3. Teorema de Pitágoras
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1. 77 87 49 64 113 a Compara y decide Despu s constr yelo y comprueba 10 100 Averigua si el tri ngulo de lados 5 12 y 13 es rect ngulo acut ngulo u obtus ngulo Haz lo mismo con el tri ngulo de lados 6 8 y 11 Rompecabezas sobre el Teorema de Pit goras PUZZLES SOBRE PIT GORAS En un tri ngulo rect ngulo los lados menores son los que forman el ngulo recto Se llaman catetos El lado mayor se llama hipotenusa y se opone al ngulo recto En la figura b y c son los catetos a es la hipotenusa El teorema de Pit goras dice El rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los catetos Y esto es verdad solamente si el tri ngulo es rect ngulo Para ver que es cierto que ocurre esto siempre que el tri ngulo sea rect ngulo observa el siguiente puzzle Taller de Matem ticas 3 ESO Observa que los dos cuadrados grandes son iguales Si a cada uno de ellos le suprimimos en el primero y b c en el cuatro tri ngulos iguales de lados a b y c queda a segundo Por lo tanto debe cumplirse que a b c a En la siguiente figura se encierra a modo de tangram una demostraci n del teorema de Pit goras Se trata de que construyas el cuadrado grande utilizando para ello las cinco piezas marcadas con 1 2 3 4 y 5 de forma que puedas comprobar el teorema de Pit goras b Dibuja en una cartulina y recorta despu s las si2. tal que A 15 V F 2 415 3 87 V F 3 4 15 3 8729833 V F 4 y 4 2 V F 5 y 4 2 V F 6 v121 11 V F 7 La ra z cuadrada de un n mero siempre es positiva V F 8 La ra z cuadrada de un n mero negativo no existe V F 9 Siempre hay dos ra ces cuadradas de un n mero positivo V F 10 16x 25 4 16 x 425 V F 25 425 11 V F 16 16 2 116 9 4 16 49 V F 3 425 9 425 4 9 V F 14 Vis 15 V F e ESPIRAL CUADR TICA Utilizando de forma adecuada el teorema de Pit goras dibuja la siguiente espiral ayud ndote de instrumentos de dibujo como regla y comp s Especifica con cuidado las instrucciones que hay que seguir para su construcci n Cu les son las longitudes de los segmentos OA OB OC OD OJ Cu ntos tri ngulos debes construir para obtener un segmento que mida y 15
3. 3 m Teorema de Pit goras Taller de Matem ticas 3 ESO Propiedades de los tri ngulos rect ngulos Rompecabezas sobre el teorema de Pit goras Aplicaciones del teorema de Pit goras c lculo de distancias Teorema de Pit gorasr 1 Propiedades de los tri ngulos rect ngulos e TRI NGULOS 1 Indica si es posible que los ngulos de un tri ngulo midan a 35 83 y 54 b 30 80 y 75 c 32 77 y 71 2 Indica si es posible que los lados de un tri ngulo midan a 4 cm 7 cm y 5 cm b 2cm 5 cm y 8 cm c 5cm 5cmy 1 cm d 1 cm 1cm y 5 cm 3 Determina la medida del ngulo x en los tri ngulos de la siguiente figura Recuerda 1 La suma de los tres ngulos de un tri ngulo es igual a 180 2 Un lado de un tri ngulo debe ser menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia e TRI NGULOS RECT NGULOS 1 Halla los ngulos desconocidos de los tri ngulos rect ngulos de la siguiente figura 2 Con ayuda de material apropiado regla comp s escuadra cartab n dibuja los siguientes tri ngulos y midiendo con una regla graduada halla los lados desconocidos A Taller de Matem ticas 3 ESO 3 Dibuja los siguientes tri ngulos con regla y comp s Cu les de ellos son tri ngulos rect ngulos aja 5 b 4 C 6 b a 0 5 b 1 2 c 1 3 c ja 1 b 2 Cc 3 Un tri ngulo rect ngulo es aqu l que tiene un ngulo recto es decir de 90 Los ngulos agudos de un tri ngul
