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1. On peut cr er des objets g om triques comme point droite segment fig 78 Ce sont les objets de base et ils peuvent tre d plac s librement Cet environnement permet de construire des objets l aide des primitives g om triques fig 79 A l exception de point sur objet ces objets ne peuvent tre d plac directement puisqu ils sont soumis des contraintes g om triques Cr ation Construction dition A CIRSUE Construct r ation EEAO OURAN Aspect des Objets D Point Point Sur Objet Droite Segment Cercle Polygone Intersection de deux objets Milieu Symetrique par rapport un Point Plan Symetrique par rapport un Plan Cylindre Cone Parall le une Droite Sphere Perpendiculaire une Droire Normale un Plan Plan Orthogonal une droite Chapitre D1 287 Le logiciel propose plusieurs aspects de repr sentation des objets Par exemple le plan peut tre repr sent avec une paisseur fig 82 avec ombrage fig 82 et fig 83 repr sentation simple fig 84 ou sous forme de parall logramme ou triangle Aspect des objets Divers tions WARRI Divers Repr sentation des Points Detruire un Objet Repr sentation des Plans Nommer les Objets Faces Opaques Mesurer la Distance Montrer cacher Couleurs Redessiner Tout Plan Frontal Effacer Tout Rep re Standard fig 82 Tous les aspects des objets sont g r s par la manipu
2. Sans Titre Dans l enseignement actuel les solides usuels sont des objets finis Faut il donc consid rer les deux types de solides Nous pensons que les deux types de solides doivent tre pr sents dans l environnement Enfin il serait souhaitable d avoir la possibilit de cr er d autres solides usuels comme parall l pip de et cube Comme dans le cas de Geospace tous les probl mes de construction sont des probl mes de effective dans l environnement Cabri 3D du fait de l existence des primitives g om triques De plus dans ce logiciel il est possible de d terminer l intersection de deux objets construits partir du menu comme l intersection d un cylindre et d une sph re Ces possibilit s permettent d autres types de probl mes de construction de vivre dans l environnement Cabri 3D Dans ce paragraphe nous n avons pu aborder que certains points relatifs aux choix de repr sentation et de primitives Nous avons montr que ces questions n cessitent une tude didactique pour le prototype de Cabri 3D actuel 4 CONCLUSION Nous avons montr comment un environnement informatique peut largir le champ d exp rimentation du dessin mod le d un objet g om trique dans l espace pour les raisons suivantes l environnement donne des possibilit s d action par la manipulation directe et l usage des primitives les r troactions de l environnement sont de deux types perceptives et ou par d
3. On ne peut rien dire Contrairement aux autres exercices pour cet exercice nous avons pr cis certaines relations entre les objets g om triques Ces donn es permettent de d cider au niveau du dessin si les droites sont s cantes ou non C est ce type de situation que les l ves sont invit s r soudre dans des probl mes de g om trie dans l espace o la construction est possible sur le dessin En prolongeant les repr sentations des droites d et d on se trouve dans la m me situation que pour l exercice 7 Nous nous int ressons aussi dans cet exercice aux r ponses des l ves ayant r pondu oui la question de l exercice 7 en justifiant par l absence de marquage que les droites ne sont pas s cantes En effet l utilisation de cette convention va dans le sens de l illustration Or lorsque l l ve r sout l exercice a priori il ne sait pas si les droites sont s cantes ou non 4 DISPOSITIF EXPERIMENTAL Nous avons propos ce questionnaire aux l ves de quatre classes que nous nommerons dans la suite Sa Sb Sc et Sd Les effectifs respectifs de ces quatre classes taient 29 26 25 et 23 A chaque enseignant nous avons donn la consigne de ne pas r pondre des questions relatives aux dessins et de limiter ses interventions l explicitation de la t che 5 RECUEIL ET ANALYSE DES DONNEES A chaque copie a t attribu un code constitu par des lettres en relation avec la classe et par un nomb
4. 187 1 6 Conclusions rene rate mnt ten Rat A E nr enr detente AAR 190 2 ANALYSE A TRAVERS LES MANUELS DES PROBLEMES DE CONSTRUCTION DEPUIS LA FIN DE LA REFORME DESMATHEMATIQUES MODERNES 2225088 nt enfin a ete nt Min te ina elite 192 2 1 M thodologie d analyse sise 192 2 1 1 Aspect qualitatif snneisesnenesinensenensenren ennereeeinensenresn eneneseneesees 192 21 25 Aspect quantitatifs nine A ORE OR a nn fre nn Re ent 193 272 Choix des manuels urnes hnetante here interet ina desess 193 2 3 Editions 181202 SN ER RE ie dr dut ten dan en n en de nn 194 2 3 1 Type I Repr sentations et trac s ss 195 2 3 2 Type II Probl mes de construction ss 195 2 3 3 Type II Probl mes d incidence sans construction 195 2 4 Editions RLA E NE EN NAS Re A A AR TR AE AN ae 195 24 1 Type I Repr sentations et trac s ss 196 24 2 Type II Probl mes de construction ss 196 24 3 Type III Probl mes d incidence sans construction 196 2 5 ditions BAR EATI Te Re ER ne rente din due to de A a 197 2 5 1 Type I Repr sentations et trac s ss 197 2 5 2 Type H Probl mes de construction ss 198 10 2 5 3 Type III Probl mes d incidence sans construction 198 2 6 Conclusions eie RO en nee de et a dense dem en en eee 198 3 CONCLUSION RETOUR SUR L EVOLUTION DES PROBLEMES DE CONSTRUCTION AU COURS DE CE SIECLE 200 RAPPORT DES ENSEIGNANTS A L OBJET PROBLEME DE CONSTRUCTION DANS ESPACE
5. BAZIN J M 1994 G om trie le r le de la figure mis en vidence par les difficult s de conception d un r solveur de probl mes en EIAO In Artigue M Gras R Laborde C Tavignot P eds Vingt ans de didactique des math matiques en France pp 371 7 Grenoble La Pens e Sauvage BELLEMAIN F 1989 Le logiciel Cabri G om tre un nouvel environnement pour l enseignement de la g om trie In Cahiers du S minaire de didactique des math matiques de Rennes Rennes IREM de Rennes BERTHELOT R SALIN M H 1992 L enseignement de l espace et la g om trie dans l enseignement obligatoire Th se Universit de Bordeaux I BESSOT A 1993 Repr sentations graphiques et ma trise des rapports avec l espace Conf rence publique organis e par le CIRADE et le d partement de math matique et informatique UQAM Montr al BESSOT A EBERHARD M 1987 Repr sentations graphiques et th orisation de l espace des polycubes Un processus didactique In Didactique et Acquisition des Connaissances scientifiques Actes du Colloque de s vres pp 87 108 Grenoble La Pens e Sauvage BONAFE F 1986 Repr sentation d un objet de l espace la construction d un probl me Petit x 11 37 64 BROUSSEAU G 1989 Le contrat didactique le milieu Recherches en Didactiques des Math matiques 9 3 309 338 Grenoble La Pens e Sauvage CHAACHOUA 1995 Conformit de probl mes de construction de g om trie dans l espace des
6. L enseignant El 34 E1 Il dit comment il faut faire mais il ne la fait pas A elle est o P il est o il n a rien fait C est la m thode On a d lui expliquer pour trouver l intersection d une droite et d un plan il fallait prendre un plan auxiliaire mais il n a pas su trouver lequel quoi Il y a quelqu un qui l a fait celui l L enseignant E3 21 18 Il aurait fallu proposer un exercice du type Construction effective pour un probl me de construction effective Chapitre C3 E3 C est bien le seul probl me c est qu il n a pas pu construire le plan P contenant JK En fait l il y a une id e quand m me on leur dit des fois pour trouver l intersection d une droite et d un plan on prend un plan auxiliaire qui contient cette droite et ce moment l ce plan auxiliaire coupe le plan ADE selon une droite A donc le point d intersection appartient la droite A et la droite JK Donc il a une id e il n a pas trouv le plan P C est pas construit on lui demande de construire moi je mettrais pas 0 l l id e se tient donc il a une id e de d part le probl me c est qu il n a pas trouv le plan P sans trac dans la production pour avoir plus d l ments de validation de cette r gle 253 On retrouve la m thode explicit e dans les manuels Pour d terminer l intersection d une droite d et d un plan P on choisit un plan P dit plan auxiliaire contenant d et s cant a
7. L objet de ce paragraphe est de donner les conventions et les repr sentations types qui sont principalement utilis es dans l enseignement actuel afin d tudier dans quelle mesure elles permettent d largir le domaine de fonctionnement d un dessin Cette tude a t faite partir des manuels les plus utilis s dans l enseignement actuel 4 Dans les paragraphes i et ii nous examinerons les conventions et repr sentation type relev es dans ces manuels Ensuite dans le paragraphe iii nous examinerons celles qui sont explicit es dans les manuels sous forme d nonc s ou de commentaires a Conventions et repr sentations types utilis es dans les manuels i Repr sentation d un plan Convention P on repr sente un plan P par un parall logramme L fig 6 ii Repr sentation d objets cach s Convention OC On repr sente les parties cach es ou non visibles par des pointill s iii Repr sentations types relev es dans les manuels a Positions relatives d une droite et d un plan Repr sentation type DP on repr sente une droite incluse dans un plan par un segment l int rieur du parall logramme 24 Il s agit de Dimath me seconde 1990 Terracher Seconde 1994 Transmath Seconde 1995 Chapitre A 47 fig 7 Repr sentation type DPp on repr sente une droite D parall le un plan P par un segment repr sentant une droite D de P l int rieur du parall logramme et un segment re
8. PCev AS Obj cond o o fo PCev AS intersect 0 o fo PCev SS Obj cond 9 3 fo PCev SS intersect o o Jo PCef AS Objcond Jo 4 fo PCef SS Obj cond o o fo PCef SS intersect fo 12 7 Tableau 33 Nous constatons que les probl mes de repr sentation type I sont en hausse 5 15 puis 31 Les probl mes de construction type Il ont tripl entre 1982 et 1987 ensuite le nombre des probl mes s est stabilis Pour les probl mes d incidence sans construction type III nous trouvons pratiquement le m me nombre pour les trois programmes Les probl mes de construction voqu e PCev sont propos s sans le contexte solide ils demandent la construction d un objet sous des conditions g om triques Le nombre de ces probl mes a baiss entre 1982 et 1987 de 9 3 puis ces probl mes ont disparu des ditions de 1991 Parall lement le nombre des probl mes de construction effective a augment 10 en 1982 presque autant que les probl mes de construction voqu e puis 59 en 1987 et 57 en 1991 Ces r sultats montrent qu apr s 1982 les deux types de probl mes se sont mis vivre dans certains manuels Mais sous certaines contraintes seuls les probl mes de Chapitre C2 199 construction effective ont r sist De plus ils ont pris une place importante dans les ditions de 1987 et 1990 En 1982 9 exercices sur 10 de probl mes de construction effective PCef ne portaient pas sur des solide
9. 5 2 2 Analyse Signalons d abord que la r ponse d un l ve pr sente les crit res des deux types de r ponses P et Pg Elle est due l l ve A6 Pour l exercice 1 il a r pondu d abord on ne peut rien dire et ensuite oui R ponse Oui Justification On ne peut pas voir pr cis ment quel plan les points K J et I se rapportent On ne sait pas si le point K fait partie du plan ADC ou ABD De m me pour les points I et J Mais les trois points forment un plan donc ils sont sur un m me plan 92 En revanche pour l exercice 8 cet l ve a r pondu non R ponse Non Justification Les points A B et C forment un plan ABC mais on voit que B ne fait pas partie du plan P donc ils ne sont pas dans un m me plan Nous trouvons un cas o l l ve a interpr t la question comme si on lui demandait les trois points appartiennent ils l un des plans repr sent s Cependant dans ces deux justifications l l ve fait r f rence au fait que trois points d finissent un plan et en m me temps il justifie le fait que le point B de l exercice 8 n appartient pas au plan P Remarquons que dans l exercice 1 cet l ve n a pas pu d cider de l appartenance des points aux plans d finis par les faces du solide du fait que les trois points se trouvent simultan ment l int rieur de deux triangles Presque la moiti des l ves ont mobilis la propri t trois points non align s d finiss
10. Dans le cas d un solide le plan Q est souvent une face du solide et la droite une ar te Le plan Q joue le r le du plan auxiliaire dans la m thode propos e dans le manuel Dimath me Seulement l on donne un crit re pour le choix du plan auxiliaire Examinons l exemple tudi par les auteurs p 144 pour illustrer cette m thode Enonc Dans la pyramide ABCDE BCDE est un trap ze de bases BE et CD M est le milieu du segment AB N est le point du segment AC tel que AN 1 4AC P est le milieu du segment DE La droite MN coupe le plan ADE en I Construire le point I Solution e La droite MN est incluse dans le plan ABC On d termine la droite d intersection des plans ADE et ABC A appartient aux plans ADE et ABC Dans le plan BCD les droites BC et DE se coupent en F et F e ADE A ABC Chapitre C1 161 Les plans ADE et ABC se coupent donc suivant AF e Dans le plan ABC les droites MN et AF sont s cantes en I I est le point d intersection de la droite MN avec le plan ADE Aucune propri t d incidence n est nonc e La solution propose l algorithme de construction sans phase heuristique ni justification L algorithme de construction peut tre sch matis comme suit MN a ADE ABC BC AB AE DE Re BC N DE AB Q AE F A AF r 70 MN A AF l fig 47 162
11. Ecologie des probl mes de construction Nous avons choisi d tudier le r le du dessin travers la r solution des probl mes de construction dans l espace pour la mise l preuve de l hypoth se de recherche fonctions du dessin comme contraintes Le dessin par ses nouvelles fonctions en g om trie dans l espace apr s la r forme des math matiques modernes constitue une contrainte sur la vie de certains objets dans l espace Nous nous sommes plac s dans une perspective cologique dans la mesure o l on s int resse aux interrelations possibles entre l objet dessin et l objet probl me de construction dans l institution enseignement secondaire chapitre A 6 1 Ce choix semble tre pertinent pour notre questionnement En effet nous avons montr que les probl mes de construction ont volu sous deux contraintes solide et dessin Ceci est le r sultat d une double d marche mise en vidence de l volution des probl mes de construction dans l espace et tude des raisons de cette volution Ces deux tudes concernent le cas de l environnement papier crayon chapitres C1 et C2 325 326 Evolution des probl mes de construction dans l espace au cours de ce si cle La m thodologie que nous avons adopt e consiste en l analyse des exercices r solus et des commentaires des auteurs dans les manuels des deux p riodes 1923 69 p riode 1 et 1982 nos jours p riode 3 mais des moments o
12. Soit d terminer l intersection de deux plans s cants P et P Une strat gie consiste caract riser chacun des deux plans P et P respectivement par deux droites D1 D2 et D 1 D 2 de sortes que D1 et D 1 soient s cantes et D2 et D 2 soient s cantes P Pn P N D1 D2 D 1 D 2 ne D1 M D 2 D2 A D N 7 fig 48 intersection de deux plans Chapitre C1 163 ii Intersection d une droite et d un plan Soit d terminer l intersection d une droite d avec un plan P Si on peut d terminer une droite d de P qui soit coplanaire avec d alors il suffit de prendre l intersection de d avec d d A P N m dAd A fig 49 intersection d une droite avec un plan a Sinon on choisit un plan P contenant d de fa on que le sch ma d intersection de deux plans soit simple d terminer selon le sch ma intersection de deux plans Ce plan est d sign par les manuels par plan auxiliaire d N P D1 D2 D D 2 7 D1 Q D 2 D2 A D 1 B eA AB d N AB fig 50 intersection d une droite avec un plan b 36 On suppose que la droite d est s cante avec le plan P 164 Les manuels tudi s ont mis l accent sur la r alisation effective de la construction sur le dessin Pour cela l algorithme de construction doit permettre la r alisation d un trac effectif la r gle et au compas Pour r pondre cette contrainte l algorithme de construction doit respecter les r gle
