formulaciones numéricas para el cálculo, diseño y evaluación de la
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1. RED DE TIERRAS i Ka OLN So OCG Qo RED DE TIERRAS i 2 RAILES oon Figura 3 Modelo II A Plano de la red de tierras B Distribuci n de potenciales x10 kV en superficie C Plano de la red de tierras y de los ra les D Distribuci n de potenciales x10 kV en superficie 13 I Colominas F Navarrina y M Casteleiro gt RED DE TIERRAS 140 y 120 100 60 40 202. 0 20 40 60 80 A B RED DE TIERRAS dl 2 RAILES semienterrados 100 4 60 40 20 C D Figura 4 Modelo III A Plano de la red de tierras B Distribuci n de potenciales x10 kV en superficie C Plano de la red de tierras y de los ra les D Distribuci n de potenciales x10 kV en superficie 14 lt I Colominas F Navarrina y M Casteleiro gt 3 R J Heppe Computation of potential at surface above an energized grid or other electrode IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems 98 1978 1988 1979 4 D L Garrett J G Pruitt Problems encountered with the APM of analyzing substation grounding systems IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems 104 3586 3596 1985 5 I Colominas C lculo y Dise o Asistido por Ordenador de tomas de tierra en instalacio nes el ctricas Una formulaci n num rica basada en el m todo integral de Elementos de Contorno Tesis Doctoral ETSICCP La Coru a 1995 6 I Colominas F Navarrina M Casteleiro A boundary element numerical approach for grounding grid computation Computer Methods in Applied Mechanics in Engineering 174 73 90 1999 7 M Casteleiro L A Hernand
3. 9 si se impone que se satisfaga la ecuaci n 3 en el sentido de residuos ponderados para todos los miembros w de una determinada clase de funciones de test w x definidas en T 6 8 Es obvio que una formulaci n basada en el M todo de Elementos de Contorno parece la mejor elecci n para resolver esta forma variacional 6 3 FORMULACI N NUM RICA DE ELEMENTOS DE CONTORNO El punto de partida del desarrollo de la formulaci n num rica lo constituye la discretizaci n de la densidad de corriente de p rdida o y la superficie de los electrodos I dados un conjunto de N funciones de prueba definidas en I un conjunto de M elementos de contorno 2D y un conjunto de M funciones de test definidas en T 5 6 De este modo es posible obtener las versiones discretizadas del potencial 3 y de la ecua ci n integral 9 as como una soluci n aproximada al problema mediante la resoluci n de un sistema de ecuaciones lineales como es usual en los modelos de elementos de contorno y ele mentos finitos 5 6 No obstante para el c lculo de los coeficientes de la matriz del sistema de ecuaciones resultante que es una matriz llena se requiere integrar dos veces en dominios bidi mensionales la superficie de los electrodos I siendo adem s muy elevado el n mero total de grados de libertad cuando se analiza un problema de inter s pr ctico Todo ello se complica a n m s si los n cleos integrales vienen dados por series de in
4. Colominas F Navarrina y M Casteleiro gt Tabla 2 Railes Caracteristicas Datos Numero de railes 2 Longitud de los ra les 130m Distancia entre ra les 1668 mm Di metro de los ra les 94 mm Profundidad 100 mm con una resistividad escalar aparente de 50 Qm La figura 2 A muestra la disposici n en planta de los electrodos de la red de tierras y la figura 2 B muestra la distribuci n de potenciales en la superficie del terreno cuando tiene lugar una derivaci n de corriente al mismo durante una situaci n de fallo La resistencia equivalente es de 0 2623 2 y la intensidad total de tierra de 38 12 kA La figura 2 C muestra la disposici n en planta de los electrodos de la red de tierras y la localizaci n de los ra les y la figura 2 D muestra la distribuci n de potenciales en la superficie del terreno teniendo en cuenta que los ra les act an de mallas pasivas y consecuentemente se produce transferencia de potenciales La resistencia equivalente es de 0 2613 Q y la intensidad total de tierra de 38 28 kA El coeficiente A de transferencia de potenciales es del 42 33 El modelo II corresponde a un modelo de terreno de dos capas El estrato superior tiene un espesor de 1 2 m y una resistividad escalar aparente de 50 Qm y el estrato inferior una resistividad de 500 Qm La figura 3 A muestra la disposici n en planta de los electrodos de la red de tierras y la figura 3 B muestra la distribuci n de potenciales
