O Pêndulo de Wilberforce
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1. Comprimento do eixo horizontal 10 cm Altura dos pesos de ajuste 2cm Largura dos pesos de ajuste lcm Di metro do eixo horizontal 0 5 cm Material Latao Figura 3 Elo de fixa o entre o suporte e a mola feito de lat o Com as pe as prontas e definido o meio de fixa o ao suporte o mesmo foi constru do usando retalhos de madeira de constru es e parafusos O suporte teve de ter uma altura de aproximadamente 1 5m pois a mola esticada com as oscila es chega a um tamanho pr ximo de 1 8m assim necess rio que se coloque o pendulo sobre uma mesa Com um suporte grande para evitar vibra es foi fundamental um tarugo de madeira ligando o tarugo horizontal e vertical para uma boa sustenta o A madeira de suporte tem de aguentar o torque sobre a base de maneira que o sistema n o tombe T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 5 Figura 4 Materiais utilizados na constru o do suporte Figura 5 Suporte Montado T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 6 Com todas as partes constru das chegou se constru o final mostrada na figura Figura 6 Montagem Final do P ndulo de Wilberforce Com a montagem acima foi feito testes para v rias posi es do peso de ajuste ou seja para v rios momentos de in rcia diferentes Para uma posi o onde o peso de ajuste estava distante 2 cm do eixo central foi observado a altern ncia2. Descri o matem tica aprofundada 2 Pitre John Wilberforce Pendulum Physics 1828 lab Univ of Toronto http faraday physics utoronto ca PH Y 182S WilberforcePendulum pdf Retrieved 2008 05 03 Proposta para atividade experimental para estudantes de graduacao Abordagem simplificada 3 A P French Vibrations and Waves Chap 5 Material que aborda osciladores acoplados e modos normais de oscila o 4 L R Wilberforce On the vibrations of a loaded spiral spring Philos Mag 38 386 392 1894 Artigo original de Wilberforce onde ele faz o estudo do p ndulo 5 Ferraz Luiz http www ferradeciencias com br sala05 05 52 asp Descri o breve do experimento 6 WebSite http www compadre org OSP items detail cfm ID 7569 Ultimo acesso 19 10 09 Encontra se o download de um programa para a simula o do p ndulo de Wilberforce 7 Manual de instru es do aparato experimental PASCO dispon vel em ftp ftp pasco com Support Documents English ME ME 8091 012 08397a pdf Ultimo T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 8 acesso 19 10 09 Existe a descri o de uma atividade experimental para alunos de gradua o 8 Website http www cienciamao if usp br tudo exibir php midia rip amp cod construcaodemolas mecanica txtmec0020 Ultimo acesso 19 10 09 Ensina a como construir uma mola 9 Website http www feiradeciencias com br sala02 02_034 asp Ultimo
3. Wilberforce 3 Figura 1 Mola utilizada no projeto Com a constru o da mola temos condi es de determinar caracter sticas importantes da mesma tais como as constantes de elasticidade rotacional e translacional para assim se projetar junto com a informa o do material dispon vel de constru o o peso do P ndulo O p ndulo deveria ter um meio de ajuste do momento de m rcia para uma faixa compat vel com as condi es de observa o do fen meno de altern ncia de oscila es puras As express es utilizadas para o c lculo do peso oscilador est o expostas no Anexo 2 e as medidas do mesmo na tabela 2 No peso oscilador h pesos menores de ajuste que s o fixados em suas posi es com um parafuso Um detalhe t cnico pensado na fase de projeto foi de como se acoplaria a mola no suporte e a mesma no peso Na literatura isso era feito de v rias formas para que o peso n o se movesse livremente e assim toda a oscila o tanto rotacional quanto translacional fosse transmitida totalmente mola Nas figuras 2 e3 poss vel visualizar como isso foi feito para este projeto Figura 2 Peso oscilador feito de latao com momento de in rcia ajustavel T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce Bie Tabela 2 Medidas do Peso Oscilador com momento de in rcia ajustavel Par metros para o Peso Oscilador Di metro principal 3 cm Di metro da jun o superior lcm Altura Total 5 cm
