(i): cálculo simbólico y numérico
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1. y F Press Fl tor help AUTO NUM Page DN Z e C lculo de derivadas Para efectuar operaciones de derivaci n volveremos al men View gt Toolbars gt Calculus desde donde p e introduciremos el operador derivada n sima ee Mathcad Professional Untitled 1 O scaena Boo 932 20 fo 2 Press Fl tor help AUTO NUM Page 1 A Para obtener la funci n derivada evaluaremos simb licamente la expresi n que hemos introducido Proyecto e Math Financiado por la Secretar a de Estado de Educaci n y Universidades MECD Uso b sico del Mathcad en An lisis 1 c lculo simb lico y num rico illt JUOG www uoc edu amp Mathcad Professional Untitled 1 solve coets expand factor partrac ztrans Inwzirans collect series fourier laplace inyfourier invlaplace oymbolic Evaluation Ctrl O introducimos p e el operador de integraci n indefinida Despu s de introducir la funci n a integrar C lculo de integrales Para efectuar operaciones de integraci n y siempre desde el men View gt Toolbars gt Calculus vamos proceder a la integraci n con el evaluador simb lico Esta vez en lugar de llamarlo desde View gt Toolbars gt Symbolic lo lanzaremos desde View gt Toolbars gt Evaluation Mathcad Frofessional Untitled 1 Er eos PETE majo o T E e e eE AUTO NUM Pagel z Fress F1 tor help Simplificaci n de resulta2. lculo simb lico y num rico Vemos que el resultado obtenido es mucho m s sencillo que el primero Notad que en el origen la funci n no es derivable ni tampoco continua e Restricci n de un resultado simb lico seg n el valor de la variable Es muy til disponer de una instrucci n que nos permita restringir el valor de la variable a aquellos valores de inter s en nuestro problema o sencillamente para obtener una expresi n m s sencilla y manejable en el intervalo de la recta real en el que trabajamos Entre los diversos modificadores que existen en Mathcad vamos a ilustrar el uso de la instrucci n assume que encontramos en View gt Toolbars gt Symbolic gt assume En el siguiente ejemplo efectuamos la suma infinita de una serie de potencias El resultado obtenido mediante la instrucci n simplify cuya utilizaci n hemos descrito con anterioridad est expresado en funci n del signo de la variable Asumiendo que la variable es positiva la funci n signo vale 1 y obtenemos el resultado final S Mathcad Professional asumiendo E Sy Ele Edt View Insert Fomat Math Symbolics Window Help la x D 2H lr Boo TJ ARPS gt gt 100 E E 9 Nomal ria JE B 7 U z co 2 11 y 2 simplify a csgniz n Enel a 2 assume z gt 0 a 2 2 2 n 2 1 csgniz z 2 1 2 ETT gt vaias E E E n 1 float complex assume
3. NJ 250pp 4 J Rowell 1993 Mathcad Education Library Calculus Mathsoft Cambridge MA 5 D Kyrianov 2002 The Mathcad 2001i Handbook Charles River Media Hingham MA 574pp Proyecto e Math 15 Financiado por la Secretar a de Estado de Educaci n y Universidades MECD Jl JUOG www uoc edu Uso b sico del Mathcad en An lisis l c lculo simb lico y num rico 6 K A Ansari 1999 Numerical Methods for Engineers with Mathcad Ulyssian Publications Spokane WA 360pp 7 S C Chapra and R P Canale 2002 Numerical Methods for Engineers with Programming and Software Applications 3 edition McGraw Hill New York 8 MathSoft Engineering amp Education 2001 Mathcad user s guide with reference manual MathSoft Engineering amp Education Cambridge MA 9 MathSoft Inc traducci n de J A Moreno y D Ser 1999 Mathcad 8 Manual de usuario y gu a de referencia de Mathcad 8 ediciones Anaya Multimedia S A Madrid 10 B Birkenland 1997 Mathematics with Mathcad Studentlitteratur Lund Suecia ENLACES W1 http www mathsoft com Corporaci n Mathsoft que produce el programa Mathcad W2 http www addlink es Distribuidor oficial del programa Mathcad en Espa a W3 http ist uwaterloo ca ic mathcad En la Universidad de Waterloo hay un importante esfuerzo en la ense anza de las matem ticas y disciplinas cuantitativas con
