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baixos - NCE/UFRJ

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1. Compreender o conceito de cubo Justificar e compreender a f rmula do volume de um cubo de aresta a Determinar o volume de um cubo PROCEDIMENTOS Existem in meras atividades cotidianas que envolvem o c lculo de volume Podemos citar algumas delas a Quando um marceneiro se dirige a uma serraria para comprar algumas pranchas de imbuia tipo de madeira Se o metro c bico da imbuia custa R 50 00 quanto ele dever pagar por sua compra Para responder a esta pergunta ele precisa saber o volume de imbuia que deve comprar Se o mesmo marceneiro deseja construir cinco camas de dimens es conhecidas quanto de madeira ele deve comprar b Para revestir um piso com uma camada de massa de certa espessura constitu da de areia cimento e gua um pedreiro deve calcular o volume de massa necess rio para executar o servi o sem que haja desperd cio ou falta de material 241 c A medi o do consumo de gua de uma resid ncia realizada por um aparelho chamado hidr metro que fornece o volume de gua consumido O volume de um s lido a quantidade de espa o ocupada por ele Quando medimos uma grandeza estamos na verdade comparando a com uma outra da mesma esp cie tomada como a unidade Quantos cubos unit rios h nos s lidos abaixo a b 242 c d Quantos cubos unit rios ser o necess rios para preencher completamente a caixa abaixo
2. Hora A o Coment rios Objeto identificado com o ID 2 20h25min7seg CRIAR Objeto do tipo FreePoint Objeto Independente Objeto identificado com o ID 3 20h25min7seg CRIAR Objeto do tipo FreePoint Objeto Independente Objeto identificado com o ID 4 20h25min7seg CRIAR Objeto do tipo Segment2P Dependente dos objetos 2 3 Figura 5 1 Constru o de um aluno para um segmento de reta Cap tulo 5 Estudo de Campo I 115 5 1 3 Procedimentos O trabalho de campo foi dividido em duas experi ncias distintas aulas realizadas no laborat rio de inform tica com o uso da geometria din mica e aulas cl ssicas realizadas em sala de aula comum Ao todo foram 11 encontros no laborat rio e 12 na sala de aula descritos a seguir Primeiro encontro 15 07 2003 os alunos dos grupos em estudo ficaram sabendo neste dia que as aulas fariam parte de uma pesquisa e os que desejassem prosseguir teriam que responder duas entrevistas e fazer alguns testes A dura o total deste encontro foi de 1h 30min assim divididos os testes de racioc nio verbal e rela es espaciais foram aplicados em trinta minutos para cada um com a utiliza o de dez minutos al m dos per odos mencionados em cada caso para as instru es necess rias A entrevista I foi respondida em no m ximo dez minutos Segundo encontro 22 07 2003 tamb m teve 1h 30 min de dura o sendo que o teste de racioc nio abstrato foi aplic
3. Saiba que este ponto de interse o entre as alturas relativas aos lados de um tri ngulo ou os seus prolongamentos chamado de ortocentro 4 Arrastando livremente o mouse sobre um dos v rtices do tri ngulo observe o que ocorre e responda a Qual a localiza o do ortocentro quando o tri ngulo acut ngulo ATIVIDADE 10 MEDIANA DE UM TRI NGULO l V at o bot o m selecione a pasta EXEMPLOS e o arquivo mediana do triangulo ae Voc pode observar que neste exemplo foi tra ada a mediana relativa ao lado BC do tri ngulo 2 Calcule a medida dos segmentos BM e MC O que voc observou 219 3 Saiba que a mediana de um tri ngulo o segmento que une um v rtice ao ponto m dio do lado oposto Agora trace as medianas relativas aos lados AB e AC Determine o ponto de interse o entre estas retas Saiba que este ponto de interse o entre as medianas relativas aos lados de um tri ngulo chamado de baricentro 4 Arrastando livremente o mouse sobre um dos v rtices do tri ngulo observe o que ocorre e responda a Qual a localiza o do baricentro quando o tri ngulo acut ngulo ATIVIDADE 11 BISSETRIZ DE UM TRI NGULO l V at o bot o m selecione a pasta EXEMPLOS e o arquivo bissetriz do triangulo ae Voc pode observar que neste exemplo foi tra ada a bissetriz relativa ao ngulo BAC do tri ngulo 2 Calcule a medida dos ngulos BAS e SAC O que voc o
4. rea da base x Altura Volume de um cilindro Logo Volume de um cilindro ATIVIDADE 5 A PIR MIDE E SEU VOLUME OBJETIVOS Compreender e identificar as principais caracter sticas de uma pir mide Compreender e justificar a f rmula do volume de uma pir mide atrav s da decomposi o de um prisma triangular em tr s pir mides equivalentes Determinar o volume de uma pir mide PROCEDIMENTOS Observe que na constru o X do Calques 3D h um plano a e um pol gono R cujos v rtices s o os pontos A B C De E Crie um ponto V fora do plano a e trace segmentos de reta que unem o ponto V a cada um dos v rtices do pol gono R O conjunto de todos os segmentos que ligam qualquer ponto de R ao ponto V forma uma pir mide 251 A pir mide delimitada por faces planas sua base o pol gono R e suas faces laterais s o tri ngulos O ponto V o v rtice da pir mide e a dist ncia deste ponto ao plano a a altura h da pir mide Crie um prisma de base triangular no Calques 3D Chame os v rtices da base superior deste prisma de A Be Ce os da base inferior de D E e F Agora crie segmentos de reta unindo os pontos Ce D e os pontos C e E Observe que ficou determinada uma pir mide de base triangular com v rtices da base D E e F Chame esta pir mide de P Trace um novo segmento de reta unindo os pontos A e E e uma nova pir mide de base triangular fica determinada com v rtices
5. BOYER C Hist ria da Matem tica Tradu o Elza F Gomide S o Paulo Edgar Bl cher 1985 488 p CAN ADO P A lousa e o giz da era digital Forbes Brasil S o Paulo 08 nov 2000 Dispon vel em http www escola24h com br midia detalhes cfm cod 11 Acesso em 11 abr 2004 CARRAHER T CARRAHER D SCHILEMANN A Na Vida Dez Na Escola Zero S o Paulo Cortez 2001 182p CARRAHER T org Aprender Pensando Contribui es da Psicologia Cognitiva para a Educa o Petr polis Vozes 2002 127p 197 CYSNEIROS P G A Assimila o da Inform tica pela Escola In II Congresso da RIBIE Rede Iberoamericana de Inform tica Educativa Anais Barranquilla 1996 DANTE L R Did tica da Resolu o de Problemas de Matem tica S o Paulo tica 2003 176p Matem tica Contexto e Aplica es Ensino M dio volume 2 S o Paulo Atica 1999 526 p DE VILLIERS M D Papel e fun es da demonstra o no trabalho com o Sketchpad Educa o e Matem tica Lisboa Portugal APM Associa o dos Professores de Matem tica n 62 pp 31 36 mar abr de 2001 Why Proof in Dynamic Geometry Dispon vel na internet via http mzone mweb co za residents profmd why pdf Arquivo consultado em fevereiro de 2003 ECHEVERR A M P P A Solu o de Problemas em Matem tica In POZO org A Solu o de Problemas Porto Alegre Artmed 1998 cap 2 p 43 65 ECHEVERR A M P P POZO J
6. Em branco Em branco a divis o a partir do ponto de interse o Em branco Em branco Em branco Em branco Errou os tr s casos Errou os tr s casos o seguimento que divide o ngulo sic Em branco os segmentos que se cruzam para achar o centro do tri ngulo sic a divis o tamb m N o sei 239 E o seguimento que divide o lado em dois iguais sic Para achar seu meio no v rtice Em branco uma reta que liga o v rtice metade do lado oposto quando tra a retas de um certo v rtice metade de seu lado oposto achando a mediana Acertou os tr s casos Acertou os tr s casos Acertou os tr s casos Acertou os tr s casos Acertou os dois primeiros casos Divide em duas partes iguais o ngulo de qualquer v rtice de um tri ngulo Divide o ngulo em duas partes iguais Seria sic N A n o completou a resposta a reta que parte da divis o de um ngulo ao seu lado oposto uma divis o do ngulo em duas parte iguais 240 Ap ndice D Atividades de Ensino para o trabalho de campo documentado no cap tulo 6 ATIVIDADE 1 O CONCEITO DE VOLUME OBJETIVOS Compreender o conceito de volume Compreender o conceito de bloco retangular ou de paralelep pedo ret ngulo Justificar e compreender a f rmula do volume de um bloco retangular de dimens es a bec Determinar o volume de um bloco retangular
7. No p s teste ele acertou 76 47 das quest es representando um crescimento de 85 71 em rela o ao pr teste Em rela o condi o de exist ncia do tri ngulo Paulo havia dito no pr teste que bastava juntar quaisquer tr s ripas para formarem um tri ngulo enquanto que no p s teste ele dizia que esta condi o era a de que um segmento deve ser menor que a soma dos outros lados Ainda que a quest o n o tivesse sido enunciada com termos geom tricos o aluno enunciou sua defini o incorporando estes termos Ele continuou acertando as defini es mais simples sendo que incorporou justificativas corretas s suas respostas ao relacionar alguns tipos de tri ngulo tais como tri ngulo escaleno tri ngulo ret ngulo sim pois as medidas podem ser 90 30 e 60 para formar 180 sic dando um exemplo ou tri ngulo is sceles tri ngulo ret ngulo sim pois ele pode ter dois ngulos iguais referindo se ao tri ngulo ret ngulo por exemplo Na quest o que pedia para tra ar as alturas medianas e bissetriz nos tr s tri ngulo indicados ele que n o havia acertado nenhum no pr teste desta vez acertou todos os exemplos por m continuou com dificuldades para a defini o destas cevianas altura uma perpendicular que liga um v rtice ao seu lado oposto mediana uma reta que liga o v rtice metade do lado oposto e bissetriz a reta que parte da divis o de um ngulo
8. es Concretas 7 11 anos A principal realiza o neste est gio a conserva o da quantidade A crian a se caracteriza pela descentra o aten o focalizada mais nas transforma es reversibilidade pensamento quantitativo apego realidade emp rica pensamento emp rico indutivo e intra proposicional gt Est gio IV Opera es Abstratas 12 em diante Neste est gio a crian a j possui um pensamento hipot tico dedutivo e interproposicional A partir da estrutura o de seus estudos em est gios ou etapas para o desenvolvimento cognitivo a matura o tamb m adquire alguma relev ncia embora haja diverg ncias entre os estudiosos da obra de Piaget sobre o grau desta import ncia Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 76 A matura o o processo de cria o e mudan a das habilidades mentais devido a uma crescente maturidade fisiol gica STERNBERG 2000 BIAGGIO 1991 assinala que o fato de Piaget falar em est gios de desenvolvimento faz com que muitos lhe atribuam erroneamente uma posi o maturacionista Para esta autora a obra piagetiana enfatiza a import ncia da estimula o ambiental como essencial progress o intelectual de est gio para est gio Por outro lado destacando o papel de matura o de estruturas cognitivas Piaget acredita que h um limite para a atua o do ambiente Deste modo sua posi o mais a de um interacionista do que de um maturacionista ou ambiental
9. o cadeira de professor da Universidade de Bolonha em 1629 onde permaneceu at a sua morte em 1647 Os trabalhos de Cavalieri abrangiam tanto a matem tica quanto a ptica e a astronomia e receberam influ ncia de Kepler e Galileu Sua obra mais importante foi tamb m sua grande contribui o matem tica o tratado intitulado Geometria indivisibilibus publicado em vers o inicial no ano de 1635 O significado de indivis vel n o est muito claro no trabalho de Cavalieri ele permaneceu um conceito obscuro pois em parte alguma de sua obra foi definido Segundo EVES 1998 p 425 tudo indica que um indivis vel de uma por o plana dada uma corda dessa por o e um indivis vel de um s lido dado uma se o desse s lido Deste Ordem religiosa fundada em 1360 por Giovanni Colombini de Siena constitu da originalmente por ideais franciscanos e beneditinos e mais tarde modificada para uma linha mais agostiniana mantendo por m algumas id ias originais tais como o uso de sand lias e a auto flagela o di ria Ordem religiosa fundada em 1539 por In cio de Loyola tamb m conhecida por Companhia de Jesus Tinha como principais elementos o voto de pobreza e castidade a divulga o da f crist e mais tarde tamb m se dedicou especialmente ao ensino Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 26 modo uma por o plana formada de uma infinidade de cordas paralelas e um s lido formado de um
10. Com a expans o da escola secund ria o debate em torno da qualidade do ensino ganhou um grande impulso e questionou se o ensino excessivamente te rico destinado s elites Efeito contr rio trouxe a revis o e a organiza o axiom tica da geometria realizada por David Hilbert com a publica o de Os Fundamentos da Geometria em 1899 Este livro influenciou muitos autores de livros did ticos de geometria destinados ao ensino m dio A partir de Hilbert ganhou for a a axiom tica formal em que um resultado s considerado verdadeiro quando este uma consequ ncia l gica de um conjunto de axiomas existentes enquanto a axiom tica de Euclides estava baseada na intui o geom trica Durante a primeira metade do s culo XX algumas reformula es de curr culo de matem tica no ensino secund rio foram implementadas com a introdu o de novos t picos como a trigonometria a geometria anal tica e o c lculo Mas em rela o ao ensino da geometria permanecia o dilema entre o aspecto pr tico e a abordagem mais formal Ap s a Segunda Guerra ocorreu uma nova expans o de ensino m dio e este n vel de ensino passou a ser gratuito numa grande quantidade de pa ses Esta massifica o por m trouxe como consequ ncia professores e alunos menos preparados academicamente e alguns dos t picos mais dif ceis da geometria foram exclu dos dos programas Era comum um professor n o dominar determinado assunto e alguns alunos n o terem m
11. O sujeito neste caso n o conseguiu expressar com clareza o que estava pensando c Testes de Aptid es Espec ficas da Bateria DAT Os testes de aptid es espec ficas s o instrumentos que descrevem a potencialidade individual do aluno para aprender uma s rie de disciplinas escolares ou tarefas profissionais representando um processo integrado cient fico e padronizado de medida de aptid es dos alunos do ensino fundamental e m dio com a finalidade de lhes dar orienta o educacional e profissional Neste trabalho n o ser abordado o hist rico de tais testes e tampouco aspectos sobre a valida o dos mesmos estes assuntos j foram amplamente discutidos e analisados na literatura da rea psicol gica Entretanto importante verificar o sentido da palavra aptid o aqui utilizado para compreender a finalidade de sua utiliza o no presente trabalho A defini o de aptid o encontrada no dicion rio Aur lio fala em disposi o inata queda ou em habilidade ou capacidade resultante de conhecimentos adquiridos FERREIRA 1999 BENNET ET ALL 1959 se referem a uma defini o de Bingham retirada do Dicion rio de Psicologia de Warren que contesta a concep o de que as aptid es sejam herdadas Para estes Cap tulo 5 Estudo de Campo I 113 autores a aptid o o resultado da intera o da hereditariedade e do meio Assim uma pessoa nasce com certas potencialidades e logo inicia sua aprendizagem A aptid o
12. UFRJ A x E a E Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matem tica N cleo de Computa o Eletr nica O uso de softwares de Geometria Din mica para o desenvolvimento de habilidades cognitivas uma aplica o em alunos do ensino m dio Disserta o de mestrado Aluno George de Souza Alves Orientadora Prof Dr Adriana Benevides Soares Co orientador Prof Dr Josefino Cabral Melo Lima O uso de softwares de Geometria Din mica para o desenvolvimento de habilidades cognitivas uma aplica o em alunos do ensino m dio George de Souza Alves IM NCE Mestrado em Inform tica Prof Dr Adriana Benevides Soares Orientadora Rio de Janeiro 2004 Alves George de Souza O uso de softwares de Geometria Din mica para o desenvolvimento de habilidades cognitivas uma aplica o em alunos do ensino m dio George de Souza Alves Rio de Janeiro 2004 xix 270 f il Disserta o Mestrado em Inform tica Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRJ Instituto de Matem tica IM N cleo de Computa o Eletr nica NCE 2004 Orientadora Adriana Benevides Soares 1 Inform tica na Educa o Teses 2 Visualiza o Geom trica Teses 3 Geometria Din mica Teses 4 Ensino Cl ssico Teses 5 Estudo Comparativo Teses I Soares Adriana Benevides Orient II Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matem tica N cleo de Computa o E
13. es mentais ou a representa es n o mentais SOARES 2003 A representa o ser n o mental quando um objeto ou evento f sico se referencia a outros diferentes objetos ou eventos f sicos Por exemplo uma fotografia uma can o um desenho ou um quadro pode representar outros objetos que n o eles pr prios A representa o mental do conhecimento ou apenas representa o mental a maneira pela qual um indiv duo concebe em sua mente os acontecimentos e as coisas que existem fora dela Tanto uma quanto a outra forma de representa o se constitui de quatro componentes as duas entidades A e B em que A o objeto representando ou representativo e B o objeto representado a rela o R entre os dois objetos mencionados e finalmente o agente cognitivo C atrav s do qual A possa representar B SOARES 2003 A rela o R entre os objetos A e B pode adquirir diferentes significados no primeiro deles ela pode ser uma similaridade ou analogia objetiva como no exemplo de uma fotografia que registra um momento vivenciado por algu m esta passa a ser uma representa o daquele acontecimento no instante que o mesmo foi clicado no segundo R apenas uma rela o acidental simb lica em que o s mbolo um objeto lembran a como a bandeira de um pa s ou o escudo e as cores de um time de futebol por exemplo e finalmente R pode ser uma correspond ncia convencional e arbitr ria que pouco importa saber por que
14. ignorando outras caracter sticas importantes para a tarefa Em contraste as crian as mais velhas t m maior probabilidade de alcan ar uma an lise mais equilibrada descentrada da o termo descentra o Ainda no exemplo da conserva o as crian as pr escolares tentam resolver o problema voltando sua aten o somente ao estado final do experimento centra o temporal e dentro dele sua aten o se volta somente para o n vel do l quido mais alto no copo mais estreito centra o espacial Os conservadores ao contr rio podem dizer que as duas quantidades eram id nticas no in cio estado inicial ou que o experimentador tinha simplesmente passado a gua de um recipiente para outro sem derramar ou acrescentar nada transforma o interveniente Eles podem at mesmo dizer que a igualdade continuada das quantidades pode ser provada passando o l quido de volta a seu recipiente original transforma o futura ou potencial tornando o novo estado igual ao inicial As crian as do est gio operat rio concreto percebem no caso da conserva o de l quidos a exist ncia de uma a o inversa totalmente anulante que faz tudo retornar ao estado inicial Ela tamb m pode considerar uma a o que compense ou contrabalance os efeitos de outra como o caso da altura maior num dos recipientes ser compensada pela largura maior neste mesmo recipiente No primeiro caso alguns piagetianos dizem que houve invers o
15. ngulos iguais a 60 Sim a mesma resposta da anterior N o as medidas dos lados iguais n o permite a forma o de ngulo obtuso sic N o N o pois cada ngulo ser igual a 60 N o idem ao 14 N o a mesma resposta da anterior Sim dois lados iguais podem formar o ngulo reto Sim e poss vel que o triangulo tenha tr s lados diferentes e um ngulo de 90 Sim n o sei N o porque sua medida n o poss vel Sim Sim os dois lados iguais podem formar o ngulo agudo Sim poss vel que o triangulo tenha 19 poss vel que um tri ngulo is sceles tamb m obtus ngulo seja Sim N o Justifique 20 Trace as alturas relativas aos lados destacados tri ngulos abaixo A nos x 21 Tente dizer com suas pr prias palavras o que altura relativa de um dado lado num tri ngulo GSC JSS BBA BGF GSC JSS LDC BBA BGF GSC JSS LDC BBA BGF GSC JSS LDC Em branco Sim porque a medida n o altera esse processo Sim Sim Sim N o pois o obtus ngulo tem um ngulo de 90 Sim porque as medidas n o interferem Sim Acertou os dois primeiros casos Em branco Errou os tr s casos Acertou apenas o primeiro caso Acertou os dois primeiros casos N o me lembro bem a defini o Em branco N o foi poss vel a altura adequada aquele tipo de caso sic Uma re
16. uma dist ncia entre o ngulo oposto ao lado quando uma linha tra ada para determinar a altura Infelizmente n o sei explicar Em branco Em branco Em branco Errou os tr s casos Errou os tr s casos 238 Sim o tri ngulo pode ter dois ngulos iguais e um maior que 90 sic N o pois ele deve ter dois ngulos iguais Tra ou corretamente nos tr s casos Em branco Acertou os tr s casos N A Desta vez colocou o simbolo do ngulo reto Acertou os tr s casos Acertou os dois primeiros casos Uma reta que determina um ngulo de 90 graus em rela o a um lado de qualquer tri ngulo Divide o ngulo em 90 Seria a maior linha que pudesse ser feita referente ao lado desejado uma perpendicular que liga um v rtice ao seu lado oposto Em branco Acertou os tr s casos Acertou os tr s casos Acertou os tr s casos Acertou os tr s casos Acertou os tr s casos 23 Tente dizer com suas pr prias palavras o que mediana relativa a um dado lado num tri ngulo 24 Trace as bissetrizes relativas aos v rtices assinalados nos tri ngulos abaixo A Cc B 25 Tente dizer com suas pr prias palavras o que bissetriz de um ngulo interno num dado tri ngulo FLD FOS FVL RSM SCB FLD FOS FVL RSM SCB FLD FOS FVL RSM SCB Uma reta que divide em duas partes iguais qualquer lado de um tri ngulo
17. 4 Qual a condi o que garante que as tr s formar o um tri ngulo ripas GSC JSS LDC BBA BGF GSC JSS LDC BBA BGF GSC JSS LDC um objeto de tr s pontas um pol gono de tr s lados um desenho que tr s lados e tr s ngulos N o preciso conhecer os tamanhos das 3 ripas Sim Talvez Sim N o Em branco Em branco Que tenha tamanhos diferentes uns nos outros sic N o sei N o sei 223 semi retas que formam tr s ngulos sic uma figura geom trica com 3 lados e 3 angulos cuja soma resulta em um ngulo de 180 Um poligono com tr s lados uma figura com tr s lados e tr s ngulos N o Sim N o pois necess rio seguir alguns crit rios Sim N o porque n o adianta ter as tr s ripas de tamanhos diferentes mas a soma das duas menores tem que ser maior que a maior ripa a lt b c a hipotenusa dever ser menor que a soma dos dois catetos O que garante e as medidas dos ngulos sic A soma de 2 lados menores de um triangulo tem que ser menor do que o tamanho da hipotenusa que um dos lados seja menor que a soma dos dois outros lados Est explicado na 5 O que um tri ngulo escaleno 6 O que um tri ngulo equil tero 7 O que um tri ngulo is sceles 8 O que um tri ngulo ret ngulo BBA BGF GSC JSS LDC BBA BGF G
18. 99 93 99 84 93 102 93 110 102 93 60 102 107 93 88 91 102 86 99 102 102 Grupo de Controle Percentilf 27 18 14 86 55 0 27 55 27 27 47 32 47 14 32 55 32 75 55 32 0 55 68 32 21 27 55 18 47 55 55 Acertos2 12 11 8 17 15 12 8 14 11 12 12 15 12 9 9 17 11 18 15 14 8 16 16 15 9 10 17 12 15 14 15 EPN2 93 91 84 110 102 93 84 99 91 93 93 102 93 86 86 110 91 116 102 99 84 107 107 102 86 88 110 93 102 99 102 Percentil2 32 27 14 75 55 32 14 47 27 32 32 55 32 18 18 75 27 86 55 47 14 68 68 55 18 21 75 32 55 47 55 256 EPM Alunos Turma Acertos1 CAB DTD DSS EDO GLS GMF IGA JCN LCB LOA MPS MPC RVP RCP RDM RLC SVN USC AOF ALO CPL CDF DCM EAG EDM HFM HSD JOC LLF MVP PCR RAS RMF RCS RAB TBJ WMP JML HCM 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 6 15 16 9 11 15 13 15 11 16 16 13 15 20 13 8 11 10 1 8 19 16 17 13 5 20 11 16 8 9 17 EPN1 77 102 107 86 91 102 96 102 91 107 107 96 102 146 96 84 91 88 60 84 124 107 110 96 74 146 91 107 84 86 110 96 102 107 107 80 84 60 86 Grupo Experimental Percentil1 6 55 68 18 27 55
19. Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 92 4 3 3 A Resolu o de Problemas Matem ticos A resolu o de problemas tem sido usada em diversas situa es escolares como sin nimo da pr pria matem tica n o h rea do conhecimento em que esta identifica o seja t o pr xima por m na maioria das vezes o ensino desta disciplina tem se baseado mais na solu o de exerc cios do que dos verdadeiros problemas matem ticos Segundo ECHEVERR A 1998 a solu o de problemas matem ticos constitui ao mesmo tempo um m todo de aprendizagem e um objetivo da mesma Pode ser visto como um m todo de aprendizagem porque grande parte do conte do da matem tica aprendida na escola trata da aprendizagem de habilidades t cnicas algoritmos ou procedimentos heur sticos que podem ser usados em diversos contextos Para que tal aprendizagem seja alcan ada importante que ela ocorre no contexto de diversos problemas Tamb m objetivo da aprendizagem na medida em que n o poss vel aprender a solucionar problemas independentemente da aprendizagem de conceitos e conhecimentos de matem tica e que exige o acionamento e coordena o de alguns processos complexos De acordo com DANTE 2003 a proposi o de problemas numa aula de matem tica t m os seguintes objetivos gt Fazer pensar produtivamente gt Desenvolver o racioc nio gt Ensinar a enfrentar situa es novas gt Utilizar aplica es da matem tica
20. FOS FVL RSM SCB FLD tr s lados uma figura geom trica composta por 3 lados Sim Em branco Sim Escalenos Sim Elas estarem ligadas umas as outras sic N o porque depender o de seus v rtices Do tri ngulo is sceles de 3 lados diferentes Juntando as Juntando as 3 ripas agrupando as formando um tri ngulo escaleno Possui os 3 lados diferentes Refere se a medida dos lados 232 geom trica c 3 lados sendo que uma delas n o pode ser maior que a soma das outras duas um pol gono com 3 lados e 3 ngulos N o N o N o Sim N o 1 A exist ncia de 3 lados 2 A soma dos internos devem ser 180 sic 3 A soma dos internos devem ser 360 sic 4 A medida do segmento tem que ser menor que a soma dos outros lados para existir A medida do segmento deve ser menor do que a soma dos outros lados do tri ngulo Um segmento deve ser menor do que a soma dos outros dois O segmento tem que ser menor que a soma dos outros lados Pro tri ngulo existir a soma de alguns dos lados tem que ser maior que a do lado que sobrou um tri ngulo que possui todos os lados diferentes 6 O que um tri ngulo equil tero 7 O que um tri ngulo is sceles 8 O que um tri ngulo ret ngulo FOS FVL RSM SCB FLD FOS FVL RSM SCB FLD FOS FVL RSM SCB FLD FOS FVL 2 lados igua
21. Gi Gii Figura 3 2 Exemplo de ret ngulo mal constru do i ap s o arrastar do mouse podem ser gerados os trap zios ii e iii Por outro lado quando o usu rio utiliza corretamente as propriedades geom tricas na constru o a din mica dos movimentos possibilita que ele perceba o que permanece invariante alertando o para determinados padr es e motivando o a fazer conjecturas e a testar suas convic es O paralelismo a ortogonalidade a proporcionalidade a simetria axial a simetria pontual rota o de 180 e a incid ncia s o os chamados invariantes geom tricos Uma outra importante caracter stica destes programas a possibilidade de supress o de elementos que n o interessam na constru o Um exemplo em que se utiliza este recurso pode Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 54 ser da pr pria constru o do ret ngulo atrav s de suas propriedades s poss vel no Tabulae por exemplo utilizar a condi o dos lados serem perpendiculares usando retas e n o segmentos isto a partir da fun o lt CONSTRUIR gt gt lt RETAS gt gt lt RETAS PERPENDICULARES gt Em cima da figura constru da desenham se os segmentos de reta que representam os lados do ret ngulo com a fun o lt CONSTRUIR gt lt SEGMENTO DE RETA gt e depois as retas devem ser omitidas selecionando as e usando a fun o lt EXIBIR gt gt lt ESCONDER OBJETO gt A figura 3 3 ilustra a situa o descrita
22. KR Ferramenta Vetor voc pode criar o produto de um vetor por um escalar a soma de dois vetor reta por vetor raz o raz o por tr s pontos e ngulo EN Ferramenta Transforma o para fazer reflex o rota o transla o simetria homotetia invers o e projetividade 207 ATIVIDADE 1 RECONHECIMENTO DO PROGRAMA 1 Clique na ferramenta Pontos del na tela 2 Para construir um segmento voc pode proceder de duas maneiras diferentes a Com a ferramenta Pontos 4 voc pode clicar em dois lugares quaisquer da tela para criar dois pontos Selecione estes dois pontos atrav s da ferramenta de Sele o N com a tecla SHIFT pressionada Depois v ao menu CONSTRUIR e clique em segmento e em seguida em novamente em segmento b Construa outro segmento de reta agora utilizando o seguinte procedimento quando voc clicar na ferramenta Linha Reta IA aparecem outras seis ferramentas clique em o e v para a tela em branco clique num ponto qualquer e arraste mouse at outro ponto clique novamente para formar um segmento 3 Com a ferramenta de Sele o N selecione cada extremidade dos segmentos criados e escolha um nome para estes pontos atrav s da tecla del Lembre apenas que um ponto sempre deve ser representado por uma letra mai scula 4 Para medir o comprimento dos segmentos criados voc deve ir ferramenta 8 e clicar sobre o segmento desejado V ao menu CALCULAR e escolha compri
23. NOTAS P P M DIA P P M DIA N N N N N N 0a2 5 1 3 23 2 6 46 0 0 0 0 1 2 56 0 0 2 6 a 5 0 7 22 58 11 35 48 10 32 26 3 7 69 7 17 96 5 12 82 5 1 a 7 5 18 58 06 11 35 48 18 58 06 15 38 46 16 41 02 17 43 59 7 6 a 10 0 5 16 13 7 22 58 3 9 68 21 53 85 15 38 46 17 43 59 TOTAIS 31 100 31 100 31 100 39 100 39 100 39 100 Cap tulo 6 Estudo de Campo IH 177 A m dia geral obtida pelos sujeitos do grupo de controle foi de 5 86 e a obtida pelos sujeitos do grupo experimental foi de 7 36 aproximadamente 26 superior m dia do outro grupo A aplica o do teste t para decidir se a diferen a entre as m dias dos dois grupos foi apenas resultado de flutua es casuais ou se foi significativa mostrou os resultados do quadro 6 9 onde N indica o n mero de sujeitos usados na compara o df N 1 o grau de liberdade t indica a medida de compara o e p a probabilidade ou n vel de signific ncia que no caso da psicologia usado o par metro p lt 0 05 Quadro 6 9 Resultados do teste t para as m dias das provas bimestrais aplicadas durante e ap s o trabalho de campo comparando grupo experimental com o grupo de controle Compara o M dia do das m dias Grupo N df t p Grupo Experimental Experimental X 7 3790 31 30 3 522 0 002 Grupo de Controle A hip tese nula garante que s haver diferen a significativa entre os grupos se t n o for suficientemente grande ou seja se a diferen a entre os gru
24. Resultados do teste t para compara o do grupo experimental com o grupo de controle no teste de racioc nio espacial da bateria BPR 5 Teste de Grupo Grupo N df t p Raciocino Controle Experimental Espacial m dia de m dia de percentil percentil Pr teste 38 99 45 25 31 30 0 948 0 351 P s teste 42 19 53 93 31 30 1 734 0 093 Ainda que o teste t indique que n o houve diferen a significativa no teste de raciocinio espacial mesmo ap s a realiza o da interven o do presente trabalho houve uma melhora no desempenho dos sujeitos do grupo experimental em rela o ao grupo de controle O valor encontrado para p 0 093 ainda que seja superior ao par metro de 0 05 utilizado pela psicologia j est bem mais pr ximo do que o encontrado na compara o feita com os resultados do pr teste que era de p 0 351 CAP TULO 7 CONSIDERA ES FINAIS A educa o de n vel m dio deve ser contextualizada e procurar a interdisciplinaridade sempre que poss vel Os trabalhos de campo aqui apresentados buscaram compreender de que forma o uso do computador pode colaborar para esta contextualiza o e como um sofiware de geometria din mica pode auxiliar na melhoria da habilidade de visualiza o no processo de ensino aprendizagem da geometria Retomando algumas id ias de FISCHBEIN 1994 e FAINGUELERNT 1999 descritas no cap tulo 4 o mundo concreto lida com opera es que se realizam na pr tica com verifica o emp rica co
25. Sim porque o triangulo escaleno pode ter dois lados iguais e um ngulo de 90 ele pode ter os catetos iguais Sim desde que os lados menores seja menor que a hipotenusa sic Sim pois tem medidas diferentes Sim 12 poss vel que um tri ngulo escaleno tamb m acut ngulo Sim N o Justifique 13 poss vel que um tri ngulo escaleno tamb m obtus ngulo Sim N o Justifique 14 poss vel que um tri ngulo equil tero tamb m ret ngulo Sim N o Justifique 15 poss vel que um tri ngulo equil tero tamb m acut ngulo Sim N o Justifique BBA BGF GSC JSS LDC BBA BGF GSC JSS LDC BBA BGF GSC JSS LDC BBA BGF Sim N o porque o escaleno possui tr s lados iguais Nunca Sim Sim Sim N o Nunca Sim Sim N o N o N o N o porque o tri ngulo equil tero s possui ngulo de 60 N o o equil tero tem a medida dos ngulos igual a 60 Sim s o tr s ngulos de 60 N o 226 Sim a medida dos lados serem diferentes n o implica na forma o do ngulo agudo Sim pode ter dois lados iguais e um ngulo menor que 90 N o porque sen o seria um ngulo obtuso e n o agudo Sim pois as medidas s o diferentes Sim Sim a medida dos lados serem diferentes n o implica na forma o do ngulo obtuso Sim e poss vel ter d
26. add do E EEE it pa indo DS aa dt E Portanto pelo Princ pio de Cavalieri Volume de um bloco retangular Volume de um prisma Na atividade 1 foi visto que Volume de um bloco retangular rea da base x Altura Logo Volume de um prisma 248 ATIVIDADE 4 O CILINDRO E SEU VOLUME OBJETIVOS Compreender e identificar as principais caracter sticas de um cilindro Compreender e justificar a f rmula do volume de um cilindro atrav s do Princ pio de Cavalieri Determinar o volume de um cilindro PROCEDIMENTOS Observe que na constru o Xs do Calques 3D h dois planos paralelos o e n e uma reta r que fura os dois planos No plano a est desenhado um c rculo S O conjunto de todos os segmentos paralelos reta r que ligam um ponto de S a um ponto do outro plano o plano 7 forma um cilindro Os cilindros possuem duas partes planas que s o as bases e uma parte curva que a superf cie lateral O eixo do cilindro o segmento de reta que liga os centros das bases Se o eixo do cilindro formar um ngulo reto com o plano da base o cilindro reto e se o este eixo for obl quo ao plano da base o cilindro obl quo Os segmentos paralelos ao eixo cujas extremidades s o pontos das circunfer ncias das bases s o chamados geratrizes do cilindro A dist ncia entre os planos que cont m as bases do cilindro chama se altura do cilindro e pode ser designada como h 249 Abra o arq
27. c 2 c 5 13 semana d 3 d 9 68 d 5 d 12 82 c 3 a 5 vezes por semana d mais de 5 vezes por semana Caso j utilize o computador onde isto ocorre com mais a 3 a 11 54 a 11 a 28 20 freqii ncia b 5 b 19 23 b 5 b 12 82 a em casa c 9 c 34 61 c 22 c 56 42 b no trabalho d 3 d 11 54 d O d O c na escola e 3 e 11 54 e 1 e 2 56 d em casa e no trabalho 3 11 54 O O e na escola e em casa g 0 g 0 g 0 g 0 f no trabalho e na escola g no trabalho na escola e em casa O que voc sabe utilizar no computador a 24 a 77 41 a 31 a 79 48 poss vel escolher mais b 22 b 70 97 b 31 b 79 48 de m onda 16 OSAI OB O23 o w e 11 e 35 48 e 13 e 33 33 Excell f 2 f 6 45 f 2 5 13 d Power Point e Outros programas Quais Nada Voc j teve aula de alguma disciplina da forma o geral no a 7 a 22 58 a 6 a 15 38 computador b 24 b 77 42 b 33 b 84 62 a Sim Quais b N o Entre os que utilizam esta ferramenta a maioria o faz no laborat rio da escola 34 61 no grupo de controle e 56 42 no grupo experimental e o fazem uma a duas vezes por semana 58 06 e 71 79 respectivamente Cap tulo 6 Estudo de Campo II 162 Mesmo numa escola que tem laborat rio de inform tica com acesso internet com banda larga apenas 22 58 do grupo de controle e 15 38 do grupo experimental j haviam tido alguma aula de
28. comentados na an lise individual Cap tulo 5 Estudo de Campo I 153 Quadro 5 4 Desempenho dos sujeitos dos dois grupos no teste de conhecimento geom trico Grupo Experimental Grupo de Controle Pr teste P s teste Ganho Pr teste P s teste Ganho Sujeitos Sujeitos Acertos Acertos Acertos Acertos Gabriel 20 58 52 31 91 18 55 00 Daniel 16 47 06 23 67 65 43 75 Miguel 8 23 53 21 61 76 137 50 Rafael 11 32 35 15 44 12 36 36 Lucas 13 38 23 21 61 76 61 54 Pedro 4 11 76 19 55 88 375 00 Paulo 14 41 18 26 76 47 85 71 Marcos 16 47 06 17 50 00 6 25 Jo o 6 17 65 21 61 76 250 00 Mateus 21 61 76 24 70 59 14 28 Global 61 35 88 115 67 65 88 52 Global 68 40 00 98 57 65 44 12 Os gr ficos 5 5 e 5 6 mostram que houve uma melhora no desempenho de cada sujeito no p s teste em rela o ao pr teste tanto no grupo experimental quanto no grupo de controle por m o gr fico 5 7 ilustra que essa melhora foi maior entre os sujeitos do grupo experimental Grupo Experimental B Pr teste E P s teste Gabriel Miguel Lucas Paulo Jo o Gr fico 5 5 Desempenho dos sujeitos do grupo experimental no pr e p s teste de conhecimento geom trico Cap tulo 5 Estudo de Campo I 154 Grupo de Controle 80 60 40 20 0 A Pr teste E P s teste Daniel Rafael Pedro Marcos Mateus Gr fico 5 6 Desempenho dos sujeitos do grupo de controle no pr e p s teste de conhecimento geo
29. i ii iii Figura 3 3 i ret ngulo constru do sobre retas utilizando as suas propriedades ii ret ngulo com as retas ocultas e iii ret ngulo obtido ap s uma movimenta o do mouse preservando suas propriedades Vers es mais atualizadas de alguns destes programas disp em de comandos de tra o ou rastro que possibilitam a visualiza o ponto a ponto da trajet ria de um objeto escolhido Al m disso poss vel a anima o de figuras permitindo a simula o de situa es f sicas tais como o funcionamento de motores e engrenagens ou de fun es peri dicas da Matem tica tais como as fun es trigonom tricas Estes softwares tamb m permitem a realiza o de v rias transforma es geom tricas tais como simetria reflex o rota o transla o e homotetia amplia o e redu o A constru o de lugares geom tricos ou locus num ambiente computacional ocorre segundo uma abordagem informal baseada na trajet ria de um objeto em fun o de um caminho conhecido que outro objeto percorre BELFORT 2001 Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 55 BELFORT 2001 ressalta que este um dos recursos mais not veis da Geometria Din mica pois caso o usu rio precisasse usar recursos gr ficos tradicionais do desenho geom trico um determinado procedimento deveria ser repetido tantas vezes quantas fossem necess rias para obter uma amostra de pontos do lugar geom trico que reproduzisse um comp
30. m demonstraram desempenho significativamente superior no p s teste de conhecimento geom trico e na m dia das provas aplicadas durante o trabalho realizado abordando o conte do sobre c lculo de volumes No p s teste de racioc nio espacial da bateria BPR 5 estes sujeitos tamb m obtiveram desempenho superior aos do grupo de controle mas n o significativamente conforme mostrou o teste t Em contraste os alunos que tiveram aulas atrav s das representa es est ticas dos textos matem ticos ou do quadro de giz demonstraram maior dificuldade para as justificativas das respostas no cap tulo 5 enquanto os sujeitos do grupo de controle apresentaram oscila es no seu desempenho no teste de racioc nio espacial dentro das flutua es previstas Observa se que os resultados obtidos pelos sujeitos do grupo experimental nos dois experimentos foram superiores aos verificados entre os sujeitos do grupo de controle Entretanto os desempenhos dos sujeitos dos dois grupos e nos dois experimentos n o chegaram a ser brilhantes pois suas m dias n o foram altas Tanto os testes da bateria DAT cap tulo 5 quanto os da bateria BPR 5 cap tulo 6 j indicavam sujeitos com Cap tulo 7 Considera es Finais 189 algumas dificuldades de racioc nio espacial e verbal Al m destes fatores outros ainda podem ter sido intervenientes nos resultados o que implica em algumas reflex es sobre os trabalhos de campo realizados Tais reflex es foram div
31. m do fato do seu uso ter causado o questionamento dos m todos e processos de ensino utilizados VALENTE 1993 gt Em concord ncia com o impacto anterior pode se tamb m dizer que as tecnologias educacionais de um modo geral e as tecnologias inform ticas em particular t m ampliado as formas convencionais de utiliza o de recursos materiais no trabalho dos professores em sala de aula CYSNEIROS 1996 gt Para que os professores possam ampliar esta atua o eles necessitam de um aperfei oamento profissional e a inser o desta tecnologia na escola estimula este aperfei oamento O computador pode ent o ser at um problema a mais na vida do professor mas tamb m pode criar novas possibilidades para o seu desenvolvimento como profissional gt Num primeiro momento pode se dizer que a inser o do computador traz uma motiva o a mais para o cotidiano escolar uma vez que ele possui cores movimentos imagens etc H ind cios superficiais entretanto de que tal motiva o pode ser passageira pois se um determinado software for mal utilizado em aula depois de algum tempo pode se tornar t o enfadonho quanto uma aula com uso intensivo de giz ou uma outra baseada em discuss o de textos que tamb m podem n o motivar BORBA amp PENTEADO 2001 Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 45 gt O computador muitas vezes oferece melhores condi es para que o professor acompanhe as atividades desenvolvi
32. o Sim poss vel que o tri ngulo tenha dois lados iguais um ngulo de 90 Sim Porque tirando o de 90 sobra dois ngulos iguais Sim pois os outros lados teriam 45 Sim pois ele tem se ter dois ngulos iguais sic Sim Sim poss vel que o tri ngulo 2 lados iguais e um ngulo menor que 90 sic Sim Porque basta os outros dois serem iguais Sim contanto que os outros lados possuam a mesma medida Sim pois ele pode ter dois ngulos iguais Sim Sim porque ele pode ter 2 lados iguais e um ngulo maior que 90 Sim Porque podem os outros dois serem iguais Sim contanto que os outros lados tenham a mesma medida e que a soma dos tr s forme 180 20 Trace as alturas relativas aos lados destacados nos tri ngulos abaixo A 21 Tente dizer com suas pr prias palavras o que altura relativa de um dado lado num tri ngulo 22 Trace as medianas relativas aos lados destacados nos tri ngulos abaixo A RSM FLD FOS FVL RSM SCB FLD FOS FVL RSM SCB FLD FOS FVL RSM SCB Sim N o Porque os lados do is sceles tem ser iguais Tra ou corretamente nos tr s casos Em branco Acertou os dois primeiros casos N A Embora n o tenha colocado o s mbolo do ngulo reto Errou os tr s casos Errou os tr s casos a altura do tri ngulo a maior dist ncia de um ngulo a seu lado oposto
33. o Livre Tarefas constitu das de v rias etapas possibilitando diversas fase 4 respostas a fim de que o aluno ganhe experi ncia e autonomia Integra o O professor auxilia no processo de s ntese fornecendo fase 5 experi ncias e observa es globais sem apresentar novas ou discordantes id ias Piaget identificou quatro fatores atuantes no processo de desenvolvimento cognitivo matura o experi ncia com o mundo f sico experi ncias sociais e equilibra o A equilibra o e a matura o eram os fatores mais importantes para a passagem de um est gio de desenvolvimento a outro Na teoria de van Hiele entretanto a principal preocupa o com rela o ao processo de ensino aprendizagem em geometria este sim um meio atrav s do qual o estudante atinge certo n vel de desenvolvimento O pr prio van Hiele diferencia as duas teorias ressaltando que a psicologia de Piaget era de desenvolvimento e n o de aprendizagem mas admite ter recebido algumas influ ncias ap s leituras de alguns textos piagetianos Foi a partir destas leituras que ele come ou a estruturar a sua teoria CAP TULO 3 A INFOM TICA APLICADA EDUCA O A tecnologia inform tica tem se tornado t o presente em nosso cotidiano que o uso do computador tem adquirido import ncia cada vez maior no dia a dia das escolas e no desenvolvimento do processo ensino aprendizagem At o momento entretanto ainda persiste a d vida se esta cresce
34. para implanta o de inform tica educativa nas escolas de avalia o de softwares educativos de linguagem LOGO de utiliza o de softwares de autoria e produ o de multim dia etc Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 42 evidenciando que h tamb m uma preocupa o em capacitar o professor a ter autonomia na utiliza o do computador em sua aula As consequ ncias destes cursos de certo modo podem ser percebidas atrav s dos pequenos e numerosos projetos em diferentes disciplinas realizados por alunos e professores das diversas regi es atendidas por algum NTE As mencionadas oficinas do segundo m dulo onde elas existem fazem com que estes cursos adquiram um car ter educacional e ao mesmo tempo reflexivo E assim o termo capacita o deixa de ser o mais adequado pois o que se obt m na verdade a sensibiliza o dos professores quanto import ncia da inser o dessa ferramenta tecnol gica na pr tica escolar 3 2 O Uso de Tecnologia Inform tica como Recurso Pedag gico O computador pode ser utilizado de diferentes formas na escola tanto em atividades administrativas quanto em atividades de ensino aprendizagem No processo ensino aprendizagem ele normalmente serve para ensinar computa o ensino de inform tica linguagens de programa o ou aplicativos como Windows ou Office por exemplo ou para a aprendizagem de disciplinas da forma o geral do curr culo escolar ensino pela info
35. 2 O momento de um volume em rela o a um ponto o produto do volume pela dist ncia do ponto ao centr ide do volume EVES 1992 p 422 Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 24 Mesmo Arquimedes obtendo o volume desta forma ele n o se satisfazia com esse procedimento para justificar a sua exist ncia recorrendo ao m todo de exaust o de Eudoxo para esta tarefa EVES 1992 O m todo do equil brio tamb m se valia de um n mero muito grande de por es at micas apresentando o mesmo problema das id ias de Dem crito Entretanto com o advento do m todo dos limites mais tarde o m todo de Arquimedes se tornou plenamente rigoroso O per odo compreendido entre os trabalhos de Arquimedes e o surgimento de Cavalieri apresentou poucos avan os em rela o hist ria da teoria da integra o Segundo EVES 1992 neste per odo podem ser destacados os trabalhos do engenheiro flamenco Simon Stevin 1548 1620 e o matem tico italiano Luca Val rio 1552 1618 e sobretudo o de Johann Kepler 1571 1630 Kepler foi um dos precursores do c lculo Para calcular as reas envolvidas em sua segunda lei dos movimentos planet rios teve de recorrer a uma forma tosca de c lculo integral E tamb m em seu Stereometria doliorum vinorum Geometria S lida dos Barris de Vinho 1615 aplicou processos de integra o toscos para achar os volumes de noventa e tr s s lidos obtidos pela rota o de segmentos de se es c nicas em to
36. 75 de acertos havia 22 58 de sujeitos no pr teste passando para 61 29 no p s teste ainda considerando o grupo de controle Ningu m atingiu o intervalo de acertos de 76 a 100 No grupo experimental inicialmente havia 69 23 de indiv duos que acertaram cerca de 26 a 50 da prova no pr teste reduzindo para 20 51 deste grupo no p s teste Por outro lado o intervalo de 51 a 75 apresentou um crescimento de 30 77 para 61 54 e o intervalo de 76 a 100 de acertos que ningu m tinha atingido no pr teste no p s teste passou a contar com 17 95 dos sujeitos do grupo Numa an lise inicial j se percebe uma superioridade no desempenho do grupo experimental sobre o grupo de controle Quando s o analisadas as m dias de acertos este fato se confirma j que no pr teste o grupo de controle apresenta m dia de acertos de 42 80 de Cap tulo 6 Estudo de Campo IH 180 acertos passando para 53 54 de acertos no p s teste demonstrando um crescimento m dio de 25 09 No grupo experimental houve uma m dia inicial de 43 59 de acertos no pr teste e de aproximadamente 62 90 no p s teste demonstrando um ganho de 44 30 Portanto superior ao do grupo de controle Quando aplicado o teste t foram obtidos os resultados apresentados no quadro 6 11 Os resultados do pr teste mostram que a hip tese nula v lida para antes do in cio do estudo j que t 0 141 e p 0 89 gt 0 05 Quadro 6 11 Resultados do teste t para
37. 93 127 98 103 111 98 86 81 98 78 86 58 77 58 32 96 45 58 77 45 18 10 45 18 79 58 69 55 63 61 58 68 62 64 45 60 34 52 114 92 104 90 98 96 92 103 97 98 81 94 81 88 82 30 61 25 45 39 30 58 42 45 10 34 10 21 265 266 N cleo de Computa o Eletr nica gt Universidade Federal do Rio de Janeiro Ap ndice I Entrevista IV Teste de conhecimento geom trico Resultados Individuais Grupo de Controle Alunos Turma Pr Teste Pr Teste P s Teste P s Teste Acertos Percentual de Acertos Percentual Acertos de Acertos ACC 3441 5 33 8 53 ACL 3441 6 40 9 60 CCG 3441 5 33 7 47 DSB 3441 9 60 10 67 EAL 3441 9 60 11 73 GNF 3441 4 27 9 60 JFC 3441 5 33 7 47 LCS 3441 7 47 8 53 LFS 3441 6 40 7 47 MAB 3441 4 27 6 40 MCA 3441 8 53 10 67 PHS 3441 5 33 8 53 SLS 3441 4 27 6 40 MWM 3441 5 33 6 40 APF 3541 6 40 9 60 ASG 3541 7 47 8 53 FAJ 3541 7 47 9 60 IFB 3541 9 60 10 67 JVS 3541 7 47 7 47 MTS 3541 7 47 8 53 OLS 3541 5 33 6 40 RSC 3541 6 40 7 47 RYN 3541 7 47 8 53 RDF 3541 6 40 9 60 TGM 3541 6 40 6 40 UVS 3541 8 53 8 53 VVS 3541 8 53 10 67 WRS 3541 9 60 11 73 CFN 3541 7 47 7 47 FCS 3541 6 40 8 53 DSR 3541 6 40 6 40 Grupo Experimental CPL 3341 3341 8 EDM 3341 267 Teste de conhecimento geom trico 1 Quantos cubos unit rios h nos s lidos abaixo a b d 269 2 Quantos
38. ACB e em OK Aparecer na tela o valor da soma dos dois ngulos em radianos V novamente CALCULAR escolha converter Compare o resultado com o valor do ngulo LBC Utilize gt lt ou EBGa BAC ACB Agora compare a medida do ngulo NAB com as medidas dos ngulos CBA e ACB Assim como a medida do ngulo MCA com as medidas dos ngulos CBA e BAC Preencha o quadro abaixo 217 Voc acaba de perceber que em qualquer tri ngulo a medida de qualquer ngulo externo igual soma das medidas dos ngulos internos n o adjacentes 13 Determine as medidas dos lados AB BC e AC do tri ngulo desenhado Coloque os em ordem descrescente 14 15 Coloque cada um destes ngulos em ordem decrescente Compare com a ordem obtida no item m Voc acaba de notar que o maior ngulo se op e ao e vice versa ATIVIDADE 9 ALTURA DE UM TRI NGULO A 1 V at o bot o EAN selecione a pasta EXEMPLOS e o arquivo altura do triangulo ae Voc pode observar que neste exemplo foi tra ada a altura relativa ao lado BC do tri ngulo 2 Calcule a medida do ngulo AHC O que voc observou 218 3 Saiba que a altura de um tri ngulo o segmento que une um v rtice ao lado oposto e perpendicular a esse lado ou ao seu prolongamento Agora trace as alturas relativas aos lados AB e AC Crie uma reta pontilhada sobre as tr s alturas tra adas Determine o ponto de interse o entre estas retas
39. Barra de Menus Ferramentas de lt B ENE LZ Atalho 6 Ferramentas de Atalho do Menu Construir Tela em branco para as constru es geom tricas Ele eN 205 Abaixo voc encontrar os menus principais do Tabul e suas fun es b sicas assim como as fun es de alguns bot es de atalho da tela inicial O objetivo n o foi criar uma manual de instru o e sim apresentar alguns recursos do programa Menu Fun es B sicas Arquivo Permite realizar uma nova constru o abrir uma j existente gravar o trabalho realizado exportar a constru o para outro arquivo e imprimir Editar Atrav s deste menu poss vel desfazer e refazer uma a o selecionar um objeto e apagar o objeto selecionado Exibir Nele est o comandos para ampliar reduzir apresentar e esconder os objetos constru dos al m de mostrar o rastro dos mesmos Construir Aqui encontram se comandos que permitem criar pontos retas semi retas segmentos de reta c rculos lugares geom tricos ou locus e vetores Transformar Atrav s deste menu poss vel realizar reflex o rota o transla o simetria homotetia invers o e projetividade Calcular Este menu disp e de uma calculadora comum e ainda permite medir dist ncias reas ngulos etc Formatar Nele poss vel utilizar ou trocar as cores das constru es determinar o tipo de linha e da fonte utilizada fazer uso de id