4. de oscila es puramente rotacionais e puramente translacionais 2 Dificuldades encontradas N o se conseguiu nesse projeto fazer uma montagem com materiais alternativos Essa montagem foi tentada mas devido falta de tempo considerando se a montagem principal feita acima para obten o e testes de materiais e de recursos para sua compra n o se conseguiu chegar a uma montagem deste tipo que obtivesse sucesso na visualiza o dos fen menos de interesse Foram feitas tentativas fazendo se o peso oscilador com parafusos e massinhas e mais tarde fazendo se com o material Durepox1 Contudo o grande problema n o foi a constru o do peso pois este ltimo material se prestava bem para isso A grande dificuldade foi a obten o ou constru o de uma mola que atendesse s qualifica es necess rias ao projeto Foram feitos testes com espiras de caderno de 10 mat rias figura 7 estas apresentaram uma constante el stica muito alta sendo que para pesos de at 0 5Kg n o se tinham oscila es com amplitude de boa visualiza o Uma alternativa talvez fosse a de se misturar chumbo com Durepoxi para se conseguir pesos maiores e a de se conseguir uma espira de caderno de mais mat rias no mercado como as de 20 mat rias T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 7 E Figura 7 A esqueda espira de caderno de arame e direita mola construida Foi tamb m constru da uma mol
5. ncias de oscila o al Th Ala D T a ty inal anne Figura 10 Modulacao em quadradura para x1 e x2 x i On As duas oscila es possuem mesma frequ ncia o processo ressonante Assim a amplitude de uma oscila o cresce rapidamente enquanto a outra decresce pois a energia total respeita a conserva o de energia No site da Open Source Physics poss vel obter um programa em Java que simula o p ndulo de Wilberforce O programa permite a visualiza o do movimento do p ndulo O programa constr i um gr fico referente tem como eixos as posi es das oscila es Assim o gr fico O X x e neste poss vel observar o desenho quadrangular t pico de seu comportamento Outro gr fico fornecido o da amplitude de cada oscila o em decorrer do tempo vis vel nesse gr fico a coincid ncia dos m nimo de um tipo de oscila o com os m ximos do outro T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 15 Wilberforce Pendulum oo Bi Ejs Coordinate Plot o g K co asas dae 015891 oop eT Soro JEM o DOR a Figura 11 Simula o computacional do p ndulo de Wilberforce Parte superior esquerda Esquema do p ndulo Parte superior direita gr fico da posi o angular com a posi o de transla o Abaixo as amplitudes das oscila es com o tempo 7 Declara o do orientador O meu orientador realizou os seguin
6. peso e mm a massa da mola Uma vez montado o aparato experimental essa frequ ncia fixa Grosso modo temos que fazer com que as frequ ncias de transla o e rota o sejam aproximadamente iguais Esta uma condi o necess ria para termos o fen meno de batimento que no nosso caso a altern ncia de tipos de oscila o Assim Jr Sr 5 K m 15 gt l m K a gt O ajuste dos pesinhos deve ter em vista essa condi o N vel Gradua o Podemos descrever os dois tipos de oscila o no p ndulo de Wilberforce com as equa es de um oscilador b sico 0 Acos t x A cos t angulares das oscila es Contudo esse p ndulo possui um acoplamento E com a superposi o das oscila es temos que onde A e A a amplitude da oscila o e w e w s o as frequ ncias T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 14 0 acos E ae 2 2 A q lo x asen t sen 0 0 2 2 0 Assim temos uma situa o t pica de batimento modulada por a Cos E para 0e asen z para x Observe que a modula o das amplitudes est em quadradura figura 6 Assim o m ximo de uma equivale ao m nimo da outra exatamente isso que observamos no P ndulo de Wilberforce quando temos o m ximo de oscila o translacional temos o m nimo de oscila o rotacional e vice versa A Freq ncia do batimento igual diferen a entre as duas freq
7. O PAULO Desta o Ci ncia E Escola de Artes Ci ncias e Humanidades pInstituto de Fisica Financiamento e apoio NTVERSIDA RES a SAO PAULO Copyright 2006 2008 Universidade de Sao Paulo Todos os direitos reservados e 9 Website http www feiradeciencias com br sala02 02 034 asp Ultimo acesso 19 10 09 Ensina como construir uma mola T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 22 Dinamometro Maquina de fazer molas Prof Luiz Ferraz Netto leobarretos uol com br Objetivo Aprender a tecnica para fazer molas de aco Montar um aparelho que serve para medir pesos e intensidades de for as em geral Material gt Ferro redondo liso de 45cm e di metro 8mm gt Serra de ferro gt Toco de madeira 10 x 6 x 5 cm gt Cola alicate canivete ou faca gt Arame de a o de 3 me 0 5 mm loja de ferragens gt Sarrafo de pinus 15 x 1 5 x 1 5 cm gt Cano de PVC 1 2 de 25cm gt Dois pit es tipo gancho pequenos gt T bua 14 x 20 x 2 cm e dois sargentos Nota Dispondo se de uma morsa pode se suprimir a t bua e os sargentos Montagem da m quina de fazer molas gt Dobre o tarugo de ferro como se ilustra na fig A e a seguir fa a um sulco com a serra de ferro na extremidade da parte comprida da manivela Esse sulco tem profundidade de cerca de 1 cm 25 Em gt Fa a um furo de 8mm no toco de madeira de lado a lado nas fac
