software DIANA 34 O programa agora criado permite as duas alternativas No caso do push over permite ainda escolher o grau de hidrata o que se
60. apresentados foram obtidos atrav s do programa unidimensional de elementos fini tos convencionais desenvolvido pelo autor e comparados com resultados obtidos com programas elementos h bridos mistos e em ensaios experimentais Verifica se que praticamente n o existem diferen as na qualidade da solu o entre os elemen tos convencionais e os h bridos mistos Quando feita a compara o entre modelos unidimen sionais a concord ncia de facto enorme e as diferen as encontradas podem ser justificadas por factores externos s diferentes formula es Assim e analisando as discord ncias encon tradas tamb m poss vel concluir que na cria o destes modelos imperativo garantir que n o libertado calor ap s a hidrata o total Caso contr rio aparecem resultados sem sentido f sico aquando da realiza o de an lises mais longas ou em ensaios mais sens veis a este efeito e g O teste adiab tico Ainda por compara o com o mesmo modelo verifica se que n o indiferente considerar a liberta o de calor no instante inicial como nula embora as diferen as sejam peque nas Relativamente compara o com o modelo bidimensional verificou se que considerando as mesmas hip teses os resultados s o tamb m bastante pr ximos Neste caso as diferen as encontradas devem se apenas a problemas de precis o num rica Relativamente aos ensaios experimentais necess rio fazer uma ressalva relativamente incertez
61. ara as aproxima es da temperatura e do seu gradiente 4 5 W T B kBdVT T l YT pe paVT 4 30 Para a mesma aproxima o a defini o 4 28 para o trabalho das for as exteriores tem a seguinte express o we WnTo d TT PT dav 4 31 Igualando as definic es 4 30 e 4 31 para qualquer aproximac o da temperatura e usando as definic es e para o instante t obt m se KT HT vi nTo dr a QdV 4 32 Desenvolvendo o termo de fronteira de acordo com as definic es e 4 7 obt m se KT HT f pl nT odrE wn odr v nl odri vQAV 4 33 ou depois de impor as condi es 2 20 e 2 22 KT HT Q Q tb he T Ta aly i ab QdV 4 34 em que as defini es 4 18 e 4 19 s o aplic veis para as vari veis totais t e o respectivamente Introduzindo a aproxima o da temperatura no termo de convec o radia o obt m se o resultado K C T HT Q Q i 47 herTa dT ab QdV 4 35 32 em que se aplica a defini o 4 17 para a matriz de convec o radia o calculada no instant t O resultado 4 21 recuperado tomando a forma incremental da equac o 4 35 e impondo a aproximac o no tempo definida pela equac o 3 22 Utilizando qualquer uma das vias apresentadas a forma final e compacta do sistema resol vente a seguinte Srr T Rr 66t Q Q 4 36 Srr H A 66t K C 4 37 Rr Roo Ra Reo H t Rio Ry 4 38 4 4 Assemblagem do Sist
62. as diferencas Existem v rias maneiras de conceber as rotinas de incid ncias dependendo de quem pro grama No programa criado existem v rias rotinas diferentes para este efeito cada uma com o seu campo de aplicac o Sendo imposs vel explicar detalhadamente aqui o funcionamento de cada uma delas e estando os conceitos subjacentes amplamente divulgados 40 opta se por omitir o funcionamento destas rotinas De qualquer modo na sec o 4 4 foi explicada a linha de racioc nio seguida 5 4 Leitura de Dados O primeiro ponto da implementa o computacional ler escalar e armazenar os dados necess rios execu o do programa O ficheiro de dados principal com a extens o DAD pode ser encontrado no ap ndice 6 e auto explicativo A nica op o que neste caso dada de forma ligeiramente diferente do habitual prende se com o comprimento dos elementos O utilizador define se pretende uma malha regular ou irregular No primeiro caso basta definir o n mero de elementos e o comprimento total 43 L escalae Gera e imprime a Calcula os pontos e In cio do armazena dos malha de pesos de Gauss a Programa Es 2 dados elementos utilizar nas integrac es Processa e guarda os Calcula a eee tal e a Ai Faz as incid ncias coeficientes constantes Solu o Inicializa o tempo x Er do sistema para cada Inicial elemento a se Implementa o Tempo actual Sim b Imprime a solu o k Fim do AE incremento de gt tempo de
63. bservar na figura 7 1 as duas abordagens produzem os mesmos resultados at ao terceiro dia A diverg ncia que se verifica ap s esse momento decorre de uma simplificac o fisicamente inaceit vel assumida na implementac o do modelo h brido Na implementac o desse modelo e em consequ ncia de se aproximar directamente o grau de hidratac o ocorre uma dificuldade num rica quando termina o processo de hidratac o sob a condi o f a 1 0 como se ilustra na figura 2 7 Apesar de ser poss vel resolver essa dificuldade respeitando a condi o amar 1 na im plementa o do modelo h brido optou se por estender a defini o da fun o de hidrata o admitindo que f a 1 e sendo e um n mero pequeno e mantendo a fun o constante a partir desse ponto f a para a gt 1 o efeito desta simplifica o est claramente ilustrado na figura 7 1 Faz se notar que o modelo de hidratac o aqui adoptado descrito no cap tulo 2 assume existir sempre o teor de humidade necess rio para a hidratac o ser completa Elementos H bridos gt Elementos H brido Elementos Convencionais aD e Elementos Convencionais o o 0 wn e S e o T Temperatura Celsius Grau de Hidrata o a w e o ie Y S a o 2 ce N 0 2 4 6 8 4 6 8 10 Tempo dias Tempo dias Figura 7 1 Compara o com
64. bter as equa es dos elementos mas no presente documento sera utilizada a versao Galerkin do m todo dos residuos ponderados que pode ser sumarizada nos seguintes passos 1 As func es de aproximac o da temperatura sao utilizadas para impor em media a condic o de equil brio t rmico YT 05t VT 5a Qui n pe 6T Reg dVE 0 4 8 2 O primeiro termo integrado por partes de forma a obter explicitamente um termo para impor as condi es de fronteira 06t VW do dV 06t wn da di vi Qo da pc ST Reo dV 0 4 9 3 As condic es 3 3 e 3 4 s o impostas obtendo a definic o da matriz de rigidez do elemento K e o termo residual associado rela o constitutiva Rg 00t K T R 06t wn odr 4T Qooda pc 6T Reo dV 0 4 10 K Jara dv 4 11 Ri BTR dV 4 12 1f fg d f figdx fale 30 4 A aproxima o 4 1 tamb m imposta obtendo se a defini o da matriz do calor es pec fico H e o termo de equil brio residual Reo 09t K H ST Reo 00t Ry H t 1 yT n odr YT Qoia dV 0 4 13 H a pe y dV 4 14 Reo WYT Reo dV 4 15 5 O termo de fronteira separado de forma a impor as condi es 3 7 e 3 9 obtendo se a defini o da matriz de convec o radia o C o vector de fluxo de calor Q o vector nodal equivalente de calor Q e os res duos associados dot
65. calibrar os ensaios e quando se estudam estruturas de grande porte Dada a grande quantidade de bet o em estruturas como barragens leg timo admitir que n o existe troca de calor com o meio 28 2 Fronteira de Dirichlet Na mec nica a fronteira de Dirichlet ou fronteira cinem tica define uma fronteira sujeita a um um deslocamento imposto Nesta aplica o corresponder a uma fronteira com uma temperatura imposta Esta condi o traduzida pela equa o T T 2 21 3 Fronteira de Robin Na mec nica a fronteira de Robin ou fronteira el stica define uma fronteira em que as for as s o proporcionais aos deslocamentos Neste caso ser uma condi o que relaciona a temperatura e o fluxo de calor na fronteira Fisicamente pode definir todos os fen menos apresentados No entanto no presente trabalho evita se a sua utiliza o na condu o pois de acordo com 28 de um modo geral a condu o fica bem caracterizada utilizando Deriva da palavra grega adiabatos que significa impenetr vel 20 apenas a fronteira de Neumann ou de Dirichlet sendo esta formulac o muito mais fiel no caso da convecc o e radiac o Matematicamente pode ser traduzida pela equac o nto he T Ta 2 22 onde o coeficiente de convec o radia o her ser dada por her he hr 2 23 Para o coeficiente de convec o he adoptou se a express o emp rica 5 6 3 95u sev lt 5m s 2 24 7 640 78 sev gt
66. cheiros que podem ser consultados no apendice l Caso se trate do caso de temperatura imposta as series de valores s o lidas do ficheiro cuja a extens o _BD_TEMP txt e caso se trate da condic o de convecc o de _BD_CONV txt ainda necess rio ler os valores da fun o de hidrata o f a Esta fun o lida do ficheiro de texto com extens o _BD_HYDR txt como se exemplifica no ap ndice H Finalmente necess rio ler a distribuic o inicial pretendida para a temperatura sempre que tal se justifique e para o grau de hidratac o que na maioria dos casos zero em todo o dominio Os valores iniciais do grau de hidratac o e da temperatura sao lidos dos ficheiros _PRES_ALFA txt e _PRES_T txt respectivamente 5 5 Escrita de Resultados O programa escreve dois tipos de ficheiros de dados Um apresenta os resultados efectivamente calculados e outro limita se a apresentar informac es relevantes para detectar eventuais erros ou para confirmar resultados interm dios Nos ficheiros cujas extens es s o _TPL txt e HTL txt s o apresentadas as evolu es da temperatura e do grau de hidrata o respectivamente numa sec o da pe a previamente escolhida Existe para cada um destes dois ficheiros um programa cujo o nome igual ao de cada ficheiro em ambiente Mathematica que permite a cria o imediata de um gr fico para facilitar futuras leituras dos dados Do mesmo modo nas extens
67. definidas A propriedade mais significativa na caracteriza o do bet o a resist ncia compress o que expressa em termos de resist ncia caracter stica definida como o valor da resist ncia atingido com uma probabilidade de 95 sem ocorrer a rotura Por conven o este valor determinado aos 28 dias A classifica o do bet o feita recorrendo a esta propriedade Por exemplo na designa o C30 37 o primeiro valor apresentado define a resist ncia obtida em ensaios com provetes cil ndricos conforme indicado no EC2 e o segundo obtido em provetes c bicos de acordo com a designa o antiga Na tabela 1 1 retirada de 26 apresentam se as propriedades e os valores usualmente utilizados em projecto de estruturas de bet o que por convec o s o obtidos aos 28 dias Faz se no entanto notar que as propriedades evoluem ao longo do tempo Tabela 1 1 Principais propriedades do bet o C15 20 C20 25 C25 30 C30 37 C35 45 C40 50 Unidades fea 10 7 13 3 16 7 20 0 23 3 26 7 MPa fek 16 0 20 0 25 0 30 0 35 0 40 0 MPa fetm 1 9 2 2 2 6 2 9 3 2 3 5 MPa Ecos 29 0 30 0 31 0 33 0 34 0 35 0 GPa Dos v rios componentes do bet o aquele que mais influencia o calor de hidrata o o cimento De tal forma que no presente trabalho mais do que saber se o bet o um C30 37 interessa saber qual o tipo de cimento utilizado visto que tem influ ncia nos par metros de caracteriza o que ser
68. dem gerar se grandes diferen as de temperatura entre a superf cie e o interior das pe as betonadas Estes campos de temperatura originam por sua vez varia es de volume Nas situa es correntes em que as deforma es se encontram restringidas aparecem inevitavelmente campos de tens es Sempre que for excedido o valor da tens o de rotura trac o ir ocorrer abertura de fendas Note se que uma vez que o cimento ainda n o formou presa os valores da tens o de rotura s o inferiores queles que usualmente s o considerados em projecto Tamb m se tem verificado um aumento de preocupa es quer ambientais quer ao n vel da qualidade e durabilidade das estruturas Ao contr rio do que inicialmente se previu as solu es de bet o armado t m visto a sua competitividade aumentar relativamente a outras alternativas em consequ ncia da evoluc o da tecnologia associada a este material Actualmente tem se assistido a um aumento da utiliza o de novos bet es No entanto tendo em considera o que as exig ncias colocadas s o cada vez maiores surge naturalmente a necessidade de perceber e consequentemente controlar melhor o comportamento inicial deste material O processo de cura tem sido feito essencialmente de forma emp rica ficando na maioria das situa es ao cuidado da experi ncia e qualidade do construtor Como em grande parte das obras o projectista n o sabe a priori quem ir construir existe uma grande inc
69. dias Figura 6 2 Evolu o da temperatura e do grau de hidrata o em duas sec es 0 5 0 5 0 4 0 4 20 3 B 20 3 E 7h 14h 21h 48h 302 30 2 9 3 A A 0 1 0 1 go 24 26 28 30 32 34 36 38 Bo 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 Temperatura Celsius Grau de Hidrata o Figura 6 3 Sec o em alguns instantes de tempo dos com o prop sito de obter uma vis o geral do problema Sendo este um problema que varia 5l ao longo do tempo e dada a impossibilidade de comparar as solu es em todos os instantes os resultados s o comparados em apenas tr s momentos que se consideram como representativos as sete catorze e quarenta e oito horas No primeiro instante a temperatura encontra se em fase ascendente no segundo esta perto do seu ponto maximo e pr ximo da estabilizac o no terceiro conforme se ilustra na figura 6 2 6 2 1 Formata o dos Resultados A an lise de sensibilidade que foi feita produziu um grande volume de resultados pelo que foi necess rio escolher um processo de representac o que permita comparar a informac o sem dificultar a interpreta o do processo de converg ncia das solu es obtidas Os resultados obtidos para a temperatura e para o grau de hidratac o no centro da laje o ponto B indicado na figura 6 2 encontram se resumidos nas figuras 6 5 a 6 18 Nesses gr ficos o eixo das abcissas define o logaritmo do n mero de grau