40. Cap tulo 5 Estudo de Campo I 108 simples observa es de objetos geom tricos em livros did ticos ou na aula cl ssica de geometria para aulas em ambientes din micos traz reflexos positivos para o funcionamento de alguns processos cognitivos dos alunos sobretudo para a percep o o processamento da imagem e consequentemente para a visualiza o geom trica 5 1 1 Sujeitos Dos dez alunos que assistiram a todas as aulas e fizeram todos as entrevistas e testes propostos metade participou do grupo que trabalhou no laborat rio de inform tica com o uso do software de geometria din mica Tabulc e a outra metade assistiu as aulas cl ssicas de geometria Todos eles estavam na faixa et ria compreendida entre quinze e dezessete anos e eram alunos do per odo da manh ou da tarde da escola e durante o ensino fundamental tamb m estudaram em ensino regular no per odo diurno No grupo que assistiu s aulas cl ssicas de geometria denominado grupo de controle tr s alunos disseram que resolveram fazer o ensino t cnico para preparar se para o vestibular e dois declararam que pretendiam apenas ampliar seus conhecimentos O ensino fundamental foi feito em escola p blica por apenas dois estudantes deste grupo enquanto tr s deles estudaram em escola particular Entre as disciplinas que eles declararam ter tido maior dificuldade durante o ensino fundamental l ngua portuguesa teve duas indica es matem tica obteve tr s e hist r
41. Em caso afirmativo como foi esta experi ncia a Superficial b Aprofundado 9 Voc possui computador em casa a Sim b N o 10 Com que freq ncia voc costuma usar o computador a Nunca b uma a duas vezes por semana c 3 a 5 vezes por semana d mais de 5 vezes por semana 11 Caso j utilize o computador onde isto ocorre com mais freq ncia a em casa b no trabalho c na escola d em casa e no trabalho e na escola e em casa f no trabalho e na escola g no trabalho na escola e em casa 12 0 que voc sabe utilizar no computador a Windows b Word c Excell d Power Point e Outros programas f Nada 13 Voc j teve aula de alguma disciplina da forma o geral no computador a Sim Quais b N o Alunos Turma Acertos1 ACC ACL CCG DSB EAL GNF JFC LCS LFS MAB MCA PHS SLS MWM APF ASG FAJ IFB JVS MTS OLS RSC RYN RDF TGM UVS VVS WRS CFN FCS DSR 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 N cleo de Computa o Eletr nica E j Universidade Federal do Rio de Janeiro Ap ndice F BPR 5 Resultados do Teste de Racioc nio Espacial 11 9 8 18 15 2 11 15 11 11 14 12 14 8 12 15 12 17 15 12 2 15 16 12 10 11 15 9 14 15 15 EPN1 91 86 84 116 102 60 91 102 91 91
42. G A Arte de Resolver Problemas Tradu o Heitor Lisboa de Ara jo Rio de Janeiro Interci ncia 1995 179p 201 POURBAIX M S As Representa es Mentais na Resolu o de Problemas Matem ticos Relacionados Aritm tica Desafios e Implica es nas Ci ncias Cognitivas Orientadora Adriana Benevides Soares Campos UENF 2002 Disserta o Mestrado em Cogni o e Linguagem PROJETO FUND O Geometria Segundo a Teoria de Van Hiele IM UFRJ 2000 PURIFICA O I C Cabri G om tre e a Teoria de Van Hiele possibilidades e avan os na constru o do conceito de quadril tero Orientadora Maria Tereza Carneiro Soares Co orientadora Maria L cia Faria Moro Curitiba UFPR 1999 228p Disserta o Mestrado em Educa o REZENDE E Q F QUEIROZ M L B Geometria Euclidiana Plana e Constru es Geom tricas Campinas Editora da Unicamp 1999 117p RODRIGUES C I REZENDE E Q F Cabri G om tre e a Geometria Plana Campinas Editora da Unicamp S o Paulo Imprensa Oficial 2000 256p SILVA J J da Demonstra o Matem tica da Perspectiva da L gica Matem tica Bolema Rio Claro Ano 15 n 18 pp 68 a 78 2002 SINGH S O ltimo Teorema de Fermat Tradu o Jorge Lu s Calife S o Paulo Record 1999 324 p SOARES A B Representa o e Representa o Mental Relat rio T cnico Rio de Janeiro NCE UFRI n 05 03 pp 1 18 2003 SOUZA F C A G Geometria Din mica um estudo Orientador
43. Geometria Boletim GEPEM Grupo de Estudos e Pesquisas em Educa o Matem tica n 32 ano XVIII pp 3 31 1994 HOYLES C JONES K Proof in Dynamic Geometry Contexts In MAMMANA C ed VILLANL V ed Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21 Century An ICMI Study Dordrecht Boston London Kluwer Academic 1998 pp 121 128 KALEFF AMM R et al Desenvolvimento do Pensamento Geom trico O Modelo de Van Hiele Bolema Rio Claro n 10 pp 21 30 1994 KALEFF A M M R Tomando o Ensino de Geometria em nossas m os Educa o Matem tica em Revista SBEM S o Paulo n 2 pp 19 25 1 sem de 1994 Vendo e Entendendo Poliedros Niter i EdUFF 1998 209 p LABORDE C Visual Phenomena in the Teaching Learning of Geometry in a Computer Based Environment In MAMMANA C ed VILLANL V ed Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21 Century An ICMI Study Dordrecht Boston London Kluwer Academic 1998 pp 113 121 LIMA E L Medida e Forma em Geometria comprimento rea volume e semelhan a Rio de Janeiro SBM Sociedade Brasileira de Matem tica 1991 98 p LORENZATO S Por que n o ensinar Geometria Educa o Matem tica em Revista SBEM S o Paulo n 4 pp 3 13 1995 MACHADO A S Matem tica Temas e Metas Elza F Gomide S o Paulo Atual 1996 276 p 200 MARIOTTI M A Justifying and Proving in Geometry the mediation of a Microworld In The Eu
44. I Aprender a Resolver Problemas e Resolver Problemas para Aprender In POZO org A Solu o de Problemas Porto Alegre Artmed 1998 cap 1 p 13 42 FERREIRA A B H Novo Aur lio S culo XXI O Dicion rio da L ngua Portuguesa Rio de Janeiro Nova Fronteira 1999 3 ed 2128 p EVES H T picos de Hist ria da Matem tica para Uso em Sala de Aula Geometria Tradu o Hygino H Domingues S o Paulo Atual 1992 77 p Introdu o Hist ria da Matem tica Tradu o Hygino H Domingues Campinas Unicamp 1997 2 ed 843 p FAINGUELERNT E K Educa o Matem tica Representa o e Constru o em Geometria Porto Alegre Artmed 1999 227p 198 FAINGUELERNT E K Representa o do Conhecimento Geom trico atrav s da Inform tica Orientadora Ana Regina Cavalcanti da Rocha UFRJ 1996 249 p Tese Doutorado em Ci ncias Engenharia de Sistemas e Computa o FISCHBEIN E The Theory of Figural Concepts Educacional Studies in Mathmatics Dordrecht Holanda Kluwer Academic Publishers n 24 2 pp 139 162 1993 FISCHBEIN E Intuition in Science and Mathmatics an Educational Aproach Dordrecht Holanda Kluwer Academic Publishers 1994 FLAVELL J H MILLER P H MILLER S A Desenvolvimento Cognitivo Tradu o Cl udia Dornelles Porto Alegre Artmed 1999 341p FONSECA V Introdu o s Dificuldades de Aprendizagem Porto Alegre Artmed 1998 388p GINAPE O Estado da Arte do
45. Pesquisa em Ambientes Computacionais de Ensino respons vel pelo desenvolvimento de outros materiais voltados para a cria o de ambientes colaborativos de aprendizagem via Internet O Tabule um software inteiramente escrito na linguagem Java e por este motivo apresenta a facilidade de ser compat vel com diferentes sistemas operacionais tais como Windows Linux e Macintosh Sua vers o atual apresenta as mesmas funcionalidades geom tricas de outros programas de geometria din mica existentes no mercado Como sua concep o inteiramente orientada a objeto poss vel que novas ferramentas sejam adicionadas ao programa sem a necessidade de reiniciar seu processo de montagem BELFORT 2001 GUIMAR ES 2001 O Tabule permite gerar applets que podem ser usados como ferramenta de autoria para redes locais e atrav s da internet Um usu rio pode fazer uma constru o geom trica e enviar para outro s cujos computadores estejam conectados rede GUIMAR ES 2001 Atrav s deste programa poss vel que professores e ou pesquisadores acompanhem passo a passo o trabalho de cada aluno ou em pequenos grupos possibilitando que tais registros sejam utilizados para avalia es ou para pesquisas sobre a diversidade de solu es apresentadas A listagem gerada pelo programa em linguagem HTML cont m todas as atividades desenvolvidas pelo estudante durante o processo de investiga o de um problema incluindo as etapas das constru es re
46. Por conven o o cubo de aresta igual a um tem volume igual a um Por este motivo a unidade de volume um cubo de aresta unit ria 243 VOLUME DE UM BLOCO RETANGULAR Um bloco retangular um s lido delimitado por seis faces retangulares Essas faces constituem tr s pares e em cada par os ret ngulos s o iguais O bloco retangular abaixo possui dimens es 5 cm 3 cm e 2 cm Oual co seu volume VS sas SS Qual foi o procedimento que voc utilizou para determinar este valor Se o bloco retangular possui dimens es a b e c ent o o seu volume Se a b a rea da base do bloco e c a sua altura ent o seu volume tamb m pode ser dado POr sciora a E DS sa pis VOLUME DE UM CUBO Agora considere o cubo abaixo de aresta a 3 cm Quale o seu volume V rera e AA RO da E E Qual foi o procedimento que voc utilizou para determinar este valor 244 Se todas as arestas de um cubo possuem dimens o a ent o o seu volume ATIVIDADE 2 O PRINC PIO DE CAVALIERI OBJETIVOS Compreender o Princ pio de Cavalieri e sua import ncia Aplicar o Princ pio de Cavalieri para justificar f rmulas de volume PROCEDIMENTOS Nas constru es realizadas no arquivo X do Calques 3D h dois s lidos S e S2 e dois planos paralelos horizontais q e n que interceptam estes s lidos a Calcule a rea das se es destes s lidos que fazem in
47. Refer ncias Bibliogr ficas Ap ndice A Atividades de Ensino do cap tulo 5 Ap ndice B Entrevista I Sondagem para caracteriza o dos sujeitos do cap tulo 5 Ap ndice C Entrevista II Pr e p s teste de conhecimento geom trico dos sujeitos do cap tulo 5 Ap ndice D Atividades de Ensino do cap tulo 6 Ap ndice E Entrevista III Sondagem para a caracteriza o dos grupos do cap tulo 6 Ap ndice F Resultados do Teste de Racioc nio Espacial da bateria BPR 5 do cap tulo 6 Ap ndice G Notas das Provas dos sujeitos do cap tulo 6 Ap ndice H Resultados dos Testes de Racioc nio da Bateria BPR 5 dos sujeitos do 99 106 107 121 152 156 157 171 187 194 203 221 222 240 255 256 258 cap tulo 6 262 Ap ndice I Entrevista IV Pr e p s teste de conhecimento geom trico dos sujeitos do cap tulo 6 266 CAP TULO 1 INTRODU O H diversos trabalhos de pesquisa que abordam o esquecimento ou o omiss o do processo de ensino aprendizagem da geometria no Brasil especialmente em escolas p blicas KALEFF 1994 LORENZATO 1995 entre outros Estes autores apontam algumas raz es para este abandono ou omiss o entre as quais podem ser citadas a muitos professores n o det m os conhecimentos geom tricos necess rios para a realiza o de suas pr ticas pedag gicas b a excessiva import ncia que exerce o livro did tico entre os prof
48. Seu ganho em rela o ao pr teste foi de 36 36 O aluno continuou apresentando muitas dificuldades para articular os conceitos trabalhados nas aulas e pouca evolu o com rela o a estes conceitos Por exemplo tanto no pr teste quanto no p s teste ele considerou ser poss vel garantir a constru o de um tri ngulo com tr s ripas independente do tamanho delas Ao enunciar qual era a condi o de exist ncia para a forma o do tri ngulo ele deixou em branco no pr teste e disse no p s teste que o que garante as medidas dos ngulos sic Cap tulo 5 Estudo de Campo I 132 Ele tamb m continuou confundindo a defini o para tri ngulo escaleno passando a dizer que um triangulo que possui dois lados iguais sic mudou sua concep o para tri ngulo is sceles considerando agora que era um tri ngulo que possui todos os lados diferentes e acertou a defini o para tri ngulo obtus ngulo um tri ngulo que possui um ngulo obtuso sic Portanto os erros que cometeu ao relacionar os tipos de tri ngulos principalmente nas justificativas deveram se ao fato dele confundir e n o compreender as defini es isso ocorreu tanto no pr teste quanto no p s teste Pouca evolu o tamb m se verificou com rela o compreens o das cevianas do tri ngulo as alturas dos dois primeiros tri ngulos apresentados foram tra adas corretamente por Rafael antes e ap s as aulas assim como ele err
49. a forma o do pensamento foi amplamente questionada A partir do movimento da matem tica moderna foi reduzida a abrang ncia conceitual e filos fica da geometria euclidiana a um mero exemplo de aplica o da teoria dos conjuntos e da lgebra vetorial Um fato importante ocorreu a partir destas mudan as o abrandamento na exig ncia em se demonstrar teoremas Este abrandamento entretanto trouxe uma consequ ncia positiva o rompimento com o modelo anterior onde se pretendia demonstrar tudo e uma outra negativa passou se ao extremo oposto nenhuma demonstra o No segundo caso a geometria n o era intuitiva ou experimental nem dedutiva Os alunos eram por exemplo apenas informados sobre as propriedades de algumas figuras geom tricas O mais espantoso que este quadro parece predominar at hoje Numa s ntese KALEFF 1994 p 20 afirma que Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 32 A Geometria Euclidiana foi praticamente exclu da dos programas escolares e tamb m dos cursos de forma o de professores de primeiro e segundo graus com consequ ncias que se fazem sentir at hoje Em muitas escolas de primeiro grau o ensino da Geometria n o s confundido com o do Desenho Geom trico como tamb m as suas aulas s o ministradas separadamente das de Matem tica Como consegii ncia desta separa o n o s o professores com forma o em Matem tica que na maioria das vezes ministram as aulas de Geometria por m o
50. admitiu em comunica o pessoal com Alan Hoffer em 1985 que estaria particularmente interessado nos tr s primeiros n veis que v o das s ries escolares mais Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 34 elementares ao in cio do terceiro grau O ltimo n vel o menos desenvolvido nos trabalhos originais dos van Hiele assim como nos trabalhos dos demais pesquisadores que abordaram o modelo KALEFF ET ALL 1994 Quadro 2 1 N veis de Compreens o do Modelo de van Hiele N VEIS DE COMPREENS O Visualiza o ou Reconhecimento CARACTER SITICAS Reconhece visualmente uma figura geom trica Tem condi es de aprender o vocabul rio geom trico n vel 1 N o reconhece ainda as propriedades de identifica o de uma determinada figura An lise Identifica as propriedades de uma determinada figura n vel 2 N o faz inclus o de classes Dedu o Informal ou Ordena o J capaz de fazer a inclus o de classes n vel 3 Acompanha uma prova formal mas n o capaz de construir Dedu o Formal uma outra E capaz de fazer provas formais Raciocina num contexto de um sistema matem tico n vel 4 completo capaz de comparar sistemas baseados em diferentes Rigor axiomas n vel 5 E neste n vel que as geometrias n o cuclidianas s o compreendidas 2 4 2 Propriedades do Modelo O modelo proposto por van Hiele faz parte de uma teoria do desenvolvimento e portanto o aluno s pode
51. ao seu lado oposto Paulo esteve bastante interessado em seu trabalho no laborat rio sendo que n o demonstrou muita independ ncia para realizar as tarefas de aula sempre precisando trocar Cap tulo 5 Estudo de Campo 1 149 impress es com o professor e com os colegas al m de apresentar uma certa depend ncia em rela o ao texto das atividades seguindo risca cada uma delas Mesmo apresentando um baixo desempenho no texto de rela es espaciais observou se uma grande evolu o de Paulo para compreens o dos conceitos e defini es trabalhados No teste de aptid o verbal ele tamb m mostrou um baixo desempenho assim mesmo percebeu se uma melhora ao justificar suas respostas e em algumas defini es 5 2 2 2 5 Jo o Jo o tem 15 anos nunca realizou atividade profissional e est fazendo o ensino m dio para ampliar seus conhecimentos Ele n o possui computador em casa mas o usa de tr s a cinco vezes por semana na escola Jo o sabe usar o Windows o Word e o Excell e j teve aulas de educa o art stica atrav s do computador A sua prefer ncia por assistir as aulas de geometria din mica foi pela curiosidade Durante o ensino fundamental Jo o estudou em escola p blica no regime regular diurno e teve aulas de geometria tendo maiores dificuldades em l ngua portuguesa e matem tica Durante os testes de aptid es espec ficas da bateria DAT Jo o apresentou o seguinte desempenho fez 43 pontos no tes
52. as caracter sticas descritas uma delas teve uma fun o particularmente importante para a pesquisa realizada nesta disserta o algumas vers es deste programa assim como de alguns outros de geometria din mica possuem um recurso denominado hist rico Atrav s deste recurso foi poss vel acompanhar passo a passo o trabalho do sujeito o que possibilitou a reconstitui o de etapas das constru es realizadas e a observa o da indica o do tempo gasto por ele para finalizar cada uma das tarefas Com isto as aulas puderam fluir com maior naturalidade sem a interfer ncia de elementos estranhos ao cotidiano escolar tais como um gravador ou uma c mera de v deo para registro de entrevistas O hist rico do aluno como usualmente conhecido uma listagem gerada em HTML e cont m tr s colunas a primeira delas indica o momento da a o realizada a segunda indica a a o propriamente dita como CRIAR MOVER APAGAR etc e na terceira aparecem os coment rios sobre a a o realizada Nesta coluna de coment rios h a identifica o do objeto com um ID a indica o do tipo de objeto em l ngua inglesa se um ponto livre um segmento por dois pontos um ponto em um segmento uma reta perpendicular etc e finalmente se o objeto dependente ou independente de outros Caso ele se inclua na primeira situa o tamb m indicada a vincula o dele com os outros objetos atrav s dos ID s daqueles como mostra a figura 5 1
53. da base A B e C Esta pir mide est invertida e chame a de P3 Observe que a base da primeira pir mide corresponde base inferior do prisma considerado no in cio e que a da segunda corresponde base superior do mesmo prisma Deste modo as duas pir mides possuem volumes equivalentes Observe que ainda restou uma outra pir mide P3 com base formada pelos v rtices A D e E Se considerarmos a pir mide P em uma nova posi o a sua nova base vai possuir v rtices A B e E Observe que as reas dos tri ngulos cujos v rtices s o A De Fe A Be E tamb m s o equivalentes Como P e P possuem a mesma altura elas tamb m possuem volume equivalentes 252 Logo P e P tamb m possuem volumes equivalentes e ent o podemos considerar Volume de P Volume de P Volume de P Volume da Pir mide Volume do Prisma Volume de P Volume de P Volume de P3 Volume do Prisma 3 x Volume da Pir mide Ent o Volume da Pir mide Como o volume do prisma V Area da base X altura do prisma tamb m podemos escrever Volume da Pir mide ATIVIDADE 6 O CONE E SEU VOLUME OBJETIVOS Compreender e identificar as principais caracter sticas de um cone Compreender e justificar a f rmula do volume de um cone atrav s do Princ pio de Cavalieri Determinar o volume de um cone PROCEDIMENTOS Observe que na constru o X19 do Calques 3D h um plano q e um c rculo C Crie um ponto V fora do plan
54. das constru es matem ticas tem a possibilidade de refletir as caracter sticas das rela es do mundo real FAINGUELERNT 1999 p 39 Segundo FISCHBEIN 1994 a mente humana foi capaz de aprender a construir um mundo estruturado imagin rio governado por regras a partir de realidades gerais b sicas da realidade emp rica Tanto o comportamento simb lico quanto o pr tico de uma pessoa necessita se basear em fatos inquestion veis e objetivos N o h d vidas por exemplo de como desenhar e reconhecer uma linha reta pois o conceito de linha reta uma conven o leva a um significado intuitivo para o indiv duo FAINGUELERNT 1999 O conhecimento intuitivo um tipo de conhecimento que n o baseado na evid ncia emp rica ou em argumentos l gicos rigorosos mas apesar de tudo isso tende se a aceit lo como certo e evidente Frequentemente em Matem tica lida se com entidades e opera es que t m um correspondente pr tico FAINGUELERNT 1999 p 41 Em Geometria muitas vezes a representa o visual identificada com o conhecimento intuitivo Os conceitos de figuras geom tricas n o s o objetos geom tricos mas possuem um significado intuitivo para as pessoas podendo ser manipulados mentalmente representa es internas medida que as representa es externas objetos sejam manipulados recorrendo intui o que se torna poss vel interpretar os conceitos matem ticos e falar de fun es que cresc
55. de Janeiro Sendo o autor deste trabalho professor regente de turmas concluintes do per odo noturno e aproveitando o fato do conte do da quarta s rie ser o de geometria espacial foi poss vel fazer um novo estudo que inclu sse uma an lise da interfer ncia da geometria din mica tamb m neste dom nio A experi ncia foi realizada no segundo semestre de 2004 e teve como motiva o a an lise de um grupo maior que o do cap tulo anterior O n mero total de alunos das quatro turmas em que o trabalho foi realizado perfazia 26 alunos da turma de eletr nica 23 da turma de eletrot cnica 25 da turma de mec nica e 24 da turma de eletromec nica O crit rio de constitui o dos grupos para an lise foi exclusivamente o de hor rios dispon veis no laborat rio de inform tica da escola Como o turno da noite possui 6 tempos de aula e o laborat rio fica aberto apenas at o final do quarto tempo o grupo experimental foi formado pelas turmas de eletr nica e eletrot cnica que tinham suas aulas de matem tica nos dois primeiros tempos respectivamente s segundas feiras e s quartas feiras J o grupo de controle foi constitu do pelas turmas de mec nica e eletromec nica que tinham aulas de matem tica nos Cap tulo 6 Estudo de Campo II 157 dois ltimos tempos respectivamente s segundas feiras e s quartas feiras n o havendo mesmo a possibilidade de ter aulas no laborat rio Desta forma n o houve questionamento por parte do
56. de conhecimento geom trico entrevista IV foi aplicado antes pr teste e depois das aulas p s teste realizadas para o trabalho de campo descrito neste cap tulo Os resultados individuais obtidos por todos os sujeitos dos dois grupos est o apresentados no ap ndice I e resumidos no quadro 6 10 onde s o mostrados os n meros de sujeitos e respectivos percentuais de acordo com intervalos de percentuais de acertos no pr teste e no p s teste Resumidamente verifica se que n o houve qualquer sujeito que tenha tido percentual de acertos no intervalo de 0 a 25 tanto no pr teste quanto no p s teste e nos dois grupos Houve melhora no desempenho nos dois grupos quando s o comparados os resultados do pr teste e do p s teste No grupo de controle inicialmente 77 72 dos alunos haviam acertado entre 26 e 50 da prova no pr teste e posteriormente apenas 38 71 dos alunos obtiveram percentual de acertos no intervalo considerado Cap tulo 6 Estudo de Campo IH 179 Quadro 6 10 Resumo do desempenho obtido pelos sujeitos dos dois grupos no teste de conhecimento geom trico antes e ap s as aulas ministradas para o trabalho de campo Percentual GRUPO DE CONTROLE GRUPO EXPERIMENTAL de Acertos PR TESTE P S TESTE PR TESTE P S TESTE N N N N 0 25 0 0 0 0 0 0 0 0 26 50 24 77 42 12 38 71 p7 69 23 8 20 51 51 75 7 22 58 19 61 29 12 30 77 24 61 54 76 100 0 0 0 0 0 0 7 17 95 TOTAIS 31 100 31 31 39 100 39 100 No intervalo de 51 a
57. de ensino aprendizagem g Acompanhamento e avalia o local do processo de informatiza o das escolas Ap s a verifica o dos objetivos acima e das a es reais implementadas pelos diversos NTEs distribu dos por algumas regi es e cidades brasileiras poss vel constatar que algumas destas a es ainda est o nas inten es por m n o se pode dizer que a realidade da utiliza o de tecnologia nas escolas p blicas a mesma de antes da cria o dos n cleos Num estudo realizado por alunos da disciplina Inform tica e Educa o do mestrado do IM NCE UFRJ ministrado em 2002 constatou se que ainda h pouca autonomia por parte da maioria destes organismos para o recebimento e aplica o dos recursos financeiros Mesmo assim parece que n o houve grande perda em rela o fun o descentralizadora que os NTE s exercem uma vez que eles continuam sendo os definidores de como s o oferecidos os cursos de capacita o dos professores e al m disso est o em contato direto com a realidade que estes Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 41 profissionais vivenciam no cotidiano escolar podendo propor a es e projetos para a supera o das eventuais dificuldades encontradas GINAPE 2002 N o est clara ainda por m a partir das informa es obtidas atrav s da p gina do PROINFO na internet e de entrevistas realizadas para o estudo feito pelo GINAPE 2002 a efic cia das a es dos n cleos em
58. determinada situa o problema acumulando assim novos conhecimentos Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 51 Neste caso necess rio que o professor crie um ambiente que estimule o pensar que desafie o aluno a aprender e construir conhecimento individualmente ou em parceria com os colegas o que propicia o desenvolvimento da auto estima do senso cr tico e da liberdade respons vel ALVES 2003 p 21 Toda a discuss o em torno da classifica o dos diferentes tipos de softwares educativos bastante importante entretanto torna se ainda mais interessante refletir sobre os efeitos que cada tipo de programa provoca na aprendizagem e na motiva o dos alunos Nesta disserta o a principal preocupa o com rela o aos softwares educativos utilizados na aprendizagem da geometria e como eles podem contribuir para a constru o dos conceitos geom tricos e para a mudan a das estrat gias pedag gicas utilizadas pelo professor de matem tica em suas aulas A seguir ser o descritos alguns recursos potencialidades e limita es dos softwares de geometria din mica Al m disso ser feita uma an lise de como algumas das principais caracter sticas destes softwares podem colaborar para o processo de visualiza o de objetos geom tricos e para a realiza o de provas de alguns de resultados geom tricos 3 4 Um Estudo dos Recursos Potencialidades e Limita es da Geometria Din mica O term
59. determinadas s o equivalentes s respectivas bases O que voc concluiria sobre as medidas das reas de s e de s2 qualquer que seja o plano horizontal aa SED A Aa dE NS A ta SD SU SD VT DA SS RR Se Sd Portanto pelo Princ pio de Cavalieri Volume de um cone Volume de uma pir mide 254 Volume de uma pir mide 1 3 rea da base x Altura Volume de um cone Logo Volume de um cone N cleo de Computa o Eletr nica x j Universidade Federal do Rio de Janeiro Ap ndice E Entrevista HI Sondagem para a caracteriza o dos grupos 1 Qual a sua idade a t 20 anos b de 21 a 30 anos c mais de 31 anos 2 Voc trabalha a Sim b N o Ait 3 Quando voc resolveu fazer o ensino m dio t cnico sua maior motiva o foi a o diploma b ampliar conhecimentos c melhoria salarial d preparar se para o vestibular 4 Durante o ensino fundamental voc estudou em escola a P blica b Particular c P blica Particular 5 Qual a forma de estudo realizada no ensino fundamental a Regular diurno b Regular noturno c Supletivo 6 Em qual disciplina voc sentiu maior dificuldade no ensino fundamental poss vel escolher mais de uma op o a Lingua Portuguesa b Matem tica c Ci ncias d Hist ria e Geografia f Educa o F sica g Nenhuma 7 Voc estudou geometria durante o ensino fundamental a Sim b N o 255 8
60. determinar as f rmulas de reas e volumes de alguns s lidos conhecidos A id ia fundamental do m todo do equil brio de Arquimedes era cortar a regi o do s lido correspondente num n mero muito grande de fatias paralelas finas e a seguir pendurar mentalmente os peda os cortados numa das extremidades de uma alavanca dada de tal modo a estabelecer o equil brio com uma figura de rea ou volume e centr ide conhecidos A figura 2 3 ilustra o m todo para a determina o da f rmula do volume de uma esfera Siracusa estava na zona de influ ncia cartaginesa e foi cercada no decurso da segunda guerra p nica pelas tropas do general romano Marcelo Este ataque e saque Siracusa fez parte do projeto expansionista do Imp rio Romano Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 22 O raio da esfera r e o seu di metro polar est localizado sobre o eixo horizontal eixo das abscissas com p lo norte N na origem O cilindro e o cone de revolu o s o obtidos pela rota o do ret ngulo NABS e do tri ngulo NCS em torno do eixo horizontal Figura 2 3 Se o transversal de um cilindro uma esfera e um cone para a determina o da f rmula do volume da esfera atrav s do m todo de equil brio de Arquimedes A partir dos tr s s lidos de revolu o s o consideradas as fatias delgadas que devem ser vistas como cilindros achatados correspondentes s se es de abscissas x e x Ax Os volumes dessas fatias s o aproximada
61. dividimos um ngulo em duas partes iguais demonstrando alguma no o do que dizia O desempenho bastante fraco de Pedro nos testes da bateria DAT pode evidenciar um desinteresse pelos mesmos rea o comum entre adolescentes j que ele mostrou uma grande melhora ap s as aulas na sala de aula comum 5 2 2 1 4 Marcos Marcos considera que a melhor forma de estudar geometria na sala de aula tradicional e por este motivo optou por esta maneira de participar do Projeto Matem tica Zero Este adolescente de 15 anos nunca exerceu uma atividade profissional e espera que o ensino m dio lhe d uma boa prepara o para o vestibular Durante o ensino fundamental ele estudou em escola particular no regime regular diurno e teve maior dificuldade em matem tica Entre os diversos t picos desta disciplina vistos naquele n vel de ensino se inclu a a geometria Cap tulo 5 Estudo de Campo I 136 Ele possui computador em casa e o utiliza uma a duas vezes na semana tanto em sua casa quanto na escola Durante os testes de aptid es espec ficas da bateria DAT Marcos apresentou o seguinte desempenho fez 41 pontos no teste de rela es espaciais percentil de 50 37 5 no teste de racioc nio abstrato percentil de 85 e apenas 19 pontos no teste de racioc nio verbal percentil 35 No Ppr teste de conhecimento geom trico Marcos acertou 47 06 das quest es demonstrando dominar o conceito de tri ngulo e suas classifica es
62. dos tempos do meio t m efetivamente dura o de 80 minutos Como as aulas foram ministradas no primeiro e ltimo tempos elas contaram com uma dura o total de 70 minutos em m dia Primeira aula 09 08 2004 segunda feira e 11 08 2004 quarta feira aplica o da entrevista III em cerca de 10 minutos e da entrevista IV pr teste de conhecimento geom trico no tempo restante cerca de 60 minutos Segunda aula 16 08 2004 segunda feira e 18 08 2004 quarta feira foram aplicados os testes BPR 5 de racioc nio abstrato 12 minutos e racioc nio verbal 10 minutos al m de cerca de 10 minutos antes de cada teste Cap tulo 6 Estudo de Campo II 168 Terceira aula 23 08 2004 segunda feira e 25 08 2004 quarta feira foram aplicados os testes BPR 5 de racioc nio espacial 18 minutos e racioc nio num rico 18 minutos al m de cerca de 10 minutos antes de cada teste Quarta aula 30 08 2004 segunda feira e 01 09 2004 quarta feira A partir desta aula foi iniciada a sequ ncia did tica O C lculo de Volumes e o Princ pio de Cavalieri com a finalidade de justificar as f rmulas dos volumes de s lidos como o paralelep pedo ret ngulo ou bloco retangular o cubo um prisma qualquer o cilindro a pir mide o cone e a esfera atrav s do Princ pio de Cavalieri De acordo com LIMA 1991 h tr s maneiras para a abordagem deste assunto no ensino m dio utilizar a apresenta o c
63. e Eugene Klotz do Swarthmore College como parte do projeto Visual Geometry da Key Curriculum Press Inc na Pensilv nia EUA A primeira vers o foi lan ada em 1991 e j apresentava uma interface bastante simples que permitia a constru o de objetos geom tricos como se o usu rio estivesse usando r gua e compasso MIRA 2001 SOUZA 1998 Atrav s de opera es simples os alunos podem construir e aplicar regras e algoritmos matem ticos na resolu o de problemas estimar e usar medidas de comprimento massa tempo etc formular hip teses e realizar experimentos observar analisar e explicar rela es matem ticas identificar descrever desenhar comparar e classificar modelos f sicos de figuras geom tricas construir modelos bidimensionais e tridimensionais usando uma grande variedade de recursos conjecturar a respeito de figuras geom tricas e de suas propriedades e provar rela es e propriedades entre elas atrav s da incorpora o apropriada da tecnologia Para realizar uma constru o geom trica no GSP primeiro preciso selecionar os elementos necess rios constru o desejada para depois buscar o comando de execu o Aqui primeiro se seleciona o objeto e depois se realiza a a o ao contr rio do que acontece no Cabri Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 67 Para Nicholas Jakiw o designer do GSP este procedimento foi adotado porque deste modo o usu rio precisa saber que elementos ele de
64. e S2 segundo figuras planas de mesma rea ent o Volume de S Volume de S2 ATIVIDADE 3 O PRISMA E SEU VOLUME OBJETIVOS Compreender e identificar as principais caracter sticas de um prisma Compreender e justificar a f rmula do volume de um prisma atrav s do Princ pio de Cavalieri Determinar o volume de um prisma PROCEDIMENTOS Observe que na constru o X do Calques 3D h dois planos paralelos o e 7 e uma reta r que fura os dois planos No plano q est desenhado um pol gono R cujos v rtices s o os pontos A B C De E 246 a Trace as retas paralelas reta r e que passam pelos v rtices do pol gono R e sejam paralelas a r b Determine os pontos de interse o de cada uma das retas tra adas com o plano 7 e chame os respectivamente A B C D e E c Trace os segmentos de reta unindo A a A BaB CaC DaD e Ea E ocultando a retas suportes destes segmentos O conjunto de todos os segmentos paralelos reta r que ligam um ponto de R a um ponto do outro plano o plano x forma um prisma Os prismas s o ent o os poliedros que t m duas faces paralelas e congruentes chamadas bases e as demais faces t m a forma de paralelogramos e s o chamadas faces laterais Agora desloque a reta r para diversas posi es Toda vez que a reta r formar um ngulo reto com os planos a e m o prisma reto Caso contr rio o prisma obl quo A dist ncia entre os planos qu
65. e n o a transi o para ele passa a ser o per odo de mudan a e crescimento cont nuos Assim n o se pode predizer as respostas das crian as a tarefas de determinado est gio apenas porque elas est o naquela etapa Esta perda da previsibilidade reduz o valor cient fico do conceito de est gio mas n o o torna sem valor O fato de que todos estes desenvolvimentos levarem um tempo longo para serem completados n o significa que o termo est gio n o possa ser aplicado ao padr o evolutivo utilizado por Piaget Neste caso o conceito de est gio adquire um sentido mais din mico e se refere a um processo extenso de mudan as evolutivas e interdependentes Alguns psic logos do desenvolvimento acreditam que a simples utiliza o da palavra est gio garante um crescimento coincidente e interligado das caracter sticas daquela fase em todos os sujeitos Algumas delas podem se desenvolver mais ou menos na mesma idade na m dia mas seus n veis de desenvolvimento n o est o muito correlacionados nos indiv duos Uma caracter stica pode estar evolutivamente mais avan ada do que a outra em uma determinada crian a enquanto o oposto pode ser verdade para uma outra Qualquer coincid ncia que pode haver portanto do tipo aproximado da m dia do grupo As mudan as dentro dos est gios s o mais graduais importantes e extensas no tempo do que se acreditava originalmente e os desenvolvimentos no mesmo est gio s o menos coinciden
66. e para o amadurecimento de minhas id ias A minha irm Geth e meu cunhado Cl udio pela torcida e ora es Aos Profs Drs L lian Nasser Elisabeth Belfort Ana Kaleff L cia Tinoco Lu s Carlos Guimar es F bio Ferrentini Marcos Elia e L gia Barros por indicarem caminhos e darem dicas de bibliografia que muito contribuiram para este trabalho A Isabel Campos Barroso colega da gradua o pela colabora o em indicar refer ncias A R bia Amaral doutoranda da UNESP Rio Claro que mesmo dist ncia e sem me conhecer pessoalmente sempre me dispensou aten o carinho e boa vontade no envio de refer ncias Aos colegas do mestrado Luciano Di genes e Patrick que com sua generosidade e paci ncia muito contribu ram para meu crescimento em algumas das disciplinas do mestrado A Em lia Barra Ferreira Mac rio Costa Solange Alto Mary Leila Francine Gandra Jorge Zavaleta e toda a turma de 2002 que com seu companheirismo e esp rito de coopera o me fizeram compreender na pr tica o que aprender com colabora o A Teresa TT pela grande generosidade em me auxiliar na prepara o da apresenta o da defesa A Lina e Adriana secret rias da AEP Tia Dayse Zez e Regina da Secretaria do Instituto de Matem tica Maria e Lu sa da biblioteca de NCE e a Am lia da Contabilidade que com sua dedica o e efici ncia tornaram sempre este caminho menos rduo seja atrav s de solu o de problemas da burocr
67. ele apresentou o seguinte desempenho fez 17 pontos no teste de rela es espaciais percentil de 10 40 no teste de racioc nio abstrato percentil de 85 e apenas 10 pontos no teste de racioc nio verbal percentil 5 Cap tulo 5 Estudo de Campo I 138 Mateus acertou 61 76 das quest es apresentando melhor desempenho entre os sujeitos do grupo de controle no pr teste Inicialmente ele j dominava os conceitos de tri ngulos e suas classifica es mas parecia n o compreender a condi o de exist ncia de um tri ngulo indicando apenas que n o era poss vel se construir este pol gono com quaisquer tr s tamanhos de ripas e declarando n o saber enunciar aquela condi o Quanto classifica o dos tri ngulos ele apenas n o compreendia ainda o que um tri ngulo obtus ngulo dizendo ser aquele que tem a medida dos ngulos superior a 90 indicando ter a no o por m afirmando que todos os ngulos internos do tri ngulo serem maiores que 90 Assim como Marcos ao relacionar os diferentes tipos de tri ngulo Mateus acertou as respostas envolvendo sim ou n o mas deixou em branco a maioria das justificativas obtendo sucesso naquelas que relacionavam o tri ngulo eq il tero aos tri ngulos ret ngulo acut ngulo e obtus ngulo Ao ser solicitado a tra ar a altura dos tri ngulos sugeridos na entrevista Mateus acertou os dois primeiros casos e a definiu como sendo uma reta que forma 90 Para a me
68. esperado que seria de 67 dos casos Os resultados mostram que 70 97 dos sujeitos do grupo de controle flutuaram o valor de seu EPN no teste de racioc nio espacial dentro do previsto Quadro 6 13 Varia o do EPM entre duas aplica es do teste de racioc nio espacial da bateria BPR 5 antes e ap s as aulas ministradas para o trabalho de campo Varia o do EPM GRUPO DE CONTROLE GRUPO EXPERIMENTAL 4 4 EPM lt 6 6 45 5 13 6 lt EPM lt 6 70 97 51 28 EPM gt 6 22 58 43 59 O que chama a aten o o fato de 43 59 dos sujeitos do grupo experimental apresentarem EPM maior que 6 na segunda aplica o Este fato pode indicar que houve um ganho real nesta habilidade ap s a realiza o da experi ncia com o uso do sofiware de geometria din mica j que a flutua o dentro de intervalo de 6 esteve abaixo dos 67 indicados por ALMEIDA amp PRIMI 2000 pois cerca de 51 28 dos sujeitos do grupo experimental oscilaram neste intervalo Os desempenhos de todos os sujeitos dos dois grupos est o no ap ndice F e o resumo destes resultados encontra se no quadro 6 14 que mostra o n mero de sujeitos por grupo e os Cap tulo 6 Estudo de Campo II 184 respectivos percentuais conforme seu desempenho no teste de racioc nio espacial da bateria BPR 5 Os resultados do grupo de controle mostram que praticamente n o houve altera o no desempenho dos sujeitos nas duas aplica es do teste de racioc nio espacial no pr
69. foi solicitado que Daniel definisse com suas palavras o que era altura ela apenas declarou n o me lembro bem da defini o Com rela o mediana Daniel inicialmente errou os tr s casos propostos e deixou em branco quando foi solicitado que definisse com suas palavras o que era essa ceviana parecendo ainda n o conhecer o assunto Quando solicitado a tra ar as bissetrizes relativas aos ngulos indicados nos tri ngulos propostos Daniel apenas assinalou a divis o do ngulo e tra ou o segmento n o indicando se eles estavam divididos pela metade Quanto defini o ele novamente deixou em branco Cap tulo 5 Estudo de Campo I 129 Ap s as aulas Daniel obteve um desempenho superior acertou 67 65 das respostas apresentando um crescimento de 43 75 Nas quest es anteriores sobre o conceito de tri ngulo e suas classifica es ele seguiu acertando cabendo a ressalva que ela continuou considerando que um ngulo agudo possui medida lt ou a 90 e que o ngulo obtuso possui medida gt ou a 90 Com rela o condi o de exist ncia de um tri ngulo ele apresentou pouca evolu o tanto no pr teste quanto no p s teste Daniel considerava que n o era poss vel garantir a constru o de um tri ngulo para quaisquer tamanhos de ripas de madeira que fossem considerados mas quando solicitado a dizer qual era esta condi o de exist ncia ele deixou a resposta em branco no pr test
70. grandes te ricos do desenvolvimento humano enquanto Piaget apresenta uma tend ncia que enfatiza o papel estruturante do sujeito Vygotsky enfatiza o aspecto interacionista pois considera que na troca entre as pessoas que se originam as fun es mentais superiores Enquanto no referencial do primeiro o conhecimento se d a partir da a o do sujeito sobre a realidade sendo considerado ativo para o segundo esse mesmo sujeito n o apenas ativo mas interativo porque constitui conhecimentos e se constitui a partir de rela es intra e interpessoais Outras reas da Psicologia Cognitiva aparecem neste trabalho atrav s do Tratamento ou Processamento da Informa o que tem entre suas principais preocupa es as quest es relativas resolu o de problemas e as formas de representa o do conhecimento pelo indiv duo Neste cap tulo s o descritas as principais teorias que fundamentam a pesquisa de campo realizada As propostas apresentadas pertencem ao modelo cognitivo do conhecimento CARRAHER 2002 o qual rejeita o modelo tradicional da educa o que trata o conhecimento apenas como a transmiss o de conte dos informa es coisas e fatos ao aluno Uma caracter stica comum das teorias apresentadas que sempre h uma preocupa o em compreender o processo de descoberta e de aprendizagem do estudante Deste modo elas investigam como se constr i o conhecimento e como o aluno o representa a partir dos diferentes es
71. gt Conhecer e executar procedimentos e estrat gias heur sticas gt Dar uma boa base matem tica Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 93 Um problema quando apresentado ao aluno primeiramente deve ser compreendido para que depois ele possa fazer sua tradu o para uma s rie de express es e s mbolos matem ticos Somente ap s esta tradu o que se deve projetar as estrat gias para alcan ar a solu o final quando ent o os resultados obtidos devem ser interpretados e analisados Apesar de existirem in meros problemas que podem ser propostos no processo de ensino aprendizagem da matem tica sua utiliza o n o f cil ECHEVERR A 1998 p 51 pois o processo para obten o da sua solu o recebe influ ncia tanto de fatores matem ticos quanto de fatores n o matem ticos sendo que cada um destes fatores exerce uma influ ncia diferenciada conforme o problema proposto ECHEVERR A 1998 destaca os seguintes fatores intervenientes sobretudo na etapa de tradu o das tarefas para as representa es matem ticas o conte do das tarefas e a sua rela o com os conhecimentos armazenados pelo aluno o contexto no qual ocorre a forma e a linguagem que as express es assumem Quando algu m compreende um problema sup e se que n o apenas compreenda a linguagem e as express es atrav s das quais o seu enunciado expresso reconhecendo os conceitos matem ticos mas tamb m o assimile ao seu conh
72. inclui ent o qualquer caracter stica que possa predispor aprendizagem seja a intelig ncia a personalidade os interesses ou as habilidades especiais A finalidade da aplica o de testes de aptid es espec ficas da bateria DAT neste trabalho foi ent o verificar algumas caracter sticas dos sujeitos envolvidos que pudessem ser intervenientes nos resultados obtidos A bateria completa se constitui dos seguintes testes de aptid o espec fica racioc nio verbal racioc nio abstrato raciocino mec nico habilidade num rica rela es espaciais rapidez e exatid o e uso da linguagem ortografia e senten a Foram aplicados os testes de racioc nio verbal para verificar a habilidade de compreens o de conceitos expressos em palavras de racioc nio abstrato para verificar a capacidade de reflex o e de rela es espaciais para verificar a capacidade de visualizar um objeto geom trico e de executar sua manipula o mental A aplica o dos testes foi feita em dois encontros num per odo compreendido de uma semana d O hist rico do aluno no software Tabulce Na se o 3 4 foi feita uma descri o de alguns aspectos do software Tabulce tais como as motiva es para o seu desenvolvimento as caracter sticas de sua interface gr fica a sua compatibilidade com diferentes sistemas operacionais e a facilidade para adi o de novas ferramentas Cap tulo 5 Estudo de Campo I 114 Por m entre todas
73. informa o decodificada normalmente ocorre a aloca o da aten o seletiva para a realiza o do processamento da imagem e para o prosseguimento do processo de representa o mental Quando o sujeito n o consegue alocar a aten o seletiva a mudan a representacional acaba n o ocorrendo Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 102 Se a aloca o da aten o seletiva for bem sucedida torna se poss vel a elabora o de imagens fundamental para a continua o do processo pois esta pode contribuir em conjunto com as informa es j retidas na mem ria de longo prazo para dar maior significa o informa o inicial A partir da ocorre ent o a simboliza o ou a representa o da realidade possibilitando o aparecimento da pr xima etapa a conceitualiza o quando o sujeito adquire condi es de realizar uma aprendizagem abstrata atrav s da classifica o das experi ncias E importante ressaltar que a figura 2 1 mostra o esquema de um modelo te rico das atividades mentais envolvidas na representa o mental do conhecimento o que n o significa que n o poder o existir outras maneiras e modelos A escolha deste se deve sobretudo linha de racioc nio adotada ao longo do estudo Alguns trabalhos de filosofia da matem tica de educa o matem tica e de psicologia cognitiva se voltaram para a compreens o da forma o de conceitos atrav s de teorias que abordaram a quest o da re
74. levaram a importantes descobertas e at mesmo ao desenvolvimento de novas reas de pesquisa como a criptografia por exemplo Na educa o matem tica a fun o heur stica tem por objetivo levar o aluno a aceitar o desafio de questionar cada passo dado na demonstra o a verificar cada afirma o e a Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 62 compreender cada resultado A fun o ret rica juntamente com a heur stica s o normalmente as mais enfatizadas quando se trabalha com a demonstra o em inform tica aplicada educa o importante que o professor sempre incentive seus alunos a conjecturar a explorar e levantar hip teses e a refinar as suas cren as e convic es levando os a compreender as verdades de proposi es matem ticas Neste cen rio o computador pode ser um importante aliado e n o um obst culo a mais Atrav s do manuseio dos softwares da geometria din mica o professor pode instigar os alunos a explicarem o porqu da verdade de suas conjecturas n o deixando que as demonstra es fiquem esquecidas e relegadas ao segundo plano 3 4 3 Limita es As limita es encontradas nos softwares de geometria din mica s o muitas vezes consequ ncias da pr pria tecnologia utilizada e algumas delas podem at mesmo ser exploradas pelo professor em suas aulas Quando o usu rio desenha retas semi retas e segmentos de retas poss vel perceber em alguns momentos descontinuida
75. m nimo pois poderia ser tomada como uma nova e menor unidade de tempo o instante em que C leva para passar por um B Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 19 Ar As s A4 B B2 B B4 C C2 C3 C4 Figura 2 1 Posi es relativas ocupadas pelos corpos do paradoxo do est dio num dado instante A A2 s A4 B B2 B B4 Ci C2 C C4 Figura 2 2 Posi es relativas ocupadas pelos corpos do paradoxo do est dio num instante imediatamente posterior ao mostrado na figura 2 1 Zen o atrav s de seus paradoxos chamou a aten o para as dificuldades l gicas ocultas nas suposi es sobre os indivis veis contribuindo para a exclus o dos mesmos da geometria demonstrativa grega BOYER 1985 Nos primeiros problemas de c lculo de comprimentos reas e volumes h ind cios das duas premissas sobre a divis o de grandezas Uma resposta da escola plat nica aos paradoxos de Zen o foi o m todo da exaust o normalmente creditado a Eudoxo 370 a C tem como base a seguinte proposi o se de uma grandeza qualquer subtrai se uma parte n o menor que sua metade do restante subtrai se Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 20 tamb m uma parte n o menor que sua metade e assim por diante se chegar a uma grandeza menor que qualquer outra anterior Os eg pcios e mais
76. m 0 25 m 26 50 o 51 75 o 75 100 Gr fico 6 1 Distribui o dos sujeitos do grupo experimental nas faixas de percentis para o escore geral dos testes de racioc nio BPR 5 Cap tulo 6 Estudo de Campo II 175 Escore Geral dos Testes de Racioc nio BPR 5 Grupo de Controle m 0 25 E 26 50 o 51 75 o 75 100 Gr fico 6 2 Distribui o dos sujeitos do grupo de controle nas faixas de percentis para o escore geral dos testes de racioc nio BPR 5 Segundo ALMEIDA amp PRIMI 2000 estes resultados sugerem que a grande maioria dos sujeitos dos dois grupos possui uma capacidade abaixo do que seria esperado nesse nivel de escolaridade para resolver problemas relativamente novos que requerem a an lise das informa es apresentadas pela situa o problema o relacionamento das informa es a cria o de novas concep es abstratas e a dedu o de respostas para o problema a partir de suas concep es Pessoas com desempenho geral abaixo do percentil 50 podem encontrar dificuldades em planejar e executar efetivamente uma estrat gia anal tica de racioc nio diante de situa es nas quais necess rio o manuseio mental de um grande n mero de informa es Estas caracter sticas parecem ser comuns aos dois grupos estudados Para realizar a an lise dos resultados foram consideradas tr s vari veis dependentes as notas dos alunos nos bimestres em que as aulas foram realizadas o des
77. m existe uma s rie de procedimentos e habilidades que s o comuns a todos os problemas e que todas as pessoas colocam em a o com maior ou menor compet ncia As fases para encontrar a solu o de problemas descritas por POLYA 1995 t m sido considerados m todos gerais de solu o de tarefas independentes de seu conte do ECHEVERR A amp POZO 1998 Segundo POLYA 1995 a solu o de um problema exige A compreens o da tarefa O estabelecimento de um plano A execu o do plano para obter a solu o Y YY Y O exame da solu o obtida Para compreender o problema o aluno deve identificar suas partes principais que s o as inc gnitas os dados e a condicionante Por este motivo o professor deve propor diversas perguntas que girem em torno destes aspectos Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 90 Para estabelecer um plano necess rio que se encontre a conex o entre os dados e a inc gnita e possivelmente ser necess rio recorrer a problemas auxiliares ou correlatos ou ainda variar transformar e modificar atrav s de generaliza es particulariza es e analogias A execu o do plano vai requerer uma verifica o de cada passo a fim de que n o reste d vidas que eles estejam corretos Tanto a intui o quanto o racioc nio formal podem ser utilizados nesta fase Finalmente deve se fazer uma retrospectiva da solu o reconsiderando e reexaminando o resultado final e o caminho que levou a
