taller mosaicos revisado - electronicaflamagas.com
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1. Por ltimo para acabar nuestro trabajo con este mosaico s lo nos queda ver como gene ramos el mosaico con las traslaciones y utilizando que por ejemplo el v rtice A es un centro de giro de orden 6 de dicho mosaico 10 a Lo primero que tenemos que hacer es definir los vectores que nos van a de finir las traslaciones Para ello vamos a seleccionar el icono Vector del men Dibujo que como pod is apreciar en la primera imagen de la secuen cia de pantallas n 8 aparece al desplegar la segunda paleta de iconos To caremos los v rtices superior e inferior izquierda del tri ngulo para generar el vector F a continuaci n generaremos el vector de forma an loga b Una vez seleccionados todos los elementos visibles de nuestra construcci n realizaremos sendas translaciones seg n los vectores Y y Tocaremos la cuarta flecha hacia abajo de la barra de herramientas para que se abra la paleta de iconos del men secundario Construir del men Dibujo en ella presionaremos sobre el icono Traslaci n Nos aparece el cuadro de di logo de traslaci n tocamos seleccionar vector y seguidamente presionamos sobre le vector r a continuaci n repetimos los mismos pasos con el vector s Si queremos ampliar nuestra construcci n con nuevos rombos realizare mos una nueva selecci n de elementos y repetiremos el proceso anterior c Seleccionamos todos los elementos visibles de la construcci n podemos tro A v rtice superior2. barra de herramientas y tocamos sobre el icono Punto medio b Seleccionamos el lado AC y tocamos sobre el icono que ya aparece en la barra de herramientas ya hemos construido el punto D Repitiendo la se cuencia con el lado AB obtenemos el punto E c Marcamos ahora los puntos A y D para construir su punto medio F Hacien do lo mismo con los puntos A y E obtenemos el punto G ENANA es m Wer gt APTA A Arch Edit ver MEAS A e G Arch Edit Yer ciu Secuencia de pantallas n 2 Construcci n de puntos medios 3 Construcci n del baricentro del tri ngulo AED secuencia de pantallas n 3 a Para dibujar una recta que pase por los puntos E y F vamos a seleccionar el icono l nea infinita del men Dibujo que aparece cuando tocamos la se gunda flecha hacia debajo de la barra de herramientas y se despliega la co rrespondiente paleta de iconos Una vez hecho esto tocamos sobre los pun tos E Y F y se dibuja la recta que quer amos b Aunque se puede obrar de la misma forma con los puntos D y G vamos a utilizar el icono segmento de l nea lo seleccionamos en la misma paleta de iconos y tocamos sobre los puntos D Y G c Por ltimo fijaremos un punto a la intersecci n de la recta y el segmento re ci n construidos seleccionando el icono Punto tambi n de la misma pa leta A continuaci n tocaremos sobre la pantalla y sin dejar de presionar mo veremos el puntero hasta que aparezcan seleccionadas la r
3. de la construcci n y ngulos 60 120 180 240 y 300 el resultado es espectacular EAT AA Arch Edit ver coui sr Arch Edit Wer Dibuj alaei Edit Yer biu SY Arch Edit Yer Dibuj P g 339443 11 Translacion E Xx Arch Edit Yer Dibuj bal Mer P g 43r 4i P g 49443 Secuencia de pantallas n 8 Recubriendo el plano ll EL HUESO NAZAR El segundo mosaico que vamos a construir es el hueso na zar que junto con el de la pajarita es el m s conocido de los mosaicos nazar es No vamos a construirlo siguiendo dos caminos distintos solamente vamos a realizar nuestra construcci n a la luz de la informaci n aportada por la teor a de grupos cristalogr ficos planos Como puede deducirse en la figura n 1 la regi n generatriz unidad se puede generar a partir de cualquiera de los cua drados en los que se encuentra dividida utilizando como movimiento dos simetr as con los ejes perpendiculares y pa ralelos a los lados del cuadrado que forma la regi n SY Arch Edit Yer Dibuj a Ele felt all Figura n 1 Regi n generatriz unidad del mosaico 12 Este tipo de construcci n corresponde al grupo cristalogr fico plano pmm es decir o Que el mosaico se forma a partir de una celda primitiva que se traslada o Que hay alguna reflexi n en dos direcciones o Que la menor rotaci n posible es de orden 2 o Que los centros de rotaci n est n sobre los ejes de refle
