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Conicas Parte 1.cdr - Geometria Analítica

1. RESOLU O Obtemos da figura 0 4 0 a b5eb 1 A elipse representada tem equa o dotipo x x Y Y P a mi x x Substituindo os valores obtidos da figura na equa o acima x 4F y 0P 1 25 Jacir J Venturi 02 Determinar a equa o can nica da elipse 9x 4y 54x 32y 109 0 RESOLU O Pelatransla o deve seeliminarostermosem xe em y do1 grau 2 a F rmulas de transla o p x X y y y 2 b Levando na equa o dada 9 xo XP 4 yo 54 x X 32 yo Y 109 0 Fazendo coeficiente de x 0 18x 54 0 gt x 3 Fazendo o coeficiente de y 0 8y 32 0 gt y 4 Ent o o centro O 3 4 Anovaequa o tem aforma 9x 4y F 0 onde F 9 3 4 4 54 3 32 4 109 36 Destarte 9x 4y 36 0 OBSERVA O Substituindo O 3 4 em Q igualmente obter se ia 2 2 c Dividindo todos os termos de 2 por 36 12 12 12 12 2x pos 1 ou ERR Resp 36 36 4 9 2 d Gr fico Coordenadas dos focos c a b 9 4 5 c 5 F 3 4 45 F 3 4 v5 C NICAS E QU DRICAS Exerc cios A matem tica vista com justeza possui n o apenas verdade mas suprema beleza uma beleza fria e austera como s a grande arte pode mostrar Bertrand Russel 1872 1970 fil sofo e matem tico ingl s x 6 y 5 25 coordenadas dos focos do centro e o respectivo g
2. 42 04 Identifica o da par bola 44 05 Constru o geom trica da par bola e 45 06 Aplica es pr ticas de par bola enerne eerren 46 07 Equa es da par bola de V O Xo Yo 50 08 Equa o da par bola de V O X Yo e cujo eixo de simetria n o paralelo a um dos eixos coordenados 63 CAP TULO 3 A ELIPSE OM Delni o s aca iso oasE at ar ARa oras aE aae sean ie ins asi east 69 02 Elementos da elipse aeee 69 03 Excentricidade niieu nerien aeae a aa aaa aeiae ia 70 04 Equa o can nica da elipse de centro na origem 71 05 Identifica o da elipse eres 73 06 Constru o de uma elipse 75 07 Aplica es pr ticas da elipse 75 08 Equa o da elipse cujo centro O xo yo e cujos eixos s o paralelos aos eixos coordenados eerren 82 09 Equa o da elipse cujo centro O Xo Yo cujos eixos n o s o paralelos aos eixos coordenados 87 CAP TULO 4 A HIP RBOLE 01 Defini o cicien a do faan Bial aeaa aE 92 02 Elementos da hip rbole es 92 03 Excentricidade da hip rbole 93 04 Equa o can nica da hip rbole de centro na origem 93 05 Ass ntotas da hip rbole es 98
3. 44 e uma rota o de amplitude 0 45 Exercicios Pior que o dio a falta de amor Nelson Rodrigues 1912 1980 dramaturgo e jornalista pernambucano 01 Mediante uma transla o de eixos eliminar os termos do 1 grau na equa o x 4y 2x 16y 5 0 Resp x 4y 12 0 Jacir J Venturi 02 Eliminar os termos do 1 grau em 2xy x y 3 0 por meio de uma transla o de eixos Resp 4x y 5 0 03 Transforme a equa o x y 8x 10y 37 numa equa o dotipo x y k Construa afigura Resp x y 4 SUGEST O Na equa o dada devemos eliminar os termos do 1 grau transla o 04 Eliminar o termo em xy na equa o x 4xy y 2 0 median te uma rota o de eixos Resp 3x y 2 0 05 Calcular o ngulo 6 0 lt 6 lt 90 necess rio para girar os eixos para que desapare a o termo em xy na equa o x 2 3xy 3y V3x y 3 0 e achar a equa o da curva referida aos novos eixos Resp 6 60 2x y 3 0 S rie B N o tenho tempo nem para brigas nem para lamenta es homem algum pode obrigar me a descer tanto que possa odi lo Laurence Jones 06 Transformar a equa o 5x 4xy 2y 1 numa equa o do tipo Ax Cy F Resp 6x y 1 C NICAS E QU DRICAS SUGEST O Na equa o dada deve se eliminar o termo emxy rota o E DO sentes e cos 0 2 A C 3 J5 5 Com este
4. C NICAS E QU DRICAS S rie B Ter problemas na vida n o ter vida infeliz Da m sica Pais Parapl gicos de Padre Zezinho scj 11 O ponto B 3 11 um dos extremos do eixo menor de uma elipse cujos focos est o sobre a reta y 6 0 Pede se a equa o da elipse conhecendo se ainda a sua excentricidade igual a A 2 2 z x 3 _ y 6 _4 50 25 Resp 12 Um ponto P x y se desloca de modo que a soma de suas dist ncias aos pontos 2 4 e 2 2 10 Deduzir a equa o do lugar geom trico descrito Resp 25x 16y 100x 32y 284 0 9 EQUA O DA ELIPSE CUJO CENTRO O x yo E CUJOS EIXOS N O S O PARALELOS AOS EIXOS COOR DENADOS Reiteramos que a exist ncia do termo em xy na equa o de uma elipse indica que os eixos da elipse s o obl quos aos eixos cartesianos Faz semister a rota o al m datransla o Exerc cio Resolvido O homem nunca sabe do que capaz at ser obrigado a tentar Charles Dickens 1812 1870 escritor ingl s Dada a elipse de equa o 5x 6xy 5y 4x 4y 0 pede se o centro a equa o can nica e o gr fico RESOLU O a Ordem dastransforma es 1 transla o B 4AC 6 4 5 5 0 E rota o b Transla o Substituindo as f rmulas de transla o na equa o dada 5 Xo xy 6 Xo X Yo 5 Yo y 4U Xo X 4 yo Y 0 Jacir J Venturi fazendo o coeficiente de x 0
5. Por exemplo em 1591 Vi te para representar a equa o quadr tica 5A 9A 5 0 escrevia embomlatim 5 in A quad et 9 in A planu minus 5 aequatur 0 5 em A quadrado e 9emAplanomenos5 igualazero Al m da prolixidade de comunica o entre os matem ticos havia outras dificuldades pois se utilizava de nota es diferentes para indicar as mesmas coisas O maior respons vel por uma nota o matem tica mais consistente e utilizada at hoje foi Leonhard Euler 1707 1783 Recordemos as principais f x para indicar fun o de x somat ria e prov m da letra grega sigma que corresponde ao nosso S i unidade de imagin ria igual a 1 e base do logaritmo neperiano e igual a2 7182 2x para indicar o logaritmo de x as letras min sculas a b c para indicarem os lados de um tri ngulo e as letras mai sculas A B C para os ngulos opostos A letra z 3 1415 que havia sido utilizada por William Jones em1706 teve o uso consagrado por Euler Euler nasceu em Basil ia Su a e recebeu educa o bastante ecl tica Matem tica Medicina Teologia F sica Astronomia e L nguas Jacir J Venturi Ocidentais e Orientais Foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel Extremamente prof cuo insuper vel em produ o matem tica Euler escrevia uma m dia de 800 p ginas por ano e publicou mais de 500 livros e artigos Em plena atividades intelectual morreu aos 76 anos sen
6. 10 Determinar a equa o da par bola que se v na figura abaixo 1 2 Resp x y y 1 p 9 3 SUGEST O a Equa o da par bola x ay by c b c 1 c 0 3 par bola 0 9a 3b 1 1 e Resolvendo 1 e ael e pe s 9 3 Jacir J Venturi 11 A par bola y x bx c passa pelo ponto P 1 3 e a abscissa do foco igual a 2 Calcular c Resp c 6 12 Equa o da par bola com eixo de simetria vertical cujo v rtice V 3 1 e que intercepta o eixo das abscissas nos pontos 2 0 e 4 0 Resp xX 6x y 8 0 13 A par bola representada pela fun o y ax bx c passa pelos pontos 0 3 3 0 e 2 5 Obter a equa o da par bola Resp y xX 2x 3 14 Obtenha os pontos de intersec o das par bolas y x 1 e y X 3 Ademais calcule os v rtices e as intersec es de cada par bola com os eixos cartesianos y Resp P 1 2 eP 1 2 1 par bola V 0 1 intercepta o eixo y no ponto 0 1 e n o intercepta o eixo x 2 par bola V 0 3 intercepta o eixo y em 0 3 intercepta o eixo x nos pontos v3 0 e 3 0 15 Obter o v rtice e o foco da par bola y 6y 12x 15 0 Resp V 2 3 eF 1 3 SUGEST O a Inicialmente isole a vari vel x b Calcule a ordenada do v rtice Issa d 15 b Xa py y Yv 127 2 12 Ta C NICAS E QU DRICAS 16 Idem para a y a e b x 8x 6y 14
7. ed 488 p 12 MIDDLEMIS Ross R Analytic Geometry Tokio Mc Graw Hill Book Company Inc 1955 2 ed 310 p 13 Z ZIMO Gon alves Menna Geometria Anal tica Plana tratamento vetorial Rio de Janeiro Livros T cnicos e Cient ficos 1978 1 ed 248 p 14 CABRERA y MEDICI Geometria Anal tica Buenos Aires 1947 1 ed 456 p 15 BOYER Carl B Hist ria da Matem tica S o Paulo Editora da Universidade de S o Paulo 1974 1 ed 488 p 16 SIMMONS George F C lculo com Geometria Anal tica S o Paulo Mc Graw Hill 1987 1 ed v 1 829 p 74 Unificado ARTES GR FICAS E EDITORA Impresso nas Oficinas das Artes Gr ficas e Editora Unificado
8. o 6x 8y 2V3xy 1 0 Resp 5x 9y 1 0 05 Transformar a equa o xy 1 atrav s de uma rota o de eixos de 0 4 rad Resp x y 2 3 APLICA O DAS TRANSLA ES E ROTA ES NO ESTUDO DE UMA EQUA O DO 2 GRAU O estudo emep grafe ter aplica es assaz importantes nos cap tulos vindouros elipse par bola hip rbole c nicas Assim seja a equa o do 2 grau emduasvari veis AX Bxy Cy Dx Ey F 0 O C NICAS E QU DRICAS Nosso escopo eliminar nesta equa o um ou mais termos utili zando uma transla o e ou uma rota o Afloram dois tipos de proble mas que ser o analisados de per si a Pormeiodeumatransla o eliminar os termos do 1 grau Exemplo Calcular as coordenadas da nova origem O Xo Yo qual se deve transladar os eixos para que na equa o da circunfer ncia x y 4x 6y 4 0 desapare am os termos do 1 grau RESOLU O a F rmulas de transla o b X X Y Yo Y b Substituindo na equa o da circunfer ncia Xo x Yo y 4 Xo x B yo Y 4 0 c Desenvolvendo e agrupando convenientemente os termos x y 2x0 4 X 2y0 6 y x8 y 4X 6yo 4 0 fazendo o coeficiente de x igual a zero 2x0 4 0 gt X 2 fazendo o coeficiente de y igual a zero 2y0 76 0 5 y0 3 Ent o O 2 3 d Substituindo x 2 e Yo 3 em x y 9 0 que representa a equa o de uma circunfer ncia
9. A b2 4ac 0 2myo 2m xo 2p 4m y5 2mxoyo M xB 0 Desenvolvendo e simplificando 2mxo 2my p 0 Aplicando a f rmula de Bh skara equa o acima do 2 grau emm Yo Yo 2Pxo 2Xo m Mas como P Xo Yo pertence par bola y 2PXo 4 Substituindo 4 em G m 2 2Xo Porseu turno 4 permite Yo _ P p 2Xo Yo Yo Jacir J Venturi Levando em yayo texo Yo ou YYo Y6 PX PXo Todavia 4 fornece y 2pxo YYo 2PXo PX pXo YoY PX PXo Fatorando op YoY P X Xo Isto posto A tangente par bola y 2px em seu ponto P Xv Yo tem equa o yoy p x xo Adotando racioc nio an logo obt m se as equa es das tangentes elipse hip rbole e circunfer ncia Equa o da tangente elipse 2 A equa o da tangente elipse z Y 4 emseu ponto BE Po Xo Yo b Equa o da tangente hip rbole 2 2 A equa o da tangente hip rbole S a emseuponto b Po Xo Yo XX _ YoY _ a b Equa o da tangente circunfer ncia A equa o da tangente circunfer ncia x y k em seu ponto Po Xo Yo XX Yoy k C NICAS E QU DRICAS Regra pr tica Face o exposto temos uma importante regra pr tica para o c lculo da tangente no ponto de contato P Xo Yo a uma par bola elipse hip rbole ou circunfer ncia A VARI VEL SUBSTITUI SE POR x
10. moveram a pilhagem seguida de uma sangrenta matan a Um soldado aproximou se de um encanecido senhor de 75 anos que indiferente cha cina desenhava diagramas na areia e absorto balbuciou N o perturbes os meus c rculos O soldado enraivecido trespassou o com a espada Foram as derradeiras palavras de Arquimedes Marcelo que havia dado ordens expressas para que se poupasse avida de seu arquirival ficou muito entristecido e providenciou que lhe con cedesse um enterro com honras Mandou erigir um monumento e satisfa zendo o desejo de Arquimedes foi gravada na l pide de seu t mulo a representa o de uma esfera inscrita num cilindro circular reto cuja altura igual ao seu di metro pois ele havia descoberto e provado as rela es C NICAS E QU DRICAS matem ticas nota o hodierna 3 Va gt Vest 3 Sa 2 Sest Outros inventos not veis ou estudos de Arquimedes Ummecanismo feito de tubos emh lice fixos a umeixoinclinado com uma manivela para faz lo girar Tem por escopo elevar a gua a um plano superior conhecido como parafuso de Arquimedes E um processo rudimentar masqueainda usadoaolongodorioNilo Descobriu o princ pio da alavanca e cunhou o c lebre aforisma D me umponto de apoio e levantarei o mundo Conta Plutarco que Arquimedes arrastou uma das galeras do rei Her o t o suave e uniformemente como se navegasse em pleno mar movendo apenas com sua m o a extremidade d
11. te Resp x 1 y 2 z E 15 Obter a equa o dos planos tangentes superf cie esf rica X y 2 2x 4y 4 0e que sejam paralelos ao planox 2x y z 1 0 Resp 2x y zt V6 0 SUGEST O LRR a Centro e raio da esfera C 1 2 0 eR 1 b Equa o dem 2x y z d 0 c d C 7 R 21 D2 M0td mr AR ER d 6 S rie B Duvidar de tudo ou acreditar em tudo s o atitudes pregui osas Elas nos dispensam de refletir Henri Poincar matem tico franc s 16 Obter a equa o da esfera que passa pelos pontos A 1 0 2 eB 3 1 5 ecujo centro se encontra sobre o eixo y Resp x y 15 z 230 SUGEST O a Centro da esfera C 0 y 0 b d C A d C B y 15 c R q C A 4230 Jacir J Venturi 17 Uma superf cie esf rica passa pelos pontos P 0 0 2 P 1 0 2 eP 1 3 3 e tem o centro no plano xz Calcule a sua equa o 101 2 1 2 2 Resp x 7 esp 3 yC z 7 ri 18 Achar a equa o da esfera que passa pelos pontos A 0 1 1 B 1 1 2 e C 1 0 2 e cujo centro pertence ao plano xy 2 1 21 Resp x 2 y z esp x 2 b J 7 19 Calcular a equa o da esfera que passe pelo ponto A 0 3 2 e tangente ao plano z x y z 0 no ponto P 0 1 1 5Y 7y 3 75 Resp x gt y gt z gt 2 2 2 4 a Equa o de r lembremos da equa o de uma reta que passa por um ponto P X Y
12. 06 Hip rbole eglil tera eres 100 07 Identifica o da hip rbole 100 08 Aplica es pr ticas de uma hip rbole 101 09 Equa o da hip rbole cujo centro O Xo Yo cujos eixos s o paralelos aos eixos coordenados 106 10 Equa o da hip rbole cujo centro O Xo Yo cujos eixos n o s o paralelos aos eixos coordenados 111 CAP TULO 5 C NICAS 01 SE ES CONCAS rocin ias esgutosihasabsaro SL o SU asma ga a cio Dia ass bsb ad Sei gui aa 119 02 Equa o completa do 2 grau 120 03 Discriminante da equa o do 2 grau 120 04 Ordem das transforma es eee 120 05 TENI Tae la A assa A A EAEN A AE a 121 06 C nicas degeneradas raras 135 CAP TULO 6 k EQUA O DA TANGENTE A UMA C NICA 1 Problema A tangente paralela a uma reta dada 145 2 Problema Equa o da tangente por um ponto externo par bola 150 3 Problema Equa o da tangente emumponto Po Xo Yo pertencente par bola 153 QUADRO RESUMO sspssaiassscsmersniianiasnicanadsaninainso donsebnnidan dn Ron cnsiasnd dano 160 CAP TULO 7 QU DRICAS Resenhaihist nica ieoi ii ires bagas o Spas adro ss a insana it aos cad 161 CAP TULO 8 QU DRICAS 01 Defini o
13. 10x 6y 4 0 fazendo o coeficiente de y O 6xo 10y 4 0 Resolvendo o sistema acima obt m se x 1ey 1 Ent o o centro da elipse O 1 1 Levando O 1 1 em 5x 6xy 5y 4 0 2 c Rota o vamos eliminar o termo emx y naequa oacima Na equa o dada A C 90 45 F rmulas de rota o y2 a x x cos 0 y sen 0 D x y y x sen 0 y cos 0 n x y Levando 3 em 2 obt m se a equa o da elipse 8x 2 2y 4 ou na forma can nica r ya 1 2 2 Gr fico da equa o can nica a 2 e b intersec es com os eixos car tesianos Tomando a equa o dada e fa zendo y O resulta a equa o 5x 4x 0 cujas ra zes s o O 4 e 5 Por outro lado fazendo x 0 na equa o dada obt m se a equa o 5y 4y 0 cujas ra zes s o O e C NICAS E QU DRICAS Exerc cios Curitiba tem apenas duas esta es o inverno e a esta o rodovi ria Chiste popular 01 Obter a equa o can nica da elipse x V3xy 2y 2 0 12 Resp 51 x 2 a 5 02 Dada a equa o da elipse 5x 4xy 8y 9 0 pede se para calcular a sua equa o can nica e tra ar o gr fico 12 Resp xai 4 OBSERVA ES ija 3 e b 1 2 2 a elipse corta o eixo x 35 5 nos pontos 3 a elipse intercepta o eixo 3 2 y nos pontos e 03 Calcular a equa o da e
14. 2y 37 2xy 1 0 gt superf cie sim trica ao eixo Z 4 3x 27 y y 2 0 gt superf cie sim trica ao eixo y c Simetria emrela o origem Uma superf cie sim trica em rela o origem O se para qual quer ponto P x y z dessa superf cie existir outro ponto P x y z pertencente superf cie Destarte superf cie cuja equa o cartesiana n o se altera quando se permuta o sinal das tr s vari veis sim trica em rela o origem do sistema de coordenadas Em particular adotando conhecimentos h pouco exarados quando todos os expoentes das vari veis de uma equa o forem de grau par a superf cie sim trica em rela o origem e tamb m em rela o aos eixos planos coordenados Trate um homem como ele e ele continuar sendo como Trate o como ele pode e deve ser e ele tornar se o que pode e deve ser Johann Wolfgang Goethe 1749 1832 poeta alem o P x y 2 P x y z x 1 x y 27 25 0 superf cie sim trica em rela o origem e tamb m aos eixos e planos coordenados 2 xy XZ yZ 3 0 gt superf cie sim trica emrela o origem 3 xyz 2x 3y 4z O gt superf cie sim trica em rela o ori gem 4 xX y 4z 0 gt superf cie sim trica em rela o origem 5 x y 4z 2 0 gt superf cie n o sim trica em rela o ori O gem C NICAS E QU DRICAS 6
15. EQUA ES DE CURVAS NO E sabido que uma nica equa o representa uma curva no plano cartesiano bidimensional Por exemplo a equa o 3x 2y 5 uma hi p rbole no plano xy Por sua vez a equa o z 2y representa uma par bola no plano yz No entanto no E adotando um conceito bastante intuitivo uma curva pode ser concebida geometricamente como interse o de duas superf cies O sistema constitu do pelas equa es de duas superf cies distintas e interceptantes em mais de um ponto fornece a equa o cartesiana da curva f sinal x y 2 0 f x y z 0 H poucos bancos com sombra no caminho da vit ria A figura ao lado mostra na rea hachurada um c rculo fruto da interse o de uma esfera de equa o x y z 25 como planoz 3 Equa o da curva no E x y z 25 z 3 circunfer ncia l OBSERVA O Para z 3 tem se a equa o x y 3 25 gt x y 16 que representa umc rculo de raio iguala 4 no plano z 3 Uma reta que um caso particular de curva pode 2 ser determinada pela interse o de dois planos n o paralelos E q ax by c z d 0 i as apx bsy c Z dp 0 r Jacir J Venturi Exerc cios Gasta se menos tempo fazendo a coisa certa do que explicando porque a fizemos errada H W Longfellow 01 Pede se a soma das assertivas
16. Resp y 2 2 2x 0 02 Uma par bola tem o foco na origem e diretriz a reta r 2x 3y 5 0 Ache asua equa o Resp 9x 4y 12xy 20x 30y 25 0 Jacir J Venturi SUGEST O Seja P x y um ponto gen rico da par bola d P 0 d P r 2x 3y 5 VX yf D Ae Cala 03 Equa o da par bola cujo foco F 0 1 e cuja diretriz a reta2x y 0 Resp x 4y 4xy 10y 5 0 04 Numa par bola tem se o V 6 3 e a diretriz 3x 5y 1 0 Pede se a sua equa o Resp 25x 9y 30xy 414x 214y 1529 0 05 Obter a equa o da par bola sabendo se que o foco F 1 2 e o v rtice coincide com a origem Resp 4x 4xy y 20x 40y 0 SUGEST O a Da figura 5 5 gt p 245 sen60 e cos 0 a jr C NICAS E QU DRICAS b A equa o da par bola em rela o ao sistema x Oy y 2px O c F rmulas de rota o x x cos 0 y sen 9 a J5 E y x sen 0 y cos 0 dA J5 d Substituindo 2 em O tem se a resposta 06 Calcular a equa o da par bola de v rtice no ponto 2 2 que passa pelo ponto P 4 1 e cujo eixo focal est sobre a reta y A x Resp 9x 16y 24xy 68x 76y 284 0 SUGEST O Vide exerc cio precedente AOS MESTRES Mais do que o conhecimento o que faz o verdadei romestre a dedica o Aos que possuindo sabedoria transmitiram na com amor o nosso preito de imorredoura gratid o Aos que souberam
17. Superf cie esf rica ou esfera o lugar geom trico dos pontos do E cuja dist ncia a umponto fixo centro constante z Fixado o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no E seja C q B y o ponto fixo P x y Z um ponto gen rico da superf cie esf rica e R gt 0 o raio Analitica F E mente tem se d C P R Vx a2 y BP 2 92 R 6 y ou x a Y B z y R 1 x Desenvolvendo a equa o acima xX y 27 20x 2By 2y2 8 0 Il onde 0 B y R Reciprocamente uma equa o do 2 grau nas vari veis x y e zrepresenta uma superf cie esf rica se 1 os coeficientes de x y e z forem iguais e n o nulos 2 aequa o n o contiver termos emxy xzeyz 3 a B y gt 0 Jacir J Venturi 3 C LCULO DOCENTRO E DO RAIO Dada a equa o da esfera x y 2 Ax By Cz D 0 III Comparando Il e IlI tem se gls es p B 28 B 2o PRB Gus a p R2 D gt R 02 82 72 D OBSERVA O O radicando o B D pode ser 1 positivo e a eq II representa uma esfera real 2 nulo e a eq Il representa umponto 3 negativo e a eq Il representa uma esfera imagin ria 4 CASOS PARTICULARES a Esfera com centro na origem O 0 0 0 Em I fazendo a y 0 obt m se x y z R que a equa o de uma esfera com centro na origem do sistema cartesiano e raio R b Esfera que passa pela origem O 0 0 0 A terna 0
18. Xx Xo X Y Yo y Z Z 2 Exerc cio Resolvido Segue sempre quem te d pouco e n o quem muito te promete Prov rbio Chin s Verificar se a equa o 5x y 112 16yz 10x 22z 16y 6 0 representa um cone e sendo achar as coordenadas do v rtice RESOLU O a F rmulas de transla o Xx Xo X Y Yo Y Z Z 2 b Levando as f rmulas de transla o na equa o dada xo X yo ty 11 zo 2 16 yo Y 20 7 10 x5 xX 22 20 2 16 y0 y 6 0 c Fazendo os coeficientes de x y e z igual a zero 10x 10 0 x 1 2y 162 16 0 gt y 0 ez 1 a fo d Substituindo x 1 yo 0ez 1 em obt m se 5x y 11z 16y z 0 que representa uma equa o homog nea do 2 grau e Resposta A equa o dada representa uma superf cie c nica de v rtice V 1 0 1 7 C NICAS E QU DRICAS OBSERVA O Em C lculo Diferencial e Integral as coordenadas do v rtice de um cone dado por uma equa o do 2 grau com 3 vari veis podem ser obtidas mais facilmente derivando se parcialmente cada vari vel N O ESTRAGUE O SEU DIA A sua irrita o n o solucionar problema algum As suas contrariedades n o alteram a natureza das coisas O seu mau humor n o modifica a vida A sua dor n o impedir que o sol brilhe amanh sobre os bons e os maus Asuatristeza n o iluminar os caminhos O seu des nimo n o edificar ningu m As suas l grimas n o
19. antes de pass la s futuras gera es George Bernard Shaw 1856 1950 escritor irland s 01 Determinar a dist ncia focal da hip rbole 9x 16y 144 Resp 10 Jacir J Venturi 02 Obter as equa es das hip rboles abaixo configuradas x y Resp 1 9p 7 9 2 2 Resp tots 9 16 03 Equa o da hip rbole com focos em F 0 8 e F 0 8 e v rtices em 0 6 e 0 6 2 2 Resp Lox 36 28 04 Equa o da hip rbole cuja excentricidade Je cuja dist n cia focal 445 O centro coincide com a origem e os focos est o sobre o eixo x e Resp a E 1 C NICAS E QU DRICAS 05 Obter a excentricidade da hip rbole 5x 5y k para k 0 Resp J2 06 Uma hip rbole tem o centro na origem e o eixo real coincide como eixo x Ademais 2b 6 e z Determine a sua equa o x y Resp gt 1 k 16 9 07 Obter a equa o da hip rbole de focos em F 2 0 e F 2 0 e que passa pelo ponto P 43 1 Resp x y 2 08 Calcular a equa o da hip rbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo das ordenadas que passa pelos pontos P fo Es e Q 4 6 Resp 5y 9x 36 SUGEST O 2 2 a Equa o da hip rbole z b Pe hip rbole gt a c QE hip rbole b 4 S rie B Como raro ter o mesmo crit rio para julgar o pr ximo e a n s mesmos Tom s de Kempis c 1380 1471 in Imita o de C
20. da UFPR psic logo com p s doutorado na Fran a 42 o 01 Uma hip rbole tem equa o ge S 1 Pede se as coordenadas dos focos Resp F 2 2 e F 4 2 O C NICAS E QU DRICAS 02 Calcular as equa es das hip rboles abaixo representadas a 2 2 Resp Sa aL 1 3 2 2 Resp w S i 12 9 03 Equa o da hip rbole sabendo se que um dos focos F 2 2 o centro O 2 1 e 2a 4 2 2 Resp wI Sa 1 4 5 Jacir J Venturi 04 Obter a equa o da hip rbole de eixos paralelos aos eixos cartesianos com focos em 1 0 e 1 4 eexcentricidadeigualaS v P as 9 9 Resp 05 Achar a equa o da hip rbole de centroem 1 0 umfocoem 1 J2 0 e um v rtice em 0 0 Resp x y 2x 0 2 yH a Resp 3x 4y 10 0 e3x 4y 2 0 06 Equa es das ass ntotas da hip rbole 07 Obter a excentricidade da hip rbole x 3y 2x 24y 44 Resp 2 08 Determinar as coordenadas dos focos da hip rbole x 2y 6x 8y 1 0 Resp F 3 v3 2 e F 3 43 2 S rie B Brasil fraude explica Carlito Maia 1924 2002 pensador e publicit rio mineiro 09 Calcular as equa es das ass ntotas da hip rbole y xX 4y 4x 1 0 Resp x y 0ex y 4 0 SUGEST O Utilize as f rmulas de transla o para obter o centro O 2 2 12 12 e a equa o can nica ondea 1 e b 1 Como o eixo real paralelo ao eixo y as equa es das ass nto
21. equa o can nica x 442y c coordenadas do v rtice no sistema xOy V 1 1 O C NICAS E QU DRICAS d gr fico e a par bola tangencia o eixo x no ponto P 4 0 eo eixo y no ponto P 0 4 6 C NICAS DEGENERADAS a Apresenta o Reiteramos que quando o plano intercepta o cone e n o passa pelo seu v rtice obt m se as c nicas regulares ou n o degeneradas circunfer ncia elipse par bola hip rbole Ap em se as c nicas degeneradas que s o obtidas quando em particular o plano corta o cone emseuv rtice V Destarte s o c nicas degeneradas O PONTO quando o plano a ti UM PAR DE RETAS CONCOR ver em comum com o cone ape RENTES quando o plano conti nas o v rtice V Trata se de uma ver o v rtice e duas geratrizes do elipse degenerada cone E uma hip rbole degenerada E r e r um par de um ponto MS retas concorrentes Jacir J Venturi UMA RETA quando o plano contiver o v rtice e uma geratriz do cone O plano o tangencia o cone Figura se como par bola degenerada A NX r uma reta Es OBSERVA O UM PAR DE RETAS PARALE LAS num caso particular obter se duas retas paralelas quando da interse o de uma superf cie cil ndrica circular considerada uma superf cie c nica de v rtice impr prio por um plano q parale lo ao seu eixo e I rr C PA r e r retas paralelas Se o plano a tan
22. esquerda pois o sinal de a negativo Exerc cios Resolvidos Quando um dedo aponta tr s dedos contra Axioma Popular 01 Obter a equa o da par bola abaixo configurada RESOLU O A equa o da par bola tem a forma y Yo 2p x x0 Na figura obtemos V 3 3 e 5 2 gt p 4 Resp y 3 8 x 3 ouy 6y 8x 33 0 OBSERVA O Equa o da diretriz d x 1 0 C NICAS E QU DRICAS 02 Esbo ar o gr fico da par bola de equa o x 1 12 y 3 RESOLU O A equa o da forma x xo 2p y yo Sabemos priori que a par bola tem eixo de simetria paralelo ao eixo y vari vel do 1 grau concavidade voltada para baixo pois o 2 membro da equa o dada negativo v rtice do ponto V Xv Yo 1 3 Assim sendo podemos representar a par bola a menos de seu foco e de sua diretriz a Coordenadas do foco Comparando os coeficientes das duas equa es 2p 12 5 pl 6 gt 5 3 Xp X 1 p y H 3 3 0 YE Yo E 3 F 1 0 b Equa o da diretriz Poa 3 6 Ya Yo t5 d y 6 0 Jacir J Venturi 03 Obter as coordenadas do v rtice e do foco da par bola y 2x 8x 8 RESOLU O a V rtice b 8 X X 2 2a 2 2 Substituindo a vari vel x por 2 na equa o dada obt m se y y Yo 2 2 8 2 8 0 Resp V 2 0 b Foco 1 2a p Coordenadas do foco spas Plas YF
23. hindorum sobre os n meros dos hindus Esta obra apresenta a morfologia de n meros muito pr xima dos s mbolos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tais s mbolos haviam sido criados pelos hindus mas dado ao grande sucesso da obra em toda a Espanha ficaram conhecidos como algarismos ar bicos O monge a matem tico franc s Gerbert d Aurillac tomou conhecimento dos algarismos indo ar bicos em Barcelona no ano de 980 No ano de 999 Gerbert foi eleito Papa com nome de Silvestre Il e promoveu a divulga o de tais algarismos O zero aparece pela 1 vez num manuscrito mu ulmano do ano de 873 Pecando por entusiasmo e exagero um matem tico afirmou o zero a maior inven o daMatem tica Conta Hygino H Domingues que os n meros negativos surgiram na India no s culo VII para indicar d bitos Os gregos n o os conheciam e tampouco foi f cil a sua assimila o na Europa M Stifel 1486 1567 os Jacir J Venturi denominava de n meros absurdos G Cardano 1501 1576 de n meros fict cios R Descartes 1596 1650 chamava de falsas as ra zes negativas de uma equa o B Pascal 1623 1662 considerava a subtra o 0 4 algo sem sentido Os algarismos romanos por sua vez tiveram influ ncia dos etruscos Pelos manuscritos da poca conclui se que os algarismos romanos se consolidaram pelo ano 30 d C O s mbolo que representa o n 1 uma das formas mais primitivas de se representar algo e tem origem
24. icria maa so as G LADA SED a Sl prada 164 02 Exemplo de Qu dricas erre 164 03 Revisando aus sas E a E sEnauaA dando isca di cn T nt danado 165 04 S pSrii cios rupine eie e Sauna a e ED casam eae 166 OS SIMElha E caes nodos A co Rana das ae on ES GEE E aa Rea Das capo Eos nda RdE 167 06 Equa es de curvas no E rrenan 169 07 Interse es da superf cie com os eixos coordenados 173 08 Interse o da superf cie com planos 174 CAP TULO 9 j SUPERFICIE ESFERICA 01 Introdu o e eereerereeneeaeerereaeaaananarerenasana 183 02 DETINI O EA ncinrasa no A S E nie ana aaa aaa 183 03 C lculo do centro e do raio aa 184 04 Casos Partic lares s sss acsoisopsgaassorncabiseansa ES Anes ral nada aan naun dis nua ava 184 CAP TULO10 SUPERF CIE CILINDRICA oj ADYE iL alo E o ES S EE P DNARE RS ASR DUDE A TRIOS ERR 2 E 198 02 Equa o da superf cie cil ndrica neneeese 198 03 Superf cie cil ndrica de geratrizes paralelas aos eixos cartesianos e nerere rerne reenen 207 CAP TULO 11 _ SUPERFICIE CONICA 01 Defini o cenena aeaa Dai a dg 6 Jo Lg sa aa 218 02 Equa o da superf cie c nica a 218 03 Reconhecimento da superf cie c nica e c lculo do v rtice 225 AP NDICE 230 C NICAS E QU DRICAS A e G SS VS CR O Conta uma f bula grega
25. o Entretanto deve se a Leonhard Euler 1707 1783 uma das mais O C NICAS E QU DRICAS significativas contribui es geometria no E Em seu livro Introductio in Analysin Infinitorum Introdu o An lise Infinita publicada em 1748 apresenta a primeira exposi o em livro texto de qu dricas considerando estas como superf cies do 2 grau no E No mencionado livro Euler apresenta as equa es dos cones dos parabol ides dos elips ides e dos hiperbol ides utilizando o sistema cartesiano no E Euler um prolificent ssimo matem tico su o de nascimento escrevia em m dia 800 p ginas por ano e a colet nea completa de suas obras composta de cerca de 75 volumes Em plena atividade intelectual morreu aos 76 anos sendo que os ltimos 17 anos passou em total cegueira consequ ncia de uma catarata Mesmo cego continuou ditando suas descobertas matem ticas aos seus 13 filhos Euler se ocupou com praticamente todos os ramos ent o conhecidos da Matem tica a ponto de merecer do franc s Fran ois Arago o seguinte enc mio Euler calculava sem qualquer esfor o aparente como os homens respiram e as guias se sustentam no ar A partir do s c XVIII superf cies t m um not vel incremento com surgimento da Geometria Diferencial com interaplica es do C lculo Diferencial e Integral e da Geometria Anal tica Jacir J Venturi CSM BIT IEUNO Qu dricas 1 DEFINI O Uma qu drica ou
