Home

Université de Liège - Infoscience

1. F p 0 9 0 j 0 01 0 1 h D 1 10 Figure 2 10 Relation Q h D pour diff rentes densit s de couverture p Enfin le rayon hydraulique R se d fini d une mani re classique par R 2 55 A l aide des d finitions des coefficients 7 et Q l quation 2 55 devient R h 2 56 A Q 75 Ainsi la hauteur d eau h doit tre multipli e par le rapport 7 Q pour obtenir le rayon hydraulique R du milieu en calottes Ce rapport est repr sent graphiquement la figure 11 en fonction de h D 10 R D 0 1 0 01 0 01 0 1 h D 1 10 Figure 2 11 Relation 7 Q h D pour diff rentes densit s de couverture p La g om trie du milieu en calottes n a ainsi plus de secret La phase exp rimentale peut d buter sur de bonnes bases 2 3 Essais en coulements stationnaires et uniformes Le mod le en calottes tel que d crit au chapitre pr c dent doit servir de base g om trique l laboration d une nouvelle loi de comportement cens e d crire le ruissellement de surface Ce mod le tr s simple en comparaison de la complexit de la surface d un terrain naturel ne saurait toutefois pr tendre une repr sentation parfaite de la r alit Il s agit bien d une approche conceptuelle comparable celle de Nikuradse collant des grains de sable de diam tre uniforme l int rieur de canalisations pour mod liser la rugosit naturelle des tuyaux Une approc
2. Si la hauteur d eau est sup rieure au diam tre alors p xD n 1 2 50 Pmax 4h 73 0 9 E 08 111 07 E 0 6 05 E 04 E 03 E 02 E 01 E p 0 9 o 0 01 0 1 h D 1 10 Figure 2 9 Relation 7 h D pour diff rentes densit s de couvertures p Par d finition la section mouill e s crit Am Bh 2 51 o Best la largeur du plan Il ressort de cette derni re quation que la surface mouill e de l coulement dans un milieu en calottes est une fraction de la surface mouill e habituelle des coulements sur plan calcul e par le produit de la largeur d coulement et de la hauteur d eau Le coefficient de porosit de section 7 d termine cette fraction D finissons finalement un troisi me coefficient g om trique Q par le rapport entre le p rim tre mouill P de la section de contr le et sa largeur B Q 5 2 52 Le p rim tre mouill s obtient par sommation des distances s parant chaque calottes sur le plan et du p rim tre des calottes Par des consid rations purement g om triques il peut tre d montr que 74 p 0 n 2 2 Q 1 2 53 max pour h lt Det ei 2 54 Pmax 2 pour h gt D La relation Q h D est repr sent e graphiquement a la figure 2 10 Q p 0 1 08 F 0 6 E 04 E 02 E
3. Ainsi le flux est suppos constant sur tout l l ment et variable d un l ment l autre L erreur de troncature est du premier ordre et est proportionnelle une distance caract ristique d de l l ment Elle est principalement constitu e de la premi re d riv e n glig e dans 3 24 Mais comme cette variable reconstruite intervient dans une d riv e premi re de l quation de base 3 10 la reconstruction constante fait appara tre num riquement une d riv e seconde dans l quation 3 10 La cons quence de cette technique de reconstruction constante se traduit par une forte dissipation spatiale qui va lisser les hydrogrammes simul s Par contre les avantages r sident dans une simplicit de calcul et une grande robustesse du sch ma d l amortissement num rique introduit Pour obtenir un sch ma plus pointu les d riv es premi res dans l quation 3 24 doivent tre gard es oq oq 2 Qgt Axe Aycal Old 3 26 9 9c 32 261 0 3 26 Cette technique de la reconstruction lin aire demande donc non seulement la connaissance de la variable q au centre de gravit de l l ment mais galement celle de ses d riv es en x et en y qui sont a priori inconnues De plus pour rester consistant ces d riv es doivent tre estim es au premier ordre de pr cision 116 Par simplicit d criture posons x r vecteur position du point o la reconstruct
4. als ee x valaa alala s alm F GridPolyline2 F Finite Volume of Netw 4 00e 00 9 60e 01 9 _ 9 20e 01 8 _ 8 80e 01 8 8 406 01 8 8 00e 01 7 7 806 01 7 _ 7 20e 01 6 6 80e 01 6 6 40e 01 6 _ 6 00e 01 5 BEN 56001 5 D 5 20e 01 4 4 4 3 3 2 2 2 1 1 8 4 DM 4 806 01 DM 4406 01 DM 4 00e 01 BE 3 60e 01 zz EB Raste2 GridPobine2 Figure 5 3 Mod le de calcul g n r sur la base du MNT 50 Les volumes finis sont ici teint s en fonction de la composante en x est ouest de leur orientation Le r seau des rivi res appara t en blanc A ce niveau de r solution le mod le de surface compte 28 229 volumes finis et 46 472 bords et le mod le de rivi res g re 4723 profils en travers et 385 jonctions Pour le premier test de Faitou a l chelle du bassin versant il a paru raisonnable d utiliser le mod le 250 m qui offre d j une bonne discr tisation spatiale Dans un m me esprit de simplification le r seau de rivi res est calcul avec le mod le de l onde diffusante et non pas avec les quations compl tes de St Venant Les fortes pentes rencontr es dans ces rivi res justifient pleinement l usage de ce mod le simplifi 5 1 2 Simulation de la crue de septembre 1993 Les donn es de pluies et de d bit ont t tablies dans le cadre du projet Cruex Cruex 1995 Comme le bassin versant ne disp
5. Contraintes visqueuses Masse volumique Longueurs caract ristiques suivant les axes Xi Contraintes turbulentes Contraintes turbulentes adimensionnelles Param tres d in gale r partition de vitesses sur la hauteur Coefficient de diffusion 156 Bibliographie ARCHAMBEAU P PIROTTON M MOUZELARD TH AND ERPICUM S 2001 Impact studies and water management with WOLFHYDRO a new physically based hydrological solver International Symposium on Environmental Hydraulics Arizona State University USA AL MASHIDANI G AND TAYLOR C Finite element solutions of the shallow water equations surface runoff Finite Elements Methods in Flow Problems pp 385 395 BEROD D 1995 Contribution l estimation des crues rares l aide de m thodes d terministes Apport de la description g omorphologique pour la simulation des processus Th se No 1319 EPFL BOILLAT J L 1980 Polycopi Hydraulique urbaine Laboratoire de Constructions Hydrauliques Ecole Polytechnique F d rale de Lausanne BOILLAT J L DUBOIS J 1998 Application of the PMP PMF methodology to the Mattmark scheme Proc Of Int Symp On new trends and guideline on dam safety pp 1221 1228 Barcelona 17 19 june BOILLAT J L DUBOIS J 1999 Approche m thodologique PMP PMF Application au barrage des Toules Colloque international sur la s curit des barrages Li ge BOILLAT J L DUBOIS J SCHLEISS A 2000
6. Laboratoire de Constructions Hydrauliques Ecole Polytechnique F d rale de Lausanne MI Communication 10 Generation et transfert des crues extr mes Le logiciel Faitou J r me Dubois Michel Pirotton Editeur Prof Dr A Schleiss Lausanne 2002 Communications du Laboratoire de constructions hydrauliques Ecole Polytechnique F d rale de Lausanne Editeur Prof R Sinniger N N N N N 1 2 3 4 5 1986 1988 1990 1996 1997 W H Hager Discharge measurement structures N V Bretz Ressaut hydraulique forc par seuil R Bremen Expanding stilling basin Dr R Bremen Ressaut hydraulique et bassins amortisseurs aspects hydrauliques particuliers Compte rendu du s minaire l EPFL Recherche dans le domaine des barrages crues extr mes Communications du Laboratoire de constructions hydrauliques Ecole Polytechnique F d rale de Lausanne Editeur Prof Dr A Schleiss N N N N 6 10 1998 1998 1998 2000 2001 N Beyer Portner Erosion des bassins versants alpins suisse par ruissellement de surface G De Cesare Alluvionnement des retenues par courants de turbidit J Dubois Comportement hydraulique et mod lisation des coulements de surface J Dubois J L Boillat Routing System Mod lisation du routage de crues dans des syst mes hydrauliques surface libre J Dubois M Pirotton G n ration et trans
7. est cependant a comparer avec la discr tisation spatiale du domaine Une estimation de l ordre de grandeur de ce terme indique qu il est environ mille fois inf rieur par rapport au frottement et a la gravit Si le traitement topographique pr requis au calcul ne s impose plus th oriquement il devient pratiquement moins important L coulement peut alors franchir des zones horizontales et m me a contrepente en comblant les d pressions locales La r alit physique de cette zone de r tention doit par contre tre valid e par une tude de terrain La recherche hydraulique ne s est int ress e que tr s peu aux lois de comportement des coulements hydrologiques en fine lame Une recherche originale dans ce domaine a permis de formuler une expression adapt e a ces conditions particuli res Sa prise en compte dans un mod le hydrologique garantit une base physique r elle au r sultat obtenu Cette expression de la perte de charge se fonde sur un mod le g om trique de l tat de surface d un terrain naturel Ce mod le simple est constitu d une surface plane recouverte de calottes sph riques La loi de comportement propos e est valide la fois pour les coulements laminaires et turbulents De plus elle garantit une transition r guli re entre les deux condition indispensable une simulation num rique Dans des situations extr mes de r gime d coulement cette relation se confond avec les lois reconnues de
8. l approximation de l onde cin matique et s crit u h 1 38 Par contre si la valeur de K est n gligeable l quation dynamique se r duit l approximation de l onde de gravit CAL ous CRE 1 39 ot Ox Fax h Enfin l quation de l onde de diffusion d coule d un nombre de Froude n gligeable avec un produit Fo Ko significatif C est l approximation de l onde diffusive 47 oh 2 u T FK 1 1 40 ga n 1 7 Limites de validit des mod les simplifi s Les conditions d applicabilit de chaque l approximation ont fait l objet de plusieurs communications dans la litt rature Sur base d essais num riques Woolhiser et Liggett 1967 proposent comme crit re de validit de l hypoth se cin matique que le nombre cin matique K soit plus grand que 20 Ils rel vent cependant que pour K 10 la plus grande erreur commise ne d passe pas 10 pour rapidement s amenuiser lorsque le K cro t Par comparaison entre la solution analytique et la simulation num rique d une perturbation sinusoidale Ponce et al 1978 montrent par ailleurs qu apr s une longueur d onde l approximation de londe cin matique fournit une solution a 5 pr s si la p riode d onde adimensionnelle Ty remplit le crit re suivant T S 0 T iv gt 171 1 41 o T est la p riode de l onde c est dire le double du temps de mont e de la crue Reprenant l tude originelle Morris et al 19
9. le premier d versement par l evacuateur de la digue de Mattmark depuis sa construction Le bassin versant de la retenue occupe une surface de 37 km au fond de la vall amp e de la Viege de Saas Son altitude varie entre 2200 et 3900 m et sa pente moyenne est de 21 Il est principalement compos de sols incultes et de rochers les glaciers occupant tout de m me 22 de sa surface La figure 5 1 pr sente une vue de la r gion de Mattmark sous la forme d une carte des ombres obtenue par Faitou 137 fi Rasta RS ting Figure 5 1 Vue de la r gion de Mattmark Sur cette carte des ombres obtenue par Faitou la digue est visible au centre appuy e contre la moraine sud du glacier de l Allalin Le lac de retenue s tend en direction du sud 5 1 1 G n ration du mod le de calcul La premi re tape de la simulation consiste laborer le maillage du bassin versant en volumes finis ainsi qu g n rer le r seau de rivi res comme cela est pr sent sous 4 3 Le mod le num rique de terrain de la r gion avec une r solution de 250 m constitue l information de base pour la r alisation de ce travail A ce niveau de d finition il a t choisi de consid rer le d but d une rivi re apr s la convergence de 3 cellules De cette fa on le r seau de rivi res g n r correspond bien avec les cours d eau mentionn sur la carte nationale au 1 25 000 Cette proc dure aboutit au mod le pr sent la figure
10. n 1 pp 25 32 MUSY A HIGY C 1999 Polycopi Hydrologie appliqu e Hydrologie et Am nagements Ecole Polytechnique F d rale de Lausanne NAPIORKOWSKI J J and DOOGE J C I 1988 Analytical solution of channel flow model with downstream control Hydrological Sciences Journal Vol 33 n 3 pp 269 287 NASH J E 1957 The form of the instantaneous unit hydrograph Int Assoc Sci Hydrol 45 3 1114 1121 PIROTTON M 1994 Mod lisation des discontinuites en coulement instationnaire a surface libre Du ruissellement hydrologique en fine lame a la propagation d ondes cons cutives aux ruptures de barrages Editions L H C N 479 pages 161 PIROTTON M 1995 Mod le hydrologique conceptuel distribu d coulement quasi tridimensionnel en fine lame sur bassin versant Research and Development in the Field of Dams pp 689 700 Swiss National Committee on Large Dams Switzerland PIROTTON M 1995 Mod lisation des ressauts en ruissellement hydrologique quasi tridimensionnel sur terrains quelconques Hydraulic Research and its Application next century Vol Integration of Research approaches and applications editor Thomas Telford pp 546 549 XXVI IAHR Congress HYDRA 2000 London UK PIROTTON M 1997 Une approche globale pour mod liser la gen se et la propagation des crues naturelles ou accidentelles Classe des Sciences Acad mie Royale de Belgique 182 pages PIROTTON
11. tablissement de la fonction de transfert des pluies jusqu leur d versement lat ral dans le r seau drainant Ce mod le de ruissellement doit cerner les particularit s des ondes propag es sur le bassin depuis leur initiation jusqu leur tarissement Il s agit donc d une approche instationnaire spatialement distribu e L approche n cessairement physique pour les avantages que lui conf re la signification de ses param tres se base sur quelques constats fondamentaux La mod lisation s int resse a des bassins versants complets d une superficie potentielle de plusieurs centaines d hectares Sa mise en uvre pour de telles applications doit rester raisonnable en moyens et en temps Le caract re quasi tridimensionnel d une g om trie constitue une richesse de donn es exploiter La priorit sera par cons quent donn e une prise en compte g n rale de la topographie sans ramener le bassin une g om trie id alis e ou une succession de plans d coulement ind pendants Dans ce contexte l approche tridimensionnelle para t compl tement inappropri e Au d part d une formulation g n rale des quations de Navier Stokes le mod le bidimensionnel s obtient par une hypoth se peu restrictive sur l importance relative des composantes de vitesse L impact des gouttes de pluie est n glig encore que cet aspect soit be parfois r introduit au niveau des termes de pertes Aucune hypoth s
12. 91 4 m i 1 63 B xX amA t i 0 Tandis que pour celles provenant de la condition limite amont la premi re constante d finie est i ty A ni B aitat i ge i 0 i ij 1 64 1 10 3 Calcul de l hydrogramme aval Le d veloppement th orique pr sent ci dessus n aboutit pas l obtention d une expression analytique de l hydrogramme aval Par contre avec cette approche il est possible de calculer un nombre quelconque de couples f Q o Q est le d bit sortant l instant t De cette mani re l hydrogramme aval est donn par un ensemble de points calcul s analytiquement Avec ces d finitions et pour un plan de longueur Lo l quation 1 54 donne m Dates 26 ix 1 65 L amA t B i 0 L indice k est celui du bloc de pluie durant lequel la courbe caract ristique sort l aval du plan Cet indice peut tre d termin par l in quation F m a tin A B 2 b i 0 i 1 66 1 P X 1 amAT t1 B 2 Lo i 0 Xiz 32 pour i 1 n Dans cet ordre la premi re fois que l in quation 1 66 est satisfaite alors k i Des que l indice k est d termin le temps de sortie t de la caract ristique laval du plan se calcule par 1 y fut 80 A i 0 ik a Lo Bk amA 1 67 t k 0 La hauteur d eau h laval et au temps t t est donn e par l quation 1 52 h i ty A 1 68 et le d bit unitaire q
13. Chaque facette est caract ris e par une pente une surface un coefficient de rugosit une loi d infiltration etc qui d pendent des caract ristiques du terrain l endroit consid r Selon la m me approche la pluie re ue par chaque facette peut tre modul e afin de tenir compte de sa r partition spatio temporelle A la limite chaque facette peut recevoir une pluie diff rente De m me le r seau d coulement 1D en rivi re est mod lis par un ensemble des profils en travers pouvant reproduire toutes les variations et complexit s de la g om trie 129 D apparence tr s simple pour ne pas dire simpliste cette mod lisation des coulements sur un bassin versant requiert une base th orique ad quate ainsi qu une g om trie adapt e aux quations retenues De plus des outils de g n ration automatique du mod le num rique de calcul sont absolument indispensables au vu des tr s grandes quantit s de donn es g rer Pour s en convaincre il suffit de signaler qu un mod le num rique de terrain mailles de 25 m tres repr sentant la surface couverte par une carte nationale au 1 25 000 est constitu de 701 colonnes et de 481 lignes soit un total de 337181 altitudes ou encore 1600 altitudes par km Il n est donc pas raisonnable de croire que l tablissement du mod le de calcul avec tous ses liens topologiques puisse se faire la main Ce travail demanderait un temps consid rabl
14. Lars zes 2 24 2 2M X D veloppons plus en d tail le cas de la formule de Strickler qui pr conise l usage de y 2 3 et qui s crit dans le cas d une section circulaire 2 v JD 2 25 47 Dans ce cas l amp quation 2 24 n est satisfaite que si M 3 Selon l quation 2 22 la relation de Strickler n est donc valable que pour Ks 917 108 2 26 D ce qui correspond A 5 442 10 selon 18 et f 3 68 10 selon 2 16 La figure 2 2 repr sente la relation 2 15 entre le coefficient de frottement f et la rugosit relative k D en coulement turbulent rugueux et l quation 2 19 cal e avec les coefficients A 5 442 10 et M 3 correspondant l quation de Strickler 62 0 5 f log f log k D Figure 2 2 Coefficient de frottement fen fonction de la rugosit relative k D en coulement turbulent rugueux Comparaison entre les quations de Nikuradse 2 15 et 2 19 cal e sur Strickler Avec la valeur des param tres A et M d finis ci dessus le coefficient de Strickler devient d apr s 2 23 _ 478 V2g _ 26 61 K 4 1 6 1 6 2 27 A k ks Finalement il est possible de repr senter dans le diagramme de Moody figure 2 3 la r gion d crite correctement par la relation de Strickler La formule de Strickler n est donc strictement identique la th orie moderne 2 12 et 2 13 que pour un coulement turbulent rugueux et pour une valeu
15. contre si l coulement est turbulent la relation de Darcy Weisbach ou la formule empirique g n ralis e montrent que la vitesse est proportionnelle la racine de la pente 77 La figure 2 13 repr sente la relation mesur e entre le rapport V J et la hauteur d eau adimensionnelle h D alors que la figure 2 14 montre les m mes mesures mais avec la vitesse divis es par la racine de la pente 1000 100 Le F z dato ei a e 4 ea I a a Sol a ne ME ca Rae u mb d o RES en 25 2 wA o 4 Dp 10 es shes ag 4 12189 A p 20 r o T bot rl p 30 i or Er p 50 Syn p 70 a ni z p 70 x x X p 90 x 0 1 1X 0 01 0 1 hID 1 10 Figure 2 13 Relation entre le rapport V J et la hauteur d eau adimensionnelle h D 78 10 p 0 p 2 5 Op 10 p 20 O p 30 E p 50 p 70 X p 90 VIJ 0 01 0 01 0 1 hID 1 10 1 2 Figure 2 14 Relation entre le rapport V J et la hauteur d eau adimensionnelle h D Ces deux graphiques sont en doubles chelles logarithmique car si la th orie des coulements laminaires sur plan se v rifie les points devraient tre align s sur une droite dans la figure 2 13 Par contre si les formules empiriques sous forme de puissance s av rent correctes les points devraient s aligner sur une droite la figure 2 14 Qu en est il du laminaire Les mesures effectu es sur le plan lisse
16. est calcul l aide de l quation 1 45 qi ah 1 69 1 10 4 Proc dure de r solution et exemple Il semble judicieux de d velopper quelque peu l aspect pratique de la mise en ceuvre de la th orie pr sent e ci dessus A cet effet un exemple d application est pr sent et servira de fil conducteur a la poursuite des r flexions concernant l hypoth se cin matique Le principe de r solution consiste calculer une courbe caract ristique afin d obtenir un couple temps d bit laval du plan Pour obtenir une bonne r solution temporelle de l hydrogramme il est videmment n cessaire de r p ter ce processus autant de fois que n cessaire Pour chaque caract ristique consid r e il s agit en premier lieu de calculer les constantes d int gration A et B pour enti rement d finir la trajectoire de la caract ristique et l volution de la hauteur d eau Puis l quation 1 66 fournit l indice k du bloc de pluie durant lequel 33 la caract ristique calcul e sort laval du plan L instant pr cis de la sortie est donn par l amp quation 1 67 et le d bit correspondant par l quation 1 69 Ainsi un point de lhydrogramme aval est analytiquement calcul Comme cela est souvent le cas il est plus ais de calculer des caract ristiques espac es d un dx constant pour celles provenant de la condition initiale et dun dt constant pour celles provenant de la condition limite amont I
17. ind pendantes C est pr cis ment la discr tisation de ces derni res qui permet le plus ais ment de s rier les m thodes ind pendamment de toute classification d ordre num rique Le premier groupe respecte strictement le contexte initial de validation de l approche cin matique en hydrologie Chaque bande de terrain se r duit un seul plan inclin dont l extr mit amont coincide avec la cr te de partage et l extr mit aval avec un segment du cours d eau ou d un ru qui s y jette Pour parvenir une telle d composition il suffit de raisonner sur la structure ventuellement ramifi e des rivi res qui alimentent l exutoire tudier En progressant alors par degr croissant dans la classification de Strahler du r seau drainant le bassin versant principal se scinde en bassins propres chaque branche qui DI subissent a leur tour une d composition en bandes de ruissellement Les lignes de plus grande pente qui interceptent les extr mit s de chaque segment de rivi re concern bornent une surface topographique qui s tale depuis la ligne de faite Cette derni re fait l objet d une tude ind pendante des l ments voisins d s l instant o le ruissellement n est suppos voluer que perpendiculairement aux lignes de niveau Jayawadena et al Tout en jouissant d j de la plupart des avantages fondamentaux d une d approche physique une volution s impose vers des discretisations unidimensionnelle
18. l mentaire doit tre connu afin de respecter l quation de continuit De plus la d finition de la surface et du p rim tre mouill s d une section repr sentative constitue une tape indispensable l obtention de l expression du rayon hydraulique du milieu en calottes Le volume d eau Y contenu dans ce milieu pour une hauteur d eau moyenne h peut tre d fini par analyse g om trique Soit V le volume total sans consid rer le volume occup par les calottes qui correspond la d finition traditionnelle du volume d eau sur un plan Il se calcule simplement par Y Ah 2 33 Le volume de la calotte sph rique immerg e V vaut pour une hauteur d eau h inf rieure au diam tre D h V xhD 1 2 34 C a 69 Le volume Y r ellement occup par l eau s obtient alors par la relation ph VE RR 2 35 D finissons un coefficient de porosite du milieu d par l expression 2 36 Ainsi pour les hauteurs d eau inf rieures au diam tre de la bille la porosit volumique pour le milieu en calottes s crit 2 ph 1 p 2 37 3D Pour une hauteur d eau sup rieure au diam tre D et selon la m me d marche le coefficient vaut 2pD Avec ces d finitions l quation 2 35 s crit simplement Y Ah 2 39 Cette relation montre que le volume d eau contenu sur un plan recouvert de calottes n est qu une fraction du volume de la lame d eau g