4. e Vamos a ocultar todos los elementos de nuestra construcci n salvo el tri n gulo y el arco de circunferencia Para ello los vamos seleccionando uno a uno hasta tenerlos todos tocamos en el men Edici n Edit tocamos en Propiedades y en Ocultar Si no hubi semos seleccionado alg n elemento repetimos la secuencia de instrucciones f Por ltimo para ver el tri ngulo completo tocaremos el men Ver y en Zo om ajustar pantalla SY Arch Edit Yer Dibuj SY Arch Edit Yer Dibuj SY Arch Edit Yer Dibuj 11 43 xr Arch Edit Yer Dibuj wr Arch Ver Dibuj Deshacer Rehacer Mostrar nombre Ocultar nombre M s grueso gal M s fino P g 1443 P g 1543 P g 16 43 SY Arch Edit Yer Dibuj SY Arch Edit Yer Dibuj P g 1743 P g 120453 Secuencia de pantallas n 4 Construcci n del arco de circunferencia 5 Para dibujar la pajarita vamos a utilizar el icono Rotaci n que se encuentra en la paleta de iconos que se despliega al presionar la cuarta flecha hacia debajo de la barra de herramientas Secuencia de pantallas n 5 Dibujando la pajarita a Seleccionamos el arco de circunferencia tocamos el icono Rotaci n la calculadora nos pide con un mensaje en la parte inferior de la pantalla que le indiquemos el centro del giro seleccionamos el punto D a continuaci n nos aparece un cuadro de di logo para que introduzcamos el valor del ngulo del giro escribiremos 180 b Seleccion
5. la que aparece en la secuencia de pantallas n 6 SY Arch Edit Yer Dibuj w Arch Her Dibuj xs Arch Edit Yer Dibuj a Deshacer Rehacer E Mostrar nombre Ocultar nombre M s grueso JJ M s fino Seleccionar todo Borrar P g 2043 can SY Arch Edit Yer Dibuj P g 21 43 P g 32043 Secuencia de pantallas n 6 Recubriendo el plano l Pero nosotros los matem ticos debemos ir siempre m s all profundizando en nuestra construcci n Para ello vamos a utilizar los conocimientos que nos aporta la Teor a de Grupos Cristalogr ficos Planos no hace falta ser un experto para ello es suficiente con indagar en la red de redes para encontrarse con documentos que nos aclaren los concep tos necesarios En la bibliograf a aparecen los utilizados La definici n formal de grupo de cristalogr fico plano dada por Francisco Rivero 2 es la siguiente Un grupo G de movimientos en el plano es un grupo cristalogr fico si el sub grupo de G formado por las traslaciones es un grupo abeliano infinito y generado por dos elementos Tambi n sabemos gracias al Teorema de Fedorov 1981 que existen 17 grupos cristalo gr ficos planos no isomorfos Cada uno de ellos recibe una denominaci n que procede de la cristalograf a y se pueden clasificar seg n la naturaleza de sus giros En el art culo de Rafael P rez Un matem tico pasea por la Alhambra 1 y en la confe rencia de Ceferino Ruiz en el ISAGA Granada 2
6. 006 3 se pueden ver la clasificaci n de estos 17 grupos y como aparecen todos en nuestra querida Alhambra En estas referencias bibliogr ficas aparece clasificado nuestro mosaico como pertene ciente al grupo p6 esto quiere decir que e Que el mosaico se forma a partir de una celda primitiva que se traslada a la que llamaremos regi n generatriz unidad e Que la menor rotaci n posible es de orden 6 e Que no tiene ninguna reflexi n En el mosaico que nos ocupa la regi n generatriz unidad est formada por un rombo re sultado de unir dos tri ngulos equil teros por uno de sus lados los lados del rombo de terminan las traslaciones con las que se genera el subgrupo de traslaciones que caracte riza al grupo cristalogr fico