Home

L`INSEGNAMENTO DELLA GEOMETRIA – 2 Tomo

1. Bourbaki ha vigorosamente affermato la forte compenetrazione della mate matica e della sua storia giungendo talvolta a sostenere l identit delle due di scipline 3 Si collegano in qualche misura all ispirazione bourbakista numero si tentativi di strutturare la comprensione di una teoria matematica seguendo la scansione storica e percorrendo una via di progressiva generalit Un modello in questo senso a livello molto avanzato dato da Edwards 1984 anche se la concezione della matematica dell autore fortemente costruttiva assai di vergente rispetto a quella di Bourbaki Un esperimento didattico in questa di rezione nella scuola italiana descritto in Pergola Zanoli 1995 ma si po trebbero citare numerosi altri esempi Per chiudere in qualche modo questa breve rassegna vogliamo esaminare dal punto di vista della storia della matematica due libri di testo che hanno avuto notevole rilevanza nella scuola italiana alcuni anni or sono e che ancora rivelano possibilit differenti di utilizzo della storia della matematica In Lombardo Radice Mancini Proia 1977 troviamo abbondanza di Note storiche che accompagnano l esposizione strettamente tecnica Queste note 2 Heiede 1992 p 153 Osserva giustamente Nagaoka che Non bisogna dimenticare che la storia della scoperta di una verit matematica eccitante solo per coloro che sono colpiti dalla bellezza di una verit inattesa ed hanno interesse nella sua origi
2. L S S M Fanti Carpi MO Moliterni Giacinta Ist Mag S T Stigliani Matera Brambilla Maura L CL S V Emanuele Il Jesi AN Crespina Elena L S S E Majorana Roma Nobili Maria Alba L C Tacito Terni Di Paolo Cinzia I M M T Varrone Cassino FR Zoccante Sergio L S G B Quadri Vicenza Bernecoli Sandra L S P Paleocapa Rovigo Romeni Claudio L S A Issel Finale Ligure SV Bianchini Silvana L S B Varchi Montevarchi AR Scarpino Gianfranco I T I A Monaco Cosenza Mauro Raffaele I T C Bianchini Terracina LT Dessi Roberto I T C P Colli Vignarelli Sanluri CA Tazza Caterina L S G Galilei Terni N EO LAUREATI Guliana Bettini Maria Cantiello Alessia Cupini Valentina Del Col Lorella Patone Roberta Gorni Daniela Ippolito Anna Maria Ranigoni Laura Tomasini Maria Grazia Zagabrio 202 APPENDICE 1 ELENCO DELLE SCUOLE POLO Le scuole polo di cui si pubblica l elenco hanno assunto il compito di distri buire i Quaderni agli istituti che rientrano nel territorio loro affidato I Presidi che non avessero ricevuto tutti i numeri della collana possono pertan to richiederne l invio alla scuola polo dell area provinciale di appartenenza ELENCO SCUOLE POLO DELLA ZONA A LM SLATAPER LS LC IM IM IM IM IM IM LS LS LC IM LS z 5Styzrrtozbrrbronzzrtrozr SOZN
3. Per la propriet vista nella 1 37 sar LZxZD ZA Questa uguaglianza pu riscriversi nella forma di proporzione ossia ZA ZD LZ ZA Da qui si deduce LZ ZA LZ ZD Dalla similitudine dei triangoli KZL AZT segue area KZL area AZT ZL ZA Ancora essendo KZL e KZD triangoli aventi le basi su una stessa retta ed il vertice opposto comune sar area KZL area KZD LZ ZD Quindi area KZL area AZT area KZL area KZD E dunque l area del triangolo AZT uguale all area del triangolo KZD Aggiungendo ad ambo le aree quella del quadrilatero RKZA abbiamo l asserto Crediamo che la dimostrazione vista sia sufficiente per intuire lo stile di Apollonio Indubitabilmente il motore della dimostrazione dato dalla 3 2 perch da essa che si trae facilmente la I 37 che gioca il ruolo fondamentale nella dimostrazione Ma anche gli apporti che provengono dalla geometria ele mentare sono molto importanti A tal punto che volendo trascrivere la dimo 83 strazione nei termini della moderna geometria analitica si incontrano calcoli tediosi 3 Dall esame di questa e di altre proposizioni di Apollonio il lettore pu va lutare in che misura il metodo delle coordinate sia presente nella geometria greca e in che misura l algebra intesa nel senso moderno sia invece a nostro giudizio assente Per chiarezza vogliamo comunque concludere questo paragrafo enuncian do quattro punti di
4. Tentare un approccio storico se si vuole accogliere il suggerimento delle geometrie non euclidee Si possono vedere vari enunciati del postulato di Euclide e vari enunciati nella storia come esemplificato in Testa 1994 Ci permette di lavorare sulla dimostrazione in maniera critica scoprendo i buchi logici Come esempio propongo la seguente dimostrazione dovuta a Posidonio secondo primo secolo a C il lettore scopra l assunzione taci tamente sostituita al postulato quinto Siano AB L BD e l angolo ZCAB acuto Per assurdo proviamo che le rette AC e BD si incontrano Supponiamo che AC sia parallela a BD Tiriamo da un punto qualunque F distinto da B la perpendicolare che incontra la retta AC in E e dal punto medio di BF tiriamo la perpendicolare fino a incontrare la AC in H Cc D Congiungiamo A e E con G Poich AC parallela a BD si ha che FE GH BA I triangoli AABG e AEFG sono congruenti e quindi AG GE ZBGA ZEGF I triangoli AAGH e AEGH sono congruenti poich hanno un lato in co mune AG GE e gli angoli in G sono congruenti perch ottenuti togliendo da un angolo retto angoli congruenti Allora ZBAC ZAEF Ripetendo il proce dimento dal punto medio tirare la perpendicolare relativamente ai seg menti BG e GF si prova che HAB ZAHG e ZEHG ZHFF Allora gli angoli ZAHG e ZEHG sono acuti Da qui segue l assurdo e quindi le due rette AC e BD si incontrano RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Eco U
5. Zentralblatt fiir Didaktik der Mathematik 21 1989 pp 133 138 HEATH SIR T 1921 A History of Greek Mathematics nuova edizione Dover dell edizione originale ap parsa nel 1921 New York 1981 HEIEDE T 1992 Why teach history of mathematics Mathematical Gazette 76 1992 pp 151 157 LAGRANGE J L 1775 Solution analytique de quelques probl mes sur les pyramides triangulaires Nouv Mem Berlin ann 1773 Berlino 1775 uvres 3 pp 661 692 LOMBARDO RADICE L MANCINI PROIA L 1977 Il metodo matematico 3 volumi Milano Principato 1977 LORIA G 1950 Storia delle matematiche Milano Hoepli 1950 Ristampa anastatica Milano Cisal pino Goliardica 1982 MANARA C F MARCHI M 1993 L insegnamento della matematica Brescia Editrice La Scuola 1993 MARCHINI C SPERANZA F VIGHI P 1992 La geometria da un glorioso passato ad un brillante avvenire Atti del 3 incontro Internuclei Matematrici delle Scuole Secondarie Superiori Parma 26 27 28 novembre 1992 MICALE B PLUCHINO S 1995 Diciassettesimo Convegno sull insegnamento della Matematica l insegnamento del la Geometria Latina 27 28 29 Ottobre 1994 Notiziario dell Unione Matematica Italia na supplemento al n 8 9 agosto settembre 1995 109 NAGAOKA R 1989 On the role that history of mathematicians play in Mathematics education Zen tralblatt fiir Didaktik der Mathemati
6. asi ha P Y r C iv se r s sono sghembe gt Y U P s P r un piano er cY s y Il parallelismo tra piani soddisfa ad una proposizione analoga all assioma euclideo di parallelismo tra rette la differenza per che la proposizione rela tiva ai piani non un assioma ma pu essere facilmente dimostrata Teorema 4 Per ogni punto P e per ogni piano esiste uno e un solo piano p tale che Pe Be a B Indicheremo il piano con il simbolo P 0 immediato verificare che anche il parallelismo tra piani una relazione di equivalenza Al contrario il parallelismo tra rette e piano una relazione che gode della sola propriet simmetrica Si ha infatti per ogni piano e per ogni punto P Ufre RIP er P 5 CONGRUENZA DI SEGMENTI E ANGOLI Un piano affine in cui sia introdotta una nozione di ordinamento gt come quella definita dagli assiomi O1 e O2 e una opportuna nozione di congruenza prende il nome di piano euclideo lo indicheremo con il simbolo P gt Se a tali assiomi si aggiunge anche un assioma di continuit in uno dei numerosi enunciati equivalenti si ottiene il piano euclideo reale Si chiama spazio euclideo uno spazio affine P amp nel quale ogni piano affine un piano euclideo Indicheremo anch esso con il simbolo P amp gt gt Possiamo dunque supporre che la nozione di congruenza sia gi stata intro dotta e studiata nei suoi aspe
7. b 34 31 Tbid p 531 32 Ma l uso di questa notazione algebrica proprio dovuto a Descartes e rappresenta un contributo molto rilevante al progresso della matematica 33 Descartes 1983 p 536 34 Descartes non usa ancora il segno ma un segno che rappresenta iniziali di ae quatur stilizzato Inoltre non scrive b ma bb Descartes ha abbandonato la lex perpetua homogeneorum di Vi te ma essendo z un segmento incognito e b un segmento dato pos 88 Descartes considera ora la figura seguente Con tutta evidenza la misura del segmento OM data da li 2 Sr 2 4 e corrisponde dunque all unica radice positiva dell equazione Per costruire la soluzione baster dunque costruire un triangolo rettangolo avente cateti di lun ghezza b e a 2 e costruire una circonferenza di raggio a 2 avente centro nel vertice dato dall intersezione del cateto di lunghezza a 2 con l ipotenusa L ipotenusa prolungata taglier il cerchio nel punto opportuno Naturalmente la figura precedente suggerisce immediatamente una connessione con il teore ma della tangente e della secante una connessione che non pu certo essere sfuggita alla mente di Descartes Riscritta l equazione nella forma 4 2 z z a b la connessione diviene evidente anche dal punto di vista analitico Sarebbe tut tavia a nostro giudizio un errore pensare che Descartes abbia riscritto la 4 1 nella forma 4 2 deducendo dalla costruzione geome
8. molto importante cogliere questo punto poich gli Elementi sono un opera a tal punto inserita nella nostra cultura che l abitudine pu rendere facili nella mente di chi le propone dimostrazioni che non sono per nulla ta li soprattutto se presentate in frammenti dimostrativi piuttosto che in un conte sto complessivo Consideriamo il caso del teorema di Pitagora Poche dimostrazioni hanno carattere pi immediato di quella fondata sull osservazione che l altezza relati va all ipotenusa suddivide il triangolo dato in due triangoli simili e simili al triangolo dato B C H Considerando il triangolo ABH ed il triangolo ABC abbiamo infatti BH AB AB BC Dai triangoli ACH e ABC abbiamo simmetricamente CH AC AC BC Possiamo dunque scrivere AB AC BH x BC CH x BC BH CH x BC BC piana i libri dal settimo al decimo trattano questioni aritmetiche e gli ultimi tre si occupano della geometria solida Talvolta in modo non esplicitamente consapevole Innumerevoli manuali ripropongono le dimostrazioni geometriche di Euclide senza menzionare in modo esplicito la fonte 74 Perch negli Elementi troviamo una dimostrazione assai pi complessa fon data sull equivalenza delle aree corrispondente alla nota figura della 1 47 Il fatto che la semplicissima dimostrazione fondata sulla similitudine pre suppone un uso libero della teoria delle proporzioni e questa teoria presen tata solamente nel Lib
9. 656 7 93 Seguiamo allora il suggerimento di Descartes sia DF x CD a ed indichia mo con c la misura del segmento PQ FE Sar BF Va x CF a x e dalla similitudine dei triangoli BDF CFE si trae a x _ x c a x Di qui si ottiene immediatamente l equazione 4 6 xt 2ax3 2a c x 2a x at 0 veramente molto facile arrivare ad essa Ma come accorgersi ora che si tratta di un equazione corrispondente ad un problema piano ossia che essa possiede una radice che si pu costruire a partire dai segmenti a e c utilizzando costruzioni che richiedono solo l uso della riga e del compasso e che questa radice la soluzione del problema geo metrico Poche pagine prima con elegante nonchalance per usare una felice espressione di Aldo Brigaglia Descartes ha spiegato come comportarsi pro prio utilizzando tra gli esempi apparentemente scelti a caso ma in realt accu ratamente vagliati quest equazione A giudizio di Brigaglia Descartes illustra in queste pagine almeno per sommi capi un metodo rigoroso per decidere se un equazione di quarto gra do corrispondente ad un dato problema geometrico sia in realt l equazione di un problema piano Per esporre quanto sostiene Brigaglia che noi condividiamo pienamente occorre qualche definizione preliminare E occorre altres avvertire il lettore che le argomentazioni di Brigaglia contengono anche elementi di natura con ge
10. A g B B A A B B B O O A Si ha chiaramente f t o g 135 Equazioni delle affinit Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano con origine in O Siano A e Bi punti unit sui due assi del sistema di riferimento cio A 1 0 e B 0 1 Data una affinit f vogliamo determinare la relazione intercorrente tra le coordinate di un punto P e le coordinate di f P _ Indichiamo con V O l insieme dei vettori v OP applicati in O Introducen do le usuali operazioni di addizione tra vettori e di moltiplicazione di un vetto re per un numero reale otteniamo una struttura di spazio vettoriale su V 0 Ad ogni punto P del piano x quindi associato il vettore v OP dello spazio vettoriale V 0 e viceversa Ogni trasformazione f del piano x definisce una trasformazione che continuia mo ad indicare con f dello spazio vettoriale V O data da sor OP con P f P Sia P un punto di coordinate x y relative al sistema di riferimento fissato Si ha OP xOA yOB Analogamente se P ha coordinate x y si ha OP x OA y OB Vogliamo determinare la relazione intercorrente tra x y e x y 1 Studiamo innanzitutto il caso in cui si abbia una affinit g tale che g 0 O0 gt gt gt gt Sia OP xOA yOB Calcoliamo s 0P Sappiamo che l affinit g conserva i parallelogrammi e i rapporti tra le distanze di punti allineati Ne segue che si ha s 0P xg 0A 0k 136 Sia 04 0A
11. Analogamente acca de nella trattazione delle disuguaglianze di segmenti La continuit della retta si appoggia su quella dei reali Risulta facile dimostrare il teorema delle inter sezioni retta cerchio e di due cerchi Nel seguente esempio vediamo come il postulato delle parallele diventi un teorema nella assiomatizzazione di Birkhoff 32 Sono dati il punto P e la retta p non contenente P Sia Q un punto tale che la retta PQ formi un angolo acuto con la perpendicolare PT a p Consideriamo la retta QR perpendicolare a PT sia S un punto di p tale che TS soddisfi la condi zione PR RQ PT TS Consideriamo la retta PS Il triangolo APRO simile al triangolo APTS per il postulato IV e dunque ZRPQ ZTPS La retta PQ coincide con la retta PS e dunque interseca p Il sistema di Birkhoff fu modificato e adottato in un testo scolastico Il sistema di assiomi SMSG 1961 School Mathematics Study Group Geometry Yale University Press cerca di combinare le idee di Hilbert e di Birkhoff in una for ma adatta al livello scolastico secondario e di dare le basi per una introduzione precoce della geometria analitica Tra le caratteristiche apprezzabili di questa presentazione c l attenzione all uso corretto di simboli e definizioni Per esempio si fa una netta distinzione tra un segmento insieme di punti e la sua lunghezza un numero reale tra un angolo insieme di punti e la sua misura un numero reale Due segmenti sono uguali se
12. La commissione Brocca nel proporre i programmi per il triennio delle Scuole Secondarie Superiori propone un percorso didattico analogo Nel com mento al tema della geometria viene infatti detto Questo procedimento che si inquadra nella concezione di Klein della geometria tender a far vedere all alunno il progressivo ampliamento dei realtivi gruppi di trasformazione e come le propriet che caratterizzano le di verse figure si restringono che si passa dalla geometria della congruenza del la isometria con il nostro linguaggio a quella affine 6 LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE La commissione Brocca propone anche di introdurre le geometrie non eu clidee nell ultimo anno delle Scuole Secondarie Superiori Ci rimane il tempo solo per accennare velocemente al fatto che anche le geometrie non euclidee rientrano nel programma di Erlangen Per far ci dobbiamo introdurre il piano ampliato Esso ottenuto aggiun gendo ai punti del piano i suoi punti impropri Chiamiamo retta impropria l in sieme dei punti impropri In definitiva il piano ampliato ha come punti gli usuali punti del piano che chiamiamo punti propri e i punti impropri Le ret te del piano ampliato sono le usuali rette del piano che chiamiamo rette pro prie e la retta impropria Possiamo considerare il gruppo delle trasformazioni del piano ampliato Chiamiamo collineazione una trasformazione biunivoca del piano ampliato che conservi le rette Notiamo che l imma
13. P3 Allora gli angoli ZPFP3 P3FP valgono 27 3 perch supplementa ri di ZP AygP3 P3AjP3 7 3 Cos F vede sotto lo stesso angolo 27 3 i lati PP3 P3P e dunque anche il terzo lato PP Ne segue che F appartiene an che alla circonferenza C3 circoscritta a P3 Per motivi analoghi risulta ZP1FA3 PjP9A3 7 3 dunque ZPjFP3 supplementare di ZP FA3 cio i punti A3 F P3 sono allineati Si conclude che F appartiene alla retta A3P3 e analogamente alle AP AgP cio si tratta del punto di minimo de scritto in 9 Un appendice al teorema precedente attribuita a Napoleone Bonaparte al quale si deve il maggior merito della diffusione della cultura geometrica nelle scuole europee del 19 secolo 11 suitrelatidi un triangolo si costruiscano esternamente tre trian goli equilateri Allora i loro centri sono i vertici di un triangolo equilatero detto il triangolo di Napoleone A2 A3 Siano C i centri dei cerchi C Allora segmento FP3 che ha per estremi le intersezioni di Cj e C2 perpendicolare al segmento CjC e analogamente FP perpendicolare a C C3 Allora ZC C3C3 7 3 e analogamente L C3C3C ZC3C1C7 1 3 193 5 RETTA DI EULERO CERCHIO DEI 9 PUNTI USO DI OMOTETIE Un omotetia caratterizzata da un centro O e da un fattore 0 1 Il ge nerico punto P viene trasformato nel punto P individuato dalla equazione vet toriale OP OP In altre parole i punti P P sono a
14. a 11 1 5 Manara C F 1994 Giuseppe Peano ed i fondamenti della geometria L insegnamento della matematica e delle scienze integrate v 17B 284 295 Manara C F 1994 Metodi della geometria del XIX secolo L insegnamento della mate matica e delle scienze integrate v 17B 386 394 Maraschini W amp Menghini M 1992 Il metodo euclideo nell insegnamento della geome tria L educazione matematica v 13 161 180 Pepe L 1995 Per una storia degli insegnamenti matematici in Italia Giornate di didatti ca storia ed epistemologia della matematica Dipartimento di matematica dell Universit di Trieste 101 116 Valabrega E 1989 Le trasformazioni geometriche nell insegnamento alla luce della storia della geometria L educazione matematica a 10 s 2 135 141 Vita V 1986 I programmi di matematica per le scuole secondarie dall unit d Italia al 1986 Rilettura storico critica Bologna Pitagora Per la polemica su Euclide si veda Furinghetti F amp Somaglia A 1992 Italian mathematics and Europe in the late 19th cen tury the British contacts with particular reference to education BSHM Conference on European Mathematics 1848 1939 Gonville amp Caius College Cambridge Giacardi L 1995 Gli Elementi di Euclide come libro di testo Il dibattito italiano di met Ottocento in E Gallo L Giacardi amp C S Roero editors Conferenze e seminari 1994 1995 della
15. a04 cOB e o OB bOA d OB Ma allora abbiamo 0P g x OA yOB x0A yOB ax by OA cx dy OB Utilizzando il simbolismo matriciale otteniamo x _ b x IJ le aly a b c d Notiamo che la matrice 137 ha determinante non nullo perch i punti O A B non sono allineati La formula precedente pu anche essere espressa nel seguente modo a b 0 x c d 0 y 0 0O 1 1 vo a VON Utilizzando il linguaggio dell algebra lineare notiamo che i vettori OA e OB formano una base di V 0 e che questa particolare affinit g definisce un iso morfismo dello spazio vettoriale V 0 su s stesso La matrice a b 0 cd0 0 0 1 la matrice associata all isomorfismo g relativamente alla base formata dai vettori To e OB 2 Consideriamo ora il caso di una qualsiasi affinit f n Abbiamo visto che si ha f t o g con g affinit tale che g 0 O e y 00 dove 0 f 0 p q Sia A cd0 0 O0 1 la matrice che rappresenta l affinit g Si ha pertanto x x 10 p a b 0 x a b p x f v 0g y 0 1 qc d 0 y c d gly 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 L affinit f perci rappresentata dalla matrice a b p c d q 0 0 1 Nota Nel dimostrare che ogni affinit composizione di due omologie ortogonali con assi ortogonali e di una isometria abbiamo utilizzato il fatto che fissato il punto O esistono due rette ortogonali incidenti in O che hanno come immagi ni rette ortogonali 138 Utilizziamo le equazi
16. c La curva y detta ellisse indicatrice e poich la proiezione della circon ferenza Yy ogni suo raggio immagine in di un segmento del piano z 0 di lunghezza unitaria pertanto ogni raggio di y l unit assonometrica relativa alla retta che lo contiene e ad ogni altra retta a questa parallela Ricordiamo che in una ellisse due diametri si dicono coniugati quando cia scuno di essi parallelo alle rette che sono tangenti all ellisse stessa nei punti di intersezione con l altro diametro chiaro che nel caso particolare in cui 157 l ellisse sia una circonferenza ogni coppia di diametri mutuamente perpendico lari costituisce una coppia di diametri coniugati Scende da questa osservazio ne che nel caso della ellisse y ogni coppia di diametri coniugati la proiezione di due diametri ortogonali della circonferenza y Dunque condizione necessa ria e sufficiente affinch due rette obiettive del piano x y siano tra loro per pendicolari che le direzioni delle loro proiezioni sul quadro 7 siano quelle di due diametri coniugati nell ellisse indicatrice y Si verifica facilmente che i coefficienti angolari m n di due diametri coniu gati di y di equazioni rispettive z my z ny sono legati dalla relazione 1 b2 mn bc m n c2 0 4 I SOLIDI NELLO SPAZIO E IL CONTORNO APPARENTE Accenniamo ora brevemente ai problemi legati alla rappresentazione piana mediante i metodi della prospettiva
17. che sta svolgendo e il proprio modo di apprendere Una tale forma di metacognizione si tenter anche per gli insegnanti nei riguardi del lo ro insegnamento Ricorrenza di certi problemi didattici I brevi cenni riportati nel paragrafo sulle vicende dell insegnamento della geometria in Italia dalla nascita dello stato suggeriscono che esiste un fenome no di ricorrenza di certi problemi didattici Ogni epoca cerca di dare soluzioni adeguate ai cambiamenti del contesto gli sviluppi della ricerca matematica il 17 diverso assetto della societ le diverse tecnologie le diverse aspettative della societ verso la scuola Attualmente mi sembra che la situazione sia partico larmente problematica forse per quel fattore epocale che un insegnante Ivana Chiarugi descrive cos I nostri ragazzi devono essere la sintesi di troppe cul ture Pierino greco romano arabo tedesco americano da adulto anche marziano UNA DIGRESSIONE A proposito del fascino e della pervasivit della geometria si confronti l incipit negli Elementi di Euclide e quello nella dichiarazione di indipendenza americana di Thomas Jefferson We hold these truths to be self evident that all men are created equal that they are endowed by their creator with certain unalienable rights that among these are Life Liberty and the pursuit of Happiness In seguito Abraham Lincoln nel Gettysburg address riprese questa proposizione che era stata pres
18. detto il vertice dell angolo Postulato I Postulato della misura della retta nell insegnamento diventato il postulato del righello I punti A B di una retta m possono essere messi in corri spondenza 1 1 con i numeri reali x in modo che lxg x4l d A B per tutti i punti A eB Definizioni Un punto B tra A e C A C se d A B d B C d A C I punti A e C con i punti B tra A e C formano il segmento AC La semiretta m di ori gine O definita da due punti O A della retta A O come l insieme di tutti i punti A di m tali che O non tra A e A Se A B C sono tre punti distinti si dice che i tre segmenti AB BC CA formano un triangolo AABC con lati AB BC CA e vertici A B C Se A B C sono su una stessa retta AABC si dice degenere altrimenti non degenere Postulato II Postulato punto retta Una e una sola retta contiene due dati punti P O P Q Se due rette distinte non hanno punti in comune si dicono parallele Una retta si considera sempre parallela a se stessa Postulato II Postulato della misura dell angolo Le semirette m n uscenti da 31 un punto O possono essere messe in corrispondenza 1 1 con i numeri reali a mod 271 cosicch se A O e B O sono punti di m e n rispettivamente la differenza a am mod 27 ZAOB Definizioni Si dice che due semirette m n uscenti da un punto O formano un angolo piatto se mOn T Si dice che due semirette m n uscenti
19. f v 405 y 0 1 q sina cosa 0 y 1 1 001 0 0 1 1 Ne segue che l isometria diretta f t 0 Fp rappresentata dalla matrice cosa sina p sing cosa q 0 0 1 5 Sia f una isometria inversa Abbiamo visto che si ha f t 0 rpg S Possia mo scegliere come centro l origine o del sistema di riferimento e come asse di simmetria l asse delle x Abbiamo allora x x cosa sina p l 0 0 x f v G0 40s y sina cosa g 0 1 0 y 1 1 0 0 1 0 0 1 1 Ne segue che l isometria inversa f t 0 o a sy rappresentata dalla matrice cosa sina p sina cosa q 0 0 1 123 6 Da 4 e 5 segue che una generica isometria f rappresentata da una matrice del tipo cosa dsina p sing dcosa qglcond t 1 0 0 1 dove d 1 se f diretta e d 1 se f inversa Consideriamo il minore formato dalle prime due righe e colonne della matrice associata ad una generica isometria cosa d sina cond 1 sina dcosa Si verifica facilmente che la matrice A ortogonale la sua inversa coincide cio con la sua trasposta Viceversa ogni matrice ortogonale del tipo A descritto sopra Lasciamo que ste verifiche al lettore 3 SIMILITUDINI Una similitudine del piano una trasformazione di x che conserva i rap porti tra le distanze Data quindi una similitudine f e dati due punti distinti A e B sia d f A f B kd A B k gt 0 allora per ogni coppia di punti C e D del piano si ha d f C f D kd C D k gt 0 Il num
20. f v s 2 ove si era po sto f numero delle facce v numero dei vertici s numero degli spigoli Nel poliedro regolare di tipo p q si ha pf 2s poich ogni faccia ha p lati e ogni spigolo comune ad esattamente due facce qv 2s poich da ogni vertice escono q spigoli e ogni spigolo termina in esat tamente due vertici 183 Dunque f 25 p v 2s q e quindi 2s p 2slq s 2 gt 1 p 1 q 2 s 2s gt gt 1 p 1 q 1 2 1 s 1 p 1 q gt 1 2 poich s gt 0 In questo modo si ha nuovamente la 1 Occorrerebbe ora provare che questi solidi esistono veramente assegnandone una costruzione Per quanto abbiamo visto i poliedri regolari ammissibili detti anche poliedri platonici sono tetraedro 4 facce che sono triangoli equilateri p 3 q4 3 f 4 v 4 s 6 ottaedro 8 facce che sono triangoli equilateri p 3 qg 4 f 8 v 6 s 12 icosaedro 20 facce che sono triangoli equilateri p 3 q 5 f 20 v 12 s 30 cubo o esaedro 6 facce quadrate p 4 q4 3 f 6 v 8 s 12 dodecaedro 12 facce di pentagoni regolari p 5 q 3 f 12 v 20 s 30 Osservazione Tra i tipi di poliedri platonici si osservano le seguenti regola rit i Esistono due coppie di tipi di poliedri per le quali si scambiano tra loro i pa rametri p q e f v mentre rimane uguale s Tali sono il cubo ottaedro p q e 3 4 f v e 8 6 s 12 e l icosaedro dodecaedro p q e 3 5 f v e 20 12 s 30 Tali tipi si ch
21. lo delle sensazioni tattili All area delle sensazioni visive appartengono quelle esperienze sensoriali che nascono dalla osservazione di particolari oggetti come per esempio fili tesi aste rettilinee porzioni di superfici piane etc A quest area appartengono anche le sensazioni che ci portano ad intuire la nozione di simili tudine tra figure come per esempio la riproduzione di disegni in scala All area delle sensazioni tattili appartengono le esperienze sensoriali che derivano dalla manipolazione e dallo spostamento di oggetti che noi giudi chiamo duri o molli pieghevoli o indeformabili Nel complesso delle sensazio ni tattili includiamo anche l esperienza delle forze che l ambiente esterno eser cita su di noi come ad esempio le forze derivanti dal campo gravitazionale che forniscono il riferimento spaziale per ogni soggetto Da queste osservazioni elementari spesso mescolate tra loro ancora indi stinte e confuse nasce la geometria considerata come un atteggiamento attivo e razionale mirante a descrivere in modo preciso e coerente gli oggetti e l am biente che li contiene e che ci circonda nonch a spiegare certe relazioni degli oggetti tra loro e con il soggetto Questa operazione di rilevamento e raffinamento delle esperienze sensoria li da una parte presuppone e dall altra occasione educativa per un atteg giamento di capacit di attenzione critica di confronto e di sintesi riguardante l
22. presentarsi due casi 1 il numero dei vertici non cambia ma diminuisce di uno il numero delle com ponenti connesse limitate ii sopprimendo lo spigolo si sopprime anche il vertice che era rimasto estremo di quell unico segmento ma il numero delle componenti connesse non cambia 181 In entrambi i casi detti f s v il numero di facce spigoli vertici dopo l ope razione di trasformazione si ha rispettivamente nei due casi esaminati i v v s s 1 f f 1 gt f v s f 1 v s 1 f v s i v v 1 s s 1 f f gt f v s5 f v 1 s 1 f v s Con un numero opportuno di queste trasformazioni si ottiene infine solo il po ligono chiuso composto dai vertici e dagli spigoli che sono proiezione di quelli della faccia F Il teorema della curva di Jordan ci assicura allora che le componenti connesse in cui 7 rimane suddiviso sono due e quindi se tale poligono un n gono si ha v s n f 2 e quindi f v s 2 n n 2 2 I POLIEDRI REGOLARI Definizione Un poliedro convesso si dice regolare se 1 tutte le facce sono poligoni regolari ii tutte le facce sono tra loro congruenti ili tutti gli angoloidi sono congruenti tra loro iv tutte le figure i cui vertici sono gli estremi liberi degli spigoli uscenti da ciascun vertice figure al vertice sono poligoni regolari piani Osservazioni 1 La condizione ili equivalente a chiedere che tutte le figure al vertice sia no congruenti tra loro Inoltre le condizioni
23. si dimostra che 2 il raggio in arrivo e quello riflesso formano con lo specchio angoli eguali legge di Cartesio Problema Consideriamo l insieme dei triangoli che hanno un certo lato e un certo perimetro Quale tra essi ha area massima Possiamo derivare la dimostrazione dal teorema precedente D A B Siano ABC un triangolo di base AB perimetro p area A ABD un triangolo isoscele di base AB perimetro p area A ABQ un triangolo isoscele di base AB perimetro p area A Per il teorema precedente p lt p Confrontando i due triangoli isosceli si ha allora A lt A Dunque 3 tra tutti i triangoli che hanno un certo lato e un certo perimetro quello isoscele ha area massima 188 2 IL PROBLEMA ISOPERIMETRICO Nel classico problema isoperimetrico ci si chiede tra i poligoni di n lati che hanno un certo perimetro quale ha area massima Il caso pi semplice ovviamente quello del triangolo che ha la seguente prevedibile risposta 4 tra tutti i triangoli che hanno un assegnato perimetro quello equi latero ha area massima La dimostrazione sembrerebbe a portata di mano applicando 3 ma occor re sapere a priori che un tale massimo esiste Se invece ci si accinge a costruir lo si innesca una situazione pi complessa Partiamo dal triangolo T ABC e sia IABI c IBCl a ICAI b p a b c L area di T sia A Applicando ripetu tamente 3 costruiremo una successione di triangoli isosceli T4 To T3 c
24. zionale al messaggio di fondo che ho inteso trasmettere e che qui riassumo Non tanto importante quello che si insegna ma come lo si insegna Tentiamo di individuare qualche elemento su cui si basa un insegnamento efficace e effi ciente Conoscere interpretare e sfruttare al meglio le risorse a disposizione libri di testo ausili didattici antichi come riga e compasso o le macchine matema tiche moderni come i software didattici o professionali e altre tecnologie Interpretare con flessibilit creativit e un po di audacia le indicazioni dei programmi Puntare molto sulla comunicazione in classe tra gli allievi e con gli allievi Il tempo impiegato nella discussione di un esercizio oculatamente seppure occultamente condotta dall insegnante non tempo perso ma dar frutti a distanza cosa che non sempre accade quando si fanno molti esercizi va rianti di un modello trasmesso passivamente La comunicazione coi com pagni un buon addestramento alla tolleranza Puntare molto sulla comunicazione al di fuori della classe con altri inse gnanti con la comunit scientifica con associazioni e enti preposti all ag giornamento degli insegnanti Fare un tentativo e farlo conoscere gi di per s un valore indipendentemente dal risultato che si ottiene in classe Occorre documentarsi su quanto accade attraverso le pubblicazioni per in segnanti di matematica libri riviste su quanto accade C
25. 169 altri assiomi si possono poi dimostrare i rimanenti criteri angolo lato angolo e lato lato lato ii Propriet degli angoli formati da una coppia di rette parallele distinte con una retta trasversale congruenza tra angoli corrispondenti angoli alterni in terni etc iii Nozione di perpendicolarit tra rette Siano r s R distinte e P un punto tale che P r A s Si dice che r perpendicolare ad s e scriveremo r L s se detti Re r s Se s r siha X P R P S X PR PS cio se le due rette formano angoli adiacenti tra loro congruenti Data la definizione di perpendicolarit si pu dimostrare il seguente fonda mentale teorema di esistenza e unicit valido nel piano euclideo Teorema 5 Per ogni retta r e per ogni punto P esiste ed unica la retta s tale che Pe s r Ls Useremo nel seguito la scrittura P L r s qualora sia opportuno mettere in evidenza che P r s giacciono in uno stesso piano Q potremo anche scrivere P Lr a s iv Dopo aver esteso la nozione di congruenza dalle coppie di punti ai segmen ti si pu introdurre il concetto di confronto tra segmenti e di confronto tra an goli v Se A B C D sono punti distinti e non allineati tali che A B CD A D B C la quaterna ordinata A B C D detta parallelogrammo e si ha A B C D A D B C Sulla base degli assiomi C1 C5 si pu costruire ora anche la geometria del lo spazio euclideo P R gt Prima d
26. 1994 Sar la filosofia a insegnarci come usare l informazione L espresso a 40 n 29 170 Chabert J L 1987 Les g om tries non euclid ennes IREM de Picardie 16 Segnalo che in questa direzione esistono esperienze gi attuate si veda Gallo amp Goldin 1995 59 Gallo E amp Goldin C 1995 Diverse assiomatiche della geometria analisi di una situazio ne didattica NUMI a 22 supplemento al n 8 9 135 139 Manara C F 1988 La continuit in geometria L insegnamento della matematica e delle scienze integrate v 10 908 937 Millmann R S amp Parker G D 1991 Geometry A metric approach Springer Verlag Berlin ecc II edizione Testa G 1994 II V postulato di Euclide Liceo Lioy Vicenza 3 BATTELLI SPAZIALI Vedo la geometria nello spazio non come un ulteriore ambito in cui intro durre i teoremi ma proprio come l ambito in cui determinati problemi si risol vono uno degli obiettivi che sono stati rilevati per l insegnamento della geo metria Quindi lo spazio un ambiente da padroneggiare Si spesso osservato come ci non avvenga anzi come proprio l insegnamento geometri co tenda ad appiattire quello che di intuizione spaziale lo studente possiede La sfera pu essere usata come ambiente per discutere aspetti della geometria non euclidea Nel 1844 fu pubblicato in Germania un trattato di Carl Anton Bretschnei der che considerato il primo tentativo di in
27. Che cosa contiene la G om trie di Descartes Periodico di Matematiche serie IV vol 1 1921 pp 313 325 BRIGAGLIA A 1994 Rapporti tra algebra e geometria problemi storici e problemi metodologici in AAVV Materiali del Convegno Per una storia dell algebra Quaderno P RI ST EM n 6 Milano Universit Bocconi 1994 CARBONE L GUERRAGGIO A a cura di 1995 Aspetti della matematica italiana del Novecento Napoli La Citt del Sole 1995 CASTELNUOVO E 1993 Pentole ombre formiche In viaggio con la matematica Firenze La Nuova Italia 1993 CASTELNUOVO G 1924 27 Sulla risolubilit dei problemi geometrici cogli istrumenti elementari contributo della geometria analitica in Enriques 1924 27 parte seconda pp 231 262 CHILDS L 1989 Algebra Un introduzione concreta edizione italiana a cura di Carlo Traverso Pisa ETS editrice 1989 DAVENPORT J H SIRET Y TOURNIER E 1988 Computer Algebra Londra amp c Academic Press 1988 DEDEKIND R 1926 Essenza e significato dei numeri traduzione dal tedesco e note storico critiche di O Zariski Roma Stock 1926 DESCARTES R AT uvres edite originariamente da C Adam e P Tannery 12 volumi Nuova presenta zione Parigi Vrin 1974 1986 1659 Geometria a Renato Descartes anno 1637 Gallice edita a cura di F Van Schooten Amsterdam 1659 61 1983 La Geometria in R Descartes Opere scient
28. E e alla circonferenza di centro C e raggio uguale a d C Ma le tre circonferenze avendo centri non allineati hanno un solo punto di in tersezione esso quindi E C E I y D t DIMOSTRAZIONE DELL ESISTENZA Se A A si consideri l asse r del segmento A A e si consideri la simmetria di asse r Si ha s A A Sia s B B e s O C Nel caso in cui A A al posto di s si consideri l identit Se B B si consideri l asse s del segmento B B e si consideri la simmetria s di asse s Si ha s A A e s B B Sia s C C Nel caso in cui B B al posto di s si consideri l identit Se C C si consideri l asse del segmento C C e si consideri la simmetria s s di asse t Si ha s A A s B B e s C C Nel caso in cui C C al posto di s si consideri l identit L isometria f s o S 0 s verifica le condizioni richieste 117 Abbiamo visto che componendo tra loro traslazioni rotazioni e simmetrie assiali otteniamo isometrie Abbiamo perci altri esempi di isometrie t Fpa rototraslazioni pat traslorotazioni e tanti altri quali per esempio la composizione di due rotazioni con centri di rotazione diversi la composizione di simmetrie con centri di simmetria diversi e cos via Ci chiediamo se ogni isometria composizione di traslazioni rotazioni e simmetrie assiali Si ha Ogni isometria composizione di al pi tre simmetrie assiali DIMOST
29. L insegnamento della matematica nel primo triennio della scuola secon daria Il bollettino di matematica a 6 137 146 Vailati G 1907 Sull insegnamento della matematica nello stadio superiore della scuola secondaria Il bollettino di matematica a 6 187 202 Wilson M J 1868 Euclide come testo di geometria elementare Giornale di matemati che v 6 361 368 3 VARIE GEOMETRIE Nello sviluppo della geometria si pu individuare un unico filo conduttore da Euclide a Hilbert seppure con rilevanti variazioni e vari adattamenti In questo tipo di trattazione della geometria gli elementi in gioco sono A Il sistema di assiomi B La teoria C I modelli Uno dei problemi come e dove prendere gli assiomi Il platonista li pren de per cos dire nel mondo intorno a lui cio segue la sequenza C gt A gt B Il formalista segue la sequenza A gt B C ed pi libero perch pu inventar si i suoi assiomi con le sole restrizioni che non siano troppo pochi il siste ma di assiomi completo non siano troppi gli assiomi sono indipendenti non ci siano contraddizioni Queste considerazioni sono sviluppate in Zei tler 1990 28 Lo schema hilbertiano stato variamente modificato specialmente dal pun to di vista didattico e sono nate geometrie alternative alcune delle quali spe cificamente collegate all insegnamento A grandi linee i vari orientamenti in cui si sono sviluppate
30. Ma allora la Si g o f composizione delle trasformazioni f e g definita da g0f P g f P una trasformazione di 1 Poich g 0f 5 g f 5 g 5 S si ha S S Notiamo che nella dimostrazione che la relazione di uguaglianza una re lazione di equivalenza hanno giocato un ruolo essenziale le seguenti tre pro priet dell insieme 7 7 delle trasformazioni del piano 7 1 1 e T m dove 1 la funzione identica 2 fe TmT gt f e TT 3 feT megeTam gofe Tm 112 In altre parole l insieme T m con l operazione di composizione tra fun zioni un gruppo Torniamo ora alle nostre 10 figure Si determina facilmente una trasforma zione f del piano tale che l immagine della figura 1 sia la figura 2 La figura 1 quindi uguale secondo la nostra definizione alla figura 2 Di pi si pu di mostrare che la figura 1 uguale ad ognuna delle 10 figure Alcune delle tra sformazioni sono facilmente determinabili altre meno Consideriamo per esempio la figura 10 e confrontiamola con la 1 Chia miamo 5S la figura 1 e S la figura 10 Possiamo trovare un movimento rigido f del piano tale che la parte superiore di S sia da esso trasportata nella parte su periore di S Consideriamo la retta r che divide la parte superiore di S dalla sua parte inferiore La retta r divide il piano in due parti La prima T data dal semipiano chiuso delimitato dalla retta r contenente la parte superiore di S La secon
31. X b X i xd 1 retto amp 5 0 amp b 4 45 e in conclusione d 4 5 dd Se invece L a 5 acuto allora amp c xB ble b c xig e quindi con ragionamento analogo 4 5 X amp b Dai Teoremi 3 e 4 consegue immediatamente il seguente Teorema 5 Se due triedi V d b V d BE sono polari uno dell altro le sezioni normali dei diedri di uno di essi sono supplementari delle facce dell altro Dai Teoremi 2 e 5 si ha Teorema 6 In ogni triedro si ha i la somma di due diedri minore del terzo diedro aumentato di due diedri retti ii la somma dei tre diedri maggiore di due diedri retti Possiamo ora introdurre una opportuna relazione di congruenza tra triedri e stabilire di conseguenza i relativi criteri di congruenza Definizione Due triedri si dicono congruenti se le facce e gli angoli diedri del primo sono ordinatamente congruenti con le corrispondenti facce e angoli die dri del secondo 175 Teorema 7 Criteri di congruenza dei triedri Due triedri sono congruenti se hanno tra loro ordinatamente congruenti i ED F due facce e langolo diedro compreso oppure ii D ED una faccia e i due diedri ad essa adiacenti oppure iii EFF le tre facce oppure iv D D D i tre diedri Se si stabilisce una analogia tra i triedri della stella e i triangoli del piano affine si possono fare corrispondere ai lati e agli angoli dei triangoli rispettiva mente le facce e i diedri dei tr
32. assiale oppure f s o S o con s r e t s Si pu dimo strare rimandiamo per ci per esempio al libro di Yaglon che in quest ulti mo caso si pu determinare una retta r e un vettore v ad essa parallelo tali che si abbia f t o 120 Le due affermazioni precedenti possono essere riassunte nel seguente teore ma Teorema di Chasles 1831 Sia f una isometria Si ha allora f diretta senza punti fissi gt f t con v vettore non nullo f diretta con punti fissi lt f fp con amp angolo eventualmente nullo f inversa con punti fissi f s5 f inversa senza punti fissi gt f t os con 0 v r Il teorema di decomposione di una isometria in al pi tre simmetrie assiali e il teorema di Chasles mostrano decomposizioni di una isometria per mezzo di traslazioni rotazioni e simmetrie assiali Notiamo che i centri di rotazione e gli assi di simmetria variano al variare della isometria E per possibile decomporre le isometrie per mezzo di traslazioni rotazioni e simmetrie assiali con centro di ratazione e asse di simmetria invarianti al va riare delle isometrie Sia fissato un punto D del piano e una retta r passante per D Sia f una iso metria Allora f diretta f t rDa f imersa J torpa sS DIMOSTRAZIONE Lasciata al lettore Ci limitiamo ad illustrare la dimostrazione lt f t 0Fpa f t0Fpa 8 121 Equazioni delle isometrie Sia fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano Da
33. cavaliera di un oggetto solido e quindi non trasparente che viene visto dal punto improprio V gi preso in considera zione Si osserva allora che esiste una superficie cilindrica le cui generatrici pa rallele tra loro passano per il punto V e sono tangenti all oggetto su questo i punti di contatto delle generatrici in parola costituiscono una curva che viene chiamata contorno apparente dell oggetto dal punto di vista V in corrispon denza al contorno apparente del solido esiste una seconda curva che la sua proiezione sul quadro da V Supponiamo che il solido sia un poliedro oppure sia uno di quei solidi rotondi che vengono studiati in geometria elementare per esempio sfera cilindro cono rotondo ed altri analoghi Poich abbiamo detto che il solido supposto non trasparente si conviene spesso di rappresen tare sul quadro soltanto quella parte del solido che viene effettivamente vista da V e non quindi la parte del solido che questo nasconde Tale parte in vista ovviamente limitata dal contorno appartente e la sua proiezione sul quadro limitata dalla proiezione del contorno apparente Poniamo ora che sul solido sia tracciata una curva F e che questa sia regolare cio dotata di retta tangente e di piano osculatore in ogni suo punto esclusi al pi dei punti isolati in nume ro finito Chiamiamo F la curva proiezione di F da V sul quadro e supponia mo che essa incontri la proiezione del contorno apparen
34. che Pe sscoaerns 0d Continueremo a chiamare parallele le rette r ed s e scriveremo rlls s PIl n Chiameremo spazio affine e lo indicheremo con il simbolo P R lo spazio di rette P R che soddisfa all assioma P Convenendo ancora che per ogni r R sia r r dall assioma P con l ag giunta della condizione che ogni retta contenga almeno 4 punti si pu dimo strare che il parallelismo nello spazio affine una relazione di equivalenza Occorre rilevare che in uno spazio affine esistono coppie di rette che sono prive di punti in comune e non sono complanari tali rette sono dette sghembe tra loro Per esempio per ogni retta r e ogni piano a tali che A r P es sendo P un punto ogni retta s C O tale che P s sghemba con r In uno spazio affine possibile introdurre in modo naturale una nozione di parallelismo tra rette e piani oppure tra piani Definizione i Per ogni retta r e ogni piano diremo r parallela ad a e scri veremo r se e solo ser c amp oppure r n a ii Per ogni coppia di piani p diremo a parallelo a B e scriveremo a P se e solo se B oppure am p noto che sono facilmente dimostrabili le seguenti proposizioni Teorema 3 Per ogni retta r s e per ogni piano a si ha i r s per ogni piano B gt s si ha r P 167 ii r a per ogni piano B gt r B 0 si ha A B oppure s a OR e R gt Tr s iii r amp per ogni P
35. che fr e fis sono ortogonali Fissiamo allora due punti F su r e G su s aventi distanza uni taria da A Siano ora F f F G f G Si consideri sulla semiretta con origine in A passante per F il punto F tale che d F A d F A Sia oy tale che Oy EP Si consideri sulla semiretta con origine in A passante per G il punto G tale che d G A d G A Sia 0 tale che 0 G G Poich si ha d A F d A F d A G d A G d F G d F G esiste una isometria g tale che g A A 8 F F g G G Ma allora g o Oppo 0gy A A g 0 0710 054 1 F g 0 0 140 05x G G Da tutto ci segue g o 0 70 Opg f P F G sA Gi GU F G 134 Nella prossima figura mostriamo le successive immagini attraverso le tre trasformazioni considerate del triangolo ABC considerato all inizio della dimo strazione Facciamo notare che esistono affinit non aventi punti fissi La prossima proposizione ci mostra che per ogni affinit la composizione di una trasla zione con una affinit avente almeno un punto fisso Sia fissato un punto O del piano Sia f un affinit Esistono allora una affinit g di n tale che g 0 0 e un vettore v tali che si abbia f t 0g DIMOSTRAZIONE Si considerino i punti A e B non allineati con O I punti 0 f 0 A f A B f B non sono quindi allineati Sia v 00 e sia A t A B t_ B I punti O A e B non sono allineati Esiste quindi un affinit g tale che g 0 O g A
36. completo della teoria sui sistemi assiomatici mi sembra fuori luogo conviene circoscrivere la discussio ne ad alcuni punti per esempio quelli che seguono Fare un confronto tra il sistema euclideo e il sistema di assiomi dei libri di testo Discutere le scelte euclidee e metterne in risalto i nei per esempio quelli legati alla continuit Nella prima proposizione del libro primo Euclide ri solve il problema di costruire un triangolo equilatero che ha per lato un segmento di estremi A e B costruendo il terzo vertice C come intersezione dei cerchi di centro A e B rispettivamente e raggio AB noto che l esisten za dei due punti in questione pu essere dimostrata in seguito all enunciato di un postulato di continuit questa considerazione ci fa intravvedere un modo di collegare parti diverse della matematica in questo caso geometria e analisi mediante l individuazione di problematiche comuni una prelimi nare introduzione geometrica pu essere utile per facilitare la comprensio ne del difficile concetto di continuit Riprendere alcuni spunti dal progetto Speranza sulla assiomatizzazioni in ambienti speciali 58 Rinunciare a fare un confronto con assiomatizzazioni in altri contesti e li mitarsi alla geometria confrontando l assiomatizzazione euclidea con un altro tipo di assiomatizzazione per esempio quella metrica 9 Tale confron to potrebbe essere fatto usando un testo come quello del progetto Prodi