5. amp E donde r 21 y indica la distancia de x a Ey 2 siendo el punto Ey el sim trico de con respecto a la superficie del terreno T p Se asume que el origen de coordenadas est en la superficie del terreno y el eje z es perpendicular a I g Para el modelo de suelo de dos capas el n mero de sumandos de las series es infinito 4 00 ku x1 Ko Co ki r t lEz Ey 21H EJ e r z lz Ey 21H E gt gt i ki K 5 r 21 Ey 21 Es 1 r x1 lEs y 2H ED i l lt I Colominas F Navarrina y M Casteleiro gt 1 k x r za Es Ei 21H El 1 1 ki2 x2 i o Ll eos Ey 26H Es Me 1 k r z ETE EJ ia 1 k ka a1 a E Es ey 2H E y co files Bie 1 DE 1 21 A TEA dalt SEED r 2o n Ey F 5 donde r x y indica la distancia de x a Los otros t rminos corresponden a las dis tancias de x al punto sim trico de con respecto a la superficie del terreno Tp y a la frontera entre las capas H es el espesor de la capa superior Se asume que el origen de coordenadas est sobre la superficie del terreno y que el eje z es perpendicular a lp El cociente se define a partir de las conductividades de las capas _ NV 6 Aira Con car cter general es did expresar el n cleo integral k w en la forma Y K kbe
6. culo se analizan y cal culan problemas de potenciales inducidos por tomas de tierras de subestaciones considerando modelos de terreno no uniformes y concretamente estratificados en dos capas As en primer lugar se resume brevemente la formulaci n num rica empleada y el modelo bicapa considerado y se presenta el an lisis del problema de transferencia de potenciales Finalmente se muestran algunos ejemplos haciendo uso de la geometr a real de una red de tierras de una subestaci n el ctrica considerando diversos tipos de modelo de terreno lt I Colominas F Navarrina y M Casteleiro gt 1 INTRODUCCION Los principales objetivos de un sistema de tierras de una instalaci n el ctrica son los de ga rantizar la integridad de los equipos y asegurar la continuidad del suministro de electricidad y salvaguardar que una persona que se encuentre en las proximidades de la instalaci n no pueda sufrir una descarga el ctrica peligrosa Para estos fines la resistencia equivalente del sistema de tierras debe ser lo suficientemente baja para que las corrientes de fallo se disipen principalmente en el terreno a trav s del sistema de tierras en tanto que las mayores diferencias de potencial entre puntos en los que una persona pueda estar en contacto deben ser inferiores a determina dos l mites m ximos establecidos por las normativas de seguridad de este tipo de instalaciones tensiones de malla tensiones de paso y tensiones de contacto 1
7. ctrica interna de los electrodos que forman la red de tierras es despreciable por tanto el potencial se asume constante en la superficie de los electrodos las ecuaciones que rigen la derivaci n de corriente vienen dadas por div a 0 o ygrad V en E o n 0enT y V VW enT V 0 si la gt 1 siendo E el terreno y su tensor de conductividad I la superficie del terreno n su versor normal unitario exterior y I la superficie de los electrodos 6 En consecuencia cuando el electrodo de tierra adquiere un potencial Vp conocido llamado Sobretensi n de Tierra o GPR por las siglas del nombre en ingl s Ground Potential Rise la soluci n de 1 permite obtener el potencial V y la densidad de corriente en cualquier punto x Asimismo se pueden obtener la densidad de corriente de p rdida o que emana de un punto de I o 0 n siendo n el versor normal exterior a I la resistencia equivalente del sistema y la intensidad total de corriente 6 El modelo de suelo m s frecuentemente considerado en los m todos propuestos para an lisis de redes de tierra es el de suelo homog neo e is tropo donde el tensor de conductividad y es sustituido por un escalar y Esta hip tesis no introduce errores significativos cuando la conductividad del terreno var a poco en las cercan as de la red de tierra o con la profundidad Sin embargo cuando las propiedades el ctricas del suelo var an significativamente por la natu
