O que é o GeoGebra?
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1. perpendicular a g A dire o desta reta equivalente a do vetor perpendicular ver 4 3 5 a q Mediatriz A mediatriz de um segmento fica estabelecida por um segmento s ou por dois pontos A e B A dire o desta reta equivalente do vetor perpendicular ver 4 3 5 ao segmento s ou a AB Pa e Bissetriz A bissetriz de um ngulo pode ser definido de duas maneiras 1 Ao marcar os tr s pontos A B C a bissetriz do ngulo determinado por A Be C com B como v rtice tra ada 2 Ao marcar duas retas se produzem as bissetrizes de seus ngulos Os vetores dire o de todas as bissetrizes t m tamanho 1 Lo Tangentes As tangentes de um c nica podem ser determinadas de duas maneiras 1 Ao marcar um ponto e uma c nica c s o produzidas todas as tangentes a c que passam por A 2 Ao marcar uma reta g e uma c nica c s o produzidas todas as tangentes a c que s o paralelas a q Ao marcar o ponto A e a fun o f obt m se a reta tangente a fem x x A Q Reta polar ou diametral Esse modo cria uma reta polar ou diametral de uma se o c nica 1 Ao marcar um ponto e a se o c nica voc obt m a reta polar 2 Ao marcar a reta ou o vetor e a se o c nica voc obt m a reta diametral 3 2 8 Se o C nica na Z C rculo definido pelo centro e um de seus pontos Ao marcar um ponto M e um ponto P est definido um c rculo com centro M passando por P O raio do c rculo a dist2. Os n meros e ngulos livres podem ser mostrados como seletores na rea de trabalho ver 3 2 10 Por meio das teclas de seta voc tamb m pode mudar o valor dos n meros e ngulos na janela alg brica ver 4 1 2 Valor Limite para Intervalo Os n meros e ngulos livres podem ser limitados por um intervalo min max propriedades ver 3 1 1 Este intervalo usado tamb m para seletores Seletores ver 3 2 10 Para cada ngulo dependente voc pode especificar se pode mudar a simetria ou n o propriedades ver 3 1 1 4 2 2 Pontos e Vetores Pontos e vetores podem ser ingressos em coordenadas cartesianas ou polares ver 4 2 1 As mai sculas rotulam pontos e as min sculas rotulam vetores coordenadas cartesianas coordenadas polares ponto P P 1 0 P 1 0 4 2 3 Reta Uma reta inserida como uma equa o linear em x e y ou na forma parametrizada Em ambos os casos pode se empregar vari veis definidas n meros pontos vetores O nome da reta deve ser dado no in cio da entrada seguida por dois pontos equa o forma parametrizada ka 3x 4y g X 5 5 t 4 3 2 Seja k 2 e d 1 por exemplo Ent o podemos definir uma reta g escrevendo a equa o g y kx ad Eixox e Eixoy Os dois eixos coordenados est o dispon veis nos comandos usando os nomes Eixox e Eixoy Por exemplo o comando Perpendicular A Eixox constr i a reta perpendicular ao eixo x atrav s do
3. o COMANTO nani add ia 31 limitada por um intervalo 24 TUN O dE Xoo Enn ss Ss restos ars 23 fun es trigonom tricas 24 girar em torno de um ponto MOO R 10 17 hip rbole COMANO srera a sra 31 homotetia COMANTO qaneraiaacisaeioreranaitaianenmadas 34 homotetia de um ponto por um fator MOIO RSRS ERREI PER EDER RR 17 imagem OXON O parnaiba aA 33 INS CNI a 18 je 1 6 6 BPN a e SP 19 imagem de fundo 19 imprimir area de trabalho 35 protocolo de constru o 35 inclina o COMANDO inss nissan icons antonio 26 ROC A E E E 22 integral comando 26 31 aeae O ETTE 31 interse o comando sistemas 28 interse o de dois objetos OCO ataca aaa oia 11 lugar geom trico COMAN O usasse nica iai as a 33 MOC O stat att an ain a ua da a 16 mediatriz COMANCOs ess asa q sia as soa Sa 30 MOTO assa ass EE 13 menu contextual ssa sansasassanancas mondo 8 modifica o de valores 21 mover RALO 6 6 RREO NR 10 mover rea de trabalho MOO cenina R 10 movimentos 33 novo ponto MOO RR RR RR 11 numero Val IM E eeina aa 22 NUMEO Soana N N 22 opera es aritm ticas 24 par bola COMAN Os assis sesuais os Esai essi ss 31 par metro COMAN O cerae ssa si saca asa 26 perpendicular COMAN O si ssininioa ir nica sic dasian
4. 6 PR RD RR PDR RR DR RD DR TDR RO 26 4 3 4 PONTO iusatesaiadainaalesaieraiaadasaiebaiasa dad uiaaaudai ve giadaicaaindaleseietnigaadasnies ainda 21 AO VEO iprsro ras psi ovo E q E E 28 SO EMO E E 29 4 3 1 SCI LA ss a E di 29 4 3 8 POIOONO secors Es sasia ca fsa aaa Gus isa asia isca again aa Sis Rasa asa ias ane 29 4 3 9 RO LO aopen ra EAO ANSE anna Rapina dna dg 29 Loo Se o CONICA sssiisiiiss bes iisa sadias A pena a 30 ES UN O NEE ETAT 31 A Sc2 MICO O SCIO spa ro iara ts Douro a Das a A Aii 32 ROO INAC CM sessao a N a 32 4 3 14 Lugar Geom trico LOCUS eee erre ere eres 33 4 3 15 Transforma es Geom tricas c iene nreanna 33 Capitulo 5 Imprimindo e exportando c erre EA 35 5 1 MOANN O eaa 35 541 Areade trabalho usas ipi Sa 35 2 1 2 Protocolo de CONSITU O aus gasiii n LG SDL s E 35 5 2 Janela de Visualiza o como Figura erre 35 5 3 Copiar para rea de transfer ncia aT 36 9 4 Protocolo de constru o como P gina Web 36 5 5 Planilha din mica como p gina da WEB 36 Capityo O OPCOCS tato da RO RO a da a Ra aa RO Ra 38 6t Cabta o Ce PONLOS rara ja 38 02 Umaade ANUA tecer een Ene Rn a a PROC RR o RD RR 38 Bo Casas DECIMAIS asas ss sons Riso Rico an rd Rods ndro si ado nrd ao andas Sia sida dan 38 GA JESUO GO PONTO sanin its LADO ANG 38 69 Qualidade Grall aiaee Louca poco Eai Ga anal asa lca Diane dai 38
5. assim voc pode e delet lo pressionando a tecla Del e mov lo utilizando as teclas de seta ver 4 1 2 Para selecionar v rios objetos deve se manter pressionada a tecla Ctrl Girar em torno de um ponto Selecionar em primeiro lugar o ponto central da primeira rota o Depois voc pode girar objetos livres ao redor desse ponto simplesmente arrastando os com o mouse a a b Rela o Para marcar um par de objetos e manter informa es sobre suas rela es ver 4 3 1 Mover rea de trabalho Para mover e soltar a rea de trabalho e mover a origem do sistema de coordenadas Voc tamb m pode mover a rea de trabalho pressionando a tecla Ctrl e arrastando a com o mouse R Zoom de aproxima o Pode se clicar sobre qualquer lugar da rea de trabalho para produzir um zoom de aproxima o ver 3 1 4 a Zoom de afastamento Pode se clicar sobre qualquer lugar da rea de trabalho para produzir um zoom de afastamento ver 3 1 4 A Exibir esconder objeto Ao clicar sobre um objeto voc pode mostr lo ou escond lo respectivamente Todos os objetos que devem estar escondidos s o destacados Suas mudan as se efetivar o logo que voc escolher um outro modo na barra de ferramentas Exibir Esconder r tulo Clique no r tulo do objeto para Exibir Esconder respectivamente Estilo c pia visual Esse modo permite copiar as propriedades visuais como cor dimens o estilo de reta etc a pa
