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1. 5 0 0 49 in Hh un 0 sinus 649448 04 83 650641 68 95 651833 72 53 653024 15 28 654212 96 89 655400 17 09 656585 75 58 657769 72 05 658952 06 23 660132 77 82 661311 86 53 662489 32 07 663665 14 14 664839 32 46 666011 86 74 667182 76 69 668352 02 02 669519 62 43 670685 57 65 671849 87 39 673012 51 35 674173 49 25 675332 80 81 676490 45 74 677646 43 75 678800 74 55 679953 37 87 681104 33 42 682253 60 91 683401 20 06 684547 10 59 685691 32 22 686833 84 65 687974 67 62 689113 80 84 690251 24 02 691386 96 90 692520 99 17 693653 30 58 694783 90 84 695912 79 66 697039 96 77 698165 41 90 699289 14 76 700411 15 08 701531 42 58 702649 96 98 703766 78 01 704881 85 39 705995 18 86 707106 78 12 cosinus gr 1194 44 29 1192 83 90 1191 23 21 1189 62 23 1188 00 96 1186 39 39 1184 77 53 1183 15 38 1181 52 93 1179 90 20 1178 27 17 1176 63 85 1175 00 25 1173 36 35 1171 72 16 1170 07 68 1168 42 92 1166 77 87 1165 12 53 1163 46 90 1161 80 98 1160 14 78 1158 48 29 1156 81 52 1155 14 46 1153 47 11 1151 79 48 1150 11 57 1148 43 37 1146 74 89 1145 06 12 1143 37 08 1141 67 75 1139 98 14 1138 28 25 1136 58 08 1134 87 62 1133 16 89 1131 45 88 1129 74 59 1128 03 02 1126 31 17 1124 59 04 1122 86 64 1121 13 95 1119 41 00 1117 67 76 1115 94 25 1114 20 47 1112 46 41
2. 0 9980267284 b 986311 10 1 12313 10 d 0 f a xw 0 9980543604 f a 0 9980267284 f a xw f a 0 0000276320 276320 986311 0 2801550 4 4 0 00002753534 276320 275353 4 X988 0 0009800 0 2811350 Substitution in bx cx dx ergibt 0 00002763132 Man muss also noch eine zweite Iteration ausf hren wobei x 0 2811350 _ 276320 276313 2 Ax 0 2811418 Substitution ergibt nun 0 00002763199 Das Ergebnis ist also a xw 96 0 gr 0 0281142 gr 96 0281142 gr Beim Setzen der Tafeln ist daf r gesorgt dass sie auch f r acht oder sechs Dezimalstellen gebraucht werden k nnen SEXAGESIMALE VERDELING system Divisi n Division sexag simale Sexagesimaltellung sinus 000000 00 00 001454 44 05 002908 87 80 004363 30 93 005817 7314 007272 14 11 008726 53 55 010180 91 14 011635 26 58 013089 59 56 014543 89 77 015998 16 90 017452 40 64 018906 60 70 020360 76 75 021814 88 50 023268 95 64 024722 97 85 026176 94 83 027630 86 28 029084 71 87 030538 51 32 031992 24 31 033445 90 53 034899 49 67 036353 01 43 037806 45 50 039259 81 58 040713 09 34 042166 28 50 043619 38 74 045072 39 75 046525 31 22 047978 12 85 049430 84 34 050883 45 36 052335 95 62 053788 34 82 055240 62 63
3. 0 00019591 409912 409907 9 4646733 x X Ax 0 08841189 This value of x substituted bx cx dx gives indeed 0 0000409912 So the result is a xw 5 30 88 4119 5 28 31 5881 Ax 0 00000088 Example 5 Decimal division Find a xw from cot a xw 0 6566431020 From the table cot a cot 63 0 gr 0 6568772224 b 2 22485756 10 9 c 4 23201 10 9 d 42 10 1 are found f a xw 0 6566431020 f a 0 6568772224 8 f a xw f a 0 0002341204 2341204 Xo 55485755 0 10411943 2 4 0 00023409526 2341204 2340952 6 _ x 4x 0 10413061 Substitution of this value bx cx dx gives 0 0002341204 Continuation of the iteration is not necessary The result is a xw 63 0 gr 0 01041306 gr 63 01041306 gr Example 6 Decimal division Find a xw from sin a xw 0 9980543604 From the table sin a sin 96 0 gr 0 9980267284 b 4986311 10 1 12313 10 1 d 0 are found f a xw 0 9980543604 f a 0 9980267284 8 f a xw f a 0 0000276320 4 276320 bx cx dx 0 00002753534 276320 275353 4 1986311 0 0009800 x 0 2811350 Substitution in bx cx2 dx leads to 0 00002763132 So another iteration must be carried out in which x 0 2811350 Ava 276320 276313 2 986311 x 0 2811418 Now the substitution gives 0
4. 0 292467 0 000000000 0 3923961616 Pour obtenir une pr cision suffisante il est n ces saire dans la table de division d cimale pour les cas gt 0 5 de partir de la valeur de fonction mentionn e directement plus haut L interbolation inverse donne f a xw et l on demande la valeur correspondante du gise ment a xw n cessite la r solution d une quation degr 1 donnant x Les termes bx cx dx convergeant heureusement rapidement on peut trouver x assez facilement par proc d d it ration Pour cela on crit 1 suivant la formule f a b x Ax c x Ax d x AX ou sous la forme f a xw f a 4 3 54 3 terme bx a de loin la valeur num rique la plus grande On trouve alors une valeur approch e de x convenable en calculant comme suit f a xw f a Ensuite calcule suivant Pour d terminer le terme entre accolades on utilise la m me m thode de calcul que celle indiqu e dans 2 Si dans l interpolation inverse on d sire seule ment une approximation millieme de seconde ou au millieme de d cimilligrade 1 dmgr 0 0001 gr Ax est alors si petit que x substitu dans 2 donne une identit Dans quelques cas seulement on obtiendra l aide de 4 une meilleure mation de la valeur de x Le proc d d it ration doit tre pou
5. 07 64 54 07 65 84 07 67 14 07 68 43 07 69 72 07 71 01 07 72 30 07 73 59 07 74 88 07 76 16 07 77 44 07 78 73 07 80 00 07 81 28 07 82 56 07 83 83 07 85 11 07 86 38 07 87 65 07 88 91 07 90 18 07 91 44 07 92 71 07 93 97 07 95 23 07 96 49 07 97 74 07 99 00 0800 25 0801 50 08 02 75 08 04 00 08 05 24 08 06 49 08 07 73 08 08 97 0810 21 08 11 45 08 12 68 08 13 91 08 1515 08 16 38 08 17 61 08 18 83 08 20 06 08 21 28 08 22 50 08 23 72 08 24 94 08 26 16 08 27 37 08 28 59 08 29 80 08 31 01 01 42 01 42 01 42 01 42 01 41 01 41 01 41 01 38 01 38 01 37 01 37 01 37 01 37 01 37 01 36 01 36 01 36 01 36 01 35 01 35 01 35 01 35 01 35 01 34 01 34 cosinus 766044 44 31 765108 73 65 764171 41 14 763232 46 98 762291 91 36 761349 74 49 760405 96 56 759460 57 78 758513 58 33 757564 98 44 756614 78 29 755662 98 08 754709 58 02 753754 58 31 752797 99 15 751839 80 75 750880 03 30 749918 67 01 748955 72 08 747991 18 72 747025 07 12 746057 37 51 745088 10 07 744117 25 01 743144 82 55 742170 82 88 741195 26 21 740218 12 75 739239 42 70 738259 16 28 737277 33 68 736293 95 12 735309 00 81 734322 50 94 733334 45 74 732344 85 41 731353 70 16 730361 00 20 729366 75 74 728370 96 99 727373 64 16 726374 77 46 725374 37 10 724372 43 30 723368 96 26 722363 96 21 721357 43 34 720349 37 88 719339 80 03
6. 1493 15 18 1492 38 38 1491 61 21 1490 83 67 1490 05 77 1489 27 50 1488 48 86 1487 69 85 1486 90 48 1486 10 74 1485 30 63 1484 50 16 1483 69 32 1482 88 12 1482 06 54 1481 24 61 1480 42 30 1479 59 64 1478 76 60 1477 93 21 1477 09 44 1476 25 32 1475 40 82 1474 55 97 1473 70 75 1472 85 17 4471 99 22 1471 1291 1470 26 24 1469 39 20 1468 51 81 1467 64 05 1466 75 92 1465 87 44 1464 98 60 1464 09 39 1463 19 82 1462 29 89 1461 39 60 1460 48 95 1459 57 94 1458 66 57 1457 74 83 1456 82 74 1455 90 29 1454 97 48 1454 04 32 1453 10 79 1452 16 90 1451 22 66 38 12 38 31 38 49 38 86 39 04 39 23 39 41 39 59 39 78 39 96 40 15 40 33 40 51 40 69 40 88 41 06 41 24 41 43 41 61 41 79 4197 42 15 4234 4252 42 70 42 88 43 06 43 25 43 43 43 61 43 79 43 97 44 15 44 33 44 91 44 69 44 87 45 05 45 24 45 42 45 60 45 78 45 96 46 14 46 32 46 49 46 67 46 85 47 03 47 21 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 06 cosinus 951056 51 63 950569 94 04 950081 01 91 949589 75 36 949096 14 50 948600 19 46 948101 90 37 947601 27 34 947098 30 50 946592 99 97 946085 35 88 945575 38 36 945063 07 52 944548 43 50 944031 46 41 943512 16 40 9
7. 2346 68 24 2351 87 81 2357 10 28 2362 35 66 2367 63 96 2372 95 21 2378 29 43 2383 66 63 2389 06 83 2394 50 06 2399 96 32 02 07 98 00 38 02 09 12 02 10 26 02 11 41 02 12 57 00 38 00 38 00 38 00 39 02 13 73 00 39 02 14 90 02 16 08 02 17 26 02 18 45 00 39 00 39 00 40 00 40 02 19 65 00 40 00 40 00 40 00 41 00 41 02 20 85 02 22 06 02 23 28 02 24 51 02 25 74 00 41 00 41 00 42 00 42 00 42 02 26 98 02 28 23 02 29 48 02 30 74 02 32 01 00 42 02 33 29 02 34 57 02 35 87 023717 02 38 47 02 39 79 02 41 11 02 42 44 02 43 78 02 45 13 00 45 02 46 49 02 47 85 02 49 22 02 50 60 00 45 00 46 00 46 00 46 02 51 99 00 46 02 53 39 00 47 00 47 00 47 00 48 02 59 07 00 48 02 60 51 02 61 96 02 63 42 02 64 89 00 48 00 49 00 49 02 66 37 00 49 02 67 85 02 69 35 02 70 86 02 72 37 00 50 00 50 00 50 00 51 02 73 90 00 51 65 gr N un OQ NJ WW 4 L ON 5 OAN wi Lal NJ UJ 4 ON O e NU IA 60 gr 40 LAM 44 42 EA LIN mk sch 5 Uu NA E 9 0 gr sinus 587785 25 23 589055 32 75 590323 94 94 591591 11 46 592856 82 02 594121 06 29 595383 83 97 596645 14 75 597904 98 31 599163
8. 3023 55 14 3029 06 02 3034 56 26 3040 05 86 3045 54 82 3051 03 14 3056 50 80 3061 97 83 3067 44 20 3072 89 92 3078 35 00 3083 79 42 3089 23 19 3094 66 31 3100 08 78 3105 50 58 3110 91 73 3116 32 23 09 62 09 61 70 09 6072 09 59 73 09 58 75 09 57 76 09 56 77 09 55 77 09 54 78 09 53 78 09 52 78 09 51 78 09 50 77 09 49 77 09 48 76 09 47 75 09 46 74 09 45 73 09 44 71 09 43 69 09 42 67 09 41 65 09 40 63 09 39 60 09 38 57 09 37 54 09 36 51 09 35 48 09 34 44 09 33 41 09 32 37 09 31 32 09 30 28 09 29 24 09 28 19 09 27 14 09 26 09 09 25 03 09 23 98 09 22 92 09 21 86 09 20 80 09 19 74 09 18 67 09 17 61 09 16 54 09 15 47 09 14 39 09 13 32 09 12 24 09 11 16 09 10 08 09 09 00 09 07 92 09 06 83 09 05 74 09 04 65 09 03 56 09 02 47 09 01 37 09 00 27 01 09 01 09 01 09 01 10 01 10 01 10 01 10 01 11 01 11 01 11 01 11 01 11 01 12 01 12 01 12 01 12 0113 01 13 01 13 01 13 01 13 01 14 01 14 01 14 01 14 01 15 01 15 01 15 01 15 01 15 01 16 01 16 01 16 01 16 01 16 01 17 0117 01 17 01 17 01 18 01 18 01 18 01 18 01 18 01 19 01 19 01 19 01 19 01 20 01 20 01 20 01 20 01 20 01 21 01 21 01 21 01 21 01 21 01 22 01 22 01 22 tangens 700207 53 82 702377 28 92 704551 47 79 706730 12 71 708913 25 97 711100 89 89 713293 06 79 715489 79 02 717691 08
9. 978147 60 07 977844 17 10 977538 67 27 977231 10 65 976921 47 30 976609 77 30 976296 00 71 975980 17 59 975662 28 02 975342 32 05 975020 29 76 974696 21 21 974370 06 48 974041 85 63 973711 58 73 973379 25 85 973044 87 06 972708 42 43 972369 92 04 972029 35 95 971686 74 24 971342 06 98 970995 34 24 970646 56 10 970295 72 63 969942 83 90 969587 89 99 969230 90 97 968871 86 92 968510 77 92 968147 64 04 967782 45 35 967415 21 95 967045 93 89 966674 61 27 966301 24 15 965925 82 63 0841 87 01 0848 81 34 0855 75 49 0862 69 47 0869 63 25 0876 56 86 0883 50 28 0890 43 51 0897 36 55 0904 29 40 0914 22 07 0918 14 54 0925 06 81 0931 98 89 0938 90 77 0945 82 46 0952 73 94 0959 65 22 0966 56 30 0973 47 18 0980 37 85 0987 28 31 0994 18 56 1001 08 60 1007 98 43 1014 88 05 1021 77 45 1028 66 64 1935 55 61 1042 44 36 1049 32 89 1056 2119 1063 09 28 1069 97 14 1076 84 77 1083 72 17 1090 59 35 1097 46 29 1104 33 01 1111 19 49 1118 05 73 1124 91 74 1131 77 51 1138 63 04 1145 48 33 1152 33 37 1159 18 18 1166 02 73 1172 87 04 1179 71 11 1186 54 92 1193 38 48 1200 21 79 1207 04 85 1213 87 65 1220 70 20 1227 52 48 1234 34 51 1241 1627 1247 97 78 1254 79 01 11 57 37 11 57 07 11 56 77 11 56 47 11 5616 11 55 85 11 55 54 11 55 23 11 54 91 11 54 60 11 54 28 11 53 95 11 53 63 11 53 30 11 52 97 11 52 64 11 52 31