8. WY ar UNICAMP F609 T picos de Ensino de Fisica I Universidade Estadual de Campinas xs o Instituto de Fisica Gleb Wataghin F tituto de Fisica Gleb Wataghin Relatorio Final O P ndulo de Wilberforce Oscila o Translacional e Rotacional Acoplada Dezembro de 2009 Aluno Vitor L cio Lacerda Fontanella RA 065022 E mail vitorlecio y gmail com Orientador Prof Dr Alberto Saa Email asaa ime unicamp br Coordenador Prof Dr Jose Joaquin Lunazzi E mail lunazzi ifi unicamp br 1 Resultados atingidos T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 2 Foi constru do um p ndulo de Wilberforce que um timo exemplo de sistema em que ha acoplamento entre dois tipos de oscila es resultando em uma completa transfer ncia de energia entre os dois tipos de movimentos harm nicos que no caso o translacional e o rotacional Isso significa que poss vel observar momentos de altern ncia da oscila o puramente translacional com momentos de oscila o puramente rotacional Esse curioso fen meno observado para determinadas condi es por 1sso o projeto de montagem foi cuidadosa na determina o de par metros e medidas O ponto de partida da montagem foi a escolha de uma mola e de seus par metros para que a partir desses se determinassem os outros Os par metros de mola escolhidos foram as sugeridas no artigo de Berg e Marshall Outras molas s o poss veis send
9. a com arame de constru o j que em lojas especializadas a venda era feita em metragens muito grandes Essa constru o foi feita simplesmente enrolando um arame bem tencionado em um cano O problema dessa constru o que foi utilizado um arame que se mostrou muito mole e que a partir de uma tens o mediana j apresentava deforma o pl stica Essa mola tamb m apresentou uma constante el stica muito alta sendo que para pesos de 0 5Kg n o se tinha uma boa observa o das oscila es Uma alternativa talvez seja a de se utilizar um arame de maior dureza e de se tentar uma constru o com um maior di metro e maior quantidade de espiras j que na constru o foi feita uma mola com di metro de 2 5cm Com um maior di metro externo de mola e maior n mero de espiras de se esperar constantes el sticas menores como sugerido no anexo 1 5 Pesquisa realizada e Refer ncias A busca pela internet se deu via buscador Google e a palavra chave utilizada foi P ndulo de Wilberforce e Wilberforce Pendulum Pouca coisa foi encontrada com a palavra chave em portugu s A Wikip dia em ingl s tr s o verbete da palavra chave tendo como conte do uma breve descri o e o que nos foi mais til tem boas refer ncias e links A partir deste ponto se deu prefer ncia s refer ncias publicadas no meio acad mico 1 Berg R H Marshall T Wilber force pendulum oscillations and normal modes Am J Phys 59 1 January 1991 pp 32 38
10. acesso 19 10 09 Ensina como construir uma mola 10 Halliday D Fundamentos de Fisica v l e v2 3 ed LTC editora 1994 Teoria b sica sobre momento de in rcia conserva o de energia osciladores e fen meno de batimentos 11 H M Nussenzveig Curso de F sica B sica v 2 3ed Editora Edgard Bl cher Teoria muito boa sobre osciladores acoplados 12 Wikip dia http en wikipedia org wiki Wilberforce pendulum Ponto de partida para o estudo 6 Descri o do trabalho N vel B sico O p ndulo de Wilberforce n o o p ndulo onde ocorre uma for a wilber sim antes de tudo um invento de um f sico brit nico de nome estranho Wilberforce Esse cara muito menos famoso que o pr prio p ndulo que inventou N o era toa o p ndulo do senhor Lionel Robert Wilberforce tem um comportamento muito curioso J ouviu falar em lei da conserva o da energia Se existe uma lei na fisica que merece o glorioso t tulo de lei a da conserva o de energia Uma lei f sica algo que tem uma validade geral e a lei que nos referimos nunca foi desmentida por nenhum estudo at hoje No experimento do p ndulo de Wilberforce poss vel observar que a energia dada inicialmente ao p ndulo se conserva entre dois tipos de movimentos oscilat rios A todo movimento temos uma energia associada Quanto mais intenso o movimento maior a energia E a velha hist ria prefiro ser atropelado por uma tartaruga andando do que por