4. a la calculadora y procede de forma an loga para calcular aproximaciones de 3 y 5 por defecto y por exceso hasta las mil simas A partir del valor aproximado obtenido para 1 4 5 Ea 5 aproxima hasta las mil simas el valor del n mero de oro b Calcula y compara los resultados de las siguientes sumas 2 3 y 5 3444 y 4 7 Prueba con otros n meros y trata de sacar conclusiones e APROXIMACIONES DE PI Es 22 359 ya El n mero x se ha expresado cl sicamente por las fracciones a Arqu medes y E Liu Hui Compara estos valores con el valor verdadero de 7 y di cu l es el orden del error cometido e RAIZ DE QUINCE Expresa 15 por una sucesi n de n meros decimales a Por defecto Qu error m ximo se comete en cada t rmino b Por exceso Qu error m ximo se comete en cada t rmino e ECUADOR TERRESTRE Si para calcular el per metro de una circunferencia del tama o del ecuador terrestre se utiliza el valor de z aproximado como 3 14 estima el error que se cometer a al no tomar el valor exacto El radio de la Tierra es 6378 km La longitud de la circunferencia es L 2 x r La diferencia entre n y 314 es menor que 0 005 13 Taller de Matem ticas 3 ESO e RA CES CUADRADAS En tu calculadora dispones de la tecla B con la que puedes hallar la ra z cuadrada de algunos n meros Utilizando dicha funci n averigua si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones 1 15 es un n mero A
5. ados n meros irracionales en oposici n a los otros n meros decimales que pueden expresarse en forma de fracci n a los que tambi n se les llama n meros racionales La expresi n decimal de un n mero racional es un decimal exacto o peri dico mientras que la representaci n decimal de un n mero irracional tiene infinitas cifras decimales que no se repiten formando per odo La mayor a de n meros irracionales aparece en problemas geom tricos pero para trabajar con ellos s lo tomaremos algunas cifras seg n las necesidades Ejemplo Vamos a buscar valores cada vez m s aproximados del n mero 2 Se trata de hallar un n mero que al elevarlo al cuadrado nos d 2 Para empezar sabemos que 1 lt 2 lt 2 Probamos con la calculadora cu nto vale 1 12 V 14 15 y comprobamos que 142 1 96 lt 2 y que 1 5 2 25 gt 2 Por tanto la 2 est comprendida entre los valores 1 4 y 1 5 Si queremos conseguir otra cifra decimal ahora probamos con la calculadora los valores 1 41 1 42 1 43 etc Teorema de Pit gorasr Como 141 19881 lt 2 y 142 20164 gt 2 sabemos ya que 2 est comprendido entre 1 41 y 142 y no hay que seguir probando con otras cent simas Para conseguir m s cifras decimales ahora habr a que probar con 1 411 1 412 etc Y as sucesivamente A los n meros 1 1 4 1 41 etc se les llama aproximaciones por defecto de A y a los n meros 2 1 5 1 42 etc aproximaciones por exceso de y a Utiliz
6. b c De un tri ngulo sabemos que es rect ngulo y conocemos la hipotenusa y un cateto Entonces podemos calcular el otro cateto 2 Doa 2 2 32 a b c gt c c Conociendo c se puede hallar c ya que c Va b C Si de un tri ngulo conocemos los lados pero ignoramos si es o no rect ngulo podemos averiguarlo Para ello comprobaremos si el cuadrado del lado mayor es o no igual a la suma de los cuadrados de los dos menores Para sostener un poste de 2 m de alto lo sujetamos con una cuerda situada a 35 m de la base del poste Cu l es la longitud de la cuerda Taller de Matem ticas 3 ESO 3 5 Mm 63 m b La cuerda de una cometa mide 85 m sta se encuentra volando sobre una caseta que est a 63 m de Luc a A qu altura sobre el suelo se encuentra la cometa c Son rect ngulos los tri ngulos de lados a 17 11 20 b 10 24 26 e SEGMENTOS EN UNA TRAMA Halla la longitud de cada uno de los segmentos dibujados en esta trama cuadrada de puntos e PER METROS Calcula el per metro de los pol gonos dibujados en la siguiente trama cuadrada de puntos e UNGLOBO Un globo cautivo est sujeto al suelo con una cuerda Ayer que no hab a viento el globo estaba a 50 m de altura Hoy hace viento y la vertical del globo se ha alejado 30 m del punto de amarre A qu altura est hoy el globo Teorema de Pit gorasr e DOS BARCOS Dos barcos se cruzan en el mar Uno va hacia e