6. coordenadas ou equa es ver 4 2 voc pode usar express es aritm ticas com par nteses As seguintes opera es est o dispon veis subtra o oS d fatorial C abs round Por exemplo o ponto m dio M de dois pontos A e B pode ser ingresso como M A B 2 O comprimento do vetor v pode ser calculado usando l sqrt v v Percebemos que voc poder fazer c lculos com pontos e vetores muito bem com o GeoGebra 4 3 Comandos Com a ajuda dos comandos voc pode produzir novos objetos e modificar os objetos existentes A interse o de duas retas g e h produz um novo ponto por exemplo S Interse o 9 h ver 4 3 4 O resultado de um comendo pode ser nomeado inserindo um r tulo seguido de Em nosso exemplo S Interse o g h o novo ponto nomeado S Voc pode tamb m usar ndices com os nomes dos objetos A resp Sag inserido como 1resp s AB 4 3 1 Comandos Gerais a a b Rela o Rela o objeto a objeto b mostra uma caixa de mensagem que nos informa a rela o de a e b Este comando nos permite averiguar se dois objetos s o iguais se um ponto pertence a uma reta ou c nica ou se uma reta tangente ou cruza uma c nica Apagar Apagar objeto Apaga um objeto e todos os seus dependentes 4 3 2 N mero Comprimento Comprimento vetor Comprimento de um vetor Comprimento ponto A Comprimento do vetor na posi o de A rea realponto A ponto B ponto C re
7. SO TaManno GS ONE aorin a a E A AA E AA 38 OL ENGU N e E E E E 38 68 Aread etabalhOcriininiiniccinir irine 39 A E E IO 40 Capitulo 1 O que o GeoGebra GeoGebra um software matem tico que re ne geometria lgebra e c lculo Ele foi desenvolvido por Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburg para educa o matem tica nas escolas Por um lado o GeoGebra um sistema de geometria din mica Permite realizar constru es tanto com pontos vetores segmentos retas se es c nicas como com fun es que podem se modificar posteriormente de forma din mica Por outro lado equa es e coordenadas podem estar interligadas diretamente atrav s do GeoGebra Assim o software tem a capacidade de trabalhar com vari veis vinculadas a n meros vetores e pontos permite achar derivadas e integrais de fun es e oferece comandos como ra zes e extremos Essas duas vis es s o caracter sticas do GeoGebra uma express o em lgebra corresponde a um objeto concreto na geometria e vice versa Capitulo 2 Exemplos Para ter uma impress o geral das possibilidades do GeoGebra revisaremos alguns exemplos 21 Triangulo com ngulos Para come ar escolha o modo Novo ponto ver 3 2 na barra de ferramentas e d tr s cliques na rea de trabalho para criar os tr s v rtices A Be C do tri ngulo Escolha o modo Pol gono e d um clique sobre os pontos A B C e novamente sobre A para criar o tri ngulo P A janela a
8. ncia MP e C rculo dados centro e raio Ap s marcar um ponto M como centro aparecer a janela para ingressar o valor do raio s C rculo definido por tr s pontos Ao marcar tr s pontos A Be C fica definido um c rculo que passa por estes pontos Se os tr s pontos pertencem a uma reta o c rculo fica reduzido a esta reta C nica definida por cinco pontos Ao marcar cinco pontos fica definida uma se o c nica que passa por eles Se quatro desses cinco pontos ficam sobre uma reta a se o c nica est definida 3 2 9 Arco e Setor O valor alg brico de um arco representa seu comprimento o valor de uma se o representa sua rea Te Semic rculo dados dois pontos Ao marcar dois pontos A e B se produz um semic rculo sobre o segmento AB a Arco circular dados o centro e dois pontos Ao marcar tr s pontos M A e B se produz um arco circular com centro em M que tem como extremo inicial o ponto A e termina com o ponto B Nota o ponto B n o precisa pertencer necessariamente ao arco A j Setor circular dados o centro e dois pontos Ao marcar tr s pontos M A e B se produz um setor circular com centro em M que tem como extremo inicial o ponto A e termina com o ponto B Nota o ponto B n o precisa pertencer necessariamente ao setor q Arco circumcircular dados tr s pontos Ao marcar tr s pontos se produz um arco circular passando por esses pontos A Setor circum
9. no menu de ajuda do protocolo de constru o 3 1 7 Redefinir Um objeto pode ser redefinido usando o menu contextual ver 3 2 1 Isso muito til para introduzir mudan as na sua constru o Tamb m pode ser aberta a caixa de d logo com a qual se Redefine clicando duplamente sobre o objeto desejado Para localizar um ponto livre A sobre uma reta h se usa Redefinir para o ponto A e se insere Ponto h Para remover o ponto dessa reta e liber lo novamente redefine o a certo ponto de coordenadas livres como na figura ver 3 2 Outro exemplo a convers o de uma reta h que passa pelos pontos A e B em um segmento que os tem como extremos escolha Redefinir e escreva Segmento A B A ferramenta que permite a redefini o de objetos muito vers til para uma modifica o retrospectiva do que foi constru do Conv m levar em considera o que deste modo tamb m poss vel mudar a ordem das etapas de constru o dentro do protocolo de constru o ver 3 1 6 3 2 Modos Os seguintes modos podem ser ativados na barra de ferramentas ou o menu Geom trico Clique na flecha pequena direita do cone para passar aos outros modos desse menu Para marcar um objeto clique nele com o mouse Em todos os modos de constru o voc pode facilmente criar novos pontos clicando na rea de trabalho 3 2 1 Modos Gerais 3 Mover Para arrastar e soltar objetos livres com o mouse Selecione um objeto clicando no modo R Mover
10. panico copa iiGo caso nica ss pe micn cano Go Raro nina ansioso nico nina nda 10 did MODOS uisiatiniiao botas alganids sis sabicobsesiieabsusidus banida bira Lisa iba dass du siga sida 10 SLA Modos Geral aaea DR IRES R V DA M 10 3 2 2 FON Orar CS O AA E A A AAA 12 Dee VETOT aAA AA A A A A A S 12 SLA SCOMENTO corrr T TETEE 13 FA OM TE Arn REES 13 3 2 6 POIGONO recerere rr ean E Ee E E a 13 3 2 1 PO EA A 13 3 2 8 SEC O CONICA ionia a a a o 14 SL ANCE S O aaa a E O A 15 3 2 10 N mero e ngulo 16 d2 141 lugar GOOMELCO cierren EE E 17 3 2 12 Transforma es Geom tricas is eseerreeeerrerreaeam 17 SAT gt 6 9 JAR E UR AR Pa RR RARA O AR RR 18 DZ d IMAJO asas ad aaa ea aa do a sao a aa ada aan 19 3 2 15 Propriedades de Imagens eee rererra rea aeam 19 Caprulod Entrada AlgeDNCaA ca icasiansicasiansia E a 21 4 1 Notas GOTAS ororena asia a RD Ra gde 21 4 1 1 Mogiiica o de valle S ass aaiaa denis aA 21 Mel SAMINA O esa ceia nda ias a nao ia aaa 21 A Entrada Direla ias giga a 21 4 2 1 NUMOS C ja o 0 6 fo pesar ea a o RR SS RR 22 4 2 2 PONOSEN LOL CO ins 22 4 2 3 BLE EA T Ge o a 22 Sum rio 4 2 4 o eloio 0 000 6 RR DR RR NV RD RR RAN AR RR RR RN 23 4 2 0 FUNCIONE a SR 23 4 2 6 Opera es AfILMETICAS juagrasiniaragabisgai aaa a GURI L Saad 24 O COMANTOS acitoosiis dons dd dad dd dn a dd 25 4 3 1 Comandos Gerd Serriera dead a a 25 4 3 2 NUME O areae NANA OAA ONAA 25 ADS 490
11. planilha ggb e geogebra jar deve ser armazenado em uma pasta diret rio para que a constru o opere dinamicamente Claro que voc pode copiar todos os tr s arquivos para outra pasta tamb m Nota O arquivo exportado em HTML e x circulo html pode ser mostrado com algum navegador e x Mozilla Internet Explorer Para a constru o din mica funcionar deve ter sido instalado o programa Java no computador Voc pode baixar o Java de hitip www java com livremente Se voc quer usar sua planilha no computador de sua escola com internet pe a para o administrador local da rede instalar o Java nos computadores Voc pode tamb m editar o texto da planilha com algum editor de texto e x Frontpage Word abrindo o arquivo HTML exportado Capitulo 6 Op es As op es Globais podem ser mudadas no menu Op es transformando as configura es do objeto por favor use o menu contextual ver 3 1 1 6 1 Capta o de pontos Capta o dos pontos na grade 6 2 Unidade Angular Determina se ngulos s o exibidos em graus ou em radianos rad sempre poss vel ingressar ambos os caminhos graus e radianos 6 3 Casas Decimais Determina as casas decimais 0 1 5 6 4 Estilo de ponto Determina se pontos s o mostrados como pontos ou como cruzes 6 5 Qualidade Gr fica Determina a qualidade de sa da grafica na janela geom trica 6 6 Tamanho da fonte Determina o tamanho da fonte dos pontos p