11. arrafo cilindrico separando os 3cm ajustados dos 12 cm folgados gt Finque os extremos retos da mola no centro da base de cada sarrafo fig D 9 e coloque o conjunto no cano como se v na fig D gt Enrosque nos centros das bases livres dos cilindros os dois pit es gancho fig D 9 gt Para calibrar o aparelho pendure pesos aferidos no dinam metro e fa a tracinhos no cilindro m vel como indica a fig D 8 Procedimento gt Experimente pesar v rios objetos ao seu alcance procurando sempre n o exceder o limite do aparelho at o fim do cilindro com marcas Observa o Para as experi ncias a seguir dever dispor de tr s dinam metros no m nimo M os obra Copyright O Luiz Ferraz Netto 2000 2008 Web M ster Todos os Direitos Reservados
12. do a energia do sistema permanece a mesma Na verdade existe uma perda de energia gradual pois o sistema acaba interagindo com o meio Assim o p ndulo de Wilberforce nos permite ver sucessivas transfer ncias de energia entre dois movimentos e andando na linha segundo a lei de conserva o T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 10 podemos dizer que a energia associada aos movimentos n o excede ao valor de energia dado inicialmente sendo a energia do sistema constante e igual inicial Nivel Ensino M dio A energia total do sistema em um momento qualquer da oscila o ser a soma das v rias express es da energia envolvidas no p ndulo Identificamos facilmente a energia cin tica de transla o e a energia cin tica de rota o Para entender a energia cin tica de rota o basta imaginar que as mol culas tamb m est o em movimento quando est o girando As energias cin ticas s o dadas pelas seguintes equa es 2 i 1 onde Kr a energia cin tica translacional m a massa do peso oscilador e v a velocidade do peso oscilador A equa o para a energia cin tica de rota o Kr tem a mesma forma mas depende de vari veis rotacionais Kp do see 2 onde I o momento de in rcia e q a velocidade angular da tor o Continuando a an lise temos tamb m a energia potencial el stica que armazenada na estrutura da mola Quando a mola est comprimida q
13. es de 6cm x 5cm e introduza o ferro no furo esse furo pode ficar bem rente a uma das faces de 10 cm por 6 cm gt Cole ou aparafuse esse toco na t bua grande como indica a fig Be com os sargentos fixe o conjunto na extremidade da mesa gt Prenda a ponta do fio de a o no sulco feito no tarugo de ferro detalhe B 2 e pe a a um aluno para segurar com um alicate a outra ponta mantendo o fio bem esticado T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 23 a 4 gt V girando a manivela sempre com o fio bem esticado at que ele fique todo enrolado no ferro e com as espiras bem juntas Se a manivela estiver bem rente t bua os sulcos deixados pelo fio de a o na t bua ir o facilitar o processo gt Ao terminar de enrolar solte vagarosamente o fio e dobre suas extremidades as pontas como indica a fig C Legenda 1 ferro de opteu 1d 8mm 2 extremidade do ferro ampliada para mostrar o engate do fio 3 sargentos 4 fio de a o 5 alicate 6 t bua 7 mesa 8 cilindro de pinus 9 pit es gancho 10 cano de PVC para revestir a montagem final gt D formato cil ndrico ao sarrafo fig D 8 cuidando para que os primeiros 3 T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 24 cm penetre bem apertados no cano de PVC e os restantes 12 cm passe pelo cano com folga Corte esse s
14. eterminei um r 3cm E um R entre 1 5 e 5 cm Com a densidade do material e tendo em considera o a massa total de 400g calculei a altura do peso A determina o de todas as medidas um c lculo com muitas vari veis nao tendo uma solu o anal tica Assim considera es reais como por exemplo o peso n o pode ter uma altura muito pequena pois pode tombar s o fatores para o estabelecimento de algumas medidas Anexo 3 Como construir uma mola Existem maneira caseiras de se construir molas Anexo 4 PI Por m para o di metro de mola que desejamos cerca de 3cm precisamos de uma tarugo de ferro que ser onde o arame ser enrolado tamb m de di metro 3 cm Assim para molas de tais di metros aconselhamos o uso de um torno para girar o tarugo de ferro Assim para se construir a mola necess rio e Arame de a o Imm de di metro e Tarugo de a o de di metro escolhido no nosso caso 3 cm e Torno mec nico T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 18 Prende se a ponta do arame no torno junto ao tarugo e ligando o come a se a enrola lo em torno do tarugo Precisa se nesse instante se fazer pressao no arame para que este fique justo ao tarugo Uma alternativa para que quiser fazer uma mola desse di metro enrolar o arame no tarugo utilizando se de for a manual Anexo 4 Determina o da constante El stica da mola A mola foi submetida a a o do peso de v rias massas dife