8. transferido a otras zonas incluso fuera de la propia instalaci n el ctrica por conductores enterrados tales como tuber as met licas ra les cierres met licos etc Es evidente que esta circunstancia puede producir serios da os y debe ser evitada para garantizar la seguridad de las personas e incluso de animales que se encuentren en las inmediaciones y asegurar la integridad de otros equipos el ctricos o electr nicos 14 La importancia de este problema radica en las elevadas diferencias de potencial que se pro ducen en zonas inesperadas El principal peligro suele ser del tipo potencial de contacto esto es cuando una persona situada en una zona alejada de la instalaci n el ctrica toca un conductor conectado a la red de tierras o toca un conductor no directamente unido a la red de tierras pero con un elevado nivel de voltaje producido por una transferencia de potenciales de tierra En la mayor parte de los casos la diferencia de potencial es suficientemente baja para cons tituir un serio peligro para las personas o animales Sin embargo la presencia de gradientes de potencial sobre la superficie del terreno puede producir da os a personas sensibles como ni os o afectar a los animales Por otra parte la presencia de estos potenciales transferidos a trav s de conductores enterrados puede producir el funcionamiento an malo de los equipos electr nicos o distorsiones en los instrumentos de medici n para los que pueden adopt
9. 2 Desde los a os sesenta se han propuesto un gran n mero de m todos para el c lculo y an lisis de este tipo de instalaciones la mayor parte basados en consideraciones de tipo pr ctico o en ideas intuitivas B Aunque estas t cnicas supusieron un notable avance se han consta tado numerosos inconvenientes tales como sus limitaciones en cuanto al n mero m ximo de conductores de la red de tierras su disposici n y el tama o de la instalaci n a proteger 1 o los elevados requerimientos computacionales los resultados poco realistas que se obtienen al incrementar la discretizaci n de los electrodos y la incertidumbre en el margen de error 4 En los ltimos a os los autores del presente art culo han desarrollado una formulaci n nu m rica basada en el m todo de elementos de contorno para el an lisis de redes de tierra con modelos de terreno is tropo y homog neo Muchos de los m todos intuitivos empleados en la pr ctica se ha podido identificar como casos particulares de esta formulaci n general 5 6 De esta forma se ha podido explicar matem ticamente el comportamiento asint tico an malo de esos m todos se han establecido las fuentes de error y c mo subsanarlas y se han propuesto nuevas formulaciones num ricas m s eficientes y precisas para la resoluci n de este tipo de problemas 5 6 Esta formulaci n se ha aplicado con xito al an lisis de tomas de tierra reales de grandes instalaciones el ctricas con un c
10. Congreso de M todos Num ricos en Ingenier a 2005 Granada 4 a 7 de julio 2005 SEMNI Espa a 2005 FORMULACIONES NUMERICAS PARA EL CALCULO DISENO Y EVALUACION DE LA SEGURIDAD DE LAS REDES DE TIERRA DE INSTALACIONES ELECTRICAS I Colominas F Navarrina y M Casteleiro GMNI Grupo de M todos Num ricos en Ingenier a Depto de M todos Matem ticos y de Representaci n Universidad de A Coru a E T S de Ingenieros de Caminos Canales y Puertos Campus de Flvi a 15071 A Coru a Espa a e mail icolominas udc es web http caminos udc es gmni Palabras clave Tomas de tierra M todo de Elementos de Contorno Modelos de Terreno Multicapa Potenciales transferidos Resumen La determinaci n de los niveles de potencial en la superficie del terreno cuando tiene lugar una derivaci n de corriente es fundamental en el c lculo y dise o de redes de tierras de subestaciones el ctricas En el presente trabajo se presenta una formulaci n num rica del m todo de elementos de contorno para el an lisis de un problema com n en la ingenier a el ctrica como es la exis tencia de potenciales transferidos en una instalaci n de puesta a tierra La transferencia de po tenciales entre la zona puesta a tierra y puntos exteriores de la misma a trav s de conductores enterrados tales como circuitos de comunicaci n neutros tuber as ra les o cierres perif ricos met licos puede producir serios problemas de seguridad En este art
