Home

O sentido de símbolo e de variável em alunos do 8.º ano de

Contents

1. METODOLOGIA DE TRABALHO e Trabalho a pares e Discuss o e s ntese em turma e Oaluno ter um papel de comunicador explicitando e justificando as 155 estrat gias utilizadas e O professor ter um papel orientador garantindo a exist ncia de e Interven es ordeiras e Rigor de linguagem e S ntese dos principais conte dos DESENVOLVIMENTO DA AULA e 1 Momento Entrada 5 min 13h35 13h40 e Os alunos entram na sala de aula e O professor escreve o sum rio e O professor entregue as fichas de trabalho do dia anterior e 2 Momento Resolu o da Tarefa 15 min 13h40 13h55 e Nesta primeira fase da resolu o de tarefa os alunos devem concluir a tarefa exceto quest o 6 b c e e e Os alunos trabalham em pares e O professor circula pela sala e O professor regista intera es entre alunos quest es que lhe s o colocadas e algumas produ es de alunos que considere interessantes para a discuss o e O professor deve responder s d vidas dos alunos questionando os colegas do grupo e colocando quest es ao pr prio aluno para que este consiga chegar sozinho ao esclarecimento da sua d vida e Ao fim dos 15 minutos mesmo que nem todos os alunos tenham chegado ao final o professor deve come ar a corre o e 4 Momento Corre o e Discuss o da Tarefa 15 min 13h55 14h10 e O professor interv m para e Incentivar os alunos a participar na discuss o de forma
2. Porque o x j veio do x e depois fiz metade de N o fica 4x3 Professor O que te parece Alfredo Fica Porque j temos dois x s e se juntarmos mais um fica 4x3 N o 5x mas 4x No caso do Guilherme este tamb m n o parece ter dificuldades em passar de uma estrutura concreta para uma mais abstrata Manipula corretamente os s mbolos e recorre f rmula do quadrado do bin mio em vez de desenvolver o quadrado num produto de dois termos Tal como o Alfredo numa estrutura mais abstrata reconhece os seus erros quando tenta explicar cada passo dado na simplifica o de express es alg bricas Figura 77 Professor E de onde vem este 4x7 Guilherme Vem do Ah J est mal Professor Est mal porqu Guilherme Porque na multiplica o na adi o que n o se faz nada com os outros mas aqui como est como se fosse x vezes x vezes x como se fosse x Professor E depois foste juntando o qu Guilherme Os que eram iguais N o os que tinham as partes literais iguais 122 4 Simplifica a seguinte express o alg brica transformando a na forma de polin mio reduzido a 3 x x2 2 4x 9 Cask es O Hat ax of i hoe 30 x4 6 ot Que tm dA 2408 3xt qx 6 a o Ba rasto Ba constar 3 0 3 6 o Figura 77 Resolu o do Guilherme quest o 4 da Tarefa 6 Quando trabalha com estruturas abstratas como as express es alg bricas as
3. Equa o x a inc gnita senx cosx tgx Identidade x o argumento de uma fun o pode ser substitu do por qualquer valor pertencente ao dom nio de cada uma das fun es Propriedade Generaliza o de um padr o aritm tico o produto de um n mero pelo seu inverso 1 n indica o exemplo de um modelo Fun o x o argumento de uma fun o y o valor da fun o e k uma constante ou par metro dependendo de como a letra usada Qualquer uma das cinco igualdades referidas acima t m a mesma forma uma vez que em cada express o o produto de dois n meros igual a um terceiro Por m consoante o seu papel e diferente uso das vari veis em causa atribui se lhes uma denomina o pr pria A compreens o do conceito de vari vel ultrapassa a simples realiza o de opera es com letras e s mbolos Acarreta tamb m a compreens o das 27 raz es pelas quais funcionam e onde conduzem os procedimentos e a capacidade de estabelecer rela es entre os diversos aspetos assumidos pela vari vel Usiskin 1988 defende que as finalidades da lgebra s o determinadas por ou relacionam se com conce es diferentes da Algebra que correspondem diferente import ncia relativa aos diferentes usos das vari veis p 11 Para clarificar a sua ideia identifica quatro conce es distintas da lgebra Quadro 4 i ii Algebra como Aritm tica gene
4. Na multiplica o para se multiplicar dois polin mios basta utilizar a propriedade distributiva da multiplica o e o grau do polin mio resultante do produto de dois polin mios igual soma dos graus dos polin mios iniciais Contudo existem situa es particulares em que a multiplica o pode ser feita de uma forma mais r pida como o caso do Quadrado da diferen a e da Diferen a de quadrados No primeiro caso o Quadrado da diferen a tem se que para quaisquer valores a e b a b a 2ab b A interpreta o desta igualdade pode seguir um racioc nio geom trico considerando se o seguinte quadrado Figura 10 se lado a b 51 a q 2ab b Figura 10 Interpreta o geom trica do Quadrado da diferen a Magro et al 2011 vol II p 36 Tem se ainda como caso particular de a b o desenvolvimento de a b em que a b a 2ab b J no segundo caso a Diferen a de quadrados diz que para quaisquer valores de a e b se tem a b a b a b Novamente considerando a seguinte figura esta tem reaa b mas se a decompusermos e reagruparmos obtemos um ret ngulo com rea igual a a b a b Figura 11 Interpreta o geom trica da Diferen a de Quadrados Magro et al 2011 Vol II p 37 Perante um polin mio podemos ainda quando poss vel proceder sua factoriza o ou seja escrev lo como um produto de dois ou mais f
5. es do 1 grau podem ter aprendido a aplicar regras de manipula o ou procedimentos que julgam ter compreendido mas com a mudan a do tipo de equa es surgem processos incorretos que revelam falta de compreens o do verdadeiro significado matem tico destes princ pios e at mesmo do conceito de equa o Olhando para cada um dos princ pios de equival ncia em separado no que diz respeito ao primeiro princ pio de equival ncia a turma aplica corretamente este princ pio na resolu o de equa es literais tanto ao desembara ar de parenteses como ao somar termos semelhantes Contudo a transforma o aprendida no in cio deste ano letivo aplicar a propriedade distributiva da multiplica o em rela o adi o quando se est perante um sinal menos antes de uma fra o n o aplicada corretamente nas equa es literais e at mesmo na resolu o de equa es lineares existem algumas falhas por parte de grande percentagem dos alunos da turma Uma vez que o segundo princ pio de equival ncia j foi apreendido no s timo ano os alunos demonstram j estar bastante familiarizados com este na resolu o de equa es do 1 grau e conseguem fazer sem quaisquer problemas a ponte para as equa es literais O terceiro princ pio de equival ncia sem d vida aquele onde os alunos sentiram mais dificuldade em adapt lo para as equa es literais Associado a este princ pio surgem muitos mais erros sendo que
6. es literais e O professor deve esclarecer que uma equa o literal uma equa o em que figuram duas ou mais vari veis e O professor deve referir outras rela es presentes na natureza e na matem tica que podem ser apresentadas sobre a forma de equa o literal por exemplo d edhe sy 7 v em que d dist ncia e t tempo P 2c 21 onde P o per metro de um ret ngulo e O professor deve insistir com o facto de os alunos j terem trabalhado com equa es literais na resolu o de sistemas de equa es e 6 Momento Resolu o da Tarefa 15 min 09h30 09h45 e Nesta fase os alunos continuam a resolver a tarefa e Os alunos trabalham em pares e O professor circula pela sala e O professor regista intera es entre alunos quest es que lhe s o colocadas e algumas produ es de alunos que considere interessantes para a discuss o e O professor deve responder s d vidas dos alunos questionando os colegas do grupo e colocando quest es ao pr prio aluno para que este consiga chegar sozinho ao esclarecimento da sua d vida e 7 Momento Encerramento 5min 09h45 09h50 e O professor recolhe as fichas de trabalho e O professor d por terminada a aula e os alunos saem RECURSOS e Papel e material de escrita 153 e Calculadora FORMAS E MOMENTOS DE AVALIA O FORMATIVA e A avalia o dos alunos ser baseada nos seguintes aspetos e Interesse demonstrado
7. o em Educa o Matem tica p 547 Braga Universidade do Minho Hall R 2002 An analysis of errors made in the solution of simple linear equations Retirado em Janeiro 17 2012 de http people exeter ac uk PErnest pome 15 hall_errors pdf Kaput J 1999 Teaching and learning a new algebra In E Fennema amp T Romberg Eds Mathematics classrooms that promote understanding pp 133 155 Mahwah NJ Erlbaum Kaput J 2008 What is algebra What is algebraic reasoning In J J Kaput D W Carraher amp M L Blanton Eds Algebra in the early grades pp 5 17 New York NY Routledge Katz V J 1998 Hist ria da Matem tica Lisboa Funda o Calouste Gulbenkian obra original em ingl s publicada em 2010 Kieran C 1992 The learning and teaching of school algebra In D A Grouws Ed Handbook of research on mathematics teaching and learning pp 390 419 New York NY Macmillan 144 Kieran C 2006 Research on the learning and teaching of algebra In A Guti rrez amp P Boero Eds Handbook of research on psychology of mathematics education Past present and future pp 11 49 Rotterdam Taipei Sense Publishers Kiichemann D 1981 Algebra In K M Hart Ed Children s understanding of mathematics 11 16 pp 102 119 London Murray Linchevski L 1995 Algebra with numbers and arithmetic with letters A definition of pre algebra Journal of Mathematical Behavior 14
8. que d para Ah posso fazer tamb m Fa o 420 270 e divido o que d que 150 por 6 vai dar 25 Professor Deu a mesma coisa que tu fizeste Guilherme N o Esta que acabei de fazer est certa Porque me esqueci dos 420 Professor E o que s o os 420 Guilherme o comprimento total do muro Estava a fazer os 270 como se fosse o comprimento total No entanto quando tenta explicar a sua estrat gia compreende o seu erro e apresenta uma nova resolu o sem recorrer a express es alg bricas opta tal como o Alfredo por descrever por palavras e apresentar somente os c lculos auxiliares Figura 73 A x15 2270 Te 2 o WISE Figura 73 Nova Resolu o do Guilherme quest o 2 b da Tarefa 6 A Sara tal como os colegas n o tem grandes dificuldades em traduzir para linguagem simb lica Figura 74 120 1 1 Escreve a express o que representa a rea do canteiro das rosas 2x Figura 74 Resolu o da Sara quest o 1 1 da Tarefa 3 No entanto em enunciados em que n o seja pedido diretamente para utilizar simbologia a Sara recorre descri o da sua estrat gia apresentando os c lculos auxiliares Figura 75 b Sup e que o comprimento total do muro era de 420 cm e que a D Rosa colocou 18 tijolos deitados Explica como procederias para descobrir o n mero de tijolos d i colocados em p Figura 75 Resolu o da Sara quest o 2 b da Tarefa 6
9. quest o 2 a da Tarefa 6 siyada com X N letin 115 Guilherme Eu pus que 15d 15cm vezes o n mero de tijolos deitados Professor E ent o se eu te pedisse para me dizeres sem vezes O que o 15cm vezes o n mero de tijolos deitados Guilherme Eu acho que o comprimento de um tijolo deitado Professor De um s Guilherme Neste caso n o Aqui o d corresponde vari vel 1 Do Dq Professor Ent o de quantos tijolos deitados Guilherme S um N o pode ser um n mero qualquer de tijolos N o diz um valor determinado Professor E na ii Guilherme Fiz a mesma coisa que tinha feito aqui que era 15cm vezes o n mero de tijolos deitados mais 6cm vezes o n mero de tijolos em p Professor E n o poderias dizer outra coisa dessa express o O que representa essa express o Guilherme O comprimento do muro Tal como o Alfredo o Guilherme comete o mesmo erro em rela o ao desembara ar de denominadores na simplifica o de express es alg bricas para al m de que mostra ter dificuldades na redu o de uma express o ao mesmo denominador Figura 64 spt DR c se T 2 2x x 2 F TE ELE E L G khan OA EAR Figura 64 Resolu o do Guilherme quest o 3 c da Tarefa 6 Em rela o Sara esta tamb m tem alguma dificuldade em expressar o significado atribu do a 15d e tal como o Alfredo come a por defender que se trata do comprimento de um tijolo mas rapidamente p
10. quest o 2c da Tarefa 6 Apesar de n o o aplicar corretamente o Alfredo enuncia o princ pio Professor E podes passar coisas para os outros membros em equa es Alfredo Sim Desde que altere o sinal Por exemplo aqui o v estava num membro estava v 300t 2100 logo se eu passei de membro tem que ficar v ai Alfredo A f rmula que c 15d 6p Professor Como que vais fazer Alfredo Em ordem a d o Alfredo Passei o 15d para um membro e depois pus c 6p Professor E ficou como Alfredo 15d c 6p Estes erros apresentados parecem dever se ao facto de o Alfredo realizar os passos de forma muito r pida uma vez que como se observa no exemplo seguinte ele aplica o princ pio corretamente na resolu o de equa es literais Figura 22 e de equa es do 1 grau com uma inc gnita Figura 23 91 b xA 1 2 lt 3em ordem a a C SR Figura 22 Resolu o do Alfredo Figura 23 Resolu o do Alfredo quest o 1 1 da Tarefa 1 quest o 6 2 da Tarefa 2 No caso do Guilherme durante a entrevista este evidencia saber o segundo princ pio de equival ncia Guilherme Depois peguei no v que tinha sinal mais e passei o para o segundo membro como v De acordo com o exemplo apresentado em seguida o Guilherme mostra n o s saber o princ pio mas tamb m conseguir p lo em pr tica na resolu o de equa es literais Figura 24 5 2 Escrever a equa o 1 3y 2 6a x em
11. foram fundamentais os coment rios e as sugest es dos professores que me acompanharam levando me a refletir sobre os mais diversos aspetos relativos s minhas aulas os quais me passariam ao lado se n o fosse este acompanhamento constante tais como os conselhos sobre a forma de adaptar as minhas planifica es perante as dificuldades dos alunos e a gest o dos momentos de discuss o A realiza o de um trabalho de cunho interpretativo como este exigiu uma atitude de questionamento permanente e responsabiliza o pelas diversas escolhas com que me deparei A an lise de dados num primeiro momento foi uma das partes mais dif ceis de realizar talvez pela dificuldade em selecionar dados perante a quantidade de materiais recolhidos No fim a an lise de dados mostrou ser uma etapa fundamental Levou me a perceber e a descobrir muita informa o encoberta pela din mica de uma aula Temos uma no o completamente diferente da aprendizagem dos nossos alunos quando temos oportunidade de analisar as suas produ es e n o nos limitarmos s perce es que vamos adquirindo no decorrer de uma aula Ao longo desta investiga o tive a oportunidade de refletir sobre as quest es deste estudo sobre as suas implica es para a minha pr tica profissional tal como sobre a possibilidade de ter organizado a minha interven o de outra forma para melhorar a aprendizagem dos alunos e para me permitir tirar conclus es ainda mais profunda Como
12. los o que leva ao aparecimento de racioc nios errados 35 36 Capitulo III A Unidade de Ensino Este estudo tem por base a minha interven o letiva numa turma do 8 ano de escolaridade da Escola B sica 2 e 3 ciclos Vasco Santana Esta decorreu no in cio do 3 Per odo entre 19 de Abril e 9 de Maio do presente ano letivo 2011 2012 Neste cap tulo apresento uma breve carateriza o da escola e da turma e reflito sobre a unidade de ensino em causa luz do programa de Matem tica sobre as estrat gias de ensino e a sequ ncia de tarefas adotadas Ainda nesta sec o apresento alguns conceitos e propriedades matem ticas fundamentais ao desenvolvimento do t pico pelo qual estou respons vel Para finalizar descrevo sucintamente as v rias aulas lecionadas no mbito da minha interven o letiva Carateriza o da escola e da turma Carateriza o da escola A Escola B sica 2 e 3 ciclos Vasco Santana uma das sete escolas pertencentes ao Agrupamento de Escolas Vasco Santana Este agrupamento contempla os tr s n veis de ensino b sico e pr escolar e foi homologado em Abril de 2004 A Escola Cooperante funciona como escola sede do agrupamento e iniciou o seu funcionamento em 1997 98 Situa se no Bairro dos Bons Dias freguesia da Ramada concelho de Odivelas numa zona urbana recente marcada por um acentuado crescimento demogr fico 37 Agrupamento de Escolas Vasco Santana Esc
13. o aritm tica 3 6 da adi o alg brica 3 x iii N o ver a letra como a representa o de um n mero 1v Atribui o de um significado concreto s letras v Dificuldade para pensar numa vari vel como significando um n mero qualquer vi Interpreta es diferentes para as a es que correspondem aos s mbolos e na Aritm tica e na lgebra 31 vii Significados distintos para algumas letras na Aritm tica por exemplo 2m em Aritm tica significa 2 metros e em lgebra o dobro de m viii Dificuldade em passar da linguagem natural para a linguagem alg brica No caso mais concreto das equa es do 1 grau Kieran 1992 agrupou os erros cometidos pelos alunos em tr s tipos 1 Elimina o resulta da realiza o de uma generaliza o excessiva de algumas opera es matematicamente v lidas em dom nios restritos Um exemplo desse erro simplificar 39x 4 como 35x ou 2xy 2x como y 11 Troca de membros switching addends por exemplo se se considerar a equa o x 37 150 a resolu o passa pela transforma o em x 37 150 iii Redistribui o redistribution considerando a equa o x 10 25 os alunos subtraem 10 ao primeiro membro e adicionam 10 ao segundo x 10 10 25 10 Hall 2002 acrescenta cataloga o dos erros apresentada por Kieran 1992 os seguintes tipos de erros cometidos pelos alunos 1v Troca de opera o inversa Other Inve
14. o de s mbolos mas atualmente a lgebra Zz escolar mais do que a manipula o de s mbolos Os alunos necessitam de compreender os conceitos alg bricos as estruturas e os princ pios que regem a manipula o simb lica e o modo como os pr prios s mbolos podem ser utilizados para registar ideias e tirar ila es face a certas situa es NCTM 2007 p 39 Atualmente o grande objetivo do estudo da lgebra nos ensinos b sico e secund rio desenvolver o pensamento alg brico dos alunos onde se inclui nomeadamente a capacidade de manipula o de s mbolos O Programa de Matem tica do Ensino B sico DGIDC 2007 tal como o NCTM 2007 preconizam o desenvolvimento do pensamento alg brico nos alunos desde cedo As Normas para a lgebra defendem que os programas de ensino no que se refere a este ramo da matem tica dever o habilitar os alunos para a compreens o de padr es rela es e fun es a representa o e an lise de situa es e estruturas matem ticas usando s mbolos alg bricos o uso de modelos matem ticos na representa o e compreens o de rela es quantitativas e para a an lise da varia o em diversos 14 contextos Assim sendo no pensamento alg brico d se aten o n o s aos objetos mas principalmente s rela es existentes entre eles representando e raciocinando sobre essas rela es tanto quanto poss vel de modo geral e abstrato Ponte et al 2009 Oliveira 2
15. o ficou reduzido a dez minutos o que n o permitiu que se corrigissem todas as quest es tendo havido a necessidade de fazer uma corre o 66 mais centrada no professor na medida em que apenas o professor escreveu no quadro e os alunos apenas lhe iam dizendo o que fazer A quest o 4 levou mais algum tempo para que os alunos compreendessem verdadeiramente o que estavam a fazer enquanto na quest o 5 houve a necessidade de clarificar os erros presentes no enunciado Quando deu o toque rapidamente foram distribu dos o trabalho para casa e um desafio matem tico semanal Anexo II no qual os alunos devem pensar durante a semana para ser discutido na aula seguinte As tarefas foram novamente recolhidas 26 de Abril de 2012 90 minutos O objetivo desta terceira aula prendia se com a simplifica o de express es alg bricas permitindo um primeiro contato com as opera es com polin mios tanto no que diz respeito adi o alg brica como multiplica o entre um mon mio e um polin mio e entre polin mios A aula iniciou se dentro da normalidade com a escrita do sum rio no quadro e logo ap s a recolha dos trabalhos de casa de alguns alunos distribu a tarefa Tarefa 3 pelos alunos referindo a metodologia de trabalho Os alunos trabalharam em pares Uma vez que a turma tem alunos com ritmos de trabalho muito diferenciados entreguei apenas parte da tarefa somente as quest es 1 e 2 as quais estavam contempladas na p
16. tinham alguma ideia para responder ltima al nea da primeira parte pedi que se virassem para o quadro e quando a turma acalmou inici mos a discuss o Os alunos apresentaram no quadro as suas resolu es havendo sempre mais do que um grupo a interagir em cada al nea devido diversidade de estrat gias procurando da minha parte direcionar as estrat gias deles para uma maior facilidade na descoberta de uma express o que representasse a regra encontrada na quest o em causa Na ltima al nea dois alunos apresentaram a sua express o e a turma chegou conclus o que se tratavam de express es equivalentes Ap s esta conclus o os alunos iniciaram a parte 2 da tarefa Como a primeira al nea tinha uma tabela para ser preenchida os alunos n o tiveram dificuldades nesta parte e resolveram na de forma mais r pida do que a esperada Houve at alguns alunos que verificando terem terminado a tarefa antes do tempo remeti os para o manual para lerem sobre o quadrado do bin mio e praticarem com alguns exerc cios de simplifica o de quadrados de bin mios Quando faltavam quinze minutos para a aula terminar os alunos terminaram o que estavam a fazer e voltaram se para o quadro para corrigirmos a segunda parte da tarefa que novamente correu dentro da normalidade Apenas na ltima quest o surgiram algumas d vidas quando solicitei que para al m de apresentarem duas express es alg bricas equivalentes tinham que provar que estas
17. Entre as diversas constru es de quadrados e quadradinhos a Sofia pintou um quadrado cinzento dentro de um quadrado branco e o seu colega Jo o construiu um ret ngulo com o mesmo n mero de quadradinhos que ela deixou em branco Esta situa o est ilustrada Hien REE Boon ME A contagem do n mero total de quadradinhos brancos por dois processos 1 Processo No quadrado fazer diferen a entre o n mero total de quadradinhos e o n mero de quadradinhos cinzentos 2 Processo No ret ngulo multiplicar o n mero de quadradinhos do comprimento pelo n mero de quadradinhos da sua largura 1 1 A tabela seguinte sugere uma forma de organizar a contagem do n mero de quadradinhos brancos pelos dois processos Completa a 1 32 1 4x2 3 olalw gt 1 Adaptado de Proposta de Sequ ncias de Tarefas para o 8 ano DGIDC 195 Qualquer a b 1 2 Usando as express es alg bricas da tabela determina pelos dois processos o n mero de quadradinhos brancos de 1 2 1 Um quadrado com 8 quadradinhos de lado e um quadrado cinzento no seu interior com 2 quadradinhos de lado 1 2 2 Um quadrado com 9 quadradinhos de lado e um quadrado cinzento no seu interior com 5 quadradinhos de lado 1 3 Mostra que a b a b a b Usando os casos not veis da multiplica o de bin mios transforma cada express o alg brica num polin mio reduzido 2 1 x
18. Interpreta o de s mbolos e express es 19 Desenvolvimento do sentido de s mbolo 20 A OCA dE Van AV ER ctct cates ciais as Eiaa cada asd of anctananareeeaai ea ccanearestatencsaun ness 26 Estrat gias de resolu o de equa es do 1 grau 29 Erros e dificuldades na aprendizagem da lgebra 31 SINES ict te n e tia i at RI GER ARNS RS UR MN ecm een ne Seats 33 Capitulo TU ics sca cccasessesetesscecescavsneceuceccasennsceteveaedesnaveneteancocscsgendsoutevecesebaseoncdgusssceanancd 7 A Unidade de Ensino issiscsvccsniasies dusvavsccusvevsesssyevesocessledscnvosisdverenstesacueseessasierstieuvesic OF Carateriza o da escola e da WiriNa uc do eed laude ete cd aed 37 Carat rizac o da escola icnaccscacatocgasesyeassievsgiesuannseangced sed rosi i 37 Ca rtaterizac o da turma ua sab ii e a aen E EE mas E NE 38 xi Proposta Pedasoe Cais jantes pipas Tendas Dna Das A ak eens eae 43 A Umidade de Ensino no Programa ececseremesrssenacrosagamesa deevansevevaneessacesevene 44 Conceitos e propriedades matem ticas relativas unidade 48 A organiza o da unidade de ensino e rerreererenaa 53 Estrat gias de ENSINO seas doriaaasirgaamina penta sdasad as opa da Ta esmas n 54 As TaretasutilizadaS use fio ns da ara a eel ot pa Sd 58 Descri o das aulas lecion das 4 cssisietaszvivesvszeydasceseseaeadcdeled desligue seda GLasa pecas pe 65 Capitulo VS
19. a 1984 o conceito de vari vel possui s por si um car cter algo contradit rio devido ao facto deste se tratar de um s mbolo representativo de qualquer um dos elementos de um conjunto Note se que acabando por ser suscet vel de os representar a todos a vari vel e n o cada um dos elementos do conjunto Cara a 1984 p 127 128 Tendo em aten o que a vari vel um s mbolo arbitr rio o seu contexto e o referente com o qual se relaciona independentemente do s mbolo utilizado decidem o aspeto matem tico da vari vel Peral amp G mez 2003 in Nabais 2010 p 27 Estes autores referem ainda que a combina o das tr s componentes s mbolo referente 26 e contexto e dos pap is sem ntico sint tico e matem tico contribui para a interpreta o das vari veis pelos alunos podendo uma altera o no contexto ou no referente afetar eventualmente o papel matem tico da vari vel Nabais 2010 p Dl Ys Usiskin 1988 salienta cinco utiliza es distintas do conceito de vari vel relativas interpreta o da letra em cinco equa es diferentes Quadro 3 Quadro 3 Utiliza es do conceito de vari vel Adaptado de Oliveira amp Torrado 2009 Igualdade Designa o Papel representado pelas vari veis F rmula A ce l representam quantidades relacionadas com a rea de um rect ngulo em que A representa a rea c o comprimento e l a largura
20. a qualitativa da natureza do objeto de investiga o a qual evidencia duas perspetivas distintas de encarar a lgebra como Aritm tica generalizada ou como sistema simb lico postulacional Para estes autores esta mudan a considera como refer ncia o momento em que se teve a clara perce o de que o objeto de investiga o desse campo do conhecimento matem tico ultrapassava o dom nio do estudo das equa es e das opera es cl ssicas sobre quantidades generalizadas discretas ou cont nuas para centrar se no estudo das opera es arbitrariamente definidas sobre objetos abstratos n o necessariamente interpret veis em termos quantitativos isto sobre estruturas como grupos an is corpos etc Fiorentini et al 1993 p 78 E importante referir que houve um desenvolvimento do simbolismo alg brico ao longo dos tempos Kieran 1992 resume o em tr s etapas a ret rica a sincopada e a simb lica A primeira etapa corresponde poca anterior a Diofanto e caracteriza se pelo uso de descri es em linguagem corrente no processo de resolu o de problemas particulares e por uma total aus ncia de s mbolos A Algebra do Egito tal como a da Babil nia encontra se neste patamar Nas equa es lineares por exemplo era usado um m todo de resolu o que consistia numa estimativa inicial seguida de uma corre o final M todo da falsa proposi o Dentro desta etapa no s culo V a C a Algebra grega formulada pelos pi
21. bvio devido minha reduzida inexperi ncia de pr tica de ensino fui me deparando com diversas coisas que poderia ter feito de outra forma para conseguir mais informa es interessantes para dar resposta s quest es Do mesmo modo ao analisar as produ es dos alunos fui me apercebendo que algumas tarefas poderiam ter sido melhor aproveitadas para ultrapassar as dificuldades evidenciadas pelos alunos Em rela o ao sentido de s mbolo os aspetos a este associado sobre os quais me baseei para construir as categorias de an lise foram e ser me o extramente teis no trabalho com os alunos permitindo uma identifica o mais afinada destas dimens es vis veis no seu trabalho oral e escrito Uma das maiores aprendizagens que fiz com este trabalho foi a de que n o se pode catalogar um aluno como tendo ou 140 n o tendo sentido de s mbolo Um aluno tem sempre sentido de s mbolo pode estar mais ou menos desenvolvido para a situa o escolar em que se encontra inserido Depois desta experi ncia enriquecedora fiquei deveras interessado em investigar algo mais sobre este tema em especial sobre o sentido de s mbolo nos alunos Com o programa de Matem tica do Ensino B sico atualmente em vigor e os percursos tem ticos adotados o 8 ano de escolaridade fica caraterizado por ser um ano bastante rico no que diz respeito lgebra Por isso numa pr xima oportunidade gostaria de tentar analisar de que forma evolui o sentido de
22. es Alg bricas e Opera es com polin mios e Desafios Semanais METODOLOGIA DE TRABALHO 159 e Trabalho a pares e Discuss o e s ntese em turma e Oaluno ter um papel de comunicador explicitando e justificando as estrat gias utilizadas e O professor ter um papel orientador garantindo a exist ncia de e Interven es ordeiras e Rigor de linguagem e S ntese dos principais conte dos DESENVOLVIMENTO DA AULA e 1 Momento Entrada 5 min 08h20 08h25 e Os alunos entram na sala de aula e O professor escreve o sum rio e 2 Momento Apresenta o da Tarefa 3 min 08h25 08h28 e O professor informa os alunos sobre a metodologia de trabalho e O professor distribuiu uma ficha por cada aluno e O professor informa os alunos sobre as fases de trabalho e os tempos dispon veis e 3 Momento Resolu o da Tarefa 40 min 08h28 09h08 e Nesta primeira fase da resolu o de tarefa os alunos devem resolver a quest o lea2 e Os alunos trabalham em pares e O professor circula pela sala e O professor regista intera es entre alunos quest es que lhe s o colocadas e algumas produ es de alunos que considere interessantes para a discuss o e O professor deve responder s d vidas dos alunos questionando os colegas do grupo e colocando quest es ao pr prio aluno para que este consiga chegar sozinho ao esclarecimento da sua d vida e Ao fim dos 40 minu
23. mios Diferen a de Quadrados Quadrados Estrat gias de Ensino De acordo com o NCTM 2007 pp 17 19 ensinar bem Matem tica uma tarefa complexa e n o existem receitas f ceis Ensinar bem Matem tica envolve a cria o o enriquecimento a manuten o e a adapta o do ensino de modo atingir os objetivos matem ticos a captar e a manter o interesse dos alunos e a envolv los na constru o ativa do conhecimento matem tico sendo assim fundamental adotar e compreender estrat gias Segundo Rold o 2010 o conceito de estrat gia de ensino assenta numa conce o global intencional e organizada de uma a o ou conjunto de a es tendo em vista a consecu o das finalidades de aprendizagem visadas Deste modo uma estrat gia n o sin nimo nem de tarefa nem de atividade as quais podem ser partes integrantes da estrat gia desde que o seu uso seja orientado para dar sequ ncia conce o global em causa Apesar de existirem diferentes tipologias de estrat gias que ajudam a clarificar a natureza das a es docentes e possibilitam a sistematiza o do seu estudo n o deveras produtivo catalog las uma vez que a estrat gia atuante consiste na a o organizada e pensada pelo professor nica para cada situa o embora possa referenciar se a um ou outra tipologia Rold o 2010 Segundo esta 54 autora intencionalidade coer ncia e modos de organiza o e avalia o fundamen
24. refer ncia num rica 28 Quadro 4 Conce o da lgebra e sua rela o com o uso das vari veis Adaptado de Oliveira amp Torrado 2009 Conce o da lgebra Uso das vari veis Generalizadoras de modelos Algebra como Aritm tica generalizada traduzir generalizar lgebra como estudo de procedimentos para resolver Inc gnitas constantes certos tipos de problemas resolver simplificar A Argumentos par metros Algebra como estudo de rela es entre quantidades relacionar fazer gr ficos Objetos arbitr rios de uma lgebra como estudo das estruturas matem ticas estrutura pr estabelecida manipular justificar Usiskin 1988 real a a abrang ncia da lgebra e de como esta n o se pode reduzir a qualquer uma destas conce es de forma isolada uma vez que esta assenta na generaliza o da Aritm tica acompanha a resolu o de problemas descreve e analisa as rela es entre quantidades e facilita a compreens o de estruturas matem ticas Segundo K chemann 1981 in Kieran 1992 a no o de vari vel torna se pouco clara para o aluno levando a que mesmo quando interpreta a letra como a representa o de um n mero o aluno tem uma grande propens o a atribuir um valor fixo para esta letra Estrat gias de resolu o de equa es do 1 grau A compreens o do conceito de equa o envolve a perce o de m ltiplos aspetos por parte dos alunos tais co
25. rip do computador ao fim de 2 anos E JANE N VEE Hip j weeh Y 30 x2 2100 WE GO0 42400 Vs 1500 Figura 50 Resolu o da Sara quest o 1 b da Tarefa 6 Na al nea d a Sara j faz a substitui o corretamente mas como o coeficiente da vari vel a substituir 1 n o se pode concluir sobre a compreens o do ato de substituir por parte da Sara 106 Em rela o turma no geral esta tem algumas dificuldades em aplicar corretamente os procedimentos de resolu o de equa es tanto literais como lineares tal como se analisou no subcap tulo anterior A substitui o de vari veis pelos valores num ricos pedidos correu bem talvez por estes terem feito somente algo do g nero em aula na primeira aula de equa es literais enquanto os tr s alunos referidos acima foram alvo de uma entrevista extra Manter uma vis o global do que se est a trabalhar evitando cair em manipula es destitu das de significado O Alfredo apesar de ter bastantes dificuldades no processo de substitui o de vari veis por valores em concreto como consegue estabelecer rela o entre as vari veis ao realizar a entrevista foi encontrando facilmente os erros pois os seus resultados n o iam ao encontro do contexto do problema Imediatamente ap s ter calculado o v para t 2 o Alfredo n o concorda com a sua resolu o pois sabe que o valor do computador n o pode ser superior ao valor inicial No entanto tem algumas d
26. vel existe um valor diferente para as outras vari veis Os alunos demonstram ainda ter algumas dificuldades no trabalho com equa es literais devido altera o dos pap is desempenhados pelas vari veis pois da exist ncia de uma nica vari vel passamos para a exist ncia de v rias das quais uma representa a inc gnita e as restantes par metros Alguns alunos desta turma n o reconhecem a equival ncia entre uma equa o literal na forma impl cita e na forma expl cita pois n o recorrem equa o resolvida em ordem a uma vari vel para determinar um valor dessa mesma vari vel Durante as entrevistas os alunos foram lidando com as dificuldades evidenciadas e procuraram ultrapass las com sucesso Ao relerem as suas resolu es e tentarem explicar o que estavam a pensar e como tinham resolvido os alunos em causa foram se deparando com alguns erros e conseguiram corrigi los sozinhos 134 compreendendo o que tinham feito mal Quando lhes colocava algumas quest es sobre as suas resolu es e repetia em forma de quest o o que eles me haviam dito os alunos apercebiam se das suas falhas e procuravam ultrapassar as suas dificuldades revendo todos os pormenores do enunciado e tirando ila es em voz alta sendo esta estrat gia bastante evidente quando lhes era pedido para dar sentido a uma determinada express o alg brica Que sentido de s mbolo revelam os alunos na forma como resolvem quest es envolvendo equa
27. 113 120 Lins R C amp Gimenez J 1997 Perspetivas em aritm tica e lgebra para o s culo XXI Campinas Papirus Magro F C Fidalgo F amp Lou ano P 2011 PIS Matem tica 8 Ano Volume 2 Lisboa Asa Editores Matos A amp Ponte J P 2008 O estudo de rela es funcionais e o desenvolvimento do conceito de vari vel em alunos do 8 ano Revista Latinoamericana de Investigaci n en Matem tica Educativa 11 002 195 231 Matos A Silvestre A I Branco N amp Ponte J P 2008 Desenvolver o pensamento alg brico atrav s de uma abordagem explorat ria In R Luengo Gonz lez B G mez Alfonso M Camacho Mach n amp L B Nieto Eds Investigaci n en Matem tica Educativa XII pp 505 516 Badajoz SEIEM Minist rio da Educa o 1991 Programa de Matem tica Plano de Organiza o do Ensino Aprendizagem 3 ciclo do ensino b sico vol ID Lisboa Imprensa Nacional Moura A R L amp Sousa M C 2005 O l gico hist rico da lgebra n o simb lica e da lgebra simb lica Dois olhares diferentes Zetetik 13 24 11 45 Nabais M 2010 Equa es do 2 grau Um estudo sobre o desenvolvimento do pensamento alg brico de alunos do 9 ano Disserta o da Tese de Mestrado Universidade de Lisboa dispon vel em repositorio ul pt NCTM 1991 Normas para o curr culo e a avalia o em matem tica escolar Lisboa APM obra original em ingl s publicada em 19
28. Alfredo Tira se a letra do p das outras Ou p e se num membro A v 2100 Z diferente pronto Ent o era p r t 309 JVE para isolar o t Professor Como que esse 2100 ficou no mesmo membro que o v Alfredo Para isolar o t tinha que ficar o t sozinho sem nenhuma letra ao p Professor Ent o o que fizeste Alfredo Ent o passei o t para um lado Tirei o 300 Professor Antes do 300 Alfredo Passei o t para um lado e o resto tudo para o outro E depois s podia ficar o t Para ficar o t o 300 para passar para o ee v 2100 outro membro tinha que ser a dividir Ent o ficou aan Professor Ent o puseste o v e o 2100 para o mesmo membro E depois o 300 a dividir E j est o t isolado Alfredo Sim Guilherme efetua corretamente o processo de isolar uma inc gnita aquando das equa es lineares contudo perante a equa o literal presente na entrevista ele perde a no o do que significa isolar e dos pr prios princ pios de equival ncia Figura 38 n o conseguindo perceber o seu erro nem quando explica a sua resolu o durante a entrevista c Resolve a equa o apresentada em ordem a t 300 100 A Ls AY00 N Figura 38 Resolu o do Guilherme quest o 1 c da Tarefa 6 Professor Na al nea c pedia te para resolver a equa o em ordem a t O que resolver em ordem a t Guilherme Isolar a inc gnita t Professor E o que tens de fazer para iso
29. Figura 44 Durante a entrevista Alfredo mant m o erro Professor O que fizeste Alfredo Passei o t para 0 Em vez de estar 300t estava O Ficou 0 2100 que igual a 2100 a Alfredo Qual o valor monet rio do computador ao fim de 2 anos Se no primeiro era 0 agora era alterar o 0 para 2 Pelo que o valor era igual a 2 2100 Professor E est s a dizer que tens que fazer como Alfredo Alterar o 300t por 2 Professor Porqu Alfredo Porque me pedem o valor ao fim de dois anos Professor E porque que alteras o 300t Alfredo Porque o 300 est relacionado com o t 1 O valor monet rio de um computador diminui 4 medida que o tempo passa Admite que o valor v de um computador em euros t anos ap s a sua compra dado por v 300t 2100 a Calcula v para t O e interpreta o resultado b Qual o valor monet rio do computador ao fim de 2 anos FE yt 00 Figura 44 Resolu o do Alfredo s quest es 1 a e 1 b da Tarefa 6 Na substitui o das vari veis por valores concretos o Alfredo tem algumas dificuldades como se constata mais frente na entrevista quando lhe dado um valor de v e ele quer substituir o valor inicial do computador 2100 por esse valor 103 Alfredo Eles querem saber que sendo o pre o do computador 525 quanto tempo decorreu desde a sua compra Alterando o valor 2100 para 525 ficava v 300 Para o Guilherme a situa o diferente pois a s
30. Miorim amp Miguel 1993 As origens da lgebra situam se na formaliza o e sistematiza o de certas t cnicas de resolu o de problemas usadas desde a Antiguidade Evoluindo aos poucos com o surgimento do conceito de equa o a lgebra passa a ser entendida como o estudo da resolu o de equa es onde surge o nome do considerado por alguns pai da lgebra Diofanto de Alexandria s c a C Ainda que inicialmente lgebra se referisse a equa es atualmente esta palavra tem um significado mais amplo e na tentativa de se chegar a uma defini o consensual fundamental considerar duas fases as quais se distinguem tanto cronologicamente como concetualmente i a lgebra antiga ou elementar e ii a lgebra moderna ou abstrata A fase da lgebra antiga remete para o per odo de 1700 a C a meados do s culo XIX d C e caracteriza se essencialmente pela inven o gradual do simbolismo e pela resolu o de equa es por diversos m todos Foram v rios os povos dos v rios cantos do mundo que contribu ram para o avan o e a compreens o da lgebra Um exemplo desses o povo isl mico que no s culo IX d C pegando no material j desenvolvido pelos babil nios e combinando o com a heran a grega da geometria criaram uma nova lgebra na qual se destaca a no o de prova Os isl micos procuraram justificar atrav s da geometria as regras alg bricas descobertas at ent o pois acreditavam que as nicas provas
