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n. 44 - Silvano Rossetto

1. 1 Fey Fiv Fuw FS Fey 1 Fey Fiv Fay FS Fev X prt Algebra Calc lother Pranto Clean Up eeelnigeora Calo other Pramro Clean Up 20 2432902008176640000 1 18 48 54 52 44 43 17 STA 2 seed DELS propFrac 3 gt 2146 7 _ _ r 8713 3 ia J24 J8 96 16 160 JZ 1 id ail x LETFIZ 1 PEA 146141 6141 46141 614172 gt gt MAIN DEG AUTO FUNC 2 30 MAIN DEG AUTO FUNC 3730 49 PFE laigebralcaiclother prantolciean uel E laigebralcaiclother prantolciean uel and i 3 1 42 a 2 ZT sint 15 o a ARCA 3 ln 256 8 1n 2 of EE E 3425 4 25 i MAIN DEG AUTO FUNC 2 30 MAIN DEG AUTO FUNC 2 30 E particolarmente interessante la manipolazione algebrica polinomi ed espressioni E possibile svolgere le operazioni algebriche pi comuni espandere e fattorizzare 1 Fav Fav Fuw FS F v 1 Fav Fav Fuw FS Few ree ligebralaiclother Prantolciesn ue PPM laigebralcsiclother erantolciesn vel mexpandl 3 x 2 y 27 x3 54 x y 36 x y2 9 y gt Seige maya 3 factorlx 6 x 13 x 10 5 propFrac PEEN x 2 Lx 4 x 5 x 1 xem x scFactorl x3 6 x2 13 x 10 x 3 x 2 x 2 4 x 2 4 conbenon 3 x T cfactor x 3 6 x 2 13 x 10 comDenom x x 2 1 x MAIN DEG AUTO FUNC 3 30 MAIN DEG AUTO FUNC 2750 E possibile risolvere equazioni e sistemi ptherlerantoke1esn uel E fis bralcsiclotherlPrsnrolciean uel solve 1 i 3 x x x 2
2. Come si vede il linguaggio di programmazione molto simile al Pascal forse un po pi semplice Cosa fare di numeri che non si possono scrivere come frazioni Abbiamo cominciato dalla radice di 2 e abbiamo introdotto l algoritmo che permette di approssimarla con la precisione voluta abbastanza scomodo ripercorrere questo cammino a mano o con una macchina calcolatrice che dia solo i numeri facile perdersi nei numeri decimali e non vedere bene il procedimento Allora abbiamo provato ad usare le Liste con il comando Seq sequence Visto che compreso fra 1 e 2 abbiamo suddiviso l intervallo in dieci parti con l istruzione Seq che costruisce una successione di numeri da un minimo a un massimo secondo una funzione assegnata nel nostro caso 1 k 10 con k che varia da 0a9 come si vede dalla figura 1 appare la sequenza dei decimali 1 1 1 2 1 3 se non appare cos occorre andare a modificare il tipo di numero da exact a approximate e per fare questo battere il tasto Mode e andare fino in fondo 70 fig 2 fig 3 Una volta ottenuta la sequenza dei decimali bisogna farne il quadrato per veder fra quali compreso il 2 Si seleziona la riga di scrittura si digita 2 e si ottengono i quadrati a mano si sceglie quello approssimato per difetto e si ricomincia da capo a partire da questo l unica differenza in tutta la procedura sta nel grado di approssimazione seg 1 4 k 100 k 0 9 e cos via fino al numero
3. grafico ingrandito BINO2 grafico ingrandito BINO2 con p 0 2 con p 0 05 Si arriva alla conclusione per p molto piccola la binomiale ben approssimata da POISSON e non da GAUSS tanto pi vero quanto pi p piccolo per p intermedia o grande la gaussiana la migliore approssimazione Al termine di queste brevi note penso che ci si renda conto come la TI 92 non debba essere considerata semplicemente una calcolatrice magari grafica essa uno strumento cos versatile anche grazie alla programmazione e all interazione tra i diversi ambienti da permettere non solo di affrontare agevolmente calcoli e rappresentazioni grafiche ma anche di aprire agli alunni finestre concettuali verso altri orizzonti magari lontani ma presenti nel percorso dello studio della Matematica Questo d allo studente la consapevolezza che il suo percorso una piccola parte della storia della conoscenza umana talvolta faticosa e osservando da lontano tali orizzonti riceve lo stimolo a porsi il problema di raggiungerli La TI 92 con l aiuto dell insegnante che quegli orizzonti ha meglio presenti permette di esplorarli e in parte di dominarli Si gettato un ponte Resta la voglia di percorrerlo 329 QUESTIONARIO DEI DOCENTI SULLA SPERIMENTAZIONE Al termine dell esperienza i docenti che hanno partecipato al progetto Labclass hanno risposto alle domande di un questionario di cui si sono riportati i risultati I
4. Definiamo 1 Fer F3 F4 For Fer F 1 Fer F F4 For Fer F EE zoonfedit ATistsiefaxes Fe eoonledit JAii stsielaxes Ti Fr lle uil ysn tt v u2 2 on ui2 uis 7 use 12 dae 4 ua uig v u4 1 5 ur uig uir ui4 ui MAIN DEG AUTO SEG MAIN DEG AUTO SEQ Quando l ambiente si trova in modalit Sequence abbiamo a disposizione due comandi per la definizione di ogni successione il primo ul u2 viene utilizzato per la definizione del termine generale in forma di funzione dell indice n o in forma induttiva il secondo ui 1 ui 2 serve per il termine iniziale nel caso in cui la successione sia definita per induzione In questa attivit questo comando non viene utilizzato Attraverso il tasto U selezioniamo di volta in volta le successioni che vogliamo tabulare e rappresentare graficamente Definiamo anche i valori di n per i quali vogliamo tracciare il grafico attraversoO nmax 10 plotstrt 1 plotstep 1 xmin 1 xmax 1 maxi uscl MAIN DEG AUTO SEG Nell ambiente vengono tabulati 1 valori qui abbiamo tabulato assieme le prime quattro funzioni possiamo visualizzarne altri elementi 2 D 3 Ji e _ 125 3 375 4 J1 ie 0625 5 0625 5 fi 32 03125 7 594 6 fi 64 01563 11 3591 lr Ji 128 00781 17 09 _ DEG AUTO Esse sono note si tratta di progressioni geometriche I grafici di u2 e d
5. kg 50 55 60 65 70 Tot Gruppo A __12 15 8 1 4 40 Gruppo B 7 3 6 3 1 20 Rappresentare graficamente le due distribuzioni utilizzando le frequenze relative Calcolare gli indici di sintesi e di dispersione per i due gruppi di persone e confrontare le dispersioni Le persone che pesano 55 kg si possono ritenere pi disperse rispetto alla media nel gruppo A o nel gruppo B E quelle che pesano 65 kg Problema 2 I seguenti dati sperimentali riguardano un fenomeno fisico ia X 2 3 4 7 8 Y 3 2 5 2 5 6 Si vuole conoscere se attendibile una legge lineare Sviluppare i calcoli per trovare la retta di regressione di Y su X e il coefficiente lineare di Bravais Pearson Commentare i risultati raggiunti Si vuole stabilire se una legge quadratica approssima meglio i dati forniti cercare la funzione quadratica che passa per i punti della tabella di posto dispari e successivamente dare una rappresentazione adeguata sia dei dati che delle due leggi trovate Confrontare le due leggi calcolando gli scarti quadratici medi degli scarti delle ordinate dai rispettivi valori teorici Commentare i risultati 289 2 La soluzione del compito Note tecniche generali e Impostare in3 approxi mate peravere i risultati in forma decimale e Tutti i calcoli avvengono in una sola tabella che utilizza nelle prime colonne i dati forniti dal problema e Talvolta le colonne che contengono singoli v
6. venuta abbastanza naturale nei ragazzi addirittura mi parso di notare una certa curiosit ed i conti che tutti conoscono non sono sembrati cos pesanti 142 14 UN ELLISSE CON IL FUOCO ALL INFINITO RICOSTRUZIONE DI UN MODELLO DI HILBERT Giorgio Ravagnan Liceo Scientifico G B Benedetti Venezia Geraldo Vettorazzo I R R S A E Veneto Mestre Venezia Classe terza Liceo Scientifico P N I Obiettivi analisi di relazioni tra coniche diverse Prerequisiti nozioni elementari sulle coniche utilizzo degli ambienti Home e Data Matrix Editor nellaTl 92 Tempi quattro ore di attivita in classe Metodi lezione frontale e lavori di gruppo utilizzando interattivamente pi ambienti nella calcolatrice per la ricostruzione ed analisi del modello di Hilbert Abbiamo proposto agli studenti di una classe terza di Liceo Scientifico a conclusione dello studio delle coniche l obiettivo di costruire un modello analitico con la TI 92 che ripercorresse magari in un contesto diverso quel passaggio con continuit da un tipo di conica all altra ellisse parabola e iperbole presente nella definizione originaria di Apollonio Nel Trattato di Apollonio infatti le curve sono prodotte secondo un approccio meccanico geometrico come sezioni di un cono indefinito a due falde con un piano di cui si pu variare opportunamente la giacitura rispetto alla direzione dell asse del cono Se una definizione analitica delle coniche
7. 11 Conla sposta la retta e ripeti il punto 9 avendo cura prima di cancellare la precedente risposta R cona mM 128 Esercizi 1 Di Ripetere la procedura considerando per l angolo che ha un estremo nel terzo quadrante Costruire i segmenti che rappresentano le proiezioni sugli assi del punto intersezione fra circonferenza e retta e calcolare il valore del rapporto y x Suggerimento perpendicolare dal punto all asse x intersezione della perpendicolare con l asse x conferma del punto intersezione segmento verticale segmento orizzontale nascondi retta perpendicolare misura segmento verticale misura segmento orizzontale Commento Presentando un argomento che ai ragazzi gi noto e quindi pi facilmente controllabile ho cercato di superare quella naturale difficolt che malgrado un breve 4 ore in due pomeriggi non consecutivi periodo di precedente apprendistato generale sulla macchina comunque era presente in tutti La scelta fatta di dettagliare i comandi pu sembrare inutile c gi il manuale ma la scheda stata molto apprezzata dagli alunni l aver posto alla fine alcuni esercizi ha consentito di eliminare i tempi morti cui sarebbero naturalmente andati incontro i pi bravi Importante stata anche la scelta di lavorare in questa fase praticamente sempre nello stesso ambiente Geometry A questa esercitazione non ha fatto seguito alcuna verifica diretta 129 130 12 STUDIO DI
8. determinante 4 affinita inversa rapporto aree 4 similitudine rapporto proporzionalita remi Enter MAIN RA Premi scomposizione della similitudine La similitudine si compone di Una dilatazione di centro 0 di coefficiente k 2 Una simmetria assiale di asse y 0 Una rotazione di centro 0 e angolo n 3 Una traslazione di vettore 031 MAIN RAD AUTO FUNC 30 30 221 I ragazzi che avevano prima eseguito i calcoli manualmente hanno molto apprezzato la semplicit di calcolo consentita dalla TI 92 Le difficolt concettuali sono state minime inizialmente vi sono state lentezze nell uso della tastiera e dei men dovute alla mancanza di pratica nell uso della calcolatrice per questo problema stato risolto facendo utilizzare le macchine anche a domicilio Per quel che riguarda la programmazione inizialmente la costruzione dei programmi stata proposta agli alunni poi per sono state spiegate le procedure elaborate dall insegnante Come conclusione e verifica stato chiesto ai ragazzi di risolvere con i nuovi strumenti gli esercizi che gi erano stati proposti nella verifica scritta sulle trasformazioni lineari Testo della verifica 1 Si consideri la trasformazione T che muta i punti V 0 2 A 1 0 D 1 0 rispettivamente nei punti V 2 6 A 1 0 D 1 0 Si studi la natura di T e si determinino gli elementi che restano uniti nella trasformazione S
9. individuata in modo unico Osservazione non sempre l uso della calcolatrice rende pi semplice lo studio di successioni esistono successioni semplici da definire e delle quali facile calcolare i primi termini ma con le quali a mio parere l uso della calcolatrice grafica pu essere non banale Si considerino i seguenti esempi a la successione 3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 236 formata dalle cifre della scrittura decimale di b la successione 2535 73 11 13 17 la successione dei numeri primi Non esistono espressioni di immediata scrittura per definire queste successioni per una funzione che le generi pu essere necessaria la programmazione 3 Esplorazione del carattere di una successione in ambiente Y Edi t or Una successione pu essere definita come funzione utilizzando l editor di funzioni in modalitasequence 3 graph 4 ei suoi elementi calcolati in modalit approssimata possono essere tabulati e rappresentati in un grafico Questo permette di introdurre il concetto di carattere di una successione in modo intuitivo e di fare sulle successioni osservazioni e congetture Attivit Facendo uso dell ambiente si definiscono le seguenti successioni Assicuriamoci che l ambiente sia in modalit sequence gras enza en Exponential Format Complex Format Vector Format RECTANGULAR Pretty Print ON Enter SAVE ESC CANCEL TYPE OF USE gt t ENTER 0K AND CESCISCANCEL
10. AFLOTS vPlot Sile O xed vic Plot 2 O wci veh Plot 1 dh ed Fed bet vy1 58582089552239 x 88805970149254 vy2 1 4 x 2 x 6 RAD APPROX fig 6 293 a HE Fe Plot Tupe 0 0 Scatter gt Mark wees PIPA egories tnt Enter SAVE Punto B e Trovare l equazione della parabola per 3 punti fig 8 e 9 ed inserirla in y2 X di Y editor e RISPOSTA la fig 10 dati retta di regressione parabola richiesta E lansebrakcalclotherPromtoc1ear a z 4 21 4 21 i 4 li i 4 64 8 1 64 8 1 294 Punto C formule dac 21 ac 24 e dac26 ac29 e Elaborare gli scarti dei dati iniziali dalla retta di regressione e dalla parabola trovata e i relativi s q m 0 fig 11 e 12 Confrontare 6 6 RISPOSTA si nota che la parabola molto pi vicina della retta ai dati della tabella questo ovvio perch si cercata una parabola che passa gi per tre dei cinque punti assegnati Gli s q m relativi agli scarti dei punti dalla retta e dalla parabola sono 0 72 e 0 35 e risulta 6 lt lt il che conferma che la legge quadratica pi attendibile di quella lineare 1 Fe F3 F4 FS For y F E fPiot setup MESSI 512 o 1 Fe F3 F4 FS For Fr PE IPiot Setup nit RABE pi 52 2 ocp o 1 2 0597 9403 88416 72147 1 3 J0 Jo _ 35355 2 2 6455 1455 021189 2 2 25 25 06
11. fig 2 Si inoltre sottolineato che per poter trarre conclusioni da questa tabella occorre conoscere a priori il numero di intervalli significativi e la loro posizione sull asse reale Anche in questo caso stata costruita sul quaderno la corrispondente tabella di intersezione di insiemi Nelle attivit successive gli alunni si sono esercitati nella soluzione di disequazioni e sistemi di disequazioni ricorrendo alla calcolatrice per scomporre in fattori o per studiare i segni soltanto quando si presentavano casi problematici In sintesi con il metodo delle tabulazioni si possono risolvere disequazioni e sistemi di disequazioni a patto di saper cercare le soluzioni individuando in precedenza quali valori di x opportuno visualizzare sullo schermo Se si lavora con disequazioni frazionarie bisogna analizzare in precedenza le situazioni che la TI 92 non risolve zeri casi in cui l espressione perde di significato 68 2 SCATOLE CINESI Donata Fo Liceo Scientifico F Buonarroti Pisa Classe seconda scientifico sperimentale 26 alunni Obiettivi capire la differenza fra numeri razionali e numeri irrazionali Tempi circa 16 ore Strumenti una macchina ogni due alunni La necessit di introdurre i numeri reali pu scaturire da molti esempi dover risolvere un equazione di secondo grado risolvere un problema di geometria con lati e diagonali di un quadrato o altro comunque di solito male accettato il
12. 95021 0498 TCT 2 86466 1353 Io J 1 63212 36793 T 0 BEIA 1 1 7183 2 7183 ___L___L_____ 2 6 3891 7 35891 J q 19 086 20 086 ___ J 40x sign 0 FUNC TERZAF RAD AUTO P zoon Trace ReGraphlath orauly a2 0100 e sianle 1 TERZAF RAD AUTO FUNC 1230 275 Per ogni funzione vengono poste ai ragazzi le seguenti domande Che tipo di punto per la funzione il punto di ascissa x 0 La funzione in un intorno di 0 crescente Qual la retta tangente alla curva nel punto x 0 La derivata e la funzione hanno lo stesso insieme di definizione lt Che valori assume la funzione derivata quando x si avvicina a 0 da destra e da sinistra v La funzione derivata continua in x 0 Se no che tipo di discontinuit presenta Le risposte alle domande vengono date in modo intuitivo osservando grafici e tabulazioni e nei casi pi semplici vengono motivate cercando di manipolare l espressione algebrica della derivata Alla fine dell attivit stata assegnata la seguente verifica in un tempo di due ore VERIFICA DI MATEMATICA con TI 92 1 F datala seguente funzione Dal suo grafico deduci le sue caratteristiche e rispondi alle seguenti domande motivandole E una funzione continua in R Qual la natura del suo punto di ascissa x 0 E una funzione derivabile in R La funzione ammette estremi relativi Se si indica
13. ESERCIZIO Data la funzione di equazione 121 Indicare i passaggi e le trasformazioni geometriche utilizzate per ottenere la funzione di equazione Indichiamo con f 1 la prima funzione con f 2 la seconda In ambiente GRAPH si seleziona E 0 quindi ORDER 1 SEQ Ci permette che i grafici siano tracciati in successione In ambiente Y EDI TOR si scrivono le equazioni delle due funzioni In ambiente GRAPH viene tracciato il grafico delle due funzioni Si sceglie lo stile del tracciato premendo in Y EDI TOR e selezionando per ciascuna funzione uno stile diverso Sinota che il grafico della funzionef 2 poe eee Peewee oa errato perch una parte del grafico Ss ps ee compare nel terzo quadrante Ci oe Pe presuppone x lt 0 mentre invece x gt 0 Si NES risolve l inconveniente premendo 2 K Je scrivendo x gt 0 di seguito alla equazione della funzione nella riga di introduzione Si confrontano i due grafici Il grafico di f 2 composto di due parti E presente un punto angoloso la cui ascissa si pu determinare selezionando zer 0 Se si considera la funzione di equazione che chiamiamo f 3 inY EDI TOR siseleziona STYLE 6 PATH si vede che il suo grafico si sovrappone al grafico della funzione f 2 nel primo tratto di questo Se ne deduce che la prima parte del grafico dif 2 si ottiene mediante una traslazione di vettore t 0 2 del grafico dif 1 La seconda
14. Il caso del prodotto pi complesso la lista dei coefficienti del prodotto pq si ottiene facendo la convoluzione tra le liste dei due polinomi fattori Se n e m sono i gradi dei due polinomi dati e aggiungiamo in coda alle liste dei coefficienti un numero opportuno di zeri in modo da ottenere liste di n m 1 elementi allora il coefficiente del polinomio prodotto che occupa la posizione 1 si tratta del coefficiente della potenza di esponente k si ottiene sommando prodotti del tipo a bisi D Nel listato mostrato in Figura 8 si fa uso della funzione di sistema dot P che esegue il prodotto scalare tra due liste di numeri Naturalmente il linguaggio delle calcolatrici che stiamo usando come tutti i linguaggi di manipolazione algebrica dispone direttamente della possibilit di moltiplicare due polinomi e dunque possiamo verificare la correttezza della funzione costruita estraendo le liste dei coefficienti di due polinomi dati mediante la funzione pcoef e poi moltiplicandoli tra loro mediante la funzione pmolt ode taz la m 1 gt lasaz lb n 1 gt 1b i334 Cc For_k i mtm 1 idotPlieft la k invlist left 1b k 3 gt c 2i i gugnent lc fe 4le EndFor tlc EndFunc 1 Fer Fiv _ Fur FS Fav petlaisebralcaiclother Prentolciesn ue ex x 13pl ux 1 p2 expand pl p2 pcosf x3 eq x pcooef pl x 11 a pcoef p2 x 12 gt Fig 9 Per la divisione tra polinomi utilizzeremo le liste
15. Infatti se si osserva la fig 5 il valore dell integrale corrisponde all ordinata del punto M che gli studenti hanno individuato come punto di massimo relativo creando cos una correlazione tra lo studio degli integrali e quello della ricerca con metodi differenziali dei massimi e minimi Tale valore di ordinata da questo punto di vista in qualche modo correlabile intuitivamente all idea di segmento creando una specie di paradosso visivo e concettuale imm Fav _F3 zcon rrsce Maximum xcii 1547 stata quindi questa l occasione per affermare che il concetto di integrale definito va riconsiderato come oggetto matematico in s svincolato da un particolare unico riferimento semantico Ci non limita le possibilit rappresentative ed applicative ma piuttosto le amplifica rendendo il concetto disponibile a molteplici significati a seconda degli ambiti di intervento Va comunque detto che ogni paradosso si scioglie se si afferma che 1 n ordinata di un punto va identificata con un segmento n tanto meno con la sua misura 2 n un integrale definito va identificato con una superficie n tanto meno con la sua area Pertanto l eguaglianza tra il valore dell ordinata e quello dell integrale non implica in alcun modo l equivalenza tra una superficie ed un segmento grandezze decisamente non omogenee La seconda funzione proposta come esercizio agli studenti stata Per questa funzione gli stud
16. Viene mostrato di seguito un utilizzo relativo al calcolo del polinomio di Taylor della funzione tangente come sempre lo scopo quello di mostrare le possibilit di programmazione mediante le calcolatrici in esame Pe a1gebrafeatclother Praniofc1ean url Fusebrafesiclother Pranio c1esn up taylor sin x x 5 Too 6 x4 x2 a taylor cos x x 5 sa atl 5 x5 sula Joa pPcoe 120 6 X X a 1 da x 1 lb d a pcoef 57 z t1 x fo 10 1 6 0 saa 24 2 4 1 O 1 2 O 17243 taylor cos x x 5 sa Vic 1 0 1 3 0 27153 taulorc cos x Xx DI RAD EXACT 3 30 MAIN RAD EXACT PAR 5 30 Fe BA Fig 13 B 1 Fe F3 Fuv FE FE e ESa1sebra caTe pther Prsmto c1ean up pdivo la lb 6 0 1 O 1 3 O 27153 da 3 a taylor tan x x 5 ee peost 2x 7 x x tO 1 O 1 3 0 27153 proef Cans 1 gt x MAIN PAR 2 30 RAD EXACT 21 BIBLIOGRAFIA 1 Barozzi G C Cappuccio S Le calcolatrici grafiche nell insegnamento della matematica Pitagora Editrice Bologna 1996 2 Barozzi G C Matarasso S Analisi Matematica 1 Zanichelli Bologna 1986 3 Childs L N A Concrete Introduction to Higher Algebra Springer New York 1995 4 Impedovo M nuovi strumenti modificano l insegnamento della matematica Lettera matematica PRISTEM 23 p 41 48 5 Impedovo M Qua la miglior funzione Lettera matematica PRISTEM 30 p 52 54 6 Impedovo M Matematica insegnamento e computer
17. dist distrett asse ptomedi o pendenza distrel ANGOLI mediana ortocen circocen baricen areatria inexcenl inexcen2 inexcen3 inexcen4 NI CHE circo3pt circassi circcrag parab3pt ellip2pt 162 Fiv Fer Fiv Agg PUNTI TRIANGOLI liretta Zirettapar trettaper inters setta bizettoe 03 0 1 23 rallit Fu conitHe x2 4 42 1 K 9 4 x 2 y 1 non parallele parallCu 5x 9 4x 2u 1 GEOM RAD AUTO FUNC 2 30 fig 5 Quest attivita di costruzione ed utilizzo della libreria di funzioni ha portato facilmente nel lavoro quotidiano di risoluzione dei problemi a discutere in classe piuttosto delle procedure che dei calcoli individuando se possibile anche procedure alternative L archivio stato utilizzato dagli studenti anche nei compiti in classe facilitando dal punto di vista tecnico la risoluzione di esercizi ma anche responsabilizzando gradualmente gli studenti nell organizzazione espositiva dovendo infatti confrontare il linguaggio matematico usuale cui erano abituati con la struttura sintattica delle calcolatrici spesso da loro stessi definita per l esecuzione delle funzioni implementate Ogni studente utilizzando la calcolatrice ha trovato il proprio personale equilibrio tra procedure e calcolo manuali da un lato e procedure programmate e calcolo automatico dall altro Nella discussione in classe e nella correzione
18. l esecuzione dei successivi programmi Infatti si predispone la calcolatrice con i comandi MODE Split Screen FULL si misurano gli angoli in gradi con Free tsetModed Fab Screen FULL 1 setMode Angle DEGREE t set Mode Graph FUNCTION gt tsetModes Exact Ap RPCRY DIRPPROKIMATE tsetGraph Axes tZoonStd i comandi MODE Angl e DEGREE si ZoomSqr EndPram cancellano gli assi coordinati con i comandi MODE Axes OFF si imposta il calcolo approssimato con i comandi MODE poi ancora con Exact Approx APPROXI MATE e si modifica infine la scala graficadaZoomStd aZoomSqr ANTONIO RAD APPROX fig 1 228 Il sottoprogramma posi z fig 2 quello che inizia il disegno nella posizione e nella direzione desiderata I sottoprogrammi avanti e indietro di figura 3 e 4 disegnano le linee di lunghezza L da sinistra verso destra e viceversa I Fey Fiv Far E fcontrorli oar Fira biode iposizlaa bb ang ram 1aadx bb u ang a EndPram ANTONIO RAD APPROX FUNC Fig 2 Fav Fiw Fiv FS E lcontroiliaWarlFind ode HIE v sran h DxOxxt uduy Sept dak 1x 1 c0s 2 3x x1 Hr tytltsintadey sE sinCas gt 3u i Line xx Kg HI XY E XX YX Y RAD APPROX fig 3 fig 4 I sottoprogramma destra esinistra di figura 5 e 6 modificano l inclinazione di una linea verso orario o antiorario di un angolo dato HA m za anges tatang E
19. va Calculation Type OneVar gt 58 7 x 2935 Ex 175309 Sx 7 856493 nStat 50 mins 45 PARAMETRI 2 ELAB 1 Con la classe si pu discutere per ora sulla media e sullo scarto quadratico medio ed eventualmente sulla mediana introduciamo cos un po di teoria e le formule relative che utilizzeremo per verificare i risultati della TI 92 Creiamo allora una nuova tabella di nome PESIMS in cui introdurremo la tabella delle frequenze ottenuta prima valore medio della classe 47 5 52 5 57 5 62 5 67 5 72 5 frequenza assoluta 7 9 13 7 9 5 Inseriamo poi in colonne successive le formule c3 approx c2 sum c2 c7 seg sum c4 k 1 dim c1 c4 c1 c3 c8 sum c6 c7 2 c5 c1 2 c9 V c8 c6 c5 c3 Per inserire una formula in una colonna portare il cursore nella seconda riga pre mere digitare la formula premere di nuovo 311 per calcolare la media e lo scarto quadratico medio In colonna C9 troviamo o n come media quadratica degli scarti x 24 f media acn z 96 13 59 200 59 610 7 7208 859 63 59 200 59 610 7 7205 546 88 59 200 59 610 7 7208 20 13 59 200 59 610 7 7208 525 63 59 200 59 610 7 7208 Bae ee ee ee x fa 52 500 9_ 1500 9 4500 2756 67 500 9 i 1800 12 150 4556 3 72 500 5 1000 _ 2500 5256 3 IE es a i eee AI AI AI AI DI AI CO c
20. 16x 15 cerchiamo i valori delle ascisse dei punti di ordinata nulla ma esplorando con il cursore notiamo che il grafico poco leggibile perch tali punti risultano troppo vicini Attivando O e scegliendo dal menu la voce ZOOM BOX seguita da ENTER mostro come possibile inscatolare ed ingrandire la parte che ci interessa osservare fig 3 Fe lzoon TracelReGrarh Math orsuly __ x 1 2nd Corner Le ascisse dei punti considerati risultano x 3 2 ex 5 2 Infatti algebricamente 4x 16x 15 0 A x 2F 1 0 2 1A x 2 1 2 or x 2 1 2 cio x 3 2 e x 5 2 86 Verifichiamo ulteriormente i risultati trovati premendo 2 a cos dall ambiente possiamo passare a quello dove osservare la tabella dei valori della funzione fig 4 Faccio notare che il passo della tabella pu essere modificato a piacimento attivando una finestra di dialogo mediante il comando amp SCHEDA DI LAVORO In base a quanto hai appreso fino ad ora prova a risolvere le seguenti equazioni x 4x 5 0 x 2x 1 0 2 2 x 3x 6 0 x 5x 6 0 4x 4x4 1 0 x 6x 8 0 Sei sempre in grado di trovare la soluzione Quante soluzioni pu avere una equazione di secondo grado Da cosa dipende il numero di esse Attraverso il tasto 3 apriamo la finestra di dialogo e torniamo alla condizione di schermo intero scegliendo dal menu la voce FULL e l ambiente Attiviamo il menu di algebra con e scegliamo l
21. 5x 3 Solve 3x 2y 1 y 5x 3 x appare la soluzione in x Il comando with sulla tastiera 2nd k vuol dire con la condizione assegnata ovvero con la y uguale a quella espressa nella uguaglianza precedente il dover specificare rispetto a quale variabile si risolve importante e significativo m3ix 2 4 1 3 x 2 y 1 eS x y 3 S x y 3 BSsolve S x y 3 y y S x 3 ssolve 3 x 2 y 1 y 5 x 3 x x 7 13 solve y 5 x 3 x 713 u u 4 13 MAIN RAD AUTO FUNC 5 30 fig 5 E stato interessante anche far vedere che si pu operare col metodo di riduzione moltiplicando opportunamente le due equazioni e sommandole fra loro per far questo abbiamo seguito i seguenti passi selezionare la 5x y 3 moltiplicarla per 2 si ottenuta un equazione in cui le y hanno lo stesso coefficiente espandere l espressione con il comando Expand selezionare quest ultima espressione e digitando 3x 2y 1 appare la scritta ans 1 che indica il contenuto dalla risposta precedente si ottiene la somma membro a membro in cui scomparsa la y non resta che dividere il risultato per 13 per ottenere la soluzione in x per la y basta utilizzare il comando Solve e risolvere una qualsiasi delle due equazioni con la condizione che x 7 13 rispetto alla x 81 a3 x 2 y 1 3 x 2 y 1 aS xty 3 S xty 3 a 5 x y 3 2 2 5 x y 6 expand 2 S x 4 6 10 x 2 y 6 a 10 x 2 y 6 3 x 2 y 1 13 x 7 MAIN RAD AUTO FUNC 5 50 fig 6 Per studenti un po p
22. BPRROR IMATE ST TARIRZICCIONI TYPE OR USE gt t4 CENTERI OK AND CESCI CANCEL La seconda e la terza opzione consentono di avere il risultato sempre in forma simbolica anche quando i dati in input sono numeri decimali PFE 1 sebra estclotherPramtokc1esn uel io go 72 1 25 9 10 MAIN RAD ERACT FUNC 2 30 o sempre in forma approssimata anche quando i dati sono in forma simbolica E lpigebralcaiclother rantolciean uel JZ 1 41421356237 ln 3 1 09861228867 225 8 MAIN RAD APPROX FUNC 3 30 L opzione Aut 0 invece d il risultato nella stessa forma dei dati in ingresso in forma simbolica se non ci sono numeri decimali in forma approssimata altrime nti PS Ipisebralcsiclother prantolciesn ue af 2 f fd 4 2 82842712475 solvelx 4 x 1 0 x x ST 2 or x 3 2 solvelx 4 x 1 0 x x 3 73205080757 or x porate eed solve 27 4x 1 0 0 x RAD AUTO Le 30 In ogni caso possibile forzare l output in forma approssimata premendo prima 59 del tasto Ent er il tasto 1 Fey Fiv Fay FS Fey X pit Ailgebra Calc Other PromIO Clean Up E 2 52 DRE 2 892842712475 MAIN RAD AUTO FUNC 2 30 Il fatto di avere sullo stesso strumento valori simbolici e valori approssimati consente all allievo di controllare sia l aspetto formale sia l aspetto semantico Naturalmente una calcolatrice come questa deve essere usata con attenzione e
23. La mancata o parziale risoluzione della proposta di lavoro dovuta a scelte poco opportune delle funzioni Presentiamo le soluzioni di alcuni gruppi e le conclusioni a cui sono arrivati Gruppo 1 Funzione e sua derivata accom rraceReGraphmathorsw e A v l insieme di definizione lo stesso e anche l asintoto verticale v la funzione sempre crescente e la sua derivata sempre positiva v quando la concavit della funzione rivolta verso l alto la derivata cresce quando verso il basso decresce v l asintoto orizzontale che nella funzione y 1 diventa per la derivata y 0 Funzione sua derivata e rispettive tabulazioni ree leeon tracelRecraphsth orauly A A u40x 2 sign 0 TERZAF RAD AUTO FUNC 269 v non si capisce se l insieme di definizione ancora lo stesso ma sicuramente la derivata presenta delle discontinuit con salto nei punti x le x 1 v quando la funzione cresce la derivata positiva quando decresce negativa v il punto stazionario della funzione un massimo relativo diventa uno zero della derivata v quando la concavita della funzione rivolta verso l alto la derivata cresce quando verso il basso decresce La tabulazione della funzione derivata presenta degli strani valori in corrispondenza di x 1 e x 1 il gruppo pensa di calcolarsi l espressione analitica della derivata in ambiente Home e trova l espressione In questo
24. Maria Angela Chimetto 13 L ellisse che non c Roberto Cagnacci 14 Un ellisse col fuoco all infinito ricostruzione di un modello di Hilbert Giorgio Ravagnan Geraldo Vettorazzo 15 Costruzione di una libreria di funzioni per la geometria analitica Giorgio Ravagnan 16 Funzioni circolari Fernando Ilari 17 Analisi del grafico di funzioni Anna Cristina Mocchetti 18 Visualizzazione di successioni Anna Cristina Mocchetti 19 Esponenziali e logaritmi Roberto Ricci Anna Maria Rossini 20 Matrici e determinanti Fernando Ilari pag pag pag pag pag pag pag pag pag pag pag pag pag pag 95 101 109 117 127 131 137 143 153 169 175 181 185 193 21 Luoghi geometrici Nicoletta Nolli 22 Trasformazioni geometriche lineari Anna Maria Anconelli Paola Dirani Enrica Pirazzini 23 Un approfondimento delle progressioni geometriche Antonio Travaglini 24 Successioni e introduzione al concetto di limite Maria Angela Chimetto 25 Asintoti Ferruccio Rhor 26 Relazione tra formula e grafico una funzione e la sua derivata Nicoletta Nolli 27 L integrale definito sempre un area Sarah Baratta Giorgio Ravagnan Geraldo Vettorazzo 28 Dai dati al modello la regressione Michele Impedovo 29 Un compito di statistica Lucio Carosati 30 Analisi della dipendenza statistica e calcolo del Gi
25. Possiamo procedere cos molte volte per andare avanti di lancio in lancio equivale a gettare manualmente 1 dadi possiamo fare meglio istruendo la macchina a generare un intera sequenza di numeri a caso magari di 10 numeri o di 50 o anche di 100 L istruzione la seguente Seg rand 6 n 1 10 Impariamo a leggerla e a interpretarla Seq vuol dire sequenza successione insieme di numeri messi in certo ordine dentro la parentesi occorre definire il tipo di numeri che vogliamo mettere in sequenza in questo caso i numeri a caso fra 1 e 6 e quanti ne vogliamo in questo caso 10 La n che compare prima dell 1 vuol dire per n che va da 1 a 10 Sullo schermo appaiono 10 numeri in una parentesi graffa battete Enter pi volte cosa notate segfrand 6 n 1 10 6 5 6 3 1 5 5 1 6 5 seq rand 6 n 1 10 1 214 3 2 4 2 3 5 seg rand 6 n 1 10 3 3 4 2 2 5 1 3 2 2 seg rand 6 n 1 10 ANALIT RAD EXACT FUNC 3 30 fig 3 seq rand 6 n 1 10 411 4 15 55 1 6 1 13 a seg rand 6 n 1 10 gt 12 2 3 1 4 5 35 4 5 1 3 li 12 6 4 6 9 11 12 ANALIT 10 8 5 11 2 4 RAD EXACT fig 4 FUNC 3 30 I 10 numeri che appaiono nella parentesi graffa costituiscono una lista cio un insieme ordinato di numeri nella figura 4 abbiamo messo la prima sequenza in una variabile che chiamiamo 11 e la seconda in 12 attraverso il comando STO to store vuol dire immagazzinare accanto alla barra spaziatrice se
26. adatta al problema risolvere problemi sulle successioni e sulle progressioni usare laTI 92 per far acquisire i concetti di successione e di progressione Tempi di attuazione sel ore Argomenti trattati successioni e progressioni geometriche Metodologia uso del view screen per l esposizione e i richiami dei concetti fondamentali uso di una macchina T 92 per ogni studente per un lavoro autonomo che rispetti i tempi di apprendimento di ciascuno scoperta guidata di leggi e propriet con eventuali discussioni sulle difficolt incontrate dall alunno PRIMA LEZIONE due ore Obiettivo dopo aver spiegato le caratteristiche delle successioni convergenti divergenti e indeterminate si mostra l andamento della successione a 3n 1 2n 3 Strumenti utilizzati vi ew screen e calcolatrice grafica T 92 Da quanto si vede sullo schermo figura 1 e 2 si pu notare la scrittura della successione Per visualizzare questa schermata bisogna eseguire i seguenti comandi 3 imposta il modo su SEQUENCE e poi e ancora RAD AUTO fig 1 224 Successivamente si digita Y EDI TOR W per digitare la successione Si preme F6 e WraPhivepisasi dows Current Folder Display Digits Finale spyegepenuay Exponential Format Gocbor Formate lt lt RECTANGULAR i 3 definire 1 il lector Format Pretty Print ONS POL 3 per definire lo stile Enter SAVE ESC CANCEL della rappresentazione Si
27. amp x amp string r 3 EndPrgmr TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE LINEARI Quesito Si consideri la trasformazione T che muta i punti A 1 0 B 0 1 C 1 0 di un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy rispettivamente nei punti A 0 1 B 2 1 C 0 1 Si studi la natura di T e si determinino gli elementi che restano uniti nella trasformazione ed il rapporto fra le aree dei triangoli corrispondenti ABC A B C Detta K la circonferenza per i punti A B C e P la parabola di equazione y 2x I si dimostri che i loro punti comuni sono vertici di un triangolo equilatero Si considerino le figure K e P ottenute da K e P mediante la trasformazione T e la figura Q ottenuta trasformando il quadrato Q circoscritto a K e con i lati paralleli agli assi coordinati Avvalendosi della trasformazione T si dica la natura di K P e Q ecc Nella scheda si useranno come esempio i dati del quesito suddetto Determinazione dell equazione della trasformazione Dati i punti A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 e i corrispondenti A xx1 yy1 B xx2 yy2 C xx3 yy3 Si vogliono determinare i coefficienti della trasformazione lineare di equazione X ax by p cx dy q Sostituendo le coordinate delle tre coppie di punti si ottengono i sistemi lineari axl byl p xx1 cxl d yl q yyl ax2 by2 p xx2 cx2 d y2 q yy2 ax3 b y3 p xx3 cx3 d y3 q yy3 due sistemi possono essere risolti con il calcolo matriciale
28. da A a s stesso Nei casi di uso pi frequente A non soltanto un anello ma un campo Se si tratta del campo dei numeri reali del campo dei numeri complessi in generale di un campo con infiniti elementi allora polinomi distinti generano funzioni polinomiali distinte vale cio il principio d identit dei polinomi non cos per i campi finiti Nel campo Z 2Z delle classi di resti modulo 2 i cui elementi possono essere indicati 0 e 1 le funzioni del campo in s sono soltanto 4 e sono rappresentabili mediante i polinomi 0 1 x e 1 x ogni altro polinomio induce una delle funzioni appena descritte Ad esempio il polinomio x x individuato dalla lista di coefficienti 0 1 1 genera la funzione identicamente nulla Nel resto di questa nota supporremo di operare nel campo reale salvo esplicito avviso in contrario Ci che vogliamo mostrare la possibilit di passaggio da un polinomio alla lista dei suoi coefficienti e viceversa e come tutte le comuni 15 operazioni tra polinomi possano essere eseguite sulle liste dei coefficienti Si tratta dunque di un esercitazione sull uso delle liste La prima funzione che ci serve quella che prendendo in ingresso la lista dei coefficienti genera il valore della corrispondente funzione polinomiale in un assegnato punto x Il linguaggio che utilizziamo dispone gi di una funzione che opera nel senso desiderato si tratta della funzione polyEval Tuttavia come mostra la figu
29. fornendo per in questa fase precise istruzioni operative Premendo nell ordine i tasti F 1 e 8 si ripuliscono gli ambienti HOME e Y Editor Nella pagina diY Edi tor tutti scrivono e ne tracciano il grafico Il comando F 3 Tr ace vincola il cursore alla curva mentre in fondo alla finestra grafica vengono evidenziate per ogni posizione del cursore le coordinate 251 Le figure 1 e 2 nell ordine evidenziano un salto della funzione fuori schermo dal valore al valore quando l ascissa passa dal valore al valore procedendo con un passo LP oon TracelResraph sth orauly A 1 xcii 93277 re leconfrricefResraenstnorsl __ 1 xci2 10084 yc 51 5833 Per meglio esaminare il comportamento della funzione si pu procedere alla sua tabulazione in un intorno di 2 pi piccolo del precedente La viene cos tabulata a partire 1 999 t bl St art con un passo di 0 0003 At bl 252 pee eeon rracelResraph Nathlorauly A TABLE SETUP _ tblStart 1 999 atbl 0005 Graph lt gt Table OFF Independent AUTO Enter SAVE ESC CANCEL lid 1 999 4988 ___ ___ ___ _ 1 9993 7141 ST 1 9996 1 2e4 TCT PEE S _ OJ O O 2 0002 25002 T 2 0005 10002 T 2 0008 6252 q 2 0011 4547 5__ T T ui x 49998 MAIN FAD AUTO FUNC fig 4 Le figure 3 e 4 rappresentano rispettivamente la schermata relativa all impostazione della tabella TABLE
30. inizio Request fino a fine Request cifre decimali cl2 numcifre EndDl og set Mode Display Digits FIX amp numcifre expr f f expr inizio inizio expr fine fine Cirio For i inizio fine Output 1 1 approx f n i Output 30 1 n amp string i non fa nulla rallenta solo la scrittura For j 1 10 EndFor EndFor set Mode Display Digits Float 6 EndPrgm 243 Digitando success appare la seguente finestra di dialogo 1 Fer Fiv Fuw FS Fe fino at cifre decimali 129 Ls Enter 0K ESC CANCEL per nda Od success TYPE ENTER 0K AND ESC CANCEL E quindi possibile definire una successione di cui saranno visualizzati i termini corrispondenti ai valori dell indice compresi tra un valore iniziale e un valore finale Esempio successione per n dai ff fino at cifre decimali 12 Enter 0K ESC CANCEL success MAIN BAD AUTO SEQ 0 30 A questo punto verranno visualizzate le successive approssimazioni scritte una sopra all altra nello stesso punto dello schermo L output del programma sar di questo tipo 2 68335662628 2 70481382942 n 38 n 100 MAIN RAD AUTO SEQ 1730 MAIN RAD AUTO FUNC 1730 244 Se la successione converge o comunque varia abbastanza lentamente si produce un effetto di animazione Si vedono cio le prime cifre del risultato che si stabilizzano mentre le altre variano pi velocemente quelle pi a destra Questo lavoro pu esse
31. nero fi4 J63 91 I FEE E P5C25 sum c2 gt RAD APPROX c5 c2 c3 c4 MAIN RAD APPROX FUNC fig 2 fig 3 Ho proposto poi agli studenti di costruire in c6 c7 c8 la tabella delle distribuzioni condizionate relative a ciascuna classe Ci stato ottenuto dagli alunni dividendo ciascuna colonna c2 3 C4 della tabella iniziale per il totale di colonna cfr fig 4 Poich le tre colonne ottenute sono uguali il carattere colore non dipende dal carattere classe Analogamente sono state costruite in c9 c10 c11 le distribuzioni condizionate relative a ciascun colore leggibili riga per riga dividendo questa volta ciascuna colonna iniziale per la colonna c5 cfr fig 5 Anche in questo caso si nota che il carattere classe non dipende dal carattere colore poich le prime quattro righe sono uguali DATA Timcoll2mcol smcolf J c9 gots EER 54167 cf T e _ _ J 1 2 3 4 108333 375 _ 54167 5 108333 375_ 5416 _ _ 5 A I ZA c Mi 9 AIN fig 4 fig 5 Si osserva inoltre l eguaglianza con la quinta riga della distribuzione marginale relativa che descrive infatti come si ripartisce in termini di frequenze relative il 299 campione fra le varie classi a prescindere dalla preferenza di colore E possibile poi coerentemente con l analisi svolta su questo esempio formalizzare la definizione di indipendenza statistica tra caratteri variabili sta
32. ptomedio 5 S743 5 53 s dist 0 25783 5 53 Rate dist lt lt 0 25 8 gt lt 5 5 GEOM RAD AUTO PAR 3730 fig 14 Sempre in fig 14 si calcolano il centro ed il raggio della circonferenza richiesta la cui equazione viene determinata in fig 15 tramite la seguente funzione circrag circrag ce r Func Local ce r app If getType r LIST Then R gt app Ce r App ce Endl f expand x ce 1 2 y ce 2 2 r 2 0 EndFunc 166 PE r1gebrafeatclother Pramto c1est uel x 42 75 4 0 5 3 2 circeras O 25 83 4 244 y2 25 y 75 0 x 2 7 4 y 25 y 0 4 Xu 2 25 u 0 u 0 GEOM RAD AUTO PAR 2 30 fig 15 Conclude infine l esercizio cfr fig 15 e fig 16 la verifica del passaggio della circonferenza per uno dei due fuochi ee la1sebralesie otherpramto c1esr uel 4 47 25 y 0 u 0 true GEOM RAD AUTO PAR 1 30 fig 16 167 168 16 FUNZIONI CIRCOLARI Fernando Ilari Liceo Scientifico E Majorana Latina Classe quarta liceo scientifico sperimentazione Brocca Obiettivi Approfondire i vari ambienti TI 92 Prerequisiti Conoscenza elementare della macchina concetto di seno e coseno di un angolo Tempi 8 ore effettive dieci ore scuola compresa la verifica finale Metodi lezione frontale lavoro individuale Strumenti calcolatrici in rapporto 1 1 lavagna luminosa viewscreen e la scheda allegata 1 Funzioni circ
33. rappresentato A partire da una opportuna funzione elementare descrivi le successive trasformazioni o operazioni con la calcolatrice che suggeriscono la risposta 3 Risolvi in modo grafico e o approssimato la disequazione x 2 3 gt 0 senza uso della calcolatrice grafica 1 Inventa un problema la cui soluzione si ricavi dall equazione y 2000 0 15 2 Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni 3 Rappresenta il grafico della funzione e utilizzalo per stabilire l esistenza e il numero delle soluzioni del sistema 191 2 Funzione logaritmo Per introdurre la funzione logaritmo comodo sfruttare le potenzialit grafiche e tabulari della calcolatrice Realizza il grafico della funzione y x 2 4 scegli una opportuna finestra e disegnalo qui sotto In ambiente puoi vedere una tabella della funzione Il grafico visualizza punti che hanno per coordinate coppie di valori della tabella si tratta di punti grossolani perch in realt lo schermo della calcolatrice grafica un piano analogo ad un foglio quadrettato In ambiente DATA MATRI X EDI TOR inserisci in colonna cl valori per x da 5 a 5 con incremento 0 1 in colonna c2 la formula 2 4 c1 usa la funzione passa in N PLOTSETUP E DEFINE definisci poi come Plotl tipo Scatter come Mark seleziona Square come x cl e come y c2 poi definisci inP ot 2 selezionando un diverso Mar k es Box e indica x c2 e y c1 In ambiente p
34. tornain ambiente calcola una sequenza di tassi di variazione in 0 con valori dell incremento h sempre pi piccoli seq m 0 10 I k k 1 10 8 in conclusione osservi che 0 Li RWN 189 Riportando i valori in DATA MATRI X EDI TOR si osserva che i tassi di variazione locali approssimati di 2 ad esempio costituiscono a loro volta una funzione esponenziale di base 2 come si pu vedere dal rapporto costante c3 c2 L eecn rrace reGraphmsthorzule __ F F3 F4 FS For y F Plot Setup Ce11Header caiclutii stat c3 oO fpo oo 695555 695555 1 39111 695555 2______ amp _____ 2 78222 695555 3___________ 5 56444 695555 46 11 1289 695555 5______32 22 2578 695555 6______ 64 44 5155 695555 c3 mci 01 gt MAIN RAD AUTO N E stato presentato successivamente un ampio repertorio di problemi ed esercizi 190 VERIFICA con uso della calcolatrice grafica 1 Su Quattroruote in riferimento alla valutazione di un auto compaiono in una tabella questi valori ANNO d immatricolazione 1997 1996 1995 1994 1993 1992 1991 1990 VALORE dell usato nel 98 19 7 17 6 15 7 14 1 12 5 11 1 98 8 7 Quale legge esprime il valore dell usato in funzione dell anno di immatricolazione Quanto vale nel 98 un auto immatricolata nel 1988 2 Determina l espressione analitica di una funzione appropriata per il grafico qui
35. tramite ulteriori funzioni della distanza punto retta e delle bisettrici degli angoli formati da due rette non parallele Calcola a partire da una retta di equazione ax by c 0 e da un punto di coordinate Xo yo la formula In chiamata indifferente se si inserisce prima il punto o la retta La funzione esplicit utilizzata all interno della funzione di strel permette di inserire equazioni di rette scritte in forma qualsiasi 155 distrel rr pp Func Local app a b c If getType rr LIST Then rr app pp rr app pp Endl f esplicit rr rr If string left rr x Then right rr c l a 0 D Else solve rr x 0 y c right c c solve rr x l y a right a c a al Endi f a pp 1 b pp 2 c a 2 b 2 EndFunc La funzione di strel evidenzia anche con la chiamata di esplicit la possibilit sfruttata anche negli esempi 5 e 6 seguenti di costruzione per assemblaggio di funzioni di base di funzioni che risolvono problemi pi complessi costruzione risultata a volte pi semplice e divertente da gestire per gli studenti ma in ogni caso utile perch porta ad individuare e codificare procedure risolventi di problemi geometrici e quindi a rinforzare le capacit di costruire percorsi risolutivi Per calcolare ad esempio la distanza punto retta di immediata costruzione per assemblaggio la seguente funzione distrett distrett rr pp Func abs distrel rr pp EndFunc 156 La seguente fig 1 ev
36. 089069 085183 MAIN RAD AUTO SEG 6 30 fig 1 Ci proponiamo di visualizzare in un grafico che riporta in ascissa i valori di n e in ordinata le differenze l andamento della successione Scheda di lavoro Segui i passi che ti indico e trai le opportune conclusioni Premi il tasto 3 e imposta il CES Fi T F modo Graph su 4 SEQUENCE raph muovendo il cursore verso destra Current Folder Bisel lay Digits n e pol ancora n per Exponential Format ritornare a Uoetor Formate 1 RECTRNGULAR Pretty Print ON Entra in Y EDITOR con la CEnter SAUED ESC CANCEL combinazione di tasti W TYPE OR USE 3 4 ENTERI 0K AND CESCI CANCEL 182 Scrivi il generico termine della successione che vuoi visualizzare in ul ee lzoomfedit ilifetsielaxes aPLOTS A ugn n Reon Puoi scegliere lo stile di uil rappresentazione degli elementi della successione premendo e 482 poi lt 3 gt ude MAIN RAD AUTO SEQ Ora se vuoi definire il numero di termini da rappresentare devi accedere alla finestra di Window Editor E per impostare le variabili opportune een LE me nmin nmax contengono i valori Sal minimo e massimo di n con cui PIOCEGEPnI calcolare i termini della successione xmax 10 Per questo primo lavoro cambia Sira solamente questi parametri e per yaara ulteriori approfondimenti consulta il manuale a pag 237 MAIN RAD AUTO SEQ Con quest
37. 23 1 53 x GEOM RAD AUTO FUNC 3 30 Un pr ogr am invece una struttura di programmazione pi complessa che pu utilizzare tutti gli ambienti della calcolatrice e sfruttare il fatto che i diversi ambienti sono collegati L output di un programma pu essere un grafico come nel seguente esempio Il programma Montecarlo prende in ingresso un numero naturale n e fornisce il grafico del quadrante di cerchio inscritto nel quadrato Vengono scelti n punti casuali interni al quadrato e si controlla se sono interni anche al cerchio nel qual caso si aumenta di 1 un contatore Alla fine si comunica il numero di centri e la relativa approssimazione di Tr 55 1 HA Fuw_ FS im End Plots0ff 10 gt xmin 2 5 gt xmax O umin 1 07 Umax HAS Sala iCirele 0 0 1 Line 1 0 1 1 Line 0 1 1 1 iDisp Frequenza centri string pn 104 i DDA Approssimazione di m approx p ni For irondas io rand gt 4y0 3 EndPram GEOM RAD AUTO FUNC GEOM RAD AUTO FUNC Ecco il risultato con n 200 Frequenza centri 157 200 Approssimazione di n 3 14 GEOM RAD AUTO FUNC_1730 La geometria dinamica Ca br i Un altro ambiente importante il ben noto Geometry si tratta di una versione di Cabri II che supporta anche il piano cartesiano Ecco le figure relative alla definizione di parabola come luogo dei punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice e la costruzione della figura relativa al problema 1 dell esame di ma
38. 92 per evitare di scomporre in fattori non irriducibili S Ho scomposto il polinomio 81xy 16x ed ho ottenuto x 4x749y 3y 42x me 3y 2x non so se giusto I Applica al tuo risultato il comando expand riconosci nel risultato un polinomio equivalente a quello di partenza 2 Segno di un polinomio uso di tabelle comparative nello studio di disequazioni Classe seconda Liceo Scientifico P N I Tempi circa 3 ore Obiettivi saper risolvere disequazioni di grado superiore al primo o fratte con la tabella dei segni saper risolvere sistemi di disequazioni Strumenti una TI 92 ogni due allievi ed un viewscreen Lo studio delle disequazioni di grado superiore al primo con la tabella dei segni dei fattori genera talvolta incomprensioni non sempre chiara agli allievi la distinzione fra lo studio analitico del segno dei singoli fattori e la comparazione successiva da cui nasce la risposta alla domanda che la disequazione pone Allo stesso modo nella soluzione di un sistema di disequazioni alcuni allievi confondono la tabella di intersezione vero falso con la tabella dei segni Ho provato a comporre disequazioni di grado superiore al 1 con la TI 92 I ragazzi sapevano risolvere disequazioni di primo grado avevano dimestichezza con 66 le due forme canoniche ax gt b e ax b gt 0 Partendo da quest ultima abbiamo tabulato i segni di alcune funzioni di primo grado e sign 1 2x e sign x 4 Abbiamo c