19. n ralement consid r e pour les coulements sur plan Le coefficient est toujours inf rieur l unit La figure 2 6 pr sente la relation h D pour diff rentes densit s de couverture p 70 l p 0 1 0 8 0 6 0 4 0 2 p F09 0 L 0 01 0 1 h D 1 10 Figure 2 6 Relation h D pour diff rentes densit s de couverture p Dans ce milieu en calottes la surface mouill e Am le p rim tre mouill P et ainsi le rayon hydraulique R varient constamment d une section l autre D finissons alors une fonction g om trique 7 x h exprimant le rapport entre la section mouill e A x h et la surface totale Atv Bh o Best la largeur du plan n x h Anh 2 40 tot Pour des raisons de continuit la fonction 7 x h est li e a la porosit volumique par la relation 17 o h n x h ax 241 Lo N L quation 2 41 indique que la porosit volumique est la moyenne sur la longueur du plan Lo de la porosit de section n x Les coulements hydrauliques d pendent souvent des sections les plus troites qui pourraient tre d sign es par l appellation sections de contr le bien qu il n est pas certain que la hauteur 27414 critique s y tablisse Ces sections de contr les sont localis es l ou la fonction x pr sente ses minimums D signons simplement par 7 le minimum de la f
20. nes ainsi que des faibles paisseurs de lame Bien que cet aspect puisse tre reconsid r au niveau du chapitre sur les essais exp rimentaux la litt rature par la forme usuelle adopt e consid re habituellement un diagramme uniforme faute d hypoth ses plus fiable dans toute la gamme laminaire et turbulente des phases de crue et de d crue En conclusion m me si la r solution du syst me reste complexe l entreprise est num riquement envisageable Reste savoir si elle est raisonnable dans le contexte fix Se justifie t elle seulement dans le cadre des possibilit s informatiques actuelles 1 6 Mod le d coulement grande chelle Pour apporter certains l ments de r ponse sur la validit des simplifications math matiques possibles dans le cadre d un coulement hydrologique en fine lame grande chelle une valuation des termes en pr sence s impose propos e ici dans un cadre unidimensionnel plus propice l analyse Compte tenu des derni res hypoth ses la forme non conservative des quations en omettant les signes de valeur moyenne oh duh apt F i r sing 1 29 ou ot u g Moose gsina r icose 130 ox Ox h Il est possible Woolhiser 1975 d crire ces relations sous une forme adimensionnelle qui facilite leur discussion et la classification des diverses approximations possibles Consid rons l coulement en fine lame sur une longueur caract ristique o le long
21. s tant philosophiques que num riques Les ordres de grandeur obtenus mettent en exergue le caract re homog ne des simplifications possibles Ils confirment galement que la contribution du gradient de hauteur la pente de surface demeure d un ordre de grandeur sup rieur aux termes n gligeables 24 et que son limination ventuelle doit faire l objet d un examen plus d taill Cette parenth se donne l occasion de r sumer la d marche qui pr domine dans cette tude Les processus naturels consid rer num riquement concernent des tendues telles qu il faut renoncer tudier la progression de chaque filet fluide pour composer plus sagement avec une chelle de maillage tr s sup rieure l paisseur de la lame ruisselante Ces contingences num riques pr conisent une int gration topographique qui concorde avec une autre int gration plus philosophique des processus naturels En effet les r alit s de ces ph nom nes sont si complexes en hydrologie et les propri t s intrins ques si anisotropes que la seule voie raisonnable consiste les int grer et les moyenner une chelle macroscopique tr s sup rieure celle des accidents locaux de la topographie ou de l coulement Les th ories cin matique ou diffusives respectent cette d marche conceptuelle en conciliant au mieux r alit physique et imp ratifs num riques 1 10 Solution th orique de l approximation cin matique Dans u
22. 2 1 49 Far en 26 Pour une int gration plus ais e transformons le syst me en liminant les d riv es partielles au profit de d riv es totales La m thode des caract ristiques permet d obtenir le syst me d quations diff rentielles suivant ei 1 50 Se amh mu 1 51 L quation 1 51 est d nomm e quation caract ristique et d finit une courbe dans le plan espace temps Elle explicite le transport de l information sur les paisseurs de lame et laisse des lors apparaitre une c l rit exprim e comme un multiple de la vitesse L quation 1 50 n est d finie que sur cette courbe caract ristique et d crit l volution temporelle de la hauteur d eau 1 10 2 Solution analytique g n rale Habituellement la pluie est d finie par une succession de blocs d intensit constantes sur une certaine dur e Cette hypoth se concernant le hy tographe est retenue ici et constitue la base de la r solution analytique 27 1 40E 05 1 20E 05 1 00E 05 8 00E 06 6 00E 06 Intensit m s 4 00E 06 2 00E 06 0 00E 00 0 1800 3600 5400 7200 9000 Temps s Fig 1 4 D finition de la pluie par une succession d intensit s de pluie constantes sur des dur es quelconques Avec cette repr sentation de la pluie le temps est d coup en n intervalles de dur es constante ou non En d signant par t l instant du d but du bloc de pluie d intensit i un hy togr
23. 5 2 138 Faitou View View2 55 Fie Edt View Theme Graphics Grid 2D Network Window 2 x als slale x valaa xalal cil Am 7 GridPolyline2 7 GridPolylinet N Finite Volume of Netw J 0 008 00 24 UI 2 29e 02 4 5 UI 458e 02 6 5 CO 687e 02 91 C 916e 02 11 C 1156 01 1 3 CO 4 37e 01 416 C 1 60e 01 1 8 C 1 836 01 2 0 CO 206e 01 2 2 C 2 296 01 25 C 2526 01 27 C 275e 01 2 9 C 2986 0 EI 3216 01 3 4 ET 3448 01 3 EI 367 01 3 E 3898 01 4 1 EI 4126 01 En 4356 01 EB Raste2 X GridPobine2 Figure 5 2 Mod le de calcul g n r sur la base du MNT 250 Les volumes finis sont teint s en fonction de leur plus grande pente Le r seau de rivi res appara t en blanc Le lac se situe tout au nord de cette carte L aspect de cette image peut sembler de prime abord quelque peu grossier Il faut cependant relever que ce mod le compte tout de m me 1071 volumes finis 1863 bords o les flux sont estim s 290 profils en travers ainsi que 36 jonctions de rivi res Il serait envisageable d utiliser un mod le num rique de terrain r solution plus fine mailles de 50 m par exemple Le mod le g n r pour ce cas est pr sent la figure 5 8 139 Faitou View View2 File Edit View Theme Graphics Grid 2D Network Window la x
24. E 1993 Applicabilty of St Venant equations for two dimensional overland flows over rough infiltrating surfaces Journal of Hydraulic Engineering Vol 119 n 1 pp 51 63 TAYLOR C MASHIDANI G A and DAVIS J M 1974 A finite element approach to watershed runoff Journal of Hydrology Vol 21 pp 231 246 TAYLOR R L and ZIENKIEWICZ O C 1982 Mixed finite element solution of fluid flow problems Finite Elements in Fluids Vol 4 pp 319 345 chapter 1 VISCHER D 1980 Das h chstm gliche Hochwasser und der empirische Grenzabfluss SIA 40 80 pp 981 985 WALTERS F H 1991 Sequential Simplex Optimisation CRC Press LLC Florida WILLIAMS J R HANN R W 1973 HYMO A Problem Oriented Computed Language for Hydrologic Modeling Users manual ARS S 9 United States Department of Agriculture USDA WOOLHISER D A and LIGGETT J A 1967 Unsteady one dimensional flow over a plane the rising hydrograph Water Resources Research Vol 3 n 3 pp 753 771 163 ZELLER J GEIGER H R THLISBERGER G 1980 Starkniederschl ge des schweizerischen Alpen und Alpenrandgebietes Eidg Anstalt f r forstliche Versuchswesen Birmensdorf 164 Communications du Laboratoire de constructions hydrauliques Ecole Polytechnique F d rale de Lausanne Editeur Prof Dr A Schleiss BG ECOLE POLYTECHNIQUE FEDERALE DE LAUSANNE Prof Dr A Schleiss Laboratoire de constructions hydrauliques
25. U u h u4h gene pl feb h b 1 94 Cette expression de U s identifie a la condition a v rifier pour une discontinuit 1 73 N anmoins comme pour l onde diffusive certaines caract ristiques sur le profil qui lie les deux tats a co peuvent tre d gag es du syst me complet Le signe du gradient de hauteur donn en 1 92 ainsi que ses possibles volutions en fonction de x d terminent la structure de la transition Pour assurer une transition monotone et continue oh one en conserver une valeur negative puisque comme nous x l avons vu dans la naissance de solutions multiples la tendance aux chocs s accompagne d une augmentation de hauteur lorsque la c l rit est une fonction croissante de la hauteur am Figure 1 10 Structure d une transition sans ou avec discontinuit 48 La figure 1 10 illustre cet aspect fondamental avec un profil discontinu cons cutif un changement de signe du gradient de hauteur Montrons d abord que le num rateur NUM de 1 92 conserve un signe positif constant entre les tats uniformes pour quelques couples remarquables de valeurs 6 7 L imposition comme conditions limites de gradients nuls assure h et ha d tre racines de ce polyn me e hypoth se laminaire 8 1 y 2 NUM g a Uh e hssin6 Ee e h h h h H sin6 1 95 La troisi me racine ha s obtient en identifiant les termes ind pendants de chaque membre ae hg a aS h
26. c et e apparaissant dans l quation 2 76 pour permettre le calcul du coefficient de frottement 86 f Pour cela une optimisation num rique a t effectu e sur l ensemble des essais avec la m thode des moindres carr s Il a t constat alors que le coefficient c repr sentant la pente de la relation entre fet h D montre une grande variabilit et que pour des valeurs de c fort diff rentes le calage pr sentait quasiment la m me qualit Ce fait est certainement d la faible amplitude de variation du rapport h D qui a pu tre r alis e sur le banc d essais Dans ces conditions il a t choisi de faire confiance la valeur originale du coefficient c tel que propos par Bathurst et qui peut se justifier par des consid rations th oriques savoir c 5 62 2 82 Par contre le terme constant e subit une grande influence de la densit de couverture p Le calage permet de proposer e 3 13p 61 2 83 Ainsi la loi de frottement pour un coulement sur macro rugosit compos e par le milieu en calottes s crit 5 62108 3 130 2 84 Par souci de synth se pr sentons la nouvelle relation pour le calcul du ruissellement de surface mod lis par le milieu en calottes Pour h lt Det avec Q 0 345 p a Te A ap B gt bez 8gn h 4gh la vitesse s crit 87 _ B VB 4AC 2A V Pour h Det avec oe 3 aD v 0 345p 2p Be 7 ay 89ND h 4g
27. comportements tout a fait originaux pour des coulements a nappe libre Le fait de constater une diminution de la vitesse lorsque le nombre d l ments de rugosit augmente n est pas surprenant Par contre l ampleur de cette diminution l est beaucoup plus En effet il ne s agit pas de quelques pour cent mais bien de facteurs allant jusqu 50 entre les vitesses mesur es pour p 2 5 et celles pour p 90 ceci pour les hauteurs d eau correspondant environ la hauteur des asp rit s Un autre ph nom ne est galement surprenant celui de la constance de la vitesse en fonction de la hauteur d eau Pire encore pour les densit s p sup rieures 50 il appara t que la vitesse diminue lorsque la hauteur d eau augmente Cette originalit pour ne pas parler d extravagance n est d crite par aucune loi de l hydraulique fluviale Elle se produit pour les hauteurs d eau inf rieures celle des asp rit s Lorsque l coulement submerge ces derni res il a comme l envie de rattraper son retard et l augmentation de la vitesse en fonction de la hauteur d eau est spectaculaire Si la relation de Strickler est suppos e valable alors les points devraient s aligner sur une droite de pente 2 3 Une puissance cal e sur la famille des points p 2 5 est proportionnelle h valeur 80 proche de la proposition de Strickler Par contre le m me exercice effectu sur les points de la famille p 90 ave
28. du plan pour cette pluie particuli re Dans ce premier exemple aucune condition initiale ni hydrogramme amont n ont t introduits Si une condition initiale diff rente de h 0 au d but du calcul se pr sente relativement rarement dans des cas concrets il n en est pas de m me en ce qui concerne l hydrogramme amont En effet il est possible de mod liser un bassin versant par une cascade de plans pr sentant chacun des conditions g om triques diff rentes Un hydrogramme calcul sur un plan situ l amont devient alors la condition limite du plan aval Pour mesurer l influence d un hydrogramme amont non nul l hydrogramme de la figure 1 6 est inject l amont d un deuxi me plan toujours de 600 m de longueur 1000 m de largeur et de coefficient de Strikler K 5 m s mais avec cette fois une pente plus douce de 2 La figure 1 7 pr sente la crue simul e l aval de ce deuxi me plan L aspect de cette crue est plus que surprenant Pendant une certaine dur e 3 d bits diff rents se produisent simultan ment l aval du plan En d autres termes 3 hauteurs d eau se produisent au m me endroit et au m me instant Ce d ferlement bien qu il soit la solution analytique au mod le math matique de l onde cin matique ne trouve aucune justification dans la r alit hydrologique Il se produit d j lors de la succession de deux plan de pente diff rente Il semble vident qu en topographie r elle ce
29. eau sur des parois rugueuses Evitons ce d bat en choisissant une approche compatible avec les d veloppements pr c dents Un crit re permettant de d finir l origine de ce nouveau rep re est impos par la continuit des vitesses calcul es lorsque la hauteur d eau gale le diam tre des calottes D signons par Vo la vitesse calcul e par la relation 2 59 pour h D Par l quation 2 74 et avec h Ah cette m me vitesse s exprime par V Pao ante 2 75 avec f exprim par 85 8 logi e i D La continuit de la relation hauteur vitesse fourni la condition n cessaire la d termination de la nouvelle origine des hauteurs localis e par Ah 2 76 V 2 77 soit Jg Erz en V 2 78 La pr sence simultan e du logarithme et de la puissance de Ah exige une r solution it rative pour trouver l inconnue Ah Lorsque la hauteur d eau est sup rieure au diam tre des calottes la vitesse moyenne de l coulement s obtient en sommant le d bit interne et le d bit sup rieur indic s et en divisant cette valeur par la hauteur moyenne Q V D V n Ah VD V h D 2 79 u D DT r 2 80 Ainsi sous sa forme compl te la vitesse moyenne d un coulement submergeant les calottes s crit v v 2 80 h p anyi2 1 2 2 81 h f h o Ah est d fini par l quation 2 78 et f par l quation g n rale 2 76 Reste encore exprimer les coefficients
30. f 2 2 R 2 2 Le nombre de Reynolds R se d finit dans cette approche par la relation 2 3 La relation de Hagen Poisseuille conduit alors l obtention de la valeur th orique x 24 Certains essais ont cependant montr un comportement fort diff rent le coefficient x pouvant atteindre des valeurs sup rieures 50 000 au lieu du 24 de la solution th orique Ce paradoxe est en partie expliqu par la th orie g n rale des coulements laminaires Dubois 1998 Dans une m me section le coefficient varie en fonction de la hauteur d eau comme le montre la figure 1 pour un profil rectangulaire 56 1000000 100000 10000 1000 x 100 1 T j 0 01 0 1 1 hib 10 100 1000 Figure 2 1 Relation entre le coefficient x et le rapport h b pour un coulement laminaire en profil rectangulaire b tant la demi largeur du profil Si le mod le g om trique simple du plan parfait et de la lame d eau de hauteur constante est adopt comme cela est quasiment toujours le cas alors la th orie est tr s claire et l augmentation de plusieurs ordres de grandeurs du coefficient x ne saurait jamais se justifier Il est toutefois vident que la surface d un sol naturel ne pr sente pas l aspect d un miroir Seule une mod lisation de la surface tenant compte de la pr sence des asp rit s semble tre en mesure de rep
31. in complex schemes The Routing System computer program Proc XXVIII IAHR congress 22 27 August Graz Austria DUBOIS J BOLLAERT E BOILLAT J L 1999 Optimisation of detention basin systems using the data flow programming technique Proc 2 Inter Regional Conference on Environment Water Lausanne EL JABI N ROUSSELLE J 1987 Hydrologie fondamentale G nie Civil Ecole Polytechnique de Montr al 159 HAGER W H SINNIGER R O 1988 Reservoir storage effect on design flood Proc Seizi me Congr s des Grands Barrages Q 63 R 80 pp 1375 1399 San Francisco H RLER A 1962 Canalisation Tir part du manuel de l ing nieur tome Il HORTON R E 1933 The role of infiltration in the hydrologic circle Trans Amer Geophys Union 14 446 460 JAYAWARDENA A W and WHITE J K 1977 A finite element distributed catchement model I analytical basis Journal of Hydrology Vol 34 pp 269 286 JAYAWARDENA A W and WHITE J K 1979 A finite element distribution catchement model Il Application to real catchements Journal of Hydrology Vol 42 n 3 4 pp 231 249 JORDAN J P BATHURST J C MUSY A 1987 Mod lisation hydrologique a base physique sur un basin versant rural en climat temp r Proc of the Symposium AISH Vancouver KAWAHARA M NAKAZAWA S OHMORI S and TAGAKI T 1980 Two step explicit finite element method for sorm surge propagation an
32. l hydraulique de surface Un logiciel informatique a t crit afin de mettre en uvre les d veloppements th oriques et exp rimentaux effectu s Il autorise galement la cr ation automatique de l ensemble du mod le num rique de calcul en assurant une parfaite ad quation entre les donn es de base et les quations utilis es A partir d un mod le num rique de terrain une d marche ais e permet l obtention rapide de r sultats gr ce un sch ma robuste de r solution par volumes finis non structur s pas de temps adaptatifs Trois exemples d application de la m thode et des outils propos s permettent de juger de sa validit 152 Il para t ind niable que les mod les hydrologiques spatialement distribu es et base physique constituent l avenir de cette activit aussi difficile que passionnante Ils permettent tant de r duire les phase de calage que d tre utilis s en tant qu outil d aide la d cision dans une gestion active de bassin versant Cette communication orient e m canique des fluides et hydraulique pose les bases tant th oriques que num riques et exp rimentales d une telle approche 153 154 Notations Symbole a e f f EI Fo ho h hs hy h s t h s t Ji 35 Q Q 0 S D finition Coefficient de la relation g n rale hauteur vitesse Constantes d int gration Inconnue int gr e au sens de Reynolds Partie flu
33. loi tablie pour le mod le en billes ainsi qu une description plus fine du cheminement des eaux devraient par contre permettre de renouer avec une mod lisation a base physique telle que souhait e La loi de comportement du ruissellement de surface n est pas la seule cause du biais de mod lisation qui d coule sur des valeurs aberrantes du coefficient de rugosit Ainsi le concept d une lame d eau qui se d veloppe r guli rement sur un plan d coulement parfois de grande longueur ne correspond pas la r alit physique du ruissellement de surface sur un terrain naturel En effet apr s quelques m tres ou quelques dizaines de m tres les irr gularit s de surface favorisent la concentration de l coulement en filets d eau Par cons quent les mod les hydrologiques en cascade de plans pouvant mesurer plusieurs centaines de m tres de longueur et ayant des ambitions de mod les d terministes engendrent un fort biais de mod lisation par une prise en compte trop simpliste du cheminement des eaux 126 L objectif du mod le Faitou est de r duire autant que possible les biais de mod lisation par la prise en compte de la nouvelle loi d coulement d une part et par une mod lisation plus fine de la topographie du bassin d autre part 4 2 Description du logiciel La prise en compte de la nouvelle loi de comportement dans le calcul des coulements de surface doit permettre d am liorer la fiabilit d
34. lorsqu on songe que des sauts font partie int grante des solutions de la th orie classique bas e sur les quations compl tes Or notre approche consacr e de la th orie diffusive semble liminer les discontinuit s Voyons ce qu il en est exactement 46 1 11 3 Seconde approche de la transition par les quations compl tes d Euler La comparaison des mod les math matiques sera dans le cadre de la recherche d une solution liant deux tats uniformes rejet s La transition tudi e se produit sur une topographie pente constante et sans apport ext rieur au syst me Les quations utilis es sont celles du syst me complet 1 29 et 1 30 pour la mise en vidence de la non lin arit qui est pr cis ment la base des effets tudi s dans le cas de l onde cin matique Parall lement aux d veloppements ant rieurs la solution prendra la forme suivante u u x Ut u x h h x Ut h x 1 88 Dans ces conditions le syst me complet s crit o z u unn 0 1 89 iy jobs 1 90 u Vang oon a oe PR ar 1 90 L int gration de l quation de continuit est imm diate et permet d exprimer l quation dynamique en fonction de la seule hauteur u U 1 91 us g a sind h A 1 92 ax gh cos e L imposition des conditions aux limites permet de d terminer les param tres inconnus e et U 47 1 d d een Bine 1 93 h hy a h hy gt psig Wd LB
35. plan sans tenir compte de la g om trie du profil en travers Elle pose donc quelques difficult s pour son application des profils quelconques La solution retenue consiste tablir la relation hauteur d bit au moyen de l int grale 109 Q h von dx 3 9 o Ax est la longueur du bord de la cellule et V h la vitesse calcul e l aide de la nouvelle formulation La figure 3 4 pr sente galement un exemple de relation hauteur d bit calcul e num riquement de cette mani re Il faut encore relever que le point bas du bord ne correspond pas forc ment avec le point bas Z de la micro topographie Il faut donc une certaine hauteur d eau sur l l ment pour q un coulement se produise sur son bord 02 7 Altitude m 0 5 L Distance m Figure 3 5 Exemple de profil en travers sur un bord de cellule Comme repr sent sur la figure 3 6 le mod le Faitou consid re 3 chelles spatiales diff rentes La plus petite concerne les asp rit s formant la rugosit Elle est mod lis e par le milieu en calottes et int gr e la nouvelle loi de comportement des coulements en lame mince La hauteur des calottes D et leur densit de couverture p sont les deux param tres qui d crivent la surface du sol cette chelle 110 L chelle interm diaire est la micro topographie de surface g n r e de mani re stochastique Elle assure de mani re coh re
36. rique sur l ensemble des essais pour lesquels la hauteur d eau ne d passe pas le sommet des calottes il a t trouv a 0 345p 4 2 67 En r sum la nouvelle formulation liant la hauteur d eau la vitesse moyenne de l coulement s crit pour des hauteurs d eau inf rieures la hauteur D des calottes Q2 1 0 345 00550 J so V 3 v h lt D 2 68 4gh 8g97 h Ainsi connaissant la hauteur d eau h de l coulement et en d finissant 0 545 q 0 345p Q 2 69 Bgn h 2 af3 2 ly B L 2 70 4gh Cash 2 71 la vitesse moyenne de l amp coulement s obtient simplement par 84 _ B 4VB 4AC 2A V h lt D 2 72 Occupons nous pr sent des coulements qui submergent les calottes Ce cas correspond bien a un coulement sur macro rugosit domaine dans lequel la formule de Bathurst semble s tre impos e 8 K 5 62logl 4 2 73 7 da o d4 est le diam tre consid r des l ments de rugosit et h la hauteur d eau D une mani re g n rale cette quation est de la forme 8 h clog e 2 74 avec c et e deux coefficients d terminer Le symbole associ la hauteur d eau signifie que cette derni re n a pas son origine la surface du plan comme cela est consid r dans le mod le en calottes La litt rature sp cialis e a t tr s prolifique quant la d termination de l origine des hauteurs d