13. 109 De m me dans le cas des exercices 4 9 et 11 plusieurs l ves ont cart le cas d s cante avec un plan parce qu il n y a pas de pointill s Dans le test de B Parzysz environ 29 d l ves avaient r pondu oui Nous avons attribu ce faible r sultat en partie au fait que l interpr tation peut se faire en r f rence avec une droite o il y aurait des ponctuations l endroit de l intersection Dans notre questionnaire nous n avons propos qu une seule droite et le nombre de r ponses oui est beaucoup plus faible 4 Nous pensons que ce faible score peut tre expliqu en partie par le fait que la repr sentation de la droite est presque parall le un c t du parall logramme repr sentant le plan comme nous l avons d j soulign N anmoins nous pouvons conclure que cette r gle d interpr tation n est pas mobilis e par beaucoup d l ves ce qui peut s expliquer essentiellement par l absence des pointill s utilis s normalement dans la convention de repr sentation d une droite s cante avec un plan Nous avons aussi montr que certains l ves d une m me classe ont utilis les m mes arguments alors qu ils ne l ont pas t par les l ves des autres classes Les arguments sont fond s sur l absence des marques indiquant s il y a ou non une intersection Enfin toutes les r gles d interpr tation concernant les positions relatives d une droite et d un plan ont t utilis es par les l ves
14. 1987 Cet extrait nous montre que la g om trie descriptive n est pas hors programme mais qu aucune connaissance n est exigible en ce qui la concerne 1 3 4 Programmes de 1990 Aucun changement pour les programmes du coll ge Chapitre C2 183 Le programme de la classe de Seconde pr cise dans les directives g n rales que la pratique des figures est centrale aussi bien en g om trie plane qu en g om trie dans l espace En g om trie plane comme en g om trie dans l espace tout point de vue axiomatique est exclu La pratique des figures doit tenir une place centrale car elle joue un r le d cisif pour la ma trise des notions math matiques mises en jeu B O n 20 du 17 mai 1990 Le dessin doit jouer un r le important non seulement pour la mise en place des notions math matiques mais aussi pour leur ma trise Pour les activit s le programme sugg re selon le type de probl me d exploiter les maquettes d objets ou leurs repr sentations main lev e ou l aide d instruments Le seul mode de repr sentation adopt est la perspective cavali re La pratique de r gles de la perspective cavali re doit permettre la r alisation de sections planes comme le sugg re le programme de la classe de Premi re Exemples simples de recherche en perspective cavali re ou en vraie grandeur de sections plane On s assurera qu ils ont une bonne pratique des r gles permettant la r alisation de te
15. 6 Cf 7 E B 7 C est dire que l l ve est conscient du choix arbitraire du point I 224 qu elle peut g n rer une discussion entre les l ves sur l tude des diff rents cas si parmi eux certains pla aient le point I dans des positions o la droite AT ne coupe pas la droite D 8 La discussion ne sera pas au niveau d un l ve mais comme r sultat de r ponses diff rentes Si cette discussion n a pas lieu c est lui de poser la question sur l existence de l intersection 9 E B Je la d finis comme tant parall le D et passant par A apr s j ai mon plan P qui contient les deux droites D et D et le point A la droite D n tant pas coplanaire va couper ce plan l en un point I et apr s j envisage la droite IA Mais le probl me si ce point l est par hasard ici du coup elle va plus donc l on est coinc on ne peut pas le faire Maintenant c est vrai si dans le lot des l ves il y en a un qui fait juste ce syst me l a peut g n rer une discussion entre eux a c est int ressant Mais par malchance s il n y a aucun qui le fait a sera au prof de dire Est ce que c est toujours possible Dans le sens du premier point nous avons pos une question sur la d termination ou plut t le choix de la position du point I Puisque selon la r gle d usage RU P D d s que l on sait que l intersection d une droite D et d un plan P existe on peut consid rer leur point d intersection et le
16. G om trie dans l espace Classe de Premi re C et Moderne Par J DOLLON E Gilet Ed Masson et Cie 1952 Ces r gles donnent ce que nous avons appel des primitives de construction Comme pour les probl mes de construction dans le plan la r solution de ces probl mes de construction dans l espace doit respecter une condition de base on ne peut construire un objet qu partir des objets construits selon des r gles Nous d veloppons ci dessous les r gles pour la plupart implicites que nous avons pu d gager dans ces ouvrages Une droite est construite si elle passe par deux points elle est l intersection de deux plans s cants elle passe par un point et est parall le une droite ou un plan Un plan est construit dans l un des cas suivants il contient trois points non align s construits il est d fini par une droite et un point n appartenant pas cette droite il est d fini par deux droites concourantes s cantes il est d fini par deux droites parall les Un point est construit s il est intersection de deux droites s cantes construites intersection d une droite et d un plan construits Enfin les points les droites et les plans de l exercice sont consid r s comme des objets construits 140 Dans la suite nous appellerons ces primitives de construction Pcespace point droite plan Maintenant que le probl me de construction dans l espace est d fini qu en est il p
17. GEO 2 Dans cette activit il utilise Rappel des l ments pour comprendre la d marche de l l ve Ensuite il v rifie par d placement si le point E est libre Quant l intersection de la droite X avec le plan il se demande comment l l ve a fait tant donn que le point J est mobile sur la droite X Une fois que la d marche de l l ve lui a t explicit e il revient sur l int r t de l utilisation de Geospace E JC Il faut consacrer plus de temps avec les l ves dans ces situations E JC Pour les l ves en difficult c est bien de les faire manipuler les objets tout faits a leur permet de r fl chir partir des messages de l ordinateur de manipuler parce qu ici c est facile par rapport Cabri H propose une solution avec un menu sans intersection droite plan utilisant l intersection plan plan du plan A d avec P E JC C est int ressant parce qu on a l intersection ind pendamment du plan choisi Ainsi il pense que l utilisation de l environnement informatique Geospace peut tre b n fique pour les l ves en difficult s parce qu il permet la manipulation des objets aspect dynamique le raisonnement par la r troaction du milieu et que les situations sont plus accessibles pour ces l ves par rapport cabri 1 en utilisant des primitives intersection de plans etc c Activit GEO 3 Il proc de de la m me fa on que pour le cas de GEO2 pour les moyens de contr
18. L 450 On se trouve alors en pr sence du triangle BCD dans lequel on con nait i le c t DC AB AC donn e de l nonc Tangle c donn e de l nonc l angle D 450 r sultat de notre analyse L auteur propose de r aliser la figure puis en la consid rant comme objet d tude d analyser ses propri t s Il montre ensuite comment on peut d gager une m thode Ceci n cessite des constructions suppl mentaires d exploiter des id es de mettre en vidence des relations etc Nous proposons d analyser chacune des deux composantes analyse et synth se dans le cadre des probl mes de construction g om trique en g om trie plane dans les deux manuels M1 et M2 b Analyse Elle consiste supposer le probl me r solu Pour cela tous les moyens sont bons pour r aliser un dessin rendant compte des conditions du probl me Une fois que le dessin est r alis on essaie de d gager des propri t s qu on utilisera dans la partie synth se permettant de r aliser la construction demand e Souvent on utilise des propri t s de certaines configurations usuelles Pour cette partie analyse les auteurs des deux manuels M1 et M2 proposent une m thode dite m thode d intersection de lieux g om triques Cette m thode repose sur le fait que les probl mes de construction se ram nent souvent la d termination d un point Ce point est consid r comme intersection de deux objets g om triques M1 pp
19. Les r sultats sont donn s dans le tableau ci dessous 128 l ves coupe le plan Q est parall le 7 n a aucun point le dessin ne permet Je ne sais pas ER Re avec Ca RTE de conclure Le plan P1 Le plan P2 AUS E T E E T a tepma n 6 ls a 2 2 Tableau 3 Pr s de 93 des l ves ont interpr t que les plans P2 et Q sont parall les Notons que ces plans sont repr sent s par des parall logrammes bords parall les deux deux B Parzysz s est interrog sur le cas o les repr sentations des plans seraient bords parall les mais obliques cas non tudi Un peu plus de 55 des l ves ont consid r que les plans P3 et Q sont s cants et 19 pensent que ces deux plans n ont aucun point commun Nous pensons que les r sultats auraient pu tre diff rents si d une part le dessin ne portait que sur les plans P3 et Q afin que les autres repr sentations en particulier le plan P2 n interf rent pas dans la lecture du dessin si d autre part le c t le plus grand de P3 tait parall le au c t horizontal du parall logramme Q fig 16 rd fig 16 Pour le cas du plan P1 les r ponses sont principalement entre P1 coupe le plan Q 54 et P1 n a aucun point commun avec Q 32 Revenons sur la cat gorie d l ves ayant r pondu n a aucun point commun avec le plan Q dans le cas du plan P1 32 et dans le cas du plan P3 18 Nous rejo
20. On n a pas les moyens de le faire de fa on plus pr cise si Il dessine le plan Q quelconque je ne peux pas savoir lequel Je trace la parall le d passant par A Je place le point M mais moi je ne sais pas construire le point M je l ai plac seulement Ensuite je trace la parall le PM Cette droite est parall le P et elle passe par A Il commence par repr senter le plan Q propos dans la production de l l ve Celui ci ne lui permet pas de poursuivre les constructions car la repr sentation du plan est arbitraire Il modifie donc l algorithme de construction en proposant le suivant construire une droite parall le d passant par A l enseignant trace la droite construire le point d intersection de cette droite avec le plan P il place le point en soulignant qu il le fait de fa on arbitraire construire une parall le la droite passant par M et le point d intersection de d avec le plan P l enseignant a d sign ce point par P passant par A fig 90 La solution propos e est une construction voqu e utilisant la r gle d usage RU P D Rappelons que la solution propos e par l l ve utilise la r gle d usage RU P P alors que celle propos e par l enseignant utilise la r gle d usage RU P D L enseignant pense que la m thode de l l ve est plus difficile que la sienne Nous l expliquons par le fait que les conventions de repr sentation offrent plus d l ments de contr le perc
21. 72 73 L auteur de ce manuel justifie cette d marche par le fait qu elle permet de poser le probl me d existence et de mener une discussion D une mani re assez g n rale un point construire devra satisfaire deux conditions Laissons la premi re de c t alors ce n est plus un seul point qui satisfait la seconde condition mais une infinit de points Ils se r partissent sur une courbe C lieu g om trique des points satisfaisant celte seconde condition Laissons au contraire la seconde condilion de c t alors ce n est plus un seul point qui satisfait la premi re mais une Infinit Ces points se r partissent sur la courbe C lieu des points satisfaisant cette premi re condition Finalement le point que l on cherche doit appartenir la courbe O et fa courbe C li est donc en l un de leurs points communs Il y a autant de solutions que les courbes C et C ont de points communs On voit que le nom de m thode par intersection de lieux g om triques est compl tement justifi Cette m thode est coup s r lune des plus g n rales et des plus f condes de la g om trie l mentaire Elle semble avoir t introduite dans la science par l cole de Platon 430 347 avant J C Ce proc d de construction offre l immense avantage dans la plupart des cas de permettre de discuter c est dire de voir pour quelles grandeurs des donn es le probl me e
22. D D placer le point N de fa on perceptive jusqu au d but des pointill s Cr er une droite passant par E parall le MJ Chapitre D2 299 300 iii Figure pr sent e iv Remarques L arbitraire n est pas de m me nature que sur papier crayon En effet les pointill s sont g r s par l environnement puisqu il g re les parties cach es Ainsi le point d intersection de la droite X avec le plan P existe pour l environnement c est le point partir duquel commencent les pointill s En fait ce point est l intersection de la droite X avec la face ABCD Cette solution est correcte mais elle ne r siste pas au d placement Cela pose le probl me de ce qu est une r ponse correcte dans l environnement Geospace 1 3 3 Activit GEO 3 C est un probl me de construction voqu e La production a les caract ristiques suivantes e Elle utilise des primitives intersection plan plan ou intersection plan droite e Correcte d un point de vue construction l aide de l environnement Geospace i Enonc Soient D et D deux droites non coplanaires E un point qui n appartient ni D ni D Construire une droite issue de E et s cante D et D ii Production La droite cherch e s obtient comme intersection des plans E D et E D par la primitive intersection plan plan iii Figure pr sent e 1 4 Enseignants Pour le choix des enseignants deux param tres nous par
23. En effet en tenant compte des r gles de la perspective nous retenons Si deux segments repr sentations de deux droites sont s cants alors les droites ne sont pas parall les Si trois points repr sentants trois points B et C de l espace ne sont pas align s sur le dessin alors les points A B et C ne sont pas align s Si un point A repr sentant un point A n est pas barycentre d un syst me de points A ai repr sentants des points Ai ai de l espace alors A n est pas barycentre du syst me Ai ai Par exemple si un point est l ext rieur d un triangle repr sentant une face d un solide on peut d duire qu il n appartient pas cette face 6 OBJET DE NOTRE RECHERCHE L tude pr c dente a montr la complexit de la place du dessin dans l enseignement En g om trie plane son statut volue au cours de l enseignement primaire et secondaire du dessin objet physique au dessin mod le d un objet g om trique En revanche dans le cas de la g om trie dans l espace il est d abord mod le d un objet physique pour tre ensuite mod le d un objet g om trique Ainsi dans l enseignement on commence par faire manipuler des solides dans le monde sensible avant de passer leur repr sentation L objet central de notre travail porte sur la place du dessin en tant que mod le d un objet g om trique de l espace dans les probl mes de g om trie dans l espace A partir de plusieu
24. Examen de la question b Quelles sont les attentes de l enseignant par rapport aux productions d l ves pour les probl mes de construction Les r gularit s issues de l analyse des manuels du chapitre C1 et d observations de classe nous ont permis conjecturer des crit res que doivent v rifier les r ponses d l ves des probl mes de construction effective observ s par nous m me Pour les valider un choix d exercices et de productions a t fait de sorte que les productions ne r pondent pas simultan ment tous les crit res Les r ponses d l ves aux probl mes de construction effective doivent tre accompagn es des l ments suivants dessin algorithme de construction et justification Dessin Sur lequel l l ve laisse les traces de sa construction Algorithme de construction 20 Ils les ont rejet par rapport aux objectifs des probl mes de constructions selon le rapport R2 Ainsi ils ont attribu s d autres objectifs ces exercices construction impossibles constructions impr cises 260 Il indique les diff rentes tapes selon les primitives des probl mes de construction effective Dans le cas o ceux ci utilisent des primitives comme intersection de deux plans la production est alors rejet e avec l argument qu elle ne permet pas de construire D o la r gle Construction voqu e PCef Une r ponse correcte un probl me de construction du type PCef utilisant une
