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Mémoire de maîtrise - École Polytechnique de Montréal

1. Z Z EM 0 90 E 0 90 45 45 Y Y a Z Z EE E E o 90 lt lt Ehe Esas Y Y b Z Z G3 BH G G Jie G2 Jas m G aase G 45 lt t lt G Joe 90 G o 90 Go o 9 G o 90 y Y c Figure 8 1 Passage d une configuration 0 0 0 0 une configuration 45 0 0 0 a changement d orientation de la premi re couche b changement du module de rigidit longitudinal de la premi re couche c changement du module de cisaillement transversal de la premi re couche 111 2 5 2 Slo s 15 Slo ol _ Sn 1 gt 0 5 1 o 1 2 3 ue 5 Num ro de mode Figure 8 2 Rapport des fr quences propres lors du remplacement d une couche 0 90 avec une couche 45 pour les 5 premiers modes 8 2 2 Remplacement d une couche 0 90 avec une couche 45 Deuxi me analyse Il est difficile de pr dire si pour une s quence ne poss dant qu une seule couche 45 la rigidit augmente plus en d pla ant cette couche vers l ext rieur de la section ou si elle augmente plus en rajoutant une couche d orientation 45 la couche sous jacente Les r sultats ci dessous tentent de r pondre cette question La s quence d empilement 0 45 0 0 rep
2. Fr quence Hz Figure 5 24 Agrandissement de la Figure 5 23 Les deux courbes bleues g n r es avec un moment de serrage de 20 Ib po sur les vis poss dent une l g re variation de 5 Hz Cependant les deux courbes rouges g n r es avec 40 Ib po sont identiques Finalement la variation maximale entre toutes les courbes est d environ 10 Hz Cette variation est probablement due la variabilit de la position de la poutre sur le banc d essais En effet le positionnement relatif entre la poutre et le banc d essais s est fait de mani re visuelle L origine des doubles pics est inconnue Le moment de 40 Ib po est utilis par la suite 74 Il est cependant possible d affirmer que les essais sont r p tables puisque le rapport entre la variation de fr quences maximale et la fr quence approximative du grand pic de la Figure 5 23 est de Af 10 2 7 5 3 Japprox 370 5 5 2 R p tabilit des essais sur toute la gamme de fr quences Les trois poutres en composites ont t fabriqu es la main en utilisant le m me processus Cependant il y a beaucoup de facteurs pouvant provoquer de la variabilit dans les spectres des poutres test es Certains de ces facteurs pourraient tre la coupe et le meulage des sections en r sine charg e pour l encastrement la coupe des composites leur serrage autour du mandrin etc La m thode exp rimentale d crite en ANNEXE VII es
3. 400 450 Fr quence Hz Figure vii 5 Agrandissement de la Figure vii 4 VIL 1 1 3 Comparaison Ces deux essais poss dent des carts beaucoup moins importants que dans le cas pr c dent Les faibles sons de craquement semblent avoir eu un effet n gligeable sur le comportement global de la courbe VII 2 Comparaison serrage 20 Ib in et 40 Ib in L objet de ce paragraphe est de comparer les r sultats obtenus entre les deux moments de serrage Composite poutre 1 20lbin test 1 Composite poutre 1 20lbin test 2 Composite poutre 1 40lbin test 1 Composite poutre 1 40lbin test 2 3 4 Contenu Fr quentiel T 05 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Fr quence Hz Figure vii 6 Comparaison des spectres pour les deux moments de serrage 233 Composite poutre 1 20lbin test 1 Composite poutre 1 20lbin test 2 Composite poutre 1 40lbin test 1 Composite poutre 1 40lbin test 2 Contenu Fr quentiel Fr quence Hz Figure vii 7 Agrandissement de la Figure vii 6 Composite poutre 1 20lbin test 1 Composite poutre 1 20lbin test 2 Composite poutre 1 40lbin test 1 02 Composite poutre 1 40lbin test 2 015 Contenu Fr quentiel 4350 1900 1950 2000 2050 2100 Fr quence Hz 2150 Figure vii 8 Agrandissement de la Figure vii 6 VIL2 1 Comparais
4. 45 horizontal 0 90 vertical 45 vertical Figure 3 6 Couches horizontales et verticales avec deux orientations de fibres possibles Voici un tableau r capitulatif des quatre types de couches possibles avec leurs matrices de souplesse associ es Tableau 3 1 R capitulatif des matrices de souplesse Couche horizontale Couche verticale 0 90 45 0 90 45 O 1 v e 2 Ey Ey Ey v 1 v 4 amp 2 2 amp 3 o 0 0 Ey Ey Ey v v 1 43 Z L 0 0 0 Ey Ey E3 Slhoriz 1 3 14 0 0 0 0 0 G13 0 0 0 0 0 Gi 3 Slvertic S lvertic v S horiz 13 S vertic S11 S13 S1 2 0 0 0 S13 533 S13 0 0 0 S12 S13 S11 0 0 0 S55 26 3 15 3 16 1 Vv Vv L atti OVA ne tee og v 1 v ENS Z 2B p 0 0 v Vv 1 See tae ee 0 0 E 1 0 0 0 0 0 G13 0 0 0 0 1 0 G12 0 0 0 0 0 1 G13 6 6 su S12 S13 su Si 0 0 0 513 S33 S13 0 0 0 Ses 1 566 S vertic su S12 s S13 su Si12 s 0 0 0 4 i 0 S55 0 0 0 0 0 0 2 Si1 Siz 0 0 0 0 0 0 re 1 1 7v 1 Via 1 1 v 1 1 2 es ae 1 2 r r 5 _ 13 i LS 0 0 P i Ey E3 Ej 1 1 v4 gt 1 V3 1 1 V2 1 A 1 G13 1 v 0 0 0 2 Ey G13 Les matrices de souplesse des mat riaux composites utilis s sont explicit es dans le Chapitre 6 21 28 3 5 Coefficients de Poisson dans les axes non princi
5. 10 Contenu Fr quentiel T A Tie Fr quence Hz Figure vii 15 Agrandissement de la Figure vii 14 VIL5 1 Comparaison Ces figures illustrent tr s bien que des impacts plus forts produisent des spectres dans lesquels les fr quences lev es sont plus excit es De plus les fr quences correspondantes sont sensiblement proches des fr quences obtenues avec de faibles impacts Un deuxi me l ment en ressort galement Pour l application en question il est pr f rable de r duire la sensibilit du laser pour pouvoir frapper plus fort plut t que l inverse La force d impact joue donc un r le plus important que celui la sensibilit Le fait que les fr quences propres soient proches pour les deux impacts signifie que la poutre s est comport comme un mat riau lin aire VII 6 Conclusion Gr ce tous ces essais il a t d termin que pour tester les poutres composites fabriqu es dans le cadre de ce projet il tait plus int ressant d utiliser l embout en acier inoxydable d impacter les poutres proche de l encastrement avec une force d impact suffisamment grande pour bien exciter les hautes fr quences Pour y parvenir il faut r gler la sensibilit du vibrom tre laser a 50 mm s y 240 ANNEXE VIIL Rotation des rep res d un stratifi Pour un composite section creuse rectangulaire l hypoth se est faite que chacune des q
6. 210 Figure vi 12 Quatre premi res fonctions modales d angle de flexion de Timoshenko 210 Figure vi 13 Quatre premi res fonctions modales de cisaillement de Timoshenko 211 Figure vi 14 Figure vi 15 Figure vi 16 Figure vi 17 Figure vi 18 Figure vi 19 Figure vi 20 Figure vi 21 Figure vi 22 Figure vi 23 Figure vi 24 Figure vi 25 Figure vi 26 Figure vi 27 Dixi me fonction modale de cisaillement pour la th orie de Timoshenko 212 Fr quences propres exp rimentales de la poutre 3 213 Agrandissement des fr quences propres exp rimentales de la poutre 3 214 Comparaison des quatre premi res fonctions modales de d placement transverse EEE LE RO IST ES TO D PE 215 Comparaison de la dixi me fonction modale de d placement transverse 216 Quatre premi res fonctions modales d angle de flexion de Timoshenko 216 Quatre premi res fonctions modales de cisaillement de Timoshenko 217 Dixi me fonction modale de cisaillement de Timoshenko 218 LT usd Da A AES EI 219 M thode de calcul classique pour une poutre homog ne et isotrope ss 1ss 220 CAUCASE tua stole M cts tea an ag 220 Cas de caleul ss nantais ee hadi ee ns 221 Cas d Dalul ns sn hie Re ai a tated 225 Validation du code avec mat riaux homog ne pour des sections pleines et des
7. bi eli bie i y a ePi y ai e ti ar y bi 2 sin aj aj b ePi ei g aj x 2 x cos a a y bi be y af ePi ei 1 85 ai bi r a R ai y bi 2 sin a aj bj ebi ei Ave FS LE aa D ea CD ON aj 2 cos aj aj y bi bi y aj ebi ei 2 2 2 ro y lt h D ae ae L y aj 2 2 2 2 b b a y b 2 sin a aj b e i e i 1 aj 2x cos aj aj y x bj bj 7 aj ebi e bi nae ai yb 2 a yb 2 1 y ja 1 y ja 1 86 2 be nit va D3 4 _G rb b y aj ay y bi 2 sin a aj bi ePi ei 1 7 bj sai 2 x cos a aj y bj by y x aj ePi e bi he 2 2 2 42 2 _bi y aj y bj Pn ee a SR MN sh 1 y 7 b7 1 y ai 3 L expression des fr quences propres en fonction des nombres d onde est la suivante 162 20 o gt gt 1 87 i y Cependant lorsque a gt az b est remplac par i b et donc les fonctions modales deviennent W E C sin a amp Cy cos a amp C sin B Cy cos BF i 88 PST D sin a D cos a D sin D cos B Dans le cas de poutres encastr es libres ces deux variables sont la solution de l quation fr quentielle s
8. Figure 8 5 Angle de flexion carts et agrandissement des carts en fonction du temps du point x 34L pour toutes les s quences d empilement a angle de flexion b cart entre les r ponses c agrandissement de 4 ce es ee ts Ge 116 Figure 8 6 Angle de cisaillement carts et agrandissement des carts en fonction du temps du point x 34L pour toutes les s quences d empilement a angle de cisaillement b cart entre les r ponses c agrandissement de sen Let 117 Figure 8 7 Cisaillement le long de la poutre 0 0 0 0 pour l instant t 0 010118s 118 Figure 8 8 Vitesses carts et agrandissement des carts en fonction du temps du point x 34L pour toutes les s quences d empilement a vitesse b cart entre les r ponses c agrandissement Ce CA ances nd et ee ie 119 xvii Figure 8 9 Acc l rations carts et agrandissement des carts en fonction du temps du point x 34L pour toutes les s quences d empilement a acc l ration b cart entre les r ponses c agrandissement de a ssssssssessssesseesseesseessetesstesstsseesseeessteesseesseesseeesseeessees 121 Figure i 1 Repr sentation du rep re global de la poutre x y z et du rep re local x y z 136 Figure i 2 D finition Ges Nantes If 2 32 SR ent 143 Figure i 3 M thodologie de r solution des nombres d onde de la poutre de cisaillement 158 Figure i 4 M thodologi
9. Le taux de convergence lev ainsi que la possibilit de visualiser le cisaillement le long des poutres n importe quel instant sont des avantages pr cieux par rapport aux autres m thodes num riques Un autre avantage de cette m thode est qu elle permet d associer des fonctions modales aux fr quences propres calcul es Cette m thode a t utilis e dans cette tude pour calculer le probl me de poutres composites multicouches gr ce aux fonctions modales des probl mes homog n is s correspondants Les fr quences propres ont t obtenues gr ce au probl me aux valeurs propres d coulant des relations des nergies potentielle cin tique et de l nergie des chargements externes Le comportement transitoire des poutres est obtenu en d couplant le m me syst me matriciel obtenu lors du probl me aux valeurs propres et en le r solvant La validation de cette m thode a t r alis e grace des poutres pleines ou creuses isotropes ou orthotropes dont les d tails sont principalement fournis en annexe Les r sultats principaux de cette recherche sont une analyse de sensibilit des fr quences propres en fonction du module de cisaillement transversal et une tude param trique de la s quence d empilement des poutres creuses en composites Cette m thode ouvre de nombreuses possibilit s de recherche futures entre autre sur les vibrations coupl es et les nano poutres en carbone En effet en poss dant les expressions
10. M W j Ka sI i E Num riquement pour calculer l erreur sur l orthogonalit la relation 6 10 est utilis e nouveau L W M W dx i Erreur j pour i j 1 n 0 Dans le cas de Timoshenko il est possible de normaliser les fonctions modales avec d autres coefficients que p A et p I du moment que le quotient de ces deux coefficients soit gal au quotient de p A et p I et que les expressions des conditions initiales soient adapt es pxA_ Const 6 11 pl it M W ea ae rae soit 0 const PSI x const Const 6 13 const 93 6 3 2 2 R sultats Tableau 6 5 tude de convergence en fr quence pour la poutre 1 gr ce Timoshenko Fr quences Nombre de modes Ecart entre Fr quence propres analytique et 20 ropre th orique PER i analytiques 5 10 20 421 09 421 15 421 15 421 15 0 01 modes Les r sultats semblent avoir d ja converg avec 5 modes et les carts entre les fr quences propres analytiques et approximatifs sont tr s faibles Cinq modes sont donc suffisants pour calculer avec pr cision les 5 premi res fr quences propres approximatives pour les deux th ories de poutres Les simulations qui suivent sont effectu es avec 5 modes galement Les r sultats th oriques analytiques et approximatifs sont donc en accord 6 4 Comparaison entre les r sultats approximatifs et les r sultats du banc d essais Dans les paragraphes qui suiven
11. S CHONS CHES OS SR ER Rene ee ee E ANARE 226 Figure vii 1 Essais r p tabilit de la poutre 1 avec moment de serrage de 20 lb in 00 0 0 230 Figure vii 2 Elargissement de la Figure vii 1 c ccscsscssessessessessesssssesseesesssesessssessucsesseeseeseeseens 230 Figure vii 3 Arr te d form e de la poutre 1 lors du montage 231 Figure vii 4 Essais de r p tabilit pour moment de serrage de 40 lb in 231 Figure vii 5 Agrandissement de la Figure vil 4 232 Figure vii 6 Comparaison des spectres pour les deux moments de serrage 232 Figure vii 7 Agrandissement de la Figure vii 6 232 gia ese line 233 Figure vii 8 Agrandissement de la Figure vii 6 233 Figure vii 9 Effet de l embout du marteau instrument sur les spectres fr quentiels 235 Figure vii 10 Agrandissement de la Figure vil 91 40 nitiniu ae 235 Figure vii 11 Position de frappe moyenne ss 236 Figure vii 12 Effet de la position de frappe sur le spectre fr quentiel eeeeeeeeeeeeteeeeeeees 237 Figure vii 13 Illustration des forces impact ste ententes 238 Figure vii 14 Influence de la force d impact sur les spectres fr quentiels ssesnsssnesseseesseesee 238 Figure vii 15 Agrandissement de la Figure vil 14 239 Figure xi 1 Courbe d impact avec embout noir approcher sssesseseesesesssersssseseeserseserseeseeees 255 Figure xi 2 Lissage de la courbe d impact
12. Tableau vi 2 Caract ristiques de la poutre mince de Majkut 2009 Caract ristiques de la poutre mince de Majkut 2009 k 210 GPa b largeur oem fo 7860 7 m Tableau vi 3 Caract ristiques de la poutre paisse de Majkut 2009 Caract ristiques de la poutre paisse de Majkut 2009 k 210 GPa b largeur on Le 7860 m Ces informations ne sont malheureusement pas suffisantes pour mener les calculs avec les th ories d Euler Bernoulli et Timoshenko Les param tres adimensionnels sont calcul s gr ces aux quations qui suivent pour obtenir les tableaux compl t s avec les param tres n cessaires Sachant qu il s agit d une poutre homog ne isotrope avec une section rectangulaire z E 1 2 2 A beh Se x Peay 2 G i b h 1 v 12 k 10 x _ _ 12e vi 1 i A Y a i k G O l expression du facteur de forme est celle pour une poutre section pleine rectangulaire Han et al 1999 Tableau vi 4 Caract ristiques de la poutre mince de Majkut 2009 Caract ristiques de la poutre mince de Majkut 2009 210 GPa 0 2963 0 0006 m 81 GPa e 7860 7 115 47 m Tableau vi 5 Caract ristiques de la poutre paisse de Majkut 2009 Caract ristiques de la poutre paisse de Majkut 2009 210 GPa 0 2963 0 0016 m 81 GPa e 7860 2 43 3013 m Voici la comparaison des r sultats 192 193 Tableau vi 6 Comparais
13. cosh x sinh x e i 49 Gon alves et al 2007 ont manipul l expression des fonctions modales d une poutre doublement encastr e de la mani re suivante W cosh b cos b o sinh b sin b 0 1 i 50 _ cosh b cos b 1 O HR d SG 5 sinh b sin b i 51 Les erreurs num riques vont appara tre lorsque l argument des fonctions hyperboliques b x est le plus grand c est dire lorsque b gt 1 et x 1 On pose d s le d but que cosh b cos b a aM sinh b sin b 1 52 __ cosh b cos b sinh b sin b _ e cos b sin b E sinh b sin b sinh b sin b Ce n est pas un hasard si on fait appara tre un 1 dans l expression de En effet le coefficient du cosinus hyperbolique est unitaire lui aussi De cette mani re le cosinus hyperbolique est regroup avec une des deux instances du sinus hyperboliques afin d utiliser l quation i 49 Sachant que De sin a aa _ eP cos b sin b _ e cos b sin b ers plies gel i 53 sinh b sin b e H e 2 xe 2b 2 x cos b e 2 x sin b xe e 1 e72 2 x sin b e7 153 2 x e72 2 x cos b x e7 2 x sin b eP 1 e 2 2 x sin b e7 b gt 10 0 0 v 1 La limite de v tend bien vers 0 Ceci est coh rent puisque la limite de tend vers 1 En r inje
14. difficile r pliquer la main sur les r sines charg es Ces l g res variations ne devraient pas causer de variations importantes sur les r sultats 71 Extr mit encastr e Extr mit libre Extr mit encastr e Extr mit libre Figure 5 22 D fauts de section des poutres fabriqu es 5 5 Essais vibratoires Ce paragraphe traite des essais vibratoires effectu s sur les trois poutres en composites fabriqu es et pr sent es dans le chapitre pr c dent Cependant afin de v rifier que le banc d essais donne des r sultats en accord avec la th orie plusieurs essais ont t effectu s avec des poutres isotropes tel que d crit dans l ANNEXE VI II a t d termin que le banc d essais ne r ussissait pas bien simuler un encastrement parfait pour des poutres isotropes section creuse Les valeurs dans le tableau ci dessous expriment l cart entre les fr quences propres th oriques de Timoshenko et les fr quences propres exp rimentales pour des poutres section creuse pour des mat riaux isotropes 12 Tableau 5 5 Erreur exp rimentale caus e par les sections creuses et les surfaces non planes Tableau vi 24 Erreur caus e par les sections creuses et les surfaces non planes Hz ee be 9 54 11 68 10 61 7 90 10 47 9 19 5 93 5 52 5 73 Les fr quences propres exp rimentales sont plus faibles que les fr quences propres th oriques mais les carts tendent
15. ne SCC US POUNCE ren nt ee nine 61 Figure 5 11 Premi re partie du mandrin 48e nn nement se ste 62 Figure 5 12 gt Deuxi me partie du mandrin enduits 63 Figure 5 13 Troisi me partie du mandrin ninestnntinennngitainainiren 63 Figure 5 14 Proc dure de d solidarisation du mandrin eee eeeeesecsneceseeeseeeeseecsaeeeeeseeeenneees 63 Figure 5 15 a Segment de r sine charg e avant meulage b Moule pour cuisson de la r sine Charg e ur entente in ie in nee ee dite tee et na ent tease 64 Figure 5 16 Sch mas de fabrication des poutres en composites section creuse eeeeeeeeees 65 Figure 5 17 gt Contre moule en bois Sie ee etn fe re fn es 65 Figure 5 18 Coupe du contre moule en bois Marchal 2013 66 Figure 5 19 Poutres en composites Tabraqueees rss sr imestenne 66 Figure 5 20 Section d une poutre en composite avec s quence d empilement eee 67 Figure 5 21 a Illustration des prises de mesure externes b Illustration des prises de mesure deila Section ss n e a e a aaa te Sean aaa e eo o a ESE 68 Figure 5 22 D fauts de section des poutres fabriqu es 71 Figure 5 23 Spectre fr quentiel pour les essais de r p tabilit eee eee esse cee ceeeeeeeeeeneees 19 Figure 5 24 Agrandissement de la Figure 5 23 73 Figure 5 25 Contenu fr quentiel de la poutre 1 nace ened Re peter 75 Figure 5 26 Agrandissement de la Figure S22 55e tes nine ni nent ns Nine 75 Figure
16. tre modifi es puisqu elles ne pr sentent pas d erreurs num riques Dans le cas de poutres encastr es libres ces deux variables sont la solution de l quation fr quentielle suivante x 2 7x2 TX ai b sin a sin b ab a ay 447 a pe bi ty 5 H ya aj y 5F 2a b 0 cos a cos b 3 63 De plus les deux nombres d onde sont li s entre eux par la relation suivante r 5 ai ay b E 1 3 64 x2 2 aj BF 1 7 k Dans le cas d une poutre encastr e libre les coefficients poss dent les valeurs suivantes G 1 sin a a a be sin b sin a b ya yb sin b D Pre en nds ne D o Da E D VENN a a cos a cos a by y by cos b y a cos B T ai y Yo 3 65 DR nan aj BF 7 a ae sin q a a be sin b aa be ya yb sin b Loge a a cos a cos a D y p cos b y a ae cos b A l l 42 Tx a y b _ a y BF DE pans Der QG 1 7 a 1 y a 5 3 66 Tx 2 ee Sy Oy y ne BF yat E D Ca Dy 6 7 725 L expression des fr quences propres en fonction des nombres d onde est la suivante Ex 3 67 pL Les deux nombres d onde peuvent tre calcul s num riquement Les organigrammes suivants pr sentent la d marche en deux tapes pour calculer les nombres d onde pour toutes les gammes de va
17. y b ei y br eri j as 2a cos a 2 cos a bi y b eli bj e i yta ebi y at ehi a y bi 2 sin a aj b ePi ei 3 59 aj 2 cos aj aj bg bj y aj ePi e ar a Ca o tya 40 a y bj 2 sin a aj b ebi ei Ge 2 2 2 2 2 b b ai 2 cos a ai y bi b y xaj ePi e i 5 _ ay y b 5 1 y a a y b 2 sin a a b ePi ebi af 2x cos aj aj y bi bj aj ebi e bi 2 x21x2 x21x2 a 7y b b E a ty 1 y a D ee ee i 1 y at 3 60 1 2 x2 2 by yy a pS 2 1 y b 4 Ci y aj ay y bi 2 sin a aj bj ePi ei by af 2 cos aj aj y bj bj y aj x ebi e i 2 2 42 2 2 2 bi y a aj y b D 1 4 1 y b 1 y ai 3 L expression des fr quences propres en fonction des nombres d onde est la suivante Cependant lorsque a gt a b est remplac par i b et donc les fonctions modales deviennent Han et al 1999 WC Cy sin aj amp Cz cos a amp Cy sin BF amp Cy cos B 3 62 PSI D sin a D x cos aj x D sin BF Dy cos B 41 Ces expressions n ont pas besoin d
18. 144m 60m 2n 60mn 2 24 n ix 8 250 e b B 30m 50mn 30m n 6m 4 m r 2 Dans le cas particulier o e e et b h cette expression se simplifie d Euler Bernoulli Kereuse 0 48 3 a Pour un mat riau isotrope Ey E Gyy G et Vyy V ix 10 Et avec G TS 20 20 Kereuse y ix 11 at we a 3 SG o 40 1 v 40 1 v 40 1 v 7 96 1 v 3v 96 93v 3 32 31v Cette expression est diff rente de celle donn e par Han et al 1999 mais c est cette derni re qui est utilis e puisque l expression que Han et al 1999 ont repris les r sultats de Cowper Mais les travaux de Bank 1987 se basent sur les r sultats de Cowper et les am liorent 251 ANNEXE X Faiblesses de Maple Bien que le code ait t construit sur le logiciel l auteur a t plus d une fois tr s d u de celui ci a cause de ses fonctionnalit s L auteur recommande a la personne qui va reprendre le code a songer tr s s rieusement le traduire dans le logiciel MATLAB Voici quelques faiblesses et probl mes qui apparaissent dans Maple Maple laisse trop de libert syntaxique En effet l utilisateur a le choix d utiliser une multitude de symboles et d indices pour d finir des variables ou m me cr er des fonctions Ceci est tr s visuel mais peut mener des erreurs tr s difficiles d celer Il est donc conseill d utiliser le moins de symboles possibles Les messa
19. Dans les th ories des poutres de cisaillement et des poutres de Timoshenko il existe deux coordonn es ind pendantes wa D gt WG qu 0 i i 57 axl t PSEC desi t Cependant l hypoth se que le d placement transverse et l angle d au moment de flexion sont gouvern s par les m mes coordonn es modales est faite Han et al 1999 Ceci se traduit par qi t w gps i 58 Une notation qui sera utile dans le chapitre 2 est introduite Han et al 1999 I E et donc w gt pee qi t i 60 LT io i 1 1 3 2 1 quations de mouvement et fonctions modales de la poutre de cisaillement La poutre de cisaillement dispose de deux quations de mouvement Han et al 1999 2 0 0 p A zw t k G A K w t Zee ft i 61 ag 0g 155 a Qy t k G A w E t a t 0 o G est le module de cisaillement adimensionnel et Gy le module de cisaillement transversal de la face x selon la direction z Gyz L fn ee i 62 E 1 Le facteur de forme k est une constante calcul e sur base de la forme g om trique de la section de la poutre tudi e ainsi que du coefficient de Poisson du mat riau tudi Il s agit d un coefficient qui pond re l nergie potentielle de cisaillement transversal pour prendre en compte un profil de cisaillement transversal variable travers la hauteur de la section qui est en g
20. Eyy Oyy Ey Exx 3 25 O C est la premi re composante de la matrice de rigidit dont la valeur est utilis e dans la th orie de poutres choisie Celle ci est galement appel e coefficient de rigidit longitudinal dans le reste du texte Les relations ci dessus aboutissent la loi de Hooke classique Les d veloppements ci dessus permettent de comprendre que la loi de Hooke classique n est obtenue que lorsque les d formations et les contraintes normales transversales sont n glig es Cette m me proc dure peut tre appliqu e aux couches avec un angle de 45 par rapport l axe longitudinal dont la matrice de souplesse est donn e par l expression 3 14 3 8 Th ories de poutres Il existe 4 th ories de poutres mais seule celle d Euler Bernoulli de Rayleigh et de Timoshenko sont analys es dans ce chapitre puisqu il s agit des th ories les plus utilis es et pour limiter l envergure du travail Les quations d taill es et la m thode de r solution ainsi qu un chapitre sur les erreurs num riques sont pr sent es dans le paragraphe I 3 de ANNEXE I Les r sultats pr sent s ici sont les fonctions modales adimensionnelles modifi es permettant de faire disparaitre les erreurs num riques ainsi que la m thode de redimensionnalisation des fonctions modales Les fonctions modales sont par la suite inject es dans les expressions des nergies dans le Chapitre 4 Dans ces th ories les d
21. Le rep re dextrogyre illustr la Figure 3 1 est choisi pour tous les d veloppements L axe x d signera toujours le sens de longitudinal des stratifi s l axe y le sens de la largeur dans le plan form par les couches et pour finir l axe z le sens de la hauteur travers le plan Figure 3 1 D finition des axes sur un stratifi Le plan en pointill repr sente le plan neutre de flexion Le sens positif des angles de rotation sur le rep re dextrogyre est obtenu avec la r gle de la main droite en pla ant le pouce vers la direction croissante des axes comme illustr par la Figure 3 2 0 g 6 f Y h o x Figure 3 2 Illustration des angles positifs La partie blanche des fl ches illustr es dans la Figure 3 2 est plus proche du lecteur que la partie noire Le sens positif des contraintes par rapport aux faces d un solide est illustr par la Figure 3 3 Figure 3 3 Orientation des contraintes positives sur les faces d un l ment infinit simal 18 Un stratifi de mat riaux composites est d fini par une superposition de plusieurs strates galement appel es couches ou plis de mat riaux composites La d finition d un mat riau composite est simple Il s agit d un m lange compos de deux ou plusieurs mat riaux non miscibles L objectif est de permettre d utiliser les propri t s de chaque mat riau de telle sorte d obtenir un m lange qui es
22. Poutre 2 essais 2 Poutre 3 essais 1 m s 300 350 700 450 Fr quence Hz Figure 5 29 Agrandissement de la Figure 5 28 T T T T T 09 Poutre 1 essais 2 Poutre 2 essais 2 0 8 Poutre 3 essais 1 0 7 4 0 6 m s j i 100 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Fr quence Hz Figure 5 30 Agrandissement de la Figure 5 28 78 Tableau 5 6 Fr quences propres exp rimentales de la poutre 1 Comparaison des fr quences propres approximatives et exp rimentales pour la poutre 1 Fr quences Fr quences Fr quences Fr quences exp rimentales exp rimentales exp rimentales poutre 2 poutre 3 poutre 3 propres Hz poutre 1 poutre 2 poutre 3 di us G eae wees a ee ai i k a ga 5 5 4 Conclusion Les essais de r p tabilit effectu s sur les trois poutres en composites sont satisfaisants En effet les fr quences propres obtenues lors des deux essais pour la poutre 1 sont quasiment gales et l allure des graphiques est quasiment identique Les l g res variations sont principalement attribu es une l g re variabilit sur le positionnement relatif des poutres par rapport au banc d essais La variabilit des fr quences naturelles des trois poutres fabriqu es est assez importante Le spectre de la premi re fr quence propre de la poutre 2 tel qu illustr sur la Figure 5 29 poss de une forme diff ren
23. autour de l axe y et hy est l angle de flexion dans le sens n gatif que forme la section initialement contenue dans le plan xz autour de l axe x La relation des angles y et D avec les angles du rep re dextrogyre sont les suivantes 19 by Oy 3 2 dy 0 Les d formations sont exprim es de la mani re suivante Berthelot 1996 qn t2 se a 3y z Ga yy 0 a _ m x 3 3 i dy Oe ag eo 5 x ax y Yay Jx e py dy py O repr sente une d formation normale aux faces du solide consid r et yg repr sente un angle de cisaillement de la face a vers laxe b du rep re Le fait que soit nul est une cons quence du choix du champ de d placement adopt par les quations 3 1 En liminant amp des expressions ci haut sont simplifi es tel que suit Exx Er Zz Ae reer en wee 7 el Oye deen ND Px x XZ Yxy ee D dx 0 X ay ee Dans le cadre de cette recherche le champ de d placement est consid r continu a travers les couches Le champ de d placement est donc global Chaque couche du stratifi est suppos e tre un mat riau orthotrope Le lien entre les d formations et les contraintes dans les axes principaux est exprim par la relation matricielle suivante Berthelot 1996 20 xx Sin Siz Siz O O Oro Eyy Siz S22 S23 0 0 0 oy Ezz SE 513 523 53 3 0 0 0 Ozz
24. le cisaillement est maximal le long de toute la poutre en fonction du temps Voici une figure qui illustre le cisaillement le long de la poutre un instant donn Yxz rad x m Figure 8 7 Cisaillement le long de la poutre 0 0 0 0 pour l instant t 0 010118s La figure ci dessus illustre le cisaillement de la poutre 0 0 0 0 l instant o le cisaillement est maximal Cet instant survient tr s peu de temps apr s l impact et correspond approximativement l instant o la pente de la fibre neutre soit la d riv e spatiale du d placement est maximale puisque l angle de flexion est toujours nul l encastrement Le cisaillement est maximal proche de l encastrement et est de l ordre de 107 rad Les patch visco lastiques devraient donc tre plac s proche de l encastrement De plus sachant que le cisaillement est probablement maximal au centre de la poutre les patchs devraient tre plac s sur les parois verticales Voici les m mes figures pour les vitesses transversales Pour rappel les vitesses sont obtenues gr ce la d riv e temporelle du d placement Ecart vitesses Vitesses m s m s Vitesses m s 119 1 54 14 0 54 0 4 v 0 53 0 010 0 041 0 012 0013 14 1 54 a 0 6 b 0000 000aS 00450 00 45 45 04500 0 45 0 5 0 45 45 0 0 45 45 45 45 0 0 0 45 45 4545 c t
25. m thode des modes assum s sera d taill e par la suite Bien que non exhaustive cette revue de litt rature donne un bon aper u des recherches qui ont eu lieu dans des domaines proches ou loign s du sujet de recherche pr sent L accent a surtout t mis sur les recherches pr sentant des m thodes analytiques ou semi analytiques et non sur des m thodes d l ments finis Un l ment int ressant en ressort galement Le principe de Hamilton a t s lectionn par un grand nombre de chercheurs Azrar et al 1999 Banerjee 2004 Cheng Xu amp Yan 2006 Han et al 1999 Lam amp Qian 2000 Mohammadi amp Ghannadpour 2011 Reddy 2007 Ruta 2006 Vo amp Lee 2008b Zhong amp Guo 2003 Ziane Meftah Belhadj Tounsi amp Bedia 2013b pour calculer les quations de mouvement des probl mes consid r s Dans le chapitre qui suit les objectifs et la m thodologie sont pos s Les notions et d finitions sp cifiques cette tude sont d velopp es plus en d tail dans les Chapitre 3 et Chapitre 4 14 CHAPITRE2 OBJECTIFS ET M THODOLOGIE L objectif de cette recherche est de mod liser les vibrations transversales transitoires d une poutre en composite multicouche section creuse suite un impact Plus pr cis ment il faut D velopper un mod le th orique et l impl menter sur ordinateur Construire des poutres et les tester pour en extraire les fr quences propres Simuler les poutres
26. ordre de 2 x 1074m Les courbes sont assez proches entre elles Cela est nouveau expliqu par le fait que les modules de rigidit des diff rentes couches sont semblables La Figure 8 4 b repr sentant les 114 carts par rapport la poutre poss dant la s quence 0 0 0 0 permet de mieux visualiser les diff rences entre les poutres Les carts sont de l ordre de 3 107 m dans la gamme de temps des figures Cet cart vaut 15 de l ordre de grandeur des d placements transverses Cependant Trois l ments en ressortent Premi rement les courbes de toutes les poutres sont envelopp es par les courbes des poutres de s quence 0 0 0 0 et 45 45 45 45 Deuxi mement les courbes forment 5 groupes Les courbes de chaque groupe poss dent 0 1 2 3 ou 4 couches d orientation 45 respectivement Troisi mement les pics des courbes n ont pas lieu au m me instant Ce d calage est caus par une diff rence sur les fr quences propres des diff rentes s quences d empilement pour chaque configuration Au plus le temps avance au plus ce comportement est accentu Afin de mieux visualiser les deux derniers l ments mentionn s la fin de la figure des carts est agrandie Il faut pr ciser que dans Figure 8 4 le deuxi me mode ne poss de pas une amplitude tr s lev e Ceci est caus par le fait que le point de mesure th orique est localis tr s proche du n ud du deuxi me mode La Figure 8 4 d montre qu avec l
27. 5 sin b O b est le nombre d onde et la longueur adimensionnelle Les fonctions modales doivent respecter la relation d orthogonalit suivante 1 W M W d 6 3 33 0 o M _ est un op rateur alg brique et W est un vecteur colonne contenant la fonction modale Han et al 1999 WT W E 3 34 M W p A xW O p est la masse volumique adimensionnelle et A l aire de section adimensionnelle pF LS x ws DEEE 3 35 A A T2 O L est la longueur de la poutre w est la fr quence propre du premier mode I le second moment de surface et E est le module de Young longitudinal dans les axes de la poutre 3 8 2 Poutre de cisaillement et de Timoshenko Contrairement au mod le d Euler Bernoulli les mod les de poutres de cisaillement et de Timoshenko prennent en compte le cisaillement Les simplifications faites pour la th orie d Euler Bernoulli ne sont donc pas applicables Reprenons la relation du cisaillement 3 11 34 o Jx 0 Ay Yxy O a Le symbole est introduit afin de faire le passage entre les quations de Berthelot 1996 et celles de Han et al 1999 L angle de cisaillement y s additionne l angle du moment de flexion y La pente de la fibre neutre est donc plus lev e que dans le cas de la poutre d Euler Bernoulli Dans les th ories des poutres de cisaillement et des poutres de Timoshenko a constitue la deuxi me coo
28. En th orie au plus ns est grand au plus lissage s approche de la courbe exp rimentale Dans le cas d une courbe d impact relativement r guli re le r sultat converge assez rapidement La Figure 5 7 la Figure 5 10 qui suivent sont g n r es partir du plus fort impact r alis avec l embout en acier inoxydable Comme expliqu pr c demment lorsque la structure a t impact e par l embout m tallique des ondulations apparaissent avant et apr s impact Il est clair que celles ci ne repr sentent pas une force de contact r elle puisqu elles persistent pendant un temps trop long par rapport la dur e du grand pic Le signal est trait en mettant les ondulations z ro L hypoth se est faite que les ondulations n apparaissent pas dans le grand pic d impact 600 500 400 Force N wo Le 200 100 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 Temps s x10 Figure 5 7 Courbe d impact avec l embout en acier inoxydable 60 600 500 400 Force N wo Q o 200 100 f f f 1 26 1 28 13 132 1 34 136 138 14 142 1 44 146 Temps s x10 Figure 5 8 Courbe d impact avec l embout en acier inoxydable trait e lisser force_impact vs t_impac 600 Fourrier 1 Fourrier 2 Fourier 3 500 Fourrier 4 Fourrier 5 400 Force N wo Q 200 100 125 13 1 35 14 1 45 Temps s Fi
29. G12 G13 G23 G 3 7 Viz S Via Vz V La matrice de souplesse pour un mat riau isotrope est la suivante 1 v v EE E E E v 1 v Sa Sa SN GO OU Da e a Es 0 m0 Si2 Sir Siz 0 0 0 v v 1 i mi S o S2 S2 Ssa 0 0 0 E EE T homog ne 0 0 0 S44 0 0 j 5 1 i 0 0 0 0 S44 0 G 1 0 0 0 0 0 S44 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 G Et elle reste la m me peu importe le rep re dans lequel elle est exprim e Dans le cas g n ral d un mat riau orthotrope la matrice de rigidit dans les axes principaux est obtenue en inversant la matrice de souplesse Olprincipaux c bas 3 9 O c s 3 3 D finition du cisaillement Le cisaillement est une notion tr s importante et ce paragraphe vise expliquer le plus clairement possible en quoi il consiste Par soucis de simplicit l exemple qui suit traite d une poutre homog ne et isotrope dont l axe longitudinal est x 22 Lorsqu une charge dirig e vers les z positifs est appliqu e l extr mit droite de la poutre elle induit un moment de flexion et du cisaillement et se d forme vers le haut selon une certaine courbe Voir Figure 3 4 Reprenons l expression du cisaillement transversal y 0 Yxz Jx e x 3 10 Il est important de comprendre que l angle est l angle de la section caus par le moment de flexion uniquement peu importe si le cisaillement est pris en compte ou non est appel par la suite angle de flexion
30. LAAs a nee eut ones ends enema SET aan eine te sade waar W ewes 136 1 1 2 Matrice de souplesse dans des axes non principaux par rotation dans un plan autre que celui des directions principales ein Re nu nt das nn 141 I 2 quation constitutive et couplages Vibratoires c cccccsccssessessesssesesesesstssessteseeseeseeeen 142 13 Th ones d s DOUtt S ina ns nine See re nn E ne 146 1 3 1 Poutred FEuler Berng lli issnin aaa a SRE 147 1 3 2 Poutre de cisaillement et de Timoshenko 153 ANNEXE II DETAILS DE LA TH ORIE DU CHAPITRE 4 ue 169 ANNEXE III PREUVE THEORIQUE SIMPLIFICATRICE SUR CONTRAINTES ET D PLACEMENTS TRANSVERSES POUR LES THEORIES DES POUTRES cccccces00000 174 TA EONCIUSIONSE Rand Bee reais 181 ANNEXE IV ISOLATION DU NOMBRE D ONDE DE TIMOSHENKO er 182 ANNEXE V MANIPULATION DES FONCTIONS MODALES DE TIMOSHENKO 186 N l Expressions ClASSIQUES ir ne ne es E sete ne A ne nn 186 V2 2 Expressions manip l eS donnent danse ren nu an nette 188 ANNEXE VI VALIDATION DES R SULTATS THEORIQUES c csssssssssssesstesesstesees 190 VI 1 Validation avec r sultats de la litt rature 0 eee ceeceeeeeeeecneeceeeeseeeeaeecsaecnaeensees 190 VI 1 1 Comparaison des fr quences propres avec la litt rature oe ee eee eeeeeeeeeeeees 190 VI 1 2 Orthosonalit des fonctions MOodal s 5 sn eutel dents 195 VI2 Validation de la m thode des modes assum s sceseceeeees
31. La d riv e du d placement transverse de la fibre neutre repr sente la pente de la fibre neutre et y repr sente langle de la section d au cisaillement uniquement Des explications suppl mentaires sont donn es dans les paragraphes suivants Une mani re plus intuitive de comprendre cette relation consiste exprimer la relation pr c dente de la mani re suivante gy Wo Yaz Px 3 11 Cette relation traduit le fait que la pente du plan neutre est fonction des deux angles y et d mesur s partir de l horizontale Le cisaillement sur un l ment infinit simal d une poutre dont l extr mit droite subit un chargement en cisaillement est illustr dans la Figure 3 4 x Z Flexion e cisaillement Z a Flexion REZ ee a ae x ax a y BE eas PES ns et Figure 3 4 Illustration de la contrainte de la d formation de cisaillement 23 Cette figure met en vidence trois cas diff rents Dans le premier cas aucun chargement n est appliqu sur l l ment infinit simal Son centre de gravit G repose l origine de l axe Z et l angle de son axe principal est nul par rapport l horizontale Dans le deuxi me cas le chargement de cisaillement est appliqu mais les contraintes de cisaillement sont n glig es Les d formations en cisaillement transversal sont donc galement nulles Le nouveau centre de gravit G est plus lev que G et l angle de l
32. Tableau 8 1 Modules de rigidit pour les couches horizontales et verticales et pour les deux orientations de fibres abl au 62 assassins ins tas dit nl aaalthonecs 105 Tableau 8 2 Num rotation des s quences dempilement cst dew nes tas 106 Tableau 8 3 Fr quences propres approximatives de 6 empilements diff rents 0 ee 107 Tableau 8 4 Effet de l ajout d une couche 45 sous jacente sur les fr quences propres 112 Tableau i 1 Caract ristiques de la poutre aluminium 167 Rableau int Acasa SUMMER ae ae cn a nl tee ds na 178 Tableau iii 2 Fr quences propres exp rimentales de la poutre pleine d aluminium 2024 T4 178 Tableau iii 3 Comparaison des fr quences propres analytiques avec les fr quences propres XD TLINENTAlS se hee alti ne eae Re USE Re nt en deel 179 Tableau iii 4 R sultats de simulation du cas 2 822822 nn ie hae aes 179 Tableau iii 5 R sultats de simulation du cas 2 3 8 0 uns ta nt Me etant 180 Tableau iii 6 R sultats de simulation du cas 3 3 2 4 a niet 180 Tableau iii 7 R sultats de simulation du cas 4 2 8 ain aa ae 181 Tableau vi 1 Caract ristiques de la poutre de Han et al 1999 190 Tableau vi 2 Caract ristiques de la poutre mince de Majkut 2009 seesssssesscsereeressrsersresss 191 Tableau vi 3 Caract ristiques de la poutre paisse de Majkut 2009 191 Tableau vi 4 Caract ristiques de la poutre mince de Majkut 2009 eeecceeeseeeest
33. Zhou D 2003 Vibration Of Tapered Mindlin Plates In Terms Of Static Timoshenko Beam Functions Journal of Sound and Vibration 260 4 693 709 doi 10 1016 S0022 460X 02 01008 8 Cytec n d Cycom 5276 1 Retrieved February 26 2014 from http cytec com businesses products selector guide refid 18 amp x 25 amp y 13 Ecsedi I amp Dluhi K 2005 A Linear Model For The Static And Dynamic Analysis Of Non Homogeneous Curved Beams Applied Mathematical Modelling 29 12 1211 1231 doi 10 1016 j apm 2005 03 006 131 Ganesan N amp Engels R C 1992 Timoshenko beam finite elements using the assumed modes method Journal of Sound and Vibration 156 1 109 123 doi 10 1016 0022 460X 92 90815 F Gongalves P J P Brennan M J amp Elliott S J 2007 Numerical Evaluation Of High Order Modes Of Vibration In Uniform Euler Bernoulli Beams Journal of Sound and Vibration 301 3 5 1035 1039 doi 10 1016 j jsv 2006 10 012 Gong S W Lam K Y amp Reddy J N 1999 The Elastic Response Of Functionally Graded Cylindrical Shells To Low Velocity Impact International Journal of Impact Engineering 22 4 397 417 doi 10 1016 S0734 743X 98 00058 X Guo Y Q Chen W Q amp Pao Y H 2008 Dynamic Analysis Of Space Frames The Method Of Reverberation Ray Matrix And The Orthogonality Of Normal Modes Journal of Sound and Vibration 317 3 S 716 738 doi 10 1016 j jsv 2008 03 052 Han S M
