III. TUTORIAL BÁSICO DE SYMBOLIC
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1. eigensys A Esta funci n retorna una matriz de autovectores T y un vector con los autovalores del sistema P NOTA si la matriz A a n no se encontrara definida esta funci n puede ejecutarse como T P eigensys sym 1 1 1 21 1 2 u 1 2 1 21 1 2 41 2 Para encontrar las matrices Ay Ba y Ca del modelo lineal diagonalizado debemos realizar la siguiente operatoria Ay T A T B T B Ca C T Inicialmente tenemos que hallar la matriz inversa de T para lo cual usamos el comando inverse Esto es TI inverse T Luego para obtener Ay la multiplicaci n de matrices se realiza con la funci n symmul Como esta funci n toma nicamente dos argumentos para obtener la expresi n por medio de una sola l nea de comando se realiza una anidaci n de funciones symmul Ad symmul TI symmul A T De igual manera obtenemos Bd y Cd como Bd symmul TI B Cd symmul C T NOTA otras operaciones simb licas b sicas se realizan por medio de las funciones symadd symsub symdyv sympow etc Versiones de Matlab posteriores a la 4 2 eliminaron estas funciones reemplaz ndolas por los operandos matem ticos comunes Utilizando otras operaciones matriciales como las mencionadas en la nota anterior es inmediato obtener la matriz de transferencia del sistema lineal este c lculo puede hacerse con el sistema diagonalizado o no T s C s 1 A B Para ello debemos crear2. inicialmente una matriz identidad simb lica de dimensiones adecuadas y luego anidar las dem s operaciones en una nica sentencia Esto es I sym 1 0 0 1 Ts symmul symmul C inverse symsub symmul sym s 1 4 B Ejecutando esta sentencia se obtiene una expresi n larga y complicada de la funci n de transferencia Para que sea mostrada en un formato m s compacto podemos acudir a la funci n de simplificaci n simple y a la conocida pretty Esto es haciendo Ts simple Ts pretty Ts obtenemos 1 2 060650600000000000000000000000000000000000000000000000000000 1 2 2 1 2 1 2 u s 4 2 u Fos s 4 2 u 2 Tambi n podr amos obtener el polinomio caracter stico del modelo linealizado a trav s de la funci n charpoly Esto es PolCar Charpoly A Retornando PolCar x 2 4 2 u 7 1 2 x x 4 2 u 1 2 2 4 2 xu 1 2 Finalmente si quisi ramos obtener las matrices A y C en forma num rica para un determinado valor de u por ejemplo u 3 empleamos las funciones subs para substituir la expresi n de u por el valor deseado y numeric para realizar las operaciones algebraicas Esto es An subs A 3 u B subs B 3 u4 5 Cn subs C 3 u Retornando l 1 1 10 5 1 2 2 1 2 1 10 5 1 2 2 1 2 Bn 1 0 Cn 1 6 3 1 2 2 1 2 1 6 3 1 2 2 1 2 Luego aplicamos la funci n numeric An numeric An Bn numeric Bn C
3. matrices A B y C correspondientes a la linealizaci n del sistema en torno al punto de operaci n debemos reemplazar en ellas la aparici n de las variables x y X2 por los valores almacenados en X10 Y X2 Obtenidos anteriormente Para ello se emplea el comando subs A subs A 1 2 u x1 A subs A 1 2 u x2 C su ubs 1C 1 2 u x1 C subs C 1 2 u x2 NOTA cabe aclarar que de no haber obtenido soluciones m ltiples para x10 y x20 podr amos escribir las sentencias anteriores como A subs A xlo x1 Ejecutando obtenemos TZ L 1 1 2 1 1 2 u 1 2 1 2 1 1 2 u 1 2 C LAAL 472057 Aeran aa La Para observar la expresi n de cualquiera de estas matrices A B y C en una forma mas elaborada podemos utilizar el comando pretty pretty A retornando C 1 1 EFE EF 1 ER 55655555555555555 5555555555555555 EE 172 1 2 El 2 1 1 2 u 2 1 1 2 u 10 De esta manera hemos obtenido las expresiones simb licas de las matrices A B y C correspondientes a la linealizaci n de un modelo en torno a un punto de operaci n A fin de ejemplificar la utilizaci n de algunas otras funciones importantes consideremos la diagonalizaci n del modelo lineal obtenido Como es conocido para diagonalizar debemos aplicar la transformaci n lineal dada por la matriz de los autovectores de A la cual puede hallarse a trav s de la funci n eigensys T P