4. el grueso del trazo de la curva as como el color o el tipo de trazo continuo discontinuo etc Formatting Currently Selected xY Plot Y Ases races Labels Defaults Legend Label Symbol Line Eolor Type Weight norne zoli Ines trace Z none dot blu Inez 1 trace 3 none dash grm lines trace 4 none dadot mag lines trace 5 none zolid cya linez i trace b none dot brr Inez y tace 1 none Y solic a fec lines y pa TT Hide Arguments Y Hide Legend Cancelar Aplicar Apuda Proyecto e Math 14 Financiado por la Secretar a de Estado de Educaci n y Universidades MECD ll JUOG www uoc edu Uso b sico del Mathcad en An lisis l c lculo simb lico y num rico De esta forma podemos conseguir mejorar la calidad de la representaci n gr fica Ea Mathcad Professional representando O Fie Edit View Insert Format Math Symbolics Window Help ES E rr Boo imp 20 fo Noma Y fArial ejo B z u gt H ka ai gt Press Fl tor help AUTO NUM Page 1 A BIBLIOGRAF A 1 H Benker Translated A Rudd 2000 Practical use of Mathcad Solving mathematical problems with a computer algebra system Springer Verlag New York 504pp 2 Ph J Pritchard 1998 Mathcad a tool for engineering problem solving B E S T Series McGraw Hill Boston 338pp 3 R W Larsen 2001 Introduction to MathCAD 2000 Prentice Hall Upper Saddle River
5. las posibilidades Proyecto e Math 2 Financiado por la Secretar a de Estado de Educaci n y Universidades MECD ll JUOG www uoc edu Uso b sico del Mathcad en An lisis l c lculo simb lico y num rico avanzadas de c lculo con Mathcad y es de lectura aconsejada una vez se haya trabajado con los Mathblocks que acabamos de nombrar CONCEPTOS FUNDAMENTALES C LCULO SIMB LICO e C lculo de l mites laterales y del l mite de una funci n en un punto Procedemos a calcular los l mites laterales y el l mite de una funci n en un punto mediante las instrucciones de c lculo simb lico que aparecen en la ltima l nea del men View gt Toolbars gt Calculus En Mathcad Professional Untitled 1 amp Ele Edt View Inset Fomat Math Symbolics window Help Ja xl Y gt paa Toolbar e Standard 9 EN Bg w iux x Noma M Statusbar M Eoma P e 7 u Ruler Math E Regions k Calculator ZOOM Graph Refresh CtrA Matris a z Calculus EJ Evaluation i Animate Playback AE PP f de Lo Boolean Freferences BE Frogramming Greek Symbolic hi q d Modifier Show or hide the calculus toolbar AUTO gt NUM Page I Tan pronto como hemos introducido la funci n cuyo l mite buscamos basta con pedir a Mathcad la evaluaci n simb lica de la siguiente forma View gt Toolbars gt Symbolic Proyecto e Math 3 Financiado por la Secretar a de Estado de Educaci n y Universidades MEC
6. software en particular con Mathcad Son muy instructivas las animaciones que se presentan para entender el funcionamiento del programa W4 http www math odu edu cbii calcanim Animaciones para el c lculo W5 http www2 latech edu schroder mathcd html Relaci n de archivos interesantes sobre c lculo con el Mathcad W6 http courses lugo com mcad htm Relaci n de archivos interesantes sobre c lculo con el Mathcad W7 http www softwarecientifico com paginas mathcad html Distribuidora Software Cient fico en que se explica en qu consiste Mathcad y lo que ste ofrece Proyecto e Math 16 Financiado por la Secretar a de Estado de Educaci n y Universidades MECD
