Investigação Operacional - Departamento de Produção e Sistemas
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1. o pode ser dividido em duas parcelas o custo de utiliza o da m quina e um custo proporcional quantidade por ela produzida Na seguinte tabela dada informa o relativa s m quinas Custo de Custode Capacidade N mero de Tipo de dio x a Rate Aa utiliza o produ o de produ o m quinas dia unidade unidades dispon veis M1 200 1 50 40 8 M2 275 1 80 60 5 M3 325 1 90 85 3 A procura di ria de 750 unidades 1 Formule um modelo que lhe permita responder quest o de quantas m quinas de cada tipo utilizar em cada dia de forma a minimizar o custo total 11 Obtenha uma solu o ptima para este problema atrav s da utiliza o de software b Considere a extens o do problema anterior para cinco dias As procuras para esses dias de 600 800 1000 725 e 750 Considere que n o h nenhum custo associado ao armazenamento Formule um modelo e obtenha uma solu o ptima para este problema atrav s da utiliza o de software 13 Produ o 3 Uma f brica produz sete produtos 1 a 7 em 5 tipos de m quinas A a E A f brica disp e de 4 m quinas do tipo A 2 m quinas do tipo B 3 m quinas do tipo C e uma m quina de cada tipo D e E Cada produto contribui com um certo valor para o lucro definido como pre o de venda unit rio custo unit rio das mat rias primas Estes valores em unidade e os tempos de processamento em horas de cada produto e2. N y FP2 y Frankfurt E gt Tempo A companhia a rea tem diversas tripula es que t m ser alocadas aos voos de forma a que no final do dia regressem cidade de onde partiram Por exemplo uma tripula o sediada em Paris poder fazer o voo PF e o voo FP2 Designa se por emparelhamento uma sequ ncia de voos com in cio e final na mesma cidade Associado a cada emparelhamento est associado um custo que pode entrar em conta com factores como o tempo total de viagem o tempo morto em aeroportos e o n mero de voos Na tabela seguinte s o dados os emparelhamentos poss veis e o custo a eles associado Emparelhamento Voos Custo 1 FP1 PF 6 2 LP PL 8 3 LP PF FL2 12 4 FL1 LF 7 5 PF FP2 5 6 LF FL2 8 Formule um modelo de PI que lhe permita resolver este problema Considere que podem existir voos com mais de uma tripula o para se conseguir uma solu o admiss vel nesse caso todos os elementos das tripula es excepto de uma viajam como passageiros 18 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios 22 Corte Um problema muito frequente nas ind strias da madeira vidro papel metalomec nica e t xtil o problema de corte Basicamente este problema consiste em cortar objectos de grandes dimens es em objectos mais pequenos de forma a minimizar o desperd
3. Res duo 4 Exactamente 20 do total Res duo 1 n o mais de 50 do total B Res duo 2 n o menos de 10 do total 2 50 7 00 Res duo 4 Exactamente 10 do total C Res duo 1 n o mais de 70 do total 2 00 5 50 14 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios Na tabela seguinte s o dados os valores relativos quantidade de recursos s lidos recolhidos por semana e ao custo do seu tratamento Res duo Quantidade recolhida Kg Custo de tratamento por Kg 1 3000 3 00 2 2000 6 00 3 4000 4 00 4 1000 5 00 Uma determinada ONG com preocupa es ambientais disponibilizou 30 000 por semana exclusivamente para o processo de tratamento dos residuos s lidos com a condi o de que pelo menos metade da quantidade recolhida de cada res duo fosse tratada O que a gest o da Save lt pretende determinar a quantidade de cada variedade a produzir por semana e a propor o exacta de cada res duo a utilizar em cada variedade de forma a maximizar o lucro valor das vendas custo do processo de mistura Ser que consegue ajudar a Save It 16 Line fitting conhecido que uma quantidade y depende de outra quantidade x Foi recolhido um conjunto de valores de x e y que dado na tabela seguinte 0 0 0 5 1 0 1 5 19 25 30 3 5 40 4 5 LO 0 9 0 7 1 5 20 24 32 20 27 3 5 5 0 5 5 60 6 6 7 0 7 6
4. UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios 2 Modelo geral 1 Considere um problema de Programa o Linear cuja regi o das solu es admiss veis definida por x 2x S6 X1 X2 lt 4 X X2 20 a Represente graficamente a regi o das solu es admiss veis no espa o x x2 b Identifique todos os pontos extremos as bases que lhes est o associadas e as correspondentes solu es b sicas c Indique para cada ponto extremo uma fun o objectivo que implique que o ponto extremo em quest o a nica solu o ptima do problema d Indique uma fun o objectivo que implique a exist ncia de solu es ptimas alternativas e Indique uma base n o admiss vel 3 Modelos gerais 2 Resolva utilizando o algoritmo Simplex e confirmando graficamente quando poss vel o resultado obtido cada um dos problemas seguintes a Max z x 2x2 s a dxi tx lt 4 2x1 3x lt 6 X X2 20 b Max z 2x1 x s a x x lt 2 X1 3xX2 23 x1 x220 4 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios Min z 3x1 2x2 4x3 s a 2x1 x2 3x3 60 3x1 3x2 5x3 2120 X1 X2 x320 d Max z 8x1 5x2 S A 2x1 x2 lt 500 X lt 150 x2 S250 X1 x220 Maxz 8x 5x s a dx 3x2 lt 12 2x1 3x2 lt 9 X X2 20 4 M
5. Exerc cios A McMartin uma empresa de vendas por cat logo que se depara com o problema de onde localizar os seus centros de telemarketing Para tal contactou a AT amp T no sentido de decidir a melhor localiza o para os mesmos Depois de alguma an lise conjunta entre os especialistas da AT amp T e da McMartin foram decididas 10 potenciais localiza es Os custos fixos anuais de opera o de cada potencial localiza o bem como o ordenado hor rio a pagar a cada trabalhador em cada uma dessas dez potencias localiza es s o dados na Tabela 1 do ficheiro de dados Uma an lise ao hist rico de telefonemas dos clientes da McMartin revelou que em m dia um telefonema demora seis minutos com um minuto extra para processamento por parte do operador do requerido pelo cliente por exemplo uma encomenda Ainda de acordo com o hist rico de telefonemas foi estimado o n mero de telefonemas a serem recebidos por ano com origem em cada uma das 17 reas onde a empresa opera Apresentam se esses dados na Tabela 2 do ficheiro de dados O tempo de ocupa o m dio de um trabalhador pode ser estimado em 87 e os seus extra salariais em 20 do ordenado hor rio base Tabela 1 do ficheiro de dados Para a an lise a efectuar os impostos podem ser ignorados Por fim os especialistas da empresa AT amp T fomeceram os custos hor rios para telefonemas entre cada rea de clientes e cada localiza o poss vel de um centro de telemarketing E