15. i verificada experimentalmente tendo boa concord ncia como mostrado no Anexo 4 Anexo 2 Determina es das medidas para constru o do peso oscilador Aplicando as constantes el sticas determinadas no anexo 1 na condi o de resson ncia dada pela equa o 15 determinamos uma raz o entre o momento de m rcia e a massa do peso O momento de inercia dado pela equa o 11 substituindo agora pelas express es de momento inercial correspondente a cada parte do p ndulo temos e considerando as vari veis expostas na figura A2 temos beds t eis x c p a m 2 2 A3 Mr 2mR Mm RR 42 2 2 T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 17 Figura 12 Vari veis para o momento de in rcia A mola tem um a massa de 80g e o valor d 3cm Determina se ent o um valor de I em fun o de r R m e M Substituindo esse I em 15 com as constantes el stica ja determinadas temos uma rela o entre essas vari veis A densidade do material usado o lat o de 8 6g cm Assim se estipula uma massa que seja aproximadamente 400g considerando a deforma o da mola em torno de 1 4m no equil brio Assim 400g ser a soma dos componentes do peso O peso n o pode ter um di metro muito grande para n o ter um momento de in rcia que impossibilite a resson ncia nem pequeno demais para que os pesinhos n o sejam suficientes para alcan ar a condi o de resson ncia Levando isso em conta d
16. nas um tipo de oscila o ocorre no p ndulo e por consequ ncia apenas um tipo de movimento temos que a energia inicial estar dividida entre a energia potencial el stica e a energia do movimento em quest o Por exemplo se o nico movimento o translacional a energia do sistema estar dividida e oscilando entre o movimento do peso para cima e para baixo e a energia potencial el stica do alongamento e compress o da mola com refer ncia ao ponto x 0 O movimento de rota o e a tor o da mola ser o praticamente nulas nesse instante e assim a energia cin tica rotacional e a energia potencial el stica de tor o ser o nulas Com 1sso temos mv lo Kx 60 mv IO Kx 60 E 4 4 4 lM 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 pe mM Ae 6 2 2 E ainda nesse caso podemos considerar o instante em que o peso passa por x 0 A energia potencial el stica nesse caso ser nula e toda a energia do sistema estar na forma de movimento translacional Assim neste instante teremos a maior velocidade mv Kx m KO E _ 2 2 2 2 7 2 E di gt Vimax 2 m Ainda na oscila o com apenas um movimento vemos que a amplitude de oscila o do tipo referido a maior Quando ainda no caso translacional a oscila o chega a um extremo a velocidade do movimento translacional fica igual a zero e assim a energia cin tica igual a zero estando toda a energia do sistema na forma de energia potencial el stica Como a energia p
17. o importante se atentar para suas constantes el sticas de transla o No anexo 1 encontram se m todos matem ticos para se encontrar as constantes a partir dos par metros da mola Neste anexo pode se observar que poss vel alcan ar constantes iguais com par metros de mola diferentes Os par metros escolhidos nos exigem um projeto de pesos em escala de dimens es espaciais compat veis com os objetivos did ticos e de possibilidades de constru o deste projeto Na tabela dois s o apresentados os par metros b sicos de constru o da mola usada no projeto Tabela 1 Par metros da Mola Par metros F sicos para a Mola Di metro Externo 3 0 cm Diametro do Arame 1 mm Numeros de Espiras 130 Material Arame Aco Inox O espa amento sem carga entre as espiras deve ser de Imm ou seja as espiras estar o juntas quando sem carga Uma mola pode ter deforma o el stica e pl stica A deforma o el stica se reconstitui o que possibilita a oscila o J a deforma o pl stica indesejada por deformar a mola Para que se diminuam os efeitos de deforma o pl stica na mola a mesma deve receber um tratamento t rmico por 1sso foram enviados os par metros de constru o da tabela 1 a uma empresa especializada Muitas s o as empresas no estado de S o Paulo que fazem o servi o a um custo que varia de 35 a 50 reais para os par metros da tabela 1 T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de