7. 333 0 6711 0 333 0 61 0 500 0 0661 0 500 0 0661 1 179 E e Press Fl for help CalcFI NU y En este caso vemos que el polinomio de grado 6 que hemos escogido tiene dos ra ces reales y dos pares de ra ces complejo conjugadas Cuando no se trate de un polinomio sino de una funci n m s general vamos a solucionar el problema de b squeda de ra ces utilizando otras instrucciones Para ilustrarlo utilizaremos la funci n root en la soluci n de dos ecuaciones no lineales Proyecto e Math 9 Financiado por la Secretar a de Estado de Educaci n y Universidades MECD ll JUOG www uoc edu Uso b sico del Mathcad en An lisis l c lculo simb lico y num rico 4 Mathcad Professional soluciones _loixi Se File Edit View Inset Fomat Math Symbolics window Help ES 0 20 IP Boo Timo Nomai Y 8ra ajio Ea h oA 7 solucion q root g x x solucion _ho rootihiyi y 1 solucion q U solucion_h gt T el Press Fl tor help Auto NUM F A La instrucci n root encuentra una ra z pr xima al punto con el que inicializamos la funci n e Determinaci n de los m ximos y m nimos de una funci n Para buscar m ximos y m nimos absolutos de una funci n utilizaremos las instrucciones maximize y minimize de la siguiente forma 1 definiremos la funci n daremos un valor num rico de inicializaci n a la variable independiente intr
8. D JUOC www uoc edu Uso b sico del Mathcad en An lisis l c lculo simb lico y num rico 0 48 8907 BP 00 5 mp ar po iioma y Jara Ap A Bu o factor expand coeffs collect series partrac fourier laplace ztirans inyfourier invlaplace invz rans HT H n Fress Fl tor help AUTO NUM Page J 2 Dejamos para el lector la comprobaci n que dicho l mite da cero e C lculo de sumas de series De forma an loga al c lculo de l mites sumamos series Desde el men View gt Toolbars gt Calculus introducimos el s mbolo correspondiente p e para la suma de una serie con 10 t rminos ga Mathcad Professional Untitled 1 O Elo EM em mm Fo seh Ste Vidas HER E lal x MEA TERA ES MAA AA e de gh x u y J lim e Press Fl for help AUTO NUM Page 1 A Proyecto e Math 4 Financiado por la Secretar a de Estado de Educaci n y Universidades MECD 3 t 1UOC www uoc edu Uso b sico del Mathcad en An lisis l c lculo simb lico y num rico Despu s de introducir el ndice de sumaci n y el ndice del primer t rmino vamos a efectuar la suma con el operador de evaluaci n simb lica en View gt Toolbars gt Symbolic y luego con el evaluador num rico para obtener una cifra decimal en el mismo men Mathcad Professional Untitled 1 O Elo EM Ye mm bama seh Ses Midas Baz Op lal x j pa eE reae e r fu gt
9. ETIVOS DOCENTES e llustrar las operaciones de c lculo simb lico m s comunes que se pueden realizar con Mathcad e Alcanzar un buen dominio con Mathcad de la representaci n gr fica de cualquier funci n real de variable real e Mostrar las posibilidades de Mathcad en tareas de c lculo num rico CONOCIMIENTOS PREVIOS Es imprescindible previamente a la lectura de este Mathblock el haber desarrollado cierta destreza en el manejo del programa Mathcad Para ello es fundamental trabajar el Mathblock Uso b sico de Mathcad 2001 Professional que encontrar is entre los Mathblocks de Algebra Despu s de haber trabajado este Mathblock pod is seguir con otros Mathblocks en el siguiente orden Funciones de una variable L mites de funciones Continuidad en una dimensi n 3 6 3 11 Derivaci n Aplicaciones de las derivadas Sucesiones Series de n meros reales Series de potencias y Numeros complejos En todos estos Mathblocks usar is las t cnicas de c lculo con Mathcad presentadas aqu En stos se intercala el aprendizaje anal tico con papel y l piz con el trabajo experimental con programario Mathcad Solemos llamar a esta combinaci n el aprendizaje dual de las matem ticas El Mathblock Uso b sico del Mathcad en An lisis Il Representaci n en tres dimensiones programaci n y animaci n constituye una continuaci n natural al estudio de