12. segmento Centro c nica Centro de uma se o c nica e x c rculo elipse hip rbole Foco Foco c nica Todos foco de uma se o c nica V rtice V rtice c nica Todos v rtice de uma se o c nica Baricentro Baricentro poligono Baricentro de um pol gono Interse o Interse olreta g reta h Ponto de Interse o das retas g e h Interse oT reta g c nica c Todos os pontos de Interse o de g e c m x 2 Interse olreta g c nica c n mero n en simo ponto de Interse o de gec Interse o c nica c c nica d Todos os pontos de Interse o de ce d m x 4 Interse o c nica c c nica d numero n en simo ponto de Interse o de ce d Interse o polin mio f polin mio g Todos os pontos de Interse o de fe g Interse o polin mio f polin mio g n mero n en simo ponto de Interse o de fe g Interse o polin mio f reta g Todos os pontos de Interse o de fe g Interse o polin mio f reta g n mero n en simo ponto de Interse o de fe g Interse o fun o f fun o g ponto A Ponto de Interse o de f e g com valor inicial A pelo m todo de Newton Interse o fun o f reta g ponto A Ponto de Interse o de f e g com valor inicial A pelo m todo de Newton ver tamb m o modo x interse o de dois objetos 3 2 2 Raiz Raiz polin mio f Todas as ra zes do polin mio f como pontos Raiz fun o f n mero a Uma raiz da fun o f
13. um n mero f de vezes a partir do ponto S Novos v rtices e segmentos s o criados tamb m Homotetia imagem p n mero f ponto S Amplia ou Reduz a imagem p um n mero f de vezes a partir do ponto S Capitulo 5 Imprimindo e exportando 5 1 Imprimindo 5 1 1 rea de trabalho No menu Arquivo a op o Visualiza o da Impress o Janela de Visualiza o permite especificar o t tulo autor data e escala da sa da impressa em cm Voc deve teclar Enter ap s qualquer mudan a para atualizar a janela pr via 5 1 2 Protocolo de Constru o Existem duas maneiras para abrir a janela do protocolo de constru o e No menu Arquivo no item Visualiza o da Impress o usando a op o Protocolo de Constru o e No menu Exibir abra o Protocolo de Constru o primeiro L voc encontra o it m Visualiza o da impress o no menu arquivo O segundo caminho mais flexivel voc pode desativar e ativar as diferentes colunas do protocolo de constru o ver menu Exibir do protocolo de constru o Na janela de Visualiza o de Impress o voc pode ingressar t tulo autor e data 5 2 Janela de Visualiza o como Figura Voc encontra o item Janela de Visualiza o como Figura png eps no menu Arquivo Exportar Aqui voc pode especificar a escala em cm e a resolu o em dpi do arquivo de sa da A verdadeira medida da imagem exportada aparece na parte inferior da janela Pode se selecionar um dos segui
14. 8 circle through three points MOTO samira dig biadi AANA 14 c rculo dados centro e raio MOdO casi ai rain cin a a e au 14 c rculo definido pelo centro e um de seus pontos MO O aii as 14 Comandos caniiani sioniz sas isdal nin sis comprimento comando re ren ComprimentodoPrimeiroEixo COMAN O uusesrendissdie sinais densas ComprimentodoSegundoEixo comando re ren c nica COMANTO sisiepinisoniaindsdea sis dsansisas c nica definida por cinco pontos MOQO aa in A construction protocol 90 6 orin e a E derivada comando sus seis tos Sis aankon di metro comando ra ren dire o comando re ren diretriz comando re ren dist ncia EixoPrincipal comando re ren eixos comando re ren Eixos EIXOM EIXOY siso Sist oia la dad edi EixoSecund rio estilo c pia visual MOC O semacam ecoa ENa estilo da Tela cnnan aA estilo de ponto rreren estilo visual CODIA orenian Sissi Excentricidade 25 4 6 AR RE RA 8 exibir esconder objeto MOIO PDR DR RED RED RR 10 exibir esconder r tulo MOCO ss prio a Sc 11 expandir PONM O squaisnigaa bars ssnlad asa 31 expessura do tra o 8 EXPORAR eea e ad 35 extremo COMANDO carpa i rs die 33 extremos COMAN O pa ias sido ion AS add 28 foco COMANA 6 RR DR EAN 21 formata o do estilo de c pia visual 11 f rmulas em LATEX 18 fun
15. GeoGebra INFORMA ES WWw geogebra org Autor Markus Hohenwarter ltima modifica o 19 de Abril de 2007 Tradu o para Portugu s Herm nio Borges Neto Luciana de Lima Alana Paula Ara jo Freitas Alana Souza de Oliveira GeoGebra AJUDA BUSCA Voc pode utilizar a p gina da web para procurar os arquivos da Ajuda do GeoGebra se voc se conectar Internet GeoGebra Help Search Capitulo 17 Oque co GeoCeDa aasaiicasenisagsia apa ddsndganissadaasdMsaspaadssadgandss ada 4 Capitulo 2 EXEMPIOS rrenari a a 5 Za INanquio Com angulo Sreser eene E EE A E TEA AT sasiu ani 5 Ze JEqua a o Linear y SOTO aaa adaga E EA 5 2 3 Baricentro de tr s pontos A B Oirrinn sia aE 5 2 4 Dividir um segmento AB em duas partes proporcionais a 7 3 6 2 5 Sistema de equa es lineares com duas vari veis iiiismesmenes T 26 Tangenteauma Tun o de Xesriurieeiei e E T 2 Estudo de fun es polinomiaiS nannennnnenonnennnnennensrrnrsrrrrorrerrnrerrnrersrrerne T Zo MEI a E E EE E 8 Capitulo 3 Entrada Geom trica sippuiisai retirada paira d rebites peiireidre bina ipaiina 9 3 1 NOS JETAS assunto serto fartos da GS 9 3 1 1 Menu Conexa aea RD NPR SR SRD RR 9 3 1 2 EXIDIPESCSCONDEI assa ada a Ga DS da 9 RLS Ma CO assita SRS A O 9 Dida LOON a 9 3 1 5 Rela o ENIE GCIXOS riara hasta nada isca abra asia A 10 3 1 6 Protocolo de CONSIMU O ssa dus saidada Saad Ss Sra Sb 10 3 1 7 RE GO ssaes pisos niisa ca
16. _b PontoM dioA C s_a Reta A M_a s b RetalB M_b S Interse o s a s b Alternativamente n s escrevemos o baricentro como S1 A B C 3 e comparamos os resultados usando o comando Rela o S S1 Subsequentemente n s testamos se S S1 verdadeira para outras posi es de A B C N s fazemos essa mudan a escolhendo o modo Mover R com o mouse bot o mais esquerda da barra de ferramentas e arrastando um dos pontos 24 Dividir um segmento AB em duas partes proporcionais a7 3 Como o GeoGebra nos permite trabalhar com vetores a tarefa simples A 2 1 B 3 3 T A 7MO B A Uma outra maneira de fazer isto poderia ser A 2 1 B 3 3 v Vetor A B T A 7 10v Na etapa seguinte n s poderemos introduzir um n mero t ex utilizando o seletor ver 3 2 10 e redefinir o ponto T como T A t v ver 3 1 7 Ao mudar t voc pode ver T mover se ao longo de uma linha reta Essa reta poderia entrar agora na sua forma param trica ver 4 2 3 g X T sv 25 Sistema de equa es lineares com duas vari veis Duas equa es lineares em x e em y podem ser interpretadas como duas linhas retas A solu o alg brica o ponto da interse o destas duas retas g 3x 4y 12 h y 2x 8 S Interse olg h Pode se modificar tanto a equa o clique no bot o direito Editar como mover ou rotacionar a reta com o mouse Ro Mover Girar ver 3 2 1 2 6 Tangente a uma fun
