DE LAMINAS DELGADAS
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1. J M MARTINEZ JIM 96 ac P Re a 2 vo 55 2 04 gt ada Rz BEEN G uU de p Go E o 8 E 22 cO 0 o 5 amp Y gt x7 o0 ed T X 10 10 o MB A NO EN E S CQ R ada planta cuadr 4 bordes empotrados 5 o d 9 E a 3 B ESI 52 Le e T Q T Ez x xq o e co 3 l s i e 2 2 o zi 2 E E v ET Y E O I t o d 5 8 5 B 5 4 v 4 E A 5 E 3 3 8 8 o E cx C 2 2 lt b o O E 08m 0 EOS 0550 20x 20x 4 x2 1 S 2 Po 2T m empotrada 4 borde Cosenoidal aria Vel C lculo con T P tor estabil Fac 1Ca a crit Carg Autovalor FIABILIDAD DE LAS CARGAS CR TICAS DE L MINAS DELGADAS 97 M E F L mina esf rica s planta cuadrada 20x20x0 08x4m empotrada 4 bordes p 0 25 E 2 1 10 T m Con T P Factor estabilidad Carga cr tica Corrim punto cenital 0 01331 3T m p 0 25 E 2 1 x 108 e 0 08 0 03009 Velaria paraboloidal 20 x 20 x 4 Po empotrada 4 bordes C lculo con T P tipo placa Factor estabilidad 1804 Carga cr tica 21 65 kp ko kz ko si Med eleme Ko 1869 1869 1869 1869 2866411869 1869 1869 kr d Q con kp 0 Med eleme k 0011 0029 0 02. 3 C J Parekh Arch dams analysed by a linear finite element shell solution program P S A D I C Ing Londres 1968 4 FE Escrig Pandeo de paraboloides hiperb licos T D Sevilla 1980 J M Martinez Pandeo de Estructuras laminares velarias T D Valencia 1988 J M Martinez Elemento triangular curvo isoparam trico de 30 G D L para C lculo de placas y l minas X Congreso N de Ing Mec Madrid 1992 B Ballesteros Parabolic velaroidal Shell Cong IRSS Budapest 1966 I Canals The velaria shell Bulletin of the IASS no 14 LE T C C H P Harrestein Funicular shell Bulletin of the IASS no 24 Ansys Manual de usuario A Garc a Garmendia Utilizaci n de superficies velarias como estructuras laminares sobre un rect ngulo y su c lculo por diferencias finitas T D Valencia 1979 D y M o E OM MO
3. la normal es nula para todo punto de la placa Puesto que son los t rminos no lineales de las deformaciones que se expresan a trav s del desplazamiento lateral W los que dan lugar a los elementos de kj quiere esto decir que en tanto el plano medio no sufra flexi n tanto W como sus derivadas ser n nulas en todos los puntos y en consecuencia Kk es id nticamente nula La misma consideraci n cabe hacer en el caso de l minas si en cada punto consideramos el plano tangente a la superficie y un diferencial de rea en equilibrio en el entorno del punto DETERMINACI N DE CARGAS DE PANDEO La obtenci n de la carga de pandeo es m s sencilla de concepto aunque m s complicado el proceso Consiste en determinar los corrimientos que corresponden a cada escal n de carga seg n las ecuaciones no lineales de equilibrio y determinar para qu escal n se hacen indeterminadas o muy grandes El caso de corrimientos indeterminados corresponder en el diagrama de equilibrio al punto de tangente horizontal pero antes podemos haber llegado a un punto de tangente muy tendida de tal modo que a peque os incrementos de carga corresponden grandes incrementos en los corrimientos En cualquier caso la carga cr tica es una cota superior de la carga de pandeo FIABILIDAD DE LAS CARGAS CR TICAS DE L MINAS DELGADAS 93 FACTORES DE INCERTIDUMBRE EN LAS CARGAS CRITICAS CALCULADAS Es conocido que el c lculo de una l mina puede acometerse aproximand
4. 0 CARACTERISTICAS GEOMETRICAS 45000 CRM 40000 PLANT DE CUBIERTA 20 A 20 metros 35000 ESPESOR DE CUBIERTA 10 centimetros 30000 A R RIST CANI e CA ACTERIS VONG MEC ha LCAS 20000 EX EY 2 06e 10 New m 2 GXY 8 58e 09 mxQ raus NUXY 0 20 5000 2500 8 gt CORRIMIENTO UY m Velaria Cosenoidal empotrada altura 1 5 metros FIABILIDAD DE LAS CARGAS CR TICAS DE L MINAS DELGADAS 101 CARGA Qy New m 2 Elemento 63 Pared delgada 53250 53150 40000 CARACTERISTICAS MECANICAS CARACTERISTICAS GEOMETRICAS A 30000 EX EY 2 06e 10 New m 2 PLANTA DE CUBIERTA 20 20 metros A A NA 20950 GXY 585 09 New m 2 ESPESOR DE CUBIERTA 10 centimetros AE NUXY 8 20 10000 5000 2500 0 036 CORRIMIENTO UY m Velaria Paraboloidal apoyada altura 1 5 metros Elemento 63 CARGA Qy New m 2 Pared deisada mibi arec gada 103750 E 103700 80000 CARACTERISTICAS MECANICAS CARACTERISTICAS GEOMETRICAS A 5 O CIN AS EX EY 2 068 10 New m 2 PLANTA DE CUBIERTA 20 20 metros 40000 i GXY 8 5Be 09 New m 2 ESPESOR DE CUBIERTA 10 cent metros gt 77 T EMIL sU NUXY D 2U0 20000 10000 2500 A A A A A 5 Ha M MM M 5 e Q061 CORRIMIENTO UY m Velaria Paraboloidal empotra