39. 94 7 LABORATORIO DI GEOMETRIA Donata Fo Liceo Scientifico F Buonarroti Pisa Classe seconda liceo scientifico sperimentale 26 alunni Obiettivi affiancare alla geometria assiomatica una geometria sperimentale e costruttiva Strumenti una macchina per ogni alunno Usare Cabri come approccio alla geometria delle trasformazioni stato per me un esperimento per due motivi primo perch era la prima volta che lo usavo in assoluto secondo perch Cabri soprattutto Cabril era tradizionalmente considerato pi adatto per la geometria euclidea per le costruzioni con riga e compasso anzich per le trasformazioni del piano Gli alunni hanno iniziato questo percorso sulle TI 92 alla fine dell anno quando gi avevano dimestichezza con la macchina e dopo aver lavorato un paio di ore in laboratorio con lo schermo grande e un vero mouse Lo scopo che mi prefiguravo era il seguente introdurre gli studenti nell ambiente della geometria senza che questo costituisse uno scoglio un trauma far s che le dimostrazioni che pure andavano fatte non costituissero un blocco monolitico di logica deduttiva ma fossero il naturale sbocco di esperienze individuali pi o meno corrette ma sempre motivanti per il solo fatto di esistere costituissero insomma il momento della discussione delle loro proposte e della risistemazione assiomatica Siamo partiti da problemi affrontabili solo con i ricordi della scuola media che coinvolgessero per la
40. Il grafico ci mostra una funzione simmetrica rispetto all asse y caratteristica che possiamo giustificare con i passaggi da cui Concludiamo che la F una funzione pari Il lavoro non certo terminato qui il grafico della funzione ha incuriosito molto gli alunni che hanno cominciato a porre domande soprattutto dopo aver dal menu N lt ZOOM gt scelto l opzione lt 4 gt eE lecon trsceregraphbisthprawl A EPeecn trsce reGraehbathprawl 7 _ 2nd Corner xc 10 5 MAIN RAD AUTO FUNC MAIN RAD AUTO FUNC Il grafico cambiato rispetto a quello ottenuto inizialmente vedi fig 2 e sembra che vi siano punti di massimo con ordinata inferiore a 1 e punti di minimo con ordinata maggiore di 1 176 Dal menu N lt ZOOM gt scegliamo lt 1 gt inquadriamo la parte di grafico che ci fa dubitare e diamo Otteniamo cos E e poonirrsceReGrapninccniorsul E ancora sembra che vi siano punti di massimo con ordinata inferiore a 1 e punti di minimo con ordinata maggiore di 1 Ripetiamo il procedimento per ingrandire la parte di grafico a destra nello schermo Otteniamo cos zoon Trace ReGraph athlorauly A 2nd Corner xc 9 80672 yc 1 39412 MAIN RAD AUTO FUNC 017 98905 yc 82895 MAIN BAD AUTO FUNC Il nuovo grafico ci mostra un insieme immagine limitato possiamo verificare che non vi sono massimi minori di 1 n minimi maggiori di 1 con diversi procedim
41. L S G Ricci Curbastro Lugo di Romagna Ra L S Benedetti Venezia L S A Righi Bologna L S Nomentano Roma L S Severi Frosinone L S L Da Vinci Casalecchio di Reno Bo L S Majorana Mola di Bari Ba L S Pitagora Rende Cs L S Majorana Isernia L S Galilei Lanciano Ch IRRSAE Veneto Venezia Mestre Ve 342
42. Nora Tamburro Liceo Scientifico E Majorana Isernia Classe terza ad indirizzo tradizionale Obiettivi risolvere disequazioni algebriche riconoscere trasformazioni geometri che risolvere problemi di geometria analitica Tempi quattro unit orarie di lavoro in classe per ciascuna attivit Strumenti calcolatrici TI 92 lavagna luminosa viewscreen La calcolatrice stata utilizzata in una prima fase dall insegnante come lava gna con viewscreen per proporre un determinato argomento e dagli alunni per se guire le istruzioni dell insegnante in una seconda fase dagli alunni come lavagna per presentare le loro soluzioni ai problemi proposti Ogni alunno ha potuto utilizza re una calcolatrice Obiettivi dell esperienza sono stati 1 quello di ottenere un maggior coinvolgimento degli alunni nel processo di apprendimento 2 quello di ot tenere una comprensione migliore degli argomenti affrontati 3 quello di offrire un aiuto a quegli alunni che presentavano difficolt nel calcolo Gli ambienti utilizzati sono stati Home Y Editor Graph Table Data Matrix Editor Dopo un inizio difficoltoso dovuto ad una preparazione di base carente e a difficolt nell uso della calcolatrice la situazione via via migliorata Dall analisi dei risultati conse guiti dagli alunni si evidenzia per i pi dotati un netto miglioramento delle capacit logico deduttive ed osservative e per i meno dotati un accresciuto interesse per la d
43. R Bsolve 2 x 3 y 8 and x 2 y 3 x Db Jio 4 i6 4 x l and y 2 SIT OS at di da Pa solvel x y 1 and y 3 x 1 lt x 43 a solve cos x x x x 739085133215 x 3 5 and y 4 5 or x 0 and y 1 solveCcos x x x gt solve x 2 y 2 1 and y 3x 1 lt x MAIN RAD AUTO FUNC 2 30 MAIN DEG AUTO FUNC 2 30 La TI 92 calcola derivate e integrali definiti e indefiniti serie polinomi di Taylor risolve equazioni differenziali in forma simbolica Sono implementate le pit importanti operazioni di algebra lineare PFE ligebralcaiclother rantolciean uel Mee ligebralcsiclotherprantolciesn uel a nE x2 e x 2 x x2 e x gt n 2 6 n 5 x sincolax n 4 n iln 2 taylorle x 6 0 Le Into x xI xt x5 x ol eas si A 720 120 aa te t txt taylorle lx x 6 MAIN RAD AUTO FUNC 3 30 MAIN DEG AUTO 50 gt FUNC 2 50 1 Fey Fiv iv FS Fev 1 Few Fiv Fay FS Fev re AlgebralcsiclotherPramto clean ue ve Algebralcsiclother Pramto ciean ue af 2 1 2 SdeSolve y g t y Sisal 3 a eer 3 pet A f Eo SZ yo tert e2 ar Le s deSolve u g and y 0 s0 and u 0 n 3 1 td 29t 3 a 6 a 6 BP NOs tso det m a 6 Nd yCO gt s0 and y 0 u0 t 4 MAIN DEG AUTO FUNC 2 30 MAIN DEG AUTO FUNC 3 30 Gli ambienti di rappresentazione delle funzioni Y Edi tor Wi ndow Graph Table Sono quattro ambienti strettamente collegati l uno all altro Y Edito
44. SETUP e la tabella dei valori assunti Il salto ora molto pi grande da a Prendendo valori iniziali tbl Start sempre pi vicini a 2 e un passo At bl sempre pi piccolo il salto della funzione assume valori rapidamente crescenti tendenti all infinito Si passa quindi ad affrontare nel caso dell iperbole equilatera in esame la ricerca dell asintoto orizzontale Premendo i tasti HOME si passa all ambiente HOME con i tasti F2 7 si attiva PropFrac quindi si digita si chiude parentesi e si schiaccia nuovamente ENTER 253 La schermata che appare riportata nella figura 5 a propFrac y1 x x 2t2 MAIN RAD AUTO FUNC 1 30 fig 5 Il comando stato Pr opFrac stato introdotto come una scatola nera nata pertanto l esigenza di capire come opera su una funzione razionale Prima di avventurarsi su una risposta stato proposto agli studenti di provare come agisce su una frazione numerica Fatta qualche prova su frazioni numeriche venuto abbastanza naturale ragionando per analogia fare l ipotesi di una riscrittura che esprime la frazione come somma di una parte intera e di una frazione cosiddetta propria La funzione ora vista come somma di due termini funzioni dove La funzione viene importata in Y Edi tor e successivamente tabulata Dalla tabella ottenuta si percepisce chiaramente che converge a zero Essendo Si pu concludere che all infi
45. Si studi ora la successione delle aree delle figure ottenute dalla costruzione per triangoli esterni L area del primo triangolo Aj 4essendo ilil lato L 1 e l altezza 2 L area della seconda figura sar A 4 1 3 6 1 2 3 essendo il lato 1 3 el altezza 6 e 3 il numero dei triangoli aggiunti Cio AJ 4 4 1 3 ossia Ay 4 1 1 3 L area della terza figura sar Ay 4 0 4 1 3 1 9 18 1 2 4 3 essendo il lato 1 9 e l altezza 18 4 sono i triangoli aggiunti per ogni lato e 3 il numero dei lati Cio Ay 4 4 3 4 4 3 ossia 232 A 4 1 1 3 4 3 ragionando allo stesso modo l area della quarta figura sara A3 4 1 1 3 4 33 42 35 ossia A3 0 4 1 1 3 1 4 32 42 34 Continuando allo stesso modo 1 area della n esima figura sar An 4 1 1 3 1 4 9 42 92 401 9m I termini 1 4 9 42 92 4n 9 costituiscono una progressione geometrica di ragione q 4 9 la cui somma 9 5 essendo S ai 1 q cio S 1 1 4 9 di conseguenza A 4 1 1 3 9 5 ossia A 4 8 5 cio il valore finale gli 8 5 del valore iniziale confronta figure 19 20 21 22 e oonkedi Rlistsielaxez u ANTONIO DEG APPROX SEQ fig 19 n ANTONIO DEG APPROX SEG fig 21 fig 22 AI termine di queste lezioni gli alunni hanno acquisito i concetti di suc
46. The Bulletin of the International Derive TI 92 User Group EDITOR JOSEF BOHM Wiirmla Osterreich Vari articoli sull argomento possono essere letti sulle seguenti riviste La matematica e la sua didattica PITAGORA EDITRICE Lettera matematica Pristem BOCCONI L insegnamento della matematica e delle scienze integrate CENTRO RICERCHE DIDATTICHE U MORIN 341 ELENCO DEI DOCENTI PARTECIPANTI Accomazzo Anconelli Baratta Brandolin Cagnacci Cappuccio Carosati Chimetto Cini De Simone Dirani Fo Ilari Impedovo Margiotta Mocchetti Nolli Pirazzini Ravagnan Ricci Rohr Rosa Rossini Santoro Servi Tamburro Travaglini Vettorazzo Pierangela Anna Maria Sarah Paolantonia Paolo Roberto Sebastiano Lucio Maria Angela Sandra Giovanna Paola Donata Fernando Michele Giovanni Anna Cristina Nicoletta Enrica Giorgio Roberto Ferruccio Carlo Anna Maria Lorenzo Grazia Nora Antonio Geraldo L S Einstein Torino L S G Ricci Curbastro Lugo di Romagna Ra C N Morosini Venezia Ministero della P I Roma L S Vallisneri Lucca I T Aeronautico F Baracca Forl L S Galilei Ancona L S Quadri Vicenza L S S Francesco d Assisi Roma L S Severi Frosinone L S G Ricci Curbastro Lugo di Romagna Ra L S Buonarroti Pisa L S Majorana Latina L S G Ferraris Varese IRRSAE Lazio Roma L S Majorana L S Aselli Cremona
47. alunni deboli hanno fornito i migliori risultati gli studenti avevano la calcolatrice a disposizione anche a casa perch acquistata come libro di testo oppure perch fornita in prestito dalla scuola Probabilmente ci li ha aiutati a superare le diffidenze verso le calcolatrici e ha permesso loro di avere pi tempo a disposizione per impratichirsi con il loro uso 2 La ricchezza di ambienti A unanime giudizio dei colleghi coinvolti nell esperienza LABCLASS una caratteristica delle calcolatrici TI 92 che si rivelata molto importante anche in modo forse inaspettato la sua grande ricchezza di ambienti e il fatto che tali ambienti possono interagire tra loro lo stesso problema pu essere affrontato in questi diversi ambienti con differenti approcci ad esempio una funzione pu essere manipolata da un punto di vista algebrico nell ambiente Home visualizzata dal punto di vista grafico nell ambiente Graph tabulata nell ambiente Table Questo aspetto dell uso della calcolatrice viene messo molto in risalto anche al l estero pi avanti in queste pagine saranno mostrati alcuni esempi di interazione tra i vari ambienti realizzata a volte anche in modo un po audace e inconsueto 3 I curricoli x Come naturale molte delle differenze nelle applicazioni delle calcolatrici tra LABCLASS e altre sperimentazioni in corso dipendono dal fatto che i curricoli nei Licei Scientifici italiani sono spesso diversi da qu
48. calcolatrice CONTENUTI e insieme di definizione zeri e segno di una funzione e passaggio da a e sia dal punto di vista del grafico che da quello dell equazione Scopo dell attivit di rinforzare alcuni concetti presentati nelle lezioni precedenti e soprattutto di scoprire il legame algebrico tra le equazioni di alcune funzioni e le trasformazioni geometriche che ne legano 1 grafici Questo il testo della proposta di lavoro assegnata PROPOSTA DI LAVORO n l Tempo 1h Siano date le funzioni 1 Tracciane il grafico e determinane l insieme di definizione gli zeri e il segno 2 Traccia il grafico delle funzioni a Deduci dai grafici delle quattro funzioni quale trasformazione geometrica 113 lega a e a b Ricava il legame algebrico tra le equazioni di e e quello tra e 3 Traccia il grafico delle funzioni a Deduci dai grafici delle quattro funzioni quale trasformazione geometrica lega a e a b Ricava il legame algebrico tra le equazioni di e e quello tra e Solo due gruppi presentano la risoluzione completa ed esatta della proposta di lavoro Le difficolt maggiori si sono riscontrate nell esprimere il legame algebrico tra le equazioni pi che nell individuare le trasformazioni nei grafici tutti i gruppi hanno saputo rispondere ai punti a della proposta In generale il terzo punto della proposta stato quello che ha creato pi difficolt I due gruppi che hanno risposto in modo corretto a
49. come luoghi geometrici del piano costruita a partire da un fuoco e una direttrice per le tre curve ripropone dal punto di vista algebrico tale continuit meno immediato risulta compiere questo passaggio se si utilizzano per l ellisse e l iperbole le usuali definizioni costruite invece a partire da due fuochi Si pu per in questo caso seguire ad esempio una proposta di Hilbert d individuazione della parabola in un intorno opportuno del vertice con un operazione che ricorda concettualmente il passaggio al limite a partire da un ellisse quando cfr fig 1 un fuoco F ed il vertice contiguo V coincidente con quello della parabola vengono mantenuti fissi mentre il secondo fuoco F viene portato ad una distanza sempre pi grande dal primo i 143 F v F akel Fz Trace y F1C0 0 F2 p2 0 fig 1 La definizione di ellisse come luogo geometrico porta se P un generico punto dell ellisse alla classica equazione PF PF 2a Nel caso proposto da Hilbert in questa equazione oltre alla posizione del punto P presente per anche una seconda variabile la posizione del fuoco F3 E stato proposto alla classe il problema di 1 evidenziare la presenza della seconda variabile F nell equazione soluzione ricavata dopo aver posto VF g PF PF F F 29 2 dare significato in termini di approssimazione al portarsi all infinito di F soluzione ricavat
50. con un certo spirito critico Anche le prove di valutazione necessitano di una ovvia rivisitazione ora che lo studente premendo pochi tasti pu risolvere equazioni calcolare derivate e integrali tracciare grafici possibile proporre problemi pi complessi e pi aperti di quelli tradizionali 60 STAFF DI GESTIONE DEL CORSO Direttore Mariangela Liverani Coordinatore scientifico Lucia Ciarrapico Responsabile Ministero Pubblica Istruzione Luigi Catalano Relatori Lucia Ciarrapico Giulio Cesare Barozzi Paolo Boieri Sebastiano Cappuccio 61 62 1 CALCOLO ALGEBRICO Pierangela Accomazzo Liceo Scientifico A Einstein Torino 1 Formule equivalenti scomposizione di un polinomio in fattori irriducibili Classe prima Liceo Scientifico P N I Obiettivi comprendere le operazioni di trasformazione di un espressione algebrica acquisire consapevolmente abilit operative Tempi circa 6 ore Strumenti Una calcolatrice TI 92 per alunno La classe a cui far riferimento composta da alunni disponibili alle proposte di lavoro attenti al significato di tali esperienze ma restii a distaccarsi da contesti specifici per generalizzare e astrarre Quando ho avuto a disposizione le calcolatrici avevo gi presentato le nozioni di base relative al calcolo con monomi e polinomi e le formule dei principali prodotti notevoli sia in fase di sviluppo che in fase di scomposizione gli allievi mostravano tuttavia qualche
51. condizione di lavoro che crea la macchina possa facilitare lo studio di tali funzioni trascendenti a volte poco conosciute dagli studenti all uscita dalla scuola 260 261 26 RELAZIONE TRA FORMULA E GRAFICO UNA FUNZIONE E LA SUA DERIVATA Nicoletta Nolli Liceo Scientifico G Aselli Cremona Classe quarta Liceo scientifico P N I Tempi 12 ore 2 ore di verifica Strumenti 11 calcolatrici per i ragazzi 1 calcolatrice ogni due alunni 1 calcolatrice per l insegnante 1 viewscreen 1 lavagna luminosa L attivita ha lo scopo di guidare gli alunni alla scoperta del concetto di derivata L idea di sfruttare la possibilit che ha la TI 92 attraverso un semplice comando di calcolare l espressione della funzione derivata e di visualizzarne il grafico Questi risultati prodotti dalla calcolatrice come scatola nera sono il punto di partenza per osservazioni e riflessioni che portano ad un approccio di tipo intuitivo sulla base del quale arrivare una formalizzazione rigorosa Scheda attivit n 1 Tempi 3 ore di lezione guidata Argomento La derivata come tasso di variazione istantaneo Obiettivi comprendere in modo intuitivo il concetto di derivata e individuare alcune propriet della funzione e delle funzioni esponenziali e individuare l espressione della derivata di alcune funzioni polinomiali Metodi lezione dialogata Descrizione dell attivit In ambiente Y Edi tor vengono impostate le fu
52. costruzioni effettuate Il secondo gruppo presenta una dimostrazione per via sintetica della natura del luogo mentre il primo gruppo tenta anche se la proposta di lavoro non lo richiedeva una dimostrazione per via analitica che risulta per un po confusa e con qualche errore di calcolo L attivita ha favorito in modo molto evidente la partecipazione e la discussione in classe La possibilit di costruire e di modificare le figure ha favorito l attenzione e la risoluzione delle proposte di lavoro La necessit di costruire le figure attraverso le propriet e le relazioni esplicitate nel testo degli esercizi ha costretto i ragazzi ad una attenta lettura del testo cosa che non sempre si riesce ad ottenere ed ha aiutato nella fase successiva di dimostrazione Utilizzare l ambiente Geometry della calcolatrice pu per certi versi risultare pi faticoso che utilizzare Cabr in laboratorio di informatica la gestione del mouse risulta pi semplice del tasto cursore della calcolatrice i luoghi geometrici vengono ridefiniti con molta lentezza rispetto a quanto accada usando Cabri sul computer ma sicuramente avere a disposizione uno strumento per ogni alunno organizzare le lezioni in classe in modo dinamico utilizzando lavagna viewscreen per le presentazioni senza dipendere da un orario di laboratorio consente di far partecipare ciascun alunno in modo pi coinvolgente e fa risparmiare parecchio tempo 206 207 22 TRASFORMAZI
53. dado dalla TI 92 All inizio si introduce la funzione Rand n della TI 92 e si prende confidenza con il concetto di numero aleatorio basta chiamare i ragazzi per l interrogazione utilizzando tali numeri della TI 92 invece del solito numero di pagina tutt altro che equanime Poi si passa alla simulazione in una tabella del lancio di un dado 30 lanci sono sufficienti Si ha cos una tabella di dati aleatori che possono essere elaborati esattamente come quelli di una tabella statistica si cercano le frequenze di uscita delle varie facce bene osservare anche l istogramma Ad ogni rientro nella tabella O i lanci vengono ripetuti e cos si pu notare che le uscite delle varie facce non sono sempre in egual numero Dopo aver osservato vari istogrammi si pongono i due problemi Problema 2 se io punto 1000 lire sul 3 quanto punteresti tu sul 6 Problema 3 c una faccia su cui ti senti di puntare di pi 314 La discussione in genere si accende perch non per tutti naturale pensare che non ci sono preferenze particolari per assegnare un maggior grado di fiducia ad una delle facce Nonostante accada che le uscite cambino continuamente per alcuni qualche faccia potrebbe presentarsi pi facilmente In effetti tale posizione concettuale non peregrina perch la TI 92 non effettua un vero lancio casuale ma una semplice simulazione attraverso un algoritmo di calcolo Questa posizione dubbiosa uti
54. definite come luoghi geometrici Tempi 11 ore Strumenti 22 calcolatrici per i ragazzi 1 per ogni alunno 1 calcolatrice per l insegnante 1 viewscreen 1 lavagna luminosa Metodi L attivita si articolata in tre fasi distinte nella prima ho utilizzato la calcolatrice con il viewscreen per richiamare la definizione di luogo geometrico e per mostrare come nell ambiente Geometry sia possibile disegnare luoghi geometrici nella seconda i ragazzi divisi in 5 gruppi hanno lavorato su una proposta di lavoro e hanno presentato i risultati del lavoro alla classe nella terza la classe era divisa in 3 gruppi ogni gruppo ha lavorato su una proposta di lavoro diversa e ha presentato i risultati alla classe Ogni alunno aveva a disposizione una calcolatrice che durante i lavori di gruppo poteva utilizzare liberamente DESCRIZIONE DELLE FASI DELL ATTIVIT Vengono presentati i seguenti contenuti ripasso delle principali istruzioni dell ambiente Ge o met r y concetto di luogo geometrico l istruzione Luogo dell ambiente Ge o met r y costruzione di un luogo geometrico 1 Fase Un ora e trenta minuti di lezione in cui l insegnante usa la calcolatrice con il viewscreen trenta minuti in cui i ragazzi utilizzano singolarmente la calcolatrice per ripetere la costruzione fatta dall insegnante 200 Viene proposto alla classe il seguente problema Situazione Siano dati una retta d e un punto F non appartenente a d P
55. dei coefficienti ordinati secondo le potenze decrescenti Si tratta dell ordinaria divisione in cui dati p e q si determinano i polinomi d e r con r di grado inferiore al grado di q in modo da aversi p dq r Possiamo scrivere una funzione che restituisca tanto i coefficienti del quoziente quanto quelli del resto oppure soltanto quelli del resto Il resto 19 spesso pi interessante del quoziente ad esempio ove si voglia calcolare il massimo comune divisore tra due polinomi mediante l algoritmo d Euclide Nel listato mostrato in figura 10 A e 10 B la lista dei coefficienti del quoziente separata dalla lista dei coefficienti del resto da una barra verticale era per aber ina stag roel ALS na el _ spdivela 7 bb ci Fune kil aa boti Locsl lr ld 14 66 cd aa bb k augment tia Tetto 1 gt 14 dim la gt da dimt Ib3 gt bb ir l oc a gt lr lb gt ld lre co ld gt 1r sigs lr 2 41r ft 1d aa k 41d EndFor ment iL lr lr ugnent Ta lie3 gt 1ri lr Pau tto era 1 gt 14 Ende unc tirtilece Si suppone che il primo termine della lista 1b quella che contiene i coefficienti del polinomio divisore non sia nullo peraltro la funzione pdiv non verifica tale ipotesi Si osservi come il linguaggio che stiamo usando disponga in modo implicito della divisione polinomiale mediante la funzione propFrac Un esempio mostrato in figura 11 Per un programma che esegue la divisione polinomiale senza fare uso esplicito del
56. di decimali voluto Per trovare la parte intera si pu usare ancora l istruzione seq ma per cercare fra quali quadrati compreso il numero in questione supponiamo di avere Si pu partire da 30 e andare avanti per 10 numeri seg k 2 k 30 40 il numero limitato di numeri consigliato solo per ragioni di schermo fig 4 E evidente che questo metodo elimina tutta la parte di calcolo e permette di ricostruire la procedura anche pi volte permette di costruire suddivisioni diverse in due parti in tre o in quante si vuole e quindi individuare la scatola cinese come classe di equivalenza permette di capire quante operazioni vengono effettuate nelle diverse partizioni e quale la pi veloce induce negli studenti l idea di algoritmo e quindi di costruire un programma che ricalchi questo procedimento 71 figs fig 6 Il programma qui allegato stato fatto dagli studenti con un po di aiuto soprattutto nell uso di pi variabili k1 e k2 ma non nella costruzione dell algoritmo Certamente un programma da ottimizzare ma questo non faceva parte dell obiettivo Il primo ciclo del while serve per trovare la parte intera della radice quadrata il secondo trova le cifre decimali Gli studenti si sono mossi all interno di questo argomento di solito ostico in maniera molto disinvolta e con grande interesse giocando con i numeri con le approssimazioni per difetto e per eccesso facendo somme e prodotti considerando i problemi di
57. di equazione x q con q gt 0 Tale retta fissate queste condizioni pu essere prefissata a piacere L intero procedimento in questo caso diventa PF PK F F 2g PF PH FF HK 2g PF PH q 2g Cio se F gt l arco di ellisse con P tale che PF g tende a diventare un arco del luogo geometrico definito da PF PH q 2g Questo luogo corrisponde ad una parabola secondo la definizione utilizzata da Hilbert dove la retta d x q non per la direttrice della parabola relativa alla definizione classica La corrispondenza del luogo ad una parabola stata comunque verificata facilmente poich cfr fig 1 l equazione PF PH q 2g diventa che esplicitando la variabile y e considerando soltanto arco di parabola nel primo e secondo quadrante si riduce a 145 Tale esplicitazione stata svolta in ambiente Ho me con il comando lt Sol ve gt tenendo conto che operando in un intorno del vertice V si pu porre x lt q scegliendo fra le soluzioni proposte dalla TI 92 quella con ordinata positiva Le condizioni poste dalla macchina sono verificate date le condizioni iniziali Ma che cosa significa approssimare una parabola tramite ellissi operando in un intorno opportuno del vertice Per rispondere a questa domanda stata analizzata al variare del parametro c che descrive la semidistanza focale nell ellisse la bont dell approssimazione in intorni pi o meno grandi del vertice L equazio
58. di scienze sociali Sembra essenziale a questo riguardo che bambini e ragazzi non perdano il piacere del matematizzare non siano demotivati da eccessi di formalismo e siano dinamiche degli eventuali errori L insegnamento tradizionale ha retto per secoli si rivolgeva a poche persone aveva l ambizione di portare il discepolo sulle spalle dei giganti che l avevano preceduto Oggi questo obiettivo caduto La scuola non si rivolge pi a pochi ma deve rivolgersi a tutti a tutti deve comunicare qualcosa che sappia innescare curiosit e desiderio di sapere Uno dei limiti pi evidenti dell insegnamento tradizionale della matematica la mancanza di una epistemologia pubblica di una dichiarazione di intenti che sappia essere convincente per gli allievi e connessa in modo armonico alle altre discipline non raro il caso di studenti che studiano ad esempio la fattorizzazione di un polinomio senza sapere e alla lunga senza chiedersi perch questo sia un tema significativo e in quale contesto scientifico si inserisca L eccesso di formalizzazione si spesso mutato nel contrario del rigore la prescrizione per fare questo si deve fare cos ha finito per prevalere fin dalla scuola dell obbligo sulla ricchezza semantica Non il rigore n tanto meno la pedanteria camuffata da rigore di alcuni libri di testo a dare significato agli oggetti matematici l esperienza che si costruisce operando con essi il contesto in cui
59. di vista dell efficienza ma anche se applicata solo a certi argomenti e per un periodo limitato di tempo si ritiene che abbia una straordinaria efficacia formativa l uso della calcolatrice come supporto per la risoluzione di problemi per sollevare lo studente dalle difficolt del calcolo e permettergli di concentrarsi sul metodo di soluzione significativo il fatto che in modo del tutto indipendente molti insegnanti di LABCLASS siano pervenuti alla stessa impostazione seguita in sperimentazioni condotte in Austria relativamente alla geometria analitica vedi ad es 1 tutti i problemi elementari classici come la determinazione della retta passante per due punti della retta passante per un dato punto e parallela ad una data retta ecc sono stati tradotti in programmi o funzioni costruendo cos una libreria che viene poi utilizzata nella risoluzione di problemi pi complessi Questa linea di azione interessante e utile dal punto di vista operativo gli studenti si creano una loro cassetta degli attrezzi che li aiuta nella risoluzione di problemi metodologico problemi complessi vengono suddivisi in pi facili problemi che a loro volta sono gi stato risolti in generale e perfino epistemologico lo studente diventa cos in qualche modo artefice del suo proprio sapere e delle sue abilit Un aspetto stranamente poco esplorato o almeno poco documentato quello dell uso della calcolatrice nel sostegno d
60. difficolt aon ricordo come oppure dove sono andato a finire e come faccio a tornare indietro ma ho notato che la calcolatrice per la sua complessit ha almeno in questa prova danneggiato pi che aiutato i ragazzi e senz altro stata pi cattiva con i pi deboli dilatando di fatto le differenze esistenti nella classe Fra i quattro esercizi il meno gettonato forse anche per mancanza di tempo stato l ultimo La correzione stata fatta in classe collegialmente commentando i vari percorsi seguiti dagli alunni rianalizzando i passi necessari per un corretto utilizzo della macchina Resta in positivo il fatto che la calcolatrice al di l delle difficolt di utilizzo si rivelata di notevole aiuto potendo fornire in tempi brevi notevoli quantit di esempi risultando anche da stimolo alla curiosit dei ragazzi velocizzando e arricchendo anche il lavoro dell insegnante 174 17 ANALISI DEL GRAFICO DI FUNZIONI Anna Cristina Mocchetti Liceo Scientifico Ettore Majorana Rho Mi Classe quarta liceo scientifico sperimentazione Brocca Obiettivi saper riconoscere i passi per la determinazione di una funzione composta saper analizzare grafici acquisire dimestichezza con lo strumento TI 92 sviluppare il senso critico Tempi due unit orarie di lavoro in classe Metodi e strumenti lezione dialogata uso di TI 92 in rapporto 1 a 1 libro di testo La lezione Col comando O e la scelta lt 2 gt entri
61. difficolt a padroneggiare le tecniche di calcolo e ricorrevano frequentemente al contesto numerico di riferimento delle formule anzich basarsi su propriet generali delle operazioni Dopo una breve panoramica sulle caratteristiche della macchina ho introdotto il comando factor del menu N per risolvere problemi riguardanti la fattorizzazione di numeri naturali Si trattava di rispondere a quesiti del tipo Quali tra i seguenti numeri sono cubi perfetti 91125 26569 2246 1001 Indica una strategia che ti consenta con laTI 92 di verificare se un numero un quadrato un cubo una quarta potenza Precisa come fare per trovare le basi di tali potenze Ho spostato quindi il problema a formule razionali intere in cui la forma fattorizzata o la forma polinomiale evidenziava informazioni diverse sull insieme 63 numerico che la formula significava Un problema che ho posto stato il seguente All insieme A appartengono tutti i numeri naturali che si possono ricavare dalla formulan n con ne N Puoi descrivere gli elementi di A in altro modo Puoi affermare che siano tutti multipli di uno stesso numero Cerca di provare le tue supposizioni Gli allievi hanno fatto ricorso all ambiente Table per esplorare il contenuto di A ed all ambiente Home per fattorizzare alcuni elementi di A osservando che tra i fattori comparivano sempre 2 e 3 Hanno quindi fattorizzato la formula iniziale ed hanno capito che n n 1 n 1 pu esse
62. e arrotondati al kg 50 62 45 62 67 55 53 54 56 47 51 68 67 62 55 55 56 50 53 66 59 58 73 59 47 67 53 62 71 58 46 59 65 61 63 64 51 48 ci 74 73 65 65 58 54 PES 71 48 49 57 68 55 Pesi di 50 alunni in kg Per creare la tabella premiamo O e digitiamo il nome della tabella PESI Prima di elaborarli rappresentiamoli graficamente con un istogramma delle frequenze che la TI 92 trae dall elenco dei dati grezzi Definiamo allora l istogramma premendo N e poi Compare la finestra di definizione dei parametri che imposteremo come nella figura PARAMETRI 1 Con m avremo definito un grafico di tipo PLOT Plot 1 cio di tipo statistico La TI 92 suddivide i dati grezzi in varie classi determinate dalla larghezza impostata Hist Bucket With 5 in PARAMETRI 1 Le frequenze della tabella di distribuzione possono essere ottenute esaminando l istogramma 177M _Fer CRS a gelo _____________l fix gt PARAMETRI 1 WINDOW gt La variabile peso continua per cui i valori che vengono misurati dovranno essere approssimati Rispetto a variabili con valori discreti qualitative c qualche difficolt in pi tuttavia sul piano didattico pu non essere un male sempre l insegnante che gestisce l attivit che vuole sviluppare in classe e quindi anche il grado di d
63. e degli obiettivi e sviluppatasi in modo del tutto inaspettato grazie alla presenza della macchina che essendo pronti a cogliere le occasioni permette di raggiungere obiettivi non programmati ma assai produttivi rendendo la lezione flessibile e partecipata dagli alunni Per fare alcune osservazioni sulle propriet dell ellisse propongo agli alunni degli esercizi che portano a casi particolari o che addirittura non ammettono soluzione con l obiettivo di portarli a riflettere Tutto procede secondo il solito tran tran fino a che dico di trovare l ellisse con centro l origine che passa per i punti A 2 2 e B 2 243 Tutti gli alunni partono dall equazione canonica sostituiscono poi per risolvere il sistema lo trasformano in un sistema di primo grado che ammette come soluzione la coppia 1 1 4 A questo punto qualche alunno anche per essere il primo che ci arriva mi presenta la soluzione 2 2 Y sensa 4 Xx Lo guardo male lui sa che io so che un impulsivo quindi comincia a riflettere intanto arrivano anche gli altri e comincia a farsi strada l ipotesi che i coefficienti sono dei quadrati quindi positivi per cui abbiamo sbagliato i calcoli ERBA oppure l ellisse non c Un rapido controllo grafico della posizione dei punti convince quasi tutti dell asserto una ellisse con centro nell origine non pu materialmente passare da quei punti ree z6on rrace ReGraphMath orsule A Sto
64. finale va considerato positivo comunque gli alunni hanno imparato in poco tempo e in modo pi chiaro molte questioni statistiche che in genere rimanevano spesso un po troppo astratte Ed hanno imparato ad affrontarle con un computer piccolo ma potente 297 30 ANALISI DELLA DIPENDENZA STATISTICA E CALCOLO DEL CHI QUADRO Giorgio Ravagnan Liceo Scientifico G B Benedetti Venezia Classe terza Liceo Scientifico P N I Obiettivi analisi della dipendenza statistica fra due variabili confronto con la dipendenza probabilistica e con la dipendenza tra vettori in algebra lineare calcolo dell indice chi quadro Prerequisiti nozioni elementari di probabilit note dal biennio nozioni elementari di programmazione funzionalit di base dell ambiente Dat a Matrix Editor Tempi quattro ore di attivit in classe Metodi lezione frontale lavori individuali e di gruppo di costruzione ed analisi di tabelle nell ambiente Data Matrix Editor programmazione in ambiente Program Editor A fine anno scolastico ho affrontato in una terza classe di Liceo Scientifico lo studio della Statistica Descrittiva prima relativamente ad una variabile ad approfondimento e completamento di quanto era gi stato studiato ed utilizzato in Fisica fin dal biennio poi analizzando distribuzioni congiunte di due variabili diverse Ho proposto agli studenti come esempio di partenza la seguente tabella a doppia entrata di distribuzione congiunta dove
65. funzioni men Al ge br a presente nell ambiente Home della calcolatrice TI 92 Inizialmente in tre ore di lezione sono state presentate alcune funzioni di esempio per evidenziare alcuni comandi del linguaggio di programmazione particolarmente funzionali e delle possibili scelte sintattiche i punti ad esempio sono rappresentati come liste fx y le rette si analizzano pi facilmente se poste in forma esplicita y mx q oppure x k Successivamente le restanti funzioni dell archivio sono state costruite assieme in classe o analizzando proposte elaborate a casa dagli studenti man mano che procedeva lo studio della geometria analitica L ambiente di programmazione Program Editor particolarmente amichevole poich la sintassi e le istruzioni predefinite possono essere introdotte utilizzando il men a tendine con i tasti funzionali e il catalogo generale di comandi tasto Q Il linguaggio inoltre strutturato in modo simile al Pascal linguaggio conosciuto dagli studenti gi dal biennio prerequisito non indispensabile ma che in questo caso ha semplificato l avvio del lavoro Le funzioni richiedono variabili d ingresso dichiarate in fase di programmazione nell intestazione e restituiscono un valore se non c indicazione esplicita nel listato normalmente viene automaticamente restituito l ultimo valore calcolato Le funzioni pi semplici come la seguente funzione pendenza possono venir costruite pi velocemente i
66. in cui il rapporto alunno strumento possa divenire di uno a uno Esistono oggi in commercio altri strumenti pi maneggevoli le calcolatrici che possono comodamente trovare posto sul banco di scuola o nello zainetto dello studente ma al contempo estremamente ricchi e potenti in cui sono implementati prodotti software la cui validit didattica da tempo ampiamente riconosciuta Il Progetto Labclass ha puntato su di esse Il nome dato al progetto esprime proprio quanto si detto Labclass vuol dire Laboratorio in classe non l alunno che va in laboratorio ma il laboratorio che presente costantemente in classe E poich l approccio alla matematica non pu essere schizofrenico anche a casa quando lo studente studia Il progetto stato avviato in 20 licei scientifici per lo pi sperimentali e diffusi in tutto il territorio nazionale 20 docenti di matematica di biennio o di triennio uno per ogni scuola gi in possesso di una notevole esperienza in campo informatico hanno fruito di un intenso corso di formazione sull uso delle calcolatrici con particolare riferimento alle ricadute didattiche Al contempo le loro scuole sono state dotate di fondi sufficienti all acquisto di calcolatrici in numero adeguato a coprire il fabbisogno di una classe media Ogni alunno che ha partecipato alla sperimentazione ha cos avuto a disposizione in classe la propria calcolatrice e in pi occasioni ha potuto portarla a casa per eserci
67. infig 8 2 2 Soluzione del Problema 2 Formule usate C15 C10 dim C1 M XY C3 C142 x C16 C13 C1142 VAR X C4 C242 Y C17 C14 C122 VAR Y C5 C1 C2 XY C18 C15 C11 C12 COV XY C6 Sum C1 rx C19 C18 V C16 V C17 r C7 Sum C2 Ly C21 y1 C1 1 x 1 C8 Sum C3 gt C22 C2 C21 y 1 s C9 Sum C4 y C23 C2242 sl 292 Punto A formule dac 3 ac 19 e Elaborarele formule a partire dai dati iniziali fino al coefficiente r fig 1 4 e Trovare la retta di regressione con Calc fig 5 e 6 fig 7 perla definizione di Plot3 e rappresentarla fig 10 grafico riassuntivo con la parabola e RISPOSTA r 0 88 a gt 0 La correlazione tra X e Y positiva quindi il legame lineare tra Xe Y crescente Tuttavia il valore 0 88 per r indica una correlazione non molto forte almeno per dati riguardanti fenomeni fisici dovremmo avere per r almeno 0 95 0 97 lu x2 Jy 2 xu 1 F FS F4 F5 For y F nit prg co Title Zx MAIN RAD AFFROH c1i Title x MAIN RAD APPROR FUNC Fiat setur cel 1 Header sicheren t 3 a s 3 7 28 4 16 05 20 9 SIA I CORTI DENSI Pe vark 5 36 12 56 3 14 sez ERA I RE PO PI c16 Title vark MAIN RAD APPROX FUNC fig 3 fig 4 Calculation Type Xesssssssssssssss Ysssssssssssssses Store RegEQ to yltxd4 Use Freq and Categories NO
68. introduciamo una funzione di filtro che applicata a un numero complesso z controlla se z reale o meno in caso affermativo viene restituito il valore di z mentre sez non reale si ottiene il valore undef La scelta di utilizzare undef particolarmente comoda in quanto undef non causa un errore proprio perch non fornisce alcun valore numerico e non blocca l esecuzione di ulteriori calcoli utilizzando undef come se dicessimo alla calcolatrice lascia stare e passa ad altro Passiamo quindi all ambiente di programmazione e introduciamo la funzione di filtro che chiamiamo ft il cui listato nella versione italiana della TI92 flt z_ Funz Locale z_ If im z_ 0 Then re z_ Else undef EndIf FineFunz Osserviamo che il trattino dopo il nome della variabile serve a dichiarare il fatto che la variabile z complessa vedi il paragrafo Numeri complessi dell Appendice B del manuale nella versione inglese si ricordi di sostituire imag a im per il calcolo della parte immaginaria e real a re per la parte reale 31 Nel caso della radice o del logaritmo dobbiamo evitare che la funzione radice fornisca un valore complesso dobbiamo quindi filtrare la radice dopo averla utilizzata per impedire che valori non reali da essa forniti siano utilizzati nei calcoli successivi Si tratta quindi di sostituire Jx con fit x analogamente bisogna procedere per il logaritmo Nel caso del valore ass
69. j2 SSS c1 Title kg MAIN RAD APPROH 1 Peso ooo y xml n ae xmax xscl 1 umin 0 Umax 5 yscl 1 xres l FUNC a CO Category sscceees Include Categories Enter SAVE USE AND gt TO OPEN CHOICES fig 3 ye ESC CANCEL xyline Box fee izcon Trace reGraenbisthiprsul A RAD APPROX FUNC fig 5 F Fi Fy Fs Faw Y F f Piot Setup Cel 1 Header calclutri stat adam AB mA mB ee c6 Jer ccc 1 600 350 56 25 57 2500 825 165 56 25 57 3025 480 360 56 25 57 3600 65 J195 56 25 57 4225 250 70 56 25 57 4900 eresie pene a NOOB Ne 00 c6 Title x fA RAD APPROX MAIN 291 F F3 FU FS For F Put Put cert 5198 2 2 3 3 4 4 5 5 a e I i zi za ii pi A cil Title x2 fA ci6 Title sigB MAIN RAD APPROX FUNC MAIN RAD APPROX FUNC fig 7 fig 8 Punto C fig 8 e necessario trasformare i dati normalizzandoli cio trasformandoli in punti zeta sono gli scarti dalla media rapportati ai relativi e RISPOSTA dai dati normalizzati arrotondati a due cifre decimali si nota che gt 55 kg diventa 0 21 per il gruppo A e 0 32 per il gruppo B 55 kg nel gruppo A pi vicino alla media riga 2 c 19 ec 20 in fig 8 gt 65 Kg diventa 1 46 per il gruppo A e 1 29 per il gruppo B 65 kg nel gruppo B pi vicino alla media riga 4 c 19 ec 20
70. l equazione della retta di regressione 284 1 Fey si i Zoom Trace ReGraph Math Draw A if 12 317213 19 154666 837176 700863 8 MAIN RAD AUTO FUNC MAIN RAD AUTO FUNC La retta orizzontale la funzione costante V 60 ci sono stati quindi due bocciati La miglior funzione lineare che approssima i dati V 12 3M 19 2 e l indice di correlazione 0 84 relativamente alto Se confrontiamo la retta di regressione che caratterizza il comportamento della commissione con la retta V 10M che trasforma la media M da decimi a centesimi e quindi caratterizza il comportamento del consiglio di classe possiamo osservare una certa discrepanza tra le valutazioni del consiglio di classe e le valutazioni della commissione d esame che ha in qualche modo penalizzato i molti punteggi medio bassi e valorizzato i pochi punteggi alti Nel grafico seguente la retta V 10M in grassetto 1 Fer ro Zoonm Trace ReGraph Math Draw MAIN RAD AUTO FUNC Si pu dire che la retta di regressione sintetizzi il comportamento della commissione d esame Il confronto con gli stessi dati di altre commissioni nel mio liceo ha messo in luce comportamenti differenti delle diverse commissioni La terza legge di Keplero Tabuliamo la distanza R e il tempo di rivoluzione 7 dei pianeti del Sistema Solare noti a Keplero prendiamo come unit di misura delle distanze l unit astromica la distanza media Terra S
71. lavorando da solo a costruire un programma che 303 realizzasse tale calcolo nell ambiente Program Edi tor Ha considerato la tabella a doppia entrata delle frequenze assolute come variabile di tipo matrice e consultando il manuale della calcolatrice come dizionario di comandi ha realizzato l algoritmo necessario tramite calcolo di matrici trasposte e operazioni tra matrici Nelle lezioni successive il programma stato analizzato e discusso in classe in particolare descrivendo la struttura delle operazioni tra matrici e anticipando in questo modo temi di algebra lineare Si noti che in genere possibile con la calcolatrice utilizzare anche operazioni non canoniche dell algebra delle matrici premettendo un punto al simbolo di operazione In tal modo il risultato in genere ottenuto applicando l operazione sui singoli elementi delle matrici ad esempio non la moltiplicazione righe per colonne il risultato ha in questo caso per elemento di posto ij il prodotto degli elementi di posto i delle due matrici di partenza Ci permette una maggior versatilit dell algebra matriciale come strumento di possibile intervento in diversi ambiti in questo caso relativamente ad un problema di statistica Si cercato pertanto di caratterizzare maggiormente con la sintassi matriciale il programma proposto eliminando in implementazione diversi utilizzi della struttura iterativa f or e pervenendo ad una formulazione espressiva del program
72. le coordinate di tali punti o gt La funzione ammette flessi Se si determinane il numero e localizzane le ascisse Trova le equazioni delle rette tangenti alla curva nel punto di ascissa x 0 e negli eventuali punti estremi relativi Detta r la parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante passante per P 2 0 si dimostri che essa incontra la curva oltre che in P in un solo punto la cui ascissa xy appartiene all intervallo 2 3 276 2 In un piano cartesiano Oxy sono date la circonferenza e la parabola rispettivamente di equazioni e Calcola la lunghezza delle corde che la circonferenza e la parabola staccano su una retta di equazione y k Determina in funzione di k l area A del rettangolo avente i lati della stessa lunghezza delle due corde Studia la funzione cos trovata determinando in particolare per quale valore dik l area A massima L attivita si rivelata davvero significativa i ragazzi hanno lavorato con grande entusiasmo dichiarando di aver ricevuto dal lavoro grande soddisfazione e di aver compreso con sufficiente disinvoltura i vari concetti presentati Le fasi che hanno coinvolto maggiormente la classe sono state le discussioni dopo i lavori di gruppo questi momenti hanno permesso ai ragazzi di confrontare le loro congetture con quelle degli altri e mi hanno consentito di sistemare in modo un po pi rigoroso le questioni emerse Anche i risultati della verifica sono stat
73. macchina e questo ha portato alla necessit di descrivere almeno nelle linee essenziali i diversi ambienti La classe di livello piuttosto alto vivace e curiosa e ha seguito il percorso divertendosi e cogliendo lo spirito del lavoro Questa la scheda di lavoro proposta agli studenti Il lavoro stato compiuto da loro ma sotto la mia guida attraverso il view screen e la lavagna luminosa Scheda di lavoro Gli ambienti presenti nella macchina sono quelli indicati nella fig 1 APPLICATIONS FF Iaigebralcatclother pramtolciear a z i Editor Window Editor rand 3 graph rand 6 3 DataMatrix Ed itor rand 6 6 Program Editor i Geonetry k rand 6 6 iText Editor LI rand 6 2 rand 6 5 a rand 6 5 TYPE OR USE t4 ENTER 0K AND CESCI CANCEL ANALIT RAD EXACT FUNC 5 30 fig 1 fig 2 1 L ambiente Home l ambiente di calcolo e consiste in una riga in cui si scrivono le istruzioni una parte sinistra dello schermo dove appare ci che stato digitato e in una parte destra in cui vengono effettuati i calcoli noi vogliamo simulare il lancio di un dado anzi di due dadi Gli eventi devono essere i numeri da 1a6e devono essere casuali 101 Esiste una funzione che si chiama rand random vuol dire a caso che opera nel seguente modo rand genera a caso un numero fra 0 e 1 rand 6 genera a caso un numero fra 1 e 6 In generale rand n produce un numero a caso fra e n fig 2 2
74. modello dell ubriaco ubriaco Totale dei cammini 3 2 La distribuzione Binomiale possibile ora passare in classe al modello della distribuzione binomiale Lo potremo fare attraverso una adeguata attivit didattica su problemi dedicati da risolvere con carta e penna Anche in questo campo tuttavia la TI 92 pu essere utile 323 Ad esempio interessante osservare come variano le probabilit P X k al variare di k k n di teste su n lanci di una moneta sia per una moneta simmetrica che non simmetrica modello di Bernoulli con Problema 1 rappresentare graficamente le probabilit P X k al variare del numero di Teste k per un certo numero di lanci n Nell ambiente Home assegniamo i valori desiderati alle variabili p ed n poi costruiamo una tabella come BINO O bino mT gie c2 ee c1 seq n x 1 n 1 c2 seq k k 0 n c3 pbino c1 c2 p c4 cumsum c3 GO 4 asia 35158 10 5 24609 62305 10 6 20508 82813 _ c2 segCk k 0 n ASTAT RAD AUTO FUNC BINO con n 10 p 0 5 pbino c1 c2 p una funzione che calcola la probabilit dell uscita di k Teste in n lanci con p P Testa quindi i Fiv Fiv y Fur FE Fav Re Pe em ie VCR 1 H E nn kK PP i GE Cnn kk gt pp kk 1 pp nn kk Questa formula ormai nota ai ragazzi che possono preparare da soli la funzione relativa Si ottengono i grafici seguenti e molti altri sui quali si
75. modo riesce a comprendere la duplice espressione della funzione derivata che dipende dal segno dell espressionex 1 Gruppo 2 Funzione sua derivata e rispettive tabulazioni Fee eccn trsce reGraphbsthpraul A v insieme di definizione non sembra essere lo stesso lo conferma anche la tabulazione la derivata presenta delle discontinuit nei punti x 1 e x 1 sembra avere due asintoti verticali v quando la funzione cresce la derivata positiva quando decresce negativa v quando la concavit della funzione rivolta verso l alto la derivata cresce quando verso il basso decresce La tabulazione della funzione derivata presenta undef in corrispondenza di x 1 e x 1 il gruppo pensa di calcolarsi l espressione analitica della derivata in ambiente 270 Ho me e trova l espressione che con il comando comDenom del menu Al gebr a diventa L espressione ottenuta conferma che la derivata non definita anche in x 1 e x 1 Funzione e sua derivata E Zoon TracelResraph ath rauly A v l insieme di definizione lo stesso e anche l asintoto verticale v quando la funzione cresce la derivata positiva quando decresce negativa v il punto stazionario della funzione un minimo diventa uno zero della derivata v la funzione sembra avere un punto di flesso che nella derivata diventa un massimo v quando la concavit della funzione rivolta verso l alto la derivata cresce qua
76. n pi volte in Home si pu osservare la diversa lunghezza in numero di cifre dei coefficienti binomiali I pi lunghi sono concentrati verso il centro della riga del triangolo cio della colonna nella tabella Si comincia ad intravedere un andamento a campana Torniamo ora alle combinazioni il cui legame con i cammini molto forte Il cammino dell ubriaco con 7 lanci pu essere rappresentato con la sequenza di T eC che lo generano E C C T JERAR ma anche con Zz a a ces se tralasciamo le Croci Allora individuare uno dei cammini equivale ad individuare uno dei modi con cui Si possono posizionare le 3 Teste nei 7 posti disponibili nella tabella 322 Se ora prendiamo un insieme con 7 oggetti oggetti che individuiamo genericamente con X e vogliamo prelevarne 3 cio vogliamo una combinazione di 7 oggetti in 3 posti ovvero un sottoinsieme con 3 elementi possiamo rappresentarlo con E mE dove le X indicano quali elementi sono stati prelevati Ma allora ogni sottoinsieme di 3 oggetti pu anche rappresentare un cammino con 3 Teste e viceversa Concludiamo che C rappresenta non solo il numero di cammini con k Teste su n lanci ma anche il numero di sottoinsiemi che chiamiamo combinazioni formati da k elementi prelevati da n oggetti Finalmente possiamo calcolare la probabilit richiesta dal Problema 1 La figura seguente una sintesi del