37. s Il est repr sent graphiquement en fonction de la pente de l intensit de la pluie et du diam tre moyen des grains sur la figure 2 20 94 10000 10000 o o 1000 Le amp 1000 F a 5 2 8 of i g af se s S Be a a oS BRE de Te ss 100 100 F 4 u ee a pu peg sil ye vu 10 0 20 40 60 80 0 50 100 150 Pente Intensit de la pluie mm h 10000 E 1000 F 4 8 f EREE 8 g 8 8 0 7 1 2 mm x fe g 8 g E 4 2 0 3 0 100 te a 0 3 0 mm Eg ere 5 0 8 0 mm 10 Me roa i eG o 7 0 15 0 mm 0 5 10 15 Diam tre moyen des grains mm Figure 2 20 Relations entre le coefficient x et la pente l intensit de la pluie et le diam tre moyen des grains Il n est pas vraiment possible de conclure a une relation vidente entre x et la pente Tout au plus le coefficient semble montrer pour la pente de 1 des valeurs sensiblement inf rieures celles obtenues avec des pentes plus grandes Par contre il appara t que a tendance augmenter avec l intensit de la pluie comme cela d j t sugg r par plusieurs auteurs Mais la dispersion des mesures est telle qu il n est pas raisonnable de tenter le calage d une quelconque relation math matique Le dernier graphique de la figure 2 20 pr sente la relation x diam tre moyen des grains Il n est pas tonnant de constater une certaine augmentation de x avec la taille des rugosit s Mais a 95 nouveau la di
38. utilis pour la r alisation de cette s rie d essais voir figure 2 18 91 7 AU UNS Sy ra Pa EEE am Figure 2 18 Le simulateur de pluie de l Institut F d ral de Recherche sur la For t la Neige et le Paysage WSL FNP a Birmensdorf ZH Cette installation permet de cr er une pluie uniforme dans l espace et constante dans le temps avec un d but et une fin d averse aussi rapides que possible La surface de ruissellement est plane imperm able et de pente constante sur toute la longueur de l coulement mais modifiable Le systeme de mesure du d bit permet de suivre l volution temporelle du d bit l aval du plan de ruissellement avec une grande pr cision Dubois 1998 La surface utilisable poss de une largeur de 2 m tres et une longueur de 4 30 m tres La pente peut varier en continu entre O et 45 degr s Un entonnoir fix l aval r colte les eaux de ruissellement et les concentre dans une cuve pour la mesure du d bit La figure 2 19 pr sente une vue d ensemble de cette installation 92 Figure 2 19 Plan inclinable dispos sous le simulateur e pluie de Birmensdorf Les surfaces de rugosit artificielle doivent pr senter des caract ristiques ais ment mesurables Il a t choisi de les cr er avec des grains de sable de diam tre presque constant dispos s uniform ment sur une plaque tanche Comme pour les essais de Nikuradze la densit des grains de sable est max
39. 144000 162000 180000 198000 Time s Figure 5 11 Simulation de la crue de septembre 1993 l aide du mod le Faitou La figure 5 11 pr sente galement I hydrogramme virtuel entrant dans le r seau des rivi res Cet hydrogramme ne peut tre mesur en r alit mais correspond la sortie du mod le 2D du ruissellement de surface Il est calcul par adition simultan e de tous les apports entrant dans les rivi res Son int r t est de le comparer 148 Rainfall intensity m s avec l hydrogramme entrant dans la retenue d nomm par Simulation Faitou sur la figure 5 11 afin de mesurer l effet de routage du r seau hydrographique Il peut tre admis au vu de cette repr sentation graphique que le mod le Faitou est en mesure de reproduire fid lement le comportement d un bassin versant 149 150 6 Conclusions La premi re partie de cette communication traite par le d tail les aspects th oriques de l coulement hydrologique en fine lame A partir des quations hydrauliques de base tout le d veloppement analytique est pr sent et toutes les simplifications possibles des quations sont analys es expliqu es et justifi es La prise en compte des discontinuit s ph nom ne omnipr sent en hydraulique de surface occupe une place importante dans cette analyse S il appara t que la r solution des quations dynamiques compl tes n est pas indiqu e pour un coulement hydrologiqu
40. 2 4 et 2 5 u nu 2 9 et que finalement vat 2 10 58 a savoir dans notre exemple num rique une vitesse moyenne de type Darcy 20 fois plus petite que la vitesse th orique Si le calcul s effectue selon l approche traditionnelle de l coulement sur plan l equation 2 6 est applicable et le coefficient vaut alors dans notre exemple num rique geet T 2 11 n Ainsi le simple fait de ne pas tenir compte d une g om trie de surface diff rente de cele du plan parfait explique d j l augmentation du coefficient x qui dans notre exemple passe de 24 480 Il faut encore relever que cette valeur de 480 obtenue partir d hypoth ses tout fait r alistes correspond presque la valeur maximale recommand e par la litt rature pour un sol grossier et rod 2 1 2 Ecoulement turbulent Dans le domaine des constructions hydrauliques le d bat entre partisans des formules empiriques comme celle de Strickler et des formules dites modernes comme celle de Colebrook n est toujours pas clos Les premiers pr nent la simplicit de calcul d une relation explicite et une pr cision du r sultat suffisante pour les cas pratiques Les seconds argumentent en faveur des acquis scientifiques bas s sur une th orie robuste Il est vrai qu aujourd hui l argument de la simplicit du calcul ne r siste plus la critique Mais qu en est il de la pr cision des r sultats Afin de r pondre cett
41. 64 http Ichwww epfl ch Table des matieres 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 Solution th orique de l approximation cin matique ASPECTS THEORIQUES DE L ECOULEMENT HYDROLOGIQUE EN FINE LAME Introduction Equations hydrauliques de base Equations pour les inconnues moyennes Formulation adimensionnelle Int gration spatiale des quations Mod le d coulement grande chelle Limites de validit des mod les simplifi s Signification physique des mod les simplifi s Extension aux topographies r elles 1 10 1 Equation de l onde cin matique sur un plan 1 10 2 Solution analytique g n rale 1 10 3 Calcul de l hydrogramme aval 1 10 4 Proc dure de r solution et exemple 1 11 Applicabilit des mod les simplifi s aux topographies 1 11 1 1 11 2 Premi re analyse par l hypoth se de l onde diffusive r elles continuit Introduction de discontinuit s v rifiant l quation de 11 15 18 20 22 25 25 27 32 33 36 38 41 1 11 3 Seconde approche de la transition par les quations completes d Euler 1 11 4 Conclusion 2 APPROCHE EXPERIMENTALE DU RUISSELLEMENT HYDROLOGIQUE 2 1 Constat de la situation actuelle 2 1 1 Ecoulement laminaire 2 1 2 Ecoulement turbulent 2 1 3 Conclusions 2 2 Le mod le en calottes 2 2 1 Description g om trique 2 2 2 Param tres hydrauliques 2 3 Essais en coulements stationnaires et uniformes 2 3 1 R sultats
42. 80 constatent qu il est galement indispensable pour des petits nombres de Froude que kF 25 1 42 Al Mashidani et al entreprennent une tude similaire par l ments finis et concluent que la borne inf rieure de K pour passer a l onde cin matique est a revoir d autant plus a la hausse que le nombre de Froude est petit Ils mettent galement en exergue l influence de la condition limite a l aval dont l effet s estompe d autant plus que K grandit plus la pente et le frottement dominent l coulement plus la condition aval est rapidement vanescente Napiorkowski et al Il s agit d ailleurs d une conclusion heureuse tant est aigu le probl me de correspondance physique avec la r alit dans la mod lisation de la transition de l coulement hydrologique en fine lame l coulement en ruisseau D S a bi o y o 6 O 41 2 3 45 6 7 8 9 10 U 12 13 4 15 6 t Figure 1 3 Mont es en crue d hydrogrammes adimensionnels pour diff rentes valeurs du param tre K avec Fo constant La pluie est d intensit constante pour 0 lt t lt d apr s Woolhiser 1975 L effet des conditions limites doit tre pr cis tout comme le comportement de l onde dissipative pour laquelle aucun r sultat concret n a encore t comment Morris et al r pondent ces questions en balayant avec leurs simulations tout le champ des param tres pour les trois 19 approximations possibles soumises a deux types de conditi
43. LCH EPFL CH 1015 Lausanne http Ichwww epfl ch e mail secretariat Ich epfl ch
44. La Veveyse occupe une surface de 62 km Son altitude est comprise entre 372 et 2014 ms m Son r gime hydrologique est caract ris par des mont es en crue tr s rapides Le plus grand d bit mesur le 8 juillet 1965 a t de 165 m s Comme pour Mattmark le mod le de calcul a t g n r sur la base du MNT 250 m de r solution Il est pr sent la figure 5 5 ainsi que les deux affluents principaux la Veveyse de F gire et la Veveyse de Ch tel qui se rejoignent avant de descendre en direction de la ville de Vevey Veveyse de Ch tel Jonction principale AP Av 47 Ad 11 Veveyse de F gire Figure 5 5 Mod le de calcul du bassin versant de la Veveyse Les volumes finis sont teint s selon leur pente La crue du 8 juin 1990 a t choisie pour tester le mod le Faitou sur ce bassin versant Le r sultat obtenu est pr sent sur la figure 5 6 en superposition de la crue mesur e 143 Cette simulation a t effectu e avec les param tres D 0 1 m et p 0 4 en ayant fix a priori s 0 99 Ce r sultat a une nouvelle fois t obtenu apr s quelques essais la main sans processus d optimisation automatique Afin de mettre en vidence tout le potentiel d une mod lisation enti rement distribu e spatialement la zone de la jonction entre la Veveyse de F gire et la Veveyse de Chatel montr e a la figure 5 7 est examin e dans le d tail La figure 5 8 pr sente les hydrog
45. M 1996 global approach of the unsteady surface flows computations including shocks by finite elements Numerical Methods in Engineering Simulation editors M Cerrolaza C Gajardo C A Brebbia Computational Mechanics Publications pp 45 52 M rida Venezuela PIROTTON M 1998 A Physically Based Approach to predict input hydrographs in managed reservoirs New trends and Guidelines on Dam Safety editor L Berga AA BALKEMA Rotterdam Brookfield pp 1215 1220 ARCHAMBEAU P DEWALS B ERPICUM S MOUZELARD Th PIROTTON M 2002 and WOLF software a fully integrated device applied to modeling gradual dam failures and assessing subsequent risks Advances in Fluid Mechanics 15 17 May 2002 Ghent Belgium SINGH V P 1995 Computer models of watershed hydrology Water Ressources Publications 1129 pp 162 SINNIGER R O BOILLAT J L DUBOIS J 1995 L hydrogramme de crue critique d une retenue avec vacuateur de surface Symposium CNSGB Recherche et d veloppements dans le domaine des barrages Crans Montana 7 9 septembre pp 653 664 SINNIGER R O HAGER W H 1989 Constructions Hydrauliques Ecoulements stationnaires Trait de G nie Civil Vol 15 Presses Polytechniques Romandes SOIL CONSERVATION SERVICE 1975 National Engineering Handbook section 4 Hydrology United States Department of Agriculture USDA TAYFUR G LEVENT KAVVAS M GOVINDARAJU R S STORM D
46. Utilisation possible de la retenue de Mattmark pour la protection contre les crues et la production d nergie Proc XX Congress ICOLD Q 77 R 23 pp 341 357 Beijing 157 BOILLAT J L MARDINI R IHLY T 1997 Flood modeling related to land development DHI software user conference Copenhagen CHEN C L 1980 Dam break wave model formulation and verification Journal of the Hydraulics Division Proceedings of the American Society of Civil Engineers Vol 106 N HY5 pp 747 767 CHEN C L 1987 Discharge and depth behind a partially breached dam Journal of Hydraulic Engineering pp 648 654 CHEN C L 1980 Laboratory verification of a dam break flood model Journal of the Hydraulics Division Proceedings of the American Society of Civil Engineers Vol 106 N HY4 pp 535 555 CHEN C L 1992 Momentum and energy coefficients based on power law velocity profile Journal of Hydraulic Engineering ASCE Vol 118 n 11 November pp 1571 1584 CHEN Y H SIMONS D B and MOLINAS A 1978 Hydrologic and geomorphic changes in a river basin induced by a dam break Proceedings of the International Symposium on Risk and Reliability in Water Resources Vol 2 pp 616 625 CHEN C L and CHOW V T 1968 Hydrodynamics of mathematically simulated surface runoff A contribution to the International Hydrological Decade Hydraulic Engineering Series n 18 University of Illinois CHOW V T 1988 Applied H
47. a solution du probl me d crit la figure 1 8 Fid le l tat d esprit qui pr vaut dans ce paragraphe nous supposerons nulle toute contribution ext rieure au syst me r 0 Cette limitation ne change rien formellement a 1 73 sinon que U prend une valeur constante caract ristique de la transition consid r e Soulignons encore qu en accord avec les approches classiques de d termination des bassins versants nous cartons toute possibilit de contrepente sur la trajectoire des gouttes de pluie Dans le cadre de cette approche plus pr cise nous cherchons l expression de la vitesse constante U de d placement d une transition qui lie deux tats stationnaires situ s a Ils sont r f renc s par les indices 1 et 2 Nous v rifions l existence d une solution dans l hypoth se o le profil des hauteurs tend vers ces deux tats avec une pente tendant vers 0 La structure de la solution recherch e h h x avec x x Ut 1 79 42 est introduite dans l quation 1 75 qui donne apr s int gration Yg Btr uns Hsing cos hf e 1 80 a ax Pour rencontrer les conditions aux limites la vitesse de d placement du choc U et la constante d int gration e doivent satisfaire aux relations suivantes q U h e q U h e 0 1 81 ce qui donne en particulier BoA 1 82 hy h Cette condition est pr cis ment analogue a celle crite en 1 73 ce qui nous dispense d sormais de diff renci
48. age dans certaines zones tourment es de la topographie Certaines r gions alpines comme les petits lacs naturels pr sentent un exutoire tr s encaiss et de petite dimension Ce niveau de d tail chappe la r solution du MNT mailles de 25 m tres et aucun point d altitude n est pris dans la gorge 133 Cette modification des altitudes peut galement tre consid r e comme un filtre num rique labor appliqu au MNT Au lieu de modifier sans distinction l ensemble des altitudes par un filtre num rique de type moyenne ou m diane comme cela est souvent recommand dans la litt rature l algorithme d velopp ne corrige le MNT que dans quelques r gions cibl es en fonction du r seau drainant Ces trois phases savoir le calcul de la convergence la d termination des segments de rivi re et la correction des altitudes repr sentent une it ration du processus global de g n ration automatique du r seau drainant L algorithme it re sur ces trois phases jusqu au moment ou plus aucune altitude sur le MNT n est corriger Le r sultat obtenu est une collection de segments de rivi res d finis par leur origine et leur fin ainsi qu un nouveau mod le num rique de terrain qui assure la continuit des pentes descendantes sur l ensemble du r seau de rivi res 4 4 G n ration du mod le de surface Une simulation par Faitou de la formation et du transfert des crues sur un bassin versant requiert
49. alysis International Journal for Numerical Methods in Engineering Vol 15 pp 1129 1148 KAWAHARA M TAKEUCHI N and YOSHIDA T 1978 Two step explicit finite element method for Tsunami wave propagation analysis International Journal for Numerical Methods in Engineering Vol 12 pp 331 351 KAWAHARA M and YOKOYAMA T 1984 Finite element method for direct runoff flow Journal of Hydraulic Engineering ASCE HY4 pp 519 534 KEIFER J C CHU H H 1957 Synthetic storm patterns for drainage design Journal of Hydraulics Division Vol 83 No 4 160 KOLLA E 1986 Zum Absch tzung von Hochwassern in Fliessgew ssern an Stellen ohne Direkmessungen Mitteilung der Versuchanstalt f r Wasserbau Hydrologie und Glaziologie ETH Z rich 163 p LANE L J and WOOLHISER D A 1977 Simplifications of watershed geometry affecting simulation of surface runoff Journal of Hydrology Vol 35 pp 173 190 METCALF AND EDDY Inc University of Florida and Water Resources Engineers Inc 1971 Storm Water Management Model Vol Final Report 11024D0C07 71 NTIS PB 203289 U S EPA Washington DC 20460 MICHEL C EDIJATNO 1988 R flexion sur la mise au point d un mod le pluie d bit simplifi sur plusieurs bassins versants repr sentatifs et exp rimentaux CEMAGREF Antony MORRIS E M 1980 The propagation of waves in shallow water flow with lateral inflow Hydrological Sciences Bulletin Vol 25
50. aphe est enti rement d fini par un certain nombre de couple t i Pour le bloc de pluie c est dire pour t lt t lt 1 1 l intensit de la pluie i est constante et l int gration de l quation 1 50 fournit avec A une s rie de constantes d terminer Ainsi la variation de la hauteur d eau sur une courbe caract ristique est lin aire En substituant l quation 1 52 dans l quation 1 51 l expression de la courbe caract ristique devient x amf i t A dt 1 53 qui poss de la solution suivante 28 m GA pour i 0 ij 1 54 x amA t B pour i 0 X B est une deuxi me s rie de constantes a d terminer A partir de l hypoth se admise concernant la d finition de la pluie les quations 1 52 et 1 54 d crivent analytiquement l volution de la hauteur d eau et la trajectoire de la courbe caract ristique dans le plan x t pour chaque pas de temps t t Pour l ensemble de la dur e de la pluie ces relations sont donn es par n segments o pour rappel n est le nombre de blocs de pluie donn s pour d finir le hy togramme Evidemment reste encore d terminer les valeurs des constantes d int gration A et B A cet effet la continuit de la courbe caract ristique et de la hauteur d eau fournissent les conditions n cessaires la r solution du probl me Pour la d termination des A la continuit de la hauteur d eau entre le bloc i et le blo
51. au s infiltre dans le sol une vitesse r Ces deux vitesses sont mesur es traditionnellement selon un axe vertical Int grons les quations sur la profondeur locale h en utilisant la formule de Leibnitz qui s crit pour une fonction f h H oh d h fd dz f Sf f 1 17 x Z I Z z h ax z h ax L quation de continuit int gr e s crit pour i 1 2 hs z h nt Judz eee 0 1 18 ot Ox 4 0 Ai i L int gration des quations dynamiques selon ox et oy tient compte de la distribution hydrostatique de pression obtenue par l quation selon oz p pg h Z sin6 1 19 ce qui donne finalement hg hg a dhe if u dz if Uju j dz ghsin gh sindg eh ox rie he ox Xi hs z h 1 oZ z if o dz u u u 1 20 pox h 3 Jax j f J z hr z h 1 oZ gt p 8 ox J z h Les conditions imposer sur les fronti res ext rieures fond et surface libre sont de deux types Les conditions cin matiques pr cisent le comportement du fluide aux fronti res son mouvement relatif par rapport elles En crivant l quation d une fronti re quelconque variable en toute g n ralit avec le temps z h x a 1 21 La condition cin matique exprime que la vitesse diff rentielle selon oz entre une particule qui suivrait le fond et celle du liquide au m me endroit est gale la composante de la vitesse d infiltration ou de pr cipitation En introduisan
52. bruts 2 3 2 Nouvelle formulation 2 4 Essais en coulements non stationnaires et non uniformes 2 4 1 Analyse traditionnelle 2 4 2 Paradoxes constat s 2 4 3 Analyse a l aide de la nouvelle loi de comportement 3 ASPECTS CONCEPTUELS ET NUMERIQUES DE LA MODELISATION DE L ECOULEMENT EN FINE LAME 3 1 Approche stochastique du traitement topographique 8 1 1 G n ration stochastique de la micro topographie 8 1 2 D termination des param tres globaux 3 2 Discr tisation spatiale 47 51 55 55 55 59 66 67 67 69 76 77 81 91 94 96 99 103 103 104 107 112 3 3 Discr tisation temporelle 4 FAITOU UN LOGICIEL DE SIMULATION DE LA FORMATION ET DU TRANSFERT DES CRUES 4 1 Introduction 4 2 Description du logiciel 4 3 Generation du r seau de rivieres 4 4 Generation du modele de surface 5 QUELQUES EXEMPLES PRATIQUES D APPLICATION 5 1 Simulation du basin versant de Mattmark 5 1 1 G n ration du mod le de calcul 5 1 2 Simulation de la crue de septembre 1993 5 2 Simulation du bassin versant de la Veveyse 5 3 Simulation du bassin versant des Toules 5 3 1 Simulation de la crue de septembre 1993 6 CONCLUSIONS NOTATIONS BIBLIOGRAPHIE 122 125 125 127 131 134 137 137 138 140 142 146 147 151 155 157 1 Aspects th oriques de l coulement hydrologique en fine lame 1 1 Introduction Cette premi re tape est consacr e l
53. c 1 c est dire pour le temps t peut s crire a l aide de l quation 10 par h i t Aj1 i t A 1 55 A partir de l quation 1 55 il est ais d tablir l expression sous forme r cursive des constantes A A A t i i 1 56 L expression de la premi re constante A varie selon l origine de la caract ristique calcul e La figure 1 5 pr sente les 2 r gions du plan x t une influenc e par la condition initiale et l autre influenc e par la condition limite amont 29 10800 9000 F Zone influenc e par la condition limite amont 7200 F 5400 F Condition limite amont Temps s 3600 E 1800 t Zone influenc e par la condition initiale Condition initiale EA 0 250 500 750 1000 1250 1500 Distance depuis l amont du plan m Fig 1 5 Plan espace temps et localisation des zones influenc es par la condition initiale et la condition limite amont G n ralement la condition initiale est donn e sous la forme d une relation entre la position x sur le plan et la hauteur d eau ho cet endroit au d but du calcul La condition limite amont quant elle peut tre donn e par un hydrogramme r sultant d un pr c dent calcul et devant tre rout sur le plan En ce qui concerne les calculs il suffit de conna tre la hauteur d eau amont ha qui peut tre obtenue partir du d bit unitaire q par la relation n m 1 57 Pour une courbe ca
54. c de le logarithme Comme le montre la figure 1 9 le profil se raidit lorsque u diminue pour s apparenter un saut brusque lorsque u devient tr s petit 0 012 Hauteur d eau m p 1E3 0 008 a Ho y 25 E 5 0 006 1 E 4 u 1 E S 0 004 0 002 0 3 5 Abscisse m Figure 1 9 Evolution d une transition pour diff rentes valeurs de u 45 p h 10m h 10 2m Ea 10 sing Deux tendances extr mement importantes se d gagent des d veloppements Si petite que soit la contribution diffusive sa seule pr sence assure une transition continue en lieu et place des chocs d une th orie plus grossi re Lorsque le coefficient de diffusion devient tr s petit la frange des abscisses dans laquelle se produit la transition devient si troite qu un saut brusque constitue une approximation valable de la solution Il s agit l d une indication tr s encourageante pour le mod le d coulement tr s particulier que nous d veloppons A l chelle spatiale des ph nom nes que nous souhaitons mod liser la th orie cin matique garderait tout son sens condition d introduire la possibilit de sauts dans la solution qui approximeraient les profils continus d une th orie plus pr cise A ce stade on ne peut encore parler que d espoir puisqu il faut en toute rigueur revenir aux quations compl tes d Euler pour se forger une opinion d finitive Cette tape para t d autant plus n cessaire
55. c h D gt 1 abouti a un r sultat du type h Et il va sans dire que la zone o la vitesse est ind pendante de la hauteur d eau est d crite par h Les essais confirment donc les craintes d ja exprim es concernant la possibilit d utiliser une formule empirique comme celle de Strickler pour le calcul des pertes de charge des coulements en lame mince sur macro rugosit 2 3 2 Nouvelle formulation Le constat tabli au chapitre pr c dent n est gu re encourageant Sur une m me relation hauteur vitesse se distinguent simultan ment des comportements laminaires parfois une ind pendance de la vitesse par rapport a la hauteur d eau signe apparent d un coulement en milieu poreux et de tr s brusques augmentations de la vitesse lorsque l coulement submerge les asp rit s Les ph nom nes physiques susceptibles de se d velopper dans les coulements de surface sont donc extr mement vari s et habituellement d crits par des lois de comportement fort diff rentes Cependant une relation semble poss der la fois les qualit s de simplicit et de fiabilit souhait es la loi g n ralis e des coulements laminaires et turbulents en milieu poreux Li et al 1998 Cette loi d coulant d une analogie entre milieu poreux et r seau de tuyaux en charge propose le calcul du coefficient de frottement f sous la forme suivante f a 2 57 avec a et a 2 coefficients La relation entre la vitesse moy