37. concetto di limite abbiamo proposto un questionario aperto che con teneva domande informali su di esso coinvolgenti il linguaggio usuale le con cezioni fisiche la rielaborazione di eventuali conoscenze collegate Nel caso degli insegnanti cui diretta questa nota cerco di far esplicitare le loro idee talvolta non conscie su determinati temi dimostrazione rigore capacit di ap prendimento degli studenti matematica e suo insegnamento Che cosa c dietro a Un altra idea che applichiamo nelle ricerche del GREMG quella che un concetto difficile perch il catalizzatore di altri concetti che gli stanno die tro Allora nello studiare le difficolt di un concetto studiamo che cosa c dietro a quel concetto individuando vari livelli di difficolt fino a arrivare ad atomi di conoscenza Nel citato volume di Tall a proposito di un processo di questo tipo si usa la locuzione decomposizione genetica Se applichiamo questa tecnica di studio alla riflessione sugli strumenti e le prescrizioni forniti agli insegnanti programmi manuali compiti di maturit individuiamo alcuni nodi cruciali nella discussione su come insegnare la geometria e fissiamo l attenzione su di essi Per esempio ci accadr per la di mostrazione Metacognizione Uno degli obiettivi primari che il gruppo GREMG si posto in alcune esperienze in classe portare lo studente a prendere coscienza di ci che c dietro l attivit
38. cos come l articolo Villani 1995 dello stes so autore Alcune conclusioni dell incontro sono esposte in Speranza 1995 SISSA 97 Si sta diffondendo in tutto il mondo la sensazione che l insegnamento della geome tria come applicazione dell algebra lineare sia insoddisfacente Buoni motivi per tali critiche sono gli insuccessi degli allievi riportiamo brevemente alcune ragioni di natura pi intrinseca presentate durante il seminario 1 La geometria scienza dello spazio ma lo spazio una categoria molto com plessa che non si lascia ingabbiare entro schemi che valgano per tutti gli approcci Ogni tentativo di razionalizzazione deve fare una scelta in proposito e quindi mette re in luce certi aspetti a discapito di altri per esempio il programma di Erlangen disgraziatamente trascurato al giorno d oggi ci dice che esistono molte geome trie e che una loro sistematicit si pu ritrovare a un metalivello Una tendenza diffusa e in un certo modo spiegabile vorrebbe portare per una disciplina scientifica a una esposizione unitaria ma la geometria per sua natura complessa e non riducibile a un percorso unitario 2 La geometria a tutti i livelli deve dare agli allievi una sensibilit spaziale deve rafforzare la componente visualizzazione del nostro modo di concepire il mondo deve gettare un ponte fra sensibilit e razionalit la strada puramente algebrica non permette questo 3 La ge
39. da un punto O formano un angolo retto se ZmOn 7 2 nel qual caso si dice anche che m per pendicolare a n Postulato IV Postulato di similitudine Se in due triangoli AABC e AA B C e per una costante k gt 0 d A B kd A B d A C kd A C e ZB A C ZBAC allora anche d B C kd B C ZC B A ZCBA e ZA C B ZACB Definizioni Due figure si dicono simili se esiste una corrispondenza 1 1 tra i punti delle due figure tale che tutte le distanze corrispondenti sono in proporzione e i cor rispondenti angoli sono uguali o opposti gli uni agli altri Due figure sono congruen tisek 1 n Nella geometria metrica l ordinamento la congruenza di segmenti e di an goli sono definiti in termini di distanza e misura di angoli I postulati di ordi namento sono dimostrati a partire dall assioma del righello in termini di di stanza Il primo criterio di uguaglianza dato come postulato la congruenza dei triangoli si traduce in uguaglianza di distanze i tre lati corrispondenti e di misure di angoli i tre angoli corrispondenti Analogamente i postulati di con gruenza diventano teoremi Vale la pena di riflettere come la stessa geometria possa essere sviluppata a partire da assiomi diversi Per esempio si voglia provare che gli angoli opposti al vertice sono uguali Nella geometria metrica ci si appoggia alla misura in quella sintetica si devono provare dei teoremi preliminari
40. della Pubblica Istruzione Luigi Catalano Relatori Giuseppe Accascina Universit di Roma La Sapienza Claudio Bernardi Unione Matematica Italiana Lucia Ciarrapico Ministero della Pubblica Istruzione Fulvia Furinghetti Universit di Genova Massimo Galuzzi Universit di Milano Mario Marchi Universit Cattolica di Brescia Benedetto Scimemi Universit di Padova Segreteria Francesca Antonelli Ilaria Ercoli Cesare Matteoni Maria Luisa Radini Giovanni Romani La revisione scientifica dei testi pubblicati nel presente Quaderno stata cura ta da Claudio Bernardi e Lucia Ciarrapico La curatela complessiva stata se guita da Giuseppe Ciri 12 PRESENTAZIONE Claudio Bernardi Presidente della Commissione Italiana della pubblica Istruzione per l insegnamento della Matematica Lucia Ciarrapico Ispettore M inistero della Pubblica Istruzione Questo volume raccoglie materiale elaborato in occasione del Secondo Corso in Didattica della Matematica organizzato dal Ministero della Pubblica Istru zione e dall Unione Matematica Italiana Ricordiamo che alla fine del 1993 il Ministero della Pubblica Istruzione e l Unione Matematica Italiana hanno sot toscritto un Protocollo d Intesa per promuovere programmi comuni per la ri cerca e la diffusione di metodologie didattiche adeguate ai recenti sviluppi scientifici e tecnologici nel campo della matematica e delle sue applicazioni Nel quadro di una
41. della politica espansionista e delle guerre di conqui sta del Lazio da parte dei romani l alunno recepisca e ricordi solo la mano bru ciata dell eroe La sindrome da Muzio Scevola concerne in particolare l insegnamento dell algebra dove il piano sintattico manipolativo prevale su quello concettuale In conseguenza di questo fatto accade che uno studente universitario di facolt scientifiche risolva l equazione x 1 x 3 0 pri ma eseguendo la moltiplicazione e poi applicando la formula risolutiva dell equazione di secondo grado o che ricordi la regola di divisione di un poli nomio per x a detta di Ruffini ma non rifletta sul fatto che f a 0 signi fica che a radice dell equazione f x 0 Se l insegnamento vuol essere un investimento con guadagno cognitivo non solo nell immediato bens anche a lungo termine occorre che si punti non tanto sul capire strumentale quanto su quello relazionale La distinzione tra questi due tipi di capire stata sviluppata dallo psicologo britannico Richard R Skemp recentemente scomparso In estrema sintesi per Skemp il capire strumentale il prodotto di un apprendimento meccanico di regole teoremi e loro specifiche applicazioni Il capire relazionale il prodotto di un coinvolgi 11 Si veda Dapueto amp Furinghetti 1992 Per fissare le idee in questa nota faccio riferimen to ai programmi della commissione Brocca 12 Sul termine ecologico torner nell ultim
42. di P le figure sullo schermo hanno fatto supporre che valesse la propriet l asse di FQ Q il punto intersezione della circonferenza di cen tro F e raggio 2a con una semiretta uscente da F tangente all ellisse in P sorta allora la necessit di provare questa proposizione e sono cos nate due dimostrazioni Il lettore faccia le figure Dimostrazione 1 Per assurdo se l asse fosse secante taglierebbe l ellisse in un ulteriore punto P che per la costruzione dell ellisse dovrebbe appartene re anche all asse di FO Q l intersezione di F P con la circonferenza 0 Si avrebbe cos l assurdo 2a d F Q d F P d P F d F P d P 0 gt d F 0 2a Dimostrazione 2 Se si trasforma per affinit l ellisse in un cerchio e si ri chiamano le propriet delle tangenti al cerchio la proposizione dimostrata RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Bozzo C Ferrera G amp Pedemonte A 1996 Cabri il quaderno interattivo di geometria Rapporto interno 14 Le coniche costituiscono un tipico esempio di ricorrenza nella didattica sono o non sono di moda a seconda dei paesi e dell epoca 5 La prima di Giuseppe Ferrera la seconda di Domingo Paola Si vedano i vecchi manuali di geometria per altre prove di questa propriet 57 Lo J J Gaddis K amp Henderson D 1996 Building upon student experience in a college geometry course For
43. di asse r e rapporto k l omologia 0 di asse r direzione un vettore v ortogonale alla retta r e rapporto k Indichiamo questa omologia ortogonale con il simbolo 0 Gli esempi di affinit che vengono pi frequentemente presentati nei libri di testo sono proprio le composizioni di due omologie ortogonali con assi orto gonali La prossima proposizione mostra che a meno di isometrie si ottengo no in questo modo tutte le affinit Ogni affinit composizione di due omologie ortogonali con assi ortogonali con una isometria DIMOSTRAZIONE Sia f un affinit Siano r e s due rette ortogonali intersecantisi in un punto A 133 Siano B e C punti delle rette r e s aventi distanza unitaria dal punto A Siano A f A B f B C f C Se le rette f r e f s non sono ortogonali si curamente l affinit f non composizione di due omologie ortogonali di assi le rette r e s Infatti sia l isometria che le due omologie conservano l ortogonalit delle rette r e s Esistono per due rette ortogonali r e s intersecantisi in A tali che f r e f s sono ortogonali Daremo in seguito una dimostrazione analitica di ci Per ora ci limitiamo a far notare che se l angolo retto CAB ha come immagine l an golo acuto rispettivamente ottuso C A B allora l angolo CAE vedere figura ha come immagine un angolo ottuso rispettivamente acuto Per continuit esistono quindi due rette ortogonali r e s intersecantisi in A tali
44. diame tro Poich KL perpendicolare a MN abbiamo KL MLxLN Sostituendo i valori trovati per ML e LN abbiamo BC BC BC KL MLxLN ZLxP xZAxPZ ZLxZA i CAO AB X 2A X CAB BC p i E Z A x Si osserver ora che la quantit AC x AB data una volta fissata la posizione del piano Questa quantit pu dunque immaginarsi come esprimente la lunghezza ZT di un certo segmento 2 Ab biamo dunque stabilito il sussistere della relazione per ogni punto K sulla pa rabola data da 3 1 KL ZLxZT 20 Per maggiore chiarezza espositiva non seguiamo alla lettera il testo di Apollonio ove questa relazione posta all inizio e poi dimostrata Invece della sintesi apolloniana preferiamo ad uso del lettore moderno dare l analisi 2 Nella dimostrazione originale di Apollonio si determina all inizio un segmento ZT ta le che ZT ZA BC ABXAC e poi si esaminano i valori dei rapporti BC AB e AB AC 80 Come dobbiamo interpretare la 3 1 Osserviamo intanto che questa rela zione permette ad Apollonio nel seguito della trattazione ogni qual volta abbia ad occuparsi di una parabola di liberarsi da ogni riferimento al cono La para bola in linea di principio un luogo solido di fatto considerata nel seguito del trattato come una curva piana completamente descritta dalla 3 1 Ogni pro priet della parabola viene successivamente dimostrata solo a partire dalla 3 1 con manipolazioni di segmenti a
45. diverse discipline e in particolare della storia e della filosofia del 900 nelle classi conclusive dei cicli scolastici Un discorso a parte esige l intesa M P I U M I alla cui attivit e pro duzione legata la pubblicazione del presente Quaderno Per altro quella con l U M I la prima intesa stipulata dall Ammini strazione con un associazione che raggruppa docenti dello stesso settore disciplinare sia dell universit sia della scuola Nata con la finalit di promuovere programmi comuni per la ricer ca e la diffusione di metodologie didattiche adeguate ai recenti sviluppi scientifici e tecnologici nel campo della matematica e delle sue applica zioni intesa M P I U M I si presenta in sede di realizzazione con ri sultati che dimostrano attenzione a diversi problemi dell aggiornamento disciplinare e didattico costituendo un singolare esempio di manteni mento e conferma dell alto profilo delle attese iniziali e insieme una prova dell opera di ampliamento della sfera degli obiettivi allorch si passa dall idea originaria alla sua strutturazione e formalizzazione pro grammatica passaggio di cui si fa cenno all inizio di queste riflessioni Se infatti poteva ritenersi scontata la bont dei contenuti affrontati nelle lezioni e nei gruppi di lavoro per l apporto di cattedratici di chiara fama del mondo universitario e di esperti di pari valore dell Ammini strazione Centrale non altrettanto
46. ed alcune considerazioni con clusive alla fine del volume dedicate ancora a Kant notevolmente al di l di alcuni luoghi comuni purtroppo assai diffusi Tuttavia il lettore interessato ad ulteriori approfondimenti su Kant e la matematica pu vedere con profitto Panza 1995 17 L obiettivo di Pergola Zanoli 1995 in riferimento ad Apollonio diverso dal no stro tuttavia ci sembra che vi sia consonanza metodologica nell uso della storia della mate matica per fini didattici 78 profonditamente questo punto dopo l esame di alcune proposizioni tratte dalle Coniche di Apollonio e dopo aver svolto qualche osservazione generale sulla struttura di questo trattato 18 All inizio del Libro I Apollonio d le equazioni delle tre sezioni coniche Cosa debba intendersi per equazione risulter chiaro dall esame del contenu to della Prop 11 che descrive il caso della parabola A E Consideriamo il cono di vertice A luogo delle rette che passanti per A in tersecano il cerchio BCDE posto in un piano differente da A Un piano pas sante per il vertice e per il centro del cerchio determini come sezione con il co no il triangolo ABC ove BC un diametro del cerchio BCDE Un piano 18 Le principali conoscenze sulle sezioni coniche della matematica greca sono contenute nelle Coniche di Apollonio Degli otto libri che costituivano il suo trattato possediamo il te sto greco dei primi quattro ed il testo arabo dei
47. esaminare la possibilit di scrivere il polinomio rappresentativo come prodotto di due polinomi di secondo grado Supponendo che la cosa sia possibile avremo l uguaglianza 2 yx u xX yx at px qx r 53 Si tratta evidentemente di un modo di esprimersi moderno 54 Eventualmente con una lieve modifica dei dati come si osservato nella nota 45 55 Sempre naturalmente nell ipotesi che si sappiano valutare i fattori del termine noto di fo 98 dove i coefficienti dei termini di primo grado nei polinomi fattori debbono ave re somma nulla affinch il prodotto sia privo del termine in x Confrontando i coefficienti otteniamo u v y p uy vy q uv r Consideriamo le prime due equazioni come costituenti un sistema lineare in u v ossia u v p y 56 u v y Abbiamo allora l 2_4 u gt p y 4 p 2 v p 2 y Deve essere uv r e dunque otteniamo Hp 7 4 p 2 r 4 y y e dunque infine 57 4 7 y 2py p 4r y q 0 La 4 7 la risolvente nominata in precedenza di terzo grado naturalmen te in y Per quanto visto al punto 2 l indagine si riduce ora ai divisori di g Se troviamo una radice tra di essi in Z a b c possiamo proseguire l indagi ne e trovare le radici in K dell equazione originaria da esaminare come possi bili soluzioni altrimenti dobbiamo concludere che il problema non piano Veniamo ora al caso dell equazione corrispondente al pro
48. esempio le regole per la rappre sentazione nel piano di oggetti tridimensionali sono ignorate o al pi confinate al corso di disegno e non sostenute da una conveniente spiegazione teorica M6 Il controesempio difficile da trovare se non si gi visto M7 Il concetto di invariante importante M8 Quanto si disinvolti in ambienti nuovi M9 Illusioni ottiche M10 un semplice esercizio di interpretazione visiva ma a differenza della domanda D9 in questo caso ci si deve fidare dell informazione grafica Confrontare con la domanda D4 M11 Si pu risolvere con una similitudine Basta disegnare un quadrato con un lato sul diametro del semicerchio congiungere il centro della semicir conferenza con i vertici non sul diametro fino a incontrare la semicirconferen za Viene subito in mente questo procedimento risolutivo se nel momento in cui si risolve il problema non si sta lavorando sulle similitudini 22 Le domande non originali sono prese da Chazan D 1993 High school geometry students justification for their views of empirical evidence and mathematical proof Educational studies in mathematics v 24 359 387 Dubnov Ya S 1965 Errori nelle dimostrazioni in geometria Progresso tecnico editoriale Milano trad it di Mistakes in geometry proofs D C Heath amp C Boston Maxwell E A 1959 Fallacies in mathematics CUP Cambridge Moise E E amp Downs F L 1982 Geometry Addison W
49. gnomone e sul confronto visi vo di figure mostra un atteggiamento simile Anche se non possediamo un te sto greco ove essa compaia in modo esplicito tuttavia si fonda su alcune delle conoscenze pi semplici della geometria greca presentate negli Elementi ed con estrema plausibilit una delle molte dimostrazioni pre euclidee del teorema Nella sua immediatezza quasi la constatazione empirica di una evidenza e possiede una sorta di primazia intellettuale che la rende un opportuno punto di partenza per iniziare uno studente alla geometria 7 La storia della matematica utilizzata in questo libro per fornire elementi dimostrativi dotati di contenuto concreto all interno di un disegno che di necessit dovr progressivamente volgersi verso l astrazione della matematica moderna Ma questa astrazione verr sentita come una necessit piuttosto che come un imposizione nella prospettiva adombrata nelle parole di Enriques Si potrebbero produrre altri esempi ma gi quelli visti sono sufficienti per mostrare come la storia della matematica possa comparire nella didattica con modalit assai differenziate La nostra proposta di utilizzazione della storia della matematica si pone ul teriormente in modo differente Poich non abbiamo il compito di produrre un libro di testo e d altra parte il pubblico al quale ci rivolgiamo costituito da insegnanti abbiamo il duplice vantaggio di non dover proporre un impiego
50. incidenza Tra di essi c il postulato delle parallele so no date le definizioni di proiezione parallela e obliqua II gruppo Postulati di ordine III gruppo Postulati di struttura affine o di struttura additiva Si definiscono tra l altro omotetie dilatazioni simmetrie oblique affinit vettori basi dello spazio vettoriale prodotto scalare IV gruppo Postulati di struttura metrica Si definisce perpendicolarit simme tria ortogonale prodotto scalare rapporto di proiezione I primi due gruppi corrispondono sostanzialmente al primo secondo e quarto gruppo degli assiomi di Hilbert Mentre la misura dei segmenti gi implicita negli assiomi per gli angoli Choquet usa le simmetrie assiali nella sua versione semplificata la definizione di angolo Per ogni punto O del pia no si chiama angolo di vertice O ogni rotazione intorno a O Geometria metrica La geometria che chiamer per brevit metrica quella che ha avuto il maggior impatto tra le alternative al sistema hilbertiano Nel seguito se ne di scutono alcuni aspetti caratterizzanti Da Birkhoff 1932 riporto i postulati della geometria piana metrica Elementi non definiti e relazioni a punti A B b insiemi di punti detti rette m n c distanza tra due punti d A B un numero reale non negativo con d A B d B A d angolo formato da tre punti nell ordine A O B A 0 B 0 Z AOB un numero reale mod 27 O
51. k Nonostante ci in al cuni testi essa viene chiamata omotetia inversa Siano D e D due punti distinti e sia k gt 0 Consideriamo le omotetie lp e hp x Sappiamo che esiste una isometria g tale che lp gohp Lasciamo la de terminazione di g al lettore Equazioni delle similitudini Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano con origine in un punto O Data una similitudine f vogliamo determinare la relazione intercorrente tra le 127 coordinate di un punto P e le coordinate di AP 1 Consideriamo innanzitutto il caso di una omotetia o con centro nell origi ne O del sistema di riferimento Si ha ovviamente P x y gt hop P kx ky Utilizzando il simbolismo matriciale introdotto in precedenza otteniamo x kx k 0 0 x hox v K 0 k 0 y 1 1 0 0 1 1 Pertanto la matrice associata a ho koo Ok 0 O 0 1 2 Sia f una similitudine di rapporto k Sappiamo che fissato comunque un punto D esiste una isometria g tale che f g o hp Scegliamo il punto D coin cidente con l origine O del sistema di riferimento Abbiamo allora f g o hoy Sia cosa dsina a sina dcosa b 0 0 1 la matrice che rappresenta l isometria g Abbiamo pertanto x x cosa dsina a k 0 0 x f v amp x y sina dcosa b O k Ofy 1 1 0 0 1 0 0 1 1 Ne segue che la similitudine f g o ho rappresentata dalla matrice kcosa kdsina a ksina kdcosa b 0 0 1 Ricordiamo che si ha d 1 se la similitudine diretta e d 1 se la simil
52. la somma delle distanze di P dai vertici non minore del doppio della somma delle distan ze di P dai lati Questo teorema dimostrato per la prima volta nel 1937 da Mordell fu po chi anni dopo ridimostrato elementarmente facendo un uso opportuno delle ri flessioni un po come nei nostri primi esempi 198 ADDENDUM 1 12 1995 Al termine della conversazione con i partecipanti al corso del MPI a Viareggio in cui avevo esposto alcuni dei precedenti risultati il collega Massimo Galuzzi mi sottopose il seguente enunciato di cui aveva ottenuto e illustrato ai corsisti una fa cile dimostrazione per via analitica usando il PC per le manipolazioni algebriche Su due lati opposti di un quadrilatero si costruiscano esternamente due quadrati e si consideri il segmento che ha per estremi i centri dei due quadra ti Partendo dagli altri due lati si costruisca un analogo segmento Allora i due segmenti sono perpendicolari Come produrne una dimostrazione sintetica Non fui allora in grado di rispon dere e solo a distanza di qualche giorno trovai una dimostrazione elementare ma poco interessante che coinvolgeva un gran numero di angoli e di reciproche rela zioni Pi recentemente ho invece ritrovato il medesimo problema tra gli esercizi del Coxeter 1 corredato da una traccia di dimostrazione per noi assai pi interes sante perch basata sull uso delle trasformazioni geometriche e precisamente del le rotazioni Data la pertinenz
53. lati minore di quattro angoli retti iii la somma dei tre angoli maggiore di due angoli retti La proposizione 8 i esprime in sostanza la disuguaglianza triangolare rela tiva alla nozione di distanza subordinata nell insieme II dalla relazione di con gruenza ellittica precedentemente introdotta Per questa ragione la geometria ellittica pu essere considerata come un caso particolare di geometria metrica La proposizione 8 ili differisce dalla classica proposizione euclidea che af ferma la somma degli angoli di un triangolo uguale a due angoli retti Se Q 4 sono rispettivamente le ampiezze degli angoli di un triangolo della geometria ellittica e 7 l ampiezza di due angoli retti si chiama eccesso ango lare il numero A 9 1 Dal teorema 7 si ha Teorema 9 Criteri di congruenza dei triangoli per la geometria ellittica Due triangoli sono congruenti se hanno tra loro ordinatamente congruenti i LA L due lati e l angolo compreso oppure ii A L A un lato e due angoli adiacenti oppure iii L L L tre lati oppure iv A A A tre angoli La proposizione 9 iv ci dice che in geometria ellittica le nozioni di similitu dine e di congruenza coincidono Le isometrie C della geometria ellittica II G sono tutte e sole le trasformazio ni indotte dalle isometrie dello spazio euclideo in cui immersa la sfera che mutano in s Indichiamo con M V il gruppo delle isometrie della ste
54. le simmetrie assiali sono isometrie in verse si ha f 850 S Si hanno allora tre casi 1 Le rette r e s coincidono In tal caso f l identit 2 Le rette r e s si intersecano in un punto P In tal caso f una rotazione intor no al punto P P 7 La dimostrazione di ci viene lasciata al lettore 3 Le rette r e s sono parallele non coincidenti In tal caso f una traslazione A La dimostrazione di ci viene lasciata al lettore 119 Abbiamo visto che le simmetrie assiali sono isometrie inverse Ci chiedia mo se ogni simmetria inversa sia una simmetria assiale La risposta negativa Consideriamo infatti la seguente isometria inversa f t o s con v vettore non nullo parallelo alla retta r cd vw Una isometria di tal fatta viene chiamata glissoriflessione o anche antitra slazione Poich una glissoriflessione non ha alcun punto fisso essa non pu essere una simmetria assiale la quale ha come punti fissi tutti i punti della retta di simmetria Ci chiediamo allora se ogni isometria inversa sia una simmetria assiale o una glissoriflessione La risposta affermativa Se f una isometria inversa allora f o una simmetria assiale oppure f t 0 s con v vettore non nullo parallelo alla retta r DIMOSTRAZIONE Sia f una isometria inversa Abbiamo visto che ogni isometria composi zione di al pi tre simmetrie assiali Poich f una isometria inversa si ha che essa o una simmetria
55. legato alla processualit del la storia umana quanto nelle particolari difficolt che anche in que sto gli insegnanti possono incontrare nel trasmettere ed elaborare i contenuti disciplinari L insegnamento della geometria rappresenta certamente uno di que sti nodi problematici La didattica di questa disciplina si inserita in quel generale impulso all insegnamento scientifico previsto dai pro grammi della scuola media e in quelli di non poche sperimentazioni del la secondaria L integrazione tra matematica e scienza finisce non solo con l esaltare il valore del metodo ma soprattutto dando un immagine pi compiuta e dunque pi pertinente della disciplina contribuisce all equilibrio tra studi letterari e scientifici un obiettivo che non a caso corrisponde a quella tensione al superamento della separazione tra le due culture che tipica dei nostri tempi Molti degli interventi che qui vengono pubblicati si riferiscono a uno dei problemi pi rilevanti del nostro sistema formativo il raccordo cio tra i diversi ordini di scuola La questione della continuit infatti se deve come ovvio tenere conto del differente livello di consapevolez za in allievi di et diversa non pu tuttavia non entrare nel merito della specificit dei contenuti del rigore pur processuale della loro for mulazione e della irrinunciabile finalit di arricchimento culturale tre esigenze intrecciate tra loro che costitu
56. non paralleli ai bordi del foglio in secondo luogo talvolta proprio lo stereotipo come modello di una situazione nota che aiuta a risolvere un problema nuovo Nel questionario Bosco et alii 1995 ci si chiede se le dimostrazioni nell insegnamento debbano essere un oggetto di attivit conoscitive o strumen to conoscitivo Bisogna distinguere tra dimostrazioni complete condotte all in terno di una teoria e incomplete come quelle di enunciati che si incontrano a scuola Le prime sono uno strumento raffinato per matematici professionisti inaccessibili a uno studente normale Le seconde se riferite a fatti non banali hanno un valore conoscitivo Mi sembra che nel biennio le dimostrazioni deb bano essere uno strumento conoscitivo poche ma significative Poi con la maturazione dello studente la dimostrazione pu in casi opportunamente stu diati anche diventare oggetto di attivit conoscitiva classificazioni di dimo strazioni analisi logica di dimostrazioni regole di inferenza Mi sembra che l attivit dimostrativa condotta con opportune cautele abbia un valore sociale indotto dalla necessit di esplicitare e condividere le regole e aiuti lo studente a sviluppare quella metacognizione a livello personale di cui si gi detto cio una consapevolezza di come si costruisce la conoscenza ma tematica e di quali sono le proprie difficolt 9 In questa sede ho tralasciato l esposizione di teorie psicologiche sull appre
57. per l Insegnamento della Matematica una commissione permanente dell Unione Matematica Italiana che si occupa specificamente dei problemi di carattere didattico 13 Media e 40 docenti di ruolo nelle Superiori scelti sulla base dei titoli presenta ti e in modo da rappresentare tutte le Regioni a questi docenti sono stati af fiancati 10 neo laureati Nella Sezione Scuola Media si sono svolti 4 cicli di lezioni con esercita zioni conferenze lavori di gruppo ed esercitazioni al calcolatore con la pre sentazione dei software GET e Cabri Geometre Come appare dai testi in cui sono sinteticamente riportati i vari momenti di lavoro lezioni teoriche esempli ficazioni spunti didattici si cercato di affrontare l argomento tenendo presen ti sia le indicazioni fornite dalla ricerca didattica sia spunti suggeriti dalla storia e dall epistemologia della matematica Sono stati approfonditi due temi che oggi appaiono di particolare interesse le trasformazioni geometriche e la geometria dello spazio Naturalmente stato dato risalto ai legami che la geometria pre senta con altri settori matematici come la teoria dei numeri e la probabilit Questo libro si propone come strumento didattico per attivit di studio di aggiornamento e anche di prima formazione L efficacia di un Corso di didattica si misura dalla sua ricaduta ci auguria mo che questi libri permettano a molti di coloro che non hanno potuto parteci pare
58. per tutti gli altri Combinando 13 e 14 osserviamo che la circonferenza circoscritta a A il cir colo dei nove punti di E Allora il teorema di Poncelet garantisce tra l altro che 16 i punti medi tra incentro ed excentri di un triangolo appartengono alla sua circonferenza circoscritta Faremo uso tra poco di 16 per dimostrare un altro celebre risultato di Eu lero Ma occorre prima richiamare un altra osservazione che riguarda una si militudine di triangoli gi segnalata nei libri di Euclide 196 17 Sulla circonferenza C si considerino i punti A B A B e si sup ponga che le rette AB A B si incontrino nel punto P Allora risulta IPA IPBI IPA l PB Infatti per le solite propriet degli angoli al cerchio sottesi dalla stessa cor da risultano le seguenti eguaglianze Z ABA Z AB A Z BAB Z BA B e dunque sono simili i triangoli PAB PA B L uguaglianza del rapporto tra le lunghezze dei corrispondenti lati IPA IPAI IPBI IPB si pu allora scrivere IPA IPBI IPA IPB I Questo prodotto dipende dunque dal punto P ma indipendente dalla parti colare corda AB ci sta alla base della nozione di potenza p di un punto P ri spetto a un cerchio C In particolare per calcolare p si pu scegliere un diame tro A B di C nel ruolo della corda AB Indicata con d IPCI la distanza di P dal centro C di C e con R il raggio di C la potenza di P rispetto a C data allo ra dalla formula p IPA
59. posta alla base di affidabili processi dedut tivi poich troppo labile il confine tra le immagini suggestive e stimolanti di oggetti geometrici propri e la rappresentazione di illusioni ottiche o di disegni impossibili Le illusioni ottiche possono essere definite come espedienti grafici atti ad indurre informazioni psicologiche sostitutive di esperienze sensoriali effettive o presunte In altre parole i disegni che offrono delle illusioni ottiche non fan no altro che suggerire alterazioni a certe valutazioni che il soggetto si illude di fare in analogia a possibili verifiche sperimentali Con il termine di disegni impossibili ci riferiamo ad una vasta classe di im magini grafiche che potrebbero variamente classificarsi come disegni sbagliati 152 immagini di oggetti inesistenti cio che di fatto non esistono oppure ancora immagini di oggetti che non possono logicamente esistere cio la cui esistenza sarebbe contraddittoria cfr per es 4 Sappiamo anche che delle figure solide si possono pure realizzare dei mo delli fisici Questi sono certamente utili nelle manipolazioni che hanno lo sco po di ravvivare intuizione e creativit ma si adattano molto male per essere l ambiente ove svolgere argomentazioni e deduzioni razionali Tali modelli de vono essere a loro volta oggetto di un appropriato processo di astrazione e idealizzazione solo al termine del quale si pu incontrare la figura geometrica propriamente det
60. punti 1 4 sono molto schematici possibile graduare o rinforzare le affermazioni che vi sono contenute possibile anche immaginare situazioni intermedie Tuttavia importante orientare in qualche modo le nostre opi nioni in riferimento ad essi 4 Si immagini di assumere la posizione espressa da 4 tra la matematica mo derna e la matematica classica si d una forte cesura Poich ovviamente a noi 23 Ma non privi di interesse Si scopre per esempio che la propriet opportunamente riformulata valida anche sostituendo le polari alle tangenti 24 Per chiarezza vogliamo esprimere anche il nostro orientamento esso sostanzial mente riflesso dal punto 2 84 spetta il compito di insegnare la matematica moderna questo pu compiersi in piena indipendenza di contenuti e di principi rispetto alla matematica classica O immaginiamo di assumere l atteggiamento espresso da 1 Poich anche in Descartes la trattazione degli oggetti geometrici avviene sempre con l uso di un riferimento intrinseco non potremo certo considerare la sua matematica come dotata di grande originalit E tra la matematica classica e quella mo derna dobbiamo scorgere una grande continuit Ne consegue l indicazione di dattica di fondare un insegnamento della geometria che ripercorra per quanto possibile i contenuti della matematica classica Dalla posizione che noi assumiamo esplicitamente consegue naturalmente che l originalit
61. quadrilatero inscritto in un cerchio abbiamo ac bx x a x e Di qui si deduce immediatamente l equazione x a b c x 2abc 0 i Questo a giudizio di Newton il modo vero per giungere all equazione corrispondente al problema perch indipendentemente dalla maggiore o mi nore difficolt dei teoremi geometrici impiegati il modo inerente al proble ma stesso Un quadrilatero inscritto in un cerchio possiede determinate pro priet che qualora siano conosciute debbono essere usate del tutto arbitrario prescindere da quella che la natura geometrica reale del problema chiaro che se formuliamo questa contrapposizione con Descartes in mo do troppo rigido giungiamo facilmente ad affermazioni estreme e piuttosto ste rili Vi sono tuttavia chiaramente delineate due linee di tendenza che in fondo sono rappresentative delle rispettive filosofie il razionalismo e l empirismo Possiamo scegliere di risolvere i problemi cercando in ogni caso di ridurre la loro soluzione ad alcuni elementi fondamentali o piuttosto possiamo ricer care la via pi facile con libero ricorso a tutto ci che sappiamo in gioco in fondo un diverso concetto di semplicit semplice la solu zione di un problema che utilizza solo strumenti per definizione semplici e procedimenti logici elementari oppure semplice ci che immediatamente aderisce alla natura stessa del problema fin troppo ovvio che il largo marg
62. scontate erano realizzazioni quali l attenzione ai processi innovativi di recente introduzione nelle scuole con il P N I con i programmi della Commissione ministeriale presiedu ta dall on Brocca con i nuovi programmi dell Istruzione Elementare Ci stato possibile grazie alla qualit della proposta formativa per sostenere la quale l Amministrazione stata determinata nell affrontare notevoli difficolt per realizzare il coinvolgimento nelle attivit semina riali delle diverse Direzioni Generali Accanto a questi risultati doveroso richiamarne un altro che au spicabile trovi ulteriore conferma nelle successive fasi di applicazione dell intesa per il particolare contributo che offre al processo didattico dell intero arco scolastico L aver realizzato sessioni seminariali comuni a diversi gradi di scuo la ha consentito di affrontare in termini operativi il problema della continuit didattica Si tratta di un problema finora affrontato in sede normativa in maniera esplicita solo per la scuola dell obbligo mentre per gli altri gradi di scuola possibile ricavare da quelle norme per analogia soltanto alcuni richiami L attenzione del Seminario realizzato all interno dell intesa M P I U M I verso il problema della continuit didattica in una scuola che per tanti anni ha registrato situazioni ed effetti di discontinuit va sotto lineata per il merito di aver richiamato l urgenza di interventi
63. si stematico della storia della matematica e di poter attingere ad un notevole pa trimonio di conoscenze matematiche preesistenti Possiamo cos presentare una lettura critica di alcuni momenti dello sviluppo della matematica lascian do poi all azione concreta degli insegnanti un eventuale uso di ci che qui verr discusso 2 QUALCHE OSSERVAZIONE SULLA TEORIA DELLE PROPORZIONI NEGLI ELEMENTI DI EUCLIDE Certamente gli Elementi opera di quei geometri greci dei quali scriveva Enriques nel brano che abbiamo riportato poco sopra presentano una matema tica e particolarmente una geometria8 assai vicine all esperienza sensibile I TQuesta dimostrazione non per quella degli Elementi Come chiariremo tra breve gli Elementi sono composti con ben precise scelte metodologiche tra le quali vi anche quella di affidare possibilmente ogni dimostrazione ad una singola figura e non al confronto tra figure Dei tredici libri che compongono gli Elementi i primi sei sono dedicati alla geometria 73 contenuti concreti sono in genere chiaramente visibili Ma non bisogna asso lutamente trascurare il fatto che la composizione degli Elementi una com plessa architettura che risponde a raffinate esigenze metodologiche e non ne cessariamente la chiarezza cristallina dell opera intera si riflette sulle singole parti E non va sottaciuto il fatto che talvolta vi compaiono veri e propri tour de force logici
64. solutori che trovano una significativa risposta nel documento del Ministro Ber linguer sul rinnovo dei cicli scolastici in cui il continuum didattico ri sulta rafforzato dall unitariet della scuola di base e degli anni di orien tamento 10 PROTOCOLLO DI INTESA M R U M I SEMINARIO DI AGGIORNAMENTO PER DOCENTI DI MATEMATICA LA DIDATTICA DELLA GEOMETRIA SEZIONE SCUO LA MEDIA SUPERIO RE Programma per la prima settimana Cicli di lezioni A Insegnamento apprendimento della geometria Fulvia Furinghetti Universit di Genova B Storia ed epistemologia della geometria Massimo Galluzzi Universit di Milano Conferenza per entrambe le sezioni Riscoprendo la geometria del triangolo Benedetto Scimemi Universit di Padova Programma per la seconda settimana Cicli di lezioni A Insegnamento apprendimento della geometria Fulvia Furinghetti Universit di Genova C Trasformazioni geometriche e programma di Erlangen Giuseppe Accascina Universit di Roma La Sapienza D Geometria dello spazio Mario Marchi Universit Cattolica di Brescia Conferenza per entrambe le sezioni Geometria scienza tecnologia e nuovi programmi Mario Fierli Dirigente superiore per i servizi ispettivi T1 STAFF DI GESTIONE DEL SEMINARIO Direttore Giuseppe Ciri Comitato tecnico per il Ministero della Pubblica Istruzione Lucia Ciarrapico per l Unione Matematica Italiana Claudio Bernardi Responsabile Ministero
65. sono la stessa cosa sono con gruenti se le loro lunghezze sono uguali Allora se d AB uguale al d A B e d CD uguale a d C D allora d AB d CD d A B d C D Ma an che se AB congruente a A B e CD congruente a C D non detto che l unione di AB e CD sia congruente all unione di A B e CD Riassumiamo le osservazioni precedenti sottolineando alcuni elementi ca ratterizzanti i due approcci e La struttura di base consiste di S L P termini non definiti punti retta piano in entrambe le strutture dem funzioni a valori reali definite per coppie di punti e angoli nell ap proccio metrico nell approccio sintetico e La distanza e la misura degli angoli sono date dalla struttura nell approccio metrico non sono nominate in quello sintetico e Le congruenze di segmenti e di angoli sono definite in termini di distanza o di misura in gradi nell approccio metrico sono date dalla struttura in quello sintetico e Le propriet delle congruenze sono trovate mediante teoremi nell approc cio metrico stabilite dai postulati in quello sintetico e L addizione calcolata con il numero d AB nell approccio metrico calco lata con le classi di congruenza AB in quello sintetico e Le disequazioni sono definite mediante numeri d AB lt d CD nell ap proccio metrico definite mediante classi di congruenza AB lt CD in quello sintetico In Moise 1963 si di
66. tangenza dato su una delle due rette Gli studenti avevano precedentemente provato che il centro di un cerchio tangente a due rette date sta nell intersezio ne della bisettrice dell angolo formato dalle due rette e sulle perpendicolari a queste rette dal punto di tangenza Malgrado questo il 30 degli studenti afferma che il centro il punto me dio della congiungente i due punti di tangenza basandosi sulla figura In entrambi questi esempi abbiamo un uso mistificante della figura ma il tipo di errore a mio parere ha origini del tutto diverse Nel primo caso possia mo parlare di mal riposta fiducia non tanto nella visualizzazione quanto nel contratto didattico Infatti lo studente davanti a un disegno apparentemente co s accurato ha fiducia nell insegnante e non prende in considerazione la possi bilit dell esistenza di un trabocchetto Il procedimento presentato artificioso e mi sembra di poter dire che nessuno studente lo avrebbe pensato spontanea mente anzi paradossalmente direi che non sarebbe del tutto negativo il com portamento di uno studente che concepisse un simile procedimento anche se non corretto La pratica scolastica offre una vasta gamma di errori ben pi complessi senza che si debba inventarne degli artificiosi Nel secondo esempio l errore dovuto a un uso mistificante del disegno indotto da un comportamento che riguarda il problema del dimostrare in gene rale Per molti studenti dice Alan S
67. the learning of mathematics v 16 n 1 34 39 Marchini C Speranza F amp Vighi P editors 1995 Atti del terzo incontro internuclei matematici della scuola secondaria superiore Parma Paola D 1995 Attivit congetturali in ambienti informatici Rapporto interno Pergola M amp Zanoli C 1995 Trasformazioni geometriche e macchine matematiche L insegnamento della matematica e delle scienze integrate v 18A B 689 714 Testa G in stampa How to treat students to conics and how to read an ancient French text at school without knowing French in Proceedings of Second European summer university Braga 1996 2 ARCIPELAGHI DI ASSIOMI Per quanto concerne i programmi del triennio in primo luogo devo confes sare che nel tracciare itinerari didattici sarei molto propensa a usare quella che in Eco 1994 detta decimazione dell informazione poich nell attuale for mulazione i programmi sono veramente densi ed d obbligo la cautela nell aggiungere argomenti In realt per indicare ci che intendo fare nella let tura dei programmi pi rassicurante usare la parola potatura che evoca l idea di tagli finalizzati a rinvigorire ci che resta Consideriamo ad esempio il caso dei sistemi di assiomi Negli indirizzi scientifico e scientifico tecnologi co i programmi sembrano abbastanza orientati a una trattazione assiomatica un po ammorbidita negli altri indirizzi Uno sviluppo
68. un teorema di esistenza ed unicit analogo a quelli visti per le isometrie e per le similitudini 130 Data una terna A B C di punti non allineati e una seconda terna A B C di punti non allineati esiste ed unica una affinit f tale che A f A B f B C f 0 DIMOSTRAZIONE DELL UNICIT Dimostriamo che fissate le immagini A B e C attraverso un affinit f dei punti A B e C univocamente determinata l immagine di un punto qualsiasi Si considerino le rette r e s passanti rispettivamente per A e B e per A e C Si consideri il parallelogramma AFEG con lati paralleli alle rette r e s Poich le affinit conservano i rapporti tra le distanze di punti allineati abbiamo che le immagini dei punti F e G sono determinate Poich le affinit conservano i pa rallelogrammi l immagine del punto quarto punto del parallelogramma determinata DIMOSTRAZIONE DELL ESISTENZA Sia r la retta passante per i punti A e B Sia g la similitudine tale che 8 A A g B B e tale che il punto C g C appartenga al semipiano delimi tato da r cui appartiene C Se C C allora g l affinit cercata Altrimenti sia s la retta passante per C e C Distinguiamo due casi 1 Le rette r e s non sono parallele Sia F il loro punto di intersezione Si ponga k d C F d C F Sia v un vettore parallelo alla retta s Si consideri l omologia 4 0 Si ha A AN A h B B h C C 131 L affinit f h o g verifi
69. uso delle rotazioni Assegnato il triangolo T P PyP3 si costruisca esternamente un triango lo equilatero T3 PjP9A3 cio in modo che A3 e P3 stiano rispetto al lato PjP gt su semipiani opposti e analogamente si costruiscano i triangoli equila teri T4 P3P3Aj T2 P3P1 A92 Proviamo anzitutto che F appartiene alle tre rette A P Assegnato un qualunque punto K sottoponiamo il triangolo P4 KP3 ad una rotazione p di ampiezza 7 3 attorno al punto P4 che porti P3 su A3 Allora se p manda K in K anche il triangolo PjKK equilatero Ne segue l uguaglianza A9K IHK KI IKPol IKP31 IKP jIHKP9l d K P3 A2 P1 P2 La spezzata A2K KP ha lunghezza minima se rettilinea cio se K e K appartengono al segmento AyP9 Accertato dunque che nella ricerca del mini mo occorre scegliere K sul segmento AyP gt baster ragionare analogamente con riferimento agli altri vertici del triangolo per concludere che il punto di minimo deve appartenere anche alle rette AP A3P3 1 Abbiamo cos visto che 192 10 le tre rette A Pj A2P2 A3P3 hanno un punto F in comune la somma delle distanze dai vertici P4 P2 P3 ha un minimo in F e questo minimo la lunghezza di ciascuno dei tre segmenti A P Un altra costruzione del punto di minimo e la sua caratterizzazione secondo l enunciato 9 si ottengono ora come segue Consideriamo le circonferenze C4 e Cp circoscritte ai triangoli T4 e T e sia F la loro intersezione diversa da
70. vista possibili Naturalmente ogni punto di vista sar tanto pi significativo quanto pi es so verr a corrispondere ad una migliore conoscenza della matematica classica in particolare di Apollonio ben al di l delle poche osservazioni qui presenta te I punti di vista che ora formuliamo sono dunque da intendersi pi che altro come indicazioni delle molteplici direzioni nelle quali una ricerca personale potrebbe svolgersi 1 Possiamo pensare che il trattamento delle sezioni coniche e pi in gene rale delle curve geometriche presente nell opera di Apollonio sia in effetti equivalente al metodo delle coordinate e che esso sia effettuato per mezzo di manipolazioni di segmenti del tutto equivalenti alle procedure dell algebra ele mentare 2 possiamo assumere la prima parte dell affermazione precedente relativa al metodo delle coordinate ma rifiutare la seconda ossia negare che nella mate matica greca vi sia qualcosa di simile alle manipolazioni dell algebra moderna 3 possiamo negare che l uso di un riferimento intrinseco corrisponda al moderno metodo delle coordinate ponendo l accento sull importanza di avere un sistema di riferimento per l intero piano preesistente agli oggetti geometri ci ma possiamo assumere l esistenza della algebra geometrica 4 infine possiamo negare sia la prima che la seconda parte di 1 n il me todo delle coordinate n l algebra sono presenti nella matematica greca I
71. 91 110 TRASFORMAZIONI GEO METRICHE E PROGRAMMA DI ERLANGEN Giuseppe Accascina Dipartimento di Metodi e Modelli Applicati Universit di Roma La Sapienza 1 IL PROGRAMMA DI ERLANGEN Consideriamo le seguenti dieci figure La figura 10 formata da due spez zate quella superiore contiene i suoi estremi mentre quella inferiore non li contiene CAVI IV fa run 6 Supponiamo di mostrare la figura 1 ad un gruppo di persone che non abbia mo necessariamente conoscenze di geometria Mostriamo poi loro la figura 2 e chiediamo se essa sia uguale alla figura 1 Molto probabilmente ci sar chi dir che la figura 1 uguale alla figura 2 Ma vi sar probabilmente anche chi sosterr che la figura 2 poich non for mata dagli stessi punti della figura 1 non uguale alla figura 1 In breve per ognuna delle figure 2 3 4 5 6 7 8 9 ci potrebbe essere chi sostiene che essa sia uguale alla figura 1 e chi sostiene il contrario Forse nessuno sosterr che la figura 10 sia uguale alla figura 1 chiaro che ognuno di coloro che ha risposto alle nostre domande pi o meno inconsciamente ha fissato delle regole del gioco due figure sono uguali se esse verificano queste regole Le risposte sono differenti perch le regole usate sono differenti 111 Ma come vengono fissate queste regole Cerchiamo di dare una risposta seguendo lo spirito del programma di Er langen descritto nel 1872 da F
72. CHI M Rigore e verit nell insegnamento della matematica Atti Convegno In ternazionale Cultura Matematica e Insegnamento Firenze 1988 pg 69 80 16 MARCHI M Intuizione e rigore in geometria Atti XVII Convegno Nazionale UMI CIIM Latina 1994 Supplemento al n 8 9 1995 del Notiziario della Unione Matematica Italiana 103 110 186 RISCOPRENDO LA GEOMETRIA DEL TRIANGOLO Benedetto Scimemi Universit di Padova Nella geometria euclidea del piano il triangolo protagonista fonte ine sauribile di problemi palestra di dimostrazioni pi o meno elementari il trian golo fa la sua comparsa precocemente nei nostri programmi scolastici ma troppo presto ne scompare quando si acquisita poco pi che la nomenclatura ma non si avuto il tempo di raccogliere la ricca messe di risultati che pur so no apprezzabili da parte dei giovanissimi L argomento trasformazioni geometriche compare anch esso assai presto nei programmi ma non corredato dalle istruzioni per l uso Molti insegnanti si chiedono ammesso che si trovi il tempo per descrivere le trasformazioni fondamentali traslazioni rotazioni omotetie ecc che cosa dobbiamo poi far cene come motivare questo lavoro supplementare ed evitare che si tratti del l ennesimo elenco di nomi superflui In questa conversazione mi propongo di rivisitare certi teoremi classici al cuni sono notissimi della geometria elementare del triangolo che portano il nome di grandi geom