11. alla activa que disipa al terreno una intensidad de tierra desconocida Ig mientras que los conductores adiciona les responsables de la tranferencia de potenciales que adquieren una fracci n desconocida del potencial dado por el GPR constituyen una malla pasiva de la que no emana corriente al terreno La importancia de estos potenciales transferidos obviamente disminuir si la malla pasiva est alejada de la malla activa y sus efectos ser n locales no obstante en general se pueden producir diferencias de potencial no despreciables en la superficie del terreno en zonas en los que no se esperan incluso fuera del recinto de la instalaci n el ctrica El an lisis de los potenciales transferidos desde la malla activa a la malla pasiva se puede llevar a cabo por superposici n de estados elementales dado el car cter lineal de las ecuaciones que gobiernan el fen meno de la disipaci n de corriente el ctrica en un medio Los dos estados elementales que se pueden considerar son estado 1 la malla activa con una sobretensi n de 1 V y la malla pasiva a O V y estado 2 la malla activa con una sobretensi n de O V y la malla pasiva a 1 V Establecidos estos valores unitarios de potencial en los distintos electrodos se puede aplicar la formulaci n num rica de elementos de contorno presentada en las secciones anteriores y calcular para cada estado elemental las intensidades de corriente total
12. ansferencia de potenciales La re sistencia equivalente es de 0 4793 Q y la intensidad total de tierra de 20 86 kA El coeficiente A de transferencia del GPR es del 25 58 10 lt I Colominas F Navarrina y M Casteleiro gt Como es de esperar para un mismo modelo de terreno es obvio que no hay diferencias sig nificativas en la distribuci n de potenciales en la superficie del terreno ni en las tensiones de paso ni de contacto en el rea que comprende la red de tierras de la subestaci n el ctrica tanto si se consideran los ra les como si no Con respecto a la resistencia equivalente hay muy ligeras diferencias dado que los ra les act an como mallas pasivas y no son propiamente electrodos que disipen corriente al terreno Antes al contrario los ra les crean ciertos efectos de homo geneizaci n de los niveles de potencial en algunas zonas as como importantes gradientes de potencial en otras Obviamente esta situaci n es sumamente peligrosa cuando dichos gradien tes de potencial se producen en puntos alejados de la subestaci n el ctrica o incluso fuera de la misma en zonas en principio no protegidas por una red de tierras Si se comparan los resultados del an lisis de la transferencia de potenciales entre los distintos modelos de terreno se observan importantes diferencias tanto en la distribuci n de potenciales en la superficie del terreno como en los valores de la resistencia equivalente del sistema y la intensi
13. arse medidas espec ficas 16 En general pueden considerarse dos casos principales de potenciales transferidos a la trans ferencia de la Sobretensi n de Tierra Ground Potential Rise GPR a puntos distantes de las instalaci n por medio de un conductor unido directamente a la red de tierras y b la trans ferencia de una fracci n del GPR a puntos alejados de la instalaci n debido a la presencia de conductores pr ximos a la red de tierras pero no conectados directamente a ella En ambos ca sos la distribuci n del potencial en la superficie del terreno se modificar significativamente lo que puede dar lugar a un serio problema de seguridad cuando afecta a zonas no protegidas 13 Aunque es evidente que el mejor modo de tratar estos problemas es evitando los potenciales de tierra transferidos ello no siempre es posible Por ejemplo en grandes subestaciones el ctri cas a menudo existen ra les para la instalaci n de los transformadores y otros grandes equipos que frecuentemente se extienden fuera de la subestaci n y pueden ser elementos que transfieran lt I Colominas F Navarrina y M Casteleiro gt potenciales de tierra a puntos lejanos de la instalaci n el ctrica durante una situaci n de fallo 17 Los m todos que se emplean para prevenir estos peligrosos potenciales por ejemplo el uso de juntas aislantes o la retirada de algunos tramos de los ra les est n basados generalmente en la experiencia profesional en