26. o seg mento A A e cujo com primento 2a Eixo menor segmen to BB e cujo compri mento 2b Jacir J Venturi Do tri ngulo ret ngulo B OF hachurado na figura obtemos a rela o not vel a b c N B A rigor h um abuso de linguagem ao denominar se de eixo maior o segmento A A e de eixomenor o segmento B B 3 EXCENTRICIDADE Uma importante caracter stica da elipse a sua excentricidade que definida pela rela o SE 0 lt lt 1 sendo a letra grega psilon Como a e c s o positivos e c lt a depreende se que 0 lt lt 1 Quanto mais pr ximo de zero for o valor de mais a elipse se aproxima de uma circunfer ncia Por outro lado quanto mais achatada for a elipse mais o valor de se aproxima de 1 Uma vez fixo o valor de a h uma correspond ncia entre o valor de e a dist ncia focal quanto mais a elipse se aproxima de uma circunfe r ncia menor a dist ncia entre os focos e quanto mais achatada for a elip se maior a dist ncia entre os focos CIRCUNFER NCIA f cil concluir quanto aos valores extremos do dom nio de Se 0 tem se uma circunfer ncia de di metro 2a e os focos F e F coincidem com o centro da circunfer ncia Se 1 tem se segmento retilineo F F C NICAS E QU DRICAS 4 EQUA O CAN NICA DA ELIPSE DE CENTRO NA ORIGEM a Oeixomaiorcoincide como eixo x y Sejam P x y um ponto gen P
27. p 4 gt 5 2 Resp F 2 0 b o gr fico y d Equa o da diretriz d x 2 0 gt x 5 CONSTRU O GEOM TRICA DA PAR BOLA Leitura Complementar Vamos tra ar a par bola da qual s o dados o foco F e a diretriz d Representemos o eixo de simetria r que intercepta d em A e o v rtice V que o pontom diodeAF Sobre o eixo e direita de V marquemos os pon tos C C C C e portais pontos tracemos as paralelas d d d d diretriz Jacir J Venturi Utilizemos umcompasso de 1 abertura iguala d C A ecen tro em F determinemos sobre a paralela d os pontos P e P 2 abertura iguala d C A e cen tro em F determinemos sobre a paralela d os pontos P e P 3 abertura iguala d C A e cen tro em F determinemos sobre a paralela d os pontos P e P Repete se a opera o para os pontos C C e obteremos tantos pontos da curva quanto quiser mos 6 APLICA ES PR TICAS DE PAR BOLA Leitura Complementar a A sec o de um farol de autom vel tem o formato de uma par bola a superf cie espelhada um parabol ide A l mpada situada no foco quando acesa emite raios luminosos que ap s incidirem sobre a par bola ser o refletidos numa mesma dire o segundo retas paralelas ao eixo da par bola Sup espelhada Farol de um autom vel Sec o de um farol b Se umespelho parab lico apontado para o Sol os raios de luz paralelos ao eixo
28. sequ ncia com Euclides e Arquimedes e termina com Apol nio s c Il a C Este apan gio por si s n o justificaria esta resenha hist rica no presente livro texto que trata das C nicas No entanto justamente nesse per odo que se d praticamente todo o desenvolvimento geom trico das c nicas Por m o enfoque anal tico das c nicas s acontece com Fermat 1601 1665 uma vez que os matem ticos gregos n o possu am uma nota o alg brica adequada Credita se a Fermat o estabelecimento do princ pio fundamental de que uma equa o do 1 grau no plano representa uma reta e que uma equa o do 2 grau no plano representa uma c nica a determina o das equa es mais simples da reta da circunfe r ncia da elipse da par bola e da hip rbole a aplica o da rota o de eixos para reduzir uma equa o do 2 grau sua formamaissimples PIT GORAS 560 2 500 a C A palavra Matem tica Mathematike em grego surgiu com Pit goras que foi o primeiro a conceb la como um sistema de pensamen to fulcrado emprovas dedutivas Existem no entanto ind cios de que o chamado Teorema de Jacir J Venturi Pit goras a b c j era conhecido dos babil nios em 1600 a C com escopo emp rico Estes usavam sistemas de nota o sexagesimal na medida do tempo e namedida dos ngulos Pit goras nasceu na sia Menor na ilha de Samos Percorreu por 30 anos o Egito Babi
29. 0 Resp a V 6 27 e F 62 o v s 5 e F 8 5 3 6 17 Encontrar as coordenadas do foco e a equa o da diretriz da par bola x 6x 12y 57 0 Resp F 3 7 ed y 1 0 18 Os cabos de um lado de uma ponte p nsil com carga uniformemente distribu das tomam a forma aproximada de um arco de par bola As torres de suporte dos cabos tem 65 m de altura e o intervalo entre as torres de 500 m O ponto mais baixo fica a 15 m do n vel da estrada Achar a equa o da par bola considerando o sistema cartesiano sito conforme afigura Calcular o comprimento 4 de um fio de sustenta o situado a 100 m do centro da ponte Resp xX 1250y 18750 0 e 23M SUGEST O a V 0 15 b Equa o da par bola x 0 2p y 15 c P 250 65 par bola p 625 Jacir J Venturi 19 Determinar o comprimento de latus rectum da par bola 16y Resp 16 SUGEST O a A par bola tem foco y em F 0 4 e a latus rectum tem equa o y 4 b Levando y 4 na equa o da par bola xX 16 4 gt x 8 A 8 4 e A 8 4 c Comprimento da la tus rectum d A A 16 OBSERVA O Demonstra se que o comprimento da latus rectum de y 2px ou x 2py 2p 20 Determinar as coordenadas das extremidades da latus rectum da par bola cuja diretriz a retay 3 0 e cujo foco o ponto F 1 1 Resp P 3 1 eP 1 1 21 O di metro de uma circunfer n
30. 02 xX 4y 4x 6y 1 0 Resp a hip rbole n o h termo em xy basta a transla o f2 3 oo 24 e pontos de interse o como eixo x P 2 2 0 eP 2 2 0 pontos de interse o com o eixo y p er fo 8 03 5x 4xy 8y 14x 20y 19 0 Resp a elipse b O 1 1 SUGEST O Aplica se as f rmulas de transla o na equa o dada e imp e se que sejam nulos os coeficientes de x e y Destarte a equa o dada ap s uma transla o de eixos reduz se a 5x 4x y 8y 36 0 Jacir J Venturi SUGEST O Para se eliminar o termo em xy faz semister calcular o ngulo 6 B 4 tg20 gt tg9 2 0 lt 6 lt 90 20 5 c7 at Je sen6 E ecos 0 63 5 J5 F rmulas de rota o x 2y a 2x y y x sen 0 y cos 0 J5 x x cos0 y sen 0 Levando se em obt m se a equa o can nica d gr fico a equa o can nica fornece a 3 e b 2 eixo focal sobre o eixo y e pontos de interse o com o eixo x fazendo y 0 na equa o dada 5x 14x 19 0 z X T ra zes X 3 8 Ent o P 1 0 e P 3 8 0 O C NICAS E QU DRICAS pontos de interse o com o eixo y fazendo x 0 na equa o dada 8y 20y 19 0 Yi 0 4 ra zes E 2 9 Ent o P 0 0 4 e P 0 2 9 04 x 4xy y 16 Resp a hip rbole b O 0 0 OBSERVA O C lculo
31. 06 Uma hip rbole tem a eixo focal sobre a reta 3x 4y 0 b umdosfocosemF 8 6 c a 5ec 10 Pede se a sua equa o Resp 39x 96xy 11y 1875 P S A denomina o equa o can nica n o merece por parte dos diversos autores consultados um tratamento uniforme Maioria e seguimos este posicionamento opta em denominar equa o can nica s formas eixo focal x eixo focal y nome da curva x y x y E Ap la elipse x y y x ns 2r pp hip rbole y 2px x 2py par bola H autores por m que s admitem chamar de can nicas s equa es da 1 coluna da tabela acima eixo focal eixo x Jacir J Venturi EDUCAR UM FILHO TRABALHO DE HERCULES Dos doze trabalhos atribu dos a H rcules o primeiro matar o le o de Nem ia poderia ser substitu do por educar umfilho nos dias de hoje numa cidade grande S o tantas as vicissitudes os conflitos e tamb m as alegrias que ao assumir o papel de pai ou m e fecham se as portas do purgat rio Ao ter um filho perde se o direito de se aposentar do papel de pais T nia Zagury educadora carioca Ser paie m e 1 Impor limites Ter autoridade sem ser autorit rio para n o sucumbir tirania do filho A autoridade quando exercida com equil brio uma manifesta o de afeto e traz seguran a S o pertinentes as palavras de Marilda Lipp doutora em Psicologia em Campinas O comportamento frouxo n o faz com qu
32. 10 dada uma maior facilidade nos c lculos Em 1617 Briggs publicou o seu Logarithmorum Chilias Prima que constitui a primeira t bua de logaritmos decimais no caso de 1 a 1 000 C NICAS E QU DRICAS e com 14 casas decimais Sete anos mais tarde Briggs em Arithmetica Logarithmica efetua os c lculos dos logaritmos decimais de 1 a 20 000 e de 90 000 a 100 000 Nesse livro pela primeira vez apareceram as palavras mantissa e caracter stica As t buas logar tmicas lograram grande xito pois ensejavam enorme facilidade nos c lculos aritm ticos Desconhecida de Neper a chamada base dos logaritmos neperianos foi representada pela letra e por Euler 1707 1783 e sup e se ser a letra inicial da palavra exponencial por causa do limite exponencial cujo resultado o pr prio e ou mesmo como uma auto refer ncia ao seu nome Euler 1 1 1 1 A base e 1 2 7182 1 2 3 4 S MBOLOS E NOTA ESMATEM TICAS Apropriadamente j se definiu a Matem tica como a rainha e a serva de todas as ci ncias E o apan gio de sua majestade o rigor a l gica a harmonia e sua linguagem precisa universal e sincopada Sabemos que os gregos antigos promoveram um grande desenvolvimento Geometria Plana e Espacial mas n o dispunham de uma nota o alg brica ou simbologia adequadas At o s culo XVI toda a express o matem tica se fazia de uma forma excessivamente verbal ou ret rica
33. 2 y 2 16 5 Z 5 Z desenvolvendo 25X 25Y 162 1602 400 0 A equa o acima representa um cone Trata se de uma superf cie qu drica Rememoremos por m que nem sempre superf cies cil ndricas e c nicas constituem qu dricas Exerc cios Os que nada fazem sup em se capazes de tudo fazer Spencer Tracy 1900 1967 ator norte americano 01 Calcular a equa o da superf cie c nica de V 0 0 3 e cuja x y 2x 0 diretriz o c rculo d Resp 3X 3Y 2XZ 6X 0 02 Determinar a equa o do cone de V 0 1 2 e diretriz o Dad c rculo 42 7X Y z 1 0 Resp X Y 2XY 2Y 22 3 0 03 Pede se a equa o da superf cie c nica com v rtice na origem y 2x x z 2 0 Resp 4X XY YZ 0 e cuja diretriz a par bola l 04 Achar a equa o da superf cie c nica cujo v rtice V 0 0 0 diretriz a hip rbole 4 7 T eadiretrza iper ole 2 3 Resp 9XY Z O C NICAS E QU DRICAS z 2y 05 Representar a superf cie c nica de V 4 3 0 e d l Resp 06 Calcular a equa o do cone figurado em que V 0 0 0 0 e 2 y2 X o plano z 8 corta o cone segundo uma elipse de equa o eA Z 1 Resp X 16Y Z 0 Jacir J Venturi 07 Equa o do cone de v rtice na origem do sistema cartesiano e circunscrito esfera x y 27 x y Z 2 0 Resp 9X 9Y 92 2XY 2YZ 2X2 0 SUGEST O a Equa es param tricas x
34. 2xy x 0 n o uma qu drica Esta e qua o do 3 grau representa uma superf cie c nica i xX 25 0 2 planos paralelos qu drica degenerada Dx y 2 4x y 2z 10 0 um ponto qu drica degenera da 1 x y z 3 0 um conjunto vazio qu drica degenerada 3 REVISANDO assaz importante rememorar dos cap tulos pret ritos que a equa o Ax Bxy Cy Dx Ey F 0 isto uma equa o do 2 grau anom ximo duas vari veis representa uma c nica no plano xy E EXEMPLOS DE C NICAS Circunfer ncias elipses par bolas hip rboles constituem as mais conhecidas c nicas Faz se mister recordar que uma equa o do 2 grau com duas vari veis no E pode representar uma c nica degenerada ponto reta par de retas ou um conjunto vazio Sabemos que a equa o x 2y 3 representa uma elipse no E Antecipemos por m que esta mesma equa o a de uma qu drica superf cil ndrica de geratrizes paralelas ao eixo z no E Como analogia vale lembrar o exposto no cap tulo de plano A equa o ax by c 0 constitui a umaretano E b umplano paralelo ao eixo z no E Exemplo No E a equa o 2x 3y 6 0 representa uma reta Entretanto no E tal equa o representa umplano paralelo ao eixo z YA Z r 2x 3y 6 0 3 no E no E Jacir J Venturi 4 SUPERF CIES A equa o cartesiana f x y z O re
35. B 5 Jx 0 2 y 12 2 2 2 x 1 y 3 z 0 5 desenvolvendo tem se a resposta tal superf cie qu drica uma elips ide 7 INTERSE ES DA SUPERF CIE COM OS EIXOS COORDENADOS O ponto de interse o de uma superf cie com o eixo z tem abscissa e ordenada nulas Genericamente na obten o do ponto de interse o de uma superf cie com um eixo coordenado anulam se as vari veis n o hom nimas do eixo considerado A vit ria constitu da de 20 de inspira o e 80 de transpira o Achar as coordenadas dos pontos de interse o da superf cie qu drica 4x y z 16 com os eixos coordenados RESOLU O a como eixo x 4x 16 x 2 b comoeixoy gt y 16 gt y 4 c comoeixoz gt z 16 gt 2z 16 GR FICO Parabol ide Jacir J Venturi 8 INTERSE O DA SUPERF CIE COM PLANOS Tra os da superf cie Ao se representar graficamente uma superf cie assaz impor tante se conhecer as suas curvas de interse o com os planos coordena dos ou ent o com planos paralelos aos planos coordenados Tais curvas s o denominadas de tra os da superf cie no plano O tra o de uma su perf cie qu drica sempre uma c nica A demonstra o trivial Pode mos ter uma id ia da forma da superf cie f x y z O efetuando se sua interse o como planoz k ke R Ao se substituir na equa o f x y z 0 a cota z por k obtemos f x y k 0 que representa uma curva no plano z
36. Jacir J Venturi 2 a TRANSLA O F rmulas de transla o p X X y y y Substituindo na equa o dada 3 Xo XP 2 Xo X Yo y 3 Yo y 6 Xo x 6 yo y 1 0 1 Fazendo os coeficientes de xe de y igual a zero 6x 2y 6 0 2x 6y 6 0 Resolvendo o sistema temos x 2 e y ou seja o 33 44 a 3 3 a Como na transla o para a nova origem O I4 s o eli minados os termos do 1 grau resulta uma equa o do tipo 3x 2x y 3y F 0 onde 2 2 EA o oo ooo ug s 4 4 4 4 4 4 2 Assim pela transla o a equa o dada se transforma numa equa o dotipo 3x2 2x y 3y 0 OBSERVA O Se lev ssemos O a em 1 obter amos igualmente 2 po r m n o optado por s r umm todomaislaborioso via de regra 2 b ROTA O para se eliminar o termo em x y na equa o Como naequa odada A C 0 45 C NICAS E QU DRICAS F rmulas de rota o x x cos45 y sen45 x y y x sen 45 y cos 45 x y n n Substituindo 3 em 2 E med DE y E 7 Efetuando os produtos e as somas 4x 2y 50 4 que uma equa o do tipo Ax By F 0 OBSERVA O No Cap tulo 3 veremos que a equa o 4representa uma elipse Ao lado apenas a t tulo de ilustra o figurou se a elipse em rela o ao novo sistema x O y ap s efetuada uma trans la o para 5 3
37. Poesia Homero P ndaro Hes odo Safo no Teatro Esquilo S focles Arist fanes Eur pides nas Artes F dias M ron lct nio Cal crates na Medicina Hip crates Emp docles Alem on Aos gregos por nascimento e ou forma o Pit goras Euclides Arquimedes e Apol nio deve se praticamente todo o desenvolvimento geom trico das C nicas E muito mais ensejaram a transi o da fase intuitiva e emp rica da Matem tica dos antigos eg pcios e babil nios para a fase de axiomatiza o da Matem tica Mormente da Geometria um mundo de infinita harmonia confor me assevera o renomado escritor argentino Ernesto S bato No volume anterior Algebra Vetorial e Geometria Anal tica tratamos de equa es lineares isto equa es que s possu am termos do 1 grau em x y e z No presente e despretensio Jacir J Venturi so livro texto tratar se de equa es do 2 grau no plano cartesia no Em especial a par bola a elipse a hip rbole e a circunfer ncia S o curvas obtidas pela interse o de um plano com um cone circular de 2 folhas Por isso s o chamadas de se es c nicas ou simples mente c nicas Tratar se tamb m de superf cie qu dricas que ganham uma import ncia cada vez maior na rea computacional Fractais por exemplo Uma qu drica o conjunto de pontos E cujas coordena das cartesianas verificam uma equa o do 2 grau a no m ximo tr s vari veis Esfera
38. XoX y Yoy X Xo 2 Y Yo y 2 YoX Xoy xX TAS A E 1 2 Exemplo Resolvido Numa democracia o direito de ser ouvido n o inclui automaticamente o direito de ser levado s rio Hubert H Humphrey 1911 1977 vice presidente dos EUA Determinar a equa o da tangente par bola x 4y em seu ponto Po 2 1 RESOLU O a Equa o da tangente XX P Y Yo onde Xo 2 Yo 1 p 2 pois 2p 4 b Levando tais valores na equa o da tangente 2x 2 y 1 ou x y 1 0 Resp Jacir J Venturi OBSERVA AO A exemplo o que aconteceu com o 1 e 2 problemas de tang ncia poder se ia utilizar na resolu o a equa o do feixe de retas y 1 m x 2 Nesta isolando se y e substituindo na equa o da par bola recai se numa equa o do 2 grau na qual se imp e A b 4ac 0 resultando m 1 Igualmente a equa o da tangente x y 1 0 Tal m todo via de regra n o aconselh vel por ser excessivamente laborioso Exerc cios Na economia brasileira a lei da oferta e da procura acabou substitu da pela lei do infarto e da loucura Ivone Capuano m dica e empres ria 01 Equa o datangente par bolay 2x 0emseuponto A 2 2 Resp x 2y 2 0 02 Calcular a equa o da tangente hip rbole 9x 4y 36 em seu ponto P 3 3 5 2 Resp 27x 6 5y 36 0 03 Abaixo tem se uma circunfer ncia de raio igual a 3 Pede se a equa
39. Z que seja perpendicular ao plano t ax by cz d 0 vide cap 8 p w gO No exerc cio empauta x 0 y 1 2 1 1 1 1 SUGEST O r b Maso centro C B Y E r SRS qu ma a RR c Mas a d C A d C P 0 0 B 3 y 2 0 0 B 1P 1 1 Substituindo 1 em c 3 E 3 2 2 2 d R d C P e C NICAS E QU DRICAS 20 Uma esfera passante por A 0 2 3 etangente ao plano x y z 3 0emseupontoB 0 1 2 Obtenhaaequa odaesfera Resp el EE l g 3 o 2 de 2 4 21 Calcular a equa o da esfera que passa pelo ponto A 2 3 5 e tangente ao plano z x y z 3 0 no ponto B 1 0 2 it BE 19 47 1083 Resp lx gt ly 4 2z 14 14 14 196 22 Achar a equa o do plano x tangente esfera xX y 27 4x 6y 2 0emseuponto P 1 2 3 Resp t x y 32 6 0 SUGEST O a C lculo do centro da esfera C 2 3 0 r b Equa o da reta r reta por dois pontos CeP5 x 1 y 2 2 8 1 1 3 Donde 1 m 1en 3 Fr c Equa o do plano x O plano 7 perpendicular reta r ver cap 8 do livro Alg Vetorial e G A n lx my nz d 0 1 x 1 y 3 z d 0 Mas Po 1 2 9 1 1 1 1 2 3 3 d 0 gt d 6 23 Pede se a equa o do plano tangente esfera x y 2 6x 8z 0 na origem do sistema cartesiano Resp 3x 42 0 Jacir J Venturi 24 Ache o valor de k para que o plano 2x y 2z k
40. a dire o dovetor v i je e que circunscreva a superf cie qu drica x y 2xz 2 0 Resp X Y Z 2XY 2YZ 2XZ 4 0 09 A figura abaixo representa uma superf cie cil ndrica de equa o x y z xy xz yz 36 0 Achar as e dos yo z pontos P e P interse o da superf cie cil ndrica com areta r Fa Resp P 4 4 2 eP 4 4 2 pr SUGEST O Na equa o dada faz se x 2z y 2z Jacir J Venturi S rie B Suaviter in modo fortiter in re Suave no modo forte na a o Aforisma latino 10 Calcular a dire o das geratrizes do cilindro x y 27 2xz 2yz 2 0 Achar tamb m a equa o da diretriz no plano xy x y 2 c rculo z 0 Resp V 1 1 1 e a SUGEST O a Cortamos a superf cie cil ndrica com um dos planos coordenados Seja xy tal plano de equa o z 0 A dire triz tem equa o z 0 d x y 2 0 b O vetor V 0 m n procurado tem coordenadas proporcio ais e ipso facto uma das coordenadas pode ser reduzida unidade v m 1 c Equa es param tricas x X tt y Y mt z Z 1t d Levando as equa es param tricas nas equa es da diretriz a O X Y m 2 0 O C NICAS E QU DRICAS e Substituindo D em X Z Y Zt 2 0 desenvolvendo X Y C m 21XZ 2mY
41. afirmara que o Sol n o era uma divindade mas uma grande pedra incandescente maior que o Peloponeso pen nsula do sul da Gr cia e que a Lua n o tinha luz pr pria e a recebia do Sol Anax goras foi professor de P ricles 490 429 a C que o libertou da pris o Ademais exerceu forte influ ncia no pirmeiro dos tr s grandes fil sofos S crates Plat o Arist teles Problema da Quadratura do c rculo dado um c rculo construir um quadrado de mesma rea Como os gregos desconheciam as opera es alg bricas e priorizavam a Geometria propunham solu o apenas com r gua sem escala e compasso No s c XIX demonstrou se que nestas condi es este problema irresol vel A solu o trivial se lan armosm odosrecursosda lgebra S Sn E nR admitindo porex R 3 n 3 4 t 3 z t 3V7 ou 5 31 2 PROBLEMA DA DUPLICA O DO CUBO ou PROBLEMA DELIANO Durante o cerco espartano da Guerra do Peloponeso conta uma lenda que em 429 a C uma peste dizimou 25 da popula o de Atenas matando inclusive P ricles Diz se que uma pl iade de s bios fora enviada ao or culo de Apolo em Delos donde o nome deliano para inquirir como a peste poderia ser gt eliminada O or culo respondeu que o altar c bico de Apolo deveria ser t t duplicado Os atenienses Jacir J Venturi celeremente dobraram as medidas das arestas do cubo A peste emvezdeseamainar recrudesceu Qualo erro Emvezdedobrar osateni
42. da par bola ser o refletidos para o mesmo ponto foco Pela grande quantidade de calor produzido nesta fonte procede o nome foco em latim focus significa fogo Aplica se o mesmo princ pio na constru o de espelhos para C NICAS E QU DRICAS telesc pios antenas de radar e antenas parab licas as ondas paralelas ao eixo da par bola se refletem na antena e confluem para o retransmis sor espelho parab lico antena parab lica c o cabo principal de uma ponte p nsil assumiria a forma de uma par bola desde que o cabo fosse perfeitamente flex vel se se negligen ciasse a sua massa e se o peso da ponte estivesse uniformemente distri bu dos ao longo de seu comprimento Na pr tica sabemos que tais condi es n o se verificam Na ver dade os cabos assumem a forma de uma curva muito pr xima de uma par bola Tal curva quando sujeita apenas ao pr prio peso se chama CATEN RIA d Em Resist ncia dos Materiais o diagrama do Momento Fletor de uma viga submetida a uma carga uniforme uma par bola Jacir J Venturi e Em bal stica quando se lan a um proj til sobre o qual atua somente afor a da gravidade a trajet ria uma par bola To 3 Ra Seja um recipiente cil ndrico parcial mente cheio de um certo l quido Apli cando se o movimento de rota o no eixo do cilindro a sec o ou se o da superf cie livre uma par bola Exerc cios um grande erro n o faz
43. das tangentes com a hip rbole c equa o da reta polar Resp a y 3 2x 6 b 242 6 c y 6 0 04 Calcular as equa es das retas que passam pelo ponto P 1 0 e s o tangentes par bola de equa o x y 6y 10 Resp r h 2 S rie B Pior que o governo dos maus o sil ncio dos bons Martin Luther King 1929 1968 religioso norte americano 05 Pelo ponto P 1 4 s o tra adas as tangentes elipse 2 2 5 1 Determinar os pontos de contato das tangentes com a elipse Resp P 4 1 e R s 06 Pelo ponto P 8 3 obter as equa es das tangentes circunfer ncia x y 6x 0 Resp y 3 0e15x 8y 96 0 SUGEST O a Equa es das tangentes y 3 m x 8 b Substituem se as equa es das tangentes na equa o da 15 circunfer ncia e faz se A b 4ac 0 obtendo se m 0 e m g C NICAS E QU DRICAS 3 PROBLEMA EQUA O DA TANGENTE EM UM PONTO P Xo Yo PERTENCENTE A PARABOLA Vamos determinar a equa o da tangente par bola y 2px em um ponto P Xo Yo pertencente par bola A equa o da tangente procurada do tipo y yo M x xo DEDU O Sejam y 2px Y Yo M x xo 2 Levando Dem Q yo m x xo 2px Efetuando o produto not vel e ordenando a equa o do 2 grau emx m x 2myo 2m xo 2p x yb 2mxoyo M xg 0 Pela condi o de tang ncia o discriminante deve anular se
44. de Euclides Suas inven es engenhosas suasm quinas de car ter utilit rio e b lico o memorizaram atrav s dos s culos por historiadores romanos gre gos bizantinos e rabes Arquimedes no entanto considerava seus engenhos mec nicos como fator epis dico e que de certa forma tiravam a dignidade da ci ncia pura Sua mentalidade n o era a de um engenheiro mas sim a de um matem tico Alguns de seus feitos s o cl ssicos e conhecidos mas merecem ser relembrados Por descri o de Vitr vio conhecemos a hist ria da coroa do rei Her o Este havia encomendado a um ourives uma coroa de ouro puro Uma vez pronta o desconfiado rei Her o solicitou a Arquimedes que anali sasse a coroa e dirimisse a d vida era a coroa de ouro puro ou feita de uma am lgama com prata Quando tomava banho Arquimedes observou que medida que seu corpo mergulhava na banheira a gua transbordava Foi o insight para resolver o problema Conta o historiador Vitr vio que Arquimedes euf rico teria sa do pelas ruas completamente nu gritando Eureka eureka que significa Achei achei Refeito do vexame Arquimedes comprovou que houve fraude por Jacir J Venturi parte do ourives Destarte tomou dois recipientes cheios de gua e num recipiente imergiu um bloco de ouro e noutro recipiente um bloco de prata Como ambos os blocos continham o mesmo peso que a coroa comprovou a fraude pois constatou que os blocos desloca
45. dia os mapas tinham como prot tipos os mapas elaborados por Ptolomeu E sobre tais mapas se debru ou Colombo muitas vezes antes de empreender sua viagem Am rica Ademais As C nicas de Apol nio tiveram forte influ ncia nos estudos de Kepler Em 1609 Kepler edita a Astronomia Nova onde apre senta a principal lei da astronomia os planetas descrevem rbitas el pti cas em torno do Sol com o Sol ocupando um dos focos A prop sito a palavra foco devida a Kepler e prov m da forma latinizada focus cuja acep o fogo lareira Outra aplica o pr tica de As C nicas aparece na obra Os dois principais sistemas 1632 de Galileu em que desprezando a resist n cia do ar a trajet ria de um proj til uma par bola Ademais Galileu se reporta componente horizontal e componente vertical de uma par bo la Enfim Leibniz se faz oportuno Quem entende Arquimedes e Apol nio admirar menos as realiza es dos homens mais c lebres de pocas posteriores GEOMETRIA ANAL TICA SINOPSE HIST RICA Depreende se que foi extraordin rio o incremento dado Geometria Plana e Espacial pelos matem ticos helen sticos Por m n o dispunham de uma nota o alg brica adequada Que nos perdoem pelo exagero da simplifica o mas podemos afirmar que a lgebra possui uma dupla paternidade Diofanto e al Khowarizmi Diofanto de Alexandria viveu no s c III d C e sua principal obra foi Aritm tica tra
46. do ngulo de rota o para se eliminar o termo emxy ComA C 909 45 e pontos de interse o com o eixo x Pi 2 0 e P 2 0 pontos de interse o com o eixo y P 0 2 eP 0 2 Jacir J Venturi 05 3x2 10xy 3y 4 2x 12 2y 8 0 Resp a hip rbole E gt J2 2 2 E 0 45 2 2 und A 4 1 c d gr fico a equa o can nica fornecea 2eb 1 e pontos de interse o como eixo y s E o jo Et o pontos de interse o com o eixo x n o h 06 7x 6 3xy 13y 443x 4y 12 0 Resp a elipse C NICAS E QU DRICAS d gr fico obt m se da equa o can nicaa 2eb 1 e pontos de interse o com o eixo x jo fit pontos de interse o com o eixo y nefa 28010 Jon 0 2 0 18 13 07 5x 4xy 8y 36 0 Resp a elipse b n o havendo na equa o dada termos do 1 grau a elipse tem ocentro na origem O 0 0 Rota o 4 1 1 tg 20 gt tg 0 gt sen 0 e dida do E cos 6 2 9 26 p y equa o c l1 c equa an nica S Z O Jacir J Venturi d gr fico da equa o can nica a 3eb 2 e a elipse intercepta o eixo x nos pontos P T o e 6 3 P 0 eoeixoynos pontos P 0 le 5 m E 08 x 2xy y 8x 8y 16 0 Resp a par bola SUGEST O Ordem das opera es B 4AC 0 Rio 2 transla o Rota o Como A C gt 60 45 b
47. e seja conc ntricacom 2x 2y 227 4x 8y 22 1 0 2 2 17 21 Resp x 1 y 2 2 5 A 9 Verificar se as equa es abaixo representam esferas reais imagin rias umponto ou n o representam esferas a x y 2 2x 3y 5z2 3 0 2 y z 2x 4y 6z 14 0 y 27 4x y 22 10 0 y Z 4x 2y 32 5 0 2 2 b x c x d x e x y z 4xy Zz 2 0 Resp a esfera real b um ponto P 1 2 3 c uma esfera imagin ria d n o esfera e n o esfera O Jacir J Venturi 10 Dada a esfera x y Z 25 calcular a os pontos de interse o da esfera com o eixo das ordenadas b a curva de interse o da esfera com o plano xy c fazer a figura Resp a P 0 5 0 e P 0 5 0 b x y 25 c rculo de R 5 c figura tra o no plano xy 11 Calcular o valor de k para que a equa o 2x 2y 227 4x z k 0 represente uma esfera de raio 2 47 Resp k P 8 12 Obter a equa o da curva interse o da esfera x y 2 2x 2y 42 3 0 como plano cartesiano xy 24v2 9 4 0v 20 Resp f7 2x 2y 3 0 13 Achar a equa o da curva interse o da esfera com o plano paralelo ao eixo z ao lado figurados Resp c rculo x y z 4 esfera C NICAS E QU DRICAS 14 Conhecida a esfera x y z 2x 4y 3 0 obter a equa o de uma esfera conc ntrica mesma e tangente ao plano x y z 1 0
48. ep teto de o Grande Ge metra e isto pode nos parecer inaceit vel A verdade que n o se pode questionar o m rito de ambos Euclides tornou se sin nimo de Geometria por sua amplamente conhecida obra Os Elementos enquanto a maior parte das obras de Apol nio desapareceram O que sabemos dessas obras perdidas devemos a Pappus de Alexandria s c IV d C que fez uma breve descri o de sua grande pro du o matem tica Infere se que os tratados de Apol nio continham uma Matem tica bastante avan ada e inclusive muito do que conhecemos hoje como Geometria Anal tica Para g udio de todos por m otratado As C nicas sobre se es c nicas suplantou todas as obras existentes na antig idade O tratado As C nicas composto de 8 livros sete dos quais sobreviveram Faz se oportuno um superficial ep tome de As C nicas embora haja dificuldade emfaz lo dada a amplitude e a profundidade da obra as se es c nicas n o possu am uma terminologia apropriada Foi Apol nio quem introduziu os nomes elipse e hip rbole A palavra par bola deve se provavelmente a Arquimedes pela primeira vez Apol niomostrou que de um nico cone podem ser obtidas a elipse a par bola e a hip rbole simplesmente variando a inclina o do plano de se o at ent o o cone utilizado era de uma s folha Introduzindo o cone duplo de duas folhas Apol nio apresenta a hip rbole como uma curva de dois ramos que nos familia