31. Os restantes alunos da turma n o evidenciam grandes dificuldades em traduzir da linguagem corrente para a linguagem simb lica Existem no entanto alguns alunos que ao exprimirem atrav s de s mbolos a rea pedida num exerc cio confundem na com o per metro n o conseguindo atingir o objetivo de traduzir corretamente atrav s de s mbolos a rea Passar de uma estrutura concreta para uma mais abstrata Quando se deixam os n meros e se come a a trabalhar com letras o Alfredo consegue aplicar as propriedades aprendidas com os n meros na simplifica o de express es alg bricas Este aluno aplica corretamente por exemplo a propriedade distributiva da multiplica o em rela o adi o nas express es alg bricas optando sempre por recorrer a esta propriedade mesmo quando est perante um caso not vel 121 da multiplica o o quadrado do bin mio onde poderia recorrer simplesmente f rmula deduzida na aula Figura 76 4 Simplifica a seguinte express o alg brica transformando a na forma de polin mio reduzido a 34x Dl 3 W EE 4 Figura 76 Resolu o do Alfredo quest o 4 da Tarefa 6 O Alfredo comete alguns erros na simplifica o de express es alg bricas mas quando tenta explicar durante a entrevista os seus passos na resolu o apercebe se de alguns erros cometidos e justifica os imediatamente Alfredo A outra express o fiz x x 4x que d 5x2
32. Para a concretiza o deste estudo h que enaltecer a participa o dos alunos da turma que me receberam a meio do ano de uma forma muito afetuosa generosa e colaborativa Antevejo um futuro brilhante para todos eles A chegada a este momento deveu se a dezassete anos de aprendizagem por isso uma refer ncia especial a todos os estabelecimentos de ensino que me receberam e me ofereceram um ensino de qualidade Um agradecimento especial ao Departamento de Matem tica da FCUL em especial Professora Elisa Sim es que me ajudaram a dar os primeiros passos nesta tarefa gratificante que ensinar N o posso deixar de agradecer a todos os professores que me deram um pouco de si que me ensinaram mais do que teorias que me prepararam para a vida e que me contagiaram com o bichinho de querer ser professor Uma refer ncia especial professora Ivone Cristino que se tornou uma grande amiga e um exemplo a seguir desde o primeiro dia em que foi minha professora pela sua amizade disponibilidade partilha constante e acima de tudo por me incentivar e acreditar em mim Se um dia for metade do professor que ela dou me por muito feliz Quero deixar um agradecimento especial minha fam lia porque se eu sou o que sou devo muito a eles que me ensinaram a partilhar sem esperar nada em troca obrigado por existirem na minha vida N o posso deixar de destacar a minha madrinha C lia que mais do que uma segunda m e para mim tenho que lhe
33. Se o t representa o tempo o 2 o qu Sara Eo tempo Ent o substitui se Professor Vamos ver ent o se assim j funciona 105 Sara a aluna resolve mais uma vez o exerc cio Substitu o 300t por menos 2t b Qual o valor monet rio do computador ao fim de 2 anos a sen yaad HOO VOCs t AMES Figura 49 Resolu o da Sara quest o 1 b da Tarefa 6 Depois de avan ar um pouco na entrevista e da Sara substituir corretamente a vari vel em outra equa o voltou se a esta al nea mas a Sara continuou com dificuldades em perceber o que estava incorreto por isso voltou sua resolu o inicial Somente com algum questionamento esta aluna conseguiu resolver corretamente esta al nea Figura 50 Professor O que fizeste ao 525 Sara Substitu o v por 525 Professor Vamos fazer uma pausa ent o Substitu ste o v por 525 Est o a te dar valor para vari vel v Agora volto a perguntar te queres mudar alguma coisa na al nea b Sara Temos de substituir o 300t por 2 Professor Est s a dizer que temos de substituir o 300t por 2 Porqu Sara N o S se ficar 300 x t x 2 Professor E porque que fica l o t e acrescentas o 2 Se est s a p r l o 2 sem tirar nada n o est s a alterar a equa o Sara Acho que a estou a mudar Ent o se na al nea d s substitu mos o v aqui s substitu mos o t por 2 Em vez de ficar vezes t fica s vezes 2 b Qual o valor fionet
34. Sim porque medida que o tempo passa o pre o reduz Professor O que estavas a fazer mal Sara Em vez de estar a multiplicar o 300 x 2 estava logo a fazero 2 2100 Mas assim o pre o ficava mais alto e tudo 108 Os restantes alunos da turma n o t m por h bito verificar se os resultados obtidos fazem sentido no contexto do problema acabando muitas vezes por fazer simplesmente manipula es alg bricas Identificar equa es equivalentes procurando novos aspetos dos significados originais O Alfredo antes da entrevista n o recorria s equa es escritas em ordem a uma das vari veis para substituir a outra vari vel por um valor Recorria sempre equa o literal inicial Figura 52 1 Uma f rmula que relaciona a temperatura expressa em graus Celsius C com a temperatura expressa em graus Fahrenheit F a seguinte F 32 C D 5 12 Resolv a aFa equactte que relaciona Braus Celsius cor graus Fahrettheit Edo Ge Sito QC gt BWA 22 A 160 160 dos SA 18 45 A 6 lt 9 ore 1 3 Utiliza a alinea anterior para determinar a temperatura m dia do corpo humano em graus Fahrenheit que em graus Celsius de 36 5 C Quais as vantagens em usar esta equa o em vez da equa o dada inicialmente F332 36 5 gt SEO 3278 gt SF 328 5 lG Ocio EI 163 5 a SA CS 49 G Ve o 2 Figura 52 Resolu o do Alfredo quest o 1 3 da Tarefa 2 No entanto na tarefa respeitante en
35. a complementarem o trabalho dos colegas e apresentarem resolu es alternativas e Promover Dinamizar a discuss o solicitando justifica es fundamentadas e Melhorar a clareza e o rigor no discurso e O professor deve ter em aten o se e S o apresentadas todas as resolu es distintas que existam 156 e Ficam esclarecidas as d vidas dos alunos e Os alunos dirigem se ao quadro sempre que e Surjam dificuldades por parte de v rios alunos e Exista uma resolu o que deva ser registada por todos e 5 Momento Apresenta o do Desafio Semanal 5 min 14h10 14h15 e O professor informa que todas as sextas feiras ir entregar um pequeno desafio para pensarem durante a semana para ser discutido na pr xima aula e O professor apresenta o desafio e 6 Momento Encerramento 5min 14h15 14h20 e O professor recolhe as fichas de trabalho e O professor informa sobre o trabalho de casa Quest es 6 b c e e da Ficha e O professor d por terminada a aula e os alunos saem RECURSOS e Papel e material de escrita e Calculadora FORMAS E MOMENTOS DE AVALIA O FORMATIVA e A avalia o dos alunos ser baseada nos seguintes aspetos e Interesse demonstrado durante a aula e Colabora o com o professor e com os colegas na resolu o discuss o da tarefa e Aplica o de conhecimentos matem ticos adquiridos anteriormente e Uso da terminologia e simbologia adequada e Comportam
36. a assess ueraiaiato cssbvosavoseeatudeceasoesactondesadeanasnsdtougedeunaseuosasenpebaveccseiaionn 75 M todos e procedimentos de recolha e an lise de dados ceceeeeceseceseecsoe 75 Opecs mEtodo ISCAS a a O a 76 Participant s NOCSUCO iiginn DOS SS aa aa 11 Instrumentos de recolha de dados eseeeseseeeeeseseseeressessresressessrrsreesersesrresresee 79 EU dad Fo cate stun EDER asn an ERR a a S E Sa IEE 79 Observa o de Aulas 28s vescvscctoaysccisnsuavias save laatueeaderdunsaesnsoseedeaanensdeetebeneebuasaenens 82 Recolha Documental ssc oases escape aetna deed eee 83 An lise de CadOs cateig cts ge UR tae seer NOR at eect NE hm ale et tee tice 84 Capitulo V speaccsecacscssiessssetaeeencegs tusweshancacycadonsscateniaebegnansuncaancockcagenseeweendocaunsoupncioasencegnene 87 Apresenta o e An lise de Dad05 scssscsssssssssscsscssccsssssesseessecssessscssesesessoes 87 Processos usados na resolu o de equa es literais 87 1 Princ pio de Equival ncia issostni tisis ers 88 2 Princ pio de Bquival NCia assigned rapa a oes 91 3 Princ pio de Equival ncia viscisisesccuvsscedsdseesadcacpasseds secsensateoveceesnsenbenteevaantte 93 Escrever em ordem a uma das inc gnitas 0 ce eeececeseceeseececeteeeenseeeenaeeeenes 97 Sentido de S mbolo e de Vari vel essa ied sede ai ganda ei pace prensa 101 Equa es litera SR A ns 101 Express es AlSCOLICAS tais assi sisal da Rd ia ao 113 Cap tulo A ER aca
37. a uma das inc gnitas quando estas lhe facilitavam os c lculos e rentabilizam o tempo de resolu o Figura 53 1 Uma f rmula que relaciona a temperatura expressa em graus Celsius C com a temperatura expressa em graus Fahrenheit F a seguinte F 32 C 92 5 1 2 Resolve em ordem a F a equa o que relaciona graus Celsius com E eona R aae C ey BED t Crb ALateO a E 5 1 3 Utiliza a alinea anterior para determinar a temperatura m dia do corpo humano em graus Fahrenheit que em graus Celsius de 36 5 C Quais as vantagens em usar esta equa o em vez da equa o dada inicialmente c 4 seh ho C2 gt Fo 32754160 CF 6G 4 52 A ef At Figura 53 Resolu o do Guilherme quest o 1 3 da Tarefa 2 Este aluno raramente valida as equival ncias entre equa es recorrendo ao s mbolo de equivalente tal como se verifica no exemplo seguinte a b 1 2 3 em ordem a a Figura 54 Resolu o do Guilherme a quest o 6 2 da Tarefa 2 110 De igual forma a Sara tamb m n o valida a equival ncia entre equa es atrav s do s mbolo de equivalente Na al nea d apesar de referir que fez o mesmo que na al nea c esta n o recorre equa o de cima para fazer a substitui o direta mas sim equa o inicial substituindo e s depois isolando a vari vel t Figura 55 Sara Fiz a mesma coisa que na c Voltei a isolar o t fazendo 525 2100 que dava 1565 depois dividi e
38. agradecer pelos conselhos generosidade apoio e amor incondicional com que regou a nossa liga o todos os dias Quero agradecer ao meu av por ter sido um exemplo de vida por todas as palavras s bias ensinamentos e li es de vida que me ofereceste obrigado por teres sido a melhor pessoa que jamais conheci e por me teres ensinado tanto De seguida n o posso de deixar passar em claro todos os meus amigos que sempre me acompanharam porque a amizade mais do que uma palavra uma liga o inevit vel que nos faz sorrir com as coisas simples da vida Como l gico n o vou falar de todos mas n o posso deixar de dizer umas palavras a alguns Pelas iv mais diversas raz es tenho de agradecer ao Jo o meu companheiro de casa pelo apoio paci ncia e companheirismo e Marina pelas palavras s bias disponibilidade incentivo e generosidade Um agradecimento especial tamb m Ana Andreia Carmelita L lia Mariana Marta Raquel e Sofia Aos meus colegas de Mestrado em especial Ana e Vanessa tenho de agradecer pelos bons momentos passados juntos pela partilha de experi ncia pela interajuda constante e pela amizade que nasceu e para a vida Por ltimo mas n o em ltimo minha grande amiga e companheira de est gio Joana que foi um apoio crucial obrigado pelos conselhos momentos de partilha desabafos sorrisos e pela tua enorme dedica o e entrega nossa amizade Mais uma vez a
39. aram a chamar os professores pois tiveram alguma dificuldade no primeiro contato com as equa es literais e com a exist ncia de duas inc gnitas Depois de alguns esclarecimentos come aram a trabalhar com um bom ritmo sendo apenas necess rio interromper o trabalho aut nomo a pares para esclarecer que resolver em ordem a o mesmo que isolar uma das inc gnitas A resolu o da tarefa prolongou se por mais dez minutos do que eu esperava pois chegada a hora apercebi me que alguns alunos estavam muito atrasados tendo optado por despender mais algum tempo para o trabalho aut nomo destes uma vez que apesar das dificuldades iniciais estes estavam empenhados na resolu o da tarefa Quando me apercebi que a maior parte da turma tinha chegado quest o 3 pedi lhes para pararem com o que estavam a fazer e para se concentrarem todos na 65 resolu o Contrariamente ao que tinha previsto optei por fazer logo uma s ntese dos conte dos relacionados com as equa es literais apresentando lhes outros exemplos de equa es deste tipo e chamando a aten o para os aspetos mais significativos do trabalho com estas A corre o e discuss o correram bem Os alunos foram ao quadro resolver algumas quest es e explicar o que fizeram A quest o 1 3 permitiu que os alunos expusessem duas resolu es uma recorrendo equa o inicial e outra recorrendo a uma equa o literal equivalente em ordem a F e a partir destas tirar concl
40. da Brochura de lgebra Ponte et al 2009 a introdu o deste tema deve ser feita recorrendo s f rmulas j conhecidos dos alunos tanto da Geometria como da F sica Da ser interessante propor aos alunos por exemplo uma tarefa que relacione as v rias escalas de temperatura e pedir lhes o valor da temperatura numa escala sabendo outra Outro tipo de tarefas promotoras de aprendizagem onde tamb m poss vel compreender o sentido do s mbolo e de vari vel dos alunos e ao mesmo tempo trabalhar com equa es literais s o as tarefas onde lhes pedido que expliquem o significado das vari veis O trabalho com Express es Alg bricas segundo Ponte et al 2009 precisa de uma aten o espec fica de modo a que os alunos percebam com que objeto est o a trabalhar que opera es podem efetuar e que equival ncias podem obter Para trabalhar este objetivo necess rio propor aos alunos tarefas de simplifica o e manipula o alg brica e tarefas em que tenham que identificar o erro em opera es com polin mios e corrigi lo Com vista a aprofundar o estudo das rela es alg bricas e a sua simboliza o fundamentais para o desenvolvimento da linguagem alg brica impreter vel trabalhar as sequ ncias e regularidades Recorrendo ao que os alunos sabem de sequ ncias poss vel estabelecer conex es e trabalhar as opera es com polin mios adi o e multiplica o alg brica tendo como ponto de partida a determi
41. da terminologia e simbologia adequada Comportamento na sala de aula Constru o de uma grelha de observa o do trabalho dos alunos onde se pretende sintetizar e Quest es feitas pelos alunos e Erros mais frequentes e Diferentes resolu es Elabora o de um di rio de bordo 170 ANEXO I Planifica o da 6 aula RAMADA Tema lgebra Unidade Tem tica Equa es Subtema Opera es com polin mios Sum rio Ano Turma 8 D Li o n 134 135 Data 03 Maio 2012 de um bin mio Resolu o de uma ficha de Hora 08h20min 09h50min Casos not veis da multiplica o o quadrado trabalho OBJECTIVOS ESPEC FICOS e Efetuar opera es com polin mios adi o alg brica e multiplica o e Compreender e utilizar os casos not veis da multiplica o de bin mios e Exprimir resultados processos e ideias matem ticos oralmente e por escrito utilizando a nota o simbologia e vocabul rio pr prios CONHECIMENTOS PR VIOS e Determinar termos de uma sequ ncia e Determinar o termo geral de uma sequ ncia e Simplificar express es alg bricas e Compreender a no o de express es alg bricas equivalentes e Operar com polin mios adi o alg brica e multiplica o TAREFAS Anexo ID e Tarefa 4 O quadrado do bin mio Manual pg 36 METODOLOGIA DE TRABALHO e Trabalho em grupos de 4 elementos e Discuss o e s ntes
42. de polindmios como 1 2x 1e3x 2 ii x 2ex2 3x 2 e Os alunos devem utilizar os casos not veis da multiplica o de bin mios tanto no c lculo num rico como na factoriza o de polin mios Por 872 80 7 802 2 x 80x7 7 exemplo 47 e x 3 2 4 x 3 22 x 1 x 5 e Traduzir rela es de linguagem natural para linguagem matem tica e vice versa Capacidades transversais e Exprimir resultados processos e ideias matem ticas oralmente e por escrito utilizando a nota o simbologia e vocabul rio pr prios Conceitos e propriedades matem ticas relativas unidade Dentro da matem tica a lgebra surge como o ramo que estuda a manipula o formal de equa es opera es matem ticas polin mios e estruturas alg bricas Sendo este o tema matem tico sobre o qual este estudo se debru a apresento em seguida os conceitos e propriedades matem ticas trabalhadas ao longo desta unidade did tica tal como outros que apesar de n o serem diretamente tratados nas aulas lecionadas s o fundamentais para a compreens o dos restantes Tendo em conta o tema da unidade de ensino conceitos como equa o express o alg brica mon mio e polin mio s o merecedores de ser analisados e de ser aqui definidos As defini es que surgem de seguida baseiam se no Comp ndio de lgebra 1968 de Sebasti o e Silva e de Silva Paulo Ao perguntar Quais s o os n meros que tomados c
43. desta turma encontram se nesta etapa pois apesar de conseguirem aplicar certos procedimentos cometem ainda algumas falhas na aplica o destes procedimentos A conce o seguinte de lgebra passa pelo estudo das rela es entre quantidades onde a vari vel passa a ser entendida como um argumento ou como um par metro O trabalho com equa es literais permite iniciar este estudo contudo existem ainda alguns alunos que devido s dificuldades existentes no trabalho da 138 lgebra como o estudo de procedimentos ainda n o conseguiram atingir este patamar que permite relacionar v rias vari veis De acordo com Usiskin 1988 o trabalho com a lgebra n o se pode reduzir a uma das conce es de lgebra essencial interlig las e desenvolver a sua aprendizagem da lgebra recorrendo s suas v rias conce es Estes alunos est o no caminho certo para conseguir trabalhar com as v rias conce es uma vez que j conseguem generalizar com base na Aritm tica aplicar corretamente os procedimentos para resolver certos tipos de problemas e est o a trabalhar no sentido de conseguir descrever e analisar as rela es entre quantidades Sendo a aprendizagem do conceito de vari vel um processo dif cil e lento estes alunos est o no caminho certo para desenvolverem o seu sentido de vari vel e tirarem deste as mais vantajosas ferramentas para o trabalho com a lgebra Reflex o final Ao terminar este relat rio considero im
44. di rio de bordo 182 ANEXO II Tarefa 1 Agrupamento de Escolas Vasco Santana 8 Rever Equa es Matem tica 1 Resolve cada uma das equa es 1 1 2 3 x 5x 1 1 2 ao 0 aq 3 4 183 184 ANEXO II Tarefa 2 Agrupamento de Escolas Vasco Santana E UA 8 seo Matematica e Equa es Literais Nome A medi o da temperatura feita usando uma escala As tr s mais conhecidas e utilizadas s o as escalas Celsius C 1701 1744 Fahrenheit F 1686 1736 e Kelvin K 1824 1907 Em Portugal por exemplo usamos a escala Celsius enquanto na Inglaterra usam a de Fahrenheit Fahrenheit Celsius Kelvin 1 Uma f rmula que relaciona a temperatura expressa em graus Celsius C com a temperatura expressa em graus Fahrenheit F a seguinte F 32 C 9 5 1 1 Sabendo que na escala Celsius a gua passa do estado l quido para o estado s lido a O C e que a gua entra em ebuli o a 100 C calcula na escala Fahrenheit as temperaturas a que estes processos ocorrem 1 2 Resolve em ordem a F a equa o que relaciona graus Celsius com graus Fahrenheit 1 3 Utiliza a al nea anterior para determinar a temperatura m dia do corpo humano em graus Fahrenheit que em graus Celsius de 36 5 C Quais as vantagens em usar esta equa o em vez da equa o dada inicialmente 1 4 Resolva em ordem a C a equa o que relaciona graus Celsius com graus Fahren
45. dos termos do segundo par nteses e somar todos os resultados das multiplica es Apercebi me que depois desta perce o os alunos precisavam de treino para compreenderem realmente o processo de c lculo presente neste tipo de express es alg bricas e por isso passei alguns exerc cios semelhantes no quadro para os alunos experimentarem Devido s dificuldades apresentadas pelos alunos acabei por n o avan ar para a discuss o dos desafios matem ticos nem para a consolida o das equa es literais O resto da aula serviu para os alunos colocarem em pr tica a propriedade distributiva e medida que iam conseguindo foram chamando os professores para verificar os seus resultados 02 de Maio de 2012 90 minutos Na continua o das aulas anteriores esta aula incidia na simplifica o de express es alg bricas e opera es com polin mios O grande objetivo desta aula era clarificar alguns conceitos associados aos mon mios e aos polin mios tal como adicionar e multiplicar polin mios 69 A aula iniciou se com a discuss o dos resultados obtidos pelos alunos nos desafios matem ticos da primeira semana Para o desafio das flores foi um aluno apresentar a sua resolu o e comentou se em turma a possibilidade de existir outra solu o No que diz respeito ao desafio dos terrenos foram dois alunos apresentar a sua solu o e em turma discutimos a possibilidade de existirem outras solu es corretas Cerca das 14h00 co
46. durante a aula e Colabora o com o professor e com os colegas na resolu o discuss o da tarefa e Aplica o de conhecimentos matem ticos adquiridos anteriormente e Uso da terminologia e simbologia adequada e Comportamento na sala de aula e Constru o de uma grelha de observa o do trabalho dos alunos onde se pretende sintetizar e Quest es feitas pelos alunos e Erros mais frequentes e Diferentes resolu es e Elabora o de um di rio de bordo 154 ANEXO I Planifica o da 2 aula RAMADA Tema lgebra Unidade Tem tica Sequ ncias e Regularidades Equa es Subtema Equa es Literais Sum rio Ano Turma 8 D Li o n 128 Data 20 Abril 2012 anterior Hora 13h35min 14h20min Equa es Literais continua o da aula OBJECTIVOS ESPEC FICOS e Resolver equa es literais em ordem a uma das letras e Traduzir rela es de linguagem natural para linguagem matem tica e vice versa e Exprimir resultados processos e ideias matem ticos oralmente e por escrito utilizando a nota o simbologia e vocabul rio pr prios CONHECIMENTOS PR VIOS e Compreender as no es de equa o e solu o de uma equa o e identificar equa es equivalentes e Resolver equa es do 1 grau utilizando as regras de resolu o e Resolver sistemas de equa es pelo m todo de substitui o TAREFAS Anexo ID e Tarefa 2 Equa es Literais
47. e Aplica o de conhecimentos matem ticos adquiridos anteriormente e Uso da terminologia e simbologia adequada e Comportamento na sala de aula e Constru o de uma grelha de observa o do trabalho dos alunos onde se pretende sintetizar e Quest es feitas pelos alunos e Erros mais frequentes e Diferentes resolu es e Elabora o de um di rio de bordo 174 ANEXO I Planifica o da 7 aula RAMADA Tema lgebra Unidade Tem tica Equa es Subtema Opera es com polin mios Sum rio Ano Turma 8 D Li o n 136 Data 04 Maio 2012 Hora 13h35min 14h20min Resolu o de exerc cios com polin mios OBJECTIVOS ESPEC FICOS e Efetuar opera es com polin mios adi o alg brica e multiplica o e Compreender e utilizar os casos not veis da multiplica o de bin mios e Exprimir resultados processos e ideias matem ticos oralmente e por escrito utilizando a nota o simbologia e vocabul rio pr prios CONHECIMENTOS PR VIOS e Simplificar express es alg bricas e Compreender a no o de express es alg bricas equivalentes e Operar com polin mios adi o alg brica e multiplica o TAREFAS Anexo ID e Tarefa 3 Express es alg bricas e Opera es com Polin mios e Tarefa 4 O Quadrado do Bin mio e Manual pg 48 e Desafios Semanais METODOLOGIA DE TRABALHO e Trabalho em pares e Discuss o e s ntese em turm
48. e Nesta primeira fase da resolu o de tarefa os alunos devem resolver da quest o 1 3 e Os alunos trabalham em pares e O professor circula pela sala e O professor regista intera es entre alunos quest es que lhe s o colocadas e algumas produ es de alunos que considere interessantes para a discuss o e O professor deve responder s d vidas dos alunos questionando os colegas do grupo e colocando quest es ao pr prio aluno para que este consiga chegar sozinho ao esclarecimento da sua d vida e Ao fim dos 30 minutos mesmo que nem todos os alunos tenham chegado quest o 3 o professor deve come ar a corre o e 4 Momento Corre o e Discuss o da Tarefa 20 min 09h00 09h20 e O professor interv m para e Incentivar os alunos a participar na discuss o de forma a complementarem o trabalho dos colegas e apresentarem resolu es alternativas e Promover Dinamizar a discuss o solicitando justifica es 152 fundamentadas e Melhorar a clareza e o rigor no discurso e O professor deve ter em aten o se e S o apresentadas todas as resolu es distintas que existam e Ficam esclarecidas as d vidas dos alunos e Os alunos dirigem se ao quadro sempre que e Surjam dificuldades por parte de v rios alunos e Exista uma resolu o que deva ser registada por todos e 5 Momento S ntese dos conte dos 10 min 09h20 09h30 e O professor deve formalizar o trabalho desenvolvido com equa
49. exige uma observa o participante visto ser investigador e professor da turma ao mesmo tempo Contudo o papel de professor prevalece sobre o de investigador n o permitindo o imediato registo descritivo e sistem tico de situa es importantes a registar A observa o de aulas enquanto instrumento de recolha de dados importante pois estimula os participantes a refletir sobre algumas das suas experi ncias decorridas na prepara o e concretiza o das aulas Neste estudo em particular a observa o teve como objetivo caraterizar melhor a turma no que se refere ao modo como os alunos se relacionam em grupo e reagem s tarefas como lidam com as dificuldades surgidas e ainda como os alunos mostram evid ncias da manifesta o do pensamento alg brico do sentido do s mbolo e da vari vel Ao longo das oito aulas que lecionei procedi observa o participante Retirei algumas notas que considerei pertinentes da forma mais fiel e detalhada poss vel recorrendo a um di rio de bordo que me facilitou a an lise posterior dos registos efetuados Quando se recorre ao uso de di rios de bordo onde o investigador regista os acontecimentos relevantes que v o surgindo no decurso do trabalho em como as ideias e preocupa es que lhe v o surgindo o mais importante n o recolher muitos dados mas recolher dados adequados ao fim que se tem em vista e que sejam merecedores de confian a Ponte 2002 p 18 Segun
50. f 1 3 LE ea ANOS Figura 37 Resolu o de um aluno a quest o 1 3 da Tarefa 1 Escrever em ordem a uma das inc gnitas Destaco o processo de escrever uma equa o em ordem a uma das inc gnitas dos princ pios de equival ncia uma vez que um passo muito importante e novo na resolu o das equa es literais A maioria dos alunos refere tal como vemos nas transcri es seguintes que escrever em ordem a uma das inc gnitas isolar uma das vari veis Professor O que te pedia esta al nea Sara Para resolver a equa o em ordem a t ou seja para isolarmos o t Alfredo Resolve a equa o apresentada em ordem a t que era para o isolar o t Professor Como se isola uma inc gnita Alfredo Tira se a letra do p das outras Ou p e se num membro diferente pronto O Alfredo isola corretamente o termo com a inc gnita pretendida independentemente de ter uma equa o com uma nica vari vel ou com duas vari veis Ao longo da entrevista este foi claro na import ncia de isolar a inc gnita tentando explicar os passos para este processo na resolu o da al nea c da primeira quest o em que se pedia para escrever em ordem a t a equa o v 300t 2100 Professor E como que isolas o t Passo a passo O que tens de fazer primeiro Alfredo Separar o 300 do t Professor a primeira coisa que fazes Alfredo Mudar o t de membro Professor Como que se isola uma inc gnita 97
51. interpretam o s mbolo como uma entidade geral e indeterminada que pode assumir qualquer valor e Verificar se utilizam os conhecimentos das equa es de 1 grau na resolu o de uma equa o literal e Compreender como valorizam o ato de isolar uma d vari vel ii e Identificar dificuldades na determina o do valor de uma das vari veis conhecido o outro e Compreender como interpretam e qual o significado que atribuem s letras e a uma express o alg brica tendo em a conta o contexto ii e iii e Identificar dificuldades ao n vel da interpreta o das letras e Identificar dificuldades 2 b o Compreender como valorizam o ato de isolar uma ii vari vel e Identificar dificuldades na constru o de uma f rmula e Compreender como valorizam o ato de isolar uma c vari vel dada a equa o literal i e ii e Verificar se utilizam os conhecimentos das equa es de 1 grau na resolu o de uma equa o literal e Identificar dificuldades na simplifica o de express es alg bricas e Compreender se est o familiarizados com os s mbolos e 3 com o seu significado li e iii e Compreender se est o familiarizados com as express es alg bricas com as opera es que podem efetuar e com as equival ncias que podem obter e Identificar dificuldades na simplifica o de express es alg bricas e Compreender se est o familiarizados com os s mbolos e 4 li e iil com 0 seu signific
52. letras tendo em conta o seu contexto Estes alunos interpretam a letra como abreviatura de um objeto em vez de a interpretarem como a quantidade associada a esse objeto Os alunos demonstram tamb m dificuldades em dar sentido a uma express o alg brica em usar a linguagem natural para descrever como est o a pensar e em interpretar a express o traduzida numa determinada equa o O passar da linguagem natural para a linguagem simb lica tamb m um aspeto onde os alunos manifestam algumas dificuldades at mesmo quando n o preciso criar uma express o alg brica de raiz tal como d conta o Guilherme durante a entrevista A substitui o de uma vari vel por um valor num rico na resolu o de equa es literais outra das grandes dificuldades demonstradas por estes alunos levando os a cometer erros como a substitui o do valor num rico no coeficiente da vari vel ou a representa o posicional sendo a Sara um exemplo de aluno que tem grandes dificuldades nesta rea No trabalho com express es alg bricas evidente a dificuldade crescente em trabalhar com estruturas mais abstratas e a n o compreens o da no o de equival ncia de express es levando estes alunos a cometerem alguns erros na 133 simplifica o de express es alg bricas quando procuram aplicar as propriedades das opera es aprendidas no estudo da Aritm tica Devido ao seu car cter mais abstrato surgem algumas dificuldades na compreens o do
53. mero constitu do por duas partes uma parte num rica o coeficiente e uma parte constitu da por letras a parte literal Por outro lado quando o mon mio um n mero diz se que este n o tem parte literal O grau de um mon mio a soma dos expoentes das vari veis que constituem a sua parte literal 50 Dois mon mios dizem se semelhantes quando t m a mesma parte literal Os mon mios semelhantes podem ser adicionados para isso adicionam se os coeficientes e mant m se a parte literal Em rela o multiplica o quaisquer mon mios podem ser multiplicados obtendo se assim um novo mon mio Um polin mio toda a express o que se obt m ligando por nota o aditiva v rios mon mios que passam a chamar se termos do polin mio Como casos particulares temos que um polin mio com dois termos diz se um bin mio e com tr s termos diz se um trin mio O grau de um polin mio o maior dos graus dos mon mios que o constituem Quando um polin mio n o tem termos semelhantes diz se um polin mio reduzido Para adicionarmos dois ou mais polin mios basta adicionar os termos semelhantes Por outro lado para subtrair dois polin mios h que considerar o polin mio sim trico polin mio cujos termos s o os sim tricos dos termos do polin mio dado e adicionar ao primeiro o polin mio sim trico do segundo Na adi o e subtra o o grau do polin mio resultante nunca pode ser superior aos graus dos polin mios iniciais
54. mudan as fulcrais no ensino da lgebra Perspetivas da lgebra e da lgebra Escolar Usiskin 1988 ao tentar responder quest o O que a lgebra Escolar refere a rela o deste tema com a compreens o do significado atribu do s letras e respetivas opera es e considera que os alunos iniciam o estudo da lgebra somente quando contatam pela primeira vez com as vari veis Contudo no que concerne educa o matem tica alguns investigadores t m se debru ado ao longo dos anos sobre o ensino e aprendizagem da lgebra identificando diferentes conce es do modo como esta ensinada nas escolas A natureza de qualquer campo da matem tica est relacionada com os objetos com que esse campo trabalha Assim sendo ao questionarmo nos sobre quais os objetos fundamentais da lgebra a resposta express es e equa es seria satisfat ria h acerca de trezentos anos contudo atualmente esta resposta est incompleta A lgebra trabalha com rela es matem ticas abstratas que tanto podem ser expressas por equa es inequa es ou fun es como podem ser representadas por outras estruturas definidas por opera es ou rela es em conjunto A ideia de que a lgebra consiste no trabalho com express es tratando se de um conjunto de regras de transforma o de express es e processos de resolu o de equa es ainda perpetua como vis vel nos programas de Matem tica da d cada de 90 Ponte et al 200
55. o de problemas No entanto esta grande potencialidade do simbolismo tamb m a sua grande fraqueza Esta vida pr pria tem tend ncia a desligar se dos referentes concretos iniciais e corre o s rio risco de se tornar incompreens vel para o aluno Perante este risco sempre tive curiosidade em estudar um pouco mais este tema em compreender o porqu destas dificuldades e que estrat gias adotar para as contornar Um dos principais motivos da minha escolha deve se restri o dos t picos matem ticos a trabalhar ao longo dos 2 e 3 per odos do 8 ano de escolaridade e tendo sido aconselhado pela professora Doutora Leonor Santos decidi optar pelo grande objetivo do estudo da lgebra no ensino desenvolver o pensamento alg brico dos alunos com especial enfoque na capacidade de manipula o de s mbolos que da adv m Perante estas restri es considero que tive bastante sorte pois direcionaram me para a rea que mais me alicia na matem tica e permitiram me trabalhar com equa es n o simples equa es mas as que envolvem uma infinidade de solu es contrariamente primeira ideia que se tem de equa o onde apenas se procura uma solu o um valor para a inc gnita O trabalho com equa es e com express es alg bricas sempre me deliciou enquanto aluno passava horas a resolver equa es funcionava como um simples jogo um passatempo e nunca compreendi porque que os meus colegas n o lidavam bem com esta
56. ordem a y Resolu o Ra er 6 o Sm 1 3y 2 6a x o K 1 13y x 26a 34 AN E EA bo Tarefa 2 A Sara tamb m aplica corretamente o princ pio de equival ncia em causa tanto nas equa es literais como nas equa es lineares Figura 25 5 Descobre o erro em cada uma das resolu es e corrige o 5 1 Escrever a equa o 3x b y em ordem a b Resolu o 3x b y pred oo gs o Em rela o ao panorama geral da turma a maioria dos alunos aplica corretamente este princ pio de equival ncia salvo algumas exce es em que os alunos quando passam um termo de um membro para o outro separam o coeficiente 92 da parte literal do mon mio deixando um deles num membro e passando o outro para o outro membro com sinal trocado Este erro cometido apenas nas equa es literais tal como ilustra a figura seguinte ll y x 1em ordem a y Figura 26 Resolu o de um aluno quest o 6 3 da Tarefa 2 3 Princ pio de Equival ncia Ao multiplicarmos ambos os membros de uma equa o por um mesmo n mero diferente de zero obt m se uma equa o equivalente primeira Este princ pio o terceiro princ pio de equival ncia e abrange transforma es como o desembara ar de denominadores e passar um fator num rico de um membro para o outro com invers o O Alfredo p e em pr tica as transforma es abrangidas por este princ pio de uma forma correta na resolu o de equa es literais s
57. para resolver a quest o em que se pedia uma f rmula Come ou por considerar que o muro era s formado por tijolos deitados e foi vendo caso a caso como se comportava para estabelecer uma condi o Figura 83 como explica Sara Primeiro comecei por fazer uma tabela e fui escrevendo o n mero de figuras Por exemplo se fosse um tijolo deitado tinham 15cm Se fossem dois j tinha 30 Ou seja multiplicava sempre por 2 O primeiro n mero por exemplo 15x1 15 para o primeiro tijolo Se fosse 15x2 para dois tijolos j dava 30cm c Escreve uma f rmula que permita calcular o n mero de tijolos deitados conhecendo pt DA re 4 ps o comprimento do muro e o n mero de tijolos colocados em p peaa E colocados y DPV E EI o Es y ab Ps R LANG t AR ER f EA 2 A CA Ye DIC CHS Ee s NS XE Cs i Sxe Figura 83 Resolu o da Sara quest o 2 c da Tarefa 6 126 Numa segunda etapa tal como o Guilherme a Sara quis escrever uma f rmula recorrendo aos valores num ricos dados na al nea anterior mas rapidamente reformulou a sua resolu o escrevendo uma f rmula tendo em conta a express o presente no enunciado inicial Figura 84 Professor Mas tu sabes que o muro Sara Tem 420cm em Sara 420 N o c 15d 6p Sara T nhamos que descobrir os deitados e os que estavam em p eram 25 Professor Porqu 25 Sara Porque na al nea an
58. picos do t pico Equa es trabalhados ao longo do 7 ano e do segundo per odo do 8 ano Em suma os principais objetivos a ter em conta encontram se resumidos abaixo Quadro 5 Quadro 5 Objetivos espec ficos do Programa de Matem tica do Ensino B sico DGIDC 2007 Subt picos Objetivos espec ficos Notas Sequ ncias e Regularidades Express es e Compreender a no o de termo geral de uma sequ ncia num rica e represent lo usando s mbolos e Os alunos devem distinguir vari vel de constante e de par metro 46 Alg bricas matem ticos adequados e Propor a simplifica o de express es como x 4 2x e e Determinar um termo geral de i Me acd bak x x 3x uma sequ ncia num rica e termos de v rias ordens a partir do termo geral e Compreender os diferentes pap is dos s mbolos em Algebra e Simplificar express es alg bricas e Distinguir express o alg brica equa o e f rmula e Resolver equa es literais em Propor a resolu o de equa es ordem a uma das letras literais como F EC 32 em ordem a C Equa es Equa es Literais Opera es com polin mios e Ffetuar opera es com polin mios adi o alg brica e multiplica o e Compreender e utilizar os casos not veis da multiplica o de bin mios e Propor a adi o alg brica e a multiplica o
59. pios de equival ncia apresentados por Silva amp Paulo 1968 e com o processo de isolar uma das inc gnitas O sentido do s mbolo e de vari vel pode ser analisado tanto no trabalho com equa es como com express es alg bricas Deste modo a categoria do sentido do s mbolo e de vari vel foi organizada em duas vertentes o trabalho com equa es e com express es alg bricas e ainda dentro destas vertentes segui o quadro refer ncia apresentado em Grossmann Gon alves e Ponte 2009 que refere algumas a es que permitem tirar ila es sobre o sentido do s mbolo 84 Dentro da subcategoria das equa es o sentido do s mbolo nos alunos evidencia se em diversos aspetos tais como quando o aluno est a sentir o problema a partir da inspe o dos s mbolos ao fazer uma an lise inicial dos s mbolos e ao prever alguns resultados A aplica o dos procedimentos de resolu o de equa es e a valida o das equival ncias encontrando outros significados que possam surgir das equival ncias s o tamb m bons indicadores do sentido do s mbolo dos alunos Outro indicador reside no facto de que mais do que manipular algebricamente importante manter uma vis o geral do que se est a fazer acompanhando a de uma compreens o e verifica o constante para que estas manipula es n o sejam despojadas de significado Ainda inserido nesta subcategoria um indicativo da exist ncia do sentido do s mbolo desenvolvido baseia se na co
60. quest o 1 3 os alunos 62 s o encorajados a validar a conjetura de que a diferen a de dois quadrados perfeitos consecutivos um n mero mpar recorrendo linguagem alg brica Na segunda parte da tarefa as sequ ncias surgem como resposta ao enunciado apresentado permitindo estabelecer uma conex o entre as figuras e as express es alg bricas obtidas A inclus o da tabela na quest o 1 1 teve o intuito de ajudar na organiza o da informa o dado que o enunciado trabalha com v rios objetos simultaneamente A quest o 1 2 sugere a contabiliza o do n mero total de rvores atrav s de dois processos distintos onde se pede que calcule o termo de ordem doze com os ambos os processos Na quest o 1 3 procura se que os alunos compreendam que os dois processos s o equivalentes e as express es alg bricas que representam o seu termo geral tamb m o s o Com esta ltima quest o ao pedir para mostrar algebricamente que as duas express es s o equivalentes pretende se promover uma consciencializa o de que podem desenvolver rapidamente a express o que traduz o quadrado de um bin mio atrav s da f rmula a b a 2ab b observada nesta quest o Esta tarefa foi projetada para ser resolvida em uma aula de noventa minutos podendo ser trabalhada em pares ou em pequenos grupos de trabalho onde as ideias e as estrat gias podem ser muito mais diversificadas Tarefa 5 A Diferen a de Quadrados Esta
61. questiona os alunos sobre quem conseguiu resolver os desafios das semanas passadas e Os alunos com resolu es diferentes apresentam nas turma e 3 Momento Discuss o dos conceitos Mon mio e Polin mio 18 min 13h52 14h10 e O professor faz uma exposi o no quadro sobre o que um mon mio e um polin mio apresentando os como conceitos distintos e Atrav s de exemplos concretos o professor ir apresentar os v rios conceitos que acompanham o conceito de mon mio coeficiente parte literal grau mon mio sim trico mon mios semelhantes e Sempre que poss vel o professor deve pedir a participa o dos alunos e Para consolidar esta discuss o os alunos dever o fazer como trabalho de casa o exerc cio 1 da p gina 48 e o exerc cio 4 da p gina 35 do manual e 4 Momento Apresenta o da Tarefa 3 min 14h10 14h13 e O professor informa os alunos sobre a metodologia de trabalho e O professor distribuiu uma ficha por cada aluno e O professor informa os alunos sobre as fases de trabalho e os tempos dispon veis e Os alunos continuam a tarefa da passada Quinta feira quest es 3 e 4 e 5 Momento Resolu o da Tarefa 30 min 14h13 14h43 168 e Os alunos devem resolver as quest es 3 e 4 e Os alunos trabalham em pares e O professor circula pela sala e O professor regista intera es entre alunos quest es que lhe s o colocadas e algumas produ es de alunos que consider