14. as a n m s el esfuerzo computacional necesario 5 6 La diferente selecci n de tipos de funciones de prueba y de test en el planteamiento num rico 1D permite desarrollar formulaciones espec ficas e identificar los m todos intuitivos y de tipo pr ctico empleados en el c lculo de tierras como casos particulares de la formulaci n general de 6 lt I Colominas F Navarrina y M Casteleiro gt elementos de contorno con lo que es posible explicar desde un punto de vista matematicamente riguroso los problemas encontrados con la aplicaci n de estos m todos 5 El resultado es una formulaci n num rica rigurosa y bien fundamentada con unos requisitos computacionales perfectamente asequibles tanto en tiempo de computaci n como en memoria para el an lisis y dise o de sistemas de puesta a tierra de grandes instalaciones el ctricas pudi ndose considerar diferentes modelos de terrenos 6 8 Este formulaci n num rica de elementos de contorno ser la base para el c lculo de las redes de tierra y el an lisis de los potenciales inducidos 4 AN LISIS DE POTENCIALES DE TIERRA TRANSFERIDOS Se denomina transferencia de potenciales de tierra al fen meno por el que un potencial de tierra de una instalaci n aparece en otra parte 13 En circunstancias de fallo la malla de tierra de una subestaci n el ctrica puede adquirir un potencial de miles de voltios Este nivel de potencial o una fracci n del mismo puede ser
15. ble la obtenci n de soluciones anal ticas y haciendo computacio nalmente inviable el empleo de t cnicas de discretizaci n del dominio tridimensional como el m todo de elementos finitos o de diferencias finitas Por ello se han considerado otros m todos num ricos que s lo requieran la discretizaci n de los contornos en este caso las paredes de los electrodos por lo que es necesario en primer lugar obtener una expresi n integral para el potencial V en t rminos de inc gnitas definidas en el contorno 6 8 As la aplicaci n del m todo de las im genes y de la Identidad de Green al problema 2 conduce a la siguiente expresi n integral 1 para el potencial V x en un punto arbitrario e Ee en t rminos de la densidad de corriente emanada o o on donde n es el vector normal exterior a 1 de e punto de la superficie del electrodo I C Fy E Kbel Te o Ejdl Vr Fe 3 V Ze a donde los n cleos integrales ky 2 est n formados por series de t rminos correspondientes a las im genes obtenidas cuando el problema exterior de Neumann 2 es transformado en uno de Dirichlet por el m todo de las im genes 1 9 El n mero de sumandos de estas series ser finito o infinito dependiendo del modelo de suelo empleado Para el modelo de suelo uniforme C 1 el n mero de sumandos es 2 ya que s lo hay una imagen de la malla original 6 ku x1 l r a EE Ed r an En
16. c lculos muy aproximados y en algunas ocasiones en mediciones experimentales 18 En la actualidad el desarrollo de m todos computacionales para el c lculo de las redes de tierra permite una determinaci n precisa de los potenciales de tierra transferidos A continuaci n se propone una metodolog a para el an lisis de estos poten ciales basado en una formulaci n num rica de elementos de contorno 5 C LCULO DE POTENCIALES TRANSFERIDOS De los dos casos principales de potenciales transferidos el que corresponde a la conexi n el ctrica directa entre la red de tierras y los conductores adicionales no implica cambios signifi cativos en la formulaci n num rica ya que dichos conductores act an formalmente como parte de la red de tierras 5 Sin embargo si no hay interconexi n entre la red de tierras y los conductores adicionales el an lisis de los potenciales transferidos es m s complicado ya que dichos conductores adquieren un cierto nivel de potencial una fracci n del GPR por su proximidad a la red de tierras que es desconocido a priori Por consiguiente es preciso obtener dicho potencial as como los restantes par metros que caracterizan el sistema la distribuci n de potencial en superficie los potenciales de paso y contacto la resistencia equivalente etc La idea fundamental para resolver este problema consiste en considerar que la malla de elec trodos de tierra que adquiere el potencial dado por el GPR es una m
17. ci n REFERENCIAS 1 IEEE Std 80 IEEE Guide for safety in AC substation grounding New York 1999 2 J G Sverak W K Dick T H Dodds R H Heppe Safe substation grounding IEEE Tran sactions on Power Apparatus and Systems 100 4281 4290 1981 y 101 4006 4023 1982 11 I Colominas F Navarrina y M Casteleiro gt RED DE TIERRAS 140 y 120 100 WAN EX RED DE TIERRAS Y 120 2 RAILES semienterrados N 100 Figura 2 Modelo I A Plano de la red de tierras B Distribuci n de potenciales x10 kV en superficie C Plano de la red de tierras y de los ra les D Distribuci n de potenciales x10 kV en superficie 12 lt I Colominas F Navarrina y M Casteleiro gt