49. fico RESOLU O a Ordem dastransforma es 1 transla o B 4AC 4 4 3 0 z0 4 8 0 l 2 rota o b Transla o Levando as f rmulas de transla o na equa o dada 3 xo X 4 xo X Yo Y 8 Xo X 1 0 fazendo o coeficiente de x O 6xo 4y0 8 0 fazendo o coeficiente de y O 4x0 0 Resolvendo o sistema acima obt m se x 0e yo 2 Ent o o centro da hip rbole O 0 2 Substituindo O 0 2 em 3x 4x y 1 0 c Rota o vamos eliminar o termo emx y na equa o acima B 4 4 A C 3 0 3 1 2 tg0 2 gt cos6 gt sen6 0 63 J5 J5 F rmulas de rota o 1 x x cos 0 y sen 0 x 2y r 1 y x sen 0 y cos 0 2x y qa C NICAS E QU DRICAS Levando 3 em 2 obt m se a equa o da hip rbole 2 2 x 4y 1 0 0u na forma can nica F 1 d Gr fico 4 a A hip rbole figurada tem 0 0 2 y y 1 a 2 eb 1 b Intersec es com os eixos cartesianos Na equa o dada fazendo y 0 tem se a equa o 3x 8x 1 0 cujas ra zes s o x 0 11 e x 2 78 que s o os pontos onde a hip rbole corta o eixo das abscissas A hip rbole n o corta o eixo das ordenadas Exerc cios Nem todos os otimistas s o profissionais de sucesso Mas todos os profissionais de sucesso s o otimistas S rgio Silbel Reis publicit rio citado por Joelmir Beting 01 Calcula
50. homens n o pautada somente por vit rias mas antes de tudo pela determina o em vencer obst culos sejam grandes ou pequenos A vida deve ser vivida intensamente na busca cons tante da experi ncia e do aprimoramento f sico moral e inte lectual Igualmente importante o desenvolvimento de valo res interpessoais como os relativos tica cidadania auto estima s rela es humanas e de respeito ao meio ambi ente ensejando pessoas flex veis abertas ao di logo a mudan as e a novas tecnologias Pelo seu esfor o e dedica o permanente aos estu dos voc ser um vitorioso num mercado de trabalho extrema mente competitivo mas carente de bons profissionais E t o competitivo que apenas 12 dados da ONU da popula o brasileira est preparada para trabalhar em uma economia tec nologicamente avan ada Do autor C NICAS E QU DRICAS EA P ETA Elipse 1 DEFINI O o lugar geom trico dos pontos de um plano cuja soma das dis t ncias a dois pontos fixos F e F focos do mesmo plano uma constan te 2a onde 2a gt d F F Assim d P F d P F 2a e d Q F d Q F 2a OBSERVA O Na p g 230 voc tem a etimologia da palavra elipse F F focos A dist n cia entre os focos F e F igual a 2c denomina se dist ncia focal O centro da elipse o ponto m dio do segmen to F F A A B Bx v rtices daelipse Eixo maior
51. incerta J o X que representa o n 10 decorre da palavra latina decussatio que significa cruzamento em forma de X O V que representa o 5 os romanos tomaram a metade superior do algarismo X O n 100 identificado pela letra C em algarismo romano prov m da inicial latina centum cem O algarismo romano M decorre da palavra latina mille que significa 1 000 GEOMETRIA do grego Geo terra e metron medida Os historiadores gregos sem exce o procuram colocar no Egito o ber o da Geometria atribuindo a portanto aos habitantes do vale do Nilo a inven o dessa ci ncia As peri dicas inunda es desse c lebre rio for aram os eg pcios ao estudo da Geometria pois uma vez passado o per odo da grande cheia quando as guas retornavam ao seu curso normal era necess rio repartir novamente as terras perfeitamente delimitadas A pequena faixa de terra rica e f rtil era disputada por muitos interessados faziam se medi es rigorosas a fim de que cada um sem preju zo dos outros fosse reintegrado da posse exata de seus dom nios Thir e Melo Souza O in cio da axiomatiza o da Geometria deve se a Euclides s c III a C que foi sin nimo de Geometria at o s culo XIX quando foi parcialmente contestado o seu 5 postulado por Riemann Lobatchewski e Bolyai s o os criadores das geometrias n o euclidianas que tem grande import ncia na F sica e na Astronomia Rememoremos o 5 postulado ou postulado das
52. lactus rectum corda AA Como 2p a pa r bola pode ser escrita 2 y x OBSERVA O Como figura de linguagem em Portugu s entende se par bola como uma narra o que serve de compara o a outros no sentidomoral Por exemplo as par bolas do Evangelho ELIPSE do grego eAAewnc falta omiss o y Aelipse figurada tem um dos v rtices na origem e o centro emO a 0 Equa o cartesiana da elipse x a y a b C NICAS E QU DRICAS Isolando o 2 termo Y a bear b a Desenvolvendo e ordenando o 2 membro yzx x b a a Isolando y 2_ 2 b xl a a 2 2b mas onde o comprimento do latus rectum conforme se de a monstrou na p gina 104 exerc cio 8 2 2 2 bx y 1x a Ou seja y lt 4x Na elipse o quadrado y menor falta para se chegar igual dade que o ret ngulo x OBSERVA O Como figura de linguagem em Portugu s significa omiss o falta de uma ou mais palavras numa frase sem lhe prejudicar a clareza Exemplo Os valorosos levam as feridas e os venturosos os pr mios levam HIP RBOLE do grego vrepBoAm excesso exagero y A hip rbole ao lado tem um dos v rtices na origem e o centro em O a 0 Equa o cartesiana da 5 hip rbole POE a x a b Seguindo o desenvolvi Jacir J Venturi mento adotado para a elipse mutatis mutandis b2x2 2 y LX
53. no plano y 4 y 4 d a superf cie sim trica em rela o aos eixos coordenados planos coordenados e origem 07 No presente exerc cio figura se uma superf cie cognominada JE o hiperbol ide de uma folha cuja equa o a 1 Solicitam se 4 4 a os pontos de interse o com os eixos x yez Resp a 2 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 n o h interse o com o eixo Z z hip rbol l ip rbole no plano xz b c1 4 9 ip p y 0 d Ca 2 y 8 c rculo de R 2V2 no plano z 3 II 1 hip rbole no plano yz e A qu drica sim trica em rela o origem Tamb m o em rela o aos eixos e planos cartesianos Jacir J Venturi 2 2 08 Abaixo representa se a qu drica z seg parabol ide hiperb lico ou sela de cavalo Pedem se 1 4 a a equa o da curvac b a equa o da curvac c a equa o da curva c 2 42 T 1 ip rbol no plano z 3 a 2 1 Z Resp 2 b d x2 z 1 par bola de concavidade voltada para baixo e y 2 V 0 2 1 c x z par bola de concavidade voltada para baixo e y V 0 0 0 TEMPOS DE GLOBALIZA O Certo dia ao querer respirar os ares do mundo o rato saiu de seu esconderejo Ap s um tempo de sil ncio absoluto ouviu um latido E pensou se h cachorro porque o gato anda longe Qual o qu Mal olhou para o lado e s ouviu o miado valente do
54. o como se busca a equa o can nica de uma par bola na equa o acima deve se eliminar o termo em y e o termo independente x x X F rmulas de transla o yY Yy Y Levando em 2 vem 25 Yo Y 50 xo x 10 yo y 51 0 ou 25y 50x 50y 1 0 y 25y5 50xo 1 Oyo 51 0 4 fazendo o coeficiente de y O 50y 10 0 gt y sobre o eixo y fazendo o termo independente O 25y 50x 10y 51 0 Paray E x 1 sobre o eixo x Ent o V i i no sistema x Oy d Levando V i E em 4 obt m se a equa o can nica da par bola y 2x e Gr fico C NICAS E QU DRICAS Registre se que a par bola n o corta os eixos xe y fazendo x 0 na equa o dada obt m se 9x 34x 51 0 Esta equa o possui discriminante negativo e ipso facto desprovida de ra zes Analogamente se se fizer y O na equa o dada a equa o 16y 38y 51 0 n o possui ra zes OBSERVA O C lculo das coordenadas do v rtice V emrela o ao sistema xOy F rmulas de rota o 4 1 3 23y 1 5 q Exerc cios Brincar com a crian a n o perder tempo ganh lo se triste ver meninos sem escola mais triste ainda v los sentados enfileirados com exerc cios est reis sem valor para a forma o do homem Carlos Drummond de Andrade 1902 1987 poeta brasileiro 01 Obter a equa o can nica da par bola x 2xy y 8x 16 0
55. observa nos escritos dos matem ticos italianos da Renascen a 1 5 minus 2 3 minus em latim significa menos 2 5m2 3 m abreviatura de minus 3 2 5 2 3 sincopou se o m da nota o m S MBOLO DA MULTIPLICA O Relata Gabriel M de Souza Le o que o s mbolo de x em a x b para indicar a multiplica o foi proposto pelo ingl s William Oughthed 1574 1660 E prov vel que seja origin rio de uma altera o do s mbolo de O ponto em a b foi introduzido por Leibniz 1646 1716 S MBOLOS DA DIVIS O Fibonacci s c XII emprega a nota o D C NICAS E QU DRICAS Zou a b j conhecidas dos rabes A nota o a b devida a Leibniz em 1648 J o ingl s J H Rahn 1622 1676 emprega a nota o a b S MBOLOS DE gt OU lt O ingl s Thomas Harriot 1560 1621 foi o introdutor dos s mbolos de gt ou lt para indicar maior ou menor respectivamente No entanto os s mbolos gt ou lt surgiram mais tarde em 1734 como franc s Pierre Bouguer S MBOLO 1 a inicial da palavra grega mepipepera que significa circunfer ncia Sabemos que 7 3 1415926535 um n mero irracional e a raz o entre o comprimento da circunfer ncia pelo seu di metro O aparecimento do s mbolo x s aconteceu em 1706 e deve se a Willian Jones um amigo de Newton No entanto a consagra o do uso do x deve se aomatem tico su o Leonhard Euler 1707 1783 Em 1873 como muito se discutia sobre a i
56. paralleles nada mais igual que um par de retas paralelas BIBLIOGRAFIA 1 BARSOTTI Leo Geometria Anal tica e vetores Curitiba Artes Gr ficas e Editora Unificado 1984 3 ed v 2 220 p 2 BOULOS Paulo CAMARGO Ivan de Geometria Anal tica um tratamento vetorial S o Paulo Mc Graw Hill 1987 2 ed 383 p 3 STEINBRUCH Alfredo WINTERLE Paulo Geometria Anal tica S o Paulo Mc Graw Hill 1987 2 ed 291 p 4 CAROLI Al sio Jo o de CALLIOLI Carlos Alberto FEITOSA Miguel Oliva Vetores Geometria Anal tica teoria e exerc cios S o Paulo Nobel 1968 6 ed 212 p 5 MURDOCH David C Geometria Anal tica com uma introdu o ao c lculo vetorial e matrizes Rio de Janeiro Livros T cnicos e Cient ficos 1971 2 ed 296 p 6 REIS Gen sio Lima dos SILVA Valdir Vilmar da Geometria Anal tica Rio de Janeiro Livros T cnicos e Cient ficos 1984 1 ed 227 p 7 RIGHETTO Armando Vetores e Geometria Anal tica S o Paulo IBEC 1982 5 ed 384 p 8 WEXLER Charles Analytic Geometry Tokio Adison Wesley Publishing Company inc 1964 1 3 ed 291 p 9 GIACAGLIA G E O Vetores e Geometria Anal tica Elementos de Algebra Linear S o Paulo Nobel 1985 3 ed 355 p 10 SMITH Percey GALE Arthur NEELLEY John Geometria Anal tica Rio de Janeiro Ao Livro T cnico 1971 1 ed 1957 11 LEHMANN Charles H Geometria Anal tica M xico UTEHA 19583 1
57. prosperidade a toda pessoa que encontrar Fazer os seus amigos sentirem que h alguma coisa supe rior dentro deles Olhar para o lado glorioso de todas as coisas e fazer com que seu otimismo se torne realidade Pensar sempre no melhor trabalhar sempre pelo melhor e esperar somente o melhor Esquecer os erros do passado e preparar se para melhores realiza es no futuro Ter tanto entusiasmo e interesse pelo sucesso alheio como pelo pr prio Dedicar tanto tempo ao pr prio aperfei oamento que n o Ihe sobre tempo para criticar os outros Ser grande na contrariedade nobre na c lera forte no temor e receber alegremente a prova o Fazer um bom ju zo de si mesmo e proclamar este fato ao mundo n o emaltas vozes mas em grandes feitos Viver na certeza de que o mundo estar sempre ao seu lado enquanto lhe dedicar o que h de melhor dentro de si mesmo Autor desconhecido Jacir J Venturi CAP TULO Hip rbole 1 DEFINI O o lugar geom trico dos pontos de um plano tais que o valor absoluto da diferen a de suas dist ncias a dois pontos fixos F e F focos domesmoplano uma constante 2a onde 2a lt d F F Assim OBSERVA O d P F d P F 2a A hip rbole uma curva com dois ramos e o valor absoluto pode ser desconsiderado desde que adotemos a diferen a entre a maior e o menor dist ncia A etimologia da palavra hip rbole voc encontra na p g 231 2 ELEM
58. que os deuses do Olimpo estavam preocupados com a evolu o do homem Este estava se desenvol vendo tanto pelo uso de sua intelig ncia que em breve alcan aria os imortais deuses Era preciso agir O tonitroante e todo poderoso Zeus senhor dos deuses e do mundo vociferou Vamos esconder do homem o seu talento e ele jamais nos alcan ar Mas onde esconder o talento do homem Posseidon deus dos mares sugeriu as profundezas dos oceanos Apolo deus da luz no topo da montanha Dem ter deusa da terra em vales rec nditos Hefesto deus do fogo em magmas vulc nicas Ares deus da guerra nas geleiras eternas Imp vido Zeus declara Nada disso o melhor esconderijo do homem o interior do pr prio homem Ele jamais h de procurar o que est dentro de si Esta f bula n o s enaltece a busca do autoconhecimento e do desenvolvimento das pr prias potencialidades mas tamb m retrata a saga intelectual do povo grego Mesmo aos ne fitos a cultu ra helen stica enseja umextraordin rio fasc nio A investiga o sistem tica racional e criativa norteia suas atividades na Matem tica Hip crates Anax goras Zen o Dem crito H pias Tales Hipasus Pit goras Euclides Arquimedes Apol nio Eudoxo Aristarco Erat stenes Ptolomeu Hiparco Diofanto Papus na Filosofia S crates Plat o Arist steles Anax menes Anaximandro Prot goras Zen o Epicuro na Hist ria Her doto Xenofonte Tuc dides na
59. rico da elipse F c 0 F c 0 Por defini o d P F d P F 2a Jx c y 0 to y 0 2a Transpondo o 2 radical ao 2 membro x c y 2a J x c y Elevando ao quadrado e desenvolvendo os produtos not veis x c y 48 4a y x c y x c y Isolando o radical 4a x c y 4a 4cx Dividindo por 4 e tornando a quadrar a x 2cx c y at 2a cx c x ou a c x a y a a c Mas pela rela o not vel a c b b x c y ab Dividindo ambos os membros por a b x y DE eixo maior eixo x a que chamada equa o can nica ou reduzida da elipse de cen tro na origem e focos sobre o eixo x OBSERVA O Est consagrado o uso da express o o eixo maior coincide com o eixo x mas que numa linguagem mais precisa usar se ia o eixo maior pertence ao eixo x Jacir J Venturi b O eixomaior coincide com o eixo y y Na figura tem se F 0 c eF 0 c De forma an loga de monstra se que para um P ponto P x y pertencente elipse tem se a equa o can nica x y p w eixomaior eixoy Aqui cabe um destaque na equa o can nica a a medida do semi eixo maior e a representa o maior dos denominadores Se o n mero a denominador de x ent o os focos est o sobre o eixo x y ent o os focos est o sobre o eixo y x y Exemplifiquemos A equa o A Ta 1 se na
60. substituem o suor que voc deve verter em benef cio da sua pr pria felicidade As suas reclama es ainda que efetivas jamais acrescentar o nos outros um s grama de simpatia por voc N o estrague o seu dia Aprenda com a Sabedoria Divina a desculpar infinitamente construindo e recons truindo sempre para o infinito Bem Psicografado pelo m dium Francisco C ndido Xavier 01 Dada a superf cie qu drica x y z 2x 4y 22 4 0 achar as coordenadas do v rtice e provar que representa uma superf cie c nica Resp V 1 2 1 Jacir J Venturi 02 A equa o x y 2yz 2y 2z m O representa uma superf cie c nica Calcular as coordenadas do v rtice e a constante m Resp V 0 1 2 em 3 03 Determine o valor de k para que a equa o 3x 2y 2xz 4yz 4x 82 k 0 represente um cone e ache o v rtice Resp V 0 2 2 ek 8 04 Verificar se a equa o x y 87 6x 4y 16z 13 0 representa uma superf cie c nica Resp N o representa uma superf cie c nica SUGEST O Substituindo as f rmulas de transla o na equa o dada obt m se x 3 Yo 2 Zo 1 que por sua vez n o tornam homog nea a equa o dada 05 A equa o 4x 4y 82 4xz 12yz 1 O constitui um cone Achar as coordenadas do v rtice a equa o da diretriz no plano xy e fazer o desenho Resp V 1 3 2 F 4x
61. superf cie cil ndrica cujas geratrizes s o perpendiculares ao plano 2x y 3z 5 0ecujadiretriz acurva DDD aX Y 2 0 z 0 Resp 3X 2Z 3X 2Z 3Y Z 54 0 N o superf cie qu drica 05 A equa o 9x z 6xz 27y 9z O representa uma superf cie cil ndrica Determinar a equa o da diretriz no plano xy 2 Resp d me z 0 SUGEST O S para efeito de ilustra o sem preocupa o de escala observe a figura trata se de uma superf cie cil ndrica parab lica cuja diretriz a par bola x 3y no plano xy de equa o z 0 06 Calcular a equa o da superf cie cil ndrica de geratrizes para R x 1 y 1 z 2 2 2 lelas reta a E ecircunscreve aesferax y Z 1 Resp 2X Y Z 2YZ 2 0 UI C NICAS E QU DRICAS SUGEST O a Equa o param tricas x X y Y t z 2 t b Substituindo as equa es param tri cas na equa o da esfera obt m se uma equa o do 2 grau em t A condi o de tang ncia que o dis criminante A b 4ac da equa o do2 grau em tseja nulo 07 Achar a equa o da superf cie cil ndrica circunscrita ao parabo A 2 2 x 1 y 1 FA l ide x y z e cujas geratrizes sejam paralelas reta r E Resp 36Y 16Z 52X 8Y 122 48YZ 1 0 08 Pede se a equa o do cilindro cujas geratrizes t m
62. verdadeiras 01 A superf cie qu drica x 2y 3z 2x 4z 2 0 sim trica ao plano cartesiano xz 02 A superf cie x y 3z 0 sim trica emrela o origem 04 A superf cie qu drica x y 2 4x 0 passa pela origem sim trica emrela o aos planos xz e xy e em rela o ao eixo x 08 A superf cie qu drica 2x 3y 22 4 0 n o passa pela origem e sim trica em rela o aos eixos e planos coordena dos e emrela o origem 16 A equa o x y 2 representa no E uma hip rbole 32 Toda superf cie cil ndrica uma qu drica 64 A superf cie qu drica y z 2x sim trica em rela o aos planos xz e xy emrela o ao eixo x e passa pela origem Resp 79 V V V V F F V 02 Verificar se os pontos A 1 1 0 e B 1 1 3 pertencem superf cie qu drica S x y 27 2x 3y z 3 0 Resp A S B S 03 Representar no E e no E a equa o y 4 0 Resp a no E b no E y duas retas paralelas dois planos paralelos C NICAS E QU DRICAS 04 Representar no E e no E a equa o x y 0 Resp a no E b no E duas retas bissetrizes dois planos bissetores dos quadrantes dos oitantes x y 05 Identificar a curva Resp Para z 4 tem se x y 4 que representa um c rculo de R 2noplanoz 4 h plano z 4 c rculo x y 4 CUCUA OBSERVA O A equ
63. xy desaparecer na equa o acima se o seu coefici ente for nulo C NICAS E QU DRICAS C A 2 sen 0 cos 0 B cos 0 sen 0 0 C A sen 20 B cos 20 0 Dividindo por cos 20 C A tg20 B 0 ou B 20 A C 920 5 O A 0 Cumpre destacar 1 A rota o n o afeta o termo independente 2 Adotaremos sempre 0 lt 0 lt 90 3 Se em particular A C ent o 4 n o tem sentido mas de 3 obt m se B cos 20 0 cos20 0 20 90 gt 0 45 4 O grau de uma equa o n o alterado quando se aplica uma transforma o de coordenadas Exerc cios Resolvidos Todos sabemos o que somos mas n o o que podemos ser William Shakespeare 1564 1616 o maior dramaturgo ingl s 1 Dada a equa o 3x 4xy 1 0 pede se para a achar o ngulo de rota o que elimina o termo emxy RESOLU O B 4 4 tg 20 SAO 0 mas tg 20 sigo sa 1 0 3 Efetuando se 2t9 0 3tg0 2 0 Equa o do 2 grau cujas ra zes s o tg9 2 i tg0 09s Jacir J Venturi OBSERVA O O ngulo agudo 6 obtido pelatg 6 2 9 63 25 b Calcular as f rmulas de rota o para 0 lt 6 lt 90 b 1 C lculo do sen 9 e do cos 6 Obtivemos que tg 0 2 ssec 0 1 tg 0 1 2 5 sec 0 5 1 1 e a sento mt onstoms 7 5 5 2 pd b 2 F rmulas de rota o x x cos6 y sen6 y x sen 0 y cos 0 Substituindo sen 60 A ecos6 ad J5 5 1 jaf 2
64. 0 0 verifica a eq II 6 0 Destarte a equa o de uma esfera que passa pela origem desprovida de termo independente Exerc cios Resolvidos N o dif cil ser bom o dif cil ser justo Victor Hugo 1802 1885 escritor franc s 1 Calcular o centro e o raio da esfera 3x 3y 3z 6x 18y 92 18 0 C NICAS E QU DRICAS RESOLU O a C lculo do centro da esfera Dividindo a equa o dada por 3 xX y 27 2x 6y 32 6 0 14 AB C D 2 2 B 6 p ara sie t 2 2 2 Ent o o centro C k 3 b C lculo do raio sa E O EE E E sR 7 4 4 2 2 Achar a equa o da esfera de C 1 0 3 e tangente ao plano T 2XxX y 2z 1 0 RESOLU O a R d C 7 F rmula da dist ncia de ponto a plano laa b cy dl R d C m Va b c _2M 10 2X313 R vV4 1 4 3 b Equa o da esfera de C 1 0 3 eR 1 x 1 y 0 z 3 1 ou x y z 2x 6z 9 0 Resp Jacir J Venturi 3 Calcular a equa o da superf cie esf rica que passa pelos pontos A 1 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 eD 1 2 3 RESOLU O Quatro pontos n o coplanares determinam uma esfera Equa o da esfera procurada X y z 20x 2By 2y72 5 0 a A 1 0 0 esfera 1 204 8 0 b B 0 1 0 esfera 1 28 5 0 c C 0 0 1 esfera 1 27 5 0 d D 1 2 3 esfera 1 4 9 2a 4 B 6y 5 0 4 eL Oe 0 1 e f Levando 5 em 4 obt m se 8 13
65. 0 X Ot Xt y 0 Y Ot Yt z 0 Z 0 t Zt b Levando se as equa es param tricas na equa o da esfera e fatorando o par metrot X Y Z X Y Zt 2 0 c A superf cie ser tangente esfera se o discriminante da equa o do 2 grau emt for nulo A b 4ac 0 X Y Z 4 2 X Y Z 0 Desenvolvendo tem se a resposta S rie B N o basta que a mulher de C sar seja honesta Tem que parecer honesta Mote dos antigos romanos 08 Equa o da superf cie c nica de V 1 2 0 e circunscrita superf cie x 2y z 0 Resp 8X 2Y 92 8XY 0 09 Calcular a equa o do cone de V 0 0 1 e circunscrita a uma esfera tangente ao plano xy e cujo centro C 2 2 3 Resp 2X 2Y 22 16XY 16XZ 16YZ 16X 16Y 42 2 0 C NICAS E QU DRICAS 10 Achar a eq da superf cie c nica de V 1 0 0 e cuja diretriz ainterse o dasuperf ciex y z comoplanoy 2 2 0 Resp 3Y 92 2XY 2XZ2 2YZ 2Y 22 0 11 Determinar a equa o do cone representado ao lado cuja di 2x2 z 1 retriz a Resp 18X 16Y 92 24XY 18YZ 120X 166Y 90Z 421 0 12 Achar a equa o do cone de v rtice na O gerado por uma reta que gira emtorno do eixo z formando com este um ngulo 9 Resp x y tg 0 z 0 SUGEST O a Seja P x y z um ponto gen rico da superf cie c nica e A 0 0 z a interse o do eixo z com um plano passante por P e ortogo
66. 0 seja tangente superf cie esf rica x y 2 25 Resp k 15 25 A esfera x 1 y 1 z 2 e o plano z y z 1 0 s o tangentes no ponto T Calcular as coordenadas de T Resp T 1 0 1 SUGEST O a Centro da esfera C 1 1 0 b C lculo da reta r reta que passa pelo ponto C e perpendicular a 7 ARES At ae EE c C lculo da interse o da reta r com o plano q E x 1 y 1 zZ 0 1 1 t y z 1 0 Resolvendo o sistema acima x 1 y 0 gt z 1 coord deT 25 Achar o ponto de tang ncia T da esfera x y z 25 como plano 2x y 2z 15 0 Resp T 10 2 210 33 3 26 Obter a equa o da esfera tangente ao plano z x y 2 0 no ponto P 0 2 0 e tamb m ao plano n x z 1 0 Resp x 1 y 3 z 2 1Y BT 2 x y gt 42f 3 3 9 C NICAS E QU DRICAS SUGEST O a C lculo da reta r reta que passa por P e perpendicular ao plano 7 X yY 2 2 4 1 0 C a B yje r ERES a 1 0 0O gt B au 2 1 c d C x d C 7 poneo lila 0 B 1 y 1 J2 J V2 d Resolvendo 1 e a 15B 3 gt 7 0 gt R dC P 2 a gt B sy 05R dc p 12 3 3 3 27 Uma esfera tem o centro na reta r x y z e tangente reta y 1 z i1 E 2 E no ponto T 0 1 2 Calcule a equa o da esfera a 5 Y 5 75 lx gt 4ly gt 4 2 gt Resp 5 b a 3 36 SUGEST O s a C lculo de x plano que passa p
67. 4 lados coincidem com os focos da elipse 9x 5y 1 e os outros dois com os v rtices do eixo menor elipse Calcular a rea do pol gono 4 5 Resp 5 gt u a 45 Jacir J Venturi 16 Determinar a equa o da elipse com centro na origem focos sobre o eixo das abscissas e que passa pelos pontos A 2 2 e B 243 3 0 2 SUGEST O a Equa o da elipse bA 2 D gt 243 0 Resolve se e 3 17 Similarmente par bola o latus rectum da elipse uma das duas cordas focais da elipse e perpendiculares ao seu eixo maior Ent o dada a elipse 1 pede se comprimento do latus rectum 18 Resp p 5 SUGEST O Um dos focos da elipse F 0 4 Os pontos de intersec o da reta y 4 comaelipse P 54 P 5 4 O comprimento a d P P C NICAS E QU DRICAS 18 Um cilindro de revolu o tem por base um c rculo de R 6 Determinar a rea da elipse intersec o do cilindro por um plano que forma como seu eixo um ngulo de 30 SUGEST O Resp 727u a Da figura a b 6 pras em sen30 c S rab 19 Determinar a rea do quadrado inscrito na elipse 9x 16y 625 SUGEST O Resp 100u a Os v rtices do quadra do s o obtidos pelas intersec es das retas y x y x com aelipse Jacir J Venturi 8 EQUA O DA ELIPSE CUJO CENTRO O x yo E CUJOS EIXOS S O PARALELOS AOS EIXOS
68. 4y2 1 hip rbole z 0 C NICAS E QU DRICAS xL y z 06 A equa o T 925 representa umconeel ptico com eixo coincidente como eixo z e v rtice na origem Achar a equa o do tra o no a plano z 5 b plano xz Fazer a figura Resp XY 4 ol 3 e b 2 ao r elipse coma 3 e b 2 z 5 x z 2 4 Bi A 420 0 gt 5x 2z 5x 2z 0 gt retas r4 5xX 2z 0 e r 5x 2z 0 no plano xz c Figura 07 Identificar o lugar geom trico dos pontos P x y z que se movem no E de tal sorte que a dist ncia ao eixo x igual ao triplo da dist ncia ao eixo z Resp 9x y 82 0 Equa o de um cone com V 0 0 0 e eixo coincidente com o eixo cartesiano y SUGEST O d P x 3d P y gt J z 34x z You are not my first love but you are my last Can o Americana Jacir J Venturi AP NDICE Etimologia de algumas palavras matem ticas As palavras par bola elipse e hip rbole foram inicialmente empregadas pelos pitag ricos e por Arquimedes mas com outra acep o Utilizavam nas na solu o de equa es 2 grau por aplica o de reas Tal como as concebemos hoje como fruto de se es a um cone dado s o devidas a Apol nio PAR BOLA do grego napa o n compara o igualdade Deve se igualdade YA compara o existente na equa o da par bola de v rtice na origem y 2px onde 2p o compri mento do
69. A eq representa B 4AC 0 Uma par bola B 4AC gt 0 Uma hip rbole B 4AC lt 0 Uma elipse N B Rememoramos que a equa o representa uma circun fer nciaseB 0 A C 4 ORDEM DAS TRANSFORMA ES Considere a equa o Ax Bxy Cy Dx Ey F 0 Nosso escopo obter a equa o can nica da c nica Para tanto deve se eliminar termos do 1 grau e ou termos do 2 grau e por conseguinte aplicar se transla o e ou rota o de eixos C NICAS E QU DRICAS Na pr tica com o intuito de tornar menos laboriosos os c lculos conv m adotar a seguinte ordem das transforma es Se B 4AC 0 elipse ou hip rbole 1 transla o 2 rota o Se B 4AC 0 par bola 1 rota o 2 transla o 5 REVISANDO Fulcrados nos cap tulos anteriores ao efetuar se uma transla o e ou rota o de eixos na equa o recai se nas equa es can nicas das c nicas Par bola Elipse Hip rbole 2 2 2 2 2 2px Ea papa dE dino a b a b ou ou ou x y y x a Transla o de eixos na equa o pode se eliminar os termos do 1 grau termos Dx e Ey pela transla o de eixos Neste caso os coeficientes A B e C dos termos do 2 grau n o se alteram F rmulas de transla o de eixos XXXI Y Yo y b Rota o de eixos Na equa o pode se suprimir os termos do 2 grau termos Ax Bxy e Cy pela rota o de eixos Neste caso o termo in
70. COORDENADOS 8 a O eixomaior paralelo ao eixo x Por meio de uma transla o de eixos representamos um novo sistema x O y cuja origem O Xo Yo coincide como centro da elipse A equa o daelipse refe rida ao novo sistema x O y 12 12 xX y zr P No entanto as f rmulas de transla o fornecem x X X s 2 Levando 2 em D X X 2 ai 2 e no e 1 1 que representa a equa o can nica da elipse cujo centro O Xv Yo e cujos focos est o sobre uma paralela ao eixo x 8 b Oeixomaior paraleloaoeixoy Adotando um racioc nio simi lar ao caso l ter se para equa o daelipse teme O i 11 b a Em I e Il eliminando se os denominadores desenvolvendo se os produtos not veis e ordenando se as vari veis a equa o da elipse assume a forma Ax Cy Dx Ey F 0 em que Ae Ct momesmosinaleAzC O C NICAS E QU DRICAS Exerc cios Resolvidos Educamos com o que somos e n o com o que dizemos Euz bio Silveira da Motta 1847 1920 escritor curitibano 01 Determinar as equa es das elipses representadas 1 a RESOLU O Da figura obt m se O 3 2 a 2 e c 1 C lculo de b b a c 4 1 3 gt b 3 A equa o da elipse da forma x x Y Y 2 op Levando os correspondentes valores na equa o acima x 3 22 4 3 OBSERVA O As coordenadas dos focos s o F 2 2 e F 4 2
71. ENTOS DA HIP RBOLE F F focos A dist ncia entre os focos F e F igual a 2c denomina se dist n cia focal O Centro da hip rbole o ponto m dio do segmento FF A A v rtices da hip r bole Eixo real ou transver so o segmento A A e cujo comprimento 2a Eixo imagin rio ou conjugado o segmento B B e cujo comprimento 2b C NICAS E QU DRICAS N B Impropriamente por abuso de linguagem denomina se eixo real o segmento A A e eixo imagin rio o segmento B B O eixo imagin rio tem como reta suporte a mediatriz do segmento A A Do tri ngulo ret ngulo B OA hachurado na figura obtemos a rela o not vel c a b 3 EXCENTRICIDADE DA HIP RBOLE definida pela rela o Cc Ea gt 1 Como ae c s o positivos e c gt a depreende se que gt 1 H uma proporcionalidade entre a excentricidade e a abertura da hip rbole quantomaioraexcentricidademaioraaberturaevice versa 4 EQUA O CAN NICA DA HIP RBOLE DE CENTRO NA ORIGEM 4 a O eixo real coincide com o eixo x y Seja P x y um ponto gen rico da hip rbole F c 0 eF c 0 Por defini o ld P F d P F 2a y x c y 0 Jx c y 07 2a Agora empregando as mesmas opera es para deduzir a equa o da elipse e mutatis mutandis chegamos equa o 2 2 xX y e F cognominada equa o can nica ou reduzida da hip rbole eixoreal eixo x Jacir J Ve
72. JACIR J VENTURI c nicas e qu dricas 5 a edi o atualizada Na internet voc encontra integralmente E os dois livros do autor 1 Algebra Vetorial e Geometria Anal tica 2 C nicas e Qu dricas site www geometriaanalitica com br com acesso gratuito O Copyright by Jacir J Venturi FICHA CATALOGR FICA VENTURI Jacir J 1949 C nicas e Qu dricas Jacir J Venturi 5 2 ed Curitiba 243 p il Inclui Ap ndice e Bibliografia ISBN 85 85132 48 5 1 Geometria Anal tica 2 C nicas e Qu dricas T tulo CDD516 3 V469c 2003 ISBN 85 85132 48 5 Composi o Desenhos Herica Yamamoto Capa Projeto Gr fico Beatriz Susana Impress o e Acabamento Artes Gr ficas e Editora Unificado graficaQunificado com Dedico Eliana F bio D bora e Eduardo companheiros de jornada e raz o maior do meu afeto e crescimento pessoal Dedico tamb m g s pessoas que v o al m do seu dever Indice CAP TULO 1 TRANSFORMA ES DE COORDENADAS NO E 01 Transla o de eixos e E E EEEE 23 02 Rota o de eixos e rereeeereneaaneeaa 25 03 Aplica o das transla es e rota es no estudo de uma equa o do 2 grau e ererereneeeernea 28 CAP TULO 2 APAR BOLA CU BD A ci e DONE SRD DRA RAND REDE O E DN RR 41 02 Elementos da par bola re 42 03 Equa es can nicas da par bola
