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Métodos de Otimização: Teoria e Prática

1. i X x y R xB x42 lt 2y x1 lt 1 z2 lt 1 e 41 22 y 1 0 1 2 198 12 Algoritmos de Planos de Corte e Desigualdades Fortes ii X x y R4 x Zp x lt 9 2 lt 4y e x y 9 9 4 iii X z1 2 y R x Z z1 2 lt 25 1 2 S By e 1 2 y 20 5 25 8 iv X x Z 9x 12x 873 1724 1325 gt 50 ex 0 25 6 0 0 0 v X x Z 4x 822 7x3 5x4 lt 33 e x 0 0 33 7 0 EX 12 3 Prove que a desigualdade y2 y3 2y4 lt 6 v lida para X y Z4 Ay DY2 93 12y4 lt 34 EX 12 4 Considere o problema de programa o inteira abaixo P Maximize 17x 1275 Sujeito a 10x Tx lt 40 Ty T2 lt 5 x lt 4 T2 lt 5 T1 2 20 T1 2 E Z Aplique o algoritmo de planos de corte ao problema P Para tanto tome a relaxa o continua do problema e encontre a solu o usando programa o linear Simplex Se a solu o obtida inteira ent o pare Caso contr rio produza um corte de Gomory insira na formula o e repita os passos acima Se voc n o encontrar a solu o inteira tima ap s inserir quatro cortes de Gomory ent o pare e indique a solu o encontrada Para cada itera o mostre o dicion rio do Simplex indique qual vari vel b sica fracion ria ser utilizada para gerar o corte de Gomory e mostre o corte gerado Capitulo 13 Progr
2. A conseqti ncia do Teorema 2 5 a converg ncia global do m todo de descenso visto que este sempre escolhe como dire o de descenso um vetor py com ngulo 0 que se afasta de 90 Assim cos 0 gt 6 gt 0 para todo k Conseqiientemente jim IV fl 0 s00 Em outras palavras a norma do gradiente V f converge para zero se a dire o de descenso n o muito pr xima da ortogonalidade e as condi es de Wolfe s o satisfeitas 2 3 7 Taxa de Converg ncia do M todo de Descenso ngreme Aqui vamos considerar a taxa de converg ncia de m todos de descenso em regi es pr ximas de um timo local Uma fun o continuamente diferenci vel f pode ser aproximada em torno de um timo local x n o singular como uma fun o quadr tica HO f a 5 e VEE 2 6x dito timo local n o singular se as condi es suficientes de otimalidade local de segunda ordem s o satisfeitas 2 Minimiza o de Fun es com o M todo de Descenso 27 desde que z 2 seja pequeno Podemos assumir sem perda de generalidade que x 0 e f x 0 Assim a aproxima o quadr tica de f fica fle 527Qz Vile e VI Q O m todo de descenso ingreme ou de descenso maximo steepest descent pode ser colocado na forma Ekl Tk ORV k 1 akQ Tk o que nos leva a IIzerall rp O a Q rr Uma vez que 7 I aQ x lt Maz o I axQ 2 onde o A denota o
3. 1 f w 2 y P Mx Minimize 5 k 1 w ER 5 1 2 ALVINN Um Exemplo de Aplica o Um exemplo de aplica o de redes neurais o sistema ALVINN 40 desenvolvido na Universidade de Carnegie Mellon que utilizou com sucesso o modelo de redes neurais para dirigir de forma aut noma um ve culo por cerca de 120 Km a uma velocidade de at 100 Km h Mais recentemente este mesmo sistema foi aprimorado e desempe nhou com sucesso a tarefa mais audaciosa de dirigir o mesmo ve culo de uma forma semi aut noma da cidade de Pittsburgh na Pennsylvania at a cidade de Berkeley na California Uma ilustra o simplificada da rede neural do sistema ALVINN mostrada na Figura 5 4 Cada pixel da imagem primeiramente transformado em tonalidade de cinza e depois enviado respectiva unidade neural que por sua vez processa o sinal recebido e retransmite s outras unidades da camada intermedi ria A camada neural de sa da conta com v rias unidades que indicam o grau de giro do volante onde a unidade mais esquerda indica giro m ximo esquerda enquanto que a unidade mais direita indica giro oposto A unidade cujo valor de sa da mais intenso ter seu comando executado pelo sistema rob tico 5 1 3 Problemas Apropriados para Redes Neurais Em geral as redes neurais s o recomendadas para problemas de aproxima o com plexos tipicamente de natureza n o linear e sujeitos a ru dos tais como dados e sinais 64 5
4. Uma fun o f R gt R convexa se para todo x y ER ea 0 1 tem se flax 1 a y lt af x 1 a f y Se f uma fun o duas vezes diferenci vel ent o f convexa se V f x positiva semi definita para todo x R Uma fun o f c ncava se f convexa Teorema 2 4 Se f conveza ent o todo o m nimo local tamb m um m nimo global Prova Seja um m nimo local e suponha por absurdo que x n o seja um m nimo global Seja um m nimo global e considere o segmento de reta que une os pontos x e ou seja x a 1 a xz onde a 0 1 Por convexidade de f temos que f x lt af x 1 a f z lt af a 1 a f a f x Qualquer vizinhan a M de x cont m um peda o do segmento de reta acima definido e portanto sempre existir um x em N que satisfa a a desigualdade f x lt f x Conclui se que x n o um timo local 2 3 O Algoritmo de Descenso A grande maioria dos algoritmos de otimiza o s o iterativos Dado um ponto 20 eles produzem uma seqii ncia de pontos Xo 1 2 7 Lp convergente para um m nimo local Tipicamente um processo iterativo consiste em obter uma nova solu o a partir da solu o anterior Lert Gu Xk para k 0 T 1 Para que a seq ncia convirja para um timo local os algoritmos induzem uma redu o n o necessariamente a cada itera o da fun o objetivo ou s
5. declarations camera colar vaso quadro tv video bau tijolo mpvar end declarations camera is binary colar is binary vaso is binary tijolo is binary PesoTotal 2 camera 20 colar 20 vaso 20 quadro 40 tv 30 video 60 bau 10 tijolo lt 102 ValorTotal 15 camera 100 colar 90 vaso 60 quadro 40 tv 15 video 10 bau 1 tijolo maximize ValorTotal writeln O valor da fun o objetivo getobjval end model A constru o de modelos como visto acima conveniente para problemas com um n mero pequeno de vari veis mas isso pode se tornar invi vel em problemas de grande porte Foi tedioso por exemplo ter que especificar que cada vari vel bin ria E usual na modelagem mesmo de problemas pequenos o uso de vetores de vari veis ou vari veis subscritas como tamb m s o conhecidas Tal pol tica de modelagem facilita enormemente a especifica o de modelos e futuras altera es Abaixo segue a segunda vers o Mosel do problema da mochila 140 9 Linguagens de Modelagem model mochila2 uses mmxprs declarations Itens 1 8 Peso array Itens of real Valor array Itens of real x array Itens of mpvar end declarations Itens Peso 2 20 20 30 40 30 60 10 Valor 15 100 90 60 40 15 10 1 Todas as vari veis x s o inteiras forall i in Itens x i is binary Objetivo ValorTotal sum i in Itens x i Valor i
6. gt f zk f xx Ze Th 0 gt tun Ep f en S Ek 3 3 1 Exemplo Encontre um m nimo de f x cos x conforme Figura 3 2 Se iniciamos o processo iterativo no ponto xo 7 4 o m todo converge para o ponto z 02 Se O que levou o m todo de Newton a convergir para um ponto de m ximo Ser que o m todo apresenta uma falha fundamental iniciamos no ponto xo 37 4 o m todo converge para o ponto q 7 Poder amos ter adotado uma aproxima o de primeira ordem 2Note que cos x 1 3Observe que cos 7 1 3 34 3 M todo de Newton Solu o de Equa es N o Lineares e Minimiza o de Fun es T 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T2 x1 To e E iad 9 8 7 6 Figura 3 1 Ilustra o do processo iterativo de Newton 4 y cos x Figura 3 2 Fun o cos x 3 M todo de Newton Solu o de Equa es N o Lineares e Minimiza o de Fun es 35 Note que o m todo de Newton gera uma segii ncia de solu es o 1 1 que converge para um ponto x estacion rio ou seja f x 0 Todavia x n o neces sariamente um ponto de m nimo podendo tamb m definir um ponto de inflex o e g o ponto estacion rio da fun o f x x ou de m ximo e g o ponto estacion rio da fun o f x x Abaixo relembramos as condi es necess rias e suficientes para m nimo local Condi es Nec
7. F x E R x gt 0 para todo i ZT 19 3 Assumimos que F n o vazia para o prop sito desta discuss o Fun es barreira para este problema t m as seguintes propriedades a elas s o infinitas em qualquer lugar menos em F b elas s o suaves dentro de F c O valor delas se aproxima de oo medida que x se aproxima da fronteira de F A fun o barreira mais importante a fun o barreira logar tmica que para o conjunto de restri es c x gt 0 i T assume a forma o log x 19 4 1 T onde log y denota o logaritmo natural de y Para o problema 19 2 a fun o combi nada objetivo barreira dada por P x p f x u gt logals 19 5 ie onde u gt 0 dito par metro barreira Daqui em diante vamos nos referir a P x u como fun o barreira logar tmica do problema 19 2 Exemplo 1 Considere o problema abaixo em uma vari vel Minimize x se r gt 0 19 6 Sujeito a ian Ss 6 Para o qual temos P x u x plogz ulog 1 x 19 7 A Figura 19 1 ilustra P x u para u 1 0 0 4 0 1 0 01 Naturalmente para valores pequenos de u a fun o P x u se aproxima da fun o objetivo f na maior parte da regi o fact vel a fun o P x u tende para oo nas proximidades da fronteira 19 Programa o N o Linear sob Restri es Algoritmos 267 Figura 19 1 Curvas de n vel da fun o P x u x ulog
8. Tipicamente procura se um timo local x ou seja x tal que f x lt f x para todo x E B a 6 x x a lt 6 e 6 gt 0 Otimiza o global se preocupa em encontrar um vetor x cujo valor f x lt f x para todo x R 1 8 1 Problema Exemplo Seja z x y a coordenada onde ser instalada uma central telef nica Suponha que as chamadas s o recebidas de um conjunto S 2x x1 y1 Zm Lm Um de localidades com probabilidade uniforme Seja Z a vari vel rand mica associada com o local das chamadas Portanto Z assume valores do conjunto S tal que a probabilidade de uma chamada vir do local k Pr Z zx 1 m para k 1 m Tarefa Qual deve ser a localiza o da central telef nica para que E Z z seja mini mizado Em outras palavras desejamos minimizar o quadrado da dist ncia da central telef nica aos locais das chamadas E f Z o valor esperado da fun o f Z da vari vel aleat ria Z 2Quando a vari vel aleat ria Z assume valores 2 21 2m onde a probabilidade de Z z conhecida e dada por py ent o o valor esperado de uma fun o f Z definido por E f Z vinci f Zk Dr 1 As Sub reas da Otimiza o 11 Solu o Desenvolvendo a express o do valor esperado deduzimos ElIIZ z 2 X liz zl x Pr Z ze k 1 Er ye x y m Ms gt ll 1 Assim o problema pode ser reduzido a um problema de m nimo
9. opt optimset opt MaxIter 100 opt optimset opt TolX 1e 8 for k 2 20 xi x k 1 z fminsearch b xi opt mu k 1 x k 1 z 1 x k 2 z 2 mu k mu k 1 0 4 end b x mu function r b x mu x1 x 1 x2 x 2 r 3 x1 2 x2 mu log 1 x1 2 x2 mu log 2 x1 x2 mu log 6 2 x1 x2 mutlog 5 x1 mu log 16 2 x1 x2 mu log 12 x1 x2 muxlog 21 x1 2 x2 mu log 10 x2 mu log x1 mu log x2 EX 19 2 Convers es entre algumas representa es s o dadas abaixo 350 A Exercicios Resolvidos solucao otim trajetoria Figura A 16 Trajet ria de iterandos produzida pelo algoritmo de barreiras 14 2 A convers o pode ser demonstrada como segue x 2x9 A z 29 lt 1 amp x A72 a zo lt 1 47 z 29 lt 1 lt r amp es ul lt 1 com u A x Xo amp x lul lt 1 com A u o x amp Au 2o lul lt 1 amp Bu 2x ul lt 1 com B A Note que det A det A det B 24 3 Uma vez que x E na representa o 2 se x Bu zo temos que u B x t Arx b com A B eb B tro Observe que Bu zo B Azx b 29 x Bb zo x BB x9 29 x Portanto E Butz ull lt 1 x Ax 6 lt 1 Note que det B det A7 3 4 4 A con
10. sultado da equa o 15 39 podemos posicionar x em qualquer lugar do R A proposi o a seguir mostra que para um sistema estacion rio control vel e ma trizes constantes Q R a solu o da equa o de Riccati converge para uma matriz sim trica positiva semi definida a partir de qualquer matriz inicial Proposi o 15 1 Para simplificar a nota o revertemos o ndice k e portanto Pr corresponde matriz Kn k Seja A uma matriz n x n B uma matriz n x m Q uma matriz nxn sim trica positiva semi definida e R uma matriz m x m sim trica positiva definida Considere a equa o de Riccati discreta que segue Pns A Pe B B P B R BTP JA Q k 01 15 40 sendo que a matriz inicial Py arbitr ria mas sim trica positiva definida Vamos assumir que o par A B control vel Vamos assumir ainda que Q CTC para uma matriz C tal que o par AT CT control vel Ent o 224 15 Programa o Din mica Dominio Continuo a Existe uma matriz sim trica positiva definida P tal que para qualquer matriz inicial Po k 0o Al m disso P a solu o nica da equa o alg brica de Riccati P AT P PB BTPB R BTPIA Q b O sistema resultante em malha fechada est vel i e os autovalores da matriz D A BL onde L BTPB R BTPA est o estritamente dentro do c rculo unit rio W 15 5 Exerc cios EX 15 1 Um certo material submetido a uma sequ ncia de dois fornos conforme a Figur
11. 4 2 7 Exemplo de Aplica o O problema consiste em encontrar o valor m ximo da fun o f x x onde x pode assumir valores do conjunto A 0 31 Para aplica o do algoritmo gen tico os seguintes passos s o sugeridos e Utilize 5 bits para representar uma solu o candidata e Defina a fun o de aptid o fi a f z e Gere um conjunto de 4 solu es candidatas randomicamente para compor a po pula o inicial Tamanho da popula o p 4 52 4 Otimiza o N o Diferenci vel e Adote o operador cross over de um ponto como m todo de reprodu o Taxa de substitui o por cross over r 50 e Adote como mecanismo de muta o a troca de um bit de uma solu o candidata Taxa de muta o m 5 Na Tabela 4 1 est o indicados os valores iniciais armazenados na mem ria do al goritmo gen tico Com esta popula o inicial e os par metros acima sugeridos o algoritmo gen tico encontra a solu o tima para o problema x 11111 sendo Fu 961 Tabela 4 1 Popula o inicial Solu o Fitness Probabilidade Candidata de Reprodu o 01101 169 14 4 11000 576 49 2 01000 64 5 5 10011 361 30 9 4 2 8 Quest es Pr ticas O fen meno de crowding ocorre quando um indiv duo com alta aptid o se reproduz rapidamente gerando c pias ou filhos muito semelhantes que venham a constituir a maior parte da popula o O aspecto negativo de crowding a perda de diversidade o
12. solu o inteira ub 68 2 Nis as infactivel ub 68 1425 T2 gt 2 ub o0 infact vel ub 68 solu o inteira tima lb 68 lb 63 z1 2 4 0 Figura A 12 rvore branch and bound parcial A Exercicios Resolvidos 327 Para u 1 2 e u2 1 temos que a 17 10m u2 11 gt z 4 b 12 Tui u2 7 5 gt 2 5 Portanto L u1 u2 11x 44 7 5x 5 40 2 5 106 5 Observe que L u1 u2 define um limite superior para o problema inteiro em consideragao A relaxa o cont nua corresponde ao problema do n s da rvore branch and bound Logo o limite superior obtido com esta relaxa o 68 33 328 A Exercicios Resolvidos A 12 Algoritmos de Planos de Corte e Desigualda des Fortes EX 12 1 i X x B 32 422 lt 1 Podemos obter a seguinte desigualdade 34 41x lt 1 l i Sd gt 324 319 lt 2 gt X2 lt 2 3 gt 4 lt 2 3 gt T T lt 0 Basta verificar graficamente que obtemos conv X introduzindo a restri o L1 lt 2 Note que X 0 0 0 1 1 1 ii X z y E R4 x B x lt 20y x lt 7 Adicionando a restri o x lt 7y pode se verificar graficamente que se obt m conu X Note que X 0 0 U x 1 0 lt z lt 7 iii X x y E R X Li lt 6y lt 16 Introduzindo a restri o x lt 12 4 y 2 4y 4 formula o obtemos conv X Observe que X
13. 0 EX 16 6 Podemos fazer uso do pacote de software do Prof Kunz fazendo h x f x e g x f x Neste caso se encontrarmos x tal que h x 0 e g x lt 0 ent o x satisfaz as condi es suficientes de segunda ordem f x 0e f x gt 0 e deve ser um minimo local 344 A Exercicios Resolvidos EX 16 7 Tomemos inicialmente o Lagrangeano do problema L x A u Ci i X giz T MD zi b X msi A 18 i 1 i 1 i 1 i 1 com gt 0 e m gt 0 2 1 n Pelas condi es KKT todo x m nimo satisfaz as rela es C Ox Ox el Lda ti 20 i 1 n AO Hiti 0 a RE Fazendo gilz OE A Hi Ci e substituindo no sistema KKT eliminamos u e obtemos i 1 A Exercicios Resolvidos 345 A 17 Programa o Nao Linear Sob Restri es Fundamentos de Algoritmos 346 A Exercicios Resolvidos A 18 Programa o Quadratica EX 18 2 Primeiramente vamos expandir a fun o o objetivo 1 1 1 i 3 xo x to Gu a T o sto To Vamos agora obter o Lagrangeano L x A f x AT Ax b ee eee CD 2 ge sendo R Calculando os gradientes de com respeito a x e obtemos Vl gt AT Vil Ax b Uma vez que V 0 deduzimos que ATA to amp AATA A x 20 Uma vez que A tem posto de linha completo AAT R e rank AAT m Logo AAT 1 A x xo
14. 4 t gt 0 gt gt gt gt 12 Algoritmos de Planos de Corte e Desigualdades Fortes 195 Ap s adicionarmos a vari vel t gt 0 e o corte t irs 4 e reotimizarmos obtemos a tabela simplex z Max 7 3s t S a x1 sS T2 s t 1 T3 5s 2 2 4 6s t 2 T5 t i 2 T3 T4 T5 S t gt O e inteiros A solu o obtida tima pois os valores de todas as vari veis s o inteiros A solu o tima x 2 1 2 2 1 cujo valor da fun o objetivo 2 7 12 6 Desigualdades Disjuntivas Seja X Xt U X2 onde X C R uma disjun o uni o de dois conjuntos X e X Alguns resultados importantes ser o enunciados abaixo Proposi o 12 4 Se Xj Tix lt Th uma desigualdade v lida para X i 1 2 ent o a desigualdade Njlj lt To j 1 2 v lida para X sen lt mintr n7 para j 1 n emo gt maximo no Proposi o 12 5 Se P x R Ax lt b parai 1 2 s o poliedros n o vazios ent o n To uma desigualdade v lida para conv P U P se e somente se existem u1 uo gt 0 tal que nT SUA q amp us A To gt ui bl To gt us b 12 6 1 Exemplo Sejam Pt z R r 22 lt 1 t z2 S 5 e P rER r 2z1 2 lt 6 z 3x2 lt 2 dois poliedros Fazendo w 2 1 e uz depois aplicando a Proposi o 12 5 obtemos 4 0 e o AN 2 1 2 NIO ul A
15. E Vk KNI Ly yl 0 1 Vk E K NI E Lk onde DF 1 sei sp b 1 se i dp e DF 0 caso contr rio E ainda K 1 K e L OE A restri o 9 2 garante que cada LSP ser configurado precisamente em um nico n vel de transmiss o A restri o 9 3 imp e os limites de largura de banda dos enlaces A restri o 9 4 modela os limites m ximos de atraso de cada LSP A express o 9 5 garante que cada LSP k ser encaminhado em um caminho cont nuo n o paralelo do n origem sy at o destino dp Finalmente as express es 9 6 e 9 7 definem as restri es Booleanas para as vari veis de decis o 9 4 1 Formula o em MOSEL Abaixo apresentamos um modelo em linguagem Mosel para PET mas omitimos de talhes das diretivas e truques de modelagem selecionados O leitor poder recorrer ao manual de usu rio de Mosel e livros especializados 25 para maiores informa es Acre ditamos que o modelo cobre elementos chave da linguagem para modelagem avan ada que invariavelmente ser o necess rios em aplica es te rico pr ticas Assumiremos que o modelo ficar armazenado em um arquivo tipo texto denominado model mos Mosel formulation of the fully fledged LSP routing problem model lsp 9 Linguagens de Modelagem 147 uses mmxprs declarations Node set of integer Arc array Node Node of integer Arc_u array Node Node of integer Arc_d array Node Node of integer Lsp set of
16. Restri o de capacidade da mochila PesoTotal sum i in Itens x i Peso i lt 102 maximize ValorTotal writeln O valor da fun o objetivo getobjval forall i in Itens writeln x i gt getsol x i end model A modelagem com vetores trouxe algumas facilidades dentre elas destacam se 1 Itens um conjunto indexado para os elementos do vetor 2 forall permite varrer elementos de um vetor indexado 3 sum permite somar elementos de um vetor indexado 9 1 6 Usando Cadeias de Caracteres como ndices O modelo anterior consideravelmente mais simples do que o primeiro modelo para o problema da mochila mas sua interpreta o mais dif cil temos que traduzir os identificadores em seus respectivos nomes Contudo podemos melhorar a legibilidade do c digo Mosel por meio da seguinte substitui o Itens camera colar vaso quadro Ret i ideo Cipa iba Toles 2 t 9 Linguagens de Modelagem 141 9 1 7 Modelagem Versatil Os exemplos acima sao apenas alguns de um n mero de problemas similares conhe cidos como problemas da mochila Seria til generalizar o modelo acima permitindo o aumento do n mero de itens e a altera o dos pesos valores Com o problema j es pecificado em termos de vetores as dificuldades est o no acoplamento do modelo com os dados Aqui introduzimos algumas defini es que facilitam o ente
17. Um atleta deseja encontrar uma dieta otimizada ou seja um programa alimentar com tipos e quantidades de alimentos que atendam s suas necessidades m nimas Os alimentos devem ser escolhidos de forma a minimizar o pre o total Os dados do problema s o e N alimentos tais como arroz feij o alface etc e M tipos de subst ncias alimentares como prote nas lip dios etc e c o pre o unit rio do alimento n e amn a quantidade de subst ncia m contida em cada unidade de alimento n e e bm a quantidade minima de subst ncia m a ser ingerida pelo atleta Exerc cio modele o problema em programa o matem tica 1 Vari veis x quantidade de alimento n a ser comprada e ingerida n 1 N 2 Restri es Gal T dado T T AL NUN gt b Q211 T Ag9 q T T aNIN gt b Qmiti Q ue Guntn gt bm onde 21 2 0n 2 0 4 1 As Sub reas da Otimiza o 3 Fun o objetivo f cx C2 2 CNEN 4 Formulagao compacta Minimize cla ze RN Sujeito a Ax gt b 1 2 xr gt 0 1 3 Programa o Linear Inteira Uma variedade de problemas reais podem ser formulados com o emprego de vari veis discretas Dentre eles citamos o problema de agendamento de trens o problema de agendamento de tripula es de avi es e o problema de aloca o em sistemas de teleco munica es Todos estes problemas t m uma caracter stica em comum fazem uso de vari veis inteiras ou discre
18. convexa assumindo que f x gt 0 EX 2 5 Seja f x uma fun o quadr tica f x 327 Qu bTx onde Q sim trica e positiva definida O algoritmo de descenso pode ser descrito como segue Seja xo E R o ponto inicial k 0 Enquanto V f x gt 0 e k lt itbound fa a Pr V f rx Ley Tk QkPk onde ay argming f k apr a gt OF k k 1 Fim Implemente esse algoritmo em Matlab Sua fun o script deve receber como par metros de entrada Q b xo e gerar a sequ ncia xx Use como toler ncia o 102 e itbound 100 Rode experimentos para exemplos onde n 2 eb 0 com as seguintes matrizes a uma matriz Q cujo condition number K Q 10 e 2 Minimiza o de Fun es com o M todo de Descenso 29 b uma matriz Q para a qual Q 100 Para construir a matriz Q tome D 0 1 0 0 1 escolha uma matriz rand mica e ortogonal P PTP I e finalmente fa a Q P DP e xo P 1 0 1 para a parte b fa a o mesmo mas utilize 0 01 em vez de 0 1 nos dois lugares Apresente os resultados em tabelas bem como em figuras juntamente com os dados utilizados nos experimentos Q o etc EX 2 6 Para a f x appz mostre que 6 0 V f 1 app pp sendo Q QT EX 2 7 Mostre que 7 1 aiQ 2x lt max X o I aQ Hlx 2 sendo Q QF EX 2 8 Mostre que os autovalores de 1 aQ s o iguais a 1 a A 2 onde A s o os autovalores de Q EX
19. n pois de outra forma seria mais lucrativo utilizar a mat ria prima para gerar produto 7 e vend lo no mercado 6 Programa o Linear 75 O problema a ser resolvido pelo gerente ent o fica m P Minimize 53 dw i l Sujeito a m De ajwi 2 j PS dys taht i l Agora efetue a mudan a de vari vel conforme segue Wi Z pi W Y Peyst gt 0 amp wi yit pi eyi 20 Em termos das vari veis y o problema se torna P Minimize d b y E bipi Sujeito a a agyi api gt 05 Eae RE tS ERR Uma vez que b p uma constante para todo i o problema pode ser expresso na forma abaixo P Minimize 3 biyi Sujeito a a S ayy gt c j lafi 7 gt 0 Se a Veremos na sequ ncia que Pz o problema dual de Pp 6 2 O Problema de Programa o Linear Programa o linear PL envolve a escolha de valores para vari veis de forma tima As vari veis x s o ditas vari veis de decis o O objetivo em PL sempre maximizar minimizar uma fun o linear Minimize cx coxo Cnn sob restri es da forma Q E 8 E Q N 8 N Q 3 X 3 WV ll A Ss 76 6 Programa o Linear f cil converter uma restri o do tipo lt em outra equivalente do tipo P ai a2 2 ann s b ati a2 2 Ann LOS nen s gt 0 az Geta nzn S b at Haro Ant 20 nen s20 A vari vel s dita vari vel de folga
20. o con forme o problema de aloca o de pessoas a tarefas visto em cap tulo anterior Note que o problema de aloca o pode ser eficientemente resolvido fazendo uso de algoritmos para fluxo em redes de custo m nimo 11 3 2 O Problema da Mochila O problema da mochila expresso em programa o matem tica na forma PM Maz 2 Cr J sa E ajz lt b 11 6 j l a 0 1 j 1 n 176 11 Programa o Inteira Relaxa es e Algoritmo Branch and Bound Uma primeira relaxa o pode ser obtida ao tomarmos os valores inteiros imediatamente inferiores aos pesos dos objetos RP Max 5 cx j 1 s a 3 palm 11 7 E OD 1 n que por sua vez equivalente ao problema RP Max Dir s a S lala lt Lb 11 8 x 0 1 j 1 n 11 4 Relaxacao Lagrangeana Primeiramente considere o problema em programa o inteira na forma abaixo PI z Mar cr 11 9 sa Ar lt b 11 10 ceXcZ 11 11 Como visto acima uma relaxa o pode ser obtida ao eliminarmos o conjunto de res tri es Ax lt b Em vez de eliminar Ax lt b a relaxa o Lagrangeana incorpora estas restri es na fun o objetivo como segue RL z Maz x u b Az 11 12 sa LEX 11 13 u gt 0 11 14 Proposi o 11 4 Seja z u Max cx uT b Ar x X Ent o z u gt z para todo u gt 0 De acordo a Proposi o 11 4 a solu o tima do problema RL para u gt 0 qualquer induz um limite
21. t 3W1 3 W2 w 3 wi _ w2 3 3 3 3 Portanto encontramos uma solu o tima do problema original onde z 5 e T2 E com valor objetivo igual a 3 6 Programa o Linear 85 6 4 Dualidade Associado a um problema de programa o linear P primal est outro problema de programa o linear chamado de dual e denotado por D H v rias consequ ncias te ricas e pr ticas resultantes da teoria da dualidade Por exemplo qualquer solu o para D induz um limite para o valor timo da fun o objetivo de P o problema primal e vice versa 6 4 1 Motiva o Considere o problema exemplo abaixo P Maximize 427 343 Sujeito a 321 t2 3 lt 3 T1 Ta T3 gt 0 Qualquer solu o fact vel para P induz um limite inferior Por exemplo x 1 0 0 nos diz que o valor timo da fun o objetivo 6 gt 4 Usando a solu o x 0 0 3 descobrimos que 6 gt 9 Qu o pr ximo do timo est o estes limites inferiores Vamos multiplicar a primeira restri o de 6 17 por 2 multiplicar a segunda restri o por 3 e depois adicion las como segue N 3 3x T2 z3 lt 3 3 lla 0X9 323 lt 11 Note que 41 2 323 lt lla 522 3x3 lt 11 pois x gt 0 Assim conclu mos que 9 lt 0 lt 11 Para obtermos limites superiores mais apertados utilizamos o mesmo pro cedimento mas desta vez com vari veis em vez de n meros espec ficos Multiplicamos as re
22. 120 34 4779 51 0228 27 0 o Se cada agente m busca iterativamente minimizar os seus custos implementando a decis o m que minimiza fm em resposta aos valores de ym podemos afirmar que as itera es x k convergem para um ponto fixo x Um ponto dito fixo se as decis es dos agentes n o se alteram Tal ponto tamb m conhecido como ponto Nash Se existir um ponto Nash este ponto um nico Podemos afirmar que o ponto Nash um ponto Pareto solu o global tima Capitulo 8 Fluxo em Redes Neste capitulo nos concentraremos em problemas de programacao linear que apre sentam uma estrutura de redes ou seja problemas cujas vari veis adv m de valores a serem definidos para os arcos de um grafo direcionado Na literatura existem algorit mos espec ficos para resolver problemas desta classe de uma forma mais eficiente do que com algoritmos de prop sito geral O problema mais geral desta classe o problema de fluxo em redes de custo m nimo para o qual uma variedade de problemas pr ticos podem ser reduzidos e resolvidos eficientemente Visando motivar o estudo da otimiza o em redes a Se o 8 1 apresenta os pro blemas cl ssicos de transporte e de aloca o Ambos foram estudados extensivamente na literatura e podem ser reduzidos ao problema de fluxo de custo m nimo Na Se o 8 2 investigaremos o problema de fluxo m ximo que corresponde a enviar a quantidade m xima de fluxo de um v rtice fonte
23. Lyn_1 Ln lt A and PSAiys i pe ty eh Jn 2 N min 3b b se Lyn_o In 1 In lt A Jn 2 N 2 JN 1 N Jn 2 n 1 JN N E assim sucessivamente at obtermos J Uma an lise inicial nos leva a deduzir que o c mputo de J consome O j i 1 opera es elementares Portanto o custo total para resolu o das recorr ncias O N consumindo tamb m O N unidades de m moria para armazenamento das tabelas J i j 1 N Podemos melhorar a an lise observando que n o necess rio computar Jij se iolk gt A j que neste caso a subcadeia w Wi 1 wj n o pode ser acomodada na linha Assim um algoritmo mais eficiente pode ser obtido com base nesta observa o o qual ter complexidade O N min A N que ser mais eficiente quando o n mero de palavras for maior do que o comprimento da linha O algoritmo ser linear no tamanho da entrada EX 14 4 As respostas est o enumeradas abaixo a Seja g b o comprimento do caminho mais curto de s at k com custo m ximo b Ent o podemos formular o problema de forma recursiva gs b 0 para b 0 B gk 0 00 para todo k V s gx b min g b 1 min g b cik wie J k E A Cik lt b keV s be 1 B b As recorr ncias podem ser resolvidas atrav s do algoritmo a seguir O algo ritmo tamb m mat m os par metros 7 b o qual nos d o predecessor de k no caminho mais curto de s at k com custo m
24. M Minsky and S Papert Perceptrons MIT Press 1969 T M Mitchell Machine Learning McGraw Hill 1997 J Nocedal and S J Wright Numerical Optimization Springer Verlag 1999 D A Pomerlau Robot Learning chapter Knowledge based training of artificial neural networks for autonomous robot driving pages 19 43 Kluwer Academic Publishers 1993 H D Sherali On mixed integer zero one representations for separable lower semicontinuous piecewise linear functions Operations Research Letters 28 155 160 2001 R J Vanderbei Linear Programming Foundations and Extensions Kluwer Academic Publishers second edition 2001 H P Williams Model Building in Mathematical Programming John Wiley 4th edition 1999 L A Wolsey Integer Programming John Wiley amp Sons 1998 S J Wright Primal Dual Interior Point Methods Society for Industrial and Applied Mathematics 1997 H Yaiche R R Mazumdar and C Rosenberg A game theoretic framework for bandwidth allocation and pricing in broadband networks IEEE ACM Transacti ons on Networking 8 5 667 678 October 2000 286 Refer ncias Bibliograficas Ap ndice A Exercicios Resolvidos 288 A Exercicios Resolvidos A 1 Introdu o a Otimiza o EX 1 1 Seja x o n mero de unidades do produto x a serem produzidas enquanto y o n mero de unidades do produto y O problema pode ser colocado em programa o matem tica como Maximize x y oy Sujei
25. Sujeito a F z gt 0 i 1 m onde F x gt O significa que a matriz F x deve ser positiva semi definida linear matriz inequality 1 11 1 Exemplo Considere o seguinte sistema din mico t Ar Uma condi o suficiente para que o sistema convirja para x 0 medida que t gt ov a partir de qualquer estado inicial x 0 a exist ncia de uma fun o V x com as seguintes propriedades e V x positiva definida ou seja para todo x 0 tem se V x gt 0e V 0 0 e V x lt 0 para x 40 Tal fun o conhecida como fun o Lyapunov Como encontrar tal fun o Seja V x 7 Px para P gt 0 Neste caso V x satisfaz a condi o de ser positiva definida Como fazer para satisfazer a segunda condi o d d p oye Tp a T Pr x Pi zT A Pr af P Az g AT P PA g 14 1 As Sub reas da Otimiza o Ent o a condi o V lt 0 equivalente a A7P PA lt 0 O problema de encontrar uma fun o Lyapunov quando esta existe pode ser colocado em programa o matem tica Minimize cx Sujeito a Pays A P x P z A lt 0 onde P x gera o espa o de matrizes sim tricas 1 12 Refer ncias A modelagem em programa o matem tica tanto arte quanto ci ncia Pode se dizer que um problema bem formulado pode ser resolvido eficientemente com algorit mos de prop sito geral A habilidade de modelar depende da experi ncia intui o e conhecimento dos algoritmos que podem ser empre
26. d Veo x d gt 0 9 Rs d Vf d2 0p 5 Figura 16 8 Regi o de descenso vazia onde Ay um vetor com os multiplicadores de Lagrange Quando nenhuma dire o de descenso de primeira ordem existe no ponto x temos que V L a r 0 para algum A gt 0 16 28 Ao aplicarmos a condi o de complementaridade a ambas as restri es obtemos Aici a 0 e Akco x 0 16 29 Para 2 42 0 temos que Vf Vala 2 2 POERA IES 2 e t Portanto f cil verificar que V a A O quando selecionamos A como 1 _ 2 2 ita Vamos agora examinar o comportamento do Lagrangeano em outros pontos Para x 42 0 novamente ambas as restri es est o ativas Contudo V f x n o est na regi o definida por R d Va x Td gt 0 i 1 2 Ver Figura 16 9 O ponto d 1 0 uma dire o de descenso de primeira ordem a qual satisfaz as condi es 16 26 e 16 27 Note que vali on 8 28 woi 2 9 238 16 Programa o N o Linear Restrita Fundamentos e Condi es de Otimalidade R x 2 a7 22 gt 0 V2 xo gt 5 Vala Figura 16 9 Ambas as restri es Para x 1 0 apenas a restri o cz est ativa Linearizando as restri es e a fun o objetivo uma dire o de descenso deve satisfazer as seguintes desigualdades ci a Va x td gt 0 14 Vc x fd gt 0 c t Veo r d gt 0 Vce x Td gt 0 16 30 Vf x d l
27. gn zn X Gulab Ue We 15 2 onde gn zn o custo terminal no fim do processo No entanto porque temos elementos estoc sticos o custo em geral uma vari vel rand mica e n o pode ser simplesmente otimizada Devemos portanto otimizar o custo esperado i e a esperan a matem tica do custo N 1 EX Gn amp n gt Gu Lk Uk We 15 3 k 0 E importante ressaltar que o valor esperado 15 3 calculado com respeito a dis tribui o conjunta das vari veis rand micas w1 w2 wn 1 Note tamb m que a otimiza o sobre os controles uo u1 UN 1 que correspondem s vari veis cujos valores podem ser definidos pelo controlador 15 1 1 Exemplo Controle de Invent rio Considere o problema de solicitar um certo item de produto a cada um de N per odos de maneira a atender uma demanda estoc stica Aqui adotamos a nota o abaixo e x estoque no in cio do k simo per odo e ux quantidade de produto e e w demanda durante o per odo k obedecendo uma certa distribui o de proba bilidades Assumimos que wo W1 WN 1 S o vari veis rand micas independentes e que o excesso de demanda suprido t o logo itens adicionais sejam adquiridos Portanto o estoque evolui de acordo com a express o abaixo Tk41 Tk Uk Wk 15 4 O custo incorrido no periodo k apresenta dois componentes 15 Programa o Din mica Dom nio Cont nuo 217 a custo r x representando a penalidade p
28. lt z iii Cortando devido infactibilidade do subproblema S 11 Programa o Inteira Relaxa es e Algoritmo Branch and Bound 181 Lembramos aqui que os limites primais inferiores s o obtidos com solu es fact veis enquanto que os limites duais superiores s o obtidos atrav s de relaxa o ou dualidade imediata a aplica o da t cnica de enumera o com base nas id ias acima apresentadas No entanto as seguintes quest es s o de relev ncia i Que problema de relaxa o ou dual deve ser empregado para obter se limites supe riores s vezes podemos tirar vantagem da estrutura do problema na concep o de procedimentos de dualidade como por exemplo a relaxa o Lagrangeana das restri es de grau 1 do problema do caixeiro viajante ii Como devemos decompor S em S1 U U Sg N o incomum se fazer valer de uma heur stica que explora a natureza particular de um problema iii Em que ordem devemos examinar os subproblemas Duas estrat gias empregadas s o a busca em profundidade depth first search e a busca pelo melhor ramo best first search 11 5 3 Algoritmo Branch and Bound B amp B B amp B um m todo de enumera o impl cita para resolver problemas de programa o inteira que utiliza programa o linear para calcular os limites duais Ilustramos o fun cionamento do algoritmo atrav s de um exemplo Consideraremos o problema exemplo abaixo S z Max 42 2 sa 7
29. n m B o conjunto com os ndices das vari veis n o b sicas Inicialmente vamos assumir que 74 0 0 induz uma solu o 82 6 Programa o Linear fact vel o que equivale a dizer que b gt 0 para i 1 m Durante a aplica o do algoritmo Simplex o dicion rio assumir a forma Cj ERR 14 ti bi 5 ij j vie B 6 JEN onde c conhecido por custo reduzido da vari vel nao b sica x La o de Itera o No que segue descrevemos os passos do algoritmo Simplex i Escolha um k j M c gt 0 Se n o existir nenhum k com tal propriedade ent o a solu o corrente tima A vari vel x dita vari vel que entra na base ii A vari vel que sair da base escolhida de forma que a solu o subsequente continue vi vel i bi dk Vieb bi Bata gt 0 vie B Considerando a ltima desigualdade surgem tr s casos a Se n o existe Gj gt 0 i B ent o o problema ilimitado unbounded b Se existe b 0 e Gx gt O para algum i B ent o x a vari vel que sai da base e o pivoteamento dito degenerado Pivoteamento compreende todos os passos envolvidos em uma mudan a de base O pivoteamento dito degenerado porque uma vari vel entrou na base com valor nulo e con sequentemente n o aumentou o valor da fun o objetivo Os c Se os dois casos acima n o ocorrem ent o a vari vel que sai da base lel ieB ax b m ximo
30. o linear P e Pz s o dadas para o pro A Exercicios Resolvidos 304 blema P Segue a formula o P Py Min Dd j l S a dj lt afz b lt dj Gleam d gt 0 jg l m l lt a lt u ai az Ey sendo A e aj ER j 1 m Um Segue a formula o P P gt Min di ej e J S a a x bj ef j 1 m Erer 20 7 1 m l lt a lt u A Exercicios Resolvidos 305 A 7 Teoria dos Jogos EX 7 1 Aplicando o formalismo apresentado pode se verificar que a estrat gia tima do agente coluna z 1 4 z2 3 4 e z3 enquanto que a estrat gia tima do agente linha y 3 4 yo 1 4 e y3 0 O jogo n o justo tendo valor 0 75 o que indica uma ligeira vantagem para o agente coluna EX 7 2 Seja A o jogador linha e B o jogador coluna A matriz do jogo pode ser expressa como 5 5 dE 10 E i Quais s o as estrat gias timas Seja ys y10 a probabilidade do jogador A esconder a moeda de 5 centavos 10 centavos Seja x5 x19 a probabilidade do jogador B esconder a moeda de 5 centavos 10 centavos Resolvendo o problema pode se verificar que 2 et 24o 1 2 1 2 y y5 Yio 2 3 1 3 ii Qual dos jogadores tem vantagem Nenhum dos jogadores tem vantagem pois o valor do jogo z w 0 iii Resolva o problema para quaisquer denomina es Tomemos primeiramente a matriz A do jogo como sendo a a a O prob
31. o n o linear Minimizef a 19 48 Sujeito a Ci z 0 i E 19 49 Cx gt 0 ie 19 50 Para definir o subproblema agora linearizamos tanto as restri es de igualdade quanto as de desigualdade de forma a se obter Minimize S PTWP V JEP 19 51 Sujeito a VC z P Cz 0 icE 19 52 VC z P C z gt 0 icl 19 53 Podemos ent o utilizar um dos algoritmos de programa o quadratica existente na literatura tal como o algoritmo de conjuntos ativos Um m todo SQP local segue portanto do algoritmo 19 5 2 com uma pequena mo difica o o passo Py e a estimativa do multiplicador de Lagrange A s o definidos conforme solu o do problema 19 51 O resultado a seguir mostra que esta abordagem eventualmente identifica o conjunto ativo timo para o problema 19 48 280 19 Programa o N o Linear sob Restri es Algoritmos Teorema 19 5 3 1 Suponha que x uma solu o para 19 48 Assuma que a matriz Jacobiana A do conjunto de restri es ativas no ponto x possui posto de linha cheio e que d W d gt 0 para todo d 0 tal que A d 0 e que complementaridade estrita garantida Ent o se k Ax suficientemente pr ximo de x N existe uma solu o local do subproblema 19 51 cujo conjunto ativo A id ntico ao conjunto ativo A x do problema n o linear 19 48 no ponto x 19 5 4 Implementa o de SQP Existema pelo menos duas formas de se implementar SQP A primera abordagem resolve
32. s1 S n usando apenas cadeias da ta bela Por exemplo se nossa tabela cont m a ba abab b e a cadeia de dados bababbaababa ent o a melhor forma de codific la b abab ba abab a consu mindo um total de 5 palavras Desenvolva um algoritmo de tempo O nmk para encontrar a codifica o tima Assuma que os s mbolos elementares e g a e b aparecem como cadeias na tabela Ilustre o funcionamento do seu algoritmo em pelo menos dois exemplos EX 14 3 Desejamos quebrar uma sequ ncia de N palavras em linhas de comprimento A Seja wj wny as palavras e Ly Ly os respectivos comprimentos des tas palavras Em uma vers o simples do problema desconsiderando hifena o e custos n o lineares as palavras s o separadas por espa os brancos de compri mento b mas espa os brancos podem ser alongadas ou reduzidos se necess rio de forma que uma linha wi w 1 Wiyk tem comprimento A exato desde que Liz lt A O custo associado com a linha k 1 b b onde b A Li Li k k 1 o tamanho m dio dos brancos exceto se a linha a ltima linha sendo neste caso o custo igual a zero se b gt b Tarefas a Coloque este problema no formalismo de programa o din mica Sugest o considere os subproblemas de separar as sequ ncias w Wv 1 N de forma tima 212 14 Programa o Din mica Dominio Discreto b Proponha um algoritmo de programa o din mica
33. 0 dito par metro de barreira O minimizador da fun o 17 3 tende para uma solu o do problema original medida que u se aproxima de zero sob certas condi es Novamente a estrat gia encontrar um minimizador aproximado para uma sequ ncia decrescente de valores de L 17 Programa o N o Linear Fundamentos de Algoritmos 245 17 1 3 O M todo Lagrangeano Aumentado Neste m todo procura se combinar as propriedades da fun o Lagrangeana 17 4 e da penalidade quadr tica 17 2 L a y X raz A420 EF 17 4 icEUT Quando o problema 17 2 possui apenas restri es de igualdade a fun o Lagrangeana aumentada toma a forma L x A u J A a z lis gt dt 17 5 1 E ME M todos baseados na fun o 17 5 procedem fixando a alguma estimativa dos multiplicadores de Lagrange timos e u a um valor positivo depois encontram um valor x que aproximadamente minimize L x A u O iterando x utilizado para recalcular o valor de A permitindo que u talvez seja decrescido 17 1 4 M todo Seqtiencial Linear Esses m todos minimizam a cada itera o uma certa fun o Lagrangeana sujeito a uma lineariza o das restri es 17 1 5 Programa o Quadr tica Sequencial A id ia aqui modelar o problema 17 1 como um subproblema quadr tico a cada itera o e definir uma dire o de busca como solu o deste subproblema Mais especificamente no caso de existirem apenas restri e
34. 0 e Equanto T gt Tmin fa a Repita para n 1 at 100N Obtenha uma solu o alternativa s perturbando s Se E s lt E s ent o ses Se E s lt Elsvest ent o Sbest T S Fim se Caso contr rio ae _ Els Els Fa a s s com probabiblidade dada por e 7 Fim se Fim repita Tr lt 0 987 ke k 1 e Fim Enquanto 3 6 8 9 5 De dr 4 Figura 4 9 Ilustra o dos operadores de perturba o 4 4 Refer ncias Os livros de Davis 15 e de Goldberg 24 trazem uma discuss o ampla da filosofia por tr s dos Algoritmos Gen ticos apresentam elementos te ricos e aplica es Tais 4 Otimiza o N o Diferenci vel 59 refer ncias s o indicadas para um aprofundamento na teoria e aplica es de Algoritmos Gen ticos Recomendamos ainda dois surveys sobre Algoritmos Evolucion rios um voltado para a solu o de problemas n o lineares inteiros mistos 13 e outro voltado para problemas encontrados nas reas de sistemas e teoria de controle 19 Para um estudo te rico da propriedade de converg ncia global do m todo simulated annealing o leitor pode consultar o livro de Aart e Korst 1 4 5 Exerc cios EX 4 1 O Problema de Bi Parti o M xima em Grafos Seja V E um grafo n o direcionado cujas arestas possuem pesos n o negativos Uma aresta u v E E possui peso w u v Para dois conjuntos A e B de v rtices definimos w A B o peso total das a
35. 1 Este algoritmo consiste em um algoritmo de descenso que objetiva minimizar o erro entre as sa das da rede e os valores desejados Em programa o matem tica este problema pode ser especificado como M P Minimize E u 15 5 _ loj 2 ale k 1 jeSaida w R onde w o vetor com os pesos sin pticos de todos os arcos de G e 0 x a sa da da j sima unidade da camada de sa da da rede neural 5 Treinamento de Redes Neurais Um Problema de Otimiza o 69 hy aee rd olen tres es 8 MS dU otis fr Ries cet ett oad o x tro 1 2 gt x Figura 5 8 Fun o sigmoid Redes multi camada com unidades sigmoid podem representar fun es n o lineares de elevada complexidade Elas podem ser utilizadas em reconhecimento de voz iden tifica o e modelagem de processos n o lineares e predi o de grandezas econ micas Na Figura 5 9 ilustrado um sistema neural para reconhecimento de palavras que toma como entrada dois sinais com a intensidade de duas frequ ncias F Hz head hid who d hood F Hz Figura 5 9 Sistema neural para reconhecimento de palavras 5 5 Refer ncias O presente cap tulo uma s ntese da parte de Redes Neurais do livro de Mitchell 38 Para uma exposi o rigorosa do algoritmo back propagation recomendamos o livro de Bertsekas 9 70 5 Treinamento de Redes Neurais Um Problema de Otimiza o Uma abordagem unificada de Redes Neur
36. 2 match custo 0 3 match custo 0 4 match custo 0 5 match custo 0 6 match custo 0 7 delete custo 1 8 match custo 0 9 match custo 0 10 match custo 0 11 substitute z gt j custo 1 12 match custo 0 13 match custo 0 14 5 Exerc cios EX 14 1 Implemente o algoritmo que calcula a dist ncia entre uma cadeia de s mbolos padr o p p1 p2 Pn um texto t ty te tm em qualquer linguagem e g awk shell script C C Pascal ou at mesmo Matlab Produza uma vers o onde p pode aparecer em qualquer posi o de t e outra onde o empare lhamento deve ser perfeito Ilustre a execu o dos algoritmos implementados para uma duas inst ncias 14 Programa o Din mica Dominio Discreto 211 T p e cid Ed fo Ao a a Ro cd plo 2 3 4 5 67 8 9 a DE Bde Ge BE O DZ 3 4 5 6 7 8 9 101112 6 3 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 aja 3 2 345 6 7 8 9 10 alela G 2 4 5 67 8 9 eles a 3 2008 4567 el OR UR O 4 5 6 7 Ms il9l8 7 6 5 4 4 4 3 a i E 4 10 9 8 7 6 5 5 5 4 3 TY 5 k 11 109 8 7 6 6 6 5 4 4 A pazili TO Oe T Ts S A Figura 14 2 Valores D i j calculados pelo algoritmo DP ao calcular a dist ncia de edi o minima entre o padr o P abcde fghijkl e o texto T bcdef f ghixkl EX 14 2 Considere a seguinte t cnica de compress o de texto N s dada uma tabela com m cadeias de s mbolos cada uma de comprimento m ximo k Desejamos representar uma cadeia de dados s
37. 29 M m 1 ia 0 0 A E 0 T4 BM Substituindo as constantes com grandeza f sicas em A 10 obtemos os ssi tema de equa es E ot offs 0 to 00 0 4780 0 x 0 0976 Se or o SEIS 0 4 10 i o 0 20 0780 0 z 0 0976 EX 15 7 O problema pode ser modelado como um processo Markoviano conforme Figura A 15 onde S o estado inicial Sp Sr o estado intermedi rio com valor par mpar e Fp Fr o estado terminal com valor par mpar Conhecemos o valor dos estados terminais 100 J Fy 100 5 342 A Exercicios Resolvidos Podemos ent o calcular o valor timo dos estados intermedi rios J Sp max rola dado A rola dado Bh 1 1 max 110 x 5 100 x 9 110 x 0 3 100 x 0 7 max 5 37 37 max rola dado A rola dado B max 110 x 0 5 100 x 0 5 110 x 0 7 100 x 0 3 max 5 47 0 J S1 Logo a pol tica tima para os estados Sp e Sr m Sp B u Sr A Continuando o processo recursivo calculamos o valor do estado inicial S J S max rola dado A rola dado B 1 1 max J Sp x 5 J S1 x 57 I Se x 0 3 J S1 x 0 7 max 16 7 6 16 Portanto a a o tima para o estado inicial S A Obtemos uma politica tima 7 u S w Sp u Sr A B A 1 2 1 2 110 100 Figura A 15 Processo Markoviando do jogo par mpar A Exercicios Resolvidos 343 A 16 Programa o N o Linear Sob Restri
38. A 11 Programa o Inteira Relaxa es e Algoritmo Branch and Bound EX 11 1 Seja P o problema original dado por P Maximize 17 9x 76 8 89 673 97 1y 31 3y5 Wi Sujeito a 60 92 68 922 69 073 56 9y 22 5y2 86 5 86 82 32 7 x9 24 323 13 8y 12 6y2 lt 77 3 10 92 3 622 40 823 43 9y 7 1yo lt 82 3 1 2 3 gt O e inteiro Y Y2 20 Bounding Resolvendo a relaxa o R P obtemos a solu o x 1 496 xo 0 x3 5 021 y 6 1697 e yo 0 e o limite superior 1165 para o valor objetivo da solu o tima Branching Quebrando o problema em dois subproblemas P PN x x lt 1 e Pa PA zx gt 2 obtemos a rvore branch and bound da Figura A 5 1165 00 xl lt 1 xl gt 2 Figura A 5 rvore branch and bound parcial Bounding Resolvendo a relaxa o R P do problema Pz obtemos a solu o z 2 2 0 z3 2 675 y 3 8642 e yo O com valor objetivo 771 Branching Como a solu o da relaxa o R P2 n o fact vel para o problema original um limite inferior n o foi obtido e temos que quebrar o problema P em dois subproblemas Assim obtemos P P N x 273 lt 2 e Py PN ax x3 gt 3 resultando na rvore branch and bound dada na Figura A 6 Bounding Resolvendo a relaxa o R P 2 detectamos que o problema in fact vel portanto o n correspondente ao problema P fechado devido a in factibilid
39. EX 10 5 Considere cada uma das rela es l gicas envolvendo vari veis 0 1 Expresse estas rela es como restri es lineares possivelmente atrav s do uso de vari veis 0 1 adicionais da forma mais apertada poss vel 10 Fundamentos de Programa o Inteira 171 Figura 10 8 Grafo da inst ncia do problema do caixeiro viajante 1 yi igual a a x 2 Se z 1 ent o 2 23 1 3 4 x3 1 se e somente se x 1 ou zz 1 mas n o ambas 2 podem assumir todos os valores 0 1 poss veis exceto z 0 e z2 1 EX 10 6 Seja a ao an uma sequ ncia de d gitos bin rios como indicado Por exemplo a 001111011010 uma seqii ncia com n 11 i Como voc modelaria em programa o matem tica o problema de calcu lar zj j 0 n onde x j k o comprimento da subsequ ncia ak An41 4 1 mais longa de 1 s que termina em a 14 Defina x 0 Note que se a _ 0 ent o x 0 ii Para esta mesma quest o suponha que voc deseja impor uma restri o de que a subsequ ncia mais longa de 1 s seja no m ximo l Como voc expressaria esta restri o em programa o matem tica iii Para esta mesma quest o suponha que voc deseja impor a restri o de que cada subsequ ncia de 1 s tenha comprimento m nimo lmin exceto ser for uma subsequ ncia no extremo direito de a Como voc expressaria esta restri o em programa o matem tica
40. EX 10 7 Uma empresa de distribui o de pacotes tem um conjunto de caminh es motocicletas e outros ve culos para entrega de pacotes Seja M o n mero de pacotes a serem distribu dos onde cada pacote m tem um peso Wm e deve ser entregue no ponto p Seja N o numero de ve culos da frota da empresa tendo o ve culo n uma capacidade de transporte un Suponha que conhecida uma rota rn para cada ve culo n sendo esta caracterizada por um conjunto de pacotes que podem ser entregues pelo ve culo n e onde cn o custo para alocar o ve culo a rp Como voc modelaria o problema de alocar ve culos de forma que cada pacote fa a parte da rota de pelo menos um ve culo alocado e tal que o custo total seja o menor poss vel EX 10 8 No problema de rede de abastecimento dado um conjunto S x1 y1 Zn Yn de localiza es que dever o receber abastecimento Dois 172 10 Fundamentos de Programa o Inteira tubos mestres um horizontal a ser instalado na altura y e um vertical a ser colo cado na posi o x ter o como ponto de conex o a coordenada x y Os pontos de abastecimento de S dever o ser conectados ao tubo mestre horizontal por um tubo secund rio vertical ou ao tubo mestre vertical por um tubo secund rio horizontal conforme ilustrado na Figura 10 9 Nosso problema determinar o ponto de instala o x y e decidir como que os pontos de abastecimento ser o conectados com o tubo mestre vertical ou
41. Fundamentos de Programa o Inteira 10 1 2 Airline Crew Scheduling O problema de alocar tripula es a v os sujeito a restri es f sicas temporais de seguran a e trabalhistas constitui uma tarefa rdua de grande impacto econ mico para empresas a reas tanto que a ind stria de avia o comercial americana possui depar tamentos de pesquisa operacional respons veis por problemas desta natureza Dados o itiner rio dos v os para um tipo particular de avi o um problema projetar a es cala semanal das tripula es onde cada tripula o deve ser designada para um per odo consistindo de um conjunto de v os que satisfa a uma s rie de restri es Dentre elas ressaltamos o n mero m ximo de horas de v o os per odos de descanso m nimo e a necessidade de que os v os sejam c clicos permitindo o retorno peri dico das tripula es s suas respectivas bases O problema encontrar uma escala das tripula es que mini mize o custo total que fun o do tempo de v o per odo de descanso e muitos outros fatores 10 2 O Que um Problema Inteiro Em palavras um problema inteiro se refere ao problema de encontrar um vetor de inteiros que minimize uma fun o linear deste vetor ao mesmo tempo que restri es lineares s o satisfeitas Formalmente o problema de programa o linear pode ser expresso em programa o matem tica como segue PL Maz Tx Ax lt b x gt 0 onde z R AC
42. L4 uma combina o de 19 15a e 19 15b Diferenciando se L4 com respeito x obt m se ViLa e u Vf 2 Y a Vc x 19 16 1 272 19 Programa o N o Linear sob Restri es Algoritmos A seguir vamos desenvolver um algoritmo que fixa o par metro barreira u a um certo valor u gt 0 na k sima itera o semelhante ao algoritmo apresentado na se o 19 2 2 fixa A na estimativa corrente A e executa minimiza o com respeito a q Usando x para denotar o minimizador aproximado de La x A u e fazendo uso de certos resultados te ricos podemos deduzir que ok Maer para todo i E 19 17 Rearranjando 19 17 obtemos clx p A rN para todo i 19 18 Portanto podemos concluir que se A pr ximo do multiplicador timo A ent o a infactibilidade em x ser muito menor do que py n o sendo mais proporcional a p Como poder amos atualizar a estimativa A de uma itera o para a seguinte de forma que a estimativa gradualmente se aproxime de A tendo como base a informa o corrente A equa o 19 17 sugere a formula k k l 0 yk Cx A ES AS 7 u para todo i 19 19 A discuss o acima nos leva a um algoritmo geral Algoritmo Lagrangeano Aumentado Dados u gt 0 toler ncia 7 gt 0 ponto inicial z e Para k 0 1 2 gt Encontre um minimizador aproximado x para L4 AM u partindo de
43. Lan le qm 3 9 Refer ncias Para um tratamento aprofundado e rigoroso do m todo de Newton recomenda mos o livro texto de Bertsekas 9 sobre programa o n o linear Para problemas de minimiza o de fun es os m todos quasi Newton diferem do m todo de Newton no sentido que os primeiros n o calculam a matriz Hessiana V2f x a cada iterando xp Em vez disso os m todos quasi Newton utilizam uma aproxima o B de V2f que atualizada com base na sequ ncia de pares o fo k fr Aqueles interessados em m todos quasi Newton e os que desejam resolver problemas de grande porte devem obrigatoriamente ler o survey de Dennis e Mor 16 Este artigo apresenta de forma clara e sucinta as regras de atualiza o de B propostas por Broyden B Davidon Fletcher e Powell DFP e Broyden Fletcher Goldfarb e Shanno BFGS 3 10 Exerc cios EX 3 1 Seja c x arctan x Encontre a regi o de converg ncia e a de diverg ncia do m todo de Newton EX 3 2 Considere o sistema de equa es n o lineares a seguir O log x 273 1 gt Ty 14 0 2 I D Implemente em Matlab o algoritmo de Newton para resolver o sistema acima Para cada um dos seguintes iterandos iniciais indique se o algoritmo converge e em caso afirmativo o ponto para o qual ele converge o 1 1 zo 1 1 xo 1 1 e zo 1 1 EX 3 3 Considere uma transforma o linear inversivel x Sy Escr
44. O comportamento do algoritmo pode ser ilustrado com a rede residual da Figura 8 4 Enviando a quantidade 6 p 9 3 de fluxo ao longo de po obtemos o fluxo x com rede residual G x dada na Figura 8 5 3 oy Figura 8 5 Rede residual G x para fluxo zt Para a rede residual G x o caminho p 1 2 3 5 4 6 um caminho aumen tante com capacidade 6 p min 1 1 2 3 2 1 Enviando a quantidade p ao longo de p obtemos o fluxo x e a rede residual G x conforme Figura 8 6 116 8 Fluxo em Redes 3 4 E 1 6 6 r2 Figura 8 6 Rede residual G x para fluxo 2 O caminho p gt 1 3 5 6 aumentante em G x e sua capacidade residual 0 p2 min 2 1 2 1 Enviando p2 unidades atrav s de py obtemos o fluxo x e a rede residual G x dada na Figura 8 7 Corte M nimo Figura 8 7 Rede residual G x para fluxo 2 A rede residual G x n o possui caminho aumentante acarretando a finaliza o do algoritmo Observe que os v rtices alcan veis a partir de s em G x s o os elementos do conjunto S 1 2 3 Note que S S forma uma corte s t em G tal que a capacidade u S S 5 precisamente o valor v do fluxo enviado de s para t segundo o fluxo x po enviou 3 unidades p enviou 1 unidade e p enviou 1 unidade perfazendo um total de 5 unidades enviadas Portanto S S um corte m nimo e o fluxo x um fluxo m ximo u S v Teorema 8 1 Caminho Aumen
45. Por exem plo considere o conjunto e as formula es equivalentes ilustrados na Figura 10 6 T2 Figura 10 6 Formula es alternativas Conforme a figura 10 6 a formula o P3 ideal podemos resolver o PL usando P3 sem restri es inteiras e sempre obtermos um ponto extremo inteiro portanto com P o problema pode ser resolvido em tempo polinomial Defini o 10 3 Dado um conjunto X C R o fecho convexo de X denotado por conv X definido como conv X x x combina o convera dos elementos de X Proposi o 10 1 conv X um poliedro Proposi o 10 2 Todos os pontos extremos de conv X pertencem a X Em princ pio podemos substituir o problema Maz ctx x X por Maz cz x E conu X Ent o qual a dificuldade pr tica em se realizar esta substitui o Tipicamente necessitamos de um n mero exponencial de desigualdades para descrever o poliedro de conu X e al m disso n o existe uma caracteriza o simples dos mesmos Defini o 10 4 Dado um conjunto X C R e duas formula es P e Py para X dizemos que P melhor mais apertada do que Py se P C Py 10 Fundamentos de Programa o Inteira 169 10 8 1 Formulagoes Equivalentes para o Problema da Mochila Vamos relembrar as tr s formula es alternativas para o problema da mochila su gerido na Se o 10 7 1 P reER 0 lt 2 lt 1 832 6lx 4973 2074 lt 100 P xeE
46. Treinamento de Redes Neurais Um Problema de Otimiza o Esquerda Em frente Direita Comandos Rede Neural Imagem de Entrada Figura 5 4 Rede neural do sistema ALVINN provenientes de c meras e microfones Mais especificamente RNs em combina o com o algoritmo de propaga o reversa back propagation s o adequadas para problemas com as seguintes caracter sticas e inst ncias que s o representadas por pares contendo muitos atributos m ltiplas entradas e m ltiplas sa das ou seja as dimens es dos vetores x e y e o atributo de sa da tenha um valor discreto real ou um vetor de valores no ALVINN por exemplo a sa da um vetor com cerca de 30 sa das cada uma representando a probabilidade de um comando e treinamento pode ser feito off line e a avalia o da fun o deve ser muito r pida para uso em aplica es de tempo real e a habilidade de se entender o significado da aproxima o n o necess ria o que pode ser um obst culo para o uso de redes neurais em aplica es de diagn stico m dico onde imprescind vel que o sistema justifique uma decis o e indique a sequ ncia de infer ncia que leva conclus o e e os exemplos de treinamento podem conter erros 5 Treinamento de Redes Neurais Um Problema de Otimiza o 65 5 2 Perceptron A Primeira Unidade Neural Marvin Minsky e Dean Edmonds construiram o primeiro computador neural em 1951 Ironicamente Min
47. Utilize um algoritmo para encontrar um circuito negativo w minfri i j w Aumente o fluxo a longo do circuito w de 6 unidades e atualize G x Fim enquanto Para aplicar o algoritmo s o necess rios dois algoritmos de suporte um algoritmo para encontrar fluxo fact vel inicial e um algoritmo para encontrar ciclo negativo 126 8 Fluxo em Redes Como que se pode encontrar um fluxo factivel Fazendo uso de um algoritmo de fluxo m ximo enunciado na Se o 8 3 podemos encontrar um fluxo fact vel Deixamos esses passos cargo do leitor Como que se pode encontrar caso exista um ciclo de custo negativo na rede residual G x correspondente a um fluxo Podemos fazer uso do algoritmo de Bellman Ford 12 para caminhos m nimos em grafos direcionados com arcos de custo negativo ou utilizar uma vers o modificada do algoritmo de programa o din mica de Floyd Warshall 12 que encontra caminhos m nimos para todos os pares de v rtices Complexidade do Algoritmo Um limite superior no n mero de opera es elementares executadas pelo algoritmo pode ser facilmente estabelecido Seja C max c i j A assumindo que c gt 0 e seja U max uj i j A Ent o mCU um limite superior para o custo do fluxo inicial onde A m Al m disso zero um limite inferior para o custo do fluxo timo Portanto o algoritmo termina em O mCU itera es onde V n Se utilizarmos um algoritmo com tempo de
48. V f x positiva semi definida Prova Pelo Teorema 2 1 V f x 0 Pela aproxima o de Taylor de segunda ordem podemos dizer que f x Ax f a 5427 V f a Ax Suponha que V f x n o positiva semi definida o que implica que existe Ax pequeno tal que Az WV f x Ax lt 0 Portanto f x Ax f x 5AzTV2 f x Ax lt f x e consequentemente x n o pode ser um timo local de f Teorema 2 3 Condi o suficiente de segunda ordem Suponha que V f x seja continua em uma vizinhan a de x V f x 0 e V f x seja positiva definida Ent o x um timo local estrito de f 20 2 Minimiza o de Fun es com o M todo de Descenso Prova Seja z r Ax um ponto na vizinhan a de x Para Ax suficientemente pequeno f x f x Az f 2 Vf 2 Ar tAa V f x Ax f x ArT V f a Ax gt f a porque Vf a 0 e V f x positiva definida A ltima desigualdade implica que todo x na vizinhan a de x x R tal que lx x lt 6 para 6 gt 0 pequeno o suficiente induz f x gt f x Observa o as condi es suficientes de segunda ordem n o s o necess rias ou seja uma solu o pode ser um m nimo estrito e mesmo assim n o passar no teste de sufici ncia Um exemplo simples a fun o f x xt Para esta fun o o ponto x 0 um m nimo local estrito cuja Hessiana n o positiva definida 3 Fun es Convexas
49. a pr xima de zero mas a dificuldade que na minimiza o de f p podemos obter um passo fora desta regi o Se torna portanto relevante considerar um passo de Newton restrito py obtido por meio da minimiza o de f p dentro de uma regi o pequena na vizinhan a do zero chamada regi o de confian a trust region per Argmin flp 3 13 lll lt ets onde 7 um escalar positivo Explorando o fato de que o problema 3 13 tem apenas uma restri o uma solu o aproximada pode ser obtida rapidamente importante enfatizar que mesmo quando V f x n o positiva definida ou at mesmo quando a dire o Newton n o uma dire o de descenso o passo de Newton 40 3 M todo de Newton Solu o de Equa es N o Lineares e Minimiza o de Fun es restrito py reduz o custo da fun o desde que V f x 0 e yk seja suficientemente pequeno Note que para todo p tal que p lt Yk Far p fe p olk e portanto farto fe pr olk Fa Mime VS t1 50 VS 7e p o a Denotando Pk meskes Vk WF ee RR temos Flite Pe lt Flee Vo Pa SOLID 08 nA i Ve Ty 2 Hx yell V Fere 4 VT op 1 Vf te VF rR olk Para 7 suficientemente pequeno o termo negativo 7 V f x domina os ltimos dois termos o que nos leva a concluir que f k4 1 lt f x Podemos tamb m observar que uma redu o nos custos pode ser obtida mesmo quando V f x O desde que y
50. by 0 Figura 8 13 Exemplo de rede residual custo corrente c x induzido pelo fluxo x Logo x nao pode ser uma solu o tima e portanto se z um fluxo timo ent o obrigatoriamente G x n o cont m ciclo com custo negativo Seja z um fluxo fact vel tal que G x n o cont m ciclo negativo Suponha que existe um fluxo timo x tal que z 4 Ent o podemos decompor o vetor diferen a x x em no m ximo A ciclos de incremento de fluxo com respeito ao fluxo x tal que a soma dos custos ao longo destes ciclos equivale a c x 2 Uma vez que a soma dos custos ao longo de cada um desses ciclos em G x n o negativa deduzimos que clz cTat gt 0 gt cx gt cTx Mas como x um fluxo timo cx lt cx Conclu mos que cx cTx e x tamb m um fluxo timo W Um algoritmo pode ser obtido imediatamente a partir da condi o de otimalidade estabelecida no Teorema 8 4 Basta encontrar um fluxo fact vel x obter a rede residual G a encontrar um ciclo w de custo negativo em G x e enviar a quantidade m xima de fluxo ao longo de w obtendo x e G x Se G x cont m um ciclo de custo negativo ent o repita o passo anterior caso contr rio pare pois o fluxo corrente uma solu o tima para o problema em quest o Os passos do algoritmo s o dados abaixo Algoritmo Cancelamento de Circuitos Negativos Obtenha um fluxo vi vel x Enquanto G x cont m um circuito negativo fa a
51. d 10 0 252 3 2523 Al 6 52 3 2523 yu 420 423 yY 3 23 6 Programa o Linear 89 Ao analisarmos o dicion rio do primal verificamos que a solu o tima dado que os coeficientes da linha da fun o objetivo s o todos negativos Analisando o dicion rio do dual verificamos que este fact vel e tamb m timo Para obter o dicion rio do primal a partir do dicion rio do dual obtenha a matriz transposta negativa e troque j por 2 e w por yi Observe que enquanto o primal n o for timo a solu o induzida pelo dicion rio do dual infact vel 6 4 5 Folga Complementar A folga complementar estabelece uma rela o alg brica entre a solu o primal tima e a solu o dual tima Tais condi es podem ser obtidas a partir das condi es de oti mamlidade de primeira ordem para problemas n o lineares the Karush Kuhn Tucker conditions a serem discutidas mais frente Para dar uma ideia da import ncia de tais condi es os algoritmos ponto interior primal dual 45 em ess ncia buscam valores para x y w 2 RC tal que x w seja primal fact vel y z seja dual fact vel e x y w z satisfa a as condi es de folga complementar Teorema 6 3 Suponha que x T1 an uma solu o primal fact vel e que y y Yn dual fact vel Seja w w Wm o vetor com as vari veis de folga do primal e z z1 Zn o vetor com as vari veis de