56. ctuante d une inconnue au sens de Reynolds Nombre de Froude g n ralis Epaisseur caract ristique de lame d coulement hauteur normale un exutoire Hauteur d eau totale Epaisseur de lame entre l axe x et la surface libre Epaisseur de lame entre le fond et l axe x Hauteurs a gauche et a droite d une transition Vitesse d infiltration Terme de frottement g n ralis Nombre d onde cin matique Longueur caract ristique d coulement Coefficient caract ristique de l expression de perte de charge g n ralis e Pression Pression adimensionnelle D bit par unit de largeur D bit mesur par un observateur se d pla ant avec une discontinuit Vitesse des pr cipitations Pente de fond Pente nerg tique 155 x t h u a Ei 0 Tij Composantes de turbulence int gr es sur la hauteur Composantes du frottement sur le sol Temps caract ristique P riode d onde adimensionnelle Vitesse moyenne sur la hauteur d eau Vitesse selon l axe x Vitesses caract ristiques selon chaque axe Vitesse adimensionnelle selon l axe x Vitesse de d placement du choc Vitesse caract ristique selon la droite de plus grande pente Coordonn es et variables adimensionnelles Coefficient caract ristique de l expression de perte de charge g n ralis e Rapport entre une vitesse uio et la vitesse caract ristique Wo Angles que font les axes du rep re cart sien trirectangle avec l axe vertical oz
57. de 25 m tres pour l ensemble de son territoire Concr tement il s agit d une matrice dans laquelle chaque cellule contient l altitude d un point du terrain La distance entre deux cellules est de 25 m tres L ensemble de ces points d finit enti rement la surface du relief comme illustr par l exemple de la figure 4 1 RL TERETE COLETTI RES SIE PR DE EEE TR N N N N N N N Figure 4 1 Vue perspective du mod le num rique de terrain de la r gion de Mattmark en Valais Le lac de Mattmark est visible sur le bas de l image Vue cr e avec le logiciel HiQ de National Instruments Mod le num rique de terrain MNT25 1994 Office f d ral de topographie 128 Au lieu de ne consid rer que quelques plans Faitou traite l ensemble de la topographie d finie par le MNT L coulement de surface se produit sur l ensemble des facettes s appuyant sur les points d altitudes du MNT Apr s une longueur d coulement superficiel correspondant a quelques facettes de 25 m tres le ruissellement alimente lat ralement le r seau des cours d eau qui achemine le d bit jusqu l exutoire du bassin versant Ecoulement quasi 3D sur plan Ecoulement 1D en rivi re Figure 4 2 Repr sentation sch matique des divers types d coulement consid r s dans le mod le Faitou Avec cette mod lisation sch matis e par la figure 4 2 la distribution spatiale de chaque param tre devient tr s ais e
58. de gravit de i Pour le cas b pr sent la figure 9 5 on obtient bien dy ais Gat 3 36 120 mais dans le cas a par contre la valeur reconstruite en 1 2 n appartient plus a cet intervalle et un extremum local est g n r En d signant par Qmin et Gmax la Valeur minimale et maximale de tous les N voisins composant le super l ment T plus l l ment lui m me le principe du limiteur peut s crire q qalf r3 ae q q sige al 3 37 q Amin SIG lt min q Qmax si q gt Gmax Par reconstruction il est donc possible d estimer le flux au milieu d un bord du volume fini partir du flux connu en son centre de gravit Mais comme un bord est la fronti re entre deux volumes finis la reconstruction peut tre effectu e a partir de chaque l ment pour obtenir sauf situation exceptionnelle deux valeurs diff rentes du flux pour le m me bord comme le montre la figure 3 10 Figure 3 10 Principe de la continuit du flux sur les bords des volumes finis La formulation conservative de la m thode des volumes finis assure le respect du bilan sur chaque l ments Par contre il est n cessaire d valuer le flux travers chaque fronti re de mani re unique pour que le bilan soit conserv sur l ensemble du mod le G n ralement l estimation du flux q sur le bord partir des flux reconstruits q et qj repr sente un probl me de Riemann unidimensionnel toujours quelque peu ard
59. de laquelle les principales caract ristiques topographiques et morphologiques ne subissent pas de modifications fondamentales A l issue de ce parcours l coulement atteint sa hauteur hg normale un exutoire o le d bit par continuit s crit Q hou i r I cos6 1 31 Les grandeurs uo Aosont li es par la d finition de la vitesse uniforme qui prend une forme caract ristique du type d coulement En crivant la loi de frottement sous une forme g n ralis e qui sera discut e au chapitre suivant t u N 1 32 f gh hd ce qui s crit encore Ll Ji u hd h 1 33 a En introduisant les formes adimensionnelles des coordonn es et des variables X gt Wt _ h u x 2 t ne ME u h h hy Ug les quations deviennent an A ot ox 1 1 34 i b i 2U 2 OOS al nee 1 2 1 35 at ax Uy aX Uo h a L quation dynamique met en vidence l existence de deux param tres le nombre de Froude Fp ainsi que le nombre d onde cin matique Ko cit la premi re fois par Woolhizer et Liggett en 1967 2 Uo 1 36 gh cos 0 Fo h sind h sind Ky DSMP 9037 137 Uo Up Leurs valeurs relatives donnent lieu a trois approximations possibles de l quation dynamique Lorsque Ky prend une valeur importante il existe une relation univoque entre la profondeur et la vitesse La profondeur est alors la hauteur normale pour le d bit correspondant Elle correspond
60. description valable du processus physique La pente de surface par exemple semble cr er des effets qu il convient de consid rer aux abords des d ferlements analytiques Examinons jusqu quel point les termes suppl mentaires jadis limin s r solvent les singularit s 1 11 2 Premi re analyse par l hypoth se de l onde diffusive Quel est l impact de l assimilation de la pente de surface la pente de fond Afin d examiner ce qu apporte le gradient de hauteur ajout a la pente de fond pour la description d une transition rappelons la forme dimensionnelle de l hypoth se diffusive qui lie u eth d eu sin cose 2 1 74 a OX Son introduction dans l quation de continuit donne i d oh b d ane meee bap ah a OX IX ot b 1 75 b d hb sind cos 9 2 rey r cos ox a o xX Une premi re analyse directe r sulte de l approximation habituelle de l expression des pentes de surface L quation 1 75 prend alors la forme habituelle suivante 41 oh h h F N HANS i r cosO 1 76 avec d c h x 9 2 sino 1 77 a 441 d 1 b u hx Ph cosasing 1 78 Comme toute quation de convection diffusion elle combine des tendances raidir les profils par une convection non lin aire c h x ainsi qu un adoucissement de la forme du signal propre la diffusion ulh x Reprenons l expression g n rale 1 75 pour nous int resser a l volution de l
61. e valu es sur la base des coefficients de corr lation obtenus entre les hydrogrammes mesur s et simul s Le r sultat est pr sent la figure 2 23 en fonction de l intensit de la pluie 1 00 de TOM 01 bo M Oe Aw o 0 99 E 35 0 98 E 0 97 F o 0 96 E o 0 95 o 0 94 E 0 93 00 7 1 2 2 03 0 05080 0 7 0 15 0 0 92 0 20 40 60 80 100 120 140 160 o o o Coefficient de corr lation Intensit de la pluie mm h Figure 2 23 Coefficients de corr lation entre les hydrogrammes simul es avec le mod le en calottes et les hydrogrammes mesur s Afin d illustrer la fois la qualit des mesure et de la simulation num rique la figure 2 24 pr sente les hydrogrammes mesur s et simul s sur un plan 10 de pente recouvert de la classe granulom trique 5 0 8 0 mm et arros par une intensit de pr cipitation de 102 mm h 100 w So O hydrogramme mesur hydrogramme simul N n D bit ml s SH ere res en un ee o n Temps s Figure 2 24 Hydrogrammes mesur et simul avec le mod le en calottes pour une intensit de pluie de 102 mm h une pente de 10 et la classe granulom trique 5 0 8 0 mm La mesure pr sente quelques particularit s comme l amorce de la d crue Ces imperfections sont mettre sur le compte de la pression d alimentation du simulateur de pluie partic
62. e couverture p tendent vers 0 les coefficients Q et 7 tendent tous les deux vers 1 et ainsi le coefficient tend bien vers 24 ce qui correspond a la solution th orique pour un coulement laminaire sur plan lisse Le terme laminaire de 2 60 prend donc la forme N 2 Jo V 2 64 0 Agh A l inverse lorsque la vitesse est grande le terme en V domine et l quation 2 60 tend vers J 2 v2 2 65 8gn h En posant 3 c 7 2 66 20 la relation 2 66 est identique la formule de Ch zy propos e pour les coulements turbulents La formule 2 59 est donc capable de d crire la fois le comportement des coulements laminaires et turbulents avec une transition entre ces deux types assur e par la forme polynomiale Au vu des repr sentations graphiques des relations hauteur vitesse obtenues dans le milieu en calottes il serait fort tonnant que cette loi soit encore capable de mod liser correctement le comportement 83 du ruissellement pour des hauteurs d eau d passant le diam tre des calottes Limitons donc son usage au seul domaine des coulements enti rement contenus l int rieur des calottes Reste alors d terminer la valeur du coefficient amp qui au vu de la formule 2 57 est la valeur asymptotique prise par le coefficient de frottement f lorsque le nombre de Reynolds augmente Il est certain que cette valeur doit d pendre de la densit de couverture p Par optimisation num
63. e de la recherche l exp rimentation physique Ce moyen devrait permettre de valider rejeter ou adapter les approches existantes Mais comme justifi plus haut l tude exp rimentale ne peut tre men e que sur un mod le de la surface du sol La d marche choisie pour cette tude est comparable celle de Nikuradze pour les pertes de charges dans les canalisations Il s agit en premier lieu de comprendre les ph nom nes physiques rencontr s l aide d un mod le repr sentant simplement la r alit du probl me Ce mod le en calottes pr sent au paragraphe suivant consid re une surface recouverte de calottes de dimensions constantes Les essais de laboratoire doivent permettre de mettre en vidence la relation liant la vitesse moyenne de l coulement aux diff rents param tres comme la hauteur d eau ou la pente pour ne citer que les plus importants Deux installations d essais ont t r alis es dans ce but La premi re permet l tude des coulement stationnaires et uniformes tandis que la deuxi me produit des coulements non stationnaires et non uniformes sous un simulateur de pluie 2 2 Le mod le en calottes 2 2 1 Description g om trique Le mod le en calottes consid re une plaque lisse et imperm able recouverte de calottes sph riques toutes identiques de diam tre 2D L arrangement des calottes se fait de mani re g om trique Les calottes sont r parties sur des lignes horizontales per
64. e en fine lame consid r l chelle du bassin versant les hypoth ses diffusive et cin matique constituent les compromis les mieux adapt s L hypoth se cin matique qui ne conserve que les termes de gravit et de frottement offre la simplification math matique la plus radicale avec sa relation explicite vitesse paisseur de lame ruisselante En regard de la discr tisation spatiale envisageable actuellement par les moyens informatiques elle appara t comme une alternative int ressante La simplicit de l expression math matique qui lie la vitesse la pente topographique a cependant un prix elle exige une pente d finie non nulle et positive sur l ensemble du bassin versant La mise en uvre de cette expression simplifi e demande donc un traitement pr alable de la topographie parfois d licat r aliser en conditions r elles Le mod le math matique n en demeure pas moins non lin aire et capable d induire des ressauts hydrauliques simplifi s ce qui implique la mise en uvre de sch mas de r solution capturant les chocs L hypoth se diffusive quant elle conserve le terme de gradient de pression La pente motrice de l coulement redevient plus logiquement la pente de la ligne d eau et non plus la pente de fond comme dans le cas cin matique La prise en compte de ce terme implique la formation de ressauts hydrauliques math matiquement 151 continus La dimension de ces transitions
65. e et serait certainement encore truff d erreurs rendant impossible toute tentative de simulation num rique Un mod le num rique de terrain contient toujours quelques accidents Il existe tr s souvent m me dans des bassins versants alpins fortes pentes des zones horizontales ou pire encore des d pressions locales qui entra nent des augmentations d altitude le long d un chemin d coulement En pr sence de ces trous les algorithmes de d limitation automatique du bassin versant fond s sur la direction des vecteurs pente et orientation de chaque cellule ne savent plus par o continuer et s arr tent en perdant ainsi parfois une grande partie du bassin Ces inconv nients pr sentent plusieurs origines La litt rature sp cialis e propose quelques dizaines d algorithmes possibles pour g n rer un MNT partir d un semis de points XYZ Chaque m thode pr sente des avantages et des inconv nient d pendant du type de relief rencontr mais aucune n arrive encore faire l unanimit aujourd hui Les altitudes observ es dans un MNT sont en g n ral toutes interpol es partir de points voisins et sont donc sujettes discussion De plus la r solution de 25 m tres de la matrice ne permet pas de d tecter les petites particularit s de la topographie 130 comme certaines gorges l ments pourtant essentiels dans le cheminement des eaux Face a ce constat il appara t indispensable d autoris
66. e ne s impose par contre sur la forme que prend l coulement sur l paisseur de la lame fluide pas plus que sur la forme et l volution temporelle des contributions voqu es sous le nom g n rique de pertes La mise sous forme adimensionnelle du syst me obtenu permet ensuite l valuation de l importance relative des termes en pr sence Cette d marche conduit aux simplifications math matiques les moins restrictives vis a vis de la forme non lin aire des quations et de la prise en compte de la g om trie 1 2 Equations hydrauliques de base Consid rons un volume de fluide V dont nous suivons le mouvement dans l espace trois dimensions ox oy oz Les axes ox oy d finissent un plan orient parall lement au plan topographique moyen T d signe la surface ext rieure V tandis que la normale ext rieure cette surface est caract ris e par ses composantes n Les angles 6 que font les axes du rep re cart sien trirectangle avec l axe vertical oz passant par leur origine permettent une d composition ais e de l acc l ration de la pesanteur Le principe de conservation de la masse au volume V s crit De av fo Jeu eff av ae La seconde loi concerne la conservation de la quantit de mouvement a St ov ff osna 32 58 1 2 en utilisant le th or me de la divergence de Green pour les forces de surface compos es des contraintes visqueuses tj et de la pression p L effet de rotation terre
67. e puisque la continuit des pentes descendantes et la suppression des d pressions locales ont t effectu es lors de la d termination du r seau de rivi res avec Cmin 0 4 A ce moment une nouvelle d termination du r seau de rivi res a lieu avec la valeur du param tre Cmin souhait e Seuls les segments de rivi res faisant partie du bassin versant sont cr s La g n ration du mod le de surface peut d s lors d buter Volumes finis 4 diagonale gauche Volumes finis 4 reconstruction constante Segments de rivi res Segments du bord du bassin versant Figure 4 4 Principales difficult s du maillage automatique de Faitou 135 La figure 4 4 regroupe les principales difficult s que doit surmonter le mailleur automatique des volumes finis Tout d abord pour les raisons d int grit cit es plus haut entre les mod les 2D et 1D aucun bord de volume fini ne doit traverser un segment de rivi re Faitou ne g n re que des volumes finis triangulaires sur les points du MNT Par d faut chaque triangle est cr avec une diagonale droite Mais par endroit le respect des segments de rivi res demande une diagonale gauche Cette m me difficult est rencontr e sur la fronti re du mod le Au fur et mesure de la cr ation des l ments les donn es topologiques sont galement tablies Elle concernent essent
68. e question comparons analytiquement les 2 types de formulation dans le cas d une canalisation de diam tre D Selon la th orie moderne le calcul des pertes de charge en r gime turbulent peut s effectuer l aide des relations de Darcy Weisbach et de Colebrook White 59 2 u f Tes D 2 12 Q 1 2 13 2lo JE de Rt o k est la rugosit quivalente de sable des parois k Pour des valeurs lev es du nombre de Reynolds l influence de ce dernier sur la perte de charge devient n gligeable L amp coulement est d fini comme turbulent rugueux et 2 13 se r duit ala formule de Nikuradse k F aid 575 2 14 soit 2 21o al 2 15 La combinaison des quations de Darcy Weisbach 2 12 et de Nikuradse pour un coulement turbulent rugueux 2 14 permet d crire NT 2gJ 2100 _S JD 2 16 ua PHD Jaaa dz 2 16 Selon l approche empirique les formules appliqu es la g om trie d une conduite de section circulaire s crivent d une mani re g n rale V a J 2 Dpt 2 17 Dans cette quation le coefficient ne d pend que de la rugosit des parois et reste constant pour tous les diam tres Si tel n tait pas le cas cette formulation perdrait tout son int r t 60 L galit des vitesses d coulement calcul es par les formules empiriques 2 17 et selon Colebrook 2 14 permet d crire a Ji D f2
69. e un ph nom ne difficilement explicable l aide de la th orie classique La confusion et le doute s installent d finitivement dans nos esprits d hydrauliciens en observant la figure 2 22 Par rapport la figure pr c dente seule la pente du plan t modifi e de 30 1 tous les autres param tres dessai restant inchang s Deux comportements bien distincts sont visibles sur chaque hydrogramme Pour les faibles d bits tout d abord l ajustement d une fonction de puissance fournit m 1 25 avec un coefficient de corr lation toujours impressionnant Il appara t donc que la vitesse est proportionnelle h M me les formules empiriques les plus farfelues n ont jamais propos une telle relation A partir d une certaine valeur du d bit d pendant de la taille des asp rit s le comportement montr par ces hydrogrammes change brutalement et le coefficient m prend des valeurs aussi originales que diverses pour atteindre m me m 3 47 valeur sup rieure celle du laminaire 98 0 7 1 2 mm s 7 0 15 0 mm q 0 1 E 0 01 10 100 1000 Temps s Figure 2 22 Mont e en crue de deux hydrogrammes mesur s au bas d un plan de 1 de pente en double chelle logarithmique Sous l unique clairage de la th orie classique de I hydraulique fluviale les figures ci dessus mettent en vidence des paradoxes bien embarrassants Mais il ne faut voir ici que l expression du comportem
70. elle L ensemble des relations pr sent es jusqu ici ne permet que l estimation de l int grale de surface dans l quation 3 19 Il reste encore choisir une m thode pour l int gration temporelle qui doit tre au moins du m me ordre de pr cision que le sch ma spatial pour des raisons de consistance Faitou assure l int gration spatiale de l quation 3 19 a l aide de la m thode d Euler modifi e du second ordre de pr cision D une mani re g n rale l quation 3 19 peut s crire sous la forme 122 6 h on fet h t 3 38 Le terme droite de l quation 3 38 est compos du terme source S de 3 19 et de l int grale des flux sur la fronti re du volume fini Ce terme est donc connu La m thode de Euler modifi e s effectue en deux tapes pour chaque pas de temps Tout d abord fct h t est valu e au temps t ce qui permet d obtenir Oha Oh R On 3 39 Alors fc h t est nouveau valu e avec les valeurs obtenues en t Atv 2 pour finalement obtenir les r sultats au nouveau pas de temps fs hl A At A tan 3 40 La proc dure de Euler modifi e utilis e par Faitou est repr sent e graphiquement la figure 3 11 oh Aal ae h t t At 2 t At Figure 3 11 Repr sentation graphique de la m thode de Euler modifi e 123 124 4 FAITOU un logiciel de simulation de la formation et du transfert des crue
71. ement au calcul des convergences Au lieu d tre effectu sur les valeurs d altitudes ce dernier est r alis sur les valeurs de convergence elles m mes qui sont tout d abord tri es par ordre croissant Chaque valeur sup rieure a Chin Marque le d but d un segment La fin du segment la cellule cible est d termin e par une succession de crit res Le premier crit re de choix repose sur la pente maximale comme pour le calcul de convergence et permet de trouver la fin du segment de rivi re Si plusieurs pentes entre la cellule origine et ses 8 voisines sont identiques alors l algorithme se dirige vers la cellule voisine qui pr sente la plus grande valeur de convergence Finalement si aucun des crit res pr c dents n est rempli le passage est forc dans la direction de la cellule voisine la plus basse m me si celle ci est situ e plus haut que la cellule origine Ce traitement est n cessaire pour sortir des d pressions locales du mod le num rique de terrain La troisi me phase de cet algorithme de recherche du r seau de rivi res consiste assurer une pente descendante pour chaque segment d termin Si un segment pente montante a t g n r l altitude z de la cellule cible est corrig e et abaiss e selon la relation exprim e en m tres Z 2200 4 3 Malgr une certaine r ticence modifier le mod le num rique de terrain original cette op ration demeure indispensable pour forcer le pass
72. ement turbulent lisse II ne faut toutefois pas perdre de vue que cette comparaison n est valable que pour les coulements turbulents rugueux La valeur de Ch zy est donc consid rer comme une borne inf rieure La figure 2 4 repr sente galement les valeurs constantes de y propos es par diff rents auteurs L intersection entre ces horizontales et la courbe obtenue partir de la formule de Nikuradse d limite un domaine D k compris entre 20 et 1000 environ Ceci montre bien que ces formules empiriques ont t cal es partir de mesures effectu es dans des rivi res et des canaux dans lesquels pour des conditions habituelles le rapport entre la hauteur d eau ou le rayon hydraulique et la taille des asp rit s varie dans ces m mes proportions 65 Le coefficient de rugosit g n ralis apparaissant dans l amp quation 2 17 s crit selon 2 23 5 or 2M La pr sence dans cette expression des coefficients A et M d pendant de la rugosit relative k D montrent bien que ne d pend pas uniquement de ks mais aussi de D S il est vrai que les formules empiriques donnent des r sultats suffisamment pr cis dans le domaine usuel de l hydraulique fluviale il n en va pas de m me pour le ruissellement de surface En effet la figure 2 3 indique une grande variation de la puissance y pour le domaine de la macro rugosit dans lequel rappelons le D k lt 4 Ainsi seule une formule avec exposant
73. emporelle de l hydrologie de surface d un bassin qui peut couvrir des centaines voire des milliers d hectares il est illusoire d esp rer discr tiser une telle surface avec des mailles dont la dimension moyenne descendrait nettement sous la cinquantaine de m tres Compte tenu des ph nom nes d interception d infiltration et d vaporation l paisseur de la lame ruisselante se maintient dans 2 p 2 des ordres de grandeur de 10 m tandis qu elle s coule sur les pentes naturelles des vitesses de l ordre de 10 m s Ces quelques valeurs fixent les ordres de grandeur des gradients de vitesse et de hauteur susceptibles d tre d velopp s dans une simulation num rique Dans des discr tisations usuelles ils ne sauront exc der 4 4 1 10 m m pour la hauteur et 10 s pour la vitesse L introduction de ces valeurs dans chaque terme de l quation dynamique compl te permet de comparer leurs influences relatives ou ou oh A t u COS siNn0 r I cos at ax I 2 a D a g0 oe o o0 oe L valuation est loquente Elle r v le la totale inutilit de prendre en compte les quations compl tes pour des topographies globales Seules des mailles de taille comparable a la hauteur de la lame d eau rendraient chaque terme la facult d tre num riquement significatif C est un autre domaine celui que Tayfur et al intitulent coulement sur de la microtopographique II se heurte d innombrables difficult