62. quintal do Vasco Figura 69 1 2 Explica o significado da express o 3x 5y 6x Ca cia do todo of aois Figura 69 Resolu o de um aluno quest o 1 2 da Tarefa 3 Traduzir para linguagem simb lica a linguagem corrente O Alfredo ao longo das aulas consegue traduzir facilmente os enunciados para linguagem simb lica Figura 70 mas net 7 1 1 Escreve a express o que representa a area do canteiro das rosas E o 2 ym Figura 70 Resolu o do Alfredo quest o 1 1 da Tarefa 3 118 Durante a entrevista este aluno resolve a quest o que exigia uma certa tradu o para linguagem simb lica sem recorrer a qualquer s mbolo Baseia se somente na sua interpreta o do enunciado descrevendo por palavras suas como faria a substitui o dos valores num ricos sem recorrer a uma express o alg brica Figura 71 b Sup e que o comprimento total do muro era de 420 cm e que a D Rosa colocou 18 tijolos deitados Explica como procederias para descobrir o n mero de tijolos colocados em p Figura 71 Resolu o do Alfredo quest o 2 b da Tarefa 6 Alfredo Sei que o muro tem 420cm que tem 18 tijolos deitados Pelo que fazia 15x18 Professor 15x18 porqu Alfredo Para saber o comprimento dos 18 tijolos deitados no muro D 270 Professor E os 270 o qu Alfredo o comprimento dos 18 tijolos deitados no muro Ent o agora fa o assim p
63. reais eram geom tricas Katz 1998 Segundo Katz 1998 e Baumgart 1994 o termo lgebra uma variante latina da palavra rabe al jabr a qual surge apenas alguns s culos mais tarde num trabalho de al Khowarizmi 790 840 que se intitulava Hisab al jabrw al mugabalah O termo al jabr significa restaura o ou reposi o referindo se adi o do mesmo n mero a ambos os membros de uma equa o enquanto o termo al mugabalah significa compara o e traduz a simplifica o de uma equa o por redu o de termos semelhantes Contudo n o se depreenda daqui que a lgebra inven o dos rabes uma vez que as suas origens esfumam se na noite dos tempos Silva amp Paulo 1968 Ainda no mundo isl mico no s culo XI o matem tico al Karaj dedicou se ao estudo sistem tico da lgebra de expoentes Apesar dos matem ticos mais antigos como Diofanto j tivessem trabalhado com pot ncias de inc gnitas superiores a tr s foi este o primeiro a compreender que essas pot ncias poderiam ser aumentadas indefinidamente Atrav s desta descoberta al Karaji estabeleceu procedimentos gerais para adicionar subtrair e multiplicar mon mios e polin mios Katz 1998 Os herdeiros diretos dos trabalhos isl micos foram os algebristas da Europa medieval nos quais se destaca o famoso Leonardo de Pisa 1170 1250 um dos primeiros escritores europeus de lgebra e respons vel pela famosa sucess o de Fibona
64. resolu es da Sara mostram que esta aluna faz alguma confus o quando surgem uns parenteses entre a multiplica o e a adi o de express es alg bricas Figura 78 AN b CID Fy FD ye seas Rays A mG Estad ite iy rey 46 2 tt tal o Figura 78 Resolu o da Sara quest o 3 b da Tarefa 6 Sara Depois na segunda parte que era x 2 x 4x 3 fiz o mesmo que na al nea b da pergunta 3 Os restantes alunos da turma tamb m t m algumas dificuldades em passar do concreto para o abstrato em passar dos n meros para a manipula o de express es alg bricas com letras No entanto num panorama geral a turma consegue trabalhar com estruturas abstratas Criar uma express o simb lica para um determinado objetivo Quando foi pedido ao Alfredo que apresentasse uma f rmula havendo determinadas condi es este conseguiu faz lo recorrendo f rmula dada no enunciado inicial O Alfredo recorreu a esta f rmula manipulou a e isolou a letra d de maneira a obter uma nova f rmula que lhe permitisse calcular de imediato o 123 n mero de tijolos deitados sabendo o comprimento do muro e o n mero de tijolos em p Apesar de ter cometido alguns erros na manipula o alg brica este aluno conseguiu criar uma express o simb lica como pretendido Figura 79 i ame tijolos dei s ecendo c Escreve uma f rmula que permita calcular o n mero de tijolos deitados conh o comprime
65. rico de um membro para outro da equa o com invers o o aluno aplica corretamente o princ pio tanto nas equa es literais como nas lineares enunciando a regra pr tica ainda durante a entrevista Guilherme Aqui estava a multiplicar ent o vai passar para o outro lado a dividir 94 Tal como nos princ pios anteriores a Sara aplica este princ pio corretamente na resolu o de equa es literais Figura 31 5x 1 2 13 y x em ordem a x Resolu o da Sara quest o 6 5 da Tarefa 2 Figura 3 Na resolu o de equa es do 1 grau a uma inc gnita a Sara tamb m tem um desempenho quase exemplar uma vez que aplica corretamente o princ pio mas por vezes comete o erro de passar o fator num rico que estava a multiplicar a dividir mas com o sinal trocado tal como sugere a figura seguinte 2x 5 _ _ x 6 13 det Yo eu Da SAD a Abri ES lt 7 BG B 2 A P E E T E gas ts ANA CE hn Figura 32 Resolu o da Sara quest o 1 3 da Tarefa 1 Quando se analisam as resolu es da turma em geral os alunos t m ainda algumas dificuldades em desembara ar as equa es de denominadores principalmente quando um dos membros tem termos com e sem denominadores tanto nas equa es literais como nas lineares Existem alguns alunos que se desembara am somente dos denominadores dos termos que j tinham denominadores inicialmente outros reduzem todos os termos ao mesmo
66. s mbolo Esta primeira quest o est mais orientada o que permite aos alunos tomar contato com diversos conceitos e propriedades alg bricas Estabelecer conex es com conceitos anteriores como o de per metro e de rea permitem adicionar mon mios sem que seja necess rio formalizar o conceito Na quest o 2 ao recorrer ao que os alunos sabem de sequ ncias poss vel estabelecer conex es e trabalhar as opera es com polin mios tendo como ponto de partida a determina o do termo geral de uma sequ ncia quest o 2 3 para a qual se torna necess rio determinar alguns termos concretos da sequ ncia trabalhada 61 quest o 2 1 e 2 2 A sequ ncia utilizada permite refor ar a ideia de simplificar os termos semelhantes e com a quest o 2 4 d se nfase propriedade distributiva da multiplica o em rela o adi o de express es alg bricas Depois das quest es 1 e 2 passa se de quest es com algum suporte concreto para outras de car ter mais abstrato onde surgem polin mios sem que estes estejam associados a figuras ou a qualquer outro contexto n o matem tico Na quest o 3 os alunos devem descobrir os erros cometidos em opera es com polin mios uma vez que importante que os alunos percebam com que objetos est o a trabalhar que opera es podem efetuar e que equival ncias podem obter Antes de passar quest o 4 fundamental proporcionar aos alunos uma pequena introdu o aos conceitos de mon m
67. s mbolos ainda que na maioria dos casos este significado n o pare a fortemente incorporado e seja uma mistura de linguagem matem tica com linguagem corrente Os outros dois alunos entrevistados t m dificuldades em atribuir um sentido s letras tendo em conta o seu contexto interpretando as por vezes como a inicial de um objeto no lugar da quantidade associada a esse objeto Os alunos evidenciaram ainda algumas dificuldades na passagem da linguagem natural para a linguagem alg brica Procuraram resolver as tarefas sem recorrer ao aux lio dos s mbolos puramente matem ticos utilizando os somente na Justifica o das suas estrat gias Outro resultado surpreendente prende se com a passagem de uma estrutura concreta para uma mais abstrata passar do sentido do n mero para o sentido de s mbolo Os alunos desta turma trabalham bem com o s mbolo literal revelando neste aspeto uma s lida passagem da Aritm tica para a lgebra Ponte et al 2009 e uma correta aplica o das propriedades aprendidas com express es num ricas no trabalho com express es alg bricas Do mesmo modo estes alunos conseguem criar express es adequadas que simbolizem uma dada situa o interpretar e representar uma situa o utilizando linguagem simb lica revelando um sentido de s mbolo desenvolvido 136 Analisando os v rios aspetos verifica se que os alunos possuem um desenvolvimento do sentido de s mbolo consider vel No entanto tal como alert
68. se tem dedicado lgebra e ao seu sentido utilizando a express o sentido de s mbolo Este n o atribui uma defini o precisa e nica ao sentido de s mbolo caracterizando o como sendo uma aprecia o uma compreens o um instinto complexo e multifacetado em rela o aos s mbolos Segundo Arcavi 1994 2006 os s mbolos s o o instrumento principal da lgebra e ter sentido do s mbolo dar significado a esses s mbolos para al m de permitir aos alunos serem capazes de decidir quando os s mbolos s o teis e quando devem ser utilizados para evidenciar rela es mostrar a generalidade e fazer conjeturas 20 No sentido de clarificar o significado de sentido de s mbolo este autor lista um conjunto de comportamentos do indiv duo que revelam a exist ncia do sentido do s mbolo 1 Compreens o sobre o poder dos s mbolos tendo os presentes e dispon veis 11 Perce o de quando os s mbolos n o devem ser considerados seja em detrimento de uma representa o mais adequada situa o envolvida seja para encontrar uma solu o mais elegante ao problema proposto 111 Avan ar al m da manipula o alg brica completando a com a leitura dos significados das representa es simb licas envolvidas na resolu o de um problema 1v Ter consci ncia de que informa es gr ficas ou verbais podem ser expressas algebricamente tal como ter a capacidade de construir a express o alg brica tendo em consider
69. sua d vida e 4 Momento Desafio Matem tico e Encerramento 5 min 14h15 14h20 e O professor entrega o desafio semanal e O professor d por terminada a aula e os alunos saem RECURSOS 176 e Papel e material de escrita e Calculadora FORMAS E MOMENTOS DE AVALIA O FORMATIVA e A avalia o dos alunos ser baseada nos seguintes aspetos e Interesse demonstrado durante a aula e Colabora o com o professor e com os colegas na resolu o discuss o da tarefa e Aplica o de conhecimentos matem ticos adquiridos anteriormente e Uso da terminologia e simbologia adequada e Comportamento na sala de aula e Constru o de uma grelha de observa o do trabalho dos alunos onde se pretende sintetizar e Quest es feitas pelos alunos e Erros mais frequentes e Diferentes resolu es e Elabora o de um di rio de bordo 177 178 ANEXO I Planifica o da 8 aula RAMADA Tema lgebra Unidade Tem tica Equa es Subtema Opera es com polin mios Sum rio Ano Turma 8 D Li o n 137 138 Data 09 Maio 2012 de quadrados Hora 13h35min 15h05min Casos not veis da multiplica o a diferen a OBJECTIVOS ESPEC FICOS e Efetuar opera es com polin mios adi o alg brica e multiplica o e Compreender e utilizar os casos not veis da multiplica o de bin mios e Exprimir resultados processos e ideias matem ticos ora
70. tarefa serve como introdu o ao caso not vel da multiplica o diferen a de quadrados e procura levar os alunos sua descoberta compreens o e utiliza o Anexo II Vindo no seguimento da tarefa O Quadrado do Bin mio esta tem uma estrutura muito semelhante e procura se que os alunos construam a f rmula da diferen a de quadrados seguindo passos equivalentes aos que seguiram no quadrado do bin mio Tal como na tarefa anterior surgem dois processos distintos para calcular o pretendido no enunciado que acabam por ser algebricamente equivalentes A quest o 1 1 inclui uma tabela para completar com os primeiros termos e o termo geral pois esta ajuda na organiza o da informa o dado que o enunciado apresenta dois processos Quando se pede para calcular os primeiros termos pelos dois processos importante que os alunos n o se centrem no resultado mas sim no processo de obter 63 esse resultado tal como pelo segundo processo devem ter em aten o a ordem dos fatores que surgem na express o para facilitar a generaliza o e a descoberta do termo geral Na quest o 1 2 pedido que os alunos determinem certos termos da sequ ncia sem que haja a figura representativa da situa o apresentada para que estes recorram s express es alg bricas encontradas Tal como na tarefa anterior a quest o 1 3 procura que os alunos compreendam que as express es alg bricas resultantes dos dois processos s o equivalentes
71. tarefas a esferogr fica e somente durante a discuss o coletiva usassem l pis para modificar ou completar as resolu es feitas anteriormente o que apesar de n o ser natural para estes foi interiorizado rapidamente An lise de dados A an lise de dados procura utilizar os dados recolhidos com o objetivo de responder s quest es colocadas neste estudo Deste modo a an lise de dados incidiu sobre as produ es escritas de v rios alunos e em especial dos tr s alunos entrevistados das transcri es das entrevistas e de alguns di logos em aula e por ltimo da an lise de algumas quest es do teste aplicado ap s a minha interven o Sendo este estudo caraterizado por uma metodologia qualitativa de natureza interpretativa a an lise de dados surge com um car ter descritivo e interpretativo Depois de organizar e dividir todo o material recolhido procurei estabelecer rela es entre essas mesmas categorias Numa fase posterior optei por apresentar os dados em duas categorias tendo em conta as quest es do estudo processos de resolu o de equa es e sentido do s mbolo e de vari vel As dificuldades evidenciadas pelos alunos n o foram destacadas na an lise dos dados uma vez que estas surgem tanto na an lise dos processos de resolu o de equa es como na an lise do sentido do s mbolo e de vari vel Dentro da categoria dos processos de resolu o de equa es organizei os dados de acordo com os tr s princ
72. uma express o alg brica que relacione o lucro L com o n mero de t shirts vendidas n 199 200 ANEXO II Desafios Semanais Agrupamento de Escolas Vasco Santana 8 Matem tica Desafio da Semana Desafio 1 Num canteiro foram plantadas 6 flores que formam dois quadrados Pretende se plantar mais uma flor a obter um novo quadrado Onde deve ser plantada essa flor Desafio 2 Um lavrador vai dividir o terreno abaixo representado pelos seus quatro filhos Pretende que as parcelas atribu das sejam geometricamente iguais e que cada uma delas contenha o mesmo n mero de rvores representadas por pontos Como dever o lavrador dividir o terreno 201 Agrupamento de Escolas Vasco Santana 8 Matem tica Desafio da Semana Desafio 3 A Diana sabe um segredo Um dia resolve cont lo a tr s colegas Cada um deles por sua vez no dia seguinte conta o segredo a tr s colegas diferentes E o segredo continuou a ser contado da mesma maneira a Quantas pessoas ficam a saber do segredo pela primeira vez no 10 dia b Quantas pessoas sabem o segredo passados 12 dias Agrupamento de Escolas Vasco Santana 8 D Matem tica Desafio da Semana Desafio 4 O Senhor Pereira possui uma cabra uma ovelha e uma vaca A ra o que comprou suficiente para alimentar a cabra durante doze semanas A mesma ra o suficiente para alimentar a ovelha durante seis semanas ou para alim
73. 009 acredita que a inser o do pensamento alg brico a grande diferen a entre o programa atual e os programas do ensino b sico anteriores no que diz respeito s seguintes ideias 1 os alunos come am a pensar algebricamente desde o in cio do seu percurso escolar ii a capacidade de generaliza o um aspeto fundamental na lgebra e ganha ao ser promovida desde o in cio do ensino b sico ili a utiliza o do simbolismo alg brico deve ser progressiva recorrendo a m ltiplas representa es iv a forte articula o e continuidade entre os v rios t picos da lgebra A investiga o did tica da lgebra tem sofrido altera es com o evoluir da pr pria conce o do que se entende por lgebra Escolar Kieran 2006 refere tr s grupos tem ticos dentro dos quais enquadra as principais linhas de investiga o nos ltimos trinta anos conforme a figura 2 1977 a 2006 1 Transi o da Aritm tica para a lgebra vari veis e inc gnitas equa es e sua resolu o e word pro blems Meio da d cada de 80 a 2006 2 Utiliza o de ferramentas tecnol gicas e foco na m ltipla representa o e generaliza o 3 Pensamento alg brico dos alunos do ensino b sico enfoque no bin mio professor ensino da lgebra e modelos de situa es f sicas e outros ambientes dina micos da lgebra Meio da d cada de 90 a 2006 Figura 2 Principais linhas de investiga o em lgebra Escolar nos ltimos trint
74. 2 classificou as nos seguintes tipos 1 Uso da realidade para resolver a equa o 5 b 8 usa se o facto de 5mais3 ser 8 ii Uso de t cnicas de contagem considerando a equa o referida acima conta se 5 6 7 8 portanto s o necess rios 3 para ir do 5 ao 8 iii Cobertura cover up para resolver a equa o 2x 9 5x considera se que 2x 3x 5x logo 3x tem de ser 9 Assim x 3 iv Desfazer undoing para resolver a equa o 2x 4 18 come a se pelo lado direito e usando a ordem da direita para a esquerda desfaz se cada opera o v Substitui o por tentativa e erro para resolver a equa o 2x 5 13 tenta se com diferentes valores at encontrar o correcto vi Transposi o de termos de um membro para outro com mudan a de sinal vii Realiza o da mesma opera o em ambos os membros O estudo das equa es literais aparece noutro patamar de complexidade alg brica complexidade essa associada aos diferentes pap is desempenhados pelas duas letras em que uma surge como a inc gnita e outra como um par metro A 30 aprendizagem destes diferentes pap is t m de se ir fazendo progressivamente com contextos reais e significativos para os alunos De acordo com Chazan amp Yerushalmy 2003 este tipo de equa es tem o seu destaque no facto de ao isolar uma das vari veis se alterar significativamente o modo como a equa o em causa interpretada Apesar de argumentarem que a resol
75. 2003 os dados incluem os elementos necess rios para pensar de forma adequada e profunda acerca dos aspetos do tema que pretendemos explorar e sendo este um estudo substancialmente qualitativo n o podemos limitar nos a um nico m todo de recolha de dados Este estudo tem um car cter investigativo e portanto crucial ter cuidado e n o confundir o papel enquanto professor da turma e enquanto investigador Sendo a aprendizagem dos alunos a minha preocupa o central n o posso perder a no o do que este estudo me exige uma forte capacidade de reflex o e an lise ou seja esta ideia baseia se naquilo que Perrenoud 1999 designa por pr tica reflexiva um profissional reflexivo aceita fazer parte do problema Reflete sobre sua pr pria rela o com o saber com as pessoas O poder as institui es as tecnologias o tempo que passa a coopera o tanto quanto sobre o modo de superar as limita es ou de tornar seus gestos t cnicos mais eficazes Enfim uma pr tica reflexiva met dica inscreve se no tempo de trabalho como uma rotina N o uma rotina son fera uma rotina paradoxal um estado de alerta permanente Por isso ela tem necessidade de disciplina e de m todos para observar memorizar escrever analisar ap s compreender escolher op es novas Perrenoud 1999 in Campos 2010 p 42 15 Esta atitude fundamental para se exercer a fun o de professor investigador mas sozinha n o chega Este tipo de p
76. 47 iii Letra como objeto a letra entendida como um s mbolo para um objeto concreto ou como um objeto concreto Exemplo O c lculo do 19 per metro de um quadrado 41 onde l o comprimento do lado do quadrado iv Letra como inc gnita a letra vista como um n mero espec fico mas desconhecido Exemplo Dada a equa o 3x 5 8 qual o valor dex v Letra como n mero generalizado a letra vista como uma representa o de v rios n meros e n o de apenas um Exemplo Se c d 12 e c menor que d que podes afirmar acerca de c vi Letra como vari vel a letra entendida como a representa o de uma s rie de valores desconhecidos e reconhece se uma rela o sistem tica entre dois conjuntos de valores Exemplo Qual das express es maior 3n oun 3 Justifica Kiichemann 1981 in Kieran 1992 refere ainda que a cataloga o apresentada encontra se ordenada por ordem crescente de dificuldade e que quando um aluno for capaz de trabalhar com a letra como vari vel significa que este compreendeu o uso das letras na totalidade Desenvolvimento do sentido de s mbolo Segundo Castro e Castro 1997 o s mbolo um ente que se toma como substituto de algo ao qual se chama referente Este pode tomar uma variedade de formas desde objetos concretos a marcas escritas no papel e pode representar desde conceitos simples a outros mais complexos Arcavi 1994 2006 um outro autor que
77. 5 x 5 22 x 3 2 3 Ba 7 Ba 7 24 2 5y 196 ANEXO II Tarefa 6 Agrupamento de Escolas Vasco Santana 8 2 Matematica Equa es Literais e Opera es com polin mios N 1 O valor monet rio de um computador diminui medida que o tempo passa Admite que o valor v de um computador em euros t anos ap s a sua compra dado por v 300t 2100 1 1 Calcula v para t 0 e interpreta o resultado 1 2 Qual o valor monet rio do computador ao fim de 2 anos 1 3 Resolve a equa o apresentada em ordem a t 1 4 Admite que o pre o atual do computador 525 Quanto tempo decorreu desde a sua compra 2 Para construir um pequeno muro no seu jardim a D Rosa pensou em usar alguns tijolos que sobraram de uma outra obra que fez em casa 6 em NNN A D Rosa pretende colocar alguns tijolos em p e outros deitados aleatoriamente O comprimento do muro neste caso dado por c 15d 6p 1 Adaptado de Oliveira C amp Torrado G 2009 Resolu o de tarefas envolvendo equa es literais um estudo no 9 ano 197 2 1 Explica o que representam as seguintes express es 2 1 1 15d 2 1 2 15d 6p 2 2 Sup e que o comprimento total do muro era de 420 cm e que a D Rosa colocou 18 tijolos deitados Explica como procederias para descobrir o n mero de tijolos colocados em p 2 3 Escreve uma f rmula que permita calcular
78. 89 NCTM 2007 Princ pios e normas para a matem tica escolar Lisboa APM obra original em ingl s publicada em 2000 NCTM 2008 Algebra What When and for Whom A position of the National Council of Teachers of Mathematics Retirado em Mar o 8 2012 de http www nctm org uploadedFiles About NCTM Position Statements Alge bra 20final 2092908 pdf Nogueira D amp Viseu F 2011 O sentido do s mbolo de alunos do 10 ano de escolaridade In M H Martinho R A Ferreira I Vale J P Ponte Eds 145 Atas do Encontro de Investiga o em Educa o Matem tica P voa de Varzim SPIEM Oliveira C amp Torrado G 2009 Resolu o de tarefas envolvendo equa es literais um estudo no 9 ano Trabalho realizado no mbito da disciplina Did tica dos N meros e da lgebra do Mestrado em Did tica da Matem tica Oliveira H 2009 A lgebra no Novo Programa de Matem tica do Ensino B sico Educa o e Matem tica 105 83 86 Panizza M Sadovsky P amp Sessa C 1999 La ecuaci n linear com dos variables entre la unicidade y el infinito Ense anza de las Ciencias 17 3 453 461 Peral L amp G mez J 2003 Concepto de variable dificultades de su uso a n vel universit rio Mosaicos Matematicos 11 109 114 Perrenoud P 1999 Formar professores em contextos sociais em mudan a Pr tica reflexiva e participa o cr tica Tradu o de Denice Barbara Catani In Revis
79. 9 Nesta linha defende se que o objeto central da lgebra s o os s mbolos sendo plaus vel encarar o trabalho em lgebra como a manipula o de s mbolos e de express es alg bricas onde a matem tica n o passa de um jogo de s mbolos sem significados Efetivamente n o podemos minimizar a import ncia dos s mbolos 12 uma vez que a simbologia alg brica e a respetiva sintaxe carater stica desta rea cient fica ganham vida pr pria tornando se poderosas ferramentas na resolu o de problemas Contudo tamb m nesta potencialidade que se encontra a sua grande fraqueza quando s o utilizados s mbolos de forma abstrata sem significado levando a um jogo de manipula es caraterizado pela pr tica repetitiva de exerc cios envolvendo express es alg bricas como sucedeu no movimento da Matem tica moderna Ponte et al 2009 Este movimento que trazia uma nova conce o de lgebra foi severamente criticado Segundo Ponte et al 2009 alguns cr ticos defendiam que os s mbolos literais devem ter algum significado numa fase inicial salientando a quantidade de interpreta es incorretas que poderiam surgir na aprendizagem da linguagem alg brica Diversas investiga es feitas na rea como por exemplo Kaput 1999 justificam as dificuldades sentidas pelo facto de os programas de lgebra estarem muito centrados na simbologia e na aplica o de regras tal como por este campo surgir um pouco isolado dos restantes tem
80. ANA Escola B sica do 2 e 3 ciclo Vasco Santana Filipe Eduardo Silva aluno do Curso de Mestrado em Ensino de Matem tica da Universidade de Lisboa vem por este meio solicitar a sua autoriza o para observar e lecionar no 8 ano de escolaridade da turma D a unidade de Equa es e Regularidades no mbito de uma investiga o individual que culminar com o relat rio de Mestrado O relat rio Pensamento Alg brico o sentido de s mbolo e de vari vel nos alunos do 8 ano de escolaridade visa investigar de que forma a unidade de ensino baseada no estudo das equa es literais e express es alg bricas contribui para o desenvolvimento do pensamento alg brico e do sentido de s mbolo e de vari vel dos alunos de uma turma de 8 ano de escolaridade Fico inteira disposi o de V Exa para complementar toda a informa o que julgue oportuna Agradecendo desde j a sua colabora o subscrevo me com os melhores cumprimentos Atenciosamente Filipe Silva 205
81. Figura 39 x 1 E 3 y a x em ordema x Figura 39 Resolu o de um aluno quest o 6 5 da Tarefa 2 Alguns alunos quando lhes pedido para escreverem em ordem a uma das inc gnitas escolhem um dos termos em que se encontra a inc gnita pretendida e isolam apenas esse termo sem que antes somem termos com a mesma parte literal tal como se verifica na figura seguinte 99 5x 1 1 3 pre x em ordemax O y Smsrg den L Y Figura 40 Resolu o de um aluno quest o 6 5 da Tarefa 2 Para al m disto existe alguns alunos que num primeiro momento de concretiza o deste processo perdem por completo no o dos princ pios de equival ncia e come am a tentar isolar a inc gnita sem respeitar qualquer regra de transforma o de equa es equivalentes Figura 41 5x 1 y 6 5 y 5 x em ordem a x 7m SHH 4 4 ny o Gu A S g a a eg HP si i yy y X 4 9 yy H or S FAL amp gt EU 1 Wag F Taipi on 2 aa b vA No entanto este mesmo aluno quando termina a sua resolu o apercebe se dos erros cometidos e reinicia uma nova resolu o desta vez com a aplica o correta dos princ pios de equival ncia Figura 42 j Spel ge 414 2x9 x14 Fizy 4y 35X4 44 2 6yA T 14x 35x 7164 gt 49y 64 at ie Za daa Figura 42 Resolu o do aluno X quest o 6 5 da Tarefa 2 100 Sentido de S mbolo e de V
82. No entanto os resultados continuam a ser bastante satisfat rios apesar da percentagem de alunos de n vel 2 ter aumentado para mais do dobro e a de alunos de n vel 5 ter diminu do para metade daquela que se verificou no 1 per odo a m dia da turma continua positivo sendo de 3 29 numa escala de 1 a 5 A Figura 8 sintetiza os resultados escolares da turma na disciplina de Matem tica no 2 per odo Classifica es a Matem tica no 2 Per odo E N vel 2 E N vel 3 E N vel 4 E N vel 5 Figura 8 Classifica es a Matem tica no 2 Per odo No final do ano letivo os resultados da turma voltaram a melhorar uma vez que n o houve nenhum aluno a ter negativa e aumentou o n mero de alunos com n vel 5 sendo que no final a turma ficou com m dia de 3 64 Figura 9 Na reuni o final de ano os professores da turma enalteceram as qualidades dos alunos tanto a n vel escolar como humano tendo se decidido que nenhum aluno ficaria retido no 8 ano 42 Classifica es a Matem tica no 3 Per odo 0 E N vel 2 E N vel 3 E N vel 4 E N vel 5 Figura 9 Classifica es a Matem tica no 3 Per odo Da observa o direta das aulas de Matem tica esta turma est constantemente a dar evid ncias de ser uma turma bastante interessada participativa energ tica agarra em qualquer desafio que lhe proponham e apresentam uma diversidade de estrat gias ricas preferindo sempre que
83. O I Planifica o da 3 aula ses seed stassdaccssoadeacsdosegacnsdsedecvensseedencsdaactdesdaces 159 ANEXO 1 Planifica o da 4 aula ssa espiada elias lope aai 163 ANEXO J Planifica o da 5 aula vessc sascasseasivcsseessescenenccescsdeeus penses nesagiasanmetiaa era 167 ANEXO I Planifica o da 6 Aula assis ras a a Da a 171 ANEXO I Planifica o da 7 aula ccssasscssssssversccssedcelenspevevateesscteanavcsaascevedeadeeteccs 175 ANEXO I Planifica o da 8 aula gases isso nanda ued vie tea eae 179 ANEXO Tarefa o asas sentadas eae i tee Ses dahl a ies OS api andas dba andou 183 ANEXO M Tarefa hse sues etso chia Gh Dead Tape eat do Ct Rah Cn ties Sa 185 ANE NOS Tarefa Sica ton liat o tons ninaa aT tus ata afa aci RE 189 ANEXO M Tarefa A estos oiee pena tation tie duende dana spa pata saiu ada 193 ANEXO M Tarela Ss quiri DE eae asia ee ede el Nae 195 ANEXO OLE Ero 0 rere np eR ere eee NG ey he ween Ce eens eer 197 ANEXO II Quest es do Teste de Avalia o erre 199 ANEXO II Desafios Semanais ovis 2ccdscesgscekect decode tectaant deediacapgoeed ausdecets sed anal vided 201 ANEXO III Autoriza o dos Encarregados de Educa o 203 ANEXO III Pedido de Autoriza o da Dire o da Escola 205 xiv ndice de Figuras Figura 1 Fases de desenvolvimento da linguagem alg brica Nabais 2010 p 26 11 Figura 2 Princ
84. Resolu o da Sara quest o 4 d do Teste eeeeeecceesseceesseeeesteeeenaees 127 Figura 86 Resolu o de um aluno s quest es 4 c e 4 d do Teste 128 Figura 87 Resolu o de um aluno quest o 4 c do Teste 128 Figura 88 Resolu o de um aluno quest o 4 d do Teste 128 xvii ndice de Quadros Quadro 1 Vertentes fundamentais do pensamento alg brico 18 Quadro 2 Quadro de refer ncia do sentido de s mbolo cssss eis 21 Quadro 3 Utiliza es do conceito de vari vel 27 Quadro 4 Conce o da lgebra e sua rela o com o uso das vari veis 29 Quadro 5 Objetivos espec ficos do Programa de Matem tica do Ensino B sico EGG OU darem asa bi A a Ca DA de Ad Aone ute 46 Quadro 6 Planifica o geral da unidade de ensino 53 Quadro 7 Objetivos da Tarefa a aplicar na Entrevista 80 xviii Capitulo I Introducao Um bom ensino da Matematica forma melhores habitos de pensamento e habilita o individuo a usar melhor a sua intelig ncia Irene de Albuquerque Com o Programa de Matem tica do Ensino Basico DGIDC 2007 a lgebra assume um novo lugar de destaque no ensino e aprendizagem da Matem tica deixando de ser encoberta pelos restantes temas matem ticos Ao passar a ser considerada um tema a lgebra pa
85. Universidade de Lisboa Relat rio da Pr tica de Ensino Supervisionada Pensamento Alg brico O sentido de s mbolo e de vari vel em alunos do 8 ano de escolaridade Filipe Eduardo Ros rio Leal Silva Mestrado em Ensino da Matem tica 2012 Universidade de Lisboa Relat rio da Pr tica de Ensino Supervisionada Pensamento Alg brico O sentido de s mbolo e de vari vel em alunos do 8 ano de escolaridade Filipe Eduardo Ros rio Leal Silva Orientador Professora Doutora Leonor Santos Coorientador Professora Doutora Helena Sezinando Mestrado em Ensino da Matem tica 2012 Ao meu Av e a minha amiga e professora Ivone Cristino os meus dois mentores para a vida Agradecimentos Pela sua afetividade pelo modo como tem o cora o ao p da boca e a l grima ao canto do olho pela sua integridade e principalmente pela sua qualidade como homem como profissional e como cidad o j n o h muita gente assim Manuel Alegre A realiza o deste trabalho n o teria sido poss vel sem a colabora o e incentivo de diversas pessoas Gostaria por este facto de expressar toda a minha gratid o e considera o a todos aqueles que direta ou indiretamente contribu ram para que esta tarefa se tornasse uma realidade A todos quero manifestar os meus sinceros agradecimentos As minhas primeiras palavras de agradecimento t m de ir for osamente para os meus pais Sem o amor carinho e todo o a
86. a e Oaluno ter um papel de comunicador explicitando e justificando as 175 estrat gias utilizadas e O professor ter um papel orientador garantindo a exist ncia de e Interven es ordeiras e Rigor de linguagem e S ntese dos principais conte dos DESENVOLVIMENTO DA AULA e 1 Momento Entrada 5 min 13h35 13h40 e Os alunos entram na sala de aula e O professor escreve o sum rio e 2 Momento Conclus o da Tarefa 4 15 min 13h40 13h55 e O professor deve promover a consciencializa o por parte dos alunos de que se pode desenvolver rapidamente a express o que traduz o quadrado do bin mio e O professor deve proporcionar o estudo do quadrado de uma diferen a recorrendo manipula o alg brica de que a b a b e O professor dever registar as duas f rmulas no quadro para que os alunos as passem e O professor dever apresentar alguns bin mios para que os alunos ponham em pr tica as f rmulas obtidas e 3 Momento Corre o da Tarefa 3 20 min 13h55 14h15 e O professor deve solicitar aos alunos para corrigirem a quest o 3 e 4 insistindo em alguns erros cometidos por estes e Caso se corrija a tarefa toda o professor dever propor a resolu o da quest o 2 da p gina 48 e O professor deve responder s d vidas dos alunos questionando os colegas do grupo e colocando quest es ao pr prio aluno para que este consiga chegar sozinho ao esclarecimento da
87. a o as condi es apresentadas v Ter a capacidade de selecionar uma representa o simb lica para um problema vi Entender a constante necessidade de procurar significados nos s mbolos e nas opera es alg bricas na resolu o de um problema vii Compreender que os s mbolos podem desempenhar diferentes pap is em fun o do contexto e construir uma ideia dessas diferen as Grossmann Gon alves e Ponte 2009 referido e adaptado em Grossmann e Ponte 2011 apresentam um quadro de refer ncia para analisar o sentido de s mbolo tendo em conta quatro categorias express es alg bricas equa es problemas e fun es tal como sugere o Quadro 2 Quadro 2 Quadro de refer ncia do sentido de s mbolo Grossmann amp Ponte 2011 Estar familiarizado com os s mbolos e o seu significado Express es Traduzir para linguagem simb lica a linguagem corrente Alg bricas Passar de uma estrutura concreta para uma mais abstrata sentido do n mero para sentido de s mbolo 21 Equa es Problemas Fun es Criar uma express o simb lica para um determinado objetivo Sentir o problema a partir da inspe o dos s mbolos Manipular simbolicamente utilizando os procedimentos adequados Manter uma vis o global do que se est a trabalhar evitando cair em manipula es destitu das de significado Identificar equa es equivalentes procurando novos aspetos dos signific
88. a Arcavi 1994 apesar do sentido de s mbolo compreender diversos aspetos de alguma forma interligados o facto de um deles estar numa fase relativamente avan ada de desenvolvimento n o significa que o mesmo ocorra com os outros De acordo com Sfard e Linchevsky 1994 o sentido de s mbolo apurado resulta do conjugar da instru o matem tica e da pr pria l gica interior do aluno surgindo com a capacidade de ver as ideias abstratas que se escondem atr s dos s mbolos Os tr s alunos entrevistados revelam estar a meio desta caminhada de conjuga o sendo que o Alfredo sobressai pela sua l gica interior enquanto o Guilherme e a Sara revelam uma forte instru o matem tica Assim sendo os dados apontam para uma maior facilidade no trabalho com express es alg bricas em compara o com as equa es literais Estes demonstram tamb m uma heterogeneidade quanto ao sentido de s mbolo dos alunos sendo no entanto vis vel a exist ncia de um desenvolvimento do sentido de s mbolo razo vel por parte de cada aluno e acima de tudo torna se evidente a necessidade de continuar a trabalhar nessa dire o contactando com atividades que contribuam para o desenvolvimento do sentido de s mbolo Que sentido de vari vel revelam os alunos na forma como resolvem quest es envolvendo equa es literais e express es alg bricas Segundo Schoenfeld e Arcavi 1988 p 426 a subtileza e dificuldade da ideia de vari vel que to
89. a anos Adaptado de Kieran 2006 p 12 in Nabais 2010 p 34 Z A transi o da Aritm tica para a Algebra o foco do primeiro grupo tem tico Este defende que os alunos no seu trabalho alg brico utilizam as regras aprendidas na Aritm tica mas evidenciam distanciamento das mesmas Segundo Stacey amp MacGregor 1999 os alunos ao resolverem problemas optam pelos m todos aritm ticos em detrimento dos alg bricos 15 Ao emergir na d cada de 80 a ideia de que o conhecimento constru do de forma ativa pelo aluno levou os investigadores a debru arem se sobre a utiliza o das novas tecnologias como ferramentas teis na aprendizagem da lgebra surgindo assim o segundo grupo tem tico De acordo com Nabais 2010 a lgebra deixou de ser vista como o estudo e resolu o de equa es para se tornar num tema mais amplo abrangendo o estudo das fun es e suas representa es bem como situa es de contexto real e wordproblems O terceiro grupo tem tico surge a meio da d cada de 90 e carateriza se pela an lise do pensamento alg brico dos alunos do ensino b sico Com a extens o da lgebra das equa es s fun es e aos modelos de situa es da vida real tornou se necess rio proceder a ajustamentos no ensino de modo a incluir explora es de cunho alg brico na escolaridade b sica tamb m nesta d cada que os investigadores come am a debru ar se com mais intensidade nas pr ticas dos professores e no p
90. a 2 90 Figura 18 Resolu o da Sara quest o 1 do Teste 90 Figura 19 Resolu es de um aluno s quest es 1 3 da Tarefa 1 e 6 5 da Tarefa 2 90 Figura 20 Resolu o de um aluno quest o 6 5 da Tarefa 2 90 Figura 21 Resolu o do Alfredo quest o 2c da Tarefa 6 91 Figura 22 Resolu o do Alfredo quest o 1 1 da Tarefa 1 92 Figura 23 Resolu o do Alfredo quest o 6 2 da Tarefa 2 92 XV Figura 24 Resolu o do Guilherme quest o 5 2 da Tarefa 2 92 Figura 25 Resolu o da Sara quest o 5 1 da Tarefa 2 92 Figura 26 Resolu o de um aluno quest o 6 3 da Tarefa 2 93 Figura 27 Resolu o do Alfredo quest o 1 3 da Tarefa 1 93 Figura 28 Resolu o do Alfredo quest o 1 do Teste 93 Figura 29 Resolu o do Guilherme quest o 6 5 da Tarefa 2 94 Figura 30 Resolu o do Guilherme quest o 1 3 da Tarefa 1 94 Figura 31 Resolu o da Sara quest o 6 5 da Tarefa 2 95 Figura 32 Resolu o da Sara quest o 1 3 da Tarefa 1 95 Figura 33 Resolu o de um aluno quest o 1 3 da Tarefa 1 96 Figura 34 Resolu o de um aluno quest o 6 3 da Tarefa 2 96 Figura 35 Resolu o de um aluno quest o 6 3 da Tarefa 2 96 Figura 36 Reso
91. a que costuma estudar e realizar todos os trabalhos de casa Apesar da sua participa o em aula ser bastante rica e 78 interessante o sucesso n o t o vis vel nos testes n o conseguindo atingir as notas que fazem jus sua presta o em aula A Sara foi uma aluna de n vel 4 ao longo do ano Tendo em aten o quest es de ordem tica foi solicitada uma autoriza o Anexo III aos encarregados de educa o dos alunos para a utiliza o dos dados recolhidos Apenas utilizei os dados dos alunos que me entregaram a autoriza o assinada pelos seus encarregados de educa o Instrumentos de recolha de dados De acordo com Cohen Manion amp Morrison 2000 a utiliza o de v rios instrumentos de recolha de dados possibilita um confronto dos dados obtidos a partir de diversas fontes e informantes o que confere maior fiabilidade ao estudo diminuindo a possibilidade do investigador distorcer a imagem da realidade que est a investigar Nesta sec o descrevo os principais instrumentos utilizados na recolha de dados para desenvolver o presente estudo que neste caso tendo em conta o objetivo e as quest es de investiga o s o a entrevista a observa o de aulas e a recolha documental de produ es dos alunos Entrevista A entrevista um dos instrumentos privilegiados para a recolha de dados uma vez que esta utilizada na recolha de dados descritivos na linguagem do pr prio sujeito permitindo ao in
92. a vis o global evitando cair em manipula es destitu das de significado a maioria dos alunos em algumas situa es mant m uma vis o global do que est o a trabalhar tendo em conta o contexto das tarefas Um sentido de s mbolo apurado requer uma verifica o constante da resposta que pode 135 ser feita por uma simples substitui o de valores sendo que neste ponto o Alfredo mostra um sentido de s mbolo mais desenvolvido que os restantes alunos entrevistados No entanto estes alunos ainda est o muito apegados simples manipula o simb lica A falta de seguran a em conceitos e procedimentos b sicos leva a que os alunos entrevistados n o identifiquem equa es equivalentes e n o reconhe am a equival ncia entre a equa o na forma impl cita e na forma expl cita n o recorrendo equa o resolvida em ordem a uma vari vel para determinar um valor dessa mesma vari vel Em rela o aos restantes alunos da turma estes identificam equa es equivalentes simples no entanto revelam dificuldade em interpretar algumas situa es que care am da compreens o dessa mesma equival ncia Os alunos compreendem os diferentes pap is que o s mbolo desempenha em fun o do contexto contudo falta lhes sentido de s mbolo na an lise de algumas situa es Apesar do trabalho com express es alg bricas ser o que apresenta melhores resultados globais apenas o Guilherme durante a entrevista compreende o significado de alguns