17. a do pol gono definido pelos pontos dados cm a Dist ncia Dist ncialponto A ponto B Dist ncia entre dois pontos A e B Dist ncia ponto A reta g Dist ncia de um ponto A a uma reta g Dist ncialreta g reta h Dist ncia entre as retas g e h A dist ncia de retas secantes O Esta fun o de interesse para retas paralelas Inclina o Inclina o reta Inclina o de uma reta Este comando tamb m tra a a inclina o do tri ngulo cuja medida pode ser modificada ver propriedades 3 1 1 Raio Raio circulo Raio de um c rculo Par metro Par metro par bola Par metro de uma par bola dist ncia entre diretriz e foco ComprimentodoPrimeiroEixo ComprimentodoPrimeiroEixo c nica Comprimento do primeiro eixo de uma se o c nica ComprimentodoSegundoEixo ComprimentodoSegundoEixo c nica Comprimento do segundo eixo de uma se o c nica Excentricidade Excentricidade c nica Excentricidade de uma c nica Integral Integral fun o f n mero a n mero bJ Integral definida de f x de a at b Este comando tra a a rea entre o gr fico da fun o de fe o eixo x Integral fun o f fun o g n mero a n mero b Integral definida de f x g x de a at b Este comando tra a a rea entre o gr fico da fun o f e g Ver integral indefinida 4 3 11 Somalnferior Somalnferior fun o f n mero a n mero b n mero n Soma inferior da fun o f no intervalo a b com n r
18. a o pol gono P por um ngulo phi ao redor do ponto B Novos v rtices e segmentos s o criados tamb m Girar imagem p ngulo phi ponto B Gira a imagem p por um ngulo phi ao redor do ponto B Reflex o Reflex o ponto A ponto B Reflete o ponto A em rela o ao ponto B Reflex o reta g ponto B Reflete a reta g em rela o ao ponto B Reflex o c nica c ponto B Reflete a se o c nica c em rela o ao ponto B Reflex o pol gono P ponto B Reflete o pol gono P em rela o ao ponto B Novos v rtices e segmentos s o criados tamb m Reflex o imagem p ponto B Reflete a imagem p em rela o ao ponto B Reflex o ponto A reta h Reflete o ponto A em rela o a reta h Reflex o reta g reta h Reflete a reta g em rela o a reta h Reflex o c nica c reta h Reflete a c nica c em rela o a reta h Reflex o pol gono P reta h Reflete o pol gono P em rela o a reta h Novos v rtices e segmentos s o criados tamb m Reflex o imagem p reta h Reflete a imagem p em rela o a reta h Homotetia Homotetia ponto A n mero f ponto S Amplia ou Reduz o ponto A um n mero f de vezes a partir do ponto S Homotetialreta h n mero f ponto S Amplia ou Reduz a reta h um n mero f de vezes a partir do ponto S Homotetialc nica c n mero f ponto S Amplia ou Reduz a se o c nica c um n mero f de vezes a partir do ponto S Homotetialpol gono P n mero f ponto S Amplia ou Reduz o pol gono P
19. al de uma se o c nica EixoSecund rio EixoSecund rio c nica c Eixo Secund rio de uma se o c nica Polar Polar ponto A c nica c Reta polar a A relativa a c Di metro Di metro reta g c nica c Di metro paralelo a g relativo a c Di metro vetor v c nica c Di metro com dire o v relativo a c 4 3 10 Se o C nica Circulo C irculo ponto M n mero r C rculo com centro M e raio r C irculo ponto M segmento s C rculo com centro em M e raio Comprimentols C irculo ponto M ponto A C rculo com centro em M passando por A C irculo ponto A ponto B ponto C C rculo que passa porA Be Elipse Elipse ponto F ponto G n mero a Elipse com focos F G e eixo principal de comprimento a Condi o 2a gt Dist ncialF 6 Elipse ponto F ponto G segmento s Elipse com focos F G e comprimento do eixo principal Comprimento s Hip rbole Hip rbole ponto F ponto G n mero a Hip rbole com focos F G e eixo principal de comprimento a Condi o O lt 2a lt Dist ncialF 6 Hip rbole ponto F ponto G segmento s Hip rbole com focos F G e comprimento do eixo principal Comprimentols Par bola Par bola ponto F reta g Par bola com foco F e diretriz g C nica C nicalponto A ponto B ponto C ponto D ponto E Se o c nica passando por cinco pontos quatro deles n o colineares 4 3 11 Fun o Derivada Derivadal fun o f Derivada da fun o f x D
20. ce see 4 3 13 Imagem de fundo Voc pode ajustar uma imagem para estar no fundo ver propriedades de imagens 3 1 1 Uma imagem de fundo encontra se atr s dos eixos coordenados e n o pode ser selecionada com o mouse Para modificar a condi o de tela de fundo de uma imagem deve se mudar suas Propriedades em menu Editar Transpar ncia Uma imagem pode se tornar transparente para que imagens ou eixos posam ser vistos atr s dela Voc pode ajustar a transpar ncia de uma imagem especificando um valor de enchimento entre O e 100 ver propriedades de imagens 3 1 1 Capitulo 4 Entrada Alg brica Explicaremos agora como fazer ingressos por teclado no GeoGebra 4 1 Notas Gerais Valores coordenadas e equa es de objetos livres e dependentes s o mostrados na janela alg brica no lado esquerdo Os objetos livres n o dependem de nenhum outro objeto e pode ser mudado diretamente A entrada pode ser feita na entrada de texto no fundo da tela Isso ser explicado em detalhes mais tarde ver 4 2 e 4 3 4 1 1 Modifica o de valores Objetos livres podem ser mudados objetos dependentes n o podem Para modificar o valor do objeto livre basta reescrev lo ingressando o novo valor na caixa de entrada de texto ver 4 2 Alternativamente isso pode ser feito na janela alg brica escolhendo o menu Editar ver 3 1 1 4 1 2 Anima o Para mudar um n mero ou ngulo de forma cont nua selecione o modo R M
21. circular dados tr s pontos Ao marcar tr s pontos se produz um setor circumcircular passando por esses pontos 3 2 10 N mero e ngulo CT y ai Dist ncia Esse modo estabelece a dist ncia de 1 dois pontos 2 duas retas 3 um ponto e uma reta n Seletores Clicando sobre qualquer lugar na rea de trabalho voc cria um seletor para um n mero ou para um ngulo Aparecer uma janela onde voc especificar o intervalo min max do respectivo n mero ou ngulo e a largura do seletor em pixel No GeoGebra um seletor nada mais do que uma representa o gr fica de um n mero ou ngulos livres Voc pode criar facilmente um seletor correspondente a um n mero ou ngulo existentes simplesmente clicando no objeto clique com o bot o direito do mouse e escolha Exibir objeto A posi o de um seletor pode ser absoluta na tela ou relativa ao sistema de coordenadas ver propriedades do correspondente n mero ou lt Angulo 3 1 1 A ngulo Este modo cria o ngulo entre tr s pontos o ngulo entre dois segmentos o ngulo entre duas retas o ngulo entre dois vetores todos os ngulos interiores a um pol gono e a Todos estes ngulos est o limitados entre 0 e 180 Se voc quiser permitir ngulos refletidos selecionar e ativar a op o correspondente na caixa de di logo das propriedades ver 3 1 1 4 ngulo com amplitude fixa Ap s marcar dois pontos A e B aparec