70. do se utilizou a condi o de fronteira mais desfavor vel por outro a geometria poder em alguns casos reais ser superior e deve ser tido isso em conta Logo continua a ser necess rio caso a caso ponderar um pouco a malha a utilizar mas a partir deste momento os valores est o balizados isto devem ser utilizados graus entre cinco e dezanove e um n mero de elementos que pare a adequado 60 tendo em conta a dimens o da peca os gradientes esperados e os pr prios graus considerados nas aproxima es Para al m disso deve ser refinada a malha nas zonas em que se espere ou venha a verificar a ocorr ncia de grandes gradientes da temperatura 61 Capitulo 7 Comparacao com Outros Modelos Num ricos 7 1 Introdu o Neste cap tulo os testes visam essencialmente a validac o do c digo criado e a compreens o das val ncias do modelo Depois de validar a implementac o do modelo desenvolvido comparam se no cap tulo seguinte os resultados com medi es experimentais realizadas em aplica es reais A op o seguida para validar o modelo passou por confirmar todas as matrizes e vectores usando o programa Mathematica e por comparar directamente os resultados obtidos com os de modelos desenvolvidos por outros autores O confronto com outros programas tem a vantagem adicional de permitir comparar diferentes formula es do m todo dos elementos finitos Assim neste cap tulo mais do que uma simples valida o
71. do nessas situa es 2 0 Snap throug Snap back 0 1 2 3 4 5 Deslocamento Figura 4 7 Snap trough e snap back 4 7 5 Converg ncia dos m todos 6 Antes de mais os m todos 9 apenas s o aplic veis a fun es lipschitzeanas ou seja f lt E 4 59 sendo L uma constante Assim para garantir a converg ncia destes m todos necess rio respeitar a condic o 1 t lt A a 4 60 onde t representa o passo de integra o no tempo Aquilo que se verifica que o passo de integra o no tempo depende do tipo de ensaio No entanto em geral passos inferiores a trinta minutos fornecem boas solu es 40 Capitulo 5 Modelo Num rico 5 1 Introdu o O objectivo deste cap tulo clarificar o funcionamento do programa desenvolvido explicando como deve ser utilizado adequadamente Deste modo pretende se que seja poss vel a qualquer pessoa a utiliza o do programa de forma f cil e eficaz sem perdas de tempo excessivas no processo de aprendizagem mas obtendo os resultados pretendidos ainda importante que o funcionamento do algoritmo implementado fique claro de forma a possibilitar um controlo efectivo dos resultados Pretende se por isso que esta parte do trabalho possa posteriormente ser utilizada como um manual do utilizador fazendo a ponte entre a formula o te rica os detalhes do funcionamento interno e os aspectos pr ticos da utiliza o
72. drata o Incremento da derivada da Temperatura Incremento no fluxo de calor prescrito Incremento na temperatura prescrita Res duo da fronteira de Robin Valor do coeficiente de convec o radia o no in cio do incremento Incremento no coeficiente de convec o radia o Temperatura no in cio do incremento Incremento no coeficiente de convec o Incremento no coeficiente de radia o Incremento na temperatura ambiente Valor do par metro P no in cio do incremento Fun o que define a evolu o da taxa de calor normalizada no in cio do incre mento Deriva da fun o que define a evolu o da taxa de calor normalizada no in cio do incremento Varia o do grau de hidrata o Res duo da lei de Arrhenius Par metro dos m todos 0 Derivada de grandeza gen rica no in cio do incremento Derivada de grandeza gen rica no instante t Dom nio xxiii Capitulo Nn s Nelementos Te LS Te T La T YT Ve B Wi Tog Ae e m Pragrange Capitulo Ls Ts Qs Ks ES os tg pcs hs Ars N mero de n s N mero de elementos Fronteira do elemento Fronteira entre elementos Fronteira de Neumann Fronteira de Dirichlet Fronteira de Robin Incremento no valor inter elementar da temperatura Vector que cont m as fun es de interpola o da temperatura Dom nio do elemento Vector que cont m os gradientes da temperatura Trabalho das forcas interiores Campo de deslocamentos Camp
73. e ee a a a ia 4 5 1 Hidrata o oa a 8 82 2 2 nes ch ae a TU a G a a O EC ann a A De ee Gey ee ee he ae eet ee ATI Escal sl qu 2 ss gos AAA EEE een eee ER od Oe ig 6 Ba ee ee a ee a Aa k ad Ge a a So a O Re ATA 4 7 5 Converg ncia dos m todos Ol 2 2 e o 5 Modelo Num rico 5 1 Introdu o 5 2 Algoritmo D 3 Estrutura do programa mir dad Bae Oe ee rem ee ae aa 54 Leitur de Dados sa c ru 484 48 hee a ER RE eee 5 5 Escrita de Resultados 2 m nn nn 6 Converg ncia das Solucoes 6 1 Introdu o xii 23 23 24 24 25 26 27 27 28 29 30 31 33 33 34 35 35 37 38 38 39 39 40 41 41 41 42 43 46 49 6 2 Testes 6 2 1 Formata o dos Resultados 0 0 0 00 o 6 3 Aproximacoes Fracas 6 3 1 Convergencia do Campo de Temperatural 2 2 2222 nen 6 3 2 Converg ncia do Grau de Hidrata o o e nn 6 4 Aproximacoes Fortes 6 4 1 Convergencia do Campo de Temperatural 6 4 2 Converg ncia do Grau de Hidrata o 2 222 e 6 5 Conclus es Gn ads Hoste o E RS a De i ca fo o on Sere e il E eee 7 2 Modelo Unidimensionall 2 CC nn nn nn ee a we hee ees RN ee gp cas ee a ae ee 7 3 Modelo Bidimensionall nn CA Conclijsoes ss ge BREA ei den RE nn Pads 8 Comparacao com Ensaios Experimentais 8 1 Introdugao
74. e se pode observar na figura 8 1 Para a emissividade adopta se o valor 0 95 Na tabela encontram se as restantes especifica es necess rias corrida do exemplo Este ensaio levanta contudo um problema de modela o Em o tipo de cimento utilizado identificado como CEM I 42 5R mas n o identificado o fabricante Esta omiss o poderia de facto ser desprez vel mas neste caso concreto os dois produtores nacionais apresentam algumas diferen as significativas sobretudo relativamente energia de activa o conforme se observa na tabela 8 1 Existe em 4 uma curva pseudo adiab tica ver figura 8 3 que poderia ajudar a esclarecer a situa o No entanto este gr fico n o foi obtido experimentalmente mas com um modelo que o tra ou a partir da composi o qu mica do cimento De facto partida utilizando 72 Tabela 8 1 Caracteristicas dos ensaios Laje de armaz m Propriedades T rmicas do Betao Tipo de cimento Empresa A Condutividade T rmica Calor Especifico Energia de Activac o Taxa de produc o de calor Calor libertado a tempo infinito Empresa B Condutividade T rmica Calor Especifico Energia de Activac o Taxa de produc o de calor Calor libertado a tempo infinito CEM I 42 5R ko 2 6 W mK pc 2400 kJ m K Eq 43 83kJ mol Ar 2 15 x 108W kg Qe 355 2k J kg ko 2 6 W mK pc 2400 kJ m3K Eq 44 38kJ mol Ar 3 522 x 108W kg Qu 370 3k J kg Peso vol mico do c
75. ecisa e Esta descri o consiste numa sequ ncia finita de frases discretas as instru es que um agente computador humano ou n o suposto ser capaz de executar O facto de a sequ ncia de opera es ser finita ou n o pode ser discut vel dependendo do contexto mas no presente texto esse detalhe n o ser abordado uma vez que todos os algoritmos implementados cont m um n mero de ac es finito Um outro aspecto que importa referir o conceito nada bvio de efici ncia Existem v rios crit rios tempo de execu o espa o de mem ria consumo de energia etc mas de modo geral quando se fala de algoritmos pensados para implementa es computacionais os dois principais crit rios s o tempo de execu o e mem ria requerida Infelizmente em muitos casos estes dois objectivos s o antag nicos pelo que necess rio encontrar uma solu o de compromisso Face ao exposto um programa pode ser visto como a implementa o de um algoritmo num dado ambiente computacional 5 3 Estrutura do programa Analizando as defini es dos coeficientes do sistema resolvente conclui se que h coeficientes que s o independentes do tempo constantes durante a an lise coeficientes que dependem da solu o inicial em cada incremento constantes no incremento e coeficientes que variam em cada incremento designadamente os res duos n o lineares A implementa o num rica criada pode ser sumarizada nos seguintes passos
76. ela de incid ncias garantindo a continuidade do campo aproximado mas n o necessariamente das suas derivadas habitual aproximar directamente os deslocamentos ou neste caso as temperaturas por ser sempre mais f cil definir uma solu o cinematicamente admiss vel do que uma solu o equi librada A admissibilidade cinem tica satisfeita utilizando fun es cont nuas e escrevendo as de maneira a ser f cil impor as condi es de compatibilidade na fronteira O m todo dos elementos finitos pode resumidamente ser dividido nos oito passos que se apresentam 1 Discretiza o da estrutura 2 Identifica o dos deslocamentos independentes 3 Defini o das fun es de aproxima o 4 Equa es elementares 4 1 Matriz de rigidez elementar 4 2 Vector das for as nodais equivalentes 5 Reuni o das equa es elementares 5 1 Matriz de rigidez da estrutura 5 2 Vector das for as nodais equivalentes 28 6 Resoluc o da equac o do M todo dos Elementos Finitos 7 An lise cr tica dos resultados 8 Verificac o do equilibrio 4 3 Discretizacao no Espa o Nesta secc o apresentada a formulac o dos elementos a utilizar para resolver o problema da modelac o da resposta t rmica do bet o na sua fase inicial Antes de prosseguir para apoiar a dedu o das equa es a utilizar num elemento t pico de dominio V conv m atentar nas equa es que s o necess rias a saber equa o de compatibil
77. em geral o programa criado n o consome um tempo desmesurado na an lise mesmo com um refinamento relativamente forte No entanto a procura de uma aproximac o equilibrada deve ser feita pois caso se utilize uma discretizac o da estrutura demasiado grande desperdicam se recursos computacionais O que por princ pio deve ser evitado e caso se escolha uma aproximac o demasiado fraca pode dar se o caso de a soluc o obtida n o fazer sentido No modelo criado os elementos finitos aproximam directamente o campo da temperatura sendo posteriormente calculado o valor do grau de hidratac o atrav s da equac o 3 25 Deste modo expect vel que o campo de temperatura convirja mais rapidamente do que o grau de hidratac o No entanto para evitar eventuais surpresas conveniente analisar a converg ncia de ambos os campos A parte de erros num ricos os resultados da an lise de problemas lineares aproximam se sempre da soluc o exacta com o aumento do n mero de elementos e ou com o aumento do grau de aproximac o sendo a converg ncia mais r pida no segundo caso No entanto importa referir que o problema em apreco n o linear pelo que partida n o poss vel garantir que tal se verifique Importa clarificar os crit rios a considerar nesta an lise uma vez que existem varias opc es poss veis Assim procura se um equil brio entre o tempo consumido os recursos dispendidos 49 e Obviamente a qualidade da soluc o
78. ema Ap s o c lculo separado dos varios termos elementares necess rio proceder assemblagem das matrizes e vectores que compoem o sistema Assim necess rio saber de forma inequ voca qual a correspond ncia entre a numerac o local dentro dos elementos e global na estrutura dos n s A maneira habitualmente utilizada para guardar esta informac o atrav s da tabela de incid ncias Considerando as matrizes e vectores globais o sistema resolvente continua a ser dado por 4 36 4 4 1 Tabela de Incidencias De forma a ser poss vel a sua implementac o computacional importa clarificar o conceito de tabela de incid ncias Esta tabela permite guardar sob a forma de uma matriz a informac o necess ria assemblagem do sistema Intuitivamente esta matriz pode ser vista como uma esp cie de baco de duas entradas onde na horizontal entra a informac o relativa ao n mero dos elementos e na vertical a numera o local dos n s conforme se pode ver na figura 4 2 N mero do n no elemento y 1 ven A N mero do elemento gt N elementos Figura 4 2 Tabela de incid ncias Faz se notar que n o necess rio guardar de forma explicita a matriz de incid ncias 33 4 5 Solu o Inicial Para poder prosseguir necess rio definir as condi es iniciais do problema Por defini o as equa es b sicas s o v lidas em qualquer instante consequentemente tamb m o