52. e Construa o problema dual Lagrangeano atrav s da dualiza o da restri o 30 19 413 lt 4 Qual o valor timo da vari vel dual e o correspondente valor dual timo e Por qu os valores timos nos dois casos acima s o iguais EX 11 3 Considere o problema de programa o inteira dado por P Maximize 17x 122 Sujeito a 102 Tx lt 40 z tt 5 XY lt 4 Ta lt 5 T1 2 20 T1 2 E Z Tarefas 11 Programa o Inteira Relaxa es e Algoritmo Branch and Bound 185 i Aplique o algoritmo de branch and bound e obtenha a solu o tima de P Ilustre o funcionamento do algoritmo Denotando por w e u os multiplicadores para a primeira e segunda res tri o respectivamente obtenha o subproblema Lagrangeano L u1 u2 du alizando as duas primeiras restri es Obtenha tamb m o Lagrangeano dual LD Para u 0 5 e ug 1 calcule o limite superior induzido pela relaxagao i e resolva o subproblema Lagrangeano Resolva a relaxa o cont nua de P programa o linear Compare a solu o da relaxa o cont nua com o limite calculado para u 0 5 eu 1 186 11 Programa o Inteira Relaxa es e Algoritmo Branch and Bound Capitulo 12 Algoritmos de Planos de Corte e Desigualdades Fortes Aqui iniciaremos o estudo de algoritmos branch and cut planos de corte que adici onam desigualdades v lidas relaxa o linear at que se obtenha uma solu o inteira Em outras pa
53. es Fundamentos EX 16 2 Vamos mostrar que o n mero de solu es que satisfazem as condi es KKT de primeira ordem finito e portanto o n mero de timos locais obrigatoria mente finito Tomemos o Lagrangeano L x A 2 100 0 0141 A 2 cos z1 Diferenciando obtemos Val 0 027 sin z A 11 Vol 2 z 100 A 12 Val Swe Cosy A 13 Uma vez que V 0 conclu mos a partir de A 12 que x2 100 Subs tituindo x em A 11 e A 13 e de VL 0 teremos 0 027 Asinz 0 A 14 0 A 15 A COS X1 3 100 Evidenciando em A 15 temos A 2 cosa 200 e depois substituindo em A 14 deduzimos que 0 02x 2 cos z sin x 200 sin z 0 A 16 A equa o A 16 pode ser colocada na forma h x1 g 21 A 17 onde h x1 0 02x e g x1 2cosx sinx 200sinx Note que g x1 peri dica limitada sendo g x1 202 202 Portanto a reta h x intercepta g x1 um n mero finito de vezes Da conclu mos que o n mero de solu es de A 16 finito portanto o n mero de solu es KKT tamb m finito EX 16 5 Em princ pio podemos utilizar o pacote do Prof Kunz fazendo g x f x f x f x 2 Note que g R R sendo g cont nua e diferenci vel pois f cont nua e diferenci vel Seja f fi x fala com f R gt R Ent o g x 0 amp f x tios 04 00 0 j 1 n amp x solu o de f z
54. metros que definem uma inst ncia e tem facilidades de trans fer ncia de dados Por exemplo dados podem ser transferidos atrav s de arquivos tipo texto e em formato ODBC 2 Xpress Optimizer Optimizer a parte central da ferramenta Xpress MP re presentando d cadas de pesquisa e desenvolvimento de m todos de solu o de problemas lineares quadr ticos e inteiros mistos A ferramenta disp e de algo ritmos de pr processamento para simplifica o de modelos m todos de gera o de cortes etc 136 9 Linguagens de Modelagem 3 Xpress IVE Xpress IVE The Xpress Interactive Visual Environment um am biente para modelagem e solu o integrada de problemas de otimiza o em siste mas MS Windows IVE apresenta Mosel dentro de uma interface gr fica amig vel com editor embutido 4 Console Xpress Consiste em interfaces tipo texto para Mosel e Optimizer Este m dulo permite a carga de modelos armazenados em arquivos tipo texto e re solu o de problemas podendo ser executado em plataformas computacionais diversas incluindo Unix e MS Windows O Console Xpress pode ser aplicado em ambientes de produ o fazendo uso de arquivos shell script 5 Xpress MP Libraries Para implementa es especializadas bibliotecas Xpress MP s o oferecidas para prover acesso direto a Mosel e Optimizer a partir de c digo C C Java e Visual Basic implementado e customizado pelo usu rio A vantagem principal das bibliotecas a poss
55. o tima difere apenas de qual vari vel b sica v w ou We Logo a l ey t 2 2 Assim a estrat gia tima do oo ie aL SA i s E agente coluna x x 5 e x 5 induzindo o jogo a ter valor v 0 A Exercicios Resolvidos 307 7 Para obtermos a estrat gia tima do jogador linha y vamos tomar o dual de P Py Min u S a Ga bdh u gt 0 Ya T byp r u 2 0 Ya T Yb it Ya Yo Z 0 Uma vez que v 0 segue que u 0 Observando que xi gt 0 e x gt 0 temos pelo Teorema da Folga Complementar que Aa byb Ya T byp Ya T Yo Logo podemos concluir que ya 0 0 gt w ya 1 E ey zy Em s ntese as estrat gias timas para denomina es a e b s o Ta Ly Ya Y NISNI Qa t gt Qa t 308 A Exercicios Resolvidos A 8 Fluxo em Redes EX 8 1 O problema de fluxo em redes de custo m nimo primal pode ser especificado como segue para uma rede G N A P Minimize gt Cijlij i j EA Sujeito a Tij DD Tji b i 1 N 5 4 j A 5 9 4 A Zij S Uy i j EA L lij i j EA O dual de P pode ser expresso como D Maximize X blijyi X ugwj SS lui iEN i j EA j EA Sujeito a C Ue te Ei i j EA Wij Vij gt 0 i j EA EX 8 2 a Formule o problema de caminhos m nimos de um v rtice s para um v rtice t como um problema de fluxo em redes Seja G N A um
56. o Din mica Dom nio Cont nuo 215 151 nro O sa E So Sas do Bad ER el Be ee ed 215 15 1 1 Exemplo Controle de Invent rio 216 15 1 2 Distin o Entre Otimiza o Open Loop e Closed Loop 217 15 2 O Problema B sico de Programa o Din mica 218 15 2 1 O Valor da Informa o ss cpa Ge woes aie eee See ak 218 15 3 O Algoritmo de Programa o Dinamica 219 15 3 1 Princ pio da Otimalidade We nbs De aie Da RIA E 4 219 15 3 2 O Algoritmo de Programa o Dindmica 219 15 4 Sistemas Lineares com Custo Quadr tico 220 15 4 1 Aplicando o Algoritmo de Programa o Dinamica 221 15 4 2 A Equa o de Riccati e seu Comportamento Assint tico 222 15 9 EXETCICIOS quo O uia us Emap e eyecandy te REY E A OM de RSS RE de 224 16 Programa o N o Linear Restrita Fundamentos e Condi es de Oti malidade 229 16 1 Teoria da Otimiza o N o Linear sob Restri es 2 02 229 16 1 1 Solu o Local x Solu o Global 004 230 16 1 2 Suavidade das Fun es Ga Pie PERE AGE RAS Sega 230 TO 2 Emilee vu mass dt eee De dete os dees Soe en ee en rs 231 16 2 1 Uma Restri o de Igualdade qse oad ado SAO a 232 16 2 2 Uma Restri o de Desigualdade 0 233 16 2 3 Duas Desigualdades ar ya ba ep DS GA SEU BPA GAR Rr 235 16 3 Condi es de Otimalidade de Primeira Ordem
57. o multiplicador mais negativo portanto W 5 Itera o 1 Iniciamos a itera o 1 buscando uma solu o de SP para k 1 a qual p 1 0 A formula de comprimento de passo 18 31 produz a 1 e um novo iterando x 1 0 obtido N o h restri es bloqueantes portanto W gt W 5 Itera o 2 Descobrimos no in cio da itera o 2 que a solu o de 18 28 novamente p2 0 implicando em gz x 1 0 A partir de 18 32 deduzimos que o multiplicador de Lagrange para a nica restri o ativa s 5 Assim eliminamos a restri o 5 do conjunto de trabalho obtendo W3 0 Itera o 3 A itera o 3 tem in cio com a solu o do problema irrestrito pois W3 para o qual obtemos a solu o ps 0 2 5 A f rmula 18 31 nos d o comprimento do passo a3 0 6 e um novo iterando x 1 1 5 H apenas uma restri o bloqueante a restri o 1 Da deduzimos que W4 1 18 Programa o Quadr tica 261 Itera o 4 A solu o de 18 28 com k 4 produz p4 0 4 0 2 e o pr ximo passo de comprimento 1 N o h restri es bloqueantes o que deixa o conjunto de trabalho na sua forma W 1 O novo iterando 2 1 4 1 7 Itera o 5 Finalmente resolvemos SP com k 5 o que nos leva a obter a solu o ps 0 A f rmula 18 32 nos d o multiplicador de Lagrange 1 25 Portanto uma solu o foi encontrada A solu o tima x 1
58. picos dos textos de Chvatal 11 e Vanderbei 42 A Se o 6 1 ilustra uma aplica o de programa o linear e o conceito de problema dual A Se o 6 2 apresenta a formula o geral do problema de programa o linear enquanto a Se o 6 3 aborda o algoritmo Simplex por meio de dicion rios A Se o 6 4 trata da teoria da dualidade em programa o linear apresentando conceitos gerais os teoremas fraco e forte da dualidade e o teorema da folga complementar Por fim a Se o 6 5 formaliza o algoritmo Simplex em nota o compacta matricial ISe um problema de programa o linear tem um n mero exponencial de restri es mas existe um algoritmo de tempo polinomial capaz de detectar uma restri o n o satisfeita por uma solu o candidata ent o o algoritmo elips ide leva a um algoritmo de tempo polinomial para resolver o problema em quest o 74 6 Programa o Linear 6 1 Problema Exemplo Gerenciamento de Uma Unidade de Produ o Uma unidade de produ o pode manufaturar uma variedade de produtos N 1 n sendo estes produtos montados a partir de um conjunto de mat rias primas M 1 mb As decis es gerenciais s o din micas evoluindo conforme as condi es do mercado Considere um certo momento onde b a quantidade de mat ria prima 1 dispon vel p o custo unit rio da mat ria prima 7 a manufatura de uma unidade de produto j requer a j unidades da mat ria prima 7 e o produto j pode ser
59. podemos descobrir uma restri o de eli mina o de sub rota n o satisfeita por uma solu o candidata ao problema do caixeiro viajante a partir da solu o de um problema de fluxo em redes Uma das refer ncias mais atuais e completas em fluxo em redes o texto de Ahuja Magnanti e Orlin 3 Nele s o apresentadas v rias aplica es e algoritmos para proble mas que tem in cio com o problema de fluxo m ximo passam pelo problema de fluxo de custo m nimo e tamb m tratam de generaliza es envolvendo fun es objetivo con vexas fluxos distintos multicommodity network flow problems e tamb m relaxa o Lagrangeana Os algoritmos s o tratados de forma gradual come ando com algorit mos inspirados em princ pios intuitivos cobrindo algoritmos pr ticos e algoritmos com tempo de execu o polinomial Outro texto recomendado o livro de Lawler 34 que embora mais antigo tem uma abordagem mais sucinta e direta Este tamb m faz um aprofundamento na teoria de Matroids que est relacionada a matrizes totalmente unimodulares e algoritmos gulosos 8 6 Exerc cios EX 8 1 Obtenha o problema dual do problema de fluxo em redes EX 8 2 Formule o problema de caminhos m nimos de um v rtice s para um v rtice t como um problema de fluxo em redes Formule o problema de encontrar a rvore de caminhos m nimos a partir de um v rtice s para os demais v rtices do grafo EX 8 3 Aplique o algoritmo de cancelamento de circuito negati
60. slack variable j que seu valor corresponde quantidade de recurso b n o utilizada Podemos tamb m converter uma restri o do tipo em restri es equivalentes do tipo lt mx a2 2 ann lt b axar nTn b mx a2 2 tanto gt b Podemos ainda converter vari veis irrestritas em sinal em vari veis n o negativas E a r teRSS xt gt 0 x 20 Portanto podemos assumir que qualquer problema em PL pode ser especificado re expresso na forma abaixo PL Maximize cama cars Sujeito a Gal Tarado T T A nTn lt b A211 T Agoda 1 T A2nTn lt by lt o AmaT1 Am 212 sora Amnn lt bm Ti Tn gt 0 Um vetor com valores para as vari veis de decis o x x En dito uma solu o candidata A solu o x dita fact vel se satisfaz as restri es A solu o x dita tima se ela fact vel e induz o valor timo da fun o objetivo Exemplo de Problema Infact vel Um problema dito infact vel se n o existe uma solu o candidata x R que satisfa a s restri es O problema abaixo um exemplo de problema infact vel S x R Ax lt b x gt 0 O sendo este ilustrado na Figura 6 1 Maximize 5x 429 Sujeito a a x lt 1 2 2 lt 9 z 2 20 6 Programa o Linear TT x x1 z2 2 4 5 1L 1 3 4 5 T 1 2 4 5 2 z 2 1 3 L 4
61. 0 0 U z 1 0 lt x lt 6 U x 2 0 lt x lt 12 U x 3 0 lt x lt 16 Ex 12 2 i X x y R x B z 22 lt 2y z lt l 2 lt 1 e z1 2 Y ill 1 0 1 2 A desigualdade x lt y v lida e corta a solu o fracion ria Introduzindo esta restri o formula o e resolvendo a relaxa o linear n o obteremos a mesma solu o fracion ria com sorte uma solu o fact vel ser produzida ii X x y E R x Z4 4 lt 9 x lt 4y e x y 9 9 4 A desigualdade x lt 8 y 2 amp x lt 6 y v lida e corta a solu o corrente pois 9 2 6 y 6 9 4 8 25 X 1 2 y R x Z 1 2 lt 25 1 2 lt 8y e x1 22 y 20 5 25 8 A desigualdade z z lt 25 y 4 z 2 lt 21 y v lida para X Al m disso a solu o fracion ria viola esta restri o pois 25 20 5 z T2 K 21 y 21 25 8 24 125 iv X fre Ze 9x 12x2 843 17x4 1325 gt 50 e x 0 25 6 0 0 0 Divididindo a desigualdade por 12 produzimos uma desigualdade valida platlgle l glet glatlgles E gt 1 a 3 2z4 2z5 gt 2 Ly Ta T3 204 225 gt 5 Observe que a ltima desigualdade v lida por constru o e corta a solu o fracion ria corrente pois 25 6 5 A Exercicios Resolvidos 329 v X EE E z4 471 8 0 743 5x4 lt 33
62. 1 Tk a aproxima o pode ser reescrita como segue Flo fa gp 5p Hp Da mesma forma que no caso monovariado podemos encontrar um ponto estacion rio para a aproxima o for ando xt a satisfazer a condi o necess ria de primeira ordem Formalmente Vi 2t 0 gt g9 Hp 0 gt p H 9 Portanto o processo iterativo pode ser expresso como segue tra Er Vf 2 V f x 3 M todo de Newton Solu o de Equa es N o Lineares e Minimiza o de Fun es 37 Uma vez que o m todo de Newton se baseia na busca de um ponto para o qual o gradiente de f x nulo n o h garantia de que o processo iterativo convirja para um ponto de m nimo podendo divergir ou ser atra do para um ponto de inflex o ou de m ximo Lembramos que as condi es necess rias e suficientes minimiza o de fun es para que x seja um m nimo local s o Condi es Necess rias Vf x 0 e V f x gt 0 positiva semi definida Condi es Suficientes V f x 0e V2f x gt 0 positiva definida 3 6 Converg ncia Algoritmos n o iterativos como o m todo de Gauss para solu o de sistemas de equa es lineares tem custo computacional bem definido O n mero de opera es de ponto flutuante finito e pode ser expresso como uma fun o polinomial das dimens es do problema O comportamento de algoritmos iterativos por outro lado mais dif cil de ser medido O n mero de itera es depende do problema e do p
63. 1262815703926 250 1907039194102 125 2254781755631 62 74799109896568 31 51949620842356 15 92572254113459 8 169595939998821 4 371580213652639 2 621653885664322 1 976061758605505 1 855327609771498 1 850787497645492 1 850781059371159 1 850781059358212 3 997990000000000e 006 9 994949375065696e 005 2 498711719029211e 005 6 246523058084260e 004 1 561374556562558e 004 3 900875572514462e 003 9 726631087465399e 002 2 406299994113832e 002 5 769969383029171e 001 1 224896861354670e 001 1 667156778081310e 000 5 830693877868853e 002 8 245047246546733e 005 1 658051473896194e 010 0 9 981492189406418e 002 4 982755005110344e 002 2 483399228600520e 002 1 233746971162049e 002 6 089721003960747e 001 2 966871514906535e 001 1 407494148177637e 001 6 318814880640609e 000 2 520799 154294426e 000 7 708728263061098e 001 1 252806992472928e 001 4 546550413286443e 003 6 438287280197130e 006 1 294742091317858e 011 2 220446049250313e 016 3 3 O M todo de Newton para uma Variavel Minimiza o em Nesta se o tratamos do problema de encontrar um valor x R tal que f x R gt R seja m nimo O m todo inicia como no caso anterior com uma aproxima o da fun o em torno da solu o candidata corrente x mas desta vez utilizamos uma aproxima o de segunda ordem Tiro f k Ga tet Tk st a ey Satie Para que 2 41 seja o m nimo da aproxima o necessitamos que df dxp
64. 2 lt 14 T2 lt 3 221 2 5 lt 3 2 EL A aplica o do algoritmo B amp B ao problema pode ser ilustrada atrav s dos passos a seguir Bounding Obtemos o primeiro limite superior ao resolvermos a relaxa o linear R S obtendo Z 2 com z1 2 22 3 Assumimos que z oo 7 7 Branching Uma vez que z lt Z devemos quebrar S em subproblemas Uma id ia quebrar S no ponto onde uma vari vel fracion ria fazendo Lz 7 1 Claramente S S1 U S2 Estas opera es do algoritmo B amp B podem ser obser vadas na Figura 11 7 onde a quebra foi feita com a vari vel z fazendo z lt 2 ou x gt 3 A lista de n s ativos passa a ser L 91 S2 Sy Cie Oe lt So DOE Sa SS Escolhendo um n A lista de n s ativos L 51 52 cont m dois conjuntos Ar bitrariamente escolhemos S4 182 11 Programa o Inteira Relaxa es e Algoritmo Branch and Bound 59 7 00 PEZ O Figura 11 7 Quebra do primeiro n da rvore de enumera o B amp B IA No T Bounding Resolvemos a relaxa o linear R S1 associada a S1 ou seja resolvemos o problema de programa o linear abaixo Si Z Max 424 xo sa 7 2 lt 14 T2 lt 3 224 2x9 lt 3 XY lt 2 cuja solu o tima x 73 2 5 que por sua vez induz o limite superior Z 2 Branching Quebramos S em dois conjuntos Sn SiN x 2 lt 0 e Sig AN x2 gt 1 o que faz com que a lis
65. 2 22004 190 12 3 1 Desigualdades V lidas para Problemas Lineares 191 12 3 2 Desigualdades V lidas para Problemas Inteiros 191 12 3 3 Procedimento Chv tal Gomory para Gera o de Desigualdades Validas cas on See oe tig ATA da Ue RD REI A RU DE 192 12 4 O Algoritmo de Planos de Core sas x oa aa ara Boek BR Bai AA 192 12 5 Algoritmo de Planos de Corte Usando Cortes de Gomory Fracion rios 193 TAS 1 Exemplos as srta oe Se a chee A he E Si o Cr a E 194 12 6 Desigualdades Disjuntivas 0 0 200 02004 195 126 1 Ex mplo e aee oe as SO CEL ee oe Ed Gb eed a 195 12 6 2 Desigualdades Disjuntivas para Problemas 0 1 196 T21 Exercicios SS a dado Sate es E SAS ee Oe A e a 197 13 Programa o com Restri es L gicas 199 14 Programa o Din mica Dom nio Discreto 201 14 1 Um Exemplo de Programa o Din mica 202 14 1 1 Calculando N meros de Fibonacci 203 14 2 Programa o Din mica para o Problema da Mochila 204 14 2 1 Complexidade do Algoritmo 205 14 3 Elementos de um Algoritmo DP Sequ ncia Crescente Mais Longa 206 14 3 1 Construindo um Algoritmo 4 6 aaa ge oa ee Ae 207 14 4 Edi o Autom tica de Cadeias de S mbolos Approximate String Mat lM Sp So o e be ada ee ce dp Medes See DD a rd 208 14 4 1 Projeto de um Algoritmo DP as 1 5 4 wey eae e we es 208 UAE Reno sm gk ad E GU EA E ea 0a RIR ea Ie es 210 15 Programa
66. 2 9 Para M gt m gt 0 encontre a solu o tima do problema min max l aml l aM a gt 0 EX 2 10 Considere a seguinte forma do algoritmo de descenso Dado um vetor com solu o candidata x um passo inicial s e a dire o de descenso dk V f rx se a solu o 7 1 sdy n o produz um decr scimo suficiente de f ent o o passo reduzido at que o decr scimo seja suficiente Dados escalares s 8 eo gt 0 com 6 0 1 eo 0 1 definimos a 8 s onde mM o primeiro inteiro n o negativo para o qual f x f x B sdy gt 08 sV f 2p de 2 13 obtendo como pr ximo iterando o ponto x 1 k agdy Em outras palavras os passos 8 s m 0 1 s o realizados at que a desigualdade acima seja satisfeita para m my Portanto n o estamos satisfeitos apenas com uma melhora no valor da fun o objetivo a redu o deve ser suficientemente grande conforme a desigualdade 2 13 Considere o problema de minimizar f x y 3x2 yt As tarefas a serem realizadas s o a Aplique uma itera o do algoritmo de descenso acima delineado com o ponto inicial xo 1 2 s 1 0 0 1 e 8 0 5 Indique os valores de xo B sdo f xo B sdo f xo f xo B sdo e oB sV f x0 do b Repita os passos de a usando s 1 0 0 1 e 8 0 1 Como que o custo do novo iterando compara com aquele obtido em a Comente sobre os benef cios e perdas obtidos atrav s da esco
67. 3 10 por si s n o garante que x 1 x 0 Entretanto se assumirmos que zo x lt e lt m L ent o converg ncia quadr tica segue imediatamente Uma vez que xo x lt 6 podemos aplicar 3 10 e obter L L ay lt zo 2 lt 8 lt 6 2 2m 2m Uma vez que x x lt 6 podemos aplicar 3 10 e obter a desigualdade L L pt lt ine en 2 Are 2 zm g mo 4 lt 6 8 Repetindo este processo conclu mos que 1N Its 2 S om z lt 2 1 Segundo o desenvolvimento acima se f x 0 e f uma fun o cont nua ent o razo vel assumir que as condi es acima s o satisfeitas para algum 6 m e L Na pr tica entretanto dif cil encontrarmos valores para 6 m e L portanto o resultado de converg ncia n o nos oferece ajuda no sentido de escolhermos o ponto inicial xo mesmo porque isto demandaria conhecimento antecipado da exist ncia de uma raiz O resultado nos diz que se x suficientemente pr ximo de x ent o o m todo de Newton converge com uma taxa quadr tica 3 7 M todos de Regi o de Confian a Como visto acima o m todo de Newton puro para minimiza o de fun es encontra p X gx que minimiza uma aproxima o de f em torno de x dada pela expans o de Taylor de segunda ordem Fuld Hen VEe p 507V end Sabemos que f p uma boa aproxima o de f x p quando p est dentro de uma vizinhan
68. 4 S S A primeira express o no lado direito de 8 5 corresponde ao fluxo dos n s de S para os n s de S enquanto que a segunda nos d o fluxo dos n s de S para S Logo o lado direito de 8 5 o fluxo l quido atrav s do corte s t S S que precisamente 114 8 Fluxo em Redes v Substituindo zi lt ui na primeira express o e xi gt 0 na segunda obtemos a desigualdade v lt gt uw u8 8 8 6 i 9 S S A expressao significa que o valor de qualquer fluxo x menor ou igual a capacidade de qualquer corte s t Qualquer fluxo deve atravessar todos os cortes s t portanto seu valor nao pode exceder a capacidade de qualquer um deles Isto nos leva a deduzir que v lt min u S S 8 5 um corte s t de G 8 7 A expressao 8 7 nos diz que se encontrarmos um fluxo x cujo valor v iguala a capaci dade de algum corte s t ent o x um fluxo m ximo Tal propriedade pode ser definida em termos das capacidades residuais Suponha que x um fluxo e seu valor v Seja x um fluxo de valor v Av onde Av gt 0 Neste caso a desigualdade 8 6 implica v Av lt gt Uij 8 8 i 9 S S Substituindo 8 5 em 8 8 obtemos Av lt e Uij Lij gt tji Lj E S S 1 5 S S GESS uij Lij Lji Assumimos que i j AS j i A i j E S S gt rij i 9 S S 55 8 9 Assim conclu mos que para qualquer fluxo x de valor v em uma rede G a q
69. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Dem NDA E eel sy ey Oe A LET NO e O Oe de Eu Ld 6 SE NaN Tabela A 5 Jogos dos palitos m 14 15 16 17 18 19 20 21 r m 1 2 3 1 2 3 E URSS 20s Th ie ee 00 m m T J A Exercicios Resolvidos 339 A 15 Programa o Din mica Dominio Continuo EX 15 1 O problema pode ser colocado de forma recursiva em tr s est gios Jo X2 r x T J zx Min u Jo X2 um S a 2 1 a x au Jo xo Min u J a1 Uo S a z 1 a xo auo No estagio terminal nao ha o que otimizar logo podemos encontrar a politica de controle tima uj 11 dependente do estado no pen ltimo est gio Min filz u 7r 1 az am TP Uma vez que f uma fun o convexa em y podemos encontrar a solu o tima quando a derivada nula f uj r l a r au T ui ui w ra l a r ro u raT Fazendo df du 0 conclu mos que ma es Jia u r ge T pila r 0 ajay aula TP r 1 a xr TP l ra Procedendo ao primeiro est gio podemos obter Jo zo com base na pol tica tima a ser aplicada no est gio seguinte Jo xo um T J z gt r ar TP 1 ra Uma vez que Jo convexa podemos calcular o valor m nimo fazendo a derivada em rela o a ug assumir o valor nul
70. A su T 2 D yi welzi b e Agora calcule as derivadas parciais OL dw w X Aiplz A 19 i 1 L d X A 20 OL Oe ce Ai a 1 m A 21 OL Or Yi w d x i 1 1 see lM A 22 Uma vez que as derivadas de devem ser nulas para satisfazer condi es ne cess rias de otimalidade fazendo e Ai c datas O A 23 e substituindo em A 22 obtemos as equa es A 19 A 22 do Lagrangeano em fun o das vari veis e b SoA 0 A 25 Yi 3 x A xi b A c 0 i 1 m A 26 j 1 De forma mais compacta A 25 A 26 podem ser colocadas em nota o matri cial 1 erer lal L am onde 1 1 1 7s y com cc Q uma matriz m x m com entrada Qi x a A solu o do problema Pg se reduz a resolver a equa o A 27 e encontrar w a partir de A 24 assim obtendo o aproximador timo f x w b w x b 348 A Exercicios Resolvidos EX 18 7 Basta fazer q bA tu A Exercicios Resolvidos 349 A 19 Programa o N o Linear sob Restri es Al goritmos EX 19 1 Os c digos Matlab da fun o barreira e do algoritmo de barreiras seguem abaixo A Figura A 16 d a trajet ria gerada pelo algoritmo de barreiras A sequ ncia de iterandos convergente para a solu o tima xj 73 4 8 bm barrier method x x 1 1 0 5 x 1 2 0 5 mu mu 1 100 opt optimset fminsearch
71. DD custa i 1 j 1 10 4 2 Exemplo 2 O Problema da Mochila O problema da mochila chave em v rias aplica es te rico pr ticas Um exemplo o problema enfrentado por um investidor que disp e de uma quantidade b para in vestimentos H n projetos sob considera o sendo a o custo estimado do projeto j e c o retorno esperado O objetivo do investidor se resume a encontrar um conjunto de projetos tal que a quantidade de investimento n o exceda a quantidade dispon vel e ao mesmo tempo maximize o retorno Definindo as Vari veis ae 1 seo projeto j selecionado 0 caso contr rio Defini o de Restri es n a Limita o de recursos 3 ajz lt b j 1 b Vari veis s o 0 1 x 0 1 j 1 n Definindo a Fun o Objetivo n Max X CiX 5 j l 160 10 Fundamentos de Programa o Inteira 10 4 3 Exemplo 3 O Problema de Cobertura por Conjuntos O problema de cobertura por conjuntos define outra classe empregada com frequ ncia na pr tica Para se ter uma id ia o problema de escalonamento de tri pula es pode ser resolvido por meio da decomposi o em sub problemas um dos quais um problema de cobertura por conjuntos onde os elementos do conjunto base S s o v os a serem operados pela empresa de transporte a reo e os sub conjuntos Sj C S correspondem a configura es de tripula es vi veis Aqui vamos considerar o caso particular de localiza o de unidades de emerg ncia Dado um
72. Ent o gt cos PV fell lt o 2 10 k gt 0 Prova A partir da itera o v4 Tk QkPk a segunda condi o de Wolfe 2 4 Vi Ek anpr Pk gt coV f x pk temos que V fri V fe Pr gt Co 1 V Fg Pr enquanto que a condi o Lipschitz e a desigualdade de Schwartz implicam Vie Vise Pk lt Via V fe Prl IV fera Vfellllps La akp amp elllpall aL pel IA IN IN IN 4Por converg ncia global entendemos a propriedade do algoritmo de convergir a partir de qualquer ponto inicial xo para um timo local x Para e lj 27 lt lalilyll 26 2 Minimiza o de Fun es com o M todo de Descenso Combinando as duas rela es acima obtemos E co 1 Vffpr k Co Lo pl Substituindo esta desigualdade na primeira condi o de Wolfe verificamos 1 c V FEP is fe c lt lt Lol Fazendo 0 ser o ngulo entre pz e a dire o de maior descenso V fk verifica se que V f pk V Fellipe Fazendo c cy 1 c2 L e combinando as duas ltimas express es obtemos cos 8 frat S fe cos O V fell Somando a express o acima para todos os ndices menores ou iguais a k obtemos k Fett S fo c gt cos OVA j 0 Uma vez que f limitada inferiormente sabemos que fo f 1 uma constante positiva para todo k Tomando o limite da express o acima conclu mos que gt cos OVE lt 00 j 0
73. F sica e Soci ologia 4 2 2 Adapta o Biol gica Estudaremos maneiras pelas quais o processo de evolu o natural pode ser em pregado para se evoluir solu es computacionais Algoritmo Gen tico e at mesmo programas ou algoritmos Programa o Gen tica para problemas interessantes A propriedade de adapta o descrita pela seguinte express o Adapta o Variedade Hereditariedade Sele o 1 Variedade Se refere a como os indiv duos diferem uns dos outros portanto s pode ocorrer se existirem m ltiplos indiv duos implicando em paralelismo e mul tiplicidade espacial Popula o 2 Hereditariedade uma forma de persist ncia temporal que se propaga de pai para filho um processo iterativo que se repete Processo Iterativo 3 Sele o Natural A capacidade de reprodu o exponencial extremamente maior do que a quantidade de recursos dispon veis limitada Surge portanto a frase a sobreviv ncia dos reprodutores Levando em conta esta capacidade exponencial os seres humanos formam um grupo seleto de indiv duos Sele o A frase mais conhecida a sobreviv ncia do mais dotado Entretanto a teoria diz que o que importa a reprodu o o que implica a frase a sobreviv ncia do reprodutor Segundo a teoria da evolu o as caracter sticas de uma pessoa cor dos olhos alta inteligente etc s importam se aumentam a capacidade de reprodu o A evolu o d
74. Figura 6 1 Exemplo de problema infact vel As regi es achuradas indicam as regi es fact veis para cada uma das restri es Observe que a interse o das regi es achuradas vazia Exemplo de Problema Ilimitado Um problema ilimitado se n o existe um limite superior para o valor da fun o objetivo ou seja podemos crescer o valor da fun o objetivo arbitrariamente Abaixo segue um exemplo de problema ilimitado cuja ilustra o feita na Figura 6 2 Maximize z 4 Sujeito a 27 x lt l 2 lt 2 1 2 20 6 3 Algoritmo Simplex O algoritmo Simplex proposto por George Dantzig nos anos 40 constituiu um grande avan o cient fico tecnol gico e deu grande impulso ao campo da pesquisa ope racional que estava dando os primeiros passos O nome do algoritmo tem suas ra zes no conceito de simplex um plano que corta os vetores unit rios O algoritmo como conhecido atualmente difere da vers o original e tem servido de base para vers es estendidas para tarefas espec ficas como por exemplo o m todo dual Simplex que amplamente adotado em implementa es branch and bound e branch and cut para re solu o de problemas inteiros e o m todo Simplex adaptado para o problema de fluxo em redes de custo m nimo O algoritmo Simplex pode ser visto como um processo combinat rio que busca encontrar as colunas da matriz de restri es que induzem uma base e portanto uma solu o b sica tima A d
75. Fim Se Fim Se Fim Para 18 4 1 Exemplo Vamos aplicar o algoritmo de conjunto ativo ao problema bidimensional ilustrado na Figura 18 1 e definido por Minimize q x x 1 a2 2 5 Sujeito a U1 2x9 2 gt 0 2 6 gt 0 2 2 gt 0 T1 T2 gt 0 Numeramos as restri es de 1 at 5 18 33 Itera o 0 Para esse problema f cil de encontrar um ponto fact vel Digamos que o ponto inicial z 2 0 para o qual as restri es 3 e 5 est o ativas por tanto Wo 3 5 Note que poder amos ter escolhido Wo 3 Wo 5 e at mesmo W mas cada uma dessas op es afetaria o comportamento do algoritmo 260 18 Programa o Quadr tica Curva de n vel da fun o objetivo 2 2 2 2 2 6 0 4 1 5 2 0 T1 Figura 18 1 Regi o fact vel e curvas de n vel da fun o objetivo Uma vez que x corresponde a um v rtice da regi o fact vel ele obviamente um minimizador da fun o objetivo com respeito ao conjunto de trabalho W ou seja a solu o de 18 28 com k 0 pp 0 e portanto x x Podemos ent o utilizar 18 32 para encontrar equa es associadas com as restri es ativas A partir da substitui o dos dados de nosso problema em 18 32 obtemos alafia 5 18 34 cuja solu o Ox s 2 1 Podemos agora remover a restri o 3 do conjunto ativo uma vez que esta apresenta
76. GY gS sh aS Ge Bl a es BE og 28 M todo de Newton Solu o de Equa es N o Lineares e Mini miza o de Fun es 31 3 1 Problemas de Interesse eee AEE dd Ed a ee eee 31 3 2 O M todo de Newton em uma Vari vel aoaaa 31 Sead SEM IO na Ss e e be a a he ee a Ae Ee a a 32 3 3 O M todo de Newton para Minimiza o em uma Vari vel 33 3 3 1 Exemplo ee t an e dO e a er OE RAS BRS eR 33 3 4 O M todo de Newton em M ltiplas Varidveis 2 2 35 3 5 Minimiza o rrestrita as Pah wee OSes a 36 oi Convergencia e ky es st er a kee p br go ee Ss aa a Da 37 3 6 1 Converg ncia Linear e ooo aa Been Be ee 37 3 6 2 Converg ncia Quadr tica ooa a ew a 37 3 6 3 Converg ncia do M todo de Newton 38 3 7 M todos de Regi o de Confian a oaoa aaa 39 3 8 Otimiza o de Fun es Sujeito a Igualdades o oaoa aaa 41 3 9 INGIGICNGIAS ayra eis o a Aea de Gt eds Sea oe eS A ee E 43 3 10 Exercicios sos Gla taluk ee ko ere tee tee tee A Re Ra eR 43 Otimiza o N o Diferenci vel 47 4 1 Otimiza o Black Boxz els Aleqad gds Gh erat gis US epg meg dea a 47 4 2 Algoritmo Gen tico AG quase 4 signo q eo ee areia Larga 48 4 2 1 Gen tica e Evolu o aoaaa 48 4 2 2 Adapta o Biol gica lt 3 ia gu aS SE ee Sa RS 48 4 2 3 Hereditariedade com Evolu o Simulada 49 4 2 4 Popularidade do Algoritmo Gen tico 49 4 2 5 Algoritmo Gen tico em Deta
77. J Agogbua J O Dell and J McManus Requirements for traffic engineering over MPLS request for comments September 1999 S N Balakrishnan and R D Weil Neurocontrol A literature survey Mathema tical Modeling and Computing 23 101 117 1996 T Basar and G J Olsder Dynamic Noncooperative Game Theory Society for Industrial and Applied Mathematics 1999 M S Bazaraa H D Sherali and C M Shetty Nonlinear Programming Theory and Algorithms John Wiley 1993 D P Bertsekas Nonlinear Programming Athena Scientific 1995 A E Bryson and Y C Ho Applied Optimal Control Blaisdell 1969 V Chvatal Linear Programming W H Freeman 1983 T H Cormen C E Leiserson and R L Rivest Introduction to Algorithms MIT Press Cambridge Massachusetts 1990 L Costa and P Oliveira Evolutionary algorithms approach to the solution of mixed integer non linear programming problems Computers and Chemical En ginnering 25 257 266 2001 Charles Darwin On the origin of species by means of natural selection or the preservation of favoured races in the struggle for life 1859 15 L Davis Handbook of Genetic Algorithms Van Nostrand Reinhold 1991 284 Refer ncias Bibliograficas 16 17 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 J E Dennis and J J Mor Quasi Newton methods motivation and theory SIAM Review pages 46 88 1977 R A Dia
78. Newton Solu o de Equa es N o Lineares e Minimiza o de Fun es 41 Passo 1 Encontre pr Argmin fi p Ilpll lt yx Se fk pk f k pare zp satisfaz as condi es necess rias de primeira e segunda ordem Passo 2 Se f x pr lt f x defina x k pk calcule oR Tur f k O Fa Fale e v para o Passo 3 caso contr rio fa a y 31 pz e v para o Passo 1 Passo 3 Fa a Billps ser lt 01 Ver By se 02 lt Tg e pill Yk Yk caso contr rio Volte ao Passo 1 Se f duas vezes diferenci vel ent o poss vel mostrar que o algoritmo acima converge i e a seq ncia z limitada e existe um ponto limite que satisfaz as condi es necess rias de segunda ordem Al m disso se xp converge para um m nimo local x n o singular ent o o m todo tem a mesma taxa de converg ncia do m todo de Newton puro 3 8 Otimiza o de Fun es Sujeito a Igualdades At aqui vimos como o m todo de Newton pode ser empregado para encontrar uma solu o simult nea de um sistema c x de equa es n o lineares e tamb m encontrar um timo local para uma fun o f x i e solu o que satisfaz as condi es necess rias de primeira ordem Aqui vamos combinar estes dois problemas e estender o m todo de Newton Esta se o pode ser omitida sem perda de informa o j que a otimiza o restrita ser objeto de estudo detalhado em cap tulos futuros Considere
79. O problema geral da forma Minimize f z Sujeito a 0 0 onde f R gt R g R R e h R R s o fun es cont nuas e diferenci veis Os modelos de otimiza o n o linear restritos s o os mais gerais no dom nio da oti miza o cont nua 1 10 1 Problema Exemplo Desejamos instalar uma esta o de bombeiros de forma que a mesma esteja dentro de um raio r km de um conjunto S 1 y1 p Yp de pr dios nas proxi midades da unidade dos bombeiros Al m disso desejamos localiz la o mais afastado poss vel de um conjunto T 1 J1 Tg Yq de esta es de bombeiros vizinhas Tarefa Formule este problema em linguagem de otimiza o Formula o Maximize d Sujeito a I y pyp sr g 1 p l y gld j 1 q NA 1 As Sub reas da Otimiza o 13 Observa es d lt min z y 3g j 1 4 r 2 max x y xj y J herp 1 11 Programa o Semi Definida Esta classe compreende problemas com fun o objetivo linear e restri es envol vendo matrizes e suas propriedades tais como matriz positiva definida e semi definida Tipicamente uma matriz F x definida como uma fun o afim com par metros dados pelo vetor x Mais precisamente Eli Fio Fiati t Finin onde Fi R uma matriz sim trica ou seja Fi FL Os problemas s o expressos na forma a seguir Minimize clr
80. Prova Se existe p satisfazendo AF P _g A 0 Dell 518 SLs ee Uma vez que Ap 0 segue que p Null A e p Zu Portanto Entao temos que uT ZTGZu 0 e da segue que u 0 pois Z7GZ tem posto completo a matriz positiva definida Isto nos leva a concluir que Gp ATA 0 8 GZu ATA 0 amp ATA 0 8 0 pois as colunas de AT s o linearmente independentes Portanto a nica solu o de Kz 0 z 0 e consequentemente K n o singular Se x A satisfaz 18 12 ent o G AT g d A 0 r G AT g __ d A 0 AJ E d ieee Portanto o par x A nico pois K n o singular E Corol rio 18 1 Se as condi es do Lema 18 1 s o satisfeitas ent o o vetor x que satisfaz 18 12 a solu o global nica do problema quadr tico 18 10 18 Programa o Quadr tica 255 Exemplo 1 Considere a instancia de Par dada a seguir Minimize q x 32 22 29 2123 2 522 2x2x3 202 821 3x9 343 Sujeito a 18 16 Ty T T3 3 To T3 0 Podemos reescrever 18 16 na forma 18 10 fazendo 6 2 1 8 PEE dl delas 4 041 05 5 18 17 124 3 A solu o tima x e os multiplicadores de Lagrange timos s o 4 3 oS ie e N 18 18 1 2 No exemplo acima a matriz G positiva definida e a matriz base do espa o nulo de A pode ser definida como Z 1 1 1 18 19 18 2 1 Resolvendo o Sistema KKT Aqui discutiremos
81. Resolvidos 301 O dicion rio para o problema original toma a forma Max 6 4 4223 3 10wi 3 8w2 3 t 1 223 3 w1 3 w 3 Ty 1 23 3 2w 3 w 3 A nica vari vel que deve entrar na base x3 A vari vel que sai da base x pois 3 2 lt 3 Substituindo x3 3 2 3x 2 w1 2 w2 2 na linha da fun o objetivo e na segunda ltima do dicion rio teremos 4 22 3 3 10w 3 8w5 3 4 2 3 2 371 24 w1 2 we 2 3 10w1 3 8we 3 4 1 z w 3 w2 3 10w 3 8w5 3 3 T 3w 3wW9 z 1 23 3 201 3 we 3 1 8 2 34 2 w 2 we 2 3 2w 3 we 3 1 1 2 21 2 w1 6 w2 6 2w1 3 w2 3 1 2 z1 2 w 2 w2 2 Portanto o dicion rio fica Max 3 3w 3we 3 3 2 32 2 w 2 w 2 Toy 1 2 2 2 w 2 w 2 O dicion rio acima induz uma solu o tima dada por z O z2 1 2 z3 3 2 cujo valor para a fun o objetivo 3 EX 6 2 A solu o tima x 4 e z 8 com fun o objetivo f x 28 EX 6 4 Considere o problema de program o linear dado por Maximize 1 2 Sujeito a 321 19 lt 6 T1 T2 0 O dicion rio inicial D 6 0 2 22 WW 6 3 1 T2 Fazendo x entrar na base obtemos o dicion rio D w1 3 2x5 3 t 2 w 2 2 3 Por fim fazendo x entrar na base obrigatoriamente x sai da base resultando no
82. Resta estabelecer a rela o entre o custo do fluxo x em G e o custo do fluxo 7 em G x Para um fluxo x na rede G o custo no par de arcos i j e j i na rede residual G x Cig Xi Cji 55 CijTij EE Cig X55 Caldos Tji Gij Tij 255 que segue de 8 11 Logo estabelecemos que cx cx cx E De acordo com a proposi o podemos trabalhar com a rede residual G x para um fluxo x em vez de trabalhar com a rede original G Uma vez conhecido um fluxo timo na rede residual podemos convert lo em um fluxo timo na rede original por meio da proposi o Na Figura 8 13 ilustrada uma rede G com fluxo x e sua respectiva rede residual G x 8 3 4 Algoritmo de Cancelamento de Circuitos Negativos Nesta se o apresentamos uma condi o necess ria e suficiente para otimalidade de um fluxo e desenvolvemos um algoritmo que gera uma seq ncia de solu es convergente para uma solu o tima que satisfaz as condi es Teorema 8 4 Condi o de Otimalidade Um fluxo fact vel x induz uma solu o tima para o problema de fluxo de custo m nimo se e somente se a rede residual G x n o cont m nenhum circuito de custo negativo Proof Seja x um fluxo fact vel e suponha que G x cont m um ciclo de custo negativo Ent o podemos enviar uma quantidade n o nula de fluxo ao longo do ciclo e reduzir o 8 Fluxo em Redes 125 b Rede original G e fluxo x b Rede residual G x 2 1
83. S a T1 4x9 lt 1 Yitsy 2 4 321 LT lt 3 4y yo gt 1 T1 T2 T3 2 0 y2 2 3 Y Y2 20 Os dicion rios iniciais s o Max 0 47 22 823 Max 0 y 3y Wy 1 1 4xo AI 4 Y 3Y2 We 3 3 2 23 zg 1 4y y 23 3 TY2 Os dicion rios acima podem ser representados por duas matrizes as matrizes P e D abaixo A dq a A E P 1 1 4 0 D 3 3 1 1 ee ee 3 0 1 Note que D PT Se aplicarmos o m todo Simplex ao problema primal e ao mesmo tempo executarmos pivoteamento an logo no dual podemos verificar que a propriedade D P ser mantida Mais especificamente considere uma solu o primal fact vel a qual faremos x3 entrar na base e w a deixar a base Uma vez que as colunas do primal correspondem s linhas do dual conclu mos que a coluna x3 do primal corresponde a linha z3 do dual Da mesma forma a linha w2 do primal corresponde coluna yo do dual Portanto a vari vel y gt entra na base do dual enquanto que z3 deixa a base Fazendo x3 entrar na base e ws deixar a base obtemos os dicion rios abaixo Max 6 9 5a 4x 3w2 Max d 9 y 323 Wy 1 X 4x 21 9 Y 323 t3 3 32 TX W2 Z2 4 4y 23 Y 3 T23 Deixando x entrar na base e removendo wy 1 produzimos os dicion rios abaixo Primal Max 6 10 6x w dwe m ia i tz 3 25 3 25z jwi we Dual Max
84. Unidade de Produ o 6 1 1 Gerente de Produ o Otimista 0 6 1 2 Gerente de Produ o Pessimista 6 2 O Problema de Programa o Linear ooa a 6 3 Algoritmo Spies sis 8 nas Bhd ras sbre ie ater ge ee Se Smee 6 3 Texemp list s es seh eke te Ae ee Bae eo gia E 6 3 2 Algoritmo Simplex em detalhes 6 3 9 BICIANZA O asa o ee te Bis as edt A eee he a mae eva ee 643 Divalidage aaa ba BAR geen bao aro oe a hoe Boe eS oe Boe 6A lb Motivaciones kase a Bok tuk Beak fado Yaak Bote De ke A i 04 2 O Problema Dial oi es aoe Ge ok ee oe ee oes 6 4 3 O Teorema Fraco da Dualidade 6 4 4 O Teorema Forte da Dualidade 6 4 5 Folga Complementar 5 2 0255 2 eee neee 6 5 Algoritmo Simplex em Nota o Matricial 0 6 5 1 Dicion rio em Forma Matricial a a e ae RS ae eB a 6 6 Referencias a baa alee ale ea eG ea kd at abe eae heed Ost BICRGIClOS um dd a oe Sid ae fo Stee sf ee hs a cd Teoria dos Jogos ols Tntroducad Asia Se Oe REA ee eke eo ane WI are HS T2 JOBS Matriciais ais 6 unia E Beck Bays optico Week Yo Be ee ee 7 2 1 O Jogo da Tesoura Pedra e Papel 7 2 2 Um Jogo Menos Trivial acs Bebo ko RB RB Cid Formalizacao qui aane So ede e a a ETE A ne Cb EEA E E G 7 4 Estrat gia tima para o Agente Coluna ooo aa a 7 5 Estrat gia tima para o Agente Linha oaoa aa a 7 6 Rela o entre
85. a M iii flx u gt ft e P x ux Ux gt f para qualquer sequ ncia de minimizadores x n 270 19 Programa o N o Linear sob Restri es Algoritmos Para problemas mais gerais o resultado correspondente mais local por natureza Dada uma solu o local x bem comportada do problema 19 2 isto uma solu o x que satisfa a as condi es suficientes de segunda ordem as restri es e ainda as condi es de complementaridade a fun o barreira P x u apresenta um minimizador pr ximo de x para valores suficientemente pequenos de ju Teorema 19 2 Suponha que F uma regi o n o vazia e que x uma solu o para o problema 19 2 o qual satisfaz as condi es KKT Karush Kuhn Tucker para algum A Suponha tamb m que a condi o LCG de qualifica o de restri es seja garan tida bem como a condi o de complementaridade estrita e as condi es suficientes de segunda ordem Ent o as afirma es abaixo s o verdadeiras i Existe uma fun o vetorial z u cont nua nica e diferenci vel definida para todo u suficientemente pequeno em fun o de que z u um minimizador local de P x u em uma certa vizinhan a de x tal que lim so z u 2 ii Para a fun o z u em i o estimador A u dos multiplicadores de Lagrange definidos por Mec SEL 19 10 convergem para X medida que u gt 0 iii A matriz Hessiana V2 P x u positiva definida para todo u suficient
86. ae gs Alea LA SATA Custo de comunica o 4 202 ase anal ba a oe kS Dados do problema da mochila 02 00004 Sequenciamento de tarefas wc cen be ee sea Ra Rea a N mero de solu es em fun o do tamanho do problema Crescimento de fun es 2 a a Tabelas DP para o Problema da Mochila Tabelas DP para o Problema de Subseqii ncia Mais Longa Tabela Di j para emparelhamento perfeito Tabela Di j para emparelhamento flutuante Resolu o das recorr ncias do algoritmo de programa o din mica Jogos dos palitos nargo pod ase her ods ay AR era ei RR ed JR th ek ge a Jogos dos palitos a spa a STE be a ae Sino p APE ok ee Go aoe eG XV xvi Notacao xvii xviii Capitulo 1 As Subareas da Otimizacao Otimiza o a rea da Matem tica Aplicada que se preocupa em calcular e compu tar valores timos para vari veis de decis o que induzem desempenho timo ao mesmo tempo que satisfazem restri es de um modelo matem tico 1 1 Conceitos Fundamentais 1 1 1 Modelagem de Problemas A representa o da realidade uma necessidade da sociedade moderna seja pela impossibilidade de lidar diretamente com a realidade seja por aspectos econ micos seja pela complexidade Assim busca se a representa o da realidade por meio de modelos que sejam bem estruturados e representativos desta realidade Modelos s o representa e
87. algoritmo alternativo dado abaixo 204 14 Programa o Din mica Dominio Discreto F 6 aa RO DS F 5 F 4 F 4 F 3 F 3 F 2 F 3 F 2 F 2 F 1 F 2 F 1 F 1 F 0 B S GX F 2 Fd F F 0 1 F 0 F 1 F 0 FQ 0 Figura 14 1 Arvore de recursao do algoritmo recursivo para c lculo do n mero de Fibonacci Algoritmo Fy n Fo 0 Fi fori 2 ton Fi 4 Fi Fi Return Fp Uma vez que calculamos os n meros de Fibonacci come ando com os menores e ar mazenando os resultados teremos j calculado os valors de F e Fi 2 quando com putarmos o valor de F O algoritmo executado em tempo O n 14 2 Programa o Din mica para o Problema da Mochila Inicialmente relembramos o problema da mochila n P z Mar 2 9 I n s a X ajz lt b j l x 0 1 j 1 n onde os coeficientes a _ e b s o inteiros positivos Imagine que o lado direito da desigualdade assume um valor que varia de 0 at b o que define est gios do problema de programa o din mica cujas solu es timas s o X0 Lk Lp Isto nos leva a definir o problema P A a sua respectiva solu o 14 Programa o Din mica Dominio Discreto 205 tima x A e o seu respectivo valor objetivo f A como segue PM felA Max gt Gjt j l k s a J ajz S j l Pea i eek Em palavras Py A o problema da mochila restrito aos k primeiros itens e uma mochila de capacidade Assim z fn b no
88. certo n mero de regi es o problema decidir onde devemos instalar um conjunto de servi os de emerg ncia Para cada ponto poss vel de instala o de um centro sabemos o custo de instala o e as regi es que a central de servi os pode atender e g em menos de 8 minutos Seja M 1 m o conjunto de regi es e N 1 n o conjunto de poss veis centrais de emerg ncia Seja ainda S C M o conjunto de regi es que podem ser atendidas pela central j e cj o custo de instala o Ent o obtemos o seguinte problema de otimiza o combinat ria POC Minren cj Us M jer JET Formulando o Problema Como um PIB Primeiro constru mos a matriz A tal que aj 1 sei S e aij O caso contr rio portanto A 0 1 Definindo as Vari veis ne 1 seo central 7 ser instalada E 0 caso contr rio Definindo as Restri es a Pelo menos um centro deve servir a regi o i n J Qij j 21 para i 1 m j 1 b As vari veis s o bin rias xj 0 1 para j 1 n Definindo a Fun o Objetivo n Min CG j 1 10 Fundamentos de Programa o Inteira 161 10 4 4 Exemplo 4 O Problema do Caixeiro Viajante PCV Outro problema cl ssico o problema do caixeiro viajante o qual consiste em escolher uma ordem para um viajante partir da sua cidade base digamos cidade 1 visitar as demais n 1 cidades precisamente uma vez e depois retornar cidade base de maneira que a dist ncia perco
89. condi es que n o podem ser antecipadas consiste de um conjunto de a es No exemplo acima as a es s o seguir pelo t nel ou seguir pela rodovia ao longo do lago Estrat gias podem ser determin sticas quando as a es s o fun es das condi es observadas estado ou estoc sticas quando as a es dependem das condi es mas s o tomadas probabilisticamente podendo certas a es ter mais ou menos proba bilidade do que outras a es alternativas H jogos onde a estrat gia tima deve ser necessariamente estoc stica Um exemplo ser visto na parte de jogos matriciais na sequ ncia A no o de otimalidade tamb m merece men o Para tanto seja f x a fun o ganho que o m simo agente est tentando maximizar para m 1 M Observe que fm depende tamb m das decis es de outros agentes Surge portanto um jogo din mico Seja x k o agregado das decis es dos agentes no instante t Dado x k o melhor curso de a o do agente m uma decis o do seu conjunto reativo Rm x k no ponto x k sendo este definido por Raley imi m argmax Ta Dna ais eee OE E O conjunto reativo Rm x cont m as solu es timas do problema de maximizar fm sob a condi o que os demais agentes mant m fixas as suas decis es Logo o agente m implementa uma decis o zm k 1 E Rm a k no instante tp 1 Com todos os agentes reagindo s decis es dos demais com a es dos seus respectivos conjuntos reativos surge um processo
90. conjuntos finitos de indices de restri es ed x e aj i E E UT s o vetores coluna com n elementos Problemas Pg podem ser resolvidos em um n mero finito de itera es mas o esfor o computacional depende significativamente das caracter sticas da fun o objetivo e do n mero de restri es de desigualdade Se a matriz Hessiana G positiva semi definida ent o dizemos que 18 1 um problema quadr tico convexo e neste caso a solu o do problema compar vel resolu o de um problema de programa o linear Problemas quadr ticos n o convexos quando G uma matriz indefinida s o muito mais dif ceis de serem resolvidos Neste cap tulo nos concentramos na busca de uma solu o para problemas quadr ticos convexos ou pontos estacion rios para problemas n o convexos O cap tulo est organizado como segue A Se o 18 1 apresenta o problema de inves timento com maximiza o dos retornos e minimiza o dos riscos o qual pode ser co locado como um problema de programa o quadr tica A Se o 18 2 desenvolve uma solu o do problema quadr tico quando apenas restri es de igualdade est o presen tes A Se o 18 3 discute brevemente as classes de algoritmos para resolver o problema quadr tico na presen a de desigualdades bem como condi es de otimalidade A Se o 18 4 apresenta do algoritmo de conjunto ativo que generaliza o algoritmo simplex para programa o linear 252 18 Programa o Quadr
91. d s a dist ncia entre o bit definido mais esquerda e o mais direita no schema s O Teorema 4 2 nos diz que os schemas de maior aptid o dever o aumentar sua influ ncia especialmente aqueles que possuem um pequeno n mero de bits definidos contendo varios e aqueles cujos bits definidos est o pr ximos uns dos outros 4 3 Simulated Annealing Simulated Annealing SA um m todo de otimiza o bastante geral como o Algo ritmo Gen tico que tem demonstrado excelente desempenho em problemas que apre sentam um n mero muito grande de timos locais Uma das aplica es mais bem sucedidas de SA o problema de localiza o de componentes eletr nicos em micropro cessadores no qual procura se minimizar o comprimento total das conex es A Figura 4 4 ilustra o problema de localiza o e empacotamento de circuitos eletr nicos CL Cl CIs ct Ce Figura 4 4 Empacotamento de componentes eletr nicos em circuitos integrados 4 3 1 O Processo de Annealing O processo de annealing se refere ao m todo por meio do qual l quidos ou metais se resfriam e cristalizam Aquecemos a subst ncia at uma temperatura muito alta depois resfriamos lentamente Na natureza se o resfriamento bastante lento a subst ncia 4 Otimiza o N o Diferenci vel 55 assume uma configura o de menor energia para a temperatura de equil brio A Figura
92. de f x na regi o R 1 00 Prof Kunz diz que se z R um m nimo local para f x na regi o R ent o x obrigatoriamente um m nimo global Sejam f x y e g x y duas fun es cont nuas e diferenci veis Prof Kunz afirma que se 0 um m nimo local de h x y f x y g x y ent o z y tamb m um m nimo local para f e g Capitulo 3 M todo de Newton Solucao de Equa es Nao Lineares e Minimiza o de Fun es Este cap tulo trata do m todo de Newton e suas aplica es na solu o de sistemas de equa es n o lineares e na minimiza o de fun es S o apresentados os fundamentos do algoritmo exemplos e a prova de converg ncia local em uma vari vel Para garantir converg ncia global do m todo quando aplicado minimiza o de fun es aplica se a t cnica de regi o de confian a que expandida e reduzida de forma que a aproxima o quadr tica da fun o seja satisfat ria dentro da regi o A se o final do cap tulo estende o m todo de Newton para o problema de minimiza o de fun es sob restri es de igualdade Esta se o pode ser omitida sem perda pois a otimiza o de fun es sob restri es ser t pico de outros cap tulos 3 1 Problemas de Interesse Desenvolveremos m todos de Newton para a solu o de equa es n o lineares for muladas como segue P Encontre x R tal que c x 0 onde c R gt R Tamb m
93. de Armijo e de curvatura 23 3 1 Ilustra o do processo iterativo de Newton 34 3 2 WUNCAG COBIL oe ie ah ah eae uber Ghee a Gdn are hy a pg 34 3 3 Modelo mec nico O modelo consiste de um tabuleiro com um furo perfurado a cada ponto yz Atrav s da cada buraco um fio passado com o correspondente peso wz preso a sua ponta Os outros extremos dos fios s o amarrados com um n Na aus ncia de fric o e fios entrela ados as for as atingem um equil brio no ponto do n quando este est localizado na solu o tima g E Mo te Si Rb o Ria RE Re O o ta Sa A inn Lae i 45 4 1 Operador cross over de um ponto 2 02000000 51 4 2 Operador cross over de dois pontos o o oo e a 51 4 3 Fen meno de Crowding 6 amp aooaa a 53 4 4 Empacotamento de componentes eletr nicos em circuitos integrados 54 4 5 Ilustra o do processo de annealing o oo a a ee 55 4 6 Comportamento t pico do n vel de energia conforme processo de annealing 56 4 7 Probabilidade de transi o com a queda de temperatura 56 4 8 Exemplo de rota para uma inst ncia particular 57 4 9 Ilustra o dos operadores de perturba o ooo oaoa a a aa 58 5 1 Exemplo de topologia de redes neurais o o oa a a a a 61 5 2 Unidade de processamento neural o oa s a a a a 62 5 3 Rede neural com camadas intermedi rias o 00 a a a 63 5 4 Rede neural do sistema ALVINN
94. de rede residual Lembramos que um corte s t S S tem um conjunto de arcos diretos representado por S S e um conjunto de arcos reversos denotado por 5 9 A capacidade do corte denotada por u S 5 sendo igual a soma da capacidade dos arcos diretos que 1A no o de rede residual ser estendida na pr xima se o para resolver o problema de fluxo de custo m nimo 8 Fluxo em Redes 113 l Zij Uij Tij ae OS Figura 8 3 Exemplo de rede residual G x obtida a partir de uma rede G e fluxo x atravessam o corte ou seja i 9 S 8 Obviamente a capacidade de um corte s t define um limite superior para a quantidade de fluxo que pode ser enviada de s para t O corte cuja capacidade m nima dentre todos os cortes s t dito corte m nimo A capacidade residual de um corte s t denotada por r S S e definida como a soma das capacidades residuais dos arcos diretos do corte isto i 9 e 8 8 Seja x um fluxo na rede Adicionando as equa es de conserva o de fluxo do modelo 8 2 para os n s em S obtemos v gt Tij y Tji 8 4 ieS Lj i jJEA 9 i A Quando dois v rtices u v E S ent o x aparece na equa o de equil brio de u e uv aparece na equa o de equil brio de v dessa forma cancelando um ao outro em 8 4 O mesmo ocorre se u v S Isto nos leva a concluir que a express o 8 4 pode ser simplificada v y Tij Tji 8 5 i 5 S S 3
95. e fa a a implementa o em uma linguagem de programa o e g C Java Pascal awk etc c Qual a complexidade tempo de execu o do algoritmo desenvolvido em termos dos par metros dos dados d Teste o algoritmo indicando os resultados obtidos EX 14 4 O problema de caminhos m nimos sob restri o pode ser definido como se gue Dado um grafo direcionado G V 4 onde um custo c e um comprimento wij est o associados com cada arco i j A Desejamos encontrar o caminho de menor comprimento ligando um v rtice s a um v rtice t tal que o custo dos arcos ao longo do caminho n o supera o montante B Assuma que todos os valores s o inteiros positivos Tarefas a Formule o problema de forma recursiva b Desenvolva um algoritmo de programa o din mica Qual a complexidade do algoritmo c Implemente o algoritmo em uma linguagem de programa o d Ilustre o comportamento do algoritmo em pelo menos dois exemplos Su gest o escolha um grafo com cerca de 15 v rtices e rode o algoritmo para diferentes s t e valores B EX 14 5 S o dadas duas sequ ncias de caracteres do alfabeto D A Z sendo x x1 7n uma sequ ncia com n caracteres e y y1 Ym uma sequ ncia com m caracteres Desejamos encontrar subsequ ncias n o necessari amente cont guas x u Lip de e ys Yj Zj de y que sejam id nticas e de maior comprimento poss vel ou seja queremos maximi
96. e os envia camada de sa da BA Z Entrada Sa da Figura 5 1 Exemplo de topologia de redes neurais E interessante considerarmos que o c rebro humano possui aproximadamente 10 62 5 Treinamento de Redes Neurais Um Problema de Otimiza o neur nios 100 bilh es de neur nios cada um conectado com cerca de 10 neur nios O tempo de resposta de um neur nio aproximadamente 1073 segundos muito mais lento do que um computador cujas portas l gicas apresentam um tempo de resposta da ordem de 107 segundos O c rebro humano reconhece uma figura em cerca de 107 segundos Dado o tempo relativamente lento de resposta do neur nio em compara o com a velocidade de processamento de informa o podemos concluir que o sistema de aprendizagem biol gico extremamente paralelo e distribu do todavia n o possui um n mero muito grande de camadas Existem entretanto incompatibilidades entre as redes neurais artificiais e as uni dades do sistema biol gico de aprendizagem A sa da de uma unidade artificial um valor constante enquanto que as unidades biol gicas emitem uma s rie complexa de sinais consistindo em pulsos com v rias frequ ncias 5 1 Elementos B sicos das Redes Neurais O elemento b sico de uma rede neural a unidade de processamento Na Figura 5 2 ilustrada a estrutura geral de uma unidade de processamento neural a qual consiste em um vetor com os sinais de entra
97. eke dr A 5 Treinamento de Redes Neurais 2 00000 ee Ab Programacao Linear os 2 5 4 4 2 a a aa a ee Sey wane Sea he a A 7 Teoria dos Jogos pla ey Soe eee ae ee ae be ae ee A 8 Fluxo em Redes Ro pm ee a he Pe a ee EO ta a do MT RG A 9 Linguagens de Modelagem 2 00000 ee eee A 10 Programa o Inteira Fundamentos 00 A 11 Programa o Inteira Relaxa es e Algoritmo Branch and Bound A 12 Algoritmos de Planos de Corte e Desigualdades Fortes A 13 Programa o L gica er amp A B dig e RE Pao Sd ede Bey A 14 Programa o Din mica Dominio Discreto A 15 Programa o Din mica Dom nio Continuo A 16 Programa o Nao Linear Sob Restri es Fundamentos A 17 Programa o N o Linear Sob Restri es Fundamentos de Algoritmos A 18 Programa o Quadr tica o avin ee ea et A 19 Programa o Nao Linear sob Restri es Algoritmos Lista de Figuras 1 1 Predi o peso com base na altura lt 2 2 06 424 Se DS See Ba 8 1 2 Inst ncia do problema de localiza o de central telef nica 11 2 1 Exemplo de fun o com um n mero infinito de timos locais 18 2 2 Ilustra o do gradiente de uma fun o V f x que assume a dire o ortogonal curva de n vel que passa por Tp 6 oeo a a 21 2 3 Ilustra o de passo satisfat rio a4 oe a ac Pads arm oe eS 23 2 4 Ilustra o das condi es
98. entrada sa da de uma fun o f x desconhecida que estamos tentando aproximar por f x w b w x b ee Yi flaw b yi wT d a b o erro de aproxima o para o i simo par e e w R eb ER s o os par metros que definem a aproxima o f Fazendo uso do Lagrangeano de P mostre que a solu o tima de P satisfaz a rela o 0 2 bi 0 1 Q Al ly com y Yr Ym n 1 1 1 7 A Os Am Qi ole O a k xi j parai j 1 m Este tipo de aproxima o conhecido como Support Vector Machine A fun o k x x denominada de kernel Dois tipos de kernel sao i polin mio de ordem q k x 2 1 27 2 4 leo ii kernel de base radial k x x exp 35 EX 18 7 Considere a matrix n 1 x n 1 conhecida por matrix de borda dada por G a 18 35 onde A uma matriz n x n u RX ea R Conhecendo A desejamos encontrar uma forma r pida de calcular G Seja a inversa de G estruturada como B q Gs i b 18 36 Fazendo B A 1 bA uu A7 e b 1 a u Aly encontre q tal que 18 36 defina a inversa de G 264 18 Programa o Quadr tica Capitulo 19 Programacao Nao Linear sob Restri es Algoritmos Os cap tulos anteriores apresentaram fundamentos de otimiza o n o linear sob restri es estabelecendo condi es de otimalidade local de primeira ordem e desen volvendo algoritmos pa
99. ex 0 0 33 7 0 Dividindo a desigualdade por 7 e realizando arredondamento obtemos E 5 33 7 772 773 774 S 7 4 8 7 5 33 gt lt Lolm lolzo oles lilo So gt T2 T3 lt 4 Observe que a desigualdade acima corta a solu o fracion ria pois 33 EX 12 3 Prove que a desigualdade y2 y3 2y4 lt 6 v lida para X y Z Ay 5y2 9y3 12y4 lt 34 Dividindo a desigualdade por 5 e realizando arredondamento obtemos 4 5 9 12 34 4 5 9 12 34 Y Pay cia FU s rar Lely Lady Lousa lt a 5 gt yotygt 2ys lt 6 EX 12 4 As itera es do algoritmo de planos de corte seguem abaixo Itera o 1 Introduzindo as vari veis de folgas w1 W2 e w3 e resolvendo a re laxa o linear obtemos o dicion rio 1 35 it Max 68 3 ay 1 3 We S a 1 7 _ 5 T at uno 3 0 To We SE SE oa 3 i 7 a 3w 3W2 F w 35 Podemos ent o gerar um corte de Gomory na primeira linha 1 T 5 z glu Lala lt Ls gt 2 3u lt 1 1 7 5 gt z 3w2 1 gw qua Sl s 1 2 2 gt UWi qua lt 3 3 3 1 2 2 gt ig i uai A 4 Itera o 2 Resolvendo a relaxa o linear ap s introduzir o corte A 4 obtemos uma solu o inteira z 4 a 0 O valor da fun o objetivo para esta solu o 68 330 A Exercicios Resolvidos A 13 Programa o L gica A Exercicios Resolvidos 331 A 14 Programa o Din m
100. folga do dual Ent o x e y s o solu es timas para seus respectivos problemas se e somente se v 2 0 paraj l n yw 0 por srs ee Fazendo X diag x1 n Z diag 21 2n Y diag y Ym e W diag wi Wm as condi es 6 19 podem ser expressas como XZe 0 YWe 0 onde e 1 1 7 um vetor de dimens o apropriada com todas as entradas iguais a 1 Portanto x y w 2 define solu es primais e duais timas se e somente se Ar w Aly z X Ze YWe x y w 2 gt D OO Ss 6 20 Para o caso mais simples mas igualmente geral onde o problema primal s tem restri es de igualdade Ax b enquanto o vetor de decis es n o nulo x gt 0 as condi es 6 20 assumem uma forma mais simples Ax Afy z X Ze x z 6 21 WV il Soo as 90 6 Programa o Linear Note que se n o fossem as restri es x gt 0 e as folgas duais z gt 0 poder amos aplicar o m todo de Newton O caminho central C um arco parametrizado por 7 gt 0 onde um ponto 7 Yz Z7 E C se resolver o sistema Ax Afy z X Ze x z gt 6 22 ono oO O caminho central C 2 y7 2 T gt 0 desempenha um papel importante na teoria de algoritmos de ponto interior As equa es 6 22 aproximam as equa es 6 21 medida que 7 tende para zero O caminho central guia a s rie de solu es candidatas ao longo de uma dire o que se afasta de so
101. formas discretizadas jogos din micos e proces sos iterativos Seja f x R R uma fun o cont nua e diferenci vel o problema de interesse definido como segue Encontre x tal que f x 0 Alguns algoritmos transformam este problema em um problema de otimiza o irres trita Minimize f x 2 x R onde e uma norma vetorial 10 1 As Sub reas da Otimiza o 1 7 1 Aplica o em Sistemas de Controle Dado um sistema de equa es diferenciais encontre um ponto de equil brio Con sidere o sistema de equa es diferenciais abaixo Ly 1 Lo 22122 2 221 2X9 2 2 sin xo V2 t3 2x9 2 2 De uma forma mais compacta o sistema acima pode ser escrito como x f x onde x z1 z2 3 Um problema t pico no dominio de controle n o linear a busca de um ponto de opera o ou de equil brio i e um ponto x tal que 0 O problema de encontrar um ponto de equil brio pode ser reduzido solu o de um sistema de equa es n o lineares f x 0 Para o exemplo acima um ponto de equil brio a 1 V2 xa 1 8 Otimiza o Nao Linear sem Restri es Otimiza o irrestrita sem restri es constitui um bloco fundamental no desen volvimento de software Algoritmos para solu o de problemas de otimiza o restrita fazem uso de otimiza o irrestrita O problema de otimiza o irrestrita definido como Minimize f x x R
