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1. 143 6 10 14 36 10 10 1 436 10 10 10 1 436 x 10 Como se ve mover el punto decimal de un n mero un lugar hacia la izquierda es equivalente a dividir entre 10 mover el punto decimal dos lugares hacia la izquierda es equivalente a dividir entre 100 etc Por tanto siempre que se mueva el punto decimal n lugares hacia la izquierda se debe multiplicar el n mero resultante por 10 para que el n mero no se altere Por ejemplo 340 000 340 x 10 34 x 104 3 4 x 10 0 34 x 10 El procedimiento para transformar n meros menores que la unidad es semejante Consid rense las siguientes igualdades 0 374 3 74 1 10 3 74x10 7 0 00784 0 0784 1 10 0 784 1 10 1 10 7 84 1 10 1 10 1 10 7 84 x 107 Como se ve mover el punto decimal de un n mero un lugar hacia la derecha es equivalente a multiplicar por 10 mover el punto decimal dos lugares hacia la derecha es equivalente a multiplicar por 100 etc Por tanto siempre que se mueva el punto decimal n lugares hacia la derecha se debe dividir el n mero resultante por 10 o bien lo que es lo mismo multiplicar por 10 para que el n mero no se altere Por ejemplo 0 00044 0 044 x 10 4 4 x 10 440 x 10 Aunque el punto decimal puede colocarse en cualquier posici n por definici n el punto decimal se debe colocar de tal forma que se tenga un n mero mayor o igual a 1 pero menor que 10 Por esta raz n la forma cient fica de los n
2. Uso de la Calculadora HP La calculadora cuenta con 10 reas de almacenamiento numeradas del 0 al 9 las cuales pueden ser utilizadas para almacenar n meros Para almacenar el n mero mostrado en pantalla en un registro o rea se oprime la tecla STO seguida de un n mero del 0 al 9 Para recuperar un n mero almacenado en un registro se oprime la tecla RCL seguida del n mero de registro Por ejemplo para obtener el resultado de la siguiente operaci n 7504475 32 5 30 4 se sigue la secuencia mostrada en seguida 32 5 30 4 El STO o 750 475 E oE gt 19 4753577107 En la calculadora HP existe una memoria especial marcada como LAST la cual es utilizada para almacenar el resultado de la ltima operaci n realizada La operaci n anterior puede ser resuelta de la siguiente forma 32 5 30 4 E 750 475 EE El gt 19 4753577107 Ejercicios 1 1 Resuelva las siguientes operaciones utilizando la calculadora cient fica o financiera 1 3 450 5 720 1 436 40 2 344 7 143 8 215 12 5 3 14 5 V300 V200 4 0 0345 0 0311 0 0456 0 500 5 24 3 0 234 735 8 58 7 0 47 358 5 6 7 99 2 3 2 8610 57 2 43 7 0 373 2 954 57 5 37 8 23 6 42 8 19 6 14 5 13 4 11 3 303 276 840 202 30 10 V42 4 11 136 11 22 5677 12 0 86 0 86 13 725 9 272 33 14 457 316 4 317 150 4782 969 15 1 0 0558 190 16 0 91
3. meros 340 000 y 0 00044 es 3 4 x 105 y 4 4 x 10 i respectivamente EJEMPLO 1 14 Escriba los siguientes n meros en notaci n cient fica a 35 470 000 b 3 477 263 c 2 d 0 0421 e 0 340 f 0 00001 SOLUCION a 3 5 470 000 3 547 x 107 RIA 7 lugares b 3 477 263 3 477263 x 10 t 3 lugares c 2 2x10 el punto decimal no se movi d 0 04 21 4 21 x 10 kaf 2 lugares e 0 3 40 3 4x 107 1 lugar f 0 00001 1x 10 LT 5 lugares Transformaci n de Notaci n Cient fica a Forma Decimal Se mueve el punto decimal a la derecha si el exponente es positivo y a la izquierda si es negativo El n mero de lugares que se mueve el punto decimal es el indicado por el exponente EJEMPLO 1 15 Escriba en forma decimal llamada tambi n notaci n normal los siguientes n meros a 3 8 x 10 b 2 4647 x 10 c 1x107 d 8 9x10 SOLUCI N a 3 8 x 10 3 800 e 3 lugares b 2 4647 x 10 246 47 A 2 lugares c 1x107 0 1 a 1 lugar d 8 9 x 10 0 0089 Pr 3 lugares Para introducir n meros expresados en notaci n cient fica en la calculadora se emplea la tecla EXP o EE En la calculadora HP la tecla es E la cual est como segunda funci n de la tecla de cambio de signo Al introducir el n mero la base 10 se omite en la mayor a de las calculadoras y nicamente aparece el exponente Por ejemplo una calculadora muestra el n mero 4 1896 x 10 como o bien El resultado 4 1896