93. ado e Compreender se est o familiarizados com as express es alg bricas com as opera es que podem efetuar e com as equival ncias que podem obter Mais concretamente as entrevistas decorreram nos dias 9 10 e 17 de Maio tendo sido o primeiro dia dedicado realiza o aut noma da tarefa por parte dos alunos e nos seguintes durante a aula de Matem tica foram realizadas as entrevistas semiestruturadas tendo em conta as escolhas e presta es dos alunos Na minha opini o as entrevistas correram bem Os alunos tentaram explicar o seu racioc nio e as suas op es Como queria perceber como os alunos lidavam com as dificuldades e os erros cometidos entreguei lhes uma c pia da tarefa em branco e durante a 81 entrevista caso encontrassem um erro podiam alterar a sua resolu o registando a nova resolu o na c pia da tarefa ou seja em certos momentos os alunos tiveram a capacidade de confrontados com os seus erros ultrapass los e aprender com estes Observa o de aulas As t cnicas de observa o permitem a investiga o de fen menos nos seus contextos de ocorr ncia natural A observa o de aulas pode ser participante ou n o participante A observa o participante implica a inser o do investigador na popula o ou na sua organiza o ou comunidade para registar comportamentos intera es ou acontecimentos envolvendo se assim nas atividades que est a estudar Evalsed 2009 Este estudo
94. ado no 7 ano de escolaridade Por sua vez em rela o s Express es alg bricas e Opera es com polin mios o Programa de Matem tica do Ensino B sico DGIDC 2007 define como objetivos espec ficos 1 Compreender a no o de termo geral de uma sequ ncia num rica e represent lo usando s mbolos matem ticos adequados ii Determinar um termo geral de uma segu ncia num rica e termos de v rias ordens a partir do termo geral iii Compreender os diferentes pap is dos s mbolos em lgebra iv Simplificar express es alg bricas v Efetuar opera es com polin mios adi o alg brica e multiplica o vi Compreender e utilizar os casos not veis da multiplica o de bin mios Os dois primeiros objetivos surgem como revis o do trabalho de sequ ncias realizado no 7 ano de escolaridade e como rampa de lan amento para o desenvolvimento das opera es com polin mios em especial para a compreens o dos casos not veis da multiplica o de bin mios Inserido neste subt pico aparece ainda a refer ncia de que os alunos devem distinguir vari vel de constante e de par metro tal como distinguir express o 45 alg brica equa o e f rmula conceitos importantes para a resolu o das equa es literais Este mesmo programa apresenta um conjunto de recomenda es metodol gicas no trabalho com express es alg bricas A aprendizagem das
95. ado sobre o porqu que ele se relembra que o v o valor do computador t anos ap s a sua compra O Guilherme ao explicar oralmente o que significa o v quando t 0 bastante claro e objetivo No entanto a sua interpreta o por escrito Figura 57 um pouco confusa e at mesmo distinta da interpreta o oral Ma V INOUILGUU 9 N Cot ampe couungorg 0b ko ob Me o compulona Vit i A A cost Par AAD A j o iann a Jen COMPAS xO L pcs a Jor Wiway a putador ao fim de 2 anos vy Muda A CDA as ROTO Tom Figura 57 Resolu o do Guilherme quest o l a da Tarefa 6 Professor E esse valor o qu Guilherme E o valor do computador no momento da compra Do mesmo modo a Sara oralmente consegue se expressar de forma mais clara do que por escrito tal como se v na al nea a da primeira quest o onde insere uma nova inc gnita x para se conseguir expressar a O resultado FN VA 10C i Whe alcs UCTY C Mpo a a Or Xe ETRE JE A Figura 58 Resolu o da Sara quest o 1 a da Tarefa 6 Existem alguns alunos da turma que perdem a no o do significado das vari veis e do seu contexto interpretando incorretamente os resultados obtidos e n o os relacionando com os dados iniciais do problema A figura seguinte diz respeito resolu o de um aluno que obt m temperaturas negativas o que n o fazia muito sentido tendo em conta as imagens da mete
96. ados originais Compreender os diferentes pap is que os s mbolos podem desempenhar Decidir se til recorrer ao s mbolo Criar uma express o simb lica que traduza a situa o Interpretar o s mbolo no contexto do problema Utilizar os s mbolos para aceitar ou rejeitar conjeturas Generalizar Utilizar o s mbolo para estabelecer rela es quantitativas Escolher a representa o simb lica adequada Analisar o efeito da mudan a e da varia o dos s mbolos Utilizar o s mbolo para modelar situa es Compreender que os s mbolos podem desempenhar pap is distintos em contextos diferentes Utilizar o poder dos s mbolos para tomar decis es Compreender e utilizar diferentes representa es do mesmo objeto matem tico Analisando o quadro na categoria das express es alg bricas Estar familiarizado com os s mbolos e o seu significado Ter sentido de s mbolo passa por conhecer os s mbolos alg bricos e saber como estes s o utilizados ou seja combinar e utilizar estes no trabalho com express es alg bricas perante um contexto adequado 22 Traduzir para linguagem simb lica a linguagem corrente Ser capaz de expressar a linguagem corrente atrav s de s mbolos uma das vertentes fundamentais do sentido de s mbolo Passar de uma estrutura concreta para uma mais abstrata Esta passagem ao ser feita em compreens o das propriedades espe
97. alguns deles s surgem nas equa es literais como o caso da invers o do fator num rico Alguns alunos como o caso do Guilherme que conseguiam aplic lo corretamente nas equa es lineares perdem completamente a no o deste princ pio quando se deparam com equa es literais Contudo existem tamb m alunos como o Alfredo que s come am a aplicar este princ pio corretamente na resolu o de equa es literais e s aqui o compreendem de tal forma que ap s o surgimento das equa es literais este princ pio come a a ser aplicado corretamente tamb m nas equa es lineares Este facto questiona de forma muito significativa o pressuposto tantas vezes defendido de que a aprendizagem se faz de forma linear isto do mais simples para o mais complexo 131 Tendo em conta as v rias transforma es associadas aos princ pios de equival ncia pode se verificar que as transforma es apreendidas mais recentemente tais como desembara ar de denominadores e exist ncia do sinal negativo antes de uma fra o s o alvo de um maior n mero de falhas por parte dos alunos na resolu o de equa es literais possivelmente devido ao facto destas n o terem sido bem consolidadas aquando da sua aprendizagem na resolu o de equa es do 1 grau durante este ano letivo A exist ncia de mais do que uma inc gnita leva necessidade de um primeiro passo fundamental na resolu o de equa es literais no qual os alunos com
98. alho para que em grande grupo se possa analisar as estrat gias consideradas por estes e deste modo promover o desenvolvimento das capacidades de argumentar comunicar e raciocinar permitindo tamb m uma an lise mais significativa das situa es matem ticas trabalhadas e um confronto de ideias Neste momento da aula o professor deve ter um papel de dinamizador moderador e orientador da partilha de ideias provocando os alunos de modo a que todos tenham um papel ativo na discuss o imprescind vel que o professor garanta que sejam esclarecidas todas as d vidas que persistam sejam corrigidos todos os 56 erros cometidos e que seja feita uma s ntese dos conceitos e conclus es obtidas sempre com o aux lio dos alunos A meu ver para desenvolver o pensamento alg brico dos alunos tamb m importante garantir a diversidade de tarefas desde tarefas de explora o at aos simples exerc cios de consolida o Uma vez que este estudo procura compreender como os alunos desenvolvem o sentido de s mbolo e de vari vel as tarefas que envolvem a an lise do erro est o presentes na minha planifica o tal como tarefas que visem a comunica o matem tica enquanto capacidade de interpretar e expressar ideias matem ticas Depois de selecionadas as estrat gias e as tarefas importante repensar quais as estrat gias que mais se adequam a cada uma das tarefas escolhidas Para o t pico das Equa es Literais indo ao encontro
99. ando lhes sempre que explicassem o seu racioc nio aos colegas A quest o 1 4 permitiu a explora o de v rias estrat gias de resolu o para o c lculo de uma rea Os alunos referiram duas por iniciativa pr pria e o professor questionou os quanto possibilidade de utilizarem a f rmula da rea do trap zio a qual foi apresentada no quadro Em rela o quest o 2 um aluno foi apresentar a primeira al nea e explicou turma qual a lei de forma o que identificou Outro aluno quando foi apresentar a resolu o da quest o 2 2 explicou como obteve os seus resultados de acordo com duas estrat gias leis de forma o distintas Outro aluno quis apresentar uma terceira estrat gia diferente mas que levava mesma resposta Como a compreens o desta al nea era fundamental para a seguinte em que se pedia o termo geral da sequ ncia solicitei a uma terceira aluna que apresentasse a sua resolu o que era semelhante dos colegas mas tinha o rigor matem tico necess rio para se passar de um determinado termo conhecido para o termo geral Ap s esta aluna ter explicado como fez e ter dado uma primeira ideia de como tinha pensado na al nea em que pedia o termo geral a aula terminou e foram recolhidas todas as tarefas dos alunos 27 de Abril de 2012 45 minutos Sendo uma aula de apenas quarenta e cinco minutos tinha como objetivo concluir a discuss o da tarefa da aula anterior discutir os resultados obtidos pelos alunos
100. ara saber a diferen a entre os dois fazia 420 270 150 Professor Isso o qu Alfredo os cent metros que faltam para completar os 420 cm do muro Professor V o ser completados por tijolos Alfredo Em p Ent o agora fazia 150 6 que me ia dizer quantos tijolos Professor O que o 6 Alfredo o comprimento de um tijolo em p Se eu fizer 150 6 d 25 25 o n mero de tijolos de p que h no muro No caso do Guilherme este tem algumas dificuldades em traduzir de linguagem corrente para linguagem simb lica o que provoca alguma confus o da sua parte na rela o entre as informa es existentes no enunciado Figura 72 119 b Sup e que o comprimento total do muro era de 420 cm e que a D Rosa colocou 18 tijolos deitados Explica como procederias para descobrir o n mero de tijolos colocados em p AY x15 Xt O com 6 49 Ron Ah uno Ina 24 Figura 72 Resolu o do Guilherme quest o 2 b da Tarefa 6 Guilherme Pus que eram 18 tijolos deitados que t m o comprimento de 15cm Ent o multipliquei 18 vezes 15 que deu 270 270 a dividir pelos 6cm dos tijolos de p foi dar 45 Pelo que seriam 45 tijolos em p Professor O que s o os 270 Guilherme os 18 tijolos deitados O comprimento dos tijolos deitados Professor E foste dividir por 6 Guilherme Porque era o comprimento de um tijolo em p Guilherme Ah Ah j percebi Ela quer saber quantos
101. ari vel Indo ao encontro de duas das quest es deste estudo procuro analisar que sentido de s mbolo e de vari vel os alunos revelam no trabalho com equa es literais e express es alg bricas Deste modo irei analisar algumas interven es e tarefas dos tr s alunos entrevistados e da turma em geral na procura de evid ncias do sentido de s mbolo tendo em conta o quadro refer ncia apresentado em Grossmann Gon alves e Ponte 2009 incidindo apenas nas categorias de express es alg bricas e equa es Equa es literais Sentir o problema a partir da inspe o dos s mbolos O Alfredo durante a entrevista na resolu o da quest o 1 d evid ncias de compreender o significado de alguns s mbolos utilizados Linha 2 no entanto tem alguma dificuldade em expressar se quanto ao significado de outros Linhas 9 e11 1 OO ON Re 1 se 10 11 Professor O que o t Alfredo os anos ap s a compra do computador Professor Ent o que representa o v Alfredo O valor do computador Professor O valor computador quando Alfredo Antes da compra Professor Ent o se o v sempre o valor do computador na hora da compra sempre o mesmo Alfredo Sim Na hora da compra mas vai desvalorizando com o tempo Alfredo E o pre o total do computador depois da compra Com o decorrer dos anos desvalorizou Este aluno ao longo da entrevista sobre esta quest o prev os r
102. as pr prias vi Tem como objetivo de estudo uma entidade bem definida um programa uma institui o um sistema educativo uma turma uma pessoa ou uma entidade social vii Pretende responder aos comos e aos porqu s que caraterizam o objeto do estudo 76 viii Utiliza uma variedade de instrumentos e estrat gias de recolha de dados observa es diretas e indiretas entrevistas question rios registos de udio e v deo di rios cartas entre outros ix Tem um forte cunho descritivo que conduza a uma an lise x Procura identificar padr es n o testa hip teses xi Gera novas hip teses novas teorias e novas quest es para futura investiga o xii Baseia se no trabalho de campo xiii O investigador o principal instrumento de recolha de dados Assim uma investiga o qualitativa procura compreender o acontecimento em estudo como o mundo do ponto de vista dos participantes e assenta num contexto de descoberta em torno das quest es propostas e n o no contexto da prova e ao mesmo tempo procura desenvolver teorias mais gen ricas do fen meno observado isto o investigador explora descreve ou explica os factos como sucederam para que se possam comprovar ou contrastar efeitos e rela es presentes no caso Ap s a recolha o entendimento do investigador acerca dos materiais recolhidos fundamental para a an lise Da o investigador ser considerado o instrumento principal da s
103. as matem ticos A partir da d cada de 80 surgiu uma nova conce o de lgebra onde o pensamento alg brico ganha destaque Contudo ainda na d cada de 90 a lgebra elementar a par de outros t picos recentes como probabilidades e estat stica surgiam sempre no final dos manuais escolares nos cap tulos que os professores geralmente n o tratavam por falta de tempo o que levava a uma curr culo repetitivo promovendo uma imagem negativa da matem tica e tornando se incapaz de dar aos alunos bases adequadas para a matem tica dos anos seguintes NCTM 1991 Quando nos confrontamos com o programa de 1991 anterior ao presentemente em vigor a palavra lgebra raramente surge ao longo deste enquanto que a no o de pensamento alg brico n o referida em nenhuma parte Os temas contemplados gora pela lgebra no programa atual surgiam no programa anterior associados ao tema N meros e C lculo no t pico Vari veis e C lculo Alg brico e no que diz respeito a indica es metodol gicas o anterior programa j salientava a import ncia da introdu o gradual do conceito de vari vel contudo enfatizava a ideia de resolver metodicamente as equa es A utiliza o de vari veis ponto sempre delicado da entrada na lgebra ser feita gradualmente desde a an lise de f rmulas e rela es entre grandezas j familiares aos alunos at s opera es com polin mios simples necess rias resolu o de condi es A 13 pes
104. assa para o significado correto Sara Eu penso que 15d o comprimento de cada tijolo aa Professor E tu est s a dizer que 15d uma abreviatura de qu Sara 15 vezes d Professor E o comprimento de um tijolo Sara Deitado De todos os tijolos deitados Em rela o ao significado atribu do express o 15d 6p a Sara refere que representa o comprimento do muro ao mesmo tempo que fala em ser a soma do comprimento e da largura dos tijolos O facto de falar em comprimento do muro 116 pode n o representar a compreens o da express o alg brica mas sim a sua identifica o com a informa o fornecida pelo enunciado Figura 65 ii 15d 6p NC QG KEA Figura 65 Resolu o da Sara quest o 2 a da Tarefa 6 Sara 15d 6p Eu escrevi que era o comprimento somado com a largura dos tijolos Mas s deitados Professor Ent o 15d 6p o qu ent o Sara o comprimento do muro Professor Que obtido Sara Atrav s dos tijolos em p e dos tijolos deitados Professor E o que que contribui nos tijolos deitado Sara Nos tijolos deitados 15 cent metros isto o seu comprimento Mas se fosse de p eram 6 por cada tijolo Tal como os alunos anteriores a Sara tem dificuldades em compreender que a manipula o dos s mbolos difere das equa es para as express es Figura 66 Sara cortei o dois porque j estava com o mesmo denominar e fiquei com x 2 2x Profes
105. atores Esta opera o pode ser feita atrav s da aplica o da propriedade distributiva ou atrav s da aplica o dos casos not veis da multiplica o como se pode visualizar nos seguintes exemplos i 3x2 6x 3xxxx 2xXx3xx 3x x 2 GD a 6x 9 2 2 x 3x 3 x 3 x 3 x 3 52 A organiza o da unidade de ensino Segundo Abrantes 1985 planificar passa obrigatoriamente por refletir sobre a a o que se vai levar a cabo decidir sobre os principais objetivos dessa a o escolher processos adequados para atingir esses objetivos p 1 Ao planificar uma unidade did tica existem diversos fatores a ter em conta como por exemplo o facto de n o bastar escolher as tarefas fundamental selecionar uma sequ ncia para implementar as tarefas A elabora o das planifica es das aulas para este estudo tiveram em conta n o s as planifica es a m dio e longo prazo entregue pelo professor cooperante como tamb m as carater sticas da turma e dos alunos As planifica es elaboradas Anexo I dizem respeito a 5 aulas de 90 minutos e 3 aulas de 45 minutos num total de 8 blocos de aulas A concretiza o das aulas referidas teve in cio a 19 de Abril e prolongou se a 9 de Maio de 2012 Cada aula foi preparada tendo em conta os objetivos espec ficos as dificuldades evidenciadas pelos alunos e os conhecimentos pr vios destes Foram tamb m pensadas com o objetivo de responder s quest es de inves
106. b lica Assim sendo este autor identifica cinco aspetos do pensamento alg brico intrinsecamente relacionadas entre si 1 A generaliza o e formaliza o de padr es e restri es em que considera a generaliza o como sendo um alargamento da comunica o e do pensamento para al m das situa es concretas e a formaliza o como sendo a express o dessa generaliza o numa linguagem mais ou menos formal 1 A manipula o de formalismos guiada sintaticamente em que critica os exerc cios rotineiros e sem significado presentes no ensino da manipula o alg brica que n o contribuem em nada para a aprendizagem com compreens o 111 O estudo de estruturas abstratas defendendo que estas devem ser ensinadas para a compreens o partindo das experi ncias dos alunos e relacionando as com outros temas matem ticos iv O estudo de fun es rela es e de varia o conjunta considerando ser poss vel ensinar a no o de fun o logo no in cio da escolaridade sem recorrer a f rmulas ou valores num ricos v A utiliza o de m ltiplas linguagens na modela o matem tica e no controlo de fen menos Mais recentemente Kaput 2008 refere novamente estes cinco aspetos designando os dois primeiros como aspetos nucleares da lgebra os restantes tr s designa os como ramos deste dom nio com express o na Matem tica Escolar Lins e Gimenez 1997 referem que pensar algebricamente significa produzir si
107. bolo ser flex vel na movimenta o entre as diferentes representa es tal como compreender cada uma delas O sentido de s mbolo apurado resulta do conjugar da instru o matem tica e da pr pria l gica interior do aluno surgindo com a capacidade de ver as ideias abstratas que se escondem atr s dos s mbolos ou seja os s mbolos alg bricos n o falam por si o que realmente vemos neles depende do que estamos preparados para reparar e no que somos capazes de apreender Sfard amp Linchevsky 1994 p 192 Schoenfeld amp Arcavi 1988 criticam o ensino da Matem tica no qual se encara a utiliza o de vari veis como algo que ap s alguma pr tica os alunos percebem sem ambiguidades Estes consideram a constru o do conceito de vari vel um processo complexo que merece aten o particular no cen rio escolar considerando o como um t pico central no ensino aprendizagem da Matem tica Arcavi 1994 defende que o simbolismo alg brico deve ser introduzido desde cedo em determinadas situa es nas quais os alunos possam apreciar o seu poder na express o generaliza o e justifica o de fen menos aritm ticos Na mesma linha 25 Castro amp Castro 1997 explicam que muitas das dificuldades dos alunos na Matem tica se devem a um realce prematuro no simbolismo sem ter em aten o a real compreens o do seu significado matem tico e por isso necess rio estabelecer conex es entre o s mbolo e o si
108. bricas Opera es com polin mios Sum rio Ano Turma 8 D Li o n 132 133 Data 02 Maio 2012 Opera es com Polin mios adi o e Hora 13h35min 15h05min Mon mio e Polin mio multiplica o de polin mios OBJECTIVOS ESPEC FICOS e Compreender os diferentes pap is dos s mbolos em lgebra e Simplificar express es alg bricas e Efetuar opera es com polin mios adi o alg brica e multiplica o e Exprimir resultados processos e ideias matem ticos oralmente e por escrito utilizando a nota o simbologia e vocabul rio pr prios CONHECIMENTOS PR VIOS e Simplificar express es alg bricas que envolvam a adi o de mon mios TAREFAS Anexo II e Tarefa 3 Express es Alg bricas e Opera es com polin mios e Desafios Semanais e Manual p ginas 35 e 48 METODOLOGIA DE TRABALHO e Trabalho a pares e Discuss o e s ntese em turma e Oaluno ter um papel de comunicador explicitando e justificando as estrat gias utilizadas 167 e O professor ter um papel orientador garantindo a exist ncia de e Interven es ordeiras e Rigor de linguagem e S ntese dos principais conte dos DESENVOLVIMENTO DA AULA e 1 Momento Entrada 5 min 13h35 13h40 e Os alunos entram na sala de aula e O professor escreve o sum rio e 2 Momento Desafio Matem tico Discuss o dos resultados 12 min 13h40 13h52 e O professor
109. brico do sentido de s mbolo e de vari vel por parte dos alunos As Tarefas utilizadas De acordo com o Programa de Matem tica do Ensino B sico DGIDC 2007 o professor tem o dever de proporcionar aos seus alunos momentos de aprendizagem com diferentes tipos de tarefas umas com quest es mais rotineiras e outras com quest es mais desafiantes e explorat rias As tarefas que propus aos alunos foram elaboradas de forma a contemplar todos os objetivos espec ficos associados aos subt picos lecionados tal como as capacidades transversais que surgem no curr culo Foram tamb m constru das de maneira a que os alunos as realizassem tendo por base conhecimentos pr vios Tendo tamb m em conta a problem tica definida e o tema onde se enquadra este estudo as tarefas propostas incidiram em quest es que permitissem tirar ila es sobre o sentido do s mbolo e da vari vel nos alunos tal como desenvolver o seu pensamento alg brico Os alunos devem explorar situa es variadas em que surjam letras e discutam os seus significados E importante recorrer a express es alg bricas para representar 58 problemas usando letras para designar inc gnitas ou vari veis tal como vantajoso inserir um contexto associado s vari veis Para al m disso a aprendizagem das opera es com mon mios e polin mios bem como a simplifica o de express es alg bricas deve ser progressiva e recorrer a situa es que permitam aos aluno compre
110. c ficas da linguagem alg brica evidencia um sentido de s mbolo forte Apesar de ser mais f cil trabalhar com n meros importante recorrer letra e s suas interpreta es Criar uma express o simb lica para um determinado objetivo A sensibilidade est presente no sentido de s mbolo quando necess rio escolher partida os s mbolos para resolver uma quest o ou para exprimir com clareza uma condi o isto para atingir os objetivos Passando categoria relativa ao sentido de s mbolo nas equa es Sentir o problema a partir da inspe o dos s mbolos Uma an lise inicial dos s mbolos presentes e a capacidade de prever resultados mostram a exist ncia de um sentido do s mbolo apurado Manipular simbolicamente utilizando os procedimentos adequados A aplica o dos procedimentos da resolu o de equa es permite uma transforma o e simplifica o de objetos matem ticos o que tamb m evidencia um sentido de s mbolo forte Manter uma vis o global do que se est a trabalhar evitando cair em manipula es destitu das de significado O sentido de s mbolo pressup e que a manipula o simb lica seja acompanhada da compreens o do que se est a trabalhar e da verifica o constante se o trabalho realizado est a conduzir ao objetivo ambicionado Identificar equa es equivalentes procurando novos aspetos dos significados originais Ao validar as equival ncias que v o surgindo no
111. cci A sua obra Liberabbaci n o apresenta quaisquer progressos em rela o matem tica isl mica simplesmente o meio de apresentar esta matem tica Europa No s culo XIV come aram a ter lugar muitas transforma es na economia europeia que acabaram por se refletir na matem tica Uma revolu o comercial impulsionada pelas exig ncias das Cruzadas obrigou os mercadores a perceber um pouco mais de matem tica surgindo uma nova classe de profissionais os abacistas que desenvolveram t cnicas alg bricas engenhosas para resolver problemas complexos Katz 1998 neste s culo tamb m que a lgebra chega a Portugal 9 atrav s de Pedro Nunes 1502 1578 que escreveu o Libro de Algebra e no qual come a a surgir uma exposi o mais abstrata da lgebra Em resposta impossibilidade de encontrar uma solu o geral para uma equa o com coeficientes arbitr rios de grau superior ao 4 surge na segunda metade do s culo XIX a lgebra moderna Esta tem o seu in cio com a Teoria de Grupos devida em parte a Gauss e fundamentalmente a Galois e estende os seus horizontes ao estudo das estruturas alg bricas abstratas como grupo espa o vetorial anel e corpo e para o estudo de equa es n o alg bricas ou seja equa es diferenciais e equa es envolvendo objetos matem ticos como fun es Ponte et al 2009 Segundo Fiorentini et al 1993 esta distin o concetual da lgebra est relacionada com a mudan
112. cial da Matem tica e n o podemos dispens lo A lgebra acrescenta novos s mbolos Aritm tica tal como amp e envolve uma altera o no significado de alguns dos s mbolos existentes como seja o caso do e do 6699 Em rela o ao s mbolo a mudan a de significado acarreta grandes dificuldades para os alunos uma vez que estes est o habituados na Aritm tica a encarar a express o 5 7 como indicando uma opera o que preciso fazer Quando surge em lgebra x 5 7 esta n o representa uma opera o mas sim uma condi o em que se coloca a pergunta de qual o valor que satisfaz esta igualdade Ponte et al 2009 Os s mbolos permitem expressar ideias matem ticas de forma rigorosa e condensada Sfard amp Linchevski 1994 tal como facilitam o distanciamento em rela o aos elementos sem nticos que representam ganhando independ ncia e tornando se poderosas ferramentas para a resolu o de problemas Rojano 1996 in Matos amp Ponte 2008 p 196 Em lgebra uma letra pode ser usada das mais diversas formas Kiichemann 1981 in Kieran 1992 descreve seis n veis de interpreta o e uso das letras 1 Letra avaliada a letra assume um valor num rico desde o princ pio Exemplo Qual o valor de a sea 7 9 11 Letra n o considerada a letra ignorada ou a sua exist ncia reconhecida mas n o lhe atribu do significado Exemplo Se n 246 762 ent o n 2
113. contexto da quest o Contudo em rela o ao processo de substitui o este j bem sucedido pois valida os resultados obtidos tendo em conta a rela o entre o valor do computador e os anos ap s a sua compra Ainda na entrevista o Guilherme resolveu a al nea d da primeira quest o sem recorrer equa o apresentada e aos m todos de resolu o de equa es Este faz passo a passo de acordo com a sua interpreta o da quest o mostrando ter compreendido por completo o enunciado Guilherme O pre o atual do computador 525 e tinha que saber quanto tempo decorreu desde a sua compra Ent o fiz o pre o do computador menos o pre o atual Professor O pre o do computador quando Guilherme 2100 Professor Quando Guilherme Quando foi comprado Professor Menos Guilherme Menos 525 que o pre o do computador que deu 1575 Dividi por 300 que meu deu os anos que passaram Professor E quantos anos passaram Guilherme Cinco anos e tr s meses A Sara como se analisou no t pico anterior teve bastantes dificuldades na substitui o de valores num ricos nas vari veis n o compreendendo a substitui o feita nem se questionando se o valor obtido fazia ou n o sentido no contexto do enunciado Somente depois de resolvido corretamente que a Sara conseguiu justificar o porqu de estar mal e referir o facto de nem fazer sentido no contexto Professor J faz sentido no contexto do problema Sara
114. da Tarefa 2 109 Figura 53 Resolu o do Guilherme quest o 1 3 da Tarefa 2 110 Figura 54 Resolu o do Guilherme quest o 6 2 da Tarefa 2 110 Figura 55 Resolu o da Sara quest o 1 d da Tarefa 6 cccceeseceesseeeesseeeeneees 111 Figura 56 Resolu o de um aluno quest o 1 3 da Tarefa 2 111 Figura 57 Resolu o do Guilherme quest o 1 a da Tarefa 6 112 xvi Figura 58 Resolu o da Sara quest o 1 a da Tarefa 6 112 Figura 59 Resolu o de um aluno quest o 4 da Tarefa 2 113 Figura 60 Resolu o do Alfredo quest o 2 a da Tarefa 6 113 Figura 61 Segunda resolu o do Alfredo quest o 2 a da Tarefa 6 114 Figura 62 Resolu o do Alfredo quest o 2 a da Tarefa 6 o e 115 Figura 63 Resolu o do Guilherme quest o 2 a da Tarefa 6 115 Figura 64 Resolu o do Guilherme quest o 3 c da Tarefa 6 116 Figura 65 Resolu o da Sara quest o 2 a da Tarefa 6 ti 117 Figura 66 Resolu o da Sara quest o 3 c da Tarefa 6 ti 117 Figura 67 Resolu o de um aluno quest o 1 da Tarefa 3 118 Figura 68 Resolu o de um aluno quest o 1 2 da Tarefa 3 118 Figura 69 Resolu o de u
115. da turma selecionados A an lise de dados foi constru da tendo em conta as quest es do estudo e tomou para categorias de an lise os processos usados nas equa es literais e o sentido de s mbolo e de vari vel presentes quer nas equa es literais quer nas express es alg bricas Principais conclus es Este estudo teve como ponto de partida a formula o das quest es de investiga o tendo sido desenvolvido e pensado sempre com essas quest es bem presentes Deste modo este subcap tulo surge como o culminar do trabalho desenvolvido em volta das quest es de investiga o procurando dar respostas e refletir sobre estas Em que medida os alunos mobilizam conceitos e propriedades matem ticas das equa es de 1 grau na resolu o de equa es literais Os alunos recorrem a regras pr ticas de resolu o de equa es do 1 grau manifestando algumas dificuldades na aplica o dos princ pios de equival ncia Note se no entanto que algumas dessas dificuldades devem se n o compreens o dos princ pios de equival ncia ainda no trabalho com equa es lineares 130 No geral o sucesso dos alunos na aplica o destes princ pios n o constante Existem diversos alunos que s o incoerentes nas suas produ es escritas ora aplicam corretamente os princ pios de equival ncia ora criam novos princ pios adulterando os verdadeiros o que segundo Nabais 2010 revela que os alunos na resolu o de equa
116. decorrer da manipula o alg brica e ao evidenciar uma capacidade para encontrar outros significados que possam surgir das equival ncias est o a demonstrar um sentido de s mbolo desenvolvido 23 Compreender os diferentes pap is que os s mbolos podem desempenhar Um mesmo s mbolo pode ser interpretado de forma diferente consoante o contexto em que se insere e esta interpreta o determinante no desenrolar do trabalho alg brico Continuando a analisar o quadro apresentado por Grossmann amp Ponte 2011 agora em rela o aos problemas Decidir se til recorrer ao s mbolo Resolver problemas pode ou n o envolver o recurso ao s mbolo portanto ter sentido de s mbolo ser capaz de decidir se sim ou n o Criar uma express o simb lica que traduza a situa o A criatividade de combinar os s mbolos com frases simb licas que contenham em si o problema uma vertente essencial do sentido de s mbolo Interpretar o s mbolo no contexto do problema Ter sentido de s mbolo compreender o papel do s mbolo no problema Utilizar os s mbolos para aceitar ou rejeitar conjeturas Ao recorrer ao s mbolo para confirmar o que a intui o inicial prev estamos perante um sentido de s mbolo apurado Generalizar Ter sentido do s mbolo pressup e generalizar recorrendo ao s mbolo e capacidade deste poder representar qualquer valor Por ltimo o sentido de s mbolo tamb m surge no es
117. denominador mas n o afetam o numerador da fra o Figura 33 e existem ainda outros que reduzem ao mesmo denominadores somente os termos num ricos Figura 34 95 13 948 ato 1 1 y x 1em ordem ay A 3 4 ud wa 3 3 y c A Co gt E 2 Sc E 2 350 18 G gt e gt 38B C O agaa HD D 8x 220 ABt20 3 G E241 Ss 3S D a Seas Cc s ES A Figura 3 esolu o de um aluno Figura 34 Resolu o de um aluno quest o 1 3 da Tarefa 1 quest o 6 3 da Tarefa 2 Para al m destes erros existem alunos que cometem o erro de colocar um denominador debaixo da parte literal de um termo quando o seu coeficiente j tem denominador Figura 35 SF y x lem ordem a y Figura 35 Resolu o de um aluno quest o 6 3 da Tarefa 2 Ainda neste princ pio existe um aluno que com as equa es literais antes de se desembara ar dos denominadores passa termos do numerador da fra o para o outro membro como se verifica na figura seguinte a b 12 a 3em ordem a a Figura 36 Resolu o de um aluno quest o 6 2 da Tarefa 2 Em rela o passagem do fator num rico com invers o a turma no geral realiza esta transforma o corretamente exce o de um pequeno grupo de alunos que ao passar o fator num rico por invers o apresentam o inverso do valor que estaria correto ou por vezes o sim trico do inverso Figura 37 96 RE EEEE E P y Ae 6 0 4
118. do Bogdan amp Biklen 2003 fundamental no final anotar aquilo que o investigador ouve v experiencia e pensa no decorrer das aulas pois s assim poss vel um estudo bem sucedido Como desempenhei simultaneamente o papel de investigador e de professor as anota es permitiram me analisar com clareza mais 82 tarde os diferentes momentos da aula Deste modo no final de cada aula procurei recordar e descrever os epis dios mais marcantes da aula para responder s quest es do estudo optando por introduzir logo alguns coment rios sobre algumas situa es marcantes tal como procurei transmitir para o papel algumas das aprendizagens vivenciadas por mim Apesar de procurar registar de forma sistem tica os epis dios presenciados em aula foi muito complicado uma vez que n o tinha somente essa fun o Estava ocupado com o decorrer propriamente dito da aula em si e perante isto optei por recorrer tamb m ao registo por interposta pessoa ou seja solicitei o aux lio da minha colega de est gio para tirar anota es sobre as interven es dos alunos tanto no trabalho aut nomo como nas discuss es coletivas Recolha Documental A recolha documental foi escolhida com o objetivo de compreender as estrat gias de resolu o e as dificuldades que os alunos possam encontrar no sentido do s mbolo e da vari vel tal como compreender como os alunos mobilizam conhecimentos pr vios para os novos conte dos Para al m de
119. do bin mio pedi lhes que conclu ssem sozinhos sobre a f rmula de a b pedido esse que foi concretizado com alguma facilidade e registado no quadro por um aluno Ap s terem registado ambas as f rmulas no caderno pedi lhes que as aplicassem em algumas express es alg bricas que passei no quadro Os alunos dedicaram se a esta tarefa at ao final da aula quando interrompi o trabalho para lhes entregar outro desafio semanal para pensarem em casa dando o toque logo em seguida Como a outra professora n o tinha avisado de que ia faltar optei por concluir a tarefa apresentada no quadro e alguns alunos foram ao quadro corrigir Depois disto entreguei as tarefas sobre Opera es com Polin mios que tinha recolhido na quarta feira passada e andei de lugar em lugar a chamar aten o sobre alguns erros cometidos pelos alunos na simplifica o de express es alg bricas enquanto os alunos iam avan ando na resolu o da tarefa at a aula terminar 72 09 de Maio de 2012 90 minutos Na continua o das duas aulas anteriores esta aula tinha como objetivo trabalhar os casos not veis da multiplica o neste caso com enfoque no caso da diferen a de quadrados A aula iniciou se normalmente com a apresenta o do sum rio Ap s os alunos passarem no para o caderno questionei os sobre os desafios apresentados nas duas semanas anteriores Anexo II o desafio da Diana que conta um segredo e do Sr Pereira que tem animais Surgiu
120. dos No entanto com algumas quest es o Alfredo chega resposta correta Figura 61 a Explica o que representam as seguintes express es i 15d Figura 61 Segunda resolu o do Alfredo quest o 2 a da Tarefa 6 Apesar das dificuldades em explicar o significado de 15d o Alfredo consegue explicar o que significa a vari vel d no contexto do problema e refere que a vari vel a alterar no problema o d A vari vel p quando surge j n o alvo de dificuldade Alfredo O 15 O 15 o comprimento de um tijolo deitado Depois o d vai ser no muro Quantos tijolos deitados com 15cm v o existir no muro ers Professor E o que que est s a fazer Alfredo Estou a alterar o d Professor A alterar porqu Alfredo Consoante o n mero de tijolos Professor Mudas o d Ent o o d o qu Alfredo o n mero de tijolos existentes no muro O n mero de tijolos deitados que ela vai usar Professor E 0 p Alfredo o n mero existente tijolos em p no muro No decorrer da entrevista consegue explicar o significado da express o 15d 6p de uma forma mais r pida que a express o anterior No entanto inicialmente fez confus o com a largura e o comprimento dos tijolos dispostos tanto 114 em p como deitados e na sua primeira resolu o parece ter interpretado a letra d como abreviatura de deitado e p em p Figura 62 ii 15d 6p Figura 62 Resolu o do Al
121. e am por isolar uma das vari veis e resolver em ordem a esta vari vel neste simples processo que grande parte dos alunos se perde levando por vezes a uma completa perda de no o dos princ pios de equival ncia e de como aplic los O facto de alguns alunos isolarem corretamente a inc gnita pretendida n o implica necessariamente a compreens o deste processo Por vezes limitam se a decor lo como uma receita e acabam por falhar em algumas resolu es No entanto existe um grande grupo de alunos que evidencia ter compreendido este processo ao simplificar a sua maneira de pensar Para eles isolar uma vari vel consiste simplesmente em isolar a inc gnita como numa equa o linear em que as restantes vari veis s o vistas como n meros e manipuladas como tal Indo ao encontro do defendido por Chazan amp Yerushalmy 2003 a resolu o de equa es literais assenta nas mesmas estrat gias de resolu o das equa es lineares do 1 grau pois resolver em ordem a uma das vari veis corresponde a isolar a inc gnita numa equa o linear No entanto considero que o simples facto de existir mais do que uma letra diferente leva a alguma confus o por parte dos alunos que n o t m bem presentes e compreendidos os princ pios de equival ncia Em suma o trabalho com princ pios de equival ncia e regras pr ticas de resolu o de equa es do 1 grau crucial na resolu o de equa es literais no entanto igualment
122. e a express o que traduz a diferen a de quadrados e O professor dever registar as duas f rmulas no quadro para que os alunos as passem e 7 Momento Resolu o da Tarefa 19 min 14h45 15h04 e Os alunos devem resolver a quest o 2 e Os alunos trabalham em pares e O professor circula pela sala e O professor regista intera es entre alunos quest es que lhe s o colocadas e algumas produ es de alunos que considere interessantes para a discuss o e O professor deve responder s d vidas dos alunos questionando os colegas do grupo e colocando quest es ao pr prio aluno para que este consiga chegar sozinho ao esclarecimento da sua d vida e 8 Momento Encerramento Imin 15h04 15h05 e O professor d por terminada a aula e os alunos saem RECURSOS e Papel e material de escrita e Calculadora FORMAS E MOMENTOS DE AVALIA O 181 FORMATIVA e A avalia o dos alunos ser baseada nos seguintes aspetos e Interesse demonstrado durante a aula e Colabora o com o professor e com os colegas na resolu o discuss o da tarefa e Aplica o de conhecimentos matem ticos adquiridos anteriormente e Uso da terminologia e simbologia adequada e Comportamento na sala de aula e Constru o de uma grelha de observa o do trabalho dos alunos onde se pretende sintetizar e Quest es feitas pelos alunos e Erros mais frequentes e Diferentes resolu es e Elabora o de um