6. de Esta empresa n o assegura mais de 100 000 vacinas Estima se o custo de transporte por vacina das instala es da empresa B para cada um dos Centros de Sa de em 0 15 0 2 0 35 e 0 4 pela ordem em que foram inicialmente referenciados A empresa C garante a entrega das vacinas aos Centros de Sa de 1 2 e 3 pelos pre os de 0 2 0 4 e 0 3 Formule este problema atrav s de um modelo de transportes 8 Carregamento de avi o Um avi o tem tr s compartimentos Frente F Meio M Tr s T dedicados ao transporte de carga O peso e o volume a serem transportados em cada compartimento n o podem exceder os valores dados na seguinte tabela Compartimento Peso m ximo toneladas Volume m ximo m F 10 6800 M 16 8700 T 8 5300 De forma a ser mantido o equilibrio do avi o a propor o entre o peso da carga efectivamente transportada em cada compartimento e o peso m ximo do compartimento dever ser igual para os tr s compartimentos Existem quatro cargas A B C e D a transportar no pr ximo voo As suas caracter sticas s o dadas na tabela seguinte 8 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios Carga Peso toneladas Volume m tonelada Lucro tonelada A 18 480 310 B 15 650 380 C 23 580 350 D 12 390 285 Qualquer frac o de qualquer uma da
7. es 1 e 2 apenas uma pode ser executada A miss o 3 depende da 6 logo s poder ser seleccionada se a 6 tamb m for a Apresente um modelo de Programa o Inteira que permita a maximiza o do valor do conjunto das miss es seleccionadas b Considere apenas o primeiro per odo 2004 08 e que n o existem depend ncias entre as miss es nomeadamente entre as miss es 1 e 2 e as miss es 3 e 6 Indique justificando sucintamente qual o modelo geral de PI que permitiria abordar este problema 23 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios 30 M todo de Parti o e Avalia o 1 Considere o seguinte problema Max z 4x 2x 7x3 4x4 S ad x 5x3 lt 10 x x x3 lt l 6x1 5x2 lt 0 x 2x3 2x4 lt 3 X1 X2 X3 X4 2 0 inteiros Atrav s da utiliza o de software para a resolu o dos problemas de PL dos nodos da rvore de pesquisa do M todo de Parti o e Avalia o represente a rvore de pesquisa para as estrat gias primeiro em profundidade e primeiro em largura Seleccione sempre para vari vel de parti o aquela que tiver uma parte fraccion ria mais pr xima de 0 5 31 M todo de Parti o e Avalia o 2 Considere o seguinte problema de Programa o Inteira Maxz 2x 2x3 Sa 7x 3x lt 21 3x 7x lt 21 xp X 2 0einteiros A solu o ptima da relaxa o linear x
8. 1 2 e 4 do p blico s o atingidos Pode supor que A corresponde ao seu jornal preferido e que os grupos 1 2 e 4 correspondem por exemplo a p blico urbano da zona norte p blico n o urbano da zona norte e p blico n o urbano da zona sul a Formule um modelo de PI que corresponda a pretender se minimizar o custo total mas tendo em conta que a campanha publicit ria deve chegar a todos os grupos b Formule um modelo de PI que corresponda a pretender se maximizar o benef cio mas tendo em conta que a campanha publicit ria n o deve ser vista em mais do que um org o de comunica o social por cada grupo 17 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios 21 Escalonamento de tripula es a reas Uma das aplica es mais conhecidas e rent veis da programa o inteira o escalonamento de tripula es a reas A t tulo exemplificativo considere que uma companhia a rea tem um conjunto de voos di rios entre as cidades de Frankfurt Paris e Londres tal como representado na figura seguinte O eixo horizontal corresponde ao tempo o in cio de uma seta corresponde ao momento de partida de um voo e o final de uma seta corresponde ao momento de chegada O c digo do voo dado pela inicial da cidade de partida pela inicial da cidade de chegada e por um n mero de ordem Londres FE 4 7 r LP LF PL FL2 Paris 7 7 4 7 E FPI ELI J J
9. 2 1 x2 2 1 com valor z 8 4 Na resolu o do pelo m todo de parti o e avalia o foram criados dois nodos por inser o das restri es de parti o x 2 e x 23 A solu o ptima do primeiro x 2 x2 2 1 com valor z 8 3 A solu o ptima do segundo x 6 x2 0 com valor z 6 a Apresente a rvore de pesquisa com a informa o que tem dispon vel e com a representa o dos nodos que achar adequados criar b Apresente o intervalo no qual est contido o valor de uma solu o ptima inteira 24 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios 32 M todo de Parti o e Avalia o 3 Considere o seguinte problema de Programa o Inteira Maxz 2x 2x Sa 4x 3x lt 12 3x 4x lt 12 x lt 2 X X 2 Qeinteiros Obtenha a solu o ptima inteira utilizando o m todo de parti o e avalia o utilizando como primeira vari vel de parti o a vari vel de decis o x Para resolver os subproblemas utilize a representa o gr fica 33 Planos de corte de Gomory Considere o seguinte quadro ptimo simplex relativo relaxa o linear de um problema de Programa o Inteira x X2 X2 0 1 2 3 1 3 46 3 X 1 0 1 3 2 3 34 3 Z 0 0 2 3 2 3 160 3 a Indique um plano de corte de Gomory e insira o no quadro Simplex apresentado n o necessita de fazer nenhuma itera o b Como prosseguiria
10. 8 5 9 0 10 0 LO 40 3 6 2 7 57 46 60 68 73 xx x a Construa um modelo de PL que lhe permita estimar a melhor linha recta y bx a para este conjunto de pontos com os seguintes dois objectivos i minimizar a soma dos desvios absolutos de cada valor y em rela o ao valor previsto pela rela o linear ii minimizar o desvio m ximo de todos os valores observados y em rela o ao valor previsto pela rela o linear b Com o recurso ao software que desejar resolva os dois modelos de PL que definiu anteriormente indicando claramente os valores de a e b para as duas situa es c Fa a um esbo o ou utilize software para a constru o do gr fico dos pontos dados e das linhas rectas que definiu d O m todo dos m nimos quadrados poderia ser aplicado atrav s da resolu o de um modelo de PL 15 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios 17 Restri es l gicas Considere 7 vari veis de decis o bin rias x j 1 7 Estabele a em termos de um modelo de Programa o Inteira as seguintes condi es 1 As vari veis 1 e 5 t m de ter o mesmo valor 11 N o poss vel terem todas o valor 1 111 Pelo menos uma tem que ter o valor 1 iv A vari vel 1 n o pode ter valor 1 se a vari vel 3 tiver valor 1 v vari vel 4 s pode ter valor 1 se a vari vel 2 tamb m tiver 18 Sequenciamento Considere