10. 01 62 01 62 01 62 01 61 01 61 01 61 01 61 01 61 01 61 01 61 01 60 01 60 01 60 01 60 01 60 01 60 01 59 01 59 01 59 01 59 01 59 01 59 01 59 01 58 01 58 01 58 01 58 01 58 01 58 01 57 01 57 01 57 01 57 01 57 01 57 01 57 01 56 01 56 01 56 01 56 01 56 01 56 cosinus 866025 40 38 865297 26 75 864567 30 08 863835 50 52 863101 88 22 862366 43 35 861629 16 04 860890 06 47 860149 14 79 859406 41 15 858661 85 71 857915 48 63 857167 30 07 856417 30 18 855665 49 13 854911 87 07 854156 44 16 853399 20 56 852640 16 44 851879 31 94 851116 67 24 850352 22 50 849585 97 87 848817 93 52 848048 09 62 847276 46 31 846503 03 78 845727 82 17 844950 81 66 844172 02 41 843391 44 58 842609 08 34 841824 93 86 841039 01 30 840251 30 82 839461 82 60 838670 56 79 837877 53 58 837082 73 12 836286 15 58 835487 81 14 834687 69 96 833885 82 21 833082 18 05 832276 77 67 831469 61 23 830660 68 90 829850 00 85 829037 57 26 828223 38 29 827407 44 11 826589 74 91 825770 30 85 824949 12 11 824126 18 86 823301 51 28 822475 09 53 821646 93 79 820817 04 25 819985 41 07 819152 04 43 sinus 2424 06 84 2430 17 25 2436 27 14 2442 36 52 2448 45 38 2454 53 72 2460 61 54 2466 68 84 2472 75 63 2478 81 88 2484 87 62 2490 92 82 2496 97 51 2503 01 66 2509 05 28 2515 08 37 2521 10 93 2527 12 96 2533 14 45 2599 15 41 2
11. 03 93 91 03 95 52 03 97 13 03 98 74 04 00 34 04 01 95 01 83 01 83 01 83 01 83 01 83 01 83 01 83 01 83 01 83 01 83 01 83 01 83 01 83 01 82 01 82 01 82 01 82 01 82 01 82 01 82 01 82 01 82 01 82 01 82 01 82 01 82 01 81 01 81 01 81 01 81 01 81 01 81 01 81 01 81 01 81 01 81 01 81 01 81 01 80 01 80 01 80 01 80 01 80 01 80 01 80 01 80 01 80 01 80 01 80 01 79 01 79 01 79 01 79 01 79 01 79 01 79 01 79 01 79 01 79 01 79 01 78 T cosinus 965925 82 63 965548 36 77 965168 86 66 964787 32 38 964403 74 01 964018 11 63 963630 45 32 963240 75 17 962849 01 25 962455 23 65 962059 42 45 961661 57 74 961261 69 59 960859 78 11 960455 83 36 960049 85 44 959641 84 43 959231 80 42 958819 73 49 958405 63 73 957989 51 23 957571 36 08 957151 18 36 956728 98 17 956304 75 60 955878 50 72 955450 23 64 955019 94 45 954587 63 22 954153 30 07 953716 95 07 953278 58 33 952838 19 93 952395 79 96 951951 38 53 951504 95 72 951056 51 63 950606 06 35 950153 59 98 949699 12 62 949242 64 36 948784 15 29 948323 65 52 947861 15 14 947396 64 25 946930 12 95 946461 61 33 945991 09 50 945518 57 56 945044 05 60 944567 53 73 944089 02 04 943608 50 64 943125 99 63 942641 49 11 942154 99 18 941666 49 95 941176 01 53 940683 54 00 940189 07 48 939692 62 08 1254 79 01 1261 59 99 1268 40 69 127521 13 1282 01 3
12. 258431 38 65 260107 77 32 261785 53 03 263464 66 77 265145 19 56 266827 12 39 268510 46 27 270195 22 21 271881 41 21 273569 04 31 275258 12 51 276948 66 83 278640 68 31 280334 17 96 282029 16 83 283725 65 94 285423 66 34 287123 19 07 288824 25 16 290526 85 67 292231 01 66 293936 74 17 295644 4 26 297352 93 00 299063 41 46 300775 50 69 302489 21 78 304204 55 81 305921 53 84 307640 16 97 309360 46 28 311082 42 86 312806 07 82 314531 42 24 316258 47 23 317987 23 90 319717 73 36 321449 96 72 323183 95 10 324919 69 62 cotangens 1661 33 36 1662 59 14 1663 85 89 1665 13 61 1666 42 29 1667 71 95 1669 02 58 1670 34 19 1671 66 78 1673 00 36 1674 34 92 1675 70 48 1677 07 02 1678 44 56 1679 83 10 1681 22 64 1682 63 19 1684 04 74 1685 47 30 1686 90 88 1688 35 48 1689 81 09 1691 27 73 1692 75 39 1694 24 09 1695 73 82 1697 24 58 1698 76 39 1700 29 23 1701 83 13 1703 38 07 1704 94 07 1706 51 13 1708 09 24 1709 68 42 1711 28 67 1712 89 98 1714 52 38 1716 15 85 1717 80 40 1719 46 04 1721 12 77 1722 80 59 1724 49 50 1726 19 52 1727 90 65 1729 62 88 1731 36 22 1733 10 68 1734 86 27 1736 62 97 00 62 65 00 63 13 00 63 62 00 65 07 00 65 56 00 66 05 00 66 54 00 67 03 00 67 53 00 68 02 00 68 52 00 69 02 00 69 52 00 70 02 00 70 52 00 71 03 00 72 04 00 16 00 16 00 16 00 16 00 16 00 16 00 16
13. male verdeling van het kwadrant groen papier en bevat de sinus en cosinus voor argumenten van 0 tot 90 de tangens voor argumenten van 09 tot 45 en de cotangens voor argumenten van 459 tot 90 Het interval bedraagt 5 Het tweede deel is overeenkomstige wijze ingericht voor de decimale verdeling van het kwadrant Hier is het interval 0 1 gr De functiewaarden van tussengelegen argumen ten met derdegraadsinterpolatie met behulp van een rekenmachine worden bepaald Deze inter polatie geschiedt volgens de formule f a xw f a bx4 cx dx 1 De interpolatieco ffici nten b en 4 zijn ultge drukt in eenheden van de orde 10 achter de functiewaarden vermeld De tekens van deze co ffici nten staan boven of onderaan kolommen fl sinus 10 173648 17 77 4774 48 27 02 04 08 01 87 5 175080 33 83 4773 25 32 02 05 76 01 87 10 176512 12 86 4772 01 36 02 07 44 01 87 15 177943 54 55 4770 76 39 02 09 12 01 87 Om 1 gemakkelijk te kunnen berekenen schrijft men haar in de gedaante f a xw f a x b x c dx 2 en begint de berekening achteraan d w z met de bepaling van dx Hierna berekent men achtereen volgens c dx x c dx b x c dx x b x c dx Om tot f a xw te komen vermeerdert men ten slotte het laatste bedrag met f a Voorbeeld 1 Sexagesimale verdeling Gevraagd f a xw sin 10 2 12 452 Deze functiewaarde moet worden be
14. 01 0049 01 0037 01 0026 01 0015 01 00 04 00 99 92 00 99 81 03 5555 03 03 03 e 8888 R RRRS tangens 612800 78 81 614963 54 11 617130 47 64 619301 61 70 621476 98 59 623656 60 62 625840 50 11 628028 69 41 630221 20 87 632418 06 86 634619 29 75 636824 91 95 639034 95 85 641249 43 89 643468 38 49 645691 82 10 647919 77 21 650152 26 27 652389 31 79 654630 96 27 656877 22 24 659128 12 24 661383 68 81 663643 94 54 665908 92 00 668178 63 79 670453 12 53 672732 40 85 675016 51 39 677305 46 82 679599 29 82 681898 03 08 684201 69 32 686510 31 25 688823 91 63 691142 53 22 693466 18 80 695794 91 15 698128 7310 700467 67 48 702811 77 12 705161 04 91 707515 53 71 709875 26 43 712240 26 00 714610 55 34 716986 17 41 719367 15 19 721753 51 67 724145 29 86 726542 52 80 cotangens 2160 66 93 2164 84 03 2169 03 41 2173 25 09 2177 49 07 2181 75 37 2186 04 01 2190 34 99 2194 68 33 2199 04 04 2203 42 14 2207 82 65 2212 25 56 2216 70 91 2221 1870 2225 68 95 2230 21 67 2235 76 87 2239 34 58 2243 94 81 2248 57 56 2253 22 86 2257 90 72 2262 61 16 2267 34 19 2272 09 83 2276 88 09 2281 68 99 2286 52 54 2291 38 77 2296 27 68 2301 19 29 2306 13 63 2311 10 70 2316 10 52 2321 13 12 2326 18 50 2331 26 68 2336 37 69 2341 51 53
15. 01 22 75 01 22 73 01 22 71 01 22 69 01 22 67 01 22 65 01 22 63 01 22 60 01 22 58 01 22 56 01 22 54 01 22 51 01 22 49 01 22 47 01 22 45 01 22 42 01 22 40 01 22 37 01 22 35 01 22 32 01 22 30 01 22 27 01 22 11 01 22 06 01 22 03 01 22 00 01 21 97 01 21 94 01 21 94 01 21 88 01 21 85 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 2222 3 01 3233 99922 8 22333 tangens 078701 70 68 080282 42 93 081863 55 05 083445 07 84 085027 02 10 086609 38 62 088192 18 20 089775 41 64 091359 09 74 092943 23 30 094527 83 12 096112 90 00 097698 44 76 099284 48 18 100871 01 09 102458 04 28 104045 58 56 105633 64 74 107222 23 63 108811 36 04 110401 02 78 111991 24 67 113582 02 52 115173 37 14 116765 29 35 118357 79 96 119950 89 81 121544 59 69 123138 90 45 124733 82 89 126329 37 84 127925 56 13 129522 38 59 131119 86 03 132717 99 28 134316 79 19 135916 26 58 137516 42 27 139117 27 11 140718 81 93 142321 07 57 143924 04 86 145527 74 65 147132 17 78 148737 35 08 150343 27 41 151949 95 60 153557 40 51 155165 62 99 156774 63 88 158384 44 03 1580 52 58 1580 92 05 1581 32 32 1581 73 39 1582 15 25 1582 57 92 1583 01 38 1583 45 64 1583 90 70 1584 36 56 1584 83 22 1585 30 69 1585 78 96 1586 28 03 1586 77 91 1587 28 60 1587 80 10 1588 32 40 1588 85 52 1589 39 44 1589 94 18 1590 49 73 1591
16. 015709 25 53 017280 47 94 018851 78 87 020423 19 11 021994 69 43 023566 30 61 025138 03 43 026709 88 66 028281 87 08 029853 99 47 031426 26 60 032998 69 26 034571 28 22 036144 04 26 037716 98 16 039290 10 70 040863 42 66 042436 94 82 044010 67 95 045584 62 85 047158 80 29 048733 21 05 050307 85 92 051882 75 68 053457 91 11 055033 32 99 056609 02 12 058184 99 27 059761 25 23 061337 80 79 062914 66 73 064491 83 84 066069 32 90 067647 14 72 069225 30 07 070803 79 74 072382 64 53 073961 85 23 075541 42 63 077121 37 51 078701 70 68 1570 79 63 1570 80 02 1570 81 18 1570 83 12 1570 85 83 1570 89 32 1570 93 59 1570 98 63 1571 04 44 1571 11 03 1571 18 40 1571 26 54 1571 35 46 1571 45 15 1571 55 62 1571 66 87 1571 78 89 1571 91 70 1572 05 28 1572 19 63 1572 34 77 1572 50 68 1572 67 37 1572 84 84 1573 03 09 1573 22 12 1573 41 93 1573 62 52 1573 83 89 1574 06 04 1574 28 97 1574 52 69 1574 77 18 1575 02 46 1575 28 53 1575 55 37 1575 83 01 1576 11 42 1576 40 63 1576 70 62 1577 01 39 1577 32 96 1577 65 31 1577 98 45 1578 32 38 1578 67 10 1579 02 61 1579 38 91 1579 76 01 1580 13 90 1580 52 58 5 00 00 00 00 00 39 00 00 78 00 01 16 00 01 55 00 01 94 00 02 33 00 02 71 00 03 10 00 03 49 00 03 88 00 04 27 00 04 65 00 05 04 00 05 43 00 05 82 00 06 21 00 06 60 00 06 98 00 07 3
17. 28 48 28 68 28 89 29 10 29 31 29 52 29 73 29 95 30 17 50 30 39 45 45 VERDELING Decimal system Divisi n decimal Division d amp cimale Dezimaltellung _ un N qn puna O gt 001570 79 57 003141 58 75 004712 37 15 006283 14 40 007853 90 09 009424 63 84 010995 35 27 012566 03 99 014136 69 60 015707 31 73 017277 89 98 018848 43 97 020418 93 31 021989 37 61 023559 76 48 025130 09 54 026700 36 40 028270 56 68 029840 69 97 031410 75 91 032980 74 09 034550 64 14 036120 45 66 037690 18 27 039259 81 58 040829 35 20 042398 78 75 043968 11 83 045537 34 07 047106 45 07 048675 44 45 050244 31 82 051813 06 79 053381 68 98 054950 17 99 056518 53 45 058086 74 96 059654 82 14 061222 74 60 062790 51 95 064358 13 81 065925 59 80 067492 89 51 069060 02 57 070626 98 59 072193 77 19 073760 37 97 075326 80 55 076893 04 55 078459 09 57 cosinus 000000 00 00 1570 79 63 1570 79 44 1570 78 86 1570 77 89 1570 76 53 1570 74 79 1570 72 66 1570 70 14 1570 67 23 1570 63 94 1570 60 25 1570 56 18 1570 51 73 1570 46 88 1570 41 65 1570 36 03 1570 30 03 1570 23 63 1570 16 85 1570 09 68 1570 02 12 1569 94 18 1569 85 85 1569 77 13 1569 68 02 1569 58 53 1569 48