73. Enriques A conclusione delle Osservazioni generali sui problemi geometrici il saggio che chiude la Parte Seconda delle Questioni riguardanti le matematiche elementari Enriques osservava se i concetti della Scienza moderna ci appaiono pi generali e potenti degli antichi e se perci siamo tratti a far valere la superiorit dobbiamo pu re tener presente che essi ci presentano a prima vista come pi astratti e quin di pi lontani dalla forma immediata in cui sono posti d ordinario i problemi pratici Per cogliere in quell astrattezza il contenuto concreto ottima via di rifare la strada che la mente umana ha percorso per giungervi ripigliando dunque i metodi ed i principi elementari dei Greci Pertanto noi non vogliamo metter da banda nulla di ci che i geometri an tichi ci hanno insegnato e domandiamo soltanto ad una pi larga ed alta col tura scientifica di renderci chiari i rapporti di quella geometria elementare i cui mirabili particolari meglio rispondono al lume dei generali concetti mo derni V 9 4Si veda in particolare la Nota X del secondo volume trasparentemente hegeliana nei riferimenti all astratto ed al concreto 5 Si veda in proposito Di Sieno Galuzzi 1995 6 Enriques 1983 parte seconda pp 595 596 Si veda anche Di Sieno Galuzzi 1986 p 162 72 La dimostrazione del teorema di Pitagora proposta nel cap VI di Villani Spotorno 1979 fondata sul teorema dello
74. IPB I R d R d R d Abbiamo ora tutti i mezzi per dimostrare il teorema di Eulero 18 in un triangolo siano O il centro circocentro ed R il raggio del circolo circoscritto I il centro incentro ed r il raggio di quello inscritto Allora risulta nor R 2Rr In particolare R gt 2r Sappiamo da 16 che il punto di mezzo M tra l incentro I e l excentro E ap partiene alla circonferenza C circoscritta al triangolo A A A243 Allora M il centro di una circonferenza che ha IE per diametro e passa per Ao A3 per ch sono retti gli angoli ZIASE e ZIA3E Allora IIMI IA gt MI Calcoliamo la potenza di I rispetto alla circonferenza C con riferimento alla corda AjM 197 IA IFITMI IA Il IAMI Sia D il punto di contatto del cerchio iscritto sul lato AjAo Sia F il simmetrico di M rispetto al centro O di C Proviamo che i trian goli rettangoli FAM e ADI sono simili Infatti ZIA D ZMAjAg ZMFAy perch sottesi dalla corda AM Dunque si ha IAjI IMFI IIDI IMApl Questo si riscrive ITA I 2 R r IMAp l e dunque vista l uguaglian za IIMI IA5MI la potenza di I vale 2rR Ma si visto che la potenza vale an che R2 012 Ne segue come volevamo TOI R2 2Rr facile vedere che l uguaglianza R 2r si verifica solo nel triangolo equi latero La disuguaglianza R 2r invece il caso particolare di una disugua glianza scoperta molto pi recentemente 19 se AjA A3 un triangolo e P un punto qualunque
75. Klein nella conferenza da lui svolta allorch divent professore presso l Universit di Erlangen Fissiamo innanzitutto un piano x su cui sia definita un unit di misura e quindi una distanza tra punti D ora in poi indicheremo con il simbolo d A B la distanza tra i punti A e B del piano Chiamiamo figura del piano x un qualsiasi sottoinsieme di 7 Chiamiamo trasformazione del piano x una qualsiasi funzione biunivoca di T in s stesso Indichiamo con il simbolo T r l insieme delle trasformazioni del piano Diciamo che una figura S uguale ad una figura S se esiste una trasforma zione del piano x tale che f S S Abbiamo introdotto nell insieme delle figure del piano la relazione di ugua glianza Si tratta di una relazione di equivalenza Sono cio verificate le se guenti propriet 1 propriet riflessiva S S per ogni figura S Infatti si ha S S dove la funzione identica JT gt s definita da 1 P P per ogni punto P di n Ovviamente la funzione biunivoca e quindi appartiene a T T 2 propriet simmetrica S S gt S S Infatti S S implica che esista una trasformazione f di m tale che f S S Ma allora anche la funzione f una trasformazione di m Poich f 5 S si ha S S 3 propriet transitiva S S e S S gt S S Infatti S S implica che esista una trasformazione f di 1 tale che f S S Inoltre S S implica che esista una trasformazione g di 7 tale che f S S
76. L intero processo di elaborazione fantastica dei dati sensoriali che abbia mo ora descritto ci porta a formare nella nostra mente quella che chiamiamo anche una immagine idealizzata una immagine mentale dell oggetto geometri co che i dati sensoriali ci hanno suggerito Doti di fantasia intuizione creativit sono alla base della capacit di ripro durre questi processi mentali e di ripeterli in situazioni nuove oppure di ap profondirli in una azione di appropriazione cosciente della disciplina e della sua metodologia proprio su questa chiamata in causa di fantasia e creativit nella formazione del pensiero geometrico che si appoggiano molte riflessioni sui valori educativi e formativi che lo studio della geometria porta con s 3 LA FORMAZIONE DEI CONCETTI GEOMETRICI Dalle immagini mentali di cui abbiamo parlato nel precedente paragrafo si avvia una ulteriore operazione di astrazione per giungere a costruire un ente mentale che viene abitualmente chiamato concetto Non entreremo nella discussione sulla natura del concetto si tratta infatti di una discussione che cominciata pi di 2000 anni orsono con la filosofia gre ca e che ancora prosegue Ci che ci interessa in questo momento ricordare che non tutti i concetti possono essere individuati mediante opportune proposizioni che ne costituisca 146 no la definizione esplicita In particolare i concetti fondamentali della matema tica sui quali si costruisce l inte
77. Le propriet invarianti per similitudini sono quindi invarianti per isometrie Abbiamo anche visto che vi sono similitudini che non sono isometrie Per tanto le propriet invarianti per isometrie non sono necessariamente invarianti per similitudini Cerchiamo le propriet invarianti per similitudini 125 Le circonferenze i segmenti le rette il parallelismo tra rette la perpendicolarit tra rette le ampiezze degli angoli sono invarianti per similitudini DIMOSTRAZIONE Dalla definizione segue che una similitudine f di rapporto k trasforma una circonferenza di centro C e raggio r in una circonferenza di centro f C e rag gio kr La dimostrazione che una similitudine trasforma una retta in una retta analo ga a quella vista nel caso delle isometrie Anche le altre dimostrazioni sono analoghe a quelle viste nel caso della isometria Per le similitudini si ha un teorema di esistenza e unicit analogo a quello visto nel caso delle isometrie Siano dati tre punti non allineati A B e C Se A B e C sono punti tali che d A B kd A B d B C kd B C d A C kd A B A B e C non sono quindi allineati allora esiste ed unica una similitudine f tale che A f A B KA A f A Questa similitudine f ha ovviamente il rapporto di similitudine uguale a k DIMOSTRAZIONE DELL UNICIT Analoga alla dimostrazione dell unicit nel caso delle isometrie DIMOSTRAZIONE DELL ESISTENZA Si fissi un pun
78. Mathesis subalpina 175 188 27 PROPOSTE DI ATTIVIT e Analisi del capitolo Planimetria di uno dei testi di riferimento per gli insegnanti di matematica dell Ottocento Riccardo Baltzer Elementi di matematica traduzione di Luigi Cremona sulla seconda edizione di Lipsia Tip Sordo muti Genova 1865 68 e Lettura e commento di Anonimo 1868 Parole del prof Hirst sull introduzione agli elementi di geometria del prof Wright Giornale di matematiche v 6 369 370 traduzione con commento di R R da The educational times November 1868 Anonimo 1869 Estratto di una lettera del prof Hotiel al Redattore Giornale di matemati che v 7 50 Anonimo 1871 Un discorso del D Hirst sopra Euclide come libro di testo Giornale di matematiche v 9 180 187 Barbin 1991 Les l ments de g om trie de Clairaut une g om trie probl matis e Rep res IREM n 4 119 133 Brioschi F amp Cremona L 1869 Al signor Direttore del Giornale di matematiche ad uso degli studenti delle universit italiane Napoli Giornale di matematiche v 7 51 54 Clairaut A C 1771 Elementi di geometria V Monaldini Roma II edizione italiana Levi B 1907 Esperienza e intuizione in rapporto alla propedeutica matematica Il bollet tino di matematica a 6 177 186 Rubini R 1869 Lettera del professore Rubini al Redattore Giornale di matematiche v 7 111 Vailati G 1907
79. Ministero Italiana Quaderni ed Atti pubblicati dal Ministero della Pubblica Istruzione Direttore G Trainito Direttore editoriale L Catalano Coordinatore editoriale A Portolano Revisione scientifica E Bertonelli Editing P Pedace B Ramundo G Rodano Grafica F Panepinto Il presente fascicolo potr essere riprodotto per essere utilizzato all interno delle scuole in situazio ni di formazione del personale direttivo e docente Corsi Collegi riunioni per materia Nota editoriale In questo quaderno sono raccolti i materiali che costituiscono lo specifico dei Seminari di forma zione per Docenti degli Istituti afferenti alla Direzione classica scientifica e magistrale Essi sono stati prodotti da corsisti e relatori nella forma finale con la collaborazione scientifica del Comitato di redazione Altri pur pregevoli contributi individuabili nel Programma non vengono qui raccolti in quanto la loro ricaduta formativa si esplica in un ambito pi generale e pertanto in tutto o in parte sono gi stati divulgati Essi sono comunque disponibili presso la Direzione Generale dell Istruzione Classica Scientifica e Magistrale Ministero della Pubblica Istruzione Direzione Generale Istruzione Classica Scientifica e Magistrale Direzione Generale Istruzione di Primo Grado Unione Matematica Italiana L INSEGNAMENTO DELLA GEOMETRIA Seminario di formazione per Docenti Scuole Medie Superiori Liceo Scientifico
80. RAZIONE Sia f una isometria Se f la trasformazione identica si ha f s 0 s dove r una retta qualsiasi Sia f I Si considerino tre punti non allineati A B e C Sia A f A B f B C f C Dalla dimostrazione della proposizione precedente esistenza sappiamo che esiste una isometria g data dalla composizione di al pi tre simmetrie assiali tale che A f A B f B C f C Dalla proposizione precedente unicit segue che si ha f g as Un isometria f si dice diretta inversa se dato un triangolo ABC l orien tazione di ABC non coincide con l orientazione del triangolo f A f B f C Si pu dimostrare che la definizione non dipende dalla scelta del triangolo Si verifica facilmente che le traslazioni e le rotazioni sono isometrie dirette e che le simmetrie assiali sono isometrie inverse Altrettanto facilmente si verifica che la composizione di due isometrie di rette o di due isometrie inverse una isometria diretta e che la composizione di una isometria diretta e di una inversa una isometria inversa Abbiamo detto che le traslazioni e le rototazioni sono isometrie dirette Ci 118 chiediamo se ogni isometria diretta sia una rotazione o una traslazione La ri sposta affermativa Se f una isometria diretta allora f una rotazione o una traslazione DIMOSTRAZIONE Sia f una isometria diretta Abbiamo visto che ogni isometria composizio ne di al pi tre simmetrie assiali Poich
81. Se il triedro V d b polare del triedro V il triedro polare di V da b ancora V amp b Diremo che la polarit una corrispondenza involutoria Dimostrazione La retta VL 2 5 per definizione perpendicolare alle rette che contengono 2 b e quindi deve appartenere contemporaneamente ai piani a 174 B e dunque la retta VC a N B Dobbiamo ora mostrare che nel semispazio di bordo b che contiene si trova anche la semiretta amp infatti si trovano entrambe per definizione nello stesso semispazio rispetto al piano y 4 b inoltre l angolo acuto cuto poich Ly e di pi c V C VL T a b p Allora c V LEDD N 8 D Le stesse considerazioni valgono anche per gli altri spigoli Teorema 4 Sia 74 T un diedro tale che B T e sia P e r Posto a 7A B 7B d PLo n B b PLB N BA langolo a b supplementare della sezione normale del diedro Dimostrazione Detto y P Lr sia d A Y b 5B N y angolo 4 5 costituisce quindi una sezione normale del diedro assegnato Dobbiamo dimostrare che X 4 5 X8 Da ovvero LG b X T 5 Per come sono state scelte le semirette 7 b 4 si ha che L T 4 x b 1 angolo retto Se amp 4 5 ottuso allora 4 b sono contenute nella regione angolare X 5 e inoltre 6 X 4 4 allora pure c amp 5 5 e quindi
82. Statale A Vallisneri Lucca Novembre 1995 Marzo 1996 INDICE Luigi Catalano Il ruolo della geometria nella didattica della scuola secondaria pag Giovanni Trainito Il valore strategico di una intesa iiiiiiiiiiiin pag Programma del Seminario iii Staff di gestione li Claudio Bernardi Lucia Ciarrapico Present zione gt 1 sile iii i Fulvia Furinghetti Insegnamento apprendimento della geometria nella scuola secondaria superiore Riflessioni su strumenti e prescrizioni a disposizione degli insegnanti Massimo Galluzzi Daniela Rovelli Storia della geometria e didattica qualche osservazione Giuseppe Accascina Trasformazioni geometriche e programma di Erlangen Mario Marchi La geometria dello Spazio Benedetto Scimemi Riscoprendo la geometria del triangolo Elenco dei partecipanti 0 Appendice 1 Elenco delle Scuole polo 2 Volumi della collana Quaderni gi pubblicati 11 12 13 15 70 111 144 187 201 203 206 IL RUOLO DELLA GEOMETRIA NELLA DIDATTICA DELLA SCUOLA SECONDARIA Luigi Catalano Dirigente Div IV Direzione Classica Scientifica e Magistrale M P I Non comunicare agli insegnanti un certo numero di processi e di ricette ma dare loro una piena coscienza della propria funzione Que sta be
83. VAZZUNIZZZZUHEO TORRICELLI PETRARCA PERCOTO GOBETTI AMORETTI MAZZINI G DELLA ROVERE G FALCONE CALINI GIOVIO MANIN TENCA MAJORANA PARINI VIRGILIO CAIROLI NERVI LUINO SALUZZO MONTI LEONARDO DA VINCI BELLINI GRAMSCI GOBETTI ROSA STAMPA PASCOLI Corso Verdi 17 Via Udine 7 Via Rossetti 74 Via Pier Silverio Leicht 4 Via Istituto Tecnico 1 Piazzetta G B De Negri 2 Viale Aldo Ferrari 37 Via Monturbano 8 Via Dunant 1 Via Monte Suello 2 Via P Paoli 38 Via Cavallotti 2 Bastioni Porta Volta 16 Via Ratti 88 Via Gramsci 17 Via Ardig 13 Corso Mazzini 7 Piazza S Antonio Via Lugano 24 Via E Fa di Bruno 85 Piazza Cagni 2 Piazza S Francesco 1 Baluardo La Marmora Colle Bella Vista Via M Vittoria 39 bis Corso Italia 48 Via M Longon 3 VON DER VOLGELWIDE Via A Diaz 34 LEONARDO DA VINCI BINEL TIZIANO AMEDEO DI SAVOIA Via Giusti 1 1 Via Franchet 111 Via Cavour 2 Via del Santo 203 Gorizia Maniago PN Trieste Udine Genova Sampierdarena Imperia La Spezia Savoia Bergamo Brescia Como Cremona Milano Rho MI Seregno MI Mantova Pavia Morbegno SO Luino VA Alessandria Asti Alba CN Novara Ivrea TO Torino Vercelli Bolzano Bolzano Trento Verres AO Belluno Padova IM LC IM LC IM ROCCATI CANOVA STEFANINI G B BROCCHI VERONESE Via Carducci 8 Via Mura S Teonisto 16 Via Miglio Via Beata Giovanna 67 Vi
84. a Da una parte abbiamo la idealizzazione dei contenuti della esperienza sen sibile ottenuta con i processi di elaborazione fantastica illustrata nei primi pa ragrafi di questo capitolo Le figure geometriche sarebbero allora le idealizza zioni empiriche delle esperienze sensoriali che inevitabilmente vengono a sovrapporsi e a confondersi con la rappresentazione grafica con il disegno che le rappresenta in questo ambito che si afferma prepotente la tentazione del plausibile in sostituzione della categoria della verit e anche la suggestiva impressione che una buona verifica grafica o manipolativa possa tranquilla mente sostituire una dimostrazione razionale e formale Tuttavia abbiamo visto come il processo di elaborazione fantastica dei dati sensoriali debba necessariamente condurre ad una costruzione formale sotto posta alle regole obiettive e ferree della logica Questo ci porta quindi a vedere il secondo aspetto degli oggetti di indagine della geometria che quello rap presentato dai formalismi che li descrivono Tali formalismi possono essere di natura sintetica oppure algebrico analitica ma questo irrilevante agli effetti della analisi che stiamo svolgendo Ci che ha importanza da questo punto di 150 vista invece che le figure geometriche in questo caso sono oggetti astratti e formali su cui si sa e si pu operare solo in forza delle regole grammaticali e sintattiche ammesse dal formalismo In questo contesto i p
85. a ci che equivale alla estrazione di ra dice quadrata o cubica ecc 39 Le costruzioni alle quali allude Descartes sono assai note ma val la pena di esaminare in dettaglio almeno la prima costruzione che egli presenta Sia data una linea AB rappresentante l unit e occorra moltiplicare BD per BC Dispo sti BA e BD su una stessa semiretta e BC su una semiretta qualsiasi di origine B si traccia CA e poi DE parallela a CA E D B Il semplice esame della figura mostra come la linea BE sia quella richiesta Infatti la similitudine d AB BD BC BE Da questa proporzione traiamo AB x BE BD x BC 30 Cfr Descartes 1983 pp 527 528 87 Ma se assumiamo AB come unit dei segmenti sar lecito porre AB x BE BE Ed ecco dunque come la reinterpretazione della Prop 12 del Libro VI degli Elementi consente di costruire il segmento prodotto di due segmenti Ma la stessa figura e la stessa Proposizione anche la chiave interpretativa per la divisione BC infatti il risultato della divisione di BE per BD L estrazione di radice quadrata si compie con una reinterpretazione della Prop 13 nel modo ben noto l altezza di un triangolo rettangolo media proporzionale tra le proiezioni dei cateti Pi delicato e complesso il problema dell inserzione di pi medie proporzionali in effetti un problema che percorre tutta la G om trie e sul quale non vogliamo soffermarci Comunque osserva poi Descartes Spes
86. a Fiume 61 B ELENCO SCUOLE POLO DELLA ZONA B LC IM IM IM LS LC LS LS LC LC LS LS IM LS IM LC LS SM IM LS IM IM LC IM IM LS LS IM IM LS IM LS IM LC LS LC D COTUGNO ISABELLA GONZAGA MARCONI MILLI COPERNICO ARIOSTO RIGHI FANTI GIOIA Portici del Liceo Via dei Celestini Via M Da Caramanico 6 Via G Carducci Via F Garavaglia 11 Via Arianuova 19 Piazza Aldo Moro 76 Viale Peruzzi 7 Viale Risorgimento 1 C O C N MARIA LUIGIA Via Lalatta 14 RICCI CURBASTRO MORO REGINA MARGHERITA MAJORANA ELENA PRINC NAPOLI MAMIANI PEANO MONTESSORI S ROSA DA VITERBO LEONARDO DA VINCI MERCANTINI VARANO MAMIANI PRINCIPESSA ELENA CUOCO REDI C O C N CICOGNINI ROSMINI PALLI BARTOLOMEI VALLISNERI MONTESSORI BUONARROTI LORENZINI PICCOLOMINI LEONARDO DA VINCI TACITO Viale degli Orsini 8 Via XX Settembre 5 Viale Regina Margherita Via Sezze Piazza Mazzini 2 Via delle Milizie 30 Via Morandini 38 Via Livenza 8Roma Via S Pietro 27 Viale G Verdi 23 Via Emidio Consorti 28 Via Pieragostino 18 Via Gramsci 2 Via Trieste 1 Via G Leopardi Via Leone Leoni 38 Piazza del Collegio 13 Viale Porciatti 2 Via Maggi 50 Via delle Rose 68 Via Lunense 39 B Via Betti Via Sismondi 7 Prato S Agostino Via Tusicum Viale Fratti 12 204 Rovigo Treviso Venezia Mestre Bassano del Grappa San Bonifacio VR L Aquila Chieti Pe
87. a L La corrispondenza P lt gt P detta la riflessione del piano E rispetto a L Puntando sull aspetto della corrispondenza si introducono nuove abilit poich la trasformazione presenta un maggior grado di astrazio ne rispetto alla figura A proposito del supposto dinamismo introdotto dalle trasformazioni si os serva nelle usuali presentazioni dei libri di testo una scarsa attenzione alla ge nesi spaziale delle trasformazioni mentre alcuni argomenti legati a questo fat to si vedano i gi citati testi della Castelnuovo sono alla portata degli studenti e possono anzi costituire un primo avvicinamento ai problemi della rappresen tazione e della gestione dello spazio a tre dimensioni Ancora una volta la sto ria della matematica ci insegna poich le trasformazioni sono proprio nate nel 17 Da Moise 1982 pp 596 601 64 lo spazio con le rappresentazioni in prospettiva Non stupisce che la geometria tridimensionale sia entrata poco nell insegnamento se permane costantemente un certo orrore a uscire dal piano anche laddove sarebbe fisiologico farlo Un altro aspetto della presentazione nei libri di testo che ha effetti negativi lo spezzettamento dell introduzione delle varie trasformazioni in capitoli non collegati Si perde in questo caso una delle grandi idee delle trasformazioni che d un senso alla loro introduzione quella di invariante E in effetti gli esercizi che poi sono proposti puntano molto poco
88. a condizione di soddisfare ai postulati B Basi empiriche svolgimento logico Dall osservazione dello spazio si deducono le proposizioni primitive sulle quali fondato lo sviluppo logico ulteriore Conviene distinguere tre sottogruppi Ba tutti gli assiomi necessari sono enunciati Sannia D Ovidio Veronese Enriques Amaldi Bp una parte degli assiomi enunciata Euclide Thieme B si enunciano i soli assiomi che non hanno carattere di evidenza Kambly Miiller C Le considerazioni intuitive si alternano col metodo deduttivo Borel Behrendsen G tting Si ricorre all evidenza ogni qualvolta conviene senza che apparisca in modo preciso ci che si ammette e ci che si dimostra D Metodo intuitivo sperimentale Perry Si presentano i teoremi come fatti che hanno carattere intuitivo o possono essere dimostrati sperimentalmente senza che si scorga il nesso logico che li unisce Adattare questa classificazione per individuare il grado di rigore nei libri di testo attualmente pi diffusi in particolare il libro di testo usato in classe 50 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Barbin 1994 La dimostrazione matematica significati epistemologici e questioni didattiche L insegnamento della matematica e delle scienze integrate v 17B 212 246 Battista M T amp Clements D H 1995 Geometry and proof Mathematics teacher v 88 48 54 Bosco A Dapueto C Gaggero M Mortola C am
89. a dell argomento e le analogie con il metodo del 4 ritengo opportuno svilupparne qui i dettagli La dimostrazione del primo lemma gi nel suo enunciato Lemma 1 Sia A A2A3 un triangolo e si orienti il piano in modo che la rota zione A A A3 sia positiva Sui suoi lati si costruiscano tre quadrati uno internamente su A2A3 e due esternamente su A3A4 e su AA e siano rispetti vamente D B2 B3 i loro centri Sia poi C ottenuto da D per rotazione di un angolo 7 2 in verso positivo attorno a B3 Allora componendo la rotazione 7 2 attorno a D con la rotazione precedente si ottiene una traslazione che manda DA in CA4 bi a4 b4 a2 b3 199 Perci A A3DC un parallelogramma Lemma 2 Sia AjA3DC un parallelogramma Su 3 dei suoi lati AjA3 A3D DC si costruiscano tre quadrati esternamente e siano rispettivamente Bo M B3 i loro centri Allora il segmento B3M si ottiene da BM per rotazione di 7 2 attorno aM Se infatti A il simmetrico di A3 rispetto a M dal Lemma 1 risulta che ruo tando di un angolo retto attorno a M si trasformano A3 in D A3B in DB3 MA3 in MD quindi anche BM in B3M l 20 Sia AjA3A3Aq un quadrangolo Sui 4 lati A147 A243 A3A4 A4A si costruiscano quattro quadrati esternamente e siano rispettivamente B3 B4 B4 B i loro centri Se M il punto medio di A Ay allora la rotazione di un angolo retto attorno a M trasforma B4B in BjB3 Infatti se M il punto medio di A2A4 a
90. a matematica Preferisco come ho fatto all inizio riferirmi al concetto di immagine ecologica della matematica come immagine depu rata da certe incrostazioni che la inquinano Il ripercorrere il cammino della creativit matematica seppure su un semplice esercizio aiuta a questo sco po Per un esempio di realizzazione si veda Furinghetti amp Paola in stampa Usare chiarezza nel contratto didattico mia convinzione che la chiarezza dovrebbe essere sempre presente in classe nel contratto didattico tacitamen te stipulato tra insegnante e allievo per introdurre una simmetria tra i due protagonisti infatti l allievo spesso tenuto a scoprirsi e penso che anche l insegnante si debba scoprire Con il questionario iniziale di ambientamen to avevo voluto appunto mettere l insegnante nella condizione dello stu dente e fargli percepire il disagio di una navigazione a vista L insegnamento un continuo mediare per far diventare posizioni comple mentari quelle che inizialmente possono presentarsi come posizioni contra stanti tradizionale innovativo rigoroso intuitivo pratico teorico Siamo tutti consci che la matematica un prodotto difficile da vendere malgrado i pi di sparati tentativi di promozione Accade spesso che l impegno in un itinerario didattico meditato e rigoroso abbia come riscontro delusioni per l insegnante nel momento in cui percepisce che per lo studente la matematica una succes sione di segni e p
91. a risolvente abbiamo ancora 3 Se un problema di quarto grado che dia luogo ad un equazione in Z a b c piano allora la risolvente di terzo grado dell equazione stessa riducibile in Z a b c Il risultato enunciato al punto 3 si pu in qualche modo invertire 50 Non ci sembra che vi siano problemi nell attribuire in qualche modo a Descartes i contenuti di queste formulazioni moderne gli strumenti dell algebra moderna che abbiamo usato liberamente danno certo una maggior semplicit di descrizione ma non alterano la natura del problema 5 Ma pu succedere che la risolvente abbia i suoi coefficienti in Z a b c anche se l equazione originaria ha i coefficienti in Q a b c Come abbiamo gi osservato tutta via le equazioni che Descartes considera sono sempre riconducibili a Z a b c con modi fiche inessenziali dei dati 96 4 Se la risolvente di terzo grado associata all equazione a coefficienti in Z a b c corrispondente ad un problema di quarto grado riducibile allo ra le quattro radici dell equazione originaria sono in K Non possibile produrre maggiore simmetria negli enunciati 3 e 4 senza lasciar cadere la restrizione geometrica a radici reali e positive Il complesso dei risultati di Descartes conduce tuttavia ad un procedimento che almeno nei casi pi semplici d luogo ad un algoritmo per decidere se un problema che corrisponde ad un equazione di quarto grado i
92. a storia in contatto con la di dattica appartiene da sempre alla scuola italiana almeno a livello universitario basta solo pensare alla vasta opera di Enriques e dei suoi collaboratori Tuttavia se si considera concretamente il modo con il quale storia e didatti ca dovrebbero reciprocamente interagire si scopre che in realt questo modo si scioglie in una pluralit di modi corrispondenti a finalit che possono anche essere assai divergenti Per chiarezza e senza pretesa di completezza sar be ne fare riferimento a qualche esempio Talvolta l utilit della storia della matematica viene affiancata ad argomen tazioni di vasto respiro In Heiede 1992 un articolo ricco di numerosi riferi menti bibliografici sono elencate ragioni molto generali per affiancare la sto ria della matematica all insegnamento della matematica L uomo una creatura storica Ogni cosa con cui l uomo entra in contatto nella sto ria ecc Anche se ragioni di questo tipo sono spesso presentate come vali di argomenti esse sono a nostro giudizio un po generiche Le stesse argo mentazioni possono essere usate nello stesso modo per sostenere la necessit della storia della zoologia della botanica della fisica Ma ogni scienza ha la sua propria relazione con il passato e la necessit della storia va dimostrata non attraverso l uso di varie generalit ma con atten zione alle sue specifiche caratteristiche Cer
93. acciati su Y completati con l elemento di y costituito dalle intersezioni dell arco col cerchio y Precisamente indicato per ogni a e Z V Te Ve n a aja V a c a siha G alae E V In base a questa definizione chiaro che y Gey y Possiamo ora riconoscere che l insieme G soddisfa l assiona Il cio in altre parole ragionevole chiamare rette gli elementi di G Siano infatti a b e II due punti distinti dell insieme IT Chiameremo retta dei punti a b l insieme a bi re Ire M rc ab ab e 6 ove si indicato con a b il piano di V univocamente individuato dalle rette a b e V Dunque Il per due punti distinti di II passa esattamente una retta di G Viceversa se Q B G sono due rette distinte poich a N Be V c R si ha anp anB E anp Dunque I6 due rette distinte di G si incontrano sempre in un punto Le proposizioni I1 e I6 costituiscono gli assiomi di incidenza della geome tria non euclidea ellittica II 6 A questi si pu aggiungere anche la proposizione I4 che chiaramente ve rificata dalla coppia II G Le rette della geometria II G differiscono dalle rette della geometria eu clidea non solo a causa della propriet espressa da I6 ma anche per le loro 177 propriet rispetto alla nozione di ordinamento Non vale infatti sulle rette di G l assioma O1 poich su tali rett
94. acquisite perch in seguito saranno supposti noti 2 Esplicitare le proprie opinioni sulle seguenti questioni e Perch dimostrare e La geometria un terreno privilegiato per la dimostrazione Perch 10 Questa domanda fa parte del questionario discusso in Furinghetti amp Chiarugi 1990 49 e PL argomentazione un primo passo nel processo di dimostrazione o ostacolo e Quale il ruolo della congettura e La comunicazione tra studenti favorisce l attivit argomentativa e Il calcolatore favorisce o inibisce le congetture e Ilcalcolatore favorisce la generalizzazione e Quale il ruolo del disegno nella dimostrazione e Quale il ruolo della figura nella dimostrazione e Quale il ruolo delle macchine matematiche nella dimostrazione e Come gli studenti percepiscono la dimostrazione e Convincere se stessi convincere un amico convincere l insegnante Quale di questi obiettivi raggiunto nel dimostrare e diverso fare una dimostrazione scritta dal farla orale Quando meglio fare l una o l altra 3 In Castelnuovo 1911 si trova la seguente classificazione dei progetti dell epoca dal punto di vista dei vari gradi di rigore A Metodo interamente logico Peano Hilbert Veronese Halsted Tutti i postulati sono posti si discute la loro indipendenza lo sviluppo ulteriore rigorosa mente logico Non si fa appello all intuizione le nozioni primitive sono soggette alla sol
95. al Corso di usufruirne sia pure a distanza di tempo e possano anche costi tuire una fonte di suggerimenti per Enti e Associazioni che vogliano contribuire con iniziative locali alla formazione dei docenti Un sentito ringraziamento va rivolto a quanti hanno reso possibile la realiz zazione dell iniziativa alla Direzione Generale dell Istruzione Classica Scientifica e Magistrale che ha curato l organizzazione del Corso alla Direzione Generale dell Istruzione Secondaria di Primo Grado che ha contribuito alla realizzazione del Corso al Preside Giuseppe Ciri del Liceo Scientifico Vallisneri di Lucca che ha diretto il Corso e al personale dello stesso Liceo che ha offerto un efficace sostegno amministrativo e di segreteria al CEDE e all IRRSAF Toscana che hanno fornito utili materiali di lavoro airelatori per la loro competenza e disponibilit ai docenti partecipanti che hanno dato contributi preziosi grazie alla loro preparazione e alla loro esperienza concreta 14 INSEGNAMENTO APPRENDIMENTO DELLA GEOMETRIA NELLA SCUOLA SECONDARIA SUPERIORE RIFLESSIONI SU STRUMENTI E PRESCRIZIONI A DISPOSIZIONE DEGLI INSEGNANTI Fulvia Furinghetti Dipartimento di M atematica dell Universit di Genova Introduzione In questa nota rivolta agli insegnanti di scuola secondaria superiore espongo alcune riflessioni sull insegnamento della geometria Nell impostare il lavoro ho cercato di applic
96. alcune importanti variazioni sono Geometrie con assiomatizzazione parziale Artin Lingenberg gli elementi di base punti e rette della geometria classi ca soddisfanno solo gli assiomi di incidenza e di parallelismo Bachmann si basa sulle riflessioni Geometrie basate su R Blumenthal si basa sullo spazio euclideo come spazio metrico completo Birkhoff la geometria di riga e goniometro Geometrie in un altro ambiente Dieudonn lo spazio euclideo visto come spazio vettoriale su R munito di un prodotto scalare Accenno alcune caratteristiche delle assiomatizzazioni su cui si basano i te sti scolastici pi diffusi Schema hilbertiano Questa sistemazione prevede tre diversi sistemi di oggetti non definiti detti punti quelli del primo siste ma rette quelli del secondo piani quelli del terzo unarelazione non definita tra tra triple di punti su una retta indicata con T una relazione non definita congruenza tra segmenti e tra angoli indicata con una relazione non definita e giacenza appartenenza tra gli oggetti indi cata con cinque gruppi di assiomi I 1 8 Assiomi di collegamento II 1 4 Assiomi di ordinamento HI 1 5 Assiomi di congruenza IV Assioma di parallelismo V 1 2 Assiomi di continuit Schema basato sulla teoria degli insiemi Nel piano si assumono come enti primitivi punti e rette si premette l assio ma Ogni retta un insieme di punti Le figu
97. appare veramente notevole per brevit e autonomia la risoluzione del prossimo pro blema che ora esporremo un idea che ebbe L Fejer nel 1900 3 IL PROBLEMA DI FAGNANO Come si devono scegliere tre punti B B2 B3 sui tre lati di un trian golo acutangolo AjAzA3 affinch sia minimo il perimetro del triangolo B B3B3 Si potrebbe pensare di procedere come sopra fissati due punti Bj B2 rispett su A9A3 e A3A cercare la scelta migliore per B3 su A4 A9 Poi con la coppia B2 B3 cercare un nuovo Bj che diminuisca il perimetro ecc Ma questo ci porterebbe ancora una volta a una successione infinita di triangoli L idea vincente di Fejer invece quella di fissare un solo punto B3 e ottimizza re in un sol colpo le scelte di B4 B2 Il problema si suddivide in due sottopro blemi 1 Prefissato arbitrariamente il punto B sul lato A JA come si debbo no scegliere i punti B sul lato A9A 3 e B sul lato A3A per minimizzare la lunghezza p B jB31 1BB31 1B3B l 2 Risolto il problema 1 si vedr che la scelta di B3 individua gli altri due punti Bj B2 Come si deve scegliere B3 AN A2 E LATA A1 B3 A2 190 Problema 1 Sul lato AjAy si prefissi arbitrariamente il punto B3 Siano C3 e rispettivamente C i punti simmetrici di B3 rispetto alle rette per A3A e A3A3 Allora p CjB l lB B31 B3Col E chiaro che il tragitto pi breve si ottiene quando la spezzata CjBjB Cp rettilinea e questo individua i punti B1 B2 co
98. are EG che incontri il lato BD prolungato in G A c E ta lo 5 a Sar allora afferma l enunciato del Lemma DG BD FE Per dimostrare questa identit tracciamo anche EM perpendicolare su BG e osserviamo ora che dal triangolo rettangolo BEG si deduce BG BE EG Possiamo ora scrivere l identit precedente nella forma BGx BD DG BEx BF FE EG e dunque sviluppando 4 3 BGxBD BGxDG BExBF BExFE EG Poich il quadrilatero FDGE inscrittibile in un cerchio abbiamo la identit BGxBD BExBF La 4 3 pu allora scriversi nella forma 4 4 BGxDG BExFE EG Osserviamo ora che i due triangoli BDF e EMG sono uguali e dunque EG BF La 4 4 diviene allora BGxDG BExFE BF Ma il secondo membro pu anche scriversi nella forma BExBF FE 4 Abbiamo allora 4 5 BGxDG BExBF FE Dalla 4 5 osservando ancora che BExBF BGxBD abbiamo BGxDG BGxBD FE ossia BD DG xDG BD DG x BD FE Togliendo da ambo le parti la stessa quantit BDxDG abbiamo infine DG BD FE La trattazione che qui si vedr di questo problema mostra questo confronto in un caso storicamente molto rilevante 43 a b b a a b a b 92 Disponendo di questo Lemma la soluzione del problema diviene quasi evi dente Ecco il contenuto della Proposizione 72 Si immagini il problema risolto D G PT 7 Se da E tracciamo la perpendicolare EG che intersechi il prolungam
99. are ci che dice mile Durkheim in ducation et sociologie PUF Paris 1985 p 113 prima edizione 1922 mia traduzione adattata e cio non di comunicare agli insegnanti un certo numero di processi e di ricette ma di dare una piena coscienza della loro funzione La presenza di tanti indirizzi diversi nella scuola secondaria di secondo gra do italiana rende praticamente impossibile tracciare un unico itinerario didatti co specialmente per la geometria mi sembrato perci ragionevole limitare il mio lavoro a fornire alcune chiavi di lettura degli strumenti a disposizione de gli insegnanti Parte I Dalla teoria ai libri di testo e delle prescrizioni Parte II Dai programmi alla classe alla luce di considerazioni culturali e educazio nali Lascio all insegnante il compito di tradurre nella pratica scolastica le mie indicazioni a seconda del contesto e delle sue personali convinzioni 15 Non voglio inoltrarmi nel terreno insidioso della difesa a priori e a oltranza di un insegnamento geometrico preferisco assumere come motto del lavoro l incipit del libro di Gustave Choquet p 3 traduzione italiana citata nei riferi menti bibliografici Non discuteremo qui la necessit di un insegnamento del la geometria studieremo soltanto il modo come pu essere fatto Infatti se da una parte constato che la necessit di questo insegnamento insita nei pro grammi nella tradizione nelle convinzioni di certi insegnanti e di c
100. ari present dei programmi di matematica innovati Vi in cui la geometria era inizialmente introdotta con un metodo sperimentale costruttivo e con un graduale approccio alla deduzione partendo da semplici si tuazioni La prematura morte dell autore blocc lo sviluppo di questo progetto che d altronde suscit molte critiche anche tra i colleghi v proposte di atti vit Nel processo di costruzione della conoscenza Vailati attribuiva valore educativo al disegno traccia di questo punto di vista si trova gi in articoli di dattici della fine dell Ottocento per esempio di Vittorio Murer e Gino Loria nel Periodico di matematica Accanto a questa dibattito intorno al modello euclideo e al rigore c e un al tro tema ottocentesco la dualit tra geometria sintetica e analitica A questo proposito Felix Klein dice nella nota I del Programma di Erlangen citata in Valabrega 1989 p 137 4 Per l insegnamento della geometria prima dell unit d Italia si veda Borgato 1981 Pepe 1995 5 Si veda Maraschini amp Menghini 1992 per la discussione su alcuni importanti manuali di geometria ottocenteschi in particolare quello di Legendre 25 Sul contrasto tra l indirizzo sintetico e quello analitico nella geometria moderna La differenza fra la nuova geometria sintetica e la nuova geometria analitica non deve pi considerarsi oggigiorno come essenziale poich i concetti e le argomenta zioni si sono informate a po
101. ario cosicch diventi naturale e quasi necessario giustificare razional mente ogni collocazione e ogni supposizione di esistenza di punti rette o altre figure chiave ii Introdurre lo studio di situazioni nuove inusuali per la intuizione fanta stica tali possono essere ad esempio le trasformazioni che anche nelle loro pi semplici propriet esprimono comportamenti non sempre immediatamente intuibili ili Ricorrere a immagini mentali non stereotipe riguardanti le figure geo metriche in particolare le pi comuni Questo si pu ottenere sostituendo gli abituali ambiti spaziali come ad esempio quello del foglio con altri pi diffi cilmente confrontabili con l ambiente delle nostre immagini mentali Interes santi sono a questo proposito le riflessioni recentemente introdotte da alcuni psicologi riguardo i diversi ambiti spaziali empirici detti microspazio meso spazio macrospazio In un ambito pi generale si pu fare anche utilmente riferimento alle geo metrie non euclidee oppure alla geometria euclidea dello spazio Non possia 151 mo trattare in questa sede l interessante questione riguardante le risorse didat tiche legate allo studio delle geometrie non euclidee cfr per questo punto di vista per es 11 e 12 Svolgeremo invece alcune riflessioni relative alla geometria euclidea dello spazio 6 LA GEOMETRIA EUCLIDEA DELLO SPAZIO UNA RISORSA DIDATTICA La conclusione di quanto abbiamo detto nel preceden
102. arole senza significato Allora si pensa di rimediare orien tandosi verso un approccio utilitaristico sfrondato di ogni aspetto critico teori 20 Insegnante Che cos un vettore Studente Una grandezza scalare Citazione da Bozzo amp Ferrera 1996 68 co Ma poi capita tra le mani il trattatello di geometria pratica ad uso di bottai contadini carpentieri scritto nel XVI secolo dal cronista savonese Giovanni Agostino Abate e si trova spiegato con dovizia di istruzioni pratiche come tro vare il perimetro di un triangolo i cui lati si veda l ultima illustrazione antica misurano 7 8 e 25 Dunque la matematica ridotta a soli procedimenti empirici ha pesanti limiti un momento legato alla riflessione critica necessario difficile risolvere i molti problemi didattici ma non inutile ai fini della ricaduta in classe impegnarsi a fondo nel cercare soluzioni sia per gli eventua li risultati positivi che si possono ottenere sia perch e qui mi rifaccio alle mie esperienze negative come insegnante accade spesso che quello che si fa di buono sia dimenticato ma quello che si sbaglia non tanto nel dettaglio quan to nelle scelte educative di fondo lasci un segno e provochi rovinosi naufragi RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Abate Giovanni Agostino 1992 Giometria de figure quadre a cura di G Farris M Sabatelli Savona Bozzo C amp Ferrera G 1996 Raccolta di interventi interessanti di studenti di I
103. bbono essere cercate in un ambiente pi vasto di quello dei coefficienti Se pensiamo alle manipolazioni di quantit che Descartes ritiene lecite per costruire la soluzione di un proble ma piano dobbiamo dapprima pensare all ovvio ampliamento Z a b c C Q a b c e poi a Z a b c Q 4 b c ove con Oa b c si intende come di consueto il campo delle frazioni di Q a b c ossia la totalit delle funzioni razionali nelle indeterminate a b c Questo corrisponde naturalmente alla possibilit di effettuare divisioni tra le quantit via via ottenute Ma il campo Q a b c non naturalmente ancora sufficiente dobbiamo prevedere la possibilit data dall estrazione di radici quadrate e dobbiamo dun que considerare l estensione di Q a b c data dalla intersezione di tutti i campi contenenti Q a b c e chiusi rispetto all operazione di estrazione di radice quadrata Indichiamo con K questo campo esso conterr elementi del tipo f a a b e a b v a m a b _ c gii be Va byc V a b Tutto ci e solo ci insomma che si pu ottenere con una successione fini ta di operazioni lecite date da e y sugli elementi a b c sar un elemento di K 4 47 Ad esempio ponendo a al posto di a 2 ecc Descartes pensa che questo sia possibile anche in certa misura con la presenza di irrazionali Se in un equazione nella incognita x compare ad
104. blema del quadra to i cui coefficienti sono in Z a c e cominciamo con il ridurci al caso di 56 Deve essere y 0 Ma facile notare che il caso dato da y 0 corrisponde all equazione biquadratica 57 Possiamo anche considerare la 4 7 come la risolvente cubica che si pu associare all equazione di quarto grado indipendentemente dall indagine intorno alla natura del pro blema che essa rappresenta Ma non questo l uso che qui ne fa Descartes 99 un equazione priva del termine di terzo grado Baster porre x z a 2 nella 4 6 Sostituendo si ha infatti la nuova equazione 4 8 calano anale e 0 Quest equazione ha come si vede i coefficienti in Q a c ma basta sosti tuire a con 2a per riottenere un equazione nell ambiente originario Tuttavia questo non neppure necessario perch la risolvente cubica gi in Z a c Es sa infatti yf a 2c y c a y a 2a c a c4 0 Il termine noto della forma a a2 c e si verifica facilmente che a c una radice di quest equazione in y La 4 8 pu allora scriversi eguagliando a zero il prodotto dei due polinomi 3 Lea z2 Va cz a avla c 4 2 3 45 z mva teza ULA e Osserva ora Descartes che le uniche soluzioni accettabili in z sono date dall eguagliare a zero il primo polinomio perch il secondo ha o radici com plesse o radici negative e di modulo maggiore di 4 2 Le soluzioni possibili vanno dunque
105. ca perci le condizioni richieste 2 Le rette r e s sono parallele Sia v un vettore parallelo alla retta passante per C e B Si consideri l omologia 4 0 p Si ha A A A h B B h C D Sia w un vettore parallelo alla retta passante per D e C Si consideri l omologia h 0 2 Si ha h A A h B B h D C L affinit f h o h o g verifica le condizioni richieste 132 Dalla dimostrazione del teorema precedente segue immediatamente la se guente proposizione Ogni affinit la composizione di una similitudine e di al pi due omologie Il disegno precedente come tutti quelli di questo articolo stato creato uti lizzando DERIVE I simboli sono state aggiunti con DRAW Una volta impor tata in WORD il disegno possiamo allungare o accorciare il disegno sia in orizzontale che in verticale Proviamo per esempio ad allungarlo in orizzonta le e ad accorciarlo in verticale Otteniamo il seguente disegno chiaro che siamo passati da un disegno all altro per mezzo di una trasfor mazione del piano Essa data dalla composizione di un omologia di asse una retta orizzontale direzione una retta verticale e rapporto maggiore di 1 l allun gamento e di un omologia di asse una retta verticale direzione una retta oriz zontale e rapporto minore di 1 l accorciamento Abbiamo quindi la composizione di particolari omologie In ambedue l asse ortogonale alla direzione Chiamiamo omologia ortogonale
106. ce esplicitamente che uno dei vantaggi dello schema metrico il permettere di parlare semplicemente logicamente e in maniera 33 comprensibile tutto nello stesso tempo Negli Stati Uniti la geometria metrica trattata in molti testi Nel libro di testo Moise amp Downs 1982 sono sottoli neati questi elementi a sostegno di questa scelta inumeri sono la prima esperienza matematica la geometria un terreno di base per sviluppi futuri per esempio nella geometria analitica Quest ultima automaticamente metrica nella geometria metrica i salti logici sono pi alla portata degli studenti di quelli della geometria sintetica RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Marchi M 1984 Aspetti educativi di una presentazione assiomatica della geometria Nuova secondaria n 6 66 69 e n 8 81 81 Moise E E 1964 Elementary geometry from an advanced standpoint Addison Wesley Reading MA Thom R 1979 La matematica moderna esiste in C Sitia editor La didattica della matematica oggi 111 129 traduzione dell articolo in A G Howson editor Proceedings ICME 2 Exeter 1972 194 209 Zeitler H 1990 Axiomatics of geometry in school and in science For the learning of mathematics v 10 n 2 17 24 Per i sistemi di assiomi Birkhoff G D 1932 A set of postulates for plane geometry based on scale and protrac tor Annals of mathematics s 2 v 33 329 345 Choquet G 1967 L i
107. cercate fra pila e 32 rie aa e 1 2 2 ta lta l 2 2 vVa c l d c ava c o 2 4 Aal Ma come si ricorder x z a 2 e dunque solo la prima soluzione fornisce il valore accettabile N ETTE lasid iadd e 38 2 2 2 58 Sommando a 2 alla seconda radice si ottiene evidentemente un valore maggiore di a 100 Val la pena di aggiungere qualche considerazione sulla soluzione di De scartes Il netto primato assegnato all algebra del quale si diceva in precedenza del tutto evidente Le difficolt inerenti al trattamento dell equazione qui co me in generale sono considerate in qualche misura naturali ed appartiene al procedere metodico il loro superamento non importa quanto complessa sia l equazione Essa la via giusta se procede in modo naturale dai dati geome trici La geometria ricompare alla fine quando dobbiamo discriminare tra le solu zioni algebriche Ma di qui inizia un lungo cammino che sar percorso dai suc cessori di Descartes 5 perch non guardare queste altre soluzioni rifiutate per cercare di vedere se non possano avere un qualche significato Vediamo in questo caso concreto la seconda radice positiva data da L Jarva e 7 rie 30 e rappresenta un valore maggiore di a Basta un attimo di riflessione per com prendere come essa corrisponda alla posizione della retta BE simmetrica ri spetto alla diagonale BC F sul prolungamento di CD
108. ch non cambiare la scelta CE un altra incognita ragionevole cos come CF individuata la lunghezza di CE o di CF si tratta di intersecare un cerchio di centro C e raggio dato con AD o con il prolungamento di BA dalla parte di A Tuttavia ecco un suggerimento pratico poich CE e CF non sembrano avere l una un carattere privilegiato rispetto all altra ragionevole tentare con una semplice funzione simmetrica delle due Newton pone dunque CG CE CF 2 x E per ulteriore maggior simmetria pone anche EF 2b ene Dunque CE x b mentre CF x b Abbiamo ora BF q x b a e dalla similitudine dei triangoli CED e CBF abbiamo ancora x b a x b BF Si ottiene l equazione a x b x b x b a E immediato verificare che quadrando ambo i membri otteniamo x 2 a b x 2a b b 0 Una scelta accurata della variabile conduce dunque ad un equazione biqua dratica e con ci alla immediata soluzione del problema Naturalmente la soluzione di Newton pu parere in qualche modo artificio sa virtuosistica in confronto a quella cartesiana Come possiamo infatti sapere a priori che la scelta della variabile fatta conduce al successo Bisogna provare ed eventualmente cambiare e riprovare ecc Il metodo di Descartes pare pi affidabile e sicuro ma cos vero Non dobbiamo saper fattorizzare un polinomio in pi variabili quando siamo giunti al cuore del problema L
109. choenfeld in un suo lavoro del 1986 dedu zione e metodi empirici sono ambiti separati con differenti modi di stabilire la correttezza Oltre che la mal riposta fiducia nella figura e il suo uso mistificante un al tro aspetto tipico della dimostrazione geometrica l influenza degli stereotipi grafici indotti dalle figure presentate dai libri di testo o dall insegnante ma anche dall uso di fogli quadrettati che incoraggia la disposizione di triangoli 47 rettangoli quadrati ecc in determinate posizioni Su questo argomento esiste una vasta letteratura in Italia ricordo i lavori del tipo Gallo 1994 Nei nostri lavori sulle concezioni preesistenti degli studenti abbiamo rilevato in vari ambiti l influenza degli stereotipi linguistici grafici Uno dei punti di for za del calcolatore dovrebbe essere proprio quello di dare facile accesso a una vasta gamma di figure e situazioni Anche alcuni accorgimenti nel lavorare possono facilitare la creazione di situazioni pi variate Per esempio se nel di segnare un triangolo si parte da tre punti del piano invece che da tre rette si ar riva a triangoli non somiglianti a triangoli isosceli A proposito degli stereotipi vorrei osservare che essi non devono essere demonizzati oltre una certa misu ra In primo luogo ci sono spiegazioni pratiche e fisiologiche per rappresentare certe figure in determinate posizioni si pensi alla scomodit di lavorare con assi cartesiani ortogonali