34. assurant que les coordonn es modales sont bien diff renti es et correctement assembl es dans le vecteur des coordonn es modales Pour finir il faudra r crire les expressions des nergies Le programme traitera les matrices r sultantes de la m me mani re L approche adopt e pour r soudre le probl me d un stratifi a t de calculer les fonctions modales du probl me homog n is et de les injecter dans les expressions des nergies du 125 stratifi Bien que cette approche semble tre relativement pr cise il devrait tre possible de gagner en pr cision en calculant les fonctions modales de chaque pli et en les injectant au bon endroit dans les expressions des nergies Ceci r sultera bien s r en des probl mes aux valeurs propres de dimension plus lev e En effet pour simuler les vibrations d un stratifi 4 plis la dimension du vecteur des coordonn es modales est multipli e par 4 Cette recherche ne s est focalis e que sur les conditions aux limites d une poutre encastr e libre Il serait int ressant de l largir d autres conditions aux limites telle que la simplement support e ou la doublement encastr e Pour ce faire les quations fr quentielles de la th orie de Timoshenko devront tre reprogramm es et les quations modales devront tre modifi es pour viter des ventuelles erreurs num riques similaires au Chapitre 3 Cette recherche s est aussi focalis e sur des
35. fet 1 cos O A est l amplitude de l impact et B est la dur e de l impact Ces deux param tres peuvent prendre des valeurs arbitraires et peuvent tre facilement ajust s XI 1 2 2 Impact avec s ries de Fourrier L expression g n rale d une s rie Fourrier est la suivante ny felt ao gt Gi COS i t b sin i w t xi 4 1 1 avec t E tasput impact Lfin ter O ny est l ordre de la s rie En th orie au plus ny est grand au plus le lissage s approche de la courbe exp rimentale Dans le cas d une courbe d impact relativement r guli re le r sultat converge assez rapidement Les figures ci dessous illustrent plusieurs lissages effectu es gr ce la fonction cftool de Matlab sur une courbe d impact g n r e avec l embout noir 255 350 300 250 200 Force N 3 a Le oO a O 5 L L I 05 8 8 5 9 95 10 105 Temps s x10 Figure xi 1 Courbe d impact avec embout noir approcher I I force_impact vs t_impac Fourrier 1 Fourrier 2 Fourrier 3 Fourrier 4 300 250 200 Force N a O Q i on oO 75 8 85 9 95 10 105 Temps s x10 Figure xi 2 Lissage de la courbe d impact avec l embout noir avec des s ries de Fourrier Les s ries de Fourrier semblent bien converger partir de l ordre 3 Les r sultats sont satisfaisants
36. g 145 De plus lorsque tous les plis du stratifi poss dent des matrices de souplesse de la m me forme qu un mat riau orthotrope tel que repr sent par l quation i 7 certaines composantes des matrices A et D ainsi que les composantes non diagonales de la matrice F sont nulles Mt ta dis E O 0 O 0 Op Tee NAI sd 20 ON 0 Or ONE Nyy 0 0 As 0 0 0 o ol M 0 0 0 D D2 0 0 ojig Ml Lo 0 0 Dz D2 0 0 Gflke Le Myy o 0 0 0 0 De 0 0 ky Qy D 0 0 0 0 0 Fa 0 fy Q o 0 o o o o O Fella Dans une notation plus concise il est possible de r exprimer la relation d Euler Bernoulli N A 0 0 Em M 0 D Oj Q 0 0 FI Lyc 1 26 Em Al 0 0 N S K 0 pD 0 M Yc 0 0 FH LR Lorsqu un stratifi encastr libre par exemple est soumis un cas de chargement avec une flexion pure les r sultantes se simplifient d Euler Bernoulli ZF 0 0 0 M xR N I y 0 y 10 0 Qx 0 Ceci r sulte une simplification dans les d formations 146 Exx x 0 Eyy 0 Yy 0 Kx Kx i 28 Ky Ky Kyy 0 Yz Ves Cette derni re simplification d montre que la d formation en cisaillement dans le plan et la torsion sont nulles lorsque la flexion pure est tudi e sur un stratifi sym trique et quilibr qui ne dispose que de plis orthotropes dont les propri t s selon les deux axes dans le plan sont identiques et qui sont o
37. gt A2 B gt A iv 28 Ceci m ne a y k a2 1 1 lt 0 iv 29 Cette relation ne peut tre v rifi e qu apr s le calcul des nombres d onde 186 ANNEXE V Manipulation des fonctions modales de Timoshenko Cette annexe a pour objectif de comparer les expressions des fonctions modales classiques et manipul es de Timoshenko lorsque les nombres d onde prennent des valeurs lev es mais toujours dans le cas o a lt a Les notations ont t simplifi es pour une plus grande facilit de lecture par rapport au texte principal du Chapitre 3 Cette analyse permet de s assurer que les expressions classiques et les expressions manipul es sont bel et bien quivalentes Les expressions lorsque a gt a n ont pas besoin d tre trait es puisqu elles ne sont pas sujettes aux m mes types d erreurs num riques V 1 Expressions classiques Voici l expression classique pour le d placement transverse W E sin a amp C cos a C sinh f amp C cosh f avec 0 1 v 1 a y b 2 sin a a b e eb Avec Ce a 2 cos a a2 y2b2 b2 y2a2 e gt e b 2 2h2 C3 at y b b v 2 a b2 y a a y2b 2 sin a a b e e C4 C2 a 2 cos a a y2b2 b2 y2a2 eb e b Pour des nombres d onde lev s les coefficients ci dessus peuvent tre simplifi s tel que suit a yb 2 asin a b e e a ee a 2 cos a a2
38. par rapport l axe longitudinal est la suivante 1 1 Ivertic a Tenis S Eai 1 56 6 1 Sec Su S12 s S13 Su Si2 0 0 0 S13 33 S13 0 0 0 a 19 1 56 6 1 Sec S lvertic Su S12 7 6 S13 Su S12 0 0 0 o 0 0 Saa 0 0 A o 0 0 2 Si1 Si2 0 0 0 0 0 0 Say o les composantes S sont nouveau celles de la matrice S Les d veloppements d taill s des relations pr c dentes se trouvent dans ANNEXE VIII I 2 quation constitutive et couplages vibratoires Ce paragraphe d taille les calculs du paragraphe 3 6 du Chapitre 3 Dans ce paragraphe il est prouv que lorsqu un stratifi classique poss dant une s quence d empilement sym trique est soumis un effort de flexion pure la d formation transversale n est pas coupl e avec une d formation longitudinale ni en torsion Le parall le avec les poutres section creuse est fait la fin du paragraphe L quation constitutive est la relation entre les r sultantes des contraintes par unit de largeur et les d formations Pour un stratifi classique o 0 et sont n glig s la relation est donn e ci dessous Berthelot 1996 143 Nx A11 A12 Aire Bir Biz Bie 0 0 Ex Ny A12 A22 Aze Biz B22 B26 0 0 Eyy Nyy A16 A26 Abe Bie B26 Bes 9 0 Ysy My _ B Biz Big Dir Diz Dre 0 0 Ky i 20 My Biz B22 B26 Diz D22 D26 0 0 Ky Myy Big Bre Bee Die D26 Dee 9 0 Kxy Qy 0 0 0 0 0 O Fa Fas Vor Qx 0 0 0 0 0 0 Fas Festi L
39. ras as c t s se 0000 0 0 0 45 0 0 45 0 0 0 45 45 0 45 0 0 0 45 0 45 0 45 45 0 0 45 45 45 45 000 45 0 0 45 45 0 45 0 45 0 45 45 45 45 0 0 45 45 0 45 45 45 45 0 45 45 45 45 Figure 8 9 Acc l rations carts et agrandissement des carts en fonction du temps du point 3 i nn p Z x 3L pour toutes les s quences d empilement a acc l ration b cart entre les r ponses c agrandissement de a Les acc l rations sont de l ordre de 4 104 et les carts de l ordre de 2 x 104 L ordre de grandeur des carts vaut 50 de l ordre de grandeur des angles de flexion 122 8 3 Comparaison avec la litt rature La litt rature trouv e n offre pas des possibilit s de comparaison La plupart des articles traitant de comportement transitoire ne font souvent pas de comparaison entre plusieurs s quences d empilement Lorsqu une comparaison entre plusieurs configurations est r alis e les auteurs ne comparent que la premi re fr quence propre Jafari Khalili amp Azarafza 2005 par exemple ont compar des coques cylindriques avec plusieurs s quences d empilement pour des vibrations longitudinales Il n est donc pas possible de comparer les r sultats avec ceux de la pr sente recherche Cela porte croire que les analyses du paragraphe 8 2 sont des l ments d originalit dans cette reche
40. rence avec Timoshenko ze ee ja Analytique Aopronimatit Analytique Aoproximatit Pets A 15 96 15 96 15 95 15 95 0 31 279 98 279 98 279 75 279 75 1 70 548 64 548 64 547 83 547 83 1 79 Les fr quences exp rimentales sont extraites de la figure exp rimentale ci dessous repr sentant le 99 99 99 99 99 96 99 96 1 96 spectre fr quentiel de la poutre suite un impact Pour la poutre sollicit e en flexion les pics les 203 plus prononc s devraient tre ceux des vibrations transverses Cependant cela d pend de la mani re dont la poutre est impact e Il faut donc consid rer non seulement la taille des pics mais aussi la proximit des pics par rapport aux valeurs th oriques calcul es Amplitude FLORENT ES A ds OC Rs Eu A _ PR Be PEE D oe Pee nes 0 100 200 300 400 500 600 Fr quences Hz Figure vi 5 Fr quences propres exp rimentales de la poutre 1 On remarque premi rement que les fr quences analytiques et approximatives sont en accord pour chacune des deux th ories de poutres Le cisaillement est donc n gligeable Deuxi mement les fr quences de Timoshenko sont l g rement plus faibles par rapport celles d Euler Bernoulli Ceci est en accord avec la litt rature Han et al 1999 Les fr quences exp rimentales sont relativement proches des fr quences th oriques avec un cart d environ 1 8 par rapport aux fr quences analytiques de Timoshenko Ce l
41. s ee 0000 0 0 0 45 0 0 45 0 0 0 45 45 0 45 0 0 0 45 0 45 0 45 45 0 0 45 45 45 45 000 45 0 0 45 45 0 45 0 45 0 45 45 45 45 0 0 45 45 0 45 45 45 45 0 45 45 45 45 Figure 8 8 Vitesses carts et agrandissement des carts en fonction du temps du point x z pour toutes les s quences d empilement a vitesse b cart entre les r ponses c agrandissement de a 120 Les vitesses sont de l ordre de 15 et les carts de l ordre de 0 62 L ordre de grandeur des carts vaut 40 de l ordre de grandeur des angles de flexion Les m mes l ments que pour les d placements ressortent grace aux observations Voici les m mes figures pour les acc l rations transversales Pour rappel les vitesses sont obtenues grace a la d riv e temporelle du d placement 121 40000 N 20000 0 T 0 010 0011 20000 40000 Y Accelerations m s a Ecart accelerations m s 40000 oun O PS a 30000 CSS eed SK 20000 g 10000 t z n 2 T T T S 10000 0 01272 0 01274 0 012764 0 01288 a 2 i 20000 cone 54 3 CS 5 30000 r D 400004 3 lt 0000 00045 00 45 0 00 45 45 045 00 0 45 0 45 0 45 45 0 0 45 45 45 45 0 0 0 45 0 0 45 45 0 45 0 45 0 45 45 45 45 0 0 45 45 0 45 45 45 45 0
42. se se ee ses sae we ne lt se 3 ote ses tres Ress se BERS KK SY ses ss Re see ERROR SERRE KRY Se r Se rer res SAIS RER RER RERO RRR RSR RS RTE TRISTE 202000000000000000000000000000000000000000000000000000000 EN ERA ec este ected ated aA aa OU 0 EE D ED D D ED Osa Ocas Os 0000000 rene res SEE OI OO TERRE EDS NNN NN NNN BEEK KR K RR KRR KKK RNR EKER INK HNN HHH SNH HHS BRKKE SKK HK ooo eee SNe eS eee RSS RTS SSSR RSR RIT RSR SR TRS RSS 20200000000000000000008 000000000000 0000 LNAO NNN NNN NNN eS 20909299N RKO RK OK ORNS me S S xs me x cag 2S RRS se ones aes e ss r ses se es ee x aes lt amp ss SS see 2 Sococonegecece Z7 x t es ose ZZ Ss lt lt w ee RS lt S lt me w Re mee Se se Sates amp ROS 4 OO ROG RSS Re RS o 20000000 o es OSSES 266000 ss es es LR ee Re se se RS 538 es RRS KS ses Le vee RS amp r S se se sees lt 405 oS RS ones x sats ses ee RRR KY seg ones see IIRI es R mans 3 gt lt gt sees see l RS cates se Z7 g stot a 8 Re Res 9s RS 5 SS IZ lt SS eee m8 bs Be esse RS SS p R sine charg e Trou vis de serrage Figure 5 16 Sch mas de fabrication des poutres en composites section creuse Une fois que toutes les couches ont t enroul es autour du mandrin une certaine pression doit tre mai
43. sont inject es dans le code de calcul pour pouvoir comparer les r sultats th oriques et exp rimentaux Les figurent ci dessous illustrent les mesures effectu es sur les trois poutres fabriqu es e1 S w3 w2 wi t N XN i 1 h3 h2 h1 e2 5 i i t lt gt L2 L1 a b Figure 5 21 a Illustration des prises de mesure externes b Illustration des prises de mesure de la section O le volume interne de la poutre le long de L est rempli de r sine charg e Les dimensions el e2 e3 et e4 ont t mesur es l extr mit libre des poutres uniquement Suite l installation sur le banc d essais seule la partie de la poutre le long de L reste Pair libre Le Tableau 5 3 contient les mesures effectu es sur chacune des trois poutres Les dimensions du Tableau 5 3 ont t moyenn es et ces derni res ont t inject es dans le code Le Tableau 5 4 donne les valeurs moyenn es Chaque poutre dispose donc de l g res variations g om triques Il faudrait s attendre donc en cons quence que les r sultats varient galement quelque peu Tableau 5 3 Mesures g om triques des trois poutres fabriqu es Mesures g om triques des trois poutres fabriqu es mm iar iar gt W Ea TN ka Ed ki WA a 69 70 Tableau 5 4 Mesures g om triques des trois poutres fabriqu es utilis s dans les calculs Mesures g om triques des trois poutre
44. tre les matrices de souplesse dans les axes de la poutre et non seulement dans les axes locaux des parois Les r sultats de ces matrices interviennent dans les calculs des th ories des poutres Les d veloppements qui suivent s effectuent dans le rep re local de la poutre 24 Figure 3 5 Repr sentation du rep re global de la poutre x y z et du rep re local x y z Les couches en composites bidirectionnelles utilis es dans cette recherche poss dent les propri t s suivantes E E V5 V21 3 12 G13 G23 V1 3 V23 Ce qui r sulte la matrice de souplesse suivante Sia Siz S13 0 0 0 Si2 Sia S13 O0 0 0 Siz Siz S33 0 0 0 S I ees l i 3 13 lorthotrope 0 0 0 S55 0 0 0 0 0 0 Ss 0 0 0 0 0 0 S Comme d crit dans l ANNEXE I il existe 4 matrices de souplesse diff rentes pour le probl me tudi En effet dans cette recherche deux orientations de fibres par rapport l axe de la poutre sont utilis es soit 0 90 et 45 De plus il faut conna tre les matrices de souplesse lorsque les couches sont contenues dans le plan XY et lorsqu elles sont contenues dans le plan XZ Il s agit des couches horizontales et des couches verticales respectivement Toutes les matrices de souplesses sont calcul es partir de celle d une couche horizontale avec une orientation de fibres 0 90 Ces quatre types de couches sont illustr s par la Figure 3 6 25 EM 0 90 horizontal
45. une autre mani re Plus pr cis ment un stratifi compos de couches identiques homog nes et isotropes est une repr sentation alternative quivalente d une poutre une seule couche homog ne et isotrope d une paisseur gale l paisseur totale du stratifi La figure ci apr s illustre ce propos en affichant la section de la poutre oo ep rs er G Figure vi 22 quivalence des deux sections de poutre pour un mat riau homog ne et isotrope La relation entre les coefficients de minceur d une couche d paisseur e et d une couche d paisseur 4e est la suivante 1v 30 Pour produire les r sultats de la poutre 1 du tableau iv 38 les nombres d onde et les fonctions modales ont t calcul s pour la section d paisseur 4e et ont t inject es dans l expression des nergies de la section d paisseur 4e nouveau 220 a B W PSI Figure vi 23 M thode de calcul classique pour une poutre homog ne et isotrope Les deux cas de calcul illustr s par les Figure vi 24 et Figure vi 25 sont tudi s La preuve que la m thode des modes assum s marche bien sera faite si ces deux cas donnent des r sultats proches de ceux du cas de calcul classique illustr par la Figure vi 23 Les calculs qui suivent sont r alis s avec la th orie de Timoshenko VI 2 3 1 Cas de calcul 2 a B 1 W PSL Figure vi 24 Cas de calcul 2 Le cas 2 illustr ci dessus t
46. velopp es pour des mat riaux isotropes Dans les calculs de la th orie de Timoshenko les deux coefficients Syy lt x et xx Syz sont utilis s dans l expression 3 67 ainsi que dans les expressions de l nergie XZ potentielle dans la relation 4 11 et ce pour chacune des 4 matrices de souplesse obtenues pour les diff rents types de parois Pour les parois horizontales ci dessus seul Syy est connu tandis que Syz d pend de G43 qui est une inconnue Une hypoth se sur la valeur de G 3 est faite dans le Chapitre 6 Les quations 6 4 montre que le module de rigidit est plus lev pour un stratifi bidirectionnel formant 45 avec l axe de la poutre qu un stratifi bidirectionnel formant 0 90 avec l axe de la poutre Cependant l inverse est vrai pour le module de cisaillement dans le plan Le m me processus que ci dessus est effectu pour les parois verticales Si S13 S12 0 0 S13 533 S13 0 0 S12 S13 S11 0 0 S vertic 0 0 0 S44 0 6 5 D w BO T Se 0 0 0 0 0 Su 1 V1 3 42 8 42 8 V13 10 42 8 E 0 31 13 _ 7228 428 0 0 0 0 0 0 1 42 8 0 yz liye Very 0 0 84 De la m me mani re que pr c demment 6 6 rats S tS S 2 1 1 1 2 2 1 3 S13 A E S lvertic ot 1209 0 0 0 0 0 0 42 8 V1 3 0 0 0 42 8 l 0 0 0 42 8 re 10 0 0 0 Gxz 0 0 17 23 0 0 0 a Gxz 0 0 0 Gyz i 107 Z 1
47. 5 27 Agrandissement de la Figure Sienna ein ln nr anne rene 76 Figure 5 28 Comparaison des spectres fr quentiels de trois poutres 76 Figure 5 29 Agrandissement de la Figure 5 28 77 Figure 5 30 Agrandissement de la Figure 5 28 nina dateeite 77 XVI Figure 6 1 Couches horizontales et verticales avec deux orientations de fibres possibles Figure CIS AL SITING oaia a M nt sb at Con tate nd 99 Figure 7 2 D termination graphique du module de cisaillement transversal eeeeeeeeeee 100 Figure 7 3 Fr quences propres en fonction de G1 3 pour chaque mode 101 Figure 7 4 Pente des fr quences propres en fonction de G1 3 102 Figure 8 1 Passage d une configuration 0 0 0 0 une configuration 45 0 0 0 a changement d orientation de la premi re couche b changement du module de rigidit longitudinal de la premi re couche c changement du module de cisaillement transversal de la premi re Figure 8 2 Rapport des fr quences propres lors du remplacement d une couche 0 90 avec une couche 45 pour les 5 premiers modes issus vomminalasinennenalsi nn 111 Figure 8 3 Courbe MID ACE LS nn Re et fe en LS 113 Figure 8 4 D placement en fonction du temps du point x 34L et carts pour toutes les s quences d empilement a d placement transversal b cart entre les r ponses c agrandissement d A iusssssntinntnnnalianitinaninmnianiio thai 115
48. A W amp Qatu 2011 Vibrations of continuous systems New York McGraw Hill Leung A Y T 1988 Integration Of Beam Functions Computers amp Structures 29 6 1087 1094 Leung A Y T 1990 Recurrent Integration Of Beam Functions Computers amp amp Structures COMPUT STRUCT 37 3 277 282 doi 10 1016 0045 7949 90 90319 W Mahamood R M Akinlabi E T Shukla M amp Pityana S 2012 Functionally Graded Material An overview Retrieved from http researchspace csir co za dspace handle 10204 6548 Majkut L 2009 Free And Forced Vibrations Of Timoshenko Beams Described By Single Difference Equation Journal of Theoretical and Applied Mechanics Vol 47 nr 1 193 210 133 Mallick P K 2008 Fiber reinforced composites materials manufacturing and design Boca Raton FL CRC Press Marchal V 2013 August Rapport de Stage Mod lisation math matique de la r ponse en vibration de poutres en composites section creuse Ecole Polytechnique de Montr al Mohammadi B amp Ghannadpour S A M 2011 Energy Approach Vibration Analysis Of Nonlocal Timoshenko Beam Theory Procedia Engineering 10 1766 1771 doi 10 1016 j proeng 2011 04 294 Mostafavi Yazdi S J A amp Irani S 2009 Transverse Vibration Of Double Cracked Beam Using Assumed Mode Method In 4th International Conference on Recent Advances in Space Technologies 2009 RAST 09 pp 156 160 doi 10 1
49. Contenu Fr quentiel atj 1 z 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Fr quence Hz Figure xi 16 Agrandissement de la Figure xi 14 Les essais de la troisi me poutre ne pr sentent pas de variabilit Le tableau qui suit r sume les valeurs fr quentielles de chaque pic de la Figure xi 14 265 Tableau x1 3 Fr quences propres exp rimentales de la poutre 3 Fr quences propres de la poutre 3 Hz 348 349 el 3095 3097 fr 977 355 5 356 3213 3214 4776 1943 1948 3409 LiL XI 2 4 Conclusion Les essais de r p tabilit effectu s sur les trois poutres en composites sont tr s satisfaisants En effet les fr quences propres obtenues lors des deux essais pour chaque poutre individuelle sont quasiment gales et l allure des graphiques est quasiment identique Les l g res variations sont principalement attribu es une l g re variabilit sur positionnement relatif des poutres par rapport au banc d essais Certains pics fr quentiels pourraient tre limin s sachant que la poutre est sollicit e principalement en flexion En effet les pics correspondants des vibrations transversales devraient tre plus marqu s que les pics correspondants d autres types de vibration Cependant dans la gamme de fr quences de 2000 Hz 5000 Hz les pics poss dent plus ou moins la m me intensit rendant la distinction visuellement difficile L identi
50. Fr quentiel no T 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Fr quence Hz Figure xi 8 Contenu fr quentiel de la poutre 1 Poutre 1 essais 1 Poutre 1 essais 2 Contenu Fr quentiel li 1 800 350 400 450 Figure xi 9 Agrandissement de la Figure xi 8 07 T T T T T T Poutre 1 essais 1 osL Poutre 1 essais 2 4 o o o ES a T T T Contenu Fr quentiel N T 1 oo 2000 2500 3000 3500 4000 4500 000 Figure xi 10 Agrandissement de la Figure xi 8 261 Les deux essais sur la premi re poutre ne pr sentent pas de variabilit En effet les fr quences propres de la premi re poutre pour les deux essais sont en accord Le tableau qui suit r sume les valeurs fr quentielles de chaque pic de la Figure xi 8 Tableau xi 1 Fr quences propres exp rimentales de la poutre 1 Fr quences propres de la poutre 1 Hz 360 361 3126 4079 4081 375 376 5 3246 4905 4907 XI 2 2 Poutre 2 Voici les r sultats des deux essais de la deuxi me poutre 3 5 T T Poutre 2 essais 1 Poutre 2 essais 2 Contenu Fr quentiel 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Fr quence Hz Figure xi 11 Spectre fr quentiel de la poutre 2 262 3 5 i Poutre 2 essais 1
51. Free Vibration Analysis Of A Twisted Timoshenko Beam Journal of Sound and Vibration 270 1 2 379 401 doi 10 1016 S0022 460X 03 00633 3 Bank L C 1987 Shear coefficients for thin walled composite beams Composite Structures 8 1 47 61 doi 10 1016 0263 8223 87 90015 8 Behera L amp Chakraverty S 2013 Free Vibration Of Euler And Timoshenko Nanobeams Using Boundary Characteristic Orthogonal Polynomials Applied Nanoscience 1 12 doi 10 1007 s13204 013 0202 4 130 Berthelot J M 1996 Materiaux composites comportement mecanique et analyse des structures Paris Masson Cefic n d Applications and Benefits of Multi Walled Carbon Na notubes MW CNT Retrieved May 7 2014 from https www google ca search q Applications and Benefits of Multi Walled Carbon Na notubes MW CNT amp ie utf 8 amp oe utf 8 amp aq t amp rls org mozilla en US official amp client firefox a amp channel sb amp gfe_rd cr amp ei KChqu9O2HuqM8Qe0soHwAw Cheng J Xu H amp Yan A 2006 Frequency Analysis Of A Rotating Cantilever Beam Using Assumed Mode Method With Coupling Effect Mechanics Based Design of Structures and Machines 34 1 25 47 doi 10 1080 15367730500501587 Cheung Y K amp Zhou D 2000 Vibrations Of Moderately Thick Rectangular Plates In Terms Of A Set Of Static Timoshenko Beam Functions Computers amp Structures 78 6 757 768 doi 10 1016 S0045 7949 00 00058 4 Cheung Y K amp
52. Go ot fr fee iar 51 Au plus les modes assum s sont proches des formes modales du probl me tudi au plus la convergence est rapide Les formes modales utilis es dans cette tude sont obtenues en injectant des valeurs moyenn es ou homog n is es du probl me dans les diff rentes th ories des poutres Ces valeurs moyenn es sont entre autre la section moyenne la masse volumique moyenne et elles sont calcul es en pond rant les valeurs de chaque couche la surface occup e dans la section de la poutre Le calcul est explicit ci apr s Z Z ss E G4 p Emoy Gmoy Pmoy E2 G2 P2 Figure 4 1 Homog n isation de la section d une poutre LEV Ai ya PT 4 28 Vn oO Ou V repr sente une donn e de la couche i tel que la masse volumique le module de rigidit longitudinal etc A repr sente l aire de section de chaque couche Il est priori mieux de garder l aire totale de la section apr s homog n isation gale l aire totale de la section avant homog n isation pour ne pas modifier le second moment de surface qui intervient dans les calculs Cela est relativement intuitif dans le cas d une section d j homog ne isotrope et section creuse Dans ce cas l homog n isation ne devrait avoir aucun effet sur les r sultats si elle est r alis e de la bonne fa on Cependant si la section creuse tait homog n is e en une section pleine le second mo
53. La caract risation pr cise des embouts est donn e dans le manuel d utilisateur du marteau instrument PCB Model 086C01 n d 086C01 Family Impulse Hammer Response Curve Hard Tip 80 lbf pk dB p 80 lbf ok 20 Ibf pk Medium Tip with Vinyt Cover 80 lof pk Super Soft Tip 20 Ibf pk 100 1000 10000 Frequency Hz Figure 5 2 Sp cifications des embouts du marteau instrument PCB Model 086C01 n d Le tableau ci dessous renseigne sur la terminologie utilis e dans la Figure 5 2 Tableau 5 1 Terminologie de la Figure 5 2 Terminologie de la Figure 5 2 Super Soft Embout en caoutchouc Medium Embout de plastique blanc Tip rouge Tip Embout en acier Soft Tip Embout en caoutchouc noir Hard Tip inox ydable 56 Les graphiques contenus dans la Figure 5 3 jusqu la Figure 5 6 illustrent de telles courbes g n r es en frappant sur le banc d essais sur un point arbitraire avec les quatre types d embouts et avec des vitesses d impact diff rentes Certaines de ces courbes sont liss es par la suite pour pouvoir les injecter dans le code de calcul Les impacts ont t produits la main et les vitesses du marteau avant impact ne sont donc pas identiques entre chaque type d embout Dans le Chapitre 8 une des courbes produites avec l embout en acier inoxydable sera utilis e pour comparer th oriquement le comportem
54. M thodologie de r solution des nombres d onde de la poutre de Timoshenko lorsque L COLE NT INR MR ARR TR RS nn Len Qed coeds 43 Figure 3 9 M thodologie de r solution des nombres d onde de la poutre de Timoshenko lorsque DCF acest pt mine Mers E Nr A ne acetal 43 Figure 4 1 Homog n isation de la section d une poutre 0 eee eeeeeeeeeeceseceeeeaeeeeeeeeeeseesaeenaeeaee 51 Figure 5 1 Banc d essais avec poutre une poutre mont e 53 Figure 5 2 Sp cifications des embouts du marteau instrument PCB Model 086C01 n d 55 Figure 5 3 Courbes d impacts avec l embout rouge pour plusieurs vitesses d impact 56 Figure 5 4 Courbes d impacts avec l embout noir pour plusieurs vitesses d impact 4 57 Figure 5 5 Courbes d impacts avec l embout blanc pour plusieurs vitesses d impact 57 Figure 5 6 Courbes d impacts avec l embout en acier inoxydable pour plusieurs vitesses d pact sessie rea e EE E E E E T E E 58 Figure 5 7 Courbe d impact avec l embout en acier inoxydable 59 Figure 5 8 Courbe d impact avec l embout en acier inoxydable trait e lisser 60 Figure 5 9 Lissage de la courbe d impact avec l embout en acier inoxydable interpol e gr ce d s S nies d FOurrier se din nt nn ine M Es tt sass ne E Must 60 XV Figure 5 10 Lissage retenue de la courbe d impact avec l embout en acier inoxydable gr ce
55. Maladation dela m thod s nn nt ne nn nn it Se 51 CHAPITRE 5 PARTIE EXPERIMENTALE scsssssesssssesssssesssssssscsessecseesesssescsssessssssesssesess 53 5 1 Banc d eSSAis assitntssasis ts ieaeasasineesd adsense Rien a a R n a 53 X2 SSS TIMPAUIS eich A E E Saeco evs se eve eee 54 521 Impacts SX PSHUIMEMIAUX Een nn dant nt e Et ares 54 Dice TEAC LS HICOPIQUES Le ee A E nee 58 se Constr tO CES POMS Sf ST tt ec ee ee che 62 5 4 Pouttes COnstruites x a 4c mensurations 66 5 4 1 Mesures g om triques des poutres fabriqu es 67 HAD d DOUTE pe A Sn Read ae haat tin ET 70 5 5 Essais Vibratoires ifi rites AE er eee Sn ses 71 5 5 1 R p tabilit des essais sur la premi re fr quence propre Influence du moment de Se NS nae cn One AS it ne nu ee 72 5 5 2 R p tabilit des essais sur toute la gamme de fr quences eeeeeeeeeseeeesteeeeneeees 74 5 5 3 Comparaison des trois poutres fabriqu es 76 DS CONE SHOU oon sts do aaah RASE Een Re et LAN nn min 78 CHAPITRE 6 CAS PARTICULIERS TUDI S 0 ecsssssssssesssessesessesecsseensecessseeresensnsenseren 79 6 1 G n ralit s SR ES Sn een deteste 79 6 2 Maamees de SOUP OS A a vests us a ne ee 80 6 3 tude de convergence du cas 1 et du CAS 2 seen 89 e LAS O CA PSI RER EE Eee RER ER Es AR EP E tia 89 6 3 2 CAS Dac RD D oe 91 6 4 Comparaison entre les r sultats approximatifs et les r sultats du banc d essais 93 GRAS SPOUT issus te Ms ne nn ws acte
56. S13 0 0 0 viii 17 1 56 6 1 S66 2 s1 S12 m s S13 2 S1 S12 s 0 0 0 0 0 0 S44 0 0 0 0 0 2 S1 S2 0 0 0 0 0 0 S44 Il est int ressant de remarquer que m me suite une rotation des rep re autour de l axe longitudinal les matrices de souplesse gardent nouveau la forme de matrice de souplesse de mat riaux orthotropes 247 ANNEXE IX Calcul du facteur de forme Cette annexe a pour objectif de mettre en vidence certains aspects du calcul du facteur de forme Le facteur de forme est un coefficient qui corrige l influence de l nergie de cisaillement dans l expressions de l nergie potentielle et est repr sent par le symbole k Le facteur de forme intervient deux endroits diff rents Le premier est dans le calcul du coefficient adimensionnel y qui entre en jeux lors du calcul des nombres d ondes et des fonctions modales de Timoshenko et le deuxi me dans le calcul de l nergie potentielle dans les int grales par partie Plusieurs expressions du facteur de forme sont donn es dans la litt rature et d pendent de la forme g om trique de la section mais galement du coefficient de Poisson Dans le cas d un mat riau isotrope le coefficient de Poisson est repr sent par v Deux expressions sont utilis es dans le cadre de cette recherche l une pour des sections pleines rectangulaires et l autre pour des sections creuses parois minces rectangulaires Le facteur de forme pou
57. T LA M PT ARS NP RE a 0 00005 0 010 M 0 000104 0 000154 i ecart Vz rad b 0 0003 4 0 0002 0 0001 5 gamma 0 0001 5 0 0002 Yxz rad 0 0003 ICE CC OID OE PE EE BO OC CN NE EE PTE racer c t s e000 0000 00045 0 0 45 0 0 0 45 45 0 45 0 0 0 45 0 45 0 45 45 0 0 45 45 45 45 0 0 0 45 0 0 45 45 0 45 0 45 0 45 45 45 45 0 0 45 45 0 45 45 45 45 0 45 45 45 45 Figure 8 6 Angle de cisaillement carts et agrandissement des carts en fonction du temps du point x ZL pour toutes les s quences d empilement a angle de cisaillement b cart entre les r ponses c agrandissement de a 118 Les angles de cisaillement sont de l ordre de 4 107 rad et les carts de l ordre de 1 5 1074 rad L ordre de grandeur des carts vaut 37 5 de l ordre de grandeur des angles de flexion Les m mes l ments que pour les d placements ressortent gr ce aux observations Un lien avec la recherche de Horel 2013 peut tre fait en ce moment ci Dans cette recherche des patchs visco lastiques sont plac s le long d une poutre en composite sandwich afin d amortir les vibrations en absorbant l nergie de cisaillement Le placement de ces visco lastiques pourrait tre optimis gr ce cette recherche En effet le code construit permet de visualiser les endroits o
58. Wave Traveling Approach lorsque des hautes fr quences interviennent et lorsqu il faut calculer les r ponses transitoires lorsque t gt 0 05 s Bien qu efficace cette m thode est tr s difficile mettre en uvre et d passe largement les besoins de cette recherche 10 1 1 2 Mat riaux composites et FGM Bien que les poutres homog nes isotropes soient la base de la th orie des poutres les poutres non homog nes et ou non isotropes sont d une grande importance En effet les mat riaux non homog nes et ou non isotropes permettent entre autres d augmenter la r sistance m canique aux impacts et aux temp ratures lev es Des applications de tels mat riaux peuvent tre rencontr es dans le domaine a ronautique par exemple pour la construction des ailes du fuselage et d autres pi ces Gong Lam amp Reddy 1999 Les poutres en composites entrent dans cette cat gorie Ecsedi amp Dluhi 2005 ont d velopp un mod le lin aire pour des poutres non homog nes pr sentant une courbure dans un rep re d axes curviligne Kim amp White 1996 ont d velopp une th orie pour des poutres en composites lamin es orthotropes creuses parois minces ou paisses dans un rep re d axes curvilignes Cette th orie prend en compte le cisaillement transversal les fonctions de gauchissement de premier et de deuxi me degr et des effets lastiques tridimensionnels Contrairement aux tudes pr c dentes
59. a lt a o g repr sente l quation 3 57 et f repr sente l quation fr quentielle 3 56 La mani re d isoler le nombre d onde b est montr dans l annexe 2 165 g a b 05b u a Pas de changement de signe Changement de signe Algorithme de convergence Figure i 5 M thodologie de r solution des nombres d onde de la poutre de Timoshenko lorsque o g repr sente l quation 3 64 et f repr sente l quation fr quentielle 3 63 La mani re d isoler le nombre d onde b est montr dans l annexe 2 La relation d orthogonalit des fonctions modales est identique que celle d Euler Bernoulli et de Timoshenko sous forme matricielle Han et al 1999 W M W d 6 WT Wi PSE i 94 PA 0 W8 mw 0 el ipso 166 1 3 2 3 Manipulation de l expression des fonctions modales La m thode de Gon alves et al 2007 a t g n ralis e dans le but d obtenir des fonctions modales d une poutre encastr e libre de Timoshenko sans erreurs num riques Il faut commencer par l expression de la fonction modale du d placement transverse W C sin a C cos a C3 sinh f C cosh B amp 1 95 O Ci 1 et C C3 C sont exprim es par les quations 3 59 L expression pr c dente se simplifie comme suit W sin a C cos a C sinh B C cosh B i 96 La logique reste la m me que
60. cas d une poutre en flexion se r sument U 5 OxxExx OyyEyy OzzEzz OxyYxy OxzYxz OyzVyz AV ii 1 V 1 oe 5 g J xx OxzYxz AV ii 2 V O o et repr sentent les contraintes et d formations normales respectivement et o j et repr sentent les contraintes et d formations de cisaillement respectivement En reprenant les quations 3 11 et 3 25 Oxx C11 xx Ey xy EyZ bx ii 3 o Yxz Jx 0 ay On obtient la relation suivante 1 2 2 oe U 5 E xy GyzVez dV ii 4 v Lorsqu une poutre form e de plusieurs mat riaux diff rents est tudi e l int grale doit tre calcul e par partie pour que le module de Young et le module de cisaillement puissent changer de valeur lorsque l int grale passe d un mat riau un autre Lorsque le facteur de forme k est int gr dans l expression de l nergie potentielle pour corriger la contribution du cisaillement l quation pr c dente devient 170 1 U ee k he dv ii 5 V O k est le facteur de forme donn par la relation ix 9 En reprenant l quation ii 5 2 2 1 a U zE Z 3x TU k Gyz Zw ax dv 1 0 0 00 2 gt Ex ap gt PSI te k G E gt TOP PSI cat dV ii 6 i 1 Une somme avec une infinit de termes n est cependant pas calculable en pratique et la somme doit se limiter n termes c est dire les n modes 2 1 0 z a m n n
61. cependant la pente brusque au d but de l impact est plus difficile capturer et n cessite un ordre encore plus lev Les courbes liss es doivent tre trait es afin de ne garder que la partie positive de la courbe qui d crit l impact Le traitement de la courbe d ordre 4 est effectu sous Maple et donne le r sultat suivant 256 300 200 100 0 0 0005 0 0010 0 0015 0 0020 t Figure xi 3 Lissage retenue de la courbe d impact avec l embout noir Les figures qui suivent sont g n r es partir du plus fort impact r alis avec l embout en acier inoxydable Comme expliqu pr c demment lorsque l embout m tallique impacte la structure des ondulations apparaissent avant et apr s impact Il est clair que celles ci ne repr sentent pas une force de contact r elle puisqu elles persistent pendant un temps trop long par rapport la dur e du grand pic Les ondulations sont tout simplement mises z ro avec un pr traitement du signal L hypoth se est faite que les ondulations n apparaissent pas dans le grand pic d impact Courbe d impact temporelle T T T T T T 600 500 400 Force N wo Q O 200 100 i 12 13 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 Temps s x10 Figure xi 4 Courbe d impact avec l embout en acier inoxydable Courbe d impact temporelle 600 500 400 Force N o Q oO 200 100 i i L L l i L 1 2
62. composites section creuse multicouche qui ne pr sentent pas de couplages vibratoires L int r t premier de cette recherche se porte sur les vibrations transverses transitoires en flexion mais le logiciel a t d velopp de mani re telle qu il sera relativement facile de prendre en compte d autres types de vibration dans le futur tel que les vibrations longitudinales et en torsion Les effets des couplages vibratoires ne sont pas tudi s dans cette recherche Il est possible de simuler n importe quel type de chargement tel que les impacts des chargements p riodiques et non p riodiques Ceci pr sente un grand int r t puisque la r ponse des mat riaux composites suite un impact est un sujet d actualit avec l industrie utilisant de plus en plus les mat riaux composites dans les quipements de sport mais galement dans les v hicules Suite la m thode d velopp e dans le cadre de cette recherche il sera possible d approfondir d autres sujets plus complexes tel que les vibrations coupl es mais galement se diversifier pour tudier les vibrations des nanopoutres En effet il existe un grand int r t tudier les nanopoutres puisqu elles sont utilis es dans un nombre croissant d applications Les nanotubes en carbone par exemple sont utilis s dans le d veloppement d instruments tels que des actuateurs des r sonateurs haute fr quence des senseurs dans les antennes de t l communication
63. construites et obtenir des r sultats th oriques proches des r sultats exp rimentaux R aliser une tude param trique fonction de la s quence d empilement des couches en composites En effet la plupart des tudes s arr tent l analyse des fr quences propres et n tudient pas le comportement transitoire De plus les r sultats th oriques pr sent s sont rarement valid s avec des r sultats exp rimentaux Les sections de la poutre et de chaque couche individuelle sont suppos es tre rectangulaires creuses et constantes le long de l axe de la poutre tudi e De cette mani re la section de la poutre est mod lis e tel un imbriquement concentrique de plusieurs sections rectangulaires Seules les vibrations transverses sont tudi es et les vibrations longitudinales et en torsion sont n glig es Les param tres principaux du probl me sont les conditions limites de la poutre les dimensions g om triques de chaque couche les mat riaux utilis s la s quence d empilement et le chargement externe Les conditions aux limites sont celles d une poutre encastr e libre Les param tres g om triques sont la longueur de la poutre son aire et son second moment de surface Les param tres qui traduisent les propri t s des mat riaux utilis s sont les modules de rigidit et les coefficients de Poisson Les modules de rigidit sont calcul s gr ce la rotation des matrices de souplesse de chaque mat
64. croissant de couches 45 Un tel exemple est illustr la Figure 8 1 a o le passage de la s quence d empilement 0 0 0 0 vers 45 0 0 0 est fait En effet dans cette illustration la couche 0 90 la plus proche du centre de la section est remplac e par une couche a 45 La Figure 8 1 b illustre de mani re visuelle le changement des modules entre les deux premi res s quences tudi es dans le Tableau 8 3 En effet la couche remplac e dans la Figure 8 1 a poss de un module de rigidit longitudinal plus 108 lev Les modules sont class s en ordre croissant du haut vers le bas dans les l gendes Ceci est galement illustr par le signe d in galit dans les l gendes On retrouve galement un second r sultat attendu On remarque que pour les quatre modes la s quence d empilement 0 0 0 45 poss de des fr quences propres plus lev es que la s quence 45 0 0 0 Cet cart est de 0 06 pour le premier mode et se r duit 0 02 pour le quatri me mode Ceci est caus par une l g re augmentation du module de flexion de la poutre qui est proportionnel a E en d pla ant la couche 45 de l int rieur vers l ext rieur La Figure 8 1 c illustre le changement de module de cisaillement transversal lors du passage de la s quence 0 0 0 0 vers la s quence 45 0 0 0 En effet cette figure illustre que les parois verticales de la couche 0 90 la plus proche du centre de la section poss
65. de l amortissement vibratoire est un sujet important dans le domaine a ronautique pour le confort des passagers par exemple Horel 2013 Un mod le dynamique capable de simuler le comportement dynamique est n cessaire pour s assurer que l optimisation est bien r alis e Pour qu une structure puisse tre qualifi e de poutre il faut qu une de ses dimensions soit beaucoup plus grande que les autres Il s agit typiquement d un facteur d au moins 10 Une poutre section creuse est une poutre dont la section est une courbe ferm e Dans cadre de cette recherche des sections rectangulaires ont t tudi es Le choix d une section rectangulaire permet d avoir des parois droites et donc d utiliser les coordonn es cart siennes et faciliter la mod lisation th orique Cette recherche a t entreprise afin de d velopper les connaissances et les comp tences en mati re de comportement vibratoire des poutres en composites L objectif de cette recherche est donc de mieux comprendre le comportement des mat riaux composites lorsque ceux ci sont utilis s pour fabriquer des poutres creuses Dans le pr sent travail le logiciel Maple a t utilis pour crire le code principal et galement MATLAB pour certaines fonctions de calcul it ratif Un des objectifs de cette recherche est de construire un programme qui puisse calculer avec pr cision les fr quences propres et les vibrations transitoires des poutres en