18. 831469 61 23 830595 89 92 829720 13 67 828842 32 69 827962 47 20 827080 57 43 826196 63 58 825310 65 87 824422 64 53 823532 59 76 822640 51 80 821746 40 86 820850 27 17 819952 10 93 819051 92 38 818149 71 74 817245 49 23 816339 25 07 815430 99 49 814520 72 71 813608 44 95 812694 16 44 811777 87 41 810859 58 08 809939 28 68 809016 99 44 0820 73 88 0822 84 16 0824 94 24 0827 04 11 0829 13 78 0831 23 24 0833 32 50 0835 41 56 0837 50 40 0839 59 04 0841 67 48 0843 75 70 0845 83 72 0847 91 53 0849 99 13 0852 06 52 0854 13 70 0856 20 67 0858 27 42 0860 33 97 0862 40 30 0864 46 42 0866 52 33 0868 58 02 0870 63 50 0872 68 77 0874 73 82 0876 78 65 0878 83 27 0880 87 67 0882 91 85 0884 95 82 0886 99 56 0889 03 09 0891 06 40 0893 09 49 0895 12 35 0897 15 00 0899 17 43 0901 19 63 0903 21 61 0905 23 37 0907 24 91 0909 26 22 0911 27 31 0913 28 17 0915 28 81 0917 29 22 0919 29 40 0921 29 0923 29 09 01 05 19 01 05 09 01 04 99 01 04 89 01 04 78 01 04 68 01 04 58 01 04 48 01 04 37 01 04 27 010416 01 04 06 01 03 96 01 03 85 01 03 75 01 03 64 01 03 54 01 03 43 01 03 33 01 03 22 01 03 11 01 03 01 01 02 90 01 02 79 01 02 69 01 02 58 01 02 47 01 02 36 01 02 25 01 02 15 01 02 04 01 01 93 01 01 82 01 01 71 01 01 60 01 01 49 01 01 38 01 01 27 01 01 16 01 01 05 01 0094 01 0082 01 0071 01 0060
19. f a 0 9953961984 f a xw f a 0 0000409912 409912 Xo 0 08821510 bye 9 0 00004090016 _ 4409912 409001 6 7 4646733 X Xo 4x 0 08841101 Dieser Wert von x substituiert bx cx dx ergibt 0 00004099079 In diesem Falle muss also noch eine zweite ausgef hrt werden wobei f r 0 08841101 genommen wird Ax 0 00019591 409912 409907 9 4646733 x 0 08841189 Dieser Wert von x substituiert in bx cx dx gibt tats chlich 0 0000409912 Das Ergebnis ist also a xw 5 30 88 4119 5 28 31 5881 0 00000088 Beispiel 5 Dezimalteilung Bestimme a aus cotg a xw 0 6566431020 In der Tafel findet man cotg a cotg 63 0 gr 0 6568772224 b 22485756 10 23201 10 19 d 42 107 f a xw 0 6566431020 f a 0 6568772224 _ f a xw f a 0 0002341204 2341204 Xo 22485756 0 10411943 bx cx 4 0 00023409526 2341204 2340952 6 7 1 0 00001118 X Xo 4x 0 10413061 Substitution dieses Wertes bx cx dx ergibt gerade 0 0002341204 Fortsetzung der Iteration ist also nicht notwendig Das Ergebnis ist a xw 63 0 gr 0 01041306 gr 63 01041306 gr Beispiel 6 Dezimalteilung Bestimme a xw aus sin a xw 0 9980543604 In der Tafel findet sin 96 0 gr
20. 00 16 00 16 00 16 00 16 00 17 00 17 00 17 00 17 00 17 00 17 00 17 00 17 00 17 00 17 00 17 00 17 00 17 00 17 00 17 00 17 00 17 00 17 00 17 0018 0018 00 18 0016 0 16 00 16 00 18 00 18 0018 00 18 00 18 00 18 00 19 00 19 00 19 00 19 00 19 85 gr in g OWA ON 4 0 ON 29 NU ON gt ON 0 un ee 80 gr 20 gr 20 309016 99 44 Dx sch won 21 un NA 4 WN Y NO ON in 9 310510 52 86 312003 29 67 313495 29 49 314986 51 97 316476 96 72 317966 63 38 319455 51 59 320943 60 98 322430 91 18 323917 41 82 325403 12 54 326888 02 97 328372 12 74 329855 41 49 331337 88 85 332819 54 45 334300 37 94 335780 38 94 337259 57 09 338737 92 02 340215 43 38 341692 10 79 343167 93 89 344642 92 32 346117 05 71 347590 33 70 349062 75 92 350534 32 02 352005 01 63 353474 84 38 334943 79 91 356411 87 87 357879 07 89 359345 39 60 360810 82 65 362275 36 67 363739 01 30 365201 76 19 366663 60 96 368124 55 27 369584 58 74 371043 71 02 372501 91 75 373959 20 57 375415 57 12 376871 01 04 378325 51 97 379779 09 55 381231 73 43 382683 43 24 cosinus 25 gr 1493 91 61
21. 00002763199 The result is a xw 96 0 gr 0 0281142 gr 96 0281142 gr 0 0000068 compositing the tables provision has been made for using them as eight or six place tables MODO DE EMPLEO DE LAS TABLAS Estas tablas en diez decimales constan de dos partes La primera est dispuesta para la divisi n sexagesimal del cuadrante impresa en papel verde y comprende el seno y el coseno para situaciones de 09 hasta 90 la tangente para situaciones 09 hasta 459 y la cotangente para situaciones de 45 hasta 90 El intervalo es 5 La parte segunda tiene an loga disposici n para la divisi n decimal del cuadrante Su intervalo es 0 1 gr Los valores funcionales de las situaciones inter medias pueden determinarse con ayuda de una m quina de calcular mediante la interpolaci n de tercer grado Esta interpolaci n se realiza seg n la f rmula f a xw f a bx cx dx 1 Los coeficientes de interpolaci n b c y d expresa dos en unidades del orden 10 se mencionan detr s de los valores funcionales Los signos de estos coefi cientes est n situados a la cabeza o al pie de las columnas a b sinus 10 173648 17 77 4774 48 27 02 04 08 01 87 5 175080 33 83 4773 25 32 02 05 76 01 87 10 176512 12 86 4772 01 36 02 07 44 01 87 15 177943 54 55 4770 76 39 02 09 12 01 87 Para calcular con facilidad 1 se procede seg n la f rmula fla xw f a x b x
22. 01 46 01 46 01 46 01 45 cosinus 819152 04 43 818316 94 51 817480 11 48 816641 55 52 815801 26 80 814959 25 52 814115 51 84 813270 05 94 812422 88 00 811573 98 20 810723 36 72 809871 03 74 809016 99 44 808161 24 00 807303 77 60 806444 60 43 805583 72 66 804721 14 47 803856 86 06 802990 87 60 802123 19 28 801253 81 27 800382 73 77 799509 96 95 798635 51 00 797759 36 12 796881 52 47 796002 00 25 795120 79 65 794237 90 85 793353 34 03 792467 09 39 791579 17 11 790689 57 37 789798 30 38 788905 36 31 788010 75 36 787114 47 71 786216 53 56 785316 93 09 784415 66 49 783512 73 96 782608 15 69 781701 91 86 780794 02 67 779884 48 31 778973 28 97 778060 44 86 777145 96 15 776229 83 04 775312 05 73 774392 64 41 773471 59 27 772548 90 52 771624 58 34 770698 62 93 769771 04 49 768841 83 21 767910 99 29 766978 5292 766044 44 31 sinus 2780 77 70 2786 55 02 2792 31 75 2798 07 88 2803 83 43 2809 58 38 2815 32 74 2821 06 50 2826 79 66 2832 52 23 2838 24 20 2843 95 57 2849 66 33 2855 36 49 2861 06 05 2866 75 01 2872 43 35 2878 11 09 2883 78 22 2889 44 75 2895 10 66 2900 75 95 2906 40 64 2912 04 70 2917 68 16 2923 30 99 2928 93 21 2934 54 81 2940 15 78 2945 76 14 2951 35 87 2956 94 98 2962 53 46 2968 11 31 2973 68 54 2979 25 14 2984 81 11 2990 36 44 2995 91 15 3001 45 22 3006 98 65 3012 51 45 3018 03 61
23. 01 89 60 01 90 63 01 94 67 01 92 72 01 93 77 01 94 83 01 95 89 01 96 96 01 98 03 01 99 11 02 00 20 02 01 29 02 02 39 02 03 50 02 04 61 02 05 73 02 06 85 02 07 98 00 29 00 29 00 29 00 29 00 30 00 30 00 30 00 30 00 30 00 30 00 30 00 31 00 31 00 31 00 31 00 31 00 31 00 32 00 32 00 32 00 32 00 32 00 32 00 33 00 33 00 33 00 33 00 33 00 33 00 34 00 34 00 34 00 34 00 34 00 35 00 35 00 35 00 35 00 35 00 36 00 36 9 NW a NW JOgr 0 sch NW ON CO O in O un O in 65 gr 35 gr 35 YN in amp GM sch gt 0 0 37 4 Wh un YN sch 8 0 Ons 0 39 AM gt in 5 22 sinus 522498 56 47 523837 24 36 525174 63 0 526510 72 05 527845 51 19 529179 00 10 530511 18 43 531842 05 87 533171 62 07 534499 86 73 535826 79 50 537152 40 06 538476 68 08 539799 63 24 541121 25 21 542441 53 67 543760 48 28 545078 08 72 546394 34 67 547709 25 81 549022 81 80 550335 02 33 551645 87 06 552955 35 69 554263 47 87 555570 23 30 556875 61 65 558179 62 59 559482 25 81 560783 50 98 562083 37 79 563381 85 90 564678 95 01 565974 64 78 567268 94 91 568561 85 07 569853 34 95 571143 44 22 572432 12 56 573719 39 66 575005 25 20 5762
24. 01041306 gr 63 01041306 gr Voorbeeld 6 Decimale verdeling Bepaal a xw uit sin a I xw 0 9980543604 In tafel vindt men sin sin 96 0 gr 4 0 9980267284 b 986311 10 12313 10 9 d 0 f a xw 0 9980543604 0 9980267284 f a xw f a 0 0000276320 4276320 4986311 0 2601 550 bx cx 2 dx 2 0 00002753534 _ 276320 275353 4 _ 985311 5 X 0 2811350 Substitutie in bx cx dx levert 0 000027631 32 op Er moet dus nog een tweede iteratie worden ultgevoerd waarbij x 0 2811350 _ 276320 276313 2 Xy Ax 0 2811418 Substitutie geeft nu 0 00002763199 De uit komst is dus a xw 96 0 gr 0 0281142 gr 96 0281142 gr Bij het zetten van de tafels is er voor gezorgd dat zij ook gebruikt kunnen worden voor acht of zes decimalen USE OF THE TABLES These ten place tables consist of two parts The first part 15 arranged for the sexagesimal division of the quadrant green paper it contains the sine and cosine of arguments from 09 to 90 the tangent of arguments from 0 to 459 and the cotangent of arguments from 45 to 90 The interval 15 5 The second part is arranged in a similar manner for the decimal division of the quadrant Here the Interval is 0 1 gr The function values of intermediate arguments can be determined by interpolation of third order with the aid of calculating machine
25. 056692 78 76 058144 82 89 059596 74 73 061048 53 95 062500 20 27 063951 73 36 065403 12 92 066854 38 65 068305 50 24 069756 47 37 071207 29 75 072657 97 07 074108 49 02 075558 85 29 077009 05 58 078459 09 57 079908 96 97 081358 67 47 082808 20 75 084257 56 52 085706 74 46 087155 74 27 cosinus 4848 13 68 00 00 00 4848 13 17 000171 4848 11 63 4848 09 07 4848 05 48 4848 00 86 4847 95 22 4847 88 55 4847 80 86 4847 72 15 4847 62 40 4847 51 64 4847 39 84 4847 27 02 4847 1318 4846 98 31 4846 82 41 4846 65 49 4846 47 55 4816 28 58 4846 08 58 4845 87 56 4845 65 51 4845 42 44 4845 18 35 4844 93 22 4844 67 08 4844 39 91 4844 11 71 4843 82 49 4843 52 25 4843 20 98 4842 88 68 4842 55 36 4842 21 02 4841 85 65 4841 49 26 4841 11 84 4840 73 40 4840 33 94 4839 93 45 4839 51 94 4839 09 41 4838 65 85 4838 21 26 4837 75 66 4837 29 03 4836 81 38 4836 32 70 4835 83 00 4835 32 28 4834 80 53 4834 27 77 4833 73 98 4833 19 16 4832 63 33 4832 06 47 4831 48 59 4830 89 69 4830 29 76 4829 68 82 00 03 42 00 05 13 00 06 84 00 08 55 00 10 26 00 11 96 00 13 67 00 15 38 00 17 09 00 18 80 00 20 51 00 22 22 00 23 93 00 25 64 0027 35 00 29 05 00 30 76 00 32 47 00 34 18 00 35 89 00 37 60 00 39 31 00 41 01 00 42 72 00 44 43 00 46 14 00 47 85 00 49 55 00 51 26 00 52 97 00 54 68 00 56 38 00 58 09 00 59 80 00 61 5