plano correspondiente Existe adem s en nuestro mosaico una tesela o celda b sica fundamental formada por un tri ngulo is sceles cuya superfi cie es un sexto de la regi n generatriz unidad y a partir de la que se puede generar la 27 misma sin reflexiones y utilizando rotaciones de orden 3 y 2 gt y T respectivamente en dos centros distintos Prosigamos con nuestra construcci n a la luz de esta informaci n 6 Construcci n de la Regi n generatriz unidad Secuencia de pantallas n 7 Aunque podemos construir la tesela b sica a partir del la baldosa triangular de la primera imagen se la secuencia de pantallas n 7 vamos a obviar su realizaci n en aras de una mayor rapidez A estas altu
7. Taller de mosaicos con calculadora gr fica Jos Manuel Fern ndez Rodr guez Profesor de Matem ticas I E S El Almijar C mpeta Encarnaci n L pez Fern ndez Profesora de Matem ticas I E S Reyes Cat licos V lez M laga INTRODUCCI N Qui n no ha sucumbido alguna vez ante la belleza de los mosaicos de cualquiera de nuestros monumentos rabes Abandonados en cuerpo y mente contemplando c mo se van repitiendo las figuras y los colores s lo somos capaces de asomarnos al pozo de sa bidur a que desde la formaci n matem tica de hoy en d a es necesaria para comprender esa realidad y los conocimientos que de ella se derivan Granadinos de nacimiento y matem ticos de formaci n estamos teniendo una aproxima ci n tard a gracias a la docencia a la comprensi n de esta realidad Este taller surge como fruto de una inquietud la de trasladar a nuestro alumnado los con ceptos relativos a los movimientos en el plano a trav s de la realidad y de la historia de nuestra cultura La herramienta utilizada ha sido la calculadora gr fica ClassPad 300 en particular su m dulo de geometr a pues permite realizar construcciones geom tricas de una forma f cil e intuitiva una vez conocida la ventana con sus men s y paletas de iconos Se ha preferido utilizar siempre que ha sido posible las paletas de iconos de la barra de herramientas en lugar de los men s para favorecer el uso de las instrucciones nece
8. amos tambi n el nuevo arco y repetimos el proceso anterior to mando como centro de giro el punto C v rtice inferior izquierda y valor del ngulo de giro 60 c Repetimos el paso anterior pero con centro de giro A y valor del ngulo de giro 60 d Por ltimo vamos a ocultar los r tulos de los puntos ya que muchos de ellos se superponen y la construcci n se va ensuciando Para ello sin ning n objeto seleccionado tocamos en el men Edici n en Propiedades y en Ocultar nombre En este momento guardaremos la construcci n en un ar chivo que llamaremos pajarita Para ello tocaremos sobre el men Archivo Arch en el submen Guardar Guar escribiremos el nombre y tocaremos el bot n Guardar Guar SY Arch Edit Yer Dibuj SY Arch Edit Yer Dibuj APR Dibi e Arch E Wer A 19 43 Rotaci n Rotaci n naulo ASS CECI Xx Arch Ver Dibuj rir Deshacer Rehacer Borrar restricciones Mostrar todo Hostrar nombre Ocultar nombre M s grueso JJ M s fino Seleccionar todo Borrar P g 2043 Secuencia de pantallas n 5 Dibujando la pajarita An lisis y construcci n del mosaico Probablemente cualquier profesional de la construcci n conocedor de su oficio al que se le planteara cubrir una superficie con esta figura no tendr a ning n problema en reali zarlo S lo necesitar a adem s de los materiales y herramientas al uso unas cuantas ca jas de baldosas triangulares como