10. dos simb licos A me A menudo el resultado de una operaci n simb lica corresponde a una expresi n de gran tama o Es siempre recomendable pedir a Mathcad que simplifique la expresi n Por ejemplo efectuemos el siguiente c lculo de derivaci n Proyecto e Math Financiado por la Secretar a de Estado de Educaci n y Universidades MECD ll JUOG www uoc edu Uso b sico del Mathcad en An lisis l c lculo simb lico y num rico Mathcad Professional simplificando Fie Edit iew Insert Format Math Symbolics window Help O pa SH SRY BB oo TAE A CE A AS Press Fl for help AUTO NUM Fagel La expresi n que obtenemos es larga y contiene t rminos comunes Vamos a pedir a Mathcad que al mismo tiempo que calcula simb licamente simplifique Para ello debemos introducir la instrucci n View gt Toolbars gt Symbolic gt simplify ga Mathcad Professional simplificando amp Ele Edt view Insert Fomat Math Symbolics window Help Ja xl co SAshar g al SE BE le ME g 4 Noma Y fArial JE BE 7 U E E float complex assume E solve simplify substitute factor L _coeffs E collect fourier laplace ztrans k inv ourier invlaplace invztrans n mi n Press Fl tor help AUTO NUM Page 1 A Proyecto e Math T Financiado por la Secretar a de Estado de Educaci n y Universidades MECD 3 t JUOG www uoc edu Uso b sico del Mathcad en An lisis l c
11. j solve simpli substitute L factar expand coeffs collect series parfrac fourier laplace ztrans inyfourier invlaplace inzirans 1 HT H In Press F1 for help AUTO NUM Fagel z Es importante notar que esta serie de potencias de la variable z converger s lo para valores de la variable menores que 1 y mayores que 1 En efecto el llamado radio de convergencia de dicha serie de potencias es 1 Para estos valores el argumento del logaritmo neperiano en la f rmula anterior es por supuesto siempre positivo V ase el Mathblock Series de potencias para conocer el significado de este concepto Proyecto e Math 8 Financiado por la Secretar a de Estado de Educaci n y Universidades MECD Jl JUOG www uoc edu Uso b sico del Mathcad en An lisis l c lculo simb lico y num rico e B squeda de soluciones num ricas de ecuaciones Si tratamos de averiguar las soluciones de una ecuaci n polin mica f x 0 solemos aplicar la instrucci n polyroots de gran facilidad de uso Basta con introducir en orden creciente los coeficientes del polinomio cuyas ra ces estamos buscando en un vector y luego aplicar la mencionada instrucci n encima de ste 4 Mathcad Professional soluciones oix PS Ele Edit View Insert Fomat Math Symb les Window Help lex 0 2 RASaAry BB oo TEME Noma ia ajho 77 ll oo o w polyroots gv 1 513 0
12. ll JUOG www uoc edu Uso b sico del Mathcad en An lisis l c lculo simb lico y num rico USO B SICO DEL MATHCAD EN AN LISIS 1 C LCULO SIMB LICO Y NUM RICO Autor Patrici Molinas Mata pmolinas Duoc edu Jos Francisco Mart nez Bosc martinezbos duoc edu ESQUEMA DE CONTENIDOS MATHCAD 72010 Professional USO B SICO C lculo DEL MATHCAD C lculo EN AN LISIS Primera parte l mites b squeda de soluciones m ximos y m nimos derivaci n integraci n simplificaci n Representaci n gr fica restricci n Proyecto e Math 1 Financiado por la Secretar a de Estado de Educaci n y Universidades MECD ll JUOG www uoc edu Uso b sico del Mathcad en An lisis l c lculo simb lico y num rico INTRODUCCI N Hemos visto en el Mathblock Uso b sico de Mathcad 2001 Professional la convivialidad de este programa para la edici n y c lculo con expresiones matem ticas Entre la riqueza de posibilidades que ofrece Mathcad tambi n se hallan las operaciones de c lculo simb lico as como las operaciones donde se persigue la obtenci n de un resultado num rico En este Mathblock vamos a describir en detalle c mo utilizar las operaciones de c lculo simb lico y num rico que ofrece Mathcad Esto nos permitir entender y reproducir sin dificultad las operaciones realizadas con Mathcad en los Mathblocks dedicados a temas espec ficos de An lisis OBJ