26. 10 87 380530 23 77 382196 20 98 383864 03 50 385533 72 37 387205 28 59 388878 73 19 390554 07 19 392231 31 64 393910 47 56 395591 56 00 397274 57 99 398959 54 60 400646 46 86 402335 35 83 404026 22 58 405719 08 17 407413 93 67 409110 80 14 410809 68 67 412510 60 34 414213 56 24 415918 57 44 417625 65 06 419334 80 18 421046 03 90 422759 37 35 424474 81 62 426192 37 84 427912 07 12 429633 90 60 431357 89 39 433084 04 65 434812 37 50 436542 89 09 438275 60 57 440010 53 09 441747 67 81 443487 05 91 445228 68 53 446972 56 86 448718 72 08 450467 15 37 452217 87 91 453970 90 91 455726 25 55 457483 93 05 459243 94 61 461006 31 44 462771 04 77 464538 15 82 466307 65 82 5490 39 05 5496 2197 5502 08 14 5507 97 59 5513 90 32 5519 86 34 5525 85 67 5531 88 31 5537 94 29 5544 03 61 5550 16 28 5556 32 33 5562 51 75 5568 74 57 5575 00 79 5581 30 44 5587 63 52 5594 00 04 5600 40 02 5606 83 47 5613 30 41 5619 80 85 5626 34 81 5632 92 29 5639 53 30 5646 17 88 5652 86 02 5659 57 75 5666 33 07 5673 12 00 5679 94 56 5686 80 76 5693 70 61 5700 64 13 5707 61 34 5714 62 24 5721 66 86 5728 75 21 5735 87 30 5743 03 16 5750 22 78 5757 46 20 5764 73 43 5772 0448 5779 39 36 5786 78 10 5794 20 71 5801 67 21 5809 17 61 5816 71 93 5824 30 18 5831 92 39 5639 58 57 5847 28 73 5855 02 90 5862 81 09 5870 63 31 5878 49 59 588
27. 15 34 01 15 27 01 15 20 01 15 13 01 15 06 01 14 99 01 14 92 01 1485 01 14 76 01 14 71 01 14 64 01 14 56 01 14 49 01 14 42 01 14 35 011427 01 14 20 01 14 13 01 14 05 01 13 98 324919 69 62 326657 21 42 328396 51 61 330137 61 34 331880 51 74 333625 23 96 335371 79 14 337120 18 43 338870 42 99 340622 53 99 342376 52 57 344132 39 92 345890 17 20 347649 85 60 349411 46 28 351175 00 45 352940 49 29 354707 93 99 356477 35 76 358248 75 79 360022 15 31 361797 55 52 363574 97 64 365354 42 89 367135 92 50 368919 47 71 370705 09 75 372492 79 87 374282 59 31 376074 49 33 377868 51 18 379664 66 12 381462 95 43 383263 40 38 385066 02 24 386870 82 30 388677 81 85 390487 02 18 392298 44 59 394112 10 39 395928 00 88 397746 17 38 399566 61 22 401389 33 71 403214 36 19 405041 70 01 406871 36 49 408703 37 00 410537 72 89 412374 45 51 414213 56 24 1736 62 97 1738 40 80 1740 19 77 1741 99 87 1743 81 12 1745 63 51 1747 47 04 1749 31 74 1751 17 58 1753 04 60 1754 92 77 1756 82 12 1758 72 64 1760 64 34 1762 57 23 1764 51 30 1766 46 57 1768 43 03 1770 40 70 1772 39 57 1774 39 66 1776 40 96 1778 43 48 1780 47 23 1782 52 21 1784 58 42 1786 65 87 1788 74 57 1790 84 52 1792 95 72 1795 08 19 1797 21 92 1799 36 92 1801 53 19 1803 70 75 1805 89 59 1808 09 72 181031 15 1812 53 89 1814 77 92
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44. 98 31 00 98 19 00 98 07 00 97 95 00 97 84 00 97 72 00 97 60 00 97 48 00 97 36 00 97 24 00 97 12 00 97 00 00 96 88 0096 76 00 96 64 00 96 52 00 96 40 00 96 28 00 96 16 00 96 04 00 95 92 00 95 80 00 95 67 00 95 55 00 95 43 00 95 30 00 95 18 00 95 06 00 94 93 00 94 81 00 94 69 00 94 56 00 94 44 00 94 31 00 94 19 RRRR SSES tangens 726542 52 80 728945 23 53 731353 45 12 733767 20 67 736186 53 27 738611 46 07 741042 02 20 743478 24 84 745920 17 18 748367 82 42 750821 23 80 753280 44 57 755745 48 00 758216 37 39 760693 16 05 763175 87 31 765664 54 55 768159 21 13 770659 90 46 773166 65 97 775679 51 10 778198 49 34 780723 64 16 783254 99 09 785792 57 67 788336 43 46 790886 60 05 793443 11 06 796006 00 12 798575 30 89 801151 07 06 803733 32 33 806322 10 45 808917 45 18 811519 40 30 814127 99 62 816743 26 99 819365 26 26 821994 01 34 824629 56 14 827271 94 60 829921 20 69 832577 38 43 835240 51 83 837910 64 95 840587 81 88 843272 06 72 845963 43 63 848661 96 76 851367 70 32 854080 68 55 cotangens 2399 96 32 2405 45 65 2410 98 05 2416 53 56 2422 12 18 2427 73 94 2433 38 86 2439 06 96 2444 78 25 2450 52 77 2456 30 53 2462 11 55 2467 95 86 2473 83 47 2479 7440 2485 68 69 2491 66 34 2497 67 39 2503 71 85 2509 79 75 2515 91 10 2522 05 94 2528 24 29 2534 46 16 2
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46. O M UO d LA d ui LA P ui ON o Ud M Ub 75 gr 2 gr gr 31 Un WN won 32 4 UN 33 sch in in GG sinus 453990 49 97 455389 52 89 456787 43 43 458184 21 27 459579 86 06 460974 37 45 462367 75 10 463759 98 67 465151 07 81 466541 02 17 467929 81 43 469317 45 22 470703 93 22 472089 25 07 473473 40 44 474856 38 99 476238 20 37 477618 84 24 478998 30 26 480376 58 10 481753 67 41 483129 57 85 484504 29 08 485877 80 77 487250 12 57 488621 24 15 489991 15 16 491359 85 28 492727 34 15 494093 61 46 495458 66 84 496822 49 98 498185 10 53 499546 48 16 500906 62 54 302265 53 31 503623 20 16 304979 62 75 506334 80 74 507688 73 79 509041 41 58 510392 83 76 511743 00 01 513091 89 99 514439 53 38 515785 89 83 517130 99 01 518474 80 60 519817 34 26 521158 59 66 522498 56 47 cosinus Aber 1399 58 98 1398 46 79 1397 34 25 1396 21 37 1395 08 15 1393 94 58 1392 80 67 1391 66 41 1390 51 81 1389 36 87 1388 21 58 1387 05 95 1385 89 98 1384 73 67 1383 57 02 1382 40 02 1381 22 68 1380 05 01 1378 86 99 1377 68 63 1376 49 93 1375 30 89 1374 11 52 1372 91 80 1371 71 75 1370 51 35 1369 30 62 1368 09 55 1366 88
47. On demande f a xw sin 10 2 12 452 La va leur de cette fonction doit tre d termin e entre celles qui correspondent aux gisements 10 0 et 10 5 L intervalle tant w 5 300 et xw 132 452 utilisant le mode normal d inter polation suivant 1 on trouvera 132 452 300 Pour viter ces calculs on indiquera dans les tables de division sexag simale les coefficients b d en supposant w 1000 Pour x on trouve alors 0 132452 Le calcul suivant 2 s effectue comme suit sin 10 2 12 452 0 1736481777 0 132452 0 0047744827 0 132452 0 0000020408 0 132452 0 00000001 87 0 1742805316 Puisque f a b et 4 ont une absolue maximum d une demi unit d ordre 10 et x lt 0 3 l erreur absolue sur f a xw ne sera pas plus grande qu une unit d ordre 10 arrondissant les r sultats interm diaires cet ordre pr s On peut n anmoins r duire encore cette erreur dans le cas o x gt 0 15 en partant de la valeur de fonction mentionn e directement plus haut Dans ce cas x est n gatif Exemple 2 Division d cimale On demande f a xw cos 74 3292467 gr La valeur de la fonction se trouve entre celle de 74 3 et 74 4 La valeur de l intervalle tant de 0 1 gr on trouve donc pour x 0 292467 Le calcul s effectue comme suit cos 74 3292467 0 3928186802 0 292467 0 0014445293 0 292467 0 0000004846
48. This Inter polation takes place according to the formula f a bx cx dx 1 The interpolation coefficients b c and d expressed in units of the order 10 are mentioned behind the function values The signs of these coefficients are placed at the top or at the bottom of each column a sinus 10 173648 17 77 4774 48 27 02 04 08 01 87 5 175080 33 83 4773 25 32 02 05 76 01 87 10 176512 12 86 4772 01 36 02 07 44 01 87 15 177943 54 55 4770 76 39 02 09 12 01 87 In order to compute 1 in a simple manner it 15 written in the form f a xw F a x b x c dx 2 and the computation 15 started behind that 15 with the determination of dx Then follow the calcula tions of c dx x c dx b x c dx x b4 x c4 dx Finally in order to get the value of is added to the last amount Example 1 Sexagesimal division Asked f a 1 xw sin 10 27 12 452 This function value must be determined between those belonging to the arguments 10 0 and 10 5 As the interval is w 5 300 and xw 132 452 x would in the usual way of interpolating according to 1 be 132 452 300 In order to avoid this computation in the sexagesimal table the coefficients b c and d have been determined as if w 1000 So the value of x becomes 0 132452 The computation according to 2 is done as follows sin 10 2 12 452 0 1736481777 0 132452 0 00
49. division sexag simale du quadrant imprim e sur papier vert comprend le sinus et le cosinus pour les gisements de 0 90 la tangente pour les gisements de 0 45 et la cotangente pour les gisements de 45 90 L intervalle a une valeur de 5 La deuxi me partie est de congue pour la division d cimale du quadrant L intervalle est ici de 0 1 grade Les valeurs des fonctions pour les gisements inter m diaires seront trouv s par interpolation du degr l aide d une machine calculer L inter polation se fera suivant la formule f a bx cx2 dx 1 Les coefficients d interpolation b d exprim s dans des unit s d ordre 10 sont mentionn s apr s les valeurs de la fonction Les signes de ces coefficients sont indiqu s en haut ou en bas des colonnes a sinus 10 173648 17 77 4774 48 27 02 04 08 01 87 gt 175080 33 83 4773 25 32 02 0576 01 87 10 176512 12 86 4772 01 36 02 07 44 01 87 15 177943 54 55 4770 76 39 02 09 12 01 87 Pour calculer plus facilement 1 on l crit sous la forme suivante flatxw fla x b x c dx 2 et commence le calcul par la fin c est dire avec la d termination de dx Ensuite on calcule l un apr s l autre c dx x c dx b x c dx x b x c dx Et pour obtenir f a xw on ajoutera f a la der ni re valeur trouv e Exemple 1 Division sexag simale
50. zu vermeiden sind in der Tafel f r die Sexagesimalteilung die Koeffiziente bestimmt als ob w 1000 F r x findet man dann 0 132452 Die berechnung nach 2 geschieht nun folgendermassen sin 10 2 12 452 0 1736481777 0 132452 0 0047744827 0 132452 0 0000020408 0 132452 0 0000000187 0 1742805316 Weil f a und alle einen maximalen unbe dingten Fehler von einer halben Einheit der Ord nung 10 haben und x lt 0 3 wird in f a xw kein gr sserer Fehler erwartet als eine Einheit der Ord nung 10 auch wenn man die Zwischenergebnisse abrundet auf dieser Ordnung Man kann brigens diesen Fehler noch dadurch verkleinern dass man in den F llen wobei x gt 0 15 von den n chsth heren Funktionswert ausgeht In diesem Fall ist x negativ Beispiel 2 Dezimalteilung Gesucht wird f a xw cos 74 3292467 qr Die ser Funktionswert liegt zwischen dem von 74 3 und 74 4 Das Intervall ist 0 1 gr f r x findet man also 0 292467 Die Berechnung geschieht nun folgender massen cos 74 3292467 0 3928186802 0 292467 0 0014445293 0 292467 0 0000004846 0 292467 0 0000000006 0 3923961616 Um eine gen gende Genauigkeit zu erreichen ist es bei der Tafel mit Dezimalteilung notwendig im Fallx gt 0 5 von dem n chsth heren Funktionswert auszugehen Inverse Interpolation wobei also f a xw gegeben ist und der dazugeh rige Argumentwert gesucht wird