79. endido Processa os coeficientes que dependem da temperatura Monta e resolve o sistema para 7 In cio do calculo Calcula o vector B no ponto de Gauss Faz o produto externo do vector B por ele pr prio Tipo de condi o inicial lo T Atribui a temperatura inicial pretendida Figura 5 2 Fluxograma da solu o inicial Inicializa a zero todas as grandezas detrabalho Calcula para o ponto de Gauss o valor de ko Multiplica o resultado obtido pelo Jacobiano pelo peso de Gauss e por ko 107 permite obter bons resultados Arbitra uma temperatura inicial igual a 20 C To 0 Monta e resolve o sistema para 7 Diferen a lt Tolerancia Sim Fim do calculo Calcula o Jacobiano Faz o produto interno entre ye o vector que cont m os valores nodais de alfa Soma o resultado aos que foram obtidos anteriormente e guarda Figura 5 3 Fluxograma do c lculo da matriz K Atribui o grau de hidratac o inicial pretendido Processa os coeficientes n o lineares Nova iterac o Fim do c lculo N o i lt n de pontos de Gauss Sim Calcula o vector y no ponto de Gauss Relativamente s condi es de fronteira ser necess rio fornecer dados adicionais No en tanto podendo ser necess rio ler s ries grandes de valores optou se por ler as temperaturas 45 impostas ou as temperaturas ambiente velocidades do vento e emissividades a partir de outros fi
80. ento de tempo de modo a satisfazer determinadas crit rios de estabilidade e con verg ncia Neste cap tulo faz se a apresentac o da formulac o incremental utilizada comecando pelas equa es v lidas no dominio do elemento prosseguindo para as express es v lidas nos diferentes tipo de fronteira e continuando para a redefini o das express es emp ricas Por fim ser explicado o processo de discretiza o no tempo nomeadamente atrav s dos m todos 6 23 3 2 Formula o Incremental das Condi es de Dominio De forma a adoptar a formula o incremental ser necess rio reescrever algumas das equa es previamente apresentadas no cap tulo Assumindo que todas as condi es s o satisfeitas no instante to utilizando a defini o 3 2 e seguindo uma vez mais a forma usual em an lise estrutural obt m se as seguintes descri es incrementais para a condi o de compatibilidade de VOT 3 3 para a relacao constitutiva do kode Ry 3 4 onde Ry 0 33koo o de 3 5 e para a condic o de equil brio VF80 Qu pe ET 3 6 A obtenc o das express es 3 3 e 3 6 imediata No entanto os passos seguidos at a equa o 3 4 podem ser encontrados no ap ndice A 3 3 Formula o Incremental das Condi es de Fronteira De mesma forma as equa es referente s condi es de fronteira podem ser reescritas em forma incremental aplicando apenas a defini o 3 2 encontrando se as
81. eraturas menor que o oposto Contudo sempre que aparece uma fenda criada uma descontinuidade no campo de temperaturas alterando a forma de transmiss o de calor Al m disso as variac es de volume da peca podem alterar as pr prias condi es de fronteira ao originar por exemplo perdas de contacto A maioria dos modelos encontrados limita se a utilizar o output da an lise t rmica como input do problema mec nico Mas estas an lises s o pesadas e consequentemente demasiados lentas por forma a poderem ser utilizadas de forma corrente por projectistas e empreiteiros As experi ncias de acoplamento que foram feitas noutros problemas tiveram resultados bastante animadores n o tanto na qualidade da solu o mas por exigirem de menos espa o de mem ria e permitem an lises mais r pidas sobretudo quando se considera mais de 100000 graus de liberdade 48 Deste modo prop e se a cria o de um modelo termo mec nico acoplado para este problema 86 Refer ncias Bibliograficas 10 Branco F Mendes P Mirambell E Heat of Hydration Effects in Concrete Structures ACI Materials Journal 1992 Azenha M Numerical Simulation of the Structural Behaviour of Concrete Since its Early Ages Tese de Doutoramento Faculdade de Engenharia Universidade do Porto 2009 Estrada C Godoy L Prato T Thermo mechanical behavior of a thin concrete shell during its early ages Thin Walled Structures 2006 44 483 495 Faria R Azenha M
82. erteza relativamente ao que ir ocorrer at formac o da presa As soluc es correntes de cura passam pela rega das superf cies das pecas e colocac o de um material cuja func o visa essencialmente reduzir a evaporac o de gua No caso das barragens instala se um sistema de tubos onde se faz circular gua fria de forma a reduzir as temperaturas Como referido ambos os processos resultam da experi ncia emp rica estando portanto subjacente alguma incerteza quanto sua real efic cia sempre que s o aplicados a um novo tipo de bet o ou de estrutura Apesar de tudo o tempo tem revelado que as pr ticas de projecto e construc o se t m revelado satisfat rias para os estados limites ltimos no sentido em que garantem coeficientes de seguranca adequados Por m a situac o n o t o satisfat ria para os estados limites de utilizac o Verifica se por vezes que as fendas t m aberturas acima do previsto ou que apare ceram em zonas cujos modelos de c lculo correntes n o conseguem justificar 2 Tratando se de estruturas de bet o armado a fendilhac o um fen meno normal e inevit vel mas deve ser sempre controlada pois pode ter in meras implica es pr ticas 1 2 Estado da Arte O comportamento do bet o nas primeiras idades caracterizado por um estado de deformac o fortemente influenciado por varia es t rmicas e volum tricas quase sempre restringidas por coaccoes internas e externas que potenciam a fendil
83. esolvido em forma adimensional utilizando para tal um crit rio que garanta que as grandezas t m uma grandeza da ordem da unidade Deste modo definiu se um sistema que permitisse escalar todas as grandezas envolvidas nos c lculos As escalas b sicas s o o comprimento Ls a definir pelo utilizador a temperatura Ts a definir pelo utilizador o calor total Qs Qu e a condutividade t rmica esperada ap s a conclus o das reac es de hidrata o do cimento Ks Ko necess rio um segundo conjunto de escalas que garanta a coer ncia do problema t rmico o gradiente de temperatura es T L a velocidade do fluxo de calor os kses o tempo ts QsLs 0s o calor espec fico pc Ls Ts o coeficiente de convec o radia o hs ks Ls O termo exponencial da lei de Arrhenius deve ser estabilizado sendo o valor de escala usado para o valor m ximo da taxa de produ o de calor Ars exp Bs Qs ts 4 52 onde Ea Bs RT 4 53 Todas as vari veis e par metros foram escalados de acordo com a regra geral V VU 4 54 onde vs representa o factor de escala e Y o valor adimensional da vari vel v A maioria das equa es j definidas s o escaladas atrav s da substitui o directa das grandezas v pelo seu valor escalado Y As equa es mant m as express es anteriormente definidas sendo no entanto necess rio substituir o termo ezp 8 T por exp 5 T 85 na lei de Arrhenius 3 15 a exp 3 T
84. estringidas vai provocar altera es no campo de tens es Por outro o campo de temperaturas vai ter uma grande influ ncia sobre a velocidade das reac es qu micas alterando uma vez mais o comportamento mec nico do material Comparativamente a influ ncia do comportamento mec nico no campo de temperaturas menor que o oposto Contudo sempre que aparece uma fenda criada uma descontinuidade 3 no campo de temperaturas alterando a forma de transmiss o de calor Al m disso as varia es de volume da peca podem alterar as pr prias condi es de fronteira ao originar por exemplo perdas de contacto Posto isto em todos os estudos deste tipo necess rio admitir v rias hip teses simplifica tivas pois caso contr rio o c lculo seria extremamente moroso devido s interdepend ncias e n o linearidades envolvidas Como j foi explicado a influ ncia da variac o das propriedades mec nicas sobre o campo de temperaturas significativamente menor que o contr rio Assim de um modo geral habitual considerar como hip tese que o campo de temperaturas n o depende da variac o das propriedades do material 25 Deste modo poss vel modelar o campo de temperaturas de forma independente e posteriormente quando se analisa a evolu o das pro priedades mec nicas utilizam se as distribui es de temperatura e o grau de hidrata o j calcu lados 4 O output do modelo t rmico serve assim de input no modelo mec n
85. fica se o problema evoluc o no tempo das propriedades do bet o escolhe se o aspecto concreto que se pretende estudar evoluc o do campo de temperatura introduzem se algumas hip teses simplificativas que possibilitem a sua resoluc o sem destruir os aspectos essenciais que se pretende modelar identificam se as vari veis principais escolhe se a abordagem adequada e procede se cria o do modelo Por fim necess rio validar o modelo criado comparando o com outros modelos e aplicando o a casos reais O presente trabalho est organizado em nove cap tulos incluindo o de introduc o Em seguida apresenta se de forma sucinta o conte do de cada um deles No cap tulo 2 seguido um dos princ pios fundamentais do Professor Edward Wilson 27 N o deve ser criado um modelo computacional antes de se definirem os carregamentos as propriedades do material e as condi es de fronteira Assim apresentado o modelo seguido e s o explicadas as hip teses simplificativas No mo delo matem tico caracterizam se as principais equa es definem se conceptual e numericamente as grandezas principais e faz se um paralelismo entre o problema do calor e o problema mec nico mais usual em engenharia civil Neste cap tulo s o ainda introduzidos alguns conceitos gerais indispens veis compreens o do restante trabalho No cap tulo 3 introduzida a vari vel tempo 1 e as equa es apresentadas no cap tulo anterior s
86. grange t grau k Y T TT a 451 a Seen J J EEN j k j k JAA 4 7 Aspectos Num ricos Existe uma tend ncia natural para desvalorizar ou encobrir de forma expedita os problemas num ricos at ao ponto em que se tornam insustent veis Existem no entanto casos de pe quenos erros que resultaram em perda de vidas humanas e que mostram as propor es que um simples erro de arredondamento pode tomar como se pode ver no exemplo seguinte A 25 de Fevereiro de 1991 durante a guerra do Golfo uma bateria de misseis Patriot Americana em Dharan Arabia Saudita falhou a intercepc o de um missil Scud Iraquiano O Scud atingiu assim um quartel Americano matando 28 soldados e ferindo cerca de 100 pessoas A falha que causou este incidente deveu se em ltima inst ncia a erros de arredondamento 35 Tendo em mente situa es como a apresentada tomaram se algumas precau es no sentido de eliminar ou pelo menos mitigar eventuais erros num ricos Apresentam se assim nesta sec o as t cnicas utilizadas Aproveita se ainda para esclarecer o m todo num rico de integra o utilizado e a forma com as n o linearidades s o tratadas Por fim s o apresentados os crit rios de converg ncia dos m todos que foram utilizados para fazer a integra o no tempo 37 4 7 1 Escalas De acordo com 36 para melhorar a estabilidade num rica e aumentar a velocidade de con verg ncia o sistema deve ser implementado e r
87. gura Informac o dada pelo autor do trabalho experimental 81 8 131 Falando especificamente dos resultados com os valores da empresa B verifica se que O andamento bem simulado pelo modelo e que parte do momento inicial o erro se situa numa gama de valores aceit vel Conclui se que o modelo unidimensional traduz adequadamente as tend ncias da estrutura mas infelizmente os valores obtidos apresentam nalguns casos erros pr ximos dos 10 C De referir ainda que com o intuito de esclarecer algumas imprecis es nos dados durante esta an lise se contactou o autor dos trabalhos experimentais e foi transmitida a informa o de que o cimento utilizado apresentava uma percentagem de cinzas superior ao normal o que pode por si s justificar alguns dos desvios encontrados Existem par metros que ainda poderiam ser sujeitos a afina o mas como existe uma grande incerteza relativamente s propriedades do cimento optou se por n o o fazer Assume se assim as limita es encontradas na modela o deste caso e com grande frustra o admiti se que apesar das dilig ncias efectuadas e do esfor o dispendido este ensaio n o totalmente conclusivo No entanto fica claro que o modelo recupera as tend ncias esperadas e existe a convic o forte de que grande parte dos erros se devem muito provavelmente incerteza relativa aos par metros do cimento 82 Capitulo 9 Conclusoes 9 1 Resultados Os resultados