13. oduciremos el Given seguido de condiciones l gicas con los operadores de View gt Toolbars gt Boolean 4 definiremos el valor m nimo con minimize y el m ximo con maximize evaluaremos numericamente dichos valores Veamos en un ejemplo el funcionamiento de estas instrucciones Proyecto e Math 10 Financiado por la Secretar a de Estado de Educaci n y Universidades MECD Ilt JUOG www uoc edu Uso b sico del Mathcad en An lisis l c lculo simb lico y num rico e Mathcad Professional maximizando O Fie Edit View Insert Format Math Symbolics Window Help _lelx wE R e a aa fl Normal Y J 8ra qho B z u min g minimize g max g madtrizel g i 3 14 1 57 0 1 57 3 14 ia Fress Fl tor help AUTO NUM Page 1 A min g 0 633 max g U0623 Hemos representado a la derecha del proceso de b squeda de extremos la funci n seg n lo que explicaremos en el apartado siguiente sobre Representaci n gr fica en una dimensi n La gr fica confirma la exactitud de los resultados obtenidos Proyecto e Math 11 Financiado por la Secretar a de Estado de Educaci n y Universidades MECD Jl JUOG www uoc edu Uso b sico del Mathcad en An lisis l c lculo simb lico y num rico e Representaci n gr fica en una dimensi n La representaci n gr fica en el mismo entorno de trabajo que el c lculo simb lico o el num rico constituye una de la
14. oyecto e Math 12 Financiado por la Secretar a de Estado de Educaci n y Universidades MECD Iit JUOG www uoc edu Uso b sico del Mathcad en An lisis l c lculo simb lico y num rico D SHARRY mejo o x o susay ean r wos Moma Y f ra ejo B z d a Press Fl tor help AUTO NUM Page 1 A Proyecto e Math Financiado por la Secretar a de Estado de Educaci n y Universidades MECD tEjmab e 13 Ilt JUOG www uoc edu Uso b sico del Mathcad en An lisis l c lculo simb lico y num rico Podemos introducir modificaciones en la gr fica por ejemplo cambiando el trazo de la curva Para que nos aparezca el men que permite modificar la gr fica cliquearemos con el bot n izquierdo del rat n dos veces encima de sta Formatting Currently Selected xY Plot AT ARES Traces Labels Defaults Als Log Scale Grid Lines Y Numbered M Sutozcale D Show Markers W Auto Grid Number of Grids E Anis Style Eosed T Egual Scales e Lalor C Crossed C None Cancelar Aplicar Apuda Entre otras opciones de suma utilidad podemos modificar la escala de normal a logar tmica r pe es Y Numbered M A utozcale Show Markers M Auto Grid Number of Grids E mediante Log Scale as como podemos sobreponer una red encima de la figura mediante la instrucci n Grid Lines Si entramos en la pesta a Traces podremos modificar
15. s ventajas m s importantes que ofrece Mathcad En cualquier etapa y en cualquier sitio de la hoja de trabajo podemos incorporar una visi n gr fica de cualquier funci n o tabla de datos En particular vamos a ver ahora como podemos visualizar la derivada de la funci n que hemos simplificado en el apartado de Simplificaci n de resultados simb licos En primer lugar vamos a definir la funci n derivada como p e Df x Luego introduciremos una plantilla de representaci n X Y de la siguiente forma ee Mathcad Professional representando D H 8 gt S Man no P Polar Plot o Ele ds La M4 atris Ctrl k rs E oma lll i Function Ltrl E e Surtace Plot Ctrl 2 Ej Urt Ctrl U Contour Flot Ctrl b Picture Ltrl T cab 30 Scatter Plot rea ih 3D Bar Plot 55 Vector Field Plot Math Hegian Test Region i Plot Wizard Page Break Etre penik Create a rectangular plot AUTO NUM Page 1 A Una vez introducida la plantilla debemos rellenar los cuadraditos negros correspondientes a 1 el nombre de la variable independiente en el eje horizontal o de abcisas 2 el nombre de la funci n o variable dependiente en el eje vertical o de ordenadas 3 el rango de cada segmento de eje representado esto es cuatro valores dos valores inferiores y dos valores superiores Esta es la apariencia de la plantilla X Y del men antes de rellenar los cuadrados negros Pr
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