25. Interpr tation int plan Soit un parall logramme repr sentant un plan Un point repr sent l int rieur du parall logramme repr sentant un plan est interpr t comme un point appartenant ce plan Interpr tation ext plan Soit un parall logramme repr sentant un plan Un point repr sent l ext rieur du parall logramme repr sentant un plan est interpr t comme un point n appartenant pas ce plan fig 18 74 De plus les l ves font plus facilement le prolongement mental dans le sens horizontal que dans le sens vertical Ainsi les r gions 1 et 2 peuvent tre consid r es comme faisant partie du plan plus que les r gions 3 et 4 Cependant on peut se demander pour ces derni res s il n y a pas un r gionnement sp cifique que nous formulons sous forme de conjecture Conjecture 1 au dessus au dessous Un point de la r gion 3 peut tre interpr t comme au dessus du plan Un point de la r gion 4 peut tre interpr t comme au dessous du plan b Position relative d une droite par rapport un plan Les r sultats ont mis en vidence la r gle d interpr tation ci dessous qu on notera droite int plan Interpr tation droite int plan Soit un parall logramme repr sentant un plan Un segment l int rieur du parall logramme sera interpr t comme une droite incluse dans P La nature des questions propos es et le fait que toutes les droites
26. L analyse des ditions 1990 de manuels faite dans le chapitre C1 montre que les probl mes de construction dans l espace tels qu ils sont propos s r pondent aux deux orientations des programmes Repr sentation et Solide En effet ces probl mes portent sur les solides usuels et font appel aux repr sentations en perspective cavali re de l intersection des objets Notons que l objectif de ces probl mes est la mise en oeuvre des propri t s d incidence de l espace Ainsi la mise en oeuvre des r gles de la perspective cavali re ne constitue pas un objectif de ces probl mes de construction En effet la repr sentation en perspective cavali re n est pas un objet d enseignement mais un mode de repr sentation que les l ves doivent ma triser pour la repr sentation des sections planes Chapitre C2 191 2 ANALYSE A TRAVERS LES MANUELS DES PROBLEMES DE CONSTRUCTION DEPUIS LA FIN DE LA REFORME DES MATHEMATIQUES MODERNES Pour chacun des trois programmes 1982 1987 et 1990 nous proposons d analyser les manuels selon une m thodologie explicit e dans le paragraphe suivant Notons que les ditions de 1994 pr sentent les m mes exercices que ceux de 1990 2 1 M thodologie d analyse L analyse a t faite par rapport aux trois r formes 1982 1986 et 1990 et pour les deux niveaux Seconde et Premi re Elle comporte un aspect qualitatif et un aspect quantitatif 2 1 1 Aspect qualitatif Nous cherchons tudier l
27. Nous nous proposons dans ce chapitre d analyser les probl mes de construction dans le plan et dans l espace au cours de ce si cle en d gageant les fonctions du dessin dans ces probl mes De plus nous analyserons les probl mes de construction par rapport aux trois composantes d gag es ci dessus Preuve de constructibilit Elle justifie la faisabilit de la construction suivant les moyens permis par une th orie donn e Cette justification peut tre g om trique ou relever d un autre cadre alg brique par exemple Algorithme de construction Il donne les moyens de r aliser les constructions selon des r gles bien d finies Notons qu un algorithme de construction peut utiliser des constructions d j tablies pr c demment Lorsqu un algorithme de construction est justifi il fournit par la m me occasion une preuve de constructibilit Proc d de trac Il donne les moyens de la r alisation de la construction sur une feuille de papier 1 PREMIERE PERIODE Nous cherchons analyser la vie des probl mes de construction en g om trie plane et dans l espace dans les moments o le rapport institutionnel est relativement stable Or pendant cette p riode les programmes de 1945 n ont pas chang le contenu des programmes de 1923 Nous pouvons consid rer qu il y avait une stabilit du rapport institutionnel l objet probl mes de construction de 1920 19605 Pour notre analyse nous utiliserons des
28. STR SSER R 1991 Dessin et figure G om trie et dessin technique l aide de l ordinateur In S minaire de didactiques des math matiques et de l informatique pp 177 189 Grenoble LSD2 IMAG THOMPSON P W 1985 Mathematical Microworld and Intelligent Computer Assisted Instruction In Kearsley G E ed Artificial Intelligence and Instruction Applications and Methods Reading MA Addison Wesley
29. Seulement ces auteurs distinguent les deux phases sous les tiquettes respectives analyse et synth se Chapitre C1 153 m thode Le probl me se r sout en deux temps e Analyse on suppose le probl me r solu Faire une figure approximative r pondant l nonc en la construisant dans l ordre inverse Montrer que les contraintes imposent l un des points cherch s d appartenir deux courbes E1 et E2 e Synth se Construire les deux courbes et chercher si leurs s point s d intersection conduit sent une solution Achever la construction si elle est possible D clic 1 S p 46 La premi re phase de la partie analyse est la r alisation de la figure Cette m thode propose de faire une construction dans le sens inverse Les auteurs n explicitent pas dans cet encadr que le dessin r alis est un objet d tude pour la phase heuristique comme dans le cas du manuel Terracher Cependant dans les exemples trait s le dessin intervient dans la phase heuristique Soulignons que la m thode sugg r e par les auteurs dans cette partie analyse est d obtenir un point construire comme intersection de deux courbes C est cette m thode qui tait utilis e dans la r solution des probl mes de construction en g om trie plane au cours de la p riode 1 sous le nom de intersection de lieux g om triques c Analyse du manuel Belin En classe de seconde les auteurs donnent une m thode de
30. Synth se de r solution Le dessin est un objet d tude Le dessin n est pas objet d tude Preuve de Propri t s d incidence du plan Propri t s d incidence de l espace or constructibilit Algorithme de Constructions la r gle et au Constructions selon PCespace point construction compas PCplan point droite cercle droite plan Primitives de construction Primitives de construction Chapitre C1 169 Les r gles sont explicit es par les Les r gles sont explicit es par les auteurs auteurs Proc d de Primitives de trac la r gle et au Primitives de trac la r gle et au trac compas compas Les auteurs voquent le probl me R gles d usage de pr cision du trac Les auteurs soulignent l insuffisance du dessin Ils renvoient la g om trie descriptive pour combler ce d ficit Tableau 23 G om trie plane G om trie dans l espace D marche Analyse Synth se Absence de la phase heuristique de r solution Le dessin est un objet d tude Centration sur l algorithme de construction Preuve de Propri t s d incidence du plan Propri t s d incidence de l espace constructibilit Algorithme de Constructions la r gle et au Constructions selon PCespace point construction compas PCplan point droite droite cercle Primitives de construction Primitives de construction Proc d de Primitives de trac la r gle et au P
31. afin d en mesurer l volution dans le temps et dans les manuels Dans chaque manuel nous avons relev le nombre d exercices relatifs chaque type 2 2 Choix des manuels Pour faire une analyse comparative des manuels par rapport aux diff rents crit res ci dessus et pour rep rer leur volution nous avons opt pour les manuels les plus utilis s actuellement et qui sont accessibles pour au moins les deux derniers programmes Nous avons retenu Editions 81 82 Dimath me Hachette Louquet 13 p 200 Chapitre C2 193 Editions 86 87 Dimath me Transmath Terracher Editions 90 91 Dimath me Transmath Terracher 2 3 Editions 1981 82 Pour Dimath me il s agit de sa premi re dition en 1981 82 Hachette et Louquet sont des manuels dit s au moins pour la deuxi me fois Louquet conserve la m me structure de pr sentation et le m me esprit que la pr c dente dition sous l influence de la r forme des math matiques modernes Hachette semble s aligner sur les directives des nouveaux programmes D sormais nous utiliserons dans les tableaux ci dessus le codage suivant PCev probl me de construction voqu e PCef probl me de construction effective AS avec solide SS sans solide Obj condition construction d un objet sous conditions g om triques intersect construction de l intersection de deux objets paesi e e ES i a a e fre PCev Obj cond intersect a i l EE AEEA
32. cette justification doit r pondre oui pour l exercice 7 JO3 d et d sont s cantes car elles ne sont pas parall les JO4 Absence de marques JOS a se voit b Les justifications utilis es pour les r ponses non JN1 d et d ne sont pas dans un m me plan Cette justification a t utilis e essentiellement pour l exercice 6 Ici tre dans un m me plan signifie tre dans la m me face JN2 Les plans ne sont pas s cants Nous pensons que pour ces l ves comme les faces SAB et SCD n ont pas d ar te commune alors les droites d et d ne peuvent pas tre s cantes JN3 d et d ne sont pas s cantes car leurs intersections respectives avec la droite d intersection des plans SAB et SCD sont distinctes La justification JN3 est celle que nous avons consid r e comme correcte pour l exercice 6 Seulement 3 l ves l ont utilis e 27 Pour deux l ves les droites d et d ne sont pas s cantes car leur point d intersection sur le dessin n appartient pas la droite d intersection des plans SAB et SCD El ve C24 Non Justification Soit A la droite d intersection de ASB et SDC D et d ne sont pas s cantes selon A donc d et d ne sont pas s s cantes Pour l l ve C25 les droites ne sont pas s cantes car elles sont s cantes avec la droite d intersection des plans SAB et SCD en deux points distincts El ve C25 Non Justification SDC et BAS se coupent selon SE or d
33. d informations D o la n cessit de faire appel des codes pour la lecture et l criture de ces repr sentations comme le souligne Bkouche 1983 p 16 Une situation spatiale appara t ainsi travers une repr sentation qui la transforme en figure plane ceci n cessite l explicitation d un code code d criture et code de lecture Dans ces conditions l appr hension de la situation spatiale travers la m diation de la repr sentation plane ne s appuie plus sur l vidence comme c est le cas en g om trie plane on ne peut plus raisonner sur une figure qui est d j distincte de la r alit qu elle est cens e repr senter ceci n cessite donc la mise au point de m thodes de raisonnement plus complexes 42 Ainsi la probl matique du dessin en g om trie dans l espace dans l enseignement se trouve li e au choix du mode de repr sentation des objets de l espace Si on se place dans la probl matique de l enseignement secondaire de la g om trie dans l espace en France le mode de repr sentation choisi est la perspective parall le Parzysz 1991 p 219 avance l hypoth se que la raison du choix de la perspective parall le tient probablement un souci d quilibre entre le voir et le savoir La raison de ce choix pour les dessins de g om trie outre la facilit d ex cution doit tre cherch e dans le fait que la perspective parall le r alise un compromis acceptable entre le voir et le savoir t
34. droite sec droite Deux droites sont repr sent es par deux segments s cants en l absence de repr sentation des droites selon l une des convention droites s cantes ou droites non s cantes cf c p 76 Les droites d et d sont elles s cantes Les r ponses et justifications attendues sont R7a Oui car elles ont un point d intersection Cette r ponse est une cons quence de la r gle de la perspective cavali re la conservation de concours Ici elle est utilis e dans le cas de la lecture R7b Oui elles ne sont pas parall les Dans ce cas l l ve raisonne comme dans le plan R7c Oui car si elles n taient pas s cantes il aurait fallu repr senter par un blanc mis avant et apr s le point d intersection sur une des deux droites Cette r ponse fait r f rence la convention droites non s cantes R7d Non car si elles taient s cantes alors il y aurait un point d intersection Cette r ponse fait r f rence la convention droites s cantes R7e On ne peut rien dire en justifiant par le fait que les deux cas peuvent se pr senter puisque c est une figure de l espace 3 3 2 Exercice 6 Cet exercice porte sur un solide une pyramide SABCD les deux droites d et d tant repr sent es par deux segments l int rieur des triangles SAB et SCD Chapitre B 87 Soit d une droite du plan SAB et d une droite du plan SCD Les droites d et d sont elles s cantes
35. e sur la d marche de l l ve En effet le dessin met en vidence une droite parall le d7 son point d intersection avec le plan P et une droite passant par E qui semble tre parall le NJ Par Rappel affichage du texte ci dessous Par Historique toutes les tapes du rappel sont illustr es par des constructions donn es une par une Les points J et N sont plac s directement au d but des pointill s 7 la droite MN Autrement dit les tapes 7 et 8 de notre production cf page 299 ne sont pas illustr es par l historique Par les primitives g om triques si l enseignant est persuad que les points J et N sont des points d intersection des deux droites avec le plan P il peut demander l intersection des droites JN et EK pour v rifier qu elles sont effectivement parall les ventuellement en d pla ant un des points mobiles c Activit GEO 3 Par le dessin repr sent sur l cran on ne peut rien d duire Par Rappel affichage du texte ci dessous Par Historique toutes les tapes du rappel sont illustr es par des constructions donn es une par une Par les primitives g om triques on peut utiliser l intersection des droites pour v rifier que la droite passant par E est s cante avec les droites AB et CD Par d placement on ne peut rien en inf rer d La place de cet environnement informatique et son r le pour l enseignant A la fin nous
36. es comme des propri t s ou axiomes g om triques Une deuxi me fonction du dessin est d illustrer des propri t s qui se d duisent partir des propri t s d j nonc es Pour le lyc e seuls les textes de Premi re explicitent les fonctions du dessin Il permet de d velopper l intuition g om trique L intuition g om trique sera d velopp e par l emploi fr quent de figures concernant aussi bien les ensembles de vecteurs que les ensembles de points Programme 1 B O n 30 1982 Que signifie pour l institution programmes l intuition g om trique Est ce que c est pour illustrer une notion pour mettre en place une notion pour aider au raisonnement L insuffisance de l explicitation des programmes ne nous permet pas de r pondre ces questions Cependant dans les th mes propos s par le programme une fonction du dessin dans la r solution des probl mes de construction est mentionn e l analyse des propri t s d une configuration figure parmi les diverses m thodes pour la r solution de probl mes de construction 1 2 3 Programmes de 1985 Le contenu des programmes de 1985 est plus explicite que celui de 1977 En particulier le programme de Sixi me pr cise les grandes lignes propos des activit s sur les 3 B O n 22 bis du 9 juin 1977 180 dessins d crire reproduire r aliser un dessin donn sous plusieurs formes reconna tre une figure dans une situation complexe Les a
37. fig 1 Le travail sur le dessin mod le d un objet physique permet de mettre en place des notions g om triques comme le parall lisme et l orthogonalit en classe de cinqui me Chapitre A 25 Dans l espace les tudes exp rimentales s amplifient Elles fournissent un terrain pour d gager quelques propri t s l mentaires du parall lisme et l orthogonalit L usage d une perspective cavali re et de la fabrication d un patron sont Repr senter main lev e et d crire un compl mentaires prisme droit dont la base est un triangle ou un parall logramme un cylindre Les activit s sur le parall l pip de rectangle r volution ont permis de retenir sous la forme d images de mentales des situations de parall lisme et Fabriquer un prisme droit triangulaire ou d orthogonalit Ce travail se poursuit gr ce un cylindre de r volution de dimensions l tude de quelques autres prismes droits et du donn es cylindre de r volution L exp rience ainsi acquise permettra de d gager et de mettre en oeuvre sur des exemples simples des propri t s du parall lisme et d orthogonalit dans l espace Mais aucune connaissance ce sujet n est exigible des l ves BO n sp cial 4 30 Juillet 1987 5 En classe de troisi me le solide est consid r comme un objet g om trique et par cons quent le dessin change de statut le dessin repr sente un solide en tant qu objet g om triq