88. hac o precoce O aprofundamento do estudo do comportamento do bet o nas primeiras idades tem sido suscitado pela crescente utilizac o de bet es de elevado desempenho e pelo desejo de abreviar O processo construtivo S o maiores as exig ncias de modelac o que da decorrem nao s para assegurar condi es de durabilidade adequadas ao per odo de vida da estrutura mas tamb m para evitar problemas que se t m verificado pela inadequada avalia o do comportamento do bet o na fase da constru o Estrada et al 3 Contudo s o ainda limitadas as ferramentas dispon veis para realizar a modela o do com portamento de bet es nas primeiras idades e prever a fendilhac o durante o processo de presa assegurando uma evoluc o do estado de tens o adequada ao desenvolvimento das resist ncias mec nicas Para modelar a evolu o das propriedades do bet o necess rio combinar 2 4 a solu o de um problema termo qu mico para a reac o de hidrata o do cimento e o comportamento t rmico associado 5 e de um problema mec nico para simular a evolu o das propriedades e do comportamento mec nico do bet o 6 Na formula o do problema mec nico usual adoptar a hip tese de linearidade geom trica na defini o das condi es de equil brio e de compatibilidade No entanto necess rio simular o comportamento fisicamente n o linear associado ocorr ncia da fendilha o do bet o incluindo os efeitos decorre
89. ico considerando se apenas a influ ncia das temperaturas nas propriedades mec nicas Existem outras abordagens mais recentes em que se obt m melhores resultados Por exemplo atrav s de estrat gias ite rativas em que o processo acima descrito constitui a primeira itera o e posteriormente os resultados obtidos no modelo mec nico s o re introduzidos no modelo t rmico dando origem a um processo iterativo Actualmente devido melhoria das ferramentas dispon veis ainda poss vel considerar explicitamente as interac es sobre modelos termo mec nicos acoplados Conforme se depreende do paragrafo anterior no estudo da evolu o do bet o no tempo a an lise t rmica antecede ou acompanha a an lise mec nica Neste trabalho modelou se apenas o comportamento t rmico considerando se que o campo de temperaturas n o depende do campo de tens es Assim poss veis desenvolvimentos futuros do modelo criado ter o for osamente de passar pelas duas primeiras vias apresentadas 1 4 Caracteriza o do Material Os bet es de ligantes hidr ulicos s o materiais que resultam da mistura em propor es ade quadas de cimento britas areias e gua Para al m destes componentes b sicos podem ainda conter adjuvantes e adi es Este material pode ser classificado quanto a v rias propriedades peso vol mico resist ncia trac o resist ncia compress o m dulo de elasticidade etc existindo para o efeito normas bem
90. idade 3 3 relac o constitutiva e condi o de equil brio 3 23 Ser ainda necess rio ter presente a forma incremental da lei de Arrhenius 3 25 Admite se que o dom nio unidimensional foi discretizado em elementos como se observa na figura 4 1 e considera se um elemento gen rico como se indica Figura 4 1 Discretizagao de um dominio gen rico em elementos O elemento convencional deduzido aproximando o campo de temperaturas no dom nio do elemento V T x YT em V 4 1 onde T o vector dos valores nodais da temperatura e 1 o vector linha que cont m a fun es de interpola o adiante definidas Estas fun es tomam o valor um no n a interpolar e zero nos restantes lsei j ilaj e 4 2 0seifj sendo a sua soma igual unidade gt pi 1 4 3 i Assume se ainda que o gradiente de temperatura imposto localmente e 1 BT em V 4 4 onde B Vy 4 5 29 Existem quatro tipos de fronteira nomeadamente a fronteira entre elementos If e aquelas que j foram apresentadas Neumann 3 7 Dirichlet 3 8 e Robin 3 9 Ou seja pela mesma ordem re T7UT UTFUT 4 6 A continuidade entre elementos ser assegurada atrav s do campo de temperaturas T T em Tp 4 7 onde T representa o campo de temperatura na fronteira inter elementar ou na fronteira de Dirichlet do elemento 4 3 1 M todo dos Residuos Ponderados Podem ser utilizadas v rias t cnicas para o
91. idade do vento de 3m s e uma emissividade de 0 9 Os resultados obtidos est o representados na figura 7 3 Elementos H bridos N e Elementos Convencionais 2 oo Temperatura Celsius 3 Grau de Hidrata o a Elementos Convencionais 0 4 25 0 2 Elementos H bridos 0 2 4 6 8 10 0 0 2 4 6 8 10 Tempo dias Tempo dias Figura 7 3 Compara o com modelo h brido unidimensional Convec o semelhan a daquilo que j acontecia no caso da temperatura prescrita existe uma diferen a no ponto inicial do gr fico tempo temperatura que neste caso tem o valor de 1 3 C ou seja 5 2 Esta diferen a pode ser vista com maior clareza na figura 7 4 que apresenta a distribui o de temperaturas em t 0 nas duas formula es A origem desta discrep ncia prende se com o facto de no modelo de elementos h bridos se assumir que Q nulo no instante inicial f fe 0 0 mas n o no programa de elementos convencionais o que explica o valor de temperatura nas fronteiras apresentado na figura 7 4 25 8 C em vez de 25 0 C Na figura encontra se o resultado do mesmo ensaio considerando Q 0 no instante inicial em ambos os modelos A sobreposic o das soluc es torna se evidente 66 0 30 0 25 Elemento Convencionais 0 20 tros 19 o me On 30 10 Elementos Hibridos 0 05 0 00 24 2
92. igura 6 6 Temperatura aproxima es fracas 14 horas Tref 36 868 C 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 e dl i 25 L Refinamento p H Refinamento h 2 0 f a Tref 1 5 7 Grau de Aproximag o 53 3 5 i 3 5 1 0 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 Ln N de Graus de Liberdade Figura 6 7 Temperatura aproxima es fracas 48 horas Tref 26 372 C 54 1 Elemento 2 Elementos 4 Elementos 8 Elementos I lt 1 Elemento 2 Elementos 4 Elementos 8 Elementos Grau 1 6 3 2 Converg ncia do Grau de Hidrata o Nas figuras a 6 10 vis vel a converg ncia do modelo para aproxima es baixas no que diz respeito ao grau de hidrata o Verifica se que para modelar a reac o de hidrata o do cimento necess rio um n mero de graus de liberdade m nimo facto que se deve exist ncia do termo exponencial na lei de Arrhenius 2 18 Na interpreta o do gr fico da figura 6 8 s o necess rios especiais cuidados uma vez que se trata de um gr fico normalizado onde o valor de refer ncia muito pequeno Assim podem existir eventuais desvios causados n o pelo modelo num rico em si mas pelo software utilizado na cria o dos gr ficos De qualquer forma as oscila es pr ximo da unidade representam na realidade discrep ncias muitas vezes abaixo da mil sima e s o portanto desprez veis
93. igura 8 7 Resultados no dom nio Modelo bidimensional 4 03 Sensor Sensor 5 Sensor 3 Sensor 2 00 Sensor 4 16 50 1 25 0 55 90 Figura 8 8 Dimens es da fundac o e localizac o dos sensores 46 conta na interpreta o das medi es experimentais Os sensores instalados come aram todos a fazer medi es ao mesmo tempo mas nem todos entraram em contacto com o bet o no mesmo instante Verifica se assim que existe em todos os sensores um periodo inicial onde os valores medidos correspondem temperatura ambiente seguidos de um salto que se assumiu como sendo o ponto de inicio da medic o do calor de hidratac o ver figura 8 10 Tamb m se percebe que sendo uma peca de grandes dimens es em planta e com uma espessura consider vel nao poss vel que a hidratac o tenha ocorrido ao mesmo tempo o que tamb m percept vel na figura 8 10 Tentando ter em conta indirectamente este fen meno considerou se uma distribui o linear para o grau de hidrata o inicial ag tomando o valor 0 004 junto superf cie e 0 005 junto ao maci o Uma vez que n o foi poss vel observar a betonagem in situ e como o programa criado n o permite ter em conta casos em que a betonagem apesar de ser realizada de uma s 77 Sensor 5 Temp Ambiente A Sensor 1 Sensor 3 Sensor 2 A Sensor 4 Detalhe da localizac o dos sensores Fotografia dos sensores 3 e 4 2 Figura 8 9 Torre e lica
94. ilidade de escolha entre v rias condi es iniciais para a hidrata o e a possibilidade de considerar uma taxa de liberta o de calor n o nula no instante inicial Ap s a apresenta o do modelo feita uma an lise de sensibilidade ao n mero de elementos finitos e respectivos graus de aproxima o Comparam se os resultados obtidos com os de outros programas onde se verifica a plausabilidade das hip teses assumidas Finalmente com o intuito de perceber a adequabilidade da formula o de elementos finitos de algumas hip teses admitidas e do pr prio modelo unidimensional fazem se compara es com dois casos reais uma laje estrutural de um pavilh o industrial e a funda o de uma torre e lica A primeira situa o encontra se partida dentro do dom nio de aplica o do modelo criado mas n o a segunda Por m sendo as torres e licas de grandes dimens es estruturas bastante comuns e cujas funda es s o betonadas de uma s vez considera se de todo o interesse saber se poss vel aproximar o campo de temperaturas no eixo de simetria da funda o Palavras chave Hidrata o do cimento Elementos finitos convencionais Transfer ncias de calor Bet o jovem iii Abstract The study of the process of hydration of cements in concrete has increased with growing demand of high performance concrete that release larger amounts of heat and with the desire to shorten the duration of the construction process Ho
95. imento C 285 kg m Geometria e Malha de Elementos Finitos Espessura da peca 0 35 m Numero de Elementos 4 Grau de Aproximac o 7 Integra o no tempo Passo 15 min a equac o de calor aplicada ao caso adiab tico Q pc substituindo Q pela defini o obt m se Af ajezp Ze pet Afa pePexpl E 8 3 Sabendo pc Ea R os valores da temperatura ao longo do tempo e que o valor m ximo f a unit rio juntando a express o retirada de 47 e aproximando _ T t To Tas pe tt lisa bi 73 8 4 8 5 tem se supostamente tudo o que se necessita para a determinacao da evolucao da taxa de calor Por m conforme se pode observar na figural8 3 a curva obtida tracada a azul nao apresenta nenhum ponto de inflex o ao contr rio das duas simula es obtidas com o modelo criado uti lizando os valores do fornecedor A CA e B CB Fisicamente a curva de um teste adiab tico n o pode apresentar um m ximo da derivada logo de in cio a menos que f a seja sempre decrescente o que n o faz sentido O modelo utilizado na elabora o da curva retirada da lit eratura assume que f a 0 0 e ay gt 0 por forma a iniciar a reac o embora n o seja claro qual o valor arbitrado para o grau de hidrata o inicial ag Importa ainda observar na figura que a curva apresentada na literatura est sempre acima daquelas que foram calculadas Assim prov vel que o
96. ji INSTITUTO SUPERIOR TECNICO Modelacao da Hidratacao do Cimento em Betoes Joao Vasco Mano Marques Disserta o para a obten o de Grau de Mestre em Engenharia Civil J ri Presidente Professor Doutor Jos Manuel Matos Noronha da Camara Orientadores Professor Doutor Jo o Ant nio Teixeira de Freitas Doutor J lio Balsa Pargana Vogal Professor Doutor Fernando Ant nio Baptista Branco Setembro 2011 Resumo O estudo do processo de hidrata o do cimento em bet es tem aumentado devido crescente utiliza o de bet es de elevado desempenho que libertam maiores quantidades de calor e o desejo de abreviar a dura o do processo construtivo Contudo verifica se que ainda h muito a fazer no sentido de controlar o processo de fendilha o durante a presa do bet o 1 e as segurar uma evolu o do estado de tens o compat vel com o desenvolvimento das resist ncias mec nicas Salienta se que nas primeiras idades a evolu o do estado de deforma o do bet o fortemente influenciada por varia es t rmicas e volum tricas quase sempre restringidas por coa es internas e externas Criou se um modelo termo qu mico unidimensional de elementos convencionais aproximando o campo de temperaturas que reproduz a evolu o do campo de temperaturas e do grau de hidrata o do cimento De forma deliberada foram deixadas algumas op es ao utilizador que usualmente s o admitidas por defeito nomeadamente a possib
97. lt gt explB T Bs exp B T 1 T A forma escalada da lei de Arrhenius 3 15 fica O4 Arf a exp 8 T 1 4 55 4 7 2 M todo de Integra o de Gauss Muitos dos integrais que necess rio calcular no mbito da aplica o do m todo dos elementos finitos n o s o triviais pois ou a primitiva da fun o integranda n o tem express o anal tica ou demasiado complicada para viabilizar a sua utiliza o pr tica Por este motivo essencial 38 recorrer a t cnicas de integrac o num rica que tamb m recebem a designac o de regras de quadratura Existem v rios m todos de integrac o num rica como se pode constatar em 31 Neste trabalho utiliza se sempre a quadratura de Gauss 1 n fade Wif Pi 4 56 onde n representa o n mero de pontos de Gauss fazendo a mudan a de coordenadas para o intervalo 1 1 para evitar recalcular os pontos P e pesos de Gauss W em cada integrac o A dedu o para um polin mio de grau 5 encontra se no ap ndice F Esta regra permite inte grar exactamente polin mios de grau 2n 1 No entanto uma vez que nao se est a integrar polin mios devido presenca de termos n o lineares foi necess rio acrescentar uma margem a esta regra por forma a obter bons resultados 37 4 7 3 Mudan a de Coordenadas Para realizar todas as integra es no mesmo intervalo necess rio proceder a uma mudan a de coordenadas passando das coordenas gen rica