74. enne vitesse de Darcy et le rayon hydraulique peut alors tre mise sous la forme polynomiale suivante 81 LEE En 8gR n 8gR n 2 58 o nest la porosit du milieu et ile gradient hydraulique Cette approche est centr e sur les coulements en milieu poreux homogene dans lequel la porosit n et le rayon hydraulique Rp restent constant Dans ce cas la vitesse est ind pendante de la hauteur d eau et ne varie que par la gradient i Adaptons la aux coulements dans le milieu en calottes en rempla ant le rayon hydraulique R par son expression h 7 Q et la porosit du milieu poreux n par la porosit de section du milieu en calottes 7 La relation 2 58 devient alors av a y 22 J 8gn h 8gn h v 2 59 Lorsque la vitesse est faible le terme en V devient n gligeable par rapport au terme en Vet cette relation se r duit u av Q 8gn h 2 60 En r arrangeant les termes de l quation 9 elle peut se mettre sous la forme plus courante V 8gJon h 2 61 av Q Cette formulation est identique l expression th orique obtenue pour un coulement laminaire sur plan condition de remplacer le coefficient x par Q m K a 2 62 82 Pour tre en accord avec la th orie g n rale des coulements laminaires Dubois 1998 il est judicieux de remplacer l expression 2 62 par l quation 2 63 n Lorsque la hauteur d eau h ou la densit d
75. ent original observ dans le milieu en calottes lors des essais stationnaires et uniformes En effet les deux tendances comportementales montr es a la figure 2 22 correspondent bien a la relative ind pendance de la vitesse en fonction du d bit lorsque l coulement s effectue dans le milieu en calottes et la tr s brusque augmentation de la vitesse par rapport la hauteur d eau lorsque l coulement submerge les l ments de rugosit 2 4 3 Analyse l aide de la nouvelle loi de comportement Le premier test de validit de la nouvelle loi de comportement consiste simplement simuler num riquement l aide des techniques num riques pr sent es au chapitre suivant les 80 essais en coulements non uniformes et non stationnaires avec leurs param tres bruts c est dire sans calage ou optimisation Pour le 99 calcul des pertes de charge la hauteur D des calottes est le diam tre maximum de la classe granulom trique et la densit de couverture est gale a p 0 85 Cette derni re valeur inf rieure la densit maximale s explique par la technique utilis e pour r aliser les surfaces test es Le r sultat de ces simulations num riques est constitu de 80 hydrogrammes destin s la comparaison avec les mesures effectu es Il n est pas envisageable de pr senter ici sous forme graphique l ensemble de ces calculs Toutefois les performances de la nouvelle loi de comportement peuvent tr
76. er U et U Dans les deux derni res relations q et q font bien r f rence a leur definition initiale soit l hypoth se cin matique qui lie u et h influence de la pente de surface non comprise L expression 1 80 crite sous la forme suivante oh OF pei h 65 y Uh tano 1 83 ox cos y l sugg re cependant un fait nouveau non n gligeable pour une topographie assez r guli re cette pente conserve g n ralement une valeur finie de signe constant qui permet la solution de rallier les deux tats limites par une transition continue et graduelle Il est plus ais de compl ter l analyse de ce r sultat en reprenant l application avec l quation approch e 1 76 Par commodit nous consid rons arbitrairement u au terme des discussions sur l ordre de grandeur de la contribution diffusive comme une constante positive dont la valeur s adapte une hauteur caract ristique de l coulement et la dimension du maillage 43 Si nous reprenons un raisonnement similaire a celui men avec l quation compl te en restreignant l exemple une pente constante nous obtenons apr s int gration la forme simplifi e correspondant 1 80 qui s crit ind Ys B y dh un ee ER 1 84 a L imposition des conditions aux limites sur les pentes de surface rend videmment les conditions 1 81 qui donnent U et e des valeurs similaires l int gration pr c dente U et e Pour proc der une int
77. er une certaine modification de la topographie afin de pouvoir g n rer automatiquement et de mani re fiable la fois le r seau de rivi res et le mod le en volumes finis de la surface 4 3 G n ration du r seau de rivi res La d termination du r seau de rivi res en mode matriciel d bute par le calcul de la convergence Cette op ration consiste attribuer chaque cellule de la matrice la taille exprim e en nombre de cellules de son sous bassin versant Cet algorithme commence par trier les altitudes par ordre d croissant Puis de la cellule la plus haute jusqu la cellule la plus basse il d termine vers laquelle des 8 cellules voisines l coulement va se diriger Ce choix s effectue en calculant chaque pente entre la cellule trait e et ses voisines La plus grande pente obtenue permet de d signer la cellule cible En d signant par l indice o la cellule origine et par l indice c la cellule cible la valeur de convergence C de cette derni re s obtient alors par C C C 1 41 Bien videmment cette derni re relation est consid rer comme une instruction d un langage de programmation et non pas comme une quation math matique En pr sence d une d pression locale o aucune pente nulle ou descendante n est trouv e la convergence de la cellule origine est modifi e de la fa on suivante C C 05 4 2 De cette mani re les lignes de cr tes du bassin versant poss dent une convergence nul
78. es simulations visant transformer les pluies en d bits sur un bassin versant Cette am lioration tient en particulier au fait que le domaine de validit de cette loi couvre les situations de crues extr mes Jusqu ici seule la foi en la constance du coefficient de rugosit permettait l estimation de d bits extr mes pour lesquels et par d finition il n existe aucune mesure permettant le calage de ces param tres Sans une remarquable puissance de calcul le d veloppement de mod les d terministes d coulement de surface enti rement distribu s spatialement et non stationnaires n est tout simplement pas envisageable Mais les d veloppements spectaculaires de l informatique autorisent aujourd hui l laboration de tels mod les num riques Une augmentation de la complexit et du volume des calculs n est pas confondre avec une augmentation de la qualit des r sultats Pourtant m me en gardant cette r flexion toujours l esprit il serait fort dommage de ne pas explorer ce formidable potentiel La mod lisation de la g om trie d un bassin versant par quelques surfaces planes a montr ses limites Franchissons un pas suppl mentaire et utilisons la source de donn es la plus d taill e sur la topographie savoir le mod le num rique de terrain MNT appel galement parfois mod le num rique d altitudes 127 En Suisse l Office F d ral de la Topographie a achev l laboration du MNT maille
79. espace ferm correspondant 39 hauteur d eau L 1U m A pec s st po in Po l 1 nr wi x D s t x abscisse m Figure 1 8 Conventions d criture relatives un choc en mouvement Pour tablir la relation qui lie des variables situ es de part et d autre du saut chaque extr mit de l espace de contr le tend vers l abscisse s t en l emprisonnant dans un espace l mentaire Dans ces conditions tenant compte de fonctions born es chaque int grale tend vers 0 et il subsiste alors als q s t rise rts nf 1 72 l indice 1 d signant la zone en avant du choc l indice 2 celle derri re le choc Pour une vitesse de d placement du choc E d sign e par U il vient q Uh q2 Uh q 1 73 ou q repr sente le d bit que mesure un observateur qui se d place avec la discontinuit La discontinuit qui satisfait 1 73 fait donc partie des solutions acceptables et peut avantageusement se substituer aux solutions triples susceptibles d apparaitre dans l approche continue 40 Examinons a pr sent la seconde quation du mod le Certaines hypoth ses mises lors de son laboration sont en contradiction avec les r sultats obtenus En l occurrence l apparition de pentes de surface infinies contraste du moins localement avec l hypoth se d une pente de surface assimil e une pente de fond La liaison entre hauteur et vitesse cesse ponctuellement d tre une
80. et coefficient de rugosit variables en fonction de la hauteur d eau serait peut tre m me de d crire le comportement du ruissellement Il va sans dire que si tout varie dans une formule celle ci perd de son int r t 2 1 3 Conclusions L analyse de la litt rature montre qu un important effort de recherche est encore a fournir pour autoriser un calcul fiable des pertes de charge du ruissellement L int r t des hydrauliciens ne s est pas souvent port sur ce ph nom ne N anmoins les travaux effectu s indiquent une voie potentielle pour atteindre cet objectif Dans le cas d un coulement laminaire seule une mod lisation de la surface avec prise en compte des asp rit s peut expliquer les r sultats des mesures effectu es Woolhiser 1975 De cette mani re il semble envisageable de concilier th orie et exp rience ce qui est loin d tre le cas actuellement En coulement turbulent il semble que les bien aim es formules empiriques comme celle de Strickler ne sont pas aptes d crire le comportement de la lame d eau ruisselante Il convient sans doute 66 de se tourner vers les formules modernes liant le coefficient de frottement f a la rugosit relative k h La formule de Nikuradse et celle de Bathurst pour les coulements sur macro rugosit poss dent des caract ristiques prometteuses pour notre domaine d int r t Une seule m thode de travail s impose d sormais pour la suit
81. eur sur la micro topographie D signons par Az la surface des flaques d eau la cote z Le volume d eau V 2 contenu sur l l ment s obtient alors par v z fa Gas 3 6 o est une variable d int gration La borne inf rieure de l int grale Z correspond a MIN z o z repr sente toutes les altitudes g n r es de la micro topographie A l aide du changement de variable h Z 2 3 7 la relation hauteur volume de l ment devient simplement 108 v h fA ae 3 8 0 Cette int grale est effectu e num riquement sur chaque l ment du domaine de calcul pour fournir la relation hauteur volume recherch e et monir e sur la figure 3 4 1000 3 100 100 10 gt Q 4 a Volume beta 100 tot Volume beta infini 108 S D bit 0 0 01 Ecoulement 0 0 J 0 001 0 00 0 0001 0 01 0 1 1 Hauteur d eau m Figure 3 4 Exemple de relations hauteur volume et hauteur d bit obtenues sur la micro topographie d une cellule de 25 m de c t avec b 100 La deuxi me relation a calculer a partir de la micro topographie concerne les changes de flux entre cellules Conform ment au concept volume fini d crit plus bas les flux ne sont calcul s que sur les bords des cellules Chaque bord pr sente l aspect montr sur la figure 3 5 La nouvelle formulation des pertes de charge a t d velopp e pour un coulement
82. fert des crues extr mes Le logiciel Faitou Laboratoire de Constructions Hydrauliques Ecole Polytechnique F d rale de Lausanne MI Communication 10 Generation et transfert des crues extr mes Le logiciel Faitou J r me Dubois Michel Pirotton Editeur Prof Dr A Schleiss Lausanne 2002 PREFACE La protection contre les crues est plus que jamais un th me d actualit Dans ce domaine les m thodes et techniques d velopp es par les ing nieurs ont d j fait leurs preuves Leur application coh rente l chelle d un bassin versant repose toutefois sur la ma trise de comportements hydrauliques complexes Dans la pr sente communication les deux auteurs Dr J r me Dubois et Professeur Michel Pirotton d crivent les bases th oriques d un programme de calcul nomm Faitou qui comme son nom l indique fait effectivement presque tout et d montrent sa puissance l aide de plusieurs exemples Faitou permet de simuler la formation et le transfert des crues pouvant se produire dans un bassin versant Il effectue de mani re coupl e le calcul du ruissellement de surface en deux dimensions avec le calcul des coulements unidimensionnels en rivi res Dans le cadre de la r alisation de son travail de doctorat sous la direction de Dr Jean Louis Boillat M Dubois a con u et programm en grande partie le logiciel Faitou Lors de plusieurs visites au Laboratoire de constructions hydrauliques en tant que profes
83. gration simple de 1 84 nous particularisons le coefficient de la loi hauteur vitesse ne pour nous int resser a un tat interm diaire entre l coulement laminaire de Darcy Weisbach et la turbulence pleinement d velopp e de Ch zy Nous obtenons alors pour expression du gradient de hauteur un polygone du second degr en termes de la hauteur Puisque les conditions aux limites lui imposent deux z ros en h h et h ho l expression 1 84 prend la forme suivante 1 i 1 oh 1 mer Uh g EST hXh h 1 85 u a ox u a dont l int gration donne B _ E S E Pe 1 86 h h sine h h Ce r sultat apporte une preuve tangible de l importance de la contribution diffusive h Etant donn la forme de 1 85 on est assur du signe de s entre x des racines h h qui sont rejet es La solution monotone 44 entre les deux tats pr sente une transition dont la raideur d pend du coefficient u Pour le montrer il nous faut d finir une mesure de l paisseur de la transition Ax Nous la poserons de fa on abrupte comme l espace qui assure 90 par exemple de la transition totale Az hy En valuant la distance qui s pare les abscisses correspondant respectivement h4 0 05 h h et h 0 95 he h on obtient finalement 1 2 ja Ee i S 1 87 h h sing 0 95 Quel que soit le pourcentage choisi cette mesure s av re proportionnelle au coefficient qui pr
84. gsin6 j Xi La similarit math matique est totale condition d ajouter aux contraintes visqueuses des contraintes de turbulence qui portent le nom de tensions de Reynolds La d composition moyenne fluctuation simplifie un syst me o n intervient d sormais que l effet global des fluctuations au travers d un tenseur sym trique inconnu six inconnues Ce dernier r clame d autres relations sans nouvelle inconnue pour fermer le syst me Ce tenseur symbolise ce que cr ent les fluctuations en cisaillant l coulement moyen Pour la suite des d veloppements les contraintes visqueuses et turbulentes seront r unies sous une notation unique tandis que les T de moyenne seront ignor s pour all ger l criture 1 4 Formulation adimensionnelle La premi re tape vers une indispensable simplification du mod le passe par une mise sous forme adimensionnelle des quations Elle permet par l nonc d une condition peu restrictive une simplification radicale du syst me indispensable au passage en deux dimensions Consid rons une paisseur caract ristique ho de lame d coulement selon oz ainsi que des vitesses caract ristiques u selon chaque axe W se d finit comme une vitesse caract ristique selon la droite de plus grande pente obtenue par combinaison lin aire des vitesses caract ristiques selon ox et oy Avec ces valeurs construisons deux longueurs caract ristiques suivant les axes ox et oy en s aidant du rap
85. gy 2645 2 18 Dans le membre de droite de l quation 2 18 le diam tre D n est pas sous la forme d une simple puissance comme dans le terme de gauche mais apparait galement dans une fonction logarithmique Afin de lever cette difficult de comparaison faisons l hypoth se que le coefficient de frottement f peut s exprimer non seulement selon l quation 2 15 mais aussi sous la forme 4 M as 2 19 D avec les coefficients A et M d terminer L galit des quations 2 15 et 2 19 permet d crire 200 Ke 1 2 20 7 D 3 Le 2M D Afin que l quation 2 19 puisse tre valablement substitu e l quation 2 15 il faut non seulement qu elle donne la m me valeur de f mais aussi que la d riv e de f par rapport a k D soit respect e Ainsi la relation 2 20 et sa d riv e fournissent les 2 quations n cessaires la d termination des coefficients et M de 2 19 qui valent tout calcul effectu In 10 log 31D A 2j 29 ke i 2 21 k 3 7D _ Ino 3 7D M D oof k 2 22 61 Alors l quation 2 18 s crit en introduisant 2 20 J D 29J VD v29 dp DRM 283 as A k 2m D La comparaison des diff rents termes qui apparaissent dans chaque membre de l quation 2 23 montre que l exposant 1 2 de la pente de frottement J est identique dans les deux membres Par contre pour que l exposant de D soit gal il faut que
86. h la vitesse s crit yee BB 44C 2A Pour h gt D et avec E a 5 621 224A 3 18p 081 Rian 562100 5 8 18p poe V la vitesse s crit V V a ee h psan fi a Le calage sur l ensemble des essais effectu s conduit l obtention d un coefficient de corr lation entre valeurs de vitesses mesur es et calcul es de 0 981 Cette valeur bien qu elle ne constitue pas une preuve de la qualit du mod le peut tout de m me tre consid r e 88 comme un indice encourageant La figure 6 7 pr sente graphiquement les vitesses calcul es par rapport aux vitesses mesur es 10 Vitesse calcul e m s o 0 01 i a 0 001 0 001 0 01 0 1 1 10 Vitesse mesur e m s Figure 2 15 Comparaison graphique entre vitesses mesur es et calcul es Le coefficient de corr lation est ici de 0 981 100 p 2 5 Op 10 A p 20 O p 30 B p 50 p 70 X p 90 0 01 0 01 0 1 hID 1 10 Figure 2 16 Comparaison entre les vitesses mesur es et celles r sultant de la nouvelle formulation La vitesse est divis e par la racine de la pente 89 We _ 2400 R 240 R SK ES t Pente 0 5 t Pente 1 t Pente 3 X Pente 10 X Pente 30 0 Pente 92 0 01 1 1 10 100 R 1000 10000 0 1 FE Prandtl Figure 2 17 Comparaison entre le coefficient de frottement f mesur et celui
87. haque sous bassin sur l aspect de l hydrogramme est ici mise en vidence 0 7 p 0 6 t 0 5 F 0 4 t e Hydrogramme T1 F e Hydrogramme T2 0 3 C Hydrogramme T3 02 0 1 F 0 ses 620000 625000 630000 635000 640000 645000 650000 Temps s Figure 5 9 Hydrogrammes lat raux alimentant les deux tron ons amont et le tron on aval de la jonction pr sent e la figure 5 7 La crue simul e l exutoire du bassin versant de la Veveyse r sulte en fait de la combinaison et du routage en rivi res de 630 hydrogrammes lat raux tels que les 3 pr sent s la figure 5 9 5 3 Simulation du bassin versant des Toules Le barrage vo te des Toules est situ en Suisse plus pr cis ment dans le canton du Valais et sur la route historique du col du Grand St Bernard Sa ligne de cr te sup rieure est le sommet des Alpes valaisannes formant la fronti re entre la Suisse et l Italie Faisant partie du bassin versant du Rh ne la direction principale d coulement est sud nord Sur la carte des ombres pr sent es la figure 5 10 le plan d eau de la retenue ainsi que le bassin versant 146 naturel sont bien visible La description d taill e de cet am nagement hydro lectrique et de son bassin versant est donn e par Boillat et al 1999 F PS a Figure 5 10 Carte des ombres de la r gion de la retenue des Toules obtenue a l aide de Faitou et r sultat de la g n ration auto
88. he directe de l tude du ruissellement sur un sol quelconque ne peut tre que 76 vou e l chec si elle ne peut s appuyer sur l tude fondamentale d un mod le g om trique plus simple comme celui en calottes La repr sentativit de ce mod le devra ensuite tre confirm e par des essais ou des simulations num riques sur des terrains naturels Une tude exp rimentale semble indispensable l tablissement des tendances comportementales d un coulement en lame mince dans et sur une macro rugosit Par tendance comportementale il faut entendre l tablissement d une loi liant la hauteur d eau la vitesse de l coulement ceci dans le cas simple d un coulement uniforme et stationnaire L installation r alis e dans ce but ainsi que son syst me de mesure est d crite en d tail dans Dubois 1998 Rigole d alimentation Bac niveau constant 11 y Plan de ruissellement y Bac de r cup ration i Balance lectronique Batterie de rotam tres Vanne de r glage Figure 2 12 Repr sentation sch matique de l installation d essais 2 3 1 R sultats bruts Afin de se soustraire l influence de la pente qui varie entre les diff rents essais il est indispensable de linclure dans une repr sentation graphique de la vitesse Si l coulement est laminaire alors la vitesse est directement proportionnelle la pente Par
89. helle macroscopique envisag e moins de prendre en compte des pr cipitations si prolong es et intenses qu elles appartiennent des ph nom nes naturels aussi rares qu exceptionnels La prise en compte de la surface libre ne semble donc se justifier que dans le contexte d une mod lisation de tous les accidents tr s locaux de la topographie moins qu elle ne s impose dans les cas pr cis o l absence de pente topographique induit des accumulations locales qui cr ent des gradients de hauteur 21 pr pond rants Il s agit d une remarque fondamentale examiner a la lumi re des mod les num riques de terrain Dans tous les cas une attention toute particuli re doit ainsi tre accord e la d finition du bassin versant en parfaite connaissance de ces comportements marquants 1 9 Extension aux topographies r elles Si les atouts d une formulation math matique simplifi e ne font aucun doute il va de soi que les simplifications introduisent des limites parfois s v res En l gitimant majoritairement l application de la th se cin matique l hydrologie la litt rature illustre surtout le succ s grandissant dont b n ficient les mod les conceptuels distribu s Un point commun unit la plupart d entre eux la mod lisation du ruissellement s appuie sur un raisonnement unidimensionnel qui implique des phases pr alables d id alisation du terrain pour le convertir en bandes d coulement unidimensionnelles
90. iellement les relations de voisinage pour les bords de chaque volume fini En effet la m thode num rique pr sent e au chapitre 3 exige la connaissance pour chaque bord de son voisin de droite et de gauche ainsi que de son voisin amont et aval Apr s la g n ration compl te des volumes finis le pr processeur de Faitou s occupe de cr er pour chaque l ment les super volumes de contr le indispensables la reconstruction lin aire L galement la pr sence du r seau de rivi res complique passablement cette t che Les super volumes de contr les qui servent d terminer le gradient du flux sur chaque volume fini ne doivent jamais traverser une rivi re En effet les flux sur les diff rentes rives d une rivi re sont totalement ind pendants et il serait aberrant d estimer leur variation en allant voir ce qui se passe de l autre cot d un cours d eau Cette situation implique que certains volumes finis sont forc s une reconstruction constante par manque de voisins comme le montre galement la figure 4 4 136 5 Quelques exemples pratiques d application 5 1 Simulation du basin versant de Mattmark Le bassin versant de Mattmark en Valais a t choisi pour effectuer le premier test de validit du mod le Faitou La documentation disponible sur la crue du 23 au 25 septembre 1993 dans cette r gion explique en grande partie les raisons de ce choix Cette crue au caract re exceptionnel a entrain
91. ier la progression de chaque filet fluide pour composer plus sagement avec une chelle de maillage tr s sup rieure l paisseur de la lame ruisselante Ces contingences num riques pr conisent une int gration topographique qui concorde avec une autre int gration plus philosophique des processus naturels En effet les r alit s de ces ph nom nes sont si complexes en hydrologie et les propri t s intrins ques si anisotropes que la seule voie raisonnable consiste les int grer et les moyenner une chelle macroscopique tr s sup rieure celle des accidents locaux de la topographie ou de l coulement Les th ories cin matique ou diffusives respectent cette d marche conceptuelle en conciliant au mieux r alit physique et imp ratifs num riques Comme cela a d j t montr plus haut il n est pas envisageable de traiter des mailles d une dimension inf rieure 25 ou 50 m tres Mais comment int grer les ph nom nes physiques se d veloppant entre cette chelle topographique et celle des asp rit s formant la rugosit Face a l anisotropie de l coulement des filets fluides sur une maille seule une approche stochastique de ce ph nom ne semble raisonnable A l heure actuelle il ne saurait tre envisag de disposer d un mod le num rique de terrain int grant une information altim trique l chelle du d cim tre 103 3 1 1 G n ration stochastique de la micro topographie Un m