77. nozione di distanza dal momento che questo il concetto portante delle isometrie 1 Primo punto sono assegnati tre segmenti nel piano AB di lunghezza 3 80 cm CD di lunghezza 4 40 cm e EF di lunghezza 4 14 cm Costruire il triangolo che ha per lati tre segmenti uguali a questi Usare i comandi trasporto di misura e compasso Secondo punto ora cambia le misure dei tre segmenti puoi farlo trascinando uno degli estremi dei segmenti e siano AB 4 40 CD 1 73 EF 2 43 Osserva cosa succede Terzo punto cambia ancora le misure AB 4 40 CD 1 50 EF 6 17 Osserva cosa succede e cerca di dedurre tutte le condizioni che devono soddisfare i tre segmenti affinch il triangolo si possa formare 95 2 Un isola a forma di poligono non regolare puoi considerare un triangolo per semplicit il cui perimetro 30 Km Le barche non possono allontanarsi pi di 6 miglia dalla costa costruisci il settore di mare in cui si possono muovere quanto vale l area e se si estende a 12 miglia il permesso di navigazione come varia l area della parte navigabile Scrivi le procedure che usi e le deduzioni che fai Gli alunni hanno reagito molto bene all operazione di dragging ne hanno capito l importanza per la validazione delle propriet delle figure hanno fatto gli errori necessari e utili hanno imparato a verbalizzare le procedure Col procedere nello studio delle isometrie simmetria assiale simmetria centrale e delle figure con simmetrie ci
78. ordine via via crescente mettere a confronto il grafico di una funzione con quella della sua derivata prima sottoporre il grafico di una funzione a trasformazioni elementari fare esempi di calcoli di algebra lineare 33 b per verificare varie propriet tabulare i valori di una funzione per esplorarne l andamento numerico e introdurre il concetto di limite mostrare alcune caratteristiche invarianti di certe costruzioni geometriche Si tratta dell uso metodologicamente meno impegnativo ma anche questo da solo giustificherebbe l introduzione delle calcolatrici nelle classi E unanime la convinzione che l insegnamento apprendimento della Matematica ne risulta notevolmente migliorato dal punto di vista dell efficacia e dell efficienza l uso della calcolatrice come strumento per esplorare situazioni e formulare congetture secondo la metodologia della scoperta guidata L insegnante rinuncia almeno apparentemente al suo ruolo di dispensatore del sapere e assume il ruolo di stimolo di guida e di coordinamento delle ricerche degli studenti Fondamentale diventa il lavoro degli studenti le loro osservazioni la loro fantasia il loro spirito di iniziativa la lezione frontale scompare per essere sostituita dal lavoro di gruppo dal dialogo inter pares da discussioni in classe Questa strategia particolarmente seguita nelle sperimentazioni francesi vedi ad es 6 Non una metodologia conveniente dal punto
79. otterr cos il valore 1 35231 non molto dissimile da quello ottenuto in precedenza 1 41 costituisce una buona approssimazione di 2 Ripetiamo la stessa azione approssimazione di 2 con 1 41 sull espressione razionalizzata ci aspettiamo lo stesso valore o almeno un valore molto vicino ad esso invece sorpresa Come appare in Fig 2 otteniamo il valore 0 95 che differisce moltissimo dal valore previsto Pe i1sebrafeatclother Pramtolc1esr uel 19 sy 19 5 J2 7 Pa 1 35028842544 negli 1 35231316726 19 5 1 41 7 95 MAIN DEG AUTO FUNC 4 30 Fig 2 A cosa dovuta questa macroscopica differenza Si potrebbe parlare agli studenti degli effetti devastanti della cancellazione dovuta in questo caso alla sottrazione tra valori quasi uguali ma ancora pi significativo il rappresentare la situazione in un contesto grafico per valutare l influenza del termine radicale nelle due espressioni quella originale e quella razionalizzata definiamo due funzioni con x al posto di 2 38 at res y2 19 5 x 7 J3 Fig 3 E facile per ogni studente riconoscere le funzioni si tratta di una iperbole equilatera traslata detta anche funzione omografica e di una retta Vediamone 1 grafici in Fig 4 PF zcon rrace Regraehbathorsu e Visualizziamo meglio tali grafici nella regione di piano circostante il loro punto di intersezione usando il coma
80. parlare di probabilit vista la simmetria non perfetta ma significativa che si riscontra sui totali calcolati Aumentando il numero delle esecuzioni i dati diventeranno sempre pi attendibili EE Econlrrace reGrapnbathpraul 7 E zecnltracelRerannisthlorauly A P rapporti 019 048 181 258 ee 184 039 003 Il numero 310 relativo alla esecuzione del programma effettuata in figura e ovviamente cambia ad ogni esecuzione visto che i cammini vengono tracciati in modo casuale pseudo 320 Se interpretiamo allora le frequenze come valori approssimati delle probabilit possiamo dire che supponendo di dover raggiungere la casa dell ubriaco con 3 Teste e 4 Croci la probabilit sar Non siamo ancora in grado invece di calcolare i valori teorici Ci manca il concetto di combinazione ma non siamo distanti dall obiettivo Potremmo indicare con C il numero dei percorsi che arrivano ad un certo punto finale contati una sola volta dove n il numero delle monete lanciate ovvero di isolati e k il numero di teste uscite A 0 n Dal diagramma a rete si deducono immediatamente le propriet dei numeri C Crk n Cori simmetria Cio Can ovvio Ck Crit Cn 1k1 basta osservare i due nodi che precedono un certo punto finale Calcoliamo allora tali numeri sfruttando le propriet scoperte e costruiamo sulla carta il Triangolo di Tartaglia Pascal Notiamo anche che essi sono proprio
81. parte appare essere simmetrica 122 rispetto all asse x del tratto di grafico di f 3 che si trova a destra del punto 4 0 Infatti considerando la funzione di equazione che chiamiamo f 4 il suo grafico si sovrappone al tratto in questione anzi si nota che il grafico di f 2 si ottiene dall unione dei simmetrici dei due tratti di grafico appartenenti il primo alla funzione di equazione y Vx 2 e il secondo alla funzione di equazione ee eecn trace Recraph sth prauly A 1 Yy Se si considera la funzione di equazione si vede che il suo grafico coincide perfettamente con i due tratti considerati A questo punto non rimane che operare una simmetria rispetto all asse x La funzione che si ottiene 3 Geometria analitica della retta Prerequisiti conoscenza del calcolo dell area di un triangolo mediante il determinante di una matrice ESERCIZIO Dato il triangolo di vertici A 5 0 B 1 2 C 3 2 determinare le lunghezze delle altezze e le loro equazioni Il problema stato risolto volutamente in modo tradizionale utilizzando l ambiente HOME per far s che gli alunni capiscano la struttura del problema e usino 123 procedimenti a loro noti In un secondo tempo allorch si sia acquisita una certa familiarit con l uso della calcolatrice si pu pensare di sfruttare meglio le sue potenzialit e velocizzare il procedimento di risoluzione definendo opportune fu
82. pp 197 207 a cui si rimanda per maggiori dettagli in questa sede riportiamo solamente le considerazioni necessarie per una comprensione di base dell argomento e gli esempi ottenuti con una calcolatrice TI92 Plus Il problema dei grafici sbagliati di particolare rilevanza didattica infatti capita abbastanza spesso di incappare in uno di questi grafici e il presentarsi di una situazione di conflitto tra la teoria che viene insegnata e il prodotto del calcolatore genera pericolose ambiguit lo studente tende spesso a credere pi nel calcolatore che nell insegnante D altra parte abbastanza difficile per l insegnante fornire una spiegazione completa ed esauriente di queste apparenti contraddizioni in quanto sono coinvolte nozioni al di fuori del curriculum tradizionale Questo lavoro uno strumento offerto all insegnante che deve affrontare queste situazioni nella speranza che fornisca lo spunto per un efficace intervento didattico 23 Alcuni esempi Iniziamo tracciando con la calcolatrice TI92 Plus alcuni dei grafici di cui illustreremo nel seguito le caratteristiche e discuteremo le problematiche 1 Le funzioni radice Iniziamo da due grafici nel primo dei quali otteniamo il risultato atteso mentre nel secondo rileviamo un comportamento inaspettato Si tratta delle funzioni A 1 fo vx lVx41 La prima funzione definita per lxl21 pari e non negativa il dominio di f invece cost
83. qualcosa tenete conto che gli esiti sono numeri compresi fra 2 e 12 mentre i rapporti sono compresi fra 0 e 0 2 10 Ritornate nel file di Data Matrix e andate in Plot Setup selezionate Plot2 poi F1 Define e inserite i dati che volete rappresentare questa volta in un grafico a dispersione Scatter o meglio xyline E mainsfred Flot 3 Plot TUPe s sese Mark 1 2 3 4 5 6 7 T TYPE DR USE gt t4 ENTER 0K AND CESCISCANCEL fig 11 in x inserite cl in y c4 Fate la stessa cosa selezionando Plot3 con la differenza che questa volta in y mettete c5 Adesso potete andare in Graph e vedere cosa succede Questo il grafico relativo ai 9620 lanci FIGUREMI RAD APPROX n FUNC Fig 12 Sulla base del percorso che avete seguito rispondete alle seguenti domande 1 Quali deduzioni vi sembra di poter ricavare da questo grafico 2 Se doveste simulare il lancio di tre dadi come vi comportereste potendo utilizzare la macchina 106 3 Quale pensate che sia l evento pi probabile nel lancio di tre dadi 4 Se doveste simulare il lancio di due monete come potreste utilizzare il procedimento che avete seguito per i due dadi 5 Come potreste valutare sperimentalmente se maggiore la probabilit che escano facce uguali o facce diverse Alcune considerazioni 1 Trattandosi di una prima nella fase finale del lavoro e della discussione degli esercizi mi sono limitata a discutere le loro intuizioni in manie
84. riprodurre le videate presentate e a risolvere gli esercizi proposti con la TI 92 ha costituito elemento di sfida un po come se stessero giocando con un videogioco Il lavoro iniziato a scuola spesso poi proseguito a casa in quanto la macchinetta stata loro affidata per cinque o sei volte onde utilizzarla nel lavoro domestico individuale Va anche notato che una parte non significativa della classe ha inizialmente opposto una certa resistenza all introduzione di uno strumento di calcolo sofisticato come la TI 92 ma questo un problema generale non tutti hanno familiarit con le tecnologie e quindi all inizio alcuni sono un po diffidenti Poi per le cose sono migliorate e tutti hanno lavorato durante il compito senza particolari problemi 288 1 Il testo del compito Nota i dati del secondo problema sono stati scelti non per portare l alunno alla modellizzazione di una situazione concreta sviluppata abbastanza bene negli esercizi in classe ma per verificare quanto gli alunni fossero attenti nella lettura della nuvola dei punti e critici anche con l impostazione del problema in effetti si spera che un fenomeno fisico sia un po pi regolare D altronde siamo alla fine del compito laddove si verificano abilit di pi alto livello Problema 1 data la seguente tabella di distribuzione delle frequenze relative a due gruppi di persone di cui si sta studiando il peso in kg
85. trovavano nella necessit di operare senza conoscere i comandi o le procedure necessarie ne discutevano tra loro oppure cercavano sul manuale pi raramente solo in ultima analisi si rivolgevano all insegnante Al termine di questa attivit preliminare sono state raccolte alcune osservazioni tra le quali a volte per il grafico non viene il diagramma tutto esterno alla finestra grafica ho tentato di tracciare una circonferenza ma non ci sono riuscito e la macchina traccia solo l asintoto verticale dell iperbole di equazione Quest ultima osservazione ha alimentato una certa di discussione che opportunamente guidata ha condotto a stabilire che in realt quello che ci appare come asintoto verticale semplicemente un tratto della curva tracciato dalla macchina in condizioni per lei un po critiche Di fatto la macchina non determina alcun asintoto se vogliamo stabilire comunque perch ci sembra ragionevole che la retta asintoto verticale della funzione esaminata dobbiamo provarlo in altro modo Questo esempio stato lo spunto per avviare un attivit nata sul momento e che si strutturata in itinere Preso dunque avvio da tale situazione si chiesto agli studenti come procedere per determinare sia l asintoto verticale che quello orizzontale di un iperbole equilatera utilizzando la macchina 2 L iperboleequilatera Si proposto di riesaminare la funzione
86. ulteriori funzioni della TI 92 interpretare goniometricamente il coefficiente angolare m Prerequisiti Conoscenza elementare della macchina 4 ore di apprendistato svolte Tempi 60 effettivi due ore scolastiche se includiamo il tempo necessario per la sistemazione e il riordino delle attrezzature Metodi Lezione frontale lavoro individuale Strumenti calcolatrici in rapporto 1 1 lavagna luminosa viewscreen e la scheda allegata L attivita presentata stata proposta all inizio dell esperienza LabClass la scelta dell argomento gi noto alla classe stata dettata dal fatto che la dimestichezza con la macchina non aveva ancora raggiunto un livello accettabile e quindi presentando un tema conosciuto sarebbe stato facilitato il compito agli alunni Un attivit del genere pu per la sua semplicit essere riproposta eventualmente con poche modifiche anche ad alunni delle classi terze e seconde L ambiente prescelto l ambiente Geometry nel quale vengono richieste le acquisizioni delle seguenti abilit disegnare rette cerchi e individuare coordinate ed equazioni Ai ragazzi viene presentata la seguente scheda e vengono invitati a seguire rigorosamente i punti nell ordine indicato in caso di difficolt l alunno richiede l intervento dell insegnante Scheda lavoro I simboli indicati dentro i riquadri indicano i tasti da premere 1 O n e qui si inserisce il path folder e il name variable del file per creare un
87. vengono trattati e l insieme di problemi che essi permettono di risolvere Soltanto quando il valore semantico di un oggetto diventato sufficientemente ricco allora giunto il momento della formalizzazione Seguire il percorso inverso in una scuola che vuole rivolgersi a tutti che non ha pi la pretesa di formare la futura classe dirigente ma di formare il futuro cittadino il quale di norma non si iscriver al corso di laurea in matematica si rivelato alla lunga non solo un errore didattico ma anche un modo per allontanare gli allievi quindi i cittadini dalle discipline scientifiche finito il tempo in cui l insegnante svolgeva il ruolo di riproduttore della cultura normale e lo studente quello di tazza vuota da riempire Occorre dunque ridare ai procedimenti della matematica senso e significato Occorre diffidare dell insegnamento puramente sintattico quando questo prematuro Occorre puntare ad una forte visualizzazione con gli occhi e con la mente degli oggetti matematici Occorre rivedere con spirito critico la struttura didattica ed epistemologica della matematica e farne partecipi gli studenti 46 La computer algebra In questo quadro inevitabile un confronto del mondo dell insegnamento con gli strumenti automatici di calcolo e con le nuove tecnologie Ai tradizionali strumenti capaci di calcolare in forma approssimata dalla calcolatrice tascabile alla calcolatrice scientifica dal foglio elettronico ad alcun
88. 25 ClrGraph sLine 2 0 2 72 Done Line 2 2 2 0 Done Line 2 0 2 2 Done SLine 2 2 2 0 Done PERES invx RAD AUTO FUNC 6725 217 Esecuzione del programma trasf per la trasformazione X 1 2x 3 2y Y 3 2x 1 2y 1 2 Pastormazione inversa x xx 2 yykT 3 2 1 3 74 y 2 xx T 3 2 yy 1 4 premi Enter q 172 determinante 1 affinita inversa rapporto aree 1 similitudine rapporto proporzionalita isometria nessun punto unito remi Enter remi Enter MAIN RAD AUTO _FUNC30 50 eause EI 0 AUTO FUNC 20730 Pause punti uniti Rette unite per trovare le eventuali rette unite si utilizza la trasformazione inversa per trovare la trasformata di una generica retta e si mettono poi a confronto il risultato e la retta di partenza Si considera l affinit inversa a i 1 Fav Fiv _ Fur FS F ERRED IPED y c xx d yy q aS tu invx Sty gt invy 3 che si definisce come segue suy mn ix q gt retta yu mex 172 A A a x b y p invx a petta xx inyx and yy invy c x b y q invy Fate my 412 e si considera la retta generica cos rettalxx inux and yy inuy definita MAIN RAD AUTO FUNC 29230 yy m xx q gt retta per trasformarla basta richiamare la retta con xx invx e yy invy cio retta xx invx and yy invy si potr poi operare sull equazione risultante Trasformazione e grafico di coniche Pe
89. 25 3 3 2313 ciscill alri Lu s Ge ia l 4 4 pop bisi ULI 4 4 25 75 5625 J 5 israel 425371 EET T M 5 f s Jo 0 fJ o epoca ssi 3 c21 Title rCxi c26 Title pCxi MAIN RAD APPROX FUNC MAIN RAD APPROX FUNC Osservazioni sul Problema 2 Pu sembrare che si chieda troppo agli alunni r possibile ottenerlo semplicemente con Cal c insieme alla retta di regressione tuttavia un modo per verificare l acquisizione delle formule e la capacit di utilizzarle in una tabella In ogni caso l opzione Cal c serve agli alunni per verificare se i loro calcoli sono corretti Inoltre qualora non fossero capaci di arrivare correttamente al valore di r possono comunque rispondere a tutte e tre le domande senza rimanere bloccati sul calcolo del coefficiente di correlazione La parabola pu essere trovata dall alunno manualmente ma avendo sviluppato anche i calcoli con le matrici resta pi agevole usare la TI 92 come nelle fig 8 9 Va chiarito inoltre perch si chiede di trovare non la parabola dei minimi quadrati ma quella che passa per tre particolari punti Come gi detto si vogliono verificare diverse abilit intanto la capacit di lavorare con le matrici per trovare la parabola per tre punti poi se si guarda bene la parabola richiesta non troppo distante dai cinque punti nel loro complesso e quindi permette di confrontarla con la retta dei minimi quadrati confronto in cui quest ultima ha la pegg
90. 7 29 UN COMPITO DI STATISTICA Lucio Carosati Liceo Scientifico G Galilei Ancona Classe Quinta liceo scientifico P N I Obiettivi e conoscere le formule statistiche relative a sintesi dispersione regressione lineare e utilizzare la TI 92 per elaborare tabelle statistiche con relative formule e grafici e ricavarne leggi di regressione e confrontare diverse distribuzioni statistiche sia globalmente valori di sintesi e dispersione sia localmente valori normalizzati e valutare l attendibilit di una legge lineare e quadratica relativamente ad una nuvola di punti Tempi 20 lezioni compreso l addestramento sulla TI 92 Metodi lezione dialogata lavoro individuale e a coppie sulla TI 92 Strumenti appunti schede di lavoro TI 92 una per alunno view screen Per vari motivi legati alla storia della classe 18 alunni di buone capacit medie 9 y in genere interessati all attivit matematica il tema Probabilit e Statistica stato rinviato di anno in anno per cui nella quinta si presentata la necessit di una introduzione veloce ed essenziale delle conoscenze e dei metodi di lavoro La TI 92 si rivelata a questo scopo uno strumento versatile facile da usare determinante per la visualizzazione grafica dei concetti e per la elaborazione di calcoli e tabelle Gli studenti hanno quasi sempre dimostrato interesse per le proposte didattiche dell insegnante per la quasi totalit il riuscire a
91. AIN DEG AUTO FUNC fig 2 Allora abbiamo costruito la tabella in ambiente Data Matrix con l istruzione F6 Collect Data Define Entry Store Data In F abbiamo digitato Data View ed comparso lo schermo diviso in due come in fig 3 HET i 3 75 26cm B 2 3 55 2 17cm i DIA ME ric3 MAIN RAD AUTO FUNC fig 3 al variare del punto dalla posizione di una proiezione a quella dell altra con l istruzione Store Data si riempiva la colonna cl e dopo 8 prove abbiamo analizzato i dati prima abbiamo inserito una colonna vuota cl in cui abbiamo messo 1 2 3 4 5 6 7 8 per poter fare un plot con due variabili poi abbiamo definito il plot con cl in x ec2 in y a abbiamo fatto il grafico i punti appartenevano ad una figura dotata di minimo non hanno ancora la geometria analitica e la parabola e questo minimo corrispondeva proprio al punto in cui il segmento fra il simmetrico del primo e il secondo tagliava la retta vedi fig 4 97 26cm B 2 17cm R 3 42 MAIN RAD AUTO FUNC fig 4 A questo punto la dimostrazione del perch il minimo si aveva in quell intersezione risultata quasi ovvia sulla base della disuguaglianza triangolare Certo tutto poteva essere fatto senza la macchina ma elementi come la presa dei dati le congetture giuste o sbagliate l uso di un grafico che mostra un minimo l uso delle misure sperimentali tutto questo poteva essere fatto solo con la macchina ed questo che
92. ERIVE MAPLE MATHEMATICA MATLAB MATHCAD solo per citarne alcuni possono rivelarsi strumenti formidabili non solo per l insegnamento della matematica ma anche per avviare una riflessione critica su metodi e contenuti che l insegnamento della matematica deve trasmettere L avvento della computer algebra nella ricerca e nell insegnamento prefigura una delle maggiori sfide per la didattica della matematica nei prossimi anni 47 La computer algebra tascabile la TI 92 Da pochissimi anni la computer algebra disponibile su una calcolatrice di dimensioni ridotte che un vero e proprio computer tascabile La TI 92 una calcolatrice 21 cm x12 cm schermo 239x137 pixel CPU Motorola 68000 640 Kb di RAM dotata di tastiera QWERTY La CPU Motorola 68000 con frequenza di clock di 10 MHz La TI 92 possiede circa 640 Kb di memoria circa 188 Kb di RAM disponibili per l utente e 384 Kb per archiviare funzioni programmi e dati Usa la tecnologia Flash che permette di aggiornare il software via internet e aggiungere nuove funzionalit il materiale di aggiornamento reperibile al sito http www ti com calc docs 92plus htm Attraverso il cavetto fornito con la TI 92 possibile scambiare dati con altre TI 92 La TI 92 collegabile ad un data display dedicato View screen e mediante una lavagna luminosa possibile proiettare lo schermo 48 Attraverso il software Graph Link scaricabile dal sito http www ti com ca
93. FE Fer F batt sscisgellis parab Ja le c Fi 10 do li i 54083 65288 TO mg 75498 8944s o sizalis T 6 1 0392 1 2649 ms i daset 4 ma piesis J ci seg 1 1 n n 0 20 MAIN RAD AUTO FUNC fig 2 img Fav FF FA Few Fav F ff oonltraceRetrachMathDrauls A tee 4 4t fig 3 Tale lista pu essere generata con l istruzione lt s q gt la successione viene data dai valori dell espressione 1 0 1Xxn quando la variabile n assume tutti i valori interi compresi tra 0 e 20 Il valore 0 1 assume il significato di passo di incremento che pu essere modificato a piacere 147 In seconda colonna ponendo 2 y1 Cc1 sono state costruite le ordinate lungo l ellisse in terza colonna ponendo c 3 y2 c1 le ordinate lungo la parabola In quarta e quinta colonna ponendo c4 y4 c1 ec5 y3 Cc1 sono visualizzati rispettivamente nelle celler 1c4 er 1c5 i valori attuali dei parametri g e c che possono essere eventualmente successivamente modificati in ambiente Ho me Osservazione L ambiente Dat a Matrix Editor pur essendo un foglio elettronico di ridotte potenzialit e mirato all analisi di dati statistici pu per operando opportunamente sulla definizione delle colonne relazionare una colonna ad un altra ed interagire con gli altri ambienti Home e Y Editor aumentando cos le proprie capacit di lavoro Vengono cos recuperate alcun
94. Jx Soffermiamoci su questo fatto perch importante per tutto il seguito richiamando alcune nozioni sulle radici di un numero complesso Dato un numero complesso w che supponiamo scritto in forma trigonometrica w lwl cos 8 i sin 8 vogliamo determinarne le radici quadrate vale a dire le soluzioni z dell equazione Zz w Scrivendo anche z in forma trigonometrica z lzl cos i sin Q calcoliamo 2 e imponiamo l uguaglianza z w Ricordando che k z e che arg z 2 arg Z si ottiene w lwl cos O i sin 0 Il cos 2 i sin 2 26 da cui si ha Iz iwi 29 0 2kn keZ e quindi Ce p 0 24 kr kez Questa relazione fornisce due valori distinti per uno per k 0 e l altro perk 1 in corrispondenza al primo di essi si ottiene dalla la cosiddetta radice quadrata fondamentale o principale di w La TI92 TI89 calcola la radice quadrata fondamentale di un numero complesso Se w x reale positivo allora 6 0 e l argomento della radice nullo La radice di x quindi un numero reale la calcolatrice dopo avere controllato che la funzione radice ci ha fornito un numero reale traccia il grafico Se invece w x negativo allora 8 e quindi per la si ha che 7 2 La radice di x quindi un numero immaginario puro la calcolatrice dopo avere controllato che non si tratta di un numero reale non traccia il grafico Il grafico della funzione radice appare quindi corretto S
95. LOTS 3 vasetan x ys tan x J4 4lx POLINOMI FAD AUTO x 0 POLINOMI RAD AUTO FUNC La programmazione Program Editor Una funzionalit importantissima l ambiente Program Editor poich la libreria di funzioni predefinite ricchissima circa 300 tra funzioni e comandi la programmazione diventa molto potente e molto sintetica sia che si implementi un semplice algoritmo sia che si lavori su programmi complessi anche se la rapidit di calcolo non quella di un Pentium La TI 92 distingue traf unction eprogram Unafunction una vera e propria funzione definita dall utente possibile usare le strutture di controllo i f then else while do for do L output necessariamente un oggetto rappresentabile come output nell ambiente Home un numero un espressione una lista una matrice Vediamo qualche esempio Se la funzione particolarmente semplice possibile definirla direttamente dall ambiente Home ecco per esempio una funzione che prende in ingresso le misure di due lati di un triangolo e dell angolo compreso e fornisce in uscita la lunghezza del terzo lato 1 Fev Fiv Fay FS Fev X Pr Algebra Calc Other PramIO Clean Up o2 2 2 b c cos a gt f b 0 Done f 3 4 90 5 f3 4 60 S73 f 3 4 30 25 12 13 f 3 4 10 25 24 cos 10 f 3 4 10 1 16817 GEOM DEG AUTO FUNC 6730 La figura seguente illustra la definizione ricorsiva della succession
96. La matrice dei coefficienti si otterr come segue x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1 gt mat xx1 xx2 xx3 gt vx yy1 yy2 yy3 gt vy simult mat vx gt tx 212 simult mat vy gt ty I vettori fx e ty riportano i coefficienti della trasformazione e precisamente tx a b p e ty c d q 1 Fav Fiv _ Fur FE F Veelaisebra Calc Other PromIO Clear a z a 1 i1 U4 I simult mat vx invx 0 2 0 simult mat vu invy 1 1 0 Ovviamente si fatto notare che l inserimento della matrice poteva essere effettuato anche con Data Matrix Editor Si nota che il procedimento semplice quindi si considera l opportunit di costruire un programma che inserite le coordinate dei punti restituisca le equazioni della trasformazione Il programma stato chiamato eqtrasf e se ne riporta sotto il listato insieme con le videate dell esecuzione Programma egqtrasf determina l equazione di una trasformazione date le coordinate di tre coppie di punti corrispondenti egtrasf Prgm ClrIO Disp Inserire le coordinate Disp dei tre punti Input x1 x1 Input yl k1 Input x2 x2 Input y2 k2 Input x3 x3 Input y3 k3 Disp Inserire le coordinate Disp dei tre punti corrispondenti Input x x1 xx1 Input yyl yyl Input xx2 xx2 Input yy2 jyy2 Input xx3 xx3 Input yy3 yy3 x1 k1 1 x2 k2 1 x3 k3 1 g
97. NC 2230 fig 2 Questo vuol dire che entrambi i membri dell equazione sono stati moltiplicati per Successivamente sempre selezionando la riga di introduzione si digita 13x42 12xf i1230 e gt 2 nella divisione per 2 si utilizza il meno unario gt fig 3 74 fig 3 E possibile a questo punto effettuare velocemente la verifica della soluzione ottenuta utilizzando il comando with che si ottiene digitando 2 K fig 4 2 D L x 1 3 x 1 4 x 3 1x 7 MAIN RAD AUTO FUNC 1 30 fig 4 Consideriamo I equazione fratta fig 5 fig 5 Applicando successivamente i principi di equivalenza e digitando p x 1 p x 2 si ottiene l equazione intera da cui si ricava la soluzione 2 fig 6 75 1 Fer Fiv FS Fe 3 x 1 1 2 eZ a 2 a 3 x 1 x 1 x 2 x 3 1 u 2 x 3 1 3 2 x 4 nici al MAIN BAD AUTO FUNC 5 30 fig 6 Bisogna verificare che il valore travato sia soluzione dell equazione fratta Selezionando N left equazione si ottiene la parte sinistra di una equazione e utilizzando successivamente il comando O si ottiene fig 7 PES fisebraalcotherPramiokciear a z 3 G M ef ELLI Sn TESS i 2 x 2 undef MAIN RAD AUTO FUNC 2430 fig 7 Ripetendo lo stesso procedimento per la parte destra dell equazione utilizzando il comando right si conclude che la soluzione 2 non accettabile per l equazione frazionaria Conclusi
98. ONI GEOMETRICHE LINEARI Anna Maria Anconelli Paola Dirani Enrica Pirazzini Liceo Scientifico G Ricci Curbastro Lugo Classe quarta liceo scientifico sperimentazione P N I Obiettivi acquisire una conoscenza pi consapevole delle trasformazioni lineari operare con maggior abilit con il calcolo matriciale Tempi 2 ore per la premessa sulle coniche pi 8 ore comprese 3 ore per le esercitazioni e la verifica Metodi lezione frontale Strumenti calcolatrice rapporto 1 1 view screen e le pagine di questa scheda Prerequisiti conoscenza delle trasformazioni lineari conoscenza del calcolo matriciale elementi di programmazione in Turbo Pascal conoscenza elementare della TI 92 Il calcolo matriciale e le trasformazioni lineari sono argomenti che spesso non vengono apprezzati dagli studenti a causa della pesantezza del calcolo Questa difficolt unita al fatto che la disponibilit di tempo sempre molto limitata fa s che i due argomenti non vengano sviluppati adeguatamente con un congruo numero di esercizi La semplicit di calcolo algebrico e matriciale della TI92 permette di superare questi problemi Lo spunto per l applicazione partito dalla risoluzione del quesito n 2 proposto per l esame di maturit sperimentale PNI 1994 di cui riportiamo sotto il testo in cui vengono esaminati molti aspetti e applicazioni delle trasformazioni lineari ma che presenta lungaggini di calcolo L esercizio era gi stato svilup
99. Pee eonftracleidismatloisly El MAIN RAD ESATTO FUNZ Figura 6 parte reale tratto spesso e parte immaginaria tratto sottile di Inx Per giustificare questi risultati ricordiamo che assegnato un numero complesso w diverso da zero si dice logaritmo complesso di w un numero z tale che w Ponendo z x iy e scrivendo w in forma trigonometrica come lwl cos O i sin 0 con T lt arg w lt T questa equazione diventa e cos y i sin y Iwl cos 0 i sin 6 da cui x lnlwl y 0 2kn La prima equazione non pone problemi il logaritmo quello reale essendo Iwl reale e positivo mentre la seconda fornisce infinite soluzioni per y abbiamo quindi infinite determinazioni del logaritmo La calcolatrice fornisce la determinazione principale che quella che corrisponde a k 0 Quindi se w reale positivo il logaritmo reale e coincide con il logaritmo elementare mentre se w reale negativo il suo logaritmo ha parte reale uguale a In lwl e parte immaginaria uguale a 7 Il grafico della funzione logaritmica quindi tracciato solamente per x gt 0 e non presenta problemi anche in questo caso dobbiamo per ricordare che il valore memorizzato complesso sex lt 0 e questo pu ripercuotersi nei calcoli seguenti Questo avviene in particolare se tracciamo il grafico della funzione f4 x lInxI che abbiamo riportato nella figura 2 La funzione valore assoluto che implementata nella calcolatrice definita in gene
100. Quaderni ed Atti pubblicati dal Ministero della Pubblica Istruzione Direttore G Cosentino Direttore editoriale L Catalano Coordinamento editoriale A D Itollo M Tortorici Revisione scientifica L Ciarrapico A M Anconelli M Impedovo Editing L Ciarrapico A M Anconelli M Impedovo Grafica F Panepinto A Comisso Il presente fascicolo potr essere riprodotto per essere utilizzato all interno delle scuole in situazioni di formazione del personale direttivo e docente Corsi Collegi riunioni per materia Nota editoriale In questo quaderno sono raccolti i materiali che costituiscono lo specifico dei Seminari di formazione per Docenti degli Istituti afferenti alla Direzione Classica Scientifica e Magistrale Essi sono stati prodotti da corsisti e relatori nella forma finale con la collaborazione scientifica del Comitato di redazione Altri pur pregevoli contributi individuali nel Programma non vengono qui raccolti in quanto la loro ricaduta formativa si esplica in ambito pi generale e pertanto in tutto o in parte sono gi stati divulgati Essi sono comunque disponibili presso la Direzione Generale dell Istruzione classica scientifica e Magistrale Ministero della Pubblica Istruzione Direzione Generale Istruzione Classica Scientifica e Magistrale IL PROGETTO LABCLASS Seminario di formazione per Docenti Liceo Scientifico Statale G Ricci Curbastro Lugo di Romagna RA Giugno 2001 2 Q
101. RAD AUTO FUNC fig 9 La macchina traccia i grafici congiungendo punti a due a due con un certo passo Se i due estremi di un segmento di curva sono uno immediatamente a sinistra e l altro immediatamente a destra del valore 2 allora la macchina traccia un segmento quasi verticale che pu essere scambiato per asintoto 258 E necessario allora fare in modo che uno dei due estremi di un segmento di curva abbia proprio ascissa 2 nel nostro esempio per questo occorrono un po di calcoli che tenendo presente il numero dei pixel orizzontali dello schermo ci diano i parametri xmi n e xmax che permettano di intercettare proprio il punto che ha ascissa 2 Ringrazio il prof Sebastiano Cappuccio che mi ha indicato come superare l inconveniente tuttavia ritengo una fortuna che la macchina con probabilit vicina a 1 tracci questo elemento che somiglia all asintoto verticale Perch questo apparente inconveniente costringe ad una riflessione approfondita al termine della quale vengono chiariti ruoli potenzialit e compiti della macchina e del suo operatore Prima di concludere pu essere utile utilizzare un altra strategia per aggirare il problema Dalla pagina Y Editor aprendo il men F 6St yl e con il comando Dot il grafico verr tracciato per punti figura 11 Pe oonltracelRecraphhath prauly __ Fad AUTO fig 11 Questo modo di operare elimina l inconveniente del finto asinto
102. UN FASCIO PROPRIO DI RETTE Maria Angela Chimetto Liceo Scientifico G B Quadri Vicenza Classe Terza liceo scientifico tecnologico Brocca Obiettivi comprendere il significato del parametro nell equazione di un fascio proprio di rette Prerequisiti equazione di una retta concetto di fascio proprio di rette e di rette base e punto base di un fascio Tempi un ora di lezione Metodo lezione frontale interattiva Strumenti una calcolatrice per ogni alunno calcolatrice view screen e lavagna luminosa per l insegnante Questo lavoro rivolto ad una classe terza indirizzo Scientifico tecnologico Brocca ed stato svolto a conclusione dell unit didattica dedicata alla retta nel quadro della geometria analitica Ci si posto il problema di generalizzare la soluzione di un classico esercizio 0 almeno di una parte di esso cio l analisi un fascio proprio di rette ad un parametro L argomento stato presentato in modo classico e la macchina stata usata per rappresentare graficamente al variare del parametro le rette del fascio e per abbreviare i calcoli algebrici Visto per che il procedimento assolutamente meccanico ho pensato di trasformarlo in un programma che ho mostrato in esecuzione alla classe usando cos la calcolatrice come lavagna per vivacizzare un po la lezione La reazione degli studenti stata decisamente positiva e ho visto interessate al lavoro anche alcune alunne di solito scettiche
103. a quando il punto P tale che PF g cio in un intorno del vertice V si pu approssimare PF PK cfr fig 1 L equazione diventa PF PK F F 2g 3 eliminare la seconda variabile F che al pari di K perde fra l altro a passaggio avvenuto la sua realt matematica per ottenere finalmente l equazione cartesiana della curva limite avente come uniche variabili le coordinate cartesiane x y del punto P generico soluzione ricavata gli studenti hanno proposto inizialmente l eliminazione del termine F F presente in entrambi i membri dell equazione precedente PK PL LK con LK AF dove L l intersezione di PK con l asse delle ordinate 144 L equazione a slittamento avvenuto del secondo fuoco all infinito diventa PF PL 2g isi uazi isu V i trov Z L analisi dell equazione risulta agevole se P si trova nel secondo o terzo quadrante Ma se l intorno opportuno del vertice V in cui si vuole studiare l approssimazione si estende anche negli altri quadranti l equazione cartesiana ricavabile perde di significato in campo reale per kl gt g e di aderenza al contesto geometrico per 0 lt x lt g la parabola avrebbe la concavit rivolta nel verso del semiasse negativo delle ascisse Quest ultima difficolt stata superata con gli studenti osservando che il punto L poteva essere sostituito dal punto H intersezione di PK con una retta d parallela all asse delle ordinate
104. a funzione SOLVE introducendo la seguente istruzione S0 ve x 6x 8 0 x otterremo cosi la soluzione dell equazione data a solvel x 6 x 8 0 x x 2 or x 4 a zerosl x 6 x 8 x 4 23 solvelx 4 x 5 9 x false zeros x 4 x 5 x t2 solvelx 8 x 15 0 x x 5 or x 3 solve x 2 8x 15 0 x MAIN RAD AUTO FUNC 5 30 87 La funzione Zeros dello stesso menu fornisce anch essa le soluzioni di una equazione ma il suo formato diverso Z er 0 x 6x 8 x ENTER Possono ora essere verificati i risultati ottenuti nell ultima scheda di lavoro L impostazione della TI 92 per eseguire il lavoro della prossima scheda quella indicata in figura 1 SCHEDA DI LAVORO Esplora il grafico delle seguenti funzioni y x 2x 5 por 4 y x x 3 y x 6x 9 ER 2 S y x 6x 9 y x 2x 5 y x 2x 3 y 3x Dall ambiente passa all ambiente e dopo aver posto la tabella al passo 0 5 scorrila attentamente disegna sul tuo quaderno il grafico di ogni funzione ed evidenzia gli intervalli di valori della x per i quali la y assume segno positivo o negativo Quali sono i valori della x in corrispondenza dei quali la y cambia segno Per quali valori della x risultano vere le seguenti diseguaglianze xX 2x 5 lt 0 x 6x 9 gt 0 xX 2x 3 lt 0 9x lt 0 Ay 8x 3 gt 0 Ax 8x gt 0 x 6x 9 lt 0 x 6x 9 gt 0 x 2x 3 lt 0 x 4 lt 0 x 2x 5 gt 0 3x lt 0 88 Attraverso il tasto 3
105. a nuova directory necessario spostarsi in ambiente Ho Me e pigiare in sequenza i tasti U inserendo il nome della cartella la presenza della scritta Done testimonia l avvenuta operazione per esempio memorizzare il file di nome coeffang nella directory quartaB 127 START o assi coordinati 2 RECTANGULAR attiva gli assi coordinati Y disegna una retta passante per l origine e nei quadranti dispari Z visualizza l equazione della retta posizionandoti sulla stessa rappresenta una circonferenza di centro l origine e raggio unitario Z visualizza l equazione della circonferenza deve essere x y 1 altrimenti cancella A m la circonferenza e ripeti dal punto 5 Per creare una circonferenza puoi anche seguire questa procedura N z crea il segmento che poi assumerai come raggio misura il segmento spostando eventualmente un estremo se la lunghezza non pari a quella desiderata n indicando il raggio e il centro e infine z controlla l equazione della circonferenza 5 N QUARTAE DEG AUTO FUNC NU determina l intersezione fra retta e circonferenza a m segna l angolo a di vertice l origine e per estremi un punto dell asse x e l intersezione fra retta e circonferenza a misura l ampiezza dell angolo e sposta la misura in un punto dove non da fastidio O 9icm 65 22 0 42cm y 2 17x 10 vedi quanto vale e a chi corrisponde il valore di tan 01
106. a successione ha infiniti elementi quindi le verifiche non sono sufficienti necessario ricorrere alle dimostrazioni Ho utilizzato le TI 92 per affiancare la trattazione e principalmente per l esplorazione e la formulazione di congetture in particolare lavorando a costruire una serie di esperienze matematiche sulle quali fondare il concetto di limite di una successione che intendo far precedere a quello di limite di una funzione Dalla riflessione sul lavoro svolto in cui ho utilizzato la TI 92 in modo parziale affiancandola al lavoro carta e penna ho tratto anche ulteriori spunti di approfondimento per attivit future Le esperienze qui presentate sono state realizzate in una classe quarta liceo scientifico tecnologico Brocca Si tratta di una classe nella quale ho insegnato a partire dalla terza che presentava alcuni alunni in difficolt rispetto alla matematica ma soprattutto nella quale la maggioranza degli alunni non mostrava particolare interesse per la materia 234 In questa classe il tema successioni stato trattato in due momenti successivi in un primo momento seguendo sostanzialmente l iter concordato a Lugo ho utilizzato le progressioni aritmetiche e geometriche di ragione positiva per giungere alla conoscenza del comportamento della successione delle potenze di un numero positivo Tale successione poi stata estesa alla funzione esponenziale per analogia con la successione dei multipli di k che si estende alla fu
107. affidata l organizzazione dell iniziativa e a tutti i docenti che hanno partecipato per l impegno profuso spesso con sacrificio al loro lavoro sul campo si deve questo piccolo libro 14 POLINOMI E LISTE Giulio C Barozzi CIRAM Universit di Bologna Questa nota si inserisce una serie di articoli volti ad illustrare le possibilit offerte dalla calcolatrici grafico simboliche per contributi simili il lettore pu consultare i riferimenti bibliografici 1 4 5 6 e 7 Come nelle note citate utilizzeremo il linguaggio TI BASIC implementato nelle calcolatrici TI 89 e TI 92 L argomento di cui vogliamo occuparci quello dei polinomi e delle funzioni polinomiali ad essi associate Come ben noto un polinomio un espressione del tipo 2 Agt A X a xX a x dove i coefficienti sono prelevati da un anello commutativo A x un indeterminata e n un numero naturale L informazione relativa ad un polinomio contenuta nella lista dei suoi coefficienti ao 41 An con la convenzione di considerare equivalenti due liste se esse differiscono soltanto per uno o pi zeri posti in coda Questa convenzione giustificata dal fatto che due liste equivalenti nel senso appena definito inducono la medesima funzione polinomiale Infatti se x viene interpretata come un elemento dell anello A allora al polinomio sopra considerato viene associata la funzione che ad x associa 2 Apt aX a xX a x
108. algebra Springer Milano 1999 7 Waits B Demana F Le calcolatrici simboliche Lettera matematica PRISTEM 33 34 p 92 96 22 NUMERI COMPLESSI E GRAFICI DI FUNZIONI Paolo Boieri Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino Premessa In questo articolo si trattano i problemi che nascono nel tracciamento dei grafici di alcune funzioni con le calcolatrici grafiche e programmabili TI92 e TI89 I problemi rilevati sono comuni a molti sistemi di calcolo simbolico in particolare a Derive e possono essere sintetizzati dicendo che quando viene richiesto di tracciare un grafico questi sistemi di calcolo simbolico 1 calcolano le funzioni elementari in campo complesso senza che l utente possa intervenire a modificare questa opzione 2 accettano un risultato reale per eventuali calcoli intermedi anche quando questo ottenuto a partire da valori complessi Questo comportamento del sistema di calcolo porta a grafici diversi da quelli che ci aspettiamo in campo reale quando si utilizzano funzioni come le radici i logaritmi e quelle che sono definite a partire dal logaritmo come ad esempio le funzioni trigonometriche e iperboliche inverse il problema invece non si pone invece quando utilizziamo funzioni polinomiali razionali esponenziali funzioni trigonometriche e iperboliche dirette A questo argomento stato dedicato un articolo pi ampio I grafici sbagliati di Derive Archimede Fasc 4 1996
109. ali funzioni fanno pensare i grafici delle funzioni derivate ottenuti Qual l espressione analitica delle funzioni derivate Nell ora di sistematizzazione vengono raccolti e discussi i risultati ottenuti e vengono aggiunte alla tabella iniziata durante l attivit 1 le funzioni derivate trovate Tutti i gruppi dimostrano di sapersi muovere con sufficiente disinvoltura con la calcolatrice e di saper utilizzare i suoi ambienti per risolvere la proposta di lavoro Scheda attivit n 3 Tempi 2 ore di lavoro di gruppo 2 ore di discussione Argomento La funzione derivata Obiettivi ricerca dei rapporti tra il grafico di una funzione e quello della sua derivata Metodi lavoro di gruppo attivit di ricerca con presentazione finale alla classe Descrizione dell attivit Viene assegnata la seguente proposta di lavoro Scegli alcune funzioni con la calcolatrice visualizzane il grafico e confrontalo con quello della sua funzione derivata Cerca di individuare delle relazioni generali tra le caratteristiche della funzione e quelle della sua derivata come richiesto nella tabella FUNZIONE DERIVATA Insieme di definizione Insieme di definizione crescenza decrescenza segno punti stazionari punti di flesso concavit crescenza decrescenza asintoti verticali asintoti orizzontali asintoti obliqui Circa meta della classe riesce a completare in modo corretto la tabella e ad individuare le relazioni richieste 268
110. alori ad es c 8 e c 9 del problema 1 in cui troviamo le medie richiedono l uso di q per questioni tecniche le elaborazioni tra colonne che contengono pi dati pretendono la stessa dimensione delle liste nelle colonne interessate 2 1 Soluzione del Problema 1 Formule usate nelle varie colonne C12 Seq sum C11 sum C2 n 1 dim Cl C4 C2 sum C2 fra C13 C10 C3 C14 Seg sum C13 sum C3 n 1 dim c6 x f C15 v C12 C82 OA C7 V C14 C92 Op C8 Seq sum C1 C4 n 1 dim C15 C8 o rel C9 Seg sum C1 C5 n 1 dim C16 C9 Op rel C19 C1 C8 C15 ZA C11 C10 C2 x f C20 C1 C9 C16 Zg Punto A e Elaborare le frequenze relative formule inc 4 ec 5 fig 1 e Impostare i parametri di fig 2 e Impostare Plot e Plot fig 3 e 4 Gruppo A xyline Gruppo B istogramma e RISPOSTA la fig 5 rappresentazione delle distribuzioni in Gr a ph Punto B formule da c 6 ac18 e Per confrontare le due distribuzioni necessario calcolare gli s q m relativi 290 e fig 6 7 8 RISPOSTA nelle colonne c 17 ec In questa fase richiesto l uso delle formule classiche 18 compaiono gli s q m relativi Si nota che l arrotondamento ai centesimi d 0 11 in entrambi i casi quindi la dispersione quasi identica con una leggera preponderanza per B dispersione leggermente superiore kg arp A farp B frA_ frB_ lol c2_ eS fed cS 0
111. amo in Y Editor per inserire le funzioni Fi ed F Col comando O e la scelta lt 4 gt tracciamo i due grafici vediamo che sono grafici differenti Osservazione per entrare in Y Editor possiamo usare la combinazione di tasti e W eper tracciare i grafici la combinazione R TA A E eA fig 1 Fi fig2 fF Mentre F positiva o nulla su tutto l asse reale F assume valori positivi e valori negativi Riflettiamo allora sull espressione delle due funzioni e ai passi che un esecutore deve compiere per determinare y una volta preso il valore della variabile indipendente 175 Fi il quadrato del seno di x F Il seno del quadrato di x Dalla descrizione di ciascuna possiamo dedurne le caratteristiche gi messe in risalto dai grafici tracciati F l ultima operazione dell esecutore il quadrato di un numero reale che risulta positivo per tutti i valori del numero diversi da zero nel qual caso la funzione si annulla Inoltre poich minore di 1 lo anche il suo quadrato e pertanto F limitata I Insieme Immagine IM ye R 0 lt y lt 1 Il grafico ci mostra una funzione simmetrica rispetto all asse y caratteristica che possiamo giustificare con i passaggi da cui Concludiamo che la F una funzione pari F l ultima operazione dell esecutore il calcolo del seno di un numero reale la funzione F limitata e l Insieme Immagine IM ye R 1 lt y lt 1
112. ando PropFrac applicato alla funzione ci fa capire come la curva tenda asintoticamente alla retta Non si per insistito sugli aspetti formali di questo risultato Infine stata proposta agli allievi una serie di funzioni ed stato loro chiesto di esaminarle utilizzando il comando PropFrac di tracciarne i grafici e tabularle di esaminare le parti in cui eventualmente venivano scomposte Si passati poi ad interpretare i risultati della macchina e ci ha portato gradualmente a esplicitare il legame tra le propriet dei grafici e il grado dei polinomi mmeratore e denominatore tra le propriet dei grafici e gli zeri del denominatore Nel corso della discussione qualcuno ha intravisto la parabola asintotica ma non stato spinto troppo oltre il discorso 4 Un piccolo colpo di scena La figura che segue riporta il grafico della funzione 5 ampiamente studiata tabulata e graficata Questa volta per non appare il cosiddetto asintoto incriminato 257 ree sonlrsceReGraphsthprsuls __ RAD AUTO fig 8 Ho scoperto come eliminare dal grafico questo elemento equivoco dopo che l esperienza descritta era ampiamente conclusa Il finto asintoto viene eliminato dando opportuni parametri nell impostazione di WI NDOW nel nostro esempio il problema risolto come descritto nella schermata seguente 1 Fav ea xmin ig xmax 18 xscl 4 umin 20 Umax 20 yscl xres MAIN
113. andr a discutere circa il loro significato ASTAT DEG AUTO FUNC Conviene prima vedere un istogramma e poi un grafico a linee Per definirli partendo dal Data Matrix Editor premere Plot Setup N Define ed introdurre i parametri seguenti Plotl Plot Type Histogram x c2 Use Freq YES Freq c3 Plot2 Plot Type xyline Mark Box x c2 y c3 Use Freq NO Inoltre per ottenere grafici leggibili impostare i parametri di in modo adeguato ai dati delle tabelle oppure usare le varie opzioni di Zoom tra cui 324 ZoomData e SetFactors per opportuni ingrandimenti assicurarsi prima della rappresentazione grafica che nell ambiente Y Y Editor non ci siano funzioni o Plot selezionati oltre a Plot e Plot2 r zoon TracelRedraph wath orauly Pe zoon TracelRedraph athorauly A Pi Pi ASTAT DEG AUTO FUNC ASTAT DEG AUTO FUNC ISTOGRAMMA BINO n 10 p 0 5 BINO A CAMPANA n 10 p 0 5 Il grafico cartesiano evidenzia bene l andamento a campana con Problema 2 come cambia la distribuzione delle probabilit e quindi il grafico al variare di n e p una indagine da assegnare agli alunni ormai diventati degli esperti Poniamo in Home 1 valori di n e p ed osserviamo poi il grafico cartesiano di BINO ee Econlrrace reGraphnathprawl A Pi ee con rrace re6raphhnathprawl A _ Pi 057 uc O0018 Tat Fao AUTO FUNC Facciamo molte diverse osservazio