110. co a poco dall una e dall altra parte in modo affatto simile Perci noi scegliamo nel testo la denominazione di geometria proiettiva per indicarle entrambe Se il metodo sintetico procede di pi per mezzo dell intuizione dello spazio accordando cos alle sue prime e semplici teorie un attrattiva non comune tuttavia il campo di tali intuizioni non chiuso al metodo analitico e le formole della geometria analitica si possono concepire come espressione esatta e trasparente delle relazioni geometriche D altra parte non bisogna tenere in poco conto il vantaggio che un formalismo ben fondato offre al processo dell investiga zione precedendo in certa misura il pensiero Bisogna bens attenersi sempre al principio di non considerare come esaurito un argomento matematico finch esso non diventato evidente nel concetto e l avanzare col mezzo del formalismo non appunto che un primo passo ma gi molto importante Il brano si innesta nella vicenda ottocentesca dello sviluppo della ricerca in geometria e quindi si riferisce all aspetto della produttivit scientifica pi che a quello didattico ma mi sembra che la sua idea di fondo sia trasferibile alla pratica scolastica Un orientamento verso questa fusione dei metodi nel com mento al tema geometria dei programmi Brocca del biennio Studi e p 165 Con l introduzione del piano cartesiano sono disponibili per la risoluzione dei problemi geometrici sia
111. collaborazione fra mondo della Scuola e Universit volta a realizzare forme di aggiornamento il Protocollo prevede che il Ministero e P Unione Matematica Italiana organizzino congiuntamente ogni anno un Corso residenziale di due settimane su temi di didattica della matematica Nel 1994 si svolto il Primo Corso dal titolo L insegnamento dell Alge bra fra tradizione e rinnovamento Il Secondo Corso di Didattica della Matematica dedicato all Insegnamen to della Geometria si svolto a Viareggio in due settimane separate dal 13 al 17 novembre 1995 e dal 26 febbraio al 1 marzo 1996 Per l importanza che il tema affrontato riveste a diversi livelli scolari e anche per consentire lammis sione al Corso di un maggior numero di persone stato deciso di articolare il Corso stesso in due Sezioni una rivolta ai docenti della Scuola Media e l altra ai docenti delle Scuole Superiori Naturalmente durante il Corso sono stati previsti momenti di confronto ed attivit comuni fra i docenti delle due Sezioni Nella stesura degli Atti tutta via sembrato preferibile presentare separatamente i testi relativi alla Scuola Media e i testi relativi alle Superiori in modo da ottenere due volumi tipografi camente pi agili e didatticamente pi mirati Le domande di partecipazione sono state numerosissime quasi 2500 per le due Sezioni stato possibile ammettere solo 40 docenti di ruolo nella Scuola La Commissione Italiana
112. consiste nel cercare la costruzione e la dimostrazione usando le proposizioni di Euclide nascondendo il procedimento algebrico non sia che un divertimento per i piccoli geometri ed cosa che non richiede n molto spirito n molta dottrina 88 Occorre tenere ben presente che l impostazione cartesiana soprattutto con la seconda edizione latina della G om trie curata da Van Schooten39 ha avuto larga influenza e in molta parte penetrata nel senso comune costituendo talvolta una sorta di background quasi non pi avvertito per chiunque abbia ricevuto un educazione matematica Questo punto risulter chiaro dall esame di un importante problema risolto da Descartes nel Terzo libro della G om trie 4 Si tratta del cosiddetto proble ma del quadrato che pu formularsi in questo modo sono dati un quadrato 36 Questa questione stata oggetto di un largo dibattito tra gli storici della matematica Molte prese di posizioni tra le quali quella di uno degli autori di questo scritto si trovano nella raccolta di saggi in Belgioioso e altri 1990 37 la lettera CCCXXV nel volume sesto di Descartes 1976 38 Si tratta della lettera CCCXXVIII dello stesso mese di novembre 39 Si tratta di Descartes1659 40 Anche se come vedremo Newton tenter di riproporre i termini della questione 4 Un analisi molto brillante della trattazione cartesiana di questo problema si trova in Brigaglia 1994 4 Nel Commento al Tema 1
113. costruzione del piano euclideo sulla nozione di trasformazione per esempio con l approccio metrico alla Choquet utilizzare le trasformazioni per descrivere un piano che in qualche modo gi dato o pi semplicemente per descrivere le figure del piano e le loro propriet In entrambi i casi l introduzione efficace ed efficiente delle trasformazioni si basa sull idea che esse vanno integrate nella trattazione della geometria e non pensate come appendice Questo principio dell integrazione di argomenti caratterizza il lavoro del gruppo GREMG in vari campi abbiamo fatto espe rienze di integrazione di informatica e matematica di storia e matematica In tegrare per noi vuol dire individuare obiettivi comuni ai soggetti da integrare e usare le potenzialit dell uno o dell altro soggetto nel perseguirli Per esempio 63 nel biennio il concetto portante di algoritmo trattato nei due ambiti matematico e informatico risulta rafforzato grazie ai differenti stimoli offerti Un altro concetto portante nei programmi del biennio quello di funzione o pi in ge nerale di corrispondenza Appunto le trasformazioni sono un elemento utilis simo per mettere a fuoco tale concetto non a caso le trasformazioni hanno un posto di rilievo nel progetto Prodi poich forniscono un altro punto di vista distinto da quello dell analisi collegando ambiti diversi come gi abbiamo vi sto nel caso della continuit Questo aspetto dell
114. da mT data da tutti gli altri punti del piano m Consideriamo ora la trasformazione g del piano che ristretta a m sia l identit e che ristretta a T sia la traslazione che porti la parte inferiore di f S nella parte inferiore di S Si ha perci g o f S S e g o f una trasformazione del piano Ne segue che le figure 1 e 10 sono uguali Molto probabilmente nessuna delle persone da noi interpellate accetter di buon grado il fatto che le figure 1 e 10 siano uguali Ci dipende dal fatto che nessuno accetta la funzione g o f Ecco quindi che necessario fissare quali siano le trasformazioni del piano accettabili In altre parole necessario fissare un sottoinsieme G dell insieme T r delle trasformazioni del piano 7 Diciamo che una figura S uguale a una figura S se esiste f e G tale che SFOS Poich vogliamo che la relazione di uguaglianza sia una relazione di equi valenza dobbiamo scegliere l insieme G in modo tale che siano verificate le se guenti condizioni 1 1 e G dove l la funzione identica 2 feG gt f eG 3 fe GegeGagofe G Un sottoinsieme G di T m verificante queste tre condizioni si dice sotto gruppo di T m Fissato un sottogruppo G di 7 1 la G geometria studia le propriet geo metriche del piano che sono invarianti attraverso trasformazioni appartenenti a G 113 Esistono pertanto tante geometrie del piano una per ogni sottogruppo delle trasformazioni del piano I sottogruppi d
115. de di incontrare libri di testo in cui questa distinzio ne non appare del tutto chiara Chiameremo la proposizione 02 assioma di ordinamento piano L assioma O2 soddisfa a due esigenze Ci d informazioni riguardo la com patibilit della nozione di segmento introdotta sulle diverse rette di un piano e inoltre assegna opportune condizioni affinch rette complanari distinte abbiano un punto in comune Si pone ora il problema di caratterizzare il mutuo comportamento di rette e piani dello spazio con una proposizione analoga all assioma 02 03 Per ogni piano a la totalit dei punti P a si pu suddividere in due sot toinsiemi non vuoti e disgiunti tali che due punti A B appartengono a sottoin siemi opposti se e solo se il segmento A B incontra il piano a Chiameremo i due sottoinsiemi semispazi di bordo a Indicheremo con il simbolo 0 B il semispazio che contiene il punto B Per i semispazi valgono relazioni analoghe a quelle gi stabilite per i semipiani Precisamente per ogni piano a se B a si ha A B B implica A A a B CE 0 B uva J 0 implica P B BULUA unione disgiunta e il e indicheremo a B a C C se r una retta di O e A Q B si ha GA E a B Ricordiamo che useremo il simbolo per significare la nozione di uguale per defini zione 164 Dobbiamo ora osservare che tra le proposizioni 02 e 03 vi dal punto di vista logico una differenza sos
116. dei programmi approntati dalla Commissione Brocca si auspica il confronto di metodi classici e metodi analitici per risolvere uno stesso problema 90 ABCD ed un segmento PQ Occorre condurre da un vertice per esempio B un semiretta in modo che il segmento EF compreso tra un lato opposto CD ed il prolungamento dell altro lato opposto AC abbia esattamente la lunghezza di PQ A c E FE PQ F P Q B D Una soluzione geometrica di questo problema si trova nel libro VII delle Collezioni ed data congiuntamente dal Lemma contenuto nella Proposizio ne 71 e dalla Proposizione 72 ove Pappo sta commentando i risultati ottenuti da Apollonio nei due libri perduti Sulle inclinazioni chiaro dal testo di Pappo come Apollonio conoscesse anche la soluzione dell analogo e pi generale problema relativo al rombo una soluzione andata perduta e ricostruita nei tempi moderni da Marino Ghetaldi un allievo di Vi te Pappo presenta nel commento al testo di Apollonio una soluzione diversa del problema del quadrato scoperta da Eraclito Descartes si limita a trattare il caso del quadrato per fornire una soluzione algebrica in contrasto con quella geometrica riferita da Pappo Non dato sa pere se egli non sia riuscito a risolvere algebricamente l analogo problema del rombo n se egli conoscesse o meno l opera di Ghetaldi Vediamo comunque il contenuto della Proposizione 71 delle Collezioni Si conduca da E la perpendicol
117. del metodo di Descartes si trova in ci che egli compie me diante l uso dell algebra ci che cercheremo di mostrare nel prossimo para grafo 4 DESCARTES E LA GEOMETRIA ANALITICA A Descartes ed a Fermat si suole attribuire il merito di avere inventato la geometria analitica Alla luce di quanto esposto nel paragrafo precedente il merito di Descartes sta pi a nostro giudizio nell importanza e nel significato che egli attribuisce all algebra che nel mero metodo delle coordinate In ogni caso importante notare che tra ci che per brevit possiamo pur chiamare geometria analitica di Descartes e ci che attualmente si insegna con questo nome vi sono numerose ed importanti differenze Occorre intanto osservare che Descartes compone la sua G om trie nel 1637 non come un testo autonomo 7 ma per illustrare la bont del suo metodo Egli vuol mostrare come una matematica ispirata da questo metodo possa ri solvere importanti e difficili problemi Nella G om trie si trovano cio risul tati avanzati per il tempo nel quale sono composti e non formulazioni di fatti elementari In particolare il contenuto degli Elementi certamente un presup 25 Un punto notato con molta chiarezza da Bompiani in Bompiani 1921 Il saggio di Bompiani realmente notevole e ingiustamente trascurato dalla storiografia cartesiana 26 Zeuthen un grande matematico ed un grande storico della matematica che ha assunto
118. dell oggetto in questione A questo proposito prima di continuare l analisi che stiamo conducendo opportuno osservare che una descrizione soggettiva di un ambiente o di un og getto non per se stessa invalida oppure errata essa solo limitata e la sua validit legata alla precisa individuazione del soggetto che descrive Al contrario una descrizione soggettiva diventa incompleta e quindi pu di ventare invalida quando venga fatta senza menzione del soggetto oppure con la pretesa di essere intersoggettiva Per esempio descrizioni che fanno riferimento alla nostra situazione di osservatori singoli come alto basso sopra sot to sono valide se ci rivolgiamo ad altri soggetti che presumibilmente si trova no nelle nostre condizioni o che conoscono il nostro punto di vista Tali descri zioni non sono invece pi accettabili se pretendono di essere valide per ogni altro osservatore e di caratterizzare in modo intrinseco l oggetto in esame 2 LE IMMAGINI GEOMETRICHE TRA ESPERIENZA ED ELABORAZIONE FANTASTICA L analisi che abbiamo condotto fino ad ora circa il rilevamento delle espe rienze sensoriali e la loro elaborazione al fine di giungere ad una descrizione razionale oggettiva e comunicabile ci porta a considerare il complesso di ope razioni mentali a cui i dati sensoriali presenti nella nostra mente vengono sot toposti Si tratta in sintesi di due diversi complessi di operazioni che indiche r
119. dimostrare come argomentare dimostrare come scoprire Se scorriamo i programmi dei vari ordini scolari vediamo che si arriva alla dimostrazione con estrema cautela passando per un preliminare apprendistato in varie attivit preparatorie raccogliere elementi catalogare organizzare gli elementi raccolti attivit suggeri te nella scuola elementare considerare criticamente affermazioni ed informazioni per arrivare a convinzioni fondate e a decisioni consapevoli Scuola media di primo grado Indicazioni per scienze matematiche chimiche fisiche e naturali 1 Obiettivi p 379 suscitare un interesse che stimoli le capacit intuitive degli alunni condurre gradualmente a verificare la validit delle intuizioni e delle congetture con ragionamenti via via pi organizzati Scuola media di primo grado Indicazioni per la matematica 1 Obiettivi p 39 Con prudenza e circospezione nei programmi parole collegate a dimostrare compaiono al biennio delle superiori dimostrare propriet di figure geometriche riconoscere concetti e regole della logica in contesti argomentativi e dimostrati vi Matematica ed informatica Obiettivi di apprendimento p 160 Lo studio della geometria nel biennio ha la finalit principale di condurre pro gressivamente lo studente dalla intuizione e scoperta di propriet geometriche alla loro descrizione razionale e rappresenta come tale una guida privilegiata alla consa pevolez
120. e motivare alcuni processi di calcolo in algebra quadrato del bi nomio Sulla validit di questi mezzi didattici sono assolutamente d ac 8 Per esempi storici su questi argomenti vedi Bottazzini Freguglia amp Toti Rigatelli 1992 45 cordo anche in coerenza con le mie convinzioni sull uso della storia in classe le perplessit cui ho gi accennato nella mia nota Furinghetti 1995 riguar dano piuttosto la capacit di uso autonomo del linguaggio iconico da parte de gli studenti Trovo che le ricerche su questo punto sono ancora insufficienti Le esperienze che abbiamo fatto ci portano a pensare che in realt anche in un ambito prettamente geometrico lo studente sia restio ad attivare il registro fi gurativo Suggerisco agli insegnanti di studiare con opportune prove se davanti a un problema di geometria euclidea lo studente parte subito con uno schizzo e poi progetta le strategie risolutive o viceversa Noi abbiamo fatto questa espe rienza con i problemi di geometria analitica nello spazio e abbiamo constatato che i buoni risolutori individuano la strategia risolutiva aiutandosi preliminar mente con un disegno mentre gli altri tendono a innestare gli automatismi ma nipolativi del trattamento analitico Questo atteggiamento risultato accentua to quando sono usati i vettori Gli studenti hanno anche difficolt a capire quando o non rilevante ai fini dell individuazione della strategia risolutiva il rapp
121. e per conoscerle meglio in B D Amore editor L apprendimento della matematica dalla ricerca teorica alla pratica didattica 47 55 Hanna G 1989a Proofs that prove and proofs that explain in G Vergnaud J Rogalski amp M Artigue editors Proceedings of PME 13 Paris 2 45 51 Hanna G 1989b More than formal proof For the learning of mathematics v 9 1 20 23 Johnson Laird P J 1994 Deduzione induzione creativit Il mulino Bologna trad it di Human and machine thinking L Erlbaum Hillsdale 1993 Matos J M 1992 Cognitive models in geometry learning J P Ponte J F amp J M Matos editors Mathematics problem solving and new information technology NATO ASI Series F n 89 Springer Verlag Berlin ecc 93 112 Olive J 1991 Logo programming and geometric understanding an in depth study Journal for research in mathematics education v 22 91 111 Peano G 1901 Dizionario di matematica Rivista di matematica t 7 160 172 Schoenfeld A H 1987 What s are the fuss about metacognition in A H Schoenfeld editor Cognitive science and mathematics education 189 215 Studi e documenti degli Annali della Pubblica Istruzione 1991 56 Piani di studio della scuola secondaria superiore e programmi dei primi due anni Le proposte della commissione Brocca 51 7 PER UNA CLASSIFICAZIONE DEI TESTI SCOLASTICI DI GEOMETRIA Tentiamo una classificazione d
122. e AB A C C Scriveremo a volte A B A C oppure anche x 4 5 AC C scegliendo secondo i casi il simbolo pi comodo dal punto di vista formale o anche solo tipografico al posto di B C _ Sono detti adiacenti gli angoli X A B 4 C e x A B A C e opposti al vertice gli angoli x A B AC e X A B A C Sulla base della nozione di segmento ora introdotta si pu enunciare il se condo assioma di ordinamento che riguarda la totalit dei punti di ogni piano 163 O2 Per ogni piano amp e per ogni retta r di la totalit dei punti Q r si pu sud dividere in due sottoinsiemi non vuoti e disgiunti tali che due punti A B apparten gono a sottoinsiemi opposti se e solo se il segmento A B incontra la retta r Dagli assiomi O1 e O2 si pu dimostrare che ogni segmento contiene al Chiameremo i due sottoinsiemi semipiani contenuti in di bordo r Indicheremo con il simbolo B il semipiano che contiene il punto B chiaro che A GB implica GA GB inoltre se Ce A e C GA Ur porremo GA GC C Dunque a GA U GA U r unione disgiunta inoltre evidente che per ogni r e per ogni A di si ha FA Inoltre per ogni Re re per ogni Be TGA RB c GA meno un punto e quindi contiene infiniti punti importante osservare che l enunciato dell assioma O2 non la definizio ne di semipiano ma esprime la condizione affinch si possa dare senso alla nozione di semipiano acca
123. e angoli siffatti se e solo se sono tali i diedri dello spazio euclideo che li generano Precisamente si ha per ogni a b c a b C ELE II TELI Ret odi b c b ci sse a b a c a b dC Nella geometria ellittica II G possiamo ora precisare la nozione di trian golo e studiarne le propriet Siano a b c X c II non allineati diremo che tali punti costituiscono i vertici di un triangolo A a b c i cui lati sono i seg menti ellittici a b b c ca e i cui angoli sono b c abo b a Al triangolo A a b c corrisponde nella stella V dello spazio euclideo il triedro Va b c le cui facce generano i lati e i cui diedri generano gli angoli del trian golo stesso chiaro da quanto detto che i criteri di congruenza tra triangoli della geo metria ellittica II G coincidono con i criteri di congruenza tra triedri dello spazio euclideo Inoltre poich sappiamo misurare l ampiezza delle facce e dei 178 diedri di un triedro possiamo attribuire tale misura anche ai rispettivi lati e an goli del triangolo basta supporre che la sfera abbia raggio unitario Ricordando le propriet di triedri e angoloidi espresse dai teoremi del para grafo precedente possiamo enunciare le seguenti propriet di triangoli e poli goni della geometria ellittica Dai teoremi 2 e 6 si ha Teorema 8 In ogni triangolo della geometria ellittica i un lato minore della somma degli altri due ii la somma dei tre
124. e de l espace GEM ditions Erasme Namur Lombard P 1991 La repr sentation en perspective comme obstacle pist mologique in Commission Inter IREM Histoire et pist mologie des math matiques editor La figure et l espace IREM de Lyon Lyon 139 169 61 Menghini M amp Mancini Proia L 1988 La prospettiva un incontro tra matematica e arte Quaderno TID CNR serie IDM n 2 Speranza F 1990 Nuove prospettive per la geometria nelle scuole suoperiori Nuova secondaria n 7 8 73 75 n 9 65 67 van den Brink J 1995 Geometry education in the midst of theories For the learning of mathematics v 15 n 1 21 28 4 LE TRASFORMAZIONI COME BOE NELLA NAVIGAZIONE DEI PROGRAMMI Si detto che nell ambito della geometria le trasformazioni sono il discorso pi nuovo dal punto di vista contenutistico Leggendo i brani dei programmi riportati di seguito vediamo che esse sono importanti perch possono rappre sentare un elemento di continuit tra la geometria svolta alle medie e quella svolta nel biennio inoltre esse costituiscono un esempio di evoluzione nella trattazione di un argomento a diversi livelli di formalizzazione a partire dall in tuitivo sperimentale Scuola media di primo grado Indicazioni per la matematica 1 Obiettivi p 39 guidare alla capacit di sintesi favorendo una progressiva chiarificazione dei concetti e facendo riconoscere analogie in situazioni dive
125. e di far leva sulle conoscenze intuitive dobbiamo ancora ricordare quanto sia importante dal punto di vi sta didattico che tutte le nozioni astratte e formali che sono introdotte venga no presentate come una risposta logica e razionale a domande e interrogativi 160 ragionevoli e problematici che gli studenti si possono porre in modo naturale cfr 10 Non mancano purtroppo nella attuale vasta pubblicistica dei libri di testo significativi contro esempi al principio metodologico ora enunciato La correzione di questi errori psicologici e didattici lasciata necessaria mente all abilit ed esperienza degli insegnanti Noi stessi nella stesura delle presenti note non potremo per ragioni di spazio dedicare a questa essenziale ambientazione psicologica neppure parte della attenzione e della cura che ab biamo auspicato e che per altro assolutamente irrinunciabile 2 RELAZIONI DI INCIDENZA Per descrivere razionalmente gli enti di cui si occupa la cosiddetta geome tria elementare introduciamo in primo luogo tre classi di oggetti detti rispet tivamente punti rette piani Tra tali oggetti si considera sussistere una rela zione fondamentale detta incidenza che viene caratterizzata mediante opportune proposizioni primitive dette appunto assiomi di incidenza Quanto abbiamo descritto nella sostanza l inizio del sistema assiomatico dovuto a D HILBERT cfr 7 Attualmente cfr per es 8 si pref
126. e informazioni che la nostra mente in grado di raccogliere e catalogare Su questo riferimento di fondo della geometria alle proprie radici situate nella esperienza sensoriale si fonda l espediente didattico ed euristico della verifica sperimentale e della manipolazione di appropriati modelli espe 144 diente che porta infine alle giustificazioni di plausibilit su queste pi avanti torneremo L ambito a cui ci siamo in precedenza riferiti quello che caratterizza il primo momento in cui il soggetto osservatore si pone di fronte all ambiente e agli oggetti che lo circondano Tale momento tipicamente soggettivo per cui ambiente e oggetti vengono considerati in relazione al singolo osservatore qui ed ora Per giungere ad una descrizione razionale occorre che il soggetto sia in gra do di passare da una osservazione soggettiva ad una che potremmo chiamare intersoggettiva occorre cio che l osservatore si sforzi di mettersi dal punto di vista di altri osservatori cio immagini di guardare e manipolare gli oggetti in modi tra loro diversi Ci si avvia in questa maniera ad una descrizione tale che un oggetto o un ambiente possa essere riconosciuto da molti osservatori L ideale che ci si pone giungere ad una descrizione degli oggetti o dell ambiente tale da renderli riconoscibili per ogni osservatore ci si pu ot tenere qualora si giunga a formulare una definizione o una descrizione logica e razionale
127. e originaria d Valutiamo infine se una o pi di una di queste radici pu essere soluzione del problema Si pu dubitare come gi abbiamo accennato del fatto che Descartes pos sieda tutti gli elementi dimostrativi corrispondenti ai punti precedenti Non per in dubbio il fatto che egli proceda come se questi elementi sia no in suo possesso e vediamo ora la cosa dapprima in generale indicando la costruzione della risolvente di terzo grado Poi vedremo la concretezza dell esempio Data una generica equazione di quarto grado possiamo sempre ridurci in tanto con una traslazione 3 al caso di un equazione della forma xt px qx r 0 ove i coefficienti sono in Z a b c 4 e possiamo supporre che q sia diverso da 0 perch in caso contrario l equazione biquadratica concettualmente assimilabile ad un equazione di secondo grado Valutiamo ora i possibili divisori del polinomio a primo membro della for ma x a ove A un divisore di r in Z a b c Se troviamo un divisore di ta le natura il polinomio a primo membro si decompone nel prodotto x 0 f x ove fix un polinomio di terzo grado Possiamo allora cercare le soluzioni tra a e le eventuali radici di f x in Z a b c le quali ancora vanno ricercate tra i divisori del suo termine noto Abbiamo dunque un numero finito di casi da valutare 55 Dopo aver esaurito l esame delle possibili decomposizioni in fattori di gra do 1 e 3 dobbiamo passare ad
128. e proposizione L insieme delle isometrie di n un sottogruppo del gruppo T 1 0 delle trasformazioni di T DIMOSTRAZIONE 1 La trasformazione identica conserva le distanze 2 Se f una trasformazione che conserva le distanze anche f conserva le di stanze 3 Se fe g sono trasformazioni che conservano le distanze anche la trasforma zione g o f conserva le distanze Visa Ha senso pertanto considerare nel piano la geometria associata al gruppo delle isometrie Essa studia le propriet invarianti per isometrie Nell ambito della geometria delle isometria due figure sono uguali se esiste una isometria del piano che porti una figura nell altra Per definizione le distanze tra punti sono invarianti per isometrie Cerchia mo altre propriet invarianti Le circonferenze i segmenti le rette il parallelismo tra rette la perpendicolarit tra rette le ampiezze degli angoli sono invarianti per isometrie 115 DIMOSTRAZIONE Il fatto che un isometria f trasforma una circonferenza di centro C e raggio rin una circonferenza di centro f C e raggio r deriva dal fatto che le isometrie conservano la distanza La dimostrazione che un isometria f trasforma una retta in una retta segue dalla seguente propriet d A C d A B d B C amp B e AC AC il segmento di estremi A e C Siano infatti A e C due punti distinti e sia B AC Si ha d f A f C d A C d A B d B C d f A f B d B f C e quindi il pun
129. e si pu definire solo un ordinamento circo lare esattamente come avviene nel fascio di rette del piano euclideo Non potendo definire sulle rette di G un ordinamento analogo a quello del piano o dello spazio euclideo non si possono definire analoghe nozioni di segmento semiretta e semipiano possibile tuttavia assegnare una opportuna definizione di congruenza tra coppie di punti e analogamente una definizione di angolo e di congruenza tra angoli Ci limiteremo per semplicit a riportare le suddette definizioni relativamente agli elementi che appartengono a Y Per ogni a b c d e X c II definiamo ab cd sse a Db cVd ove il simbolo z indica la congruenza ellittica tra le coppie di punti di II mentre a pb 6 2 d sono angoli definiti nello spazio euclideo che con tiene la sfera Per ogni a b e X c II definiamo segmento ellittico l arco di cerchio massi mo dato da lab zre D Ire M rc aDb essendo a Vv b la regione angolare delimitata dall angolo a Vv b Per ogni coppia di punti distinti a b 2 c II chiamiamo semi retta ellitti ca l insieme ab re Nire M rc ab ove con a b abbiamo indicato come al solito il semi piano di bordo a V c R che contiene il punto b e Per ogni terna di punti distinti a b c e X c II definiamo quindi angolo b c della geometria ellittica la coppia di semi rette ellittiche ab 0 Possiamo allora definire congruenti du
130. e trasformazioni mi sembra pi interessante di quello troppo enfatizzato e sopravvalutato del presunto di namismo introdotto con le trasformazioni Concordo con quanto detto in Vil lani 1995 p 681 a questo proposito L affermazione che lo studio delle tra sformazioni favorisce una visione dinamica della geometria si basa su una identificazione arbitraria e ingiustificata fra isometrie e movimenti rigidi Nel caso delle trasformazioni geometriche il legame che intercorre tra una figura e la sua trasformata statico Non sempre la presentazione che si trova nei libri di testo favorisce l acquisizione di questo concetto di corrispondenza e lo studente recepisce lo studio delle trasformazioni come lo studio delle tra sformate di figure A questo proposito si veda Villani 1990 Analogamente spesso delle trasformazioni non si percepisce la specificit di studiare il piano non localmente ma nella sua globalit Il concetto di corrispondenza acquisito in primo luogo curando la defini zione Per esempio oltre alla definizione statica Un punto la riflessione di un altro rispetto a una retta se la retta la perpendicolare nel punto medio del segmento congiungente i due punti Se il punto sta sulla retta la sua riflessione il punto stesso conviene dare quella legata all idea di corrispondenza Sia no dati un piano e una retta L in E Per ogni punto P di E sia P la riflessio ne di P rispetto
131. easley Menlo Park Reading ecc Villani V 1994 Errori nei testi scolastici geometria Archimede a 45 134 144 Sugli errori di rappresentazione si veda Ded M 1993 Omissioni ed inopportunit didattiche L insegnamento della matematica e delle scienze integrate v 16 484 510 Note tecniche sugli strumenti di indagine Quando obiettivo di indagine studiare non solo come gli studenti fanno una data atti vit matematica ma perch la fanno in un determinato modo necessario mettere a punto strumenti ad hoc I questionari chiusi sono utili nelle indagini su grandi numeri per l ovvia ragione che molto rapido elaborare i dati eventualmente con programmi gi predisposti ma talvolta danno informazioni povere e troppo schematiche Molto pi ricchi di informa zioni sono i questionari aperti ma l elaborazione dei dati pi complessa e individuare le linee di tendenza richiede molto impegno Una via di mezzo sono i questionari semiaperti in cui si hanno opzioni chiuse e in pi la possibilit di una risposta non prevista con rela tivo commento Uno strumento ancor pi ricco di informazioni l intervista in cui le rispo ste devono essere riportate con cura per scritto o registrate Ancor meglio disporre di un videoregistratore che permette di analizzare da diversi punti di vista le reazioni dell intervi stato I protocolli possono essere anonimi se non sono specificamente fatti solo pe
132. ed E si trova tra A e C 59 Per verit parte di questo cammino era stata compiuta in precedenza Girard in Gi rard 1629 considerando lo stesso problema del quadrato in un caso numerico con a 4 e c V153 era giunto all equazione x4 8x3 121x 128x 256 0 Le quattro soluzioni 1 16 9 17 2 9 V 17 2 sono tutte interpretate da Girard nel modo che vedremo tra po co Commentando l interpretazione delle radici negative egli osserva con orgoglio Une chose de consequence en Geometrie incogneue auparavant Non dato sapere se Descar 101 Ma come interpretare le due eventuali radici corrispondenti a 2 2 2 3 2 l 2 2 e c Sa 3 eva c 0 Perch questo polinomio abbia radici reali occorre come facile verificare che sia c gt 2 2a E come disposta la soluzione in questo caso Questa volta E sar sul prolungamento di AC dalla parte di A ed F sul prolungamento di CD dalla parte di D E E A c F Anche in questo caso abbiamo due soluzioni simmetriche rispetto alla dia gonale BC Le quattro soluzioni trovate in corrispondenza ad un unica equazione corri spondono dunque a quattro problemi geometrici lievemente differenti pur se intimamente collegati Ora in una situazione come questa sono possibili due atteggiamenti trascu rare l esistenza di altre possibili soluzioni oltre a quella originariamente cer cata rinunciando ad una trasferibilit diretta dei risultati algebrici in quelli geom
133. egnamento geometrico dalla teoria ai libri di testo 1 QUESTIONARIO DI AMBIENTAMENTO DOMANDE DI Dati due segmenti AB e CD AB CD su due rette parallele distinte AC DB Giustificare la risposta D2 Come spieghereste che la somma dei primi n numeri interi n n 0 22 Solo cenno D3 Quattro punti P Q R S tre qualunque dei quali non sono allineati so no vertici di un quadrangolo piano completo i cui sei lati sono PO RS OR PS RP QS Dualmente quattro rette p q r s tre qualunque delle quali non sono concorrenti in un punto sono lati di un quadrilatero piano completo i cui vertici sono A pN7r B p As C p Nq D q0s E qnr F ros Disegnare un quadrangolo e un quadrilatero D4 Dire quali delle seguenti figure a b c d ha simmetrie Quali simmetrie 20 DS In un libro di testo di geometria per la scuola media una figura del tipo di quella qui riprodotta usata per rappresentare su un pia no una sfera e alcuni paralleli e meridiani corretta Perch D6 In certi ambienti la dimostrazione usuale del teorema In un triangolo l angolo esterno maggiore degli angoli interni non adiacenti non funziona Per esempio se il triangolo D7 Una trasformazione di un piano in s trasforma punti in punti rette in rette conserva l appartenenza e ha una retta r fissa si dicono parallele le rette che si incontrano su r Si dicono parallelogrammi i quadrilateri piano completi con due vertic
134. ei concreti sviluppi matematici non occorre prima disporre del rapporto a b poi del rapporto c d per porre l uguaglianza Ci che occorre l uguaglianza stessa Il problema dunque quello di assegnare significato alla relazione tra quattro segmenti che esprima congiuntamente l uguaglianza del rapporto Ma come fare Come dare significato ad a b c d prescindendo dal signi ficato dei termini dei quali si pone l uguaglianza 3 10 Possibile un problema filosofico che ha una lunga tradizione 11 Nel contesto della matematica greca bisognerebbe dire una coppia di interi 12 L esistenza di una teoria delle proporzioni pre euclidea ed i possibili significati del rapporto di segmenti attraverso l uso della antiphairesis sono questioni molto dibattute da gli storici della matematica antica Ci limitiamo a segnalare i nomi di W Knorr e di D H Fowler I lettori interessati possono rapidamente risalire ai necessari riferimenti bibliografici 13 La notazione a b c d per indicare una proporzione forse la meno adatta Ma la uti lizziamo pur scusandoci con i lettori per comodit di scrittura 15 Torniamo in un mondo irreale e supponiamo per un istante di possedere alb e cld Se questi numeri sono uguali non potr esservi alcun numero che si frappone tra di essi e in particolare poich certo in questo mondo fittizio ritroveremo i vecchi numeri razionali non potr esservi alcun numero razio
135. ei testi scolastici sorti dopo i nuovi program mi in base alle considerazioni precedenti Elementi da considerare sono i se guenti FILOSOFIA Quale immagine della geometria si vuole trasmettere nella presentazione e poi effettivamente nello sviluppo APPROCCIO Metrico o sintetico Solo geometria analitica Vettori Spazi vettoriali Spazio dato alle figure e al disegno Richiami a strumenti meccanici Legami con il calcola tore Trattamento dei postulati collegamento ordine congruenza continuit Geometria come disciplina a se stante o propedeutica alle applicazioni Rilievo dato alla geometria dello spazio TRASFORMAZIONI si no Come appendice Come oggetto di studio Analiticamente sinteticamente Per costruire il piano euclideo Per descrivere il piano euclideo supposto noto dalle medie Si introducono i vettori GEOMETRIE NON EUCLIDEE si no Approccio storico Modelli OBIETTIVI Visualizzare rappresentare lo spazio Risolvere problemi Dare un modello di pensiero matematico DIMOSTRAZIONE Quanto un testo particolarmente attento alla scelta assiomatica quanto centra l attenzione sulla dimostrazione eventualmente prendendo un assiomatica sovrabbondante Presenza di esempi che illustrano ambienti dove gli assiomi non valgono Spazio dato a visualizzazione e disegno come strumenti per congetturare argomentare Quale assiomatizzazione Gradi di rigore In base a questa lista di elementi l inse
136. elle trasformazioni del piano che pi ci interessano sono il sottogruppo delle isometrie il sottogruppo delle similitudini e quello delle affi nit 2 ISOMETRIE Chiamiamo isometria del piano una trasformazione geometrica del piano che conserva le distanze Ecco alcuni esempi di isometrie 1 Traslazione di un vettore v Indichiamo questa isometria con il simbolo f Notiamo che se v un vettore non nullo l isometria non ha alcun punto fisso Si ha cio t P P per ogni punto P del piano 2 Rotazione intorno ad un punto D di un angolo in senso antiorario Indichiamo questa isometria con il simbolo fp Notiamo che la rotazione rpa mantiene fisso il punto D Se poi 2k con k numero intero allora rpa 1 e quindi ogni punto fisso 114 3 Simmetria rispetto ad una retta r r Indichiamo questa isometria con il simbolo s Notiamo che s mantiene fissi tutti e soli i punti della retta r Ricordiamo che una trasformazione geometrica del piano x una funzione biunivoca del piano in s stesso Ciononostante noi abbiamo rappresentato la traslazione la rotazione e la simmetria assiale disegnando un triangolo e la sua immagine attraverso la trasformazione Ci lecito Vedremo infatti che una isometria completamente determinata una volta che si conoscano le immagi ni dei vertici di un triangolo L insieme delle isometrie soddisfa le condizioni del programma di Erlan gen Si ha infatti la seguent
137. ematica formale 3 Qui di seguito sono esposte alcune opinioni sull insegnamento graduare da 1 la favorita a 5 mettendo 0 per le opinioni che non si condividono even tualmente aggiungendo un commento se non si d accordo con nessuna Molti esercizi su un certo argomento aiutano a acquisire la conoscenza di quel tema La matematica meglio appresa se insegnata non come una disciplina se parata ma incidentalmente cio risolvendo problemi in situazioni non necessariamente matematiche La matematica non prodotto ma un processo di cui gli studenti devono fare esperienza durante la lezione trattando le situazioni problematiche e ar rivando a scoprire gli andamenti e le strutture unificanti Una buona esposizione degli argomenti pu generare negli studenti motiva zione fiducia e desiderio di apprendere RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Bruner J 1995 On learning mathematics Mathematics teacher v 88 330 335 ristampa di un articolo del 1960 Ferrari P L 1995 Constructivism education and the philosophy of mathematics in IREM de Montpellier editor History and epistemology in mathematics education First European summer university proceedings Montpellier 1993 415 423 36 Gadanidis G 1994 Deconstructing constructivism Mathematics teacher v 87 91 95 Garofalo J 1987 Metacognition and school mathematics Arithmetic teacher v 34 n 9 22 23 Speran
138. emo con il nome di astrazione e generalizzazione 145 Dal punto di vista della geometria gli oggetti dell ambiente non sono mai considerati in tutta la complessit e la ricchezza delle loro propriet Si pre scinde infatti da molte propriet fisiche con cui gli oggetti si presentano alle osservazioni dei nostri sensi il colore il peso la temperatura etc D altra par te la nostra fantasia elabora le sensazioni che ci provengono da questi oggetti e mentre da certe prescinde spinge al massimo la valutazione di altre Indi chiamo con il termine astrazione questo primo aspetto della elaborazione com piuta dalla nostra fantasia a partire dalle sensazioni materiali elementari Il secondo complesso di operazioni che la nostra fantasia compie lo abbia mo indicato con il termine generalizzazione Si tratta in sostanza di un proces so di elaborazione che potremmo anche chiamare di estrapolazione estenden do ad ogni dimensione e ad ogni distanza piccolo grande sono solo valutazioni soggettive le nostre esperienze spaziali locali Il processo di ge neralizzazione si realizza anche ammettendo con la nostra fantasia la possibi lit di ripetere indefinitamente certe operazioni che la realt fisica ci obbli gherebbe invece a ritenere attuabili solo con precise limitazioni Esempi di tali operazioni sono offerti dall atto di suddividere un segmento o di prolungare illimitatamente appunto un segmento rettilineo
139. entata come evidentemente vera con spirito che potremmo dire lobachevskiano e la assunse come descrizione di un certo aspetto e dunque essa stessa un aspetto degli Stati Uniti Fourscore and seven years ago our fathers brought forth on this continent a new nation conceived in liberty and dedicated to the proposition that all men are created equal Ho ripreso queste osservazioni dal testo di Moise p 383 che in seguito citer ancora per altre ragioni Il rapporto dei politici con la geometria sembra peculiare a pagina 224 del primo anno 1900 del Bollettino di matematiche e di scienze fisiche e naturali riportata questa affer mazione di Cavour Dallo studio dei triangoli e delle formole algebriche son passato a quello degli uomini e delle cose comprendo ora quanto quello studio mi sia stato utile per quello che ora vado facendo degli uomini e delle cose Nella stessa pagina un altra citazio ne in cui Cavour giudica l aritmetica un mezzo adatto per misurare le facolt intellettuali dei giovani SULLE OPERE CITATE Per ragioni di completezza ho citato le fonti su cui baso le mie riflessioni anche se sono consapevole che non tutte sono accessibili a meno che non si abbia l opportunit di fruire di una biblioteca universitaria convenientemente fornita nel campo dell educazione mate matica e della storia della matematica La comprensione del testo pu prescindere da quelle fonti Quanto alle riviste italiane
140. ente suddivisione 1 2 3 4 5 16 17 8 19 10 Nella geometria associata al sottogruppo delle affinit abbiamo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Notiamo che la figura 1 non uguale alla figura 8 perch non esiste una af finit che porti una nell altra Esiste per una trasformazione continua che porti una nell altra Conside riamo allora l insieme delle trasformazioni continue del piano Non abbiamo un sottogruppo L inversa di una trasformazione continua non infatti necessa riamente una trasformazione continua Consideriamo perci le trasformazioni continue del piano tali che le loro inverse sono continue Sono gli omeomorfismi del piano L insieme degli omeomorfismi del piano un sottogruppo Nella geometria associata al sottogruppo degli omeomorfismi abbiamo la seguente suddivisione delle 10 figure in classi di equivalenza 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 140 Se ora consideriamo la geometria associata a tutto in gruppo delle trasfor mazioni del piano tutte le dieci figure appartengono ad una stessa classe di equivalenza 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Notiamo che partendo dal sottogruppo formato dalla sola trasformazione identica abbiamo pian piano ampliato il sottogruppo fino ad arrivare al gruppo di tutte le trasformazioni del piano All ampliarsi del sottogruppo G delle trasformazioni diminuiscono le pro priet invarianti per trasformazioni appartenenti a G e quindi si ampliano le classi di equivalenza delle figure
141. enti Vedremo tra poco la struttura di mostrativa di questa proposizione Ma per avere un idea introduttiva della struttura del Libro V vediamo dapprima la pi semplice Prop 4 essa afferma che se a b c d allora comunque scelti due interi m n sar ma nb mc nd Scegliamo due altri interi arbitrari p q Consideriamo p ma e g nb Per quanto Euclide precedentemente dimostra nelle Proposizioni 1 3 possiamo so stituire queste quantit con pm a e qn b Similmente possiamo sostituire p mc con pm c e q nd con gn d In base alla definizione deve valere l im 14 Tuttavia almeno un rinvio bibliografico si impone si veda la Nota IX di Zariski a Dedekind 1926 76 plicazione p ma gt g nb p mc gt g nd Per quanto osservato questa impli cazione pu essere sostituita da pm a gt qn b pm c gt qnd Abbiamo ora i multipli pm e gn che sono particolari infiniti multipli di a c e b d Poich per ipotesi a b c d tutte le precedenti implicazioni sono vere ed abbiamo co s esaurito il caso della relazione gt Chiaramente con argomentazioni presso ch identiche si esaminano anche i casi di lt e E con ci la dimostrazione completata Veniamo ora ad illustrare per sommi capi la Prop 16 Occorre dimostrare che se a b c d allora a c b d possibile permutare i medi In base alla definizione ci significa dimostrare che Vm n la relazione che intercede tra ma ed nc deve implicare
142. ento del lato BD in G avremo che per il Lemma DG BD FE Ma BD e FE so no segmenti di lunghezza nota perch BD dato e deve essere FE PQ e dun que conosciamo la lunghezza di DG e dunque quella di BG Poich BEG deve essere un triangolo rettangolo E deve stare sulla semicirconferenza di diametro BG Ma E deve stare anche sul prolungamento di AC e dunque individuato in posizione L analisi terminata Ora la sintesi sul prolungamento di BD si prenda G in modo che DG sia uguale a BD EF Si tracci la semicirconfe renza di diametro BG e sia E il punto ove tale semicirconferenza incontra il lato AC prolungato La retta contenente B ed E quella richiesta Si tratta come si vede di una soluzione molto brillante Ma non un po artificiosa Proviamo a pensare al problema in termini algebrici immaginando di non conoscere quanto contenuto nel testo di Pappo verrebbe mai in mente di prendere come incognita la misura del segmento DG e di ottenere l equazio ne valutando EF in termini di DG e degli altri dati Certamente no afferma Descartes Chi non per familiare con tale costruzione ossia quanto espo sto da Pappo potrebbe scoprirla solo con una certa difficolt infatti ricer candola secondo il procedimento qui proposto non penserebbe mai di assume re DG per la quantit incognita ma piuttosto CF o FD giacch queste pi facilmente delle altre ci conducono all Equazione 44 44 Descartes 1983 pp
143. ento con la storia dell arte A proposito del dise gno inteso come costruzione della figura geometrica esso una specificit della geometria importante come strumento di apprendimento che catalizza informazioni e abilit Lo schizzo stesso andrebbe molto rivalutato come og getto per congetturare e decidere strategie risolutive Anche se non si riesce a raggiungere appieno l obiettivo della fusione la geometria nello spazio si pu configurare realmente come un battello che per mette di navigare nella geometria collegando varie problematiche RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Castelnuovo E Gori Giorgi D amp Gori Giorgi C 1976 La g om trie l cole Educational studies in mathematics v 17 443 463 D Anna P 1995 Una trasformazione proiettiva Appunti redatti in collaborazione con stu denti del L A Niccol Barabino di Genova Forcheri P Furinghetti F amp Molfino M T 1981 Nouveaux moyens pour vieux sujets la repr sentation des objets in M Pellerey editor Proceedings of the 33th CIEAEM s meeting Pallanza 163 174 Field J V amp James F A J L 1994 Renaissance and revolution CUP Cambridge GEM 1991 Jeux d ombres la lumi re de D rer in Commission Inter IREM Histoire et pist mologie des math matiques editor La figure et l espace IREM de Lyon Lyon 171 183 Grand Henry Krysinska M 1992 G om trie dans l espace et g om tri
144. er discutere l estensione o la non esten sione di certe propriet della geometria piana alla geometria nello spazio ma ai fini del padroneggiare lo spazio mi sembra pi interessante studiare qualche 60 esempio di propriet che si conservano o si perdono nelle trasformazioni Per esempio sarebbe fattibile la proiezione stereografica della sfera trasformazio ne che si presta bene anche a un trattamento analitico Cito due semplici esperienze realizzate in classe dedicate a trasformazioni spaziali Nella prima descritta in GEM 1991 si studia la proiezione di un cerchio da un punto su un piano orizzontale seguendo l approccio al problema del pittore Albrecht Diirer Con dei materiali sperimentali e con la geometria elementare si introduce in maniera abbastanza naturale la nozione di rapporto armonico che un invariante non banale L altra esperienza descritta in D anna 1995 si riferisce allo sviluppo di alcune idee sulla prospettiva ispi rate a un manuale scolastico di Emma Castelnuovo in classi del liceo artistico L interesse di questo lavoro nel fatto che per risolvere i problemi si usano a seconda delle necessit sia procedimenti analitici che grafici Esperienze come queste mi sembrano particolarmente significative in classi in cui si fa parallelamente al corso di matematica un corso di disegno per col legare le due attivit e dare al disegno una base scientifica Ovviamente an che interessante il collegam