18. otational to translational in 5 seconds and then back to rotational in the next 5 seconds The pendulum is usually adjusted by moving the moment of inertia adjustment weights in or out equal amounts on each side until the rotational frequency is close to the translational frequency so the alternation period will be slow enough to allow the change between the two modes to be clearly seen References 1 Wilberforce Lionel Robert 1896 On the vibrations of a loaded spiral spring Philosophical Magazine 38 386 392 http books google com books id TVOwAA AATA AJ amp pg PA386 Retrieved 2008 01 09 2 Berg Richard E Marshall Todd S May 4 1990 Wilberforce pendulum oscillations and normal modes American Journal of Physics 59 1 32 37 doi 10 1119 1 16702 http faraday physics utoronto ca PHY 182S WilberforceRefBerg pdf Retrieved 2008 05 03 External links e Pitre John Wilberforce Pendulum Physics 182S lab Univ of Toronto http faraday physics utoronto ca PHY 182S WilberforcePendulum pdf Retrieved 2008 05 03 e Video of Wilberforce pendulum oscillating by Berkeley Lecture Demonstrations YouTube com retrieved April 25 2008 e 8 Website http www cienciamao if usp br tudo exibir php midia rip amp cod construcaodemolas mecanica txtmec0020 Ci ncia m oOPortal de Ensino de Ci ncias Cursos e Eventos Novidades Fale conosco Imprimir Login i nci ai Ci ncia m o UNIVERSIDADE DE S
19. otencial el stica depende do deslocamento da mola em rela o ao ponto zero temos que nesse instante ser o momento em que o sistema estar mais esticado ou comprimido dito de outra forma teremos a amplitude m xima m Kx m Kx E 2 2 2 2 T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 12 Voc deve ter percebido que no peso que oscila no p ndulo existem parafusos e que podemos ajustar a dist ncia destes ao centro O objetivo de a pe a ser feita desta maneira o de ajustar uma coisa chamada momento de in rcia e que influencia na frequ ncia de oscila o do p ndulo Outras coisas influenciam na frequ ncia de oscila o como a massa do peso e as constantes de elasticidade Contudo essas vari veis n o s o boas para manipular em ajustes O momento de in rcia I o equivalente da massa nos movimentos translacionais para o movimento rotacional E muito mais dif cil girar uma roda cheia de crian as no parquinho do que cheia de marmanjos barrigudos e embriagados para se colocarem nessa situa o Mas s a quantidade de massa n o suficiente para definirmos o momento de in rcia importante sabermos a distribui o dela em rela o ao eixo de rota o Quanto mais perto do eixo est a massa menor a dificuldade que ela imp e ao giro o caso da bailarina que se encolher para girar mais r pido ou abre os bra os e pernas para girar mais devagar Fig
20. rectly adjusted and set in motion it exhibits a curious motion in which periods of purely rotational oscillation gradually alternate with periods of purely up and down oscillation The energy stored in the device shifts slowly back and forth between the translational up and down oscillation mode and the torsional clockwise and counterclockwise oscillation mode until the motion gradually dies out Despite the name it doesn t swing back and forth as ordinary pendulums do The mass usually has opposing pairs of radial arms sticking out horizontally threaded with small weights that can be screwed in or out to adjust the moment of inertia to tune the torsional vibration period T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 20 Wilberforce pendulum 1908 The device s intriguing behavior is caused by a slight coupling between the two motions or normal modes due to the geometry of the spring When the weight is moving up and down each downward excursion of the spring causes it to unwind slightly giving the weight a slight twist When the weight moves up it causes the spring to wind slightly tighter giving the weight a slight twist in the other direction So when the weight is moving up and down each oscillation gives a slight back and forth rotational impulse to the weight In other words each oscillation some of the energy in the translational mode leaks into the rotational mode Slowly the up and do