18. dad total de tierra Estos an lisis de potenciales transferidos considerando modelos de terreno estratificados son a juicio de los autores la primera vez que se llevan a cabo y ponen de manifiesto la gran importancia que tiene la correcta caracterizaci n de la geometr a y caracte r sticas resistivas del terreno as como el disponer de una formulaci n num rica consistente y bien fundamentada para llevar a cabo los c lculos a pesar del aumento de coste computacional que pueden requerir 7 CONCLUSIONES En este art culo se ha revisado brevemente el modelo matem tico del fen meno f sico que subyace a la disipaci n de corriente el ctrica en un terreno a trav s de una toma de tierra y se han resumido los aspectos m s sobresalientes de la formulaci n num rica de elementos de contorno para modelos multicapa desarrollada por los autores para el an lisis de este tipo de problemas Asimismo se ha presentado por primera vez el an lisis de potenciales transferidos de instalaciones el ctricas por la presencia de elementos conductores enterrados en las pro ximidades de una red de toma de tierras considerando modelos de terreno uniforme y bicapa AGRADECIMIENTOS Este trabajo ha sido parcialmente financiado por la SGPICT del Ministerio de Educaci n y Ciencia DPI2004 05156 cofinanciado con fondos FEDER as como por la Secretar a Xeral de I D de la Xunta de Galicia y por la Universidad de La Coru a mediante proyectos y becas de investiga
19. en la superficie del terreno cuando tiene lugar una derivaci n de corriente al mismo durante una situaci n de fallo La resistencia equivalente es de 1 882 2 y la intensidad total de tierra de 53 13 kA La figura 3 C muestra la disposici n en planta de los electrodos de la red de tierras y la lo calizaci n de los ra les y la figura 3 D muestra la distribuci n de potenciales en la superficie del terreno con los ra les actuando de mallas pasivas y la consiguiente transferencia de poten ciales La resistencia equivalente es de 1 854 Q y la intensidad total de tierra de 53 95 kA El coeficiente A de transferencia del GPR es del 25 58 El modelo III corresponde a un modelo de terreno de dos capas El estrato superior tiene un espesor de 1 2 m y una resistividad escalar aparente de 500 2m y el estrato inferior una resistividad de 50 2m La figura 4 A muestra la disposici n en planta de los electrodos de la red de tierras y la figura 4 B muestra la distribuci n de potenciales en la superficie del terreno cuando tiene lugar una derivaci n de corriente al mismo durante una situaci n de fallo La resistencia equivalente es de 0 4795 2 y la intensidad total de tierra de 20 85 kA La figura 4 C muestra la disposici n en planta de los electrodos de la red de tierras y la loca lizaci n de los ra les y la figura 4 D la distribuci n de potenciales en la superficie del terreno con los ra les como mallas pasivas y la correspondiente tr
20. es que fluyen por unidad de voltaje para cada malla 211 142 tp Y p2 donde A se refiere a la malla activa P denota la malla pasiva y los n meros indican cada estado elemental En el estado final la malla activa adquiere un potencial igual al GPR de la instalaci n y la lt I Colominas F Navarrina y M Casteleiro gt Tabla 1 Red de Tierras Caracteristicas Datos Numero de electrodos 408 Di metro de los electrodos 12 85 mm Profundidad de la malla 0 80 m Dimensiones m ximas de la red 145x90 m Sobretensi n de Tierra GPR 10kV malla pasiva adquiere un potencial constante desconocido esto es la fracci n A del GPR En consecuencia este estado final se obtendr de la superposici n de los estados elementales previos el estado 1 ponderado por el GPR de la malla activa Vp y el estado 2 ponderado por la fracci n A del GPR Vp Finalmente el coeficiente A y la intensidad de corriente total que se deriva al terreno Ig se puede calcular imponiendo que la descarga de corriente se produce solamente en la malla activa las corrientes de fallo se derivan nicamente por la toma de tierra e imponiendo a su vez que no se deriva corriente por la malla pasiva ya que no hay uni n el ctrica entre estos conductores y los de la red de tierras 5 En consecuencia hay que resolver el sistema la Vptai AVr ias O Vr ip AVp ips 10 Una v