102. i zj Z 2yij Yj 2 0 2 Se z 1 ent o z2 z3 1 Xo T T3 lt 2 24 T2 T3 2 t 3 x3 1 se e somente se x 1 ou zo 1 mas n o ambas 3 2 gt t 3 2 T2 t T3 lt 2 L T2 z3 amp T 22 4 x e 2 podem assumir todos os valores 0 1 poss veis exceto z 0 e z 1 T 2X2 EX 10 6 As respostas seguem abaixo i As vari veis x podem ser formuladas como segue to 0 Tj lt Uj 1 T Aj 1 Tj gt Tj 1 T Aj 1 n 1 aj 1 j gt 0 j lt NAj 1 19 Ls ii O limite m ximo para x pode ser modelado por SE bo och iii O comprimento m nimo de subsequ ncias de 1 s pode ser modelado por hein Tj 1 lminn 1 Qua a 2 a lmin mas permite que se tenha uma subsequ ncia de comprimento menor que lin no extremo direito da sequ ncia a EX 10 7 Seja a BMX um vetor tal que a 1 se a rota r passa por pm ea 0 caso contr rio para n 1 N em 1 M O problema pode ser colocado como um problema de cobertura de conjuntos BEAS N Minimize Si Cnn Sujeito a N ma 31 m 1 M n 0 1 n 1 N 318 A Exercicios Resolvidos EX 10 8 O problema pode ser colocado formalmente como n P Minimize dj j l Sujeito a i lt Tj X lt j Y SY Y SY Di 20 a re hen y 20 dj min 9 Para escrever a fun o min em programa o matem tica podemos fazer uso do exerc cio j resolvido ante
103. i 1 n Este sistema de equa es surge da lineariza o por partes de uma fun o n o linear f x onde x X fa 1AF a f x Da f a AF e i 1 i ag lt a lt lt An 41 132 8 Fluxo em Redes Figura 8 15 Segunda itera o do algoritmo de cancelamento de circuito negativo A figura mostra a rede residual G x o ciclo wt 3 2 2 1 1 3 com custo c w 1 e capacidade m xima w 1 e o fluxo zt Figura 8 16 Terceira itera o do algoritmo de cancelamento de circuito negativo Na figura dada a rede residual G x e o respectivo fluxo 2 Tamb m indicado o circuito w 2 3 3 4 4 2 com custo c w 3 e capacidade w 1 8 Fluxo em Redes 133 r 2 3 3 a 4 Figura 8 17 Fluxo timo x e rede residual G x N o h ciclo de custo negativo A 0 T aa Ba 4 E a Figura 8 18 Propriedade de unimodularidade das matrizes de incid ncia de grafos Um arco sem n de origem indica fluxo injetado no n destino enquanto que um arco sem n de destino indica fluxo consumido pelo n origem 134 8 Fluxo em Redes 6 10 O 2 10 8 10 4 10 7 8 aii 7 15 9 15 Cij uiz 1 10 E 15 Figura 8 19 Grafo G V 4 com a especifica o do problema de fluxo em rede Capitulo 9 Linguagens de Modelagem Neste capitulo apresentamos os elementos fundamentais de duas linguag
104. ij 3 o arco j i tem custo ci e capacidade residual rj 9 Proposi o 8 1 Um fluxo x fact vel para a rede G se e somente se o fluxo corres pondente x definido por Tij Tji Lig Li e Tij ji 0 fact vel na rede residual G x Al m disso lx Tg cla 124 8 Fluxo em Redes Cij Uij Lj bi Cij Uij bj b o O Tij Re CI Cij Lj Figura 8 12 Exemplo de rede residual Prova Seja x um fluxo fact vel para G Seja z um fluxo residual para a rede G x tal que 7 gt 0 e fazendo para todo i 7 A Zya 0 8 12 A condi o 8 12 nos diz que apenas um dos arcos tem fluxo n o nulo Se x gt Tys ent o fa a Tij Tij xi e Tji 0 uma vez que Tij lt ui temos que Tij lt Uij rh fij e portanto satisfaz a restri o de capacidade do arco i j na rede residual Caso contr rio se T lt 9 ent o fa a Zj x Tij Tij 0 uma vez que 0 lt Tij lt a segue que T ij Sobra ae UOC Tey vis rj portanto gj satisfaz a restri o de capacidade do arco j i na rede residual O desenvolvimento acima mostra que se o fluxo x fact vel em G ent o o fuxo residual x obtido conforme 8 11 e 8 12 fact vel na rede residual G x De forma similar pode ser mostrado que para um fluxo residual Z fact vel em G x o fluxo x obtido de maneira a satisfazer as equa es 8 11 e 8 12 fact vel para a rede original G
105. integer Level set of integer Lsp_s array Lsp of integer Lsp_d array Lsp of integer Lsp_p array Lsp of integer Lsp_delay array Lsp of integer Lsp_lbd array Lsp Level of integer x array Lsp Level Node Node of mpvar y array Lsp Level of mpvar end declarations Read in data from external file initializations from model dat Node Arc Arc_u Arc_d Lsp Level Lsp_s Lsp_d Lsp_p Lsp delay Lsp_lbd end initializations Printing data fopen f data txt F OUTPUT writeln writeln List of nodes writeln 3 forall i in Node writeln node i Node i writeln writeln List of Arcs writeln us forall i in Node j in Node Arc i j 1 writeln arc i j u Arc_u i j delay Arc d i j writeln writeln List of Lsp s writeln forall k in Lsp writeln 1sp k Lsp k s Lsp_s k d Lsp_d k p Lsp_p k writeln writeln List of bounds for Lsp s 148 9 Linguagens de Modelagem writeln forall k in Lsp do write lsp k lbd forall 1 in Level write Lsp_lbd k 1 writeln end do fclose F OUTPUT Instantiate variables forall k in Lsp 1 in Level i in Node j in Node Arc i j 1 create x k 1 i j forall k in Lsp 1 in Level create y k 1 forall k in Lsp 1 in Leve
106. investigaremos a solu o do problema de minimiza o irrestrita ou seja P Minimize f x x eR onde f R gt R 3 2 O M todo de Newton em uma Vari vel Nesta se o nos concentramos na solu o do problema P em uma vari vel ou seja desejamos encontrar x R tal que c x 0 onde c x R gt R O m todo como o pr prio nome sugere foi proposto por Isaac Newton O m todo de Newton 32 3 M todo de Newton Solu o de Equa es N o Lineares e Minimiza o de Fun es um processo iterativo de fundamental import ncia no desenvolvimento de muitos algoritmos de programa o n o linear Seja x a solu o candidata na itera o k sendo a solu o inicial x9 definida arbitrariamente A id ia b sica do m todo de Newton est na aproxima o de c x com uma s rie de Taylor de primeira ordem em torno do ponto xy Isso nos leva a seguinte aproxima o Ly Clty C x Zeya Lk onde c x de dx O m todo calcula a pr xima solu o candidata de forma a resolver a aproxima o linear Mais precisamente clxr C x Le41 Lp 0 tre Tr e ae e ae Tipicamente n o se espera que c x 1 0 mas que x4 defina uma solu o candidata de melhor qualidade do que aquela definida por x Formalmente espera se que Irei T lt x az e e r41 lt le ee onde x uma solu o i e c x 0 Uma seq ncia de
107. iterativo x k 1 G x k 7 1 onde G x Gi x Gml x e Gm x k Rm x k define a fun o reativa de cada agente m 1 M Note que o processo iterativo 7 1 s pode ser est vel quando nenhum agente tem incentivo para se desviar de suas decis es correntes o que equivale a dizer que a k 1 G x k amp r G x sendo x um ponto fixo O ponto fixo x um ponto est vel para agentes competitivos qualquer agente m que implementar uma solu o m 4 x estar incorrendo perdas a si pr prio Tais pontos s o conhecidos por pontos Nash Surge portanto a quest o de converg ncia de processos iterativos descritos por 7 1 N o dif cil mostrar que uma condi o suficiente para converg ncia satisfeita quanto G x G y lt x yl para alguma norma vetorial e Em jogos com soma zero zero sum games onde o ganho de um agente corres ponde perda de outro agente n o h possibilidade para ganho m tuo que permita coopera o a menos que certos agentes sejam altru stas Na pr xima se o vamos estudar pol ticas de decis o que induzem equil brio em jogos sem possibilidade de coo pera o Em situa es onde h possibilidade de coopera o que levam dois ou mais agentes a obterem ganhos maiores o ponto Nash tipicamente induz ganhos inferiores Os pontos timos s o conhecidos por solu es Pareto Um vetor de decis es x pertence 7 Teoria dos Jogos 97 ao c
108. lculo de f A para 0 1 be k 1 n necessita de um n mero constante de opera es O algoritmo roda em tempo O nb sendo portanto pseudo polinomial O algoritmo tem tempo de execu o polinomial se b O logn j que b pode ser representado em nota o bin ria com k bits ou seja b lt 2 Exemplo Considere a inst ncia do problema da mochila que segue abaixo z Maximize 10x Tx 2573 24 4 sujeito a 2 x 643 Say lt 7 206 14 Programa o Din mica Dominio Discreto Para se aplicar DP calculamos os valores de fo A A pr xima coluna k 1 calculada usando a f rmula 14 7 O resultado completo da aplica o do algoritmo de programa o din mica est ilustrado na Tabela 14 1 Nela s o dados os valores da fun o objetivo de cada subproblema e as decis es relativas inser o do item do est gio na mochila Tabela 14 1 Tabelas DP para o Problema da Mochila Alfo fi fe fs falp P2 P3 pa 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 110 0 7 7 7 0 1 0 0 2 0 10 10 10 10 1 O O O 3 0 10 17 17 17 1 1 0 0 4 0 10 17 17 17 1 1 0 0 510 10 17 17 24 1 1 0 1 6 0 10 17 25 31 1 1 1 1 7 0 10 17 32 34 1 1 1 1 Relembrando que f A Mar fr_1 A Ck fr i ax podemos reconstruir a solu o tima palT 1 gt r 1 p3 7 5 p3 2 0 gt 73 0 A solu o tima x 1 0 0 1 e f x 34 14 3 Elementos de um Algoritmo DP Sequ ncia Crescente Mais Lo
109. matem tica No que segue apresentamos a linguagem 2 1 As Sub reas da Otimiza o de programa o matem tica e exemplificamos o seu uso em uma s rie de problemas ilustrativos e de interesse geral 1 1 2 Elementos de um Problema de Otimiza o Tipicamente um problema de otimiza o tem tr s elementos constituintes 1 Vari veis de Decis o Par metros cujos valores definem uma solu o para o pro blema Em um sistema de produ o esses par metros podem definir as quanti dades produzidas e os recursos utilizados 2 Fun o Objetivo Uma fun o das vari veis de decis o a ser minimizada ou ma ximizada No sistema de manufatura podemos estar interessados em minimizar custos reduzir o n mero de homens hora e conseq entemente aumentar a pro dutividade 3 Restri es Um conjunto de fun es que define o espa o fact vel de solu es No sistema de manufatura as restri es estabelecem limites para os recursos utiliza dos restri es operacionais do processo de produ o bem como limita es f sicas e tecnol gicas Formula o do Problema de Otimiza o Generalizado O problema geral de otimiza o expresso em programa o matem tica como Minimize f z Sujeito a 1 1 PAN B Al A am a gt x E onde f R gt R a fun o objetivo g R R e h R gt R s o restri es que limitam o espa o de solu es fact
110. mica A t cnica de programa o din mica tem como base o princ pio da otimalidade O nome devido a Bellman que foi respons vel por muitas contribui es neste dom nio um dos precurssores da programa o din mica 15 3 1 Princ pio da Otimalidade Seja 7 us N_ uma pol tica tima para o problema b sico e assuma que quando adotamos 7 um dado estado x ocorre no instante 7 com probabilidade positiva Considere o subproblema em que a partir de x no instante 7 desejamos minimizar o custo restante cost to go de i at N Formalmente o cost to go dado por N 1 Egy an X ge 2x Mele we 15 13 k i Ent o a pol tica truncada uj j 1 HlN 1 tima para 15 13 W O princ pio da otimalidade sugere que uma pol tica tima pode ser constru da de uma forma gradual primeiro construindo uma pol tica para o ltimo est gio e de pois estendendo a solu o do subproblema para os dois ltimos est gios e assim por diante at construirmos uma solu o pol tica completa cobrindo todos os est gios A programa o din mica baseada nessa id ia 15 3 2 O Algoritmo de Programa o Din mica Considere o problema de invent rio apresentado anteriormente Abaixo desenvol vemos um algoritmo para determinar a pol tica tima que come a no ltimo est gio e procede para tr s Per odo N 1 Independentemente do que aconteceu no passado devemos minimizar cuna E R an que pode
111. neurais Dado uma s rie de exemplos de treinamento pares entrada sa da o problema de treinar uma rede neural a aproximar a fun o descrita pelos pares entrada sa da se reduz a um problema de m nimos quadrados n o linear 1 6 M nimos Quadrados Linear V rios problemas encontrados na pr tica como por exemplo o problema de ajuste de curvas e de identifica o de sistemas podem ser expressos como um problema de encontrar os par metros de uma fun o linear nos par metros que aproxime os dados observados Abaixo ilustramos uma aplica o do problema de m nimos quadrados linear ao problema de encontrar uma fun o de predi o do peso de pessoas em fun o da altura com base em exemplos amostrais Na sequ ncia formalizamos o problema de m nimos quadrados e finalizamos com uma aplica o ao problema de ajuste de curvas generali zado 1 6 1 Exemplo Ilustrativo Seja w h um modelo que descreve a rela o entre a altura e o peso m dio das pessoas do sexo feminino Suponha que o modelo escolhido um polin mio da forma w h 23h toh z1h to ou seja w h um polin mio de terceira ordem que modela o peso como uma fun o da altura Os dados amostrais s o dados na Tabela 1 1 1 As Sub reas da Otimiza o 7 Tabela 1 1 Dados amostrais Amostra i Altura h Peso wi 1 1 50 59 2 1 54 53 3 1 58 56 4 1 60 52 5 1 65 58 6 1 67 59 7 1 70 64 8 1 72 71 9 1 72 71 10 1 75 75 1
112. nimo global para h n o m nimo local de f muito menos ainda um m nimo de g que n o tem m nimo local 294 A Exercicios Resolvidos A 3 M todo de Newton EX 3 1 Para encontrarmos as regi es de converg ncia e diverg ncia podemos inici almente descobrir a regi o em que o m todo de Newton tem comportamento c clico Para fun o f x arctan x o operador de Newton definido por f xx arctan zp E Figs yea oe Seja x um iterando qualquer e x o iterando seguinte Para que o m todo de Newton entre em la o infinito se faz necess rio que xf a x 2 sendo f a 0 H duas possibilidades i af x x x que implica xt x e portanto x define uma raiz ii xt x x x Vamos ent o analisar o segundo caso quando xt x x 2 Substituindo A 1 e sabendo que x 0 deduzimos que 1 2 arctan x z amp 2x 1 x arctan x 0 A 2 Portanto um ponto em que o m todo de Newton entra em ciclo infi nito precisamente uma solu o para A 2 As solu es de A 2 s o 1 39174520027073 0 e 1 39174520027073 Logo o m todo de Newton diverge para xo 00 1 39174520027073 U 1 39174520027073 oo e converge para xo E 1 39174520027073 1 39174520027073 O m todo entra em ciclo infinito para xo 1 39174520027073 1 39174520027073 EX 3 2 Com x 1 1 o m todo converge para 0 69684555124075 0 2855937
113. no interior O m todo de conjunto ativo para PQ pode ser implementado de tr s formas 1 M todo Primal 2 M todo Dual 3 M todo Primal dual 18 Programa o Quadr tica 257 Aqui nos concentraremos no m todo primal o qual inicia computando uma solu o fact vel o e segue gerando iterandos fact veis O m todo encontra um passo que trans forma o iterando corrente no pr ximo iterando por meio da solu o de um subproblema quadr tico no qual um subconjunto das restri es imposto como igualdades Tal sub conjunto referido como conjunto de trabalho e denotado por Wp na k sima itera o W consiste de todas as restri es de igualdade E juntamente com algumas nao necessariamente todas as desigualdades ativas Dado um iterando x e um conjunto de trabalho W primeiramente verificamos se x minimiza q x no subespa o definido pelo conjunto de trabalho Wp Em caso nega tivo calculamos um passo p por meio da solu o do subproblema quadr tico tomando como restri es de igualdade todas as restri es do conjunto ativo Primeiramente expressamos o subproblema em termos do passo p definido por P T Tk Ea 18 26 e atrav s da substitui o de x na fun o objetivo do problema 18 20 definimos 1 q x q k p zP Gp Egp c 18 27 onde c Sr Garg d x um termo constante Uma vez que podemos remover a constante c da fun o objetivo sem modificar a solu o do proble
114. o dos passos para se resolver o problema de interesse O modelo est armazenado no arquivo simple mos C gt mosel Xpress Mosel Copyright Dash Associates 1998 2002 gt compile simple Compiling simple gt load simple gt run O lucro 171 429 Returned value O Para obter informa es sobre os comandos dispon veis e par metros simplesmente digite o comando help na janela de entrada da interface Mosel 9 1 3 Indo Mais Longe O formato MPS um padr o para representa o e armazenamento de problemas de programa o matem tica V rios otimizadores aceitam problemas especificados neste 138 9 Linguagens de Modelagem formato Detalhes sobre o formato MPS podem ser obtidos nos ap ndices do manual de usuario do GNU solver Mosel e Xpress optimizer nao podiam ser diferentes e ambos suportam a entrada e sa da de problemas no formato MPS Para gerar o arquivo MPS correspondendo ao problema escrito em Mosel basta executar o comando gt export m simple mps Mosel tamb m capaz de gerar o problema no formato LP que pode ser resolvido com certos pacotes de otimiza o como por exemplo lp solve ftp ftp es ele tue nl pub lp solve e glpk da GNU http www gnu org software glpk glpk html Para gerar o arquivo LP correspondente ao problema escrito em Mosel execute o comando gt export simple lp 9 1 4 Trabalhando com o Optimizer Nos casos anteriores carregamos modelos dentro do ambient
115. o linear sob restrigo s y programa o quadr tica sequencial SQP sequential quadratic pro gramming produz passos para o iterando corrente por meio da solu o de proble mas quadr ticos Diferentemente de programa o linear sequencial que mais eficaz quando as restri o s s o lineares SQP robusto em problemas com nao linearidades significativas nas restri es 19 5 1 O m todo SQP Local Vamos iniciar a discuss o considerando o problema n o linear com restri o es de igualdade Minimize f x Sujeito a 19 35 C x 0 Onde f R gt Re c R R sao funco s suaves Problemas que cont m apenas restrico s de igualdade nao s o muito comuns na pr tica mas um entendimento de 19 35 crucial para o desenvolvimento de algoritmos para o caso geral A ideia de SQP adv m do uso de um modelo quadr tico de aproxima o de 19 35 em torno do iterando xz A solu o deste subproblema nos d o pr ximo iterando Uk 1 O desafio est em se projetar o subproblema quadr tico de forma que se obtenha um bom passo para o problema 19 35 dessa forma induzindo converg ncia r pida e robusta para um m nimo local Talvez a forma mais simple de se obter o m todo SQP deriv lo da aplica o do m todo de Newton para as condi es KKT A partir da aplica o das condi es KKT sabemos que o Lagrangeano de 19 35 dado por L x A f x Cz 19 36 Utilizaremos A x para denotar a mat
116. os Problemas Py e Py oaoa T Teorema Minimax ssa s Ene Sale ALT Gale AE E Malek aL 7 8 Jogos Quadr ticos uai E ah aaa oP a Pa he ag oh Ted FECT Ort solar ated etna tosis Yas Choe Ae Ge eee Cre a id oe ye eo 7 9 Refer ncias 6 guisa we hs T O Exerc cios is Se Ka ee BSA a eB ee eed ed Boe ea Ye Fluxo em Redes 8 1 Dois Problemas Cladssicos 0 02020002 0 000 eee eee 8 2 8 3 8 4 8 9 8 6 8 1 1 8 1 2 O Problema de Transporte oaoa aa a O Problema de Aloca o oono ak ee eS O Problema de Fluxo M ximo o a a aaa 00000004 8 2 1 8 2 2 8 2 3 Fluxos e Cortes aoaaa ee ee eA Algoritmo de Caminhos Aumentantes Implica es Combinat rias do Problema de Fluxo M ximo O Problema de Fluxo de Custo Minimo 00 8 3 1 8 3 2 8 3 3 8 3 4 Transtormacoes ar py hes segs eee ae Sage E E S Um Exemplo ed sald a ta Bde ee Be hoe eh ohne Pa AT Redes Residuais 15 10 05 ER ety Bo AS Ld Sey ei Ge Ce Algoritmo de Cancelamento de Circuitos Negativos Matrizes Totalmente Unimodulares 0 0 00 Referencias aesa e AG PR TA Bent Be DO pe ra A SL A o a A pl EXERCICIOS sait do deh te ee Pe ml q Pe ee ODE A EE RO A ia Linguagens de Modelagem 9 1 Linguagem Mosel sa ga ps A ee det Oe oe e PD 9 2 9 3 9 4 9 5 9 1 1 9 1 2 9 1 3 9 1 4 9 1 5 9 1 6 9 1 7 Qual Interface Devemos Utilizar o oo aaa Resolvendo um Problema xs oaoa
117. perfeito a tabela D ind ntica aos resultados apresentados na Figura 14 2 Se modificarmos o padr o para P fg e mantivermos o mesmo texto ent o obteremos D i j conforme Tabela A 1 para o caso de emparelhamento perfeito e Di j conforme Tabela A 2 para o caso de emparelhamento flutuante Note que no primeiro caso o custo de edi o 10 enquanto que no segundo caso o custo nulo pois o padr o P fg aparece no texto 7 Tabela A 1 Tabela Dfi j para emparelhamento perfeito T bc deffghix k I P 0 1 2 3 4 56 7 8 amp 8 9 10 11 12 f 1 123445678 9 10 1 g 2 223455567 8 amp 8 9 10 Tabela A 2 Tabela Dfi j para emparelhamento flutuante T bc de a Ee var i Seo ck P 0 0 000 00g0 00g0 g0g00 0 f 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 g 2222 211 0 12 2 2 2 EX 14 3 Seja J n o custo de formata o tima para a subcadeia w wy Po demos desenvolver as recorr ncias est gio por est gio a i N Temos o valor terminal E e 0 seb A Ln gt b NNT Ybl Best ech A Exercicios Resolvidos 333 b i N 1 Temos a recorr ncia Jn 1 N 1 b b onde b A Ly 0 se Ly 1 Ly gt A and p a V A Ly 1 Ln 2 gt 6 N 1 N 1 2 b b se Ly_1 Ly lt Aand b lt b JN 1 N JN N c i N 2 Temos a recorr ncia JIn 2 N 2 b b onde b A Ly_2 2 b b se Ly_2 Ly lt A and Jn 2 N 1 min b A Ly Ln 1 2 Jn 2 N 2 JN 1 N 1 0 se Ly_9
118. poder ser selecionado pela solu o do problema As caracter sticas l gicas da rede s o como segue e o n mero de LSPs a serem configurados K e o n mero de n veis de largura de banda a serem configurados no k simo LSP lk o n mero de n veis e a largura de banda de cada fluxo s o definidos de acordo com crit rios administrativos o procedimento de otimiza o escolhe somente um n vel para configurar cada LSP onde ser encaminhado o fluxo de dados correspondente e a taxa de transmiss o a ser configurada no l simo 1 lt L lt ly n vel do k simo LSP A sendo esta medida em Kbps e o m ximo atraso fim a fim permitido ao k simo LSP hz sendo este medido em ms e o par metro dx introduzido na fun o objetivo para indicar a import ncia do k simo fluxo de dados que ser encaminhado no k simo LSP denominado 146 9 Linguagens de Modelagem par metro de prioridade de admiss o o qual atua como elemento de differen cia o de servi os e o par metro j d a capacidade de transmiss o do enlace i 9 O problema de engenharia de tr fego PET pode ser colocado em programa o matem tica K k PET Maximize DD de Mm 9 1 k 1 1 1 Sujeita a lk gt ud VkEK 9 2 I 1 K lk DD Maj lt my Vij E 9 3 k 1 1 1 lk gt So ayah lt he VkEK 9 4 i j EE l 1 gt X os So oh bby Yi V Yk K YLE Lp 9 5 3 4 9 E Ui i EE xkl 0 1 V i j
119. pr enviar a quantidade uij de fluxo atrav s do arco i j se cij lt 0 TO algoritmo de Bellman Ford encontra um ciclo de custo negativo em tempo O nm 8 Fluxo em Redes 127 2 1 Figura 8 14 Primeira itera o do algoritmo de cancelamento de circuito negativo A figura mostra a rede residual G x o circuito com custo negativo em linhas tracejadas e o fluxo x O circuito dado por w 4 2 2 3 3 4 que tem custo c w 1 e capacidade m xima w 2 cujos dados 4 b s o inteiros com A Z Sob quais condi es podemos esperar que a relaxa o linear LP de IP maz cfr Ax lt b x R ter solu o inteira A partir da teoria da programa o linear sabemos que as solu es b sicas podem ser expressa na forma x tp y B D 0 onde B uma submatriz m x m n o singular da matriz 4 1 e J uma matriz identidade de dimens o m x m Proposi o 8 2 Condi o Suficiente Se a base tima B tem determinante det B 1 ent o a relaxa o linear resolve IP Prova Pela regra de Cramer B7 E onde adj B a matriz adjunta de B As entradas de adj B s o produtos dos termos de B portanto adj B uma matriz de inteiros e det B 1 o que nos leva a concluir que B b inteiro para qualquer b inteiro Defini o 8 1 Uma matriz totalmente unimodular TU se toda a submatriz qua drada de A tem determinante 1 1 ou 0 D
120. que acarreta converg ncia prematura para timo local O fen meno de crowding ilustrado na Figura 4 3 Algumas estrat gias para evitar crowding s o e sele o de pares para reprodu o atrav s de torneios em vez de sele o proba bilistica e utilizar o valor de posi o ranking no lugar da aptid o para calcular as proba bilidades de selecionar os indiv duos e e o valor de aptid o de um indiv duo pode ser reduzido pela presen a de outros indiv duos semelhantes 4 2 9 Schema Theorem poss vel descrever matematicamente a evolu o da popula o de um AG em fun o do tempo O Schema Theorem de Holland 1975 28 oferece uma caracte riza o Defini o 4 1 Um Schema uma cadeia de 0s 1s e s curinga que representa uma fam lia de indiv duos 4 Otimiza o N o Diferenci vel 53 Popula o Inicial Popula o Resultante a A O e Figura 4 3 Fen meno de crowding O schema 0 1 representa os indiv duos 001 e 011 Schemas podem ser uti lizados para caracterizar a popula o de um algoritmo gen tico Uma popula o de cadeias vetores de bits Os e 1s pode ser vista em termos do conjunto de schemas que ela representa e o n mero de indiv duos associados com cada schema Seja m s t o n mero de indiv duos no instante t t sima popula o que perten am ao schema s O Schema Theorem descreve o valor esperado de m
121. rias computa es de fe Vf M todos pr ticos executam uma busca inexata procurando obter uma redu o satisfat ria de f a um custo m nimo Tipicamente os m todos aproximados estabelecem condi es para um decr scimo satisfat rio Condi es para Passo Satisfat rio A condi o de Armijo definida pela seguinte desigualdade Fan axpr lt tx car V f x pr 2 2 onde c 0 1 Em outras palavras a condi o estabelece que a redu o em f deve ser proporcional ao passo ay e derivada direcional V f x pz Seja a f x c aV f xz pz ent o a condi o de Armijo pode ser expressa como f x apy lt La Note que a fun o l a uma fun o decrescente e linear em a A Figura 2 3 ilustra a condi o de Armijo 2 2 A condi o de Armijo n o entretanto suficiente para garantir progresso razo vel e satisfat rio do algoritmo pois a condi o pode ser satisfeita por passos extrema mente pequenos Para evitar passos muito pequenos uma condi o de curvatura introduzida a qual exige que Vi tp anpe Pr gt OVE tr Pr 2 3 para alguma constante cp c1 1 Note que o lado esquerdo simplesmente d o da a assim a condi o de curvatura garante que a taxa de decresci mento a seja cy vezes o gradiente 0 Em outras palavras 9 a deve ser menos negativo do que 0 Isso faz sentido se 0 bastante negativo ent o temos uma indica o de que podemo
122. sacar aos a ie be a 173 11 1 1 Limite Primal aaa a ek 174 RE De Emite Dual s Ss Ex 8 ok Ao a Sees dp wee Ste eo he ee ee 174 11 2 Relaxa o Baseada em PL Relaxa o Linear 174 11 3 Relaxa o Combinat ria a sole Stag hes ia ey ee Ee ah 175 11 3 1 O Problema do Caixeiro Viajante 175 11 3 2 Problema da Mochila sie SR afer ee Bee Oe Bae GA 175 11 4 Relaxa o Lagrangeana ss 4a aoa Ook wy Oe Oa Oe a 176 11 5 Algoritmo Branch and Bound ais Bg eR Ae ak leg a lS 177 11 5 1 Estrat gia de Divis o e Conquista aoo a a a 177 11 5 2 Enumera o Impl cita oan oo Sere a 178 11 5 3 Algoritmo Branch and Bound B amp B ooo aaa aaa aaa 181 TIO Reterencias ingat GoM ence Sd srt An nes rb eh aan Se af Y 184 DIO RICOS x mb Ma gh o AD do ai he gee de Os A a E 184 12 Algoritmos de Planos de Corte e Desigualdades Fortes 187 12 1 Introdu o a Planos de Corte do ar se ea a oe Ra owe Ag 187 12 2 Exemplos de Desigualdades V lidas 00 4 188 12 2 1 Um conjunto 0 1 puro Serpa houses A Salle EAD ERA e 8 188 12 2 2 Um Conjunto 0 1 Misto 2 esa se BM CE els Pe 188 12 2 3 Um Conjunto Inteiro Misto sara sm SiasE E Bl aatk s Zee 189 12 2 4 Conjunto Combinat rio us aoe int of ao FP Ge a gh eagles hy 189 12 2 5 Arredondamento Inteiro 2 essi Gee ee ee SP ee ae 190 12 2 6 Arredondamento Inteiro Misto 2 204 190 vil 12 3 Teoria de Desigualdades Validas 0
123. ser precisamente igual quantidade que sai do n 1 As seguintes classes de problemas podem ser convertidas em problemas de fluxo de custo m nimo 1 Fluxo m ximo em grafos neste problema dado um grafo direcionado G V A um n fonte s um n destino t e capacidades de transporte uij para os arcos de G deseja se encontrar fluxos para os arcos tal que a quantidade de fluxo enviada de s para t seja maximizada mas sem violar as capacidades dos arcos e sem acumula o de fluxo nos v rtices do conjunto V s t Note que somente arcos do tipo i i podem aparecer no corte m nimo S 8 portanto o corte m nimo de arcos em G corresponde a um corte m nimo de v rtices em G 120 8 Fluxo em Redes 2 Caminhos m nimos em grafos dado um grafo direcionado G V A pesos c para os arcos um v rtice fonte s e um v rtice destino t busca se um caminho de s para t tal que a soma dos pesos das arestas do caminho seja a menor poss vel 3 Problema de aloca o conforme visto na Se o 8 1 4 Problema de transporte conforme discutido na Se o 8 1 5 Fluxo em redes com fun o custo convexa este problema uma varia o do problema de fluxo de custo m nimo onde a fun o custo de transporte c j atrav s de cada arco i j convexa mas n o necessariamente linear e igual a Cij ij como na vers o padr o do problema podemos entretanto resolver o problema com custo convexo de forma abit
124. solu es zo x dita convergente se limp oo Xk 1 0 M todo de Newton em uma vari vel Dado um inicial e uma toler ncia e gt 0 Repita Calcule c x e c x Se c x lt retorne x x 4 ax ca c x At que um n mero m ximo de itera es seja atingido 3 2 1 Exemplo Procuramos um zero para a fun o c x 10 2x 4x A Tabela 3 1 mostra os resultados do m todo de Newton para xp 1000 A Figura 3 1 ilustra o processo iterativo de Newton importante ressaltar que o m todo de Newton apresenta uma taxa de converg ncia quadr tica Isso significa de maneira informal que o n mero de d gitos corretos na solu o candidata duplica a cada itera o O m todo de Newton apresenta con verg ncia Q quadr tica ou seja existe M R tal que xp x xp 2 lt M para k suficientemente grande se x9 pertence regi o de converg ncia Ent o qual o problema com o m todo de Newton O m todo de Newton pode divergir Isso ocorre quando a solu o inicial n o suficientemente pr xima da solu o tima O m todo de Newton se comporta bem na regi o pr xima da solu o todavia n o apresenta converg ncia global como o m todo de descenso 3 M todo de Newton Solu o de Equa es N o Lineares e Minimiza o de Fun es 33 Tabela 3 1 Itera es do m todo de Newton Tk C Tp zx 4 mMSECmntnankwnroa sy a CON 1000 500
125. superior z u gt 2 onde 2 o valor da solu o tima de PI N o dif cil de se verificar que z u gt c r para todo x P x x Xe Ax lt b cla lt clx u b Ax uma vez que b Ax gt 0 para x fact vel e u gt 0 j que as solu es fact veis de PI tamb m fazem parte do espa o de solu es fact veis de RL verifica se que z u gt 2 Uma vez que z u um limite superior para z naturalmente desejamos minimiz lo dando origem ao problema Lagrangeano dual LD Min zu Min Maz clr uT b Az uzo uzo0 sa EM 11 Programa o Inteira Relaxa es e Algoritmo Branch and Bound 177 Um aspecto relevante do Lagrangeano dual o fato do problema ser convexo mas n o diferenci vel Um algoritmo que pode ser usado para encontrar uma solu o aproxi mada para LD e at mesmo uma solu o tima quando certas condi es s o satisfeitas o algoritmo subgradiente Este algoritmo opera de forma semelhante ao algoritmo de descenso Dada um vetor de multiplicadores de Langrange ug o algoritmo encontra um subgradiente d que indica a dire o na qual os multiplicadores devem ser aumen tados diminuidos Assim o iterando seguinte up Uk Qkdp obtido por meio do passo a gt 0 Em virtude da natureza n o diferenci vel do problema n o poss vel obter condi es como as de Armijo 11 5 Algoritmo Branch and Bound O algoritmo branch and bound B amp B pode ser entendido como um
126. tica 18 1 Exemplo Otimiza o de Portofolio Considere um problema de aplica es em fundos de a es cujas informa es acerca dos investimentos s o e H um conjunto N 1 n de poss veis investimentos e O investimento modelado por uma vari vel aleat ria r com distribui o nor mal tendo valor esperado u Elr e vari ncia o El r ju conhecidos e Quanto maior o valor da vari ncia of maior o risco do investimento i O investidor deseja aplicar o montante dispon vel nos diferentes investimentos sendo x a fra o a ser aplicada no investimento Da surgem as restri es a gt D0 ti 1 n 18 2 4S 1 18 3 i 1 Para medir a qualidade de um plano de investimentos portof lio que corresponde ao vetor x R devemos obter uma medida do retorno esperado sendo este dado por i 1 Levando em considera o que uma vari vel aleat ria nao pode ser otimizada direta mente podemos medir a qualidade do investimento de acordo com o valor esperado obtendo portanto a express o E R i 1 i 1 i 1 g u 18 5 onde H ua ages Hn A vari ncia do retorno total esperado pode ser calculada a partir do coeficiente de correla o p entre pares de vari veis conforme a express o El ri i r Hy Pij EE para todo par i j 18 6 O coeficiente de correla o p mede a tend ncia de duas vari veis aleat rias r e rj tenderem na mesma dire o Do
127. u R 94 6 Programa o Linear Capitulo 7 Teoria dos Jogos Situa es onde os resultados dependem das decis es de agentes independentes sao comuns em engenharia economia e ci ncias humanas entre outras Em tais situa es podemos estar interessados em formular um problema de decis o simular o comporta mento de um conjunto de entidades competitivas ou cooperativas e ainda buscar uma pol tica de decis o que maximize os retornos Com esse intuito faremos uma breve in trodu o Teoria dos Jogos apresentando alguns conceitos b sicos e formalismos mas nos concentraremos em jogos matriciais onde o ganho de um agente invariavelmente incorre preju zos ao outro finite two person zero sum games 7 1 Introdu o A Teoria dos Jogos se preocupa com procedimentos de decis o entre m ltiplos agentes independentes podendo ser de natureza din mica quando a ordem das decis es afeta o resultado final e n o cooperativa quando cada agente se preocupa com o benef cio pr prio o que tipicamente est em conflito com os interesses dos demais agentes Para melhor apresentar alguns conceitos vamos assumir que x RY o vetor de decis es compartilhadas por M agentes independentes x x rm onde Lm RN a parte das decis es que est o sob a autoridade do m simo agente e poe Nm N Um jogo dito infinito quando as decisoes de pelo menos um agente digamos agente m s o oriundas de u
128. u Hu gt 0 3 20 para todo u tangente ao espa o de restri es no ponto x ou seja para todo u v Ve a Tv 0 i 1 m Enquanto que as condi es de segunda ordem em otimiza o irrestrita exigem que a curvatura de f seja positiva em todas as dire es sob restri es de igualdade a curvatura deve ser positiva apenas nas dire es fact veis tangentes ao espa o de solu es fact veis no ponto 2 De forma an loga aplica o do m todo de Newton para minimiza o de fun es podemos desenvolver um m todo de Newton para encontrar um par 2 A que satisfaz as condi es necess rias de primeira ordem Primeiro aproximamos a fun o V com um aproximador linear em torno de Z Male A Vota AE Ae a E SP ela x Z X Val A Az i 1 m Vi V HS AV e m a z Velt A A Vf z Ve z TA Ha TZ Ve z A Vil H x x Velt TA 3 21 3 M todo de Newton Solu o de Equa es N o Lineares e Minimiza o de Fun es 43 Segundo aproximamos a fun o V com um aproximador linear obtendo Valz e z Ve z x E 3 22 Logo dado um par p Ax O pr ximo iterando k 1 Ak 1 do m todo de Newton obtido resolvendo um sistema de equa es lineares Vela Akt 0 se Vi rr H k41 Tk Velte Ai Valter 0 c xk Vc xxK Lea Lr 0 D H ou de forma mais compacta
129. ur que depende explicitamente de x e ug mas n o depende das perturba es anteriores wz_1 Wo propriedade Markov Consideramos as classes de pol ticas tamb m conhecidas por leis de controle que consistem de sequ ncias de fun es T Mo ta lt HN 1 15 9 onde ug uma fun o que mapeia o estado x no controle up up x4 tal que uglzk E U para todo x E Sp Tais pol ticas s o ditas admiss veis pois respeitam as restri es impostas nas vari veis de controle Dado um estado xo e uma pol tica admiss vel 7 Wo N 1 O sistema de equa es Tk 1 Fela Me Ze We k 1 N I1 15 10 torna k e Wr em vari veis rand micas com distribui es bem definidas Portanto dadas fun es gg 0 custo esperado pode ser expresso como segue N 1 Jn Ey gn tw gt geme Me te We 0 1 N 1 15 11 k 0 Note que 15 11 uma quantidade bem definida Dado um estado inicial xo uma pol tica tima 7 aquela que minimiza o custo Ja o MinsenJa o 15 12 15 2 1 O Valor da Informa o Com pol ticas de malha fechada poss vel de se induzir um custo reduzido essenci almente ao tirar se vantagem da informa o adicional i e o valor do estado corrente A redu o no custo em rela o s pol ticas de malha aberta conhecida como valor da informa o 15 Programa o Din mica Dom nio Cont nuo 219 15 3 O Algoritmo de Programa o Din
130. veis e x o vetor com as vari veis de decis o 1 1 3 Duas Exce es Formula o Geral S o duas as classes principais de exce es formula o geral do problema de oti miza o 1 Problemas sem fun o objetivo O usu rio deseja apenas encontrar um con junto de decis es que sejam vi veis isto encontre x R tal que 2 Problemas com m ltiplos objetivos Em problemas reais n o incomum pro curar otimizar mais do que um objetivo No problema de manufatura o usu rio pode desejar maximizar o lucro maximizar a qualidade dos itens manufatura dos e ainda minimizar o tempo de produ o Usualmente estes problemas s o 1 As Sub reas da Otimiza o 3 reduzidos a problemas envolvendo apenas um objetivo combinando se m ltiplos objetivos em apenas um ou alternativamente escolhendo se um objetivo e intro duzindo restri es Tais problemas s o transcritos em programa o matem tica como Minimize f z Minimize f x DER 1 2 Programa o Linear O problema de programa linear um caso particular de 1 1 cuja fun o objetivo e restri es s o todas lineares Matematicamente f x ca g x Ar ae h x Bx b sendo c a e b vetores e A e B matrizes com dimens es apropriadas O problema e os algoritmos de programa o linear s o amplamente empregados tendo in meras aplica es No que segue apresentamos uma aplica o e a formula o geral 1 2 1 Problema Exemplo
131. veis para alguns problemas A partir desta an lise preliminar podemos concluir que uma abordagem baseada em enumera o pode ser eficaz apenas em inst ncias pequenas Tabela 10 1 N mero de solu es em fun o do tamanho do problema Tipo Problema N mero de solu es 1 Aloca o 10 4 1 n 2 Mochila e cobertura por conjuntos 10 4 2 e 10 4 3 2 3 Problema do caixeiro 10 4 4 viajante assim trico n 1 Tabela 10 2 Crescimento de fun es n logn vn no 2 n 10 3 32 3 16 10 10 3 6x 10 10 6 64 10 TOP 10 9 3 x 10157 10 9 97 31 62 10 10 4 x 102567 10 Fundamentos de Programa o Inteira 163 10 6 Formula o de Problemas Inteiros Mistos PIMS Modelos contendo vari veis discretas e cont nuas apresentam propriedades sui gene ris necessitando tratamento particular Por exemplo nos pr ximos cap tulos veremos os cortes de Gomory que s o diferenciados dependendo do problema ser inteiro ou in teiro misto No que segue ser apresentado um conjunto de truques de modelagem e exemplos que podem ser teis 10 6 1 Exemplo 1 Modelando Custos Fixos Imagine a situa o onde se deseja modelar uma fun o n o linear dada por _ jf ftpe s0 lt r lt sc ra sex 0 A fun o h x ilustrada na Figura 10 3 h x Figura 10 3 Fun o com custo fixo Defini o de uma vari vel adicional y dd Bea 910 sex 0 164 10 Fundamentos de Programa o Inteira Int
132. ximo b 334 A Exercicios Resolvidos Algoritmo Inicializa o Para b 0 B fa a gs b 0 Ts b nil Para todo ke V s fa a gk 0 co T O nil Recorr ncia Para b 1 B fa a Para todo k V s fa a gelb gb 1 T b mk b 1 Para todo j k A fa a Se Cp lt b e g b cik Wik lt grlb gk b g b cor Wik Para cada valor b 1 B o algoritmo varre todos os arcos do grafo Assumindo que existe caminho com origem em s para todo k a complexidade do algoritmo O B E A mem ria ocupada pelo algoritmo tamb m da ordem O 2B E necess ria para armazenar as tabelas g b e mk b EX 14 5 Seja D i 7 o comprimento da maior subsequ ncia em comum para as sub cadeias x i 21 2 e y j m y Se 0 ent o definimos x i como uma cadeia vazia o mesmo ocorrendo quando j 0 que implica y j Podemos ent o colocar o problema de uma forma recursiva D 0 j 0 7 0 m D i 0 0 i 0 n D i j T max D i j Ex 1 D i 1 j A 5 D i 1 j 1 Lea luso A recorr ncia dada por A 5 nos leva imediatamente a um algoritmo de pro grama o din mica Algoritmo Inicializa o Para j 0 m fa a D 0 j 0 Para i 0 n fa a D i 0 0 A Exercicios Resolvidos 335 Recorr ncia Para j 1 m fa a Para i 1 n fa a Se x y ent o A execu o do algortimo
133. 0 000000 64 9 9 Perception aum d E Quad do dio dentes o ech be a ee e eS e E 65 5 6 Conjuntos separ veis e n o separ veis linearmente 66 5 7 Unidade delta ambas salle ate Cu edi o dete cathe Me A E de i ote 67 5 9 Funga SAB ooer euk eal a o ate Me yh Tocco feed IS he By BOs Es a Gi a 69 5 9 Sistema neural para reconhecimento de palavras 69 5 10 Topologia da rede neural ES E ale oh Beet BAe het BS ad 71 6 1 6 2 6 3 7 1 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 8 8 9 8 10 8 11 8 12 8 13 8 14 8 15 8 16 8 17 Exemplo de problema infact vel As regi es achuradas indicam as regi es fact veis para cada uma das restri es Observe que a interse o das regi es achuradas vazia o o oao ALE 4e ELES Gh be alae E TT Exemplo de problema ilimitado Podemos avan ar dentro da regi o fact vel de maneira a crescer o valor da fun o objetivo sem limites Por exemplo ao longo da dire o x1 0 podemos avan ar sem limites fazendo o valor da fun o objetivo aumentar 78 M todo simplex como um processo iterativo 000 91 Curvas de nivel conjuntos reativos solugao Nash e pontos Pareto de um jogo quadr tico entre dois agentes 0000 ee ae 104 Problema de transporte ac gos ot eee ek es Ankh Sieg ao 108 Aloca o balanceada de tarefas em dois processadores como um pro blema de corte m nimo A aloca o tima consiste em
134. 0 3 P A 5 0 1 P A 6 0 1 0 23 P B 2 01 P B 3 0 23 01 P B 5 024 P B 6 01 15 Programa o Din mica Dominio Cont nuo 227 Figura 15 3 P ndulo invertido Encontre uma pol tica de controle tima para este jogo que dado o valor sy dos dados na itera o k decide qual dado deve ser rolado com o intuito de maximizar os ganhos Observe que temos apenas tr s itera es sg 0 o valor no in cio do jogo s igual ao resultado do primeiro dado e s2 igual a soma dos valores dos dois dados 228 15 Programa o Din mica Dominio Continuo Capitulo 16 Programacao Nao Linear Restrita Fundamentos e Condicoes de Otimalidade Os primeiros cap tulos do livro se concentraram na minimiza o de fun es de m ltiplas vari veis onde foram apresentadas condi es necess rias e suficientes para que um ponto definisse um timo local para problemas em geral e com estrutura particular como os problemas convexos Algoritmos de descenso e de Newton foram desenvolvidos para resolver tais problemas e tamb m encontrar a solu o de sistemas de equa es n o lineares Tanto no caso de minimiza o de fun es quanto na programa o din mica no dom nio cont nuo n o se considerou a poss vel presen a de fun es que caracterizam a regi o fact vel O presente cap tulo d in cio ao estudo dos problemas de minimiza o de fun es n o lineares sob restri es Ser o apresentados concei
135. 0 4 caso contr rio se n o executamos a manuten o a probabilidade de falha sobe para 0 7 Contudo a manuten o preventiva custa 20 Quando a m quina est quebrada no in cio da semana ela pode ser repa rada a um custo de 40 podendo neste caso falhar durante a semana com uma probabilidade 0 4 ou substituir a m quina quebrada por uma nova a um custo de 150 sendo a probabilidade de falha nula neste caso Encontre uma pol tica de reparo substitui o e manuten o preventiva que maximize o custo total durante quatro semanas Assuma que na primeira semana a m quina est em opera o EX 15 4 No jogo dos palitos n 21 palitos s o colocados sobre a mesa Voc o jogador 1 Seja my 1 n o n mero de palitos na mesa no in cio da itera o k Seja j 1 2 o jogador da vez na itera o k O valor de j decidido arbitrariamente os jogadores decidem quem come a retirando palitos O seu oponente o jogador 2 A cada itera o k o jogador da vez retira l palitos tal que I 1 2 3 e lk lt my O jogador que retirar o ltimo palito da mesa perde o jogo Formule o jogo dos palitos como um problema de programa o din mica En contre uma pol tica de controle tima 7 para o jogador 1 ou seja encontre uma fun o 7 m ly que dado o n mero de palitos na mesa na itera o k retorna o n mero de palitos a serem removidos EX 15 5 No jogo par mpar voc dever rolar dois dados Se a soma d
136. 1 1 80 82 12 1 81 81 Problema Exemplo Encontre os par metros 3 2 1 Xp que minimizam a fun o erro a qual consiste na soma dos quadrados dos erros de predi o ro hs will Ms Minimize 5 i 1 To T1 T2 T3 A solu o tima para o problema acima tomando como dados as entradas da Tabela 1 1 zo 100 0000 z 32 0025 z 64 3704 z3 42 1669 A Figura 1 1 ilustra os dados amostrais juntamente com a curva de aproxima o w h dada pelo polin mio w h ash rah xh to 1 6 2 O Problema de M nimos Quadrados Consideremos inicialmente um sistema linear com mais equa es do que vari veis Qiii T a42 92 ins AtnlIn by Q211 T A22 T2 ae Ann bo az1iv T Ggaiga on Amin bg Amit Gm2Xo Mee Oe te ha 8 1 As Sub reas da Otimiza o 85 T T h P w h Peso ing 80 k 4 757 oe 4 ma 70H 4 65 Aproximacao x 60 x Valores Amostrais q x i F 55 a i 7 E 50 4 45 L L L 1 L L 1 tS 1 55 1 6 1 65 1 7 1 75 1 8 1 85 1 9 h altura Figura 1 1 Predigao peso com base na altura o qual pode ser colocado na forma mais compacta Az b onde A R x R ebe R Vamos assumir que nao existe solu o x tal que Ax b o que ocorre quando posto A lt posto A b O problema de encontrar uma solu o aproximada para Ax b pode ser colocado em programa o matem tic
137. 10 Valor 15 100 90 60 40 15 10 1 MAXWT 120 9 2 Linguagem AMPL AMPL pode ser vista como uma linguagem utilizada para descrever de uma forma declarativa problemas de planejamento escalonamento e distribui o da produ o e muitos outros problemas conhecidos em geral como problemas de otimiza o em larga escala ou programa o matem tica A nota o alg brica de AMPL e o seu ambiente de comandos interativo foram projetados para auxiliar na formula o de modelos comu nicar com uma variedade de pacotes de otimiza o e examinar o resultado de solu es A flexibilidade de AMPL a torna ideal para prototipa o r pida e desenvolvimento de modelos enquanto que sua velocidade e generalidade prov em os recursos necess rios para resolu o em regime de produ o AMPL um entre v rios sistemas de modelagem para otimiza o que s o pro jetados tomando como base linguagens de modelagem alg bricas Essas linguagens empregam uma nota o matem tica muito semelhante programa o matem tica ti picamente utilizada para descrever problemas de otimiza o como a minimiza o ou maximiza o de uma express o alg brica envolvendo vari veis de decis o alg bricas estando estas subjeitas a restri es expressas como igualdades e desigualdades entre express es alg bricas e vari veis de decis o Interpretadores e interfaces para essas lin guagem prov em suporte para simplifica o e an lise de modelos Al
138. 17 80 0 81 11 8 2 22 9 0 0 9 1 9 9 2 18 10 0 O 10 1 1 10 2 3 11 0 O 11 1 2 11 2 5 12 0 O 12 1 13 12 2 26 13 0 0 13 1 1 13 2 2 14 0 O 14 1 6 14 2 13 15 0 O 15 1 14 15 2 28 16 0 O 16 1 4 16 2 9 17 0 O 17 1 5 17 2 10 18 0 O 18 1 4 18 2 8 19 0 O 19 1 5 19 2 10 20 0 O 20 1 6 20 2 13 21 0 O 211 2 21 2 4 Figura 9 1 Rede exemplo do problema de aloca o de rotas 9 4 2 Formula o em AMPL De forma similar linguagem MOSEL apresentamos abaixo um modelo AMPL do problema de aloca o de rotas arquivo model amp e os dados da inst ncia exemplo arquivo model dat set LSPS Set of LSP set NODES nodes of the communication network set ARCS within NODES cross NODES set of arcs set LEVELS various amounts for LSPs param 1k u i j in ARCS arc capacity param 1k d i j in ARCS arc delay 9 Linguagens de Modelagem 151 param lsp_lbd k 1 in LSPS cross LEVELS lbd_k l param lsp_p k in LSPS lsp priority param lsp_s k in LSPS lsp source param lsp_d k in LSPS lsp destination param lsp_delay k in LSPS lsp maximum delay transmission USE a ee ee Se a eee ee var x k in LSPS 1 in LEVELS i j in ARCS integer gt 0 lt 1 var y k in LSPS 1 in LEVELS integer gt 0 lt 1 maximize total_effect sum k in LSPS 1 in LEVELS l1sp_p k lsp_lbd k 1 y k 1 subject to Lk_Bou
139. 1p solve Encontre a solu o dual de P diretamente a partir da solu o de P Repita os passos anteriores para o agente linha O jogo dado por 4 justo Ex 7 2 Dois jogadores A e B escondem independentemente uma moeda de 5 ou 10 centavos Se as moedas escondidas possuem a mesma denomina o ent o o jogador A recebe ambas se as moedas s o de denomina o diferente ent o o jogador B recebe ambas i Encontre as estrat gias timas ii Qual dos jogadores tem vantagem iii Resolva o problema para quaisquer denomina es a e b Ex 7 3 Dois jogadores A e B escolhem independentemente um n mero entre 1 e 100 Os jogadores empatam se eles escolhem o mesmo n mero De outra forma o jogador que escolheu o menor n mero ganha digamos x a menos que o oponente tenha escolhido precisamente o n mero x 1 Encontre a estrat gia tima para os jogadores Sugest o utilize um pacote de programa o linear tal como Ip solve EX 7 4 Considere um jogo onde dois agentes procuram minimizar fun es custo que dependem das decis es do outro Seja x R o vetor de decis es Cada agente m tem autoridade sobre a vari vel m e tem como objetivo resolver o problema Pm Minimize fm Ym 527 Amt bia cm Tm onde Ym j 4 m Considere um jogo onde M 2 A 89 5180 28 8706 e 150 288706 20 4820 1 20 a50 e 106 7 Teoria dos Jogos Ag 38 9772 34 4779 TE
140. 2 Algoritmos de Planos de Corte e Desigualdades Fortes 12 5 1 Exemplo Considere o problema inteiro a seguir z Max 4 amp 5 sa Tx 2 lt 14 t lt 3 12 10 221 2X9 lt 3 i z2 gt 0 inteiros Ap s adicionarmos vari veis de folga 3 74 e z5 podemos aplicar o m todo simplex e obter a solu o tima z Max 2 o a Ge qt s a 21 a CA 2 2 8571 T2 4 3 12 11 223 Da r5 3 2857 i Ga T3 LA zs gt O e inteiros A solu o tima da relaxa o linear x 2 3 50 0 Z5 portanto usamos a primeira linha de 12 11 na qual a vari vel b sica x fracion ria para gerar o corte z BEZ 2 r lt 2 gt 116 20 1 2 Bus 1 2 z s 2 z1 gt 7t qts pis ota ts 2 gt s 2 2 ir 204 684 1 2 gt s 7 ql qr l com s 3 4 gt O e inteiros Adicionando a vari vel s e o corte s r3 204 podemos obter a nova solu o tima 2 Max 2 55 3s sa Ly s 2 T2 tg dog 4 2 2 12 12 T3 z5 5s 1 ty rs 68 5 i U3 La Xs s gt O einteiros A solu o tima da relaxa o linear acima 12 12 x 2 5 1 2 0 0 continua fra cion ria uma vez que x e x4 s o fracion rios A aplica o do corte de Gomory fra cion rio na segunda linha produz to 4 zs 1 s lt 5 z9 z5 8 lt 0 z 5 s t 0 t gt 0 4 25 s8s z5 s t 0 t irs
141. 2 1 O que uma solu o para P Em geral gostar amos de encontrar uma solu o tima global ou seja um ponto x tal que f x lt f x para todo x R Tipicamente extremamente dif cil encontrar uma solu o global porque o conhecimento de f usualmente local A grande maioria dos algoritmos capaz de encontrar uma solu o tima para uma certa vizinhan a de f Formalmente dizemos que x um timo local se existe uma vizinhan a M de x tal que f x lt f x para todo x N onde N N a a R x x lt e para algum e gt 0 e qualquer norma vetorial e Um ponto x um timo local estrito se f x lt f x para todo x E N x q Exemplo Considere a fun o f x x cos 1 x 2x para x 0 e f 0 0 Note que f continua e duas vezes diferenci vel O ponto 0 um timo global mas existe um n mero infinito de timos locais fa x x Figura 2 1 Exemplo de fun o com um n mero infinito de timos locais 2 2 2 Reconhecendo Um M nimo Local A partir das defini es acima parece que a nica maneira de se identificar um m nimo local atrav s da compara o com os pontos na vizinhan a Quando a fun o suave entretanto h formas mais eficientes e pr ticas de se identificar um m nimo local 1 Expans o de Taylor de Primeira Ordem 2 Minimiza o de Fun es com o M todo de Descenso 19 Assumindo que a f
142. 21 T2 T3 2 0 Tomando o dicion rio inicial como se os elementos b s fossem todos n o negativos obtemos Max To wy 2 X Tq 23 Xo Wg 1 2 1 TT X TTo Realizando pivoteamento em zo e na restri o mais negativa temos que zo wy 2 21 T2 x3 e substituindo no dicion rio obtemos Max 6 2 Hx4 X 3 UM to 2 X1 T 2 X TW Wg 3 327 2 3 TW que passa ser fact vel para o problema auxiliar Fazendo x entrar na base vari vel w deve sair da base pois 3 3 1 lt 2 1 1 Logo z 1 2273 3 Ww 1 3 w2 3 e substituindo no dicion rio acima obtemos o dicion rio o Max 6 1 T2 23 3 2w 3 w 3 to 1 2 43 3 2w 3 w2 3 t 1 223 3 w 3 w 3 Fazendo x2 entrar na base a vari vel zo deve sair da base Sendo x2 1 zo 23 3 2w1 3 w2 3 fazemos as devidas substiui es para obter o dicion rio Max 6 To t 1 223 3 w1 3 wa 3 t2 1 z3 3 2w 3 ws 3 To Note que o dicion rio corrente fact vel para o problema original logo basta re mover a coluna correspondente vari vel auxiliar o substituir a fun o objetivo original e continuar deste ponto em diante Calculamos a fun o objetivo como segue f 21 6x5 2 1 2273 3 w1 3 w2 3 6 1 3 3 2w1 3 w2 3 2 473 3 2w1 3 2w2 3 6 6z3 3 1201 3 6w2 3 44223 3 10w1 3 8w2 3 A Exercicios
143. 2228403 Com 2 1 1 o m todo con verge para x 0 69684555124075 0 28559372228403 Com x 1 1 e x0 1 1 o m todo n o converge As solu es do sistema de equa es n o lineares est o ilustradas na Figura A 1 EX 3 3 Seja F x 0 o sistema de equa es n o lineares no espa o das vari veis x A partir de um iterando inicial x o m todo de Newton dado por pts vei F x k 0 1 Seja x H y uma fun o de y onde H y Sy A solu o do sistema F pode ser colocado no espa o de y como G y 0 onde G y F H y Portanto VG y VF A y VsF 2 VyH y VF a S O m todo de Newton em y fica yt y VGU Gl y VF Sy S oo gt SIVE Sy F Sy Se SVE he p VEG He 1 k 1 x Por indu o z Sy S om A Exercicios Resolvidos 295 0 8F 7 ost logtx 2x5 1 1 2 0 f J to 0 4 4 0 2 4 2 XX 0 2 0 to Figura A 1 Solu es do sistema de equa es n o lineares Logo a Sykt como se esperava EX 3 4 Seja z uma solu o do sistema de equa es lineares Existe solu o pois rank A m Seja B R uma base do espa o nulo de A Ent o podemos escrever qualquer solu o x como x By o que nos leva a colocar P na forma abaixo P Minimize f y z By cl y E R Logo reduzimos P a um problema P sem restri es Note que V f y 2B 2B7 By 2BTce V f y 2BTB Uma ve
144. 238 T631 Memory 2 Sos ek A ESA Sieg de SE bs Cn dadas bee a oe Soc acy 240 RGA COP CLCIO Sa ah tect ot RE Sa nth ta iat RO Sa headed aeie RE ag Heeb oe Gagne he Da 241 17 Programa o N o Linear Fundamentos de Algoritmos 243 17 1 Categorizando Algoritmos de Otimiza o 04 244 17 1 1 O M todo da Fun o Penalidade 244 17 1 2 O M todo de Barreiras an Glick AS a AR eee RE EASES SS 244 17 1 3 O M todo Lagrangeano Aumentado 245 17 1 4 M todo Seqiiencial Linear 000 245 17 1 5 Programa o Quadr tica Sequencial 245 17 2 Elimina o de Vari veis 1 2 a 245 17 2 1 Exemplo Problemas Que Podem Surgir 246 17 2 2 Elimina o de Restri es Lineares 2 246 17 2 3 Os Efeitos das Desigualdades 0 4 248 18 Programa o Quadr tica 251 18 1 Exemplo Otimiza o de Portofolio 004 252 18 2 Propriedades de Problemas Quadr ticos com Apenas Restri es de lpyaldades Na eye oh Asta oe cet Be es TE A ELSA E ca BH ea ye eG Gh le Ra ts 253 18 2 1 Resolvendo o Sistema KKT sua eS ee he ees 255 18 3 Problemas Quadraticos Sob Restri es 04 255 18 3 1 Condi es de Otimalidade ses sms e ai te UA AE Re ele GE 256 18 4 O M todo de Conjunto Ativo para Problemas Quadr ticos Convexos 256 18 4 1 Exemplo Fe Bree Sc Aa te o A E AMOR a 259 SPE eT CICIOS ds de sir e qu A oh oie gue
145. 3 11 17 22 11 0 18 10 9 Linguagens de Modelagem 153 11 O 2 5 12 0 13 26 13 0 1 2 14 O 6 13 15 0 14 28 16 O 4 9 17 0 5 10 18 0 4 8 19 0 5 10 20 O 6 13 21 0 2 4 Para agregar os dados ao modelo realizar a otimizacao e ao final apresentar os resultados se faz necess rio colocar diretivas em um arquivo de comandos arquivo run emd O conte do do arquivo run cmd segue abaixo solve display y display sum k in LSPS 1 in LEVELS 1lsp_p k lsp_lbd k 1 y k 1 for k in LSPS 1 in LEVELS display k display 1 display i j in ARCS x k 1 1 9 5 Refer ncias Para informa es detalhadas e exemplos de uso avan ado da linguagem AMPL re comendamos o livro de Fourer Gay e Kernighan 20 Este texto apresenta a linguagem por meio de exemplos que crescem em complexidade gradualmente sendo portanto re comend vel a todas as classes de usu rios A leitura do livro obrigat ria para aqueles que desejam utilizar a linguagem na pr tica e em pesquisa Da mesma forma que AMPL o texto de Gu ret Prins e Sevaux 25 uma das refer ncias mais completas da linguagem MOSEL S o dados exemplos que variam dos mais simples aos mais complexos juntamente com os respectivos modelos MOSEL Estes podem servir de base para a constru o de modelos adequados s necessidades do usu rio 9 6 Exerc cios EX 9 1 Um conjunto de n tarefas devem ser executadas em uma nica m quina qu
146. 4 1 7 A Figura 18 2 ilustra a trajet ria de iterandos desde o ponto inicial x at a solu o tima 2 ee Curva de n vel da fun o objetivo E 2 2 2 2 6 0 4 1 3 z 2 2 0 i 5 27 23 2 0 Ly Figura 18 2 Seqii ncia de iterandos 18 5 Exerc cios EX 18 1 Para o problema abaixo P execute as seguintes tarefas i resolva o problema quadr tico abaixo graficamente ou utilizando um pacote do site http www neos mcs anl gov neos server solvers html il SS ilustre graficamente o espa o de solu es fact veis e a solu o encontrada iii verifique as condi es de otimalidade de primeira ordem as condi es KKT e iv aplique o algoritmo de conjunto ativo e verifique que a solu o obtida confere com quela obtida no item i 262 18 Programa o Quadr tica P Maximize f x 27 322 42 7 22 22 19 H Sujeito a L v2 gt 0 tita lt 4 XY lt 3 EX 18 2 O problema de encontrar a menor dist ncia de um ponto x a um hiperplano x Ax b onde A uma matriz com posto de linha completo A R e rank A m portanto n gt m pode ser formulado como o problema quadr tico abaixo Minimize a to x x0 Sujeito a Ax b Mostre que os multiplicadores de Lagrange timos s o M AAT b Azo Usando A encontre a solu o tima x Sugest o aplique as condi es KKT EX 18 3
147. 4 5 ilustra o processo de formagao de cristais por meio de annealing Alta Temperatura Baixa Temperatura we O O O 0 Cristaliza o ae O O O XS al z e o o Figura 4 5 Ilustra o do processo de annealing A Natureza pode ser vista como um processo de minimiza o do n vel de energia sendo este probabil stico Mais precisamente a probabilidade de um sistema f sico se encontrar em uma configura o com nivel de energia E dada por Pr E ET 4 1 onde a constante de Boltzman e T a temperatura De acordo com a equa o 4 1 para uma dada temperatura T quanto maior o n vel de energia menor a probabilidade da configura o Para um dado nivel de energia E a probabilidade da configura o diminui com a redu o da temperatura Mesmo em baixa temperatura poss vel que o sistema esteja em um n vel elevado de energia embora a probabilidade seja extremamente pequena Em outros palavras o sistema aumenta o n vel de energia algumas vezes outras vezes ele diminui mas a probabilidade de aumentar diminui exponencialmente com a redu o da temperatura Este comportamento oscilat rio e decrescente com a redu o da temperatura ilustrado na Figura 4 6 4 3 2 O Algoritmo de Metropolis Em 1953 Metropolis et al 36 incorporaram as id ias apresentadas acima em computa es num ricas Mais tarde Kirkpatrick et al 32 31 estabeleceram a rela o entre encontrar uma config
148. 5 2565357 O custo desta solu o 24 69 Em AMPL o modelo pode ser expresso como WellModel1 mod param n gt O integer param w j in 1 n gt 0 param p j in 1 n gt 0 param M gt 0 var x iin 1 n j in 1 n il j integer gt 0 lt 1 vars j in 1 n gt 0 minimize cost sum j in 1 n w j s j subject to preci i in 1 n j in 1 n i j s j gt s i p i M 1 x i j subject to prec2 i in 1 n j in i 1 n x i j x j i 1 A Exercicios Resolvidos 313 O arquivo de dados em AMPL tem como conte do param n 10 param M 25 param w p 1 0 51 5 2 0 42 3 3 0 11 2 4 0 51 0 5 0 3 1 5 6 0 5 3 6 7 0 2 4 1 8 0 8 0 8 9 1 0 2 0 10 0 6 3 0 Em Mosel Xpress MP o problema pode ser especificado conforme o modelo model scheduling uses mmxprs declarations Jobs set of integer M real w array Jobs of real p array Jobs of real x array Jobs Jobs of mpvar s array Jobs of mpvar end declarations IJobs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 IM 25 Iw 0 5 0 4 0 1 0 5 0 3 0 5 0 2 0 8 1 0 0 6 Ip 1 5 31 2 1 0 1 5 3 6 4 1 0 8 2 0 3 0 initializations from model dat Jobs Mwp end initializations forall i in Jobs j in Jobs i lt gt j create x i j 314 A Exercicios Resolvidos forall i in Jobs j in Jobs i lt gt j x i j is_binary forall j in Jobs create s j Constraints forall j in Jobs s j
149. 7 W68 W69 W6 10 rede neural pode ser vista como uma fun o f x R4 Rt que dado o valor de x retorna o valor estimado de y Tabela 5 1 Amostras para treinamento da rede neural Amostra Saida t a xi T3 254 Yi Y2 Y3 Ya 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 3 0 1 0 0 0 1 0 0 4 1 0 0 0 1 0 0 0 Tarefas 5 Treinamento de Redes Neurais Um Problema de Otimiza o 71 i il ill Formule o problema de treinar esta rede neural em programa o matem tica Sugest o defina restri es para calcular net e o para cada unidade 7 e exemplo de treinamento t como uma fun o dos pesos w s e das vari veis net e o que antecedem a unidade em quest o formule uma fun o objetivo para minimizar o erro entre as sa das da rede neural e os valores desejados i e o erro entre of e o resultado esperado yf para k 1 4 Se voc utilizou restri es reescreva o problema em programa o ma tem tica sem utilizar restri es Aplique o algoritmo de descenso para encontrar os valores dos pesos sin pticos w que minimiza o erro Y Y2 Y3 Figura 5 10 Topologia da rede neural 72 5 Treinamento de Redes Neurais Um Problema de Otimiza o Capitulo 6 Programacao Linear A programa o linear teve sua incep o nos anos 30 e foi impulsionada nos anos 40 com o desenvolvimento do algoritmo Simplex por George Dantzig Aplica es em eng
150. AAT Ax Axo AAT b Azo como esperado Portanto a solu o do problema r sob AT 29 AT AAT b Axo EX 18 4 Prof Kunz est equivocado em sua afirma o pois podem haver equa es redundantes i e podem existir linhas de A linearmente dependentes N o faria sentido resolver o problema se rank A lt rank A b i e quando n o existe solu o para Ax b ou se rank A rank Alb n i e quando a solu o de Az b nica Faz sentido resolver o problema de otimiza o quando existem infinitas solu o rank A rank A b lt n Considere o problema abaixo Minimize x1 2 Sujeito a X 2x9 1 24 4 2 2 271 4x9 2 Observe que m gt n mas rank A rank A b 1 lt n pois a segunda a ter ceira e a quarta linha s o m ltiplos da primeira linha contradizendo a afirma o do Prof Kunz A Exercicios Resolvidos 347 EX 18 5 Note que minimizar uma fun o f x equivale a minimizar 2f x Logo min q x amp min 29 x amp min ja Qu 2d z 2c min Se Qu a7Qhat 2d 2c lt gt min 4 sa Q Q x 2d x 2c Assim podemos resolver o problema em considera o resolvendo um problema tipo Pg onde Q substitu da por Q QT d por 2d e c por 2c Ent o resolvemos o problema abaixo Minimize 27 Q Q a 2d x 2c Subjeito a Ax gt b EX 18 6 Obtenha primeiramente o Lagrangeano L w be
151. DD Maximize J cx j l Sujeito a ds DM lt b 1 1 m j 1 x gt Fe cnt Os desenvolvimentos acima demonstram que DD P 6 4 3 O Teorema Fraco da Dualidade Teorema 6 1 Dualidade Fraca Seja x x an uma solu o primal fact vel e Y Y Ym uma solu o dual fact vel Ent o Ee a Cj j S y biyi b y j 1 i 1 Prova Ms E amp IN Ms Mes m ou oe pois zj gt 0e J ayyi 2 cj i 1 ov Yi o ll pa to ll pa ll pa II Ms LN Mea i 1 j 1 lt by pois Dat lt bi e yi 2 0 i l ja E Se obtemos uma solu o primal x xt xt e uma dual y yf y T ambas fact veis tal que n m oo r J Cjlj J biy j 1 i 1 ent o podemos concluir que ambas as solu es s o timas para seus respectivos pro blemas Para o problema exemplo dado por 6 17 as solu es timas s o z 0 0 25 3 25 T e y 1 3 6 4 4 O Teorema Forte da Dualidade O fato de que em programa o linear n o h folga entre o valor timo da fun o objetivo dos problemas primal e dual conhecido como Teorema Forte da Dualidade Teorema 6 2 Dualidade Forte Se o problema primal admite uma solu o tima x e o dual uma solu o tima y ent o n m a Da em E E O aaa eres ee bsb j 1 i 1 88 6 Programa o Linear Ilustra o do Teorema Forte Abaixo seguem os problemas primal e dual P Max 47 21 3413 D Min y 342 S a
152. Descenso 2 4 Refer ncias Este cap tulo foi produzido a partir dos textos de Bertsekas 9 e Nocedal e Wright 39 O primeiro texto bastante completo e trata da parte t cnica em profundidade al m de apresentar v rias aplica es e problemas com inspira o f sica O segundo texto mais introdut rio e recomendado para o leitor iniciante que deseja se aprofundar em algoritmos de otimiza o n o linear Outras refer ncias com boa cobertura da teoria e algoritmos de otimiza o n o linear s o os livros de Gill et al 22 e Bazaraa et al 8 2 5 Exerc cios EX 2 1 Calcule o gradiente Vf x e a matriz Hessiana V2f x da fun o f x 100 x x7 1 74 2 Mostre que o ponto x 1 1 o nico timo global O ponto x satisfaz as condi es necess rias para ser um timo local EX 2 2 Mostre que a fun o f x 81 12x x 2x2 possui apenas um ponto estacion rio e que este n o define um m nimo nem um m ximo de f EX 2 3 Seja c R um vetor e A R uma matriz sim trica Calcule o gradiente e a matriz Hessiana de fi x cx e de fo x rT Ax 2 EX 2 4 Define se uma fun o f x como convexa se e somente se f ax 1 a y lt af a 1 a f y para todo x y ea 0 1 Sejam f x e g x duas fun es convexas Responda s seguintes quest es a h x f x g x convexa b h x f x g x convexa c h x f x convexa d h x y f x