114. angente geometrica condotta nell origine dell arco alla circonferenza cui essa appartiene con il prolungamento del raggio passante per l estremo dell arco Tutti gli esercizi sono stati poi discussi in classe 2 Trasformazioni di una funzione goniometrica Ai ragazzi stata fornita la scheda che dovevano riconsegnare dopo due ore Sono stati dati chiarimenti operativi Gli ambienti interessati sono stati Y Editor per scrivere il testo della funzione e Graph per visualizzarne il grafico 171 Scheda lavoro 1 Inambiente Y editor W immettere la funzione y sin x 2 Visualizzarne il grafico R adattando opportunamente la scala con N m o con 3 Se necessario impostare E o il formato del grafico secondo quanto indicato in figura 4 Immettere le seguenti funzioni ogni volta disegnando solo la prima e l ultima utilizzare il tasto U per indicare quali funzioni Si vogliono rappresentare y sin x y sin x 45 y sin x 1 y 2sin x y sin 2x e raccogliendo ogni volta i seguenti dati Coordinates Graph Order Grid Enter SAVE USE AND TO OPEN CHOICES ESC CANCEL Intersezioni asse x y sin x y sin x y 2sin x y sin 2x va y sin x 45 sin x 1 Dominio Codominio Spostamento verticale Spostamento orizzontale Dilatazione ascisse e o ordinate Contrazione ascisse ordinate Altre osserva
115. approssimazione correlati con le operazioni L ambiente Home e l ambiente Program Editor sono stati utilizzati in maniera integrata e costruttiva 1 414 1 4142 1 41421 1 414213 1 4142135 1 41421356 a radice 2 Done 1 414213562 radice 2 1 414213562 MAIN RAD APPROX FUNC 1 30 MAIN RAD APPROX FUNC 2 30 fig7 fig 8 72 3 EQUAZIONI NUMERICHE DI 1 GRADO Lorenzo Santoro Liceo Scientifico E Majorana Mola di Bari BA Classe prima scientifico autonomia Obiettivi verificare la conoscenza nella trasformazione di equazioni Prerequisiti calcolo letterale Tempi 4 ore di cui due per la conoscenza della TI 92 Strumenti una macchina per ogni alunno view screen come lavagna Nell affrontare la risoluzione di equazioni qualche difficolt emersa nell applicazione dei principi di equivalenza I ragazzi utilizzando le conseguenze dei due principi di equivalenza non incontrano difficolt rilevanti nella risoluzione di equazioni intere a parte gli inevitabili errori di calcolo ma le equazioni fratte diventano spesso un vero problema per quelle famose condizioni di determinazione che sono scritte ma non sempre interpretate La TI 92 d la possibilit senza usare il comando solve risolve un equazione rispetto ad una variabile ma facendo lavorare la macchina passo passo e indicando i passaggi uno a uno di risolvere le equazioni usando i principi di equivalenza In una prima classe di scientifico sper
116. apriamo la finestra di dialogo e torniamo alla condizione di schermo intero scegliendo dal menu la voce FULL e l ambiente dal menu ALGEBRA scegliamo S ol ve e introduciamo la seguente istruzione solve x 2x 5 gt 0 x La TI 92 restituisce x 2x gt 5 Proviamo ancora cons 0 ve x 4 gt 0 x ed otteniamo x gt 4 Ovviamente la calcolatrice non in grado di risolvere disequazioni di secondo grado Invito quindi gli alunni a proporre altri metodi per la risoluzione di disequazioni in modo da verificare 1 risultati ottenuti Considerazioni La verifica effettuata contemporaneamente alla scoperta guidata ha messo in luce che gli alunni hanno acquisito pi velocemente del previsto conoscenza e competenza dell argomento trattato ma hanno altres mostrato qualche difficolt di rielaborazione quando posti di fronte a nuove tipologie di problemi 89 90 6 ESPLORARE CONGETTURARE DIMOSTRARE DUE PROBLEMI DI GEOMETRIA Pierangela Accomazzo Liceo Scientifico A Einstein Torino Classe seconda Liceo Scientifico P N I Obiettivi saper formulare una congettura coerente con un insieme di dati saper dimostrare la propria tesi Tempi circa 8 ore Strumenti una TI 92 ogni due studenti Gli allievi avevano studiato in precedenza le propriet dei quadrilateri nell ambito della geometria euclidea ed avevano affrontato alcune dimostrazioni sull argomento conoscevano la teoria relativa al teorema di Talete ma
117. arcoseno reale e quindi viene disegnata dalla calcolatrice mentre all esterno di questo intervallo ha parte immaginaria non nulla e quindi non viene tracciata Analogamente a quanto abbiamo visto per il logaritmo la parte immaginaria entra nel calcolo del valore assoluto e quindi la funzione f x arcsenx risulta definita su tutto l asse reale come abbiamo visto nella figura 3 Pee eonftracleidismatfoisly El MAIN RAD ESATTO FUNZ Figura 7 parte reale tratto spesso e parte immaginaria tratto sottile di arcsen x 30 La funzione di filtro Gli esempi che abbiamo visto e quelli che il lettore ha sviluppato per conto proprio portano ad una conclusione il problema consiste nella presenza di un numero complesso con parte immaginaria non nulla che viene evidenziata in particolare quando 1 si utilizza una funzione che per valori reali della variabile fornisce valori non reali come le radici o il logaritmo 2 si utilizza una funzione che fornisce valori reali anche per argomenti non reali della variabile come il valore assoluto Per evitare ogni difficolt necessario evitare entrambe queste situazioni limitandosi a introdurre delle funzioni che Q nel primo caso vengono calcolate solo quando in corrispondenza a una variabile indipendente reale anche quella dipendente reale Q nel secondo caso vengono calcolate solo se la variabile indipendente reale Per fare questo possiamo
118. arentesi quadre e memorizzando il tutto con un nome valido es 2 3 4 5 B Al memorizza in A1 la matrice L immissione dei dati pu s 1 Fe FS anche avvenire nel seguente Plot Setup ce11 modo 2 3 4 5 B Al A z 3 Type Matrix in ambiente Data Matrix Editor Folder main gt Variable momematr O inserendo tutte le Med diversion informazioni richieste vedi Col dimension 4__ figura a fianco e poi digitando Enter 0K ESC CANCEL nelle caselle gli elementi della matrice MAIN RAD AUTO FUNC Operazioni fra matrici Si utilizzano gli ordinari simboli che leganoi nomi con i quali sono state memorizzate le matrici F Clear a z robability Fidentity lt est 239 t g1iagt Fi Af randMat BiNorms C4Dimensions LUGO9S DEG AUTO FUNC 0230 TUA alculus perbolic vuerrerrerrbireo Per le operazioni fra matrici che coinvolgono per gli elementi che occupano posti di pari riferimento si utilizzano i simboli JA sono dette operazioni punto 195 Partendo dall ambiente Home si passa al menu Math 2 z entrando nel sottogruppo 4 Matrix si esplode la lista dei comandi muovendosi con il mouse verso destra i comandi non commentati non interessano direttamente la lezione T Det Ref Rref Simult Restituisce la trasposta di una matrice si digita in ambiente Home il nome della matrice poi dal men Math si sceglie 4 e poi 1 Restituisce il
119. ativi l ultimo quesito del problema 4 e il punto d dell esercizio 5 in quanto fanno riferimento all attivit svolta La calcolatrice stata usata per lo pi per fare calcoli ed esplorare le successioni In alcuni casi stata anche fonte di un errore ripetuto alcuni alunni i pi deboli hanno risposto all esercizio 5b con una verifica anzich con una dimostrazione Conoscendoli devo per dire che tutto sommato si tratta forse di un passo avanti rispetto all atteggiamento passivo mostrato in precedenza 248 249 25 ASINTOTI Ferruccio Rohr Liceo Scientifico Nomentano Roma Classe terza Liceo Scientifico PNI Obiettivi fornire un approccio diverso allo studio di una funzione Prerequisiti coniche funzioni razionali Tempi 14 ore Premessa Questa esperienza svolta in una classe di 16 alunni in generale attivi e interessati alle novit descrive il primo impatto della classe e dell insegnante con una calcolatrice grafica TI 92 II Ogni studente disponeva di una propria macchina ma l attivit stata sempre svolta in coppia tra compagni di banco Il lavoro stato svolto alla fine dell anno scolastico 98 99 1 Esempi critici tratti dalla libera attivi t Come detto in premessa gli allievi ancora non avevano mai utilizzato la TI 92 ma avevano una certa familiarit con le rette e le coniche e con la loro rappresentazione grafica Nel corso di una breve presentazione della macchina sono stat
120. biente statistico Dat a Matrix Editor e dell istruzione lt s e q gt abbinata alla rappresentazione grafica ZoomDat a di una nuvola di punti ha permesso in definitiva di ben focalizzare ogni volta l intorno in esame e di analizzarlo quantitativamente in modo sempre pi approfondito variando il passo dell istruzione lt s q gt Questa tecnica tipica dell indagine statistica non stata per scelta per una particolare dimensione discreta del problema ma per sfruttare le potenzialit tecniche dello strumento Data Matrix Editor nella costruzione ed esplorazione del modello proposto A conclusione di quest attivit svolta in classe in circa quattro ore di presentazione del problema e di costruzione e analisi con gli studenti del modello sono stati proposti alcuni esercizi da risolvere esplorando il foglio di lavoro e variando opportunamente i parametri in gioco 150 Esempi di esercizi assegnati e Per dei valori prefissati di c e g determinare il massimo intorno destro a estremo superiore intero dell ascissa del vertice in cui l ordinata lungo l ellisse pu essere approssimata dall ordinata lungo la parabola a meno di un valore prefissato e Fissati un valore di g e un intorno destro dell ascissa del vertice in cui l ordinata lungo l ellisse pu essere approssimata dall ordinata lungo la parabola a meno di un valore prefissato determinare il minimo valore intero di c che permetta il ver
121. bristnorzule 239 Am In questo caso le due successioni si avvicinano a 1 sempre di pi tuttavia la prima delle due successioni si avvicina a 1 stabilmente vale a dire che nella successione la distanza da 1 non solo pu essere resa piccola quanto si vuole ma rimane tale da un certo indice in poi Questo fatto chiaramente nella tabella si intuisce soltanto perch i valori vengono calcolati in modo approssimato ma pu essere chiarito meglio con il calcolo Nella seconda successione invece al crescere dell indice troviamo valori che si avvicinano ad uno quanto si vuole ma questa propriet non stabile per tutti gli elementi di indice pari la distanza da 1 maggiore di 2 quindi all aumentare dell indice troveremo valori prossimi a 1 ma anche valori che ne rimangono lontani Si pu quindi dapprima in modo informale poi in modo rigoroso pervenire alla definizione di limite di una successione Con la classe poi questa definizione viene utilizzata e verificata solo con progressioni aritmetiche e geometriche di primo elemento e ragione positiva Infatti intuitivo ma si dimostra anche facilmente che una progressione geometrica di ragione 0 lt a lt 1 decrescente mentre se a gt 1 crescente A questo punto vengono proposti esercizi del tipo a Data la progressione geometrica di primo elemento 3 e di ragione 1 2 per quali valori di n si avr b E data la curva di Von Koch che gli alunni co
122. by2 c 0 x32 y32 ax3 by3 c 0 quindi xl yl 1 xl yl x2 y2 1 gt mat x2 y2 gt vett 333 1 x3 y3 210 4 25 5 1 B a simult mat vett 1 4 10 50 a simult mat vett 26 aj 8 gt vett A lato dei rispettivi calcoli sono riportati due esempi relativi alla determinazione dell equazione di una parabola e di una circonferenza passanti per i punti A 1 5 B 2 2 C 5 5 Sono stati anche sviluppati due semplici programmi privi di controlli per determinare le equazioni di una circonferenza e di una parabola ad asse verticale date le coordinate di tre punti Programma per la determinazione Circeg Prgm ClrlO Disp Inserire le coordinate Disp dei tre punti Input x1 x1 Input yl k1 Input x2 x2 Input y2 k2 Input x3 x3 Input y3 k3 x1 k1 1 x2 k2 1 x3 k3 1 mat x142 k142 x242 k2 2 x3 2 k3 2 vett simult mat vett gt r Disp x42 y 2 amp string r 1 amp x amp string r 2 amp y amp string r 3 amp o FndPromr 211 Programma per determinazione Pareq Prgm ClrIO Disp Inserire le coordinate Disp dei tre punti Input x1 x1 Input yl k1 Input x2 x2 Input y2 k2 Input x3 x3 Input y3 k3 x142 x1 1 k2 2 x2 1 x3 2 x3 1 gt m at k1 K2 K3 gt vett simult mat vett gt r Disp y amp string r 1 amp x 2 amp string 1 2
123. ca e un inversione del rapporto tra teoria e applicazione Ad esempio nello studio svolto successivamente in classe di argomenti di statistica costruzione di un foglio di lavoro in ambiente Data Matrix Editor per l analisi della dipendenza statistica alcuni studenti pur non essendo ancora stato affrontato l intero tema dell algebra lineare sono riusciti lavorando da soli a costruire un programma per il calcolo dell indice chi quadrato Hanno implementato la tabella a doppia entrata delle frequenze assolute come matrice e consultando il manuale della calcolatrice come dizionario di comandi hanno realizzato l algoritmo necessario tramite calcolo di matrici trasposte e operazioni tra matrici Esempio 5 la funzione parab3pt Calcola l equazione della parabola passante per 3 punti non allineati Il comando si mult risolve un sistema operando su due variabili la matrice dei coefficienti e il vettore colonna dei termini noti pensati questi ultimi a 2 membro Parab3pt a b c Func Local mat simult a 1 2 a 1 1 b 1 2 b 1 1 c 1 2 c 1 1 Lal b 2 c 2 mat 160 y mat 1 1 x 2 mat 2 1 x mat 3 1 EndFunc Una funzione simile ci rc 03pt pu essere ovviamente costruita per la circonferenza anche se sono possibili altre soluzioni secondo un approccio geometrico come si pu vedere dal seguente esempio proposto da alcuni studenti Esempio 6 la funzione circassi Calcola l equazione della cir
124. celReGraph Math orauly A Ingrandiamo limitandoci alla parte che ha sia la x che la y positiva tanto simmetrica ye Zoon trace Reraphath orauly __ Che cosa vi sembra che succeda A mano a mano che la x aumenta la curva si avvicina alla retta 140 Andiamo a vedere sulla tabella 1 Fe K fe setuplie j int Pos ST E e A EI 50 ss sio a T_T Si Mirsa 1 1 sz tiossaan SOF ss tossini 55 09 98110 Ven 56 i11 98 112 I qui Jue 100 203 99 204 205 99 206 207 99 208 208 2 9 2 E 09 9 11 9 07 213 99 214 214 Si incontreranno mai Proviamo col sistema EPS Sira Re remora na No 141 Ad un certo punto si allontaneranno di nuovo Questo non possiamo dirlo ma sembrerebbe di no Come si pu verificare Vediamo come si comporta la differenza tra la retta e la funzione PPelzcon rraceRe6raehiathorsu e A MAIN DEG AUTO FUNC Tende a 0 man mano che la x aumenta Conclusioni Ero partito per una lezione tranquilla praticamente una esercitazione con obiettivi solo di rafforzamento delle conoscenze La presenza della macchina in mano ai ragazzi mi ha permesso una lezione di tutt altro tipo da cui sono venuti fuori l equazione dell iperbole e il concetto di asintoto Questo ultimo molto forte ma nato in modo naturale La successiva dimostrazione teorica che qui stata omessa perch conosciuta
125. cessione convergente divergente e indeterminata Raggiunto una maggiore dimestichezza con i comandi della T 92 e inoltre hanno appreso in parte a porsi domande sia riguardo al grafico dei punti della successione sia di fronte alla tabella dei valori a ipotizzare risposte e a verificarle 233 24 SUCCESSIONI E INTRODUZIONE AL CONCETTO DI LIMITE Chimetto Maria Angela Liceo Scientifico G B Quadri Vicenza Classe quarta liceo Scientifico Tecnologico Brocca Obiettivi comprendere il significato di limite di una successione Prerequisiti progressioni aritmetiche e geometriche funzioni esponenziali e logaritmiche Tempi dieci ore otto di lezione pi due di verifica finale Metodi lezione frontale lavoro individuale discussione con la classe Strumenti una calcolatrice per ogni alunno calcolatrice lavagna luminosa e viewscreen per l insegnante La calcolatrice grafica e simbolica si presta molto bene allo studio delle successioni da molti punti di vista diversi L argomento successioni un argomento che attraversa in verticale il curriculum di matematica in ogni grado di scuola E concettualmente di fondamentale importanza perch in un certo senso concreto Infatti i primi elementi di una successione si possono calcolare e visualizzare direttamente ed naturale la ricerca di ritmi e regolarit Tuttavia anche la riflessione sulle successioni pi comunemente usate costringe all approccio con concetti astratti L
126. che minimizzano la somma dei quadrati degli scarti Y al 7 ConF5 Calc si scegliePower Reg regressione della funzione potenza 57 F3 FY FS F STAT VARS j De 191697 523698 i rici 6 POLINOMI RAD AUTO FUNC La miglior funzione potenza che approssima i dati T 0 192 1 FY Y_F3 F4 FSv y Fev f Z00m Trace Regraph Math Draw Il fit dal punto di vista grafico soddisfacente La legge teorica che lega il periodo alla lunghezza di un pendolo L T 27 E cio effettivamente una funzione potenza del tipo 7 aL con a 2 01 Conclusioni La TI 92 presenta alcune caratteristiche che ne fanno uno strumento didattico molto efficace Innanzitutto possiede in forma integrata diversi ambienti calcolo grafica foglio elettronico geometria programmazione Il fatto che tutti gli ambienti siano collegati fa s che un problema possa essere affrontato da diversi punti di vista e con diversi strumenti tutti utilizzabili in parallelo e ciascuno di essi visibile da qualunque altro Inoltre la calcolatrice offre la possibilit di lavorare sia in forma simbolica sia in forma approssimata Il tasto Mode che consente di impostare le modalit di lavoro della calcolatrice offre la possibilit di scegliere tre diverse modalit di calcolo Auto Exact Approxi mate 58 a a S MODE Fi Leake Y Fs Split 1A LI H AUTO Enter SAVE
127. con carta e penna la derivata delle funzioni pi semplici mentre deve saper usare la calcolatrice per determinare la derivata di funzioni pi complesse In questo modo non si rischia di confondere la matematica con le tecniche di calcolo e si guadagna tempo prezioso per affrontare argomenti pi profondi Cos pi che il saper calcolare un difficile integrale importante dominare il problema della misura e comprendere in quali casi possibile calcolare lunghezze aree e volumi mediante un integrale cosa integrare da dove a dove Anche in questo caso l alunno deve conoscere gli integrali indefiniti delle funzioni elementari e saper calcolare quelli pi semplici per gli altri user la calcolatrice Altro aspetto che il progetto ha messo in luce la facilit con cui gli studenti producono congetture lavorando con le calcolatrici L attivit del congetturare troppo spesso trascurata nelle nostre scuole ha invece un forte valore scientifico e formativo In un certo senso la formulazione di una congettura sensata non esatta solo sensata restituisce all allievo anche all allievo pi debole la sensazione di poter padroneggiare la disciplina di aver capito quali sono i termini del problema In un certo senso capire un problema coglierne l essenza pi importante che risolverlo e porta in modo naturale ad una delle attivit pi importanti per il consolidarsi di un abito mentale scientifico formulare ipotesi Qualunque st
128. conferenza passante per 3 punti non allineati per via geometrica assemblando funzioni note circassi a b c Func Local a b c ce r circocen a b c ce dist ce a r expand x ce 1 2 y ce 2 2 r 2 0 EndFunc Per lavorare pi agilmente nella risoluzione di problemi gli studenti hanno costruito con un programma geom simile a quello qui presentato un menu personalizzato del proprio archivio di funzioni che una volta eseguito in Home il programma pu essere attivato o disattivato con il tasto in sostituzione del men usuale dell ambiente Ho me Esempio 7 il programma geom e il men personalizzato La struttura custom costruisce con il comando title i men principali associati automaticamente ai vari tasti funzionali e con il comando item i sottomen a tendina Il listato evidenzia quindi i nomi delle varie funzioni costruite assieme agli studenti anche se non tutte sono state descritte in questo lavoro La schermata presentata in fig 5 visualizza invece il men attivato in ambiente Ho me geom Prgm Custom Title RETTA Item retta Item rettapar Item rettaper 161 Item Item Item Item Item Item Item Title PU Item Item Item Item Item Item Item Title TR Item Item Item Item Item Item Item Item Item Title CO Item Item Item Item Item EndCustm EndPrgm inters esplicit bisettl bisett2 parall coef fang tgangol o NTI allinea
129. definisce poi il numero dei termini da rappresentare aprendo la finestra Wi ndow nmax 50 Editor E dove si a Set pie minata possono impostare le xmax 10 E uninmi 1 opportune variabili vedi ymax 1 9 N yscl 1 figura 3 CORSO RAD AUTO SEG fig 3 E eocn rracelRe6raphMathprsu e A fig 3 bis 225 Si costruisce una tabella nella quale sono elencati gli elementi della successione operando nel modo seguente T si apre una finestra nella quale si pu impostare la costruzione della tabella si inseriscono i valori come in figura 4 e poi si pigia fig 4 Con Y compare una tabella con i primi 8 valori della successione premendo 2nd il cursore verso il basso si possono visualizzare gli altri valori della tabella come mostra la figura 5 fig 5 Procedendo sempre tenendo premuto 2 nd e il cursore verso il basso si possono vi sualizzare altre pagine oppure con T si riapre la finestra nella quale si pu inseri re il valore di 200 at bl St arte ottenere la seguente schermata nella quale si no ta che all aumentare d i n la successione si avvicina al valore di 1 5 Si tratta di una successione convergente Figure 6 e 7 226 fig 6 eli EEEN SS POA 4915 CT I 201 1 4914 i 206 1 496 207 1 496 J J Esercizio proposto Studiare le successioni a a n42 2 n b bh n 1 4 n n n 2 1 Rappresentare tali successioni sul
130. dei compiti si cercato per alcuni problemi pi che altro per evidenziare e misurare le potenzialit della calcolatrice e della libreria costruita di elaborare uno svolgimento interamente con la T 92 come si pu vedere nei seguenti esempi Tale esercizio sintattico ha portato comunque talvolta in occasione di problemi pi complessi a focalizzare schematizzandole procedure matematiche e ad individuare percorsi risolutivi pi incisivi o pi sintetici Esempio 8 La risoluzione automatica di un esercizio sulla circonferenza Problema Determinare la circonferenza circoscritta al triangolo isoscele ABC sapendo che la base AB di misura sta sulla retta x y 4 0 e che il vertice C ha coordinate 1 5 Risoluzione Si determina la retta per C perpendicolare alla base AB e successivamente per intersezione il punto medio della base Quindi operando con un compasso analitico si determinano i vertici restanti del triangolo che permettono di completare la risoluzione cfr fig 6 e fig 7 163 6 13 Sinters x 7 y x 4 3 f2 Sinters x 1 y x 4 1 3 Scirco3Spt 1 33 7 33 0 circcragl 4 03 3 J2 fig 7 fig 8 Pu essere anche in questo caso disegnato facilmente in ambiente Gr aph una volta determinati i tre vertici scrivendo in Y Edi tor in modalit parametrica le equazioni dei lati con il parametro t variabile tra tmin 0 e tmax 1 Il sottomen a tendina relat
131. del significato del modulo viene proposta da parte dei ragazzi la scrittura corretta L attivit procede abbastanza velocemente con l esame delle seguenti funzioni 9 aj Anche in questo caso le considerazioni degli alunni sono significative Molti propongono altre funzioni per controllare le intuizioni espresse durante la discussione Il legame algebrico tra la y14 x e la y17 x e y18 x non viene colto in modo immediato ma dopo ampia discussione y zoon TracelReGraph iath orauly A 112 La lezione condotta con l uso della calcolatrice e del viewscreen risultata molto pi interessante e dinamica i ragazzi sono stati invitati ad esprimere un parere alla fine della lezione Ai ragazzi piaciuta molto la possibilit di verificare con rapidit congetture ed esplorare situazioni nuove I tempi rispetto ad una lezione normale si sono accorciati la partecipazione della classe stata nel complesso pi attiva e si avuto un coinvolgimento maggiore anche degli studenti meno brillanti L attivit ha inoltre offerto lo spunto per riflettere sui limiti dello strumento e sulla necessit di interpretare e motivare i risultati ottenuti 4 Fase Un ora di lavoro di gruppo 5 gruppi con 4 5 ragazzi per gruppo due ore di intergruppo in cui ragazzi presentano il loro lavori e i risultati vengono sistematizzati I ragazzi possiedono una discreta dimestichezza con gli ambienti Y Editor Graph eTable della
132. determinante di una matrice quadrata det nomematrice Trasforma la matrice data in triangolare superiore rref matrice Metodo di eliminazione per risolvere sistemi lineari rref matrice completa Restituisce un vettore colonna che contiene le soluzioni di un sistema di equazioni lineari simult matrice dei coefficienti vettore dei termini noti Identity Augment Restituisce la matrice identit di ordine n identity n Restituisce una nuova matrice aggiungendo matrice2 a matricel come nuove colonne augment matrice 1 matrice2 RandMat compresi fra 9 e 9 Per esempio risolviamo il sistema 2x 3y 4z 5 x 2y 5 3x y 5z 0 utilizzando le potenzialita della calcolatrice Immessa in ambiente Home la matrice dei coefficienti matcoef e il vettore colonna dei termini noti tnoti utilizzando il comando simult si ottiene immediatamente la soluzione come si nota dalla schermata a fianco Restituisce una matrice di ordine n composta da numeri interi 2 73 7 4 20003 4 sii 2 O gt matcoef Gers 9 2 I a co ls tnoti o 5 5 0 gt tnoti ANALITIC DEG EXACT FUNC 2 20 simult matcoef tnoti simult matcoef tnoti ANALITIC DEG EXACT FUNC 1 20 Esaurita la fase di istruzione ai ragazzi stata fornita la seguente scheda invitandoli a procedere da soli e a ipotizzare risposte appuntando il tutto sul quaderno Alla fase operativa poi seguita una fase di discussione e di sintesi dei r
133. di P da F uguale alla distanza di P da R in quanto P si trova sull asse del segmento FR 2 Fase Due ore di lavoro di gruppo due ore di intergruppo Ai gruppi viene assegnato il seguente lavoro Situazione Siano dati in un piano una circonferenza c di centro O e un punto F non appartenente a c Per ogni punto R di c si consideri il punto P di intersezione della retta OR con l asse del segmento FR Proposta di lavoro a Costruire il luogo descritto da P quando R varia su c b Individuare come varia il luogo al variare del punto F nel piano c Dimostrare in modo sintetico o analitico la natura del luogo individuato al primo punto Tutti e cinque i gruppi al termine del lavoro di gruppo presentano la seguente costruzione Solo tre gruppi riescono a dimostrare sinteticamente che il luogo un iperbole evidenziando che raggio della circonferenza Un gruppo pensa di associare ai segmenti le loro misure per evidenziare ulteriormente che costante 203 Due gruppi riescono anche a trovare che se il fuoco si trova all interno della circonferenza il luogo diventa un ellisse e lo dimostrano sinteticamente evidenziando che raggio della circonferenza Nessun gruppo dimostra la natura del luogo per via analitica 3 Fase Due ore di lavoro di gruppo tre ore di intergruppo La classe viene divisa in tre gruppi ciascun gruppo lavora su una proposta diversa 1 Gruppo Situazione Siano dati in
134. di fondo 10 PRESENTAZIONE DEL PROGETTO Ferdinando Arzarello UMI CIIM Lucia Ciarrapico MPI Il Protocollo d Intesa sottoscritto alla fine del 1993 dal Ministero della Pubblica Istruzione e dall Unione Matematica Italiana prevede la promozione di programmi comuni per la ricerca e la diffusione di metodologie didattiche adeguate ai recenti sviluppi scientifici e tecnologici nel campo della matematica e delle sue applicazioni In quest ottica sono stati realizzati in questi anni numerosi seminari di aggiornamento rivolti a docenti dei vari ordini di scuola su tematiche fondamentali quali I aritmetica l algebra la geometria l analisi matematica e per venire a temi pi nuovi su logica probabilit e statistica I contenuti dei seminari promossi dalla Direzione Classica Scientifica e Magistrale cui compete il coordinamento delle iniziative sono stati raccolti in una collana nota appunto come i Quaderni della Direzione Classica e costituiscono una fonte preziosa di formazione per docenti di matematica e per maestri Nell ambito delle finalit del Protocollo sono stati realizzati altri progetti con finalit pi specifiche rivolti alla ricerca di metodologie didattiche innovative a supporto dell insegnamento della matematica Tra questi ultimi si colloca il progetto Labclass avviato nell anno 1997 con lo scopo di verificare quali potessero essere i vantaggi in termini di pi alti standard raggiun
135. di una matrice A quella matrice se esiste unica tale che moltiplicata con la matrice data restituisce la matrice identit I In simboli A A A A 1 Calcola l inversa di una matrice di ordine 2 indicandola con A6 Sa ON en i Azzera tutto il contenuto mA SSS E ii Analizziamo il determinante di una matrice di ordine 2 immettendo prima valori numerici qualsiasi e poi a b 3 Ja f c d Se immettendo numeri d Koe a detail a e b d non si riesce a capire quale Fe e aiy regola viene applicata LUGO9SS DEG AUTO FUNC 2230 risulta invece tutto pi chiaro se utilizziamo lettere al posto dei numeri 197 iii Per calcolare il determi Fi Fiv Fiv y Far FE FE nante di una matrice di ordine 3 procediamo allo stesso modo risulta chia abe abe ro quale la regola gene li e gt aa de rale Sarrus e o Laplace g hi ahi det sa a e i f h b d i f 9 c d h e 9 a b c J d e f l g h 1 gt a LUGO99 DEG AUTO FUNC 2 30 Dopo aver lavorato in classe seguendo quanto riportato nella scheda precedente e aver sviluppato il concetto di rango di una matrice ho proposto la seguente Verifica Per cancellare tutto il contenuto della memoria premere 2 E in questo modo si ritorna alle impostazioni fornite dal produttore Dati iniziali 1 Si definisce matrice nulla una matrice con tutti zeri esegui il seguente prodotto quanto vale Cosa deduci dal risultato che
136. di vista tecnico alla costruzione di programmi sulle stringhe ma per il tipo di procedure che si utilizzano porta a riflettere dal punto di vista logico e procedurale sulla struttura algebrica e ge ometrica degli oggetti matematici in esame tant che a volte alcune 154 funzioni sono state costruite con gli studenti contemporaneamente all introduzione di nuove procedure formule e equazioni matematiche mentre altre sono state costruite a casa come ripensamento e sviluppo analitico dei nuovi oggetti matematici introdotti Esempio 3 la funzione esplicit Esplicita l equazione di una retta se possibile rispetto alla y altrimenti rispetto alla x Nella costruzione di funzioni che lavorano su rette pu essere comodo utilizzare le equazioni delle rette scritte come y mx q oppure come x k cio in forma esplicita La chiamata di esplicit permette per nelle varie funzioni di inserire in partenza o di costruire rette con equazioni di qualsiasi tipo anche implicite Tramite i comandi eft eri ght si possono selezionare le espressioni a 1 o a 2 membro di un equazione Si osservi che il confronto relativo alla condizione dell f viene compiuto tra variabili di tipo stringa operando invece con variabili di tipo espressione si possono generare errori esplicit rr Func If string left solve rr y y Then solve rr y Else solve rr x Endl f EndFunc Esempio 4 la funzione distrel Serve come base per il calcolo
137. differiscono significativamente dalle altre prove sostenute dalle classi nel corso dell anno Positiva la valutazione della partecipazione al lavoro in classe 1 Funzione esponenziale La funzione esponenziale stata introdotta attraverso problemi stimolo la cui traccia di soluzione prevede un uso significativo della calcolatrice Ci sembra opportuno descrivere sinteticamente l esperienza citando alcune parti delle schede in riquadro Un capitale di 1000 euro depositato in banca a un tasso d interesse composto del 2 annuo Qual il capitale dopo un anno Qual il capitale dopo due anni 186 Si vuole trovare come varia nel tempo il capitale depositato 1 in ambiente inserisci il capitale iniziale 2 la combinazione di tasti 2 memorizza il valore precedentemente calcolato nell ambiente 3 calcola il capitale dopo un anno 1 1 2 100 4 applica la stessa formula premendo successivamente solamente il tasto ENTER Ricerca della struttura formale della legge matematica in ambiente inserisci la lettera c che designa il capitale iniziale indicato con p il tasso percentuale calcola il capitale dopo un anno D t 1 p 100 applica la stessa formula la macchina semplifica c 1 p 100 per n 1 2 3 4 e cos via ABRWN eR A partire da un nuovo problema nel quale cambia solamente il contesto si propone un diverso uso de
138. e I ragazzi hanno fatto un po di esperienza d uso di queste forme diverse rilevando 64 come l equivalenza tra espressione immessa ed espressione visualizzata non sia sempre semplice da riconoscere Nella figura seguente sono indicate alcune delle prove effettuate dai ragazzi mi x8 3 x243 x4 x 3 x 3 x 1 2 x5 3 x4 3 x2 1 x84 3 x4 3 x2 41 a 1 x gt 1 x 9 x 1 3 x 1 5 3 x2 1 1 1 x 4 3 x4 3 x241 x 2 159 3 1 1 MAIN RAD AUTO FUNC 23730 fig 1 Sono state rilevate alcune regole semplici che la macchina privilegia I ordine alfabetico delle variabili che produce frazioni semplificate ecc Ho raccomandato l attenzione ad indicare correttamente l ordine di precedenza delle operazioni soprattutto nella scrittura di frazioni e la lettura attenta dello schermo per il controllo dei dati immessi In seguito ho utilizzato la TI 92 per attivit di consolidamento e recupero di tecniche di scomposizione in fattori di un polinomio Era mia intenzione rinforzare l idea di reversibilit dei procedimenti di calcolo affiancando esercizi di sviluppo ad esercizi di fattorizzazione Lavorando con N factor si possono scegliere polinomi per cui la scomposizione in fattori primi avvenga in pi di un passaggio Il richiedere una motivazione del percorso evita un uso passivo della macchina da parte degli studenti In alternativa si pu usare la macchina per verificare l equivalenza tra il risultato del
139. e per periodi limitati le TI 92 agli alunni affinch acquistino pratica specialmente con gli ambienti interessati dalla lezione programmata A questa esercitazione ha fatto seguito una simulazione di compito in classe con l utilizzo della TI 92 con la quale mi proponevo di verificare i seguenti Obiettivi abilit nell uso della calcolatrice saper analizzare un grafico ricavandone gli elementi necessari risolvere equazioni e disequazioni per via grafica Durata 1 ora Calcolare gli zeri della funzione y sin 3x 7 4 1 2 nell intervallo 1 7 provando poi a ritrovarli sia per via algebrica che per via grafica Risolvere la seguente disequazione 2sinx 3cosx 2 lt 0 nell intervallo 1 7 motivando la risposta 173 Fra le seguenti espressioni quattro sono equivalenti due a due utilizzando un ambiente opportuno individuarle e per le altre due che non sono equivalenti effettuare una opportuna modifica affinch lo diventino Predisponendo la finestra di visualizzazione come indicato nel riquadro a destra provare a ricavare l espressione analitica della funzione il cui grafico riportato nella figura ve zoon TracelReGraph Mathlorauly A Y MAIN RAD AUTO FUNC Commento Anche se la prova era senza voto la novit di doversi cimentare utilizzando uno strumento prima di allora ma anche dopo disponibile solo in classe ha creato negli alunni molta apprensione Io sono stato molto elastico aiutando gli alunni in
140. e PB e doti Enter SAVE ESC CANCEL USE AND gt TO OPEN CHOICES Fig 10 Si ottiene cos il risultato riprodotto in Fig 11 statua __ a HIS 00 Dr PI x a Enter 0K Si noti che il termine R indice di correlazione che rappresenta la bont della approssimazione uguale a 1 il che significa che la parabola ottenuta passa esattamente peri punti dati come appare in Fig 12 La risposta al quesito proposto quindi a n 4n 8 Possiamo confermare il nostro risultato passando per una via pi tradizionale a 8 5 7 9 2n 1 2n1 1 2n 3 applicando opportunamente la propriet associativa e anche aggiungendo e togliendo 1 e 3 8 1 3 5 7 9 2n 1 1 3 2n 1 2n 3 l espressione tra parentesi quadra rappresenta la somma dei primi n numeri dispari x 2 che come noto uguale a n quindi 8 n 4 4n 4 n 4n 8 che proprio il risultato che prima abbiamo ottenuto per via statistica 43 Bibliografia 1 AA VV Atti del 5 Conference of Austrian Center for Didactics of Computer Algebra Recent Research on DERIVE TI 92 Supported Mathematics Education G sing 1999 http www acdca ac at kongress goesing index htm th 2 AA VV 11 Annual International Ohio State University T3 Summer Institute Week Conference Proceedings OSU Department of Mathematics Columbus 1998 3 AA VV Teaching Mathematics with Derive and th
141. e TI 92 ZKL Nr 2 Westfa lische Wilhelms Universit t Miinster 1996 4 EGGER B Fonctions D rivation et Limites FRAZIER Paris 1996 5 KELLER B A RUSSEL C A Effects of the TI 92 on Calculus Students Solving Symbolic Problems The International Journal of Computer Algebra in Mathematics Education vol 4 No 1 1997 6 TROUCHE L Faire des math matiques au Lyc e avec des calculatrices symboliques Institut de Recherche sur l Einseignement des Math matiques Montpellier 1998 44 COMPUTER ALGEBRA E INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Michele Impedovo Liceo Scientifico Galileo Ferraris Varese Introduzione L insegnamento della matematica sta vivendo negli ultimi anni un ripensamento complessivo dei propri metodi e dei propri contenuti Non si pu certo dire che dalla riforma Gentile in poi la matematica si sia conquistata nel nostro Paese l immagine di una disciplina amata dagli studenti capace di trasmettere in modo naturale curiosit entusiasmo per lo studio e per la risoluzione di problemi passione intellettuale La realt in generale differente la matematica spesso stata disciplina privilegiata di selezione e si pu dire che essa pur essendo insieme all Italiano l unica disciplina studiata nelle scuole di ogni ordine e grado non lasci tracce significative nella preparazione culturale di chi non prosegua gli studi in corsi universitari di tipo scientifico La commissione dei saggi incar
142. e del dado sono i valori possibili di una variabile aleatoria come quelli di una variabile statistica il peso la tabella che ad ogni valore della faccia assegna una probabilit l equivalente della tabella di distribuzione delle frequenze 5 Ad esempio se lancio un dado e non guardo quale faccia uscita potrei spegnere la luce l evento si verificato comunque ma non ho informazioni deterministiche che mi permettono di individuare il numero uscito Ho solo informazioni non deterministiche cio il fatto che il dado ha sei facce ma nient altro Per questo motivo sarebbe indifferente puntare su una faccia prima o dopo il lancio purch nel secondo caso non si conosca quale faccia uscita 315 Il ponte dalla statistica alla probabilit e alle variabili casuali stato gettato si tratta ora solo di sviluppare il discorso Concetti introdotti numeri casuali e pseudo casuali probabilit ConO DADO si apre una nuova tabella Introdurre nella colonna C1 la formula seg rand 6 x 1 30 per generare una lista di numeri casuali Elaborare la tabella come quella dei pesi vedi le indicazioni per PESI e le figure del paragrafo 1 Le figure relative alla tabella DADO sono le seguenti e Econ rrace reGraphnathorawl A ci segCrand 6 x 1 30 ASTAT DEG AUTO FUNC 3 Distribuzioni di probabilit Finalit far lavorare gli alunni sulle distribuzioni pi importanti binomiale gaus
143. e di Fibonacci 54 PFE laigebralcaiclother prantolciean uel 1 n 1 or n 2 Tifin 1 fin 2 else 7 POM Done l henn 1i or n 2 1 fn 1 f n_ ARITM RAD AUTO FUNC 1 30 E fis bralcarclotherlPranrolciean uel l n 1i or n 2 fin 1 f n 2 else FCM seg f n n 1 10 1 i 2 30 B 13 21 34 55 ARITM RAD AUTO FUNC 2 30 La seguente f uncti on invece scritta in ambiente di programmazione prende in ingresso un numero naturale n e fornisce in uscita il numero di cifre del periodo di una divisione per n di qualunque numero primo con n tale numero pn din Fey n War FS EE control I 0 Par Find jausstn ifunre ri 33 tWhile modfn 2 0 n72 gt n Enduhile BETTA modCn 5 0 n 5 gt n Endihile sihile gt i or g 0 eta ner i Endufi le sIf nel nen O Else a EndIf EndFun ARITM RAD AUTO FUNC chiamato il E fis bralcsiclotherlPranrolciean uel a gauss 7 6 gauss 12 1 a gauss 37 3 a gauss 17 16 a gsuss 101 4 a gsuss 47 46 a gauss 40 o gauss 40 gt ARITM RAD AUTO FUNC 7730 La seguente function prende in ingresso due punti oppure un punto e la pendenza e fornisce in uscita l equazione della retta corrispondente Else tus co eel 21 ecchcey Eb eee LEX a 121 EndIf EndFuno ARITM RAD AUTO FUNC E fis bralcsiclotherlPranrolciean uel mretta 1 23 5 1 y mretta 1 23 3 y 3 x 1 mretta 1
144. e funzionalit gestite dagli studenti nei fogli elettronici usuali tramite la possibilit non presente nell ambiente Data Matrix Editor di copiare formule con riferimenti assoluti o relativi da una cella all altra Il grafico in fig 3 stato costruito nel primo e nel secondo quadrante disegnando per punti l ellisse lt P ot Setup gt con ad esempio in PI ot 1 lt Define gt conE come tipo Scatter con ascissa in colonna 1 ed ordinata in colonna 2 Con tratto continuo viene disegnata invece la parabola opportunamente selezionata con in Y Editor In questo modo quando si passa in ambiente Graph per disegnare i grafici possibile visualizzare sempre a pieno schermo l intorno destro dell ascissa del vertice in esame che stato definito con l istruzione lt s e q gt se si seleziona o ZoomData Nell intorno destro dell ascissa del vertice definito dalla lista assegnata tra x lex 2 si osserva la divergenza tra l arco di parabola e l arco di ellisse divergenza che stata analizzata dagli studenti in dettaglio a livello numerico esplorando la tabella di fig 2 e confrontando i valori corrispondenti di ordinate ellisse parabola sulla medesima riga E stata calcolata con gli studenti a conferma per altra via della divergenza tra gli archi delle due curve l eccentricit dell ellisse in base ai valori scelti per c e g 148 Secondo l analisi precedentemente svolta della propos
145. e penna i primi cinque dieci elementi della successione dei numeri pari dei dispari dei quadrati delle potenze n esime di un numero dei fattoriali Quest ultimo esempio ci introduce in modo naturale all idea di successioni in cui ogni termine si calcola a partire in modo esplicito o implicito dal precedente e quindi alle successioni definite per induzione 235 Cos si analizzano le successioni date precedentemente per vedere se si possono generare per induzione Il lavoro sulle successioni definite per induzione non viene sviluppato con l uso delle calcolatrici grafiche che peraltro permetterebbe interessanti approfondimenti mi propongo di sperimentarli il prossimo anno 2 Successioni definite in modo diretto Si usa la calcolatrice per definire in ambiente successioni in modo diretto attraverso ilcomandoseq formula indice inizio fine Attivit a Costruisci utilizzando il comando seq 2n 1 n 0 9 i primi dieci elementi della successione dei numeri dispari b Attraverso l uso dello stesso comando costruisci i primi dieci elementi delle seguenti successioni c Date le seguenti successioni individuate attraverso i loro primi elementi trova una formula che le generi e usala con il comando seq formula n 1 10 per completare i primi dieci elementi delle successioni 0 1 2 2 3 3 4 1 5 2 5 3 9 4 95 discussione dati i primi elementi di una successione la formula che la genera
146. e per osserviamo la figura 4 ci rendiamo conto meglio di quello che la calcolatrice ha in memoria si tratta di un numero complesso che per x lt 0 ha solo la parte immaginaria non nulla mentre per x gt 0 ha solo la parte reale nulla Se a partire da questo numero non vengono svolti ulteriori calcoli tutto a posto il meccanismo di controllo presente nel programma seleziona i valori di x per cui la funzione reale e ne traccia il grafico escludendo invece quelli per cui la funzione non reale I guai nascono dall effettuare ulteriori calcoli Per vedere meglio questo fatto poniamo nell editor funzioni dapprima yl x V x 1 e poi yl x y x 1 visualizziamo i grafici delle parti reali e immaginarie che sono mostrati nelle due parti della figura 5 MAIN RAD ESATTO FUNZ Figura SA parte reale tratto spesso e parte immaginaria tratto sottile di vx 1 Zi MAIN RAD ESATTO FUNZ Figura 5B parte reale tratto spesso e parte immaginaria tratto sottile di Jx 1 Osservando i due grafici facile capire quello che accade se x gt 1 entrambe le quantit sono reali e quindi il loro prodotto che la funzione f x Vx 14x 1 reale nell intervallo 1 1 una di esse immaginaria e l altra reale il prodotto quindi immaginario e non viene tracciato Invece se x lt 1 entrambe le funzioni hanno parte reale nulla e parte immaginaria non nulla Le parti immaginarie vengono moltip
147. e propriet dei logaritmi i problemi e gli esercizi su equazioni e disequazioni logaritmiche sono state poi affrontate in modo sostanzialmente tradizionale con scarso uso della calcolatrice Cos pure gli approfondimenti conclusivi su ordini di grandezza e concetto di informazione La calcolatrice risulta ancora utile per affrontare problemi dove si chiede di individuare una legge di variazione grazie ai comandi del menu CALCULATION TYPE dell ambiente DATA MATRIX EDITOR per la regressione dei tipi LI NREG EXPREG LNREG o POWERREG 193 20 MATRICI E DETERMINANTI Fernando Ilari Liceo Scientifico E Majorana Latina Classe quarta liceo scientifico sperimentazione Brocca Obiettivi Conoscere ulteriori funzioni della TI 92 e operare con le matrici Prerequisiti Conoscenza elementare della macchina generalit sulle matrici Tempi Durata prevista per questa attivit 4 ore pi la verifica Metodi Lezione frontale lavoro individuale Strumenti calcolatrici in rapporto 1 1 lavagna luminosa viewscreen e la scheda allegata Il calcolo matriciale introdotto da Cayley 1858 andato progressivamente nel tempo assumendo un importanza sempre crescente sia perch parte integrante delle conoscenze matematiche richieste nei pi svariati campi matematica statistica sociologia etc sia perch l utilizzo di procedure automatiche ha consentito di velocizzare la trattazione di argomenti per i quali il calcolo lungo e ripetit
148. e risolvere e discutere equazioni e disequazioni anche irrazionali e modulari all interno dello studio di funzioni Tempi 20 ore 80 di verifica finale Strumenti 11 calcolatrici per i ragazzi 1 calcolatrice ogni due alunni 1 calcolatrice per l insegnante 1 viewscreen 1 lavagna luminosa libro di testo Metodi L attivita si articolata in sette fasi che hanno alternato diverse modalit di lezione e diverse modalit di utilizzo della calcolatrice lezioni dialogate nelle quali ho utilizzato la calcolatrice con il viewscreen lezioni guidate nelle quali i ragazzi con la calcolatrice hanno seguito le mie indicazioni lavori di gruppo ed esercitazioni nelle quali i ragazzi liberamente hanno utilizzato la calcolatrice DESCRIZIONE DELLE FASI PI SIGNIFICATIVE DELL ATTIVIT 1 Fase Due ore di lezione in cui ho usato la calcolatrice con il viewscreen I ragazzi non conoscono il funzionamento della calcolatrice CONTENUTI e insieme di definizione zeri e segno di una funzione e passaggio da a e sia dal punto di vista del grafico che da quello dell equazione e passaggio da a e e funzioni definite a tratti 109 Vengono inserite nell ambiente Y E di t or successivamente le funzioni Ed kd e di ognuna viene visualizzato il grafico nell ambiente Graph Chiedo alla classe di determinare l insieme di definizione della prima funzione ye zoon TracelReGraph Math orauly A fig 1 alcuni ragazzi r
149. egli alunni in difficolt ad esempio una calcolatrice simbolica pu aiutare uno studente che ha basi lacunose in algebra nel risolvere equazioni e sistemi che possono intervenire nello studio di altri argomenti come la Geometria analitica o l Analisi L idea serpeggia in varie sperimentazioni ad esempio ancora in Austria ma a quel che mi risulta qualche ricerca sistematica sull argomento stata condotto solo in Giappone mancano 34 notizie su eventuali altri ricerche in particolare nei paesi europei Il Progetto LABCLASS pur non avendo come obiettivo primario quello del sostegno agli alunni pi deboli si inevitabilmente occupato del problema dando risultati contrastanti secondo alcuni colleghi la reazione degli alunni meno portati per la materia stata spesso di rifiuto questi studenti accolgono la calcolatrice come una difficolt in pi Al contrario i pi capaci la accettano con interesse ed entusiasmo ci ha di fatto aumentato il divario tra questi e gli alunni pi deboli Altri colleghi hanno rilevato un effetto del tutto contrario sono stati proprio quegli alunni che in un insegnamento tradizionale avevano i risultati peggiori a mostrare con l uso delle calcolatrici un migliore interesse e a dare 1 risultati pi soddisfacenti E possibile che questi differenti comportamenti siano dovuti a un discriminante la disponibilit delle calcolatrici a tempo pieno Infatti in tutte le classi nelle quali gli
150. ella scoperta guidata Strumenti TI 92 una macchina ogni due alunni lavagna luminosa con view screen schede con proposta di lavoro libro di testo Utilizzo la lavagna luminosa ed il viewscreen ed invito gli alunni a seguire e ripetere sulle loro calcolatrici ci che faccio Dapprima mostro come il comando 3 permette di evidenziare una finestra di dialogo attraverso la quale possibile modificare le impostazioni di modo correnti con ed il tasto possibile scorrere l elenco e scegliere l impostazione desiderata confermando ogni volta In questo modo dividiamo lo schermo in due parti che possono interagire dc I ee lzcon tracelRegraphitath orsuly A Pase 1 page 2 a eert Lh ene 2 2erik 3 fee Number of Graphs SF fart 3 Hi Split Screen Ratio 1 13 Exact Approx gt Italiano Enter SAVE ESC CANCEL Accediamo all ambiente e introduciamo la funzione y Be 15 mediante i tasti 2 a passiamo all ambiente ed analizziamo il grafico 85 della funzione considerata per mezzo dei tasti e che consentono al cursore di descrivere la curva fig 2 Propongo quindi il seguente lavoro SCHEDA DI LAVORO Esplora i seguenti grafici y x 4x 5 x 3x 6 y 4x 4x 1 pop y xT 5x 6 per Che posizione hanno nel piano cartesiano le diverse parabole Quale ascissa hanno i loro punti di ordinata nulla I SES Passiamo ora ad analizzare insieme il grafico della funzione y 4x
