PROBLEMAS PARA LA PREPARACIÓN
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1. PROBLEMAS PARA LA PREPARACI N DE LA FASE LOCAL NAVARRA DE LA OLIMPIADA MATEM TICA ESPA OLA 2012 2013 MODO DE EMPLEO Como este a o no ha habido una sesi n especifica para lgebra se recomienda previamente leer los documentos para la preparaci n de este tema concreto Nos referimos a los siguientes e Polinomios y relaciones de Vieta Cardano e Progresiones e Definici n de nuevas variables e Desigualdades I Se pueden encontrar en la p gina de la Olimpiada Matem tica Espa ola fase provincial a trav s del enlace de Olimpiada Matem tica Navarra en la p gina http www1 unavarra es dep matematicas Los problemas propuestos est n divididos en sesiones Cada sesi n es similar a una de las dos pruebas ma ana y tarde a las que los competidores se enfrentar n en la fase local de forma que los problemas son variados en tema y est n pensados para que su orden de dificultad sea creciente el problema 1 m s f cil que el 2 y a su vez ste m s f cil que el 3 aunque eso no quiere decir que los alumnos necesariamente encuentren el problema 1 m s f cil que el 3 Para cada sesi n se recomienda elegir un rato de unas 2 horas como m nimo y 4 como m ximo y usando s lo los tiles permitidos en la pruebas tiles de escritura y de dibujo intentar solucionar los tres problemas Se recomienda tambi n escribir todo lo que se pueda ocurrir durante ese rato observaciones posibles m todos de ataque posibles forma2. s de simplificar el problema herramientas y resultados que puedan ser tiles en su resoluci n etc En la sesi n del d a 22 de diciembre de 10 a 13 horas se resolver n los problemas de las 4 sesiones Para intentar obtener el m ximo aprovechamiento se comentar n bien de forma individual bien colectiva todo lo que los competidores hayan realizado y quieran compartir durante esa sesi n PROBLEMAS PARA LA PREPARACI N DE LA FASE LOCAL NAVARRA DE LA OLIMPIADA MATEM TICA ESPA OLA 2012 2013 SESI N 1 PROBLEMA 1 Sea P una familia de puntos en el plano tales que por cada cuatro puntos de P pasa una circunferencia Se puede afirmar que necesariamente todos los puntos de P est n en la misma circunferencia Justifica la respuesta PROBLEMA 2 Se consideran 17 enteros positivos tales que ninguno de ellos tiene un factor primo mayor que 7 Demuestra que hay al menos una pareja de estos n meros cuyo producto es un cuadrado perfecto PROBLEMA 3 Resolver en el conjunto de los n meros reales el sistema de ecuaciones y 6x 12x 8 0 z 6y 12y 8 0 x 6z 122 8 0 PROBLEMAS PARA LA PREPARACI N DE LA FASE LOCAL NAVARRA DE LA OLIMPIADA MATEM TICA ESPA OLA 2012 2013 SESI N 2 PROBLEMA 1 Halla todas las posibles formas de escribir 2012 como suma de dos cuadrados de n meros enteros positivos Halla tambi n todas las posibles formas de escribir 2013 como suma de dos cuadrados de n meros enteros positi
3. ue BE _ AB CD AC PROBLEMAS PARA LA PREPARACI N DE LA FASE LOCAL NAVARRA DE LA OLIMPIADA MATEM TICA ESPA OLA 2012 2013 SESI N 4 PROBLEMA 1 Una caja contiene 900 tarjetas numeradas del 100 al 999 Se sacan al azar sin reposici n tarjetas de la caja y se anota la suma de los d gitos de cada tarjeta extra da Cu l es la menor cantidad de tarjetas que se deben sacar para garantizar que al menos tres de esas sumas sean iguales PROBLEMA 2 Demostrar que para todo real a gt 3 4 la suma z EREE aa NAS 3 JE 3 NT 3 es independiente del valor de a y hallar el valor de dicha suma PROBLEMA 3 Demostrar que si entre los infinitos t rminos de una progresi n aritm tica de n meros enteros positivos hay un cuadrado perfecto entonces infinitos t rminos de la progresi n son cuadrados perfectos
4. vos PROBLEMA 2 Sea P un punto en el interior del tri ngulo 4BC de modo que el tri ngulo ABP verifica AP BP Sobre cada uno de los otros dos lados de ABC se construyen exteriormente tri ngulos BOC y CRA ambos semejantes al tri ngulo ABP cumpliendo BO 0C y CR RA Probar que los puntos P Q Cy R o est n alineados o son los v rtices de un paralelogramo PROBLEMA 3 Un club tiene 25 miembros Cada comit est formado por 5 miembros Dos comit s cualesquiera tienen como mucho un miembro en com n Prueba que el n mero de comit s no puede ser superior a 30 PROBLEMAS PARA LA PREPARACI N DE LA FASE LOCAL NAVARRA DE LA OLIMPIADA MATEM TICA ESPA OLA 2012 2013 SESI N 3 PROBLEMA 1 Tenemos un conjunto de 221 n meros reales cuya suma es 110721 Los disponemos formando una tabla rectangular de modo que todas las filas y la primera y ltima columnas son progresiones aritm ticas de m s de un elemento Probar que la suma de los elementos de las cuatro esquinas vale 2004 PROBLEMA 2 Sea P x un polinomio con coeficientes enteros Demostrar que si existe un entero k tal que ninguno de los enteros P 1 PO P k es divisible por k entonces P x no tiene ra ces enteras PROBLEMA 3 Se considera el tri ngulo ABC y su circunferencia circunscrita Si D y E son los puntos sobre el lado BC tales que 4D y AE son respectivamente paralelas a las tangentes en C y en B a la circunferencia circunscrita demostrar q
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