145. erile complesso di formule tutte facilmen te deducibili dall osservazione che seno e coseno di un angolo sono le coordinate di un pun to del cerchio trigonometrico Certo l ultima parte dell affermazione vera ma la trigo nometria possiede anche innumerevoli formule di grande bellezza e profonda utilit indispensabili in molti settori della matematica avanzata si pensi solo all analisi armonica E sarebbe estremamente penoso o forse praticamente impossibile dedurre queste formule con il solo ricorso alle definizioni fondamentali Un vero e proprio topos di coloro che ere ditano troppo rigidamente il punto di vista di Descartes il disprezzo anche per una formula semplice quale 2 cosa cost cos a B cos a B e delle altre simili A che servono tali formule Qual il loro uso Al che si potrebbe rispondere con un lungo elenco di usi realmente importanti di formule di questo tipo nella teoria dell interpolazione trigonometri ca ecc All altro estremo eredi di un atteggiamento newtoniano ridotto in caricatura si pongono coloro che pretendono di dedurre immediatamente formule trigonometriche di complessa architettura con l uso libero di altre formule altrettanto complesse finendo a co stringere i loro allievi a sterili esercizi di memoria Una banalit quale in medio stat virtus talvolta non priva di efficacia persuasiva 64 Cfr Galuzzi 1990 106 ma se l equazione risulta complicata per
146. erisce tutta via riferirsi ad un unico ente primitivo il punto diremo che la totalit dei punti costituisce un insieme P Assumeremo quindi che le rette e i piani siano parti colari sottoinsiemi di P che soddisfano i gi citati assiomi di incidenza L inci denza non risulta pi dunque una relazione primitiva ma viene rappresentata attraverso le relazioni insiemistiche supposte note di appartenenza e inclu sione Ricordiamo brevemente gli assiomi di incidenza Per ogni scelta di punti distinti A B C per ogni retta s e per ogni piano o si ha Il esiste esattamente una retta r che contiene A B scriveremo A B f A Ber I2 se A B C non sono allineati esiste esattamente un piano T che contiene A B C scriveremo T A B C A B C T B3 se un piano e una retta s hanno in comune almeno due punti allora s contenuta interamente in O I4 Isl gt 2 inoltre vi sono in Palmeno quattro punti non complanari Le proposizioni I1 e I2 si possono quindi pi propriamente intendere come la definizione di quei particolari sottoinsiemi di P che chiamiamo rispettiva mente retta oppure piano La proposizione I3 assegna allora assiomaticamen 161 te una sorta di condizione di compatibilit tra rette e piani I tre sistemi di oggetti punti rette e piani costituiscono dunque gli elementi essenziali della struttura geometrica che stiamo considerando Da un altro punto di vista si potrebbero in
147. ero reale positivo k viene chiamato rapporto della similitudine f Ecco alcuni esempi di similitudini 1 Le isometrie sono particolari similitudini Il loro rapporto di similitudine 2 Dato un punto D del piano x e a k gt 0 indichiamo con Ap la tra sformazione di x definita da Ap D D e se P D allora hp P P dove il punto P il punto appartenente alla semiretta con origine in D passante per P tale che d P D kd P D 124 D Chiamiamo questa trasformazione omotetia di centro D e rapporto k Notiamo che se k 1 l omotetia hp l identit Se invece k 1 l omotetia Ap non una isometria Esistono quindi simili tudini che non sono isometrie Anche l insieme delle similitudini rientra nel programma di Erlangen L insieme delle similitudini del piano T un sottogruppo del gruppo delle trasformazioni DIMOSTRAZIONE 1 La trasformazione identica una similitudine di rapporto 1 2 Se f una similitudine di rapporto k la funzione f una similitudine di rapporto k 3 Se f una similitudine di rapporto k e g una similitudine di rapporto A la funzione gof una similitudine di rapporto hk Possiamo quindi considerare la geometria associata al gruppo delle simili tudini Essa studia le propriet invarianti per similitudini Abbiamo visto che ogni isometria una similitudine Ne segue che il grup po delle isometrie un sottogruppo del gruppo delle similitudini
148. erti ricerca tori in didattica dall altra percepisco che argomenti forti possono essere addot ti alla messa in discussione di questa necessit la proposta nei programmi di altre parti della matematica con valenze culturali e applicative altrettanto vali de da sostituire alla geometria la difficolt di superare determinati ostacoli epistemologici la formazione degli insegnanti L ultimo punto cruciale Mi sembra che attualmente uno studente cessi la sua militanza geometrica euclidea per l analitica il discorso diverso al pi dopo il biennio delle superiori All universit sotto la denominazione di geo metria si hanno corsi di carattere prevalentemente algebrico anche per chi si laurea in matematica Questi fatti non possono non influenzare il gusto e ov viamente la cultura degli insegnanti Ad esempio come docente di Matema tiche Elementari da un Punto di Vista Superiore al secondo biennio del corso di laurea in matematica ho constatato che i miei studenti hanno difficolt a rappresentare semplici situazioni geometriche Ci una delle conseguenze del fatto che il disegno fondamentale accessorio della geometria caduto completamente in disuso Nello sviluppare le mie considerazioni sull insegnamento geometrico ho te nuto conto ovviamente delle ricerche in educazione matematica noto per che la ricerca a livello di scuola superiore specialmente triennio meno ricca e che il contesto scolast
149. esempio il radicale V3 tra i coefficienti possiamo pensare a sostituzioni del ti po y x3 ecc Questo punto non molto chiaro nella G om trie Si veda comunque De scartes 1983 p 644 48 E dunque necessariamente primitivi 4 Si veda anche Castelnuovo 1924 27 95 Ed ecco ora la definizione che implicitamente Descartes utilizza 59 Un problema sar piano quando l equazione corrispondente ha almeno una radice in K la quale pensati a b c come numeri positivi e tenuto conto delle eventuali limitazioni che vanno poste su di essi esprima una quantit positiva Naturalmente perch questa definizione sia sensata occorre dimostrare che ogni equazione corrispondente al problema geometrico che la genera abbia la stessa caratteristica un risultato che Descartes tacitamente assume senza di mostrazione Ed ecco ora i teoremi che a giudizio di Brigaglia Descartes possiede 1 Un problema di terzo grado che dia luogo ad un equazione in Z a b c piano se e solo se l equazione stessa riducibile in Z a b c 2 Un polinomio monico di terzo grado a coefficienti in Z a b c irri ducibile se e solo se non ammette radici in Z a b c poi possibile come vedremo tra breve associare ad ogni equazione di quarto grado una risolvente di terzo grado la quale se l equazione originaria ha i suoi coefficienti in Z a b c ha anch essa i suoi coefficienti in Z a b c Nei termini di quest
150. esentan do prima nei Libri I IV contenuti geometrici di maggiore fruibilit visiva Tuttavia il carattere delle dimostrazioni euclidee vincolato a questa scelta La possibilit di disporre dei numeri reali e con ci di una teoria delle proporzio 15 Anche se non manca un errore quale l assunzione implicita dell esistenza di una grandezza quarta proporzionale nella Prop 18 17 ni molto elementare rende l uso delle originali dimostrazioni euclidee dei libri I IV in gran parte vuoto di senso Un altro aspetto metodologico degli Elementi sul quale spesso gli studiosi si sono soffermati dato dalla scelta di Euclide di problematizzare l uso del Quinto Postulato creando nel Libro Primo con le prime 28 proposizioni e con la 31 una geometria generale indipendente da esso Gi negli Elementi vi dunque una sorta di propensione verso la geometria non euclidea un punto molto interessante per il quale tuttavia vi abbon danza di letteratura a cui riferirsi In particolare il bel libro di Trudeau si tratta di Trudeau 1991 contiene un accurata analisi del Libro Primo e della sua va lenza non euclidea 16 3 LE COORDINATE PRIMA DELLA GEOMETRIA ANALITICA Oggetto di questo paragrafo l indagare intorno alla natura della presenza del metodo delle coordinate nella matematica greca Discuteremo pi ap 16 Si veda anche Speranza 1992 Per quanto possibile consigliamo la lettura del
151. etri del passato Torricelli Fagnano Eulero Poncelet ecc cercando di utilizzare quando sembrer conveniente le similitudini del piano Questo metodo rende spesso le dimostrazioni pi intuitive non pi ri gorose di quelle tradizionali Cos gli argomenti triangolo e trasformazioni dovrebbero aiutarsi l uno con l altro Le nozioni che daremo per scontate sia per il triangolo che per le similitudini sono quelle descritte in un buon libro per la scuola media 1 PROBLEMI DI MINIMO USO DI SIMMETRIE ASSIALI Problema Consideriamo l insieme dei triangoli che hanno una certa base AB e una certa altezza h Quale tra essi ha perimetro minimo 187 I triangoli in questione hanno il terzo vertice P sulla retta r parallela ad AB e da essa distante h Occorre scegliere P in modo che sia minima la somma IAPI IPBI Si consideri il punto B simmetrico di B rispetto a r Allora IAPI IPBI IAPI IPB e quest ultimo minimo quando il percorso APB retti lineo Tracciata la retta per A B e intersecatala con r in Q si applicano le pro priet della simmetria per trovare IAQI IQB I IQBI Si conclude 1 tra tutti i triangoli che hanno una certa base e una certa altezza il triangolo isoscele quello che ha il perimetro minimo Problema Come scegliere la direzione di un raggio luminoso uscente da R in modo che dopo una riflessione sullo specchio r arrivi in S Sapendo che la luce percorre percorsi minimi principio di Fermat
152. etrici oppure riformulare il problema geometrico in modo da rispettare il parallelismo tra algebra e geometria Scegliendo quest ultima possibilit il pro tes conoscesse o meno l opera di Girard ma va comunque osservato che la notazione alge brica di Girard ripesa da quella di Stevin non solo meno agile di quella cartesiana ma anche adatta solamente a rappresentare polinomi in una variabile a coefficienti numerici Le potenze di una variabile x sono indicate da numeri racchiusi in un piccolo cerchio e non vi sono altri simboli per i coefficienti n per altre eventuali variabili Si veda anche Loria 1950 pp 439 444 102 blema dovrebbe cos formularsi Dato il quadrato ABCD ed un segmento di lunghezza arbitraria PQ si conduca da un vertice B una semiretta che incontri la retta contenente il segmento AC in E e la retta contenente CD in F in modo che il segmento EF abbia la lunghezza di PQ Siamo chiaramente di fronte ad una scelta metodologica importante De scartes non si schierato apertamente per l ultima possibilit non si dimenti chi che egli ha scritto un trattato di geometria ma ci sembra evidente che l in tera impostazione del suo discorso matematico quale poi si sviluppa nella moderna geometria analitica si svolge in questa direzione un punto molto importante il netto primato che nella geometria analitica affidato all algebra non una sorta di dato di fatto ma una scelta metodo logica de
153. ettori in terni dei diedri del poliedro passano tutti per il centro O e inoltre esiste la sfe ra inscritta a II che la sfera di centro O e tangente alle facce di II iii Il centro equidistante dagli spigoli di II Dunque esiste una sfera di cen tro O e tangente agli spigoli di II essa viene detta sfera interscritta Teorema tipi di poliedri regolari sono al pi 5 Dimostrazione i Sia II un poliedro regolare di tipo p q le facce sono dun que poligoni regolari di p lati p goni e da ogni vertice di II escono in totale q facce Poich i p goni regolari hanno gli angoli interni che misurano ciascuno ampiezza p 2 p e in ogni vertice di II ci sono in totale q di tali angoli si ha ql p 2 T pl lt 27n poich il poliedro convesso e inoltre vale la propriet che in un angoloide qualsiasi la somma delle facce sempre minore di due angoli piatti Dunque dividendo per 2 q si ha 11 1 1 1 1 1 3 lt gt gt 7 Pp 4 P q Le soluzioni intere di 1 con la limitazione p q 3 sono tali che 2 p q gt pq gt 2p 2q pq 4 gt 4 4 pq 2p 2q lt 4 gt p 2 qg 2 lt 4 dunque dovr essere p 2 lt 4 e qg 2 lt 4 e quindi p 3 gt p 2 1 gt q 2 1 gt q 3 oppure g 2 2 gt q 4 oppure g 2 3 gt q 5 p 4 gt p 2 2 gt q 2 1 gt q 3 p 5 gt p 2 3 gt q 2 1 gt q 3 I possibili poliedri sono dunque 3 3 3 4 3 5 4 3 5 3 Dimostrazione ii Ricordiamo la formula di Eulero
154. getti che nella specificit delle rispettive competenze ritrovano elementi la cui composizione torna di vantaggio all azione di entrambi Questa consapevolezza ha portato e porta l Amministrazione della P I a servirsi delle collaborazioni esterne per promuovere la realizzazio ne di alcune idee forti originate dall urgenza di porre la scuola in grado di dare risposte significative alla pressante richiesta di innovazione che la nostra societ percorsa da profondi mutamenti le rivolge Sono evidentemente risposte che richiedono azioni incisive nella vi ta nell organizzazione nelle dotazioni nelle strutture e prioritariamente nella professionalit docente sono risposte che la scuola deve e non semplicemente pu dare per le leggi che si dato e che fanno fede del la sua scelta di crescere nel tempo per aiutare a crescere Sono per altro risposte strettamente connesse all impegno di dare pra tica attuazione al dettato del D P R 419 74 riproposto nel T U del 1994 che articola l aggiornamento del personale docente in una serie di azioni finalizzate al miglioramento della qualit della scuola in termini di e adeguamento delle conoscenze allo sviluppo delle discipline conside rate nelle connessioni interdisciplinari e approfondimento della progettualit didattica e partecipazione alla ricerca e alle innovazioni didattiche e pedagogiche Di qui la necessit di trovare collaborazioni per comporre con mag giore rigo
155. gine attraverso una collineazione di un punto proprio pu anche essere un punto improprio Si verifica facilmente che l insieme delle collineazioni un sottogruppo del gruppo delle trasforma zioni del piano ampliato 141 Ebbene le affinit del piano possono essere viste come collineazioni del piano ampliato che conservano la retta impropria Consideriamo ora nel piano una conica per esempio una circonferenza La geometria iperbolica pu essere vista come la geometria associata al sottogrup po delle collineazioni del piano ampliato che conservano la circonferenza Le geometrie ellittiche possono essere descritte in modo analogo Nota qui riportato il contenuto delle lezioni svolte a Viareggio Le lezioni erano accom pagnate da esercitazioni durante le quali stata analizzata la ricaduta didattica degli argo menti trattati Si in particolare discusso sulle opinioni espresse da Villani nel suo articolo su L insegnamento della matematica e delle scienze integrate del 1995 142 Bibliografia L BENAGLIA Cabri g om tre e le trasformazioni geometriche quaderno n 4 di CABRIRR SAE Irrsae Emilia Romagna Sezione Scuola Media 1994 P BOIERI Le trasformazioni geometriche al calcolatore L insegnamento della matematica e delle scienze integrate 1995 pp 629 647 L CAMPEDELLI Cultura matematica e insegnamento elementare Feltrinelli 1978 U Cassina Trasformazioni geometriche elementari in Enciclopedia delle mate
156. gnante classifichi il proprio libro di testo Rifletta se il libro adatto a svolgere la geometria secondo i suoi dell insegnante obiettivi Rifletta se e quanto il libro recepisce le indicazioni dei nuovi programmi 52 II L insegnamento geometrico dai programmi alla classe 1 PER UNA LETTURA COSTRUTTIVA DEI NUOVI PROGRAMMI Negli anni 80 il lancio dei vari nuovi programmi per la scuola secondaria superiore stato seguito da un periodo di discussione critica e di confronto delle varie versioni Superata questa fase iniziale ora il momento di fare un analisi operativa e di configurare alcuni possibili scenari La mia lettura dei programmi si fonda su alcune convinzioni che espongo brevemente Penso che uno degli scopi di un insegnamento ecologico della matema tica dovrebbe essere quello di delineare gli aspetti essenziali della disciplina evitando per quanto possibile l inquinamento provocato dall eccessiva atten zione ad aspetti manipolativi e di routine A questo proposito in alcune ricer che abbiamo constatato che se l apprendimento non ben gestito dall inse gnante nel lungo termine tendono a rimanere i dettagli di ci che insegnato a scapito delle idee generali Si genera cos quel fenomeno che ho chiamato sindrome da Muzio Scevola riferendomi allo studio della storia da parte dei bambini Se si enfatizzano i dettagli e gli aneddoti e non si d un inquadra mento critico accade che
157. guite negli importanti progetti degli anni 70 Speranza F amp Rossi Dell Acqua A Matematica Zanichelli Bologna 1970 1974 5 volu mi e J linguaggio della matematica Zanichelli Bologna v 1 e 2 1979 T 1981 Geometria dello spazio 1982 Prodi G Matematica come scoperta D Anna Firenze v 1 1975 v 2 1977 UMI a cura di Matematica come scoperta Guida al progetto di insegnamento della mate matica nellea scuole secondarie superiori Esperienze dei Nuclei di Ricerca Didattica D Anna Firenze v 1 1977 v 2 1978 Mancini Proia L amp Lombardo Radice L Il metodo matematico Principato Milano v 1 e 2 1977 v 3 1979 Villani V amp Spotorno B Matematica Idee e metodi La Nuova Italia Firenze v 1 1979 v 2 1982 Isole deduttive Nel paragrafo sulla dimostrazione sono state illustrate alcune difficolt in contrate dagli studenti nel dimostrare d altra parte riconosciuta l importanza della dimostrazione sia nella ricerca matematica che nell insegnamento quindi il problema di avviare alla dimostrazione si pone Vediamo alcune idee che si possono sviluppare Nel biennio si pu rinunciare a una presentazione rigidamente assiomatica assumendo per come punto fermo l idea in Vailati 1907 142 di praticare un insegnamento teso a educare e ad affinare l attitudine dell alunno a ragionare in modo preciso e rigoroso Ci che per questo fine richiesto soltan
158. i i termini del con tratto didattico evidente ci che l insegnante ritiene evidente il disegno aiu ta o inganna capire quando due rette che sembrano parallele sono nelle inten zioni del disegnatore effettivamente parallele Inoltre si vuole vedere se davvero esiste un metodo migliore o ciascuno ha il suo metodo migliore via grafica e algebrica metodo euclideo o trasformazioni Gli elementi conside rati non sono legati a difficolt interne alla matematica ma piuttosto a proble mi di rapporto insegnante alunno strumenti contesto Associo a ciascuna do manda alcuni cenni alle motivazioni con cui le ho poste MI Si vede come spesso negli enunciati l informazione legata al disegno senza il disegno le informazioni non sono sufficienti Per esempio si pensi allo stesso problema enunciato cos Sia dato il parallelogrammo ABCD M2 Si vede quale metodo risolutivo usato la rappresentazione grafica o quella numerica M3 Si cerca di riprodurre la situazione dello studente che deve disegnare una figura che non ha mai visto e gli stata solo descritta verbalmente MA Si deve rispondere a partire da informazioni grafiche da decodificare e interpretare Si devono misurare i segmenti che sembrano uguali per controlla re se sono uguali Quale errore tollerato nella misurazione MS Se la geometria utile per risolvere problemi davvero a scuola si fa e si usa la geometria che serve a tale scopo Per
159. i metodo dei luoghi geometrici il metodo di trasformazione delle figure Le trasformazioni ivi considerate sono movimenti similitudini in particolare omotetie e omotetie composte con le traslazioni inversioni per raggi vettori reciproci affinit omologiche I seguenti esercizi sono svolti da Luigi Campedelli nel Repertorio di matematiche curato da Mario Villa CEDAM Padova 1951 pp 272 273 1 Data una retta r e due punti A e B determinare sulla retta r un punto C tale che le semirette CA e CB formino un medesimo angolo l una con il senso positivo e l altra con quello negativo della r Si risolve con il ribaltamento degli elementi dati 2 Costruire le tangenti comuni a due cerchi dati C e C Si risolve mediante una traslazione della figura incognita 3 Costruire un cerchio tangente a due rette date a b e passante per un punto asse gnato A Si risolve mediante una omotetia Le trasformazioni possono essere molto utili anche per risovere problemi pratici Sto pensando ad esempio ai problemi che si pongono disegnando al calcolatore con SuperPaint o altri strumenti ausili di questo tipo si puo partire da situazioni che si creano spontaneamente per riflessioni anche non banali e certo non artificiose sulle tasformazioni elementari Alla luce delle precedenti considerazioni mi sembra che le trasformazioni possano configurarsi non come un ulteriore porto obiettivo contenutistico da raggiungere nella naviga
160. i opposti nella retta unita Individuare una propriet che si con serva e una che non si conserva in questa trasformazione D8 Consideriamo un cerchio senza la circonferenza di contorno in cui i punti sono gli usuali punti euclidei e le rette sono i segmenti interni al cerchio intercettati dalla circonferenza contorno sulle rette euclidee del piano del cer chio I triangoli interni al cerchio che hanno un vertice sulla circonferenza con torno si dicono asintotici Disegnare un triangolo asintotico D9 Guardando le figure a b c d decidere a Quali segmenti sono uguali b Quale dei due segmenti a destra del rettangolo continuazione di quello a sinistra c Se i segmenti AB e CD stanno su rette parallele d Se i segmenti AB e CD hanno la stessa lunghezza a b c d D__F C lo VAS A B N i A D B D10 Quali delle seguenti lettere simmetrica rispetto ad una retta quali ri spetto ad un punto ZFETSIHVXQ D11 Disegnare un quadrato inscritto in una semicirconferenza 21 Motivazioni nel porre queste domande Col questionario si cerca di riprodurre per l insegnante la situazione al buio dell alunno che si trova davanti a quesiti di cui ignora il contesto trasforma zioni illusione ottica assiomi non noti il modo di risolvere gi fatto nuovo c un trucco le regole grafiche che invero nessuno mai gli ha esplicitato i cerchi si proiettano in ellissi o in segment
161. i primi due anni Le proposte della Commissione Brocca Studi e Documenti degli Annali della Pubbli ca Istruzione vol 56 Roma 1991 3 CHOQUET G L insegnamento della Geometria Feltrinelli Milano 1969 4 COXETER H S M et a Ed M C Escher Art and Science North Holland Amster dam 1986 5 DIEUDONN J Algebra lineare e geometria elementare Feltrinelli Milano 1970 6 FANO G Lezioni di geometria descrittiva Paravia Torino 1914 7 HILBERT D Grundlagen der Geometrie trad it Fondamenti della Geometria Feltri nelli Milano 1970 8 KARZEL H S RENSEN K WINDELBERG D Einf hrung in die Geometrie Van denhoeck amp Ruprecht G ttingen 1973 9 MANARA C F MARCHI M Il linguaggio matematico Scuola e Didattica 16 1986 93 97 10 MANARA C F MARCHI M L insegnamento della Matematica Editrice La Scuola Brescia 1993 11 MARCHI M Geometria elementare nel geopiano L insegnamento della matematica e delle scienze integrate 4 1981 5 78 12 MARCHI M Aspetti educativi di una presentazione assiomatica della geometria I II parte Nuova Secondaria 6 8 1984 66 69 81 82 13 MARCHI M Evoluzione della matematica da scienza di contenuti a scienza di struttu re Scuola e Didattica ottobre 1985 46 48 14 MARCHI M Aspetti educativi di una presentazione assiomatica della matematica L insegnamento della matematica e delle scienze integrate 11 1988 497 511 15 MAR
162. i tutto necessario estendere la nozione di angolo anche alle coppie di rette sghembe Con riferimento alla nozione di angolo precedentemente assegnata evi dente che ad ogni coppia di rette distinte e non parallele di un piano sono asso ciati quattro angoli a due a due tra loro adiacenti e a due a due opposti al verti ce Poich nello spazio esistono anche coppie di rette distinte non parallele e prive di punti in comune rette tra loro sghembe appunto si vuole estendere pure a queste la nozione di angolo A tale scopo dette r s due rette sghembe si consideri un generico punto P r e quindi le due rette complanari r P s A queste rette sono dunque associati quattro angoli come in precedenza si 170 osservato si conviene di considerare tali angoli come angoli associati alle due rette sghembe r s evidente che la precedente definizione accettabile solo se si dimostra che gli angoli formati dalle rette r e P s sono tutti rispettivamente con gruenti tra loro al variare di P r Ci immediato poich le rette P s al variare di P e r sono parallele e complanari con r vedi teorema 3 iv e for mano quindi un fascio di rette parallele tagliate dalla trasversale r La precedente definizione ci permette di estendere allo spazio euclideo P R la nozione di rette perpendicolari Definizione Due rette distinte r s sono dette perpendicolari e scriveremo r L L s se scelto un punto P r e de
163. iamano duali tra loro Il tetraedro autoduale ii La dualit si pu descrivere in generale come segue Sia II un poliedro re golare di f facce ciascuna con p lati e v vertici da ciascuno dei quali escono q spigoli Sia II un poliedro i cui vertici sono nel centro delle facce di II quindi v f Ogni faccia di II ha p lati dunque circondata da altre p facce e quindi da ogni vertice di Il escono p segmenti che vanno agli altri vertici cio escono p spi goli quindi in conclusione q p In ogni vertice di II concorrono q spigoli cio q facce allora ogni faccia di IT che ha i vertici nelle facce di II che si trovano attorno ad un suo vertice pos siede tanti lati quante sono queste facce che escono dallo stesso vertice di II cio p q Allora si ha pure che le facce di II sono tante quanti i vertici di II attorno ai 184 quali sono costruite e quindi f v Dunque Il il poliedro duale di II Inoltre Il inscritto nella sfera inscritta a II iii Il duale di IT un poliedro II dello stesso tipo di II iv Se II poliedro regolare e IT il suo duale una isometria che fissa II deve necessariamente fissare anche II Allora i gruppi di simmetria di II e IT coin cidono 185 Bibliografia 1 A A V V Enciclopedia delle matematiche elementari a cura di L BERZOLARI G VI VANTI D GIGLI vol I parte 1 Hoepli Milano 1937 2 A A V V Piani di studio della scuola secondaria superiore e programmi de
164. iamo l uguaglianza degli angoli ZA A3B3 ZHAJA i cui lati sono a due a due perpendicolari e ZA A3B3 ZA A7B3 perch sottesi dall arco A B3 in B Ne deduciamo che il triango lo HA B3 isoscele e dunque H3 il punto medio di HB3 Lo stesso si ottie ne per H4 Ho permutando gli indici Possiamo esprimere questo fatto dicendo che c un omotetia n di centro H e coefficiente u 1 2 che manda B in H Si trasformi ora la circonferenza B secondo n si ottiene una circonferenza il cui raggio la met di quello di B e il cui centro n O medio tra H e O Ma allo ra per quanto osservato sopra n 0 N e n B N Poich B circoscritta al triangolo B B B3 anche la sua immagine N circoscritta al triangolo HHH come si voleva Quanto ai punti R dell enunciato basta osservare che n manda A in R e quindi si tratta ancora di punti di N 195 Gli ultimi tre punti dei nove non sembrano avere la stessa dignit geo metrica degli altri sei Per convincerci del contrario basterebbe inoltrarci nella geometria del quadrangolo un capitolo poco conosciuto interpretando infatti AjA9A3H come un particolare quadrangolo completo i nove punti prece denti diventano i sei punti medi dei sei lati e i tre punti diagonali intersezione dei lati opposti e si vedrebbe che anche per un quadrangolo qualsiasi vale un teorema analogo al precedente pur di sostituire al circolo un opportuna co nica Un insolita applicazione del teorema dei
165. iascuno di perimetro p ma di area crescente A lt A lt A lt Proveremo che le lunghezze dei loro lati vanno avvicinandosi quanto si vuole a p 3 cio T tende al crescere di n verso un triangolo equilatero Ecco la costruzione T base c altri due lati a b 2 J 2 Tz base s1 2 altri due lati c s1 2 2 s2 2 T3 base s2 2 altri due lati s1 2 s9 2 2 s3 2 Tri base Sn 1 2 altri due lati Sp 2 2 Sp 1 2 2 sp 2 Tx 4 8 4 8 4 4 4 8 Si vede subito che in ogni passaggio da un triangolo al successivo si con servano uno dei lati e il perimetro e dunque l area non diminuisce Calcoliamo ora la differenza d tra i lati diversi dj C s1 2 do s2 s1 2 c s1 2 2 d 12 d3 S2 3 2 s2 s1 4 d 14 d4 s4 3 2 s2 3 4 d 18 In generale si trova dp d 2 189 una quantit che diventa piccola quanto si vuole pur di prendere n abbastanza grande Cos intuitivo pensare che il triangolo equilatero di lato p 3 il limi te di quella successione e la sua area A gt A gt A L argomentazione precedente potrebbe diventare una rigorosa dimostrazio ne ma occorrerebbe corredarla con la nomenclatura e le propriet dei limiti Esistono naturalmente dimostrazioni alternative quelle pi note utilizzano la formula di Erone e il teorema delle medie aritmetica e geometrica ma tutte ri chiedono una certa preparazione di risultati ausiliari Anche per questo
166. ibile l opinione espressa in Valabrega 1989 p 141 che con Jean Victor Poncelet 8 che incomincia a delinearsi chiaramente quel metodo delle trasformazioni geometriche per risolvere i pro blemi geometrici che sar ampiamente usato in seguito Le trasformazioni sono dunque uno strumento in pi offerto allo studente per risolvere problemi che danno la possibilit di attivare registri diversi e mettersi in differenti contesti L esperienza citata precedentemente sulle due dimostrazioni nate dopo la congettura indotta dalla visualizzazione con Cabri si veda il paragrafo sulle Isole deduttive d un idea di questo fatto Alcuni ar 18 A tale proposito si legga quanto scrive Poncelet nella prima parte del capitolo primo del Trait des propri t s proj ctives des figures due volumi il primo stato pubblicato nel 1822 Metz e Parigi 65 ticoli presentano problemi geometrici sviluppati alla Euclide o con le tra sformazioni e mettono in risalto che non esiste il metodo migliore in assoluto ai fini della risoluzione ma quello adatto al singolo caso Nella pratica scola stica lo studente non dovr essere forzato a prendere una determinata strada bens abituarsi a esaminare le varie possibilit e considerare come parte della soluzione dell esercizio la scelta del procedimento pi efficiente Per informazione del lettore ricordo che nel citato articolo Sabbatini 1926 sono presentati i metodi per risolvere problem
167. ico e sociale diverso nei vari paesi rende le esperienze meno trasmissibili a questo livello Nel caso specifico della geometria osservo che nel volume curato da David Tall Advanced mathematical thinking Kluwer Academic Press Dordrecht 1991 non c un capitolo dedicato espressamente alla geometria Lo studio ICMI International Commission on Mathematical Instruction tenutosi a Catania nel settembre 1995 ha evidenziato che l inse gnamento della geometria un problema praticamente ovunque Ho impostato il presente lavoro partendo da alcune idee di base Z livello 0 Che cosa c dietro a Metacognizione Ricorrenza di certi problemi didattici che abbiamo studiato e applicato nel gruppo GREMG in ricerche su problemi l Nel seguito con questa sigla ci riferiremo al Gruppo Ricerca Educazione Matematica Genova operante presso il Dipartimento di Matematica dell Universit di Genova con finan ziamenti CNR e MURST La scrivente ne il coordinatore 16 di apprendimento e di costruzione di curricula Brevemente illustro queste idee e il loro impiego nella discussione sull insegnamento geometrico Il livello 0 Una delle idee di base del nostro lavoro nel GREMG quella di partire dal livello 0 dello studente ossia di capire se e quali concezioni credenze convin zioni eventualmente non esplicite lo studente ha su un certo argomento prima di averlo affrontato in classe Per fare un esempio quando abbiamo af frontato il
168. iderate anche per questa via Scuola media di secondo grado Matematica ed informatica Obiettivi di apprendi mento p 160 Alla fine del biennio lo studente deve dimostrare di essere in grado di 62 1 individuare propriet invarianti per trasformazioni elementari Scuola media di secondo grado Matematica ed informatica Tema 1 Geometria del piano e dello spazio p 161 1 1 Piano euclideo e sue trasformazioni isometriche Figure e loro propriet Poligoni equiscomponibili teorema di Pitagora 1 2 Omotetie e similitudini del piano Teorema di Talete 1 3 Piano cartesiano retta parabola iperbole equilatera 1 4 Coseno e seno degli angoli convessi Relazione fra lati ed angoli nei triangoli rettangoli 1 5 Esempi significativi di trasformazioni geometriche nello spazio Individuazione di simmetrie in particolari solidi geometrici Nei programmi del biennio il discorso sulle trasformazioni non opzionale anche se tale pu apparire ad una prima lettura del commento ai singoli temi utilizzando la geometria delle trasformazioni oppure seguendo un percorso pi tradizionale Il seguente schema d un idea delle scelte di base che l in segnante si trova a fare Trasformazioni a analiticamente suda oggetto di sinteticamente suo per risolvere problemi partire dalle per studiare il piano euclideo isometrie o viceversa Fondamentalmente si possono intravvedere due possibilit fondare la
169. iedri Da questo punto di vista i primi tre criteri di congruenza per i triedri corrispondono ai tre classici criteri di congruenza dei triangoli Il quarto criterio di congruenza per i triedri non ha invece il corrispettivo per i triangoli Anzi utilizzando per i triedri concetti analoghi a quelli introdot ti per i triangoli la proposizione 7 iv si potrebbe esprimere dicendo che non esistono triedri simili cio se due triedri sono simili allora sono anche con gruenti Osserviamo che i quattro criteri di congruenza suggeriscono la esistenza di una sorta di simmetria nel ruolo svolto da facce e diedri in altre parole le quat tro proposizioni 7 1 7 iv non sono tra loro indipendenti Infatti in forza del Teorema 5 dalle proposizioni 7 i e 7 iii si ottengono immediatamente ri spettivamente le proposizioni 7 ii e 7 iv o viceversa Questo fatto illumina in profondit l importanza della relazione di polarit tra triedri In particolare possiamo osservare che legata alla esistenza della relazione di polarit la coincidenza dei concetti di congruenza e similitudine per i triedri 3 LA GEOMETRIA ELLITTICA Come abbiamo osservato la nozione di triedro e le propriet relative pre sentano profonde analogie con la geometria del triangolo in un piano euclideo Tali analogie non sono per complete ma anzi ammettono alcune essenziali difformit Questi fatti ci suggeriscono che possibile costruire una nuova geome
170. ifiche vol 2 a cura di E Lojacono To rino Utet 1983 Il volume propone la traduzione integrale del Discours de la M thode et les Essais originariamente pubblicato a Leida nel 1637 DI Sno S GALUZZI M 1995 La storia della matematica in Italia ed il Periodico di Matematiche in Carbone Guerraggio 1995 pp 25 68 EDWARDS H M 1984 Galois theory New York amp c Springer Verlag 1984 108 ENRIQUES F coordinatore 1924 27 Questioni riguardanti le matematiche elementari Bologna Zanichelli 1924 27 Riproduzione anastatica Bologna Zanichelli 1983 1924 27 Alcune osservazioni generali sui problemi geometrici in Enriques 1924 27 pp 575 596 EUCLIDE Elementi Gli Elementi di Euclide trad it a cura di A Frajese e L Maccioni Torino Utet 1970 FURINGHETTI F 1993 Educazione matematica e storia Lettera Pristem 9 1993 pp 38 39 FREGUGLIA P 1988 Ars Analytica Matematica e methodus nella seconda met del Cinquecento Busto Arsizio Bramante Editrice 1988 GALUZZI M 1990 I marginalia di Newton alla seconda edizione latina della Geometria di Descartes ed i problemi ad essi collegati in Belgioioso Cimino Costabel Papuli 1990 pp 387 417 GIRARD A 1629 Invention nouvelle en l Algebre Amsterdam 1629 GRUGNETTI L 1989 The role of History of Mathematics in an interdisciplinary approach to mathematics teaching
171. ignificativo di sistema ipotetico deduttivo Nel suo progetto Giovanni Prodi indica questi obiettivi che l insegnamento della geometria deve raggiungere 1 Offrire un esempio di sistema deduttivo rigoroso 2 Offrire un ampia gamma di esercizi che richiedono la messa in opera di particolari abilit 3 Costruire una descrizione matematica e come tale assiomatica di uno spazio creando un supporto nel quale studiare i fenomeni fisici in questo senso la geometria vista come primo capitolo della fisica 4 Mantenere viva ed estendere l intuizione spaziale e fornire strumenti di Nu BS ov ue 37 rappresentazione ci implica tenere presente la grande economia di pensie ro che permette la rappresentazione geometrica e l importanza sempre cre scente che assume nei vari settori della matematica Nell articolo Vollrath 1976 scritto in anni cruciali nella discussione di dattica post bourbakista troviamo un analisi dei vari ruoli che la geometria pu ricoprire in un curriculum Geometria come origine di teorie matematiche Geometria come origine di concetti e teoremi per costruire teorie Geometria come origine di strategie per risolvere problemi Geometria come origine di teorie per operare Geometria come origine di teorie dello spazio Geometria come risultato di problemi risolti Geometria come origine di forme Il documento preparatorio allo studio ICMI di Catania offre molti spunti per una discussione preliminare
172. iii e iv si possono sostituire con la richiesta che da ciascun vertice esca lo stesso numero di spigoli 2 Una qualsiasi delle quattro condizioni della definizione consegue dalle altre tre Quindi in particolare bastano 3 delle 4 condizioni enunciate 3 La coppia di condizioni i e iv sufficiente per la regolarit del poliedro Le altre coppie di condizioni non sono invece sufficienti in particolare non lo sono per esempio le condizioni 1 e ii Controesempio Il poliedro ottenuto incollando due tetraedri regolari con gruenti lungo una faccia soddisfa le condizioni i e 11 ma non la condizione Gii perch vi sono vertici da cui escono 3 spigoli e altri da cui ne escono quat tro e quindi non possono essere congruenti tra loro i relativi angoloidi Anche la condizione iv non soddisfatta dalla figura in questione Infatti la figura al vertice di un vertice da cui escono 4 spigoli una poligonale non pia na che equilatera ma non equiangola cio non un poligono regolare 4 Un tipo di poliedro regolare si individua con una coppia p q p q N p q 2 gt 3 ove p indica il numero dei lati di ogni faccia e q il numero degli spigoli che escono da ogni vertice 182 Teorema Sia II un poliedro regolare i Esiste un punto O detto centro equidistante dai vertici del poliedro Dun que esiste la sfera circoscritta a II di centro O ii Il centro equidistante dalle facce del poliedro Dunque i piani bis
173. il metodo della geometria classica che quello della geometria analitica e lo studente va stimolato ad usare l uno o l altro in rela zione alla naturalezza alla espressivit e alla semplicit che essi offrono nel caso particolare in esame Questi brevi cenni alle diatribe del passato fanno intravvedere alcuni temi di fondo che si ritrovano anche al presente e su cui sar centrata la nostra di scussione Le linee di sviluppo didattico si possono ricondurre al filone ipoteti co deduttivo alla Euclide o al filone metrico che si basa sulla struttura dei reali Gli approcci educativi che si delineano sono vari il metodo costruttivo basa to sul disegno su software per disegnare su macchine le limitate catene di deduzioni l insegnamento per problemi Restano problemi di fondo irrisolu ti evidenza intuizione e rigore teoria accademica e pratica scolastica diffe renze nelle finalit e negli obiettivi dei vari tipi di scuola superiore Concludo sottolineando una tradizione tipica dell Italia per cui i grandi movimenti curricolari europei quello di Klein con il programma di Merano che prevedeva tra l altro l introduzione dell analisi e il bourbakismo con l as siomatizzazione totale della matematica hanno toccato relativamente poco la pratica scolastica italiana e ci ha propiziato una continuit che potremmo definire secolare nell insegnamento della geometria 26 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Una buo
174. individuare con i metodi della geo metria analitica le proiezioni assonometriche dell asse x e di una circonferenza del piano x y Detto O x y z un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monome trico nello spazio fissiamo come piano del disegno quadro il piano y z e riferiamo dunque tale piano alla coppia di assi y y z z Scegliamo come centro di proiezione V il punto improprio dello spazio rappresentato dalla dire zione della retta 156 f y bt z Ct b c gt 0 Il punto obiettivo punto dello spazio X 1 0 0 viene proiettato da V su T nel punto X V P A T quindi essendo V P e di equazioni rispetti vamente x 1l t y bt z ct e x 0 si ha X b c Dunque la proiezione x dell asse obiettivo x nel piano ha equazione cy bz 0 Vogliamo ora rappresentare la proiezione y della figura spaziale costituita dalla circonferenza Y di equazioni x y2 1 1 bo Z La retta proiettante il generico punto P x Yo 20 di y ha equazioni X Xott Y yot bt Z Zo Cf ricordando quindi le 1 e intersecando con il quadro riferito al sistema di coordinate cartesiane y z ove y y 2 z si ha l equazione di y 2 ey bz z e Dunque y una ellisse con il centro nel punto O 0 0 inscritta nel pa rallelogrammo i cui lati hanno equazioni cy bz tc 0 z tc con i punti di contatto rispettivamente A 1 0 B 1 0 C b 0 D b
175. ine di arbitrariet presente nelle due de finizioni di semplicit poste pu dar luogo a interminabili discussioni cosa mai la natura stessa di un problema E come descriverla al di l dell ovviet di alcuni esempi Chi e perch decide che alcuni strumenti sono semplici E cos via Non mancano come si vede gli interrogativi Tuttavia la mancanza di soluzioni di un problema non implica affatto che esso abbia importanza trascurabile Al contrario si pu dire che inerisce alla reale natura dei problemi veri proprio la loro mancanza di soluzioni banali 9 62Si pensi ad alcuni classici problemi filosofici quali l esistenza di idee innate o la rea le natura del male ecc 105 ognuno deve trovare personalmente la sua risposta 93 Senza voler scivolare nella retorica occorre dunque dire che Newton e De scartes presentano due opzioni tra le quali ognuno deve collocare le proprie scelte metodologiche L atteggiamento di Newton si coglie con grande chiarezza nella sua solu zione del problema del quadrato B A F G a E CG x Cc D Naturalmente Newton conosce benissimo la soluzione di Descartes cos come quella presentata da Pappo Tuttavia la soluzione di Descartes gli sembra inutilmente complicata viene certo spontaneo assumere DE come incognita 6Residuo di un certo snobismo indubbiamente presente in Descartes l atteggamento di alcuni insegnanti rispetto alla trigonometria st
176. ine e figure simili L educazione matematica anno XI 1990 pp 55 64 V VILLANI Didattica della geometria delle trasformazioni IRRSAE Marche 1992 Pac chetto multimediale V VILLANI Le trasformazioni geometriche nella Scuola Secondaria Superiore L insegna mento della matematica e delle scienze integrate 1995 pp 669 688 V VILLANI JI ruolo delle trasformazioni nell insegnamento della geometria Notiziario UMI Suppl al n 8 9 1995 pp 29 44 V VITA La geometria delle trasformazioni nell insegnamento secondario superiore Archi mede 1993 pp 76 83 H WEYL La simmetria Feltrinelli 1975 ed orig Symmetry Princeton University Press 1952 I M YAGLON Le isometrie Zanichelli 1972 ed orig in russo del 1955 tradotta poi in in glese Geometric Transformations I Random House 1968 143 LA GEOMETRIA DELLO SPAZIO Mario Marchi Dipartimento di Matematica Universit Cattolica del Sacro Cuore Brescia I La geometria tra intuizione e formalizzazione 1 LA NASCITA DELLA GEOMETRIA ANALISI DELLE ESPERIENZE SENSORIALI La geometria razionalizzazione di quelle nostre esperienze sensoriali che indichiamo genericamente come esperienza spaziale e anche esperienza di movimento Si potrebbero addirittura individuare due particolari ambiti sensoriali dai quali la nostra fantasia trae le immagini sulle quali la nostra mente costruir poi i concetti della geometria Tali ambiti sono quello delle sensazioni visive e quel
177. intersecata dal la retta 3 sono parallele all asse z Il Lettore pu facilmente confrontare una rappresentazione che rispetta le regole della geometria descrittiva in particolare il teorema relativo alla proie zione del contorno apparente con le illustrazioni che si trovano purtroppo spesso in diversi libri di testo e che si presentano come patetici tentativi di rap presentare rispettivamente un cilindro rotondo oppure una sfera con i suoi po li i meridiani e i paralleli 159 III I fondamenti della geometria euclidea dello spazio 1 PREMESSA Faremo in questo capitolo un breve inventario delle nozioni su cui essen zialmente si fonda la geometria euclidea dello spazio illustrando parimenti al cune significative propriet che le caratterizzano La trattazione non avr un carattere strettamente tecnico ed esaustivo ma tuttavia non costituir neppure una sorta di trasposizione didattica che viene invece affidata all esperienza e alla competenza degli insegnanti I criteri con cui stato compilato questo inventario sono suggeriti oltre che dalle personali convinzioni di chi scrive anche dalla intenzione di ottemperare al dettato dei Programmi ministeriali programmi sperimentali proposti dalla c d Commissione Brocca cfr 2 Nei Commenti al Tema Geometria relativi al biennio e quindi con validit anche per il triennio della scuola se condaria superiore scritto il d
178. io dal piano di ciascuna sua faccia Le superfici totali di una piramide o di un prisma sono superfici poliedriche convesse Le loro superfici laterali non sono chiuse Ci interesseremo nel seguito salvo esplicito avviso contrario solamente di superfici poliedriche convesse Per ogni spigolo s di una superficie poliedrica convessa II l intersezione dei semispazi in cui le due facce che lo hanno in comune lasciano la superficie un diedro convesso che contiene II e che diciamo diedro di II Per ogni verti ce V di II le semirette degli spigoli di II uscenti da V sono gli spigoli di un an goloide convesso contenente II che chiamiamo angoloide di II Se una retta interseca una superficie poliedrica convessa la interseca o in un solo punto che sar quindi su un suo spigolo o lungo un segmento di una faccia o in due punti situati su facce distinte 180 Definizione Si chiama poliedro convesso l insieme formato dai punti dei seg menti i cui estremi appartengono a una superficie poliedrica convessa assegna ta La superficie si dice superficie del poliedro e i suoi vertici spigoli e facce ri spettivamente vertici spigoli e facce del poliedro Tale poliedro l intersezione dei semispazi che hanno per contorno i piani del le facce della superficie e contengono la superficie Si osservi che da un vertice di un poliedro escono almeno tre spigoli e cia scun vertice comune ad almeno tre facce Un segmento che unisca due vertici di
179. iscono nel loro interagire siner gico la cifra peculiare del fare scuola oggi Proprio muovendosi in una cornice siffatta le relazioni dei due semi nari lucchesi hanno dipanato il discorso geometrico nel registro grafico e verbale insistendo in particolar modo sul problema didattico del nuo vo modo di intendere la dimostrazione Lungo questa strada emer sa con limpidezza la necessit di considerare come ci suggerisce Tho mas Kuhn non a caso puntualmente citato in uno degli interventi lo spessore particolare e gli inediti risvolti che oggi si vengono finalmente a stabilire nel rapporto tra scienza e storia Al riguardo anzi la geome tria presenta una sua peculiarit essa ha iniziato a svilupparsi molto presto ben prima del razionalismo euclideo e offre pertanto lo speci men privilegiato per non ridurre ai canoni abituali e abitudinari il ter reno fascinoso del rapporto tra sapere scientifico e l avventura faticosa ma esaltante dell uomo su questa nostra terra Non per nulla come os serva una delle relazioni la geometria non si limita a una funzione di rappresentazione del reale n si riduce alla soluzione dei problemi ma rivive queste sue caratteristiche fontali nella perenne capacit di dar luogo a modelli matematici in grado di vivere nella storia contribuendo a darle senso L augurio che il dibattito dei due seminari lucchesi cos densi di stimoli e suggestioni possa suscitare nel grande mondo de
180. istico attribuire le cause di questa crisi solo alla matematica moderna che ha al pi accentuato un decadimento dal le origini ben pi lontane o ai cambiamenti della societ scolarizzazione di massa crisi di certi valori culturali 3 L entrata in crisi della geometria eu clidea stata molto morbida e mai ufficializzata nei programmi sta per di fatto che in molte scuole scomparsa o al pi presente reincarnata come geo metria analitica Il mio discorso sull insegnamento della geometria comincia dalla presa d atto di questo fatto e da un tentativo di individuarne le cause A grandi linee si pu dire che prima degli anni 1970 la geometria insegnata nelle scuole italiane si rifaceva al testo Federigo Enriques e Ugo Amaldi pri ma edizione nel 1903 con successive numerose riedizioni Questo libro nato sulla scia della sistemazione assiomatica hilbertiana si pu considerare il pun to culminante di una ristrutturazione dell insegnamento della geometria inizia ta subito dopo la nascita dello stato italiano Alcuni matematici gi attivi nel Risorgimento presero parte attiva anche alla creazione della nuova nazione in particolare Luigi Cremona che ebbe incarichi ufficiali nel governo Egli contri bu notevolmente alla reintroduzione degli Elementi di Euclide come libro di testo nella scuola liceale italiana legge Coppino del 1867 Questa introduzio ne era fatta sulla base del convincimento che la matematica de