123. e d o origem a um novo ramo da Matem tica a An lise Infinitesimal Ponte et al 2009 A figura seguinte apresenta uma vis o geral das fases de desenvolvimento da linguagem alg brica a _ retoric algebra syncopated algebra symbolic algebra a 2000 1650 200 250 628 825 1100 1200 1600 r PRE eee foe EGYPT GREECE ARABIAN EMPIRE Rhind Papyrus Diofantos Arithmetica al Khwarizmi eee ar Omar Khayyam FEZES rega L PERRE MESOPOTAMIA CHINA INDIA WESTERN EUROPE clay tablets Nine Chapiers of the Brahmagupta Fibonacci Liber Abaci 1202 dio Mathematical Art gt Vi te Zeteticorum Liri Quinque 1593 Figura 1 Fases de desenvolvimento da linguagem alg brica Nabais 2010 p 26 De acordo com o que Silva amp Paulo 1968 referem no Comp ndio de lgebra para o 7 ano 11 a hist ria da lgebra n o termina portanto aqui segue acompanhando a hist ria do homem sobre a Terra O desenvolvimento da Algebra como a da matem tica em geral prossegue nos nossos dias para um futuro imprevis vel de maneira cada vez mais ampla e mais profunda Tomo II p 220 A Algebra um dos grandes ramos da matem tica ao lado da Geometria e da An lise Infinitesimal O seu progresso e crescimento t m influenciado tanto matem ticos como investigadores na rea da educa o os quais tiram partido disso para efetuar determinadas
124. e em turma 171 e Oaluno ter um papel de comunicador explicitando e justificando as estrat gias utilizadas e O professor ter um papel orientador garantindo a exist ncia de e Interven es ordeiras e Rigor de linguagem e S ntese dos principais conte dos DESENVOLVIMENTO DA AULA e 1 Momento Entrada 5 min 08h20 08h25 e Os alunos entram na sala de aula e O professor escreve o sum rio e 2 Momento Apresenta o da Tarefa 5 min 08h25 08h30 e O professor informa os alunos sobre a metodologia de trabalho trabalho em grupos de 4 elementos e a tarefa est dividida em duas partes e O professor distribuiu uma ficha por cada aluno e O professor informa os alunos sobre as fases de trabalho e os tempos dispon veis e 3 Momento Resolu o da Tarefa Parte I 20 min 08h30 08h50 e Os alunos devem resolver a quest o 1 e Os alunos trabalham em grupo e O professor circula pela sala e O professor regista intera es entre alunos quest es que lhe s o colocadas e algumas produ es de alunos que considere interessantes para a discuss o e O professor deve responder s d vidas dos alunos questionando os colegas do grupo e colocando quest es ao pr prio aluno para que este consiga chegar sozinho ao esclarecimento da sua d vida e 4 Momento Corre o e Discuss o da Tarefa Parte I 15 min 08h50 09h05 e O professor interv m para e Incentivar os alunos a
125. e importante a compreens o por parte dos alunos do significado da equa o e de solu o Quais as principais dificuldades apresentadas pelos alunos no estudo das equa es literais e das express es alg bricas Em particular quais as principais dificuldades dos alunos na compreens o das altera es dos 132 pap is desempenhados pelas vari veis e pelo sinal de igual Como procuram resolver as dificuldades evidenciadas No estudo das equa es literais e das express es alg bricas os alunos apresentam algumas dificuldades em duas das tr s reas categorizadas por Booth 1984 na interpreta o das letras e na formaliza o dos m todos usados sobrando a categoria associada compreens o de nota es e conven es onde os alunos desta turma demonstram estar vontade Os alunos em an lise t m ainda algumas dificuldades na aplica o dos princ pios de equival ncia na resolu o de equa es tanto lineares como literais o que em grande parte se parece dever s falhas existentes na manipula o alg brica de express es alg bricas por n o compreenderem as condi es da sua equival ncia o significado destas express es e por estarem ainda demasiado apegados ao trabalho desenvolvido em Aritm tica Ponte et al 2009 Uma das grandes dificuldades evidenciadas por estes alunos em particular pelo Alfredo e pela Sara e j referida por Pesquita 2007 reside na atribui o de um significado concreto s
126. e interessantes para a discuss o e O professor deve responder s d vidas dos alunos questionando os colegas do grupo e colocando quest es ao pr prio aluno para que este consiga chegar sozinho ao esclarecimento da sua d vida e 6 Momento Corre o e Discuss o da Tarefa 20 min 14h43 15h03 e O professor interv m para e Incentivar os alunos a participar na discuss o de forma a complementarem o trabalho dos colegas e apresentarem resolu es alternativas e Promover Dinamizar a discuss o solicitando justifica es fundamentadas e Melhorar a clareza e o rigor no discurso e O professor deve ter em aten o se e S o apresentadas todas as resolu es distintas que existam e Ficam esclarecidas as d vidas dos alunos e Os alunos dirigem se ao quadro sempre que e Surjam dificuldades por parte de v rios alunos e Exista uma resolu o que deva ser registada por todos e 7 Momento Encerramento 2 min 15h03 15h05 e O professor recolhe as fichas de trabalho e O professor d por terminada a aula e os alunos saem RECURSOS e Papel e material de escrita e Calculadora FORMAS E MOMENTOS DE AVALIA O FORMATIVA e A avalia o dos alunos ser baseada nos seguintes aspetos 169 Interesse demonstrado durante a aula Colabora o com o professor e com os colegas na resolu o discuss o da tarefa Aplica o de conhecimentos matem ticos adquiridos anteriormente Uso
127. e que facilmente se mostra isso atrav s da aplica o da propriedade distributiva da multiplica o em rela o adi o Por ltimo a quest o 2 surge como consolida o e aplica o de ambos os casos not veis aprendidos obrigando os alunos a escolher entre a diferen a de quadrados e o quadrado do bin mio Tal como a anterior esta tarefa foi projetada para ser resolvida em uma aula de noventa minutos podendo ser trabalhada em pares ou em pequenos grupos de trabalho Tarefa 6 Equa es Literais e Opera es com Polin mios A tarefa 6 foi constru da com o objetivo de ser aplicada na entrevista a decorrer somente com tr s alunos da turma Anexo ID Desta forma a tarefa engloba v rios t picos matem ticos como as equa es literais e a simplifica o de express es alg bricas tendo sido elaborada com o intuito de retirar informa es pertinentes para procurar dar resposta s quest es do estudo Na primeira quest o surge uma equa o literal com duas vari veis cujas quest es englobam o c lculo do valor de uma vari vel conhecida a outra e a resolu o da equa o em ordem a uma das vari veis A quest o dois apresenta uma equa o literal com tr s vari veis cujas al neas dizem respeito interpreta o das letras tendo em conta o contexto e constru o de uma f rmula que relacione uma vari vel com as restantes Na ltima al nea pedida uma f rmula aos alunos a qual pode ser entend
128. e se encontra uma poderosa ferramenta Contudo pode ser nela que os alunos encontram uma barreira grave para progredir na aprendizagem da lgebra Ao longo desta sec o apresento as minhas motiva es pessoais e o contexto que me levaram realiza o deste estudo e descrevo tamb m os objetivos e quest es de investiga o da problem tica em estudo Por ltimo fa o refer ncia organiza o deste documento Motiva es pessoais e contexto do estudo A Matem tica sempre foi uma ci ncia m gica um constante jogo de manipula es de s mbolos de n meros de vari veis tendo sido neste ambiente viciante que encontrei a verdadeira paix o por esta arte e decidi tom la como pano de fundo da minha vida A arte de ensinar das coisas mais gratificantes que existem ver nos olhos das crian as a descoberta e ter a hip tese de contribuir para o seu futuro s o alguns dos motivos que me levaram a enveredar por este ramo da matem tica No entanto tamb m neste jogo de manipula es que muitos alunos se perdem e acabam por se desinteressar por esta disciplina Pergunto me como uma mesma carater stica pode arrebatar cora es e prend los musicalidade associada matem tica e ao mesmo tempo criar uma barreira t o dif cil de transpor por alguns alunos Segundo Ponte Branco e Matos 2009 p 8 a simbologia alg brica e a respetiva sintaxe ganham vida pr pria e tornam se poderosas ferramentas para a resolu
129. em ainda aspetos a melhorar essencialmente no trabalho com equa es literais Apesar de possu rem o sentido de inc gnita estes alunos ainda se encontram muito apegados lgebra como Aritm tica generalizada Palavras chave Aprendizagem matem tica pensamento alg brico sentido do s mbolo equa es literais express es alg bricas vii viii Abstract This study pursuits the understanding of the learning process of eight grade students when solving literal equations and algebraic expressions and in particular the way they develop in the context their algebraic thought where it s included the sense of symbol and variable With this intuit I tried to understand in what measure the students apply the first degree equations resolution process in solving literal equations which are the main difficulties presented by the students and how the deal with them when studying literal equations and algebraic expressions and what sense of symbol and of variable the students show in the way how they solve questions involving literal equations and algebraic expressions The study is based on a qualitative methodology basing itself on eight lectures and in the interviews of three students of the class The mains instruments used in the date collection were the interview class observation and document compilation The analysis of the collected date shows that the students developed their algebraic thought They resort to t
130. em qualquer hesita o tal como ilustra a figura 12 apresentada anteriormente No entanto quando se analisam as equa es lineares resolvidas por este aluno no in cio da leciona o verifica se que o Alfredo fazia alguma confus o com o desembara ar de denominadores somando em vez de multiplicar para encontrar denominadores em comum Figura 27 Curiosamente quando se olha para as equa es lineares resolvidas depois da leciona o o Alfredo j aplica corretamente este princ pio tal como o faz nas equa es literais Figura 28 13 3 Figura 27 Resolu o do Alfredo quest o 1 3 da Tarefa 1 Figura 28 Resolu o do Alfredo quest o 1 do Teste 93 O Guilherme ao desembara ar se de denominadores nas equa es literais n o o faz corretamente cortando os denominadores sem que todos os termos da equa o estejam com o mesmo denominador tal como se verifica na figura seguinte 13 y 22 x 4 em ordem a x Figura 29 Resolu o do Guilherme quest o 6 5 da Tarefa 2 No entanto o aluno aplica sem qualquer hesita o o princ pio na resolu o de equa es lineares reduzindo todos os termos ao mesmo denominador e s depois desse passo que se desembara a deles Figura 30 2x 5 x 6 ts 36 3X o 2 1 O Tarbe 12400 26 410 0 P 11 Figura 30 Resolu o do Guilherme quest o 1 3 da Tarefa 1 Em rela o passagem de um fator num
131. ematica pdf Dire o Geral de Inova o e Desenvolvimento Curricular 2011 Segu ncias e equa es proposta de sequ ncias de tarefas para o 8 ano 3 ciclo Lisboa DGIDC http area dgidc min edu pt materiais_NPMEB 056 cadeia sequencias e equacoes pdf Evalsed 2009 Manual T cnico II M todos e T cnicas de Avalia o A Recolha de Dados T cnicas de observa o Retirado em Junho 12 2012 de www observatorio pt item1 php lang 0 amp id_channel 16 amp id_page 548 Fernandes C F 2011 Equa es de 1 grau Estrat gias e erros na resolu o e simplifica o de equa es de 1 grau Relat rio de pr tica de ensino supervisionada Universidade de Lisboa Fiorentini D Miorim A amp Miguel A 1993 Contribui o para um repensar a educa o alg brica elementar Pro posi es 4 1 78 90 Grossmann M T 2011 O sentido do s mbolo em alunos do ensino secund rio e a sua rela o com a aprendizagem da Algebra Disserta o da Tese de Mestrado Universidade de Lisboa Grossmann M T amp Ponte J P 2011 O sentido do s mbolo de um aluno e a lgebra do 12 ano In M H Martinho R A Ferreira I Vale J P Ponte Eds Atas do Encontro de Investiga o em Educa o Matem tica P voa de Varzim SPIEM Grossmann M T Gon alves A S amp Ponte J P 2009 Um enquadramento do sentido de s mbolo no 3 ciclo Atas do XX Semin rio de Investiga
132. ender a manipula o simb lica envolvida Saraiva Pereira amp Berrincha 2010 p 9 Deste modo para abordar este tema foram elaboradas 6 tarefas Anexo II que envolviam exerc cios problemas explora es e pequenas investiga es em que uma delas foi enviada para trabalho de casa na semana anterior minha interven o e outra das tarefas foi utilizada para realizar uma entrevista semiestruturada a um grupo de alunos e foi constru da tendo em conta as restantes tarefas realizadas em aula Em seguida ser o analisadas cada uma destas tarefas com o objetivo de justificar a sua aplica o neste estudo Tarefa 1 Rever Equa es Esta tarefa surge como ponto de partida deste estudo uma breve revis o de equa es do 1 grau a uma inc gnita Foi proposta na semana anterior minha leciona o para ser feita como trabalho de casa individualmente Anexo I A tarefa constitu da por uma nica quest o com tr s al neas onde era pedido que resolvessem tr s equa es do 1 grau a uma inc gnita As equa es s o bastante acess veis no entanto cada uma delas visava uma transforma o diferente de equival ncia de equa es A primeira equa o exige o desembara ar de par nteses enquanto na segunda era necess rio desembara ar de denominadores conte do aprendido pelos alunos somente no 2 Per odo deste ano letivo Por ltimo a terceira equa o surge com o intuito de chamar aten o do sinal m
133. enos imediatamente antes de uma fra o No que toca a este estudo esta tarefa foi inserida com o objetivo de compreender como os alunos resolvem as equa es do 1 grau a uma inc gnita para mais tarde compreender como os alunos mobilizam estes conceitos e propriedades utilizadas para a resolu o de equa es do 1 grau a v rias inc gnitas ou seja de equa es literais 59 Tarefa 2 Equa es Literais Com esta tarefa Anexo II pretendi que os alunos iniciassem o trabalho com equa es literais com base somente em conhecimentos anteriores e sem ser necess rio introduzir qualquer conte do matem tico O principal objetivo desta tarefa era que os alunos resolvessem equa es literais em ordem a uma das letras e calculassem o valor de uma das vari veis atribuindo um valor outra De acordo com a Brochura de lgebra Ponte et al 2009 este conte do deve ser introduzido recorrendo a f rmulas j conhecidas dos alunos Assim a quest o 1 surge num contexto associado a medi es de temperatura permitindo assim uma liga o com quest es do dia a dia A quest o 1 1 requer que a partir da equa o dada inicialmente que relaciona a temperatura expressa em graus Celsius com a temperatura em graus Fahrenheit os alunos atribuam dois valores temperatura em graus Celsius e obtenham essa mesma temperatura expressa na unidade Fahrenheit Com esta quest o procura se que os alunos comecem a compreender este
134. entar a vaca durante tr s semanas Durante quanto tempo pode o Senhor Pereira alimentar os seus tr s animais com a ra o que comprou 202 ANEXO III Autoriza o dos Encarregados de Educa o VS AIA ESCOLA E B 2 3 Ciclos Vasco Santana VG 8 Ano Turma Matem tica 2011 2012 SANTANA Ex gy 8 Encarregado a de Educa o No mbito do Curso de Mestrado em Ensino de Matem tica da Universidade de Lisboa estou a desenvolver um estudo sobre o pensamento alg brico com enfoque no sentido do s mbolo e de vari vel nos alunos Para a recolha de dados optei pela grava o em udio de algumas aulas e pela realiza o de uma entrevista e venho por este meio solicitar a sua autoriza o para incluir o seu educando no meu estudo Os dados recolhidos ser o usados exclusivamente como materiais de trabalho estando garantida a privacidade e anonimato dos participantes Agrade o a sua colabora o e solicito que assine a declara o em baixo devendo depois destac la e devolv la ao professor de Matem tica Com os melhores cumprimentos Ramada 16 de Mar o de 2012 Eu declaro que autorizo o meu educando N do 8 D a participar no estudo conduzido pelo Dr Filipe Silva no mbito da sua disserta o de Mestrado Ramada Assinatura 203 204 ANEXO III Pedido de Autoriza o da Dire o da Escola AAK Exo gr Wo Diretora da ANT
135. ento alg brico Este vem assim alargar o conceito tradicional de lgebra incluindo processos como a generaliza o de rela es da Aritm tica e processos que se podem representar atrav s de formas alternativas nota o simb lica como a linguagem natural as tabelas e os gr ficos Quando se fala em pensamento alg brico consensual a necessidade de inseri lo no curr culo mas n o h grande consenso sobre o que significa pensar algebricamente Entre as v rias defini es que procuram caraterizar o pensamento alg brico Kaput 1999 refere que este envolve a manipula o de express es e resolu o de equa es mas principalmente envolve as capacidades de estabelecer generaliza es e rela es interpretar situa es e resolver problemas O NCTM 2007 salienta a import ncia de tornar o pensamento alg brico acess vel a todos os alunos considerando ser um desafio fulcral para a educa o matem tica Associado ao pensamento alg brico surge a necessidade de refletir sobre como interpretar os s mbolos utilizados Os s mbolos permitem expressar ideias matem ticas de forma rigorosa e auxiliam no processo de independ ncia destes com o seu distanciamento em rela o linguagem natural que representam tendo em aten o que uma letra pode ser usada das mais diversas formas em lgebra Perante esta riqueza simb lica associada lgebra surge a express o sentido do s mbolo a qual Arcavi 2006 n o define ape
136. ento na sala de aula e Constru o de uma grelha de observa o do trabalho dos alunos onde se pretende sintetizar e Quest es feitas pelos alunos e Erros mais frequentes e Diferentes resolu es e Elabora o de um di rio de bordo 157 158 ANEXO I Planifica o da 3 aula RAMADA Tema lgebra Unidade Tem tica Sequ ncias e Regularidades Equa es Subtema Express es alg bricas Opera es com polin mios Sum rio Ano Turma 8 D Li o n 129 130 Data 26 Abril 2012 Resolu o de uma ficha de trabalho Hora 08h20min 09h50min Express es alg bricas OBJECTIVOS ESPEC FICOS e Compreender os diferentes pap is dos s mbolos em lgebra e Simplificar express es alg bricas e Efetuar opera es com polin mios adi o alg brica e multiplica o e Traduzir rela es de linguagem natural para linguagem matem tica e vice versa e Exprimir resultados processos e ideias matem ticos oralmente e por escrito utilizando a nota o simbologia e vocabul rio pr prios CONHECIMENTOS PR VIOS e Compreender a no o de termo geral de uma sequ ncia num rica e represent lo usando s mbolos matem ticos adequados e Determinar um termo geral de uma sequ ncia num rica e termos de v rias ordens a partir do termo geral e Simplificar express es alg bricas que envolvam a adi o de mon mios TAREFAS Anexo ID e Tarefa 3 Express
137. eram equivalentes 71 entre si Uma aluna com a ajuda dos elementos do seu grupo conseguiu prov lo algebricamente Ap s a conclus o da discuss o procurei sintetizar as aprendizagens retidas com a tarefa para que os alunos chegassem em conjunto f rmula do quadrado do bin mio mas deu o toque e tive que terminar a aula 04 de Maio de 2012 45 45 minutos Esta aula foi planificada para quarenta e cinco minutos mas como a professora a seguir faltou fic mos com os alunos mais quarenta e cinco minutos extra A primeira parte da aula teve como principal objetivo concluir a aula anterior sintetizar a f rmula do quadrado do bin mio e pratic la com alguns exerc cios simples enquanto a segunda parte serviu para explorar com mais aten o as dificuldades e erros cometidos pelos alunos na adi o e multiplica o de polin mios Iniciei a aula relembrando as conclus es obtidas em ambas as partes da tarefa do dia anterior e pedi aos alunos que completassem alguns exemplos de aplica o do quadrado do bin mio tendo em conta os obtidos no dia anterior Como os alunos estavam a responder bem aos meus pedidos solicitei lhes que me ajudassem a completar um caso mais geral mas a j senti algumas dificuldades por parte dos alunos acabando por decidir pedir lhes que aplicassem a propriedade distributiva da multiplica o em rela o adi o para chegarem a alguma conclus o Quando chegaram em conjunto f rmula do quadrado
138. es literais e express es alg bricas Apesar de Arcavi 1994 referir que h muito mais no sentido de s mbolo do que um cat logo de comportamentos independentemente de qu o completo este possa estar a an lise feita de acordo com as categorias apresentadas por Grossmann Gon alves e Ponte 2009 permite concluir que n o poss vel destacar um aluno que tenha um sentido de s mbolo mais desenvolvido que os restantes alunos da turma uma vez que estes mostram ser bastante distintos e os seus aspetos fortes s o diferentes Por exemplo a Sara consegue traduzir facilmente a linguagem corrente para a simb lica enquanto o Guilherme revela destreza na substitui o de valores num ricos e na manipula o simb lica utilizando os procedimentos adequados A turma no geral revela ter um sentido de s mbolo menos apurado no trabalho com equa es literais quando comparado com o revelado nas express es alg bricas Um dos aspetos fortes desta turma sentir o problema a partir da inspe o dos s mbolos dando consist ncia s suas respostas recorrendo ao pr prio s mbolo Os alunos revelam destreza na manipula o simb lica apesar de por vezes se depararem com d vidas em procedimentos relativamente simples mas fundamentais que colocam em risco o resultado final como o caso do Alfredo e da Sara que manifestam grandes dificuldades na substitui o do valor num rico da vari vel na equa o literal No que diz respeito a manter um
139. escobrir Em lgebra o desenvolvimento do s mbolo pode ocorrer quando se resolve uma equa o pois a sua compreens o assenta em m ltiplos aspetos como o sinal de igual e de n mero desconhecido e para uma melhor compreens o importante realizar um trabalho pr alg brico no in cio do estudo deste tema Apesar de considerar importante que os alunos recorram a m todos intuitivos para resolver equa es Kieran 1992 identificou algumas estrat gias de resolu o de equa es com uma ou mais vari veis s quais os alunos recorrem no processo de aprendizagem tais como a substitui o por tentativa e erro e a realiza o da mesma opera o em ambos os membros No caso do estudo das equa es literais revela se mais complicado no sentido em que as vari veis podem tomar diferentes pap is inc gnita ou par metro e portanto necess rio acrescentar um passo inicial na resolu o da equa o que tem como base isolar a inc gnita numa equa o num rica Quando passamos da Aritm tica para a lgebra surgem algumas dificuldades na aprendizagem dos alunos como a inser o de novos s mbolos a mudan a de significado de alguns s mbolos j utilizados na Aritm tica as interpreta es distintas para o sinal de igual e a dificuldade em compreender os diferentes usos das letras Os alunos demonstram ter tamb m dificuldade em compreender os procedimentos alg bricos na resolu o de equa es acabando simplesmente por decor
140. esmos dois n meros Depois de chamar aten o para verem os casos particulares e como se obtinham os termos pelo segundo processo sabendo apenas os lados dos quadrados das figuras os alunos conseguiram compreender a rela o e utiliz la em situa es concretas al nea 2 A ltima al nea desta quest o pedia para mostrar algebricamente a f rmula da diferen a de quadrados o quer foi encarado com facilidade uma vez que j o tinham feito para as f rmulas do quadrado do bin mio 73 Praticamente toda a turma conseguiu resolver a quest o 1 dentro do tempo estipulado sem cometerem grandes erros Deste modo a discuss o foi r pida e acabou por ser mais corre o do que discuss o N o existiam estrat gias diferentes tamb m devido ao car ter fechado da quest o Finalizada a discuss o o resto da aula serviu para eles praticarem todos os casos not veis da multiplica o com a quest o 2 em que apareciam todos misturados e assim os alunos tinham que primeiramente perceber qual o caso not vel a utilizar Antes de tocar ainda foram corrigidas algumas al neas desta quest o no quadro 74 Cap tulo IV M todos e procedimentos de recolha e an lise de dados O objetivo a atingir com este estudo a natureza dos dados recolhidos e a forma como estes v o ser analisados de forma a responder s quest es enunciadas s o influenciados diretamente pela metodologia utilizada neste estudo Segundo Biklen amp Bogdan
141. esolu o 1 3y 2 6a x e 1 3y x 2 6a x 2 6a Pr x 5 3 Escrever a equa o y x 1 em ordem a x Resolu o Retirado do s tio da Internet http www usatoday com weather 3 Adaptado de Campos A 2010 O discurso do professor no ensino e aprendizagem das equa es literais no 8 ano no mbito da experimenta o do Novo Programa de Matem tica do Ensino B sico Relat rio de pr tica de ensino supervisionada Universidade de Lisboa 186 3 1 y Hs 5 ey 1l y 2 2y 2 5x 2 2 Se 6 Resolve cada uma das equa es 6 1 2x y 3x em ordem a x 60 CO eer orden 2 6 3 x 1 em ordem a y 6 4 2 em ordema x 5x 1 6 5 y x em ordem a x 187 188 ANEXO II Tarefa 3 Agrupamento de Escolas Vasco Santana 8 2 Express es alg bricas e Opera es com Polin mios Matem tica Nome N 1 Os canteiros no quintal do Vasco t m uma forma aproximada das figuras seguintes O Z comprimento expresso em metros dos canteiros das rosas x igual largura do canteiro das cebolas 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 y Alfoces Nabos Escreve a express o que representa a rea do canteiro das rosas Explica o significado da express o 3x 5y 6x Qual das express es seguintes representa a express o da al nea anterior simplificada A 8y 6x B 9x 5y C 3x 11y D 14x Qua
142. esolve a equa o apresentada em ordem a t V SOK j t X EN Figura 47 Resolu o da Sara quest o 1 c da Tarefa 6 Contudo quando se pede Sara para substituir uma das vari veis esta n o consegue cumprir este objetivo de uma forma t o eficaz como quando resolve a equa o em ordem a uma das vari veis Na primeira al nea a Sara substitui o valor num rico da vari vel t no coeficiente da vari vel e como esta toma o valor 0 o resultado final o mesmo Figura 48 a Calcula v para t 0 e interpreta o resultado J O 4 240K Ca velo AOC IC Ny a EAEC ZNO VAI k Era compotas AL dA ane x Cre JE Figura 48 Resolu o da Sara quest o 1 a da Tarefa 6 Sara Eu escrevi v Ot 2100 e como Ot como se fosse nada fiquei com o 2100 Professor Mas tu queres calcular o valor de v quando Sara Quando t 0 Quando passa para a al nea b a Sara reparou que em vez de substituir o coeficiente como tinha feito em cima e achava estar bem substituiu todo o mon mio que tinha como parte literal o t e imediatamente come ou a modificar a sua resolu o para algo semelhante al nea a Figura 49 Sara O 2 quanto tempo passou o t Professor O que tens que fazer ao t Sara Multiplic lo por 2 Professor Multiplicar Mas assim continuas a ter duas inc gnitas Sara N o porque se eu multiplicar o 300t por 2 ficar 600t Professor Ent o e o v Sara Sim Professor
143. esolver equa es literais em ordem a uma das letras e Traduzir rela es de linguagem natural para linguagem matem tica e vice versa e Exprimir resultados processos e ideias matem ticos oralmente e por escrito utilizando a nota o simbologia e vocabul rio pr prios CONHECIMENTOS PR VIOS e Compreender as no es de equa o e solu o de uma equa o e identificar equa es equivalentes e Resolver equa es do 1 grau utilizando as regras de resolu o e Resolver sistemas de equa es pelo m todo de substitui o TAREFAS Anexo II e Tarefa 2 Equa es Literais METODOLOGIA DE TRABALHO e Trabalho a pares e Discuss o e s ntese em turma e Oaluno ter um papel de comunicador explicitando e justificando as 151 estrat gias utilizadas e O professor ter um papel orientador garantindo a exist ncia de e Interven es ordeiras e Rigor de linguagem e S ntese dos principais conte dos DESENVOLVIMENTO DA AULA e 1 Momento Entrada 5 min 08h20 08h25 e Os alunos entram na sala de aula e O professor escreve o sum rio e 2 Momento Apresenta o da Tarefa 5min 08h25 08h30 e O professor informa os alunos sobre a metodologia de trabalho e O professor distribuiu uma ficha por cada aluno e O professor informa os alunos sobre as fases de trabalho e os tempos dispon veis e 3 Momento Resolu o da Tarefa 30 min 08h30 09h00
144. ess o alg Figura 86 Resolu o de um aluno s quest es 4 c e 4 d do Teste No entanto existem alguns alunos que apresentam express es alg bricas que apesar de utilizarem os s mbolos necess rios n o fazem muito sentido no contexto do problema Figuras 87 e 88 Te po sa 11 i c Escreve uma express o alg brica que relacione o custo de produ o C com n Ee n E pt2o C o n mero de t shirts vendidas Figura 87 Resolu o de um aluno quest o 4 c do Teste i t shirts vendidas 7 d Escreve uma express o alg brica que relacione o lucro L com o n mero de K Le EA Figura 88 Resolu o de um aluno quest o 4 d do Teste 128 Capitulo VI Reflex o sobre o trabalho realizado No presente cap tulo a partir da an lise de dados efetuada apresento as principais conclus es obtidas que procuram responder s quest es de investiga o e termino com uma reflex o pessoal sobre esta experi ncia nomeadamente as aprendizagens realizadas e de que forma estas contribu ram para o meu futuro profissional e para a minha maneira de lidar com o ensino e aprendizagem da lgebra S ntese do Estudo Com este estudo procuro compreender a aprendizagem de alunos do 8 ano na resolu o de equa es literais e nas express es alg bricas e em particular o modo como desenvolvem neste contexto o seu pensamento alg brico nele incluindo o sentido do s mbolo e de vari ve
145. esultados no sentindo em que compreende a rela o entre as vari veis e reconhece que existe uma rela o linear entre estas Professor Qual a rela o que tens entre o valor e o tempo Alfredo O valor do computador diminui com o tempo Professor Tens mesmo uma express o para essa rela o Alfredo Sim v 300t 2100 101 No caso do Guilherme este faz uma an lise inicial dos s mbolos n o se limitando a ler a equa o presente no enunciado mas a enunci la sua maneira Guilherme O v era o valor do computador o t os anos que v o tirando dinheiro ap s a sua compra Professor Portanto tens uma express o que os relaciona Que express o essa Guilherme O valor do computador igual a 300 euros vezes o tempo que vai passando mais 2100 que o pre o do computador O Guilherme interiorizou a informa o toda do enunciado referindo que o pre o do computador vai diminuindo medida que o tempo passa Para al m disso o aluno refere ainda o significado do termo 300t Guilherme Eu sei que o 300t o pre o que vai tirando medida que o tempo passa No que se refere Sara esta numa an lise inicial compreende que a equa o estabelece uma rela o linear entre o pre o do computador e o tempo decorrido da sua compra Sara Fala que o valor de um computador ia diminuindo medida que os anos passavam Na al nea a pedia para calcular o valor do computador quando t 0 ou
146. facto de x x x ser x e n o 2x como lhes parece mais intuitivo dificuldades essas que s o ultrapassadas com a experimenta o de casos concretos A altera o dos pap is desempenhados pelo sinal de igual provoca outro grande obst culo na aprendizagem dos alunos pois estes t m uma dificuldade enorme em compreender as diferentes interpreta es deste sinal aquando do trabalho com express es alg bricas ou com equa es Ponte et al 2009 Enquanto nas express es alg bricas o sinal de igual n o representa uma igualdade mas sim uma rela o de equival ncia onde duas express es s o equivalentes se assumirem o mesmo valor para um determinado valor de x nas equa es este sinal representa uma igualdade entre duas express es em que alguns valores s o desconhecidos A barreira criada por esta diversidade de interpreta es do significado atribu do ao sinal de igual leva a que os alunos recorram aos princ pios de equival ncia para simplificar express es alg bricas desembara ando as de denominadores como se de equa es se tratassem Esta dificuldade relacionada com o significado do sinal de igual aumenta com o estudo das equa es literais uma vez que a solu o de uma equa o passa a ser um conjunto de pares ordenados que respeitam a equa o em vez de um valor num rico espec fico No entanto a maioria destes alunos conseguiu contornar esta dificuldade compreendendo que para um determinado valor num rico de uma vari
147. fredo quest o 2 a da Tarefa 6 Professor E o 15d 6p Z Alfredo E o comprimento dos tijolos deitados mais a largura dos tijolos em p Professor Ent o o 15d 6p Alfredo E o comprimento do muro com os tijolos deitados e em p No trabalho com express es alg bricas o Alfredo tem algumas dificuldades em desligar se do trabalho com equa es e por isso na simplifica o de express es alg bricas recorre aos procedimentos de resolu o de equa es como o desembara ar de denominadores sem mostrar qualquer d vida de que o pode fazer de igual forma independentemente da estrutura alg brica a trabalhar Alfredo Colocaram os denominadores iguais Isto depois cortando os denominadores fica x 2 2x Professor E podes cortar os denominadores Alfredo Sim se forem todos iguais Ao contr rio do Alfredo o Guilherme consegue explicar o significado de cada uma das express es presentes na tarefa da entrevista tendo apenas alguma dificuldade em largar se de uma linguagem mais matem tica para uma linguagem do dia a dia Este durante a entrevista apresenta uma resposta mais completa do que durante a resolu o referindo quando se trata do n mero de tijolos deitados e ou em p Figura 63 a Explica o que representam as seguintes express es i 15d Ao s y A J 635 A Saton Lo om ii 15d 6p stows saio Lupo mo fim PP Gams at da T Mm Figura 63 Resolu o do Guilherme
148. gnificado a ele associado De forma a dar resposta a estas dificuldades o NCTM 2007 aconselha a introdu o desde cedo das diversas utiliza es dos s mbolos literais nomeadamente como inc gnita n mero generalizado e vari vel defendendo ainda que os alunos devem compreender os diversos significados e usos das letras atrav s da representa o de quantidades sobretudo na resolu o de situa es problem ticas Para Arcavi 1994 os alunos devem criar uma intui o que lhes permita interpretar aspetos impl citos nos s mbolos e antecipar o que pode decorrer das a es que desencadeiam sobre eles Deste modo durante o ensino b sico as atividades realizadas pelos alunos devem contribuir para o desenvolvimento do sentido de s mbolo por parte dos alunos Continuando a valorizar o simbolismo mas promovendo a sua apropria o em contextos de trabalho significativos quer de cunho matem tico quer relativos a situa es extra matem ticas a aprendizagem da lgebra requer a compreens o dos seus conceitos fundamentais Ponte et al 2009 A no o de vari vel Enquanto na Aritm tica as letras representam abreviaturas ou unidades de medida na lgebra s o valores a descobrir ou vari veis Stacey amp MacGregor 1999 Torna se imprescind vel discutir este conceito de vari vel uma vez que o processo de compreens o do conceito de vari vel deveras complexo devido ao pr prio conceito ser multifacetado Segundo Cara
149. gnificado para as situa es e apontam dois objetivos essenciais para o ensino e aprendizagem da lgebra permitir que os alunos produzam significados para a lgebra e desenvolvam a capacidade de pensar algebricamente Para alcan ar estes objetivos os autores acreditam que as tarefas a realizar pelos alunos devem ter em conta os campos concetuais j adquiridos e proporcionar uma evolu o gradual de novos conceitos 17 Ponte et al 2009 defendem que aprender lgebra implica ser capaz de pensar algebricamente numa diversidade de situa es envolvendo rela es regularidades varia o e modela o Resumir a atividade alg brica manipula o simb lica equivale a reduzir a riqueza da lgebra apenas a uma das suas facetas Segundo os mesmos autores o pensamento alg brico inclui tr s vertentes representar raciocinar e resolver problemas Quadro 1 Em rela o primeira vertente Representar esta refere se capacidade do aluno usar diferentes sistemas de representa o nomeadamente sistemas cujos carateres primitivos t m uma natureza simb lica A segunda vertente Raciocinar prende se com o relacionar o generalizar e o deduzir Por ltimo a terceira vertente Resolver problemas inclui modelar situa es e passar pelo uso de diversas representa es de objetos alg bricos para interpretar e resolver problemas matem ticos e de outros dom nios Quadro 1 Vertentes fundamentais do pensamento alg brico Ponte e
150. gura 12 Resolu o do Alfredo Figura 13 Resolu o do Alfredo quest o 6 5 da Tarefa 2 quest o 1 3 da Tarefa 1 Nas equa es lineares equa es a uma inc gnita o Alfredo ocasionalmente em vez de multiplicar soma os termos associados propriedade distributiva Figura 14 o que evidencia falta de aquisi o e compreens o desta propriedade lex demo 0 1 2 Figura 14 Resolu o do Alfredo quest o 1 2 da Tarefa 1 Em rela o redu o de termos semelhantes o Alfredo aplica corretamente esta transforma o tanto nas equa es literais como nas equa es do 1 grau Em 88 algumas situa es no decorrer da resolu o o aluno perde algumas partes literais dos termos e come a a trabalhar com eles como sendo somente n meros Figura 12 O Guilherme ao contr rio do Alfredo n o aplica corretamente a propriedade distributiva da multiplica o em rela o adi o quando tem um sinal menos antes de uma fra o na resolu o de equa es literais Figura 15 5x 1 13 y x 4 em ordem a x 7 2 Figura 15 Resolu o do Guilherme quest o 6 5 da Tarefa 2 No entanto quando se analisam as suas resolu es das equa es lineares estas evidenciam uma compreens o total do 1 princ pio de equival ncia pois o aluno aplica corretamente as transforma es de desembara ar par nteses e de reduzir termos semelhantes tal como se pode
151. he principals of equivalence when they solver literal equations making however different kind of mistakes Some difficulties are also perceived when it comes to interpret the letters and the change of the part given to the symbol The students show a sharp sense of symbol however there are some aspects to be improved essentially when it comes with working with literal equations Even though they have a sharp sense of unknown these students are still too attached to Algebra as generalized Arithmetic Key Words Mathematics learning algebraic thinking sense of symbol literal equations algebraic expressions ndice Lo jo ol EA E E RR DA GS RR DO RR RR 5 Introd c O sisisestssssdssedecaiacs cade doccesisecaus sdecadecuiuccevaudededdassued lt sasdecstocsssosdbesdosecssosestensates E Motiva es pessoais e contexto do estudo re 2 Objetivo e quest es de investiga o do estudo 3 Organiza o dO estdocs ei pasta ss aids ea dossgncasdanad cvsndseedencoeaasedeveseuastes 5 Capitol assa a DS ua is Goa eerste T Ensino e Aprendizagem da lgebra c cssssssssssssssssssssssssssssssesssssssssssssssssssssesssee 7 A evolu o hist rica da Algebra c scsssccsscssscstnisocescesssstiernssednssossssendssveoveesestesete 8 Perspetivas da lgebra e da lgebra Escolar eee 12 A lgebra e o Pensamento Alg brico sesssssessessessessessessesssssssssssssscseestesecseeses 16
152. heit 2 A convers o de graus Celsius para graus Kelvin feita da seguinte forma adicionar 273 aos graus Celsius 2 1 A gua congela aos 0 C e entra em ebuli o aos 100 C Quais s o os valores correspondentes na escala Kelvin Adaptado de Proposta de Sequ ncias de Tarefas para o 8 ano DGIDC 185 2 2 Escreve uma express o alg brica que permita converter uma temperatura em graus Celsius para graus Kelvin 3 Encontra uma f rmula que permita converter diretamente uma temperatura expressa em graus Kelvin para graus Fahrenheit 4 Nos Estados Unidos da Am rica a escala de temperatura habitualmente usada a escala Fahrenheit Observa a informa o meteorol gica publicada na Internet no dia 15 04 2012 para a cidade de New York New York New York 08 50 Am local Sunrise 06 14 am 61 o 4 1 O Rodrigo est a planear fazer uma viagem Suseto7Sspm 16 C B Heat Index N A a New York esta semana e tem que fazer a Humidity 62 Condy mala mas n o sabe se deve levar roupa para Wind CALM Omph Okph o frio ou para o calor O que achas Five day forecast Today Mon Wed Thu g s Tue gme ie Al A A A 77 F 85 F 78 F 66 F 63 F 62 F 63 F 51 F 48 F 49 F E 3 5 Descobre o erro em cada uma das resolu es e corrige o 5 1 Escrever a equa o 3x b y em ordem a b Resolu o 3x b y amp b 3x y So b 3x 7y 5 2 Escrever a equa o 1 3y 2 6a x em ordem a y R
153. ida como uma equa o literal que consiste em criar rela es simb licas entre as tr s vari veis e depois resolver a equa o em ordem a uma das vari veis A terceira quest o requer a descoberta do erro cometido nas opera es com polin mios permitindo analisar at que ponto os alunos compreendem os objetos 64 com que est o a trabalhar e as equival ncias entre express es alg bricas Por ltimo a quest o quatro requer a capacidade de simplifica o de express es alg bricas tal como a aplica o dos casos not veis da multiplica o Esta tarefa para ser realizada ap s as aulas lecionadas por mim na turma e depois de os alunos responderem s suas quest es irei entrevist los com base na tarefa para melhor compreender as suas estrat gias e dificuldades no tema matem tico em quest o Descri o das aulas lecionadas 19 de Abril de 2012 90 minutos A aula iniciou se normalmente uma vez que os alunos j estavam espera que fosse eu a dar a aula Comecei por escrever o sum rio no quadro para dar tempo de alguns alunos chegarem aula e se sentassem Quando j estavam sentados conversei um pouco com eles sobre o que amos falar naquela aula e referi a necessidade de resolver a tarefa da aula a caneta e caso houvesse erros corrigi los a l pis algo contr rio ao que estes est o habituados Logo ap s distribuir as tarefas Tarefa 2 os alunos come aram a ler o enunciado e imediatamente come