51. 0 1288 81 20 1295 60 82 1302 40 17 1309 19 25 1315 98 04 1322 76 56 1329 54 80 1336 32 76 1343 10 44 1349 87 83 1356 64 93 1363 41 75 1370 18 28 1376 94 52 1383 70 47 1390 46 13 1397 21 49 1403 96 56 141071 33 1417 45 80 1424 19 97 1430 93 84 1437 67 41 1444 40 68 1451 13 63 1457 86 29 1464 58 63 1471 30 66 1478 02 38 1484 73 79 1491 44 89 1498 15 67 1504 86 13 1511 56 27 1518 26 10 1524 95 60 1531 64 78 1538 33 64 1545 02 17 1551 70 37 1558 38 25 1565 05 80 1571 73 01 1578 39 90 1585 06 44 1591 72 66 1598 38 54 1605 04 07 1611 69 27 1618 34 13 1624 98 65 1631 62 82 1638 26 65 1644 90 13 1651 53 26 1658 16 04 11 35 18 11 34 73 11 34 29 11 33 84 11 33 39 11 32 93 11 32 48 11 32 02 11 31 56 11 31 10 11 30 63 1130 17 11 29 70 11 29 22 11 28 75 11 28 27 11 27 79 11 27 31 11 26 83 11 26 34 11 25 85 11 25 36 11 24 86 11 24 37 11 23 87 11 23 37 11 22 87 11 22 36 11 21 85 1121 34 11 20 83 11 20 31 11 19 80 11 19 28 11 18 75 11 18 23 11 1770 1117 17 1116 64 11 16 11 11 1557 11 15 03 11 14 49 11 13 95 11 13 40 11 12 85 11 12 30 11 11 75 11 11 19 11 10 64 11 10 08 11 09 31 11 08 95 11 08 38 11 07 81 11 07 24 11 06 67 11 06 09 11 05 51 11 0493 11 04 35 00 49 00 49 00 50 00 50 00 50 00 50 00 51 00 51 00 51 00 52 00 52 00 52 00 52 00 53 00 53 00 53 00 53 00
52. 0 4686 57 08 4684 76 06 4682 94 06 02 04 08 02 05 76 02 07 44 02 09 12 02 10 80 02 12 49 02 14 17 02 15 85 02 17 53 02 19 21 02 20 89 02 22 56 02 24 24 02 25 92 02 27 60 02 29 27 02 30 95 02 32 63 02 34 30 02 35 98 02 37 65 02 39 32 02 41 00 02 42 67 02 44 34 02 46 01 02 47 69 02 49 36 02 51 03 02 5270 02 54 36 02 56 03 02 57 70 02 59 37 02 61 04 02 62 70 02 64 37 02 66 03 02 67 70 02 69 36 02 71 02 02 72 69 027435 02 76 01 02 77 67 02 79 33 02 80 99 02 82 65 02 84 31 02 85 97 02 87 63 02 89 28 02 90 94 02 92 60 02 94 25 02 95 91 02 97 56 02 99 21 03 00 87 03 02 52 03 04 17 01 87 01 87 01 87 01 87 01 87 01 87 01 87 01 87 01 87 01 87 01 87 01 86 01 86 01 86 01 86 01 86 01 86 01 86 01 86 01 86 01 86 01 86 01 86 01 86 01 86 01 86 01 85 01 85 01 85 01 85 01 85 01 85 01 85 01 85 01 85 01 85 01 85 01 85 01 85 01 85 01 85 01 85 01 84 01 84 01 84 01 84 01 84 01 84 01 84 01 84 01 84 01 84 01 84 01 84 01 84 01 84 01 84 01 83 cosinus 984807 75 30 984554 15 04 984298 46 51 984040 69 76 983780 84 85 983518 91 83 983254 90 76 982988 81 68 982720 64 67 982450 39 77 982178 07 05 981903 66 55 981627 18 34 981348 62 48 981067 99 03 980785 28 04 980500 49 58 980213 63 70 979924 70 46 979633 69 94 979340 62 18 979045 47 25 978748 25 21 978448 96 13
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74. 4476 39 12 4473 67 86 4470 95 65 4468 22 49 4465 48 39 4462 73 35 4459 97 36 4457 20 42 4454 42 55 4451 63 73 4448 83 97 4446 03 27 4443 21 63 4440 39 05 4437 55 53 4434 71 07 4431 85 67 4428 99 34 4426 12 06 4423 23 86 4420 34 71 4417 44 63 4414 53 62 4411 61 67 4408 68 79 4405 74 98 4402 80 24 4399 84 56 4396 87 95 4393 90 41 04 01 95 04 03 56 04 05 16 04 06 76 04 08 37 04 09 97 04 11 57 04 13 17 04 14 77 04 16 37 04 17 97 04 19 57 042116 04 22 76 04 24 35 04 25 94 04 27 54 04 29 13 04 30 72 04 32 31 04 33 90 04 35 49 04 37 07 04 38 66 04 40 25 04 41 83 04 43 41 04 45 00 04 46 58 04 48 16 04 49 74 04 51 32 04 52 89 04 54 47 04 56 05 04 57 62 04 59 20 04 60 77 04 62 34 04 63 91 04 65 48 04 67 05 04 68 62 04 70 19 04 71 75 04 73 32 04 74 88 04 76 44 04 78 01 04 79 57 04 81 13 04 82 69 04 84 24 04 85 80 04 87 36 04 88 91 04 90 47 04 92 02 04 93 57 04 95 12 04 96 67 01 78 01 78 01 78 01 78 01 78 01 78 01 78 01 78 01 78 01 78 01 78 01 77 0177 01 77 01 77 01 77 01 77 01 77 01 77 01 77 01 77 01 76 0176 01 76 01 76 0176 0176 01 76 0176 01 76 01 75 01 75 01 75 01 75 01 75 01 75 01 75 01 75 01 75 01 74 01 74 01 74 01 74 01 74 01 74 01 74 01 74 01 74 01 74 01 73 01 73 01 73 01 73 01 73 01 73 01 73 01 73 01 72 01 72 01 72 01 72 cos
75. 47 11 1971 91 49 1978 35 45 1984 79 00 1991 22 12 1997 64 82 2004 07 10 2010 48 96 2016 90 39 2023 31 39 2029 71 97 2036 12 12 2042 51 83 2048 91 12 11 04 35 11 03 76 11 03 17 11 02 58 11 01 99 11 01 39 11 00 80 11 00 20 10 99 60 10 98 99 10 98 38 10 97 78 10 97 16 10 96 55 10 95 93 10 95 32 10 94 70 10 94 07 10 93 45 10 92 82 10 92 19 10 91 56 10 90 92 10 90 29 10 89 65 10 89 00 10 38 36 10 87 72 10 87 07 10 86 42 10 85 76 10 85 11 10 84 45 10 83 79 10 83 13 10 82 46 10 81 80 10 81 13 10 80 46 10 79 78 10 79 11 10 78 43 10 77 75 10 77 07 10 76 38 10 75 69 10 75 00 10 74 31 10 73 62 10 72 92 10 72 22 10 71 52 10 70 82 10 70 11 10 69 41 10 68 70 10 67 98 10 67 27 10 66 55 10 65 83 10 65 11 00 65 0065 00 65 00 66 00 66 00 66 00 67 00 67 00 67 0067 00 68 00 68 00 68 00 0069 0069 00 69 00 69 0070 00 70 00 70 00 70 00 71 00 71 0071 00 71 00 72 0072 00 72 00 72 00 73 0073 0073 0073 0074 00 74 00 74 00 74 0075 00 75 0075 00 75 00 76 00 76 00 76 00 76 00 77 00 77 00 77 00 78 00 78 00 78 00 78 00 79 00 79 00 79 00 79 00 80 00 80 00 80 00 80 tangens 363970 23 43 365618 22 50 367267 96 93 368919 47 71 370572 75 81 372227 82 23 373884 67 95 375543 33 96 377203 81 27 378866
76. 47744827 4 0 132452 0 0000020408 4 0 132452 0 0000000187 0 1742805316 and 4 have all a maximal absolute error of half a unit of the order 10 and x lt 0 3 f a xw no greater error may be expected than one unit of the order 10 even if the Intermediate results are rounded off at that order Apart from that this error can even be reduced by starting from the next higher function value In those cases where x gt 0 15 Then x has a negative value Example 2 Decimal division Asked f a xw cos 74 3292467 gr The function value is between those of 74 3 and 74 4 The interval is 0 1 gr so for x the value 0 292467 is found The computation occurs as follows cos 74 3292467 0 3928186802 0 292467 0 0014445293 0 2924671 0 0000000005 0 292467 0 0000000006 0 3923961616 In order to reach satisfactory accuracy in the decimal table it is necessary to start from the next higher function value when x gt 0 5 Inverse interpolation in which f a xw was given and the argument value a xw belonging to it is asked requires solution of x from the cubic equation 1 Thanks to the fact that the terms bx cx and dx converge quickly x can be found relatively simply by a process of iteration For this purpose 1 is written in the form f atxw b x 4x c x0 4x d x0 4x bx dx 3 The term bx has by f
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101. 89 68 87 577572 70 34 578854 29 30 580134 45 44 581413 18 43 582690 47 97 583966 33 73 585240 75 40 586513 72 67 587785 25 23 cosinus 40 gr 1339 32 40 1338 03 32 1336 73 90 1335 44 15 1334 14 08 1332 83 67 1331 52 94 1330 21 88 1328 90 49 1327 58 77 1326 26 72 1324 94 35 1323 61 65 1322 28 62 1320 95 27 1319 61 59 1318 27 58 1316 93 25 1315 58 60 1314 23 62 1312 88 31 1311 52 69 1310 16 73 1308 80 46 1307 43 86 1306 06 94 1304 69 70 1303 32 13 1301 94 25 1300 56 04 1299 1751 1297 78 66 1296 39 50 1295 00 01 1293 60 20 1292 20 07 1290 79 62 1289 38 86 1287 97 78 1286 56 38 1285 14 66 1283 72 62 1282 30 27 1280 87 60 1279 44 62 1278 01 32 1276 57 70 1275 13 77 1273 69 53 1272 2497 1270 80 09 64 46 64 63 64 79 64 96 65 12 65 28 65 45 65 61 65 78 65 94 66 10 66 27 66 43 66 60 66 76 66 92 68 54 68 70 68 86 69 02 69 18 69 34 69 50 69 82 69 98 7014 70 30 70 46 70 62 7078 7094 7110 71 26 7141 7157 7173 71 89 72 04 72 20 7236 72 52 cosinus 852640 16 44 851818 37 40 850994 48 18 850168 48 99 849340 40 03 848510 21 50 847677 93 61 846843 56 56 846007 10 57 845168 55 83 844327 92 55 843485 20 94 842640 41 22 841793 53 58 840944 58 23 840093 55 39 839240 45 27 838385 28 07 837528 04 00 836668 73 29 835807 36 14 834943 92 76 834078 43 36 833210 88 17 832341 27 38
102. 95 125333 23 36 126891 48 84 128449 43 02 130007 05 50 131564 35 91 133121 33 85 134677 98 95 136234 30 82 137790 29 07 139345 93 32 140901 23 19 142456 18 30 144010 78 26 145565 02 68 147118 91 18 148672 43 39 150225 58 91 151778 37 37 153330 78 37 154882 81 55 156434 46 50 cosinus 10 gr 1565 95 41 1565 75 86 1565 55 92 1565 35 59 1565 14 88 1564 93 78 1564 72 30 1564 50 43 1564 28 18 1564 05 54 1563 82 51 1563 59 09 1563 35 30 1563 11 11 1562 86 54 1562 61 58 1562 36 24 1562 10 52 1561 84 40 1561 57 91 1561 31 02 1561 03 75 1560 76 10 1560 48 06 1560 19 64 1559 90 83 1559 61 63 1559 32 06 1559 02 09 1558 71 75 1558 41 01 1558 09 90 1557 78 39 1557 46 51 1557 14 24 1556 81 58 1556 48 55 1556 15 12 1555 81 32 1555 47 13 1555 12 55 1554 77 59 1554 42 25 1554 06 53 1553 70 42 1553 33 93 1552 97 05 1552 59 79 1552 22 15 1551 84 13 1551 45 72 09 68 09 87 1007 10 26 1045 10 65 10 84 11 03 11 22 11 42 11 61 11 80 12 00 1219 12 38 1257 1277 1296 13 15 13 35 13 54 1373 1392 1412 14 31 14 50 14 69 14 89 15 08 15 27 15 46 1565 1585 5 2222 5 8888 8 2222 5 2222 Z 2222 5 2222 5 2222 5 2222 2 2222 5 2222 B 16 23 16 42 16 62 1681 17 00 1719 17 38 1757 1777 1796 1815 18 34 1853 18 72 18 92 19 11 19 30 cosinus 996917 33 37 996792 86 06 996665 92 80 99653
103. 95705 79 57 397147 89 06 398589 00 57 400029 13 72 401468 28 18 402906 43 57 404343 59 55 405779 75 77 407214 91 86 408649 07 47 410082 22 26 411514 35 86 412945 47 93 414375 58 10 415804 66 03 417232 71 37 418659 73 75 420085 72 84 421510 68 28 422934 59 71 424357 46 79 425779 29 16 427200 06 47 428619 78 38 430038 44 53 431456 04 57 432872 58 15 434288 04 93 435702 44 55 437115 76 67 438528 00 93 439939 16 99 441349 24 49 442758 23 10 444166 12 47 445572 92 24 446978 62 07 448383 21 61 449786 70 52 451189 08 44 452590 35 05 453990 49 97 cosinus 30 gr 1451 22 66 1450 28 06 1449 33 10 1448 37 78 1447 42 10 1446 46 07 1445 49 68 1444 52 93 1443 55 83 1442 58 37 1441 60 56 1440 62 39 1439 63 86 1438 64 98 1437 65 75 1436 66 16 1435 66 21 1434 65 91 1433 65 26 1432 64 25 1431 62 89 1430 61 18 1429 59 11 1428 56 69 1427 53 92 1426 50 80 1425 47 32 1424 43 49 1423 39 31 1422 34 78 1421 29 90 1420 24 67 1419 19 09 1418 13 15 1417 06 87 1416 00 24 1414 93 26 1413 85 93 1412 78 25 1411 70 22 1410 61 84 1409 53 12 1408 44 04 1407 34 62 1406 24 86 1405 14 74 1404 04 28 1402 93 48 1401 82 32 1400 70 82 1399 58 98 47 21 47 39 47 57 47 75 4793 48 11 48 28 48 46 48 64 48 82 49 00 49 17 49 35 49 53 49 71 49 88 50 06 50 24 50 42 50 59 50 77 50 95 51 12 51 30 5147 51 65 51 83