22. com valor inicial a m todo de Newton Raiz fun o f n mero a n mero b Uma raiz de fun o f no intervalo a b regula falsi Extremos Extremo polin mio f Todos os extremos locais do polin mio f como pontos PontoDelnflex o PontoDelnflex o polin mio f Todos os pontos de inflex o do polin mio f 4 3 5 Vetor Vetor Vetor ponto A ponto B Vetor que parte de A e vai at B Vetor ponto Posi o vetorial de um ponto Dire o Dire o reta Vetor diretriz de uma reta Uma reta cuja equa o ax by c tem dire o b a Vetor Unit rio VetorUnit rio reta Vetor diretriz de uma reta com comprimento 1 VetorUnit rio vetor Vetor de comprimento 1 e a mesma dire o e orienta o que a do vetor dado Vetor Perpendicular VetorPerpendicualr reta Vetor perpendicular de uma reta Uma reta de equa o ax by c tem um vetor perpendicular a b VetorPerpendicular vetor Vetor perpendicular de um vetor Um vetor com coordenadas a b tem o vetor perpendicular b a VetorPendicularUnit rio VetorPerpendicularUnit rio reta Vetor de comprimento 1 perpendicular a uma reta VetorPerpendicularUnit rio vetor Vetor de comprimento 1 perpendicular a um vetor 4 3 6 Segmento Segmento Segmento ponto A ponto B Segmento entre dois pontos A e B Segmento ponto A numero a Segmento com comprimento dado a partir de um ponto A Cria se tamb m o extremo oposto a A do segment
23. er uma janela pedindo o tamanho do ngulo Este modo produz um ponto C e um ngulo a onde a lt ABC 3 2 11 Lugar Geom trico Lugar Geom trico Primeiramente marque um ponto Q cujo lugar geom trico depender Depois com um clique crie o ponto P o qual Q depender Note que o ponto P tem que ser um ponto em um objeto reta segmento c rculo 3 2 12 Transforma es Geom tricas As seguintes transforma es geom tricas operam sobre pontos retas se es c nicas poligonos e imagens a Reflex o com rela o a um ponto Primeiramente marque o objeto a ser refletido Depois marque o ponto atrav s do qual ocorrer a reflex o N Reflex o com rela o a uma reta Primeiramente marque o objeto a ser refletido Depois marque a reta atrav s da qual ocorrer a reflex o Girar em torno de um ponto Primeiramente marque o objeto a ser rotacionado Depois com um clique se marca o ponto que funcionar como centro da rota o Ent o aparecer uma janela onde voc especificar a amplitude em graus do ngulo de rota o E r Transla o por um vetor Primeiramente marque o objeto a ser transladado Depois com um clique se marca o vetor de transla o Homotetia de um ponto por um fator Primeiramente marque o objeto a ser transportado Depois marque o ponto que funcionar como centro da homotetia Ent o aparecer uma janela onde voc especificar o fator da hom
24. erivada fun o f n mero n en sima derivada da fun o f x Integral Integral fun o f Integral indefinida de f x Consutar Integral definida 4 3 2 Polin mio Polin mio fun o f expande a fun o polinomial f Exemplo Polin mio x 3 expande para x 6x 9 Polin mioDeTaylor Polin mioDeT aylor fun o f n mero a n mero n expans o de s rie de pot ncia de ordem n para a fun o f ao redor do ponto x a Fun o Fun olfun o f n mero a n mero b estabelece uma fun o que igual a f no intervalo a b e n o est definida fora de a b 4 3 12 Arco e Setor O valor alg brico de um arco seu comprimento o valor de um setor sua rea Semicirculo Semicirculo ponto A ponto B Semicirculo sobre o segmento AB ArcoCircular ArcoCircularfponto M ponto A ponto B Arco circular com centro em M que passa por dois pontos A e B Nota ponto B n o deve estar sobre o arco ArcoCircumcircular ArcoCircuncircular ponto ponto ponto Arco circular que passa pelos tr s pontos Arco Arco c nica c ponto A ponto B Arco de se o c nica entre dois pontos A e B da se o c nica c c rculo ou elipse Arco c nica c n mero t1 n mero t2 Arco de se o c nica entre dois valores de parametros t1 e t2 para as seguintes formas param tricas e c rculo r cos t r sin t onde r o raio do c rculo e elipse a cos t b sin t onde a e b s o os compriment
25. et ngulos Este comando tamb m desenha os ret ngulos da soma inferior SomaSuperior SomaSuperior fun o f n mero a n mero b n mero n Soma superior da fun o f no intervalo a b com n ret ngulos Este comando tamb m desenha os ret ngulos da soma superior 4 3 3 ngulo A ngulo ngulo vetor vetor ngulo entre dois vetores entre 0 e 360 ngulofreta reta ngulo entre os vetores diretores de duas retas entre 0 e 360 ngulo ponto A ponto B ponto C ngulo compreendido entre BA e BC entre 0 e 360 B o v rtice ngulo ponto A ponto B ngulo alfa ngulo de amplitude alfa tra ado a partir de B com v rtice A O ponto Girar B A a tamb m criado ngulo c nica ngulo de revolu o do primeiro eixo de uma se o c nica ver 4 3 9 ngulo vetor v ngulo entre o eixo x e o vetor v ngulo ponto A ngulo entre o eixo x e o vetor de posi o do ponto A ngulo n mero Converter um n mero em um ngulo resultado entre 0 e 2pi ngulo pol gono Todos os ngulos internos de um pol gono 4 3 4 Ponto Ponto Pontof reta Ponto sobre uma reta Ponto c nica Ponto sobre uma se o c nica e x c rculo elipse hip rbole Ponto fun o Ponto em uma fun o Pontolvetor Ponto no vetor Pontolponto P vetor v Ponto P v e PontoM dio e Centro PontoM dio ponto A ponto B Ponto m dio de Ae B PontoM dio segmento Ponto m dio do
26. f a b n 2 Modificando a b ou n anima o ver 4 1 2 Seletor ver 3 2 10 voc pode evidenciar a influ ncia desses par metros Para o incremento de n voc deve selecionar 1 clicando com o bot o direito sobre n propriedades A integral definitiva pode ser mostrada como segue Integral f a b A antiderivada F criada utilizando F Integral f Capitulo 3 Entrada Geom trica Agora n s iremos explanar como o mouse usado no Geogebra 3 1 Notas gerais A janela geom trica direita mostra pontos vetores segmentos pol gonos fun es retas e se es c nicas graficamente Quando o mouse se desloca sobre um objeto aparece sua descri o A janela da geometria se denomina rea de trabalho H diversas maneiras para dizer ao GeoGebra como deve reagir a cada entrada do mouse um novo ponto interse o circunfer ncia por tr s pontos Essas quest es ser o explicadas detalhadamente mais adiante ver 3 2 o clicar duas vezes sobre um objeto na janela alg brica abre se seu campo de edi o 3 1 1 Menu contextual Pressione a tecla direita do mouse sobre um objeto e aparecer um menu contextual que se pode selecionar a nota o alg brica coordenadas polares ou cartesianas equa es impl citas ou expl citas Aqui tamb m se encontram comandos como Renomear Editart ou Apagar Ao selecionar Propriedades aparece uma caixa de di logo onde podem modificar se a cor o ta
27. isdnds dos 30 planilha din mica 36 polar comando 30 pol gono comando ai dnenisaieniac datas ssa daras 29 MOQO RR 12 polin mio COMAN O iaeiaiai 31 Polin mioDe Taylor Comando eanet sat ge an 32 ponto COM ANCO costas sic a aii doa a 27 lugar na reta redefinir 9 ponto m dio MOTO A 12 PontoDelnflex o COmMandOnsse an 28 pontom dio comando 27 pontos e vetores 22 DROLOCOIO asia Eae ais a 9 protocolo de constru o 9 raio COMAN O sarnana aaa 26 raiz COMANCO sr 28 redefinir POR PNR PRP RR RR 9 reflex o COMANO ssa casi tr ai SE ins s 34 reflex o com rela o a um ponto MODO assis a a 16 reflex o com rela o a uma reta MODO sso sadia alia 17 rela o COMANA O nerian nEn 25 MOO sernai nar E 10 rela o entre eixos nnnanonnnnannnnnnn 9 renomear oeren nE 8 KE E E T E EE E E 23 COMANdO ia T 29 converter para segmento redefinir 9 reta atrav s de dois pontos MOQO nanananonnnenennrerenenerrrrnrnrererernrns 13 reta polar ou diametral OCO creia rua N 14 retas paralelas MOdO uia oia 13 retas perpendiculares MOTO dia 13 rota o COMAN O assassino ns nissan a dr mad 33 scalar PROQUEL nadinean 24 SE O CONICA erine er aaa 23 segmento COMINO eiro E 29 EE EA PAAA EN A ENA 9 segmento com comprimento dado a partir de um ponto MODO cinri 12 segmento ent