98. luxo de calor nulo e as fronteiras convec o radia o s o implementadas assumindo uma temperatura do ar uma velocidade do vento e uma emissividade constantes Ta 20 C v 0 3m s e e 0 88 67 Ao considerar o fluxo como zero em duas fronteiras 0 ensaio passa a ser unidimensional pois conforme se pode observar na figura 7 7 que apresenta as distribui es de temperatura obtidas com o modelo bidimensional em varios instantes as linhas isot rmicas sao rectas Na figura ilustram se as distribui es de temperatura obtidas nos mesmos instantes de tempo com o modelo agora criado Para o grau de hidrata o as conclus es s o id nticas encontrando se nas figuras e os resultados obtidos com os modelos bi e unidimensional respectivamente Fluxo Convecc o Convecc o Im Fluxo m Figura 7 6 Malha de 2 x 2 elementos No Ap ndice J encontram se os resultados obtidos com o modelo bidimensional num maior numero de instantes de tempo Do mesmo modo no Ap ndice K apresentam se os resultados do modelo unidimensional Na tabela 8 1 pode ser encontrada a informac o referente a este ensaio 17 5 horas 44 4 horas 72 4 horas 65 65 65 EN EN o 5 55 55 o o o 45 45 45 140 140 140 35 as 35 2 30 2 30 30 25 25 25 0 02 04 05 08 1 a 0 02 04 05 08 1 a 0 02 04 06 08 1 a Figura 7 7 Modelo bidimensional Campo de temperatura as 17 5 44 4 e 72 5 horas
99. mas tamb m as condi es utilizadas para reunir os elementos e recuperar a continuidade da estrutura e dos campos que se pretende obter Os m todos num ricos t m a desvantagem de em certa medida deixar de ser facilmente identific vel o significado f sico das vari veis do problema e em geral tamb m deixa de ser 27 imediata a interpreta o f sica das equa es resolventes que se obt m No entanto neste caso esta a tinica alternativa possivel Neste cap tulo come a se por fazer uma breve introdu o ao m todo dos elementos finitos e ao modo como s o reunidas as equa es elementares Posteriormente apresenta se a for mula o adoptada e varias formas diferentes de a obter e fala se das fun es de aproxima o utilizadas Por fim apresentam se alguns aspectos num ricos necess rios implementa o do m todo Muitos dos pontos agora abordados podem ser encontrados em 25 4 2 M todo dos Elementos Finitos Aborda se o problema t rmico recorrendo a elementos convencionais que permitem aproximar directamente apenas um campo neste caso aproximou se o campo de temperaturas Ap s a aproxima o directa do campo de temperaturas segue se a compatibilidade rela es constituti vas e equil brio at chegar ao campo do fluxo de calor o caminho que foi apresentado na figura A continuidade entre elementos ser imposta atrav s das incid ncias habituais em termos de temperatura recorrendo ao conceito de tab
100. modelo h brido unidimensional Teste adiab tico 7 2 2 Temperatura Prescrita No segundo ensaio considera se a temperatura nas fronteiras constante e igual a 25 C Este caso apesar de ser essencialmente te rico particularmente cr tico para a valida o do programa que foi desenvolvido uma vez que testa o procedimento adoptado para implementar as condi es de incid ncia na presen a de condi es de Dirichlet Na figura 7 2 observa se que a correspondencia entre os dois modelos praticamente perfeita Existe no entanto uma discrep ncia no instante inicial de 0 431 C ou seja 1 7 devida a diferentes hip teses assumidas na deduc o dos elementos Esta diferenca ser explicada no exemplo seguinte onde mais evidente 65 w 1 0 29 E 208 Elementos Hibridos 2 28 O o sS q 227 306 a 26 E 5 o 2 Convencionais 20 4 825 E E Elementos H bridos O 2 24 2 2 4 6 8 10 On 2 4 6 8 10 Tempo dias Tempo dias Figura 7 2 Comparac o com modelo h brido unidimensional Temperatura prescrita 7 2 3 Convecc o Radiac o Com o intuito de validar todas as condi es de fronteira o terceiro ensaio incide sobre a simula o da condic o de convecc o radiac o a condic o mais importante para a aplicac o a casos reais Utiliza se novamente condi es de fronteira sim tricas considerando uma temperatura de 25 C uma veloc
101. ntalmente durante o ensaio adiab tico Primeira temperatura medida no ensaio adiab tico Ultima temperatura medida no ensaio adiab tico Temperatura medida no instante gen rico i 1 Temperatura medida no instante gen rico 1 Instante gen rico 1 Instante gen rico i XXV Capitulo 1 Introducao 1 1 Observa es Gerais Em muitas aplica es por uma quest o de simplicidade a evolu o do comportamento do bet o no tempo tem sido desprezada Tratando se de um material comp sito cujas tens es se v o instalando desde o in cio da sua forma o o estudo exaustivo da sua hist ria de tens es pode revelar se bastante complexo No entanto a evolu o dos bet es de alta resist ncia e a redu o dos prazos de constru o fizeram com que a an lise do comportamento do bet o desde as primeiras idades tenha ganho import ncia em muitas aplica es pr ticas tais como barragens pontes e alguns tipos de funda es em que a cura usual se pode revelar ineficaz Sucintamente as estruturas mais sens veis a este problema s o aquelas em que existem grandes volumes de bet o envolvidos o que dificulta a dissipa o do calor aquelas em que s o utilizados super bet es que atingem temperaturas mais altas que os bet es correntes as estruturas que s o colocadas em carga muito cedo Durante a hidrata o do cimento ocorrem reac es qu micas exot rmicas e sendo este um material com baixa condutividade t rmica po
102. nte Neste caso a troca de calor ocorrer entre o bet o e o meio ambiente Este fen meno ser regido essencialmente pela velocidade do fluido e pela diferenca de temperatura entre o bet o e o meio ambiente Ser natural quando o fluido em contacto for sendo renovado devido variac o de densidade que acontece em consequ ncia da sua variac o de temperatura Isto o bet o aquece o ar envolvente que por sua vez diminui de densidade sobe e d lugar a uma nova porc o de ar Por outro lado ser forcada quando atrav s de processos artificiais se aumentar ou diminuir a taxa de renovac o do fluido em contacto A subdivis o da radiac o substancialmente diferente das duas anteriores Este modo pode ser subdividido em radiac o de onda curta ou de onda longa A mudanca de categoria passa apenas por uma diferenca no comprimento de onda Em sentido lato todos os corpos emitem radiac es de onda longa A onda curta est geralmente associada radiac o solar 1 12 2 5 Modelo Matem tico Por forma a tornar a exposic o mais clara o modelo matem tico apresentado por etapas Numa primeira fase apresenta se as equacoes a aplicar no dominio do elemento e introduz se as grandezas f sicas bem como a sua concretizac o para o caso em apreco Numa fase posterior sao apresentadas as condicoes de fronteira fazendo uma pequena introducao f sica da cada uma 2 5 1 Equa es B sicas Nesta subsec o faz se a apresen
103. ntes da flu ncia 7 e da retrac o aut gena 8 O comportamento termo qu mico transiente e n o linear combina a condi o de conserva o do calor com a equa o que define a fonte de calor decorrente do processo de hidrata o T m sido propostos modelos micro estuturais para simular o processo de hidrata o 9 C0 11 12 13 15 A sua implementa o computacionalmente bastante pesada produzindo um detalhe de informa o que sup rfluo para a maioria das aplica es pr ticas Por isso por vezes opta se pela utiliza o de modelos macro estruturais 16 17 18 19 20 21 22 23 geralmente baseados na lei de Arrhenius com par metros f sicos determinados e calibrados experimentalmente para capturar adequadamente o processo termo qu mico 4 24 1 3 Problemas T rmico e Mec nico Para estudar a evoluc o do bet o ao longo do tempo de forma completa necess rio resolver dois problemas um termo qu mico e outro mec nico O problema termo qu mico aqui designado por t rmico nao linear e varia no tempo simulando o processo de hidratac o O problema mec nico tamb m varia no tempo e fisicamente n o linear porque as propriedades mec nicas variam durante o processo de hidratac o Importa sublinhar que ambos est o interligados dado que se influenciam mutuamente Por um lado o campo de temperaturas ao promover varia es de volume num material que no caso geral tem as suas deforma es r
104. o apresentados N o foram feitos ensaios experimentais tendo se optado pela utiliza o dos valores apresentados em onde foram caracterizados os cimentos provenientes dos dois principais fornecedores do mercado portugu s Na tabela 1 2 apresenta se a composi o qu mica referente a cada um dos tipos de cimento analisados Tabela 1 2 Composic o qu mica e finura do cimento 2 Tipo de Cimento SiO2 Al203 Fe203 CaO MgO SO3 K20 CaO Perda Blain Total livre na cm 9 igni o lt CEM I 52 5R 8 98 5 43 3 57 64 03 1 6 3 31 1 03 1 126 2 13 3880 g CEM I 42 5R 8 26 5 47 3 32 63 89 1 86 2 756 1 08 1 29 2 6 2950 3 CEM II A L 42 5R 6 82 5 11 3 11 62 81 1 78 3 2 1 1 12 6 39 3830 E CEM II B L 32 5N 2 74 4 17 2 31 59 75 1 47 3 04 0 79 0 73 14 54 4060 CEM IV B V 32 5N 31 73 12 67 6 88 39 85 1 69 2 1 06 0 84 3 02 3630 m CEM I 52 5R 20 16 4 35 3 48 62 97 2 33 3 4 4914 E CEM I 42 5R 9 82 4 22 3 4 62 66 2 21 3 47 4112 3 CEM II A L 42 5R 8 58 4 18 3 22 62 02 2 09 3 35 4494 CEM II B L 32 5N 8 02 3 86 2 52 59 7 1 79 2 61 4433 CEM II B L 32 5R w 7 29 2 38 0 17 64 58 0 5 2 48 5019 1 5 Organiza o do Texto A formula o de problemas em engenharia civil deve ser feita de forma criteriosa i e deve ser seguida uma abordagem sistem tica que conduza resoluc o pretendida mas que al m disso permita que outros possam acompanhar a linha de racioc nio No presente trabalho identi
105. o de forcas Coeficiente de amortecimento Forcas concentradas aplicadas na fronteira Trabalho das forcas exteriores Polin mio de Legendre Coordenada no referencial 1 1 Polin mio de Lagrange Escala de comprimentos Escala de temperaturas Escala do calor Escala da condutividade t rmica Escala do gradiente de temperatura Escala do fluxo de calor Escala do tempo Escala do calor espec fico Escala do coeficiente de convecc o radiac o Escala da taxa m xima de produc o de calor xxlv 5 SO F Qo sau Zu 7 22 2 Tref ref Capitulo Qo a b C Cap tulo Tad To Too Tim T ti 1 Escala do par metro 8 Escalada gen rica Valor de uma grandeza gen rica escalada Valor da temperatura escalada Valor escalado da quantidade de calor libertada a tempo infinito Valor escalado da derivada do grau de hidrata o Valor escalado da taxa m xima de produ o de calor Valor escalado da temperatura Fun o gen rica Peso do ponto de Gauss i N mero de pontos de Gauss Coordenada do ponto de Gauss i Coordenada no referencial inicial Peso vol mico do cimento no bet o Valor de refer ncia para a temperatura Valor de refer ncia para o grau de hidrata o Calor libertado no instante inicial Par metro de calibra o da fun o f a continua Par metro de calibra o da fun o f a continua Par metro de calibra o da fun o f a cont nua Temperaturas medidas experime
106. omparac o com modelo h brido bidimensional 1 camada 1 0 1 0 72 44 0 8 0 8 B E 306 206 h 44 4h 6 24 0h 44 4 304 80 4 A 17 5h ca 17 5h 0 2 0 2 0 95 30 40 50 60 70 Bo 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 Temperatura Celsius Grau de Hidrata o Figura 7 12 Compara o com o modelo bidimensional s 3 2 17 5 24 0 44 4 e 72 4 horas 7 4 Conclus es Neste momento o modelo unidimensional de elementos finitos convencionais encontra se vali dado por compara o com outros programas Quando se consideram hip teses semelhantes todos os modelos aqui considerados d o resultados praticamente coincidentes Verificou se uma grande correspond ncia com o modelo unidimensional de elementos h bridos As discrep ncias verificadas no teste adiab tico devem se a problemas de representa o da lei de hidrata o e est o claramente justificadas Todas as outras diferen as encontradas foram motivadas pela considera o ou n o de uma liberta o inicial de calor Olhando para o teste com o modelo bidimensional parece leg timo concluir que nos casos em que o comportamento unidimensional ambos os programas recuperam os mesmos resultados 70 Capitulo 8 Comparacao com Ensaios Experimentais 8 1 Introdu o Pretende se agora comparar os resultados fornecidos por este modelo com resultados experi mentais Tem se a certeza de que a implementac o est correcta