38. gag es auparavant 5 1 Le dessin comme mod le d un objet de la g om trie plane Selon les poques le dessin a connu des r les divers dans l enseignement et n a pas toujours eu la m me importance Ceci est all de pair avec la place du rapport entre Chapitre A 27 l espace sensible et l espace g om trique th orique dans l enseignement En effet ce rapport a connu des moments forts dans l enseignement et des moments o il tait presque inexistant comme l a soulign Chevallard 1991 p 53 en parcourant trois p riodes r centes A cet gard on observera une volution nette de cet enseignement sur une p riode de quelques d cennies Alors en effet que l enseignement pr moderne ant rieur la r forme des math matiques modernes se r f rait encore grosso modo aux d finitions euclidiennes voqu es pr c demment la solution moderne promue d s la fin des ann es 1960 a rendu ill gitime une telle r f rence La solution g om trique moderne base axiomatique a dans un premier temps r solu par le vide les probl mes des rapports entre le g om trique et le sensible en installant d embl e l espace g om trique comme en soi Au passage on comprendra mieux pourquoi ce type d expos s est flatt parfois de pouvoir se passer des figures 1 e de trac s dans la mesure en effet o l espace g om trique ne contient pas d objets mat riels lesquels rel vent de l univers sensib
39. les enseignants E1 et E2 n aient pas les m mes attentes et ou 17 Rappelons certains codes utilis s dans ce tableau CS le cas o l nonc fait r f rence un ou plusieurs solides ED les nonc s qui sont accompagn s d un dessin repr sentant les donn es PCef un probl me o la r solution peut se faire l aide d une construction effective PCev un probl me o la r alisation sur un dessin ne peut se faire qu l aide d une construction voqu e RU P d la production utilise une r gle d usage consistant tracer l intersection lorsqu elle existe d un plan et d une droite RU P P la production utilise une r gle d usage consistant tracer l intersection lorsqu elle existe de deux plans EXE Exercice PROD Production 244 m me positions par rapport aux probl mes de construction cette situation puisse les inciter expliciter davantage leurs attentes 3 1 6 Construction des exercices productions d l ves Pour le choix des exercices nous avons choisi des exercices tudi s dans la phase 1 pour des exercices productions de la phase 2 Pour l exercice production EP I nous avons choisi l exercice 3 tudi dans la phase 1 Pour les exercices productions EP II et EP ITa nous avons choisi l exercice 7 Enfin pour les exercices productions EP IV et EP IVa nous avons choisi l exercice 4 Chapitre C3 245 Exercice production EP I EP I La figure suivante repr sente une pyr
40. m ridiennes et parall les de surfaces de r volution Instructions du programme de 1 1986 La r solution de ces probl mes peut faire appel aux deux modes de repr sentation perspective cavali re et g om trie descriptive En 1990 les probl mes de construction sont de m me nature que ceux de 1985 mais le seul mode de repr sentation utilis est la perspective cavali re Exemples simples de recherche en perspective cavali re ou en vraie grandeur de sections plane On s assurera qu ils ont une bonne pratique des r gles permettant la r alisation de tels croquis mais tout expos sur la perspective est exclu Programme de Premi re B O n 2 2 mai 1991 11 Arr t s des 14 mars 1986 et 30 juin 1986 B O sp cial n 1 du 5 f vrier 1987 188 Intersection de deux plans Recherche de sections planes Recherche et repr sentation en orthogonalit d une droite et d un avec des solides usuels en TP perspective cavali re ou en vraie plan par la technique de Dessin en vraie grandeur d une grandeur de sections planes l pure 1 section plane Exemples de d terminations de sections planes de poly dres 1 Utilisation de transformations simples de l espace telles que translations et homoth tie pour la r solution de probl mes de constructions Tableau 29 1 obligatoire pour la premi re E et facultatif pour les autres sections Nous retenons Les p
41. mes de construction toutes les donn es sont ramen es aux points puisqu une droite sera remplac e par deux points et un cercle par deux points galement l un repr sentant le centre et l autre un point du cercle De m me l objet construire est remplac par des points Ainsi le principe de base d un probl me de construction peut se r sumer en la recherche d un point partir des points donn s comme le pr cise Lebesgue dans une d finition qu il donne aux probl mes de construction Des points sont donn s on se propose de construire un point qu ils d terminent en n usant que de la r gle et du compas la r gle ne devant servir qu joindre deux points donn s ou pr c demment obtenus le compas ne devant servir qu tracer une circonf rence dont le centre est un point donn ou d j obtenu et dont le rayon est la distance de deux points donn s ou d j obtenus H Lebesgue 1950 p 23 Plus pr cis ment dans un ouvrage de synth se sur la construction la r gle et au compas Carrega reprend cette d finitioni La d finition de la constructibilit d un nombre a permis d tudier et de r soudre certains probl mes de construction par des m thodes alg briques Ceci nous montre en quoi diff rent les deux composantes la preuve de constructibilit permet de justifier qu un objet est constructible la r gle et au compas par des consid rations g om triques mais aussi alg briques l algorithme de constructi
42. nouvel objet Donc au niveau du dessin aucun trac n est n cessaire pour les probl mes de construction si ce n est de rendre visible une droite en joignant deux points existants Avec objets interm diaires AOI la solution n cessite l introduction de nouveaux objets plans droites et a fortiori des points pour les probl mes de construction effective V3 Formulation Cette variable est relative l usage des mots tracer et construire Nous pensons qu elle est li e la pr c dente et plus pr cis ment Hypoth se V3a dans le cas des probl mes de construction effective SOI on utilisera plut t tracer et dans le cas AO on utilisera construire Par des questions pos es aux enseignants lors de l interview nous essaierons de savoir si les deux vocabulaires ne correspondent pas des attentes diff rentes Nous examinerons l hypoth se suivante Hypoth se V3b a diff rence entre construire et tracer intervient au niveau de la justification Et plus pr cis ment la justification est plus exig e dans le cas de construire que dans le cas de tracer V4 solide Le probl me porte ou non sur les solides de l espace tels que pyramide t tra dre On notera ES le cas o l nonc fait r f rence un ou plusieurs solides L analyse des manuels a montr que ce crit re est li au type de probl me V1 Plus particuli rement presque tous les probl mes de construction effectiv
43. ponses On ne peut rien dire Jf OR car deux cas se pr sentent tre parall les ou tre dans le plan Jg OR car d peut tre dans le plan ABCD ou CDGH Jh OR car deux cas se pr sentent tre s cante ou tre dans le plan Ji OR car on ne sait pas quel plan appartient la droite d Jj Manque d informations Justifications utilis es dans les diff rentes r ponses Jk Absence de marques Jl vident Justifications utilis es de fa on minoritaire Autres justifications div1 On ne peut rien dire car on ne sait pas si d est s cante avec une droite du plan div2 Non car d est s cante avec une droite du plan CD div3 Non car d est s cante avec CH et le point d intersection n appartient pas au plan div4 Non car d est dans le plan CDGH div5 Non car d n a aucun point commun avec le cube div6 On ne peut rien dire car d est s cante avec CD mais il manque d informations Ces justifications sont r parties de la fa on suivante par rapport aux exercices Tableau 12 98 Ooo wis A VS TE Ua bloh h x fa fe Je h x ff lefn li i x k fji fav Es ee og oo io do epi e te op x9 3 2 f2 soppeehupiui stsewes NN EE ON NN E Tableau 13 ii Analyse Nous proposons d analyser les justifications les plus fr quentes a Justifications Manque d informations Jj Nous avons consid r dans cette cat gorie seulement les r ponses des l
44. que chacun d eux n cessite un contrat diff rent par rapport aux productions d l ves hypoth se de recherche papier crayon De plus ce travail nous a permis d tudier le rapport personnel des enseignants aux probl mes de construction dans l espace Celui ci tait en conformit avec le rapport institutionnel R2 lors de l analyse des exercices production d l ves Par l existence des primitives g om triques les deux types de probl mes de construction effective et voqu e peuvent coexister dans un environnement informatique chapitre D1 Donc tous les probl mes de construction sont des probl mes de construction effective dans l environnement informatique condition d avoir des primitives permettant la construction des intersections entre des objets g om triques De m me certains probl mes de construction effective peuvent ne pr senter aucun int r t pour l enseignement dans un tel environnement Nous nous int ressons donc l tude du rapport des enseignants ayant utilis des environnements informatiques pour l enseignement de la g om trie dans l espace aux probl mes de construction dans l espace dans les deux environnements papier crayon et informatique L tude de leurs rapports aux probl mes de construction dans l environnement papier crayon nous permet de voir s ils ont ou non les m mes rapports aux probl mes de construction dans l espace que les enseignants n utilisant pas un environnement in
45. r f rence des algorithmes de construction particuliers Mais ces consid rations ne permettent pas encore de prendre en compte le passage effectif au dessin sur papier c est dire ce que nous appellerons les proc d s de trac La confusion essentielle cet gard semble bien se situer dans le fait que constructibilit la r gle et au compas expression qui d signe une certaine classe de probl mes a pris subrepticement le sens de trac avec les instruments que sont la r gle et le compas Or comme nous l avons vu chez Euclide les figures sont des id alit s des entit s immat rielles et la r gle et le compas sont de m me des instruments id els De plus les dessins n y sont que des repr sentations n cessairement imparfaites de ces id alit s et ne sont l que pour aider le raisonnement Ceci ne signifie pas que le dessin est absent de leur pratique Le dessin est utilis par les math maticiens comme support au raisonnement sans qu ils se pr occupent des moyens techniques pour sa r alisation on peut le tracer main lev e par exemple Ainsi le passage au dessin ne constitue t il pas un probl me d tude pour le math maticien Chevallard 1991 p 74 poursuit en soulignant un changement de probl matique dans le passage du probl me de construction au probl me de trac On comprend alors que traduire les probl mes euclidiens de constructions la r gle et au comp
46. s plus complexes On peut noter deux types de difficult s la premi re concerne le traitement de la figure 7 En effet une fois que le dessin est r alis l l ve est invit d gager des 15 p 229 16 C est nous qui soulignons 17 ce propos nous renvoyons aux travaux de Duval cf 5 1 1 p 28 Chapitre A 39 l ments pertinents pour le probl me et ceci n cessite un traitement sp cifique mesurer r aliser des trac s auxiliaires examiner des cas particuliers v rifier certaines propri t s spatiales modifier la figure par des transformations rep rer des configurations usuelles etc Ce traitement de figure correspond ce que Duval d signe par appr hension op ratoire de la figure Les caract ristiques de cette appr hension permettent d apporter des r ponses aux deux questions pos es par Duval que nous avons cit es pr c demment cf 5 1 1 p 28 Pour la question 1 Duval 1994 p 128 dit que Pour un probl me d termin et pour une figure de d part celle donn e avec l nonc du probl me ou construite partir de l nonc du probl me il y a g n ralement une des modifications figurales possibles qui montre l id e de la solution ou de la d monstration C est la modification figurale heuristiquement pertinente Et comme le souligne Duval 1994 p 128 cette modification figurale heuristiquement pertinente n est pas toujours visible de fa on imm diate Le probl m
47. se a occup une place importante chez les math maticiens et ce au moins depuis Euclide Seulement comme le souligne Gardies 1991 Euclide n a pas d fini cette d marche dans les l ments A propos des propositions du livre XIII d Euclide Gardies 1991 p 100 pr cise Nous avons vu qu Euclide exposait une proc dure qui se donnait comme strictement synth tique partir de laquelle on pouvait seulement deviner la mani re analytique dont il avait pu d couvrir le cheminement de sa construction Puis l auteur pr cise que pour les propositions 13 14 15 16 et 17 du livre XIII d Euclide propos des cinq solides platoniciens Pappus a r solu les m mes probl mes mais en distinguant explicitement l analyse puis la synth se Heath 1956 p 138 pr cise la citation de Pappus The so called avaivouevos Treasury of Analysis is to put it shortly a special body of doctrine provided for the use of those who after finishing the ordinary Elements are desirous of acquiring the power of solving problems wich may be set them involving the construction of lines and it is useful for this alone It is the work of three men Euclid the authors of the Elements Apollonius of Perga and Aristaeus the elder and proceeds by way of analysis and synthesis Analysis then takes that wich is sought as if it were admitted and passes from it through its successive consequences to something which is admitted as the
48. 1 ANALYSE DES PROGRAMMES DEPUIS LA FIN DE LA REFORME DES MATHEMATIQUES MODERNES 175 9 1 1 G om trie dans l espace ss 175 1 1 1 Programmes d 1972 rrin meae r RE tt a tn OE en Os 175 1 1 2 Programmes de 1982 sus siasserrierser eereca ennesit ni d teste EARR es eds 175 1 1 3 Provrammes de FOSSES Din MN RER NE AE TRE Re Re RE RER LE 176 1 1 4 Programmes de T990 2h Re entre 177 1 1 5 Sy ANES EE nr min mer EEE E E AN E E EA 178 1 2 Dessin en g om trie plane sienne init 179 1 2 1 Programmes de T972 eysens net in Re Ml Me A Art tt rh t l rs 179 1 2 2 Programmes de 1982402 es ER CR Mer Mn Arena un nt 180 1 2 3 Programmes d 1985 ht ee A de re th rat lat 180 1 24 Programmes de 1990 sinusite entiers n etesitenr ndeeered nderdedn n dede fetes de d s dense da 181 1 2 5 SYTTA SE Rss a AN NA Le ARS ARE RER RE Le nf A A Re NE Re ns lt 181 1 3 Dessin en g om trie dans l espace seen 182 1 3 1 Programmes d 19725548 see ed fn nn a E ie tiens ste 182 1 3 2 Programmes de 1982 itisusseshunisuetetrnsntenr iniiai EEEE E E 183 1 3 3 Programmes d tO85 semble re E EE naa o E O E e ia aaa E anaE 183 1 3 4 Programmes de 1990 sssssesssssesesssssesesssstsersesststesessesttestsststtstsststtstsststtstsststtstssestetssestestsseseesesse 183 1 3 5 Sye SE raoe ERTE nr E T E A A AA E 184 1 4 Probl mes de construction en g om trie plane ss 186 1 5 Probl mes de construction en g om trie dans l espace
49. 41 E B Le probl me c est qu on sait pas o est la droite A On ne sait pas la position de son plan Ceci dit quand il aura son plan o coupe t il le plan BCD on sait pas l Il n a pas tort La premi re production elle est bien mais l id e g n rale est absente tandis que l il y a une id e mais on ne peut pas avec a positionner un point Celui l il a senti mais le passage au dessin il n a pas su faire On retrouve la m me r gle R gle Pcef c est dire une r ponse correcte un probl me de construction du type PCef utilisant une construction voqu e est rejet e De plus l enseignant E B explique que c est le passage au dessin qui n a pas t r ussi par l l ve Comme si une construction effective est en partie du c t du dessin et donc au niveau du proc d de trac ii Cas des exercices du type PCev Nous avons vu que l enseignant n a pas rejet les exercices 2 et 4 et qu il a propos des solutions utilisant des constructions voqu es alors que dans sa classe et dans l analyse des productions des l ves qu on lui a propos es il n autorise que des constructions effectives iii Rapports de l enseignant l objet de savoir construction dans l espace Nous avons montr que l enseignant E B a manifest deux rapports l objet probl me de construction dans l espace Un rapport qui correspond au rapport institutionnel cet objet de savoir dans l institution classe de seconde