66. des nergies et en y injectant les fonctions modales repr sentant le probl me il est th oriquement possible de r soudre une grande vari t de probl mes vi ABSTRACT The subject of this research is the study of transverse vibration of multi layered composite hollow beams using an analytical method The assumed modes method was chosen to this effect in contrast with the other authors work The objective of this method is to efficiently calculate the modal frequencies and the transient vibration response of the studied beams by using modal functions To the author s knowledge only few of the research work presented in the literature review focus on the transient response The choice of the modal functions used to resolve the problem is straightforward The modal functions of a simplified problem are used in order to resolve the initial problem There are some advantages to using this method namely high convergence rates and the ability to visualize shear at any location on the beam and at any moment The ability to associate any given modal frequency to a modal function is also an advantage In this research the modal functions chosen to resolve the multi layered composite beam problem were the modal functions of the homogenized beam The modal frequencies are calculated by resolving the eigen value problem derived from the energy expressions On the other hand the transient response is obtained by decoupling the system of equations fo
67. doit tre retir e Suite cette tape disposant de plus d espace de man uvre la premi re partie se d solidarise plus facilement de la poutre et il devient alors possible d enlever le mandrin au complet de la poutre en composites F e Figure 5 14 Proc dure de d solidarisation du mandrin Les poutres construites doivent tre encastr es Pune de leurs extr mit s En th orie un encastrement est un milieu continu avec une grande masse et une grande rigidit Lorsqu une une 64 poutre creuse section rectangulaire est encastr e les parois perpendiculaires aux plaques d encastrement risquent de flamber Ceci n est videmment pas d sirable Il semble donc n cessaire de remplir les poutres creuses par un mat riau de renfort sur la longueur de l encastrement pour que celui ci reprenne autant que possible les efforts et permettre une force de pression ad quate d tre exerc e sur la partie encastr e de la poutre La solution adopt e a t de fabriquer des petits segments de r sine charg e de billes de verre l aide de moules en bois illustr s par la Figure 5 15 Ces segments sont coup s 5 cm de longueur et meul s pour enlever les d fauts de surface et pour obtenir des sections aussi proches que possible celle du mandrin a b Figure 5 15 a Segment de r sine charg e avant meulage b Moule pour cuisson de la r sine charg e Les segments de r sine et l
68. g n ralis e par l auteur dans le but d obtenir des fonctions modales d une poutre encastr e libre de Timoshenko sans erreurs num riques Dans le cas o a lt a donn par l quation 3 58 les fonctions modales donn es par Han et al 1999 sont modifi es et l expression finale est comme suit W sin a amp C cos ai Bsinh b Cye 3 52 O B CG C 3 53 Passons l expression de la fonction modale d angle de flexion PSI D sin a D cos a Fsinh b amp Die li 3 54 39 Les calculs pr sent s par la suite ont t r alis s gr ce aux expressions manipul es Le lecteur int ress se r f rera l annexe 3 pour plus de d tails sur les fonctions modales manipul es de la th orie des poutres de Timoshenko Dans le cas de poutres encastr es libres ces deux variables sont la solution de l quation fr quentielle suivante aj b sin a sinh b _ aibi ai atty 4 vai bi bey b cos a cosh b 3 56 Gr ya Nai 77h ie 2a b 0 De plus les deux nombres d onde sont li s entre eux par la relation suivante vb a a y bi _ 1 3 57 42 x2 2 2 aj b 1 7 k Le nombre d onde critique a vaut 1 1 az F no 1 3 58 k Jy Dans le cas d une poutre encastr e libre les coefficients poss dent les valeurs suivantes Cy 1 fg 2 sin a aj a7 bje aj bje i 2 sin a bj y a
69. glig s pour les poutres minces Cette m thode permettrait de calculer les r ponses transitoires mais est relativement complexe mettre en uvre Les recherches expos es jusqu pr sent se concentrent sur l tude de poutres homog nes isotropes en se basant sur la th orie d lasticit locale Cette th orie fait l hypoth se que les contraintes en un certain point ne d pendent uniquement que des d formations en ce m me point La th orie d lasticit non locale d Eringen fait l hypoth se que les contraintes en un point ne sont plus seulement fonction de la d formation en ce m me point mais sont plut t fonction des d formations de tous les points du milieu consid r En se basant sur cette th orie Reddy 2007 a r solu les quations des poutres d Euler Bernoulli de Timoshenko de Reddy du m me auteur et de Levinson Les deux derniers mod les de poutres sont d crits par les m mes sch mas de d formation d riv s des relations constitutives contraintes d formations locales L effet non local a pour effet de r duire les rigidit s et d abaisser les fr quences propres Les recherches mentionn es jusqu pr sent ne font tat que des applications dans des chelles macroscopiques Cependant les th ories des poutres peuvent galement tre appliqu es des chelles beaucoup plus petites telle que l chelle nanom trique Les derni res ann es ont t marqu es par un fort int r t po
70. main droite Plus pr cis ment les composantes de la matrice i 1 sont exprim es par les expressions suivantes Sia S11 cos Spy sint 0 2S12 S6 6 sin 0 cos 0 Si 2 S11 S22 S66 sin 0 cos 0 S1 2 sin4 0 cos Si 3 S13 cos 0 S23 sin 0 Si6 2 S11 12 Ses sin 0 cos 0 2 S12 S22 S66 cos sin 0 S32 S11 sin 0 S22 cos 0 2512 S6 6 sin 0 cos 0 S33 S13 sin 8 S23 cos 0 S36 2 S11 S12 S6 6 cos 8 sin 0 2 S12 2 2 S6 sin 0 cos 0 S33 33 S36 2 S13 S23 sin 8 cos 8 Sia Saa COS 0 Ss 5 sin 0 S45 S5 5 S44 sin cos S 5 S44 sin 0 Ss 5 cos 0 138 S 6 2 2 S11 S22 251 2 S66 sin 0 cos 8 S sin cos 6 Lorsque les propri t s selon les deux directions principales contenues dans le plan du stratifi sont identiques les relations suivantes sont valables Ey E Vas VIT De plus lorsque les deux directions principales forment un angle de 90 les simplifications suivantes peuvent tre effectu es G13 G23 i 6 Vis V23 Les coefficients de la matrice de souplesse 3 6 se simplifient d Euler Bernoulli 1 v v ns SRE ES af 0 0 Ey Ey Ey v 1 v oe 2 aa OG 0 0 E By Ey V1 3 V1 3 1 EE 0 0 0 Ey E E 0 0 0 AO 0 Gi 3 0 0 0 0 0 Gi 3 0 0 0 0 0 Gi2 Lorsqu en plus l angle entre l axe du stratifi et du prem
71. mat riaux composites bidirectionnels sur les fr quences propres Les mat riaux composites tudi s poss dent une orientation soit de 0 90 soit de 45 par rapport a l axe de la poutre Les deux premi res analyses visent comprendre l influence d un remplacement d une couche a 0 90 par une couche 45 et de l influence du d placement d une couche 45 vers l ext rieur de la section Par la suite les comportements transitoires des poutres de toutes les s quences d empilement sont compar s 106 8 2 1 Remplacement d une couche 0 90 avec une couche 45 Premi re analyse Le tableau ci dessous num rote les cas s quences d empilement possibles partant de l int rieur vers l ext rieur des poutres Tableau 8 2 Num rotation des s quences d empilement Num ro de Num ro de Num ro de S quence S quence S quence s quence s quence s quence 0 0 0 0 0 45 45 0 45 45 0 0 BE 45 45 45 45 0 45 0 0 45 0 45 0 0 45 0145 4510145145 O Le Tableau 8 3 illustre les fr quences propres approximatives de 6 empilements diff rents Il ope Ex montre que la variation des fr quences propres n est pas drastique Ceci est d au fait que les modules de rigidit pour les couches avec les deux orientations de fibres tudi es sont semblables 107 Tableau 8 3 Fr quences propres approximatives de 6 empilements diff rents Fr quences Diff rence D
72. me auteurs ont par la suite tendu leur recherche sur les plaques de Mindlin homog nes isotropes fusel es Cheung amp Zhou 2003 Les coques sont en g n ral d crites dans un rep re d axes curvilignes Plusieurs auteurs se sont int ress s aux coques cylindriques lamin es a section ferm e Y S Lee amp Lee 1997 ont calcul la r ponse temporelle de plusieurs coques cylindriques en composites multi couches simplement support es pour plusieurs cas de chargement transverses grace a la th orie des plaques du premier ordre Les r sultats ont t valid s grace au logiciel ABAQUS Lam amp Qian 2000 ont r solu les quations de plaques cylindriques avec un sch ma de d formation du premier ordre dans des axes cylindriques gr ce une m thode complexe plut t qu avec la m thode d int gration des nergies potentielles et cin tiques de la m thode nerg tique La m thode complexe consiste a d finir les d placements et les angles du plan neutre grace produit d exponentielles r elles et complexes Les parties r elles et imaginaires des quations r sultantes sont pos es gales z ro lors de la r solution 1 2 2 Mat riaux composites et FGM Les FGM ont t introduits plus haut en exposant les recherches sur les poutres Gong et al 1999 ont tudi les r ponses vibratoires de plaques cylindriques monocouches FGM et multicouches FGM suite a des impacts a basse vites
73. ments structuraux tr s r pandus dans le domaine de l ing nierie De plus l utilisation croissante des mat riaux composites entre autre dans le domaine des transports pour r duire le poids a stimul beaucoup de recherches sur les vibrations des poutres en composite sections pleines sections creuses les nano poutres etc Cette revue bibliographique balaye un grand nombre de sujets diff rents La structure de la revue est en plusieurs niveaux afin de bien cat goriser tous les articles cit s Chaque niveau et sous niveau est compos de deux cat gories Niveau 1 Poutres plaques coques Niveau 2 Mat riaux isotropes mat riaux composites Functionally Graded Materials FGM Le pr sent chapitre vise dresser le portrait g n ral de l tat de l art dans la mod lisation de structures vibrantes de base i e poutres plaques et coques Le but est d tablir le savoir faire et les lacunes actuelles afin de poser au Chapitre 2 les objectifs sp cifiques et la m thodologie utilis e dans ce travail Les notions et d finitions auxquelles la revue de litt rature fait r f rence sont explicit es dans le Chapitre 3 et le Chapitre 4 pour permettre une lecture plus fluide et pour introduire les diff rents l ments lorsque le besoin survient dans le texte principal 1 1 Poutres 1 1 1 Mat riaux isotropes Amabili amp Garziera 1999 se sont concentr s sur une technique qui permet de r soudre de
74. mes figures pour l angle de flexion a L intervalle temporelle est la m me qu auparavant 116 0 003 0 002 se 0 001 v 0 010 X 0 001 8 0 002 0 003 a 0 0010 T 8 0 0006 Fa S 0 z 0 000 8 0 0004 ov 0 0008 b 3 4 a P R 8 c t s sosoo 0000 0004500 45 0 0 0 45 45 0 45 0 0 0 45 0 45 0 45 45 0 0 45 45 45 45 000 45 0 0 45 45 0 45 0 45 0 45 45 45 45 0 0 45 45 0 45 45 45 45 0 45 45 45 45 Figure 8 5 Angle de flexion carts et agrandissement des carts en fonction du temps du point 3 7 gt x JL pour toutes les s quences d empilement a angle de flexion b cart entre les r ponses c agrandissement de a Les angles de flexion sont de l ordre de 3 x 107 rad et les carts de l ordre de 107 rad L ordre de grandeur des carts vaut 33 33 de l ordre de grandeur des angles de flexion Les m mes l ments que pour les d placements ressortent gr ce aux observations 117 Voici les m mes figures pour les angles de cisaillement y Pour rappel les angles de cisaillement sont d finis comme la soustraction entre la d riv e spatiale du d placement spatial et de l angle de flexion 0 0004 0 0003 0 0002 0 0001 0 0001 0 0002 0 0003 Yxz rad a 0 000154 0 000104 0 000054 A P i A 0 i ar T A ES
75. modales Sachant que W M W d 6 MT IWC PSE mowiy PA IE 0 pl IPSO Il est possible de modifier la relation d orthogonalit pour pouvoir utiliser des constantes autres que p A et p I La seule contrainte est qu il faut que le quotient des deux nouvelles constantes soient gales au quotient entre p A et p l Dans ce cas les nouvelles expressions d orthogonalit peuvent tre exprim es tel que suit 45 W M W d 6 3 70 n _ const 0 Hee MWi 0 const IPSI E const A De telle sorte que ee Eee ee 3 71 const p I Dans ce travail la relation d orthogonalit choisie pour les fonctions modales dimensionnelles est la suivante L J W M W dx 8 ae 0 Avec a 105 0 ee M W 0 p1l Psi x aD A A Sachant que RES SA 9 3 74 QE pl On distribue L aux fonctions modales de d placement transverse pour obtenir les fonctions modales dimensionnelles Il faut galement remettre les fonctions modales la bonne chelle selon l axe longitudinal W x L WY avec x 0 L et 0 1 3 75 PSI x PSI avec x E 0 L et 0 1 Pour finir il faut normaliser les fonctions modales en utilisant la relation d orthogonalit des fonctions modales 3 72 46 CHAPITRE 4 M THODE DES MODES ASSUMES Ce chapitre pr sente tous les l ments n cessaires pour pouvoir calculer la solution d un probl me de
76. n 1 E z gt PSR GE dv iv 31 2 Jy Ox i 1 Lorsque la poutre avec une seule couche est consid r e ce terme est calcul de la mani re suivante m 2 0 2 Tesno dz dy dx iv 32 i 1 CAS CLASSIQUE w J_htot 2 Tandis que pour une poutre avec plusieurs couches 224 2 1 fE pr pres a 3 Ez PSI t Dante Al ON oz aa i x qil z dy dx iv 33 er CAS 2 o les composantes h d signent le plan bas et le plan haut de chaque pli Dans le cas classique et dans le cas 2 le contenu de cette int grale ainsi que des autres int grales dans les expressions des nergies sont identiques Le r sultat de l int grale par partie est donc le m me que l int grale classique menant aux m mes fr quences propres 2 2 n n 0 Bz D Teso se Teso iv 34 TE CAS CLASSIQUE rL CAS 2 htot 2 1e 5 a oS ae donc al sl ae Egz as te z dy dx 4 CAS CLASSIQUE hu 1 5 3 gt E z D LPSO dz dy dx h f CAS 2 iv 35 w 2 He Plus pr cis ment les fr quences approximatives sont identiques parce que les expressions des 1 2 u 1 U nergies r sultent des matrices de rigidit et de masse gales K cas czassique K cas 2 iv 36 M cas CLASSIQUE IM cas 2 Cependant les r sultats du cas 3 ne sont pas identiques au cas classique pour une raison analogue 2 E Z D Teso E Z 2 i 1 i n 0 mer at iv 37 i CAS CL
77. n ral consid r constant Han et al 1999 Dans cette recherche l hypoth se est faite que l expression du facteur de forme est celle d une section creuse rectangulaire parois minces donn e par la relation ix 9 de P ANNEXE IX 20 k Vey Gey Le cas particulier d un mat riau isotrope r sulte la relation suivante _ 40 1 v 7 3 32 31v 1 Le mod le de Timoshenko est d crit par les conditions limites suivantes 1 1 et r sultent aux quations suivantes pour une poutre encastr e libre 156 pe a or a ee 5 ax 0 0 Ewo 0 Les quations ci dessus traduisent le fait qu l extr mit encastr e le d placement et l angle de flexion sont nuls et qu l extr mit libre la d riv e de l angle de flexion et l angle de cisaillement sont nuls Les formes modales adimensionnelles du d placement transverse de la fibre neutre et de l angle d aux moments de flexion des sections de la poutre sont les suivants Han et al 1999 W Cisin a Cicos ai Casinh B Cycosh B PSI D sin a D cos a Dssinh 6 D cosh B E i 65 O a et p sont les deux nombres d onde Dans le cas de poutres encastr es libres ces deux variables sont la solution de l quation fr quentielle suivante x2 x2 os s x4 x4 21 2 bi aj ajb sin a sinh b bj ai cos aj cosh b 2a b7 0 i 66 D
78. plaques d encastrement n est donc jamais parfait 198 VI 2 1 Caract ristiques des poutres VI 2 1 1 Poutre 1 Cette poutre est fabriqu e en aluminium 2014 T4 dont les propri t s sont r sum es dans le tableau ci dessous ASM Material Data Sheet n d Tableau vi 9 Propri t s de l aluminium 2024 T4 Propri t s de aluminium 2024 T4 Tableau vi 10 Propri t s sp cifiques la poutre 1 Propri t s sp cifiques la poutre 1 0 850927 1 751593 Les caract ristiques g om triques de la poutre sont les suivantes Tableau vi 11 Caract ristiques g om triques de la poutre 1 m Caract ristiques g om triques de la poutre 1 m 0 406 0 0254 0 003175 442 96 La figure qui suit illustre la forme g om trique de la poutre 1 199 Figure vi 1 G om trie de la poutre 1 tant donn que le coefficient d lancement s est plus lev que 100 la th orie des poutres d Euler Bernoulli est suffisante Han et al 1999 VI 2 1 2 Poutre 2 La quatri me poutre est en acier mais le type d acier n est pas connu avec exactitude L hypoth se est faite qu il s agit d acier 1018 Il s agit nouveau d une poutre creuse mais la section n est pas parfaitement rectangulaire Tableau vi 12 Propri t s de l acier 1018 Propri t s de l acier 1018 e zero c 80 GPa m Tableau vi 13 Propri t s sp cifiques la poutre 2 Propri t
79. pour les deux th ories de poutres est de l ordre de l unit Ceci est un tr s mauvais r sultat puisque la relation d orthogonalit mentionn e donne l unit comme r sultat lorsque i j Cependant lorsqu on lance le calcul avec les m mes param tres mais avec les expressions manipul es on obtient une erreur maximale de l ordre de 107 pour les deux th ories de poutres Les fonctions modales sont donc vraiment orthogonales Le bon fonctionnement du code est donc valid 197 VI 2 Validation de la m thode des modes assum s Cette annexe a deux objectifs Le premier de valider la m thode des modes assum s sur des poutres homog nes et isotropes Cette validation se fait en deux parties Il faut prouver que les fr quences propres analytiques et approximatives pour une poutre homog ne et isotrope sont gales et que la s paration de cette poutre en plusieurs couches n a pas d influence sur le r sultat final La deuxi me partie du premier objectif est pr sent e en fin d annexe Le deuxi me objectif est de comparer les fr quences propres obtenues th oriquement et exp rimentalement La logique de validation est tr s simple La m thode des modes assum s est une m thode approximative et son utilit appara t lors du calcul des r sultats pour des probl mes difficiles ou m me impossibles r soudre analytiquement Des exemples de tels probl mes sont les poutres plusieurs couches les
80. poutres avec des masses ponctuelles d centr es provocant de la torsion etc Lorsqu un probl me compliqu est r solu avec la m thode des modes assum s les fr quences propres calcul es sont diff rentes de celles obtenues pour le probl me homog n is Ce dernier peut tre r solu avec grande pr cision gr ce aux th ories des poutres Cependant pour des probl mes simples tels que des poutres homog nes isotropes et section constante qui sont r solvables analytiquement la m thode des modes assum s devrait produire des r sultats en accord avec le mod le analytique c est dire avec des fr quences propres identiques En effet le probl me homog n is d une poutre homog ne isotrope section constante demeure le m me probl me Cette propri t est l essence de la m thode de validation de la m thode des modes assum s et est adopt e dans le cadre de ce travail Le bon fonctionnement de la m thode des modes assum s est v rifi sur 3 poutres qui ont t trouv es dans le d partement de g nie m canique Deux d entre elles sont en aluminium et l une en acier Ces trois poutres sont pr sent es en fonction d un coefficient d lancement d croissant c est dire en faisant donc le passage de la th orie d Euler Bernoulli celle de Timoshenko De plus il est raisonnable de faire l hypoth se qu aucune de ces poutres ne poss dent des surfaces parfaitement planes Le contact entre les
81. pr sente les carts entre les r sultats th oriques et les r sultats exp rimentaux pour chaque poutre fabriqu e Le mod le th orique construit est valid gr ce a troisi me partie 6 1 G n ralit s Un stratifi classique est form de plusieurs couches de mat riaux composites ou m me homog nes dont les dimensions dans le plan sont gales mais dont l paisseur peut varier d une couche l autre Ce type de stratifi est aussi d crit comme un stratifi simple dans ce texte x Une poutre en composites section creuse rectangulaire se r f re dans ce texte a un imbriquement de sections rectangulaires form e de mat riaux composites Chaque imbriquement est une couche enroul e sur elle m me autour du mandrin Dans le code ces couches sont repr sent es par la figure ci dessous HES 0 90 horizontal 45 horizontal 0 90 vertical 45 vertical Figure 6 1 Couches horizontales et verticales avec deux orientations de fibres possibles Figure 3 6 80 La Figure 6 1 illustre une section compos es de 4 couches imbriqu es l une sur l autre Chaque couche est d compos e en quatre parois du m me mat riau mais poss dant des matrices de souplesse diff rentes dans les axes de la poutre 6 2 Matrices de souplesse Les informations disponibles sur les couches pr impr gn es ne suffisent malheureusement pas En effet les matrices de souplesse dans les directions p
82. probl mes l chelle macroscopique et avec une th orie d lasticit locale Dans la revue de litt rature des recherches sur des nanopoutres ainsi que sur des poutres utilisant la th orie d lasticit non locale d Eringen ont t pr sent es Il serait relativement facile de faire le saut dans ces domaines pour tudier le comportement transitoire de nanopoutres paroi simple ou m me parois multiples avec la th orie d lasticit non locale et ce pour plusieurs conditions aux limites Cela permettrait de mod liser et donc de contr ler efficacement les actuateurs capteurs et autres r sonateurs haute fr quence construit base de ces nanopoutres 9 2 Am liorations exp rimentales Le contre moule en bois a t fabriqu partir de mat riaux trouv s dans le laboratoire de g nie m canique Celui ci constitue une preuve de concept et a d montr son utilit lors de la fabrication des poutres en composites Cependant il poss de plusieurs imperfections dues sa m thode de fabrication L id al serait de fabriquer un contre moule ayant le m me principe de fonctionnement mais partir d une section rectangulaire pr fabriqu e telle qu une section rectangulaire m tallique pour viter certaines imperfections de fabrication Les poutres en composite fabriqu es comportent certains d fauts visibles l il nu Les arr tes ne poss dent pas une courbure satisfaisante et la surface est rela
83. que les impacts peuvent tre simul s Il sera galement possible d approfondir d autres sujets plus complexes suite cette recherche tel que les vibrations coupl es flexion torsion mais galement se diversifier pour tudier d autres domaines tel que les vibrations libres et forc es des nanopoutres une paroi ou parois multiple ou les vibrations de mat riaux d crits par les quations d lasticit non locales bri vement introduites dans la revue de litt rature 129 BIBLIOGRAPHIE Amabili M amp Garziera R 1999 A Technique For The Systematic Choice Of Admissible Functions In The Rayleigh Ritz Method Journal of Sound and Vibration 224 3 519 539 doi 10 1006 jsvi 1999 2198 ASM Material Data Sheet n d Retrieved February 3 2014 from http asm matweb com search SpecificMaterial asp bassnum MA2024T4 Azrar L Benamar R amp White R G 1999 Semi Analytical Approach To The Non Linear Dynamic Response Problem Of S S And C C Beams At Large Vibration Amplitudes Part I General Theory And Application To The Single Mode Approach To Free And Forced Vibration Analysis Journal of Sound and Vibration 224 2 183 207 doi 10 1006 jsvi 1998 1893 Banerjee J R 2001 Frequency Equation And Mode Shape Formulae For Composite Timoshenko Beams Composite Structures 51 4 381 388 doi 10 1016 S0263 8223 00 00153 7 Banerjee J R 2004 Development Of An Exact Dynamic Stiffness Matrix For
84. riau dans ses axes principaux autour de deux axes Bien que plusieurs m thodes existent pour r soudre le probl me tel qu expos dans la revue de litt rature la m thode des modes assum s a t retenue parce qu elle offre principalement deux avantages par rapport aux autres m thodes En effet elle poss de des taux de convergence plus lev s que les autres m thodes puisqu elle utilise des fonctions modales qui approchent le 15 probl me tudi Au plus les fonctions modales utilis es sont proches du probl me mod lis au plus le taux de convergence est lev Deuxi mement les fonctions modales utilis es sont celles du probl me homog n is Cette technique permet de comparer les fr quences propres du probl me homog n is avec celles du probl me r soudre Elles permettent donc de valider plus facilement les r sultats puisqu elles offrent une base de comparaison Pour finir la connaissance la plupart des m thodes ne peuvent pas tre utilis es pour le calcul des r ponses transitoires contrairement la m thode des modes assum s Il est n cessaire de passer par plusieurs tapes pour r soudre le probl me tudi La m thode des modes assum s est une m thode qui discr tise le probl me partir des quations d nergie du probl me Ces derni res sont d riv es gr ce aux hypoth ses du probl me Ces quations n cessitent des fonctions modales des modules de rigidit les infor
85. riode suffit Cela vite de passer par les tapes de traitement du signal et d lissage Il est possible d ajuster l amplitude de l impact ainsi que sa dur e tr s facilement en tirant spatialement la fonction f t avec te 0 t gt f avec t E 0 t T xi 5 259 Lorsqu une plus grande pr cision est demand e il est judicieux de choisir une courbe d impact exp rimentale qui servira de r f rence la traiter et la lisser une seule fois et ensuite modifier sa dur e et son amplitude en pour simuler une multitude d impacts Lorsque la plus grande pr cision est n cessaire pour valider un mod le en tra ant le mouvement de certains points de la poutre par exemple il faut r aliser les essais exp rimentaux en premier ensuite r cup rer les donn es sur l impact et le mouvement de la poutre tudi e et pour finir lisser chacune des courbes d impacts Ces courbes d impacts seront inject es dans le mod le pour simuler le d placement des points mesur s exp rimentalement Il ne faut pas oublier que l incertitude sur le point d impact ainsi que l impact en r alit non ponctuel ont une influence sur les donn es exp rimentales rendant le processus de validation plus compliqu XI 2 R p tabilit des essais des trois poutres en composites Les trois poutres en composites ont t fabriqu es la main en utilisant le m me processus Cependant il y a beaucoup de facteurs pouvant provoque
86. sont n gligeables devant Oxx Exx 2 Oyy Ozz Vet Eyy 0 0 3 Oyy 0 0 Vet Eyy Ezz 0 4 Oyy Eyy Ozz Ezz 0 D apr s l hypoth se 1 la relation ci apr s est obtenue Oxx C11Exx Cy 2 yy C13 Ezz iii 9 o Cy Ey Dans ce cas le principe de Hamilton ne r sultera pas l quation iii 2 L quation 1 9 est valide sous la deuxi me hypoth se galement et l nergie potentielle adopte la forme suivante 176 Oyy Ozz 0 1 1 irs axe Oyy yy OzzEzz AV gt Jane dV V V iii 10 1 Ci16xx Ci 2 yy C13 Ezz Exx dv V Le principe de Hamilton n aboutira toujours pas l quation des poutres d Euler Bernoulli Sous l hypoth se 3 la contrainte axiale prend l expression suivante Eyy Ezz 0 Oxx Ci1Exx C12Eyy C1 3 22 gt C11 xx Eyy Ezz 0 1 1 U 5 ou Oyy yy OzzEzz AV gt 5 Jou dv iii 11 1 ac dV ve Si cette expression de l nergie potentielle est utilis e l quation de mouvement suivante est obtenue 4 2 0 E Cial za WO t m x 72 Ww t 0 11 qui poss de des fr quences propres diff rentes que celles d une poutre d Euler Bernoulli puisque Cy ZE Par contre sous l hypoth se 4 la matrice de souplesse se simplifie d Euler Bernoulli Exx Si S12 S13 Oxx cl S12 S22 S23 s s Ozz S13 S23 533 Ez Z Exx Si1 S S oxx 0 S 5 SHB 0 iii 13 0 Sig S
87. spectre fr quentiel VIL 4 1 Comparaison Lorsque la poutre est impact e proche de l encastrement le premier gros pic est plus concentr et est donc moins amorti Deuxi mement les fr quences propres plus lev es sont g n ralement plus excit es VII 5 Effet de la force d impact Lors des essais pr c dents l impact fourni la poutre tait faible Dans cette partie l effet de la force d impact sur les fr quences propres est analys en frappant toujours proche de l encastrement Voici l allure relative de deux impacts typiques l un faible et l autre plus fort 238 Petite force d impact Grande force d impact Force d impact N fi L 0 006 0 008 0 01 0 012 0 014 0 016 0 018 0 02 Temps s Figure vii 13 Illustration des forces d impact nains P OEE eee mm s i Pour les grands impacts la sensibilit du vibrom tre laser a d tre r gl e 50 pour viter la saturation Voici les deux spectres fr quentiels obtenus Position frappe basse petit impact 10mm s V Position frappe basse grand impact 50mm s V Contenu Fr quentiel T 00 3000 3500 4000 4500 5000 Fr quence Hz Figure vii 14 Influence de la force d impact sur les spectres fr quentiels 239 Position frappe basse petit impact 10mm s V Position frappe basse grand impact 50mm s V
88. suffisante et la deuxi me tant une poutre ne poss dant pas une section pleine l encastrement Il est donc probable qu une grande partie des carts entre les r sultats approximatifs et exp rimentaux des poutres creuse en composites provienne du fait que les essais ont t r alis s avec ce m me banc d essais Bien que les poutres en composite poss dent une section pleine l encastrement le mat riau avec lequel elles sont remplies de la r sine charg e ne poss de pas une rigidit similaire celle du banc d essais L autre partie des carts est bien s r attribuable au mod le th orique construit Malheureusement il n a pas t possible de quantifier pr cis ment les carts provoqu s par chaque cause s par ment puisqu un seul type de poutres a t construit 98 CHAPITRE 7 ANALYSE DE SENSIBILIT Ce chapitre pr sente une analyse de sensibilit fonction de la valeur du module de cisaillement transversal des couches en composites Cette analyse est effectu e sur la poutre 1 Les fr quences propres th oriques calcul es gr ce plusieurs valeurs du module de cisaillement transversal sont pr sent es sur la m me figure que les fr quences propres exp rimentales Par la suite la variation des fr quences propres pour les cinq premiers modes est tudi e en fonction du module de cisaillement transversal Une approximation sur la valeur de G43 a t r alis e l aide de l expression
89. sur un banc d essais m tallique de laboratoire Ce banc d essais massif dispose de deux plaques mobiles pour simuler un encastrement Ces deux plaques exercent une force de serrage sur les chantillons par l interm diaire de quatre vis et de leurs boulons Figure 5 1 Banc d essais avec poutre une poutre mont e 54 Le couple de serrage des vis est mesur gr ce une clef dynamom trique dans les unit s imp riales La force de serrage n est pas calcul e explicitement parce que des vis de diam tre et de pas de vis diff rents ont t utilis es pour les diff rentes exp riences Cependant afin de v rifier que la force de serrage tait suffisante une tude de convergence a t r alis e en fonction du couple de serrage sur les vis Dans la suite du rapport il sera mentionn que les vis sont serr es avec 20 lb po ce qui correspond 2 26 N m ou avec 40 lb po qui correspond 4 52 N m 5 2 Les impacts Les sous paragraphes ci dessous traitent des impacts exp rimentaux et des impacts th oriques Les courbes de force en fonction du temps obtenus grace au marteau instrument repr sentent les impacts exp rimentaux et les courbes de force en fonction du temps que l on g n re de mani re informatique et qui sont inject es dans le code pour calculer le comportement transitoire des poutres tudi es repr sentent les impacts th oriques 5 2 1 Impacts exp rimentaux Un des objectifs de ce proj
90. th oriques avec des r sultats exp rimentaux VI 1 Validation avec r sultats de la litt rature Seules les th ories des poutres d Euler Bernoulli et de Timoshenko sont utilis es dans les codes crits dans le cadre de cette recherche La th orie des poutres d Euler Bernoulli n glige le cisaillement transversal et l inertie de rotation tandis que la th orie de Timoshenko les prend en compte et est donc plus pr cise Les quations utilis es dans le code sont tir es de Han et al 1999 ainsi que de Gongalves et al 2007 Les deux th ories sont valid es en deux parties La premi re consiste comparer les fr quences propres calcul es de certaines poutres avec les fr quences propres donn es dans la litt rature La deuxi me de v rifier que les fonctions modales qui en d coulent sont orthogonales VI 1 1 Comparaison des fr quences propres avec la litt rature Les calculs sont compar s avec les r sultats donn s dans litt rature dans les articles de Han et al 1999 et Majkut 2009 Voici les caract ristiques de la poutre tubulaire que Han et al 1999 utilisent dans leurs calculs Tableau vi 1 Caract ristiques de la poutre de Han et al 1999 Caract ristiques de la poutre de Han et al 1999 E 200 GPa Gad 0 0097389 m DE EC 77 5 GPa e 783045 0 0001171 m 9 1192 Ainsi que les caract ristiques des deux poutres rectangulaires que Majkut 2009 utilise dans les siens 191
91. transversal G43 est toujours valable Sous celle ci le module de cisaillement transversal est approxim par celui d un mat riau composite unidirectionnel tel que d crit par la relation 6 8 Le module de rigidit en cisaillement transversal est toujours plus faible que les modules de rigidit 105 en cisaillement dans le plan pour les deux types d orientation tel que montr pr c demment dans le Tableau 6 2 r affich ci dessous Tableau 8 1 Modules de rigidit pour les couches horizontales et verticales et pour les deux orientations de fibres Tableau 6 2 Couche horizontale Couche Verticale E 42 80 44 31 42 80 44 31 Guy 17 23 16 34 16 33 16 33 G 16 33 16 33 17 23 16 34 Avec les l ments pr sent s ci dessus il faudrait s attendre 4 une augmentation de la rigidit en flexion pour une paroi horizontale et donc 4 une augmentation des fr quences propres avec un nombre croissant de couches d orientation 45 et galement avec une s quence d empilement ou ces m mes couches sont plac es vers l ext rieur de la section de la poutre La position dans une paroi verticale d une couche 45 ne devrait pas avoir d influence sur la rigidit en flexion de la poutre puisque chaque position possible pour une paroi verticale poss de le m me second moment de surface 8 2 Analyse param trique L objectif de ce paragraphe est de comprendre l influence de la s quence d empilement des
92. y 1 2 4y gt 0 iv 15 L quation ci dessus est positive si y 1 47 gt 0 iv 16 En utilisant les propri t s de l identit remarquable l expression peut tre modifi e d Euler Bernoulli y4 1 4y yt 1 gt 0 iv 17 Le premier terme est positif en tout temps et donc la condition iv 13 est respect e En revenant a l quation iv 10 il devient clair que la solution suivante doit tre rejet e en tout temps AZ y A B iv 18 b 2k2y2 Et la seule solution possible est la suivante ne fea SD Va iv 19 2k2y2 Il faut donc prouver que la condition suivante est respect e A 4 Ak2y2a2 k2y2a2 1 v gt 0 iv 20 e 4k y a k y a 1 y gt 0 k y a 1 y lt 0 y k a 1 1 lt 0 iv 21 La derni re relation ne peut tre v rifi e qu apr s avoir calcul les nombres d onde Dans le cas o a gt a 185 pe _ TA A B 2k2y2 ser NE 5 iv 22 2k2y De la m me mani re que iv 18 les solutions suivantes sont rejet es ie EN DD iv 23 2k2y2 Puisque les relations iv 4 et iv 13 tiennent toujours il est certain que A A2 B gt 0 iv 24 MA2 Et donc b A y A B iv 25 2k2y 2 Il faut donc prouver que le dernier cas de figure n est pas une solution puisqu il peut n y en avoir qu une seule ACER b TEE iv 26 Pour ce faire il faut prouver que A 42 B lt 0 iv 27
93. y2b2 b2 y2a2 e gt e b g a y b 2 asin a e b 1 e72b JA j a 2 cos a a y2b2 e b b2 y2a2 1 e 2b ab a y b b a b y a 187 a y b bab a y b b S apy ab 2a a y2b 2 a sin a b e e abet a2 y2 b2 b a 2 cos a a2 y2b2 b2 y2a2 e e b ime a b y a Et donc W amp sin a amp C cos a C sinh B amp C cosh f a b gt 1 ad a y b2 b ab a y b b gt e e a e SAS a b y2a EOS a b y2a a y b b a b y a sinh f amp cosh f amp Les erreurs num riques apparaissent lorsque 1 et que les nombres d onde poss dent des valeurs lev es de mani re ce que l argument b soit lev Dans ce cas les sinus et cosinus hyperboliques sont presque gaux sinh f cosh f 0 sinh f amp cosh f pour b gt 1et 1 v 5 C est cet endroit que les erreurs num riques se produisent En effet les termes gaux ne le sont pas tout fait Cependant lorsqu une pr cision limit e est disponible le logiciel la simplification ci dessus va tre effectu e Une analyse plus pouss e n ayant pas encore t effectu e devrait v rifier les valeurs que prennent les termes hyperboliques multipli s par leurs coefficients pour chaque nombre d onde afin de mieux comprendre la source des erreurs num riques Apr s simplificat
94. 109 RAST 2009 5 158187 PCB Model 086C01 n d Retrieved February 20 2014 from http www pcb com spec_sheet asp model 086C01 Qatu M S amp Iqbal J 2010 Transverse Vibration Of A Two Segment Cross Ply Composite Shafts With A Lumped Mass Composite Structures 92 5 1126 1131 doi 10 1016 compstruct 2009 10 007 Reddy J N 2007 Nonlocal Theories For Bending Buckling And Vibration Of Beams International Journal of Engineering Science 45 2 8 288 307 doi 10 1016 j ijengsci 2007 04 004 Ronald F Gibson E O A 2007 Vibrations of carbon nanotubes and their composites A review Composites Science and Technology 1 1 28 doi 10 1016 j compscitech 2006 03 03 1 134 Ruta P 1999 Application Of Chebyshev Series To Solution Of Non Prismatic Beam Vibration Problems Journal of Sound and Vibration 227 2 449 467 doi 10 1006 jsvi 1999 2348 Ruta P 2006 The Application Of Chebyshev Polynomials To The Solution Of The Nonprismatic Timoshenko Beam Vibration Problem Journal of Sound and Vibration J SOUND VIB 296 1 243 263 doi 10 1016 j jsv 2006 02 011 Tang Y 2003 Numerical Evaluation Of Uniform Beam Modes Journal of Engineering Mechanics Asce J ENG MECH ASCE 12912 doi 10 1061 ASCE 0733 9399 2003 129 12 1475 Van Rensburg N F J amp van der Merwe A J 2006 Natural Frequencies And Modes Of A Timoshenko Beam Wave Motion 44 1 58 69 doi 10 1016 j wavemoti 2006 0
95. 13 0 4 G13 nigi 0 653 GPa 7 1 Celle ci est donc plus faible que la valeur du module de cisaillement des couches unidirectionnelles Malheureusement aucune donn e ne permet de valider cette hypoth se et l auteur n a pas r ussi non plus valider cette hypoth se avec la litt rature Il ne faut pas perdre de l esprit que l cart entre les fr quences propres th oriques et les fr quences propres exp rimentales sont caus es par une incertitude sur la valeur du module de cisaillement mais galement sur un mod le th orique qui peut tre am lior Il faut bien comprendre qu on ne peut parler que d cart entre les fr quences propres th oriques et les fr quences propres exp rimentales et non d erreur puisque comme expliqu dans la 101 conclusion de ANNEXE VI les fr quences propres exp rimentales ne sont probablement pas suffisamment proches des fr quences propres r elles des poutres lorsque celles ci pr sentent des sections creuses De plus l cart entre les fr quences propres th oriques s accroit avec le num ro de mode Ceci signifie que l influence du module de cisaillement et donc du cisaillement lui m me augmente avec le num ro de mode Cette conclusion est bien connue pour le mod le de Timoshenko Han et al 1999 Les figures qui suivent se concentrent uniquement sur les fr quences propres th oriques et visent mieux comprendre la relation entre les fr quences propres et G 3 L
96. 19 Quatre premi res fonctions modales d angle de flexion de Timoshenko 217 On remarque nouveau que l amplitude des fonctions modales d angle de flexion est croissante avec le num ro de mode Les figures ci dessous repr sentent les fonctions modales de cisaillement de la poutre gr ce Timoshenko Quatre premi res fonctions modales de cisaillement de Timoshenko x dW _T dz PSI1 dW _T dx PSI3 dW _T dz PSI2 dW_T dx PSI4 Figure vi 20 Quatre premi res fonctions modales de cisaillement de Timoshenko On remarque nouveau que le cisaillement est toujours nul l extr mit libre et que l amplitude des modes de cisaillement cro t avec le num ro de mode tout comme les fonctions modales PSI Voici le cisaillement du vingti me mode gr ce th orie de Timoshenko 218 dW _T dx PSI10 Figure vi 21 Dixi me fonction modale de cisaillement de Timoshenko On voit nouveau tr s bien que l amplitude du cisaillement est plus lev e pour les modes lev s et que le cisaillement est toujours plus lev l extr mit encastr e VI 2 2 4 Conclusions La premi re conclusion est tr s claire La m thode des modes assum s est tr s pr cise et se porte tr s bien pour le calcul de poutres homog nes et isotropes section pleine ou section creuse lorsqu il y n y a pas de c