92. imale c est dire que chaque grain touche ses voisins Du sable de quartz offrant une distribution granulom trique troite a t coll avec de la r sine poxy sur des plaques de PVC 80 essais ont t r alis s en faisant varier la granulom trie des l ments de rugosit la pente du plan inclinable et l intensit de la pluie zgi 0 7 1 2 2 0 3 0 5 0 8 0 7 0 15 0 Granulom trie mm Pente 1 3 10 30 60 93 Intensit mm h 30 70 100 140 Tableau 2 1 Valeurs param triques utilis es pour le programme des essais 2 4 1 Analyse traditionnelle Dans une approche classique le nombre de Reynolds est d fini comme Ber v 2 85 v o q est le d bit unitaire en m s m Sur l ensemble des 80 essais effectu s le plus grand nombre de Reynolds calcul selon 2 85 n exc de pas R 167 Cela signifie que l ensemble des essais pr sentent un coulement laminaire Rappelons que la solution th orique de l coulement laminaire sur plan donne 24 mais que des essais rapport s dans la litt rature ont conduit l obtention de valeurs largement plus lev es pouvant atteindre x 40 000 Le coefficient x permet le calcul du coefficient de frottement f par rapport au nombre de Reynolds R par f 2 86 2 86 La discussion essentielle porte videmment sur la valeur du coefficient x Par optimisation num rique ce coefficient a t d termin pour tous les essais effectu
93. inelles 4 1 105 1 11 4 Conclusion L apparition de chocs semble in luctable dans l coulement pour des topographies ou dans des conditions quelconques L tude de ces singularit s ainsi que leur progressive r solution au travers des th ories diversement simplifi es inspirent deux remarques essentielles sur la th orie cin matique L utilisation d une relation explicite vitesse hauteur cr e in luctablement un appauvrissement tant dans la gamme des 51 ph nom nes aptes tre reproduits que dans la description m me qu elle donne de ces ph nom nes Dans ce contexte le choc ventuel appara t comme un signal une incitation reconsid rer les hypoth ses qui ont pr sid l laboration de la th orie Il fixe galement une limite qui ne peut tre surmont e qu avec un nouvel examen simultan de la th orie et de la physique du probl me Les difficult s naissent pr cis ment de la richesse de repr sentation caract ristique des mod les non lin aires que conservent les th ories simplifi es appliqu e l hydrologie Elles propagent et d forment les signaux de mani re complexe pour aboutir en certaines circonstances des singularit s que ne r solvent pas syst matiquement des th ories plus aff tees L analyse r v le que th oriquement parlant la formulation diff rentielle limine un type potentiel de solutions qui peuvent satisfaire l expression originelle des solutions d
94. ion hauteur En effet la forme diff rentielle consid r e jusqu ici restreint implicitement le champ de solutions qui ne peuvent tre que contin ment d rivables En analysant la d g n rescence de l quation dynamique par comparaison aux mod les plus complets Examinons d abord dans quelle condition d g n re l quation de continuit pour une solution discontinue en revenant un instant la formulation originelle 38 L espace concern par le bilan volumique est limit en unidimensionnel par deux points d abscisses respectives xA t xg t Entre ces deux points qui enserrent tout instant les m mes particules existe une discontinuit de la surface libre situ e l abscisse s t comme expliqu la figure 1 8 Apr s int gration sur la hauteur l expression int grale 1 1 prend la forme suivante d s t qm s t X t an Jace der In x t dx J i r cos6dx i r cos dx 0 xt s t X4 t s t 1 70 Par la formule de Leibnitz il vient ds ds doh oh Qg h S t h s t d d Br Dr dt J ot ar en r X f 1 71 fli r cosoax fli r coso ax XA s o q d signe le d bit par unit de largeur h s t et h s t d signent des profondeurs mesur es respectivement gauche et droite de la transition Comme le sugg re cette repr sentation h et q tout comme leurs d riv es sont des fonctions continues sur l intervalle x s UJs Xs Elles sont galement born es sur l
95. ion a lieu y z X ny IG l vecteur position du centre de gravit G de Ya l l ment 0 q Vdg D vecteur des d riv es premi res valu es au NG premier ordre en G Alors l equation 3 26 peut s crire q del fs Vac 3 27 La difficult consiste maintenant a valuer les d riv es premi res au premier ordre de pr cision Les variables q ne sont connues qu au centre de gravit de chaque l ment En collectant les donn es de q sur les voisins imm diats de l l ment Q il est possible d obtenir le comportement spatial du flux et ainsi sa d riv e Pour cela il faut au moins 3 voisins dont les centres de gravit ne sont pas align s La m thode retenue dans Faitou pour le calcul des d riv es spatiales du flux est celle de Green Gauss Cette m thode d j la base de la technique des volumes finis consiste ici entourer l l ment o les d riv es sont calculer par un contour ferm passant par le centre de gravit des l ments voisins comme le montre la figure 3 8 Az Figure 3 8 Technique de construction du super volume de contr le T d apr s la m thode de Green Gauss Les points noirs sont les centres de gravit des voisins trouv s par bords tandis que les points blancs sont ceux des voisins trouv s par sommet La surface de ce super volume de contr le est not e T et sa fronti re est le contour ol Le th or me de la divergence q
96. ire sous une forme plus concise Vac D 3 31 avec qi q 3 32 qN et D une matrice de poids de dimension 2N Elle pr sente l avantage de ne devoir tre valu e qu une seule fois pour chaque volume fini car elle ne d pend que de la g om trie du maillage Cette matrice D est donn e par o 1 Ya YN 00 Vist Ya AYN 21 X27 Xn Xi Xj m XXN 3 33 La somme des termes situ s sur une ligne de cette matrice est nulle ce qui permet d crire 119 Vqdg D Vq 3 34 avec Ga Vq 3 35 Gn Ia A l aide de l quation 3 27 il est ainsi possible d obtenir la valeur du flux q en n importe quel endroit en particulier sur le milieu de chaque bord de l l ment Q Cependant cette reconstruction lin aire peut engendrer dans certains cas des extremums qu il s agit de limiter Pour illustrer cette notion consid rons l exemple unidimensionnel pr sent la figure 3 9 A A it i i i i a b Figure 3 9 Illustration de la reconstruction lin aire en unidimensionnel et du principe du limiteur a le limiteur entre en action b le limiteur n entre pas en action La reconstruction lin aire consiste dans ce cas a calculer le gradient de la variable a reconstruire par rapport aux valeurs trouv es chez les voisins imm diats de l l ment puis d obtenir la valeur en 1 2 par exemple par extrapolation lin aire depuis le centre
97. iscontinues L extension du champ des solutions ne signifie pas pour autant que la discontinuit est une approximation licite face aux difficult s rencontr es L examen successif des approximations op r es dans la th orie est assez rassurant consid r nouveau dans le contexte d un mod le global grande chelle La th orie cin matique ne peut se satisfaire que de chocs la th orie diffusive les r sout en une transition continue la th orie compl te temp re cette apparition de chocs en parvenant dans certaines limites maintenir la solution continue Mais en dehors de chocs pr matur s dus aux simplifications certaines discontinuit s subsistent qui font partie int grale du paysage classique de l hydraulique de surface Dans tous les cas ces transitions sont assur es sur un espace si r duit l Echelle envisag e qu une discontinuit brusque peut constituer une approximation tr s raisonnable 52 Ainsi les th ories simplifi es s affirment comme une alternative cr dible pour un mod le hydrologique sur topographie quelconque consid r e grande chelle condition toutefois d int grer tout le champ potentiel des solutions dans la d finition math matique du probl me Il compose avec la recherche d un traitement num rique appropri la mati re du chapitre 4 53 54 2 Approche exp rimentale du ruissellement hydrologique 2 1 Constat de la situation actuelle La litt
98. l faut cependant pr ciser que malgr cette apparente r gularit la non lin arit des quations cin matiques entra ne un pas de temps variable pour I hydrogramme aval La figure 1 6 pr sente le r sultat de cette proc dure pour un plan de 600 m de longueur et de 1000 m de largeur de 20 de pente et de coefficient de Strickler K 5 m s Ce plan est arros par la pluie nette galement montr e sur la figure 1 5 Dans ces conditions le calcul de la caract ristique fronti re entre le domaine influenc par la condition initiale et celui d pendant de la condition limite amont fournit le temps de concentration amp de ce plan pour la pluie consid r e savoir dans ce cas amp 8 918 s La figure 1 6 pr sente de mani re graphique ce point particulier 0 7 FE 7 0 00E 00 0 6 J IE o Hydrogramme 1 00E 06 0 5 Hy togramme pa en al A 4 54 2008 06 8 2 ch J 3 00E 06 E 0 2 J 4 00E 06 0 1 4 04 E i nn Be EAEE A EEE Be ere 9970 o o al 5 00E 06 0 7200 14400 21600 28800 36000 43200 Temps s Figure 1 6 Exemple d hydrogramme calcul analytiquement Cent caract ristiques ont t int gr es a partir de la condition initiale de m me que a partir de la condition limite amont La caract ristique fronti re entre ces deux domaines est marqu e par un 34 symbole de plus grande dimension et fournit le temps de concentration
99. le alors que les fonds de vall es pr sentent une 131 convergence lev e Il faut encore relever que cet algorithme ne permet pas d obtenir des valeurs de convergence croissantes jusqu l exutoire vu le traitement appliqu en pr sence de d pressions locales du mod le num rique de terrain La figure 4 3 pr sente un exemple de carte de convergence obtenue par Faitou i 4 i paar Ap 2 3 EN Figure 4 3 Carte des convergences calcul e par Faitou sur l ensemble du mod le num rique de terrain correspondant a la carte nationale No 1346 Chanrion Le lac de Mauvoisin apparalt au centre de la carte Les zones blanches correspondent a des petites valeurs de convergence alors que les zones noires indiquent une forte convergence Cette carte des convergences fait ressortir clairement le r seau drainant d un bassin versant Une fois les convergences obtenues pour l ensemble de la matrice la d termination des segments de rivi res peut d buter Pour cela un param tre Cmin doit tre choisi Ce param tre fixe la valeur seuil de convergence partir de laquelle une rivi re doit tre consid r e Cmn permet de moduler le niveau de d tail du r seau de rivi res Le choix d une valeur basse implique la g n ration d un r seau drainant 132 tr s dense alors qu une valeur lev e ne va d tecter que les cours d eau principaux La d termination des segments de rivi res ressemble fort
100. matique du mod le de calcul 5 3 1 Simulation de la crue de septembre 1993 A titre d illustration du potentiel du mod le Faitou la crue historique de septembre 1993 a t simul e La figure 5 11 pr sente graphiquement cet v nement La pluie repr sent e ici est directement l enregistrement pas de temps de 10 minutes effectu la station m t orologique du Grand St Bernard Il s agit donc bien de la pluie brute qui est directement donn la simulation num rique Bien que ce point n ait pas t d velopp dans cette communication le mod le Faitou consid re une infiltration galement spatialement distribu e Ceci est vident 147 Discharge m3 s lorsqu on observe la r ponse quasi nulle du bassin versant durant le premier jour de pluie La crue mesur e pr sente un aspect qui peut para tre surprenant Il faut savoir qu il n existe aucune station de jaugeage l entr e de cette retenue et que cet hydrogramme a t reconstitu par calcul sur la base des enregistrements du niveau du lac et des donn es d exploitations de la centrale pompage et turbinage La pr cision de la mesure du niveau du plan d eau explique la pr sence de paliers de d bit constant 60 pr 0 so 15 40 110 30 f o Measured discharge 15 20 Faitou simulation 20 Hydrograph entring rivers J 10 25 Rainfall 0 1 30 0 18000 36000 54000 72000 90000 108000 126000
101. n est fortement chiffonn et pr sente de profondes d pressions et collines comme repr sent sur la figure 3 2 3 5 106 Figure 3 2 Repr sentation 3 D de la micro topographie g n r e al atoirement sur une cellule de MNT 3 1 2 D termination des param tres globaux partir de cette information micro topographique les param tres globaux compatibles avec les th ses cin matiques ou diffusives doivent tre d termin s Il s agit de la relation hauteur volume de la cellule qui intervient dans l quation de continuit et de la relation hauteur section mouill sur les bords n cessaire tout calcul d change de flux entre les l ments Comme la pente de fond de la cellule est fournie par le mod le num rique de terrain et que l hypoth se cin matique suppose une pente de la ligne d eau parall le a celle du fond il est plus ais d effectuer une rotation de rep re pour se mettre l horizontale De cette mani re les pentes de l l ment et de la ligne d eau sont nulles Dans cette configuration la micro topographie g n r e se couvre progressivement de flaques lors d un apport en eau comme cela est sch matis sur la figure 3 3 107 P1 jan A eI Em P2 m4 Pl 4 a gt P2 h lt h lt h El vation Figure 3 Repr sentation sch matique de l volution des flaques d eau en fonction de la haut
102. n 1998 propose de r soudre une forme int grale de l quation 3 10 dite formulation faible car la solution n est alors exacte qu en moyenne sur la surface de contr le Q I 261 0 ff an ff eo 9 a j f cosa Jota 3 11 En posant _ u Pe 3 12 et S icos J 3 13 l quation 3 11 peut alors s crire 112 Jf 2 fvrdo jf san Gw Le deuxi me terme de l quation 3 14 peut tre crit en int grale de flux sur le contour dQ de la surface Q en utilisant le th or me de la divergence de Green L quation 3 14 devient alors al ILS o n est le vecteur normal a la fronti re 0Q Pafen a2 f S da 3 15 Le premier terme et le dernier terme de 3 15 peuvent tre simplifi s l aide de la d finition de la valeur moyenne _ 1p 26h oh I 3 16 S g JL sc 3 17 et l quation 3 15 devient den 1 Fnda S 3 18 at Q 0 Num riquement les valeurs moyennes oh et S ne sont gu re int ressantes et il est pr f rable de les remplacer par les valeurs h et S d un certain point de l l ment Ce remplacement induit g n ralement une erreur du premier ordre de pr cision Mais si le point choisi est le centre de gravit de l l ment alors l approximation devient du second ordre D signons donc par h et S le volume unitaire et le terme source au centre de gravit de l l ment Q L equation 3 18 devient ai
103. n mod le global noie toute la variabilit spatiale des caract ristiques d un bassin versant dans quelques param tres caler le mod le base physique permet l int gration de toute la richesse d information sur la topographie l occupation du territoire la r partition spatiale des 125 pluies les diff rents types de sols et bien d autres encore L acc s a ce type de donn es est actuellement facilit par l av nement des syst mes d informations g ographiques SIG L application des quations de londe cin matique aux coulements sur plan repr sente le mod le hydrologique base physique le plus r pandu et le plus d crit dans la litt rature sp cialis e L applicabilite des simplifications cin matiques aux coulements de surface est aujourd hui admise bien que nourrissant toujours des d bats scientifiques L hypoth se de l onde cin matique offre des simplifications de calcul qu aucun chercheur ne saurait d nier Par contre le choix d une loi de frottement se fixe g n ralement sur les relations de Ch zy ou de Manning Strickler Or ces lois ne permettent pas une mod lisation fiable du ruissellement de surface Le coefficient de rugosit de ce type de relations sort compl tement de leur domaine de validit d s qu il est cal sur des v nements mesur s perd alors sa signification physique pour pallier le biais de mod lisation de l coulement de surface L introduction de la nouvelle
104. n souci de simplicit il semble judicieux de traiter dans un premier temps l approximation de l onde cin matique Il est en effet possible d obtenir la solution analytique de cette quation simplifi e et par l d tudier ses particularit s comportementales 1 10 1 Equation de l onde cin matique sur un plan Pour un coulement plan unidimensionnel l quation de londe cin matique s crit ah auh _ 1 43 ot a x et 25 Sp 5 1 44 ou h hauteur d eau t temps u vitesse moyenne x coordonn e cart sienne longitudinale i intensit de la pluie So pente de fond et S pente nerg tique Comme d ja pr sent plus haut la relation entre la vitesse moyenne de l coulement u et la hauteur d eau h peut s exprimer sous la forme g n rale u ah 1 45 o a et m sont deux coefficients qui d pendent du r gime d coulement ainsi que de l expression de perte de charge consid r s Pour un coulement laminaire sur un plan la solution analytique montre que FRE m 3 1 46 au 1 46 En ce qui concerne l coulement turbulent un grand nombre de formules empiriques ont t tablies Les plus fr quemment utilis es sont celle de Chezy pour laquelle a CS m 5 1 47 avec C coefficient de Chezy et celle de Manning Strickler ou a KS 2 m 1 48 avec K coefficient de Strickler A l aide de l quation 1 45 1 43 et 1 44 deviennent oh oh _ ah
105. n th se cin matique pente de surface en approche diffusive D un point de vue th orique cette diff rence annonce de substantielles diff rences de comportement 20 sur les topographies envisageables nous les situerons par rapport au comportement de la th se cin matique D une part l absence de pente exclut tout coulement A l autre extr me aucune formation de zones de stockage surface libre horizontale ne peut tre correctement mod lis e La bathym trie quelconque de ces cuvettes induit in vitablement des vitesses inexistantes par des m thodes plus compl tes comme l hypoth se diffusive Enfin tout coulement contrepente est exclu Ces limitations paraissent extr mement contraignantes puisqu c t d un certain nombre de ph nom nes que la th orie cin matique ne peut reconna tre elle en introduit d autres qui ne s identifient aucun quivalent physique La th se diffusive permet d liminer ces difficult s pour autant que le gradient de hauteur soit num riquement significatif dans les mod lisations Il faut nouveau examiner ces limitations plus raisonnablement a la lumi re des coulements hydrologiques forc ment particuliers Peu d hydrologistes songent r ellement contester l id e d un ruissellement globalement orient selon les droites de plus grande pente alors que cette hypoth se rel ve des m mes limitations La formation de lacs se produit difficilement l c
106. nsi dGh 1 fe nao s 3 19 at Q a Sane L quation 3 19 peut tre consid r e comme la formulation g n rale du probl me en volumes finis Le th or me de Green a permit de diminuer d une dimension les quations sur la surface Q en quation 1D sur la fronti re 9Q La difficult r side d s lors dans l estimation du flux sur cette fronti re La fronti re dQ de chaque l ment est un ensemble de N segments de droite Comme Faitou g n re des l ments triangulaires N 3 Par cons quent l int grale sur le contour ferm 0Q peut tre remplac e par une somme d int grations sur les segments de droite A y dy gt x Figure 3 7 D finition des param tres utilis s dans la m thode des volumes finis pour le calcul du flux travers la fronti re dQ A partir des variables d finies la figure 3 7 et en remarquant que si le sens de parcours de l l ment est le sens trigonom trique n doQ dy 3 20 n d0Q dx 3 21 l quation 3 19 devient d h Typ 7 a q dy g dx S 3 22 114 Une int gration exacte n est pas envisageable car la solution n est pas connue sur l ensemble du segment AB Il faut donc recourir une approximation obtenue par la technique de l int gration de Gauss qui s crit fiaa q dx D Walden Ve Ya qy n XB xa 3 23 n 1 o n est le nombre de points d int gration gyn et gyn sont les flux exacts sur les
107. nte le lien entre les dimensions de la rugosit et celle du mod le num rique de terrain Le concept de micro topographie stochastique permet la prise en compte du stockage de l eau et de son regroupement en filets l chelle du d cim tre et du m tre Le seul param tre requis ici est 8 qui permet de moduler l ampleur de la micro topographie La troisi me chelle spatiale consid r e par Faitou est bien entendu celle du mod le num rique de terrain sur laquelle se plaque le sch ma num rique Elle est abondamment comment e dans la suite de ce chapitre Rugosit du terrain d crite par le milieu en calottes Figure 3 6 Repr sentation sch matique des diff rentes chelles spatiales prises en compte dans le mod le Faitou 111 3 2 Discretisation spatiale Dans le cas d une surface bidimensionnelle a forte pente et recouverte d un milieu en calottes l amp quation de londe cin matique s crit A 9 00 cet 3 10 ot ox oy ou qx gy sont les flux dans la direction x respectivement y dh le volume d eau sur une surface unitaire la pluie nette et J la plus grande pente de la surface Les flux q et q sont calcul s l aide de la nouvelle loi selon la pente J en x respectivement J en y Le terme i doit tre consid r comme un terme source en g n ral Il contient videmment la pluie mais peut galement prendre en compte l infiltration La m thode des volumes finis Pirotto
108. ntr que ce type de probleme ne peut survenir sur un plan unique ce qui met labri les premi res th ories de d composition de bassin versant en une s rie de plans allant directement de la ligne de cr te au r seau drainant une premi re analyse semble le lier l application sans discernement des th ories simplifi es aux topographies r elles avec leur succession quelconque de pentes de pr cipitations et de r gimes d coulement au gr des terrains rencontr s Un retour la th orie s impose pour lever cette apparente aberration et poser les jalons d une approche adapt e La th orie des caract ristiques explicite le transport d informations le long de courbes du plan espace temps Lorsque ces caract ristiques entrent en collision deux indications a priori contradictoires sur la hauteur ou le d bit sont fournies au m me point de cet espace un choc appara t dans l coulement Puisque la c l rit est une fonction croissante de la hauteur d eau les grandes profondeurs vont se propager plus rapidement que les hauteurs d eau plus faibles Ainsi un hydrogramme de crue complet devrait se d placer avec un front d onde toujours plus accentu finalement source de discontinuit s Il est l gitime de penser qu une onde de choc qui se forme en une r gion de la solution annonce une perte simultan e des capacit s du mod le math matique repr senter la physique du probl me Cette r flexion d termine la ch
109. o p 0 s alignent approximativement selon une droite particuli rement pour les faibles hauteurs d eau et les faibles vitesses Cela n a rien d tonnant car dans ces situations l coulement est r ellement laminaire et la th orie est confirm e par l exp rience Le bruit constat sur ces valeurs s explique en partie par le fait que l coulement sur le plan lisse tait souvent instable Ces instabilit s de l 6coulement uniforme appel es ondes en cascades Graf 1993 ou roll waves en anglais apparaissent d s que le nombre de Froude d passe environ et engendrent une dissipation d nergie suppl mentaire dans l coulement Par contre pour les essais effectu s en pr sence de calottes l aspect n buleux 79 des points de mesures contredit fortement la th orie de l coulement laminaire sur plan La situation semble s am liorer dans la figure 2 14 o rappelons le les points devraient s aligner sur des droites si l coulement est turbulent Les r sultats d essais sur plan lisse pr sentent cette fois une forte dispersion car ils correspondent au r gime laminaire comme expliqu plus haut Par contre une certaine continuit appara t sur les familles de points attach es aux diff rentes densit s de couverture p test es Pour p 2 5 les points s alignent relativement bien sur une droite Mais au fur et a mesure que la densit p augmente les tendances s incurvent vers le bas et r velent des