28. lg brica mostrar a rea do tri ngulo Agora escolha o modo Mover R e arraste os v rtices para modificar dinamicamente o tri ngulo Se voc n o necessitar da janela alg brica e ou do eixo de coordenadas voc pode ocult los usando a op o Exibir do menu 22 Equa o Linear y k x d Nos concentramos no signficado de k e d na equa o linear y kx d atribuindo valores diferentes a k e d Para isto n s podemos incorporar as seguintes linhas ao campo de entrada de texto no fundo da tela teclando Enter ao finalizar cada linha lt OX TR 1 2 kx ad Agora n s podemos mudar k e d na janela alg brica clique no bot o direito Editar ou no campo de entrada de texto N O Monon Co O O AA i Voc pode modificar k e d facilmente utiilzando o comando de seta ver 4 1 2 ou os seletores clique com o bot o direito em k ou d o Exibe objeto ver 3 2 10 De uma maneira similar n s podemos investigar as equa es de se es c nicas tais como x a y b 1 bx a y afb ou x mY y nf r 23 Baricentro de tr s pontos A B C Vamos agora construir o baricentro de tr s pontos incorporando as seguintes linhas ao campo de entrada teclando Enter ao finalizar cada linha Naturalmente voc tamb m pode usar o mouse para realizar esta constru o usando os correspondentes modos ver 3 2 na barra de ferramentas A 2 1 B 5 0 C 0 5 M_a PontoM dio B C M
29. ma caixa de di logo onde voc selecionar a imagem a ser inserida 3 2 15 Propriedades de Imagens Posi o A posi o de uma imagem pode ser absoluta em tela ou relativa ao sistema de coordenadas ver propriedades de imagens 3 1 1 Por ltimo pedido para especificar os tr s pontos v rtices que oferece a flexibilidade de escalar girar e at distorcer as imagens 1 V rtice posi o do v rtice inferior esquerdo da imagem 2 V rtice inferior direito este v rtice s pode ser fixado se o 1 V rtice for fixado antes Ele controla a largura da imagem 4 V rtice superior esquerdo este v rtice s pode ser fixado se o 1 V rtice for fixado antes Ele controla a altura da imagem Vamos criar tr s pontos A Be C para explorar o efeito dos pontos v rtices Seja A o primeiro v rtice e B o segundo v rtice de sua imagem Ao arrastar A e B no modo Mover voc pode explorar sua influ ncia mais facilmente Agora seja A o primeiro e C o quarto v rtice Finalmente voc poder ajustar todos os tr s pontos e ver como ao arrast los distorce a imagem Voc ainda pode observar como influenciar a posi o e a altura da sua imagem Se voc quiser unir sua imagem a um ponto e ajustar sua largura a 3 e sua altura a 4 voc poderia fazer o seguinte 1 V rtice A 2 V rtice A 3 0 3 V rtice A 0 4 o arrastar o ponto no modo Mover sua imagem conserva a medida desejada Ver comando V rti
30. manho a espessura do tra o o estilo da reta o sombreado etc 3 1 2 Exibir e esconder Os objetos geom tricos podem expor se exibir ou n o esconder Use o modo o Exibir Esconder objetos ver 3 2 1 ou o menu contextual ver 3 1 1 para modificar esse estado O cone esquerda de cada objeto na janela alg brica informa sobre seu atual estado de visibilidade 3 1 3 Tra o Os objetos geom tricos podem deixar um tra o na tela quando s o movidos Use o menu contextual ver 3 1 1 para des ativar esse tra o O item do menu Atualizar Janelas no menu Exibir limpa todos os tra os 3 1 4 Zoom o pressionar a tecla direita sobre a rea de trabalho aparecer um menu contextual que permite uma aproxima o ou afastamento do enfoque ou zoom selecionado ou n o Ver tamb m o modo S Zoom de aproxima o Zoom de afastamento ver 3 2 1 Janela do zoom clique com o bot o direito do mouse e arraste o para aumentar uma rea especificada 3 1 5 Rela o entre eixos o clicar com o bot o direito na rea de trabalho aparecer um menu onde voc pode escolher a rela o entre eixo x e eixo y 3 1 6 Protocolo de Constru o O protocolo interativo de constru o menu Exibir uma tabela que mostra todas as etapas da constru o Aqui voc pode fazer uma constru o passo a passo Inclusive poss vel introduzir passos de uma constru o e modificar sua sequ ncia Voc pode encontrar mais detalhes
31. ntes formatos PNG Portable Network Graphics Esse um vetor no formato gr fico As imagens EPS podem ser dimensionadas sem perda de qualidade Os arquivos gr ficos EPS servem muito bem para o uso de programas de vetores gr ficos como o CorelDraw e sistemas de processamento profissional de texto como LATEX A resolu o de uma imagem EPS sempre 72dpi Esse valor usado somente para calcular o tamanho real de uma imagem em cm e n o tem efeito na qualidade da imagem Observa o O efeito de transpar ncia em pol gonos ou se es c nicas n o poss vel com EPS 5 3 Copiar para rea de transfer ncia Voc encontra o item Copiar para rea de Transfer ncia no menu Arquivo Exportar Este copia um screenshot da rea de trabalho para o clipboard do sistema como uma figura PNG Essa figura pode ser utilizada em outro programa e x Um documento Microsoft Word Para exportar sua constru o em uma certa escala em cm por favor use o item do menu Janela de Visualiza o como Figura no menu Arquivo Exportar 5 4 Protocolo de constru o como P gina Web Existem duas maneiras de abrir a janela Exportar Protocolo de Constru o e No menu Arquivo Exportar voc pode escolher o item Protocolo de Constru o como p gina da Web html e No menu Exibir abra o Protocolo de Constru o primeiro L voc pode encontrar o item Exportar como P gina da Web no menu Arquivo O segundo caminho mais flex vel por
32. o 4 3 7 Semi reta Semi reta SemiRetalponto A ponto B Semi reta que se inicia em A e passa por B SemiRetalponto A vetor v Semi reta que se inicia em A com dire o v 4 3 8 Pol gono Pol gono Pol igono ponto A ponto B ponto C Pol gono definido pelos pontos marcados 4 3 9 Reta Reta Retalponto A ponto B Reta que passa pelos pontos A e B Reta ponto A reta g Reta que passa por A e paralela a reta g Retalponto A vetor v Reta que passa por A com dire o v Perpendicular Perpendicular ponto A reta g Reta perpendicular a g que passa por A Perpendicular ponto A vetor v Reta perpendicular a v que passa por A Mediatriz Mediatrizponto A ponto B Mediatriz ao segmento AB Mediatrizjsegmento s Mediatriz ao segmento s Bissetriz Bissetrizlponto A ponto B ponto C Bissetriz do ngulo A B C B o v rtice deste ngulo Bissetriz reta g reta h Bissetriz de ambas g e h Tangente Tangente ponto A c nica c Toda tangente a c passando por A Tangentefreta g c nica c Toda tangente a c que paralela a g Tangente n mero a fun o f Tangente a f x em x a Tangente ponto A fun o f Tangente a f x em x x A Assintota Assintota hip rbole c Ambas ass ntotas a uma hip rbole Diretriz Diretriz par bola c Diretriz de uma par bola Eixos Eixos c nica c Eixo Principal e Eixo Secund rio de uma se o c nica EixoPrincipal EixoPrincipalfc nica c Eixo Princip