73. La Fontaine 1621 1695 Jacir J Venturi QUADRO RESUMO 1 EQUA O a De 2 2 EQUA O CAN NICA EIXO FOCAL EIXO FOCAL EIXO FOCAL EIXO FOCAL COINCIDE COM COINCIDE COM E PARALELO E PARALELO O EIXO X O EIXO Y AO EIXO X AO EIXO Y PAR BOLA xX 2py Y Yo 2p x xo x xo 2ply yo ELIPSE xo y yol a xo y yo 4 a b w o z HIPERBOLE 1 4 vox x xo y yo 4 Y Yo x xo b 2 pi E CH TE Se O 1 RELA ES NOT VEIS O DA TANGENTE EM SEU PONTO X focal gt para as equa es can nicas e eixo Yoy b XoX EQUA Po Xo Y p x xo Yoy a C NICAS E QU DRICAS CHA c a UNLDO Qu dricas Resenha Hist rica Para uma compreens o um pouco mais abrangente do desenvolvimento alcan ado pela Geometria Plana e Espacial solicita se uma nova leitura do ep tome hist rico que se inicia na p g 11 do presente manual Depreende se que foi extraordin rio o incremento dado Geometria pelos matem ticos helen sticos Euclides Arquimedes e Apol nio de Perga Por m n o dispunham de uma nota o alg brica adequada Fulcrado nos ge metras gregos e no desenvolvimento da Algebra em toda a Europa Pierre de Fermat conclui em 1629 o manuscrito Ad locos planos et solidos isagoge Introdu o aos lugares planos e s lidos Embora hajam controv rsias tal manuscrito representa o marco zero da Geometria Anal tica E c
74. Yv 2 8 Xp X 2 Equa o da diretriz gt d y 1 ou 8y 1 0 A fun o y 2x 8x 8 tem a 2 lt 0 o que indica uma par bola de concavidade voltada para baixo e cujo eixo de simetria C NICAS E QU DRICAS paralelo ao eixo y Ademais a par bola intercepta o eixo y no ponto de ordenada 8 termo independente da par bola e corta o eixo x no ponto de abscissa2 ra zes x x da eq 2x 8x 8 0 OBSERVA O H outros processos para a resolu o do exerc cio em pauta Um desses processos utiliza a teoria da transla o de eixos Vejamos A equa o dada pode ser escrita 2x 8x y 8 0 a F rmulas de transla o Xx X X po a y Y y b Substituindo 2 em 2x xP 8 x x y y 8 0 O fazendo a soma dos coeficientes de x 0 4x 8 0 gt x 2 fazendo o termo independente 0 2x 8x y 8 0 parax 2 obt m se y 0 Ent o V 2 0 c Levando o V 2 0 em 3 obtemos 1 x y 7 y que representa a equa o can nica de uma par bola em que 2p 1 gt p gt 1 2 2 8 Verifique ainda que o gr fico da par bola coincide com o da l tima figura Jacir J Venturi Exerc cios Se h um agravo pungente a perdoar tempo hora O mais profundo rancor n o resiste a um apelo de bra os abertos Helena Kolody poeta e escritora paranaense 01 Uma par bola tem foco em F 2 4 e v rtice em V 2 2 Determinar a sua equa o R
75. Z 2 0 f Comparando esta equa o com a equa o dada m 2 2 2 gt 1 2m 2 gt m 1 O sistema compat vel pois 1 e m 1 verificam a equa o 3 edestartev 1 1 1 OBSERVA O Para z 0 tem se a equa o da diretriz no plano xy x y 2 que representa um c rculo de centro na origem e R 2 Isto posto a equa o dada representa uma superf cie cil ndrica circular cujas geratrizes t m a dire o do vetor v 1 1 1 Na figura ao se representar o vetor V n o houve a preocupa o quanto sua escala Se o sistema n o fosse compat vel a superf cie dada n o seria cil ndrica 11 Determinar a reta que passa por P 1 5 3 e que d a dire o das geratrizes do cilindro x 3x z 3xz z z 2y 0 x 1 y 5 2 93 1 2 Resp r 12 Pergunta se se a equa o x y 27 2xz 2y2 3 0 representa uma superf cie cil ndrica Resp A equa o dada a de uma superf cie cil ndrica 13 Verificar se a equa o 3x 6x 3y yz 3 O representa uma superf cie cil ndrica Resp A equa o dada n o a de uma superf cie cil ndrica o sistema n o compat vel Veremos no pr ximo cap tulo que se trata de uma superf cie c nica D Jacir J Venturi 14 Calcule a diretriz no plano xy a geratriz e esboce o gr fico da superf cie cil ndrica 16x 7 8xz 48y 122 0 15 Achar a equa o da superf cie cil ndric
76. a ouseja y gt 4x Na hip rbole o quadrado y maior excesso em rela o igual dade que o ret ngulo x OBSERVA O Como figura de linguagem em nosso vern culo significa exagero excesso de umpensamento Exemplo Quando ele morreu as estrelas se transformaram em c rios para lhes velarem o sono e os oceanos se tornaram mais salgados porque eram tudo l grimas oportuno lembrar que a maioria esmagadora das palavras usadas em Matem ticas do grego Mathematike etimologicamente do grego etymologia prov m do latim do grego e do rabe Ami de tais palavras t m acep o bastante primitiva ou at bizarra Como em outras ci ncias a Matem tica apresenta formula es inicialmente t nues e difusas percorre umespinhoso trajeto at atingir a magnitude de seu desenvolvimento Na sua etiologia a Matem tica deve mais intui o e imagina o que raz o e l gica Alguns exemplos VETOR Q Vetor o partic pio passado do verbo latino vehere e significa levado transportado Assim na figura ao lado o ponto A levado 7 transportado at B atrav s do vetor V O conceito de vetor surgiu na mec nica com o engenheiro flamengo Simon Stevin o Arquimedes holand s Em 1586 apresentou em sua Est tica e Hidrost tica o problema da composi o de for as e enunciou uma regra emp rica para se achar a soma de duas for as aplicadas num mesmo ponto Tal regra a conhece
77. a Um a um os animais foram desistindo At que um deles se manifestou Oba Oba Eu tenho juba saltitou de alegria o mico le o dourado Voc n o vale Voc macaco rebateu de pronto o le o Moral da hist ria muitas vezes os crit rios s o estabelecidos ao sabor das conveni ncias Adaptado pelo autor Jacir J Venturi OS VERDADEIROS L DERESN OT MO APLAUSO DO SEU TEMPO MAS O T M DA HIST RIA Nas veias dos demagogos n o corre o leite da ternu ra humana e sim o vinagre da burrice ou o veneno da hipocrisia Roberto Campos 1917 2001 H governantes l deres comunit rios empres rios que v o al m do seu tempo deixando para tr s uma maioria m ope e reivindicadora T m postura de estadistas S o alvos da incompreens o maledic ncia isolamento e agress es Num movimento pendular sobre suas cabe as a espada de D mocles oscila entre o desagrad vel e o plaus vel este por m muitas vezes inconsequente Quando os bons dirigentes prop em mudan as encontram uma resist ncia feroz por parte de muitos e o apoio t bio de uns poucos Confortam se com o dever cumprido e com o julgamento da posteridade Sim a Hist ria essa ju za imparcial repara injusti as mas tem o p ssimo h bito de andar t o devagar que raramente alcan a os grandes l deres emvida H um descompasso entre o aplauso do seu tempo e o aplauso da Hist ria Destarte o populismo e a demagog
78. a o f x y O representa uma su perf cie cil ndrica cujas geratri zes t m adire o do eixo z A justificativa te rica do que se exp e procede do fato de que as geratrizes sendo para lelas ao eixo z t m a dire o do vetor v 0 0 n Destarte no de senvolvimento da teoria no in cio do presente cap tulo substitua o vetor v m n porv 0 0 n Importante A equa o f x y 0 apresenta uma dupla interpreta o No E f x y O representa uma curva no plano xy Il No E f x y O representa uma superf cie cil ndrica de gera f x y 0 Na verdade estar s bom quando a gente quer n o quando falta companhia Roberto Shinyashiki n 1952 psicoterapeuta e escritor Jacir J Venturi O OBSERVA O 1 A equa o x y 9 representa no E uma superf cie cil ndrica circular cuja diretriz um c rculo no plano xy centro na origem e R 3 e as geratrizes s o paralelas ao eixo z Enfatizando 2 2 al y 9 z 0 2 2 A superf cie Z 1 tem como diretriz uma elipse no plano xz com a 2 eb 1 e as geratrizes s o paralelas ao eixo y Destaque se que A superf cie Z 2y tem como di retriz uma par bola no plano yz e cujas geratrizes s o paralel
79. a o do tra o da qu drica x y z 9 esfera de a noplanoz 2 b no plano xy Representar graficamente Resp a b Z A UA 7 3 vam x 3 2 Bin 2 gt xX Y 5 circunt X Y 9 oircunt 04 A figura ao lado representa um parabol ide superf cie qu drica Consi derando as interse es com os eixos e planos cartesianos bem como o dom nio a sua equa o pode ser ax y z 9 0 b x 2y z 9 0 c x y z 9 0 d 2x y z 9 0 Jacir J Venturi 05 Tem se abaixo uma superf cie qu drica de equa o 2 X 44 2 4 elips ide Pedem se a as coordenadas dos pontos P Pe Ps b a equa o da curva c c aequa o da curva c d o estudo da simetria Resp a P 2 0 0 P gt 0 5 0 e P3 0 0 3 PaE elipse no plano xz beja 9 E y 0 L 2 elipse no plano xy c c2 4 25 Pe y 0 d a superf cie sim trica em rela o origem tamb m o em rela o aos eixos e planos cartesianos 06 Figura se no presente exerc cio uma superf cie qu drica de equa o L 1 hiperbol ide de duas folhas Pedem se a as coordenadas de P e Po b a equa o dacurvac c a equa o da curvac d a simetria em rela o aos eixos e planos coor denados e origem Resp C NICAS E QU DRICAS a P 0 V2 0 e P 0 V2 0 2 2 b C49 yY 1 hip rbole no plano xy x z dm S E 1 elipse
80. a o z x y representa umparabol ide conforme ilustra a figura acima Jacir J Venturi S rie B Quem quer fazer alguma coisa encontra um meio Quem n o quer fazer nada encontra uma desculpa Prov rbio rabe 06 Calcular as equa es cartesianas da curva dada por suas equa es param tricas x t 2 t 2 y 3 z t2 1 x2 4x 2 5 0 Resp x 3y 8 0 SUGEST O Da 1 equa o tem se t x 2 o qual substitu do nas outras duas equa es 07 Achar a equa o do lugar geom trico dos pontos do E cujas dist ncias ao ponto A 2 1 3 equivale ao triplo da dist ncia ao eixo y Resp 8x y 87 4x 2y 62 14 0 SUGEST O a Seja P x y z o ponto procurado b d P A 3d P y Jx 22 y 12 2 3 3 x2 z quadrando e desenvolvendo tem se a resposta veremos que esta superf cie qu drica representa umhiperbol ide de uma folha 08 Uma part cula se move de tal forma que a sua dist ncia ao eixo x igual a sua dist ncia ao plano z 3 Encontrar a equa o da trajet ria desta part cula Resp y 6z 9 0 qu drica C NICAS E QU DRICAS 09 Calcular a equa o do lugar geom trico gerado por um ponto que se desloca no E de tal modo que a soma das dist ncias aos pontosA 0 1 2 eB 1 3 0 5 Resp 96x 84y 847 60x 320y 280z 32yz 225 0 SUGEST O a Seja o ponto P x y z o ponto procurado b d P A d P
81. a com os anjos Certo dia com a voz t mida o garoto perguntou ao pai que acaba de chegar Papai quanto voc ganha por hora O pai surpreso desconversa O filho insiste Papai quanto voc ganha por hora O pai se aflige com a pergunta Passado algum tempo dirige se ao quarto do filho e o encontra deitado Filho voc est dormindo N o papai responde o garoto Querido eu ganho doze reais por hora O filho levanta se da cama abre a gaveta e conta doze notas de um real Abra a o pai com ternura e com os olhos cheios de l grimas pergunta Voc podemevenderumahoradoseutempo Esta conhecida singela e para alguns piegas hist ria enseja a medita o sobre a disponibilidade de tempo para os filhos Mais cedo do que se pensa os filhos compreender o a rdua luta pela sobreviv ncia profissional o necess rio cumprimento de suas obriga es no importante papel de provedores e que a dedica o ao trabalho fator de realiza o profissional modelo e exemplo de responsabilidade Busca se evidentemente a preval ncia do bom senso da medida do equil brio entre a vida profissional e a vida social e familiar Nesse contexto importa mais a qualidade do afeto do que a quantidade de tempo dispon vel aos filhos O abra o afetuoso o beijo estalado a imposi o de limites o di logo objetivo e adequado idade o acompanhamento do rendimento escolar a presen a nos moment
82. a de rota o que passa 1 y 2 z 2 0 1 Resp X 2Y 2 2XZ2 6X 8Y 62 5 0 pelo ponto A 2 0 1 e que tem para eixo areta r z SUGEST O A superf cie cil ndrica procurada circunscreve uma esfera de centro C ze cujo R d C A a C lculo do plano passa por A e perpendicular a r n 1 x 0 y 1 z d 0 MasA 7 1 2 0 0 1 1 d 0 gt d 3 m x 2 3 0 b Equa o da esfera C lculo de C ade x com r x 1 t y 2 z 2 1 c Substituindo as equa es param tricas de r na equa o de x obt m set 2eC 3 2 0 Por sua vez R d C A V6 Destarte a esfera tem equa o x 3 y 2 z 0 6 D C NICAS E QU DRICAS d Equa es param tricas das geratrizes paralelas a r x X t y Y z 2 t Substituindo as equa es param tricas acima na equa o da esfera obt m se uma equa o do 2 grau em t Condi o de tang ncia A b 4ac 0 3 SUPERF CIE CIL NDRICA DE GERATRIZES PARALELAS AOS EIXOS CARTESIANOS Teoria Abordaremos um tipo particular de superf cie cil ndrica com relevante interesse para o C lculo Diferenciale Integral No espa o tridimensional uma equa o cartesiana a duas vari veis representa uma superf cie cil ndrica cujas gera trizess oparalelas ao eixo da coordenada ausente trizes paralelas ao eixo z e curva diretriz d l Isto posto a equ
83. a efeito de exposi o e pr tica Racioc nio an logo pode ser adotado para a elipse para a hip rbole e para a circunfer ncia H tr s tipos de problemas 1 PROBLEMA A TANGENTE PARALELA A UMA RETA DADA r Pede se para calcular a equa o da tangente par bola y 2px e que seja paralela reta r y mx n A equa o da tangente y mx k onde k a constante a ser determinada Substitui se y mx k na equa o da par bola recaindo se numa equa o do 2 grau Para que a reta e a par bola tenham apenas um ponto em comum a equa o do 2 grau deve ter apenas uma solu o Destarte imp e se que o discriminante A da equa o do 2 grau seja nulo obtendo se k y 2px Exemplo Calcular a reta tangente par bola y x x 2 e que seja paralela reta r 3x y 3 0 RESOLU O a equa o reduzida de r y 3x 3 b equa o da tangente y 3x k 1 c levando Dna equa o da par bola 3x k x x 2 desenvolvendo e ordenando x 4x 2 k 0 d impondo a condi o de tang ncia A b 4ac 0 4 4 1 2 K 0 gt k 6 e resposta tg y 3x 6 Jacir J Venturi Exerc cios Todo o povo precisa de lideran a Ainda que n o acredite nela Ernest Junger fil sofo alem o 01 Equa o da tangente par bola y 16x 0 e paralela reta 2x y 6 0 Resp 2x y 2 0 2 2 02 Obter as equa es das tangentes elipse 6
84. a equa o can nica da par bola com v rtice na origem e cujo eixo de simetria o eixo y Na equa o x 2py observe que Se p gt 0 o par bola tem con Se p lt 0 a par bola tem con cavidade voltada para cima cavidade voltada para baixo voltada para a parte positiva do eixo y 4 IDENTIFICA O DA PAR BOLA a Uma equa o do tipo Ax By O representa uma par bola de v rtice na origem e eixo de simetria coincidente com o eixo y b Similarmente uma equa o sob a forma Ay Bx 0 represen ta uma par bola de v rtice na origem e eixo de simetria coincidente com o eixo x N B Oeixo de simetria da par bola hom nimo vari vel do 1 grau Por exemplo 1 A equa o y 5x ou y 5x 0 representa uma par bola com eixo de simetria coincidente com o eixo xe con cavidade voltada para a esquerda 2 Aequa o x Sy ou 2x 3y 0 denota uma par bola com eixo de simetria coincidente com o eixo y e con cavidade voltada para cima C NICAS E QU DRICAS Exerc cio Resolvido Gasta se menos tempo fazendo a coisa certa do que explicando por que a fizemos errado Henry W Longfellow 1807 1882 poeta americano Dada a par bola de equa o y 8x pedem se a as coordenadas do foco RESOLU O Sendo x o eixo de simetria ent o F 5 o A equa o y 8x da forma y 2px Comparando os coeficientes do 2 membro 2p 8 gt
85. adas Para construir o gr fico temos a 4 b 3 c 47 Coordenadas dos focos F 0 V7 e F 0 47 Coordenadas dos v rtices A 0 4 eA 0 4 B 3 0 eB 3 0 02 Obter a equa o da elipse com centro na origem do sistema cartesiano eixo focal coincidente com o eixo x que passa pelo ponto P 1 1 ecuja excentricidade igual Ta RESOLU O 2aje 2 32 gt anca 2 2 2t Mestf sato mat ja 5 gt a 2b 2 2 2 c Equa o can nica o 1 2d Comoa 2b e P 1 1 c LEL gt pise gt a 3 2b b 2 x y Ee a e ou x 2y 3 2 C NICAS E QU DRICAS 6 CONSTRU O DE UMA ELIPSE Leitura Complementar Discorramos sobre o chamado m todo do carpinteiro ou m todo A do jardineiro para dar forma f aos canteiros Sobre uma t bua cra va se dois pregos e fixa se os extremos de um barbante de comprimento 2a nos dois pre gos focos Estira se o barbante com um l pis e se move este lti mo at uma volta completa sem pre com o barbante tenso A figu ra ajuda o entendimento e obser ve que d P F d P F 2a a 2a A T APLICA ES PR TICAS DA ELIPSE Leitura Complementar a Atrajet ria dos planetas ao redor do Sol n o circular e sim el p tica n o considerando o deslocamento do sistema solar Foi Kepler 1571 1630 quem desenvolveu esta teoria No caso da Terra os semi eixos s o a 153 493 000 km e b 153 454 000 km Donde
86. aqualimp e se A 0 Resulta b 3 16 Pede se a equa o can nica da hip rbole que passa pelo ponto A 3 1 e que seja tangente reta x 2y 1 0 o eixo focal coincide com o eixo x e o centro com a origem do Sistema Cartesiano SUGEST O a equa o da hip rbole b A 3 1 hip rbole gt 9b b 1 Efetuando se recai se numa equa o do 2 grau onde o discrimi nante A deve ser nulo c na equa o da hip rbole substitui se x 2y 1 e a 17 Uma elipse passa pelo ponto P 2 2 1 e tangente reta 2x y 3 3 0 Achara equa o da elipse sabendo que seus eixos coincidem com os eixos coordenados e eixo focal x 2 2 Resp gt 1 12 3 Jacir J Venturi 2 PROBLEMA EQUA O DA TANGENTE POR UM PONTO EXTERNO A PAR BOLA YA tg Dados polar Po Xo Yo y 2px par bola A equa o da tangente tem a forma y yo M x Xo OU Y Yo M X Xo Levando se 1 na equa o da par bola recai se numa equa o do 2 grau Nesta impondo se que o discriminante A b 4ac seja nulo obt m se o s coeficiente s angu lar es m Os pontos P e P s o os pontos de contato das tangentes com a par bola A reta P P cognominada reta polar de P em rela o par bola Exerc cios Resolvidos Se deres as costas luz nada mais ver s sen o a tua pr pria sombra Z lkind Piateg rsky 01 Obter as equa es das tangentes
87. as ao eixo x Equa o da diretriz 2 af 2y x 0 Cumpre salientar como do seu conhecimento que especifica 2 mente no E as equa es x y 9 X 1 e z2 2y re 1 presentam c nicas respectivamente c rculo elipse e par bola C NICAS E QU DRICAS Exerc cios As mulheres foram feitas para serem amadas e n o compreendidas Oscar Wilde 1854 1900 escritor ingl s de origem irlandesa 01 Abaixo figura se uma superf cie cil ndrica circular cujas geratrizes s o paralelas ao eixo z Determine a equa o da superf cie cil ndrica e a equa o de sua diretriz Resp x y 6y 0 e d xX2 y2 6y 0 z 0 02 Representar a superf cie cil ndrica x 2 y 2 9 Resp A superf cie cil ndrica circular e tem por diretriz uma circunfer ncia no plano xy C 2 2 R 3 e geratrizes paralelas ao eixo z qlx 22 y 22 9 z 0 Jacir J Venturi 2 2 03 Representar a superf cie cil ndrica F T 1 e achar a equa o da diretriz Resp x Superf cie cil ndrica el ptica com geratrizes paralelas ao eixo z A diretriz uma elipse com centroem0 0 0 a 3eb 1 2 2 X Y L Equa o da diretriz dig z 0 04 Figurar a superf cie cil ndrica 2y 37 3 Resp Trata se de uma superf cie cil ndrica el ptica em que o
88. atiano Indubitavelmente Ren Descartes 1596 1650 considerado o pai da filosofia moderna pela sua obra Discours de la M thode publi cada em 1637 O terceiro ap ndice desta obra chama se La G om trie e uma aplica o da lgebra aos problemas geom tricos mas quase nada trata do que se entende hoje por Geometria Anal tica Segundo George Simmons La G om trie foi pouco lida ent o e menos lida hoje e bem merecidamente O autor C NICAS E QU DRICAS CAP TULO Transforma es de 2 coordenadas no E Uma vez conhecidas as coordenadas de um ponto ou a equa o de uma curva em rela o a um certo sistema de refer ncia trataremos neste cap tulo das novas coordenadas do ponto ou da nova equa o da curva em rela o a um novo sistema de refer ncia Assim a curva cuja equa o f x y O quando referida a um sistema de coordenadas carte sianas xOy transformar se numa equa o do tipo F x y 0 quando referida a umnovosistema de coordenadas cartesianas x O y Este novo sistema obtido atrav s de uma transla o de eixos e ou uma rota o de eixos Enfatize se que numa transforma o de coordenadas mediante uma rota o ou transla o n o afetada a forma da curva ou o gr fico da curva No entanto h altera o na equa o dacurva 1 TRANSLA O DE EIXOS y No plano cartesiano xOy considere um ponto O Xo Yo Introduza um novo sistema x O y tal que O seja a nova o
89. cia tem extremidades nas extremidades da latus rectum da par bola y 8y 8x 32 0 Pede se a equa o da circunfer ncia Resp x 4 y 4 16 22 Z ZIMO GON ALVES Deduzir a equa o da par bola de eixo vertical cujo foco o ponto F 1 3 e que passa pelo ponto P 3 6 Resp x 1 4 y 2 e x 1 16 y 7 C NICAS E QU DRICAS 8 EQUA O DA PAR BOLA DE V 0 x yo E CUJO EIXO DE SIMETRIA N O PARALELO A UM DOS EIXOS COORDENADOS A exist ncia do termo em xy numa equa o do 2 grau indica que o eixo de simetria se for par bola obl quo aos eixos coordenados Rememoremos o primeiro cap tulo quando se pretende eliminar termos do2 grau utiliza se a rota o do primeiro grau atransla o O exerc cio abaixo ilustra Exerc cio Obter a equa o can nica e tra ar o gr fico da par bola 9x 24xy 16y 34x 38y 51 0 RESOLU O a Ordem das transforma es 1 rota o B 4AC 24 4 9 16 0 E transla o b Rota o B 24 24 tg20 i A C 9 16 7 2t99 MM 12tg 0 7tg0 12 0 t igo 7 3 4 Ra zes tg90 e tg0 go z 90 3 Paratgo pst e send S 4 5 5 0 36 F rmulas de rota o x x cos0 y sen 0 3Y f 3x 4y D y x sen 0 y cos 0 5 Substituindo 1 na equa o dada e efetuando se pacientemente os c lculos decorrentes obt m se 25y 50x 107 51 0 Jacir J Venturi c Transla
90. cipam de a es comunit rias No entanto 71 gostariam de participar mas boa parte n o sabe como E imprescind vel que o jovem tenha sempre metas objeti vos para o dia para o m s para o ano e para a vida A a o organizada unida ao entusiasmo produz uma for a herc lea Mesmo trope ando em pedras que siga resoluto em dire o ao topo da montanha E em tudo que julgar importante que v al m da sua obriga o O voluntariado um dever de consci ncia social pr tica da cidadania e garantia de um futuro melhor para os nossos filhos Ademais uma gratificante terapia que cresce anual mente raz o de 20 no Brasil E para concluir belas e oportunas s o as palavras de Dalai lama A ajuda aos semelhantes lhe traz sorte amigos e alegrias Sem ajuda aos semelhantes voc acabar imensa mente solit rio O autor C NICAS E QU DRICAS CAPR mU O Superf cie Esf rica 1 INTRODU O No estudo anal tico os termos c rculo e circunfer ncia s o empregados sem a distin o que faz a Geometria propriamente dita Destarte reporta se equa o x a y B R como a equa o de uma circunfer ncia ou ent o de um c rculo de centro C o B e raio R Analogamente utilizar se indistintamente os termos esfera e superf cie esf rica Ipso facto empregaremos adiante indistintamente os termos cilindro e superf cie cil ndrica bem como cone e superf cie c nica 2 DEFINI O
91. com centro na origem do siste max O y e cujo raio 3 Parecem nos teis e pr ti cas as seguintes proprieda des que podem ser verifica das no exemplo acima Jacir J Venturi 1 Dada a equa o Ax Bxy Cy Dx Ey F 0 a transla o n o afeta os coeficientes dos termos do 2 grau A B C 2 Ap s uma transla o com O Xv Yo O novo termo inde pendente F pode ser obtido F AX Bxoyo Cy5 Dx Eyo F EXEMPLIFIQUEMOS Na equa o 5x 6xy 5y 4x 4y 8 0 os termos do 1 grau s o eliminados quando feita uma transla o para O 1 1 Em rela o ao sistema x O y anova equa o ter a forma 5x 6x y 5y F 0 Mas F 5 1 6 1 1 5 1 4 1 4 1 8 4 Resp 5x 6x y 5y 4 0 b Pormeiodeumarota oeliminarotermoemxy Dada a equa o Ax Bxy Cy Dx Ey F 0 1 o termo em xy pode ser eliminado mediante uma rota o de eixos correspon dente a um ngulo O tal que tg20 TE para A C DEMOSTRA O a F rmulas de rota o x X cos 8 y sen 0 y x sen 0 y cos 0 2 b Substituindo em O A x cos 0 y sen 6 B x cos 0 y sen 8 x sen 0 y cos 0 C x sen6 y cos6 0 ordenando os termos emx y ex y A cos 6 B sen 0 cos 0 C sen 0 x 2A sen 8 cos O B cos 6 sen 0 2C sen O cos 0 x y A sen 0 B sen 0 cos60 C cos 0 y 0 O termo em
92. da Rep blica mantenha a sanidade da moeda A infla o de acordo com a tese publicada por Joelmir Beting a principal motivadora de desigualdades Um massacre social consentido que durou 30 anos 1 1 quatrilh o por cento de infla o no per odo de 1964 a 1994 N o tendo conta em banco os mais pobres n o podiam usufruir dos benef cios da corre o monet ria Do autor Jacir J Venturi CA RETO Superf cie Cil ndrica 1 DEFINI O Superf cie cil ndrica ou cilindro a superf cie gerada por uma reta m vel denominada geratriz que se ap ia sobre uma curva fixa denominada diretriz conservando se paralela a uma dire o dada Na figura ao lado tem se Diretriz a diretriz d representada por uma curva plana fixa no E A diretriz dada pela interse o de 2 superf cies a Y a 0 fo x y Z 0 Geratriz a geratriz g a reta m vel cuja dire o a do vetor v m n e que desliza sobre a diretriz mantendo a sua dire o Na figura limitou se o comprimento das geratrizes mas deve ficar entendido que elas se prolongam indefinidamente A superf cie cil ndrica pode ser circular parab lica el ptica ou hiperb lica conforme a diretriz seja um c rculo uma par bola uma elipse ou uma hip rbole Em particular se a diretriz for uma reta a superf cie cil ndrica umplano 2 EQUA O DA SUPERF CIE CIL NDRICA Retornando figura considere P X Y Z u
93. da a equa o 3x xy 2y 12x 2y 12 0 pede se para identificar a c nica e calcular as equa es das retas RESOLU O Uma vez que A 0 e B 4AC 1 4 3 2 gt 0 corrobora se que a equa o representa um par de retas concorrentes C lculo das equa es das retas concorrentes Ordenando a equa o segundo a vari vel x poder se ia optar pela vari vel y 3x y 12 x 2y 2y 12 0 Aplicando se a f rmula de Bh skara ge metra hindu s c XII y 12 y 12 4 3 2y 12y 12 6 ou y 12 5y 6 X Adotando o sinal negativo e positivo obt m se respectivamente r x y 2 0 Resp s 3x 2y 6 0 2 Identificar a c nica x 2xy y 2x 2y 1 0 RESOLU AO a C lculo do determinante A A equa o da c nica fornece A 1 B 2 C 1 D 2 E 2eF 1 2A B D 2 2 2 A B 2C E 2 2 2 0 D E 2F 2 2 2 b C lculo do discriminante B 4AC 2 4 1 1 0 A c nica representa umreta ou umparderetasparalelas c C lculo da s equa o es da s reta s Ordenando a equa o segundo a vari vel x ou poder se ia optar pory x 2y 2 x y 2y 1 0 O C NICAS E QU DRICAS Aplicando se a f rmula de Bh skara _ 2y 2 2y 2 4 1 y 2y 1 x 2 ou e ou rix y 1 0 Resp d gr fico N B Uma vez que se efetue o produto x y D x y 1 0 obter se a equa o da c nica dada X 2xy y 2x 2y 1 0 3 Identificar a c n
94. defini es axiomas teoremas e pro vas segundo o qual a estrutura intrincada da Geometria obtida de um pequeno n mero de afirma es explicitamente feitas e da a o de um racio c nio dedutivo rigoroso George Simmons grande celeuma instalou se entre os disc pulos de Pit goras a respeito da irracionalidade do J2 Utilizando nota o alg brica a equa o x 2 n o admitia solu o num rica para os pitag ricos pois estes s admi tiam os n meros racionais Dada a conota o m stica atribu da a J2 comenta se que quando o infeliz Hipasus de Metapontum prop s uma solu o para o impasse os outros disc pulos o expulsaram da Escola e o afogaram nomar C NICAS E QU DRICAS na Astronomia id ias inovadoras embora nem sempre verdadei ras a Terra esf rica os planetas movem se em diferentes velocidades em suas v rias rbitas ao redor da Terra Pela cuidadosa observa o dos astros cristalizou se a id ia de que h uma ordem que domina o Universo aos pitag ricos deve se provavelmente a constru o do cubo tetraedro octoedro dodecaedro e a bem conhecida se o urea na M sica uma descoberta not vel de que os intervalos musicais se colocam de modo que admitem express es atrav s de propor es arit m ticas 2 3 4 No entanto Pit goras deve ser considerado uma figura imprecisa historicamente j que tudo o que dele sabemos deve se tradi o oral Nada deixou escri
95. dependente F permanece imut vel Em particular para o c lculo do ngulo 6 que elimina o termo em xy maispr tica a aplica o da f rmula B tg 20 0 lt 0 lt 90 g20 5 N B Se A C ent o 0 45 F rmulas de rota o de eixos x X cos 9 y sen 6 y x sen 0 y cos 0 Jacir J Venturi Exemplos Resolvidos Em cada cora o humano h um tigre um porco e um rouxinol Ambrose G Bierce 1842 1914 jornalista e escritor norte americano 01 Dada a equa o x 3xy y 10x 10y 5 0 pede se para a identificar a c nica b achar o centro ou o v rtice c calcular a equa o can nica d construir o gr fico RESOLU O a Identifica o da c nica B 4AC 3 4 1 1 5 gt 0 A c nica uma hip rbole OBSERVA O Ordem das transforma es 1 transla o Se B 4AC 570 i 2 rota o b C lculo do centro F rmulas de transla o o y y y Substituindo na equa o dada Xo X 3 X Yo Y Yo y 10x9 X 10yo y 5 0 x fazendo o coeficiente de x 0 2X0 3y0 10 0 fazendo coeficiente de y O 3xo 2y0 10 0 Resolvendo o sistema acima obt m se x 2ey0 2 O centro da c nica O 2 2 Como na transla o para a nova origem O 2 2 s o elimina C NICAS E QU DRICAS dos os termos do 1 grau resulta na equa o x 3xy y F 0 onde F 2 3 2 2 2 10 2 10 2 5 15 Destarte
96. do que os ltimos 17 anos passou em total cegueira consequ ncia de catarata Mesmo assim continuou ditando aos seus filhos eram 13 Euler se ocupou com praticamente todos os ramos ent o conhecidos da Matem tica a ponto de merecer do franc s Fran ois Arago o seguinte coment rio Euler calculava sem qualquer esfor o aparente como os homens respiram e as guias se sustentam no ar Em 1748 publica sua principal obra com o t tulo latino Introductio in Analysis infinitorum Introdu o An lise Infinita considerada um dos marcos mais importantes da An lise como disciplina sistematizada Destarte Euler recebeu a alcunha de An lise Encarnada A solu o dos s mbolos mais adequados foi acontecendo naturalmente ao longo de d cadas ou s culos sob a gide da praticidade e do pragmatismo E evidente por m que pouco se pode afirmar com precis o nesta evolu o Alguns exemplos S MBOLO DE O primeiro a empregar o s mbolo de para a adi o em express es aritm ticas e alg bricas foi o holand s V Hoecke em 1514 H historiadores por m que creditam tal m rito a Stifel 1486 1567 Uma explica o razo vel que at ent o a adi o de dois n meros por exemplo 3 2 era representada por 3 et 2 Como passar dos anos a conjun o latina et que significa e foi sincopada para t donde se originou o sinal de S MBOLO DE Pode ter sido fruto da evolu o abaixo exposta conforme se