151. elli di altre nazioni In particolare mancano quasi completamente nel materiale prodotto all interno di LABCLASS questioni riguardanti la matematica discreta in particolare Probabilita e Statistica e applicazioni di matematica finanziaria calcolo di rendite problemi di rateizzazione che invece sono molto frequenti nelle scuole straniere e non solo in 35 quelle specialistiche tipo i nostri Istituti Tecnici Commerciali Si tenga anche presente che ben diversi sono anche i carichi orari settimanali dedicati alla matematica nei vari paesi si pensi che nelle classi finali di alcuni Licei Francesi si arriva alle otto ore di matematica alla settimana contro le tre dei Licei Scientifici Italiani Queste differenze non sono solo quantitative ma inevitabilmente diventano anche qualitative 4 Non solo calcolo simbolico Un aspetto interessante dell uso delle calcolatrici il fatto che in molti Paesi si pone l accento pi sulle capacit di elaborazione numerica e grafica che su quelle di calcolo simbolico ci dipende da vari fattori primo fra tutti la maggior diffusione di tali calcolatrici che sono obbligatorie per tutti gli studenti di Scuola Secondaria Superiore in quasi tutti gli ordinamenti scolastici in particolare dei Paesi europei A ci va aggiunto anche la particolare impostazione data all insegnamento della matematica nei sistemi scolastici dei vari paesi da questo punto di vista i paesi dell Europa continentale s
152. ens 1 cramer Disp Cramer amp string cramer EndPrgm 305 La tabella di distribuzione congiunta delle frequenze assolute dell esempio precedente pu essere inserita come Matrix votimat nell ambiente Data Matrix Editor cfr fig 10 v flak Plot Setup ceil i fig 10 Successivamente in Ho me la chiamata chi quadr voti mat far eseguire il programma passando come parametro la variabile matrice Si ottengono cos i risultati nella seguente schermata cfr fig 11 della lavagna di esecuzione distribuzioni marginali 26 27 26 26 9 18 12 46 16 4 n unit 105 chiquadro 9 7906 Fi 093244 Cramer 031081 306 307 31 STATISTICA E PROBABILIT ALCUNE IDEE Lucio Carosati Liceo Scientifico G Galilei Ancona L uso di una calcolatrice grafica con le potenzialit della TI 92 tabelle grafici programmazione potenti funzioni predefinite permette di introdurre i concetti matematici in modo pi operativo e amichevole rispetto alla metodologia tradizionale e spesso si presenta la possibilit di ampliare il campo di problemi senza ancora aver completato l iter teorico normalmente necessario per affrontarli Anzi talvolta proprio l osservazione di ci che accade sulla macchinetta che porta a nuove questioni Quello che segue un insieme limitato di idee circa l introduzione di alcuni concetti di Probabilit e Statistica in un triennio di scuola superi
153. ente GRAPH si nota che il grafico non molto chiaro Utilizzando le opzioni del menu Z00M si opera un ingrandimento Lee eccn trsce reGraphnathprsule A EETEoon rrscereGraphathpraule A Si nota che ci sono 4 intersezioni con l asse x si digita N Z00MBOX compare la scritta 1 st corner il primo angolo Ci si sposta con il cursore a sinistra della prima intersezione si preme poi a destra dell ultima e poi in basso fino a che non si delinei un rettangolo che contenga le 4 intersezioni Si preme Viene ingrandita la parte di grafico contenuta nel rettangolo LPTEoonriace reGraphbathorsul A PFE ebcnltrsceledraph sthlorsuly A 2nd Corner 1 8 MAIN DEG AUTO FUNC Si nota che le quattro intersezioni in realt sono due Digitando e fissando gli estremi degli intervalli in cui sono contenute le ascisse di tali punti si trova che tali ascisse valgono rispettivamente 0 666667 che corrisponde a 2 3 lo si ricava dall ambiente HOME e 1 Le altre due intersezioni non determinabili graficamente utilizzando il tasto funzione O TRACE risultano essere comprese tra 1 025 e 0 99 e 1 15 e 1 18 rispettivamente e si vede come la y passa da valori negativi a valori positivi improvvisamente Ci risulta anche e meglio dallo ambiente TABLE dove variando i parametri di impostazione SETUP si possono avere valori numerici della x e della y con pi cifre decimal
154. enti e facendo scorrere sul grafico il cursore libero e leggendo le coordinate dei punti che copre e in modo pi corretto determinando i massimi e i minimi della funzione scegliendo lt 4 gt e in seguito lt 3 gt dal menu lt MATH gt zoon trace ReGraph athlorauly A EFTEoonfrracelReGraphmathporauls __ Minimum Maximum xc 8 59229 uc 1 xc 8 02513 ycii MAIN RAD AUTO FUNC MAIN RAD AUTO FUNC 177 e tracciando nello stesso riferimento le rette y 1 e y 1 e determinando le intersezioni con la funzione F Con carta e penna calcoliamo ora i valori della variabile indipendente per cui si hanno le ordinate massime e minime tenendo conto della simmetria gi verificata risolviamo l equazione che ci d con k20 da cui Gli alunni si chiedono che numeri sono quelli appena determinati non vogliamo approssimarli uno ad uno attribuendo a k un valore alla volta torniamo allora allo schermo base lo possiamo fare con il comando O e poi lt 1 gt oppure con 2 N oppurecon Q Introduciamo x ean e facciamo n m n 1 3 3 In isa o Ea Sin Son Mn Qin calcolare i valori approssimati con il seq z 2 n x n 1 39 comando f oppure con la 6 76 7493 7 19974 A successione di comandi 3 N ela egustSacet cota nd 202 scelta Exact approx 3 Approximate I valori ottenuti costituiscono una successione crescente ma la differenza tra un termine e il precedente va d
155. enti hanno ripercorso l analisi svolta per la cubica Le seguenti figure visualizzano i calcoli ed i grafici esaminati e discussi PF laigebralcaiclother Prantolciean ue T1sebrakeatc other Framiociean up 3173 2 4 43 34 3 91 3 4 x 1Ja So So Define f x x t x need lo 4 x Jax TE 24 3 20 3 21 3 100 4 x3 1 condeno 2722 27 a solvel4 x3 1 09 x x solve 4 x 3 1 0 x EEEE o FUNC 3 730 DEG AUTO FUNC 6 30 MAIN DEG AUT fig 6 fig 7 281 Fee 1 sebra eaTclotherPranto c1esr vel 3 59173 n 47247 1 3 x gt x 629961 2173 fl 47247 Fev yF Draw Sf dx 4724 MAIN DEG AUTO FUNC fig 9 17 _ Fer F3 y f lt x Resrapnhatnlorauls A TE IZ F y f x Minimum xci 629961 MAIN DEG AUTO FUNC fig 10 Lo svolgimento dell esercizio alla luce di quanto detto ha creato minore difficolt di comprensione e non ha prodotto nei ragazzi equivoci o ulteriori paradossi rispetto a situazioni come queste di aree o di misure di segmenti impropriamente dette negative poich gi con l esercizio precedente ci si era portati su di un piano puramente sintattico 283 28 DAI DATI AL MODELLO LA REGRESSIONE Michele Impedovo Liceo Scientifico Galileo Ferraris Varese Una delle attivit matematiche scientifiche in generale relativamente nuova nella scuola secondaria consiste nell ana
156. er evidenziare un interpretazione geometrica non usuale dell integrale definito La prima funzione proposta agli studenti stata si chiesto di determinare gli zeri reali della derivata prima come si pu facilmente ricavare in ambiente Ho me cfr fig 1 PT p1sebrafcaic other Prento c1esri uel Define f x x3 4x Done ade 3 y 2 nf 4 3 x solvel4 3 x 9 x _ 2 3 2 53 x SOR or x e solve C4 3 x 2 0 x gt MAIN DEG AUTO FUNC 3 30 278 Si quindi proposto di calcolare l integrale definito della funzione derivata prima tra x 0 e uno degli zeri precedentemente determinati x cfr fig 2 y aigebralcaiclother ersntolciesn uel 2 43 il Fs Ne 8 8 _ 9 352 a moa 3 27 3 3 as 16 3 expand a a a fig 2 cfr fig 3 fig 3 Quale pu essere la giustificazione della coincidenza tra il valore dell integrale ed il valore della f x per x La risposta sul piano sintattico stata facilme nte ricavata assieme applicando al caso in esame la conclusione del teorema di Torricelli Barrow 279 Sul piano semantico invece l affermazione appare problematica se l unica rappresentazione intuitiva del concetto di integrale definito rimane confinata all idea di area cfr fig 4 Ci infatti ha creato una situazione di perplessit ed un momento di discussione in classe 17m Few _F3 Fav F7 FA e zoom Trace Draw ii MAIN DEG AUTO FUNC fig 4
157. er ogni punto R di d si consideri il punto P di intersezione della retta r per R e perpendicolare a d con l asse t del segmento FR Proposta di lavoro a Determinare il luogo descritto da P quando R varia su d b Individuare come varia il luogo al variare del punto F nel piano Costruisco il luogo chiedendo di volta in volta ai ragazzi quali istruzioni utilizzare Si procede eseguendo i seguenti passi 1 ER re ee gonna Semiretta Vettore etta egmento emiretta Vettore 201 sse Bisettrice Macro Costruzione Somma ci Vettori Compas Trasporto di Misura Luogo di Punti Ridefinisci Punto TDOP tRetta Perpendicolare iRetta Parallela acro Costruzione Somma di ettori Compas Trasporto di Misura Luogo di Punti tRidefinisci Punto 5 Segmento EH Semiretta fiVettore l Retta Perpendicolare Betta hanaltela unt o Medio acro Costruzione Somma di Vettori ompasso rasporto di Misura P Ass Bisettrice M 2 3 4 5 6 7 8 3 Dopo aver costruito il luogo chiedo alla classe di individuarne la natura e di motivare la risposta con una dimostrazione Spostando il punto F nel piano purch non appartenga alla retta d il luogo viene ridisegnato e quindi facile dedurre che pur rimanendo una parabola la curva modifica la concavit La motivazione della natura del luogo per molti alunni immediata la distanza
158. ers x 5 3 x 8 4 25 5 574 235 71 25 EEU I a inters x 5 3 x 8 4 25 5 5 C x 2 25 4 y 2 25 1 25 intersx 5 3 x 8xXuy 25 GEOM RAD AUTO PAR 2 30 GEOM RAD AUTO PAR 5 30 fig 9 fig 10 In fig 10 l equazione della tangente all ellisse nel punto A viene scritta utilizzando le formule di sdoppiamento dato che il punto appartiene alla conica e dopo aver inserito le equazioni delle tangenti nei due vertici si trovano i punti P e P richiesti In fig 11 si calcolano i fuochi e in fig 12 si determinano le equazioni delle rette PFePP Y Y Y Y 1 Fav Fiv Fay FS Fiv re lAlgebralcsiclother Prentolciesn ue re lAlgebralcsiclother eramtolciesn ue 25 25 4 75 4 5 5 retta 2 8 o 5 53 a 7574 z y 23 x 4x 10 3 15 5 5 sB 58 o 32 a rettal LI o 54 5E a 5E o y BX Bois K 5 J 3972 0 retta 5 J 3 2 0 lt 5 5 4 GEOM RAD AUTO PAR 4 30 GEOM RAD AUTO PAR 2730 fig 11 fig 12 165 In fig 13 e fig 14 si calcola il punto d intersezione delle rette PF e PF e si verifica l appartenenza di tale punto alla normale alla curva nel punto A si noti che la verifica avrebbe esito positivo anche lavorando con le rette PF e PF E la1gebralcatclother eramtoleresr ue Box 2 58 is 4 y 2 gt Srettaper 3 x 8 y 25 3 23 inters uy x 8x y 6 rettaper 3 Xx 8Xyu 25 3 2 GEOM RAD AUTO PAR 2230 ve Jargebralcatc rettal 3 23
159. esso di prima e potremo inserire ubriac come sottoprogramma Un programma possibile ubriac2 il seguente FF controli aisr subrlac Pr ram PiLocal i ny gol inc ipeuat ti 8558 Ed For i Edil rl Getti i nell Edin vieliEndFo or e non igndror gt SOh ing 11 11 90 col di illhile true P i ogn ClrDraw eparato Enduhile ubriaci A EndPrgm Al fi nt13n ambiei ne ARTICOLO ARTICOLO con Ora in Home digit RPA GA di Edit il nome del programma ubriecl atered imBe 319 e questo l effetto grafico risultante dopo l interruzione al 14 ciclo con EE Eoonlrrace reGraphmathorsul Z percorsi almeno una volta tutti i cammini non un fatto certo ma comunque Ci si pu fare abbastanza affidamento tanto pi che stiamo usando numeri pseudo casuali generati con un algoritmo Spostando l istruzione ClrDraw prima del ciclo while e togliendo Pause avremo un programma che lascia la traccia di tutti i cammini e proceder finch non premiamo Dopo un numero elevato di tentativi avremo la rete completa come in RETE2 Nella figura RETEI ottenuta dopo 20 tentativi si nota che i cammini centrali sono stati percorsi pi di altri anche se non siamo in grado di stabilire una probabilit attendibile troppo poche sono le prove effettuate In RETE2 dopo 310 tentativi tutti i cammini sono stati percorsi e gi si potrebbe
160. eta il tuo lavoro rispondendo alla questione Gli elementi della seconda colonna ti permettono di enunciare qualche caratteristica della successione ottenuta 184 185 19 ESPONENZIALI E LOGARITMI Roberto Ricci Liceo Scientifico Righi Bologna Anna Maria Rossini Liceo Scientifico L daVinci Casalecchio Bo Classi Quarta classe di Liceo Scientifico una di ordinamento e una PNI Obiettivi Scoprire le funzioni esponenziali e logaritmiche a partire da problemi concreti saper passare alternativamente dal problema alla formalizzazione e viceversa costruire grafici di funzioni esponenziali e logaritmiche e saperli interpretare anche per la risoluzione di equazioni e disequazioni Prerequisiti Familiarit con gli ambienti Home Y Editor eGraph Tempi 24 ore Le attivit in classe si sono svolte in modo coordinato tra i due insegnanti a partire da dicembre fino a met febbraio circa dedicando 12 ore alla presentazione dei contenuti organizzata talvolta in attivit individuale o di coppia con calcolatrice grafica e con schede talvolta con lezione frontale con l ausilio del view screen le altre ore sono state dedicate al necessario lavoro di esercitazione nonch di valutazione scritta e orale in classe La prima verifica scritta stata svolta sulla base di uno stesso testo mentre la seconda sui logaritmi qui non riportata differiva leggermente I risultati delle prove scritte non differiscono tra le due classi n
161. fatto che esistano numeri che non possono essere messi sotto forma di frazione In questa classe ho cominciato a costruire il terreno favorevole considerando la rappresentazione decimale delle frazioni al variare del denominatore abbiamo preso in generale come numeratore il numero 1 le varianti su questo punto non sono essenziali Hanno iniziato a guardare cosa succedeva alle divisioni 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 prima in ambiente Home in modalit approssimata poi in ambiente Table avendo messo in y editor la funzione 1 x con valori di x interi positivi Hanno fatto alcune osservazioni o le cifre si ripetevano dopo un po oppure erano un numero finito Allora siamo passati a considerare i resti di tali divisioni prima domanda quanti potevano essere i resti tutti diversi fra loro e come si calcolano alla seconda domanda la risposta stata immediata si moltiplica il resto per 10 e si continua la divisione alla prima stato necessario ragionarci sopra Una volta concluso che i resti possibili tutti diversi non potevano essere pi del divisore siamo andati in Program Editor e abbiamo fatto un programma che restituisse le cifre del quoziente e quelle dei resti 69 fig 1 In questo modo risultato chiaro che i casi possibili sono soltanto due o un numero periodico o decimale limitato G T ione ds 20604 Ad sresto 1 7 Done resto 1 7 gt MAIN RAD AUTO FUNC 1 30 MAIN RAD AUTO FUNC 7 30 fig 2 fig 3
162. fico di fs x H arcsenxl osserviamo che la funzione risulta definita non solamente nell intervallo 1 1 ma su tutto l asse reale 17m _Fev Y_F3 e fo z00m Trac Figura 3 il grafico di f5 x arcsenx Anche il grafico della funzione composta f x sen arcsenx risulta definito su tutto l asse reale 25 Che cosa succede dentro Possiamo renderci conto di quali siano i comportamenti interni della macchina e i valori da essa calcolati realizzando alcuni semplici esperimenti Nella schermata di introduzione delle funzioni conviene riservare il nome y1 x alle funzioni che di volta in volta studieremo e definire y2 x re y1 x y3 x im y1 x real e imag per la versione inglese scegliendo due stili grafici diversi per y2 x e y3 x nelle figure mostrate nel seguito y2 x in tratto spesso mentre y3 x in tratto normale 1 Le funzioni radice Poniamo yl xj V x e tracciamo il grafico possiamo osservare la figura non riportata per motivi di spazio che tutto regolare Tracciamo poi i grafici di y2 x e y3 x vedi la figura 4 La figura 4 ci mostra che se x gt 0 la parte reale non nulla e quella immaginaria nulla nella figura il grafico della parte immaginaria si confonde con l asse delle ascisse mentre viceversa se x lt 0 la parte reale nulla e quella immaginaria diversa da zero Figura 4 parte reale tratto spesso e parte immaginaria tratto sottile di
163. figure 13 14 mostrano i primi due livelli di complessit per triangoli interni PFaLconltraceReGraohbisthprsule A FESi00n tracekeGrsenimsthprswle A DEG APPROX DEG APPROX fig 13 fig 14 SECONDA LEZIONE parte seconda analitica due ore Obiettivi abituare gli studenti a scegliere la strategia risolutiva pi adatta per risolvere problemi sulle progressioni geometriche e Si studia la successione dei perimetri delle figure ottenute dalla costruzione per triangoli esterni Il perimetro Py del primo triangolo 3 avendo ipotizzato L 1 Il perimetro P della seconda figura sar P 4 1 3 1 3 1 3 4 essendo ogni lato del triangolo diviso in quattro segmenti di lunghezza 1 3 cio P 4 3 Po 231 Il perimetro P della terza figura sar P 16 1 9 3 essendo ogni lato del triangolo diviso in sedici segmenti di lunghezza 1 3 3 1 9 cio P 4 3 Po ragionando allo stesso modo il perimetro P della quarta figura sar P3 4 3 Po Dopo n passaggi successivi si ottiene P 4 3 Po Studiando questa successione si nota che il rapporto di ogni termine con il suo precedente sempre costante vale 4 3 quindi si tratta di una progressione geometrica di ragione q gt 1 che al tendere di n all oo diverge all oo I ragazzi hanno colto il risultato per i non addetti ai lavori paradossale confronta figure 15 16 17 18 fre zoonjenit listsielaes
164. forza esiste una regola generale Quale forma ha Come posso dimostrarla Naturalmente ricorriamo alla formula gi dimostrata per la somma parziale e troviamo Intuitivamente si osserva che se q lt 1 diventa trascurabile x quanto pi n cresce Pertanto il limite sar A questo punto anche possibile dare una dimostrazione formale 5 Ancora sull introduzione al concetto di limite Anche l ambiente di programmazione delle TI 92 pu essere estremamente utile per indagare sull andamento di una successione e sul concetto di limite Il lavoro che segue utilizzato alla fine del percorso realizzato nella quarta sulle successioni finalizzato a e riprendere il concetto di andamento di una successione in forma dinamica 242 mostrare il legame operativo tra il concetto di algoritmo e quello di successione riprendere la definizione di limite L algoritmo molto semplice e si limita a usare le potenzialit di calcolo della TI 92 per calcolare il valore dei primi termini di una successione visualizzandoli in forma decimale Il programma del tutto analogo a classici esercizi di semplice programmazione in un linguaggio strutturato ad esempio il Turbo Pascal E stato costruito da me ma pu essere fatto costruire agli alunni e utilizza le funzioni di calcolo simbolico delle TI 92 Il listato il seguente success Prgm Local f inizio fine numcifre i j Cirio Dialog Request successione f Request per n da
165. funzionamento scorretto della funzione In figura 5 sono mostrati alcuni esempi di utilizzo della funzione pcoef 17 Pe la1gebralcatelother ergm1o c1esn uel max b x 0 ppp ax b xte pcoef ppp x fc b a at 2 2 t 1 gt ppp t3 2t2 t 1 pcoef ppp t Cl 1 5 2 gt 15 RACT Fig 5 Una volta che disponiamo della lista dei coefficienti relativi a due polinomi p e q vogliamo costruire la lista dei coefficienti dei polinomi p q e pq La prima lista semplicemente la somma delle due liste se le liste sono di uguale lunghezza condizione che pu sempre essere ottenuta aggiungendo ove necessario uno o pi zeri in coda alla lista pi corta Costruiamo dapprima una funzione di servizio az che aggiunge un prefissato numero di zeri in coda ad una lista poi utilizziamo tale funzione per sommare le liste dei coefficienti di due polinomi assegnati 1 Fe Fiv FA FS Fe fre bcontroi tolarlFina ede tFanc iLocal nl i sugment 11 newListn333n1 nl EndFunc Come si vede la funzione az prende in ingresso una lista 11 e restituisce in uscita la lista n1 ottenuta dalla precedente mediante l aggiunta di n zeri in coda A questo punto l addizione tra polinomi immediata Forio Pas iape econo aNs iape latibele ee Els melan dim 1b 2m If nom Then n m_ Then A eee nemi gt 1lc tible Els azoa m n lb lc SAM Then tEndIf az lb n m gt 10 se Cla m n lb gt 1c dif mo Meme SNe Si et n 18
166. ggerito nell ambito dell attivit didattica nuovi ambiti da esplorare e sempre e spesso e talvolta emai Domanda 8 337 9 L uso della calcolatrice ha migliorato l organizzazione della lezione frontale sempre spesso talvolta mai Domanda 9 338 10 Quale ambiente della calcolatrice hai usato raramente e Home Y Editor e Graph Table Data Matrix Prog e Geo Domanda 10 339 BIBLIOGRAFIA Libri G C BAROZZI S CAPPUCCIO Le calcolatrici grafiche nell insegnamento della matematica PITAGORA EDITRICE Bologna 1997 C DI STEFANO Dalla matematica alle calcolatrici grafiche Voll A e B GHISETTI E CORVI EDITORI Milano J M FERRAD H LEMBERG Math matiques concr tes illustr es par la TI 92 et la TI 89 SPRINGER VERLAG FRANCE Paris 1998 M IMPEDOVO Matematica Insegnamento e computer algebra SPRINGER VERLAG ITALIA Milano 1999 B KUTZLER Introduzione alla TI 89 Trad italiana a cura di P Brandolin e R Fazio GIOVANNI BATTAGIN EDITORE Treviso 2000 L TROUCHE Calculatrices symboliques un d fi math matiques RESEAU ACADEMIQUE LANGUEDOC ROUSSILON Monpellier 1997 M VEN MICHELOTTI inforMatematica SANSONI PER LA SCUOLA Milano 2000 Riviste Ipotesi la tecnologia nell insegnamento scientifico PITAGORA EDITRICE Bologna The International Journal of Computer Algebra in Mathematics Education RESEARCH INFORMATION LTD UK 340
167. gli sqm nella stessa posi zione in modo da renderli confrontabili il che significa prenderli come unit di mi sura degli scarti in entrambe le distribuzioni C allora da applicare l omotetia sempre orizzontale e quindi complessivamente la trasformazione che permette di confrontare lo scostamento dal valor medio di due dati anche di distribuzioni diverse 313 Gli alunni sono piuttosto interessati a questi confronti e tendono poi ad applicarli alle prove successive per vedere come si collocano rispetto alla media della classe e quindi a confrontare il loro andamento relativo Anche se non si arrivati alla curva normale la strada aperta 2 Dalla statistica alla probabilit Finalit introdurre il concetto di probabilit nelle varie impostazioni del calcolo delle probabilit introdurre il concetto di variabile aleatoria casuale Il concetto di variabile aleatoria piuttosto oscuro e astruso se presentato in modo formale partendo da situazioni solo probabilistiche in particolare fatte di Teste Croci e palline Bianche e Nere soprattutto non se ne comprende l utilit quando tutto sommato per calcolare la probabilit degli eventi basta appunto il concetto di evento Un idea per superare l ostacolo quella di introdurre la probabilit dopo la statistica partendo inizialmente da un fenomeno statistico in cui gi il concetto di variabile statistica stato acquisito Problema 1 facciamo lanciare un
168. ha stimolato il coinvolgimento dei ragazzi e ha fatto s che la dimostrazione finale fosse accettata con una piena disponibilit Le successive varianti sono state le seguenti 1 Dato un angolo e due punti interni ad esso trovare il percorso minimo per andare da A a B toccando i due lati fig 5 MAIN DEG AUTO FUNC fig 5 2 Dato un quadrato e un punto su uno dei lati trovare il percorso minimo per tornare allo stesso punto toccando tutti i lati fig 6 Gli esempi che sono stati utilizzati sono il biliardo e gli specchi Questo problema stato scomposto in due fasi la prima in cui si chiedeva dati due punti P e Q su due lati opposti di un quadrato qual il percorso minimo per andare da P a Q e quindi da Qa P 98 la seconda come deve essere scelto Q affinch tale minimo percorso parta da P e ritorni in P La soluzione unica o varia al variare di P Quanto lungo il minimo cammino rispetto al lato del quadrato PRE FORTE P2 1 MAIN DEG AUTO FUNC fig 6 Lo studio di triangoli e parallelogrammi con simmetrie il rapporto di proiezione e i teoremi di Pitagora e di Euclide hanno completato questo percorso attraverso la geometria Considerazioni complessive Una prima considerazione interessante mi sembra la seguente di solito quando si disegna a mano un triangolo isoscele si cerca automaticamente di fare due lati uguali ma quando si usa Cabri la cosa pi semplice e pi significativa costruire un
169. he pur con qualche imprecisione legata alle modalit di misura di Cabri dava un idea della congruenza fra segmenti Pi difficile stata invece la ricerca delle condizioni di ABCD che davano origine ad un particolare parallelogrammo MNPQ alcuni allievi si sono fermati a situazioni particolari affermando ad es che e perch MNPQ sia un rombo ABCD deve essere un rettangolo e perch MNPQ sia un rettangolo ABCD deve essere un rombo In questi casi stato utile muovere i vertici di ABCD mostrando situazioni pi generali che davano origine a particolari quadrilateri interni Il dimostrare che MNPQ un parallelogramma non ha dato difficolt alcuni studenti hanno intuito l utilit di tracciare la diagonale AC ed hanno comunicato ai compagni la scoperta MAIN DEG AUTO FUNC fig 2 Questa modifica grafica ha facilitato la scoperta di relazioni tra lati di MNPQ e diagonali di ABCD ed ha fatto s che alcuni allievi riformulassero le congetture relative alla seconda parte del problema Per poter individuare pi facilmente le situazioni particolari qualche gruppo ha ritenuto opportuno introdurre la misura di lati o angoli che dava un idea per la ricerca della congruenza 92 L attivit si conclusa con una discussione in cui si mettevano in comune gli elementi acquisiti e quelli dubbi gli allievi hanno quindi stilato individualmente una dimostrazione che io ho ritirato e corretto A distanza di una sett
170. i 120 T X gg Setup sed T 5 5961 1 02 8 1601 15 852 _ T STi lundef TT 2 99 14 99 0 98 7 225 fT S 97 4 661 ese 13 37 TT A questo punto si pu introdurre il concetto di limite spiegare cosa un asintoto Che le intersezioni siano due deriva dalla propriet che una frazione uguale a zero solo se il numeratore uguale a zero e il numeratore in questo caso un trinomio di secondo grado che pu avere al massimo due zeri Le altre due intersezioni sono gli zeri del denominatore che sul grafico in questo caso particolare con questo tipo di calcolatrice e quando la funzione passa improvvisamente da valori positivi a valori negativi e viceversa pu sembrare che siano rappresentati da due rette parallele all asse y cosa che in realt non Ci comporta un analisi critica del grafico un confronto con le conoscenze che si hanno la ricerca di altre strade per trovare la soluzione Risolvendo in HOME si ottiene che i valori che annullano il numeratore sono 2 3 e 1 quelli che annullano il denominatore sono 1 e 7 6 che genera il numero decimale periodico 1 1 6 Analizzando il grafico si trovano le soluzioni della disequazione iniziale l lt x lt 2 3 v 1 lt x lt 7 6 ESERCIZI DA SVOLGERE seguendo l impostazione precedente 2 x 1 x x 3 gt 0 ecc 2 Trasformazioni di funzioni Prerequisiti conoscenza delle traslazioni e delle simmetrie
171. i grandi che hanno gi parlato di trasformazioni di vettori e matrici si possono appunto usare le matrici digitare 3 2 5 1 gt matrice la matrice del sistema 1 3 gt vett il vettore dei termini noti simult matrice vett restituisce il risultato del sistema sotto forma di vettore 7 13 4 13 La virgola separa gli elementi nella stessa riga il punto e virgola separano le righe Anche senza assegnare la matrice o il vettore a delle variabili si pu procedere per esteso simult 3 2 5 1 1 3 Nella riga sopra compaiono scritte esplicitamente la matrice e il vettore sulla sinistra e il risultato sulla destra gt matrice 5 1 5 1 1 1 gt vett 3 vettore 3 ssimuttl s_1 3 iis MAIN RAD AUTO FUNC 3 30 fig 7 Immagino che quando si ha a che fare con una parabola passante per tre punti questa sia la via pi conveniente Abbiamo anche dato qualche definizione e sistemato le procedure ma senza esagerare la discussione sulla risolubilit di un sistema stata rimandata a dopo la verifica 82 Problemi emersi durante il lavoro 1 Non so se l anticipare in maniera informale l equazione delle rette nel piano sia positivo per il seguito non vorrei che le dessero gi per studiate e non so come prenderanno il fatto di ricominciarle da capo alla fine dell anno 2 Io mi diverto molto una parte della classe anche ma una parte ancora diffidente soprattutto quelli bravi no
172. i coefficienti binomiali Facciamo infine prendere agli alunni un po di dimestichezza con le varie righe del Triangolo suddetto Un aiuto all ultima esigenza viene ancora dalla TI 92 lo sforzo di far generare alla macchina tali numeri costringe a controllare la correttezza dei risultati e questo porta ad una maggior confidenza con i simboli C x Problema 4 rappresentare in una tabella i coefficienti C cio in un triangolo di Tartaglia Pascal con n prefissato I numeri C nella TI 92 sono FPO oot esuli ele oie li eae generati dalla funzione predefinita jima Preso fuaste ert nCr n k in cui i parametri n e k o sono numeri naturali o sono variabili istanziate in Home La tabella COMBI calcola C x con n 5 c3 seg nCrln k k 0 n ARTICOLO RAD AUTO c1 seq x x 1 n 1 COMBI c2 seq x x 0 n c3 seg nCr n k k 0 n 321 La tabella PASCAL riproduce invece il triangolo di Pascal con i coefficienti C disposti su colonne A Tas Tere e ee pelos pei beser oltja DATA 1 2 3 4 5 6 7 c seq nCr n k k 0 n RAD AUTO ASTI RAD AUTO PASCAL con a e le altre colonne c1 seq k k 0 n c4 seq nCr n 2 k k 0 n 2 c2 seq nCr n k k O n Li c3 seg nCr n 1 k k 0 n 1 c10 seg nCr n 8 k k 0 n 8 Con le formule introdotte fino alla colonna C10 si pu arrivare fino ad n 8 per avere un triangolo completo Con n gt 8 si avranno le ultime 9 righe del triangolo Cambiando
173. i linguaggi di programmazione si sono affiancati da tempo programmi che sono il risultato di un importante settore della ricerca matematica la Computer Algebra I cosiddetti computer algebra systems cio quei software capaci di svolgere non solo calcolo numerico ma anche calcolo simbolico sono in grado di trattare polinomi ed espressioni fattorizzare ed espandere calcolare derivate e integrali definire funzioni e molto altro il tutto in forma simbolica e con la stessa notazione usata dai matematici I sistemi di calcolo simbolico hanno oltre alle funzionalit numeriche da tempo gi implementate su software rappresentazione grafica di funzioni cartesiane parametriche polari in 2D e 3D rappresentazione di grafici a dispersione e calcolo di funzioni di regressione risoluzione di equazioni derivate in un punto integrali definiti quattro nuove grandi aree di funzionalit 1 L aritmetica esatta con numeri razionali reali complessi 2 Il calcolo algebrico simbolico per manipolare oggetti polinomi espressioni razionali e irrazionali espressioni trascendenti vettori e matrici e risolvere equazioni 3 La possibilit da parte dell utente di definire nuove funzioni che si aggiungono alla libreria di funzioni gi predefinite 4 La programmazione che pu sfruttare tutte le funzioni di libreria sia quelle predefinite sia quelle definite dall utente Questi software alcuni dei quali ormai di larghissimo uso D
174. i abbastanza buoni quasi tutti sono riusciti a risolvere il primo esercizio solo una parte riuscita ad affrontare parte o tutto del secondo si sono registrate solo due gravi insufficienze Il lavoro si rivelato prezioso anche per la prosecuzione dell attivit didattica su derivate e studi di funzioni che si svolta l anno successivo i ragazzi hanno dimostrato di aver effettivamente compreso il significato dei concetti presentati e questo ha favorito la trattazione teorica e le conseguenti dimostrazioni 277 27 L INTEGRALE DEFINITO SEMPRE UN AREA Sarah Baratta Giorgio Ravagnan Liceo Scientifico G B Benedetti Venezia Geraldo Vettorazzo I R R S A E Veneto Mestre Venezia Classe quinta Liceo Scientifico P N I Obiettivi discussione sui possibili significati del concetto di integrale Prerequisiti conoscenza del calcolo differenziale e nozioni elementari di calcolo integrale Tempi due ore di attivit in classe Metodi lezione frontale ed interattiva utilizzando interattivamente pi ambienti della calcolatrice Abbiamo proposto agli studenti di una classe quinta di Liceo Scientifico a conclusione dello studio delle propriet fondamentali del calcolo integrale definito ed indefinito l analisi di particolari correlazioni tra i grafici di cubiche o quartiche con i grafici rispettivamente delle loro derivate prime In entrambi i casi le funzioni sono state scelte ad hoc termine noto nullo per pot
175. i assomigliano abbastanza mentre ad esempio negli Stati Uniti prevale una impostazione pragmatica molto orientata ai problemi presi quando possibile della vita reale anche per questo motivo gli esempi di applicazioni provenienti dagli Stati Uniti sono spesso dedicati allo studio delle Scienze ancor pi che della Fisica sfruttando molto anche la possibilit di acquisire dati attraverso appositi sensori vedi ad es 2 5 Un problema molto sentito verifiche e esami finali Un problema che accomuna gli insegnanti sperimentatori di LABCLASS e quelli di altri Paesi quello delle verifiche molto spesso nelle prove di verifica vengono sottoposti agli studenti esercizi per affrontare i quali sufficiente aver capito e memorizzato un particolare algoritmo risolutivo o un insieme di tecniche di calcolo ad esempio calcola la derivata della seguente funzione semplifica e scomponi in fratti semplici la seguente frazione algebrica ecc E evidente che non pensabile riproporre quesiti di questo tipo a studenti che hanno a disposizione una calcolatrice simbolica anche se il saper eseguire calcoli con la calcolatrice in fondo un tipo importante di abilit Ci si trova quindi nella necessit di riformulare opportunamente i quesiti tradizionali e soprattutto di crearne dei nuovi che tengano conto della presenza di questi potenti strumenti di calcolo Certo non facile rinunciare a tipologie di quesiti ormai con
176. i consideri il quadrato K di vertici A 1 0 B 1 2 C 1 2 D 1 0 si determini la figura K trasformata di K in T e si calcoli il rapporto fra le aree Rappresentare graficamente Si consideri la parabola P di vertice V passante per i punti A e De si determini la conica P sua trasformata in T Si classifichi P Si consideri l equazione della circonferenza C inscritta nel quadrato K e si determini la conica C sua trasformata in T Si classifichi C Si determinino i punti intersezione di P e C 2 Si consideri la trasformazione lineare T che muta i punti A 1 1 B 0 1 C 1 0 rispettivamente nei punti A4 43 153 2 B CLV3 C_S3 12 Si studi la trasformazione ottenuta e si determinino i punti uniti Si determinino inoltre i vertici del parallelogramma corrispondente al quadrato di vertici A 1 1 D 1 1 E 1 1 F 1 1 3 Si determini l equazione della circonferenza passante per i punti 4 7 5 0 3 6 palo si trovi la sua trasformata nell affinit nice si dia una rappresentazione grafica approssimata della conica trasformata 222 223 23 UN APPROFONDIMENTO DELLE PROGRESSIONI GEOMETRICHE Antonio Travaglini Liceo Scientifico G Galilei Lanciano Ch Classe Quarta Liceo scientifico sperimentale PNI Obiettivi usare la T 92 per recuperare gli alunni pi deboli dando loro un punto di appoggio per superare le difficolt abituare gli studenti a scegliere la strategia risolutiva pi
177. i passi hai istruito la TI 92 affinch rappresenti il grafico degli elementi della successione vai quindi in modalit grafica R v E lzoon traceResraphMath orauly Z Anche in questo caso con lt ZOOM gt puoi visualizzare meglio i punti xc 8 11469 uc 511568 MAIN RAD AUTO SEQ Puoi anche costruire una tabella nella quale siano elencati gli elementi della successione Con T aprila finestra nella quale puoi impostare la costruzione della tabella in tblStart inserisci 1 il valore nmin assegnato in Window Editor in Atbl inserisci 1 l incremento di n e poi premi 183 1 Fer Fi Fur FS F tblStart BH atolli _ ____J Graph lt gt Table OFF gt Independent AUTO Enter SAVE ESC CANCEL gt ALE Acc TYPE CENTER 0K AND CESCI CANCEL Quando premi la combinazione di tasti Y compare la tabella con i primi 8 valori della successione tenendo premuto 2 e il cursore verso il basso visualizzi una pagina alla volta della tabella Gli elementi sono comunque pochi per capire l andamento della successione modifica tblStart accedendo alla finestra di impostazione tabella con T Prova ad inserire 45 e visualizza due pagine otterrai le seguenti tabelle 47 09093 ___ _ __L __ _ 48 08998 ___ ___ ___ _ 08907 o o o aa SO E E sl E E Si L seszi ff 52 086439 n 45 MAIN RAD AUTO Prova ancora inserendo 100 o 500 Compl
178. i sommariamente illustrati i diversi ambienti con i rispettivi comandi essenziali e si lasciato un po di tempo ai ragazzi circa un paio d ore non consecutive per esplorare in piena libert la macchina Una delle cose che ha subito creato un certo interesse stata la possibilit di tracciare grafici a partire da equazioni Incoraggiati in tal senso ma sempre inizialmente molto liberi di operare gli studenti si sono appropriati dei principali comandi degli ambienti Home Y Editor GRAPH e TABLE tracciando a loro piacimento grafici di rette parabole iperboli equilatere in forma esplicita ritrovando risultati gi noti ma anche nuovi aspetti di contenuti gi acquisiti L uso dell ambiente TABLE ha permesso di esplorare sia localmente sia globalmente le funzioni delle quali si era tracciato il grafico In questa fase non strutturata di tanto in tanto venivano suggerite indicazioni sull uso dello zoom tasto F2 per una migliore visualizzazione sulla procedura per settare l ambiente TABLE per tabulare i valori delle funzioni sulle modalit per passare dall ambiente HOME all ambiente Y Editor eviceversa 250 I comandi e le istruzioni pi specifiche e meno evidenti da cogliere sono stati introdotti a mano a mano che se ne presentava la necessit anche se alcuni alunni a volte riuscivano ad acquisirli da soli Sono inoltre state messe a disposizione alcune copie del manuale di istruzioni I ragazzi pertanto quando si
179. i u4 presentano qualche problema a causa della rapida crescita esponenziale difficilmente riusciamo a visualizzare un numero significativo di punti L esame della tabella evidenzia meglio il loro andamento Gli alunni fanno le loro osservazioni la prima successione costante la seconda crescente anzi pi si procede pi rapida la crescita E una progressione geometrica di ragione 2 e per essa abbiamo gi detto esprime ndoci in modo intuitivo che tende all infinito 238 La quarta oscilla tra valori positivi e negativi comunque il valore assoluto sembra crescere oltre ogni limite La terza successione decrescente il valore di u 3 tende a zero Ma che cosa significa tende a Le ultime due successioni definite ci aiutano a chiarire meglio il concetto ne tabuliamo i valori qui sono rappresentati 1 valori dal quattordicesimo al ventunesimo es _e____L__L_ E 14 1 0714 1 0714 15 1 0667 1 067 ___ ___ 16 1 0625 1 0625 1 0588 1 059 18 1 0556 1 0556 ___ _____ 19 1 0526 1 053 Sd SCS 20 11 05 1 05 1 A A 21 i 0476 1 045 TT zii MAIN DEG AUTO SEG Definiamo i parametri della finestra grafica in modo da poterle visualizzare in modo efficace nmax 20 plotstrt 1 Plotstep 1 xmin 1 xmax 20 xscl 1 umin 2 umax 2 uscl 1 MAIN DEG AUTO SEG e tracciamo il grafico di e di eee lzoom TraceleGraph ath orauly A ETEocnfrrace ReGraph
180. i0 Title on 1 I ARTICOLO D AUTO ARTICOLO FUNC PESIMS altre colonne Ora confrontiamo i nostri risultati con quelli ottenibili dalla TI 92 Con Calc impostiamo i parametri come in PARAMETRI 3 in cui vediamo l uso delle frequenze presenti in C2 Con otteniamo i risultati della figura ELAB 2 rire ne a d4 Calculation Type OneVar gt x 2960 gt 1 x 178212 5 i iege Pyles gt 2 Sx 7 799137 eq and Categories VES 3 859 nStat 50 4 6 mink 47 5 5 ql 52 5 6 medStat 57 5 Include Categories Enter SAVE CEnter 0K PARAMETRI 3 ELAB 2 Si nota che Sx che dovrebbe essere lo sqm un po diverso In effetti la TI 92 usa direttamente 6 n cio lo sqm corretto per piccoli campioni si ottiene una migliore stima per lo sqm della popolazione ma per n gt 30 non ci sono differenze rilevanti La formula per 0 n 1 potremmo inserirla come segue in C10 c10 V sum c2 c1 c7 2 sum c2 1 Possiamo anche notare due modi diversi di elaborare le tabelle nelle prime colonne impostiamo gli elementi necessari per poi calcolare o n in C9 invece in C10 mettiamo un unica formula 312 Inoltre in C7 la media viene posta in tutte le righe della tabella perch poi verr usata per il calcolo di n questo perch nella TI 92 non possibile utilizzare un solo dato per combinarlo con tutti quelli di un altra colonna Problema 2 andat
181. icata dal Ministero della Pubblica Istruzione di prefigurare i nuovi scenari per la scuola del 2000 ha redatto un documento poco indulgente nei confronti dell insegnamento delle scienze e della matematica in particolare Gli insegnamenti scientifici sono ancora oggi legati in gran parte ad un apprendimento dai testi quindi essenziale un profondo ripensamento dei modi spesso pedanti con cui sono esposte le scienze in simili strumenti si tratta insomma di rendere meno labile il linguaggio scientifico pi evoluto almeno nei suoi aspetti pi elementari In questa operazione possono essere utili i sistemi multimediali di simulazione il cui ruolo e le cui funzioni andranno chiaramente identificati e promossi particolarmente in rapporto all esigenza di disporre di rappresentazioni mentali efficaci e operative Un attenzione particolare e profondamente innovativa sul piano metodologico va riservata all insegnamento della matematica che attualmente registra soprattutto a partire dall attuale scuola media il maggior numero di fallimenti a aiutati dagli insegnanti e dagli stessi compagni a pensare a percorsi alternativi di soluzione e ad utilizzare 45 in positivo le cui si aggiungono un gran numero di esiti al limite dell accettabilit La ricerca sulla matematica non scolastica indica la necessit di insegnare agli studenti ad usare idee e tecniche di tipo matematico nella soluzione di problemi diversi sia di scienze fisico naturali sia
182. ico della funzione yar e quello della sua derivata e vengono calcolate le equazioni delle rette tangenti con il menu Math in alcuni punti della funzione x 3 x 2 x 1 x 0 x 1 ree leecn tracelReraphiMath orauly A FTEoca rracelreGraph ior 7 Si compila la seguente tabella inx 3 in x 2 inx l in x 0 in x 1 in x 2 Si confrontano quindi i valori assunti dalla derivata in corrispondenza degli stessi valori di x con l utilizzo dell ambiente Tab e 273 Si ripete il procedimento anche con altre funzioni e dopo pochi esempi il legame tra i valori assunti dalla derivata e 1 coefficienti angolari delle rette tangenti evidente Nella fase di discussione vengono riprese anche alcune questioni emerse nell attivit 3 che possono essere ulteriormente motivate alla luce della nuova definizione del concetto di derivata Si prosegue l attivit presentando i grafici di alcune funzioni modulari o irrazionali e quelli delle rispettive derivate Vengono inoltre tabulate le funzioni nell ambiente Tab e e calcolate in ambiente Home le espressioni analitiche delle funzioni derivate Funzione racelreGraphathorsu e A 3g 273 Alu x LX FUNC 171 TERZAF RAD AUTO 274 Funzione FF zoon tracelReGraph iathlorauly A 4100 zie Funzione i F F4 x ul 44 T T_T 4 _ 98168 0183 __ L__ ___ 3
183. idenzia l utilizzo e la diversit in esecuzione tra le due funzioni Bdistrelix 4 0 8 Bdistrelix y 0 f0 135 Bdistrettix y 0 00 135 distretttxty 0 0 135 GEDH RAD AUTO FUNC 1 3 fig 1 Esempio 5 le funzioni bisett 1 2 La funzione bi sett 1 calcola l equazione della bisettrice di uno dei due angoli formati da due rette una funzione di assemblaggio bisettl rr1l rr2 Func Local rr distrel rrl x y distrel rr2 x y rr esplicit rr EndFunc La funzione bi set t 2 analoga ma lavora con la seguente assegnazione distrel rrl x y distrel rr2 x y rr calcolando la bisettrice del secondo angolo formato dalle due rette 157 La seguente fig 2 evidenzia l utilizzo in esecuzione di entrambe le funzioni 10 __ Fer Fiv __FUv FS Fav Penigra csiclother PramIo Clean Up di mbisetti x 4 1i x u 71 mbisett2 x 4 1 x 4u 1 mbisetti 2 x 4 1 x 2 4 1 mbisett2 2 x 4 1 x 2 4 1 fig 2 Esempio 6 le funzioni inexcen 1 2 3 4 Calcolano operando sempre sui vertici relativi ai punti a e b l incentro o uno degli excentri possibili di un triangolo Si differenziano tra loro a seconda che utilizzino bi sett l obisett2 inexcenl a b c Func Local rrl rr2 bisettl retta a b retta b c gt rri bisettl retta a b retta a c rr2 inters rrl rr2 EndFunc Inexcen2 a b c Func Local rrl rr2 bisettl retta a b retta b c gt rri bisett2 retta a b retta a c rr2 in
184. ifficolt Il peso comunque una variabile piuttosto vicina all immaginario degli alunni e non solo e per questo il Problema 1 pu sorgere anche come domanda spontanea In ogni caso sar preferibile iniziare da questioni pi significative per gli alunni anche se pi complesse piuttosto che da situazioni pi semplici ma con il vizio della costruzione artificiosa come spesso accade nell insegnamento della matematica 309 Per avere un buon grafico impostiamo prima le caratteristiche della finestra di visualizzazione con Sappiamo gia che il peso sar compreso fra 40 e 80 kg per cui impostiamo questi valori vedi WINDOW come estremi orizzontali della finestra min 40 ymin 80 Inoltre ipotizziamo che le frequenze non supereranno 15 e vogliamo avere una parte della finestra in basso libera dal grafico ecco allora ymin 5 e ymax 15 Infine xscl 2 5 e yscl 2 indicano le dimensioni orizzontali e verticali della griglia che compare sullo sfondo Ora passiamo all istogramma con figura ISTOGRAMMA Per vedere anche la griglia premiamo E e poi O Format selezioniamo quindi Grid on usando il cursore D eB ed infine L istogramma comparir proprio come nella figura lee tcleeecanlsstnbele e min 45 0000 max SO 0000 ARTICOLO RAD AUTO ISTOGRAMMA Premendo ora Trace compare un cursore a sinistra dell istogramma e in basso compaiono gli estremi e la frequenza della classe Spostando il cur
185. ificarsi di tale approssimazione D Hilbert e S Cohn Vossen Geometria intuitiva Boringhieri Torino p 7 Cfr G Ravagnan e G Vettorazzo Spunti per una trattazione unitaria delle coniche in Epsilon Paravia Torino n 10 settembre 1991 pp 26 29 in cui viene affrontato anche il caso della costruzione della parabola come caso limite dell iperbole L inserimento ad esempio in colonna c4 di una funzione costante visualizza il valore costante della funzione solo nella prima cella r1c4 senza riproporlo nelle celle sottostanti 151 152 15 COSTRUZIONE DI UNA LIBRERIA DI FUNZIONI PER LA GEOMETRIA ANALITICA Giorgio Ravagnan Liceo scientifico G B Benedetti Venezia Classe terza Liceo Scientifico P N I Obiettivi costruzione di funzioni per risolvere problemi Prerequisiti nozioni elementari di programmazione Tempi tre ore di lezione per impostare l attivit lavoro in itinere durante lo sviluppo della geometria analitica Metodi lezione frontale lavori individuali e di gruppo di programmazione di funzioni function inambienteProgram Editor Nel corso dell anno scolastico ho costruito assieme agli alunni di una classe terza di Liceo Scientifico un archivio di funzioni per la geometria analitica L obiettivo per gli studenti era quello di crearsi da soli tramite la programmazione degli strumenti di calcolo automatico che espandessero in modo per mirato alla tematica geometrica la libreria di
186. imana ho proposto un altro problema E dato il triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC Costruisci sui cateti esternamente ad ABC i due quadrati ASTC e APOB In che relazione sono i punti Q A T In che relazione sono le rette PB ed SC Di che natura il quadrilatero PBCS Pu essere un parallelogramma Dimostra le tue affermazioni scegliendo l ambiente della geometria euclidea o l ambiente della geometria analitica Inizialmente stata costruita una figura di questo tipo lavorando sull ambiente euclideo di Cabri S A B P Q MAIN DEG AUTO FUNC fig 3 Alcuni allievi hanno scelto di immergere la figura in un piano cartesiano a format coordinate axes rectangular rilevando le coordinate di alcuni punti MAIN DEG AUTO FUNC fig 4 Ho preferito non introdurre la verifica automatica dell allineamento o del parallelismo che Cabri2 prevede check property Anche questa attivit si conclusa con un ampia discussione e con la correzione delle dimostrazioni prodotte individualmente Ha fatto seguito una verifica individuale in cui ogni allievo aveva a disposizione 93 una TI 92 su cui erano state memorizzate le figure relative alle due attivit di gruppo Per concludere Cabri2 su personal computer certo pi agile nel dragging e pi incisivo nella grafica rispetto all analogo software della TI 92 Quest ultimo sfere possibilit d uso durante le verifiche individuali
187. imentale autonomia dopo una prima fase di introduzione all uso della TI 92 in cui presentato lo strumento partendo dalle prime nozioni accensione distribuzione tasti passaggio ai vari ambienti etc si passati successivamente all esplorazione dell ambiente con particolare attenzione al men N Algebra relativamente ai comandi Factor Expand ConDenom PropFrac Extract Strumento indispensabile sia nella fase di lezione guidata che di intergruppo l uso del viewscreen In ambiente e nella riga di introduzione si digita l equazione intera e si preme fig 1 73 aea p og 2 2 Cul Tx 2 423 45 3 x 3 x 1 m TZIA2I AZ x 1 3 X x 1 4 x 3 MAIN RAD AUTO FUNC 1 30 fig 1 E importante notare che nella parte sinistra dello schermo viene visualizzato quello che stato digitato questo d la possibilit al ragazzo di controllare da solo la correttezza della digitazione Si utilizzano quindi i principi di equivalenza Se necessario portare una equazione prima digitata nella riga di introduzione basta evidenziarla con il cursore e premere Si seleziona la riga di introduzione e si digita p 4 appare fig 2 17M Fer Fiv _ Fur FS F algebra Calc Other PramIO Clear a z x 3 x 3 gt x 3 2 fe ST Rie eS x 7x _3 x 3 x 1 2p LE agas See 2 3x2 7x 3 x 3 x 1 na 4 Z 4 23 4 3x2 14 x 23 3 x 3 x 1 MAIN RAD AUTO FU