110. obtenu partir de la nouvelle formulation pour les essais correspondant p 30 La figure 2 16 montre tout d abord une concordance tr s satisfaisante entre les vitesses mesur es et calcul es Il faut cependant relever que cette repr sentation graphique n est parlante que pour les coulements turbulents situation dans laquelle une certaine partie des points visibles ne se trouvent pas La figure 2 17 pr sente ensuite la relation f R pour les essais correspondant une densit de couverture p 30 Les diff rentes courbes qui se superposent ont t obtenues partir des relations hauteur vitesse calcul es l aide de la nouvelle formulation pour les diff rentes pentes Le d collement tr s original se produisant partir de faibles nombres de Reynolds est fid lement reproduit II peut tout au plus tre remarqu que les mesures pr sentent une mont e plus brusque que le mod le en particulier pour les pentes comprises entre 1 et 10 La comparaison entre cette nouvelle formulation et les th ories existantes des pertes de charge a t effectu e par Dubois 1998 Il ressort de cette analyse que la nouvelle relation tend vers les formulations reconnues de l hydraulique fluviale lorsque la hauteur d eau devient beaucoup plus grande que celle des asp rit s cr ant 90 la rugosit Elle est identique a la formule de Bathurst pour une densit de couverture p 67 et identique a celle de Strickler po
111. od le num rique de terrain nous renseigne sur la topographie g n rale ainsi que sur la pente moyenne d une cellule Mais l chelle d cim trique lui chappe compl tement Or cette chelle est particuli rement importante pour le ruissellement de surface car c est pr cis ment elle qui conditionne les propri t s de r tention en eau la surface du sol et celles de section mouill e disponible l coulement des filets fluides Le g n rateur stochastique de micro topographie sert pr cis ment cr er un petit mod le num rique de terrain l int rieur d une maille pour en extraire des relations g om triques globales indispensables aux mod les cin matiques ou diffusifs Le principe de g n ration de cette surface al atoire mais d aspect r el est sch matis sur la figure 3 1 104 x 9 Points du MNT Niveau 1 Niveau 2 A Niveau 3 Ax Figure 3 1 Principe de g n ration stochastique de la micro topographie a l int rieur d une cellule de mod le num rique de terrain Le processus consiste interpoler lin airement l altitude z du point situ au milieu de chaque cot et au centre de la cellule de g n rer al atoirement une correction d altitude Az et de l additionner z Ce processus se r p te autant de fois que souhait pour obtenir une bonne r solution spatiale 6 niveaux r cursifs
112. ogrammes mesur s au bas d un plan de 30 de pente en double chelle logarithmique La figure 2 21 pr sente la mont e en crue de deux hydrogrammes adimensionalis s par rapport a leur d bit constant en palier Ces deux hydrogrammes ont t produit par une pluie de 140 mm h sur un plan a 30 de pente Le premier a t mesur pour la classe granulom trique 0 7 1 2 mm et le deuxi me pour la classe 7 0 15 0 mm Comme l intensit de la pluie est la m me pour les deux essais le d bit est en tout lieu du plan galement identique Ainsi le nombre de Reynolds calcul par l quation 2 3 est partout le m me Dans ces conditions tous les livres d hydraulique diront que le r gime d coulement est identique dans les deux cas puisque le nombre de Reynolds est identique Or il n en n est rien La figure 2 21 montre galement la fonction de puissance cal e sur les points de mesure Dans les deux cas le coefficient de corr lation de ces ajustements est sup rieur 0 99 mais la pente de ces droites est fort diff rente Il a t trouv pour le sable fin m 2 92 3 00 ce qui indique que l coulement est laminaire Par contre pour le gravier m 1 66 5 3 L coulement est donc turbulent et la formule de Strickler est valable 97 Le titre de ce paragraphe utilise le terme paradoxe Le fait qu un coulement puisse tre soit laminaire soit turbulent pour un m me nombre de Reynolds constitu
113. onction x pour la suite du d veloppement Pour le milieu en calottes il est vident que ces sections de contr le coincident avec les plans passant par le centre de gravit des calottes Elles ont l aspect montr a la figure 2 6 L quation 2 31 permet le calcul du nombre n de calottes par unit de surface p 2 42 nD Les centres des calottes sont dispos s selon la perpendiculaire a l coulement sur des points distants de 2D Selon la ligne de plus grande pente par contre chaque rang e est s par e par une distance d qui vaut d 2Dcos30 3D 2 43 Le nombre de calottes n dans une section de largeur unitaire vaut alors pe nee v3 _ 1 243 2 44 D xD 2 2D mT Le coefficient num rique apparaissant sous la racine n est autre que Pmax d fini par l quation 2 32 ce qui permet de simplifier l quation 2 44 pe EP 2 45 2D Pmax La porosit de section 7 s crit d une mani re g n rale sous la forme 72 An _h 1 A nA 2 4 h h h a n ou A est la surface du segment circulaire de hauteur h Lorsque la hauteur d eau est inf rieure a la hauteur D de la calotte cette surface s crit D A 0 sin0 x 2 47 L angle 8 se calcule par Bea ch cos 2 48 Sen 2 48 Lorsque la hauteur d eau est inf rieure au diam tre des calottes le coefficient 7 s crit finalement sous la forme p D n 1 sino z 2 49 Pmax 4h
114. ons limites aval La figure 1 3 confirme la synth se de Vieira qui estime tous effets confondus n cessaire une valeur de K 50 au moins pour une correspondance satisfaisante entre quations compl tes et approximation de l onde cin matique Par une tude statistique syst matique il tablit les zones de validit de chaque approximation dans le plan F K L coulement sur des pentes naturelles situe g n ralement les couples de valeurs F K dans des zones o l approximation cin matique est licite Ce n est que sur les faibles pentes courtes et d bit lat ral important que la prudence s impose et que le choix entre l approche cin matique ou diffusive reste ouvert Quoi qu il en soit le recours une des deux approximations s impose en lieu et place des quations dynamiques compl tes La r solution s en trouve toujours grandement facilit e tant analytiquement que num riquement 1 8 Signification physique des mod les simplifi s En amputant l quation dynamique g n rale d une partie de ses termes la vitesse s exprime tant en hypoth se cin matique que diffusive comme une relation explicite de la hauteur d eau Cette fonction o interviennent certaines propri t s du syst me marque un appauvrissement par rapport au comportement classique en hyst resis caract ristique des syst mes complets Le point le plus sensible entre les deux approches concerne le choix de la pente de calcul pente de fond e
115. ose pas 140 d une station limnim trique la crue a t reconstitu e a partir des enregistrements du niveau du lac et des donn es d exploitation de l am nagement hydro lectrique Selon les m thodes de calcul utilis es pour cette op ration le d bit de pointe de la crue peut tre estim entre 134 et 152 m s La densit des l ments en section s a t fix e s 0 99 valeur proche de l unit et n a pas t soumise au processus de calage Cette valeur de s permet l coulement de disposer d une faible section d coulement pour les tr s petites hauteurs d eau ce qui n est pas le cas pour s 1 Loptimisation des deux autres param tres du mod le a savoir le diam tre quivalent D et la densit de couverture p a t r alis e la main Apr s quelques essais l hydrogramme pr sent la figure 5 4 a t obtenu avec D 0 5 met p 0 1 Compte tenu des incertitudes li es a la reconstitution des hydrogrammes ainsi qu la d finition de la pluie il peut tre admis que la crue simul e par Faitou reproduit bien le comportement mesur et ceci sans recours a un processus de calage excessif Il n est pas indispensable en effet d optimiser les param tres D et p au del de la premi re d cimale pour obtenir un bon r sultat Cette faible sensibilit du mod le par rapport la valeur prise par ses param tres est un gage de qualit et de robustesse particuli rement lorsqu il e
116. pendiculaires 67 au sens d coulement Dans la configuration de densit maximale toutes les calottes se touchent les lignes successives tant d cal es horizontalement d un demi diam tre Les centres des calottes sont ainsi dispos s sur des triangles quilat raux de c t 2D Figure 2 5 Disposition g om trique des calottes de densit maximale wawew 2D Figure 2 6 Repr sentation sch matique d une section de contr le dans un milieu en calottes et d finition du diam tre D Pour un cas g n ral la relation entre le nombre de calottes n par unit de surface A et la densit de couverture p s crit nA 7 2 29 p ou A est la surface projet e d une calotte qui s exprime en fonction de D par A xD 2 30 La relation 2 28 devient alors 68 _ mD A 2 31 La densit maximale de couverture Pmax s obtient par le rapport entre la surface du triangle quilat ral de c t 2D et la moiti de A zD 2 7 0 9069 2 32 Pmax B D 2 B 2 2 2 Param tres hydrauliques L originalit du milieu en calottes n cessite une nouvelle d finition des principaux param tres utilis s en hydraulique Vu son caract re tr s h t rog ne et fortement non prismatique micro chelle il devient indispensable de travailler sur des valeurs moyennes de hauteur d eau et de vitesse par exemple Le volume d eau r ellement contenu sur une surface
117. permettent d obtenir une matrice compos e de 2 64 lignes et colonnes pour un total de 64 4096 cellules La g n ration al atoire de la correction d altitude Az suit une distribution normale dont la fonction de densit s crit 3 1 o u repr sente la moyenne et o l cart type A laide du changement de variable 105 Zoek 3 2 f 2 Te 2 3 3 La fonction de distribution standard est l int grale de fz Je ig Zdu 3 4 Pr qui ne connait pas de solution analytique La loi normale poss de deux param tres a savoir la moyenne et l cart type Comme le but recherch est de g n rer un bruit altim trique autour d une topographie moyenne donn e par le mod le num rique de terrain la moyenne statistique 4 de la loi normale est fix e 0 Le seul param tre restant est l Ecart type o Il n est gu re ais d estimer l cart type des hors profils Az de la surface du terrain De plus celui ci d pend de la dimension Ax de la cellule interpoler chaque niveau de r cursivit Pour ces raisons d finissons l cart type par evs B avec B un nouveau param tre du mod le qui mesure l amplitude des variations altim triques au sein d une cellule du MNT Lorsque B prend une grande valeur alors l cart type tend vers z ro et aucune micro topographie n est g n r Ce cas correspond a un plan parfait Par contre lorsque la valeur de fest petite le pla
118. points d int gration et les w sont des fonctions de poids Si les points de Gauss sont id alement situ s et les fonctions de poids choisies de mani re optimale alors la relation 3 23 est exacte pour des polyn mes de qx et q de degr 2n 1 Ainsi si qx et qy sont lin aires un seul point de Gauss situ au milieu du segment AB avec un poids unitaire permet l obtention de la solution exacte Le probl me consiste donc maintenant conna tre les valeurs des flux qx et q sur les points de Gauss savoir sur le point milieu de chaque bord des volumes finis Or qx et q ne sont connus que sur les centres de gravit des l ments Il faut donc d velopper une technique de reconstruction de ces flux afin de permettre leur estimation ailleurs que dans le centre de gravit des l ments Le moteur num rique de Faitou autorise deux techniques de reconstruction choix la reconstruction constante et la reconstruction lin aire Toute technique de reconstruction s appuie sur des d veloppements en s rie de Taylor autour du centre de gravit G du volume fini L inconnue q en un point quelconque de l l ment Q est obtenue par 115 oq oq 1 2 9 q q Qc axel 2 N gt AXG E 1 of 9 q 9 q 3 A AXCAY el Old 3 24 avec AXG X XG et Ayca y YG Dans le cas de la reconstruction constante L quation 3 24 est tronqu e au premier terme et devient g 6 O 325
119. port des vitesses caract ristiques 2 h Bt 1 5 Us Les rapports e comparent les vitesses uj 9a la vitesse caract ristique Go e 1 6 Le temps caract ristique se d duit des grandeurs d finies selon chaque axe d coulement b 1 7 Les coordonn es adimensionnelles s obtiennent par comparaison avec les longueurs caract ristiques A correspondantes y SSi 1 8 1 Aj tandis que les vitesses adimensionnelles et les contraintes adimensionnelles s crivent logiquement i ee ar 1 ax _ U 1 9 dt Uj dt Uig et p Ti 1 10 PUioU jo Le choix de la pression et de la gravit adimensionnelle s op re en raisonnant selon laxe principal d coulement le long duquel se d veloppent essentiellement des gradients de pression p 1 11 PU3 et gae 1 12 PU3o L introduction de ces relations dans le syst me d quation rend la forme adimensionnelle suivante du sn 0 1 13 X J POU a apne ee Er g sino 2 2 EE 1 14 j I Venons en aux hypoth ses qui portent comme le laisse entrevoir la forme particuli re des quations dynamiques sur le terme Ey Si ce rapport entre la vitesse perpendiculaire a la lame et la combinaison des vitesses u selon la plus grande pente est petit vis a vis de l unit alors son carr est n gligeable ce qui simplifie l quation dynamique selon oz Cette derni re exprime alors une distribution hydrostatique de la
120. pression selon cet axe P_ _g sing 1 15 9X3 Cette expression rappelle que l hydrostaticit de la pression selon un axe vertical n est une distribution raisonnable que dans le cas particulier d une topographie faible pente sur laquelle l coulement devient quasi horizontal et qu elle s exprime beaucoup plus g n ralement selon une perpendiculaire au plan moyen d coulement L hydrostaticit r sulte ainsi d quations simplifi es gr ce une hypoth se sur les vitesses qui para t d autant plus acceptable qu elle se base sur le carr d un rapport Notons encore qu un choix de trois longueurs caract ristiques selon les axes et d une vitesse caract ristique selon la plus grande pente donnerait des 10 simplifications identiques en raisonnant cette fois directement sur le carr d un rapport tr s disproportionn d chelle d coulement Pirotton 1994 1 5 Int gration spatiale des quations La r duction des dimensions s obtient en effectuant une int gration sur la hauteur d eau La figure 1 2 d finit l espace physique consid rer illustre ses fronti res et pr sente ses changes avec le monde ext rieur h d signe la distance selon l axe oz du plan ox oy au sol et h est la distance selon le m me axe du plan ox oy la surface libre La distance selon oz entre les deux plans limites d coulement s crit h h h 1 16 Le syst me est aliment par des pr cipitations i tandis que l e
121. probl me se posera en de nombreux endroits du bassin versant 35 1 2 Pe 7 0 00E 00 Hyd 1 J 1 ydrogramme Mise Hydrogramme 2 4 0 8 Hyetogramme J gt 1 2 00E 06 0 6 J z 2 5 J S a 4 3 00E 06 0 4 02 7 4 00E 06 0 Deihi eT 519006 7200 14400 21600 28800 36000 Temps s Figure 1 7 Hydrogramme calcul analytiquement l aval du deuxi me plan La condition limite amont de ce calcul est l hydrogramme 1 pr sent la figure 1 6 De toute vidence un comportement bien original est visible dans ce cas Trois d bits et donc galement trois hauteurs d eau apparaissent simultan ment l aval du plan pendant une certaine dur e 1 11 Applicabilit des mod les simplifi s aux topographies r elles Dans la solution analytique de la succession de pentes du chapitre pr c dent l apparition de solutions multiples pose quelques questions th oriques fondamentales L aspect d ferlant des solutions cache mal les difficult s d interpr tation physique par rapport la relation biunivoque qui lie hauteur et d bit Outre la difficult d envisager la pr sence en un point de plusieurs hauteurs et d bits simultan s la diff rence entre la pente locale des hauteurs d eau et la pente de fond sugg re que les hypoth ses d applicabilit de la th orie cin matique sont loin d tre encore v rifi es 36 S il est d mo
122. r unique de k D 9 17 10 Pour 9 107 lt k D lt 5 10 l erreur sur J calcul selon Strickler reste inf rieure 5 63 0 1 Turbulent de transition Turbulent rugueux k 1 E 02 Strickler pour k D 9 17E 03 1 E 03 Sot 1 E 04 Re Turbulent lisse 1 E 05 0 001 1 E 03 1 E 04 1 E 05 1 E 06 1 E 07 1 E 08 R Figure 2 3 Diagramme de Moody Le trait horizontal pais repr sente le domaine correctement calcul par l quation de Strickler avec le coefficient K correspondant l quation 2 27 D une mani re g n rale les quations 2 24 et 2 22 montrent que la valeur de la puissance y des formules empiriques ne d pend que de la rugosit relative k D et que celle ci varie donc en fonction du diam tre D ou plus g n ralement de la hauteur d eau pour les coulements nappe libre comme le montre la figure 2 4 64 Nikuradse t Forschheimer E Christen 0 50 Ch zy Manning F Gaukler F macro rugosit lt 0 00 0 1 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 Dik Figure 2 4 Variation de la puissance y des diverses formules empiriques d apr s la relation de Nikuradse Lorsque la rugosit devient infiniment petite le coefficient M tend vers l infini et la puissance y vers 2 Il semblerait ainsi que la valeur asymptotique de cette puissance prenne la valeur propos e par Ch zy dans le cas d un coul
123. ract ristique provenant de la condition initiale la hauteur d eau h ho au temps t t A l aide de l quation 1 52 la premi re constante d int gration A s crit donc A hy i t 1 58 Dans le cas d une caract ristique provenant de la condition limite amont la d termination de la premi re constante A suit une 30 d marche similaire D finissons ty comme le temps auquel d bute la caract ristique a l amont du plan A l aide de la d finition de la pluie eme il est ais de trouver le bloc de pluie qui contient l instant ta savoir t lt ta lt amp 1 En rappelant que pour t tu h ha l quation 1 52 permet d crire la premi re constante A d finie pour cette caract ristique Aj h ijtg 1 59 La d termination des constantes B dans l quation 1 54 se d roule de mani re tr s semblables ce qui pr c de Pour des raisons de simplicit d criture posons m X i ti A i 0 li X mA t i 0 1 l i 1 i i 1 1 60 x Wii A i 0 i Pour t t la continuit de la courbe caract ristique quation 1 54 requiert que X aX B aX B 161 Ainsi et nouveau sous forme r cursive les constantes d int grations B s obtiennent par B Bj aX z Xoi 1 62 L expression de la premi re constante B d pend galement du type de courbe caract ristique calcul e Pour celles mergeant de la condition initiale B s obtient par
124. rammes simul s dans les trois branches de cette jonction La contribution de chaque affluent peut tre analys e s par ment L effet du routage jusqu l exutoire du bassin versant est galement visible puisqu au d but de la crue le d bit l aval de la jonction est sup rieur au d bit simul l exutoire du bassin versant situ environ 4 km en aval 100 5 90 s Mesure so Simulation Faitou 70 60 F so D bit m s 40 30 F 20 10 Pe 570000 591600 613200 634800 656400 678000 699600 Temps s Figure 5 6 Comparaison entre la crue mesur e le 8 juin 1990 et la simulation Faitou avec D 0 1 m p 0 4 ets 0 99 144 D bit m s Veveyse de Ch tel Figure 57 principaux 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Li 1 Put 1 1 tiir 620000 625000 630000 635000 640000 645000 650000 Temps s Hydrogramme l exutoire Veveyse de F gire Veveyse de Ch tel Hydrogramme l aval de la jonction Figure 5 8 D tail des hydrogrammes de la jonction de la Veveyse de Ch tel et de la Veveyse de F gire En plongeant plus profond ment dans le d tail la figure 5 9 pr sente les hydrogrammes lat raux alimentant le r seau de rivi res au 145 D bit m s voisinage de la jonction dont la localisation est pr cis e sur la figure 5 7 L influence de la surface et de la topographie de c
125. rature hydraulique a t tr s f conde dans le domaine du calcul des pertes de charge de l coulement et il para t judicieux de s arr ter quelques instants pour faire le point sur la situation actuelle La question est de savoir de quoi nous disposons r ellement pour un calcul fiable des pertes de charge du ruissellement de surface Par d finition la fronti re entre un coulement en milieux poreux et un coulement surface libre ce ph nom ne rassemble et m lange des comportements trait s habituellement de mani re distincte Il se comporte certainement comme un coulement en milieu poreux lorsque les hauteurs d eau sont tr s faibles et l tat de la surface tr s chaotique Il est tant t laminaire tant t turbulent avec une transition entre ces r gimes plut t obscure Et lorsque la hauteur d eau augmente il ne fait aucun doute qu il tend vers le comportement d crit par les relations empiriques du domaine turbulent rugueux par la th orie concernant les coulements sur macro rugosit et par la formulation g n rale de Colebrook 2 1 1 Ecoulement laminaire L coulement laminaire sur plan semble pr senter une situation compl tement r solue puisque la solution analytique existe Sous une forme g n rale la vitesse de l coulement s crit 2 es 8gJ h KV 2 1 55 ou vest la viscosit cin matique du fluide Le coefficient apparait dans l expression du coefficient de frottement f
126. roduire correctement le milieu g om trique dans lequel se d veloppe le ruissellement D s lors le double effet de la variation th orique du coefficient x en fonction de la hauteur d eau et la diff rence entre la vitesse moyenne de type Darcy et la vitesse locale peuvent expliquer en partie du moins la forte augmentation observ e du coefficient x Supposons par exemple que pour une faible hauteur d eau h 80 de la section soit occup par les l ments de rugosit Ne reste alors que 20 pour l coulement r el D finissons d une mani re classique la vitesse moyenne u par 57 U 2 4 A 2 4 avec la surface A Bh ou B est la largeur du plan D finissons la vitesse locale u par Q U nA 2 5 ou 7 est le rapport entre la surface totale A et la surface libre pour l coulement savoir 7 0 2 dans notre exemple En se r f rant au d but de ce chapitre cette vitesse locale peut tre calcul e par 8gJo h KV U 2 6 Supposons encore que les petits canaux dans lesquels circule l eau soient de section rectangulaire et que leur largeur vaut environ la moiti de la hauteur d eau Dans ce cas l aide de la figure 2 1 il peut tre d montr que x 96 D finissons encore la vitesse laminaire th orique u par 8gJo h 24v VE U Il ressort de la comparaison entre l amp quations 2 6 avec x 96 et l quation 2 7 que 1 U Er 2 8 De m me en comparant
127. ronologie des d veloppements suivants La formulation math matique d une solution unique se substituant aux solutions multiples sera recherch e par l introduction de discontinuit s Les conditions d apparition de solutions multiples en un point seront tudi es en recherchant dans les descriptions plus labor es dans quelle mesure ces singularit s peuvent tre r solues 97 La valeur de la solution sera alors appr ci e la lumi re des raisonnements physique pr c dents Cette dualit entre la physique du probl me et son approximation math matique pour le traitement des singularit s constitue un pr alable indispensable la mise en place d un sch ma num rique adapt 1 11 1 Introduction de discontinuit s v rifiant l quation de continuit La non lin arit des formulations simplifi es introduit certains caract res essentiels des ondes hyperboliques avec apparition d ondes de choc L tude de ce type d quation a retenu beaucoup d attention dans la cin matique des gaz Elle fait l objet dans le cadre de l hydrologie de surface d investigations bien plus confidentielles Si une nouvelle discussion s impose sur les hypoth ses simplificatrices qui ont conduit aux mod les simplifies un largissement du champ des solutions peut s envisager de deux mani res En consid rant la forme int grale des quations qui ne requiert pas de conditions notamment sur d rivabilit de la fonct