181. itudine inversa 128 4 AFFINIT Una affinit del piano x una trasformazione geometrica del piano che conserva le rette Ecco alcuni esempi di affinit 1 Sappiamo che le similitudini conservano le rette Pertanto le similitudini e quindi in particolare le isometrie sono affinit 2 Sia data una retta r un vettore v non parallelo alla retta r e k gt 0 Chiamia mo omologia di asse r direzione v e rapporto k la trasformazione Oxxx del piano definita da Ox vx P P se P un punto di r altrimenti Ox vx P P do ve il punto P il punto ottenuto nel seguente modo si considera la retta s pas sante per P parallela a v e il punto Q di intersezione delle rette r e s il punto P il punto appartenente alla semiretta con origine in Q passante per P tale che d P Q kd P Q Q Si verifica facilmente che un omologia una affinit Basta infatti utilizzare semplici propriet geometriche propriet dei parallelogrammi e teorema di Talete per dimostrare ci Un omologia non conserva sempre l ortogonalit Pertanto un omologia non in generale una similitudine B E r Anche le affinit rientrano nel programma di Erlangen L insieme delle affinit del piano n un sottogruppo del gruppo delle tra sformazioni del piano 129 DIMOSTRAZIONE Lasciata al lettore Possiamo quindi considerare la geometria associata al gruppo delle affinit Essa viene di solito chiamata geo
182. k 21 1989 pp 176 179 NEWTON I 1728 Universal Arithmetick facsimile della trad inglese del 1728 in The Mathematical Works of Isaac Newton a cura di D T Whiteside vol II New York e Londra Johnson Reprint Corporation 1964 PANZA M PONT J C 1995 Le savants et l pistemologie vers la fin du XIX si cle Paris Blanchard 1995 PANZA M 1995 L intuition et l evidence La philosophie kantienne et les g om tries non euclidien nes relecture d une discussion in Panza Pont 1995 pp 39 87 PAPPO Collezioni La Collection math matique traduzione francese di P Ver Eecke nuova ri stampa due volumi Parigi Blanchard 1982 PERGOLA M ZANOLI C coordinatori 1994 Introduzione alla geometria delle coniche Gruppo di lavoro Triennio Scuola se condaria Superiore in Micale Pluchino 1994 pp 225 231 SPERANZA F 1992 La geometria non euclidea come e perch in Marchini Speranza Vighi 1992 pp 39 54 TRUDEAU R 1991 La rivoluzione non euclidea traduzione italiana Torino Bollati Boringhieri 1991 VILLANI V SPOTORNO B 1979 Matematica Idee e metodi Firenze La Nuova Italia 1979 WEIL A 1978 History of Mathematics why and how in Proceedings of the International Con gress of Mathematicians Helsinki 1978 pp 227 236 Zuccon V a cura di 1991 ZI progetto della Commissione Brocca Brescia Editrice La Scuola 19
183. l gruppo 7 7 Il pi semplice sottogruppo di T m dato da G Esso quindi formato dalla sola trasformazione identica Nella geometria associata a questo sotto gruppo ogni figura del piano uguale solamente a se stessa 139 Le dieci figure introdotto all inizio sono pertanto suddivise in dieci classi di equivalenza 1 12 13 14 5 16 71 8 9 10 Coloro che hanno sostenuto che le figure 1 e 2 non sono uguali perch non sono formate dagli stessi punti hanno implicitamente considerato la geometria associata al sottogruppo formato dalla sola trasformazione identica Consideriamo ora il sottogruppo dato da tutte le traslazioni del piano e con sideriamo la geometria ad esso associata In questa geometria le dieci figure introdotte all inizio vengono suddivise nelle seguenti classi di equivalenza 1 2 3 4 5 6 17 18 9 10 Consideriamo la geometria associata al sottogruppo delle isometrie dirette In questa geometria le dieci figure vengono suddivise nelle seguenti classi di equivalenza 1 2 3 4 5 16 7 18 19 10 Notiamo che l insieme delle isometrie inverse non un sottogruppo Infatti la composizione di due isometrie inverse non una isometria inversa Nella geometria associata al sottogruppo delle isometrie abbiamo la se guente suddivisione in classi di equivalenza 1 2 3 4 5 16 17 8 9 10 Nella geometria associata al sottogruppo delle similitudini abbiamo la se gu
184. la corrispondente relazione tra mb ed nd Enunciamo senza dimostrarli per brevit tre risultati ottenuti in precedenza Nella Prop 11 Euclide dimostra la transitivit della uguaglianza di rappor ti ossia che da a b c d e da cld elf possiamo dedurre a b e f Nella Prop 14 Euclide dimostra poi che se a b c d allora da a gt c segue b gt d e similmente per lt ed Nella Prop 15 infine egli dimostra che date due grandezze a b ed un qual siasi intero m sussiste la proporzione a b ma mb Ed ecco ora la dimostrazione della Prop 16 In base alla Prop 15 abbiamo che ma mb alb e similmente nc nd cld Ma dalla transitivit dell uguaglianza dei rapporti dimostrata nella Prop 11 abbiamo che ma mb ncInd Dalla Prop 14 deduciamo ora che se ma gt nc allora anche mb gt nd E si milmente per le relazioni di lt ed Ma il contenuto dato da queste tre implica zioni coincide esattamente con a c b d e dunque da a b c d abbiamo de dotto esattamente a c b d Crediamo sia risultato chiaro da questi esempi pur al di l delle molte omissioni come la teoria delle proporzioni degli Elementi abbia un carattere molto sofisticato ricca di sottigliezze logiche 5 di rigidi concatenamenti di proposizioni ecc Inoltre la teoria svolta interamente in modo logico discor sivo senza alcun supporto di elementi grafici figure disegni ecc Si comprende dunque bene la scelta euclidea di ritardarne l uso pr
185. le 153 II La rappresentazione piana delle figure dello spazio la geometria descrittiva 1 SCOPI DELLA GEOMETRIA DESCRITTIVA Siamo soliti chiamare figure geometriche certi enti che costituiscono l og getto di studio della geometria Dal punto di vista moderno le figure geometri che sono considerate come insiemi di punti che soddisfano a determinate con dizioni opportunamente espresse mediante il formalismo della geometria Ne consegue che tali figure geometriche possono essere studiate facendo esclusi vamente riferimento a quei formalismi senza tentare alcuna rappresentazione delle immagini visive o mentali che in un qualche modo possono aver suggeri to il nascere delle figure stesse Il disegno ha invece lo scopo di costituire un ponte tra le nozioni astratte delle figure geometriche e quel complesso di dati sensoriali che portano alle immagini che nella nostra mente corrispondono alle diverse figure Il disegno stesso pu avere per un doppio significato pu essere semplicemente conven zionale e simbolico oppure pu essere tracciato secondo regole precise in mo do da comunicare informazioni rigorosamente valutabili Ritengo che ci si rife risca al primo ruolo che abbiamo attribuito al disegno di figure geometriche quando si cita il famoso e profondo aforisma la geometria l arte di fare i ragionamenti giusti sulle figure cio sui disegni sbagliate Il secondo ruolo colloca invece il disegno tra gli strumenti
186. le M M jM9M sono le stesse media ne di A dunque G baricentro anche di M D altra parte gli assi di A sono le al tezze di M e dunque il circocentro O di A l ortocentro di M Riassumiamo que ste osservazioni con i simboli G Gy O H Introduciamo ora l omotetia y di centro G e fattore 1 2 Essa trasforma un punto P nel punto P per cui GP 1 2 GP Dunque y trasforma il triangolo A nel triangolo M MMM 3 Ora l omotetia come si detto trasforma l ortocentro H di A nell ortocentro Hy O di M perci risulta GO 1 2 GH cio appunto O H sono allineati con G da parti opposte e IHGI 2IGOI 194 Siano ora B e N le circonferenze circoscritte ai triangoli A e M Poich Y A M anche y B N il raggio di N la met di quello di B e Y O N il suo cen tro Dunque GO 2 GN Confrontando con GH 2 GO si trova che N il punto medio tra O e H Con riferimento al prossimo enunciato dovuto a Pon celet N noto come il circolo dei 9 punti di A 13 il punto medio N tra il circocentro O e l ortocentro H di un trian golo A il centro di una circonferenza N cui appartengono i seguenti nove punti i tre punti medi M dei lati di A i tre piedi H delle altezze di A i punti medi R tra H e i vertici A di A I punti medi M appartengono a N per definizione Proviamo l appartenenza a N degli altri 6 punti L altezza A H di A incontra la circonferenza B oltre che in A anche in un secondo punto B Osserv
187. le leggi e dalle propriet della geometria proiettiva e proiettiva pure la corrispondenza che lega una figura con la sua immagine Con il nome di assonometria si soliti indicare quella parte della geome tria descrittiva che si propone di rappresentare la proiezione usualmente pa rallela su un quadro T assegnato di una figura F dello spazio riferita ad una terna cartesiana ortogonale O x y z Si parla allora di assonometria paralle la ortogonale oppure obliqua secondo che tale la direzione dei raggi proiet tanti rispetto al quadro T Elementi essenziali di riferimento sono le proiezioni x y z degli assi obiettivi x y z sul quadro Tali proiezioni costituiscono tre rette orientate con correnti in un punto O proiezione di O alle quali viene dato il nome di assi assonometrici Pu essere comodo a volte considerare su ognuno degli assi as sonometrici la proiezione delle scale obiettive determinate sugli assi obiettivi 155 dalle rispettive unit di misura Siffatte proiezioni vengono dette scale assono metriche e permettono di realizzare la costruzione fondamentale dell assono metria che consiste nel rappresentare l immagine P di un punto P assegnato mediante le proprie coordinate cartesiane obiettive xo Yo Zo Da quanto detto risulta che un sistema assonometrico determinato quando lo sono le proiezioni degli assi assonometrici e le proiezioni delle unit di mi sura obiettive assegnate sui rispettivi as
188. libri V VII L ottavo libro da giudicarsi perduto Purtroppo il testo di Apollonio non stato tradotto in italiano Noi utilizziamo la traduzione francese del testo greco dei primi quattro libri di Ver Eecke Coniche Un otti ma esposizione della storia della matematica greca tuttora data da Heath 1921 L uso di un cono cos generalmente definito dovuto ad Apollonio e realizza un note vole progresso rispetto agli autori precedenti ma non vogliamo soffermarci su questo punto 79 ulteriore parallelo alla generatrice AC intersechi il cono in modo che D E H definiti come la figura suggerisce siano su una corda perpendicolare al dia metro BC Questo piano intersecher il cono secondo la parabola EZD illustra ta in figura Consideriamo ora un piano parallelo al cerchio BCDE che intersecher AB in M AC in N e la parabola in due punti K K dei quali rappresentiamo in fi gura solo il primo K Sia infine L un punto su MN tale che KL sia parallelo a DH Vogliamo vedere quale relazione intercede tra i segmenti ZL e KL 0 Dalla similitudine dei triangoli ABC ZML deduciamo ML ZL BC AC Dunque usando la teoria delle proporzioni con scarso rigore filologico ma a vantaggio del lettore moderno ML ZLx BC Similmente dalla similitudine di AMN ZML ed ABC deduciamo la pro porzione LN ZA MN MA BC AB e dunque _ BC LIN ZAx AB Ma i punti M K e N sono su uno stesso cerchio e MN altres un
189. lla V Per ogni p M V poniamo gpe II I a gt d 0 Si verifica immediatamente che ogni pr una biiezione che trasforma rette di G in rette di G e che conserva la relazione di congruenza ellittica Si ha dunque c gelpe MM 179 V I poliedri 1 I POLIEDRI CONVESSI La nozione di poliedro generalizza nel caso della geometria dello spazio la nozione piana di poligono Parlando di poliedri opportuno distinguere tra il contorno o superficie poliedrica e la porzione di spazio delimitata dalla detta superficie che diremo anche poliedro pieno 0 pi semplicemente poliedro Definizione Si chiama superficie poliedrica un insieme di punti dello spazio formato dall unione di un numero finito di poligoni piani convessi che due a due appartengono a piani distinti e che se si intersecano hanno in comune o un vertice o un lato Sono esempi di superfici poliedriche le superfici laterali e totali dei prismi e delle piramidi definite I poligoni piani che compongono una superficie poliedrica si dicono facce i loro lati spigoli e i loro vertici vertici della superficie stessa Definizione Una superficie poliedrica si dice connessa se non unione di due superfici poliedriche non vuote e disgiunte Una superficie poliedrica si dice chiusa se ogni suo spigolo appartiene esatta mente a due facce distinte Una superficie poliedrica si dice convessa se chiusa connessa e se lasciata tutta in uno stesso semispaz
190. lla citazione di mile Durkheim che ho letta in una delle tante e interessanti relazioni svolte durante i due Seminari dedicati alla geo metria e che costituiscono appunto la parte pi rilevante dei due tomi del Quaderno 19 mi sembra sintetizzi felicemente il significato com plessivo dei messaggi culturali e didattici emersi nel laboratorio di idee di Lucca Il Quaderno 19 secondo il consueto compito affidato a questa colla na della Dirclassica non contiene infatti ci che tradizionalmente si in tende per atti di un convegno bens gli strumenti che il sapiente coor dinamento scientifico di Lucia Ciarrapico e di Claudio Bernardi ha identificato come pi utili alla pratica del fare scuola Questo non signi fica naturalmente che la nostra collana rinunzi ad apporti di livello alto per privilegiare solo la dimensione della quotidianit didattica I Qua derni infatti hanno l ambizione di coniugare una elaborazione rigorosa dei saperi con la loro ricaduta nei diversi gradi e livelli del processo di apprendimento insegnamento Questa sintesi dialettica mi sembra ben perseguita nella scelta e nel taglio dei temi che di volta in volta contraddistinguono i corsi di aggior namento organizzati dalla Dirclassica La scelta dell argomento coinci de generalmente con la problematicit di alcune discipline essa viene a ritrovarsi tanto nella trasformazione dello statuto epistemologico di ogni singola materia un fenomeno intimamente
191. lla geometria delle due nature o momenti di cui abbiamo discusso Infatti in altri rami della matematica quali l algebra l aritmetica l analisi si incontra solo il momento relativo allo strumento formale che contempora neamente il contenuto l oggetto e il linguaggio della disciplina Il riferimento alla realt che sollecita e guida appare invece solamente all inizio del proces so di elaborazione concettuale e non rischia mai di confondersi con l oggetto di studio o di rappresentazione 5 I PROBLEMI DELL INSEGNAMENTO DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA PIANA Quando si insegna e si studia anche la geometria euclidea del piano la di stinzione tra il momento della realt e quello logico formale di cui in prece denza abbiamo discusso si presenta delicata e non sempre facile da cogliere forse proprio su questa difficolt che poggia una certa attuale impopolarit del la geometria oppure forse il desiderio di risolvere radicalmente questi deli cati problemi che ha spinto una intera corrente di pensiero all interno della ma tematica a sostituire la geometria con lo strumento algebrico che la descrive Il problema di fondo che si presenta la individuazione della natura vera degli oggetti di cui la geometria intende occuparsi In corrispondenza ai due diversi momenti che costituiscono la complessa realt geometrica possiamo in dicare i due aspetti distinti ma complementari degli oggetti veri della nostra disciplin
192. lla quale occorre essere consapevoli Chiudiamo comunque questo paragrafo dedicato a Descartes osservando tuttavia che il passaggio geometria algebra implicito nel metodo pu spesso avere interessanti retroazioni sulle costruzioni geometriche facile di mostrare che la costruzione originaria di Eraclito data nelle Collezioni pu essere riformulata in modo da consentire un maggior riavvicinamento tra alge bra e geometria Consideriamo la figura seguente Rappresentiamo il segmento dato come BN e sia DG BD BN Il cer chio di diametro BG quello della costruzione di Apollonio Ma sia DG DG dalla parte opposta rispetto a G e consideriamo il semicerchio di diametro BG Il prolungamento di AC dalla parte di G interseca il semicerchio in due punti dei quali E tale che E F BN come facile verificare L analisi della soluzione algebrica permette dunque di completare la soluzione di Eraclito in un modo a priori imprevedibile a partire dai soli dati geometrici 103 5 NEWTON CRITICO DI DESCARTES L Arithmetica Universalis di Newton pu essere considerata come un serra to dialogo che molti anni dopo la morte di Descartes Newton intrattiene idealmente con il filosofo francese Negli anni della sua giovent egli era stato quasi un discepolo di Descartes elaborando alcune tra le sue principali ac quisizioni proprio a partire dall edizione latina della G om trie Poi si era pro gressivamente
193. lla scuola una discussione aperta e fruttuosa IL VALORE STRATEGICO DI UNA INTESA Giovanni Trainito Direttore Generale Istruzione Classica Scientifica e Magistrale M P I La fase organizzativa che precede la sottoscrizione di un intesa fra partners per la realizzazione di un progetto comune nasce da un idea che si impone nella mente di chi l ha generata e che spinge a superare le difficolt che per un fatto naturale sorgono quando si prospettano cam biamenti quello il momento in cui l idea incomincia a prendere corpo ad assumere dimensioni che crescono quanto pi se ne analizzano le fina lit gli obiettivi pi prossimi e quelli a lungo termine i coinvolgimenti e le possibili ricadute sui destinatari delle iniziative da porre in essere Chi si cimentato in un opera che vede accomunati dalla volont di realizzare una finalit pi persone pi istituzioni ben sa le difficolt del percorso che si affronta per comporre le attese che in sede progettuale sono sempre di alto profilo con le reali possibilit operative che spingo no a ridimensionarne la misura allorch bisogna coniugare competenze disponibilit dei partners per convogliare il tutto in un protocollo di in tenti i cui contenuti nel confermare la validit dell idea originaria ne costituiscono al tempo stesso lo strumento per la sua realizzazione A monte di un intesa vi la consapevolezza della validit della co operazione tra sog
194. llineati con O dalla stessa parte se A gt 0 o da parti opposte se A lt 0 e risulta IOP I I l IOPI Di conseguenza un seg mento PQ viene trasformato in un segmento parallelo P Q di lunghezza IA I PQ Se gt 0 i segmenti orientati PQ P Q hanno lo stesso verso altrimenti hanno versi opposti Viceversa se un omotetia trasforma il segmento PQ nel segmento parallelo P Q non della stessa lunghezza e non allineato con PQ il centro dell omotetia si ottiene come intersezione delle rette PP e QQ Nel triangolo A AA9A3 sia M il punto medio del lato opposto al vertice A j Sappiamo che le mediane A M si incontrano nel baricentro G che cade a un terzo della loro lunghezza Perci A e M sono allineati con G da parti op poste l uno a distanza doppia dell altro GM 1 2 GA Il triangolo media le M M MM dunque immagine di A A A2A3 secondo l omotetia di cen tro G e fattore 1 2 Osserviamo che un omotetia poich rispetta i rapporti tra lunghezze e gli angoli come ogni similitudine trasforma l asse di un segmento PQ nell asse del segmento trasformato P Q Ci significa che il circocentro di un triangolo viene trasformato nel circocentro del triangolo immagine Consi derazioni analoghe si possono fare per l ortocentro ecc 12 in un triangolo il baricentro G l ortocentro H e il circocentro O sono allineati sulla retta di Eulero e G divide il segmento OH nel rapporto 1 2 Infatti le mediane del triangolo media
195. llo spazio in tesa anche come percezione dello spazio Nel corso dei cinque anni ho individuato anche alcuni elementi serpeggian ti quali l introduzione di una prospettiva storica e luso del calcolatore di cui terr conto nelle mie considerazioni Anche se la variet degli indirizzi rende impossibile un unica proposta al cune idee che vedremo mi sembrano sviluppabili in tutti i tipi di scuola altre mi sembrano pi specifiche dei vari indirizzi Lascio al lettore individuare i contesti privilegiati per l attuazione RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Furinghetti F 1993 Che cosa resta e che cosa dovrebbe restare della matematica quando si dimenticata la matematica La matematica e la sua didattica v 7 302 328 Furinghetti F 1993 Images of mathematics outside the community of mathematicians evidence and explanations For the learning of mathematics v 13 n 2 33 38 13 Il termine isole deduttive in Grand Henry Krysinska 1992 partendo da questo e in omaggio alla mia citt nello sviluppo della seconda parte ho continuato a usare l immagine marinara 54 Dapueto C amp Furinghetti F 1992 Lettura critica dei programmi di matematica per il biennio Insegnare a 3 n 11 12 38 40 Skemp R R 1976 Relational understanding and instrumental understanding Mathematics teaching v 17 20 27 ATTIVIT PROPOSTE Analizzare se e come le indicazioni dei nuovi programmi erano gi se
196. malit che lo caratterizzano cfr per es 9 4 CHE COSA SI INSEGNA IN GEOMETRIA L analisi svolta nei precedenti paragrafi dalla nascita delle immagini men tali della geometria alla costruzione di un formalismo che definisca in modo obiettivo e razionale i suoi oggetti di indagine ci aiuta a formarci una idea di questa scienza articolata e affascinante Lo studio della geometria consiste nell operare con gli strumenti appropria ti a qualcuno dei livelli di indagine sensoriale fantastica logica che abbiamo analizzato per giungere per in ogni caso ad un livello opportuno ma irrinun ciabile di formalismo Questo ci permette come abbiamo gi notato di garan tire deduzioni logicamente valide e oggettive il che l obiettivo di ogni atti vit di pensiero che vogliamo chiamare scienza Siamo soliti indicare in ciascuna disciplina l insieme delle conclusioni lo gicamente giustificate e affidabili a cui si in grado di giungere come il com plesso delle verit a cui la disciplina in questione ci pu portare Nell insegnamento della geometria dunque essenziale che siano presenti entrambi i momenti che abbiamo esaminato quello preliminare del riferimento alla realt e quello sostanziale che operando con lo strumento formale costi tuisce il fondamento logico della disciplina 148 Il primo momento del riferimento alla realt ha un ruolo essenziale in quanto evita la costruzione di giochi formali ed ed
197. matiche ele mentari vol II parte 1 pp 369 481 Hoepli 1937 H S M COXETER Introduction to Geometry John Wiley amp Sons 1961 H S M COxETER S L GREITZER Geometry Revisited Mathematical Association of Ameri ca 1967 E CRESPINA M MENGHINI L PERCARIO Geometria tradizionale e geometria delle tra sformazioni Notiziario UMI Suppl al n 8 9 1995 pp 204 212 M Depo Trasformazioni geometriche Decibel Zanichelli 1996 F KLEIN Vergleichende Batrachtungen ber neuere geometrische Forschungen Erlangen 1872 pubb in seguito con aggiunte in Math Ann XLIII 1893 63 100 trad it di G Fano Considerazioni comparative intorno a ricerche geometriche recenti Ann mat pura e applicata serie II XVII 1890 M MARCHI gruppi delle trasformazioni geometriche L insegnamento della matematica e delle scienze integrate 1995 pp 605 628 G OLIVIERI Lavorando con gli specchi Introduzione alla geometria delle trasformazioni La Nuova Italia 1984 M PERGOLA C ZANOLI Trasformazioni geometriche e macchine matematiche L insegna mento della matematica e delle scienze integrate 1995 pp 689 714 B SCMEMI Studio delle similitudini piane con il calcolatore Notiziario UMI Suppl al n 8 9 1995 pp 45 58 I STEWART M GoLuBITSKY Terribili simmetrie Dio un geometra Bollati Boringhieri 1992 A STROLIN FRANZINI Le trasformazioni geometriche con il computer La Scuola 1991 V VILLANI Similitud
198. me intersezioni della retta per CjCo con i lati A9A3 AjA3 2 Cal coliamo la lunghezza p Si ha IC A3l IA3B3l IC2A3l e dunque il triangolo CjA3C isoscele Poich l angolo ZCjA3C3 il doppio di ZA59A3A e quindi indipendente dalle scelte la sua base CC ha lunghezza minima quando minima quella dei suoi lati eguali che a loro volta hanno la lunghez za di A3B3 Allora il problema diventa come scegliere B3 affinch sia minima la sua distanza da A3 Evidentemente B3 il piede dell altezza per A3 Con questa scelta di B3 possiamo scoprire che i punti Bj B individuati dallo sta dio 1 sono anch essi i piedi delle altezze Infatti rifacendo il ragionamento pre cedente dopo una permutazione dei vertici si vede che se By non fosse il piede dell altezza per A il perimetro non potrebbe essere minimo Il risultato che abbiamo provato si usa enunciare dicendo 5 tra tutti i triangoli iscritti in un certo triangolo acutangolo il triangolo ortico quello che ha perimetro minimo Incidentalmente dal precedente ragionamento si ottiene un importante ri sultato che non avevamo perseguito se i punti B sono i piedi delle altezze la retta per C1B1B2C3 e la retta B3B sono simmetriche rispetto al lato A A3 dunque anche rispetto all altezza A7B9 Questa circostanza si pu esprimere con le leggi della riflessione ovvero dei rimbalzi di una sponda elastica che teoricamente sono le stesse 6 i lati del triangolo ortico si otte
199. mente considerato A___ Quanto gli studenti faticheranno a capirlo B___ Quanto sono in grado di applicarlo a nuove situazioni ___ Quanto sono in grado di ripeterlo 7 Graduare le preferenze sui seguenti obiettivi dell insegnamento della geometria da l il preferito a 3 0 se un elemento non assolutamente considerato A___ Visualizzare Dimostrare Risolvere problemi B__ 8 Graduare le preferenze sulla seguente concezione della geometria da 1 il pre ferito a 3 0 se un elemento non assolutamente considerato A___ Disciplina qualificata dai suoi oggetti o dai contenuti delle sue proposizioni B___ Disciplina specificata soprattutto dalle sue procedure ___ Disciplina fondata sull evidenza di un esperienza esterna NOTA Alcune di queste domande con opportuni adattamenti potrebbero essere poste agli studenti alla fine del corso di geometria 40 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Mammana C editor 1995 Perspectives on the teaching of geometry for the 21st century Department of mathematics University of Catania Osimo G 1994 Insegnare matematica Lettera PRISTEM n 11 61 61 Sitia C 1994 Insegnamento della geometria Lettera PRISTEM n 13 31 Speranza F 1995 Per il dibattito sulla geometria Lettera PRISTEM n 16 31 32 Speranza F 1995 Sull insegnamento della geometria Manoscritto Usiskin Z 1995 What should not be in the algebra and geometry cur
200. metria affine La geometria affine studia per tanto le propriet invarianti per affinit Abbiamo visto che ogni similitudine una affinit Ne segue che che il gruppo delle similitudini un sottogruppo del gruppo delle affinit Le pro priet invarianti per affinit sono invarianti per similitudini Abbiamo anche vi sto che vi sono affinit che non sono similitudini Pertanto le propriet inva rianti per similitudini non sono necessariamente invarianti per affinit Cerchiamo le propriet invarianti per affinit Le affinit conservano il parallelismo tra rette i parallelogrammi e i rapporti tra le distanze di punti allineati Data cio un affinit f e P Q R punti allineati distinti sia h tale che d P 0 hd P R allora i punti KP fQ KR che sono allineati verificano la condizione d f P f Q hd f P f R DIMOSTRAZIONE La dimostrazione che le affinit conservano il parallelismo tra rette segue dal fatto che f una corrispondenza biunivoca La dimostrazione che le affinit conservano i rapporti tra le distanze tra punti allineati viene omessa elia La dimostrazione che le affinit conservano i rapporti tra le distanze tra punti allineati non facile Non per molto difficile dimostrarne il seguente caso particolare dati due punti distinti A e B l immagine del punto medio di A e B il punto medio di f A e f B Lasciamo la dimostrazione al lettore Anche nel caso delle affinit abbiamo
201. mi sembrerebbe opportuno che esse fossero presenti nelle biblioteche delle scuole nelle biblioteche degli IRRSAE e delle associazioni di insegnanti 2 Jefferson Riteniamo queste verit evidenti che tutti gli uomini sono creati uguali che sono dotati dal loro creatore di diritti inalienabili che tra questi ci sono la Vita la Libert e la ricerca della Felicit Lincoln Ottantasette anni fa i nostri padri crearono in questo continente una nuova nazione concepita nella libert e consacrata alla proposizione che tutti gli uomini sono creati uguali 18 SULLE ILLUSTRAZIONI Oltre alle figure geometriche funzionali al testo ho inserito le seguenti illustrazioni anti che Decorazione alla fine del capitolo sulla geometria nel Diction n aire des math matiques ou id e g n rale des math matiques di Ozanam 1691 Amsterdam p 137 Tavola II da Clairaut 1771 Particolare del frontespizio della Geometria di Ren Descartes edizione di Francesco van Schooten Amsterdam 1659 Illustrazione del problema Giometria per quadrare terre de figura triangulare da Abate 1992 RICONOSCIMENTI Mi sono state utilissime nella elaborazione di alcuni punti le conversazioni e o il lavoro con gli insegnanti del gruppo superiori di Genova GREMG e delle sue succursali italiane Ringrazio in particolare Ercole Castagnola Ivana Chiarugi Domingo Paola Annamaria Somaglia Giuliano Testa 19 I L ins
202. n Z a b c piano e in caso affermativo per risolverlo Si noter infatti che la ricerca delle radici di un equazione di terzo grado a coefficienti in Z a b c che appartengano a K ha anch esso una natura par zialmente algoritmica 5 Tali radici debbono infatti dividere il termine noto e possiamo immaginare che nei problemi che in pratica ci vengono proposti si abbia la possibilit effettiva di fattorizzare il termine noto in fattori irriducibili Poste tali premesse ecco il metodo per decidere se un problema corrispon dente ad un equazione di quarto grado sia piano a Associamo all equazione originaria la risolvente di terzo grado b Esaminiamo la possibilit che la risolvente abbia radici in K ricercando le tra i divisori del termine noto che immaginiamo di poter conoscere Se non vi sono radici tra di essi il problema non piano Ma in caso affermativo pro cediamo con il punto c 52 I coefficienti dei polinomi che Descartes considera in Z a b c sono relativamente semplici sicch possibile in pratica decidere quali siano i loro fattori Ma Descartes affer ma perentoriamente che il suo metodo per decidere se un problema che d luogo ad un equazione di terzo o quarto grado sia piano non conosce ostacoli e dunque bisogna im maginare che egli abbia qualche ragione per affermare che egli sa determinare i fattori dei polinomi di Z a b c in piena generalit Ora per il caso dei polinomi i
203. n una variabile il risultato relativamente semplice In linea di principio In pratica pu essere molto comples so cfr Childs 1989 cap 13 o per risultati ancora migliori Davenport Siret Tournier 1988 cap 4 ma le dimostrazioni implicano tecniche molto al di l della matematica carte siana Il caso poi dei polinomi in pi variabili d ancora luogo alla possibilit anche qui teorica ma questo non avrebbe rilievo per Descartes di calcolare in un numero finito di passi gli eventuali fattori ma ancor pi in questo caso siamo al di l dei limiti della mate matica cartesiana Un caso molto semplice dato dai polinomi in una variabile aventi radici tutte reali e positive In questo caso un attimo di riflessione sulla natura dei coefficienti mo stra subito delle ovvie limitazioni per i coefficienti degli eventuali fattori possibile che De scartes con brusca generalizzazione non gli era infrequente punti direttamente al caso ge nerale lasciando ai suoi lettori il compito di sistemare i particolari necessari Questa questione sar affrontata con maggiori dettagli in un articolo di prossima pubblicazione da parte di uno degli autori Ringraziamo L Robbiano e C Traverso per le utili informazioni forniteci 97 c Utilizziamo una di queste radici per spezzare il polinomio rappresentativo dell equazione originaria nel prodotto di due polinomi di secondo grado e calcoliamo le quattro radici in K dell equazion
204. na le n m tale che a b lt n m lt cld Ma alb lt nim pu essere riscritto nella forma ma lt nb e siamo ritornati nella realt prosaica Allora l uguaglianza dei rapporti intesa come la pro priet data dal fatto che nessun numero razionale si pone in mezzo pu dar luogo a questa definizione assolutamente rigorosa ma lt nb gt mc lt nd alb cld significa Vm n ma gt nb gt mc gt nd ma nb gt mc nd L idea intuitiva di un numero razionale n m pi grande di a b sostituita dalla formulazione precisa ma lt nb e similmente per pi piccolo od uguale e l idea della assenza di numeri tra a b e c d sostituita dalla implicazione logica l idea intuitiva d luogo ad una definizione precisa Si tratta come si vede di una definizione realmente brillante che da molti storici soprattutto in anni passati stata avvicinata alla moderna definizione dei numeri reali Le differenze in realt sono notevoli ma esaminare in detta glio queste differenze ci porterebbe al di l dei limiti di questo scritto 4 Si deve tuttavia notare il carattere assolutamente rigoroso della definizione Al tempo stesso sono chiari anche i problemi tecnici della teoria Per esem pio non certo deducibile immediatamente dalla definizione che a b cld equivalga a a c b d In effetti questa propriet costituisce la Prop 16 del Libro V rigidamente connessa a tutte le proposizioni preced
205. na fonte per avere un idea sull insegnamento nel passato sono alcu ne riviste sull insegnamento del periodo Periodico di matematica dal 1921 di matematiche Bollettino di matematica Il Pitagora Bollettino della Mathesis Precedentemente alla nascita di queste riviste il Giornale di mate matiche pubblicato a Napoli da Giuseppe Battaglini ospit qualche articolo didattico tra cui l interessante polemica citata precedentemente su Euclide nella scuola annate 1868 1869 1871 Le seguenti opere forniscono ulteriori infor mazioni su contenuti e metodologie programmi libri di testo e bibliografia Barra M Ferrari M Furinghetti F Malara N A amp Speranza F editors 1992 Italian research in mathematics education common roots and pr sent trends Quaderno TID CNR serie FMI n 12 Brigaglia A 1993 Torniamo a Euclide Lettera PRISTEM n 10 10 15 Brigaglia A 1994 Geometria il dibattito continua Lettera PRISTEM n 14 26 28 Borgato M T 1981 Alcune note storiche sugli Elementi di Euclide nell insegnamento della matematica in Italia Archimede v 33 185 193 Castelnuovo G 1911 Commissione internazionale per l insegnamento matematico Riunione della Commissione internazionale a Milano Bollettino della Mathesis a 3 172 184 Castelnuovo G 1919 La riforma dell insegnamento matematico secondario nei riguardi dell Italia Bollettino della Mathesis
206. ndimento Per una sintesi rimando a Battista amp Clements 1995 Johnson Laird 1994 Olive 1991 48 ATTIVIT PROPOSTE 1 0 Quale la tua opinione sulle capacit seguenti Precisare a quale livello scolare ci si riferisce e Saper ripetere una spiegazione A B C D E e Saper fare un esercizio analogo ad altri gi fatti A B C D E e Saper fare una dimostrazione analoga ad altre gi fatte A B C D E e Saper applicare una spiegazione appena udita alla soluzione di un esercizio A B C D E e Anticipare con un ragionamento deduttivo lo sviluppo di una spiegazione A B C D E e Generalizzare una propriet A B C D E e Sapersi destreggiare in un esercizio o in una dimostrazione assolutamente nuovi A B C D E e Saper utilizzare le nozione acquisite per costruire un modello matematico di un fenomeno reale A B C D E A non devono essere acquisite perch richiedono tempo che va a scapito di altre attivit pi importanti B non possono in generale essere acquisite perch non in sintonia con il normale svilup po intellettivo dello studente al livello scolare in oggetto C si possono acquisire al livello scolare in oggetto oppure recuperare in seguito al momen to opportuno D devono acquisire al livello scolare in oggetto perch la loro acquisizione peculiare di questa et in seguito non si recuperano E devono essere
207. ne non da co loro che hanno difficolt a studiare matematica Nagaoka 1989 p 176 3 Weil 1978 71 molto curate ed alle quali spesso hanno collaborato persone vicine a Lombar do Radice sono a giudizio degli autori una sorta di complemento culturale dell esposizione scientifica la quale possiede s una sua indipendenza ma come arricchita resa pi scientifica se vista in connessione con queste Note Obiettivo delle Note insomma quello di esibire il valore culturale della ma tematica che non un insieme di tecniche per le quali non si d storia se non di un accrescimento meramente cumulativo ma una disciplina ricca di idee di contrasti di sviluppi cos come ogni disciplina realmente scientifica 4 Le Note storiche sono giudicate dunque un fondamentale complemento per inserire la matematica in un disegno culturale complessivo una prospettiva as sai cara ad Enriques al quale Lombardo Radice si spesso richiamato 5 Va osservato tuttavia che la concezione della storia della matematica espressa nelle note piuttosto tradizionale in qualche modo contrastante con il tipo di matematica moderna presentato nel volume Questo pu avere creato motivi di difficolt In Villani Spotorno 1979 la storia della matematica non compare con la stessa sistematicit a lato del discorso tecnico ma talvolta utilizzata come strumento dimostrativo ancora secondo un modello vicino ad
208. nell ordinaria pratica didattica Si tratta della cosiddetta assono metria le cui regole di rappresentazione possono rivelarsi utili per tracciare immagini corrette e suggestive delle abituali figure geometriche spaziali 2 L ASSONOMETRIA L operazione fondamentale della geometria descrittiva quella di proiezio ne Per proiezione di un punto P dello spazio da un centro di proiezione V so pra un piano di proiezione si intende il punto P intersezione della retta V P raggio proiettante con il piano x Quando questo piano coincide con il piano del disegno viene solitamente detto quadro Quanto abbiamo ora descritto la ben nota operazione detta proiezione e sezione della geometria proiettiva La proiezione si dice centrale oppure parallela secondo che il centro V proprio o improprio la proiezione parallela pu a sua volta essere obliqua od ortogonale a seconda che lo rispetto al quadro la direzione dei raggi proiet tanti Proiezione o immagine di una figura dello spazio l insieme delle proie zioni dei suoi punti In particolare in proiezione parallela le proiezioni di tutti i punti propri sono proprie la proiezione di una retta non passante per V una retta rette parallele hanno le proiezioni parallele segmenti congruenti e pa ralleli hanno le proiezioni tra loro congruenti e parallele Pi in generale pos siamo dire che i procedimenti che sono alla base della geometria descrittiva di scendono dal
209. ner conto degli ultimi risultati della ricerca scientifica in materia cfr 8 Accanto a questa assiomatica puramente sintetica possiamo considerare altri sistemi che possiamo definire misti basati essenzialmente sulla introduzio ne della nozione di misura in geometria Tali sistemi sono fondati su nozioni di distanza come quelle di spazio metrico oppure di funzione distanza e pre vedono sempre in qualche modo la sovrapposizione della struttura aritmeti ca algebrica e ordinata dei numeri reali alle nozioni geometriche fondamenta li Il riferimento storico per questa impostazione all opera di LEGENDRE mentre recentemente un punto di vista di questo tipo stato in sostanza ripreso da G CHOQUET cfr 3 Un terzo gruppo di sistemi assiomatici che attual mente gode di una ampia considerazione quello di natura puramente algebri ca che utilizza esclusivamente il linguaggio della cosiddetta algebra moderna spazi vettoriali forme lineari bilineari e quadratiche etc per definire astrat tamente degli oggetti che occupano il posto degli enti geometrici fondamentali cfr per es 5 Secondo il processo che abbiamo precedentemente descritto e quale che sia la base assiomatica scelta possiamo ora concludere che la matematica e la geometria quindi di cui in particolare ci interessiamo subisce una sorta di evoluzione da disciplina con propri contenuti specifici a scienza di relazioni e di strutture per que
210. ngono l uno dall altro per riflessio ne sui lati del triangolo originario 7 inunbiliardotriangolare il perimetro del triangolo ortico un or bita chiusa cio si tratta di una traiettoria che una bilia percorre indefinitamente Siamo ora in grado di risolvere facilmente anche i seguenti problemi in un biliardo rettangolare UVWZ assegnati due punti A B come scegliere la traiet toria AP di una bilia che partendo da A rimbalzi prima in P sulla sponda VW poi sulla sponda UV per poi colpire il pallino in B Come sono fatte le orbite chiuse Nella tradizionale geometria del triangolo il risultato 6 si trova normal mente nella forma seguente che reincontreremo pi avanti 8 le altezze di un triangolo acutangolo sono le bisettrici del suo triangolo ortico dunque l ortocentro del primo l incentro del secondo 191 4 ALTRO PROBLEMA DI MINIMO USO DI ROTAZIONI I teoremi precedenti ci portano a risolvere un altro famoso problema di mi nimo Problema Assegnato un triangolo P PPP qual il punto F che rende minima la somma delle distanze dai vertici d F FP 1 FPyl1 1FP31 La prima soluzione di questo problema dovuta a Cavalieri e Torricelli La sua versione pi nota la seguente 9 il punto che rende minima la somma delle distanze dai tre vertici di un triangolo quello che vede i tre lati sotto il medesimo angolo 27 3 Vi sono modi assai diversi di provare questo risultato Qui ci proponiamo di fare
211. ni valide nel caso piano per i poligoni e in particolare per i triangoli Teorema 2 In ogni triedro si ha i una faccia minore della somma delle altre due ii la somma delle tre facce sempre minore di quattro angoli retti Questa proposizione si pu poi estendere agli angoloidi in generale Corollario In un angoloide qualsiasi si ha i una faccia sempre minore della somma delle rimanenti ii la somma delle facce sempre minore di quattro angoli retti Nella stella di rette e piani possibile definire una notevole biiezione invo lutoria tra l insieme delle rette e quello dei piani detta polarit Questa in par ticolare permette di associare ad ogni triedro della stella il corrispondente trie dro polare che risulta legato al primo da una fondamentale propriet che ha un ruolo centrale nello studio della geometria dei triedri Definizione Sia V A B C un triedro i cui spigoli sono le semirette VA b V B Ci V Ce le cui facce appartengono ai piani x V B C B V A C y V A B Si considerino ora le rette per V perpendicolari rispettivamente ai piani amp B ye si definiscano su esse le semirette di origine V che si trovano nel semispazio avente bordo rispettivamente B Ye che contiene il do del triedro Precisamente poniamo VLa n a A D VLB n B 5 B I AA V d b detto polare del triedro V 4 Vin n GO b V A B Teorema 3
212. nn che riconduce lo studio della geometria al lo studio delle strutture algebriche e presenta R e R4 in termini di spazi vetto riali sottospazi matrici forme lineari Dal punto di vista culturale la geo metria viene conglobata nell algebra e perde la sua autonomia dal punto di vista didattico sono cancellate quelle abilit come la percezione spaziale tipi che dell impostazione tradizionale Esiste tutta una letteratura che discute l im patto didattico di questo progetto che lanciato con il libro Alg bre lin aire et g om trie l mentaire del 1964 voleva dare grandeimpulso al movimento del la cosiddetta matematica moderna nato sotto l influsso bourbakista Gi negli anni 70 si videro i limiti didattici di una tale impostazione discussi per esem pio nel celebre articolo Thom 1979 Il lavoro del francese Choquet nato con fini eminentemente didattici rap presenta un compromesso fra l idea di geometria intesa come struttura algebri ca spazio vettoriale su R a due o tre dimensioni munito di prodotto scalare e quella classica inoltre riprende anche la base metrica alla Birkhoff di cui dire mo nel seguito 30 In Choquet si parte da un insieme S non vuoto i cui elementi si chiamano punti e si suppone che esistano in due sottoinsiemi propri non vuoti i cui elementi si chiamano rispettivamente piani e rette Per questi elementi sono dati i seguenti quattro gruppi di assiomi I gruppo Postulati di
213. nove punti 16 si trover an che nel paragrafo che segue 6 ALTRE SIMILITUDINI UNA DISUGUAGLIANZA DI EULERO In un triangolo A A243 per ogni vertice A passano una bisettrice interna e un bisettrice esterna tra loro ortogonali Queste sei rette si incontrano a tre a tre in quattro punti l incentro I intersezione delle tre bisettrici interne e i tre excentri E i 1 2 3 intersezione della bisettrice interna per A con le due bi settrici esterne per A e A I quattro punti I E4 E2 E3 sono i soli punti del piano che hanno eguale distanza dalle tre rette che prolungano i lati del trian golo Ma tenuto conto dell ortogonalit questi stessi punti si possono anche interpretare come i vertici e l ortocentro di un triangolo di cui AjA9A3 il triangolo ortico Precisamente 14 siaA AjA3A3 un triangolo acutangolo e sia E EjE E il trian golo che ha per vertici gli excentri di A Allora A il triangolo ortico di E e l incentro di A l ortocentro di E Si pu confrontare questo enunciato con 8 Se il triangolo A non acutan golo un analogo enunciato rimane vero purch si scambino i ruoli dei punti H A dove A il vertice dell angolo ottuso A proposito di questa interscam biabilit tra vertici e ortocentro il seguente enunciato tanto sorprendente quanto semplice da dimostrare 15 Sedi quattro punti A A2 A3 A4 uno ortocentro del triangolo che ha per vertici gli altri tre allora lo stesso vale
214. nque punti a tre a tre non allineati quante sono le rette che li congiungono in tutti i modi possibili 4 Dati n punti a tre a tre non allineati quante sono le rette che li congiungono in tutti i modi possibili Per rispondere alle varie domande puoi utilizzare oltre alle tue conoscenze l elabo ratore elettronico Cabri Gli studenti hanno scelto di lavorare con Cabri in questi caso sotto utiliz 56 zato oltre che con carta e penna e hanno lavorato a gruppi Il lavoro stato caratterizzato da uno scambio di informazioni tra i componenti del gruppo e tra i gruppi Si sono evidenziate differenti strategie e procedimenti risolutivi Esperienza 2 Bozzo Ferrera amp Pedemonte 1996 Si tratta di un esperien za di autoaggiornamento di un gruppo di insegnanti in un istituto tecnico com merciale genovese Con Cabri si sono studiate alcune classiche costruzioni di coniche e si visto come l ambiente coniche sia veramente adatto per produr re ipotesi da provare o da confutare 4 specialmente se arricchito dall uso di un software opportuno che stimola l attivazione di registri diversi qui quello grafico visuale Consideriamo ad esempio lo svolgimento dell esercizio Con Cabri costruire l ellisse come luogo dei punti P del piano per cui la somma del le distanze da due punti fissi F e F costante e vale 2a Dopo che si fatta la figura al calcolatore partendo dalla classica costruzio ne al variare
215. nsegnamento della geometria Feltrinelli Milano trad it di L ensei gnement de la g om trie Hermann Paris 1964 Fraiese A amp Maccioni I 1970 Elementi di Euclide UTET Torino prima edizione Hilbert D 1970 Fondamenti della geometria con i supplementi di Paul Bernays Feltrinelli Milano trad it di Grundlagen der Geometrie decima edizione Teubner Stuttgart 1968 Per le altre assiomatizzazioni citate nel testo vedere ad esempio la bibliografia in Zeitler 1990 34 4 LA FILOSOFIA DI LAVORO Nell elaborare le proprie decisioni culturali e didattiche l insegnante ha un unico riferimento oggettivo i programmi ufficiali Altri fattori che potrem mo definire contingenti condizionano le scelte la tradizione le risorse libri di testo laboratorio matematico e o informatico lo scenario il tipo di stu denti il tipo di scuola il contesto sociale Infine un altra categoria di fat tori che chiameremo interni entra in gioco occultamente ma in maniera signi ficativa la concezione della matematica e del suo insegnamento Mi sembra opportuno riflettere su questo punto non per fare un esame di coscienza che non necessario e non richiesto ma per mettere a fuoco un importante ele mento che condiziona le scelte Questa forma di metacognizione dovrebbe aiutare gli insegnanti a rendere espliciti certi modi inconsci di pensare e a prendere coscienza dei meccanismi che li portano a de
216. ntia Avellino Benevento Capua CE Napoli Napoli Barra Pomigliano d Arco NA Salerno Andria BA Mola BA Brindisi Manfredonia FG Maglie LE Taranto Cagliari Nuoro Oristano Sassari Agrigento Caltanissetta Catania Piazza Armerina EN Messina Palermo Vittoria RG Noto SR Trapani VOLUMI DELLA CO LLANA QUADERNI GI PUBBLICATI 1 Gestione e innovazione 2 Lo sviluppo sostenibile 3 La valenza didattica del teatro classico 4 Il postsecondario per la professionalit 5 Dalla memoria al progetto 6 La sperimentazione della sperimentazione 7 L algebra fra tradizione e rinnovamento 8 Probabilit e statistica nella scuola liceale 9 L Italia e le sue isole 10 Lingua e civilt tedesca 11 La scuola nel sistema polo manuale guida 12 La citt dei filosofi 13 Le citt d Europa 14 Dal passato per il futuro 15 Gestione innovazione e tecnologie 16 Per non vendere il cielo 17 Briser la glace 18 Dalla lingua per la civilt 19 L insegnamento della geometria VOLUMI IN CORSO DI PUBBLICAZIONE 20 Se hace camino al andar 21 Gli IDEI nel progetto formativo 22 Il linguaggio dei linguaggi 23 Tecnologia e disegno 24 Il Liceo Classico Europeo 206 matteoni stampatore Lucca maggio 1997 207 Io non credo che si renda omaggio alla verit e alla giustizia che della verit compagna inseparabile se non si riconoscon