21. rentes conhecidas assim se determinou as for as pesos F com base na acelera o da gravidade Para os diferentes pesos foi medido o deslocamento da mola Ax de seu ponto inicial E com a F lei de Hookes onde F KAx gt K P foi determinada a constante K X Tabela 3 Dados da determina o da constante el stica translacional da mola Ax m EAx m F N EF N K N m EK N m 0 180 0 002 0 539 0 005 3 0 0 5 0 359 0 002 1 078 0 005 3 0 0 5 0 539 0 002 1 617 0 005 3 0 0 5 0 719 0 002 2 156 0 005 3 0 0 5 0 898 0 002 2 695 0 005 3 0 0 5 Assim determinamos a constante el stica translacional da mola por um procedimento simples Obtemos o valor de 3 0 0 5 N m Anexo 5 Conte dos dos sites Refer ncia 12 08 12 Wikip dia http en wikipedia org wiki Wilberforce pendulum Wilberforce pendulum T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 19 From Wikipedia the free encyclopedia u A Wilberforce pendulum alternates between two oscillation modes A Wilberforce pendulum invented by British physicist Lionel Robert Wilberforce around 1896 consists of a mass suspended by a long helical spring and free to turn on its vertical axis twisting the spring It 1s an example of a coupled mechanical oscillator often used as a demonstration in physics classes It can both bob up and down on the spring and rotate back and forth about its vertical axis with torsional vibrations When cor
22. tes coment rios Considero o trabalho realizado de timo n vel O estudante foi impec vel na constru o e na an lise te rica Destaco seu interesse por apresentar o problema para alunos do n vel secund rio e de gradua o Em ambos os casos foi muito claro e preciso na exposi o dos conceitos relevantes Sem d vidas o trabalho merece a nota m xima dez 3 Hor rio da Apresenta o do Painel Sexta feira dia 11 12 2009 no primeiro hor rio das 15h s 17h Anexo 1 Determina o te rica de Par metros da Mola O m todo de Summerfeld nos d rela es que nos permite determinar teoricamente a constante de elasticidade translacional e rotacional da mola dada as especifica es da mesma Assim a constante de elasticidade translacional k da mola dada por 4 k Gd Al 64nR T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 16 onde n o n mero de espiras d o di metro do arame e R o raio das espiras Aqui G 8 1x10 Pa A constante de elasticidade rotacional da mola 6 kR 1 0 cos a A2 onde s o raio de Poisson cujo valor de 0 23 O valor de o 0 14 para uma mola que tem distanciamento nulo entre suas espiras quando esta est descarregada Utilizando das rela es A1 e A2 determinamos com os valores da tabela 1 as constante da mola usada obtendo k 2 8N m e 6 8 0 0 1N m A determina o da constante de elasticidade translacional fo
23. ue faz a mola girar e esse giro repassado para o peso que come a a girar tamb m Mas a o peso gira e torce a mola e quando a mola torcida ela estica e se comprime E quando a mola estica e se comprime ela se torce e assim por diante oscila se em giros e sobes e desces estando esses movimentos acoplados J deu para imaginar essa bagun a de movimentos Mas al m de termos a oscila o translacional e rotacional e as duas juntas no p ndulo teremos tamb m a altern ncia e podemos dizer a oscila o entre momentos em que o movimento s ser rotacional e momentos em que o movimento s ser translacional S o nesses momentos que ficamos instigados pois tinhamos os dois movimentos e passamos a ter apenas um tipo E outra constata o Nesses momentos de um tipo apenas de movimento temos o que se diz amplitude m xima da oscila o Ou seja se temos apenas o movimento translacional ent o ocorre nesse momento o sobe e desce maior e se temos apenas a rota o temos a maior quantidade de giros para um lado e outro tamb m o momento que observamos a maior velocidade de transla o e rota o Isso explicado pela lei de conserva o de energia Temos nos momentos de tipo nico de oscila o que toda a energia dada por voc ao sistema no in cio estar associada oscila o do tipo correspondente Quando temos os dois tipos de oscila o a energia dada inicialmente est dividida entre os dois tipos de oscila o Contu
24. uer dizer que ela tem uma energia potencial pois suas mol culas ficam tencionadas e com uma capacidade de se esticar exercer uma for a e por fim realizar trabalho Temos tamb m uma energia potencial similar associada elasticidade de tor o da mola Ou seja quando torcemos a mola ela tem capacidade de se destorcer exercendo for a e realizando trabalho tamb m As energias potenciais el sticas s o dadas pelas equa es abaixo Kx ir E 3 onde K a constante de elasticidade translacional da mola e x o deslocamento na vertical do peso de sua posi o de equilibrio a 4 onde 6 a constante de elasticidade rotacional da mola e O o deslocamento angular do peso de uma posi o de equil brio Quando colocamos o peso sobre a mola a mesma vai se esticar um pouco e ficar em equil brio em certo ponto que ser nossa refer ncia ou seja nesse ponto temos x 0 Temos tamb m uma posi o de equil brio e refer ncia para a tor o que ser o 0 0 Nesses pontos determinamos com as equa es Ur e Ur que as energias potenciais el sticas s o nulas T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 11 Uma vez citado as express es da energia no sistema podemos escrever a energia total do mesmo como a soma das energias cin ticas e potenciais 2 To 2 2 a he A Ta a e a 5 2 2 2 2 onde E a energia total do sistema com as coordenadas de um dado instante Quando ape