104. 969 75 54 4972 05 64 4974 38 00 4976 72 63 4979 09 54 4981 48 72 4983 90 18 4986 33 93 4988 79 97 4991 28 31 4993 78 94 4996 31 88 4998 87 12 cotangens 02 07 21 02 10 74 02 14 27 02 17 80 02 21 34 02 24 88 02 28 42 02 31 97 02 35 52 02 39 08 02 42 64 02 46 20 02 49 77 02 53 34 02 56 92 02 60 50 02 64 09 02 67 68 02 71 28 02 74 88 02 78 48 02 82 09 02 85 70 02 89 32 02 92 95 02 96 58 03 00 21 03 03 85 03 07 50 03 11 15 03 14 81 03 18 47 03 22 13 03 25 81 03 29 48 03 33 17 03 36 86 03 40 55 03 44 26 03 47 96 03 51 68 03 55 40 03 59 12 03 62 85 03 66 59 03 70 34 03 74 09 03 77 85 03 81 61 03 85 38 03 89 16 0392 95 03 96 74 04 00 54 04 04 34 04 08 16 04 11 98 04 15 80 04 19 64 04 23 48 04 27 33 85 0392 85 0392 03 92 0393 0393 0394 03 94 0395 0395 0395 03 96 0396 5 0397 03 97 0398 0398 03 99 03 99 04 00 04 00 04 01 04 01 04 02 0402 5 04 03 04 04 04 04 04 05 04 05 04 06 04 07 0407 04 08 04 08 04 09 0410 5 04 10 04 11 04 12 04 12 0413 0414 04 14 04 15 04 16 04 16 04 17 04181 5 04 19 0419 04 20 04 21 04 22 04 22 04 23 04 24 04 25 04 26 04 27 0427 5 0428 80 80 10 15 sinus 173648 17 77 175080 33 83 176512 12 86 177943 54 55 179374 58 59 180805 24 70 182235 52 55 183665 41 85 185094 92 30 18
105. D DE GONIOMETRISCHE TAFELS IN TIEN DECIMALEN VOOR DE SEXAGESIMALE EN DE DECIMALE VERDELING TEN PLACE TRIGONOMETRIC TABLES IN THE SEXAGESIMAL AND THE DECIMAL SYSTEM TABLAS TRIGONOM TRICAS EN DIEZ DECIMALES PARA LAS DIVISIONES SEXAGESIMAL Y DECIMAL TABLES TRIGONOM TRIQUES DIX D CIMALES POUR LES DIVISIONS SEXAG SIMALE ET D CIMALE ZEHNSTELLIGE TRIGONOMETRISCHE TAFELN DIE SEXAGESIMAL UND DIE DEZIMALTEILUNG PUBLICATION OF THE NETHERLANDS GEODETIC COMMISSION RIJKSCOMMISSIE VOOR GEODESIE KANAALWEG 4 DELFT NETHERLANDS 1961 VOORWOORD De hierna volgende tafels van de goniometrische functies in tien decimalen zijn reeds geruime tijd geleden berekend door de heer D de Groot Hoofd van het Bureau voor Buitengewoon Land meetkundig Werk te Utrecht Hoewel de tafels eerst nu in druk verschijnen hebben in de afgelopen jaren verschelden Nederlandse geodeten een fotokople van het script gebruikt De tafels leverden daarbij een zo overtuigend bewijs van hun voordelen boven andere tafels overzichtelijke beknopte vorm gemakke lijke hanteerbaarheid dat de Rijkscommissie voor Geodesie besloot de tafels een algemener bekend heid te verlenen door ze in druk uit te geven De tafels zijn gecontroleerd door berekening in zestien decimalen met behulp van de elektronische rekenautomaat van de Technische Hogeschool te Delft Het manuscript dat behoudens enkele af rondingsverschillen geen fouten ve
106. ado es 4 0 00063231813 Seg n 4 se halla ahora 6323539 6323181 3 47744827 De esto se sigue x x Ax 0 1324520 Este valor de x substitu do en bx cx dx produce exactamente 4 0 0006323539 No hace falta por tanto una segunda iteraci n el resultado es 10 0 152 452 10 2 12 452 0 0000075 Ejemplo 4 Divisi n Determ nese a xw hasta 10 4 segundos a partir de coseno a xw 0 9954371896 En la tabla se halla coseno coseno 59 30 0 9953961984 4646733 10 9 116981 10 10 18 10 f a 0 9954371896 f a 0 9953961 984 f a xw f 0 0000409912 __ 409912 o 4646733 bx dx 0 00004090016 _ 4 409912 409001 6 7 14646733 X 0 08841101 Este valor de x substituido en bx cx dx da 0 00004099079 En este caso pues hay que ejecutar todav a una segunda iteraci n en la que se toma x 0 08841101 0 08821510 Ax 0 00019591 _ 409912 409907 9 4646733 0 08841189 Este valor de x substitu do en bx cx dx da efecto 0 000040991 2 El resultado es pues a xw 5 30 88 4119 59 28 31 5881 0 00000088 Ejemplo 5 Divisi n decimal Determ nese a xw a partir de cotangente a xw 0 6566431020 En la tabla se halla cotan gente a cotangente 63 0 g
107. an peque o que la substituci n de x x 4x 2 produce una identidad S lo en algunos casos habr que in troducir el valor encontrado para x en 4 como aproximaci n nueva y mejor El procedimiento de iteraci n ha de continuarse tanto hasta que la diferencia entre f a xw f a y bx cx dx se haya hecho despreciablemente peque a Si se desea determinar la situaci n preguntada diezmil simos de segundos decimiligrados crece el n mero de veces que hay que iterar dos o m s veces Para contrarrestar en lo posible los errores de redondear hay que partir en la interpolaci n inversa del inmediato valor funcional Los valores de x y Ax siempre deben determinarse en un guarismo m s de los que se necesitan Unicamente al final del c lculo se redondea el valor para x La elecci n del Inmediato valor funcional adem s puede abreviar el procedimiento de iteraci n Ejemplo 3 Divisi n sexagesimal comp rese ejemplo 1 Determinaci n de a xw 0 lt a xw lt 90 partir de seno a xw 0 1742805316 En la tabla se halla seno a seno 10 07 0 1736481777 b 47744827 10719 20408 10 1 187 10 La primera aproximaci n x se determina como sigue f a 0 1742805316 f a 0 1736481777 f a xw f a 0 0006323539 _ f atxw f a _ 6323539 b 47744827 101924445 Seg n el m todo de calcular 2 se determina ahora el valor de bx cx 2 dx El result
108. ar the greatest numerical value So a good approximation of x will already be found if x Is calculated from _ 77 b After that Ax is calculated from ax fen fi rotor dre o When determining the term between braces the same manner of computation is used as indicated in 2 It a be that it is only necessary to determine thousandth parts of seconds or thousandth parts of decimilligrades 1 dmgr 0 0001 gr Then in the majority of cases 4x is such a small quantity that substitution of x x 4x in 2 leads to an identity Only in a small number of cases the value found of x must be introduced In 4 as a new and better approximation The process of iteration must be continued so long until the computed difference between and bx cx dx has become negligibly small If ten thousandth of seconds decimilligrades must be determined the number of cases in which one has to iterate two or more times increases To prevent rounding off errors as much as possible it is necessary to start from that function value which in absolute value differs least from f a The values of x and 4x should be determined one decimal more than is necessary the value of x is rounded off not until the end of the computation The choice of the function value that differs least from f a xw may shorten the iteration process Example 3 Sexagesimal division compare example 1 Find a xw 0 lt a xw l
109. c dx 2 comenz ndose el c lculo por el final es decir con la determinaci n de dx Luego se calculan sucesiva mente c dx x c dx b x c dx x b x c dx Para llegar f a xw se aumenta finalmente la ltima cantidad con f a Ejemplo 1 Divisi n sexagesimal Pregunta f a xw seno 10 27 12 452 Este valor funcional hay que determinarlo entre los correspondientes a las situaciones 10 0 10 5 Siendo el intervalo w 5 300 y xw 132 452 en la forma usual de interpolar seg n 1 se dar a x 132 452 300 Para evitar este c lculo en la tabla para la divisi n sexagesimal los coeficientes b d se han determinado como si fuera 1000 Para x se halla entonces 0 132452 El c lculo seg n 2 se realiza ahora como sigue seno10 212 452 0 1736481777 0 132452 0 0047744827 0 132452 0 0000020408 0 1 32422 0 00000001 87 0 1742805316 Ya que f a b c y d todos tienen un m ximo error absoluto de media unidad del orden 10 y x lt 0 3 no habr de esperarse en f a xw mayor error que una sola unidad del orden 10 aunque se redondeen los resultados intermedios en este orden Por lo dem s puede reducirse este error todav a m s par tiendo del inmediato valor funcional m s alto en aquellos casos en que x 0 15 tal caso x es negativo Ejemplo 2 Divisi n decimal Pregunta f a xw coseno 74 3292467 gr valor funcional est si
110. e verdeling zakelijk om in het geval x gt 0 5 ult te gaan van de naastliggende hogere functiewaarde Inverse interpolatie waarbij dus f a xw gegeven is en de bijbehorende argumentwaarde a xw wordt gevraagd eist de oplossing van uit de derdegraads vergelijking 1 Dank zij het feit dat de termen bx dx snel convergeren kan x door een iteratie proces betrekkelijk eenvoudig worden gevonden Daartoe schrijft men 1 als of als f a xw f a cx dx 54 3 De term bx heeft verreweg grootste getalwaar de Men zal dus reeds een goede benadering van x vinden als men x berekent uit _ f b Daarna berekent men uit en 2 3 f a xw f a PS dx 4 Bij de bepaling van de term tussen accolades ge bruikt men dezelfde rekenwijze als aangegeven in 2 Wenst men bij de inverse interpolatie slechts duizendste seconden of duizendste decimilligraden 1 dmgr 0 0001 gr te bepalen dan is Ax in verre weg de meeste gevallen reeds z klein dat x Ax in 2 gesubstitueerd een identiteit oplevert Slechts in enkele gevallen zal men de gevonden waarde voor x als een nieuwe en betere benadering in 4 moeten invoeren Het iteratieproces moet 26 lang worden voortgezet tot het berekende ver schil tussen f a xw f a bx cx dx ver waarloosbaar klein is geworden Wenst men
111. eise eingerichtet f r die Dezimalteilung des Quadranten Hier ist das Intervall 0 1 gr Der Funktionswert der dazwischen gelegenen Argumente kann mit Interpolation dritten Grades mittels einer Rechenmaschine bestimmt werden Diese Interpolation geschieht nach der Formel f a xw f a 6 cx 3 1 Die Interpolationskoeffizienten b und 4 ausge driickt in Einheiten der Ordnung 10 sind hinter den Funktionswerten genannt Die Vorzeichen die ser Koeffizienten stehen ber oder unten den Spalten a f a b 51 5 10 173648 17 77 4774 48 27 02 04 08 01 87 5 175080 33 83 4773 25 32 02 05 76 01 87 10 176512 12 86 4772 01 36 02 07 44 01 87 15 177943 54 55 4770 76 39 02 09 12 01 87 Um 1 bequem berechnen k nnen schreibt man die Formel als f a xw x b x c dx 2 und f ngt mit der Berechnung von hinten an d h mit der Bestimmung von dx Danach berechnet man hinter einander c dx x c dx b x c dx x b x c dx Um f a xw zu erhalten addiert man schliesslich f a zum letztgenannten Betrag Beispiel 1 Sexagesimalteilung Gesucht wird f a xw sin 10 2 12 452 Die ser Funktionswert muss bestimmt werden zwischen denjenigen die zu den Argumenten 10 0 und 10 5 geh ren Weil das Intervall 5 300 und xw 132 452 ist w rde bei der blichen Weise des Interpolierens nach 1 x 132 452 300 betragen Um diese Berechnung
112. erflue le r sultat a xw 10 0 132 452 10 2 12 452 0 0000075 Exemple 4 Division sexag simale On d termine a xw jusqu 10 4 seconde de cos a xw 0 9954371896 Dans la table on trou ve cos a cos 5 30 0 9953961984 b 4646733 10 116981 10 d 18 10 10 f a xw 0 9954371896 f a _ 0 9953961984 f a xw f 0 0000409912 409912 X Aaneren 008821510 by 4 0 00004090016 _ 409912 409001 6 4646733 X Xo Ax 0 08841101 Cette valeur de x substitu e dans bx cx2 dx donne 0 00004099079 Dans cas on doit proc der une deuxi me it ration o prend x 0 08841101 Ax 0 00019591 _ 3 409912 409907 9 B 4646733 x 0 08841189 Cette valeur de x substitu e dans bx cx dx donne v ritablement 0 0000409912 Le r sultat est alors xw 5 307 88 4119 5 287 31 5881 0 00000088 Exemple 5 Division d cimale On determine a xw de cotg a xw 0 6566431020 Dans la table on trouve cotg a 63 0 gr 0 6568772224 b 22485756 10 23201 10 1 d 42 10 1 f a xw 0 6566431020 f a 0 6568772224 _ f a xw f 0 0002341 204 0 10411943 0 00023409526 2341204 2340952 6 x x 4x 0 10413061 La substitution de cette valeu