97. e o ponto onde a tangen te par bola paralela base Ainda neste mesmo tratado o ilustre siracusano foi provavelmen te o primeiro a saber e provar que a rea da esfera 41R em nota o atu al No livro O Equil brio de Planos trata do centro de gravidade de figuras s lidas e planas tri ngulo trap zio segmento de par bola etc No tratado Dos Con ides e Esfer ides Arquimedes obt m a rea de uma elipse S nab e descreve s lidos de revolu o gerados por par bolas elipses e hip rboles em torno de seus eixos qu dricas de revo lu o O tratado Sobre Espirais descreve a curva hoje conhecida como Espiral de Arquimedes em coordenadas polares tem equa o p k6 e pela primeira vez determina a tangente a uma curva que n o seja o c rculo De forma in dita Arquimedes apresenta os 1 conceitos de limi tes e c lculo diferencial APOL NIO DE PERGA 262 190 a C Parece ter se considerado um cordial rival de Arquimedes e muito pouco se sabe de sua vida Nasceu em Perga sul da sia Menor em data desconhecida Sup e se ter sido educado em Alexandria e por algum tempo ter ensinado em sua Universidade Gra as ao apoio de Lis maco general de Alexandre transferiu se para P rgamo donde a palavra perga C NICAS E QU DRICAS minho onde havia uma biblioteca e uma Universidade s inferiores s de Alexandria Apol nio e n o Euclides mereceu dos antigos e
98. e a 4x y 4 d Gr fico y A equa o 5x 6xy 5y 8 0 x foi transformada na equa o 4x y 4 mediante uma rota o de 0 45 Veremos que a equa o 45 transformada de longe muito mais f cil de se representar graficamente xY OBSERVA O Par bola elipse e hip rbole ser o estudadas nos tr s pr ximos cap tulos Didaticamente merece ressalvas a postura de se repor tar a uma curva que ainda n o foi apresentada Justifiquemos 1 As equa es mais simples ditas can nicas da par bola elipse e hip rbole fazem parte do conte do program tico do Ensino M dio 2 Nosso escopo no presente cap tulo n o enfatizar o gr fico da curva e sim a rota o e ou transla o de eixos cartesianos Jacir J Venturi Exerc cios Deus d a todos uma estrela uns fazem da estrela um sol Outros nem conseguem v la Helena Kolody poeta e escritora paranaense 01 Transformar a equa o x 4y 2x 16y 5 0 por meio de uma transla o de eixos considerando a nova origem no ponto 1 2 Resp x 4y 12 0 02 Por meio de uma rota o de eixos de amplitude Frad trans formar a equa o x y 4 Resp x y 2 03 Obter a nova equa o da reta 3x 4y 10 O quando se efe tua uma rota o de eixos de amplitude 0 sabendo se que sen 6 Resp y 2 0 04 Por meio de uma rota o de eixos de amplitude 0 30 trans formar a equa
99. e a crian a ame mais os pais Ao contr rio ela os amar menos porque come ar a perceber que eles n o lhe deram estrutura se sentir menos segura menos protegida para a vida Quando os pais deixam de punir convenientemente os filhos muitas vezes pensam que est o sendo liberais Mas a nica coisa que est o sendo irrespons veis 2 Transmitir valores O filho precisa de um projeto de vida Desde pequeno importante o desenvolvimento de valores intrapessoais como tica cidadania respeito ao meio ambiente auto estima ensejando adultos flex veis e vers teis que saibam resolver problemas que estejam abertos ao di logo s mudan as e s novas tecnologias 3 Valorizar a escola e o estudo Os educadores erram sim E os pais tamb m Pequenas diverg ncias entre a Escola e a Fam lia s o aceit veis e qui salutares uma vez que educar conviver com erros e acertos O filho precisa desenvolver a toler ncia a pondera o prepa rando se para uma vida na qual os conflitos s o inevit veis Ensinar lhe que o mundo diverso masn oadverso C NICAS E QU DRICAS No entanto na ess ncia deve haver entendimento entre pais e educadores O filho como um p ssaro que d os primeiros v os Fam lia e escola s o como duas asas se n o tiverem a mesma cad ncia n o haver uma boa dire o para o nosso querido educando 4 Dar seguran a do seu amor Importa mais a qualidade do afeto que a
100. e chuva para proteger seus 40 000 espectadores Diante da tribuna imperial os gar bosos gladiadores romanos desfilavam antes da luta e proferiam em alto e bom som Ave Caesar morituri te salutant Salve C sar os que v o mor rerte sa dam Exerc cios As paix es s o loucas por m n o precisam ser burras Alberto Goldin n 1940 psicanalista argentino 01 D as equa es das elipses cujos gr ficos s o representados abaixo C NICAS E QU DRICAS 02 Calcular a dist ncia focal de uma elipse cujo eixo maior mede 10e cujo eixomenor mede 8 Resp 2c 6 03 Equa o can nica da elipse com centro na origem eixo focal sobre o eixo y e cujamedida do eixomaior 5 e do eixomenor 2 2 2 Resp XJ i 4 25 04 Calcular a excentricidade da elipse 25x 16y 400 3 Resp P 5 SUGEST O Calcule inicialmente a equa o can nica dividindo todos os ter mos por 400 25x y 16y 400 400 05 A rbita da Terra uma elipse e o Sol ocupa um dos focos Sabendo que o semi eixo maior tem 153 493 000 km e que a excentricida de de 0 0167 calcular a menor e a maior dist ncia da Terra ao Sol Resp 150 929 660 km 156 056 330 km 06 Determinar os pontos de intersec o da elipse 9x 4y 25 com os eixos cartesianos Resp 20 E e g 3 3 2 2 07 Pede se a equa o da elipse que passa pelos pontos 2 0 2 0 e 0 1 2 2 Res O aa p 4 1 Jacir J V
101. e se a s equa o es resultante s 01 2X xy y 7x y 6 0 Resp umparderetasinterceptantes x y 2 0 e 2x y 3 0 02 25x 30xy 9y 10x 6y 1 0 Resp umareta 5x 3y 1 0 03 3x 3y 10xy 2x 14y 13 0 Resp hip rbole 04 15x 20xy 7x 4y 2 0 Resp umparderetasconcorrentes 5x 1 0e3x 4y 2 0 Jacir J Venturi 05 16x 9y 24xy 68x 74y 41 0 Resp par bola 06 x y 2x 10y 26 0 Resp umponto P 1 5 07 25x 14xy 25y x 3y 3 0 Resp uma elipse 08 4x 4xy y 6x 3y 2 0 Resp duas retas paralelas 2x y 1 0e2x y 2 0 09 Pede se o valor de k para que a equa o x kxy 2y x 2 0 represente duas retas concorrentes Resp k 3 10 xX 2xy 2y 6y 9 0 Resp umponto P 3 3 11 5xX 4xy y 16x 4y 20 0 Resp umponto P 4 6 HUMOR Ap s quase uma dezena de bons livros publicados na rea da Matem tica encontramos em Curitiba o amigo Nilson J Machado no lan amento do bel ssimo livro de poesia Plantares Sentindo a nossa surpresa pela mudan a de rea devolveu Meu caro depois dos 50 anos da cintura para cima poesia da cintura para baixo s prosa Q C NICAS E QU DRICAS VOC PODE ME VENDER UMA HORA DO SEU TEMPO Todo dia o mesmo ritual o pai extenuado chega noite em casa ap s um duro dia de trabalho Seu filho com os olhos cheios de admira o abra a o trocam algumas palavras sobre a escola e se despedem com beijos na face o boa noite e o durm
102. e superf cie Pseudaria Porismas que pode ter representado algo pr ximo da nossa atual Geometria Anal tica Precipuamente lamenta se o desaparecimento de AS CONICAS de Euclides que conforme refer ncias deve ter tratado de C NICAS E QU DRICAS esfera cilindro cone elips ide parabol ide hiperbol ide etc A Biblioteca de Alexandria estava muito pr xima do que se enten de hoje por Universidade E se faz apropriado o depoimento do insigne Carl B Boyer em a Hist ria da Matem tica A Universidade de Alexandria evidentemente n o diferia muito de institui es modernas de cultura superior Parte dos professores provavelmente se notabilizou na pesquisa outros eram melhores como administradores e outros ainda eram conhecidos pela sua capacidade de ensinar Pelos relatos que pos su mos parece que Euclides definitivamente pertencia ltima categoria Nenhuma descoberta nova atribu da a ele mas era conhecido pela sua habilidade ao expor Essa a chave do sucesso de sua maior obra Os Elementos ARQUIMEDES 287 212a C A genialidade de Arquimedes como f sico matem tico s com par vel com Isaac Newton no s c XVIII Sua produ o completamente original e muito vasta incluindo Geometria Plana e S lida Astronomia Aritm tica Mec nica e Hidrost tica Nasceu na ilha grega da Sic lia na cidade de Siracusa Quando jovem estudou em Alexandria o templo do saber da poca com os disc pulos
103. e um engenho que consis tiaemumblococompoliasecordas Relata C cero que Arquimedes construiu um empolgante meca nismo hidr ulico com esferas m veis que representavam o Sol a Lua os cinco planetas conhecidos podendo se observar as fases e os eclipses da Lua Enfim umpequeno planet rio A grandeza tamb m semanifesta naMatem tica No tratado Sobre as Medidas do C rculo Arquimedes em um c rculo dado inscreveu e circunscreveu um pol gono de 96 lados e obteve a f rmula para o c lculo da rea do c rculo e por muitos s culos o mais acertado valor para 1 OBSERVA O A obten o da rea do c rculo atrav s de pol gonos ficou conheci da como a quadratura do c rculo Apenas guisa de ilustra o o s mbolo 7 n o foi usado na antig idade grega no sentido atual A introdu o do s mbolo s aconteceu em 1706 por William Jones umamigo de Newton Jacir J Venturi A letra x a inicial da palavra grega TEpLpEpELO que significa periferia circunfer ncia Sabemos que 7 3 1415926535 um n mero irracional Em 1988 o japon s Yasumasa Kanada conse guiu calcular o mx com 200 milh es de casas decimais O super computador da poca usado por Y Kanada levou apenas 6 horas para fazer os c lculos No tratado a Quadratura da Par bola Arquimedes demonstra que a rea contida por um par bola S e uma reta transversal sda rea do tri ngulo S com a mesma base e cujo v rtic
104. e uma de suas ass ntotas a reta 3y V11x 0 Determine a equa o da hip rbole sa bendo se que o eixo real coincide com o eixo y e o centro est na origem do sistema cartesiano Resp 9y 11x 25 SUGEST O a Equa es das ass ntotas 3y v11 x 0 e 3y v11x 0 b Equa o da hip rbole 3y V11 x 3y v11 x k ou 9y 11x k c Pe hip rbole k 25 11 Calcular os pontos de intersec o da par bola y 3x coma 2 2 hip rbole Lo oi 5 20 Resp 2 6 2 V6 10 V30 10 30 Jacir J Venturi 9 EQUA O DA HIP RBOLE CUJO CENTRO O x yo E CUJOS EIXOS S O PARALELOS AOS EIXOS COORDE NADOS a O eixo real paralelo ao eixo x A equa o da hip rbole referi da ao novo sistema x O y 12 x y apo O Como h transla o de eixos x X X E ma Levando 2 em x xo y yo 2 pP m o Adotando um racioc nio an logo ao caso l a hip rbole ao lado figurada tem equa o Vu eo 11 a b Em I e Il eliminando os denominadores desenvolven do os produtos not veis e orde nando as vari veis a equa o de hip rbole tem a forma da equa o do 2 grau Ax Cy Dx Ey F 0 em que A e C s o n o nulos e diferem emsinal Ademais quando a hip rbole tem o centro em O Xo Yo as ass nto tas passar o por esse ponto e ter o por equa es y yo t gt x x paraa hip rbole 1 ou x x paraa hip
105. elador de oportunidades entre ricos e pobres O gueto tecnol gico e a estrutura de desigualdades s cio educacionais entre os pa ses permanecem inalterados Aprender como parto uma coisa linda mas d i ensina Pedro Demo E n o barato Ademais para retirar uma comunidade do atraso n o basta o aporte substancioso de recursos tecnol gicos e financeiros Requer pessoas comprometidas e altru stas para alterar a cultura e o status quo de lat ncia apatia e sem iniciativas Requer professores motivados entusiasmados com disposi o alegre e com vis o hol stica Sem isso exigir que a comunidade levante seu corpo puxando os pr prios cabelos Do Autor Jair J Venturi es Superf cie C nica 1 DEFINI O Superf cie c nica ou cone a superf cie gerada por uma reta m vel denominada geratriz passante por um ponto fixo v rtice e que se ap ia numa curva dada diretriz A diretriz d representada por uma curva plana fruto da interse o de duas superf cies d fi x y 2 0 fo x y 2 0 Sendo a diretriz uma circunfer ncia uma par bola uma elipse ou uma hip rbole ter se respectivamente uma superf cie c nica circular parab lica el ptica ou hiperb lica Quando a diretriz for uma reta a superf cie c nica se degenera num plano O v rtice separa a superf cie c nica em duas partes distintas denominadas folhas e que s o opostas pelo v rtice Em nome da simplifica o os co
106. enses octoplicaram o volume do altar Pois paraa 1 gt V 1 1 paraa 2 gt 5V w 2 8 A complexidade do problema deve se ao fato de que os gregos procuravam uma solu o geom trica E mais um complicador com r gua sem escala e compasso Ainda no s culo IV a C o ge metra grego Menaecmus que juntamente com Plat o foi professor de Alexandre o Grande resolveu o problema com o tra ado de uma par bola e de uma hip rbole Hodiernamente tal solu o facilmente compreens vel atrav s da Geometria Anal tica Menaecmus obteve geometricamente o ponto de interse o da par bola x 2y com a hip rbole xy 1 A solu o x 32 Foi relativo o sucesso de Menaecmus entre os seus compatriotas n o se valeu de r gua sem escala e compasso apenas A solu o deste problema trivial com os recursos da lgebra procura se a aresta x de um cubo cujo volume seja o dobro do volume de umcubodea 1 V a 2 am x 2 1 di Ei x 3 2 126 OBSERVA O Em 1837 o franc s Pierre L Wantgel demonstrou que o problema deliano n o admite solu o com uso de r gua e compasso apenas Com somente 23 anos Wantzel engenheiro da prestigiosa Ecole Polytechnique p s fim a discuss es de quase dois mil nios Em seu excelente livro O Romance das Equa es Alg bricas ed Makron Books Gilberto G Garbi descreve que esta limita o de apenas dois instrumentos espelhava o conceito de eleg ncia com que os gregos tratava
107. enturi 08 Equa o can nica da elipse com centro na origem eixo focal sobre o eixo x que passa pelo ponto A 242 1 e de excentricidade E 2 2 2 Resp paes 10 5 09 Calcular a equa o can nica da elipse de centro na origem focos no eixo das abscissas e sabendo que passa pelo ponto A V15 1 e seu semi eixomenor 2 2 2 Resp ZY 20 4 10 Um elipse tem o centro na origem eixo focal sobre o eixo x passa pelo ponto A 1 1 e tem um foco em F O Calcular a ex centricidade da elipse 2 Resp 2 11 Uma elipse tem os focos em F 3 0 e F 3 0 e excentri cidade igual a 0 5 Forne a a sua equa o e a sua rea S da Geometria S rab x y Resp 1 e S 18V3 tu a P 36127 12 Um arco uma semi elipse e o eixo maior o v o Se este tiver 40 m e a flecha 10 m calcular a altura do arco a 10 m do centro da base Resp 54 3 m C NICAS E QU DRICAS S rie B 13 Determinar o comprimento da corda que a reta x 4y 4 deter mina sobre a elipse x 4y 16 8v17 Resp gt 2 5 SUGEST O a Para se obter os pontos de intersec o da elipse com a reta basta resolver o sistema PT x 4y 16 donde se obt m P 4 0 e p8 5 5 b O comprimento da corda ad P P 2 2 14 Determinar os pontos de intersec o da elipse Ea a comaretay 2x 3 4 9 Resp P 0 3 e P el 25 25 15 Dois dos v rtices de um pol gono de
108. equa o y 4x 6y 5 0 se transfor ma na equa o y 4x 0 mediante uma transla o de eixos sendo a nova origem O 1 3 Ademais observe que a curva par bola inter cepta o eixo das abscissas no ponto x 3 basta fazery 0 na equa o y 4x 6y 5 0 Similarmente corta o eixo das ordenadas nos pontos 1 e 5 basta fazer o x O na equa oy 4x 6y 5 0 09 Transformar a equa o 4X y 4xy 8 5x 16 5y 0 numa equa o do tipo Ay Bx 0 Resp y 8x 0 C NICAS E QU DRICAS SUGEST O a Ordem das transforma es B 4AC 0 l 1 rota o 2 transla o b ngulo de rota o A Ec ndo RR A C 3 J5 J5 P x 2y 2x y c F rmulas de rota o x gt e y 5 5 d Substituindo as f rmulas de rota o na equa o dada obt m se y 8x 0 Como esta a forma pedida n o h necessidade de transla o A rota o de per si eliminou os termos x xy e y A DIF CIL ARTE DE EQUILIBRAR AFETO E LIMITES A estrutura b sica do ser humano n o a raz o e sim o afeto ensina apropriadamente Leonardo Boff autor de 72 livros e renomado intelectual brasileiro Realmente quanto mais tecnol gico se torna o mundo hodierno maiores s o as demandas por valores humanos e afetivos Recente pesquisa patrocinada pela UNICEF mostra que para 93 dos jovens brasileiros a fam lia e a escola s o as institui es mais impo
109. er nada quando se pode fazer pouco 01 Equa o da par bola com foco em F 2 0 e com diretriz emx 2 Resp y 8x 02 Determinar a equa o da par bola de concavidade voltada para cima que passa pelo ponto A 1 2 e cujo v rtice V 0 0 Resp 2xX y 0 SUGEST O A 1 2 x 2py gt 1 2p 2 gt p Ent o x A3 y 4 O C NICAS E QU DRICAS 03 Obter as coordenadas do foco e a equa o da diretriz da par bola 7y 3x 0 Fazer o gr fico y d 3 Resp F 0 rela d 28x 3 0 xy 04 Calcular o valor de k para que a par bola x ky tenha foco no ponto 3 0 A Resp k P 12 05 Achar a equa o de uma par bola de v rtice na origem que passa pelo ponto 3 2 e cujo eixo de simetria o eixo x Resp 3y 4x 0 06 Calcular os pontos de intersec o ou interse o da par bola y 4xcomaretar 4x 2y 3 0 Resp P 5 1 e P 53 4 4 SUGEST O b resolva o sistema y 4x 4x 3 1 Jacir J Venturi 07 Obter os pontos de intersec o das par bolas abaixo repre sentadas E Resp O P O O D 7 EQUA ES DA PAR BOLA DE V 0 Xv Yo a O eixo de simetria paralelo ao eixo x Atrav s de uma transla o de eixos obtemos um novo sistema x O y cuja ori gem O coincide com o v rtice V Xo Yo Face o exposto a equa o da par bola referida ao novo sis
110. ermat tinha a Matem tica como um hobby e mesmo assim foi considerado por Pascal o maior do seu tempo Desafiou a t mpera racional de muitas gera es de matem ticos com o notabil ssimo ltimo Teorema de Fermat s margens da Arithm tica de Diofanto Fermat escreveu N o desenvolvo aqui a demonstra o deste teorema por falta de espa o ver p g 33 do nosso livro lgebra Vetorial e Geometria Anal tica Dedicou se aos pensado res cl ssicos e matem tica grega e segundo Carl B Boyer a obra As C nicas de Apol nio foi uma das obras favoritas de Fermat Coube a Pierre de Fermat 1601 1665 a descoberta das equa es da reta e da circunfer ncia e as equa es mais simples da elipse da par bola e da hip rbole Aplicou a transforma o equivalente atual rota o de eixos para reduzir uma equa o do 2 grau sua forma mais sim ples cristalina em Fermat a percep o de uma Geometria Anal tica a tr s dimens es Mas se o problema proposto envolve tr s inc gnitas deve se achar para satisfazer a equa o n o apenas um ponto ou uma curva mastodaumasuperf cie oportuno observar que a usual denomina o sistema cartesia no Cartesius a forma latinizada de Descartes anacr nica historica mente pois sua obra n o cont m eixos perpendiculares eixos obl quos nem tampouco a equa o de uma reta Por m rito o sistema cartesiano Jacir J Venturi deveria denominar se sistema ferm
111. erta nova atribu da a ele mas era conhecido pela sua habilidade ao expor Essa a chave do sucesso de sua maior obra Os Elementos Jacir J Venturi Alexandria a partir de Euclides at o s c IV d C reinou quase absoluta n o s como a mais ecl tica e cosmopolita cidade da antig idade mas tamb m como principal centro da produ o matem tica Em 640 d C o califa Omar mandou que fosse queimados todos os livros da Biblioteca sob o argumento de que ou os livros cont m o que est no Alcor o e s o desnecess rios ou cont m o oposto e n o devemos l los Por sua vez Arquimedes 287 212 a C legou nos uma original e vast ssima produ o emGeometria Plana e S lida Arquimedes nasceu e foi morto em Siracusa na ilha grega de Sec lia Quando jovem estudou em Alexandria com os disc pulos de Euclides A genialidade de Arquimedes como f sico matem tico s compar vel com Isaac Newton no s c XVIII H dois tratados de Arquimedes que apresentam uma extraordin ria profundidade emrela o aos s lidos de revolu o Sobre con ides e esfer ides descreve s lidos de revolu o gerados por elipses par bolas e hip rboles em torno dos seus eixos qu dricas de revolu o Ademais neste tratado Arquimedes obt m a rea de uma elipse S nab Sobre esfera e cilindro cont m demonstra es rigorosas do c lculo do volume e da rea dos referidos s lidos Vai al m estuda as reas e
112. esp x 2 24 y 2 a a equa o da forma SUGEST O x 2 2p y 2 b mas B 6 Ipl 12 02 Equa o da par bola com v rtice em 1 3 efocoem 1 2 Resp x 1 4 y 3 03 Equa o da par bola com foco em F 1 3 e diretriz de equa o y 1 Resp x 1 8 y 1 04 Calcular o v rtice o foco e a diretriz da par bola x 2 4 y 8 Resp V 2 8 F 2 7 d y 9 0 C NICAS E QU DRICAS 05 Qual a equa o do conjunto de pontos P x y que s o equidistantes da reta y 3 e do ponto F 0 0 Resp xX 6y 9 0 SUGEST O Pelo enunciado d P P d P F 06 Determinar a equa o da par bola abaixo representada e a equa o de sua diretriz Resp y 1 4 x 1 d Jacir J Venturi 07 Obter a equa o da par bola com eixo de simetria paralelo ao eixo y v rtice em 1 3 equepassapeloponto 2 4 Resp xX 2x y 4 0 SUGEST O a Equa o da par bola x 1 2p y 3 b P 2 4 par bola 2 1 2p 4 3 gt lpl 08 A par bola abaixo configurada tem equa o x 5x y 6 0 Achar as coordenadas dos pontos A B eC C NICAS E QU DRICAS 09 Um esguicho posicionado na origem lan a gua e esta descreve uma par bola de V 1 5 Calcular a altura h do filete de gua a uma dist ncia 1 5 m da origem sobre uma horizontal Ox Resp 3 5m S rie B Deus nunca nos d tudo Mas tamb m n o nos priva de tudo
113. ess o funcionou t o bem que perdurou praticamente inalterado at 1811 quando outro alem o Friedrich Koenig substituiu a mesa de press o por um cilindro com acionamento a vapor e capaz da fant stica tiragem de 1 100 c pias por hora Gutenberg dedicou um ano e meio para imprimir 200 lind ssimas B blias de 1282 p ginas escritas em latim utilizando tipos g ticos com iluminuras Sobreviveram apenas 12 impressas empergaminho Tive a ventura de conhecer um exemplar na mans o de Huntington em Los Angeles Confesso que fiquei extasiado diante de sua beleza pl stica e gr fica Obra de artista e g nio Henry Huntington adquiriu esta preciosidade em 1919 pela bagatela de US 50 000 Quanto vale hoje perguntei N o h dinheiro que remova essa raridade respon deu solicitamente a diretora da Huntington Library Com a imprensa o mundo sofreu uma vigorosa transforma o e de pronto influiu extraordinariamente sobre o Renascimento Tamanho foi o alcance e a influ ncia da tipografia de Gutenberg que foi considerada a maior revolu o tecnol gica do mil nio pois propiciou a democratiza o do conhecimento com impress o emescala de livros e jornais Nessa poca a Europa possu a cerca de 50 milh es de habitantes S 15 sabiam ler pois raramente conseguiam livros O engenho de Gutenberg se propagou espantosamente e fez dobrar em poucos anos o n mero de europeus alfabetizados Em1500 j circulavameiomilh o de l
114. gato abocanhando lhe a um s golpe Ainda assim o rato conseguiu perguntar Desde quando voc bicho que late Aresposta do gato foi contundente Nestes tempos de globaliza o quem n o fala duas l nguas morre de fome C NICAS E QU DRICAS AVOLUNTARIOTERAPIA O trabalho volunt rio para mim uma prece silenciosa Deveis encontrar uma causa generosa qual sacrificareis tempo e dinheiro porque assim que conhecereis a alegria de dar Mais do que vossas posses quando derdes de v s pr prios que realmente dais Gibran Khalil Gibran 1893 1931 poeta escritor e fil sofo liban s Quem volunt rio n o s d recebe muito mais proclama Zilda Arns A entidade que esta senhora sempre coma apar ncia feliz preside a Pastoral da Crian a com posta por 150 000 volunt rios e atende a mais de um milh o de fam lias aom dico custo de R 0 87 por crian a m s Mais surpreendente e encantadora a alegria com que estes volunt rios praticam e relatam suas atividades S o pessoas que carregam dentro de si uma energia positiva muito forte N o se apequenam ante as vicissitudes da vida S o entusiastas Ali s entusiasmo uma palavra bel ssima que prov m do grego en theo que literalmente significa deus dentro de si Para os gregos polite stas quem carrega a chama esplendorosa do entusiasmo tem umdeus dentro de si Na conviv ncia com jovens que
115. genciar a superf cie cil ndrica obter se uma reta b Reconhecimento de uma c nica degenerada Dada a equa o completa do 2 grau Ax Bxy Cy Dx Ey F 0 2A B D Seja4 B 2C E D E 2F Se l A 0 ter se uma c nica regular circunfer ncia elipse par bola hip rbole Il A 0 ter se uma c nica degenerada um ponto um par de retas concorrentes uma reta ou um par de retas paralelas Fulcrados na presente exposi o enfatize se antes de identificar se uma c nica uma elipse par bola ou hip rbole atrav s do discriminante B 4AC faz semister o c lculo do determinante A O C NICAS E QU DRICAS Emresumo A 0 gt par bola Se B 4AC 0 4A 0 uma reta ou um par de retas paralelas A 0 gt hip rbole Se B 4AC gt 0 A 0 gt um par de retas concorrentes A 0 gt elipse A 0 gt um ponto Exerc cios Resolvidos O nico pecado a mediocridade Marta Grayham Se B 4ac lt 0 1 Considere as retas abaixo figuradas f x y 2 0 s 3x 2y 6 0 Fazendo o produto das duas retas x y 2 3x 2y 6 0 Efetuando se 3X xy 2y 12x 2y 12 0 Esta equa o completa do 2 grau uma c nica dita degene rada e ipso facto o seu determi nante A deve ser nulo De fato a equa o fornece os coeficientes A 3 B 1 C 2 D 12 E 2eF 12 2A B D 6 1 12 A B 2C E 1 4 2 0 D E 2F 12 2 24 O Jacir J Venturi Reciprocamente da
116. gt p Y 52 B y T g Substituindo 6 na equa o da esfera Peyar le soh doe 8 5 5 5 5 ou 5x 5y 5z 13x 13y 13z 8 0 Resp Exercicios Aqueles que n o querem fazer devem abrir caminho para aqueles que est o fazendo Do filme de motiva o Paradigmas 1 Dada a equa o da esfera 2x 2y 2z 4x 2y 6z 1 0 pedem se a o raio b a rea da superf cie esf rica c o volume da esfera Resp a R J3 b S 471R 127ua c V SIR 4V3nuv O C NICAS E QU DRICAS 2 Achar a equa o da esfera de di metro AB sendo A 1 2 3 eB 3 4 9 Resp x 2 y 3 z 3 38 3 D as condi es para que a qu drica Ax By Cz Dxy Eyz Fxz Gx Hy Iz J 0 represente uma superf cie esf rica Resp A B Cz0eD E F 0 4 Determinar a equa o da esfera de centro C 1 2 5 e que passe pela origem Resp x y 2 2x 4y 102 0 5 Obter a equa o da esfera de C 2 3 1 e tangente ao plano yz Resp x 2 y 3 z 1 4 6 Seja C 2 3 5 o centro de uma esfera Calcular a equa o de sua superf cie sabendo que a esfera tangente ao plano cartesiano xy Resp x y 27 4x 6y 102 13 0 7 Calcular a equa o da esfera que seja conc ntrica esfera x y z 4x 6y 62 16 0e que passe pelo ponto P 1 4 3 Resp x 2 y 3 2 3 38 8 Obter a equa o da esfera que passe pela origem do sistema cartesiano
117. i hor rio Obtemos assim um novo sistema x O y por uma rota o de xOy a F rmulas de rota o Um ponto P que tem coordenadas x y em rela o ao sistema xOy ap s uma rota o de eixos assume coordenadas x y em rela o ao novo sistema x O y Na figura ao lado P O P 0 gt x y x y7 D FP CA onde i j i e j s o respec tivamente os versores dos eixos x y X e y a Multiplicando escalar mente D por Jacir J Venturi Substituindo em x x cos6 y sen6 b Multiplicando escalarmente 1 porj obtemos por c lculos an logos y x sen0 y cos6 Como se viu deduzimos vetorialmente as f rmulas de rota o x x cos0 y sen6 y x sen0 y cos6 b Tabela das f rmulas de rota o Com o escopo mnem nico transcrevemos a tabela abaixo Observe que a 2 coluna nadamais doque a derivada da 1 coluna x x y X cos 60 sen 0 y sen 0 cos 6 DERIVADA Exemplo A equa o 5x 6xy 5y 8 0 representa uma elipse no sistema xOy Obter a equa o da mesma elipse uma vez efetuada a rota o de eixos de amplitude 0 45 RESOLU O a F rmulas de rota o x x cos45 y sen45 xy CERE CERET 2 27 C NICAS E QU DRICAS x x sen45 y cos45 E X y E x y b Substituindo x e y por seus valores na equa o dada 2 2 5 E 6 4 6 E ey E ty 5 Geo 8 0 c Desenvolvendo e simplificando a equa o acima reduz s
118. ia aliciam os l deres fracos como o canto da sereia Ainda n o descobri a maneira infal vel de governar Mas aprendi a f rmula certa de fracassar querer agradar a todos ao mesmo tempo discursava apropriadamente John F Kennedy 1917 1963 meses antes de ser abatido por tiros certeiros em Dallas Em 44 a C o mais renomado imperador romano Caio J lio C sar foi atrai oado por 23 punhaladas v tima de uma conspira o Suas palavras derradeiras demonstram antes de tudo um cora o dilacerado pela ingratid o especialmente de Brutus filho nico e adotivo Tu quoque Brutus fili mi At tu Brutus filho meu Voc pode enganar todo o povo durante algum tempo e parte do povo durante todo o tempo mas n o pode enganar todo o povo todo o tempo se faz oportuno Abraham Lincoln o mais venerado presidente dos EUA Poucos desconhecem as suas vicissitudes perdeu para Deputado Estadual Deputado Federal Senador e foi assassinado por um fan tico sulista em um teatro de Washington Lincoln costumava repetir que se O C NICAS E QU DRICAS fosse responder a todas as cr ticas que lhe eram dirigidas n o trataria demaisnada Winston Churchill ao assumir o governo de coaliz o em 1940 proclamou em seu hist rico discurso have nothing to offer but blood toil sweat and tears Eu n o tenho nada a oferecer a n o ser sangue trabalho suor e l grimas Churchill hodiernamente considerado o maior l der do s cul
119. ica emrela o ao plano das outras duas vari veis Em particular se a equa o cartesiana de uma superf cie s cont m expoentes pares para a vari vel z ent o essa superf cie sim tri ca emrela o ao plano xy Tudo de bom acontece a pessoas com disposi o alegre Voltaire 1694 1778 escritor franc s 1 27 x y 3 0 gt superf cie qu drica sim trica em rela o ao plano xy 2 x 2y 3z 4 0 superf cie qu drica sim trica em rela o ao plano yz 3 3x 2y 2 2xz 3 0 gt superf cie qu drica sim trica ao plano xz 4 yt 3x z z 2 0 gt superf cie sim trica ao plano xz b Simetria emrela o aos eixos coordenados P x y 2 P x y z Uma superf cie sim tri ca ao eixo x se para qualquer ponto P x y z dessasuperf cie existir outro ponto P x y Z pertencente superf cie Assim a superf cie cuja equa o cartesiana n o se altera quando trocamos o sinal de duas vari veis sim trica em rela o ao eixo da terceira vari vel Jacir J Venturi Em particular se a equa o alg brica de uma superf cie cont m expoentes pares para as vari veis x e y e mpar para a vari vel z a superf cie sim trica emrela o ao eixo z Grandes obras n o nascem apenas de grandes id ias 1 3x y 42 1 0 gt superf cie sim trica ao eixo Z 2 y 227 3x 2 0 superf cie sim trica ao eixo x 3x