9. ecta y el seg mento y nos aparezca en la parte inferior de la pantalla el mensaje Fijaci n a la intersecci n tal y como muestra la cuarta imagen de la secuencia de pan tallas n 3 en ese momento dejaremos de presionar con el puntero y apa recer el punto H SY Arch Edit Yer Dibuj SY Arch Edit Yer Dibuj SY Arch Edit Yer Dibuj HE SY Arch Edit Yer Dibuj ED e ME Fijaci n a intersecci n P g 10 45 Secuencia de pantallas n 3 Construcci n del baricentro del tri ngulo AED 4 El siguiente paso es construir un arco de circunferencia que una los puntos A y D y que tenga su centro en un punto sim trico al H respecto del segmento AC Se cuencia de pantallas n 4 Construcci n del arco de circunferencia a Seleccionamos el icono C rculo en la misma paleta de iconos del paso anterior Tocamos en F como centro y en H para proporcionar el radio de la circunferencia b Con Fijamos el punto I a la intersecci n de la recta y la circunferencia de igual forma a como lo hicimos con el punto H c Si queremos agrandar la zona de trabajo podemos utilizar el icono Cuadro cha hacia debajo de la barra de herramientas Tocando y arrastrando mar camos el rea que queremos agrandar d Para trazar el arco de circunferencia buscado seleccionaremos el icono Ar co a continuaci n tocaremos con nuestro puntero sobre los puntos para el centro D y A en ese orden para los extremos del arco
10. l tal y como quer amos Secuencia de pantallas n 11 Celda fundamental Ill 2 Para construir la regi n generatriz unidad vamos a uti lizar una celda fundamental distinta de la anterior donde hemos sustituido el sombreado de los pol go nos por un conjunto de segmentos paralelos con un grosor superior que har n las veces de relleno Esta decisi n se debe a que el efecto de sombra de un po l gono no se conserva cuando realizamos una trans formaci n del mismo y a la dificultad de seleccionar un determinado elemento cuando se encuentra su perpuesto con otros Vamos a abrir el fichero huesof que se encuentra en la carpeta anterior geo A conti nuaci n utilizando los iconos Reflexi n y Giro Figura n 2 Archivo huesof vamos a construir la regi n generatriz unidad se cuencia de pantallas n 12 a Tocamos sobre el icono l y despu s sobre el lado BC A continuaci n anulamos la selecci n que se ha producido y volvemos a repetir el procedi miento pero realizando la reflexi n sobre el lado AB b Por ltimo ocultaremos los nombres y los objetos que nos ensucien la construcci n 15 xr Arch Edit Yer Dibuj le lv Oo el Secuencia de pantallas n 12 Regi n generatriz unidad 3 Para acabar lo nico que nos queda es a adir los vectores que nos van a definir las traslaciones y aplicarlas para construir nuestro mosaico secuencia de pantallas n 13 a Con el ico
11. no Vector definimos los vectores Y y Una vez hecho esto con el icono Traslaci n realizaremos sendas traslaciones seg n los vec tores anteriores b Si queremos ampliar nuestra construcci n realizaremos una nueva selec ci n de elementos y repetiremos el paso anterior 16 Secuencia de pantallas n 13 Recubriendo el plano IIl OTRAS CONSTRUCCIONES A continuaci n se proponen algunos mosaicos que se pueden construir utilizando la ClassPad 300 En el Anexo se ofrecen las im genes a partir de las que se han realizado las construcciones SY Arch Edit Yer Dibuj SY Arch Edit Yer Dibuj Figura 3 Mosaicos propuestos BIBLIOGRAF A 1 P rez G mez Rafael Un matem tico pasea por la Alambra http www divulgamat net weborriak TestuakOnLine Hasierakolkasgailak RafaelPerezFMA2004 paf Ceferino Ruiz Garrido Geometry in the Alhambra ISAGA Granada 2006 http gigda ugr es isaga06 downloads htm Rivero Mendoza Francisco Grupos Cristalogr ficos Planos Bolet n de la Asocia ci n Matem tica Venezolana Vol VI No 1 1999 httip www emis de journals BAMV conten vol6 frivero pdf ClassPad 300 Gu a del Usuario http www classpad ora index php La Alhambra Revista Epsilon S A E M THALES Granada 2005 Anexo l Im genes de Mosaicos TRAZAR ERIS SISI ZIP l