50. 49 Quelle taille faut il choisir etc Pour la repr sentation du plan une question se pose sur le statut de l paisseur fig 85 Les raisons de ce choix sont li es l appr hension perceptive du dessin puisque l paisseur par l inclinaison de la normale et la repr sentation d un segment indiquant la cote des trois points d finissant le parall logramme donnent une id e sur la position du plan dans l espace k fig 85 Cependant on peut se demander si ce choix n induit pas une conception erron e du plan Pour cela nous pensons que d autres choix doivent tre pris en consid ration Par exemple la partie de l paisseur ne doit pas tre opaque comme le plan fig 86 mais transparente V z A A Y A fig 86 23 Sur ce point il est pr vu qu il y ait plus de primitives que dans la version actuelle Chapitre D1 289 290 si l utilisateur a la possibilit de modifier l paisseur comme c est le cas actuel nous pensons que cette modification ne doit pas d passer un certain seuil d finir fig 87 fig 87 Les solides retenus dans la version actuelle sont cylindre c ne et sph re Les objets cylindre et c ne sont des objets infinis Cette consid ration peut contribuer l tude de nouveaux probl mes Nous pensons en particulier l introduction des coniques comme intersection d un plan avec un c ne Sans Titre
51. E Ces probl mes ont t galement tudi s pendant la p riode 1 dans le cadre de l tude des poly dres Cette tude constitue une partie importante du programme de la g om trie de l espace En particulier l tude des prismes des pyramides et des poly dres semblables Les probl mes de sections planes au cours de la p riode 1 sont d terminer la nature d une section plane avec des solides comparer deux sections planes parall les Ces tudes permettent en particulier de d finir des solides ou des courbes partir des solides d tudier quelques grandeurs li es au solide comme le volume De plus la r solution de ces probl mes ne n cessite pas la mise en oeuvre de propri t s d incidence dans l espace comme dans le cas des probl mes de sections planes tudi s au cours de la p riode 3 et ils ne sont pas pr sent s comme des probl mes de construction Par ces remarques nous voulons souligner que les probl mes dits de sections planes ont rempli des fonctions diff rentes selon les poques L analyse des manuels des ditions 1990 faite dans le chapitre C1 montre que les probl mes de sections planes sont des probl mes de construction dont l objectif est la mise en oeuvre des propri t s d incidence de l espace La repr sentation de la section plane exige une ma trise des r gles de la repr sentation en perspective cavali re 1 6 Conclusion L analyse des diff rents programmes au cours de la p riode
52. El ments d pendant de la manipulation directe et des choix de repr sentation fig 65 L Seules les points mobiles peuvent tre d plac s cf Tableau 44 p 272 Pour les figures de base on peut leur faire subir des rotations axiales 11 cf Annexe D1 a le mode Voir Chapitre D1 275 276 Q2 a La repr sentation des parties cach es par des pointill s est elle g r e par l environnement informatique lors du d placement Cette question concerne seulement le cas des figures de base tant donn que c est le seul cas o le logiciel g re les parties cach es Par rapport au mode de d placement propos savoir des rotations les parties cach es sont g r es Consid rons une figure de base et une droite construite l aide des primitives par exemple partir de deux points mobiles En d pla ant la droite par l un des points mobiles les parties cach es sont g r es par l environnement Par exemple soient un cube ABCDEFGH de base deux points mobiles I et J et A la droite IJ En d pla ant l un des points I et J l environnement g re les parties cach es Cela permet d largir le domaine de fonctionnement et d interpr tation du dessin mais seulement lorsqu on travaille avec des objets de base fig 71 Q2 b Les propri t s g om triques sont elles conserv es par la manipulation directe Toutes les propri t s g om triques obtenues partir des primitives sont conserv es par l
53. Les primitives de GEOSPACE sssseseseneenensesneenensesennenensnrnnenrenreneenensneenses 280 232 Le logiciel NTERSEC sant ia a a e e a E A R dunes 281 2 4 Etude du manuel Imagiciel Seconde ss 282 DAS eu ia AAO T EAEE SAR EE E E RE M ner tienne 282 2 452 Partie exercices saints nest hein nee E Rene 284 2 3 GONCIUSION ru sr let ns lee tt nl nt M arte tels Pen disent s 285 35 LETO EIP CABRIS DES nr RE MM AR E Mn el nn Mt Rte nine 286 3 1 Pr sentation du prototype sense 286 3 2 Questions et SUggestions eee 288 4 N OONCLUSION Ss 88e 0 tn d re ee L RE ne RS SE tte Ni 291 CHAPITRE D 2 sston lasse fenmesedessne ones taoiseennensiecenetost anses ds esse sde css tete secte nie tes dote 294 RAPPORT A L OBJET PROBLEME DE CONSTRUCTION DANS L ESPACE DES ENSEIGNANTS AYANT UTILISE UN ENVIRONNEMENT INFORMATIQUE 294 1 CHOIX DU DISPOSITIF EXPERIMENTAL ins ennemies EEE E SAE 295 1 1 Partie 1 Productions papier crayon sense 295 1 2 Partie 2 Ouestionndire ssinssesmnennnenenemetn nn nn men tn en anne ste 298 1 3 Partie 3 Productions GEOESPACE sense 298 F3 Activit GO animal ni nr Re nn rh ns Ann nb 298 132 Active GO na nr a NS RER EN Re AR Na ne ns 299 133 Activit GEO nu un Mrs rie dr ne in ni dei de aa 300 1 4 EnSeIgNON Sr een etes nt nine ut een EERE E EE EE de 301 1 5 Analysed priori Musee sit a Mist rte Men ln Ps tn 301 1 51 Productionspapier crayon ssh inst Mines nn ne ce En so Sasse 301 1
54. Nous d veloppons ici les probl mes relatifs la repr sentation en perspective cavali re de la section d un solide par un plan Nous aurons besoin pour cela d introduire une technique de dessin fort utile en la mati re le trac hors solide 3 On voit dans cet extrait que la r solution de ces probl mes n cessite un travail sur le dessin Ensuite un exercice r solu montre la construction d une section plane dans le cas d un t tra dre et dans le cas d un solide 2 Pour notre analyse on se limitera au premier cas y a Enonc Tracer l intersection dans chaque cas du plan P PQR avec les faces des solides suivants a le t tra dre ABCD b Solution La solution est compos e de trois parties 28 Terracher Seconde 1994 et Terracher 1 S 1995 29 Dimath me 1 S 1991 30 D clic 1 S 1995 31 Terracher Seconde 1994 p 259 32 l exemple du cube sera d taill dans le paragraphe Terracher 1 S Chapitre C1 157 1 Le principe Il propose une id e g n rale pour la r solution de probl me D s que l on conna t deux points communs un plan et au plan contenant la face d un solide on conna t l intersection de ce plan et de la face du solide 33 2 Le trac hors solide Les droites PQ et BC sont dans le plan ABC Lorsqu elles sont s cantes il nous faut prolonger les trac s en dehors du t tra dre pour repr senter leur point d intersection M Noter que nous disposons
55. R gionnement de l espace p 3 106 Les justifications A et B sont de part et d autre du plan P Car AB traverse P et Si on prolonge P alors la droite est s cante sont des cons quences du r gionnement du plan au dessus au dessous 19 l ves sont concern s iii Les l ves ayant r pondu Non Nous analyserons ci dessous chacune des r ponses de ces trois l ves En prolongeant les cot s obliques du parall logramme l l ve A9 constate que le point B est l int rieur de la bande d finie par ces deux droites fig 34 Donc pour lui le point A est au dessus du plan et par le raisonnement ci dessus il conclut que B l est aussi et que par cons quent AB n est pas s cante avec le plan fig 34 El ve A9 r ponse Non Justification Non car si l on prolonge les ar tes droite et gauche elles encadrent B qui alors est sup rieur au plan Les points A et B ont t consid r s par l l ve A21 comme des points du plan P El ve A21 r ponse Non Justification Non car A et B appartiennent tous les deux au plan P L l ve B26 trace le segment AB fig 35 et conclut que la droite AB n est pas s cante avec le plan car il n y a pas de pointill s A fig 35 El ve B26 r ponse Non Chapitre B 107 Justification Non car si elle tait s cante on ne la verrait pas toute enti re iv Les l ves ayant r pondu on ne peut rien dire
56. R ponses des enseignants Pour chacun des enseignants nous pr senterons et analyserons les caract ristiques des productions attendues a Enseignant E A Des commentaires sur les trois productions il ressort des crit res que les productions d l ves doivent v rifier Avant que l enseignant commente les productions il a critiqu les dessins par rapport aux conventions de repr sentation d un dessin de l espace en perspective 1 10 E A D abord il y a quelque chose qui me g ne dans votre figure et je fais tr s attention a c est que c est illisible dans le sens o par exemple cette droite l 2 ne rencontre pas la droite BO Il faut absolument que l intersection ne soit pas une intersection moi je mettrais du blanc l EP a Ce sont les conventions qu on utilise pour montrer sur un dessin que 12 la droite KL 230 deux droites sont s cantes ou non Par exemple sur ce dessin il faut lire que les droites d et d ne sont pas s cantes puisque sur la repr sentation une partie de la droite d est en blanc Cette partie est le voisinage du point d intersection s ils taient s cantes De plus le fait de mettre un blanc sur une des droites implique une disposition relative dans l espace une partie d un objet est cach e par un autre objet On repr sente les parties cach es par des pointill s Par exemple sur ce dessin une partie de la droite d est en pointill s Il repr se
57. Robert 1995 1 pr sente la notion de configuration comme un synonyme de figure lorsque celle ci est d usage fr quent Parmi ces configurations certaines sont d sign es par configurations de bases dont le r le dans la r solution de probl me est soulign par A Robert 1995 p 26 De plus certaines configurations tr s fr quentes et ayant des propri t s remarquables sont quelquefois appel es configurations de base pour souligner l importance de les reconna tre dans des figures plus compliqu es les propri t s devant leur tre automatiquement associ es Dans le livre du professeur Terracher seconde 1994 p 90 l auteur pr cise le sens qu il accorde l expression configurations et leur importance dans la r solution de probl me 11 Il s agit d un ouvrage destin la pr paration du CAPES externe de math matiques Chapitre A Mais pr cisons le sens que nous accordons l expression configurations au moins dans ce chapitre 2 le mot on le sait est signification variable Ce sont des couples figure information Cet aspect nous para t capital L absence d une telle vision condamne d avance l utilisation des configurations dans la r solution de probl me qui reste l objectif majeur de ce chapitre Signalons que nous maintiendrons ce point de vue lorsque l information sera issue du domaine vectoriel ou de celui des transformations Le r le et la place de la notion
58. Tableau 31 2 4 1 Type I Repr sentations et trac s 15 exercices sur 138 sont propos s par les manuels Transmath et Terracher Le manuel Dimath me propose seulement titre d activit s pr paratoires des exercices du type 1 Cf 2 1 1 de ce chapitre 2 4 2 Type II Probl mes de construction 62 exercices sur 138 portant sur les probl mes de construction sont propos s par les trois manuels Ce qui montre que les probl mes de construction ont pris une place importante dans le corpus d exercices On peut remarquer qu ils sont plus importants dans le manuel Dimath me 38 exercices Seulement 3 exercices sont des probl mes de construction voqu e 47 exercices portent sur les solides On peut noter galement une mise en place du type d exercice PCef AS intersect de fa on importante 43 sur 62 2 4 3 Type III Probl mes d incidence sans construction 14 Cf Chapitre C1 p 196 Les probl mes d incidence sans construction sont en augmentation par rapport aux ditions de 1982 83 C est toujours le manuel Dimath me qui en propose le plus 38 sur 61 Nous l expliquons par le fait que les propri t s d incidence sont au programme de la classe de Premi re dans les textes de 1985 Cf Tableau 25 p 178 2 5 Editions 1991 Nous avons utilis les m mes manuels que ceux du programme de 1986 w f2 a jo fo 10 10 Total Tableau 32 Par rapport la r partition des exercices e
59. a Quels sont les types de probl mes de construction que l enseignant rejette ou accepte En particulier un probl me de construction voqu e peut il vivre dans l institution classe Si oui comment Si non pourquoi Chapitre C3 259 Tous les exercices du type probl me de construction effective ont t accept s En revanche les exercices du type probl mes de construction voqu e ont t rejet s Les enseignants ont rejet d abord les productions d l ves correspondant ces exercices tant donn qu elles ne r pondaient pas aux crit res de probl mes de construction effective Ces exercices taient consid r s par les enseignants comme des probl mes de construction effective auxquels ils n ont pas encore trouv la solution effective Une fois qu ils ont pris conscience que ces exercices ne peuvent tre r solus sans l utilisation de r gles d usage et donc d arbitraires au niveau du trac ils les ont rejet s Autrement dit ces enseignants n acceptent pas les probl mes de construction o l on utilise des r gles d usage au niveau du trac car les r ponses sont consid r es comme incompl tes Ceci vient confirmer notre hypoth se papier crayon Les probl mes de construction effective PCef et construction voqu e PCev ne peuvent pas coexister sur l environnement papier crayon puisque chacun d eux n cessite un contrat diff rent par rapport aux productions d l ves
60. alors de deux points communs aux plans P et BCD les points M et R le principe d gag en 1 va pouvoir fonctionner 3 Les constructions cette partie donne le programme de construction de la section plane Ensuite l auteur pr sente un encadr point m thode expliquant que ces constructions font appel deux points la technique du trac hors solide et l utilisation des relations d incidence et de parall lisme Ce point m thode sera repris dans le manuel de premi re mais plus d taill C est ce que nous proposons d analyser ii Terracher 1 S Comme en classe de Seconde un TP est consacr au th me Sections plane d un solide 34 Il propose deux th mes repr sentation en vraie grandeur et repr sentation en perspective cavali re Ensuite l auteur pr sente un point m thode que nous pr cisons ci dessous Point m thode3 33 Terracher Seconde 1994 p 259 34 Terracher 1 S 1991 pp 248 252 35 ibid p 251 158 Il porte sur trois points 1 L utilisation des propri t s d incidence Deux r gles d incidence d apparence banale sont constamment utilis es 1 Si deux points sont dans un plan la droite qui les d finit est dans ce plan 2 Le point d intersection de deux droites fait partie de l intersection de deux plans contenant chacun l une de ces droites 2 Le trac hors solide La r solution de notre exercice fait comprendre ce que nous entendons par cette expressi
61. au cours du questionnaire comme nous l avons dit plus haut a Exercice 2 Nous avons eu d autres justifications que celles attendues dans l analyse pr alable i Justifications obtenues J2a Non car d n est parall le aucune droite du plan J2b Non car d n est pas parall le la droite AC J2c Non car d est s cante avec une droite du plan J2d Non car d n est pas orthogonale au plan CDGH J2e Non car a se voit 94 J2f Oui car la droite n a aucun point commun avec le plan J2g On ne peut rien dire car on ne sait pas quel plan appartient la droite J2h On ne peut rien dire car il n y a pas de pointill s J21 On ne peut rien dire car il manque des informations ii R partition des justifications Non Oui rl n e e OR PS EE ki b hhe h Tableau 11 iii Analyse La cat gorie des r ponses autres correspond au cas o nous n avons pas pu mettre ces r ponses en relation avec nos diff rentes cat gories de justification essentiellement pour des raisons d incoh rence Seulement 6 l ves ont r pondu sans justification r ponses X a El ves ayant r pondu Non La majorit des r ponses sont conformes notre attente c est dire Non Parmi eux 21 l ves ont justifi avec des arguments relevant de l vidence perceptive El ve A29 R ponse Non Justification Non car si on prolonge la droite et le plan on voit qu ils sont s cants d
62. c demment cit s ont soulign plus particuli rement le r le du dessin dans la r solution des probl mes de g om trie plane le dessin contre exemple moyen d explorer la situation outil de conjecture etc Ces fonctions sont sp cifiques de la phase heuristique de la r solution de probl me Nous les d signerons sous l tiquette fonction d exp rimentation Nous proposons donc d expliciter cette fonction partir des travaux de recherche et des manuels Notons qu il y a une phase pr alable cette phase heuristique de la r solution du probl me o l l ve est invit faire ou refaire dans le cas o le dessin accompagne l nonc un dessin Le dessin a donc la fonction d illustration i A travers les manuels Certains manuels expliquent que la r solution du probl me commence par un dessin en accordant cette phase une importance pour la suite Nous examinons ce propos un extrait d un manuel de Seconde Transmath 1995 p 231 o l auteur introduit le chapitre de g om trie par une fiche de conseils pour la d monstration Il s agit de la premi re tape de la r solution d un probl me Chapitre A 35 Nous proposons un guide de r solution que nous exposons sur un exemple simple Dans un triangle ABC Bx est la bissectrice de l angle B M est le milieu de AB i La parall le BC men e par M coupe Bx en I D montrez que les droites AI et BI sont perpendiculaires