4. 00 000 de Watts Exprese este n mero en notaci n cient fica 37 En astronom a las distancias se miden en a os luz en donde un a o luz es la distancia que recorre un rayo de luz en un a o Si la velocidad de la luz es de 300 000 km seg cu l es el valor de un a o luz en kil metros 38 Cierta supercomputadora puede realizar 80 millones de multiplicaciones en un segundo Cu ntas multiplicaciones puede realizar en un d a 39 La capacidad de almacenamiento de una computadora se describe en megabytes donde un 1 Mb representa un megabyte 1 048 576 bytes de memoria Si se requiere un byte para representar un solo s mbolo como una letra un n mero un signo de puntuaci n aproximadamente cu ntos s mbolos es capaz de almacenar un disco duro de 1 000 Mb un gigabyte D la respuesta en notaci n cient fica 40 El Producto Nacional Bruto de 1996 de cierto pa s fue de 1 781 400 000 000 d lares Calcule la cantidad de pesos que representa esa cantidad Utilice el tipo de cambio de 7 50 pesos por d lar
5. 00 y le sumamos 0 08 obtenemos 18 500 000 08 en la pantalla pero con una calculadora de 8 d gitos al tratar de sumar las cantidades anteriores se obtiene una respuesta de 18 500 000 EJEMPLO 1 7 Eval e la siguiente expresi n V16 75 SOLUCI N V162 757 realmente significa Ve 752 Por tanto O 16 E 75 D M gt 76 6876782802 Obs rvese que en este caso la tecla no se utiliza Otra forma de resoluci n ser a 16 75 El gt 76 6876782802 Uso de la Calculadora HP Como la calculadora financiera HP utiliza l gica aritm tica es decir no utiliza las reglas de prioridad de las operaciones es necesario que el usuario lleve a cabo los c lculos teniendo en mente el orden en que stos deben realizarse Por tanto para resolver el ejemplo 1 1 la secuencia de tecleo ser a 12 PJ 35 25 2l Para el ejemplo 1 2 tenemos 12 25 De PJ 78 15 E Como la elevaci n al cuadrado es un afuncion secundaria de la tecla es necesario oprimir antes la teclas de cambio tecla de color amarillo Para resolver el ejemplo 1 7 se oprime la siguiente secuencia de teclas CO 16 De EE 75 Del D M 1 2 POTENCIAS Y RAICES Las elevaciones a potencia se obtienen usando la tecla y llamada tecla de potencias Para llevar a cabo una elevaci n de potencia la base se teclea antes y el exponente despu s de oprimir la tecla de potencias Por ejemplo el resultado de 2 8 se obtiene de la sigui
6. 3 4 0 125 17 146 2 138 214 277 1 95 518 617 1 99 7 13 4 6 6 43 3 13 114 4 610 2 100 4 6 2 18 19 96 7 9 61 15 15 21 11 20 3 2 1 5 5 2 14 1 7 8 7 48944 _ 78 3 6 0 61 2 5 22 26 75 3 10 2 13 5 5 21 21 45 73 23 75 56 44 38 6 5 6 196 35 5 81 7 NOTACION CIENTIFICA En ocasiones es necesario trabajar con n meros muy grandes o muy peque os Por ejemplo consid rese el siguiente problema 25 1215 y El resultado de la operaci n anterior es un n mero muy grande 11 485 034 609 400 Si el c lculo se realiza a mano el nico problema que se tiene es que resulta muy laborioso y tardado El trabajo se simplifica si el c lculo se realiza con una calculadora sin embargo el resultado no cabe en la pantalla motivo por el cual la