7. guientes piezas 1 Cuatro tri ngulos rect ngulos iguales y cuyos catetos midan 6 y 8 cm 2 Un cuadrado de 2 cm de lado Cuando tengas las cinco piezas demuestra el teorema de Pit goras c Partimos de un tri ngulo rect ngulo y los cuadrados construidos sobre sus lados Recorta tres piezas iguales que los cuadrados de la figura y colocalos como indica la fgura de la derecha Del cuadrado mayor recorta dos tri ngulos iguales que el de partida como muestra la figura de la izquierda Coloca los dos tri ngulos recortados haciendo coincidir la hipotenusa de stos con los lados del cuadrado que quedan intactos Teorema de Pit gorasr Compara la figura obtenida con la figura 2 Observa que son iguales luego podemos concluir que el cuadrado sobre la hipotenusa de un tri ngulo rect ngulo coincide con la suma de los cuadrados sobre los catetos Has demostrado as el teorema de Pit goras Dibuja los tres cuadrados sobre los lados de un tri ngulo rect ngulo y une los v rtices de dichos cuadrados Se forman tres nuevos tri ngulos Calcula las reas de cada uno de ellos y comp ralas con la del tri ngulo rect ngulo de partida C mo son Aplicaciones del Teorema de Pit goras c lculo de distancias APLICACIONES DEL TEOREMA DE PIT GORAS 1 De un tri ngulo sabemos que es rect ngulo y conocemos los dos catetos Entonces podemos calcular la hipotenusa a b c Conociendo a se puede calcular a a que a v
8. l Norte a la velocidad de 45 km h y el otro va hacia el Este a la velocidad de 55 km h A qu distancia estar uno del otro 2 horas y 10 minutos despu s de encontrarse e ESCALERA Una escalera de 3 metros de longitud se apoya sobre una pared estando su pie a una distancia de 1 metro de la pared A qu altura de la pared llega e COMETA Para fabricarte una cometa de las dimensiones indicadas en la siguiente figura qu medidas le dar as al soporte exterior Tendr s suficiente con un list n de 2 metros para construir toda la estructura e TONELES Qu altura ha de tener un almac n para poder colocar toneles de aceite tal como se indica en la figura si el di metro de cada tonel es de dos metros e PASEO DE UNA HORMIGA Calcula la longitud del recorrido ABCDEF realizado por la hormiga Taller de Matem ticas 32 ESO e ANTENA DE TV Una comunidad de propietarios ha observado que uno de los dos cables que fijan su antena colectiva de TV se ha roto Haciendo uso de los puntos de amarre ya existentes se les plantea el problema de averiguar la longitud del cable que se ha de reponer conociendo los datos restantes seg n aparecen ene esquema adjunto podr as resolverles su problema SS A RRON NAAA A e TETRAEDRO Y OCTAEDRO a Calcula la altura de un tetraedro de 10 cm de arista b Calcula la distancia entre los v rtices A y B del octaedro de la figura adjunta Calcula