113. erfordert die L sung von x aus der Gleichung dritten Grades 1 Weil die Terme bx und dx schnell konvergieren kann x durch ein Iterationsverfahren ziemlich schnell gefunden wer den Dazu schreibt man 1 als f a xw fla b x Ax clx AxX d x Ax oder als f a xw f a bAx 3 Der Term bx hat weitaus den gr ssten Zahlwert Man wird darum schon einen guten N herungswert f r x finden wenn man x berechnet aus f a xw f a b Xy Danach berechnet man aus Su 2 3 pa dx 4 Bei der Berechnung des Termes zwischen geschweif ten Klammern gebraucht man dieselbe Rechenweise wie bei 2 angegeben ist W nscht man bei der inversen Interpolation nur tausendstel Sekunden oder tausendstel Dezimilli grade 1 dmgr 0 0001 gr zu bestimmen dann ist Ax in weitaus den meisten F llen schon so klein dass x 4x In 2 substituiert eine Identit t ergibt Nur in einzelnen F llen muss man den gefundenen Wert f r x als eine neue und bessere Ann herung 4 einf hren Das Iterationsverfahren muss so lange fortgesetzt werden bis die berechnete Dif ferenz zwischen f a xw f a und bx cx 2 dx so klein geworden ist dass sie zu verwahrlosen ist W nscht man das gesuchte Argument zu men auf zehntausendstel Sekunden Dezimilligrade dann nimmt die Zahl dass man zwei oder mehrere Male iterieren muss zu Um Abrundungsfehler zu verme
114. esimale verdeling Bepaal a xw tot 10 sec uit cos a xw 0 9954371896 In de tafel vindt men cosa cos 5 30 0 9953961984 b 4646733 10 19 116981 10 19 d 18 10 19 f a xw 0 9954371896 0 9953961984 f a xw f a 0 0000409912 _ 409912 _ 4 0 00004090016 _ 4409912 409001 6 B 4646733 X 0 08841101 Deze waarde van x gesubstitueerd in bx cx dx geeft 0 00004099079 In dit geval moet dus een tweede iteratie worden uitgevoerd waarbij 0 08841101 wordt genomen Ax 0 00019591 409912 409907 9 SS 4646733 X 0 08841189 Deze waarde van x gesubstitueerd bx cx dx geeft inderdaad 0 0000409912 De uitkomst is dus a xw 5 30 88 4119 5 28 31 5881 0 00000088 Voorbeeld 5 Decimale verdeling Bepaal a L vw uit cotg a xw 0 6566431020 In de tafel vindt men cotg a cotg 63 0 gr 0 6568772224 b 22485756 10 9 23201 10 1 d 42 10 10 f a xw 0 6566431020 0 6568772224 f a xw f a 0 0002341204 2341204 bye 4 0 00023409526 2341204 2340952 6 _ Ax sg 0 00001118 x x 4x 0 10413061 Substitutie van deze waarde bx cx 4 dx geeft juist 0 0002341204 Voortzetting van de iteratie is dus niet nodig De uitkomst is 63 0 gr 0
115. het gevraagde argument te bepalen in tienduizendste seconden decimilligraden dan neemt het aantal malen dat men twee of meer keren moet toe Om afrondingsfouten zo veel mogelijk tegen te gaan moet men bi de inverse interpolatie ultgaan van de dichtstbij gelegen functiewaarde De waar den van x en Ax bepale men steeds in n cijfer meer dan men nodig heeft Pas aan het slot van de berekening rondt men de waarde voor x af Het klezen van de dichtstbij gelegen functiewaarde bovendien het iteratieproces bekorten Voorbeeld 3 Sexagesimale verdeling vergelijk voorbeeld 1 Bepaal a xw 09 lt a xw lt 90 uit sin a xw 0 1742805316 In de tafel vindt men sin a sin 10 0 0 1736481777 b 4 47744827 10 1 20408 10 9 d 187 10 De eerste benadering x bepaalt men als volgt f a xw 0 1742805316 f a 0 1736481 777 _ f a xw f a 0 0006323539 _fla xw f a _ 6323539 47744827 0 1324445 Volgens rekenwijze 2 bepaalt men de waarde bxX9 cx dx Het resultaat is 4 0 00063231813 Volgens 4 vindt men nu _ 6323539 6323181 3 47744827 0 0000075 Hieruit volgt x x Ax 0 1324520 Deze waarde van x gesubstitueerd bx cx dx levert juist 0 0006323539 op Een tweede iteratie is dus niet meer nodig de uitkomst is a xw 10 0 132 452 10 2 12 452 Voorbeeld 4 Sexag
116. iden muss man bei den inversen Interpolation vom n chstgelegenen Funktionswert ausgehen Die Werte von x und Ax muss man stets in einer Stelle mehr bestimmen als man braucht Erst am Ende der Berechnung rundet man den Wert f r x ab Die Wahl des n chstgelege nen Funktionswertes kann ausserdem das Iterations verfahren verk rzen Beispiel 3 Sexagesimalteilung vgl Beispiel 1 Bestimme a xw 0 lt a xw lt 90 aus sin a xw 0 1742805316 In der Tafel findet man sin sin 10 0 0 1736481777 b 47744827 10 20408 10 und d 187 10 9 Die erste Ann herung x findet man wie folgt f a xw 0 1742805316 0 1736481 777 _ f a xw f 0 0006323539 _ f atxw fla _ 6323539 _ Xo D 44774487 0192445 Nach der Rechenweise 2 bestimmt man nun den Wert von bx cx 2 dx Das Resultat ist 0 00063231813 Nach 4 findet man nun 4 6323539 6323181 3 4 47744827 Hieraus folgt x x 4x 4 0 1324520 Dieser Wert von x substituiert in bx cx dx ergibt gerade 0 0006323539 Eine zweite Iteration ist also nicht mehr notwendig Das Ergebnis ist a xw 10 0 132 452 10 2 12 452 0 0000075 Beispiel 4 Sexagesimalteilung Bestimme a xw auf 10 sek genau aus cos a xw 0 9954371896 In der Tafel findet man cos cos 5 30 0 9953961984 b 4646733 10 116981 10 d 18 10 f a xw 0 9954371896
117. inus 939692 62 08 939194 17 89 938693 75 03 938191 33 59 937686 93 69 937180 55 43 936672 18 92 936161 84 27 935649 51 58 935135 20 97 934618 92 53 934100 66 39 933580 42 65 933058 21 42 932534 02 81 932007 86 93 931479 73 89 930949 63 81 930417 56 80 929883 52 96 929347 52 42 928809 55 29 928269 61 67 927727 71 69 927183 85 46 926633 03 09 926090 24 70 925540 50 40 924988 80 32 924435 14 56 923879 53 25 923321 96 50 922762 44 44 922200 97 17 921637 54 82 921072 17 50 920504 85 35 919935 58 46 919364 36 98 918791 21 01 918216 10 69 917639 06 12 917060 07 44 916479 14 76 915896 28 21 915311 47 91 914724 73 99 914136 06 56 913545 45 76 912952 91 71 912358 44 54 911762 04 36 911163 71 31 910563 45 51 909961 27 09 909357 16 18 908751 12 90 908143 17 38 907533 29 76 906921 50 16 906307 78 70 1658 16 04 1664 78 48 1671 40 56 1678 02 28 1684 63 66 1691 24 67 1697 85 33 1704 45 63 1711 05 57 1717 65 14 1724 24 36 1730 83 20 1737 41 68 1743 99 80 1750 57 54 1757 14 92 1763 71 92 1770 28 55 1776 84 81 1783 40 69 1789 96 19 1796 51 32 1803 06 06 1809 60 42 1816 14 40 1822 68 00 1829 21 24 1835 74 03 1842 26 46 1848 78 51 1855 30 16 1861 81 42 1868 32 29 1874 82 76 1881 32 84 1887 82 52 1894 31 80 1900 80 67 1907 29 15 1913 77 22 1920 24 89 1926 72 15 1933 19 00 1939 65 45 1946 11 48 1952 57 11 1959 02 31 1965
118. metrischer Funktionen in zehn Dezimalstellen sind bereits vor einiger Zeit von Herrn D de Groot Chef des Bur s f r Sonder messungen in Utrecht berechnet worden Obwohl die Tafein erst jetzt im Druck erschienen sind haben w hrend der letzten zehn Jahre verschiedene hol l ndische Geodeten eine Fotokopie des Manuskriptes ben tzt Die Tafeln lieferten dabei einen so berzeugenden Beweis ihrer Vorteile gegen ber anderen Tafeln bersichtliche kurzgefasste Form bequeme Ben tzung sodass die Nieder l ndische Geod tische Kommission beschlossen hat den Tafeln allgemeinere Bekanntheit zu geben n mlich sie im Druck erscheinenzulassen Die Tafeln wurden kontrolliert durch Berechnung in sech zehn Dezimalstellen mit Hilfe des elektronischen Rechen automats der Technischen Hochschule in Delft Das Manu skript das ausser einiger Abrundungsunterschiede keine Fehler aufwies ist danach als Manuskript f r den Drucker ben tzt worden Ernsthaft wurde erwogen anstatt der angewandten Inter polationsmethode die Methode von Tchebycheff zu nehmen die gewisse Vorteile hat Es sind jedoch auch Nachteile damit verbunden sodass man nach gr ndlichen Untersuchungen beschlossen hat die Tafeln in ihrer urspr nglichen Form zu ben tzen Der Vorsitzende der Niederl ndischen Geod tischen Kommission R ROELOFS GEBRUIK VAN DE TAFELS Deze tafels in tien decimalen bestaan ult twee delen Het eerste deel is ingericht voor de sexagesl
119. n NU P 90 10 gr A WN A 0 Wh sch 0 12 JA WN sch wo Eh Uu NA 0 14 Uu gt sinus 156434 46 50 157985 72 86 159536 60 24 161087 08 25 162637 16 52 164186 84 66 165736 12 28 167284 99 01 168833 44 47 170381 48 27 171929 10 03 173476 29 36 175023 05 90 176569 39 25 178115 29 03 179660 74 86 181205 76 36 182750 33 16 184294 44 86 185838 11 08 187381 31 46 188924 05 60 190466 33 12 192008 13 65 193549 46 81 195090 32 20 196630 69 46 198170 58 20 199709 98 05 201248 88 62 202787 29 54 204325 20 41 205862 60 88 207399 50 55 208935 89 04 210471 75 98 212007 10 99 213541 93 69 215076 23 70 216610 00 64 218143 24 14 219675 93 81 221208 09 28 222739 70 17 22427076 09 225801 26 69 227331 21 56 228860 60 35 230389 42 67 231917 68 14 233445 36 39 cosinus 15 gr 1551 45 72 1551 06 93 1550 67 76 1550 28 20 1549 88 27 1549 47 95 1549 07 24 1548 66 16 1548 24 69 1547 82 84 1547 40 61 1546 98 00 1546 55 00 1546 11 63 1545 67 87 1545 23 73 1544 79 21 1544 34 31 1543 89 03 1543 43 36 1542 97 32 1542 50 90 1542 04 09 1541 56 90 1541 09 34 1540 61 39 1540 13 06 1539 64 36 1539 15 27 1538 65 81 1538 15 96 1537 65 73 1537 15 13 1536 64 14 1536 1278 1535 61 04 1535 08 92 1534 56 42 1534 03 54
120. owever are also involved so that after thorough investigation it was decided to maintain the tables in their original form The President of the Netherlands Geodetic Commission R ROELOFS Pr logo Ya hace mucho que el sr D de Groot Jefe del Departa mento de Trabajos Especiales de Agrimensura de Utreque calcul las tablas de las funciones goniom tricas en diez decimales que a continuaci n se indican Saliendo ahora a luz oficial ya en los pasados diez a os varios geodestas holandeses se sirvieron de una copia foto gr fica del manuscrito En estas pr cticas las tablas han dado una prueba tan convincente de sus ventajas sobre otras tablas una forma clara y concisa y su f cil manejo que la Comisi n Holandese para Geodesia ha adoptado la decisi n de procurar les mayor difusi n d ndolas a la estampa Las tablas han sido controladas por c lculos en diecis is decimales con la ayuda de la m quina calculadora electr nica del Instituto Polit cnico de Delft Despu s el manuscrito que fuera de unas discrepancias del redondear no ten a errores le ha servido de copia al cajista Se ha deliberado seriamente acerca de la sustituci n del m todo de interpolaci n aplicado por el de Tchebycheff que tiene ciertas ventajas Sin embargo no carece ste de desven tajas de modo que despu s de un detenido examen se ha acordado la resoluci n de conservar las tablas en su forma original El Presidente de la Comi