97. 23 S33 0 O les termes surlign s appartenant soit a la deuxi me ou troisi me ligne soit la deuxi me ou troisi me colonne sont limin s Cette simplification ne peut en aucun cas tre effectu e suite a l inversion de la matrice de souplesse au risque de calculer une mauvaise valeur du coefficient 177 de rigidit Il est donc d une importance capitale de bien conna tre les hypoth ses de d part Suite la simplification de l quation iii 13 la relation suivante est obtenue 1 Exx S11 oxx 2S Exx Si Oxy oS Oyy S Exx 1 1 Oyy E Ezy iii 14 1 1 2 ite et donc U 5 rren dV zE Exx dV iii 15 2 Jy 2 Jy En appliquant le principe de Hamilton sous la quatri me hypoth se l quation de mouvement des poutres d Euler Bernoulli tel que iii 2 est obtenue 4 d w x t m x 3e WO t 0 EI 0x Cette tude th orique d montre que seule la quatri me hypoth se permet de retrouver l quation d Euler Bernoulli iii 2 Pour s en persuader une tude num rique a t r alis e afin d illustrer les propos pr c dents Les calculs sont r alis s avec une poutre en aluminium 2024 T4 dont le module de Young est le suivant E 73 1 10 Pa Pour les hypoth ses1 2 et 3 le coefficient de rigidit provenant de l inversion de la matrice de souplesse vaut Cy 10 83 1010 Pa Dans le code de calcul le coefficient de rigidit utilis intervient deux r
98. 45 45 45 45 pour obtenir l ventail des comportements possibles Ceci n est probablement vrai que pour le comportement transitoire lorsque l effet du d calage des courbes caus par les fr quences propres qui ne sont pas gales d une courbe l autre n a pas trop d influence Pour finir il a t observ que pour 123 tous les r sultats les courbes forment 5 groupes en fonction du nombre de couches 45 que poss dent les poutres Ceci signifie que les fr quences propres des poutres poss dant le m me nombre de couches 45 sont plus proches entre elles qu avec les fr quences de poutres poss dant un nombre diff rent de couches 45 Ces observations ne concernent que les poutres similaires aux poutres tudi es dans ce paragraphe Un nombre croissant de couches pourrait modifier certaines de ces observations 124 CHAPITRE9 AMELIORATIONS FUTURES Cette tude couvre un large ventail de mati re et constitue une base assez solide qui n cessite cependant des am liorations Les am liorations futures sont donc structur es en une partie th orique et une partie exp rimentale 9 1 Am liorations th oriques Le choix de travailler avec des poutres section rectangulaire a t motiv pour pouvoir travailler dans le rep re cart sien En effet les quations des stratifi s des poutres et des nergies sont bien connues et bien maitris es dans ce rep re La r elle difficult avec des form
99. 6 008 Vo T P amp Lee J 2008a Free vibration of thin walled composite box beams Composite Structures 84 1 11 20 doi 10 1016 j compstruct 2007 06 001 Vo T P amp Lee J 2008b Free Vibration Of Thin Walled Composite Box Beams Composite Structures 84 1 11 20 doi 10 1016 j compstruct 2007 06 001 Wang C M Tan V B C amp Zhang Y Y 2006 Timoshenko Beam Model For Vibration Analysis Of Multi Walled Carbon Nanotubes Journal of Sound and Vibration 294 4 5 1060 1072 doi 10 1016 j jsv 2006 01 005 Zhong H amp Guo Q 2003 Nonlinear Vibration Analysis Of Timoshenko Beams Using The Differential Quadrature Method Nonlinear Dynamics 32 3 223 234 doi 10 1023 A 10244637 11325 135 Ziane N Meftah S A Belhadj H A Tounsi A amp Bedia E A A 2013a Free vibration analysis of thin and thick walled FGM box beams nternational Journal of Mechanical Sciences 66 273 282 doi 10 1016 j ijmecsci 2012 12 001 Ziane N Meftah S A Belhadj H A Tounsi A amp Bedia E A A 2013b Free Vibration Analysis Of Thin And Thick Walled FGM Box Beams International Journal of Mechanical Sciences 66 273 282 doi 10 1016 j ijmecsci 2012 12 001 136 ANNEXES ANNEXE I D tails de la th orie du Chapitre 3 I 1 Matrices de souplesse dans des axes non principaux Les d veloppements ci dessous d taillent la th orie expos e dans le paragraphe 3 4 I 1 1 Matrice
100. 6 1 28 13 1 32 1 34 1 36 1 38 14 1 42 1 44 1 46 Temps s x10 Figure xi 5 Courbe d impact avec l embout en acier inoxydable trait e lisser Courbe d impact temporelle force_impact vs t_impac 600 Fourrier 1 H Fourier 2 Fourier 3 500 Fourrier 4 Fourier 5 400 Force N o Q T 200 100 1 1 25 13 135 14 145 Temps s x10 257 Figure xi 6 Lissages de la courbe d impact avec l embout en acier inoxydable liss e gr ce des s ries de Fourrier 258 600 500 400 300 200 100 0 0 0 00002 0 00006 0 00010 0 00016 t Figure xi 7 Lissage retenue de la courbe d impact avec l embout en acier inoxydable gr ce une s rie de Fourrier La m thode d lissage marche tout aussi bien pour un impact avec un embout mou qu avec un embout dur XI 1 3 Mani re d utiliser les techniques de lissage Les paragraphes pr c dents illustrent plusieurs techniques pour g n rer des courbes d impacts fournir dans le mod le informatique Cependant chacune a des avantages et des inconv nients Produire des courbes d impacts th oriques gr ce une seule p riode de sinus requiert moins de temps qu avec les s ries de Fourrier Il est donc judicieux de savoir quand utiliser chaque m thode Lorsque le but de l op ration est d obtenir un mouvement approximatif d une poutre utiliser un sinus d une p
101. 6 5 et 6 6 deviennent donc 1 0 31 V13 0 0 0 42 8 42 8 42 8 0 31 1 V13 0 0 0 42 8 42 8 42 8 V13 V13 10 0 0 Slnoriz 42 8 42 8 E3 107 6 9 i 9 0 16 33 9 9 9 16 33 1 0 0 0 0 0 17 23 87 1 ee 1 1 ue 1 V13 a 2 42 8 2 17 23 2 428 2 17 23 42 8 1 0 69 1 1 0 69 1 Vi3 TE E 88 2 42 8 2 17 23 2 428 2 17 23 42 8 v v 10 Da 2e E 9 0 9 S horiz i i 3 1 107 y 16 33 y 0 0 0 ee 16 33 0 0 0 0 0 2 Ss 42 8 1 V3 0 31 ee 0 0 42 8 42 8 42 8 9 V3 10 V3 0 0 0 428 E 42 8 0 31 wy 1 428 428 428 9 9 S vertic z j j 2 1 x 107 0 0 0 0 0 16 33 0 0 0 0 1 16 33 0 0 0 0 0 SA Gyz 1 0 69 1 via 170 69 1 Gima Be Gea 0 o 2 42 8 2 17 23 42 8 2 428 2 17 23 Vi3 10 v3 nos a an 0 0 0 42 8 E 42 8 1 Le 1 v3 1 Ce ni 1 z 2 42 8 2 17 23 42 8 2 428 2 17 23 a S lvertic 10 10 0 0 0 0 0 Gyz a r i 42 8 0 0 0 0 0 w G XZ Chacune de ces matrices de souplesse r sulte donc des coefficients de rigidit diff rents dans les axes de la poutre Voici un tableau r capitulatif des modules pour les 4 cas de figures possibles 88 Tableau 6 2 Modules de rigidit pour les couches horizontales et verticales et pour les deux orientations de fibres Couche horizontale Couche Verticale Gs 17 23 Gy 16 34 Gy 16 33 yy 16 33 Gi 16 33 Guz 16 33 Gyz 17 23 lies 16 34 Les couches horizontales d orientation 45 pr
102. 6 7 Il se peut que cette approximation ne se rapproche pas de la valeur r elle Il est donc n cessaire de v rifier si une l g re variation de cette valeur influence de mani re drastique ou non les r sultats des calculs La base de comparaison dans l tude de sensibilit est la fr quence propre pour les 5 premiers modes L tude de sensibilit a t effectu e sur la poutre 1 en composites Pour ce faire la valeur de G43 subit une variation de 10 vers des valeurs plus faibles et 10 vers des valeurs plus lev es avec un pas de 1 Les r sultats ont t transf r s dans le logiciel Excel et les r sultats sont analys s gr ce la Figure 7 1 jusqu la Figure 7 4 La premi re figure illustre les trois premi res fr quences propres th oriques et exp rimentales de flexion de la poutre 1 Les fr quences propres des deux essais exp rimentaux et les fr quences propres calcul es gr ce 5 valeurs de G4 3 sont compar es dans la Figure 7 1 Les carts des valeurs exp rimentales repr sent es sur la figure ci dessus par des barres noires proviennent du Tableau 5 5 quantifiant les erreurs exp rimentales caus es par des surfaces non planes et des sections creuses De plus celles ci ne poss dent qu un sens positif vers le haut puisque les fr quences propres exp rimentales sont sous estim es par rapport aux valeurs des fr quences propres r elles cause du banc d essais 99 Milliers BExp
103. 7 23 Oxy 6 6 10 Gxz 1 S S33 13 0 0 0 1 S66 S13 su Sy 0 0 0 6 6 0 0 ca 0 0 0 0 0 0 a 85 1 1 die A 2 1 S a _ es ai LE es ia 2 42 8 217 23 42 8 2 42 8 2 17 23 v 10 v San et 0 0 0 42 8 E 42 8 1 1 vjz 1 1 r 2 42 8 217 23 42 8 2 42 8 2x 17 23 _9 9 x 10 10 0 0 0 0 0 Gyz 1 31 0 0 0 42 8 10 0 0 0 0 0 Gyz 1 0 69 1 er oo 2 42 8 217 23 9 yz _ XZ yz 9 Siy 5 lle G1 Yxy 42 8 Oxy 0 0 0 1 Gyz Un l ment tr s int ressant apparait ce stade ci Pour les parois verticales les deux coefficients Syy et Syz sont connus Il a t mentionn que la valeur G13 est n cessaire aux calculs mais il s agit d une valeur inconnue Une approximation est r alis e dont l expression provient des propri t s de composites unidirectionnels Mallick 2008 E22 G23 nid San v23 6 7 Dans le cas des composites bidirectionnels tudi s les hypoth ses des relations 3 12 sont respect es E E V4 2 V21 G13 G23 86 V1 3 V23 L expression 6 7 se simplifie donc de la mani re suivante G13 G 1 3 2 3 unid 2 1 V23 2 1 V12 6 8 G13 16 33 10 Pa En compl tant le Tableau 5 2 avec cette nouvelle valeur on obtient Tableau 6 1 Caract ristiques des couches pr impr gn es 4 plis Tableau compl t 42 8 GPa 0 310 16 33 GPa k m Les matrices de souplesse des relations 6 1 6 2
104. ASSIQUE CAS 3 TT je et donc 2 w ol 2 n 2 0 a D SGA dz dy dx iv 38 CAS CLASSIQUE i 1 225 w k i 5 14 z Ru 1 a al DA Exz DEL OI dz dy dx ae om CAS 3 er donc K cas crassique K cas3 iv 39 M cas czassique MIcas 3 Dans le m moire de Fran ois Horel Horel 2013 chaque pli d un stratifi poss de ses propres variables de d placement et donc ses propres nombres d onde fonctions modales et coordonn es modales Ceci m ne des matrices de masse et de rigidit de dimensions plus lev es mais surtout des vecteurs de coordonn es modales de dimension plus lev es Dans ce cas les solutions du probl me pourraient tre calcul es de la mani re suivante Figure vi 26 Cas de calcul 4 o a repr sente le if mode de la premi re couche et ainsi de suite Ce cas n a pas t programm dans le code pr sent mais peut faire l tude de recherches futures VI 3 Conclusions de l annexe Cette annexe permet de valider le bon fonctionnement du code pour des sections pleines et des sections creuses mais galement de d montrer que les erreurs obtenues entre les r sultats th oriques et exp rimentaux sont attribu es en grande partie au banc d essais Les r sultats th oriques incorporent les r sultats analytiques et approximatifs puisqu ils sont toujours en parfait accord pour des poutres isotropes Le sch ma ci dessous permet de mieux comprendre l hypoth s
105. Benaroya H amp Wei T 1999 Dynamics Of Transversely Vibrating Beams Using Four Engineering Theories Journal of Sound and Vibration 225 5 935 988 doi 10 1006 jsvi 1999 2257 Horel F 2013 December Mod lisation analytytique de l amortissement des poutres composites sandwich contenant des couches visco lastiques Ecole Polytechnique de Montr al Montreal Jafari A A Khalili S M R amp Azarafza R 2005 Transient Dynamic Response Of Composite Circular Cylindrical Shells Under Radial Impulse Load And Axial Compressive Loads Thin Walled Structures 43 11 1763 1786 doi 10 1016 j tws 2005 06 009 132 Kim C amp White S R 1996 Analysis of thick hollow composite beams under general loadings Composite Structures 34 3 263 277 doi 10 1016 0263 8223 95 00146 8 Lam K Y amp Qian W 2000 Free Vibration Of Symmetric Angle Ply Thick Laminated Composite Cylindrical Shells Composites Part B Engineering 31 4 345 354 doi 10 1016 S 1359 8368 99 00075 X Lee J amp Schultz W W 2004 Eigenvalue Analysis Of Timoshenko Beams And Axisymmetric Mindlin Plates By The Pseudospectral Method Journal of Sound and Vibration 269 3 5 609 621 doi 10 1016 S0022 460X 03 00047 6 Lee Y S amp Lee K D 1997 On The Dynamic Response Of Laminated Circular Cylindrical Shells Under Impulse Loads Computers amp Structures 63 1 149 157 doi 10 1016 S0045 7949 96 003 12 4 Leissa
106. C cos a B sinh B Ce P v 11 a y b b ae eer sin a On retrouve la m me expression que v 6 Dans cette expression plus aucune soustraction de grands nombres presque gaux n apparait En effet l exponentielle n gative tend vers 0 et bien que le sinus hyperbolique tend vers l infini son coefficient B tend vers 0 La limite de cette multiplication tant ind finie la valeur limite ne peut tre calcul e Cependant il est suspect que les valeurs de cette multiplication restent contenues dans une gamme de valeurs qui n est pas trop grande Ceci n a pas t v rifi Voici l expression manipul e de la fonction modale d angle de flexion PSI D sin a D cos a Fsinh f amp Def v 12 O D Dz et D sont les m mes que dans le cas des expressions classiques et F vaut ab 1 a y b a y b7 F D D 0 v 13 374 Tasty ad ty Donc pour 1 et a b gt 1 les expressions sont simplifi es tel que suit PSI 1 D sin a D cos a a y2b2 2b a2 y b v 14 Saar Or an O On retrouve la m me expression que v 8 190 ANNEXE VI Validation des r sultats th oriques Deux approches compl mentaires ont t choisies pour valider le bon fonctionnement du code La premi re approche est celle de la validation th orique avec les r sultats de la litt rature et la deuxi me approche a t la validation des r sultats
107. Il existe aussi des applications dans le domaine m dical pour le traitement du cancer Ronald F Gibson 2007 La revue de litt rature est compos e dans le premier chapitre Le deuxi me chapitre du texte d finit l ensemble des objectifs et la m thodologie Les deux chapitres suivants sont consacr s aux th ories utilis es dans le cadre de cette recherche Le cinqui me chapitre expose les consid rations exp rimentales en introduisant les quipements et les m thodes utilis es pour produire des spectres fr quentielles suite des impacts pour une vari t de poutres Le sixi me chapitre compare les r sultats th oriques et exp rimentaux pour des poutres en composites fabriqu es afin de s assurer que la th orie et la pratique sont en accord Le septi me et huiti me chapitre pousse l analyse plus loin gr ce une tude de sensibilit et une tude param trique respectivement Pour finir dans les deux derniers chapitres les conclusions et des recommandations pour les travaux futurs sont donn es Les chapitres mentionn s ci dessous ne traitent que des l ments ayant un lien direct avec les poutres en composites section creuse mais il existe un nombre important d annexes qui traitent des tapes de validation du code ainsi que des d tails importants des th ories fondamentales Ce choix a t fait pour permettre une lecture fluide du sujet principal CHAPITRE 1 REVUE BIBLIOGRAPHIQUE Les poutres sont des l
108. Poutre 2 essais 2 25 0 5 350 400 450 500 Fr quence Hz Figure xi 12 Agrandissement de la Figure xi 11 04 T T T T T I Poutre 2 essais 1 Poutre 2 essais 2 035 03 0 25 01 0 05 1 1 1 i I 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Fr quence Hz 1500 Figure xi 13 Agrandissement de la Figure xi 11 Les essais de la deuxi me poutre ne pr sentent pas de variabilit non plus Le tableau qui suit r sume les valeurs fr quentielles de chaque pic de la Figure xi 11 263 Tableau xi 2 Fr quences propres exp rimentales de la poutre 2 Fr quences propres de la poutre 2 Hz 367 367 5 3004 3640 1966 5 1968 3067 5 3957 3958 1985 1993 3181 3183 4734 4737 XI 2 3 Poutre 3 Voici les r sultats des deux essais de la troisi me poutre 8 T T T T T T T Poutre 3 essais 1 TE Poutre 3 essais 2 H i a Contenu Fr quentiel M 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Fr quence Hz Figure xi 14 Spectre fr quentiel de la poutre 3 264 Poutre 3 essais 1 TE Poutre 3 essais 2 H Contenu Fr quentiel L 350 400 450 Fr quence Hz Figure xi 15 Agrandissement de la Figure xi 14 0 7 T T T T T Poutre 3 essais 1 06 Poutre 3 essais 2 OS 04 03
109. RAISOTOPES merria em EEEE E cd de le Re ee Dee 11 1 2 2 Mat riaux composites et FGM Susan en nd An AR te nn tee 12 CHAPITRE 2 OBJECTIFS ET M THODOLOGIE eee 14 CHAPITRE 3 TH ORIE CLASSIQUE DES STRATIFI S ET DES POUTRES 16 3 1 Cadre de validit du mod le d velopp ss 16 32 MCMC T AC sacs Me en nn RS Cr Balen sean ne ne ne sein Seta te 17 3 3 D fninon d Cisail le wien Ass his te ne ete E mes Nays une die 21 3 4 Matrices de souplesse dans des axes non principaux 23 3 5 Coefficients de Poisson dans les axes non principaux ssessesssessssseesserssersseresssesssres 28 30 AC OUPlASEs V1 DEALOITES on intr a A E A SS 29 3 7 Simplifications pour les poutres nn nent nn le Rai enne 29 3 8 Th ries de DOR LS Se Ne mue 31 Sid Th orie de Huler Bernoulli saute sn nt E er ees 31 3 8 2 Poutre de cisaillement et d TimoshenkKo 4848uuiaissi nier 33 3 8 3 Dimensionnalisation des fonctions modales ssssesssessessessseresssetssressresseessseesssees 44 CHAPITRE 4 M THODE DES MODES ASSUMES seu 46 4 1 G n ralit s Satis St Ge n nn Rs dote nr ns er 46 4 2 SAX PTESSIONS CCS CNET GIES SNS ROME ee ONES ASE en cn ee 47 421 Euler B MOUlLessiss need nr elena Nee aie nn S E tunes 47 422 RME ARS oa ae Met cited cate Cate Re En ne i ne tn ce nee ot as 48 423 WAMO SHEN KO sus e leet een ate lo MR ne nues fe eas 48 4 3 R solution des quations matricielles ss 48 AA
110. UNIVERSIT DE MONTR AL MOD LISATION VIBRATOIRE EN FLEXION DE POUTRES COMPOSITES MULTICOUCHES SECTION CREUSE SUITE UN IMPACT SAMY GERONYMOS D PARTEMENT DE M CANIQUE COLE POLYTECHNIQUE DE MONTR AL M MOIRE PRESENTE EN VUE DE L OBTENTION DU DIPL ME DE MA TRISE ES SCIENCES APPLIQUEES G NIE M CANIQUE AVRIL 2014 Samy Geronymos 2014 UNIVERSIT DE MONTR AL COLE POLYTECHNIQUE DE MONTR AL Ce m moire intitul MOD LISATION VIBRATOIRE EN FLEXION DE POUTRES COMPOSITES MULTICOUCHES SECTION CREUSE SUITE UN IMPACT pr sent par GERONYMOS Samy en vue de l obtention du dipl me de Ma trise s sciences appliqu es a t d ment accept par le jury d examen constitu de Mme BROCHU Myram Ph D pr sidente Mme ROSS Annie Ph D membre et directrice de recherche M LAKIS Aouni A Ph D membre iii D DICACE Je d die ce m moire en particulier mes parents Ils ont toujours pris soin pour que mon grand fr re et moi ne manquions de rien d essentiel m me lors des temps difficiles qui ont oblig ma famille se s parer pour une certaine p riode de temps Merci de toujours m avoir fait confiance et m avoir encourag entreprendre mes projets un peu fous Ma pr sence Montr al en est la preuve J esp re qu ils sont tout aussi fiers de moi que je suis fier d eux et je les aime malgr la distance Mes pens es sont galement avec mon grand
111. Vyz 0 0 O S 0 0 J z 3 5 Yxz 0 0 0 0 See 0 Yxy principaux 0 0 0 0 0 S66 Oxy principaux e S O les S repr sentent les termes de la matrice de souplesse dans les axes principaux Les relations 3 5 d coulent de la th orie d lasticit locale pour tous les l ments infinit simaux de la structure tudi e Elles expriment principalement quatre choses e Les d formations normales sont toutes trois coupl es avec les trois contraintes normales e Les d formations de cisaillement ne sont pas coupl es aux contraintes de cisaillement e Les d formations normales ne sont pas coupl es aux contraintes de cisaillement et de mani re r ciproque les d formations de cisaillement ne sont pas coupl es aux d formations normales e Les termes non diagonaux transpos s sont gaux Sij Sji pour i jeti j 1 3 Les composantes de la matrice de souplesse pour un mat riau orthotrope dans les axes principaux sont d finit comme suit 1 v v Pos gee ne 0 0 Ey Ey Ey v 1 v begun gt See 0 0 Si1 Siz Si3 O 0 0 Ey E2 E2 Si2 S22 S23 0 0 0 Yia ee ES 0 0 S13 S23 S33 0 0 0 Ey E2 E3 s a aa Oe i 3 6 0 0 0 S44 0 0 0 0 0 er 0 0 0 0 0 Sss 0 G23 0 0 0 0 0 S66 1 f 0 0 0 0 0 Gi3 1 0 0 0 0 0 21 Il est important de mentionner le cas particulier des mat riaux isotropes pour lesquels les trois modules de Young les trois coefficients de Poisson et les trois modules de cisaillement sont gaux
112. a figure ci dessous illustre les courbes des fr quences propres en fonction de G43 pour les cing premiers modes N o Figure 7 3 Fr quences propres en fonction de G43 pour chaque mode Les fr quences propres sont croissantes en fonction de G 3 La figure ci dessus montre que les fr quences propres augmentent en fonction de G 3 mais galement avec le num ro de mode En d autres termes le taux de croissance des fr quences 102 propres est plus lev pour les num ros de mode sup rieurs La premi re fr quence propre est presque constante et ces courbes ont l air droites La figure ci dessous illustrant la pente de chacune des courbes de la Figure 7 3 clairci les interrogations 1 40E 06 1 20E 06 1 00E 06 8 00E 07 6 00E 07 4 00E 07 2 00E 07 0 00E 00 Figure 7 4 Pente des fr quences propres en fonction de G 3 Cette figure montre que pour les deux premi res fr quences propres les pentes sont presque constantes mais positives Ceci signifie que les courbes sont presque des droites et que les fr quences propres augmentent avec un G croissant Les pentes pour les trois modes les plus lev es sont d croissantes en fonction de G 3 Les courbes de la Figure 7 4 ne sont donc pas des droites et tendent vers une asymptote oblique de pente plus faible que les courbes des fr quences 7 1 Conclusions L analyse de sensibilit a montr que la valeur du module de cisaille
113. a ligne neutre cet endroit par rapport l horizontale vaut Dans ce cas de chargement les sections de l l ment restent perpendiculaires la ligne neutre Ceci illustre le cas d Euler Bernoulli Dans le troisi me cas les contraintes de cisaillement ne sont plus n glig es Le nouveau centre de gravite G3 est encore plus lev que G et langle de la ligne neutre par rapport a l horizontale vaut Yxz ay 3 a Cependant l angle que forment les sections de l l ment par rapport la verticale vaut ax Wo Vxz avec la verticale Ceci illustre le cas de Timoshenko La d form e de Timoshenko poss de une fl che plus lev e En d autres termes avec la th orie de Timoshenko une poutre donn e est plus souple qu avec la th orie d Euler Bernoulli La th orie de Timoshenko est bien entendu plus repr sentative de la r alit puisqu elle prend en compte plus de m canismes physiques de d formation 3 4 Matrices de souplesse dans des axes non principaux Ce paragraphe se concentre sur l obtention des matrices de souplesse dans des axes non principaux Les matrices de souplesse sont obtenues par rotation dans le plan form par les axes principaux ainsi que dans un autre plan que celui form par les axes principaux Ces d veloppements sont r alis s parce que les poutres section creuse comportent des parois horizontales et verticales Pour cette raison il est n cessaire de conna
114. acement transverse pour les deux th ories de poutres Comparaison des quatre premi res fonctions modales de d placement transverse 01 02 03 x W_EBI W_T1 W_EB3 W_T3 W_EB4 W T4 Figure vi 6 Comparaison des quatre premi res fonctions modales de d placement transverse 205 Il est clair qu il n y a presque aucune diff rence entre les fonctions modales de d placement transverse entre les deux th ories de poutres Les fonctions modales d angle de flexion de Timoshenko sont les suivantes Quatre premi res fonctions modales d angle de flexion de Timoshenko Figure vi 7 Comparaison des quatre premi res fonctions modales de flexion L amplitude des fonctions modales d angle de flexion est croissante avec le num ro de mode Dans le cas d une poutre mince pour que le cisaillement soit n gligeable il faut que la d riv e des fonctions modales W poss de la m me forme et qu elle soit presque gale aux fonctions modales PSI 206 Les figures ci dessous repr sentent les fonctions modales de cisaillement de la poutre gr ce Timoshenko Quatre premi res fonctions modales de cisaillement de Timoshenko 00006 0 0004 0 1 0 2 x dW_Tidx PSI1 dW_Tidx PSI3 dW_Tidx PSI2 dW_T dx PSI4 Figure vi 8 Quatre premi res fonctions m
115. alisation des quations permet de trouver des solutions pour n importe quelle poutre et de comparer ces derni res entre elles avec facilit Dans la th orie les fonctions modales calcul es sont toujours orthogonales entre elles Les fonctions modales repr sentent les d formations associ es aux fr quences propres calcul es gr ce au probl me aux valeurs propres tudi es Cependant en pratique lorsque ces fonctions modales sont impl ment es sur un ordinateur des erreurs de nature num rique apparaissent pour les modes lev s Cela peut causer des probl mes et il existe deux moyens pour y rem dier Le premier consiste travailler avec un logiciel qui permet l utilisateur de choisir le nombre de chiffres derri re une virgule flottante La deuxi me solution consiste manipuler expressions des formes modales pour faire dispara tre les points chauds num riques en faisant disparaitre la soustraction des termes hyperboliques dans les expressions des fonctions modales C est l approche qu ont choisi plusieurs auteurs tels que Tang 2003 Leung 1988 1990 Gon alves Brennan amp Elliott 2007 Ces techniques n avaient pas encore t appliqu es sur la th orie des poutres de Timoshenko jusqu a pr sent La th orie des poutres de Timoshenko est d crite par deux quations qui poss dent deux degr s de libert soit le d placement transverse et l angle de flexion Les fonctions modales permett
116. analyse param trique de la s quence d empilement a galement t effectu e et a permis de mieux comprendre l influence des modules de cisaillement transversaux pour les modes lev s En effet cause de l influence du cisaillement sur les parois verticales la poutre pr sentant les fr quences propres les plus faibles pour les quatre premiers modes finit par avoir la fr quence propre la plus lev e pour le cinqui me mode L inverse est vrai pour la poutre qui poss de les fr quences propres les plus lev es pour les quatre premiers modes Il s av re que les poutres avec un m me nombre de couches 45 poss dent des fr quences propres et des r ponses transitoires tr s proches entre elles Cependant les fr quences propres et les comportements transitoires sont plus loign s lorsque des poutres avec un nombre diff rent de couches 45 sont compar s Il est donc n cessaire de faire la distinction entre deux types d application pour les sections creuses avec les mat riaux composites tudi s ici Plus pr cis ment les applications o ce sont les faibles fr quences propres qui sont excit s et les applications o ce sont les fr quences propres lev es qui sont excit es Si l objectif est d obtenir des structures le plus rigide possible il faudra dans le premier cas d application s lectionner les mat riaux avec le module de rigidit longitudinale le plus lev et dans le deuxi me cas les mat ria
117. ance harmonique harmonic balance method plut t que d utiliser le principe de Hamilton Par la suite l hypoth se du premier mode est faite Single mode hypothesis afin de trouver une solution du syst me r duit une quation de Duffing Certains auteurs pr f rent cependant utiliser la m thode de perturbation pour accroitre la pr cision de leurs r sultats Cependant l utilisation de cette m thode n a t illustr e que pour les vibrations non lin aires et seule la premi re fr quence propre est calcul e contrairement la m thode de Rayleigh Ritz Dans l tude de Zhong amp Guo 2003 la m thode des quadratures diff rentielles Differential Quadrature Method est employ e pour r soudre les quations d une poutre de Timoshenko non lin aire simplement support e Dans cette m thode les d riv es de certaines fonctions sont des sommes pond r es des m mes fonctions valu es en plusieurs points dans le domaine de d finition spatial de la poutre Les quations diff rentielles et les quations des conditions aux limites sont d termin es en partant des expressions des nergies gr ce la m thode de Hamilton L influence de certains termes non lin aires est tudi e et une comparaison est galement faite avec les r sultats pour une poutre non lin aire simplement support e utilisant le mod le d Euler Bernoulli Il a t prouv que les termes non lin aires peuvent tre n
118. ans le cas de Timoshenko lorsque les cas sont relativement simples Les th ories des poutres utilisent donc les modules de rigidit de mat riaux isotropes E et G qui ne sont en r alit autre que FE et G 3 Un cas simple classique est une poutre homog ne isotrope rectiligne section constante Th oriquement aucune restriction ne s applique au choix de la section du moment qu elle ne pr sente pas de couplages Il peut donc s agir de sections creuses Cependant bien videmment il faut que la section poss de au moins deux axes de sym tries pour viter les couplages vibratoires Les fr quences propres d une poutre repr sentent les fr quences auxquelles celle ci vibre lorsqu elle n est pas soumise un chargement externe Cela peut tre suite un impact par exemple Les fonctions modales sont associ es une fr quence propre sp cifique et repr sentent les formes qu adopterait une poutre vibrant uniquement aux fr quences associ es En pratique en vibration libre chaque poutre vibre selon une combinaison lin aire de ses modes propres Math matiquement pour les vibrations transverses cela se traduit de la mani re suivante Han et al 1999 wa D gt WG qu 0 i 31 Cette relation est valable pour les trois th ories de poutres pr sent es ci dessous Cette quation dit que le d placement transverse total est une combinaison lin aire d une infinit de termes compos s d une partie s
119. ans les fonctions modales d Euler Bernoulli La premi re mani re de voir s il y a des erreurs num riques est de tracer les fonctions modales sur un graphique afin de v rifier s il y a des comportements tranges mais ce n est pas toujours vident si l on n est pas habitu analyser des fonctions modales La deuxi me mani re quantifiable est de calculer les erreurs num riques gr ce la relation d orthogonalit des fonctions modales Pour Euler Bernoulli l erreur num rique est donn e par la relation suivante 196 W M W d 6 Erreur j vi 2 0 Avec W W7 x vi 3 M W p A xW Tandis que pour Timoshenko on l erreur est donn e par la relation suivante 1 W M W d 6 Erreur j vi 4 0 Avec Wi WFC PSR vi 5 w A 0 w nWD fo perl lpsre e La matrice Erreur contient tous les calculs d erreurs Dans cette tude on ne regardera que le maximum de cette matrice c est dire la plus grande erreur L exemple num rique propos pour illustrer les erreurs maximales pour les expressions des fonctions modales d Euler Bernoulli et de Timoshenko est le m me Les calculs sont r alis s avec 10 d cimales derri re la virgule flottante 20 modes et avec la poutre de l exemple de Han et al 1999 Le calcul avec 20 modes donne une matrice d erreur de dimensions 20x20 L erreur maximale obtenue dans le cas des expressions classiques
120. ant dans l quation la relation suivante est obtenue k y b b A a k 2y 2a 1 y7 0 iv 5 En r solvant cette quation de deuxi me de b A A 4k y a k y a 1 7y iv 6 iv 7 4 4k2y2a2 k2y2a2 1 y 7 gg ee 2k2y2 iv 8 A 42 4k2y2a2 k2y2a2 1 v 2k2y2 Posons B 4k y a k y a 1 y7 iv 9 183 En r injectant dans l expression de b la relation suivante est obtenue 10 _A AZ B a b 2k2y Dans la th orie de Timoshenko d velopp e dans l article de Han et al 1999 le nombre d onde b est un r el positif Les solutions suivantes sont donc rejet es iv 11 _ 4 V 7 E di F 2k2y2 Puisque dans ce cas le nombre d onde est soit un nombre imaginaire soit un nombre n gatif Pour que b soit r el et positif il faut que la condition suivante soit respect e A 4 B gt 0 iv 12 De plus pour que b soit r el il faut galement que A B gt 0 iv 13 L expression ci dessous est d velopp e est manipul e 42 4k y a k y a Siik y k2a2 y 1 1 y2 Ak y a k y2a 1 y ktat yt 1 2k yt DA y A y 4k y a k y a CE y k at y 1 471 2k a y4 1 1 y 2y 1 7 iv 14 1 y Le deuxi me et le troisi me terme de l quation iv 14 sont positifs Il reste donc v rifier si le premier terme l est aussi 184 k a
121. ante S33 de ces matrices n est pas d finie puisque le module de Young selon le troisi me axe principal E n est pas donn dans les sp cifications des couches en composite Cependant cela ne pose pas de probl me puisque pour la th orie des poutres les composantes appartenant la deuxi me et la troisi me colonne ainsi que celles appartenant la deuxi me ou 82 troisi me rang e sont limin es tel qu illustr par la relation 3 24 La relation 6 1 en conjonction avec la relation 3 24 donne le r sultat suivant Exx S41 0 0 Yyz 0 Saya 0 Vxz oa 0 0 Ses Yxy 0 0 0 0 0 42 8 9 TAPE p Yyz ua G13 Yxz 10 Yxy 0 0 Gis 0 0 0 0 0 0 1 17 23 i Oxx Oyz Oxz 6 3 x 107 Ou les vecteurs des contraintes et d formations sont exprim s dans les axes de la poutre De la m me mani re la relation 6 2 en conjonction avec la relation 3 24 donne le r sultat suivant Exx Sia 0 0 Yyz 0 S4a 0 Vez 0 0 Ske Yay 0 0 0 Get 1 r 2 42 8 217 23 9 i 10 Vyz _ G13 ral Yxy 0 0 0 0 6 4 x 107 83 1 44 306 i Exx 0 10 0 0 Oxx O Le os me 10 le 10 Very wa le l 1 9 g 16 336 Cependant un probl me persiste Dans le Chapitre 6 la th orie des poutres sera utilis e afin de calculer les fonctions modales des poutres en composites bien que l hypoth se d isotropie ne soit pas tenue En effet la base les th ories des poutres ont t d
122. avec l embout noir avec des s ries de Fourrier 255 Figure xi 3 Lissage retenue de la courbe d impact avec embout noir 256 Figure xi 4 Courbe d impact avec l embout en acier inoxydable 256 Figure xi 5 Courbe d impact avec l embout en acier inoxydable trait e lisser 297 Figure xi 6 Lissages de la courbe d impact avec l embout en acier inoxydable liss e gr ce des s ries Ce OUNCE 25 en ee a At de LR AU ee an an 257 Figure xi 7 Lissage retenue de la courbe d impact avec l embout en acier inoxydable gr ce Une SOS de DOS ne TE en le nettes 258 Figure xi 8 Contenu frequentiel de la poutre lisent hemneeiedinsses 260 Figure xi 9 Agrandissement de la Figure Xi 8 2e nelle 260 Figure xi 10 Agrandissement de la Figure xi 8 260 Figure xi 11 Spectre fr quentiel de la poutre 2 522580 sn nn nt Sn te 261 Figure xi 12 Agrandissement de la Figure xi 1225540 262 Figure xi 13 Agrandissement de la Figure xi Lacs need en se 262 Figure xi 14 Spectre fr quentiel de la poutre 32 usa accel edi ne eee tele 263 Figure xi 15 Agrandissement de la Figure xi 14 264 Figure xi 16 Agrandissement de la Figure xi 14 264 XX LISTE DES ANNEXES ANNEXEI DETAILS DE LA TH ORIE DU CHAPITRE 3 eu 136 I 1 Matrices de souplesse dans des axes non principaux 136 1 1 Matrice de souplesse dans des axes non principaux par rotation dans le m me
123. ble d obtenir les tenseurs de transformation des rep res en ayant la bonne s quence dans les composantes des vecteurs de contrainte et de d formation Les points de d parts sont les relations de rotation des rep res autour de l axe x yy Oyy Oxx Oxx Ozz Ozz Oyy Oyy Oxx Oxx 1 Izz 1 Izz sos Oxz To Oxz S T seq Oyz To UER Oyz viii 7 Oxy Oxy Oxz Oxz Oyz XYZ Oyz xyz Oxy XYZ Oxy xy z 244 Tic olxyz TollTseq lolx y z olxyz T seq To T seq 7 lister lolyyz Tenis lolx y 2 1 O Topi Tseq TollT seq viii 8 lols y a Tenis elxxz viii 9 De plus elxyz Tepile yz viii 10 O Te Tseq TellT seq viii 11 elx yz Tepis elx y z Pour finir on en d duit la matrice de rigidit d une couche verticale dans les axes de la poutre sous la m me forme que les couches horizontales lelxy z z Tepis lire Tepis Sle yz lo y yz Te Sle yz Topi de lolyyz viii 12 1 lelxyz Tenis Sle y 71 Tonis olxv z lelyyz Slxyzlolxyz i Aa Avec Sly yz Ta S e y 71 Topis vill 13 En reprenant le cas des couches composites dans le chapitre 3 les matrices peuvent se simplifier Pour une rotation positive de 90 degr s autour de l axe x les matrices de rotation deviennent 245 0 1 0 0 0 0 1000 0 0 0010 0 0 G Telo Tolo 9 0 0 0 1 0 viii 14 0001 0 0 0000 0 1 100 0 0 0 001 0 0 0 010 0 0 0 A Et donc e
124. cas classique Hz nee 15 955 15 955 0 00 15 955 0 00 99 957 99 957 0 00 99 980 0 02 279 753 279 753 0 00 279 902 0 05 547 833 547 833 0 00 548 370 0 10 On remarque que le cas 2 donne exactement le m me r sultat que dans le cas classique tandis que le cas 3 sur value l g rement toutes les fr quences Il est quand m me int ressant de noter que les nombres d onde calcul s dans le cas 3 qui donnent des fr quences propres analytiques tr s diff rentes de celles du cas classique r sultent des fonctions modales gr ce auxquelles les fr quences propres approximatives du cas classique sont tr s bien approch es L analyse du cas 3 est pouss e plus loin en effectuant une tude de convergence en fonction du nombre de modes utilis s 225 Tableau vi 23 tude de convergence du cas 3 en fonction du nombre de modes tude de convergence du cas 3 en fonction du nombre de modes Hz A O Visiblement les fr quences propres approximatives du cas 3 ont d j converg avec 10 modes La raison pour laquelle le cas 2 donne de bons r sultats mais que le cas 3 n en fait pas autant se trouve dans la mani re de calculer les nergies potentielle et cin tique Ces expressions font intervenir une int grale de volume qui se d compose en une int grale selon les trois axes de la poutre tudi e Prenons par exemple le premier terme de l nergie potentielle d crite par l quation iv 14 2
125. cette th orie ne fait pas l hypoth se de contraintes de cisaillement constantes travers l paisseur des parois dans le d veloppement des fonctions de gauchissement Les r sultats sont valid s pour des poutres section circulaires et rectangulaires parois minces ainsi que pour des poutres parois paisses Dans le m me ordre d id e Vo amp Lee 2008a ont d velopp un mod le vibratoire de poutres minces lamin es orthotropes section creuse sur base de la th orie des plaques de Kirchhoff Love qui prend en compte le couplage des modes de flexion et les modes de torsion et qui est calcul par l ments finis La m thode des l ments finis est tr s utilis e pour r soudre des probl mes qui ne sont pas ou sont difficilement r solubles avec les m thodes analytiques Ce mod le est capable de g rer des s quences d empilement arbitraires Les quations de mouvement sont calcul es gr ce au principe de Hamilton et les quations sont r solues gr ce la une m thode d l ments finis bas e sur les d placements Les FGM Functionnaly Graded Materials sont le sujet de plus en plus de recherches parce qu ils pr sentent des propri t s int ressantes qui pourraient tre utiles pour des applications avec des temp ratures lev es par exemple Les FGM sont des mat riaux dont les propri t s varient travers une direction pr f rentielle telle que leur paisseur contrairement a
126. chacune des composantes des poutres avant la fabrication de la poutre En effet le poids de la r sine utilis e l int rieur de la poutre et le poids des couches pr impr gn es peuvent tre mesur s En connaissant le poids total avant cuisson des couches en composites et en faisant l hypoth se que la r sine ne change pas de poids il est possible de d terminer le poids apr s cuisson des composites et d en d duire la masse volumique 127 CHAPITRE 10 CONCLUSIONS La mod le analytique des vibrations transverses d une poutre en composite multi couche section creuse suite un impact a t d velopp cod e sur Maple et sur Matlab et ensuite r solue de mani re semi analytique Le mod le analytique a t valid gr ce a des r sultats de la litt rature ainsi qu avec des r sultats exp rimentaux obtenus gr ces trois poutres en composites multicouche section creuse test es sur un banc d essais Bien qu il ait t difficile de quantifier la pr cision du mod le les r sultats sont jug s suffisamment pr cis pour les deux premiers modes pour la plupart des valeurs test es du module de cisaillement transversal des couches en composites L cart entre les r sultats th oriques et exp rimentaux est attribu majoritairement au banc d essais L incertitude sur la valeur du module de cisaillement transversal des couches en composite ainsi que le mod le th orique contribuent ces carts L
127. ctant l expression de i 52 dans i 50 l expression Gon alves et al 2007 est obtenue et donc W e gt cos b 1 v sin b v sinh b amp i 54 Cette expression ne fait plus appara tre de soustraction de grands nombres La forme de base des fonctions modales d une poutre encastr e libre est la m me qu une poutre doublement encastr e En appliquant la m me proc dure qu avant l expression suivante est obtenue W e cos b 1 v sin b vsinh b i 55 e cos b sin b e cos b sin b Avec D sinh b sin b ep i 56 Leb t sin b L expression i 55 permet donc de r duire significativement les erreurs num riques par rapport l expression initiale 1 3 2 Poutre de cisaillement et de Timoshenko Contrairement au mod le d Euler Bernoulli les mod les de poutres de cisaillement et de Timoshenko prennent en compte le cisaillement Les simplifications faites pour la th orie d Euler Bernoulli ne sont donc pas applicables Reprenons la relation du cisaillement 3 11 ane Ay Vxy O a Le symbole est introduit afin de faire le passage entre les quations de Berthelot 1996 et Han et al 1999 154 L angle de cisaillement y s additionne l angle du moment de flexion y La pente de la fibre neutre est donc plus lev e que dans le cas de la poutre d Euler Bernoulli
128. culer les solutions dans une gamme de valeurs du nombre d onde a 37 x Pas de ees ey Changement de signe Algorithme de convergence Figure 3 7 M thodologie de r solution des nombres d onde de la poutre de cisaillement O la fonction f repr sente l quation fr quentielle 3 44 L algorithme de convergence utilise la fonction fsolve de MATLAB La relation d orthogonalit des fonctions modales est identique que celle d Euler Bernoulli sous forme matricielle Han et al 1999 W M W d 6 3 47 WT IWC PSE et donc le vecteur de d placement est exprim d Euler Bernoulli 00 w gt Wi qj t 3 48 i 1 De plus l op rateur M 38 PE SES ss De raisonnements similaires pour la poutre d Euler Bernoulli peuvent tre faits pour passer de la forme dimensionnelle la forme adimensionnelle fe o Get Vag T rag ae ae GE Wo ay Yxy 3 50 donc Ay Qy 3 51 Yxy Vey 3 8 2 2 Fonctions modales de la th orie des poutres de Timoshenko De m me que la poutre de cisaillement la poutre de Timoshenko poss de galement deux fonctions modales Celle du d placement transversal de la fibre neutre et celle de l angle de flexion des sections de la poutre et d pendent elles m mes des deux nombres d onde a et bf Par contre les expressions des formes modales d pendent aussi de la valeur de a La m thode de Gongalves et al 2007 a t