21. ez I Colominas F Navarrina Memoria y Manual de Usuario del Sistema TOTBEM de DAO de tomas de tierra de instalaciones el ctricas ETSICCP La Corufia 1994 8 I Colominas F Navarrina M Casteleiro A numerical formulation for grounding analysis in stratified soils IEEE Transactions on Power Delivery 17 587 595 2002 G F Tagg Earth Resistances Pitman New York 1964 E Durand Electrostatique Masson Paris 1966 A N Kolmogorov S V Fomin Introductory Real Analysis Dover Pub USA 1975 F Navarrina I Colominas M Casteleiro Why do computer methods for grounding analy sis produce anomalous results IEEE Transactions on Power Delivery 18 1192 1202 2003 13 Shipp D D Nichols N Designing to avoid hazardous transferred earth potentials JEEE Transactions on Industry Applications 1A 18 no 4 1982 14 IEEE Std 142 1991 IEEE Recommended practice for grounding of industrial and com mercial power systems New York 1996 15 Dick W K Winter D F Computation measurement and mitigation of neutral to earth potentials on electrical distribution systems JEEE Transactions on Power Delivery 2 no 2 1987 16 IEEE Std 81 1983 IEEE Guide for measuring earth resistivity ground impedance and earth surface potentials of a ground system New York 1983 17 Garrett D L Wallace K A A critical analysis of grounding practices for railroad tracks in electric utility stations IEEE Transactions on Power De
22. ez se conocen la intensidad de tierra Ig y la fracci n A es posible calcular la distri buci n de potencial en cualquier punto de la superficie del terreno y la resistencia equivalente del sistema as como las tensiones de paso y de contacto en cualquier punto de la instalaci n el ctrica o de sus alrededores La extensi n de esta formulaci n para considerar la presencia de varias mallas pasivas es inmediata 6 EJEMPLOS DE AN LISIS DE POTENCIALES TRANSFERIDOS CON DIFERENTES MODELOS DE TERRENO La metodolog a expuesta se ha aplicado al an lisis de los potenciales transferidos a ra les de ferrocarril pr ximos a la red de tierras de una subestaci n el ctrica Con el fin de demostrar la viabilidad de la formulaci n a un caso pr ctico se ha elegido la geometr a de la red de tierras de una subestaci n real formada por 408 conductores cil ndricos enterrados a una profundidad de 80 cm con una Sobretensi n de Tierra GPR es de 10 kV Tabla 1 Asimismo en los ejemplos que se presentan se han considerado la presencia de ra les semi enterrados en las proximidades de la red de tierras y cuyas caracter sticas se indican en la Tabla 2 En este art culo se han considerado tres tipos de modelos de terreno En todos los casos que se presentan a continuaci n se ha empleado una formulaci n num rica de elementos de contorno 1D lineales El modelo I consiste en suponer que el terreno es uniforme esto es is tropo y homog neo lt I
23. finitos sumandos ya que es preciso realizar un alt simo n mero de evaluaciones de stos Por todo ello se hace necesario introducir hip tesis adicionales que permitan reducir la complejidad del problema 5 8 La formulaci n num rica final de elementos de contorno 1D BEM1D propuesta por los autores es la resultante de asumir que la densidad de corriente es uniforme a lo largo del per metro de la secci n transversal de los conductores no tener en cuenta los efectos de disipaci n de corriente en los extremos y uniones entre los conductores de la red de tierras y aproximar las distancias que intervienen en los n cleos integrales en t rminos de las distancias entre las proyecciones de los puntos sobre el eje de los electrodos De hecho esta hip tesis es consecuen cia de integrar mediante una cuadratura de Newton Cotes las integrales circunferenciales que se obtienen al introducir la hip tesis de uniformidad circunferencial de la densidad de corriente de p rdida 5 6 Con estas hip tesis el c lculo de los coeficientes de la matriz del sistema de ecuaciones resultante requiere ahora integrar dos veces en dominios unidimensionales los ejes de los electrodos siendo el n mero total de grados de libertad mucho menor que en el modelo 2D Adem s el grupo de investigaci n al que pertenecen los autores del presente art culo ha de sarrollado el c lculo anal tico de las integrales que intervienen en esta formulaci n reduciendo