63. cadre th orique pour d finir le dessin comme objet physique ou comme mod le Ce cadre th orique nous permet d tudier l volution du statut du dessin dans l enseignement Dans notre travail nous nous limitons au dessin mod le d un objet g om trique Des travaux de recherche et de l analyse des manuels nous d gageons des fonctions du dessin dans les probl mes de g om trie plane Cette tude nous servira de r f rence pour le cas de la g om trie dans l espace Plus pr cis ment nous nous interrogeons sur les fonctions du dessin dans la r solution des probl mes de g om trie dans l espace Ce travail nous permet ensuite de d finir notre cadre de recherche 1 DESSIN FIGURE OBJET GEOMETRIQUE ET OBJET PHYSIQUE La distinction entre dessin figure et objet g om trique a t et continue tre au centre d tude de plusieurs travaux en didactique des math matiques Arsac 1989 p 86 propose une distinction entre dessin et figure en opposant le monde sensible et le monde g om trique Nous distinguerons dans la suite le dessin et la figure d signant par dessin le dessin concr tement trac sur une feuille de papier ou dans le sable pour Archim de et par figure l objet math matique dont le dessin n est qu une repr sentation Ainsi la figure est un l ment du monde math matique et non du monde sensible Dans le m me sens Parzysz 1989 r serve figure pour l objet g om trique et de
64. cas o le probl me pr sente une certaine complexit dans les hypoth ses ou lorsque dans l nonc comporte plusieurs hypoth ses Dans l exemple ci dessous l nonc pr sente une certaine complexit de formulation dans la d finition des points E et F les parall les AB et AC men es de D recoupent le cercle en E et F 7 7 Remarquons que le dessin permet galement de trasmettre implicitement que D est distinct de A 32 p Le cercle C a pour diam tre BC 4 et D sont deux points de C Les paral l les 4B et AC men es de D recoupent le cercle en E et F Quelle est la nature du quadrilat re BECF Ex2 p229 Terracher 2 1994 Cette fonction d pend essentiellement du domaine de fonctionnement du dessin Prise en charge des hypoth ses Une autre fonction du dessin est la prise en charge de certaines hypoth ses non explicit es dans l nonc Dans l exemple ci dessous les points D et E sont d finis uniquement sur le dessin o Avec la m diane La droite AI tant une m diane du triangle montrer que BD CE cf figure F Utiliser le r sul tat I en calculant les aires des triangles Co ABI et ACI avec E 41 comme base Expliquer pourquoi ce r sultat peut tre formul ainsi B et C sont quidistants de la m diane issue de A Ex1 p217 Terracher 2 1994 Nous pensons que la prise en charge d une hypoth se par le dessin sans que celle ci soit explici
65. cond PCev SS intersect SS TE PCef PE ATT PCef AS intersect AS intersect aoo PCef EEE Paet SS intersect SS intersect 7 7 o 7 lo b lo hk 2 adadda constr Total da7 b l jo jo fo 24 fo a4 194 Tableau 30 Nous avons relev 72 exercices pour les trois types d exercices L ensemble de ces exercices sont propos s uniquement en classe de seconde sauf 2 2 3 1 Type I Repr sentations et trac s Seul le manuel Hachette propose des exercices sur la repr sentation et le nombre d exercices est faible Etant donn qu il s agit des premi res ditions apr s la fin de le r forme des math matiques modernes la pratique de la repr sentation n est pas centrale Cf Tableau 27108F p 185 2 3 2 Type II Probl mes de construction Ils sont minoritaires un peu plus d un quart Pour l ensemble des manuels 19 exercices sur 72 sont des probl mes de construction dont 9 voqu es et 10 effectives Les exercices ne portent pas sur des solides sauf 1 De plus il y a autant de probl mes PC intersect que PC Obj cond Dimath me ne propose que 2 exercices PCev SS Obj cond Louquet propose 4 exercices PCev SS Obj cond les m mes propos s dans la pr c dente dition et 2 nouveaux du type PCef SS intersect pour ce dernier type Hachette en propose 7 2 3 3 Type III Probl mes d incidence sans construction 48 exercices sont propos s par les tro
66. confirmer ces contraintes et de rep rer ventuellement d autres contraintes et d autre part d tudier comment cette volution a eu lieu Ces deux analyses font l objet du chapitre C2 La connaissance de ces contraintes et l analyse compar e des vies de l objet probl me de construction dans l espace dans les manuels des p riodes 1 et 3 ont apport des l ments de r ponses la question 3 En fait cette tude nous a conduit formuler l hypoth se de recherche papier crayon Ces deux types de probl mes ne peuvent pas coexister dans l environnement papier crayon puisque chacun d eux n cessite un contrat diff rent par rapport aux productions d l ves C est du c t du contrat qu il faut chercher la validation de cette hypoth se en termes d attentes des enseignants par rapport aux productions d l ves relatives aux probl mes de construction voqu es et probl me de construction effectives Nous avons con u un dispositif exp rimental aupr s des enseignants dans lequel nous tenterons de faire vivre pour des enseignants les deux types de probl mes de construction effectives et voqu es Cela nous a permis de voir sous la contrainte du rapport personnel l objet de savoir probl me de construction dans l espace ce que l enseignant accepte rejette exige sur les probl mes et les r ponses attendues ces probl mes de construction effectives et voqu es En effet pour chacune des
67. construction voqu e est rejet e Justification le degr de justification d pend de l enseignant et du contexte dans lequel l l ve r sout l exercice devoir la maison devoir surveill module etc Examen de la question c Quel est le statut du dessin qui accompagne un nonc Nous avons mis en vidence une clause du contrat didactique que nous avons appel e r gle discussion Pour que l l ve n tudie pas les diff rents cas d existence l enseignant donne un dessin sur lequel les l ments pertinents pour la r solution sont repr sent s Ce chapitre nous a permis de confirmer l hypoth se de recherche papier crayon et de caract riser les attentes des enseignants par rapport aux productions d l ves relatives aux probl mes de construction en g om trie dans l espace Le dessin est exig par les enseignants dans les productions d l ves De plus la r alisation du trac est un moyen de v rifier le crit re effectif de la construction Ainsi la n gociation des l ments du contrat didactique se fait par des exigences au niveau du trac Nous proposons dans le chapitre D2 de reprendre ce dispositif exp rimental aupr s des enseignants ayant utilis un environnement informatique 21 De l enseignant Chapitre C3 261 262 PARTIE D 263 264 CHAPITRE D1 ENVIRONNEMENTS INFORMATIQUES POUR LA GEOMETRIE DANS L ESPACE Dans ce chapitre nous nous proposons d tudi
68. construction Mais les moyens qu il faut mettre en oeuvre pour sa r alisation ne sont pas explicit s Il existe donc des primitives de trac s dans le sens consid r ci dessous Un trac est une primitive lorsqu il n est pas n cessaire d expliciter les diff rentes tapes de sa r alisation il se fait donc en une seule tape Mais on suppose qu on a les moyens de justifier et de r aliser les diff rentes tapes du trac Chapitre C1 135 Le probl me du trac n est pas abord dans tous les manuels examin s de fa on explicite l exception de quelques ouvrages comme celui de Hadamard 2 En effet Hadamard 1920 p 74 aborde le probl me du trac en pr cisant les imperfections des instruments On r serve le nom de constructions g om triques aux constructions effectu es avec la r gle et le compas Ces constructions sont th oriquement d une exactitude absolue Dans la pratique elles sont effectivement tr s exactes mais offrent cependant comme toutes les autres des causes d erreurs telles que l paisseur du trait de crayon Chaque instrument r gle compas permettant le report de longueur et le trac de cercles querre et rapporteur est pr sent par rapport sa fonction et son utilisation dans la pratique Les constructions pr sent es dans la suite du cours sont des constructions g om triques l mentaires qui donnent l algorithme du construction et elles sont illustr es par un
69. d Synth se caract risation de la r solution des probl mes de construction dans l espace Dans ce paragraphe nous proposons une caract risation de la r solution des probl mes de construction dans l espace tudi s dans les manuels Tous les objets du probl me sont repr sent s selon les conventions et les repr sentations types de la perspective cavali re Ensuite tout autre objet ne peut tre d fini que s il respecte les r gles suivantes R1 Un point est construit s il est intersection de deux droites construites R2 Une droite est d finie donc construite si elle passe par deux points construits R3 Un plan ne peut tre d fini que par trois points construits ou un point construit et une droite construite ou deux droites construites coplanaires A cela il faut ajouter des constructions la r gle et au compas l gitim es par les r gles de la perspective cavali re parall lisme milieu rapport Dans la suite nous d signerons ces primitives de construction par PCespace point droite Notons que ces constructions sont effectives au sens d fini dans le paragraphe 1 2 2 p 142 de ce chapitre Il s agit de construction dont le proc d de trac se fait sans le b n fice des r gles d usage Dans ce cas les probl mes tudi s sont des probl mes de construction effective PCef La r solution de ces probl mes peut tre caract ris e par l un des sch mas suivant i Intersection de deux plans
70. d un questionnaire et d interview Lorsque nous avons propos des exercices non accompagn s de r ponses d l ves les enseignants ont manifest des rapports aux probl mes de construction diff rents du rapport institutionnel ces probl mes dans l enseignement actuel En revanche dans la partie exercices avec production d l ves ils avaient des rapports aux probl mes de construction conformes au rapport institutionnel Ainsi face des exercices seuls un enseignant peut utiliser une r gle d usage pour la r solution d un probl me de construction alors qu il rejetterait une r ponse d l ve utilisant cette r gle d usage Nous avons constat que pour la r solution des probl mes de construction voqu e les enseignants proposaient des solutions utilisant la r gle d usage RU P D et non la r gle d usage RU P P Nous avons alors avanc une hypoth se qui reste v rifier Dans les probl mes de construction voqu e l utilisation de la r gle d usage RU P D est plus mobilis e que la r gle RU P P Notre hypoth se se base sur le fait que les conventions de repr sentation nous donnent plus d l ments de contr le dans le cas de l intersection d un plan et d une droite que dans le cas de deux plans Parmi les attentes de l enseignant par rapport aux productions d l ves pour les probl mes de construction dans l espace nous avons mis en vidence une r gle Construction voqu e PCef Une
71. dans la phase heuristique de la r solution Or ces travaux concernent essentiellement le cas de la g om trie plane chapitre A 5 1 Il nous a paru important de nous poser les m mes questions pour la g om trie dans l espace moins tudi e dont on sait pourtant les difficult s d enseignement et d apprentissage gr ce aux quelques travaux trop peu nombreux sur le th me Nous avons montr qu a priori la fonction d exp rimentation du dessin papier crayon en g om trie dans l espace ne peut tre remplie au m me titre que dans le plan chapitre A 6 Cette conclusion repose en partie sur les r sultats du chapitre B propos de la lecture d un dessin De l deux directions de recherche ont t adopt es La premi re a consist s interroger sur les fonctions du dessin papier crayon dans les probl mes de g om trie dans l espace Partie C La deuxi me a consist tudier le r le que peuvent jouer les environnements informatiques quant aux fonctions du dessin mod le d un objet g om trique dans l espace Partie D Pour cela trois tudes ont t men es lecture d un dessin de l espace chapitre B cologie des probl mes de construction dans l environnement papier crayon chapitres C1 et C2 et dans l environnement informatique chapitre D1 rapports des enseignants aux probl mes de construction dans les environnements papier crayon chapitre C3 et informatique chapitre D2 Lecture d un de
72. de ces messages est susceptible d largir le champ d interpr tation du dessin ei Q3 Quels les types de messages relatifs au contenu envoy s par l environnement 2 ETUDE D UN LOGICIEL GEOESPACE Ce logiciel a t d velopp par le CREEM groupe d enseignant travaillant au sein du CNAM dans le cadre des actions d innovation pilot es par la Direction des Lyc e et Coll ges Ainsi de 1990 1992 une large publicit et diffusion a t faite par le minist re d un ensemble Aactivit s math matiques avec Imagiciels pour les classes du lyc e Deux logiciels GEOPLAN pour la g om trie plane et GEOESPACE pour la g om trie dans l espace ont t d velopp s par le CREEM pour cr er ces Imagiciels 2 Centre de Recherches et d Exp rimentation pour l Enseignement des Math matiques du CNAM CREEM CNAM 292 rue Saint Martin F 75141 Paris Cedex 03 3 Conservatoire National des Arts et M tiers De plus un ouvrage a t dit par le CREEM pour la classe de seconde conforme au programme en vigueur de la rentr e 90 Ces l ments nous ont amen choisir le logiciel GEOESPACE pour notre tude 2 1 Pr sentation du logiciel Ce logiciel permet la construction de figures de l espace constitu es de points de segments et de droites Il en montre des repr sentations en perspective Il donne en outre la possibilit d observer des lieux g om triques Le logiciel propos
73. de configuration dans les manuels montrent l int r t port par les auteurs au r le du dessin dans la phase heuristique des probl mes de g om trie plane C est ce que nous proposons d examiner dans ce qui suit partir du manuel Terracher Seconde 1994 Dans ce manuel Terracher Seconde 1994 p 216 l auteur pr cise le r le de la notion de configuration dans la r solution de probl me Initier ou approfondir l emploi de l outil configurations dans la r solution de probl mes de g om trie Il s agit de la d marche qui consiste dans une situation donn e reconna tre une configuration de base pour mobiliser en vue de la solution les r sultats qui lui sont associ s cet aspect des affaires est pris en charge dans les Travaux Pratiques et bien s r dans les exercices Dans la partie Travaux Pratiques cet auteur pr sente des activit s sur le th me l exploration des types de probl mes de g om trie pour lesquels l outil de configuration reste efficace Terracher 2 p 228 Des exercices sont r solus par l auteur d gageant la partie o la figure joue le r le d un outil heuristique et la partie pr sentant la solution du probl me Ces exercices montrent respectivement que le dessin permet de conjecturer et ceci par une lecture des relations spatiales sur le dessin la construction point par point pour les lieux g om triques etc comment peut tre d gag e du dessin
74. de l enseignement actuel C est ce que nous avons nomm R2 C est selon ce rapport qu il a analys les productions d l ves EP a EP b et EP c et les exercices du type PCef Le deuxi me rapport n est pas en conformit avec le rapport institutionnel R2 C est selon ce rapport qu il a r solu les exercices qui ne vivent plus dans l enseignement actuel c est dire les exercices du type PCev 240 2 5 Conclusion Nous avons essay de caract riser les attentes de deux enseignants par rapport aux productions d l ves relatives aux probl mes de construction dans l espace Au cours de la premi re tape ces deux enseignants manifestaient des rapports aux probl mes de construction diff rents du rapport institutionnel ces probl mes dans l enseignement actuel En revanche dans la deuxi me tape ils avaient des rapports aux probl mes de construction conformes au rapport institutionnel R215 Or ce qui diff rencie ces deux tapes est la variable l ve En effet dans la premi re ils devaient commenter des exercices sans production d l ves alors que dans la deuxi me ces exercices sont accompagn s des productions d l ves Autrement dit dans la premi re tape les enseignants manifestaient des rapports personnels l objet probl mes de construction dans l espace qui ne sont pas en conformit avec le rapport institutionnel l objet probl me de construction dans l espace R2 Nous l expliquons par le fai