153. ER ce R e be R O problema geral de programa o inteira pode ser divido em classes dependendo da natureza das decis es da exist ncia de vari veis cont nuas e discretas e do tipo de restri es Abaixo apresentamos algumas dessas classes 10 2 1 Problema Linear Inteiro Misto O problema inteiro misto nada mais do que um problema de programa o linear com vari veis discretas e outras cont nuas sendo expresso na forma PIM Max czx4hTy sa Axr Gy lt b x 20 y 0e y inteiro 10 2 2 Problema Linear Inteiro Nesta vers o do problema todas as vari veis devem ser inteiras PI Mar dx sa Ax lt b rEZ 10 Fundamentos de Programa o Inteira 15 10 2 3 Problema Linear Bin rio Uma vers o particular do problema inteiro o problema bin rio no qual todas as vari veis s podem assumir os valores 0 ou 1 PIB Max dx sa Ax lt b x 0 1 A relev ncia de PIB surge do desenvolvimento de resultados te ricos e algoritmos espec ficos para esta classe de problema Um ponto interessante o fato que um PI pode ser reduzido em um problema equivalente do tipo PIB 10 2 4 Problema de Otimiza o Combinat ria Problemas de natureza combinat ria compreendem aqueles em que se deseja encon trar um arranjo particular dentre um n mero comumente combinat rio e exponencial de arranjos fact veis que minimize maximize algum crit rio de sele o para os dife rentes arranjos Seja N 1 n u
154. EX 6 1 Se necess rio utilize o pacote de programa o linear lp solve dispon vel no diret rio users professores camponog Ip solve 1 4 EX 6 8 Para o problema de programa o linear dado por max c x Ax lt b x gt 0 podemos dizer que as condi es de folga complementar Teorema 6 3 s o equivalentes s condi es abaixo aTz 0 yw 0 EX 6 9 Considere o problema de programa o linear dado por P Maximize cz Sujeito a Ax b x IR Ser que necess rio fazer uso de um algoritmo de programa o linear e g Simplex para resolver Pp EX 6 10 O problema de m nimos quadrados consiste em encontrar x R tal que minimize fo x Ax bllo Seja P um problema semelhante ao de m nimos quadrados onde utilizamos a norma l 1 e restri es nos valores dos par metros P Minimize f x Ax bl x eR Sujeito a zl yxu onde A R com m gt nel u R Como que voc resolveria P Escolha um conjunto de m 30 pontos no plano a partir de perturba es de pontos de uma reta conhecida Ilustre a reta obtida resolvendo um problema de m nimos quadrados e a reta obtida resolvendo P desconsidere as restri es O problema de m nimos quadrados min fo x tem solu o dada por x ATA 1ATb EX 6 11 Como voc resolveria o problema abaixo P dado por P Minimize f x Az bllo xe R Sujeito a x Sl clu onde A R com m gt nel
155. Linear sem Restri es 0048 10 1 8 1 Problema Exemplo es eure ya kare ope noe at bet Gi be eg 10 1 9 Otimiza o Nao Linear com Limites Superiores Inferiores 12 1 10 Otimiza o N o Linear com Restri es 004 12 1 10 1 Problema Exemplo su sia gate a 12 1 11 Programa o Semi Definida abs Glad pd a 13 PR bel Merits E carpete kr ea e eraa ae BE a e aN A E ae Ea 13 1 12 Referencias im ia ia eaa nd ke Ae et A hk a eh Mo 14 bos Exercicios sesent aati de das Yet as O AS tes Lee pas as A es ot SPURS aa 14 2 Minimiza o de Fun es com o M todo de Descenso 17 2 1 Problemas de Interesse a oe eleve Spe ly Ae bod OES ow See Su 17 2 2 Fundamentos de Otimiza o Irrestrita 18 2 2 1 O que uma solu o para Pi so Aw bs gd Re RE AR 18 2 2 2 Reconhecendo Um M nimo Local Legs apso Pale rca 3 AEE Y 18 2 3 O Algoritmo de Descenso o o oa a a a ee 20 2 3 1 O Algoritmo de Descenso em Detalhes 21 2 3 2 Dire o de Dista eis tine pe eee e ee e ee i 21 2 3 3 Encontrando a Dire o de Busca ee aen a ee A A 22 2 3 4 Encontrando o Passo 0 0 00 a ee ee 22 2 3 5 Redu o Suficiente e Retrocesso 2 0 00000 ae 24 2 3 6 Converg ncia do M todo de Descenso 25 2 3 7 Taxa de Converg ncia do M todo de Descenso ngreme 26 Di MVCTOROMCIAS uai gne a a a e ad cae ke he gi a E on ie 28 DiS D EE pena CAR Dee es IS A eee IS TA
156. Para uma constante de amostragem T a equa o acima pode ser aproximada fazendo eT 2 t T 2 t gt t4 T gt a t HT gt a t HT t T z t Az t Bu t T x t I TA x t TBu t Para t 0 7 2T e estado inicial x 0 podemos expressar a apro xima o discretizada da seguinte forma a k DT I TA x kT TBu kT k 0 1 15 43 Obtenha a aproxima o discretizada 15 43 correspondente ao modelo cont nuo 15 41 Utilize uma constante de tempo T 0 1s Para ma trizes Q Te R 0 1T horizonte de tempo finito N 6 e condi o inicial z 0 0 2 0 0 5 0 aplique a t cnica LQR de tempo fi nito para encontrar uma pol tica de controle tima Obtenha a trajet ria x 0 2 T 2 NT induzida pela lei de controle tima 7 Calcule o valor de Jg x 0 produzido por 7 Repita os passos do item anterior mas desta vez utilize a lei de controle Too obtida se assumirmos que o horizonte de tempo infinito Compare o custo induzido pelas pol ticas de controle 7 e Too No jogo par mpar voc dever rolar dois dados Se a soma dos valores dos dados for mpar voc ganha R 100 caso contr rio voc perde R 110 H dois dados 4 e B que podem ser escolhidos a cada vez Voc rola um dos dados observa o resultado e depois rola novamente qualquer um dos dados Os dados s o distintos apresentando as seguintes probabilidades P A 1 0 1 P A 2 0 1 P A 3 0 3 P A 4
157. Partindo do ponto inicial z 3 0 e com conjunto ativo Ag 2 aplique o algoritmo de conjunto ativo e encontre a solu o global tima do problema Minimize x1 x5 Sujeito a calx a 3220 co t 3 2 24 gt 0 EX 18 4 Considere o problema de encontrar x R tal que Minimize z Sujeito a Ax b onde 4 R Prof Kunz afirma que nao faz sentido resolver este problema quando h mais equa es do que vari veis ou seja quando m gt n Voc concorda ou discorda Justifique a resposta EX 18 5 Prof Kunz desenvolveu um algoritmo para resolver problemas quadr ticos dados por Pg Minimize q x 27Qxr d x ce Sujeito a Az gt bd onde Q R uma matriz sim trica e positiva definida Q QT e Q gt 0 Suponha que voc tem um problema id ntico a Pg exceto que a matriz Q 4 QT Prof Kunz afirma que seu algoritmo capaz de resolver o problema em questao Se voc discorda do Prof Kunz d um contra exemplo Se voc concorda mostre como que o algortimo de Kunz pode ser utilizado 18 Programa o Quadr tica 263 EX 18 6 Considere o problema de programa o quadr tica P Minimize E gt e 2 2 w b e Sujeito a yi wT o z b e i 1 m onde e c uma constante positiva e d x R gt R um fun o dada tipicamente uma fun o n o linear de x R e xi yi E R x R i 1 m s o pares
158. Qk amp alph Uma vez que ay deve ser o maior poss vel dentro da faixa 0 1 e tal que as restri es sejam respeitadas obtemos a seguinte defini o b no po T a min fi min a i Wy a pk lt ob 18 31 Qi Pk A restri o 7 na qual o m nimo de 18 31 obtido chamada de restri o bloqueante Note que poss vel que a seja zero uma vez que podemos ter uma restri o 7 que seja ativa para x mas n o seja um membro de W Se ay lt 1 ou seja o passo ao longo de p foi bloqueado por alguma restri o que n o pertence a W ent o um novo conjunto de trabalho W 1 constru do adicionando se uma restri o bloqueante a W Continuamos este processo iterativo adicionando restri es ao conjunto de trabalho at que se atinja um ponto que minimiza o objetivo quadr tico sob o conjunto de trabalho W f cil reconhecer tal ponto pois o subproblema SP ter uma solu o p 0 Uma vez que py 0 satisfaz as condi es de otimalidade 18 13 do subproblema S P temos que A g iew 18 32 G d M gt para algum conjunto de multiplicadores de Lagrange i W Segue portanto que e satisfazem as condi es KKT 18 22 isso se definirmos os multiplicadores das restri es que n o aparecem em W como zero Uma vez que o controle imposto no comprimento do passo garante a factibilidade de com respeito a todas as restri es temos que a segunda e a te
159. R 0 lt 2 lt 1 42 3 273 qa lt 4 P3 xeER 0 lt 2 lt 1 4 322 213 us 4 ty Lo T3 lt 1 T T4 lt 1 Podemos verificar que P C Pa C P Primeiro vamos mostrar que P C P 25 4x1 3 2 223 T4 lt 25 x 4 gt 100x4 75 2 5073 25x4 lt 100 gt Portanto x Pi x P Agora mostraremos que P C P gt claramente P C Pz o ponto x 5 0 1 0 P mas x P3 As rela es de inclus o entre as tr s formula es alternativas s o ilustradas na Figura 10 7 P P gt Figura 10 7 Formula es apertadas 10 8 2 Formula o para o Problema de Localiza o de Dep sitos As duas formula es s diferem quanto s restri es que permitem suprimento de clientes somente se um dep sito estiver instalado Relembrando as formula es i M Py ti S yj para i E M 10 7 Claramente 10 7 10 6 e portanto P C P Considere o ponto x definido como tij 1 L235 X35 hepi Tmj 0 2 4 Yj m Verifica se que o ponto x P mas x P 170 10 Fundamentos de Programa o Inteira 10 9 Refer ncias O texto apresentado neste cap tulo incluindo estrutura conte do e figuras foi traduzido do livro de Wolsey 44 Planejamos estender o texto de forma a fazer uma contribui o original atrav s de outros exemplos pr ticos formula es lineares por partes e formula es de problemas n o lineares 10 10 Exerc cios EX 10 1 Suponha que um i
160. Transforma o de arestas em arcos Removendo Limites Inferiores Para eliminarmos o limite inferior de um arco i j basta pr enviar a quantidade l atrav s do arco reduzir o suprimento do n i de l unidades b b lij aumentar em l unidades a quantidade de fluxo que deve emanar do n j b gt b liz e finalmente reduzir a capacidade do arco i j em l unidades Note que o custo final deve ser acrescido de uma constante c l j de forma a refletir o envio antecipado do fluxo A remo o de limite inferior ilustrada na Figura 8 9 Neste exemplo o fluxo na rede original denotado por onde o custo de transporte O limite inferior l e a capacidade dada por u As acumula es de fluxo na rede original s o denotadas por b e b Ent o o fluxo na rede modificada passa a ser denotado por x com capacidade ui Ui lij custo unit rio cj Cj acumula es de fluxo b b liz e bj bj lij O fluxo na rede original Z e o fluxo na rede modificada x obedecem a rela o Li Des e Giz lij Tig Cij Wig Gij tag Liz Tij _ Tij Tij lij Figura 8 9 Remo o de limite inferior nos arcos Removendo Capacidade de Arcos A Figura 8 10 ilustra como que um arco com capacidade pode ser substitu do por dois arcos sem capacidade por meio da inser o de um n auxiliar f cil verificar que o fluxo zip atrav s do arco i k da rede modifi
161. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE AUTOMACAO E SISTEMAS M TODOS DE OTIMIZA O TEORIA E PR TICA Vers o preliminar Eduardo Camponogara Florian polis Setembro de 2006 Agradecimentos Agrade o sinceramente o apoio recebido dos alunos Alberto X Pavim Agustinho Pluc nio Mart n Pomar Maur cio Serra e Rodrigo Carlson na prepara o da vers o eletr nica das notas de aula em BTEX il Sumario 1 As Sub reas da Otimiza o 1 1 1 Conceitos Fundamentais sr 44 ao an Oe SD RD A PD E cd 1 1 1 1 Modelagem de Problemas scsaumals mad Sete ALAS 1 1 1 2 Elementos de um Problema de Otimiza o 2 1 1 3 Duas Exce es Formula o Geral 2 0 002 2 1 2 Programa o Linear hte s ik we aes E Ne alo AO 6 EE Rew E 3 eel Problema Exemplo 2 8 ay he ha he eee ES 3 1 3 Programa o Linear Inteira ssa Bw hi oh SA eS Be 4 1 3 1 Problema Exemplo ay apoie a Gk ie E ae ee Ee ey 4 1 4 Programa o Quadr tica oo aa eae ye eS Aw Hee De eS 5 1 5 M nimos Quadrados N o Linear o oo a 0 000 eee ee 6 1 6 M nimos Quadrados Linear qu a eed eee a es 6 1 6 1 Exemplo Ilustrativo aoaaa a 6 1 6 2 O Problema de M nimos Quadrados 7 1 6 3 Ajuste de Curvas as fes Ea Dia ED aM hd oe Soe Ega Gee 8 8 1 7 Equa es N o Lineares ee a eh E gde ek Se ae ee 9 1 7 1 Aplica o em Sistemas de Controle 10 1 8 Otimiza o Nao
162. a pwlog 1 x para u 0 01 0 1 0 4 1 Na Figura 19 1 a curva P x 0 01 quase indistinguivel de f x para a resolu o da figura mas a fun o tende para oo nos extremos evidente que quando u 0 o minimizador z u de P x u se aproxima da solu o x 0 do problema 19 6 Uma vez que o minimizador z u de P x u est dentro de F podemos em princ pio executar uma busca utilizando algoritmos de minimiza o irrestritos Infelizmente o minimizador z u torna se progressivamente mais dif cil de ser encontrado medida que u gt 0 Exemplo 2 Considere o problema Minimize x 1 xo 1 Sujeito a 19 8 IE 0 1 T2 E 0 1 Para o qual a fun o barreira 2 P x u a1 5 22 9 19 9 p log x log 1 21 log x2 log 1 z2 As curvas de n vel da fun o 19 9 s o ilustradas na Figura 19 2 para os valores u 22 u 5eu 2 A partir da figura observamos que as curvas de nivel se aproximam da curva de uma par bola medida que u 0 As curvas de n vel que envolvem o minimizador xi 0 23 3 5 nos casos onde u 22 e u 5 n o sao muito alongadas sendo quase el pticas Neste caso podemos aplicar m todos de minimiza o 268 19 Programa o N o Linear sob Restri es Algoritmos irrestrita sem maiores problemas Para o valor u 2 entretanto as curvas de n vel sao mais alongadas e menos el pticas quando o minimizador z u des
163. a es podendo ser obtidos por meio da des considera o de algumas restri es da desconsidera o das restri es de integralidade e da simplifica o do problema Neste cap tulo investigaremos quest es relacionadas otimalidade diferentes tipos de relaxa es e por fim apresentaremos o algoritmo de branch and bound que pode ser visto como um procedimento de enumera o impl cita que faz uso de uma mais relaxa es O texto a seguir uma s ntese traduzida do livro texto de Wolsey 44 11 1 Condi es de Otimalidade Inicialmente considere o problema PI que segue PI z Max r r E X CZ Dado PI e uma solu o candidata x como podemos provar que uma solu o tima Em outras palavras procuramos condi es de otimalidade que prov m uma condi o de parada para algoritmos Um m todo que a primeira vista parece ing nuo consiste em encontrar um limite inferior z lt z e um limite superior Z gt z tal que se z Z ent o z timo Tipicamente algoritmos produzem duas sequ ncias de limites e uma sequ ncia de limites superiores Z gt Z2 gt gt 22 gt 2 e uma sequ ncia de limites inferiores z lt Z lt lt Zp Z Assim dado um gt 0 podemos definir um crit rio de parada como Z z lt No momento que o algoritmo termina teremos certeza que a solu o candidata z no m ximo unidades inferior solu o tima A habilidade de se estimar a quali
164. a rvore de enumera o Exemplo Para S C 0 1 podemos construir a rvore de enumera o da Figura 11 1 Claramente S SUS onde So xe S z O eS x eS x 1 Estendendo este princ pio a mais um n vel podemos subdividir cada um dos subproblemas em subproblemas ainda menores fazendo So SogUSo1 e S1 Sip U S11 onde Suis E Sj 2 ig 178 11 Programa o Inteira Relaxa es e Algoritmo Branch and Bound Figura 11 2 rvore de enumera o Na Figura 11 3 ilustramos a rvore de enumera o completa Note que uma folha da rvore Siisis n o vazia se e somente se x i1 72 73 E S Portanto as folhas da rvore correspondem precisamente s solu es candidatas que seriam examinadas se fosse conduzida uma enumera o completa 11 5 2 Enumeragao Implicita Enumera o completa invi vel para problemas pr ticos o n mero de n s cresce exponencialmente Necessitamos de uma alternativa que vai al m da simples divis o do problema em subproblemas Uma abordagem frequentemente encontrada na pr tica consiste em se utilizar os limites de z de uma forma inteligente tanto os limites superiores quanto os inferiores A proposi o 11 6 explicita formalmente como que os limites inferiores e superiores primais e duais podem ser empregados de maneira a se realizar enumera o impl tica Proposi o 11 6 Seja S SU USk uma decomposi o de S em K subconjuntos zk Maxfc r
165. a 2 satisfeita quando x A pr ximo do timo x A e as condi es suficientes de segunda ordem s o satisfeitas pela solu o Sob as condi es acima estabelecidas o algoritmo de Newton 19 41 e 19 42 converge quadraticamente para o timo local constituindo um timo algoritmo para resolver pro blemas n o lineares sob restri es de igualdade isto se o ponto inicial xo est pr ximo do timo local x 278 19 Programa o N o Linear sob Restri es Algoritmos 19 5 2 Linhas Gerais do M todo SQP H uma abordagem alternativa a itera o 19 41 19 42 Para o iterando xp Ax definimos o problema quadr tico abaixo Min 1P WP VIP 19 43 P Sujeito a ApP C 0 19 44 Se as condi es 19 5 1 s o satisfeitas ent o 19 43 possui uma solu o nica Px uk que satisfaz W Pe Vie AT uk 0 19 45 Ak Pk Ck 0 19 46 Uma observa o importante que P e up podem ser identificados com a solu o das equa es de Newton 19 42 Se subtrairmos A Ay de ambos os lados da primera equa o de 19 42 obtemos W P ATP ADM V fk an WP Af Py Ax Vfr Mas Asi Ax Py portanto obtemos EE ow Portanto devido a nao singularidade da matriz de coeficientes temos que P P e Aki uk Vamos nos referir a este resultado como equival ncia entre SQP e o m todo de Newton se as condi es 19 5 1 s o garantidas ent o o pr ximo iterando 2441 Ak 1 pode ser defini
166. a Indo Mais Longe mg 2S oe Se Sd a IR ee Trabalhando com o Optimizer cata bg a ee Hy Construindo um Primeiro Modelo Usando Cadeias de Caracteres como ndices Modelagem Vers til e fito ado Nee det Moat Se a de A Linguagem AMPL Su mo 8 Godcd 2 set Alina ek DAS ee E AR a Bot dey 9 2 1 92 2 Modelo AMPL do Problema da Mochila 2 COMENGATIO 2 Do aee agents ed Re cab NS ook hee ge ee ee Da A SS Estudo de Caso Aloca o de Rotas em Redes de Computadores Formula o do Problema da Se Balke Goh we pg de talo amp he ace 9 4 1 9 4 2 Formula o em MOSEL da 4 ee ae oe E SS Formula o em AMPL cs 0 pgs Gba dai ad dr a Referencias suba data Bae amp a Mg a A a T O para AOS he bis AEE oat oh ee QG EXERCICIOS ars aun e SR ro dna sia ee eee ee whee a et Bats Bae 10 Fundamentos de Programa o Inteira 10 1 Introd g Gas a se ee e ndo Cr Ge eg Go ee a hee eS hee RS 10 1 1 Escalonamento de Trens cccccccclc a 10 1 2 Airline Crew Scheduling fre E ay bie MARS ee RES go A 10 2 O Que um Problema Inteiro 0000 ee 10 2 1 Problema Linear Inteiro Misto 10 2 2 Problema Linear Inteiro 6 2 4s ee an Ena aa 10 2 3 Problema Linear Bin rio AE doa 107 107 107 109 110 112 114 117 119 120 122 123 124 126 129 129 135 135 136 136 137 138 138 140 141 142 143 144 144 144 146 150 153 153 10 2 4 Prob
167. a Um grafo direcionado ac clico G V E com V 1 n estabelece uma ordem parcial de preced ncia para execu o na m quina isto se existe um caminho 0 de i para j em G ent o a tarefa i deve ser processada antes da tarefa j Dados pesos n o negativos wj j 1 n em que ordem as tarefas devem ser processadas na m quina de maneira a minimizar a soma dos instantes de in cio de processamento das tarefas s o instante em que a tarefa j inicia processamento na m quina ponderados pelos pesos w respeitando as restri es de preced ncia Formule o problema em programa o linear inteira mista com vari veis discretas e cont nuas EX 1 8 Considere a formula o do problema de instala o de dep sitos como visto anteriormente Minimize 55 cyty J fjyj j l i 1 j 1 Sujeito a Sie lt ujyj j 1 m i l Xii 1 ee asso j l zij EB 1 1 RR 1 Ds yj E B J Lem Existem outras formula es para o problema Quais s o as vantagens e desvan tagens das formula es alternativas EX 1 9 Para problemas de otimiza o quadr tica cuja matriz Q sim trica o Prof Kunz desenvolveu um algoritmo capaz de encontrar uma solu o global tima Suponha que voc tem que resolver um problema de otimiza o quadr tica onde Q n o sim trica Ser que poss vel resolver o problema em quest o com o algoritmo do Prof Kunz Capitulo 2 Minimiza o de Fun es com o M todo de Descenso Est
168. a lei ou regra de controle Matematicamente em otimiza o por malha fechada procuramos uma sequ ncia de fun es uk k 0 1 N 1 mapeando a quantidade em estoque x para uma ordem uz de forma a minimizar o custo esperado Uk k quantidade a ser solicitada no instante ty se o estoque k 15 6 Uma sequ ncia 7 jo 1 tN 1 ser referenciada como pol tica ou lei de controle Para cada 7 o correspondente custo para um estoque inicial o N 1 Jn 20 E R an gt r wx cuee ae 15 7 k 0 Um problema t pico de programa o din mica Min Jr o Para o problema de invent rio que est sendo considerado uma estrat gia tima da forma x Sk k SE Lk lt Sk k Tk aa H O caso contr rio onde sy um limiar determinado a partir dos dados do problema 218 15 Programa o Din mica Dominio Continuo 15 2 O Problema B sico de Programa o Din mica O problema b sico de decis o para um n mero finito de est gios e sob incerteza estoc stica bastante geral sendo este objeto de estudo no presente cap tulo O problema b sico pode ser caracterizado pelos dados abaixo a um sistema din mico discreto Tk 1 lda Uk Wr k 0 1 tak N 1 15 8 b o controle uz deve pertencer a um conjunto n o vazio Up x C Cy o qual depende do estado corrente k e c a perturba o rand mica wg caracterizada pela distribui o de probabilida des P x
169. a 15 2 As vari veis s o e xo temperatura inicial do material e x k 1 2 temperatura do material na sa da do forno k e e up k 1 2 temperatura interna no forno k Assumimos o modelo din mico da forma Cp 1 a r auk k 0 1 Onde a um par metro constante e conhecido sendo que a 0 1 O objetivo que a temperatura x se aproxime de um valor desejado T ao mesmo tempo que se minimiza a energia despendida Esse objetivo pode ser expresso atrav s da fun o objetivo que segue r x2 a T uo u sendo r uma constante positiva O sistema deterministico Aplique o algoritmo b sico de programa o din mica e obtenha uma regra de controle tima para opera o do sistema de fornos To Forno 1 T Forno 2 T2 Uo Uy Figura 15 2 Sistema de fornos para aquecimento de materiais EX 15 2 Verifique que as matrizes K k N N 1 0 s o sim tricas e posi tiva definidas Utilize o m tdo de indu o matem tica para desenvolver uma demonstra o formal 15 Programa o Din mica Dom nio Cont nuo 225 EX 15 3 Uma m quina pode estar em um de dois estados quebrada ou em opera o Se ela trabalha durante uma semana ent o o lucro total obtido 100 Se ela quebra durante a semana ent o o lucro nulo Se a m quina est em opera o no in cio da semana e executamos uma manuten o preventiva a probabilidade dela falhar durante a semana
170. a Ge Reh ee Se a AA Rede de abastecimento mi PEA saws AR OA AS E A RG A 5 rvore branch and bound parcial 2 aa aa A 6 rvore branch and bound parcial 0 oa aa aa A 7 rvore branch and bound parcial o oo ee A 8 rvore branch and bound parcial 2 0 0 a a A 9 rvore branch and bound parcial o oo aaa ee A 10 rvore branch and bound parcial 00 oaa aa aa A 11 Arvore branch and bound parciales ete oe Ree ee RM RM ao A 12 rvore branch and bound parcial o oaa a A 13 Exemplo de execu o do algoritmo de programa o din mica para sub sequ ncia mais longa de duas cadeias de caracteres 2 A 14 Grafo para c mputo de todos os poss veis emparelhamentos de subca deias mais long asea a Shee SS Ee a eee ed Be BE A 15 Processo Markoviando do jogo par impar A 16 Trajet ria de iterandos produzida pelo algoritmo de barreiras xiv Lista de Tabelas 11 3 1 4 1 5 1 8 1 8 2 8 3 8 4 8 9 9 1 9 2 10 1 10 2 14 1 14 2 Al A 2 A 3 A A A 5 Dadosamostrais s a ok On br ee a bee ne ee PE eh PE eek Y Itera es do m todo de Newton 0 0000 eee Popula o Inicial pas 4 36 54 bee We bee Wk bas AeA ead Amostras para treinamento da rede neural Capacidade de produ o dos fornecedores ooa a ooa Demanda dos clientes num 6 Zn Ae o a Custo unit rio de transporte ssa see E ua dera See Custo de processamento cas katie ee ws E
171. a cada itera o o subproblema quadr tico 19 51 to mando o conjunto ativo na solu o deste subproblema como uma estimativa do conjunto ativo timo Essa abordagem denotada por IQP Inequality Constrained QP a qual tem tido sucesso na pr tica A dificuldade est em resolver um problema quadr tico a cada itera o mas pode ser mitigado se uti lizamos um bom ponto de partida para a solu o hot start A segunda abordagem seleciona um subconjunto das restri es a cada itera o para atuar como conjunto de trabalho resolvendo apenas subproblemas com igualda des ignorando se as demais restri es O conjunto de trabalho atualizado a cada itera o atrav s de regras baseadas nos estimadores dos multiplicadores de Lagrange Esta abordagem denotada por EQP tem a vantagem de tratar apenas de subproblemas quadr ticos com restri es de igualdade o que computacio nalmente mais f cil 19 6 Exerc cios EX 19 1 Aplique o algoritmo de barreiras para resolver o problema abaixo e ilustre graficamente as suas itera es Minimize f x 32x 222 Sujeito a gi z 1l 2 4 2 gt 0 go x 2 mx T2 gt 0 galz 6 2z z gt 0 ga x 5 71 gt 0 g x 16 2r x gt 0 ge x 12 z1 xo gt 0 g7 x 21 LIS 229 gt 0 gs x 10 xs gt 0 go x 11 gt 0 Go x T2 gt 0 Passos sugeridos 1 Encontre uma solu o inicial x que perten a ao interior da
172. a como um problema de m nimos quadrados linear Pug Minimize Az bl ERP onde r Ax b chamado de res duo A solu o x para Pugo com menor erro residual Ir dita solu o de m nimos quadrados O problema Pyg pode ser colocado na forma equivalente Puo Puo Minimize Ax b Ax b Ax b Ms ll pa af x b x Ee R onde a a i sima linha de A 1 6 3 Ajuste de Curvas O problema geral de ajuste de curvas pode ser colocado como segue Ajuste a curva dada pela fun o g t z191 t z292 t Tagn t 1 As Sub reas da Otimiza o 9 aos dados t1 y1 tm Ym OU seja gostar amos que gti n g tz Ye onde g t R gt R i 1 n s o fun es quaisquer mas conhecidas tais fun es s o ditas bases Note que as vari veis do problema s o 1 2 n tipicamente m gt gt n Podemos colocar o problema de ajuste de curvas como um problema m nimos qua drados o qual assume a forma g ti yil Mes Minimize f sf eigi t 292 t tngn t yl ll pa que por sua vez pode ser expresso em forma matricial Minimize Ax bl x R onde gi ti g2 t Jn t y De gi to o In to sal giltm goltm Gnltm Um 1 7 Equa es Nao Lineares Sistemas de equa es n o lineares aparecem em problemas de otimiza o mas tamb m em equa es diferenciais e suas
173. a extens o da estrat gia de divis o e conquista para problemas de natureza inteira mista ou seja divida um problema P em um conjunto de subproblemas SP de forma que a solu o de P possa ser obtida atrav s da solu o dos subproblemas resolva os subproblemas e no final obtenha a solu o do problema de interesse De acordo com o algoritmo B amp B as divis es s o feitas iterativamente sempre observando que os subproblemas devem ser mais f ceis de serem resolvidos que o problema original al m de se procurar descartar subproblemas por meio de enumera o impl cita isto equivale a dizer que de alguma forma podemos garantir que a solu o tima n o solu o de um certo subproblema e por conseguinte podemos descart lo 11 5 1 Estrat gia de Divis o e Conquista Considere o problema z Mar c z 2 S Como que o problema acima pode ser quebrado em subproblemas menores e depois recombinados de maneira a se obter uma solu o para o problema original Abaixo enumeramos algumas proposi es que servem de regras gerais para que a quebra seja feita de uma forma sistem tica e com embasamento te rico Proposi o 11 5 Seja S S U U Sx uma decomposi o de S em K conjuntos menores Seja tamb m z Maxfclr x Sk para k 1 K Ent o z Max Uma maneira t pica de se ilustrar a estrat gia de divis o e conquista obedecendo as premissas da Proposi o 11 5 por meio de um
174. a fun o objetivo f e as restri es c s o fun es suaves com valores reais Z e s o conjuntos de ndices finitos para as restri es de desigualdade e igualdade respectivamente No cap tulo anterior desenvolvemos condi es que caracterizam as solu es timas Karush Kuhn Tucker Conditions Algoritmos para serem eficientes devem levar em conta propriedades e a estrutura das fun es que aparecem em 17 1 Algumas classes de problemas para os quais existem algoritmos especializados s o a Programa o Linear b Programa o Quadr tica c Programa o N o Linear A grande maioria dos algoritmos para otimiza o n o linear iterativa eles geram uma seqii ncia x de solu es aproximadas que esperamos que seja convergente a uma solu o tima local x Os algoritmos utilizam informa es sobre a solu o corrente x bem como as derivadas de f e c i E UZ no processo de obten o do pr ximo iterando x t Estudo Inicial de um Problema E recomend vel o estudo inicial de um problema no sentido de que simplifica es podem ser encontradas a Um exame das restri es pode indicar que a regi o fact vel vazia 244 17 Programa o Nao Linear Fundamentos de Algoritmos b A fun o objetivo pode ser ilimitada c Talvez seja poss vel identificar quais restri es estar o ativas na solu o tima permitindo o emprego direto das condi es KKT Um aspecto relevante durante a
175. a vari vel b sica a se tornar nula passa a ser uma vari vel n o b sica na itera o seguinte O processo ent o se repete at que se convirja para uma solu o tima ou at que se detecte que o problema ilimitado Abaixo ilustramos o funcionamento do Algoritmo Simplex na solu o da inst ncia 6 4 conforme o esbo o dado acima Algoritmo Simplex Inicializa o Para iniciarmos o processo necessitamos de uma solu o fact vel tal como fe 0 0 Des Opes Ors x 0 z 0 z3 0 wi 5 w 11 w3 8 Esta solu o y induz o valor 0 para a fun o objetivo Passo 1 A solu o corrente n o tima Qualquer acr scimo no valor de x aumenta o valor de 6 Mas n o podemos aumentar o valor de x ilimitadamente j que este est limitado pelas desigualdades abaixo w3 8 3z 2 0 z SE 8 3 2 667 80 6 Programa o Linear Assim o valor de x na pr xima itera o o menor dentre 5 2 11 4 8 3 o que leva a igualdade 5 1 3 1 Ti 2 qU1 92 973 6 6 Substituindo se 6 6 no sistema 6 5 de maneira a transferir se a vari vel w para o lado direito obt m se 5 1 3 1 T 3 3WwW1 a 312 m 23 5 1 3 1 Wg 11 4 8 Sw das 23 T2 2x3 14 2w 52 5_1 3 6 7 w3 8 3 iw 3x2 23 4x9 2x3 by L 3 1 1 t Quit 3T2 33 5 1 3 1 6 56 Sp 5T2 tra 4x9 3T3 5 1 e 2 71 g
176. ad a 168 Formula es apertadas Ec ok Behe a 169 Grafo da inst ncia do problema do caixeiro viajante 171 Rede de abastecimento aplica Md E a 172 rvore de enumera o N Epi pase airi gair E qts Se ES Se E R S 178 rvore de CnuUMeIaCAGy s ind pub news 6H et ee ee oe a a LN 178 Arvore de enumera o completa expl cita 179 Elimina o por otimalidade D tag eat ee el we a be che Go ke te 179 Elimina o por limite ar 2 5 4 2 0 da esd ep eo aoe Be ore HS 180 Nenhum ramo da rvore pode ser eliminado 180 Quebra do primeiro n da rvore de enumera o B amp B cc 182 Dividindo S em Sn Sjg 2 A 182 Cortando o n Siz por meio da condi o de otimalidade 183 Espa o de solu es fact veis e desigualdade v lida x lt 14 4 2 y 189 Desigualdades disjuntivas ccccccccccccc a 196 rvore de recurs o do algoritmo recursivo para c lculo do n mero de PibOnaeGls lt n Me ec Se qa ERA SINO Bee ek SSA eS 204 Valores D i j calculados pelo algoritmo DP ao calcular a dist ncia de edi o minima entre o padr o P abcdefghijkl e o texto T bedef PORTER r is die Ba hee EE Sd ED tes tes Ba Shen es Oe eae E af 211 Hierarquia da empresa XYZ ee A ea Sik eS eke el cag 213 Estrutura do sistema linear com controle timo de realimenta o 222 Sistema de fornos para aquecimento de materiais 224 Penduloinyertido a Haste etree Boas a O p
177. ade Bounding Resolvendo a relaxa o R P obtemos o limite superior 1052 e a solu o z 1 2 0 x3 4 4089 y 5 4838 e yo 1 4851 que viola a restri o de integralidade das vari veis x Branching Quebramos P em dois subproblemas Py PiN x z3 lt 4 e Pp P AN x x3 gt 5 A rvore branch and bound resultante aparece na Figura A 7 Note que o limite superior do n P passa de 1165 para 1052 max 1052 771 A Exercicios Resolvidos 321 Figura A 6 Arvore branch and bound parcial x3 gt 3 ite Figura A T Arvore branch and bound parcial 322 A Exercicios Resolvidos Bounding Resolvendo a relaxa o R Pi2 verificamos que o problema Pi infact vel Bounding Resolvendo a relaxa o R P 1 produzimos o limite superior 659 para a sub rvore com raiz em P e a solu o z 2 2 0 1479 3 2 y 3 2248 e Yo 0 Uma vez que a solu o obtida viola a restri o de integralidade teremos de gerar subproblemas Podemos tamb m reduzir o limite superior do n P de 771 para 659 Branching Quebrando o problema P obtemos os subproblemas P31 Pa N x x2 lt 0 e Paz Pa N x 2 gt 1 A rvore branch and bound resultante apresentada na Figura A 8 Figura A 8 Arvore branch and bound parcial Bounding Resolvendo a relaxa o R P212 obtemos um problema infact vel que nos leva a cortar o n Py por infactibilidade Bounding Resolvendo a r
178. ais com enfoque em modelagem e siste mas de controle aparece no artigo de Hagan e Demuth 26 Este artigo propoe uma modelagem gen rica de redes tipo perceptron multicamadas introduzindo conceitos fundamentais discutindo o emprego de redes Neurais como aproximadores universais e descrevendo um algoritmo de treinamento tipo back propagation Por fim os autores fazem uma breve apresenta o dos modelos de controladores baseados em Redes Neu rais Para um aprofundamento maior das abordagens de controle recomendamos os seguintes artigos de revis o 29 6 2 5 6 Exerc cios EX 5 1 Implemente com um perceptron as fun es l gicas AND NAND OR e NOR EX 5 2 Considere o grafo G V E da Figura 5 10 o qual representa uma rede neural com tr s camadas a camada de entrada com quatro unidades v rtices do grafo a camada intermedi ria com duas unidades e a camada de sa da com quatro unidades Seja o o valor da sa da de uma unidade j As unidades de entrada simplesmente copiam os valores de entrada para suas sa das ou seja 0 71 04 z4 As sa das da rede neural correspondem s sa das das unidades da terceira camada 07 y1 010 Y4 Seja 7 uma unidade intermedi ria ou de sa da Esta unidade 7 calcula sua sa da Oj como segue net Wij 0 i j EE 1 Oj o net T 4 eret O conjunto de entradas e saidas desejadas dado na Tabela 5 1 Dados os pesos dos arcos de G wis W16 W25 W26 W6
179. ais longa 336 A Exercicios Resolvidos T2 lt gt Y Figura A 14 Grafo para c mputo de todos os poss veis emparelhamentos de subcadeias mais longas EX 14 6 Seja G V E a rvore com a hierarquia da empresa XYZ Inicialmente considere o subproblema restrito sub rvore dos descendentes do v rtice n JX Maximize gt jes jTi Sujeito a ti z lt 1 Y i j E S In y zi E 0 1 Vie Sh onde Sn j existe caminho de n para j em G o conjunto dos descendentes de n y 1 se o empregado n convidado e y 0 caso contr rio Note que n Sn Defina tamb m J max J J mI n afinal de contas temos que decidir se convidamos ou n o o empregado n Ent o o problema da festa otimizada pode ser resolvido recursivamente conforme as recorr ncias abaixo i Jn Dein Jj Jn Tat Dyes di A 6 dq ma Jods onde A j n j E o conjunto dos descendentes imediatos de n Podemos resolver eficientemente as recorr ncias A 6 seguindo um ordem to pol gica reversa de G Obtemos um algoritmo de programa o din mica Algoritmo Inicializa o Obtenha uma ordem topol gica reversa I iy in dos v rtices de G Paran 1 N fa a A Exercicios Resolvidos 337 Ing JL e Jt 0 Recorr ncia Para k 1 N fa a Je Ex Djesa Jj In Sta Des dj J max J J n n Tabela A 3 Resolu o das recorr ncias do algoritmo de programa o
180. algum A Para o caso em quest o Ay 5 conforme segue Vf 1 17 Ve at 221 222 2 2 A Podemos obter a equa o 16 12 a partir da s rie de Taylor Para manter factibi lidade em torno do ponto x ci x d 0 deduzimos que alz d x Vei x d Ver x d 16 13 Portanto a dire o mant m factibilidade com respeito a cy quando d satisfaz Vei a d 0 16 14 16 Programa o N o Linear Restrita Fundamentos e Condi es de Otimalidade 233 Similarmente a dire o de descenso deve reduzir o valor de f portanto 0 gt f x d f z Viga 16 15 Conclu mos ent o que uma dire o de descenso d deve satisfazer as equa es 16 14 e 16 15 A Figura 16 3 ilustra uma dire o d que satisfaz ambas as condi es A condi o necess ria de otimaliade para o problema P que n o exista d satisfazendo as equa es 16 14 e 16 15 simult neamente 0 Figura 16 3 Dire es de descenso A nica possibilidade para que n o exista d satisfazendo as equa es 16 14 e 16 15 que V f x A Vci x ou seja o gradiente de f no ponto x deve ser linear mente dependente de Vci a Embora a condi o 16 12 pare a ser necess ria para que x seja uma solu o tima do problema Py ela n o suficiente Por exemplo o ponto x 1 1 com A 5 satisfaz a condi o Vf x MVci x visto que Vf x 1 1 e Ve x 2 2 Mas este ponto n o uma solu o na ve
181. altos custos no futuro A cada est gio as decis es s o ordenadas de acordo com o custo imediato e o custo esperado no futuro Programa o din mica estoc stica captura esta rela o de compromisso Tal compromisso surge ainda em outros dom nios como o formalismo de aprendizagem por refor o no qual um agente procura aprender uma pol tica de tomada de decis o que maximiza o ganho amortizado Neste universo a quest o de balancear o ganho imediato e futuro tamb m desempenha um papel crucial H situa es onde deve se pagar um pre o alto neste instante se desejamos acumular ganhos futuros Existe uma variedade muito grande de problemas que podem ser tratados por DP Aqui nos concentraremos na sua aplica o no controle timo de sistemas din micos O modelo b sico do problema apresenta dois elementos essenciais 1 um sistema din mico discreto e 2 uma fun o custo que aditiva no tempo O sistema din mico 216 15 Programa o Din mica Dom nio Continuo da forma Ex They Wg k 0 1 N 1 15 1 onde k ndices discretos no tempo Xz estado do sistema no instante tz ug vari vel de decis o ou controle para o instante tg e Wr par metro rand mico perturba o e e N horizonte ou n mero de vezes que o controle aplicado A fun o custo aditiva no sentido de que o custo incorrido na itera o k denotado por gk k Uk WE se acumula no tempo O custo total dado por N 1
182. amacao com Restricoes L gicas 200 13 Programa o com Restri es L gicas Capitulo 14 Programa o Din mica Dominio Discreto Uma t cnica poderosa para resolver problemas de decis o sequencial e de controle consiste em quebr los em subproblemas menores mais f ceis de serem resolvidos Quando quebramos um problema em subproblemas do mesmo tipo tipicamente pode mos produzir algoritmos recursivos frequentemente empregados para resolver proble mas computacionais Dois paradigmas de concep o de algoritmos por meio de quebra s o Divis o e Conquista Este paradigma amplamente adotado na concep o de algo ritmos tipicamente encontrados na Ci ncia da Computa o podendo ser dividido em tr s etapas e quebre o problema em duas metades e resolva cada metade separadamente e e combine as metades de forma a obter uma solu o completa O algoritmo de intercala o ou merge sort por exemplo ordena uma cadeia de n n meros em O n logn opera es de compara o segundo o princ pio de divis o e conquista O algoritmo constr i implicitamente uma rvore de subproblemas tendo profundidade log n e largura n Uma vez que o custo computacional para solu o dos subproblemas em cada n vel linear o algoritmo ordena a cadeia em O nlogn opera es elementares Programa o Din mica Este paradigma consiste em quebrar um problema em uma sequ ncia de decis es que s o tomadas em est gios Em out
183. ap gt 0 e b gt O Isto L i B bi ik m nimo Os iii Uma vez escolhida a vari vel x que entra na base e a vari vel x que sai da base executamos as opera es apropriadas nas linhas do dicion rio A itera o chamada de pivoteamento Repetimos a partir do primeiro passo at que uma solu o tima seja atingida N o ocorrendo pivoteamentos degenerados o algoritmo Simplex converge em tempo finito para a solu o tima ou este detecta que o problema ilimitado Na presen a de pivoteamentos degenerados o algoritmo Simplex pode entrar em ciclos e nunca conver gir Para que isto seja evitado regras de pivoteamento foram concebidas que garantem converg ncia em um n mero exponencial no n mero de colunas da matriz Para maio res detalhes sobre regras de pivoteamento o leitor pode consultar os textos de Chvatal 11 e Vanderbei 42 Uma regra simples que garante converg ncia a regra de Bland Bland s rule Segundo esta regra a vari vel que entra na base e a vari vel que sai da base quando existir mais do que uma alternativa s o aquelas que tiverem menor ndice dentre os seus respectivos conjuntos de alternativas 6 Programa o Linear 83 6 3 3 Inicializa o At este momento consideramos problemas cujos b s s o todos n o negativos Isso permitia a obten o de uma solu o vi vel fazendo x 0 para j 1 N e Xin bi para i 1 m O que devemos fazer se algum b ne
184. ar 81 Substituindo as equa es do dicion rio 6 8 pelas equa es 6 9 obtemos um novo dicion rio Max 13 us 3 9 W3 t 2 2w 2xs wW3 Wg 1 2w 529 6 10 t3 1 3w X 2w cuja base B x1 23 w2 A solu o dada pelo dicion rio 6 10 tima z 2 t 0 z3 1l w 0 w 1 w3 0 e 13 uma solu o tima pois os coeficientes das vari veis n o b sicas na equa o de no dicion rio correspondente dado pelo sistema 6 10 s o todos negativos aumentando o valor de qualquer var avel n o b sica reduzir o valor da fun o objetivo 6 3 2 Algoritmo Simplex em detalhes Nesta se o generalizamos os passos ilustrados acima para o caso geral do problema de programa o linear Considere a forma geral do problema de programa o linear Maximize 5c z Sujeito a 6 11 Did lt S bi in z gt 0 j l n Inicializa o Obter Dicion rio Inicial Inicialmente necess rio introduzir vari veis de folga na formula o 6 11 como segue 6 12 b n Wi 2a Qijtj t hem Com o intuito de facilitar os pr ximos desenvolvimentos vamos assumir que Wi Li para i 1 m dessa forma gerando o dicion rio n 269 dE 6 13 Inti b xo Ajj a 1 m cuja base dada pelas colunas correspondentes s vari veis do conjunto n41 Lntm Seja B C 1 n m o conjunto com os ndices das vari veis b sicas Seja N f1
185. ara o agente coluna podemos expressar o problema de encontrar uma estrat gia tima em uma forma matricial P Min 0 S a AT e y gt 0 7 9 EI y20 w irrestrito em sinal 7 6 Rela o entre os Problemas P e Py Considere o problema P na sua forma matricial 7 7 Vamos obter o problema dual de P introduzindo as vari veis duais y para as linhas da matriz A e a vari vel w para a ltima restri o de P conforme desenvolvimento abaixo rales mle alii xr gt 0 z irrestrito 7 Teoria dos Jogos 101 O dual do problema 7 10 P Min 0 a oe w 3 gt NE 7 11 y 20 w irrestrito que pode ser manipulado de forma a se obter P Min 0 11 8 w S a AT elly gt 0 7 12 EINE y 20 w irrestrito Assim conclu mos que o dual de P corresponde ao problema Py ou seja P Py Ao resolver seu problema P o agente coluna obt m sua estrat gia tima x e tamb m a estrat gia tima y do agente linha 7 7 Teorema Minimax Inicialmente demonstrado por John Von Neumann em 1928 pode ser facilmente demonstrado atrav s da Teoria da Dualidade Linear Teorema 7 1 Existem vetores estoc sticos x e y para os quais Maz yTAr Min y Ax T y Prova Observando que o dual de P P e que ambos os problemas t m regi es fact veis limitadas conclu mos que z w sendo z o valor timo de P e w o valor timo de P Pelo lado de P deduzimos que z max minfei Ar el A
186. ara todo x 0 Se Q QT ent o Q positiva semi definida se e somente se os autovalores de Q s o n o negativos Note que os autovalores de matrizes sim tricas s o n meros reais A matriz Q dita indefinida se existe x y R tal que 27 Qzx gt 0e y Qu lt 0 6 1 As Sub reas da Otimiza o 1 5 M nimos Quadrados Nao Linear O problema dos m nimos quadrados n o linear consiste de um problema da seguinte forma Minimize f z l x R onde e corresponde norma Euclidiana e f x R gt R uma fun o qualquer cont nua e diferenci vel Tais problemas t m aplica es no casamento de modelos com dados experimentais tipicamente encontrados em estudos econ micos aprendizagem autom tica e engenharia Seja Ye zk k 1 K um conjunto de pares entrada sa da de uma fun o z h y desconhecida y E R e zp E R Suponha que uma fun o g y com par metros dado pelo vetor x R sugerida como aproxima o de h y Existe portanto uma fam lia F gy x R de aproximadores O problema ent o encontrar a fun o gr que minimiza o erro de aproxima o K o gt gt gelur ee k 1 Definindo f x fi x fx x tal que f x gz Yk Zk temos que o pro blema de encontrar o aproximador de menor erro se reduz a um problema de m nimos quadrados n o linear Uma aplica o do problema de m nimos quadrados n o linear o treinamento de redes
187. arelhar os j primeiros s mbolos do texto com nenhum caracter do padr o P a Se desejamos um emparelhamento entre todo o padr o P e todo o texto T ent o D 0 j o custo de eliminarmos j s mbolos de T Assim D 0 j j para eo PDR VA b Se desejamos emparelhar P com qualquer subcadeia de T ent o o custo de ini ciarmos o emparelhamento na posi o j do texto deve ser o mesmo de iniciarmos na posi o 1 Assim D 0 j 0 para j 1 T Em ambos os casos DJi 0 i pois n o podemos eliminar s mbolos de P sem pagarmos o pre o de dele o Antes de apresentarmos o algoritmo assumimos que m T e n P Algoritmo EditDistance P T for i 0 to n do Dii 0 i for j 0 to m do D 0 j j fori 1 to n do forj 1 to m do Dit j Min D i 1 7 1 matchcost P ti Dli 1 7 1 Dli j 1 1 Fim algoritmo 210 14 Programa o Din mica Dominio Discreto Qual a complexidade do algoritmo A partir do pseudo c digo do algoritmo EditDistance fica claro que o tempo de execu o da ordem O mn Exemplo A tabela abaixo traz o resultado da opera o EditDistance P T para P abcdefghijkl e T bcdeftghixkl A Figura 14 2 traz em forma tabular o valores Dfi jl i 0 n e j 1 m calculados pelo algoritmo de programa o din mica Abaixo listamos as opera es executadas pelo algoritmo conforme n meros 1 at 13 indicadas na figura 1 insert custo 1
188. areto produzem melhores resultados todavia n o s o pontos est veis para agentes competitivos A prop sito x 3 8531 3 5534 um elemento do conjunto pareto P o qual induz custos f a 249 50 e fo x 62 57 que incorrem custos reduzidos a ambos os agentes se comparados aos custos produzidos pelo ponto Nash x e Do ff NN W Ly WS WN WN AS N N x N E N N LX WIA A AX A Ni WN AY NX N m m WS N RQ MN Vip WN ui Hl AC N ANS ND N RE Es MN SN Sw A AN ES X N SS SS SSS SS SX SS S SS SY SX SSG S X SSX SX X SS SX AN A S SS SS X SS SS WS X SS SS AN NS AA SS S SS SSY IS AN SS Z L SS SS SSS SSRN ce WS SS W E AN SS RW AS X X WY OR Y Y S AUS AN A AOS ANNA SSS SS SS AN NAN AOS wee SS SS QN INS SS SS SS AS RR me SSC SS iV LLL LLY l LL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ANN AN M N o o xi Figura 7 1 Curvas de n vel conjuntos reativos solu o Nash e pontos Pareto de um jogo quadr tico entre dois agentes 7 9 Refer ncias O texto de Aumann e Hart 4 uma refer ncia padr o para a teoria dos jogos cobrindo a teoria modelos e aplica es com enfoque econ mico A refer ncia reco mendada para aqueles que desejam investigar a rea mai
189. as Em tal situa o como que se poderia resolver os problemas da bi parti o m xima e m nima se o objetivo maximizar ou minimizar o valor espe rado Efw S V S respectivamente Capitulo 5 Treinamento de Redes Neurais Um Problema de Otimizacao Redes Neurais Artificiais RNs constituem m todos robustos de aproxima o de fun es de valores vetoriais reais ou discretos Em outras palavras as redes neu rais toleram erros nos pares de treinamento Uma rede neural pode ser vista como um aproximador universal ou mais precisamente como um interpolador universal uma vez que elas n o s o capazes de inferir informa es que est o fora do conjunto de treina mento Dado um conjunto qualquer de treinamento podemos em princ pio construir uma rede neural que produz os mesmos valores da fun o para os pares entrada saida de treinamento O algoritmo de treinamento de propaga o reversa back propagation nada mais do que uma implementa o especializada do algoritmo de descenso sendo objeto de estudo neste cap tulo Como o pr prio nome sugere redes neurais s o inspiradas em sistemas biol gicos de aprendizagem que tipicamente consistem de redes complexas de unidades elementares conforme a Figura 5 1 Na figura a primeira camada recebe os sinais de entrada que s o processados e transformados em novos sinais a serem transmitidos s unidades da camada intermedi ria que por sua vez processa os sinais de entrada
190. as esp cies pode levar a processos c clicos como por exemplo a din mica entre le es e gazelas Se os le es se tornam mais perspicazes ao ca arem gazelas ent o as gazelas sobreviventes tendem a ser mais r pidas que por sua vez v o gerar descendentes mais geis dificultando a ca a dos le es 4 Otimiza o N o Diferenci vel 49 4 2 3 Hereditariedade com Evolu o Simulada Da mesma forma que em sistemas biol gicos as equa es de adapta o biol gica podem ser utilizadas para evoluir solu es de um problema Algoritmo Gen tico e at mesmo algoritmos Programa o Gen tica John Holland 28 foi um dos primeiros a propor a simula o do processo de evolu o natural para resolver problemas diversos tais como problemas de otimiza o e de aprendizagem de m quina Ele concebeu o termo Algoritmo Gen tico AG e foi um dos grandes impulsionadores da rea que hoje conhecida como Computa o Evolucion ria O algoritmo gen tico representa solu es como estruturas semelhantes ao DNA as quais expressam alguma forma de aptid o Isto est inspirado na Natureza onde estru turas de DNA aparecem em organismos com capacidade de se acasalarem e onde haja muta o e cross over do material gen tico Estes princ pios fundamentais foram apre sentados atrav s da teoria de Darwin mais tarde complementada pelos trabalhos de Gregor Mendel pai da Gen tica e posteriormente enriquecidos pela descoberta da es
191. atrav s de programa o linear o problema 7 5 envolve dois operadores de otimiza o De que forma poder amos resolver 7 5 O problema 7 5 pode ser resolvido por meio de programagao linear Lembre que ja verificamos como que o problema interno Min pode ser resolvido por meio de uma estrat gia deterministica Max Min y Ax Max Min e Az e Az e7 Ax 7 6 x y x onde e um vetor com todas as entradas iguais a zero com exce o da i sima entrada O problema 7 6 pode ser expresso em programa o linear como segue P Max z Max z S a S a 2 lt eT Az ez lt Ax eg 1 z Sel Ar 1 20 eme 1 z irrestrito em sinal c20 z irrestrito em sinal O problema acima pode se colocado em uma forma matricial HI k xr gt 0 z irrestrito em sinal Os desenvolvimentos acima mostram que a estrat gia tima x do agente coluna precisamente a solu o do problema P 100 7 Teoria dos Jogos 7 5 Estrat gia Otima para o Agente Linha Por simetria pode ser verificado que o agente linha procura uma estrat gia y que produz a solu o tima do seguinte problema min max Min Max y Ax Min Max y Ae y7 Aeo y Aen y T y S a S a ely 1 ely 1 eo eTx 1 y 20 x y 20 O problema 7 8 pode ser expresso em program o linear como segue P Min w Min w S a S a w gt yT Ae ew gt ATy ety 1 w gt y Aen y gt 0 eTy 1 w irrestrito em sinal y 20 w irrestrito em sinal Da mesma forma que p
192. avalia o da qualidade de formula es alternativas para um problema O material a seguir uma s ntese do Cap tulo 1 do livro de Wolsey 44 10 1 Introdu o Uma variedade expressiva de problemas de cunho pr tico e te rico podem ser for mulados em programa o linear inteira incluindo problemas combinat rios freqiente mente encontrados em teoria dos grafos problemas de l gica situa es pr ticas com preendendo a log stica de empresas entre outros No que segue delineamos dois proble mas pr ticos tipicamente resolvidos por meio de modelos e algoritmos de programa o inteira 10 1 1 Escalonamento de Trens Considere uma empresa de transporte ferrovi rio que deseja encontrar um escalo namento de seus trens ou seja rotas incluindo datas de partida chegadas e tempos de perman ncia em esta es ao longo das rotas Um aspecto relevante o fato de que as rotas se repetem diariamente justificando portanto a otimiza o dos escalonamento Dados acerca do problema tamb m est o dispon veis e devem ser levados em consi dera o os tempos de percurso de uma esta o para outra s o conhecidos dois trens n o podem trafegar na mesma linha a menos que separados por alguns minutos e para facilitar conex es o hor rio de partida de um trem A deve suceder o hor rio de chegada de um trem B por alguns minutos Enfim o problema encontrar um escalonamento fact vel que minimize algum crit rio econ mico 156 10
193. ay 10 0 10 4 T34 8 3 3 Redes Residuais No projeto e implementa o de algoritmos conveniente expressar o fluxo em ter mos de incrementos em rela o a um fluxo fact vel em vez de express lo em termos absolutos Aqui ser introduzida a no o de rede residual ou rede de fluxo remanes cente que descreve a capacidade de transmiss o incremental Existe uma rela o de um para um entre a formula o do problema na rede original e na rede residual de maneira que uma solu o fact vel em uma formula o est diretamente relacionada com uma solu o na outra formula o e ambas induzem o mesmo custo Dados uma rede G V A e um fluxo x RIA a rede residual denotada por G x e descreve a capacidade incremental de fluxo relativa ao fluxo x j transportado atrav s da rede Considere o arco i j e o fluxo inicial z9 H duas possibilidades 1 podemos enviar uma quantidade adicional u Lis de fluxo atrav s do arco i 7 incorrendo um custo unit rio cij 2 podemos enviar de volta uma quantidade z9 atrav s do arco j i a custo Cij por unidade Uma ilustra o de rede residual G x associada a um fluxo x em uma rede G V A dada na Figura 8 12 Abaixo listamos os passos para c mputo da rede residual G x tomando como base um fluxo inicial x 1 substitua cada arco original i j por dois arcos 7 7 e j i 2 o arco i j tem custo c e capacidade residual r uij
194. c z Fa a q x Ax At que um n mero m ximo de itera es seja atingido Enfatizamos que a itera o Newton conforme Equa o 3 4 n o realizada atrav s do c lculo direto da inversa de G x Fazemos uso de algoritmos de solu o de sistemas de equa es lineares para resolver o sistema G x Axv c x Um forma robusta para resolv lo se d atrav s da decomposi o LU a qual decomp e G em duas matrizes triangulares L triangular inferior e U triangular superior de maneira que G LU Uma vez calculados os fatores L e U a solu o de 3 4 pode ser obtida com duas retrosubstitui es Quando a matriz G positiva definida o que ocorre no caso do m todo de Newton estar sendo utilizado como ferramenta para encontrar um ponto estacion rio de uma fun o f recomend vel realizar uma fatora o Cholesky Esta encontra uma matriz triangular inferior L de forma que G LL Algoritmos efici entes e robustos podem ser encontrados na literatura para executar ambos os tipos de fatora o 3 5 Minimiza o Irrestrita Aqui a aten o se volta para o problema de minimiza o irrestrita em m ltiplas vari veis Desejamos encontrar um vetor x x1 n tal que o valor da fun o f x seja m nimo Vamos aproximar f x em torno da solu o candidata corrente zk como segue Flues Flee VF ee mes 4 leen 24 Foe oes l Fazendo xp 27 k T Vf k 9 V f re H e p k
195. cada corresponde precisamente ao fluxo Z atrav s do arco i j da rede original Note que os fluxos satisfazem a rela o 122 8 Fluxo em Redes Lik Tjk Uij portanto xj o res duo de capacidade de transmiss o atrav s do arco i j slack Tij Uiz Os Rog e e Tij Figura 8 10 Eliminando capacidade de arcos 8 3 2 Um Exemplo Na Figura 8 11 ilustrado um problema de fluxo de custo m nimo consistindo em enviar 10 unidades de fluxo do n 1 produtor para o n 4 consumidor Os arcos s lidos indicam os arcos da rede enquanto que os arcos tracejados indicam a solu o tima do problema b 10 7 8 Figura 8 11 Exemplo de problema de fluxo de custo minimo As linhas tracejadas correspondem ao fluxo timo Em geral o problema de fluxo de custo m nimo especificado na forma 8 10 pode ser colocado de forma mais compacta como Min cla Sa Nx b l lt a lt u x E R A onde c vetor de custo unit rio de transporte N a matriz de incid ncia do grafo b o vetor com as taxas de inje o e consumo de fluxo o vetor com limites inferiores u o vetor de limites superiores e x o vetor com o fluxo dos arcos Para o problema 8 Fluxo em Redes 123 dado na Figura 8 11 os dados para uma formula o compacta s o 1 2 1 3 2 4 3 4 1 1 1 0 0 2 1 0 1 0 Le al 0 1 4 0 0 1 1 10 0 7 5 T12 0 0 8 7 X13 b 0 l 0 u 6 c 3 r
196. coluna observa que a probabilidade do agente linha escolher a op o i y O vetor de probabilidades y R do agente linha chamado de vetor estoc stico o qual satisfaz as propriedades 20 9 1 onde e um vetor com todas as entradas iguais a 1 Se a estrat gia do agente coluna for modelada por um vetor estoc stico x ent o o ganho esperado do agente coluna dado por D Yilijtj yT Ar i 1 j 1 7 4 Estrat gia tima para o Agente Coluna Suponha que o agente coluna decide jogar de acordo com a estrat gia x Nesta situa o a melhor defesa do agente linha a estrat gia y que resolve o seguinte problema y Argmin y Ag ye R Sujeito a 7 4 eTy 1 y 20 A partir do Teorema Fundamental da Programa o Linear sabemos que existe pelo menos uma solu o b sica tima Por exemplo para a matriz A dada em 7 3 suponha que x 1 3 1 3 1 3 Ent o o E ai 9 8 Era Ac 3 0 4 z 3 0 4 1 8 1 3 5 6 0 Dedo Sie 213 Assim a melhor estrat gia para o agente linha y 1 0 0 y 0 0 1 ou qualquer combina o convexa de y e y Uma vez que dado x o agente linha escolhe uma 7 Teoria dos Jogos 99 estrat gia y que produz o minimo de 7 4 entao o agente coluna pode se antecipar escolhendo a estrat gia x que produz o m ximo do seguinte problema x Argmax Min gy Ax T y S a eTr 1 a ely 1 x y 20 Enquanto que o problema 7 4 pode ser resolvido
197. como resolver eficientemente o sistema KKT 18 12 ou 18 13 A matriz do sistema 18 12 aqui definida por K pode ser indefinida e portanto a fatora o de Cholesky pode n o ser aplic vel Se K uma matriz positiva definida ent o K LL onde L uma matriz triangular inferior o que nos levaria a obten o da solu o nica por meio de substitui o direta e retro substitui o ap s o c mputo do fator Cholesky L Caso K n o seja positiva definida podemos ent o utilizar a elimina o de Gauss ou a fatora o LU encontrando matrizes triangulares Le U tal que K LU Neste ltimo caso podemos tamb m calcular uma solu o rapidamente atrav s da retro substitui o e substitui o direta Vale lembrar que toda a matriz quadrada n o singular possui uma fatora o LU 18 3 Problemas Quadr ticos Sob Restri es Existem tr s grandes classes de algoritmos 1 M todo Cl ssico de Conjunto Ativo pode ser aplicado tanto a problemas convexos quanto n o convexos 2 M todo de Proje o de Gradiente tentativa de acelerar o processo de solu o do m todo de conjunto ativo 3 M todo de Ponto Interior 256 18 Programa o Quadr tica 18 3 1 Condi es de Otimalidade Relembrando o problema quadr tico desejamos resolver o problema Minimize q x 27Gxrt d zr 2 Sujeito a 18 20 GH ba TE aTr gt b icT Para um ponto timo x de 18 20 definimos conjunto ativo A x como os ndices
198. conjunto de autovalores da matriz A conclu mos que l lt Marfa e ar llzall Os autovalores de I aQ s o iguais a 1 ay A onde A s o os autovalores de Q Dessa forma podemos deduzir que Mazx o I aQ Mar 1 apm 1 a M onde m M o menor maior autovalor de Q Segue ent o que para x 0 teal lz lt Maz 1 agm 1 a M gt 2 11 Se 1 am lt 1 aM ent o a desigualdade 2 11 satisfeita como uma equa o e k proporcional ao autovetor correspondente a m Se 1 am gt 1 aM ent o a desigualdade 2 11 satisfeita como uma equa o e x proporcional ao autovetor correspondente a M O passo ay que minimiza o limite dado em 2 11 7 2 Q M m o que implica em zelo M m 2 12 ull S MFM ae que a melhor taxa de converg ncia do steepest descent com passo constante De acordo com 2 12 quanto menor for a diferen a entre o maior e menor autovalor de Q mais r pida a converg ncia Nas situa es em que as curvas de n vel em torno de x s o alongadas i e quando a diferen a entre o maior e menor autovalor grande a taxa de converg ncia tende a diminuir Basta fazer uma mudan a de vari vel x x x deslizando o ponto x para a origem do sistema de coordenadas resultante e adicionar a constante f x fun o objetivo 28 2 Minimiza o de Fun es com o M todo de
199. da aplica o de um n mero finito de vezes do procedimento Chv tal Gomory 12 4 O Algoritmo de Planos de Corte Suponha que X P N Z e que uma fam lia F de desigualdades v lidas 77x lt To Tt To E F seja conhecida para X Tipicamente F cont m um n mero muito grande de elementos possivelmente exponencial que n o podem ser introduzidas na formula o a priori Al m disso do ponto de vista pr tico n o estamos interessados em encontrar uma representa o completa do fecho convexo conv X mas sim uma boa aproxima o em torno da solu o tima Abaixo descreveremos o algoritmo b sico de planos de corte para IP mazxfc x a X que gera cortes teis a partir de F Inicializa o Defina t 0 e P P Itera ot Resolva o problema linear 7 Mazr c x x P Seja x a solu o tima Seat Z pare pois x uma solu o tima para IP Sea Z encontre uma desigualdade 7 7 E F tal que 171 gt mo Se uma desigualdade 7 79 foi encontrada ent o fa a Pr pende rem incremente te repita Caso contr rio pare 12 Algoritmos de Planos de Corte e Desigualdades Fortes 193 Se o algoritmo termina sem encontrar uma solu o inteira pelo menos Pt Pn z TT lt S Tip i 1 2 t uma formula o mais apertada do que P Podemos ent o proceder a partir de P com um algoritmo de branch and bound 12 5 Algoritmo de Planos de Corte Usando Cortes de Gomory Fraci
200. da origem Duas generaliza es do problema acima 15 Programa o Din mica Dom nio Cont nuo 221 a Perturba o com m dia diferente de zero e aproxima o de trajet ria N 1 E fiex En Qu zn En oN Er Tr Qe Ce Th ux Reus k 0 onde zg descreve a trajet ria desejada b Problema que surge quando A e By s o matrizes aleat rias com distribui es conhecidas 15 4 1 Aplicando o Algoritmo de Programa o Din mica Aplicando o algoritmo DP obtemos In tn en QNEN 15 20 Ji Lr Minu Elo QL url Ryu Juri AX Bru wr 15 21 Uma vez que o cost to go J uma fun o quadr tica a lei de controle tima uma fun o linear do estado Escrevendo a equa o 15 21 para k N 1 obtemos JIn 1 n 1 Mina EIN Quazna uni Ry 1UN 1 An_12y 1 Byun WN 1 Qn 15 22 An 1tn By_iunw 1 Wn 1 Usando o fato de que E wy_1 0 podemos reescrever 15 22 como Jn N 1 N Qnty Minuy tunc Rnuna un 1 By QuByuna 2a v1 An 1 Qn By 1un 1 2n_17 Ay 17QnAn 12N 1 Efwn a Qnwn_ i 15 23 Diferenciando 15 23 e for ando o gradiente para zero produzimos Rn Bni QuBn yun Bn1 QnAn 12N 1 15 24 J que Rn 1 Bni QnBy 1 positiva definida esta admite uma inversa e por tanto uy Ry 1 By QuBn By 17QnAw 12N 1 15 25 Substituindo se 15 25 em 15 23 obtemos In 1 y 1 tn Ky_ity_ 1 Efwna Qnw
201. da x 1 2n uma unidade de combina o linear dos sinais de entrada cujos pesos s o dados pelo vetor w w1 Wn uma fun o de ativa o f s onde s X wiz que produz os sinais de sa da tal que i 1 yi f s para i 1 m Unidades de processamento s o organizadas em camadas e conectadas por arcos sinapses que simbolizam os sinais de comunica o de uma camada ou sinais de entradas para outra camada Um exemplo de rede neural dado na Figura 5 3 Entrada Sa da T Y ie Peso das sinapses yA y eo e a Ta z Ym Figura 5 2 Unidade de processamento neural 5 1 1 O Problema de Treinamento Dados uma rede neural a sua topologia ou seja um grafo G V E exemplos de treinamento ou seja uma lista de pares de entrada e sa da desejados D x y prea c y 5 Treinamento de Redes Neurais Um Problema de Otimiza o 63 Camadas Intermedi rias Entrada Sa da Figura 5 3 Rede neural com camadas intermedi rias O problema encontrar pesos para as sinapses tal que o erro de estima o das sa das seja o menor poss vel least squares problem Seja f w x R gt R a fun o representada pela rede neural com pesos dados por um vetor w R onde r o n mero de conex e sin pticas da rede Dado x a rede responde com um valor y f x Em programa o matem tica o problema de treinamento da rede neural pode ser escrito como