78. mais d 6 d 19 35 d 7 d 17 94 de uma op o e 1 e 2 56 e 1 e 2 56 a L ngua Portuguesa 90 0 a 9 0 b Matem tica g 3 g 9 68 g 5 g 12 82 c Ci ncias d Hist ria e Geografia f Educa o F sica g Nenhuma Voc estudou Geometria durante o ensino fundamental a 18 a 58 06 a 27 a 69 23 a Sim b 13 b 41 94 b 12 b 30 77 b N o Em caso afirmativo como foi esta experi ncia a 14 a 77 78 a 20 a 74 06 a Superficial b 4 b 22 22 b 7 b 17 94 b Aprofundado Um outro dado relevante para o estudo foi com rela o ao acesso e uso de tecnologia inform tica pelos estudantes quadro 6 4 Tanto no grupo de controle quanto no grupo experimental a maioria ainda n o possui computador em casa respectivamente 67 74 e 66 67 No entanto apenas 16 13 no grupo de controle e 10 26 no grupo experimental disseram que nunca utilizaram o computador Cap tulo 6 Estudo de Campo II 161 Quadro 6 4 Perfil dos estudantes em rela o ao acesso e uso de tecnologia inform tica Grupo de Controle Grupo Experimental Perguntas 31 alunos 39 alunos Quantidade Percentual Quantidade Percentual Voc possui computador em casa a 10 a 32 26 a 13 a 33 33 a Sim b 21 b 67 74 b 26 b 66 67 b N o Com que fregi ncia voc costuma usar o computador a 5 a 16 13 a 4 a 10 26 a Nunca b 18 b 58 06 b 28 b 71 79 b uma a duas vezes por c 5 c 16 13
79. mas parte deles nica com a finalidade de ajustar a dificuldade ao n vel de desenvolvimento cognitivo dos alunos para os quais elas foram desenvolvidas Cap tulo 6 Estudo de Campo II 165 Neste estudo foi aplicado o teste de racioc nio abstrato com dura o de dez minutos e com a finalidade de avaliar a extens o do vocabul rio e a capacidade de estabelecer rela es abstratas entre conceitos verbais o teste de racioc nio abstrato com dura o de doze minutos e com a finalidade de avaliar a capacidade de estabelecer rela es abstratas em situa es novas para as quais se possui pouco conhecimento previamente aprendido o de racioc nio espacial com dura o de 18 minutos objetivando avaliar a capacidade de visualiza o ou seja de formar representa es mentais visuais e manipul las transformando as em novas representa es o de racioc nio num rico com dura o de 18 minutos visando avaliar a capacidade de raciocinar indutiva e dedutivamente com s mbolos num ricos em problemas quantitativos al m de verificar o conhecimento de opera es aritm ticas b sicas Os dois primeiros foram aplicados em uma sess o e os outros dois numa outra sess o O teste de raciocino mec nico n o foi aplicado pois n o era finalidade do trabalho verificar o conhecimento pr tico de mec nica e f sica adquirido em experi ncias cotidianas e pr ticas A escolha dos quatro testes e n o apenas o de raciocino espacial deu se
80. no pr e p s teste de conhecimento geom trico e o ganho global obtido no p s teste em rela o ao pr teste Gr fico 6 1 Distribui o dos sujeitos do grupo experimental nas faixas de percentis para o escore geral dos testes de racioc nio BPR 5 Gr fico 6 2 Distribui o dos sujeitos do grupo de controle nas faixas de percentis para o escore geral dos testes de racioc nio BPR 5 124 125 126 127 153 154 154 174 175 LISTA DE QUADROS Quadro 2 1 N veis de compreens o do modelo de van Hiele Quadro 2 2 Fases de aprendizagem do modelo de van Hiele Quadro 5 1 Desempenho dos sujeitos do grupo de controle nos testes de aptid o espec fica do tipo DAT Quadro 5 2 Desempenho dos sujeitos do grupo experimental nos testes de aptid o espec fica do tipo DAT Quadro 5 3 Desempenho percentual dos sujeitos dos dois grupos no pr teste de conhecimento geom trico Quadro 5 4 Desempenho dos sujeitos dos dois grupos no teste de conhecimento geom trico Quadro 6 1 Distribui o et ria dos grupos de controle e experimental Quadro 6 2 Perfil dos grupos em rela o atividade profissional e perspectivas em rela o ao ensino t cnico Quadro 6 3 Perfil dos grupos durante a realiza o do ensino fundamental Quadro 6 4 Perfil dos estudantes em rela o ao acesso e uso de tecnologia inform tica Quadro 6 5 Valores de EPM por teste e habilidade Quadro 6 6 Desempenho do grupo de cont
81. outros sic e passa a dizer que a soma de 2 lados menores de um tri ngulo tem que se menor do que o tamanho da hipotenusa Racioc nio ainda n o correto mas que mostra alguma evolu o Ap s as aulas ele passou a definir corretamente os diversos tipos de tri ngulos e compreender razoavelmente as rela es entre eles Por exemplo pergunta que indagava se era poss vel que um tri ngulo eq il tero tamb m fosse ret ngulo ele que antes tinha dito que n o sem justificar passou a justificar corretamente sua resposta dizendo que n o pois cada ngulo ser igual a 60 Cap tulo 5 Estudo de Campo I 135 Quanto s cevianas Pedro tinha errado o tra ado das alturas nos tr s casos passando a acertar os dois primeiros casos no p s teste por m quanto defini o ele inicialmente tinha dito n o ser poss vel definir e escrevei no p s teste que a altura de uma extremidade a outra n o demonstrando muita evolu o Sobre o tra ado de medianas ele deixou em branco no pr teste e apenas assinalou o ponto m dio do lado destacado nos exemplos propostos n o conseguindo tamb m dizer com suas palavras o conceito desta ceviana Para o caso da bissetriz ocorreu algo parecido deixando em branco no pr teste e assinalando a divis o do ngulo tra ando o segmento mas n o indicando que eles estavam divididos pela metade Na defini o tamb m deixou em branco o pr teste mas disse que quando
82. pdf Arquivo consultado em set de 2002 O Modelo de Desenvolvimento do Pensamento Geom trico de van Hiele e Poss veis Contribui es da Geometria Din mica Relat rio T cnico Rio de Janeiro NCE UFRJ n 20 02 pp 1 10 2002 ALVES G S SOARES A B LIMA J C M Uma Introdu o ao Estudo dos Poliedros com o uso do Computador In I Simp sio Sul Brasileiro de Matem tica e Inform tica Uniandrade Anais Eletr nicos Curitiba Uniandrade 2002 Dispon vel na internet via http www uniandrade br simposio pdf mat1 06 pdf Arquivo consultado em set de 2002 Uma Introdu o ao Estudo dos Poliedros com o uso do Computador Relat rio T cnico Rio de Janeiro NCE UFRJ n 19 02 pp 1 10 2002 Utiliza o de Poliedros Um Estudo de Caso Relat rio T cnico Rio de Janeiro NCE UFRIJ n 16 02 pp 1 10 2002 Tri ngulos Din micos uma sequ ncia did tica sobre conceitos relacionados a tri ngulos com o aux lio do software Tabulae In XVIII Congresso Nacional de Matem tica Aplicada e Computacional Anais Porto Alegre PUC RS 2004 195 O C lculo de Volumes e o Princ pio de Cavalieri Uma Sequ ncia Did tica com o Aux lio da Geometria Din mica In XVIII Congresso Nacional de Matem tica Aplicada e Computacional Anais Porto Alegre PUC RS 2004 Uma Sequ ncia Did tica com o Aux lio da Geometria Din mica O C lculo de Volumes e o Princ pio de Cavalieri In XXXI
83. pela necessidade de um escore geral que auxiliasse na interpreta o dos resultados pois de acordo com ALMEIDA amp PRIMI 2000 a interpreta o das notas deve ser feita primeiramente examinando o escore geral e depois o perfil de habilidades que gerou esse escore Ap s a apura o dos escores brutos n mero de acertos em cada teste ent o eles devem ser somados para obter se o escore geral EG 4 e em seguida todos os resultados s o convertidos para um escore padr o normalizado EPN atrav s de tabelas apropriadas de acordo com o g nero do sujeito ou se a escola onde estuda p blica ou particular O EPN uma escala padronizada na qual a m dia igual a 100 e o desvio padr o igual a 15 como no QI de desvio Para facilitar a interpreta o o EPN convertido em percentil Cap tulo 6 Estudo de Campo II 166 Outro recurso importante para interpretar o perfil o erro padr o de medida EPM que uma estimativa do erro de mensura o baseada nos coeficientes de precis o pois v rios fatores n o relacionados diretamente habilidade de um examinando e que n o podem ser controlados totalmente podem influenciar seu desempenho ALMEIDA amp PRIMI 2000 De acordo com estes autores se os mesmos testes forem aplicados para avaliar a mesma habilidade em aproximadamente 67 das vezes a nota atribu da ao sujeito ficar num intervalo de EPN 1 EPM O quadro 6 1 mostra estes valores Quadro 6 5 Valores de EP
84. poss vel comparar o cone e obter a f rmula de seu volume Por E TO OPRRR SRU O ARES NR E ER PR ADD E E E DS ENE RR
85. pria tela do computador a partir do ambiente da ferramenta computacional 7 3 Aspectos Operacionais gt Houve datas que estavam previstas inicialmente para as aulas e coincidiram com conselhos de classe feira t cnica Semana de Vida e Cidadania etc gt O laborat rio da escola fica normalmente aberto para atividades curriculares e apesar de ter diversos hor rios estes s o disputados por v rios professores algumas vezes especialmente os de disciplinas t cnicas gt Nos dois trabalhos houve dificuldades de ordem t cnica computadores infectados com v rus programas com problemas no funcionamento e falta de suporte especializado Havia apenas um monitor que se encarregava de prestar socorro quando havia falha no funcionamento dos programas gt Deve se ressaltar que os muitos problemas ocorridos durante a pr tica se constituem em problemas comuns no cotidiano escolar 7 4 Trabalhos futuros O momento de finalizar um estudo como este traz profundas reflex es para um aspirante a pesquisador como o autor do trabalho Estas reflex es levam a uma auto cr tica sobre desacertos durante toda a trajet ria da pesquisa realizada erros que podem ser cometidos at mesmo que por um professor regente experiente em ministrar aulas Cap tulo 7 Considera es Finais 192 tradicionais mas um iniciante na busca de caminhos para a melhoria da qualidade de seu trabalho com a aprendizagem da geometria O uso do software de geo
86. que um tri ngulo N cleo de Computa o Eletr nica E Universidade Federal do Rio de Janeiro Ap ndice C Entrevista H Teste de Conhecimento Geom trico Teste de Conhecimento Geom trico Grupo de Controle Sujeitos BBA BGF GSC JSS LDC BBA BGF 222 Respostas Pr teste P s teste a possui medida a 90 igual a 90 b lt ou 90 b possui medida lt c gt ou 90 ou a 90 c possui medida gt ou a 90 a E um ngulo de a igual a 90 90 sic b menor que 90 b E um ngulo menor que 90 sic c E um ngulo maior que 90 sic a o ngulo que tem 90 b possui menos de 90 c possui mais de 90 a um ngulo de 90 b um ngulo com menor que 90 c ngulo com maior que 90 a igual ao ngulo de 90 b o ngulo menor que 90 c o ngulo maior que 90 Um pol gono de tr s lados com tr s ngulos internos Tem tr s lados c maior que 90 a ngulo igual a 90 b ngulo menor que 90 c ngulo maior que 90 a ngulo de 90 b ngulo lt 90 c ngulo gt 90 a igual a 90 b menor que 90 c maior que 90 Um pol gono de tr s lados com tr s ngulos E o conjunto de tr s 3 Se uma pessoa possui tr s ripas de madeira de tamanhos diferentes e desconhecidos poss vel garantir a constru o de um tri ngulo com elas
87. rela o aos itens a d e e g Um importante aspecto que tamb m deve ser ressaltado que houve uma consider vel evas o de professores nos cursos de capacita o devido principalmente s in meras dificuldades encontradas pelos mesmos tais como o deslocamento at os locais dos cursos a falta de tempo para conciliar seu trabalho com o necess rio aperfei oamento etc Al m disso muitas vezes n o h qualquer retorno dos professores j capacitados pelos n cleos sobre se houve ou n o a multiplica o das id ias de utiliza o do computador em sala de aula Uma revolu o n o necessariamente se faz apenas em larga escala No melhor esp rito de Her clito se alguns professores foram sensibilizados a realidade j foi modificada mesmo que a mudan a n o possa ser percebida de imediato A melhor contribui o dos NTEs para o projeto de expans o do uso do computador na educa o portanto a assessoria pedag gica que eles prestam para que esta ferramenta seja adequadamente utilizada no processo de ensino aprendizagem Em muitos destes n cleos os cursos de capacita o foram divididos em dois m dulos de 60 horas No m dulo I h uma preocupa o em familiarizar e instrumentalizar o professor a utilizar o computador e seus perif ricos e normalmente s o oferecidas oficinas de Windows Word Excel Power Point e Internet Em alguns NTE s o m dulo II possui oficinas de elabora o de projetos interdisciplinares
88. respostas ap s as aulas cl ssicas as dificuldades nas justificativas continuaram mas houve uma melhora o que pode mostrar que havia um desconhecimento do assunto tratado principalmente no pr teste onde algumas respostas estavam em branco ou tal fato ser reflexo de seu baixo desempenho no teste de racioc nio verbal nos dois casos j que algumas justificativas permaneceram sem resposta ou foram imprecisas O teste de rela es espaciais tamb m mostra alguma dificuldade para a visualiza o ainda que tenha havido uma melhora no desempenho em rela o ao pr teste O bom desempenho no teste de racioc nio abstrato de certa forma vem ratificar resultados obtidos por Piaget j que Daniel um adolescente e sup e se que ele tenha atingido o est gio de opera es abstratas 5 2 2 1 2 Rafael O jovem Rafael tamb m tem 15 anos e nunca realizou qualquer atividade profissional Durante o ensino fundamental estudou em escola p blica em regime regular diurno sendo que sua maior dificuldade foi em l ngua portuguesa e diz ter estudado mais ou menos geometria N o possui computador em casa mas costuma us lo uma ou duas vezes no laborat rio da escola Ele est fazendo o ensino m dio para ampliar seus conhecimentos e optou por assistir as aulas cl ssicas porque entre os hor rios oferecidos era o que mais se adequava sua disponibilidade Durante os testes de aptid es espec ficas da bateria DAT Rafael apresentou o
89. se expressa em um m todo caracter stico de solucionar problemas o hipot tico dedutivo O pensador operat rio abstrato cria uma hist ria plaus vel sobre o que est acontecendo verifica ou faz experimentos para ver o que realmente acontece e ent o aceita rejeita ou revisa a hist ria de acordo com eles Em contraste a crian a dos 7 aos doze anos normalmente necessita realizar experi ncias concretas para tirar suas conclus es caracterizando o racioc nio emp rico indutivo 4 1 2 Revis o Cr tica da Teoria Piagetiana Piaget prop s modelos l gico matem ticos bastante detalhados de como a cogni o est estruturada nos est gios operat rio concreto e operat rio formal Entretanto estes modelos formais foram alvo de uma intensa avalia o cr tica que parece apont los como obscuros incorretos e incompletos para descri es te ricas dos processos mentais fundamentais Mais tarde Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 79 o pr prio Piaget ficou insatisfeito com estes modelos e explorou outras descri es estruturais em seus ltimos escritos Al m disso h evid ncias de pesquisa que sugerem que o per odo da vida da crian a entre as primeiras conquistas de seu desenvolvimento cognitivo de uma determinada estrutura e o momento que este desenvolvimento atinge maior maturidade transcorre durante per odos bastante longos este fato tem provoca um questionamento para o termo est gio O est gio em si
90. significado da tarefa resolvida isto a aquisi o de conhecimento de car ter conceitual poss vel que uma situa o seja problema para uma determinada pessoa enquanto a n o o seja para outra pois ela pode n o ter despertado o interesse pela situa o ou possuir mecanismos para resolv la com um investimento m nimo de recursos cognitivos No pref cio da primeira tiragem de POLYA 1995 o autor afirma que Uma grande descoberta resolve um grande problema mas h sempre uma pitada de descoberta na resolu o de qualquer problema O problema pode ser modesto mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas quem o resolver por seus pr prios meios experimentar a tens o e gozar o triunfo da descoberta POLYA 1995 p V MEDEIROS 2001 utiliza uma outra terminologia para ela os problemas fechados s o os exerc cios e de problemas abertos s o os problemas propriamente ditos Inclusive a ado o de um ou de outro tipo no processo de ensino aprendizagem define um contrato did tico que s o as regras que determinam explicitamente mas sobretudo implicitamente o que o professor o aluno e o conhecimento espec fico dever fazer e estabelece o que v lido nesta rela o Um curr culo orientado para a solu o de problemas baseado num planejamento de situa es suficientemente abertas para induzir os alunos numa busca e aquisi o de estrat gias adequadas para darem respostas s pergu
91. sujeitos do grupo experimental No teste que avalia a capacidade de estabelecer rela es abstratas em situa es novas para as quais se possui pouco conhecimento previamente aprendido RA racioc nio abstrato Cap tulo 6 Estudo de Campo II 174 87 10 dos sujeitos do grupo de controle obtiveram um desempenho com percentil inferior a 50 e no grupo experimental foram 71 80 A extens o do vocabul rio e a capacidade de estabelecer rela es abstratas entre conceitos verbais medida no teste de racioc nio verbal mostrou um grupo de 83 88 dos sujeitos do grupo de controle e 79 50 dos sujeitos do grupo experimental com percentil inferior a 50 evidenciando o maior equil brio entre todas as habilidades verificadas pelos testes de racioc nio BPR S Embora tenha havido uma diferen a entre os grupos principalmente na distribui o das faixas de percentis com rela o ao escore geral veja gr ficos 6 1 e 6 2 verifica se que a grande maioria se situa numa capacidade geral inferior m dia pois 90 32 dos sujeitos do grupo de controle e 84 62 dos sujeitos do grupo experimental n o superam 50 das pessoas com o mesmo n vel de escolaridade com as quais seu desempenho foi comparado Por m quando verificado o intervalo de O a 25 observou se um predom nio entre os sujeitos de grupo de controle 61 29 em rela o ao grupo experimental 35 90 Escore Geral dos Testes de Racioc nio BPR 5 Grupo Experimental
92. tarde Dem crito segundo Arquimedes que viveu por volta de 410 a C j tinham conhecimento de que o volume de uma pir mide qualquer corresponde a um ter o do volume de um prisma de mesma base e mesma altura BOYER 1985 acredita que se Dem crito acrescentou alguma coisa ao conhecimento eg pcio s pode ter sido algum tipo de prova ainda que inadequada Este autor acha que talvez Dem crito tenha mostrado que um prisma triangular pode ser dividido em tr s pir mides triangulares que s o duas a duas de mesma altura e de reas da base iguais e depois deduziu assumindo que pir mides de mesma altura e bases iguais s o iguais o resultado j conhecido pelos eg pcios O argumento supostamente utilizado por Dem crito tem como base a aplica o de t cnicas infinitesimais j que o resultado parece se justificar quando se pensa em duas pir mides de mesma base e altura como compostas de uma infinidade de se es infinitamente finas e iguais em correspond ncia biun voca exemplo primitivo do m todo dos indivis veis de Cavalieri Este atomismo geom trico utilizado por Dem crito enfrentou problemas depois dos paradoxos de Zen o Se a pir mide ou o cone por exemplo feita de infinitas se es infinitamente finas triangulares ou circulares paralelas base a considera o de duas quaisquer l minas adjacentes cria um paradoxo Se s o iguais em rea ent o como todas s o iguais a totalidade ser o prisma ou o cilind
93. um subgrupo desta popula o com suas caracter sticas pr prias Da n o ser poss vel chegar a infer ncias gerais sobre os resultados obtidos gt A introdu o do uso da geometria din mica pode trazer uma importante implica o para o curr culo de matem tica tanto do ensino fundamental quanto do m dio pois as aulas com o uso destes softwares certamente exigir o mais tempo para formaliza o dos conceitos e muito planejamento das atividades por parte do professor 7 2 Aspectos Comportamentais gt Na primeira experi ncia os alunos eram volunt rios Este fato prejudicou um pouco o andamento das aulas j que eles tamb m tinham que se preocupar com provas e ou com outras atividades curriculares obrigat rias gt A introdu o do computador no cotidiano escolar costuma despertar interesse e motiva o por parte dos alunos mas tamb m pode gerar uma expectativa de que seu uso apenas uma brincadeira ou passatempo Ainda h uma cultura na escola que n o associa seu uso a um trabalho did tico mais consistente atrav s do uso adequado de softwares educacionais Assim como ele estimula a motiva o tamb m pode vir a ser fator de dispers o quando se disp e de um laborat rio por exemplo com acesso Internet atrav s de banda larga Cap tulo 7 Considera es Finais 191 gt Os alunos costumam n o gostar de ler as atividades n o t m muita paci ncia Talvez fosse interessante elaborar atividades na pr
94. uma disciplina da forma o geral no laborat rio de inform tica Observa se atrav s destes dados que os perfis dos dois grupos n o diferem significativamente e que grande parte dos alunos que vivenciaram a experi ncia das aulas com o uso do software de geometria din mica j traziam alguma experi ncia com o uso do computador 89 74 6 1 2 Instrumentos Os instrumentos utilizados para a observa o foram um question rio para sondagem e caracteriza o dos grupos a entrevista III o pr e o p s teste de conhecimento geom trico a entrevista IV as notas de provas realizadas com o conte do proposto durante o terceiro e quarto bimestres letivos de 2004 e os testes de racioc nio verbal racioc nio abstrato e racioc nio espacial da Bateria de Provas de Racioc nio BPR 5 da Casa do Psic logo O ltimo deles foi aplicado antes e ap s o trabalho da sala de aula a fim de verificar se o desempenho dos alunos havia se modificado com o uso ou n o do software de geometria din mica a Entrevista III Question rio sobre o perfil dos sujeitos A primeira entrevista apresentada aos sujeitos deste estudo era um question rio que tinha por objetivo caracterizar os grupos em estudo A sua aplica o foi bastante breve durando em m dia cerca de dez minutos Cap tulo 6 Estudo de Campo II 163 As quest es procuraram verificar a faixa et ria dos alunos e alguns aspectos sobre a sua trajet ria no ensino fundament
95. uma melhor compreens o das mesmas Cap tulo 6 Estudo de Campo II 158 6 1 1 Sujeitos Os alunos desta fase do estudo tamb m foram classificados em grupo de controle constitu do de 31 sujeitos e grupo experimental constitu do de 39 sujeitos importante ressaltar que os grupos n o foram formados randomicamente pois as turmas tinham a forma o definida pela pr pria escola Ap s a aplica o da entrevista III e da apura o dos resultados verificou se que os dois grupos apresentaram perfis bastante semelhantes em diversos aspectos Entretanto o quadro 6 1 mostra que em rela o distribui o et ria ocorre uma pequena diferencia o no grupo de controle 41 93 est o com menos de 20 anos 41 93 est o com idade entre 21 e 30 anos e 16 14 com mais de 31 anos e no grupo experimental 33 33 com menos de 20 anos 51 28 entre 21 e 30 anos e 15 39 com mais de 31 anos Quadro 6 1 Distribui o et ria dos grupos de controle e experimental Grupo de Controle Grupo Experimental Pergunta 31 alunos 39 alunos Quantidade Percentual Quantidade Percentual Qual a sua idade a 13 a 41 93 a 13 a 33 33 a at 20 anos b 13 b 41 93 b 20 b 51 28 b de 21 a 30 anos c 5 c 16 14 c 6 c 15 39 c mais de 31 anos O quadro 6 2 mostra que em rela o atividade profissional dos estudantes 70 97 do grupo de controle e 66 67 do grupo experimental trabalham ou fazem est gio e que a maior motiv
96. 0 atrav s do Projeto EDUCOM que congregava as seguintes universidades UFMG UFPE UFRJ UFRGS e UNICAMP Este projeto tinha como principal objetivo desenvolver pesquisas e metodologias sobre o uso do computador como recurso pedag gico Cada um desses centros de pesquisa tinha uma caracter stica pr pria isto enquanto uns se preocupavam mais com o desenvolvimento de sofiwares educativos outros estavam mais atentos ao uso do computador como instrumento para o desenvolvimento de projetos ALMEIDA 2003 Ainda que os objetivos iniciais n o tenham sido atingidos completamente a partir desta iniciativa houve a forma o de grupos de pesquisa que deram prosseguimento as suas investiga es contribuindo para a continua o deste processo de qualifica o e sensibiliza o de recursos humanos Um outro projeto interessante foi o FORMAR Programa de A o Imediata em Inform tica na Educa o de 1 e 2 graus criado em 1986 pelo Minist rio da Educa o e Cultura como parte do Projeto EDUCOM Ele tinha como objetivo principal capacitar professores e implantar infraestruturas de suporte nas secretarias estaduais de educa o atrav s dos CIED s Centros de Inform tica Aplicada Educa o de 1 e 2 graus Al m destes centros ainda existiam os Centros de Inform tica na Educa o Tecnol gica CIET relativo s escolas t cnicas e o Centro de Inform tica na Educa o Superior CIES relativo s universidades COM
97. 39 55 27 68 68 39 55 99 39 18 27 21 0 18 95 68 75 39 4 99 39 68 21 18 75 39 55 68 68 9 14 0 18 Acertos2 9 17 15 11 16 12 13 15 14 17 18 12 15 21 15 8 12 12 9 10 20 16 19 16 10 20 15 17 13 13 17 10 20 15 16 12 11 9 9 EPN2 86 110 102 91 107 93 96 102 99 110 116 93 102 146 102 84 93 93 86 88 146 107 124 107 88 146 102 110 96 96 110 88 146 102 107 93 91 86 86 Percentil2 18 75 55 27 68 32 39 55 47 75 86 32 55 99 55 18 32 32 18 21 99 68 95 68 21 99 55 75 39 39 75 21 99 55 68 32 39 18 18 257 EPM 9 8 Alunos ACC ACL CCG DSB EAL GNF JFC LCS LFS MAB MCA PHS SLS MWM APF ASG FAJ IFB JVS MTS OLS RSC RYN RDF TGM UVS VVS WRS CFN FCS DSR Grupo de Controle Turma 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 M dia Geral do Grupo N cleo de Computa o Eletr nica S Universidade Federal do Rio de Janeiro Ap ndice G Notas das Provas P1 6 5 3 5 2 3 8 9 5 6 6 S9 6 7 8 5 2 8 3 3 5 9 7 5 8 7 2 7 2 4 2 5 2 7 5 S9 3 2 7 2 7 5 6 5 P2 N 8 5 1 5 5 5 4 2 6 5 4 8 3 5 6 8 MO 8 5 3 5 7 5 7 5 O O an M dia 5 25 5 25 4 15 8 25 8 75 3 75 4 5 5 75 5 75 6 35 5
98. 4 4 15 5 15 Ro 4 25 7 4 6 6 1 39 3 1 6 6 4 5 3 6 6 75 7 35 6 25 7 25 5 8564 258 Alunos CAB DTD DSS EDO GLS GMF IGA JCN LCB LOA MPS MPC RVP RCP RDM RLC SVN USC AOF ALO CPL CDF DCM EAG EDM HFM HSD JOC LLF MVP PCR RAS RMF RCS RAB TBJ WMP JML HCM Turma 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 Grupo Experimental P1 6 8 8 8 5 4 8 5 7 7 6 8 5 8 J5 7 95 7 6 8 5 8 9 6 6 5 8 10 7 50 7 5 M dia Geral do Grupo P2 10 7 5 10 9 8 10 8 5 8 2 HE 9 5 7 5 4 8 2 5 9 5 8 9 10 6 8 7 4 6 5 8 8 7 5 6 5 8 5 7 5 259 M dia 4 5 Va 9 25 5 5 SMS 7 3 9 25 8 1 6 75 7 25 9 25 6 25 6 5 5 9 4 85 9 5 8 7 10 6 4 9 25 6 9 8 45 6 75 8 25 9 2 7 25 9 25 7 25 4 75 6 75 7 3641 260 Governo do Estado do Rio de Janeiro ETE Funda o de Apoio Escola T cnica Visconde de Mau MATEM TICA P1 PROFESSOR GEORGE QUARTA S RIE Aluno N mero Turma QUEST O I Determine a rea total de um paralelep pedo ret ngulo cujo volume 72 cm e a base quadrada de aresta 3 cm QUEST O II Considere um paralelep pedo ret ngulo com 4 cm de largura 6 cm de comprimento e 120 cm de volume Det
99. 5 pp 23 27 jun de 2003 Um Estudo das Correla es entre os Softwares de Geometria Din mica e a Perspectiva Construtivista Relat rio T cnico Rio de Janeiro NCE UFRJ n 11 04 pp 1 9 2004 196 BALDINO R R A Figura do Professor Pesquisador Boletim Informativo da DNE S o Paulo SBEM Sociedade Brasileira de Educa o Matem tica n 17 jun jul de 1993 BARBOSA A E C O Ensino de Fun es por meio da Visualiza o Usando Derive um estudo de caso Orientadores Gilda Helena Bernardino de Campos e Paulo Afonso Lopes da Silva Universidade Santa rsula 1997 108p Disserta o Mestrado em Educa o Matem tica BARROSO I C Geometria Din mica novas perspectivas para o aprendizado da geometria Orientador Jo o Bosco Pitombeiras PUC RIO 1999 124 p Disserta o Mestrado em Matem tica BELFORT E Tabula e Mangaba Geometria Din mica In VII ENEM Encontro Nacional de Educa o Matem tica UFRJ Anais Rio de Janeiro 2001 BELFORT E GUIMAR ES L C Roteiros de Laborat rio Pr Ci ncias Conv nio CAPES FAPERIJ Rio de Janeiro Instituto de Matem tica UFRJ LabMa Projeto Fund o 1999 59 pp BIAGGIO A M B Psicologia do Desenvolvimento Petr polis Vozes 1991 Cap 3 A teoria do desenvolvimento intelectual de Piaget BORBA M C PENTEADO M G Inform tica e Educa o Matem tica Cole o Tend ncias em Educa o Matem tica Belo Horizonte Aut ntica 2001 98 pp
100. 6 13 15 20 13 11 10 19 16 17 13 77 102 107 86 91 102 96 102 91 107 107 96 102 146 96 84 91 88 60 84 124 107 110 96 74 6 55 68 18 27 55 39 55 27 68 68 39 55 99 39 18 27 21 0 18 95 68 75 39 4 7 14 14 13 10 12 10 13 11 12 14 17 13 10 11 17 16 14 14 11 83 103 103 103 115 115 111 103 103 93 86 RN1 P 13 58 58 13 45 25 39 13 25 45 32 39 58 84 45 21 25 32 2 34 77 58 58 32 18 1EG4 A 47 63 64 44 53 62 58 54 55 61 60 63 56 74 58 52 50 40 27 60 68 60 68 60 38 1EG4 EPN 83 98 98 79 88 97 92 89 90 96 94 98 91 112 92 88 86 77 68 94 103 94 103 94 75 1EG4 P 13 45 45 8 21 42 30 23 25 39 34 45 27 79 30 21 18 6 2 34 58 34 58 34 5 264 HFM HSD JOC LLF MVP PCR RMF RCS RAB TBJ WMP JML HCM 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 24 17 20 16 19 15 15 19 16 20 17 21 14 14 146 94 109 92 104 87 87 104 92 109 94 115 82 82 99 34 73 30 61 19 19 61 30 73 34 84 12 12 17 14 19 20 17 16 16 18 17 20 15 18 13 21 95 85 105 111 95 91 91 99 95 111 95 99 82 117 37 16 63 77 37 27 27 47 37 77 23 47 12 87 146 91 107 84 86 110 96 102 107 107 80 84 60 86 99 39 68 21 18 75 39 55 68 68 14 18 103 111 103
101. 8 81 103 98 81 93 88 83 83 86 90 83 96 93 103 86 115 93 146 83 39 7 10 58 45 10 32 21 13 13 18 25 13 39 32 58 18 84 32 99 13 1EG4 A 49 36 41 64 62 37 54 53 46 48 51 49 49 49 48 62 28 72 57 71 35 1EG4 EPN 85 73 w 98 97 74 89 88 82 85 86 85 85 85 85 97 69 109 91 108 73 1EG4 P 16 4 6 45 42 4 23 21 12 16 18 16 16 16 16 42 2 73 27 70 4 262 RYN 3541 TGM 3541 VVS 3541 CFN 3541 DSR 3541 263 Alunos CAB DTD DSS EDO GLS GMF IGA JCN LCB LOA MPS MPC RVP RCP RDM RLC SVN USC AOF ALO CPL CDF DCM EAG EDM Turma 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3241 3341 3341 3341 3341 3341 3341 3341 RA1 A RA1 EPN RA1 P RV1 A RV1 EPN 17 17 17 12 14 18 17 17 15 17 14 21 14 20 14 17 16 9 18 20 17 17 22 15 7 94 94 94 78 82 99 94 94 87 94 82 115 82 109 82 94 92 72 99 109 94 94 122 87 71 34 34 34 7 12 47 34 34 19 34 12 84 12 73 12 34 30 3 47 73 34 34 93 19 3 17 17 17 16 15 19 16 15 19 15 19 17 13 17 18 18 13 10 8 15 16 13 15 21 18 95 95 95 91 95 105 117 99 GRUPO EXPERIMENTAL RV1 P RE1 A RE1 EPN RE1 P RN1 A RN1 EPN 37 37 37 27 23 63 27 23 63 23 63 37 12 37 47 47 12 4 2 23 27 12 23 87 47 6 15 16 11 15 13 15 11 16 1
102. Abstrato Racioc nio Verbal Pontos Percentis Pontos Percentis Pontos Percentis 34 35 35 8 80 6 3 17 10 30 3 40 3 10 3 0 0 0 19 30 41 50 37 5 85 19 35 17 10 40 0 85 10 5 Quadro 5 2 Desempenho dos sujeitos do grupo experimental nos testes de aptid o espec fica do tipo DAT Rela es Espaciais Racioc nio Abstrato Racioc nio Verbal Pontos Percentis Pontos Percentis Pontos Percentis 50 65 38 75 90 14 20 0 1 13 75 10 10 5 47 50 42 00 95 9 3 3 1 29 00 40 14 10 43 45 38 75 80 22 45 No teste de rela es espaciais os indiv duos do grupo de controle diferiram em rela o aos resultados j que dois deles apresentaram percentis no intervalo de 35 50 e tr s se situaram no intervalo de 0 10 Todos portanto apresentaram percentil igual ou inferior m dia 50 Cap tulo 5 Estudo de Campo I 124 A avalia o da capacidade de visualizar um objeto geom trico e de executar sua manipula o mental num espa o tridimensional tamb m mostrou dois subgrupos no grupo experimental tr s deles obtiveram um percentil no intervalo de 45 65 e os outros dois permaneceram com percentil 1 O gr fico 5 1 entretanto mostra uma ligeira superioridade entre os sujeitos do grupo experimental com rela o ao desempenho no teste de rela es espaciais ainda que este grupo tenha dois indiv duos com desempenho bastante baixo Rela es Espaciais Compara o entre os grupos e Grupo Experimental s Grupo de
103. Controle Gr fico 5 1 Compara o do desempenho dos sujeitos dos dois grupos no teste de rela es espaciais Cabe ressaltar que esta foi uma habilidade que o desempenho global dos sujeitos foi baixa sendo que sete deles apresentaram percentis inferiores a 50 e apenas tr s se situaram num patamar igual ou superior a 50 Em rela o ao desempenho no teste de racioc nio abstrato os sujeitos do grupo de controle novamente poderiam ser classificados em outros dois subgrupos aqueles que apresentaram percentis superiores a 80 totalizando tr s sujeitos e aqueles que apresentaram O Cap tulo 5 Estudo de Campo I 125 grupo experimental tamb m apresentou uma heterogeneidade com rela o aptid o dos sujeitos para a reflex o racioc nio abstrato pois praticamente h uma metade de indiv duos situados acima tr s sujeitos e a outra metade abaixo dois sujeitos do que poderia ser considerado o percentil m dio 50 Desta vez por m houve um maior equil brio nos desempenhos dos sujeitos quando s o comparados os dois grupos como mostra a gr fico 5 2 Racioc no Abstrato Compara o entre os Grupos 100 80 60 40 20 e Grupo Experimental a Grupo de Controle Gr fico 5 2 Compara o do desempenho dos sujeitos dos dois grupos no teste de racioc nio abstrato Como os sujeitos deste estudo s o todos adolescentes n o chega surpreender que o desem
104. M por teste e habilidade EPM Teste A Teste B RA 5 7 RV 6 6 RM 9 6 RE 6 6 RN 4 5 EG 5 3 3 EG 4 3 4 d As notas das provas aplicadas no per odo de realiza o do estudo P e P2 As provas aplicadas aos alunos durante os bimestres letivos foram inclu das na an lise para verificar se poderia haver alguma rela o entre o uso ou n o de um software de geometria din mica uma melhor compreens o pelos alunos dos conceitos trabalhados e seu rendimento escolar na disciplina de matem tica Cap tulo 6 Estudo de Campo II 167 Duas provas foram consideradas para a an lise uma aplicada ap s a primeira metade das aulas final do terceiro bimestre e a outra logo ap s o final das aulas in cio do quarto bimestre 6 1 3 Procedimentos As aulas se realizaram sempre s segundas feiras com as turmas 3241 turma de eletr nica grupo experimental e 3441 turma de mec nica grupo de controle e s quartas feiras com as turmas 3341 turma de eletrot cnica grupo experimental e 3541 turma de eletromec nica grupo de controle As aulas no turno da noite t m dura o oficial de 80 minutos sendo que normalmente elas come am com 10 minutos de atraso como toler ncia para que os alunos que chegam do trabalho possam jantar no refeit rio No ltimo tempo os alunos tamb m costumam ser liberados com 10 minutos de anteced ncia pelas dificuldades de condu o para o retorno para a casa Deste modo apenas as aulas
105. O Modelo Cognitivo do Conhecimento 96 estrat gias pr prias para resolver problemas de aritm tica envolvendo as quatro opera es Estas estrat gias se mostraram altamente eficientes porque lidavam com os n meros mas conservavam em todos os momentos o seu significado Al m disso um outro estudo analisa como estas opera es aritm ticas s o utilizadas para resolver problemas t picos de marcenaria Foi feita uma compara o entre o desempenho de marceneiros que haviam aprendido a profiss o informalmente tinham escolaridade de zero a seis anos e o desempenho de aprendizes que frequentavam as diferentes s ries de um curso formal de marcenaria onde eram administradas aulas de aritm tica geometria e desenho destinadas a sua forma o Neste caso a tarefa consistiu em calcular a quantidade de madeira para a constru o de m veis e o objetivo do estudo foi analisar a contribui o da escolariza o formal em contraste com a contribui o da experi ncia trabalho na resolu o de problema de matem tica relacionados pr tica da marcenaria Segundo os autores os resultados obtidos sugeriram primeiramente que ao tentar resolver um problema pr tico envolvendo conceitos matem ticos os indiv duos buscavam encontrar uma resposta relacionada com sua experi ncia pr tica Entre os marceneiros em todos os momentos da resolu o do problema havia uma preocupa o em encontrar uma solu o vi vel Provavelmente se houvess
106. PERT 1985 VALENTE 1993 CYSNEIROS 1996 ALVES 2003 entre outros t m inserido os softwares educativos tanto com rela o ao seu desenvolvimento quanto sua utiliza o em duas diferentes abordagens educacionais ainda que usando outras denomina es gt Paradigma Instrucionista VALENTE 1993 se refere aos softwares com este tipo de abordagem como aqueles em que o computador utilizado como m quina de ensinar e CYSNEIROS 1996 diz que eles s o uma forma de transposi o para o computador de formas tradicionais de ensinar Este tipo de programa educativo tem como fundamento a teoria comportamentalista ou behaviorista e se caracteriza por passar informa es ao aluno ou verificar a quantidade de conhecimento acumulado por ele S o exemplos de softwares com esta abordagem os tutoriais exerc cios e pr tica jogos educativos ou algumas simula es Na Teoria Behaviorista ou Comportamentalista cujo principal representante Skinner os alunos s o conduzidos pelas mesmas regras para receber informa es sobre conte dos espec ficos que podem ser decompostos em pequenas unidades Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 50 ALVES 2003 destaca que O sofiware instrucionista n o deixa expl cito o pensamento do aluno que o utiliza Para que o professor descubra o que o educando pensa em rela o ao tema e possa intervir para provocar reflex es significativas preciso que ele acompanhe todos os pa
107. Quando foi solicitado a relacionar os diversos tipos de tri ngulo tamb m acertou a maioria das respostas de sim ou n o por m apenas conseguiu justificar aquelas que envolviam o tri ngulo eguil tero a eq il tero amp ret ngulo n o o eq il tero tem a medida dos ngulos igual a 60 b eq il tero amp acut ngulo sim sob a condi o de que ngulo seja de 60 e c eguil tero amp obtus ngulo n o pois seus ngulos s o de 60 Nas quest es relativas s cevianas do tri ngulo Pedro acertou apenas o tra ado do primeiro caso para altura e assim a definiu a altura adequada aquele tipo de caso sic No caso da mediana e da bissetriz ela deixou em branco tanto o desenho quanto as defini es No teste realizado ap s as aulas Pedro acertou 50 das respostas apresentando um ganho de apenas 6 25 em rela o ao pr teste A pequena mudan a verificada ocorreu apenas nas justificativas das quest es que relacionavam o tri ngulo is sceles ao tri ngulo acut ngulo e ao obtus ngulo No pr teste Pedro dizia vagamente que a medida n o altera este processo enquanto no p s teste ela parecia mais segura ao afirmar que era poss vel sim porque independem das medidas dos ngulos ainda um pouco vago mas talvez j indicando que um tri ngulo pode ser is sceles independentemente de ter os tr s ngulos agudos ou um deles ser obtuso Cap tulo 5 Estudo de Campo 1 137 Ped
108. SC JSS LDC BBA BGF GSC JSS LDC BBA BGF GSC JSS LDC Possui nenhum lado igual Possui os mesmos lados iguais Em branco Tem os tr s lados diferentes o tri ngulo com os tr s lados diferentes Possui os tr s lados iguais E um triangulo com tr s ngulos iguais sic Possui dois lados iguais e um diferente Tem os tr s lados iguais o tri ngulo com tr s lados iguais Possui dois lados iguais E que possui dois ngulos iguais sic um tri ngulo que possui um ngulo de 90 Tem dois lados iguais o tri ngulo com dois lados iguais Possui um ngulo reto E um triangulo com um ngulo de 90 sic Possui um ngulo de 90 Aquele que possui um ngulo de 90 o tri ngulo que 224 anterior Possui nenhum lado igual E um triangulo que possui dois lados iguais sic aquele que o valor dos 3 lados diferente sic Um tri ngulo com tr s lados diferentes Tem tr s lados diferentes Possui os tr s lados iguais E um triangulo que possui tr s lados iguais sic aquele que possui os tr s lados iguais Um tri ngulo com tr s lados iguais Tem tr s lados iguais Possui dois lados iguais E um triangulo que possui todos os lados diferentes sic aquele que possui 2 lados iguais Um tri ngulo com dois lados iguais Tem dois lados iguais Possui um ngulo reto E um triangulo que possu
109. V Reuni o Anual de Psicologia Anais Ribeir o Preto USP 2004 ALVES G S SOARES A B A Teoria do Desenvolvimento Cognitivo de Jean Piaget Principais Conceitos e Aproxima es com a Aprendizagem da Geometria In II Encontro de Educa o Matem tica do Estado do Rio de Janeiro 2003 Sociedade Brasileira de Educa o Matem tica Anais Vassouras Universidade Severino Sombra 2003 Geometria Din mica um estudo de seus recursos potencialidades e limita es atrav s do Software Tabulae In XXIII Congresso da Sociedade Brasileira de Computa o IX Workshop de Inform tica na Escola Anais Campinas Unicamp 2003 pp 275 286 Um estudo de seus recursos potencialidades e limita es dos softwares de Geometria Din mica Relat rio T cnico Rio de Janeiro NCE UFRIJ n 10 04 pp 1 13 2004 Compreendendo a Forma o de Conceitos Geom tricos atrav s do Processo de Representa o Mental Relat rio T cnico Rio de Janeiro NCE UFRJ n 12 04 pp 1 11 2004 ALVES G S et al A Perspectiva Construtivista e os Softwares de Geometria Din mica Compreendendo suas Correla es In III CAREM Conferencia Argentina de Educaci n Matem tica Anais Salta Argentina UNSA Universidad Nacional de Salta 2003 Perspectiva Construtivista e os Softwares de Geometria Din mica Compreendendo suas Correla es Revista Cient fica da UBM Universidade de Barra Mansa n 09 vol
110. a es que de fato existem entre estes objetos uma nova aquisi o uma passagem para um n vel mais elevado Em um complexo as liga es entre os objetos s o concretas e factuais e n o abstratas e l gicas VIGOTSKY 2003 identifica cinco tipos de complexos a complexo associativo em que a crian a pode acrescentar ao objeto nuclear um bloco que tenha a mesma cor um outro que tenha a mesma forma ou tamanho ou algum outro atributo lhe eventualmente lhe chame mais a aten o esta identifica o ainda pode ocorrer por uma simples semelhan a um contraste ou pela proximidade no espa o b complexo em cole es em que a crian a se baseia nas rela es entre os objetos observados na experi ncia pr tica Esta forma de pensar combina muitas vezes com a forma associativa e resulta em uma cole o baseada em princ pios mistos Ao longo do processo a crian a pode deixar de aceitar o princ pio que formou a cole o e considerar uma nova caracter stica de modo que o grupo resultante se torna uma cole o mista por exemplo de cores e formas c complexo em cadeias em que consiste numa jun o din mica e consecutiva de elos isolados numa nica corrente com a transmiss o de significado de um elo para outro N o h coer ncia quanto ao tipo de conex o ou quanto ao modo pelo qual cada elo articula se com o que o antecede ou com o que o sucede A amostra original tamb m n o tem import ncia fundamental d complexo difuso car
111. a o para a maioria dos sujeitos deste estudo para fazer o ensino t cnico ou m dio foi em conseguir uma melhoria salarial no futuro 74 19 dos sujeitos do grupo de controle e 69 23 consideraram esta a maior raz o para estarem estudando enquanto os demais em cada grupo disseram que est o estudando para ampliar seus conhecimentos Cap tulo 6 Estudo de Campo II 159 Quadro 6 2 Perfil dos grupos em rela o atividade profissional e perspectivas em rela o ao ensino t cnico Pergunta Voc trabalha a Sim b N o Quando voc resolveu fazer o ensino m dio t cnico sua maior motiva o foi a o diploma b ampliar seus conhecimentos c ter uma forma o profissional para melhoria salarial d preparar se para o vestibular Quantidade a 22 b 9 a O b 8 c 23 d O Grupo de Controle 31 alunos Percentual a 70 97 b 29 03 a O b 25 81 c 74 19 d O Quantidade a 26 b 13 a O b 9 c 27 d 3 Grupo Experimental 39 alunos Percentual a 66 67 b 33 33 a O b 23 08 c 69 23 d 7 69 Durante o ensino fundamental 80 64 do grupo de controle estudaram em escola p blica 9 68 em escola particular enquanto os outros 9 68 estudaram uma parte em escola p blica e outra parte em particular No grupo experimental estes valores foram respectivamente 71 79 23 08 e 5 13 A maioria realizou estes estudos no regime regular di
112. a com uma tartaruga que sai com vantagem Afirma se ent o que por mais que Aquiles corra n o alcan ar a tartaruga por mais devagar que ela caminhe pois quando Aquiles chegar posi o inicial da tartaruga ela j vai ter avan ado um pouco mais e quando Aquiles cobrir essa dist ncia a tartaruga ter avan ado um pouco mais O da flecha considera que se o tempo formado por instantes at micos indivis veis ent o um corpo em movimento est sempre parado pois em cada instante ele est sempre em uma posi o fixa Logo o movimento desse corpo uma ilus o E o do est dio que segundo BOYER 1985 o mais discutido e complicado de descrever Neste paradoxo s o considerados A1 A2 A3 e A4 corpos de igual tamanho estacion rios e B B2 B3 e B4 corpos de mesmo tamanho que os A que se movem para a direita de modo que cada B passa por A num instante o maior intervalo de tempo poss vel Sejam ainda C1 C2 C3 e C4 corpos de mesmo tamanho que os A e os B sendo que estes se movem uniformemente para a esquerda com rela o aos A de modo que cada C passa por um A num instante de mesmo tempo Sup e se que num dado momento os corpos ocupem as seguintes posi es relativas mostradas na figura 2 1 Depois de passado um nico instante isto ap s a subdivis o indivis vel do tempo as posi es ser o as mostradas na figura 2 2 mostrando que C passaria por dois dos B Deste modo o instante n o pode ser o intervalo de tempo
113. a infinidade de se es planas paralelas Quando cada um dos elementos do conjunto das cordas paralelas de uma por o plana dada deslizado ao longo de seu pr prio eixo de maneira que as extremidades das cordas descrevam um contorno cont nuo a rea da nova por o igual da original De modo an logo pode se raciocinar com os elementos do conjunto das se es planas paralelas de um s lido dado que fornecer um outro s lido com o mesmo volume do original As tr s pilhas de folhas de papel da figura 2 4 s o um exemplo deste ltimo racioc nio Elas t m o mesmo n mero de folhas por m est o arrumadas de formas diferentes evidenciando que possuem o mesmo volume Figura 2 4 Pilhas de folhas com a mesma quantidade de papel arrumadas de diferentes maneiras Fonte DANTE 1999 Deste modo o Princ pio de Cavalieri pode ser enunciado da seguinte maneira PRINCIPIO DE CAVALIERI Sejam A e Az duas por es planas quaisquer Se toda reta r secante a elas e paralela a uma reta dada seciona A e A2 segundo segmentos de reta de mesmo comprimento ent o rea de A rea de A Sejam S e Sz dois s lidos quaisquer Se todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado seciona S e S2 segundo figuras planas de mesma rea ent o Volume de S Volume de S O Conhecimento Geom trico 27 Cap tulo 2 Segundo EVES 1998 a admiss o e o uso consistente do Princ pio de Cavalieri pode simplificar b
114. acados nos estudos que comparam o desempenho de especialistas e principiantes na resolu o de problemas gt A maior efici ncia pelos especialistas n o seria devido a uma maior capacidade cognitiva geral e sim aos seus conhecimentos espec ficos ou seja os indiv duos destes dois grupos n o diferem nas suas capacidades gerais de processamento nem sua intelig ncia geral e sim em sua forma o espec fica gt Embora n o se diferenciem em suas capacidades gerais dos principiantes os especialistas destacam se pela sua maior capacidade de prestar aten o lembrar reconhecer manipular informa o e raciocinar sobre ela em sua pr pria rea de especializa o gt As habilidades para a resolu o de problemas s o efeito da pr tica isto a solu o do problema deve ser treinada atrav s da pr tica Por m o que costuma caracterizar a experi ncia de um bom especialista n o tanto a quantidade necess ria mas n o suficiente mas o fato de sua pr tica ser orientada por princ pios conceituais que lhe d o sentido gt A efici ncia na resolu o de problemas depende muito da disponibilidade e da ativa o de conhecimentos conceituais adequados No processo ensino aprendizagem de acordo com esta concep o os alunos dos n veis de ensino fundamental e m dio deveriam adquirir uma per cia espec fica em diversas reas do curr culo para que pudessem resolver satisfatoriamente os problemas propostos pela escola
115. acia seja no planejamento das viagens a congressos seja na presteza em conseguir empr stimo entre bibliotecas etc Ao Prof Mauro Cl ber Galv o da Silva diretor da Escola T cnica Estadual Visconde de Mau ETEVM pelo espa o democr tico que temos na escola por sua boa vontade em colaborar na minimiza o de eventuais problemas operacionais que surgem no cotidiano escolar e por sempre incentivar os projetos que visam a melhoria da qualidade de ensino na institui o A Evaldo Rosa Maia J nior da Biblioteca Virtual da Escola 24 horas da ETEVM que me deu apoio e suporte no laborat rio da escola E a todos alunos sujeitos desta pesquisa pela generosidade e disposi o em colaborar Muito obrigado a todos LISTA DE GR FICOS Gr fico 5 1 Compara o do desempenho dos sujeitos dos dois grupos no teste de rela es espaciais Gr fico 5 2 Compara o do desempenho dos sujeitos dos dois grupos no teste de racioc nio abstrato Gr fico 5 3 Compara o do desempenho dos sujeitos dos dois grupos no teste de racioc nio verbal Gr fico 5 4 Compara o do desempenho dos sujeitos dos dois grupos no pr teste de conhecimento geom trico Gr fico 5 5 Desempenho dos sujeitos do grupo experimental no pr e p s teste de conhecimento geom trico Gr fico 5 6 Desempenho dos sujeitos do grupo de controle no pr e p s teste de conhecimento geom trico Gr fico 5 7 Desempenho global dos sujeitos dos dois grupos
116. acterizado pela fluidez Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 84 do atributo que une os elementos de um grupo ou seja grupos de objetos ou imagens perceptualmente concretos s o formados por meio de conex es difusas e indeterminadas e complexo pseudoconceito a ponte entre os complexos e o est gio final porque embora a generaliza o formada na mente da crian a seja semelhante ao conceito dos adultos ainda psicologicamente bem diferente do conceito propriamente dito VIGOTSKY 2003 menciona o exemplo da crian a que diante de uma amostra de um tri ngulo amarelo pega todos os tri ngulos do material experimental ressaltando que poss vel que ela tenha se orientado pela id ia ou conceito geral de um tri ngulo mas a an lise experimental mostra que ele se orienta pela semelhan a concreta vis vel formando apenas um complexo associativo restrito a um determinado tipo de conex o perceptual gt Pensamento por conceitos fase em que uma pessoa j consegue formular os conceitos adequadamente VIGOTSKY 2003 destaca ent o algumas destas fun es intelectuais que mais interv m no processo de forma o de conceitos A forma o de conceitos o resultado de uma atividade complexa em que todas as fun es intelectuais b sicas tomam parte No entanto o processo n o pode ser reduzido aten o associa o forma o de imagens infer ncia ou s tend ncias determinantes Todas s o