217. o accanto ai limiti e alle carenze non lievi certamente non marginali che a volte toccano la vita della scuola anche i meriti e l impegno sempre umile e qualche volta eroico dei tanti che nella scuola ci stanno con fermezza di propositi con chiarezza di obiettivi con sincerit di convinzioni socio culturali Romano Cammarata
218. o paragrafo 53 mento personale del discente con oggetti matematici situazioni problemi e idee Il principio generale o il teorema imparato meccanicamente strumental mente manca di sostanza e ha pochissime probabilit di mettersi in relazione con altri principi o teoremi In sintesi il criterio a cui mi ispiro nello scegliere gli elementi del programma di geometria intorno a cui costruire percorsi didattici e o innovazioni metodologi che quello di fare ci che pu lasciare qualcosa negli studenti rinunciando eventualmente a una certa eleganza o completezza nel trattare un argomento Di un tema o di un processo prima cerco di enucleare le grandi idee cio le idee por tanti intorno a cui si sviluppa la teoria e poi lavoro intorno a quelle Venendo ai nuovi programmi per quanto riguarda il biennio l indicazione pi forte mi sembra quella che compare nelle prime righe del commento ai te mi relativa alle limitate catene di deduzioni Leggo questa indicazione come approccio graduale alla dimostrazione e come diverso modo di guardare alla geometria euclidea individuando isole deduttive 3 in cui lavorare Dal punto di vista pi strettamente contenutistico le trasformazioni sono l innovazione pi interessante Nei programmi dei trienni ho colto pi che altro innovazioni collegate a nuovi argomenti ma con implicazioni anche sulla metodologia sistemi di as siomi e concetti connessi geometrie non euclidee geometria ne
219. o usati come puri segni stenografici 3 RELAZIONE D ORDINE La relazione d ordine essenzialmente legata alla struttura lineare della ret ta essa si basa sul seguente assioma O1 Su ogni retta intesa come insieme di punti assegnata una relazione di ordinamento totale lt che non ammette n un primo n un ultimo elemento Questa relazione d ordine permette di introdurre su ogni retta la nozione di tra per ogni coppia di punti distinti A B diremo che Xe A B TRA A e B se e solo se X A B e inoltre A lt X lt B oppure B lt X lt A Si potrebbe dimostrare cfr per es 8 che se assegnata in modo assio matico su ogni retta una relazione di TRA soddisfacente a certe propriet for mali da questa si pu dedurre l esistenza sulla retta stessa di una relazione di ordine totale Chiameremo la proposizione O1 assioma di ordinamento lineare La relazione d ordine assegnata su una retta permette di definire le fonda mentali nozioni di segmento semiretta e angolo Per ogni coppia di punti distinti A B poniamo A B X e A B X TRA A B segmento di estremi A B AB X e A B A NON TRA RA B X semiretta di origine A che contiene B E chiaro che A B AB A A B Ce A B Ye e A B A TRA BY gt A4 C A4 B Per ogni terna di di punti distinti A B C si dice e angolo B C la coppia di semirette A B A C L angolo detto piatto se se A C A B ed detto invece nullo s
220. ocente pu adottare un metodo che fa cendo leva sulle conoscenze intuitive proceda allo sviluppo razionale di li mitate catene di deduzioni tuttavia necessario che ogni ipotesi o ammissione cui si fa ricorso sia chiaramente riconosciuta e formulata in modo esplicito Per fare in modo dunque che ogni ipotesi cui si fa ricorso sia chia ramente riconosciuta e formulata in modo esplicito ci proponiamo di elen care con chiarezza le nozioni fondamentali sulle quali riteniamo didattica mente opportuno fondare la geometria euclidea unitamente alle principali proposizioni che le riguardano Tali proposizioni potrebbero poi secondo dif ferenti scelte logiche oppure didattiche a volte essere assiomi oppure altre volte essere teoremi dimostrabili sulla base di opportuni altri assiomi alterna tivi La scelta di quali e quante proposizioni assumere come primitivi e di con seguenza quali dedurre come teoremi in questo contesto di natura essen zialmente didattica e di conseguenza deve dipendere esclusivamente dal libero giudizio dell insegnante Ci che importa soltanto che vengano evitate contraddizioni logiche o procedurali oppure circoli viziosi cio che si eviti di dimostrare propriet precedentemente assunte come assioma oppure si eviti che nuovi oggetti ven gano definiti mediante un giro di parole con riferimento ancora a loro stessi Preoccupandosi poi della raccomandazion
221. oco Queste regole del gioco le definizioni e le dimostrazioni di teoremi so no il solo interesse del matematico Il formalista un inventore e non uno sco 35 pritore Per lui la questione dell esistenza degli oggetti matematici non si pre senta Per lui basta provare che le sue regole del gioco non portano a contrad dizione Costruttivismo Intuizionismo da Zeitler 1990 La matematica ammessa nella misura in cui i suoi oggetti sono costruiti a partire da certi oggetti di base primitivi in un numero finito di passi La questione della costruttibilit l inte resse predominante e permanente di chi aderisce a questa posizione Fallibilismo da Ferrari 1995 La conoscenza matematica non assoluta ma fallibile e correggibile e la formalizzazione non assolve il suo ruolo di garanzia ma piuttosto intralcia lo sviluppo della conoscenza Inoltre lo sviluppo della matematica parallelo a quello delle scienze naturali in matematica come nel le scienze naturali l accento non nella trasmissione della verit da premesse vere a conclusioni ma nella ritrasmissione di falsit da conclusioni falsificate i falsificatori a premesse ipotetiche A parte contraddizioni formali come pPA p i potenziali falsificatori di una teoria sono i teoremi informali della pre esistente assunta teoria informale Nella visione fallibilista la matematica informale di importanza cruciale perch come prodotto la sorgente di tutta la mat
222. ometria In primo luogo tentiamo un confronto tra la dimostrazione in geo metria e quella in algebra Per tradizione la geometria stata sempre conside rata il terreno ideale per dimostrare l algebra essendo l ambito privilegiato per svolgere esercizi di routine La conseguenza che gli studenti hanno un certo addestramento psicologico all idea di dimostrare in geometria mentre in alge bra la loro idea di dimostrare si scontra con l idea che hanno dell algebra come manipolazione In linea di massima le dimostrazioni in algebra sono pi semplici poggiano su concatenazioni simboliche abbastanza note ci che si chiede di dimostrare di solito chiaro non c la turbativa del disegno che pu aiutare ma anche sviare Gli enunciati in algebra hanno il vantaggio di una certa semplicit di fondo mentre in geometria hanno una forma discorsiva in cui talvolta manca l indicatore di premessa se e non sempre l ipotesi e la tesi risultano ben individuate anche se non pi molto usata la presentazione nella forma con dizione necessaria e sufficiente in cui la parola condizione poteva essere percepita solamente con il significato di premessa D altra parte gli studenti hanno poca dimestichezza a tradurre in formule un enunciato del tipo un nu mero pari divisibile per 3 anche divisibile per 6 anche perch in genere si cura poco questo aspetto e viceversa a tradurre in linguaggio naturale e da
223. ometria presenta dei problemi di livello differente l algebra presenta dei teoremi che non possono essere oggetto di ricerca individuale di un allievo di capa cit medie o esercizi di routine 4 Le considerazioni precedenti non significano rigetto dello strutturalismo bour bakista il suo vero valore sta nella visione unitaria della matematica classica quan do questa sia gi conosciuta nelle sue linee essenziali Questo percorso corrisponde al modo naturale di costruire il pensiero muovendosi dal concreto all astratto e non viceversa 38 Concludo indicando gli obiettivi di base nell insegnamento della geometria che mi sembra si possano enucleare dai vari interventi geometria visualizzare rappresentare dare tin modello di pensiero matematico risolvere problemi ATTIVIT PROPOSTE Rispondere alle seguenti domande 1 Fra i libri di testo attualmente in circolazione quali preferisci limitatamente all approccio alla geometria 5 Nella scelta di un argomento quali elementi consideri Graduare da 1 il prefe rito a 3 0 se un elemento non assolutamente considerato A___ La sua rilevanza per interagire con la societ B__ La sua rilevanza per il futuro lavoro nella matematica o nelle applicazioni C__ La sua rilevanza per condividere la razionalit della matematica D 39 6 Nella scelta di un argomento quali elementi consideri Graduare da 1 il prefe rito a 3 0 se un elemento non assoluta
224. oni delle affinit per dare una dimostrazione analitica di ci Sia data un affinit f rappresentata dalla matrice a b p cdq 001 relativamente ad un sistema di riferimento cartesiano con origine in O Siano r e s rette ortogonali passanti per O di parametri direttori rispettivamente m 1 e 1 m Le rette fr e f s hanno parametri direttori rispettivamente am b cm d e a bm c dm Esse sono ortogonali se e solo se si ha am b a bm cm d c dm ab cd m a b c d m ab cd 0 Abbiamo un equazione di secondo grado in m il cui discriminante A b c d 4A ab cd Se ab cd 0 allora l equazione ha come soluzione m 0 e quindi le rette r e s cercate sono gli assi coordinati Se ab cd 0 allora si ha A gt 0 e quindi esistono le rette r e s 5 Alcune geometrie del piano Abbiamo visto nel primo paragrafo che per ogni sottogruppo G del gruppo T 1 0 delle trasformazioni del piano possiamo considerare la geometria ad esso associata Essa studia le propriet invarianti per trasformazioni apparte nenti a G Le figure del piano vengono suddivise in classi di equivalenza Due figure ap partengono ad una stessa classe di equivalenza se e solo se esse sono uguali cio se e solo se esiste una trasformazione appartenente a G che porti una nel l altra Riprendiamo in esame le dieci figure introdotte all inizio del primo para grafo e suddividiamole in classi di equivalenza a seconda del sottogruppo G de
225. ono essenziali quali ridon danti quali scorrette quali ambigue Il lavoro che propongo chiaramente collegato a un attivit fortemente centrata sulla congettura sull argomentazione e sulla comunicazione ogget to di studio quali sussidi possano favorire queste attivit Le macchine mate matiche presentate in Pergola amp Zanoli 1995 sono un elemento suggestivo ma non del tutto chiaro quanto possano effettivamente influire o come gli sti moli che vengono da esse si differenzino da quelli che vengono dall impiego del calcolatore nel trattamento di situazioni matematiche analoghe A proposito del calcolatore cito due esperienze che seppure limitate pos sono offrire spunti di riflessione per attivit in classe Entrambe si riferiscono all uso di Cabri ma ovvio che altri tipi di software SuperPaint pacchetti professionali usati nei licei artistici possono essere altrettanto proficuamente usati per il tipo di lavoro di cui stiamo parlando Esperienza 1 Paola 1995 In due classi di quarta ginnasio che seguono un corso sperimentale PNI si condotta un attivit di produzione di congetture sul problema Trovare la somma dei primi numeri interi La consegna data agli studenti era 1 Dati tre punti non allineati quante sono le rette che li congiungono in tutti i modi possibili 2 Dati quattro punti a tre a tre non allineati quante sono le rette che li congiungono in tutti i modi possibili 3 Dati ci
226. ontinuando con le immagini marinare nella scuola i Robinson Cruso vivono male e inoltre non hanno il loro Venerd Essere cauti nello spontaneismo in classe vedi oculatezza nel gestire le di scussioni tra alunni e le attivit in laboratorio ma incoraggiare la sponta 67 neit degli alunni come sinonimo di creativit Le nostre ricerche riguardo le prestazioni su determinati argomenti al variare dell et mostrano che c un degrado nella produzione di idee per esempio nelle rappresentazioni grafiche forse dovuto all omologazione che si tende a operare nei compor tamenti matematici degli allievi Fornire agli studenti molte risorse sia in conoscenza vari registri da attiva re che in tecnologie o strumenti meccanici e incoraggiare a usarle al mo mento opportuno con flessibilit In questa nota sono accennati esempi grafico analitico analitico sintetico euclideo trasformazioni calcolatore carta e penna intuizione rigore Costruire l esperienza matematica dello studente tenendo conto della sua per sonale esperienza si veda quanto si detto sul livello 0 nell introduzione Dare almeno una volta pur nella limitatezza del contesto l idea di come la vora un matematico o di che cosa vuol dire fare matematica Si parla spes so di vera natura della matematica mi sembra che questo concetto sia va go poich anche ai matematici professionisti non chiaro quale sia la vera natura dell
227. osservazione fatta sul termine noto della risolvente che ovviamente si fattorizza in non val tanto quanto l ovviet di scegliere una variabile che ri fletta la simmetria dei dati Si tratta come si vede di questioni non semplici Ci che purtroppo spesso capita in situazioni come queste ed successo che si formano seguaci dell uno o dell altro maestro che irrigidendo le scelte metodologiche trasforma no la bellezza della matematica nella rigida immobilit di procedure ripetitive Chi consideri lo stato miserando al quale spesso si ridotto l insegnamento dei problemi con discussione nei nostri licei i problemi sembrano spesso scelti fra i pi stupidi giusto al fine di dar luogo ad una discussione di assoluta banalit potr forse trarre sollievo e conforto dall esame di questo affascinan te problema del quadrato la cui discussione durata per secoli non smette di avere elementi di vivo interesse 107 BIBLIOGRAFIA APOLLONIO Coniche Les coniques d Apollonius de Perge traduzione francese dei primi quattro libri delle Coniche di Apollonio Bruges Descl e De Brouwer et C 1923 BELGIOIOSO G Cimino G COSTABEL P PAPULI G EDITORI 1990 Descartes il metodo e i saggi Atti del Convegno per il 350 anniversario della pub blicazione del Discours de la M thode e degli Essays Roma Istituto della Enciclopedia Italiana 1990 BOMPIANI E 1921
228. p Tiragallo G 1995 L insegnamento della geometria nella scuola secondaria superiore L insegnamento della matemati ca e delle scienze integrate v 18B 135 146 Bottazzini U Freguglia P amp Toti Rigatelli L 1992 Fonti per la storia della matematica Sansoni Firenze Chiarugi I amp Furinghetti F 1990 La matematica nei bienni nuovi programmi e vecchi problemi Presentazione di un questionario di indagine in F Furinghetti editor Matematica oggi Dalle idee alla scuola B Mondadori Milano 36 46 Ciceri C Furinghetti F amp Paola D in stampa Analisi logica di dimostrazioni per entra re nella logica della dimostrazione L insegnamento della matematica e delle scien ze integrate Commission Inter IREM Histoire et pist mologie des math matiques 1989 La d mon stration math matique dans l histoire IREM de Besangon et IREM de Lyon Lyon Il gruppo E 1979 Scuola media I nuovi programmi B Mondadori Milano Furinghetti F 1995 Che cosa e per chi i simboli simboleggiano La matematica e la sua didattica n 3 318 327 Furinghetti F amp Paola D 1991 On some obstacles in understanding mathematical texts in F Furinghetti editor Proceedings of the PME XV Assisi v 2 56 63 Galbraith P 1995 Mathematics as reasoning Mathematics teacher v 88 412 417 Gallo E 1994 Le figure queste sconosciute come manipolarle disegnarle immaginarl
229. porto alcuni elementi che possono aiutare la discussione Per dare un riferimento alle nostre considerazioni diamo una schematizza zione di base dell attivit dimostrativa in classe ATTIVIT ELEMENTI IN GIOCO capire un testo matematico abilit logico linguistiche di interpretare il significato di parole e concetti in relazione al contesto matematico e capacit di seguire i passi di un ragiona mento fatto da altri insegnanti manuali 7 Si veda un elenco di queste motivazioni in Ciceri Furinghetti amp Paola in stampa 43 ripetere una dimostrazione e uso non ambiguo ed efficiente del linguag gio colloquiale e uso corretto del linguaggio matematico e uso autonomo delle connessioni semantiche e trasmissione e spiegazione ad altre persone produrre autonomamente e produzione di congetture una dimostrazione e scelta tra differenti congetture e produzione autonoma di procedure per dedur re la verit di un enunciato da un altro Le precedenti attivit concernono prestazioni intellettuali differenti Nelle prime due le difficolt incontrate dagli studenti sono di tipo logico e linguistico nella terza attivit ci sono anche difficolt di tipo euristico incon trate ai diversi livelli scolari quando l uso informale di idee precede la loro analisi logica e gli studenti tentano di produrre argomenti convincenti in situa zioni pratiche Passiamo ora a discutere qualche aspetto specifico della dimostrazione in ge
230. pplicando i lemmi precedenti ai trian goli A AgAg e rispettivamente A3A0Ay e ai parallelogrammi da essi individuati si trova che la rotazione di 7 2 attorno a M trasforma BM in B3M B4M in BjM quindi anche B By in B3B I Si osservi che oltre all enunciato originario abbiamo provato che i due seg menti in questione hanno la stessa lunghezza Per analogia con il teorema di Cava lieri Torricelli ci si potrebbe chiedere se esista una ragionevole funzione del qua drangolo per cui quella lunghezza IB B4l lB B3 possa interpretarsi come un minimo BIBLIOGRAFIA 1 COXETER H S M Introduction to Geometry J Wiley New York 1961 2 KAZARINOFF N D Disuguaglianze geometriche Zanichelli 1973 200 ELENCO DEI PARTECIPANTI Bassignana Gabriella Istituto d Arte di Aosta Aosta Mattello Francesco I S A A corradini Este PD Boiti Aldo I S A E E U Nordio Trieste Brandi Carmela I S A P Mercuri Marino Roma Gargani Gianfranco L Artistico P Aldi Grosseto Giambolini Celio I S A B di Betto Perugia Tarrera Domenica I S A Milazzo ME Lietz Olga I S A Cetrara CS Mendella Giovanna I S A V Boccioni Napoli Peraio Renato I S A Roma II Roma Suria Paola L S S C Cattaneo Torino Giovannotti Laura L CL S Virgilio Mantova Carlotti Maura L S S Calini Brescia Lo Nardo Stefano L S S N Copernico Udine Garuti Nadia
231. pressa da 03 evidente che Nn T Per I4 e O1 si ha Sia Ve QU cominciamo con il dimostrare che gv Xe P al VX na u V 0 165 Osserviamo prima di tutto che in forza della definizione 1 si ha UV Nas posto P e UV n a consegue da O1 che P V P Sia ora X V se Xg U V risulta per I2 univocamente definito il piano p U V X 0 Poich Pe U V Ma P e an pP per I5 sihar anfe RconPer Dalla definizione 1 consegue allora che VX na gt VX nr gt Xe e 7V e P UV na UV nd B UV ar gt 5V 50 quindi XU Ar Dunque XU n a gt XU nr 0 gt Xe g Se poi X e U V risulta X aV gt PV P gt xXe Si pu allora concludere che V c amp Consideriamo ora Y LU se Yg U V ey U V Y a per I5 siha P e e s anye Re quindi UY n a UYN0Ny UY ns gt Ye e SU 5V c V Se poi Ye U V risulta Ye amp U gt PU PV gt Ye GV Dunque a U c V e quindi aV 0 Osserviamo in secondo luogo che UVNnazD Ue aV Ye PI VY na gt 4U aV Scende di qui che qualunque sia il punto U fissato si ha per ogni Xe aU Ye aU aY gU gt Xe qU a7 gt XY na Viceversa per ogni X Y P a se XY na 4 0dsi ha X GY e da questo consegue la tesi 4 RELAZIONE DI PARALLELISMO I criteri relativi alla propriet delle rette di un piano di avere un punto in co mune oppure di non averlo sono quelli che carat
232. questa posizione a lui si deve l idea della algebra geometrica ha coerentemente sostenuto l esistenza della geometria analitica nell antichit 27 Il secondo volume delle Opere scientifiche di Descartes edito dalla Utet nella Colle zione dei classici della scienza curata da Ludovico Geymonat Descartes 1983 ripropone la traduzione integrale del Discours e degli Essays cos come apparsi originariamente a Leyda nel 1637 85 posto per il lettore ed anche almeno i primi risultati di Apollonio debbono essere conosciuti Consegue dall impostazione che non vi sar alcuno spazio per quel com plesso di semplici formulazioni analitiche corrispondenti alla posizione reci proca delle rette od alla distanza di punti ecc che abitualmente occupano le prime pagine della geometria analitica della scuola secondaria La stessa equazione della retta non compare in modo esplicito nella G om trie Descar tes osserva en passant che un equazione di secondo grado in due variabili pu ridursi talvolta al primo grado 8 e cos rappresentare una retta Ma tutto ci che ha da dire in proposito L abituale presentazione della geometria analitica discende invece da La grange 9 il quale osservando che per le configurazioni spaziali degli enti li neari non si d la stessa immediata percezione di quanto avviene per le rette ed i punti nel piano fornisce le formule necessarie per il trattamento di incidenza parallelismo pe
233. r contaminato il metodo euclideo con metodi aritmetici e algebrici per esempio un oggetto di contestazione era la sua definizione di retta come linea di minima distanza tra due punti 5 L estremo integralismo proposto nel testo di Betti e Brioschi del 1868 fu poi sfumato in successivi manuali Sannia D Ovidio Faifofer ma influenz notevolmente la concezione dell insegnamento geometrico in Ita lia nei decenni successivi Che la situazione italiana sia peculiare a questo ri guardo rispetto agli altri paesi provato dal fatto che mentre da noi Legendre era contestato dagli accademici per la sua impurit in Francia esso era rite nuto un libro rigoroso per tale ragione ad esempio in quella nazione gli fu in seguito preferito il testo di Sylvestre Francois Lacroix I punti di vista che si contrapponevano erano quello in difesa del rigore per lo pi sostenuto dagli accademici e quello pi sensibile ai problemi della clas se in genere sostenuto dagli insegnanti Questi ultimi percepivano l inutilit di un insegnamento non recepito dagli studenti L inadeguatezza educativa della rigida impostazione euclidea si accentu ulteriormente a cavallo del secolo quando si riversarono nella scuola anche i risultati della ricerche fondazionali Nella discussione sull insegnamento geometrico si distinse Giovanni Vailati che quale membro di una commissione incaricata di studiare un progetto di riforma degli studi second
234. r studiare singoli soggetti ma bene che ogni elaborato sia individuato con un numero o con una si gla non collegati al soggetto poich ci permette di isolare sia l analisi dei comportamenti del singolo sia l analisi delle reazioni globali a una certa domanda a seconda delle neces sit Bisogna porsi con chiarezza l obiettivo dell indagine cio che cosa se ne vuole ricava re sia nel momento della progettazione che in quello dell elaborazione dei dati Una volta scelta la metodologia di analisi bisogna seguirla con coerenza senza contaminazioni be ne distinguere tra ci che il soggetto dice e le inferenze fatte dall analizzatore queste ultime devono essere convenientemente motivate Si deve anche evitare di dare giudizi positivi o negativi a meno che lo scopo espresso dell indagine sia valutativo Conviene fare dei con trolli incrociati sulle risposte Come si pu evincere dai questionari presentati nel corso il questionario non ha solo un valore esplorativo ma anche conoscitivo e costruttivo per impostare il lavoro in classe e per attivit di aggiornamento 23 2 ASCESA E CADUTA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA NELL INSEGNAMENTO In Italia la geometria euclidea sempre stata uno dei temi portanti dei pro grammi di matematica ma a partire dagli anni settanta circa il suo insegna mento entrato in crisi anche se non si sono avuti i rigetti e le ribellioni osser vati in altre nazioni Mi sembra semplic
235. rLla a B r LB rlsssLa rlla iv Esistenza e unicit della retta r passante per un punto P e perpendicolare ad un piano assegnati Scriveremo P L 0 r E comodo estendere la nozione di angolo anche al caso di una coppia retta piano Definizione Sia un piano ed r una retta non parallela e non perpendicolare ad a Detti B R R tre punti tali che P r A a Re r P R RLON N Q detto angolo formato dalla retta r e dal piano a e lo indicheremo con il simbolo l angolo PR P R Osserviamo che la definizione evidentemente indipendente dalla scelta del punto R su r 172 IV Angoli diedri e angoloidi 1 LE DEFINIZIONI La nozione di angolo diedro o semplicemente diedro estende al caso dei piani la classica nozione di angolo di due rette Definizione Si chiama diedro una coppia di semipiani 7A 7B aventi lo stesso bordo r I due semipiani sono dette facce del diedro la retta r spigolo del diedro Indicheremo tale diedro con il simbolo 74 B oppure X FA B oppure ancora A B Definizione Se p un piano perpendicolare alla retta r posto R r A p sia RA 54 N p RB 7B A p L angolo RAR B detto sezione normale del diedro yA 7B Non difficile dimostrare che al variare del piano p perpendicolare ad r tutte le sezioni normali sono tra loro congruenti Questo ci permette di estendere ai diedri la classica terminologia gi in
236. re nel processo formativo l acquisizione di nuove conoscen ze frutto della ricerca scientifica e l applicazione di nuove tecnologie con la didattica Trova allora spiegazione l incremento che si sta verificando da alcu ni anni ad oggi del numero delle intese stipulate dal M P I con enti istituzioni associazioni professionali intese strettamente finalizzate alla contestualizzazione del servizio scolastico all evoluzione del mondo della produzione del lavoro della cultura in tutte le sue espressioni della condizione umana e dei rapporti sociopolitici Il ricorso alla strategia delle collaborazioni esterne sta consentendo di registrare in alcune scuole elementari medie e superiori risultati inte ressanti nell applicazione delle tecnologie multimediali ipertestuali e telematiche alla didattica mediante l attuazione del progetto Telecomu nicando previsto dall intesa con la STET che dal canto suo potr av valersi di questa esperienza per sviluppare le potenzialit dei suoi pro dotti anche secondo le richieste dell attivit didattica dall intesa MPI Ministero dei Beni Culturali potranno scaturire adeguate forme di cono scenza gestione fruizione del patrimonio culturale ed artistico di cui ricco il nostro Paese dall attuazione dei protocolli d intesa con 1 IN SMLI con l Enciclopedia Italiana e con la Societ Filosofica Italiana potranno derivare contributi per migliorare l insegnamento delle
237. re un senso alle espressioni risultato di un processo per gli studenti in genere i passaggi algebrici portano a un risultato e basta 44 La dimostrazione fatta in geometria in qualche modo presentata e perce pita dallo studente come parte di un quadro culturale globale per costruire una teoria mentre le dimostrazioni in algebra sono percepite come fatti isolati che non si inseriscono in un disegno globale Questo rende pi ricca la dimostra zione in geometria La dimostrazione in algebra risulta pi povera non solo per questo fatto ma anche perch si presta di meno all attivit di argomentazione In esperienze che abbiamo condotto in classe sulla dimostrazione abbiamo po tuto confrontare vari atteggiamenti uno studente ha esplicitamente sottolinea to Che bisogno c di spiegare in algebra In geometria tutto diverso e pi interessante Questa frase esprime bene come una volta accettato il formali smo senza significato dell algebra possa riuscire difficile allo studente vedere la necessit di dimostrare L aspetto positivo di questo fatto che lo studente percependo il vero come collegato solo alla manipolazione subisce meno l in terferenza dell aspetto semantico nelle attivit dimostrative Va per osservato che in algebra permane una certa ambiguit di fondo poich gli assiomi sono raramente esplicitati Non neppure chiaro allo studente che anche se non si fa riferimento agli assiomi q
238. re geometriche sono soggette al 29 le usuali relazioni insiemistiche appartenenza inclusione intersezione unio ne Il primo e il secondo assioma diventano Dati due punti distinti A e B esi ste un unica retta che li ha come elementi La relazione a tre posti stare tra sostituita dalla relazione binaria lt e l assioma di Pasch grazie alla possibilit di definire la convessit sostituito dall assioma di separazione del piano Data una retta l insieme dei punti che non le appartengono l unione di due insiemi convessi tali che se A appartie ne a uno di essi e B all altro allora il segmento AB interseca la retta Schema basato sul movimento Si introduce il concetto di gruppo Valgono i seguenti assiomi I movimenti sono funzioni bigettive del piano in s che costituiscono un gruppo con l usuale legge di composizione da questo assioma segue che la congruenza una relazione di equivalenza Sef un movimento e s una semiretta di origine A f s una semiretta di origine f A da questo assioma segue la propriet di trasporto dell angolo Se in un movimento restano fermi tre punti non allineati il movimento una funzione identica Per definizione due figure sono congruenti quando esiste un movimento che trasforma l una nell altra Schema di Choquet Tra i vari approcci che si sono ricordati precedentemente interessante quello del francese Jean Dieudo
239. resentare oltre che la figura da studiare anche gli assi del riferimento cartesiano negli schizzi preliminari per impostare la soluzione Paradossalmen te nelle situazioni descritte si potrebbe parlare di un ribaltamento di funzione per cui la rappresentazione grafica spesso un punto di arrivo nel processo ri solutivo di un problema o nell elaborazione di un concetto poich quando lo studente fa una buona rappresentazione della situazione da studiare ha gi chiari i concetti o procedimenti L uso della figura nella dimostrazione uno specifico dell ambito geome trico da una parte incoraggiato dall altra in questo uso si vedono dei perico li Consideriamo i seguenti esempi Esempio 1 Nel questionario discusso in Bosco et alii 1995 ripreso un noto giochino si veda Dubnov 1965 con cui si dimostra che 25 24 Il procedimento il seguente Si scompone un quadrato di lato 5 in due trapezi rettangoli uguali A e B e in due triangoli rettangoli uguali C e D nel modo illustrato a sinistra nella fi 46 gura disponendo diversamente le parti A B C e D si ottiene il rettangolo raffi gurato a destra Esempio 2 In Schoenfeld 1987 riportata la seguente esperienza A studenti di livello scolare equivalente al nostro triennio che avevano se guito un corso di un anno di geometria richiesto di usare la riga e il compas so per costruire il cerchio tangente a due rette intersecantisi con il punto di
240. retta del solo spazio a 3 dimensioni Questa si pu ottenere essen zialmente con la seguente proposizione I5 Se due piani distinti a P hanno in comune almeno un punto essi hanno in comune una intera retta Questa propriet che caratterizza lo spazio a 3 dimensioni potrebbe essere ottenuta anzich enunciando un apposito assioma l assioma I5 appunto an che come conseguenza di altre proposizioni che riguardano aspetti diversi del lo spazio che stiamo studiando Tale per esempio la nozione di ordinamen to Ritorneremo tra breve su questo argomento Da un punto di vista strettamente logico bisognerebbe ora mostrare che effettivamente possibile trovare insiemi di oggetti da chiamare punti in cui possibile assegnare opportuni sottoinsiemi che soddisfano le proposizioni da Il a IS Da un punto di vista didattico potr invece forse essere sufficiente con vincersi che le proposizioni I1 IS costituiscono una soddisfacente descrizione della immagine geometrica intuitiva che abbiamo dello spazio fisico L enun 162 ciazione di tali proposizioni risponde dunque solo a quella esigenza di chia rezza a cui abbiamo fatto riferimento nel 1 Nella trattazione che segue per ragioni di rapidit indicheremo d ora in poi le relazioni tra punti rette e piani usando sistematicamente la nomenclatu ra e l abituale formalismo insiemistico Alcuni simboli logici come V per ogni gt implica etc verrann
241. ricula of average college bound students Mathematics teacher v 88 156 164 Villani V 1995 L insegnamento pre universitario della geometria NUMI a 22 supplemento al n 8 9 29 44 Vollrath H J 1976 The place of geometry in mathematics teaching an analysis of recents develop ments Educational studies of mathematics v 7 431 442 6 DIMOSTRARE Nel linguaggio comune di solito si usano parole inerenti la matematica con attitudine positiva matematico per certo manovra euclidea nel cal cio per manovra precisa e razionale o con benevola ma in fondo rispettosa presa di distanza per me algebra per non capisco Mi viene in mente un solo traslato di termine matematico completamente negativo l uso del ter mine teorema a proposito di certe indagini giudiziarie apparentemente inat taccabili dal punto di vista logico le cui conclusioni non convincono In effetti nella maggioranza dei casi questa l immagine della dimostrazione che resta agli studenti qualcosa che appartiene all esperienza cerebrale ma non sensibi le o emotiva o sentimentale e qualcosa vissuto passivamente per rispettare il contratto didattico Un ricercatore in educazione matematica John Mason di ce che dimostrare implica convincere un nemico convincere un amico convincere se stessi Dalle esperienze da noi condotte in questo campo mi sembra realistico inferire che la successione che si riscon
242. riet principali il docente pu approfittarne tra l altro per abituare lo studente a dimostrazioni di tipo algebrico Commento ai singoli temi Tema 3 Relazioni e funzioni Programma forte p 167 Gli elementi di logica non devono essere visti come una premessa metodologica all attivit dimostrativa ma come una riflessione che si sviluppa man mano che matura l esperienza matematica dello studente Fin dall inizio bisogna abituare lo studente all uso appropriato del linguaggio e delle formalizzazioni a esprimere cor rettamente le proposizioni matematiche e a concatenarle in modo coerente per dimostrare teoremi mentre solo nella fase terminale del biennio si pu pervenire allo studio esplicito delle regole di deduzione Commento ai singoli temi Tema 5 Elementi di logica e informatica p 169 Non mi soffermo sui programmi del triennio che non sono ancora definiti osservo comunque che un certo grado di astrazione generalizzazione e forma lizzazione presente nelle formulazioni per i vari orientamenti A fronte di questi suggerimenti contenuti nei programmi e delle motivazio ni di tipo culturale a favore di un posto di rilievo delle attivit dimostrative nel la formazione matematica c la constatazione delle difficolt incontrate dagli studenti nello sviluppare tali attivit La letteratura su queste difficolt molto vasta all interno del nostro gruppo abbiamo prodotto vari lavori sul tema di cui ri
243. ro V perch come vedremo una costruzione logica mirabile ma assai complessa Euclide ha cos preferito anticipare molti risultati geometrici ottenibili facilmente con l uso della teoria delle proporzioni pur pa gando il prezzo di fornire per essi nuove dimostrazioni pi complicate nell ar ticolazione dimostrativa ma pi semplici dal punto di vista degli strumenti im piegati importante tener presente questa osservazione per evitare veri e propri er rori didattici Se per esempio la teoria delle proporzioni viene presentata prima del teorema di Pitagora non ha alcun senso riproporre la dimostrazione del Li bro I proprio perch la caratteristica essenziale di tale dimostrazione quella di voler essere indipendente dalla teoria delle proporzioni Ma vediamo brevemente l articolazione di questa teoria come presentata nel Libro V Le difficolt connesse al problema degli incommensurabili sono ben note In un immaginario mondo ideale privo di incommensurabili per ogni coppia di segmenti a b si d un numero razionale che possiamo indica re con a b Avere lo stesso rapporto per quattro segmenti a b c d significa semplicemente constatare l uguaglianza a b c d Ma che fare nel nostro mondo concreto ove estremamente problematico proprio assegnare un significato al rapporto a b Ebbene la grande idea che la tradizione attribuisce ad Eudosso ed i cui sviluppi sono contenuti nel Libro V questa in realt n
244. ro edificio di una teoria come per esempio l aritmetica o la geometria debbono necessariamente essere introdotti con si stemi di proposizioni primitive che vengono abitualmente chiamate assiomi Se non si facesse in questo modo si dovrebbe instaurare un procedimento cir colare di definizioni e di precisazioni privo di qualsiasi validit logica Questa particolare procedura che coinvolge le nozioni primitive sulle quali la matematica opera viene chiamata definizione implicita o anche defini zione per assiomi Essa stabilisce quindi le regole iniziali secondo le quali i concetti matematici debbono essere trattati e impiegati nelle deduzioni logiche successive In altre parole la scelta di una base assiomatica sulla quale poggia re la costruzione di una teoria matematica proprio la procedura che tende poi a garantire la possibilit di deduzioni rigorose tipiche della scienza Nel caso della geometria la base assiomatica di cui stiamo parlando ha as sunto nel tempo gli aspetti pi diversi condizionati anche dalla contemporanea evoluzione di altri rami paralleli della matematica La costruzione assiomatica classica della geometria euclidea senza dubbio quella dovuta a Euclide che noi possiamo oggi utilizzare nella forma logicamente ineccepibile elaborata da Hilbert cfr 7 Nel cap III di questo scritto daremo una presentazione sche matica di questa assiomatica sintetica alla Euclide Hilbert enunciata in modo da te
245. rocessi di deduzione logica lo svolgimento di dimo strazioni l esibizione di esempi o contro esempi segue necessariamente un itinerario complesso e articolato Si tratta infatti di tracciare i disegni che si ri feriscono alle figure su cui si opera perch queste sono le radici della intuizio ne e della creativit come gi abbiamo detto Ma poi ben presto occorre stac carsi da queste suggestioni per evitare o almeno controllare gli assiomi e le ipotesi implicite ma non volute nascoste nei processi intuitivi necessario in questa fase riferirsi esclusivamente alla razionalizzazione delle figure ope rando solo attraverso i formalismi che le rappresentano Lo svolgimento di un itinerario come quello descritto richiede da parte del lo studioso una forte capacit critica e una rigorosa attenzione ai processi men tali che vengono svolti Tutto ci certo profondamente educativo ma pu an che essere difficile da ottenere senza adeguati strumenti di appoggio logici o psicologici Diventa a questo punto un problema essenzialmente didattico l elaborare opportune strategie atte a ravvivare o stimolare le attitudini critiche e di rigore di cui abbiamo detto Ci limiteremo in questa sede a formulare alcune propo ste operative Rimanendo nell ambito della geometria euclidea piana si possono ad esem pio tener presenti i seguenti accorgimenti i Svolgere le dimostrazioni facendo riferimento a disegni tracciati in modo somm
246. rpendicolarit ecc di punti rette e piani nello spazio Queste formule hanno un semplice corrispettivo analogo nel caso bidimensionale e dopo che diviene abituale trattare prima la geometria piana e poi quella solida con l inizio dell Ottocento si ritrova pi o meno la geometria analitica nella forma abituale degli attuali manuali Ma necessario tenere presente la logica sottostante a questo processo Non si tratta di attribuire giusto credito a Descartes od a Lagrange od a La croix ecc Si tratta invece di comprendere come le prime abituali formule della odierna geometria analitica piana hanno un ch di innaturale se considerate in se stesse o come primi elementi di un processo conoscitivo autonomo Esse ri propongono infatti in forma analitica ci che gi noto per altra via Esatta mente il contrario della originale ispirazione cartesiana Naturalmente pu essere comunque necessario introdurre queste formule all inizio dell insegnamento della geometria analitica Occorre per molto cura per evitare che il loro carattere ridondante crei confusione nella mente dell al levo Ci che Descartes realizza con la G om trie qualcosa a nostro giudizio di assai pi importante dell organizzare i punti del piano utilizzando un siste ma di riferimento Quest idea almeno in una forma limitata si trova gi sostan zialmente nella matematica greca come abbiamo visto Ci che Descartes co glie invece con profonda l
247. rse cos da giungere a una visione unitaria su alcune idee centrali variabile funzione trasformazione struttu ra Scuola media di primo grado Trasformazioni geometriche p 41 a Isometrie o congruenze piane traslazioni rotazioni simmetrie a partire da esperienze fisiche movimenti rigidi Composizioni di isometrie Figure piane diret tamente o inversamente congruenti b Similitudini piane in particolare omotetie a partire da ingrandimenti e rimpiccio limenti Riduzioni in scala c Osservazione di altre trasformazioni geometriche ombre prodotte da raggi solari o da altre sorgenti luminose rappresentazioni prospettiche fotografie pittura ecc immagini deformate Scuola media di primo grado Orientamenti per la lettura dei contenuti p 42 Lo studio della geometria trarr vantaggio da una presentazione non statica delle figure che ne renda evidenti le propriet nell atto del loro modificarsi sar anche opportuno utilizzare materiale e ricorrere al disegno La geometria dello spazio non sar limitata a considerazioni su singole figure ma dovr altres educare alla visione spaziale in questa concezione dinamica che va inteso anche il tema delle trasfor mazioni geometriche Il metodo delle coordinate con il rappresentare graficamente fenomeni e legami fra variabili aiuter a passare da un livello intuitivo ad uno pi razionale Alcune trasformazioni geometriche potranno essere cons
248. scara Teramo Bologna Ferrara Cesena FO Carpi MO Piacenza Parma Lugo RA Reggio Emilia Anagni FR Latina Rieti Roma Roma Viterbo Jesi AN Ripatransone AP Camerino MC Pesaro Campobasso Isernia Arezzo Prato FI Grosseto Livorno Lucca Marina di Carrara MS Pisa Pescia PT Siena Umbertide PG Terni ELENCO SCUOLE POLO DELLA ZONA C IM T STIGLIANI IM GIANTURCO LS FERMI GALLUZZI GRAVINA ALVARO CAPIALBI IMBRIANI GUACCI SALVATORE PIZZI VICO CALAMANDREI SERAO ALFANO I TROYA E MAJORANA PALUMBO RONCALLI CAPECE ARISTOSSENO PACINOTTI FERMI CROCE CASTELV LEONARDO RUGGERO SETTIMO C O C N CUTELLI CRISPI ARCHIMEDE DE COSMI MAZZINI RAELI SALVO 7 R222222F n ZZZZHENNUIEZLONOZZONEE Via Lenera 61 Via Zara Via Molinella 30 Via De Gasperi Via Foscolo Via Campanella Via S Ruba Viale Italia 2 Via Nicola Calandra 138 Piazza Umberto I Via Salvator Rosa 117 Via Comunale Maranda 84 Via Carducci 18 Via dei Mille Via R Sanzio Via A Moro 19 Via A Grandi 17 Piaza Europa Piazza Moro 37 Viale Virgilio 15 Via Liguria Via Veneto 45 Via G D Annunzio Via Manno 58 Via della Vittoria Via Rosso di San Secondo Via V Emanuele II 56 Via Padova 50 Viale Regina Margherita 3 Via L Ruggieri 15 Via Curtatone Via Matteo Raeli 9 Via Marinella 1 205 Matera Potenza Cosenza Catanzaro Crotone Palmi RC Vibo Vale
249. si cio appunto le scale assonometri che Sorge allora la domanda quali vincoli sussistono tra gli elementi predet ti o tra essi e i corrispondenti elementi obiettivi La risposta data da un celebre teorema di K POHLKE 1810 1876 Teorema Tre segmenti arbitrari di un piano O A 0 B 0 C uscenti da uno stesso punto O e non tutti e tre allineati si possono sempre considerare ri spettivamente come proiezioni parallele di tre segmenti congruenti 0A 0 B 0 C presi sopra tre rette dello spazio uscenti dal punto O e tra loro mutuamen te ortogonali Il teorema di POHLKE ci assicura quindi che prendendo ad arbitrio tre assi assonometrici e su essi le relative scale assonometriche esiste sempre una as sonometria parallela che li ammette come elementi di riferimento Tuttavia il pi delle volte si preferisce la scelta degli elementi di riferimen to che corrispondono alla cosiddetta assonometria o prospettiva cavaliera In questo caso il quadro T assunto parallelo o addirittura coincidente con il pia no y z del riferimento obiettivo di conseguenza gli assi assonometrici y z sono paralleli o coincidono con i rispettivi assi obiettivi y z e le relative scale assonometriche coincidono con le rispettive scale obiettive Affinch la proie zione x dell asse x non svanisca l assonometria cavaliera dovr essere obli qua 3 DUE ESEMPI DI RAPPRESENTAZIONI ASSONOMETRICHE In questo paragrafo ci proponiamo di
250. si e approfonditi per approfondire le considerazioni ora svol te si veda ad es 14 15 16 importante sottolineare per che i due momenti di cui stiamo parlando devono anche essere tenuti nettamente distinti Si pu dire che la geometria diventata adulta proprio quando il momento teorico si chiaramente distinto dalle origini contenutistiche che affondano le loro radici nella esperienza della realt fisica circostante La storia del pensiero ci mostra un lungo itinerario di crescita concettuale che si muove a partire dalle dimostrazioni di Euclide fatte guardando il disegno oppure da quelle di Saccheri basate su una ritenuta evidente natura delle figure geometriche oppure ancora di Legendre che considera gli assiomi come verit evidenti fino alla costruzione di Hilbert della geometria euclidea oppure ancora fino ai travolgenti sviluppi delle geo metrie non euclidee L esistenza di questi due piani distinti complementari e inconfondibili una caratteristica specifica della geometria che la distingue dagli altri rami classici della matematica come l analisi o l algebra Il problema tanto discusso e dibattuto riguardante la scelta di una assioma tica e ancora quello relativo alla possibile identificazione tra gli oggetti geo metrici e il linguaggio algebrico o analitico che li descrive un fatto tipico e qualificante della geometria che nasce proprio come conseguenza della esi 149 stenza ne
251. so non per necessario tracciare in tal modo queste linee sulla carta ma basta designarle con lettere 3 Avremo cos a b a b ab ecc nel modo abituale 32 Ed ora ecco come ci si deve comportare per risolvere i problemi volen do risolvere qualche problema si deve sin dal principio considerarlo come gi risolto e assegnare una lettera ad ogni linea che si ritiene necessaria per co struirlo sia a quelle che sono note che alle altre Poi senza fare nessuna diffe renza tra quelle note e le incognite bisogna svolgere il problema seguendo quell ordine che pi naturalmente di ogni altro mostra in qual modo le rette dipendano mutuamente le une dalle altre fino a che non si sia riusciti a trovare il procedimento per esprimere una stessa quantit in due modi cio non si sia pervenuti a ci che si chiama Equazione 33 Il problema in generale sar determinato quando avremo trovato tante equazioni quante sono le incognite sar invece indeterminato quando il nume ro delle equazioni sar inferiore a quello delle incognite Lasciando al lettore il piacere di formulare problemi la cui soluzione dipen da da un unica equazione di secondo grado Descartes mostra poi come si pos sa costruire geometricamente la soluzione di un equazione di questo tipo Poi ch i segmenti considerati debbono avere lunghezza positiva avremo in realt molti tipi di equazioni di secondo grado Consideriamo quella della forma 4 1 z az
252. staccato dai metodi algebrici di Descartes per avvicinarsi sem pre pi allo spirito della geometria classica 99 Alla ferma convinzione cartesiana sulla necessit di limitare all essenziale l uso dei teoremi geometrici da utilizzare per affrontare i problemi geometrici Newton oppone il convincimento dell opportunit di un uso assai pi libero della geometria Egli stesso sceglie un esempio che illustra con grande chiarezza il suo pun to di vista Si consideri il seguente problema od i Sono dati tre segmenti di lunghezza a b c Si vuol determinare il diametro di un semicerchio di diametro AD in modo che scelti su di esso i due punti B e C come in figura sia AB a BC b e CD c Newton osserva che possi bile giungere all equazione corrispondente al problema in molti modi utiliz zando solamente la similitudine ed il teorema di Pitagora e si sofferma egli stesso ad illustrare alcune possibilit Ma sebbene questi modi non implichino soverchie difficolt c una via pi naturale di ottenere rapidamente 60Per un approfondimento di quanto qui detto in modo molto schematico ci permettia mo di rinviare a Galuzzi 1990 e naturalmente all ampia bibliografia ivi discussa 6 Originariamente formulato da Van Schooten nella sua Appendix de cubicarum ae quationum resolutione in Descartes 1659 p 354 104 quest equazione evidentemente si ha BD yx a ed AC Vx c Poich ABCD un