5. 66 0 15 P236 F BRG ko A ke podemos apreciar que en todos los casos en tanto el par metro media de elementos de k sea poco apreciable el valor calculado para la carga cr tica es un valor estable y 98 J M MART NEZ JIM NEZ Y R L PEZ PALANCO por tanto el valor presumible de c lculo en los cuadros precedentes hemos sombreado los escalones de carga en que dejan de cumplirse los citados requisitos Para las mismas superficies los diagramas de equilibrio obtenidos con el elemento Stif 63 son CARGA Oy New mx 2 Elemento 63 128000 pared delgada NUXY 0 20 124000 pem ru 110000 CARACTERISTICAS GEOMETRICAS 100000 BK PLANTA DE CUBIERTA 20 20 metros 90000 ms de 80000 x ESPESOR DE CUBIERTA 10 centimetros 78000 ASA 70000 cU CARACTERISTICAS MECANICAS 55000 M M i EX EY 2 06e 10 New m 2 GXY s B 5Be 09 New m 2 25000 EAA 5 NE oon pss CORRIMIENTO UY m Velaria Cosenoidal apoyada altura 4 metros CARGA Oy Now m 2 Elemento 63 165000 pared delgada 150000 14 dd CARACTERISTICAS GEOMETRICAS 130000 i 125000 PLANTA DE CUBIERTA 20 20 metros 408300 ESPESOR va CUBIFRTA oco aine CARACTERISTICAS MECANICAS 75000 EE EX EY 2 06e410 New m 2 5 a GXY 8 58e400 Now m 2 25000 NUXY 0 20 CORRIMIENTO UY m Velaria Cos
6. Revista Internacional de M todos Num ricos para C lculo y Dise o en Ingenier a Vol 11 1 91 103 1995 FIABILIDAD DE LAS CARGAS CR TICAS DE L MINAS DELGADAS ESTUDIADAS POR ENSAMBLAJE DE ELEMENTOS PLANOS TRIANGULARES EN EL M E F J M MART NEZ JIM NEZ y R L PEZ PALANCO Departamento de Mec nica Departamento de Medios Continuos E U Polit cnica Universidad de C rdoba E T S A Universidad de Sevilla RESUMEN El presente trabajo tiene por objeto poner de relieve el alto grado de confianza que podemos depositar en el valor de las cargas cr ticas calculadas en l minas asismiladas por ensamblaje de elementos planos m todo de E F triangulares tipo placa sometidas a cargas gravitatorias uniformemente distribuidas SUMMARY The objective of the current work is to emphasize the high grade of confidence that we can entrust in the value of the calculated critical loads in shells assimulated by the assembly of plan elements E F method triangular plates subject to uniformly gravitatory distributed heavy loads DETERMINACI N DE CARGAS CR TICAS MEDIANTE EL M E F Como sabemos la obtenci n de las ecuaciones de equilibrio siguiendo principios energ ticos es consecuencia de la estacionariedad del funcional energ a potencial total del sistema E Q que cuando E es un funcional de segundo grado nos conduce a un sistema de ecuaciones K U P Esta condici n debe acompa arse para que el equilibri
7. U Q que nos permite para un determinado nivel de cargas calcular autovalores y vectores 94 J M MART NEZ JIM NEZ Y R L PEZ PALANCO propios y con ello el menor de los autovalores que es el que a nosotros nos interesa como factor de estabilidad es claro que la expresi n anterior deber proporcionarnos un valor estable de A siempre que k sea id nticamente nula Por tanto si controlamos el valor de los elementos de la matriz k estaremos en condiciones de estimar si en principio el valor de A obtenido es fiable por supuesto con independencia del algoritmo elegido para la deterinaci n del menor de los autovalores nosotros hemos usado dos algoritmos distintos y comprobado 18 coincidencia del valor proporcionado Como quiera que desde el primer escal n de carga de un proceso de c lculo no lineal aparecen corrimientos que producen flexiones aunque peque as de la l mina es de todo punto imposible que la matriz k sea id nticamente nula por lo que si queremos que nos sirva como par metro de control habremos de relajar la condici n y sustituirla por la de que sea casi nula simismo y puesto que para que una matriz sea nula han de serlo todos sus elementos nosotros vamos a relajar esta otra condici n y en su lugar pondremos la de que la media aritm tica de todos sus elementos sea pr cticamente nula valor muy peque o por ejemplo en comparaci n con la media de los elementos de la matriz kg En relaci n c