117. ade ou da imediata aceitabilidade Al m disso o pr prio Euclides n o fez uso deste postulado o das paralelas at chegar proposi o 29 do livro I de Os Elementos Por este motivo diversos matem ticos especularam se ele era realmente necess rio na teoria ou se poderia ser deduzido como um teorema decorrente dos demais postulados ou ainda ser substitu do por um outro equivalente mais aceit vel Proclus no s culo V e John Playfair em 1795 forneceram enunciados equivalentes que at hoje s o muito utilizados em livros did ticos de geometria por um ponto fora de uma reta pode se tra ar uma nica paralela reta dada As tentativas de deduzir o postulado das paralelas a partir dos demais postulados dos Elementos de Euclides ocuparam os ge metras por mais de dois mil nios Na busca da solu o eles acabaram obtendo alguns desenvolvimentos importantes para a hist ria da matem tica As principais abordagens deste problema o do postulado das paralelas se deram atrav s do enunciado de Playfair e enfocaram sobretudo a possibilidade de tra ar mais que uma exatamente uma ou nenhuma paralela reta dada a partir de um ponto fora dela Em 1832 o h ngaro Janos Bolyai publicou suas descobertas como um ap ndice de um trabalho matem tico de seu pai e s mais tarde tomou conhecimento de que o russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky havia publicado descobertas similares em 1829 30 mas que foram ignoradas na Europa Ocidental pela bar
118. ado em vinte e cinco minutos al m de cinco minutos para as instru es e a entrevista II de conhecimento geom trico em sessenta minutos Terceiro encontro 12 08 2003 a partir deste encontro as aulas no laborat rio de inform tica passaram a ter a dura o de 1h 20min que a dura o determinada para o turno da noite em escolas da rede FAETEC e as realizadas na sala de aula tinham dura o de 1h 40 min por terem sido realizadas no turno da manh e da tarde Cap tulo 5 Estudo de Campo I 116 Na aula do laborat rio foram apresentadas atividades para reconhecimento do software Anexo A uma vez que nenhum dos alunos participantes havia tido contato com qualquer programa de geometria din mica anteriormente A elabora o da atividade visou principalmente que o aluno conhecesse alguns dos recursos mais importantes e utilizados do Tabulce necess rios para a realiza o das atividades posteriores Antes da atividade com o computador houve uma introdu o com nota hist rica sobre a geometria euclidiana e sobre o Tabul e a apresenta o de um quadro explicativo com o menu do programa e suas respectivas fun es b sicas assim como dos bot es de atalho da interface do sofiware e a fun o de cada um deles com a finalidade de estarem sempre disposi o do aluno para consulta Do primeiro ao oitavo item da primeira atividade foi solicitado ao aluno que constru sse pontos segmentos de reta semi retas ngulos e
119. al tais como se este foi feito em escola p blica ou particular se o curso foi regular diurno regular noturno ou supletivo que disciplinas eles encontraram maior dificuldade etc Tamb m foi perguntado se o aluno possu a ou n o computador em casa se o uso desta ferramenta era frequente o local onde ele mais ocorria quais conhecimentos de inform tica possu a e se teve anteriormente alguma aula com computador numa disciplina da forma o geral do ensino fundamental ou m dio b Entrevista IV Teste de conhecimento geom trico Pr e P s teste A entrevista IV teve como principal finalidade avaliar os conhecimentos geom tricos dos sujeitos Se eles compreendiam a no o de volume as caracter sticas dos s lidos estudados no ensino m dio e as rela es entre eles para a compreens o das dedu es das f rmulas de seus volumes Al m de verificar se compreendiam o Princ pio de Cavalieri Neste teste houve uma preocupa o maior em avaliar a apreens o de conceitos por parte dos sujeitos j que a parte de realiza o de c lculos de volumes foi feita atrav s das provas aplicadas durante o bimestre letivo A primeira aplica o pr teste objetivou verificar se os sujeitos j traziam algum conhecimento pr vio sobre o assunto enquanto a segunda aplica o p s teste procurou verificar a evolu o daqueles conceitos ap s a interven o realizada Cap tulo 6 Estudo de Campo II 164 A an lise feita
120. alizadas pelo aluno e a indica o do tempo gasto por ele para finalizar cada uma delas Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 69 De acordo com BELFORT 2001 o design da interface gr fica envolveu al m dos aspectos est ticos e tecnol gicos elementos que pudessem interferir na comunica o ou apreens o da informa o apresentada Assim foram levados em considera o no design os aspectos perceptuais cognitivos e de intera o homem m quina Tamb m foram mantidos determinadas normas e um vocabul rio simples que permitisse que o usu rio tivesse familiaridade com conceitos j conhecidos e pudesse aprender com facilidade os novos Arquivo Editar Exibir Construir Transformar Calcular Formatar Ajuda memi Cardioide X o Curva gerada pelo c rculo rosa Voc pode mover todos os pontos BAR Figura 3 7 Interface do Tabul 3 4 4 4 Calques 3D O Calques 3D um software de geometria din mica destinado aprendizagem da geometria espacial Ele foi desenvolvido por Nicolas Van Labeke como parte de sua tese de doutoramento em Ci ncia Computacional na Fran a a partir de trabalho realizado com duas equipes de professores de matem tica do ensino m dio que auxiliaram a planejar e a desenvolver o sistema Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 70 De acordo com VAN LABEKE 2004 o principal objetivo deste trabalho colaborativo foi prover os professore
121. am resolver diversos problemas aritm ticos sobre as dist ncias reais entre as aldeias conhecidas Estes problemas exigiam que se colocassem em jogo opera es aritm ticas como multiplica es e divis es com valores simples Quando os dados que o pesquisador fornecia coincidiam com a experi ncia dos entrevistados os problemas eram resolvidos sem nenhuma dificuldade por m quando estes dados contradiziam as informa es reais os sujeitos rejeitavam a tarefa e mostravam se incapazes de encontrar uma solu o Segundo ECHEVERR A 1998 h ainda poucos trabalhos sobre resolu o de problemas matem ticos que se voltam para a compreens o de como as id ias e teorias pr vias de sujeitos solucionadores influenciam a maneira deles resolverem as tarefas As pesquisas sobre solu o de problemas em matem tica consideram que a atividade cotidiana dos alunos n o lhes permitiu criar as suas pr prias teorias sobre os fen menos matem ticos Entretanto CARRAHER CARRAHER amp SCHLIEMANN 2001 realizaram diversos estudos em que os sujeitos n o chegam a uma explicita o das propriedades e modelos matem ticos conhecidos por eles mas consideram seus conhecimentos impl citos na organiza o das a es para buscar solu es para os problemas propostos Foram relatadas experi ncias com crian as trabalhando como vendedores em feira livre ou com alguma atividade de ambulantes e verificou se que nesta situa o elas desenvolviam Cap tulo 4
122. anizar v rios resultados num sistema axiom tico meio de comunica o transmitir o conhecimento matem tico desafio intelectual auto realiza o gratifica o pela constru o de uma prova SILVA 2002 se concentra apenas nas fun es de verifica o explica o e descoberta que parecem trazer maiores implica es para o ensino de matem tica no n vel fundamental e m dio O primeiro aspecto apresenta a demonstra o como um discurso com poder persuasivo com a inten o de convencer o interlocutor sobre a veracidade da proposi o provada O segundo traz o significado de demonstra o tradicionalmente conferido pela l gica matem tica E finalmente no terceiro aspecto a demonstra o possui uma fun o heur stica segundo uma perspectiva da epistemologia falibilista de Popper representada em filosofia da matem tica pela dial tica de provas e refuta es de Lakatos Para a demonstra o desempenhar satisfatoriamente seu papel ret rico necess rio que qualquer pessoa possa efetivamente acompanh la em cada um de seus passos e para tanto ela n o pode ser infinita A import ncia do papel ret rico na pesquisa avan ada em matem tica evidente uma vez que objetivo de qualquer pesquisador convencer seus pares sobre a Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 61 veracidade de suas descobertas Do mesmo modo deve ser preocupa o de um professor seja ele de qualquer n vel de ensino o convencime
123. ao final deste cap tulo procurou enfatizar que aspectos foram mais desenvolvidos enfocando as contribui es da geometria din mica em contraste com o trabalho cl ssico da sala de aula Na avalia o das respostas dadas nas entrevistas considerou se como corretos apenas os racioc nios bem estruturados n o sendo levado em considera o o racioc nio meio correto c Testes de Racioc nio da Bateria BPR 5 Segundo ALMEIDA amp PRIMI 2000 a BPR 5 uma bateria multidimensional padronizada de avalia o de habilidades cognitivas que oferece estimativas tanto do funcionamento cognitivo geral de um indiv duo quanto das suas for as e fraquezas em cinco habilidades compet ncias ou aptid es cognitivas espec ficas racioc nio abstrato RA racioc nio verbal RV racioc nio espacial RE racioc nio num rico RN e racioc nio mec nico RM Para eles esta bateria pode ser usada em variados contextos em que seja necess rio obter informa es sobre o funcionamento cognitivo das pessoas e o profissional deve ter uma no o clara das quest es que a avalia o precisa responder para ent o definir os construtos que dever o ser avaliados Esta bateria apresenta duas formas diferentes a BPR 5 forma A que para ser aplicada em alunos da sexta da s tima ou da oitava s ries do ensino fundamental e a BPR 5 forma B que deve ser aplicada em alunos de qualquer s rie do ensino m dio As duas formas cont m itens comuns
124. as elites No ensino destinado aos homens da elite a educa o preservava o cunho cl ssico anterior enquanto para os oper rios da ind stria a educa o possu a um car ter essencialmente pragm tico objetivando prioritariamente ensinar a ler a escrever e a contar No primeiro caso o ensino da geometria preservava a caracter stica axiom tica dedutiva visando a forma o do pensamento e o desenvolvimento do racioc nio l gico e evidenciando uma influ ncia de Os Elementos de Euclides No segundo havia um predom nio na nfase em transmitir conhecimentos b sicos e aplicados pr tica no trabalho Os alunos deviam ser permanentemente conduzidos aos exemplos concretos Mesmo num sistema como este era poss vel superando in meras dificuldades que alguns poucos estudantes da classe oper ria tamb m tivessem acesso aos n veis superiores de escolariza o Impulsionada pela cren a dominante na poca de que a educa o era um meio de ascens o social a classe trabalhadora exerceu uma press o no sentido de expandir a escola secund ria At o final do s culo XIX a escola elementar era praticamente a nica acess vel a estas classes Entretanto o modelo anterior continuou prevalecendo isto a escola secund ria das elites preparava para o ensino superior enquanto a escola destinada aos trabalhadores continuava dando nfase apenas educa o utilit ria e profissional Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 30
125. astante a dedu o de f rmulas de volumes inclu das nos tratamentos iniciais da geometria espacial Deste modo muitos problemas de mensura o podem ser resolvidos aceitando o Princ pio de Cavalieri como evidente Entre eles est a determina o da f rmula do volume da esfera Figura 2 5 Ilustra o da aplica o do Princ pio de Cavalieri para a determina o da f rmula do volume da esfera Fonte DANTE 1999 A figura 2 5 mostra que a interse o do plano B com a esfera E um c rculo de raio r Considerando d como sendo a dist ncia do centro da esfera ao plano B tem se RR fP r gt P R d Portanto a rea da se o dada por n R d Como a interse o do plano B com o s lido S chamado de anticlepsidra uma coroa circular de raio menor d e raio maior R a rea desta coroa tamb m m R d Pelo Principio de Cavalieri segue que o volume do s lido E volume do s lido S volume de S volume do cilindro volume dos 2 cones Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 28 volume de S 7R22R 2 1 nR R 21R 2 nR 4 nR 3 3 3 Logo volume da esfera Volume do s lido E Volume do s lido S 4 nR 3 Segundo LIMA 1991 o Princ pio de Cavalieri um resultado sobre integrais correspondendo a calcular uma integral m ltipla por meio de repetidas integrais simples Al m disso as dificuldades encontradas por Cavalieri para assentar suas descobertas com os indivis veis sobr
126. ato percentil de 95 e apenas 9 pontos no teste de racioc nio verbal percentil 3 No pr teste de conhecimento geom trico Lucas acertou apenas 38 23 das quest es propostas mostrando compreender alguns conceitos b sicos como o de tri ngulos tri ngulo equil tero tri ngulo ret ngulo tri ngulo acut ngulo e tri ngulo obtus ngulo mas confundindo Cap tulo 5 Estudo de Campo I 146 outros tantos como o de tri ngulo escaleno possui 2 lados iguais e tri ngulo is sceles possui 3 lados diferentes Ao relacionar os tipos de tri ngulo ele acertou a maioria das quest es mas sem justificar suas respostas Como Lucas confundia alguns daqueles conceitos poss vel que alguns destes acertos tenham sido por sorte Na parte das cevianas ele j acertou no pr teste os dois primeiros exemplos para tra ar a altura e deixou em branco os exemplos da mediana e da bissetriz Quanto s defini es ele tentou assim definir respectivamente a altura a mediana e a bissetriz uma dist ncia entre o ngulo oposto ao lado a divis o a partir do ponto de interse o e os segmentos que se cruzam para achar o centro do tri ngulo sic Bastante imprecisos e confusos Ap s as aulas no laborat rio Lucas acertou 61 76 das quest es do teste de conhecimento geom trico apresentando um crescimento de 61 54 em rela o ao pr teste Sua melhora assim como foi verificado em outros sujeitos d
127. aturidade necess ria para a compreens o dos argumentos utilizados por exemplo em uma demonstra o geom trica A partir deste momento as cr ticas em rela o ao ensino da matem tica em geral aumentavam as demonstra es estavam baseadas na memoriza o o ensino estava compartimentalizado entre a lgebra e a geometria n o tinha motiva o e era pouco atraente O movimento da matem tica moderna surgido no final dos anos 50 e in cio dos 60 teve com grande eco no Brasil trazendo a preocupa o em resolver o problema da memoriza o Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 31 atrav s de um ensino baseado na l gica e nas estruturas matem ticas alg bricas topol gicas e ordenadas ensinadas numa nova linguagem a teoria dos conjuntos Os problemas relativos metodologia de ensino foram completamente ignorados j que os professores dos n veis mais elementares se sentiam tolhidos em questionar os idealizadores deste movimento os professores e pesquisadores que estavam nas universidades Basicamente o movimento da matem tica moderna tinha como principais diretrizes a insist ncia nas id ias abstratas a preocupa o com o rigor o uso de vocabul rio contempor neo a preocupa o com a precis o da linguagem e a introdu o de novas id ias matem ticas Os programas de Geometria foram reduzidos portanto no momento em que ocorria a universaliza o da escola e a import ncia da Geometria como meio para
128. avia sido planejado para a primeira aula e acabaram necessitando de todo o tempo previsto de uma hora e vinte minutos enquanto outros preferiram seguir as orienta es contidas no texto e acabaram terminando mais r pido A citada atividade 2 foi inicialmente formulada com o objetivo de lembrar algumas propriedades do quadrado mostrar a import ncia de se realizar uma constru o no software utilizando as propriedades geom tricas da figura em estudo e familiarizar o estudante com o passo a passo desta constru o Os alunos que seguiram o texto apresentado terminaram antes levando em m dia 30 minutos logo foram apresentadas as atividades 3 e 4 antecedidas por uma breve revis o escrita sobre os significados de ngulo reto agudo e obtuso e da classifica o dos tri ngulos quanto aos lados e aos ngulos As mencionadas atividades assim com as de n mero 5 e 6 eram de explora o ou caixa preta conforme compreendidas por GRAVINA 1996 e LABORDE 1998 e mencionadas na se o 3 4 Na atividade 3 o objetivo era que o aluno atrav s da explora o observa o e an lise das medidas dos lados e dos ngulos internos de um tri ngulo escaleno fosse estimulado a raciocinar Cap tulo 5 Estudo de Campo I 118 a respeito das rela es entre este tipo de tri ngulo e as classifica es existentes quanto a seus ngulos De modo an logo foi elaborada a atividade 4 abordando tri ngulos is sceles Na sala de aula f
129. blica ou particular se o curso foi regular diurno regular noturno ou supletivo que disciplinas eles encontraram maior dificuldade etc Al m disso foi verificado se o aluno possu a ou n o computador em casa se o uso desta ferramenta era frequente o local onde ele mais ocorria quais conhecimentos de inform tica possu a e se teve anteriormente alguma aula com computador numa disciplina da forma o geral do ensino fundamental ou m dio Finalmente pediu se que o aluno justificasse o motivo pelo qual decidiu participar do grupo experimental ou do grupo de controle Cap tulo 5 Estudo de Campo I 111 b Entrevista II Teste de conhecimento geom trico Pr e P s teste A entrevista II teve como principal finalidade avaliar os conhecimentos geom tricos dos sujeitos relativos a alguns aspectos sobre tri ngulos tais como sua condi o de exist ncia as rela es entre os tipos de tri ngulo quanto aos seus ngulos internos e s medidas de seus lados e a compreens o das caracter sticas de suas cevianas Deste modo foram abordados temas como a classifica o dos tri ngulos quanto aos lados equil tero is sceles e escaleno e quanto aos ngulos acut ngulo ret ngulo e obtus ngulo e o relacionamento destes conceitos para avaliar a compreens o dos mesmos Al m disso tamb m foi enfocada a compreens o dos conceitos de altura mediana e bissetriz de um tri ngulo A primeira aplica o pr teste realiza
130. bservou 3 Saiba que a bissetriz de um tri ngulo o segmento que une um v rtice ao lado oposto dividindo o ngulo interno desse v rtice em dois ngulos de mesma medida Agora trace as bissetrizes relativas aos ngulos CBA e ACB Determine o ponto de interse o entre estes segmentos 220 Saiba que este ponto de interse o entre as bissetrizes relativas aos ngulos internos de um tri ngulo chamado de incentro 4 Arrastando livremente o mouse sobre um dos v rtices do tri ngulo observe o que ocorre e responda a Qual a localiza o do incentro quando o tri ngulo acut ngulo N cleo de Computa o Eletr nica K Universidade Federal do Rio de Janeiro Ap ndice B Entrevista I Sondagem para a caracteriza o dos sujeitos 1 Faixa et ria a de 14 a 17 anos b de 18a 21 anos c de 22 a 30 anos d acima de 31 anos 2 Voc realiza ou realizou atividade profissional a Sim b N o 3 O que voc espera do ensino m dio a diploma b ampliar conhecimentos c melhoria salarial d preparar se para o vestibular 4 A escola onde voc estudou no ensino fundamental 5 a 8 s ries era a P blica b Particular c P blica Particular 5 Assinale a forma de estudo realizada no ensino fundamental a Regular diurno b Regular noturno c Supletivo no 6 Em qual disciplina voc sentiu maior dificuldade no ensino fundamental a L ngua Por
131. caracteriza o e compara o dos grupos antes da realiza o do experimento No pr teste de conhecimento geom trico o grupo experimental teve m dia de acertos de aproximadamente 6 54 num total de 15 quest es ou seja 42 79 de acertos enquanto no grupo de controle essa m dia foi de aproximadamente 6 42 ou aproximadamente 43 59 de acertos Portanto valores bastante pr ximos Por m quando se verifica o desempenho dos mesmos sujeitos em quatro testes da bateria BPR 5 racioc nio abstrato racioc nio verbal racioc nio espacial e racioc nio num rico al m do escore geral verifica se uma ligeira diferen a entre os grupos Os resultados obtidos por cada sujeito e em cada grupo nos testes de racioc nio est o no ap ndice H enquanto os quadros 6 6 e 6 7 mostram um resumo destes resultados numa divis o por categoria conforme os intervalos de percentis considerados Quadro 6 6 Desempenho do grupo de controle nos testes de racioc nio BPR 5 de acordo com intervalos de percentis GRUPO DE CONTROLE E RA RV RE RN EG 4 N N N N N 0 25 17 54 84 18 58 07 7 22 58 16 51 62 19 61 29 26 50 10 32 26 8 25 81 16 51 62 9 29 03 9 29 03 51 75 2 6 45 4 12 90 7 22 58 2 6 45 3 9 68 75 100 2 6 45 1 322 1 322 4 12 90 0 0 Total 31 100 31 100 31 100 31 100 31 100 3 5 Escolhido ao acaso em uma popula o 4 o ir x A Quando s o usadas medidas da vari vel emparelhada para ajudar a garantir a equival ncia dos gru
132. cionando algumas pol ticas p blicas para o uso de tecnologia inform tica no cotidiano escolar comentando sobre algumas implica es para o uso do computador na escola e sobre os principais paradigmas existentes na elabora o de softwares educacionais H ainda uma breve discuss o sobre a aprendizagem da geometria atrav s do uso de softwares geom tricos e um estudo sobre os recursos potencialidades e limita es da geometria din mica A fundamenta o te rica do trabalho se completa no cap tulo 4 onde s o discutidos em linhas gerais os principais aspectos do construtivismo cognitivista de Jean Piaget incluindo algumas revis es de sua teoria e o s cio construtivismo de Vygotsky com sua vis o sobre a zona de desenvolvimento proximal e sobre o caminho para a forma o de conceitos Cap tulol Introdu o 10 Al m disso tamb m se recorre ao Tratamento da Informa o rea da Psicologia Cognitiva para delinear os principais pontos sobre a resolu o de problemas com destaque para resolu o de problemas matem ticos e sobre a representa o do conhecimento e sua rela o com a forma o de conceitos em geometria No cap tulo 5 apresentado o estudo de campo realizado com 10 alunos do per odo diurno ingressantes no ensino t cnico incluindo a metodologia utilizada e a apresenta o e a an lise dos resultados O conte do escolhido para o trabalho em sala de aula foi o de tri ngulos suas classifica es r
133. circunfer ncias e nomeasse e medisse alguns destes objetos No item nove ele deveria realizar a constru o de um quadrado com os recursos que j conhecia dos itens anteriores e depois explorar o recurso do arrastar sobre qualquer um dos v rtices do quadrado constru do O objetivo era mostrar ao aluno mais uma caracter stica da geometria din mica ou seja verificar a invari ncia de algumas propriedades da constru o realizada desde que ela tivesse sido feita obedecendo algumas propriedades geom tricas em sua constru o Neste primeiro momento o aluno apenas verificava que sua constru o n o tinha levado em considera o tais propriedades e que o quadrado constru do se desmontava com o arrastar de um de seus v rtices importante ressaltar que os alunos tiveram bastante liberdade para explorar outros recursos do software durante esta aula e por este motivo o item 10 ficou adiado para o encontro seguinte Cap tulo 5 Estudo de Campo I 117 Na sala de aula foi feita uma exposi o dialogada sobre a classifica o dos tri ngulos quanto aos lados e quanto aos ngulos e apresentados discutidos e resolvidos exerc cios sobre o assunto As aulas cl ssicas tiveram como base o material encontrado em GIOVANNI amp GIOVANNI JR 1996 Quarto encontro 19 08 2003 a partir desta aula come ou a se evidenciar o ritmo diferenciado entre os alunos alguns deles optaram por fazer livremente a atividade 2 que h
134. compara o do grupo experimental com o grupo de controle a partir das m dias dos grupos obtidas no p s teste M dia de M dia de Teste de Acertos do Acertos do N df t p Conhecimento Grupo Grupo Geom trico Experimental Controle Pr teste 43 22 42 80 31 30 0 141 0 89 P s teste 63 64 53 54 31 30 3 063 0 05 Assim como foi verificado anteriormente quando foram comparadas as m dias das provas aplicadas ao final de cada etapa do estudo desta vez tamb m se verificou signific ncia na compara o dos percentuais de acertos no p s teste de conhecimento geom trico j que t 3 063 e p 0 05 Este valor n o menor que 0 05 mas igual por m parece razo vel rejeitar a hip tese nula neste caso 7 Foram considerados para c lculo os 39 sujeitos do grupo experimental 8 O software SPSS considerou apenas 31 sujeitos do grupo experimental para compara o com o mesmo n mero de sujeitos do grupo de controle Cap tulo 6 Estudo de Campo II 181 Observa se que as m dias obtidas pelos dois grupos n o s o exatamente extraordin rias pois n o ultrapassam 65 de acertos do p s teste mas deve se levar em considera o os perfis apresentados pelos grupos antes da experi ncia Os resultados dos testes de racioc nio da bateria BPR 5 sugeriam que a grande maioria dos sujeitos dos dois grupos possui uma capacidade abaixo do que seria esperado nesse n vel de escolaridade para resolver problemas que requerem a an lise das infor
135. comparativo realizado numa escola t cnica p blica da zona norte da cidade do Rio de Janeiro As inscri es dos alunos foram feitas a partir do Projeto Matem tica Zero da escola que tem por objetivo nivelar o conhecimento matem tico de alunos ingressantes na primeira s rie do ensino t cnico A ades o s aulas foi totalmente volunt ria e os alunos que as procuraram eram aqueles interessados em melhorar seu desempenho em matem tica e ou em aprender os conte dos n o vistos durante o ensino fundamental A experi ncia se iniciou no segundo semestre de 2003 quando foi anunciado nos murais da escola o curso de Geometria Euclidiana Plana Tri ngulos s ter as feiras em diversos hor rios com a op o do aluno poder assistir aulas cl ssicas na sala de aula tradicional ou aulas auxiliadas por computador no laborat rio de inform tica biblioteca virtual da escola 24 horas A proposta inicial era apresentar um estudo quantitativo e comparativo O n mero inicial de inscritos foi de setenta e tr s alunos trinta e um deles no primeiro grupo e quarenta e dois no segundo No entanto j a partir do primeiro encontro compareceram apenas quarenta e dois alunos ocasi o em que eles foram avisados que aquelas aulas fariam parte de uma pesquisa para elabora o da presente disserta o de mestrado e que seria necess ria a aplica o alguns testes e de uma entrevista Cap tulo 5 Estudo de Campo 1 107 O n mero de alun
136. cos unindo os aspectos intuitivo e l gico fundamentais para a aprendizagem da Geometria rompendo assim a dicotomia predominante at os dias de hoje Todas estas reflex es visaram compreender que a utiliza o do computador como recurso pedag gico nas aulas de geometria pode evitar que o esquecimento desta disciplina persista no cotidiano de nossas escolas permitindo que ela volte a ocupar o espa o que lhe devido nas aulas de matem tica Para isto o seu ensino deve se adequar realidade educacional cient fica e tecnol gica de nossos dias 3 4 4 Principais Softwares No mercado h v rios exemplos de softwares de geometria din mica entre os quais podem ser citados Cabri g ometre IMAG CNRS Fran a The Geometer s Sketchpad Key Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 64 Curriculum Press EUA Geometric Supposer Apple II Israel o pioneiro Dr Geo H Fernandes Grenoble Fran a Cinderella Alemanha Euklid Alemanha R gua e Compasso Fran a o Geometricks cuja vers o para a l ngua portuguesa ficou sob a responsabilidade de uma equipe da UNESP Rio Claro SP o Tabulae geometria plana e o Mangaba geometria espacial desenvolvidos no Instituto de Matem tica da UFRJ e finalmente o Calques 3D desenvolvido por Nicolas Van Labeke como parte de sua tese de doutoramento em Ci ncia Computacional na Fran a A seguir ser o descritos apenas os dois ambientes mais populares do mercad
137. cubos unit rios ser o necess rios para preencher completamente a caixa abaixo 3 Qual o volume de um bloco retangular de dimens es 2 5 1 8 e 3 42 4 poss vel que dois s lidos um alto e estreito e o outro baixo e largo tenham volumes iguais Justifique 5 Se por outro lado os s lidos possu rem a mesma altura e forem cortados por um plano paralelo s suas bases e as reas das se es determinadas forem diferentes o que se pode dizer de seus volumes ares a sata Sa O a ba 6 Se por outro lado os s lidos possu rem a mesma altura e forem cortados por um plano paralelo s suas bases e as reas das se es determinadas forem iguais o que se pode dizer de seus volumes E ASA A TR AC Pc UT 7 Como se pode garantir que o volume de prisma qualquer dado pela multiplica o da rea de sua base e sua altura assim como o de um bloco retangular 270 8 Um funileiro quer construir duas canecas com a mesma capacidade sendo que uma delas tem a forma de um prisma hexagonal e a outra tem a forma de um cilindro Isto poss vel Em caso afirmativo de forma ele poderia faz lo 9 Quantas vezes poss vel despejar o conte do de uma jarra com a forma de uma pir mide e em uma outra com o formato de um prisma considerando que ambas t m a mesma altura e reas das bases iguais suas sestr saia Sao Les a SANA S DA aaa Sa bai 10 com que s lido
138. da antes interven o did tica objetivou verificar quais conhecimentos os sujeitos j traziam do ensino fundamental enquanto a segunda aplica o p s teste procurou verificar a evolu o daqueles conceitos ap s a interven o realizada A an lise feita ao final deste cap tulo procurou enfatizar que aspectos foram mais desenvolvidos enfocando as contribui es da geometria din mica em contraste com o trabalho cl ssico da sala de aula No momento das aplica es foi solicitado aos sujeitos que n o fizessem qualquer tipo de desenho como aux lio ao seu racioc nio tal solicita o teve a finalidade de verificar sua capacidade de representar e manipular imagens mentalmente visualizar e de que forma este fato se relacionava aos sujeitos de cada grupo estudado Na avalia o das respostas dadas nas entrevistas considerou se como corretos apenas os racioc nios bem estruturados n o sendo levado em considera o o racioc nio meio correto Cap tulo 5 Estudo de Campo I 112 Para exemplificar foi considerada correta a seguinte resposta dada por um dos sujeitos quest o poss vel que um tri ngulo escaleno seja tamb m obtus ngulo Justifique Sim 7 E r A A 0 poss vel ter dois lados iguais e um ngulo maior que 90 Enquanto foi considerada como incorreta a seguinte resposta mesma quest o Sim a medida dos lados serem diferentes n o implica na forma o do ngulo obtuso
139. da geometria n o euclidiana De acordo com EVES 1992 p 21 o m todo consistia em construir um modelo em que a geometria n o euclidiana tivesse uma interpreta o como parte do espa o euclidiano ent o qualquer inconsist ncia na geometria n o euclidiana implicaria uma inconsist ncia correspondente na geometria euclidiana Em 1871 F lix Klein deu os seguintes nomes s geometrias a de Bolyai e Lobachevsky foi chamada de geometria hiperb lica a de Euclides ganhou o nome de geometria parab lica e a de Riemann foi denominada geometria el ptica O surgimento das geometrias n o euclidianas rompeu com o modelo para o mundo f sico que perdurou at a metade do s culo XIX quando estas passaram a ser a base geom trica para o mundo f sico descrito pela Teoria da Relatividade Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 17 2 2 A evolu o de um conceito os indivis veis ou infinit simos O Princ pio de Cavalieri faz parte da evolu o de um importante conceito para a hist ria da Matem tica o de indivis veis ou infinit simos que se iniciou nos paradoxos de Zen o na Gr cia Antiga e terminou com o desenvolvimento do c lculo diferencial por Newton e Leibniz no s culo XVII A id ia da integra o tem origem em processos somat rios ligados ao c lculo de reas volumes e comprimentos enquanto a diferencia o cria o mais tardia est relacionada a problemas sobre tangentes a curvas e a quest es de m ximo
140. das por um determinado aluno em compara o com as tecnologias tradicionais Ele permite por exemplo a an lise dos passos intermedi rios utilizados pelo estudante durante a tentativa de resolver uma situa o problema e n o apenas dos resultados obtidos gt Como uso do computador o professor pesquisador pode gerar a estat sticas sobre os resultados dos alunos possibilitando que se trabalhe sobre algumas hip teses e se obtenha explica es para o processo de aquisi o de conhecimento Para analisar e compreender melhor os ganhos ou as desvantagens que o uso desta tecnologia traz para a escola necess rio que se conhe a as rela es existentes entre os componentes da pr tica educacional com a utiliza o de tecnologia inform tica De acordo com VALENTE 1993 a implanta o da inform tica no cotidiano da escola consiste basicamente de quatro ingredientes o computador o software educativo o professor preparado para utilizar o computador como ferramenta educacional e o aluno O professor e o aluno s o componentes de qualquer situa o que se considere no processo de ensino e aprendizagem assim como a uso de alguma tecnologia seja ela de papel e l pis de quadro e giz ou de um v deo cassete e televis o No caso de utiliza o de tecnologia inform tica dois novos ingredientes s o introduzidos o computador e o software que adquire grande import ncia j que sem ele o computador n o funciona e fica imposs vel p
141. de 6 cm de raio fundem se e formam outra esfera Calcule o raio dessa nova esfera QUEST O VI Em um cilindro equil tero de 367 cm de superficie lateral foi inscrita uma esfera Calcule o volume da esfera Alunos ACC ACL CCG DSB EAL GNF JFC LCS LFS MAB MCA PHS SLS MWM APF ASG FAJ IFB JVS MTS OLS Turma 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3441 3541 3541 3541 3541 3541 3541 3541 14 13 12 18 19 16 16 14 15 14 14 14 10 15 13 18 5 18 13 19 12 85 82 79 99 105 91 91 85 89 85 85 85 74 89 82 99 67 99 82 105 79 16 12 8 47 63 27 27 16 23 16 16 16 4 23 12 47 1 47 12 63 8 12 9 15 14 15 13 16 15 13 16 15 13 18 14 TZ 15 3 20 18 21 14 N cleo de Computa o Eletr nica Universidade Federal do Rio de Janeiro Resultados Individuais dos Testes da Bateria BPR 4 78 72 87 82 87 79 92 87 79 92 87 79 99 82 78 87 59 109 99 115 82 GRUPO DE CONTROLE RV1 A RVI EPN RV1 P RA1 A RA1 EPN RA1 P RE1 A RE1 EPN RE1 P RN1 A RN1 EPN RN1 P 7 3 19 12 19 18 30 19 18 30 19 8 47 12 7 19 0 73 47 84 12 11 9 8 18 15 2 11 15 11 11 14 12 14 8 12 15 12 17 15 12 p 91 86 84 116 102 60 91 102 91 91 99 93 99 84 93 102 93 110 102 93 60 27 18 14 86 55 0 27 55 27 27 47 32 47 14 32 55 32 75 55 32 0 12 5 96 7
142. de integra o o aluno dever ter atingido um novo n vel de compreens o e novamente as fases de aprendizagem se repetir o para que o aluno seja levado a atingir o n vel subsequente NASSER 1991 ressalta que as fases delineadas no modelo de van Hiele podem ocorrer de forma simult nea e em diversas ordens Por m a ltima fase s deve ser utilizada ap s o desenvolvimento das anteriores imprescind veis para fornecer as estruturas de aprendizagem Um importante fato considerado por v rios autores a rela o existente entre a a teoria do desenvolvimento cognitivo de Jean Piaget e o modelo de desenvolvimento do pensamento geom trico de van Hiele Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 36 Quadro 2 2 Fases de Aprendizagem do Modelo de van Hiele FASES DE APRENDIZAGEM CARACTER STICAS Questionamento ou Informa o Professor e aluno dialogam sobre o material de estudo fase 1 Apresenta o de vocabul rio do n vel a ser atingido O professor deve perceber quais os conhecimentos anteriores do aluno sobre o assunto a ser estudado Os alunos exploram o assunto de estudo atrav s do material Orienta o Direta selecionado pelo professor fase 2 As atividades dever o proporcionar respostas espec ficas e objetivas O papel do professor o de observador Explicita o Oalunos trocam experi ncia os pontos de vista diferentes fase 3 contribuir o para cada um analisar suas id ias Orienta
143. de no tra ado Al m disso o professor deve estar sempre atento ao fato de que determinadas medidas obtidas est o sempre sujeitas a erros e aproxima es A precis o das medidas acaba dependendo das limita es da tela da impressora e de c lculos internos do computador SOUZA 1998 aponta a impossibilidade de medi o de ngulos poli dricos e de gera o de superf cies esf ricas como duas importantes restri es ao uso destes programas na Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 63 aprendizagem da geometria espacial e esf rica quando esta n o ocorre atrav s das representa es planas Muitas outras limita es poderiam ser mencionadas por m o importante que o professor sempre fique atento a elas n o entendendo as solu es encontradas pelo software como absolutas e sim como uma rica fonte para novas descobertas e explora es A partir das representa es precisas e variadas de objetos geom tricos obtidas com a utiliza o dos softwares de geometria din mica verificou se a possibilidade de supera o de alguns obst culos rumo ao processo de representa o mental destes objetos base para a formaliza o de conceitos Al m disso a percep o dos invariantes geom tricos a partir da explora o proporcionada pelo arrastar do mouse permite que o usu rio destes programas refine suas cren as e convic es fa a conjecturas e caminhe no sentido de realizar provas de resultados geom tri
144. de uma pir mide atrav s da decomposi o de um prisma triangular em tr s pir mides equivalentes gt Determinar o volume de uma pir mide D cima aula 06 10 2004 quarta feira e 18 10 2004 segunda feira aplica o das atividades 6 e 7 sobre o cone a esfera e seus volumes cujos objetivos eram gt Compreender e identificar as principais caracter sticas de um cone gt Compreender e justificar a f rmula do volume de um cone atrav s do Princ pio de Cavalieri gt Determinar o volume de um cone gt Compreender e justificar a f rmula do volume de uma esfera atrav s do Princ pio de Cavalieri gt Determinar o volume de uma esfera D cima primeira aula 13 10 2004 quarta feira e 25 10 2004 segunda feira aplica o da primeira prova do quarto bimestre a segunda para o presente estudo D cima segunda aula 20 10 2004 quarta feira e 05 10 2004 sexta feira aplica o da entrevista IV como p s teste D cima terceira aula 03 11 2004 quarta feira e 08 10 2004 segunda feira aplica o do teste de racioc nio espacial da bateria BPR 5 Cap tulo 6 Estudo de Campo II 171 Uma observa o importante a fazer que mesmo as aulas que n o foram realizadas no laborat rio de inform tica as do grupo de controle n o foram completamente tradicionais pois elas n o eram exclusivamente expositivas e assim como as do laborat rio foram baseadas em atividades de ensino em q
145. de vida 4 3 Resolu o de Problemas As teorias do processamento ou tratamento da informa o t m como principais investiga es as diferentes maneiras de representar o conhecimento o armazenamento e recupera o da mem ria os diferentes racioc nios utilizados no processo de tomada de decis es e a resolu o de problemas entre outras Qualquer professor que pretenda trabalhar com resolu o de problemas em sala de aula deve perceber antes a diferencia o entre os termos problema e exerc cio pois necess rio que fique claro para o aluno o tipo de tarefa que enfrentar Segundo ECHEVERR A amp POZO 1998 um exerc cio se caracteriza pelo fato do solucionador dispor e utilizar mecanismos e procedimentos que o leve de maneira imediata solu o enquanto um problema representa uma situa o nova ou diferente do que j foi aprendido requerendo por m a utiliza o de estrat gias ou t cnicas j conhecidas Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 87 Um problema uma situa o em que o indiv duo ou um grupo deseja ou necessita resolver e para a qual ainda n o disp e de um caminho r pido e direto que o leve solu o LESTER apud ECHEVERR A amp POZO 1998 A solu o de um problema exige uma demanda cognitiva e motivacional maior que a simples execu o de um exerc cio O primeiro requer al m do conhecimento procedimental exigido na solu o do segundo a compreens o do
146. desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o aprendiz possa se reconhecer e se orientar no mundo do conhecimento PCN 1996 Para atingir este fim necess rio empreender um trabalho mais lento e rduo que se inicia numa prolongada atividade sobre resolu o de problemas de diversos tipos com a finalidade de elaborar conjecturas de estimular a busca de regularidades generaliza es de Cap tulol Introdu o 4 padr es e capacidade de argumenta o fundamentais para o processo de forma o de conceitos e para a formaliza o do conhecimento matem tico No processo de ensino aprendizagem da geometria a habilidade de visualiza o o desenho a argumenta o l gica e a aplica o na busca de solu es para problemas s o importantes na compreens o e amplia o da percep o de espa o e constru o de modelos para interpretar quest es da matem tica e de outras reas do conhecimento PCN 1996 Alguns educadores matem ticos LORENZATO 1995 LABORDE 1998 FAINGUELERNT 1999 entre outros enfatizam a import ncia dos aspectos intuitivo e l gico no processo de ensino aprendizagem da geometria O primeiro destes aspectos se refere ao estudo do espa o e das rela es espaciais e o segundo est relacionado ao racioc nio dedutivo e compreens o e dom nio de sistemas axiom ticos LABORDE 1998 percebe que h um consenso entre educadores matem ticos de que o uso do computador no processo de ens
147. deve tentar construir um outro quadrado usando suas propriedades para que n o aconte a o que voc observou no item anterior Tente recordar algumas propriedades do quadrado O quadrado possui 4 lados iguais e 4 ngulos retos Como informar isto ao programa Uma maneira poss vel de realizar esta constru o a seguinte l Para garantir estas duas propriedades voc deve se lembrar de outras duas um quadrado possui duas diagonais iguais e estas diagonais s o perpendiculares ou seja elas formam um ngulo reto entre si 2 Para garantir que as diagonais possuem a mesma medida vamos construi las interceptando uma circunfer ncia Construa inicialmente uma circunfer ncia 3 Construa agora uma reta que passa pelo centro da circunfer ncia e por um ponto sobre ela Para isto selecione os dois pontos mencionados v ao menu CONSTRUIR escolha Reta e Reta por dois pontos 4 Como as diagonais devem ser perpendiculares voc deve construir uma outra reta perpendicular anterior Para isto selecione a reta e o centro da circunfer ncia v ao menu CONSTRUIR e escolha Reta e Reta Perpendicular N o esque a que para selecionar mais de uma op o a tecla SHIFT deve permanecer pressionada 5 Agora devemos marcar os pontos de interse o entre a circunfer ncia e as retas constru das que ser o os v rtices de nosso quadrado Para isto selecione a circunfer ncia e uma das retas v ao menu CONSTRUIR e escolha Ponto e Ponto d
148. diana ele deixou em branco tanto os desenhos quanto a defini o mas acertou os tr s casos para tra ar as bissetrizes deixando tamb m em branco a defini o desta ceviana No p s teste Mateus apresentou um crescimento de 14 28 em seu desempenho acertando 70 59 das quest es propostas Sua melhora ocorreu sobretudo defini o mais exata para tri ngulo obtus ngulo dizendo apenas que ele tem um ngulo obtuso O desempenho na parte que relacionava os tipos de tri ngulo foi rigorosamente igual ao anterior Cap tulo 5 Estudo de Campo I 139 Quanto altura ele apenas aperfei oou sua defini o dizendo agora que uma reta que faz um ngulo de 90 com a base e se liga ao ponto mais alto do tri ngulo Ainda que n o esteja correta percebe se uma evolu o em rela o ao pr teste No caso da mediana agora ele tra ou o segmento de reta que supostamente representaria a mediana mas n o indicou que este segmento dividiria o lado oposto ao meio enquanto sua defini o dizia que era a reta que marca o meio da reta Para as bissetrizes n o houve qualquer mudan a em rela o ao pr teste Mais uma vez os insights de Piaget parece se confirmar tamb m para Mateus a respeito do racioc nio abstrato mas seu desempenho foi fraco nos outros dois testes por m ele mostrou um desempenho satisfat rio tanto no pr teste quanto no p s teste por m apresentando assim como os demais sujeitos deste gr
149. do grupo experimental principalmente em rela o s implica es da utiliza o de ambientes computacionais din micos para a forma o de conceitos relacionados a tri ngulos 5 2 1 Caracteriza o dos Grupos A predisposi o dos indiv duos aprendizagem em rela o aos racioc nios verbal abstrato e espacial mostrou alguma variedade nos resultados tanto entre as aptid es de um mesmo sujeito quanto quando se fez uma compara o entre sujeitos de um mesmo grupo Cap tulo 5 Estudo de Campo I 123 Os c lculos dos percentis foram realizados considerando a s rie estudada pelo indiv duo no caso foi utilizada como refer ncia a oitava s rie do ensino fundamental e o sexo Al m disso foram utilizadas como tabelas de refer ncia e convers o as resultantes de estudos feitos pelo Servi o de Estat stica do Instituto de Sele o e Orienta o Profissional ISOP da Funda o Get lio Vargas BENNET ET ALL 1959 Ap s a aplica o dos testes de aptid o espec fica e da apura o dos resultados os cinco sujeitos do grupo de controle e os cinco do grupo experimental apresentaram os resultados expressos respectivamente nos quadros 5 1 e 5 2 Grupo de Controle Daniel Rafael Pedro Marcos Mateus Grupo Experimental Gabriel Miguel Lucas Paulo Jo o Quadro 5 1 Desempenho dos sujeitos do grupo de controle nos testes de aptid o espec fica do tipo DAT Rela es Espaciais Racioc nio
150. do tri ngulo Acertou os tr s casos Errou os tr s casos Apenas assinalou o ponto m dio do lado destacado Apenas indicou o ponto m dio em cada lado do tri ngulo Tra ou o segmento de reta que supostamente representaria a mediana mas n o indicou que este segmento dividiria o lado ao meio E o tra o que marca o ponto m dio de uma reta E o ponto central no cruzamento de duas retas N o sei a metade de um dos lados do tri ngulo Reta que marca o meio da reta Apenas assinalou a divis o do ngulo e tra ou o segmento mas n o indicou que eles estavam divididos pela metade Apenas assinalou a divis o do ngulo e tra ou o segmento mas n o indicou que eles estavam divididos pela metade 25 Tente dizer com suas pr prias palavras o que bissetriz de um ngulo interno num dado tri ngulo GSC JSS LDC BBA BGF GSC JSS LDC Em branco Em branco Acertou os tr s casos Em branco Em branco Em branco Em branco Em branco 230 Apenas assinalou a divis o do ngulo e tra ou o segmento mas n o indicou que eles estavam divididos pela metade Apenas assinalou os ngulos e os dividiu metade Acertou os tr s casos a reta que divide o ngulo em duas partes iguais Em branco quando dividimos um ngulo em duas partes iguais a metade do ngulo do tri ngulo Em branco 231 Teste de Conheciment
151. e por parte dos aprendizes a mesma preocupa o com a viabilidade de sua resposta o erro poderia ser percebido e corrigido N o havendo esta preocupa o a resposta absurda costumava ser aceita sem cr ticas As estrat gias de c lculo embora diferentes entre os grupos eram igualmente efetivas sendo o percentual de erros de c lculo muito baixo tanto entre os aprendizes quanto entre os marceneiros profissionais mesmo estes ltimos apresentando menos anos de fregii ncia escola Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 97 As estrat gias mais econ micas como o uso da multiplica o no lugar da adi o apareceram com maior frequ ncia entre os profissionais Apesar de receberem instru o formal sobre como calcular o volume de objetos e de resolverem problemas escolares sobre esse t pico os aprendizes n o conseguiram utilizar este conhecimento escolar para solucionar um problema pr tico CARRAHER CARRAHER amp SCHLIEMANN 2001 sugerem ent o que sejam oferecidas ao aluno oportunidades de resolver problemas em contextos pr ticos Para ECHEVERR A 1998 a experi ncia cotidiana parece tamb m possibilitar a aquisi o de certas teorias sobre o acaso e os conceitos probabil sticos e permitir que estas teorias correspondam tamb m a m todos pessoais ou procedimentos heur sticos de julgamento para enfrentar as tarefas probabil sticas O conhecimento esquem tico n o relevante apenas para determinar o tip
152. e Interse o Repita o mesmo procedimento para a outra reta 6 7 8 10 210 Selecione estes pontos dois a dois v ao menu CONSTRUIR e escolha Segmento e depois Segmento novamente a fim de formar os 4 segmentos de reta que formam os lados dos quadrado Agora vamos esconder os objetos que n o nos interessam Para isto selecione uma das retas v ao menu EXIBIR e escolha Esconder Objetos Repita o mesmo procedimento para a outra reta e para a circunfer ncia Clique num dos v rtices do quadrado e arraste o pressionado pela tela O que voc observou Agora selecione os 4 v rtices do quadrado v ao menu CONSTRUIR e escolha Locus e depois Poligono Para finalizar determine a medida do lado perimetro e rea deste quadrado Clique num de seus v rtices e observe o que acontece com a figura e as medidas obtidas no item anterior Lembre se um ngulo agudo um ngulo menor que 90 um ngulo reto igual a 90 e um ngulo obtuso maior que 90 e menor que 180 Por este motivo os tri ngulos s o classificados quanto aos seus ngulos em a Tri ngulo Acut ngulo com tr s ngulos agudos b Tri ngulo Ret ngulo com um ngulo reto 211 c Tri ngulo Obtus ngulo com um ngulo obtuso Os tri ngulos tamb m podem ser classificados quanto a seus lados em a Escaleno possui tr s lados com medidas diferentes b Is sceles possui dois lados com medidas iguais c Eq il t
153. e a uma melhor representa o mental dos objetos geom tricos vistos em maior quantidade na tela do software de geometria din mica devido precis o e variedade na constru o destes objetos possibilitada pelo software Al m de terem tido uma melhora maior no p s teste os alunos do grupo experimental mostraram maior desenvoltura para justificar suas respostas ainda que tenham apresentado baixo desempenho pr vio no teste de racioc nio verbal Retomando algumas id ias de VIGOTSKY 2003 a forma o de conceitos o resultado de uma atividade complexa em que todas as fun es intelectuais b sicas tomam parte e este processo engloba a aten o a associa o a forma o de imagens e a infer ncia Todas estas fun es intelectuais s o muito importantes por m nenhuma delas pode dispensar o uso da palavra como forma de conduzir as opera es mentais atrav s da palavra que pode se controlar a trajet ria do pensamento e se caminhar em dire o solu o de um problema proposto CAP TULO 6 UMA APLICA O DA GEOMETRIA DIN MICA GEOMETRIA ESPACIAL ESTUDO DE CAMPO II O presente cap tulo apresenta outro estudo comparativo sendo que o grupo estudado aqui maior que o anterior e os sujeitos desta fase do estudo s o agora alunos concluintes do ensino t cnico e estudam no per odo noturno dos cursos de eletr nica eletrot cnica eletromec nica e mec nica de uma escola p blica da zona norte da cidade do Rio
154. e cont m as bases do prisma chama se altura do prisma e pode ser designada como h Abra o arquivo X e determine as reas das se es planas dos prismas de base quadrangular o bloco retangular e o outro prisma de base hexagonal 247 Atrav s desta verifica o voc p de perceber um caso particular em que as reas de se es planas de um bloco retangular e de um prisma hexagonal eram equivalentes e al m disso os volumes dos dois s lidos tamb m t m o mesmo valor Agora considere um prisma cuja base o pol gono P apoiado sobre um plano horizontal a Este prisma tamb m cortado por um plano horizontal n A se o plana determinada por 7 ser sempre um pol gono congruente e portanto equivalente a P Para obter a f rmula do volume de um prisma ser usado o Princ pio de Cavalieri No arquivo X h um prisma colocado sobre o plano horizontal a e a seu lado foi colocado um bloco retangular cuja base um ret ngulo equivalente base do prisma e cuja altura igual altura do prisma Construa um plano horizontal 7 que seciona os dois s lidos determinando no prisma uma se o s equivalente sua base e no bloco retangular uma se o s2 equivalente sua base Movimentando este plano poss vel observar que todas as se es planas determinadas s o equivalentes s respectivas bases O que voc concluiria sobre as medidas das reas de s e de s2 qualquer que seja o plano HOBIZOntal