11. Hidrocarbonatos 37 53 28 24 29 20 A equipa de engenheiros considerou que cada m todo poderia ser usado em qualquer frac o da sua capacidade m xima entre O e o seu limite m ximo permitindo assim redu es desde 0 at aos valores apresentados na tabela anterior Considerou ainda que essas frac es poderiam ser diferentes para os dois tipos de fornos e que para cada tipo de forno a redu o obtida atrav s de um m todo n o seria substancialmente alterada pela utiliza o dos outros m todos Foi estimado o custo actual da utiliza o de cada m todo no seu limite m ximo Esse custo inclu a custos de opera o e manuten o adicionais poss veis perdas de lucro devido menor efici ncia do processo produtivo e um custo de implementa o Os valores estimados em milh es de d lares s o apresentados na tabela seguinte 13 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios M todo Forno A Forno B Aumentar altura chamin s 8 10 Filtros 7 6 Melhores combust veis 11 9 Foi ainda considerado que o custo de implementa o de um m todo seria proporcional frac o em rela o ao limite de utiliza o do m todo utilizada A quest o que se colocava ent o era que m todos e em que frac es utilizar para os fornos A e para os fornos B N o existindo nenhum elemento com uma s lida forma o em TO n
12. Industrial Exerc cios Actividade Dura o Reunidas predecessoras 1 Funda es 15 2 Medi es 5 3 Placas 4 1 2 4 Estrutura 3 3 5 Telhado 7 4 6 Electricidade 10 4 7 Aquecimento ear 13 24 condicionado 8 Pintura 18 4 6 7 9 Acabamentos 20 5 8 Com vista a uma gest o de recursos materiais humanos e subcontratac o de outras empresas a empresa em causa pretende determinar a data de in cio de cada actividade de forma ao projecto terminar o mais cedo poss vel a Apresente um modelo para este problema com base na seguinte defini o de vari veis de decis o x dia de in cio da actividade i Obtenha a dura o m nima do projecto b Apresente um modelo de fluxos em rede confirmando a dura o m nima do projecto que obteve na al nea anterior 28 Armazenamento Pretendem se guardar 100 objectos num determinado armaz m autom tico com 20 locais de armazenamento Cada um dos objectos tem um volume de c metros c bicos i 1 100 Cada um dos locais de armazenamento tem uma capacidade de b metros c bicos j 1 20 e fica a uma dist ncia de d metros j 1 20 do local onde inicialmente se encontram os objectos O ve culo que efectua o transporte do local onde inicialmente se encontram os objectos para um dos locais de armazenamento apenas pode transportar um objecto de cada vez a Apresente um modelo de Programa o Inteira que permita a minimiza o da di
13. processo produtivo de C implica que para al m do tempo de processamento de uma hora em cada uma das m quinas por unidade fabricada seja necess rio processamento adicional que pode ser efectuado em qualquer das m quinas Se este processamento adicional for efectuado na m quina 1 demora uma hora se for efectuado na m quina 2 demora duas horas 1 Apresente um modelo de PL para este problema e obtenha a uma solu o ptima atrav s da utiliza o de software 11 Quanto tempo v o estar paradas as m quinas iii Com base na an lise de sensibilidade dada pelo software caso fosse poss vel obter mais uma unidade de um componente qual escolheria d Considere que as quantidades produzidas t m de ser inteiras 1 Obtenha uma solu o ptima atrav s da utiliza o de software 11 Atrav s da representa o gr fica confirme que a solu o ptima e indique uma solu o ptima alternativa 11 Indique uma restri o cuja inclus o no modelo implicaria que a solu o ptima da relaxa o linear seria ptima para o problema inteiro e Considere agora que o fabrico de cada um dos produtos implica a prepara o das m quinas Os tempos de prepara o s o dados na tabela seguinte Tempo de prepara o 4 B horas MI 1 0 8 M2 0 4 0 3 i Apresente um modelo de Programa o Inteira para o problema 11 Obtenha uma solu o ptima atrav s da utiliza o de software 3 28
14. tabelas seguintes apresentam se os custos unit rios de transporte entre cada origem e cada destino e uma solu o admiss vel para o problema em causa 9 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios Custos unit rios D1 D2 D3 Solu o D1 D2 D3 Ol 7 43 Ol 0 0 5 02 3 1 7 02 0 10 0 03 1 6 1 03 10 0 5 a Mostre que a solu o apresentada ptima b Existem solu es ptimas alternativas Justifique e em caso afirmativo indique uma c Obtenha uma solu o ptima considerando agora que o transporte entre O1 e D3 n o permitido 11 Simplex para Transportes 2 Considere o problema de transportes da figura seguinte a Mostre que a solu o x14 11 X16 9 X25 2 X26 8 X35 11 X37 14 ptima e calcule o seu valor b Suponha que a oferta do nodo 2 aumenta de 2 unidades e que a procura do nodo 4 tamb m aumenta de 2 unidades Compare o valor da solu o ptima obtida com o valor da solu o ptima da al nea anterior 10 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios 12 Produ o 2 a Uma determinada empresa pretende minimizar o custo de opera o de tr s tipos de m quinas mas satisfazendo a procura do produto fabricado Cada m quina tem uma determinada capacidade e um custo de opera o O custo de opera