154. idade do aluno o que o professor espera que o aluno fa a e tem de prever um tempo para a realiza o dessas atividades DGIDC 2007 As estrat gias a adotar para a realiza o das tarefas e para o pr prio desenrolar das aulas dependem inquestionavelmente dos objetivos pensados para cada momento da aula Da mesma forma qualquer estrat gia programada n o est livre de ser modificada ou melhor adaptada face s dificuldades encontradas pelos alunos Neste estudo adotei v rias estrat gias que foram selecionadas tendo em conta a problem tica definida o tema matem tico e os alunos do estudo procurando n o alterar a din mica habitual da turma A maioria das aulas lecionadas seguiram a estrutura habitual duma aula em que o principal objetivo desenvolver o pensamento alg brico dos alunos Isto contou com quatro partes a apresenta o da tarefa o trabalho aut nomo dos alunos 55 e por ltimo a discuss o coletiva e s ntese das ideias principais com toda a turma podendo estes dois ltimos momentos se repetirem v rias vezes na mesma aula Numa primeira fase ocorre a apresenta o por parte do professor da tarefa a realizar dos seus objetivos e da metodologia de trabalho a adotar esclarecendo qualquer d vida que surja em rela o ao enunciado da tarefa Esta fase deve ser curta e motivadora para impulsionar o trabalho aut nomo dos alunos Rapidamente o centro da aula passa para os alunos sendo este o momen
155. ideramos designativas de quantidades desconhecidas ou inc gnitas Resolver uma equa o literal determinar a inc gnita como fun o expl cita do par metro ou seja consiste no processo de isolar a inc gnita num dos membros da equa o e para isso mant m se os princ pios de equival ncia enunciados anteriormente Uma f rmula uma equa o literal associada normalmente ao uso mais rotineiros como a f rmula das reas ou dos volumes Podemos ainda definir um caso particular das equa es literais as equa es lineares em duas inc gnitas x e y como sendo toda a equa o em x e y que pelos princ pios de equival ncia se possa reduzir forma ax by c sendo os valores de a b e c n meros quaisquer A solu o da equa o todo o agrupamento de n meros que como valores de x e y transformam a equa o numa igualdade num rica verdadeira Este tipo de equa es tem uma infinidade de solu es Uma express o alg brica qualquer express o com n meros e ou letras em que todas as opera es nela indicadas est o inclu das entre as seguintes adi o subtra o multiplica o divis o e extra o de raiz Um mon mio uma express o alg brica em que as opera es indicadas sobre as vari veis s o quanto muito multiplica es podendo ent o ser um n mero ou o produto de um n mero por vari veis S o exemplos de mon mios as express es x27 x2 2 Quando um mon mio n o somente um n
156. ificuldades em corrigir o seu erro Alfredo O computador passado dois anos s aumentou 2 E o pre o devia ter diminu do O valor n o pode aumentar Se vai desvalorizar Quanto ultrapassa esta dificuldade Figura 51 s fica satisfeito com o resultado quando este satisfaz a rela o entre as vari veis presentes na quest o Alfredo Eu primeiro quis substituir o 300 Mas agora quero fazer o 300 300 x 2t N o t n o Que ao t corresponde o 2 porque o 2 a vari vel do tempo Ent o 2 2100 Isto igual a 600 2100 que igual a 1500 Professor E com esse valor j concordas Alfredo Sim Desvalorizou medida que o tempo passou b Qualo valor monet rio do computador ao fim de 2 anos O A gt Ts OU x 2 w A YTY AAC Figura 51 Resolu o do Alfredo quest o 1 b da Tarefa 6 107 Do mesmo modo o Alfredo apercebeu se do seu erro na manipula o da equa o necess ria na al nea d quando obteve um valor negativo para o tempo Alfredo O valor monet rio desceu diminuiu Professor E o tempo Alfredo Aumentou Ent o ali na conta h alguma coisa que est mal Porque tem que ser mais Ao escrever uma equa o em ordem a uma das inc gnitas o Guilherme comete algumas falhas na manipula o alg brica como foi analisado no ponto anterior sem se questionar sobre a validade das suas op es perante os resultados obtidos os quais n o faziam qualquer sentido no
157. ignificado de 15d Figura 60 i 15d CUB ant Bula Cito a Figura 60 Resolu o do Alfredo quest o 2 a da Tarefa 6 pe CAMAL dU lish No entanto ao longo da entrevista d evid ncia de que tem a ideia correta na cabe a mas n o consegue express la Quando o consegue acaba sempre por tirar conclus es erradas Professor E o que que significa o 15d Alfredo o o comprimento de um tijolo deitado Professor O 15 Alfredo Sim Professor Mas eu estou a perguntar o que o 15d Alfredo O comprimento de um tijolo d de deitado Professor De um tijolo deitado Alfredo Sim O 15d por exemplo se n s quis ssemos saber o muro tinha 30cm Se n s quis ssemos saber quantos tijolos deitados eram fazemos 15x2 Professor Ent o o 15d representa o qu 113 Alfredo O comprimento dos tijolos deitados De um tijolo deitado Professor De um ou dos tijolos deitados Alfredo De um 15 o comprimento de Cada tijolo mede 15 E eu para n o estar a escrever 15 mais 15 mais 15 fazia 15 vezes o n mero de tijolos Professor Ent o o 15d o qu Alfredo o comprimento de um tijolo deitado Alfredo D o n mero de tijolos deitados N o o comprimento dos tijolos deitados que existem no muro Alfredo 15 vezes o n mero de tijolos deitados que h no muro O comprimento dos tijolos que h no muro O comprimento dos tijolos deita
158. imediatamente um grupo de alunos que queria explicar como tinha pensado no primeiro desafio mas perante a dificuldade de se expressarem foi sugerido que se fizesse uma esp cie de diagrama de rvore no quadro para compreender como o segredo se propagava e a partir da rapidamente chegaram resposta do desafio Em rela o ao segundo desafio constatei que a maior parte dos alunos n o tinha compreendido o enunciado Portanto optei por esclarecer melhor o problema dando alguns exemplos concretos e pedi lhes que pensassem mais um pouco nele em casa Num outro dia retomar amos a discuss o sobre o desafio do Sr Pereira Para acalmar o borborinho causado pela discuss o dos resultados dos desafios decidi fazer com eles um ponto da situa o das aulas anteriores e resumir no quadro os casos not veis da multiplica o que eles haviam aprendido nas aulas passadas Depois disso distribui uma tarefa e indiquei os tempos de trabalho aut nomo em pares dos alunos para cada uma das partes da tarefa Em rela o tarefa da Diferen a de Quadrados os alunos n o tiveram qualquer dificuldade em preencher a tabela da primeira al nea da quest o 1 enquanto s utilizavam casos concretos mas ao surgir 0 caso geral os alunos tiveram algumas dificuldades em perceber como relacionar os valores da sequ ncia principalmente pelo segundo processo em que precisavam de compreender que estavam a multiplicar a soma de dois n meros pela diferen a desses m
159. inser o das letras no meio dos n meros Deste modo uma vez que a lgebra das reas da Matem tica que mais me seduz e como gosto de desafios que exijam de mim que me levem para campos onde n o estou t o seguro decidi enveredar por este caminho um caminho onde procuro compreender um pouco melhor que sentido os alunos atribuem aos s mbolos e s vari veis Objetivo e quest es de investiga o do estudo O Programa de Matem tica do Ensino B sico DGIDC 2007 apresenta como principal prop sito de ensino desenvolver nos alunos a linguagem e o pensamento alg bricos bem como a capacidade de interpretar e resolver problemas usando procedimentos alg bricos e de utilizar estes conhecimentos e capacidades na explora o e modela o de situa es em contextos diversos p 57 e deste modo no mbito da unidade did tica a lecionar o meu estudo incidir na compreens o do pensamento alg brico dos alunos O desenvolvimento do sentido de s mbolo e da no o de vari vel algo sobre o qual o atual Programa de Matem tica se debru a e refere como sendo importante de tratar ao n vel da lgebra no 3 ciclo De acordo com estas indica es dentro do pensamento alg brico irei procurar compreender que sentido de s mbolo e de vari vel os alunos do 8 ano de escolaridade evidenciam Assim sendo o presente trabalho de cariz investigativo tem como principal objetivo compreender a aprendizagem de alunos do 8 a
160. io e polin mio bem como dos termos parte literal coeficiente grau e mon mios semelhantes Na quest o 4 a adi o alg brica surge de modo quase natural depois dos alunos j terem trabalhado anteriormente com simplifica o de express es alg bricas em casos simples Em rela o multiplica o de express es alg bricas as al neas presentes resolvem se recorrendo propriedade distributiva da multiplica o em rela o adi o Esta tarefa foi projetada para ser resolvida em duas aulas de noventa minutos nas quais o modo de trabalho pensado foi o de trabalho em pares Tarefa 4 O Quadrado do Bin mio Na tentativa de dar continuidade s opera es com polin mios em particular multiplica o de dois bin mios esta tarefa permite aos alunos explorar o desenvolvimento do quadrado do bin mio recorrendo a regularidades num ricas e a sequ ncias pict ricas Anexo II Uma vez que os alunos j est o familiarizados com as terminologias associadas s sequ ncias o que se pretende com esta tarefa que os alunos trabalhem com sequ ncias com maior complexidade que envolvam express es alg bricas do segundo grau Na primeira parte as primeiras al neas requerem a determina o de termos de uma sequ ncia em primeiro lugar termos de ordem baixa seguido de termos de ordem mais elevada para que os alunos sintam a necessidade de uma express o alg brica que funcione como termo geral da sequ ncia Com a
161. ipais linhas de investiga o em lgebra Escolar nos ltimos trinta anos Adaptado de Kieran 2006 p 12 in Nabais 2010 p 34 15 Figura 3 Estabelecimentos do Agrupamento de Escolas Vasco Santana Projeto Educativo 2010 Pp 8 asassanieserasisasdanes ara sireadaaass O p Sa eita adora gata 38 Figura 4 Forma o Acad mica dos Encarregados de Educa o 39 Figura 5 Classifica es dos alunos no 1 Per odo 40 Figura 6 Classifica es a Matem tica no 1 Per odo 41 Figura 7 Classifica es dos alunos no 2 Per odo 41 Figura 8 Classifica es a Matem tica no 2 Per odo 42 Figura 9 Classifica es a Matem tica no 3 Per odo 43 Figura 10 Interpreta o geom trica do Quadrado da diferen a 52 Figura 11 Interpreta o geom trica da Diferen a de Quadrados 52 Figura 12 Resolu o do Alfredo quest o 6 5 da Tarefa 2 88 Figura 13 Resolu o do Alfredo quest o 1 3 da Tarefa 1 88 Figura 14 Resolu o do Alfredo quest o 1 2 da Tarefa 1 88 Figura 15 Resolu o do Guilherme quest o 6 5 da Tarefa 2 89 Figura 16 Resolu o do Guilherme quest o 1 do Teste 89 Figura 17 Resolu o da Sara quest o 6 5 da Taref
162. l Para isso procuro dar resposta s seguintes quest es i Em que medida os alunos mobilizam conceitos e propriedades matem ticas das equa es de 1 grau na resolu o de equa es literais ii Quais as principais dificuldades apresentadas pelos alunos no estudo das equa es literais e das express es alg bricas Em particular quais as principais dificuldades dos alunos na compreens o das altera es dos pap is desempenhados pelas vari veis e pelo sinal de igual Como procuram resolver as dificuldades evidenciadas 129 iii Que sentido de s mbolo revelam os alunos na forma como resolvem quest es envolvendo equa es literais e express es alg bricas iv Que sentido de vari vel revelam os alunos na forma como resolvem quest es envolvendo equa es literais e express es alg bricas A leciona o das aulas analisadas neste estudo ocorreu no in cio do 3 Per odo numa turma do 8 ano de escolaridade A unidade did tica em causa foi Equa es Sequ ncias e Regularidades em particular o estudo das equa es literais e de express es alg bricas no que se refere s opera es com polin mios A metodologia adotada de natureza qualitativa e para a recolha de dados recorri recolha documental nomeadamente a resolu o das tarefas realizadas pelos alunos observa o de aulas com recurso ao di rio de bordo registo udio e registo por interposta pessoa e por ltimo entrevista a tr s alunos
163. l das express es seguintes representa a rea reservada apenas s cebolas Justifica a tua op o A 6x 2 B x C 5x D 5x 2 Se x 2 e y 4 qual a quantidade de rede necess ria para cercar o canteiro das rosas E para cercar o canteiro das alfaces Adaptado de Campos A 2010 O discurso do professor no ensino e aprendizagem das equa es literais no 8 ano no mbito da experimenta o do Novo Programa de Matem tica do Ensino B sico Relat rio de pr tica de ensino supervisionada Universidade de Lisboa 189 2 A Sofia gosta muito de construir sequ ncias de figuras com ret ngulos nas folhas quadriculadas do seu caderno de Matem tica Observa a seguinte sequ ncia de figuras que ela construiu WL MN eae Frez DD Ay YU YY Figura 1 Figura 2 Figura 3 2 1 Calcula quantos quadradinhos s riscas e quantos quadradinhos cinzentos vai ter a figura 4 2 2 Quantos quadradinhos s riscas vai ter a 9 figura E quadradinhos cinzentos Indica os c lculos que efetuaste 2 3 Quantos quadradinhos cinzentos e quantos quadradinhos s riscas vai ter a figura de ordem n 2 4 Escreve na forma mais simplificada sem o uso de par nteses 2 4 1 O termo geral da sequ ncia de quadradinhos s riscas 2 4 2 O termo geral da sequ ncia de quadradinhos cinzentos 2 4 3 O termo geral da sequ ncia do n mero total de quadradinhos 3 Verifica em cada al nea se as express es apresentadas s o o
164. lanifica o para serem resolvidas e discutidas nesta aula Como habitual os alunos come aram a resolver a tarefa e a sentir a necessidade de chamar os professores para tirarem d vidas a maior parte das vezes para aprova o da sua estrat gia por parte do professor Durante cerca de cinquenta minutos os alunos resolveram a tarefa quest o 1 e 2 tendo tido mais dificuldades em resolver a quest o 2 que necessitava de conhecimentos com sequ ncias num ricas e termos gerais Apesar de existirem alunos que ainda n o tinham chegado ao termo geral da sequ ncia da quest o 2 pass mos discuss o pois como constatei no final cinquenta minutos tempo mais que suficiente para ocupar somente com o trabalho aut nomo dos alunos provocando situa es em que alguns alunos j tinham terminado a tarefa h algum tempo e outros deixaram se vencer pelo cansa o e 67 apesar de n o terem conclu do a tarefa j n o estavam a dedicar o seu tempo realiza o desta Quando iniciei a discuss o apercebi me que n o iria cumprir a planifica o e portanto optei por deixar que a discuss o se desenvolvesse sem o inc modo do controlo de tempo As duas primeiras al neas da quest o 1 foram corrigidas no quadro pelo professor com o aux lio dos alunos uma vez que achei importante que os alunos tivessem acesso a uma resposta bem constru da da segunda al nea As restantes al neas foram corrigidas por v rios alunos no quadro solicit
165. lar a inc gnita t Guilherme O t estava a multiplicar no segundo membro mudei para o primeiro membro a dividir Depois peguei no v que era mais e passei para o segundo membro como v Ent o ficou 1 te depois fiz as contas do segundo membro Professor E isolaste o t O t ficou sozinho Guilherme Ficou Professor 1 t Isso o t ficar sozinho 98 Guilherme H outra forma N o vejo outra forma Porque se estava a multiplicar tem que estar a dividir e se fosse s t n o estaria a dividir Professor O que farias se aqui estivesse um 0 no lugar do v Guilherme Ficava 0 t Professor isso que fazes nas equa es Como resolvias a equa o 0 300t 2100 Guilherme Aqui estava a multiplicar ent o vai passar a dividir e vai ficar 0 que 0 A Sara mostra ser perent ria na ideia que ela tem de isolar uma inc gnita Professor O que te pedia a al nea c Sara Para resolver a equa o em ordem a t ou seja para isolarmos o t Professor E o que fizeste Sara A partir da equa o eu escrevi v 2100 300t e v 2100 depois coloquei p q 300 E apesar de se enganar algumas vezes na inc gnita a isolar a Sara procede eficazmente quando procura isolar uma determinada inc gnita Na turma existem alguns alunos que consideram que a equa o deve ter apenas uma nica solu o e uma nica inc gnita acabando por desaparecer com uma das inc gnitas durante o processo de resolu o
166. lhes seja proposta uma tarefa desafiadora e imprevis vel do que tarefas rotineiras e de resposta fechada Durante o trabalho aut nomo evidenciam existir uma rela o muito positiva entre os elementos do grupo de trabalho gostam de chamar os professores para confirmar resultados e mostrar que est o a conseguir pedindo muitas vezes para irem apresentar a sua resolu o ao quadro O ambiente em sala de aula deveras amistoso N o existe aquele sentimento de desinteresse imediato por se tratar de uma aula de Matem tica Entram e saem da aula com um sorriso contagiante Proposta Pedag gica Ao longo desta se o enquadro a proposta pedag gica no atual programa de Matem tica e clarifico alguns conceitos e propriedades matem ticas associadas ao tema escolhido para este estudo Explicito ainda algumas estrat gias de ensino tal como o modo como foi organizada a interven o na turma e justifico a escolha das tarefas utilizadas em sala de aula 43 A Unidade de Ensino no Programa O presente estudo teve lugar no primeiro ano de implementa o do Programa de Matem tica do Ensino B sico DGIDC 2007 no 8 ano de escolaridade a n vel nacional Esta proposta pedag gica insere se no tema lgebra nos t picos Sequ ncias e Regularidades e Equa es concretamente nos subt picos Equa es Literais Express es Alg bricas e Opera es com polin mios e foi lecionada tendo em conta as orienta es curriculare
167. lmente e por escrito utilizando a nota o simbologia e vocabul rio pr prios CONHECIMENTOS PR VIOS e Determinar termos de uma sequ ncia e Determinar o termo geral de uma sequ ncia e Simplificar express es alg bricas e Compreender a no o de express es alg bricas equivalentes e Operar com polin mios adi o alg brica e multiplica o TAREFAS Anexo ID e Tarefa 5 A Diferen a de Quadrados e Desafios Semanais METODOLOGIA DE TRABALHO e Trabalho em pares e Discuss o e s ntese em turma e Oaluno ter um papel de comunicador explicitando e justificando as 179 estrat gias utilizadas e O professor ter um papel orientador garantindo a exist ncia de e Interven es ordeiras e Rigor de linguagem e S ntese dos principais conte dos DESENVOLVIMENTO DA AULA e 1 Momento Entrada 5 min 13h35 13h40 e Os alunos entram na sala de aula e O professor escreve o sum rio e 2 Momento Discuss o dos Desafios Matem ticos 10 min 13h40 13h50 e O professor questiona os alunos sobre quem conseguiu resolver os desafios das duas semanas anteriores e Os alunos com resolu es diferentes apresentam nas turma e 3 Momento Apresenta o da Tarefa 5 min 13h50 13h55 e O professor informa os alunos sobre a metodologia de trabalho e O professor distribuiu uma ficha por cada aluno e O professor informa os alunos sobre as fases de trabalho e
168. lu o de um aluno quest o 6 2 da Tarefa 2 96 Figura 37 Resolu o de um aluno quest o 1 3 da Tarefa Lo eee etree 97 Figura 38 Resolu o do Guilherme quest o 1 c da Tarefa 6 98 Figura 39 Resolu o de um aluno quest o 6 5 da Tarefa 2 99 Figura 40 Resolu o de um aluno quest o 6 5 da Tarefa 2 100 Figura 41 Resolu o do aluno X quest o 6 5 da Tarefa 2 100 Figura 42 Resolu o do aluno X quest o 6 5 da Tarefa 2 100 Figura 43 Resolu o do Alfredo quest o 1 c da Tarefa 6 102 Figura 44 Resolu o do Alfredo s quest es 1 a e 1 b da Tarefa 6 103 Figura 45 Resolu o do Guilherme s quest es 1 a e 1 b da Tarefa 6 104 Figura 46 Resolu o do Guilherme quest o 1 c da Tarefa 6 104 Figura 47 Resolu o da Sara quest o 1 c da Tarefa 6 105 Figura 48 Resolu o da Sara quest o 1 a da Tarefa 6 105 Figura 49 Resolu o da Sara quest o 1 b da Tarefa 6 0 0 cee eeseeseesneeeeeeeeees 106 Figura 50 Resolu o da Sara quest o 1 b da Tarefa 6 0 0 0 cee eeeeeseesneeeeeeeeeee 106 Figura 51 Resolu o do Alfredo quest o 1 b da Tarefa 6 107 Figura 52 Resolu o do Alfredo quest o 1 3
169. m aluno quest o 1 2 da Tarefa 3 118 Figura 70 Resolu o do Alfredo quest o 1 1 da Tarefa 3 118 Figura 71 Resolu o do Alfredo quest o 2 b da Tarefa 6 119 Figura 72 Resolu o do Guilherme quest o 2 b da Tarefa 6 120 Figura 73 Nova Resolu o do Guilherme quest o 2 b da Tarefa 6 120 Figura 74 Resolu o da Sara quest o 1 1 da Tarefa 3 121 Figura 75 Resolu o da Sara quest o 2 b da Tarefa 6 cccceesceesseceesteeeensees 121 Figura 76 Resolu o do Alfredo quest o 4 da Tarefa 6 122 Figura 77 Resolu o do Guilherme quest o 4 da Tarefa 6 123 Figura 78 Resolu o da Sara quest o 3 b da Tarefa 6 0 0 0 ceeceeceeeseesneeeeeeeeees 123 Figura 79 Resolu o do Alfredo quest o 2 c da Tarefa 6 124 Figura 80 Resolu o do Alfredo quest o 4 do Teste 125 Figura 81 Resolu o do Guilherme quest o 2 c da Tarefa 6 125 Figura 82 Resolu o do Guilherme quest o 4 d do Teste 126 Figura 83 Resolu o da Sara quest o 2 c da Tarefa 6 126 Figura 84 Segunda resolu o da Sara quest o 2 c da Tarefa 6 127 Figura 85
170. m apenas 10 t shirts ter o lucro ou preju zo Apresenta os c lculos que efetuares A M TAI 20 42005 Ava 120 i ie ji a i do Z TA U a 8 61 AO A DE s b perito n ZE ei A que a turma tem que vender a n o ter A Expli ica O teu racioc nio TONN Q Lon pe cee 4 ant we K aG 146 A DAL ER off idas c Escreve uma express o alg brica que relacione o custode produ o O er o n mero de t w de veni Pd cati pede es 4 an ton fo aaa eee ERR n PO 4al TIGA F a a Fo rr FRRO i A E F gt l ry RAO 3 OC TA AO A P q O od d Escreve uma express o alg brica que relacione o lucro L com o n mero de de t shirts vendidas 2 if rT ais 5 foe WER AR Ws KITA lad fF AK N Vo eZ Figura 80 Resolu o do Alfredo quest o 4 do Teste Em rela o ao Guilherme este cria uma nova f rmula de acordo com a informa o do enunciado da al nea em causa N o utiliza informa o alguma sobre o comprimento do muro e cria uma nova vari vel para representar o n mero de tijolos Figura 81 c Escreve uma f rmula que permita calcular o n mero de tijolos deitados conhecendo o comprimento do muro e o n mero de tijolos colocados em p AG Az aw he En Q bm Figura 81 Resolu o do Guilherme quest o 2 c da Tarefa 6 A resolu o do Guilherme curiosa uma vez que tinha resolvido corretamente uma al nea anterior o
171. ma introdu o teoria e aos m todos Porto Porto Editora Booth L R 1984 Algebra Children s strategies and errors Windsor Nfer Nelson Campos A R M 2010 O discurso do professor no ensino e aprendizagem das equa es literais no 8 ano no mbito da experimenta o do Novo Programa de Matem tica do Ensino B sico Relat rio de pr tica de ensino supervisionada Universidade de Lisboa Cara a B J 1984 Conceitos fundamentais da matem tica Lisboa S da Costa Castro E amp Castro E 1997 Representaciones y modelizaci n In L Rico Coord La educaci n Matem tica en la ense anza secundaria pp 95 122 Barcelona Editorial Horsori Chazan D amp Yerushalmy M 2003 On appreciating the cognitive complexity of school algebra Research on algebra learning and directions of curricular change In J Kilpatrick W G Martin amp D Shifter Eds A research companion to Principles and standards for school mathematics pp 123 135 Reston VA NCTM Cohen L Manion L amp Morrison K 2000 Research methods in education Londres Routledge amp Falmer Dire o Geral do Ensino B sico e Secund rio 1991 Organiza o curricular e Programas vol I Lisboa Imprensa Nacional Casa da Moeda 143 Dire o Geral de Inova o e Desenvolvimento Curricular 2007 Programa de Matem tica do Ensino B sico http sitio dgidc min edu pt matematica Documents ProgramaMat
172. mecei uma breve exposi o dos conceitos de mon mio e polin mio referindo alguns exemplos e registando tudo no quadro para que os alunos passassem no caderno Aproveitei para esclarecer outros termos associados ao conceito de mon mio acompanhando os sempre de exemplos inventados pelos alunos Depois de registado no caderno a explora o destes conceitos informei os alunos de alguns exerc cios do manual que ficariam como trabalho de casa Depois desta exposi o centrada no professor os alunos iniciaram o trabalho aut nomo com a continua o da tarefa 3 Os alunos come aram a resolver as quest es 3 e 4 e foram surgindo algumas d vidas primeiro por falta de compreens o do enunciado e depois por dificuldades na compreens o do papel dos s mbolos no contexto das opera es com polin mios Uma vez que os tempos j n o estavam a ser cumpridos e os alunos precisavam de mais tempo para vencerem as suas pr prias dificuldades e avan arem na tarefa optei por n o interromper o trabalho deles para realizar uma discuss o em grupo e deixei que os alunos trabalhassem sozinhos na tarefa at dar o toque Quando deu o toque despedi me dos alunos e recolhi as tarefas para poder analisar as suas dificuldades e erros cometidos para insistir neles na pr xima aula em que se trabalhasse aquela tarefa 03 de Maio de 2012 90 minutos Esta aula tinha como objetivo introduzir o primeiro caso not vel da multiplica o o do quadrado do bin mi
173. min 14h00 14h18 e Uma vez que os alunos n o terminaram a tarefa 2 e sentiram algumas dificuldades em resolver equa es literais dever o concluir a tarefa e corre o ser feita em paralelo com a resolu o da tarefa e Os alunos que terminarem a tarefa antes dever o resolver algumas equa es literais propostas pelo professor escritas no quadro e 5 Momento Desafio Semanal e Encerramento 2 min 14h18 14h20 164 e O professor entrega o desafio da semana e O professor recolhe as fichas de trabalho e O professor d por terminada a aula e os alunos saem RECURSOS e Papel e material de escrita e Calculadora FORMAS E MOMENTOS DE AVALIA O FORMATIVA e A avalia o dos alunos ser baseada nos seguintes aspetos e Interesse demonstrado durante a aula e Colabora o com o professor e com os colegas na resolu o discuss o da tarefa e Aplica o de conhecimentos matem ticos adquiridos anteriormente e Uso da terminologia e simbologia adequada e Comportamento na sala de aula e Constru o de uma grelha de observa o do trabalho dos alunos onde se pretende sintetizar e Quest es feitas pelos alunos e Erros mais frequentes e Diferentes resolu es e Elabora o de um di rio de bordo 165 166 ANEXO I Planifica o da 5 aula RAMADA Tema lgebra Unidade Tem tica Sequ ncias e Regularidades Equa es Subtema Express es alg
174. mo o sinal de igual e de n mero desconhecido Linchevski 1995 refere a hip tese de se realizar um trabalho pr alg brico relativo ao tema equa es em que sejam abrangidas as seguintes reas 1 Desenvolver a no o de solu o atrav s de oportunidades para realizar a substitui o de n meros por letras verifica o num rica 11 Lidar com equa es equivalentes atrav s da substitui o 29 iii Construir esquemas cognitivos atrav s de atividades reflexivas que permitam que os alunos usem os seus procedimentos espont neos pr prios 1v Praticar a formula o de equa es como uma atividade complementar para a resolu o de equa es O contato com equa es fica facilitado com este trabalho pr alg brico que permite aos alunos fazerem as suas experi ncias e at discutir os resultados uns dos outros Estas a es facilitam o processo de compreens o das regras pr ticas de resolu o de equa es e qual a sua justifica o tal como facilita a proximidade dos alunos com os conceitos de solu o de uma equa o e de equa es equivalentes Kieran 1992 defende que os alunos iniciantes na lgebra devem utilizar v rios m todos intuitivos para resolver equa es No entanto no que se refere ao trabalho com equa es sejam elas literais ou n o algumas das estrat gias de resolu o de equa es com uma ou mais vari veis est o identificadas e classificadas em investiga o na rea Kieran 199
175. mpreens o dos diferentes pap is que os s mbolos podem desempenhar interpretando os de forma diferente conforme o seu contexto No trabalho com express es alg bricas os indicadores a analisar s o semelhantes conhecer bem os s mbolos alg bricos saber utiliz los combin los e utiliz los perante um contexto adequado expressar a linguagem corrente atrav s de s mbolos passar do sentido do n mero para o sentido do s mbolo do concreto para o abstrato acompanhada duma compreens o das propriedades espec ficas da linguagem alg brica e escolher s mbolos para exprimir uma condi o de forma clara para atingir os objetivos pretendidos Para al m disso dentro de cada t pico estruturei a an lise dos dados seguindo sempre a mesma ordem de apresenta o alunos entrevistados Alfredo Guilherme e Sara e em seguida a turma em geral 85 86 Cap tulo V Apresenta o e An lise de Dados Neste cap tulo tendo em conta as quest es formuladas no presente estudo procuro apresentar e analisar os dados recolhidos que consistem nas produ es de algumas tarefas realizadas pelos alunos nas aulas e numa entrevista de cariz individual Esta an lise reporta se maioritariamente entrevista realizada no final da unidade did tica a tr s alunos de nomes fict cios Alfredo Guilherme e Sara No entanto recorro a algumas produ es dos alunos realizadas em aula e no teste proposto no final da minha leciona o Anex
176. na o do termo geral duma sequ ncia Em rela o aos casos not veis da multiplica o de bin mios que surge com especial import ncia no estudo das express es alg bricas a compreens o deste tema 57 pode ser por um lado facilitada recorrendo interpreta o geom trica por exemplo a partir da determina o da rea do quadrado na sua totalidade ou a partir de uma dada decomposi o Por outro lado os casos not veis tamb m podem ser trabalhados a partir de uma pequena tarefa de investiga o proposta aos alunos onde eles investiguem as regularidades existentes quando por exemplo se subtraem quadrados perfeitos consecutivos Ponte et al 2009 importante referir a necessidade de existir alguns trabalhos de casa para que os alunos possam adquirir destreza na manipula o de express es alg bricas na resolu o de equa es literais tal como consolidar os conhecimentos adquiridos na aula Algumas destas foram retiradas do pr prio manual utilizado pela turma que pode servir como um timo instrumento de trabalho quando bem utilizado Considero fulcral que em algum momento da leciona o seja dado feedback aos alunos por parte do professor e vice versa Em espec fico neste estudo procurei dar lhes algum feedback ao longo das aulas a meu encargo As tarefas apresentadas neste estudo s o o ponto de partida para a aprendizagem de novos conceitos e representa es e para o desenvolvimento do pensamento alg
177. nas carateriza o como sendo uma aprecia o uma compreens o um instinto complexo e multifacetado em rela o aos s mbolos Alguns autores como Grossmann 2011 referem alguns comportamentos do indiv duo que permitem concluir sobre a exist ncia do sentido do s mbolo como a capacidade de selecionar uma representa o simb lica em detrimento de outra a compreens o dos diferentes pap is que os s mbolos podem desempenhar a perce o da constante necessidade de procurar significados nos s mbolos e a compreens o sobre o poder dos s mbolos tendo os sempre presentes e dispon veis Castro amp Castro 1997 referem que muitas das dificuldades dos alunos se devem a um destaque prematuro no simbolismo sem ter o cuidado sobre a verdadeira compreens o do seu significado matem tico sendo crucial estabelecer conex es entre o s mbolo e o significado associado a este 34 O conceito de vari vel tamb m um conceito muito importante no ensino e aprendizagem da lgebra mas dif cil de definir devido ao seu car ter multifacetado e ao facto de se tratar de um s mbolo representativo de qualquer um dos elementos de um conjunto Cara a 1984 Usiskin 1988 refere cinco utiliza es distintas do conceito de vari vel relativas interpreta o da letra sendo nesta diversidade que surge uma barreira por vezes dif cil de ultrapassar e o aluno acaba muitas vezes por atribuir um valor fixo vari vel quando esta representa valores a d
178. nde lhe pediam para explicar o que significava 15d e nesta al nea ele acaba por apresentar uma express o semelhante anterior mas com um significado completamente diferente Professor O que fizeste Guilherme Que os tijolos deitados eram igual aos 15cm de comprimento vezes o n mero de tijolos 125 Durante a entrevista o Guilherme lembrou se tamb m de outra hip tese para resolver esta quest o que consistia em escrever uma f rmula onde figuravam os valores dados no enunciado da al nea anterior sem se aperceber que estes valores eram hipot ticos aceitando os como sendo os valores reais associados ao muro em quest o Guilherme Ou podia fazer 420 15 Professor Porqu 420 Guilherme Fui buscar aqui Professor Podes ir al nea anterior buscar informa o Guilherme Sim Posso usar a f rmula 420 No teste o Guilherme tamb m tem alguma dificuldade em exprimir com clareza uma determinada condi o Quando lhe pedem uma express o alg brica que relacione o lucro com o n mero de t shirts vendidas ele utiliza o facto de ser necess rio vender pelo menos 13 t shirts para n o ter preju zo na f rmula do custo de produ o Figura 82 d Escreve uma express o alg brica que rel acione o lucro L com o n mero de t shirts vendidas 7 q me Ah the Figura 82 Resolu o do Guilherme quest o 4 d do Teste A Sara inicialmente tamb m n o conseguiu escolher os s mbolos
179. no na resolu o de equa es literais e nas express es alg bricas e em particular o modo como desenvolvem neste contexto o seu pensamento alg brico nele incluindo o sentido de s mbolo e de vari vel Tendo em conta este objetivo formulei as seguintes quest es i Em que medida os alunos mobilizam conceitos e propriedades matem ticas das equa es de 1 grau na resolu o de equa es literais ii Quais as principais dificuldades apresentadas pelos alunos no estudo das equa es literais e das express es alg bricas Em particular quais as principais dificuldades dos alunos na compreens o das altera es dos pap is desempenhados pelas vari veis e pelo sinal de igual Como procuram resolver as dificuldades evidenciadas iii Que sentido de s mbolo revelam os alunos na forma como resolvem quest es envolvendo equa es literais e express es alg bricas iv Que sentido de vari vel revelam os alunos na forma como resolvem quest es envolvendo equa es literais e express es alg bricas O estudo apresentado foi desenvolvido no mbito da leciona o dos subt picos Equa es Literais Express es alg bricas e Opera es com Polin mios numa turma do 8 ano da Escola B sica com 2 e 3 ciclo Vasco Santana ao longo de treze aulas de quarenta e cinco minutos que decorreram no in cio do terceiro per odo do ano letivo de 2011 12 Organiza o do estudo Este estudo comp
180. nos desafios matem ticos propostos e caso houvesse tempo consolidar o trabalho com equa es literais Depois de escrito o sum rio e de distribu das as tarefas recolhidas no dia anterior continuou se a discuss o da quest o 2 onde se tinha ficado na aula anterior 68 Uma vez que a aula era s de quarente e cinco minutos optei por fazer uma discuss o mais centrada no professor no que se refere ao registo das conclus es no quadro Para recuperar as estrat gias referidas e trabalhadas na aula anterior desenhei no quadro a figura 9 quest o 2 2 e a resolu o apresentada pela ltima aluna a ir ao quadro na aula anterior Perante estes dois dados a turma inteira respondeu bem quando foi necess rio generalizar para a figura de ordem n ou seja para escrever o termo geral das sequ ncias trabalhadas O passo seguinte foi escrever estes termos gerais na forma simplificada sem o recurso a par nteses Este momento gerou algumas quest es nos alunos e bastantes dificuldades em aplicar a propriedade distributiva da multiplica o em rela o adi o Quando foi necess rio aplicar duas vezes esta propriedade no termo geral n 1 n 2 houve ainda mais dificuldades o que me levou a desenvolver com eles esta multiplica o aplicando primeiro a propriedade distributiva para um e s depois para outro polin mio para que pudessem compreender a receita de multiplicar cada um dos termos do primeiro par nteses por cada um
181. nte da habitual O cen rio atual do ensino da lgebra em Portugal um reflexo de como a Algebra evoluiu com o passar dos tempos tornando se assim necess ria uma breve revis o das diversas conce es da lgebra e da lgebra escolar para melhor compreender o que hoje acontece com o ensino desta rea cient fica No presente cap tulo pretendo fazer uma breve revis o de literatura relacionada com o ensino e aprendizagem da lgebra Numa primeira sec o procuro sintetizar algumas investiga es sobre a evolu o hist rica da lgebra e as suas diferentes perspetivas e em especial da lgebra escolar Tendo em conta as quest es deste estudo na segunda sec o procuro revisitar alguns artigos relativos ao desenvolvimento do pensamento alg brico exist ncia do sentido do s mbolo e da no o de vari vel por parte dos alunos A terceira parte deste cap tulo refere se s estrat gias de resolu o das equa es e s dificuldades que os alunos manifestam na aprendizagem da lgebra A evolu o hist rica da lgebra A lgebra nem sempre foi tal como hoje a conhecemos Tem se vindo a afastar de formula es em texto para dar lugar a uma linguagem essencialmente simb lica caminho esse extremamente longo cerca de dois mil anos O desenvolvimento deste campo de conhecimento prende se com o contributo cultural dado por diversos povos eg pcios babil nios gregos chineses hindus rabes entre outros Fiorentini
182. nto do muro O n mero de tijolos colocados em pe ISA EA d ci A Figura 79 Resolu o do Alfredo quest o 2 c da Tarefa 6 Este aluno pegou na informa o contida no enunciado inicial e manipulou a algebricamente para obter uma express o que satisfizesse a f rmula pedida uma express o que lhe desse imediatamente o n mero de tijolos deitados Alfredo Escreve uma f rmula que permita calcular o n mero de tijolos deitados conhecendo o comprimento do muro e o n mero de tijolos colocados em p Professor Que informa o que tens Alfredo O 15d o 6p e o comprimento E a f rmula que c 15d 6p Professor E o que queres saber Alfredo J sei os em p agora quero saber os deitados Professor Como que fizeste Alfredo Fiz em ordem a d at Professor E ficou como c 6p Alfredo 15d c 6p E depois tirando o 15 fica d ES No teste realizado ap s a interven o o Alfredo d mostras de conseguir trabalhar a um n vel mais abstrato e relacionar os dados do enunciado para criar as express es alg bricas pedidas Figura 80 124 i scoli jeti e angariar 4 A turma da Ana pretende vender t shirts com 0 s mbolo da escola a 12 cada com o objetivo de angaria r Qi ye O fiy y Fari S di fundos para uma viagem de finalistas A produ o das t shirts tem um custo associado 120 fixos acrescidos de 2 por t shirt a Se vendere
183. ntuais conce es err neas e das suas estrat gias na resolu o das tarefas favorecendo uma melhor compreens o do seu pensamento alg brico e do sentido do s mbolo Nabais 2010 Desta forma tornou se fundamental refletir sobre as quest es do estudo para saber o que deveria aprofundar na entrevista tal como delinear o tipo de quest es a colocar aos alunos quest es essas que se centrem n o s no esclarecimento e justifica o das estrat gias mas tamb m nas dificuldades sentidas pelos alunos Na tentativa de compreender como cada quest o da tarefa a utilizar me podia ajudar a dar resposta s quest es do estudo elaborei um quadro Quadro 7 onde defino os objetivos de cada quest o e identifico quais as quest es do estudo que procuro responder recorrendo aquelas quest es da tarefa Quadro 7 Objetivos da Tarefa a aplicar na Entrevista Ea Objetivos espec ficos das quest es Nas Es e Identificar dificuldades na determina o do valor de uma a das vari veis conhecido o outro ii edi e Verificar o significado atribu do substitui o de uma vari vel por um valor 1 e Identificar dificuldades na determina o do valor de uma l veil i tro e b das vari veis conhecido o outro ii e iii e Verificar que significado os alunos atribuem a uma vari vel e e Identificar dificuldades na resolu o de uma equa o i ii e iii literal em ordem a uma vari vel 80 e Verificar se