121. paald tussen die be horende bij de argumenten 10 O 10 5 Daar het interval w 5 300 xw 132 452 Is zou bij de gebrulkelijke wijze van interpoleren volgens 1 132 452 300 bedragen Om deze berekening te vermijden zijn in de tafel voor de sexagesimale verdeling de co ffici nten b en d bepaald alsof w 1000 Voor x vindt men dan 0 132452 De berekening volgens 2 verloopt nu als volgt sin 10 2 12 452 0 1736481777 0 132452 0 0047744827 0 132452 0 0000020408 0 1 324321 _ 0 00000001 87 0 1742805316 Daar f a b c en d alle een maximale volstrekte fout hebben van een halve eenheid van de orde 10 en x lt 0 3 zal in f a xw geen grotere fout ver wacht mogen worden dan n eenheid van de orde 10 ook al rondt men de tussenresultaten op deze orde af Men kan deze fout overigens nog kleiner maken door in die gevallen waarbij x gt 0 15 uit te gaan van de naastliggende hogere functiewaarde In dat geval is x negatlef Voorbeeld 2 Decimale verdeling Gevraagd f a xw cos 74 3292467 gr De functiewaarde is gelegen tussen die van 74 3 en 74 4 Het interval bedraagt 0 1 gr voor x vindt men dus 0 292467 De berekening verloopt nu als volgt cos 74 3292467 0 3928186802 0 292467 0 0014445293 4 0 292467 0 0000004846 0 292467 0 0000000006 0 3923961616 Om een voldoende nauwkeurigheid te bereiken 5 het bij de tafel met de decimal
122. r 0 6568772224 b 22485756 10 9 23201 10 d 42 10 10 Fla xw 0 6566431020 _ 0 656877222 f a xw f 0 0002341 204 2341204 esse 0 10411943 bx 4 cx dx 0 00023409526 _ 2941204 2340952 6 X x 4x 0 10413061 La substituci n este valor bx cx dx exactamente 0 0002341204 tanto no hace falta continuar la iteraci n El resultado es a xw 63 0 gr 0 01041306 gr 63 01041306 gr Ejemplo 6 Divisi n decimal Determ nese a xw a partir de seno a xw 0 9980543604 En la tabla se halla seno a seno 96 0 gr 0 9980267284 b 986311 10 12313 10 1 d 0 f a xw 0 9980543604 0 9980267284 f a 0 0000276320 _ 276320 _ 4 0 00002753534 _ 276320 275353 4 _ 7 7429994400 0 0009800 x X 0 2811350 La substituci n en bx cx dx produce 4 0 00002763132 As hay que ejecutar otra itera ci n en la que x 0 2811350 276320 276313 2 986311 x Xo x 0 2811418 La substituci n da ahora 0 00002763199 resultado es pues a xw 96 0 gr 0 0281142 gr 96 0281142 gr Al componer de las tablas se ha previsto tambi n su uso para ocho o seis decimales UTILISATION DES TABLES Ces tables dix d cimales comprennent deux parties La premi re partie pour la
123. r dans bx cx dx donne exactement 0 0002341204 n est plus n ces saire alors de continuer l it ration Le r sultat est a xw 63 0 gr 0 01041306 gr 63 01041306 gr Exemple 6 Division d cimale On d termine a xw de sin a xw 0 9980543604 Dans la table on trouve sin a sin 96 0 9980267284 b 986311 10 12313 10 d 0 f a xw 0 9980543604 f a 0 9980267284 f a xw f 0 0000276320 276320 Fogg 0 2801550 dx 0 00002753534 Ay _ 276320 275353 4 986311 x 0 2811350 0 0009800 La substitution dans bx cx dx donne 0 00002763132 Il faut alors proc der une deuxi me It ration x 0 2811350 PN 276320 276313 2 986311 x 0 2811418 La substitution donne maintenant 0 00002763199 Le r sultat est alors a 96 0 gr 0 0281142 gr 96 0281142 gr 0 0000068 En tablissant ces tables on a eu soin qu elles puissent tre utils es galement comme tables 6 8 d cimales GEBRAUCH DER TAFELN Diese zehnstelligen Tafeln bestehen aus zwei len Der erste Teil ist eingerichtet f r die Sexagesi malteilung des Quadranten gr nes Papier und enth lt den Sinus und Kosinus von 0 bis 90 den Tangens f r Argumente von 0 bis 45 und den Kotangens f r Argumente von 45 bis 90 Das Intervall ist 5 Der zweite Teil ist in hnlicher W
124. rsuivi aussi longtemps que la diff rence entre f a xw f a et bx cx dx soit devenue n gligeable Si veut obtenir le gisement demand au dix millieme de seconde ou d cimilligrade le nombre de fois qu il faut it rer deux ou plus fois augmente Pour viter le plus possible dans l interpolation inverse les erreurs d arrondissement on doit partir de la valeur de fonction la plus proche On calcule et Ax avec un chiffre de plus que n cessaire la fin des op rations seulement on peut arrondir la valeur de x En choisissant la valeur de fonction la plus proche on peut en plus courter le proc d d it ration Exemple 3 Division sexag simale comparer l exemple 1 On d termine a xw 0 lt a xw lt 90 de sin a xw 0 1742805316 Dans la table on trouve alors sin a sin 10 07 0 1736481777 b 47744827 10 20408 10 et 187 10 9 On d termine la premi re appro ximation de x comme suit f a xw 0 1742805316 0173648177 f a xw f 0 0006323539 _flatxw fla _ 6323539 _ 447744827 0092445 Sulvant le calcul 2 peut alors d terminer la valeur bx cx dx Le r sultat est 0 00063231813 Sulvant 4 on trouve alors Ages 6323539 6323181 3 47744827 De ceci suit que x x 0 1324520 Cette valeur de x substitu e dans bx cx dX donne juste 0 0006323539 Une deuxi me it ration est alors sup
125. rtoonde is daarna als kopij voor de zetter gebruikt Ernstig is overwogen de toegepaste interpolatie methode te vervangen door de methode van Tsche byscheff die bepaalde voordelen heeft Er zijn ech ter ook nadelen aan verbonden zodat na grondig onderzoek besloten werd de tafels in hun oorspron kelijke vorm te handhaven De Voorzitter van de Rijkscommissie voor Geodesie R ROELOFS Preface The tables of goniometric functions in ten decimals given below were computed already a considerable time ago by Mr D de Groot Head of the Office for Special Surveying Operations at Utrecht Although the tables did not appear in print until now several Dutch geodesists used a photocopy of the manuscript during the last ten years During that time the tables provided such convincing evidence of their advantages over other tables being conveniently arranged in a concise form and with ease of handling that the Netherlands Geodetic Com mission decided to give them a more general publicity by publishing them in print The tables were checked by computation in sixteen decimals with the aid of the electronic computer of the Technische Hogeschool at Delft The manuscript in which no errors were found apart from some rounding off discrepancies was sub sequently used as a copy for the compositor It was seriously considered to replace the method of inter polation applied by Tchebycheff s method having certain advantages Disadvantages h
126. si n Holandese para Geodesia R ROELOFS Avant propos Les tables ci apr s de fonctions goniom triques en dix d cimales ont t calcul es il y a longtemps par Monsieur de Groot chef du Bureau des Travaux Topom triques Sp ciaux d Utrecht Elles sont maintenant imprim es pour la premi re fois Mais des g od siens hollandais ont utilis des photocopies du manuscrit au cours des dix derni res ann es Ces tables ont alors apport une preuve clatante de leur avantage sur d autres tables pr sentation synoptique et succincte utilisation facile et la Commission N erlandaise pour la G od sie a d cid de leur donner une plus grande diffusion en les faisant diter Ces tables ont t contr l es par des calculs en seize d ci males l aide de la machine calculer lectronique de l cole Sup rieure Technique de Delft Le manuscrit qui part quelques diff rences d arrondissement ne contenait aucune erreur ensuite t utilis comme texte pour le typographe On a s rieusement envisag de remplacer la m thode d interpolation utilis e par celle de Tchebycheff qui certains avantages Mais comme cette derni re m thode a galement des d savantages il a t d cid apr s une tude approfondie de maintenir les tables dans leur forme initiale Le Pr sident de la Commission N erlandaise pour la G od sie R ROELOFS Vorwort Die in diesem Heft ver ffentlichten Tafeln gonio
127. t 90 from sin a xw 0 1742805316 From the table sin a sin 10 0 0 1736481777 b 47744827 10 19 20408 10 1 and d 187 10 are found The first approximation x is determined as follows f a xw 0 1742805316 0 1736481777 fla xw f a 0 0006323539 6323539 _ 447744827 According to the way of calculating indicated by 2 one determines now the value of db OPE The result Is 0 00063231813 According to 4 6323539 6323181 3 Ax 047744807 _ 0 0000075 is obtained From this x x 4x 0 1324520 follows This value of x substituted in bx cx dx leads exactly to 0 0006323539 So a second tion is not necessary the result is a xw 10 0 132 452 10 2 12 452 Example 4 Sexagesimal division Find a xw up till 10 seconds from 0 9954371 896 From the table cos a cos 5 30 0 9953961984 b 4646733 19 116981 10 1 d 18 10 are found f a xw 0 9954371896 0 9953961984 _ f a xw 0 0000409912 409912 Xo 766735 0 08821510 by 0 00004090016 409912 409001 6 4646733 x 0 08841101 This value of x substituted in bx cx dx gives 0 00004099079 So in this case another iteration must still be carried out by whichx 0 08841101 15 taken Ax
128. tuado entre los de 74 3 y 74 4 El intervalo es 0 1 gr para x se halla pues 0 292467 El c lculo se realiza ahora como sigue coseno 74 3292467 0 39281 86802 0 292467 0 0014445293 0 292467 0 0000004846 0 292467 0 0000000006 0 3923961616 Para alcanzar una exactitud suficiente hace falta en la tabla de la divisi n decimal partir en el caso x gt 0 5 del inmediato valor funcional m s alto La interpolaci n inversa en la que se conoce pues f a xw y hay que determinar el correspondiente valor situacional a xw requiere la soluci n de x a partir de la ecuaci n de tercer grado 1 Gracias al r pido convergir de los t rminos bx cx y dx puede hallarse x con relativa facilidad mediante un procedimiento de iteraci n Para eso se procede con 1 como f a xw fla b x Ax c x Ax d x Ax o como f a xw f a bx cx2 dx bAx 3 El t rmino bx tiene con mucho el mayor valor num rico Ya se encontrar por tanto una buena aproximaci n de x si se calcula x a partir de Ra m Despu s se calcula Ax a partir de fla 2 3 Ax f a xw f a x 4 la determinaci n del t rmino entre corchetes se emplea el mismo m todo de calcular como indicado en 2 Si en la interpolaci n inversa se quieren deter minar tan s lo mil simos de segundos o mil simos de decimiligrados 1 dmgr 0 0001 gr entonces en la gran mayor a de los casos ya es t

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