202. dade de uma solu o candidata de fundamental import ncia para otimiza o 174 11 Programa o Inteira Relaxa es e Algoritmo Branch and Bound 11 1 1 Limite Primal Encontrar uma solu o fact vel pode ser uma tarefa f cil ou rdua dependendo intrinsecamente do problema e da inst ncia particular Qualquer solu o vi vel x x X induz um limite inferior limite primal para o caso de maximiza o j que cla lt cTat 2 No caso de problema NP Completos como o de encontrar um circuito Hamiltoniano em um grafo a busca de uma solu o fact vel se resulta a resolver o problema enquanto por outro lado encontrar uma rota fact vel do problema do caixeiro viajante f cil estando a dificuldade em encontrar a rota mais curta 11 1 2 Limite Dual Um m todo para encontrar limites superiores faz uso de uma relaxa o do problema original ou seja um problema mais simples cuja solu o tima n o inferior solu o tima do problema original Defini o 11 1 Um problema RP z Maxtf x zxeET CR uma relaxa o do problema PI z Max c x 2 X CR se er ii f x gt c x para todo x X Proposi o 11 1 Se RP uma relaxa o de PI ent o z gt z 11 2 Relaxa o Baseada em PL Relaxa o Linear Defini o 11 2 Para o problema de programa o inteira Maxte r x PA Zr com formula o P x R Ax lt b a relara o em pr
203. dade em maiores detalhes 8 2 O Problema de Fluxo M ximo Dada uma rede G V 4 com capacidade nos arcos desejamos determinar o fluxo m ximo que pode ser enviado de um v rtice s fonte a um v rtice t destino satisfazendo as restri es de capacidade dos arcos e as equa es de equil brio de fluxo em todos os v rtices Em programa o matem tica o problema de fluxo m ximo expresso como Maximize v Sujeito a v parai s 8 2 TS Do BEN 0 patatodoveV s t Lili j E A 9 G i EA v parai t 0 lt x lt uij para cada i j A onde u denota a capacidade de transporte do arco i j Um vetor x x i j A satisfazendo as restri es de 8 2 dito fluxo e o escalar v correspondente dito valor do fluxo O problema de fluxo m ximo surge em aplica es e tamb m como elemento chave de algoritmos para resolu o de problemas mais complexos Por exemplo podemos encontrar um fluxo fact vel para o problema de fluxo de custo m nimo a ser estudado na pr xima se o caso exista resolvendo um problema de fluxo m ximo Outro exemplo o algoritmo primal dual para fluxo de custo m nimo que a cada itera o resolve um problema de fluxo m ximo 3 Uma propriedade do problema de fluxo m ximo o Teorema Fluxo M ximo Corte M nimo que diz que o valor do fluxo m ximo de um v rtice s para t exatamente igual a capacidade do corte s t m nimo Um corte S V S um corte s t s
204. damental Aqui apresentamos alguns passos metodol gicos para formula o de problemas que s o exemplificados A transcri o de um problema em uma formula o deve ser conduzida de uma forma sistem tica mantendo sempre claro a distin o entre os dados do problema e as vari veis de decis o Passos sugeridos i Defina quais vari veis s o necess rias ii Utilize as vari veis para definir restri es tal que os pontos fact veis correspondam s solu es vi veis da formula o iii Utilize as vari veis para definir a fun o objetivo Se as dificuldades persistirem defina conjuntos de vari veis adicionais alternativas repetindo os passos metodol gicos 10 4 1 Exemplo 1 Formulando o Problema de Aloca o No problema de aloca o h n pessoas para executar n tarefas sendo cada pessoa obrigatoriamente designada a precisamente a uma tarefa Alguns indiv duos s o menos eficientes em certas tarefas incorrendo um custo c se a pessoa i executar a tarefa 7 Portanto o problema encontrar a aloca o pessoa tarefa de menor custo agregado Definindo as Vari veis RR 1 sea pessoa 1 alocada tarefa j z O caso contr rio 10 Fundamentos de Programa o Inteira 159 Definindo as Restri es a Cada pessoa 7 executa uma tarefa asi VE ao j 1 b Cada tarefa j executada por uma pessoa So j l n i 1 c As vari veis s o 0 1 zij E 0 1 a a tb ud a o Definindo a Fun o Objetivo Min
205. das restri es que s o satisfeitas com igualdade ou seja Als i EUT al x b 18 21 Desenvolvendo as condi es KKT para 18 20 obtemos Gr d X Na 0 18 22 1 A ax aja b i A x 18 23 an gt b 1ET Ala 18 24 M gt 0 i INA s 18 25 Note que se conhec ssemos o conjunto de restri es ativas para o ponto x A x ent o a solu o de 18 1 se reduziria a encontrar uma solu o do sistema KKT dado por 18 22 18 25 que por sua vez consiste em se resolver um sistema de equa es lineares Este o princ pio utilizado pelos m todos de conjunto ativo 18 4 O M todo de Conjunto Ativo para Problemas Quadr ticos Convexos Se conh cessemos A x a priori para o ponto timo x poder amos resolver 18 1 por meio dos m todos desenvolvidos para Pg contendo apenas restri es de igualdade conforme formula o 18 10 J encontramos um m todo de conjunto ativo o Simplex Simplex inicia com um chute para o conjunto ativo vari veis b sicas e se o chute incorreto ent o o Simplex iterativamente faz uso de multiplicadores de Lagrange e gradientes de forma a remover um elemento de A x e introduzir um novo elemento O m todo de conjunto ativo para PQ Programa o Quadr tica difere do Simplex no sentido de que o primeiro n o necessariamente vai de um v rtice da regi o fact vel para outro Alguns iterandos podem se encontrar em outros pontos da fronteira e at mesmo
206. data n o satisfaz a restri o de elimina o de sub rota para S Portanto o problema em quest o se reduz a encontrar um corte m nimo em G conforme defini o acima Isto pode ser realizado da seguinte forma Fixe um v rtice qualquer s V O corte m nimo deve ter s E S e um v rtice t V S Como n o conhecemos o v rtice t resolvemos V 1 problemas de fluxo m ximo entre s e t um para cada t V s obtendo o corte m nimo S 5 O corte m nimo o menor dentre A Exercicios Resolvidos 311 G V A G V A p2 1 1 ps 2 Figura A 3 Ilustra o da redu o do problema de caminhos m nimos com ped gio ao problema de fluxo de custo m nimo atrav s da opera o de quebra de v rtices todos estes cortes Logo o problema pode ser resolvido computando V 1 fluxos m ximos em G Isto decorre do teorema fluxo m ximo corte m nimo EX 8 11 O dual do problema de fluxo m ximo pode ser expresso como D Minimize Dj CE Uij Wij Sujeito a Yi Yj Wij gt 0 V i j EA Ys T Yt gt 1 312 A Exercicios Resolvidos A 9 Linguagens de Modelagem EX 9 1 O problema pode ser colocado em programa o matem tica n Minimize A SjWj J Sujeito a RD M 1 ae v eee tf j 1 mj Zi Zij j l TEES 7 j 1 1 n s gt 0 j l n Zi E 0 1 1i 1 n j i 1 n M pj j 1 A solu o tima sequencia as tarefas na ordem 85 4595155510
207. de Lagrange associados com 19 31 convergem para os multiplicadores timos Portanto tomamos os estimadores de dados em 19 33 como os multiplicadores do subpro blema 19 31 na itera o anterior Com o intuito de se obter converg ncia a partir de pontos iniciais remotos os m todos PLS mais populares utilizam o Lagrangeano aumentado com Fj File fla MAO gt DAP 19 34 icE 1 276 19 Programa o N o Linear sob Restri es Algoritmos onde u um par metro positivo de penalidade M todos PLS s o utilizados em problemas de larga escala sendo o modelo 19 34 incorporado na fun o objetivo em implementa es bem sucedidas como MINOS Uma vez que as computa es a cada passo exigem a minimiza o do subproblema n o linear 19 31 v rias itera es se fazem necess rias e portanto v rias avalia es de fun es e restri es para gerar um novo iterando Mesmo assim o n mero de itera es menor do que em outros m todos O ponto fraco dos m todos PLS a exig ncia de resolver os subproblemas com grande exatid o para garantir que os multiplicadores de Lagrange sejam de boa qua lidade Apesar da programa o quadr tica sequencial ser considerada superior algo ritmos cl ssicos como Minos que implementam o m todo PLS est o entre os melhores algoritmos 19 5 Programa o Quadr tica Sequencial Um dos m todos mais eficientes para resolver problemas de optimiza o n
208. de maneira a eliminarmos as vari veis de folga s 1 Z Por raz es de simplicidade vamos assumir que n o h restri es de igualdade A introdu o das vari veis de folga produz o seguinte problema Minimize f x T S 19 23 Sujeitoa clx s 0 s gt 20 1 T Ao estabelecermos a fun o Lagrangeana aumentada em termos das restri es c x s 0 e aplicando as restri es s gt 0 explicitamente obtemos o seguinte subproblema a ser resolvido na itera o k do algoritmo apresentado na se o 19 3 1 Minimize 4 z u f x X Ailci m si F 2 a z si T 8 e 19 24 Sujeito a s gt 0 para todo i T 274 19 Programa o N o Linear sob Restri es Algoritmos Note que cada s ocorre em dois termos de 19 24 que de fato uma fun o con vexa com respeito s vari veis de folga Podemos portanto executar uma minimiza o expl cita em 19 24 com respeito a cada s A derivada parcial da fun o objetivo de 19 24 com respeito a s XE L s 19 25 Hk O minimizador irrestrito de 19 24 com respeito a s ocorre quando as derivadas par ciais s o nulas ou seja si clx u 19 26 Se o minimizador irrestrito menor do que 0 ent o porque 19 24 convexa o valor timo de s O Resumindo obtemos os valores timos para s s max c x pA 0 para todo i T 19 27 Podemos utilizar a f rmula 19 27 para eliminarmos
209. de maximizar o retorno e simultaneamente mini mizar os riscos incorridos nos investimentos As restri es garantem que o vetor 7 R induz um portof lio 18 2 Propriedades de Problemas Quadr ticos com Apenas Restri es de Igualdade Considere o problema abaixo P Minimize q x 527Gr da Sujeito a 18 10 Az b onde x R A R b R d R eG R tal que G GT Assumimos que A tem posto completo ou seja rank A m Aplicando as condi es de otimalidade de primeira ordem KKT Conditions deduzimos que um par solu o multiplicador Lagrange x A deve satisfazer as restri es abaixo Ge d NAT 0 Az b 0 18 11 Reescrevendo 18 11 em termos da solu o tima x e do vetor com os multiplica dores de Lagrange A temos 254 18 Programa o Quadr tica Gr AF g d ao lelei ie Podemos novamente reescrever 18 12 em uma outra forma que facilita a computa o Fazendo x x p onde x uma estimativa da solu o tima obtemos a o le ts onde c Axr b g d Gr e 18 14 DP Fak Lema 18 1 Seja A uma matrizm x n m lt n tal que rank A m Seja Z uma matriz que define uma base para Null A ou seja Null A Zu u E R Sea matriz Hessiana reduzida ZTGZ positiva definida ent o a matriz KKT K T 18 15 n o singular e portanto o par x satisfazendo 18 12 nico W
210. de residual G x o ciclo w 3 2 2 1 1 3 com custo c w 1 e capacidade m xima 6 w 1 e o fluxo al 132 Terceira itera o do algoritmo de cancelamento de circuito negativo Na figura dada a rede residual G x e o respectivo fluxo x Tamb m indicado o circuito w 2 3 3 4 4 2 com custo c w 3 e capacidade d ep Da E Gane ae ey SIA e at aoe eo dg See ES 132 Fluxo timo 2 e rede residual G 2 N o h ciclo de custo negativo 133 8 18 8 19 9 1 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 11 1 11 2 11 3 11 4 11 5 11 6 11 7 11 8 11 9 12 1 12 2 14 1 14 2 14 3 15 1 15 2 15 3 16 1 16 2 16 3 16 4 16 5 16 6 16 7 Propriedade de unimodularidade das matrizes de incid ncia de grafos Um arco sem n de origem indica fluxo injetado no n destino enquanto que um arco sem n de destino indica fluxo consumido pelo n origem 133 Grafo G V A com a especifica o do problema de fluxo em rede 134 Rede exemplo do problema de aloca o de rotas 150 Ilustra o da solu o obtida atrav s de arredondamento 158 Ilustra o da restri o de conectividade 000 162 Fun o com custo fixo sd A de Medo Ro acto do dt nd CA e a Ni O pi e 163 Regi o fact vel n o convexa Seis amp 425 wie EO APRE E ADA 165 Formula es equivalentes alternativas aoa o 00 0000 167 Formula es alternativas sf Sec
211. dele o de um caracter f e substitui o do caracter x pelo caracter j 14 4 1 Projeto de um Algoritmo DP Que informa o seria necess ria para tomarmos a decis o final Isto o que deve acontecer na ltima posi o de T Possibilidades 14 Programa o Din mica Dominio Discreto 209 a o ltimo caracter pode ser emparelhado com o ltimo caracter de P se eles s o id nticos b de outra forma o ltimo caracter pode ser substitu do c as outras opera es s o de dele o e inser o Seja D i j a dist ncia isto o menor n mero de opera es para emparelhamento entre lt Pj Py P gt e lt T To T gt Ent o D i 7 o m nimo das tr s poss veis formas de estender as sub cadeias 1 Se P T ent o Dfi j Dli 1 7 1 emparelhamento Caso contr rio Dii j Dili 1 j 1 1 substitui o 2 Dfi j D i 1 9 1 o que significa que h um caracter adicional na cadeia de busca P portanto pagamos o custo de uma inser o e n o avan amos o ponteiro do texto T 3 Dfi j lt Dfi j 1 1 o que significa que h um caracter extra na cadeia 7 portanto pagamos o custo de uma dele o em T e n o avan amos o ponteiro de P Entretanto ainda falta especificar as condi es iniciais A inicializa o correta dos valores cr tica para que o algoritmo retorne o resultado correto Por exemplo o valor D 0 j corresponde a emp
212. dere o problema de otimiza o irrestrita onde 5 um par metro Minimize f x y z y Bry x 2y z Y Quais pontos s o estacion rios Quais desses pontos definem m nimos locais Quais desses pontos s o m nimos globais EX 3 7 9 Para cada uma das fun es abaixo encontre os pontos estacion rios Quais desses pontos s o m nimos ou m ximos locais Quais desses pontos s o m nimos ou m ximos globais 1 f x y 1 42 y 2 f x y y 0 2 3 f x y 54 z cos y EX 3 8 9 Desejamos encontrar o ponto x em um plano cuja soma das dist ncias ponderadas a partir de um conjunto de pontos y1 Ym Seja minimizada Ma tematicamente o problema m Minimize gt wp a yell xz eR 3 M todo de Newton Solu o de Equa es N o Lineares e Minimiza o de Fun es 45 onde w1 Wm S o escalares positivos Mostre que existe um timo global para o problema e que este pode ser realizado atrav s do modelo mec nico dado na Fig 3 3 Esta solu o tima global nica Y4 be Y Y3 Figura 3 3 Modelo mec nico O modelo consiste de um tabuleiro com um furo perfu rado a cada ponto y Atrav s da cada buraco um fio passado com o correspondente peso w preso a sua ponta Os outros extremos dos fios s o amarrados com um n Na aus ncia de fric o e fios entrela ados as for as atingem um equil brio no ponto do n quando este est locali
213. dicion rio Ds w1 271 t 6 W 3 1 302 A Exercicios Resolvidos EX 6 5 Seja x a vari vel que saiu da base e x a vari vel que entrou na base Denote por B o conjunto dos ndices das vari veis b sicas e N o conjunto dos ndices das vari veis n o b sicas Ent o a seguinte equa o pertencia ao dicion rio Ti bi X ij bi X ij j Qiktk jEN jEN k Portanto Tk bi ik Cid Di Qi JEN k onde b gt 0 e a gt 0 Sabemos tamb m que o custo reduzido de x cy gt 0 Caso contr rio x n o entraria na base No dicion rio resultante a vari vel x ter custo reduzido dado por Ci cz Gik lt 0 implicando que x nao uma vari vel candidata para entrar na base na pr xima itera o EX 6 6 O problem pode ser colocado na forma P Maximize cr Sujeito a Ar lt b Ar lt a la lt u Ix lt l xr gt 0 Assumindo que A R e utilizando multiplicadores duais w1 w3 R e v1 V2 E R obtemos o problema dual D Minimize wlb wra vTu vll Sujeito a wiA weA viI vsl gt ct W1 W2 V1 V2 gt 0 que pode ser expresso como D Minimize bw aw utu Tv Sujeito a Alyy ATw v E v gt c W1 W2 V1 V2 0 EX 6 7 Resolvendo o dual D Minimize 2y y2 Sujeito a y 2y gt 2 y Ue Z 8 y y 2 0 y gt 0 y gt 0 A Exercicios Resolvidos 303 obtemos a solu o y 3 e y2 3 Apl
214. din mica n 36 35 34 33 32 31 30 29 28 21 J 0 0 0 0 0 0 0 5932 0 0 6013 0 J 0 2314 0 3618 0 6013 0 9786 0 8832 0 1613 0 1397 0 6041 0 8976 0 2457 Jn 0 2314 0 3618 0 6013 0 9786 0 8832 0 1613 0 5932 0 6041 0 8976 0 2457 n 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 J 0 0 0 9786 0 1 0445 0 0 0 5932 1 5017 0 J 0 8194 0 8571 0 8624 0 3838 0 1118 0 7379 0 1851 1 1659 0 9255 0 9016 Jn 0 8194 0 8571 0 9786 0 3838 1 0445 0 7379 0 1851 1 1659 1 5017 0 9016 n 16 15 14 13 12 11 10 9 8 T J9 1 0651 0 0 8571 0 9786 0 1 4283 0 7379 2 8527 0 9016 2 0151 J 0 2405 0 0929 0 2781 1 3284 0 9056 2 0386 0 2468 2 4287 0 0096 2 2616 Jn 1 0651 0 0929 0 8571 1 3284 0 9056 2 0386 0 7379 2 8527 0 9016 2 2616 n 6 5 4 3 2 1 J 2 2340 2 7765 3 7543 2 2616 5 0105 11 9527 J 1 4419 1 9883 4 5095 2 1511 5 1816 11 9979 Jn 2 2340 2 7765 4 5095 2 2616 5 1816 11 9979 Note que uma ordem topol gica pode ser obtida em tempo O N M O N onde N V e M E O la o de inicializa o executado em tempo O N O la o de recorr ncia percorre cada v rtice precisamente uma vez Para cada v rtice n s o executadas O n 1 opera es sendo n A Portanto o custo computacional do la o da ordem de O S ey 4 m O N O N Conclu mos que o a
215. do na sua vers o de decis o ser NP Completo Portanto o problema da bi parti o m xima NP Dificil EX 4 3 O problema de corte m nimo entre dois v rticies s e t pode ser resolvido com um algoritmo de fluxo m ximo O fluxo m ximo que pode ser enviado de s para t precisamente a capacidade do corte m nimo S V S entre set se S et V S Uma vez que o corte m nimo em G tem s S e outro v rtice t V S t s podemos calcular o corte m nimo resolvendo V 1 problemas de fluxo m ximo para cada t V s calcule o corte m nimo C St V Si entre s et seja t Argmin w C t V sk O corte m nimo em G C Cp Uma vez que o problema de fluxo maximo pode ser resolvido em tempo polino mial conclu mos que o problema da bi parti o minima pode ser resolvido em tempo polinomial Logo este problema pertence a classe P EX 4 4 Qualquer algoritmo para os problemas da bi parti o m xima e m nima pode ser empregado para resolver o respectivo problema quando os pesos s o vari veis aleat rias Basta observar que Elw S V S EL X wauw X Elw u v u v E S V S u v E S V S Ou seja simplesmente substitu mos w u v por E u v A Exercicios Resolvidos 299 A 5 Treinamento de Redes Neurais EX 5 1 Desejamos implementar as opera es l gica AND NAND OR e NOR para entradas l gicas x e z2 Para tanto basta definir os pesos wo w w gt como s
216. do em termos de i a solu o do problema quadr tico 19 43 ou ii o iterando gerado pelo m todo de Newton 19 41 19 42 Essas interpreta es alternativas s o muito teis A interpreta o em termos do m todo de Newton facilita a an lise enquanto que a estrutura do SQP nos permite derivar algoritmos pr ticos no mbito de restri es de igualdade Na sua forma mais simples o m todo SQP pode ser especificado como segue 19 Programa o N o Linear sob Restri es Algoritmos 279 ALGORITMO 19 5 2 Algoritmo SQP local Escolha um ponto inicial 29 Xo Par k 0 1 2 fa a Calcule Fis V fk Wk W k k Ck eA Resolve o problema 19 43 obtendo Peq Dias Tk Pk Ager 4 Hk Se o criterio de converg ncia e satisfeito Pare e retorne a solu o aproximada k 1 Ak 1 Fim se Fim para f cil de se estabelecer um resultado de converg ncia local para este algoritmo uma vez que sabemos que este equivalente ao m todo de Newton aplicado ao problema F x A 0 Mais especificamente se as condi es 19 5 1 s o satisfeitas pela solu o x de 19 35 se fe c s o duas vezes diferenci veis satisfazendo a condi o Lipschitz e se o ponto zo Ag suficientemente pr ximo de 2 A ent o os iterandos gerados pelo algoritmo acima convergem quadraticamente para 2 A 19 5 3 Restri es de desigualdade O algoritmo SQP geral pode ser facilmente estendido para o caso geral de pro grama
217. dos em vez de norma 1 resultar na mesma solu o a solu o por m nimos quadrados consiste na minimiza o da fun o fly No Ym Ye EX 1 5 Seja z 1 se a posi o i j do tabuleiro ocupada por uma rainha e caso contr rio x 0 Seja n 8 o numero de colunas e tamb m de linhas do tabuleiro O problema pode ent o ser colocado em programa o linear inteira Maximize 5 5 ty i 1j 1 Subjeito a Tij lt 1 9 e Esso i l Y see CSW eth j l n k trad k 0 n 2 X te lt 1 k 1 n 2 Cin iy lt l 0 2 0 2 SS tea lt 1 k 1 n 2 i l zij 0 1 eel EEN A j 1 n EX 1 6 Sendo z x y o vetor de decis o o problema encontrar z tal que d dy lz z lz za Equivalentemente podemos expressar o problema como I x y 21 91 di I y zaya dy 290 A Exercicios Resolvidos A 2 Minimizacao de Fun es com o M todo de Des censo EX 2 1 Pode se verificar que Es 400 z2 E x a4 2 224 Yi 200 a2 2 o 400277 400x129 2 274 a 20022 200x e que oe 12002 400r2 2 40021 Ve 4002 200 Observando que f x gt 0 para qualquer x o menor valor que esta pode assumir f a 0 Uma vez que x 1 1 tal que f x 0 conclu mos que x um timo global Note que para x 1 ou ry x tem se f x gt 0 portanto x nico Pode se calcular o gradiente e a Hessiana
218. e pode executar apenas uma tarefa de cada vez Cada tarefa j leva p horas para ser finalizada Dados os pesos das tarefas w 1 n em que ordem as tarefas devem ser executadas de maneira a se minimizar a soma ponderada do in cio das tarefas 154 9 Linguagens de Modelagem 1 Formule o problema de sequenciar as tarefas como um problema de pro grama o matem tica inteira mista Sugest o use vari veis x 1 se a tarefa precede j e 0 caso contr rio e s como o in cio da tarefa j 2 Implemente o modelo desenvolvido em AMPL e ou Xpress MP Encontre a solu o tima para a inst ncia dada na Tabela 9 2 Tabela 9 2 Sequenciamento de tarefas Tarefa j Peso w Tempo p 1 0 5 1 5 2 0 4 2 3 3 0 1 1 2 4 0 5 1 0 5 0 3 1 5 6 0 5 3 6 7 0 2 4 1 8 0 8 0 8 9 1 0 2 0 10 0 6 3 0 EX 9 2 Codifique em AMPL os exerc cios EX 1 1 EX 1 3 EX 1 4 EX 1 5 e EX 1 6 Encontre as solu es executando os respectivos modelos no servidor NEOS http www neos mcs anl gov neos server solvers html Capitulo 10 Fundamentos de Programacao Inteira Este cap tulo inicia o estudo da programa o inteira Ap s apresentarmos alguns problemas motivadores descrevemos formalmente alguns casos particulares de proble mas de programa o inteira e apresentamos um roteiro para modelagem de problemas Ao final introduzimos conceitos fundamentais para formula o eficaz de problemas em particular formas de compara o e
219. e Mosel Considere o problema de programa o linear abaixo Maximize a 2b Sujeito a 3a 2b lt 400 a 3b lt 200 a b gt 0 Abaixo segue a especifica o do problema acima na linguagem Mosel 9 Linguagens de Modelagem 137 model Simple uses mmxprs declarations a mpvar b mpvar end declarations primeira 3 a 2 b lt 400 segunda a 3 b lt 200 lucro a 2 b maximize lucro writeln O lucro getobjval end model O modelo acima quase auto explicativo A diretiva uses utilizada para declarar a biblioteca de otimiza o a ser utilizada Na se o declarations s o declaradas as vari veis do modelo As restri es denominadas primeira e segunda s o descritas na sequ ncia sendo ambas as desigualdades do tipo lt A fun o objetivo denominada lucro e utilizada pelo comando maximize que executar o algoritmo de otimiza o adequado para o problema buscando uma solu o que respeite as restri es e maximize o lucro No momento em que a solu o tima for encontrada o valor da fun o objetivo tima impresso na sa da padr o atrav s da diretiva writeln A solu o de um problema em Mosel um processo de 3 est gios consistindo em i compilar o programa modelo ii carregar o programa compilado e iii resolver o programa Os comandos que realizam estas tr s etapas s o compile load e run respectivamente Abaixo ilustramos a execu
220. e Mosel e invocamos optimizer como um m dulo da biblioteca Optimizer pode tamb m ser executado isoladamente Ele aceita problemas armazenados em arquivos tipo matriz em formato MPS ou LP Com um arquivo pb mat v lido tudo que precisa ser feito carregar a matriz completamente no optimizer e maximizar minimizar a fun o objetivo Abaixo segue a seqti ncia de comandos que carregam e resolvem um problema armazenado em um arquivo tipo MPS C gt optimizer Xpress MP Integer Barrier Optimizer Release xx yy Copyright Dash Associates 1998 2002 Enter problem name gt simple gt readprob gt maxim gt writeprtsol ou prtsol gt quit 9 1 5 Construindo um Primeiro Modelo Trataremos aqui de flexibilidades da modelagem com Mosel bem como a separa o da estrutura do modelo e dos dados que juntos formam uma inst ncia do problema Utilizaremos o problema da mochila para ilustrar tal flexibilidade n Maximize Sic i l Sujeito a n X aixi lt b i l Ti E 0 1 khas 9 Linguagens de Modelagem 139 Tabela 9 1 Dados do problema da mochila Objeto Peso Valor Camera Colar Vaso Quadro TV Video Bau Tijolo 2 20 20 30 40 30 60 10 15 100 90 60 40 15 15 1 Considere a inst ncia do problema da mochila obtida com os dados da Tabela 9 1 A especifica o Mosel do problema da mochila para os dados acima pode ser reali zada como segue model mochila uses mmxprs
221. e cap tulo se concentra nas propriedades gerais dos problemas de otimiza o n o linear sem restri es e no algoritmo de descenso S o introduzidos conceitos de timo local e timo global bem como condi es necess rias e condi es suficientes para que uma solu o candidata seja um timo local O algoritmo de descenso e as condi es para converg ncia global a partir de um ponto qualquer para um timo local s o apresentados na sequ ncia Por fim analisa se a taxa de converg ncia do algoritmo de descenso 2 1 Problemas de Interesse Consideraremos primeiramente o problema de minimiza o irrestrita P Minimize f x q ER onde f R gt R Tamb m investigaremos a solu o de equa es n o lineares mas com maior nfase no pr ximo cap tulo Este problema pode ser formulado em programa o matem tica como P Encontre x R tal que c x 0 onde c R gt R Vamos estudar conceitos b sicos em otimiza o apresentando os algoritmos de descenso e de Newton Os dois algoritmos podem em princ pio ser utilizados para resolver P e P todavia apresentam propriedades distintas Assumiremos que as fun es f e c s o cont nuas diferenci veis e algumas vezes duas vezes diferenci veis Aqui nos concentramos no algoritmo de descenso para solu o de P 18 2 Minimiza o de Fun es com o M todo de Descenso 2 2 Fundamentos de Otimiza o Irrestrita 2
222. ede aumentada produz uma solu o tima para o problema de fluxo em rede de custo m nimo na rede original 2 mostre como o problema de custo m nimo fluxo m ximo pode ser resolvido por meio de uma redu o ao problema de custo m nimo Modifique a rede introduzindo um arco t s sendo ws 00 Gs J ajea lei k para k gt 0 Fa a b i 0 para todo i N O fluxo de custo m nimo na rede aumentada produz um fluxo m ximo de custo m nimo na rede original EX 8 9 Primeiramente obtemos a rede G V A a partir da opera o de quebra de v rtices do grafo G V i t 1E Vb eA 2 7 2 E VUL j 1 9 E A Defina os seguintes custos e capacidades cy c j para todo i j A Cit pi para todo i V e u 1 para todo i j A Defina ainda b 0 para todo i V exceto b 1 e by 1 Ent o o caminho com menor custo de translado e ped gio pode ser encontrado com o algoritmo de fluxo em redes de custo m nimo Como exemplo considere o problema de identificar um caminho de menor custo de s 1 para t 4 conforme grafo da Figura A 3 EX 8 10 Come amos gerando o grafo direcionado G V 4 tal que a a capacidade de cada arco i j E A uj zij onde x o valor gerado pela solu o candidata x b Li 0 para todo i j A Desejamos encontrar um corte S S com capacidade u S S m nima em G Se US S J iapeanesjev s Uij lt 1 ent o a solu o candi
223. efinida bm um vetor e cm um escalar Quebrando Am em sub matrizes e b em sub vetores Pm pode ser colocado na forma M M M Pa Minimize 5 S sT Amijt gt gt DE iti Cm i l j l 1 1 Tm onde Amat Ami sae Am 1 M Dai Amas Am22 sae Am 2 M bm 2 Am f i e bm Am M1 Am M 2 ane de Am M M bm M Note que o conjunto reativo do agente m Rm obtido nulificando o gradiente de fm com respeito a zm Ou seja Rin Ym Lm Vamsm Ym 0 Al m disso o processo iterativo Gm surge da sele o de um elemento de Rm Logo tm k 1 Gmlym k onde Gm uma fun o tal que Gin Ym E Rm Ym De acordo com a nota o estabelecida o processo iterativo do agente m em jogos quadr ticos assume a forma tm k 1 Gin Ym k 7 15 Ammm DD Ammn amp n k bmml 7 16 n m 7 Teoria dos Jogos 103 T o vetor com as decis es dos agentes ad onde Ym 1 Lm 1 Da TM vers rios ao agente m Agregando os processos iterativos 7 16 de todos os agentes podemos expressar o processo iterativo global G como sendo a solu o do sistema de equa es lineares abaixo Az k 1 Bzr k b 7 17 onde A B e b s o matrizes e vetores definidos como Aii 0 PREN 0 bii aa O Aree 00 00 r ba 0 0 die 0 AmMM bum 0 Ano Ai wee Aim B Ao j Ao 23 no Ana 0 Am m Amme2 AMM M 1 0 A solu o de 7 17 leva a um processo iterativo a k 1 G x k A Ba k 7 18 Com rela o converg ncia da
224. egi o Fact vel Q 1 a 1 Ti 1 Figura 16 1 Fronteiras n o suaves A regi o fact vel Q pode ser descrita por uma nica restri o n o suave l ll z1 v2 lt 1 16 7 Q tamb m pode ser descrita pelas seguintes restri es suaves L T T2 lt 1 L T2 lt 1 z lt 1 z 1x9 lt 1 16 8 Problemas sem restri es e n o suaves podem s vezes ser reformulados como pro blemas suaves com restri es Considere o problema abaixo P f x Maz x x 16 9 Podemos obter uma formula o suave para P3 por meio da adi o da vari vel t P Minimize t Sujeito a 16 10 16 2 Exemplos Para qualquer ponto fact vel x a desigualdade i T dita ativa se ci x 0 e inativa se c x gt 0 232 16 Programa o N o Linear Restrita Fundamentos e Condi es de Otimalidade 16 2 1 Uma Restri o de Igualdade Considere o problema abaixo Py Minimize z 2 Sujeito a 16 11 r 2 2 0 ci x 0 O espa o de solu es facti veis o c rculo de raio V2 com o centro na origem conforme a Figura 16 2 T2 z Vc a Figura 16 2 Espa o de solu es A solu o tima obviamente x 1 1 A partir de qualquer outro ponto do c rculo podemos mover a solu o dentro do conjunto de solu es fact veis e ao mesmo tempo reduzir o valor da fun o objetivo N o dif cil de se verificar que no ponto ar para
225. egue AND wo 1 5 w 1 e w 1 A sa da do perceptron ser 1 somente se wie 1 5 1 22 gt 0 gt 21 2 l caso contr rio a sa da ser 1 NAND wo 1 5 w 1 e w 1 A sa da do perceptron ser 1 somente se wa 1 5 z1 22 gt 0 gt 2122 0 caso contr rio a sa da ser 1 OR wo 0 wi 1 e w 1 NOR wo 0 5 wy le w 1 EX 5 2 Seja T o n mero de exemplos de treinamento O problema de treinar a rede neural pode ser colocado em programa o matem tica como segue T 4 P Minimize 355 yi dio t 1 k 1 Sujeito a oa k l ai AR E G nett y i Um O k 5 6 Db emery neti W540 W6n05 k 7 10 cal PTD o o nett k 5 10 tE been Para qualquer exemplo de treinamento t 1 T temos que nett Yo Wm kth k 5 6 o o net k 5 6 00 mar Wm kim o aie k Trot LO o wWspob W646 o ws ro Som Wm 52m W640 Somat Wael Logo P pode ser colocado como um problema de otimiza o irrestrita 4 4 4 2 Min JODS fake 100 amaro une ns t 1 k 1 m 1 m 1 cujas vari veis s o representadas pelo vetor w wk 5 Wke k 1 4 U W5 k W6 k E ee 10 e R 300 A Exercicios Resolvidos A 6 Programa o Linear EX 6 1 Uma vez que b lt 0 vamos tomar o problema auxiliar para encontrar uma solu o fact vel Maximize 2o Sujeito a T3 to lt 2 2x 2 23 to lt 1 To
226. eis b R A dificuldade combinat ria de programa o linear est em encontrar m colunas dentre n gt m colunas que induzem a solu o b sica tima o n mero de poss veis combina es de colunas n m n m Seja N a submatriz m x n m de A correspondente s colunas n o b sicas Ent o podemos escrever Ax b como Bag Nay b onde xp o vetor com as vari veis 6 Programa o Linear 91 b sicas e xy O vetor com as vari veis n o b sicas O problema 6 23 pode ent o ser expresso como Maximize chan chIN Sujeito a 6 24 Brp Ney xz ea 0 T2 T Figura 6 3 M todo simplex como um processo iterativo 6 5 1 Dicion rio em Forma Matricial O dicion rio tem a propriedade de que as vari veis b sicas podem ser escritas como uma fun o das vari veis n o b sicas Portanto Bzg Nay b gt tg Bb B Nay 6 25 Substituindo 6 25 na equa o da fun o objetivo deduzimos que chap chay ch B 1b B 1Nay chan 6 26 cpB 1b ch cZB N en Se combinarmos 6 25 e 6 26 obtemos o dicion rio o cEB b ch cBB IN an TB Btb BNean 92 6 Programa o Linear 6 6 Refer ncias O material apresentado neste cap tulo foi compilado a partir dos textos de Chva tal 11 e Vanderbei 42 que s o excelentes refer ncias sobre programa o linear A segunda refer ncia mais moderna apresentando aplica es diversas
227. eja f x lt f xk m 2 Minimiza o de Fun es com o M todo de Descenso 21 2 3 1 O Algoritmo de Descenso em Detalhes O algoritmo de descenso consiste em escolher uma dire o pz a cada itera o k e fazer uma busca ao longo desta dire o a partir do iterando zg Em outras palavras o algoritmo resolve o seguinte problema de uma dimens o Minimize ax f x axpk as O 2 1 onde a o passo a ser dado na dire o py de forma que o pr ximo iterando passa a Ser Lei Tk Ape A solu o exata de 2 1 induziria o benef cio m ximo da dire o py todavia a mi nimiza o exata cara computacionalmente e n o necess ria Em vez disso o m todo de descenso gera um n mero limitado de passos at encontrar um passo a que apro xima o m nimo de 2 1 Um novo ponto gerado k 1 Tk axpk uma nova dire o Pk 1 encontrada e o processo se repete 2 3 2 Dire o de Busca A dire o de maior descenso V f x a op o bvia para a busca direcional A dire o de maior descenso produz a maior taxa de redu o no valor de f dentre todas as poss veis dire es O m todo de maior descenso steepest descent executa uma busca ao longo da dire o pp V f xp a cada itera o O passo ay pode ser escolhido de v rias formas Uma vantagem do m todo de descenso que ele requer apenas o gradiente V f x n o necessitando da Hessiana Todavia ele pode se tornar excessivamente le
228. elaxa o R P211 obtemos a solu o x 2 145 2 0 13 2 y 3 2009 e yo 0 com valor objetivo 657 Geramos assim um novo limite superior para os n s P e P2 Uma vez que a solu o obtida fracion ria novos subproblemas ser o gerados Branching Quebrando o problema P em dois subproblemas obtemos P3111 Par a x lt 2 e Pong Poa O x x gt 3 Isto resulta na rvore branch and bound da Figura A 9 Bounding Resolvendo a relaxa o R P obtemos a solu o z 1 2 0 2768 3 4 y 5 1513 e yo 1 0507 com valor objetivo 991 Logo o limite superior do n P reduzido para 991 e de P para max 991 657 991 Branching Executando a quebra de Pi obtemos Pju P O 2 lt 0 e Piiz Pa N z 2 gt 1 A Figura ilustra a rvore branch and bound resultante A Exercicios Resolvidos 323 1165 infactivel infactivel Figura A 9 rvore branch and bound parcial 324 A Exercicios Resolvidos A 10 991 infactivel Figura A 10 Arvore branch and bound parcial Bounding Resolvendo a relaxa o R P11 obtemos uma solu o inteira x 1 tq 0 x3 4 y 5 0702 e yo 1 693 com valor objetivo 982 Portanto os n s P14 e P2112 s o cortados por limite superior 657 inferior ao limite inferior 982 restando apenas o n Pra A rvore branch and bound corrente dada na Figura All Bounding O nico subproblema restante Pj5 Re
229. ema do caixeiro viajante 8 Fluxo em Redes 131 pode ser colocado em programa o matem tica como Pr Minimize 5 Cig Liz 4 j EE Sujeito a Tij 1 WeEV 9 4 j E UGEL 4 j E S V S Tij E 0 1 V i j EE S V S i j F ieS 7 V S o corte de G induzido por S Note que a formula o Pr tem um n mero exponencial de restri es de elimina o de subrotas assim n o pr tico explicitar as desigualdades de 8 13 Em vez disso m todos mais pr ticos ignoram a terceira fam lia de restri es de 8 13 transformam a quarta familia de retri es em O lt 2 lt 1 e adicionam restri es de elimina o de sub rotas sob demanda Denote este problema simplificado por Pe Seja RI uma solu o fact vel para P Desenvolva um algoritmo efici ente para encontrar um corte S V S tal que a solu o aproximada x n o satisfa a uma restri o de elimina o de sub rota O algoritmo deve tamb m indicar quando um corte n o existe EX 8 11 Obtenha o dual do problema de fluxo m ximo EX 8 12 Considere um problema cujas restri es s o dadas por A Ly lt 1 To gt 0 Lj gt Zj jg l n 1 Ceia pe 8 14 Lj Podemos afirmar que o sistema de equa es 8 14 forma uma matriz totalmente unimodular Justique sua resposta EX 8 13 Mostre que o sistema de equa es 8 15 induz uma matriz de restri es totalmente unimodular Ly 1 8 15 i 1 ALAR yi gt 0
230. emente pequeno A trajet ria c definida por Cp x u u 0 19 11 frequentemente referenciada como Caminho Central ou Caminho Central Primal 19 2 4 Manipulando Restri es de Igualdade At este momento assumimos que o problema apresenta apenas restri es de de sigualdade e que F n o vazio Aqui discutimos um procedimento que nos permite aplicar a t cnica de Barreira Logar tmica ao problema geral 19 1 N o podemos simplesmente reescrever c x 0 como duas desigualdades c x gt 0 e c x gt 0 j que isto tornaria F vazio Uma forma de tratar as restri es de igualdade incluir termos quadr ticos de penalidade para estas restri es na fun o objetivo Se assumimos por um momento que o coeficiente da penalidade quadr tica onde u o par metro barreira ent o a fun o barreira logarttmica penalidade quadr tica a ser minimizada para cada valor u B a 4 Fle uD log ala P o 19 12 1 T 1 Como esperado as propriedades desta fun o combinam as propriedades da fun o barreira logar tmica e da fun o penalidade quadr tica 19 Programa o N o Linear sob Restri es Algoritmos 271 O algoritmo geral apresentado na se o 19 2 2 pode ser estendido de forma que redu es sucessivas de u e minimiza es aproximadas de B x u nos levam a uma solu o para 19 1 19 3 M todo Lagrangeano Aumentado Este m todo tende a produzir sub problemas menos
231. enharia ci ncia da computa o economia e matem tica s o in meras Alguns pesquisadores consideram que os algoritmos de programa o linear s o os mais empre gados na ci ncia da computa o Existem algoritmos que s o vers es especializadas do algoritmo Simplex como por exemplo o algoritmo Simplex para problemas de fluxo em redes Em 1979 Khachiyan prop s o primeiro algoritmo de tempo polinomial para programa o linear Este algoritmo conhecido por elips ide n o teve sucesso pr tico em virtude do tamanho das matrizes geradas pela necessidade de precis o num rica acentuada e em decorr ncia de instabilidade num rica O algoritmo elips ide tem con sequ ncias relevantes na programa o inteira e na solu o de problemas lineares com um n mero exponencial de restri es Mais recentemente em 1984 Karmakar 30 desenvolveu um algoritmo de ponto interior com tempo polinomial e potencial para resolver inst ncia pr ticas Surge ent o uma rea intensa de pesquisa que se alastra at os dias atuais algoritmos de ponto interior para programa o linear programa o quadr tica e outros problemas Apesar do tempo polinomial dos algoritmos de ponto interior o algoritmo Simplex continua sendo muito empregado em parte porque ele ainda mais eficiente em uma gama consider vel de problemas e e tamb m em fun o de suas aplica es em programa o inteira Os assuntos tratados neste cap tulo s o uma compila o de t
232. ens de mo delagem que permitem especificar problemas de otimiza o em uma linguagem muito semelhante programa o matem tica Em particular desenvolveremos os conceitos b sicos das linguagens AMPL e Mosel Tais linguagens procuram separar o modelo dos dados dessa forma permitindo que um modelo possa ser utilizados na resolu o de di ferentes inst ncias de uma mesma classe de problemas Elas tamb m s o respons veis pela parte de pr processamento e interface com algoritmos de otimiza o tais como ILOG CPLEX MINOS e XPress MP 9 1 Linguagem Mosel A linguagem Mosel faz parte do pacote de software de otimiza o Xpress MP Xpress MP uma ferramenta de software para modelagem matem tica e solu o de problemas de otimiza o linear PL quadr tica PQ e linear inteira PI As ferra mentas do Xpress MP compreendem uma cole o de interfaces objetivando atender necessidades de usu rios diversos e permitindo a solu o de problemas bem como a in tegra o com outros produtos de software Os dois componentes b sicos do Xpress MP s o Xpress Mosel e Xpress Optimizer mas h outros componentes tamb m relevantes destacando se Xpress IVE Console Xpress e Xpress MP Libraries 1 Xpress Mosel um ambiente para modelagem e solu o de problemas tomando como entrada um modelo que descreve um problema em programa o matem tica PL PQ PI escrito na linguagem de modelagem Mosel Mosel permite separar modelo dos par
233. er configurado com um desses poss veis n veis de largura de banda necess rios aloca o dos fluxos de dados Estes n veis podem variar de um valor igual a zero at um valor m ximo desejado A discretiza o das larguras de banda a serem configuradas nos LSPs permite a formula o do problema em programa o linear inteira o que significa um tratamento computacional menos complexo do que num problema n o linear 44 A formula o do problema de ET proposto tem como objetivo definir as carac ter sticas topol gicas e l gicas da rede a fun o objetivo as vari veis de decis o e as fam lias de restri es As caracter sticas topol gicas s o modeladas por um grafo direcionado G V E onde V 1 n corresponde aos n s da rede e E 1 m aos enlaces de transmiss o A capacidade de transmiss o de um enlace i j Jui Kbps sendo o custo administrativo c correspondente ao atraso de transmiss o provocado pelo mesmo A fun o objetivo visa maximizar a vaz o global dos fluxos de dados injetados na rede As vari veis de decis o permitem a sele o do n vel de largura de banda a ser configurado em cada LSP al m da defini o do caminho entre a fonte e o destino do fluxo de dados correspondente As vari veis adotadas s o yt denominada seletor de n vel e Li que determina se o LSP k est ou n o roteado no enlace i j para o l simo n vel de transmiss o Qualquer caminho que atenda as restri es
234. ero de palitos na mesa na itera o k retorna o n mero de palitos a serem removidos 214 14 Programa o Din mica Dominio Discreto Capitulo 15 Programa o Din mica Dominio Cont nuo Este cap tulo se concentra na aplica o de programa o din mica onde as vari veis de decis o s o cont nuas sujeitas a um sistema de equa es din micas que descreve o comportamento de um sistema ao longo do tempo e tamb m suscept veis a per turba es estoc sticas Problemas de controle como o problema cl ssico de regula o e problemas de invent rio se enquandram dentro deste formalismo e podem ser resolvidos de forma tima por meio da programa o din mica As pr ximas se es exemplificam o uso da programa o din mica na solu o do problema de regula o Conceitos de contrabilidade e observabilidade s o tamb m apresentados 15 1 Introdu o Trataremos aqui de situa es onde as decis es s o tomadas em est gios O resultado de cada decis o n o pode ser completamente antecipado em virtude de perturba es estoc sticas ou eventos n o determin sticos mas pode ser predito com certo grau de acuracidade antes que uma decis o seja tomada O objetivo minimizar um certo custo uma express o matem tica do que considerado um resultado indesej vel Um aspecto crucial que decis es n o podem ser vistas isoladamente uma vez que se deve balancear o desejo de baixo custo imediato e a possibilidade de
235. es Se te S V sS Para um corte 8 8 denotamos por S S i 7 A i Sj S o conjunto de arestas diretas atrav s do corte enquanto que S S i j A i S j S denota o conjunto das arestas reversas A capacidade do corte S S definida como u S S apes ujj ou seja u S S corresponde capacidade total das arestas diretas que cruzam o corte Uma aplica o do Teorema Fluxo M ximo Corte Minimo est na computa o dis tribu da de m dulos de um algoritmo complexo em um computador paralelo dual com 8 Fluxo em Redes 111 dois processadores Seja um algoritmo constitu do de m dulos que podem ser executa dos concorrentemente Conhecemos de antem o o custo computacional de executarmos cada m dulo 7 no processador 1 denotado por a e o custo de ser executado no proces sador 2 denotado por Sabemos ainda o custo c de comunica o entre os m dulos i e j caso estes m dulos sejam alocados a processadores distintos sendo nulo o custo de comunica o caso eles sejam processados em um mesmo processador Desejamos alocar os m dulos aos processadores de forma que a soma do custo de processamento e de comunica o seja o menor poss vel Este problema pode ser modelado como um problema de corte m nimo em uma rede n o direcionada e por sua vez resolvido com um algoritmo para o problema de fluxo m ximo Defina um v rtice s representando o processador 1 um v rtice t representando o pr
236. es econ micos custos de mat ria prima e planejamento da produ o podendo este custo ser estimado por meio de simula o computacional e O valor da fun o objetivo de um problema de otimiza o onde f x co se x infact vel e O pr mio recebido em um certo jogo quando o participante segue a estrat gia induzida por zx O termo otimiza o n o diferenci vel tem suas ra zes no fato que para uma fun o f qualquer o gradiente pode n o estar definido portanto pode n o existir informa o 48 4 Otimiza o N o Diferenci vel local quanto dire o de descenso Duas t cnicas para otimiza o n o diferenci vel s o e Algoritmo Gen tico AG O AG tem suas ra zes na Teoria da Evolu o de Charles Darwin podendo este ser visto como um mecanismo de evolu o simulada e Simulated Annealing SA Se inspira no processo f sico de obten o de estru turas cristalinas atrav s do super aquecimento e resfriamento lento da subst ncia o que leva o sistema a atingir o n vel mais baixo de energia poss vel 4 2 Algoritmo Gen tico AG 4 2 1 Gen tica e Evolu o A percep o de que certas caracter sticas s o heredit rias i e transmitidas gene ticamente data de v rias d cadas passadas A Teoria da Evolu o 14 considerada um dos maiores avan os cient ficos at esta data Ela tem implica es em v rias reas naturais cient ficas e sociais como por exemplo Biologia Matem tica
237. ess rias Para M nimo Local f x 0e f gt 0 Condi es Suficientes Para M nimo Local f x 0 e f a gt 0 3 4 O M todo de Newton em M ltiplas Vari veis Desejamos encontrar um vetor x x4 n tal que c x 0 3 1 Para simplificar a apresenta o suponha que m n Da mesma forma que no caso de uma vari vel utilizamos uma aproxima o linear de c x em torno da solu o candidata Tk Ze tn G p Ek 1 k 3 2 sendo a matriz G x Vc x chamada de Jacobiana e definida como segue c z 0C OEn Ver G x ae 3 3 OG OG Ca Oba Ver Para encontrar o pr ximo iterando fazemos c xp G p k 1 k 0 resultando no processo iterativo abaixo Eryl Ze G gelar 3 4 Lembramos que o m todo de Newton em m ltiplas vari veis herda as mesmas propri edades de sua vers o monovariada e o m todo apresenta converg ncia quadr tica desde que o ponto inicial x esteja dentro de sua regi o de converg ncia e o m todo pode divergir se uma t cnica de globaliza o n o for empregada e e a matriz Jacobiana deve ser n o singular para que o m todo tenha sucesso 36 3 M todo de Newton Solu o de Equa es N o Lineares e Minimiza o de Fun es M todo de Newton em V rias Vari veis Dado um inicial e uma toler ncia e gt 0 Repita Calcule c x e G x Se c x lt retorne x Encontre uma solu o para G x Ax
238. eva o m todo de Newton no espa o da vari vel y e mostre que este gera uma seq ncia yg ST xp onde xy a sequ ncia gerada pelo m todo de Newton no espa o da vari vel x 44 3 M todo de Newton Solu o de Equa es N o Lineares e Minimiza o de Fun es EX 3 4 Seja A R uma matriz rank A m c R Considere o problema abaixo P Minimize z ell Sujeito a Ax 0 x eR Transforme P em um problema de otimiza o irrestrita permitindo o emprego do algoritmo de Newton Podemos garantir que um ponto estacion rio define um timo local Podemos afirmar que um timo local um timo global EX 3 5 Embora as aplica es do m todo de Newton em C lculo sejam bastante anti gas s recentemente descobriu se que sua extens o para o plano complexo pode gerar fractais Em 1879 Caley formulou a seguinte quest o dado um ponto ini cial 29 para qual das ra zes de uma fun o complexa f z o m todo de Newton converge Seja f x 2 2 Encontre as tr s ra zes desta fun o Produza uma figura seguindo o procedimento abaixo 1 Se restrinja ao quadrado 2 2 x 2 2 do plano complexo 2 Divida esta regi o do plano em pequenos subquadrados 3 Execute o m todo de Newton a partir do n mero complexo definido pelo subquadrado 4 Pinte o subquadrado com a cor vermelha amarela ou azul dependendo da raiz para a qual o m todo convergiu EX 3 6 9 Consi
239. eve os coeficientes das desigualdades v lidas dadas pela Proposi o 12 6 12 Algoritmos de Planos de Corte e Desigualdades Fortes 197 Max 1 07 0 875 To T S 4u v T lt 4u vl lt 5u 4 v 4 w Ta X IU Hu W mo S 5u vi w S a T3 lt 3u vs T3 lt 3u vi T4 lt 6u vf T4 lt 6ul vi To gt Bul u vf 9 o To gt 8ul ouptuy vs uy w u ut u vt w wt gt 0 Objetivando tornar o espa o de solu es fact veis limitado devemos introduzir um crit rio de normaliza o Duas possibilidades s o a DA T lt 1 b To 1 Obtemos entao a seguinte desigualdade de corte 1 z 1 lt 1 Para P a desigualdade uma combina o das restri es z lt le rg lt 0 com v 1 e w E respectivamente Para P ela uma combina o da desigualdade 414 5x5 3x3 624 lt 8 e z lt 1 com u E e w 1 respectivamente 12 7 Exercicios EX 12 1 Para os tr s conjuntos X abaixo encontre algebricamente uma desigual dade v lida cuja adi o nos d conv X Verifique graficamente que a adi o da desigualdade nos d conv X i X x B 32 422 lt 1 ii X vy eR xB z lt lt iii X z y R4 x Z4 x S 6y z S 20y x 7 16 EX 12 2 Em cada um dos exemplos abaixo s o dados um conjunto X e um ponto x ou x y Encontre uma desigualdade v lida para X que corte elimine o ponto
240. execu o O nm para detectar circuitos nega tivos verificamos que o tempo de execu o do algoritmo de cancelamento de circuitos negativos O nm CU Podemos dizer que o algoritmo de tempo polinomial Exemplo de Execu o do Algoritmo Aqui aplicamos o algoritmo de cancelamento de circuito negativo ao problema dado na Figura 8 13 Tomando como fluxo inicial x tr 94 94 3 1 0 3 1 obtemos a rede residual G x dada na Figura 8 14 O ciclo de custo negativo w est indicado na figura com linhas tracejadas Enviando o fluxo de w unidades ao longo de w obtemos a rede residual G x dada na Figura 8 15 Para esta rede residual identificamos o circuito wt indicado por linhas tracejadas com custo c w 1 e capacidade w 1 Enviando a capacidade m xima ao longo de w obtemos a rede residual G x ilustrada na Figura 8 16 A rede residual G x cont m um ciclo de custo negativo w Enviando 6 w 1 unidades ao longo de w obtemos a rede residual G x indicada na Figura 8 17 Visto que G x n o possui ciclo negativo conclu mos que ela induz uma solu o tima Para obter o fluxo timo x a partir de G x podemos fazer uso da Proposi o 8 1 Obetmos ent o x 2 x 3 2 33 2 Ces Be T34 0ex3 4 8 4 Matrizes Totalmente Unimodulares Considere o problema inteiro abaixo IP Max d r S a Ax lt b BEL Observe que sempre poss vel eliminar arcos com custo negativo basta
241. exo com um minimizador nico x 0 Quando a restri o introduzida qualquer vetor x com z 2 1 define uma solu o Existe um n mero infinito de solu es e portanto um n mero infinito de m nimos locais quando n gt 2 O exemplo a seguir mostra que a introdu o de uma restri o produz um grande n mero de m nimos locais que n o formam um conjunto conexo Py Minimize x2 100 0 012 Sujeito a 16 5 xo cosx gt 0 Sem a restri o P2 tem uma solu o tima no ponto 0 100 Com a restri o temos timos locais pr ximos dos pontos z1 2 7k 1 parak 0 1 2 16 6 Dizemos que um vetor x um timo local do problema 16 3 se z Q e se existe uma vizinhan a N em torno de z N x R x x lt para gt 0 tal que f x gt f x para todo rE N NO 16 1 2 Suavidade das Fun es A suavidade da fun o objetivo e das restri es uma caracter stica importante na caracteriza o das solu es Ela garante que a fun o objetivo e as restri es se comportam de uma forma previs vel pelo menos localmente dessa forma permitindo que algoritmos tomem decis es corretas com respeito s dire es de busca Tipica mente fronteiras n o suaves podem ser descritas por uma cole o de restri es suaves Considere a regi o da Figura 16 1 16 Programa o N o Linear Restrita Fundamentos e Condi es de Otimalidade 231 A js 1 R
242. fazendo uma in trodu o programa o convexa e tamb m discutindo algoritmos de ponto interior Para um estudo mais aprofundado de m todos de ponto interior recomendamos o livro de Wright 45 6 7 Exerc cios EX 6 1 Utilize o m todo Simplex executando as opera es conforme ilustrado em sala de aula para resolver o problema abaixo Maximize 22 6x5 Sujeito a z To 3 lt 2 221 T2 T3 lt 1 T1 T2 T3 gt 0 EX 6 2 Utilize o m todo Simplex no papel ou fazendo uso de pacote de otimiza o linear para resolver o problema abaixo Maximize 32 215 Sujeito a z 2z lt 1 1 T2 lt 2 221 v2 lt 6 T lt 5 2 lt 16 Ly T2 lt 12 z 2z lt 21 T2 lt 10 1 T2 gt 0 EX 6 3 Mostre em um gr fico a regi o fact vel do problema dado em EX 6 2 Indique a seq ncia de solu es b sicas produzida pelo m todo Simplex EX 6 4 D um exemplo mostrando que uma vari vel que se torna b sica em uma itera o do Simplex pode se tornar n o b sica na itera o seguinte EX 6 5 Mostre que uma vari vel que se torna n o b sica em uma itera o do Simplex n o pode tornar se b sica na itera o seguinte 6 Programa o Linear 93 EX 6 6 Encontre o dual do seguinte problema de programa o linear P Maximize cr Sujeito a a LAr lt b l lt ac lt u c20 EX 6 7 Ilustre o Teorema Forte da Dualidade no problema dado no exerc cio
243. ferenci vel Seja pp uma dire o de descenso para o ponto xz e assuma que f limitada inferiormente ao longo do raio fx tap a gt 0 Ent o se 0 lt c lt ca lt 1 existem intervalos para os passos que satisfazem as condi es de Wolfe Prova Uma vez que d a f x app limitada inferiormente para todo a gt 0 e uma vez que 0 lt c lt amp lt 1 a linha l a f k ac Vf ae py deve interceptar a curva a pelo menos uma vez Seja a gt 0 o menor valor a tal que I a intercepta a ou seja f t a p flak V ip pe 2 6 A condi o de Armijo claramente satisfeita por todos os passos menores que a A partir do Teorema do Valor M dio deve existir a 0 a tal que fz api f te d V f x of pr py 2 7 Combinando 2 6 e 2 7 obtemos Vi te a pe pe AV fe De gt V ff pr 2 8 uma vez que c lt cw eVfip lt 0 Assim a satisfaz as condi es de Wolfe e as desigualdades 2 4 s o estritas Portanto de acordo com a propriedade de f ser suave deve existir um intervalo em torno de a para o qual as condi es de Wolfe s o satisfeitas 2 3 5 Redu o Suficiente e Retrocesso Utilizando se o chamado m todo de retrocesso podemos sistematicamente encon trar um passo a que satisfaz as condi es de Wolfe 2 4 sem considerar a segunda condi o 20O teorema do valor m dio diz que f y f x Vf z y x send
244. formal do pro blema de engenharia de tr fego em programa o matem tica e o projeto de algoritmos eficientes 9 4 Formula o do Problema Um modelo inicial foi proposto em 17 e depois estendido em 18 de forma a prover uma pol tica de admiss o de requisi es de transmiss o LSPs Neste modelo busca se a maximiza o da vaz o global dos fluxos de dados injetados em uma topologia de rede Para tanto s o configurados caminhos de menor dist ncia m trica entre origem 9 Linguagens de Modelagem 145 e destino dos fluxos de dados bem como das larguras de bandas de LSPs nos quais os fluxos de dados ser o encaminhados Estas configura es devem respeitar as restri es de largura de banda dos enlaces e atraso fim a fim m ximo de cada fluxo de dados Do ponto de vista da teoria de otimiza o este problema enquadrado como um problema de caminhos m nimos sujeito restri es 23 sendo do tipo NP completo 21 Adotou se uma pol tica de diferencia o de servi os que depende de um controle de admiss o e da configura o de largura de banda dos LSPs baseadas em par metros de prioridade para cada fluxo de dados Nesta pol tica na emin ncia de congestionamento da rede os fluxos de baixa prioridade podem ter suas vaz es reduzidas at zero fluxos rejeitados para garantir os requisitos de QoS dos fluxos de alta prioridade A largura de banda a ser configurada nos LSPs modelada em n veis ou seja cada LSP s
245. gados para resolu o Na pr tica a busca de um modelo um processo iterativo cada modelo avaliado numericamente e a qualidade da aproxima o medida o modelo revisado e o processo se repete O livro de Williams 43 recomendado como texto introdut rio para modelagem em pro grama o matem tica A Internet tamb m oferece um volume fant stico de refer ncias Dentre elas recomendamos e Optimization Tree http www fp mcs anl gov otc Guide OptWeb e OR Notes http www brunel ac uk depts ma research jeb or contents html 1 13 Exerc cios EX 1 1 Produ o Industrial Otimizada Uma companhia manufatura dois pro dutos x e y usando duas m quinas M e M5 Para produzir uma unidade do item x s o necess rios 50 minutos de processamento na m quina M e 30 mi nutos de processamento na m quina M gt Para produzir cada unidade do item y s o necess rios 24 minutos de processamento na m quina M e 33 minutos de processamento na m quina M No in cio da semana tem se 30 unidades de x e 90 unidades de y em estoque O tempo dispon vel para processamento na m quina M durante a semana de 40 horas j para a m quina M gt o tempo dispon vel de 35 horas A demanda por item x na semana corrente est prevista em 75 unidades enquanto que para o item y a estimativa de 95 unidades O objetivo da empresa maximizar a quantidade agregada de itens x e y no fim da semana Tarefa formule em programa
246. gativo Contornamos esta dificuldade ao resolvermos um problema auxiliar cuja solu o inicial vi vel e cuja solu o tima vi vel para o problema original isto se este fact vel O problema auxiliar expresso como segue Ps Maximize 2xo Sujeito a De dij j o Sb i 1 m 6 15 j l z gt 20 I 0 n N o dif cil de ver que o problema 6 11 possui uma solu o fact vel se e somente se a solu o tima do problema auxiliar 6 15 tem valor nulo como valor timo da fun o objetivo f cil de se obter uma solu o para 6 15 basta definir x 0 para j 1 n e tomar um valor suficientemente grande para zo Exemplo Aqui ilustramos o emprego do problema auxiliar na busca de uma solu o fact vel para um problema de programa o linear Problema Original Considere como problema de programa o linear a formula o Maximize 27 2 Sujeito a a z2 l1 f 2X9 lt 2 tT amp 1 1 2 20 Problema Auxiliar De acordo com os desenvolvimentos anteriores o problema au xiliar toma a forma Maximize 2o Sujeito a Sor te To 1 oe Os 2X9 Xo lt 2 2 To lt 1 To T1 2 2 O Dicion rio Inicial Tomando o dicion rio inicial como se os elementos b s fossem todos n o negativos obtemos Max To wi 1 TX Xo TTo Wz 2 T 229 Lo WwW 1 X TTo 84 6 Programa o Linear Para tornar o dici
247. grafo direcionado e w o peso da aresta i j A Defina a capacidade de cada arco como a unidade u 1 V i j A Defina o limite inferior para o fluxo de cada arco l 0 V i j A Defina o custo de cada arco como o seu peso Gj Wij V i j A Defina o fluxo injetado em cada n b s 1 b t 1 e b i 0 Vi N s t O fluxo timo em G precisamente um caminho m nimo de s para t b Formule o problema de encontrar a rvore de caminhos m nimos a partir de um v rtice s para os demais v rtices do grafo Seja G N A um grafo direcionado e w o peso da aresta i j A Defina a capacidade de cada arco como a unidade u N 1 Y i j A Defina o limite inferior para o fluxo de cada arco l 0 V i j A Defina o custo de cada arco como o seu peso c Wij V i j A Defina o fluxo injetado em cada n b s N 1 e b i 1 Vi N s O fluxo timo em G induz uma rvore de caminhos m nimos de s para t EX 8 3 A solu o tima dada por Ta 10 T21 0 023 10 26 10 34 5 35 9 C47 10 56 0 57 5 Tes 10 g 0 O fluxo timo correspondente tem custo 270 A Exercicios Resolvidos 309 EX 8 4 A afirma o verdadeira Primeiro pode se mostrar que existe uma solucao factivel cujos fluxos atrav s dos arcos sao todos pares Para obter se uma solu o fact vel utilize o modelo de fluxo m ximo em redes c
248. gt 0 Constraints forall i in Jobs j in Jobs i lt j x i j x j i 1 forall i in Jobs j in Jobs i lt gt j s j gt s i p i M 1 x i j Objective Function Cost sum j in Jobs s j w j minimize Cost writeln writeln forall i in Jobs j in Jobs i lt gt j writeln x i j getsol x i j writeln forall j in Jobs writeln s j getsol s j writeln writeln objective getobjval O conte do do arquivo de dados definindo a inst ncia Jobs 123456789 10 M 25 w 0 5 0 4 0 1 0 5 0 3 0 5 0 2 0 8 1 0 0 6 p 1 5 2 3 1 2 1 0 1 5 3 6 4 1 0 8 2 0 3 0 A Exercicios Resolvidos 315 A e 1 O EX 10 1 i ji iii iv V vi EX 10 2 ill EX 10 3 Programacao Inteira Fundamentos Seja xj 1 se o investimento j S escolhido e caso contr rio x 0 N o pode se investir em todas as a es Se zj S6 Pelo menos uma a o deve ser selecionada a zj zl A a o 1 n o pode ser escolhida se a a o 3 escolhida 7 73 lt 1 A a o 4 pode ser escolhida apenas se a a o 2 escolhida z4 lt x Ambas as a es 1 e 5 devem ser escolhidas ou exclusivamente nenhuma delas z 5 Pelo menos uma das a es do conjunto 1 2 3 ou pelo menos duas a es do conjunto 2 4 5 6 2 1 2 3 2 4 25 z6 2 2 gt 2 z
249. gumas linguagens tamb m oferecem extens es para descris o de m todos algor tmicos para atacar pro blemas dif ceis por meio da resolu o de subproblemas relacionados MOSEL e AMPL s o dois exemplos de linguagens de modelagem alg bricas distribu das comercialmente AMPL foi projetada para combinar e estender as habilidades expressivas de lin guagens de modelagem mas sem perder a facilidade de ser utilizada em aplica es elementares AMPL not vel pela simplicidade e naturalidade de sua sintaxe e pela generalidade dos seus conjuntos e express es de indexa o AMPL prov forte suporte valida o verifica o e an lise de solu es timas atrav s de um conjunto de alterna tivas para apresenta o de dados e resultados O pr processador de AMPL capaz de executar automaticamente transforma es que reduzem o tamanho do problema e subs tituem vari veis AMPL se distingue ainda pela continuidade do seu desenvolvimento que visa atender s necessidades dos usu rios Adi es recentes incluem construtores de la os e testes para escrita de scripts na linguagem de comandos AMPL bem como facilidades para defini o e manipula o de v rios problemas inter relacionados No que segue apresentamos um exemplo de AMPL para o problema da mochila 9 Linguagens de Modelagem 143 9 2 1 Modelo AMPL do Problema da Mochila A descri o de um problema feita atrav s da especifica o de tr s arquivos o arquivo c
250. horizontal de forma que a metragem total de tubos secund rios seja minimizada Formule este problema em programa o matem tica E poss vel colocar o pro blema em um modelo inteiro misto Fa a uso do modelo desenvolvido para resolver a inst ncia dada pela Figura 10 9 cujos pontos s o 71 y1 239 491 v2 yo 193 455 x3 y3 318 478 x4 y4 276 429 x5 y5 203 406 x6 y6 149 379 7 Y7 151 350 xs Ys 230 340 9 Yo 325 347 X10 Y10 383 272 11 Yi 414 360 12 Y12 440 442 13 Y13 383 506 e 14 Y14 463 496 13 413 x o X14 ya x 1 Y1 o x2 y2 3 y3 e 4 ya X12 yi2 5 ys 6 ye x y Mestre Horizontal a 11 yi1 ede z9 y9 xg ys Mestre Vertical x10 y10 Figura 10 9 Rede de abastecimento Capitulo 11 Programacao Inteira Relaxacoes e Algoritmo Branch and Bound Da mesma forma que em problemas de otimiza o diferenci veis de grande valor conhecermos condi es sob as quais uma solu o candidata pode ter sua qualidade esti mada em rela o solu o tima mesmo sem conhecermos a solu o tima Este tipo de estima o comumente obtido atrav s da solu o tima de problemas mais f ceis todavia com espa o de solu es mais abrangente do que o espa o do problema em quest o Estes problemas s o ditos relax
251. ibilidade de interagir diretamente com a funcionalidade de Xpress MP e dessa forma desenvolver aplica es custo mizadas como por exemplo heur sticas projetadas para problemas particulares e algoritmos tipo branch and cut Uma vers o limitada no n mero de vari veis e restri es mas completa em termos de funcionalidade do Xpress IVE pode ser obtida para uso acad mico e educacional no site da Dash Optimization http www dashoptimization com 9 1 1 Qual Interface Devemos Utilizar Esta decis o depende das necessidades do usu rio Usu rios iniciantes devem preferencialmente utilizar Xpress IVE uma vez que esta a interface mais simples para o software Xpress MP O ambiente integrado permite r pida modelagem ao mesmo tempo que facilita a comunica o com os demais compo nentes do Xpress MP J em Ambientes de produ o a interface Console Xpress mais adequada pois esta permite que se desenvolva aplica es tipo batch Console Xpress prov uma inter face tipo texto poderosa para os componentes Xpress MP permitindo desenvolvimento interativo e processamento batch de modelos de usu rios de plataformas diversas Por outro lado as bibliotecas devem ser reservadas para os usu rios avan ados que desejem desenvolver e testar algoritmos e g heur sticas inteligentes e algoritmos branch and bound 9 1 2 Resolvendo um Problema Aqui descrevemos os passos necess rios para se resolver um problema atrav s da interfac