120. ica x 2xy y 3x 3y 2 0 RESOLU AO a C lculo do determinante A 2A B D 223 A B 2C E 2 2 3 0 D E 2F 334 b C lculo do discriminante B 4AC 2 4 1 1 0 A c nica representa uma reta ou umparderetasparalelas c C lculo da s equa o es da s reta s Ordenando a equa o da c nica dada segundo uma das vari veis e aplicando a f rmula de Bh skara obt m se duas retas paralelas rix y 1 0 Resp r Xx y 2 0 O Jacir J Venturi d gr fico xy 4 Identificar a c nica 2x 2xy y 8x 6y 10 0 RESOLU AO a C lculo do determinante A A equa o da c nica fornece A 2 B 2 C 1 D 8 E 6e 2A B D 4 2 8 A B 2C E 2 2 6 0 D E 2F 8 6 20 b C lculo do discriminante B 4AC 2 4 2 1 lt 0 A c nica representa umponto c C lculo das coordenadas do ponto F rmulas de transla o P Xo X Y Yo ty Substituindo as f rmulas de transla o na equa o da c nica Axo XP 20X X Yo Y Yo Y 8B Xo X 6 yYo y 10 0 Fazendo o coeficiente de x 0 4Xo 2yYo 8 0 Fazendo o coeficiente de y O 2X0 2y0 6 0 O sistema acima fornece x 1 eyo 2 Isto posto o ponto Po 1 2 representa a c nica dada O C NICAS E QU DRICAS d Gr fico Exerc cios A m goa que tens dentro de ti um fardo pesado e que somente a ti cabe a tarefa de carreg lo Vale a pena Identificar as c nicas abaixo transcritas e quando degeneradas ped
121. ivros D C NICAS E QU DRICAS Se vivemos hoje a Era do Conhecimento porque al amos sobre ombros de gigantes do passado A Internet representa um poderoso agente de transforma o do nosso modus vivendi et operandi E um marco hist rico um dos maiores fen menos de comunica o e uma das mais democr ticas formas de acesso ao saber e pesquisa Mas como toda a inova o cabem ressalvas Tem potencial cuja medida n o deve ser superdimensionada Seu conte do fragmentado desordenado e al m do que cerca de metade de seus bites descart vel entulho lixo Bem vinda a Internet 2 a banda larga a Web sem fio wireless Segundo o Ibope atualmente 80 dos brasileiros usu rios da rede s o das classes A B 16 da classe C 4 das classes D E O alento vem por conta do aporte de novos internautas na popula o menos aquinhoada O importante se faz oportuno Joelmir Beting organizar a es coletivas p blicas e privadas para que tenhamos a difus o dos micros e dos softwares did ticos no rodap da pir mide social Vivemos ainda uma fase de exclus o digital Longe portanto do homo digitalis Estudo da ONU relata que apenas 5 da popula o mundial usam o colorido mundo do www e que em apenas 6 pa ses EUA Jap o Reino Unido Alemanha Canad e It lia concentram se 82 dos internautas do mundo Destarte falaciosa e prematura a assertiva de que o acesso on line representa um poderoso niv
122. k E bastante simples se obter o tra o de uma superf cie com o plano coordenado xy na equa o dada faz se z 0 obtendo se f x y 0 0 Genericamente na obten o do tra o da superf cie com um plano coordenado anula se a vari vel que n o figura no plano considerado z k a ARMY i f x y k 0 Quem n o cresce pelo amor crescer pela dor Sabedoria popular 1 Achar os tra os da superf cie qu drica denominada parabo l ide x y 8z a no plano yz Substituindo x 0 na equa o dada tem se y 8z a qual representa uma par bola no plano yz A par bola o tra o da super f cie no plano yz C NICAS E QU DRICAS b no plano xz z Na equa o dada fazendo y 0 tem se a par bola x 8z que o tra o da superf cie no plano xz c no plano xy Para z 0 resulta a equa o x y 0 s verificada pelo ponto O 0 0 d no plano z 4 z Levando z 4 na equa o da superf cie qu drica resulta a e AD a E 7 qua o x y 32 a qual repre MA senta umc rculo no plano z 4 W e no plano y 2 Para y 2 a equa o dada se transforma em x 4 8z ou x 4 2z2 1 aqual representa uma tra o no plano z 4 tra o no plano y 2 par bola de v rtice V fo 2 z no plano y 2 OBSERVA O A equa o da qu drica x y 8z s tem exist ncia real dom nio paraz gt 0 e sim trica emrela o aos pla
123. l nia S ria Fen cia e qui India e P rsia onde acu mulou ecl ticos conhecimentos astronomia matem tica ci ncia filoso fia misticismo e religi o E oportuno lembrar a sua contemporaneidade com Buda Conf cio e Lao Ts Retornando a Samos indisp s se com o tirano Pol crates e emi grou para o meridi o da It lia na Ilha de Crotona de domina o grega A fundou a Escola Pitag rica a quem se concede a gl ria de ser a primeira Universidade domundo A Escola Pitag rica e suas atividades se viram desde ent o envol tas por um v u de lendas Foi uma entidade parcialmente secreta com cen tenas de alunos que compunham uma irmandade religiosa e intelectual pr tica de rituais de purifica o e cren a na doutrina da me tempsicose isto na transmigra o da alma ap s a morte de um corpo para outro Portanto advogavam a reencarna o e a imortalidade da alma lealdade entre os seus membros e distribui o comunit ria dos bens materiais austeridade ascetismo e obedi ncia hierarquia da Escola proibi o de beber vinho e comer carne portanto falsa a infor ma o que seus disc pulos tivessem mandado matar 100 bois quando da demonstra o do denominado Teorema de Pit goras purifica o da mente pelo estudo de Geometria Aritm tica M sica e Astronomia classifica o aritm tica dos n meros em pares mpares primos efator veis cria o de um modelo de
124. lipse de focos F 0 1 e F 1 0 e cujamedida do eixomaior 2a 3 Resp 32x 8xy 32y 36x 36y 45 0 SUGEST O O eixo maior obl quo aos eixos coordenados Aplique a defini o de elipse d P F d P F 2a O Jacir J Venturi S rie B Suaviter in modo fortiter in re Axioma latino Suave no modo forte na a o 04 Uma elipse tem o centro na origem e a eixo focal sobre a reta y 2x b um dos focos em F 1 2 c a 2 5 e c 45 Pede se a sua equa o Resp 19x 4xy 16y 300 SUGEST O 1 Equa o da elipse em rela o a x Oy 12 12 X y p 2 Se a 245 c V5 gt b 15 3 Da figura seno e cos0 L J5 5 4 F rmulas de rota o ro EX Y 5 o X 2y 5 5 Substituindo 2 em 1 tem se a resposta x 05 Uma elipse tem a eixo focal sobre areta y x b eixo menor sobre areta y x c b 1 e ee 2 Calcular a sua equa o Resp 9x 2xy 9y 10 0 C NICAS E QU DRICAS SUGEST O 1 Equa o da elipse 2 F rmulas de rota o o 45 x x cos 45 y sen 45 y x sen 45 y sen 45 3 Substitua 2 em 6 06 Uma elipse tem como focos os pontos F 8 15 e F 12 5 e passa pela origem do sistema cartesiano Qual a sua equa o Resp 5x 4xy 8y 60x 168y 0 PROMETA A SI MESMO Ser forte demaneira que nada possa perturbar a sua paz de esp rito Falar de sa de felicidade e
125. logo 12tg o 7tgo 12 0 C NICAS E QU DRICAS Ra zes 4 3 tg ou tg0 g 3 g Adotando a solu o positiva 4 tg0 0 53 goes C lculo da sec 0 2 sec 0 1 tg 0 1 da 3 9 sec 0 gt solu o positiva C lculo do cos 6 cos 0 Lel seco 5 3 Co 5 C lculo do sen 6 3 2 sento 1 costo 1 7 a 5 25 sas de 5 x f rmulas de rota o xx 0056 y sen g Adr y x sen 0 y cos 0 ax substituindo as f rmulas de rota o na equa o dada 12 12 16 3x 4y 24 3x 4y 4x 3y 9 4x 3y 5 5 5 5 sa E aN aqs ror o e Jacir J Venturi Efetuando se 25y 50x 10y 101 0 1 c transla o de eixos OBSERVA O Para se obter a equa o can nica da par bola tipo y 2px na equa o 1 deve se suprimir o termo em y e o termo independente f rmulas de transla o l X x x y Y y levando as f rmulas de transla o na eq 25 Yo 50 x0 x 10 yo y 101 0 O ou 25y 50x 50yo 10 y 25y 50x 10yo 101 0 x fazendo o coeficiente de y O 50y 10 0 gt W sobre o eixo y 1 fazendo o termo independente 0 e considerando Y 5 25 a 50x 10 yo 0 gt x 2 sobre o eixo x Isto posto a par bola tem v rtice em V 2 5 em rela o ao sistema x Oy d equa o can nica Levando V 2 5
126. m a bondade pela palavra e pelo exemplo Jo o Manoel Sim es n 1938 advogado e escritor portugu s radicado no Paran 13 Representar a superf cie z sen x Resp uma superf cie cil ndrica de geratrizes para lelas ao eixo y e cuja diretriz um sen ide no plano xz lembra uma placa ondu lada de fibro cimento 14 A disciplina de C lculo Diferencial e Integral ensina que a y equa o x y 4 x y ao lado figurada representa no E uma curva denominada lemi niscata do grego Aguv1O que significa ornato tra o de fita Representar esta mesma equa o no E Jacir J Venturi IMPRENSA DE GUTENBERG E A INTERNET Meus filhos ter o computadores sim mas antes ter o livros Bill Gates At meados do s c XV a reprodu o do conhecimento se fazia essencialmente atrav s dos monges copistas pontuados em algumas dezenas de mosteiros e universidades Em 1455 o ourives alem o Johann Gutenberg c 1437 1468 inventou a tipografia cabendo lhe o m rito de ser o primeiro pelo menos no Ocidente a utilizar tipos m veis met licos feitos de uma liga especial de chumbo estanho e antim nio Projetou um novo tipo de prensa baseada naquelas usadas para espremer uvas Preparou uma tinta especial prova de borr es Este sistema operacional de impr
127. m das quest es geom tricas e tamb m a atra o tipicamente hel nica que eles nutriam pelos desafios intelectuais independentente de qualquer utilidade pr tica C NICAS E QU DRICAS TRIGONOMETRIA do grego trigonos tri ngulo e metron medida A Trigonometria derivou se da Astronomia uma vez que esta se preocupava emdeterminar as posi es relativas dos corpos celestes Erat stones 276 194 a C que foi diretor da Biblioteca de Alexandria comprovou pela trigonometria a esfericidade da Terra e mediu com engenhosidade e relativa precis o o per metro de sua circunfer ncia Num dos rolos de papiro encontrou a informa o de que na cidade de Siena hoje Assu ao meio dia do solst cio de ver o o dia mais longo do ano 21 de junho no hemisf rio norte colunas verticais n o projetavam qualquer sombra ou seja o Sol se situava a prumo Entretanto o nosso consp cuo ge metra observou que no mesmo hor rio e dia as colunas verticais da cidade de Alexandria projetavam uma sombra perfeitamentemensur vel Aguardou o dia 21 de junho do ano seguinte e determinou que se instalasse uma grande estaca em Alexandria e que se escavasse um po o profundo emSiena Ao meio dia enquanto o Sol iluminava as profundezas do po o em Siena fazia ngulo de 90 com a superf cie da Terra em Alexandria Erast stones mediu o ngulo 6 7 12 ou seja 1 50 dos 360 de uma circunfer ncia Portanto o comprimento do meridian
128. mos hoje como regra do paralelogramo A sistematiza o da teoria vetorial ocorreu no s culo XIX com os trabalhos do irland s Willian Hamilton notavelmente precoce aos 5 anos lia grego latim e hebraico do alem o Hermann Grassmann e do f sico norte americano Josiah Gibbs Y C NICAS E QU DRICAS ABSCISSA Abscissa em latim significa corte incis o Silveira Bueno Deve se provavelmente ao fato de que a representa o da abscissa ou abcissa na reta se faz atrav s de umpequeno corte r H H H 4 gt 3 2 4 1 2 3 LGEBRA do rabe al jabr que significa restaura o transposi o Parece referir se transposi o de termos de um membro para outro da equa o A palavra lgebra foi amplamente divulgada na Europa atrav s da c lebre obra Al jabr w al muqabalah transposi o e cancelamento escrita em 825 d C por Al Khowarismi Tratava especialmente da reparti o de heran as com aplica es da lgebra OBSERVA O Como al jabr em rabe significa tamb m restaura o popula rizou se na Era Medieval a profiss o de algebrista Qual a sua fun o Restaurador ou consertador de ossos quebrados ou destroncados Com esta conota o o algebrista se faz presente em Dom Quixote ALGARISMO Esta palavra oriunda se provavelmente do nome de um dos maiores algebristas rabes Al Khowarismi Al m da obra anteriormente mencionada escreveu o livro que recebeu o t tulo latino De numero
129. mponto gen rico pertence geratriz Q x y z o ponto de interse o da diretriz d com a geratriz que passa por P Os vetores Q P e v s o paralelos Q P tv Q P tv Q C NICAS E QU DRICAS Substituindo as coordenadas cartesianas x X 1t y Y mt z Z m Tais equa es denominadas de param tricas s o levadas nas equa es da diretriz fhi X 4t Y mt Z nt 0 fo X 4t Y mt Z nt 0 Numa das equa es acima isola se o par metro t o qual substi tu do na outra equa o obtendo se a superf cie cil ndrica correspondente que assume a forma F X Y Z 0 Exerc cio Resolvido Seja voc mesmo mas n o seja sempre o mesmo Gabriel o Pensador Achar a equa o do cilindro de geratrizes paralelas reta x 1_y 1_z 3 1 3 esf rica x y z 4como plano m x y Z 0 r e cuja diretriz a curva de interse o da superf cie RESOLU O A interse o do plano x com a esfera uma circunfer ncia que constitui a diretriz a Equa o param tricas Da reta r obt m se t 1 m 3en 1 Ent o x X41 t y Y 3 t z 2 1 t Jacir J Venturi b A diretriz representada pelas equa es d x y z 4 x y z 0 c Substituindo as equa o param tricas emd 4 X t Y 3 Z t 4 X t Y 3t Z t 0 2 d Equa o da superf cie cil ndrica Isolando t de t X Y Z2 O Levando 3 em 6 2X Y Z 3X 2Y 32 X Y 4227 o
130. nal ao eixo z b Do tri ngulo ret ngulo OAP AP tg 0 OA yx y tg 0 V0 0 7z quadrando tem se a resposta Exemplo Se 6 45 tem se para eq do cone x y z 0 pois tg45 1 Jacir J Venturi 13 Obter a equa o do cone de v rtice V 0 1 0 e diretriz Resp Z X y 2X Y 2XYZ X 2X2 X 2 0 14 Calcular a equa o do cone circular de V 2 0 1 sabendo que as geratrizes formam com o eixo que a reta r um ngulo de 45 x y 1 z 3 Dada r gt 1 0 2 Resp 3x 5y 37 20x 102 8xz 25 0 SUGEST O a vetorr 1 0 2 b Seja P x y z um ponto gen ri co do cone P V x 2 y 2 1 T P V rP v 2 x 2 2 2 1 2 x y2 2 12 c cos 45 Quadrando e desenvolvendo ob t m se a resposta 15 Achar a equa o do cone circular cujo v rtice o ponto V 1 0 1 ecujas geratrizes formam um ngulo de a comareta x 2 y 1 zZ 3 0 1 2 Resp 15x 11y z 16yz 30x 16y 2z 14 0 E Quem valoriza os privil gios acima dos princ pios acaba ficando tamb m sem os privil gios Dwight Eisenhower 1890 1969 estadista americano C NICAS E QU DRICAS 3 RECONHECIMENTO DE UMA SUPERF CIE C NICA E CALCULO DOVERTICE a Equa es homog neas A disciplina de C lculo Diferencial e Integral define de forma ampla uma equa o homog nea No presentemomento interessa umtipo particular deste tipo de equa
131. ndios de Matem tica de todos os tempos com mais de mil edi es desde o advento da imprensa a primeira vers o impressa de Os Elementos apareceu em Veneza em 1482 Tem sido segundo George Simmons considerado como respons vel por uma influ ncia sobre a mente humana maior que qualquer outro livro com exce o da B blia Jacir J Venturi Conta se que o rei Ptolomeu tenho folheado Os Elementos per guntou esperan osamente a Euclides se n o havia um caminho mais suave para aprender Geometria Lac nico Euclides teria respondido N o h uma estrada real para a Geometria Os Elementos s o uma compila o met dica e ordenada de 465 proposi es reunidas em 13 livros Sua caracter stica o rigor das demonstra es o encadeamento l gico dos teoremas axiomas e postula dos e a clareza na exposi o Sua proposta uma Geometria dedutiva despreocupada das limita es pr ticas contrastando com a Geometria eg pcia de car ter indutivo e fulcrada em problemas concretos Dos 13 livros em que se subdividem Os Elementos os 6 primei ros tratam da Geometria Plana Elementar os 3 seguintes da Teoria dos N meros o livro X trata dos Incomensur veis n meros irracionais e os 3 ltimos da Geometria no Espa o O livro XIII de Os Elementos aborda exclusivamente as proprie dades dos 5 s lidos regulares denominados Poliedros de Plat o Lembramos que um poliedro do grego poli muitas edro faces
132. nes s o figurados costumeiramente apenas com uma folha por m deve se sempre admitir a exist ncia de duas folhas 2 EQUA O DA SUPERF CIE C NICA Sejam P X Y Z um ponto gen rico pertencente geratriz Q x y z o ponto de interse o da geratriz que passa por P com a diretriz V Xo Yo Zo as coor denadas do v rtice V Na figura os vetores Q V e P V s o paralelos Q W P Vt Isolando se Q Q V P Vt C NICAS E QU DRICAS Substituindo se as coordenadas tem se as equa es param tricas X yo X xo t y yot Y yolt z 2 2 zot Tais equa es s o levadas nas equa es da diretriz f4 Xo X xo t Yo Y Yo t Zo Z Z t 0 f2 Xo X Xo t Yo Y yYo Dt Zo Z Z t 0 Numa das equa es acima isola se o par metro t o qual substi tu do na outra equa o obtendo se a superf cie c nica correspondente que assume a forma F X Y Z 0 Exerc cio Resolvido O c u n o conhece f ria igual ao amor transformado em dio Willian Congreve 1670 1729 dramaturgo ingl s Calcular a equa o da superf cie c nica de V 0 0 5 e cuja dire 2 2 triz dJ RISO z 0 RESOLU O a Equa es param tricas x 0 X Ot Xt y 0 Y 0 Yt z 5 Z 5t b Substituindo as equa es param tricas nas equa es da diretriz x y O i 5 2Z 5t 0 gt t Es 5_Z D Jacir J Venturi c Levando em 1 2 2 x
133. nos yz e xZ Jacir J Venturi 2 Dada a superf cie qu drica x z 4 0 calcular a as interse es com os eixos cartesianos Resolu o ecomoeixox gt x 4 0 gt x 2 e como eixo y n o h interse o ecomoeixoz gt z 4 0 gt 2 4 b os tra os nos planos coordenados e no plano xy z 0 x 4 0 retas de equa esx 2ex 2 no plano xz y 0 par bola x 4 z de v rtice V 0 0 4 e concavidade voltada para baixo e no plano yz x 0 gt retaz 4 c a condi o de exist ncia dom nio A superf cie qu drica xX 4 z s tem exist ncia para 4 z gt 00u Z lt 4 d a simetria A qu drica x z 4 O sim trica em rela o aos planos xz e yz e emrela o ao eixo z e afigura denominada superf cie cil ndrica parab lica Exercicios El amor es la sabedoria del tonto y la locura del sabio Prov rbio espanhol 01 Obter os pontos de interse o da qu drica x y z 5x 6y z 6 0 esfera como eixo das abscissas Resp 2 0 0 e 3 0 0 C NICAS E QU DRICAS 02 Dada a equa o da superf cie qu drica x 2y z 2x 7y 4z 21 0 identificar a equa o do tra o no plano y 2 Resp Equa o do tra o no plano y 2 x zZ 2x 4z 1 0 que representa uma circunfer ncia de C 1 2 2 e R 2 03 Achar a equ
134. nte emsuas atitudes Diante de tantas exig ncias n s pais perguntamos em tom de blague d para tomar uma Kaiser antes E vem o estraga prazer e responde N o beber cerveja um mau exemplo para os filhos Do autor C NICAS E QU DRICAS CAPITULO A Par bola Pierre de Fermat 1601 1665 inspirado nos estudos de Apol nio matem tico grego do s c Ila C estabeleceu o princ pio fundamental da Geometria Anal tica segundo o qual uma equa o do 1 grau no plano representa uma reta e uma equa o do 2 grau no plano uma c nica Mostrou de uma forma bastante sistem tica a equa o geral de uma reta de uma circunfer ncia e as equa es mais simples de uma par bola elipse e hip rbole 1 DEFINI O Considere se em um plano a um ponto F e uma reta d que n o cont m F Denominamos par bola de foco F e diretriz d ao lugar geom tri co dos pontos do plano a que equidistam de de F A figura ao lado mostra alguns pontos pertencentes par bola equidistantes do ponto Fe da reta d OBSERVA O Na p g 230 voc encontra a etimologia da palavra par bola Jacir J Venturi 2 ELEMENTOS DA PAR BOLA eixo de simetria As Denominamos F foco d diretriz V v rtice p par metro que repre senta a dist ncia do foco diretriz p 0 reta VF eixo de simetria da par bola LATUS RECTUM acorda AA que passa pelo foco e
135. nturi 4 b O eixo real coincide com o eixo y O posicionamento da hip rbole no sistema carte siano fornece F 0 c eF 0 c Analogamente de monstra se que para um ponto P x y pertencente hip rbole tem se a equa o can nica Fela eixo real eixo y y x o Vale enfatizar que na elipse sempre a gt b Na hip rbole no entanto pode setera gt b a boua lt b Ademais numa hip rbole o eixo real bem como o eixo focal coincide com o eixo da coordenada correspondente vari vel de coeficiente positivo se a equa o estiver na forma can nica Exemplo x y 1 oeixofocalcoincide como eixo x 16 24 y x a 1 oeixofocal coincide com o eixo y Exerc cio Resolvido Com bons modos voc me leva at para o inferno com maus modos nem para o c u Citado por Adriana C Micheloni professora em Mar lia SP Dada a hip rbole de equa o 16x 25y 400 pede se a a equa o can nica Dividindo todos os termos da equa o dada por 400 2 2 2 2 O aa ou Y 1 Resp 400 400 25 16 C NICAS E QU DRICAS b excentricidade Da equa o acima se obt m a 5eb 4 C lculo de c c a b 25 16 41 gt c 441 ETE EL a 5 c o gr fico Exercicios Para mim a vida n o uma chama breve Ela uma esp cie de chama esplendorosa que consegui segurar por algum momento e quero faz la queimar o mais intensamente poss vel
136. o Uma equa o alg brica racional e inteira homog nea quando todos os termos forem domesmo grau Exemplos 1 3x z 2x y 2xz 0 gt equa o homog nea do 4 grau 2 X y Z 3xy xz xyz 0 gt equa o homog nea do 3 grau b Reconhecimento de uma superf cie c nica e c lculo das coordenadas do v rtice Uma equa o F x y z 0 racional inteira e homog nea uma superf cie c nica com v rtice na origem Exemplos 1 x y z 2xy 3xz yz 0 gt equa o de uma superf cie c nica com V 0 0 0 2 xX 2x y 3xzZ 4xyz 0 gt equa o de uma superf cie c nica com V 0 0 0 3 A equa o x 2yz O repre senta uma superf cie c nica com V 0 0 0 Fazendo por exem plo z 4 tem se a diretriz x 8y que representa uma par bola no plano z 4 OBSERVA O Se faz oportuno exarar que uma equa o homog nea pode representar apenas um ponto na origem E o caso por ex da equa o 2x 3y 4z 0 s verificada pelo ponto O 0 0 0 A superf cie c nica se degenera num ponto Jacir J Venturi Il N o sendo homog nea a equa o F x y z 0 efetua se uma transla o de eixos de tal sorte que a nova origem seja V Xo Yo Zo Deve se verificar se poss vel encontrar valores reais para Xo Yo Zo que tornem homog nea a equa o dada em rela o s novas coordenadas F rmulas de transla o
137. o XX conheceu o gosto amargo do ostracismo e da ingratid o dos ingleses sofreu derrotas em4elei es E o que dizer do maior estadista indiano Para Mahatma Gandhi a pobreza a pior forma de viol ncia Acusado de traidor por fan ticos hindus em 1948 foi vitimado pelas balas de um deles Logo ele o ap stolo da n o viol ncia que costumava catequizar olho por olho e o mundo acabar inteiramente cego Tamb m se faz apropriado uma breve incurs o no reino animal Em algumas regi es in spitas da sia h manadas de cavalos selvagens que galopam c leres as pradarias e montanhas guiados por um deles E o cavalo l der e quando este exp e os demais a uma situa o de grande risco de vida toda a tropa golpeia o l der com coices e patadas Um bando de macacos sempre escolhe um l der olheiro experiente e vivaz Este severamente punido se for negligente n o alertando a tempo a imin ncia de um perigo ou razia Se os animais s o implac veis com os erros e omiss es de suas lideran as n s racionais n o deixamos por menos defenestramos governantes Collor e De la Rua s o os exemplos mais eloquentes Parafraseando Dante os piores lugares do inferno deveriam ser reservados a governantes populistas pois geram mis ria infla o e comprometem gera es O consp cuo fil sofo grego Arist teles 384 a C 322 a C j advertia que a demagogia a pervers o da democracia E indispens vel que o Presidente
138. o da tangente emseuponto Po 1 242 Resp x 24 2y 9 0 SUGEST O Equa o da circunfer ncia xX y 9 04 Obter a equa o da tangente circunfer ncia x y 6x 2y 3 0no ponto P 6 1 pertencente circunfer ncia O Resp 3x 2y 20 0 C NICAS E QU DRICAS 05 Dada a circunfer ncia x y 4y 96 0 pede se a a equa o da reta tangente circunfer ncia pelo ponto A 10 2 b as equa es das retas tangentes circunfer ncia pelo ponto B 0 20 Resp a x 10 0 214 b y t x 20 y 5 X 06 Abaixo tem se uma par bola de equa o y 8x Pelo ponto Po 2 4 pede se a a equa o da tangente b a equa o da normal n c a dist ncia do P ao ponto P Resp a x y 2 0 b x y 6 0 c 16 2 x y 07 Pede se o coeficiente angular da normal elipse F P 1 emseponto P 2 8 Resp a 08 Calcular a equa o da tangente hip rbole 5x 2y 8x 7y 7 0 no ponto P 1 4 Resp 2x 9y 34 0 09 Determinar a equa o da tangente hip rbole x 2xy y 2x 6y 11 0 em seu ponto 2 1 Resp x y 3 0 O Jacir J Venturi 10 A figura abaixo representa uma hip rbole de equa o xy 4 Pede se a equa o da tangente emseupontoP 1 4 Resp 4x y 8 0 11 Pede se a equa o da reta normal elipse 4x y 8x 2y 12 0emseuponto P 3 2 Resp x 8y 13 0 S rie B Numa separa o a quest o da pen
139. o homem um p nis e um c rebro mas insuficiente sangue para faz los funcionar simultaneamente Sabedoria popular 1 Pede se para construir o gr fico de cada equa o a xX y 9 f y 0 x y 2 2 b 1 x 0 a 9 x y 2 2 0 X a h X 4 0 4 9 x y 2 2 d gt gt 1 x 2y 1 Pa x 2y e y x 0 O Jacir J Venturi Resp Elipse ondea 3eb 2 o eixo maior coincide com o eixo y Hip rbole onde a 2eb 3 o eixo real coincide com o eixo y A par bola y x tem concavidade Par de retas reais voltada para a direita e o eixo x y x y 0 ou focal coincide com o eixo x rix y 0er x y 0 Apenas o ponto O 0 0 Par de retas reais e paralelas verifica tal equa o x 2 x 2 0 ou r ix 2 0er x 2 0 i Elipse imagin ria C NICAS E QU DRICAS 2 02 Provar que a elipse 2x y 10 e a hip rbole y X 1 s o homofocais t m osmesmos focos 4 03 Pede se a equa o da hip rbole eq il tera que passa pelo ponto P 4 2 O centro coincide com a origem do sistema cartesiano e os focos est o sobre o eixo x Resp x y 12 04 Achar a dist ncia do foco superior da hip rbole 9y 16x 144 a cada uma de suas ass ntotas Resp 3 S rie B Ah como d i viver quando falta esperan a Manuel Bandeira 1886 1968 poeta e escritor pernambucano 05 Uma hip rbole tem um de seus v rtices em A 3 0 e as equa es de suas ass ntotas s o 2
140. o terrestre deveria ser 50 vezes a dist ncia entre Alexandria e Siena Raios de Sol paralelos Superf cie da Terra p Alexandria Siena ia Po o Por tais c lculos conjecturou que o per metro da Terra seria de 46 250 km Hoje sabemos que de 40 076 km Precedeu a experi ncia umfeito digno de nota Alexandria e Siena situavam se a grande por m desconhecida dist ncia Para medi la Erat stones determinou que uma equipe de instrutores com seus camelos e escravos a p seguissem em linha reta percorrendo desertos aclives declives e tendo que inclusive atravessar o rio Nilo Dist ncia mensurada Jacir J Venturi 5 000 est dios ou cerca de 925 km Ademais as cidades de Alexandria e Siena n o est o sobre o mesmo meridiano como supunha Erat stones havendo uma diferen a de quase 3 Erat stones foi um profissional brilhante e ecl tico al m de Matem tica e diretor do mais not vel Templo do Saber de todos os tempos foi poeta escritor ge grafo e atleta No entanto teve um final de exist ncia profundamente lament vel suicidou se ap s ter sido acometido por uma doen a que o cegou MINUTOS E SEGUNDOS Ao se representar 6 32 52 25 dizemos que o ngulo 6 tem 32 graus 52 minutos e 25 segundos N o h explica o razo vel para a palavra grau H por m para minutos e segundos de acordo com Carl B Boyer No exemplo acima o 52 era acompanhado da express o latina parte
141. oncavidade voltada para baixo pertencente ao plano yz e geratrizes paralelas ao eixo x y 5 z x 0 Pontos de interse o com os eixos P 0 0 5 P 0 5 0 e P 0 5 0 D Equa o da diretriz d l C NICAS E QU DRICAS 09 Achar as coordenadas do ponto P interse o da superf cie cil ndrica y z com areta r xE A Resp P 15 16 4 SUGEST O a Equa es param z tricas de r x 1 t r y 2 t gt z 4 b Substituir 1 na e qua o da superf cie cil ndrica 2 t 4 gt t 14 c Levar 2 em x OBSERVA O Aretar paralela ao plano xy 10 Achar as coordenadas dos pontos de interse o da superf cie qu dricax y 227 1 0Ocomaretar L o e Resp P 4 5 2 e P 25 26 5 D Jacir J Venturi 11 Calcular os pontos de interse o da superf cie cil ndrica parab lica de equa o x 4y presentemente representada com a reta que passa pelos pontos A 11 4 2 e B 5 2 2 12 Representar num sistema cartesiano do E as equa es o x z 4 2 cilindros cujo raio 2 OBSERVA O Os cilindros secionam se segundo duas elipses C NICAS E QU DRICAS S rie B Alguns homens parecem ter vindo ao mundo para fecund lo com suor e l grimas Surgem na face do planeta com a mais nobre e mais bela das inten es a de torn lo melhor Semeiam o bem e planta
142. or Te perpendicular reta s A n 2x 3y z d 0 LC D TEn gt 2 0 3 1 2 d 0 gt d 5 E T 2x 3y 2 5 0 O Jacir J Venturi b C lculo de C r x y Z 555 gt C TAI T 2x 3y 2 5 0 6 6 6 c C lculo de R A d c 1 St 28 Achar o centro e o raio do c rculo interse o da esfera x y z 6x 2y 0 como plano z x 2z 1 0 11 8 _ V170 e R 5 5 Resp C 1 p 7 SUGEST O a Centro e raio da esfera C 3 10 e R v10 b C lculo da reta r reta que pas sa por C e perpendicular a 7 E x 3 y 1 z 1 0 2 c C lculo de C x 3 y 1 z 1 0 2 tT x 22 1 0 Resolvendo o sistema y i gt x T gt Z p coordenadas do centro C d C lculo de R Pelo Teorema de Pit goras R R d C C 29 Acharo centro e o raio do c rculo interse o da esfera xX y 27 4x 62 14comoplanox y 4 0 Resp C 3 1 3 eR 5 Q C NICAS E QU DRICAS 30 Obter as equa es dos planos conduzidos pela reta s a etangentes esferax y 27 2x 2y 4 0 y z 1 0 Resp x 2y z 5 0e2x y Z 7 0 SUGEST O a Daesfera C 10 e R J6 b Equa o do feixe de planos que passam porr x z 3 A y z 1 00ou x Ay 1 2 3 A 0 plano x 1 M 2 ou a CRIT RIOS O le o reuniu a bicharada no apraz vel c rrego da floresta para definir quem seria o rei da selva Sem cerim nias determinou o nico requisito para concorrer Tem que ter juba Quem tem jub