8. da altura 1 5 metros de lo que podemos obtener de acuerdo con el punto 2 las cargas de pandeo 102 J M MART NEZ JIM NEZ Y R L PEZ PALANCO Ambas cargas cr ticas y de colapso se resumen en el cuadro siguiente 10 1T m Carga cr tica TP 14 7 T m 9 eT m 19T m 11 2T m 16 7 T m Carga de colapso stif 63 13 14 T m 7 8T m 21 22T m 12 14T m 17 19T m Velaria Paraboloidal 12 6T m Carga cr tica TP 21 28 T m 6 43T m Carga de colapso stif 63 30 5 T m 10T m Carga cr tica TP 15 18T m 445T m Carga de colapso stif 63 10 14T m 5 6T m Velaria Paraboloidal 3 5T m 3 4T m 10 25T m FIABILIDAD DE LAS CARGAS CR TICAS DE L MINAS DELGADAS 103 CONCLUSIONES Con cuanto antecede complementado con la eficiencia demostrada en la determinaci n de cargas criticas en los casos de placas sometidas a cargas en su propio plano y superficies cil ndricas con carga en la direcci n de las generatrices concluimos que las cargas cr ticas calculadas en l minas asimiladas por ensamblaje de elementos planos mediante elementos triangulares son altamente fiables y por tanto de utilidad directa en el c lculo REFERENCIAS 1 O C Zienkiewicz El M todo de los Elementos Finitos Revert 1980 2 B E Greene y otros Application of the Stiffness method to the analysis of shell structures P A C A S Mech Eng Los Angeles 1961
9. enoidal empotrada altura 4 metros FIABILIDAD DE LAS CARGAS CR TICAS DE L MINAS DELGADAS 99 Elemento 63 Pared delgada CARGA Qy CNew m 25 CARACTERISTICAS GEOMETRICAS 20450D 204000 175000 PLANTA DE CUBIERTA 20 20 metros 128086 ESPESOR DE CUBIERTA 10 centimetros 125000 100009 75000 NUXY 0 20 25088 CORRIMIENTO UY m Velaria Paraboloidal apoyada altura 4 metros CARGA Qy New m 2 Elemento 63 Pared delgada 307090 305500 275006 CARACTERISTICAS GEOMETRICAS 230000 150000 CARACTERISTICAS MECANICAS condo EX EY 2 08e 10 New met GXY e B 58e 09 Now m 2 50000 CORRIMIENTO UY m Velaria Paraboloidal empotrada altura 4 metros 100 J M MART NEZ JIM NEZ Y R L PEZ PALANCO CARGA Oy New m x2 Elemento 63 44000 Pared delgada 40000 A 38000 CARACTERISTICAS GEOMETRICAS 34000 PLANTA DE CUBIERTA 20 20 metros 30000 28000 ESPESOR DE CUBIERTA 1 centimetros 24000 20000 Vallic E is MECANICAS ce EY i 15008 EX E 2 05e 10 New m 2 Y B 58e409 New m 2 10000 NUXY 0 20 5000 2500 CORRIMIENTO UY m Velaria Cosenoidal apoyada altura 1 5 metros CARGA Oy New m 2 Elemento 63 Pared delgada 55000 ATA 52500 A 5000
10. o la superficie real mediante otra constituida por elementos planos tipo placa con lo que a las aproximaciones ya establecidas en M E F a adimos otra adicional geom trica que se traduce por ejemplo al efectuar el ensamblaje cuando todos los elementos que concurren en un nodo son coplanares en la introducci n de un sistema de rigidez a la rotaci n ficticios aunque existen otras alternativas en alguna ocasi n obtenidos con la condici n de que el equilibrio no se perturbar en coordenadas locales Con car cter general ya sea el elemento plano o curvo otro factor cuya influencia est poco discutida es el de la elecci n del orden de integraci n y en su caso la elecci n de la integraci n reducida ya que el buen comportamiento de un determinado artificio en c lculo lineal no necesariamente tiene que repetirse en un c lculo no lineal ni puede extrapolarse a otras situaciones As pues y sin que de ninguna manera hayamos pretendido agotar el recuento de los factores que podr an crear incertidumbre acerca de la validez de los c lculos realizados vemos que se hace necesario tanto la comprobaci n a posteriori de resultados como el control de aspectos num ricos estrechamente relacionados con las bases te ricas a lo largo del proceso de c lculo FACTORES DE FIABILIDAD En l nea con la ltima aseveraci n realizada estimamos que puesto que en el c lculo de cargas cr ticas partimos de la expresi n ko S