calculadora lo presentar en notaci n cient fica 1 14850346094 x 101 La notaci n cient fica consiste en escribir un n mero cualquiera en la forma a x10 en donde a es un n mero mayor o igual a 1 y menor que 10 y n es un entero positivo o negativo De lo anterior se desprende que la notaci n cient fica consiste en expresar un n mero cualquiera como el producto de dos n meros uno de los cuales es una potencia entera de 10 Transformaci n de Notaci n Ordinaria a Notaci n Cient fica Consid rense las siguientes igualdades 325 32 5 10 3 25 10 10 3 25 x 10 1 436
7. E7 es el que muestra la calculadora HP Para introducir un n mero expresado en notaci n cient fica eh la calculadora se sigue el procedimiento que se menciona a continuaci n 10 Teclee los d gitos que forman el n mero 20 Opr mase la tecla EXP o EE En la calculadora HP se oprime la tecla El 30 Teclee el exponente 3 Por ejemplo para introducir el n mero 3 47 x 10 se sigue la siguiente secuencia de tecleo 3 47 EXP 3 El resultado que se muestra en la pantalla es 3 47 03 0 bien 3 47E 3 La secuencia de tecleo en la calculadora HP es 3 47 E 3 El resultado que se muestra en la pantalla es 3 47E 3 Cuando se realiza un c lculo en notaci n ordinaria que produce un resultado con demasiados d gitos para la capacidad de la pantalla la calculadora cambia autom ticamente a notaci n cient fica Por ejemplo al multiplicar 56 000 000 12 500 000 el resultado mostrado es le 014 que significa 7 x 1 EJEMPLO 1 16 435 000 000 0 000745 Calcule la siguiente expresi n 2 480 000 000 000 Se escriben los n meros en notaci n cient fica 4 35 x 10 7 45 x 10 2 48 x 10 La expresi n anterior puede resolverse utilizando las leyes de los exponentes o empleando una calculadora 10 M todo 4 35 x 10 7 45 x 10 _ 4 35 7 45 108 10 3 E ET m a 13 0675403226 x 10 1 30675403226
8. O b sica Las calculadoras con l gica en Notaci n Polaca Inversa conocida simplemente como notaci n RPN por sus siglas en ingl s Reverse Polish Notation tienen la tecla ENTER en vez de la tecla Para llevar a cabo la operaci n del ejemplo 1 1 mediante una calculadora con l gica RPN la secuencia de tecleo ser a 25 ENTER 12 ENTER 35 PJ gt 445 En este libro no se utilizar la l gica RPN de manera que si la calculadora utilizada por el lector es de este tipo deber tener en cuenta que el procedimiento de c lculo ser diferente EJEMPLO 1 2 Resuelva la operaci n 7 8 12 25 15 SOLUCION 7 8112 25 15 7 8 150 0625 15 Primero se lleva a cabo la elevaci n al cuadrado 1 170 4875 15 A continuaci n se realiza la multiplica ci n 1 185 4875 Finalmente se efect a la suma Al efectuar la operaci n anterior con la calculadora con l gica algebraica la secuencia de tecleo es 78 0 1225 15 El gt 1185 4875 EJEMPLO 1 3 Calcule 16 5 178 21 7 14 3 10 7 11 SOLUCION 16 51178 21 7 14 3 10 711 2937 310 31 117 7 Primero se efect an las multiplicaciones 3 129 61 La suma y la resta se llevan a cabo al final La secuencia de tecleo ser a EJEMPLO 1 4 7 7 04 3 70 8 27 9 14 7 7 7 14 3 84 7 7 Primero se efect a la operaci n que est entre par ntesis 110 11 12 1 Se realiza la multiplica ci n y la divisi n 98 01 Se reali