188. iminuendo ci convinciamo di questo facendo calcolare alla TI 92 la differenza tra uno di questi valori e quello che lo precede con la sequenza delle differenze 1 Fav Fiv _Fav FE FE sec T 2 n i n Z42 nx n 1 39 SEDE f7 3 GF m5 03 m z E 2 ses T 2 n 1 n E 2 n x n 1 30 513462 39683 _ 335176 295523 gt seg JC1 2 2n 1 m JC1n 2 2 n MAIN RAD AUTO FUNC 4 30 178 nsca E 2 n 1 n 5 2 ee D o so prepa B pa m5 Ta esol Eo aa ea fists zo seg Itn 2 2n 1 m J 1 2 2 n Ci n 2 2n 1 n S n 2 2 n fig 3 fig 4 Nella fig 3 compaiono i primi termini della sequenza richiesta nella fig 4 gli ultimi quattro termini su 30 elementi richiesti e infine gli ultimi quattro termini su 40 e poi su 50 117385 115378 434 Fey 2 1195 1134713 w seq E 2 n 1 E 2 n x n 1 49 45 102333 100995 999709 09847 se 2 n 1 n Erann 1 59 4 090925 089983 089069 088183 Nt gt n gt J Cn 24 2 n n gt n 1 50 MAIN RAD AUTO FUNC 6 30 Notiamo che i termini di questa successione tendono a zero le ascisse dei punti di massimo della funzione all aumentare di n si avvicinano sempre di pi La stessa questione si pone alla richiesta della ricerca degli zeri della funzione tenendo conto della simmetria gi verificata risolviamo l equazione che ci d conk20 da cui 179 La ricerca degli zeri del
189. io 10 lt x lt 10 e 10 lt y lt 10 ZoomSqr imposta lo schermo in modo che circonferenze e quadrati siano rappresentati nelle giuste proporzioni ZoomIn e ZoomOut rimpiccioliscono o ingrandiscono lo schermo rispetto ad un punto possibile dividere lo schermo in due TM F y FS Fy FSv F v F parti e vedere contemporaneamente la re oonltraceRecraph stnforsuly 7 Ssolve circ 4 finestra di e quella di La y x x 2 ano sequenza per dividere lo schermo neronen Lone 3 Split Screen Left Right Graeh x x 2 x Per tornare allo schermo intero Graph x x 2 gt 3 Split Screen Full f 209 Calcolo matriciale per inserire una matrice si pu procedere in due modi 1 attivare Data Matrix Editor selezionare New Matrix e seguire le istruzioni 2 da digitare a b c d e f g h i mat per i vettori colonna si procede come per le matrici con un solo elemento per riga Applicazione Determinazione dell equazione di una parabola passante per tre punti assegnati es x1 y1 x2 y2 x3 y3 sostituendo nell equazione della parabola y a x bx c si ottiene il sistema Per risolvere il sistema si assegnano i coefficienti delle incognite ad una matrice mat i termini noti ad un vettore colonna vett la funzione Simult mat vett determina il vettore delle soluzioni Per la circonferenza si ha il sistema x12 y12 ax1 by1 c 0 x22 y22 ax2
190. io dimostrando 295 cos che non basta trovare tale retta per accontentarci di una approssimazione statistica di una legge inoltre diventa ovvio osservare che gi tre dei cinque punti sono proprio sulla parabola e che gli altri due non sono molto lontani da essa ma non ovvio che gli alunni arrivino ad osservarlo Ci si dovrebbe infine aspettare che qualcuno vada avanti e decida autonomamente di cercare la parabola dei minimi quadrati e confrontarla con le curve precedenti Nessuno l ha fatto ma scontato in un compito nella scuola attuale meglio non prendere troppe iniziative Invece confortante osservare che due alunni siano riusciti ad arrivare alle osservazioni precedenti 3 I risultati Al compito erano presenti 14 alunni su 18 causa influenza Hanno ottenuto un risultato discreto buono in 4 sono stati sufficienti o quasi in 5 e altri 5 sono risultati insufficienti andato meglio il secondo problema A guardar bene sono le frequenze pressoch solite senza miglioramenti n peggioramenti Quantomeno non andata peggio del solito 4 Conclusioni Ritengo che i risultati non troppo entusiasmanti siano stati determinati anche dal fatto che stato il mio e per la classe primo esperimento di insegnamento della statistica con la TI 92 anzi con un computer e questo ha portato certamente vari inconvenienti tempi lunghi di apprendimento tecnico che hanno tolto il tempo all approfondimento sui concet
191. isciplina una maggiore attenzione e miglioramento nell apprendimento Esempi di attivita svolte 1 Risoluzione di disequazioni di secondo grado fratte di grado superiore al secondo ESEMPIO N 1 x2 5x 6 gt 0 y xl 5x 6 Si considera il sistema y gt 0 117 In ambiente Y E DI TOR si digita y x2 5x 6 si passa all ambiente GRAPH Se il sistema di riferimento non monometrico si digita N y ZOOMDEC Se il grafico della funzione non contenuto tutto nello schermo si digita N ZOOMOUT si fissa il centro quindi si preme Il grafico risulta rimpicciolito di un fattore 4 lo si pu vedere richiamando l ambiente WI NDOW tutte le variabili risultano moltiplicate per 4 Pe eccn trsce recraphniathprsule A 1 00 x 24576 MAIN DEG AUTO F v YF prauly 7 MAIN DEG AUTO FUNC Il grafico ottenuto quello di una parabola di vertice In questo caso il vertice il punto pi basso Per determinarlo si pu utilizzare MATH MI NI MUM Lo si digita e compare scritto LOWER BOUND estremo inferiore Viene richiesto l intervallo contenente l ascissa del punto in questione Ci si sposta con il cursore a sinistra del 1 F3 F4 FSv y Fv yF punto e si preme compare scritto scn rraceredraehbzthorsul __ UPPER BOUND estremo superiore ci si sposta con il cursore a destra del punto e si preme Viene eviden ziato il vertice e le sue co
192. isi ciascuno per il corrispondente valore di frequenza teorica ancora una volta operando opportunamente sulle colonne precedenti corrispondenti alle frequenze reali e teoriche cfr fig 8 1 Fe FS F4 FS Fer F vata eid De do do do de c14 c10 c5 2 c10 c15 sumc11 sum c12 sum c13 MAIN RAD APPROX FUNC MAIN RAD APPROX FUNC 1 Fa FS F4 FS Fer F F ETP iot Setup Sdeo 2 chio2 Cramer BG A NOON fig 8 fig 9 Il valore di chi quadro stato infine ottenuto inc 15 cfr fig 9 inserendo la somma delle somme ottenute con s um per le varie colonne c11 c12 c13 c14 Semplice il calcolo rispettivamente in c16 e C17 degli indici standardizzati di contingenza quadratica media edi contingenza di Cramer dove A il minore tra il numero delle righe e quello delle colonne L uso dell ambiente Data Matrix Editor si rivelato in definitiva utile per costruire e analizzare passo passo la struttura di un algoritmo visualizzando contemporaneamente l apparato formale nella definizione delle colonne ed il risultato operativo concreto nel contenuto numerico delle varie liste facilitando cos la comprensione dell argomento agli studenti Ma per il calcolo del chi quadro possono esser percorse altre vie operando in altri ambienti della calcolatrice Ad esempio uno studente pur non essendo ancora stato affrontato in classe l intero tema dell algebra lineare riuscito
193. ispari partendo da 5 40 a a 5 a a 7 d3 d 9 a 0 1 2n 3 Ma non ci viene chiesta la successione in forma ricorsiva bens il termine generale cio si chiede di esprimere l n esimo termine della successione direttamente in funzione di n senza dover calcolare tutti i termini precedenti come si usa dire viene chiesta la definizione della successione in forma chiusa e questo non facile da realizzare L idea piuttosto originale e un po audace quella di utilizzare l ambiente di elaborazione dei dati statistici Data Matrix Editor Si inseriscono i dati noti della successione Fig 7 e usando l ambiente Plot Setup si danno i comandi necessari per rappresentarli graficamente Fig 8 ET Piot Setwelceiheader caiclutii stat CERA I punti ottenuti dopo aver opportunamente aggiustato la scala sembrano appartenere ad una parabola Fig 9 41 zocn rraceRegraphMathprsu e Cerchiamo di individuare dunque la sua equazione come parabola dei minimi quadrati cio come la parabola che meglio approssima tali punti dopo aver premuto FS nel campo Calculation Type selezioniamo quindi QuadReg L equazione della corrispondente curva di regressione sar memorizzata automaticamente nell ambiente y Editor come y1 Fig 10 maincanada Calculate Calculation Type QuadReg Store RegEQ to yltxo gt Use Freq and Categories NO a rr Su eenseenne eaneenne n R
194. ispondono tutto R mentre una ragazza interviene notando lo strano tratto verticale che sembra esserci in corrispondenza di x 2 e propone di calcolare alcuni valori della funzione Presento allora l ambiente Table che permette di tabulare una funzione ed evidenzio che la calcolatrice in corrispondenza di x 2 restituisce undef Dopo una animata discussione sul perch nel grafico compaia il tratto verticale ritengo necessario motivare algebricamente i risultati ricavati partendo dall espressione analitica della funzione Si procede allo stesso modo per le altre tre funzioni intanto il clima nella classe si animato gli interventi dei ragazzi diventano sempre pi frequenti proponendo modi di procedere diversi 110 Rappresento i grafici di y3 x e y4 x e le rispettive tabulazioni ve Econkrrace re6raphoth orsule A id li und __ ____ _ 2 coriilundef J 3 SPP SSI J Jo 4 5 2 6453 J fig 3 fig 4 Il confronto del grafico e poi del valore della terza funzione in x 0 e della quarta funzione in x 3 o x 3 particolarmente interessante un ragazzo riesce a motivare la differenza e quindi a generalizzare il calcolo dell insieme di definizione nel caso di una funzione irrazionale fratta e nel caso di una funzione irrazionale intera I risultati intuiti con l uso della calcolatrice vengono sempre motivati dall analisi dell espressione algebrica della fun
195. isultati 196 Scheda operativa Una matrice si dice quadrata quando il numero delle righe uguale al numero delle colonne Questo numero si chiama ordine della matrice Immetti una matrice quadrata di ordine 3 indicandola con A3 e un altra analoga chiamandola A4 Immetti una matrice 2 x 3 indicandola con la sigla R3 Immetti una matrice 3 x 2 indicandola con la sigla R4 Immetti la matrice identit indicandola con I Esegui alcune somme e o sottrazioni fra due delle matrici date per volta Moltiplica per un numero qualsiasi una delle due matrici di ordine 3 Moltiplica per un numero qualsiasi una delle due matrici rettangolari Calcola la trasposta di una matrice di ordine 3 Calcola la trasposta di una matrice rettangolare cosa noti Esegui le operazioni indicate AD A A con A numero qualsiasi A B Esegui il prodotto A3 A4 e poi in sequenza R3 R4 A3 R4 A3 R3 Inserisci una matrice quadrata di ordine 3 e la sua simmetrica Inserisci due matrici diagonali e verifica che il loro prodotto ancora una matrice diagonale 10 Inserisci due matrici triangolari T1 e T2 e verifica di che tipo sia la loro somma che il loro prodotto 11 Effettua il prodotto delle due matrici A3 e A4 e verifica se vale la propriet commutativa 12 Inserisci una matrice A5 di ordine 3 verifica se A3 A4 A5 A3 A4 A5 13 Verifica se A I I A e nota a cosa uguale il risultato 14 Verifica che AB B A 15 Si definisce inversa A
196. ituito dall intervallo 1 9 in Z le due funzioni coincidono Il grafico di f ottenuto con la calcolatrice corrisponde alle aspettative mentre quello di p x oltre alla componente definita in Z ne presenta un altra definita per x lt 1 e negativa vedi la figura 1 Quest ultimo fatto in contraddizione con la positivit della funzione radice Figura 1 il grafico di f x a sinistra e quello di f x a destra 2 Il logaritmo Tracciamo il grafico della funzione f3 2 exp Inx Il logaritmo la funzione inversa dell esponenziale la loro composizione fornisce quindi la funzione identit Osserviamo che il dominio di f costituito dall insieme dei reali positivi Il grafico fornito dalla calcolatrice invitiamo il lettore a tracciarlo mostra invece la retta bisettrice del primo e questo va bene e del terzo quadrante e questo non va bene in quanto il logaritmo non definito perx negative 24 Il grafico della funzione fax Inx presenta un andamento diverso da quello previsto oltre alla parte corrispondente a x positive abbiamo anche una parte del grafico per x negative Figura 2 il grafico di f x IInx 3 La funzione arcoseno Utilizzando la funzione arcoseno oppure la funzione arcocoseno possiamo ottenere altri esempi in cui si manifesta un comportamento anomalo Mentre non ci sono problemi nel grafico dell arcoseno il lettore controlli questa affermazione se tracciamo il gra
197. ivo costituiva un peso notevole in ambito scolastico Lo studio delle matrici e dei determinanti agevola per esempio la trattazione dei sistemi lineari soprattutto se sviluppato utilizzando appropriati strumenti di calcolo Nella prova scritta di matematica all esame di stato di alcuni indirizzi sperimentali sono stati assegnati problemi la cui risoluzione prevedeva una conoscenza attenta e puntuale del calcolo matriciale L esemplificazione che viene qui presentata costituisce un approccio all argomento per il quale si rivelato utile l uso de lla TI 92 La prima parte della lezione stata sviluppata dall insegnante presentando in sequenza i comandi necessari per lo svolgimento della lezione in questa fase si rivelato necessario l utilizzo del viewscreen i ragazzi intervenivano saltuariamente pi che altro per chiedere chiarimenti e per rispondere ad eventuali domande del docente La calcolatrice quindi risultata utile come lavagna dinamica evitando anche il calo dell attenzione da parte dei ragazzi in quanto la lezione scivolata via riducendo al minimo i tempi morti necessari per scrivere sulla lavagna tradizionale La scheda allegata divisa in due parti scheda istruzione e scheda operativa stata consegnata ai ragazzi per procedere pi speditamente 194 Scheda Istruzione Come immettere una matrice A B O In ambiente Home digitando fra parentesi quadre tutta la matrice ogni riga a sua volta fra p
198. ivo a a in ambiente Graph permette poi di aggiungere a mano libera testo e segmenti per completare la figura Esempio 9 La risoluzione automatica di un esercizio sull ellisse Problema Determinare l ellisse riferita ai propri assi e passante per i punti A 3 2 B 5 0 Detti P e P i punti di intersezione della tangente alla curva in A con le tangenti condotte per gli estremi dell asse maggiore verificare che le rette PF e P F con Fe F fuochi si intersecano sulla normale alla curva nel punto A Scrivere infine l equazione della circonferenza di diametro PP e verificare che passa per i fuochi Risoluzione Si calcola l equazione dell ellisse cfr fig 9 tramite la funzione ellip2pt che determina l equazione di una ellisse o di un iperbole centrata 164 nell origine e passante per due punti assegnati Si utilizza la funzione Si mul t per risolvere un sistema lineare La soluzione viene fornita sotto forma di matrice i cui elementi vengono utilizzati come coefficienti per scrivere l equazione della conica Ellip2pt a b Func Local mat si mult a 1 2 a 2 2 b 1 2 b 2 2 1 1 mat mat 1 1 x 2 mat 2 1 y 2 1 EndFunc 1 Fey Fiv Fuw FS Fiv 1 Fer Fiv Fu FS Fiv Pee laigebralcsiclother eramto ciesn vel ree laigebralcsiclother Prantolciean ue mellip2pt 3 23 5 03 gee 3 x 8 4 25 3 x 8 y 25 aa Y ux 5 5 1 x x 25 35 cme x 5 xf 4 y 2 ia a int
199. l questionario era mirato a conoscere quali cambiamenti in termini di apprendimento e di atteggiamenti avessero rilevato nei propri alunni 1 Nel lavorare con la calcolatrice i tuoi studenti hanno incontrato inizialmente difficolt e spesso e sempre e talvolta e mai Domanda 1 330 2 Gli alunni hanno sentito l esigenza di usare la calcolatrice nel lavoro individuale e in classe spesso sempre e talvolta mai 331 3 L esperienza Labclass ha favorito l integrazione tra gli allievi nei lavori di gruppo e molto e abbastanza e poco e per nulla 332 4 La disomogeneit di apprendimento spesso esistente all interno della classe sensibilmente diminuita parzialmente diminuita rimasta inalterata aumentata Domanda 4 parzialment diminuita 35 sensibilmeni diminuita 18 333 rimasta inalterati 47 aumentati 0 5 L uso della calcolatrice ha aumentato negli alunni la capacit di esplorare situazioni e formulare congetture spesso sempre talvolta mai Domanda 5 334 6 L uso della calcolatrice ha agevolato l attivit di problem solving spesso sempre talvolta mai Domanda 6 335 7 Nell esperienza Labclass hai verificato un miglioramento da parte degli alunni nella comprensione dei concetti matematici e sistematicamente e spesso e raramente emai Domanda 7 sistematicament 0 336 8 La calcolatrice ti ha su
200. la fattorizzazione ed il polinomio di partenza attraverso il comando expand Ecco alcuni momenti dell attivit svolta I Scomponi in fattori primi precisando il metodo x 4x 4 S Non riesco ad individuare un procedimento di scomposizione 2 n MENOS y 3 5 E Da notare che la TI 92 permette di scegliere l insieme numerico di fattorizzazione Scrivendo factor x 2 si richiede di scomporre in Q il polinomio verr restituito nella forma in cui stato scritto Volendo scomporre inR si pu modificare il comando in facto x 2 x Infine per fattorizzare in C si pu usare il comando del menu N Complex cFactor x 2 x 65 pa Prova a vedere che risultato d la TI 92 con il comando factor S Ottengo x 2 I Se tu dovessi tornare indietro cio sviluppare x 2 in che ordine eseguiresti le operazioni S Prima svilupperei il quadrato di binomio mantenendo la parentesi poi distribuirei il segno meno I Bene scomponi procedendo in senso inverso prima raccogli il segno meno poi riconosci il quadrato di binomio S Devo scomporre 3x x 12x 4x senza la TI 92 ho trovato x 4 3x x non so pero se ho scomposto in fattori irriducibili I Verifica con il comando factor applicato al polinomio di partenza ottieni un risultato analogo al tuo Puoi anche usare factor sui singoli fattori della tua scomposizione In generale quali accorgimenti puoi adottare con e senza TI
201. la funzione porta inevitabilmente a chiedersi come si comporta la successione di tali valori gli alunni ripetono il procedimento precedente e capiscono che la funzione continua ad oscillare intersecando l asse delle ascisse in punti che all aumentare di n vanno avvicinandosi sempre pi Conclusione gli alunni oltre ad aver acquisito dimestichezza con alcuni comandi della TI 92 hanno imparato a porsi domande di fronte al grafico tracciato di una funzione a cercare di formulare risposte a verificarle con strumenti algebrici oppure a indagare ulteriormente servendosi dello strumento 180 181 18 VISUALIZZAZIONE DI SUCCESSIONI Anna Cristina Mocchetti Liceo Scientifico Statale Ettore Majorana Rho Mi Classe quarta scientifico con sperimentazione Brocca Obiettivo rappresentare l andamento della successione delle differenze costruita con lo studio della funzione Metodo lavoro autonomo degli alunni su scheda fornita dall insegnante Strumenti TI 92 in rapporto 1 a 1 manuale della TI 92 Tempi una unit oraria Con riferimento all analisi del grafico della funzione e alla successione delle differenze i cui termini sono stati costruiti per 50 valori di n e visualizzati nella fig 1 possiamo notare che costituiscono una successione decrescente 2 513462 39683 335176 295523 w seq E 2 n 1 n E 2 n m nt 40 513462 39683 335176 295523 n seq 2 2 n 1 E 2 n n n 1 59 4 090925 089983
202. lc docs calchome html possibile collegare la TI 92 ad un PC caricare e scaricare dati possibile catturare lo schermo della calcolatrice copiarlo negli appunti oppure salvarlo in formato TIF La TI 92 una calcolatrice che ha implementati una versione di DERIVE una versione di CABRI un editor di funzioni cartesiane parametriche polari successioni 3D equazioni differenziali con relativo ambiente grafico un ambiente di tabulazione delle funzioni un foglio elettronico dotato delle principali funzioni statistiche e grafiche un text editor un ambiente di programmazione e un ambiente per la risoluzione numerica di equazioni I diversi ambienti sono tutti collegati tra loro una variabile di qualunque tipo disponibile e visibile in ogni ambiente Il tasto AP PS applications fornisce l elenco dei diversi ambienti e permette di spostarsi dall uno all altro sv aitor Window Editor Graph Table Data Matrix Editor gt Editor Program iText Editor i Numeric Solver TYPE OR USE gt t4 CENTER 0K AND CESCI CANCEL Vogliamo descrivere i diversi ambienti della calcolatrice fornendo alcuni esempi di utilizzo L ambiente di calcolo HOME L ambiente HOME l ambiente di calcolo una versione di DERIVE ed quello maggiormente utilizzato Le seguenti schermate offrono una panoramica di utilizzo dell ambiente HOME Innanzitutto un po di calcolo numerico in N in Q in R in C
203. le liste si veda Impedovo 6 p 144 1 Fer F3 Far FS Fe retlaigebralcaiclother Pramtalciesn up mx3 2 x 3 pa a invlist pcoeffpa x gt la 1 ux 1 gt pb invlist pcoef pb x lb pdivla lb 1 1 Esiste un altro tipo di divisione possibile tra polinomi che possiamo chiamare divisione secondo le potenze crescenti Dati p e g anzich cercare il divisore d in modo che le potenze alte del prodotto dq coincidano con le corrispondenti potenze di p come accade per la divisione ordinaria possiamo cercare d in modo che le potenze basse del prodotto dq coincidano con le corrispondenti potenze del dividendo p Un problema del genere si pone quando p e q sono i polinomi di Taylor di due assegnate funzione f e g e si vuole calcolare il polinomio di Taylor del loro quoziente v bibliografia 2 p 307 20 La funzione pdivc seguente adempie allo scopo Il primo termine della lista 1b contenente i coefficienti del polinomio divisore viene supposto diverso da zero Questa volta si tratta del termine noto del polinomio in questione Il parametro k Eorna alse Fina Wedel etero aNs iape FERES raugment 194 a1 b1 1q la al bi az lb n m gt la miu laccata EndFor saagja ntk NOS la mtkn en lq n dif Els iFor j 1 k Return g lal1 3ai Endif 1 augment lq al b13 gt 1g EndFund specifica quanti termini del polinomio di Taylor del quoziente devono essere calcolati Fig 12 A Fig 12 B
204. le per per presentare la differenza tra i numeri casuali e quelli pseudo casuali che dei primi mantengono solo la pressoch uniforme distribuzione su un grande numero di lanci Tutti si convincono in genere che nel caso del lancio di un vero dado non ci sono motivi particolari per assegnare la preferenza ad una faccia invece che ad un altra Tuttavia anche questa equidistribuzione ipotetica delle uscite una semplice congettura un grado di fiducia assegnato alle varie facce Si arriva cos ai vari concetti di probabilit classica spontanea e intuitiva e soggettiva non si hanno motivi per ritenere una faccia pi probabile delle altre probabilit grado di fiducia frequentista si arriva ad 1 6 notando legge empirica del caso la tendenza alla coincidenza delle frequenze aumentando il numero di lanci La conclusione che possiamo esaminare i fenomeni non solo dopo che si sono verificati statistica ma anche prima che si verifichino o pur essendosi verificati in Sots 6 BICE peg X5 assenza di informazioni deterministiche sugli eventi stessi probabilit Avremo ancora variabili non pi statistiche ma casuali popolazioni ed unit universo degli esiti eventi valori di sintesi e dispersione media varianza sqm la probabilit un numero che svolge lo stesso ruolo della frequenza relativa le facce del dado sono come le persone di cui rileviamo il peso eventi i valori disegnati sulle facc
205. licate dando luogo a un valore reale negativo questo spiega il ramo negativo del grafico della funzione f gt x L sil xlix afl x fix 11 yl x 11 Perch tutto funziona invece nel calcolo di f x In f x viene dapprima calcolato l argomento della radice e poi la radice stessa non ci sono ulteriori operazioni e il risultato sicuro Possiamo quindi concludere che nel caso di radici pari non ci sono problemi quando si tratta del calcolo di una sola radice mentre bisogna stare attenti quando vengono effettuate delle operazioni tra radicali che possono dare luogo a quantit reali anche quando i singoli radicali non lo sono Per il caso delle radici dispari invitiamo a tracciare il grafico della funzione h x x della sua parte reale e della sua parte immaginaria e a interpretare i risultati ottenuti rinviando all articolo citato per un approfondimento 3 Illogaritmo Anche nel caso del logaritmo tracciamo il grafico della funzione stessa che non presenta sorprese e poi i grafici della parte reale e immaginaria Poniamo y1 x In x e tracciamo dapprima il grafico di y1 x e poi i grafici delle funzioni y2 x e y3 x riportati nella figura 6 Dalla figura 6 osserviamo come la parte reale sia una funzione pari e coincidente con il logaritmo per valori positivi si tratta quindi della funzione lln xl La parte immaginaria invece una costante a tratti uguale a T per x lt 0 e nulla per x gt 0 28
206. lizzare una tabella di dati che potrebbe essere ottenuta da un esperimento in laboratorio di fisica oppure da un indagine statistica e ipotizzare quale sia la miglior funzione che si adatta ai punti dati un attivit nuova perch l approccio con carta e penna assai difficilmente riesce a giungere a conclusioni apprezzabili in tempi ragionevoli mentre l utilizzo di uno strumento automatico di calcolo consente di focalizzare l attenzione pi che sul calcolo sul modello applicato La TI 92 possiede l ambiente Data Matrix Editor che si presta bene a questo tipo di attivit Vogliamo mostrare qualche esempio significativo L esame di Stato 1999 Con il nuovo Esame di Stato il candidato arriva all esame con una dichiarata media di profitto in decimi sulla base della quale viene calcolato il credito scolastico Proviamo ad analizzare la relazione tra la media M dei voti allo scrutinio finale in decimi e il voto finale V dell esame in centesimi e proviamo a ipotizzare che V sia in qualche modo una funzione di M La seguente tabella riguarda la mia classe quinta dell anno scolastico 98 99 25 studenti il grafico a dispersione dei punti M V visualizzato nel rettangolo 5 10 x 40 100 gna oo o o o o oh BoP o MAIN RAD AUTO FUNC Il grafico mostra un andamento crescente si pu ipotizzare una correlazione di tipo lineare V aM b La TI 92 consente di calcolare rapidamente
207. lizzazioni e formulazione di nuovi problemi e Generalizzazione del problema La familiarita acquisita dagli studenti con la calcolatrice grafica aveva fatto si che ci si potesse tutto sommato fidare della macchina e che si potessero prendere per buoni i grafici che avrebbe tracciato immettendo funzioni arbitrarie stato allora proposto di digitare inY Edi t or la funzione analizzare il grafico che si ottiene e formulare osservazioni al riguardo 255 La prima osservazione stata quella relativa alla presenza dell asintoto Anche in questo caso stato ribadito non viene tracciato alcun asintoto verticale contrariamente a quanto appare sullo schermo L andamento del grafico figura 6 in un intorno di 1 pe pocn rrace reGraehhtiath orzu s A mostra una certa affinit con quello di un iperbole equilatera ad esempio il cui grafico appare nella figura che segue pe pocn rrsce reGraehath orzu s A fig 7 256 L analogia algebrica uguaglianza dei denominatori si lega all analogia geometrica asintoti verticali Si pensato allora di trasferire quanto fatto sull iperbole Il comando propFrac permette di scomporre la funzione nella somma di un termine infinitesimo e di un termine lineare non pi costante Viene individuata una retta rispetto alla quale la funzione ha comportamento asintotico Come nel caso precedente si pu dare generalit a questo risultato Il com
208. lla calcolatrice Una cellula si riproduce duplicandosi mediamente nell arco di un giorno Come varier nel tempo una popolazione di 1000 cellule Adegua a questo i passi seguiti per il problema precedente fino a scrivere una formula che esprima sinteticamente questa variazione Esegui ora 1 seleziona l opzione3 GRAPH SEQUENCE 2 passain ambiente per definire la sequenza dei giorni ul n ul n 1 1 uil 0 e la variazione del numero di cellule u2 n u2 n 1 2 ui2 1000 una tale definizione che si dice ricorsiva apparentemente un circolo vizioso dal momento che i valori della sequenza sono calcolati sulla base dei suoi stessi valori aver assegnato un valore iniziale rende tuttavia effettivamente calcolabili tutti quei valori 3 inambiente si ottiene automaticamente la tabella 4 inambiente conl opzione ZOOMFIT siottiene il grafico 5 eventualmente in ambiente modifica opportunamente i parametri della finestra grafica in particolare per gli estremi della y cio ymi n eymax 187 fretizoomedi Alijstsiefaxes aPLOTs v ul ul n 1 1 1 0 s AT u2 n 1 2 MAIN RAD AUTO SEG Procedendo con metodo non ricorsivo 1 traleapplicazioniO seleziona l ambiente DATA MATRI X EDI TOR 2 seleziona New e attribuisci un nome a tua scelta a Vari abl e confermando due volte con 3 inserisci in colonna cl posizionando il cursore proprio dove vedi l etichetta c1 e pre
209. lo paragonabile a quella di un Personal Computer a una maneggevolezza e comodit d uso fino a qualche anno fa impensabili In Europa e nel mondo sono in corso varie sperimentazioni sia autonome a livello locale che organizzate da vari Ministeri dell Educazione Queste pagine pur senza pretendere di esaurire l argomento vogliono presentare alcuni punti di contatto e eventuali differenze tra la sperimentazione LABCLASS attualmente in corso in Italia e altre esperienze simili che hanno luogo all estero cos come sono emerse da articoli interventi in convegni internazionali siti Internet e altre fonti Saranno anche mostrati alcuni esempi di applicazioni realizzate con le calcolatrici grafiche e simboliche 1 Strategie di utilizzo Le principali strategie di utilizzo delle calcolatrici simboliche sono sostanzialmente le stesse in ogni parte del mondo ed significativo il fatto che i colleghi coinvolti nella sperimentazione LABCLASS in modo del tutto spontaneo si siano indirizzati verso queste stesse strategie a la visualizzazione in cui l insegnante che usa la calcolatrice con la lavagna luminosa e l apposito display per presentare argomenti agli studenti come una estensione della tradizionale lavagna Citiamo qui alcuni degli esempi pi diffusi mostrare come varia il grafico di una conica al variare di uno dei suoi parametri visualizzare il grafico di una funzione insieme a quello di alcuni suoi polinomi di Taylor di
210. lo schermo e descrivere tutte le sue caratteristiche 2 Costruire le relative tabelle variando opportunamente i valori iniziali di tbl Start 3 Dire a quale successione si riferisce la seguente tabella 227 SECONDA LEZIONE parte di programmazione grafica due ore Obiettivo uso dell ambiente di programmazione per strutturare sottoprogrammi e programmi utili alla risoluzione di un dato problema Strumenti utilizzati viewscreen ecalcolatrice grafica T 92 Si propone il seguente problema Dato un triangolo equilatero di lato Z si divida ogni lato in tre parti uguali e si costruisca su ogni segmento centrale dopo averlo cancellato verso l esterno oppure verso l interno un triangolo di lato L 3 Reiterando questo procedimento studiare le successioni costituite dai perimetri e dalle aree delle figure che cos si ottengono Premessa metodologica Per risolvere il problema con la TI 92 si usa l ambiente di programmazione e si strutturano alcuni programmi che usati come sottoprogrammi permettono di visualizzare le figure richieste I sottoprogrammi hanno i seguenti nomi Schermo posiz avanti indietro destra sinistra ei due programmi principali si chiamano tri angof etriangin Tutto il soft qui presentato stato realizzato direttamente in classe Proficua stata la partecipazione degli alunni Il sottoprogramma s cher mo della fig 1 PEstontro VobirFind bd prepara il display della TI 92 per
211. lule quante cellule si avranno dopo un giorno b Quante cifre ha questo numero c Se in un foglio formato A4 ci stanno 30 righe e su ciascuna riga 80 caratteri quanti fogli sono necessari per scriverlo 4 La famiglia De Tappetti composta dal padre dalla madre e dal figlio diciottenne Gelsomino compra in un negozio che vende pizze al taglio una intera teglia di pizza capricciosa Gelsomino prende met della pizza il padre met del rimanente e la madre met di quello che resta Quando ha finito di mangiare la sua parte Gelsomino che ha ancora fame ne prende ancora e cos via Se la pizza inizialmente pesava 1050 grammi quanto pesa la parte mangiata da ciascuno dei tre componenti Dopo quante volte la porzione mangiata da Gelsomino pesa meno di un grammo 5 Sia u la successione cos definita a Calcolare u gt us Ug Us b Mostrare che la successione di termine generale una successione geometrica c Ricavare l espressione di in funzione di n dire se la somma dei tende ad un limite finito o infinito e nel caso che il limite sia finito calcolarlo 247 d Dire per quale valore di n la somma dei primi n termini differisce dalla somma di tutti i termini per meno di e Ricavare poi in funzione din Tempo 60 minuti Osservazioni Come si pu vedere si tratta sostanzialmente di una prova di tipo classico su successioni che di fatto sono progressioni aritmetiche e geometriche Ritengo particolarmente signific
212. ma pi sintetica Per tale scopo si ricorso anche al comando S u m che applicato ad una matrice restituisce un vettore riga con elementi le somme delle varie colonne della matrice utile per il calcolo di distribuzioni marginali e quindi applicato ad un vettore riga restituisce la somma dei suoi elementi Si osservi anche la presenza nella calcolatrice dei seguenti comandi particolarmente funzionali e L operatore di m A che calcola la dimensione di una matrice A restituendola come lista e L operatore A che calcola la trasposta di una matrice A e L operatore mi n lista che restituisce il valore minimo di una lista utilizzato per la determinazione dell indice di Cramer 304 Il listato della versione finale del programma a cui si pervenuti il seguente chi quadr freq Prgm Local dimens i j sumcol sumrig nelem fregteo contigr chi fi cramer Cirio SetMode Exact Approx APPROXI MATE freq freqteo freq contigr Sum freq sumcol Disp distribuzioni marginali sumcol sum freq sumrig Disp sumrig sum sumrig nelem nelem 1 1 nelem Disp n a unit amp string nel em dim freq dimens For i 1 dimens 1 For j 1 dimens 2 sumrig l i sumcol 1 j nelem freqteol i j EndFor EndFor freq freqteo 2 fregteo contigqr Sum Sum contigr chi chi 1 1 chi Disp chiquadro amp string chi chi nelem fi Disp Fi amp string fi fi min dim
213. mendo la formula SEQ k k 1 21 e in colonna c2 la formula 1000 2 c1 5 4 per costruire il grafico con N PlotSetup seleziona Plotl e con E Define scegli le seguenti opzioni Plot Type Scatter Mark Square x cl y c2 5 per visualizzare il grafico entra in ambiente ET Prot setuelbei1 hesuer par chit stat PE Eoon tracelreGrapnathbravl 7 Si passa dunque a un problema che giustifichi la necessit di estendere la funzione esponenziale a valori della variabile indipendente non interi dando cos significato all elevamento a potenza con esponente razionale e irrazionale A questo scopo risulta comodo l uso dei comandi di seguiti da per ottenere approssimazioni con numero di cifre decimali da impostare eventualmente con 3 Display Digit Successivamente si introducono alcune proprieta caratteristiche dei grafici delle funzioni esponenziali Una popolazione di 1 miliardo di individui ha un tasso annuale di natalit di n 100 e un tasso di mortalit di m 100 Come evolve nel tempo il numero d individui 188 Ripetendo i passi seguiti per il problema di pagina 1 opportunamente adeguati a questo diverso problema descrivi l evoluzione di questa popolazione nel tempo in relazione ai parametri n ed m con una formula 0 00 Ora poni n 3 m 1 e disegna a fianco il grafico Poni n 1 m 5 e disegna a fianco il grafico Poni n m 2 e disegna a fianco il grafico Se n gt m la po
214. n caso di risposta negativa quali condizioni cadono E imitata E pari o dispari Motiva tutte le risposte p 20 Traccia il grafico della funzione di equazione Da questo deduci quelli delle funzioni 3 e di ognuna determina insieme di definizione zeri ed eventuali estremi p 20 Considera le funzioni e e tracciane i grafici Di ognuna determina l insieme di definizione e il segno p 13 Traccia il grafico della funzione di equazione e riscrivila come funzione definita a tratti p 15 Scrivi l equazione della funzione il cui grafico rappresentato in figura 1 Few FS F4 FSw y Few YF L zoon tracelReGraphmath orzule A p 10 115 6 Risolvi l equazione e rappresenta graficamente le soluzioni Risolvi l equazione algebricamente e confronta i risultati ottenuti p 12 7 Che tipo di procedimento proponi per risolvere una disequazione del tipo p 10 I ragazzi che hanno raggiunto una discreta dimestichezza nell utilizzo dell istruzione when della calcolatrice hanno verificato la correttezza della risposta al quesito n 5 digitando in ambiente Y E di t or la seguente funzione yl x when x lt 3 4 when x lt 0 2 3 x 2 when x lt 2 V 4 x 2 x 2 else ia la x2 x lt 2 else x Z else 7 cupe _ ai it _ i ili ul lt x3 x lt 0 2 3 x 2 when FUNC MAIN DEG AUTO 116 10 DALLA RISOLUZIONE DI DISEQUAZIONI ALLA GEOMETRIA ANALITICA SPUNTI ANALITICI E GRAFICI
215. n ambiente Ho me 153 Esempio 1 la funzione pendenza Il simbolo indica l assegnazione e viene inserito con il tasto b 2 a 2 b 1 a 1 pendenza a b Per funzioni pi complesse si utilizza invece l ambiente di programmazione Program Editor Esempio 2 la funzione retta Determina l equazione di una retta passante per due punti o per un punto ma di pendenza assegnata In quest ultimo caso l ordine di inserimento in chiamata del punto e della pendenza indifferente poich la pendenza viene selezionata analizzando il tipo delle variabili inserite retta a b Func If getType a NUM Then y expand a x b 1 b 2 Elself getType b NUM Then y expand b x al1 a 2 Elself a 1 b 1 Then x a 1 Else y expand pendenza a b x a 1 a 2 Endl f EndFunc Un aspetto tecnico che si rivelato interessante e funzionale alla costruzione di funzioni operanti su oggetti quali rette e curve consiste nella possibilit di svolgere in programmazione nell ambiente Program Editor del calcolo simbolico utilizzando come variabili e manipolando ad esempio equazioni e coefficienti Questa caratteristica evidenziata negli esempi seguenti arricchisce e sostituisce con maggiori potenzialit il lavoro tradizionale ad esempio in un corso P N I di programmazione in Pascal attivit pi orientata in genere al calcolo numerico La costruzione delle funzioni assomiglia per certi versi dal punto
216. n vorrei perderne alcuni pur recuperandone altri Quella che segue la verifica che stata proposta agli studenti con la possibilit di lavorare insieme e di discutere Verifica strutturata a coppie un ora 2x y 3 x y 4 2x y 3 x y 2 3 2 2x y 3 4x 2y 8 Per ognuno di questi sistemi separatamente andate in ambiente Table e fate la tabella aggiungete in y editor la funzione y3 y2 y1 Che differenze noti analizzando la colonna y3 Fate il grafico di tutti e tre i casi separatamente e interpretate quello che appare cercate di trarne tutte le possibili deduzioni Fra questi sistemi ce n uno che ha una sola soluzione trovatela utilizzando a il comando with b la possibilit di moltiplicare dividere un equazione per un numero e sommarla sottrarla all altra in modo da mandar via un incognita usate ans c con carta e penna come meglio credete Nel seguente sistema 135x 27 8y 9 5 6x Ty 28 5 quale dei metodi che conosci ti conviene usare 83 84 5 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI 2 GRADO Sandra Cini Liceo scientifico F D Assisi Roma Classe seconda di corso tradizionale Obiettivi comprensione del significato di radice di un equazione e studio del segno di un trinomio di 2 grado Prerequisiti teoria dei radicali quadratici nozioni di geometria analitica con particolare riferimento alla parabola conoscenza degli ambienti f Tempo dieci ore Metodi metodo d
217. na ci sono numeri compresi fra 2 e 12 f Plot Setup Cell Header Calc Util Stat Plot Setupleei 1 eader earchti1etar c2 seg rand 6 n 1 50 ANALIT RAD EXACT FUNC fig 6 4 Come fare a sapere quanti lanci hanno dato come risultato 2 3 4 5 12 103 Andate su F2 Plot setup e poi su FI Define fig 7 e 8 ay Plot c2 seq rand 6 gt n 1 50 gt ANALIT RAD EXACT FUNC hey ESEA ENEL USE AND gt TO OPEN CHOICES OE fig 8 Si apre una finestra in cui vi viene chiesto il di selezionare il tipo di Plot scegliete Histogram e poi Enter due volte 5 Digitare Apps per cambiare ambiente e andare in ambiente Graph grafico su F2 selezionate Zoom Data e pigiate Enter ye Zoon Trace ReGraphath orauly __ P3 MAIN RAD APPROX FUNC fig 9 104 Dovrebbe apparire un grafico a scale Se questo non accade vuol dire che c un problema di scala per cui le colonnine non entrano nello schermo In questo caso pigiate Apps Window Editor e scrivete le dimensioni che ritenete ragionevoli per lo schermo per la x serve un intervallo da 1 a 13 e per la y sar necessario avere un intervallo da 0 a 20 Quando vi appare il grafico pigiate F3 e vedrete comparire un cerchietto lampeggiante che potete spostare col cursore se lo spostate cambiano i numeri dello schermo Cosa indicano i numeri che compaiono 6 Per ogni numero da 2 a 12 scrivete quanti eventi avete ottenuto Ripetete l ope
218. ndPrgm EndPfgn RAD APPROX fig 6 229 I programmi triangof etriagin disegnano le figure richieste dal testo del problema proposto agli alunni rispettivamente verso esterno e verso l interno Vedi figure 7 e 8 ttriango Pram Clelo Input Quale livello liv ClrOraw i ee out 15911 60 a osizix y Define triana liv Prgm If liv 0 Hn Else trian 1 3 liv 1 ee nis friantl 3 five 1 destrat 12H teian l 3 liv 1 sinistratb0i triantl 3 Fiv l trianti liv destraciz0 r EndFor EndPram ANTONIO DEG AFFROW fig 7 PF lcontroi i oWiar Find Model rFoontroilirallarind Wose es Pram Cirio treat Quale livello liv ClrOrayw Baxi gayi pert 60 a posiz x pa Define Sand Varna If liv 0 Then avanti 1 Else trian 1 3 liv 1 Fev Mode A trisnel73 liy 1 sinistraci20 trian 1 3 liv 1 destral 60 trian 1 3 liv 1 For 1 1 3 trian l liy destra 120 EndFor sEndPrgn fig 8 Il programmatri angof visualizza le varie figure a diversi livelli di complessit Le figure 9 10 11 12 rappresentano le modificazioni successive per triangoli esterni Pee Loon tracelResranh Msth orauly A FPTEscnlrracereoraehhathprsul A E EccnlrescelreGraenbathprsule Z vf ecn traceleesraphhsthforauly A DEG APPROX DEG APPROK fig 11 fig 12 Le
219. ndo Zoombox Fig 5 2nd_Corner xciz2 0168067 yc 5882353 Fig 5 Otteniamo cos l immagine riprodotta in Fig 6 39 x051 4162135 yo 1 3571703 MAIN DEG AUTO FUNC Fig 6 Dopo aver osservato che i due grafici si intersecano nel punto di ascissa e richiestane la motivazione facile osservare che se spostiamo il cursore grafico lungo l iperbole dopo essere entrati in modalit Trace premendo F3 a piccole variazioni dell ascissa corrisponderanno piccole variazioni nell ordinata cio nel valore dell espressione mentre se muoviamo il cursore grafico sulla retta che quasi verticale a piccole variazioni dell ascissa corrisponderanno grandi variazioni dell ordinata Ecco come una questione di carattere numerico pu assumere un nuovo significato passando all ambiente di grafica 8 Un esempio Canadese definizione di una successione in forma chiusa Vediamo un esempio tratto da un quesito d esame proposto dal British Columbia Ministry of Education Canada presentato in 1 Find a formula for the general term of the sequence 8 13 20 29 Si chiede in altre parole di definire una successione di cui sono indicati i primi quattro termini come riportato nella seguente tabella n An 0 8 E 2 20 3 29 E facile vedere che partendo da 8 ogni termine si ottiene dal precedente aggiungendo ad esso un successivo numero d
220. ndo verso il basso decresce v la derivata presenta un asintoto orizzontale di equazione y 0 Gruppo 3 Questo gruppo utilizza svariate funzioni ma in particolare studia i grafici di due iperboli per poter capire in cosa si pu trasformare per la derivata l asintoto obliquo della funzione 271 Funzione sua derivata e tutti gli asintoti y Funzione sul A Dall esame dei grafici si pu dedurre v v v l insieme di definizione lo stesso e anche l asintoto verticale quando la funzione cresce la derivata positiva quando decresce negativa i punti stazionari della funzione un minimo relativo ed un massimo relativo nella seconda schermata diventano zeri della derivata quando la concavit della funzione rivolta verso l alto la derivata cresce quando verso il basso decresce le due funzioni prese in esame presentano un asintoto obliquo la retta nel primo caso la retta nel secondo caso le due derivate invece presentano un asintoto orizzontale di equazione y 2 Il coefficiente dell asintoto obliquo la costante dell asintoto orizzontale 272 Scheda attivit n 4 Tempi 2 ore di lezione guidata Argomento La funzione derivata 2 Obiettivi e deduzione del significato della derivata come coefficiente angolare della retta tangente ad una curva e significato di punto singolare Metodi lezione dialogata Descrizione dell attivit Viene visualizzato il graf
221. ndosi ad essa ognuna in modo diverso al variare del valore di p Gli alunni non conoscono ancora le formule per saranno in grado di capire che esistono altri modelli di distribuzione di probabilit e che potrebbero essere utilizzati al posto della binomiale se qualche motivo lo richiedesse per approssimarne l andamento al variare di p ovviamente ognuna in modo diverso e quindi pi o meno utile in relazione al problema Per metterli in grado di lavorare dovremo fornire loro i listati di due funzioni per il calcolo del valore della probabilit per le due distribuzioni Gli studenti poi le useranno per preparare una tabella di confronto tra le tre distribuzioni generandole attraverso valori fissi din ep forniti in Home figura BINO2 e relativo grafico Si ottengono cos diversi grafici al variare di p definiti come segue c1 seg n x 0 n c2 seq x x 0 n c3 pbino c1 c2 p plot1 x c2 y c3 xyline dot c4 gaussian n c2 p plot2 x c2 y c4 xyline dot c5 poisson n c2 p plot3 x c2 y c5 xyline dot nLanci nTeste P e ete CC E _ lt dee x 20 SC 1479 1464 03783 20 6 _ 03696 03602 06306 binomiale e gaussiana quasi coincidenti HINNI BINO 2 con n 20 p 0 5 grafico di BINO2 con n 20 p 0 5 327 impressionante la quasi coincidenza tra la binomiale e la gaussiana con qualunque n anche piccolo se p 0 5 usare ZoomData se si cambia n Il comportament
222. ne iniziale dell ellisse PF PF F F 2g pu essere scritta in forma analitica come segue utilizzando i parametri c e g precedentemente definiti equazione in cui si pu esplicitare in ambiente Ho me con il comando lt S0 ve gt la variabile y L espressione relativa ai valori positivi di y una volta ricavata stata copiata come funzione y1 X nell ambiente Y Edi tor Parimenti sono state inserite come y2 x l equazione della parabola precedentemente ottenuta e come y3 x ey4 x due funzioni costanti corrispondenti ai parametri c e g yl x y2 x y3 x e y4 x g In classe per una visualizzazione grafica sono stati assegnati in ambiente Ho me dei valori iniziali ai parametri c e g ad esempio 1c 17g 146 Le quattro funzioni inserite sono state utilizzate per la costruzione di un foglio di lavoro nell ambiente Data Matrix Editor Questo foglio permette di confrontare dal punto di vista sia numerico sia grafico le ordinate delle funzioni y1 x ey2 X che rappresentano gli archi di ellisse e di parabola nel primo e nel secondo quadrante al variare delle ascisse in un intorno del vertice comune alle due coniche Nell ambiente Dat a Matrix Editor abbiamo creato cfr fig 2 una nuova variabile di tipo Dat a in cui risulta inserita in colonna 1 la lista di valori possibili per le ascisse a partire dall ascissa del vertice se si sceglie 1 come valore del parametro g allora xy 1 1 F F3 F4
223. nei confronti di calcolatori e calcolatrici Il prossimo anno mi propongo di far ricostruire il programma nelle sue parti agli alunni Le fasi sono elencate qui di seguito e introduzione dell equazione della retta fasci inserimento dell equazione 131 Cirio InputStr introduci una equazione fascio expr fascio fascio left fascio right fascio 0 fascio introduci una equazione CZ2k 1 x 3 kdu 1 2k 0 MAIN RAD AUTO FUNC 1 30 riconoscimento degli elementi base e del valore del parametro per il quale la retta parallela all asse delle ordinate ricerca di elementi base fascio k 0 rettabl fascio rettabl k l esclusa inters rettabl esclusa pbase pbase l xx pbase 2 yy string xx xs string yy ys Disp le generatrici sono string rettabl Disp e amp string esclusa amp che la retta esclusa Disp il punto base a amp xs amp amp ys amp ricerca dell eventuale retta parallela all asse y equvett fascio 2 coeffy If inString string coeffy k 0 Then right solve coeffy 0 k kv Disp per k amp string kv amp la retta verticale Endl f Disp premi un tasto Pause 132 C2k 1 x 3 kdu 1 2k 0 le generatrici sono x 3 4 1 0 e 2 x y 2 0 che la retta esclusa il punto base 1 0 per k 3 la retta verticale premi un tasto MAIN RAD AUTO FUNC 1 30 AUS e grafico di alcune rette del fascio il grafico dopo essere stato vis
224. nendolo in termini di Plot type di Box di valori di ascissa indicare la colonna corrispondente c1 o c2 ecc e di ordinata idem Confermato con quanto scelto si passa R alla pagina grafica 170 Volendo visualizzare simultaneamente due finestre si attiva con il tasto 3 la finestra di dialogo da dove con il tasto N si imposta il tipo di suddivisione orizzontale o verticale e quali due applicazioni si andranno a visualizzare Con 20 passo da una finestra all altra e con 2 K ritorno allo schermo pieno Ve izcon rrsce redraghMath orzul A f T 34 914 4 28 8 LUGOSS DEG AUTO FUNC Esercizi Esaurita la fase precedente i ragazzi hanno svolto singolarmente o in gruppo i seguenti esercizi 1 Predisporre il grafico con le coordinate x in ascissa e y in ordinata Che legame fra di esse puoi ricavare 2 Predisporre una colonna con il calcolo di ascissa ordinata e poi un altra con il calcolo di ordinata ascissa e rappresentare i due grafici mantenendo in ascissa l ampiezza dell angolo che cosa noti riportando i grafici del seno e del coseno sullo stesso piano cartesiano 3 Per alcuni angoli i grafici ricavati alla prima domanda si comportano in modo strano che spiegazione riesci a dare 4 Con una procedura analoga a quella descritta nella scheda traccia calcola le variazioni e disegna il grafico della tangente goniometrica di un angolo definita come l ordinata del punto di incontro della t