15. 3 4 6 5 0 0 Dep sitos 4 6 962 5 3 4 0 1 O 1 10 4 7 1 2 1 8 8 1 Os valores c lulas das colunas relativas aos clientes dizem respeito ao custo expresso nas mesmas unidades que o custo fixo de satisfazer toda a procura de um cliente atrav s do dep sito da linha correspondente Nota utilize software na resolu o das quest es que lhe s o apresentadas 19 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios a Resolva a relaxa o linear deste problema b Obtenha a solu o ptima do problema em que se considera que a procura dos clientes pode ser satisfeita a partir de diferentes dep sitos Qual o gap de integralidade relativo Qual o gap de integralidade absoluto c Qual o dep sito a abrir caso s se possa abrir um d Considerando que pode ser aberto um qualquer n mero de dep sitos qual a segunda melhor solu o e Considere que o cliente 1 n o pode ser abastecido em mais de metade da sua procura por apenas um dep sito Qual a solu o ptima 25 Distribui o Uma determinada empresa tem duas f bricas onde produz um determinado produto um centro de distribui o e dois armaz ns para armazenamento do referido produto Na figura que se segue representam se esquematicamente os poss veis percursos para o produto desde que produzido nas f bricas F1 e F2 at que armazenado em Al e A2 Associado a cada transpor
16. 5 33 Planos de corte de Gomory 25 34 AT amp T Selec o de Localiza es para Centros de Telemarketing 26 Bibliografia 28 1 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios 1 Produ o 1 Uma determinada empresa produz dois produtos 4 B com base em cinco componentes a b c Cada unidade do produto 4 composta por 2 unidades de a e uma unidade b cada unidade do produto B composta por 2 unidades de a e uma unidade de c Para o per odo em causa est o dispon veis 12 unidades do componente a 3 do b e 4 do c Ambos os produtos t m de ser processados em duas m quinas M1 M2 O tempo de processamento em horas por unidade processada a capacidade das m quinas em horas e o lucro obtido em unidades monet rias por unidade produzida s o dados na tabela O n mero total de unidades produzidas n o pode ser inferior a 2 Pretende se determinar as quantidades a produzir de cada um dos produtos de forma a maximizar o lucro total Tempo de Capacidade da m quina processamentos A B horas horas unidade M2 214 16 Lucro do produto 6 3 U M unidade Considere as al neas seguintes de forma independente Excepto quando referido explicitamente considere que podem ser fabricadas quantidades fraccion rias dos produtos Formule um modelo de Programa o Linear para este problema a 1 Represente graficamente o m
17. UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios AN 1 ed Universidade do Minho Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Investiga o Operacional Exercicios de Programa o Linear e Inteira Filipe Pereira e Alvelos Departamento de Produ o e Sistemas Universidade do Minho Vers o 02 20 de Outubro de 2005 Os dados de alguns enunciados encontram se em ficheiro anexo exercicios mei io pli dados xJs NDICE 1 Produ o 1 2 2 Modelo geral 1 4 3 Modelos gerais 2 4 4 Modelo geral 3 5 5 An lise de sensibilidade geral 1 6 6 An lise de sensibilidade geral 2 7 7 Pol tica de vacina o 8 8 Carregamento de avi o 8 9 Realoca o de alunos 9 10 Simplex para Transportes 1 9 11 Simplex para Transportes 2 10 12 Produ o 2 11 13 Produ o 3 11 14 Controlo de polui o do ar 13 15 Reciclagem de res duos s lidos 14 16 Line fitting 15 17 Restri es l gicas 16 18 Sequenciamento 16 19 Gest o de turnos 16 20 Campanha publicit ria 17 21 Escalonamento de tripula es a reas 18 22 Corte 19 23 Escolha de tecnologia de produ o 19 24 Localiza o 19 25 Distribui o 20 26 Objectos em movimento 21 27 Gest o de projectos 21 28 Armazenamento 22 29 Miss es espaciais 23 30 M todo de Parti o e Avalia o 1 24 31 M todo de Parti o e Avalia o 2 24 32 M todo de Parti o e Avalia o 3 2
18. a equipa referida a tentativa de reduzir a polui o do ar revelou se desastrosa e a empresa teve uma lenta agonia at fal ncia Hoje em dia Steeltown uma cidade fantasma a Formule um modelo de PL que pudesse ter sido til para evitar o triste final da Nori amp Leets Co b Com recurso a software determine de que forma este caso poderia ter tido um final feliz 15 Reciclagem de res duos s lidos A empresa Save lt Co opera num centro de reciclagem que recolhe quatro tipos de res duos s lidos indexados de 1 a 4 Depois da recolha os res duos s o tratados e misturados dando origem a um produto vend vel O tratamento e a mistura o s o processos separados Podem ser produzidas tr s variedades deste produto aqui representadas por A B e C dependendo do tipo de res duos utilizados e a sua quantidade Embora haja alguma flexibilidade na mistura de cada variedade especifica es de qualidade t m de ser respeitadas nomeadamente relativas s propor es m nima e ou m xima dos res duos esta propor o expressa em peso do res duo relativamente ao peso total do produto Essa informa o dada na tabela seguinte juntamente com o custo do processo de mistura e o pre o de venda Custo de mistura Prego dg Variedade Especifica o or Kg venda p 8 por Kg Res duo 1 n o mais de 30 do total Res duo 2 n o menos de 40 do total E Res duo 3 n o mais de 50 do total 3 00 8 50
19. cio ou a minimizar o n mero de objectos grandes utilizados Considera se aqui o caso de um problema de corte a uma dimens o Existe um n mero de placas rectangulares de mat ria prima que se pretende cortar em pe as rectangulares mais pequenas para as quais existem um conjunto de pedidos pressup e se que o n mero de placas suficientemente elevado para satisfazer todos os pedidos A largura das placas e das pe as a mesma As placas t m tr s comprimentos diferentes 700 cm 80 cm e 55 cm Existem 150 pedidos de pe as com 45 cm de comprimento 200 pedidos para pe as de 30 cm e 175 pedidos para pe as de 18 cm a Formule e resolva o problema considerando que o objectivo minimizar o n mero de placas utilizadas b Formule e resolva o problema considerando que o objectivo minimizar o desperd cio 23 Escolha de tecnologia de produ o Uma empresa disp e de m diferentes formas de produzir um determinado produto Associada a cada forma de produ o j j 1 m estimou se um custo fixo f um custo unit rio c e um n mero m ximo de unidades que podem ser produzidas uj No m nimo t m de ser produzidas d unidades do produto em causa No m ximo podem ser utilizados k formas diferentes de produ o de entre as m dispon veis Formule um modelo de PI 24 Localiza o Considere o seguinte problema de localiza o com 5 dep sitos e 6 clientes Custo fixo Clientes 4 12 8 2 3 8 2 3 1