129. d Ne eae ere ac 94 GA Pouire 2 ie nn nella lee ia nan ne eee eee 95 0 4 3 POUE sn tt A ane nn nes eae ee A es coter 96 6 5 CONCIUSIONS LES A evn acces esa eee edn eae 96 CHAPITRE7 ANALYSE DE SENSIBILIT 00 ccscssesssssessssssssesessscsessesseesessessesseessesesssesess 98 7 1 CONCIISIONS ER E SE BEER CSA E M E Le 102 CHAPITRE 8 ANALYSE PARAMETRIQUE DE LA SEQUENCE D EMPILEMENT 104 Bel G n ralit s nee ee nn et er dd aa re de E an See 104 G2 Wmnalyse DATAMN IQUE aint ats agente acd atte ile ele aaa 105 8 2 1 Remplacement d une couche 0 90 avec une couche 45 Premi re analyse 106 8 2 2 Remplacement d une couche a 0 90 avec une couche a 45 Deuxi me IVA YS A CT a sess T a a atone a a ae ete ta eee tou ae ane ees 111 8 2 3 Comportement transitoire des 16 s quences d empilement 113 8 3 Comparaison avec la litt rature Les AR Re home 122 SA OONCIUSIONS SES Mise a ee a Ree E ne ne Re Ree a A een ane 122 CHAPITRE9 AMELIORATIONS FUTURES seen 124 9 1 Am liorations THE OTIC MES RAM le LS a sent as 124 9 2 Am liorations exp rimentales nissan 125 CHAPITRE 10 CONCLUSIONS a r E nee 127 BIBLIOGRAPHIE iSite e ins tels he Es MER OU 129 ANNEXES it TR AA a a us sada val de ee nr cer 136 Xi LISTE DES TABLEAUX Tableau 3 1 R capitulatif des matrices de souplesse 25 Tableau 5 1 Terminologie de la Figure 5 2 na ne mie aime 55 Tableau 5 2 Propri t s d
130. de pour des sections creuses si la m thode est valid e pour des sections pleines mais en pratique l algorithme 202 qui calcule les nergies potentielles et cin tiques pour une poutre creuse est l g rement diff rent que l algorithme utilis pour les sections pleines De plus contrairement aux poutres en composites fabriqu es les poutres homog nes et isotropes mentionn es ne sont pas pleines leur encastrement Cela a possiblement une influence sur les fr quences propres Les poutres sont simul es en utilisant la th orie des poutres d Euler Bernoulli et Timoshenko et les fr quences propres obtenues sont compar es entre elles ainsi qu avec les fr quences propres exp rimentales gr ce au banc d essais De plus les fonctions modales W sont compar es entre elles et dans le cas de la th orie des poutres de Timoshenko le cisaillement est valu Il est possible de calculer les fonctions modales de cisaillement en soustrayant les fonctions modales d angle de flexion de la d riv e des fonctions modales de d placement transverse rT W PSI Ox VI 2 2 1 Poutre 1 Le tableau ci dessous r sume les fr quences propres analytiques approximatives et exp rimentales obtenues pour la poutre 1 Tableau vi 17 Fr quences propres analytiques approximatives et exp rimentales de la poutre 1 Fr quences propres analytiques approximatives et exp rimentales de la poutre 1 Hz Euler Bernoulli RC Diff
131. de souplesse dans des axes non principaux par rotation dans le m me plan Les d veloppements qui suivent s effectuent dans le rep re local de la poutre Figure i 1 Repr sentation du rep re global de la poutre x y z et du rep re local x y z Lorsque la relation entre les contraintes et les d formations est exprim e dans des axes autres que les axes principaux obtenus par rotation autour de laxe z la relation suivante est obtenue apr s calcul Berthelot 1996 e S o Ex Sia Si2 Si3 0 0 Sis Oxx Ey Sa Sa Sig 0 Sella ea l S Sa Sa 0 O She pa Wel 0 0 0 Sia Sis 0 oz Yxz 0 0 O Sis Ses 0 ox Lorsque la matrice de souplesse est exprim e dans les axes de la poutre qui peuvent tre des axes non principaux expression suivante est obtenue 137 La relation entre les deux matrices S et S est la suivante Berthelot 1996 S Te S To 1 2 cos sin 0 0 0 sin cos sin 0 cos 0 0 0 sin cos n 0 0 1 0 0 0 Qu Te 0 0 0 cos 8 sin 8 0 0 0 0 sin 8 cos 0 0 2 sin 8 cos 2sin cos 0 0 0 cos 0 sin 0 1 3 cos sin 0 0 0 0 2 sin cos sin 0 cos 0 0 0 2 sin cos 0 0 1 0 0 0 To 0 0 0 cos sin 6 0 0 0 0 sin cos 0 sin cos sin cos 0 0 0 cos sin 0 et o 0 est un angle d finit dans le sens positif de l axe z c est dire avec la r gle de la
132. dent un module de cisaillement transversal plus lev que les parois verticales de la couche 45 avec laquelle elle est remplac e Pour rappel ceci est caus par le fait qu une couche 0 90 poss de un module de cisaillement dans le plan plus lev qu une couche 45 L influence du cisaillement transversal devient importante pour les modes lev s L influence de la diminution du module de cisaillement dans le plan lors du remplacement de la couche 0 90 avec celle 45 est plus importante que l augmentation du module de rigidit longitudinale et ceci causerait donc un abaissement de la fr quence propre par rapport la configuration initiale partir d un certain mode de mani re g n rale Le fait de d placer la couche 45 vers l ext rieur augmente de la rigidit en flexion gr ce aux couches horizontales et non gr ce aux parois verticales mais ne suffit pas compenser la perte de rigidit initiale due au remplacement de la couche 0 90 Cela aurait peut tre t diff rent si des couches suppl mentaires taient pr sentes Les propos ci dessus sont illustr s par la Figure 8 2 dont les valeurs sont fictives Cette figure illustre les rapports des fr quences propres des 5 premiers modes obtenus en rempla ant une couche 0 90 avec une couche a 45 Elle transmet le message que lorsque ce remplacement est effectu l augmentation du module de rigidit longitudinal provoq
133. e tude de variabilit sur les fr quences propres Figure 5 19 Poutres en composites fabriqu es 67 Chaque poutre poss de 4 couches bidirectionnelles de fibres de carbone pr impr gn es avec de la r sine poxy Ces fibres sont fabriqu es par l entreprise Cytec et le mod le est CYCOM 5276 1 Cytec n d Les propri t s connues de ces fibres sont r sum es dans le tableau ci dessous Tableau 5 2 Propri t s des couches pr impr gn es Caract ristiques des couches pr impr gn es 4 plis 42 8 GPa 0 310 k 17 23 GPa pe 1560 2 m La s quence d empilement de l int rieur vers l ext rieur des sections des poutres fabriqu es est la suivante 0 90 45 0 90 45 Z EE 0 90 En 45 Y Figure 5 20 Section d une poutre en composite avec s quence d empilement Cette section n cessite l utilisation des quatre matrices de souplesse d velopp es dans le Chapitre 3 soit les expressions 3 14 et 3 15 5 4 1 Mesures g om triques des poutres fabriqu es Il est important de mesurer les caract ristiques g om triques des poutres fabriqu es pour injecter les donn es dans le code de calcul et pour valider les r sultats Il n est cependant pas possible de 68 mesurer pr cis ment toutes les dimensions g om triques des poutres avec des moyens simples cause des imperfections de surface Les dimensions mesur es sont moyenn es et ces derni res
134. e De plus cette section n est pas pleine l encastrement et ceci est une hypoth se de base dans les th ories des poutres Les 209 erreurs sur les fr quences propres exp rimentales sont donc attribu es des poutres qui ne sont pas pleines l encastrement Pour une poutre dont le cisaillement ne peut tre n glig tel que la poutre 2 les fonctions modales de d placement transverse devraient tre diff rentes entre les deux th ories de poutres Voici les quatre fonctions modales de d placement transverse pour les deux th ories de poutres Comparaison des quatre premi res fonctions modales de d placement transverse W_EB3 W_T3 WEB W T W_EB4 W T4 Figure vi 10 Comparaison des quatre premi res fonctions modales de d placement transverse Les fonctions modales ci dessus se ressemblent mais ne sont pas tout fait gales En effet l cart entre les fonctions modales W d Euler Bernoulli et de Timoshenko est plus grand que dans le cas de la poutre 1 Afin d illustrer cette diff rence encore plus les fonctions modales pour le dixi me mode sont illustr es ci dessous 210 W_EB10 W_TI0 Figure vi 11 Comparaison de la dixi me fonction modale de d placement transverse Au plus le num ro de mode est lev au plus les diff rences sont grandes Les fonctions modal
135. e ou m me des poutres dont la longueur d encastrement est creuse plut t que d tre remplie Donc bien que les carts entre les r sultats th oriques et exp rimentaux soient de l ordre de 10 le mod le th orique est plus fiable Cette hypoth se sera galement valable pour les fr quences propres des poutres multicouches en composites 227 L estimation de l erreur pour une poutre creuse poss dant des surfaces non planes est pr sent e ci dessous Il s agit de l cart entre les fr quences exp rimentales et les fr quences th oriques qui sont suppos es proches des fr quences que l on aurait obtenu exp rimentalement si le banc d essais mesurait correctement les fr quences propres des poutres Ce r sultat contribue la validation du mod le construit L hypoth se est faite que l erreur entre les fr quences propres exp rimentales et les fr quences propres th oriques pour des sections creuses avec des surfaces non planes sont donn es par la moyenne des r sultats de la poutre 2 et la poutre 3 Tableau vi 24 Erreur caus e par les sections creuses et les surfaces non planes 2 Erreur caus e par les sections creuses et les surfaces non planes Hz bees eee ener 9 54 11 68 10 61 f Il est possible d estimer l erreur caus e par les sections creuses uniquement et ce pour chaque mode en moyennant les carts entre les fr quences propres exp rimentales et
136. e ses BONS 2 ENST 2 2 ote seceresereces tetese tess ess Re gee xe eee se oe ote es RNS RRR KY BONS Sates S 2 sie mess ee ONS ses me cases 7s S e se ree we BRS eae eso SoS ee nes sr fe BERS see Rose x se Se se xe ose S x RS RS cee SS RS SS RS ee setae xo rer cs OOOO Res ue Le e ee me se RS gases ss ss ee es es ee Se 2e RS x LS eee Re ss Re gen 20e See eee sees xx eds r SKK KS ses 8000000 Rs x see seat se canes aes amp 0 anes ee ote 5 oe me lt se 5 canes xx see x x lt lt SX ce OOOO OOOI secacececects x oe x cet RS ce x se oe KX 33 oa ote lt 8 3 cates lt 8 x ss cones sae cates ee 26000 sates se x ss nt sates canes 2000 ass es 5s ee RS KK see 222000000000 ess Re eee tres 20 EE DONNEES Rens esse ess ess ns RSR songes 2S2 2929902 O A 292992020900000 REE RKKR ERK e 2 9 50 se BS me ee Se oe ones oe es es ss se ae se SS se 2e ns lt 5 lt ls se lss eases ase RS x se oe oe x lt gt lt gt te Re sate oS sta lt x ate 22 ee see sate ees 299I SOIIS te a xe oa ss gates ofa ESS Re se sees senacecereceseete x Se e ose eae tres 20000 ses RRS RS RR x lt se RRS te eS ges
137. e 3 A ax gt PSI a k Gxz K D moat gt PSI cat dav ii 7 s 9 3 f oe gt E 2 gt TOO RE D Fm Psi uo dv ii 8 i 1 i 1 1 ni oU 54 K q 11 9 o q est un vecteur colonne contenant les coordonn es modales et K est la matrice de raideur q ii 10 qn Avant de donner l expression de K il est utile de mettre une propri t en vidence gt a D a A Biff A Bofi fe A2Bi fof A B fy E AB ff 4 B A2B1 fi f2 A Bo fz 171 A B A2B A B 2 A L ii 11 a fellas A B fz AB Dans le cas particulier o A B l expression ci dessus est simplifi e de la mani re suivante A fel ia H ii 12 Revenons l expression de l nergie potentielle En utilisant la relation pr c dente expression finale de la matrice de rigidit est obtenue a a a a K 2 PSI x PSI _W x PSI W x PSI 7 f E z PSI X PSI x k Gxe zz Wi PSI zia PSI dV E pour i j 1 n Cette mani re de faire permet de cr er une matrice K sym trique Dans le cas o le cisaillement est n glig la relation suivante simplifie la matrice K ee PSI x z WiG ii 14 fake 02 Ki Ez W x W aa ii 1 i 52 axe Wilx Wi dV pouri j 1 n ii 15 La relation de d part de nergie cin tique est la suivante 2 2 E a he nae 2E 2 ii 2 IP Nae ot ot 7 172 2 2 Jy g
138. e ax t i mae a 2 eee Dans cette expression l int grale du terme ae z x va r sulter l inertie de rotation Ce terme est conserv dans le cas de la th orie des poutres de Timoshenko 00 2 00 2 1 0 3l J 2 PSO aD Wi x qi t dV l t 2 5 p CS rsucoaco Dumont dv gt Le Y poao mono dv i 1 i 1 2 n n 1 ol z D TOO F gt HG dv ii 18 V i 1 i 1 1 7 ST 754M 4 ii 19 Mij prsno Pse pW x W x dV pour i j 1 n ii 20 Lorsque le cisaillement est n glig la matrice de masse est simplifi e et une poutre de Rayleigh est obtenue Mij pz wie W G oW x W x dV pour i j 1 n ii 21 v Pour la th orie des poutres d Euler Bernoulli la simplification se fait d Euler Bernoulli 173 2 1 ii 22 T 5 5 dV ii Et donc Mij woww dV pour i j 1 n ii 23 V Pour finir il faut galement comptabiliser le travail des chargements externes Seul des charges selon l axe des z sont prises en compte L W f x t 6w x t dx Qq ii 24 L Qi f x t W x dx ii 25 174 ANNEXE III Preuve th orique simplificatrice sur contraintes et d placements transverses pour les th ories des poutres L quation de mouvement dimensionnelle d une poutre d Euler Bernoulli homog ne isotrope est la suivante 2 GI wc D T m x Zw t 0 iii 1 o E x est le module de Young I x est le second mom
139. e ci dessus 226 Surface non plane a Exp rimental Y y NW 72 ee Poutre creuse Exp rimental J Y J Y Sources d erreur Litt rature Code Surface non plane e Section creuse Figure vi 27 Validation du code avec mat riaux homog ne pour des sections pleines et des sections creuses La partie du dessus de la figure concerne la poutre pleine tandis que la partie du bas concerne les poutres creuses La validation des r sultats du code avec les r sultats de la litt rature sont en tr s bon accord pour la poutre pleine ainsi que pour les poutres creuses Les r sultats sont galement en accord avec les r sultats du banc d essais pour la poutre pleine mais le sont significativement moins pour les poutres creuses Ces carts proviennent donc fort probablement du banc d essais qui n est possiblement pas tre adapt aux essais de poutres creuses Il faut encore essayer d identifier les sources d erreurs Sachant que les surfaces en contact avec le banc d essais ne sont pas parfaitement planes ni pour la poutre pleine ni pour les poutres creuses en se souvenant que les surfaces non parfaitement planes de la poutre pleine n ont pas emp ch sa validation exp rimentale il en est conclu que les erreurs entre les r sultats th oriques et exp rimentaux pour les poutres creuses surviennent du fait que les sections sont creuses Plus pr cis ment la cause peut tre une longueur d encastrement pas suffisant
140. e de cisaillement O la fonction f repr sente l quation fr quentielle 3 44 L algorithme de convergence utilise la fonction fsolve de MATLAB La relation d orthogonalit des fonctions modales est identique que celle d Euler Bernoulli sous forme matricielle Han et al 1999 W M W d 6 i 72 WT WF E PSIE et donc le vecteur de d placement est exprim d Euler Bernoulli 00 w gt W x g t i 73 i 1 De plus l op rateur M 159 1 74 man Pe JE 0 pi PsE De raisonnements similaires pour la poutre d Euler Bernoulli peuvent tre faits pour passer de la forme dimensionnelle a la forme adimensionnelle 1 EERS Fc a ey a a ws a Vey i 75 donc Ay ay i 76 Yxy Vey 1 3 2 2 Equations de mouvement et fonctions modales de la th orie des poutres de Timoshenko L quation de mouvement adimensionnelle de la poutre de Timoshenko est la suivante Han et al 1999 2 a a PA w Et a a 2 w G t aa Gt k f t ot ag ag i 77 2 2 LA o 1 est le second moment de surface adimensionnel I Les conditions limites pour une poutre de Timoshenko sont identiques que pour une poutre de cisaillement 8 a 0 k G ta asw 0 i 79 leo Da 5009 0 FE et r sultent aux m mes quations que 1 64 pour une poutre encastr e libre 160 Cai per a e 4q ia E i 80 LE leo 0 5
141. e de r solution des nombres d onde de la poutre de Timoshenko lorsque AAC TOR AARNE a e R NET EE A E e O O E A 164 Figure i 5 M thodologie de r solution des nombres d onde de la poutre de Timoshenko lorsque NT Tata net ds a a e aoe a e ae a e a 165 Figure i 6 a Fonctions modales classiques b Fonctions modales manipul es 167 Figure vi 1 G om trie de la poutre Lin nc An LE n e nn CR CRT nr cn 199 Fipurevi 2 G om trie de la p te 2 Re Ne CEE Te EE Et a 200 Figure vi 3 Geomietrie de la po tte 3 ss RS IR A Neal 201 Figure vi 4 Al sages de la poutre 3 icsisesssuvssscatsstacesisnaceeacciscdcateaspaveaneteesactessaccstascavedeadeonacdeteeens 201 Figure vi 5 Fr quences propres exp rimentales de la poutre 1 203 Figure vi 6 Comparaison des quatre premi res fonctions modales de d placement transverse Run den Gu sien sn nt aa ve es ss com M tel nt nd mr ne ns 204 Figure vi 7 Comparaison des quatre premi res fonctions modales de flexion eee 205 Figure vi 8 Quatre premi res fonctions modales de cisaillement de Timoshenko 206 Figure vi 9 Fr quences propres exp rimentales de la poutre 2 208 Figure vi 10 Comparaison des quatre premi res fonctions modales de d placement transverse D aainesnunandeneden sea ieuitlaatatbesuiidiieta esa seadeauna E E EE 209 Figure vi 11 Comparaison de la dixi me fonction modale de d placement transverse
142. e l impact en r alit non ponctuel ont une influence sur les donn es exp rimentales rendant le processus de validation plus compliqu 62 5 3 Construction des poutres La construction de poutres creuses est un sujet nouveau pour le d partement du g nie m canique et il a fallu concevoir une nouvelle m thodologie de construction qui reprend certains l ments de base de la construction de stratifi s classiques Toutes les connaissances requises pour la fabrication des poutres les produits chimiques utiliser les cycles de temp ratures de cuisson ont t enseign es par un collaborateur du d partement de g nie m canique Edith Roland Fotsing Cette t che a t r alis e par le stagiaire Vincent Marchal que le Groupe a accueilli au cours de la session acad mique d t 2013 Gr ce son travail 3 poutres exploitables ont t construites dans le but de les utiliser sur le banc d essais La r daction d un rapport faisait galement partie de ses livrables Marchal 2013 Cette section pr sente en r sum la m thodologie utilis e pour construire les poutres Si le lecteur d sire obtenir plus de d tails il devra se r f rer au rapport du stagiaire Marchal 2013 Les poutres construites sont constitu es de plusieurs plis Afin de pouvoir enrouler chaque pli l utilisation d un mandrin a t incontournable Suite plusieurs essais il a t jug que le mandrin en question devrait tre
143. e mandrin sont accot s ensemble pendant l enroulage des couches de la mani re suivante 65 Couche de composite IE s2802 RE Se ee RSS RSS RS es es ee Rs ose gates gates Sates oases us se seal Sete SS xs ue TS 26088 se ne ee lt lt gece SK a se Se LIL ses seca reseo ec sates 2e RS 53 RS 000000 2609 RS genes Re RSS KKK ses ses ges sects see SOOO on esse ester Rx Seg secon RERO 28000606 RSS t 2 esse RSS Boe ee 20008 ee se ss SRY RE 600 ee ote es se w SSe soca sates RS RS SS RR SRY 220006 SRS RSS es es Ms RRS RSS eee 220000 S RSS state 26 Kx ta ee EC seats eg se ss 5260000 SRS OOOO esse af ROSES OL O SEE RS res x x S 3 lt 5 x n ess S RS lt es 323032909030900 nee 230929090 S290900 soseconesecenecenes 230509 genes x xe ts ate ces ces rae 3 2e ve BERK KKK SS x x se 200000000000 00 SSES ste ke 2000 canes ofa canes statetets 5 ote x se 2e 2 sto KS se se BRE de SO ate cee w ase S lt 5 cee RS cee RS Rs xe ee 2606000060 es ce Es oe RS oe eee ses ee es lt RS S res w RS oes S seg Se RS Sos ss S RSS Ses s Rae fetes ns ces RS sete Re see es ces x Ses se SS ce lt 5 neu
144. e plus les deux nombres d onde sont li s entre eux par la relation suivante 1 a SS i 67 y 2k2ai 1 Ex etk i 68 Kk Gyz A L O k est le facteur de correction du cisaillement sans dimensions qui d pend du coefficient de Avec y Poisson et de la forme g om trique de la section de la poutre E et Gyz sont le module de Young et le module de cisaillement dans les axes de la poutre respectivement k est le rayon de giration I est le second moment de surface et A est la surface de la section Les deux variables y et k sont adimensionnelles Pour une poutre encastr e libre les valeurs des coefficients C et D sont les suivantes CG 1 bi bie i b e bi 2 sin ai a bi bei b e bi 2sin a ai CRE ea 2 en r a BG a 2b cos aj a eli aj e i i aj 2b cos aj aj e a e bi x2 x2 A mE aft vog D 0 Dz i ai ai 2 2 aj ai Ds C4 D C3 i i Pour finir les fr quences propres sont calcul es tel que suit E 1 wi fay bj DE gt 157 1 69 i 70 1 71 Les deux nombres d onde peuvent tre calcul s num riquement L organigramme suivant pr sente la d marche pour calculer les solutions dans une gamme de valeurs du nombre d onde a 158 x Pas de ees ey Changement de signe Algorithme de convergence Figure i 3 M thodologie de r solution des nombres d onde de la poutr
145. e temps la courbe de la s quence 45 45 45 45 acquiert l g rement de l avance sur les courbes des autres s quences d empilement Ceci signifie que cette derni re s quence est la plus rigide pour l impact utilis dans les calculs En effet cet impact excite surtout les faibles modes pour lesquels les fr quences propres sont accrues donnant donc la courbe de la s quence 45 45 45 45 une l g re avance temporelle sur les autres courbes Cette observation est valable pour l ensemble des s quences d empilement pour ce cas de chargement Plus la raideur est lev e plus l avance temporelle est importante 115 0 0002 0 0001 amp 0 0 0001 b 0 00003 R 1 f g 0 000024 o z 0 00001 lt 3 0 0 0013 m 0 00001 1 S kg c 0 00018 0 00016 0 00014 0 00012 een 0 00010 S 7 0 00008 0 00006 0 00004 0 00002 0 01264 0 01266 0 01268 0 01270 0 01272 0 01274 0 01276 0 01278 0 01280 d t s s 0000 0 0 0 45 0 0 45 0 0 0 45 45 0 45 0 0 0 45 0 45 0 45 45 0 0 45 45 45 45 0 0 0 45 0 0 45 45 0 45 0 45 0 45 45 45 45 0 0 45 45 0 45 45 45 45 0 45 45 45 45 7 f 3 i Figure 8 4 D placement en fonction du temps du point x J et carts pour toutes les s quences d empilement a d placement transversal b cart entre les r ponses c agrandissement de a Voici les m
146. e temps de contact est faible On remarque galement qu la fin des impacts avec des embouts mous les courbes tendent asymptotiquement vers 0 partir de valeurs n gatives de forces Ceci est probablement caus par le comportement de la cellule pi zo lectrique du marteau instrument qui tend atteindre sa valeur d quilibre de mani re asymptotique Lorsque les impacts sont r alis s avec des embouts durs des ondulations apparaissent apr s impact dont la cause est inconnue L hypoth se est faite qu il s agit de parasites dans le signal et qu il faut les liminer gr ce un traitement de signal Les caract ristiques des diff rents impacts sont exploit es dans ANNEXE VII pour r ussir produire des spectres fr quentiels de bonne qualit 5 2 2 Impacts th oriques Dans les calculs th oriques il n est pas n cessaire de conna tre le type d embout utilis sur le marteau instrument du moment que la courbe d impact est fournie au mod le Les fonctions d impacts utilis es sont des courbes d impacts exp rimentales liss es gr ces une suite de 59 Fourrier et contiennent une fonction de Dirac spatiale Les impacts fournis au code de calcul informatique sont donc ponctuels L expression g n rale d une s rie Fourrier est la suivante nf LOS ay Y ai COS i w t b sin i w t 5 1 i 1 avec t E ta but impact Lfin maud O np est l ordre de la s rie
147. ec une d formation longitudinale ni en torsion Les d tails du calcul sont donn s dans le paragraphe I 2 des annexes Dans les poutres section creuse o les couches sont enroul es autour d un mandrin le seul moyen d viter d avoir des couplages vibratoires avec des mat riaux composites est d utiliser des composites unidirectionnels avec des orientations de 0 ou 90 par rapport l axe de la poutre ou alors d utiliser des composites bidirectionnels respectant les relations 3 12 avec des orientations de 0 90 ou 45 3 7 Simplifications pour les poutres Une poutre est d finie tout simplement par ses dimensions g om triques En effet il est admis que pour qu une structure soit caract ris e comme une poutre sa longueur soit tre au moins dix fois plus grande que la dimension maximale de sa section Pour des raisons qui apparaitront plus tard dans le Chapitre 4 l int r t principal se porte aux poutres homog nes section constante et poss dant deux axes de sym trie Lorsque les chargements sont limit s a des forces centr es selon laxe z et l axe x il est possible de simplifier certains termes des quations de Mindlin Reissner Il est vident que ces simplifications ne donneront des r sultats valables que lorsque les crit res g om triques d une poutre seront rencontr s Cette simplification consiste mettre z ro le terme de d placement transversal
148. eci signifie que contrairement la technique de Rayleigh Ritz le probl me des poutres de Timoshenko ne peuvent tre r solues que pour des poutres homog nes section constante gr ce la mani re avec laquelle la m thode a t impl ment e De plus dans cet article la m thode n a permis de calculer que les fr quences propres contrairement la m thode de Rayleigh Ritz Les polyn mes de Chebyshev sont des polyn mes orthogonaux Ils sont g n r s gr ce une relation qui calcule le n 7 les utilisent dans leurs m thodes Mohammadi amp Ghannadpour 2011 Ruta 1999 2006 polyn me gr ce aux deux polyn mes pr c dents Plusieurs auteurs Cependant ce n est pas le seul type de polyn mes qui a t utilis dans la litt rature Behera amp Chakraverty 2013 ont pr f r utiliser des mon mes exposant croissant et m me des polyn mes gr ce au processus d orthogonalisation de Gram Schmidt La plupart des recherches se concentrent sur les poutres lin aires mais quelques auteurs se sont pench s sur l tude des poutres non lin aires C est le cas de Azrar Benamar amp White 1999 dont l objectif tait d tendre l analyse des vibrations non lin aires des poutres homog nes encastr es et simplement support es des vibrations forc es gr ce une m thode semi analytique La formulation math matique a t obtenue gr ce aux quations de Lagrange et de la m thode de bal
149. eeeeneees 192 Tableau vi 5 Caract ristiques de la poutre paisse de Majkut 2009 192 Tableau vi 6 Comparaison des r sultats pour la poutre de Han et al 1999 oo 193 Tableau vi 7 Comparaison des r sultats pour la poutre mince de Majkut 2009 194 Tableau vi 8 Comparaison des r sultats pour la poutre paisse de Majkut 2009 195 Tableau vi 9 Propri t s de l aluminium 20724 4 tte tale one tele 198 Tableau vi 10 Propri t s sp cifiques la poutre 1 198 Tableau vi 11 Caract ristiques g om triques de la poutre 1 m 198 Tableau vi 12 Propri t s de l acier LORS ones ins deteste 199 Tableau vi 13 Propri t s sp cifiques la poutre 2 528 nimes ee Mt nat 199 Tableau vi 14 Caract ristiques g om triques de la poutre 2 m 200 Tableau vi 15 Propri t s sp cifiques la poutre 3 esseesesseseesesresrersersresrreseesesrresresseseresresee 200 Tableau vi 16 Caract ristiques g om triques de la poutre 3 m 201 xiii Tableau vi 17 Fr quences propres analytiques approximatives et exp rimentales de la poutre 1 Tableau vi 21 Comparaison du des fr quences analytiques entre le cas classique et le cas 3 221 Tableau vi 22 Comparaison du cas 2 et du cas 3 du cas classique 222 Tableau vi 23 Etude de convergence du cas 3 en fonction du no
150. els Tobtsloge l0 000 01 viii 15 000 0 1 0 0 00 1 0 0 Il est donc maintenant possible d en d duire les matrices de souplesses des parois verticales dans le rep re global de la poutre pour des couches pr sentant des orientations 0 90 et 45 respectivement En reprenant les expressions des matrices de souplesse viii 11 et viii 13 les quations donnent les r sultats suivants Slo 90 ic TepislogeLS 10190 horiz lT a bis loge S11 S13 Si2 0 0 0 Si3 S33 S13 0 0O 0 viii 16 Si2 S13 S11 0 0 0 S 0 90 ortic 0 0 0 S44 0 0 0 0 0 O See 0 4 0 0 0 0 O S44 Plusieurs changements sont mis en vidence S43 et S ont chang leurs positions Les paires S2 2 et S33 ainsi que S et S ont fait de m me Une mani re de se convaincre que ce r sultat est correct est de s imaginer une force F selon l axe z pour une couche horizontale et puis pour une couche verticales 246 Figure viii 3 Forces selon z pour une couche horizontale et verticale respectivement Dans le premier cas Syz S44 qui est fonction du module de cisaillement hors plan tandis que dans le cas suivant Syz S6 est fonction du module de cisaillement dans le plan Les transformations subies par la rotation autour de l axe x est similaire pour les couches formant 45 avec laxe x 1 Bis TenislogelS 4Sportz opisloge S 45 vertic 1 56 6 1 S66 2 Sia S12 Sy 3 2 S1 S12 ss 0 0 0 7 S13 S33
151. ent de trouver la solution de ces quations lors de chargements p riodiques o suite un impact grace la m thode d expansion modale qui d compose le mouvement complet en un somme de produits entre les fonctions modales et les fonctions temporelles appel es coordonn es modales La m thode classique pour r soudre les quations de poutre de Timoshenko pour des vibrations forc es est de garder ses deux quations de mouvement coupl es Majkut 2009 proc de diff remment Les quations sont d coupl es et l auteur calcule la solution de l quation non homog ne du d placement transverse gr ce la fonction dynamique de Green Cette derni re repr sente l amplitude des vibrations de la poutre excit e par une force unitaire harmonique La technique de r solution de Majkut 2009 semble tre plus compliqu e que celle de Han et al 1999 puisqu elle n cessite des op rations math matiques pour d coupler les deux quations Un inconv nient suppl mentaire est que la fonction de Green comporte beaucoup de termes calculer Dans les th ories des poutres classiques les couplages de vibrations transverses avec les vibrations en torsion ou longitudinales sont n glig s Ceux ci peuvent cependant avoir une influence sur le comportement des poutres tudi es puisqu ils peuvent modifier les fr quences propres notamment Banerjee 2001 a d velopp une th orie de poutre qui prend en compte les modes de torsion da
152. ent de surface m x est la masse surfacique de la section de la poutre et w x t est le d placement transversal L quation se simplifie lorsque la section et les propri t s de la poutre sont constantes le long de laxe de la poutre 9 0 a EI zw x t m x 52 WO t 0 iii 2 Ox Il est possible de retrouver cette quation a partir du principe de Hamilton pour lequel les nergies potentielle et cin tique doivent tre calcul es t2 ST 6V dt 0 ili 3 t1 o l op rateur 6 est l op rateur du travail virtuel L expression de l nergie cin tique est assez simple dans le cas de vibrations transverses lorsque l effet Poisson est n glig 1 f 1 T 3 o0 ut w av gt pw av iii 4 2 Jy 2 Jy L nergie potentielle se simplifie d Euler Bernoulli lorsque le cisaillement et l effet Poisson sont n glig s 1 a 5 exe Oyy yy OzzEzz OxyVxy OyzYyz OxzYxz dV V 175 1 OxxExx AV iii 5 2 V La relation entre Oyy et d pend des hypoth ses En effet la matrice de souplesse sans cisaillement est connue Exx S41 S12 S13 Oxx i Eyy S12 S22 523 Fyy lil 6 Ezz 13 S23 S33 Ozz X r 1 ou S Li E iii 7 v Sig Alors en inversant la matrice de souplesse la relation suivante est obtenue Oxx Cri Cy2 C13 Exx Oyy Ciz C22 C23 a Eyy iii 8 Ozz C3 C 3 C33 Ezz Examinons les hypoth ses suivantes l Oyy 0 0 0 et y 0 0 mais OyyEyy et OzzEzz
153. ent transitoire de plusieurs poutres entre elles gr ce au code de calcul Le fait d utiliser une courbe produite en frappant sur un point arbitraire du banc d essais n a donc pas d importance puisque les comportements transitoires th oriques ne sont pas compar s avec des comportements transitoires exp rimentaux 5 2 1 1 Caoutchouc rouge 300 Force N ine ht a Q a O O j O Q O O 5OL Temps s 10 Figure 5 3 Courbes d impacts avec l embout rouge pour plusieurs vitesses d impact 5 2 1 2 Caoutchouc noir 300 250 Force N 150 100 50 L 0 009 0 01 0 011 0 012 0 013 0 014 0 015 0 016 Temps s 0 007 0 008 Figure 5 4 Courbes d impacts avec l embout noir pour plusieurs vitesses d impact 5 2 1 3 Plastique blanc Courbe d impact temporelle Force N Temps s x10 Figure 5 5 Courbes d impacts avec l embout blanc pour plusieurs vitesses d impact 57 58 5 2 1 4 Acier inoxydable T T T T T T T 600 500 400 Force N wo Oo T 200 100 1 2 14 1 6 1 8 2 22 24 Temps s 10 Figure 5 6 Courbes d impacts avec l embout en acier inoxydable pour plusieurs vitesses d impact 5 2 1 5 Comparaison des courbes d impacts Les courbes d impacts semblent tre assez sym triques premi re vue Au plus l embout est dur au plus l
154. eprises La premi re instance est dans les th ories analytiques des poutres qui dans le cas d Euler Bernoulli ne sert qu calculer les fr quences propres et non les fonctions modales Dans le cas des poutres de Timoshenko le coefficient de rigidit a une influence sur les fonctions modales La deuxi me instance est dans le calcul de l nergie potentielle Il est possible de simuler 4 cas diff rents pour la th orie d Euler Bernoulli afin de voir l influence des coefficients de rigidit utilis s 178 Tableau iii 1 4 cas simuler cas E Avant de d voiler les r sultats des quatre cas simul s les fr quences propres analytiques provenant de la th orie analytique d Euler Bernoulli sont compar es avec les fr quences propres exp rimentales provenant des calculs de la m thode des modes assum s de la poutre pleine en aluminium de type 2024 T4 Tableau iii 2 Fr quences propres exp rimentales de la poutre pleine d aluminium 2024 T4 Fr quences propres exp rimentales Hz 16 Les calculs de la m thode des modes assum s sont r alis s avec 10 modes Attardons nous initialement savoir si les r sultats analytiques sont plus proches des fr quences exp rimentales avec le E plut t qu avec C 1 179 Tableau iii 3 Comparaison des fr quences propres analytiques avec les fr quences propres exp rimentales Fr quences Fr quences Erreur par rapport Fr quences Erreur par ra
155. erimental 1 Experimental 2 A 0 90 G1 3 X 0 95 G1 3 X 1 10 G1 3 1 05 G1 3 1 10 G1 3 Figure 7 1 Fr quences propres exp rimentales et th oriques pour plusieurs modules de cisaillement Certains r sultats attendus apparaissent En effet les fr quences propres augmentent avec le num ro de mode De mani re g n rale les fr quences propres th oriques sont tr s proches entre elles et les fr quences propres exp rimentales des deux essais sur le banc d essais le sont aussi On remarque que le mod le pr dit avec une bonne pr cision les fr quences propres des deux premiers modes partir du troisi me mode l cart entre les fr quences propres exp rimentales et th oriques est plus lev Cet cart est possiblement expliqu par l hypoth se faite sur le module de cisaillement transversal qui a t approxim par celui d un mat riau composite unidirectionnel La Figure 7 2 illustre le module de cisaillement qui doit tre inject dans le mod le pour que les valeurs th oriques pr sentent un cart acceptable avec les fr quences exp rimentales 100 Milliers Experimental 1 E Experimental 2 0 40 G1 3 A 1 00 G1 3 Figure 7 2 D termination graphique du module de cisaillement transversal La valeur du module de cisaillement qui doit tre utilis e dans le mod le pour que les fr quences propres th oriques et exp rimentales soient suffisamment proches est la suivante G
156. es d angle de flexion de Timoshenko sont les suivantes Quatre premi res fonctions modales d angle de flexion de Timoshenko Figure vi 12 Quatre premi res fonctions modales d angle de flexion de Timoshenko 211 L amplitude des fonctions modales d angle de flexion est nouveau croissante avec le num ro de mode Dans le cas d une poutre paisse la d riv e des fonctions modales W ne sera pas gale aux fonctions modales PSI Les figures ci dessous repr sentent les fonctions modales de cisaillement de la poutre gr ce Timoshenko Quatre premi res fonctions modales de cisaillement de Timoshenko 02 x dW_T dx PSI1 dW_T dx PSL2 dW_T dx PSI3 dW_T dx PSI4 Figure vi 13 Quatre premi res fonctions modales de cisaillement de Timoshenko Les figures montrent que le cisaillement est toujours nul l extr mit libre et que l amplitude des modes de cisaillement cro t avec le num ro de mode tout comme les fonctions modales PSI L amplitude du cisaillement fait un peu plus que doubler avec chaque num ro de mode Voici le cisaillement du vingti me mode gr ce th orie de Timoshenko 212 dW_T dx PSI10 Figure vi 14 Dixi me fonction modale de cisaillement pour la th orie de Timoshenko On vo
157. es couches pr impr gn es 67 Tableau 5 3 Mesures g om triques des trois poutres fabriqu es eeeeeeseeeeeseceeeteeeesteeeeneeeees 69 Tableau 5 4 Mesures g om triques des trois poutres fabriqu es utilis s dans les calculs 70 Tableau 5 5 Erreur exp rimentale caus e par les sections creuses et les surfaces non planes Cabl au re 24 ie Aie Ramon store tn tit ere ae ni aus 72 Tableau 5 6 Fr quences propres exp rimentales de la poutre 1 78 Tableau 6 1 Caract ristiques des couches pr impr gn es 4 plis Tableau compl t 86 Tableau 6 2 Modules de rigidit pour les couches horizontales et verticales et pour les deux Orientations de fibres 2544 Riu inne nan initie 88 Tableau 6 R SUM d s CAS CLUCIES 0 42 Ra NT eee Bode ea TR a 89 Tableau 6 4 Etude de convergence pour la poutre 1 gr ce Euler Bernoulli Hz 91 Tableau 6 5 Etude de convergence en fr quence pour la poutre 1 gr ce Timoshenko 93 Tableau 6 6 Comparaison des fr quences propres approximatives et exp rimentales pour la DOU LS NRA Ge gaa a doo Counted ogy tac en Ce ce 94 Tableau 6 7 Comparaison des fr quences propres approximatives et exp rimentales pour la poutre 2 en nn Un nl nn M EE 95 Tableau 6 8 Comparaison des fr quences propres approximatives et exp rimentales pour la PONT ne asie tatin ee Mens ET CU ad 96
158. es graphiques suivants en tra ant les fonctions modales obtenues gr ce aux expressions classiques et aux expressions manipul es sl el FRENN Kory Bi SA RY YX K ARE Vi PAAY WW W BONY sien NY Rs Ca ES SN mp Wo ee y 4 a W5 wi wi W3 we W10 e WWW a Wild W15 Wit Wl W18 Wild 120 a ij Wan Mit i ii vin NR bhi Vi AVN Mi ii iti Ni i a Hi Nut M ih ll fl ai IW Mail in A 1 A HA Nul IA D All HNN aw nS ee cms 5 po NN ey wt We 1 ne e A e IS Wit Wl W138 Wid W20 b Figure i 6 a Fonctions modales classiques b Fonctions modales manipul es 168 Les erreurs num riques surviennent lorsque les nombres d onde sont lev s c est dire pour des modes lev s et pour 1 Cependant avec les expressions manipul es les erreurs num riques disparaissent 169 ANNEXE II D tails de la th orie du Chapitre 4 Cette annexe d taille comment obtenir les matrices de masse de rigidit et des chargements externes partir des nergies et se r f re au paragraphe 4 2 du Chapitre 4 Apr s avoir calcul les fonctions modales W x et PSI x sous leur forme dimensionnelle tel que d crit dans le Chapitre 2 il faut injecter les expressions des deux coordonn es ind pendantes Wo x t et D x t dans les expressions des nergies potentielle et cin tique qui dans le
159. es non rectangulaires serait au niveau du calcul des nergies o il faudrait param trer les variables spatiales pour pouvoir pouser des formes complexes Au contraire les th ories analytiques des poutres ne pr sentent aucun probl me pour calculer les nombres d onde et les fonctions modales du moment que les param tres adimensionnels qui prennent en compte la section et le second moment de surface sont fournis Si des formes non rectangulaires sont tudi es le facteur de forme k devra tre adapt Les hypoth ses sur les sections des poutres ainsi que sur la s quence d empilement des mat riaux composites garantissent qu aucun couplage entre les vibrations transversales et les vibrations en torsion ni les vibrations longitudinales n aura lieu bien que le code ait t con u pour pouvoir inclure ces ph nom nes dans le futur En effet des simulations qui ne sont pas expos es dans ce texte ont t r alis es pour mod liser les vibrations transversales et longitudinales pour une poutre sym trique et donc sans couplages avec succ s Dans ce cas les fr quences transversales et longitudinales ne sont gu re influenc es l une par l autre Cette simulation a r sult en un vecteur de coordonn es modales de dimension plus lev e Cependant le probl me aux valeurs propres a t trait comme d habitude Pour inclure des couplages il faudra calculer les fonctions modales pour chaque type de vibration en s
160. es pics correspondant aux fr quences propres transverses sont identifi s Le tableau 75 qui r sumant les fr quences propres transverses des trois poutres est pr sent dans le paragraphe suivant 8 T T T T T T T Poutre 1 essais 1 Ti Poutre 1 essais 2 m s 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Fr quence Hz Figure 5 25 Contenu fr quentiel de la poutre 1 Poutre 1 essais 1 7H Poutre 1 essais 2 m s AN ll 1 800 350 400 450 Fr quence Hz Figure 5 26 Agrandissement de la Figure 5 25 76 07 T T T T T T Poutre 1 essais 1 06 Poutre 1 essais 2 4 o4 4 m s A 1 L Bo 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Fr quence Hz Figure 5 27 Agrandissement de la Figure 5 25 5 5 3 Comparaison des trois poutres fabriqu es Dans ce paragraphe un spectre fr quentiel de chaque poutre sont superpos s sur les m mes figures et les fr quences propres transversales exp rimentales sont compar es entre elle la fin du paragraphe T T T T T T T Poutre 1 essais 2 Poutre 2 essais 2 6 Poutre 3 essais 1 m s 1 L g 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8001 Fr quence Hz Figure 5 28 Comparaison des spectres fr quentiels de trois poutres Poutre 1 essais 2