4. III TUTORIAL B SICO DE SYMBOLIC El toolbox symbolic de MATLAB contiene un amplio conjunto de funciones muy tiles para realizar c lculos simb licos Un listado completo de las mismas puede obtenerse ejecutando sobre la l nea de comandos del workspace la sentencia help toolbox1symbolic Este apunte presenta sobre un ejemplo de aplicaci n la utilizaci n de las funciones b sicas del toolbox symbolic Para una descripci n m s detallada de las mismas remitimos al Help o bien a la Gu a del Usuario correspondiente Cabe aclarar que las funciones que aqu se ejemplifican corresponden a la versi n 4 2 de MATLAB Versiones posteriores han modificado la sintaxis de algunas de ellas Consideremos un sistema descripto por el siguiente modelo din mico no lineal Oo X1 Xa X1 u x2 l x 1 x V 1 V 2 y x y supongamos que queremos obtener el punto est tico de operaci n de este sistema como funci n del control u para posteriormente linealizarlo en torno a un valor particular del mismo Igualando a cero las expresiones de las derivadas de los estados nos queda el siguiente sistema de ecuaciones algebraico O x x u que resolvemos utilizando la funci n solve xl1o x20o solve x2 x1 u sqrt x1 1 sqrt x2 1 x1 x2 donde los dos primeros argumentos de la funci n corresponden a las expresiones de las derivadas de los estados y el ltimo a las variables que se pretende despejar En
5. el caso en que las ecuaciones est n descriptas por un solo miembro el programa asume que el otro miembro es id ntico a cero La ejecuci n del comando anterior retorna dos puntos de funcionamiento est tico coincidentes dados por xlo 1 2 u 1 2 u x20 1 2 u 1 2 u Es conocido que la linealizaci n alrededor de un punto de operaci n Xio X20 de un sistema no lineal tiene las matrices A B y C definidas como ele Ch cp Ox Ox da o Ox Ox X X ofi _ u B oa Ou a C Oy 0 0X OX VTi Para calcular estas matrices podemos apelar a tres funciones diferentes que son diff taylor y jacobian A continuaci n se utiliza la funci n jacobian para obtener las matrices A y C y la funci n diff para obtener la matriz B esta ltima no puede calcularse a trav s de jacobian por incompatibilidad de dimensiones A jacobian sym x2 x1 u sqrt x1 1 sqrt x2 1 sym x1 x2 B diff sym x2 x1 u sqrt x1 1 sqrt x2 1 sym u C jacobian sym sqrt x1 sqrt x2 sym x1 x2 Ejecutando estos comandos el programa retorna A 1 1 1 2 1 x1 1 2 1 2 x2 1 1 2 1 2 x1 1 2 1 2 x2 1 2 NOTA las funciones anteriores tambi n pueden ejecutarse definiendo previamente el vector que se desea derivar utilizando el comando sym Esto es F sym x2 x u sqrt x1 1 sqrt x2 1 A jacobian F sym x1 x2 B diff F sym u Finalmente para determinar las
6. n numeric Cn Retornando An 1 0000 1 0000 0 3162 0 3162 Cn 0 4082 0 4082 NOTA el toolbox symbolic posee un conjunto de funciones de simplificaci n simple simplify factor expand collect que resultan muy tiles a la hora de reducir las expresiones que se obtienen al aplicar otras operaciones simb licas Es recomendable su uso frecuente en pasos intermedios del c lculo
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