9. Unidad 1 e LA CALCULADORA ELECTRONICA OPERACIONES ARITMETICAS La calculadora electr nica es actualmente junto con la computadora una herramienta b sica de c lculo en la vida cotidiana y es una herramienta indispensable en las actividades financieras La calculadora no nos ayuda a entender conceptos o a desarrollar habilidades matem ticas es simplemente una til herramienta empleada para reducir el tiempo dedicado a tediosos c lculos utiliz ndolo en la comprensi n de los conceptos b sicos de las matem ticas financieras Con el fin de aprovechar al m ximo este curso se recomienda que el lector tenga una calculadora cient fica o financiera En este cap tulo se ver n algunos aspectos b sicos sobre el empleo de las calculadoras en general sin embargo no se pretende reproducir un manual de instrucciones El lector debe consultar el manual del usuario de su calculadora Una de las calculadoras financieras m s utilizadas en el medio bancario y burs til es la Hewlett Packard modelo 19B ll o el modelo 17B II Ambos modelos son b sicamente iguales en su operaci n y funciones A lo largo del libro aparecer una secci n titulada Uso de la Calculadora HP que mostrar la forma de utilizar estas calculadoras Esta caracter stica ser til para los lectores que tengan una calculadora similar en cualquiera de sus dos modelos Las calculadoras electr nicas se dividen en tres tipos b sicos e Calculadoras B sicas e Calcul
10. adoras Cient ficas e Calculadoras Financieras Las calculadoras b sicas llamadas tambi n est ndar son aquellas que realizan las operaciones aritm ticas b sicas suma resta multiplicaci n y divisi n permiten el c lculo de porcentajes y de ra ces cuadradas cuentan con una memoria vol til y algunas traen la tecla de cambio de signo Las calculadoras cient ficas pueden llevar a cabo el c lculo de funciones logar tmicas trigonom tricas estad sticas etc Las calculadoras financieras pueden llevar a cabo el c lculo de funciones logar tmicas estad sticas etc y est n programadas para llevar a cabo la resoluci n de problemas de inter s compuesto anualidades amortizaciones etc tera Cada tecla de las calculadoras cient ficas y financieras puede llevar a cabo m s de una funci n La funci n marcada sobre la tecla recibe el nombre de funci n primaria y las funciones impresas arriba de las teclas se llaman funciones secundarias Las funciones secundarias se eligen presionando antes la tecla de cambio y despu s se presiona la tecla correspondiente a la funci n seleccionada La tecla de cambio var a con la marca de calculadora en algunas viene marcada como INV en otras como SHIFT o bien 2nd En la calculadora HP 19B Il o 17B ll la tecla de cambio es la tecla de color amarillo Para operar las funciones impresas arriba de la tecla funciones marcadas en color amarillo es necesario presionar primero la tecla amari
11. ente forma 28 V 5 gt 17210368 En algunas calculadoras la tecla de potencias viene como EJEMPLO 1 8 87 33 5 4321 Calcule 1024 SOLUCI N 873 VI 30 54 VA 21 1024 2 gt 22 426 9218714 Como la elevaci n al cuadrado es una funci n secundaria de la tecla es necesario oprimir antes la tecla de cambio tecla de color amarillo Las ra ces con ndice superior a dos se obtienen usando la tecla de ra ces x o bien Wx que por lo general viene como funci n secundaria de la tecla de potencias Al querer obtener una ra z determinada el radicando se teclea antes y el ndice de la ra z despu s de oprimir la tecla de ra ces Por ejemplo 54161 051 se obtiene de la siguiente manera 161051 9 5 El gt 11 EJEMPLO 1 9 3425 y 3 9 631 Calcule 2155 SOLUCI N 34 149 25 0 9631 KW 3 E 2155 E gt 3 089 32868052 EJEMPLO 1 10 a45 01 Obtenga el valor de 3 1 000 2 7 SOLUCI N Os 0 16 D El LO 1000 K 4 2 2 77 D El gt 0 070091494762 La tecla 1 x se llama tecla de rec procos y permite obtener el rec proco de un n mero Uso de la Calculadora HP Para obtener el resultado de 12 5 4 se procede de la siguiente forma 12 5 M 2 4 E 429 125212229 Para obtener el resultado de V46 807 el procedimiento es el siguiente 16807 MU 5 OH EGB 7 MEMORIA Todas las calculadoras cient ficas y financieras poseen por lo menos un registro de memoria la cual evita