33. o de in cio e o de aplica o do vetor Vetor a partir de um ponto Ao marcar um ponto A e um vetor v se cria o ponto B A v e o vetor de A at B 3 2 4 Segmento vd Segmento entre dois pontos Ao marcar dois pontos A e B se estabelece um segmento entre A e B Na janela alg brica poder ser visto o comprimento do segmento o Segmento com comprimento dado a partir de um ponto Ao clicar sobre um ponto A que voc quer que seja a origem do segmento Especifique o comprimento desejado na janela apresentada Esse modo criar um segmento com tamanho entre A e B O extremo B pode ser rotacionado no modo R Mover ao redor do ponto inicial 3 2 5 Semi reta Ed Semi reta atrav s de dois pontos Ao marcar dois pontos A e B se cria uma semi reta que parte de A e cruza B Na janela alg brica se exp e a equa o correspondente reta 3 2 6 Pol gono gt Pol gono Para Exibir a rea do pol gono na janela alg brica basta marcar ao menos tr s pontos e voltar a clicar novamente sobre o primeiro deles 3 2 7 Reta Pad Reta atrav s de dois pontos Ao marcar dois pontos A e B se fixa a reta entre A e B O vetor que fixa a dire o da reta B A ATT Retas paralelas Ao selecionar uma reta g e um ponto A fica definida a reta que passa por e paralela a g A dire o desta reta a de g 3 Retas perpendiculares Ao selecionar uma reta g e um ponto A fica definida a reta que passa por e
34. o de x O GeoGebra oferece um comando para a tangente de uma f x em x a a 3 f x 2 sin x t Tangentela f Ao anim la ver 4 1 2 a tangente se desloca pelo gr fico de f Uma outra maneira de fazer isto seria a 3 f x 2 sin x T a f a t X T s 1 f a Com isso n s encontramos o ponto T no gr fico de f A tangente t est expressa na forma param trica Inclusive tamb m podemos tra ar a tangente de uma fun o geometricamente e Escolhemos o modo Novo ponto ver 3 2 e clicamos no gr fico da fun o f 5 n Pad n n e Escolhemos o modo Tangentes e clicamos na fun o f para depois clicar no ponto criado previamente Agora escolha o modo R Mover e arraste o ponto ao longo da fun o com o mouse tangente tamb m se modifica dinamicamente 27 Estudo de fun es polinomiais Com o GeoGebra podemos investigar ra zes extremos locais e pontos de inflex o de fun es polinomias f x x 3 3 x 2 1 N Raiz f E Extremoff W Pontodelnflex o f No modo Mover voc pode arrastar a fun o f com o mouse Nessa situa o as primeiras duas derivadas de f s o tamb m interessantes Derivadalf Derivadalf 2 2 8 Integrais Para introduzir integrais o GeoGebra oferece a possibilidade de visualizar com ret ngulos as somas inferiores e superiores de uma fun o como ret ngulos f x x 2 4 2 a 0 b 2 n 5 L Somalnferior f a b n U SomaSuperior
35. onto A vetor v Transla o do ponto A pelo vetor v Transla ol reta g vetor v Transla o da reta g pelo vetor v Transla o c nica c vetor v Transla o da c nica c pelo vetor v Transla o fun o c vetor v Transla o da fun o f pelo vetor v Transla o pol gono P vetor v Transla o pol gono P pelo vetor v Novos v rtices e segmentos s o criados tamb m Transla o imagem p vetor v Transla o da imagem p pelo vetor v Transla o vetor v ponto p Transla o do vetor v pelo ponto p Girar Girar ponto A ngulo phi Gira o ponto A um ngulo phi ao redor da origem dos eixos Girar vetor v ngulo phi Gira um vetor v um ngulo phi Girar reta g ngulo phi Gira a reta g por um ngulo phi ao redor da origem dos eixos Girar c nica c ngulo phi Gira a se o c nica c pelo ngulo phi ao redor da origem dos eixos Girar pol gono P ngulo phi Gira o pol gono P por um ngulo phi ao redor da origem dos eixos Novos v rtices e segmentos s o criados tamb m Girar imagem p ngulo phi Gira a imagem p por um ngulo phi ao redor da origem dos eixos Girar ponto A ngulo phi ponto B Gira o ponto A por um ngulo phi ao redor do ponto B Girar reta g ngulo phi ponto B Gira a reta g por um ngulo phi ao redor do ponto B Girar c nica c ngulo phi ponto B Gira se o c nica c por um ngulo phi ao redor do ponto B Girar pol gono P ngulo phi ponto B Gir
36. os dos eixos principal e secund rio SetorCircular SetorCircular ponto M ponto A ponto B Setor circular com ponto m dio M entre dois pontos A e B Nota ponto B n o deve estar sobre o arco SetorCircumcircular SetorCircumcircular ponto ponto ponto Setor circular passando por tr s pontos Setor Setor c nica c ponto A ponto B Setor se o c nica entre dois pontos A e B na se o c nica c c rculo ou elipse Setor c nica c n mero t1 n mero t2 Setor de se o c nica entre dois valores de par metros t1 e t2 para as seguintes formas param tricas e c rculo r cos t r sin t onde r o raio do c rculo e elipse a cos t b sin t onde a e b s o os comprimentos dos eixos principal e secund rio 4 3 13 Imagem Extremo Extremo imagem n mero n estabelece o en simo extremo de uma imagem n 1 4 4 3 14 Lugar Geom trico Locus Lugar Geom trico Locus Locus ponto Q ponto P tra a o lugar geom trico do ponto Q de inclina o do ponto P O ponto P deve ser um ponto pertencente a um objeto reta segmento c rculo 4 3 15 Transforma es Geom tricas Se voc assionar um dos seguintes comandos para um novo nome uma c pia do objeto movido ser produzida O comando Reflex o A g reflete o ponto A em rela o a reta g e a localiza o do ponto A muda Inserindo B Reflex olA g produzir um novo ponto B enquanto A permanece im vel Transla o Transla o p
37. otetia 3 2 13 Texto ABC Texto Neste modo voc pode criar textos ou f rmulas em LATEX 1 Clicando sobre a rea de trabalho voc cria um novo texto nessa posi o 2 Clicando sobre um ponto voc cria um novo texto cuja localiza o se vincula e associa a este ponto Depois aparecer uma caixa de di logo onde voc ingressar o texto Voc tamb m poder usar valores de objetos e deste modo criar textos din micos Este um texto simples exto Ponto A A texto din mico usando o valor do ponto A a a cm texto din mico usando o valor do segmento a A posi o do texto pode ser absoluta em tela ou relativa com respeito ao sistema de coordenadas ver propriedades do texto 3 1 1 F rmulas em LATEX No GeoGebra voc pode escrever f rmulas Para faz lo assim verifique a f rmula em LATEX e insira na caixa de di logo Aqui se aplicam uns dos mais importantes comandos em LATEX Verifique toda a documenta o em LATEX para informa es adicionais Entrada em LATEX Resultado a cdot b ab o frac a b sqrt n x n v int a b x dx xdx sum_ i 1 n i 2 3 2 14 Imagens o 2 Inserir imagem Este modo permite acrescentar uma imagem em uma constru o 1 Clicando sobre a rea de trabalho voc cria o v rtice inferior esquerdo da imagem 2 Clicando sobre um ponto voc determina que este ser o v rtice inferior esquerdo da imagem Depois aparecer u