75. de l interview Pour le d tail du d roulement on renvoie la description de la s ance relative chaque enseignant La premi re tape nous permettra d apporter des l ments de r ponse la question 1 et la deuxi me tape pour les questions 2 et 3 2 3 2 Choix et Analyse des exercices L analyse des manuels a mis en vidence des caract ristiques d nonc s des probl mes de construction dans l espace qui ont vari suivant les poques Nous utiliserons ces caract ristiques comme des variables pour le choix des exercices a Choix des exercices Le choix des exercices tait fait selon quatre variables V1 V2 V3 et V4 1 Partie I du questionnaire Phase 1 Cf Annexe B3 c 210 V1 Type de probl me probl me de construction effective PCef ou probl me de construction voqu e PCev Hypoth se V1 Un probl me de construction voqu e doit tre rejet V2 Objets interm diaires cette variable peut concerner les probl mes de construction effective et voqu e Dans le cas des probl mes de construction effective elle est li e la complexit de la r solution du probl me par rapport au trac Cette dimension est absente dans les probl mes de construction voqu e Nous consid rons donc cette variable uniquement par rapport aux probl mes de construction effective Nous distinguons les cas suivants Sans objets interm diaires SOI la solution du probl me ne fait intervenir aucun
76. des exercices n tait pas le m me pour tous les enseignants Nous examinerons donc El et E2 d une part et E3 d autre part a Enseignants El et E2 Ils ont eu l ordre EP IVa puis EP IV 1 Cas de EP IVa Pour suivre la solution l enseignant E1 commence par faire le dessin 42 El Moi il faut que je fasse la figure pour comprendre Il dessine les donn es du probl me avec le point I l int rieur du parall logramme les pointill s pour les parties cach es selon les conventions de repr sentation Ensuite l enseignant E1 pose le probl me du point J 19 Cf Chapitre C1 p 163 254 44 El Oui le point J il le dessine comment 45 E2 Au pif El propose alors la d marche qu il fallait suivre comme si c tait un probl me de construction effective donc selon l un des sch mas caract risant les probl mes de construction effective Chapitre C1 p 163 46 E1 Il fallait qu il trouve l intersection du plan A d avec le plan P il n a pas fait c est pour a qu il n y a pas de figure Nous leur avons demand si c est la production qu ils rejettent 47 Obs Donc c est une production que vous rejetez 48 E2 La construction n est pas faite 49 Obs S il avait produit un dessin 50 El Non m me pas de toute fa on ce point l le point J il n explique pas comment on peut l obtenir 51 E2 Comment on va le placer sur le dessin 52 El Le dessin peut bien tre fait au pif com
77. descriptive Nous avons montr dans les paragraphes pr c dents que les manuels indiquaient que le dessin tait insuffisant pour le trac dans des probl mes de construction Et pour tout ce qui concerne la dimension du trac les auteurs renvoient la g om trie descriptive D ailleurs l enseignement de la g om trie descriptive est justifi par l insuffisance de l apport du dessin en g om trie dans l espace comme le montre l extrait suivant La g om trie descriptive a pour objet de rem dier cette insuffisance du dessin ordinaire elle utilise pour repr senter une figure de l espace sa projection sur un plan horizontal ou bien ses projections sur deux plans dont l un est vertical et l autre est horizontal G om trie classe de premi re classique C et premi re moderne par A Beno t Vuibert 1946 p 155 Dans l extrait ci dessous les auteurs montrent d abord l insuffisance du dessin repr sentation d un objet de l espace en perspective par rapport des fonctions du dessin en g om trie plane comme prendre des mesures ou r aliser des constructions Objet de la g om trie descriptive Toute figure plane peut tre repr sent e sur une feuille de papier dessin par une figure gale ou par une figure semblable construite une chelle donn e On peut alors effectuer sur le dessin obtenu les mesures et les constructions g om triques relatives la figure donn e Il n en est pas ainsi po
78. diff rents cas puisque le dessin est donn la r solution ne devrait pas poser de difficult en comparaison avec le cas de Cabri En effet dans l environnement Cabri il faut envisager les diff rents cas puisque la construction doit r sister aux d placements E JC Je pense que c est ce qu il fera un l ve de Premi re bien entra n Sur ordinateur je ne sais pas s il le fera plus facilement comme sur une feuille Sur une feuille comme a quand le dessin est fait il n y a pas de difficult s de construction et a change tout dans un probl me L inconv nient de ce type de figure par rapport l ordinateur c est qu ils n ont pas la notion de variable Donc a c est modeste par rapport une activit o il faut d placer les points et envisager tous les cas de figures c est une activit diff rente Donc a c est l avantage du logiciel par rapport ce type d exercices b Exercice production EP c Pour l enseignant la r solution est incompl te car elle ne donne pas les moyens de la r alisation effective Il voque le probl me de visualisation du plan contenant la 15 rappelons qu une des remarques faite par l enseignant la production GEO 2 c est que l l ve n a pas utilis la primitive intersection d une droite avec un plan cf Activit GEO 2 p 315 Chapitre D2 317 318 droite IJ en pr cisant que la droite A doit tre construite partir de deux plans BCD et l autre il faut bien
79. droite AC et qu elle est s cante avec une droite du plan Par exemple El ve A19 R ponse Non Justification Si on prolonge CH elle coupera d Mais si on prolonge AE elle ne coupera pas d Ainsi d n est pas parall le AECH car elle coupe CH qui appartient au plan AECH Pour que d soit AECH il faudrait qu elle soit AC Or dans un dessin en perspective les parall les sont toujours respect es et ici on voit que d n est pas parall le AC Ou encore El ve B19 R ponse Non Justification Car la droite d va couper CH d devrait tre parall le AC Or toute parall le la droite AC est s cante avec CH donc que faut il en d duire dans le cas o d est parall le AC b El ves ayant r pondu Oui Un seul l ve a r pondu oui El ve A 23 R ponse Oui Justification Une droite est parall le un plan si elle n a aucun point commun avec ce plan 18 cf Position relative de deux droites p 76 19 Conjecture 5 cf Position relative de deux droites p 76 96 On peut interpr ter cette justification par le fait que si le segment est l ext rieur du polygone repr sentant le plan alors il n y a pas d intersection entre la droite et le plan et donc ils sont parall les Seulement pour cet l ve le plan n est pas limit au polygone le repr sentant En effet il a r pondu oui pour les exercices 4 9 et 11 en justifiant par le fait que l
80. effet dans la conclusion des commentaires de l enseignant E B de la phase 1 nous avons avanc une hypoth se selon laquelle l utilisation de la r gle d usage RU P D est plus mobilis e que la r gle RU P P dans les probl mes de construction voqu e Pour cette raison l ordre des exercices ne sera le m me pour tous les enseignants 3 1 2 Trac Nous voulons savoir si la production d un dessin est n cessaire dans les r ponses d l ves R gle trac dans la production Dans les probl mes de construction l l ve doit produire un trac que l nonc soit accompagn ou non d un dessin Pour les probl mes de construction voqu e nous avons choisi des exercices sans dessin et les productions associ es sans trac s Nous avons fait ce choix en raison d arbitraires au niveau des trac s Cela ne change rien pour la mise l preuve de la r gle trac dans la production tant donn que c est l absence du trac qui sera contest e En revanche pour les probl mes de construction effective nous avons choisi des productions avec ou sans trac et des exercices avec ou sans dessin 3 1 3 R gle discussion Nous cherchons tudier la validit de la r gle suivante R gle discussion Pour que l l ve n tudie pas les diff rents cas d existence l enseignant donne un dessin sur lequel les l ments pertinents pour la r solution sont repr sent s Certes cette r gle a t tudi e lors
81. enseignement de la g om trie vis s par la r forme de 1981 1982 Cette derni re constitue une rupture avec la pr c dente en prenant en compte certains travaux des groupes des IREM Depuis quelques ann es on a vu clore et se d velopper notamment au sein des IREM des groupes de recherche en didactique de math matiques en pist mologie et sur l enseignement de la g om trie La prise en compte de leur travaux a d abord conduit une explicitation des objectifs importants attendus d un enseignement de la g om trie ces travaux ont galement montr que cet enseignement pour tre efficace doit se fonder sur une strat gie de la connaissance s appuyant sur les probl mes et les concepts et non sur une strat gie de l galisation de cette connaissance ax e sur l nonc des th ories J Marion 1983 p 25 Comme pour la p riode 1 nous proposons d analyser la vie des probl mes de construction en g om trie plane et dans l espace dans les moments o le rapport institutionnel est relativement stable Or cette p riode a connu quatre programmes en 14 ans Ainsi nous pensons que de 1982 19872 le rapport institutionnel a de forte chances d voluer et il se peut qu il y ait un d calage entre les directives du programme et la vie des objets dans les manuels comme nous l avons expliqu dans la probl matique chapitre A 6 1 1 p 56 Pour ces raisons nous proposons d analyser les manuels des ditions entre 1990 e
82. es en s aidant de traits particuliers ou mieux de crayons couleurs Il s agit uniquement d une figure d tude sur laquelle on va s efforcer de voir comment les l ments inconnus se rattachent aux l ments connus ou se d duisent de ceux ci A ce propos examinons un exemple donn dans ce manuel p 58 132 52 Premier exemple CONSTRUIRE UN TRIANGLE RECTANGLE CONNAISSANT UN ANGLE AIGU ET LA SOMME DES DEUX C T S DE L ANGLE DROIT Soit fig 69 un triangle rectangle p ABC dans lequel par hypoth se on conna t l angle aigu et la somme des longueurs des c t s AB et AC Remarquons que pour l instant on ne conna t pas le triangle Mais on le dessine comme figure d tude de N fa on pr cis ment analyser les pro C pri t s de la figure dans laquelle on suppose a priori r alis es les condi Fig 69 tions de l nonc L id e la plus naturelle est videmment de mettre en vidence la somme donn e des c t s de langle droit fig 70 Pour cela il suffit de B prolonger AC au del de A d une longueur AD AB On ne peut pas cet instant surtout si l on a pris soin d indiquer D par des coches identiques A l galit de AD et AB Fig 70 ne pas tre frapp par le fait que le triangle ADB est un triangle la fois rectangle et isoc le Allant jusqu au fond de cette constatation on doit conclure que les angles la base tant gaux chacun d eux vaut 20
83. essentiellement dans la r alisation effective la r gle et au compas Nous pensons alors que les exigences par rapport aux productions d l ves pour ces deux types de probl mes ne sont pas les m mes Cela nous ram ne l hypoth se de recherche Hypoth se de recherche papier crayon Ces deux types de probl mes ne peuvent pas coexister dans l environnement papier crayon puisque chacun d eux n cessite un contrat diff rent par rapport aux productions d l ves C est du c t du contrat qu il faut chercher la validation de cette hypoth se en termes d attentes des enseignants par rapport aux productions d l ves relatives aux probl mes PCev et PCef Ceci fera l objet du chapitre C3 4 CONCLUSION D apr s ce qui pr c de il nous est possible de comparer les probl mes de construction entre les p riodes 1 et 3 par rapport aux caract ristiques suivantes d marche de r solution preuve de constructibilit algorithme de construction et proc d de trac C est ce que nous proposons de faire dans la suite Nous avons r sum dans le Tableau 23 les caract ristiques des probl mes de construction en g om trie plane et en g om trie dans l espace pour la p riode 1 De m me et dans le Tableau 24 les caract ristiques pour la p riode 3 Dans ces tableaux nous avons pr cis les fonctions du dessin dans les probl mes de construction G om trie dans l espace D marche Analyse Synth se Analyse
84. est a c Crit re C3 Discuter les diff rents cas si le dessin n est pas donn Au niveau de la production EP b l enseignant constate que l tude des diff rents cas n a pas t faite et que lui m me l a oubli 38 E B C est toujours la m me chose il faut donner Ah il y a un probl me de parall lisme qui intervient l D avoir deux points sur la face tels que la droite qui se trouve parall le au plan BCD Je l avait compl tement escamot aussi puisque j ai fait tout de suite le bon dessin Lui il a fait comme moi J ai fait une faute j ai escamot un probl me de discussion Ceci confirme le crit re discussion bien que l enseignant E B ne l ait pas explicit comme c tait le cas de l enseignant E A Chapitre C3 235 2 4 3 Rapport des deux enseignants l objet probl mes de construction dans l espace Dans ce paragraphe nous essaierons de caract riser ce qu est un probl me de construction pour les deux enseignants E A et E B Pour cela nous analyserons leurs r actions par rapport aux variables type de probl me et type de construction utilis dans la production Dans le tableau ci dessous nous rappelons des r sultats pr sent s ant rieurement que nous utiliserons dans ce paragraphe E A E B Exercices PCev Non Oui car la d marche de r solution est il propose des constructions analyse synth se voqu es Analyse selon les crit res C1 C2 Analyse selon les c
85. est accompagn d un dessin mais l l ve n a pas r alis de trac sur ce dessin L absence de trac n a pas t contest e par les enseignants tant donn qu ils ont valu que l l ve n a donn que la m thode sans la construction 33 E1 Il dit comment il faut faire mais il ne l a fait pas 21 E3 Le seul probl me c est qu il n a pas pu construire le plan P En revanche pour EP IV et EP IVa les enseignants ont commenc par contester l absence du dessin avant l analyse des r ponses 37 Obs On va passer l exercice IV 38 E2 Pas de figure 39 El Rien 40 Obs Non 41 Ils lisent la solution 42 El Moi il faut que je fasse la figure pour comprendre Remarquons que l enseignant El a besoin d un dessin pour comprendre la solution de l l ve On retrouve la fonction du dessin de repr sentation et d illustration L enseignant E3 estime que s il n y a pas de dessin alors le but n est pas atteint 29 E3 C est bizarre qu il ne fasse pas de dessin 30 Obs C est possible qu il en ait fait sur son brouillon 31 E3 Ah d accord 32 E3 Ici c est construire le but n est pas atteint 33 E3 lit la production 34 E3 Donc l le probl me c est d abord il n a pas fait la construction on ne la voit pas il n a r pondu la question pos e 252 Ceci montre que l absence du dessin dans la production est contest e par les enseignants En fait l l v
86. est qu elle ne facilite pas la visualisation des objets de l espace En effet les objets ne deviennent visibles qu partir du moment o on sait comment les d coder Et ce d codage est une t che difficile pour les l ves 1 3 Conclusion De 1923 1969 la premi re p riode examin e les probl mes de construction en g om trie plane et en g om trie dans l espace sont pr sents dans les parties cours et exercices des manuels En g om trie plane les manuels consacrent une part importante aux probl mes de construction Ceci nous a permis d analyser les fonctions du dessin dans la r solution de probl me 18 G Monge 1820 p XV 146 La d marche de r solution des probl mes de construction pr sent e dans ces manuels est une d marche par analyse synth se Dans la partie analyse la figure au sens de dessin est pr sent e comme objet d tude conduisant la r solution des probl mes de construction Il s agit de la fonction d exp rimentation du dessin mod le d un objet g om trique du plan Dans la partie synth se nous retrouvons la composante algorithme de construction avec une justification donc une preuve de constructibilit Les algorithmes de construction reposent sur des primitives de construction que certains manuels appellent constructions fondamentales Un dessin est repr sent dans les solutions sur lequel sont trac es des tapes interm diaires de la construction Les aspects