20. de de R1 iii Aumento de 50 na disponibilidade de R1 iv Aumento de 100 no lucro de A1 e diminui o de 25 nos lucros de A2 A3 e A4 7 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios f Sem recorrer a altera es de par metros no modelo logo sem fazer reoptimiza es indique 1 Qual o valor da fun o objectivo numa solu o ptima se a disponibilidade do recurso R5 for de 5 5 11 O recurso R3 n o est a ser utilizado na sua totalidade A partir de que percentagem de diminui o da sua disponibilidade tal deixa de acontecer iii A partir de que valor do lucro unit rio da actividade A3 x deixa de ter um valor nulo 7 Pol tica de vacina o Os respons veis pela pol tica de vacinas por uma determinada regi o deparam se com o problema de minimizar o valor monet rio dispendido com a aquisi o e transporte das vacinas para os Centros de Sa de onde ser o administradas O n mero de vacinas necess rio em cada um dos 4 Centros de Sa de da referida regi o de 20 000 50 000 30 000 e 40 000 Existem tr s empresas farmac uticas capazes de fornecer vacinas no prazo estipulado tendo cada uma feito uma proposta A empresa A coloca em cada Centro de Sa de as vacinas que forem precisas a um pre o de 0 5 por vacina A empresa B vende cada vacina por 0 2 mas n o se responsabiliza pelo seu transporte para os Centros de Sa
21. e o fazer tirar duas fotografias em diferentes momentos como representado na figura seguinte A posi o dos cinco objectos no primeiro momento representada por um c rculo branco Represente por x1 1 as coordenadas do ponto i nesse momento i 1 p Os cincos pontos identificados no segundo momento s o representados por um c rculo negro Represente por x2 Y2 as coordenadas do ponto nesse momento i 1 p Para estimar a velocidade e a direc o de cada objecto torna se necess rio associar cada ponto no primeiro momento a um ponto no segundo Considerando que as duas fotografias s o tiradas com um intervalo de tempo suficientemente pequeno formule um modelo de afecta o que lhe permita obter um conjunto de associa es plaus veis 27 Gest o de projectos Uma determinada empresa de constru o civil vai iniciar a constru o de um edif cio Com vista a um bom planeamento desse projecto o respons vel dividiu o projecto em actividades e estimou a dura o de cada uma delas Naturalmente certas actividades s podem ser iniciadas depois de outras estarem conclu das Na tabela seguinte s o dadas as actividades consideradas a sua dura o em dias e as rela es de preced ncia entre as mesmas por exemplo para se poder iniciar a actividade 3 as actividades 1 e 2 t m de estar conclu das 21 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia
22. gem ao problema de selec o de centros de telemarketing O reconhecimento de que h v rios factores al m do custo dos telefonemas levou a um maior conhecimento da complexidade do problema de localiza o de centros de Telemarketing Para diferentes regi es o custo de compra aluguer os impostos os custos de pessoal e outros s o muito diferentes Como consequ ncia nem sempre evidente que se deva localizar um centro na regi o que este servir a dist ncia electr nica um factor importante A percep o geral era de que o custo de compra aluguer das instala es f sicas e ou o custo das chamadas era m o principal is factor es para a decis o das localiza es existentes mas investiga es mais aprofundadas indicaram que as considera es da gest o da empresa eram de facto o principal factor Estas decis es da gest o eram em geral decis es emocionais como localizar um centro na cidade onde estavam localizados os principais escrit rios da empresa ou na cidade preferida de um gestor s nior Quest es Que decis es t m de ser tomadas na concep o de um sistema de telemarketing Sugira um modelo matem tico para o problema da localiza o de centros de telemarketing Que informa o necess ria para o modelo que construiu b O Problema de Selec o de Centros de Telemarketing da McMartin 27 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial
23. informa o e o sistema de comunica es se encontram Num centro pessoal habilitado interage com os clientes de uma regi o espec fica atrav s de telefonemas processando pedidos como por exemplo de produtos de venda por cat logo e dando informa es com base nos sistemas de informa o que tem ao seu dispor por exemplo sobre o prazo de garantia de um produto Decis es cr ticas no planeamento de um sistema de telemarketing incluem a decis o de quantos centros usar a sua localiza o e para qual dos centros devem ser encaminhados os telefonemas dos clientes de reas diferentes 26 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios Os centros podem ter diversos tamanhos de acordo com o espa o f sico que ocupam e com o n mero de pessoas empregadas O dimensionamento de um centro deve ser efectuado com base numa previs o do volume de telefonemas a serem recebidos o qual por sua vez depende das regi es espec ficas que ser o servidas pelo centro em quest o usual empresas que fornecem o servi o 24 horas por dia terem v rios centros para poderem encaminhar os telefonemas dos clientes para uma localiza o onde dia n o nos esque amos que estamos a falar dos Estados Unidos da Am rica em que a diferen a de fusos hor rios de uma costa outra para a de oito horas evitando assim os custos com pessoal de um centro espec fico e
24. m s tem 24 dias de trabalho a Construa um modelo de PL que permita determinar o plano de produ o da f brica quando e o qu produzir Sugere se que considere primeiro apenas um dos meses b Com aux lio de software determine o plano de produ o que maximiza o lucro 12 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios 14 Controlo de polui o do ar A empresa Nori amp Leets Co uma das maiores produtoras de a o no seu continente localizava se na cidade Steeltown onde era respons vel pela maior parte dos empregos a existentes A cidade de Steeltown crescera e desenvolvera se sombra da empresa que na altura em que o problema que aqui se descreve ocorreu tinha mais de 10 000 funcion rios Sendo assim a atitude das pessoas sempre fora a de que o que era bom para a Nori amp Leets Co era tamb m bom para Steeltown No entanto esta atitude mudara devido polui o do ar provocada pela empresa Tal polui o tornara se vis vel na apar ncia da cidade e os seus habitantes temiam correr riscos de sa de Os tr s principais tipos de polui o do ar provocados pela empresa eram part culas s lidas xidos de enxofre e hidrocarbonetos Depois de diversas reuni es os directores da empresa decidiram seguir estrat gias socialmente mais respons veis tendo acordado com representantes da popula o as seguintes redu es anuais das ta