38. over ver 3 2 1 clique sobre o n mero ou ngulo e pressione a tecla ou Se for mantida uma dessas teclas pressionadas produz se um efeito de anima o Por exemplo se as coordenadas de uns pontos dependerem de um n mero k como em P 2k k o ponto se mover ao longo de uma linha reta quando k mudado continuamente Com as teclas de seta voc pode mover todo objeto livre no modo R Mover O incremento ajustado na caixa de di logo em propriedades ver 3 1 1 e Ctrl tecla de seta 10 largura do passo e Alt tecla de seta 100 largura do passo Um ponto em uma reta pode ser movido ao longo dessa reta usando a tecla de seta OU 4 2 Entrada Direta O GeoGebra pode operar com n meros ngulos pontos vetores segmentos retas e se es c nicas Explicaremos como podemos ingressar estes objetos atrav s de coordenadas e equa es Voc pode usar indices com os nomes de objetos A resp Sag inserido como 1 resp s AB 4 2 1 N meros e ngulos N meros e ngulos usam o simbolo como ponto decimal n mero r r 5 32 ngulos s o ingressos em graus ou radianos rad A constante pi muito usada para valores em radianos graus radianos ngulo alfa alfa 60 alfa pi 3 O GeoGebra faz todos os c lculos internos em radianos O s mbolo n o nada mais que uma constante para 717 180 para converter graus me radianos a Seletores e teclas de seta
39. ponto A 4 2 4 Se o C nica Uma se o c nica inserida como uma equa o quadr tica em x e y As vari veis previamente definidas n meros pontos vetores podem ser usadas O nome da se o c nica deve ser anotado no in cio da entrada seguida por dois pontos JEqua o _ O eli 9x 16y 144 hip rbole hip hip 9x 10y 144 par bola par k1 x y 25 k2 x 5 y 2 25 Seja a 4 e b 3 por exemplo Agora podemos ingressar uma elipse como eli b x a y ab 4 2 5 Fun o de x Para ingressar uma fun o voc pode usar vari veis previamente definidas n meros pontos vetores e outras fun es Fun o f F x 3x x Fun o g G x tan f x Fun o n o nomeada sin 3x tan x Todas as fun es internas como sin cos tan etc s o definidas nas se es sobre opera es aritm ticas ver 4 3 6 Existem comandos para criar integrais ver 4 3 2 e derivadas ver 4 3 11 de uma fun o Voc pode tamb m usar f x f x para as derivadas de uma fun o previamente definida f x f x 3x x g x cos f x 2 No mais fun es podem ser transladadas por um vetor ver 4 3 15 e uma fun o livre pode ser movida com o mouse Fun o Limitada por um Intervalo A fim de limitar uma fun o a um intervalo a b usar o comando Fun o ver 4 3 11 4 2 6 Opera es Aritm ticas Para ingressar n meros
40. que ali se pode ir des ativando as diferentes colunas do protocolo de constru o ver o menu Vista do protocolo de constru o Na janela de exporta o voc pode anotar o t tulo o autor e a data da constru o e escolher se voc quer exportar uma figura da rea de trabalho e a janela alg brica junto com o protocolo O arquivo exportado em HTML pode ser vizualizado com um navegador e x Mozilla Internet Explorer e editado com algum editor de texto e x Frontpage Word 5 5 Planilha din mica como p gina da WEB No menu Arquivo Exportar voc encontra o item Planilha Din mica como P gina da Web html Na janela de exporta o voc pode escrever t tulo autor data e algum texto na rea superior e inferior da constru o din mica e x Uma descri o da constru o e alguns exerc cios A constru o pode ser inclu da diretamente na p gina da web ou abrir clicando em um bot o Nota N o tome tamb m valores grandes para altura e a largura da constru o din mica isso faz a vizualiza o ficar pesada no navegador Tr s arquivos s o criados quando uma planilha din mica exportada 1 arquivo html e x c rculo html esse arquivo inclui a planilha nele mesmo 2 arquivo ggb e x c rculo planilha ggb esse arquivo inclui sua constru o no GeoGebra 3 geogebra jar esse arquivo inclui o GeoGebra e faz sua planilha ser interativa Todos esses tr s arquivos e x c rculo html c rculo
41. re dois pontos MOO S 12 seletores MOCO uau ra Ana A So 15 semic rculo COMANdO zsa aaa 32 semic rculo dados dois pontos MOIO ornan e aa 14 semi reta COMAN O EIEEEI 29 semi reta atrav s de dois pontos fi 0 6 6 ERR E a i 12 setor COMANTO azaparsssrendasnorenaiacesanauandiass 33 setor circular dados o centro e dois pontos OCO a N O 15 setor circumcircular dados tr s pontos O E 15 SetorCircular comando reen SetorCircumcircular comando re en simplificar DOJINO MIO eren ss nadie Somalnferior comando reen SomaSuperior comando sombreado square TOOL usa sassasiadadadzaas AM ANO secre anacan Tais tasasass tangente COMANDO cassia ssanisde sda Dido digas tangentes MOdO sn a texto transforma es geom tricas transla o comando earo transla o por um vetor OCO and ir transpar ncia valor limite n mero ngulo v rtice comando ssananisinisisiicnddsad ia vetor COMANd OL casar iaasl soil are sia vetor a partir de um ponto MOQO assis siste aa ia vetor entre dois pontos MOLO recresen vetor perpendicular vector COMANDO cisne rias sisanisiidad Gio VetorPerpendicularUnit rio comando esrao VetorUnit rio comando Les eiisirierisdri ati zoom de aproxima o MODO sapata US Lava Ss
42. rtir de um objeto para v rios outros objetos Em primeiro lugar escolha o objeto cujas propriedades voc quer copiar Depois clique em todos os outros objetos que devem adotar essas propriedades Apagar objeto Basta clicar sobre qualquer objeto que voc deseja apagar 3 2 2 Ponto A Novo Ponto Ao clicar sobre a rea de trabalho cria se um novo ponto Suas coordenadas s o estabelecidas quando soltamos o bot o do mouse novamente o clicar sobre um segmento reta ou se o c nica voc pode criar um ponto sobre esse objeto Ao clicar sobre a interse o de dois objetos se cria o ponto de interse o x Interse o de dois objetos Os pontos de interse o de dois objetos podem ser feitos de duas maneiras 1 Ao marcar dois objetos criam se todos os pontos de interse o se poss vel 2 Ao clicar sobre a interse o dos dois objetos s se cria este nico ponto de interse o Para segmentos semi retas ou arcos vo pode especificar se voc quer permitir a interse o de pontos perif ricos ver 3 1 1 Isso pode ser usado para conseguir a interse o de pontos que se encontram na extens o de um objeto Por exemplo a extens o de um segmento ou uma semi reta uma reta e Ponto M dio Clique sobre 1 dois pontos para obter seu ponto m dio 2 um segmento para obter seu ponto medio 3 uma se o c nica para obter seu ponto central 3 2 3 Vetor 7 Vetor entre dois pontos Marca o pont
43. t 6 7 Linguagem O GeoGebra multilingual Aqui voc pode escolher a l ngua em uso Isso afeta todas as entradas incluindo o nome dos comandos e todas as sa das rea de trabalho Abre uma janela onde as propriedades da rea de trabalho eixos coordenadas grades etc podem ser ajustadas 6 8 rea de trabalho Abre um di logo com as propriedades da rea de trabalho coordenadas grade e eixos cor de fundo etc ndice ngulo COMINO saisisiotaioiitata dela bias diaria 217 MOC O 28 cs it E a a 16 reflex o RODE RR 22 valor Iimite 22 ngulo com amplitude fixa MONDO 2 apaniiiraces aE 16 ANGUS eissien tingues enen 22 anima o sistem 21 6 EDER SR 8 CONTANTO cerae 25 apagar objeto MOIO era io Ai se a 11 arco COMANdO eraren aana 32 arco circular dados o centro e dois pontos fio 6 MRE q RI 15 arco circumcircular dados tr s pontos MOQO ERRAR RR 15 arco M te 6 PR 32 ArcoCircular COMANdO aazapasaranspArundpaLApaassLGuasao as 32 ArcoCircumcircular elolggis A s 0 RAR RR 32 rea COMANdO cn 25 rea de trabalho OXDON A eian a uia sai id 39 para rea de transfer ncia 36 ass ntota COMO cease da encara eita 30 baricentro COMANTO spstssotapolsiais nisto sida 28 bissetriz COMAN O a usanievanaisien si iaiasassiais uai 30 MOGO PME na ei 13 capta o de pontos 38 casas decimais aa paca mapa nraraaiaae 3
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