161. es s quences d empilement choisies de mani re strat gique sont pr sent es et des tendances sont extraites en fonction des modes consid r s Par la suite le comportement transitoire d un point pr cis des poutres en fonctions du temps est illustr dans des figures 8 1 G n ralit s Le bon fonctionnement du code informatique est d sormais confirm L int r t de l tude param trique est d extraire des tendances en simulant un grand nombre de cas Le param tre choisi est la s quence d empilement Ce param tre fera varier la rigidit en flexion globale ainsi que la rigidit en cisaillement globale L tude param trique est r alis e pour une poutre en composites multicouches section creuse avec 4 plis d orientation 0 90 ou 45 Les dimensions g om triques choisies sont celles de la poutre 1 en composites et les composites utilis s sont ceux des chapitres pr c dents Cytec n d Le choix d impact a une influence sur les solutions des coordonn es g n rales L impact choisi est celui de la Figure 5 10 repr sentant un impact obtenu avec l embout en acier inoxydable sur le marteau instrument Pour rappel les couches horizontales d orientation 45 pr sentent un module de rigidit longitudinal sup rieur aux couches d orientation 0 90 mais un module de rigidit en cisaillement dans le plan plus faible L hypoth se qui a t r alis e sur le module de cisaillement
162. et est de r ussir simuler le mouvement des poutres tudi es en chaque point suite un impact poss dant une courbe temporelle sp cifique La forme de l impact utilis dans les calculs a une influence sur les d formations de la poutre Exp rimentalement il existe plusieurs formes d impact Ces formes sont principalement fonction de la vitesse du marteau instrument au moment de l impact fonction du type d embout employ et fonction du mat riau sur lequel se produit l impact Gr ce des embouts plus durs la courbe d impact devient plus troite et l amplitude de la force d impact est plus lev e Cependant en fonction de la configuration utilis e les courbes d impacts peuvent aussi avoir des caract ristiques plus subtiles En effet un impact caus par un embout dur peut produire une courbe d impact avec une pente plus raide au d but de l impact en comparaison avec la fin de l impact L objectif de ce paragraphe est de mettre en avant les diff rences entre les courbes d impact obtenues en fonction des param tres nomm s au d but du paragraphe 55 Quatre embouts du marteau instrument ont t utilis s dans ce projet Le premier est en caoutchouc rouge le deuxi me en caoutchouc noir le troisi me en plastique blanc et le quatri me en acier inoxydable Les embouts sont nomm s par ordre de duret croissante Ce sont des embouts standards dont la r ponse en fr quence est normalis e
163. eur de forme d pend de la forme de la section au complet et est une constante calcul e avant d tre inject e dans les int grales par partie de l nergie potentielle c est l expression pour une section creuse qui doit tre utilis e bien que les int grales par partie traitent des parois une par une 249 Ce probl me est encore plus difficile r soudre pour des mat riaux orthotropes tels que les mat riaux composites En effet les expressions pr sent es ne donnent pas d indication pour savoir si v est en r alit vyz Vyy ou autre Il faut se r f rer au travail de Bank 1987 pour obtenir ne expression ad quate pour le facteur de forme Dans le cas particulier o la section creuse rectangulaire est compos e de 4 panneaux avec des propri t s de mat riaux identiques mais avec des paisseurs diff rentes est illustr par la figure ci dessous A Ez Gsz Vsz r e1 l gt e A I ea gt gt b Figure ix 2 Illustration des donn es n cessaires au calcul du facteur de forme selon Bank 1987 O s est l axe dans le plan en coordonn es curvilignes Dans la figure ci dessus il peut s agir de l axe des x ou de l axe des y de telle sorte le coefficient de Poisson et le module de cisaillement soit toujours celui dans le plan Le facteur de forme prend la forme suivante Bank 1987 7 __20 1 3m C CUSE A b B 1x 7 x b O A 180m 300m
164. fabriqu en m tal pour pouvoir r utiliser le m me mandrin poutre apr s poutre Un mandrin en trois parties a t con u et construit les deux premi res parties tant destin es tre enroul es avec les couches de composites et la troisi me pi ce tant le m canisme de desserrage La Figure 5 11 la Erreur Source du renvoi introuvable illustrent chacune des pi ces et leur fonctionnement Al sage pour vis de serrage Figure 5 11 Premi re partie du mandrin 63 Figure 5 12 Deuxi me partie du mandrin Vis de fixation sur la LA premi re pi ce Vis de desserrage Figure 5 13 Troisi me partie du mandrin Ainsi pour enrouler les couches autour du mandrin la premi re et la deuxi me partie du mandrin doivent d abord tre solidaris es gr ce au goujon et la vis de serrage Ensuite les couches doivent tre enroul es autour du mandrin en s assurant que la vis de serrage ne soit pas couverte par les couches En effet si la vis de serrage est couverte par les mat riaux composites il sera impossible de d solidariser le syst me apr s cuisson Pour retirer le mandrin de la poutre apr s cuisson il faut d abord retirer la vis de serrage et installer la troisi me partie du mandrin sur la premi re partie gr ce aux deux vis de fixation En vissant la vis de desserrage cette derni re exerce une force sur la deuxi me partie qui se d solidarise de la poutre La deuxi me partie
165. fication des pics des fr quences propres de flexion sera facilit e en comparant les r sultats des simulations par ordinateur
166. fr re avec qui on ne s est pas toujours entendu mais qui est devenu l un de mes meilleurs conseillers On a des visions diff rentes lui et moi Il s agit de la personne la plus difficile convaincre Mais quand j y arrive je me dis que j ai fait du bon boulot Je remercie ma famille largie de m avoir toujours trait comme un fils et je croise les doigts pour que ma grand m re devienne championne de tennis Je suis tr s chanceux d avoir des amis v ritables dans plusieurs pays Je suis convaincu qu ils seront toujours disponibles et toujours heureux de me revoir m me si l on ne s est pas revu pendant de grandes p riodes de temps Ma vie ne serait pas la m me sans eux Comment oublier la mission POLYMONDE 2013 AUSTRALIE Impossible Merci l quipe et merci Thierry Vous m avez fait vivre des moments inoubliables et j ai ouvert les yeux a de nouvelles connaissances et une nouvelle mani re de penser qui me sera fort utile j en suis convaincu Pour finir je d die aussi ce texte Priscille Je ne serais pas devenu l homme que je suis aujourd hui sans elle J esp re que mon futur sera aussi doux que le sirop d rable du Qu bec iv REMERCIEMENTS Je remercie tout d abord Annie Ross de sa confiance et de m avoir accueilli dans son groupe de recherche ou j ai rencontr des personnes exceptionnelles toujours pr tes donner un coup de main Je pense notamment I
167. ger cart pourrait tre caus par plusieurs choses En effet il se peut qu il existe une diff rence entre les donn es de la poutre et les donn es fournies au logiciel Il se pourrait aussi que l encastrement du banc d essais ne soit pas en mesure de simuler un encastrement parfait puisque seul deux c t s de la poutre test e sont en contact avec les plaques de serrage du banc d essais Un encastrement non parfait serait mod lis par un appui simple avec un ressort torsionnel poss dant une grande rigidit Cette condition limite imparfaite r sulte des fr quences propres plus faibles se rapprochant un peu plus des fr quences propres obtenues avec une condition aux limites simplement support e Finalement il se peut qu un ventuel couplage des vibrations transverses avec les vibrations en torsions et longitudinales abaisse les fr quences propres exp rimentales par 204 rapport aux fr quences propres des deux th ories de poutres tudi es Th oriquement pour une poutre homog ne isotrope section constante et poss dant deux axes de sym trie aucun couplage n est possible mais en r alit la section n est jamais parfaitement sym trique induisant des couplages vibratoires Pour une poutre dont le cisaillement peut tre n glig tel que la poutre 1 les fonctions modales de d placement transverse devraient tre semblables pour les deux th ories de poutres Voici les quatre fonctions modales de d pl
168. ges d erreurs n aident absolument pas trouver la solution En effet contrairement MATLAB les messages d erreurs sont rarement utiles et ne donnent pas d indices quant la position de l erreur ni quant sa nature La fonctionnalit d dition de texte de base Rechercher ne fonctionne pas pour les blocs d ex cution du code En cons quence il est tr s difficile de trouver toutes les instances d une variable dans le code La fonctionnalit d dition de texte de base Rechercher remplacer ne fonctionne pas pour les blocs d ex cution du code En cons quence s il faut changer le nom d une variable il faut le faire manuellement dans tout le document Les d clarations et les d finitions des proc dures appel es dans le code doivent se faire dans une feuille de code s par e qui sauve la fin toutes les proc dures dans un script Ce script doit tre lu au d but par le code principal Ceci a trois cons quences o Chaque modification des proc dures entraine une r criture du script qui repr sente un processus lourd o Pour ne pas ins rer dans le code principal un nombre tr s lev de lignes de lectures de script pour chaque proc dure individuelle les proc dures ont t regroup es dans quelques scripts s par s Cela entraine de tr s grandes commandes de sauvegarde des proc dures la fin des codes s par s o Les fichiers contenant les d finitions des
169. gure 5 9 Lissage de la courbe d impact avec l embout en acier inoxydable interpol e gr ce des s ries de Fourrier 61 600 500 400 300 Force N 200 100 0 0 0 00002 0 00006 0 00010 0 00016 Temps s Figure 5 10 Lissage retenue de la courbe d impact avec l embout en acier inoxydable gr ce une s rie de Fourrier La m thode d lissage marche tout aussi bien pour un impact avec un embout mou qu avec un embout dur 5 2 2 1 Mani re d utiliser les techniques d lissage Lorsque l objectif est de valider la r ponse transitoire exp rimentale avec la r ponse transitoire th orique il est n cessaire d utiliser la m me courbe d impact Dans ce cas il faut r aliser les essais exp rimentaux en premier r cup rer les donn es sur l impact et le mouvement de la poutre tudi e et pour finir lisser chacune des courbes d impacts Ces courbes d impacts seront inject es dans le mod le pour simuler le d placement des points mesur s exp rimentalement Cependant lorsque l objectif est de produire une r ponse transitoire partir d une courbe d impact et en ne s int ressant qu la r ponse th orique il est judicieux de choisir une courbe d impact exp rimentale qui servira de r f rence Celle ci peut tre trait e et liss e une seule fois et utilis e pour plusieurs simulations Il ne faut pas oublier que l incertitude sur le point d impact ainsi qu
170. i 1 O A repr sente l amplitude de l impact x la position de l impact et t le moment de l impact L avantage de cette expression est qu elle est valable pour le domaine temporel en entier t E Cependant cette expression bien que correcte math matiquement n est pas trait e correctement dans le logiciel et ne g n re pas de r sultats corrects pour une raison non identifi e XI 1 2 Impact avec fonctions continues temporelles Dans cette cat gorie trois possibilit s ont t identifi es pour g n rer des courbes d impacts Il est possible d approcher une courbe d impact exp rimentale soit avec un sinus d une seule p riode soit avec des s ries de Fourrier ou m me avec des fonctions Gaussiennes Le lissage par s ries de Fourrier et par des fonctions Gaussiennes ont t g n r es gr ce l outil cftool de MATLAB L expression de la force d impact peut tre g n ralis e de la mani re suivante f x t A d x xo f t xi 2 254 O f4 t repr sente la partie temporelle de l impact La partie temporelle est repr sent e par une fonction en trois morceaux pour qu elle soit d finie de t co 20 Elle vaut 0 avant l impact et 0 apr s l impact XI 1 2 1 Impact avec sinus d une p riode Le lissage par un sinus est la plus simple r aliser Son expression est la suivante 2 T t avecte ta vut impact Lfin nas xi 3
171. ia Ciz Cig 0 Ci2 C22 C23 0 Ci3 C23 C33 0 oo o Oh Gl O w g O Cg 0 o i 0 0 0 Ce 1 13 CT 141 Lorsque les parois sont horizontales les axes locaux de celle ci sont identiques aux axes globaux Les matrices de souplesse de parois horizontales dont l orientation des fibres est de 0 90 et de 45 respectivement sont les suivantes STnoriz S SThoriz S i 14 I 1 2 Matrice de souplesse dans des axes non principaux par rotation dans un plan autre que celui des directions principales La matrice de souplesse d une paroi verticale dont les fibres poss dent une orientation de 0 90 par rapport l axe longitudinal est la suivante 1 f S vertic Te S Tonis i 15 x 1 Ou Tenis F T seq Te s0 T seq i 16 Topis T seq To 90 Tse Avec T seq ooocooro OO OMR ooocooorF OR R OO OR O O 1 17 or m a S pt m a S R Oo OOoOR R R Ces calculs r sultent l expression ci dessous 142 S44 S13 S12 0 0 S13 53 3 S13 0 0 S12 S13 Si 0 0 S vertic z 0 0 0 Sa4 0 i 18 D D Os 0 See 0 0 0 0 0 Su o les composantes S sont celles de la matrice S De plus la matrice de souplesse d une paroi verticale dont les fibres poss dent une orientation de 45
172. ier axe principal vaut 45 les matrices Te et To se simplifient d Euler Bernoulli 139 0 45 deg gt Te 45 oO ONIeNI e ONIRNIHA On o N m oO on Grise o m ONIRNIHA Oo ONIeNI e 0 0 0 1 1 O 0 0 0 45 deg gt Tglas V2 V2 D SEE 9 2 2 Vz V2 Da 0 TEE D 2 2 1 2 1 2 0 0 0 0 Lorsque ces deux cas sont r unis la matrice de souplesse S reprend la forme d une matrice de souplesse orthotrope SS Sie 0 Gr 10 SS Si DO O 0 Sla Sla Si O0 0 0 SE A an S 0 0 1 9 4 4 0 0 0 0 Si 0o 0 0 0 0 Se Dans ce cas particulier les modules de souplesse se simplifient de la mani re suivante 140 1 1 S6 6 oo Sia 2 Sus Si2 s 52 6 0 3 1 566 S33 S3 3 Siz 2 Sus S12 6 S36 0 Si 13 Saa S5 5 i 10 Sig 0 Sas 0 1 Sec S22 Su S12 ss Sis Ses 533 S13 S s 2 S11 Sis Et donc la relation 1 9 prend la forme finale suivante 1 zs 1 Se s Si tS ziS tS S 0 0 0 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 3 1 ss 1 Se s Si 542 x Si1 542 S 0 0 0 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 3 S13 S13 S33 0 0 0 i 11 0 Ss 0 0 0 0 0 0 Sss 0 0 0 0 0 0 2 5 542 En inversant la matrice de souplesse la matrice de rigidit dans les axes non principaux est obtenue ol C e Lol ST 1 e tale Cette derni re poss de la m me forme que la matrice de souplesse 1 9 C
173. iff rence Diff rence entre entre entre propres 0 0 0 0 45 0 0 0 0 0 0 45 45 45 45 45 0 0 0 0 et 45 0 0 0 et 0 0 0 0 et Hz 45 0 0 0 0 0 0 45 45 45 45 45 417 68 419 25 0 38 419 51 0 06 424 40 1 61 2 306 67 2 312 13 0 24 2 313 24 0 05 2 330 02 1 01 9 390 57 9 393 30 0 03 9 395 55 0 02 9 402 54 0 13 13 456 16 13 450 94 0 04 13 453 12 0 02 13 434 85 0 16 De plus certaines observations peuvent tre tir es pour les quatre premi res fr quences propres dans le tableau ci dessus l analyse du cinqui me mode est effectu e plus bas Ainsi pour les quatre premiers modes la s quence d empilement 0 0 0 0 est la plus souple puisqu elle pr sente les fr quences propres les plus faibles La s quence la plus rigide et donc pr sentant les fr quences propres les plus lev es est la 45 45 45 45 La fr quence du premier mode de la s quence d empilement 0 0 0 0 est 0 38 plus faible que celle de la s quence 45 0 0 0 et 1 61 plus faible que celle de la s quence 45 45 45 45 Ces valeurs diminuent avec un mode croissant Plus pr cis ment pour le quatri me mode la fr quence propre de 0 0 0 0 est de 0 03 pour faible que celle de 45 0 0 0 et 0 13 plus faible que celle de 45 45 45 45 Ceci d montre bien que pour les 4 premiers modes la fr quence propre augmente avec le nombre de couches 45 Ceci est d l augmentation du module de rigidit longitudinale E de la poutre avec un nombre
174. ion l expression suivante est obtenue a y b b W 1 x sin a a b2 yZa2 cos a v 6 Voici l expression classique pour l angle de flexion PSI D sin a D cos a amp D3 sinh B amp D cosh f v 7 188 a y2b Avec D _ _ C i 1 ya ab 1f a y b a y b b _ a y b b 1 y2 a a b y x a a 1 y b y2a2 a y b ab 1 a y b D aA C a ee 1 y2 a 1 7y2 a 5 7 b2 ya 3 y2 b ab 1 b y a a y b b a y b c k oF 1 y b a b y a a 1 y7 b2 y7a D s 2 3 1 y2 b ab 1 b y a a y b2 b a y b x gt MMM 1 y b a b y2a2 a 1 y Et donc lorsque a b gt 1 et 1 PSI 1 D sin a D cos a D3 sinh B D cosh f ab 1 a y b b Hee a y b a gt a y be ya A a a y2b a yb v 8 atA O ae OO a y b b j4 a2 y b a 1 y2 b2 y2a2 ae 1 y a 2 V 2 Expressions manipul es Voici l expression manipul e de la fonction modale de d placement transverse WY E sin a C cos a Bsinh f Cie v 9 189 O C et C4 poss dent les m mes expressions que pour les fonctions modales classiques et B vaut ab 1 a y b b a y b b _ B C C v 10 sie a b y a a b y a Et donc lorsque 1 et b gt 1 W 1 sin a
175. ique p L w7 Ex Masse volumique adimensionnelle Contrainte axiale Pa Contrainte de cisaillement Pa Angle d un moment de flexion rad INTRODUCTION Avec l av nement des mat riaux composites les industries se transforment et innovent avec la cr ation de nouveaux produits poss dant des caract ristiques tr s int ressantes tant au niveau de la rigidit qu au niveau de la masse volumique de la conductivit lectrique etc Un mat riau composite est compos d au moins deux mat riaux non miscibles L objectif est de pouvoir utiliser les propri t s de chaque mat riau leur maximum et d obtenir un m lange qui est plus performant qu un mat riau traditionnel homog ne Les mat riaux composites fabriqu s avec des fibres de verre ou de carbone avec une matrice en poxy sont tr s communs dans l industrie a ronautique et spatiale o le poids est un param tre critique Ils sont galement utilis s dans l industrie du sport et de la haute performance de plus en plus dans les voiliers de comp tition par exemple En effet les fibres de carbone par exemple poss dent un quotient r sistance en tension sur poids et un quotient module de rigidit sur poids plus lev que l acier et l aluminium et ceci les rends tr s int ressants utiliser Cependant avec ces nouveaux mat riaux des nouveaux processus de fabrication ainsi que des th ories plus pouss es doivent tre d velo
176. it E 1 wi a b T 3 43 JP Y Dans le cas de poutres encastr es libres ces deux variables sont la solution de l quation fr quentielle suivante bj aj ab sin aj sinh bj bj a cos aj cosh b 2a b 0 3 44 De plus les deux nombres d onde sont li s entre eux par la relation suivante 1 3 45 yk as 1 36 tks oat 3 46 k Gyz A L Ou k est le rayon de giration le facteur de forme k est une constante calcul e sur base de la Avec y forme g om trique de la section de la poutre tudi e ainsi que du coefficient de Poisson du mat riau tudi Il s agit d un coefficient qui pond re l nergie potentielle de cisaillement transversal pour prendre en compte un profil de cisaillement transversal variable travers la hauteur de la section qui est en g n ral consid r constant Han et al 1999 Dans cette recherche l hypoth se est faite que l expression du facteur de forme est celle d une section creuse rectangulaire parois minces donn e par la relation ix 9 de 1 ANNEXE IX 20 _ a VxyGxy 48 3 T x k Le cas particulier d un mat riau isotrope r sulte la relation ix 11 _ 40 1 v 3 32 31v Cette expression est l g rement diff rente que celle donn e par Han et al 1999 Les deux nombres d onde peuvent tre calcul s num riquement L organigramme suivant pr sente la d marche pour cal
177. it tr s bien que l amplitude du cisaillement est plus lev e pour les modes lev s De plus le cisaillement est toujours plus lev l extr mit encastr e VI 2 2 3 Poutre 3 Le tableau ci dessous r sume les fr quences propres analytiques approximatives et exp rimentales obtenues pour la poutre 2 Tableau vi 19 Fr quences propres analytiques approximatives et exp rimentales de la poutre 3 Fr quences propres analytiques approximatives et exp rimentales de la poutre 3 Hz PASSER Diff rence avec Timoshenko Exp rimental Analytique Approximatif Analytique Aromat ana yugu 144 31 144 31 142 66 142 66 Sala 11 68 904 40 904 40 838 78 838 78 25 13 2532 34 2532 34 2155 99 2155 99 2037 5 52 O les fr quences exp rimentales proviennent du spectre fr quentiel suivant 213 14 T T T T T T T T T T T T T T T T 12L i Amplitude oO oO T J O T 04 0 2 ola a ce CO E Fe ERE 0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000 3250 3500 3750 4000 4250400 Fr quences Hz Figure vi 15 Fr quences propres exp rimentales de la poutre 3 Comme dans le cas de la poutre 2 les fr quences analytiques et approximatives sont en accord pour chacune des deux th ories de poutres Malheureusement la quatri me fr quence exp rimentale n a pu tre extraite Ceci est caus par le fait que le spectre f
178. ko Timoshenko Euler Bernoulli Dans la suite de ce chapitre des r f rences sont faites aux fr quences propres analytiques et aux fr quences propres approximatives Celles ci font r f rence aux fr quences propres calcul es graces aux th ories analytiques et grace a la m thode des modes assum s respectivement Ces fr quences propres peuvent bien s r tre calcul es gr ce la th orie de Euler Bernoulli et de Timoshenko 6 3 tude de convergence du cas 1 et du cas 2 Une tude de convergence est r alis e sur la poutre 1 par rapport au nombre de modes n cessaires pour atteindre la convergence sur la cinqui me fr quence propre approximative Le choix s est port sur la cinqui me fr quence propre afin d avoir suffisamment de fr quences pour pouvoir comparer les cas de simulation entre eux et parce qu il n est pas possible d extraire plus de trois fr quences propres exp rimentales des spectres fr quentiels des poutres en composites 6 3 1 Cas 1 6 3 1 1 G n ralit s En reprenant les quations 4 6 et 4 7 des matrices de masse et de rigidit pour la th orie des poutres d Euler Bernoulli 90 0 Ki E z W x W dV j 1 Er WG ga WA AV pour i j 1 Mij www dV pour i j 1 n v Dans le cas de la th orie des poutres d Euler Bernoulli l orthogonalit est v rifi e si l expression suivante est v rifi e 3 p A W x W x dx 6 pou
179. la fibre neutre ont la forme suivante Han et al 1999 Wr cosh B amp cos Bi amp a sinh B amp sin Bi i 41 is _ cosh B cos B sinh 8 sin B 49 0 1 et o B est le nombre d onde et est la solution de l quation fr quentielle suivante 1 cosh G cos B 0 i 43 Cette quation a t r solue grace a la fonction fsolve de MATLAB La relation ci dessous exprime l orthogonalit des fonctions modales 1 p x A W WFE d 6 i 44 0 L orthogonalit des fonctions modales est une condition n cessaire pour pouvoir utiliser la technique de l expansion modale traduite par la relation i 31 Il est possible d exprimer cette relation sous une autre forme Han et al 1999 L utilit de cette repr sentation sera mise en vidence dans le chapitre 2 sur les modes assum s dans lequel les quations de mouvement forc es sont r solues 1 W M W d 6 i 45 0 151 o M _ est un op rateur alg brique et W est un vecteur colonne contenant les fonctions modales Wi W 6 i 46 M W pA Wi Voici les m mes quations sous forme dimensionnelle W x cosh B x cos B x o sinhh B x sin B x cosh B L cos B L T S i sinh B L sin B L 1 cosh B L cos B L 0 La relation d orthogonalit classique pour une poutre d Euler Bernoul
180. la matrice de raideur et M est la matrice de masse q a 44 An 4 2 1 Euler Bernoulli Dans le cas d Euler Bernoulli et de Rayleigh le cisaillement et nul et donc PSI x W x 4 5 Ox Et donc les matrices de rigidit et de masse se simplifient comme suit 0 Ki Eyz W x W x dV j 1 4 6 us Bee MCD 53 MG AV pour i j t n 48 Mij pW x W x dV pour i j 1 n 4 7 v 4 2 2 Rayleigh Dans le cas de Rayleigh la matrice de rigidit est identique celle d Euler Bernoulli mais la matrice de masse poss de un terme suppl mentaire qui repr sente l inertie de rotation PSI x 9x Mi 4 8 0 Ki Bz Ax 932 Mi aa 5 W x dV pour i j 1 n 4 9 v 0 Mij p23 pz 5x Wild 5 Wi pW x W x dV pour i j 1 n 4 10 V 4 2 3 Timoshenko Les matrices de Timoshenko sont diff rentes de pr c dentes et valent K ij 5 z 22 PSI O PSIG k cli W x PSI w W x PSI je av P pour i j 1 n Mij pz PSI x PSI x pW x W x dV pour i j 1 n 4 12 V 4 3 R solution des quations matricielles Les quations de mouvement coupl es sous forme matricielle sont obtenues en utilisant le principe de Hamilton et les quations de Lagrange M q K q Q 4 13 Afin de r soudre plus facilement ce syst me matriciel il est utile de d coupler les quations Pour ce faire les vecteurs propres associ s au probl me aux valeurs pro
181. les entre le rep re local de la paroi verticale et le rep re global ci apr s lolyy z ea lolx yz viii 2 lelxy z Tens El y z O les matrices Tegel et Tenis sont calcul s gr ce aux matrices Te et Te respectivement mais sont pas gales Leur expression exacte est d riv e gr ce aux d veloppements qui suivent Il faut commencer par obtenir les tenseurs de rotation autour de l axe x partir des tenseurs pr c dents Pour ce faire 1l faut remplacer les symboles de la mani re suivante Z x x y viii 3 y gt z Z X L Y gt L Z X Y Figure viii 2 Transformation des indices du rep re pour effectuer la rotation autour de l axe X gt De cette mani re on obtient les relations de rotation autour de l axe x Oyy Oyy Ozz Ozz Oxx Oxx SA Oxz T Oxz viii 4 Oxy Oxy 243 Eyy Eyy Ezz Ezz Exx Exx IT Exz el Exz Ex E y xy Eyz X Y Z Eyz xyz Cependant ces vecteurs de contraintes et de d formations ne poss dent pas la bonne s quence d indice Il faut donc les transformer avec un autre tenseur pour obtenir la bonne s quence Oxx Oyy Oyy Oyy Ozz Ozz Ozz Oxx Oxx 1 Oyz T seq Oxz Oxz T seq o Oxz Oxy Oxy Oxy Oyz Oyz viii 5 Exx Eyy Eyy Eyy Ezz Ezz Ezz Exx Exx 1 Vs T seq Eyz on Tseq e Yxz Exy Exy Vay Eyz Eyz 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 01000 0 ae Ou T seq lo 00001 viii 6 0 0 0 100 0 0 0 0 1 0 Il est d sormais possi
182. leurs g repr sente l quation 3 57 et fy repr sente l quation fr quentielle 3 56 La mani re d isoler le nombre d onde b est montr dans l annexe 2 g repr sente l quation 3 64 et fz repr sente l quation fr quentielle 3 63 La mani re d isoler le nombre d onde b est montr dans l annexe 2 43 g a b 0b u a Changement de signe Pas de changement de signe Algorithme de convergence Figure 3 8 M thodologie de r solution des nombres d onde de la poutre de Timoshenko lorsque a lt a g2 a b 0S b u a Changement de signe Pas de changement de signe m Algorithme de convergence Figure 3 9 M thodologie de r solution des nombres d onde de la poutre de Timoshenko lorsque a gt amp 44 La relation d orthogonalit des fonctions modales est identique que celle d Euler Bernoulli et de Timoshenko sous forme matricielle Han et al 1999 W M W d 6 WT WFE PSR 3 68 nor owo AE 0 pr srol on rea 3 69 3 8 3 Dimensionnalisation des fonctions modales Pour dimensionnaliser les fonctions modales il faut th oriquement exprimer les valeurs adimensionnelles en fonction des valeurs dimensionnelles Une approche diff rente a t choisie dans le cadre de ce travail qui selon l auteur est plus simple Cette approche utilise les relations d orthogonalit 3 68 pour dimensionnaliser les fonctions
183. li L Le 4 x wi W dx 6 1 48 0 I 3 1 2 Manipulation de l expression des fonctions modales En th orie les fonctions modales sont orthogonales entre elles Cependant lorsqu elles sont impl ment es dans un mod le informatique elles ne le restent pas cause d erreurs num riques Ce ph nom ne a t tudi pour les poutres d Euler Bernoulli par Gon alves et al 2007 Leung 1988 1990 Tang 2003 Le probl me des erreurs num riques peut survenir lorsque la pr cision n est pas suffisamment grande c est dire lorsque le nombre de chiffres derri re la virgule flottante ne suffisent pas pour repr senter les chiffre Un exemple d un tel chiffre est 2 o une dizaine de chiffres significatifs ne suffisent pas pour repr senter le chiffre Les erreurs num riques apparaissent partir d un certain mode Gon alves et al 2007 Leung 1988 1990 Tang 2003 et se manifestent lorsque les relations d orthogonalit ne sont plus v rifi es Ces erreurs sont g n r es lors de la soustraction entre le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique dans l expression de la fonction modale En effet partir d un certain nombre d onde les valeurs de ces deux termes deviennent tr s grandes et presque gales Cependant num riquement leur soustraction r sulte un z ro 152 La strat gie pour faire dispara tre cette soustraction de grands nombres consiste utiliser la propri t suivante
184. lin aire de produits de fonctions spatiales et de fonctions temporelles Les fonctions spatiales doivent tre des fonctions admissibles Les fonctions admissibles sont des fonctions qui respectent les conditions aux limites du probl me tudi Dans le cadre de cette recherche les fonctions spatiales utilis es sont des fonctions modales du probl me homog n is et les fonctions temporelles utilis es sont appel es coordonn es modales et repr sentent les inconnues du probl me Cette tape transforme le probl me en un syst me matriciel d quations dont les inconnues sont les coordonn es modales Cheng et al 2006 Mostafavi Yazdi amp Irani 2009 L homog n isation mentionn e est illustr e la fin du chapitre par la Figure 4 1 Il est tr s important de comprendre que les fonctions admissibles auraient pu tre autres que les fonctions modales d une poutre et que th oriquement le probl me aurait quand m me converg 47 vers la solution avec nombre lev de fonctions Le fait de choisir des fonctions modales du probl me homog n is permet d accroitre la vitesse de convergence vers la solution 4 2 Expressions des nergies La matrice des chargements externes est exprim e comme suit L a ram ax 41 0 Les nergies peuvent tre discr tis es en fonction des coordonn es modales q 1 U 549 K q 4 2 1 T 54 M q 4 3 ou q est un vecteur colonne contenant les coordonn es modales et K est
185. lors de la manipulation de la fonction modale d Euler Bernoulli I faut faire disparaitre l op ration math matique entre le sinus et le cosinus hyperbolique qui peuvent prendre de tr s grandes valeurs pour des nombres d onde lev s Posons C C BOB 0 4G i 97 W E sin a C cos a Bsinh f C e7F i 98 Passons l expression de la fonction modale d angle de flexion PSI E D sin a D cos a D sinh B amp D cosh f i 99 O D Dz D3 D sont d finis par les expressions 3 60 Posons D D FSF D D 1 100 PSI D sin a D cos a Fsinh f amp Def i 101 Les calculs pr sent s par la suite ont t r alis s gr ce aux expressions manipul es Le lecteur int ress se r f rera l annexe 3 pour plus de d tails sur les fonctions modales manipul es de la th orie des poutres de Timoshenko 167 L 3 2 4 Exemple d erreurs num riques sur les fonctions modales Ce paragraphe a pour but d illustrer les erreurs num riques qui peuvent appara tre dans les fonctions modales L exemple num rique a t r alis avec une poutre pleine en aluminium poss dant les caract ristiques suivantes Tableau 1 1 Caract ristiques de la poutre aluminium Caract ristiques de la poutre aluminium ie E 7 31 10 GPa e 27802 y 1 7516 m 2 8 x 10710 GPa 442 96 0 406 m Seules les fonctions modales W seront analys es L
186. lton Qatu amp Iqbal 2010 ont utilis le mod le de poutres d Euler Bernoulli pour calculer les fr quences propres d un syst me de deux poutres cylindriques en composites orthotropes articul es entre elles et simplement support es leur deuxi me extr mit et poss dant des masses concentr es sur l articulation Dans cette tude l orientation des couches de composites a t choisie pour ne pas induire de couplage entre les vibrations transverses et en torsions 1 2 Plaques et coques 1 2 1 Mat riaux isotropes Bien que les poutres continuent int resser un grand nombre de chercheurs les plaques et les coques re oivent galement beaucoup d attention La caract ristique des plaques est que l une de leurs dimensions est plus faible que les deux autres Cette caract ristique est valable pour les coques galement mais dans un rep re d axes curvilignes Cheung amp Zhou 2000 ont utilis la m thode de Rayleigh Ritz afin de r soudre des probl mes de plaques de Mindlin homog nes isotropes gr ce des fonctions modales de Timoshenko statiques Les fonctions modales de Timoshenko statiques sont repr sent es par des polyn mes de troisi me ordre avec une fonction trigonom trique de sinus ou de cosinus 12 suppl mentaire L avantage de cette repr sentation est la simplicit de repr sentation et la validit pour n importe quelle condition limite classique d une poutre Les m
187. mations g om triques du probl me tudi et une fonction d crivant le chargement externe Ces quatre types de donn es sont donc calcul s avant de d river les expressions des nergies Les fonctions modales calcul es sont celles du probl me homog n is Les raisons de ce choix sont expliqu es en d tail dans les chapitres qui suivent La fonction d crivant le chargement externe est interpol e partir d une courbe d impact obtenue de mani re exp rimentale La discr tisation du probl me r sultant de la m thode des modes assum s donne un syst me d quations diff rentielles coupl es Ce syst me est d coupl et ensuite r solu Par la suite les solutions du syst me d coupl sont recoupl es pour obtenir la solution du probl me tudi 16 CHAPITRE 3 TH ORIE CLASSIQUE DES STRATIFIES ET DES POUTRES Ce chapitre reprend les l ments de base de r sistance des mat riaux des sch mas de d formation et des th ories des poutres n cessaires la compr hension du travail et les adapte au sujet trait Il s agit d un chapitre g n ral qui ne rentre pas encore dans les sp cificit s du probl me tudi Les th ories et m thodes pr sent es ici sont tir es de la litt rature dans le but d tablir au Chapitre 6 le mod le sp cifique labor dans le cadre de ce travail Pour commencer les hypoth ses de validit du mod le sont tablies et les conventions sont d finies Par la suite la n
188. mbre de modes 225 Tableau vi 24 Erreur caus e par les sections creuses et les surfaces non planes 227 Tableau vi 25 Erreur caus e par les sections creuses uniquement 228 Tableau vii 1 Nombres d onde d une poutre d Euler Bernoulli pour des conditions aux limites classiques Leissa 2011 s scsssevseceseisagesaapesvdeisatvactaveaveasisepuadensuaccave Secpeanesuecadcusdacebenteepeane less 234 Tableau xi 1 Fr quences propres exp rimentales de la poutre 1 261 Tableau xi 2 Fr quences propres exp rimentales de la poutre 2 eee eeeeeeeeeeneeeeeeneeeeeees 263 Tableau xi 3 Fr quences propres exp rimentales de la poutre 3 265 XIV LISTE DES FIGURES Figure 3 1 D finition des axes sur un stratifi 52202 rige ras dental die Rush rames 17 Figure 3 2 Illustration des angles positifs else one entit s 17 Figure 3 3 Orientation des contraintes positives sur les faces d un l ment infinit simal 17 Figure 3 4 Illustration de la contrainte de la d formation de cisaillement eee eee eeeeeeeeees 22 Figure 3 5 Repr sentation du rep re global de la poutre x y z et du rep re local x y z 24 Figure 3 6 Couches horizontales et verticales avec deux orientations de fibres possibles 25 Figure 3 7 M thodologie de r solution des nombres d onde de la poutre de cisaillement 37 Figure 3 8
189. ment et donc du cisaillement en tant que tel poss de une influence croissante ave le num ro de mode Il a t d termin que la 103 valeur du module de cisaillement transversal dans les axes principaux du mat riau composite bidirectionnel doit valoir 40 de la valeur de l approximation du module des composites unidirectionnels afin que les r sultats th oriques s approchent suffisamment des r sultats exp rimentaux La litt rature trouv e par l auteur ne suffit pas pour valider ou invalider ce r sultat De plus les fr quences propres augmentent avec un G43 croissant les pentes des courbes sont positives et sont plus lev es pour les modes lev s Cependant les pentes tendent diminuer Donc bien que les fr quences propres aient tendance croitre le taux de croissance diminue Le taux de croissance des fr quences propres diminue plus rapidement pour les modes lev s 104 CHAPITRE 8 ANALYSE PARAM TRIQUE DE LA S QUENCE D EMPILEMENT Dans le chapitre pr c dent l influence du module de cisaillement transversal sur les fr quences propres de la poutre 1 a t tudi e Dans ce chapitre l influence de la s quence d empilement en utilisant uniquement des combinaisons de couches 45 et 0 90 est tudi e La premi re partie pr sente un r capitulatif des valeurs des modules de rigidit pour les couches horizontales et verticales Dans la deuxi me partie les fr quences propres de quelqu
190. ment de surface homog n is le module de Young homog n is ainsi que les autres param tres homog n is s produiraient de faux r sultats 4 4 Validation de la m thode La validation des r sultats obtenus avec la m thode des modes assum s est tr s simple En effet il faut v rifier que les fr quences propres obtenues pour des poutres homog nes isotropes et 52 section constante gr ce la m thode sont proches des fr quences propres obtenues gr ce aux th ories des poutres La m thode de validation est d crite en ANNEXE VI 53 CHAPITRE5 PARTIE EXP RIMENTALE La partie exp rimentale est utilis e afin de valider ou contribuer la validation des r sultats th orique Ce chapitre pr sente donc les aspects exp rimentaux les plus importants qui interviennent dans cette recherche Le chapitre est s par en cinq parties assez diversifi es La premi re partie pr sente le banc d essais La deuxi me partie traite des courbes d impacts obtenues avec un marteau instrument et de leur lissage La troisi me partie pr sente la m thodologie de fabrication des poutres en composites qui ont t test es La quatri me partie pr sente les caract ristiques des trois poutres en composites construites et qui sont tudi es par la suite Finalement la derni re partie traite des r sultats exp rimentaux obtenus en testant les trois poutres 5 1 Banc d essais Les essais vibratoires sont r alis s
191. ns le mod le de Timoshenko Dans le cas dans la th orie classique de Timoshenko les fonctions modales sont 2 nombres d onde mais sont d sormais fonction de 3 nombres d onde Les nombres d onde sont galement appel s fr quences spatiales et repr sentent le nombre de cycles d une onde par unit de distance Cette th orie d velopp e initialement pour les poutres homog nes isotropes section pleine peut tre adapt e pour des poutres section creuse paisseur variable et m me pour des poutres en composites Bien que les m thodes analytiques soient d une importance cruciale les m thodes semi analytiques sont tr s r pandues pour calculer la solution des probl mes th oriques complexes C est le cas de J Lee amp Schultz 2004 qui ont d velopp des solutions aux probl mes des poutres de Timoshenko et des plaques de Mindlin axisym triques gr ce la m thode pseudospectrale de Chebyshev Dans cette m thode le d placement transverse et l angle de flexion sont d compos s en un produit d une fonction spatiale et d une fonction temporelle La fonction temporelle est un simple cosinus La fonction spatiale est une somme finie et pond r e de polyn mes de Chebyshev Ces polyn mes sont orthogonaux et permettent ainsi d utiliser la technique de l expansion modale Ces expressions sont inject es dans les quations des poutres et de plaques pour ensuite trouver les fr quences propres du probl me C
192. nt plus faibles que les fr quences correspondantes d Euler Bernoulli Ceci est en accord avec la litt rature Han et al 1999 Cet cart est d autant plus grand que le num ro de mode tudi est lev Pour le cinqui me mode par exemple la fr quence propre approximative de Timoshenko est de l ordre de 40 plus faible que la cinqui me fr quence propre approximative d Euler Bernoulli pour chacune des trois poutres Ceci est expliqu par le fait que la th orie de Euler Bernoulli ne prend en compte ni l inertie de rotation ni le cisaillement transversal Les fr quences exp rimentales semblent tre syst matiquement plus faibles d au moins 9 par rapport aux fr quences propres approximatives de Timoshenko Il faut se souvenir cependant que comme le Chapitre 5 l indique il est difficile d tre certain de la valeur des fr quences exp rimentales puisque plusieurs pics fr quentiels sont pr sents De plus comme le d montre P ANNEXE VI le banc d essais n arrive pas simuler un encastrement parfait pour des poutres creuses Dans le cas de poutres creuses fabriqu es avec un mat riau isotrope tel que l aluminium 97 les carts entre les r sultats approximatifs et exp rimentaux sont de l ordre de 9 plus faible pour le premier mode et de l ordre de 5 5 plus faible pour le troisi me mode Deux causes ont t identifi es provocant ces carts la premi re tant une longueur d encastrement non