143. orto etc uma imprevid ncia At quando v o perdurar essas facilidades Damos disponibilidade prioritariamente aquilo que n o tivemos em nossa inf ncia Jacir J Venturi Mas cabe a pergunta estamos lhe dando aquilo que efetivamente tivemos e fomos felizes por isso 8 Conceder tempo para ser crian a ou adolescente N o se deve sobrecarregar o filho com agenda de execu tivo esportes l nguas m sica excesso de li es atividades sociais etc Se queimarmos etapas de seu desenvolvimento ele ser um adulto desprovido de equil brio emocional Nosso filho precisa brincar partilhar conviver com os amigos desen volvendo assim as faculdades psicomotoras e a sociabiliza o 9 Desenvolver bons h bitos alimentares e exerc cios f sicos A sa de um dos principais legados e n o se pode descurar Nosso filho ser uma crian a e um adulto saud vel pela pr tica regular de esportes e pela ingest o de prote nas frutas verduras legumes e muita gua N o esquecer o sol nos hor rios recomendados Tais h bitos promovem o bem estar a auto estima e a boa disposi o para a vida 10 Convencer o filho a assumir tarefas no lar Certamente haver resist ncia Mas ele deve ter responsabilidade em casa assumindo algumas tarefas dom sticas como limpar os t nis fazer compras lavar a lou a tirar ou colocar a mesa etc E indispens vel que tenha h bitos de higiene e mantenha arrumado o seu q
144. os de lazer ou doen a e a transmiss o pela palavra e pelo exemplo de valores ticos e de cidadania podem ser praticados diariamente com nfase nos finais de semana por pais que trabalhem cerca de oito horas por dia Gutemberg B Macedo em seu excelente livro Fui demitido e agora Ed Maltese faz seu depoimento Jacir J Venturi Conhe o executivos bem sucedidos que mant m uma vida balanceada S o bons profissionalmente e at prova em contr rio bons maridos bons pais bons l deres e bons cidad os O segredo Saber dividir compartimentar esses diferentes pap is E preciso parar para refletir com profundidade A vida uma ben o de Deus Desequilibr la destru la E destru la uma esp cie de estupro da pr pria divindade Se Ele descansou quem afinal voc pensa que para querer ir al m Seguran a do amor dos pais este o fulcro do relacionamento A paternidade respons vel uma miss o e um dever a que n o se pode furtar No entanto v em se nas escolas filhos rf os de pais vivos E na maioria das vezes falta de tempo apenas uma desculpa para sua omiss o A vida profissional apesar de suas elevadas exig ncias pode muito bem ser ajustada a uma vida particular equilibrada E uma quest o de nfase e dosagem do tempo Do autor C NICAS E QU DRICAS CAPITULO Equa o da Tangente a uma C nica Para se obter a tangente a uma c nica escolhemos a par bola par
145. par bola x y 5 0 pelo ponto P 1 2 a Equa o da tangente Y Yo m x Xo b Substituindo se 1 na equa o da par bola xX Im x 1 2 5 0 desenvolvendo e ordenando X mx m 3 0 c Impondo A b 4ac 0 m 41 m 3 0 m 4m 12 0 gt m 60um 2 O C NICAS E QU DRICAS d Resposta Levando m 6 em 1 y 6x 4 t Substituindo se m 2 em Q y 2x 4 t 02 No exerc cio precedente pede se para calcular a equa o da reta P P reta polar de P em rela o par bola a C lculo de P e P Substituindo se a equa o de t na equa o da par bola 6x 4 x 5 xX 6x 9 0 gt x 3 gt P 3 14 Levando a equa o de t na equa o da par bola 2x 4 x 5 X 2x 1 0 gt x 1 gt P 1 6 b Equa o da polar x y 1 Reta RP 3 14 1 0 1 6 1 2x y 8 0 Resp Exercicios Os que nada fazem sup em se capazes de tudo fazer Spencer Tracy 1900 1967 ator norte americano 01 Calcular as equa es das retas que passam pelo ponto x y A 7 2 e sejam tangentes elipse F g 1 Resp y 2e7x 10y 29 0 02 Dada a equa o da elipse 4x 9y 72 e um ponto exterior P 0 4 calcular as equa es das tangentes desde o ponto P elipse 2 Resp PRE aaa Jacir J Venturi 2 2 03 Dada a hip rbole 5 1eo ponto P 0 6 obter a as equa es das tangentes hip rbole que passam pelo ponto 0 6 b os pontos de contato
146. paralelas de Euclides cujo enunciando equivale ao seguinte por um ponto podemos tra ar uma nica paralela a uma reta dada Numa de suas aulas no museu de Alexandria que junto com a Biblioteca constitu am o que entendemos hoje por Universidade Euclides demonstrava umdosteoremas e foi arg ido por umdisc pulo Mestre qual a utilidade desta demonstra o Imperturb vel Euclides chamou seu escravo e lhe disse D uma moeda a esse jovem para que ele possa ter proveito com tudo que est aprendendo Plat o 427 347 a C consp cuo fil sofo grego indagado certa vez sobre a atividade divina respondeu Deus eternamente geometriza O maior templo da Geometria foi a Biblioteca de Alexandria no Egito fundada em290a C porPtolomeu Todos os grandes ge metras da antig idade como Euclides C NICAS E QU DRICAS Arquimedes Erat stones Apol nio Papus Diofanto Cl udio Ptolomeu Teon de Alexandria Hip tia etc se debru aram sobre os vetustos e nov is pergaminhos e papiros da Biblioteca Esta desgra adamente foi v tima da gan ncia inescrupulosa do povo romano e mais tarde do fanatismo religioso dos mu ulmanos e crist os Ao longo de sua hist ria a Geometria glorifica dois problemas que se tornaram cl ssicos 1 0 PROBLEMA DA QUADRATURA DO C RCULO Foi proposto inicialmente por Anax goras 499 428 a C Aprisionado em Atenas por suas id ias muito avan adas para a poca
147. pela transla o a equa o dada se transforma numa equa o do tipo x 3xy y 15 0 c C lculo da equa o can nica Na equa o acima deve se eliminar o termo emx y Como A C gt 60 45 F rmulas de rota o x x cos 45 y sen 45 x y 2 y SE y x sen 45 y cos 45 Levando 2 em 1 Secr En Eerr Eeen 15 0 Efetuando os produtos e as somas 5x y 30 ou Zora eq can nica da hip rbole d Gr fico Da equa o can nica da hip rbole infere se que o eixo focal est sobre o eixo x e que a 6 e b 30 C lculo de c C a b 6 30 36 gt c 6 Jacir J Venturi e Interse o da hip rbole com os eixos cartesianos Interse o com o eixo x Na equa o dada faz se y O x 10x 5 0 qo 102445 2 donde x 0 6 e x 9 4 II Interse o como eixo y Na equa o dada faz se x O y 10y 5 0 10 4 5 ps donde y 0 6 e y 9 4 02 Dada a equa o 16x 24xy 9y 38x 34y 101 0 pede se para identificar a c nica achar o centro ou o v rtice calcular a equa o can nica d construir o gr fico RESOLU O a identifica o da c nica B 4AC 24 4 16 9 0 A c nica uma par bola OBSERVA O Ordem das opera es 1 rota o 2 transla o Se B 4AC 0 l b rota o dos eixos B 24 24 A C 16 9 7 tg 20 c lculo da tg 0 tg20 2tgo _ 24 1 tg 0 7
148. perpendi cular ao eixo de simetria Tamb m chamada de corda focal m nima 3 EQUA ES CAN NICAS DA PAR BOLA V 0 a O eixo de simetria coincide com o eixo x Ademais P x y um ponto gen rico da par bola F 5 0 o toco 2 Na figura ao lado tem se uma par bola de concavida de voltada para a direita representada no sistema car tesiano xOy A diretriz tem p equa o x qua 2 P A v o p da perpendicular baixada do ponto P sobre a diretriz Por defini o d P P d P P C NICAS E QU DRICAS W uso a at an e pjev 0 ejo y Elevando ambos os membros ao quadrado e desenvolvendo os produtos not veis temos 2 f hey rpa donde y 2px que repre senta a equa o can nica ou reduzida ou padr o da par bola com v rti ce na origem e cujo eixo de simetria o eixo x Na equa o y 2px observe que dade voltada para a direita volta da para a parte positiva do eixo x Se p gt 0 a par bola tem concavi Se p lt 0 a par bola tem con cavidade voltada para a es querda b O eixo de simetria coincide com o eixo y A figura ao lado reproduz uma par bola de concavida de voltada para cima A dire triz tem equa o y a Ademais P x y Jacir J Venturi Por defini o d P F d P P Je o y 8 foe mr ve Efetuando x 2py que representa
149. pm 25y 50x 0 ou y 2x equa o can nica O C NICAS E QU DRICAS e gr fico f interse o com os eixos cartesianos l interse o com o eixo y Na equa o dada faz se x 0 9y 34y 101 0 N o h ra zes reais portanto a par bola n o corta o eixo II Interse o com o eixo x Na equa o dada faz se y 0 16x 38x 101 0 equa o do 2 grau desprovida de ra zes reais e consequentemente a par bola n o corta o eixo x g c lculo do v rtice V 2 5 emrela o ao sistema xOy F rmulas de rota o 1 2 4 atay A Ta 5 5 25 1 4 2 4x 3y 3 p 4 5 5 25 Ent o v 34 37 25 25 O Jacir J Venturi Exerc cios N o h coisa mais f cil que enganar um homem de bem muito cr quem nunca mente e confia muito quem nunca engana Baltasar Graci n y Morales 1601 1658 escritor espanhol Dada a equa o da c nica pede se para a identificar a c nica b achar o centro ou o v rtice c calcular a equa o can nica d construir o gr fico e pontos de interse o com os eixos cartesianos 01 x 4y 2x 16y 13 0 Resp a elipse OBSERVA O Como n o h termo em xy na equa o dada basta a transla o b O 1 2 12 x 12 o gt v2 1 4 y d gr fico e pontos de interse o com o eixo x n o h Pontos de interse o como eixo y neje C NICAS E QU DRICAS
150. podemos obter a excentricidade da rbita da Terra 5 0 0167 quase uma circunfer ncia O eixo maior apresenta dois pontos o peri lio janeiro e o af lio julho que correspondem s dist ncias m nimas e m xima da Terra ao Sol respectivamente Ademais no globo terrestre ge ide o equador tem aproximada mente a forma de uma circunfer ncia e o meridiano de uma elipse b Arcos emforma de semi elipse s omuito empregados na cons tru o de pontes de concreto e de pedras desde os anti gos romanos c Engenharia Civil em Resist ncia dos Materiais muito empre gada a elipse de in rcia Engenharia El trica conjuntos de elipses homofocais elipses de mesmo foco s o utilizadas na teoria de correntes el tricas estacion rias Engenharia Mec nica s o usadas engrenagens el pticas exc n tricos Jacir J Venturi d Sob uma ab boda el ptica os sons emitidos em um foco t m melhor audibilidade nos pontos pr ximos ao outro foco n o obstante serem praticamente inaud veis na regi o intermedi ria aos dois focos regi o de baixa audibilidade e O mais portentoso monumento arquitet nico de Roma antiga foi o Coliseu A planta baixa possu a a forma el ptica cujo eixo maior tinha 188 me o menor 156 m Come ou a ser constru do em 72 por Vespasiano e foi conclu do em 82 por Tito A cobertura m vel altura de 85 m era sus tentada por um sistema in dito de tirantes acionada em caso d
151. praticam a es comuni t rias ouvimos tr s frases que encerram grandes verdades Voc j viu umvolunt rio triste quando ema o Existe terapiamelhor que fazer o bem Quando estou praticando o voluntariado esque o os meus problemas At porque meus problemas s o pequenos diante da realidade que estou atuando O Brasil n o um pa s pobre mas sim injusto A bem verdade este pa s ser salvo n o apenas pelos governantes mas pelas a es concretas de cada um de n s N o podemos ficar indiferentes cruel realidade de nossas crian as caren tes n o s de alimento sa de e boas escolas mas desprovi das de todo o tipo de esperan a Milhares de brasileiros est o fazendo a sua parte mas pouco para uma na o com milh es de jovens com tempo dispon vel bem instru dos bem nutridos e no entanto excessivamente hedonistas e alheios aos problemas sociais E tamb m fico me perguntando se n s educadores pais e l deres comunit rios n o estamos falhando em preparar s nossas crian as e adolescentes um caminho por demais flori do e pavimentado se n o estamos falhando com nosso pouco envolvimento em a es volunt rias N o podemos ignorar que a generosidade e tamb m a falta de iniciativa s o caracter s Jacir J Venturi ticas da juventude S o enf ticos os dados de uma pesquisa que realizamos com 1900 alunos de 3 escolas de Curitiba que mostraram que apenas 8 dos jovens parti
152. presenta genericamente uma superf cie No E as equa es do 2 grau constituem se em superf cies qu dricas e as do 1 3 4 2 graus em superf cies n o qu dricas D um deserto a um burocrata e em cinco anos ele estar importando areia Henri Jeanson 1900 1970 escritor franc s a 3x 4y 5z 2 0 superf do 1 grau plano b x 2xy YZ x 2 0 superf do 2 grau gt qu drica c x y z 3xyz 8 0 superf do 3 grau gt n o qu drica A superf cie do 1 grau ax by cz d 0 j mereceu a nfase necess ria em cap tulo espec fico o plano ver lgebra Vetorial e Geo metria Anal tica do autor Face s solicita es vindouras recordemos casos particulares do plano a z 2 0 Plano paralelo ao plano xy b x 7x 10 0 ou x 2 x 5 O superf qu drica que decomposta representa 2 planos paralelos ao plano yz mi x 2 0 5 SIMETRIA z P x y z x ji P x y z C NICAS E QU DRICAS a Simetria em rela o aos planos coordenados Uma superf cie sim trica em rela o ao plano xy se para qualquer ponto P x y z dessa su perf cie existir um ponto P x y Z pertencente superf cie Destarte a equa o n o se altera pela substitui o de z por z Isto posto a superf cie cuja equa o cartesiana n o se altera quando trocamos o sinalde uma das vari veis sim tr
153. qual a 16 portanto a medida do seu eixomaior 2a 2416 8 e o eixomaior coincide como o eixo y representa uma elip Depreende se ainda da equa o que b 4 gt b 2 Coordenadas dos focos c a b 16 4 12 gt gt c 24 3 Ent o F 0 243 e F 0 243 C NICAS E QU DRICAS 5 IDENTIFICA O DA ELIPSE Uma equa o do tipo Ax By F representa uma elipse com cen tro na origem e eixos paralelos aos eixos cartesianos se Ae B concordam emsinal A 4B Ademais a elipse pode ser a real se A B e F concordam em sinal Ex 2x 3y 1 b imagin ria n o h lugar geom trico ou um conjunto vazio se F tem sinal contr rio ao de Ae B Ex 2x 3y 1 c puntiforme a elipse se reduz aumpontoemO seF 0 Ex 2x 3y 0 Exemplos Resolvidos Os anos deixam rugas na pele mas a falta de entusiasmo deixa rugas na alma Michael Lynberg 01 Dada a equa o da elipse 16x 9y 144 pede se 1 a a equa o can nica Dividindo cada termo da equa o dada por 144 2 2 2 2 16x 9y _ 144 di x no j 1 eq can nica 144 144 144 9 16 1 b a excentricidade Da equa o can nica a 16 gt a 4 b 9 gt b 3 Ademais c a b 7 gt c V7 Resp KA a 4 1 c o gr fico as coordenadas dos focos e dos v rtices Como a 16 o denominador de y isto indica que o Jacir J Venturi eixo maior est sobre o eixo das orden
154. quantidade de tempo dispon vel ao filho Nutrilo afetivamente pois a presen a negligente danosa ao relacionamento A paterni dade respons vel uma miss o e um dever a que n o se pode furtar No entanto v em se filhos rf os de pais vivos A vida profissional apesar de suas elevadas exig ncias pode muito bem ser ajustada a uma vida particular equilibrada 5 Dedicar respeito e cordialidade ao filho Trat lo emos com a mesma urbanidade com que tratamos nossos amigos imprimindo um pouco de n s pelo di logo franco e adequado idade 6 Permitir que gradativamente o filho resolva sozinho as situa es adversas A psic loga Maria Estela E Amaral Santos enf tica Um filho superprotegido possivelmente ser um adulto inseguro indeciso dependente que sempre necessitar de algu m para apoi lo nas decis es nas escolhas j que a ele foi podado o direito de agir sozinho O caminho da evolu o pessoal n o plano nem pavimentado Ao contr rio permeado de pedras e obst culos que s o as adversidades as frustra es as desilus es etc Da supera o das dificuldades adv m alegrias e destarte aprimora se a auto confian a para novos embates H momentos em que os pais devem ser dispens veis ao filho Ou usando uma feliz express o Devemos dar lhe ra zes e dar lhe asas 7 Consentir que haja car nciasmateriais Cobrir o filho de todas as vontades brinquedos roupas passeios conf
155. que sejam paralelas reta y x 2 Resp y x J5 03 Estabelecer a condi o para que a reta y ax b seja tangente par bola y 2px Resp p 2ab 04 Achar a condi o para que a reta y mx ntangencie a elipse Resp am n b 05 Pede se a equa o da par bola y 2px e que seja tangente retay x 1 Resp y 4x SUGEST O a Substituindo y x 1 emy 2px gt x 1 2px b Desenvolvendo a equa o acima e impondo A b 4ac O obt m sep 2 06 Determinar os valores do coeficiente angular m para que areta y mxtangencie a curva 4x 4xy y 6x 2 0 4 14 Resp m esp m a O C NICAS E QU DRICAS 07 Calcular as equa es das tangentes circunfer ncia xX y 4x 2y 20 0 paralelas reta 3x 4y 0 Resp 3x 4y 35 0e3x 4y 15 0 08 Dada a elipse 5x y 5 determinar o ponto mais pr ximo da elipse emrela o reta y 2x 5 2 5 Resp Po 5 5 esp Po 3 5 SUGEST O a Calcule a tangente tg b O ponto procurado P ob tido pela interse o da reta tangente com a elipse dada 09 Dada a reta r 2x 3y 5 0 e a elipse 8x 18y 144 conforme figura pede se a as equa es das tangentes r C t t e t elipse e paralelas retar t b o ponto de tang ncia P Resp a t 2x 3y 12 0 t i2x 3y 12 0 b P 3 2 10 Calcular as coordenadas do ponto da par bola y 8xmais pr ximodaretax y 10 0 Re
156. r as propriedades das curvas n o diferem conforme sejam obtidas emcones retos ou obl quos embora Apol nio n o se reportasse a um sistema de eixos em Geometria Anal tica ditos cartesianos via de regra utilizava umpardedi metros conjugados como equivalentes aos eixos obl quos Apol nio conhecia a hip rbole equil tera a hip rbole referida s ass ntotas p lo reta polar de umponto externo c nica o matem tico de Perga descreve um profundo estudo sobre tan gentes e normais a uma c nica Aos que buscam um conhecimento mais profundo do tratado As C nicas recomendamos a leitura do cap tulo 9 de Hist ria da Matem tica por Carl B Boyer A prop sito este escreve Foi a Matem tica Pura de Apol nio que permitiu cerca de 1 800 anos mais tar Jacir J Venturi de os Principia de Newton este por sua vez deu aos cientistas de hoje condi es para que a viagem de ida e volta Lua fosse poss vel Igualmente ineg vel a influ ncia de Apol nio sobre Ptolomeu Este foi astr nomo e ge grafo e fez observa es em Alexandria de 127 a 151 d C Suas obras mais famosas s o o Almajesto astronomia e a Geografia 8 volumes Ptolomeu introduziu as tabelas trigonom tricas o sistema de lati tude e longitude tal como usado hoje em cartografia usou m todos de proje o e transforma es estereogr ficas Catalogou cerca de 8 000 cida des rios e referenciais importantes At a Idade M
157. r fico 01 Dada a equa o da elipse 1 pede seas Resp amo nar TT Doo Zoa S N Il I 02 Obter a equa o da elipse com centro emO 8 2 com R se esp 7 1 03 Determinar as coordenadas dos focos da elipse x 3 4 1 Resp F 3 3 1 e F 3 V3 1 04 Equa o da elipse com focos em 2 3 e 6 3 e v rtices em 3 3 e 7 3 2 2 x 2 y 25 9 Resp Jacir J Venturi 05 Obter a equa o da elipse cujos v rtices s o A 1 3 A 1 7 B 2 e B 4 2 Resp x 7 1 y 2 1 9 25 06 Calcular a equa o da elipse de centro em 4 2 e tangente aos eixos coordenados sabendo que os eixos da elipse s o paralelos aos referidos eixos cartesianos 3 x 4 _y 2 _ Resp P 16 4 07 Qual a equa o do conjunto de ponto P x y cuja soma das dist ncias a F 1 0 e F 3 0 5 Resp 84x 100y 336x 189 0 SUGEST O dPE dPE 5 gt x 1 y x 3 y 5 Efetuando tem se a resposta 08 Determinar as coordenadas do centro e a equa o can nica da elipse 4x y 40x 12y 120 0 a io X y Resp O 5 6 e 1 esp 0 5 6 e ei 09 Achar a equa o can nica e as coordenadas dos focos da elipse 4x 3y 32x 12y 40 0 12 12 Rad Au 9 12 F 4 2 3 e F 4 2 43 Resp 1 10 Construir o gr fico da elipse 4x 9y 8x 36y 4 0 Resp
158. r a equa o can nica da hip rbole xX 5xy y 8x 20y 15 0 2 2 lt 1 Resp sin wl n 02 Dados os focos F 2 1 e F 1 3 obter a equa o da hip rbole com tais focos e semi eixo iguala 1 Resp 20x 48xy 76x 24y 79 0 SUGEST O Seja P x y um ponto gen rico da hip rbole Ent o D P F d P F 2a Jacir J Venturi 03 Obter a equa o can nica e desenhar o gr fico da hip rbole X 3xy y 2 0 x y R D 2 esp 44 1 0 45 5 A hip rbole intercepta os eixos cartesianos nos pontos 2 04 Uma hip rbole com centro na origem e que possua ass ntotas coincidentes com os eixos cartesianos tem equa o do tipo xy k Achar as equa es das hip rboles abaixo representadas Resp a xy 6 b xy 2 05 Dada a hip rbole equil tera x y 8 obter a equa o desta mesma hip rbole ap s efetuada uma rota o de eixos de amplitude 0 45 Resp x y 4 C NICAS E QU DRICAS SUGEST O a F rmulas de rota o x x cos 45 y sen45 x y O y x sen 45 y cos 45 x y b Levando 1 na equa o x y 8 obter se a resposta Conclus o Uma hip rbole eq il tera de equa o x y a assume a simples e til forma de x y k quando se efetua uma rota o de eixos de amplitude 0 45 S rie B The hardest thing to learn in life which bridge to cross and which bridge to burn
159. rbole Il O Tlv o y y C NICAS E QU DRICAS Exerc cios Resolvidos Os que se mostram fortes contra os fracos s o geralmente fracos contra os fortes Leoni Kanef 01 Determinar a equa o da hip rbole abaixo configurada Obtemos da figura O 4 2 a 1 e c 2 C lculo de b b c a 4 1 3 gt b 43 A equa o da hip rbole da forma x xo Y Y 1 a b Substituindo os valores obtidos da figura na equa o acima A o x i A 1 ou 3x y 24x 4y 41 0 OBSERVA O Os focos t m coordenadas F 2 2 e F 6 2 02 Obter a equa o can nica da hip rbole 4xX y 8x 4y 4 0 a F rmulas de transla o X X X y y y b Levando na equa o dada 4Alxo XP Yo y 8 x0 X 4yo y 4 0 fazendo o coeficiente de x 0 8x 8 0 gt 5x0 1 fazendo o coeficiente de y O 2yo 4 0 gt y5 2 Ent o O 1 2 O Jacir J Venturi c A nova equa o tem a forma 4x y F 0 mas F 4 1 2 8 1 4 2 4 4 ent o 4x y o 4 OBSERVA O Se lev ssemos O 1 2 em Digualmente obter amos 2 Dividindo todos os termos de 2 por 4 x y gt gt 1 Resp 1 Resp d Gr fico Coordenadas dos focos c a b 5 gt gt c 5 F 5 1 2 F 5 1 2 Exerc cios 90 dos problemas de aprendizagem n o est o no cer bro e sim na afetividade Dr Eg dio Romanelli prof
160. ri gem e o eixo O x tenha a mesma dire o e sentido de Ox e O y tenha a mesma dire o e senti do de Oy Dizemos que o novo siste x ma x O y foi obtido por uma transla o do antigo sistema xOy Em ambos os sistemas se conservam as unidades demedi da x Jacir J Venturi Um ponto P do plano tem y coordenadas y x x e y em rela o ao siste ma xOy Vosso eP x ey em rela o ao siste y ma x O y Obtemos facilmente da figu ra as f rmulas de transla o XEK EX Y Yo y Exemplo Considere a circunfer ncia de equa o x y 6x 8y 21 0 emrela o ao sistema xOy Fa a uma transla o de eixo tal que a nova ori gem seja O 3 4 Obtenha a equa o da circunfer ncia em rela o ao novo sistema x O y RESOLU O a F rmulas de transla o x X 3 y y 4 b Substituindo x e y por seus valores na equa o da cir cunfer ncia x 3 y 4 6 x 3 8 y 4 21 0 Efetuando se x y 4 circunfer ncia A circunfer ncia x y 6x 8y 21 O se transforma na equa o x y 4 mediante uma transla o de eixos sendo a nova origem O 3 4 eraio iguala 2 C NICAS E QU DRICAS 2 ROTA O DE EIXOS Preliminarmente con sideremos um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy Man tendo fixa a origem O faz se uma rota o nos eixos Ox e Oy de um mesmo ngulo no senti do ant
161. ristalina em Fermat a percep o de uma Geometria Anal tica de tr s dimens es Se o problema proposto envolve tr s inc gnitas deve se achar para satisfazer a equa o n o apenas um ponto ou uma curva mas toda uma superf cie A partir de Fermat a Geometria Anal tica trouxe in meras facilidades ao desenvolvimento da Geometria Plana e Espacial e foi considerada a estrada real numa alus o a Euclides que afirmara ao rei Ptolomeu que n o havia nenhuma estrada real para se aprender Geometria Muitas das obras de Euclides s c Ill a C se perderam Mas h consistentes refer ncias que o grande ge metra tenha escrito um tratado sobre elips ides parabol ides hiperbol ides al m de esfera cilindro e cone Euclides fundou a Escola de Matem tica na renomada Biblioteca de Alexandria que pode ter alcan ado a cifra de 700 000 rolos papiros e pergaminhos A Biblioteca de Alexandria esta muito pr xima do que se entende hoje por Universidade E se faz oportuna a asser o do consp cuo historiador matem tico Carl B Boyer A Universidade de Alexandria evidentemente n o diferia muito de institui es modernas de cultura superior Parte dos professores provavelmente se notabilizou na pesquisa outros eram melhores como administradores e outros ainda eram conhecidos pela capacidade de ensinar Pelos relatos que possu mos parece que Euclides definitivamente pertencia ltima categoria Nenhuma descob
162. risto 09 A elipse 2x 3y 24 e a hip rbole x y 5 se interceptam em4pontosA B C D Determinara readoret nguloABCD Resp S ASB a Jacir J Venturi SUGEST O Resolva o sistema 2x 3y 24 xX y 5 B y 10 Para k 7 e para k 11 representar no sistema cartesiano os 2 2 no x y f gr ficos de 7 7 7 x y 1 eli Resp a parak 7 1 elipse E 18 2 b p TE a hip rbole ara ip rbole 14 2 A figura ao lado mostra as duas curvas e observe inclusive que a elipse e a hip rbole t m os mesmos focos F 4 0 e F 4 0 S o homofocais 5 ASS NTOTAS DA HIP RBOLE a Defini o Na figura que vem a seguir observe a hip rbole e o ret ngulo cujos lados s o 2a e 2b As retas r e r que cont m as diagonais desse ret ngulo s o chamadas de ASS NTOTAS da hip rbole A dist ncia de um ponto P da hip rbole ass ntota tende para zero quando o ponto P da hip rbole se afasta para infinito C NICAS E QU DRICAS As ass ntotas s o exce lentes guias para se tra ar o gr fico da hip rbole o esbo o adequado de uma hip rbole pode ser feito tra ando se inicialmente o ret ngulo e as retas que cont m as diagonais ass ntotas O ramo de cada hip rbole tem v rtice tangente ao lado do ret ngulo e abre se a curva tendendo para as ass ntotas b C lculo das equa es das ass ntotas Como as duas ass ntota
163. rracionalidade do x o ingl s W Shanks calculou o x com 707 casas decimais Os c lculos eram laboriosos e feitos manualmente e Shanks levou cerca de 5 anos para efetu los Em 1988 japon s Yasumasa Kanada conseguiu calcular o n com 200 milh es de casas decimais O supercomputador usado por Y Kanada levou apenas 6 horas para fazer os c lculos N o h evidentemente nenhum interesse pr tico em conhecer o x com tantas casas decimais Serve como marketing entre os fabricantes de computadores Usando o m com 40 casas decimais assegura Hygino H Domingues o c lculo da medida da circunfer ncia envolvendo todo o Universo conhecido dar o valor com a precis o da ordem do di metro de um pr ton E este menor que qualquer coisa que a vista humana possa enxergar Na antig idade Arquimedes de Siracusa 287 212 a C foi o primeiro a utilizar um m todo n o emp rico e sim cient fico para o c lculo do x Em seu tratado Sobre as Medidas do C rculo Arquimedes em um c rculo dado inscreveu e circunscreveu um pol gono de 96 lados e obteve ou 3 1408 lt m lt 3 1428 S MBOLOS DE J RAIZ Apareceu pela primeira vez na obra Die Coss 1525 do matem tico alem o C Rudolff Este sugeria o D s mbolo por sua semelhan a com a primeira letra da palavra latina radix raiz S MBOLO DE IGUALDADE Tudo indica que o sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde 1557 pois nada moare equalle a paire de
164. rtantes da sociedade As crian as e adolescentes que t m modelo afeto e limites em casa e no col gio mui raramente se envolvem com drogas viol ncia pois nutrem se de relacionamentos est veis e sadios O dr Dr uzio Varella cita os dois principais fatores que levam o indiv duo a se tornar violento neglig ncia afetiva e aus ncia de limites e de disciplina A nossa rela o com o educando seja filho ou aluno n o pode ser t bia leniente permissiva mas sim intensa e pr ativa mormente na imposi o de disciplina respeito s normas e hierarquia At porque quem bem ama imp e priva es e limites E sem disciplina n o h aprendizagem nem na escola nem para a vida N s pais vivemos hoje alguns dilemas angustiantes 1 oferecemos ao nosso filho um caminho por demais florido plano e pavimentado mas temos certeza de que mais tarde ele ter que percorrer trilhas e escarpas pedregosas 2 protegemos nossas crian as e adolescentes das pequenas frustra es mas bem sabemos que a vida mais tarde fatalmente se encarregar das grandes Jacir J Venturi 3 tudo fazemos para n o privar nosso filho de conforto bens materiais shoppings lazer etc mas destarte n o estamos criando uma gera o por demais hedonista e alheia aos problemas sociais Para esses paradoxos n o h Manual de Instru es Mas se houvesse duas palavras comporiam o t tulo deste manual AFETO e LIMITES S o pratos distin
165. s pl iade de colegas e amigos do Depto deMatem tica da UFPR que nos pro piciaram uma conviv ncia de crescimento pessoal e profissional Tamb m a nossa profunda e sincera gratid o aos abnega dos professores Pe Oneres Marchiori e Pe Andre s Wiggers pelos ensinamentos de Matem tica Latim e Grego no Ensino Fundamental e M dio em Lages SC e antes de tudo exemplos de altru smo e dedica o Cr ticas e sugest es h o de surgir E ser o bem vindas Resta nos o consolo de ter envidado esfor os para empregar util mente o nosso tempo O autor C NICAS E QU DRICAS C NICAS RESENHA HIST RICA INTRODU O Na maior parte das ci ncias assevera Herman Hankel uma gera o p e abaixo o que a outra construiu e o que uma estabeleceu a outra desfaz Somente na Matem tica que uma gera o constr i um novo andar sobre a antiga estrutura Como na forma o de uma estrutura geo l gica as descobertas matem ticas se sedimentam e se estratificam ao longo dos s culos Entretanto n o se infira que a Matem tica uma ci n cia est tica e sim emcont nua evolu o As formula es inicialmente t nu es e difusas percorrem um espinhoso caminho at atingir a magnitude de seu desenvolvimento No presente ep tome hist rico vamo nos ater ao per odo conside rado por muitos historiadores como a fase urea da Matem tica da anti guidade Esse per odo se inicia com a Escola Pitag rica s c Vla C tem