107. on P ATEX Table Tricks 2009 92 Cervera M Oliver J Prato T Thermo chemo mechanical model for concrete I hydration and aging Journal of Engineering Mechanics 1999 Ulm F Couplings in early age concrete from material modelling to structural design Int J Solids Structures 1998 Vol 35 Nos 31 32 pp 4295 4311 Zreiki J Bouchelaghem F Chaouche M Early age behaviour of concrete in massive struc tures experimentation and modelling Nuclear Engineering and Design 2010 240 pp 2643 2654 Aurich M Filho A Shah S Modelagem por elementos finitos do comportamento do concreto nas primeiras idades Ibracon Structures and Materials Journal 2009 Vol 2 pp37 58 93 Ap ndice A Formulacao incremental da lei Constitutiva Pretende se obter a express o incremental da lei constitutiva o ke para tal necess rio substituir k pela sua definic o emp rica ko ko 1 33 0 3309 obtendo se o koo 1 33 0 33 0 E Introduzindo a formulac o incremental em A 3 obt m se oo 60 K 1 33 0 33 ao da eo de Por ltimo basta substituir a definic o do Kx 1 33 0 33000 0 em A 4 e simplificar at a express o pretendida do Ko e RK onde Rr 0 33Koo0a co de 95 A 4 A 5 Ap ndice B Teorema de Taylor O teorema de Taylor refere que qualquer func o suficientemente suave pode ser localmente aproximada atrav s de um polin mio O al 1 0
108. oncrete block Mathematics in Industry Case Studies Journal 2008 1 24 48 Lin F Meyer C Hydration kinetics modeling of Portland cement considering the effects of curing temperature and applied pressure Cement and Concrete Research 2009 39 259 269 88 23 24 25 26 27 28 29 30 Di Luzio G Cusatis G Hygro thermo chemical modeling of high performance concrete Theory Cement and Concrete Research 2009 31 301 308 D Aloia L Early age kinetics Activation energy maturity and equivalent age Early age cracking in cementitious systems Report 25 A Bentur Ed RILEM Publications 2001 Teixeira de Freitas J Pham C Marques J Application to the Modelling of the Early Age Thermal Response of Concrete Internal Report DECivil Lisboa 2010 March o C Appleton J Bet o Armado e Pr Esfor ado I folhas de apoio s aulas IST Lisboa 2007 Wilson E Three Dimensional Static and Dynamic Analysis of Structures A Physical Approach With Emphasis on Earthquake Engineering Computers and Structures Inc 2002 Lienhard IV J Lienhard V J A Heat Transfer Textbook Phlogiston Press 2008 Deus J Dias J Pimenta M Noronha A Pe a T Brogueira P Introdu o F sica McGraw Hill Lisboa 2000 RILEM Publications 2001 D Aloia L Chanvillard G Determining the apparent activation energy of concrete Ea Numerical simulations of the heat of hydration of cement Cement and Conc
109. para sistemas fechados Ein Es Es Eout 2 4 onde Ein corresponde energia que entra no volume Eout a que sai E nesta aplica o a energia gerada pelas reac es de hidrata o do cimento e Est aquela que fica armazenada Ein definido por Ein Oz 0y 0 2 5 e Eout por Si Zy en 2 Bout 04 Da dx oy Dy dy oz De dz 2 6 Para calcular a energia produzida durante a reacc o qu mica multiplica se a taxa de gerac o de calor interno Q em Wm pelo volume de controlo E Q dadydz 2 7 A energia que fica armazenada dentro do volume de controle calcula se atrav s da equa o Eu pc T dadydz 2 8 em que pc define o calor especifico 14 Substituindo as equa es 2 5 a 2 8 em 2 4 o dydz o da dz o dxdy Q dxdydz pcT dxdydz do Z da dydz oy oy eg dx Y dy dxdz o dz dxdy 2 9 Oy Oz e simplificando obt m se dor Ody Oo Ox Oy Oz HQ peT 2 10 Para que o resultado final dependa apenas do calor da temperatura e das propriedades do material necess rio recorrer Lei de Fourier 2 3 Concretizando a para a presente situac o obt m se OT a k 2 11 0 ko 2 11 OT OT z k 2 1 ej k De 2 13 Para finalizar necess rio substituir a Lei de Fourier em 2 9 obtendo se a equa o do calor OT OT OT RT ae By dr By vay ou denotando V Oy 0 4 VI KVT Q
110. portantes Al m disso o modelo considera as betonagens como instant neas o que neste caso pode ser um pouco for ado A via encontrada para ter indirectamente em conta este facto foi considerar diferentes valores para o grau de hidrata o inicial ao longo da peca i e valores superiores junto base que v o diminuindo at superf cie Poderiam ainda ter sido feitos ajustamentos adicionais relativamente distribui o do grau de hidrata o No entanto uma vez que os resultados n o estavam a tender de forma clara para nenhum dos dois tipos de cimento poss veis optou se por assumir as limita es encontradas de forma a evitar conclus es for adas Assim escolheu se a via intelectualmente honesta assumindo as margens de erro encontradas da ordem dos 10 C Todavia fica a ideia que havendo maior certeza relativamente ao cimento e fazendo ajustamentos adicionais o modelo tenderia para a solu o correcta Apesar de tudo aquilo que parece importante concluir que mesmo integrando as incertezas o modelos nunca deu resultados inveros meis e caso se considere uma margem de seguran a adequada para cada aplica o pode perfeitamente ser utilizado na previs o de casos reais onde tamb m n o se sabe a priori quais ser o as temperaturas ambiente Posto isto ficou criada explicada e validada experimentalmente uma ferramenta que pode de forma simples e acess vel ser utilizada por empreiteiros projectistas e investigadore
111. pretende arbitrar para o inicio do processo Assim sempre que se opte pela segunda via recomenda se a adop o de valores bastante pequenos na ordem de 1076 uma vez que tal praticamente impercept vel no tempo gasto pelo programa Por uma quest o de coer ncia sempre que s o feitas compara es com outros trabalhos opta se por seguir a via ali escolhida 4 6 Fun es de Aproxima o O vector y e a matriz B que tomam a forma gen rica Y fibo qn 4 46 B VY V2 VYN 4 47 s o obtidos atrav s das fun es de aproxima o e da sua derivada O n mero de entradas depende directamente do grau de aproxima o sendo sempre uma unidade superior a esse grau As fun es de aproxima o a utilizar podem ser de v rios tipos nomeadamente polin mios de Legendre fun es de Chebychev ou polin mios de Lagrange Os polin mios de Legendre t m 2Neste momento no IST est a decorrer um trabalho de doutoramento sobre o assunto 35 a grande vantagem de serem ortogonais entre si ver figura 4 3 sei j 142 PiPjde 4 4 48 1 0 sei j o que faz com que muitos termos do sistema se anulem Consequentemente pode ser poupado espa o de armazenamento recorrendo a matrizes esparsas respeitando apenas os coeficientes n o nulos As fun es de Chebychev s o mais est veis para graus de aproxima o elevados mas n o s o ortogonais pelo que ambos t m o seu espa o de aplica o 2 0
112. quatro instantes de tempo Uma vez que os m ximos ocorrem sempre no ponto m dio na an lise subsequente apresentam se apenas os resultados nesse ponto Posto isto para que seja poss vel tirar conclus es procede se a uma an lise de sensibilidade ao n mero de elementos refinamento h e em separado ao grau de aproxima o refinamento p considerando apenas o ponto m dio da sec o Posteriormente juntam se ambos os resulta Inclui o tempo gasto na corrida do programa mas tamb m o tempo dispendido na prepara o dos dados 2Obtidas com uma malha de 8 elementos de grau 13 50 Tabela 6 1 Caracter sticas do ensaio Converg ncia das solu es Propriedades T rmicas do Bet o Tipo de Cimento CA CEM I 42 5R Condutividade T rmica ko 2 6 W mK Calor Especifico pc 2400 kJ m3 K Energia de Activag o E 43 83k J mol Taxa de produc o de calor Ar 2 15 x 108W kg Calor libertado a tempo infinito Qo 355 2kJ kg Peso vol mico do cimento Ce 290 kg m Geometria e Malha de Elementos Finitos Espessura da peca 0 50 m N mero de Elementos varia Grau de Aproxima o varia Integra o no tempo Passo 15 min uy oo he o A 36 F 3 Sec o B 508 Secg o Sec o A 534 EA o F 932 0 6 0 5m B ER E E 30 4 528 E A 292 241 Sec o 0 0 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 Tempo dias Tempo
113. r modelos num ricos especificamente para este efeito Qualquer modelo por muito bom que seja constitui sempre uma aproxima o da realidade que geralmente bastante complexa Logo necess rio simplificar o problema atrav s da introdu o de algumas hip teses com o intuito de estabelecer um modelo bem definido exequ vel e v lido no mbito das suposi es admitidas Neste cap tulo apresenta se o modelo do comportamento no dom nio e na fronteira fazendo uma pequena refer ncia s simplifica es adoptadas deixando para mais tarde a sua valida o Em seguida introduz se o modelo matem tico come ando pelas suas equa es b sicas lei de Fourier e equa o de calor mas falando sobretudo da defini o das grandezas Houve a ne cessidade de recorrer a defini es emp ricas para algumas condi es de fronteira pelo que a sua apresenta o feita aqui Por fim faz se a ponte para o modelo matem tico dos tipos de fronteira previamente enumerados Figura 2 1 Modelo unidimensional 2 2 Modelo Conforme se pode observar na figura 2 1 utilizou se um modelo unidimensional do comporta mento t rmico como aproximac o de uma laje Implicitamente est a considerar se a laje como suficientemente comprida e larga de forma a desprezar os efeitos de fronteira em todas as faces a excepc o dos topos Ou seja e para o referencial indicado admite se que as vari veis do problema s o independentes das coordenada
114. ra Limitou se as ilustra es a malhas com oito elementos por se ter confirmado serem suficientes para assegurar a converg ncia da solu o Ainda com o intuito de facilitar a leitura apresentam se apenas as linhas correspondentes ao refinamento p e junto de cada ponto encontra se o n mero do grau de aproxima o utilizado para aproximar o campo de temperatura 52 6 3 Aproximacoes Fracas Apresentam se a seguir os resultados dos ensaios de converg ncia sobre as solu es obtidas para os campos de temperatura e do grau de hidratac o quando se utilizam aproximacoes fracas isto quando o grau de aproximac o da temperatura menor ou igual a cinco 6 3 1 Converg ncia do Campo de Temperatura No mbito das aproxima es fracas o primeiro aspecto a referir que n o faz sentido utilizar um elemento de primeiro grau quando se imp e a temperatura nas fronteiras Na pr tica uma vez que a temperatura nas fronteiras imposta esta malha n o tem graus de liberdade Assim qualquer que seja o instante considerado obt m se sempre a distribui o de temperaturas que se mostra na figura ou seja a distribui o de temperatura no dom nio fica condicionada exclusivamente pelas condi es de fronteira 0 5 e gt metros oS io Secg o N gt 0 93 24 25 26 27 28 Temperatura Celsius Figura 6 4 Temperatura prescrita 1 elemento de grau 1 Observando as figuras e
115. ras 1 1 1 09 09 09 08 08 08 07 07 07 06 0 5 06 05 05 05 04 0 4 04 03 03 03 02 0 2 02 01 0 1 01 02 04 06 08 1 y 02 04 06 08 1 6 5 horas 11 5 horas 1 1 1 09 09 09 08 0 8 08 07 07 07 08 De 06 05 0 5 05 04 04 04 03 03 03 02 0 2 02 DA 01 Da 0 02 04 06 08 1 a a 02 04 06 08 1 118 65 60 55 Iso 45 ao 35 30 25 02 04 06 08 1 a 65 60 55 so las ao 35 30 25 0 2 04 06 08 1 72 4 horas 102 4 horas 132 4 horas 4 2 horas 1 09 08 07 06 05 04 03 02 DA 02 04 06 08 1 17 5 horas 1 09 08 07 06 05 DA 03 02 01 02 04 06 08 1 08 Ls 0 7 06 0 5 04 0 3 i2 30 01 25 02 04 06 08 qe La ES 07 08 05 04 a E ta Lo 01 25 02 04 06 08 p mA 65 60 55 50 las ao 35 30 125 0 2 04 06 08 1 ar 24 0 horas 54 4 horas 1 82 4 horas 112 4 horas 08 07 06 05 04 03 02 01 02 04 06 08 1 02 04 06 08 1 02 04 06 08 1 08 07 06 05 04 03 02 01 o 34 4 horas 64 4 horas A 92 4 horas 02 04 06 08 1 122 4 horas 0 02 04 06 08 1 119 02 04 06 08 1 44 4 horas 02 04 06 08 1 72 4 horas 02 04 06 08 1 102 4 horas 02 04 06 08 1 132 4 horas 0 02 04 06 08 1 Ap ndice K Resultados do Modelo Unidimensional de Elementos Convencionais K 1 Temperatura 1 2 horas 1 0 0 8
116. re development J Am Ceramic Society 1997 80 1 3 21 Bishnoi S Vector Modelling of Hydrating Cement Microstructure and Kinetics Tese de Doutoramento Ecole Polytechnique F d rale de Lausanne 2008 Nothnagel R Budelmann H Model for the formation of microstructure in cement paste during hydration In Proc Int RILEM Symp CONMOD 08 E Schangen G de Scutter Eds Delft 2008 pp 362 368 Wang X Y Lee H S Modelling the hydration of concrete incorporating fly ash or slag Cement and Concrete Research 2010 40 984 996 Ulm F Coussy O Modeling of thermo chemo mechanical couplings of concrete at early age Journal of Engineering Mechanics ASCE 1995 121 7 1123 1132 De Schutter G Taerwe L General hydration model for Portland cement and blast furnace slag cement Cement and Concrete Research 1995 25 953 604 Cervera M Faria R Oliver J Prato T Numerical modeling of concrete curing regarding hydration and temperature phenomena Computers amp Structures 2002 80 18 19 1511 1521 Schindler AK Folliard KJ Heat of hydration models for cementitious materials ACI Materials Journal 2005 102 1 24 33 Gawin D Pesavento F Schrefler BA Hygro thermo chemo mechanical modeling of con crete at early ages and beyond Part I Hydration and hygro thermal phenomena Int J Numerical Method in Engineering 2006 67 299 331 Myers TG Charpin JPF Modelling the temperature maturity and moisture content in a drying c