193. nt transversaux respectivement pour les deux s quences d empilement Il est donc n cessaire de faire la distinction entre deux types d application pour les sections creuses avec les mat riaux composites tudi s ici Plus pr cis ment les applications o ce sont les faibles fr quences propres qui sont excit s et les applications o ce sont les fr quences propres lev es qui sont excit es Si l objectif est d obtenir des structures le plus rigide possible il faudra dans le premier cas d application s lectionner les mat riaux avec le module de rigidit longitudinale le plus lev et dans le deuxi me cas les mat riaux avec le module de cisaillement dans le plan le plus lev Le type d application d pend en grande partie de la sollicitation Si l application comporte des impacts il est n cessaire d valuer si l impact est suffisamment court et poss de une vitesse suffisamment lev e pour exciter les fr quences propres lev es 110
194. ntal Hz 274 5 340 73 24 13 IIL 1 Conclusions Les tableaux ci dessus montrent que les fr quences approximatives sont les plus pr cises lorsque le E est utilis dans l expression de l nergie potentielle plut t que C Lorsque le coefficient C1 est employ les fr quences propres sont syst matiquement surestim es Le cas num rique le plus int ressant utiliser est sans aucun doute le cas 1 En effet les fr quences approximatives devraient s approcher des fr quences analytiques du moins pour un mat riau homog ne isotrope Le cas 1 permet donc la validation des fr quences approximatives non seulement avec les fr quences exp rimentales mais galement les fr quences analytiques 182 ANNEXE IV Isolation du nombre d onde de Timoshenko Tel que mentionn dans le chapitre 1 la fonction g repr sente la relation entre a et b et fi repr sente l quation fr quentielle qui est galement fonction des deux nombres d onde Pour r soudre l quation fr quentielle la valeur de b doit tre remplac e par la fonction u qui est uniquement fonction de a Lorsque a lt a la fonction g est la suivante y b a2 a y b 1 lt 0 iv 1 0 2 g1 a b iv 2 2 72b a a2y b 1 a b 1 y2 k e k y2b b Pay 1 1 2 a Kya 1 iv 3 0 Posons A k a y 1 1 72 gt 0 iv 4 A est donc un nombre positif En r inject
195. ntenue sur la poutre pendant la cuisson Deux syst mes ont t mis au point conjointement Le premier syst me est assez classique Il faut envelopper la poutre dans une enveloppe plastique r sistant la chaleur commun ment appel e le bagging Par la suite la poutre est compress e par deux plaques m talliques sur toute sa longueur gr ce au contre moule construit par le stagiaire Figure 5 17 Contre moule en bois Le fonctionnement est sch matis par la figure ci dessous 66 Poutre enroul e de baggi Vis de pression Plaques m talliques Figure 5 18 Coupe du contre moule en bois Marchal 2013 Le fonctionnement est simple La poutre doit tre ins r e en premier dans le contre moule Il faut par la suite faire glisser les plaques de bois les plaques m talliques et les ressorts l int rieur du contre moule et autour de la poutre en s assurant d abord que les vis sont en position haute Par la suite les vis doivent tre serr es Il faut qu il y ait suffisamment de bagging l extr mit reli e au tuyau de la pompe afin de permettre une certaine maniabilit entre le contre moule et le tuyau de la pompe a vide De plus moins de risques sont encourus de percer le bagging 5 4 Poutres construites Trois poutres exploitables ont t construites dans le cadre de cette recherche Les trois poss dent une s quence d empilement de couches identiques afin de r aliser un
196. obtenues en impactant la poutre proche de l encastrement et en r glant la sensibilit du vibrom tre laser 10 ae De plus les deux essais ont t r alis s sans d montage remontage de la poutre sur le banc d essais pour liminer la variabilit des r sultats dus a la variabilit du positionnement relatif de la poutre par rapport au banc d essais 35 Contenu Fr quentiel T 05 as 0 500 Figure vii 9 Effet de l embout du marteau instrument sur les spectres fr quentiels 1000 1500 2500 Fr quence Hz 3000 Platsique Blanc Acier Inoxydable 07 Contenu Fr quentiel A A A Platsique Blanc Acier Inoxydable 2500 Fr quence Hz Figure vii 10 Agrandissement de la Figure vii 9 VIL 3 1 Comparaison li 3000 3500 4000 L 4500 5000 235 Les figures ci dessus montrent que les pics fr quentiels poss dent exactement les m mes valeurs pour les deux types d embouts du marteau instrument Cependant La majorit des pics fr quentiels poss dant des fr quences sup rieures 2000 Hz sont plus visibles lorsque la poutre est impact e avec l embout en acier inoxydable L embout en acier inoxydable est donc plus adapt notre application 236 VII 4 Effet de la hauteur de frappe En th orie les hautes fr quences sont plus excit es lors
197. odales de cisaillement de Timoshenko Les figures montrent que le cisaillement est toujours nul a l extr mit libre et que l amplitude des modes de cisaillement cro t avec le num ro de mode tout comme les fonctions modales PSI La m thode des modes assum s semble bien fonctionner pour des poutres pleines homog nes et isotropes 207 VI 2 2 2 Poutre 2 Le tableau ci dessous r sume les fr quences propres analytiques approximatives et exp rimentales obtenues pour la poutre 2 Tableau vi 18 Fr quences propres analytiques approximatives et exp rimentales de la poutre 2 Fr quences propres analytiques approximatives et exp rimentales de la poutre 2 Hz REC PQ PROS Diff rence avec Timoshenko Exp rimental 64 33 64 33 64 12 64 12 9 54 403 17 403 17 394 13 394 13 7 90 1128 88 1128 88 1071 57 1071 57 1008 5 93 2212 16 2212 16 2018 13 2018 13 1931 4 32 Les fr quences exp rimentales sont extraites partir de la figure ci dessous repr sentant le spectre fr quentiel de la poutre suite un impact Les fr quences exp rimentales ont t choisies avec les m mes crit res que pour la poutre 1 208 0 8 Amplitude 04 A A i LA PS ad IN 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 Fr quences Hz Figure vi 9 Fr quences propres exp rimentales de la poutre 2 On remarque premi rement que les fr quences analytiques et approxima
198. oes ee see ses ces Ses See ses ces 2 eos ses RS S t ee 8 x x 2 x ose SS 2e ss es seg S ses ses 33 se tete seats etat aa ete SRR sn LISSE ans ESS ses its s0 tess rs 2 Ms Stee ZIS seras eee SOCOS ner ess tresses Re see esters eee sococonesececacenes esse oe RS ee x x 6 x x Sos lt lt RS x S RS RSI IIS set RS cee ses vee ces gases eases casas see RS ee Rs Re SS Ro ase lt oes 5 races S Le ses se os sae xy de s gag v Se lt 9 gee RS Se seg oS x x ses Se ss seg sage see x See SE S Se amp es lt ss sate RS cates gss se se x lt SS ee se Se ee a eee se Seg Re S lt x se lt lss ts ae S oS tsss tes me S eee cases s 2 RSS ee mes RRS nes ee RS 2e me Se se aes se x KS ses 2S0 SSSR SOIE RSS 3099S OSR w S tesos tetes Ss ses sees gece ss RS ses S se Se ce S 3 Ses RS RS ses soca cee Se cee ee Se oe Se SS e ue so es e tise oss eos 2 x 3 x lt gt lt gt 358 fe ates so RS 2 2 iM XX x 2 iM ates anes ces w7 x 4 xe cee X 2 Qs es BRK ce S sees s cee s S Rs RREKK KY 7 lt oS 8 eS t ee gases RS ses RS lS RS RRS SKY RS Se cee ses eee See oes oes Se w xs RS es l oes x az soso ae se 2e
199. on Le serrage de 40 lb in semble avoir comme influence d abaisser les fr quences propres Ceci n a pas l air logique priori une plus grande force de serrage devrait produire une plus grande force de rappel et ainsi augmenter la valeur des fr quences propres 234 Tableau vii 1 Nombres d onde d une poutre d Euler Bernoulli pour des conditions aux limites classiques Leissa 2011 ESS ale S9 99 S5 7 Er 22 373 15 418 3 516 9 8696 Le 61 673 49 965 22 034 39 478 15 418 EE 120 903 104 248 61 697 88 826 49 965 22 373 199 859 178 27 120 902 157 914 104 248 61 673 298 556 272 031 199 86 246 74 178 27 120 903 b2 EI On F2 pA vii 1 En effet une poutre doublement encastr e poss de des fr quences propres plus lev es qu une m me poutre simplement support e ou m me libre libre L abaissement des fr quences propres pourrait tre galement expliqu une variabilit du positionnement relatif de la poutre par rapport au banc d essais mais il se peut que d autres ph nom nes interviennent qui sont eux provoqu s par la compression de la section l encastrement par exemple VIL 3 Effet du type d embout Dans ce paragraphe l effet de deux embouts du marteau instrument sur les spectres fr quentiels est tudi Le premier embout est l embout blanc et le deuxi me embout est celui en acier inoxydable Les figures ci dessous ont t
200. on des r sultats pour la poutre de Han et al 1999 Comparaison des r sultats pour la poutre de Han et al 1999 D CN ME 165456 08 165463 34 0 004 29214 45 29211 86 0 009 C fe C Le C fe TE 231091 55 231101 69 0 004 33794 46 33792 23 0 007 194 Tableau vi 7 Comparaison des r sultats pour la poutre mince de Majkut 2009 Comparaison des r sultats pour la poutre mince de Majkut 2009 Fr quence R sultats Majkut R sultats Majkut Erreur propre code 2009 code 2009 153 6 2 408 157 28 157 6 0 203 Ts 195 Tableau vi 8 Comparaison des r sultats pour la poutre paisse de Majkut 2009 Comparaison des r sultats pour la poutre paisse de Majkut 2009 Fr quence R sultats Majkut R sultats Majkut Erreur propre code 2009 code 2009 419 6 0 026 417 62 424 1 1 552 Les r sultats du code informatique pour les th ories analytiques pour les poutres homog nes isotropes se rapprochent fort des r sultats donn s dans la litt rature VI 1 2 Orthogonalit des fonctions modales Il a d j t mentionn dans le Chapitre 2 que les fonctions modales doivent n cessairement tre orthogonales entre elles Malheureusement les fonctions modales sont sujettes des erreurs num riques Comme le d crivent Gon alves et al 2007 dans leur article scientifique les erreurs num riques apparaissent relativement t t et plus pr cis ment partir du dixi me mode d
201. otion du cisaillement est expliqu e en d tail et les matrices de souplesse sont d riv es Par la suite les th ories des poutres d Euler Bernoulli de la poutre de cisaillement et de Timoshenko sont expos es et leurs solutions explicit es Ce chapitre explique aussi comment les erreurs num riques sont vit es et comment effectuer le transfert entre les solutions adimensionnelles et les solutions dimensionnelles des th ories des poutres 3 1 Cadre de validit du mod le d velopp Le code d velopp dans le cadre de ce m moire est bas sur des th ories compliqu es Cependant certaines hypoth ses simplificatrices ont t adopt es afin de s assurer de bien ma triser le code et de bien comprendre les ph nom nes physiques qui s y d roulent Le code construit peut traiter les vibrations transversales et longitudinales mais ne prend pas en compte l effet Poisson ni la torsion ni les couplages de torsion Ceci induit des hypoth ses sur le type de poutre que le code peut traiter pour que de la torsion n apparaisse pas cette fin les composites section creuse rectangulaire peuvent tre compos s de couches unidirectionnelles si et seulement si elles forment un angle de 0 ou 90 avec l axe longitudinal de la poutre ou tre compos es de couches bidirectionnelles avec des angles de 0 90 ou de 45 45 Ces hypoth ses sont justifi es plus bas dans le paragraphe 3 6 17 3 2 G n ralit s
202. ouplages Le cas ch ant n est pas v rifi dans cette tude Deuxi mement au plus le coefficient d lancement s est petit au plus les effets du cisaillement sont visibles Cette conclusion est en accord avec la th orie des poutres de Timoshenko Han et al 1999 Troisi mement il semble que les r sultats th oriques soient plus fiables que les r sultats exp rimentaux En effet le banc d essais ne repr sente pas un encastrement parfait surtout lorsqu il s agit de poutres section creuse non remplie l encastrement L erreur induite sur les sections creuses cause du banc d essais est sup rieure 9 pour le premier mode et atteint des valeurs proches de 5 5 pour le troisi me mode Quatri mement gr ce la m thode des modes assum s et en utilisant les fonctions modales de la th orie de Timoshenko le cisaillement peut tre valu pour chaque mode Il s agit d une information pr cieuse Lors de l tude de poutres non isotropes les fonctions modales de Timoshenko repr sentent les fonctions modales d une poutre homog n is e L information sur le cisaillement est donc moins pr cise par rapport une poutre isotrope Cependant il s agit d une information qui peut tre utile bien qu inexacte 219 VI 2 3 Deuxi me partie de la validation de la m thode des modes assum s Dans cette validation la propri t d homog n isation d une poutre homog ne sera exploit e d
203. patiale repr sent e par une fonction modale et d une partie temporelle appel e coordonn e modale qui est une variable inconnue Les coordonn es modales seront d termin es gr ce la m thode des modes assum s pr sent e dans le chapitre 2 1 3 1 Poutre d Euler Bernoulli Le mod le d Euler Bernoulli est un mod le de vibrations transversales qui n glige le cisaillement et l inertie de rotation de la poutre Dans le mod le d Euler Bernoulli les sections de la poutre restent perpendiculaires au plan neutre 148 Les quations de d placement se simplifient de la mani re suivante lorsque la fibre neutre ne subit pas de d placement longitudinal Uy 0 i 32 0 0 0 hS Wor es A Wort Oe Oe gt WO 1 33 L quation ci dessus traduit le fait que l angle de la section par rapport la verticale est gal la pente de la fibre neutre en chaque point Les sections sont donc bien perpendiculaires la courbe de la fibre neutre Dans le mod le d Euler Bernoulli il n existe qu une seule coordonn e ind pendante Wo En injectant la relation i 32 dans l quation 3 23 les relations ci dessous sont obtenues 0 0 0 34 Te ay Oe Mo 20 1 L 3 1 1 quation de mouvement et fonctions modales de la th orie des poutres d Euler Bernoulli L quation de mouvement adimensionnelle de la poutre d Euler Bernoulli est la suivante Han et al 1999 2 4 ty p A w t f E
204. paux Il est n cessaire de connaitre les coefficients de Poisson dans les axes de la poutre afin de calculer le facteur de forme k de la poutre Ce facteur est pr sent dans le paragraphe 3 8 car il est n cessaire dans les th ories des poutres Partant de la matrice de souplesse 1 v v E ge ee as 0 0 Ey Ey Ey U1 2 1 1 3 0 0 0 Ey Ey Ey v v 1 s1 7 j 3 18 0 0 0 0 0 G13 0 0 0 0 l 0 G13 0 0 0 0 0 L G12 Les coefficients de Poisson peuvent tre r exprim s par la relation ci dessous Ge vij E pour i j 1 2 3 eti j 3 19 Li La relation ci dessus peut tre g n ralis e pour une matrice de souplesse dans les axes de la poutre Sij Bis l l pour iij x y zeti j 3 20 Pour illustrer la relation ci dessus les coefficients de Poisson pour une couche horizontale sont calcul s lorsque les axes principaux forment 45 degr s avec les axes de la poutre 3 2 1 S11 S12 7 56 6 Sia Si2 566 v o P 45 horiz1 2 3 21 29 S13 PLAS norizy 3 1 Si S12 7 56 6 S13 v o v o 45 horiz2 3 45 horiz1 3 1 S11 S12 7 56 6 3 6 Couplages vibratoires Une des hypoth ses de cette recherche est qu il n existe pas de couplages vibratoires avec les vibrations transversales En effet la d formation transversale lors d une flexion pure sur un stratifi classique poss dant une s quence d empilement sym trique n est pas coupl e av
205. placements longitudinaux sont n glig s Up 0 3 26 3 8 1 Th orie de Euler Bernoulli Dans la th orie d Euler Bernoulli le cisaillement est n glig 32 0 0 0 Vem pa tO Wore Pela Vo 3 27 L quation ci dessus traduit le fait que l angle de la section par rapport la verticale est gal la pente de la fibre neutre en chaque point Les sections sont donc bien perpendiculaires la courbe de la fibre neutre Dans le mod le d Euler Bernoulli il n existe qu une seule coordonn e ind pendante soit Wo En injectant la relation 3 26 dans l quation 3 23 les relations ci dessous sont obtenues 0 0 a ape oo aye 0 Test 3 28 Le d placement transversal w est d compos en une partie spatiale et une partie temporelle Voici les relations n cessaires qui font le passage entre les variables dimensionnelles et leur contrepartie adimensionnelle x Lavec E 0 1 w x t w t L hs ae 3 29 wet gt Wie gu 8 gt WEE 1 qi WE L i 1 L W x D Y WO dw DWE 1 Gin OY D WEED 9 Donc WiCx WF x L qw qw t 3 30 1 Iw t qyw t dw qw re 33 Les fonctions modales de Euler Bernoulli modifi es pour une poutre encastr e libre sont les suivantes W eis cos b 1 v sin b vsinh b 3 31 __eP cos bj sin b7 _ ei cos b sin b Avec 777 sinh sinb ek 3 32 b
206. pp s et mis en uvre afin de mieux comprendre le comportement de ces structures fabriqu es En effet une des probl matiques des mat riaux composites dans l industrie se pose dans la conception des v hicules Les mat riaux composites utilis s sont plus l gers que les aciers utilis s pr sentement et pr sentent donc un comportement dynamique diff rent de ces derniers Le comportement dynamique est d autant plus compliqu que les mat riaux composites sont des mat riaux orthotropes ou m me anisotrope dont les quations du mouvement sont plus complexes que celles pour des mat riaux isotropes tel que l aluminium Mieux comprendre le comportement vibratoire d une poutre m nera une meilleure conception pour viter que les structures con ues n entrent en r sonance et ne subissent des dommages De plus l influence de diff rents param tres sur le comportement vibratoire tels que la section et la longueur de la poutre ainsi que les mat riaux utilis s seront mieux compris L optimisation de la conception peut se traduire par exemple par une r duction du poids ou une augmentation de la rigidit et m me d une am lioration de l amortissement vibratoire Le poids est un crit re important dans les structures de v hicules En r ussissant r duire le poids il est g n ralement possible de r duire la consommation en carburant du v hicule Cependant en all geant une structure on l affaibli L am lioration
207. pport exp rimentales analytiques avec l exp rimental analytiques l exp rimental E Hz Hz avec C11 Hz Hz 16 15 95 0 31 19 42 21 38 99 99 2 03 121 7 24 18 274 5 279 98 2 00 340 73 24 13 538 548 64 1 98 667 58 24 09 Les r sultats ci dessus montrent clairement que les fr quences analytiques calcul es avec E sont significativement plus pr cises que celles calcul esC 1 Les tableaux ci dessous illustrent les r sultats obtenus avec la m thode des modes assum s pour chacun des quatre cas Le cas 1 produit les valeurs suivantes Tableau iii 4 R sultats de simulation du cas 1 Fr quences Fr quences Erreur par rapport exp rimentales Hz approximatives Hz l exp rimental Hz 15 95 0 31 99 98 2 02 279 92 1 97 548 44 1 94 Le cas 2 produit les valeurs suivantes 180 Tableau iii 5 R sultats de simulation du cas 2 Fr quences Fr quences Erreur par rapport mode exp rimentales Hz approximatives Hz l exp rimental Hz DE PR e f ee Le cas 3 produit les valeurs suivantes Tableau iii 6 R sultats de simulation du cas 3 Fr quences Fr quences Erreur par rapport exp rimentales Hz approximatives Hz l exp rimental Hz Le cas 4 produit les valeurs suivantes 181 Tableau iii 7 R sultats de simulation du cas 4 Fr quences Fr quences Erreur par rapport exp rimentales Hz approximatives Hz l exp rime
208. pres sont calcul s en premier 49 K w M c 0 4 14 ou c est un vecteur colonne repr sentant un vecteur propre et c est une matrice carr e contenant C1 Cn 4 15 c C4 see Cn les vecteurs propres Ce syst me doit respecter les propri t s d orthogonalit suivantes cj M c cj K c 0 pour i j 4 16 Le syst me matriciel peut d sormais tre d coupl en normalisant les vecteurs propres c et en introduisant les coordonn es d coupl es 7 Ci uUi r 4 17 Ic M Ci q U n 4 18 U u1 gt un j 2 n N 4 19 Avec les matrices 2 et N sont d finies de la mani re suivante w 0 0 Q U K U 0 gt o 0 0 an 4 20 N uUT Q o Q est une matrice diagonale De plus la propri t suivante doit tre respect e 50 UT M U I 421 o I est la matrice identit La solution de chaque quation d coupl e est poss de la forme suivante 0 1 t g sin w t N t t sin w t dr 4 22 iJo Wj ni t 0 cos wit o 7 0 et 7 0 sont d finis de la mani re suivante ni 0 uj M qo i 0 uj M o 4 23 qo 91 0 qn 0 En reprenant les notations matricielles Han et al 1999 w x 0 gt W x q 0 4 24 En utilisant la propri t d orthogonalit les expressions suivantes sont obtenues Han et al 1999 L qi 0 W x M w x 0 dx 4 25 L d 0 W x M w x 0 dx O M w x 0 i a ba ol 4 26 se
209. proc dures sont tr s difficiles lire 252 Une fois le code final pr t il tait d sir de d finir une nouvelle proc dure ex cutant le code dans son enti ret afin de r aliser l tude param trique Cette id e a t abandonn e parce que pour cr er une proc dure il tait n cessaire d avoir le code en entier dans un seul bloc d ex cution et la fonctionnalit de maple pour fusionner les blocs d ex cutions ne semble pas fonctionner Un essai a t r alis en transf rant code entier sur Microsoft Word et en traitant le texte mais plusieurs probl mes sont apparus 253 ANNEXE XI D tails Chapitre 5 XI 1 D tails sur courbes d impacts th oriques Dans les calculs th oriques il n est pas n cessaire de conna tre le type d embout utilis sur le marteau instrument du moment que la courbe d impact est fournie au mod le Dans le cadre de ce projet deux cat gories d impacts sont tudi es La premi re cat gorie utilise une fonction de Dirac temporelle pour laquelle les impacts sont instantan s et infiniment courts La deuxi me cat gorie utilise des fonctions continues temporelles Cependant les deux cat gories utilisent une fonction de Dirac spatiale Les impacts fournis au mod le informatique sont donc ponctuels XI 1 1 Impact avec Dirac temporel L expression de l impact avec une fonction de Dirac temporelle prend la forme suivante f x t x x xo t to x
210. proximatif Fr quences analytique fi 14431 144 31 142 66 142 66 11 68 i 904 40 904 40 838 78 838 78 10 47 f3 2532 34 2532 34 2155 99 2155 99 2037 5 52 Voici les quatre fonctions modales de d placement transverse pour les deux th ories de poutres Comparaison des quatre premi res fonctions modales de d placement transverse 01 02 03 x W_EBI W TI W_EB2 W T2 W_EB3 W T3 W_EB4 W T4 215 Figure vi 17 Comparaison des quatre premi res fonctions modales de d placement transverse Les fonctions modales ci dessus se ressemblent mais ne sont pas tout fait gales En effet l cart entre les fonctions modales W d Euler Bernoulli et de Timoshenko est encore plus grand que dans le cas de la poutre 2 Afin d illustrer cette diff rence encore plus les fonctions modales pour le dixi me mode sont illustr es ci dessous 216 W_EB10 W_TI0 Figure vi 18 Comparaison de la dixi me fonction modale de d placement transverse On remarque qu au plus le num ro de mode est lev au plus les diff rences sont grandes Les fonctions modales d angle de flexion de Timoshenko sont les suivantes Quatre premi res fonctions modales d angle de flexion de Timoshenko Figure vi
211. pte l inertie de rotation le mod le de la poutre en cisaillement rend en compte le cisaillement transversal et le mod le de Timoshenko prend en compte les deux Les hypoth ses de base de ces th ories sont que l effet Poisson est n glig et que les sections des poutres tudi es poss dent deux axes de sym trie Ce dernier est le mod le le plus pr cis des quatre nonc s Les auteurs ont d termin que lorsque le coefficient d lancement slenderness ratio est sup rieur 100 le mod le d Euler Bernoulli convient bien pour les calculs Sinon les mod les de Timoshenko ou de la poutre de cisaillement devraient tre pr f r s Le coefficient de minceur est d fini par le produit de la longueur de la poutre et la racine du quotient entre le second moment de surface et l aire de la section de la poutre Le mod le de Timoshenko devra tre utilis dans le cadre de cette recherche puisque les poutres tudi es poss dent un coefficient de minceur plus faible que 100 van Rensburg amp van der Merwe 2006 se sont galement pench sur la r solution analytique des quations adimensionnalis es des poutres de Timoshenko simplement support es et encastr es libres L adimensionnalisation de ces quations a t effectu e directement partir des quations de Timoshenko plut t que dans les expressions des nergies potentielle et cin tique comme cela a t fait dans l article de Han et al 1999 L adimensionn
212. que la poutre est impact e proche de l encastrement Pour cette exp rience deux hauteurs de frappe diff rentes ont t choisies La premi re proche de l encastrement comme dans la section pr c dente et la deuxi me l g rement en dessous du milieu de la poutre La raison de ce choix est simple Il tait impossible de frapper plus haut que la hauteur mentionn e sans produire des doubles impacts Figure vii 11 Position de frappe moyenne Ces essais ont galement t r alis s sans d montage remontage du banc d essais pour liminer les variabilit s caus es par le positionnement relatif de la poutre par rapport au banc d essais De plus le moment de serrage pour ces deux essais tait de 40 Ib in la sensibilit du vibrom tre r r r x mm s lt mm s laser pour la frappe proche de l encastrement tait r gl e 10 eta 50 pour la hauteur moyenne pour viter qu il ne sature Les r sultats produits avec une sensibilit du vibrom tre plus faible sont quand m me suffisamment pr cis Voici les spectres obtenus 237 Position frappe basse petit impact 10mm s V 2 Position frappe moyenne petit impact 50mm s V 15 Z Lo Bib Oo re 3 c Q Oo 05 AM LT A A _A A ll 0 500 1000 1500 2000 3000 3500 4000 4500 5000 2500 Fr quence Hz Figure vii 12 Effet de la position de frappe sur le
213. ques des quipements sportifs et dans un grand nombre d applications Cefic n d Lors de l tude de nanopoutres de Timoshenko les effets de petite chelle deviennent importants Ces effets sont comptabilis s dans la th orie non locale de Timoshenko gr ce un terme suppl mentaire par rapport la th orie classique locale de Timoskenko Mohammadi amp Ghannadpour 2011 ont r solu les quations non locales d une nanopoutre de Timoshenko num riquement gr ce la m thode de Rayleigh Ritz et gr ce aux polyn mes de Chebyshev du premier type L effet de petite chelle a pour influence d abaisser les fr quences propres des nanopoutres et ce de mani re significative pour les modes hautes fr quences Les recherches mentionn es ci haut ne traitent que de poutres tudi es de mani re isol e Mais il existe un grand nombre d applications o ces l ments sont utilis s dans des structures pour la transmission de puissance ou pour la construction de chassis ou de treillis Guo Chen amp Pao 2008 ont utilis la m thode de Reverberation Ray Matrix pour calculer la r ponse transitoire d une structure tridimensionnelle compos e de poutres de mat riaux isotropes avec des chargements concentr s et distribu s Selon les auteurs il est pr f rable d utiliser cette m thode plut t que les m thodes de Exact Dynamic Stiffness Method Transfer Matrix Method Spectral Element Method et
214. r quentiel de la poutre ne poss de pas de pic visible proche de la valeur th orique Le Tableau vi 19 montre que la deuxi me fr quence exp rimentale poss de une erreur double par rapport la premi re et la troisi me fr quence propre analytique de Timoshenko La cause est probablement une mauvaise lecture de la fr quence propre sur la figure de la transform e de Fourrier La figure ci dessous repr sente un agrandissement de la transform e de Fourrier pour une gamme de fr quences avoisinant la fr quence propre th orique 214 T T T T T T T 0 12E 4 01E 4 008 Q pej E 0064 4 0 045 0 02 N f o i i i 600 650 700 750 800 850 900 Fr quences Hz Figure vi 16 Agrandissement des fr quences propres exp rimentales de la poutre 3 Le grand pic poss de la fr quence propre de 628 Hz et incite croire qu il repr sente la fr quence propre recherch e Cependant le pic situ 751 Hz est le plus probable puisque qu il s agit de la fr quence qui est plus faible que la fr quence th orique et qui poss de l erreur la plus faible Le nouveau tableau des fr quences propres devient donc Tableau vi 20 Fr quences propres analytiques approximatives et exp rimentales de la poutre 3 2 se Fr quences propres analytiques approximatives et exp rimentales de la poutre 3 Hz pe emit annee Pam one LL Analytique Approximatif Analytique Ap
215. r sente le point de d part partir de cette s quence deux modifications sont propos es La premi re consiste ajouter une couche 45 sous jacente qui r sulte la s quence 45 45 0 0 La deuxi me consiste d placer la couche existante 45 vers l ext rieur de la section qui r sultant la s quence 0 0 45 0 112 Tableau 8 4 Effet de l ajout d une couche 45 sous jacente sur les fr quences propres Fr q propres Hz 2 317 84 2 312 49 2 312 86 45 45 0 0 0 45 0 0 0 0 45 0 5 598 96 5 592 45 5 593 10 9 396 22 9 394 01 9 394 77 13 445 67 13 451 62 13 452 35 Le tableau ci dessus montre que l effet de l ajout d une couche suppl mentaire d orientation 45 rigidifie la poutre plus que le fait de d placer la couche 45 existante vers l ext rieur de la section du moins pour les quatre premi res fr quences propres Pour la cinqui me fr quence propre on remarque le m me comportement que pr c demment L ajout d une couche a 45 sous jacente contribue a une perte de rigidit en flexion par rapport a la s quence d empilement o la couche 45 initiale est d plac e vers l ext rieur La m me analyse pour une s quence d empilement initiale de 0 0 45 0 n a pas t r alis e 113 8 2 3 Comportement transitoire des 16 s quences d empilement Le logiciel construit arrive simuler le comportement transitoire des poutres tudi es Il arrive non se
216. r de la variabilit dans les spectres des poutres test es Certains de ces facteurs pourraient tre la coupe et le meulage des sections en r sine charg e pour l encastrement la coupe des composites leur serrage autour du mandrin etc La m thode exp rimentale d crite en ANNEXE VII est utilis e pour obtenir les fr quences naturelles exp rimentales des trois poutres en composites fabriqu es Deux essais ont t r alis s avec d montage et remontage sur le banc d essais pour chaque poutre afin de confirmer la r p tabilit des essais Le moment de serrage des vis du banc d essais tait de 40 Ib po soit 4 52 N m et la sensibilit du vibrom tre laser tait r gl e 50 Dans les paragraphes qui suivent les r sultats des deux essais pour chaque poutre individuelle seront d abord compar s entre eux Par la suite les r sultats des trois poutres seront compar s pour d terminer la variabilit par rapport la fabrication Pour chaque poutre trois figures sont pr sent es La premi re figure trace le contenu fr quentiel entier la deuxi me le contenu fr quentiel dans la gamme 300 Hz lt f lt 450 Hz et la troisi me figure le contenu fr quentiel dans la gamme 1500 Hz lt f lt 5000 Hz 260 XI 2 1 Poutre 1 Voici les r sultats des deux essais de la premi re poutre 8 T T T T T Poutre 1 essais 1 Poutre 1 essais 2 7 T o ES a D T T T T L L 1 Contenu
217. r exciter les hautes fr quences un peu plus sera pr sent e par la suite VII 1 1 1 Comparaison Il existe une l g re variabilit dans les r sultats pr sent s tant donn que pour ce moment de serrage aucun son de bris de fibre n a t remarqu la variabilit des r sultats est probablement due la variabilit du positionnement relatif de la poutre avec le banc d essais 231 VIL 1 1 2 Serrage 40 Ib in Pendant le montage sur le banc d essais des faibles sons de craquement sont survenus Lors inspection de la poutre sur l encastrement il a t remarqu que l une des arr tes de la poutre qui pr sentait un d faut de fabrication a t l g rement d form e Cette arr te est possiblement la source des faibles sons de craquement mentionn s La photo ci dessous montre l arr te en question Figure vii 3 Arr te d form e de la poutre 1 lors du montage Ces deux essais produisent les r sultats suivants Composite poutre 1 40lbin test 1 Composite poutre 1 40lbin test 2 zs Contenu Fr quentiel T A l a a l 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Fr quence Hz Figure vii 4 Essais de r p tabilit pour moment de serrage de 40 Lb in 232 Composite poutre 1 40lbin test 1 Composite poutre 1 40lbin test 2 n Contenu Fr quentiel dE L 05
218. r i j 1 n 0 Num riquement pour calculer l erreur sur l orthogonalit la relation suivante est utilis e L p A W x x W x dx 6 Erreur j pour i j 1 n 6 10 0 Dans le cas d Euler Bernoulli il est possible de normaliser les fonctions modales sans le coefficient p A du moment que les expressions des conditions initiales soient modifi es 6 3 1 2 R sultats Le Tableau 6 4 illustre les r sultats de l tude de convergence en fonction du nombre de modes utilis s Les cinq premi res fr quences ont converg avec 5 modes et les carts entre les fr quences propres analytiques et approximatifs sont tr s faibles 91 Tableau 6 4 tude de convergence pour la poutre 1 gr ce Euler Bernoulli Hz Fr quences Nombre de modes Ecart entre Fr quence propres analytique et 20 ropre th orique PER A analytiques 5 10 20 431 93 431 99 431 99 431 99 0 01 modes SE 6 3 2 Cas 2 6 3 2 1 G n ralit s En reprenant les quations 4 11 et 4 12 des matrices de masse et de rigidit pour la th orie des poutres de Timoshenko 2 0 Kij l Ep PSIO PSIE k Grz 5 Wi PSE WG PSH av pour i j 1 n Mij i pz PSI x PSI x pW x W x dV pour i j 1 n v Dans le cas de la th orie des poutres de Timoshenko l orthogonalit est v rifi e si expression suivante est v rifi e 92 L W M W dx pour i j 1 n 0 WT Wi x PSI x
219. r les sections pleines rectangulaire vaut Han et al 1999 10 1 v pleine T24 11v a Et le facteur de forme pour les sections creuses rectangulaires vaut Han et al 1999 20 1 v i Kereuse 78 39y ie Dans le processus de validation du code des sections creuses rectangulaires avec un mat riau isotrope est utilis Dans ce cas l le facteur keine est utilis Pour de l aluminium ce dernier vaut Kereuseanm 9 436 ix 3 Cette valeur est utilis e pour le calcul des fonctions modales des nombres d ondes de la th orie de Timoshenko Dans le code cependant le calcul de l nergie potentielle se fait par partie et il est n cessaire de s parer la section creuse en 4 parois d Euler Bernoulli 248 W Figure ix 1 D composition de la section creuse en quatre parois O chaque paroi est d sormais une section rectangulaire pleine dont le facteur de forme vaut 0 850 ix 4 1 pleine alum La moyenne pond r e des facteurs de forme en fonction de la portion de Paire que les parois occupent est donn e par l expression suivante _ 2A kpieine am t 2A K pleine alum Ki jet pleine atummoyenne A 2A 2A kpiei K pleine alum 7 ix 5 41 r TT ee E A A pleine alum Mais Kpteine kcreuse atum ix 6 alummoyenne Il est donc difficile de savoir quelle valeur utiliser dans l expression de l nergie potentielle Cependant sachant que l expression du fact
220. r the forced problem and resolving the decoupled equations Some non hollow or hollow isotropic or orthotropic beams were used in order to validate the theoretical results The main results of the research are a sensitivity analysis function of the value of the transverse shear modulus as well as a parametric study function of the stacking sequence This research opens the door for exciting new subjects namely coupled vibration as well as nano beams It is theoretically possible to resolve a great variety of problems with this method depends on the energy expressions and needs adequate modal functions vii TABLE DES MATI RES DEDICACE mioa R E ne S dre Il REMERCIEMENTS es ne a dees asians Ont eves daeaees IV R SUM St ie A E ER dia V ABSTRACT sciisietesapiad dtesh atisti si neints n ainda ea eae tiated deuil VI TABLE DES MATIBRES me haters ota ed mae mate tec ater VII LIS TE DES TABLEAUX ocre nn nn einen ane on ne nent XI LISTE D S FIGURES nn nina inondations XIV LISTE DES ANNEXES al ne et ec CD te XX LISTE DES SIGLES ET ABR VIATIONS sereine XXII INTRODUCTION SENS TT SR sde 1 CHAPITRE 1 REVUE BIBLIOGRAPHIQU ES iiccicactis ia erates ities ees Geuy eens 4 1 1 POULE TS ea Mee RO Re es eRe Sen Sea Nee a Cee Bane on 4 Le MATOS ISOtrope Sss Na ne Se Sn Nec 4 1 1 2 Mat riaux composites et FGM 12 ssciscsscesacasessaccedesccaessdeocaevansdactesteanss lasedaaandecces 10 12 Phques t cogis 5 nain ne nr R R ete n tent salse 11 LA MA TAU
221. raduit le cas o les fonctions d onde sont calcul es gr ce des nombres d onde qui ont t calcul es leur tour sur base des propri t s de la poutre d paisseur 4e Ces fonctions d ondes sont ensuite inject es dans les nergies potentielles et cin tiques de chaque pli de la section 4 plis Les fr quences propres analytiques sont identiques aux fr quences analytiques du cas classique 221 VI 2 3 2 Cas de calcul 3 a BW PSI Figure vi 25 Cas de calcul 3 Le cas 3 repr sente l inverse du cas 2 Dans celui ci les fonctions d onde sont calcul es grace des nombres d onde qui ont t calcul es leur tour sur base d un seul pli de la section compos e de quatre plis Ces fonctions d onde sont ensuite inject es dans les expressions des nergies potentielle et cin tique de la section d paisseur 4e Dans le cas de calcul 3 les fr quences propres analytiques calcul es pour le pli individuel sont videmment plus faibles Tableau vi 21 Comparaison du des fr quences analytiques entre le cas classique et le cas 3 Comparaison du des fr quences analytiques entre le cas classique et le cas 3 nn ne VI 2 3 3 R sultats et conclusions Le tableau ci dessous r sume les fr quences propres approximatives obtenues pour les deux cas avec 10 modes pour la poutre 1 222 Tableau vi 22 Comparaison du cas 2 et du cas 3 du cas classique Comparaison du cas 2 et du cas 3 du
222. rche 8 4 Conclusions Plusieurs choses ont t observ es et une hypoth se a t mise En effet lorsqu une couche d orientation 0 90 est remplac e par une couche 45 la fr quence propre d un mode en particulier augmente par rapport a la configuration initiale pour les quatre premiers modes Cependant la fr quence propre du cinqui me mode diminue par rapport la configuration initiale Ceci est probablement caus par l influence du cisaillement sur les couches verticales En effet les couches 45 poss dent des modules de cisaillement dans le plan plus faibles que celles des couches a 0 90 L influence du cisaillement transversal devient importante pour les modes lev s L influence de la diminution du module de cisaillement dans le plan lors du remplacement de la couche a 0 90 avec celle 45 est plus importante que l augmentation du module de rigidit longitudinale et ceci causerait donc un abaissement de la fr quence propre par rapport a la configuration initiale partir d un certain mode de mani re g n rale De plus il a t observ sur les figures expos es dans le paragraphe pr c dent que les r sultats de toutes les poutres se trouvent constamment entre les courbes de la poutre de s quence 0 0 0 0 et la poutre de s quence 45 45 45 45 Si l objectif est d tudier les comportements transitoires extr mes il suffit donc d tudier les s quences d empilement 0 0 0 0 et
223. rdonn e ind pendante 00 ag 2 t PSEC desn Ct 3 36 i 1 Cependant l hypoth se est faite que le d placement transverse et l angle d au moment de flexion sont gouvern s par les m mes coordonn es modales Han et al 1999 Ceci se traduit par qit qw 0 qpsi t 3 37 Une notation qui sera utile dans le chapitre 2 est introduite Han et al 1999 vE is et donc W gt ne qiO i 3 39 DOR l Il m 3 8 2 1 Fonctions modales de la poutre de cisaillement Les formes modales adimensionnelles du d placement transverse de la fibre neutre et de l angle d aux moments de flexion des sections de la poutre sont les suivants Han et al 1999 35 Wi CE Cisin ai Cacos ai Cssinh B Cacosh B PSI Dsin a D cos a Dssinh 6 Dycosh B 3 40 O a et p sont les deux nombres d onde Ces expressions sont les expressions classiques et n ont pas t modifi es pour faire dispara tre les erreurs num riques Pour une poutre encastr e libre les valeurs des coefficients C et D sont les suivantes Be CG 1 C3 l 3 41 bi biebi b e bi 2sin ai aj bi bei b e bi 2sin a a a 2b cos aj a ebi a e bi f aj 2b cos a a ebi are vi x 2 x2 A b b vec D C D GQ a di i 3 42 2 2 aj aj D3 pr Da 5 63 Pour finir les fr quences propres sont calcul es tel que su
224. rents et de r aliser deux essais avec d montage et remontage sur le banc d essais pour chaque moment de serrage De cette mani re l int grit structurelle de la poutre soit assur e Les deux moments de serrage des vis choisis sont 20 lb in et 40 lb in mm s V Pour cette tude la sensibilit du vibrom tre laser a t r gl e 10 Pembout en nylon blanc a t utilis sur le marteau instrument et la poutre tait impact e proche de la base afin d exciter le plus possible les hautes fr quences VIL 1 1 Serrage 20 Ib in Les deux essais ont produit les r sultats suivants 230 Composite poutre 1 20lbin test 1 Composite poutre 1 20lbin test 2 PA 07 Contenu Fr quentiel DN hs A A L L li 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 Fr quence Hz T r t Figure vii 1 Essais r p tabilit de la poutre 1 avec moment de serrage de 20 lb in Voici une vue largie du contenu fr quentiel de la boite avec des traits interrompus de la figure Composite poutre 1 20lbin test 1 35 Composite poutre 1 20lbin test 2 N a T i T li Contenu Fr quentiel T l 05 Nd 300 350 400 450 Fr quence Hz Figure vii 2 largissement de la Figure vii 1 Il est clair que cet essai excite surtout les basses fr quences La meilleure m thode pou