25. uma tartaruga atirada de um canh o de artilharia O que ocorre em um atropelamento exatamente a transfer ncia da energia de um movimento por exemplo de um carro caso mais habitual para o atropelado e seus ossos Dito isso temos que entender que o peso do p ndulo de Wilberforce pode se movimentar para cima e para baixo e tamb m girar em torno de si oscilando no sentido hor rio e anti hor rio Chamamos esses movimentos de oscila o translacional e oscila o rotacional respectivamente T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 9 Figura 8 Tipos de movimento e oscila o no P ndulo de Wilberforce O p ndulo de Wilberforce faz parte da espetacular fam lia dos p ndulos acoplados O acoplamento uma rela o e ao mesmo tempo uma depend ncia entre os tipos de oscila o do p ndulo No nosso caso j foi dito temos que os tipos de oscila o s o o translacional e rotacional s o essas duas oscila es que est o acopladas no p ndulo de Wilberforce O acoplamento f cil de entender pois ela se deve ao fato de que quando torcemos uma mola ela estica e o inverso tamb m acontece quando esticamos ou comprimimos uma mola ela se torce Assim temos que quando iniciamos a oscila o esticando a mola levando o peso para baixo temos nesse in cio um movimento translacional e uma energia associada a esse movimento Mas quando a mola se comprime ou estica ela exerce uma influ ncia q
26. ura 9 Bailarina com os bra os esticados tem maior momento de in rcia e gira mais devagar do que se tivesse com os bra os juntos ao corpo e assim com um momento de in rcia menor J que falamos de momento de in rcia sabido que ele influencia na frequ ncia da oscila o rotacional f r que dada por l J 9 Or 7 onde 6 a constante de elasticidade de tor o da mola e I o momento de in rcia O momento de in rcia de uma massa pontual dado por I MR 10 Onde M a massa pontual e R a dist ncia da massa ao eixo de rota o No p ndulo de Wilberforce temos um momento de in rcia associado massa do peso que distribu da cilindricamente Lc e tamb m com os pequenos pesos que tem dist ncia regul vel com o eixo lp Esses pesinhos ser o considerados como massas pontuais Al m do momento de in rcia do peso temos tamb m que considerar o momento de in rcia da mola Im com um fator de corre o de um ter o Assim o momento de in rcia total I dado por T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 13 l A te 11 Assim poss vel ajustar a frequ ncia de oscila o rotacional ajustando I 12 A freq ncia de oscila o translacional dada por E 13 fr 21 Vm A massa utilizada carrega um fator de massa da mola pois esta influencia na frequ ncia tamb m Assim m dado por m m 14 onde m a massa do
27. wn movement gets less and the rotational movement gets greater until the weight is just rotating and not bobbing Similarly when the weight is rotating back and forth each twist of the weight in the direction that unwinds the spring also reduces the spring tension slightly causing the weight to sag a little lower Conversely each twist of the weight in the direction of winding the spring tighter causes the tension to increase pulling the weight up slightly So each oscillation of the weight back and forth causes 1t to bob up and down more until all the energy is transferred back from the rotational mode into the translational mode and it is just bobbing up and down not rotating Alternation or beat frequency The frequency at which the two modes alternate is equal to the difference between the oscillation frequencies of the modes The closer in frequency the two motions are the slower will be the alternation between them This behavior common to all coupled oscillators is analogous to the phenomenon of beats in musical instruments in which T picos de Ensino de Fisica I Projeto Inicial O P ndulo de Wilberforce 2 two tones combine to produce a beat tone at the difference between their frequencies For example if the pendulum bobs up and down at a rate of fr 4 Hz and rotates back and forth at a rate of fk 4 1 Hz the alternation rate fan will be Jai Ziro ira at 1 far 10 pecan So the motion will change from r
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