25. m cada m quina s o dados na tabela seguinte 11 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios Produto 1 2 3 4 5 6 7 Contribui o para o lucro 10 6 8 4 11 9 3 A 0 5 0 7 0 3 0 2 0 5 B 0 1 0 2 0 3 06 C 0 2 0 8 0 6 D 0 05 0 03 0 07 0 1 0 08 E 001 005 0 05 No m s presente Janeiro e nos cinco meses seguintes algumas m quinas n o v o estar dispon veis por se encontrarem em manuten o A informa o de quais as m quinas indispon veis dada na tabela seguinte Janeiro IA Fevereiro 2C Mar o lE Abril 1B Maio lAelB Junho lEelC Existem limita es impostas pelo Departamento de Marketing em rela o a cada produto em cada m s Estas s o Produto 2 3 4 5 6 7 Janeiro 500 1000 300 300 800 200 100 Fevereiro 600 500 200 0 400 300 150 Mar o 300 600 0 0 500 400 100 Abril 200 300 400 500 200 O 100 Maio 0 100 500 100 1000 300 0 Junho 500 500 100 300 1100 500 60 poss vel armazenar at 100 unidades de cada produto simultaneamente com um custo de 0 5 por unidade por m s Actualmente n o existem unidades em stock mas pretende se que no final de Junho haja um stock de 50 unidades de cada produto A f brica opera seis dias por semana com dois turnos di rios de oito horas Considere que cada
26. o problema de determinar a sequ ncia pela qual um determinado conjunto de n tarefas deve ser realizado numa determinada m quina O tempo de processamento de cada tarefa independente da ordem pela qual as tarefas s o realizadas No entanto o tempo de prepara o da m quina setup para a realiza o de cada tarefa j depende de qual a tarefa i que foi realizada anteriormente representando se esse valor por tj i 1 n j 1 n i Dado o processo produtivo ser cont nuo no final do processamento da ltima tarefa de novo iniciado o processamento da primeira Este problema pode ser formulado com um modelo de Programa o Inteira cl ssico Qual Identifique claramente a que corresponde cada par metro do problema dado no modelo cl ssico 19 Gest o de turnos Em virtude do aumento do n mero de voos uma determinada companhia a rea necessita de um maior n mero de colaboradores num determinado aeroporto A quest o que se coloca gest o da companhia a rea como garantir um bom n vel de servi o aos seus clientes com o menor custo com recursos humanos poss vel Com base no hor rio dos voos foi efectuada uma an lise do n mero m nimo de colaboradores necess rios ao longo de um dia para o n vel de servi o prestado ser satisfat rio Nas duas primeiras colunas da tabela abaixo dada essa informa o Cada um dos colaboradores a contratar pode trabalhar em um dos cinco turnos com os hor rios dados na me
27. odelo de PL 11 Obtenha uma solu o ptima atrav s da representa o gr fica 11 Indique uma fun o objectivo para a qual a nica solu o ptima corresponda a produzirem se 2 unidades de 4 e 3 unidades de B iv Identifique as restri es redundantes do modelo de PL v Se fosse poss vel aumentar a capacidade de uma m quina qual escolheria Se fosse poss vel aumentar a disponibilidade de um componente qual escolheria vi Obtenha a solu o ptima para este problema atrav s de software adequado Interprete todos os valores de an lise de sensibilidade por ele fornecido relacionando os com a representa o gr fica do problema b Altere o modelo da al nea anterior de forma a contemplar cada uma das seguintes situa es obtendo uma solu o ptima atrav s da utiliza o de software 1 Por cada unidade de cada componente n o utilizado existe um custo de 7 U M que corresponde a essa unidade ter de ficar armazenada ii Componentes adicionais podem ser adquiridos a um custo unit rio de 7 U M iii Pretende se que a produ o de 4 corresponde a pelo menos 80 da produ o total 2 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios c A empresa estuda a possibilidade fabricar um novo produto C Estima se o seu lucro unit rio em 70 U M O produto fabricado com base em uma unidade de cada um dos componentes a b e c O
28. odelo geral 3 Considere o seguinte problema de Programa o Linear Maxz 3x 2x sa x xX 21 x S2 x x S3 xx Z0 Determine uma solu o ptima efectuando primeiro uma itera o do algoritmo simplex dual e prosseguindo com o algoritmo simplex primal 5 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios 5 An lise de sensibilidade geral 1 Considere a seguinte formula o de um problema de Programa o Linear Max z 20x 40x2 s d 4 x 8 x2 lt 200 5 x 5 2 x2 lt 250 6 x 3 X2 lt 220 X X2 20 Na resolu o deste problema atrav s do Solver do Excel obteve se o seguinte relat rio de an lise de sensibilidade Adjustable Cells Final Reduced Objective Allowable Allowable Name Value Cost Coefficient Increase Decrease xl 0 0 20 0 1E 30 x2 25 0 40 1E 30 0 Constraints Final Shadow Constraint Allowable Allowable Name Value Price R H Side Increase Decrease rl 200 5 200 386 6666667 200 r2 62 5 0 250 1E 30 187 5 r3 75 0 220 1E 30 145 Indique os valores assinalados com no seguinte quadro simplex ptimo x f L B I 5 16 38B 6 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios 6 An lise de sensibilidade geral 2 Considere um problema de P
29. rograma o Linear de maximiza o em que se consideram 4 actividades e 5 recursos limitados Na tabela seguinte s o dados os consumos unit rios de cada recurso R1 a R5 por actividade Al a A4 a disponibilidade de cada recurso coluna RHS e o lucro unit rio de cada actividade linha Lucro Al A2 A3 A4 RHS R1 1 1 4 8 R2 2 4 1 8 R3 4 1 4 16 R4 2 1 4 R5 2 2 1 4 Lucro 4 2 2 a Formule o problema como um modelo de Programa o Linear b Com aux lio de software obtenha uma solu o ptima c No software que utilizou na al nea anterior aceda ao s relat rio s janela s relativos a an lise de sensibilidade Interprete todos os valores que lhe s o apresentados d Preencha no seguinte quadro simplex onde os ndices das vari veis x t m uma correspond ncia directa com as actividades e os das vari veis s com os recursos as c lulas assinaladas com 2 Xi X X3 X S S2 S3 S4 S5 e Dos cen rios a seguir descritos qual o mais favor vel em termos de maximiza o de lucro Tente reoptimizar o problema com auxilio de software apenas para os cen rios em que n o seja claro se s o favor veis ou n o i Aumento de 25 na disponibilidade de R2 aumento de 25 na disponibilidade de R5 e diminui o de 25 do lucro unit rio de A2 ii Aumento de 50 na disponibilidade de R3 aumento de 50 na disponibilidade de R4 e diminui o de 25 na disponibilida