252. ica Dominio Discreto EX 14 1 Abaixo damos uma implementa em Matlab do algoritmo RE REDE EE po ae ee ee ee eee asm m Approximate String Matching oh Kee a im a ju a e fi a ee ee a a Input 1 sp pattern string 2 st text string 3 tym type of matching tym 1 for perfect matching tym 2 for matching anywhere in the text Output 1 m x n matrix D where m length sp and n length st Entry D i j is the minimum number of differences between sp 1 i and st 1 j 2 the matching cost number of deletions substitutions and insertions function D d asm sp st tym m length sp n length st D for j 0 n if tym D 0 1 j 1 j else D 0 1 j 1 0 end end for i 0 m D i 1 0 1 i end for i 1 m for j i n if sp i st j dt D i 1 1 j 1 1 else di D i 1 1 j 1 1 1 end d2 D i 1 1 j 1 1 d3 D i 1 j 1 1 1 D i 1 j 1 min d1 d2 d3 end end if tym d D m 1 n 1 end if tym 2 d D m 1 0 1 for j i n if D m 1 j 1 lt d d D m 1 j 1 332 A Exercicios Resolvidos end end end Para o padr o P abcde fghijkl e texto T bedeffghixkl podemos executar os comandos Matlab abaixo para emparelhamento perfeito e flutuante respecti vamente sp abcdefghijkl st bcdeffghixkl D d asm sp st 1 perfect matching D d asm sp st 1 matching anywhere in the text Para o caso de emparelhamento
253. icando o Teorema da Folga Complementar podemos verificar que n 2 p Nr 34 2x3 2 0 1x0 0 y y2 6 z2 3 3 6 1 2 0x1 2 0 34 3 0 3 2 0 1 0 3 00 2 8 y y2 0 T3 2 2 3 2 y1 0x3 0 asd amp 29 0S 19 Ross 0x3 0 EX 6 9 N o necess rio Basta analisar o posto da matriz A H tr s possibilidades i ill Se rank A lt rank A b ent o n o existe solu o para o sistema de equacoes lineares e portanto o problema infactivel ii Se rank A rank Alb n ent o o sistema de equa es lineares tem solu o nica podendo ser obtida atrav s de m todos de solu o de equa es lineares como por exemplo m todo de Gauss e fatora o SVD Se rank A rank A b lt n ent o existem infinitas solu es para o sistema de equa es lineares e faz sentido realizar otimiza o Neste caso a an lise deve ser refinada Seja z uma solu o para Ax be seja N uma base para o espa o nulo de 4 ou seja null A Ny y RETA Podemos reescrever o problema como segue Min cla Min T z Ny S a Ar b S a A x Ny b Min cz c Ny Sa AZ ANy b us Min c Ny S a b 0 b e Min c Ny Logo o problema tem um n mero infinito de solu es timas quando c N 0 ou o problema ilimitado caso c N F 0 Assim o problema pode ser resolvido facilmente considerando os tr s casos acima EX 6 10 Duas formula es em programa
254. iciando com P 0 e Selecione probabilisticamente 1 r p elementos de P e adicione a P sendo a probabilidade de x P ser selecionado dada por Pr z filx Xu fila e Probabilisticamente selecione rp 2 pares de elementos de P de acordo com a distribui o dada por Pr x e Para cada par x execute cross over e adicione os filhos a P e Execute muta o de mp elementos de P e Fa a P P e Calcule f x para todo z P 4 Otimiza o N o Diferenci vel 51 4 2 6 Operador Gen tico Cross Over Os operadores gen ticos determinam como os membros de uma popula o s o com binados ou sofrem muta o de forma a gerar novos candidatos Na Figura 4 1 ilustrado o operador cross over de um ponto enquanto que o operador cross over de dois pontos exemplificado na Figura 4 2 O operador de cross over uniforme consis tem em utilizar uma m scara cujos bits s o selecionados aleatoriamente com probabi lidade uniforme J o operador de muta o simplesmente troca um ou mais bits de um cromossomo de 0 para 1 ou vice versa Os bits s o escolhidos aleatoriamente com probabilidade uniforme Cromossomos pais Filhos 11101001000 11101010101 M scara 11111000000 00001010101 00001001000 Figura 4 1 Operador cross over de um ponto Cromossomos pais Filhos 11101001000 00101000101 M scara 00111110000 00001010101 11001011000 Figura 4 2 Operador cross over de dois pontos
255. ida Em s ntese a regra delta consiste em substituir a sa da o x sign w7 x pela sa da o x w 2 i e simplesmente eliminamos a fun o sinal deixando a fun o de sa da o uma fun o linear e diferenci vel A unidade delta ilustrada na Figura 5 7 Entrada Sa da y wl x To o 0 _ Peso das sinapses es Tn Ym WT Figura 5 7 Unidade delta 5 3 1 Treinando uma Unidade Delta Dado um conjunto fixo de exemplos D z t t onde z E RH e tt R k 1 M o problema de treinamento da unidade delta consiste em encontrar o vetor w R que minimize o erro de predi o Note que assumimos que z 1 Em programa o matem tica o problema expresso como M P Minimize E w 55 w7a eye k 1 Portanto o problema de minimizar a fun o E w est dentro do dominio da otmiza o diferenci vel sem restri es Podemos por exemplo aplicar o algoritmo de descenso ou algoritmo de Newton Qualquer que seja a abordagem ser necess rio calcular 68 5 Treinamento de Redes Neurais Um Problema de Otimiza o o gradiente de E Seja VE 0E 0w 0E wm 0E dw o gradiente de E Podemos calcular a derivada parcial de E com respeito a w como segue Etr a k 1 OE Ow ww7 a E Jo 7 a t Mer o gt ll 1 Is Gut at t g gt ll 1 Note que VE pode ser convenientemente calculado em termos dos valore
256. ificuldade adv m do fato que tipicamente existe um n mero 78 6 Programa o Linear Fact vel Figura 6 2 Exemplo de problema ilimitado Podemos avan ar dentro da regi o fact vel de maneira a crescer o valor da fun o objetivo sem limites Por exemplo ao longo da dire o 71 0 podemos avan ar sem limites fazendo o valor da fun o objetivo aumentar exponencial de poss veis combina es de colunas gerando portando um desempenho de pior caso de ordem exponencial Apesar deste aspecto desfavor vel o algoritmo Simplex eficaz e para muitas inst ncias continua sendo o algoritmo mais r pido mesmo quando comparado com algoritmos de ponto interior que tem desempenho polinomial no pior caso No que segue apresentamos o algoritmo Simplex atrav s de um exemplo Na sequ ncia daremos detalhes do algoritmo e trataremos aspectos de inicializa o 6 3 1 Exemplo Considere o problema de programa o linear abaixo Maximize 5x 4x5 3x3 Sujeito a 224 3X9 T3 x 5 4x1 19 223 lt 11 6 4 321 4x9 223 lt 8 1 T2 T3 2 0 6 Programa o Linear 79 Ap s adicionarmos vari veis de folga o problema toma a forma a seguir Maximize 0 5a 4 323 Sujeito a W 5 224 3X9 T3 Wg 11 421 Ty 2 3 6 5 W3 8 324 4x5 2 3 T1 2 T3 W1 W2 W3 2 O O sistema 6 5 coloca o problema de programa o linear em uma forma conhecida por dic
257. igura 5 5 Perceptron 5 2 1 Treinando um Perceptron Sendo dado um conjunto de pontos de treinamento D 2 t a t considere o problema de treinamento de um perceptron que consiste em minimizar o erro de predi o M P Minimize X sign w72 r k 1 w ER Quais s o os poss veis obst culos a serem encontrados na resolu o de P Um obst culo fundamental o fato de que a fun o sign x n o diferenci vel o que inviabiliza o emprego de algoritmos eficientes baseados no gradiente da fun o Outra limita o 66 5 Treinamento de Redes Neurais Um Problema de Otimiza o fundamental adv m do fato que o perceptron s consegue classificar corretamente com erro nulo aqueles conjuntos de dados que s o linearmente separ veis Note que a regi o H x R sign wTx lt 0 forma um hiper espa o sendo a regi o complementar H dada por H x R sign w x gt 0 Em outras palavras o perceptron define um subespa o multidimensional classificando como positivo os exemplos que est o de um lado e como negativo os demais Esta limita o ilustrada na Figura 5 6 O perceptron pode ser usado para representar as fun s l gicas and or nor e nand Por si s entretanto o perceptron n o consegue implementar a porta l gica xor Todavia podemos aumentar o poder de representa o do peceptron se utilizarmos uma rede Qualquer fun o Booleana dada na forma normal di
258. ion rio na qual a fun o objetivo e um subconjunto de vari veis vari veis b sicas com cardinalidade igual ao n mero de restri es s o expressos em termos das vari veis restantes vari veis n o b sicas As vari veis n o b sicas assumem valores nulos e portanto uma solu o pode ser obtida diretamente a partir do dicion rio Para o dicion rio acima a base formada pelas vari veis w1 W2 e w3 enquanto que as vari veis n o b sicas s o 1 2 e z3 J que as vari veis n o b sicas assumem valores nulos obtemos diretamente os valores das vari veis b sicas w 5 W 11 e w3 8 Note que a solu o obtida fact vel para o problema em quest o uma vez que todas as vari veis b sicas e n o b sicas s o n o negativas Al m disso a fun o objetivo corrente tem valor 0 O m todo Simplex um processo iterativo que inicia com uma solu o y x 29 w wo onde n 3 e m 3 satisfazendo as equa es de 6 4 Partindo do dicion rio 6 5 o Simplex busca uma nova solu o y tal que 5x 4r 3x5 gt 5x 4279 3x9 Para tanto necess rio fazer uma solu o n o b sica com coeficiente positivo na equa o de entrar na base que por sua vez far a vari vel n o b sica aumentar e consequentemente elevar o valor da fun o objetivo Obviamente a vari vel que entra na base n o pode aumentar seu valor indefinidamente a menos que o problema seja ilimitado A primeir
259. ir que os iterandos permane am dentro da regi o fact vel F b Um ponto inicial x promissor para P x up pode ser obtido extrapolando se ao longo do caminho definido pelos minimizadores k 1 Lp_2 V rias heur sticas foram propostas para a escolha do par metro de barreira up cada itera o Um ingrediente t pico fazer escolhas ambiciosas para u digamos Uk 1 0 24 ou Uk 0 1 se o problema de minimiza o P x up n o foi t o dif cil de ser resolvido na ltima itera o e se um ponto inicial x 41 pode ser produzido com certa confian a O algoritmo b sico descrito acima ainda n o se tornou um algoritmo de uso geral n o permitindo que uma resposta definitiva sobre a qualidade das heur sticas seja dada sem testes extensivos 19 2 3 Propriedades da Fun o Log Barrier e Algoritmo Geral Teorema 19 1 Suponha que f e ci i E T sejam convexas em 19 2 e a regi o fact vel F seja n o vazia Seja up uma sequ ncia decrescente e assuma que o conjunto de solu es M para o problema 19 2 seja n o vazio e limitado Ent o as seguintes afirma es s o verdadeiras i Para qualquer u gt 0 P x u convexo em F e admite um minimizador z u n o necessariamente nico em F Qualquer minimizador x u tamb m um minimizador global para P x u ii Qualquer seqti ncia de minimizadores x x tem uma subsegi ncia convergente e todos os poss veis pontos de acumula o pertencem
260. iremos o seguinte 50 4 Otimiza o N o Diferenci vel e O problema de otimiza o a ser resolvido de maximiza o em vez de mi nimiza o Para transformar minimiza o em maximiza o basta substituir o operador min por max e f x por f x e fun o objetivo f x se maximiza o f x se minimiza o ser utilizada como fun o de aptid o fitness function f Portanto quanto mais alto o valor da fitness function f melhor a qualidade da respectiva solu o Assumiremos tamb m que a fitness function assume um valor n o negativo Isso pode ser contornado atrav s da adi o de uma constante i e seja m Min fi x x pertence popula o ent o basta substituir f x por fi x m para que a fitness function se torne n o negativa 4 2 5 Algoritmo Gen tico em Detalhes O algoritmo gen tico pode ser descrito como uma fun o AG fi fe p r m cujos par metros de entrada definem um problema a ser resolvido Abaixo segue o pseudo c digo Algoritmo AG f fa p r m Par metros de entrada fi fitness function fi fitness threshold condi o de parada p tamanho da popula o r fra o da popula o a ser substitu da por cross over m taxa de muta o Inicialize a popula o P gere p solu es candidatas aleatoriamente Avalie os elemento de P para cada x P calcule fi a Enquanto max f z x P lt f execute e Seja P a nova popula o in
261. is X 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 Os poliedros abaixo induzem formula es v lidas para o con junto X P reR 0 lt 2 lt 1 8327 61x 4973 20x lt 100 BelreR risos 4Agp 3r2 Ore da lt s 4 P xeR 0 lt r lt l 44 32 243 a S 4 t T LQ T T3 lt des T T T4 lt 1 10 Fundamentos de Programa o Inteira 167 T2 Figura 10 5 Formula es equivalentes alternativas 10 7 2 Localiza o de Dep sitos sem Limites de Capacidade Relembrando o problema de localiza o de dep sitos sem capacidade considere um dep sito j e a restri o og lt myj yj e Ol 0S zx lt para ce M 10 3 i 1 Logicamente estas restri es expressam a condi o se x gt 0 ent o yj 1 Podemos ent o utilizar o seguinte conjunto de restri es alternativas O lt zij Sy parai M 10 4 y 0 1 iia Isto nos leva formula o alternativa Min aos cmg D fi i l j l j 1 S a X ryj 1 t Teg 10 5 j l 0 S Tij S yj dades lyn y 0 1 Qe De Qual das duas formula es do problema de localiza o de facilidades melhor a formula o 10 1 ou a formula o 10 5 168 10 Fundamentos de Programa o Inteira 10 8 Formula es Apertadas e Ideais J observamos que o n mero de formula es v lidas pode ser infinito Dentre um n mero potencialmente infinito de formula es qual a melhor formula o
262. is investimentos que crescem decrescem juntos t m 1E ri wi rj 145 difinido como a covari ncia das vari veis aleat rias r e rj Note que se r e rj s o independentes ent o El r ui r u El ri mil EI r u 0 Note ainda que se r rj ent o El r m r u El r m o e portanto pij 1 O coeficiente de correla o consiste da normaliza o da covari ncia A correla o m xima quando p 1 e m nima quando p 0 18 Programa o Quadr tica 259 correla o positiva medida que pi se aproxima de 1 mais similares s o os investi mentos i e j Investimentos que tendem a se mover em dire es opostas apresentam correla o negativa Portanto a vari ncia do investimento total R dada por n n gt gt OP i 1 j l Gr 18 7 E R RI sendo a matriz sim trica G R definida como Gij C 0jPij 18 8 A matriz G positiva semi definida todavia nao desenvolveremos uma demons tra o Estamos interessados em um portof lio cujo retorno total x seja alto ao mesmo tempo que a vari ncia x Gx seja pequena No modelo proposto por Markowitz combina se estes dois objetivos em uma nica fun o usando o chamado par metro de toler ncia de risco denotado por k Ent o resolvemos o problema abaixo Maximize xTu ka Gr Sujeito a sm 18 9 O problema 18 9 expressa o desejo
263. jamos encontrar uma rota que partindo da cidade 1 visite as demais cidades precisamente uma vez e retorne cidade 1 tal que o caminho percorrido seja o menor poss vel O PCV pertence fam lia dos problemas NP Dif ceis 21 12 o que significa dizer que n o se conhece um algoritmo capaz de encontrar uma rota tima em tempo polinomial qualquer que seja a inst ncia do problema Figura 4 8 Exemplo de rota para uma inst ncia particular Abaixo seguem os passos para se aplicar o algoritmo SA Configura o utilize um vetor x com N posi es x 1 2 N para armazenar uma permuta o das cidades Perturba o uma subseq ncia de cidades removida da rota e inserida em outra posi o A Figura 4 9 ilustra dois operadores de perturba o Fun o Objetivo a fun o objetivo definida como a equa o N 1 E X tmn Eni Ya ll Wen yw 21 30 n 1 Procedimento de Annealing abaixo segue os pseudo c digo do procedimento de annealing Procedimento de Annealing e Gere aleatoriamente um conjunto S de configura es e Calcule a varia o de energia AE m xima para as configura es de S AE max E s E s si sj S e Defina Ty temperatura inicial como algumas dezenas de vezes 58 4 Otimiza o N o Diferenci vel o valor de AE e Defina Tmin como a temperatura m nima e Seja s um elemento qualquer de S e Seja sSvest S a melhor solu o encontrada e Fa a k
264. l 2 Bs i 2 a amiar wi 0 1 uA 4 0 2 1 1 3 ubl 7 1 3 Isto nos permite obter a desigualdade x 3x5 lt 7 v lida para Pt U P A Figura 12 2 ilustra esta desigualdade 196 12 Algoritmos de Planos de Corte e Desigualdades Fortes Figura 12 2 Desigualdades disjuntivas 12 6 2 Desigualdades Disjuntivas para Problemas 0 1 Especializando ainda mais podemos nos restringir a problemas 0 1 onde X POAZ C 0 1 e P x R Ax lt b 0 lt z lt 1 Seja P PA x R z 0 e P PN x R x 1 para algum j 1 n Proposi o 12 6 A desigualdade T To v lida para conv PUP se existe u R vi R w E R para i 0 1 tal que nT lt ug A Ug Woe nT lt ul A T Vi We To gt usb 1Tvo To gt uib 1 yy w Prova Aplique a Proposi o 12 5 com P x R Ax lt b x lt 1 x lt 0 e P x R Ax lt b x lt 1 2 lt 1 E Exemplo Considere a seguinte inst ncia do problema da mochila Max 12x 14x Tx 1244 s a 4x1 EH 0X9 r 323 tr 6x4 lt 8 x eBt cuja solu o linear tima x 1 0 8 0 0 Uma vez que x3 0 8 fracion rio escolhemos j 2 e definimos P e Pt e procuramos a desigualdade 7 mo que violada conforme a Proposi o 12 6 Para isso resolvemos um problema de programa o linear maximizando m x To sobre o poliedro que descr
265. l i in Node j in Node Arc i j 1 x k 1 i j is_binary forall k in Lsp 1 in Level y k 1 is binary Objective Function Total_Performance sum k in Lsp 1 in Level Lsp_p k Lsp_lbd k 1 y k 1 arc capacity forall i in Node j in Node Arc i j 1 sum k in Lsp 1 in Level Lsp_lbd k 1 x k 1 i j lt Arc uli j maximum delay forall k in Lsp sum i in Node j in Node 1 in Level Arc i j 1 Arc_d i j x k 1 i j lt Lsp_delay k Network Flow Constraints forall k in Lsp 1 in Level i in Node i lt gt Lsp s k and i lt gt Lsp d k sum j in Node Arc i j 1 x k 1 i j sum j in Node Arc j i 1 x k 1 j i 0 forall k in Lsp 1 in Level sum j in Node Arc Lsp s k j 1 x k 1 Lsp_s k j sum j in Node Arc j Lsp_s k 1 x k 1 j Lsp_s k y k 1 forall k in Lsp 1 in Level sum j in Node Arc Lsp_d k j 1 x k 1 Lsp d k j sum j in Node Arc j Lsp_d k 1 x k 1 j Lsp_d k y k 1 forall k in Lsp sum 1 in Level y k 1 1 maximize Total Performance exportprob EP MAX t1 txt Total Performance fopen f sol txt F OUTPUT 9 Linguagens de Modelagem 149 writeln writeln Solution Found writeln gt forall k in Lsp 1 in Level if getsol y k 1 lt gt 0 then writeln y k 1 getsol y k 1 end if writeln forall k in Lsp 1 in Level i in Node j in Node Arc i j 1 if getsol x k 1 i j lt gt 0 then wri
266. lavras o algoritmo branch and cut se assemelha ao algoritmo branch and bound mas procura aproximar o poliedro inteiro o fecho convexo das solu es inteiras de uma forma iterativa Estudaremos ainda os chamados cortes de Gomory que podem ser aplicados a qualquer problema linear inteiro ou misto e cortes espec ficos para alguns problemas de interesse 12 1 Introdu o a Planos de Corte Inicialmente lembramos o problema inteiro na sua forma geral IP Max c r zx EX onde X x Ax lt b x Z Um resultado de signific ncia pr tica e te ria pode ser resumido na propoposi o a seguir Proposi o 12 1 conv X fr Ar lt b x gt 0 um poliedro Este resultado nos diz que pelo menos em teoria IP pode ser reformulado como um problema de programa o linear LP Maz e s Ax lt b x gt 0 Note que qualquer ponto extremo de LP uma solu o tima de JP Para alguns pro blemas tal como o problema de fluxo em redes conhecemos uma descri o completa de conv X Em geral e particularmente para problemas NP dif ceis n o h espe ran a de se encontrar uma descri o completa de conv X mesmo porque esta pode conter um n mero exponencial de restri es Dado um problema NP dif cil aqui nos preocupamos em encontrar uma aproxima o para conv X para uma dada inst ncia podendo esta aproxima o ser constru da gradualmente medida que se insere novas restri es v lidas e n o triviais prefere
267. lema de Otimiza o Combinat ria 157 10 3 Programa o Linear e Arredondamento 04 157 10 4 Formula o de PIs e PIBS 2 3 rege Sam AE GI SEL Alo tial o 158 10 4 1 Exemplo 1 Formulando o Problema de Aloca o 158 10 4 2 Exemplo 2 O Problema da Mochila 159 10 4 3 Exemplo 3 O Problema de Cobertura por Conjuntos 160 10 4 4 Exemplo 4 O Problema do Caixeiro Viajante PCV 161 10 5 Explos o Combinatoria 2 00 0200000 ee eee 162 10 6 Formula o de Problemas Inteiros Mistos PIMS 163 10 6 1 Exemplo 1 Modelando Custos Fixos 163 10 6 2 Exemplo 2 Localiza o de Dep sitos sem Limites de Capacidade 164 10 6 3 Alternativas Discretas e Disjuntas 165 10 7 Formula es Alternativas aos ale Ah oe eed ek ee ee ee ga 166 10 7 1 Formula es Equivalentes para o Problema da Mochila 166 10 7 2 Localiza o de Dep sitos sem Limites de Capacidade 167 10 8 Formula es Apertadas e Ideais 2 a ee 168 10 8 1 Formulagoes Equivalentes para o Problema da Mochila 169 10 8 2 Formula o para o Problema de Localiza o de Dep sitos 169 10 9 Referencias 4 Sets ERES hed Ae Sd EA cele CELAS E RIR LS 170 TO IOEXErCiCOS gt lt ame cede ace tn En aco herds grap herbed a Bike o uh eee wt 170 11 Programa o Inteira Relaxa es e Algoritmo Branch and Bound 173 11 1 Condi es de Otimalidade
268. lema do agente coluna x pode ser colocado nas formas equivalentes P Max v S a ax ax vu lt 0 bt ba v lt 0 Dao ste ey 1 Ta Tp Z 0 P Max v S a AX axy v Wi 0 br br v w La L 1 La Lb W1 W2 gt 0 O problema pode ser resolvido por meio dos passos a seguir 306 A Exercicios Resolvidos 1 v ar ary um 2 bxp a b r Xp 3 feta 1 gt Tb bx V We bx ax aX W1 We a bjx ax w1 Wo gt a b xa w w gt La wi w 2 a b Ta La wi w2 a b 1 2 q 1 w2 w1 a b 1 Wo Wy La a AR 2 2 a b Ta Wi w2 a b 1 W27 um W1 W2 2 2 a b a b 1 wi We W W2 2 2 a b 2 a b 1 W W2 2 atb 5 Podemos deduzir a partir dos itens 1 3 e 4 que U aX 1 ax Wy Xp La W1 W W2 1 Wa Wi a s w1 a b 2 2 at b Wo fame A a bw awe a b w 6 Fazendo w 0 e wz 0 vari veis n o b sicas podemos concluir a partir do desenvolvimento acima que v gt 0 Tomando o dicion rio Ta Ly UV 0 bwi aw2 a b a b 1 wi w2 2 2 a b 2 a b 1 w1 w2 2 2 a b 2 a b 0 bwi aw2 a b a b observamos que v depend ncia linear da equa o objetivo e da ltima linha e a solu
269. lgoritmo de caminhos aumentantes e v o seu valor Seja ainda S o conjunto dos v rtices alcan veis em G x a partir de s Segundo o Teorema 8 1 o corte S S tem capacidade u S S v Uma vez que v lt minfu U U U U um corte s t conclu mos que v min u U U U U um corte s t li Tomando como base os resultados acima estabelecidos podemos deduzir proprieda des acerca da conexidade de v rtices em grafos Dados um grafo direcionado G V 4 e dois v rtices distintos s e t desejamos determinar o menor n mero m nimo de arcos que devem ser removidos de maneira a interromper todos os caminhos de s para t Este n mero conhecido como conexidade arco e ser denotado aqui por as Para o caso direcionado observe que a n o necessariamente igual a as Podemos nos fazer valer dos Teoremas 8 2 e 8 3 para calcular a conexidade arco Inicialmente note que Qst maior ou igual ao n mero m ximo de caminhos arco disjuntos de s para t necess rio remover pelo menos um arco de cada um desses caminhos para desconectar s et Podemos calcular o n mero m ximo de caminhos arco disjuntos definindo a capacidade u 1 para todo i j A e calculando o fluxo m ximo de s para t Pelo teorema da integralidade de fluxo o fluxo m ximo de s para t corresponde a um conjunto de caminhos arco disjuntos Pelo teorema do fluxo m ximo corte minimo a iguala a capacidade u S S de um corte s t m nimo S S Da conclu mos que
270. lgoritmo executa em tempo linear O N A quantidade de mem ria precisamente o n mero de entradas necess rias para armazenar as tabelas sendo esta da ordem de O 3N O N Para garantir que o presidente ser convidado basta utilizar a solu o cujo valor J segundo a qual o presidente v rtice 1 convidado Na solu o tima para o problema o presidente convidado pois Ji gt J con forme a Tabela A 3 N o dif cil construir um algoritmo que percorre esta tabela e produz a lista de convidados Os seguintes convidados constam da lista 1 7 11 12 13 17 19 20 21 25 26 27 28 29 31 32 33 35 e 36 338 A Exercicios Resolvidos EX 14 7 Daremos uma resposta informal ao problema Sejam 1 21 o n mero de palitos que restam sobre a mesa Eliminamos o contador de itera o k pois a pol tica de controle tima depende apenas do n mero de palitos restantes sendo independente de quantas itera es foram realizadas Seja n m 1 3 a decis o tima quando h m palitos sobre a mesa Seja tamb m J m 0 1 o ganho recebido pelo jogador onde J m 1 se o jogador ganhar com certeza e J m 0 caso contr rio Podemos calcular a pol tica de controle tima m m resolvendo para m 1 2 21 conforme indicam as tabelas A 4 e A 5 O aste risco indica que qualquer valor v lido 1 2 3 pode ser selecionado sem afetar o resultado final Tabela A 4 Jogos dos palitos m 1 2 3
271. lha de EX 2 11 S o dadas duas tarefas a Encontre o paralelep pido de volume unit rio que tenha a menor rea Defina x y e z como as dimens es do paralelep pido 30 2 Minimiza o de Fun es com o M todo de Descenso b Dado um tri ngulo no plano considere o problema de encontrar o ponto EX 2 12 lil vi vii cuja soma das dist ncias dos v rtices do tri ngulo m nima Mostre que tal ponto um v rtice do tri ngulo ou o ponto que forma um ngulo de 120 com cada lado do tri ngulo Responda se as afirma es abaixo s o corretas er Prof Kunz afirma que n o existe m nimo local para a fun o f x aia Seja f R R uma fun o cont nua e diferenci vel Prof Kunz afirma que se x R um m nimo local ent o obrigatoriamente V f x 0 Seja f R gt R uma fun o cont nua e diferenci vel Prof Kunz afirma que se existe um m nimo local ent o deve existir um m nimo global Seja f R gt R uma fun o cont nua e duas vezes diferenci vel Para um certo x ER tem se f x 0 e f x gt 0 Prof Kunz afirma que x um m nimo local Seja f R R uma fun o cont nua e duas vezes diferenci vel tal que f x gt 0 para todo x R Prof Kunz afirma que se x um m nimo local ent o obrigatoriamente x tamb m um timo global Considere a fun o f x e x Dejamos encontrar o m nimo global
272. lhes 50 4 2 6 Operador Gen tico Cross Over 0 02020000 51 4 2 7 Exemplo de Aplica o grs LIGO LP GS ASS E DA 51 4 2 8 Quest es Pr ticas usp ak deg ee ae a Ee A 52 4 2 9 Schema Theorem oraa e ee eds Gs Be NEN ey YS Neh SS a 52 4 3 Simulated Annealing asia 4 ela degli el a lk a wa SE E E 54 4 3 1 O Processo de Annealing 0202 02000008 54 4 3 2 Algoritmo de Metropolis ec cs 4 haw eres Ree YA 55 4 3 3 Exemplo O Problema do Caixeiro Viajante 57 WA WRETCVONCING ia Se Sood Pk aK do TAS eo do ee ed Sood Mh eS AeA 58 A5 a Exercicios abit Yas PR tee Sede iene oe Ge Mere ag Dee oh Mae oh a 59 5 Treinamento de Redes Neurais Um Problema de Otimiza o 5 1 Elementos B sicos das Redes Neurais 0048 5 1 1 O Problema de Treinamento 0004 5 1 2 ALVINN Um Exemplo de Aplica o 9 1 3 Problemas Apropriados para Redes Neurais 5 2 Perceptron A Primeira Unidade Neural 5 2 1 Treinando um Perceptron oa Saeed pd o E ene Do EY 5 3 Regra Delta Aa d 2 eS ado hen ea ane e Dae E Dia 9 3 1 Treinando uma Unidade Delta 4 5 4 A Unidade Some cs ae ka ae acing as A O doen are gel be thee Oe ea Boor Referencias endid Sof oth Ag Re kon a oa hs o Be hoe aoe eae doe o BO HRMCRGICIOS p mpi SR E Si he rated Mpegs BE aoe ty ge Ge N Programa o Linear 6 1 Problema Exemplo Gerenciamento de Uma
273. liente s S2 S3 ty 132 85 106 ty 9 89 t3 97 00 100 t4 103 98 8 1 2 O Problema de Aloca o O problema de aloca o assignment problem consiste em designar n pessoas a n tarefas com vistas a maximizar algum crit rio de compet ncia aptid o Seja c o n vel de compet ncia aptid o da pessoa ao executar a tarefa j Podemos ent o expressar o problema em programa o matem tica n n Maximize gt SO cdi i 1 j 1 Sujeito a vj 1 PS el z i 8 1 j 1 Zi 0 1 aa RTI 7 110 8 Fluxo em Redes onde x assume o valor 1 se a pessoa i designada tarefa j e 0 caso contr rio A primeira restri o de 8 1 garante que cada tarefa ter exatamente uma pessoa alocada A segunda restri o for a cada pessoa a ficar respons vel por exatamente uma tarefa O poliedro definido pelas duas primeiras fam lias de restri es de 8 1 e as restri es 0 lt a lt 1 Vi j tem todos os v rticies inteiros Isto equivale a dizer que as solu es b sicas da relaxa o cont nua de 8 1 s o inteiras e portanto a relaxa o linear resolve o problema de aloca o basta substituir as restri es de integralidade x 0 1 com 0 lt x lt 1 e aplicar o algoritmo Simplex Esta propriedade adv m da matriz de restri es N do problema ser totalmente unimodular isto o determinante de qualquer submatriz quadrada de N 0 1 ou 1 Mais frente vamos estudar esta proprie
274. lo de forma que ci x 0 Portanto as condi es 16 17 e 16 18 se tornam Vf z 7d lt 0 16 19 Vei x d gt 0 16 20 A primeira das condi es 16 19 define um meio espa o aberto enquanto que a segunda 16 20 define um meio espa o fechado como ilustrado na Figura 16 5 J a Figura 16 6 ilustra uma regi o vazia Pela figura f cil de verificar que as duas regi es R d Vf x d lt 0 e Ry d Vei x d gt 0 n o se interceptam apenas quando V f x e Vei x apontam na mesma dire o ou seja Vf x A Ve x para algum gt 0 16 21 16 Programa o N o Linear Restrita Fundamentos e Condi es de Otimalidade 235 Regi o de descenso Ry a VJELA Zoe NO ER et SR Regi o de factibilidade RAR Ago Regi o de descenso e factibilidade Figura 16 5 Regiao de descenso nao vazia Note que o sinal do multiplicador A importa No caso anterior restri o de igualdade aceit vamos A negativo permitindo que V f x e Vci x apontassem em dire es opostas Considera es Finais As condi es dos casos I e II podem ser expressas de uma forma simplificada usando a fun o Lagrangeana Le A1 f x ur ia z i gt 0 16 22 Vel x VF x Vc x 0 16 23 As condi es ficam portanto definidas como l Vila MA Vela para algum gt 0 Mal 16 24 As condi es 16 24 implicam que o multiplicador Lagrangeano A pode ser estri tamente posi
275. locado em dire o fronteira da fun o barreira O car ter alongado das curvas de n vel indica normaliza o pobre acarretando baixo desempenho de m todos de otimiza o irrestritos como por exemplo o algoritmo de descenso 0 2 04 06 0 8 Figura 19 2 Curvas de n vel da fun o P x u z 5 z2 5 u log z log 1 x1 log x2 log 1 x2 para u 22 5 2 19 2 2 Algoritmo Baseado na Fun o Barreira Logaritmica Os algoritmos baseados na fun o barreira logar tmica procuram aproximar os mi nimizadores de P x 4 para uma seqii ncia decrescente de valores pu Algoritmo Log Barrier Esbo o 19 Programa o N o Linear sob Restri es Algoritmos 269 Dados Ho gt 0 toler ncia 7 gt 0 e um ponto inicial xj Para k 0 1 2 fa a gt Encontre um minimizador aproximado x para P up tomando como ponto de partida rS e terminando com VP xx up lt 7 Se o crit rio final de converg ncia foi satisfeito ent o pare retorne a solu o aproximada z gt Escolha um novo par metro barreira 41 0 ju gt Escolha um novo ponto inicial fazendo x7 Lp Fim Para Para garantir que o m todo de Newton convirja rapidamente para o minimizador z uk as seguintes t cnicas podem ser utilizadas a Utilize t cnicas que garantem converg ncia global como busca direcional e me canismos de regi o de confian a Essas t cnicas devem garant
276. lu es esp rias ao exigir que os produtos x 2 sejam estritamente positivos e decrescentes para zero a uma mesma taxa Muitos m todos primal dual tomam o passo de Newton na dire o de C para cada 7 gt 0 em vez de passos de Newton puros que ignoram as desigualdades Uma vez que estes passos t m tend ncia para o centro do poliedro definido por x s gt 0 tipicamente poss vel tomar passos mais longos do que passos de Newton puros sem violar as desigualdades 6 5 Algoritmo Simplex em Nota o Matricial Ap s inserirmos vari veis de folga sempre que necess rio podemos assumir a se guinte formula o do problema de programa o linear Maximize cr Sujeito a ge 6 23 x gt 0 O algoritmo simplex um processo iterativo consistindo em escolher vari veis b sicas a cada itera o A Figura 6 3 ilustra as opera es de pivoteamento que produzem as itera es z gt z 4 gt x tendo como ponto de converg ncia a solu o tima x Conforme nota o estabelecida acima B o conjunto de ndices das vari veis b sicas enquanto M denota o conjunto dos ndices das vari veis n o b sicas Assim cada linha de Ax b pode ser escrita como n Dae b gt X ait po Mijlj b j 1 jeB JEN Seja B a submatriz m x m de A R correspondente s colunas b sicas Note que B tem posto completo rank B m da surge o nome de matriz b sica j que esta pode gerar o espa o de todos os poss v
277. m conjunto finito c o custo de cada elemento j de N e F uma familia de subconjuntos de N dita familia de subconjuntos vi veis e g F C 2 Ent o o problema de otimiza o combinat ria pode ser definido em programa o matem tica POG Marsen Do sez jes Frequentemente POC pode ser formulado como PI ou PIB 10 3 Programa o Linear e Arredondamento Por que n o utilizar PL Poder amos desconsiderar as restri es de vari veis inteiras obter uma solu o tima x para PL e depois arredondar x de forma a se obter uma solu o para PI por exemplo Infelizmente esta abordagem n o funciona como mostra o contra exemplo abaixo Max x 0 6 x sa 50x 3la lt 250 3 219 gt 4 1 2 gt O e inteiros A solu o tima para PL zpr 38 252 1 94 4 92 poderia ser arredondada para a solu o Tp 2 4 que bastante distante da solu o tima x 5 0 Uma ilustra o dada na Figura 10 1 158 10 Fundamentos de Programa o Inteira 376 193 950 193 Sf T o ae Fecho convexo 26 DERA RAS EE RARE E NO ERI dos pontos inteiros 1 2 3 4 5 TI Figura 10 1 Ilustra o da solu o obtida atrav s de arredondamento 10 4 Formula o de PIs e PIBs A formula o de um problema tanto uma arte quanto uma ci ncia Existem t cnicas e metodologias contudo a experi ncia e a intui o continuam e provavelmente continuar o a desempenhar um papel fun
278. m conjunto infinito de decis es o que equivale a dizer que m R Um jogo dito finito quando as decis es de todos os agentes s o provenientes de conjuntos discretos por exemplo zm Sm C 1 k Um jogo dito din mico quando as decis es dos agentes evoluem no tempo seja de maneira cont nua com x t descrevendo as decis es do agente m no instante t seja de maneira discreta com xm k correspondendo s decis es para o agente durante a janela de tempo ltk tk 1 para k 0 1 00 importante tamb m destinguir entre a es controles e estrat gias regras de decis o ou pol ticas de controle Considere um motorista que deve decidir sobre qual rota tomar para se deslocar de casa ao trabalho no dia seguinte sendo as alternativas tomar a rota mais curta atrav s do t nel ou seguir a rodovia ao longo do lago Ent o uma estrat gia para o motorista se o tempo estiver chuvoso ou se o t nel estiver congestionado ent o tomarei a rota mais longa ao longo do lago e caso contr rio 96 7 Teoria dos Jogos tomarei o t nel Isto uma estrat gia ou politica de controle pois a decis o que ser tomada depende de informa es que n o est o sob controle do agente Os resultados de tal estrat gia ap s as informa es que n o podem ser antecipadas condi es clim ticas e condi es de tr fego s o conhecidas s o ditos a es De certa forma uma estrat gia que n o depende de
279. ma constante k gt 0 ent o a partir da linearidade da fun o objetivo conlu se que o conjunto de solu es timas n o se altera O conjunto se altera se adicionarmos uma constante k Dependendo da constante k o conjunto de solu es timas pode ser alterado ou nao Para a rede da Figura A 2 o conjunto de solu es timas n o se altera se k 1 mas modificado quando k 100 10 10 10 10 1 10 OF Figura A 2 Exemplo de problema de fluxo em redes 310 A Exercicios Resolvidos EX 8 6 Substitua cada v rtice 7 pelos v rtices e ig Substitua cada arco i j por 72 j1 utilizando a mesma capacidade e custo do arco original Para cada v rtice i introduza o arco i1 i2 definindo c iy io 0 e u t i2 w i Para cada v rtice i com b i gt 0 fa a b i 0 e b i2 b i Para cada v rtice i com b i lt 0 fa a b i1 b i e bliz 0 EX 8 7 Ver exerc cio EX 8 4 EX 8 8 1 mostre como formular qualquer problema de fluxo em redes de custo m nimo como um problema custo m nimo fluxo m ximo Seja N i E N b i gt 0 No ie N bd Oh e N_ ieN b i lt 0 Aumente a rede G introduzindo os n s s e t Adicione os arcos si para cada i N fazendo cs 0 e us b i e i t para cada i NL fazendo ci 0 e ug b i Fa a b s Jen bC b0 Liew b i e b i O para todo i E N UN Ent o a solu o do problema de fluxo m ximo custo m nimo na r
280. ma podemos escrever o subproblema quadr tico a ser resolvido na k sima itera o como segue SP Minimize p Gp gip Sujeito a 18 28 ap 0 i E Wk Denotamos a solu o de 18 28 por pp Note que para cada i W o termo afz n o se altera medida que movemos na dire o pp uma vez que a p pk al p bi Portanto uma vez que as restri es em W s o satisfeitas por xz elas tamb m sao satisfeitas no ponto x apg qualquer que seja o valor a Suponha por um momento que a solu o tima pp para 18 28 n o nula Temos ent o que decidir qu o longe seguiremos na dire o dada por pp Se xy py fact vel com respeito a todas as restri es ent o definimos x 1 Xp pp Caso contr rio definimos Lk 1 Lk QkPk 18 29 onde ay o maior passo com valor entre 0 1 tal que todas as restri es s o satisfeitas Podemos definir uma f rmula explicita para ay considerando apenas as restri es i Wk pois toda restri o i E Wp ser satisfeita com certeza e Se alp gt 0 para algum i Wp ent o para todo a gt 0 temos que a x QpPr gt al x gt bi portanto a restri o ser satisfeita 2Surge a quest o de como encontrar um iterando inicial xq que seja fact vel para o problema 18 20 De que forma voc encontraria xo 258 18 Programa o Quadr tica e Se ap lt 0 para algum i Wz temos que a xp agp gt b somente se b al h K 18 30
281. mal condicionados do que aque les gerados pelo m todo de barreira logar tmica As implementa es podem ser cons tru das a partir de software padr o para otimiza o irrestrita O m todo de multipli cadores a base de implementa es pr ticas de alta qualidade como LANCELOT por exemplo 19 3 1 Motiva o e Estrutura do Algoritmo Consideramos inicialmente o problema com restri es de igualdade Minimize f x Sujeito a ci x 0 1 E ts A fun o penalidade quadr tica Q x u penaliza as viola es das restri es elevando ao quadrado as infactibilidades e normalizando as com o fator a Mas a penalidade Q x u apresenta problemas de condicionamento Nesse sentido a fun o Lagrangeana aumentada busca evitar problemas de condicionamento ao introduzir explicitamente os estimadores dos multiplicadores de Lagrange fun o penalidade quadr tica A fun o Lagrangeana aumentada definida como Lax A u f a gt Aici a ci x 19 14 iE ic Primeiramente vamos nos lembrar da fun o Lagrangeana padr o e da fun o de penalidade quadr tica L x A f x AiCi 2 19 15a 1 Aun Fa z Doca 19 15b 1 Observa se que a fun o Lagrangeana aumentada 19 14 difere da fun o Lagran geana padr o devido presen a da penalidade quadr tica e tamb m difere da fun o penalidade quadr tica 19 15a devido presen a do termo com os multiplicadores de Lagrange Assim
282. mero de d gitos corretos praticamente dobra a cada itera o 3 6 3 Converg ncia do M todo de Newton O m todo de Newton converge quadraticamente se G x tem posto completo e se xo suficientemente pr ximo de x Para o caso unidimensional a ser estudado nesta se o a converg ncia quadr tica obtida se f x Z 0 Seja J x x 6 um intervalo em torno da solu o x dentro do qual as seguintes condi es s o satisfeitas i existe uma constante m gt 0 tal que f x gt m para todo x T e ii existe uma constante L gt 0 tal que f x f y lt Llx y para todo x y I Vamos mostrar que se x 2 lt 6 ent o L 2 Em outras palavras a desigualdade 3 7 satisfeita com c L 2m garantindo dessa forma converg ncia quadr tica para x Denotando x 4 por xt e xy por x temos que f z ae ae FAG a c 2 BG E g IX F a f x te x F x AH Ha Ha x fa Lembre se que f x 0 N s assumimos que f x gt m e portanto f 2 Fla f e lat a lt E 3 11 Para limitar o numerador podemos proceder como segue Ha Hx Fa 0 rw f x dul PE q EE ju x du 2 ea 3 12 2 3 M todo de Newton Solu o de Equa es N o Lineares e Minimiza o de Fun es 39 Juntando 3 11 e 3 12 obtemos x 2 lt amp a x o que prova 3 10 A desi gualdade
283. mo Para o exemplo da Figura 8 2 o corte m nimo est indicado e este induz uma aloca o A 1 2 4 e Ap 3 5 tendo custo de processamento total iguala 7 8 3 18 que precisamente a capacidade do corte s t m nimo a Corte Figura 8 2 Aloca o balanceada de tarefas em dois processadores como um problema de corte m nimo A aloca o tima consiste em processar os m dulos 1 2 e 4 no processador 1 deixando os m dulos 3 e 5 no processador 2 O custo de processamento dos m dulos igual 15 enquanto que o custo de comunica o 3 perfazendo um custo total de 18 unidades O custo total a capacidade do corte s t m nimo como indicado na figura 8 2 1 Fluxos e Cortes O conceito de rede residual chave no desenvolvimento de algoritmos para o pro blema de fluxo m ximo Dado um fluxo x para uma rede G a capacidade residual r de um arco i j E A a quantidade m xima de fluxo adicional que pode ser enviada usando os arcos i j e j i Vamos assumir por simplicidade que o arco j i ser um elemento da rede sempre que o arco i j fizer parte da rede A capacidade residual tem dois componentes o componente u Xij quantidade n o utilizada do arco i 7 e o componente zj podemos cancelar o envio de zj unidades enviadas atrav s do arco 9 1 Logo ri uij Xij tji Denotamos por G x a rede residual que cont m apenas arcos com capacidade residual positiva A Figura 8 3 traz um exemplo
284. modelagem e a escolha de um algoritmo se refere aos tipos de restri es Restri es Duras Aquelas que devem ser satisfeitas para que os resultados sejam significativos e g a restri o de que x gt 0 para que uma outra restri o tal como yz lt 2 tenha significado as restri es duras podem at mesmo n o ser definidas fora da regi o de factibilidade Restri es Flex veis Aquelas que s o definidas mesmo na regi o infact vel 17 1 Categorizando Algoritmos de Otimiza o 17 1 1 O M todo da Fun o Penalidade Podemos atacar o problema 17 1 por meio da combina o da fun o objetivo e das restri es em uma fun o penalidade e resolvendo uma sequ ncia de problemas irrestritos Se apenas restri es de igualdade est o presentes isto T ent o a fun o de penalidade pode tomar a forma l 2 f z mA x 17 2 1 Onde u gt 0 chamado de par metro de penalidade Minimizamos a fun o acima sem restri es para uma s rie decrescente de valores de u at que uma solu o do problema original seja encontrada 17 1 2 O M todo de Barreiras Adicionamos fun o objetivo termos que s o insignificantes quando x est segu ramente no interior da regi o fact vel mas que tendem a oo quando x se aproxima da fronteira da regi o fact vel Se apenas desigualdades est o presentes a fun o de barreira logar tmica tem forma f e nS logci a 17 3 1 T Onde p gt
285. mos as linhas de M e subtraimos as linhas de Mz de forma que obtemos o vetor nulo e portanto det B 0 o que constitui uma contradi o Retornando quest o de IP fica claro que quando A TU a relaxa o linear LP de IP produz a solu o tima Proposi o 8 5 O programa linear max c r Ax lt b x R tem solu o tima inteira para um vetor b inteiro para o qual existe uma solu o tima de valor finito se e somente se A TU A Figura 8 18 ilustra uma rede cuja matriz de incid ncia dada abaixo Observe que a matriz de inced ncia N de um grafo direcionado G V A satisfaz as condi es suficientes estabelecidas pela Proposi o 8 4 Portanto uma matriz de incid ncia totalmente unimodular Basta fazer M M e M 8 Fluxo em Redes 129 Tio U4 T23 Tg T32 T35 36 45 T51 T53 T65 b i 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 3 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 4 0 dl 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 5 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 4 6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 9 8 5 Refer ncias S o in meras as aplica es de modelos e algoritmos de fluxo em redes em parti cular os modelo de fluxo de custo m nimo Neste cap tulo tivemos a oportunidade de apreciar alguns problemas de cunho te rico pr tico Tais algoritmos s o rotineiramente aplicados na resolu o de subproblemas resolvidos como etapas de outros problemas mais complexos Nos exerc cios por exemplo
286. n mero de arestas tendo ambos os extremos em T no m ximo T 1 2 portanto obtemos a desigualdade gt age a ecE T 190 12 Algoritmos de Planos de Corte e Desigualdades Fortes E prop cio mencionarmos que conv X pode ser obtido atrav s da inser o de todas as desigualdades da forma acima isto conv X precisamente o poliedro dado por conu X x RIZ sente lt 1 vieV 2 ecer Te S mt VT CV T mpar e T gt 3 12 2 5 Arredondamento Inteiro Considere a regi o X PN Zt e P x R4 13x1 20x2 11x3 6x4 gt 72 Dividindo a desigualdade por 11 obtemos a seguinte desigualdade valida para P 13 20 11 6 72 EESC a CC uma vez que x gt 0 podemos arredondar os coeficientes de x para o inteiro mais pr ximo lr Ex tz lu gt i 221 2x5 bg TA gt iL gt 221 2 Da ta gt 2x4 T 229 3 T T4 gt 7 Note que um inteiro que maior ou igual a 6 deve ser maior ou igual a 7 12 2 6 Arredondamento Inteiro Misto Considere o mesmo exemplo anterior mas com a adi o de uma varia o continua Seja X PN Z4 x R onde P y s R4 x Ry 138y 20y 11y3 6y4 s gt 72 Novamente dividindo a desigualdade por 11 obtemos 13 20 11 6 72 TENs SN gra 1191 1192 143 1194 gt Ta Podemos observar que an m o gt ZB T ses 0 2y1 2y Y3 y gt 6 ses 6 Isto
287. ncialmente desigualdades que toquem no polie dro que descreve conv X O conceito fundamental que j utilizamos informalmente o de desigualdade v lida agora formalizado pela defini o abaixo 188 12 Algoritmos de Planos de Corte e Desigualdades Fortes Defini o 12 1 Uma desigualdade rm x lt To uma desigualdade v lida para X C R sem x S To para todo x X Surgem imediatamente duas quest es relevantes a Quais desigualdades s o boas e teis b Se conhecemos uma fam lia de desigualdades para um certo problema como podemos utiliz las de uma forma eficaz Ambas as quest es acima ser o respondidas nas pr ximas se es cujas respostas im plicam diretamente na efic cia de uma abordagem por planos de cortes 12 2 Exemplos de Desigualdades V lidas No que segue apresentamos atrav s de exemplos alguns tipos de desigualdades v lidas que expressam condi es l gicas 12 2 1 Um conjunto 0 1 puro Considere o conjunto da mochila 0 1 onde o conjunto de solu es fact veis X i e as solu es que satisfazem a restri o knapsack dado por X z B 3x1 429 2 3 344 5 lt 2 Para z2 x4 0 temos que a desigualdade 3x7 2 73 25 lt 2 se torna imposs vel de ser satisfeita Portanto conclu mos que uma solu o fact vel deve satisfazer x2 24 gt 1 Sex 1 e x 0 ent o a desigualdade que resulta 2x3 3x4 s lt 5 nao poder ser
288. nd i j in ARCS sum k in LSPS 1 in LEVELS lsp_lbd k 1 x k 1 i j lt lk_uli j subject to Lsp_Delay k in LSPS sum i j in ARCS 1 in LEVELS lk d i jl x k 1 i j lt 1sp delay k subject to NetFlow O k in LSPS 1 in LEVELS i in NODES diff lsp_s k lsp_d k sum i j in ARCS x k 1 i j sum j i in ARCS x k 1 j i 0 subject to NetFlow_s k in LSPS 1 in LEVELS sum lsp_s k j in ARCS x k 1 1sp s k jl sum j lsp_s k in ARCS x k 1 j lsp_s k 1 y k 1 ni ET Seren eS ce E Sa too e o subject to NetFlow_d k in LSPS 1 in LEVELS sum lsp_d k j in ARCS x k 1 1sp d k jl sum j lsp_d k in ARCS x k 1 j lsp_d k 1 y k 1 subject to Connection k in LSPS sumtl in LEVELS y k 1 1 Inst ncia Exemplo set LSPS 123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 set NODES 1234567 set ARCS 1 3 3 1 2 3 3 2 3 4 4 3 3 5 5 3 4 6 6 4 5 6 6 5 9 Linguagens de Modelagem 152 6 7 7 6 01 2 set LEVELS 1 3 100 1 3 1 100 1 2 3 100 1 3 2 100 1 3 4 100 1 4 3 100 1 3 5 100 1 5 3 100 1 4 6 100 1 6 4 100 1 5 6 100 1 6 5 100 1 lku lk ad 6 7 100 1 param 7 6 100 1 lsp_p lsp delay 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 lsp d param lsp_s 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 param lsp lbd 1 DA 0 16 10 20 14 28 0 0 2
289. ndamentos e Condi es de Otimalidade 241 16 4 Exerc cios EX 16 1 Use as condi es KKT para mostrar que o problema abaixo possui um n mero infinito de timos locais Minimize 2 Sujeito a z gt 1 onde e a norma Euclidiana EX 16 2 O problema abaixo possui um n mero finito ou infinito de timos locais Use as condi es KKT para justificar a sua resposta Minimize xo 100 0 012 Sujeito a X2 cos x1 gt 0 EX 16 3 Quais s o as dificuldades para se resolver o problema abaixo com software de otimizagao Minimize z y TY Sujeito a z 1 Proponha uma formula o alternativa equivalente para o problema EX 16 4 Quais s o as dificuldades para se resolver o problema abaixo com software de otimiza o Minimize Max y de k 1 2 3 T1 T2 onde yk z T k k 1 2 3 e d 1 1 5 1 2 Proponha uma formula o alternativa equivalente para o problema EX 16 5 Seja f R R uma fun o n o linear cont nua e diferencialmente cont nua Prof Kunz disp e de um pacote de otimiza o de fun es n o lineares cont nuas que resolve problemas da forma Minimize g x x eR onde g R gt R uma fun o cont nua e diferenci vel Prof Kunz afirma que se pode utilizar o pacote de software para encontrar uma raiz para f ou seja x R tal que f x 0 Voc concorda ou discorda do Prof Kunz Se v
290. ndimento dessas quest es 1 Modelos s o geralmente especificados usando s mbolos para representar as diver sas vari veis de decis o bem como o relacionamento entre as vari veis por meio de desigualdades e igualdades 2 Modelos Gen ricos s o obtidos atrav s de uma descri o sistem tica dessas res tri es e dos objetivos 3 Inst ncia o resultado da combina o do modelo gen rico com um conjunto de dados a qual pode ser otimizada Modelo mochila3 mos model mochila3 uses mmxprs declarations Itens set of strings MAXWT real Peso array Itens of real Valor array Itens of real x array Itens of mpvar end declarations Carregar os dados a partir de arquivos externos initializations from mochila3 txt Itens MAXWT Peso Valor end initializations Criar vari veis forall i in Itens create x i Todas as vari veis x s o bin rias forall i in Itens x i is binary Objetivo ValorTotal sum i in Itens x i Valor i Restri o de capacidade de peso da mochila PesoTotal sum i in Itens x i Peso i lt MAXWT maximize ValorTotal writeln O valor da fun o objetivo getobjval end model 142 9 Linguagens de Modelagem Arquivo de Dados mochila3 txt Itens camera colar vaso quadro tyv yideo bau tijolo Peso 2 20 20 30 40 30 60
291. nga Aqui ilustramos os elementos b sicos de um algoritmo de programa o din mica Essencialmente um algoritmo DP pode ser projetado em tr s passos 1 Formule uma resposta como uma rela o de recorr ncia 2 Mostre que o n mero de valores distintos de cada recorr ncia limitada por um polin mio de prefer ncia de baixa ordem 3 Especifique uma ordem para avaliar a recorr ncia de forma que sempre se fa a c lculos sobre valores j conhecidos Problema dada uma sequ ncia de n n meros e g 9 5 2 8 7 3 1 6 4 deseja se encontrar a subsequ ncia mais longa cujos n meros est o em ordem crescente No problema em considera o a sequ ncia mais longa para s 9 5 2 8 7 3 1 6 4 de comprimento 3 podendo ser a subseqii ncia s 2 3 4 ou a subseqii ncia S2 2 3 6 14 Programa o Din mica Dominio Discreto 207 Se estiv ssemos procurando uma sequ ncia cont giia o problema seria facilmente resolvido Qual seria o n mero de solu es candidatas O n mero de solu es candidatas pode ser calculado pela recorr ncia T n n t n D n D 4 1 14 8 nn gt T n O n 14 9 Para a situa o sob considera o qual o n mero de poss veis solu es candidatas T n 1 2 2 14 10 5 14 11 k 1 1 1 pelo Bin mio de Newton 14 12 9 gt T n O 2 14 13 Nao dif cil construir um algoritmo com tempo de execu o O n para enco
292. nido por g 09561 0 6888 p 1 0 6888 0 6044 2 o algoritmo de descenso produziu a seguinte lista iterandos 54 5022 30 3585 6 1911 8 4746 19 3641 24 8628 19 1041 25 0717 19 1750 25 1599 19 1736 25 1611 19 1739 25 1615 19 1739 25 1615 que est ilustrada na Figura Na implementa o o passo do algoritmo foi calculado de forma tima simplesmente fazendo a derivada da fun o f x pr f ak igual zero EX 2 7 Seja A 1 0Q gt 0 Note que A A e portanto existe uma fatoriza o A UTAU ondes Led A dag E e Ai 1 n s o OS 292 A Exercicios Resolvidos autovalores de A Logo temos vt I aQ r x7 Ax a UTAUs AZ z Uz n 1 1 z max A o A max o A z z max o A sTUTU r max o A a max A 1 aQ l2 ll ll IA EX 2 8 Fazendo Q UTAU onde A diag o Q basta verificar que I a Q I a UT AU UTU a UT AU UT I a A UP UTU ak UUT a A U UT I a A U Portanto os autovalores de 1 a Q s o iguais a 1 apr EX 2 12 As respostas sao dadas abaixo ill vi Prof Kunz est correto Note que f x 2 e e Observe ainda que f x 0 apenas quando x gt oo ou x gt ou seja lim oo f x lim 0 f x 0 Logo n o existe m nimo local pois f x O condi o necess ria Correto pois todo m nimo local x de
293. njunto de fornecedores T t tn o conjunto de clientes e u a capacidade de produ o do fornecedor s dj a demanda do cliente tj e e ci o custo unit rio de transporte do fornecedor s para o cliente tj Forncedores Clientes w1 s1 O t d1 u a 4 t d2 Um 8m O tn dn Figura 8 1 Problema de transporte O problema de encontrar a aloca o de produ o e transporte entre fornecedores e clientes que minimiza o custo agregado de transporte problema de transporte pode ser formulado em programa o matem tica m n Minimize 5 gt Cig Liz i 1 j 1 Sujeito a uy DE tij d EERE i 1 n Xo tiy S Um ae js jal Tij 2 0 t hoa Mm j 1 n onde x a quantidade produzida enviada pelo fornecedor s ao cliente tj Uma inst ncia exemplo do problema de transporte dada nas Tabelas 8 1 8 2 e 8 3 Observe que a capacidade total de produ o supera a demanda agregada dos clientes 3 ju 284 gt 275 D d De outra forma o problema seria infact vel A solu o tima 8 Fluxo em Redes 109 para este problema tem custo 25919 sendo dada por 031 6 gs T c Toy 56 T32 83 Cee to 0 T33 0 Tis 87 4 Tabela 8 1 Capacidade de produ o dos fornecedores Fornecedores 5 S2 83 Capacidade 135 56 93 Tabela 8 2 Demanda dos clientes Cliente ti to ts t4 Demanda 62 83 39 91 Tabela 8 3 Custo unit rio de transporte Fornecedores C
294. no ponto x obtendo ve 9 ovine 1 th Logo x satisfaz as condi es necess rias e suficientes pois V f x 0 e V2f a positiva definida EX 2 2 Primeiramente obtemos o gradiente de f 2 vite pha 16m 4en 3 Dessa forma x 4 2 o nico ponto que satisfaz as condi es de otimalidade de primeira ordem Calculando a Hessiana neste ponto obtemos vrey 5 4 Sendo V f x indefinida conclu mos que x n o um ponto m ximo nem m nimo local EX 2 3 Vfh r ce V fi r 0 Vifo a 547 54re V folz 547 54 2 Se A for sim trica ent o V f x Ax e V falx A Como exemplo seja fo x dada pela matriz Q21 422 des be d A Exercicios Resolvidos 291 Entao fica facil de verificar que 11 G12 1 Q11 Q21 T Vide f 21 reall afafa M 2a11 a12 a21 T E a12 a21 2a22 t2 2 11 12 Qil Q21 Vie E 21 G22 Q12 Q22 2am a12 a21 a12 a21 2a29 EX 2 4 a h ax 1 a xs aaa ae f axi 1 a x2 g ex1 1 a z2 lt af z 1 a g x2 ah x1 1 a h z2 logo h x b h x f x g x pode n o ser convexa Para f x xe g x zr obtemos h x c ncava c h x f x n o necessariamente convexa Para f x x 30 pode se verificar que h x n o convexa d Para f x x verifica se f x gt 0 no dom nio x gt 0 Contudo h x uma fun o concava no dom nio x gt 0 EX 2 5 Para o problema defi
295. nto em problemas dif ceis A Figura 2 2 ilustra as curvas de n vel contour curves de uma fun o f R gt R em torno de um timo local x O gradiente de f em um ponto x ortogonal curva de n vel que passa pelo ponto zx Curva de n vel T2 T Figura 2 2 Ilustra o do gradiente de uma fun o V f z que assume a dire o ortogonal curva de nivel que passa por 2x 22 2 Minimiza o de Fun es com o M todo de Descenso 2 3 3 Encontrando a Dire o de Busca O processo iterativo do m todo de descenso dado por 2 41 Tk QkPk onde a um escalar positivo chamado de passo e pp um vetor chamado de dire o de descenso O sucesso do m todo depende da escolha adequada da dire o e do passo O algoritmo exige que py seja uma dire o de descenso ou seja V f xz pp lt 0 Outros algoritmos utilizam uma dire o da forma py B Vf xp onde By uma matriz sim trica n o singular Note que quando B positiva definida p define uma dire o de descenso 2 3 4 Encontrando o Passo Durante a computa o do passo ay deparamo nos com um conflito Por um lado desejamos escolher a que produza uma redu o substancial em f mas por outro lado n o desejamos gastar muito esfor o computacional durante a escolha O passo ideal minimizaria a fun o a definida por a f x app onde a gt 0 Encontrar um minimizador local pode ser muito caro necessitando v
296. ntrar a subseq ncia mais longa de uma cadeia de n s mbolos Tomando como base o n mero de poss veis solu es para a vers o do problema onde a subcadeia n o necessariamente cont gua O 2 nos parece totalmente invi vel enumerar todas as poss veis solu es Veremos a seguir que apesar do n mero elevado de solu es candidatas podemos projetar um algoritmo DP de tempo O n 14 3 1 Construindo um Algoritmo Suponha que para a sequ ncia s s1 82 Sn 1 conhecemos o comprimento Ik k 1 n 1 da sequ ncia mais longa que termina no elemento sy de s Como podemos encontrar a sequ ncia mais longa em s4 sn Isto pode ser realizado por meio da recorr ncia ln Matlin 1 Sk lt Sn k 1 n 1 para a qual um algoritmo dado a seguir Algoritmo LS s lo 0 so 0 po 0 predecessor p o ndice do elemento que aparece imediatamente antes de s na sequ ncia que termina em s fork 1 to n do ly Missal Sj lt Sk Pk ArgMax j 0 h 114 1 Sj lt Sk return Max l k 1 n 208 14 Programa o Din mica Dominio Discreto O funcionamento do algoritmo durante o c lculo da sequ ncia mais longa da cadeia s 9 5 2 8 7 3 1 6 4 ilustrado na Tabela 14 2 O comprimento da cadeia mais longa portanto 3 Mar l i 1 n tendo como solu o a subcadeia que termina no elemento 4 ou a subcadeia que termina no elemento 6 Tabela 14 2 Tabelas DP para o P
297. nvestidor deseja investir em um conjunto S 1 7 de a es Usando vari veis 0 1 formule as seguintes restri es i n o pode se investir em todas as a es ii pelo menos uma a o deve ser selecionada iii a a o 1 n o pode ser escolhida se a a o 3 escolhida iv a a o 4 pode ser escolhida apenas se a a o 2 escolhida v ambas as a es 1 e 5 devem ser escolhidas ou exclusivamente nenhuma delas e vi pelo menos uma das a es do conjunto 1 2 3 ou pelo menos duas a es do conjunto 2 4 5 6 EX 10 2 Formule os seguintes problemas em programa o inteira mista i u min x1 x2 assumindo que 0 lt z lt C para j 1 2 ii v x2 com 0 lt x lt S C para j 1 2 e iii o conjunto X z onde X x Z Ax Sb e r e X EX 10 3 Sejam X x Bt 97x 327 2523 2024 lt 139 X z B4 20 2 3 4 lt 3 X3 2 Bt 1 2 T3 lt 2 Ly v9 v4 lt 2 1 T3 T4 S 2 onde B 0 1 Mostre que X X X3 EX 10 4 Considere a inst ncia do problema do caixeiro viajante sim trico conforme Figura 10 8 As arestas omissas possuem um custo proibitivo Encontre uma solu o tima utilizando um pacote de software capaz de resolver problemas de programa o inteira mista Sugest o utilize o software lp solve instalado no diret rio home pesquisa camponog lp solve_1 4
298. o A derivada de J d 2r aly po O eer 1 a u Tla 1 Ju Jo 2uo Tine 1 a zo a 1 auo Ja 1 a e fazendo dJo dug nula calculamos a lei de controle tima para o primeiro est gio ra l a 1 ra 1 1 a molto 1 a zo Consequentemente obtivemos uma politica de controle tima 7 jd p 340 A Exercicios Resolvidos EX 15 3 Considera es inciais e Seja x t b o estado da m quina no in cio da semana k on t indica que a m quina est trabalhando e q m quina quebrada e Seja ux q E r s a o no nicio da semana k se o estado da m quina quebrada onde r indica reparo e s substitui o por uma m quina nova e Seja u t E m n a a o no in cio da semana k se o estado da m quina trabalhando onde m indica manuten o preventiva e n indica que nenhuma medida ser tomada e J x O lucro m ximo a partir da semana k se a m quina inicia a semana no estado Vamos aplicar o algoritmo de programa o din mica a partir da ltima semana e progredir at a primeira semana Semana k 4 Consideramos os dois poss veis estados a x t O custo timo dado por Ja t max 0 6x80 0 4x 20 0 3 x 100 0 7x0 manuten o sem preven o max 40 30 40 Portanto J4 t 40 e a t m b x q O custo timo dado por Js q max 0 6 x 60 0 4x 40 50 reparo substitui o max 20 50 20 Portanto J4
299. o n mero m ximo de caminhos disjuntos de s para t exatamente o n mero m nimo de arcos que devem ser removidos de maneira a desconectar s e t que precisamente a conexidade arco ds Outra propriedade de interesse a conexidade v rtice entre dois v rtices distintos set Mas antes de discutirmos esta propriedade vamos definir a propriedade quebra de v rtices sobre um grafo G V 4 a qual produz um grafo G V A como segue V i i E V e A i 7 1 EV U W 9 i j E A A conexidade v rtice entre s e t definida como o menor n mero de v rtices distintos de s e t que devem ser removidos de forma a quebrar todos os caminho de s para t Vamos assumir que s t A Seja 6 4 a conexidade v rtice entre s e t Note que 6 4 maior ou igual ao n mero m ximo de caminhos v rtice disjuntos de s para t Para calcular 51 tomemos o grafo G obtido a partir da quebra de v rtices de G Definindo u 1 para todo i V e uy para todo i j A o fluxo m ximo de s para t em G nos d pelo Teorema 8 2 o conjunto m ximo de caminhos v rtice disjuntos de s para t Pelo Teorema 8 3 deduzimos que a conexidade v rtice 6 4 iguala o n mero m ximo de caminhos v rtice disjuntos que por conseguinte iguala a capacidade de um corte s t 8 Fluxo em Redes 119 m nimo S S Em outras palavras o n mero m ximo de camimhos v rtice disjuntos igual ao n mero m nimo de v rtices que devem ser
300. o todo m nimo local x 8 y B satisfaz 8 lt 2 e consequentemente satisfaz as condi es suficientes de segunda ordem Al m disso f x se torna convexa e todo ponto estacion rio um m nimo local que por sua vez um m nimo global EX 3 8 Analisamos cada uma das fun es separadamente 1 Observando que Vf x y 4x x 4 2y podemos calcular os pontos estacion rios fazendo Vf 0 Da conclu mos que os pontos estacion rio s o 21 0 0 z2 2 0 23 2 0 Observando que f x y gt 0 para todo x y podemos concluir que zo e z3 s o m nimos globais Calculando a Hessiana de f obtemos a 1222 16 0 al ee No ponto 0 0 verificamos que V 0 0 indefinida implicando que 0 0 n o um m nimo local nem um m nimo global A fun o f ilimitada por cima e n o possui m ximo local 2 Calculando o gradiente de f obtemos 4zr y x 2x vas 2 y 2 A Exercicios Resolvidos 297 Forcando V f x y O descobrimos que y z gt x 0 e y 0 O nico ponto estacion rio 0 0 A partir da Hessiana a 122 4y 2 4r yel 4x 2 poss vel verificar que no ponto 0 0 a Hessiana 2 a 0 indefinida Com isso 0 0 n o constitui ponto de m nimo nem m ximo local 298 A Exercicios Resolvidos A 4 Otimiza o Black Box EX 4 2 O problema da bi parti o m xima essencialmente o problema de corte m ximo em grafos que foi demonstra
301. o ak AVIS etek BES cas 227 Fronteiras n o suaves 2 A 231 Espa o de solu es ma peidos ae hee bot Wes E AL RO a 232 Dire es de descenso ss oo eR a 233 Restri o de desigualdade id E Sa ETA Sale a 234 Regi o de descenso n o vazia o oo oa a a 235 Regi o de descenso vazia o oo te ee ee a 236 Mejo disco d sao a ak e a he hk OE R SR q D SA 236 16 8 Regi o de descenso vazia 2 4 4 8 4906 dA AS RR OMe Ee ES 16 9 Ambas AS restri es cese costy ie dry E ERR DRA Sd 16 10Regia fact vel ma dish saand Ga aAa E Deas cot O eR es 17 1 Curvas de n vel das fun es z y e y x 1 aaa aa aaa 18 1 Regi o fact vel e curvas de n vel da fun o objetivo aoaaa aa 18 2 Seq ncia de iterandos oao a Raa doe A cp Sd e da So ag 19 1 Curvas de n vel da fun o P x u x wlogx ulog 1 x para AER T E E at ee T Ae bi 19 2 Curvas de n vel da fun o P x y m t2 5 u log z log 1 z1 log x2 log 1 x2 para u 22 5 2 19 3 Curvas de n vel da fun o La x 0 4 50 aaa aaa 194 Elips ides Ssd asa a aea hae ole Oe nek e a aA em A 1 Solu es do sistema de equa es n o lineares sooo aa A 2 Exemplo de problema de fluxo em redes A 3 Ilustra o da redu o do problema de caminhos m nimos com ped gio ao problema de fluxo de custo m nimo atrav s da opera o de quebra de WOTUICES 6 22 96 a a aeni a eee e
302. o linear o problema de decidir quantas unidades de cada item devem ser produzidas EX 1 2 M nimos Quadrados Formule os problemas a seguir como problemas de m nimos quadrados Para cada problema forne a a matriz 4 e o vetor b tal que 1 As Sub reas da Otimiza o 15 o problema possa ser expresso como Minimize Ax b x Tarefas a Minimize x7 x Bx dl onde B R ede RPexeR b Minimize Ba d Fx g onde B ER d R F R ge RI exek c Minimize Bz dl 2 2 Fz gl onde B RP d RP F RX gER eze R d Minimize x 2r2 3x2 1 2 3 1 21 4x 2 Sugest o expresse os tr s termos principais na forma procurada depois utilize os resultados obtidos em a b e c EX 1 3 Projeto de Latas O pre o do cm de lat o R 2 00 Deseja se produzir latas cil ndricas sem tampa com volume igual ou superior a 500 cm e de custo mais baixo poss vel Formule em programa o matem tica otimiza o n o linear com restri es o problema de dimensionar a lata ou seja de encontrar a altura h cm e raio r cm da lata poss vel formular este problema em programa o n o linear irrestrita EX 1 4 Rede de Abastecimento de gua Considere uma regi o onde ser o instaladas M caixas de gua sendo a caixa m localizada na posi o m Ym conhecida Suponha que um tubo mest