12. icaciones y divisiones Las sumas y las restas se realizan al final Cuando un conjunto de operaciones se encuentra en el mismo nivel de prioridad las operaciones se realizan de izquierda a derecha Las calculadoras con l gica aritm tica realizan las operaciones en el orden en que van apareciendo de izquierda a derecha sin seguir ning n tipo de prioridad Obviamente el resultado de un c lculo llevado a cabo de esta manera est equivocado EJEMPLO 1 1 Resuelva la siguiente operaci n 25 12 35 SOLUCI N 25 12 35 25 420 Primero se lleva a cabo la multiplicaci n 445 Al final se efect a la suma Al efectuar la operaci n anterior directamente con una calculadora con l gica algebraica la secuencia de tecleo ser a siguiendo el orden en que se encuentra escrita la expresi n 25 4 12 PJ 35 El gt 445 Si se utiliza una calculadora con l gica aritm tica el resultado ser a el siguiente 25 12 PJ 35 El gt 1295 El resultado anterior est equivocado debido a que no se llev a cabo utilizando las reglas de prioridad En este caso la calculadora realiz primero la suma 25 12 37 y el resultado lo multiplic por 35 37 x 35 1295 En general las calculadoras cient ficas utilizan l gica algebraica y las financieras utilizan l gica aritm tica Las calculadoras b sicas utilizan l gica aritm tica Por tanto es necesario tener cuidado al llevar a cabo operaciones con una calculadora financiera
13. lla y luego oprimir la tecla correspondiente a la funci n deseada Por ejemplo para elevar 5 al cuadrado se teclea el 5 y luego se oprime la tecla amarilla seguida de Para utilizar otras funciones la calculadora debe ponerse en determinado modo de funcionamiento mediante la tecla MODE Como el uso de estas teclas var a con la marca y el modelo de la calculadora el lector debe consultar el manual de instrucciones Algunas calculadoras cient ficas y financieras como la HP 17B II y la HP 19B II muestran men s en pantalla y algunas poseen la capacidad de graficar funciones Asimismo algunas pueden ser programadas Con respecto a la forma en que las calculadoras llevan a cabo las operaciones se tiene e L gica Aritm tica e L gica Algebraica e L gica RPN Las calculadoras con l gica algebraica est n programadas para realizarlos c lculos de acuerdo a las reglas del lgebra para el orden de las operaciones llamadas reglas de prioridad Reglas de Prioridad de las Operaciones Para evaluar expresiones matem ticas es necesario seguir un cierto orden establecido con el fin de garantizar que los c lculos s lo tengan un resultado El orden es el siguiente e En primer lugar se llevan a cabo todas las operaciones que se encuentren dentro de signos de agrupaci n par ntesis corchetes llaves e En segundo lugar se efect an las elevaciones a potencia y las ra ces e En seguida se resuelven las multipl