30. s cargas pode ser colocada em qualquer compartimento Formule um modelo de Programa o Linear que lhe permita determinar qual a quantidade de cada carga que deve ser transportada em cada um dos compartimentos de forma a maximizar o lucro total 9 Realoca o de alunos Foi decidido que no pr ximo ano lectivo uma determinada Escola do Ensino Secund rio deveria ser encerrada Dessa forma os alunos actualmente a estudar nessa Escola ter o de passar a estudar em uma de tr s outras escolas Dado o transtorno provocado foi decidido que para os alunos em quest o seria providenciado o transporte entre a sua rea de resid ncia e a sua nova escola Consideraram se seis reas de resid ncia Na tabela seguinte apresentam se alguns dados referentes a esta situa o Ras N mero de Custo de transporte por estudante alunos Escola 1 Escola 2 Escola 3 1 450 300 0 700 2 600 400 500 3 550 600 300 200 4 350 200 500 5 500 0 400 6 450 500 300 0 Capacidade da escola 900 1100 1000 Apresente um modelo de Programa o Linear para este problema tendo em conta que se pretende o menor custo total poss vel 10 Simplex para Transportes 1 Considere um seguinte problema de transportes com tr s origens O1 O2 e 03 e tr s destinos D1 D2 e D3 A oferta de cada uma das origens de 15 unidades e as procuras de cada um dos destinos de 10 unidades Nas duas
31. sma tabela por exemplo o hor rio do turno 1 das 06 00 s 14 00 Na ltima linha da tabela dado o custo di rio por colaborador 16 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios Per odo N mero m nimo Turno de colaboradores 1 2 3 4 5 06 00 10 00 7 X 10 00 14 00 13 XIX 14 00 18 00 9 X X 18 00 22 00 18 X X 22 00 02 00 7 XIX 02 00 06 00 3 X Custo di rio por colaborador 170 160 175 180 195 a Formule um modelo de Programa o Inteira que permita gest o da companhia erea decidir quantos colaboradores devem ser contratados para cada um dos turnos b Como incluiria no modelo que formulou na alinea a o facto de se pagar um custo adicional de 100 se o turno 2 for utilizado 20 Campanha publicit ria Uma determinada institui o resolveu fazer uma campanha publicit ria em diversos org os de comunica o social Para tal efectuou um estudo cujos resultados s o sumariados na tabela a seguir apresentada Org o de es ndo Paplicp DE Custo Beneficio R atingido pelo an ncio pao da PORES comunica o social AA do an ncio devido ao an ncio dividido em 6 grupos A 1 2e4 3 12 B 2 3e6 4 10 C 4 5e6 3 14 D 5 7 e8 7 19 E 6 8 9 5 16 Por exemplo se for efectuado um an ncio no org o de comunica o social A os grupos
32. sses valores s o dados na Tabela 3 do ficheiro de dados Quest es Se a gest o da McMartin decidir apenas um centro de telemarketing qual deve ser a sua localiza o E se decidir abrir dois centros de telemarketing Faz sentido resolver o problema como sendo de Programa o Linear em vez de Programa o Inteira Mista Bibliografia R Ahuja T Magnanti J Orlin Network Flows Prentice Hall 1993 H Eiselt C Sandblom Integer Programming and Network Flows Springer 2000 F S Hillier and G J Lieberman Introduction to Operations Research Mc GrawHill 2001 P Jensen J Bard Operations Research Models and Methods John Wiley and Sons 2003 http www solver com H P Williams Model Building in Mathematical Programming John Wiley and Sons 1999 O caso de estudo uma adapta o de AT amp T Telemarketing Site Location Wiley INFORMS Teaching Cases e descrito em Anthony J Brigandi Dennis R Dargon Michael J Sheehan Thomas Spencer III AT amp T s Telemarketing Site Selection System Offers Customer Support Interfaces Volume 20 Number 1 Jan Feb 1990 pp 83 96 dispon vel em Attp yww interfaces smeal psu edu 28 28
33. st ncia total percorrida com o armazenamento de todos os objectos b A que modelo geral de PI corresponde o modelo que formulou na al nea anterior 22 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios 29 Miss es espaciais A ag ncia espacial norte americana NASA utiliza um modelo de Programa o Inteira para apoiar as tomadas de decis o relativas selec o de potenciais miss es Considere a seguinte vers o simplificada do problema com que se debate a NASA Est em causa um horizonte temporal de 12 anos 3 per odos de 4 anos e um conjunto de 6 potenciais miss es Se uma miss o for seleccionada tem de ser totalmente financiada em cada um dos per odos Na tabela seguinte apresentam se as miss es em causa o financiamento em bili es de d lares requerido por cada uma em cada per odo e o valor que a NASA atribuiu a cada miss o calculada com base nos ganhos cient ficos nos benef cios para a vida na terra etc Per odo Miss o Valor 2004 08 2008 12 2012 16 1 rbitra de Urano 2012 8 10 1 40 2 rbitra de Urano 2016 1 8 10 25 3 Explora o de Merc rio 2 4 6 15 4 SETI 1 1 3 8 5 Tecnologia m dica 2 1 1 9 6 Explora o de Io 1 3 1 10 O or amento dispon vel de 10 14 e 15 bili es de d lares no primeiro segundo e terceiro per odos respectivamente Das miss