303. o objetivo Min se f y gt Cig Li fat i 1 j l 10 Fundamentos de Programa o Inteira 165 Problema completo n m n Minimize 5 ter 5 Cijlij j 1 1 i 1 j Sujeito a i 1 i 1 m x 3 10 1 X tij my beat eee i 1 y 0 1 Qs NRN Me One lt 1 Z 1 mej Hl n 10 6 3 Alternativas Discretas e Disjuntas Uma rea que tem recebido aten o de pesquisadores e est tendo resultados pro missores na pr tica a programa o disjuntiva ou seja modelagem e algoritmos com base em disjun es Para entender a programa o disjuntiva suponha que x R satisfaz O lt r lt ue nao 10 2 atx lt b ou air lt by 10 2 Em outras palavras x deve satisfazer uma ou outra restri o linear n o sendo ne cess rio mas poss vel que ele satisfa a ambas as restri es A regi o fact vel de uma disjun o com duas restri es ilustrada na Figura 10 1 Note que a regi o fact vel n o convexa T2 T da Sa Regi o Factivel Figura 10 4 Regi o fact vel n o convexa Podemos representar as equa es em 10 2 ou melhor a disjun o ou em pro grama o inteira mista Sim poss vel Seja M maxafala b 0 lt x S u 166 10 Fundamentos de Programa o Inteira Primeiramente introduzimos duas vari veis bin rias y e y2 cuja sem ntica explici tada abaixo 1 sex satisfaz atx lt b 1 P y O caso contr rio 1 sez satisfaz ab
304. o problema de encontrar um vetor x que minimiza uma fun o f x e ao mesmo tempo solu o simult nea de um sistema de equa es Minimize f x Sujeito a cn 0 onde x R f R gt Rec R gt R com m lt n Pela teoria cl ssica de otimiza o podemos tomar o Lagrangeano L g A f x Nela f x Aici 2 42 3 M todo de Newton Solu o de Equa es N o Lineares e Minimiza o de Fun es onde R o vetor com os multiplicadores de Lagrange Da mesma forma que o problema de minimiza o irrestrita para um par solu o multiplicador x definir uma solu o localmente tima a derivada deve ser nula com respeito a x e portanto TAGAS S 3 14 PEGA 3 15 Calculando as derivadas conforme 3 14 e 3 15 obtemos VL VEE X AVale V f x Ve x T A 3 16 Val e x 3 17 onde Vc x o Jacobiano de c Note que as condi es 3 14 e 3 15 podem ser satis feitas por um par x que induz um m nimo local m ximo local ou simplesmente um ponto estacion rio Da mesma forma que em otimiza o irrestrita podemos de senvolver condi es necess rias de segunda ordem Primeiramente vamos calcular a Hessiana do Lagrangeano com respeito a q H VL Ent o pode ser demonstrado que condi es necess rias 3 19 e suficientes 3 20 para que o par x A seja um m nimo local s o respectivamente u Hu gt 0 3 19
305. o z um vetor que pertence ao segmento x y 3Pelo Teorema do Valor M dio fa a y k a p x e observe que y x a pk e Zz k app 2 Minimiza o de Fun es com o M todo de Descenso 25 Procedimento Escolha a gt 0 tipicamente a 1 Escolha p c 0 1 Fa a a a Repita at que f x app S f x aV f x py Fa a a pa Fim repita Termine com a a O procedimento acima encontra um passo satisfat rio i e que satisfaz as condi es de Wolfe ap s um n mero finito de itera es pois ay eventualmente se torna pequeno o suficiente para satisfazer a condi o de Armijo 2 3 6 Converg ncia do M todo de Descenso Para que o algoritmo de descenso obtenha converg ncia global devemos escolher n o apenas dire es apropriadas mas tamb m passos adequados O teorema a seguir descreve condi es suficientes para que o m todo de descenso convirja a partir de qualquer ponto inicial para um m nimo local Teorema 2 5 Considere uma itera o 2 1 onde pp uma dire o de descenso e ak satisfaz as condi es de Wolfe 2 4 Suponha que f limitada por baixo em R e que f continuamente diferenci vel em um conjunto aberto N que cont m o conjunto L x f x lt f xo onde xo o ponto inicial da itera o Assuma ainda que V f Lipschitz cont nua em N i e existe uma constante L gt 0 tal que V f z VE I lt Lle para todo x N 2 9
306. oc discorda mostre porque n o podemos utilizar o pacote de software Se voc concorda mostre como que uma raiz pode ser encontrada EX 16 6 Seja f R gt R uma fun o n o linear cont nua e diferencialmente continua Prof Kunz disp e de um pacote para solu o de sistemas de equa es e desigual dades n o lineares que encontra caso exista uma solu o x para g x lt 0 h x 0 242 16 Programa o N o Linear Restrita Fundamentos e Condi es de Otimalidade onde g R gt Reh R gt R s o fun es cont nuas e diferenci veis Prof Kunz afirma que se pode utilizar o pacote de software para encontrar um m nimo local para f x Voc concorda ou discorda do Prof Kunz Se voc discorda mostre porque n o podemos utilizar o pacote de software Se voc concorda mostre como que um m nimo local pode ser encontrado EX 16 7 Desenvolva as condi es KKT para o problema abaixo e obtenha as equa es que devem necessariamente ser satisfeitas por um m nimo local Minimize gt CiXj y gilxi i 1 i 1 Sujeito a gt t lt b i 1 Ti gt 0 Neg et onde gi x i 1 n s o fun es diferenci veis Capitulo 17 Programacao Nao Linear Fundamentos de Algoritmos Aqui iniciamos a discuss o de algoritmos para a solu o do problema geral de otimiza o sob restri es P Minimize f x x R Sujeito a 17 1 a z 0 i ce z lt 0 ie Onde
307. ocessador 2 e um v rtice para cada m dulo 1 n Para cada m dulo 2 insira um arco s i com capacidade us 8 um arco i t com capacidade uy a um arco i j com capacidade u ci se os m dulos interagem A Figura 8 2 ilustra a rede obtida para um problema cujos tempos de processamento est o na Tabela 8 4 e cujos custos de comunica o s o dados na Tabela 8 5 Tabela 8 4 Custo de processamento i 1 2 3 4 5 Bi 5 6 2 2 2 5 4 Tabela 8 5 Custo de comunica o 12 3 4 5 1 5 1 215 1 3 1 110 4 1 1 1 5 10 1 Observe que existe uma correspond ncia de 1 para 1 entre corte s t na rede e aloca o de m dulos a processadores sendo a capacidade do corte precisamente o custo da aloca o Seja A U Ag 1 n A N A uma aloca o de m dulos aos processores 1 e 2 respectivamente O custo desta aloca o dado por gt Qi gt bi Cij 8 3 1 Ay 1 As 1 j A1x A2 O corte s t correspondente a esta aloca o 8 5 com S s U A e S t U As Este corte cont m um arco i t para cada i A cuja capacidade u a um arco s i para cada i E A cuja capacidade us 5 e um arco i j de capacidade u c para cada i j Ai x Ag Portanto u S S ica Git ica Bit Dei je A x Ay Cis Encontrando o corte de capacidade minima estaremos produzindo uma alocacao de 112 8 Fluxo em Redes custo m ni
308. ograma o linear 2 Max c x x E P Exemplo z Mar 4 22 S A 7X41 2 9 lt 14 v2 lt 3 221 2xs lt 3 r E Z2 Limite inferior observe que x 2 1 fact vel portanto z gt 7 limite superior a solu o tima da relaxa o linear x 2 3 com 22 8 To 73 portanto conclu mos que z lt 8 lt 5 onde 8 Proposi o 11 2 Sejam P P duas formula es para o problema inteiro z Mazxfc r x X NAZ sendo P mais apertada do que P ou seja Py C P Se zP Manter x PA paris 12 entao mr 11 Programa o Inteira Relaxa es e Algoritmo Branch and Bound 175 Proposi o 11 3 i Se a relaxa o RP infact vel ent o o problema original PI infact vel ii Seja x uma solu o tima para RP Se x X AZ e f a c x ent o x uma solu o tima para PI 11 3 Relaxacao Combinat ria Sempre que a relaxa o um problema de otimiza o combinat ria dizemos que ela uma relaxa o combinat ria A seguir exemplificamos a relaxa o combinat ria no problema do caixeiro viajante e no da mochila 11 3 1 O Problema do Caixeiro Viajante Lembrarmos incialmente a formula o em programa o matem tica do problema PCV Minimize N cyt 11 1 i 1 j 1 sa Sgt VS 11 2 j l pet glam 11 3 i 1 yy agel WSC l n S 22 114 iES j S Eliminando a fam lia de restri es 11 4 obt m se um problema de aloca
309. ois exemplos de matrizes que n o s o TU 110 a A 011 101 8A matriz adjunta adj B a transposta da matriz cofatora cof B de B i e adj B cof B T A entrada cof B o determinante da matriz obtida a partir de B removendo a linha i e a coluna j e multiplicando o resultado por 1 T 128 8 Fluxo em Redes pois det A 2 e det A 2 Dois exemplos de matrizes TU s o fe htt ih O21 00 0 ca gia a Ome Mis cage A A 10111 0 1 0 1 or a at UY 0 51 00 10000 Note que se 4 TU ent o a E 1 1 0 para todo i j Proposi o 8 3 Uma matriz A TU se e somente se e a matriz transposta AT TU e e a matriz A I TU A condi o suficiente dada pela proposi o a seguir simples e nos permite verificar que uma das matrizes acima TU Proposi o 8 4 Condi o suficiente A matriz A TU se i aij 1 1 0 para todo i 7 m ii cada coluna cont m no m ximo dois coeficientes n o nulos gt a lt 2 e i 1 iii existe uma parti o M M2 do conjunto M das linhas tal que cada coluna j que contenha dois coeficientes n o nulos satisfaz S aj gt aij 0 1 M1 ie M2 Prova Suponha que A nao TU e seja B a menor submatriz quadrada de B para a qual det B 0 1 1 B n o pode conter uma coluna com uma nica entrada n o nula pois B n o seria m nima Portanto B cont m duas entradas n o nulas em cada coluna Pela condi o iii adiciona
310. om componentes Ai i E UT tal que as seguintes condi es s o satisfeitas no ponto x A Vie 0 ci x 0 para todoi E E c x2 gt 0 para todoicT 16 33 gt 0 paratodoicT Aci x 0 paratodoic EUT As condi es 16 33 s o conhecidas como Karush Kuhn Tucker Conditions KKT Conditions Uma vez que a condi o de complementaridade Ajc 2 240 16 Programa o N o Linear Restrita Fundamentos e Condi es de Otimalidade 0 para todo i UZ implica que os multiplicadores de Lagrange associados s res tri es inativas devem ser nulos podemos reescrev la como 0 Vl Vi a So MVela t 16 34 i A ax Observa o Para um dado problema 16 32 podem existir v rios vetores A satis fazendo 16 33 Todavia quando a condi o LICQ satisfeita a solu o nica 16 3 1 Exemplo Considere o problema abaixo Minimize z 3 2 1 4 Sujeito a ek 16 35 XY Ta gt 0 1 T T2 a 1 Ly T2 A regi o fact vel ilustrada na Figura 16 10 A T2 Regi o fact vel Curvas de n vel para f x Figura 16 10 Regiao factivel Com base na figura podemos nos convencer que a solu o tima 2 1 0 Apenas a primeira e a segunda desigualdades est o ativas em x A x 1 2 crore 4 vaer f coesa 2 Portanto as condi es KKT s o satisfeitas para 3 0 0 16 Programa o N o Linear Restrita Fu
311. om o modelo gen rico o arquivo com os dados e o arquivo de comandos 1 Modelo Gen rico Especifica o das vari veis restri es e fun o objetivo Problema da Mochila set Itens param c j in Itens c j o valor do item j param w j in Itens wlj o peso do item j param b gt 0 var x j in Itens integer gt 0 lt 1 Fun o objetivo maximize valor sum j in Itens c j x j restri o capacidade da mochila subject to mochila sum j in Itens w j x j lt b 2 Arquivo de Dados S o explicitados os par metros de uma inst ncia particular set Itens camera colar vaso quadro tv video bau tijolo param camera colar vaso quadro tv video bau tijolo param b 120 20 20 30 40 30 60 10 15 100 60 40 15 10 3 Arquivo de Comandos Diretivas para AMPL 144 9 Linguagens de Modelagem solve display valor display w display c display x 9 2 2 Comentarios A linguagem AMPL rapidamente se tornou um padrao entre pesquisadores e enge nheiros hoje dispon vel na maior parte dos pacotes de otimiza o H um site exclusi vamente dedicado AMPL http www ampl com onde est o depositados exemplos al m de in meras informa es e ponteiros A prop sito existe um livro sobre AMPL e suas aplica es bem como uma vers o educacional da linguagem que pode ser empre gada para resolver problemas com um n mero pequeno de vari veis e res
312. on rio vi vel basta executar um pivoteamento com a vari vel xo fazendo a vari vel b sica mais negativa sair na base Assim x a vari vel que entra na base enquanto que w a vari vel que sai da base As equa es a seguir descrevem a opera o de pivoteamento to 2 7 2x9 W2 wi 1 1 T3 2 z1 242 we 1 3 2 w 6 16 W3 1 2 o 1 3 2 2 2x2 w2 3 T1 3 We Executando o pivoteamento conforme equa es 6 16 obtemos o dicion rio abaixo Max 2 24 229 W2 wi 1 329 Wo To 2 A 2 9 rW2 W3 3 X 39 TW 2 Segundo Pivoteamento Fazendo x entrar na base 2 deve obrigatoriamente deixar a base gerando o dicion rio Max 6 O 29 Ww 1 3 9 rW2 t 2 To 2xo rW2 w3 1 2X Note que o dicion rio acima timo para o problema auxiliar e mais ainda a solu o candidata x 2 x2 0 wy 1 wo 0 e w3 1 fact vel para o problema original dado que 6 0 Obtendo Dicion rio Fact vel Eliminando a coluna de x e introduzindo a fun o objetivo inicial obtemos um dicion rio fact vel para o problema original Max 6 4 329 2we WN 1 3 9 rW2 Ly 2 2 9 rW2 W3 1 T2 Pivoteamento O dicion rio acima n o timo assim podemos fazer x2 entrar na base e w sair da base obtendo o dicion rio Max 3 w ws dl _ wi w2 an i
313. on rios Aqui consideraremos o problema inteiro Mazx c x Ax b x gt 0 e inteiro O princ pio b sico resolver a relaxa o linear e encontrar uma base tima a partir desta base se escolhe uma vari vel b sica que n o seja inteira e ent o geramos uma desigualdade Chvatal Gomory associada a esta vari vel b sica visando cort la ou seja elemin la do poliedro de relaxa o Supomos que dada uma base tima o problema pode ser reescrito na forma Max Osorio Wests jENB Sujeito a gu gt Oise Tuo para u 1 m jENB x 20 e inteiro onde 1 q lt 0 para j NB 2 quo gt 0 para u 1 m e 3 NB o conjunto de vari veis n o b sicas portanto B u 1 m UNB l n Se a solu o b sica tima x n o for inteira ent o deve existir uma linha u tal que Guo Z Escolhendo esta linha o corte de Chv tal Gomory para a linha u fica imt ma ay oia 12 5 jENB Reescrevendo 12 5 de forma a eliminar x py obtemos LBu Quo gt Qujlj 12 6 jENB Quo gt Ay jX j o auj lt Tuo 12 7 JENB jENB o Guj uj x 2 Quo tuo 12 8 jENB De uma forma mais compacta podemos reescrever o corte 12 8 como gt Tudo gt fuo 12 9 jENB onde fuj Tuj uj fuo Guo Quo Uma vez que O S fuj lt 1e0 lt fuo lt 1 e x 0 para toda a vari vel j NB na solu o x a desigualdade 12 9 corta a solu o corrente x 194 1
314. onjunto Pareto denotado por P se nao existe um vetor de decis es x tal que f x gt fm x param 1 M e fm x gt fnlx para algum m Em outras palavras x P se n o existe um conjunto de decis es que induza ganhos melhores do que os induzidos por z para todos os agentes O restante do capitulo se concentra em jogos matriciais que sao mais simples e que podem ser resolvidos por meio da programa o linear o que consiste em encontrar os pontos de equil brio do jogo ou seja as estrat gias para os jogadores que induzem um ponto Nash 7 2 Jogos Matriciais Em jogos matriciais cada agente seleciona uma a o dentre um n mero finito de possibilidades que n o depende da escolha do agente oponente O agente 1 denotado por agente linha escolhe a a o 7 enquanto que o agente 2 denotado por agente coluna escolhe a a o j Para o par de a es i j o agente 1 paga a unidades ao agente 2 se aij gt 0 caso contr rio se a lt 0 o agente 2 paga a unidades ao agente 1 Assim o jogo matricial representado por uma matriz A R onde o agente linha pode escolher dentre m a es e o agente coluna tem n a es 7 2 1 O Jogo da Tesoura Pedra e Papel Conforme matriz dada em 7 2 cada itera o do jogo tem como resultado vit ria para um dos agentes e derrota para o outro agente ou empate Neste jogo nenhum agente possui uma estrat gia determin stica vencedora se um agente sempre escolhe uma al
315. onstruindo uma rede G N A a partir de G ao eliminar se os custos c OS par metros de suprimento demanda b i introduzindo um n fonte s e os arcos s i com capacidade b i para todo i N tal que b i gt 0 e introduzindo um n terminal t e os arcos i t com capacidade b i para todo i N tal que b i lt 0 f cil de se convencer que G possui uma solu o fact vel se e somente se o fluxo m ximo de s para t em G igual a gt gen i gt 0 bi Vren niy lt o Li O algoritmo de aumento para fluxo m ximo iterativamente encontra um caminho com capacidade positiva conectando s a t e enviando o fluxo m ximo permitido at que n o existam caminhos restantes f cil de se verificar a invari ncia de que o fluxo sempre par dado que as capacidades dos arcos e os valores de suprimento demanda sejam todos pares Portanto a solu o tima obtida induz valores pares para todos os fluxos Segundo basta se convencer de que o algoritmo de cancelamento de circuito negativo a cada itera o obt m uma solu o que induz valores pares para os fluxos de todos os arcos EX 8 5 O conjunto de solu es timas para um problema qualquer de fluxo em re des de custo m nimo se altera se multiplicarmos o custo de cada arco por uma constante k Se multiplicarmos os custos por uma constante k lt 0 ent o o conjunto de solu es timas tipicamente alterado Se multiplicarmos os custos por u
316. onto inicial A efici ncia de um algoritmo iterativo medida em termos de um limite superior de itera es necess rias para se atingir uma solu o com certa precis o Tais limites s o obtidos por meio de uma an lise de converg ncia 3 6 1 Converg ncia Linear Uma sequ ncia x com limite x linearmente convergente se existe uma constante c 0 1 tal que lax 2 lt clxpa 2 3 5 para k suficientemente grande Converg ncia linear algumas vezes definida como segue A sequ ncia x com limite x converge R linearmente se existe um valor M e c 0 1 tal que lz z lt Md 3 6 para k suficientemente grande 3 6 2 Converg ncia Quadr tica Uma seq ncia x com limite x converge quadraticamente se existe uma constante c gt 0 tal que la a lt clazz 2 3 7 k para k suficientemente grande A sequ ncia x 1 Ee converge quadraticamente para x 1 pois 1 tas 2 2 3 re P 3 8 gk 1 38 3 M todo de Newton Solu o de Equa es N o Lineares e Minimiza o de Fun es Definindo rg logyo xk x x quando x 4 0 e dividindo por x podemos reescrever 3 7 como Tk 2 2rk 1 logyo x cl 3 9 Uma vez que xp x gt 0 ry 00 e eventualmente o primeiro termo da parte direita da desigualdade dominar o segundo r aproximadamente o n mero de d gitos corretos na itera o k portanto o n
317. or estoque positivo custo de estocagem ou estoque negativo demanda n o atendida e b custo cux correspondente ao custo de adquisi o de uy unidades onde c o custo unit rio H tamb m um custo terminal R xn para o estoque residual no fim dos N per odos Portanto o custo total em N per odos N 1 E R an gt r x cup 15 5 k 0 Desejamos minimizar 15 5 por meio da escolha de wo u1 UN 1 Sujeito res tri o uz gt 0 para todo k 15 1 2 Distin o Entre Otimiza o Open Loop e Closed Loop Sob otimiza o open loop em malha aberta escolhemos todos os valores Ug U1 UN 1 de uma s vez no instante to Por outro lado sob otimiza o closed loop em malha fechada postergamos a ordem up at o ltimo momento no instante tk quando conhecemos zk Uma vez que n o h nus em postergarmos a decis o up podemos tirar vantagem da informa o que se torna dispon vel Otimiza o em malha fechada de import ncia fundamental em programa o din mica e aqui ser objeto de estudo Portanto as decis es ser o tomadas em est gios que podem ser postergadas para aprimorar a qualidade das decis es Na otimiza o em malha fechada n o estamos interessados em encontrar valores num ricos para os pedidos mas sim uma estrat gia de controle tima para sele o de uz a cada per odo k dado o valor em estoque xz Essa a diferen a entre uma a o e uma estrat gi
318. orma sistem tica o trabalho computacio nal pode ser minimizado A melhor maneira de aprender DP por meio de exemplos 14 Programa o Din mica Dominio Discreto 203 14 1 1 Calculando N meros de Fibonacci A sequ ncia de Fibonacci dada por Fr Fk Fre Fo 0 F 1 A s rie de Fibonacci foi inicialmente proposta e estudada por um matem tico no contexto de reprodu o animal Ela apresenta aplica es em Teoria dos N meros e Computa o Uma vez que a f rmula recursiva podemos desenvolver um algoritmo recursivo para calcular F Algoritmo F k ifk 0 return 0 else ifk 1 return 1 else return F k 1 F k 2 Qual a complexidade do algoritmo Para calcularmos o n mero de opera es ele mentares inicialmente obtemos uma recorr ncia T n 1 para n 0 1 T n T n 1 T n 2 paran gt 2 Limite inferior para T n T n gt T n 2 T n 2 14 1 IF n 2 14 2 gt AT n 4 14 3 gt 8T n 6 14 4 14 5 gt T n 2k 14 6 Note que n 2k 1 k 25 portanto T n gt 915 gt T n Q 2 Conlcu mos ent o que o algoritmo recur sivo ineficiente levando um tempo exponencial para calcular Fk Voc pode mostrar que o algoritmo executa em tempo 0 2 Veja a rvore de recurs o dada na Figura 14 1 Podemos desenvolver um algoritmo mais eficiente de tempo linear se armazenarmos os valores das inst ncias menores e n o recalcularmos os seus valores O
319. os de maneira a suprir a demanda e ao mesmo tempo minimizar o custo total de instala o e transporte 3 Vari veis as vari veis de decis o s o i Xj 1 se o cliente atendido pelo dep sito j x 0 caso contr rio e ii yj 1 se o dep sito j instalado y 0 caso contr rio 4 Formula o n m m Minimize eta Gu i 1 j l j j l Sujeito a D ditij lt Usy E asno 1 1 Xo iy l t Ass j 1 Tij EB t ass jg l m yj E B J Peres i sendo B 0 1 1 4 Programa o Quadr tica O problema geral de programa o quadr tica formulado como segue Minimize 27Qa clx Sujeito a Ax Cx ll A b d onde uma matriz sim trica Programa o quadr tica tem aplica es em identifica o de par metros para mo delos de processos modelos estruturais e sistemas de controle e em algoritmos como SQP Sequential Quadratic Programming A dificuldade de se resolver tais problemas depende da natureza da matriz Q Quais caracter sticas de Q tornam o problema dif cil Se Q gt 0 positiva semi definida ou Q gt 0 positiva definida o problema relativamente f cil de ser resolvido ou seja encontrar a solu o tima global Se Q indefinida ou negativa semi definida ou definida ent o o problema muito dif cil 1Q E R X dita positiva semi definida se 7 Qu gt 0 para todo x R A matriz dita positiva definida se a desigualdade estrita p
320. os n o negativos u 5 ar O e obtemos a desigualdade valida 121 1 Oi decays ee tags ii Reduzimos os coeficientes do lado esquerdo ao inteiro mais pr ximo e obtemos 2114 0 E T T2597 iii Uma vez que o lado esquerdo s pode assumir valores inteiros podemos reduzir o valor do lado direito ao inteiro mais pr ximo obtendo a desigualdade 121 2x1 x ire 5 lk ae gt 11 lt 2 192 12 Algoritmos de Planos de Corte e Desigualdades Fortes 12 3 3 Procedimento Chvatal Gomory para Gera o de Desi gualdades V lidas O procedimento CG Chvatal Gomory uma formaliza o dos passos ilustrados na Se o 12 3 1 que permite gerar todas as desigualdades v lidas de um problema inteiro Seja X PN Z o conjunto de solu es onde P x RY Ax lt b um poliedro e A R uma matriz com colunas a1 d2 n Dado u R o procedimento consiste dos passos que seguem Passo 1 A desigualdade X ula x lt u b v lida para P uma vez que u gt 0 e j 1 Passo 2 A desigualdade gt ul a x lt u b v lida para P j que x gt 0 j 1 Passo 3 A desigualdade Y u a x lt uTb v lida para P uma vez que z inteiro j l e portanto gt u a x inteiro j 1 Importante um fato surpreendente que o procedimento acima capaz de gerar todas as desigualdades v lidas para o problema inteiro Teorema 12 1 Toda desigualdade v lida para X pode ser obtida por meio
321. os valores dos dados for mpar voc ganha R 100 caso contr rio voc perde R 110 H dois dados 4 e B que podem ser escolhidos a cada vez Voc rola um dos dados observa o resultado e depois rola novamente qualquer um dos dados Os dados s o distintos apresentando as seguintes probabilidades a P A 2 0 1 P A 3 03 P A 4 03 P A 5 01 P A 6 0 1 Encontre uma pol tica de controle tima para este jogo que dado o valor sy dos dados na itera o k decide qual dado deve ser rolado com o intuito de maximizar os ganhos Observe que temos apenas tr s itera es sg 0 o valor no in cio do jogo s igual ao resultado do primeiro dado e s gt igual a soma dos valores dos dois dados EX 15 6 Para o p ndulo invertido ilustrado na Figura 15 3 a din mica do movimento pode ser aproximada em torno do estado 1y 1 0 0 0 0 0 0 pelas equa es diferenciais abaixo gt M m y ml U 15 41 216 290 7 0 ae 226 15 Programa o Din mica Dominio Continuo onde M 10Kg m 0 5Kg g 9 8m s2 e 50cm Realizar as seguintes tarefas i ill EX 15 7 Fazendo z y 2 9 3 0 44 Oe x z1 2 Z3 4 obter um sistema de equa es diferenciais t Ax Bu 15 42 equivalente ao sistema de equa es 15 41 Inicialmente vamos desenvolver o modelo discretizado de 15 42 A partir da defini o de derivada temos que aon oo n TEHAT alt r t lim T
322. ostra as curvas de nivel para a fun o objetivo e a restri o a qual mostra que a solu o tima x y 1 0 Considere a tentativa de eliminarmos a vari vel y e resolvermos o problema irrestrito abaixo Mininize h x x x 1 17 11 Claramente h a gt oo se x gt oo O que aconteceu Ao eliminarmos a restri o ignoramos que a restri o x 1 y implicitamente imp e a restri o x gt 1 que est ativa na solu o tima Este exemplo ilustra que a elimina o de restri es n o lineares pode resultar em erros que s o dif ceis de se identificar 17 2 2 Elimina o de Restri es Lineares Vamos considerar a minimiza o de uma fun o n o linear sujeita a um conjunto de igualdades lineares Minimize f x Sujeito a 17 12 Ax b Onde A R em lt n Suponha que rank A m Sob essas condi es pode mos encontrar um subconjunto de m colunas de 4 que s o linearmente independentes 17 Programa o N o Linear Fundamentos de Algoritmos 247 x 1 43 y42 x 2 y 2 1 a a Figura 17 1 Curvas de n vel das fun es z y e y x 1 Podemos reunir essas colunas linearmente independentes na matriz B definindo uma matriz P R de permuta o que move as colunas linearmente independentes para as primeiras colunas de A Em outras palavras AP B N 17 13 onde N denota as n m colunas restantes Definimos os s
323. p seja suficientemente pequeno e f tenha uma dire o de curvatura negativa no ponto k O que significa dizer que V f xp n o positiva semidefinida Portanto o procedimento s falha em reduzir o custo quando V f x 0 e V2f x positiva semidefinida que corresponde a dizer que x satisfaz as condi es necess rias de segunda ordem Os desenvolvimentos acima nos levam a considerar passos da forma Lk 1 Lk Pk onde py o passo de Newton restrito com respeito a um escalar y A chave para a converg ncia r pida do m todo de Newton com regi o de confian a est em ajustar dinamicamente o par metro yg garantindo redu o significativa e se comportando como o m todo de Newton puro pr ximo de um m nimo local n o singular Uma forma razo vel de ajustar o valor inicial de 7 incrementar o valor quando o m todo parece estar gerando redu es no valor de f e reduzi lo caso contr rio O progresso em dire o a um timo local pode ser medido com base na raz o entre a redu o antecipada e a redu o efetivamente observada ma f x Hx Far fulpk Aumenta se o valor de y se esta raz o est pr xima ou acima da unidade e reduzimos o seu valor caso contr rio Usando como par metros 0 lt o Soz lt 1e0 lt 6 lt 1 lt fy um algoritmo pode ser proposto 4Um m nimo local x n o singular se satisfaz as condi es suficientes de segunda ordem ou seja Vif z 0e V7f x gt 0 3 M todo de
324. para as cadeias x A B C B D A B e y B D C A B A pode ser observeda na Figura A 13 A partir do algoritmo de programa o din mica imediata a conclus o que a mem ria utilizada O nm e o tempo de execu o que corresponde ao preenchi mento das entradas da tabela D i j O nm Y Y2 Y Ya Y Ye B D C A B A olol olololo x A 0lololo SEL xo B 0 1 41 2 O oC sin caraio z3 C 0 1 D42272 Ad TAS temo ao Ors zs D 0 BNE RE a er zt seme 17 Bo O 545 3 4 Figura A 13 Exemplo de execu o do algoritmo de programa o din mica para sub sequ ncia mais longa de duas cadeias de caracteres Para computar as subsequ ncias mais longas em comum entre x e y podemos construir um grafo direcionado e ac clico tendo como v rtices os pontos de casa mento m ximo c rculos com valor 4 na Figura A 13 os v rtices de casamento perfeito alcan veis com c rculo a partir dos v rtices de valor 4 e com arcos dados pela rela o de alcan vel Para o exemplo da figura o grafo corres pondente aparece na Figura A 14 Todos os poss veis camimhos de v rtices com r tulo 4 at v rtices com r tulo 1 definem emparelhamentos que induzem sub cadeias mais longas Note que os arcos s o sempre de um v rtice com r tulo para um v rtice com r tulo i 1 Portanto todos os caminhos t m o mesmo comprimento ou seja o comprimento da subcadeia m
325. processar os m dulos 1 2 e 4 no processador 1 deixando os m dulos 3 e 5 no proces sador 2 O custo de processamento dos m dulos igual 15 enquanto que o custo de comunica o 3 perfazendo um custo total de 18 unidades O custo total a capacidade do corte s t m nimo como indicado na figura 112 Exemplo de rede residual G x obtida a partir de uma rede G e fluxo x 113 Rede residual G x par fluxo g nulo sex amp 4 mendigos Aa ee fada 115 Rede residual Ge para fluxo gt oaoa A ob BS 115 Rede residual G x para fluxo E aaa aeb aoe anh Ok ea ee pk 116 Rede residual G x para fluxo g3 o sata E ae eae Bw 4 116 Transforma o de arestas em arcos 2 a aaa ake SS ae eS 121 Remo o de limite inferior nos arcos 2 ee 121 Eliminando capacidade de arcos 2 a a a 122 Exemplo de problema de fluxo de custo minimo As linhas tracejadas correspondem ao fluxo timo oe Sieg bod Rae E mp Eos SE 122 Exemplo de rede residual o sy Se ay Ke aw BM eG Egas a 124 Exemplo de rede residual 2 2 a 125 Primeira itera o do algoritmo de cancelamento de circuito negativo A figura mostra a rede residual G x o circuito com custo nega tivo em linhas tracejadas e o fluxo x O circuito dado por w 4 2 2 3 3 4 que tem custo c w 1 e capacidade m xima ON CARDS CNP Bane deca RING A PR ng 127 Segunda itera o do algoritmo de cancelamento de circuito negativo A figura mostra a re
326. q 20 e ua g r Semana k 3 Consideramos os dois poss veis estados a x t O custo timo dado por J3 t max 0 6 x 80 Ja t 0 4x 20 J4 q manut 0 3 x 100 A t 0 7 x 0 Ju g n max 0 6 x 80 40 0 4 x 20 20 0 3 x 100 40 0 7x20 max 72 56 72 Portanto J3 t 72 e us t m b x q O custo timo dado por J3 q max 0 6 x 60 J4 t 0 4 x 40 Ja qg rep 50 J4 t sub max 36 0 6 x 40 0 4 x 40 0 4 x 20 50 40 max 52 10 52 Portanto J3 q 52 e us g r A Exercicios Resolvidos 341 Semana k 2 Se iniciamos a semana com a m quina trabalhando x t ent o Jo t 104 e m t m Se iniciamos com a m quina quebrada LE q ent o Jo q 84 e po q r Semana k 1 Iniciamos a primeira semana com a m quina trabalhando x t o que nos leva a Ji t 136 e m t m EX 15 6 Abaixo seguem as solu es item a item i O sistema de equa es diferenciais pode ser colocado na forma M m ml a eet u 1 A 7 290 an Seja A a matriz esquerda da equa o acima Podemos calcular A fazendo AT adj A det A jet 1 2l ml M m 2l mi 1 M m Pr multiplicando A 7 por AT obtemos sate aro as Fazendo x1 y 3 0 e x4 8 podemos colocar A 8 na forma i 0 1 L 0 T 0 i 00 E 0 T2 2M m T2 2M m i Ory 0 1 E ii 0 u A 9
327. r1 2z2 2 3 z4 2z5 z6 gt 2 i u min zx1 x2 assumindo que 0 lt z lt C para j 1 2 u t u lt lt T u gt xt Cy u gt zt C 1 y onde y 0 1 0 lt z lt C j 1 2 v 1 2 com 0 lt S z lt para j 1 2 Vv gt 1 2 Uv 2 2 v lt tr x 20Cy v lt 2 4 2C 1 y onde y 0 1 lt 5 lt 6 97210 O conjunto X a onde X x Z Ar lt bhea te X X r xE Z Ar lt b rat lt eTr n 1 y zT e zr 2 1 y y 0 1 Basta verificar que 0 0 X X X3 0 1 1 0 Doo Soo ais RSS 316 A Exercicios Resolvidos EX 10 4 Solu o tima Rota 1 2 4 5 6 8 7 3 1 com comprimento 13 O c digo LP SOLVE segue abaixo min x12 x12 x13 x24 x45 x26 x37 x68 x26 x12 x13 x23 x24 x26 x34 x37 x45 x56 x57 x68 x78 int int int int int int int int int int int int x12 x13 x23 2 x24 5 x26 2 x34 4 x37 x45 2 x56 2 x57 x68 x78 x13 x23 x23 x34 x56 x56 x57 x78 t t t x45 Ve ve ve ve we Ve ve ve vs ve HAHAHAHAHAHA No we x12 x13 x23 x24 x26 x34 x37 x45 x56 x57 x68 x78 2 x24 x34 x45 x57 x68 x78 x37 2 2 A Exercicios Resolvidos 317 EX 10 5 1 y igual a x x Vij 2 ti zj l1 Yj S Tti z Simi gt Dy E ou yYij 1 gt
328. ra Sol oe SE pl oh ees PS ht BO wd ACRE Pe 261 19 Programa o Nao Linear sob Restri es Algoritmos 265 TIT EO PO ar B58 te IE RE RES RES eae ep O Grew SI eee aT eee 265 19 2 O M todo de Barreira Logar tmica 0 0004 265 19 2 1 Propriedades das Fun es de Barreira Logar tmica 266 19 2 2 Algoritmo Baseado na Fun o Barreira Logaritmica 268 19 2 3 Propriedades da Fun o Log Barrier e Algoritmo Geral 269 19 2 4 Manipulando Restri es de Igualdade 022 270 19 3 M todo Lagrangeano Aumentado 0 000 pee Dik 19 3 1 Motiva o e Estrutura do Algoritmo 271 19 32 HOT BIOTA ee Ae eae q R a ak a the Mend BE AE ied eS 272 19 3 3 Extens o para Restri es de Desigualdade 273 19 3 4 Propriedades do Lagrangeano Aumentado 275 19 4 Programa o Linear Sequencial ooo a ee ee 275 19 5 Programa o Quadr tica Sequencial 2 a a ee ee 276 19 5 1 O m todo SQP Local paben D a a A 276 19 5 2 Linhas Gerais do M todo SQP 024 19 5 3 Restri es de desigualdade ooa a 19 5 4 Implementa o de SQP oaa a 19G ERRADOS Cu ps ce pee es es SO ee Se Sw Bee ees ed Exercicios Resolvidos A 1 Introdu o Otimiza o msgs BASE tee ee Sh OE OS A 2 Minimiza o de Fun es com o M todo de Descenso A 3 M todo de Newton a Grae ok i ek RAS SOR SS A 4 Otimiza o Black Box cd ce he ae AS A et amp a
329. ra resolver problemas quadr ticos Este cap tulo tem foco em algoritmos para resolver problemas gerais desta classe de problemas 19 1 Algoritmos Aqui nos concentraremos em algoritmos para resolver encontrar solu es timas locais o problema geral de programa o n o linear Minimize f x sen Sujeito a 19 1 alx 0 te c t gt 0 TET onde as fun es s o suaves Uma classe importante de algoritmos a serem vistos a seguir busca uma solu o para 19 1 atrav s da solu o de uma seqii ncia de sub problemas irrestritos 19 2 O M todo de Barreira Logaritmica Os m todos de barreira logar tmica resolvem uma s rie de problemas irrestritos aproximando o problema original que no limite se tornam equivalentes ao problema original O m todo de barreira usa uma fun o de penalidade barreira que cresce rapidamente medida que o ponto corrente se aproxima da fronteira da regi o de factibilidade dessa forma garantindo factibilidade da solu o corrente A cada itera o a penalidade reduzida para permitir que a solu o tima seja alcan ada 266 19 Programa o N o Linear sob Restri es Algoritmos 19 2 1 Propriedades das Fun es de Barreira Logar tmica Iniciamos a discuss o por meio de uma ilustra o das fun es de barreira para problemas com apenas restri es de desigualdade Minimize f x x 19 2 Sujeito a ci x 20 1 T A regi o de factibilidade estrita definida por
330. rariamente aproximada linearizando por partes a fun o custo 8 3 1 Transforma es H um conjunto de transforma es que tipicamente s o teis quando se trabalha com problemas de fluxo de custo m nimo Por exemplo poss vel converter um pro blema de fluxo de custo m nimo cujos arcos s o n o direcionados em outro problema de fluxo de custo m nimo cujos arcos s o direcionados Podemos tamb m eliminar o limite inferior l dos arcos sem maiores dificuldades Logo se voc tem que resolver um problema onde certos arcos t m limites inferiores mas voc disp e de um algoritmo que s aceita limites superiores ent o poss vel reduzir o problema a outro problema equivalente aceito pelo algoritmo Abaixo apresentamos algumas transforma es que ser o exemplificadas por meio de figuras Convertendo Arestas em Arcos Considere o arco i j da rede ilustrada na Figura 8 8 Assumindo que l 0 e ci gt 0 f cil verificar que uma solu o tima do problema de fluxo de custo m nimo ter necessariamente fluxo em uma dire o ou outra mas n o em ambas Assim podemos transformar a aresta n o direcionada em dois arcos com sentidos opostos cada um deles com o custo e capacidade da aresta Seja Z O fluxo no arco n o direcionado c o custo unit rio de transporte em qualquer dire o e U a capacidade de transporte Transformamos este arco n o di recionado i j em dois arcos direcionados um arco i j e um a
331. ras palavras o para digma segue os passos e remova um elemento do problema e resolva o problema menor e e use a solu o do problema menor para adicionar o elemento removido de maneira adequada produzindo uma solu o para o problema maior 202 14 Programa o Din mica Dominio Discreto Este tipo de abordagem comum em problemas de controle timo como ser abordado em mais detalhes no cap tulo seguinte s vezes poss vel conceber uma solu o anal tica fechada para cada est gio o que resulta em um algoritmo eficiente mas mesmo nos casos onde apenas uma solu o iterativa pode ser obtida a programa o din mica pode resultar em uma solu o algor tmica eficaz Alguns aspectos importantes sobre DP Programa o Din mica s o 1 problemas cujas inst ncias apresentam uma ordem da esquerda para a direita como cadeias de s mbolos e v rtices de pol gonos s o candidatos a uma solu o por DP 2 sem uma ordem DP pode resultar em um algoritmo de tempo exponencial e 3 DP produz uma solu o tima global As se es abaixo apresentam o formalismo de programa o din mica de uma forma informal atrav s de exemplos Come amos com o problema de calcular os n meros de Fibonacci que ilustra a economia computacional que pode ser obtida por meio da programa o din mica O exemplo seguinte mostra como DP pode ser empregada na solu o do problema mochila exemplificando uma maneira de se obter uma
332. rceira condi o KKT 18 23 e 18 24 respectivamente s o tamb m satisfeitas por Agora devemos examinar os sinais dos multiplicadores das restri es de desigualdade contidas no conjunto de trabalho W ou seja os indices i WAT Se todos estes multiplicadores s o n o negativos a quarta condi o KKT 18 25 satisfeita e um ponto KKT para o problema original Se G positiva semi definida ent o tamb m um m nimo local Por outro lado se um multiplicador Nod WAT negativo a condi o 18 25 n o satisfeita ent o a fun o objetivo q x pode ser reduzida se removermos a restri o j de W Neste caso removeremos j de W para todo j tal que A lt 0 e resolvemos um novo subproblema 18 28 O pseudo c digo completo do algoritmo dado na sequ ncia Algoritmo de Conjunto Ativo 18 Programa o Quadr tica 259 Encontre um ponto fact vel xo Defina W como um subconjunto das restri es ativas para o Para k 0 1 2 Resolva o subproblema S Pk Se p 0 Calcule os multiplicadores de Lagrange que satisfazem 18 32 Defina W W Se Ai gt 0 para todo i E WAT Pare a solu o x x e tima Caso contr rio Defina j argmin j W NT Tk 1 Tk Wen Wi j Fim Se Caso contr rio pk 0 Calcule ay a partir de 18 31 Lk 1 Tk Appr Se h restri es bloqueantes Obtenha W 1 adicionando uma restri o bloqueante a Wy Caso contrario Wri Wk
333. rco j i O fluxo atrav s de i 7 denotado por x enquanto o custo unit rio fica c Cj a capa cidade u U O fluxo atrav s de j i denotado por x sendo o custo unit rio Cji Gij e a capacidade uji Ui Para estabelecermos a equival ncia seja 7 um fluxo no arco n o direcionado em uma solu o tima na rede original Podemos assumir que o fluxo de unidades na dire o i j ou j i Sem perda de generalidade suponha que unidades s o 5A transforma o n o v lida se Cij lt 0 ou l j gt 0 se lj gt O ent o n o sabemos em que dire o o fluxo dever satisfazer esta restri o se cj lt 0 ent o n o podemos garantir que o fluxo timo ser em apenas uma dire o 8 Fluxo em Redes 121 enviadas de i para j Fazendo x e j O na rede modificada obtemos um fluxo equivalente e com mesmo custo Seja agora um fluxo timo na rede modificada com valores x x Podemos assumir que o fluxo atrav s de i j ou atrav s de j i nulo Sem perda de generalidade suponha que x enquanto que zj 0 Podemos ent o obter um fluxo equivalente na rede original fazendo Z assumir o valor e na dire o de i para j Ambos os fluxo induzem a mesma parcela de custo na fun o objetivo Portanto mostramos que a tranforma o produz um problema equivalente Cij Uij Gig Tij ij Uig 0 Tij Cji Uji Gij Uig Figura 8 8
334. rdade este ponto maximiza o valor de f sobre o c rculo 16 2 2 Uma Restri o de Desigualdade Considere uma altera o simples de P obtida ao substituir se a restri o de igual dade por uma desiguladade Ps Minimize 214 29 Sujeito a 16 16 2 27 22 gt 0 A regi o fact vel dada na Figura 16 4 Podemos observar que o ponto x 1 1 continua sendo uma solu o tima como no caso da restri o de igualdade Se x n o um ponto timo ent o devemos ser capazes de encontrar um passo d que ao mesmo tempo retenha factibilidade e decres a o valor da fun o objetivo A dire o d decresce o valor de f se Vf a Td lt 0 Entretanto para manter factibilidade d deve satisfazer 0 lt a x4 d x alr Valer d gt x Ver x d gt 0 234 16 Programa o N o Linear Restrita Fundamentos e Condi es de Otimalidade T Figura 16 4 Restri o de desigualdade Ao considerarmos uma dire o d que satisfaz ambas as condi es ou seja Vif x d lt 0 16 17 calz Ver x d gt 0 16 18 podemos levar em conta dois casos Caso I x esta estritamente dentro do c rculo ci x gt 0 Neste caso qualquer vetor d satisfaz a condi o 16 18 se d for pequeno o su ficiente Em particular sempre que V f x 0 a dire o d c 2 Er satisfaz 16 17 e 16 18 A nica situa o onde esta dire o falha quando V f x 0 Caso II x est na fronteira do c rcu
335. re dever ser instalado horizontalmente ou seja ao longo da linha y e que tubos verticais secund rios ser o constru dos para conectar o tubo mestre a cada caixa Desejamos encontrar a altura para instalar o tubo mestre valor de y tal que o comprimento total da rede de abastecimento seja o menor poss vel Formule este problema em programa o matem tica poss vel expressar tal problema em programa o linear EX 1 5 The Queens Problem Considere um tabuleiro de xadrez 8x8 posi es Deseja se colocar o maior n mero poss vel de rainhas no tabuleiro de maneira que nenhuma delas possa ser eliminada por nenhuma das demais rainhas Formule o problema de encontrar tais posi es em programa o matem tica otimiza o linear inteira EX 1 6 Rastreamento de Objetos Dois radares R e R2 est o localizados nas posi es z z1 Y1 e Z2 2 Y2 respectivamente Cada radar informa o cen tro de rastreamento e controle da respectiva distancia a um objeto desconhecido z x y Sendo d a distancia de R a z e dz a dist ncia de R a z formule o problema de calcular as coordenadas z x y do objeto desconhecido Sugest o expresse o problema em duas equa es n o lineares EX 1 7 Escalonamento de Tarefas Um conjunto de n tarefas devem ser proces sadas em uma m quina capaz de operar uma tarefa de cada vez Cada tarefa 16 1 As Sub reas da Otimiza o j consome p unidades de tempo na m quin
336. regi o fact vel 19 Programa o N o Linear sob Restri es Algoritmos 281 2 Obtenha a fun o barreira b x y f x u e log ge x 3 Execute o algoritmo abaixo Seja x o iterando inicial Seja u a penalidade inicial por exemplo u 10 Seja t 1 o n mero de itera o Seja e gt 0 um n mero pr ximo de zero definindo o crit rio de parada Repita enquanto a condi o de parada n o for satisfeita Encontre o m nimo zt de b x usando como ponto inicial q Se ja at lt e ent o pare e retorne a solu o zt Fa a ut 0 ut por exemplo fa a utt 0 7 ut Fim repita Observa o se o algoritmo for implementado em Matlab fa a uso da fun o fminsearch e tamb m reduza o par metro de toler ncia TolX para 1078 EX 19 2 Elips ides s o conjuntos convexos com amplo emprego em otimiza o con vexa 27 Al m da conveni ncia computacional eles podem ser empregados para aproximar outros conjuntos convexos ou n o convexos Uma representa o padr o de um elips ide E x 4 xo A a 2Xo onde A AT uma matriz positiva definida e xo R o centro do elips ide A Figura 19 4 d uma ilustra o de elips ide no R Os eixos do elips ide tem dire es dadas pelos autovetores de A com comprimento dado por V A onde o autovalor associado ao i simo autovetor O volume do elips ide proporcional a de
337. removidos de maneira de desconectar 4 s de t 8 3 O Problema de Fluxo de Custo M nimo Um universo amplo de problemas te ricos e pr ticos podem ser transformados em problemas de fluxo de custo m nimo Os problemas apresentados acima s o dois exem plos Os dados que formam uma inst ncia do problema de fluxo de custo m nimo s o e um grafo direcionado G V A consistindo em um conjunto de v rtices ou n s e um conjunto de arcos e o custo unit rio c de transporte atrav s do arco i 7 e o limite inferior l e superior u para fluxo atrav s do arco i j e e a quantidade de fluxo b que deve ser injetada ou consumida pelo n 7 se b gt 0 ent o 7 um n fornecedor se b lt 0 ent o i um n consumidor e se b 0 ent o 7 um n de transporte Em programa o matem tica o problema de fluxo de custo m nimo expresso como Minimize 5 Cig Vij i j EA Sujeito a 1 Tij y ji bj VieV 8 0 4 i j E A 5 9 4 E A lij lt Zij lt Uij Vij EA A primeira fam lia de restri es de 8 10 conhecida por equa o de conserva o de fluxo Em s ntese a igualdade imp e a restri o de que a quantidade de fluxo que sai do n i menos a quantidade que entra deve ser igual a b Quando b gt 0 o fluxo de sa da l quido deve ser igual a esta quantidade Quando b lt 0 o fluxo de entrada l quido deve ser igual a b Por fim quando b 0 a quantidade que entra deve
338. restas que t m um extremo em A e o outro em B Mais precisamente w A B gt w u v u v cEucA veB O problema encontrar S C V tal que w S V S seja m ximo Os dados de uma inst ncia do problema da bi parti o m xima s o fornecidos em arquivos tipo texto cujo formato consiste do n mero de v rtices do n mero de arestas e de uma lista de arestas e pesos Exemplo de inst ncia 56 130 3 240 5 251 2 150 8 340 5 233 0 Tarefas i implemente um Algoritmo Gen tico para resolver o problema de bi parti o m xima e teste o algoritmo em alguns problemas ii implemente e teste um algoritmo Simulated Annealing para o problema de bi parti o m xima e iii compare os algoritmos e os resultados obtidos EX 4 2 O problema da bi parti o m xima NP Dif cil Um problema NP Dif cil se qualquer problema de decis o NP Completo pode ser reduzido em tempo po linomial ao problema em considera o 60 4 Otimiza o N o Diferenci vel EX 4 3 O problema da bi parti o m nima formulado como Minimize w S V S SCV Sujeito a S Como que este problema poderia ser resolvido O problema da bi parti o m nima NP Dif cil EX 4 4 Suponha que os pesos das arestas do grafo G V E s o vari veis aleat rias independentes o peso da aresta u v uma vari vel aleat ria w u v com dis tribui o m dia e varian a conhecidos que independem dos pesos das demais arest
339. restri es de capacidade nos arcos Em programa o matem tica o problema fica Maximize o cs U s EA Sujeito a Tij 5 Tj 0 Vie V s t U i j EA 5 G i A 0 lt Tij lt Uy V i A Mostre como se pode encontrar um fluxo fact vel para o problema de fluxo em redes de custo m nimo fazendo uso do problema de fluxo m ximo EX 8 8 No problema custo m nimo fluxo m ximo definido em uma rede direcionada G V A desejamos enviar o maior fluxo poss vel do n origem s para o n destino t mas com o menor custo poss vel Em outras palavras dentre todos os fluxos m ximos encontre aquele de menor custo Tarefas 1 mostre como formular qualquer problema de fluxo em redes de custo m nimo como um problema custo m nimo fluxo m ximo 2 mostre como o problema de custo m nimo fluxo m ximo pode ser resolvido por meio de uma redu o ao problema de custo m nimo EX 8 9 No problema de caminhos m nimos com ped gio dado um grafo direcio nado G V 4 o peso dos arcos c correspondendo ao custo do combust vel necess rio para realizar o percurso da cidade i at j e o valor do ped gio pj cobrado a cada cidade j Desejamos encontrar um caminho de menor custo combust vel e ped gio da cidade s at a cidade t Ped gio p coletado na entrada e na sa da da cidade j Formule este problema como um problema de fluxo em redes de custo m nimo EX 8 10 Para um grafo direcionado G V E o probl
340. rias do Problema de Fluxo M ximo Alguns resultados com implica es combinat rias surgem a partir do problema de fluxo m ximo O Teorema do Fluxo M ximo Custo Minimo mostra que o problema de encontrar um corte m nimo pode ser reduzido ao problema de fluxo m ximo Teorema 8 2 Integralidade de Fluxo Se as capacidades de todos os arcos s o inteiros ent o o problema de fluxo m ximo tem valor inteiro Prova Por indu o no n mero de caminhos aumentantes podemos demonstrar o resultado Na itera o 0 quando o fluxo inicial x nulo as capacidades residuais dos arcos de G x s o inteiras e o valor v do fluxo nulo e portanto inteiro 3Observe que existe um n mero combinat rio de cortes s t Qual o n mero de cortes s t 118 8 Fluxo em Redes Considere a itera o k gt 1 do algoritmo de caminhos aumentantes e suponha por indu o que as capacidades dos arcos de G x s o inteiras e o valor do fluxo v inteiro Ent o a capacidade 6 p do caminho aumentante p em G x inteira Enviando a quantidade 5 p ao longo de py obtemos um fluxo x com quantidades inteiras uma rede residual G x t com capacidades inteiras e um valor v t qt pp tamb m inteiro E Teorema 8 3 Fluxo m ximo corte m nimo O valor do fluxo m ximo v que pode ser enviado de um v rtice s para um v rtice t iguala a capacidade ulS S do corte s t de menor capacidade Prova Seja x o fluxo m ximo obtido com o a
341. riormente Logo obtemos uma formula o do problema em programa o inteira mista n Pr Minimize Sid ja Sujeito a SS Sds j S lt W VTQy 2 0 y 2 0 dj S j Lsn dj lt 9 dj ne Mz dj Yj M 1 feed zj onde z z lt ly y lt i dj min 2 min j se z 0 e y min se 2 1 onde M uma constante suficientemente grande Note que para uma solu o ser tima x x se z 0 e y y se Zj T O problema P pode ser colocado em uma forma alternativa com um n mero maior de vari veis mas um n mero menor de restri es n a tada P Minimize gt dj j l Sujeito a Darsa Si Y y y Y j tj Z0 ar EN Yj Y 20 d minfa ERR y Escrevendo o operador min em termos de restri es lineares podemos reexpressar A Exercicios Resolvidos 319 P com um problema de programa o inteira mista n ee P Minimize Sid j 1 Sujeito a Resolvendo o modelo Pr para a inst ncia dada no exerc cio obtemos a solu o x y 383 442 com custo 547 A solu o obtida est ilustrada na Figura A 4 213 413 ua rs y p x3 y3 x2 y2 Mestre Horigontal x y e if xa y4 712 y12 z5 Ys x6 4 6 o e l o 11 411 7 Y7 x9 yo xs ys Mestre Vertical x10 y10 Figura A 4 Rede de abastecimento 320 A Exercicios Resolvidos
342. riz Jacobiana das restri es ou seja 19 Programa o N o Linear sob Restri es Algoritmos 277 A x VC T VCalx 19 37 onde C x o i simo componente de C x Especializando se as condi es KKT para o caso de igualdades obtemos um sistema com n m equa es e n m vari veis x e F z d Ng E Um algoritmo consiste em se utilizar o m todo de Newton para o sistema nao linear 19 38 A matriz Jacobiana de 19 38 dada por 0 19 38 W ax A A x A x 0 19 39 onde W denota a matriz Hessiana do Lagrangeano W x A Vi DA 19 40 O passo de Newton a partir do iterando p Ax obtido como segue Tk 1 Tk Py 19 41 Ela Ea 941 onde PeP resolvem o sistema KKT abaixo We AT Pelo V fk AT Ak pS e 19 42 F xr Py Xk Px Brd F p Ak VF zp Ak lPk P 0 VF k Ak E F p Ak A equivalente a 19 42 A itera o definida por 19 42 conhecida como m todo de Newton Lagrange sendo bem definida quando VF uma matriz n o singular A n o singularidade desta matriz uma consequ ncia das condi es estabelecidas abaixo Condi o 19 5 1 i A matriz Jacobiana das restri es A tem posto de linha completo ii A matriz W positiva definida no espa o tangente das restri es i e d wed gt 0 para todo d 0 tal que Ad 0 A premissa 1 adv m da condi o de cualifica o de independ ncia das restri es A premiss
343. roblema de Subsequ ncia Mais Longa 1 2 Bo As bo Pa SA Sequ ncia s 09 5 2 8 7 3 1 6 4 Comprimento l 0 1 1 1 2 2 2 1 3 3 Predecessor p 10 0 0 0 2 2 3 0 6 6 Qual o tempo de execu o do nosso algoritmo Podemos determinar o tempo de execu o atrav s da recorr ncia T n T n 1 n o que nos leva a concluir que T n O n Utilizando estruturas de dados como dicion rios de uma forma inteligente poss vel encontrar a sequ ncia mais longa em tempo O n logn 14 4 Edi o Autom tica de Cadeias de S mbolos Approximate String Matching Uma tarefa importante em processamento de texto a busca por ocorr ncias de uma palavra no texto Infelizmente palavras n o s o escritas corretamente surgindo portanto a quest o Como poder amos efetuar uma busca pela cadeia mais pr xima de um padr o fornecido pelo usu rio Mais formalmente seja P uma cadeia padr o e T uma cadeia que representa o texto A dist ncia entre PeT o menor n mero de opera es de edi o necess rias para transformar T em P sendo as opera es permitidas a Substitui o dois s mbolos podem diferir KAT gt CAT b Inser o adiciona se um s mbolo de P que n o aparece em T CT gt CAT c Dele o elimina se um caracter de T que n o aparece em P CAAT gt CAT Exemplo P abcdefghijkl pode ser mapeado para T bcdef fghixkl usando tr s opera es inser o do caracter a antes de b
344. roduzindo a fun o objetivo e restri es h x fy pr X CY y 0 1 r20 O modelo matem tico acima v lido apenas para o caso de minimiza o Note tamb m que x 0 e y 1 podem ocorrer 10 6 2 Exemplo 2 Localiza o de Dep sitos sem Limites de Capacidade Mais um exemplo de problema cl ssico que se preocupa com a localiza o de dep sitos e conseq entemente o custo de instala o deste bem como a posi o es trat gica dos mesmos al m dos custos de transporte incorridos no transporte de mer cadorias dos dep sitos aos clientes Nos dado um conjunto N 1 n de poss veis localiza es de dep sitos um conjunto M 1 m de clientes o custo fixo f para a instala o do dep sito j e custo de transporte c caso o suprimento da demanda do cliente 7 seja realizado pelo dep sito 7 Assim o problema consiste em decidir que dep sitos ser o instalados e quais dep sitos atender o quais clientes de maneira a minimizar o custo total de instala o e transporte Definindo as vari veis O caso contr rio 7 l 1 seo dep sito 7 ser constru do j Tij a fra o da demanda do cliente suprida pelo dep sito j Definindo as restri es m a Dep sito j pode operar somente se instalado 5 xij lt my E i 1 b A demanda do cliente deve ser satisfeita 5 x 1 i 1 m j l c Varidveis 0 1 y 0 1 Padat O lt ty lt 1 Ge 1220s ns Isa Especificando a fun
345. rrida seja a menor poss vel Nos dado um conjunto de n cidades e o custo dist ncia c do deslocamento da cidade i para a cidade j A tarefa encontrar uma rota circuito que visite cada cidade precisamente uma vez que seja de menor custo poss vel As aplica es s o diversar em particular o roteamento de ve culos a soldagem de pontos de contato em placas de circuitos integrados e a coleta de lixo sistematizada Definindo as Vari veis E 1 seo viajante se desloca da cidade para a cidade j e 0 caso contr rio Definindo as Restri es n a O viajante deixa a cidade i exatamente uma vez gt x 1 b 1 n j 1 b O viajante entra na cidade j exatamente uma vez 3 x 1 di s i 1 c Restri es de conectividade X Sia 21 YSCN SAO iES jgs ou elimina o de subrotas gt gt gt ty lt S 1 VSCN 2 lt S lt n 1 iES JES j i A Figura 10 2 ilustra a restri o de conectividade Definindo a fun o objetivo n n Min X CijLij i 1 j 1 162 10 Fundamentos de Programa o Inteira Figura 10 2 Ilustra o da restri o de conectividade 10 5 Explos o Combinat ria Todos os problemas at ent o vistos s o combinatoriais a solu o um subconjunto de um conjunto finito Em princ pio tendo em vista que o conjunto de solu es fact veis finito poder amos enumerar todas as solu es fact veis As Tabelas 10 1 e 10 2 ilustram o crescimento do n mero de solu es fact
346. s E Camponogara J M Farines R Willrich and A Campestrini Implementing traffic engineering in MPLS based IP networks with lagrangean re laxation In Proceedings of the 8th IEEE Symposium on Computers and Commu nications 2003 R A Dias J M Farines E Camponogara R Willrich and A Campestrini En genharia de tr fego din mica em redes IP com tecnologia mpls otimiza o baseada em heur sticas In Anais do XXII Simp sio Brasileiro de Redes de Computadores 2004 P J Flemming and R C Purshouse Evolutionary algorithms in control systems engineering a survey Control Engineering Practice 10 1223 1241 2002 R Fourer D M Gay and B W Kernighan AMPL A Modeling Language for Mathematical Programming Duxbury Press 2002 M R Garey and D S Johnson Computers and Intractability A Guide to the Theory of NP Completeness W H Freeman and Company 1979 Philip E Gill Walter Murray and Margaret H Wright Practical Optimization Academic Press October 1981 M Girish B Zhou and J Q Hu Formulation of the traffic engineering problems in MPLS based IP networks In Proceedings of the IEEE Symposium on Computers and Communications 2000 D Goldberg Genetic Algorithms in Search Optimization and Machine Learning Addison Wesley 1989 C Gu ret C Prins and M Sevaux Applications of optimization with Xpress MP Dash Optimization Englewood Cliffs NJ 2002 M Hagan and H Demuth Neural network
347. s a fundo e apreciar o espectro de aplica es O livro de Basar e Olsder 7 tamb m amplamente adotado Este texto trata de maneira rigorosa a teoria de jogos n o cooperativos sejam eles de natureza est tica ou din mica discretos ou infinitos Os autores apresentam a teoria e aplica es com enfoque em engenharia de controle que poder ser particularmente desej vel aos engenheiros de controle e el tricos Mesterton Gibbons 35 faz uma introdu o suave e gradual teoria dos jogos procurando integrar modelagem de fen menos biol gicos e formalismos matem ticos Os conceitos fundamentais s o apresentados por meio de 7 Teoria dos Jogos 105 exemplos ilustrativos sobre o comportamento humano e artificial incluindo comparti lhamento de recursos estabelecimento de pre os e taxas e competi o sobre territ rios A teoria dos jogos tem sido aplicada recentemente para facilitar o entendimento de sistemas complexos e distribu dos bem como buscar pol ticas de controle que melhorem o desempenho agregado Por exemplo a teoria pode ser empregada para modelar problemas em rob tica m vel 33 e projetar pol ticas de aloca o de banda em redes de computadores 46 7 10 Exerc cios EX 7 1 Primeiramente considere o jogo matricial dado pela matriz 0 1 2 A 3 0 4 5 6 0 Encontre o vetor estoc stico com a pol tica de decis o do agente coluna resolvendo o problema P com um pacote de otimiza o linear tal como
348. s a um v rtice destino t enquanto que respei tando as capacidades dos arcos Apresentaremos algumas aplica es de fluxo m ximo o algoritmo de caminhos aumentantes e o Teorema de Fluxo M ximo Corte Minimo A Se o 8 3 se concentra no modelo mais geral de fluxo de custo m nimo descrevendo aplica es operadores de transforma o entre modelos e um algoritmo b sico para resolu o do problema Por fim a Se o 8 4 faz uma introdu o propriedade de unimodularidade total de matrizes de incid ncia de redes e suas implica es 8 1 Dois Problemas Cl ssicos No que segue apresentamos dois problemas cl ssicos que podem ser reduzidos ao problema de fluxo em redes de custo m nimo 8 1 1 O Problema de Transporte Neste problema nos s o dados um conjunto de fornecedores e um conjunto de cli entes Os fornecedores t m suas capacidades de produ o limitadas j os clientes possuem demandas a serem supridas O custo unit rio de transporte do dep sito do fornecedor s para o cliente t dado por c A Figura 8 1 traz uma ilustra o do pro blema de transporte Desejamos ent o encontrar a quantidade a ser produzida por cada fornecedor e as quantidades a serem enviadas aos clientes de maneira que o custo total 108 8 Fluxo em Redes seja o menor poss vel ao mesmo tempo que as restri es de capacidade de produ o e de demanda sejam respeitadas Os dados de uma inst ncia do problema s o e S s1 5m o co
349. s d a solu o tima para P Nos resta ent o obter uma recurs o que permite calcular f A em termos dos valores de fs u coms lt keu lt aA O que podemos dizer sobre a solu o tima x para o problema P A com valor f A Claramente x 0 ou x 1 Considerando cada caso temos Caso 1 Se x 0 ent o conclu mos que a solu o tima satisfaz f A fu i A Caso 2 Se x 1 ent o conclu mos que a solu o tima satisfaz f A Ck fk ap Combinando os casos 1 e 2 obtemos a recorr ncia abaixo A Mart fr A ch fe 1 A ax 14 7 Definindo se os valores iniciais como fo A 0 para gt 0 pode se utilizar a recorr ncia 14 7 para calcular sucessivamente os valores de fi fo fn para todos os valores inteiros de A 0 b A quest o que resta como encontrar a solu o tima associada ao valor timo Podemos manter um indicador py A que assume valor 0 se fi A fu i A e valor 1 caso contr rio solu o pode ent o ser encontrada por meio dos passos abaixo e se pn b 0 ent o como f b fa 1 b definimos x 0 e continuamos o processo com o valor f 1 b e se p b 1 ent o fa b cn fn 1 b an definimos x 1 e repetimos este procedimento para f 1 b an e ap s n itera es obteremos a solu o tima 14 2 1 Complexidade do Algoritmo Calculando o n mero de opera es necess rias para obtermos z f b verificamos que o c
350. s das saidas para as diferentes entradas w x t e o pr prio valor da k sima entrada x Se utilizarmos um algoritmo de descenso para resolver o problema ent o dada uma solu o candidata wl o algoritmo de descenso busca a solu o alternativa w t w a V E w sendo a a solu o aproximada do problema Minimize fila E w a VE u aeR Sujeito a az0 A capacidade representacional de uma rede com m ltiplas camadas de unidades li neares superior capacidade de uma unidade linear N o pois uma composi o linear de fun es lineares continua sendo uma fun o linear Assim uma rede neural multi camada de unidades delta n o mais representativa do que o espa o das fun es lineares 5 4 A Unidade Sigmoid Objetivando contornar as limita es da unidade delta e ao mesmo tempo incorpo rar o poder representacional de uma rede de perceptrons foi proposto a aproxima o da fun o threshold com uma fun o diferenci vel Uma fun o com tais propriedades a fun o sigmoid o x cujo comportamento ilustrado na Figura 5 8 Dados i um grafo G V A representando uma rede com m ltiplas camadas cujas unidades de processamento neural s o do tipo sigmoid e ii uma lista com exemplos de treinamento x H a 41 onde z R e tt R podemos utilizar o algo ritmo de propaga o reversa para treinar a rede Lembramos que z xk at at w wk wt w e z
351. s de igualdade definimos a dire o de busca px a cada iterando xz A como a solu o do problema abaixo Minimize 2p Wip V ffp P Sujeito a eee App ck 0 O objetivo do problema uma aproxima o da fun o Lagrangeana e as restri es s o uma lineariza o das restri es do problema 17 1 O iterando seguinte obtido por meio de uma busca ao longo da dire o pp obtida a partir da solu o de 17 6 at que uma certa fun o m rito seja decrescida Programa o Quadr tica Sequencial considerado um dos m todos mais eficientes na pr tica 17 2 Elimina o de Vari veis Uma abordagem natural tentar eliminar restri es de maneira a se obter um problema irrestrito ou pelo menos eliminar algumas restri es e se obter um problema 246 17 Programa o Nao Linear Fundamentos de Algoritmos simplificado Abaixo ilustramos o procedimento de elimina o de restri es em um exemplo simples Minimize f x f 1 2 3 4 Sujeito a 17 1 23 13t 4 0 17 7 2 T4 23 0 N o h risco algum em definirmos 2 t T3z 4 T3 Pisa Ae 17 8 E trabalhamos com o problema irrestrito Minimize f x304 3 4 13 23 4 17 9 T3 T4 O problema 17 9 pode ser resolvido com os m todos estruturados no in cio da disciplina 17 2 1 Exemplo Problemas Que Podem Surgir Considere o problema Minimize r y Sujeito a 17 10 x 1 y A Figura 17 1 m
352. s decis es dos agentes se ela ocorre para um ponto Nash x g Ge amp Ap Be b amp g ABr Ab o xt I AB 1Ab A BJ Nao dif cil mostrar que se A B lt 1 para alguma norma matricial induzida por uma norma vetorial ent o G induz um processo contrativo que por sua vez garante converg ncia do processo iterativo 7 18 para o ponto Nash 2 7 8 1 Exemplo Objetivando exemplificar os conceitos apresentados tomemos como exemplo um jogo entre dois agentes cujos problemas s o dados abaixo Pi Min f 44 7590x2 28 8706212 _ 10 2410x3 1502 20 500 T Py Min fh 19 4886x 34 41 T9 1 2 25 511473 1202 10x5 350 T2 Nao dif cil resolver os sistema de equa es 7 18 e verificar que o ponto Nash nico sendo dado por x 2 0618 1 1972 o que incorre um custo f x 300 4713 HIIG y G x lt lly z 104 7 Teoria dos Jogos ao agente 1 e fo x 148 8665 ao agente 2 Pode se ainda verificar que o jogo convergente ao ponto Nash qualquer que seja o conjunto de decis es iniciais As curvas de n vel das fun es objetivo dos agentes juntamente com os conjuntos reativos Ri x2 e Ro x1 ponto Nash e solu es Pareto podem ser visualizados na Figura 7 1 Uma trajet ria de decis es tamb m ilustrada Observe que existem solu es com valores melhores do que queles induzidos pelo ponto Nash ou seja as solu es P