155. e do Sul Universidade Federal do Rio de Janeiro SUM RIO Resumo Abstract Cap tulo 1 Introdu o 1 1 Motiva es 1 2 Uma Vis o Geral do Trabalho Realizado 1 3 Organiza o do Texto Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 2 1 Um Breve Hist rico da Geometria 2 2 A Evolu o de um Conceito os Indivis veis ou Infinit simos 2 3 A Evolu o do Processo de Ensino Aprendizagem da Geometria 2 4 O Modelo de Van Hiele Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 3 1 Pol ticas de Expans o da Tecnologia Inform tica 3 2 O Uso de Tecnologia Inform tica como Recurso Pedag gico 3 3 Paradigmas para Classifica o de Softwares Educacionais 3 4 Um Estudo dos Recursos Potencialidades e Limita es da Geometria Din mica Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 4 1 Construtivismo Cognitivista de Piaget 4 2 S cio Construtivismo de Vygotsky 4 3 Resolu o de Problemas 11 11 17 28 32 37 38 42 46 51 o 74 80 86 4 4 Representa o do Conhecimento Cap tulo 5 Uma Aplica o da Geometria Din mica Geometria Plana Estudo de Campo I 5 1 Metodologia 5 2 Apresenta o dos Resultados 5 3 Discuss o dos Resultados Cap tulo 6 Uma Aplica o da Geometria Din mica Geometria Espacial Estudo de Campo II 6 1 Metodologia 6 2 Apresenta o e Discuss o dos Resultados Cap tulo 7 Considera es Finais
156. e e escreveu a rela o a lt b c no p s teste parecendo compreender ou lembrar que condi o era esta por m descrevendo a da seguinte maneira a hipotenusa deve ser menor que a soma dos dois catetos considerando apenas o caso particular do tri ngulo ret ngulo e de um de seus lados a hipotenusa Ele confirmou as respostas sobre as classifica es dos tri ngulos apresentando alguma evolu o para as justificativas j que antes tinha deixado boa parte delas em branco Na parte referente s cevianas do tri ngulo Daniel acertou o tra ado das alturas dos mesmos que j havia acertado no pr teste errando tamb m o terceiro caso Ao definir altura ele o fez da seguinte maneira a linha que divide um tri ngulo em duas partes e s vezes forma 90 pra mim demonstrando ainda n o ter dominado o assunto Ap s as aulas cl ssicas Daniel acertou os tra ados da mediana solicitados e tentou definir da seguinte forma o tra o que marca o ponto m dio de uma reta que demonstra que mesmo n o apresentando uma resposta correta as aulas a ajudaram a ter alguma no o sobre o assunto Quanto bissetriz ela respondeu exatamente igual ao pr teste por m tentou elaborar a seguinte Cap tulo 5 Estudo de Campo I 130 defini o a reta que divide o ngulo em duas partes iguais N o estava correta mas bem pr ximo da corre o De um modo geral Daniel apresentou alguma evolu o em suas
157. e no segundo caso houve compensa o Na tarefa de conserva o de quantidade num rica s o colocadas duas fileiras de moedas e a crian a concorda que estas fileiras t m o mesmo n mero de moedas A seguir o experimentador expande a segunda fileira e pergunta se uma fileira tem mais moedas do que a outra ou se ambas s o equivalentes Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 78 A crian a menor muitas vezes carece do equipamento cognitivo para fazer mais do que produzir palpites e conclus es mais simples e acaba respondendo que a fileira mais longa possui mais moedas pensamento qualitativo Em compensa o a crian a operat ria concreta parece compreender melhor que certos problemas t m solu es espec ficas precisas e potencialmente quantific veis e que estas solu es podem ser alcan adas atrav s do racioc nio em conjun o com opera es bem definidas de mensura o que neste exemplo seria a contagem pensamento quantitativo Ela responde ent o que as duas fileiras possuem a mesma quantidade de moedas depois de realizar uma contagem Al m destas compara es entre crian as do est gio pr operat rio com as do est gio operat rio concreto a partir da an lise das tarefas de conserva o de quantidade tamb m poss vel comparar caracter sticas cognitivas destas com crian as do est gio operat rio formal A subordina o do real ao poss vel mais presente no pensamento do adolescente adulto
158. e ter 3 lados diferentes e um ngulo de 90 ele pode ter os catetos diferentes Sim porque pode os outros dois ngulos com medidas diferentes 12 poss vel que um tri ngulo escaleno seja tamb m acut ngulo Sim N o Justifique 13 poss vel que um tri ngulo escaleno seja tamb m obtus ngulo Sim N o Justifique FVL RSM SCB FLD FOS FVL RSM SCB FLD FOS FVL Sim pois um tri ngulo ret ngulo pode ter 2 lados iguais Sim porque se um dos lados ficarem reto ele se transforma num tri ngulo ret ngulo sic Sim Porque pode ter um lado com 90 e outros com ngulo diferentes sic Sim Sim Quando esse angulo apresentar mais que 90 sic Sim idem ao 11 Sim pelo mesmo motivo do anterior Sim Porque pode ter um ngulo gt que 90 que ao mesmo tempo os outros 2 sejam diferentes sic Sim Sim Porque assim a uma varia o quanto a seu v rtice sic Sim idem ao 11 235 Sim contanto que os outros possuam medidas diferentes Sim pois as medidas podem ser 90 30 e 60 para formar 180 sic Sim Sim pode ter 3 lados diferentes e um ngulo menor que 90 Sim Porque os outros podem ter outras medidas Sim contanto que os outros ngulos tenham medidas diferentes e que a soma dos tr s forme 180 Sim pode pois a soma deve dar 180 35 45 100 sic Sim ele pode ter ngulos agudos e lado
159. e uma base formal s o facilmente superadas com o uso do c lculo integral 2 3 A Evolu o do Processo de Ensino Aprendizagem da Geometria Segundo BOYER 1985 talvez nenhum outro livro al m da B blia tenha tido tantas edi es e certamente nenhuma outra obra matem tica teve influ ncia compar vel de Os Elementos de Euclides Euclides se tornou not vel na Universidade de Alexandria mais pela sua capacidade de ensinar e por sua habilidade ao expor do que pela originalidade de suas id ias j que nenhuma descoberta nova atribu da a ele BOYER 1985 Durante o per odo de mais de dois mil anos compreendido entre a publica o de Os Elementos de Euclides e sua reformula o numa apresenta o mais cuidadosa e rigorosa a educa o e por extens o o ensino da matem tica esteve restrita a uma pequena elite e a maior parte dos matem ticos considerou a exposi o de Euclides como logicamente satisfat ria e pedagogicamente aceit vel BOYER 1985 p 79 Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 29 Com a Revolu o Industrial na Europa no s culo XIX surge a necessidade de m o de obra mais escolarizada Os industriais passam ent o a implementar e a disponibilizar cursos para seus funcion rios A partir deste momento entretanto come a a existir uma clara divis o em rela o ao p blico alvo que a escola pretendia atingir levando cria o de um ensino voltado para o povo e um outro voltado para
160. ecimento Geom trico 13 com mensura o e com a solu o de problemas pr ticos das atividades ligadas agricultura e engenharia Exemplos provindos de t buas cuneiformes pequenos tijolos de argila e cilindros de pedra mostram que o povo da Babil nia j conhecia as regras gerais para o c lculo de rea de ret ngulos reas de tri ngulos ret ngulos e is sceles a rea do trap zio ret ngulo o volume do paralelep pedo ret ngulo e o volume do prisma reto de base trapezoidal Tomando o valor de x igual 3 os babil nios conclu ram que a circunfer ncia de um c rculo era o triplo do di metro e que a rea do c rculo era um doze avos da rea do quadrado de lado com comprimento igual circunfer ncia do c rculo O teorema atribu do a Pit goras tamb m j era conhecido pelos babil nios 2000 a C Por volta do ano 500 a C Her doto o grande historiador da Antigiiidade baseado em informa es existentes nos papiros de Moscou e Rhind afirmava que o desenvolvimento da geometria no Egito era consegii ncia das demarca es feitas nas terras por ocasi o das inunda es do rio Nilo Estes papiros continham 110 problemas pr ticos do cotidiano das comunidades que viviam s margens do Nilo sendo que 26 deles eram dedicados geometria Atrav s destas fontes fica se sabendo que os eg pcios consideravam a rea do c rculo como sendo igual de um quadrado de lado igual a 8 9 de seu di metro e que o volume de um cilind
161. ecimento armazenado na mem ria Deste modo a fase de tradu o das tarefas para as representa es matem ticas recebe influ ncias dos seguintes tipos de conhecimento os quais est o relacionados aos fatores citados anteriormente gt Conhecimento lingii stico faz refer ncia linguagem na qual est redigido o problema gt Conhecimento sem ntico faz refer ncia compreens o do contexto no qual se inserem os fatos Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 94 gt Conhecimento esquem tico serve para classificar o problema decidir que dados s o teis e quais os dados que n o o s o e determinar que a es devem ser realizadas A linguagem cotidiana apresenta diferen as em rela o linguagem matem tica que podem servir de obst culo compreens o de problemas enquanto a primeira mais amb gua imprecisa e contextual a segunda mais precisa e rigorosa Segundo ECHEVERR A 1998 os principiantes ou pessoas com pouco conhecimento de matem tica costumam traduzir os problemas num ricos de forma literal frase por frase j os especialistas costumam fazer uma tradu o mais global Al m disso os iniciantes tendem a traduzir o problema imediatamente a s mbolos num ricos sem dedicar lhe um tempo para reflex o Esta tradu o r pida e linear acaba contribuindo para que n o sejam detectadas as poss veis inconsist ncias ou incoer ncias do texto de um problema ou que ainda n o se tome con
162. eitos no que diz respeito composi o estrutura e opera o fazendo uma analogia com a rela o existente entre um embri o e um organismo plenamente desenvolvido ou seja equiparar os dois significaria ignorar o prolongado processo de desenvolvimento entre um est gio mais inicial e o est gio final VIGOTSKY 2003 aponta tr s fases b sicas que por sua vez est o divididas em v rios est gios que constituem a trajet ria at a forma o de conceitos gt Agrega o desorganizada ou amontoado em que o significado das palavras para a crian a denota um conglomerado vago e sincr tico de objetos isolados que de alguma forma aglutinaram se em sua mente Os est gios que constituem esta fase s o tentativa e erro em que cada objeto acrescentado uma mera suposi o ou tentativa e um outro Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 83 objeto o substitui quando se prova que a suposi o estava errada organiza o do campo visual em que a posi o espacial dos objetos experimentais determina a composi o do grupo imagem sincr tica assentada numa base mais complexa em que os elementos s o tirados de grupos ou amontoados diferentes que j foram formados pela crian a e s o recombinados de modo que a forma o tem a mesma incoer ncia gt Pensamento por complexos em que os objetos isolados associam se na mente da crian a n o apenas devido as suas impress es subjetivas mas tamb m devido s rel
163. ela es entre ngulos internos e externos e as suas cevianas O cap tulo 6 cont m igualmente a descri o da metodologia e a apresenta o e a an lise dos resultados do outro trabalho de campo realizado Nesta etapa os sujeitos foram 70 alunos do per odo noturno concluintes do ensino t cnico e o conte do escolhido foi do c lculo de volumes com a justificativa das f rmulas para os volumes dos principais s lidos estudados no ensino m dio atrav s do Princ pio de Cavalieri Finalmente no cap tulo 7 s o feitas as considera es finais a s ntese desta pesquisa ressaltando os aspectos metodol gicos operacionais e comportamentais observados nos trabalhos de campo assim como a indica o de poss veis trabalhos futuros CAP TULO 2 O CONHECIMENTO GEOM TRICO Neste cap tulo est o descritas brevemente as evolu es hist ricas da geometria e de processos de ensino aprendizagem que a tem como mat ria alvo Ser abordado o desenvolvimento de id ias em torno do conceito de indivis veis importante para a compreens o do Princ pio de Cavalieri Este princ pio o tema central no trabalho de campo descrito no cap tulo 6 desta monografia Est o apresentadas tamb m as principais id ias do modelo de desenvolvimento do pensamento geom trico de van Hiele um reconhecido guia para a aprendizagem e um instrumento para a avalia o das habilidades de alunos em geometria 2 1 Um breve hist rico da geometria A g
164. eletrot cnica reas que exigem de seus futuros Cap tulol Introdu o 7 profissionais uma boa capacita o em visualiza o entre outras compet ncias Da a preocupa o de encontrar caminhos e solu es para o desenvolvimento da visualiza o geom trica Al m disso o estudo busca prestar mais uma contribui o para a pesquisa sobre o processo de ensino aprendizagem da geometria relatando uma experi ncia documentada em sala de aula e mostrando os ganhos na habilidade de visualiza o de conceitos geom tricos que os alunos podem ter a partir do uso da geometria din mica 1 2 Uma vis o geral do trabalho realizado Este estudo resultado de dois anos de trabalho Ao longo deste per odo algumas reflex es te ricas e resultados obtidos foram publicados em ALVES amp SAMPAIO 2002a 2002b ALVES SOARES amp LIMA 2002 2002b 2002c ALVES SOARES amp LIMA 2004a 2004b 2004c ALVES amp SOARES 20034 2003b ALVES amp SOARES 2004 2004b ALVES et al 2003a 2003b ALVES et al 2004 Foram realizados dois trabalhos de campo o primeiro no segundo semestre de 2003 e o segundo no segundo semestre de 2004 No primeiro havia apenas 10 alunos volunt rios e ingressantes no curso t cnico sendo que 5 do grupo que assistiu aulas cl ssicas de Geometria Euclidiana grupo de controle e 5 que utilizaram um software de geometria din mica grupo experimental O conte do trabalhado nesta etapa era do ensino funda
165. elmente correto dizer se que a arte primitiva preparou em grande escala o caminho para o desenvolvimento geom trico posterior Os primeiros contatos do homem com o que veio mais tarde a se chamar geometria se deram ent o a partir de considera es de problemas concretos que se apresentavam isoladamente Por m h de ressaltar que mais tarde mas ainda antes de qualquer registro hist rico a intelig ncia humana tornou se capaz de a partir de um certo n mero de observa es relativas a formas tamanhos e rela es espaciais de objetos f sicos espec ficos extrair certas propriedades gerais e rela es que inclu am as observa es anteriores como casos particulares Isto acarretou a vantagem de se ordenarem problemas geom tricos pr ticos em conjuntos tais que os problemas de um conjunto podiam ser resolvidos pelo mesmo procedimento geral Chegou se assim no o de lei ou regra geom trica Por exemplo a compara o dos comprimentos de caminhos circulares e de seus di metros levaria num certo per odo de tempo lei geom trica de que a raz o entre a circunfer ncia e o di metro constante EVES 1992 pp 2 3 H ind cios hist ricos que a geometria surgiu como ci ncia n o s ao longo do rio Nilo no Egito como tamb m nas bacias dos rios Tigre e Eufrates na Mesopot mia o Indo e o Ganges na regi o centro sul da Asia e Hwang Ho e Yangtz na Asia Oriental relacionada intimamente Cap tulo 2 O Conh
166. em ou de progress es de sucess es que convergem para algum valor da altura de tri ngulo etc Uma representa o visual serve de imedia o ou seja a realidade diretamente percebida pelo indiv duo e ele de algum modo fica emocionalmente envolvido nela Com uma descri o formal este envolvimento poderia ser menor FAINGUELERNT 1999 Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 105 Deste modo no processo de forma o de conceitos est o presentes a intui o a visualiza o a percep o e a representa o do conhecimento FISCHBEIN 1994 FAINGUELERNT 1999 A teoria cognitivista de VERGNAUD 1985 aprofunda a an lise das rela es entre significados e significantes e fornece uma estrutura aprendizagem e mesmo n o sendo uma teoria did tica acaba envolvendo a did tica Para ele o conceito de representa o essencial para analisar a forma o de concep es e compet ncias assim como para analisar a forma o e os processos de transmiss o do conhecimento FAINGUELERNT 1999 Al m disso VERGNAUD 1985 considera essencial a rela o do sujeito com o real pois partir da que ele p e prova suas representa es e concep es Do mesmo modo estas representa es e concep es s o respons veis pela maneira dele agir e monitorar sua a o CAP TULO 5 UMA APLICA O DA GEOMETRIA DIN MICA GEOMETRIA PLANA ESTUDO DE CAMPO I O presente cap tulo apresenta um estudo
167. em rela o aos tri ngulos 1 11 e 111 evidenciando um desequil brio entre componentes conceitual e figural do objeto geom trico uma vez que a altura do tri ngulo um t pico exemplo da influ ncia do desenho protot pico sendo normalmente identificada como o segmento que tem extremidades no lado base e no v rtice oposto a esta base estando este segmento sempre no interior do tri ngulo Estes resultados podem ser o reflexo das dificuldades decorrentes do aspecto est tico do desenho e da op o pela representa o protot pica encontrada normalmente nos livros did ticos de matem tica Com o arrastar as particularidades contingentes de uma configura o geom trica mudam possibilitando uma grande variedade de representa es e permitindo a observa o das propriedades geom tricas invariantes Deste modo fica poss vel estabelecer a harmonia entre os aspectos conceitual e figural Estas quest es mostram como a geometria din mica pode colaborar para os processos de forma o do conceito de objeto geom trico permitindo que o aluno n o confunda as propriedades de um desenho com as propriedades de um objeto geom trico ou seja a posi o particular de um desenho n o faz parte das caracter sticas do objeto geom trico considerado 3 4 2 2 Explora o e Descoberta O trabalho com a geometria din mica possibilita duas maneiras diferentes de utiliza o atividades de express o ou atividades de expl
168. empenho deles na entrevista IV p s teste de conhecimento geom trico abordando o conte do trabalhado e finalmente o desempenho dos alunos no teste de racioc nio espacial ap s a realiza o das aulas que avalia justamente sua capacidade de visualiza o ou de formar representa es mentais visuais e manipul las transformando as em novas representa es Cap tulo 6 Estudo de Campo II 176 6 2 1 An lise das notas de provas realizadas durante e depois das aulas Durante o presente trabalho de campo foram aplicadas duas provas uma na primeira parte do estudo em que o conte do foi o conceito de volumes a determina o do volume do cubo e do bloco retangular o Principio de Cavalieri a determina o do volume de um prisma qualquer e do volume de um cilindro A segunda prova foi aplicada ap s a conclus o de todas as aulas e nesta segunda etapa o conte do foi a determina o do volume de uma pir mide do volume de um cone e do volume da esfera Os resultados individuais obtidos por todos os sujeitos dos dois grupos est o apresentados no ap ndice G e resumidos no quadro 6 8 onde consta o n mero de sujeitos e respectivos percentuais de acordo com intervalos escolhidos para as notas das provas P e P2 e para a m dia das duas Quadro 6 8 Resumo do desempenho obtido pelos sujeitos dos dois grupos nas provas aplicadas com o conte do trabalhado durante a interven o em sala de aula GRUPO DE CONTROLE GRUPO EXPERIMENTAL
169. entificador e de texto etc Ajuda Algumas vers es disp em de ajuda para o usu rio Al m dos menus acima o Tabule disp e de algumas ferramentas de atalho em sua rea de trabalho Os atalhos dispostos na horizontal s o Ferramenta de Sele o quando necess rio selecionar algum objeto Ferramenta para cria o de um novo arquivo Ferramenta para abrir um arquivo j existente Ferramenta para gravar um arquivo Ferramenta para ativar o identificador de algum objeto Ferramenta de texto 206 Os atalhos da vertical s o 6 E LJ Ferramenta Pontos atrav s dela voc pode criar um ponto livre na tela um ponto sobre um objeto um ponto dentro da circunfer ncia ponto de interse o entre dois objetos selecionados ponto m dio entre dois pontos livres na tela e ponto m dio sobre um segmento Ferramenta Linha Reta atrav s dela voc pode criar uma reta uma semi reta um segmento de reta uma reta perpendicular reta paralela reta bissetriz e reta mediatriz Ferramenta Compasso a atrav s dela voc pode criar um circulo por centro e segmento um c rculo por tr s pontos um arco uma reta tangente a um c rculo uma c nica por cinco pontos e o centro de um c rculo de um arco ou de um setor circular E Ferramenta de Locus ou Lugar Geom trico para criar locus de retas ou de c rculos um pol gono o interior de um c rculo segmento circular e um setor circular
170. ento diferencial um sistema de significa es respons vel pela diferencia o entre o significante e o significado O significante constitu do por signos linguagem matem tica por exemplo e s mbolos desenhos imagens e o significado o sentido ou o conceito propriamente dito Este sistema de significa es de grande import ncia para a constru o de qualquer conceito e em particular para a constru o de conceitos geom tricos Os estudos de FISCHBEIN 1994 voltaram a sua aten o para a compreens o das rela es entre os aspectos intuitivos e l gicos concretos e abstratos e informais e formais da aprendizagem matem tica O mundo concreto lida com opera es que se realizam na pr tica com verifica o emp rica com evid ncia direta e com a credibilidade intr nseca dos objetos reais FAINGUELERNT 1999 O mundo matem tico trabalha com entidades abstratas cuja exist ncia fruto de constru es mentais as certezas s o estabelecidas por leis formais As evid ncias s o geradas por dedu es atrav s das provas formais e substituem a evid ncia direta do mundo real FAINGUELERNT 1999 ressalta que no mundo real as propriedades invariantes e as rela es com objetos reais s o explicitamente dadas enquanto que no mundo formal as Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 104 propriedades e rela es s o justificadas explicitamente Esta a grande diferen a entre eles Entretanto o mundo
171. ermine sua altura e diagonal QUEST O II Um cubo tem rea total igual a 96 m Qual o valor de seu volume QUEST O IV Um prisma reto hexagonal regular tem 5 cm de altura e a aresta da base mede 4 cm Determine a a rea da base b a rea lateral c a rea total d o volume QUEST O V ITA SP Dado um prisma hexagonal regular sabe se que sua altura mede 3 cm e que sua rea lateral o dobro da rea da base Calcule o volume deste prisma QUEST O VI Deseja se construir um caixa d gua em forma de um cilindro reto de 1 6 m de raio e cuja capacidade seja de 20000 litros Qual deve ser aproximadamente a altura do cilindro neste caso 261 Governo do Estado do Rio de Janeiro ETE Funda o de Apoio Escola T cnica Visconde de Mau MATEM TICA P2 PROFESSOR GEORGE QUARTA S RIE Aluno N mero Turma QUEST O I Determine a rea total e o volume de um cone circular reto de 12 cm de altura e 15 cm de geratriz QUEST O II Sabendo que um cone tem 12 cm de altura e 5 cm de raio da base determine seu volume QUEST O II Uma pir mide regular hexagonal tem o ap tema da base igual a 6 cm Sabendo que o ap tema da pir mide vale 10 cm calcule o seu volume QUEST O IV A base de uma pir mide reta de altura 3r um hex gono regular inscrito numa circunfer ncia de raio r Determine o volume da pir mide QUEST O V Duas esferas de chumbo uma de 3cm de raio e a outra
172. ero possui tr s lados com medidas iguais ATIVIDADE 3 ESTUDO DO TRI NGULO ESCALENO SN 1 V at o bot o m selecione a pasta EXEMPLOS e o arquivo triangulo escaleno ae 2 Selecione um lado do tri ngulo de cada vez v ao menu CALCULAR e escolha COMPRIMENTO 212 3 Agora selecione na sequ ncia os pontos A B e C no tri ngulo e v ao menu CALCULAR escolha NGULO 4 Clicando numa das extremidades dos segmentos de reta responda a Um tri ngulo escaleno tamb m pode ser acut ngulo i ii b Um tri ngulo escaleno tamb m pode ser ret ngulo c a c Um tri ngulo escaleno tamb m pode ser obtus ngulo ci ATIVIDADE 4 ESTUDO DO TRI NGULO IS SCELES 4 V at o bot o m selecione a pasta EXEMPLOS e o arquivo triangulo isosceles ae Selecione um lado do tri ngulo de cada vez v ao menu CALCULAR e escolha COMPRIMENTO Agora selecione na sequ ncia os pontos A B e C no tri ngulo e v ao menu CALCULAR escolha NGULO Clicando numa das extremidades dos segmentos de reta responda a Um tri ngulo is sceles tamb m pode ser acut ngulo c ii b Um tri ngulo is sceles tamb m pode ser ret ngulo es c Um tri ngulo is sceles tamb m pode ser obtus ngulo ci ii ATIVIDADE 5 ESTUDO DO TRI NGULO EQUIL TERO V at o bot o m selecione a pasta EXEMPLOS e o arquivo triangu
173. es Luiz Carlos Guimar es e Paulo Roberto de Oliveira UFRJ COPPE 1998 211p Disserta o Mestrado em Engenharia de Sistemas STERNBERG R J Psicologia Cognitiva Tradu o Maria Regina Borges Os rio Porto Alegre Artmed 2000 494p UNDERWOOD J D M UNDERWOOD G Computers and Learning Helping Children Acquire Thinking Skills Oxford Basil Blackwell 1990 209 p 202 TROTTA F IMENES L M P JAKUBOVIC J Matem tica Aplicada Segundo grau vol 2 S o Paulo Moderna 1980 394p VALENTE J A Diferentes Usos do Computador na Educa o Em Aberto n 57 Ano 12 pp 3 16 1993 VAN HIELE P Structure and Insight Orlando Academic Press 1986 VERGNAUD G Conceitos e esquemas numa teoria operat ria da representa o Trad Anna Franchi e Dione Luchesi de Carvalho Psychologie Fran aise n 30 3 4 pp 245 252 novembro de 1985 VIEIRA E Representa o Mental As Dificuldades na Atividade Cognitiva e Metacognitiva na Resolu o de Problemas Matem ticos Psicologia Reflex o e Cr tica 1402 pp 439 448 2001 VIGOTSKY L S Pensamento e Linguagem Tradu o Jefferson Luiz Camargo S o Paulo Martins Fontes 2003 194p WYATT K W LAWRENCE A FOLETTA G M Geometry Activities for Middle School Students with The Geometer s Sketchpad Berkeley Key Curriculum Press 1998 205p ZULATTO R B A Professores de Matem tica que Utilizam Softwares de Geometria Din mica suas caracter sticas e per
174. es nos desenhos at a exist ncia de uma calculadora interna e a possibilidade de medi o de ngulos dist ncias e reas ocorrendo a atualiza o dos valores em tempo real a partir da movimenta o da figura Se um determinado problema requer o uso de sistemas de coordenadas estes softwares disponibilizam tanto as coordenadas cartesianas quanto as polares por m alguns deles s o visualmente mais detalhados e mais f ceis de manipular que outros Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 53 Uma outra possibilidade para o usu rio a cria o e arquivamento de constru es que podem ser utilizadas numa outra situa o atrav s de macro constru es ou scripts O arrastar talvez seja o principal entre todos recursos destes softwares Atrav s do mouse poss vel clicar sobre um ponto do objeto geom trico constru do e depois arrast lo pela tela criando um movimento que provoca uma mudan a na configura o A quest o sobre o que se pode arrastar e sobre por que arrastar permite a diferencia o entre construir uma figura ou simplesmente desenh la Quando constr i uma figura o usu rio n o pode fazer apenas uma aproxima o e sim ter a clareza sobre as rela es entre os diferentes elementos da figura sen o ela n o mant m seu formato original ao ser arrastada A figura 3 2 mostra o que ocorre a um ret ngulo desenhado sem a utiliza o de suas propriedades quando um de seus v rtices arrastado 1
175. esempenho dos alunos e potencializar a sua habilidade para visualizar conceitos geom tricos ABSTRACT ALVES George de Souza O uso de softwares de Geometria Din mica para o desenvolvimento de habilidades cognitivas uma aplica o em alunos do ensino m dio Orientadora Adriana Benevides Soares Rio de Janeiro UFRJ IM NCE 2004 Disserta o Mestrado em Inform tica The process of teach learning of geometry is made it difficult by deficiencies of visualizations on the part of the pupils The objective of the present study was to verify if the use of a dynamic geometry software assists in the development of mental representations of the geometric object and if it intervenes with one better understanding of related concepts on this domain of the knowledge The theoretical recital is based on Jean Piaget and Vygotsky on the van Hiele s model of development of the geometric thought and in the theories of resolution of problems and representation of the knowledge sub areas of Cognitive Psychology Two works had been developed first of them with initial pupils in the technician education approaching the content of triangles its classifications and cevianas and as with students approaching the content on calculation of volume and the justification of formulas through the Principle of Cavalieri The results had shown that the introduction of the computer science technology can effectively point an improvement in the performance of the pupil
176. essores em que a geometria aparece quase sempre no final num amontoado de defini es propriedades nomes e f rmulas desligados de quaisquer aplica es ou explica o de natureza l gica ou hist rica c a posi o fr gil que a geometria ocupa nos curr culos dos cursos de forma o de professores ou das licenciaturas em matem tica de algumas escolas e universidades Todas estas raz es mencionadas parecem estar fortemente relacionadas pr pria forma o dos professores de matem tica que lecionam nos ensinos fundamental e m dio e dos professores da educa o infantil Contrariamente a este abandono ou omiss o do ensino da geometria na maioria das escolas brasileiras verifica se que a pesquisa sobre a aprendizagem desta disciplina bastante numerosa Nos encontros simp sios congressos e eventos em geral que s o realizados com certa Cap tulol Introdu o 2 frequ ncia no Brasil al m das publica es em peri dicos existentes verifica se uma quantidade bastante expressiva de trabalhos que abordam o assunto Esta disserta o procura caminhar nos dois campos j que ela uma pesquisa que foi gerada a partir da pr pria experi ncia do autor como regente de turmas do ensino m dio A respeito da figura do professor pesquisador BALDINO 1993 diz que esta tem sido a proposta de solu o a cr ticas sobre a pesquisa em educa o matem tica Segundo este autor uma delas se refere s disserta es e teses que
177. etos que agem diretamente no pensamento e na aprendizagem reduzindo os mais importantes componentes no processo educacional as pessoas e as culturas a um papel secund rio CY SNEIROS 1996 PAPERT 1985 utiliza o termo tecnocentristas para se referir queles que acreditam que o uso dos computadores na educa o pode acarretar mudan as nas culturas transformando tamb m em consequ ncia a forma de pensar e de aprender das pessoas Algumas perguntas podem ser feitas a partir da utiliza o do computador no processo de ensino aprendizagem a Que mudan as esta tecnologia traz para o dia a dia das escolas b Os programas de ensino devem ser modificados para a incorpora o desta tecnologia c Qual o papel do professor nesta nova realidade d E o dos alunos e H alguma mudan a na postura dos alunos motiva o coopera o etc f Esta motiva o os leva a aprender mais r pido e com maior profundidade g maior ou menor o n mero de alunos que podem desfrutar deste novo recurso Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 44 Algumas destas perguntas continuam sem respostas definitivas e t m sido objetos de estudos e pesquisas Entretanto poss vel apontar ganhos e ou impactos que a introdu o desta nova tecnologia trouxe para o cotidiano da sala de aula ou para os sujeitos envolvidos no processo ensino aprendizagem gt O maior impacto que o computador tem provocado no processo educacional adv
178. eveu se sobretudo a um melhor dom nio de alguns conceitos e defini es e s justificativas mais seguras que aquelas apresentadas antes das aulas Em rela o condi o de exist ncia do tri ngulo ele demonstrava n o saber do que se tratava ao dizer que era poss vel construir este pol gono com quaisquer tr s tamanhos de ripas mas depois negou tal possibilidade e disse que um segmento deve ser menor do que a soma dos outros dois Quanto s cevianas ele acertou os tr s casos da altura da mediana e da bissetriz no p s teste mas ainda permaneceu com dificuldades para defini las dizendo que a altura seria a maior linha que pudesse ser feita referente ao lado desejado e deixou em branco tanto a defini o para mediana quanto para bissetriz Cap tulo 5 Estudo de Campo 1 147 Lucas apresentava algumas resist ncias em rela o ao trabalho com o computador sua expectativa era a de que seriam trabalhados problemas tradicionais mesmo utilizando uma ferramenta computacional e n o fossem trabalhados conceitos t o simples que ele acreditava j dominar Assim mesmo ele levou as aulas at o fim e demonstrou alguma evolu o com rela o s defini es trabalhadas 5 2 2 2 4 Paulo Paulo tem 16 anos e optou por assistir as aulas no laborat rio de inform tica pela curiosidade em aprender geometria com o computador j que nunca teve aula de alguma disciplina da forma o geral desta maneira Ele n o po
179. gem escrita ou falada e num maior ou menor grau de formalismo conforme o n vel de axiomatiza o considerado A componente figural a imagem ou representa o mental associada ao conceito visualiza o com movimentos de transla o rota o etc mantendo invariantes certas rela es O equil brio e a harmonia entre estas duas componentes determinam a no o correta sobre o objeto geom trico GRAVINA 1996 Portanto o desenho bem realizado adquire grande import ncia para a obten o desta harmonia j que ele um suporte concreto de express o e entendimento do objeto geom trico e possui um papel importante na forma o de sua imagem mental Um aspecto bastante importante que a possibilidade de constru es precisas e variadas proporcionadas pela geometria din mica permite que representa es contingentes os desenhos protot picos por exemplo n o sejam confundidas com as propriedades matem ticas que determinam a configura o geom trica GRAVINA 1996 realizou um estudo com alunos ingressantes no curso de licenciatura em matem tica da UFRGS onde solicitou que eles tra assem as alturas dos tri ngulos representados na figura 3 4 relativamente aos lados destacados 1 Gii Gii Figura 3 4 Tri ngulos a partir dos quais foram tra adas as alturas relativas aos lados destacados Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 57 Os resultados mostraram 90 17 e 49 de acertos respectivamente
180. gulo a medida de um ngulo externo sempre igual soma das medidas dos ngulos internos n o adjacentes a ele gt Em qualquer tri ngulo ao maior ngulo op e se o maior lado e vice versa Na sala de aula o tema foi congru ncia de tri ngulos Cap tulo 5 Estudo de Campo I 121 Oitavo encontro e d cimo na sala de aula 14 10 2003 a atividade 9 sobre a altura de um tri ngulo foi proposta aos sujeitos nesta aula O objetivo era explorar o recurso de arrastar da geometria din mica para analisar e avaliar as diferentes possibilidades de representa o desta ceviana Na sala de aula aconteceu a aplica o da entrevista II p s teste para os sujeitos do grupo de controle e o encerramento das atividades com estes sujeitos Nono encontro no laborat rio 21 10 2003 A atividade 10 foi apresentada com o objetivo semelhante ao da atividade anterior s que agora abordando a mediana de um tri ngulo D cimo encontro no laborat rio 04 11 2003 Aplica o do p s teste para os sujeitos do grupo experimental e encerramento das atividades com estes sujeitos 5 2 Apresenta o dos Resultados Conforme foi descrito na se o anterior os sujeitos desta etapa do estudo foram divididos em dois grupos os que assistiram as aulas cl ssicas de geometria e aqueles que assistiram as aulas no laborat rio de inform tica utilizando a geometria din mica totalizando cinco em cada grupo No primeiro grupo o
181. gulos quanto aos lados e quanto aos ngulos em nenhuma delas ele justificou seu racioc nio Na parte do teste que se referia s cevianas ele acertou o tra ado das alturas dos tr s tri ngulos propostos n o conseguindo por m definir com suas palavras o que era altura dizendo estranhamente ser a altura do tri ngulo Quanto s medianas e bissetrizes Gabriel parecia ainda n o conhecer os conceitos j que deixou em branco tanto as quest es que solicitavam seus tra ados quanto quelas que pediam suas defini es No p s teste ele teve um excelente desempenho acertando 91 18 das quest es e apresentando um ganho de 55 em rela o ao teste realizado antes das aulas com geometria din mica De um modo geral o que Gabriel j havia acertado se confirmou no p s teste sendo que se observou sobretudo que ele conseguiu justificar corretamente as rela es entre os tipos de tri ngulos passou a compreender melhor a condi o de exist ncia deste pol gono inclusive chegado a enunciar que a medida do segmento tem que ser menor que a soma dos outros lados para existir Quanto s cevianas ele acertou todos os tra ados para a altura para a mediana e para a bissetriz passando a tentar a defini las ainda que n o corretamente como fez para a altura uma reta que determina um ngulo de 90 em rela o a um lado de qualquer tri ngulo incorreto mas j apresentando um racioc nio que pode caminhar para a c
182. i um ngulo de 90 sic aquele que possui um ngulo de 90 Possui um ngulo reto Tem um ngulo de 9 O que um tri ngulo acut ngulo 10 O que um tri ngulo obtus ngulo 1 poss vel que um tri ngulo escaleno seja tamb m ret ngulo Sim N o Justifique BBA BGF GSC JSS LDC BBA BGF GSC JSS LDC BBA BGF GSC JSS LDC tem um ngulo de 90 Possui um ngulo agudo Possui um ngulo agudo Em branco Possui um ngulo menor que 90 o tri ngulo que tem as medidas dos ngulos inferior a 90 sic Possui um ngulo obtuso Em branco um tri ngulo que tem um ngulo de 180 2 90 Possui um ngulo maior que 90 o tri ngulo que tem a medida dos ngulos superior a 90 Sim N o porque o escaleno possui tr s ngulos iguais j o ret ngulo possui um ngulo reto Sim pois ele possui um ngulo de 90 Sim Sim 225 90 Possui um ngulo agudo E um triangulo que possui um ngulo agudo sic aquele que possui um ngulo menor que 90 Possui um ngulo agudo Tem tr s ngulos agudos Possui um ngulo obtuso E um triangulo que possui um ngulo obtuso sic aquele que possui um ngulo maior que 90 Possui um ngulo obtuso Tem um ngulo obtuso Sim a medida dos lados serem diferentes n o implica na forma o do ngulo reto
183. ia e ci ncias apenas uma Quando o aluno foi indagado sobre este assunto ele podia optar por mais de uma disciplina ou por nenhuma delas Cap tulo 5 Estudo de Campo 1 109 Com rela o ao contato com a geometria durante o ensino fundamental apenas um declarou que nunca a havia estudado Quando perguntados se eles possu am computador em casa tr s deles disseram que sim e dois responderam n o por m a quatro deles nunca tiveram aula de uma disciplina da forma o geral num laborat rio de inform tica e apenas um deles teve aulas de qu mica e de hist ria atrav s do computador Ao escolher o ambiente em que teria as aulas do Projeto Matem tica Zero dois alunos do grupo de controle disseram que escolheram as aulas cl ssicas apenas porque o hor rio oferecido era mais adequado a sua disponibilidade e os outros tr s consideraram que a sala de aula tradicional era o melhor ambiente para aprender geometria No grupo que presenciou as aulas no laborat rio de inform tica denominado grupo experimental os cinco alunos disseram ter estudado geometria durante o ensino fundamental sendo que tr s deles o fizeram em escola p blica um estudou em escola particular e o outro estudou uma parte em escola particular e outra parte em escola p blica Entre as disciplinas que eles disseram possuir maior dificuldade a matem tica foi apontada por tr s l ngua portuguesa e geografia por dois e hist ria e ci ncias por um deles Tr s estuda
184. icialmente dizia que o tri ngulo ret ngulo quando tem um lado do tri ngulo com 90 e passou dizer precisamente que um tri ngulo com um ngulo de 90 ou ainda no caso do tri ngulo acut ngulo ele dizia que quando tem um lado com ngulo maior que 90 e passou a definir como um tri ngulo que possui todos os ngulos agudos No caso das cevianas Jo o acertou no p s teste os dois primeiros casos para tra ar a altura e os tr s casos para a mediana e altura por m continuou sem definir altura e assim o fez respectivamente para a mediana e bissetriz a reta que parte da divis o de um ngulo ao seu lado oposto e uma divis o do ngulo em duas partes iguais Jo o foi um aluno bastante participante durante as aulas sempre interagindo com os colegas e o professor H que se destacar seu bom desempenho nos testes de aptid es espec ficas mesmo n o indo bem no pr teste de conhecimento geom trico Ele demonstrou de uma razo vel Cap tulo 5 Estudo de Campo I 151 capacidade para visualiza o o que pode ter contribu do para o melhora de seu desempenho no p s teste al m de ter sido um dos melhores no teste de racioc nio verbal As aulas no laborat rio de inform tica com o uso da geometria din mica provavelmente colaboraram para este crescimento 5 2 2 1 6 Coment rios sobre o grupo Os sujeitos deste grupo acertaram em conjunto 35 88 das quest es no pr teste e 67 65
185. ididas em aspectos metodol gicos operacionais e comportamentais 7 1 Aspectos Metodol gicos gt A seqgii ncia das aulas sobretudo a da do primeiro trabalho ficou um pouco comprometida j que elas ficaram esparsas por diversos problemas com calend rio da escola durante o ano de 2003 gt Mesmo durante as aulas cl ssicas foi evitado o uso exclusivo da representa o protot pica dos tri ngulos e no caso da condi o de exist ncia foi mostrado uma sequ ncia de desenho com o passo a passo de sua constru o isto tamb m pode ter colaborado para uma razo vel compreens o pelos sujeitos do grupo de controle gt No caso do c lculo de volumes foi tamb m utilizada na sala de aula tradicional a sequ ncia did tica com o Principio de Cavalieri e foi incentivada a participa o dos alunos atrav s de intera es entre eles e deles com o professor gt Um dos sujeitos do grupo experimental do primeiro trabalho observou que as atividades elaboradas estavam t o detalhadas que davam pouca autonomia para os alunos Por que t o detalhadas Por causa de problemas com o tempo gt A partir desta observa o do aluno no segundo estudo as atividades procuraram ser mais abertas dando maior autonomia para os alunos tirarem suas pr prias conclus es Cap tulo 7 Considera es Finais 190 gt Nos dois estudos realizados os grupos n o eram totalmente representativos da popula o de alunos como um todo mas representavam
186. ificar porque n o poss vel construir um tri ngulo com tr s ripas quaisquer dizendo que medida do segmento deve ser menor do que a soma dos outros lados do tri ngulo Al m disso ele confundia alguns conceitos tais como o de tri ngulo escaleno dois lados iguais um diferente o de tri ngulo is sceles ngulo que cont m um ngulo menor que 90 o de tri ngulo ret ngulo ngulo que tem os seus v rtices tri ngulo acut ngulo tri ngulo agudo maior que 90 tri ngulo obtuso n o porque ngulo vai ficar maior que 90 Respostas que n o faziam muito sentido Uma contradi o que aparece no pr teste de Miguel que mesmo ele confundindo as diversas defini es houve um n mero razo vel de acertos quando se solicitava o relacionamento entre os tipos de tri ngulo Ou ele conhecia os conceitos anteriores mas n o quis diz los ou os acertos se deveram mais sorte o que parece mais prov vel Cap tulo 5 Estudo de Campo I 144 Na parte das cevianas ele deixou em branco todas as quest es com exce o da que pedia a defini o de altura a maior dist ncia de um ngulo a seu lado oposto Durante o trabalho foi poss vel perceber que Miguel era um aluno bastante agitado e isso o tornava disperso O contato com a geometria din mica despertou seu interesse tornando o um pouco mais concentrado ele normalmente seguia as instru es conforme estavam no texto mas in
187. imulando o desenvolvimento da intelig ncia nos alunos enquanto outros nem tanto Devido escassez de tempo ocasionada muitas vezes por baixos sal rios que obrigam o professor a se deslocar de um emprego a outro nem sempre poss vel que este profissional Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 47 reflita sobre a qualidade do material did tico que est utilizando seja este material um livro ou um software Deste modo v rios grupos de pesquisa que trabalham na rea de inform tica educativa v m desenvolvendo a es que visam a pr tica do professor com uso de tecnologia inform tica na escola a fim de encontrar formas de oferecer um suporte permanente ao trabalho deste profissional Uma das maiores preocupa es destes grupos com rela o ao desenvolvimento classifica o e avalia o dos sofiwares educativos Quando se fala em desenvolvimento classifica o e avalia o de softwares para a educa o n o se pode esquecer dos fatores inerentes ao contexto educacional como as quest es ticas filos ficas psico pedag gicas e culturais que influenciam estes processos Decidir se um novo software realmente contribui para o processo ensino aprendizagem n o tarefa f cil Por este motivo o conhecimento de algumas classifica es sobre os tipos de softwares existentes no mercado pode colaborar com esta empreitada Desde a d cada de 60 do s culo XX que foram realizadas diferentes classifica es
188. indispens veis por m insuficientes sem o uso do signo ou palavra como meio pelo qual conduzimos as nossas opera es mentais controlamos o seu curso e as canalizamos em dire o solu o do problema que enfrentamos VIGOTSKY 2003 p 72 Para estudar o processo de forma o de conceitos em suas v rias fases evolutivas VIGOTSKY 2003 utilizou um m todo chamado de m todo da dupla estimula o que consistia Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 85 em apresentar dois est mulos ao sujeito observado um como objetos de sua atividade e o outro como signos que poderiam servir para organizar sua atividade O problema era apresentado ao sujeito logo de in cio e permanecia o mesmo at o final mas as chaves para a sua solu o eram introduzidas passo a passo A introdu o gradual dos meios para a solu o permitia ao pesquisador estudar o processo total da forma o de conceitos em todas as suas fases din micas A forma o de conceitos era seguida por sua transfer ncia para outros objetos ou seja o sujeito era induzido a utilizar os novos termos ao falar sobre os objetos que n o fossem os de sua atividade e a definir o seu significado de uma forma generalizada VIGOTSKY 2003 4 2 3 O Papel da Linguagem para Vigotsky A linguagem possui uma fun o comunicativa que permite ao homem vivenciar um processo de interlocu o constante com seus semelhantes e al m disso tamb m pode funcionar como inst
189. ino aprendizagem em geometria pode contribuir para a visualiza o geom trica aspecto intuitivo Os conceitos de visualizar e visualiza o adquirem ent o uma grande import ncia para o ensino da geometria especialmente quando se utiliza o computador Em educa o matem tica visualizar formar ou conceber uma imagem visual de algo que n o se tem ante os olhos no momento KALEFF 1998 observa que diversas pesquisas em educa o matem tica apontam para a import ncia de se incentivar nos meios educacionais o desenvolvimento pelo educando da habilidade de visualizar tanto objetos do mundo real quanto em n vel mais avan ado conceitos processos e fen menos matem ticos Cap tulol Introdu o 5 Segundo VAN HIELE 1986 a visualiza o a an lise e a organiza o formal s ntese das propriedades geom tricas relativas a um conceito geom trico s o passos preparat rios para o entendimento da formaliza o do conceito H controv rsias sobre como se forma esta habilidade na mente humana O que n o raz o para que este processo n o ocupe seu lugar no ensino da geometria pois a habilidade de visualizar pode ser desenvolvida desde que esteja dispon vel para o aluno materiais de apoio did tico baseados em materiais concretos representativos do objeto geom trico em estudo KALEFF 1998 Em alguns casos o computador tamb m pode ser visto como uma esp cie de material concreto j que seu uso apropriado pode t
190. is 1 Possui 2 lados iguais E um tri ngulo com tr s lados diferentes Um tri ngulo com tr s lados diferentes Possui os 2 lados iguais com as mesmas medidas Refere se a medida dos lados Todos os lados iguais Possui tr s lados iguais um tri ngulo com os tr s lados iguais N o sei Possui os 3 lados iguais Refere se a medida dos lados ngulo que cont m um ngulo menor que 90 Possui 3 lados diferentes um tri ngulo com dois lados iguais o tri ngulo que possui 3 lados iguais Que possui um ngulo igual a 90 ngulo que tem os seus v rtices Tri ngulo com um ngulo de 90 233 Possui os 3 lados Tem 3 lados diferentes um tri ngulo com tr s lados diferentes Um tri ngulo que possui 3 lados diferentes um tri ngulo que possui todos os lados iguais Possui 3 lados um tri ngulo com tr s lados iguais um tri ngulo que possui tr s lados iguais Um tri ngulo que possui 3 lados iguais um tri ngulo que possui dois lados iguais Possui 2 lados um tri ngulo que possui dois lados com a mesma medida um tri ngulo com dois lados iguais um tri ngulo com 3 lados iguais um tri ngulo que possui um ngulo de 90 Que possui 90 um tri ngulo que possui em um dos lados um ngulo de 9 O que um tri ngulo acut ngulo 10 O que um tri ngulo obtus ng
191. isador podem ser exercidas simultaneamente pelo mesmo indiv duo com as devidas precau es tanto como sujeito professor quanto como sujeito pesquisador ainda que com institui es diferentes BALDINO 1993 Os trabalhos de campo realizados para esta disserta o e documentados nos cap tulos 5 e 6 procuraram unir estas duas fun es A id ia para sua realiza o surgiu da pr pria experi ncia do autor em reg ncia de turmas do ensino m dio e a consequente constata o das grandes dificuldades que os alunos deste n vel de ensino apresentavam para ver os detalhes de uma figura geom trica ou perceber diferentes pontos de vista dos desenhos encontrados em problemas que normalmente surgem em sala de aula ou s o propostos nos livros did ticos Segundo PCN 1996 os alunos do ensino m dio devem desenvolver conhecimentos pr ticos e contextualizados que correspondam s necessidades da vida contempor nea e conhecimentos mais amplos e abstratos que correspondam a uma cultura geral e a uma vis o de mundo Um ponto de partida para este tipo de aprendizagem sempre procurar elementos da viv ncia dos alunos da escola e de sua comunidade mais pr xima Deste modo o uso do computador tem adquirido import ncia cada vez maior no dia a dia das escolas e no desenvolvimento do processo ensino aprendizagem Entretanto o impacto do uso do computador exige do ensino da matem tica um redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favore a o