117. rete Research 2002 Pina H M todos Num ricos Escolar Editora Lisboa 2010 Turner M Clough R Martin H Topp L Stiffness and deflection analysis of complex strutures Journal of Aeronautical Sciences Vol 23 9 805 823 1956 Pargana J Teixeira de Freitas J One Dimensional Mixed Hybrid Element for the Early Age Transient Thermal Response of Concrete IST Lisboa 2009 N A Manual do utilizador do DIANA sem data Consultado em http tnodiana com upload files DIANA 942 HTML Diana html a 2011 05 25 General Accounting Office GAO IMTEC 92 26 General Accounting Office Washington D C 1992 Teixeira de Freitas J Pargana J Pham C Hybrid Mixed Finite Element Modelling of the Early Age Thermal Response of Concrete Internal Report DECivil Lisboa 2010 89 41 42 43 44 45 46 48 49 Pereira O Integrac o Num rica e Locking IST Lisboa 2003 Camotim D An lise Geometricamente N o Linear de Estruturas Reticuladas IST Lisboa 2010 Lemos C Pina H M todos num ricos complementos e guia pr tico IST Press Lisboa 2006 Teixeira de Freitas J Castro L Introduc o ao M todo dos Elementos Finitos Estruturas Articuladas IST Lisboa 2010 Teixeira de Freitas J Castro L Introduc o ao M todo dos Elementos Finitos Elasticidade Plana e Tridimensional IST Lisboa 2010 Teixeira de Freitas J Castro L P rticos IST Lisboa 2010 Azevedo A M todo dos Elementos Finitos
118. ria dos poss veis casos de estudo As sim no presente trabalho opta se por desprezar a sua variacao e utilizar valores m dios encontrados na literatura Tabela 2 3 Par metros a utilizar na modelac o num rica E z E N N z 10 AQ om N e e s iS Pa Pa 19 iS a i9 in E y D a gt S 2 E a El E sal ca E sa sal El 6 O O O O O ie O lt lt lt lt lt m m m O O O O O O O O Ar 2 150E 08 1 607E 09 3 553E 09 4 096E 09 7 807E 07 3 522E 08 1 374E 09 7 683E 07 Ea kJ mol 43 83 48 19 51 02 52 10 41 84 44 38 47 40 41 30 Qu kJ kg 355 2 386 3 327 4 296 2 279 5 370 3 414 0 343 1 ar Far Far Far Far Far Far Far Far 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 05 0 65 0 62 0 75 0 83 0 62 0 58 0 53 0 68 0 10 0 91 0 88 0 95 0 99 0 85 0 85 0 83 0 92 0 15 1 00 0 99 1 00 0 99 0 98 0 98 0 99 1 00 0 20 0 98 1 00 0 97 0 95 0 99 1 00 0 98 0 98 0 25 0 94 1 00 0 96 0 87 0 92 1 00 0 89 0 91 0 30 0 86 0 95 0 90 0 83 0 82 0 94 0 76 0 82 0 35 0 75 0 85 0 78 0 77 0 72 0 83 0 57 0 74 0 40 0 63 0 70 0 66 0 68 0 58 0 69 0 39 0 64 0 45 0 51 0 56 0 56 0 59 0 41 0 55 0 24 0 52 0 50 0 41 0 45 0 46 0 51 0 27 0 41 0 17 0 41 0 55 0 32 0 36 0 34 0 42 0 19 0 30 0 16 0 31 0 60 0 24 0 28 0 25 0 30 0 15 0 22 0 14 0 24 0 65 0 18 0 23 0 20 0 21 0 12 0 17 0 11 0 18 0 70 0 13 0 18 0 16 0 16 0 10 0 13 0 08 0 14 0 75 0 09 0 13 0 12 0 12 0 08 0 10 0 06 0 10 0 80 0 06 0 08 0 08 0 08 0
119. ry aspect of my live ix Conte do ABstractl 3 3 5 2088 vio ee a o he da a ee Se ee Se ir Ze ee BO a Edo Kelle eae eee egw ade da aid er Be Oe ke Keine cay gt dee ee Acknowledgements ooa aa nn nn Lista de Tabelas Lista de Figuras 1 Introdu o pee de gigs A gets eee eee eg e ee a non 1 2 Estado da Arte o ex 2 mass b a ER ae a ad A Oe ta Ape a BIO o red aU Paes Se 1 4 Caracteriza o do Material 2 aa ee SL Au et foe eo RRA BARES Ss AS SS 2 Definigao do Modelo da y ad Bae Seed e eo ae A et Be ew goa ee oe pe ees eas fe NS Ce eee ge aes Se chee eae Rh or we ee Ro 2 3 Modos de Transfer ncia de Calor 2 aa ee SMe eae Me tee dota Gree ge erie Sd a Hoe ee eh wa Ab eae be ob ke Ged ade ee RE RS 2 5 1 Equa es B sicas nn nn a Bi re gs e ee ae E Ge GENS r ee ee oe ee xi vii ix xi XV xvii xxl O Ohm WwW N 2 5 4 Condi es de Fronteira A 3 Varia o no Tempo 3 1 Introdu o pra ww fp GREE tate Sete do dear Cea and oR ae ee eee oes ee ee eee 4 Elementos Finitos 4 1 Introdu o 4 2 M todo dos Elementos Finitos 0 m nn 4 3 Discretizagao no Espacol nn 4 3 1 M todo dos Res duos Ponderadosl 2 2 2 2 nn nennen 4 3 2 Balan o Energ tico 2 22 o nn 4 4 Assemblagem do Sistema 22 22 2 on nn nn 4 4 1 Tabela de Incidencias 4 5 Solu o Inicial pus ele Eb ee ce ee Be ee O
120. s embora falte ainda incorporar a parte mec nica do problema 84 9 2 Forma o O presente trabalho permitiu ao autor adquirir um conjunto de compet ncias que dificilmente desenvolveria de outra forma Assim neste caso concreto o aspecto formativo em temas que n o s o abordados na parte curricular do mestrado em engenharia civil foi significativo Neste mbito para al m dos aspectos ligados hidrata o do cimento destacam se os conhecimen tos adquiridos em programa o concretamente em Fortran77 e Mathematica na aplica o de m todos num ricos em engenharia durante a realiza o deste documento foi inclusiva mente poss vel assistir ao Congresso sobre os M todos Num ricos em Engenharia que se realizou em Coimbra na interpreta o e an lise de resultados experimentais De referir ainda que se aproveitou esta oportunidade para aprender a utilizar o ATEX 9 3 Desenvolvimentos Futuros O tema da hidrata o do bet o relativamente recente e encontra se muito longe de estar esgotado Existem portanto muitas linhas que podem ser seguidas com o intuito de aumentar o conhecimento existente O desenvolvimento bvio de um modelo unidimensional passa por aumentar o n mero de dimens es No entanto existem outros caminhos poss veis A primeira proposta sugerida passa por uma melhor defini o das condi es iniciais de hidrata o Os resultados experimentais mostram que no momento em que come a a hidrata
121. s Beatriz Condessa e Isabel Ramos pela gentileza e compreens o que tiveram numa altura em que estava fisicamente incapacitado de me deslocar ao IST Aos meus colegas de curso especialmente queles com quem fiz a maioria dos trabalhos de grupo Aqueles que t m sido o meu suporte emocional Todos sua maneira t m sido importantes mas sinto me na obriga o de deixar uma palavra de especial apre o aos que me apoiaram na fase mais complicada da minha vida a Salom Sim o que esteve sempre presente nos momentos cr ticos percorrendo algumas vezes grandes dist ncias para tal a Eng Esmeralda Dourado pelo apoio constante e pelas iniciativas que organizou o Fernando Sim es pela ajuda durante o semestre em que fiquei impedido de frequentar assiduamente as aulas e por ter testemunhado isso em tribunal o Jorge Pedro pelo apoio minha fam lia em especial minha irm e minha tia Aos meus pais por um apoio forte constante e que transcende em muito o percurso acad mico vii Acknowledgements First I would like to acknowledge the distinguished Professor Joao Teixeira de Freitas for his guidance availability and patience Thanks to his extraordinary wisdom I was able to acquire a span of skills which would have been very hard to gain otherwise I would also like to thank him for the support during the period of my trial due to a car crash where I was involved I would like to thank Doctor Julio Pargana co supervisor of thi
122. s cimentos utilizados na determina o de valores a utilizar no modelo tabelas 2 2 e 2 3 tenham uma composi o qu mica diferente daquele que utilizado nesta laje ainda expect vel que os valores da empresa B forne am uma melhor aproxima o do que os da companhia A mas em qualquer caso prov vel que a solu o fique sempre abaixo das medi es reais Estas discrep ncias n o devem contudo ser atribu das ao programa mas varia o que existe na composi o dos cimentos e consequentemente indefini o que existe quanto aos par metros a introduzir no modelo a tn Ww e Temperatura Celsius nm N hb o 0 1 2 3 4 Tempo dias Figura 8 3 Curva de caracterizac o pseudo adiab tica Posto isto opta se por realizar a simulac o utilizando os valores de ambos os fabricantes onde como era esperado devido a grande discrep ncia entre os valores da energia de activacao At se observam diferen as claras na amplitude dos gr ficos obtidos Observando as figuras 8 4 e 8 5 conclui se que em princ pio foi utilizado o cimento do fornecedor B Olhando apenas para a empresa B figura 8 5 verifica se que pr ximo da superf cie o modelo aproxima bastante bem as medi es Por m existem algumas discrep ncias no sensor inferior durante a fase descendente que se pode dever aproximac o assumida para a temperatura do solo Note se que no ens
123. s de An lise de Estruturas IST Lisboa 2002 Lewis R Nithiarasu P Seetharamu K Fundamentals of the finite element method for heat and fluid flow John Wiley amp sons Ltd 2004 R Bento M Lopes Modelac o Fisicamente Nao Linear de Estruturas de Bet o Armado IST Lisboa 1999 Reddy J An Introduction to the Finite Element Method McGraw Hill 1993 91 Marques J Simoes F An lise de uma laje pelo m todo dos Elementos Finitos IST Lisboa 2010 Quintela A Hidr ulica Fundac o Calouste Gulbenkian Lisboa 2005 Kreyszig E Advanced Engineering Mathematics John Wiley amp Sons Inc 2006 Baker A Finite Element Computational Fluid Mechanics McGraw Hill 1985 Virtuoso F Disciplina de Estruturas met licas Estabilidade de estruturas Colunas e vigas coluna IST Lisboa 2009 Neville A Brooks J Concrete Technology Prentice Hall 2004 Cook R Malkus D Plesha M Witt R Concepts and Applications of Finite Element Anal ysis John Wiley amp Sons 1988 Mangano S Mathematica Cookbook O Reilly 2010 Hoste J Mathematica Demystified McGraw Hill 2009 Adams JC Brainerd WS Hendrickson RA Main RE Martin JT Smith BT The Fortran 2003 Handbook Springer 2009 Apostol T C lculo Volume 2 Editora Revert Barcelona 1979 Oetiker T Partl H Hyna I Schlegl E Uma n o t o pequena introdu o ao IATFX 2g Vers o 4 20 1 2007 Pakin S The Comprehensive IXTfXSymbol List 2009 Robs
124. s de cada elemento ver figura 4 6 para coorde nadas fixas e pr definidas Neste caso utiliza se o intervalo 1 1 Convencionando x 4 como a primeira coordenada de um elemento gen rico e zg como a ltima L rp za define o comprimento do elemento tomando para transforma o de coordenadas a seguinte express o 2 e 1 com 1 lt e lt 1 4 57 _ 0 o IO TA TB 1 0 1 Figura 4 6 Mudanca de coordenadas 4 7 4 M todo de Newton Raphson O m todo de Newton Rapshon um algoritmo que permite resolver iterativamente equa es ou sistemas n o lineares Concretizando para o caso das estruturas este m todo caracteriza se por gt F d k do di 1 4 58 39 onde F representa as forcas aplicadas k a matriz de rigidez e d o deslocamento E necess rio es colher um valor inicial dy e dar in cio ao processo iterativo importante escolher com cuidado a estimativa inicial pois caso contr rio pode contribuir para a n o converg ncia do algoritmo O m todo de Newton Raphson tem a particularidade de recalcular em cada incremento a matrix de rigidez k Este m todo n o estritamente convergente independentemente da func o De forma sucinta preciso verificar se a primeira derivada da fun o bem comportada i e necess rio assegurar que a fun o n o apresenta os fen menos apelidados de snap trough e snap back Na figura apresentam se os fen menos referidos e o caminho seguido por este m to
125. s de liberdade da aproxima o da temperatura N e o eixo das ordenadas define a raz o entre o valor obtido com essa aproxima o e o valor tomado como refer ncia Uma vez que o presente problema n o tem solu o anal tica os valores de refer ncia para a temperatura Tpef e para o grau de hidrata o Qref foram determinados numericamente A solu o de refer ncia utilizada foi obtida com uma malha de 8 elementos de grau 13 tendo a sua converg ncia sido assegurada analisando os resultados obtidos com malhas mais refinadas Como se ilustra nas 6 5 a 6 18 o refinamento p feito utilizando sempre graus mpares e o refinamento h feito subdividindo o dom nio em 2 elementos Em cada gr fico a converg ncia com refinamento p definida por interpola es lineares dos pontos que representam as solu es obtidas com o mesmo grau de aproxima o estando a cor associada a um dado refinamento h Para analisar a converg ncia desta forma de refinamento basta interpolar os pontos que definem o mesmo grau de aproxima o como se ilustra na figura 6 5 para a aproxima o linear De referir que se optou por n o apresentar as curvas de refinamento h para evitar uma densifica o excessiva dos resultados resumidos em cada figura Para al m disso e com o intuito de mostrar as conclus es de forma t o clara quanto poss vel optou se por separar os resultados em aproxima es fracas e fortes utilizando o grau cinco como charnei
126. s passos interm dios para a obten o das equa es 3 18 a 3 20 podem ser encontrados no ap ndice 25 3 5 Discretizagao no Tempo Existem in meros procedimentos que podem ser utilizados para proceder a discretizac o na dimens o tempo Aqui utilizam se os chamados m todos 6 que podem ser escritos de forma geral v vo 1 O t g H tv 3 21 onde v representa a vari vel gen rica o e representam os valores da derivada no instante inicial to e no instante t respectivamente sendo 0 o factor de integra o Podem ser atr buidos a 0 diferentes valores dando origem a diferentes m todos designadamente o m todo de Euler progressivo 9 0 o m todo de Euler regressivo 0 1 e o m todo de Crank Nicholson 9 0 5 A forma incremental dos m todo 0 B t v dv dtto 3 22 cuja deduc o pode ser encontrada no ap ndice D usada para obter a discretizac o no tempo da condic o de equil brio t rmico 3 6 VT 80 Qada pc T Reo em V 3 23 onde Reo Qdo pcTo 3 24 Da mesma forma 3 22 pode ser utilizada na definic o 3 18 ficando da Aro T Rao Aao Ra 3 25 onde Ame 3 26 Aap Te 3 27 oe 5 3 28 Os passos interm dios para a obtenc o das equac es 3 25 a 3 28 encontram se no ap ndice 26 Capitulo 4 Elementos Finitos 4 1 Introdu o Estando o modelo definido importa agora escolher a abordagem a seguir na sua resoluc o Uma ve