166. s o sempre tem dois lados A que ela vai receber e a que voc vai morar Chiste Popular 12 Calcular as equa es das retas tangentes elipse x 2xy 3y 3x 5y 10 O nos pontos em que a elipse intercepta o eixo das abscissas Resp 7x 5y 35 0 7x 9y 14 0 SUGEST O Para se obter os pontos de interse o da elipse com o eixo x basta fazer y 0 na equa o dada Os pontos s o A 5 0 e B 2 0 13 A c nica x xy 9y mx ny 7 0 passa pelos pontos A 1 1 eB 2 1 Calcular a equa o da tangente no ponto A 1 1 Resp x 15y 16 0 C NICAS E QU DRICAS SUGEST O Inicialmente leva se as coordenadas de A e B na equa o da c nica e ipso facto obt m se m 2en 4 O GUIZO DO PESCO O DO GATO No s t o da velha casa os ratos estavam em Assembl ia discutindo um problema que lhes angustiava todos os dias um esperto gato sorrateira e silenciosamente abocanhava um ou dois ratos Todos davam sugest es Um deles pede a palavra Por que n o p r um guizo chocalho no pesco o do gato dist ncia ouviremos o seu barulho e haver tempo para nos escafedermos Muitobem ovacionaram euf ricos os ratos Feito o sil ncio a experiente ratazana murmura em seucanto Masquempor oguizonopesco o do gato Moral da hist ria Entre as palavras e a a o h uma longa dist ncia Z Adaptado pelo autor de uma f bula do g s escritor franc s Jean de
167. s parabol ides elips ides hiperbol ides cilin dros do 2 grau e cones do 2 grau constituem as mais conheci das superf cie qu dricas Um grande n mero de ilustra es facilita o entendimento do texto e imprescind vel quando se almeja uma consp cua forma o geom trica H indica es de aplicabilidade pr tica sinopses hist ricas e sugest es para a resolu o de exerc cios no intuito de moti var o aluno naquilo que est estudando Com o escopo did tico os exerc cios est o dispostos emordem crescente de dificuldade Deve se ter em mente que resolu o dos exerc cios pre cede necessariamente um bom conhecimento da teoria Por vezes preferiu se a apresenta o intuitiva aos refinamentos te ricos que viessem obstaculizar a compreens o do novel universit rio Honraram nos sobremaneira a an lise criteriosa e as sugest es feitas pelo Prof Leo Barsottinos manuscritos que antece deram este manual e de quem fomos assistentes por 3 lustros Nesta conviv ncia aprendemos a admir lo n o apenas como profissional exigente e de extraordin rio conte do mas tamb m como exemplo de coer ncia e justi a Ademais cumprimos o elementar dever de gratid o pelo desprendimento com que os professores Florinda Miya ka Osny A Dacol D cio Krause Ana Maria N de Oliveira Luiz Carlos Dom nico e Adilson Longen se dispuseram a ler o manuscrito e apre sentar sugest es O mesmo preito de gratid o estendemo
168. s acima figuradas passam pela origem s o retas do tipo y tmx mas m tg0 2 a donde E a Essas s o as equa es das duas ass ntotas da hip rbole que tamb m podem se apresentar sob a forma de r bx ay 0 r bx ay 0 c Recursomnem nico x 2 S i ser assaz til a seguinte regra pr tica a hip rbole E 1 a pode ser escrita sob a forma bx ay a b Para se obter as equa es das ass ntotas basta substituir por zero o 2 membro desta ltima equa o Assim bx ay 0 ou fatorando o produto not vel ribx ay 0er bx ay 0 y 2 Analogamente ahip rbole n 1 podeserescritasoba a forma by a x a b Se o membro direito substitu do por zero as ass ntotas t m equa es riby ax 0er by ax 0 Jacir J Venturi Exerc cio Resolvido Calcular as equa es das ass ntotas da hip rbole 16x 25y 400 RESOLU O Na equa o dada faz se o 2 membro iguala zero 16x 25y 0 Decompondo o produto not vel 4x 5y 4x 5y 0our 4x 5y 0er 4x 5y 0 Resp 6 HIP RBOLE EQUIL TERA a Defini o Hip rbole equil tera aquela em que a b ou seja a medida do semi eixo real igual medida do semi eixo imagin rio b C lculo da equa o da hip rbole eqiil tera Sendo a b 2 2 x Aal i ou x y a a a equa o que tipifica uma hip rbole equil tera 7 IDENTIFICA O DA HIP RBOLE Uma equa o do tipo Ax Cy F repre
169. s folhas do cone Elipse quando o pla Hip rbole quando o plano o for parale lo ao eixo do cone L No entanto se o plano passa pelo v rtice V do cone ter se uma c nica degenerada O assunto em ep grafe merecer um tratamento espec fico no item 6 do presente cap tulo Jacir J Venturi 2 EQUA O COMPLETA DO 2 GRAU Chamamos de c nica ao conjunto de pontos do plano cujas coordenadas cartesianas satisfazem uma equa o do 2 grau com duas vari veis Ax Bxy Cy Dx Ey F 0 Esta equa o se diz completa quando todos os coeficientes A B C D E F s o n o nulos Destarte a equa o cont m tr s termos do2 grau Ax Bxy e Cy dois termos do 1 grau Dx e Ey umtermo independente F Det mo nos no termo Bxy Se B 0 o eixo focal da c nica obl quo aos eixos cartesianos Para que a equa o fique desprovida do termo em xy faz se mister que se aplique uma rota o de eixos de amplitude 6 Il Se B 0 a equa o do 2 grau se reduz forma AxX Cy Dx Ey F 0 O eixo focal da c nica paralelo aos eixos cartesianos Efetuando uma transla o de eixos obtemos o seu centro ou o seu v rtice para as c nicas n o degeneradas 3 DISCRIMINANTE DA EQUA O DO 2 GRAU A equa o Ax Bxy Cy Dx Ey F O pode ser identificada como uma elipse uma hip rbole ou uma par bola conforme o valor do discriminante B 4AC Se
170. s minuta prima primeira menor parte e o 25 era acompanhado de outra express o latina partes minuta segunda segunda menor parte LOGARITMO do grego logos estudo raz o propor o e arithmos n meros A palavra logaritmo apareceu pela primeira vez na obra Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio Uma Descri o da Maravilhosa Regra dos Logaritmos escrita por John Neper ou John Napier 1550 1617 Neper n o era nenhuma estrela de alguma constela o universit ria Propriet rio rural na Esc cia bar o e um homem pol mico afirmava que o Papa era o anti Cristo A sua obra supracitada foi publicada ap s 20 anos de minucioso e criterioso trabalho Tinha por escopo servir Navega o e Astronomia O matem tico e astr nomo franc s Pierre de Laplace 1749 1827 assim se reportava aos logarithmos ao encurtarem o trabalho dobraram a vida dos astr nomos Se hoje os logaritmos possuem uma import ncia bem menor deve se eclos o das calculadoras e dos computadores Estes por m seriamm quinas muito limitadas se n o houvesse logaritmos uma vez que muitas opera es s o efetuadas com a t bua de logaritmos que integra os softwares Em 1615 Henry Briggs professor de Geometria de Oxford empreendeu uma longa viagem Esc cia e visitou John Neper em sua casa Conta o historiador F Cajori que o encontro foi emocionante levaram 15minutos se abra ando sem dizer uma palavra Briggs prop s o uso da base
171. s valores substitui se as f rmulas de rota o na equa o dada F rmula tg 20 07 Reduzir a equa o 5x 5y 6xy 4x 4y 1 0 forma Ax Cy F 0 Resp 8x 2y 5 0 SUGEST O a Devemos eliminar ostermosdo1 grau transla o otermo emxy rota o b Ordem das transforma es B 4AC 0 1 transla o 2 rota o c Substituindo as f rmulas de transla o na equa o dada obt m se O 1 1 e uma equa o do tipo 5x 6x y 5y F 0 Mas F 5 1 5 1 6 1 1 4 1 4 1 1 5 Ent o 5x 6xy 5y 5 0 d Coma rota o eliminamos o termo emxynaequa o Q B 6 tg20 2 50 45 A C 0 F rmulas de rota o para O 45 x X cos 45 y sen 45 x y 2 y x sen45 y cos 45 E x y e Levando 2 em 1 tem se a resposta Jacir J Venturi 08 Transformar a equa o y 4x 6y 5 O numa equa o do tipo Ay Bx 0 Resp y 4x 0 SUGEST O Deve se eliminar o termo em y transla o e o termo indepen dente Substituindo as f rmulas de transla o na equa o dada Yo y 4 x x 6 y F y 5 0 GD ordenando y 4x 2y 6 y y 4x 6yo 5 0 a o C70TS Termo Independente Sistema 2y 6 0 x y 4x 6y 5 0 Y 3 Anovaorigem 0O 1 3 Levando x 1 ey 3em che ga se resposta A guisa de ilustra o a curva par bola de
172. senta uma hip rbole com centro na origem e eixos coincidentes aos eixos cartesianos se e somente se Ae Ct m sinais contr rios e F n o nulo Ex 2xX 93y 5 Quando F for nulo e A e C t m sinais contr rios a hip rbole se degenera num par de retas reais e concorrentes Ex 4xX 9y 0 decompondo o produto not vel y 4x 3y 4x 3y 0 ou r 4x 3y 0 er 4x 3y 0 Gr fico de 4x 9y 0 gt C NICAS E QU DRICAS 8 APLICA ES PR TICAS DE UMA HIP RBOLE Leitura Complementar a Mec nica Celeste dependendo de sua velocidade um cometa tem uma rbita el ptica parab lica ou hiperb lica o foco coincide com o Sol Vide figura esquerda b Em Mec nica dos Fluidos e em alguns problemas re ferentes ao fluxo estacion rio de eletricidade s o utilizadas hip r boles homofocais demesmofoco c O sistema LORAN longe range navigation e o sistema DECCA de navega o a rea usam a hip rbole Da Terra concomitantemente s o transmitidos sinais de r dio de dois pontos fixos F e F que s o captados pelo aeroplano em P ao longo de t e t segundos respectivamente A diferen a entre t e t determina 2a e assim se obt m a caracter stica da hip rbole na qualest P Igualmente na navega o mar tima utilizam se sistemas hiperb licos o sistema RADUX de baix ssima frequ ncia e o sistema LORAC de ondas cont nuas para observa es de grande precis o Exerc cios A natureza deu a
173. sp P 2 4 Jacir J Venturi 11 Calcular a menor dist ncia da reta r x y 1 0 par bola y x 1 742 Resp esp SUGEST O a Calcule atg paralela a r 3 y 0 x Y b Adote um ponto P Xo Yo qualquer de r A resposta ser a dist ncia do ponto P reta tangente F rmula dPo tg axo byo c va b 12 Determinar os pontos da elipse x V2xy y 2 0 tais que as tangentes sejam paralelas ao eixo x Resp v2 2 e V2 2 SUGEST O As retas paralelas ao eixo y t m equa o y k Esta deve ser substitu da na equa o da elipse e imp e se A 0 13 Calcular as equa es das tangentes elipse 13x 3y 26x 24y 22 0 e que sejam paralelas reta 2x y 3 0 Resp 2x y 1 0e2x y 11 0 14 Calcular os pontos da c nica x 2xy y 1 0 em que as tangentes s o paralelas reta2x y 3 0 Resp P 0 1 eP 1 2 O C NICAS E QU DRICAS S rie B Quando um homem n o pode ser grande come a a diminuir os outros Marqu s de Maric 1773 1848 pol tico e moralista fluminense 15 Determinar a equa o da elipse com centro na origem e eixo focal sobre o eixo x tal que o eixomaior seja 4e tangenciearetay x 1 2 2 XxX y Resp 1 esp 3 3 SUGEST O 2 y a l x E dael gt l a Equa o da elipse a r b Levando se y x 1 na equa o da elipse chega se a uma equa o do 2 grau emx n
174. superf cie qu drica o conjunto dos pontos do espa o tridimensional cujas coordenadas cartesianas verificam uma equa o do 2 grau a nom ximo tr s vari veis Ax By Cz Dxy Eyz Fxz Gx Hy Iz J 0 denominada de equa o cartesiana da superf cie qu drica Se o termo independente J da equa o acima for nulo a qu drica passa pela origem pois o ponto O 0 0 0 satisfaz tal equa o 2 EXEMPLOS DE QU DRICAS Esferas parabol ides elips ides hiperbol ides cilindros do 2 grau cones do 2 grau constituem as mais conhecidas superf cies qu dricas Acrescem se pares de planos pontos ou conjuntos vazios que podem ser representados por uma equa o do 2 grau com tr s vari veis no E e constituem as qu dricas degeneradas Se tentou e fracassou se planejou e viu seus planos ru rem lembre se que os maiores homens da Hist ria foram produtos da coragem e a coragem bem sabemos nasce no ber o da adversidade ax y 2 4x 6y 102 13 0 esfera b e E 2 elips ide c Xy yz xz 2x 2 0 hiperbol ide d x y z 4 parabol ide e x 2y y z 3xy xz yz 0 superf cie cil ndrica f x y 2 3xy 2xz 2yz 0 superf c nica g x z 3xz 3x z z y 0 n o uma qu drica Esta equa o do 3 grau representa uma superf cie cil ndrica C NICAS E QU DRICAS h xy xz 2yz 227
175. suprir as limita es doando se por inteiro nosso perene reconhecimento Aos que simplesmente nos passaram conhecimen to muito obrigado E aos que carecendo de luzes foram incapazes de se doar que n o sejam julgados mas compreendidos Johann W Goethe 1749 1832 o maior poeta alem o Jacir J Venturi UMA LI O DE VIDA Eis a hist ria verdadeira de um homem cujo nome todos conhecem e que sugere grandeli o aos sete anos perde a m e at os 23 anos tem uma inf ncia e uma adolesc ncia pobre trabalhando na lavoura para se manter nos estudos aos 26 anos endivida se por conta da morte de seu s cio aos 27 anos recebe um n o ao propor casamento a sua primeira namorada aos 32 anos o rompimento com a segunda namora dalhe provoca profunda depress o aos 33 anos perde a elei o para deputado estadual aos 34 anos n o consegue eleger se deputado federal aos 41 anos chora a morte do filho de quatro anos aos 42 anos falece seu pai aos 45 anos perde a elei o para o Senado aos 50 anos n o consegue a indica o do partido para o Senado aos 51 anos por m eleito e aos 55 reeleito presi dente dos Estados Unidos Este homem se chamava Abraham Lincoln Em meio a tantos infort nios a bem da verdade Lincoln entremeou sucessos significativos no campo pessoal pol tico e profissional Todos sabemos que a biografia dos grandes
176. tado que originalmente era composto de 13 livros dos quais s os 6 primeiros se preservaram O principal m rito da Aritm tica a utiliza o de nota es ou seja de uma linguagem mais sincopada mais simb lica para a Matem tica C NICAS E QU DRICAS Por seu turno al Khowarizmi viveu por volta de 800 d C na cidade de Bagd que emerge como uma nova Alexandria Sua principal obra Al Jabr deixou marcas indel veis em toda e Europa Al Jabr rece beu a forma latinizada Algebrae lgebra As palavras algarismo e algoritmo s o provavelmente corruptelas de al Khowarizmi algorismi algarismo algoritmo Em rabe Al Jabr significa numa tradu o mais livre desloca o e parece referir se transposi o de termos subtra dos para o outro lado da equa o Os s mbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 tiveram not vel receptividade na Europa atrav s da obra de al Khowarizmi Da serem denominados algarismos ar bicos masqueabemdaverdades odeorigemhindu Fulcrado nos ge metras gregos e no desenvolvimento da lgebra em toda a Europa Pierre de Fermat conclui em 1629 o manuscrito Ad locos planos et solidos isagoge Introdu o aos lugares planos e s li dos Para a maioria dos historiadores tal manuscrito representa o marco zero da Geometria Anal tica curioso observar que Fermat n o era um matem tico Estudou Direto em Toulouse na Fran a e a exerceu o cargo de advogado e con selheiro do parlamento F
177. tas t m a forma y y 5 x 55 C NICAS E QU DRICAS 10 Asass ntotasdeumahip rboles oasretasx y 2 0e x y 3 0 Obter a equa o dessa hip rbole sabendo que ela passapelopontoP 3 1 Resp x y 5x y 24 0 SUGEST O a Equa o da hip rbole x y 2 x y 3 k 1 b Substituindo se P 3 1 em Dobt m sek 30 c Leva sek 30em 1 11 Obter as ass ntotas da hip rbole tendo se J5e cujos v rti cesest oem 5 1 e 5 3 Resp x 2y 1 0ex 2y 9 0 12 Um ponto P x y se move de tal sorte que sua dist ncia ao ponto A 3 2 mant m se sempre igual ao qu druplo de sua dist ncia reta r y 1 0 Pede se a equa o do lugar geom trico descrito por P Resp x 15y 6x 36y 3 0 hip rbole SUGEST O d P A 4d P r gt x 3 y 2 4 desenvolvendo tem se a resposta 10 EQUA O DA HIP RBOLE CUJO CENTRO O x Yo E CUJOS EIXOS N O S O PARALELOS AOS EIXOS COOR DENADOS Reitera se que existindo o termo em xy na equa o de uma hip rbole os eixos da hip rbole s o obl quos aos eixos cartesianos Fulcrado em teoria j exposta h necessidade da rota o al m da transla o Jacir J Venturi Exerc cio Resolvido O pessimista se queixa do vento O otimista espera que o vento mude E o realista ajusta as velas William Ward Dada a hip rbole de equa o 3x 4xy 8x 1 0 pede se o centro a equa o can nica e o gr
178. tema x O y y 2x Contudo pelas f rmulas de transla o x x z 2 y y yo Substituindo 2 em 5 y Yo 2p x X0 1 que representa a equa o de uma par bola de V Xo Yo e eixo de simetria paralelo ao eixo x O par metro p ser positivo ou negativo se respectiva mente a concavidade da par bola estiver voltada para a direita ou para a esquerda C NICAS E QU DRICAS Ainda desenvolvendo l e isolando a vari vel x 1 Yo Yo 2PX i _ Jo o x TU y 2p 1 a F ou x ay by c 1 Comparando os coeficientes de e 1 observe b e gt Y bp gt nesse p 2a Esta ltima f rmula em destaque permite calcular a ordenada do v rtice da par bola yo b O eixo de simetria paralelo ao eixo y Analogamente mutatis mutandis a par bola de concavidade voltada para cima quando p gt 0 ou con cavidade voltada para baixo quando p lt O tema forma x xo 2p y yo Il Outrossim desenvolvendo Il e isolando a vari vel y temos y ax bx c 1 Similarmente ao caso anterior a compara o dos coeficientes de II e II permite concluir que o mi ima 2a Jacir J Venturi N B Fulcrados na compara o das equa es enfatize se que o sinal do coeficiente a o mesmo de p Isto posto a concavi dade da par bola fica explicitada Porexemplo A par bola x 4y 3y 1 tem concavidade voltada para a
179. to e os primeiros trabalhos sobre o mesmo deve se a Filolau quase 100 anos ap s a morte de Pit goras Mas n o f cil negar aos pitag ricos assevera Carl Boyer o papel primordial para o estabele cimento da Matem tica como disciplina racional A despeito de algum exa gero h s culos cunhou se uma frase Se n o houvesse o teorema Pit goras n o existiria a Geometria A Escola Pitag rica ensejou forte influ ncia na poderosa verve de Euclides e Plat o na antiga era crist na Idade M dia na Renascen a e at emnossos dias com o Neopitagorismo EUCLIDES c 325 c 265a C Ignora se o local e ano de nascimento de Euclides Provavelmente tenha recebido os primeiros ensinamentos de Matem tica dos disc pulos de Plat o Ptolomeu general maced nio favorito de Alexandre o Grande morto em323a C trouxeEuclidesdeAtenasparaAlexandria Esta torna ra se a nova capital eg pcia no litoral mediterr neo e centro econ mico e intelectual do mundo helen stico Euclides fundou a Escola de Matem tica na renomada Biblioteca de Alexandria que pode ter alcan ado a cifra de 700 000 rolos papiros e pergaminhos Alexandria a partir de Euclides at o s c IV d C reinou quase absoluta n o s como a mais ecl tica e cosmopolita cidade da antig ida de mastamb mcomoprincipal centro de produ omatem tica A mais consp cua obra de Euclides Os Elementos c 300 a C constitui um dos mais not veis comp
180. tos de uma balan a e t m que prevalecer o equil brio a medida e o bom senso Mais que no passado ao percorrer o seu caminho o jovem de hoje encontra muitas bifurca es tendo ami de que decidir entre o bem e o mal entre o certo e o errado Em cada etapa da vida bom que o nosso educando cometa pequenos erros e seja responsabilizado por eles Mas tamb m que tenha clareza das nefastas consequ ncias dos grandes ou irrevers veis erros para que possa evit los Por exemplo uma gravidez indesejada exposi o excessiva ao risco envolvimento com drogas lcool tabaco DST brigas violentas furtos etc Num crescendo a crian a e o adolescente devem adquirir o direito de fazer escolhas aprendendo a auto admi nistrar se Sem liberdade o ser humano n o se educa Sem autoridade n o se educa para a liberdade pondera o educa dor su o Jean Piaget 1896 1980 Autoridade e liberdade exercidas com equil brio s o manifesta es de afeto ensejam seguran a e prote o para a vida adulta Autoridade fun damental a superprote o e a permissividade impedem que os jovens amadure am completa a professora da UFRJ T nia Zagury Aos filhos deve mos dar lhes ra zes e asas valores e liber dade E n s pais educa mos pouco pelos cromos somos e muito como Caes y DFF _ somos exemplos Sai sempre ganhando quem sabe amar dialogar conviver com erros e tamb m quem sabe ser firme e coere
181. tra o no plano yz uma elipse com a 5 b 1 e as geratrizes s o paralelas ao eixo das abscissas Equa o da diretriz d l D 2y 3z 3 so C NICAS E QU DRICAS 05 Esboce o gr fico da superf cie qu drica y 2x z Resp Xx uma superf cie cil ndrica parab lica cuja diretriz a par bola y 2x pertencente ao plano xy e as geratrizes s o paralelas ao eixo z y 2x2 Equa o da diretriz d l 06 Figurar a superf cie y x 9 Resp Superf cie cil ndrica hiperb lica cuja diretriz a hip rbole y x 9 no plano xy e as geratrizes s o paralelas ao eixo coordenado z A hip rbole tem O 0 0 ea b 8 y x 9 z 0 Equa o da diretriz d l Jacir J Venturi 07 Esbo ar a superf cie y 2 x 2 1 e calcular a equa o da diretriz z Resp ka tat Superf cie cil ndrica hiperb lica de geratrizes paralelas ao eixo z A hip rbole pertence ao plano xy e tem O 2 2 ea b 1 y 22 x 2 2 1 Equa o da diretriz d l 08 Esboce o gr fico da superf cie cil ndrica y 5 z Ache os pontos de interse o com os eixos cartesianos Resp uma superf cie cil ndrica parab lica cuja diretriz a par bola y 5 z de c
182. u desenvolvendo se os quadrados 7X 3Y 7Z2 9XY 13XZ 9YZ 2 0 Equa o que representa uma superf cie circular de diretrizes paralelas reta r Exerc cios A coisa mais importante que um pai pode fazer pelos filhos amar a m e deles H Jackson Brown 01 Achar a equa o da superf cie cil ndrica de geratrizes paralelas ao vetor V 1 1 1 e cuja diretriz seja a curva de interse o do planox y Z 0 coma superf cie qu drica x yZ Resp X 2Y Y Z 3XY XZ YZ 0 02 Determinar a equa o de uma superf cie cil ndrica cuja diretriz a hip rbole 4x y 3 no plano xy e cujas geratrizes s o paralelas reta y 1 2 8 x ri 2 1 2 Resp 4X Y B 8XZ YZ 3 0 D C NICAS E QU DRICAS SUGEST O a Equa es da di retriz 2 EA af yf 3 z 0 b Equa es para m tricas x X 2t y Y tt z Z 2t c Substitua as e qua es param tricas nas equa es da diretriz 03 A diretriz de uma superf cie cil ndrica a curva interse o da esfera x y z 4 como plano z x y z 0 As geratrizes s o perpendiculares ao plano x Escrever a equa o da superf cie cil ndrica Resp X Y 2 XY XZ YZ 6 0 SUGEST O Lembrar se da condi o de ortogonalidade de reta e plano l a 1 m b 1e n c 1 Jacir J Venturi 04 Calcular a equa o da
183. uarto Teria H rcules sido bem sucedido Em meio a tantas vicissitudes do mundo moderno voc pai voc m e e eu chegamos talvez a um consenso educar bem um filho corresponde n o a um mas aos doze trabalhos atribu dos ao nosso her i mitol gico Masvaleapena O filho n o vem ao mundo acompanhado de um Manual de Instru es e tampouco lhe ser concedido um Certificado de Garantia Isto posto educar conviver com erros e acertos Mais acertos proporcionalmente ao di logo e ternura Do Autor C NICAS E QU DRICAS CIACRSETIDIERO Conicas 1 SE ES C NICAS lt o guisa de apresenta o consideremos um cone circular reto de duas folhas de v rtice V e eixo e Qualquer reta que passa pelo v rtice e est sobre a superf cie c nica chama se geratriz 9 A palavra c nica ou se o c nica procede do fato que tal curva obtida por meio do corte de um plano a sobre o cone circular reto Isto posto quando o plano for secante ao cone e n o contiver o v rtice ter se como se o c nica uma circunfer ncia par bola elipse hip rbole Melhor ilustram as figuras abaixo Circunfer ncia quan do o plano a for per pendicular ao eixo e do cone Par bola quando o plano a for para lelo a uma geratriz do cone no o for obl quo ao eixo e n o paralelo a uma geratriz O pla no corta apenas uma da
184. um s lido cuja superf cie constitu da de faces poligonais O poliedro regu lar se suas faces forem pol gonos regulares H apenas 5 poliedros regula res o tetraedro 4 faces triangulares o cubo ou hexaedro 6 faces quadra das o octaedro 8 faces triangulares o dodecaedro 12 faces pentagona is e o icosaedro 20 faces triangulares Faz se oportuna a asser o de George Simmons A constru o de poliedros regulares fornece um cl max soberbo Geometria de Euclides e alguns conjecturam que esse foi o prop sito primeiro pelo qual Os Elementos foram escritos o de glorificar os Poliedros de Plat o Na proposi o 18 a ltima de Os Elementos Euclides prova que n o pode haver umoutro poliedro regular al m dos 5 mencionados Euclides foi sin nimo de Geometria e reinou absoluto at o s c XIX quando foi parcialmente contestado o seu famoso 5 postulado por Riemann Lobatchewski e Bolyai criadores das geometrias n o euclidianas A bibliografia de Euclides ecl tica e valiosa Os Dados solu o de problemas geom tricos planos que complementavam os 6 primeiros volumes de Os Elementos Da Divis o trata da divis o de figuras pla nas Fen menos geometria esf rica aplicada astronomia Optica que trata da geometria dos raios refletidos e dos raios refratados Introdu o Harm nica m sica E para desfortuna de milhares de matem ticos muitas das obras de Euclides se perderam Lugares d
185. vam quantidades diferentes de gua Deste fato decorre o princ pio de Arquimedes lei b sica da Hidrost tica Todo corpo mergulhado num fluido recebe um impulso de baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado Paradoxalmente Arquimedes era muito negligente em termos de asseio pessoal L se em Plutarco que Arquimedes era por vezes levado for a para banhar se ou passar leo no corpo que costumava tra ar figu ras geom tricas nas cinzas do fogo e diagramas no leo de seu corpo estando emumestadodepreocupa o total e de possess o divina no sen tidomaisverdadeiro por seu amore deleite pela ci ncia Na 2 Guerra P nica contra a poderosa razia do ex rcito e mari nha romanos comandados pelo C nsul Marcelo a sagacidade de Arquimedes criou aparatos devastadores catapultas de grande alcance para lan ar blocos de pedra sobre as galeras inimigas gigantescos guindastes que elevavam a proa dos navios roma nos afundando os pela popa um enorme espelho que incendiava os navios hostis a dist ncia uma vez que refletiam os raios solares Plutarco conta que se instalou tamanho temor e ang stia entre as tropas romanas que qualquer corda ou pau sobre as muralhas de Siracusa era considerado uma artimanha diab lica de Arquimedes Marcelo desistiu de tomar Siracusa por assalto e infligiu um cerco de3 anos Em212a C acidaderendeu se Adentrando se s muralhas de Siracusa as hostes romanas pro
186. volumes das superf cies obtidas por se es planas sobre a esfera calotas e segmentos e sobre o cilindro A pedido de Arquimedes foi gravada na l pide de seu t mulo a representa o de uma esfera inscrita num cilindro circular reto Do que hodiernamente denomina se qu dricas h contribui es significativas de dois outros matem ticos helenos Apol nio e Pappus Apol nio de Perga 262 190 a C que sup e se tenha estudado e por algum tempo ensinado na Universidade de Alexandria mostrou pela primeira vez que a elipse a par bola e a hip rbole podem ser obtidas variando a inclina o do plano de se o sobre um cone de duas folhas Para g udio de todos sua monumental obra AS C NICAS sobreviveu praticamente inc lume dos oito livros apenas um se perdeu Pappus s c IV d C viveu quando a matem tica grega dava seus ltimos suspiros Escreveu Cole o Matem tica que infelizmente foi um requiem da matem tica grega porque depois de Pappus a matem tica estiolou e quase desapareceu e teve de esperar por 1 300 anos para um renascimento no come o do s culo XVII George F Simmons A Cole o Matem tica uma esp cie de enciclop dia onde se faz umep tome com os devidos cr ditos das descobertas dos matem ticos gregos Por ser bastante criterioso e escrupuloso na cita o das fontes credita se a Pappus belos teoremas da Geometria sobre Centros de Gravidade de S lidos e Superf cies de Revolu
187. x 3y 0 e 2x 3y 0 Determine a equa o da hip rbole Resp 4x 9y 36 SUGEST O Equa o da hip rbole a 2x 3y 2x 3y k ou 4x 9y k b A 3 0 hip rbole k 36 06 Obter as coordenadas dos pontos de intersec o da reta x 4y 4 0 com ahip rbole x 4y 16 20 8 Resp 4 0 e a 07 Uma hip rbole tem excentricidade igual a 2 Calcular o ngulo entre as ass ntotas 21 Resp 20 P 3 O Jacir J Venturi SUGEST O a g L 25c 2a a b b c a 3a gt gt b av3 O ngulo entre as ass n totas 20 08 Latus rectum ou corda focal m nima a corda tirada por um foco perpendicularmente ao eixo real Determinar o comprimento 4 da 2 p x y latus rectum da hip rbole 1 a bo 2b SUGEST O a P c y hip rbole c y a po b Isolando y na equa o acima y cia b a masc a b Exemplificando o comprimento da latus rectum da hip rbole x 4 1 2 2 C NICAS E QU DRICAS OBSERVA ES Similarmente deduz se que o comprimento da latus rectum da xX y 2b li gt 1 tamb m elipse 2 p a 09 Demonstrar que a excentricidade de qualquer hip rbole equil tera iguala V2 SUGEST O Na hip rbole equil tera a b Logo c vVa b Va a av2 Isto posto gt 42 10 Uma hip rbole passa pelo ponto P 1 2
188. xy i Ele J5 241 KAY la ela c Obter a nova equa o no sistema x Oy ap s a rota o de eixos de amplitude 0 c 1 Substituindo as f rmulas de rota o na equa o dada 2 x 2y x 2y 2x y 3 4 1 0 c 2 Efetuando se os produtos e as somas Resp 4y x 1 0 OBSERVA O C NICAS E QU DRICAS Veremos no Cap 4 que a equa o 4y x 1 0 representa uma hip rbole referida ao sistema x Oy e a equa o dada 3x 4xy 1 0 re presenta a mesma hi p rbole por m referi da ao sistema xOy A rota o dos eixos foi de 6 63 Ao lado apenas a t tulo de ilustra o represen tou se a hip rbole 2 Transformar a equa o 3x 2xy 3y 6x 6y 1 O numa RESOLU O equa o do tipo Ax Cy F 0 Na equa o 3x 2xy 3y 6x 6y 1 0 devemos eliminar 1 os termos do 1 grau transla o 2 o termo em xy rota o Importante Pode parecer natural que a transla o necessaria mente preceda rota o Mas nem sempre isto verdadeiro H exerc ci os cuja ordem das transforma es contr ria citada Alvitramos a seguinte regra pr tica Na equa o Ax Bxy Cy Dx Ey F 0se B 4AC 0 l B 4AC 0 l No presente exerc cio 1 transla o 2 rota o 1 rota o 2 transla o B 4AC 2 4 3 3 40 Ordem das transforma es 1 transla o 2 rota o

Conicas Parte 1.cdr - Geometria Analítica

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