192. ista STERNBERG 2000 entretanto considera que a matura o biol gica na obra piagetiana decisiva e que o ambiente desempenha um papel secund rio ainda que importante Alguns dos principais conceitos da teoria de Piaget podem ser compreendidos atrav s da cl ssica tarefa de conserva o de quantidade de l quidos Quando s o mostrados crian a dois copos d gua iguais baixos e largos ela concorda que eles cont m a mesma quantidade A seguir o experimentador passa a gua de um dos copos para um terceiro mais estreito e alto do que os outros enquanto a crian a observa ent o ele pergunta crian a se as duas quantidades de gua ainda s o id nticas ou se um dos copos cont m mais gua do que o outro O n o conservador t pico da pr escola ou educa o infantil normalmente conclui que o copo mais alto e fino agora tem mais gua do que o outro Uma raz o para isto que ele parece ter mais e o pr escolar mais dado do que a crian a mais velha a fazer julgamentos sobre a realidade a partir da apar ncia imediata percebida das coisas Entretanto a crian a operat rio concreta infere que as duas quantidades ainda s o na verdade as mesmas ainda que o copo alto pare a conter mais gua Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 77 As crian as mais novas s o mais propensas a centrar sua aten o da o termo centra o exclusivamente em uma nica caracter stica no exemplo a altura do l quido
193. iza o Para atingir os principais objetivos do ensino da geometria necess rio que o aluno seja capaz de relacionar os fen menos visuais aos fatos geom tricos reconhecer visualmente as propriedades geom tricas interpretar os desenhos em termos geom tricos e saber realizar constru es de configura es geom tricas LABORDE 1998 Uma aprendizagem alcan a tais metas quando capacita o estudante a utilizar o desenho como um aux lio ao seu racioc nio num n vel abstrato selecionando as informa es relevantes extra das de representa es visuais e distinguindo as verdadeiras propriedades dos objetos geom tricos daquelas encontradas em representa es protot picas ou contingentes Para LABORDE 1998 esta a base para a elabora o das provas de proposi es geom tricas em ambientes de geometria din mica Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 60 3 4 2 4 Prova In meros trabalhos t m se preocupado em relacionar a utiliza o de softwares de geometria din mica com a prova de resultados geom tricos na aprendizagem e na pesquisa MARIOTTI 1997 HOYLES amp JONES 1998 GRAVINA 2000 DE VILLIERS 2001 Segundo DE VILLIERS 2001 as principais fun es da demonstra o em matem tica s o verifica o ou convencimento justificar um resultado explica o tornar percept vel a raz o pela qual uma proposi o verdadeira descoberta dar origem a novos resultados sistematiza o org
194. izagem dos volumes dos s lidos mais utilizados no ensino m dio 6 2 3 An lise da varia o do desempenho dos alunos no teste de racioc nio espacial O teste de racioc nio espacial que avalia a capacidade de visualiza o do sujeito ou seja de formar representa es mentais visuais e manipul las transformando as em novas representa es foi de grande import ncia para a verifica o da hip tese geral estabelecida no estudo realizado a de que a geometria din mica contribui para a representa o mental de objetos e conceitos geom tricos Os resultados obtidos por todos os sujeitos participantes do presente estudo est o no ap ndice F De acordo com o quadro 6 3 o intervalo que deve ser considerado para a flutua o prevista numa aplica o do mesmo teste de racioc nio espacial da bateria BPR 4 de 6 EPM pois segundo ALMEIDA amp PRIMI 2000 quando dada uma nova oportunidade ao examinando aplicando uma prova semelhante e avaliando a mesma habilidade em 67 das vezes essa nota estaria dentro da faixa de um EPM abaixo da nota obtida na primeira vez at um EPM acima dessa nota O quadro 6 13 mostra como variaram os grupos entre uma aplica o e outra do mesmo teste de racioc nio espacial Cap tulo 6 Estudo de Campo II 183 Comparando as informa es do quadro 6 13 com as conclus es de ALMEIDA amp PRIMI 2000 verifica se a flutua o apresentada pelos sujeitos do grupo de controle est dentro do
195. l ssica de Euclides e Arquimedes usar o c lculo infinitesimal ou finalmente utilizar o Princ pio de Cavalieri Dentre as alternativas citadas LIMA 1991 p 89 considera que o Princ pio de Cavalieri permite uma simplifica o not vel nos argumentos que conduzem s f rmulas cl ssicas de volume Da ser esta a op o adotada neste estudo As sequ ncias did ticas utilizadas foram baseadas naquelas propostas por DANTE 1999 e TROTTA IMENES amp JAKUBOVIC 1980 inicialmente comprova se a f rmula para o c lculo do volume do paralelep pedo ret ngulo e do cubo em seguida parte se para a f rmula de um prisma qualquer para a do cilindro a de uma pir mide qualquer a do cone e finalmente a da esfera Nesta primeira aula foi aplicada a atividade 1 que tratava do conceito de volume da dedu o da f rmula para o c lculo do volume de um bloco retangular e do cubo Os principais objetivos foram Cap tulo 6 Estudo de Campo II 169 gt Compreender o conceito de volume v Compreender o conceito de bloco retangular ou de paralelep pedo ret ngulo v Justificar e compreender a f rmula do volume de um bloco retangular de dimens es a bec Determinar o volume de um bloco retangular Compreender o conceito de cubo Justificar e compreender a f rmula do volume de um cubo de aresta a Y Y YV Y Determinar o volume de um cubo Quinta aula 08 09 2004 quarta feira e 13 09 2004 segunda feira fora
196. letr nica II T tulo RESUMO ALVES George de Souza O uso de softwares de Geometria Din mica para o desenvolvimento de habilidades cognitivas uma aplica o em alunos do ensino m dio Orientadora Adriana Benevides Soares Rio de Janeiro UFRJ IM NCE 2004 Disserta o Mestrado em Inform tica O processo de ensino aprendizagem da geometria dificultado por defici ncias de visualiza es por parte dos alunos O objetivo do presente estudo foi verificar se o uso de um software de geometria din mica auxilia no desenvolvimento das representa es mentais de objetos geom tricos e se ele interfere numa melhor compreens o de conceitos relacionados a este dom nio do conhecimento A fundamenta o te rica est baseada no construtivismo cognitivista de Jean Piaget no s cio construtivismo de Vygotsky no modelo de desenvolvimento do pensamento geom trico de van Hiele e nas teorias de resolu o de problemas e de representa o do conhecimento sub reas da Psicologia Cognitiva Foram desenvolvidos dois trabalhos de campo o primeiro deles com alunos ingressantes no ensino t cnico abordando o conte do de tri ngulos suas classifica es e cevianas e o segundo com estudantes concluintes abordando o conte do sobre c lculo de volume e a justificativa das f rmulas atrav s do Princ pio de Cavalieri Os resultados mostraram que a introdu o da tecnologia inform tica neste caso pode efetivamente apontar uma melhora no d
197. lo equilatero ae Selecione um lado do tri ngulo de cada vez v ao menu CALCULAR e escolha COMPRIMENTO 213 3 Agora selecione na segi ncia os pontos A B e C no tri ngulo e v ao menu CALCULAR escolha NGULO 4 Clicando numa das extremidades dos segmentos de reta responda a Um tri ngulo equil tero tamb m pode ser acut ngulo ATIVIDADE 6 CONDI O DE EXIST NCIA DE UM TRI NGULO 1 V at o bot o m selecione a pasta EXEMPLOS e o arquivo condi o de existecia triangulo ae 2 Clique numa das extremidades do segmento a e arraste o at que a soma das medidas dos segmentos b e c seja ultrapassada O que acontece com o anula essistecidsinaissadeaiirtietha la desiaSufiecinandd caiba cdi 3 Repita o mesmo procedimento para o segmento b observando a soma das medidas de a e c assim como para o segmento c observando a soma das medidas dos segmentos a e b O que acontece com o tri ngulo nos dois casos quando a medida do segmento ultrapassa a soma das medidas dos outros dois segmentos ct 4 Voc agora seria capaz de dizer qual a condi o de exist ncia de um tri ngulo Utilize o espa o abaixo e enuncie esta condi o com suas 214 palavras ATIVIDADE 7 CONSTRU O DO TRI NGULO 1 V at as ferramentas Fa e EA e crie tr s segmentos de reta de tamanhos diferentes 2 Agora com as ferramentas e 2 crie uma semi reta 3 Selecione o primeiro ponto da semi re
198. lo superior de percentil 76 a 100 o grupo dobrou de tamanho 7 69 no in cio e 15 38 no final Quando o teste t aplicado aos resultados obtidos pelos sujeitos dos dois grupos observa se que no grupo experimental houve ganho significativo j que t 3 846 e p 0 000 lt 0 05 sendo descartada portanto a hip tese nula No entanto no grupo de controle n o houve ganho significativo pois t 1 696 e p 0 100 gt 0 05 n o podendo ser descartada a hip tese nula Os dados est o no quadro 6 15 Quadro 6 15 Resultados do teste t para compara o do pr com o p s teste de racioc nio espacial da bateria BPR 5 no grupo experimental e no grupo de controle Teste de Pr teste P s teste N df t p Racioc nio m dia de m dia de Espacial percentil percentil Grupo de 38 39 42 19 31 30 1 696 0 100 Controle Grupo 42 92 51 84 39 38 3 846 0 000 Experimental Uma outra compara o que pode ser feita aquela que confronta o desempenho dos dois grupos no teste de raciocinio espacial Atrav s do quadro 6 16 poss vel verificar que antes da realiza o do presente trabalho de campo a hip tese nula n o poderia ser descartada ou seja n o havia diferen a significativa entre os grupos pois t 0 948 e p 0 351 gt 0 05 Cap tulo 6 Estudo de Campo II 186 Ap s as aulas segundo a aplica o do teste t a diferen a entre os grupos ainda n o significativa pois t 1 734 e p 0 093 gt 0 05 Quadro 6 16
199. m tica Aplicada Educa o 71 Calques3D Universo Garage Door BEER Arquivo Editar Ver Visualiza o Objeto Constru o Explora o Macros Feramentas Janela Ajuda 8x DOE W Be aa Bl CRIS ANA coODA BPSOINXAILIZAG a Pr e PtH33 um ponto sobre a circunfer ncia Crt32 NUM Figura 3 8 Interface do Calques 3D Em sua vers o mais recente h m ltiplas formas de representa o das constru es geom tricas realizadas gt Universe Universo onde o aluno deve desenhar a configura o geom trica gt Tracing Quadro onde mostrada uma vis o parcial da figura constru da na representa o principal Universo gt History Hist rico uma descri o textual da figura constru da gt MathPad permite o acesso forma alg brica de objetos da figura constru da tais como equa es de planos coordenadas de pontos medidas de volumes dist ncias e ngulos gt Graph Diagrama de rvore possibilita uma vis o gr fica das rela es estruturais da configura o geom trica realizada Todas estas representa es para a constru o realizada est o dinamicamente relacionadas e cada a o sobre determinado objeto provoca uma mudan a em cada uma delas CAP TULO 4 O MODELO COGNITIVO DO CONHECIMENTO O construtivismo piagetiano no qual o indiv duo adquire conceitos quando interage com objetos do mundo aparece num outro contexto neste trabalho o da inform tica no qual o sujeito i
200. m trico Atrav s da ltima linha do quadro 5 4 e do gr fico 5 7 poss vel observar que o desempenho global dos sujeitos do grupo de controle no pr teste foi ligeiramente superior conforme j havia sido mostrado tamb m no gr fico 5 4 por m no p s teste a situa o se inverte e o desempenho global dos sujeitos do grupo experimental se torna superior resultando num ganho maior entre estes sujeitos em rela o aos resultados iniciais Desempenho Global dos Sujeitos nos Diferentes Grupos Pr Teste E Grupo de Controle P s Teste E Grupo Experimental Ganho 0 Gr fico 5 7 Desempenho global dos sujeitos dos dois grupos no pr e p s teste de conhecimento geom trico e o ganho global obtido no p s teste em rela o ao pr teste Cap tulo 5 Estudo de Campo I 155 Num estudo que teve como base grupos de sujeitos t o pequenos n o se deve ousar em fazer afirma es gen ricas por m ao comparar os resultados encontrados com estes sujeitos poss vel dizer que h evid ncias que o uso do software de geometria din mica contribui para uma melhor aprendizagem entre os sujeitos do grupo experimental Verificou se que estes mesmos sujeitos apresentaram respostas qualitativamente melhores que os do grupo de controle mostrando que eles talvez tenham sedimentado e compreendido melhor os conceitos relacionados a tri ngulos trabalhados durante o trabalho de campo Tal fato est relacionado possivelment
201. m aplicadas as atividades 2 e 3 que tratavam do Princ pio de Cavalieri e do prisma e seu volume Os principais objetivos foram gt Compreender o Princ pio de Cavalieri e sua import ncia gt Aplicar o Princ pio de Cavalieri para justificar f rmulas de volume gt Compreender e identificar as principais caracter sticas de um prisma gt Compreender e justificar a f rmula do volume de um prisma atrav s do Princ pio de Cavalieri gt Determinar o volume de um prisma Sexta aula 15 09 2004 quarta feira e 20 09 2004 segunda feira aplica o da atividade 4 sobre o cilindro e seu volume cujos objetivos principais eram gt Compreender e identificar as principais caracter sticas de um cilindro gt Compreender e justificar a f rmula do volume de um cilindro atrav s do Princ pio de Cavalieri gt Determinar o volume de um cilindro S tima aula 22 09 2004 quarta feira e 27 09 2004 segunda feira aula de exerc cios e problemas Cap tulo 6 Estudo de Campo II 170 Oitava aula 22 09 2004 quarta feira e 27 09 2004 segunda feira aplica o da prova bimestral relativa ao terceiro bimestre Nona aula 29 09 2004 quarta feira e 04 10 2004 segunda feira aplica o da atividade 5 sobre a pir mide e seu volume que tinha como principais objetivos gt Compreender e identificar as principais caracter sticas de uma pir mide gt Compreender e justificar a f rmula do volume
202. m evid ncia direta e com a credibilidade intr nseca dos objetos reais Para o aluno da educa o b sica seja ele do ensino fundamental ou m dio a geometria din mica contribui para esta concretiza o no mundo geom trico Em geometria as figuras geom tricas n o s o objetos geom tricos mas possuem um significado intuitivo para as pessoas podendo ser manipuladas mentalmente representa es internas medida que os objetos sejam manipulados representa es externas Segundo VERGNAUD 1985 o conceito de representa o fundamental para analisar a forma o de concep es e compet ncias assim como para analisar a forma o e os processos de transmiss o do conhecimento Cap tulo 7 Considera es Finais 188 Ele considera essencial a rela o do sujeito com o real pois partir da que este p e prova suas representa es e concep es Do mesmo modo estas representa es e concep es s o respons veis pela maneira dele agir e monitorar sua a o Assim foi verificado no trabalho realizado os alunos que passaram pela experi ncia de lidar com as representa es din micas dos softwares utilizados demonstraram uma evolu o maior em rela o compreens o dos conceitos geom tricos vistos suas justificativas sobretudo no estudo de campo documentado no cap tulo 5 melhoraram demonstrando uma melhor apreens o dos conceitos Os sujeitos do grupo experimental do estudo documentado no cap tulo 6 tamb
203. m foi fixada desde que ela seja conhecida ou descoberta pelo agente cognitivo C como num exemplo geom trico em que a letra grega a pode representar o ngulo interno de algum pol gono dado Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 101 No processo de efetiva o da mudan a representacional t o importante para o funcionamento cognitivo na resolu o de problemas matem ticos ocorre internamente no agente cognitivo uma reconstru o do ambiente externo e interno do problema VIEIRA 2001 Esta reconstru o se d segundo FONSECA 1998 em quatro etapas que caracterizam os n veis de atividades mentais que comp em a representa o mental a percep o a imagem a simboliza o e a conceitualiza o O esquema da figura 4 1 sintetiza todo o processo durante a mudan a representacional Percep o Aloca o da Aten o Seletiva Fracasso no Processamento da Imagem Imagem Processamento da imagem Simboliza o Representa o de experi ncias Fracasso na Mudan a p P Representacional Conceitualiza o Aprendizagem Abstrata Figura 4 1 Esquema com as atividades mentais que comp em a representa o mental Com o uso da percep o o agente cognitivo reconhece organiza sintetiza e d significado s sensa es recebidas dos est mulos ambientais ocorrendo a decodifica o da informa o recebida STERNBERG 2000 VIEIRA 2001 Para VIEIRA 2001 depois que a
204. ma es apresentadas pela situa o o cruzamento das informa es a cria o de concep es abstratas e a dedu o de respostas para o problema a partir destas concep es Ainda assim quando o teste t aplicado para comparar a varia o do desempenho dos grupos no pr e p s teste os resultados apontam para diferen as de desempenho significativas quadro 6 12 pois t 9 909 e p 0 000 lt 0 05 os resultados fornecidos pelo software SPSS s o aproximados at a casa de mil simos para o grupo experimental e t 7 835 e p 0 000 lt 0 05 para o grupo de controle Quadro 6 12 Resultados do teste t para compara o do pr com 0e p s teste de conhecimento geom trico no grupo experimental e no grupo de controle Teste de Pr teste P s teste N df t p Conhecimento Geom trico Grupo 43 59 62 90 39 38 9 909 0 000 Experimental Grupo de 42 81 53 55 31 30 7 835 0 000 Controle Estes valores podem indicar que a utiliza o da segii ncia utilizando o Princ pio de Cavalieri com ou sem o uso do software de geometria din mica j traz ganhos significativos para o desempenho dos alunos por m quando os dois grupos foram comparados no p s teste Cap tulo 6 Estudo de Campo II 182 verificou se que o desempenho do grupo experimental foi significativamente melhor que o do grupo de controle Os resultados mostram ent o que a introdu o da geometria din mica pode contribuir ainda mais para a melhoria da aprend
205. mental e abordava tri ngulos as suas classifica es e cevianas O segundo trabalho de campo contou com um n mero maior de sujeitos num total de 70 alunos concluintes do curso t cnico do per odo noturno sendo que 31 na turma de controle e 39 na turma experimental O conte do trabalhado foi o de c lculo de volumes e o Princ pio de Cavalieri Cap tulol Introdu o 8 Este caminho possibilitou reflex es sobre a influ ncia no tamanho da amostra nos resultados e se eles se assemelhavam mesmo quando os conte dos e as s ries eram diferentes O estudo buscou preservar uma unidade mesmo que os trabalhos de campo tenham sido realizados com conte dos distintos e com grupos de sujeitos com tamanhos e perfis diferentes Assim a figura 1 1 apresenta esquematicamente este estudo Tema Visualiza o geom trica Problema poss vel desenvolver a visualiza o em geometria em jovens e adultos atrav s de uma segii ncia did tica elaborada com o aux lio de um software de geometria din mica Hip tese Se a manipula o de material concreto favorece o desenvolvimento de visualiza o espacial KALEFF 1998 ent o a utiliza o de computadores atrav s de ambientes computacionais din micos tamb m tem reflexos para este desenvolvimento Solu o proposta Software de Geometria Din mica Avalia o da solu o Nos dois trabalhos de campo foram formados dois grupos de alunos sendo que um destes grupos era cons
206. mente 7 2 5 e gt No caso do cone mxAx j que a altura do cilindro achatado igual a Ax e seu raio corresponde ao segmento QR cujo comprimento igual a x PR 2 T a ro gt No caso do cilindro rr Ax j que a altura do cilindro achatado igual a Ax e seu raio corresponde ao raio r da esfera Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 23 gt No caso da esfera nx 2r x Ax j que a altura do cilindro achatado igual a Ax e seu raio corresponde ao comprimento do segmento PQ obtido a partir da aplica o do Teorema de Pit goras ao tri ngulo OPQ e considerando a medida do segmento OP igual a r e a medida do segmento OQ igual a x r As fatias da esfera e do cone s o penduradas no ponto T onde a medida do segmento TN dada por 2r O momento combinado da esfera e do cone em rela o a N mx 2r x Ax mx24x 2r 2nxrAx TX AX 1x7 Ax 2r 417 xAx Da ltima equa o obtida f cil concluir que o momento combinado da esfera e do cone igual ao qu druplo do momento da fatia cil ndrica quando ela mantida em sua posi o original Assim quando se efetua um n mero grande dessas fatias resulta 2r volume da esfera volume do cone 4r volume do cilindro 2r volume da esfera m 21 2r 4r nr 21 3 2r volume da esfera 8mr 81 2r volume da esfera Ro 8mr 2r volume da esfera sa 16mr 2r volume da esfera 87 volume da esfera 4nr E 3
207. mento Clique numa das extremidades dos segmentos e arraste o mouse observe o que acontece 208 5 Voc agora deve construir um ngulo Primeiro construa um segmento de reta e a partir de uma das extremidades do segmento determinado construa outro segmento para formar um ngulo 6 Para medir este ngulo voc deve selecionar de uma extremidade a outra os tr s pontos que formam os segmentos Lembre se que para fazer uma sele o simult nea necess rio que a tecla SHIFT esteja pressionada Agora v ao menu CALCULAR e em ngulo Clique num dos pontos e arraste o mouse observe o que acontece 7 Para construir uma circunfer ncia v at a ferramenta de compasso 2 D um clique nela e depois um outro na tela em branco Arraste o mouse pressionado e clique onde desejar para formar a circunfer ncia Selecione a circunfer ncia e v at o menu CALCULAR Me a o comprimento e a rea da circunfer ncia desenhada Clique no centro da circunfer ncia ou no ponto sobre ela e arraste o mouse pressionado Observe o que acontece com estes valores 8 Para construir o interior de um c rculo selecione apenas a circunfer ncia v at o menu CONSTRUIR e escolha Locus e depois Interior 9 Com o que voc j conhece do programa tente desenhar um quadrado Ap s a execu o do desenho clique num dos v rtices deste quadrado e observe o que acontece ATIVIDADE 2 REALIZANDO UMA CONSTRU O GEOM TRICA 209 Agora voc
208. metria din mica foi uma novidade para os alunos que participaram do estudo e para o pesquisador que ainda n o havia usado este recurso em suas aulas Esta auto cr tica permite uma avalia o do estudo realizado e acaba indicando novos caminhos que podem ser percorridos em trabalhos futuros As id ias do cap tulo 5 a sequ ncia did tica com o conte do de tri ngulos suas classifica es rela es entre ngulos e cevianas podem ser ampliadas para um estudo que tamb m inclu sse congru ncia e semelhan a de tri ngulos O mesmo pode ser dito em rela o a um amplo estudo sobre quadril teros O grupo estudado naquela etapa foi de apenas 10 sujeitos o que acabou permitindo uma an lise mais detalhada dos desenvolvimentos individuais mas um novo estudo poderia considerar um grupo maior a fim de que os resultados permitam alguma generaliza o Inversamente ao proposto no par grafo anterior um novo estudo com as id ias do cap tulo 6 o uso de um software de geometria din mica em conjunto com a sequ ncia did tica que utiliza o Princ pio de Cavalieri para justificar as f rmulas de volumes dos principais s lidos estudados no ensino m dio poderia ser feito com um grupo menor a fim de verificar detalhadamente como o uso do software din mico auxilia numa melhor compreens o conceitual por parte dos sujeitos que o utilizam As atividades de ensino elaboradas para os estudos dos cap tulos 5 e 6 foram mais de explora o que de ex
209. nform tica especialistas em educa o e professores File Edit Options Help JA do Moe Aa Mis EL bicycle fig lt Grab this point Figura 3 5 Interface do Cabri G ometre O software possui uma interface com menus de constru o em linguagem cl ssica da geometria lida com pontos retas c rculos e suas rela es e permite ao usu rio realizar constru es geom tricas Os desenhos de objetos geom tricos s o feitos a partir das propriedades que os definem Al m disso a representa o interna do software oferece a possibilidade de mover quaisquer dos pontos b sicos de uma figura atrav s da manipula o direta com o mouse permitindo que o usu rio sempre veja que a figura redesenhada em tempo real mant m todas as Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 66 suas propriedades iniciais Esta caracter stica possibilita ao usu rio considerar uma figura n o como um desenho est tico mas como um conjunto de objetos ligados por rela es geom tricas O Cabri possui uma metodologia de trabalho diferente de alguns outros softwares de geometria din mica com rela o sua sintaxe Atrav s dele o usu rio primeiro determina a a o a ser executada e depois seleciona os objetos desejados SOUZA 1998 3 4 4 2 The Geometer s Sketchpad GSP O desenvolvimento do The Geometer s Sketchpad foi supervisionado por Doris Schattschneider do Moravin College
210. no o de representa o tem se tornado cada vez mais clara e central neste campo de investiga o A utiliza o de m todos mais confi veis para acessar o conhecimento deste tipo de entidade deu uma grande contribui o para que tal fato ocorresse SOARES 2003 As duas principais fontes de dados emp ricos sobre representa o do conhecimento s o os experimentos laboratoriais e os estudos neuropsicol gicos No primeiro deles os pesquisadores observam como as pessoas lidam com v rias tarefas cognitivas que exigem a manipula o do conhecimento representado mentalmente no segundo os pesquisadores observam como o c rebro normal responde s diversas tarefas cognitivas que envolvem a representa o do conhecimento A partir da utiliza o de t cnicas e de m todos mais fidedignos a representa o do conhecimento ganhou relev ncia em outras reas de pesquisa tais como na ling istica na l gica na inform tica sobretudo na intelig ncia artificial e em banco de dados e tamb m tem sido crescentemente utilizada em pesquisas educacionais Nesta se o houve o interesse em verificar e compreender o conceito de representa o mental e de representa o n o mental descrever as atividades mentais que comp em o processo de mudan a representacional Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 100 A palavra representa o habitualmente utilizada sem adjetivo deve receber uma distin o quando se refere a representa
211. no p s teste representando um crescimento global de 88 52 O que se observou que todos eles ultrapassaram a margem de 60 de aproveitamento ap s as aulas ministradas sendo que um chegou atingir uma marca superior a 90 De um modo geral os sujeitos aperfei oaram as justificativas de seu racioc nio e as formas de expressar algumas defini es mesmo que eles tenham apresentado de um modo geral dificuldades para compreender e expressar conceitos atrav s de palavras habilidade avaliada no teste de racioc nio verbal Um outro fator que tamb m os sujeitos deste grupo tamb m apresentaram defici ncia inicial foi com rela o visualiza o de um objeto geom trico e execu o de sua manipula o mental habilidade medida pelo teste de rela es espaciais As aulas com o computador atrav s do uso da geometria din mica parecem ter contribu do para a mudan a deste quadro O crescimento que se observou pode ter sido sobretudo devido apresenta o de novas defini es e conceitos durante as aulas Conv m ressaltar aqui que os sujeitos do grupo j tinham por h bito utilizar computador tanto os que j possuem esta ferramenta em casa quanto os que ainda n o a tem Cap tulo 5 Estudo de Campo I 152 O maior crescimento verificado foi principalmente com rela o compreens o da condi o de exist ncia dos tri ngulos e s justificativas sobre as rela es entre os tipos de tri ngulo Houve tamb m um crescimen
212. ntas escolares e s da realidade cotidiana Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 88 Neste sentido a aprendizagem da solu o de problemas s se transformar em aut noma e espont nea se for contextualizada gerando no aluno a atitude de procurar respostas para as suas pr prias perguntas problemas e habilitando o a questionar se no lugar de receber somente respostas j elaboradas num livro texto pelo professor ou pelo computador O objetivo deste tipo de aprendizagem fazer com que o aluno adquira o h bito de propor se problemas e de resolv los como forma de aprender ECHEVERR A amp POZO 1998 Os estudos psicol gicos e as suas aplica es educacionais consideram que a quest o da resolu o de problemas se fundamenta em duas abordagens distintas a a solu o de problemas como forma de aquisi o de estrat gias gerais em que ensinar a resolver problemas proporcionar aos alunos essas estrat gias gerais para serem aplicadas cada vez que eles se v em diante de uma nova situa o b a solu o de problemas como um processo espec fico de cada rea ou conte do aos quais os problemas se referem 4 3 1 A Solu o de Problemas como Forma de Aquisi o de Estrat gias Gerais Esta abordagem se divide em dois enfoques o primeiro deles se refere s caracter sticas do sujeito que soluciona o problema e nos processos que ele utiliza para solucion lo e est baseado na distin o entre pensamento produ
213. nte presen a do computador em diversas atividades de nossas vidas poderia gerar uma revolu o na educa o No presente cap tulo h uma descri o de algumas pol ticas p blicas recentes que visam a expans o do uso dos computadores em escolas p blicas brasileiras e de como estas pol ticas t m se preocupado com a forma o e o aperfei oamento do professor Algumas quest es te ricas sobre a utiliza o dos computadores como recurso pedag gico e sobre a import ncia que os softwares educacionais adquirem neste processo tamb m s o descritas e analisadas neste cap tulo Como o assunto central de todo este trabalho o conhecimento geom trico tamb m foi elaborado um estudo que visava compreender os benef cios e contribui es da introdu o de tecnologia inform tica para a aprendizagem da geometria enfocando principalmente os recursos as potencialidades e as limita es dos softwares de geometria din mica que ajudam a enriquecer o processo de ensino aprendizagem desta disciplina Eles est o apresentados em linhas bem gerais e s o representativos das possibilidades e avan os para a aprendizagem da geometria por m ainda h outros que certamente ampliariam a discuss o aqui apresentada Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 38 3 1 Pol ticas de Expans o da Tecnologia Inform tica Uma das primeiras iniciativas para a implanta o do uso do computador em escolas p blicas brasileiras ocorreu nos anos 8
214. ntelectual que inclui a aprendizagem a pr tica e a verifica o de regras ou conceitos por exemplo os programas de exerc cio e pr tica gt Aprendizagem Cognitiva que inclui a resolu o de problemas com a utiliza o de regras previamente aprendidas por exemplo jogos de aventura e simula es gt Aprendizagem atrav s de informa o verbal e no caso dos computadores tamb m se considera a informa o visual que inclui a aprendizagem por meio da audi o leitura e vis o com rela o a algum assunto por exemplo programas de demonstra o que incluem algumas simula es gt Aprendizagem atrav s de habilidades motoras que inclui o desenvolvimento e verifica o das habilidades motoras por exemplo jogos de RPG Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 49 A an lise de tais classifica es revela que os crit rios empregados s o ao mesmo tempo expl citos e impl citos KEMMIS ATKIN amp WRIGHT 1977 destacam que os programas de exerc cio e pr tica possuem uma natureza de aprendizagem passiva em contraste com os programas revelat rios que possuem uma natureza de aprendizagem ativa Os programas emancipat rios e os conjecturais por outro lado s o direcionados ao usu rio e principalmente no caso dos primeiros tais como os processadores de texto os objetivos s o mais definidos pelos usu rios que pelo pr prio software UNDERWOOD amp UNDERWOOD 1990 Recentemente diversos autores PA
215. nterage com o computador atrav s de um software de geometria din mica manipulando conceitos e construindo habilidades que contribuem para seu desenvolvimento mental tais como o da visualiza o Na Geometria Din mica as atividades que estimulam a explora o e a descoberta dos invariantes s o realizadas atrav s de experi ncias visuais devido a facilidades como a precis o e a variedade na constru o dos objetos geom tricos Estas atividades possibilitam a forma o de no es e conceitos geom tricos que levam a uma representa o mental correta por parte do estudante auxiliando no processo de visualiza o ALVES amp SOARES 2003 ALVES ET AL 2004 Na abordagem s cio construtivista de Vygotsky o desenvolvimento cognitivo ocorre dentro de um determinado contexto social E este aspecto de sua teoria que foi enfatizado durante este trabalho pois segundo ele os n veis intelectuais das id ias s o mais altos quando se trabalha colaborativamente ao inv s de individualmente Al m disso a linguagem tamb m um fator importante no desenvolvimento do indiv duo pois com base nela que se torna poss vel ocorrer a constru o e reconstru o Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 73 interna de uma opera o externa O plano interno constitu do pelo processo de internaliza o fundado nas a es nas intera es sociais e na linguagem VYGOTSKY 2003 Tra ando um paralelo entre os dois
216. ntes da interven o realizada apresentando os resultados do quadro 5 3 Quadro 5 3 Desempenho percentual dos sujeitos dos dois grupos no pr teste de conhecimento geom trico GRUPO EXPERIMENTAL GRUPO DE CONTROLE Gabriel 58 52 Daniel 47 06 Miguel 23 53 Rafael 32 35 Lucas 38 23 Pedro 11 76 Paulo 41 18 Marcos 47 06 Jo o 17 65 Mateus 61 76 Cap tulo 5 Estudo de Campo 1I 127 Apenas dois deles apresentou um desempenho superior a 50 e na compara o dos dois grupos tamb m se observou um equil brio entre os mesmos O gr fico 5 4 mostra que o desempenho do grupo de controle foi ligeiramente melhor que o do grupo experimental antes das se es de aulas realizadas Pr Teste de Conhecimento Geom trico Compara o entre os Grupos e Grupo Experimental s Grupo de Controle Gr fico 5 4 Compara o do desempenho dos sujeitos dos dois grupos no pr teste de conhecimento geom trico 5 2 2 Caracteriza o dos Sujeitos 5 2 2 1 Grupo de Controle 5 2 2 1 1 Daniel Daniel um adolescente de 15 anos que nunca realizou qualquer atividade profissional e sempre estudou em escola p blica em regime regular diurno Ele est fazendo o ensino m dio principalmente para preparar se para o vestibular sendo que a disciplina que apresentou maior dificuldade durante o ensino fundamental foi matem tica Durante este n vel de ensino ele diz ter estudado geometria N o possui compu
217. ntes deste grupo t m computador em casa e dois n o t m Ainda assim todos t m por h bito utiliz lo em casa e ou na escola dois usam mais de cinco vezes na semana dois usam entre tr s e cinco vezes na semana e um utiliza uma ou duas vezes por semana O contato com a inform tica neste grupo ocorreu basicamente atrav s dos softwares de sistemas operacionais como o Windows ou dos pacotes como o Office pois apenas dois deles haviam tido aula de alguma disciplina do curr culo da forma o geral e outros tr s n o haviam tido qualquer contato com este tipo de aula Cap tulo 5 Estudo de Campo I 110 Ao justificar a procura pelas aulas de geometria no laborat rio de inform tica quatro alunos declararam que procuraram este meio por terem curiosidade em aprender esta disciplina atrav s do computador e apenas um declarou que o hor rio era o mais adequado a sua disponibilidade 5 1 2 Instrumentos a Entrevista I Question rio sobre o perfil dos sujeitos A primeira entrevista apresentada aos sujeitos deste estudo era um question rio que tinha por objetivo tra ar um perfil individualizado e ao mesmo tempo determinar par metros que pudessem caracterizar os grupos em estudo A sua aplica o foi bastante breve durando em m dia cerca de dez minutos As quest es procuram verificar a faixa et ria dos alunos e alguns aspectos sobre a sua trajet ria no ensino fundamental tais como se este foi feito em escola p
218. nto e a justificativa dos resultados que ele vier apresentar em sala de aula O segundo aspecto o l gico epistemol gico o pr prio m todo fornecido pela l gica matem tica e usualmente utilizado na pesquisa avan ada em matem tica No processo de ensino aprendizagem muitos professores acreditam que uma demonstra o rigorosa prepare para o dom nio do processo dedutivo H uma forte cren a que quando o aluno acompanha as demonstra es apresentadas pelo professor ele vai conhecendo algumas estruturas da matem tica e no futuro acaba desenvolvendo uma autonomia para fazer demonstra es por si mesmo Esta vis o bastante influenciada pelo formalismo Com rela o ao papel heur stico ele s aparecer numa demonstra o se esta for logicamente falha Este aspecto bastante rico tanto para o avan o da pesquisa em matem tica quanto sob o ponto de vista educacional A hist ria da matem tica registra in meros momentos em que matem ticos vision rios e insubordinados ordem estabelecida em sua poca ousaram produzir contra exemplos de teses demonstradas ou que buscaram estender conceitos envolvidos em uma demonstra o para um contexto mais amplo em que aqueles conceitos perdiam a validade O questionamento do quinto postulado formulado em Os Elementos de Euclides levou ao desenvolvimento das geometrias n o euclidianas e as in meras tentativas mal sucedidas ou incompletas de demonstra o do ltimo teorema de Fermat
219. o mouse preservando suas propriedades Figura 3 4 Tri ngulos a partir dos quais foram tra adas as alturas relativas aos lados destacados Figura 3 5 Interface do Cabri G ome tre Figura 3 6 Interface do Geometer s Sketchpad 19 19 22 24 27 46 53 54 56 65 67 Figura 3 7 Interface do Tabulae 69 Figura 3 8 Interface do Calques 3D 71 Figura 4 1 Esquema com as atividades mentais que comp em a representa o mental o Figura 5 1 Constru o de um aluno para um segmento de reta 114 LISTA DE SIGLAS CNRS FAETEC ETEVM GINAPE GSP IM IMAG HTML NCE NTE PACE PCN PROINFO SBEM UNESP UNICAMP UFMG UFPE UFGRS UFRJ Centro Nacional de Pesquisa Cient fica da Fran a Funda o de Apoio Escola T cnica Escola T cnica Estadual Visconde de Mau Grupo de Inform tica Aplicada Educa o The Geometers Skechpad Instituto de Matem tica Instituto de Inform tica e Matem tica Aplicada de Grenoble HyperText Markup Language N cleo de Computa o Eletr nica N cleo de Tecnologia Educacional Pesquisa em Ambientes Computacionais de Ensino Par metros Curriculares Nacionais Programa Nacional de Inform tica na Educa o Sociedade Brasileira de Educa o Matem tica Universidade Estadual Paulista Universidade Estadual de Campinas Universidade Federal de Minas Gerais Universidade Federal de Pernambuco Universidade Federal do Rio Grand
220. o o Cabri g om tre e o Geometer s Sketchpad e o dois utilizados no presente trabalho o Tabulae eo Calques 3D 3 4 4 1 Cabri G ometre Em 1985 Jean Marie Laborde prop s a cria o de um software para a geometria que permitisse a explora o de propriedades dos objetos geom tricos e a rela o entre elas PURIFICA O 1999 Trata se do Cabri G ometre um caderno de rascunho interativo para a geometria CAhier de BRouillon Interactive pour la G omertrie A vers o inicial do Cabri conhecida como Cabri I foi desenvolvida em 1988 por Jean Marie Laborde Philippe Cayet Yves Baulac e Franck Bellemain os tr s primeiros cientistas da rea computacional e o ltimo pesquisador da rea educacional Esta primeira vers o foi desenvolvida no Laborat rio de Estruturas Discretas e de Did tica do Instituto de Inform tica e Matem tica Aplicada de Grenoble da Universidade Joseph Fourier Fran a com o apoio do Centro Nacional de Pesquisa Cient fica PURIFICA O 1999 Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 65 Em 1989 o Cabri j estava dispon vel no mercado franc s de softwares educativos atrav s da Nathan Logiciels com o apoio do Minist rio da Educa o Depois ele chega a outros pa ses na vers o para MacOS e DOS O Cabri G ometre II foi desenvolvido por Jean Marie Laborde e Franck Bellemain atrav s das mesmas institui es sendo o resultado da colabora o constante de cientistas de i
221. o Geom trico Grupo Experimental Quest es Sujeitos Respostas Pr teste P s teste 1 Com suas palavras tente FLD a igual a 90 a igual a 90 definir b menor que 90 b menor que 90 a ngulo reto c maior que 90 c maior que 90 b ngulo agudo FOS a igual a 90 a igual a 90 c ngulo obtuso b menor que 90 b menor que 90 c maior que 90 c maior que 90 FVL a ngulo de 90 a ngulo de 90 b ngulo lt 90 b ngulo lt 90 c ngulo gt 90 c ngulo gt 90 RSM a ngulo 90 a 90 b ngulo lt que b lt 90 90 c gt 90 cJ ngulo gt que 90 SCB a um ngulo de a 90 180 b lt 90 b um ngulo c gt 90 maior que 90 c um ngulo menor que 90 2 O que um tri ngulo FLD Uma figura que uma figura possui 3 lados geom trica que tem 3 lados FOS E todo e qualquer um poligono que ngulo que tenha cont m tr s lados e maior que 90 sic tr s ngulos FVL uma figura um poligono geom trica de 3 composto de 3 lados lados e 3 ngulos RSM um pol gono de uma figura 3 Se uma pessoa possui tr s ripas de madeira de tamanhos diferentes e desconhecidos poss vel garantir a constru o de um tri ngulo com elas 04 Qual a condi o que garante que as tr s ripas formar o um tri ngulo 5 O que um tri ngulo escaleno SCB FLD FOS FVL RSM SCB FLD
222. o conhecidos seu per metro 2p e as medidas de seus ngulos Be C Cap tulo 5 Estudo de Campo I 120 O primeiro destes problemas foi o utilizado nas constru es das atividades citadas pois permitia constru es precisas de tri ngulos escalenos is sceles e equil teros e possibilitava uma melhor verifica o da condi o de exist ncia do tri ngulo Pelo exposto esta constru o foi a escolhida para a elabora o da atividade 7 mesmo sabendo que caso o aluno necessitasse de um tri ngulo para realizar as atividades posteriores sobre a altura a mediana e a bissetriz ele poderia optar pelo tipo de constru o mais simples Todos os alunos fizeram a atividade 7 neste encontro conforme a proposta formulada no problema 1 sendo que alguns se arriscaram mais livremente n o seguindo t o fielmente as orienta es do texto apresentado Na sala de aula o tema abordado foi a altura do tri ngulo mais uma vez atrav s de exposi o dialogada e de discuss o de exerc cios S timo encontro no laborat rio e nono na sala de aula 07 10 2003 neste encontro os alunos realizaram a atividade 8 sobre as rela es entre os ngulos no tri ngulo cujo objetivo era lev los a conjecturar sobre as seguintes proposi es geom tricas relacionadas a este t pico gt Em qualquer tri ngulo o ngulo interno e o externo no mesmo v rtice s o suplementares ou seja a soma de suas medidas igual a 180 gt Em qualquer tri n
223. o de problema que se tenta resolver como visto antes mas tamb m para decidir sobre o tipo de informa o que deve ser considerada para a obten o da solu o e para planejar a procura desta informa o KAHNEMAN amp TVERSKY 2227 prop em ao leitor as seguintes situa es gt Situa o 1 Imagine se a caminho de uma pe a de teatro na Broadway com dois bilhetes comprados a 40 d lares Ao entrar no teatro voc descobre que perdeu os bilhetes Voc pagaria novamente 40 d lares por um outro bilhete gt Situa o 2 Agora imagine que voc est a caminho da mesma pe a de teatro sem ter comprado os bilhetes Ao entrar no teatro voc percebe que perdeu 40 d lares em dinheiro Agora voc compraria os bilhetes para a pe a Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 98 As duas situa es s o id nticas pois em qualquer um dos casos a pessoa ficar com 40 d lares a menos e dever decidir se pagar ou n o 40 d lares para ver a pe a Entretanto muitas pessoas disseram que estariam mais dispostas a comprar os novos bilhetes caso tivessem perdido o dinheiro do que se tivessem perdido os bilhetes Uma interpreta o para esta resposta que a mesma perda colocada em categorias diferentes A perda de 40 d lares em dinheiro entra num item distinto do da pe a Esta perda portanto tem uma pequena influ ncia na decis o de comprar novos bilhetes o custo dos bilhetes perdidos colocado no item pe a de tea
224. o geometria din mica foi inicialmente usado por Nick Jakiw e Steve Rasmussen da Key Curriculum Press Inc com o objetivo de diferenciar este tipo de software dos demais sofiwares geom tricos Comumente ele utilizado para designar programas interativos que Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 52 permitem a cria o e manipula o de figuras geom tricas a partir de suas propriedades n o devendo ser visto como refer ncia a uma nova geometria O desenvolvimento destes softwares foi proporcionado pelos avan os nos recursos dispon veis no hardware dos computadores pessoais Eles apareceram a partir do crescimento na capacidade de mem ria e na velocidade de processamento das informa es dos microcomputadores al m do surgimento do mouse como meio de comunica o do usu rio com a interface gr fica Al m de serem importantes ferramentas para o ensino da geometria euclidiana estes softwares tamb m costumam ser usados em outras reas da geometria como as geometrias n o euclidianas geometria anal tica e geometria descritiva assim como podem ser explorados em outras reas como a f sica por exemplo 3 4 1 Recursos Ao abrir qualquer programa de geometria din mica o usu rio se depara com uma tela em branco e uma grande gama de recursos que possibilitam que ele caminhe em dire o constru o do seu conhecimento em qualquer uma das reas j mencionadas Estes recursos podem ser desde o uso de cor
225. o q e trace segmentos de reta que unem o ponto V a pelo menos dois pontos do c rculo C O conjunto de todos os segmentos que ligam qualquer ponto de C ao ponto V forma um cone O cone possui uma parte plana que a base e uma parte curva que a superf cie lateral O ponto V o v rtice do cone e a dist ncia deste ponto ao plano a a altura h do cone 253 Abra o arquivo X1 e determine as reas das se es planas do cone C e da pir mide P Atrav s desta verifica o voc p de perceber um caso particular em que as reas de se es planas de um cone e de uma pir mide eram equivalentes e al m disso os volumes dos dois s lidos tamb m t m o mesmo valor Agora considere um cone cuja base o c rculo S apoiado sobre um plano horizontal q Este cone tamb m cortado por um plano horizontal m A se o plana determinada por m ser sempre um c rculo equivalente a S Para obter a f rmula do volume de um cilindro ser usado o Princ pio de Cavalieri No arquivo X1 gt h um cone colocado sobre o plano horizontal a e a seu lado foi colocado uma pir mide cuja base um hex gono equivalente base do cone e cuja altura igual altura do cone Construa um plano horizontal x que seciona os dois s lidos determinando no cone uma se o s equivalente sua base e no bloco retangular uma se o s2 equivalente sua base Movimentando este plano poss vel observar que todas as se es planas
226. oi trabalhada a condi o de exist ncia de um tri ngulo atrav s de diversos exemplos e exerc cios Quinto encontro 09 09 2003 foram apresentadas as atividades 5 e 6 ao grupo que havia feito as atividades 2 3 e 4 no encontro anterior A atividade 5 apresentava a mesma finalidade das de n mero 3 e 4 utilizando um racioc nio an logo ao usado nestas sendo que desta vez em rela o ao tri ngulo eq il tero Na atividade 6 o objetivo era que o aluno atrav s da explora o observa o e an lise das medidas dos lados de um tri ngulo e de seu desenho conclu sse que n o s o quaisquer tr s segmentos de reta que formam este pol gono e estivesse apto ent o a formular a condi o necess ria e suficiente para realizar tal constru o Ao grupo que apenas fez a atividade 2 na aula passada foram apresentadas as atividades 3 4 5 6 Na sala de aula foi realizada uma exposi o te rica e dialogada sobre as rela es entre os ngulos nos tri ngulos enfocando a rela o entre as medidas de um ngulo interno e o externo adjacente a ele a rela o entre as medidas de um ngulo externo e dos dois ngulos internos n o adjacentes e a rela o de desigualdade entre lados e ngulos num tri ngulo Sexto encontro 16 09 2003 as atividades 3 4 5 e 6 j continham constru es de tri ngulos prontas A constru o de um tri ngulo no Tabulce pode ser bastante simples bastando criar tr s pontos e depois
227. ois lados iguais e um ngulo maior que 90 Sim n o sei Sim porque tem medidas diferentes Sim N o as medidas sendo iguais n o poss vel formar um ngulo reto sic N o N o pois cada ngulo ser igual a 60 N o pois todos os ngulos do triangulo equil tero s o iguais a 60 N o pois todos os ngulos do equil tero s o iguais a 60 Sim os tr s lados iguais formam ngulos agudos N o n o e poss vel 16 poss vel que um tri ngulo equil tero seja tamb m obtus ngulo Sim N o Justifique 17 poss vel que um tri ngulo is sceles seja tamb m ret ngulo Sim N o Justifique 18 poss vel que um tri ngulo is sceles seja tamb m acut ngulo Sim N o Justifique GSC JSS LDC BBA BGF GSC JSS LDC BBA BGF GSC JSS LDC BBA BGF N o Sim sob a condi o de que o ngulo seja de 60 Sim idem ao 14 Sim Sim Sim N o pois seus ngulos s o de 60 N o idem ao 14 Sim Sim porque um triangulo ret ngulo possui um ngulo reto e is sceles tamb m pode ter esse ngulo reto sic N o pois o is sceles possui tr s lados iguais N o Sim Sim Sim 227 porque o triangulo acutangulo possui um ngulo agudo j equil tero possui dois ngulos iguais Sim pois cada ngulo ser igual a 60 Sim pois o tri ngulo egiil tero s tem
228. onal gt O processo de forma o de conhecimentos adquire maior relev ncia passando a ser considerado t o importante quanto o produto avalia o final gt O professor passa a exercer o papel de um agente mediador propondo desafios aos alunos e ajudando os a resolv los realizando com eles ou proporcionando atividades em grupo em que aqueles que estiverem mais adiantados poder o cooperar com os demais gt O planejamento deve ser constante e a reorganiza o de experi ncias significativas para os alunos deve ser cont nua Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 82 gt O professor deve avaliar tanto a produ o independente do aluno n vel de desenvolvimento real quanto onde ele ainda necessita de ajuda n vel de desenvolvimento proximal gt Em todo este processo o di logo e a linguagem tamb m adquirem grande import ncia 4 2 2 A Forma o de Conceito na Vis o de Vigotsky VIGOTSKY 2003 considerava que o desenvolvimento dos processos que resultam na forma o de conceitos come a na fase mais precoce da inf ncia por m as fun es intelectuais que formam a base psicol gica destes processos amadurecem se configuram e se desenvolvem somente na puberdade Para ele antes dessa etapa podem ser encontradas determinadas forma es intelectuais que realizam fun es semelhantes quelas dos conceitos verdadeiros que ainda surgir o Entretanto ele compara estes equivalentes funcionais aos conc
229. ontos C e A Chame os respectivamente de M e N 3 Selecione nesta ordem os pontos C B e A V ao menu CALCULAR e escolha NGULO 4 Repita o mesmo procedimento do item anterior agora considerando nesta ordem os pontos L Be C 5 V ao menu CALCULAR escolha Calculadora Clique sobre a medida do ngulo CAB depois em na medida do ngulo LBC e em OK Aparecer na tela o valor da soma dos dois ngulos em radianos Observe que este valor aproximadamente o valor de m V novamente CALCULAR escolha converter Que valor Apareceu su ssaassinnalado auditora ani ARRE 10 11 12 216 Saiba que o ngulo CAB chamado de ngulo interno do tri ngulo ABC e o ngulo LBC chamado de ngulo externo adjacente a CAB Arrastando um dos pontos dos segmentos de reta existentes na constru o o valor da soma daqueles ngulos se modifica Qual o este valor Repita o mesmo procedimento para os ngulos BAC e NAB e para os ngulos ACB e MCA Voc acaba de perceber que a soma das medidas de qualquer ngulo interno de um tri ngulo com o seu respectivo ngulo externo adjacente igual a 180 Agora selecione nesta ordem os pontos B A e C V ao menu CALCULAR e escolha NGULO Repita o mesmo procedimento do item anterior agora considerando nesta ordem os pontos A Ce B V ao menu CALCULAR escolha Calculadora Clique sobre a medida do ngulo BAC em a medida do ngulo