127. s work for being always avail able and for the constant cheer up The fact that he and Eng Cuong Pham are not able to speak Portuguese very well was the motivation behind this English version of the acknowledgments I would also like to thank Eng Coung Pham for a source of information and results To Professor Carlos Tiago for the license of WinEdt and to Eng Maria Jos Duarte for the intro duction to ATEX To Professor Miguel Azenha for sharing the raw values of his experiments and to Fundac o para a Ci ncia e Tecnologia FCT for the support given to this work namely through the scholarship that they gave me To my classmates specially to those who were closer and worked with me I want to make a word of appreciation to Professors Beatriz Condessa and Isabel Ramos for the kindness and comprehension when I was physically unable to go to the IST To those who have been my emotional support Everyone in their very own manner were important but I must point out those who stand by during the hardest phase of my life Salom Sim o for being always present in the critical moments Eng Esmeralda Dourado for organizing some support initiatives and Fernando Simoes for his help during the semester in which I was unable to frequent the classes and for testifying that on court to Jorge Pedro for the support To my family specially to my sister and to my aunt To my parents for their strong constant and outstanding support in almost eve
128. s z e y A representac o apresentada necessitar naturalmente de ser validada posteriormente com recurso a outros modelos ou preferencialmente a resultados experimentais 2 3 Modos de Transfer ncia de Calor Fisicamente o calor pode ser transmitido de tr s formas diferentes na fronteira de um corpo 1 Conduc o A conduc o o processo de transfer ncia de calor em que o transporte de energia t rmica realizado atrav s do movimento de vibrac o aleat rio de mol culas ou atrav s do movi mento de electr es livres tipicamente a forma de transmiss o de calor entre corpos s lidos ver figura 2 2 2 Convec o A transfer ncia de calor por convecc o feita atrav s do movimento de fluidos Um caso t pico quando uma superf cie quente aquece o fluido circundante que devido por exemplo 10 Figura 2 2 Condu o a circulac o do vento vai sendo renovado e transportado para outro local Assim o fluido em contacto aquecido e substitu do por fluido circulante que por sua vez pode chamar mais calor da superf cie do corpo ver figura 2 3 Figura 2 3 Conveccao 3 Radiac o A transfer ncia de calor por radiac o est relacionada com a emiss o de energia a partir de um corpo como consequ ncia da sua temperatura ver figura 2 4 Ao contr rio dos dois modos anteriores a radia o ocorre mesmo no v cuo Alega se que este tipo de transfer ncia feito atrav s de ondas electromagn
129. ta o aproxima es fracas 14 horas Aref 0 480 55 6 10 Grau de hidrata o aproxima es fracas 48 horas Qref 0 801 56 6 11 Temperatura aproxima es fortes 7 horas Tref 27 708 C ooo ooo 57 6 12 Polin mio de Lagrange grau 21 2 2 CC En nn nn 57 6 13 Temperatura aproxima es fortes 7 horas Tref 27 708 C 2 2 2 58 6 14 Temperatura aproxima es fortes 14 horas Tref 36 868 C 58 6 15 Temperatura aproxima es fortes 48 horas Tre 26 372 C 58 6 16 Grau de hidrata o aproxima es fortes 7 horas Aref 0 072 59 6 17 Grau de hidrata o aproxima es fortes 14 horas are 0 480 59 6 18 Grau de hidrata o aproxima es fortes 48 horas amp aref 0 801 59 ee aia 65 or 66 nn 66 7 4 Compara o com modelo h brido unidimensional Sec o no instante inicial 67 7 5 Compara o com modelo h brido unidimensional Convecc o Qo 0 67 7 6 Malha de 2 x 2 elementos 2 nn nn nn 68 ees 68 rn 68 7 9 Modelo bidimensional Grau de hidratacao as 17 5 44 4 e 72 5 horas 69 7 10 Modelo unidimensional Grau de hidratacao as 17 5 44 4 e 72 5 horas 69 heap eons 70 7 12 Compara o com o modelo bidimensional s 3 2 17 5 24 0 44 4 e 72 4 horas 70 aa GAR ds owe ee ae ee en A 72 A E ESSA Bd cee ER e E ee ee ee ye 72 paa a a E ee ee 74 E E A 75 E A a e ae 75 Sek ek a
130. ta o das equa es b sicas referentes ao problema t rmico Ficam por caracterizar algumas grandezas apresentadas o que feito na sec o seguinte Este problema tem duas equa es fundamentais 1 Lei de Fourier De acordo com 28 demonstra se experimentalmente que existem duas leis que regem o fluxo de calor A primeira condi o diz que o fluxo de calor F e a varia o da temperatura no espa o VT t m direc es opostas o VT E e ae 21 lo NT a1 A segunda lei refere que a magnitude do fluxo de calor directamente proporcional ao gradiente de temperatura la x VT 2 2 Posto isto o fluxo de calor deixa de ser algo abstracto e passa a ser parte de uma cons tante de proporcionalidade uma quantidade com uma direcc o e magnitude definidas A constante de proporcionalidade define a condutividade t rmica k em Wm7 K con forme se observa na lei de Fourier o k VT 2 3 Note se que a lei de Fourier estabelece uma condi o de causalidade entre o campo de temperaturas e o fluxo de calor 2 Equa o de Calor A dedu o da equa o de calor pode ser feita de v rias formas A forma usual na literatura A atrav s da conservac o da energia num volume de controle Na figura 13 Oz 0z Figura 2 5 Volume de controlo apresenta se um volume de controle gen rico onde pode ser feito o balanco energ tico De acordo com a primeira lei da termodin mica
131. uperficie Temperatura Condutividade t rmica Energia que entra no volume de controle Energia gerada pelas reac es de hidrata o do cimento Energia que fica armazenada no volume de controle Energia que sai do volume de controle Fluxo de calor segundo a direcc o do eixo x Fluxo de calor segundo a direcc o do eixo y Fluxo de calor segundo a direc o do eixo z Fonte de calor Calor espec fico Gradiente da temperatura no espaco Deformac es Emissividade Condutividade t rmica ap s formac o de presa Grau de hidratac o Quantidade de calor a tempo infinito valor m ximo da produc o de calor Func o que define a evoluc o da taxa de calor normalizada Energia de Activac o constante universal dos gases normal Fluxo de calor prescrito Temperatura prescrita Coeficiente de convecc o radiac o Temperatura ambiente Coeficiente de convecc o Coeficiente de radiagao Velocidade do vento xxil Capitulo vo dv de T do Ry da ST T Rho hero her dhe Oh Ta Bo fo Grandeza gen rica no instante t Grandeza gen rica no instante inicial Velocidade do vento no inicio do incre mento Incremento de uma grandeza gen rica Incremento na velocidade do vento Incremento do gradiente da temperatura no espa o Incremento de temperatura Incremento do fluxo de calor Valor da condutividade t rmica no in cio do incremento Res duo do fluxo de calor Incremento da derivada do grau de hi
132. utiliza se uma malha de 2 elementos de grau 13 O terreno e o bet o s o modelados com a formula o anteriormente descrita admitindo no primeiro caso que Ar 0 para assegurar que a nula a taxa de libertac o de calor definida pela equac o 2 18 semelhanca do que j acontecia na laje do armaz m neste caso tamb m se conhece apenas o tipo do cimento CEM II AL 42 5R mas nao a empresa que o fabricou Assim testam se novamente as duas empresas como se mostra na tabela 8 2 Quanto s condi es de fronteira o modelo bidimensional considera convec o na face su perior e fluxo nulo na face inferior No entanto no modelo agora criado opta se por manter a convecc o na fronteira superior mas por adoptar a condic o de temperatura prescrita para a inferior Na face superior utilizam se os valores medidos pelo sensor 5 e na base uma tempe ratura fixa e igual a 9 5 C Os 9 5 C sao determinados com base numa an lise da varia o da temperatura em profundidade apresentada em 2 tendo se constatado que a partir dos 5m a temperatura tende a estabilizar neste valor Nao sendo dito nada quanto a emissividade utiliza se o valor m dio de 0 9 Relativamente a velocidade do vento na fronteira superior tamb m nada dito mas em 46 referido que sendo este um local onde o vento circula a baixas velocidades pr ximo do solo lt 5km h e porque foi colocada uma membrana geot xtil se recomenda um coeficiente de convecc o radi
133. verifica se que quando o n mero de graus de liberdade baixo um elemento com grau inferior a cinco ou dois elementos com grau inferior a tr s as solu es do modelo ainda apresentam um erro apreci vel De facto conforme se confirmar adiante quando se utilizam poucos graus de liberdade a reacc o de hidratac o nao processada de forma adequada Note se ainda que a qualidade da soluc o cresce muito mais rapidamente com o aumento do grau de aproximac o do que com o n mero de elementos o que que recupera um resultado bem estabelecido na soluc o de problemas lineares Conclui se ainda que com malhas relativamente grosseiras e quando o processo de hidratac o est em franco desenvolvimento contra o que sucede na an lise de problemas lineares a soluc o pode piorar quando para um dado grau de aproximac o se aumenta o n mero de elementos como ilustra a linha de refinamento h representada na figura 6 7 53 1 02 1 00 0 98 Grau de Aproximag o T Tier 0 96 0 94 Refinamento p 0 92 Refinamento h e em i 1 0 1 5 2 0 25 3 0 3 5 4 0 Ln N de Graus de Liberdade Figura 6 5 Temperatura aproxima es fracas 7 horas Tye 27 708 C Grau de Aproximac o rms 1 Elemento 2 Elementos 4 Elementos 8 Elementos Grau 1 y Ln N de Graus de Liberdade F
134. wever there is still much to do in order to control the process of cracking of the concrete during hardening i e ensure a evolution of the state of tension compatible with the development of mechanical strength It should be noted that at early ages the evolution of the deformation of concrete is strongly influenced by thermal and volumetric variations almost always constrained by internal and external constraints A one dimensional thermo chemical model of conventional finite elements approximating the temperature field was developed that reproduces the evolution of the temperature and hydration degree fields during the hydration process Deliberately has been left to the user some options that usually are admitted by default namely the possibility to choose between several initial conditions for the hydration and the possibility of considering a heat release rate different from zero in the beginning of process After the formulation of the model a sensitivity analysis was carried out where the number of finite elements and their degrees of approximation was studied The results were compared with other programs which verified the plausibility of the assumptions made Finally in order to understand the suitability of the finite element formulation and some assumptions made the one dimensional modelling approach was used for two case studies a slab of an industrial structure and the foundation of a wind turbine The first situation is within
135. z que n o poss vel impor de forma forte todas as condi es o leque de caminhos poss veis reduz se substancialmente ficando limitado aos m todos num ricos A maioria dos problemas tratados pela engenharia civil n o t m solu o anal tica pelo que a situa o n o nova Da resulta a import ncia de dispor de um m todo que permita obter solu es aproximadas para os problemas s derivadas parciais lineares ou n o lineares que caracterizam todos os modelos de an lise estrutural Esse m todo deve ser geral aplic vel a todos os modelos estruturais ser relativamente f cil de aplicar e produzir solu es com os n veis de precis o exigidos pelos crit rios de dimensionamento Existem v rios m todos que permitem a obten o de solu es aproximadas e dentro de cada m todo v rias t cnicas para a formula o do problema No presente trabalho adopta se o m todos dos elementos finitos que o mais popular na resolu o de problemas ligados an lise estrutural Este m todo surgiu quando foi proposto um conceito que consistia em discretizar o dom nio da estrutura originando os elementos finitos e aproximar em cada uma dessas partes algumas das vari veis em estudo 32 O que distingue as diferentes formula es do m todo s o as vari veis que se escolhe para aproximar directamente e a forma como se imp em n o s as condi es no interior de cada elemento equil brio compatibilidade e elasticidade

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