11. o sea estable de Recibido Junio 1995 QUniversitat Polit cnica de Catalunya Espa a ISSN 0213 1315 91 92 J M MART NEZ JIM NEZ Y R L PEZ PALANCO la de m nimo E gt NQ Para todos los valores de la energ a que hagan E lt Q el equilibrio ser inestable y el punto de bifurcaci n se dar para 6 E Q Teniendo en cuenta que 6 E 6U k 6U La situaci n de equilibrio se producir cuando k 6U sea id nticamente nula Si recordamos que k kg kj ko en donde kg es la matriz de rigidez correspondiente a peque as deformaciones k la de grandes deformaciones y k la de tensiones iniciales y notamos que k ser identicamente nula en aquellas situaciones en que por no producirse flexiones no sufren modificaci n las curvaturas podremos poner en el caso de equilibrio indiferente si adem s apreciamos que ko es proporcional al valor de las cargas aplicadas ko Ak 8U 2 0 en donde A que recibe el nombre de factor de estabilidad nos proporciona la carga cr tica mediante Poy A P siendo P el valor de la carga para la que se ha obtenido Para mejor comprender la afirmaci n relativa a la nulidad de k en la situaci n especificada pensemos en una placa sometida a esfuerzos de compresi n contenidos en su propio plano En tanto las cargas sean bajas o moderadas los puntos de la placa s lo sufrir n corrimientos contenidos en el propio plano de la placa y por ello la componente W del corrimiento seg n
12. on la comprobaci n a posteriori de los resultados obtenidos y sin salirnos del M E F una buena alternativa consiste en la realizaci n de c lculos no lineales con la consiguiente determinaci n de la carga de colapso con otros tipos de elementos y con un programa debidamente contrastado DESCRIPCI N DE ELEMENTOS Y PROGRAMAS DE ELEMENTOS FINITOS Dos son los tipos de elementos que hemos usado en el desarrollo del presente trabajo y tambi n dos son los programas utilizados El desarrollo de uno de los programas ha sido confeccionado por los autores y por tanto es un programa abierto en el sentido de admitir implementaciones y correcciones y por supuesto est muy contrastado El elemento triangular plano cuyo buen comportamiento a nivel general ya tenemos comentado y en particular para el caso de determinaci n de cargas cr ticas vamos a poner de manifiesto es un elemento tipo placa que denominamos T P de 3 nodos con 6 grados de libertad por nodo que se obtiene por conjunci n del tri ngulo de deformaci n constante para las componentes del corrimiento seg n el propio plano de elementos y el tri ngulo incompatible para flexi n de placas de nueve grados de libertad El otro programa es el conocido ANSYS de la casa Swanson Analysis System Inc y el elemento escogido es el tipo 63 de la biblioteca de elementos cuyas caracter sticas son Tipo Elastic Quadrilateral Shell N de nodos 4 o G de L por nodo 6 Opciones de
13. utilizaci n Stress stiffening Large deflection FIABILIDAD DE LAS CARGAS CR TICAS DE L MINAS DELGADAS 95 AN LISIS DE CASOS PR CTICOS Con objeto de centrarnos en un tipo concreto de l mina hemos adoptado para su an lisis L minas de proyecci n rectangular y Pendiente suave en las que se suponen se cumplen los siguientes requisitos Siendo R y el menor de los radios de curvatura e el espesor a la dimensi n menor de la planta y A la diferencia de cota m xima entre puntos de la l mina Dentro de este tipo hemos escogido los que tengan por superficie superficie esf rica paraboloide el ptico paraboloide hiperb lico velaria paraboloidal y velaria cosenoidal y como condiciones de contorno empotradas o articuladas fijas en todo el borde En cuanto a las dimensiones de la planta y alturas las de 20 x 20m y 4m o 1 5m espesor 0 08m coeficiente de poison 0 25 y m dulo de elasticidad 2 1 10 T m Por ltimo mencionar que la carga a que se someten es gravitatoria uniforme Para las superficies mencionadas y con el elemento T P los resultados obtenidos son M E F Paraboloide el ptico s planta cuadrada 20x20x0 08x4m 4 bordes empotrados 0 25 E 2 1 108 T m Con T P 3 1993 Factor estabilidad 3 791 1 90 Corrim punto central 0700709 070148 0 0326 102 0 104 del mismo con invers signo en de corr en toda supf alg puntos 2 ENEZ Y R LOPEZ PALANCO
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