230. ora o tamb m chamada de caixa preta GRAVINA 1996 LABORDE 1998 Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 58 As atividades de express o proporcionam ao aluno a autonomia para construir seus pr prios modelos visando o dom nio dos conceitos relacionados configura o geom trica necess rios para sua constru o Nas atividades de explora o os alunos recebem as constru es prontas e s o desafiados a compreend las Nas duas situa es com a figura constru da o estudante pode movimentar os pontos de base e verificar algumas propriedades atrav s da observa o dos invariantes geom tricos Atrav s da experimenta o explora o e an lise das propriedades das figuras geom tricas ocorre um est mulo ao racioc nio e o favorecimento da descoberta de novas rela es e conceitos geom tricos Ambos os casos s o baseados numa intera o entre a visualiza o e o conhecimento de conceitos e propriedades Novamente aparecem os aspectos intuitivo e l gico da aprendizagem da geometria 3 4 2 3 Visualiza o ou Representa o Mental de Objetos Geom tricos Anteriormente foi mencionada a import ncia da visualiza o para o desenvolvimento do pensamento geom trico Procura se aqui refletir sobre as poss veis contribui es da geometria din mica a este processo LABORDE 1998 observou adultos com conhecimento de geometria que tentavam resolver problemas geom tricos incomuns num ambiente comp
231. oremas que podem ser demonstrados atrav s de um encadeamento l gico de racioc nio Esta forma de estruturar o conhecimento matem tico o que se denominou de m todo axiom tico dedutivo o qual forma a base da geometria euclidiana SINGH 1999 reafirma a import ncia da demonstra o e do m todo axiom tico dedutivo para a matem tica no trecho a seguir A id ia da demonstra o cl ssica come a com uma s rie de axiomas declara es que julgamos serem verdadeiras ou que s o verdades evidentes Ent o atrav s da argumenta o l gica passo a passo poss vel chegar a uma conclus o Se os axiomas estiverem corretos e a l gica for impec vel ent o a conclus o ser ineg vel A conclus o o teorema Os teoremas matem ticos dependem deste processo l gico e uma vez demonstrados eles ser o considerados verdade at o final dos tempos A prova matem tica absoluta SINGH 1999 p 41 A partir da sistematiza o do conhecimento geom trico na Gr cia a geometria euclidiana se tornou o modelo de descri o do mundo f sico da Antigiiidade e a refer ncia l gica filos fica de toda a cultura do Ocidente Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 15 No entanto tudo indica que a forma como ficou estruturada a geometria em Os Elementos de Euclides apresentava problemas com o quinto postulado que n o possu a a precis o dos outros e parecia n o ter a mesma qualidade exigida pela axiom tica grega a da obvied
232. ormas hist rico sociais de vida da esp cie humana e n o no mundo espiritual e sensorial do homem MULTIRIO 2000 Ele acreditava que o longo processo de desenvolvimento cognitivo do indiv duo dependia da intera o deste com a vida social Ao contr rio de Jean Piaget que considerava que o desenvolvimento cognitivo se origina de dentro para fora pela matura o considerando que o ambiente pode favorecer ou impedir o desenvolvimento mas sempre enfatizando o aspecto Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 81 biol gico Vigotsky achava que o desenvolvimento procedia de fora para dentro pela internaliza o a absor o do conhecimento proveniente do contexto STERNBERG 2000 Para este autor a Psicologia sempre esteve preocupada em determinar o n vel de desenvolvimento real do indiv duo ou seja revelar apenas o produto final o que o indiv duo consegue responder e n o como ele consegue chegar s respostas Por m a sua preocupa o tamb m com o que ele chamou de n vel de desenvolvimento proximal ou potencial do indiv duo quando o sujeito n o consegue realizar sozinho determinada tarefa mas o faz com a ajuda de outros parceiros mais experientes possuindo por m algumas no es ou conceitos j desenvolvidos 4 2 1 O Conceito de Zona de Desenvolvimento Proximal e a Pr tica Docente O conceito de zona de desenvolvimento proximal traz algumas consegii ncias importantes para o processo educaci
233. ornar o ensino da matem tica muito mais eficiente integrado e significativo al m de elucidar a rela o que esta ci ncia tem com outras disciplinas A tecnologia inform tica pode proporcionar novas situa es nas quais as formas virtuais adquirem aspectos de uma realidade quase material abrindo novas perspectivas para o entendimento das formas que se apresentam no plano da tela do computador KALEFF 1998 Atrav s dos recursos de anima o de alguns softwares geom tricos o aluno pode construir mover e observar de v rios ngulos as figuras geom tricas al m de modificar algumas de suas caracter sticas H desenhos de execu o bastante complicada e at mesmo imposs vel com as tecnologias tradicionais papel e l pis e quadro e giz por exemplo e que se tornam facilmente exequ veis com o uso do computador Com rela o ao aspecto l gico alguns estudiosos acreditam que o computador pode criar obst culos no caminho da visualiza o para a prova formal em geometria Eles consideram que a evid ncia visual e outros instrumentos de valida o dispon veis podem tornar este procedimento desnecess rio para o convencimento e at mesmo para o entendimento do aluno Cap tulol Introdu o 6 Por outro lado outros defendem que a visualiza o pode ajudar nas demonstra es desde que o professor seja h bil para propor problemas e estrat gias Neste caso a prova pode ser tratada informalmente e de uma maneira menos rigoro
234. orre o Cap tulo 5 Estudo de Campo I 142 cc O mesmo ocorrendo para a mediana e para a bissetriz respectivamente ela disse o segmento que divide o lado em dois iguais sic e divide em duas partes iguais o ngulo de qualquer v rtice de um tri ngulo H que se destacar aqui o fato de que Gabriel possui uma habilidade razo vel para a visualiza o percentil de 65 no teste de rela es espaciais o que talvez explique seu excelente desempenho no teste de conhecimento geom trico ap s as aulas no laborat rio mas considerando que ele n o tinha ido bem no teste de racioc nio verbal compreens o e express o de conceitos atrav s de palavras e a sua grande melhora na justificativa das respostas poss vel que as aulas tenham contribu do para melhor aquisi o e compreens o dos conceitos trabalhados Gabriel foi um aluno bastante interessado e atento s aulas no laborat rio percebia se que ele sempre que poss vel n o seguia fielmente as instru es recebidas nos textos das atividades procurando caminhos mais independentes Numa das aulas ele chegou mesmo a comentar que as atividades estavam t o detalhadas que davam pouca margem para o aluno ter maior independ ncia 5 2 2 2 2 Miguel Para Miguel 17 anos a maior dificuldade que encontrou durante o ensino fundamental foi em Matem tica incluindo o contato que teve com a geometria Neste n vel de ensino ele estudou em escola particular no
235. ortamento satisfat rio Enquanto isso estes programas geram automaticamente uma amostra com um n mero n de pontos que representam posi es poss veis da trajet ria do locus considerado 3 4 2 Potencialidades As potencialidades dos softwares de geometria din mica aqui indicadas s o algumas de suas mais importantes caracter sticas que ajudam a enriquecer o processo de ensino aprendizagem da geometria al m de valorizar o conhecimento matem tico e a sua constru o atrav s das a es de experimentar interpretar visualizar induzir conjecturar abstrair generalizar e demonstrar Cada uma destas caracter sticas est fortemente relacionada s demais por m elas s o apresentadas separadamente com o objetivo de tornar mais intelig vel a sua import ncia 3 4 2 1 Precis o e Variedade na Constru o de Objetos Geom tricos Um argumento l gico pode oscilar de acordo com que os olhos v em numa configura o geom trica Da a import ncia da constru o de desenhos corretos e precisos e da variedade de constru es de uma mesma configura o para a aprendizagem e pesquisa da geometria Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 56 FISCHBEIN 1993 em sua teoria dos conceitos figurais afirmava que os objetos geom tricos se constituem de duas componentes a conceitual e a figural A componente conceitual expressa as propriedades que caracterizam uma certa classe de objetos atrav s de lingua
236. os se manteve flutuante variando sempre entre vinte e vinte e cinco havia alunos que compareciam a uma aula e deixavam de comparecer outra e vice versa Ao final do estudo apenas quinze alunos assistiram a todas as aulas e apenas dez fizeram todos os testes e entrevistas Deste modo foi realizado um estudo qualitativo e comparativo cuja finalidade principal foi analisar a contribui o de um ambiente de geometria din mica para a forma o de conceitos relacionados a tri ngulos em alunos ingressantes no ensino t cnico em contraste com os resultados apresentados por alunos que tomaram contato com este mesmo conte do a partir de aulas cl ssicas de geometria euclidiana plana 5 1 Metodologia O estudo documentado neste cap tulo teve como preocupa o central compreender os seguintes problemas e Um software de geometria din mica contribui para uma melhor forma o de conceitos sobre tri ngulos em estudantes ingressantes no ensino m dio e A partir da utiliza o deste tipo software h uma melhor compreens o dos tipos de tri ngulos e de suas cevianas e O material virtual permite que os sujeitos desenvolvam ou aperfei oam a habilidade de visualiza o destes pol gonos t pico presente no curr culo de geometria euclidiana plana A hip tese de trabalho adotada foi que a mudan a de sistemas de representa o numa aula de matem tica do car ter exclusivamente est tico para o din mico ou seja a passagem de
237. ou o terceiro caso nos dois momentos Quanto defini o ele que j havia deixado em branco no pr teste disse que o comprimento dos tri ngulos no p s teste Para as medianas ele tinha deixado em branco na primeira entrevista e errou os tr s casos na segunda definindo a da seguinte maneira ap s ter deixado em branco no pr teste e o ponto central no cruzamento de duas retas sic Houve um curioso retrocesso no caso das bissetrizes pois Rafael havia acertado os tr s casos no pr teste e passou a apenas assinalar a divis o do ngulo tra ando o segmento mas n o indicando desta vez que eles estavam divididos pela metade Ele deixou a defini o em branco nos dois momentos De um modo geral Rafael apresentou um baixo desempenho no pr e p s teste o ganho de 36 36 se deveu principalmente ao n mero maior de acertos no trecho da entrevista que relacionava as classifica es dos tri ngulos Assim mesmo esses acertos foram nas respostas de sim ou n o com as justificativas apresentando uma certa confus o conceitual como j foi observado O aumento no n mero de acertos pode ter sido ao acaso Cap tulo 5 Estudo de Campo I 133 A confus o conceitual acima referida talvez esteja relacionada ao baix ssimo desempenho que Rafael obteve no teste de racioc nio verbal compreens o de conceitos atrav s de palavras escritas e rela es espaciais relacionado capacidade de visualiza o Portan
238. penho global foi bem melhor do que no teste anterior apresentando apenas dois sujeitos com desempenho muito baixo percentil igual ou inferior a 10 outros dois com desempenho pr ximo ao percentil de 50 na verdade ambos apresentaram percentil igual a 40 e os seis restantes com percentis iguais ou superiores a 80 Na habilidade para compreender conceitos expressos por palavras medida no teste de aptid o verbal todos os sujeitos do grupo de controle se situaram abaixo da m dia n o ultrapassando sequer o percentil de 35 Cap tulo 5 Estudo de Campo I 126 No grupo experimental observaram se resultados parecidos aos do outro grupo gr fico 5 3 Do mesmo modo todos os indiv duos apresentaram desempenho inferior m dia no teste de racioc nio verbal sendo que apenas um alcan ou o percentil 45 Racioc nio Verbal Compara o entre os Grupos 50 40 30 e Grupo Experimental 20 s Grupo de Controle 10 1 2 3 4 5 Gr fico 5 3 Compara o do desempenho dos sujeitos dos dois grupos no teste de racioc nio verbal Assim como no teste de raciocinio abstrato desta tamb m vez houve equil brio quando s o comparados os sujeitos dos dois grupos cabendo ressaltar que o nivelamento se deu por baixo Em rela o ao conhecimento geom trico todos os sujeitos haviam declarado ter estudado geometria no ensino fundamental deste modo a entrevista II avaliou seus desempenhos a
239. pos Cap tulo 6 Estudo de Campo II 173 Quadro 6 7 Desempenho do grupo experimental nos testes de racioc nio BPR 5 de acordo com intervalos de percentis GRUPO EXPERIMENTAL E RA RV RE RN EG 4 N Ya N Yo N Yo N Yo N Yo 0 25 13 33 34 13 33 34 13 33 34 13 33 34 14 35 90 26 50 15 38 46 18 46 16 9 23 08 12 30 77 19 48 72 51 75 6 15 38 4 10 25 14 35 90 8 20 51 4 10 25 75 100 5 12 82 4 10 25 3 7 68 6 15 38 2 SB Total 39 100 39 100 39 100 39 100 39 100 Os resultados destes testes mostraram dificuldades em situa es envolvendo racioc nio quantitativo com s mbolos num ricos No grupo de controle 80 65 dos sujeitos tiveram desempenho que os situam no intervalo de O a 50 de percentil enquanto 64 11 do grupo experimental se situaram na mesma faixa Houve por m um predom nio de indiv duos do grupo de controle no intervalo mais baixo de O a 25 cerca de 51 62 enquanto que no grupo experimental este valor foi de 33 34 Verificou se tamb m dificuldade para visualiza o pela maioria dos sujeitos avaliada pelo teste de racioc nio espacial Esta dificuldade foi em maior n mero entre os sujeitos do grupo de controle cerca de 74 20 dos alunos se situam no intervalo de O a 50 de percentil que no grupo experimental cerca de 56 40 Por m quando foi considerado apenas o intervalo de 0 a 25 a situa o se inverte e cerca de 22 58 dos sujeitos do grupo de controle se encontram neste intervalo em compara o com os 33 34 dos
240. pos n o for grande demais para ser explicada unicamente a flutua es casuais ou por um erro experimental Neste caso recusa se a aceitar como razo vel que a diferen a real entre as m dias dos dois grupos seja zero e sup e se que foram utilizadas todas as garantias experimentais adequadas na obten o destes resultados e que consegiientemente os grupos diferem somente em termos que Foram considerados para c lculo os 39 sujeitos do grupo experimental 6 O software SPSS considerou apenas 31 sujeitos do grupo experimental para compara o com o mesmo n mero de sujeitos do grupo de controle Cap tulo 6 Estudo de Campo II 178 cada um sofreu um tratamento experimental diferente pois receberam valores diferentes para a vari vel independente Logo esta foi capaz de influir nas medidas da vari vel dependente e este justamente o objeto do experimento MACGUIGAN 1976 Conforme os resultados apresentados no quadro 6 9 pode se rejeitar a hip tese nula no caso do estudo realizado j que foi obtido um valor para t 3 322 e para p 0 002 lt 0 05 mostrando que a diferen a obtida pode ser atribu da ao fato dos grupos terem sofrido tratamento experimental diferenciado No presente estudo a vari vel independente considerada foi o uso ou n o de um software de geometria din mica que no caso foram o Tabulae e o Calques 3D 6 2 2 An lise do desempenho dos alunos no pr e p s teste de conhecimento geom trico O teste
241. presenta o do conhecimento matem tico de uma forma mais geral ou do conhecimento geom trico de uma forma mais espec fica FREGE 1848 1925 FISCHBEIN 1994 e VERGNAUD 1985 enfocaram a import ncia da intui o da percep o da visualiza o e da representa o na constru o de um conceito O primeiro deles contribuiu para a cria o do logicismo corrente que procurou mostrar que as leis matem ticas possu am como fundamentos as leis da l gica Al m desta preocupa o com os fundamentos da matem tica Frege tamb m se preocupou com a quest o da constru o do conhecimento matem tico Para ele um conceito se diferenciava de uma imagem ou representa o pois enquanto o primeiro pertencia ao n vel do conhecimento e Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 103 da id ia o segundo pertencia ao n vel da imagina o Frege considerava que um conceito tinha uma natureza l gica com extens o denota o e era referente FAINGUELERNT 1999 Os processos mentais da forma o de conceitos ocorriam a partir de sua representa o pela liberdade de imaginar Portanto pensar objetivo e leva constru o do conceito imaginar subjetivo e leva representa o do conceito FAINGUELERNT 1999 p 38 Para FAINGUELERNT 1999 a representa o em um certo sentido um prolongamento da visualiza o e da percep o e possui a fun o de dar continuidade s mesmas Mas ela introduz como elem
242. press o os conceitos est o na se o 3 4 2 2 num trabalho futuro seria interessante utilizar mais as atividades de express o O uso do hist rico do aluno pelo pesquisador ainda restrito devido ao tempo que se necessita despender para an lise de cada estudante a partir do arquivo em HTML gerado Cap tulo 7 Considera es Finais 193 pelos programas Este problema se torna ainda maior quando se pensa no trabalho docente di rio Seria interessante o desenvolvimento de ferramenta computacional que reproduzisse a a o do aluno atrav s de pequenos filmes facilitando o trabalho do professor e ou pesquisador para a avalia o de seu desempenho e compreens o de seu racioc nio Para finalizar os estudos tamb m poderiam tamb m ser estendidos a turmas de escolas da rede privada REFER NCIAS BIBLIOGR FICAS ALMEIDA M E B O Aprender e a Inform tica Arte do Poss vel na Forma o do Professor Dispon vel na internet via www proinfo gov br Arquivo consultado em janeiro de 2003 ALMEIDA L S PRIMI R Manual T cnico Bateria de Provas de Racioc nio S o Paulo Casa do Psic logo 2000 ALVES G S SAMPAIO F F O Modelo de Desenvolvimento do Pensamento Geom trico de van Hiele e Poss veis Contribui es da Geometria Din mica In I Simp sio Sul Brasileiro de Matem tica e Inform tica Anais Eletr nicos Curitiba Uniandrade 2002 Dispon vel na internet via http www uniandrade br simposio pdf mat1 14
243. putadores na EDUca o de acordo com informa o de BORBA amp PENTEADO 2001 p 19 Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 39 Cabia cada secretaria de educa o e cada institui o de ensino t cnico ou universit rio definir sua proposta pedag gica A partir da base consolidada foi poss vel a cria o em 1989 do PROINFE Programa Nacional de Inform tica na Educa o dando continuidade aos projetos anteriores e possibilitando a cria o de laborat rios e centros para a capacita o de professores O programa atualmente em vigor o PROINFO Programa Nacional de Inform tica na Educa o lan ado em 1997 atrav s da Secretaria de Educa o Dist ncia Seed MEC com o objetivo de estimular e dar suporte para a introdu o de tecnologia inform tica nas escolas dos n veis de ensino fundamental e m dio do Brasil A principal caracter stica do PROINFO e tamb m o que ele traz de mais original em sua proposta a preocupa o em colocar o computador dentro da escola p blica permitindo que os alunos deste sistema de ensino tamb m tenham acesso ao uso de tecnologia inform tica para a sua aprendizagem Desde os primeiros projetos entretanto sempre houve uma preocupa o com a qualifica o e sensibiliza o do professor para utilizar adequadamente o computador como recurso pedag gico No caso do PROINFO esta preocupa o se traduziu na cria o dos N cleos de Tecnologia Educacional NTE
244. r atuar num determinado n vel se j tiver adquirido atrav s de experi ncias de aprendizagem adequadas as estrat gias dos n veis anteriores n o sendo permitido que sejam dados saltos 5 Na Teoria Piagetiana quando a crian a compreende no es como as de que uma subclasse nunca pode conter mais elementos do que a classe maior a que ela pertence No ensino da Geometria este fato percebido quando o aluno compreende que todo quadrado um ret ngulo por exemplo Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 35 A progress o ou n o do aluno na passagem de um n vel para outro depende mais dos conte dos recebidos por este do que de sua idade Al m disso na transi o entre diferentes n veis os objetos pr prios de um est gio se transformam em objetos de estudo no est gio posterior e uma rela o que aceita como correta em um n vel pode ser modificada no seguinte Diferentes autores ressaltam alguns aspectos que s o essenciais para o desenvolvimento do pensamento geom trico Eles utilizam diferentes denomina es para estes aspectos PURIFICA O 1999 2 4 3 Fases da Aprendizagem No modelo de van Hiele quando o ensino desenvolvido de acordo com as fases de aprendizagem h o favorecimento para a aquisi o de um n vel de pensamento num dado assunto da geometria O quadro 2 2 relaciona as fases de aprendizagem do modelo de van Hiele destacando as caracter sticas de cada uma delas Ap s a fase
245. rande maioria dos relatos hist ricos localiza na agrimensura do Egito Antigo o in cio da geometria Na verdade segundo EVES 1992 este momento marca o in cio da geometria como ci ncia Bem antes deste per odo o homem deixava a vida n made e passava a se fixar terra e a cultiv la e portanto j fazia observa es e especula es sobre configura es f sicas e comparava formas e tamanhos Observando ent o seu cotidiano e a natureza o homem concebia diversas formas e conceitos geom tricos sol e lua lembram c rculos um objeto arremessado ao ar descreve uma par bola uma corda enrolada forma uma espiral corpos de homens e animais ilustram a id ia de Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 12 simetria uma pedra arremessada num rio forma c rculos conc ntricos recipientes com l quidos ou outras mercadorias sugerem a no o de volume A no o de dist ncia surgiu como um dos primeiros conceitos geom tricos e a necessidade de delimitar a terra levou o homem a desenvolver no es de figuras geom tricas bastante simples como ret ngulos quadrados e tri ngulos enquanto as no es de vertical paralela e perpendicular teriam se desenvolvido a partir da constru o de muros e moradias Al m disso o homem primitivo tamb m empregava a geometria para fazer ornamentos decorativos desenhos e uma tecelagem incipiente impulsionada pela abund ncia de l dos animais criados por ele Segundo EVES 1992 p 2 provav
246. regime regular diurno Miguel j trabalhou e est fazendo o ensino m dio para preparar se para o vestibular pelo diploma e por uma melhoria salarial Ele costuma usar o computador mais de cinco vezes na semana seja em sua casa ou na escola e domina o Windows o Excell o Word e o Power Point Cap tulo 5 Estudo de Campo I 143 A sua op o pelas aulas com a geometria din mica foi pela curiosidade em estudar geometria com o computador Anteriormente ele nunca tinha tido aulas de alguma disciplina da forma o geral em laborat rio de inform tica Durante os testes de aptid es espec ficas da bateria DAT Miguel apresentou o seguinte desempenho n o fez pontos no teste de rela es espaciais percentil de 1 13 75 no teste de racioc nio abstrato percentil de 10 e apenas 10 pontos no teste de racioc nio verbal percentil 5 Ele obteve apenas 23 53 de acertos no pr teste de conhecimento geom trico mesmo em quest es mais simples como a que solicitava que o aluno dissesse o que um tri ngulo FOS se confundiu definindo como todo e qualquer ngulo que tenha maior que 90 Para a condi o de exist ncia do tri ngulo ele deixou em branco at mesmo a quest o que perguntava se era poss vel montar um tri ngulo com tr s ripas independentemente de seus tamanhos No p s teste ele parece ter encontrado o caminho para a defini o de tri ngulos um pol gono que cont m tr s lados e tr s ngulos e para just
247. reira da l ngua e pela lenta circula o de informa es sobre novas descobertas cient ficas daquela poca A respeito das tr s abordagens para a avaliar o quinto postulado de Euclides a partir do enunciado formulado por Playfair EVES 1992 p 21 faz a seguinte explana o Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 16 Assumindo tacitamente como de fato Euclides fazia a infinitude de uma reta o terceiro caso era prontamente eliminado mas apesar de longas investiga es nenhum deles conseguiu chegar a uma contradi o sobre a primeira possibilidade Cedo ou tarde cada um deles come ou a suspeitar de que nenhuma contradi o poderia ocorrer e de que a geometria resultante ainda que muito diferente da geometria euclidiana era t o consistente quanto ela Gauss foi o primeiro dos tr s a chegar a essas conclus es avan adas mas como ele jamais publicou nada sobre a quest o a honra da descoberta dessa geometria n o euclidiana particular deve ser compartilhada com Bolyai e Lobachevsky EVES 1992 p 21 Riemann em 1854 abordou a terceira possibilidade descartando a infinitude da reta assumindo simplesmente que ela era ilimitada e realizando outros pequenos ajustes Deste modo ele criou uma outra geometria n o euclidiana Eug nio Beltrami F lix Klein Henri Poincar e outros demonstraram a independ ncia do postulado das paralelas com rela o aos outros postulados de Euclides quando obtiveram provas da consist ncia
248. rm tica tais como matem tica f sica hist ria geografia etc J faz algum tempo que o uso do computador como recurso pedag gico tem sido visto de uma forma dicot mica ou ele um instrumento em que o aluno apenas aperta suas teclas e obedece as instru es dadas ou ele a solu o para todos os problemas educacionais O mais importante entretanto refletir sobre a rela o entre inform tica e educa o como uma transforma o da pr pria pr tica educativa Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 43 O primeiro ponto de vista costuma ser ainda mais poderoso dentro de parte da comunidade de educa o matem tica Especialmente para aqueles que consideram a matem tica base do racioc nio l gico pois se o racioc nio matem tico passa a ser realizado pelo computador o aluno n o precisar raciocinar mais e deixar de desenvolver sua intelig ncia BORBA amp PENTEADO 2001 Estes autores chegam a citar frases comumente ouvidas das pessoas que argumentam desta maneira Se meu aluno utilizar a calculadora como ele aprender a fazer a conta Se o estudante do ensino m dio aperta uma tecla do computador e o gr fico da fun o j aparece como ele conseguir de fato aprender a tra lo BORBA amp PENTEADO 2001 p 12 O segundo argumento foi mais intenso nos primeiros anos em que o computador era uma novidade na escola Esta tend ncia tende a pensar sobre computadores como obj
249. rno de um eixo de seu plano Kepler interessou se por essa quest o ao observar alguns dos prec rios m todos de calcular volumes de barris de vinho usados em seu tempo bem poss vel que esse trabalho de Kepler tenha influenciado Cavalieri que deu um passo frente no c lculo infinitesimal com seu m todo dos indivis veis EVES 1992 p 358 Em 1598 nasceu em Mil o It lia Bonaventura Cavalieri ainda com o nome de Francesco Cavalieri Ele pertencia a uma fam lia propriet ria de terras em Suna e Mil o e aos quinze anos foi aluno de Galileu Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 25 S mesmo a partir de 1615 foi que ele recebeu o nome de Bonaventura Cavalieri quando se juntou ordem religiosa dos jesuados e n o de jesu tas como s vezes se afirma equivocadamente Em 1616 ele foi transferido para Pisa onde estudou filosofia e teologia e tomou contato com Benedito Castelli que o introduziu no estudo de geometria Durante os quatro anos que esteve em Pisa Cavalieri tornou se matem tico famoso Em 1620 retornou para Mil o onde se tornou di cono do Cardeal Frederico Borrofmeo e posteriormente prior superior em algumas ordens mon sticas na Igreja de San Pietro em Lodi e em 1626 no monast rio de San Benedetto em Parma Na paz e tranquilidade dos monast rios Cavalieri completou os manuscritos dos seis primeiros livros sobre os indivis veis e os enviou aos lordes de Bolonha obtendo deste modo a indica
250. ro n o uma pir mide ou um cone Se por outro lado se es adjacentes s o desiguais a totalidade ser uma pir mide ou cone em degraus n o a figura de superf cie lisa que se tem em mente Este problema se aparenta com as dificuldades com incomensur veis e com os paradoxos do movimento de Zen o BOYER 1985 p 59 Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 21 Esta prova foi obtida posteriormente por Eudoxo atrav s do m todo da exaust o Apesar do rigor do m todo da exaust o para a demonstra o de resultados ele se mostrava est ril para a descoberta dos mesmos EVES 1992 Um dos maiores matem ticos de todos os tempos e segundo EVES 1992 seguramente o maior da Antigiiidade Arquimedes tamb m tinha um m todo para determinar as f rmulas das reas e volumes de algumas figuras geom tricas Arquimedes nasceu por volta de 287 a C na cidade grega de Siracusa situada na ilha da Sic lia e morreu durante o saque de Siracusa em 212 a C Ele era filho de astr nomo e desfrutava de grande prest gio junto ao rei Hier o N o se sabia ao certo como Arquimedes determinava a rea e o volume de alguns s lidos mais conhecidos at que Heiberg descobriu em 1906 em Constantinopla uma c pia de O M todo um tratado de Arquimedes enviado a Erat stenes que se encontrava perdido desde os primeiros s culos depois de Cristo Neste tratado constavam as id ias gerais sobre o m todo do equil brio utilizado por Arquimedes para
251. ro apresentou desempenho razo vel nos testes de rela es espaciais mostrando uma capacidade mediana para a visualiza o bom desempenho no racioc nio abstrato mais uma vez confirmando conclus es de Piaget e baixo desempenho no racioc nio verbal apesar de ter sido o melhor do grupo de controle e o segundo melhor entre todos os sujeitos do estudo Mais uma vez as dificuldades encontradas para expressar alguns conceitos trabalhados podem estar relacionadas ao resultado deste ltimo teste O que se verificou portanto foi um aluno que j trazia alguns conhecimentos geom tricos do ensino fundamental e que pouco se modificou ap s as aulas cl ssicas seus resultados em rela o ao conte do escolhido eram medianos e permaneceram medianos ap s as aulas tradicionais ministradas em sala de aula 5 2 2 1 5 Mateus Mateus 15 anos realizou seus estudos no ensino fundamental em escola particular no regime regular diurno Sua maior dificuldade foi em l ngua portuguesa ci ncias e hist ria Ele tamb m diz ter estudado geometria durante aquele n vel de ensino H computador em sua casa e ele o utiliza mais de cinco vezes na semana por m a escolha pelas aulas cl ssicas foi por considerar que esta a melhor maneira de se aprender matem tica Mateus declara j ter exercido atividade profissional e considera que o ensino m dio pode proporcionar lhe uma melhoria salarial Durante os testes de aptid es espec ficas da bateria DAT
252. ro reto igual ao produto da rea da base pelo comprimento da altura entre outros resultados Os ltimos s culos do segundo mil nio anterior a Cristo representaram um decl nio econ mico e pol tico no Egito e na Babil nia e outros povos como os hebreus os ass rios os fen cios e os gregos passaram a ocupar lugar de destaque na hist ria Com a ascens o destes povos o homem tamb m modificava seu modo de ver e perceber o mundo Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 14 A vis o est tica do Oriente antigo sobre as coisas tornou se insustent vel e numa atmosfera de racionalismo crescente o homem come ou a indagar como e por qu Os processos emp ricos do Oriente antigo suficientes o bastante para responder quest es na forma de como n o mais bastavam para indaga es mais cient ficas na forma de por qu Algumas experi ncias com o m todo demonstrativo foram se consubstanciando e se impondo e a fei o dedutiva da matem tica considerada pelos doutos como sua caracter stica fundamental passou ao primeiro plano EVES 1997 p 94 Na Gr cia Tales de Mileto e Pit goras de Samos se dedicaram a provar alguns resultados conhecidos pelos eg pcios e babil nios e Euclides em Os Elementos compila o conhecimento matem tico at ent o e o apresenta de forma estruturada partindo de conceitos primitivos de axiomas e postulados e de algumas defini es A partir da s o estabelecidas verdades os chamados te
253. role nos testes de racioc nio BPR 5 de acordo com intervalos de percentis 34 36 123 123 126 153 158 159 160 161 166 172 Quadro 6 7 Desempenho do grupo experimental nos testes de racioc nio BPR 5 de acordo com intervalos de percentis Quadro 6 8 Resumo do desempenho obtido pelos sujeitos dos dois grupos nas provas aplicadas com o conte do trabalhado durante a interven o em sala de aula Quadro 6 9 Resultados do teste t para as m dias das provas bimestrais aplicadas durante e ap s o trabalho de campo comparando grupo experimental com o grupo de controle Quadro 6 10 Resumo do desempenho obtido pelos sujeitos dos dois grupos no teste de conhecimento geom trico antes e ap s as aulas ministradas para o trabalho de campo Quadro 6 11 Resultados do teste t para compara o do grupo experimental com o grupo de controle a partir das m dias dos grupos obtidas no p s teste Quadro 6 12 Resultados do teste t para compara o do pr com oe p s teste de conhecimento geom trico no grupo experimental e no grupo de controle Quadro 6 13 Varia o do EPM entre duas aplica es do teste de racioc nio espacial da bateria BPR 5 antes e ap s as aulas ministradas para o trabalho de campo Quadro 6 14 Resumo do desempenho obtido pelos sujeitos dos dois grupos no teste de raciocino espacial da bateria BPR 5 antes e ap ss as aulas ministradas para o trabalho de campo Quadro 6 15 Resultados do
254. ropean Conference on Mathematical Education Anais Praga Prometheus 1997 pp 21 26 MCGUIGAN F J Psicologia Experimental Uma Abordagem Metodol gica S o Paulo Editora Pedag gica Universit ria EPU 1976 436p MEDEIROS K M O Contrato Did tico e a Resolu o de Problemas Matem ticos em Sala de Aula Educa o Matem tica em Revista SBEM S o Paulo n 9 10 pp 32 39 abr de 2001 MIRA E C Propriedades B sicas de Tri ngulos e Quadril teros Um Estudo de Caso com o Geometers Sketchpad Orientadora V nia Maria Pereira dos Santos Wagner UFRJ 2001 240 p Disserta o Mestrado em Inform tica MORROW J Dynamic Visualization from Middle School through College In KING J R ed SCHATTSCHNEIDER D ed Geometry turned on Dynamic Software in Learning Teaching and Research Washington D C Mathmatical Association of America 1997 pp 47 54 PAR METROS CURRICULARES NACIONAIS PCN Minist rio da Educa o Bras lia 1996 PAPERT S A M quina das Crian as Repensando a Escola na Era da Inform tica Tradu o Sandra Costa Porto Alegre Artmed 2 reimpress o 2002 210p PIAGET J O Racioc nio na Crian a Tradu o Val rie Rumjonek Chaves Rio de Janeiro Record 1967 241p Abstra o Reflexionante Rela es L gico Aritm tica e Ordem das Rela es Espaciais Tradu o Fernando Becker e Petronilha Beatriz Gon alves da Silva Porto Alegre Artmed 1995 292p POLYA
255. ropor qualquer atividade educacional VALENTE 1993 indica ainda dois p los que caracterizam a rela o entre os quatro citados ingredientes no processo ensino aprendizagem Nos dois p los h os mesmos ingredientes mas a polaridade marcada pela forma como estes ingredientes s o utilizados ora Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 46 o computador atrav s do software ensina o aluno ora o aluno atrav s do sofiware ensina o computador A figura 3 1 ilustra as situa es descritas Ensino aprendizagem atrav s do computador dire o do ensino dire o do ensino Computador Software Aluno Computador Software Aluno Figura 3 1 Esquema sobre o Processo Ensino aprendizagem atrav s do computador Fonte BARROSO 1999 Estes p los ajudam a compreender que a simples introdu o do computador no cotidiano escolar n o implica mudan as significativas para a aprendizagem se este n o for utilizado adequadamente Por este motivo necess rio que se fa a uma escolha criteriosa do software a ser utilizado e principalmente das atividades que ser o aplicadas 3 3 Paradigmas para a Classifica o de Softwares Educacionais Nos ltimos anos muitos softwares educacionais t m sido desenvolvidos por institui es de pesquisa e por empresas interessadas na comercializa o dos mesmos Alguns destes s o de boa qualidade e auxiliam a desenvolver atividades educativas desafiadoras est
256. rumento da comunica o permitindo ao homem formular conceitos e abstrair e generalizar a realidade atrav s de atividades mentais complexas MULTIRIO 2000 VIGOTSKY 2003 considera que a comunica o verbal com os adultos um poderoso fator no desenvolvimento dos conceitos infantis pois o elo de liga o entre o pensamento por complexos das crian as e o pensamento por conceitos dos adultos A partir de seus experimentos ele concluiu que o significado das palavras da forma como percebido pela crian a na fase dos complexos refere se aos mesmos objetos que o adulto tem em mente o que garante a comunica o entre eles Entretanto ele tamb m percebeu que a crian a apesar de pensar a mesma coisa ela o faz de um modo diferente por meio de opera es mentais diferentes Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 86 Deste modo o autor reafirma a import ncia da linguagem como instrumento de pensamento destacando que a fun o planejadora da fala introduz mudan as qualitativas na forma de cogni o da crian a reestruturando algumas fun es psicol gicas como a mem ria a aten o volunt ria a forma o de conceitos etc A linguagem age assim na estrutura do pensamento e ferramenta b sica para a constru o de conhecimentos Ela atua para modificar o desenvolvimento e a estrutura das fun es psicol gicas superiores do mesmo modo que os instrumentos criados pelos homens modificam as formas humanas
257. s Ao se analisar os resultados da implementa o de algum projeto faz se necess rio antes de tudo conhecer as inten es e objetivos do mesmo para posteriormente se constatar quais deles foram atingidos De acordo com as Recomenda es Gerais para a Prepara o dos N cleos de Tecnologia Educacional do PROINFO estes n cleos devem ser estruturas descentralizadas de apoio permanente ao processo de introdu o de tecnologia nas escolas p blicas do ensino fundamental e m dio e dever o estar instalados em depend ncias escolares j existentes a fim de atender at Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 40 50 escolas atrav s de uma equipe composta por educadores professores multiplicadores e especialistas em Inform tica Ainda conforme o citado documento os NTEs se responsabilizam pelas seguintes a es a Sensibiliza o e motiva o das escolas para implementa o da tecnologia de informa o e comunica o b Apoio s escolas na elabora o de seus projetos de informatiza o estabelecendo um v nculo de parceria que deve facilitar a troca de informa es com as mesmas c Capacita o e reciclagem dos professores e das equipes administrativas das escolas d Realiza o de cursos especializados para as equipes administrativas das escolas e Apoio para a resolu o de problemas t cnicos decorrentes do uso do computador nas escolas f Assessoria pedag gica para o uso da tecnologia no processo
258. s alunos em rela o decis o tomada apenas um inconformismo em rela o ao fato do laborat rio fechar antes do final do turno Inicialmente tanto o grupo de controle quanto o grupo experimental tinham 49 sujeitos cada Para an lise deste estudo por m foram considerados apenas os alunos que frequentaram todas as aulas e responderam a todas as entrevistas e testes reduzindo o grupo de controle para 31 sujeitos 17 da turma de eletromec nica e 14 da turma de mec nica e o experimental para 39 sujeitos 20 da turma de eletr nica e 19 da turma de eletrot cnica 6 1 Metodologia O problema proposto foi o seguinte a combina o de uma seq ncia did tica utilizando o Princ pio de Cavalieri com o aux lio de um software de geometria din mica realmente facilita a compreens o das dedu es das f rmulas para o volume dos s lidos mais estudados no ensino m dio O uso de representa es espaciais na tela do computador realmente melhora a representa o mental de conceitos e objetos geom tricos pelos alunos A hip tese de trabalho adotada foi a de que se um software de geometria din mica possibilita que o aluno veja as constru es geom tricas de diferentes pontos de vista devido sobretudo possibilidade de movimenta o destas figuras observando as propriedades invariantes das constru es e se o Princ pio de Cavalieri permite uma abordagem mais intuitiva para justificar aquelas f rmulas ent o os estudantes t m
259. s NTE s do Brasil Um Estudo de Levantamento de Dados In XIII SBIE Simp sio Brasileiro de Inform tica na Educa o 2002 Anais S o Leopoldo RS pp 539 541 GIOVANNI J R GIOVANNI JR J R Matem tica Pensar e Descobrir S o Paulo FTD vol 3 s tima s rie 1996 312 p GRAVINA M A Geometria Din mica Uma Nova Abordagem para o Aprendizado da Geometria In VII SBIE Simp sio Brasileiro de Inform tica na Educa o 1996 Anais Belo Horizonte pp 1 13 GRAVINA M A SANTAROSA L M A Aprendizagem da Matem tica em Ambientes Informatizados In RIBIE 98 iv Congresso da Rede Ibero Americana de Inform tica Educativa 1998 Anais Eletr nicos Bras lia Centro de Conven es Ulysses Guimar es Dispon vel na internet via http www nice ufrgs br ribie98 TRABALHOS 117 PDF Arquivo consultado em jan de 2004 The Proof in Geometry essays in a dynamical environment In Proof and Proving in Mathematics Education ICME9 TSG 12 Anais T quio Makuhari 2000 GUARDA A Escola24 horas prepara expans o no Nordeste Gazeta Mercantil Nordeste Recife 25 jun 2001 Dispon vel em http www escola24h com br midia cfm start 11 Acesso em 11 abr 2004 199 GUIMAR ES L C Ferramentas Computacionais para o Ensino de Matem tica Dist ncia In VII ENEM Encontro Nacional de Educa o Matem tica UFRJ Anais Rio de Janeiro 2001 HERSHKOWITZ R Aspectos Psicol gicos da Aprendizagem da
260. s and potencialize its ability to visualize geometric concepts Quando um guerreiro erra em vez de reclamar do alvo deve procurar o erro em si mesmo e melhorar sua pontaria para poder evoluir Prov rbio rabe A Solange querida companheira e c mplice que sempre compreendeu a import ncia deste desafio para mim As minhas filhas Thaise e Sofia inspira es em todos os momentos A meus pais Francisco e Ilma as maiores refer ncias em minha vida AGRADECIMENTOS A elabora o de uma disserta o de mestrado um trabalho bastante solit rio que exige longos momentos de introspec o e reflex o por m para se chegar a esta etapa ningu m pode prescindir da companhia e da colabora o de outras pessoas Neste trabalho contei com o aux lio precioso de diversos profissionais colegas e amigos e tenho certeza que sem eles pouco ou nada teria caminhado Antes mesmo de relacionar as pessoas que estiveram comigo nesta caminhada devo lembrar e agradecer a Deus por n o ter permitido que se fosse a perseveran a e dedica o para que este trabalho se conclu sse A minha orientadora Prof Dr Adriana Benevides Soares que com sua paci ncia sempre me trouxe alento nos momentos mais dif ceis e inspira o para a continuidade dos trabalhos Ao Prof Dr Cabral Lima co orientador que com seu senso de humor sempre tornou esta caminhada mais leve e que com suas observa es precisas contribuiu para meu crescimento
261. s com um programa que suprisse suas necessidades na abordagem da geometria espacial Calques 3D um micro mundo planejado para a constru o observa o e explora o ou manipula o de figuras geom tricas espaciais gt Observa o permitindo que o usu rio veja e compreenda o espa o tridimensional modificando o sistema de refer ncia espacial eixos coordenados solo paredes etc escolhendo a perspectiva obl qua cavalera etc e modificando o ponto de vista do observador gt Constru o permitindo uma constru o din mica de figuras geom tricas a partir de objetos geom tricos elementares pontos retas planos etc e de suas propriedades primitivas paralelismo interse o perpendicularismo etc gt Explora o permitindo que o usu rio explore e descubra as propriedades geom tricas das figuras deformando as atrav s do arrastar de alguns pontos e modificando o ponto de vista do observador A interface deste programa permite um acesso bastante intuitivo e adapt vel pois o aluno n o necessita ter uma prepara o especial para utiliz lo e o professor pode decidir de acordo com a seq ncia did tica preparada por ele quais funcionalidades devem estar dispon veis ao estudante O Calques 3D foi desenvolvido na linguagem C 4 5 com cerca de 30000 linhas de c digo e est dispon vel para PC 486 ou superior e Windows 3 1 ou Windows 95 NT ou superior VAN LABEKE 2004 Cap tulo 3 A Infor
262. s de Piaget evolu ram para a compreens o das diferen as no racioc nio da crian a segundo os est gios de desenvolvimento mental Tal desenvolvimento ocorre segundo sua teoria principalmente atrav s das a es do sujeito com o mundo f sico e da equilibra o A equilibra o um processo de adapta o cognitiva ao ambiente em que a pessoa Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 75 busca um estado de equil brio cognitivo mesmo quando exposta a uma nova informa o STERNBERG 2000 Este processo envolve dois outros a assimila o e a acomoda o A assimila o o processo atrav s do qual uma pessoa incorpora uma informa o nova aos esquemas cognitivos j existentes e a acomoda o o processo pelo qual a pessoa modifica seus esquemas cognitivos para adaptar se a novos aspectos relevantes do ambiente STERNBERG 2000 Al m disso Piaget descreve o desenvolvimento cognitivo em est gios assim descritos gt Est gio I Sens rio motor 0 2 anos A crian a percebe o ambiente e age sobre ele A principal realiza o a perman ncia do objeto gt Est gio II Pr operat rio 2 6 anos A principal realiza o neste est gio o desenvolvimento da capacidade simb lica e ling stica A crian a se caracteriza pelo egocentrismo aten o focalizada nos estados mais que nas transforma es centra o irreversibilidade pensamento qualitativo transdu o etc gt Est gio III Opera
263. s diferentes Sim poss vel que tenha 3 lados diferentes e um ngulo maior que 90 Sim Porque pode apresentar outras medidas Sim contanto que os outros lados tenham medidas diferentes e que a soma deles seja de 180 14 poss vel que um tri ngulo equil tero seja tamb m ret ngulo Sim N o Justifique 15 poss vel que um tri ngulo equil tero seja tamb m acut ngulo Sim N o Justifique 16 poss vel que um tri ngulo eq il tero seja tamb m obtus ngulo Sim N o Justifique RSM SCB FLD FOS FVL RSM SCB FLD FOS FVL RSM SCB FLD FOS FVL RSM Sim pelo mesmo motivo Sim Porque sim N o n o existe tri ngulo eq il tero nessas condi es Sim Porque poder amos inverter seus lados atrav s de uma convers o N o pois n o pode fugir a regra do tri ngulo eq il tero de 3 lados iguais N o Sim N o sei Sim somente existe tri ngulo eq il tero nessa condi o Sim Porque assim a uma viabilidade maior no ngulo sic N o idem ao 14 N o Sim N o sei N o n o pode porque n o existe tri ngulo equil tero com ngulo maio que 60 sic N o Porque n o poder amos inverter seus lados iguais N o idem ao 14 N o 236 Sim pois tem que somar 180 Sim N o Porque os ngulos ser o sempre iguais 60 60 60 N o Porque todos os lado
264. s do tri ngulo equil tero possuem 60 N o pois no tri ngulo ret ngulo todos os seus ngulos medem 60 sic N o pois ele deve ter os tr s ngulos iguais N o ele n o possui ngulo de 90 Sim Porque ele ter 3 ngulos menores que 90 Sim Porque soma 180 cada um de seus ngulos de 60 sic Sim contanto que todos os lados possuam 60 Sim pois seus ngulos medem 60 Sim todos os ngulos medem menos que 90 N o Idem ao 14 N o Porque deve ter 60 cada ngulo N o pois a soma dos ngulos seria 0 maior que 180 N o pois seus 17 poss vel que um tri ngulo is sceles seja tamb m ret ngulo Sim N o Justifique 18 poss vel que um tri ngulo is sceles seja tamb m acut ngulo Sim N o Justifique 19 poss vel que um tri ngulo is sceles seja tamb m obtus ngulo Sim N o Justifique SCB FLD FOS FVL RSM SCB FLD FOS FVL RSM SCB FLD FOS FVL Sim N o sei Sim Sim Porque apresentaria v rtices iguais Sim um tri ngulo ret ngulo pode ter 3 lados diferentes Sim N o Porque os lados do tri ngulo is iceles tem que ser iguais sic Sim Sim Modificando seus v rtices Sim idem ao 17 Sim N o Porque os lados do is sceles tem ser iguais Sim N o Porque n o seria convexo Sim idem ao 17 237 ngulos medem 60 N
265. s e m nimos Nesta se o ser abordada apenas a evolu o do c lculo integral devido a sua rela o com o c lculo de volumes assunto central do trabalho de campo descrito no cap tulo 6 A evolu o do c lculo diferencial n o ser aqui tratada j que o assunto n o foi abordado durante as experi ncias realizadas na sala de aula Duas premissas est o relacionadas id ia de infinit simos a uma grandeza pode ser subdivida indefinidamente e b uma grandeza pode ser formada de partes at micas indivis veis De acordo com EVES 1992 h evid ncias de que essas suposi es remontam Gr cia Antiga O fil sofo grego Zen o de El ia que viveu por volta de 450 a C chamou a aten o para as dificuldades l gicas dessas suposi es com quatro paradoxos que tiveram grande influ ncia na matem tica a dicotomia o Aquiles a flecha e o est dio O da dicotomia que afirma que antes que um objeto possa percorrer uma dist ncia dada este deve percorrer a primeira metade desta dist ncia antes disso por m o objeto deve percorrer o primeiro quarto antes ainda o primeiro oitavo e assim por diante ad infinitum Segue se ent o Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 18 que o objeto jamais inicia seu movimento j que imposs vel fazer infinitos contatos em tempo finito BOYER 1985 p 55 No de Aquiles parecido com o anterior a subdivis o infinita progressiva em vez de regressiva Aquiles aposta corrid
266. s informam sobre as caracter sticas do processo de pensamento dos estudantes em geometria Os van Hiele perceberam que os problemas e tarefas apresentados s crian as requerem muitas vezes vocabul rio conceitos ou conhecimento de propriedades acima do n vel de pensamento do aluno Estes autores assinalam que numa sala de aula os alunos pensam em diferentes n veis diferem uns dos outros e evidentemente tamb m apresentam modos de pensar diferentes dos professores e costumam utilizar com frequ ncia palavras e objetos diferentes das empregadas por estes e pelos livros Deste modo quando o ensinamento ocorre num n vel acima ao do estudante o assunto n o bem assimilado e n o ficar retido por muito tempo na mem ria Conforme este modelo o crescimento cronol gico das idades n o necessariamente implica num crescimento nos n veis de pensamento e poucos alunos atingem o ltimo n vel o do rigor Um importante conceito que exerce grande import ncia na teoria de van Hiele o de insight que representa neste caso a capacidade do aluno em enfrentar uma situa o n o usual e desempenhar correta e adequadamente as a es requeridas por ela para finalmente desenvolver deliberadamente uma maneira de resolv la Portanto os estudantes t m um insight quando entendem o que est o fazendo por que est o fazendo algo e quando o fazem O quadro 2 1 relaciona os n veis do modelo de van Hiele e suas caracter sticas Pierre van Hiele
267. s sujeitos foram escolhidos os nomes fict cios Daniel Rafael Pedro Marcos e Mateus e no segundo eles receberam os nomes de Gabriel Miguel Lucas Jo o e Paulo Cap tulo 5 Estudo de Campo I 122 Inicialmente ser o apresentados os perfis dos dois grupos baseados nos testes de verifica o das aptid es de rela es espaciais de racioc nio abstrato e de racioc nio verbal A finalidade avaliar a homogeneidade ou a heterogeneidade entre os sujeitos de um mesmo grupo e comparar estas caracter sticas entre os dois grupos estudados Por se tratar de um estudo qualitativo na segunda parte desta se o ser feita uma an lise individualizada dos sujeitos investigados As descri es incluir o suas idades sexo e breve perfil escolar durante a realiza o dos estudos no ensino fundamental al m claro da an lise do desempenho individual nos testes de aptid o espec fica do DAT e dos pr e p s testes No caso dos sujeitos do grupo experimental a an lise tamb m abordar o desempenho individual durante o trabalho no laborat rio de inform tica a partir da verifica o do hist rico das tarefas realizadas no Tabul e das respostas nas fichas de atividades preenchidas durante as aulas e a compara o de suas respostas na entrevista II antes e depois da interven o realizada Finalmente as an lises anteriores ser o relacionadas e ser feita uma compara o entre os desempenhos dos alunos do grupo de controle e