225. ngolare utilizzando la formula x2 x1 y2 y1 quindi in HOME si scrive y m x x0 y0 con le condizioni per lax0 lay0 elam suyu m x x0 40 x0 5 and 40 0 and r y x 5 and yO 0 and m lt 1 3 C2 2 DEG AUTO FUNC 1 30 Si disegna il triangolo ABC utilizzando lo schermo dei grafici In HOME scrivere LINE 5 0 1 2 1 Premere Viene tracciato il segmento che unisce i punti 5 0 e 1 2 Si ripete per gli altri lati del triangolo Fer _ Fe F4 Fsv Fav Fr Zoom Trace ReGraph Math Draw v f sLine 5 0 1 2 1 Done SLine 5 0 3 2 1 Done Line 1 2 3 2 1 Done Line 1 2 3 2 1 FUNC 3 30 MAIN DEG AUTO Sempre in HOME scrivere DRAWSLP 5 0 1 Premere Viene tracciata la retta passante per il punto 5 0 e di coefficiente angolare 1 cio una delle altezze SI ripete per le altre 125 Fel Lo schermo dei grafici diventa utile per quegli alunni che trovano difficolt nel calcolo del coefficiente angolare di una retta Gli si fa tracciare il segmento che unisce due punti tramite il comando LI NE x1 y1 x2 y2 1 quindi la retta che contiene tale segmento tramite il comando DRAWSLP x1 y1 yl y2 x1 x2 Seilcomando viene scritto correttamente la retta si sovrappone al segmento Fel 126 11 IL COEFFICIENTE ANGOLARE Fernando Ilari Liceo Scientifico E Majorana Latina Classe quarta liceo scientifico sperimentazione Brocca Obiettivi Conoscere
226. ni scale Fel cambiando i due parametri n e p Ei Se manteniamo n fisso ad esempio n 200 30 abbiamo una osservazione pi sistematica ed inoltre il grafico viene visualizzato sempre nello stesso intervallo __L dell asse x ARTICOLO RAD AUTO FUNC n 20 p 0 95 Dopo aver esaminato la variazione grafica rispetto ad n con la spezzata sempre pi curva conviene studiare quella rispetto a p mantenendo n fisso con n 325 20 abbastanza grande da fornire una curva e piccolo da rendere il ricalcolo del foglio veloce Variando p situazioni non simmetriche si vede bene il diverso andamento della campana e la perdita di simmetria verso gli estremi spingersi verso p 0 05 0 p 0 95 Analizzare 1 valori di probabilit nella colonna C3 della tabella e nel grafico con TRACE per rendersi ben conto se risultano attendibili C anche il rischio di interpretare nel grafico come 0 le probabilit molto basse Problema 3 costruire una tabella con pi valori di probabilit in modo da illustrare l andamento delle P X k al variare di p Il problema non aggiunge niente di nuovo se non il fatto che avere tutti i grafici insieme migliora la possibilit di confronto Ne vale la pena Suggerire di arrivare anche a valori molto piccoli o molto grandi per con A 0 1 0 2 0 3 0 5 0 7 0 8 0 9 0 con B 0 01 0 02 0 03 0 05 0 1 0 2 0 5 in modo da confrontare valori dip molto piccoli o grandi con altri intermedi Per ave
227. nibili che sappia farsi via via pi articolato e diffuso In secondo luogo alcuni seminari per la loro peculiare natura di essere finalizzati a discutere questioni di pressante attualit richiedono che gli esiti di lavoro trovino una disseminazione nella nostra realt scolastica al possibile immediata e richiedono pertanto un taglio delle pubblicazioni che sappia privilegiare rispetto alle altre serie non solo la rapidit dei tempi ma anche la caratteristica di indispensabile supporto informativo e documentario Infine last but not least la scuola dell autonomia richieder sempre di pi ai nostri presidi e ai nostri docenti la capacit di volare da soli questa terza serie infatti continuer s a essere il frutto di un dialettico rapporto di collaborazione tra centro e periferia e potr ancora contare su un momento di editing teso a uniformare i criteri generali dell intera collana ma in pari tempo vedr sempre pi accentuato il responsabile ruolo delle singole scuole nella produzione di questo peculiare prodotto culturale In tal modo ritengo che non solo aumenteranno le frecce al nostro arco ma riusciremo pure questi almeno sono l impegno e la speranza a garantire alla collana grigia e a quella verde lo spazio temporale e la disponibilit umana per il lavoro legato alle scansioni necessariamente pi dilatate dell approfondimento tematico di alcune questioni
228. nito e tenderanno ad avere lo stesso comportamento ci vuol dire che l equazione dell asintoto orizzontale Il passaggio tra i diversi ambienti HOME Y Editor GRAPH e TABLE un attivit che stimola la lettura in termini algebrici di propriet geometriche e viceversa Sono stati esaminati esempi simili anche suggeriti dai ragazzi e ci ha portato a individuare nella funzione 254 un modello matematico di funzione dotata di asintoto orizzontale e verticale Infatti l espressione 9 immessa come argomento di Pr opFrac viene riscritta nella forma Quest ultima espressione data dalla somma di un termine costante e di uno infinitesimo Si vista cos in generale una propriet relativa ad un modello matematico che letta in termini geometrici ci dice che l iperbole di equazione ha per asintoti le rette e Si riottiene cos con un approccio pi costruttivo una propriet incontrata nello studio delle coniche L uso della macchina nello studio dell iperbole non ha introdotto di fatto nuove conoscenze nella classe ha per avuto i seguenti effetti positivi e ha offerto un approccio diverso nell affrontare lo studio degli asintoti e pi in generale delle funzioni e ha portato ad inquadrare e spiegare nel linguaggio dell algebra propriet geometriche e ha posto sia pure in modo non rigoroso e non del tutto esplicito il tema dell infinito e ha stimolato i ragazzi verso genera
229. non avevano svolto ancora esercizi in proposito In ambito cartesiano sapevano lavorare su segmenti pendenza lunghezza punto medio e su rette equazione intersezione Avevano pratica del software Cabri g om tre 1 che usavano in laboratorio di Informatica Ho proposto loro il seguente problema aperto Costruisci un generico quadrilatero ABCD Indica con M N P Q i punti medi dei lati AB BC CD DA Costruisci il quadrilatero MNPO si tratta di un quadrilatero particolare MNPO pu essere un rettangolo o un rombo o un quadrato Formula una congettura sulle caratteristiche di MNPO in relazione alla particolare forma di ABCD Dimostra le tue affermazioni con le propriet della geometria euclidea La costruzione del disegno con la TI 92 molto semplice con O 8 New assegnato un nome al file si entra in ambiente Geometry ci si serve quindi dei comandi N segment ed midpoint per avere la figura richiesta Muovendo i punti del quadrilatero ABCD si ottiene ancora una figura che mantiene le relazioni geometriche richieste si pu quindi dire di avere a disposizione un intera classe di figure che rispondono ai requisiti del problema 91 ERIS FORSE P MAIN DEG AUTO FUNC fig 1 Gli studenti lavorando a coppie hanno individuato abbastanza agevolmente la relazione di parallelismo tra i lati di MNPQ Alcuni hanno ritenuto opportuno introdurre la misura di alcuni lati si ottiene con distance c
230. noscono costruita a partire da un triangolo equilatero avente il lato di 1 m Per quali valori di n il perimetro della curva superer il chilometro Si fa osservare che la soluzione dei due esercizi del tipo n gt k pertanto gli elementi della successione soddisfano la disuguaglianza richiesta da un certo valore di n in poi 4 Dalle successioni alle serie Se do 11 a2 una successione a partire da essa possibile definirne un altra in questo modo Soag S174ota s2700ta taz Possiamo visualizzarne gli elementi in vari modi ad esempio utilizzando l ambiente Data Matrix Editor alqualesiaccedeconO 6 Selezioniamo l opzione di ricalcolo automatico E 9 Autocalculate ON riempiamo la colonna c1 con i primi valori di una successione poich le colonne in questo ambiente contengono liste nella cella di intestazione possiamo usare un comando di tiposegq definizione indice inizio fine 240 A questo punto ci poniamo con il cursore nella cella C2 e digitiamo cums um c1 ottenendo cos le somme parziali dei primi n elementi dic 1 GE Piet ereki ese iizi chia Le osservazioni e le congetture che spontaneo fare sono numerose La classe conosce gi a questo punto dell anno la formula che permette di calcolare la somma dei primi n numeri di una progressione geometrica in questo caso Questo spiega il fatto che ogni elemento della colonna 2 il precedente rispetto al numero che in 1 occupa il post
231. nte nei due membri dell uguaglianza e Senza l occasione della macchina queste situazioni difficilmente si sarebbero presentate i ragazzi sono consapevoli che la macchina li aiuta nei calcoli ma contemporaneamente li costringe ad entrare pi nel merito delle questioni Nella verifica i ragazzi hanno verbalizzato tutti 1 passaggi fatti con la macchina 77 78 4 UNA INTRODUZIONE AI SISTEMI LINEARI IN DUE INCOGNITE Donata Fo Liceo Scientifico F Buonarroti Pisa Classe seconda scientifico sperimentale 26 alunni Obiettivi capire cosa vuol dire risolvere un sistema di due equazioni in due incognite Tempi circa 12 ore Strumenti una macchina ogni due alunni Non stata fatta nessuna lezione frontale sui sistemi non sono state date definizioni gli studenti non hanno a disposizione il piano cartesiano se non per ricordi della scuola media Ho iniziato proponendo alcuni problemi banali del tipo in un pollaio ci sono conigli e galline ci sono 50 teste e 120 zampe quanti sono i conigli e le galline se le teste rimangono 50 come pu variare il numero delle zampe Si possono avere 135 zampe I passi sono stati tradurre il problema in equazioni risolverle in funzione di y usare il comando solve variabile ax y 50 x y 50 e4 x 2 y 120 4 x 2 4 120 Ssolve 4 x 2 y 120 W y 2 x 60 Ssolve x y 50 y y x 50 solve xty 50 y MAIN RAD AUTO PAR 4 30 fig 1 Premere Apps selezionare y editor e digitare le f
232. nti come un caso abbastanza artificioso Infatti basta un valore di frequenza assoluto diverso nella tabella iniziale per far saltare l indipendenza statistica Ci si posti allora la domanda su come pu esser stato costruito a priori un caso tanto particolare Confrontando le tre colonne della tabella gli studenti hanno verificato che c3 2 9 2 mentre 4 2 13 2 cio ciascuna delle tre liste di valori multipla di una qualsiasi altra lista Questa osservazione generalizzabile Infatti l indipendenza statistica definita come implica che 300 cio e ci significa che la lista j multipla della lista x Viceversa se una generica lista j multipla di una qualsiasi altra lista k si avr che cio e se le colonne sono m implica per una propriet delle proporzioni che cio Poich dallo studio della geometria analitica era gi noto che due vettori sono linearmente dipendenti se sono uno multiplo dell altro interpretando le due liste j e k come vettori si osservato pertanto nella discussione in classe che indipendenza statistica correlata quindi dal punto di vista dell algebra lineare alla dipendenza piuttosto che all indipendenza tra vettori creando cos un rovesciamento nell uso dei termini passando da un ambito all altro Il calcolo del Chi Quadro In una lezione successiva ci si riproposti di analizzare il livello di connessione tra due variabili statistiche i
233. ntroducendo il test del chi quadro in riferimento al seguente esempio cfr fig 6 di tabella a doppia entrata di distribuzione congiunta dove sono riportate le frequenze assolute dei voti finali in matematica in un campione di studenti suddivisi in quattro classi terze 301 5 1 ld J2 p26 27 26 26 ci Title voti MAIN RAD APPROX fig 6 La struttura della procedura matematica necessaria per il calcolo degli indici statistici stata proposta e discussa con gli studenti contemporaneamente alla ricerca di una sua possibile implementazione nel Dat a costruito E stato immediato per gli studenti completare la tabella come nel caso precedente con le distribuzioni marginali in rigar 7 cfr fig 6 e colonna 6 cfr fig 7 Il passo successivo stato la costruzione della tabella delle frequenze teoriche che comporterebbero a parit di distribuzioni marginali l indipendenza statistica fra le variabili L implementazione nelle colonnec7 c8 c9 c10 stata ottenuta moltiplicando ogni volta la colonna c6 della distribuzione marginale riferita al carattere voti lista dei vari r per il fattore relativo alla colonna corrispondente nella tabella iniziale cfr fig 7 c10 c6 26 105 MAIN RAD APPROR FUNC 302 A questo punto sono stati inseriti facilmente nelle colonne c11 c12 c13 c14 i quadrati delle contingenze scarti tra frequenze reali e frequenze teoriche div
234. numero dei cammini che arrivano all abitazione dell ubriaco e il numero dei casi possibili cio il totale di cammini possibili effettuando 7 lanci della moneta Come problema preliminare si pu allora proporre il seguente Problema 2 simulare il percorso dell ubriaco tracciandolo sullo schermo grafico della TI 92 La rappresentazione potr essere realizzata mediante l ambiente grafico della TI 92 Anche questo problema abbastanza impegnativo perch richiede alcune scelte dal punto di vista grafico per ben posizionare l insieme dei cammini per gestire le direzioni del tracciamento per tenere sotto controllo le coordinate dell ubriaco mentre avanza un bel progettino grafico da realizzare Comunque si potranno raggiungere diversi obiettivi attenta analisi grafica del problema non banale utilizzo della grafica della TI 92 in particolare il tracciamento di Line per i segmenti e di Px Text per eventuali commenti utilizzo di numeri casuali pseudo con Rand n programmazione nel linguaggio della TI 92 con uso di cicli For pi o meno evoluti a seconda delle possibilit dell alunno utilizzo di variabili all interno del ciclo che traccera il cammino per controllare la posizione dell ubriaco 317 Possiamo in ogni caso fare affidamento sul fatto che la TI 92 possiede un linguaggio di programmazione evoluto ed amichevole per la grafica cartesiana e non solo Si tratta di un linguaggio strutturato che pu u
235. nx a 1 p c g gt ny det den denl det nx gt nxl det ny gt nyl If denl 0 Then nx 1 denl gt pux ny 1 den1 gt puy Disp p unito amp string pux amp amp string puy amp Else If nx1 0 Then Disp retta di punti uniti amp string eq1 Else Disp nessun punto unito EndIf EndIf Disp premi Enter Pause l gt px 1 For 1 1 4 1 gt py 1 Line px i py i px i 1 py i 1 le Forks 1 gt py 2 gt 1 px 3 px i a py i b p gt tx i 1 gt py 3 ole li d q gt tyli RN For i 1 4 2 4 2 ri Py Line tx i tylil tx i 1 tyli 1 LRD EndFor 1 gt py 5 ClrGraph EndPrem Trasformazione del quadrato Q La TI92 permette di determinare rapidamente le coordinate dei punti trasformati Per trasformare un punto basta moltiplicare la matrice della trasformazione per il vettore delle coordinate del punto e sommare il vettore dei termini noti In questo caso particolare si osserva che il vettore dei termini noti nullo quindi il procedimento pu essere semplificato moltiplicando la matrice della trasformazione per la trasposta della matrice formata dalle coordinate dei punti Il parallelogramma risultante pu essere tracciato utilizzando la funzione line trasformato del quadrato di T 1 vertici 1 1 C 1 1 C 1 1 1 1 UpxyY gt pp Done Li 10 nG punti trasformati coord Done in verticale Done Shotts 2 2 2 O 28 2 ClrGraph HAIN RAD AUTO FUNC 11
236. nzione lineare y kx In questa fase progressioni aritmetiche e geometriche sono state utilizzate come modelli per la soluzione di problemi La formula per la somma dei primi n elementi di una progressione geometrica stata ricavata e utilizzata ma non si insistito sul limite La terminologia e il formalismo relativi alle successioni sono stati usati per lo pi in modo intuitivo La seconda parte che quella qui descritta stata sviluppata in un secondo momento e a questo punto erano gi presenti 1 concetti di esponenziale e logaritmo Alla parte del lavoro qui descritta sono state dedicate in tutto otto ore comprensive di interrogazioni La verifica finale stata di tipo classico L argomento della verifica era in realt problemi sulle successioni Durante tale verifica agli alunni stata lasciata la calcolatrice ma non sono stati inseriti esercizi pensati appositamente per essa I risultati sono stati non esaltanti ma complessivamente sufficienti C da dire per che gradualmente nel corso dell anno ho notato un progressivo miglioramento dell interesse e del profitto di classe e un atteggiamento pi attivo in classe durante le ore di Matematica 1 Studio e esplorazione di successioni A partire dall esame di successioni gi note la successione dei numeri naturali dei pari dei multipli di un numero naturale si riflette sulla formula che genera una successione direttamente Si calcolano a mente o con carta
237. nzioni Le altezze si calcolano dividendo il doppio dell area per ciascuna base Si pu calcolare l area utilizzando le coordinate dei vertici AREA PremereO DATA MATRIX EDI TOR selezionare NEW TYPE 2 MATRIX variable mn row dimension 3 col dimension 3 Premere appare la tabella in cui inserire i numeri In HOME scrivere 1 2 abs det mn premere e compare il risultato 1 Fe F3 vee Piot Setup Type Matrix Folder main gt Variable lmm_____ Row dimensions Col dimension 3_ Enter 0K ESC CANCEL n x2 x1 y2 y1 7 x2 5 and x1 1 1 2 det mn 12 2 55 2 abs det nn gt __ __ IEecene EnTp MAIN DEG AUTO FUNC 1 30 MAIN DEG AUTO FUNC 1 30 Si calcola quindi la lunghezza delle basi In HOME si scrive la formula della distanza di due punti con le condizioni per le x e le y si preme e si ha il risultato Cambiando le condizioni si hanno le lunghezze di tutti e tre 1 lati 124 179 Fay FS Fe 1 Fer Fiv Fay E e l1s bralcare other Premtolerear az x2 5 and x1 1 gt T 2 2 so 12 55 x2 x1 42 u1 f x2 5 and x1 3 5 2 J17 3 J2 a x2 x1 7 42 41 7 x2 1 and x1 3 12 TF 4 2 ir w 2 2 gt 1x2 1 and x1 73 and y2 2 2xa bIfi 12 and b MAIN DEG AUTO FUNC 3 30 FUNC 6 30 Si calcolano le altezze Le equazioni delle altezze si ricavano utilizzando l espressione y y0 m x x0 e il coefficiente a
238. nzioni gt e vengono mostrati i rispettivi grafici Dopo un introduzione al concetto di tasso di variazione istantaneo di una funzione questo viene calcolato in ambiente Y Editor utilizzando il tasto d della calcolatrice e quindi viene visualizzato il suo grafico nelle immagini il grafico della funzione derivata in tratto pi scuro 262 ree zeon rrace RedraphMath orsu e A 45 4200 400d 1 O x TERZAF RAD AUTO grafici di e della sua derivata grafici di e della sua derivata Pel grafici di e della sua derivata Vengono chieste ai ragazzi osservazioni sul grafico delle funzioni e dei rispettivi tassi di variazione I ragazzi si accorgono facilmente che i grafici dei tassi di variazione sembrano essere ancora funzioni esponenziali in alcuni casi stanno sotto al grafico della funzione in altri si trovano sopra ed in particolare quello di ha un grafico molto vicino a quello della funzione 263 Si domanda quindi se pu esserci una funzione esponenziale che riproduce se stessa nelle sue variazioni I ragazzi suggeriscono alcune prove e visto che 1 grafici diventano sempre meno chiari in quanto le funzioni tendono a sovrapporsi si utilizza anche l ambiente Tab e per confrontare i valori assunti dalle funzioni e dai rispettivi tassi di variazione Ecco alcuni esempi ree eccn trscereGraehmsthpraul A grafici della funzione e del suo tass
239. o cambia quando p molto grande o molto piccolo Provare per credere Nell esaminare i grafici interessante anche isolare con ZoomBox la parte vicino ai massimi in cui il comportamento delle varie distribuzioni manifestamente diverso e valutare quindi quale approssima meglio la binomiale Di seguito compaiono le varie schermate relative alle tabelle e ai grafici Funzioni utilizzate T Fav FIFA T Fav Fv FAY vE contro aj si e elcontro ol Fgaussian nn xXx PP ipoissoncnn XX PP Func une e i xxenntpp 2 2 nnkpp 1 pp 102 pe nn xx xx ke pp nnd imine 1 pp gt gt fend ni Formule utilizzate a b gaussiana con e pari a quelli della binomiale quindi con e Vediamo ora la tabella BINO2 con le tre funzioni n 20 Gauss 20 0 35849 24181 36788 20 i _ 37735 40931 36788 20 4 __ 01333 00359 01533 20 _ S____ 00224 00009 00307 20 __ e____ 0003 r 9e 7 00051 Poiss 20 JO 01153 01831 01832 204 2182 22302 19537 20 __ 5____ 17456 19076 15629 20 f 1091 11937 1042 ATDIN BINO2 con p 0 2 BINO con p 0 05 328 edi relativi grafici binomiale square gaussiana box poisson dot 1 Fav _F3 FH Fev y Fev Fr vee Zoom Trace ReGraph Math Draw i ba Pi Zoom Trace ReGraph Math Draw binomiale e gaussiana poisson e binomiale
240. o di variazione e rispettive tabulazioni grafici della funzione e del suo tasso di variazione e rispettive tabulazioni Dopo varie ipotesi tutte testate con i grafici e le tabulazioni i ragazzi intuiscono che la funzione cercata Si domanda quindi se esiste una trasformazione che lega il grafico della funzione con a gt 0 al grafico del suo tasso di variazione 264 Ecco alcune ipotesi dei ragazzi traslazione di vettore v 0 1 E ESinir cele seit A grafici di del tasso di variazione e di Conclusioni il grafico non conferma l ipotesi una traslazione di questo tipo rende la funzione non pi asintotica rispetto all asse x Traslazione di vettore v 1 0 Zoon tracelReGraphath rauly A grafici di del tasso di variazione e di Conclusioni la trasformazione pu essere del tipo indicato ma il coefficiente non quello giusto 265 Traslazione di vettore v 1 0 Zoon tracelReGraphnath rauly A grafici di del tasso di variazione e di Conclusioni la trasformazione pu essere del tipo indicato ma il coefficiente 4 non quello giusto Dopo svariate prove si perviene alla seguente generalizzazione e se l espressione del tasso di variazione con e se l espressione del tasso di variazione con e se l espressione del tasso di variazione Non riescono per ad individuare il valore del coefficiente k nei primi due casi A questo punto si
241. o meglio l ultimo compito in classe o il precedente Concetti introdotti confronto tra distribuzioni un problema abbastanza stimolante i ragazzi si sentono coinvolti direttamente Si possono confrontare due compiti della stessa classe o di classi parallele Si tratta di calcolare i valori di sintesi e di dispersione facile con Calc ed osservare come si dispongono i dati rispetto al valor medio Per meglio evidenziare come sia necessario tener conto degli scarti e dello sqm si pu procedere per gradi cominciando con due distribuzioni fittizie con media uguale ma diverso sqm in modo da notare come la media sia insufficiente a rappresentare la distribuzione delle frequenze Si giustifica cos il calcolo dello sqm Problema 3 e tu nell ultimo compito in classe sei migliorato o no rispetto alla media della classe Concetti introdotti confronto tra distribuzioni normalizzazione dei dati un approfondimento non necessario subito comunque utile e interessante perch introduce il calcolo dei valori normalizzati punteggi zeta senza con questo parlare per ora di curva normale passa per il concetto che per rendere confrontabili situazioni diverse bene renderle indipendenti dall influenza della media e dello sqm Si applica quindi una prima trasformazione traslazione orizzontale dei dati in modo da centrare tutti i dati rispetto all origine Si tratta poi di far vedere che necessario anche portare
242. o successivo Se partiamo dalla progressione geometrica di ragione 3 questa stessa propriet si pu ritrovare moltiplicando per 2 cio per n 1 la colonna 2 La tabella ci mostra anche che la successione delle somme parziali divergente perch ogni suo elemento maggiore o uguale al corrispondente elemento della successione di partenza che abbiamo visto essere divergente Se invece partiamo da una progressione geometrica di ragione sappiamo gi che la successione degli elementi a tende a 0 Che cosa possiamo dire delle s Plot Setuecei 1 eader caiclutii erat isa gr spense pipe a des Ce EA deo gees ff fives aOr2r si Ms 1 81 121 81 A 1 243 364 21 TT 17729 10934 l fric2 1 MAIN DEG AUTO FUNC 241 x Anche in questo caso la successione crescente ma l esame delle approssimazioni parziali mostra che le somme parziali sembrano tendere a 1 5 E un effetto dovuto all approssimazione Torniamo alla rappresentazione in forma esatta e calcoliamo la differenza tra ogni somma parziale e anzi chiediamo che la frazione che risulta abbia numeratore e denominatore fattorizzati Allarghiamo le colonne E 9 Cell Width 10 eleggiamo c3 factor 3 2 02 MAIN DEG AUTO SEQ Riconosciamo nella differenze la forma Poich tale differenza al crescere dell indice pu essere resa piccola quanto vogliamo la congettura che questa successione abbia un limite si raf
243. olari La prima parte della lezione stata sviluppata interagendo continuamente con i ragazzi in questa fase si rivelato indispensabile l utilizzo del viewscreen La calcolatrice quindi risultata utile come lavagna attiva potendo soddisfare in tempi rapidissimi le curiosit e sciogliere 1 dubbi che venivano manifestati La scheda traccia stata consegnata ai ragazzi all inizio della lezione evitando cos che venissero distratti dal fatto di dover prendere appunti Scheda lavoro 1 Richiamare con i tasti 2 il men Var Link data posizionarsi con il cursore su ySdat a e se presente pigiare in sequenza N per tornare in Home altrimenti utilizzare solo il tasto N fissi Coordinati 2 Entrare nell ambiente Geometry cinto Ry ers O n new o Collega Punti current Se il programma phd pe tad viene creato per la prima volta new allora si deve specificare 7 Equaz Circonferenza la directory folder e il nome Enter SAUE ESC CANCEL del file variable altrimenti HSE ANo gt TO OFEN CHOICES open basta cercarne il nome nella schermata che appare 169 3 Conitasti O si pu accedere ad un men riportato nella figura precedente con il quale si possono impostare i parametri preferiti Per modificare l impostazione di default della scala Smm prendere un punto sull asse orizzontale e trascinarlo fino ad ottenere la scala desiderata tutto verr modificato in conformit 4 Disegna
244. ole e come unit di misura del tempo l anno il tempo di rivoluzione della Terra intorno al Sole 285 Piao RGA ream T eS a ras Sad venere a AZ erra i D_ marte 1 525 1 881 giove 5 2 11 862 saturno 9 51 29 548 rien i MAIN RAD AUTO FUNC Mentre dalla tabella non ricaviamo alcuna informazione sintetica se non che T una funzione crescente di R il grafico a dispersione dei punti mostra una crescita regolare Proviamo ad ipotizzare una funzione lineare Il grafico non molto soddisfacente Vediamo se le cose migliorano con una regressione quadratica i Il grafico a prima vista sembra adattarsi bene ai dati ma se ingrandiamo la regione pi vicino al Sole trascurando i pi lontani Giove e Saturno le cose non sono pi cos convincenti Proviamo allora a ipotizzare una generica funzione potenza del tipo T aR 286 PowerReg sulla calcolatrice 1 503312 Enter 0K ric2 POLINOMI RAD AUTO FUNC La miglior funzione potenza che si adatta ai punti T R 5 Il grafico decisamente convincente anche nella regione dei primi quattro pianeti In effetti la terza legge di Keplero afferma che i quadrati dei tempi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi della loro distanza media dal Sole cio T RP risultato molto vicino a quello trovato sperimentalmente 28
245. oluto dobbiamo invece impedire che l argomento di questa funzione sia complesso Dobbiamo quindi filtrare la variabile prima che sia calcolato si tratta quindi di sostituire x con lt x Se vogliamo modificare le funzioni della libreria della calcolatrice in modo da evitare grafici sbagliati possiamo e memorizzare la funzione flt e ridefinire le funzioni che danno problemi utilizzando la funzione flt In alternativa possiamo utilizzare di volta in volta la funzione flt quando ci serve tracciare un grafico ad esempio per ottenere il grafico corretto della funzione fs x arcsenx dobbiamo immettere y1 x ass flt sin x e non semplicemente y1 x ass sint x 32 IL PROGETTO LABCLASS A CONFRONTO CON ANALOGHE ESPERIENZE ALL ESTERO Sebastiano Cappuccio Istituto Tecnico Aeronautico F Baracca Forl La disponibilit di software di elaborazione simbolica come DERIVE e di manipolazione geometrica come Cabri G om tre ha da tempo messo in fermento la comunit internazionale di chi si occupa a qualunque livello di didattica della matematica nelle scuole secondari superiori Il dibattito su finalit e obiettivi dell insegnamento della Matematica e soprattutto sul modo di realizzare questi obiettivi e sulle strategie di utilizzo di tali software ha subito in questi ultimi anni ulteriore impulso grazie alla presenza di strumenti come le calcolatrici grafiche e simboliche che accomunano una potenza di calco
246. oni Ritengo opportuno riportare qui di seguito le seguenti osservazioni La totalit dei ragazzi ha applicato correttamente i principi di equivalenza sull equazioni numeriche intere e Qualche difficolt emersa nella verifica dell equazione fratta Alcuni hanno sostituito il valore trovato nell equazione ottenendo come risposta true fig 8 76 ico cut x 1 x24x 2 X 2 wo D_3 Cx 2 x 2 1 Cx 2 1x 72 RAD AUTO FUNC 1230 fig 8 E sorta una discussione sul perch di queste risposte apparentemente contraddittorie Dopo vari tentativi di spiegazione da notare che tutti x 2 true partecipavano alla discussione verifica sulla macchina anche i pi lenti o con qualche difficolt nella scomposizione di polinomi qualcuno ha azzardato l ipotesi che poich le due espressioni a primo e secondo membro perdono entrambe di significato per x 12 undef per la calcolatrice il true si riferisce all uguaglianza undef undef Infatti portando a primo membro e uguagliando a 0 il risultato false cio undef 0 Quindi la calcolatrice quando valuta l equazione seguita da O x l 2 prima sostituisce e poi valuta l uguaglianza dei due membri come dimostrano le seguenti schermate fig 9 RT Za KERTO false nf 1 9 x false x 19 x 19 1 01x 1 MAIN RAD AUTO FUNC 2730 fig 9 Quindi il valore 2 deve essere sostituito non nell intera uguaglianza ma separatame
247. ordinate che sono x 2 5 e y 12 25 che corri spondono alle frazioni 5 2 e 49 4 in Minimum xci 72 5 MAIN DEG AUTO FUNC 118 HOME si digita 25 10 e 1225 100 e si preme Le intersezioni della parabola con l asse x sono gli zeri del trinomio x Sx 6 Per determinarli si digita ZERO Si fissano gli estremi degli intervalli in cui sono contenute le ascisse di tali punti e si ottiene 6 e 1 Per determinare tali valori si pu in H OME calcolare le soluzioni dell equazione x 5x 6 0 digitando sol ve xOt5x 6 0 x PFeEoonrrace reGrapnivathorsule A EPT zecaltrsce ReGraehnsthorsule A Pe eccn trscerecraphnzthprsule A 1225 100 solvelx2 5 x 6 9 x x 1 or x 6 solve x 2 5 x 6 0 x MAIN DEG AUTO FUNC 2 50 49 4 A questo punto si osserva che il grafico della parabola tagliato in due dall asse x la parte al di sopra quella per cui y gt 0 cio x 5x 6 gt 0 I punti del grafico che si trovano al di sopra dell asse x devono avere l ascissa o minore di 6 o maggiore di 1 pertanto le soluzioni della disequazione sono tutte quelle per cui x lt 6 o x gt 1 Se si va in ambiente TABLE si illustra brevemente tale ambiente si possono leggere le coordinate dei punti del grafico e si vede che per x gt 1 o per x lt 6 la y maggiore di zero ESEMPIO N 2 InY EDI TOR si digita y passando in ambi
248. ore talvolta applicabili anche al biennio Non necessario che i ragazzi conoscano gi tutti i comandi necessari anzi mentre si risolvono problemi essi impareranno ad usare la TI 92 e ad apprezzarne le potenzialit Si evita cos il classico periodo di addestramento spesso arido e noioso che porta via tanto del poco tempo che gli insegnanti hanno a disposizione Questo possibile grazie al View Screen il Data Display dedicato alla TI 92 mediante il quale possiamo far vedere come si fa e subito dopo farlo eseguire dai ragazzi Verranno esposti alcuni problemi che possono essere proposti in classe i concetti che si intende presentare mediante l uso della TI 92 e le note tecniche necessarie per realizzare le attivit proposte Si suppone che chi legge abbia un minimo di capacit nell uso della TI 92 tuttavia i comandi necessari verranno scritti in modo da poter realizzare effettivamente quanto proposto 1 Introduzione ai concetti statistici Finalit presentare agli alunni alcuni concetti di statistica e qualcuna delle elaborazioni che li riguardano Problema 1 qual il peso medio della classe Fase 1 Concetti introdotti variabile statistica frequenza assoluta tabella di distribuzione 308 Inseriamo in una tabella nella colonna C1 come nella figura PESI i valori dei pesi dei ragazzi potrebbero essere i valori seguenti si tratta di 50 valori riferiti a due classi parallele i pesi sono espressi in kg
249. orgio Ravagnan 31 Statistica e probabilit alcune idee Lucio Carosati QUESTIONARIO DEI DOCENTI SULLA SPERIMENTAZIONE BIBLIOGRAFIA ELENCO DEI DOCENTI PARTECIPANTI ELENCO DELLE SCUOLE POLO VOLUMI DELLA COLLANA QUADERNI GI PUBBLICATI 7 pag pag pag pag pag pag pag pag pag pag pag pag pag pag pag pag 199 207 223 233 249 261 277 283 287 297 307 329 339 341 343 346 LA SERIE DOCUMENTI DI LAVORO DEI NOSTRI QUADERNI Luigi Catalano Dirigente Div IV Direzione Classica Scientifica e Magistrale Ministero Pubblica Istruzione La collana Quaderni della Dirclassica si arricchisce di una nuova serie essa porta quali suoi segni grafici distintivi il dorso rosso della copertina e la dizione documenti di lavoro che vi compare in aggiunta a quelle che contrassegnavano i tradizionali fascicoli verdi e grigi Ogni nuovo nato testimonianza di vitalit E difatti questa nuova serie risponde a una triplice esigenza di sviluppo In primo luogo quella di dare tempestiva comunicazione del lavoro che la nostra Direzione viene compiendo a ritmi di costante accelerazione sul terreno della formazione e dell aggiornamento degli operatori scolastici Il numero crescente delle nostre iniziative richiede non solo un allargamento degli strumenti ma pure un utilizzo delle forze e delle risorse dispo
250. ostruito quindi un polinomio di 2 grado componendo i precedenti con il prodotto e ne abbiamo studiato il segno sign 1 2x x 4 Abbiamo quindi visualizzato i risultati in ambiente Table Inizialmente abbiamo lavorato nelle condizioni di default con x inizializzato a 0 ed incrementato di passo Ho poi suggerito di dimezzare il passo di incremento della x Tblset Atbl 0 5 Si ottiene una vera e propria tabella dei segni da notare le situazioni di non decisione in corrispondenza degli zeri dei polinomi fattori sign MAIN RAD AUTO FUNC fig 1 Abbiamo scorso i dati osservando il legame tra il segno del prodotto ed i segni dei singoli fattori gli studenti hanno riportato la tabella sul quaderno nella tradizionale forma di tabella dei segni Hanno per distinto con colori diversi la colonna che indica i valori dix le colonne che analizzano i segni dei fattori la colonna del risultato Successivamente ho dato loro da studiare sempre con lo stesso metodo il segno del polinomio 24x 3x ho chiesto quindi di ricavare i valori di x per i quali 2x 44 3x lt 0 Analogamente per risolvere un sistema di disequazioni si costruita con la TI 92 una tabella in cui comparivano i valori di verit falsit di tre proposizioni aperte 67 Gli allievi hanno osservato che in questo caso per individuare 1 capisaldi occorreva scegliere un adeguato passo di incremento della x MAIN RAD AUTO FUNC
251. ottieni 2 Per quali valori di k si ha U 0 Quale il rango di W e perch 4 Calcola il determinante di D e quello della matrice che ottieni da D scambiando fra di loro 2 righe qualsiasi che succede 5 Calcola il determinante di B dopo aver moltiplicato una riga per un valore diverso da zero e da 1 a tua scelta cosa noti 6 Calcola IT dove T D x B che legame c fra questo risultato e quello dei determinanti di A e di B 7 Calcola il determinante di una matrice diagonale di ordine 3 cosa noti uo 198 oo Calcola il determinante di 3B cosa noti Discuti il rango di U al variare di k 10 Si chiama matrice idempotente ogni matrice che coincide con il suo quadrato D idempotente 11 Scrivi l equazione della circonferenza passante per 1 0 2 1 1 3 12 Sapendo che ab ad con a b d R a 0 implica che b d la stessa implicazione sarebbe valida se al posto di a b e d sostituissi le matrici A B e D Commento Questa prova somministrata per una durata effettiva di 100 minuti ha evidenziato risultati relativamente confortanti se confrontati con il rendimento mediamente superiore della classe nelle precedenti prove senza calcolatrice I ragazzi si sono in parte lamentati per l eccessivo numero degli esercizi ma soprattutto del fatto che non avendo potuto utilizzare a casa la calcolatrice non avessero acquisito quella dimestichezza con i comandi che potesse evitare loro il continuo rico
252. pato in classe e lo si riesaminato con l aiuto della TI92 Poich alcuni quesiti riguardavano la trasformazione di coniche lo studio delle trasformazioni lineari stato preceduto da un introduzione sulla rappresentazione grafica di funzioni e di coniche che ha richiesto due ore Grafico di funzioni attivare Y Editor digitare la funzione da graficare attivare il video grafico oppure si pu ottenere lo stesso risultato digitando in Graph x 3 2x 1 x EE econkrrace Re6raphsthlorsul A MAIN RAD AUTO FUNC 208 Grafico di una circonferenza La circonferenza rappresentata da un equazione di 2 grado nelle variabili Pie x ey e non da una funzione quindi per a 24y2 2 x 0 cire x2 2 x y2 0 disegnarla dobbiamo prima ottenere le solvetcirc 4 due funzioni che rappresentano la s 45 7x x 2 and x x 2 30 or y 2A 7 7 ClrGraph Done micirconferenza inferiore e superiore s Braghi mn rr ee SE Esempio vediamo come si disegna la a graph xqx 2 x Done circonferenza Graph SJ x X x 2 x x2 y 2x 0 MAIN RAD AUTO FUNC 225 Se si omette il comandoU z Other ClrGraph la calcolatrice pu dare errore a causa di definizioni dovute a grafici precedenti Se il grafico non soddisfacente modificare FEEE mi celrediaphn IE A con gli Zoom che si attivano premendo N ZoomStd impostare lo schermo alle impostazioni di Default e c
253. per passare ad altro quando un alunno sottovoce al compagno di banco che curva sara Colgo la palla al balzo e dico di controllare con la macchina Inseriamo l equazione in ambiente HOME diamo il comando sol ve rispetto ad y copiamo il risultato in Y EDI TOR separando la parte positiva da quella negativa ottenendo cos due funzioni la parte positiva e la parte negativa della curva N 2 24 Pag iors si ax es lal x2 2 solve x 5 1 s y 2 x2 1 and x2 120 or y 2 2 solve x 2 u 2 4 1 4 MAIN RAD AUTO FUNC 2 30 138 Le grafichiamo ottenendo ye zoon TracelReGraph iath orauly A A questo punto la frase che viene fuori che sono due parabole osservo che sono un po troppo dritte per i miei gusti sara lo schermo se controllassimo con il Derive che ha una risoluzione migliore Ora devo dire che uno degli alunni ha una vera e propria predilezione per l ambiente TABLE lo attiva sempre anche quando non gli serve a niente e infatti lo sta osservando gi da un po senza dirci niente ad un certo punto la spara la y quasi il doppio della x Efetue j pera gt al E Cra a I e e d Jo _ _ __Ll 2 3 4641 3 464____ __L_ ___ 3 S 6569 5 657__ _ I 4 7 746 e ede So ___ S 9 798 9 7989 __ J T C i1 832 11 83 ____ __ ___ z 13 856 13 86 ___ 139 Proviamo a metterla sul grafico ye zoon Tra
254. polazione cresce o decresce Se n lt m la popolazione cresce o decresce Se n m _ la popolazione 229 Se n gt m _labase della potenza maggiore o minore di 1 Se n lt m_labase della potenza maggiore o minore di 1 Dopo le definizioni e le propriet delle funzioni esponenziali viste soprattutto in termini di risoluzioni di equazioni e disequazioni si passa alla introduzione del numero e sia attraverso un problema di interessi composti sia eventualmente attraverso lo studio della pendenza delle curve esponenziali Infatti la calcolatrice consente di calcolare rapidamente valori di successioni come pure la pendenza in ogni punto di un grafico come descritto nella scheda seguente Inserirai ora una funzione da indicare con f x costruirai la funzione m x h tasso di variazione in x con incremento h approssimerai la pendenza del grafico di y f x nel punto x 1 per valori decrescenti di A in ambiente introduci la funzione 24x f f x introduci in generale il rapporto incrementale f x h f x h B m x h in ambiente poni yl x f x e y2 x m 0 0 1 x 1 con l opzione ZOOMSQR traccia il grafico di yl e quello di y2 retta ie con buona approssimazione possiamo ritenere tangente alla curva nel punto di coordinate 0 1 5 tornainambiente diminuisci il valore assegnato all incremento h 6 ripeti alcune volte i punti 4 e 5 7
255. prio perch casuali Potrebbe allora essere interessante contare tutti quelli che arrivano ad un determinato punto Si tratta di inserire il programma ubriacl in un ciclo che lo ripeta finch l utente lo ritiene opportuno quindi in un while true endwhile che potr essere interrotto premendo Nel frattempo il programma dovr contare i cammini che arrivano ai vari punti finali possibili con 7 lanci mettiamo i contatori in una matrice 1x8 bene anche visualizzare il conteggio man mano che procede Lo faremo evidenziando in posizioni vicine ai punti di arrivo dell ubriaco il numero totale di cammini raggiunto fino a quel momento uso di Px Texd Povero ubriaco A forza di ricominciare sempre daccapo il suo tentativo di ritorno a casa probabilmente si stancher O magari la sbornia gli passa e pi cosciente non deve pi tentare la sorte Intanto per i ragazzi intravedono il bel diagramma a rete che prelude allo studio delle combinazioni e del modello di Bernoulli con tanto di triangolo di Tartaglia Pascal Proponiamo allora il Problema 3 Far eseguire con un loop infinito il tracciamento di un cammino casuale e ad ogni ciclo contare per ogni possibile punto di arrivo il numero di cammini che raggiungono quel punto Visualizzare anche i totali parziali accanto ad ognuna delle possibili posizioni di arrivo Ad ogni ciclo visualizzare solo l ultimo cammino percorso Il problema non tanto pi compl
256. qu Func Local a b c left equ right equ equ equ x 0 and y 0 c equ c y 0 and x l a equ c x 0 and y l b Return a b c EndFunc inters rettal retta2 Func Local matl mat2 vl v2 s50 equvett rettal vl equvett retta2 v2 vl1 1 v1 2 v2 1 v2 2 matl v1 3 v2 3 mat2 simult matl mat2 sol matulist sol sol Return sol EndFunc Il programma funziona solo con fasci propri di rette ma ovviamente pu essere migliorato Si pu prevedere nella prima parte una serie di istruzioni che riconosca se l equazione di primo grado ad un parametro rappresenta in realt una sola retta cio serettabl eesclusa sono linearmente dipendenti e nel caso in cui questo non accada se si tratta di un fascio proprio o improprio 135 136 13 L ELLISSE CHE NON C E Roberto Cagnacci Liceo Scientifico A Vallisneri Lucca Classe Terza liceo scientifico sperimentazione PNI Obiettivi Analizzare casi particolari di ellissi portare gli alunni a riflettere e verificare i risultati ottenuti Tempi Due ore per la lezione da cui parte tutto Due ore per la sistemazione dei concetti appresi Prerequisiti L equazione dell ellisse con centro nell origine conoscenza dell uso della macchina Metodi Lavoro individuale e discussione collettiva Strumenti Una macchina TI 92 per ogni alunno lavagna luminosa view screen L articolo il racconto fedele di una lezione in classe partita con delle intenzioni
257. r permette di immettere le funzioni che verranno tracciate sullo schermo grafico possibile immettere funzioni cartesiane parametriche polari altres possibile rappresentare successioni grafici in 3D e il grafico di soluzioni di equazioni differenziali Si sceglie la modalit di editor e altre modalit di impostazione della calcolatrice mediante il tasto MODE Fi Ti EE T F Graph FUNCTION Current Folder A naa Display Digits Format lex mat Vector Format Pretty Print Enter SAVE Per esempio se scegliamo FUNCTI ON l ambiente Y Editor ha il seguente aspetto 1 x POLINOMI RAD AUTO FUNC possibile inserire fino a 99 funzioni e rappresentarle con modalit differenti in modo da poterle distinguere la variabile indipendentemente obbligatoriamente x Il grafico tracciato nell ambiente Gr a ph 51 eroe A Segiek af re Econ rrace regraphhzthorsu s lf aPLOTS Ea vi sin x 40 D POLINOMI FAD AUTO FUNC FOLINOMI RAD AUTO FAR N Anche qui possibile inserire fino a 99 funzioni l ascissa e l ordinata sono espresse mediante funzioni del parametro t e eEconegie Alietsiek sl ee econ Trace Rearaph nath orauly F aPLOTS vxtl cos t vuyti sin t vxt2 5 cost vyut2 5 sin t xt3 cos t xt4ct FOLINOMI RAD AUTO FAR L ambiente Wi ndow permette di impostare la visualizza
258. r trasformare le coniche si procede in maniera analoga a quanto fatto per trasformare la retta cio definita la funzione inversa come visto sopra si considerano le coniche richieste dal quesito 218 Per comodit si procede con l esempio numerico 1 2 x y gt invx 1 2 x gt invy xx2 yy 2 1 gt circ circ xx invx and yy invy risulta 1 2 x2 x y y 1 Per il grafico occorre risolvere l equazione della circonferenza trasformata rispetto ad y e si ottengono due funzioni corrispondenti a due semiellissi che possono essere graficati singolarmente con la funzione graph Analogamente si procede per la parabola B 72 x y gt invx a 72 x gt invy xx yy2 1 circ xx yy 1 ae Tihs ay circ xx invx and yy invy x2 4 x Anz 4 x 2 y or y gt x 2 2 2 solve x 2 2 x yty 2 1 y eee MAIN RAD AUTO FUNC 5 24 MAIN RAD AUTO FUNC 24 30 179 y Graph gt x Done a Graph Done ys x 2 x His F3 x myu 2 xxZ 1 par yy 2 xx2 1 2 2 apar xx invx and yy invy T 2 x aye Graph EE Done 5 2 x y 2 4241 2 Graph a Tx Done 2 x y 2 42 1 4 MAIN RAD AUTO FUNC 4 25 MAIN RAD AUTO FUNC 22430 Zoon TracelReGraph sth orauly A MAIN RAD AUTO Scomposizione di similitudini In seguito all esecuzione di esercizi relativi alle similitudini si pensato di sviluppa
259. ra 1 essa prende in ingresso la lista dei coefficienti ordinati secondo le potenze decrescenti della variabile e non la lista degli stessi coefficienti ordinati secondo le potenze crescenti come pi spesso ci capiter di fare Pe Iaigebralcaiclother erantolciean up poluEval a bo c x ax b x ci a poluEval 1 4 0 23 x La prima funzione che scriviamo dunque una funzione d inversione di una lista che ci consenta di operare indifferentemente su liste dei coefficienti ordinate in uno qualunque dei due modi indicati La figura 2 mostra tale funzione mentre la figura 3 ne mostra alcuni utilizzi 3For k dimta i gugpent bb 38th Id 2b Return bb 16 FE la1gebra cate other ergn1o c1esn uel a td Ci 2 5 4 Fig 3 Vogliamo ora una funzione che compia l operazione in senso inverso cio data un polinomio p ne estragga la lista dei coefficienti A tale compito provvede la funzione pcoef mostrata nelle figure 4 A e 4 B importante che la calcolatrice sia predisposta per funzionare in modalit esatta in caso contrario il valore terminale assunto dalla variabile p non 0 bens 0 la funzione entra in un ciclo infinito ue ci Tins tElse 0 gt listo iuihile string ppde 0 pplxx 0 c i ugment lt listo c gt listo i SPE Ii Enduhile EndIf Return liste Come si vede il caso in cui venga introdotto il polinomio nullo viene trattato a parte per evitare un
260. ra un po ingenua senza addentrarmi in campi pi delicati del tipo proprio vero che al crescere del numero dei lanci la frequenza relativa tende alla probabilit o questo fatto solo pi probabile E vero che su un grande numero di lanci il numero di uscite di testa o croce tende allo stesso numero Le risposte a quesiti di questo genere non sono adatte ad una prima ma possono essere un buon punto di partenza per un approfondimento negli anni successivi 2 L uso della macchina risultato indispensabile per introdurre questo secondo approccio alla probabilit e l integrazione dei diversi ambienti emersa in tutta la sua potenzialit L unico punto un po faticoso dal punto di vista didattico stato il sovrapporsi di un gran numero di informazioni nuove la tendenza degli studenti stata quella di porre pi attenzione alla propria macchina anzich alle istruzioni date coralmente a tutti con conseguente dispersione del lavoro ma credo che sia un fatto inevitabile con ragazzi cos piccoli e alla prima esperienza 107 108 9 FUNZIONI ED EQUAZIONI Nicoletta Nolli Liceo Scientifico G Aselli Cremona Classe terza Liceo scientifico P N I Obiettivi conoscere ed utilizzare gli ambienti Y Editor Home Table e Graph della TI 92 e determinare le propriet del grafico di una funzione insieme di definizione zeri segno monotonia continuit e costruire grafici di funzioni con tecniche grafiche
261. rale sui numeri complessi dato z x iy essa fornisce il valore reale non negativo 2 2 a 3 pesi xx y osserviamo che per argomenti reali x essa si riduce al valore assoluto reale infatti Vx xl Quindi per x lt 0 abbiamo f IIn xl In bel itl Jin Ixl n 29 Per approfondire il discorso del logaritmo invitiamo a svolgere i seguenti esempi osservando i grafici che si ottengono per valori negativi e a spiegare a partire dalla definizione di logaritmo complesso i fenomeni osservati g x In D 1 g2 0 In x 1 In x 1 x 1 x In 830 x 1 g4 x In x 1 In x 1 Possiamo concludere dicendo che la funzione logaritmo pu presentare dei problemi nei casi in cui la sommiamo ad altre funzioni logaritmiche oppure quando ne calcoliamo il valore assoluto 4 La funzione arcoseno Anche l arcoseno presenta dei problemi analoghi a quelli del logaritmo Questo fatto pu essere scontato per il docente ma certamente non lo per lo studente che non sa che esiste un legame tra le due funzioni grazie al quale l arcoseno definibile anche utilizzando la funzione logaritmica appunto questa definizione che viene utilizzata nei sistemi di calcolo simbolo Non potendo presentare i dettagli del discorso pu per essere utile far vedere questa parentela tracciando il grafico della parte reale e di quella immaginaria della funzione arcoseno mostrato nella figura 7 Nell intervallo 1 1 la funzione
262. razione almeno 10 volte e sul quaderno sommate le frequenze dei vari lanci in modo da aver simulato 500 lanci 7 In ambiente Home utilizzando la macchina come una normale calcolatrice sommate i numeri che ciascuno di voi ha ottenuto per le uscite possibili 2 3 4 12 Dovreste totalizzare circa 10000 lanci e per ogni evento somma avrete un numero che rappresenta la frequenza assoluta 8 In Data Matrix Editor aprite un nuovo file e chiamatelo freq Inserite in cl i possibili esiti dei lanci ovvero gli eventi possibili in c2 il numero di uscite che avete ottenuto per ogni evento in c3 il numero totale dei lanci in c4 fai il rapporto fra il numero di volte che avete ottenuto i singoli eventi e il numero totale dei lanci in c5 inserite la probabilit di ciascun evento somma calcolata come sapete fare come rapporto fra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi po ssibili I dati in figura rappresentano quello che avete ottenuto su 9620 lanci PP Prot Seturlcer header caichtii stat i B 2 am 5 m N OSes oss 3 j4 805 _ 8568 08333 4 EM F S E S seit 5 6 1362 _ 14158 EEEE 6 fg 546 160r71 16667 o i403 14584 13889 FIGUREMI RAD APPROX FUNC Fig 10 9 Adesso vogliamo vedere in un grafico a dispersione XY che relazione c fra i rapporti che stanno in c4 e le probabilit che stanno in c5 105 andate in Window Editor e sistemate i parametri dello schermo in modo che si veda