253. ste considerazioni si veda per es 13 Si pone dunque ora 147 un duplice problema Da una parte assicurare il massimo rispetto del comples so di azioni scelto come base concettuale su cui fondare la teoria senza che al le nozioni primitive di cui gli assiomi stabiliscono il comportamento e dettano le regole vengano attribuite propriet implicite e non espressamente stabilite frutto di nascoste suggestioni psicologiche Da un altra parte occorre garantire la correttezza del processo di deduzione logica rendendolo oggettivo e verifi cabile A questi fini la costruzione di una teoria matematica sempre accom pagnata dalla elaborazione di un opportuno formalismo fornito di appropriate leggi grammaticali e sintattiche Naturalmente va osservato che la natura di questo formalismo strettamen te legata al tipo di base assiomatica scelta In particolare esso potr essere pi astratto oppure meno astratto in conseguenza del livello di astrazione con cui gli assiomi sono stati enunciati Tuttavia dobbiamo osservare che la costruzio ne del concetto in matematica sempre accompagnata in modo irrinunciabile da un processo di astrazione e di formalizzazione che fanno pervenire alla for ma finale dell oggetto matematico La matematica stessa merita allora di esse re definita come scienza dei sistemi formali oppure ancora come linguaggio che deve la sua incredibile adattabilit e potenza descrittiva proprio alla assolu ta astrazione e for
254. stituto tecnico Manoscritto Furinghetti F amp Paola D in stampa Students mathematics applications an attempt at linking three different domains through the computer in C Keitel editor Proceedings of CIEAEM 47 Berlin 1995 Garibaldi A C 1995 Giovanni Agostino Abate in Studi in occasione del quinto cente nario della nascita 1495 1995 93 144 z F A i ubvesdo NOMATRATARE 69 STORIA DELLA GEOMETRIA E DIDATTICA QUALCHE OSSERVAZIONE Massimo Galuzzi Daniela Rovelli Dipartimento di Matematica Universit di Milano ITIS G Marconi Dalmine 1 STORIA DELLA MATEMATICA E DIDATTICA L utilit della storia della matematica per la didattica stata spesso afferma ta e con particolare vigore negli ultimi tempi sia in Italia che in altre nazioni I programmi recentemente proposti dalla Commissione Brocca larga mente utilizzati in molte scuole concludono le Finalit dell insegnamento del la matematica affermando al punto 9 che l insegnamento di Matematica e Informatica promuove l interesse per il rilievo storico di alcuni importanti eventi nello sviluppo del pensiero matematico Tra le recenti discipline previste per un possibile insegnamento nel Corso di laurea in Matematica figura ora espressamente una Storia e didattica della matematica a ulteriore prova dell accresciuto interesse per questo connubio Ma si pu osservare che l interesse per l uso dell
255. sull individuazione degli invarianti delle figure equivalenti in una certa geometria delle propriet e i teoremi appartenenti a una certa geometria Un altro punto poco sviluppato l individuazione di quanti elementi occorrono per individuare una trasforma zione Questo un esercizio che pu essere svolto sinteticamente o ricorrendo alle equazioni della trasformazione eventualmente in forma vettoriale si attiva in questo caso un nuovo registro analitico e si induce nello studente la flessi bilit necessaria a risolvere problemi Quest ultimo il vero punto di forza delle trasformazioni per cui vale la pena di introdurle nell insegnamento offrire l occasione di lavorare su uno stesso problema in ambiti diversi e quindi dare nuove possibilit di soluzione Del resto come osservato nel gi citato articolo Valabrega 1989 storica mente le trasformazioni nacquero proprio per risolvere problemi e in un secon do tempo ebbero uno sviluppo teorico In Sabbatini 1926 c una panorami ca sulla presenza delle trasformazioni nella storia della matematica pur nei limiti di questa breve nota si vede come l uso delle trasformazioni sia stato funzionale alla risoluzione di problemi e inizialmente siano state sviluppate trasformazioni ad hoc per ogni singolo problema ma non una teoria generale su di esse L impulso allo studio delle trasformazioni si ha con la nascita della geometria proiettiva e mi pare condivis
256. ta Per tutti questi motivi i ragionamenti e le considerazioni che riguardano le figure geometriche dello spazio devono venire rivolti in maniera diretta al loro oggetto proprio anzich ad una sua particolare realizzazione o rappresentazio ne D altra parte come abbiamo gi rilevato le figure geometriche sono enti astratti le cui caratteristiche sono delineate con precisione solo attraverso gli strumenti razionali e la loro rappresentazione formale Quando dunque ci ri promettiamo di operare sulle figure geometriche dello spazio non potendo queste essere facilmente confuse con una loro rappresentazione risulter pi evidente di quanto risulti nel caso del piano la necessit di ricorrere ad un pro cedimento logico che faccia riferimento alle loro propriet astratte anzich ri correre a verifiche di plausibilit che si riferiscono ai citati modelli rappresen tativi concreti In tal modo operando con la geometria dello spazio le verifiche di plausibilit tornano ad occupare il loro posto naturale che quello di espedienti euristici suggestivi ma inaffidabili e non certo quello di sostituti incomodi ma inevitabili delle dimostrazioni razionali dunque chiara la irrinunciabile necessit che la geometria euclidea dello spazio venga fondata in modo chiaro e razionale e il suo studio sia condotto in forma rigorosa e oggettiva questa la condizione indispensabile per assicura re la sua rilevanza formativa e il suo apporto cultura
257. ta una isometria f vogliamo determinare la relazione intercorrente tra le coordinate x y di un punto P e le coordinate x y di f P 1 Consideriamo innanzitutto la traslazione 1 di un vettore v p 9 Dato il punto P x y si ha ovviamente t x y x p y 9 Rappresentando il punto P x y con la seguente matrice X y 1 possiamo rappresentare la formula precedente nel seguente modo x x p 10 p x t gt y y 4 0 1 qy 1 1 00 1 1 Ne segue che la traslazione t rappresentata dalla matrice 1 0 p 01 4q 0 0 1 2 Consideriamo ora la simmetria rispetto all asse delle x che indichiamo con sw Si ha 6 s x 9 x 9 Applicando il simbolismo matriciale introdotto in precedenza otteniamo x x 1 0 0 x s y y 0 1 0 y 1 1 0 0 1 l Ne segue che la simmetria s rappresentata dalla matrice 100 0 1 0 0 0 1 3 Consideriamo la rotazione ro di centro O 0 0 di un angolo in senso an tiorario 122 Sia P x y p cos p sin e sia rog P x y Si ha x Qcos B a xcosa ysin f y osin f a xsina y cos 6 Con il simbolismo matriciale abbiamo x cosa sina 0 x Fal y sina cosa 0 y 1 0 0 1 1 Ne segue che ro rappresentato dalla matrice cosa sina 0 sina cosa 0 0 0 1 4 Sia ora f una isometria diretta Abbiamo visto che si ha f t 0 rpg Possia mo scegliere come centro di rotazione l origine o del sistema di riferimento Abbiamo allora x x 1 0 p cosa sina 0 x
258. tamente la fisica di Aristotele fu Citiamo dall Appendice di Manara Marchi 1993 p 167 70 un enorme impresa scientifica ma non vi alcun enunciato di essa che possa trovar luogo in un moderno libro di testo mentre gli Elementi per esempio possiedono centinaia di teoremi che sono riprodotti pi o meno esattamente nei libri moderni si pensi per esempio alla dimostrazione euclidea dell esi stenza di infiniti numeri primi Di conseguenza la necessit della storia della fisica e della storia della matematica vanno esaminate in modo differente Tuttavia Heiede fa un affermazione importante quando osserva che la sto ria della matematica non va insegnata per rendere la matematica pi divertente o pi facile o pi umana In qualche modo all estremo opposto si collocano quelle argomentazioni che vorrebbero promuovere l uso della storia della matematica come un utile espediente didattico Grugnetti 1989 un esempio notevole in questa dire zione Questo uso della storia ad esempio l uso del Liber Abbaci per stimolare la curiosit dei ragazzi perfettamente legittimo Importante per non annet tere valore teoretico a questo utilizzo della storia ch se per una data scolare sca un certo documento pu riuscire di stimolo allo studio della matematica forse per un altra potranno essere pi fruttuose le avventure di Paperino nel mondo della matemagica o qualche altro espediente ancora
259. tanziale Se infatti si assumono come assiomi dello spazio le proposizioni da I1 a IS e inoltre O1 e O2 allora la proposizione O3 consegue logicamente da esse cio O3 costituisce l enunciato di un teore ma che pu essere dimostrato Se invece si assumono come assiomi di inciden za solo le proposizioni da Il a I4 e come assiomi d ordine O1 02 03 allora la proposizione IS che dipende logicamente dai primi cio che diviene l enun ciato di un teorema dimostrabile Illustriamo nei dettagli quanto affermato Supponiamo dunque la validit degli assiomi I1 I2 I3 I4 O1 e O2 e di mostriamo le seguenti proposizioni Teorema 1 03 implica I5 Dimostrazione Siano a p due piani distinti qualsiasi e P un punto tale che P e ap Per I4 esistono X Ze distinti con P X Z Se X a oppure Z e e allora PX c N oppure rispettivamente PZ c am Be la tesi dimo strata Sia ora X Z a n 6 Se Ze X per O1 esister un punto Y e PZ c X N Per l assioma 03 si ha dunque X Y Na detto Q il punto tale che Q XY n a si ha Q P D altra parte Q XY c Be dunque PO c n B che la tesi AI contrario se Z aX siha XZ Na Q e quindi ancora PO c N B Teorema 2 IS implica 03 Dimostrazione Sia un piano qualsiasi per I4 esiste U e P a Poniamo a U Xe P alTX na u U UH Da Ye 21 UY na Dimostriamo che i sottoinsiemi amp e GU soddisfano alla condizione es
260. te in un punto Q po chi calcoli elementari che qui non riportiamo pertinenti alla geometria differenziale o anche soltanto alle applicazioni geometriche dell analisi mate matica permettono di dimostrare che in ogni punto come Q la curva F tangente alla proiezione del contorno apparente 158 Daremo una immediata applicazione di questa osservazione riprendendo l esempio analizzato nel paragrafo precedente Consideriamo il cilindro infinito le cui generatrici passano per i punti della circonferenza 1 e sono parallele all asse z Se immaginiamo che il cilindro sia un solido il suo contorno apparente costituito da due generatrici che di vidono la parte del cilindro che vista da V da quella che nascosta all occhio posto in V dal cilindro stesso In questo caso possiamo considerare la circonferenza 1 come una curva tracciata sul cilindro pertanto la ellisse 2 deve essere tangente alle due gene ratrici del cilindro che costituiscono la proiezione del contorno apparente visto da V Questa osservazione permette quindi di determinare la parte della curva 1 che viene vista da V secondo note propriet di geometria analitica questa par te viene determinata dalle intersezioni della curva 2 con la retta che la pola re del punto improprio dell asse z Tale polare viene rappresentata dall equa zione 3 z b cy bz e si verifica che le tangenti alla curva 2 nei punti in cui essa
261. te paragrafo che il confine tra intuizione e rigore tra plausibilit e dimostrazione pu divenire per la geometria piana molto incerto fino a sembrare frutto di preoccupazioni formali piuttosto che esigenza logica imprescindibile Nel caso della geometria dello spazio il pericolo della confusione tra l og getto mentale che chiamiamo figura geometrica e una sua rappresentazione grafica o mediante modelli certamente minore Gli oggetti le figure solide della geometria sono entit di cui la nostra intuizione continua ad avere una idea alquanto generica e dai contorni sfumati ben noto che si pu realizzare una rappresentazione grafica piana di que ste figure solide ci per esempio argomento cui dedicata la Geometria De scrittiva Tuttavia tale rappresentazione grafica richiede il rispetto a sua volta di precise regole formali per poter costituire una descrizione razionale ed obiettiva e non manca inoltre a volte di particolari situazioni di ambiguit e mancanza di informazione Pi in generale dobbiamo ricordare che il problema della rappresentazione piana di oggetti dello spazio attraverso il disegno ha costituito da lungo tempo un interessantissimo arco di collegamento tra la produzione artistica e l ap profondimento di particolari rami della geometria che hanno portato allo stu dio prima della prospettiva e poi della geometria proiettiva La realizzazione di tali disegni non pu tuttavia essere
262. tecnici per lo studio della geometria e per la risoluzione dei suoi problemi esempio classico di questo punto di vista il problema delle costruzioni con riga e compasso delle figure geometri che che costituisce un significativo capitolo nello studio della geometria ele mentare Quanto abbiamo detto riguardo il disegno e il suo ruolo nello studio della geometria ha una immediata realizzazione se ci si riferisce alla cosiddetta geo metria piana Infatti lecito pensare che il foglio di disegno costituisce un sod disfacente modello di una porzione di piano euclideo Molto pi complesso si presenta invece il problema se ci si riferisce al pia no di una geometria non euclidea oppure da un altro punto di vista alla geo metria dello spazio anche se lo spazio quello della classica geometria eucli dea tridimensionale Accenneremo ora in particolare e brevemente alla rappresentazione me diante immagini piane di oggetti o figure che si trovano nello spazio Richiede remo inoltre pi precisamente che tale rappresentazione sia ottenuta attraverso regole opportune cos da permettere la risoluzione grafica nel piano di proble 154 mi di geometria spaziale Quello che abbiamo ora enunciato lo scopo a cui mira la cosiddetta geometria descrittiva cfr per es 6 Tra i vari metodi di rappresentazione che sono oggetto della geometria de scrittiva accenneremo qui ad uno in particolare la cui conoscenza pu risulta re utile anche
263. terizzano maggiormente la geometria euclidea Pi precisamente si chiama piano affine la coppia P costituita da un in sieme P di punti e da un insieme amp di parti di dette rette che soddisfa all as sioma Il all assioma I4 perognir R Irl2 2 IR 2 2 e inoltre al ben noto assioma detto quinto postulato di Euclide o anche po stulato delle parallele P per ogni retta r e per ogni punto P amp r esiste una e una sola retta s tale che Peserns 0 166 Dall assioma P discende la definizione di parallelismo euclideo nel piano per ogni z s e R diremo r parallela ad s e scriveremo r s se e solo ser s oppure r N s La retta s passante per un qualsiasi punto P e parallela ad una retta r quindi univocamente determinata la indicheremo con il simbolo P I r In base all assioma P si pu immediatamente dimostrare che il paralleli smo nel piano affine una relazione di equivalenza ben noto che in uno spazio di rette P R in cui valgono le proposizioni 11 I5 non soddisfatto l assioma P Si pone allora il problema di generalizzare la nozione di piano affine per introdurre quella di spazio affine Sulla base delle proposizioni 11 13 sappiamo che una retta r e un punto P r individuano esattamente un piano scriveremo Pr Possiamo allora modificare l assioma P come segue P perognire Re per ogni Pe P r detto a Pr esiste una e una so la retta s tale
264. terminate decisioni Ci importante perch nel progettare un itinerario didattico si devono risolvere problemi cruciali cercare le motiva zione internamente o esternamente alla matematica partire dalla teoria genera le o partire da casi particolari usare il metodo deduttivo o quello empirico ba sato sull evidenza e la soluzione giusta non un dato a priori ma semplicemente quella armonica con le opinioni dell insegnante ATTIVIT PROPOSTE 1 Commentare i seguenti aforismi La matematica un gioco giocato secondo certe semplici regole con dei segni senza significato sul foglio David Hilbert La matematica pu essere definita come la materia in cui non sappiamo mai di che cosa parliamo n se ci che stiamo dicendo vero Bertrand Russell 2 Leggere le seguenti affermazioni sulla natura della matematica e dire quale pu essere maggiormente condivisa Se nessuna si adatta a ci che il lettore pensa scrivere una propria affermazione Platonismo da Zeitler 1990 Gli oggetti matematici e dunque tutta la mate matica esistono sempre al di l di ogni contesto temporale e indipendente mente dall essere umano Il compito dei matematici decifrarli e investigare queste verit Il matematico uno scopritore pi che un inventore Formalismo da Zeitler 1990 La matematica una collezione di sistemi for mali i cui elementi sono manipolati e combinati secondo specifiche regole del gi
265. testo di Trudeau in lingua originale perch la traduzione italiana per quanto ben eseguita contie ne anche molte scelte arbitrarie Per esempio il periodo nel capitolo 3 che immediatamen te precede il paragrafo Le distinzioni di Kant pp 123 124 completamente diverso dall originale Trudeau scrive della teoria dei diamanti senza alcun riferimento alla me tafora di Morris Kline in La matematica nella cultura occidentale Ma i traduttori suppli scono alla sua dimenticanza facendo scrivere a Trudeau Riprendendo una bella metafora di Morris Kline chiamer questa concezione teoria della verit come diamante Pu anche darsi che il testo di Trudeau sia arricchito in questo modo ma un procedimento di scutibile La prima nota del capitolo dedicata a qualche dettaglio bibliografico relativo a Kant soppressa poich naturalmente si suppone che a differenza di quanto avviene in al tre nazioni il lettore italiano abbia piena familiarit con Kant Intere parti del capitolo 8 so no state soppresse perch forse giudicate irrilevanti La bibliografia che molto interessan te non fosse che per la presenza in essa del primo libro di Robert Pirsig stata eliminata ecc L elenco potrebbe continuare Pu anche darsi che l edizione italiana del libro di Tru deau sia migliore dell originale ma il lettore non dovrebbe essere avvertito dei cambiamenti Il libro di Trudeau contiene un capitolo su Kant il terzo
266. to D e si consideri l omotetia Ap Sia A hpx A B hpx B C hpx C Poich si ha d A B d A B d B C d B C d A C d A C esi ste un isometria g tale che g A A g B B g C C C A B LO A 126 La similitudine f g o Ap verifica le condizioni richieste AI Dalla dimostrazione della proposizione precedente segue immediatamente la seguente proposizione Sia f una similitudine di rapporto k Fissato un punto D esiste allora una isometria g tale che f 80 hpx 8 Una similitudine f si dice diretta inversa se dato un triangolo ABC l orientazione di ABC non coincide con l orientazione del triangolo AA f B KO Anche in questo caso si pu dimostrare che la definizione non dipende dalla scelta del triangolo Si verifica facilmente che le omotetie sono similitudini dirette Ne segue la seguente affermazione Sia f una similitudine di rapporto k Sia una isometria tale che f g hpg Si ha allora f similitudine diretta amp g isometria diretta Dato un punto D del piano x e un numero k gt 0 indichiamo con Ap la tra sformazione di x definita da Ap D D e se P D allora hp P P dove il punto P il punto appartenente alla retta passante per D e P ma non apparte nente alla semiretta con origine in D passante per P tale che d P D kd P D Si verifica facilmente che si ha Ap pa o Apk Ne segue che hp una similitudine diretta di rapporto
267. to f B appartiene al segmento KAC Il fatto che rette parallele hanno per immagine attraverso una isometria rette parallele segue dal fatto che una isometria una trasformazione del piano quindi una corrispondenza biunivoca La dimostrazione che un isometria f trasforma angoli retti in angoli retti segue dalla seguente propriet d A C d A C d B C rag treo rg la retta per A e B Ricordiamo che l ampiezza di un angolo univocamente determinata dal suo seno e dal suo coseno Poich il seno e il coseno di un angolo si determinano utilizzando propriet che abbiamo gi dimostrato essere invarianti per isome trie abbiamo che l ampiezza degli angoli invariante per isometrie E SETT Ecco un altra propriet delle isometrie Siano dati tre punti non allineati A B e C Se A B e C sono punti tali che d A B d A B d B C d B C d A C d A C A B e C non sono quindi allineati allora esiste ed unica un isometria f tale che A f A B f B C f C DIMOSTRAZIONE DELL UNICIT Dimostriamo che fissate le immagini A B e C dei punti A B e C attraver so una isometria f automaticamente determinata l immagine E f di un punto E qualsiasi del piano 116 Si deve avere d E A d E A e quindi il punto deve appartenere alla circon ferenza di centro A e raggio uguale a d C Analogamente E deve appartenere alla circonferenza di centro B e raggio uguale a d B
268. to per la parabola si estende nell opera di Apollonio all in tera teoria delle sezioni coniche esse sono considerate come curve dotate di un riferimento intrinseco una coppia di diametri coniugati Un riferimento che pu mutare scegliendo un altra coppia di diametri e che consente attraverso la manipolazione delle equazioni che se ne deducono di ottenere tutti i prin cipali risultati della sua opera Vogliamo esemplificare quanto detto esaminando una importante proposi zione all inizio del Libro III esattamente la III 1 limitandoci al caso della el lisse per semplicit Alcune premesse sono necessarie In conformit con la 3 1 la equazione della ellisse risulta data con rife rimento alla figura seguente da 3 2 KL k ALxLB dove AB un diametro e KL una ordinata presa nella direzione del diametro coniugato La costante k si ottiene in modo evidente quando L nel punto medio del diametro AB il punto K si trova ad una delle due estremit del diametro co niugato Indicate con 2a e 2b le misure di questi diametri sar k b a A partire dalla 3 2 facile caratterizzare le propriet di tangenza ad esempio la I 37 afferma che con riferimento alla figura ZDxZL ZA K 82 Utilizzando queste premesse vediamo la dimostrazione della III 1 Si tratta di dimostrare con riferimento alla figura che i triangoli KTR e DAR hanno la stessa area wp wo n n a ST R 1 Pat N TA
269. to questo che ogni ipotesi o ammissione a cui in ciascuna dimostrazione fatto appello sia chiaramente ricono sciuta e formulata in modo esplicito qualunque siano del resto le ragioni che pos sono aver indotto ad assumerla tra i punti di partenza del ragionamento Si possono impegnare gli studenti in attivit di congettura e argomentazio ne partendo da assunzioni facilmente accettabili e da propriet significative e non banali A tale scopo si potrebbe introdurre un modo di lavorare che chia mo negoziazione dell assioma della definizione o del teorema Esso consiste nel concordare con gli studenti un insieme di fatti che possono essere accet 55 tati come punto di partenza per dimostrare La negoziazione pu avvenire tra insegnante e alunni o tra alunni e alunni Nel primo caso si ha il vantaggio di un pi facile controllo con il pericolo che lo studente senta ancora il suo lavo ro come un imposizione Nel secondo caso il controllo da parte dell insegnan te pi difficile ripagato da una maggiore ricchezza nei risultati che scaturisce dalla discussione nella classe I prodotti di questo lavoro di negoziazione van no raccolti e considerati come parte del libro di testo Ci fa sentire gli studenti importanti nella costruzione di un progetto La discussione sulle varie assun zioni aiuta a capire che cosa c dietro una certa teoria geometrica e gli studen ti possono arrivare a giudicare quali definizioni s
270. tra nella pratica sco lastica convincere un nemico da identificarsi con l insegnante convin cere un amico convincere se stessi Anzi aggiungo che dubito che nella nor ma si realizzi nei riguardi dello studente ci che Giuseppe Peano auspica quando definisce la dimostrazione Peano 1901 p 166 Una dimostrazione ha in generale lo scopo di persuadere della verit d una proposizione Dietro al termine dimostrazione si celano molte attivit di natura diversa di cui la dimostrazione pu essere vista come il momento finale Per entrare nel problema proviamo a associare a dimostrare alcuni termini che hanno una qualche relazione senza essere necessariamente dei sinonimi argomentare 41 mostrare provare congetturare astrarre generalizzare dedurre inferire in durre cercare inventare creare modellizzare discernere prevedere analizza re Suggerisco al lettore di trovarne altri Le accezioni differenti con cui il termine utilizzato hanno una loro ragione in primo luogo nella profonda evo luzione storica di questo concetto restando alla cultura occidentale basti pen sare al referente che il termine linguistico dimostrazione aveva presso i Greci e quello individuato da Hilbert Anche i differenti punti di vista sulla funzione della dimostrazione intervengono in questa variet di accezioni dimostrare co me vedere dimostrare come giustificare dimostrare come spiegare dimostra re come convincere
271. tria metrica piana per certi aspetti analoga e per altri essenzialmente di versa dalla classica geometria euclidea del piano Tale nuova geometria la cosiddetta geometria non euclidea ellittica piana o meglio 2 dimensionale Per definire gli elementi fondamentali di questa geometria cio i punti e le rette consideriamo la totalit delle rette e dei piani di una stella nell ordi nario spazio euclideo Indicheremo con II i punti e con G le rette della 176 geometria ellittica se V e 2 sia V re RIVE r la stella di rette dello spazio euclideo P gt di sostegno V e sia Z V la totalit dei piani di tale spazio passanti per V Al fine di dare una rappresentazione facilmente in tuibile degli insiemi II e G consideriamo in P gt la superficie 2 di una sfera di centro V detto y un suo cerchio massimo sia 2 una delle due semisfe re determinate su da y escluso il bordo Y stesso supporremo cio VEL CX v Indichiamo ora con y la totalit delle coppie di punti di y diametralmente opposti cio poniamo Y Q 0 IQQ VY Q Q Ve Q 0 evidente che esiste una corrispondenza biunivoca tra V e l insieme TI y UL E V yO E a a essendo Vae V tale chea X A a A oppure Vae V tale cheanL DeaN7Y 0Q Q con Q Q Ve 0 Qe quindi Q Q2 e Y a Q Q2 Assumiamo come insieme G la totalit degli archi di cerchio massimo di Y tr
272. triangoli A A B C e A A B C sono verificate le congruen ze A B A B A C A C B C B C allora si ha pure B C B C e A B C A B C Si osservi che la nozione di congruenza ora introdotta non definita relati vamente ai segmenti ma solo alle coppie di punti eventualmente i punti che sono estremi del segmento Ci viene fatto per rendere la nozione di con gruenza logicamente indipendente da quella di allineamento e ordinamento interessante notare che questa relazione di congruenza viene cos a differire poco dalla nozione di distanza tra punti che in altre sistemazioni assiomatiche assegnata mediante l introduzione di uno spazio metrico Si potrebbero infat ti interpretare come coppie di punti congruenti le coppie di punti che hanno tra loro uguali distanze La differenza tra le due impostazioni consiste invece nel fatto che in quella qui presentata non ci si riferisce inoltre ad un campo nume rico che permetta di misurare di quanto le distanze tra due coppie di punti possano eventualmente differire Dagli assiomi introdotti si possono dedurre le principali propriet della geometria euclidea piana In particolare le seguenti proposizioni valide nel piano saranno utili nel successivo sviluppo della geometria dello spazio i Criteri di congruenza dei triangoli La proposizione C5 esprime in forma assiomatica il criterio noto come lato angolo lato basandosi su essa e sugli
273. trica l espressione della radice Al contrario questa espressione che suggerisce la costruzione ed il legame con il teorema della tangente e della secante per Descartes un fatto di importanza trascurabile 9 siamo certo pensare che l uguaglianza debba completarsi con una quantit che rappresenta un area 35 Ancora una volta vogliamo ribadire che si tratta di una nostra opinione 89 Nella matematica cartesiana la geometria ha per quanto attiene ai principi il ruolo fondamentale e Descartes scrive un trattato di geometria e non un trat tato di algebra Ma nella pratica concreta della sua matematica questo rapporto s inverte e l algebra ha una netta prevalenza In una celebre lettera ad Elisabetta del novembre 1643 egli afferma infatti Io osservo sempre indagando sopra un problema geometrico che le linee delle quali mi servo per risolverlo siano parallele o si intersechino ad angolo retto per quanto ci sia possibile amp e non considero che questi teoremi che i lati dei triangoli simili hanno la stessa proporzione tra di loro amp che nei triangoli rettangoli il quadrato dell ipotenusa uguale alla somma dei qua drati dei cateti E non ho alcuna esitazione ad introdurre pi incognite pur di poter ridurre il problema a tali termini che la soluzione dipenda da questi due teoremi soltanto 37 In una lettera di poco successiva egli ribadisce questa posizione mi sembra che il sovrappi che
274. tro dotta per gli angoli parleremo quindi di diedro retto acuto ottuso piatto etc In particolare diremo che due piani p sono tra loro perpendicolari e scrive remo a L p se essi danno luogo a quattro diedri retti Due diedri si diranno congruenti se e solo se sono congruenti le loro sezio ni normali Teorema 1 Siano P un punto r una retta e a B piani Si ha irla rcp al ii a L P ssa A B Pe P P Ls g La Definizione Sia V A A A una n 1 upla ordinata di punti distinti a 3 a 3 non allineati tali che per ogni i 1 n i punti A Az A Airis 4 An appartengono allo stesso semispazio rispetto al piano V A A e quindi tra l altro non appartengono a tale piano per i 1 conveniamo di porre A A Ponendo VA e a VA i e 1 2 n si dice angoloide di vertice V la n upla ordinata di semirette V amp che sar indicata anche V A A A le semirette sono dette spigoli gli angoli XY d K To sono detti facce mentre A p A lt An A A sono detti i diedri dell angoloide 173 In particolare si chiama angoloide triedro o semplicemente triedro un an goloide avente tre spigoli e quindi tre facce 2 LA GEOMETRIA DELLA STELLA Per gli angoloidi in generale e per i triedri in particolare sussistono alcune proposizioni che costituiscono una interessante generalizzazione di analoghe proposizio
275. trodurre contemporaneamente la geometria piana e spaziale fusionismo Questo progetto fu ripreso in Francia da Charles Meray e in Italia nel trattato di Riccardo De Paolis Loesher Tori no 1884 e in quello di Giulio Lazzeri e Anselmo Bassani Elementi di geome tria Giusti Livorno 1891 Un cenno a questo dibattito si trova ancora nel gi citato articolo Castelnuovo 1911 I professori italiani di scuola seconda ria e l associazione di insegnanti Mathesis erano favorevoli a questo progetto di cui si tenne conto nella stesura dei programmi del 1900 Ma nei programmi successivi l idea fu abbandonata Eppure l esperienza della fusione non irrea lizzabile Per esempio usando i vettori praticamente tutti i concetti si possono introdurre contemporaneamente Naturalmente lavorando coi vettori pu acca dere che l algebra si configuri come uno strumento per la geometria invece che essere la geometria il contesto in cui introdurre nozioni algebriche Risulta quindi che l attenzione slitta sulla manipolazione algebrica e si pu perdere una delle potenzialit della geometria la percezione dello spazio La geometria nello spazio pu essere anticipata al biennio Un approccio potrebbe essere quello della geometria della sfera cui si riferisce l esperienza con studenti di 16 anni descritta in van der Brink 1995 Lo studio delle propriet di simmetria di particolari solidi cui accennano i programmi pu essere l occasione p
276. tti essenziali nello svolgimento della geometria del piano Ci pu essere stato fatto in vari modi Ci limiteremo qui ad accen nare ad uno dei possibili percorsi e a riassumere i risultati principali a cui fare mo riferimento nel seguito Nella totalit delle coppie di punti di un piano definita una relazione di equivalenza che indicheremo con il simbolo e chiameremo relazione di congruenza tale che siano soddisfatte le seguenti condizioni C1 Per ogni A B C P A B B A 168 A B C C se e solo se A B C2 assioma del trasporto Per ogni A B A Pdistinti e per ogni r e Rcon A r esistono esattamente due punti X Y r tali che A TRA X Y e inoltre A X A B A Y C3 assioma di addizionabilit Per ogni A B C A B C Pse C TRA A B e C TRA A B si ha A C A C C B C B A B A B C4 assioma di simmetria Per ogni A B C A B e Pdistinti con C ABe per ogni piano con A B C a se A B A B esistono esattamente due punti X Y a tali che X Y sono in semipiani opposti rispetto A B e inoltre A X A C A Y B X B C B Y Anche nella totalit degli angoli definita una relazione di equivalenza che chiameremo ancora congruenza tale che angoli piatti e angoli nulli sono rispettivamente congruenti tra loro e inoltre soddisfatta la seguente con dizione di coerenza C5 Se per due
277. tto amp il piano individuato da r e P s nel piano a si har L P 5 immediato verificare che la definizione indipendente dalla scelta del punto P e inoltre se r L s si ha pure s L r propriet simmetrica della relazione di perpendicolarit Possiamo ora introdurre l importante nozione di perpendicolarit tra retta e piano A questo fine necessario premettere il seguente fondamentale teore ma Teorema 6 Sia r una retta P un suo punto e Q un piano con Pe a r Se a b sono rette distinte tali che a b c a P a AOb a Lr b Lr allora per ogni retta s C O si ha pure s Lr Sulla base di questo teorema possibile assegnare la seguente definizione Definizione Una retta r detta perpendicolare ad un piano amp e scriveremo r L L a se esistono due rette non parallele a b C a tali cher Laer Lb Sempre in base al teorema 6 si possono facilmente dimostrare le seguenti proposizioni Teorema 7 i Teorema delle tre perpendicolari ii Esistenza e unicit del piano passante per un punto P e perpendicolare ad una retta r assegnati scriveremo P L r 0 senza pericolo di confusione con il simbolo analogo introdotto dopo il teorema 5 infatti nello spazio non vi una sola retta che passa per P ed perpendicolare ad r ma la totalit di tali rette costituisce un piano il piano amp appunto 171 iti Se r s sono rette e a P sono piani si ha dp LS a ll b rLla sLa rl s rLloa rlls gt sLa
278. tturale sicch possibile anche dissentire dalle sue conclusioni Ci va detto non per diminuire i meriti dell autore ma per avvertire il lettore della necessit di considerare in modo critico quanto ora viene esposto poich come sar chiaro non si tratta di una semplice enunciazione di fatti Intanto l ambiente algebrico dei coefficienti che Descartes utilizza in gene rale per le sue equazioni pu essere efficacemente descritto in termini moder ni dall anello di polinomi Z a b c ottenuto aggiungendo a Z un numero fi nito di quantit indipendenti a b c che esprimono la misura dei segmenti costituenti i dati dei problemi che originano le equazioni 45 Brigaglia 1994 46 Naturalmente secondo gli standard di rigore del Seicento 94 probabile che Descartes pensi che anche quando in un equazione debba no comparire numeri frazionari sia sempre possibile modificando eventual mente di poco i datif ridursi al caso di un equazione i cui coefficienti siano tutti in Z a b c Questo indispensabile per poter utilizzare il lemma di Gauss che possiamo immaginare alla portata di Descartes almeno nel caso di polinomi di terzo e quarto grado Inoltre i polinomi che Descartes considera sono sempre monici 48 Descar tes non pone questa condizione in modo esplicito ma essa si impone in modo evidente all attenzione del lettore della G om trie Naturalmente le soluzioni delle equazioni de
279. uando si fa un calcolo in algebra per esempio 1 x a x a x a in realt si sta provando un teorema sui reali nel nostro esempio Provare che la 1 vale per qualunque x e a reali La dimostrazione in algebra pi povera anche perch debole la possibi lit di attivare registri diversi disegno metodo sintetico metodo analitico me todi empirici di misura Il segno in geometria a questo livello di discussio ne possiamo trascurare l importante distinzione tra figura e disegno soprattutto iconico mentre il segno in algebra soprattutto simbolico quest ultimo aspetto influenza fortemente le prestazioni in algebra Nelle no stre esperienze abbiamo visto che l attivazione di un metodo grafico iconico nelle dimostrazioni in algebra molto rara Avendo proposto a due classi di li ceo l esercizio Trovare la somma dei primi n numeri interi solo uno studente ha usato una rappresentazione iconica per risolvere il problema Confronto questo dato con i risultati della ricerca didattiche per esempio in Hanna 1989 espressamente fatta la distinzione fra dimostrazioni che spiegano e dimostrazioni che provano e tra queste messa la dimostrazione iconica del problema della somma dei numeri interi Nell ottica della dimostrazione che spiega molti insegnanti hanno fatto l esperienza positiva di usare il metodo della rappresentazione geometrica risalente gi ai Babilonesi per introdurre e o spiegar
280. uca alla ricerca della plausi bilit nell enunciare congetture e ipotesi Come abbiamo gi messo in eviden za le doti mentali che vengono attivate e stimolate in questo momento operati vo sono la creativit la intuizione e la fantasia Non meno essenziale per anche il momento del fondamento logico e del la costruzione formale della geometria L obiettivo educativo in questo caso la ricerca della verit che del plausibile l essenza ma anche l antitesi o l al ternativa I valori educativi che possono essere perseguiti in questo settore di studio e formazione sono dunque l attenzione al rigore e alla coerenza logica la onest intellettuale e la capacit di distinguere a fondo tra le proprie speran ze concettuali e il dato razionale obiettivo I due momenti in cui deve articolarsi l insegnamento e lo studio della geo metria che abbiamo ora illustrato sono entrambi essenziali inscindibili ma nettamente distinti tra loro Essi sono inscindibili poich si ispirano reciprocamente appena si ottengo no infatti i primi risultati formali questi esaltano l attenzione critica rivolta ai dati della esperienza sensoriale cio ravvivano e acutizzano i procedimenti mentali di astrazione e generalizzazione Viceversa l opera di elaborazione fantastica operata sulle immagini che provengono dalla esperienza fisica sug gerisce la creazione di formalismi pi precisi ed efficaci e di procedimenti ra zionali pi rigoro
281. ucidit il fatto che due teorie la geometria e 28Cfr Descartes 1983 p 582 29In particolare Lagrange1777 86 l algebra che hanno avuto sostanzialmente sviluppi autonomi fino al suo tem po possono essere interpretate attraverso opportune leggi di corrispondenza per esprimere una fondamentale identit strutturale Ecco l inizio della G om trie Tutti i Problemi di Geometria possono facilmente esser riportati a termini ta li che poi per costruirli non c che da conoscere la lunghezza di alcune linee E come tutta l Aritmetica costituita soltanto da quattro o cinque opera zioni cio l Addizione la Sottrazione la Moltiplicazione la Divisione e l Estrazione di radici che pu essere considerata una specie di Divisione cos in Geometria a proposito delle linee che cerchiamo per approntarle in modo che possano divenire note non c altro da fare che aggiungere o togliere altre linee oppure data una linea che per rapportarla nel miglior modo possibile ai numeri chiamer unit e che in genere pu essere presa a piacere poi es sendo date ancora altre due linee trovarne una quarta che stia ad una di que ste due come l altra all unit ci che equivale alla Moltiplicazione oppure trovarne una quarta che stia ad una di queste due come l unit sta all altra ci che equivale alla Divisione o infine trovare una due o pi medie propor zionali tra l unit e qualche altra line
282. un poliedro e non sia un suo spigolo si dice una diagonale del poliedro Osserviamo che ad ogni vertice di un poliedro corrisponde un angoloide generato dalle semirette dei lati che in esso concorrono ad ogni spigolo corri sponde un diedro generato dalle due facce che lo hanno in comune Essi si di cono angoloidi e diedri del poliedro Prismi e piramidi finiti sono particolari esempi di poliedri Teorema Eulero Sia II un poliedro convesso f il numero delle sue facce s quello dei suoi spi goli v quello dei suoi vertici si ha allora f v s 2 Dimostrazione Proiettiamo il poliedro II da un punto P dello spazio su un piano x in modo tale che una faccia F del poliedro venga proiettata in un poli gono di 7 al cui interno si proiettano da P tutti i restanti vertici e spigoli di II Questo si pu ottenere prendendo il punto P abbastanza vicino alla faccia F Si pu sempre scegliere P in modo tale che la proiezione risulti biunivoca su ver tici e spigoli Si ottiene cos un grafo il cui numero di vertici e spigoli uguale a quello di II Il numero delle facce di II uguale al numero delle componenti connesse di 7 delimitate dagli spigoli del grafo la componente illimitata corrisponde alla faccia F di II le altre componenti limitate sono in corrispondenza biunivoca con le altre facce di II Operiamo ora certe trasformazioni del grafo che non alterano il valore di f v s Osserviamo che se sopprimiamo uno spigolo del grafo possono
283. ve aver un valo re formativo ginnastica di pensiero una locuzione usata in articoli didatti ci di quel tempo in accordo con le teorie del pedagogista Johann Heinrich Pestalozzi e avviare a ragionare a dimostrare a dedurre come scrivono in un celebre articolo del 1869 Brioschi e Cremona a proposito della polemica sull introduzione del testo stesso di Euclide nella versione del 1868 di Enrico Betti e Francesco Brioschi come testo scolastico Il ritorno a Euclide era una reazione ai libri in circolazione in Italia in quel momento sia quelli di modesta qualit sia il famoso manuale di Adrien Marie 3 I cambiamenti del contesto sociale hanno spesso influito nella costruzione dei curricula si consideri a tale proposito il seguente passo in Castelnuovo 1911 Il continuo aumento degli allievi delle scuole medie e superiori fa sorgere nuove esigenze dell insegnamento delle quali non possibile non tener conto pur rispettando gli interessi della elevata ricerca scientifica Analogamente si pu osservare che lo standard di una classe non poi cos peggiorato se in Castelnuovo 1919 p 2 si scrive conviene distinguere tra i pochi eletti e i molti mediocri che formano parte di ogni scolaresca 24 Legendre prima edizione nel 1784 a Parigi con successive numerose riedizio ni anche italiane che ebbe molta fortuna in Europa e anche in Italia per tutto il XIX secolo Ci che si rimproverava a Legendre era l ave
284. vece intendere come costituenti essenziali della geometria i soli elementi dell insieme dei punti e di quello del le rette I piani allora non sono altro che ulteriori sottoinsiemi dell insieme P che soddisfano le proposizioni I2 e I3 Si usa anche esprimere questo fatto di cendo che i piani sono sottospazi definizione I3 di dimensione 2 definizione I2 Indicando con R la totalit delle rette diremo anche che la coppia P R che soddisfa all assioma T1 e in cui per ogni retta s Isl gt 2 costituisce uno spazio di incidenza o anche uno spazio di rette A questi assiomi di incidenza occorre ora aggiungere un ulteriore assioma pi propriamente dimensionale Gi l assioma I4 assicurando l esistenza di almeno due piani distinti permette di affermare che lo spazio della geome tria pi esteso di un piano esprimeremo questo fatto dicendo che o spazio ha almeno 3 dimensioni Desideriamo ora indicare che lo spazio in cui ope riamo ha esattamente tre dimensioni Per raggiungere questo scopo si po trebbe introdurre in modo preciso la nozione di dimensione in una maniera che ha delle analogie con la definizione di dimensione solitamente assegnata per gli spazi vettoriali Ci in effetti quanto si fa abitualmente in una tratta zione scientifica completa dell argomento Tale scelta sarebbe per del tutto inopportuna dal punto di vista didattico per cui preferibile una caratterizza zione di
285. venti una struttura assimilabile a quella dell algebra elementare 22 Analogamente accade per le altre sezioni coniche per le quali le proposizioni successive forniscono le corrispondenti equazioni In s considerata la 3 1 afferma che i punti di una parabola di una parte della parabola tutti quelli dalla stessa parte rispetto ad un diametro ma un osservazione di poco rilievo data la simmetria sono descritti da coppie di segmenti che verificano la 3 1 Se cediamo alla tentazione di sostituire KL con y ZL con x e il segmento costante ZT con 2p abbiamo in effetti y 2px T equazione consueta della parabola riferita ad una coppia di diametri coniugati Ma come ben noto la matematica greca priva di un algebra simbolica e dobbiamo dunque cercare di attenerci strettamente al contenuto della 3 1 Questo contenuto per vogliamo ribadirlo di grande importanza i punti del piano appartenenti alla parabola sono individuati esattamente dalle coppie di segmenti che verificano la 3 1 Siamo almeno in presenza di un riferimento intrinseco E l uso di questo riferimento consente di svolgere ogni considera zione sulla parabola disponendo di un oggetto assimilabile ad una equazione 22 Il libro II degli Elementi che fornisce il materiale principale per queste manipolazioni stato spesso interpretato come una sorta di algebra geometrica secondo una dizione risa lente a Zeuthen 81 Quanto accenna
286. za F 1995 Aspetti matematici e fisici dell epistemologia della matematica NUMI a 22 supplemento al n 8 9 115 121 5 SUGLI OBIETTIVI PERCH INSEGNARE GEOMETRIA Cominciamo a considerare per quali ragioni e o con quali obiettivi si do vrebbe insegnare geometria Riporto le risposte che ho trovato in vari autori In Usiskin 1995 troviamo La geometria collega la matematica con il mondo fisico reale La geometria permette di visualizzare idee di altri settori della matematica 3 La geometria offre un esempio di sistema matematico In Sitia 1994 sono riportate alcune idee esposte in un lavoro di H G Bi galke del 1978 1 La geometria sviluppa le capacit intuitive spaziali e la rappresentazione funzionale del pensiero La geometria stimola il bisogno della dimostrazione La geometria sviluppa le capacit grafiche e linguistiche La geometria risveglia la curiosit geometrica mediante la posizione di pro blemi interessanti e stimolanti In Villani 1994 si trovano i seguenti obiettivi secondo l autore le scelte su di essi sono collegate alla concezione sulla geometria 1 Favorire lo sviluppo dell intuizione spaziale 2 Introdurre una terminologia univoca e precisa 3 Presentare una serie di fatti geometrici formule regole mnemoniche enunciati di teoremi in vista di successive applicazioni Allenare a risolvere esercizi e problemi Abituare al ragionamento su parti circoscritte della teoria Dare un esempio s
287. za argomentativa A ci il docente pu pervenire adottando un metodo che facendo leva sulle conoscenze intuitive apprese dall allievo nella scuola media pro ceda allo sviluppo razionale di limitate catene di deduzioni tuttavia necessario che ogni ipotesi o ammissione cui si fa ricorso sia chiaramente riconosciuta e formulata in modo esplicito quali che siano le ragioni che inducono ad assumerla tra i punti di partenza del ragionamento 6 Le citazioni dai programmi della scuola secondaria di primo grado sono presi da Il Gruppo E 1979 quelle dai programmi della scuola secondaria di secondo grado da Studi 1991 e riguardano i Programmi della Commissione Brocca 42 Al docente compete poi l impegno di avviare la fase euristica su processi di assio matizzazione partendo da semplici situazioni assunte nei vari campi Ci nelle pro spettiva di familiarizzare gli studenti col metodo ipotetico deduttivo e pervenire negli eventuali studi successivi alla costruzione di un sistema di assiomi per la geo metria elementare A tal fine bene programmare in un quadro di riferimento orga nico una scelta delle propriet teoremi delle figure piane da dimostrare utilizzan do la geometria delle trasformazioni oppure seguendo un percorso pi tradizionale Commento ai singoli temi Tema 1 Geometria del piano e dello spazio p 165 Lo studio del calcolo combinatorio si limita alle disposizioni permutazioni com binazioni e loro prop
288. zione dei programmi ma come una boa a cui appog giarsi per affrontare la navigazione rinfrancati RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Martini T 1994 Esercizi di geometria vecchio e nuovo a confronto Archimede a 46 179 188 Nardini P 1995 Il tema di matematica per la maturit scientifica Archimede a 47 115 124 19 Per esempio Martini 1995 Nardini 1995 66 Peano G 1924 Sui fondamenti della geometria Rivista di matematica v 4 51 90 Sabbatini A 1926 Sui metodi elementari per la risoluzione dei problemi geometrici F Enriques editor Questioni riguardanti le matematiche elementari Zanichelli Bologna 1 154 Villani V 1990 Similitudini e figure simili L educazione matematica a 11 supplemento al n 2 55 64 Villani V 1994 Il ruolo delle trasformazioni nell insegnamento della geometria L inse gnamento della matematica e delle scienze integrate v 17A B 440 457 Villani V 1995 Le trasformazioni geometriche nella scuola secondaria superiore L inse gnamento della matematica e delle scienze integrate v 18A B 669 688 5 UN EPILOGO COME SALVAGENTE PER SOPRAVVIVERE ALLE DIFFICOLTA DELLA TRASPOSIZIONE DIDATTICA L assetto della scuola secondaria superiore in Italia divisa tra biennio e triennio e molto diversa nei suoi indirizzi ha in pratica costretto a rinunciare a proporre degli itinerari didattici compiuti Questa rinuncia forzata per fun

L`INSEGNAMENTO DELLA GEOMETRIA – 2 Tomo

Contents

Download Pdf Manuals

Related Search

Related Contents

L`INSEGNAMENTO DELLA GEOMETRIA &ndash; 2 Tomo

Contents

Download Pdf Manuals

Related Search

Related Contents

L`INSEGNAMENTO DELLA GEOMETRIA – 2 Tomo