128. s 4 1 Introduction Depuis un certain temps d j les quations des coulements hydrauliques sont utilis es en hydrologie pour le calcul de la formation des crues sur les bassins versants Cette mod lisation est qualifi e de d terministe base physique puisqu elle consid re le cheminement de l eau contrairement aux mod les globaux tels que l hydrogramme unitaire ou les cascades de r servoirs L engouement actuel de la recherche pour cette orientation se justifie par les nombreux avantages et potentialit s qu offre une approche physique du ph nom ne tr s complexe de la transformation d une pluie en hydrogramme sur un bassin versant Contrairement aux mod les globaux fond s sur des param tres sans signification physique r elle et obtenus par calage sur quelques v nements mesur s les mod les base physique s appuient sur des param tres concrets tels le coefficient de rugosit de l coulement En cas de modification majeure du bassin versant la suite d une tape d urbanisation par exemple il est plus ais d identifier et d ajuster en cons quence les param tres sensibles d un mod le base physique En phase de projet l effet d interventions sur le bassin peut ainsi tre estim avec une certaine fiabilit Un autre avantage ind niable des mod les base physique r side dans leur facult de pouvoir prendre en compte la distribution spatiale des diff rents ph nom nes mod lis s Alors qu u
129. s plus fines au gr de l volution des possibilit s informatiques Quoi qu il en soit l extr me simplification en long des irr gularit s topographiques de chaque bande de terrain doit avoir des incidences sur l hydrogramme qui se d verse dans tout segment de rivi re Lane et al les versants tr s irr guli rement conform s sortent donc du cadre d application de ces m thodes Dans le m me ordre d id es se pose le probl me crucial du crit re qui fixe la pente quivalente La seconde tape consiste progresser dans la discr tisation en long des bandes de terrain S il s agit d une volution in luctable elle n en demeure pas moins th oriquement parlant beaucoup plus audacieuse puisqu elle tend le champ d application des approximations des topographies en long plus g n rales La plupart des auteurs qui proc dent cette extension en unidimensionnel la justifie sur la seule base du crit re initial de Woolhizer et al qui porte sur K Croley et al soutiennent quant eux qu il est peu rigoureux de l appliquer in extenso un mod le en cascades Dans la perspective d une totale libert dans la repr sentation topographique cette question cruciale trouve sa r ponse dans le r alisme et le bon sens indispensable pour une telle simulation 23 Quittons un instant le contexte th orique pour nous en tenir simplement a des ordres de grandeur Dans l optique clairement avou e de consid rer l volution t
130. seur invit M Pirotton de l Universit de Li ge en Belgique a apport une contribution d cisive au d veloppement de ce logiciel Ce programme a t d velopp dans le cadre du projet de recherche CRUEX qui avait pour objectif de d terminer les crues extr mes l entr e des retenues des barrages suisses D velopp sp cialement dans ce contexte particulier Faitou est un mod le d terministe base physique qui calcule le transfert pluie d bit l chelle du bassin versant en utilisant des mod les num riques de terrain Nous remercions la section des grands barrages de l Officie f d ral des eaux et de la g ologie pour leur soutien financier apport ce projet Prof Dr Anton Schleiss VORWORT Hochwasserschutz ist mehr den je ein aktuelles Thema Zur Abschatzung von Hochwasser wurden verschiedene Methoden und Theorien entwickelt welche sich in der Praxis bew hrt haben Ihre koharente Anwendung im Massstab eines Einzugsgebietes setzt allerdings eine vertiefte Kenntnis der komplexen hydraulischen Vorgange voraus In der vorliegenden Mitteilung beschreiben Dr Jer6me Dubois und Prof Dr Michel Pirotton die theoretischen Grundlagen eines Berechnungsprogramms genannt Faitou welches wie der franz sische Name andeutet fast alles macht und zeigen gleichzeitig dessen St rke anhand von mehreren Beispielen Das Programm Faitou erlaubt Entstehung und Abfluss von Hochwassern in Einzuggebieten zu simulieren Es berechne
131. spersion est tr s importante comme le synth tise le tableau 12 1 Classe granulom trique Kimin Kinax mm 0 7 1 2 18 394 2 0 3 0 100 897 5 0 8 0 229 1291 7 0 15 0 139 1392 Tableau 2 2 Valeurs mesur es minimales et maximales du coefficient pour chaque classe granulom trique Ainsi l approche traditionnelle ne saurait aboutir un r sultat plus pr cis que celui pr sent dans ce tableau 2 4 2 Paradoxes constat s En regard des r sultats peu satisfaisant obtenus par l approche traditionnelle il serait int ressant de mettre en doute l hypoth se selon laquelle tous ces hydrogrammes sont en coulement laminaire Cette analyse du r gime d coulement peut s effectuer par une tude de la mont e de l hydrogramme Toujours avec l hypoth se de validit de l quation 1 45 la solution analytique de la mont e en crue s crit q a t 2 87 Ainsi si les mont es en crue sont repr sent es dans un graphique en double chelle logarithmique les points doivent s aligner sur une droite de pente m Si l coulement est laminaire cette pente vaut alors m 3 Par contre si il est turbulent et qu il peut tre d crit par la formule de Strickler il est ais de montrer que cette pente vaut m 5 3 96 0 7 1 2 mm 7 0 15 0 mm ik en PA m 2 92 Y m 1 66 a pe 0 1 F q 0 0 01 1 10 100 1000 Temps s Figure 2 21 Mont e en crue de deux hydr
132. sse de propagation d une faible transition Dans l hypoth se ou les conditions de stabilit sont v rifi es il vient U 1 Qu c lt u Jah cos 1 103 Lorsque l onde gagne en amplitude U grandit et n assure un profil continu qu aussi longtemps que 50 C lt U lt u gh cos 1 104 Au del c est dire quand U prend ses valeurs dans le domaine In gme0s8 u2 g12c0s0 il existe n cessairement un changement de signe du d nominateur qui provoque un profil discontinu similaire a celui de la figure 1 10 Dans ce cas il faut repartir comme illustr pour la continuit seule des quations compl tes sous leur forme int grale afin de d gager les conditions compl tes des chocs bien connus des hydrauliciens celles du ressaut La condition 1 104 physiquement exprime que pour se r soudre en une transition continue le choc peut progresser plus rapidement que les ondes issues des d riv es d ordre inf rieur Il ne peut cependant se mouvoir plus rapidement que celles g n r es par les d riv es d ordre sup rieur directement a son aval En termes de hauteur elle s crit 1 d d se hp h b h p a Jgh cos h h Ainsi la th orie compl te produit une solution continue tant que l amplitude du choc se maintient dans les intervalles qui permettent 1 104 d tre v rifi s Au del subsiste une discontinuit dans la solution qui requiert un retour aux formulations int grales orig
133. st utilis en extrapolation pour simuler des crues extr mes 141 D bit m s 160 o Reconstitution CRUEX 140 s Reconstitution KWM 120 Simulation Faitou 100 80 60 40 E 20 0 ida AEAEE EEA 1 1 iat po pope 1 1 100000 121600 143200 164800 186400 208000 229600 251200 272800 294400 Temps s Figure 5 4 Comparaison entre les hydrogrammes reconstitu s dans la retenue de Mattmark et la simulation Faitou avec D 0 5 m p 0 1 et s 0 99 5 2 Simulation du bassin versant de la Veveyse Afin de renforcer la conviction de la validit du mod le Faitou il a t choisi de le soumettre a un deuxi me test sur un bassin versant aux caract ristiques fort diff rentes de celui de Mattmark Redescendons des sommets alpins pour tudier le bassin versant de la Veveyse situ en bordure du plateau suisse proximit du lac L man Une station limnim trique du SHGN enregistre les d bits l entr e du vo tage des Toveires l amont imm diat de la ville de Vevey L emplacement de cette station coincide avec l exutoire choisi du bassin versant Les donn es de d bit et de pluie utilis es ici ont t SHGN Service Hydrologique et G ologique National 142 collect es dans le cadre d une tude effectu e au Laboratoire de Constructions Hydrauliques LCH de l Ecole Polytechnique F d rale de Lausanne EPFL Le bassin versant de
134. stre est n glig bien que sa prise en compte dans les forces de volume ne pose aucun probl me particulier M me si la forme diff rentielle est imm diate il est important pour la suite ph nom nes discontinus de d insister sur la forme int grale originelle du syst me 1 3 Equations pour les inconnues moyennes En l absence de toute hypoth se sur le type d coulement au travers de la veine fluide il convient donc de consid rer chaque inconnue comme une variable al atoire de la position et du temps Comme l objectif du mod le n est pas l tude des fluctuations erratiques instantan es des variables le syst me doit tre moyenn sur une p riode T caract ristique de ces pulsations tr s inf rieure aux temps caract ristiques des ph nom nes tudier Afin d tablir les quations caract ristiques d un mouvement moyen instationnaire chaque inconnue f est d compos e en une partie T F moyenne f et une fluctuation al atoire f f f f avec f 0 1 3 Cette moyenne sur la continuit en respectant les conditions de Reynolds n apporte aucune modification de la formulation contrairement aux quations dynamiques dont les termes non lin aires donnent naissance des contributions suppl mentaires En travaillant sur une combinaison des quations plus propice l tablissement d une formulation conservative il vient du ot ax T ulu T Ar zur u any ie 14 J
135. t den zweidimensionalen Oberfl chenabfluss und den eindimensionalen Abfluss in Fliessgew ssern in gekoppelter Weise Im Rahmen seiner Dissertationsarbeit unter der Leitung von Dr Jean Louis Boillat hat Hr Dubois das Programm Faitou entworfen und gr sstenteils programmiert W hrend mehreren Besuchen als eingeladener Professor hat Hr Pirotton Professor an der Universitat in L ttich in Belgien einen entscheidenden Beitrag zur Entwicklung des Programms Faitou geleistet Das Programm wurde im Rahmen des Forschungsprojektes CRUEX entwickelt welches zum Ziele hatte extreme Hochwasser in den direkten Einzugsgebieten der Stauseen der Talsperren in der Schweiz zu bestimmen F r diese spezielle Fragestellung entwickelt ist das Programm Faitou ein deterministisches physikalisch begr ndetes Modell welches den bergang von Regen in Oberfl chen und Gerinneabfluss im Massstab des Einzugsgebietes unter Verwendung von digitalen Gel ndemodellen berechnet Wir danken der Sektion Talsperren des Bundesamtes f r Wasser und Geologie welche das Forschungsprojekt finanziell unterst tzt hat Prof Dr Anton Schleiss Faitou Logiciel de simulation de la formation et du transfert des crues Le programme sur CD avec Manuel d utilisateur Version 1 1 mars 2001 peut tre command a l adresse suivante EPFL LCH Laboratoire de constructions hydrauliques CH 1015 Lausanne Suisse T l phone 41 0 21 693 23 85 T l fax 41 0 21 693 22
136. t les composantes de la trajectoire x t y t z t caract risant la particule et compte tenu de la d finition des composantes de la vitesse il vient oz Us U Ey Wrronti re SIN 3 1 22 1 exploiter en z h AVEC Wprontiere Feten Z hs AVEC Wprontiere Les conditions dynamiques tablissent les quilibres de forces sur un volume l mentaire a ces m mes fronti res La valeur des contraintes aux fronti res est en effet li e aux forces qu exerce le monde ext rieur sur le syst me Figure 1 2 Equilibre d un volume l mentaire de la surface libre Si on n glige les termes d ordre sup rieur les contraintes sur les facettes s quilibrent comme suit oZ A T 1 23 J exploiter en z h en tenant compte des composantes du frottement sur le sol li ainsi qu en z h o le forcing du vent sera n glig en premi re approximation Rappelons encore que t incluent l effet d ventuelles perturbations turbulentes 13 Ces conditions introduisent dans les quations bidimensionnelles les apports suivant l axe int gr du monde ext rieur au syst me La d finition des vitesses moyennes sur la profondeur ainsi que des int grales qui peuvent tre li es ces grandeurs moyennes LU He Jide 1 24 1 pu gt Juju de 1 25 hs S foyd 1 26 donnent une forme d finitive l quation de continuit int gr e h U h ot ox i r sin6 1 27 Le deu
137. u r soudre proprement Mais sur ce point en particulier les simplifications apport es par les hypoth ses cin matiques sont particuli rement avantageuses 121 La pire id e ce stade du d veloppement serait de vouloir moyenner les flux q et q pour obtenir le flux unique q Cette solution de facilit qui correspond en fait a effectuer une d riv e spatiale centr e serait imm diatement sanctionn e par des instabilit s num riques explosives Avec les hypoth ses cin matiques les courbes caract ristiques de l coulement sont uniquement dirig e vers laval Cela quivaut dire qu aucune information ne remonte l coulement Le sch ma num rique ne doit pas non plus aller chercher une partie de l information l aval comme cela est le cas pour une d riv e centr e Par cons quent seule une d riv e arri re par rapport la direction de l coulement est possible Toujours gr ce aux hypoth ses cin matiques le sens de l coulement peut tre connu a priori puisqu il correspond la direction de la plus grande pente Ainsi il est possible de d terminer avant le calcul quel est le volume fini situ l amont du bord et lequel se trouve l aval En se r f rant nouveau la figure 9 6 supposons que l l ment Q se trouve l amont du bord tudi Alors le flux q traversant ce bord est tout simplement le flux qi reconstruit partir de l l ment amont Q 3 3 Discr tisation tempor
138. ui transforme une int grale de surface en int grale de contour permet d crire van an dr 3 28 La formule 3 28 permet l valuation de la moyenne des d riv es premi res Vq l aide d une int grale de contour Comme d j mentionn plus haut le remplacement de cette valeur moyenne par la valeur au centre de gravit G de l l ment Q constitue une approximation du premier ordre Si G tait le centre de gravit du super volume de contr le I alors ce remplacement serait du peme ordre de pr cision La d finition de la moyenne permet d crire 3 28 sous la forme qa f Vaar qn ar 3 29 118 Il est possible de d montrer que les d riv es premi res sont calcul es avec une erreur du premier ordre si l int grale de contour est r solue par la m thode des trap zes Cette m thode s impose logiquement puisque les flux sont connus sur les sommets des segments de droite constituant oI La m thode des trap zes permet l criture de 3 29 sous la forme N 1 SE La Gm 2 de Vde 3 30 o Nest le nombre de segments de droite composant le contour A et B sont les n uds de d part et d arriv e du segment j I est la longueur du segment j et nj sa normale Si les N n uds de la fronti re oI sont num rot s de 1 N dans le sens trigonometrique et si le n ud N est consid r identique au n ud 1 car le contour est ferm alors l quation 3 30 peut s cr
139. uli rement capricieuse au moment de lenclenchement des syst mes d arrosage automatique de la WSL Mis part ce ph nom ne plut t particulier qui illustre galement la pr cision des mesures il peut tre admis que la nouvelle loi de comportement permet de reproduire fid lement les hydrogrammes mesur s Sur l ensemble des r sultats Dubois 1998 il faut cependant signaler qu une partie des faibles d bits sont encore sous estim s par la simulation num rique Ils correspondent principalement aux essais effectu s avec une forte intensit de pluie et une faible pente Il ne serait pas judicieux de tenter une modification de la nouvelle relation de pertes de charge pour ces quelques cas En effet ils 1 Wald Schnee und Landschaft Birmensdorf Institut F d ral de Recherche sur la For t la Neige et le Paysage 101 correspondent plut t aux limites d application des hypoth ses cin matiques admises pour la simulation num rique Lorsque la pente est faible et que la hauteur d coulement est importante le nombre cin matique devient petit et les limites de validit du mod le de l onde cin matique pr sent es sous 1 ne sont plus respect es 102 3 Aspects conceptuels et num riques de la mod lisation de l coulement en fine lame 3 1 Approche stochastique du traitement topographique Les processus naturels consid rer num riquement concernent des tendues telles qu il faut renoncer tud
140. un couplage entre le mod le 2D de surface et le mod le 1D des rivi res Chaque segment de rivi re compris entre deux profils est aliment par deux hydrogrammes lat raux c est dire sur chacune de ses rives Pour assurer l int grit de ce couplage Faitou g n re en fait simultan ment le mod le de rivi res et le mod le de surface Pour commencer la d termination du r seau de rivi res est lanc e sur l ensemble du mod le num rique de terrain mais avec le param tre Chin 0 4 Cela signifie que chaque point du MNT fait partie dun segment de rivi re De cette fa on tous les chemins d ecoulements sont certains d avoir une pente descendante non nulle condition indispensable au calcul selon les hypoth ses cin matiques 134 Puis vient la d limitation automatique du bassin versant Cette op ration requiert l introduction de la notion d exutoire Pour Faitou un exutoire est constitu d un nombre quelconque de segments cr s sur la grille du MNT Ainsi un segment choisi sur le trac d un cours d eau permet de repr senter un exutoire ponctuel au bas d une vall e Mais l ensemble des segments constituant le contour d un lac permet de consid rer une retenue comme exutoire du bassin versant La d limitation automatique du bassin versant consiste a d tecter toutes les cellules du MNT qui convergent vers l exutoire Cette op ration se base simplement sur la direction du vecteur orientation de chaque cellul
141. ur h D 100 Par contre dans le domaine des coulements hydrologiques pour lesquels l ordre de grandeur du rapport h D est de 1 elle reproduit fid lement le comportement particulier observ ce que ne saurait faire aucune autre formulation Son domaine de validit est ainsi tr s large couvrant aussi bien les domaines laminaire que turbulent rugueux tout en assurant une transition continue entre eux 2 4 Essais en coulements non stationnaires et non uniformes Les essais en coulement uniforme dans le milieu en calottes ont permis l laboration d une nouvelle loi d crivant le comportement observ Ces essais poss dent cependant un caract re de laboratoire plut t th orique Il constituent toutefois la premi re tape indispensable dans l tude du ph nom ne tr s complexe du ruissellement de surface sur terrains naturels Mais plusieurs pas suppl mentaires sont encore indispensables avant d acqu rir la certitude de validit de cette th orie sur les terrains naturels l chelle du bassin versant Dans un premier temps il est indispensable d effectuer une s rie d essais sous simulateur de pluie et sur des surfaces s approchant davantage de la r alit Ainsi la nouvelle loi de comportement pourra tre valid e dans des situations d coulements non stationnaires et non uniformes Le simulateur de pluie de l institut f d ral de recherche sur la for t la neige et le paysage Birmensdorf a t
142. x quations dynamiques contiennent encore certaines valuations des composantes de vitesses aux extr mit s ainsi que les termes p etS qui g nent l tablissement d une formulation purement bidimensionnelle puisqu ils d pendent de la forme des diagrammes des vitesses et de l tat du fluide turbulence 7 SEGA wy vei _ ghising sind UE Xi 1 28 S S5 Sind U zen Ui z h t p S f Il est possible de supposer Chen et al Taylor et al n gligeables les vitesses verticales sur l paisseur de la lame a l exception de la surface libre qui subit l impact des gouttes de pluie la pression hydrostatique se superpose alors une pression dynamique d amplitude et de distribution inconnues 14 Plus g n ralement l apport en quantit de mouvement des termes d change aux fronti res est consid r comme n gligeable Kawahara et al Or cette hypoth se semble entrer en contradiction avec une r partition uniforme de la vitesse jusqu la surface En effet elle revient attribuer cette m me composante la pluie consid r e ici comme faisant partie d un m me milieu continu Cette ambigu t ne peut tre lev e qu en supposant l existence d une fine tranche de fluide la surface qui assure la transition rapide de vitesse Quand la distribution des vitesses moyennes sur la hauteur celle ci reste difficilement valuable a priori compte tenu d une part de l instationnarit des ph nom
143. y hy sind 1 96 Cette valeur n gative de h est n cessairement hors du domaine h h et ne fera d s lors jamais partie des solutions consid rer ce qui assure la positivit du num rateur pour le profil recherch e Hypoth se turbulente de Ch zy 8 2 y 1 NUM gla Uh e h sine g h h h h h h sine 1 97 Par un raisonnement analogue celui qui pr c de il vient pour h ae hh pe ee EL 1 98 hy Ay sing h2 h 2 Les conclusions pr c dentes sur h restent d actualit 49 e Hypoth se interm diaire pour l onde diffusive 6 1 y 1 NUM h ga Uh e h sin6 Egh m h h h sin 1 99 Les conclusions sont naturellement reconduites Il ressort de ces quelques lois que le seul signe du d nominateur DEN de 1 92 sera d terminant dans la discussion DEN gh3cos6 e2 gha ghcos6 u u 1 100 La continuit de la solution est assur e en maintenant le d nominateur positif u ghcos U lt u ghcos 1 101 La premi re condition est toujours remplie par 1 91 Voyons comment volue la seconde condition lorsqu on progresse de deux tats tr s voisins vers des transitions de plus en plus importantes Lorsque hz est dans le voisinage de h on obtient U par 1 94 en rempla ant h par h 1 e avec lt lt lt ing 1s d y me Pee ns u 1 102 a b b La c l rit de la th orie approch e cin matique apparait donc comme la vite
144. ydrology Civil Engineering Series Mc Graw Hill International Edition CONSUEGRA D NIGGLI M MUSY A 1998 Concepts m thodologiques pour le calcul des crues Application au bassin versant sup rieur du Rh ne Wasser Energie Luft eau nergie air Heft 9 10 pp 223 231 158 CROLEY TH and HUNT B 1981 Multiple valued and non convergent solutions in kinematic cascade models Journal of Hydrology Vol 49 pp 121 138 CRUEX 1995 Cinqui me rapport interm diaire Exercice de coordination de Mattmark LCH LASEN IATE Ecole Polytechnique F d rale de Lausanne CUNGE J A 1969 Au sujet d une m thode de calcul de propagation des crues M thode Muskingum Journal of Hydraulic Research 7 2 pp 205 230 CUNGE J A 1991 Polycopi Simulation des coulements non permanents dans les rivi res et canaux Institut National Polytechnique de Grenoble Ecole Nationale Sup rieure d Hydraulique et de M canique de Grenoble DALUZ VIEIRA J H 1983 Conditions governing the use of approximations for the Saint Venant equations for shallow surface water flow Journal of Hydrology Vol 60 pp 43 58 DUBOIS J 1998 Comportement hydraulique et mod lisation des coulements de surface Th se No 1980 Ecole Polytechnique F d rale de Lausanne et Communication No 8 Laboratoire de Constructions Hydrauliques DUBOIS J BOILLAT J L 1999 Numerical simulation of flood routing

Université de Liège - Infoscience

Contents

Download Pdf Manuals

Related Search

Related Contents

Universit&eacute; de Li&egrave;ge - Infoscience

Contents

Download Pdf Manuals

Related Search

Related Contents

Université de Liège - Infoscience