353. s do subproblema 19 24 Isolando se s em 19 24 temos que Ai ci a si Dige s 2p Aata a segl xd Ne caso contrario Definimos a fun o w t o u cujos argumentos s o escalares de maneira a repre sentar a l gica de 2 ot gat set pa lt 0 Y t o u 19 28 o caso contrario e utilizando se a fun o 1 pode se expressar o subproblema transformado como Min La x u f z X plela Aw 19 29 x A defini o 19 29 de 4 uma extens o natural do Lagrangeano aumentado para caso de desigualdades Com esta extens o podemos aplicar o algoritmo delineado na Se o 19 3 1 para o caso de desigualdades mas com uma pequena modifica o t o logo uma solu o aproximada z de 19 29 seja obtida utilizamos a f rmula abaixo para atualizar os multiplicadores de Lagrange k 1 gcal A max fa Sa o para todo i T 19 30 Observa es Cada fun o w c x A u continuamente diferenci vel com respeito a x mas h em geral uma descontinuidade na segunda derivada com respeito a x sempre que c x pA para algum i T Entretanto quando a condi o de complementa ridade satisfeita se apenas um dos termos A e c x nulo o minimizador x de cada subproblema 19 29 usualmente n o pr ximo da regi o de descontinuidade 19 Programa o N o Linear sob Restri es Algoritmos 275 19 3 4 Propriedades do Lagrangeano Aumen
354. s for control In Proceedings of the Ame rican Control Conference pages 1642 1656 San Diego CA June 1999 Invited Tutorial H Hindi A tutorial on convex optimization In Proceedings of American Control Conference pages 3252 3265 Boston Massachusetts June 2004 J Holland Adaptation in Natural and Artificial Systems University of Michigan Press 1975 K J Hunt D Sbarbaro R Zbikowski and P J Gawthrop Newural networks for control systems a survey Automatica 28 1083 1112 1992 N Karmakar A new polynomial time algorithm for linear programming Combi natorica pages 373 395 1984 Refer ncias Bibliogr ficas 285 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 S Kirkpatrick Optimization by simulated annealing Quantitative studies Jour nal of Stastical Physics 34 975 986 1984 S Kirkpatrick C D Gelatt and M P Vecchi Optimization by simulated anne aling Science 220 671 680 1983 S M LaValle Robot motion planning a game theoretic foundation Algorithmica 26 430 465 2000 E L Lawler Combinatorial Optimization Networks and Matroids Holt Rinehart and Winston New York 1976 M Mesterton Gibbons An Introduction to Game Theoretic Modelling American Mathematical Society 2000 N Metropolis A Rosenbluth M Rosenbluth A Teller and E Teller Simulated annealing Journal of Chemical Physics 21 1087 1092 1953
355. s quadrados que um caso particular de otimiza o irrestrita Exemplo Num rico Para o problema de localizar a central telef nica na regi o dada pela Figura 1 2 que indica os locais de poss veis chamadas A chamadas podem ser originadas dos seguintes locais 7 5 12 z 8 8 23 4 9 z4 11 2 z 11 4 ze 2 9 z7 5 4 zg 15 8 29 17 4 210 12 8 211 17 13 212 12 13 e 243 CG 11 Para a situa o onde as chamadas sao equiprovaveis a localiza o tima da central telef nica 3 3846 4 2308 Central E A De PO 4 6 8 10 12 14 16 18 Figura 1 2 Inst ncia do problema de localiza o de central telef nica 12 1 As Sub reas da Otimiza o 1 9 Otimiza o Nao Linear com Limites Superio res Inferiores Esta classe de problemas dada pela formula o a seguir Minimize f x z R Sujeito a l lt u lt u onde f uma fun o cont nua e diferenci vel Estes modelos t m aplica es em engenharia e na identifica o de modelos f sicos onde as grandezas e par metros s o sujeitos a limites Alguns algoritmos de otimiza o restrita resolvem sequ ncias de problemas com limites superiores e inferiores 1 10 Otimiza o N o Linear com Restri es Os problemas de otimiza o n o linear com restri es consistem em minimizar uma fun o n o linear sujeita a restri es n o lineares
356. s reduzir f substancialmente ao longo da dire o escolhida caso contr rio se 0 pouco negativo temos um sinal de que n o podemos reduzir f substancialmente Passos satisfat rios que satisfazem simultaneamente as condi es de Armijo 2 2 e de curvatura 2 3 s o ilustrados na Figura 2 4 Use a regra da cadeia para verificar esta afirma o dz y x dx dz dy dy dx onde z y uma fun o de y e y x uma fun o de z 2 Minimiza o de Fun es com o M todo de Descenso 23 a Passo satisfat rio Passo satisfat rio Figura 2 3 Ilustra o de passo satisfat rio ry pla f x apr Ua aoe Satisfaz Atmijo Satisfaz Armijo Satisfaz Curvatura Satisfaz Curvatura Figura 2 4 Ilustra o das condi es de Armijo e de curvatura 24 2 Minimiza o de Fun es com o M todo de Descenso As condi es suficientes para redu o da fun o objetivo 2 2 e de curvatura 2 3 s o conhecidas como condi es de Wolfe f b apr lt Has caV f x De 2 4 Vi te ope Pe gt VE k pk onde 0 lt cy lt C2 lt 1 Equivalentemente as condi es de Wolfe podem ser expressas como ar lt 0 c az 0 Hep gt co 0 2 5 Nao dif cil provar que existem passos a que satisfazem as condi es de Wolfe se a fun o f suave e possui um limite inferior Lema 2 1 Seja f R R uma fun o continuamente di
357. s simplificadas da realidade que preservam para determinadas situa es e enfoques uma equival ncia adequada Dentre as caracter sticas de um modelo se destacam a sua capacidade representativa e a capacidade de simplifica o da realidade A capacidade representativa de um modelo deve ser validada por meio de experimenta o an lise num rica ensaios ou qualquer outro m todo que verifique a acur cia das predi es obtidas com o modelo A mode lagem de um problema complexo n o uma tarefa trivial Invariavelmente depende de fatores subjetivos como intui o experi ncia criatividade e poder de s ntese A formula o consiste em traduzir o modelo em uma linguagem formal normalmente expressa em nota o matem tica e compreendendo vari veis equa es desigualda des e f rmulas Os processos de formula o e valida o s o iterativos pois envolvem m ltiplas etapas de tentativa e erro e interativos medida que o modelador deve intervir continuamente objetivando refinar o modelo Uma abordagem frequentemente empregada na formula o e resolu o de problemas consiste no emprego de modelos de otimiza o os quais visam maximizar minimizar um crit rio de desempenho como por exemplo a produ o de um dado insumo su jeito a restri es que descrevem as condi es operacionais A linguagem utilizada pela otimiza o para expressar os problemas de uma forma declarativa conhecida uni versalmente por programa o
358. s t 1 tomando como base m s t as propriedades de s as propriedades da popula o e os par metros do AG e g m todos de recombina o e taxa de muta o Teorema 4 1 Considerando apenas sele o tem se uls t Elm s t 1 Et m s t fm E onde m s t o n mero de indiv duos em P t sima popula o que perten am ao schema s fm t o valor m dio da fun o de aptid o dos elementos de P e u s t o valor m dio da fun o de aptid o dos elementos de P que perten am ao schema s Se vemos o AG como um processo virtual paralelo que i executa uma busca atrav s do espa o de poss veis schemas e ao mesmo tempo ii executa uma busca atrav s do espa o de indiv duos ent o a equa o do Teorema 4 1 indica que schemas de maior aptid o crescer o em influ ncia com o passar das gera es Teorema 4 2 Considerando o operador cross over de um ponto e muta o tem se u s t _ ped s Elm s t 1 gt Fal m s t h a L pal onde Denotado por E e e mais rigorosamente conhecido por esperan a matem tica 54 4 Otimiza o N o Diferenci vel e p a probabilidade do operador cross over de um ponto ser aplicado a um in div duo arbitr rio pm a probabilidade de que um bit arbitr rio de um indiv duo arbitr rio sofra muta o e o n mero de bits das cadeias e o s o n mero de bits definidos presentes no schema s bits 0 ou 1 e g e
359. satisfeita Portanto 7 lt x uma desigualdade v lida podendo esta ser introduzida na formula o de X A partir das dedu es desenvolvidas podemos propor uma formula o revisada para o problema em quest o X x B5 37 4x94 223 3444 25 lt 2 t2 z421 1 S 2 12 2 2 Um Conjunto 0 1 Misto O exemplo de conjunto de solu es mistas cont nuas e discretas consiste no con junto X X x y x lt 9999y 0 lt lt 5 y B f cil verificar que a desigualdade x lt 5y v lida 12 Algoritmos de Planos de Corte e Desigualdades Fortes 189 12 2 3 Um Conjunto Inteiro Misto Considere o conjunto X x y 0 lt z lt 10y 0 lt z lt S 14 y Z4 O leitor pode se convencer da validade da desigualdade x lt 14 4 2 y O espa o de solu es fact veis X juntamente com a desigualdade v lida ilustrado na Figura 12 1 a EOE x lt 6 4y ZANE ganas uam ae ag nate Eee NS y 1 RR z 2 4 6 8 10 12 14 16 amp Figura 12 1 Espa o de solu es fact veis e desigualdade v lida x lt 14 4 2 y 12 2 4 Conjunto Combinat rio Seja X o conjunto dos vetores de incid ncia de problemas de emparelhamento matchings mais precisamente KATEZ AN ma para todo i V e d i onde G V E um grafo n o direcionado e i fe e E e i j para algum j V Seja ainda T C V um conjunto qualquer com cardinalidade mpar O
360. ser escrito como cun Ewy R N 1 UN WN 1 15 14 Levando em conta o custo de armazenamento nao suprimento no per odo N 1 o custo timo para o ltimo per odo mais o custo terminal Jn i ZN 1 r gn 1 Minan 4 0 cun 1 E R tn 1 FUN wWn 1 15 15 Naturalmente Jy uma fun o de y 1 Jn 1 pode ser calculada analiticamente ou numericamente neste ltimo caso uma tabela utilizada para armazenamento de Jn 1 No processo de calcularmos Jy_ obtemos a pol tica tima uN zn 1 para o ltimo per odo onde uy 4 xn 1 assume o valor u _ que minimiza 15 15 220 15 Programa o Din mica Dominio Continuo Per odo N 2 Deve ser evidente que devemos minimizar n o apenas o custo do per odo N 2 mas sim a soma das parcelas abaixo O custo esperado O custo esperado r y 2 cuy 2 do per odo N 2 do per odo N 1 utilizando se E Jn_i tn_1 uma pol tica tima para N 1 15 16 Usando se a equa o y 1 LN_2 UN 2 WN 2 O ltimo termo pode ser escrito como Jn i Zn UN_2 WN 2 Portanto se come armos com x n 2 O custo timo para os dois ltimos per odos denotado por Jn s znw e dado pela express o que segue Jn a 2n 2 r 2n 2 Minuy_y gt 0 cun 2 Ewn In 1 N 2 UN 2 WN 2 15 17 Novamente Jn a zw 2 calculado para cada valor rw Simultaneamente obtemos uma pol tica de controle timo uh o 2n 2 Observa es Enquan
361. sjuntiva i e uma disjun o de cl usulas pode ser representada por uma rede de perceptrons T2 T2 o MAE a E s A z P T XY t z 5 ais i 7 _ Conjunto Linearmente Separ vel Conjunto N o Separ vel Linearmente Figura 5 6 Conjuntos separ veis e n o separ veis linearmente O procedimento de treinamento de um perceptron o elemento b sico para desen volver o procedimento de treinamento de uma rede Assim apresentamos abaixo um algoritmo de treinamento de um perceptron Algoritmo de Treinamento de um Perceptron O vetor com pesos sin pticos w w Wn inicializado randomicamente 0 5 lt w lt 0 5 a taxa de aprendizagem e g a 0 01 m lt 1 temos M exemplos de treinamento Repita Para i D est Aw aft sign w x x2 wi w Aw Fim Para m mod m M 1 5 Treinamento de Redes Neurais Um Problema de Otimiza o 67 Fim Repita Uma propriedade interessante do algoritmo acima que ele converge sempre que o conjunto de treinamento for linearmente separ vel 37 5 3 Regra Delta Um dos obst culos ao uso do perceptron a possibilidade de falha quando os exem plos de treinamento n o s o linearmente separ veis A regra delta supera esta difi culdade propiciando a concep o de um algoritmo que converge para a melhor apro xima o linear da rela o entre entrada e sa da a fun o entrada sa da desconhec
362. sky mais tarde provou teoremas que contribu ram para o fim das pesquisas em redes neurais em meados de 1970 37 Embora a Ci ncia da Com puta o tenha desprezado o campo das redes neurais ap s a publica o do livro Per ceptrons por Minsky e Papert trabalhos de pesquisa continuaram em outros dom nios especialmente na F sica A motiva o principal veio nos anos 80 quando pelo menos 4 grupos reinventaram o algoritmo de propaga o reversa back propagation algorithm inicialmente proposto por Bryson e Ho em 1969 10 Os algoritmos foram aplicados a v rios problemas de aprendizagem em Ci ncia da Computa o e Psicologia A estrutura b sica da unidade perceptron ilustrada na Figura 5 5 Em ess ncia a unidade recebe o sinais de entrada z1 n pois assumimos que o sinal x sempre 1 e os combina linearmente de acordo com os pesos sin pticos wo wWn obtendo o sinal w7 x onde x 20 2n w wo Wn O sinal de sa da enviado pelos canais y1 Ym S o id nticos assumindo o valor 1 se o sinal de w z positivo e 1 caso contr rio A fun o de sa da se comporta portanto como um threshold se wi Wn x1 n gt Wo onde wo cont m o valor do threshold ent o o sinal de sa da assume o valor m ximo 1 de outra forma o sinal assume o valor m nimo 1 Entrada Sa da ay sign we To Wo Peso das sinapses si E Threshold we Y2 i l e S 5 Witi 1 0 Wn Tn Ym F
363. solu o tima a partir dos valores timos das fun es objetivo O terceiro exemplo trata da identifica o da subseqii ncia de s mbolos mais longa enquanto que o ltimo exemplo apresenta a solu o para um problema complexo de edi o de cadeias de s mbolos Este ltimo problema e suas generaliza es t m aplica es em sistemas operacionais casamento de padr es e sequenciamento de DNA 14 1 Um Exemplo de Programa o Din mica Programa o din mica uma t cnica dif cil de entender mas cuja solu o uma vez obtida de f cil compreens o Em algoritmos para problemas como o de ordena o de n meros corretude mais f cil de verificar do que efici ncia Este n o o caso de problemas de otimiza o onde deseja se provar que um algoritmo sempre produz uma solu o tima Algoritmos gulosos heur sticas que executam uma busca local s o eficientes mas apenas ocasionalmente encontram uma solu o tima Algoritmos baseados em enumera o por outro lado avaliam direta ou indiretamente todas as poss veis solu es e portanto encontram a solu o tima todavia o custo computacional pode ser proibitivo Programa o Din mica combina estes dois universos algoritmos gulosos e de enu mera o a t cnica sistematicamente considera todas as poss veis decis es e sempre seleciona a tima armazenando as consequ ncias de todas as decis es at o presente est gio e usando estas informa es de uma f
364. solvendo a relaxa o R Pp obtemos uma solu o fracion ria com valor objetivo 824 que por sua vez cortada por limite J encontramos um limite inferior com valor superior a 824 Finaliza o A solu o tima portanto a solu o encontrada ao resolvermos o n Py x 1 2 0 3 4 y 5 0702 e yo 1 693 com valor objetivo 981 6 tinha sido arredondado para 982 EX 11 3 Abaixo segue os resultados das tarefas i lustramos apenas a rvore branch and bound final As seguintes solu es foram produzidos nos n s da rvore x 5 3 10 3 21 23 1 4 7 23 2 285 ri r3 2 27 25 2 a Bia 3 1 42837 21 25 3 3 1 27 05 21 23 4 A Exercicios Resolvidos 325 infactivel 982 otimalidade infactivel 657 cortado por cortado por por limite por limite Figura A 11 rvore branch and bound parcial ii O subproblema Lagrangeano dado por L u1 U2 Maximize 17x 12 u1 40 10x 7x2 u2 5 14 T2 Sujeito a XY lt 4 v2 lt 5 T1 2 20 Ty T2 Z ou equivalentemente L ui U2 Maximize 17 10u u2 z 12 Tu u2 T2 40u Sus Sujeito a XY lt 4 Ta lt 5 T1 2 0 Ty T2 Z O Lagrangeano dual dado por LD Minimize L u1 u2 Uj U2 0 326 A Exercicios Resolvidos ub 68 33 Ly gt 2 x lt 1 68 2 ub 65 ub 68 2857 y lb 65 lt gt 3 eG T2 lt 2 T2
365. stri es por duas vari veis n o negativas y xy 4x2 lt y va 311 T2 T3 lt 3y yi 3y2 r1 4y1 yo xo yot3 lt yi 3y2 Agora estipulamos que yi 3ye2 Ay Y2 Yo Y Y2 Valores para y1 y2 satisfazendo as desigualdades 6 18 nos levam s seguintes desi gualdades 6 18 WV WV NM 4 1 3 0 DM I 414 19 3 3 yr 3y2 1 4y1 Y2 2 yrs Y 3Yy2 IN IN 86 6 Programa o Linear Dessa maneira obtemos o limite superior y 3y2 para 6 Nossa tarefa minimizar este limite superior atrav s da solu o do problema de programa o linear que segue D Minimize y 3y2 Sujeito a Yit3y 2 4 4n y 2 1 Y2 gt 3 Yi Y2 2 0 6 4 2 O Problema Dual Aqui desenvolvemos a maneira atrav s da qual o problema dual pode ser obtido a partir do problema primal Primeiramente considere o problema primal que segue n P Maximize Cid J Sujeito a D aiti lt bi i 1 m j l Tj 2 gt 0 j l ame O problema dual associado a P D Minimize S biyi i 1 Sujeito a o Gigi gt Cj jg l n i l Yi 2 0 aan RD 1 Queremos mostrar que o dual do dual o problema primal Podemos expressar o dual como segue D Maximize S biyi i 1 Sujeito a y 05 9 lt Cj tS Ayana i 1 Yi gt 0 p Gerando o dual de D obtemos DD Minimize gt c 2 Sujeito a 6 Programa o Linear 87 que por sua vez pode ser colocado na forma n
366. sugere que a desigualdade abaixo v lida 2y1 2y2 Y3 Ya tas 2T para algum a A desigualdade acima pode ser verificada como v lida para a gt E 12 3 Teoria de Desigualdades V lidas A presente se o aprofunda os conceitos sobre desigualdades v lidas apresentados por meio de exemplos nas se es anteriores 12 Algoritmos de Planos de Corte e Desigualdades Fortes 191 12 3 1 Desigualdades V lidas para Problemas Lineares Dado um poliedro P x Ax lt b x gt 0 e uma desigualdade 17x lt To a primeira quest o se a desigualdade 7 70 v lida para P A proposi o abaixo prov condi es que garantem a validade de 7 To Proposi o 12 2 77x lt To v lida para P x Ax lt b x gt 0 0 se e somente se a existe u 2 0 ev gt 0 tal que ut A uT n e ufb lt S To ou b existe u gt 0 tal que uT A gt n euTb lt ro Prova b Se existe u gt 0 tal que uT A gt n e uTb lt mo ent o para qualquer x P Ax lt b gt uT Arx lt utb gt nlr L uT Ax lt utb lt mo 7 79 uma desigualdade v lida 12 3 2 Desigualdades V lidas para Problemas Inteiros Proposi o 12 3 A desigualdade y lt b v lida para X y E Z y lt S b Exemplo Podemos utilizar a Proposi o 12 2 para gerar desigualdades v lidas para um poliedro dado pelas restri es abaixo fo S 12 2 x gt 0 amp inteiro 12 4 i Multiplicamos as restri es por um vetor de pes
367. t 0 Vf x fd lt 0 N o precisamos nos preocupar com a primeira desigualdade pois podemos multiplicar d por uma constante pequena at que 1 Vei a Td gt 0 Observando que v voa 1 f cil verificar que o vetor d 5 1 satisfaz 16 30 e portanto uma dire o de descenso 16 3 Condi es de Otimalidade de Primeira Ordem Os tr s exemplos anteriores sugerem que um n mero de condi es s o importantes na caracteriza o de uma solu o para o problema 16 1 a Vel oA 0 b A gt 0 para toda a desigualdade c x c Condi o de complementaridade A c x 0 Em geral o Lagrangeano de um problema de otimiza o com restri es definido como x d f z 3 Aci 16 31 iEEUT O conjunto ativo A x para qualquer ponto fact vel x a uni o do conjunto com os ndices das desigualdades ativas ou seja Alz CUTE T nel 0 16 Programa o N o Linear Restrita Fundamentos e Condi es de Otimalidade 239 O vetor Vci x tipicamente chamado de normal restri o c no ponto x pois este vetor usualmente perpendicular fronteira de c no ponto 2 poss vel entretanto que Vc x desapare a devido representa o alg brica de c de forma que o termo AVci x se anula para qualquer valor de e assim n o desempenha nenhuma fun o no gradiente do Lagrangeano Por exemplo suponha que a restri o de igualdade em P 16 11 seja substitu da por cls
368. t A Note que A gt 0 pois A positiva definida Note tamb m que det A det UTAU det U7 det A det U onde U UT e A diag M An Logo det A det A Jj_ Xi pois det U 1 det U Em verdade um elipsdide E pode ser representado equivalentemente nas formas abaixo 1 E x x xo Aa x9 com volume det A 2 Imagem de uma bola unit ria sob uma transforma o afim E Bu xo ul lt 1 com volume det B 3 Pr imagem de uma bola unit ria sob uma transforma o afim E x Az b lt 1 com volume det A 4 Subn vel de um conjunto quadr tico degenerado x f x lt 0 onde f x 27Cr 2d x 4 e com C CT positiva definida e dC ld lt 0 e volume det A Mostre como se pode converter entre representa es 282 19 Programa o N o Linear sob Restri es Algoritmos Figura 19 4 Elips ide Refer ncias Bibliograficas 10 11 12 13 14 E Aart and J Korst Simulated Annealing and Boltzmann Machines Wiley New York 1989 M Agarwal A systematic classification of neural network based control IEEE Control Systems Magazine 17 2 75 93 1997 R K Ahuja T L Magnanti and J B Orlin Network Flows Prentice Hall Upper Saddle River New Jersey 1993 R J Aumann and S Hart Handbook of Game Theory with Economic Applications volume 1 North Holland Amesterdan 1992 D O Awduche J Malcom
369. ta 23 Agora substituindo as equa es 6 7 no dicion rio 6 5 obt m se o dicion rio abaixo Max 2 3w ee 323 t 5 94U1 502 503 6 8 Wo 1 2w DL ws Hi tlm os A solu o induzida pelo dicion rio 6 8 y aa rs wt w w3 3 0 0 0 1 5 cujo valor da fun o objetivo 5 Neste dicion rio as vari veis 21 W2 w3 s o ditas vari veis b sicas tal que o conjunto B z1 W2 W3 cont m as vari veis b sicas As demais vari veis s o ditas n o b sicas sendo o conjunto N x2 3 wi o conjunto das vari veis n o b sicas Passo 2 A solu o corrente n o tima Note que um pequeno acr scimo no valor de z3 invariavelmente aumenta o valor de Mas n o podemos aumentar o valor de x3 ilimitadamente uma vez que isto poderia tornar a solu o infact vel outras vari veis poderiam assumir valores negativos Para que a solu o resultante seja fact vel as desigualdades abaixo devem ser respeitadas t 2 trs 2 0 ele T3 lt 5 w3 3 523 gt 0 z3 lt 1 Portanto w3 deve sair da base para que a vari vel x3 possa entrar na base sem violar as restri es Ap s substituirmos a equa o 73 1 3w z2 2w3 nas equa es do dicion rio 6 8 obtemos t tw Sao e 5 1 SW1 2 2ws 2 2w 2x5 W3 6 9 Sw Lao 5 1 SW Lo 2ws 13 wy 3x5 w3 6 Programa o Line
370. ta de n s ativos se torne L 55 S11 Si2 O resultado desta subdivis o est indicado na Figura 11 8 59 7 00 21 23 xo lt 0 O amp Figura 11 8 Dividindo S em Sy e Sj Escolhendo um n Arbitrariamente escolhemos o n identificado por S dentre a lista de n s ativos L Sn S12 S2 11 Programa o Inteira Relaxa es e Algoritmo Branch and Bound 183 Bounding Resolvemos a relaxa o linear R S5 correspondendo relaxa o do pro blema So 22 Max 42 2 sa Tx 2 lt 14 v2 lt 3 221 2 3 lt 3 T gt 3 2 z EZ Uma vez que o problema S infactivel ou seja Z2 oo podemos cortar o n So em fun o da inviabilidade Escolhendo um n A lista de n s ativos passou a ser L S11 S12 Arbitraria mente escolhemos S42 Bounding Resolvemos a relaxa o R Si2 do problema cujo espa o de solu es fact veis Sig SN x z lt 2e xX gt 1 obtendo a solu o Tj 2 1 a qual gera o limite superior Z12 7 J que a solu o obtida para R Sj2 in teira produzimos o primeiro limite inferior ou seja underlinez s 7 que pode ser propagado para os demais n s da rvore Portanto o n Sj foi cortado por otimalidade como est indicado na Figura 11 9 59 7 cortado devido infactibilidade cortado por otimalidade Figura 11 9 Cortando o n Sj por meio da condi o de otimalidade Escolhendo um n Apenas 5 est ativo Bo
371. tado Dois resultados encontrados na literatura justificam o uso do Lagrangeano aumen tado e dos algoritmos desenvolvidos e Quando o valor exato dos multiplicadores de Lagrange A s o conhecidos ent o a solu o tima x do problema 19 13 tamb m um minimizador estrito de Lalx u para u suficientemente pequeno e Embora n o conhe amos A na pr tica os resultados mostram que podemos obter uma solu o x muito pr xima de x ao minimizarmos La x A u mesmo quando u n o est particularmente pr ximo de zero desde que seja uma boa estimativa de A 19 4 Programa o Linear Sequencial A id ia principal por tr s da programa o linear sequencial PLS est na gera o de um passo por meio da minimiza o do Lagrangeano sujeito a uma lineariza o das restri es Aqui nos concentraremos no problema de optimiza o n o linear sob restri es de igualdade por raz es de conveni ncia Para o problema 19 13 o subproblema PLS assume a forma Minimize Fyu x x 19 31 Sujeito a Ve r 2 2 e r 0 Vie E Existem diferentes escolhas para F x Os primeiros m todos definiam Fy x f x YAE a 19 32 i E onde e a estimativa corrente de 7 e ak e C x a diferen a entre c x e sua lineariza o no ponto x ou seja co x Cile clst Veila x z 19 33 1 E poss vel mostrar que medida que x se aproxima de x os multiplicadores
372. tante Um fluxo x m ximo se e somente se a rede residual G x n o cont m caminho aumentante Prova Se a rede residual G x cont m um caminho aumentante ent o obviamente x n o pode ser m ximo Por outro lado se a rede residual n o cont m caminho 8 Fluxo em Redes 117 aumentante ent o o conjunto de v rtices alcan veis a partir de s denotado por S define um corte s t S S tal que 0 r S 5 e portanto uls 5 Ss i Uij i j E S S APE 2 i j ElS S i j ElS S ji 8 8 UV Conclu mos que a capacidade u S S do corte 5 5 iguala o valor do fluxo induzido por x dessa forma demonstrando que o fluxo m ximo EE Qual o tempo de execu o do algoritmo de caminhos aumentantes Podemos estabelecer um limite superior para o n mero de itera es do algoritmo Seja u max wuj i j E A a capacidade m xima dos arcos assumindo que as capacidades s o finitas e inteiras Ent o o fluxo m ximo tem como limite superior o valor nu com n V pois o corte Hs V s tem capacidade m xima n 1 u Uma vez que todo caminho aumentante p tem capacidade n o nula e inteira conclu mos que d p gt 1 eo n mero m ximo de itera es do algoritmo de caminhos aumentantes nu Uma busca em grafos largura ou profundidade pode ser realizada em tempo O m n o que nos leva a deduzir que o tempo de execu o do algoritmo limitado por O mnu 8 2 3 Implica es Combinat
373. tante da equa o de Riccati que a solu o K converge para uma solu o K quando k oo se Ak By Qk e Ry s o constantes e iguais a A B Q e R respectivamente A solu o K satisfaz a equa o alg brica de Riccati K AT K KB BTKB R BTK A Q 15 32 Esta propriedade indica que para o sistema tr Ax Buy Wk k 0 1 N 1 15 33 15 Programa o Din mica Dom nio Cont nuo 223 e um n mero grande de est gios N podemos aproximar a lei de controle 15 28 com a lei de controle u u t onde He Lx 15 34 L BTKB R B KA 15 35 onde K uma solu o para a equa o alg brica de Riccati 15 32 Defini o 15 1 Um par A B sendo A uma matrizn x n e B uma matriz n x m dito control vel se a matriz n x nm BAB B A B 15 36 tem posto completo ou seja se as linhas s o linearmente independentes Pode se demonstrar que se um par A B control vel ent o para qualquer estado inicial x existe uma sequ ncia de vetores Uuo u1 Un 1 que for a o estado x do sistema Tr Ax Buk 15 37 para a origem no instante n Isto pode ser demonstrado como segue t Axo ale Buo v2 Ax r Buy A To ABuo Buy 15 38 Tn A xo A Buo AB EAR io Boa ou equivalentemente Un 1 Un 2 Za Ato B AB A B AB 15 39 Uo Se A B control vel a matriz B AB A B tem posto completo e como re
374. tas N o se pode por exemplo dividir um vag o de trem em fra es n o se pode alocar meio piloto a uma aeronave e n o se pode instalar uma fra o de um servidor de telecomunica es Estes e muitos outros problemas fazem parte do universo da programa o linear inteira que engloba problemas da forma Minimize clay Sujeito a Ax gt b Cred xr gt 0 vez 1 3 1 Problema Exemplo Aqui ilustramos uma aplica o do problema de programa o inteira que envolve a instala o de dep sitos e unidades produtoras de a o que venham a suprir as demandas de clientes ao mesmo tempo que os custos de instala o e transportes sejam minimi zados Temos que decidir dentre um conjunto de locais pr selecionados onde instalar as unidades produtoras e quais unidades instaladas ser o respons veis pela demanda de cada cliente 1 Dados do Problema os dados abaixo constituem uma inst ncia do problema i um n mero m de poss veis locais para instala o de dep sitos e sider rgicas ii um n mero n de clientes iii d a demanda de a o do cliente e esta deve ser suprida por precisamente um dep sito ou sider rgica iv uj a capacidade de um poss vel dep sito a ser instalado no local j v o custo de transporte do dep sito j para o cliente cij e vi o custo de instala o do dep sito j fj 1 As Sub reas da Otimiza o 5 2 Tarefa Formule o problema de definir quais dep sitos devem ser instalad
375. teira Relaxa es e Algoritmo Branch and Bound tamb m foram computados e est o indicados ao lado de cada n da rvore de enu mera o Note que ly gt u1 o que significa que a melhor solu o poss vel de ser obtida no espa o de solu es S inferior a melhor solu o primal encontrada at o momento Portanto podemos eliminar a busca a partir de S dessa forma eliminando muitas solu es de forma impl cita Este corte ilustrado na figura 27 27 13 13 18 s 21 18 s 21 eliminado por limite Figura 11 5 Elimina o por limite Exemplo de situa o sem possibilidade de corte Agora tome como exemplo a rvore de enumera o dada esquerda da Figura 11 6 Note que o limite superior de S maior do que o limite superior obtido em S e em So podemos ent o substituir o limite anterior de 40 para 37 j que S S U S2 O melhor limite inferior obtido at ent o 13 que neste momento se torna o melhor limite primal para o problema como ilustrado na rvore direita Todavia ambos os n s S e Sy devem ser quebrados em subproblemas menores 40 37 13 24 37 24 37 13 O 13 s Nenhum ramo da rvore pode ser eliminado Figura 11 6 Nenhum ramo da rvore pode ser eliminado Conclus es Baseado nos exemplos acima podemos listar tr s raz es para cortar ramos da rvore i Cortando por raz o de otimalidade z Mar cl x x S foi resolvido ii Cortando por meio dos limites Z
376. teln x k n 1 n i n end if writeln writeln objective getobjval fclose F_OUTPUT end model Inst ncia Exemplo 7s getsol x k 1 i j Abaixo segue o conte do do arquivo model dat com os par metros da inst ncia a ser carregado quando da execu o do modelo model mos dado acima Observe que em model mos feita refer ncia ao arquivo model dat A rede da inst ncia exemplo est ilustrada na Figura 9 1 Lsp 12345 678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4567 1 3 1 1 2 3 1 1 43 1 3 5 1 1 6 4 1 5 6 1 1 7 6 1 Node 1 2 3 Arc 13 3 4 4 6 6 7 Level 0 1 2 Arc_u 1 3 4 6 Arc_d 1 3 4 6 3 4 6 7 3 4 6 7 Lsp_s 2 3 1 Lsp_d 5 1 4 Lsp p 111 21 32 1 5 3 1 6 5 1 100 3 1 100 2 3 100 100 4 3 100 3 5 100 BR 3 Be 5 6 BR 100 6 4 100 5 6 100 100 7 6 100 1 3 1 1 2 3 1 4 3 1 3 5 1 6 4 1 5 6 1 7 6 1 16451116331 65222262164 tiitiiiitiitii 2657 42465 1111 3 2 100 5 3 100 6 5 100 2 1 3 1 5 1 7 7 7 3 2 1 11 1 150 9 Linguagens de Modelagem Lsp_delay 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 Lsp_lbd 1 0 0 1 1 8 1 2 16 20 0 21 10 2 2 20 3 0 0 3 1 14 3 2 28 40 0 41 5 4 2 11 50 0 5 1 1 5 2 2 6 0 0 6 1 3 6 2 6 7 0 0 7 1 8 7 2
377. ternativa ent o o outro agente pode selecionar a op o que o leva vit ria Portanto os agentes devem randomizar suas estrat gias mas em virtude da simetria do problema cada agente deve selecionar uma das alternativas com probabilidade 1 3 Por exemplo se o agente linha seleciona papel com probabilidade 1 2 e escolhe pedra e tesoura com probabilidade 1 4 ent o se o agente coluna selecionar tesoura com probabilidade 1 ele vencer em 50 das vezes empatar em 25 das vezes e ser derrotado em apenas 25 das vezes Papel Tesoura Pedra Papel 0 1 1 as Tesoura 1 0 1 7 2 Pedra 1 1 0 7 2 2 Um Jogo Menos Trivial Considere um jogo cuja matriz de ganhos e perdas definida como segue 0 1 2 A 3 0 4 7 3 5 6 0 Este jogo tem a propriedade de que qualquer estrat gia fixa pode ser explorada pelo agente oponente Por exemplo se o agente linha escolha a primeira linha em todas as 98 7 Teoria dos Jogos jogadas entao o agente coluna pode escolher a segunda coluna obtendo um ganho de 1 unidade a cada iteragao Novamente os agentes devem randomizar suas estrat gias Mas agora a probabilidade uniforme de 1 3 n o mais tima Al m disso qual dos agentes tem vantagem neste jogo Note que se Qij 10 i j aij gt 0 aij 11 i j Qij lt 0 o que nos leva a suspeitar que o agente linha tem vantagem neste jogo 7 3 Formaliza o Se o agente linha segue uma estrat gia randomizada ent o o agente
378. tivo apenas quando a restri o correspondente c est ativa No caso I temos ci x gt 0 e a condi o 16 24 se reduz a 0 e Vf x 0 como esperado No caso II pode assumir qualquer valor n o negativo portanto 16 24 se torna 16 21 16 2 3 Duas Desigualdades Adicionamos uma restri o ao problema P e obtemos Ps Minimize z 22 Sujeito a 2 a 22 gt 0 v9 gt 0 16 25 236 16 Programa o N o Linear Restrita Fundamentos e Condi es de Otimalidade RiNnRo 9 E A figo f Vela aS O si qa Oe Ry 4 Vj iLO Vo Figura 16 6 Regiao de descenso vazia para o qual a regi o fact vel o meio disco ilustrado na Figura 16 7 x2 R x 2 a 22 gt 0 2 gt 0 2 T gt gt v2 Vei a V2 u Figura 16 7 Meio disco f cil verificarmos que a solu o tima v2 0 um ponto onde ambas as restri es est o ativas Usando os argumentos da se o anterior podemos concluir que d uma dire o de descenso de primeira ordem se as seguintes condi es s o satisfeitas Vale d gt 0 icT 16 26 Vf x d lt 0 16 27 A partir da Figura 16 8 podemos verificar que nenhuma dire o d satisfaz as equa es 16 26 e 16 27 simultanemamente no ponto xz v2 0 Vamos definir o Lagrangeano para o problema Ps L x A f x Aci x z2c2 16 Programa o N o Linear Restrita Fundamentos e Condi es de Otimalidade 237 Ry
379. to a 50x 24y lt 40x60 2400 30x 33y lt 35x60 2100 x gt 75 30 45 y gt 95 90 5 EX 1 2 a Basta fazer A Pear b Fazendo A E dera o ao problema de m nimos quadrados B d c Fa a A Ar eb Ja d Primeiramente a fun o a ser minimizada pode ser colocada na forma Az bill Ax bll Asx b onde eb g podemos reduzir o problema em consi 1 0 0 0 A 0 V2 0 by 0 0 0 v3 0 A amp 1 1 1 Az 1 4 0 b 2 Por fim basta fazer Ay by A As eb bo A3 ba para se obter um problema de m nimos quadrados EX 1 3 O problema de encontrar a altura e raio da lata pode se expresso em pro grama o n o linear com restri es P Minimize f r h 2 mr 2rrh r h Sujeito a mr2h gt 500 poss vel eliminar a restri o de desigualdade O problema do tipo convexo Pode se obter uma solu o fechada para o problema sem fazer uso de um m todo de otimiza o A Exercicios Resolvidos 289 EX 1 4 Seja m Ym M 1 M as coordenadas das caixas de abastecimento e seja y a linha onde o tubo mestre ser implantado Em programa o matem tica o problema pode ser colocado como M Minimize fly gt gt y ym m 1 Ut Quais s o as dificuldades para se resolver o problema acima poss vel trans form lo em um problema de programa o linear Ser que a solu o y ob tida por m nimos quadra
380. to que o problema de invent rio necessita de uma otimiza o sobre o conjunto de pol ticas o algoritmo DP decomp e o problema em uma sequ ncia de minimiza es feita sobre um conjunto de controles Cada uma dessas minimiza es muito mais simples do que o problema original 15 4 Sistemas Lineares com Custo Quadr tico Esta se o desenvolve um algoritmo de programa o din mica para resolver o pro blema de controle que tem como sistema din mico equa es lineares uma fun o de erro quadr tica e um horizonte de tempo finito Consideramos o caso especial de um sistema linear na forma Tk 1 Agen Bru Wk k 0 1 N 1 15 18 tendo como custo a fun o quadr tica dada por N 1 gt xx Qua ur Ryu Ds Nad 15 19 k 0 Pig 17 Quer Neste modelo x e up s o vetores coluna de dimens o n e m respectivamente e as matrizes Apk Bk Qk e Rp s o de dimens es apropriadas Assumimos que as matrizes Qp s o sim tricas e positiva semi definidas Qg Qk e Qk gt 0 e as matrizes Ry s o sim tricas e positiva definidas Ry RT e R gt 0 Os controles up s o irrestritos As perturba es wy sao vari veis rand micas com distribui o de probabilidades indepen dentes de k e up Al m disso as perturba es apresentam m dia nula Ffw 0 e vari ncia finita O problema descrito acima uma formula o popular do problema de regula o no qual deseja se manter o estado do sistema pr ximo
381. tos fundamentais exemplos e condi es de otimalidade local de uma forma gradual 16 1 Teoria da Otimiza o N o Linear sob Res tri es Aqui nos concentraremos no problema de minimizar uma fun o sujeita a restri es A formula o geral do problema dada abaixo P Minimize f x Sujeito a Efe O Tee 16 1 C x gt 0 1 TZ q R onde as fun es f ec i E TUE s o suaves e de valor real E o conjunto dos ndices das restri es de igualdade e Z o conjunto dos ndices das desigualdades O conjunto de solu es fact veis Q definido por Q rE R a x 0 icCecilx gt 0 1 ZT 16 2 230 16 Programa o N o Linear Restrita Fundamentos e Condi es de Otimalidade Assim podemos reescrever o problema P de uma forma mais compacta P Minimize f x 16 3 Sujeito a LEQ Nas pr ximas se es desenvolveremos uma caracteriza o matem tica das solu es para o problema 16 3 16 1 1 Solu o Local x Solu o Global J verificamos que uma solu o global dif cil de ser encontrada mesmo na aus ncia de restri es Esta situa o pode ser melhorada com a introdu o de restri es as restri es podem reduzir o n mero de m nimos locais Entretanto restri es podem tornar o problema muito mais dif cil Como um exemplo considere o problema abaixo P Minimize lella Sujeito a 16 4 lz gt 1 Sem a restri o P um problema quadr tico conv
382. tri es 9 3 Estudo de Caso Aloca o de Rotas em Redes de Computadores Com a r pida evolu o da Internet em termos de desempenho e seguran a sur giu a exig ncia de maior qualidade dos servi os oferecidos pelas operadoras de tele comunica es Novas pol ticas operacionais foram implementadas com estrat gias de diferencia o de servi os adicionando flexibilidade e efici ncia infra estrutura de co munica es O gerenciamento da qualidade de servi os QoS desponta neste cen rio como uma alternativa vital ao sobre provisionamento de recursos Neste contexto a Engenharia de Tr fego ET representa uma forma de aproveitar melhor os recursos de rede existentes com consequente redu o de custos 5 Um elemento chave de suporte ET em redes IP a tecnologia Multiprotocol Label Switching MPLS A tecnologia MPLS possibilitou a extens o das funcionalidades do protocolo IP favorecendo a implementa o da engenharia de tr fego em redes IP gra as possibilidade de execu o do roteamento expl cito sobre a arquitetura MPLS O roteamento expl cito a capacidade de encaminhamento de pacotes em caminhos virtuais previamente definidos os chamados Label Switched Paths LSPs Busca se portanto melhorar a efici ncia da rede atrav s do uso parcimonioso de seus recursos num cen rio de opera o din mica com um impacto m nimo na arquitetura da infra estrutura existente Para tanto faz se necess ria a modelagem
383. trutura de dupla h lice do DNA Estes ltimos trabalhos mostram que as caracter sticas transmitidas s o discretas n o s o cont nuas como anteriormente assumido Mendel mostrou em seus experimentos que se controlarmos o ambiente as caracter sticas s o bem distintas e g flores altas ou baixas Conclus o A linguagem da natureza um alfabeto discreto O AG expressa uma solu o como uma cadeia de s mbolos usualmente Os e 1s de tamanho fixo da mesma forma que o DNA codifica as caracter sticas de um indiv duo necess rio a exist ncia de uma fun o de aptid o fitness function que mapeie a cadeia em uma forma til Por exemplo a cadeia pode representar e um vetor com as vari veis de uma fun o f que se deseja minimizar ou e uma estrat gia para competir em um jogo 4 2 4 Popularidade do Algoritmo Gen tico A popularidade do algoritmo gen tico se d em fun o de tr s propriedades 1 Robustez Evolu o natural tida como um m todo bem sucedido e robusto no meio biol gico 2 Generalidade AGs s o capazes de tratar problemas complexos que possuem um n mero grande de componentes e cujas contribui es para o todo n o s o bem entendidas 3 Paraleliza o AGs s o naturalmente paralelos podem ser implementados em re des de computadores m quinas ass ncronos e computadores paralelos m quinas s ncronos Antes de procedermos descri o dos passos do Algoritmo Gen tico assum
384. uantidade adicional de fluxo que pode ser enviada de um n s para um n t menor ou igual a capacidade residual de qualquer corte s t 8 2 2 Algoritmo de Caminhos Aumentantes Um caminho p de s para t na rede residual G x dito caminho aumentante A capacidade do caminho aumentante denotada por p e definida como a capaci dade residual do arco i j de menor capacidade residual em p Matematicamente p minfr i j p Considere a rede residual G x para um fluxo x nulo dada na Figura 8 4 O caminho po 1 2 4 5 um caminho aumentante com ca pacidade po min r12 r24 r45 min 4 3 5 3 Por defini o um caminho aumentante tem capacidade n o nula Logo se G x possui um caminho aumen tante podemos enviar fluxo adicional de s para t e portanto x n o pode ser um fluxo m ximo O algoritmo de caminhos aumentantes iterativamente busca um caminho aumentante p e envia a quantidade de fluxo correspondente a d p at que n o haja caminho aumentante O pseudo c digo do algoritmo segue abaixo 2 Arcos da rede residual t m capacidade residual n o nula 8 Fluxo em Redes 115 Figura 8 4 Rede residual G x para fluxo x nulo Algoritmo Caminhos Aumentantes x 0 Enquanto G x cont m caminho aumentante fa a Encontre um caminho p de s para t em G x 6 p mintri i j p Envie a quantidade 6 p de fluxo ao longo de p atualize x e obtenha a rede residual G x Fim enquanto
385. ubvetores xp R e xy R de forma que Ply 17 14 E dizemos que xp s o as vari veis b sicas e xy as vari veis n o b sicas Notando que PPT I podemos reescrever a restri o Ax b como b Ar APPT rx AP P 2 T eae Brgt Nery 17 15 A partir dessa formula deduzimos que as vari veis b sicas s o dadas por tp Bb B Nan 17 16 248 17 Programa o Nao Linear Fundamentos de Algoritmos Podemos ent o computar um ponto fact vel para as restri es Ax b escolhendo qualquer valor de xy e ent o definindo xp de acordo com a f rmula 17 16 O pro blema 17 2 portanto equivalente ao problema irrestrito que segue abaixo Bib BNayn Min f zn f P TN 17 17 Exemplo Considere o problema abaixo UEST E 1 Minimize sin z z2 3 zu 25 38 Sujeito a 8x1 6x5 13 9x4 4x5 6 17 18 3X1 2x 44 645 416 4 Definimos a matriz P de forma a reordenar os componentes de x como x 3 26 1 2 T4 25 obtemos 001000 000100 100000 PN ae anergy ea 17 19 000001 010000 108 6 9 4 Pe as p a 17 20 A matriz base B diagonal portanto f cil de se inverter Com base em 17 16 obtemos T T3 8 6 9 To Ea 17 21 E a TLA en T4 Substituindo se x3 e xe em 17 18 obtemos o seguinte problema irrestrito Minimize f 1 2 4 5 sin 1 2 8x1 6x5 9x4 4x5 6 T
386. uma fun o cont nua diferenci vel deve satisfazer a condi o necess ria V f x 0 Prof Kunz se equivocou Considere a fun o f x x 4x 102 Apesar de f admitir um m nimo local x 3 594118 lim oo f x oo Conclu mos que f n o admite um ponto de timo global a fun o ilimitada por baixo A afirma o est incorreta Para f x x tem se f x 312 e f x 6x Para x 0 verificamos que f x 0 e f x 0 x satisfaz as condi es necess rias de segunda ordem contudo x n o um m nimo local Para qualquer Ax gt 0 podemos verificar que f x Ax lt f x e dai deduzimos que existe x x Ax na vizinhan a de x com valor inferior Prof Kunz est correto A condi o f x gt 0 para todo x implica f ser convexa Uma vez que as condi es necess rias de primeira ordem s o tamb m suficientes conclu mos que a afirma o procede Observe que f x ere ae Sida a Note que para x eR 1 00 f x gt 0 f convexa Assim se existir um m nimo local x R ent o obrigatoriamente x um m nimo global Prof Kunz esta correto A Exercicios Resolvidos 293 vii Prof Kunz se equivocou nesta afirma o Seja f x y y e g x y x y o que implica h z y y x y Note que h convexa e podemos encontrar um m nimo global 7 fazendo Vh 2 9 224 2y 4 1 x aj 1 2 1 2 Apesar de 1 ser um m
387. un o f diferenci vel a expans o de Taylor consiste em aproximar f em torno de um ponto x R como f z Az amp f z Vf x Az O 6 Az onde V f x Of x Ox1 0f x Oxn o gradiente de f e O d Ax o res duo erro da aproxima o Para pequenos passos Ax pequeno podemos desprezar o res duo resultando na seguinte aproxima o Ha Aa f x V f x As Teorema 2 1 Condi o necess ria de primeira ordem Se x um timo local e f uma fun o continuamente diferenci vel em uma vizinhan a aberta ent o Wf ae 0 Prova Vamos supor o contr rio Seja Ax dVf a para algum 6 gt 0 pequeno tal que x x Az esteja na vizinhan a de x Portanto f x f a Av f a Vf x 6Vf 2 lt f x Isto configura uma con tradi o 2 Expans o de Taylor de Segunda Ordem Se f duas vezes diferenci vel podemos utilizar uma aproxima o de segunda ordem como segue Ha Ax f x V x Ax SAT V f x Ac O 5 A2 onde a matriz V f x denominada de Hessiana sendo sua entrada i j definida por 92 f x 0x 0x O 9Ff x 0x 0x Para um pequeno passo Az o res duo pode ser desprezado resultando na expans o abaixo f a Av amp flo Vf a Ag SAT Vo Ac Teorema 2 2 Condi o necess ria de segunda ordem Se x um timo local de f e V2f cont nua em uma vizinhan a aberta de x ent o Vf a 0 e
388. unding Observe primeiramente que Sy S N x x lt 2 2 0 Resolvendo a relaxa o linear R S11 obtemos a solu o T1 5 0 a qual produz o limite superior Z11 6 Levando em conta que Z1 6 lt 7 z o n cortado Escolhendo um n J que a lista est vazia conclu mos que a solu o tima x 2 1 com 2 7 184 11 Programa o Inteira Relaxa es e Algoritmo Branch and Bound 11 6 Refer ncias Este cap tulo uma compila o traduzida incluindo figuras e exemplos do Cap tulo 7 do livro texto de Wolsey 44 11 7 Exerc cios EX 11 1 Aplique o algoritmo Branch and Bound ao problema abaixo descrito Fa a uso de um pacote de otimiza o linear como por exemplo 1p solve na resolu o das relaxa es lineares Desenhe a rvore B amp B e escreva os limites superior e inferior para cada n Tente pr processar o problema em outras palavras tente simplific lo Maximize 77 921 76 8x3 89 673 97 1y 31 379 o Sujeito a 60 92 68 973 69 073 56 9y 22 5y0 86 5 86 811 32 7 24 3823 13 8y 12 6y2 lt 77 3 10 92 3 622 40 823 43 9y 7 1yo lt 82 3 1 2 3 2 0 e inteiro Y Y2 20 EX 11 2 Dual Lagrangeano Considere o problema da mochila 0 1 max 10x 4x5 1423 s t 3114 2 4T3 lt 4 1 Z2 3 0 1 Quest es e Qual o valor da solu o tima para a relaxa o linear do problema
389. ura o de baixa energia e o problema de otimiza o dando origem a um novo m todo de otimiza o inspirado em fen menos f sicos Dado um conjunto de configura es para um sistema a probabilidade do sistema assumir a configura o E gt a partir da configura o E dada por pra e BB se By gt Ey o 1 se Es lt Fy A Figura 4 7 ilustra a queda de probabilidade de transi o para estados de maior energia com a reducao de temperatura Para empregarmos o algoritmo de Metropolis em outros sistemas nao necessariamente termodinamicos precisamos de 56 4 Otimiza o N o Diferenci vel Energia do Sistema m 1 Temperatura Figura 4 6 Comportamento t pico do n vel de energia conforme processo de annealing e uma descri o das poss veis configura es do sistema e um gerador rand mico de perturba es do sistema essas perturba es definem as op es de configura o e uma fun o objetivo an loga energia cuja minimiza o desejamos executar e e um par metro de controle T an logo temperatura e um procedimento de annealing que descreve a maneira pela qual T decresce Probabilidade 0 Eig Ey Figura 4 7 Probabilidade de transi o com a queda de temperatura 4 Otimiza o N o Diferenci vel 57 4 3 3 Exemplo O Problema do Caixeiro Viajante Em uma inst ncia do Problema do Caixeiro Viajante PCV s o dados N cidades e uma matriz de dist ncias M Dese
390. vendido ao pre o o por unidade A seguir investigaremos dois problemas relacionados 6 1 1 Gerente de Produ o Otimista O problema envolve a aloca o da mat ria prima na manufatura de itens acabados Se o gerente decide produzir x unidades do produto j ent o o lucro associado com a venda de uma unidade de produto j c 0 5 4 piai O problema de determinar o n mero de unidades a serem vendidas de forma a maximizar o lucro pode ser expresso em programa o matem tica como segue n Py Maximize Gm J Sujeito a x 20 du eee 1 X ayz ie i 1 m j l Assim a tarefa do gerente determinar as quantidades de produ o x 7_ que maximizem a fun o objetivo e satisfa am as restri es de 6 1 6 1 2 Gerente de Produ o Pessimista Nesta situa o o gerente assume a posi o de contador tendo como tarefa avaliar o pre o de venda de cada mat ria prima Em outras palavras a unidade de manufatura n o produzir e passar a se comportar como um dep sito A unidade deve estar preparada para vender a mat ria prima Assim seja w o valor unit rio para vender a mat ria prima 7 a ser definido pelo gerente O valor total da venda de todo o estoque X2 biwi O objetivo do gerente encontrar o valor mais baixo para venda que n o incorra perdas financeiras Portanto duas restri es s o e wi gt pri 1 m o valor do item deve ser maior ou igual ao valor de mercado e e X aywj 2 oj j 1
391. vers o pode ser desenvolvida como segue Ax b lt 1 Ax b T Ax b lt 1 amp zTATAr 2b Ax bb x Cxr 2d x e para C ATA A d ATb e e
392. vo ao problema de fluxo em rede de custo m nimo especificado na Figura 8 19 Encontre um fluxo vi vel zo obtenha a rede residual G x e depois obtenha fluxos z1 2 at que a rede residual G x n o contenha nenhum circuito com custo negativo EX 8 4 Demonstre a verdade ou falsidade da seguinte afirma o suponha que todas as demandas e suprimentos i e os valores de b bem como as capacidades dos 130 8 Fluxo em Redes arcos s o valores inteiros e pares em um problema de fluxo em rede de custo m nimo Ent o existe um fluxo timo x onde cada fluxo rj um n mero par EX 8 5 O conjunto de solu es timas para um problema qualquer de fluxo em re des de custo m nimo se altera se multiplicarmos o custo de cada arco por uma constante k O conjunto se altera se adicionarmos uma constante k EX 8 6 Em um problema de fluxo em redes suponha que al m das capacidades dos arcos os n s tamb m apresentam limites superiores para o fluxo de entrada Seja w O fluxo m ximo de entrada para o n i i V Como que voc resolveria esta generaliza o do problema de fluxo em redes EX 8 7 O problema de fluxo m ximo em redes tem como dados uma rede G V 4 a capacidade u de transmiss o para cada arco i j A um n origem s e um n destino t O problema se resume a encontrar o fluxo x atrav s de cada arco i j que maximize a quantidade de fluxo enviada de s para t enquanto satisfazendo s
393. x Sk para k 1 K 2 um limite superior para 2 e z um limite inferior para z Entao a Z Mar z k 1 K define um limite superior para z 11 Programa o Inteira Relaxa es e Algoritmo Branch and Bound 179 Figura 11 3 rvore de enumera o completa expl cita b z Maz z k 1 K define um limite inferior para z Exemplo de corte por otimilidade maximiza o Vamos ilustrar o funcionamento do algoritmo de branch and bound em um problema qualquer Seja S o conjunto inicial contendo todas as solu es do problema conforme Figura 11 4 sendo o limite inferior lb 13 e o limite superior ub 27 Dividindo o espa o de solu es em dois subconjuntos S SUS e calculando os limites superiores e inferiores para S e S2 verifica se que a solu o obtida em S tima para o problema restrito ao conjunto S4 j que l wu 20 Portanto o ramo S S1 foi eliminado por otimalidade O n da rvore de enumera o correspondente ao conjunto S5 de solu es ter de ser examinado uma vez que o limite superior u 25 gt 20 h ub 27 27 27 I 13 E 13 25 20 20 20 s 15 20 s 15 eliminado por otimalidade Figura 11 4 Elimina o por otimalidade Exemplo de corte por limite maximiza o Considere um problema semelhante ao acima onde S foi dividido em dois subpro blemas tais que S S U S2 conforme Figura 11 5 Limites inferiores e superiores 180 11 Programa o In
394. x gt Se o teste de converg ncia final satisfeito ent o pare e retorne a solu o aproximada q Atualize os multiplicadores de Lagrange utilizando a f rmula NT Mail gt Escolha novas penalidades p 0 u Defina o ponto inicial para a pr xima itera o como x para i E k 1 pk A 19 3 2 Exemplo Considere o problema abaixo Minimize z1 29 Sujeito a 19 20 r r 2 0 Para o problema 19 20 a fun o Lagrangeana Aumentada correspondente 1 Lalz u z1 z2 Alz x3 2 z 22 2 19 21 19 Programa o N o Linear sob Restri es Algoritmos 273 Sabemos que a solu o tima x 1 1 e que o multiplicador de Lagrange timo NS gt Suponha que na itera o k temos u 1 enquanto que a estimativa do multi plicador de Lagrange A e O Minimizador de 4 x 0 4 1 aproximadamente x 1 02 1 02 que mais pr ximo de x do que o minimizador de Q x 1 que aproximadamente 1 1 1 1 me Ae V 1 0 5 1 5 0 5 Wr 5 Figura 19 3 Curvas de n vel da fun o La x 0 4 50 19 3 3 Extens o para Restri es de Desigualdade O primeiro passo para tratar o problema geral substituir as desigualdades c x gt 0 2 T por cilx si 0 s z0 para todo i T 19 22 Podemos tratar das restri es s gt 0 i Z diretamente no subproblema Lagrangeano
395. x 2 2 0 Neste caso ter amos Vci x 0 para qualquer ponto fact vel x Em particular a condi o V f x A Vci x n o mais v lida no ponto timo x 1 1 Tipicamente assumimos que as restri es satisfazem uma condi o chamada qua lifica o de restri o que garante que o comportamento degenerado visto acima nao ocorrer Uma condi o de qualifica o de restri o dada abaixo Defini o 16 1 Dados um ponto x e seu conjunto ativo A x dizemos que a condi o linear independence constraint qualification LICQ satisfeita se os gradi entes das restri es ativas Vci x i E A a s o todos linearmente independentes Note que se LICQ satisfeita nenhum gradiente de uma restri o ativa pode as sumir valor 0 Com base na condi o LICQ podemos definir condi es necess rias de otimalidade para o problema geral de otimiza o n o linear sob restri es Minimize f z Sujeito a ele 0 16 16 32 G x gt 0 1 T zeR As condi es a serem dadas abaixo formam a base de algoritmos a serem vistos nos pr ximos cap tulos Elas s o chamadas de condi es de primeira ordem pois consideram as propriedades dos gradientes da fun o objetivo e das restri es Teorema 16 1 Condi es necess rias de primeira ordem Suponha que x uma solu o local para 16 32 e que a condi o LICQ satisfeita por x Ent o existem multiplicadores de Lagrange A c
396. x lt by pe ss O caso contr rio Uma vez introduzidas as vari veis acima podemos apresentar a formula o completa atx lt b M 1 y atx lt ba M 1 y2 y y l y y2 0 1 O lt r lt u Disjun es aparecem naturalmente em problemas de escalonamento Suponha que as tarefas 1 e 2 devem ser processadas em uma mesma m quina mas n o simultaneamente Seja p o tempo de processamento da tarefa e t o instante em que o processamento iniciado Ent o podemos expressar a preced ncia temporal de uma tarefa em rela o a outra por meio de uma disjun o t pi S t2 OU t2 po S t 10 7 Formula es Alternativas Nesta e na pr xima se o tentaremos entender o que leva uma formula o a ser melhor do que outra H situa es em que uma formula o superior a outra em especial se leva a uma solu o algoritmica mais eficiente Defini o 10 1 Um subconjunto do R descrito por um conjunto finito de restri es lineares P x R Ax lt b dito um poliedro Defini o 10 2 Um poliedro P C R uma formula o para um conjunto X C Z x R se e somente se X PN Z x R Na Figura 10 5 s o ilustradas duas formula es equivalentes para o conjunto X 1 1 2 1 3 1 1 2 2 2 3 2 2 3 10 7 1 Formulagoes Equivalentes para o Problema da Mochila Considere uma instancia do problema da mochila com n 4 onde o conjunto de solu es fact ve
397. ximize a somat ria do ndices sociais dos convidados Qual o tempo de execu o do algoritmo Quanta mem ria utilizada pelo algoritmo Ilustre o funcionamento do algoritmo para a hierarquia dada na Figura 14 3 Os valores rm s o dados em ordem de identificador 0 9715 0 1711 0 1360 0 7552 0 3132 0 4633 0 3394 0 0096 0 3338 0 2468 0 9941 0 9056 0 3498 0 2781 0 0929 0 2405 0 9016 0 3242 0 5727 0 1851 0 7379 0 1118 0 3838 0 8624 0 8571 0 8194 0 2457 0 8976 0 6041 0 1397 0 1613 0 8832 0 9786 0 6013 0 3618 0 2314 ii Como que o Prof Kunz poderia fazer para garantir que o presidente um dos convidados IN e21 022 23 a 025 928 029 130 A 3 32 33 134 e35 e 36 Figura 14 3 Hierarquia da empresa XYZ EX 14 7 No jogo dos palitos n 21 palitos sao colocados sobre a mesa Voc o jogador 1 Seja my 1 n o n mero de palitos na mesa no in cio da itera o k Seja j 1 2 o jogador da vez na itera o k O valor de j decidido arbitrariamente os jogadores decidem quem come a retirando palitos O seu oponente o jogador 2 A cada itera o k o jogador da vez retira l palitos tal que I 1 2 3 e lk lt my O jogador que retirar o ltimo palito da mesa perde o jogo Formule o jogo dos palitos como um problema de programa o din mica En contre uma pol tica de controle tima 7 para o jogador 1 ou seja encontre uma fun o m my l que dado o n m
398. y min e Av e Ar Assumindo que x solu o tima de P miny Ax H uma solu o b sica tima 7 13 y Pelo lado de P deduzimos que w min max y Ae y Aen y max y Aey y Aen Assumindo que y solu o tima de P maxyT Ar H uma solu o b sica tima 7 14 102 7 Teoria dos Jogos A partir dos desenvolvimentos acima concluimos que T min yT Ax z w maxy Ax yY x E O valor timo z w dos problemas primal e dual chamado de valor timo do jogo Ao adotar a estrat gia y o agente linha garante que n o perder mais do que w unidades em m dia Similarmente o agente coluna assegura que receber pelo menos z unidades em m dia se adotar a estrat gia x Um jogo com valor z w 0 dito justo Jogos cujos pap is dos agentes podem ser invertidos s o ditos jogos sim tricos Esses jogos s o justo e caracterizados por ij aj para todo i j isto A AT Uma matriz A dita anti sim trica se A AT 7 8 Jogos Quadraticos Aqui vamos discutir e ilustrar as quest es de converg ncia e otimalidade em jogos din micos restritos a fun es quadr ticas Dentro deste contexto o problema de decis o do agente m dado formalmente por Pa Minimize 547 Amz bor cm Tm onde zm um vetor com as decis es do agente x zm um vetor com as decis es de todos os agentes A uma matriz sim trica positiva d
399. y T2 T4 T5 4 aa x3 5 t tro ala 325 17 22 17 2 3 Os Efeitos das Desigualdades Elimina o de vari veis n o sempre recomendada na presen a de igualdades e desigualdades Considere o problema a seguir ERES 3 2 1 2 2 Minimize sin 1 22 3 3 a 25 SE Sujeito a 814 Fi 6x5 X3 9x4 Aas 6 17 23 3X1 2179 4 645 4x 4 T1 T2 3 T4 T5 Z O 17 Programa o N o Linear Fundamentos de Algoritmos 249 Ap s eliminarmos as vari veis x3 e xe conforme desenvolvimento anteiro obteremos o seguinte conjunto de restri es 1 2 4 25 gt 0 8x1 6X5 9x4 4T lt 6 17 24 it iTo aia 305 lt 1 Portanto o custo de eliminarmos as igualdades foi tornar as desigualdades muito mais complicadas 250 17 Programa o Nao Linear Fundamentos de Algoritmos Capitulo 18 Programa o Quadratica Um problema de otimiza o com fun o objetivo quadr tica e restri es lineares dito problema de programa o quadr tica Por si s esta classe de problemas relevante mas tamb m desempenha um papel fundamental em m todos gerais de otimiza o n o linear sob restri es como por exemplo programa o quadr tica sequ ncial Na sua forma geral o problema quadr tico expresso como segue Pg Minimize q x a7Gr d x Sujeito a aTr b i E od aix gt b ieT onde G uma matriz sim trica nxn E e Z s o
400. y i 15 26 Kn Ana Qn QuBna Bn 1 Qn By_ 1 Rea Byer ON AN Qn 1 15 27 N o dif cil de se verificar que Ky_ uma matriz sim trica e positiva semi definida 222 15 Programa o Din mica Dominio Continuo Uma vez que Jy_ uma fun o quadr tica positiva semi definida salvo uma cons tante inconsequente podemos prosseguir de forma similar e obter a partir da equa o 15 21 uma lei de controle tima para o est gio N 2 Procedendo desta forma podemos obter uma lei de controle tima para cada est gio k Esta lei toma a forma tie Eb 15 28 onde as matrizes de ganho L s o dadas pela equa o by Kea Be RY Bi KRA 15 29 e as matrizes sim tricas e positiva definidas K s o produzidas pela recorr ncia abaixo Kn Qn 15 30 Ky Ag Ken Ki Be Br Ken Be Rk Be Kyo As Qe 15 31 A regra de controle 15 28 simples e atrativa para implementa o em aplica es de engenharia o estado corrente x alimenta a entrada por meio da matriz de ganho Lp Wk Lk k41 Ante Byup Wk Uk Ly Figura 15 1 Estrutura do sistema linear com controle timo de realimenta o 15 4 2 A Equa o de Riccati e seu Comportamento As sint tico A equa o 15 31 conhecida como equa o de Riccati Ela desempenha um papel importante na teoria de controle Suas propriedades j foram estudadas amplamente Uma propriedade impor
401. z que B tem posto de coluna completo conclu mos que V f y positiva definida Logo todo ponto estacion rio satisfaz as condi es suficientes de otimalidade de segunda ordem e uma vez que f y convexa conclu mos que todo ponto estacion rio define um timo global Para encontrar um timo global basta resolver o sistema de equa es lineares V f y 0 EX 3 5 As ra zes da equa o sao r 1 259921 r 0 629961 1 09112 e r3 0 629961 1 09112 O fractal obtido com o procedimento est ilustrado na Figura EX 3 6 x y define um ponto estacion rio se V f x y 0 Logo eseo Et 0 e 296 A Exercicios Resolvidos o que nos leva a concluir que _ 8 1 4 8 6 4 Portanto dado 8 4 2 o ponto estacion rio uma fun o de 5 dado por 2 8 1 ee _ E y B a Para 8 2 2 o sistema de equa es A 3 n o tem solu o e n o h ponto estacion rio Para verificar quais desses pontos s o m nimos locais precisamos verificar a Hes siana de f nos pontos estacion rios A Hessiana dada por 2 2f vim 5 5 Para x 5 y 5 ser um ponto estacion rio este deve satisfazer as condi es necess rias de segunda ordem Isto significa que V f x 8 y B deve ser positiva semi definida em outras palavras os autovalores de V f devem ser n o negativos Para tanto V f gt 06 6 lt 2 Uma vez que para 8 2 n o existe ponto estacion ri
402. zado na solu o tima x 46 3 M todo de Newton Solu o de Equa es N o Lineares e Minimiza o de Fun es Capitulo 4 Otimizacao Nao Diferenciavel Nos cap tulos anteriores nos concentramos nos problemas de encontrar um timo local de uma fun o f x e de resolver um sistema de equa es n o lineares c x 0 Em ambas as situa es assumimos que as fun es f e c s o cont nuas e diferenci veis Isto permitiu utilizar aproxima es de primeira e segunda ordem com base na expans o de Taylor bem como o desenvolvimento de algoritmos que fazem uso do gradiente no caso de miniza o de f x ou da matriz Jacobiana no caso de encontrar raiz para c x Aqui vamos tratar o problema de encontrar um m nimo para uma fun o f x qualquer que pode ser descont nua e n o diferenci vel Logo m todos inspirados na expans o de Taylor n o s o aplic veis Apresentaremos de forma sucinta o Algoritmo Gen tico e Simulated Annealing que podem ser empregados para resolver tais problemas 4 1 Otimiza o Black Box Neste cap tulo focamos nossa aten o no problema geral de otimiza o irrestrita sendo este expresso em programa o matem tica como P Minimize f x 7 ERY onde nada se assume sobre f R R Uma gama expressiva de problemas praticos e tedricos pode ser reduzida a P Em particular f pode representar e O custo de produ o para um dado conjunto de par metros que representam indicador
403. zar k en quanto que s Ys Por exemplo para x 4 B C B D A B ey B D C A B A as sub sequ ncias de maior comprimento s o B D A B B C B A e B C A B i Projete um algoritmo eficiente para encontrar o comprimento k da sub cadeia mais longa de x e y Qual o tempo de execu o do seu algoritmo Quanta mem ria necess ria para executar o algoritmo Modifique o seu algoritmo para que ele tamb m produza uma sub cadeia xs ys de maior comprimento Qual o tempo de execu o deste algoritmo ii Suponha que voc quer obter todas as sub cadeias mais longas Como que voc resolveria este problema iii Exemplique ilustre a execu o do seu algoritmo para as cadeias x e y dadas acima EX 14 6 Prof Kunz foi contratado pela Empresa XYZ para planejar uma festa otimizada A empresa est organizada hierarquicamente com o presidente na raiz da rvore O departamento de recursos humanos definiu um n mero real para cada membro da empresa correspondendo ao car cter social de cada indiv duo Seja rm E R o ndice social da pessoa m Para que a festa seja divertida 14 Programa o Din mica Dominio Discreto 213 para todos os convidados o presidente n o quer que os chefes imediatos de cada convidado estejam na festa Tarefas i Projete um algoritmo para encontrar um subconjunto S 1 N dos membros da empresa que satifa a a restri o imposta pelo presidente e que ma

Métodos de Otimização: Teoria e Prática

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