14. tener que escribir resultados intermedios que posteriormente ser n utilizados Las teclas de memoria com nmente usadas son Min o Almacena un n mero en la memoria MA Muestra en pantalla el n mero almacenado en la memoria M Suma el n mero en pantalla con el n mero almacenado en la memoria El contenido de la memoria puede ser borrado tecleando la secuencia O Min o bien apagando la calculadora Sin embargo existen calculadoras cuyo contenido de memoria no se borra al apagarla estas calculadoras son de memoria constante llamada tambi n memoria no vol til EJEMPLO 1 11 Resuelva el ejemplo 1 3 empleando la memoria SOLUCI N 165 XX 173 El Min 217 PJ 143 El 107 PJ 1 El gt 3 129 61 La tecla 71 es la tecla de cambio de signo la cual se usa para cambiar el signo del n mero presentado en pantalla Esta tecla permite introducir n meros negativos directamente EJEMPLO 1 12 Resuelva el ejemplo 1 6 empleando la memoria SOLUCI N En este caso se calcula primero el denominador y el resultado se almacena en la memoria 17 62 15 E Min A continuaci n se calcula el numerador y el resultado obtenido se divide entre el contenido de la memoria 0 96 3 PJ 14 8 734 K 6 10 El E gt 7 09462121212 EJEMPLO 1 13 Calcule la siguiente expresi n utilizando la memoria 32 6 25 491 17 5 7 97 SOLUCI N 0175579 D 49 27 El Min O 32 6 254 D YA 31 E El gt 652 370705332
15. x 10 7 20 M todo Se introducen los n meros expresados en notaci n cient fica en el orden en que est escrita la expresi n La secuencia de tecleo es 4 35 EXA 8 7 45 4 El 2 48 EXA 12 El gt 1 30675403226 x 10 7 Para resolver el ejemplo 1 16 utilizando la calculadora HP la secuencia de tecleo ser a 4 35 E 8 X 7 45 El 2 4 E 248 E 12 El gt 1 30675403226 x 10 7 Ejercicios 1 2 Escriba los siguientes n meros en notaci n cient fica 25 000 1 3 80 5 0 7 4 7 9 910 000 000 11 133 000 000 000 2 4 6 8 10 12 5 870 650 0 003 0 000 000 0066 0 000 775 0 000 000 0954 Escriba los siguientes n meros en notaci n normal 13 89x 106 15 8 4x 102 17 2 72x 10 19 14x10 21 8 52x 107 23 1x107 14 16 17x105 9x107 2 5436 x 106 3 48321734 x 106 4 5 x 102 7x10 Convierta cada n mero a notaci n cient fica y resuelva 25 26 2I 28 29 31 32 3 890 000 3 400 000 736 000 785 000 1 320 0 000 0186 8 106 000 0 000 000 102 1 260 000 000 000 0 000350 900 000 49 000 000 225 000 200 000 70 000 0 000005 1 400 000 0 0002 0 00377 3 88 x 10 18 1 26 x 10 3 6 x 107 x 10 257 600 2 65 183 000 134 745 000 35 La masa de la Tierra es de 6 590 000 000 000 000 000 000 toneladas Exprese este n mero en notaci n cient fica 36 La energ a que puede alcanzar un rayo l ser es de 10 000 0
16. za la resta La secuencia de tecleo es 77 PJ 143 O 708 279 7 14 O EJ7 El gt 98 01 La suma y la resta se llevan a cabo al final Primero se efect a la operaci n que est entre par ntesis 110 11 12 1 Se realiza la multiplicaci n y la divisi n La secuencia de tecleo es EJEMPLO 1 5 Obtenga el valor de 5 8 X 20 SOLUCION 5 8 X 20 0 625 X 20 Como la multiplicaci n y la divisi n se encuentran en el mismo nivel de prioridad el c lculo se efect a proce diendo de izquierda a derecha 125 La siguiente es la secuencia de tecleo 5 8 K 2 E 125 EJEMPLO 1 6 Calcule C 2048 73 416 1 17 6 15 SOLUCI N La expresi n anterior realmente significa 96 3 14 8 73 4 6 1 17 6 15 Si el resultado se obtiene directamente por medio de la calculadora la secuencia de tecleo es LO 96 3 14 8 4 73 4 2 61 O G O 17 6 0 150 El gt 7 0946212121212 Otra forma de resolver el problema ser a la siguiente 96 3 X 14 8 734 X 6 1 gt 176 El 15 gt 7 0946212121212 En este momento es necesario se alar que las respuestas obtenidas por el lector al resolver los problemas pueden diferir levemente de las respuestas dadas en el libro ya que las aproximaciones decimales pueden variar con el m todo de c lculo Igualmente las respuestas pueden variar si se utiliza una calculadora de 8 d gitos en vez de una de 10 o 12 d gitos Por ejemplo con una calculadora de 10 d gitos si tecleamos 18 500 0

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