184. o A aula come ou dentro da normalidade com alguns atrasos por parte de alguns alunos Ap s escreverem o sum rio comecei por lhes perguntar se ainda se lembravam o que era um bin mio e houve alguns alunos que se predispuseram a dizer alguns exemplos de bin mios Depois desta breve revis o do conceito apresentei lhes a tarefa do manual que iria ser trabalhada ao longo da aula Tarefa 4 70 informando os sobre os tempos de trabalho aut nomo e sobre a metodologia de trabalho que seria diferente da que estes estavam habituados Eles iam trabalhar em grupos de quatro conforme a planta da turma naquela sala Os alunos come aram imediatamente a resolver a primeira parte da tarefa que consistia numa pequena investiga o sobre a diferen a de quadrados perfeitos consecutivos As duas primeiras al neas foram resolvidas rapidamente uma vez que apenas pediam alguns termos espec ficos Contudo a resolu o da terceira al nea j foi mais demorada uma vez que alguns grupos n o tinham optado pela melhor estrat gia nas al neas anteriores para agora descobrir o termo geral e outros grupos tinham constru do a sequ ncia at aos termos pedidos sem compreenderem a sua constru o Devido a esta dificuldade dei mais tempo para resolverem a primeira parte antes de passarmos discuss o em turma o que permitiu aos alunos que tinham escolhido a estrat gia correta avan ar para a resolu o da parte 2 da tarefa Quando a maioria da turma j
185. o II Procuro tamb m fazer uma an lise mais geral do desempenho da turma na tentativa de complementar as respostas s quest es de investiga o Alguns di logos apresentados s o fruto de transcri o das entrevistas realizadas e de alguns di logos em sala de aula que foram registados no momento pela minha colega de est gio Processos usados na resolu o de equa es literais Um dos principais objetivos deste estudo compreender at que ponto os alunos mobilizam conceitos e propriedades matem ticas das equa es do 1 grau na resolu o de equa es literais e para isso passo a analisar algumas tarefas tendo por base de an lise os princ pios de equival ncia de equa es 87 1 Princ pio de Equival ncia Na resolu o de equa es aplicar este princ pio baseia se na substitui o dos membros de uma equa o por uma express o equivalente a esse membro estando aqui inseridas as transforma es de desembara ar a equa o de par nteses e reduzir os termos semelhantes O Alfredo na resolu o de equa es literais aplica corretamente a propriedade distributiva da multiplica o em rela o adi o quando se depara com um sinal menos antes de uma fra o Figura 12 Contudo nas suas resolu es de equa es a uma inc gnita este aluno comete esse erro frequentemente Figura 13 a 2x 5 _ _ x 6 1 3 3 5x 1 3 4 x em ordem a x 3 d o Nat 13 al ee Fi
186. o n mero de tijolos deitados conhecendo o comprimento do muro e o n mero de tijolos colocados em p Verifica em cada al nea se as express es apresentadas s o ou n o equivalentes Nos casos em que isso n o se verifica corrige de modo a torn las equivalentes 3 1 x x 3 x x 3 2x 3 3 2 y 3 2y 2 y 3 2y 2 y 5 2x 3 3 22 x ay 2 2x x 42 2 2 2 Simplifica a seguinte express o alg brica transformando a na forma de polin mio reduzido 4 1 3 x x 2 4x 3 198 ANEXO II Quest es do Teste de Avalia o 6 Teste de Avalia o de Matem tica AA W Prot E FANTANA Classifica o 16 de maio 2012 Assinatura do Encarregado de Educa o 1 Resolve as seguintes equa es a 46 x b lx 4603 _ o 2x 3 1 2445 3 3 6 2 C 4 A turma da Ana pretende vender t shirts com o s mbolo da escola a 12 cada com o objetivo de angariar fundos para uma viagem de finalistas A produ o das t shirts tem um custo associado 120 fixos acrescidos de 2 por t shirt a Se venderem apenas 10 t shirts ter o lucro ou preju zo Apresenta os c lculos que efetuares b Determina o n mero de t shirts que a turma tem que vender para n o ter preju zo Explica o teu racioc nio c Escreve uma express o alg brica que relacione o custo de produ o C com o n mero de t shirts vendidas n d Escreve
187. observar na figura 16 I x 4x 3 b 2x 3 1 2444 6 2 4 2 5 a i aat sta CLT E 1 x L Figura 16 Resolu o do Guilherme quest o 1 do Teste A Sara aplica corretamente o 1 princ pio de equival ncia tanto na resolu o de equa es literais como de equa es de 1 grau a uma inc gnita Ao longo da sua resolu o vai apresentado todos os passos em que substitui um membro da equa o por uma express o equivalente Figuras 17 e 18 89 E ha 13 y x em ordem a x Sep k urA Of A pa 2 x6 oy 2 lt 2 2 G2 of A A ZI 2 3 290 4x 12 2 lt gt lt 35 6 Aya C 21 We lt Figura 177 Resolu o da Sara quest o 6 5 da Tarefa 2 Figura 18 Resolu o da Sara quest o 1 do Teste A maior dificuldade evidenciada no geral pela turma tanto na resolu o de equa es literais como na de equa es a uma inc gnita reside em desembara arem se do sinal menos quando este surge antes de uma fra o Cerca de 75 da turma n o realiza esta transforma o corretamente tal como ilustra a figura 19 2x 5 __ X26 gt dede dutos 3 xu 403 2 SX 20 ANO ze AD 42 AD O 26 498X720 2 3 718 lt 2 8x 3 718 36120 6 o gt Ux 2 34 lt 254 2 E Figura 19 Resolu es de um aluno s quest es Tarefa 1 e 6 5 da Tarefa 2 No que diz respeito ao desembara ar de par n
188. ode intervir em quest es do quotidiano Na quest o 5 pretende se que os alunos identifiquem o erro e sejam cr ticos no que diz respeito resolu o apresentada Mais do que resolver mecanicamente procura se que os alunos compreendam a manipula o alg brica e as transforma es associadas resolu o de equa es Por ltimo a quest o 6 de car cter mais rotineiro Contempla exerc cios t picos em que se pede para resolver uma equa o em ordem a uma das vari veis sem qualquer contexto real Esta tarefa foi projetada para ser resolvida em duas aulas uma de noventa minutos e outra de quarenta e cinco minutos O modo de trabalho pensado foi o de trabalho em pares Tarefa 3 Express es Alg bricas e Opera es com Polin mios Esta tarefa surge com o intuito de permitir aos alunos aprender a simplificar express es alg bricas e a efetuar opera es com polin mios adi o alg brica e multiplica o Anexo II Permite ainda um primeiro contato com a factoriza o de polin mios ou seja p r em evid ncia os fatores comuns Nesta tarefa importante tamb m os alunos utilizarem os conhecimentos pr vios adquiridos relativos determina o do termo geral de uma sequ ncia A quest o 1 pretende que os alunos trabalhem com a manipula o e simplifica o de express es alg bricas tal como atribuam significados aos s mbolos utilizados quest es 1 1 e 1 2 ou seja permite desenvolver o sentido do
189. ola sede EB 2 3 Vasco Santana Figura 3 Estabelecimentos do Agrupamento de Escolas Vasco Santana Projeto Educativo 2010 p 8 A escola cooperante composta por um edif cio com tr s blocos interligados um pavilh o gimnodesportivo e um campo desportivo A escola tem uma apar ncia bastante acolhedora e integra salas de inform tica um Centro de Recursos zonas ajardinadas e de recreio Segundo o Projeto Educativo de Escola 2010 no passado ano letivo frequentavam a escola 37 turmas sendo 24 do 2 ciclo e 13 do 3 ciclo que englobava cerca de 936 alunos em que apenas 321 s o alunos do 3 ciclo de escolaridade Uma vez que a escola foi edificada para uma popula o de 750 alunos esta encontra se superlotada o que obriga transfer ncia de alunos de 7 ano para a Escola Secund ria da Ramada permitindo assim o acolhimento de todos os alunos do 5 ano Os alunos prov m maioritariamente da classe m dia existindo algumas situa es de casos sociais graves e at problem ticos Existem cerca de 74 alunos com necessidades educativas especiais a frequentar esta escola que tem como principal objetivo desenvolver pr ticas pedag gicas de inclus o educativa e social tal como promover a igualdade de oportunidades e a prepara o de uma transi o da escola para o emprego de crian as e jovens com necessidades educativas especiais de car ter permanente No passado ano letivo 2009 2010 o corpo docente era com
190. omo valores da vari vel na igualdade transformam esta igualdade num rica verdadeira a igualdade adjacente a esta quest o passa a ser considerada como uma equa o Deste modo uma equa o toda a igualdade cujos membros cont m uma ou mais vari veis denominadas por inc gnitas e que representam quantidades desconhecidas Ao lado esquerdo da igualdade chamamos primeiro membro e ao lado direito segundo membro 48 Quando a equa o tem apenas uma inc gnita chama se raiz ou solu o da equa o a todo o n mero que ao ser atribu do inc gnita transforme a equa o numa igualdade num rica verdadeira Consoante o n mero de solu es de uma equa o podemos classific la ou seja se uma equa o tiver uma ou mais solu es diz se poss vel ou resol vel e caso n o tenha nenhuma solu o diz se imposs vel ou insol vel Duas equa es dizem se equivalentes quando toda a raiz da primeira raiz da segunda e reciprocamente toda a raiz da segunda raiz da primeira ou quando ambas s o imposs veis Resolver uma equa o poss vel trata se de encontrar a sua solu o ou as suas solu es o que leva a considerar equa es equivalentes durante o processo de resolu o Assim sendo a passagem de uma equa o a outra que lhe seja equivalente denominada por transforma o de equival ncia pode ser de diferentes tipos que se baseiam nos seguintes princ pios 1 1 Princ pio de Equival ncia Ao substi
191. opera es com mon mios e polin mios e da simplifica o de express es alg bricas deve ser progressiva e recorrer a situa es que permitam aos alunos compreender a manipula o simb lica envolvida por exemplo efetuando c lculos a partir de express es alg bricas substituindo as letras por valores num ricos conveniente usar express es alg bricas para representar problemas usando letras para designar inc gnitas ou vari veis e introduzir express es com vari veis ligadas a um contexto pela sua complexidade justifica que os alunos explorem situa es variadas em que surjam letras e discutam os seus significados DGIDC 2007 p 57 Para compreender o pensamento alg brico dos alunos e o sentido que estes d o ao s mbolo e vari vel importante ter tamb m em considera o as capacidades transversais dando especial destaque comunica o matem tica no que se refere a traduzir rela es de linguagem natural para linguagem matem tica e vice versa e exprimir resultados processos e ideias matem ticas oralmente e por escrito utilizando a nota o simbologia e vocabul rio pr prios DGIDC 2007 p 64 Assim sendo na planifica o das aulas inseridas neste estudo tive em conta n o s os conte dos associados a estes subt picos mas tamb m os conte dos program ticos com que os alunos j tiveram contacto at ao momento com especial nfase nos restantes subt
192. orologia Apesar de haver a possibilidade de estarem erradas o aluno n o questionou os seus resultados Figura 59 112 4 Nos Estados Unidos da Am rica a escala de temperatura habituafm nte usada a escala Fahrenheit Observa a informa o meteorol gica publicada na Internet no dia 15 04 2012 para a cidade de New York New York New York 06 20 au toca Sunrise 06 14 am o amp Sunset07 34 pm LED 61 4 1 O Rodrigo est a planear fazer uma viagem a New York Mestindex wa k w Humidty 62 Sony f e esta semana c tem que fazer a mala mas n o sabe se a yindCALM omph kh vz ap 28 deve levar roupa para o frio ou para o calor O que Five day forecast pie achas Porqu Today Mon Tue Wed Thu for Cs SE 32 OB ABE pages x 32c29 Cz 77 F 88 F 78 F 66 F 63 F y fs 45 FZ 2629 38 Sa 32 CLG aS ezf eF sF ser 49 F 0 SK WS samp 42 3 20 OPS E43 Iate USR EA dove Sipam hepa quanta cx 0 8 98 B2Me2 2Y 3MDe 2 9 A main Ergenin E WISE 2 A anima 5 Descobre o erro em cada uma das resolu es e corrige o Figura 59 Resolu o de um aluno quest o 4 da Tarefa 2 Express es alg bricas Estar familiarizado com os s mbolos e o seu significado Em rela o s express es alg bricas o Alfredo tem dificuldades em explicar o significado dos s mbolos no contexto apesar de saber trabalhar com eles Na entrevista ao resolver a quest o 2 b o aluno n o consegue explicar o s
193. os tempos dispon veis e 4 Momento Resolu o da Tarefa 25 min 13h55 14h20 e Os alunos devem resolver a quest o 1 e Os alunos trabalham em pares e O professor circula pela sala e O professor regista intera es entre alunos quest es que lhe s o colocadas e algumas produ es de alunos que considere interessantes para a discuss o e O professor deve responder s d vidas dos alunos questionando os colegas do grupo e colocando quest es ao pr prio aluno para que este consiga chegar sozinho ao esclarecimento da sua d vida e 5 Momento Corre o e Discuss o da Tarefa 15 min 14h20 14h35 e O professor interv m para e Incentivar os alunos a participar na discuss o de forma a 180 complementarem o trabalho dos colegas e apresentarem resolu es alternativas e Promover Dinamizar a discuss o solicitando justifica es fundamentadas e Melhorar a clareza e o rigor no discurso e O professor deve ter em aten o se e S o apresentadas todas as resolu es distintas que existam e Ficam esclarecidas as d vidas dos alunos e Os alunos dirigem se ao quadro sempre que e Surjam dificuldades por parte de v rios alunos e Exista uma resolu o que deva ser registada por todos e 6 Momento S ntese da Diferen a de Quadrados 10 min 14h35 14h45 e Com a discuss o gerada o professor deve promover a consciencializa o por parte dos alunos de que se pode desenvolver rapidament
194. osto por diversos cap tulos desenvolvidos tendo em conta os objetivos e a unidade did tica em que se enquadra No segundo cap tulo intitulado Ensino e Aprendizagem da lgebra encontra se o enquadramento curricular e did tico onde fa o uma breve revis o da literatura relacionada com o ensino da lgebra com especial foque no pensamento alg brico e no sentido do s mbolo e de vari vel No cap tulo seguinte A Unidade de Ensino irei apresentar a unidade de ensino subjacente a este estudo onde procuro descrever as caracter sticas essenciais dos alunos da turma explicitar alguns conceitos matem ticos envolvidos Nesta sec o procuro tamb m explicitar e justificar as estrat gias de ensino utilizadas tal como apresentar as tarefas e planifica es da sequ ncia de aulas a lecionar Ainda neste cap tulo descrevo sucintamente as aulas realizadas O quarto cap tulo que se intitula M todos e procedimentos de recolha de dados procura apresentar e justificar a escolha de determinados instrumentos de recolha de dados em detrimento de outros A Apresenta o e An lise de Dados surge como quinto cap tulo onde procuro analisar os dados recolhidos tendo em conta a problem tica definida Para finalizar no sexto cap tulo Reflex o sobre o trabalho realizado procuro responder s quest es de investiga o tal como refletir sobre a minha pr tica letiva e as aprendizagens adquiridas com a realiza o de
195. participar na discuss o de forma a complementarem o trabalho dos colegas e apresentarem resolu es alternativas e Promover Dinamizar a discuss o solicitando justifica es 172 fundamentadas e Melhorar a clareza e o rigor no discurso e O professor deve ter em aten o se e S o apresentadas todas as resolu es distintas que existam e Ficam esclarecidas as d vidas dos alunos e Os alunos dirigem se ao quadro sempre que e Surjam dificuldades por parte de v rios alunos e Exista uma resolu o que deva ser registada por todos 5 Momento Resolu o da Tarefa Parte II 20 min 09h05 09h25 e Os alunos devem resolver a quest o 2 e Os alunos trabalham em grupo e O professor circula pela sala e O professor regista intera es entre alunos quest es que lhe s o colocadas e algumas produ es de alunos que considere interessantes para a discuss o e O professor deve responder s d vidas dos alunos questionando os colegas do grupo e colocando quest es ao pr prio aluno para que este consiga chegar sozinho ao esclarecimento da sua d vida 6 Momento Corre o e Discuss o da Tarefa Parte II 15 min 09h25 09h40 e O professor deve real ar a equival ncia das express es alg bricas obtidas e O professor interv m para e Incentivar os alunos a participar na discuss o de forma a complementarem o trabalho dos colegas e apresentarem resolu es alternativas e Promover Dinamiza
196. poio que sempre me deram ao longo dos anos possivelmente n o estaria aqui Se por um lado me deram liberdade para escolher o meu caminho simultaneamente mostraram me desde cedo que essa liberdade tinha de acarretar sentido de responsabilidade e de perseveran a obrigado por esse entre outros ensinamentos Em seguida as minhas palavras t m de ir para a Professora Leonor Santos minha orientadora pela forma como me acompanhou ao longo deste trabalho pela compet ncia sabedoria disponibilidade total e simpatia que sempre manifestou ao longo deste percurso Tenho a agradecer ainda as incont veis cr ticas construtivas sugest es e o rigor que me ajudaram a crescer e a levar este trabalho a bom porto N o posso deixar de agradecer minha coorientadora Professora Helena Sezinando pela sua cordialidade e palavras de apoio ao longo destes dois anos em que trabalh mos em conjunto Quero tamb m agradecer Professora H lia Oliveira por todo o apoio e por me ter disponibilizado alguns textos fundamentais para o desenvolvimento deste trabalho Tenho de deixar aqui tamb m os meus sinceros agradecimentos ao Nuno Candeias por mim ter recebido nas suas aulas pela amizade disponibilidade e pelos ensinamentos constantes que me permitiram realizar a minha investiga o sem restri es Uma palavra de reconhecimento a todos os membros da comunidade escolar da Escola B sica 2 e 3 ciclos Vasco Santana que me receberam da melhor forma
197. portante refletir sobre as aprendizagens obtidas com a realiza o deste estudo tanto para a minha futura carreira profissional como para a minha vida pessoal enquanto ser humano No meu entender os alunos aprenderam com a minha interven o mas sem qualquer d vida eu aprendi imenso com estes quinze dias Retirei muita informa o til para as minhas futuras aulas e relembrei me do porqu de ter escolhido esta profiss o a oportunidade de ver o sorriso de um jovem quando consegue perceber a magia por detr s da Matem tica Desde o momento que soube onde iria realizar a minha investiga o cresceu dentro de mim um nervoso miudinho fiquei curioso em rela o rea o dos alunos minha presen a na sala de aula em particular se iriam evitar me por j terem criado uma rela o com o professor da turma Contudo eles aceitaram me com normalidade tendo se mostrado dispon veis e recetivos minha ajuda colocando me d vidas Como balan o final posso dizer que foi muito gratificante trabalhar com estes alunos pois s o muito empenhados curiosos exigentes e dispon veis para atender aos meus pedidos 139 As aulas lecionadas por mim n o foram perfeitas como seria ali s de esperar Deste modo tornaram se uma oportunidade nica para aprender Pude experimentar m ltiplas estrat gias refletindo quais delas funcionaram e em que momentos as poderia inserir numa aula Para conseguir tirar o m ximo partido desta experi ncia
198. posto por 164 docentes em que 57 pertenciam ao quadro de Escola Agrupamento e 93 tinham como habilita es liter rias a licenciatura e 4 o mestrado Carateriza o da turma 38 A turma participante constitu da por 28 alunos dos quais treze s o raparigas e quinze s o rapazes A idade dos alunos recolhida no in cio do ano letivo varia entre os treze e os catorze anos sendo que 23 alunos t m treze anos e somente cinco alunos t m catorze anos A turma foi formada no 7 ano de escolaridade por alunos provenientes de diferentes turmas do 6 ano contendo quatro alunos que repetiram o 7 ano No 8 ano a turma mant m se praticamente inalterada com a exce o de dois alunos que reprovaram de um aluno que foi transferido este ano para a turma e uma aluna que surgiu no decorrer do segundo per odo proveniente de outra escola No presente ano letivo n o existem repetentes e existe ainda um aluno que est integrado num Programa Educativo Individual pelo que a avalia o adequada s caracter sticas do aluno De um modo geral a turma bastante heterog nea em rela o ao aproveitamento mas em rela o ao comportamento n o existe nenhum caso de mau comportamento a assinalar S o alunos bem comportados bastante participativos e interessados no percurso escolar tornando se at um pouco competitivos Em rela o aos Encarregados de Educa o estes possuem habilita es liter rias muito diversificada
199. prendizagem Matem tica em N meros e lgebra Lisboa Lisboa Universidade de Lisboa 146 Sfard A amp Linchevski L 1994 The gains and piftalls of reification The case of lgebra Educational Studies in Mathematics 26 191 228 Silva J S amp Paulo J D S 1968 Comp ndio de lgebra 1 Tomo Braga Livraria Cruz Silva J S amp Paulo J D S 1968 Comp ndio de lgebra 2 Tomo Braga Livraria Cruz Stacey K amp MacGregor M 1999 Learning the algebraic method of solving problems The Journal of Mathematical Behavior 18 2 149 167 Schoenfeld A H amp Arcavi A 1988 On the meaning of variable Mathematics Teacher 81 6 420 427 Teixeira C 2011 Resolu o de problemas em Contexto Geom trico O Estudo de Tri ngulos no 7 Ano Relat rio de pr tica de ensino supervisionada Universidade de Lisboa Usiskin Z 1988 Conceptions of school algebra and uses of variables In A F Coxford amp A P Schulte Eds The ideas of algebras K 12 pp 8 19 Reston VA NCTM 147 Anexos 149 150 ANEXO I Planifica o da 1 aula RAMADA Tema lgebra Unidade Tem tica Sequ ncias e Regularidades Equa es Subtema Equa es Literais Sum rio Ano Turma 8 D Li o n 126 127 Data 19 Abril 2012 ficha de trabalho Hora 08h20min 09h50min Equa es Literais resolu o de uma OBJECTIVOS ESPEC FICOS e R
200. quisa de solu es ou de seus valores aproximados de uma condi o dada quando forem quase imediatas ou n o se conhe a um m todo de resolu o um dos processos cuja utiliza o tem consequ ncias importantes para l do pr prio tema Estuda se a resolu o met dica de equa es dos 1 e 2 graus de inequa es do 1 grau de sistemas de duas equa es do 1 grau a duas inc gnitas sempre que poss vel no contexto de um problema DGEBS 1991 p 184 Quando analisamos os Princ pios e as Normas para a Matem tica Escolar de 2007 a lgebra ganha tal import ncia no curr culo escolar ao ponto de se afirmar que todos os alunos deveriam aprender lgebra p 39 uma vez que os m todos e as ideias alg bricas fundamentam o trabalho matem tico em muitas reas e a compet ncia alg brica revela se importante na vida adulta quer no trabalho como prepara o para o ensino superior At aqui a lgebra n o era referida antes do 3 ciclo ou do ensino secund rio mas no NCTM 2007 surge a ideia de que a aprendizagem deste ramo da matem tica deve come ar logo nos primeiros anos de escolaridade permitindo assim um programa de lgebra mais ambicioso para o 3 ciclo e o secund rio Com esta inova o a no o intr nseca de lgebra Escolar tem obrigatoriamente de mudar na cabe a dos alunos e acima de tudo na dos professores Muitos adultos identificam a lgebra aprendida na escola como uma manipula
201. r prio ensino da lgebra Nabais 2010 Nabais 2010 conclui que as diversas investiga es realizadas ao longo dos anos n o s o estanques com respostas acabadas antes pelo contr rio v o sendo progressivamente retomadas analisadas e enriquecidas ao mesmo tempo que surgem novas problem ticas Refere ainda que a forma como os alunos aprendem lgebra altera se ao mesmo tempo que evolui a forma de a ensinar A Algebra n o pode ser vista simplesmente como uma manipula o simb lica pois caso isso aconte a esta ter pouca relev ncia no quotidiano levando ao desinteresse dos alunos na aprendizagem deste tema matem tico Torna se assim fundamental tornar relevante para os alunos tal como clarificar os professores quanto ao que verdadeiro significado da lgebra Esta necessidade vem justificar a promo o do pensamento alg brico no atual Programa de Matem tica do Ensino B sico A lgebra e o Pensamento Alg brico Na educa o matem tica n o existe grande consenso sobre o que significa pensar algebricamente De acordo com Kaput 1999 o pensamento alg brico mais do que manipular express es e resolver equa es envolve as capacidades de 16 estabelecer generaliza es e rela es interpretar situa es e resolver problemas A introdu o lgebra deve ser feita atrav s de generaliza es com base nas experi ncias dos alunos e jamais pela aprendizagem descontextualizada de regras de manipula o sim
202. r tica reflexiva tem que ser rotineira e atualizada constantemente perante reflex es anteriores Ao longo deste cap tulo s o apresentadas as op es metodol gicas tomadas no presente estudo tal como os instrumentos utilizados para recolha de dados e a sua an lise Op es metodol gicas A natureza de um estudo e as caracter sticas inerentes sua realiza o est o condicionadas imediatamente pelas op es metodol gicas adotadas e perante esta investiga o torna se necess rio adotar uma metodologia de tipo qualitativo e descritivo Toda a investiga o baseia se em orienta es te ricas evidenciando um certo modo de entendimento do mundo e permitindo nos identificar os aspetos que para n s se revelam importantes Assim a adequa o da metodologia utilizada neste estudo comprova se com a presen a das caracter sticas essenciais para as investiga es de natureza qualitativa que segundo Bogdan amp Biklen 2003 s o as seguintes 1 os dados s o recolhidos no ambiente natural e o investigador o principal instrumento na sua recolha ii os dados recolhidos s o essencialmente de natureza descritiva iii o investigador est mais interessado no processo do que nos resultados ou nos produtos iv os dados s o analisados de forma indutiva e v dada especial import ncia compreens o dos significados constru dos pelos participantes Segundo Teixeira 2011 um estudo qualitativo comporta caracter stic
203. r a discuss o solicitando justifica es fundamentadas e Melhorar a clareza e o rigor no discurso e O professor deve ter em aten o se e S o apresentadas todas as resolu es distintas que existam e Ficam esclarecidas as d vidas dos alunos e Os alunos dirigem se ao quadro sempre que e Surjam dificuldades por parte de v rios alunos e Exista uma resolu o que deva ser registada por todos 173 e 7 Momento S ntese do Quadrado do Bin mio 9 min 09h40 09h49 e Com a discuss o gerada o professor deve promover a consciencializa o por parte dos alunos de que se pode desenvolver rapidamente a express o que traduz o quadrado do bin mio e O professor deve proporcionar o estudo do quadrado de uma diferen a recorrendo manipula o alg brica de que a b a b e O professor dever registar as duas f rmulas no quadro para que os alunos as passem e Caso ainda haja tempo o professor dever apresentar alguns bin mios para que os alunos ponham em pr tica as f rmulas obtidas e 8 Momento Encerramento 1 min 09h49 09h50 e O professor d por terminada a aula e os alunos saem RECURSOS e Papel e material de escrita e Calculadora FORMAS E MOMENTOS DE AVALIA O FORMATIVA e A avalia o dos alunos ser baseada nos seguintes aspetos e Interesse demonstrado durante a aula e Colabora o com o professor e com os colegas na resolu o discuss o da tarefa
204. ralizada esta perspetiva encara as vari veis como generalizadoras de modelos Nesta conce o os alunos apesar de n o possu rem ainda o sentido de inc gnita espera se que utilizem as vari veis como instrumentos para traduzir e expressar a ideia de generalidade constru da na Aritm tica lgebra como estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas espera se que o aluno ao se dar relev ncia aos procedimentos que possibilitam a resolu o de certos tipos de problemas consiga traduzir simbolicamente o enunciado do problema e resolver e simplificar a express o obtida Segundo Usiskin 1988 os alunos t m bastante dificuldade na passagem da aritm tica para a lgebra uma vez que a tradu o de um prolema para linguagem simb lica implica diversas vezes um racioc nio inverso ao que utilizado para resolver um problema de natureza aritm tica iii lgebra como estudo de rela es entre quantidades esta conce o surge em oposi o s duas anteriores pois a vari vel passa a ser entendida como um argumento ou como um par metro E nesta perspetiva que surgem no es como vari vel independente vari vel dependente e fun o iv lgebra como estudo de estruturas de acordo com esta perspetiva a vari vel n o passa de um s mbolo arbitr rio de uma estrutura estabelecida por certas propriedades grupos an is corpos por exemplo s o encaradas como sinais no papel sem nenhuma
205. riedades das opera es aritm ticas surge como uma ferramenta importante para o desenvolvimento do pensamento alg brico De acordo com o Programa de Matem tica DGIDC 2007 quando os alunos chegam ao 3 ciclo o estudo das rela es nomeadamente da proporcionalidade direta e inversa s o aprofundadas e inicia se o estudo das equa es dos 1 e 2 graus e sistemas de equa es do 1 grau tal como das inequa es 44 No caso da turma contemplada para este estudo esta apenas foi abrangida pelo atual programa no 7 ano Os alunos contataram com equa es do 1 grau a uma inc gnita pela primeira vez no final do 7 ano e nos dois per odos iniciais do 8 ano voltaram a trabalh las e com sistemas de equa es do 1 grau Ainda no 8 ano posterior minha interven o trabalharam equa es do 2 grau incompletas com uma inc gnita No decorrer das aulas selecionadas para este estudo surgir a oportunidade de aprofundar os conhecimentos sobre express es alg bricas e de contatar com equa es literais e com opera es com polin mios dando aten o aos casos not veis da multiplica o de bin mios O Programa de Matem tica do Ensino B sico DGIDC 2007 refere que no mbito do subt pico Equa es Literais o aluno deve resolver equa es literais em ordem a uma das letras uma vez que se resume a resolver equa es do 1 grau utilizando as regras de resolu o conte do trabalh
206. rna pouco acess vel aos alunos a sua compreens o da letra e da forma como esta varia em diferentes contextos A maior parte das dificuldades sentidas ao n vel da lgebra resultam da n o compreens o do sentido de vari vel Os alunos desta turma revelam ter algum sentido de vari vel uma vez que compreendem a no o de vari vel sabem que esta a representa o de um n mero e n o atribuem um valor fixo vari vel Contudo existiram alguns momentos de hesita o na entrevista por parte do Guilherme e da Sara em que estes pensaram por instantes que uma das vari veis da quest o representava um determinado valor fixo s porque numa al nea anterior lhes era dado esse valor para aquela vari vel 137 Apesar de evidenciarem ainda alguma dificuldade em trabalhar com equa es literais estes alunos conseguem lidar com as vari veis de forma diferenciada tendo em conta o seu papel e diferentes usos relativos interpreta o da letra na equa o Numa equa o literal a vari vel n o representa uma simples inc gnita tal como nas equa es lineares H uma grande diferen a na obten o de solu o Em vez de se obter como solu o um valor num rico espec fico obtemos uma express o alg brica que n o faz parte em si mesma do conjunto solu o da equa o embora possa gerar pares ordenados que fazem parte desse conjunto Ponte et al 2009 p 105 Esta mudan a de papel foi bem interiorizada pelos alunos de
207. rse Error perante a equa o 3x 3 2 12 3 os alunos utilizam a opera o inversa da adi o em vez da opera o inversa da multiplica o obtendo assim x 2 9 v Transposi o os alunos generalizam uma regra que funciona numa determinada situa o 5ex 10 na equa o Z 3 56 x 3 10 vi Omiss o os alunos n o efetuam as mesmas opera es nos dois membros da equa o Exemplo 5x x 2 3x 12 amp 6x 2 2 3x 12 vii Divis o considerando a equa o 3x 10 os alunos calculam mal o quociente obtendo x 3 1 32 viii Aus ncia de estrutura os alunos utilizam regras criadas pelo pr prio aluno Exemplo 5x x 2 3x 12 3 2 3x 8 Mais especificamente nas equa es literais Panizza Sadvsky e Sessa 1999 in Campos 2010 referem que os alunos t m a ideia que a equa o deve ter uma nica solu o e n o reconhecem a equa o linear com duas vari veis como um objeto que define um conjunto infinito de pares de n meros Muitas vezes os alunos aplicam as regras de resolu o de equa es que julgam ter compreendido e quando surgem racioc nios errados como os catalogados por Hall 2002 e Kieran 1992 os alunos mostram que n o compreenderam os procedimentos apenas os decoraram Deste modo cabe ao professor identificar situa es onde os alunos evidenciem aus ncia de compreens o do significado matem tico da equa o e procurar estrat gias de en
208. s desde o 1 ciclo ao doutoramento Figura 4 variando estas com as diferentes profiss es que exercem tais como professores diretores de servi os empregado de limpeza e cozinheiros Forma o dos E E aa 4 4 m Desconhecida m1 ciclo m 2 ciclo m 3 ciclo m Secund rio m Licenciatura E Mestrado E Doutoramento Figura 4 Forma o Acad mica dos Encarregados de Educa o 39 Em rela o ao aproveitamento escolar os resultados obtidos no final do primeiro per odo est o representados na Figura 5 que se segue sendo not rio o facto de a turma ter bons resultados Classifica es no 1 Per odo E N vel 2 E N vel3 E N vel 4 E N vel5 c Figura 5 Classifica es dos alunos no 1 Per odo Em rela o disciplina de Matem tica o professor cooperante acompanha os como professor de Matem tica desde o 7 ano de escolaridade Os alunos mostram bastante interesse pela disciplina tentam terminar as tarefas o mais r pido poss vel e n o deixam a discuss o em turma avan ar enquanto n o forem esclarecidas as suas d vidas A turma est habituada a trabalhar em pares e raramente trabalha em grupos com mais de tr s elementos O bom desempenho na disciplina de Matem tica vis vel sendo esta uma das disciplinas em que os alunos obtiveram melhores resultados tendo tido uma m dia de 3 67 numa escala de 1 a 5 e uma taxa de insucesso muito peq
209. s mbolo dos alunos ao longo do 8 ano de escolaridade para tentar tra ar um perfil de evolu o procurando perceber que atividades matem ticas contribuem para um maior desenvolvimento do sentido de s mbolo Enquanto futuro professor acredito que toda esta experi ncia foi bastante enriquecedora e que ser relembrada todos os dias da minha vida para que eu me possa tornar um profissional melhor e acima de tudo um ser humano melhor pois no fim de contas ser professor acalentar sonhos realizar desejos mostrar caminhos partilhar alegrias conviver com as tristezas transformar planos em realidade 141 142 Refer ncias Abrantes P 1985 Planifica o no ensino da Matem tica Texto de apoio disciplina de Did tica da Matem tica II no ano letivo de 2010 2011 Arcavi A 1994 Symbol sense Informal sense making in formal mathematics For the Learning of Mathematics 14 3 24 35 Arcavi A 2006 El desarrolo y el uso del sentido de los s mbolos In I Vale T Pimental A Barbosa L Fonseca L Santos e P Canavarro Orgs N meros e lgebra na aprendizagem da Matem tica e na forma o de professores pp 29 48 Lisboa Sec o de Educa o Matem tica da Sociedade Portuguesa de Ci ncias da Educa o Baumgart J 1994 T picos de hist ria da matem tica para uso em sala de aula Algebra S Paulo Atual editora Biklen S amp Bogdan R 2003 Investiga o Qualitativa em Educa o U
210. s do programa atual O atual Programa de Matem tica do Ensino B sico DGIDC 2007 promove a lgebra a tema program tico e o pensamento alg brico surge como um dos eixos fundamentais do ensino aprendizagem a par do pensamento geom trico do trabalho com dados e do trabalho com n meros e opera es Este ramo da Matem tica introduzido nos 2 e 3 ciclos apesar de no 1 ciclo j se contemplar uma inicia o ao pensamento alg brico O pensamento alg brico toma um papel central no ensino da lgebra e torna se numa nova preocupa o a ter em conta pelos educadores A sua import ncia tal que este surge associado ao prop sito principal de ensino da lgebra em cada ciclo como o caso do 3 ciclo em que este passa por Desenvolver nos alunos a linguagem e o pensamento alg bricos bem como a capacidade de interpretar representar e resolver problemas usando procedimentos alg bricos e de utilizar estes conhecimentos e capacidades na explora o e modela o de situa es em contextos diversos DGIDC 2007 p 55 Desde cedo se pede que os alunos desenvolvam o seu pensamento alg brico come ando pela investiga o de sequ ncias e padr es geom tricos J no 2 ciclo este trabalho expandido e pede se que os alunos explorem padr es determinem termos de uma sequ ncia a partir da sua lei de forma o e uma lei de forma o atrav s do estudo da rela o entre os termos A pr pria generaliza o das prop
211. s selecionados Alfredo um rapaz de 13 anos pouco interventivo mas bastante atento colega de mesa da Sara apresentada em seguida e n o tem qualquer problema em pedir ajuda colega um aluno que gosta de participar quando tem a certeza que n o vai falhar gosta de o mostrar ao professor e aos colegas O Alfredo tem algumas dificuldades a Matem tica parece esfor ar se bastante mas n o conseguido atingir n veis positivos tendo tido n vel 2 ao longo do ano Guilherme um rapaz de 13 anos muito interessado e participativo nas aulas de Matem tica Nota se que tem algumas dificuldades mas ligeiras devido a uma falta de bases do ano anterior Tem um gosto particular pela competi o e pela discuss o de resultados O Guilherme n o tem vergonha de questionar o professor ou a turma sobre qualquer assunto que lhe suscite d vidas Ali s n o deixa a aula avan ar sem que compreenda os assuntos que est o a ser tratados questionando constantemente at perceber tornando se muito efusivo com as suas vit rias particulares No primeiro per odo o Guilherme obteve n vel 5 disciplina por m no segundo per odo desceu para n vel 4 Sara uma aluna de 13 anos bastante atenta e participativa sendo uma das alunas que mais participa e vai ao quadro por vontade pr pria A Sara bem comportada e gosta de ajudar o colega de mesa Alfredo trabalhando bastante bem com ele motivando o constantemente uma alun
212. safios Semanais METODOLOGIA DE TRABALHO e Trabalho a pares e Discuss o e s ntese em turma e Oaluno ter um papel de comunicador explicitando e justificando as estrat gias utilizadas e O professor ter um papel orientador garantindo a exist ncia de 163 e Interven es ordeiras e Rigor de linguagem e S ntese dos principais conte dos DESENVOLVIMENTO DA AULA e 1 Momento Entrada 5 min 13h35 13h40 e Os alunos entram na sala de aula e O professor escreve o sum rio e O professor entregue as fichas de trabalho da semana anterior e 2 Momento Corre o e Discuss o da Tarefa 3 10 min 13h40 13h50 e Corre o das quest es 3 3 e 3 4 e O professor interv m para e Incentivar os alunos a participar na discuss o de forma a complementarem o trabalho dos colegas e apresentarem resolu es alternativas e Promover Dinamizar a discuss o solicitando justifica es fundamentadas e Melhorar a clareza e o rigor no discurso e O professor deve registar as resolu es das al neas em falta dando especial aten o propriedade distributiva da multiplica o em rela o adi o e 3 Momento Desafio Semanal Discuss o dos resultados 10 min 13h50 14h00 e O professor questiona os alunos sobre quem conseguiu resolver o desafio da semana passada e Os alunos com resolu es diferentes apresentam nas turma e 4 Momento Equa es literais 18
213. seja que tinham passado O anos A turma come a imediatamente a resolver as quest es sobre equa es literais sem analisar primeiro os s mbolos e a equa o em si e depois acabam por surgir algumas ideias erradas para a aplica o das f rmulas p F 32 E Aluno em Aula Isto os Fahrenheit a isto os Celsius mas fa o C est para 5 como F 32 est para 9 e onde ponho o 100 Manipular simbolicamente utilizando os processos adequados Alfredo tem ainda algumas dificuldades na aplica o dos princ pios de equival ncia e no ato de isolar uma vari vel A maior parte das vezes deve se ao facto dele apresentar somente o resultado final e realizar os passos interm dios de cabe a Figura 43 c Resolve a equa o apresentada em ordem a t Figura 43 Resolu o do a ee A A HYG a c T A U Alfredo quest o 1 c da mc Tarefa 6 DO 102 As duas primeiras al neas da entrevista pediam o c lculo do valor da vari vel t contudo este pedido vinha explicito de duas formas distintas t 0 ou ao fim de dois anos para analisar se esta diferen a vinha influenciar as respostas dos alunos O Alfredo d a entender que percebeu o que pedido e que aplicou corretamente o princ pio substituindo t por O No entanto quando passa para a al nea em que o t diferente de zero constatei que este faz a substitui o de forma incorreta pois substitui 300t por 2 em vez de substituir o t
214. sino que possam contribuir para uma aprendizagem significativa dos alunos S ntese A lgebra uma das mais antigas reas da matem tica Prov m da Antiguidade e nem sempre foi vista da mesma forma Come ou por ser reduzida ao estudo da resolu o de equa es com o pai da lgebra Diofanto de Alexandria e evoluiu at ao estudo das opera es arbitrariamente definidas sobre objetos abstratos A acompanhar esta evolu o houve segundo Kieran 1992 um desenvolvimento do simbolismo alg brico desde a total aus ncia de s mbolos at sua utiliza o para m ltiplas fun es para representar quantidades conhecidas e tamb m inc gnitas e ainda para formular regras para rela es num ricas O ensino aprendizagem da lgebra tamb m influenciado por este progresso estonteante da lgebra e do simbolismo alg brico e uma vez que a natureza de qualquer campo matem tico est relacionada com os objetos com que esse campo trabalha o que se ensina e como se ensina os conte dos alg bricos mudaram ao longo dos anos A lgebra Escolar tem estado associada constru o de express es simb licas e das suas regras de manipula o e transforma o tal como processos de 33 resolu o de equa es Contudo assistiu se nos ltimos anos a uma valoriza o progressiva da capacidade de interpretar e generalizar recorrendo aos s mbolos Na d cada de 80 surge uma nova conce o de Algebra onde se destaca o pensam