263. re grafici simultanei si dovranno definire diversi Plot uno per ogni colonna della tabella ciascuno con x c2 e y colonna interessata re Zoon TracelRedraph sthlorsuly A r PI T FE F3 FA FE Fay y F v Fe Plot Setup Cell Header caiclutii stat f lanci teste pcx ko _ cl jc sa 20 JO 1 2158 01153 0008 20 i ___ 27017 05765 00684 20S 3192 17456 17886 20 00887 1091 19164 A DINI 3 phinotci c2 1 gt ASTAT RAD AUTO FUNC CAMPANE n 20 Fz F3 FA FE Far F f lanci teste pcx ko c3 20 O 81791 66761 54379 20 _ 5____ i 3e 6 00004 00024 20___ 6___ 3 4e S 1 9e 6 00002 m Pi 3 phinotci c2 01 gt FUNC ASTAT RAD AUTO CAMPAN2 n 20 CAMPAN2 grafico 326 Dai grafici dei due fogli si arriva a concludere che l andamento a campana si ha solo per p non troppo distante dal valore 3 3 Dalla distribuzione binomiale a Poisson e Gauss gettiamo un ponte Giunti a questo punto grazie alla TI 92 parliamo un po anche delle distribuzioni di Poisson e di Gauss anche se non sono state introdotte le formule e i modelli relativi Ormai diverse volte stata osservata la forma a campana di alcuni grafici e addirittura dei numeri nel caso dei coefficienti binomiali Val la pena allora di usare i grafici delle due distribuzioni per mostrare come entrambe possono approssimare la binomiale avvicina
264. re la circonferenza di centro l origine e raggio unitario N z creo il segmento che poi assumer come raggio misurare con i tasti il segmento spostando eventualmente un estremo se la lunghezza non pari a quella desiderata n indicando il raggio e il centro e infine Z controllo l equazione della circonferenza 5 Prendere N un punto sulla circonferenza chiedendone Z le coordinate Posso spostare la scritta pigiando la manina e contemporaneamente il tasto direzionale 6 Segnare un angolo a m di vertice 0 0 e con un estremo nel punto 1 0 misurandone l ampiezza 7 Raccogliere i dati M evidenziando nell ordine l ascissa l ordinata del punto mobile e l ampiezza dell angolo 8 Posizionare il punto individuato in 4 nei pressi del punto di coordinate 1 0 Animare il punto trascinandolo nella direzione opposta a quella di moto Maggiore il trascinamento pi veloce l animazione 9 TabellareidatiO current caricamento variabile sysdata 10 Conil comando si aprono 2 finestre a sinistra il grafico e a destra i valori tabulati delle coordinate del punto mobile e dell angolo corrispondente 11 Posizionandosi nella prima casella di ogni colonna possibile darle un titolo Con il tasto si ritorna all ambiente Geometry x ang 25 LUGOSB DEG EXACT FUNC In ambiente Data Matrix Editor O si pu predisporre N il tipo di grafico da visualizzare defi
265. re letto come prodotto di tre numeri interi consecutivi Di qui a dimostrare che i numeri dell insieme A sono tutti multipli di 6 il passo stato breve Nel proseguimento del lavoro si posto il problema delle regole sintattiche di scrittura di un espressione algebrica sulla TI 92 Ho invitato gli allievi alla seguente riflessione Che differenza c fra le regole di scrittura di un espressione con carta e penna e le regole della TI 92 Quali attenzioni bisogna porre nel digitare un espressione con la TI 92 Riporta sulla linea di editing della calcolatrice le seguenti espressioni dopo aver attentamente controllato ci che viene visualizzato sullo schermo stila un elenco di regole di scrittura da rispettare Oltre alle consuete regole legate alla scrittura di una frazione su una sola riga i ragazzi hanno osservato che va posta molta attenzione alla differenza fra meno unario Y e meno binario l omissione del segno di moltiplicazione non sempre possibile l espressione 2ab per la TI 92 diversa da 2a b viene segnalato un errore se si tralascia il segno tra una lettera ed una parentesi E emerso inoltre che le espressioni visualizzate erano talora riscritte in modo diverso rispetto all immissione E stata questa un ulteriore occasione per ribadire il concetto di equivalenza tra formule e per sottolineare l importanza d uso del simbolo spesso considerato dagli allievi un semplice separator
266. re un programma per scomporre le similitudini in trasformazioni elementari che consentano di disegnare poligoni simili mediante l uso dello strumento Geometry Pertanto stato sviluppato un programma che inserita l equazione di un affinit verifica se una similitudine e se la risposta positiva fornisce coefficiente di dilatazione e angolo di rotazione 220 Simil a d b c deter Prgm Disp determinante amp string deter DelVar a b c d p q XxX yy X y tx ty If deter 0 Then ClrlO Disp non una affinita inserimento trasformazione Else Disp trasformazione If deter gt 0 Then Disp X ax by p Disp affinita diretta Disp Y cx dy q Else Disp affinita inversa Input a a EndIf Input b b Disp rapporto aree Input p p amp string abs deter EndIf Input c c Input d d Input q q V abs deter gt k If a 2 c 2 b 2 c 2 a b c d 0 then Disp similitudine and Disp rapporto proporzionalita amp string k If k 1 then Disp Isometria EndIf Disp premi Enter Pause Disp La similitudine si compone di Disp Una dilatazione di centro O Disp di coefficiente k amp string k If deter lt 0 Then Disp Una simmetria assiale di asse y 0 EndIf Disp Una rotazione di centro O Disn e angolo amp strino alfa Applicazione del programma simil alla trasformazione lineare X x By Y 3x ytl
267. re usato per confrontare successioni diverse che tendono allo stesso numero pi o meno velocemente Modificando leggermente il programma si possono calcolare i primi elementi di una serie o di un prodotto infinito E interessante ad esempio confrontare il risultato del seguente programma serie nel caso sotto illustrato con l esempio precedente serie Prgm Local f iniz fine numcifre somma i Cl rio Dialog Request Serie f Request per n da iniz Request fino a fine Request numero di cifre cl2 numcifre EndDl og expr f f expr iniz iniz expr fine fine set Mode Display Digits FIX amp numcifre 0 somma Cl rio For i iniz fine somma f n i somma Output 1 1 approx soma Output 30 1 n amp string i For j 1 10 EndFor EndFor SetMode Display Digits Float 6 EndPrgm 245 Vediamo qui il programma in esecuzione numero di cifre s12 Enter 0K ESC CANCEL jti 2 718238182846 n 17 Che lo stesso che si ottiene daapprox e 1 approx e1 2 71828182846 approxCe 1 FUNC 1 30 MAIN RAD AUTO 246 6 Prova somministrata alla fine dell attivit 1 Calcola la somma dei multipli di 3 compresi strettamente tra 100 e 1000 2 Una progressione geometrica ha come primo termine np 3 e come ragione 2 La somma dei primi n termini 6 291 453 Quanto vale n 3 problema proposto da Michele Impedovo Una cellula si duplica ogni secondo a Se si parte con 20 cel
268. rrere al manuale o agli appunti in loro possesso questa consultazione a volte affannosa li ha di fatto un poco deconcentrati La tabella seguente sintetizza i risultati in termini di voto Voto 24 4 5 5 6 6 7 7 8 Frequenza 3 3 2 4 3 Al termine del lavoro relativo alle matrici e determinanti malgrado gli esiti non pari alle aspettative ritengo che si possano trarre le seguenti conclusioni i ragazzi hanno conosciuto ulteriori funzioni della TI 92 e hanno consolidato l abitudine a porsi domande a tentare di rispondere ad esse eliminando ansie da calcolo di qualsiasi tipo nella verifica l ufficialit della stessa li ha resi insicuri e il non aver acquisito piena conoscenza dei comandi della macchina li ha costretti ad una ricerca spesso affannosa sugli appunti che erano a loro disposizione a scapito dell esito finale un maggior allenamento con la macchina anche fuori della scuola avrebbe sicuramente ovviato a tante incertezze 199 21 LUOGHI GEOMETRICI Nicoletta Nolli Liceo Scientifico G Aselli Cremona Classe quarta liceo scientifico P N I Obiettivi conoscere ed utilizzare l ambiente Ge o met r y della TI 92 e costruire nel piano luoghi geometrici e individuare la natura del luogo attraverso il suo grafico e dimostrare la natura del luogo per via sintetica o analitica Prerequisiti conoscenza delle elementari istruzioni dell ambiente Ge o met r y e conoscenza delle coniche
269. rtante perch la costruzione di un archivio strutturato come una Unit in Pascal ma con meno problemi sintattici di implementazione dato che qualsiasi funzione memorizzata pu essere utilizzata direttamente all interno di altre evidenzia reti logiche di collegamento tra diverse formule e diversi problemi contribuendo cos a sviluppare un metodo pi ragionato di lavoro Per analizzare la struttura dell archivio gli studenti hanno infine redatto una tabella a doppia entrata che indicava per ogni funzione tutte le funzioni chiamate durante la sua esecuzione Come si pu notare anche dalla semplice funzione pendenza ma un aspetto pi consistente nell esempio seguente il linguaggio sintattico utilizzato nei comandi e in programmazione facilmente di tipo vettoriale o matriciale In una scansione del programma che preveda uno studio successivo dell algebra lineare l abitudine al linguaggio acquisita in ambito geometrico in cui la dimensione vettoriale di forte pregnanza intuitiva ed utilit e l attenzione agli aspetti sintattici in fase di implementazione di procedure possono favorire una miglior comprensione delle propriet e dell operativit algebrica in un contesto l algebra lineare appunto spesso complesso nell identificazione del significato semantico di uno svolgimento analitico Si verifica infatti talvolta operando con strumenti informatici come la TI 92 un interazione dinamica tra sintassi e semanti
270. siamo fermati sul problema di Erone e le sue varianti Il problema iniziale era cos formulato Data una retta e due punti che appartengono allo stesso semipiano trovare il cammino pi breve per andare da un punto all altro toccando la retta MAIN DEG AUTO FUNC fig 1 La fig 1 mostra la costruzione del percorso al variare del punto sulla retta La prima risposta che hanno dato stata il punto sulla retta deve essere la proiezione di uno dei due punti la seconda il punto medio delle due proiezioni Tutto questo con giustificazioni alquanto discutibili ma non per questo inutili Allora abbiamo inserito le distanze e il calcolo della somma delle due distanze E risultato chiaro che le risposte precedenti non trovavano nessuna convalida con le misure quindi si doveva trovare un altra strada ma quale Il suggerimento di considerare il punto simmetrico venuto da me vedi fig 2 a questo punto al variare del punto sulla retta alcuni hanno capito in che punto la somma delle distanze era pi piccola ma non erano ancora convinti che fosse l unico punto possibile Allora abbiamo costruito la tabella in ambiente Data Matrix con l istruzione F6 Collect Data Define Entry Store Data 96 a questo punto al variare del punto sulla retta alcuni hanno capito in che punto la somma delle distanze era pi piccola ma non erano ancora convinti che fosse l unico punto possibile PAT FORA RENEE 1 16cm R 3 SESTA RETTA R 3 56 M
271. siana di Poisson della prima si dovr raggiungere una comprensione completa delle altre si dar solo l idea di come si collegano con la binomiale 3 1 La passeggiata dell ubriaco Un ubriaco si trova a dover tornare a casa ma non sa come arrivarci visto il suo stato confusionale La mappa del territorio rappresentata nella figura alla pagina successiva Il quartiere disposto in modo regolare e lui sa che si trova a 7 isolati di distanza un isolato corrisponde ad un lato di un palazzo DATA EDITOR se succede di dover cancellare delle colonne per errori di impostazione della tabella accade che si blocca il calcolo sulla prima formula che non trova pi i riferimenti corretti In questo caso da Fl di DATA EDITOR disattivare l Auto calcolo opzione 9 Format poi modificare tutte le formule delle varie colonne ed infine riattivare l Auto calcolo 1 Il problema tratto dal libro di G Prodi Matematica come scoperta vol 1 Ed D Anna 316 Decide di lanciare ad ogni bivio una monetina Se viene Testa prende la strada alla sua destra se viene Croce quella alla sua sinistra e poi avanza di un isolato Problema 1 Che probabilit ha l ubriaco di arrivare a casa ubriac ZONE cas Il problema abbastanza complesso e richiede una scomposizione in sottoproblemi Discutendo con i ragazzi arriviamo alla necessit di dover calcolare preliminarmente il numero dei casi favorevoli cio il
272. solidate da decenni e realizzarne di nuove ma un impegno che non potr essere evitato Un ulteriore problema nasce con gli esami finali Esami di Stato Abitur Matura Bac ecc quando questi sono centralizzati l atteggiamento delle Autorit scolastiche vario di norma a parte l Italia le calcolatrici grafiche e programmabili sono tollerate e spesso addirittura obbligatorie In alcuni Paesi ad 36 es la Danimarca gli allievi sono sottoposti a due prove distinte una senza e una con le calcolatrici Di solito le classi che attuano una sperimentazione con le calcolatrici simboliche ricevono un tema d esame preparato ad hoc In Italia come tutti sanno le calcolatrici ono addirittura proibite anche se con il nuovo Esame di Stato in particolare con la terza prova non mancano strumenti decentrati per esaminare gli studenti delle classi sperimentali Il quadro complessivo quindi molto vario e in evoluzione Comunque le eventuali proibizioni non devono preoccupare troppo varie ricerche in particolare negli Stati Uniti ad es presso la Iowa State University vedi 5 hanno riscontrato negli alunni abituati ad usare sistemi di elaborazione simbolica risultati complessivamente migliori agli esami anche quando si potevano usare solo carta e penna 6 Alcuni esempi Si detto che uno dei risultati pi interessanti delle sperimentazioni l osservazione del fatto che con l uso della calcolatrice gli studenti si abit
273. sono riportate le frequenze assolute di preferenza fra 4 colori in un ipotetico campione di studenti di scuola media suddivisi per classe La tabella in fig 1 stata costruita come Dat a insieme di liste inserite come colonne nell ambiente Dat a Matrix Editor della calcolatrice 1 Fe F3 FU FS Fe F vE plot Setup wm RIEAN media 2media smedia ____ ci Title col st MAIN RAD APPROX FUNC 298 E possibile calcolare tramite la funzione SUM operante su ciascuna colonna c2 c3 c4 la distribuzione marginale riferita al carattere classe inserendo la funzione con argomenti di volta in volta diversi cfr fig 2 nelle varie celle della riga r 5 Successivamente in c5 viene inserita la somma c2 c3 c4 cfr fig 3 ottenendo cos in colonna la distribuzione marginale riferita al carattere colore e automaticamente nell ultima cella r5c5 il numero totale di elementi del campione Cos facendo oltre alla definizione delle distribuzioni marginali stato evidenziato agli studenti che dal punto di vista sintattico la possibilit di manipolare una variabile Dat a realizzata tramite operazioni sulle colonne cio su liste di valori ti E bla J ze 4 2 48 verde 6____ 27 s9 72 nero id 63 S1 fies 32 iad 208 384 col st imedia 2media smedia _ et fez eS cd 5 rosso E___56_ 52 blu f4 lis 26 verde E___ 27 39
274. sore con A e B si possono esplorare le frequenze assolute delle varie classi e ottenere cos la tabella della distribuzione delle frequenze Fin qui oltre a far acquisire una certa manualit sulla TI 92 abbiamo introdotto anche alcuni concetti il peso la variabile i cui valori sono stati elencati nella colonna osservando l istogramma abbiamo ricavato le frequenze che possiamo scrivere nel quaderno costruendo cos la tabella di distribuzione delle frequenze assolute Fase 2 Concetti introdotti media aritmetica varianza scarto quadratico medio sqm Elaboriamo i dati introdotti Lo facciamo fare alla TI 92 che in un sol colpo calcola anche gli indici di dispersione Quindi va ben al di l delle aspettative il peso medio Questo decisamente opportuno si pu subito parlare ai ragazzi non 310 solo della problematica della sintesi dei valori in un numero ma anche di quella della dispersione Il tempo perso per lavorare con la TI 92 si guadagna in termini di interesse di manualit sulla macchina ma anche di velocit di presentazione dei concetti partendo non dalla teoria ma dalla risoluzione dei problemi rendendo cos gli argomenti pi appetibili e concreti Torniamo alla tabella corrente con O poicon Calc passiamo alla impostazione dei parametri del calcolo figura PARAMETRI 2 Premendo l elaborazione viene eseguita e si hanno i risultati come in figura ELAB 1 ya bale
275. suggerisce ai ragazzi di utilizzare il tasto d della calcolatrice in ambiente Ho me in questo modo si calcola l espressione analitica della funzione derivata 266 a 02 440 TERZAF FUNC 4 30 A questo punto si chiarisce la relazione fra la base della funzione esponenziale e il valore dik e si verificano le deduzioni precedenti Si passa quindi all analisi di alcune funzioni polinomiali y 5 y x 2 y 3x l y x 2 a 4 y x y x e dei grafici delle rispettive derivate Vengono fatte le prime osservazioni sui rapporti tra il grafico di una funzione e quello della sua derivata Alla fine della attivita si compila una tabella nella quale si scrivono le derivate di alcune funzioni fondamentali i A A Scheda attivit n 2 Tempi 2 ore di lavoro di gruppo lora di discussione Argomento La derivata come tasso di variazione istantaneo Obiettivi e conoscenza di alcuni ambienti della calcolatrice e analisi del grafico delle funzioni derivate di y senx y cosx y lnx e ricerca dell espressione analitica della funzione derivata delle funzioni y senx y cosx y lnx Metodi lavoro di gruppo attivit di ricerca con presentazione finale alla classe Descrizione dell attivit Viene assegnata la seguente proposta di lavoro Con l utilizzo della calcolatrice visualizza il grafico delle seguenti funzioni e delle rispettive derivate riportando poi tali grafici sul quaderno y senx y cosx y lnx 267 A qu
276. t mat xx1 xx2 xx3 gt vx yy1 yy2 yy3 gt vy simult mat vx gt sol1 simult mat vy gt sol2 213 Soll 1 gt a sol1 2 gt b sol1 3 gt p sol2 1 de sol2 2 gt d sol2 3 gt q Disp trasformazione Disp X amp string a amp x amp string b amp y amp string p Disp Y amp string c amp x amp string d amp y amp string q EndPrgm ore coord punto 3 A trasformazione X 0 x 2 y 0101 Y 1 x 1 y 0 MAIN RAD AUTO FUNC 30730 DelVar xk yk x k xx kk vx vy soll sol2 Studio della trasformazione X ax by p Y cx dy q Calcolo del determinante a b c d gt matr det matr deter E Done a Done i gt matr axe 1 1 1 t Sdet matr deter Zz a Done x gt vett Trasformazione inversa La trasformazione inversa serve per trovare le trasformate di funzioni Si ricava risolvendo rispetto a x e y il seguente sistema i by X p cx dy Y q 214 Punti uniti si ottengono risolvendo il sistema xx p lyy q gt vett ES lAigebralcaiclother Prantolciear a z simult matr vett gt inv a Done xx xx mul vet bel x a 1 by p ZK uy c y d l q simult matr vett inv 2 Si risolve e si discute col metodo di Cramer a l p gt ny Cc a l b E den gt nx d 1 q se den 0 siha un punto unito nx den n
277. ta hilbertiana ci si attendeva che la divergenza si riducesse assegnando ad esempio a c il valore 100 cfr fig 4 e 5 batt fascie ellis parab a Je ci ci lo do i fio 5 63073 sage T ci seg 1 1 n n 0 20 MAIN Ri FUNC AD AUTO Fe zoon TracelReGraph ath orauly A fig 5 A controprova della buona approssimazione ottenuta in questo caso e visualizzata nella rappresentazione grafica di fig 5 si verificato che l eccentricit si avvicinava all unit nuovo valore e 100 101 Abbiamo cosi constatato come ci eravamo prefissati la possibilit di approssimare una conica con l altra ma era importante sottolineare in classe come l ellisse resti comunque una curva chiusa e l approssimazione tra le due curve sia valida solo in un opportuno intorno del vertice Ci stato visualizzato variando l ampiezza dell intorno del vertice portando da 20 a 300 l escursione della lista che definisce la colonna 1 delle ascisse cfr fig 6 E stata in effetti ritrovata a partire da un ascissa pi avanzata la divergenza tra le due curve cfr fig 7 e analizzata sul piano quantitativo esplorando la tabella di fig 6 149 1i F FS F4 FE For F Pe lPiot Setup tit ascis lellis parab Ja je el Fi d f li tog 3 tezor ezza TO ig 891771894451 i esisti oosa TO ie Mosie ms fiso N FEST gt DI J a EPE S PET E DT fig 7 L utilizzo dell am
278. tarsi e per prepararsi alle prove di valutazione AI fine di realizzare un esperienza che fornisse informazioni a largo raggio si sono scelte calcolatrici in cui fossero presenti un programma di calcolo simbolico un editor di funzioni con relativo ambiente grafico un software di geometria ed anche un linguaggio di programmazione 12 stato quindi avviato un insegnamento sperimentale della matematica dapprima in forma non sistematica e successivamente quando i docenti si sono sentiti di dominare completamente le potenzialit dello strumento su un progetto ben preciso e concordato Nei vari stages cui i docenti hanno partecipato molti aspetti di natura didattica e metodologica sono stati rilevati e discussi via via che l esperienza procedeva Un discorso importante stato quello sul calcolo Quanto e fino a che punto l alunno deve saper calcolare Che peso ha il calcolo sulla sua formazione E stato questo un tema che hanno osservato con particolare attenzione nell evolversi del progetto su cui hanno discusso ed hanno raggiunto alcune importanti conclusioni Non importa ad esempio che l alunno non sappia calcolare rapidamente con carta e penna la derivata di una funzione complicata importa che sappia cosa sia la derivata e quali informazioni teoriche ed operative essa fornisca Il docente ha cos la possibilit di dedicare il massimo spazio e sviluppo al valore semantico dei concetti lo studente deve saper calcolare
279. ters rrl rr2 EndFunc nexcen3 4 costruite in modo analogo calcolano gli altri risultati possibili 158 Nella seguente fig 3 l esecuzione di i nexcenl fornisce uno dei possibili excentri intersezione della bisettrice di un angolo interno al triangolo con la bisettrice di un angolo esterno mentre i nexcen2 fornisce l incentro del triangolo come si pu stabilire analizzando la posizione dei punti ottenuti FSlp1sebralestclother pramto c1esr ue inexceni 0 0 CO 23 2 23 J2 2 J23 a inexcen2 0 0 0 23 12 23 12 2 23 inexcen2 0 0 gt lt 0 2 gt lt 2 2 gt GEOM RAD AUTO PAR 2730 fig 3 Il riconoscimento dell incentro e o dell excentro pu essere effettuato anche disegnando cfr fig 4 il triangolo ed i punti determinati in ambiente Graph si scrivono in Y Editor in modalit parametrica 3 E Graph PARAMETRI C le equazioni dei lati del triangolo con il parametro t variabile tra tmin 0 e tmax 1 si pu impostare con I punti invece sono disegnati come pl ot diun data costruito in ambiente Dat a Matrix Editor inserendo in colonna 1 le ascisse ed in colonna 2 le ordinate dei punti incentro ed excentro Il sottomen a tendina relativo a in ambiente Gr a ph permette poi di aggiungere a mano libera ad esempio le due bisettrici che individuano l excentro determinato La possibilit di incastrare o connettere funzioni risultata inoltre impo
280. ti di un insegnamento della matematica supportato dall uso di calcolatrici L esperienza partita sulla base della convinzione generalizzata nei paesi europei e fuori tra coloro che sono impegnati nell insegnamento della matematica e nella relativa ricerca didattica che un uso di appropriati software matematici possa indurre un modo nuovo e pi coinvolgente nel fare matematica e determinare un cambiamento non indifferente in termini migliorativi in relazione all approccio metodologico L intento del Progetto Labclass stato quello di conoscere attraverso una sperimentazione monitorata quale potesse essere il plus 11 valore raggiunto da uno studente che utilizzi nello studio della matematica non solo libri lavagna carta e penna ma anche idoneo software Un altra considerazione ha influito sulle scelte del progetto che cio solo un uso costante del software matematico a scuola e a casa in tutti i momenti dell attivit matematica in cui se ne avverte l esigenza didattica possa incidere in maniera significativa sui risultati L esistenza al momento di un solo laboratorio informatico nelle scuole secondarie superiori nei casi pi fortunati di due consente ai docenti di matematica solo un uso sporadico degli strumenti tecnologici Tale situazione si particolarmente acuita negli ultimi anni a seguito della pur giusta apertura dei laboratori informatici a tutte le discipline Ed ancora lontano il momento
281. ti statistici poco tempo per allenarsi sulle tabelle con relative questioni tecniche scarsa esperienza da parte mia su quali fossero le migliori questioni da presentare la poca dimestichezza di alcuni con le macchine in genere anche con il solito PC C da notare poi che 20 lezioni per presentare sia la statistica compresa un po di statistica bivariata e di Chi quadrato che la TI 92 fino ad allora poco utilizzata sono poche ma i limiti di realt non danno tante altre possibilit Nonostante tutto la classe ha risposto con entusiasmo ed interesse e non ha recriminato anzi dopo il compito mi hanno portato quelli che non erano riusciti a svolgere il primo problema quasi per farsi perdonare il grafico e le elaborazioni dei punti zeta dei voti del compito Meno male Qualcosa avevano imparato comunque In effetti ho avuto la netta impressione discutendo con loro sui risultati che anche il tempo assegnato non sia stato sufficiente Non tanto per affrontare i problemi quanto per tradurli sulla TI 92 infatti risaputo che di fronte al computer il tempo vola e la TI 92 non fa eccezione O si fa un progetto a tavolino il che richiede comunque del tempo o si lavora sulla macchina scoprendo spesso che era meglio fare in un altro modo e 296 qualche volta doveroso Il tempo un gran tiranno e bisogna tenerne conto nel presentare compiti da risolvere con una macchina Tenendo conto di tutte queste osservazioni il bilancio
282. tilizzare tutte le funzioni predefinite nella ROM della macchina ed in pi tutte quelle definite dall utente Utilizza inoltre parametri di input se necessario e diverse modalit grafiche un sistema veramente potente Il Problema 2 pu essere rappresentato in molti modi diversi in base alle scelte grafiche operate dagli alunni Sar comunque necessario spostare l origine degli assi per far spazio alle tracce dei cammini Questo si ottiene agendo da programma sui parametri della finestra figura UBRIACI 4 e 5 riga inoltre gt sono poste come variabili globali in modo da essere visibili dall esterno di ubriac qualora fosse usato come sottoprogramma Un possibile programma che risolve il problema il seguente e l effetto quello KE ontrolt oiar Find ode en Local i 1 11 9 gt xmin 11 9 gt xmax 1 gt xscl i EndIf 1 10 1 gt umin leymax 1 gt yscl 1 xres 04x Line xa ya xb ub 10 gt ub EndFor For i 1 7 n EndPram i rand2 gt faccia ora i yl a ub 1sub ARTICOLO partenza dell ubriaco uno dei punti di semiasse Y arrivo possibili negativo CAMMINO 318 nella figura CAMMINO Tracciando un cammino casuale abbiamo posto le basi per contarli e per trovare la probabilit richiesta di tornare a casa Eseguendo molte volte il programma ubriacl si vedranno le tracce di molti cammini diversi pro
283. tistiche Il carattere x ad es colore in riga indipendente dal carattere y ad es classe in colonna se dove n la frequenza assoluta della tabella di distribuzione congiunta iniziale nella cella di riga i e colonna j mentre c il totale della colonna j 7 il totale della riga i ed infine n il numero totale di elementi del campione Poich nella proporzione della definizione possibile scambiare i medi lasciando valida l eguaglianza si cos riscontrato con gli studenti che la simmetria di indipendenza statistica riscontrata nell esempio non casuale ma costituisce piuttosto una propriet generale Inoltre seguendo l approccio frequentista di definizione statistica a posteriori della probabilit noto dal biennio sono state interpretate con gli studenti in ambito probabilistico e in riferimento alla legge dei grandi numeri la frazione n c come probabilit condizionata P x x y y e la frazione r n come probabilit P x L eguaglianza che definisce l indipendenza statistica diventa cos PQ x y y P x ottenendo in questo modo una caratterizzazione dell indipendenza probabilistica fra eventi argomento gia discusso a livello elementare al biennio In seguito verra formalizzata all interno di uno studio sistematico e assiomatico la definizione di probabilita condizionata In una riflessione conclusiva l ipotetico campione dell esempio esaminato apparso agli stude
284. to e tutte le questioni problematiche che ne derivano per ugualmente utile per una riflessione perch visualizza le propriet della funzione nell intorno di un punto di discontinuit punto di infinito Si osserva infatti che i punti che costituiscono il grafico sono molto fitti quando hanno ascissa lontana da 2 tanto che il tracciato sembra continuo Avvicinandosi al valore 2 la macchina procede sempre con lo stesso passo orizzontale i punti si distanziano sempre di pi collassando a sinistra di 2 e impe nnandosi a destra di 2 Conclusioni Nel corso di questa esperienza i ragazzi hanno consolidato alcune nozioni di algebra e geometria analitica hanno rivisitato in modo diverso le loro conoscenze sui polinomi e sulle funzioni razionali hanno avuto occasione di fare 259 generalizzazioni Ma tra le tante sollecitazioni una a mio giudizio sembra importante e riguarda un approccio alla nozione di limite intorno alla quale ruotano tutti le considerazioni relative a termini sempre pi piccole di progressivo indefinito avvicinamento di una curva e di una retta Molte cose naturalmente dovranno essere approfondite e trattate con maggiore ampiezza e rigore Altre bisogner spingerle fino alla contraddizione per evitare che la fiducia nella macchina risulti cieca e passiva Una estensione di questo lavoro potr essere rivolta ai comportamenti asintotici della funzione esponenziale e logaritmica sperando che la favorevole
285. triangolo con una simmetria assiale partendo proprio dalla definizione Lo stesso se si deve tracciare un parallelogramma la costruzione di due lati opposti uguali e paralleli estremamente complessa mentre l uso di una simmetria centrale agile e significativa Naturalmente questo pu essere un vantaggio o uno svantaggio a seconda del tipo di strada che si intraprende La seconda osservazione riguarda la reazione degli studenti si sono divertiti e questo mi sembra gi un successo La terza riguarda il loro modo di lavorare in classe anche durante le verifiche sono scomparse le copie ognuno tranne un paio di alunni ha lavorato con la propria testa in maniera diversa l uno dall altro verbalizzando le procedure messe in atto Sono scomparsi gli impliciti la delega alla comprensione dell insegnante C insomma molta pi chiarezza nella esposizione delle procedure e questo implica una maggiore chiarezza nella sistemazione dei concetti 99 100 8 SIMULAZIONE DEL LANCIO DI DUE DADI Donata Fo Liceo Scientifico F Buonarroti Pisa Classe prima indirizzo scientifico 25 alunni Obiettivi utilizzare la macchina per fare una congettura sulla probabilit dell evento somma di due dadi e la frequenza relativa Tempi 12 ore Strumenti una macchina ciascuno Prerequisiti definizione di probabilit e calcolo di probabilit di eventi indipendenti Ho cominciato con questo argomento a far lavorare gli studenti con la
286. turit scientifica PNI del 1996 THIS POINT Analisi dei dati ambiente Data Matrix Editor Una delle potenzialit pi interessanti della TI 92 l ambiente Data Matrix Editor una sorta di foglio elettronico che consente rapidamente di tracciare grafici di dati e di svolgere analisi statistiche Sfruttando questo ambiente possibile a partire da una tabella di dati relativi a due grandezze Y e X per esempio ottenuti da un esperimento di fisica 56 e tracciare rapidamente il grafico per punti a dispersione e ipotizzare a partire dalla distribuzione dei punti sul grafico una legge generale Y fd e calcolare con il metodo dei minimi quadrati la miglior funzione di un certo tipo lineare quadratica esponenziale f X che approssima i dati e valutare la bont dell ipotesi Ecco per esempio i dati relativi alle misure del periodo 7 di un pendolo in funzione della lunghezza L del pendolo stesso ConF2 Plot Setup 1 Fer FS FSv y Fev FI X Pal Zoom Trace Regraph Math Draw re if Possiamo ora formulare ipotesi sulla relazione che lega le due grandezze Supponiamo di stabilire che si tratti di una funzione potenza cio del tipo una funzione del tipo T sal dove a e b sono due parametri reali La TI 92 offre la possibilit di determinare la miglior funzione nel senso dei minimi quadrati del tipo scelto che approssima i dati vengono cio calcolati i valori a e b
287. tutta la proposta di lavoro hanno utilizzato la calcolatrice in modo intelligente oltre a graficare le funzioni hanno utilizzato l ambiente Tabl e per confrontare i valori assunti dalle funzioni in corrispondenza degli stessi valori di x e l ambiente Y Edi t or per controllare le deduzioni sui legami algebrici che avevano fatto Un gruppo per esempio ha inserito in Y Editor la scritta y7 x yl abs x eha confrontato i grafici di y5 x ey7 x Una attivit di questo tipo ha messo in risalto come l utilizzo critico dello strumento offra agli studenti un mezzo in pi per verificare congetture e controllare risultati ma allo stesso modo ha evidenziato difficolt in chi si limita a riportare i risultati della calcolatrice senza interpretarli Alla fine dell intera attivit stata fatta una verifica nella quale ciascun alunno aveva a disposizione una calcolatrice Gli esiti della verifica sono stati soddisfacenti anche se nelle previsioni potevano essere migliori pi della met della classe ha raggiunto la piena sufficienza si sono registrati poche gravi insufficienti ed alcuni risultati di ottimo livello Il testo della verifica il seguente a fianco di ogni esercizio esplicitato il punteggio relativo il tempo a disposizione di 80 114 Verifica di matematica Considera la funzione di equazione tracciane il grafico determinane insieme di definizione segno zeri La funzione continua in R I
288. ualizzato viene salvato tramite il comando StoPic nomegrafico visualizzazione di alcuni grafici definizione dei parametri di finestra grafica set Mode Graph FUNCTI ON FnOf f XX 10 xmin XX 10 x max l xscl yy 10 ymi n yy 10 ymax For j 1 5 1 If j kv Then LineVert xx Else fascio k j fasci oj right solve fascioj y fasci 0j fascioj y amp string j x Endl f StoPic pic amp string j EndFor Questa parte del programma permette di visualizzare il grafico delle rette per k 1 2 3 4 5 Per k 1 il risultato il seguente il sistema non monometrico 133 ye Zoon trace ReGraphath orauly __ Ovviamente il programma potrebbe essere modificato per visualizzare rette corrispondenti ad altri valori del parametro Nel caso in cui la retta sia parallela all asse delle y essa viene ugualmente visualizzata e semplice animazione e quindi interpretazione del ruolo del parametro nell equazione questa parte visualizza i grafici uno di seguito all altro animazione del fascio CyclePic pic 5 0 5 1 1 For j 1 10 Del Var pic amp string j EndFor Del Var fascio rettabl esclusa pbase xx yy xs ys fascioj coeffy kv EndPrgm 134 N B Vengono utilizzate due funzioni una di nome equvett ricava la lista dei coefficienti delle incognite e del termine noto della retta l altra i nt er s calcola le coordinate dell intersezione tra due rette incidenti equvett equ e
289. uano ad affrontare un problema da vari punti di vista grazie alla ricchezza di ambienti della TI 92 e soprattutto al fatto che questi possono interagire tra loro Questa abitudine ad operare su pi fronti a cambiare frame nello studio di un problema di norma non disorienta lo studente ma al contrario pu costituire un importante arricchimento della sua formazione Vedremo due esempi di questo tipo nei quali un problema viene affrontato risolto o interpretato usando vari ambienti quello di calcolo Home quello di grafica Graph e perfino quello di statistica Data Editor anche se in un contesto per cos dire anomalo 7 Un esempio Francese effetti delle approssimazioni E data l espressione _19_ 542 7 Se questa viene digitata nell ambiente di calcolo Home viene automaticamente razionalizzata e il risultato appare sulla destra nella stessa linea successivamente premiamo ENTER per ottenere un valore approssimato dell espressione digitata Analogamente possiamo richiedere un valore approssimato dell espressione razionalizzata ottenendo lo stesso risultato vedi Fig 1 Questo esempio preso da 4 37 Pe iusebrafeatclother Framto c1esr uel 19 ge 1 5 B ste 19 5 2 7 19 a 13 sE 1 35028842544 19 5 2 7 1 35028842544 MAIN RAD AUTO FUNC 3 30 Fig 1 Sostituiamo al termine 2 che compare nella espressione digitata il valore 1 41 e premiamo ancora ENTER si
290. udente portato a fare tentativi per convalidare oppure rigettare le ipotesi formulate 13 Questo libro vi racconta tutto questo Esso raccoglie una parte del materiale e delle riflessioni che sono scaturite dall esperienza del lavoro in classe Racconta anche di problemi nati su sollecitazione degli studenti e non programmati di deviazioni dal percorso tradizionale racconta di riflessioni critiche sugli attuali curricoli e di proposte di rinnovamento oggi pi che mai attuali in vista della riforma della scuola Racconta di qualche conquista di ragazzi che si sono appassionati alla matematica e che hanno discusso su problemi con convinzione e con passione Racconta soprattutto delle esperienze condotte dai docenti di prove di tentativi ed anche di errori da essi commessi La realizzazione dell iniziativa stata resa possibile dalla disponibilit e dall impegno di molte persone Un sentito ringraziamento va rivolto e alla Direzione Generale dell Istruzione Classica Scientifica e Magistrale che ha creduto nel progetto e l ha reso possibile e ai proff Giulio Cesare Barozzi della Facolt d Ingegneria dell Universit di Bologna Paolo Boieri del Politecnico di Torino Sebastiano Cappuccio dell Istituto Tecnico Aeronautico di Forl per l assistenza e consulenza scientifica fornita e alla preside Mariangela Liverani e a tutto lo staff del Liceo Scientifico Ricci Curbastro di Lugo di Romagna cui stata
291. uesta pubblicazione dedicata alla memoria di PAOLO BRANDOLIN che tanto ha contribuito alla nascita e allo sviluppo del Progetto LABCLASS INDICE Luigi Catalano La serie Documenti di lavoro dei nostri quaderni Ferdinando Arzarello Lucia Ciarrapico Presentazione del progetto Giulio Cesare Barozzi Polinomi e liste Paolo Boieri Numeri complessi e grafici di funzioni Sebastiano Cappuccio Il progetto Labclass a confronto con analoghe esperienze all estero Michele Impedovo Computer algebra e insegnamento della matematica STAFF DI GESTIONE DEL CORSO LAVORI DEI DOCENTI 1 Calcolo algebrico Pierangela Accomazzo 2 Scatole cinesi Donata Fo 3 Equazioni numeriche di 1 grado Lorenzo Santoro 4 Una introduzione ai sistemi lineari in due incognite Donata Fo 5 Equazioni e disequazioni di 2 grado Sandra Cini 6 Esplorare congetturare dimostrare due problemi di geometria Pierangela Accomazzo pag pag pag pag pag pag pag pag pag pag pag pag pag 11 15 23 33 45 61 63 69 73 79 85 91 7 Laboratorio di geometria Donata Fo 8 Simulazione del lancio di due dadi Donata Fo 9 Funzioni ed equazioni Nicoletta Nolli 10 Dalla risoluzione di disequazioni alla geometria analitica spunti analitici e grafici Nora Tamburro 11 Il coefficiente angolare Fernando ari 12 Studio di un fascio proprio di rette
292. un piano una circonferenza di centro O e due rette r ed s passanti per O e perpendicolari tra loro Indicato con Y uno dei due punti di intersezione tra la retta r e la circonferenza c si consideri un generico punto C appartenente alla circonferenza e si indichi con X la proiezione ortogonale di detto punto sulla retta s Sia P il punto di intersezione della retta t passante per X e Y con la retta q passante per O e C Proposta di lavoro a Costruire il luogo descritto da P quando C varia su c b Individuare come varia il luogo al variare del raggio della circonferenza 2 Gruppo Situazione Siano dati in un piano un segmento AB e un punto P non appartenente ad AB tale che AP sia perpendicolare a PB 204 Proposta di lavoro a Costruire il luogo descritto da P b Dimostrare in modo sintetico o analitico la natura del luogo costruito 3 Gruppo Situazione Siano dati in un piano una circonferenza c di centro O e un suo raggio OA Si consideri un punto generico B della circonferenza e il triangolo OAB Sia P il punto di intersezione delle mediane del triangolo OAB Proposta di lavoro a Costruire il luogo descritto da P quando B varia su c b Individuare come varia il luogo al variare del raggio della circonferenza Ecco le costruzioni dei tre gruppi 1 Gruppo 205 3 Gruppo Durante l esposizione dei gruppi la discussione molto animata molti ragazzi chiedono chiarimenti ai loro compagni sulle
293. unzioni ottenute Poi in Table fig 4 osservare i dati nel caso 50 120 trovare se ci sono valori uguali della y1 e della y2 nella stessa riga capire cosa vuol dire Discussione Aggiungere alle due y di editor una terza funzione y3 y1 y2 a cosa serve Variare il numero delle zampe assegnando valori a scelta ad es 60 80 100 150 200 250 capire cosa pu succedere Discussione Andare in ambiente Graph fig 3 capire che ogni funzione di editor rappresenta una retta interpretare il punto di incontro controllare al variare delle zampe se il risultato accettabile o no e perch MAIN RAD AUTO FUNC fig 2 MAIN RAD AUTO FUNC 36 32 4 MAIN RAD AUTO FUNC fig 4 Tutto questo percorso durato circa tre ore ed stato esclusivamente sperimentale altri problemi dello stesso tipo sono serviti a consolidare alcune abilit sulla macchina e soprattutto a capire numericamente e geometricamente cosa vuol dire risolvere un sistema 80 A questo punto in Home abbiamo descritto passo passo le operazioni necessarie per trovare la soluzione abbiamo usato il comando with e usato la tecnica della combinazione lineare Abbiamo provato a risolvere il sistema 3x 2y 1 5x y 3 fig 5 abbiamo seguito tutte le stesse strade che si percorrono manualmente senza fare errori di calcolo e essendo costretti a evidenziare le operazioni e quindi il processo logico Solve 5x y 3 y appare la funzione scritta y
294. uoi vedere ora anche alcuni punti del grafico della relazione inversa di yl x in questo caso una funzione dal momento che la funzione esponenziale invertibile poich iniettiva In ambiente puoi scegliere anche a Drawl nv per disegnare il grafico della relazione inversa di y1 x la calcolatrice va automaticamente in ambiente M allora digita Drawl nv y1 amp Qual il dominio della funzione inversa LL A partire dall ambiente disegna il grafico della funzione y2 x x e osserva che la bisettrice del I e III quadrante solo in un sistema monometrico Ad esempio in ambiente poni xmin 5 e xmax 5 e poi seleziona ZOOMSQR Da notare che il comando Drawl nv fornisce il grafico della relazione inversa offrendo cos l opportunit di riflettere con gli alunni sulla distinzione tra funzione inversa e relazione inversa 192 In ambiente DATA MATRI X EDITOR inserisci in colonna c1 valori per x da 5 a 5 con incremento 0 2 in colonna c2 la formula e cl e in colonna c3 la formula In c2 e premi Introduci in ambiente le espressioni In e e e Cosa ottieni 0 0 Come puoi semplificare le funzioni ln e e e In x 9 Si nota la discrepanza tra le aspettative e quanto fornisce la calcolatrice ci dovuto al fatto che l ambiente numerico nel quale noi operiamo quello dei numeri reali mentre la calcolatrice opera nell ambito dei numeri complessi L
295. volete sapere quale il terzo numero basta scrivere nella riga di scrittura 11 3 per il decimo 11 10 Le liste si possono sommare fra di loro il primo elemento col primo elemento e cos via Per anche avere liste di dieci numeri a caso anche se si possono sommare solo un primo passo per la simulazione di tanti lanci 3 Dall ambiente Home dove vi trovate andate su APPS selezionate Data Matrix Editor poi Enter infine selezionate New e poi Enter vi viene chiesto il tipo lascia te Data il Folder lasciate Main il nome chiamatelo dadi e poi Enter due volte 102 Entrate in un ambiente fatto di righe e di colonne l ambiente dove si inseriscono gli esiti dei lanci e dove si elaborano i risultati lee e e ci ANALIT RAD EXACT FUNC fig 5 Il cursore vi permette di andare in giro per la scacchiera posizionatevi su cl e pigiate Enter nella riga di editing in basso dovete scrivere l istruzione che genera una sequenza di numeri a caso fra 1 e 6 come avete fatto in Home seg rand 6 n 1 50 qui possiamo fare contemporaneamente 50 o anche pi lanci Se si vuole il lancio di un secondo dado occorre metterlo nella seconda colonna c2 quindi posizionandovi col cursore su c2 battete Enter e scrivete la stessa istruzione Ora le due colonne sono piene di 50 numeri fra 1 e 6 prodotti a caso Se vogliamo la somma dei due dadi occorre andare su c3 e scrivere nella riga di editing cl c2 Ora nella terza colon
296. y den se den Q e nx 0 nessun punto unito se den Q e nx 0 si ha una retta unita di equazione x a 1 by p e i Fey Fiw Fuw FS F Quindi si procede F a 1 b c d 1 gt den 0 1 2 2 p b q d 1 gt nx FRE a ee a 1 plle qll gt ny p 23r aci det den gt denl i aj ns i al det nx gt nx1 det ny gt nyl 215 trasf Prgm DelVar a b c d p q XxX yy X y tx ty ClrIO inserimento trasformazione Disp trasformazione Disp X ax by p Disp Y cx dy q Input a a Input b b Input p p Input c c Input d d Input q q a d b c deter Disp determinante amp string deter If deter 0 Then Disp non una affinita Else If deter gt 0 Then Disp affinita diretta Else Disp affinita inversa EndIf Disp rapporto aree amp string abs deter m If a 2 c 2 b 2 d 2 and a b c d 0 Then Disp similitudine Disp rapporto proporzionalita Disp string V abs deter If abs deter 1 Then Disp isometria EndIf EndIf Disp premi Enter Pause trasformazione inversa a b c d gt mat xx p yy q gt vett simult mat vett gt inv Disp Disp trasformazione inversa Disp Disp x amp string inv 1 Disp y amp string inv 2 Disp premi Enter Pause Disp Disp punti uniti Disp x a 1 b y p eql c x d 1 y q eq2 a 1 b c d 1 den p b q d 1 gt
297. zione Si passa quindi ad analizzare per ciascuna funzione gli zeri ed il segno Nel cercare gli zeri della prima funzione una ragazza propone di tabularla per valori molto grandi di x non sicura che il grafico della funzione tocchi l asse x Anche in questo caso richiedo ai ragazzi una motivazione algebrica delle conclusioni che possono solo e ssere intuite con la calcolatrice Inserisco quindi in ambiente Y Edi tor le seguenti espressioni e e ne visualizzo il grafico Sia il legame algebrico tra le equazioni che quello tra i grafici individuato da tutta la classe senza difficolt Un ragazzo chiede di effettuare la stessa trasformazione anche sulle altre funzioni Vengono quindi introdotte le funzioni e nella riga di comando si digita y10 x abs x e y1l1 x when x gt 0 x x il confronto tra i grafici e la tabulazione delle due funzioni offre lo spunto per ripassare il concetto di modulo Inserendo la funzione e visualizzando contemporaneamente i grafici di y1 x e y12 x viene ricavato il legame tra i due grafici A questo punto un ragazzo propone di riscrivere la funzione 111 y12 x in modo analogo alla y11 x e propone questa scrittura Si passa a fare il grafico diy12 x e di y13 x e con stupore di una parte della classe si nota che i due grafici non sono uguali re lzcon rrace reGraphathorsule Z PEEconfreace ReGraphMath orsul A Dopo un po di discussione che comporta il riesame
298. zione grafica Nelle modalitaFunction eParametric harispettivamente il seguente aspetto uscl 1 xres 2 POLINOMI RAD AUTO FUNC POLINOMI RAD AUTO PAR Il grafico viene tracciato nel rettangolo di visualizzazione x mi n x max x ymi n ymax xscl e yscl determinano le unit marcate sugli assi mentre Xr es determina la risoluzione In Parametri c possibile far variare 52 il parametro tra due valori fissatit mi n et max con passot step L ambiente Graph permette di tracciare il grafico delle funzioni immesse in Y Editor L ambiente Graph presenta numerose opzioni il men Zoom accessibile dai primi tre ambienti offre una ricca scelta di finestre grafiche ZoomBo Zoomtrig ZoomInt i Memory iSetFactors Il men Math permette di effettuare numerose operazioni in forma approssimata sul grafico per esempio tracciare la retta tangente in un punto e calcolarne l equazione oppure approssimare un integrale definito Pee oonfedit lAtifstsiel e aPLOTS Value i zero wax ylz Minimum y Maximum g4 Intersection y5 ESEC xIdx lection Inf 1 2 3 4 gt gi Der watives 8 3 L ambiente Tabl e tabula automaticamente con passo arbitrario le funzioni immesse in Y Editor Ecco per esempio la tabulazione di sin x x tan x partendo da x 0 con passo 0 1 53 vyi sin x eesnik ss F
299. zioni e o N B E preferibile anzich ogni volta riscrivere la funzione seno chiamarla con l etichetta che la TI 92 le assegna es data yl sin x per introdurre y sin 2x si digita y2 x y1 2x per y sin x 5 si digita y3 x y1 x 5 etc 172 Esercizi 1 Ripetere quanto sopra per y cos x e per y tan x formulando ipotesi generali 2 Ripetere quanto sopra per y sin kx con k 2 1 2 3 e trovare il periodo della funzione 3 Disegnare sul foglio assegnando valori a piacere ai parametri A B C e D il grafico della funzione y Asin Bx C D rispetto al grafico base verificare l esattezza del ragionamento utilizzando la TI 92 4 Ricavare graficamente le funzioni goniometriche di 90tx 180tx 270tx 360 x 5 Ricavare il periodo delle funzioni y sin kx y cos kx y tan kx assegnando a k valori a piacere L attivit proposta stata molto coinvolgente ogni alunno ha eseguito con diligenza il compito assegnatogli e pressoch tutti sono rimasti nei tempi previsti La visione del grafico ottenuta immediatamente ha molto aiutato nel formulare ipotesi che il pi delle volte si sono rivelate esatte Resta aperto il problema dell utilizzo della calcolatrice limitato alle sole ore in classe in assenza dell insegnante che interveniva nei momenti di stallo l attivit avrebbe subito rallentamenti e qualche alunno si sarebbe arreso la soluzione possibile ma di non facile attuazione di prestar

n. 44 - Silvano Rossetto

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