9. n litros cada 100 km 1 gal n 3 78 litros 1 milla 1 61 km La densidad de la piedra caliza es 168 libras por pie c bico Expresa dicha densidad en gramos por cent metro c bico Ten en cuenta que DENSIDAD MASA VOLUMEN 1 libra 453 6 gramos 1 pie 30 48 cm El man metro indica la presi n de 20 libras por pulgada cuadrada Traduce esa expresi n a kilogramos por cent metro cuadrado Trad cela tambi n a mil metros de mercurio y atm sferas 1 pulgada 2 54 cm 760 mm de mercurio 1 atm sfera 1033 23 g em La velocidad del sonido en el aire es de 340 m s Cu l es la velocidad del sonido en km h El sonido recorre 340 metros por segundo Durante una tormenta se ha visto un rayo y 13 segundos despu s se escucha el trueno A cu ntas millas cay el rayo 1 milla 1 61 km N meros irracionales N MEROS IRRACIONALES Existen otros n meros que no proceden de una fracci n por ejemplo el n mero z del que se han dado diferentes aproximaciones en forma de fracci n SP Liu Hui siglo Iil d C 22 120 113 Arqu medes siglo Ill a C Ptolomeo siglo II d C Otro n mero de este mismo tipo es o que surge al comparar la diagonal de un cuadrado con su lado Asimismo aparece J5 al comparar la diagonal de un pent gono regular con el lado M s E 1 45 concretamente aparece el n mero de oro F Todos los n meros que no tienen una fracci n que los represente de forma exacta son los llam
10. o rect ngulo son complementarios es decir su suma vale 90 ngulo rect ngulo son perpendiculares entre s y se de un tri ngulo rect ngulo que se opone al ngulo e TRAMAS DE PUNTOS En cada una de las figuras que siguen haya el rea de los cuadrados construidos sobre los lados del tri ngulo Compara dichas reas Observas algo interesante El tri ngulo ABC es rect ngulo y en l se cumple que EEE E Es decir La suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los lados menores es igual al rea del cuadrado construido sobre el lado mayor Esto no ocurre en los tri ngulos que no son rect ngulos Este otro tri ngulo es obtus ngulo Teorema de Pit gorasr La suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los lados peque os es menor que el rea del cuadrado construido sobre el lado mayor Este tri ngulo es acut ngulo 7 N e A pN f PR SIS P z A gt y A Ms a AA Ns E pot O i Z e IN a AA PIE LU 3 ERES A AO f nn A A ds PA y ENC E 4 Y OS oy INE NI f ET po UN E DY A fit r f y e nd FN f f f mw j o E A P ES A E es Mayor que o Y La suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los lados peque os es mayor que el rea del cuadrado construido sobre el lado mayor Para averiguar si el tri ngulo de lados 7 cm 8 cm y 10 cm es rect ngulo acut ngulo u obtus ngulo sin necesidad de construirlo procede del siguiente modo
11. tambi n la distancia entre los v rtices M y N Teorema de Pit gorasr 4 Decimales y medidas e UNIDADES DE LONGITUD Expresa las siguientes medidas en las unidades que se indican a Di metro de la Tierra 12756776 km en dam b Estatura de una persona 1750 mm en m c Longitud de un DIN A4 0 297 m en cm d Longitud de una bacteria 0 000005 m en um e UNIDADES DE MASA Expresa las siguientes medidas de masa en las unidades que se indican a Un vag n de mercanc as 25 toneladas en q b Un tomate 150000000000 ng en kg e UNIDADES DE SUPERFICIE Expresa las siguientes medidas de superficie en las unidades que se indican a Superficie de una habitaci n 0 0012 hm2 en m2 b Superficie de la provincia de Soria 1028700 ha en km2 c Superficie de un DIN A4 62370 mm2 en dm2 e UNIDADES DE VOLUMEN Y DE CAPACIDAD Expresa las siguientes medidas en las unidades que se indican a Volumen de sangre de un hombre 5000 cm3 y de una mujer 4500 cm3 en b Volumen del dep sito de gasolina de un coche 0 5 hl en dm3 c Volumen de aire en los pulmones 4760000 mm3 en d Volumen de un barril de petr leo 0 000163654 dam8 en dm3 e Volumen de la pir mide de Keops 0 0025 Km3 en m3 11 Taller de Matem ticas 3 ESO 12 SISTEMA ANGLOSAJ N En el manual t cnico de un coche de importaci n se indica que el consumo del motor es 3 galones cada 100 millas Expresa dicho consumo e
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