215. sor Porque que podes cortar os dois denominadores Sara Porque s o denominadores iguais e j n o precisamos de fazer contas com eles ra c Mo yp 2B 2 2x x42 Is VERBS 1 TAO Figura 66 Resolu o da Sara quest o 3 c da Tarefa 6 Em rela o turma esta na sua maioria conhece os s mbolos alg bricos e sabe como utiliz los No entanto existe uma grande dificuldade por parte de alguns alunos em dizer o que significa uma determinada express o alg brica mesmo quando a vari vel definida no enunciado Figuras 67 e 68 117 1 Os canteiros no quintal do Vasco t m uma forma aproximada das figuras seguintes O comprimento expresso em metros do canteiro das rosas x igual largura do canteiro das cebolas E Rosos Mfoces x 6 5 Cebolas J Nabos 2 1 1 Escreve a express o que representa a rea do canteiro das rosas ee as 2x 1 2 Explica o signifi da express o 3x Sy 6x pen n a com O one ro de FLS A SIME O TOMES de eens OMS WW eo a6 LLAS a Gee STAS dos cofre RD SO VILOD Figura 67 Resolu o de um aluno quest o 1 da Tarefa 3 1 2 Explica o significado da express o 3x Sy 6x O iaaa dos comprmets de coda ORA Figura 68 Resolu o de um aluno quest o 1 2 da Tarefa 3 Ainda nesta quest o apesar de se encontrar estas dificuldades a maioria da turma consegue exprimir se relativamente s reas dos canteiros no
216. ssa a ser vista de uma forma mais ampla o que permite uma valoriza o do pensamento alg brico ao ponto de o propagar s orienta es transversais do curr culo A aprendizagem da lgebra tem um papel muito importante na forma o dos alunos Tal como refere o NCTM 2008 p 1 A lgebra uma maneira de pensar e um conjunto de conceitos e habilidades que permitem aos estudantes generalizar criar um modelo e analisar situa es matem ticas A lgebra providencia uma maneira sistem tica de investigar rela es ajudando a descrever organizar e compreender o mundo Apesar de aprender a usar lgebra e fazer com que os estudantes sejam melhores a resolver problemas estes conceitos e habilidades importantes levam o seu tempo a ser desenvolvidas O seu desenvolvimento come a cedo e deveria ser um dos enfoques da instru o da matem tica desde o pr escolar at ao secund rio Conhecer a lgebra abre portas e expande oportunidades encorajando um largo leque de ideias matem ticas que s o teis em muitas profiss es e carreiras Todos os alunos deveriam ter acesso lgebra e aos meios para a estudar Olhando para a lgebra como uma forma espec fica de pensar e de ler o mundo e n o apenas como um instrumento t cnico formal que facilita a resolu o de certos problemas percebe se a import ncia crescente atribu da aquisi o de significados da lgebra Nabais 2010 p 48 pois na linguagem alg brica qu
217. sse valor por 300 que dava o valor do t que era 5 25 d Admite que o pre o atual do computador 525 Quanto tempo decorreu desde a sua compra 525 300 100 Figura 55 Resolu o da Sara quest o 1 d da Tarefa 6 A turma no geral tem por h bito validar constantemente equa es equivalentes e grande parte da turma recorre a equa es equivalentes inicial que j estejam escritas em ordem vari vel que lhes interessa e somente a fazem a substitui o necess ria para obter um resultado para a outra vari vel Figura 56 Aluno em Aula Ent o para isolar o C podemos usar esta 5F 160 9C s o todas iguais as equa es posso usar esta e n o come ar com a de cima 1 3 Utiliza a al nea anterior para determinar a temperatura m dia do corpo humano em graus Fahrenheit que em graus Celsius de 36 5 C Quais as vantagens em usar esta equa o em vez da a api dada in TSS 9 x305 ticos 5 460 t 12 BSS F 949 F Ss e Figura 56 Resolu o de um aluno quest o 1 3 da Tarefa 2 Compreender os diferentes pap is que os s mbolos podem desempenhar Para o Alfredo como a vari vel v quando t 0 representa o valor do computador antes da compra quando lhe solicitado o tempo decorrido para que o valor atual do computador seja de 525 ele confunde este com o valor inicial do computador e substitui num primeiro momento o 2100 por 525 Somente quando 111 question
218. sta turma que rapidamente perceberam a diversidade de valores que as vari veis podem tomar e tiveram em conta esse facto durante a resolu o de equa es literais Apesar de terem assimilado facilmente esta nova ideia de vari vel os alunos t m ainda algumas dificuldades no sentido de vari vel pois este ultrapassa a simples realiza o de opera es com letras e s mbolos implica tamb m a compreens o das raz es pelas quais funcionam e onde levam os procedimentos e a capacidade de estabelecer rela es entre os diversos aspetos assumidos pela vari vel O Guilherme por exemplo tem bastantes dificuldades em traduzir simbolicamente o enunciado da tarefa enquanto o Alfredo tem algumas dificuldades na realiza o de opera es com letras e s mbolos Os diferentes usos das vari veis est o diretamente associados s v rias conce es de lgebra No percurso de aprendizagem da lgebra os alunos come am por encarar a lgebra como Aritm tica generalizada durante a qual apesar de n o possu rem ainda o sentido de inc gnita utilizam as vari veis como instrumentos para traduzir e expressar a ideia de generalidade constru da na Aritm tica Usiskin 1988 Com a progress o no trabalho com a lgebra esta passa a ser vista como o estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas onde os alunos devem ser capazes de traduzir simbolicamente o enunciado do problema e resolver e simplificar a express o obtida Os alunos
219. ste estudo Cap tulo II Ensino e Aprendizagem da Algebra Para mim a Matem tica come ou se a complicar quando os n meros e o alfabeto come aram a namorar An nimo Diversos estudos t m se debru ado sobre o ensino e a aprendizagem da lgebra como o caso de Ponte et al 2009 e de Kieran 1992 evidenciando a import ncia atribu da atualmente a este campo da matem tica e ao desenvolvimento do pensamento alg brico um conceito que surge como novidade no Programa de Matem tica do Ensino B sico DGIDC 2007 Na tentativa de responder quest o O que a lgebra surgem as mais diversas respostas a lgebra uma disciplina escolar aritm tica generalizada uma linguagem uma ferramenta uma cultura uma forma de pensar ou uma atividade A dificuldade em clarificar este conceito transportada para o ensino e aprendizagem da lgebra Ao considerarmos a lgebra como um conjunto de regras de transforma o de express es e processos de resolu o de equa es de 1 e 2 grau e de sistemas de equa es Ponte et al 2009 p 7 8 os s mbolos constituem o seu objeto central A lgebra em Portugal e noutros pa ses tem sido considerada essencialmente como o ensino da manipula o de express es simb licas seja transformando as em express es equivalentes seja resolvendo equa es Por m segundo Kaput 1999 este campo da matem tica deve ser entendido de uma forma completamente difere
220. stes objetivos esta escolha prende se tamb m com o facto de que analisando as resolu es das tarefas por mim propostas torna se poss vel efetuar compara es entre elas e analisar a evolu o ocorrida nos alunos em especial no que respeita ao desenvolvimento do pensamento alg brico muito embora esteja consciente do curto per odo de tempo da minha interven o A recolha documental pode incluir as produ es dos alunos os seus cadernos di rios os trabalhos de casa e os registo efetuados no quadro durante as aulas lecionadas A an lise destes documentos permite ter a no o do trabalho que os alunos realizam e identificar estrat gias racioc nio e conhecimentos que mobilizam Neste estudo a recolha documental cingiu se recolha das resolu es escritas de todas as tarefas realizadas pelos alunos da turma tanto em sala de aula como em casa ao longo das aulas desta unidade tem tica As resolu es da tarefa aplicada na entrevista constituem outro momento de recolha de dados para este estudo Esta recolha acompanhou toda a minha interven o pois apenas com uma an lise mais aprofundada e cuidada que poss vel selecionar as tarefas recolhidas a inserir no meu estudo Houve no entanto alguns constrangimentos na resolu o das 83 tarefas feitas em aula uma vez que os alunos procuram apagar os seus racioc nios quando est o errados e corrigi los Perante esta possibilidade solicitei aos alunos que resolvessem as
221. t al 2009 p 11 Ler compreender escrever e operar com s mbolos usando as conven es alg bricas usuais Traduzir informa o representada simbolicamente para outras formas Representar de representa o por objetos verbal num rica tabelas gr ficos e vice versa Evidenciar sentido de s mbolo nomeadamente interpretando os diferentes sentidos no mesmo s mbolo em diferentes contextos Relacionar em particular analisar propriedades Generalizar e agir sobre essas generaliza es revelando compreens o Raciocinar das regras Deduzir Resolver Usar express es alg bricas equa es inequa es sistemas de problemas e equa es e de inequa es fun es e gr ficos na interpreta o e modelar resolu o de problemas matem ticos e de outros dom nios modela o situa es Perante isto o NCTM 2007 refere que tornar o pensamento alg brico acess vel a todos os alunos um desafio que se coloca educa o matem tica No 18 programa de matem tica para o ensino b sico DGIDC 2007 o pensamento alg brico assume uma posi o de destaque surgindo como uma compet ncia a desenvolver desde o primeiro ciclo Associado ao significado atribu do a este conceito surge o uso de simbologia e de vari vel Interpreta o de s mbolos e express es Atribuir sentido aos s mbolos um dos problemas fundamentais na aprendizagem da lgebra Contudo o simbolismo parte essen
222. ta Brasileira de Educa o 12 5 21 Acedido em 04 de Mar o de 2012 em http www unige ch fapse SSE teachers perrenoud php main php 1999 1999_34 html Heading3 Pesquita I 2007 Algebra e Pensamento Alg brico de Alunos do 8 Ano Tese de Mestrado Universidade de Lisboa Pesquita I amp Ponte J P 2006 Dificuldades dos alunos do 8 ano no trabalho em Algebra Atas de XV Encontro de Montegordo da SPCE Lisboa SPCE Ponte J P Branco N amp Matos A 2009 Algebra no Ensino B sico Lisboa DGIDC http sitio dgidc min edu pt matematica Documents npmeb Brochura_Algebra_ Set2009 pdf Ponte J P 2002 Investigar a nossa pr pria pr tica In GTI Ed Reflectir e investigar sobre a pr tica profissional p 5 28 Lisboa APM Projeto Educativo do Agrupamento de Escolas Vasco Santana Retirado em Mar o 12 2012 de http agvsantana crie fc ul pt Rojano T 1996 The role of problems and problem solving in the development of algebra In N Bednarz C Kieran amp L Lee Eds Approaches to algebra perspectives for research and teaching pp 55 62 Dordrecht Kluwer Rold o M C 2010 Estrat gias de Ensino O saber e o agir do professor Vila Nova de Gaia Funda o Manuel Le o Saraiva M J Pereira M N amp Berrincha R I 2010 Sequ ncias e express es alg bricas Aprendizagem da resolu o de equa es a partir de igualdades num ricas Projecto IMLNA Promover a A
223. tada nas ENT ANOTADO GORDA ias arena tg 129 xii Reflex o sobre o trabalho realizado cccccccsssssssssssssscssssssssssssssssssssssssssess 129 S ntese do Estudo assis aceno aE T fosSevs tedden ees da Tea ana doces Ted aa nada 129 PRINCIPAIS CONCHIS ES sunora Lana GTS OST SAO aaa 130 Em que medida os alunos mobilizam conceitos e propriedades matem ticas das equa es de 1 grau na resolu o de equa es literais 130 Quais as principais dificuldades apresentadas pelos alunos no estudo das equa es literais e das express es alg bricas Em particular quais as principais dificuldades dos alunos na compreens o das altera es dos pap is desempenhados pelas vari veis e pelo sinal de igual Como procuram resolver as dificuldades evidenciadas eererereeaeas 132 Que sentido de s mbolo revelam os alunos na forma como resolvem quest es envolvendo equa es literais e express es alg bricas 135 Que sentido de vari vel revelam os alunos na forma como resolvem quest es envolvendo equa es literais e express es alg bricas 137 RE BG AC na a A OR 139 RETCT NCIAS sinsi sssri assia a a AS VaT UER TEREE TES EE EERTE EAEI AN EESTE P ER EA 149 xiii ndice de Anexos ANEXO I Planifica o da aula cea possas Eragon Ea pa 151 ANEXO I Planifica o da aula saga assis sesyaassaveu teed E Ran IS a Cas pa sp Ro ada da aros ceneaticcs 155 ANEX
224. tados s o as pe as chave de uma estrat gia de ensino O papel do professor primordial na escolha das estrat gias de ensino a adotar Segundo o NCTM 2007 os alunos aprendem Matem tica atrav s das experi ncias que os professores propiciam Os professores estabelecem e alimentam um ambiente que conduz aprendizagem da matem tica atrav s das decis es que tomam das conversas que moderam e do ambiente f sico que criam S o as a es dos professores que encorajam os alunos a pensar a questionar a resolver problemas e a discutir as suas ideias estrat gias e solu es O professor respons vel pela cria o de um ambiente intelectual no qual o racioc nio matem tico s rio constitui a norma Sendo mais do que um ambiente f sico de meses quadros e posters o ambiente da sala de aula transmite mensagens subtis acerca do que valorizado na aprendizagem e no fazer matem tica NCTM 2007 p 19 Para tal os professores devem saber e compreender a Matem tica que ensinam devem ser capazes de utilizar os seus conhecimentos de forma flex vel no decorrer das suas atividades letivas tal como sua fun o a escolha de materiais de estrat gias a estrutura o da aula e a condu o e negocia o de significados As decis es tomadas pelo professor nunca podem p r de parte os conhecimentos que este tem sobre os alunos Deste modo uma estrat gia materializa se na atividade do professor o que ele vai fazer e na ativ
225. tag ricos e por Euclides aparece associada ao termo Algebra geom trica num contexto em que as formas tinham supremacia em rela o aos n meros acreditando se que as grandezas 10 geom tricas eram muito mais completas do que o conjunto dos n meros racionais Silva amp Paulo 1968 Alguns s culos depois Diofanto inicia a fase sincopada com a introdu o de letras para representar quantidades desconhecidas Segundo Kieran 1992 o problema dos algebristas residia essencialmente na procura da identidade para as letras e n o tanto na busca de uma forma para expressar o geral da a autora apelidar esta etapa tamb m de lac nica No s culo XVI com Fran ois Vi te 1540 1603 surge a terceira etapa a fase simb lica caraterizada pela utiliza o de letras para as quantidades conhecidas e para as inc gnitas e pela formula o de regras para rela es num ricas Esta fase 6 ficou marcada pela inven o em 1557 do s mbolo por Robert Recorde e pela publica o de Ars Magna escrito por Girolamo Cardano que continha as solu es para as equa es c bicas e a solu o para as equa es qu rticas Ao mesmo tempo que se desenvolve a teoria das equa es alg bricas come a a desenvolver se tamb m o conceito de fun o como uma correspond ncia entre os valores de duas vari veis surgindo em primeiro lugar as fun es alg bricas polinomiais e racionais e logo de seguida as ditas transcendentes qu
226. terior dizia para descobrir o n mero de tijolos colocados em p Sara Nao Depois pensei melhor e tentei fazer atrav s da expressao dada Professor Qual a express o Sara c 15d 6p O comprimento do muro igual ao nimero de tijolos deitados vezes quinze mais seis vezes o n mero de tijolos em p Professor O que queres saber Sara Os tijolos deitados Ent o usei o 15d Professor Usaste o 15d S6 Sara Sim Mas no fim fiz d porque temos que descobrir quantos tijolos deitados eram Figura 84 Segunda resolu o da Sara a quest o 2 c da Tarefa 6 No teste a Sara n o consegue estabelecer uma rela o entre o lucro e o n mero de t shirts vendidas pois n o recorre a toda a informa o presente no enunciado Figura 85 IO rE IES corr o n mero de Tshirts vendidas n d Escreve Ei alg brica que Tele r KARE L com o n mero de t shirts vendidas n d i e b QXL NZ AO Figura 85 Resolu o da Sara quest o 4 d do Teste 127 A maioria dos restantes alunos da turma consegue escolher corretamente os s mbolos para escrever as express es alg bricas pedidas no teste Figura 86 pia nie Dae prods ter con o finer de t shirts vendidas c Escreve uma express o alg brica que relacione o custo de mo n C A Zu n shirts vendidas brica que relacione o lucro L com o n mero de t shirts ven Letrn tm d Escreve uma expr
227. tes aspetos e Interesse demonstrado durante a aula e Colabora o com o professor e com os colegas na resolu o discuss o da tarefa e Aplica o de conhecimentos matem ticos adquiridos anteriormente e Uso da terminologia e simbologia adequada 161 e Comportamento na sala de aula e Constru o de uma grelha de observa o do trabalho dos alunos onde se pretende sintetizar e Quest es feitas pelos alunos e Erros mais frequentes e Diferentes resolu es e Elabora o de um di rio de bordo 162 ANEXO I Planifica o da 4 aula RAMADA Tema lgebra Unidade Tem tica Sequ ncias e Regularidades Equa es Subtema Equa es Literais Sum rio Ano Turma 8 D Li o n 131 Data 27 Abril 2012 express es alg bricas e equa es literais Hora 13h35min 14h20min Resolu o de exerc cios envolvendo OBJECTIVOS ESPEC FICOS e Resolver equa es literais em ordem a uma das letras e Exprimir resultados processos e ideias matem ticos oralmente e por escrito utilizando a nota o simbologia e vocabul rio pr prios CONHECIMENTOS PR VIOS e Compreender as no es de equa o e solu o de uma equa o e identificar equa es equivalentes e Resolver equa es do 1 grau utilizando as regras de resolu o TAREFAS Anexo ID e Tarefa 2 Equa es Literais e Tarefa 3 Express es alg bricas e Opera es com Polin mios e De
228. teses o sucesso da turma j mais evidente pois a maioria dos alunos aplica corretamente a propriedade distributiva da multiplica o em rela o adi o Este princ pio de equival ncia tamb m aplicado corretamente pela maioria da turma na resolu o de equa es de qualquer tipo no se refere redu o de termos semelhantes exce o de um aluno que soma termos com partes literais distintas Figura 20 5x 1 13 y x em ordema x 2 esolu o de um aluno quest o 6 5 da Tarefa 2 90 Figura 2 Princ pio de Equival ncia Este princ pio refere que quando se soma a mesma express o a ambos os membros de uma equa o obt m se uma equa o equivalente primeira o que na pr tica se verifica quando um dos membros de uma equa o a soma de duas ou mais express es obt m se uma equa o equivalente primeira passando para o outro membro uma qualquer dessas express es com o sinal trocado O Alfredo durante a entrevista n o aplica corretamente este princ pio quando se pede para resolver uma equa o em ordem a uma determinada inc gnita tal como ilustra a figura 21 O comprimento do muro neste caso dado por c 15d 6p i f o gt tij gt dej e e x ndo c Escreve uma f rmula que permita calcular o n mero de tijolos deitados conhece o comprimento do muro o n mero de tijolos colocados em pe IIA A Figura 21 Resolu o do Alfredo
229. tiga o relativas a este estudo Tal como era espet vel e Abrantes 1985 prev ao referir que o professor deve planear cuidadosamente as a es de ensino aprendizagem e ao mesmo tempo deve ser flex vel na execu o do seu plano de trabalho p 1 a planifica o das aulas sofreu algumas altera es com o decorrer da leciona o O quadro seguinte Quadro 6 apresenta uma planifica o geral das aulas lecionadas que foram integradas no estudo Quadro 6 Planifica o geral da unidade de ensino Subt pico Calendariza o Objetivos espec ficos Tarefas 19 de Abril 1 Tarefa 2 Equa es 90 min e Resolver equa es literais em oe Equa es Literais 20 de Abril ordem a uma das letras 2 Literais 45 min 3 Opera es 26 de Abril e Compreender os diferentes pap is Tarefa 3 53 com 90 min dos s mbolos em Algebra Express es polin mios 27 de Abul e Simplificar express es alg bricas alg bricas e 4 e Efetuar opera es com opera es 45 min perag 02 de Maio polin mios adi o alg brica e com 5 oo rin multiplica o polin mios 03 de Maio 6 90 min e Compreender e utilizar os casos Tarefa 4 min not veis da multiplica o de O quadrado 04 de Maio 7 bin mios Quadrado do Bin mio do Bin mio 45 min e Compreender e utilizar os casos eens arefa 09de Maio not veis da multiplica o de a iferen a de 90 min bin
230. tipo de equa es e o facto de existirem v rias solu es para a mesma equa o ao contr rio do que est o habituados consoante o valor da temperatura em Celsius que se escolha obt m uma temperatura em Fahrenheit a partir de uma mesma equa o Na quest o 1 2 surge pela primeira vez a no o de resolver uma equa o em ordem a uma das letras Com a quest o 1 3 os alunos t m de recorrer ao resultado da quest o anterior servindo assim para salientar a vantagem de se resolver uma equa o em ordem a uma das letras Os alunos ao resolverem a quest o 1 4 trabalham a ideia de que numa equa o literal qualquer uma das letras pode funcionar como inc gnita H que ter em conta o contexto da equa o Continuando com a convers o de temperaturas a quest o 2 carece da interpreta o do enunciado para que se possa traduzir da linguagem natural presente neste para linguagem matem tica funcionando tamb m como aux lio na generaliza o e constru o de uma express o alg brica J a quest o 3 procura sintetizar as rela es entre as tr s escalas de temperatura permitindo ainda estabelecer conex es com sistemas de equa es a duas inc gnitas 60 A quest o 4 baseia se em dados recolhidos da Internet uma situa o real uma vez que a interpreta o de dados uma compet ncia que os alunos devem adquirir ao longo do seu percurso a Matem tica Com esta quest o os alunos podem perceber de que forma a Matem tica p
231. to onde os alunos trabalham autonomamente e onde o professor deve tomar uma postura passiva circulando pela sala e dando apoio aos alunos que o solicitarem Na tentativa de evitar responder diretamente s quest es colocadas pelos alunos o professor deve procurar responder com outras perguntas obrigando os alunos a pensar um pouco mais sobre o assunto Caso haja necessidade ou surjam algumas d vidas persistentes pode se interromper o trabalho aut nomo dos alunos para um momento de discuss o interm dia Em rela o aos modos de trabalho os alunos podem trabalhar em grupo com o objetivo de discutir ideias em pares e at mesmo individualmente em momentos de consolida o Tendo em conta as carater sticas das salas de aula da turma e a forma de trabalho com que os alunos est o habituados optei maioritariamente pelo trabalho a pares Os pares s o constitu dos no in cio de cada per odo pela diretora de turma surgindo apenas pequenas modifica es ao longo do per odo e s o pensados tendo em conta os n veis acad micos nas v rias disciplinas o comportamento e a interajuda entre alguns alunos Ap s ter dado tempo aos alunos para trabalharem sozinhos grupo crucial passar para uma discuss o coletiva em grande grupo permitindo assim aos alunos refletirem sobre a sua atividade contribuindo para a sua aprendizagem e para o desenvolvimento do seu sentido do s mbolo e de vari vel Os alunos s o chamados a apresentar o seu trab
232. todos os meus sinceros agradecimentos vi Este estudo procura compreender a aprendizagem de alunos do 8 ano na resolu o de equa es literais e nas express es alg bricas e em particular o modo como desenvolvem neste contexto o seu pensamento alg brico nele incluindo o sentido de s mbolo e de vari vel Com este intuito procurei compreender em que medida os alunos aplicam os processos de resolu o das equa es de 1 grau na resolu o de equa es literais quais as principais dificuldades apresentadas pelos alunos e como lidam com elas no estudo das equa es literais e das express es alg bricas e que sentido de s mbolo e de vari vel revelam os alunos na forma como resolvem quest es envolvendo equa es literais e express es alg bricas O estudo assenta numa metodologia qualitativa baseando se na leciona o de oito aulas e em entrevistas a tr s alunos da turma Os principais instrumentos utilizados na recolha de dados foram a entrevista a observa o de aulas e a recolha documental A an lise dos dados recolhidos evidencia que os alunos desenvolveram o seu pensamento alg brico Estes recorrem aos princ pios de equival ncia ao resolverem equa es literais cometendo por m alguns erros de tipos distintos S o tamb m percet veis dificuldades na interpreta o das letras e na altera o do papel atribu do ao s mbolo Os alunos evidenciam ter um sentido de s mbolo apurado no entanto exist
233. tos mesmo que nem todos os alunos tenham chegado ao final da quest o 2 o professor deve come ar a corre o e 4 Momento Corre o e Discuss o da Tarefa 30 min 09h08 09h38 e O professor interv m para 160 e Incentivar os alunos a participar na discuss o de forma a complementarem o trabalho dos colegas e apresentarem resolu es alternativas e Promover Dinamizar a discuss o solicitando justifica es fundamentadas e Melhorar a clareza e o rigor no discurso e O professor deve ter em aten o se e S o apresentadas todas as resolu es distintas que existam e Ficam esclarecidas as d vidas dos alunos e Os alunos compreendem o processo de simplificar express es alg bricas e Os alunos dirigem se ao quadro sempre que e Surjam dificuldades por parte de v rios alunos e Exista uma resolu o que deva ser registada por todos e 5 Momento Desafio Matem tico Discuss o dos resultados 10 min 09h38 09h48 e O professor questiona os alunos sobre quem conseguiu resolver o desafio da semana passada e Os alunos com resolu es diferentes apresentam nas turma e 6 Momento Encerramento 2min 09h48 09h50 e O professor recolhe as fichas de trabalho e O professor d por terminada a aula e os alunos saem RECURSOS e Papel e material de escrita e Calculadora FORMAS E MOMENTOS DE AVALIA O FORMATIVA e A avalia o dos alunos ser baseada nos seguin
234. trevista o Alfredo toma a equa o inicial e a equa o escrita em ordem a t como sendo duas equa es equivalentes e j utiliza a segunda para substituir o v por 525 Ainda na al nea d da primeira quest o depois de se aperceber que cometeu algum erro para o tempo ter dado negativo ele consegue arranjar uma nova equa o n o equivalente obtida que funciona e que equivalente inicial mas n o consegue justificar o porqu de aquela ser a correta e n o a outra apesar de ter a certeza disso Alfredo Aqui diz que passaram 5 alterando os sinais em vez de ser t 525 2100 ficando t 525 2100 aqui dava 5 25 em vez de dar 8 75 Professor Ent o mas ent o aqui foste express o e alteraste um menos Em que express o que alteraste ali um menos Alfredo Em vez de ser t 525 2100 Professor Mas onde que foste buscar essa express o 109 Alfredo inicial que era v 300t 2100 N o tinha ido buscar a c que era para resolver a equa o em ordem a t Se eu queria saber o tempo tinha que isolar o t Professor E o que que alteraste nessa equa o Alfredo Alterei que em vez de ser v 2100 era v 2100 Professor E podes fazer isso assim se te apetecer nas equa es Alfredo que assim est mais E para a d tem que estar um menos Professor N o consegues perceber de onde vem esse menos Alfredo N o Durante as aulas o Guilherme recorreu s equa es escritas em ordem
235. tudo das fun es Utilizar o s mbolo para estabelecer rela es quantitativas Os alunos mostram ter sentido de s mbolo quando compreendem como as rela es funcionam Escolher a representa o simb lica adequada Ao selecionar a melhor representa o simb lica de uma fun o para analisar uma determinada situa o tendo em conta o objetivo pretendido carater stico de um sentido de s mbolo aprimorado Analisar o efeito da mudan a e da varia o dos s mbolos Ter sentido do s mbolo pressup e compreender como varia uma 24 determinada express o simb lica quando se varia um dos seus par metros tendo sempre presente o papel do s mbolo na express o e Utilizar o s mbolo para modelar situa es Um sentido do s mbolo apurado permite olhar para uma fun o como uma representa o da realidade podendo com esta analisar se o presente e at mesmo prever o futuro e Compreender que os s mbolos podem desempenhar pap is distintos em contextos diferentes Estabelecer a rela o entre os s mbolos e o seu papel em determinado contexto fundamental no desenvolvimento do sentido de s mbolo e Utilizar o poder dos s mbolos para tomar decis es Ser capaz de interpretar os s mbolos reconhecendo o seu poder na aprova o reprova o de uma conjetura evidencia um sentido de s mbolo apurado e Compreender e utilizar diferentes representa es do mesmo objeto matem tico Ter sentido do s m
236. tuir um dos membros duma equa o por uma express o equivalente a esse membro obt m se uma equa o equivalente primeira As seguintes transforma es s o exemplos das que se baseiam neste princ pio o Desembara ar a equa o de par nteses e o Reduzir os termos semelhantes ii 2 Princ pio de Equival ncia Quando se soma a mesma express o a ambos os membros de uma equa o obt m se uma equa o equivalente primeira iii 3 Principio de Equival ncia Se multiplicarmos ambos os membros de uma equa o por um mesmo n mero diferente de zero obt m se uma equa o equivalente primeira Entre as transforma es que se baseiam neste princ pio est o as seguintes o Desembara ar de denominadores quando estes s o n meros inteiros multiplicando ambos os membros pelo menor m ltiplo comum dos denominadores e o Passar um fator num rico de um membro para o outro com invers o 49 Dentro das equa es chama se equa o do 1 grau numa inc gnita x ou equa o linear a toda a equa o que por aplica o dos princ pios de equival ncia se pode reduzir forma ax b sendo a b n meros reais quaisquer em que a 0 Generalizando o conceito de equa o surge o conceito de equa o literal Uma equa o literal uma igualdade em que figuram duas esp cies de letras ou s mbolos literais umas que consideramos designativas de quantidades conhecidas ou dadas par metros e outras que cons
237. u o de equa es literais do 1 grau significativamente diferente da resolu o de equa es num ricas do 1 grau com uma inc gnita a grande diferen a n o se encontra na estrat gia de resolu o uma vez que resolver uma equa o literal em ordem a uma das vari veis corresponde a isolar a inc gnita numa equa o num rica A diferen a reside na obten o da solu o que passa a ser um conjunto de pares ordenados que respeitam a equa o em vez de um valor num rico espec fico Erros e dificuldades na aprendizagem da Algebra Segundo Ponte et al 2009 grande parte das dificuldades dos alunos na resolu o de equa es derivam dos erros que s o cometidos no trabalho com express es alg bricas resultantes da n o compreens o do significado dessas express es ou das suas condi es de equival ncia A manipula o simb lica e a simboliza o fazem parte de uma vertente muito importante no desenvolvimento do pensamento alg brico A linguagem alg brica acarreta algumas dificuldades sentidas pelos alunos Booth 1984 in Matos amp Ponte 2008 p 199 categoriza as em tr s reas principais i a interpreta o das letras ii a formaliza o dos m todos usados e iii a compreens o de nota es e conven es Pesquita 2007 aponta aspetos mais espec ficos para as dificuldades manifestadas pelos alunos tais como 1 Dificuldade em dar sentido a uma express o alg brica 11 N o distinguir a adi
238. u n o equivalentes Nos A E 2 3 casos em que isso n o se verifica corrige de modo a torn las equivalentes 3 1 84 c 8 5c 2 c 3c 3c 1c 7c 3 2 3 x 24 3x 3 x4 24 3x 5 2x 3 3 2 a 5 10a 3 4 2 x 3x 1 2x 3x 1 Adaptado de Proposta de Sequ ncias de Tarefas para o 8 ano DGIDC Ponte J P Branco N amp Matos A 2009 lgebra no Ensino B sico Lisboa DGIDC http sitio dgidc min edu pt matematica Documents npmeb Brochura Algebra Set2009 pdf 190 3 5 3 2 a 2 3 a 6 3a 6 2a 5a 12 3 6 y 5 y y 5 y 2y 5 3 7 L 2x 1 x x x x x 2x 2 2 2 2 2 4 Simplifica as seguintes express es alg bricas transformando as na forma de polin mio reduzido 4 1 2 2y 3 5y 4 2 x 4 2x 4 3 x x 3x EE E pe 4 5 2x 4 3x x 4 6 2a 1 3a 2 4 7 x 2 x 3x 2 Adaptado de Proposta de Sequ ncias de Tarefas para o 8 ano DGIDC 191 192 ANEXO II Tarefa 4 Agrupamento de Escolas Vasco Santana 8 2 O quadrado do bin mio Matem tica Parte 1 Na seguinte sequ ncia cada termo resulta da diferen a de dois quadrados perfeitos consecutivos 1 1 Descobre os dois termos correspondentes s linhas 7 e 10 1 2 Descobre o termo correspondente linha 20 isto o vig simo termo 1 3 Escreve uma express o que represente a regra encontrada anteriormente E
239. ua pr pria investiga o Este estudo qualitativo e interpretativo na medida em que procura descrever a forma como os alunos revelam sentido de s mbolo e de vari vel tal como compreender a forma como os alunos recorrem a conhecimentos pr vios e interpretam as dificuldades que sentem no estudo das equa es literais e das express es alg bricas Participantes no estudo Numa investiga o qualitativa a escolha dos participantes um fator crucial para o desenvolvimento do estudo H que selecionar os participantes de forma a que estes sejam representativos da turma mas ao mesmo tempo apresentem singularidades e diferen as entre eles 77 Este estudo foi realizado numa turma de 8 ano de escolaridade constitu da por 28 alunos Todos os alunos participaram na investiga o contudo selecionei um grupo restrito de alunos mais concretamente tr s alunos para analisar em mais detalhe Os alunos escolhidos para uma an lise mais detalhada das suas interven es foram escolhidos de acordo com os seguintes crit rios participa o na aula qualidade do discurso e aproveitamento na disciplina distintos Perante os objetivos definidos e a metodologia escolhida optei por selecionar tr s alunos de ambos os sexos todos eles participativos na aula mas com aproveitamento distinto um com algumas dificuldades em ter sucesso disciplina e os outros dois com bons resultados disciplina de Matem tica Passo a apresentar os aluno
240. ubstitui o por um valor num rico nas duas primeiras al neas feita corretamente Na resolu o da primeira al nea o Guilherme inicialmente tinha feito confus o na representa o posicional da vari vel no entanto riscou esta resolu o e apresentou a vers o correta Figura 45 1 O valor monet rio de um computador diminui medida que o tempo passa Admite que o valor v de um computador em euros t anos ap s a sua compra dado por v 300t 2100 a Calcula v para t 0 e interpreta o resultado V 43500 LGD Cotano covmnpoma SY Uz a 0 42400 ho oD MMe o COPECO er VA um y 7100 ana qo JM CofA 100 4 Q macs a Jor Mto AV Ag O b Qual o valor monet rio do computador ao fim de 2 anos NODAL ipa RODO el V 300 a 2100 60o 4100 gt 4500 9 n Figura 45 Resolu o do Guilherme s quest es 1 a e 1 b da Tarefa 6 Tal como foi alvo de an lise no subcap tulo dos processos de resolu o o Guilherme manipula incorretamente os s mbolos na resolu o de equa es literais quando lhe pedido que resolva uma equa o em ordem a uma das vari veis Figura 46 c Resolve a equa o apresentada em ordem a t a 30044100 U I q 4300 Y Figura 46 Resolu o do Guilherme quest o 1 c da Tarefa 6 A Sara aplica corretamente salvo algumas distra es os procedimentos de resolu o de equa es tal como ilustra a figura seguinte 104 c R
241. uena 11 1 A Figura 6 sintetiza os resultados escolares da turma na disciplina de Matem tica no 1 per odo 40 Classifica es a Matem tica no 1 Per odo E N vel 2 E N vel3 N vel 4 E N vel 5 Figura 6 Classifica es a Matem tica no 1 Per odo Em rela o ao 2 Per odo o aproveitamento escolar n o sofreu grandes modifica es Houve um aumento de alunos com n vel 2 no geral mas em contrapartida tamb m houve maior n mero de alunos com n vel 5 As m dias das classifica es s v rias disciplinas variam entre 3 18 e 3 89 numa escala de 1 a 5 A Figura 7 mostra a distribui o dos alunos pelos v rios n veis de aproveitamento s v rias disciplinas Classifica o no 2 Per odo 14 12 E N vel 2 10 E N vel3 8 6 E N vel 4 4 E N vel 5 2 0 Q gt x LS K4 a L we AAL Figura 7 Classifica es dos alunos no 2 Per odo Em rela o disciplina de Matem tica no decorrer do 2 Per odo houve um teste interm dio implementado pelo Minist rio da Educa o o qual representou o 41 primeiro contato destes alunos com testes deste g nero levando assim a uma descida brusca em algumas notas O in cio do estudo da lgebra tamb m contribuiu para esta descida uma vez que os alunos dizem ter mais dificuldades neste tema matem tico e evidenciam um menor interesse quando comparado com o estudo de outros temas
242. us es sobre qual a mais vantajosa A meu ver h ainda muitos aspetos a melhorar nesta fase da aula a organiza o no quadro a capacidade de n o responder s minhas pr prias perguntas dar a palavra ao m ximo de alunos Quando termin mos a corre o da quest o 3 a aula estava quase a acabar Pedi lhes para continuarem a resolver a tarefa mas entretanto tocou Os alunos come aram a arrumar tendo sido recolhidas as resolu es das tarefas antes de sa rem A planifica o n o foi seguida risca em rela o aos tempos mas penso que os objetivos foram cumpridos 20 de Abril de 2012 45 minutos A segunda aula come ou com uma maior fluidez que a anterior mas sendo somente de 45 minutos n o se torna t o produtiva como uma de 90 minutos Ap s ter escrito o sum rio devolvi aos alunos as tarefas recolhidas no dia anterior e pedi lhes para continuarem a resolu o da tarefa onde tinham ficado no dia anterior tendo em aten o que o objetivo daquela aula era serem resolvidas as quest es 4 5 6a e 6d da Tarefa 2 Uma vez mais o trabalho aut nomo dos alunos demorou mais alguns minutos do que os estipulados Os alunos chamaram bastantes vezes os professores pois estavam com algumas dificuldades em resolver equa es em ordem a uma das inc gnitas sem qualquer contexto Como a aula estava prestes a acabar tive que interromper o trabalho dos alunos para passarmos corre o em grande grupo turma O momento da corre
243. vestigador desenvolver intuitivamente uma ideia sobre a maneira como os sujeitos interpretam aspetos do mundo Bogdan amp Biklen 2003 p 134 A entrevista serviu para recolher informa o a partir dos pr prios alunos entrevistados sobre as suas dificuldades tal como sobre o sentido que estes atribuem ao s mbolo e vari vel Permitiu tamb m retirar informa es sobre a evolu o dos alunos e a supera o ou n o das suas dificuldades perante a unidade de ensino em causa 19 As entrevistas associadas a este estudo decorreram ap s a leciona o da unidade did tica e foram realizadas aos tr s alunos selecionados Estas entrevistas ocorreram com a autoriza o dos encarregados de educa o Como a disponibilidade dos alunos fora do per odo de aulas reduzida as entrevistas foram realizadas no hor rio de aulas de Matem tica posteriores minha leciona o tendo sido necess rio deslocar me com os alunos para outra sala Os participantes realizaram numa primeira fase uma tarefa matem tica individual e numa segunda fase conversei com os alunos sobre o trabalho desenvolvido por eles inquirindo os sobre as suas escolhas conversa essa que foi udio gravada Uma entrevista nos moldes desta uma entrevista semiestruturada pois permite adaptar as quest es a colocar em fun o das respostas que os alunos v o dando o que possibilita ao entrevistador um melhor conhecimento do aluno das suas aprendizagens e eve
244. xplica o teu racioc nio Parte Il 1 O Sr Magno tem um pomar com pereiras 8 que se encontram dispostas segundo um padr o quadrangular Para proteger as suas rvores do vento plantou amieiros 48 em seu redor Esta situa o est ilustrada nos diagramas abaixo onde se pode observar a disposi o das pereiras e dos amieiros Nos diagramas est o tamb m vis veis quatro oliveiras 9 que o Sr Magno usa como marcos para delimitar o seu terreno Da HAAG HARAN 24a ASA Mhhhe san 0440 04546 a 04448 To Diagrama 1 Diagrama 2 Diagrama 3 1 1 Copia para o teu caderno a tabela seguinte e completa a Diagrama N mero de pereiras N mero de amieiros N mero de oliveiras 1 1 4 4 4 8 a we WN Termo geral 1 2 O n mero de rvores do pomar pode ser contabilizado de duas formas pela soma do n mero de pereiras amieiros e oliveiras pelo n mero de rvores existentes num dos lados do terreno quadrangular Calcula pelos dois processos indicados o n mero total de rvores da 12 figura 1 3 Descobre duas express es alg bricas equivalentes que sejam termos gerais da sequ ncia do n mero total de rvores Mostra algebricamente que as duas express es s o equivalentes 1 Retirado do manual PIS Matem tica 8 ano ASA Editores 193 194 ANEXO II Tarefa 5 Agrupamento de Escolas Vasco Santana 8 2 Matematica A diferen a de quadrados 1

Download Pdf Manuals

Related Search

Related Contents

FSU-5 - 4 8 15 16 23 42  Tighten the two clamp bolts alternately two times to en  陸 上 自 衛 隊 仕 様 書  

Copyright © All rights reserved. Failed to retrieve file