268. sa no ensino fundamental O aluno deve ser encorajado a testar e refinar hip teses para se convencer das proposi es e dos resultados geom tricos e o computador faz a liga o entre os experimentos e o raciocino dedutivo proporcionando ao aluno a oportunidade de compreender uma prova rigorosa num n vel de ensino mais elevado 1 1 Motiva es H trabalhos que est o preocupados com o desenvolvimento da capacidade da crian a para representar objetos geom tricos assim como com o desenvolvimento da sua capacidade de visualizar perceber e criar imagens Entretanto quando se verifica que este aluno n o conseguiu este desenvolvimento ou o mesmo foi insuficiente ser que ainda existe alguma forma de alcan lo na adolesc ncia ou na fase adulta Em outras palavras ser poss vel desenvolver a capacidade de visualiza o em jovens e adultos com esta defici ncia Nesta fase da vida do aluno muitas vezes h resist ncia para a utiliza o de material concreto o que poderia facilitar tal empreitada O computador ent o poderia prestar uma boa contribui o Um software de geometria din mica poderia colaborar para este desenvolvimento Seria poss vel elaborar sequ ncias did ticas com o aux lio deste tipo de software para desenvolver e ou aperfei oar a capacidade de visualiza o destes alunos Os sujeitos dos estudos desenvolvidos nesta disserta o eram alunos de cursos t cnicos de eletr nica mec nica eletromec nica e
269. sci ncia de poss veis tradu es erradas ou incoerentes A compreens o do problema ou a sua tradu o tamb m pode ser influenciada pelo significado que as caracter sticas ling sticas evocam ou pelo choque com os conhecimentos cotidianos que o sujeito possui ECHEVERR A 1998 cita os seguintes problemas gt Problema 1 Pedro tem 4 bal es Maria tem 5 bal es a mais do que Pedro Quantos bal es tem Maria gt Problema 2 Pedro tem 4 bal es Maria tem 5 bal es Quantos bal es t m os dois juntos Segundo a autora o primeiro deles mais dif cil de resolver pois mesmo que ambos possam ser resolvidos com uma simples soma e os dados sejam os mesmos o primeiro evoca uma compara o entre duas quantidades enquanto o segundo requer apenas uma combina o Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 95 entre os dois conjuntos estando mais pr ximo do conhecimento esquem tico sobre a adi o nos alunos que est o iniciando seus estudos em aritm tica Uma outra observa o importante desta autora diz respeito ao choque que o confronto entre os conhecimentos organizados no sujeito pode provocar pois um problema pode lev lo a um certo esquema matem tico por m um esquema do mundo pode contradizer o primeiro Para exemplificar tal fato ECHEVERR A 1998 menciona um exemplo tirado do livro Processos Cognitivos de Luria colaborador de Piaget sujeitos adultos do Uzbequist o com baixa escolaridade deveri
270. seguinte desempenho fez 17 pontos no teste de rela es espaciais percentil de 10 30 3 no teste de Cap tulo 5 Estudo de Campo I 131 racioc nio abstrato percentil de 40 e apenas 3 pontos no teste de racioc nio verbal percentil 1 No pr teste de geometria Rafael acertou 32 35 das quest es propostas obtendo sucesso principalmente nos conceitos de tri ngulos e suas classifica es Inicialmente por m ele apresentou d vidas quanto compreens o do conceito de tri ngulo escaleno dizendo que o mesmo possui os mesmos lados iguais e em rela o ao tri ngulo obtus ngulo deixando em branco quando foi solicitado a dar a sua defini o Nas quest es que relacionavam os diversos tipos de tri ngulos Rafael apresentou dificuldades acertando algumas poucas dessas rela es errando outras ou deixando em branco as justificativas para as respostas Nas quest es relativas s cevianas do tri ngulo ele demonstrou desconhecer os conceitos de altura e mediana errando os tr s tra ados para as medianas e deixando em branco as demais quest es por m no caso das bissetrizes ele acertou todos os exemplos propostos deixando em branco a defini o parecendo compreender o conceito mas com dificuldades para verbaliz lo talvez Mesmo ap s a segii ncia de aulas Rafael apresentou um fraco desempenho no p s teste de conhecimento geom trico acertando apenas 44 12 das quest es e ainda deixando muitas delas em branco
271. sobre os softwares educacionais Em 1977 KEMMIS ATKIN amp WRIGHT no livro How Do Students Learn descrevem quatro paradigmas educacionais em que a utiliza o de software educativo pode ser inserida instrucional revelat rio conjectural e emancipat rio UNDERWOOD amp UNDERWOOD 1990 Os quais podem ser assim descritos gt O Paradigma instrucional que inclui a instru o programada e exerc cio e pr tica gt O Paradigma revelat rio em que o aluno faz descobertas atrav s simula es Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 48 gt O Paradigma conjectural em que o computador um instrumento para constru o e avalia o de modelos gt O Paradigma emancipat rio em que o computador uma ferramenta para a manipula o de n meros e ou textos ou para tratamento e recupera o de informa o liberando o usu rio para concentrar se no processo de aprendizagem Estes paradigmas n o eram vistos como categorias mutuamente exclusivas pois no caso do tratamento e recupera o da informa o por exemplo classificado inicialmente no paradigma emancipat rio tamb m poderia servir para testar hip teses e construir modelos o que o colocaria no paradigma conjectural UNDER WOOD amp UNDERWOOD 1990 Estes autores relacionam cada um dos paradigmas acima s quatro condi es para aprendizagem descritas por R M Gagn no seu livro intitulado The Conditions of Learning 1970 gt Aprendizagem i
272. spectivas Orientadora Miriam Godoy Penteado UNESP 2002 119p Disserta o Mestrado em Educa o Matem tica Ap ndice A ETE SE Viscond FAZJZC SG i Governo do Estado do Rio de Janeiro Funda o de Apoio Escola T cnica Escola T cnica Estadual Visconde de Mau Curso de Geometria Euclidiana Plana com o uso do Computador Professor George de Souza Alves Caderno de Atividades 2003 204 1 Introdu o A Geometria que estudamos no ensino fundamental e m dio recebeu o nome de Geometria Euclidiana em homenagem a um matem tico grego chamado Euclides que viveu em Alexandria por volta de 300 a C Ele juntou todo o conhecimento matem tico existente at a sua poca em 465 proposi es distribu das em treze livros denominados de Elementos Os textos de Geometria Plana e Espacial encontrados em livros did ticos trazem basicamente o material que se encontra nos livros I HI VI XI e XII dos Elementos Neste curso estudaremos alguns dos conceitos defini es e resultados encontrados naqueles livros utilizando o computador como ferramenta atrav s de um programa chamado Tabulce O nome Tabul era dado ao conjunto de t buas de cera que os antigos gregos e romanos usavam para rabiscar mensagens e diagramas O objetivo do programa exatamente este o de servir de rascunho para realizarmos nossas constru es geom tricas Abaixo voc pode observar a tela inicial do Tabulce com os seus principais elementos
273. ssos da explora o e questione exaustivamente o aluno Al m disso n o dispomos no mercado de uma gama de softwares com qualidade e adequa o para o desenvolvimento cognitivo afetivo dos alunos A maioria deles conduz a uma atividade mec nica e repetitiva que desperta s momentaneamente a motiva o e deixa para o professor o trabalho de provocar a reflex o dos educandos ALVES 2003 p 16 gt Abordagem Construcionista VALENTE 1993 constata que os softwares desta categoria s o aqueles em que o computador utilizado como uma ferramenta educacional e CYSNEIROS 1996 afirma que eles s o uma forma de aplica o dos recursos inerentes ao ensino e aprendizagem de conte dos espec ficos Este tipo de software tem como fundamento a Epistemologia Gen tica e as Teorias Cognitivistas e pode ser representado por processadores de texto pesquisa de banco de dados resolu o de problemas de diferentes dom nios do conhecimento softwares de geometria din mica e linguagens de computador como o LOGO por exemplo Atrav s dos programas desta abordagem o aluno necessita demonstrar seu conhecimento ao computador a fim de indicar as opera es que devem ser processadas para produzir os resultados desejados enquanto o professor deve esfor ar se para compreender o processo mental que o aluno utilizou para estimul lo question lo ajud lo a interpretar as respostas e colocar novos desafios que possam auxili lo na compreens o de uma
274. ssui computador em casa mas costuma usar esta ferramenta de uma a duas vezes por semana na escola e domina o Windows eo Word Durante o ensino fundamental a maior dificuldade que Paulo encontrou foi em matem tica e os estudos nesta disciplina inclu ram a geometria Naquele n vel de ensino ele estudou tanto em escola p blica quanto em particular no regime regular diurno Paulo nunca realizou atividade profissional e est fazendo o ensino m dio para ampliar seus conhecimentos Durante os testes de aptid es espec ficas da bateria DAT Paulo apresentou o seguinte desempenho fez 3 pontos no teste de rela es espaciais percentil de 1 29 no teste de racioc nio abstrato percentil de 40 e apenas 14 pontos no teste de racioc nio verbal percentil 10 No pr teste de conhecimento geom trico Paulo acertou 41 18 das quest es demonstrando dominar defini es b sicas como a de tri ngulo e de seus tipos e compreender superficialmente a maioria das rela es entre eles Estas rela es a princ pio n o foram corretamente justificadas Cap tulo 5 Estudo de Campo I 148 Paulo errou os tr s exemplos dos exerc cios relativos a tra ar a altura a mediana e a bissetriz do tri ngulo no pr teste e expressou com muita imprecis o as defini es para estas cevianas altura quando uma linha tra ada para determinar a altura mediana a divis o a partir do ponto de interse o e a divis o tamb m
275. t a ele Segundo POLYA 1995 esta fase permite que o professor mostre a seus alunos as rela es do problema trabalhado com outros problemas matem ticos Por m a utiliza o desses procedimentos n o garante por si s o sucesso na resolu o de um problema pois as estrat gias apresentadas s o m todos vagos e bastante gerais ECHEVERR A amp POZO 1998 Ainda segundo estes autores estas regras foram aprendidas atrav s da apresenta o reiterada de tarefas similares que contribu ram para automatizar m todos de solu o que os alunos n o possu am previamente entretanto as diferen as na utiliza o de estrat gias n o dependem em grande parte de que a pessoa conte com regras suficientes mas tamb m dependem das caracter sticas do conte do ao qual se aplicam e das instru es que o acompanham 4 3 2 A Solu o de Problemas como um Processo Espec fico De acordo com esta concep o n o h regras gerais teis para a solu o de qualquer problema j que estes m todos como o proposto por POLYA 1995 s o insuficientes e apenas orientadores Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 91 Neste sentido comparar o rendimento de pessoas com diferentes n veis de per cia numa determinada rea ou conte do tem sido um bom recurso para compreens o e identifica o dos processos psicol gicos envolvidos na solu o de um problema ECHEVERR A amp POZO 1998 Alguns pressupostos costumam ser dest
276. t gios de desenvolvimento cognitivo em que se encontra levando em considera o as diferen as individuais Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 74 4 1 Construtivismo cognitivista de Piaget 4 1 1 Principais Aspectos da Teoria Piagetiana Um dos primeiros trabalhos de Jean Piaget na rea de psicologia foi em Paris com Binet co autor do primeiro teste de intelig ncia juntamente com Simon Sua tarefa consistia na tabula o do n mero de respostas corretas que as crian as de v rias idades davam a quest es padronizadas Piaget por m acabou tamb m se interessando pela consist ncia das respostas erradas destas crian as dentro da mesma faixa et ria dando lhe uma das id ias centrais de sua teoria a de que a intelig ncia de crian as mais novas qualitativamente diferente da das mais velhas A diferen a n o era quantitativa porque ele n o considerava o maior ou o menor n mero de itens respondidos corretamente e sim a forma de pensar dos diferentes grupos estudados Assim Piaget rejeitou os testes padronizados de intelig ncia dando prefer ncia maior flexibilidade do m todo clinico Ele realizou uma s ntese original entre os m todos utilizados por Freud Bleuler e outros ao estudo da intelig ncia Al m disso a partir de seus estudos de l gica verificou que crian as antes de aproximadamente 11 anos de idade n o eram capazes de executar certas opera es l gicas A partir da os estudo
277. ta chame o de ponto A Selecione novamente o ponto A e o primeiro segmento de reta desenhado no item 1 V ao menu CONSTRUIR e escolha C rculo e C rculo por Centro e Segmento 4 Selecione a circunfer ncia resultante e a semi reta V ao menu CONSTRUIR escolha Ponto e Ponto de Interse o Chame o ponto criado de ponto B 5 Selecione o ponto B e o segundo segmento criado no item 1 V ao menu CONSTRUIR e escolha C rculo e C rculo por Centro e Segmento 6 Repita o procedimento anterior selecionando o ponto A e o terceiro segmento desenhado no item 1 7 Selecione as circunfer ncias desenhadas nos itens 5 e 6 V ao menu CONSTRUIR escolha Ponto e Ponto de Interse o Entre os dois pontos criados selecione o de baixo V ao menu v ao menu EXIBIR e escolha ESCONDER OBJETOS Chame o ponto de cima de C 215 8 Selecione todas circunfer ncias v ao menu EXIBIR e escolha ESCONDER OBJETOS 9 Selecione nesta ordem os pontos B e C V ao menu CONSTRUIR escolha Semi reta e Semi reta por dois pontos 10 Selecione nesta ordem os pontos C e A V ao menu CONSTRUIR escolha Semi reta e Semi reta por dois pontos ATIVIDADE 8 NGULOS E TRI NGULOS l Com o tri ngulo construido na atividade 1 selecione um ponto fora do tri ngulo sobre a semi reta que passa pelos pontos A e B e chame o de L 2 Crie pontos fora do tri ngulo sobre as outras duas semi retas a que passa pelos pontos B e C e a que passa pelos p
278. ta que forma 228 tr s lados diferentes e um ngulo menor que 90 Sim n o sei Sim independem das medidas dos ngulos Sim Sim dois lados iguais podem formar o ngulo obtuso Sim porque ele pode ter tr s lados diferentes e um ngulo maior que 90 Sim n o sei Sim idem ao anterior Sim Acertou os dois primeiros casos Errou os tr s casos Acertou os dois primeiros casos Acertou apenas o primeiro caso Acertou os dois primeiros casos a linha que divide um tri ngulo em duas partes e s vezes forma 90 pra mim o comprimento dos tri ngulos a altura de uma extremidade a outra sic a altura que est posicionada relativamente ao lado uma reta que faz 22 Trace as medianas BBA relativas aos lados destacados nos tri ngulos abaixo BGF GSC JSS LDC 23 Tente dizer com suas ses pr prias palavras o que mediana relativa a um dado lado num tri ngulo BGF GSC JSS LDC 24 Trace as bissetrizes Sem relativas aos v rtices assinalados nos tri ngulos abaixo BGF 90 Errou os tr s casos Em branco Em branco Em branco Em branco Em branco Em branco Em branco Em branco Em branco Apenas assinalou a divis o do ngulo e tra ou o segmento mas n o indicou que eles estavam divididos pela metade Acertou os tr s casos 229 um ngulo de 90 com a base e se liga ao ponto mais alto
279. tador em casa e n o tem por h bito us lo em qualquer outro lugar Cap tulo 5 Estudo de Campo I 128 Quando fez sua escolha para assistir as aulas no Projeto Matem tica Zero Daniel declarou que sua op o por participar deste grupo foi por considerar que a sala de aula o ambiente ideal para aprender geometria Durante os testes de aptid es espec ficas da bateria DAT Daniel apresentou o seguinte desempenho fez 34 pontos no teste de rela es espaciais percentil de 35 35 8 no teste de racioc nio abstrato percentil de 80 e apenas 6 pontos no teste de racioc nio verbal percentil 3 Ele acertou 47 06 do pr teste de conhecimento geom trico dominando desde o in cio as defini es b sicas tais como as de tri ngulos e suas classifica es por m mesmo respondendo corretamente boa parte das quest es que relacionavam estas classifica es ele apresentou dificuldades para justificar seu racioc nio deixando em branco boa parte das respostas relacionadas ao assunto Na quest o para tra ar alturas Daniel acertou os dois primeiros tri ngulos que s o acut ngulos portanto mais pr ximos dos casos protot picos dos livros did ticos por m no segundo caso foi solicitando que fosse tra ada a altura de um lado que n o correspondia base do mesmo um exemplo portanto n o protot pico Entretanto ele errou o terceiro caso um tri ngulo obtus ngulo exemplo pouco encontrado em livros did ticos No momento que
280. te de rela es espaciais percentil de 45 38 75 pontos no teste de racioc nio abstrato percentil de 80 e 22 pontos no teste de racioc nio verbal percentil 45 No pr teste de conhecimento geom trico Jo o acertou apenas 17 65 das quest es apresentando d vidas mesmo nas defini es mais b sicas para os tipos de tri ngulo tal como ele o fez para o tri ngulo obtus ngulo por exemplo dizendo que era quando tem um lado com A 0 ngulo menor que 90 Cap tulo 5 Estudo de Campo 1 150 Decorrente destas d vidas Jo o tamb m encontrou dificuldades para relacionar os tipos de tri ngulo Na parte referente s cevianas ele errou todos os exemplos para tra ar altura mediana e bissetriz nos tri ngulos indicados dizendo que infelizmente n o sei explicar ou deixando em branco quando solicitado que definisse cada uma delas No p s teste Jo o deu um salto para 61 767 de acertos representando um crescimento de 250 em rela o ao pr teste o maior do grupo Mesmo havendo este crescimento consider vel ele continuou n o compreendendo a condi o de exist ncia do tri ngulo mas mostrou alguma evolu o nesta compreens o No pr teste ele disse que bastava juntar as 3 ripas agrupando as formando um tri ngulo escaleno e passou a dizer que pro tri ngulo existir a soma de alguns dos lados tem que se maior que a do lado que sobrou As defini es tamb m se aperfei oaram Por exemplo ele in
281. teragia bastante com os outros sujeitos trocando impress es Tudo isso parece ter contribu do para a melhora que ele apresentou no p s teste pois desta vez acertou 61 76 das quest es dando um salto de 137 5 em rela o ao pr teste Sobretudo os conceitos mais simples parecem ter passado a fazer mais sentido para Miguel agora ele assim definia tri ngulo escaleno possui os 3 lados 4 tri ngulo is sceles possui 2 lados iguais etc Quanto ao relacionamento entre os tipos de tri ngulo ele acertou todas as quest es sendo que desta vez algumas delas apresentaram justificativas corretas demonstrando uma melhor apreens o dos conceitos tri ngulo escaleno tri ngulo ret ngulo sim porque o tri ngulo pode ter 3 lados diferentes e um ngulo de 90 tri ngulo eguil tero tri ngulo ret ngulo n o porque todos os lados do tri ngulo equil tero possuem 60 Neste ltimo caso mesmo ele trocando ngulos por lados j demonstra que o racioc nio faz sentido Em outros casos sua justificativa permanecia incorreta e sem fazer sentido tri ngulo is sceles tri ngulo acut ngulo sim porque podem os outros dois serem iguais Em rela o s cevianas continuou demonstrando n o compreender o conceito de altura deixando ainda em branco a quest o que solicitava os tra ados das mesmas nos tri ngulos indicados e agora definindo a da seguinte forma divide o ngulo em 90 Ele acer
282. terminam arquivadas em prateleiras das bibliotecas universit rias sem chegarem sala de aula e a outra se refere s pesquisas que retiram o aluno da sala de aula colocando o em situa es artificiais tais como em entrevistas cl nicas ou sess es especiais sob controle do pesquisador com o risco de negligenciar importantes aspectos como por exemplo o cumprimento do programa e a avalia o promo o dos alunos BALDINO 1993 ressalta por m que a dimens o de pesquisador do professor n o deve ser confundida como uma capacidade j inerente a todo professor Como se fosse suficiente para realizar uma pesquisa seguir a sequ ncia preparar aulas relatar diariamente os fatos e preocupar se em mudar ou melhorar o ocorrido O temor que a figura do professor pesquisador venha a diluir as condi es de rigor e cientificidade da pesquisa numa pr xis generalizada O papel do professor se caracteriza por ser ele o respons vel pela reg ncia de um contrato de trabalho did tico pedag gico em sala de aula ainda que os termos deste contrato estejam expl citos ou impl citos enquanto o papel do pesquisador se caracteriza pela busca cont nua de solu es ou respostas a problemas ou perguntas sobre um tema definido elucidando causas e efeitos ou aproximando se da compreens o de um fen meno movido por uma inquieta o gerada em sua trajet ria de vida Cap tulol Introdu o 3 As distintas fun es do professor e do pesqu
283. terse o como o plano x e os volumes de cada um deles b Desloque o plano x para cima e para baixo e observe a varia o das reas das se es e dos volumes dos s lidos O que voc observa As reas s o iguais E os VOSSO ao sa is a o E c PORQUE ISSO ocorre is ramo is ira aa ne in E O T iiai Abra agora o arquivo X3 e repita os mesmos procedimentos anteriores ou seja determine as reas das se es planas e os volumes dos s lidos e desloque o plano 7 observando os valores obtidos O que ocorre desta Vez parar s A Ds UT SU SS ra POr QUO aus a ia O a ad DR AR Ca DD EA Imagine que dois s lidos quaisquer S e S2 como mostra o desenho abaixo estejam apoiados sobre um plano horizontal a e que qualquer plano horizontal n determina nos s lidos S e S2 245 as se es planas sie sz respectivamente elas s o interse es do plano n com os s lidos S e S Imagine agora que os s lidos S e S2 e o plano horizontal o sejam fixos e que o plano 7 paralelo ao plano a seja m vel As se es sie ss mudar o de forma e extens o Suponha que o plano horizontal x se desloque ele pode inclusive coincidir com o e que em qualquer posi o que ele ocupe a se o s tenha a mesma rea da se o s2 Cavalieri garantia que se isso ocorresse os volumes dos s lidos S e Sz seriam iguais Princ pio de Cavalieri Sejam S e Sz dois s lidos quaisquer Se todo plano horizontal x seciona S
284. tes que a teoria piagetiana parecia supor Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 80 Assim mesmo a teoria de est gios continua a ter importantes defensores Os te ricos neopiagetianos em particular continuam a desenvolver modelos de est gios que tentam manter os insights do trabalho de Piaget ao mesmo tempo em que descartam algumas de suas caracter sticas menos promissoras tais como as estruturas l gico matem ticas e incorporam nfases modernas n o consideradas por Piaget tais como as mudan as na capacidade de processamento da informa o O sucesso destas teorias ainda uma quest o aberta Mas de acordo com FLAVELL MILLER amp MILLER 1999 dif cil acreditar que o desenvolvimento cognitivo n o possua algumas propriedades dos est gios gerais como um todo E por isso parece prov vel que o estudo dos est gios ou pelo menos de suas propriedades continuar 4 2 S cio Construtivismo de Vigotsky O principal foco das preocupa es de Lev Semenovitch Vigostsky e de seus colaboradores especialmente Luria e Leontiev foi o desenvolvimento do indiv duo e da esp cie humana como resultado de um processo s cio hist rico Esta vis o possivelmente foi influenciada pelo momento hist rico em que suas id ias foram geradas a Revolu o Russa de 1917 Vigotsky considerava que as origens da vida consciente e do pensamento abstrato estavam na intera o do sujeito com as condi es de vida social e nas f
285. teste e no p s teste a distribui o dos sujeitos pelos percentis apresentou uma pequena altera o nos intervalos de percentis de 26 a 50 e de 51 a 75 Inicialmente eram 41 93 dos sujeitos deste grupo na primeira faixa e 32 26 na segunda faixa Ap s a segunda aplica o dos testes estes resultados passaram a ser respectivamente 38 71 e 35 48 Quadro 6 14 Resumo do desempenho obtido pelos sujeitos dos dois grupos no teste de raciocino espacial da bateria BPR 5 antes e ap ss as aulas ministradas para o trabalho de campo GRUPO DE CONTROLE GRUPO EXPERIMENTAL Percentis PR TESTE P S TESTE PR TESTE P S TESTE Racioc nio Espacial Racioc nio Espacial Racioc nio Espacial Racioc nio Espacial N N N N 0 25 7 22 59 7 22 59 13 33 33 8 20 52 26 50 13 41 93 12 38 71 9 23 09 11 28 21 51 75 10 32 26 11 35 48 14 35 89 14 35 89 76 100 1 3 22 1 3 22 3 7 69 6 15 38 TOTAIS 31 100 31 31 39 100 39 100 Na distribui o por faixas de percentis dos sujeitos do grupo experimental se observa alguma mudan a no in cio eram 33 33 dos sujeitos deste grupo com percentil de O a 25 sendo Cap tulo 6 Estudo de Campo II 185 que posteriormente esta faixa se reduziu a 20 52 dos indiv duos no intervalo de percentil entre 26 e 50 inicialmente eram 23 09 passando a 28 21 no intervalo de percentil 51 a 70 apresentava 35 89 de sujeitos antes das aulas e permaneceu do mesmo tamanho o sub grupo com este desempenho ap s as aulas No interva
286. teste t para compara o do pr com o p s teste de racioc nio espacial da bateria BPR 5 no grupo experimental e no grupo de controle Quadro 6 16 Resultados do teste t para compara o do grupo experimental com o grupo de controle no teste de racioc nio espacial da bateria BPR 5 173 176 177 179 180 181 183 184 185 186 LISTA DE FIGURAS Figura 1 1 Esquema com a metodologia geral dos trabalhos de campo realizados Figura 2 1 Posi es relativas ocupadas pelos corpos do paradoxo do est dio num dado instante Figura 2 2 Posi es relativas ocupadas pelos corpos do paradoxo do est dio num instante imediatamente posterior ao mostrado na figura 2 1 Figura 2 3 Se o transversal de um cilindro uma esfera e um cone para a determina o da f rmula do volume da esfera atrav s do m todo de equil brio de Arquimedes Figura 2 4 Pilhas de folhas com a mesma quantidade de papel arrumadas de diferentes maneiras Figura 2 5 Ilustra o da aplica o do Princ pio de Cavalieri para a determina o da f rmula do volume da esfera Figura 3 1 Esquema sobre o processo ensino aprendizagem atrav s do computador Figura 3 2 Exemplo de ret ngulo mal constru do 1 ap s o arrastar do mouse podem ser gerados os trap zios ii e 111 Figura 3 3 1 ret ngulo constru do sobre retas utilizando as suas propriedades ii ret ngulo com as retas ocultas e iii ret ngulo obtido ap s uma movimenta o d
287. titu do por sujeitos que utilizaram um software de Geometria Din mica o chamado grupo experimental e um outro constitu do por aqueles que n o utilizaram o sofiware o grupo de controle A finalidade foi estabelecer uma compara o entre os diferentes resultados obtidos Figura 1 1 Esquema com a metodologia geral dos trabalhos de campo realizados Cap tulol Introdu o 9 1 3 Organiza o do texto Esta disserta o se inicia reunindo temas relacionados ao conhecimento geom trico que foram importantes para a realiza o do trabalho Deste modo o cap tulo 2 cont m uma breve hist ria da geometria desde os prim rdios em que o homem pr hist rico j fazia observa es e especula es sobre configura es f sicas e comparava formas e tamanhos at o surgimento das geometrias n o euclidianas destacando apenas os acontecimentos mais significativos Neste mesmo cap tulo tamb m descrita a evolu o dos conceitos de infinit simos ou indivis veis onde se situa o Princ pio de Cavalieri assunto central do trabalho de campo descrito no cap tulo 6 H ainda um breve relato sobre o desenvolvimento hist rico do processo de ensino aprendizagem da geometria no mundo e no Brasil e uma exposi o do modelo de desenvolvimento do pensamento geom trico dos van Hiele que serviu de refer ncia para a elabora o das atividades apresentadas aos alunos nos trabalhos de campo O cap tulo 3 contextualiza o trabalho realizado men
288. tivo e pensamento reprodutivo feita pela Gestalt em que o pensamento produtivo consiste na produ o de novas solu es a partir de uma organiza o dos elementos do problema enquanto que o pensamento reprodutivo consiste na aplica o de m todos j conhecidos Distin o semelhante quela feita entre problema e exerc cio O segundo enfoque se refere distin o baseada nas caracter sticas da tarefa A classifica o mais utilizada neste enfoque a que diferencia problemas bem definidos de problemas mal definidos Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 89 O problema bem definido ou estruturado aquele em que poss vel identificar com clareza se foi obtida uma solu o j o problema mal definido ou mal estruturado aquele cujas normas ou regras que determinam os passos que devem ser dados para a sua solu o s o menos claras e espec ficas e al m disso pode admitir mais de uma solu o ECHEVERR A amp POZO 1998 consideram que com exce o dos exerc cios n o existem problemas totalmente bem definidos nem problemas totalmente mal definidos excetos aqueles que n o admitem solu o Al m disso h muito mais exemplos de problemas mal definidos no campo das Ci ncias Humanas que nas Ci ncias da Natureza e na Matem tica pela pr pria natureza destas ltimas Evidentemente que as diferen as entre estes dois tipos de problemas podem acarretar distintos procedimentos para suas resolu es por
289. to as aulas tradicionais n o foram suficientes para a evolu o de seu aprendizado 5 2 2 1 3 Pedro Pedro tem 15 anos e nunca trabalhou Seus estudos durante o ensino fundamental foram feitos em escola particular no regime regular diurno e sua maior dificuldade foi com a matem tica sendo que nunca havia estudado geometria antes Este adolescente possui computador em casa e o utiliza mais de cinco vezes na semana tanto em sua casa quanto no laborat rio da escola A op o pelas aulas cl ssicas durante a realiza o da experi ncia para este estudo foi devido ao hor rio mais conveniente O ensino m dio em sua concep o serve como prepara o para o vestibular Durante os testes de aptid es espec ficas da bateria DAT Pedro apresentou o seguinte desempenho fez 10 pontos no teste de rela es espaciais percentil de 3 n o pontuou no teste de racioc nio abstrato percentil de 0 e apenas 19 pontos no teste de racioc nio verbal percentil 30 Pedro tamb m apresentou um baixo rendimento no pr teste de conhecimento geom trico acertando 11 76 da prova o pior entre todos os sujeitos deste estudo incluindo os deste grupo e os do grupo experimental Mesmo em conceitos mais simples como o de tri ngulos ele dizia inicialmente que era um objeto de tr s pontas Ao menos ele parecia compreender o que era ngulo reto agudo e obtuso mas n o dominava outros conceitos tri ngulo eq il tero possui dois lados ig
290. to em rela o s quest es que solicitavam o tra ado da altura mediana e bissetriz dos tri ngulos indicados por m este foi menor quando o sujeitos eram solicitados a definir estas cevianas 5 3 Discuss o dos Resultados Para comparar os resultados obtidos pelos sujeitos do grupo de controle e do grupo experimental foi levado em considera o o n mero total de respostas corretas dos sujeitos dos dois grupos sobre o n mero total de quest es propostas na entrevista II que corresponde ao teste de conhecimento geom trico antes e depois do trabalho de campo realizado isto foi considerado o percentual de acertos de cada um dos sujeitos Deve se aqui ressaltar que durante a aplica o das entrevistas foi solicitado ao aluno que n o utilizasse o recurso do desenho como aux lio a seu racioc nio A finalidade foi verificar se houve algum avan o dos alunos com rela o representa o mental de conceitos relacionados a tri ngulos ou seja se houve algum desenvolvimento na habilidade de visualizar tais objetos Houve exce o apenas em tr s quest es que solicitavam o tra ado da altura mediana e bissetriz em tr s desenhos de tri ngulos sugeridos Os resultados obtidos por todos os sujeitos no pr teste j haviam sido apresentados no quadro 5 3 O quadro 5 4 mostra novamente estes resultados preliminares e acrescenta os desempenhos no p s teste e os ganhos percentuais dos sujeitos em rela o aos valores iniciais j
291. tou os tr s desenhos para a mediana e para a bissetriz no p s teste mas ainda deixou em branco as defini es Cap tulo 5 Estudo de Campo I 145 Os resultados iniciais demonstrados por Miguel podem indicar a dispers o verificada durante o trabalho O que se verificou foi um grande crescimento deste aluno considerando principalmente o amadurecimento de algumas justificativas e uma maior precis o para algumas defini es H ind cios de progressos em sua capacidade de visualizar conceitos relacionados a tri ngulos 5 2 2 2 3 Lucas A maior dificuldade que Lucas de 17 anos encontrou no ensino fundamental foi em hist ria e geografia Seus estudos naquele n vel de ensino foram feitos em escola p blica no regime regular diurno e inclu ram a geometria Ele nunca realizou qualquer atividade profissional e est fazendo o ensino m dio para ampliar seus conhecimentos Lucas possui computador em casa e o utiliza mais de cinco vezes por semana tanto em casa quanto na escola Ele domina o Windows o Excell o Word e o Power Point mas nunca teve aulas de alguma disciplina da forma o geral com o computador A op o por assistir as aulas assistidas por computador foram porque n o havia hor rio mais adequado a sua disponibilidade Durante os testes de aptid es espec ficas da bateria DAT Lucas apresentou o seguinte desempenho fez 47 pontos no teste de rela es espaciais percentil de 50 42 no teste de racioc nio abstr
292. tro A inesperada duplica o de custo neste caso dif cil de aceitar Recentes investiga es da psicologia das prefer ncias t m demonstrado v rias discrep ncias entre as concep es subjetivas e objetivas na tomada de decis o Por exemplo a perda tem um impacto maior que a possibilidade equivalente de ganho Al m dos fatores que influenciam na tradu o de uma tarefa para representa es matem ticas tamb m devem ser consideradas as t cnicas e estrat gias para a solu o de problemas Embora o conhecimento destas t cnicas representem uma condi o necess ria para a solu o de determinados tipos de problemas n o parece ser uma condi o suficiente ECHEVERR A 1998 De acordo com ECHEVERR A 1998 h trabalhos que concluem que n o basta informar aos alunos sobre os diferentes procedimentos heur sticos teis para a resolu o de problemas para que eles os usem em suas tarefas escolares Para usar este tipo de problema necess rio que tenham aprendido a regular e controlar sua pr pria atividade ou que o professor realize este controle Deste modo o professor de matem tica deve ser ao mesmo tempo um modelo do comportamento que se deve adotar na solu o de problemas e um treinador de modo que as Cap tulo 4 O Modelo Cognitivo do Conhecimento 99 habilidades e t cnicas que o aluno possui sejam usadas de forma estrat gica na resolu o dos problemas 4 4 Representa o do Conhecimento A
293. tuguesa b Matem tica c Ci ncias d Hist ria e Geografia f Educa o F sica h Nenhuma 7 Durante o ensino fundamental na disciplina de Matem tica voc estudou Geometria a Sim b N o 8 Voc possui computador em casa 221 a Sim b N o 9 Com que fregii ncia voc costuma usar o computador a Nunca b uma a duas vezes por semana c 3 a 5 vezes por semana d mais de 5 vezes por semana 10 Caso j utilize o computador onde isto ocorre com mais frequ ncia a em casa b no trabalho c na escola d em casa e no trabalho e na escola e em casa f no trabalho e na escola g no trabalho na escola e em casa 11 O que voc sabe utilizar no computador a Windows b Word c Excell d Power Point e Outros programas f Nada 12 Voc j teve aula de alguma disciplina no computador a Sim Quais b N o 13 Qual o ambiente que voc escolhe para assistir as aulas do Projeto Matem tica Zero a Sala de aula tradicional b Biblioteca virtual da escola 24 horas 14 Por que voc fez esta escolha a Por ter um hor rio mais adequado minha disponibilidade b Porque considero que a sala de aula comum o melhor ambiente para aprender geometria c Porque tenho curiosidade em aprender geometria atrav s do computador Quest es 1 Com suas palavras tente definir a ngulo reto b ngulo agudo c ngulo obtuso 2 O
294. uais e um diferente Cap tulo 5 Estudo de Campo I 134 tri ngulo is sceles um tri ngulo que possui um ngulo de 90 acut ngulo em branco obtus ngulo em branco Apenas acertou o que era um tri ngulo ret ngulo nesta parte Ao relacionar estes conceitos ele apenas respondia sim ou n o sem justificar suas respostas e ainda assim errando a maioria Pedro errou ou deixou em branco todas as quest es relativas s cevianas do tri ngulo no pr teste No teste de conhecimento geom trico aplicado ap s as aulas o desempenho de GSC evoluiu para 55 88 de acertos tendo um ganho de 375 o maior entre todos os sujeitos do estudo Tal fato talvez se justifique por ele n o ter estudado geometria no ensino fundamental a interven o realizada mesmo que de forma tradicional com aulas cl ssicas trouxe informa es que ele desconhecia antes Uma resposta que ilustra esta situa o a nova defini o que deu para tri ngulos uma figura geom trica com 3 lados e 3 ngulos cuja soma resulta em um ngulo de 180 bem mais elaborada ainda que ele j dominasse antes o conceito Com rela o condi o de exist ncia do tri ngulo Pedro tinha antes d vidas se era poss vel construir o tri ngulo com tr s ripas quaisquer passando a garantir que n o a seguir Ao escrever sobre esta condi o de exist ncia ele inicialmente dizia que era necess rio que tenha tamanhos diferentes uns nos
295. ue a movimenta o das figuras era substitu da por desenhos est ticos nas folhas impressas Na segunda parte das aulas ap s a primeira prova n o houve necessidade de uma aula exclusiva de exerc cios porque estes eram propostos imediatamente ap s a apresenta o realiza o e conclus o das atividades 6 2 Apresenta o e Discuss o dos Resultados A vari vel independente da pesquisa foi o uso ou n o do sofiware de geometria din mica da a exist ncia de um grupo experimental e de um grupo de controle Foram tr s as vari veis dependentes adotadas para an lise dos resultados obtidos no trabalho de campo aqui realizado os desempenhos dos sujeitos no pr e p s teste de conhecimento geom trico entrevista IV e no teste de racioc nio espacial da bateria BPR 5 antes e ap s o trabalho da sala de aula e as notas das provas realizadas durante e ap s as aulas Um pressuposto b sico e importante em qualquer tipo de planejamento o de que as m dias dos grupos n o sejam significativamente diferentes no in cio de um experimento MACGUIGAN 1976 S o as condi es tratamentos ou m todos utilizados pelo experimentador no grupo experimental S o as grandezas que variam conforme as condi es impostas Cap tulo 6 Estudo de Campo II 172 Deste modo como n o se trata de grupo rand mico e nem emparelhado o pr teste de racioc nio geom trico e os testes de racioc nio BPR 5 servem para uma
296. uivo X e determine as reas das se es planas do cilindro C e do bloco retangular P Atrav s desta verifica o voc p de perceber um caso particular em que as reas de se es planas de um cilindro e de um bloco retangular eram equivalentes e al m disso os volumes dos dois s lidos tamb m t m o mesmo valor Agora considere um cilindro cuja base o circulo S apoiado sobre um plano horizontal a Este cilindro tamb m cortado por um plano horizontal x A se o plana determinada por 7 ser sempre um c rculo equivalente a S Para obter a f rmula do volume de um cilindro ser usado o Principio de Cavalieri No arquivo Xg h um cilindro colocado sobre o plano horizontal a e a seu lado foi colocado um bloco retangular cuja base um ret ngulo equivalente base do cilindro e cuja altura igual altura do cilindro Construa um plano horizontal 7 que seciona os dois s lidos determinando no cilindro uma se o s equivalente sua base e no bloco retangular uma se o s2 equivalente sua base Movimentando este plano poss vel observar que todas as se es planas determinadas s o equivalentes s respectivas bases O que voc concluiria sobre as medidas das reas de s e de s2 qualquer que seja o plano horizontal m ssa carai R da Da ENE Dc I DUE Aga a Das Aa Portanto pelo Princ pio de Cavalieri Volume de um cilindro Volume de um prisma 250 Foi visto que Volume de um prisma
297. ulo 1 poss vel que um tri ngulo escaleno seja tamb m ret ngulo Sim N o Justifique RSM SCB FLD FOS FVL RSM SCB FLD FOS FVL RSM SCB FLD FOS um tri ngulo com ngulo igual a 90 quando tem um lado do tri ngulo com 90 Que possui um ngulo menor que 90 Tri ngulo agudo maior que 90 Tri ngulo com ngulo lt 90 um tri ngulo com ngulo menor que 90 quando tem um lado com ngulo maior que 90 Possui um ngulo 0 maior que 90 N o porque o ngulo vai ficar maior que 90 Tri ngulo com ngulo gt 90 um tri ngulo com ngulo maior que 90 quando tem um lado com ngulo menor que 90 Sim N o Porque ia inverter os tri ngulos 234 90 um tri ngulo com um ngulo de 90 um tri ngulo com um ngulo de 90 um tri ngulo que possui um ngulo agudo menor que 90 Que possui ngulo menor que 90 um tri ngulo que possui um ngulo menor de 90 um tri ngulo que possui todos os ngulos menores que 90 um tri ngulo que possui ngulos agudos um tri ngulo que possui um ngulo obtuso maior que 90 Que possui ngulo maior que 90 um tri ngulo que possui um ngulo maior de 90 um tri ngulo que possui um ngulo maior que 90 um tri ngulo que possui lados obtusos Sim porque o tri ngulo pod
298. uni los dois a dois por um segmento de reta como normalmente seria Cap tulo 5 Estudo de Campo I 119 feito com papel e l pis Por m ao elaborar as constru es utilizadas naquelas atividades foi utilizado um m todo de constru o de tri ngulos do desenho geom trico escolhida entre um dos nove problemas mencionados em REZENDE amp QUEIROZ 1999 pp 134 141 gt Problema 1 construir um tri ngulo sendo conhecidas as medidas de seus lados gt Problema 2 construir um tri ngulo sendo conhecidas as medidas a e b de dois lados e a medida do ngulo O determinado por eles gt Problema 3 construir um tri ngulo sendo conhecidas as medidas de dois de seus ngulos e a medida do lado comum a esses ngulos gt Problema 4 construir um tri ngulo ABC sendo conhecidas as medidas de seu lado a do ngulo 0 oposto ao lado c e do ngulo a oposto ao lado a gt Problema 5 construir um tri ngulo ABC sendo conhecidas as medidas de dois de seus lados a e b e a medida do ngulo B oposto ao lado b gt Problema 6 construir um tri ngulo ret ngulo sendo conhecidas sua hipotenusa a e a altura h relativa a ela gt Problema 7 construir um tri ngulo sendo conhecidas a medida de um de seus lados e a altura e mediana relativas a esse lado gt Problema 8 construir um tri ngulo ABC sendo conhecidas a medida c de um de seus lados e a altura e relativas ao lado a gt Problema 9 construir um tri ngulo ABC send
299. upo dificuldades para justificar algumas respostas 5 2 2 1 6 Coment rios sobre o grupo Os sujeitos deste grupo acertaram em conjunto 40 das quest es no pr teste e 57 65 no p s teste representando um crescimento de 44 12 O que se observou que apenas um deles ultrapassou a margem de 60 de aproveitamento ap s as aulas ministradas De um modo geral eles continuaram com dificuldades para justificar seu racioc nio e definir alguns conceitos tal fato pode ser devido dificuldade para compreender e expressar conceitos atrav s de palavras habilidade avaliada no teste de racioc nio verbal cujo desempenho geral ficou abaixo da m dia neste grupo Um outro fator que tamb m pode ter sido interveniente foi a dificuldade apresentada por eles para visualizar um objeto geom trico e executar sua manipula o mental habilidade medida pelo teste de rela es espaciais As aulas cl ssicas com o uso de quadro de giz e texto impresso Cap tulo 5 Estudo de Campo 1 140 parecem ter pouco contribu do para a mudan a deste quadro O crescimento que se observou pode ter sido sobretudo devido apresenta o de novas defini es e conceitos durante as aulas 5 2 2 2 Grupo Experimental 5 2 2 2 1 Gabriel Gabriel um jovem de 17 anos que nunca realizou atividade profissional e est fazendo o ensino m dio pelo diploma para ampliar seus conhecimentos e para preparar se para o vestibular O ensino fundamental foi reali
300. urno 74 20 no grupo de controle e 74 36 no grupo experimental A maior dificuldade enfrentada durante este n vel de ensino foi em matem tica indicada por 45 16 dos sujeitos do grupo de controle e por 41 02 do grupo experimental Um dado que de certa forma surpreende que 58 06 do grupo de controle e 69 23 do grupo experimental disseram ter estudado geometria no ensino fundamental por m entre estes alunos 77 78 do grupo de controle e 74 06 do grupo experimental consideram que a experi ncia foi apenas superficial O quadro 6 3 sintetiza estas informa es Cap tulo 6 Estudo de Campo II 160 6 3 Perfil dos grupos durante a realiza o do ensino fundamental Grupo de Controle Grupo Experimental Perguntas 31 alunos 39 alunos Quantidade Percentual Quantidade Percentual Durante o ensino fundamental 5 a 8 s ries voc estudou em escola a 25 a 80 64 a 28 a 71 79 a p blica b 3 b 9 68 b 9 b 23 08 b particular c 3 c 9 68 c 2 c 5 13 c uma parte em p blica e outra em particular Qual a forma de estudo realizada no ensino a 23 a 74 20 a 29 a 74 36 fundamental b 2 b 6 45 b 5 b 12 82 a Regular diurno c 6 c 19 35 c 5 c 12 82 b Regular noturno c Supletivo Em qual disciplina voc sentiu a 12 a 30 77 a 10 a 25 64 maior dificuldade no ensino b 14 b 45 16 b 16 b 41 02 fundamental c 3 c 9 68 c 5 c 12 82 poss vel escolher
301. utacional e constatou que a evid ncia visual exercia um importante papel no processo de solu o a a evid ncia visual neste caso interpretada em termos geom tricos e gera questionamentos que s o resolvidos pelo significado geom trico b a an lise geom trica provoca novas quest es que num primeiro momento s o exploradas empiricamente atrav s dos softwares Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 59 Entretanto os especialistas est o aptos a gerar diversas quest es a partir da evid ncia visual devido ao seu conhecimento pr vio do conte do Passa a ser um problema interessante investigar se os iniciantes conseguem resolver problemas geom tricos nos ambientes virtuais e din micos e como a geometria din mica pode auxiliar neste processo Em outras palavras de grande relev ncia a investiga o sobre se a integra o de m todos visuais com m todos geom tricos comuns nos programas de geometria din mica contribui para a aquisi o do conhecimento geom trico As atividades que estimulam a explora o e a descoberta dos invariantes s o realizadas atrav s de experi ncias visuais devido a facilidades j mencionadas tais como a precis o e a variedade na constru o dos objetos geom tricos Estes atividades possibilitam a forma o de no es e conceitos geom tricos e levam representa o mental correta destes conceitos por parte do estudante isto acabam auxiliando no processo de visual
302. utros profissionais cuja forma o pode n o ser adequada tarefa em quest o Desta forma KALEFF 1994 acredita que sejam necess rios esfor os no sentido de evitar que tal situa o persista nas escolas Assim a Geometria Euclidiana deve ocupar o espa o que lhe devido nas aulas de Matem tica por m o seu ensino deve se adequar realidade educacional cient fica e tecnol gica de nossos dias 2 4 O Modelo de van Hiele Os trabalhos sobre o desenvolvimento do pensamento geom trico dos professores holandeses Pierre van Hiele e sua esposa Dina van Hiele Geldof foram inicialmente publicados em 1959 Desde esta poca at 1973 o modelo de van Hiele s n o ficou totalmente no obscurantismo porque a Uni o Sovi tica o adotou nos anos 60 ap s reformula o do curr culo de geometria em suas escolas Em 1973 Hans Freudenthal publicou um livro intitulado Mathematical as an Educational Task onde citava o trabalho dos van Hiele e em 1976 o professor americano Izaak Wirsup come ou a divulgar o modelo em seu pa s O interesse pelas contribui es dos van Hiele tem se tornado cada vez maior ap s as tradu es para o ingl s feitas em 1984 por Geddes Fuys e Tisher Cap tulo 2 O Conhecimento Geom trico 33 2 4 1 N veis de Compreens o O modelo de van Hiele um guia para a aprendizagem e para a avalia o das habilidades dos alunos em geometria e apresenta cinco n veis de compreens o Estes n vei
303. ve utilizar para a constru o pois do contr rio o programa n o disponibilizar a a o Al m disso seguida a conven o do sistema operacional mais difundido do mercado o Windows da Microsoft SOUZA 1998 The Geometer s Sketchpad Proj 015 gsp ial x Q File Edit Display Construct Transform Measure Graph Work Help l x A E a1 Animate point H adjust circle me ABC 42 0 arc angle al 84 0 meABC a 00 ad 4 D Select amp Translate Figura 3 6 Interface do Geometer s Sketchpad 3 4 4 3 Tabulee O Tabul um software de geometria din mica em desenvolvimento no Instituto de Matem tica da Universidade Federal do Rio de Janeiro As principais raz es para a execu o e desenvolvimento do programa foram as considera es de custo e de disponibilidade para os professores que se formam nos cursos de licenciatura plena em matem tica e de especializa o para professores BELFORT 2001 Este nome era dado ao conjunto de t buas de cera que os antigos gregos e romanos usavam para rabiscar mensagens e diagramas BELFORT 2001 GUIMARAES 2001 Cap tulo 3 A Inform tica Aplicada Educa o 68 Normalmente os softwares de geometria din mica do mercado apresentam alto custo para o professor e ainda n o disp em de recurso para a comunica o via internet O desenvolvimento deste software assim como de um outro chamado Mangaba faz parte do projeto PACE
304. zado em escola p blica no regime regular diurno e sua maior dificuldade foi em l ngua portuguesa e geografia Segundo ele a geometria tamb m fez parte de seus estudos durante aquele n vel de ensino Ele costuma usar computador de 3 a 5 vezes por semana predominantemente em casa e j sabe usar o Windows o Excell o Word e o Power Point A sua op o por fazer parte deste grupo no estudo realizado foi pela curiosidade em aprender geometria atrav s do computador Anteriormente ele j tinha tido aulas de f sica e hist ria em laborat rio de inform tica Durante os testes de aptid es espec ficas da bateria DAT Gabriel apresentou o seguinte desempenho fez 50 pontos no teste de rela es espaciais percentil de 65 38 75 no teste de racioc nio abstrato percentil de 80 e apenas 14 pontos no teste de racioc nio verbal percentil 20 No pr teste de conhecimento geom trico ele acertou 58 52 das quest es melhor desempenho do grupo Suas respostas neste primeiro teste demonstram que ele j dominava alguns conceitos b sicos tais como o de tri ngulo e suas classifica es as rela es entre os tipos de tri ngulos mas ainda n o compreendia a sua condi o de exist ncia pois garantia que uma Cap tulo 5 Estudo de Campo I 141 pessoa sempre poderia montar um tri ngulo com tr s ripas independentemente do tamanho de cada uma delas Ainda que Gabriel tenha acertado todas as quest es que relacionavam os tipos de tri n

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