24. l He E kiel Lo y kilo apn 7 r z donde 4 es un coeficiente de ponderaci n que depende s lo del cociente k dado por 6 y r x es la distancia eucl dea entre los punto z y siendo el punto sobre la superficie del electrodo y siendo 1 4 0 las im genes de con respecto a la superficie del terreno y a las fronteras entre capas 81 9 Finalmente l es el n mero de sumandos de las series de n cleos integrales que depende del modelo de suelo que se haya considerado En resumen a partir de la expresi n 3 es posible determinar el potencial el ctrico en un punto arbitrario e si se conoce la densidad de corriente emanada de los electrodos o Y a partir de o se pueden calcular la corriente total emanada de la red de tierra su resistencia equivalente y la mayor a de los par metros de seguridad que caracterizan una red de tierras 1 6 Dado que la expresi n integral 3 se verifica tambi n sobre la superficie de los electrodos I en la que el valor del potencial es conocido por la condici n de contorno V x 1 Vx I la densidad de corriente de p rdida o debe satisfacer la ecuaci n integral de Fredholm de primera clase definida en I 1 i Jh D ver 6 lt I Colominas F Navarrina y M Casteleiro gt que puede escribirse en t rminos de una forma variacional mediante la ecuaci n integral k dl 1 d 0 9 Jhe olf lX o
25. livery 8 90 96 1993 18 IEEE Std 665 1987 IEEE Guide for generating station grounding New York 1987 9 10 11 12 Ga A eg ee er 15
26. oste computacional perfectamente asumible tanto en tiempo de c lculo como de requerimientos de memoria 5 7 Asimismo esta formulaci n de elementos de contorno se ha generalizado para el an lisis de redes de tierra en terrenos estratificados tanto vertical como horizontalmente pudi ndose resolver casos de gran inter s pr ctico en la ingenier a el ctrica terreno con conductividad uni forme terreno con nivel fre tico a profundidad conocida terreno con capa superior de diferente conductividad debido al relleno posterior a la colocaci n de la red de tierra terreno con cambio de propiedades en planta terreno retenido por un muro vertical entre otros En este art culo se presenta una metodolog a num rica basada en el m todo de elementos de contorno para abordar el an lisis de un importante problema de aplicaci n en ingenier a el ctrica como es la existencia de potenciales transferidos en una instalaci n de puesta a tierra considerando diversos tipos de modelos de terreno lt I Colominas F Navarrina y M Casteleiro gt Figura 1 Esquema de un modelo de terreno de dos capas 2 MODELO MATEM TICO DEL PROBLEMA F SICO El problema asociado a la disipaci n de corriente el ctrica en el suelo se puede modelizar mediante la Teor a del Electromagnetismo de Maxwell 10 As restringiendo el estudio a la obtenci n de la respuesta electrocin tica en estado estacionario 1 6 y considerando que la resistencia el
27. raleza del material o por su humedad se han de emplear modelos de terreno m s sofisticados Estos m todos consistir n en la simplificaci n de todas las variaciones de las propiedades a una clasificaci n del suelo por capas o estratos Suele aceptarse que modelos de 2 capas figura 1 deber an ser suficientes para modelizar casos en los que ocurra esto I Generalizando en la hip tesis de un modelo de suelo estratificado en C capas de diferentes conductividades el problema matem tico puede ser escrito en t rminos del siguiente problema exterior de Neumann 8 div o 0 Ce y grad V en Ee 1 lt c lt C din 0enTz V 1enT V gt 0si lx gt oo otn ot ne enr 1 lt c lt C 1 2 lt I Colominas F Navarrina y M Casteleiro gt donde b denota la capa en que est embebido el electrodo E es cada una de las capas de suelo Ye es su conductividad escalar V es el potencial en un punto arbitrario de una capa Ee Oc es su correspondiente densidad de corriente I es la superficie entre las capas E and E 1 y ne es el vector normal a I 8 Dado que el problema es lineal la condici n de contorno V Vp en I puede sustituirse por el valor unitario V 1 en I y posteriormente escalar los resultados La geometr a espec fica de las redes de tierra en la pr ctica electrodos con relaciones di metro longitud muy peque as 10 complica enormemente la modelizaci n del problema siendo absolutamente imposi
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