34. star aberto 24 horas O Problema de Selec o de Centros de Telemarketing O principal factor de decis o para a localiza o de centros era o custo das comunica es Quando o servi o n mero gr tis 800 foi introduzido em 1967 a AT amp T efectuou um estudo sobre as localiza es de centros Para a maior parte dos casos o custo do servi o n mero gr tis determinava a melhor localiza o j que o custo dos recursos humanos e do espa o f sico eram muito baixos quando comparados com os custos dos telefonemas de longa dist ncia Nota quando uma empresa tem um servi o de n mero gr tis como por exemplo a EDP para leitura dos contadores da electricidade esse n mero gr tis para o cliente mas a empresa tem de pagar um valor acordado previamente com a operadora de telecomunica es Sendo os custos dos telefonemas de longa dist ncia elevados imagine se o que seria uma empresa de telemarketing a operar em Nova York ter de pagar milhares de telefonemas de clientes de Los Angeles operadora de telecomunica es Esta estrutura de custos favoreceu as cidades do centro dos Estados Unidos onde as maiores cadeias de hot is companhias a reas e empresas de aluguer de autom veis localizaram os seus centros de telemarketing Hoje em dia as coisas s o mais complexas A principal mudan a que os custos de comunica es baixaram consistentemente enquanto que os custos com o pessoal aumentaram o que implica uma nova aborda
35. te entre dois locais existe um custo proporcional ao n mero de unidades transportadas como representado na figura Junto a Fl e F2 apresentam se a quantidade produzida em cada f brica e junto a Al e A2 representa se a quantidade m xima que poss vel armazenar em cada um dos armaz ns Para alguns dos transportes existe um limite de quantidade transportada que indicado na figura as N 90 unid HE 50 Fl Al 30 1 Ne 4 A 40 unid 20 unid E 10 unidades es 30 unid 20 unid a 7 Di SR e A 80 unidades y J e 30 unid 10 unid vo 40 F2 A2 60 LE fu A A empresa referida pretende tomar uma decis o acerca das quantidades que dever o ser transportadas em cada percurso de forma a garantir a minimiza o do custo total de transporte a Atrav s da utiliza o de sofiware determine a solu o ptima para este problema b Considere que associado a cada transporte existe um custo de 300 independentemente da quantidade transportada Formule um modelo de PI para esta nova situa o 20 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios 26 Objectos em movimento Em v rios contextos pode ser desej vel estimar a velocidade e a direc o de um conjunto de p objectos em movimento por exemplo avi es m sseis manchas de crude no mar Uma forma plaus vel d
36. te se tornaria a principal raz o de escolha para os clientes Em resposta a esta mudan a dram tica a AT amp T desenvolveu uma nova estrat gia focada em identificar oportunidades para novos produtos de comunica es explorando assim a sua maior capacidade em rela o aos competidores para lidar com sistemas de comunica es complexos Um sector identificado foi o da ind stria de telemarketing com um crescimento esperado at d cada de noventa de 10 a 15 A Ind stria de Telemarketing O telemarketing utiliza as tecnologias de telecomunica es e a gest o de sistemas de informa o para implementar um plano de marketing Nos Estados Unidos da Am rica em 1986 existiam 140000 empresas de telemarketing um crescimento de 87 5 vezes em rela o a 1980 Estas empresas empregavam cerca de dois milh es de pessoas sendo respons veis por vendas no valor de 118 bili es de d lares em bens e servi os 20 bili es dos quais em produtos e servi os relacionados com telecomunica es A estimativa era de que no ano 2000 o n mero de pessoas crescesse para oito milh es e as vendas para 500 bili es de d lares O telemarketing pode ser dividido em quatro reas o que n o interessa nada para o caso mas sempre fica a cultura geral processamento de encomendas apoio a clientes suporte a vendas e gest o da contabilidade Sistema de Telemarketing Um sistema de telemarketing inclui um ou mais centros onde a gest o da
37. utilizando o m todo de planos de corte de Gomory para obter uma solu o ptima inteira 25 28 UM OIO DPS Investiga o Operacional Mestrado Curso de Especializa o em Engenharia Industrial Exerc cios 34 AT amp T Selec o de Localiza es para Centros de Telemarketing a A Empresa de Telecomunica es Em 1986 a AT amp T grande empresa de telecomunica es americana acordou para uma dura realidade tinha uma posi o no mercado muito diferente da posi o de monop lio que detivera durante os anos setenta Em 1984 as altera es nas leis de regula o de mercado permitiram a entrada de novas empresas no mercado das chamadas telef nicas de longa dist ncia A AT amp T foi for ada maior e mais publicitada venda de ac es da hist ria A consequ ncia destas ocorr ncias foi que em meados dos anos oitenta a empresa detinha menos de 50 das vendas de chamadas de longa dist ncia e de equipamentos de telecomunica es onde antes detivera o monop lio Entretanto os seus competidores tinham feito grandes investimentos em redes de comunica es novas Como consequ ncia a sua vantagem tecnol gica tinha vindo a diminuir e parecia prestes a desaparecer Em reas em que antes tinha grandes margens de lucro a AT amp T encontrou se numa feroz luta de pre os As reas tradicionais de neg cio telefones e chamadas telef nicas estavam a tornar se neg cios de pequena margem de lucro onde o pre o rapidamen
38. xas de emiss o dos poluentes do ar material em part culas 60 milh es de libras xidos de enxofre 150 milh es de libras e hidrocarbonetos 125 milh es de libras 1 libra 453 6 gramas Os directores da empresa encarregaram uma equipa de engenheiros de estudar de que forma essas redu es deveriam ser conseguidas da forma mais econ mica poss vel Essa equipa de engenheiros numa primeira fase identificou as duas principais fases do processo de fabrico de a o no que diz respeito emiss o de poluentes a produ o de ferro gusa pig iron e a transforma o do ferro em a o Ambas essas fases do processo produtivo s o efectuadas em fornos de diferentes tipos aqui designados por A e B Em ambos os casos a equipa de engenheiros decidiu que as formas mais eficazes de atingir os objectivos seriam 1 aumentar a altura das chamin s 2 utilizar filtros nas chamin s 3 utilizar combust veis de maior qualidade nos fornos Cada um desses m todos tem limites na sua utiliza o por exemplo a altura das chamin s n o poder certamente ser qualquer Na tabela seguinte mostram se os efeitos da utiliza o de cada um dos m todos no limite m ximo na redu o de emiss o dos poluentes em milh es de libras por ano Poliente Aumentar altura chamin s Filtros Melhores combust veis Forno A Forno B Forno A Forno B Forno A Forno B Part culas s lidas 12 9 25 20 17 13 xidos de enxofre 35 42 18 31 56 49
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