225. rient s selon l axe longitudinal du stratifi o avec un angle de 45 degr s par rapport l axe longitudinal du stratifi La matrice des d formations dans le plan se simplifie donc galement Exx Enx Ky 0 Ky Ky En Z O z sels 1 29 Yyz Vir Kxy 0 Kxy Kxy Et les contraintes sont calcul es tel que suit Cy 1 C 2 0 Exx Cia C2 0 Kx i 2 T 2 0 cl Ci2 C22 0 z 1 30 C6 6 Yxy 0 0 C6 6 0 Les d veloppements ci dessus montrent que lorsqu un stratifi classique poss dant une s quence d empilement sym trique est soumis un effort de flexion pure la d formation transversale n est pas coupl e avec une d formation longitudinale ni en torsion Dans les poutres section creuse o les couches sont enroul es autour d un mandrin le seul moyen d viter d avoir des couplages vibratoires avec des mat riaux composites est d utiliser des composites unidirectionnels avec des orientations de 0 ou 90 par rapport a l axe de la poutre ou alors d utiliser des composites bidirectionnels avec des orientations de 0 90 ou 45 I 3 Th ories des poutres Ce paragraphe d taille les calculs du paragraphe 3 8 du Chapitre 3 147 Les th ories de poutres pr sent es ci dessous permettent de calculer les fr quences propres et les fonctions modales de poutres homog nes et isotropes de mani re analytique dans le cas de la th orie d Euler Bernoulli et de mani re num rique d
226. rincipales ci dessous ne sont pas d finies au complet La matrice de souplesse pour une couche horizontale dont les fibres poss dent une orientation de 0 90 par rapport a l axe longitudinal est obtenue ci dessous en partant de l expression 3 14 et 3 15 1 U1 2 V13 V1 2 1 V13 V13 V13 1 S noriz 1 0 0 0 0 0 G13 0 0 0 0 l 0 G13 0 0 0 0 0 1 G12 l 1 osi iS ee 42 8 42 8 42 8 031 1 Os my we 42 8 42 8 42 8 Vis be 10 0 0 0 428 428 F 10 107 0 0 0 0 0 G13 0 0 0 0 Li 0 G13 1 0 0 0 0 81 La matrice de souplesse pour une couche horizontale dont les fibres poss dent une orientation de 45 est obtenue en partant de la relation 3 15 1 56 s 1 S6 0 0 0 Sire Spat Sia Sa S gt Lu Ton TT gt 91277 13 1 S 1 S T a se 0 0 LS noriz S13 S13 533 0 0 0 0 Sy 0 0 0 O S44 0 0 o0 O 2 S11 S12 1 1 031 1 17 1 0 31 1 D ar aA 42 8 2 17 23 5 42 8 2 17 23 428 17 1 0 31 1 17 1 0 31 1 CES z A 428 217 23 a 42 8 217 23 428 V1 3 V1 3 10 0 0 42 8 42 8 E 10 107 0 0 D 6 0 G oi w 6 2 0 0 0 G13 A eee ss 42 8 1 0 69 1 1 0 69 1 v3 Geese a HR 0 2 42 8 2x17 23 2 428 2x17 23 42 8 1 70 69 1 170 69 1 v3 C E 9 0 2 42 8 2 17 23 2 42 8 2x17 23 42 8 Via Via 10 pe pes a 0 0 0 42 8 42 8 E gt 10 40 0 0 0 0 0 G13 0 0 0 0 ws 0 G13 0 0 0 0 0 5 42 8 La compos
227. s probl mes de poutres ayant des supports rigides et des masses ponctuelles Ces probl mes sont g n ralement difficiles solutionner Cette technique utilise les solutions de probl mes plus simples avec des supports lastiques la place des supports rigides et sans masses ponctuelles Le probl me est r solu gr ce la m thode de Rayleigh Ritz Dans celle ci les fonctions modales de probl mes simples sont utilis es pour la r solution de probl mes plus complexes La m thode de Rayleigh Ritz permet de calculer les fr quences propres et les fonctions modales de certains probl mes complexes en partant des expressions des nergies Il faut jusqu 100 termes pour atteindre la convergence Cependant l effort de calcul fourni pour la r solution des syst mes matriciel est faible selon les auteurs Cette m thode n a pas t utilis e dans cet article pour calculer la r ponse transitoire suite un impact Han Benaroya amp Wei 1999 ont compar les 4 th ories les plus utilis es en ce qui concerne les vibrations transverses Plus pr cis ment les mod les adimensionnels des poutres d Euler Bernoulli de Rayleigh de la poutre de cisaillement et de Timoshenko ont t red velopp s et r solus gr ce au principe de Hamilton pour des vibrations libres et forc es pour des conditions aux limites vari es La diff rence entre le mod le de Rayleigh par rapport celui d Euler Bernoulli est qu il prend en com
228. s fabriqu es mm Poutre Poutre Diff rence entre poutre 2 et Poutre Diff rence entre poutre 3 et 1 2 poutre 1 3 poutre 1 K 5 4 2 tat des poutres Le processus de fabrication est encore sujet am lioration En effet le meulage de la r sine l empilement des couches et d autres tapes ne sont pas suffisamment pr cis et des variations apparaissent entre les diff rentes poutres Ce paragraphe pr sente quelques d fauts pour chacune des trois poutres Certaines entre elles sont illustr es dans la Figure 5 22 Bien que la forme g n rale des trois poutres soit satisfaisante quelques d fauts apparaissent aux sections des deux extr mit s des trois poutres fabriqu es Ces d fauts apparaissent surtout aux coins des sections o les plis sont parfois d lamin s Ceci est sans doute caus par deux choses Premi rement la tension de surface appliqu e lors de l enroulage des couches autour du mandrin n est pas suffisamment lev e et deuxi mement le contre moule n applique une pression que sur les surfaces planes des poutres Les exc s de mati re se retranchent donc sur les c t s des poutres lors de la cuisson De plus certains endroits sur les poutres il y a absence de courbure le long des arr tes des poutres et la section de la r sine charg e l encastrement est l g rement diff rente de la section du mandrin causant des diff rences de courbure En effet le mandrin poss de une section
229. s sp cifiques la poutre 2 0 435 2 42709 Voici les caract ristiques g om triques 200 Tableau vi 14 Caract ristiques g om triques de la poutre 2 m Caract ristiques g om triques de la poutre 2 m ae Figure vi 2 G om trie de la poutre 2 Dans le code de calcul la section n est pas mod lis e avec des coins arrondis mais plut t avec une section rectangulaire VI 2 1 3 Poutre 3 Cette poutre est fabriqu e en aluminium mais le type d alliage n a pas t d termin avec pr cision L hypoth se a t faite qu il s agit galement d aluminium 2024 T4 tel que la poutre 1 Tableau vi 15 Propri t s sp cifiques a la poutre 3 Propri t s sp cifiques la poutre 3 0 43699 2 44422 Les caract ristiques g om triques de cette poutre sont r sum es dans le tableau ci dessous 201 Tableau vi 16 Caract ristiques g om triques de la poutre 3 m Figure vi 3 G om trie de la poutre 3 Cependant cette poutre est perc e quelques endroits et cela influence les mesures exp rimentales Figure vi 4 Al sages de la poutre 3 Les deux images ci dessous illustrent les endroits o la poutre est perc e Celle ci a t plac e sur le banc d essai avec les faces trou es en contact avec les plaques de serrage VI 2 2 Fr quences propres calcul es Il faut pr ciser que th oriquement il ne devrait pas tre n cessaire de valider la m tho
230. s sur courbes d impacts th oriques 253 Mel Impactavec Mirae temporel miiran ai e a aa a eee 253 XI 1 2 Impact avec fonctions continues temporelles 253 XI 1 3 Mani re d utiliser les techniques de lissage 258 XI 2 R p tabilit des essais des trois poutres en composites 259 MLZ My Poutrewl sss E E ne ie en et DDD Bouteille ess este ie es NI 2337 0x16 1 oe meno ASAT Pn SIR RO Re A mp ie es a XI 2 4 Conclusion G k xxiii LISTE DES SIGLES ET ABR VIATIONS Aire de section m f f f A Aire de section adimensionnelle 1 m Nombres d onde Nombres d onde adimensionnels a L b L b x L Modules de Young Pa x R 2 x L3 Excitation externe adimensionnelle LE Modules de cisaillement Pa G L Ex Module de cisaillement adimensionnel Second moment de surface m I p Second moment de surface adimensionnel Facteur de forme de cisaillement Rayon de giration Longueur de la poutre m has A Coefficient d lancement L f D placement selon l axe longitudinal x m D placement selon l axe transversal y m D placement selon l axe transversal z m X Y Z XX V Coordonn es cart siennes m D formation angulaire de cisaillement rad E k G D formations axiales Coefficient de Poisson 2 2 A x Coordonn e cart sienne adimensionnelle z k Masse volum
231. sabelle B n dict et Jeanne du d partement de g nie m canique Son approche amicale a t particuli rement appr ci e Merci Mme Brochu et M Lakis d avoir accept de faire partie du jury de d lib ration lors de la d fense de ce projet de recherche Merci Roland Edith Fotsing de nous avoir paul s mon stagiaire et moi et d avoir pris le temps n cessaire pour nous transmettre ses connaissances et d avoir partag son avis sur diverses probl matiques mes amis du d partement de g nie m canique de la cave et en dehors Fran ois Jean Michel Masoud Constant Etienne Paul Marion Elsa Ce fut deux belles ann es Merci pour les beaux moments que vous m avez procur R SUM Le sujet de cette recherche porte sur la mod lisation analytique des vibrations transversales de poutres en composites multicouches section creuse La m thode nerg tique des modes assum s a t choisie cet effet contrairement aux travaux d autres auteurs L objectif de cette m thode est de calculer les fr quences propres ainsi que le comportement transitoire de poutres gr ce des fonctions admissibles et ce de mani re tr s efficace Le comportement transitoire suite des impacts n a pas beaucoup t tudi dans la litt rature trouv e par l auteur La logique derri re cette m thode est de calculer les solutions d un probl me complexe gr ce aux fonctions modales d un probl me simplifi
232. sate oe x 6 se eae us ses oe cece eae ce oes see oes ose ates x se se 2e aes se ee oe Se RSS cece cates 2e lt amp ae RS see x amp RS amp RS amp lt lt gee RS cee gee s see RS RS See nes es ss eee ase Kz z Se 8 S ee 2 S aes se Se se se ate eae ee nase se SC lt lt sacotctetaeces seg x oe ve x ees ES ose eee RS os 59 ee sates gases lt oS ones oe Sees setae lt lt se RS 2s RX S BRS mes ate lt cates me xe me sates oe ses 0 x ne Se seats RS BORK ee SOSSON 5058 Le Sates ae eae S x xs 5 3 se ee RS x RS se eg ones eX RS Re vote se oes eee Re Sete anes 2 RSS lt Se Se see RS RS Rs sees t S See r ces xe Rss RR 25 2 x Se se lt s lss Re canes RRR RRS ss oe es se Se esse ses amp ee x xe se see xe lt lt Re es w S reses RS S SS sates ee lS Sees see es ss eases SRR ete es Ses SKS Ses ES tes eae x ee S oS S Sete teses x Ses x Se SS Se RS S lt RS SS SS SS 2e Se ss amp r Sates eee ss Se eses sts SoS 2 see Re set x ee ce ses eg oes x s xs gacenecaconecacenecaces RS xe tesos ses See x Ses x ee 2060 ones ates 2e Re Se eae x eS ue se es xg ee eee 5 o oe ses SS
233. sceesseceseeeseeesneecsaecnseenseee 197 VI Caract ristiques des poutres 5e ne ne eG a Roam 198 VI 2 2 Fr quences propres calcul es sua 201 VI 2 3 Deuxi me partie de la validation de la m thode des modes assum s 219 VES Conclusions de l Annexe se ann cess tan tak nt urnes ee en Re 225 ANNEXE VII M THODOLOGIE POUR PRODUIRE UN SPECTRE FR QUENTIEL EXPERIMENTAL BQUIDIBRE ea s andere uRdto ne 229 VILI Effet du moment de serrage des vis sur le spectre fr quentiel 229 VIL1 1 Merragerad QU Ib Sen ant msn a E E ae 229 VII2 Comparaison serrage 20 Ib in et 40 Ib in ss 232 VIL2 1 COMPARAISON RSS SES EE E RS ER ne en 233 VILS Eifet dur typed emboutciissuccsantunscadesessniiasbevatdatiisanideapaaastasaveatonmeeeeantniewaeesees 234 VIL3 1 COOMPALAISONS onto nl TR RS sd eee a AR ogee 235 MILA Effet de la hauteur de frappe s cicxcceeici ceeds asensstess mature Seals nids e 236 VIL4 1 COMPARAISON Er esas nn E ne ne ands a oa een 237 VIIS Effet de la forced Impact asenenc studs cons Seceines aes ee uae 237 VIL5 1 Comparaison sin nine nn ain lite 239 VILO Conclusione enee Nr dee ne ea eee eg ane ce fu 239 ANNEXE VIII ROTATION DES REP RES D UN STRATIFI nu 240 ANNEXE IX CALCUL DU FACTEUR DE FORME rs 247 ANNEXE X FAIBLESSES DE MAPLE sy ij ccciyocsdes artist aids eases eens 251 ANNEXE XI D TAILS CHAPITRE 5444 San de nee 253 XI 1 D tail
234. se en utilisant la th orie de d formation en cisaillement d ordre sup rieur Higher order Shear Deformation Theory Les matrices de rigidit utilis es sont les m mes que des mat riaux isotropes l exception que la valeur des composantes varie travers l paisseur Les plaques en question taient compos es d acier inoxydable ainsi que de nitrite de silice Ils sont parvenus d terminer quelle configuration de plaques FGM soutien le mieux des impacts Au vu des informations illustr es ci dessus la m thode des modes assum s Cheng et al 2006 Mostafavi Yazdi amp Irani 2009 a t choisie parce qu elle est la plus appropri e selon l auteur Il s agit d une m thode qui utilise les expressions des nergies et peut donc calculer la solution des probl mes complexes Une fois les expressions des nergies calcul es le principe de Hamilton est utilis conjointement avec les quations de Lagrange pour g n rer un syst me 13 d quations coupl qu il faut r soudre De plus la m thode des modes assum s est en mesure de calculer les vibrations transitoires La possibilit de pouvoir choisir des fonctions modales d crivant un probl me simplifi ressemblant au probl me tudi assure une convergence plus lev e que dans le cas des autres m thodes qui utilisent des polyn mes De plus son impl mentation est moins compliqu e que la m thode de la Reverberation Ray Matrix La
235. se r duire avec un num ro de mode croissant Il a fallu d terminer si les mesures taient r p tables sur chaque poutre avant de proc der aux mesures exp rimentales Cette analyse est reprise en partie dans l ANNEXE VII 5 5 1 R p tabilit des essais sur la premi re fr quence propre Influence du moment de serrage Les mesures de r p tabilit ont t effectu es sur la poutre 1 avec l embout en nylon Les impacts ont t occasionn s proche de l encastrement pour viter les doubles impacts Les essais ont t r alis s avec deux moments de serrage diff rents et le montage a t d sassembl et puis r assembl entre chaque essai Les figures ont t g n r es gr ce la fonction fft de MATLAB dont l expression est la suivante N X k gt x wo 5 2 j 1 Avec _2ni Wy e N Les r sultats obtenus sont pr sent s ci apr s 73 Composite poutre 1 20lbin test Composite poutre 1 20lbin test aL Composite poutre 1 40lbin test Composite poutre 1 40Olbin test m s 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5 Fr quence Hz Figure 5 23 Spectre fr quentiel pour les essais de r p tabilit Composite poutre 1 20lbin test1 Composite poutre 1 20lbin test2 Composite poutre 1 40lbin test1 8 7 Composite poutre 1 40lbin test2 fF 3 5 m s
236. selon l axe y soit le terme v des relations 3 1 et n gliger les termes qui comportent des d riv es 30 partielles par rapport y Ces deux simplifications traduisent le fait que le plan neutre ne se d place pas selon l axe y et que tous les termes sont ind pendants de la coordonn e y Les quations de d placement se r duisent de la mani re suivante u Up Z Py v 0 3 22 WwW Wo En d rivant les expressions des d formations se simplifient de tel que suit 0 0 cm gg 2 554 Eyy 0 Ezz _ 0 3 23 Yyz 0 Vxz 0 Yxy Jx 0 x 0 De plus dans les th ories des poutres l effet Poisson est n glig Ceci est quivalent faire l hypoth se suppl mentaire que les contraintes oyy et ozz et les contraintes et zz sont nulles Cette hypoth se est expliqu e dans ANNEXE I En cons quence la valeur des composantes de rigidit qui en r sulte n est plus la m me S11 S12 S13 Exx 0 0 0 Oxx eal Si2 Sz Sos 0 0 01 o Ezz _ 513 S23 S33 0 0 0 z LS Yyz 0 0 0 Sa 0 0f 9z Yxz 0 0 0 O Sss 0 Yxy 0 0 0 0 0 S l x Exy S11 OB 0 0 0 Oxx 0 Siz Sop Sap 0 0 0 0 _ S8 SB sm o o Off Oo Yyz 0 0 O S 0 0 9z Yxz 0 0 0 O Sss 0 9xz Yxy 0 0 0 0 0 S66 x o les termes surlign s peuvent tre limin s 31 Exx S11 0 0 0 Oxx te Yyz 0 S44 0 0 Oyz 3 24 Yxz 0 0 S55 0 Oxz Yxy 0 0 O S66 Lxy 1 O S11 et donc Oxx Ci1 Exx Oxx i
237. sentent un module de rigidit longitudinal p g g sup rieur aux couches d orientation 0 90 mais un module de rigidit en cisaillement dans le plan plus faible De plus avec l hypoth se qui a t faite sur la valeur de G13 le module de rigidit en cisaillement transversal est toujours plus faible que les modules de rigidit en cisaillement dans le plan pour les deux types d orientation La comparaison entre les r sultats th oriques et exp rimentaux est r alis e la fin du chapitre Elle permettra d en tirer des informations pertinentes sur la variabilit de fabrication la pr cision des r sultats etc Ce chapitre comprend l tude de six cas diff rents Des simulations sont r alis es gr ce la m thode des modes assum s avec la th orie des poutres d Euler Bernoulli et la th orie des poutres de Timoshenko pour chacune des trois poutres en composites fabriqu es Ces six cas sont r sum s dans le Tableau 6 3 Il existe deux diff rences dans le code de calcul entre la th orie d Euler Bernoulli et celle de Timoshenko La premi re diff rence est bien videmment au niveau des fonctions modales utilis es et la seconde est la mani re dont les matrices de masse et de rigidit sont calcul es Les expressions des matrices sont donn es en rappel dans les paragraphes appropri s 89 Tableau 6 3 R sum des cas tudi s Num ro de poutre Th orie utilis e Euler Bernoulli Timoshen
238. t i 35 O p repr sente la masse volumique adimensionnelle A laire de section adimensionnelle t le temps adimensionnel w le d placement transverse adimensionnel la coordonn e longitudinale adimensionnelle et f la force de chargement adimensionnelle Il est possible de passer de la forme dimensionnelle a la forme adimensionnelle grace aux relations suivantes tir es de l article Han et al 1999 t 1 36 149 w x t w t L WG D D Wi aw X WEE D gy W t L 00 00 1 DD DMC dw DOWN GE D Ging Ete W E s Donc WiCx W7 L qw t qw t i 37 iw C di E x dw dw w1 L6 2 De plus p PRES E 1 Het i 38 L2 f x t L t Ce Hair O E repr sente le module de Young selon l axe x de la poutre w la premi re fr quence propre qui est inconnue avant la r solution du probl me L la longueur de la poutre J le second moment de surface Les conditions limites sont les suivantes Han et al 1999 d2w w d3w Ge o er eo 0 ve et r sultent aux quations suivantes pour une poutre encastr e libre 150 i Aa aias w oe oe cae D w Ca La solution des quations d Euler Bernoulli est bien connue et largement utilis e Dans le cas 1 40 0 w z 0 0 0 d une poutre encastr e libre les fonctions modales adimensionnelles pour les d placements transverses de
239. t les fr quences propres approximatives des diff rents cas sont compar s entre eux et avec les fr quences exp rimentales obtenues dans le chapitre 3 Les conclusions se trouvent la fin du chapitre 94 6 4 1 Poutre 1 Tableau 6 6 Comparaison des fr quences propres approximatives et exp rimentales pour la poutre 1 Diff rence Erreurs entre Fr quences Poutre 1 Poutre 1 Fr quences entre E B et l exp rimental et propres Hz E B Timoshenko exp rimentales Timoshenko Timoshenko 43199 421 15 2 51 10 96 2 707 25 2 318 94 14 34 2038 12 12 Ga kiui bua 95 6 4 2 Poutre 2 Tableau 6 7 Comparaison des fr quences propres approximatives et exp rimentales pour la poutre 2 Diff rence Erreurs entre Fr quences Poutre 2 Poutre 2 Fr quences entre E B et l exp rimental et propres Hz E B Timoshenko exp rimentales Timoshenko Timoshenko 2 586 78 2 227 59 13 89 1966 5 23 462 89 13 024 85 96 6 4 3 Poutre 3 Tableau 6 8 Comparaison des fr quences propres approximatives et exp rimentales pour la poutre 3 Diff rence Erreurs entre Fr quences Poutre 3 Poutre 3 Fr quences entre E B et l exp rimental et propres Hz E B Timoshenko exp rimentales Timoshenko Timoshenko 411 29 401 50 2 38 355 5 11 46 2 577 50 2 223 66 13 73 1943 12 62 23 378 74 13 039 45 44 23 6 5 Conclusions Les fr quences propres approximatives de Timoshenko sont syst matiqueme
240. t plus performant qu un mat riau homog ne Les mat riaux composites peuvent contenir des mat riaux sous forme de fibre ou non Les mat riaux composites fabriqu s avec des fibres de verre ou de carbone avec une matrice en poxy sont tr s communs dans l industrie Le code d velopp peut traiter n importe quel type de mat riau orthotrope et n importe quel agencement de couches dans un stratifi pourvu que les caract ristiques m caniques et que la s quence d empilement lui soit fournies en s assurant qu il n y ait pas de couplages vibratoires induits Dans le cas contraire le code calculera des solutions qui ne repr sentent pas correctement le probl me tudi Dans la th orie classique des stratifi s appel e aussi la th orie de Mindlin Reissner ou champ de d placement de premier ordre les sections perpendiculaires au plan neutre restent droites suite aux d formations Cette th orie d finit le champ de d placement travers l paisseur du stratifi tel que suit Berthelot 1996 u uo Z dy vV Vo Z hy 3 1 w Wo o u est le d placement total et uw le d placement du plan neutre selon l axe x v est le d placement total et v9 le d placement du plan neutre selon l axe y w est le d placement total et w le d placement du plan neutre selon l axe z D est langle de flexion dans le sens positif que forme la section initialement contenue dans le plan yz
241. t utilis e pour obtenir les fr quences naturelles exp rimentales des trois poutres en composites fabriqu es Deux essais ont t r alis s avec d montage et remontage sur le banc d essais pour chaque poutre afin de confirmer la r p tabilit des essais Le moment de serrage des vis du banc d essais tait de 40 Ib po soit 4 52 N m et la sensibilit du vibrom tre laser tait r gl e 50 Dans les paragraphes qui suivent les r sultats des deux essais pour chaque poutre individuelle seront d abord compar s entre eux Par la suite les r sultats des trois poutres seront compar s pour d terminer la variabilit par rapport la fabrication Trois figures sont pr sent es pour la premi re poutre La Figure 5 25 trace le contenu fr quentiel entier la Figure 5 26 le contenu fr quentiel dans la gamme 300 Hz lt f lt 450 Hz et la Figure 5 27 le contenu fr quentiel dans la gamme 1500 Hz lt f lt 5000 Hz Les deux essais sur la premi re poutre ne pr sentent pas de variabilit En effet les fr quences propres de la premi re poutre pour les deux essais sont en accord Les essais de r p tabilit sont donc concluants L ANNEXE XI montre que les essais de r p tabilit des deux autres poutres le sont aussi La s lection des pics fr quentiels est difficile r aliser puisque plusieurs pics sont pr sents sur ce qui semble tre des fr quences propres uniques Gr ce aux r sultats th oriques du Chapitre 6 l
242. te des spectres des deux autres poutres En effet le premier pic est de la m me amplitude que le deuxi me et la vall e entre les deux est beaucoup plus prononc e que dans le cas des autres poutres L origine de ce double pic pour la premi re fr quence est inconnue Les poutres 2 et 3 en composites pr sentent des fr quences propres g n ralement plus proches entre elles qu avec la poutre 1 Ceci est normal puisque la poutre 1 poss de une valeur L diff rente de celles des deux autres poutres De par leur s quence d empilement les poutres fabriqu es ne devraient th oriquement pas poss der de couplage entre les vibrations transverses et les vibrations en torsion Cependant des pics fr quentiels correspondant des modes de torsion peuvent tout de m me apparaitre cause d une fabrication imparfaite un impact d centr ou d un point de mesure l g rement d centr 79 CHAPITRE 6 CAS PARTICULIERS TUDI S Dans ce chapitre le probl me des vibrations transverses est r solu pour chacune des trois poutres fabriqu es gr ce la m thode des modes assum s Le chapitre est structur en trois parties La premi re pr sente certaines consid rations th oriques et certaines hypoth ses qui sont n cessaires pour pouvoir utiliser le mod le informatique Une tude de convergence sur les fr quences propres th oriques de la premi re poutre est effectu e dans la deuxi me partie et pour finir la troisi me partie
243. th oriques des poutres 2 et 3 et en y soustrayant les erreurs obtenues pour la poutre 1 228 Tableau vi 25 Erreur caus e par les sections creuses uniquement Erreur caus e par les sections creuses uniquement Erreur section creuse e on L erreur de la section creuse aurait donc un impact plus prononc sur les premi res fr quences propres et plus particuli rement sur la premi re fr quence propre Son impact est presque n gligeable pour les modes lev s 229 ANNEXE VII M thodologie pour produire un spectre fr quentiel exp rimental quilibr Les essais exp rimentaux de cette annexe sont r alis s sur la poutre 1 en composite Dans cette section l influence de plusieurs param tres sur les pics fr quentiels est tudi e mais sans pour autant essayer d identifier le type de vibration auquel appartient chaque pic VII 1 Effet du moment de serrage des vis sur le spectre fr quentiel Les poutres en composites ne peuvent soutenir des efforts aussi lev s l encastrement que les poutres m talliques test es dans l annexe 4 sous risque de briser les fibres et de modifier le comportement vibratoire de la poutre Cependant il est n cessaire de serrer suffisamment fort pour simuler un encastrement aussi bien que possible Une tude de r p tabilit a d abord t men e sur la poutre en composite num ro 1 Cette tude consiste tester la poutre avec deux moments de serrages diff
244. tivement irr guli re Il faudrait trouver un moyen de mieux serrer les plis autour du mandrin de r ussir exercer une pression sur les arr tes qui soit quivalente aux pressions exerc es sur les faces des poutres et finalement 126 de trouver un moyen de fabriquer les sections de r sines utilis es l int rieur des parties encastr es des poutres qui aient la m me section que le mandrin Il a t d montr que l encastrement du banc d essais ne simulait pas suffisamment bien un encastrement parfait th orique pour les poutres creuses Pour y rem dier il serait peut tre utile de redessiner un encastrement qui poss de une plus grande surface de contact le long des axes longitudinaux des poutres test es Afin d am liorer la r p tabilit des mesures il faudrait galement trouver un moyen de positionner les poutres avec pr cision sur le banc d essais Afin de minimiser les carts entre les r sultats th oriques et exp rimentaux pour des sections creuses pour des poutres en composites 1l faudrait utiliser un mat riau poss dant un module de rigidit similaire celui du mat riau du banc d essais Le proc d de fabrication des poutres en composites est imparfait et cela m ne des incertitudes sur la masse volumique r ellement obtenue pour les mat riaux composites Il faudrait mettre au point une m thode de d termination du poids des poutres apr s cuisson Il est facile de mesurer le poids de
245. tives sont en accord pour chacune des deux th ories de poutres Deuxi mement les fr quences de Timoshenko sont d environs 10 plus faibles par rapport celles d Euler Bernoulli Ceci est normal puisque le coefficient d lancement est plus faible que 100 et donc les effets du cisaillement apparaissent Bien que les diff rences entre les mesures exp rimentales et th oriques soient acceptables il est tonnant que les diff rences soient de l ordre de 6 En effet il s agit toujours d une poutre homog ne et isotrope Bien que la cause de ces diff rences peut tre une combinaison des m mes facteurs d incertitude que dans le cas de la poutre 1 la mod lisation de la section de la poutre en une section rectangulaire ajoute de la masse et donc de l inertie dans le mod le Ceci devrait avoir comme effet d abaisser les fr quences propres th oriques par rapport aux fr quences propres exp rimentales Cependant les valeurs th oriques sont plus lev es que les valeurs exp rimentales Ceci signifie qu un des facteurs provoquant des erreurs sur les mesures exp rimentales poss de une grande influence dans le cas des sections creuses Des erreurs de 6 ne peuvent priori pas tre caus es par des l g res incertitudes sur la section de la poutre ou sur le positionnement de la poutre sur le banc d essais La majeure diff rence entre la poutre 1 et la poutre 2 est le passage d une section pleine une section creus
246. uatre parois est un stratifi simple afin de pouvoir incorporer la th orie des stratifi s dans le code Les deux parois verticales sont donc des stratifi s ayant subi 90 degr s de rotation autour de l axe longitudinal x Il est n cessaire d obtenir leurs matrices de rigidit dans le rep re de la poutre partir du rep re local classique d un stratifi afin de pouvoir r aliser les calculs Il faut tout d abord d finir la relation entre le rep re local et le rep re global Le rep re local est d finit par le triplet x y z o les vecteurs unitaires sont d finis par i j k tandis que le rep re de la poutre est d finit par le triplet x y z o les vecteurs unitaires sont d finis par 1 j k Dans l exemple suivant on suppose une rotation autour de l axe de la poutre laxe des x de 90 dans le sens positif anti horaire illustr e par la figure ci dessous Figure viii 1 Rep res locaux d un stratifi horizontal et d un stratifi vertical par rapport aux axes globaux de la poutre Cette figure illustre le fait que les propri t s de la paroi verticale dans le rep re global de la poutre peuvent tre d riv es partir des propri t s d une paroi horizontale Il faut obtenir la matrice de souplesse dans le rep re global partir de la matrice de souplesse dans le rep re local Lele yz Sle yz Ole yz gt lelxyz Slxy z lolxyz PA vl
247. ue une augmentation des fr quences propres pour les quatre premiers modes Cette augmentation s affaiblit avec le num ro du mode parce que la diminution du module de cisaillement transversal tend r duire les fr quences propres et parce que le cisaillement devient plus important lorsque le num ro de mode augmente 109 partir de la cinqui me fr quence propre la poutre poss dant uniquement des couches d orientation 0 poss de la fr quence propre la plus lev e et celle poss dant uniquement des couches 45 poss de la fr quence propre la plus faible Plus pr cis ment la s quence d empilement 0 0 0 0 poss de une fr quence propre pour le cinqui me mode 0 04 plus lev que celle de la s quence 45 0 0 0 et 0 16 plus lev que celle de la s quence 45 45 45 45 Le d placement de la couche d orientation de 45 vers l ext rieur de la section a cependant toujours le m me effet d augmenter la fr quence Ceci est probablement caus par l influence du cisaillement sur les couches verticales La Figure 8 2 illustre ce propos partir du cinqui me mode l influence de la diminution du module de cisaillement transversal sur les fr quences propres l emporte sur l augmentation du module de rigidit longitudinal et la fr quence propre est donc r duite La case a b et c illustrent les deux s quences d empilement tudi es les modules de rigidit longitudinaux et les modules de cisailleme
248. uivante x2 T2 TX ai b sin a sin b ajbi ai me 4x7 ae be y bP 2aib 0 cos a cos b i 89 De plus les deux nombres d onde sont li s entre eux par la relation suivante r ai ay b 1 TEES gt i 90 a7 BF a r k Dans le cas d une poutre encastr e libre les coefficients poss dent les valeurs suivantes CG 1 ee sin a a a be sin b AU be ya yb sin b C2 Es 2 T2 2 aie ee a a cos a cos a by y D cos b y a cos B oi ae J 163 nr que a 223 o sin a a ai DF sin b sin a b y a y b sin b bat ogee a 2 2 _ a a cos a cos a by y by cos b y a cos b 2 Tx Fr di y bF 2 ay BF DE rs O Der CG L y a 1 y at i 92 Le M x2 tt h me BF yat Ds 7 Ca D 7 LG 1 y bi 1 y b L expression des fr quences propres en fonction des nombres d onde est la suivante Bx i 93 pL Les deux nombres d onde peuvent tre calcul s num riquement Les organigrammes suivants pr sentent la d marche en deux tapes pour calculer les nombres d onde pour toutes les gammes de valeurs 164 g b 0 5b u a Changement de signe Pas de changement de signe Algorithme de convergence Figure i 4 M thodologie de r solution des nombres d onde de la poutre de Timoshenko lorsque
249. ulement simuler le d placement transversal mais galement l angle de flexion l angle de cisaillement la vitesse et l acc l ration tout instant et sur la longueur enti re des poutres Dans le cadre de l tude param trique de la s quence d empilement les 16 empilements ont t simul s Etant dans l impossibilit d ins rer les animations dans le texte les r sultats pr sent s ci dessous illustrent le d placement la vitesse l acc l ration langle de flexion y ainsi que l angle de cisaillement transversal y pour le point arbitraire x ab pour une dur e de temps limit e arbitraire elle aussi Cette dur e est environ 15 fois plus lev e que la dur e de l impact qui fait l o 1 environ 2 107 s L impact est localis x gL La courbe temporelle de l impact est galement affich e sur la Figure 8 3 La Figure 8 4 illustre les d placements 16 poutres au m me endroit ainsi que les carts du d placement des poutres par rapport la poutre poss dant la s quence d empilement 0 0 0 0 Afin de r duire l espace qu occupent les figures les unit s de l axe des abscisses et la l gende ne sont affich s qu une seule fois au bas des figures 600 500 400 300 Force N 200 100 0 i l 0 011 0 012 Temps s Figure 8 3 Courbe d impact La Figure 8 4 a montre que les d placements au point consid r sont de l
250. ur les nanotubes en carbone En effet les nanotubes en carbone pr sentent des propri t s m caniques lectriques et chimiques tr s int ressantes et des nanotubes en carbone sont d j disponibles sur le march pour des applications de pointe Wang Tan amp Zhang 2006 ont r solu les quations de Timoshenko pour des nanotubes parois multiples en carbone en utilisant la m thode de quadrature diff rentielle Les nanotubes parois multiples sont form s par plusieurs nanotubes coaxiaux imbriqu s Le d placement de chaque nanotube est coupl aux nanotubes adjacents entre autre par les forces Van der Waals La th orie d Euler Bernoulli est tr s r pandue dans le domaine mais ne donne pas de r sultats satisfaisants pour des poutres paisses Un mod le poutre unique o toutes les parois sont associ es une seule poutre m me si elles ne se touchent pas donne des r sultats satisfaisants lorsque chaque nanotube est mince Cependant un mod le multi poutres o chaque paroi est associ e une poutre individuelle est n cessaire pour calculer les vibrations de nanotubes pais parois multiples Ces derniers poss dent des propri t s plus int ressantes encore que les nanotubes en carbone paroi simple En effet une r sistance m canique une conductivit lectrique et thermique plus lev es sont possibles Ils pourront tre utilis s par exemple pour fabriquer des capteurs des crans lectromagn ti
251. ux avec le module de cisaillement dans le plan le plus lev Le type d application d pend en grande partie de la sollicitation Si l application comporte des impacts il est n cessaire d valuer si l impact est suffisamment court et poss de une vitesse suffisamment lev e pour exciter les fr quences propres lev es De plus dans plusieurs domaines tel que l a ronautique on cherche viter que 128 les structures n entrent en r sonance avec un chargement externe Ce chargement pourrait provenir de l coulement de l air ou des vibrations du moteur Les fr quences de rotation des moteurs d avion sont lev es et il faudrait s assurer que les fr quences propres des structures de l avion plus lev es que ces fr quences de rotation Le choix d orientation des fibres pourrait aider atteindre cet objectif Gr ce aux analyses du comportement transitoire des poutres il est possible de pr dire les lieux o les cisaillements maximaux apparaissent Une telle analyse pourrait tre utile lorsqu il faut amortir les vibrations gr ce des patchs visco lastiques tel que d crit dans le m moire de Horel 2013 La m thode d velopp e dans le cadre de cette recherche peut servir d velopper une multitude de probl mes vibratoires coupl s ou non coupl s section pleine ou creuse section constante ou non constante De plus gr ce la formulation adopt e d autres types de chargements
252. ux mat riaux composites classiques o l on suppose que les propri t s sont constantes travers chaque couche 11 individuelle Les FGM permettent de soutenir des gradients de temp ratures lev s tout en maintenant leur int grit structurelle Ils sont donc utilis s dans des domaines tel que le nucl aire l a ronautique etc Les mat riaux FGM sont principalement utilis s dans les applications o des gradients de temp rature importants peuvent survenir En effet gr ce aux FGM les faces des structures qui sont soumises des temp ratures tr s lev es de l ordre de 2000K peuvent tre prot g es lorsque celles ci sont constitu es de mat riaux adapt s et formant donc un rev tement protecteur Les pales d une turbine gaz sont une application Mahamood Akinlabi Shukla amp Pityana 2012 Certains auteurs se sont int ress s aux poutres non homog nes en FGM Ziane Meftah Belhadj Tounsi amp Bedia 2013a ont tudi des poutres FGM section creuse et ont r solu les quations de mani re analytique Le champ de d placement consid r prend en compte les rotations des plans autour des trois axes principaux avec des fonctions de gauchissement La matrice de rigidit utilis e poss de la forme de la matrice de rigidit d un mat riau isotrope mais les composantes varient travers l paisseur Les quations de mouvement ont t obtenues gr ce au principe de Hami
253. vibration lin aire gr ce la m thode des modes assum s Il s agit nouveau d un chapitre qui n entre pas dans les sp cificit s du probl me tudi Encore une fois les th ories et m thodes pr sent es ici sont tir es de la litt rature dans le but d tablir au Chapitre 6 la solution sp cifique au probl me abord dans le cadre de ce travail Le chapitre est divis en deux parties principales La premi re d rive les expressions des matrices de rigidit de masse et du vecteur des chargements externes qui r sultent de la discr tisation du probl me et qui compose le syst me matriciel r soudre La deuxi me partie se concentre sur la r solution proprement dite du syst me matriciel 4 1 G n ralit s La m thode des modes assum s est une m thode approximative permettant de discr tiser le probl me tudi en un syst me matriciel en partant des expressions des nergies Afin de pouvoir l utiliser il est n cessaire de calculer les expressions des nergies potentielles conservatives l nergie cin tique et le travail des chargements externes Cheng et al 2006 Mostafavi Y azdi amp Irani 2009 L nergie potentielle conservative est calcul e gr ce aux expressions de contraintes d formations Berthelot 1996 Dans le cas tudi ces expressions d pendent des d formations transversales de la poutre La m thode des modes assum s consiste remplacer les d placements par une somme
254. w Jeco 0 De m me que la poutre de cisaillement la poutre de Timoshenko poss de galement deux fonctions modales Celle du d placement transversal de la fibre neutre et celle de l angle de flexion des sections de la poutre et d pendent elles m mes des deux nombres d onde a et b Par contre les expressions des formes modales d pendent aussi de la valeur de a En effet dans le cas o a lt az donn par l quation 3 58 les fonctions modales prennent la forme classique Han et al 1999 W Ci sin a C2 cos a C3 sinh B C4 cosh B PSI D sin a D cos a amp D sinh D cosh G 1 81 Dans le cas de poutres encastr es libres ces deux variables sont la solution de l quation fr quentielle suivante aj b sin a sinh b a a b a aye 4 y a bt boy bi cos a cosh b 1 82 b y a7 a y 2b i i 2a b 0 De plus les deux nombres d onde sont li s entre eux par la relation suivante EE a a y bj E 1 i 83 aar e Le nombre d onde critique a vaut 1 1 dc k yz 1 1 84 Dans le cas d une poutre encastr e libre les coefficients poss dent les valeurs suivantes 161 C 1 3 2 2 pb 2 2 2 3 p 2 3 a 2 sin a af aj bye aj b e i 2 sin a b y ai y bj e bi yb ei C 7 7 7 aj 2a cos ai 2 cos a bj y
255. xyz 241 Les composantes de ces matrices sont utilis es dans les th ories des poutres ainsi que dans l expression de l nergie potentielle L illustration ci dessus se traduit en quation de la mani re suivante i 1 0 Qf k 0 1 OJ Lk Il est n cessaire d obtenir les tenseurs de changement de rep re des contraintes et des d formations autour de laxe x qui seront multipli s avec la matrice de souplesse dans le rep re local pour obtenir la matrice de souplesse dans le rep re global de la poutre Les relations de rotation des contraintes et de d formation autour de l axe z sont les suivantes cos 0 sin 0 0 0 0 sin cos sin 0 cos 0 0 0 sin cos S fr 0 0 1 0 0 0 eu 0 0 0 cos 8 sin 8 0 0 0 0 sin cos 0 2sin 8 cos 8 2sin cos 0 0 0 cos sin 0 cos sin 0 0 0 0 2 sin cos sin 0 cos 0 0 0 2 sin cos ae 0 0 1 0 0 0 PU 0 0 0 cos 8 sin 0 0 0 0 0 sin cos 0 sin cos sin cos 0 0 0 cos sin 0 tel que Oxx Oxx Oyy Oyy Ozz Ozz Oyz To Oyz Lo fina Tg initia Oxz Oxz Oxy final Oxy initial viii 1 Exx Exx Eyy Eyy Ezz Ezz Yyz T4 Yyz lel fina Tle linitia Vxz Vxz Yay final Yxy initial 242 Les vecteurs a et e sont d finis de mani re poss der la s quence d indices sp cifique tel les vecteurs ci dessus Il faut obtenir les relations tensoriel
256. y Les composantes N repr sentent les efforts dans le plan M les moments dans le plan et Q les efforts de cisaillement hors plan Pour un stratifi simple tel que repr sent ci dessous Z Figure i 2 D finition des hauteurs h Les r sultantes des contraintes sont les suivantes Ny k hk 1 Oxx N gt gt dz Nyy i 1 Pk Oxy i Mx k hk 1 Oxx M l dz i 21 Myy i 1 Pk Oxy i k MONET Z Ny i 1 hk yzl Les expressions des d formations sont les suivantes 144 Exx a e e z x Yxy e ga Ox Px A k e eL v kl K e yy ay x TA E Yay 3y Faa TAT H p4 Ware y2 Yxz 0 L ax x Il reste finalement les expressions des coefficients de la matrice carr e de l quation constitutive 1 20 k k Aij X hisa hi Cij pour ij 1 2 6 Bij DC h Ci pour i j 1 2 6 i 1 i 1 i k k 23 Dij gt hs h Ci pour ij 1 26 F D Gis h Ci pour i j 4 5 i 1 i 1 Lorsque la s quence d empilement dans un stratifi se r duit une configuration sym trique et quilibr e les composantes B sont nulles Ny dia A2 Ag 0 0 0 0 oO1fe Noll Az Azz Azs 0 0 0 0o ones Noll laie As deg Or 0 0 0 10 yo m o 0 O Dis Dz Dig 0 olle POF 50 0 Or De Dae OS 0 k Let Mal VE 0 07 Dye De Dee 0 colles Q 0 0 0 0 0 0 Fa Fs y amp 0 g OF no Or co OS ig Feel

Mémoire de maîtrise - École Polytechnique de Montréal

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