12. ras tenemos que estar minimamente familiarizados con el en torno de trabajo de la ClassPad 300 vamos pues a abrir un archivo que contiene a la te sela b sica ya construida y a continuaci n utilizaremos los giros del grupo p6 para cons truir la regi n generatriz unidad a Tocamos sobre el men Archivo despu s sobre Abrir cuando se nos abra la pantalla del Administrador de archivos tocamos sobre la flecha de la car peta geo para que se muestren todos los archivos que contiene seleccio namos el archivo fund confirmamos nuestra selecci n tocando sobre el bo t n Abrir y ya tendremos en nuestra pantalla la tesela b sica ya construida b Para reconstruir la baldosa triangular vamos a realizar dos giros de 120 y 240 tomando como centro del giro en ambos casos el v rtice superior de nuestra tesela c Una vez efectuado el paso anterior realizaremos otro giro esta vez de 180 eligiendo como centro el punto medio de la base del tri ngulo Ya hemos conseguido la regi n generatriz unidad que como ya hab amos dicho est formada por un rombo resultado de unir dos tri ngulos equil teros por uno de sus lados sr Arch Edit Wer Dibuj Arch Edit Yer la sr Arch Edit Wer Dibuj Arch Edit Yer Dibuj ls Arch Edit Wer Dibuj Arch Edit Yer ndo P g 26453 Secuencia de pantallas n 7 Construcci n de la regi n generatriz unidad 7 Trasladando la regi n generatriz unidad Secuencia de pantallas n 8
13. sarias Vamos a construir dos mosaicos y vamos a analizarlos desde la perspectiva de la teor a de grupos No se trata de realizar un taller de grupos cristalogr ficos planos sino de utili zar la informaci n que stos nos aportan para la construcci n en s LA PAJARIT A Primeras construcciones Para construir este mosaico se ha partido de un triangulo equil tero y se ha seguido el si guiente proceso 1 Construcci n de un pol gono regular de tres lados Secuencia de pantallas n 1 a Tocamos la tercera flecha hacia debajo de la barra de herramientas se abre la paleta de iconos del men secundario Formas especial del men Dibujo b Tocamos sobre el icono Pol gono regular e inducimos el n mero de la dos deseado se puede hacer utilizando el icono Tri ngulo equil tero pero la imagen queda menos limpia c Tocamos en un punto de la pantalla t ctil de la calculadora y arrastramos para seleccionar el rea donde se va a trazar el tri ngulo intentaremos se leccionar el mayor rea posible SY Arch Edit Yer Dibuj SY Arch Edit Yer Dibuj EAT Arch Edit ver Laa Poligono regular Homero de lados P g 145 Secuencia de pantallas n 1 Construcci n de un tri ngulo regular 2 A continuaci n utilizando el icono Punto medio del submen Construir del men Dibujo vamos a construir los puntos D E F y G Secuencia de pantallas n 2 a seleccionamos la cuarta flecha hacia debajo de la
14. xi n Comencemos la construcci n Como no vamos a utilizar muchas herramientas nuevas tendremos que estar pendientes de las respectivas secuencias de im genes pues las ins trucciones ser n m s concisas que en la construcci n del mosaico anterior 1 Vamos pues a construir nuestra celda fundamental secuencias de pantallas n 9 10y11 a Comenzaremos construyendo el cuadrado que delimita la celda fundamental situando en l los puntos E F G H I y y SY Arch Edit Yer Dibuj EXPERTA Arch Edit ver al y Arch Est ver Dibud__ Arch Edit ver aL Poligono regular Ed Homero de lados Secuencia de pantallas n 9 Celda fundamental b Trazaremos una ret cula de rectas perpendiculares a los lados del cuadrado y que pasen por los puntos construidos en el punto anterior Utilizaremos el icono Perpendicular de la cuarta paleta 13 SY Arch Edit Yer Dibuj SY Arch Edit Yer Dibuj Hecesita selec seam qui Secuencia de pantallas n 10 Celda fundamental c Utilizando el icono Pol gono de la segunda paleta vamos construir dos pol gonos cerrados el primero de v rtices K L M N y B y el segundo de v rtices H O L P Q y D Seguidamente ocultaremos las rectas y los pun tos que han sido necesarios para la construcci n d Por ltimo seleccionamos todos los lados de cada pol gono y en el men edici n activamos la propiedad de sombra quedando as construida la celda fundamenta
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