87. et d coupent cette droite en 2 points diff rents 27 Nous verrons dans la suite que c est le type d exercices qu on trouve dans les manuels de l enseignement actuels et que plus pr cis ment pour ces exercices il est possible de r pondre en r alisant des trac s sur le dessin Chapitre B 111 Les trois l ves ont r alis les trac s n cessaires c Les justifications utilis es pour les r ponses on ne peut rien dire JR1 Il manque des informations Trois l ves ont distingu de fa on explicite la diff rence entre ce qu on peut voir sur le dessin et ce qu il en est dans l espace comme le cas de l l ve B18 El ve B18 On ne peut rien dire Justification Sur le dessin les deux droites sont s cantes mais dans l espace cela d pend des fois Donc je pense qu il faudrait avoir plus de pr cision Certains ont explicit la nature d informations manquantes Nous avons mis dans cette cat gorie toutes les justifications indiquant des manques d indications qui ne rel vent pas des propri t s g om triques d incidence Les types d informations manquantes ne sont pas de m me nature pour les exercices 6 et 7 En effet pour l exercices 6 on peut relever il faut voir si d et d ont la m me pente on ne sait pas si elles sont la m me hauteur dans leurs plans respectifs Alors que pour l exercice 7 on peut noter il faut voir s il existe un espace entre d et d on mn ne sait pas si d et d so
88. exercice est extrait de Math matiques avec Images logicielles Seconde CREEM 1991 exercice 33 p 250 214 fig 60 D apr s l hypoth se VI cet exercice de construction voqu e doit tre rejet Dans le cas contraire on demandera le type de solution attendue Exercice 5 Soit ABCD un t tra dre I est un point de la face ADC J est un point de la face ABC Construire l intersection de la droite IJ et du plan BCD Extrait de Dimath me 2 1987 exercice 20 p 26 N N Y N J Sy r N B s I gt S pa D fig 61 Nous pensons que cet exercice sera consid r par les enseignants comme exercice conforme leurs pratiques 2 3 3 Choix des productions d l ves et analyse a priori Nous avons con u et r dig trois productions que nous avons pr sent es aux enseignants comme des productions d l ves une production EP a relative l exercice 3 et deux productions EP b et EP c relatives l exercice 5 Nous avons choisi ces deux 9 Cf annexe Productions d l ves Chapitre C3 215 exercices de sorte que les exercices productions ne soient pas rejet s en raison de l exercice En effet les deux exercices sont des probl mes de construction effective qui concernent des solides usuels une pyramide et un t tra dre et dont la t che est la construction d une intersection de deux objets de l espace D apr s l analyse des manuels cf chapitre C2 ces exercices sont conformes aux pra
89. ext rieur du parall logramme alors on ne peut pas placer ce point J E CF Il faut que je fasse attention l ann e prochaine Ainsi le probl me se pose en termes de moyens de contr le dont dispose un enseignant sur les productions d l ves dans des environnements informatiques En effet cet enseignant n a pas valid la construction par d placement Autrement dit il a analys la situation partir du dessin ei et de l historique Ainsi la construction doit r pondre au crit re suivant chaque objet de l algorithme doit tre construit l aide des primitives g om triques disponibles dans le menu En particulier pour la production GEO il fallait utiliser la primitive g om trique intersection d une droite avec un plan pour construire le point J c Activit GEO 3 Chapitre D2 315 316 Le premier moyen de validation utilis par l enseignant est le recours aux primitives g om triques Pour v rifier que la droite trac e est s cante avec les droites D et D l enseignant demande les intersections respectives de la droite avec D et D D ailleurs il pense que c est un moyen qui peut tre utilis par les l ves E CF l l ve peut v rifier en demandant l intersection de deux droites que les droites sont s cantes Quant l int r t de l exercice il le consid re comme int ressant puisqu il met en oeuvre un bon raisonnement Quant au dessin ei il ne rend pas visible l algorithme de co
90. fonctionnement plus important et des moyens pour disqualifier les interpr tations illicites Cela nous a conduit chapitre A p 40 mettre une hypoth se de travail dessin environnement informatique pour le cas de la g om trie plane Sous certains crit res l environnement informatique peut largir le champ d exp rimentation du dessin mod le d un objet g om trique plan Nous proposons d examiner dans ce chapitre si l environnement informatique peut largir le champ d exp rimentation du dessin dans le cas de la g om trie dans l espace Chapitre D1 265 De plus nous tudierons dans quelle mesure les probl mes de construction effective et voqu e peuvent coexister dans des environnements informatiques r pondant certains crit res 1 PROBLEMATIQUE DU DESSIN DANS UN ENVIRONNEMENT INFORMATIQUE Pour tout environnement informatique d apprentissage les concepteurs sont amen s faire des choix au niveau de l interface et par l au niveau de l univers interne Ces choix peuvent devenir des contraintes sp cifiques l environnement informatique contraintes de l interface et contraintes de contenu Les objets de savoir vont donc vivre dans un environnement informatique non seulement sous les contraintes de la transposition didactique mais aussi sous d autres contraintes sp cifiques l environnement informatique notion introduite par Balacheff 1994a p 364 Aux contraintes de la transpos
91. ici d n est pas continu e alors on ne peut rien dire si elle est s cante ou parall le Justifications J3f Les l ves ont justifi par le fait que tous les cas peuvent se pr senter et qu on ne peut rien d duire Justifications J3g Nous pensons que l apparition de cette justification est due au fait que la droite d est presque parall le un c t du parall logramme iii Les l ves ayant r pondu Oui Justifications J3a Cette justification renvoie la r gle d interpr tation droite sec plan Justifications J3b Cette justification utilise d une part un r sultat g om trique une droite est soit parall le un plan soit elle est s cante ce plan D autre part la justification que d n est pas parall le P utilise la r gle d interpr tation droite plan 4 iv Les l ves ayant r pondu Non Les 4 l ves ayant r pondu non ont justifi leur r ponses par l absence de pointill b Exercice 5 i Justifications utilis es JSa Oui car A et B sont de part et d autre du plan P JSb Oui car AB n est pas parall le P 23 parall le ou incluse 24 Conjecture 2 Chapitre B 105 J5c Oui car AB traverse P JSd Oui car si on prolonge P alors la droite est s cante J5e oui car on le voit JSf On ne peut rien dire car il manque des renseignements J5g On ne peut rien dire car la droite AB peut tre s cante ou parall le P J5h
92. ils n cessitent L enseignant E B a consid r les deux exercices 2 et 4 comme des exercices de classe de seconde Or nous n avons relev aucune trace de ce type de probl me PCev dans son cours Remarquons que les deux solutions propos es par l enseignant E B pour les exercices 2 et 4 utilisent la r gle d usage RU P D Alors que pour ces deux exercices il existe des solutions utilisant la r gle d usage RU P P L utilisation de la r gle RU P D pour les deux exercices est elle une co ncidence A ce propos nous avan ons l hypoth se suivante Dans les probl mes de construction voqu e l utilisation de la r gle d usage RU P D est plus mobilis e que la r gle RU P P Notre hypoth se se base sur le fait que les conventions de repr sentation nous donnent plus d l ments de contr le dans le cas de l intersection d un plan et d une droite que dans le cas de deux plans Cette hypoth se reste v rifier Nous reprendrons l examen de cette hypoth se V1 dans la phase 2 2 4 2 Commentaires des deux enseignants relatifs des productions d l ves 10 Cf Chapitre C3 2 1 p 208 228 L objet de ce paragraphe est l analyse des entretiens avec les enseignants E A et E B propos des exercices productions Dans le tableau ci dessous nous rappelons les caract ristiques des nonc s et des productions associ es Frs pre Discussion TN Ne SR se Tableau 39 Caract ristiques des exercices prod
93. importance de la r solution de probl mes que le programme pr c dent L institution peut estimer que des objectifs du programme pr c dent sont remplis Dans ce cas le nouveau programme mettra moins l accent sur ces objectifs que le pr c dent voire les supprimera ce cas concerne essentiellement des objectifs de 29 et dans les classes 60 transition Par exemple le programme de 1982 met plus l accent sur le fait qu il faut lutter contre le formalisme que celui de 1987 Des nouveaux objets vont appara tre et d autres vont dispara tre La liste des nouveaux objets et des objets condamn s dispara tre ne doit pas tre importante pour que les perturbations ne provoquent pas de rupture entre les tats Evolution du rapport institutionnel de I un objet O Ceci se fait par l explicitation des nouvelles exigences quant la vie de cet objet Modification des interrelations entre des objets des interrelations entre des objets vont s tablir cesser d exister ou changer Nous r sumons l ensemble des tats du syst me entre 1923 nos jours dans le sch ma ci dessous E9 E8 E7 E6 E5 e E3 E2 El 1923 1945 1960 1969 1973 1982 19871990 1994 1996 temps fig 11 6 1 2 Dynamique de la recherche Dans ce paragraphe nous rendons compte de la dynamique de la recherche pendant son d veloppement En effet l tude des questions initiales nous a conduit de nouvelles questions et hypoth ses Pour l
94. informatique Note sur un nouveau probl me pour la didactique In Artigue M Gras R Laborde C Tavignot P eds Vingt ans de didactique des math matiques en France pp 364 370 Grenoble La Pens e Sauvage BALACHEFF N 1994b Didactique et intelligence artificielle Recherches en didactiques des math matiques 14 1 2 9 42 BAULAC Y BELLEMAIN F LABORDE J M 1988 Cabri G om tre un logiciel d aide l enseignement de la g om trie logiciel et manuel d utilisation version 1 0 Macintosh de Apple Paris Nathan Logiciels BELLEMAIN F 1992 Conception r alisation et exp rimentation d un logiciel d aide l enseignement de la g om trie Cabri g om tre Th se Grenoble Universit Joseph Fourier BELLEMAIN F CAPPONI B 1992 Sp cificit de l organisation d une s quence d enseignement lors de l utilisation de l ordinateur Educational Studies in Mathematics 23 1 59 97 BELLEMAIN F LABORDE J M 1994 Cabri g om tre IL version 1 0 MS DOS et Macintosh Texas Instruments Dallas BESSOT D 1983 Probl mes de repr sentation de l espace Bulletin inter lrem Enseignement de la g om trie 23 33 39 BKOUCHE R SOUFFLET M 1983 Axiomatique formalisme th orie Bulletin Inter lrem Enseignement de la g om trie 23 3 24 BESSOT A DEPREZ S EBERHARD M GOMAS B 1993 Une approche didactique de la lecture de graphismes techniques en formation professionnelle de base aux m tiers du b ti
95. informatique de la g om trie plane et ou dans l espace Ce travail nous permis de voir si le rapport de ces enseignant aux probl mes de construction change ou non Chapitre D2 6 2 Organigramme de la th se Nous proposons ci dessous l encha nements des chapitres et l objet d tude de chacun d eux 64 CHAPITRE A Probl matique CHAPITRE B Lecture d un dessin PARTIE C Probl mes de construction dans l environnement papier crayon PARTIE D Probl mes de construction dans l environnement informatique Chapitre A Fonctions du dessin dans le plan Fonctions du dessin dans l espace Questions et hypoth ses Mise l preuve de l hypoth se Convention Mise l preuve de l hypoth se de recherche fonctions du dessin comme contraintes Chapitre C1 Analyse de la vie de l objet probl me de construction des moments o le rapport intitutionnel ces objets est stable Chapitre C2 Analyse de la vie de l objet probl me de construction au cours de la p riode 1982 94 Chapitre C3 Etude du rapport personnel des enseignants l objet probl mes de construction dans l espace Chapitre D1 Analyse de la vie de l objet probl me de construction dans l environnement informatique Chapitre D2 Etude du rapport personnel des enseignants l objet probl mes de construction dans l espace 65 PARTIE B Chapitre B 67 CHAPITRE B LECTURE
96. l ves n ont pas utilis les m mes justifications pour les exercices 4 9 et 11 alors que la seule diff rence entre ces exercices est la position de la droite d par rapport au cube L interpr tation droite plan concernant le parall lisme d une droite avec un plan est la plus utilis e par les l ves Cette r gle a permis de justifier qu une droite est parall le un plan lorsqu elle est parall le un segment de celui ci et aussi de justifier qu elle n est pas parall le un plan lorsque sur la repr sentation elle n est parall le aucun segment de ce plan Dans le cas des exercices o nous avons propos des solides les l ves ont consid r que la droite d tait soit parall le au plan ABCD soit incluse dans ce plan En particulier pour l exercice 4 42 l ves ont utilis cette justification2f Or la droite d n est parall le aucune droite du plan ABCD Donc c est l objet solide ici le cube qui a induit cette lecture La r gle d interpr tation droite sec plan a t mobilis e seulement par 4 l ves pour l exercice 3 47 des l ves ont r pondu qu il manquait des informations Parmi eux 16 ont pr cis que l absence de pointill s ne permet pas de conclure Il faut ajouter ces derniers 4 d l ves qui ont r pondu non en justifiant par l absence des pointill s 26 Cette justification a t utilis e par 12 l ves pour l exercice 9 et 17 l ves pour l exercice 11 Chapitre B
97. l espace Pour cela deux tudes seraient n cessaires sur les moyens d int gration de l environnement informatique dans une classe de math matique conception de situation l valuation chez des l ves ayant utilis s un tel environnement Nous avons montr que les r troactions de l environnement informatique peuvent disqualifier les r gles d interpr tation d un dessin chez les l ves par l importance des r troactions offertes par l environnement chapitre D1 Une tude similaire que celle que nous avons r alis e avec le dessin papier crayon sous forme de questionnaire chapitre B reste faire pour le cas d un dessin environnement informatique Rapports des enseignants aux probl mes de construction dans les environnements papier crayon et informatique Comme les probl mes de construction voqu e ne vivent plus dans l enseignement actuel nous avons mis en place un questionnaire dans lequel nous avons fait vivre pour des enseignants les deux types de probl mes de construction Chapitre C3 Cela nous a permis de voir sous la contrainte du rapport personnel l objet de savoir probl me de construction dans l espace ce que l enseignant accepte rejette exige sur les probl mes et les r ponses attendues ces probl mes de construction effective et voqu e Nous avons fait r agir des enseignants des exercices et des productions d l ves choisies en fonction de nos variables sous forme
98. la figure des sous figures pertinentes 30 De plus les l ves dans leur majorit restent au niveau de l appr hension perceptive Ils ne soup onnent pas qu une figure ne doit pas tre regard e qu travers ou en fonction de propri t s ou de conditions formul es comme hypoth ses Duval 1988 p 61 Ceci se manifeste par le non retour au probl me une fois que le dessin est construit Ce retour correspond l interpr tation discursive de la figure L auteur s int resse donc au dessin comme un outil heuristique pour la r solution de probl mes en particulier dans les probl mes de d monstration Il montre que si le dessin peut tre une aide pour la d marche g om trique il peut tre aussi un obstacle G Arsac toujours dans la probl matique de la d monstration en g om trie voit la n cessit d un travail autour du dessin dont l objectif est que les rapports ce dessin des l ves de cinqui me et quatri me voluent Il souligne Arsac 1992 dans la conclusion du chapitre 8 Pour l l ve le nouveau rapport au dessin qui suppose d envisager celui ci dans un aller retour constant avec l nonc se traduit surtout au d but par trois grandes interdictions par rapport sa pratique ant rieure ne pas se contenter de mesurer ne pas se contenter de constatations ne pas tirer des conclusions de l examen de cas de figures particuliers On constate donc que la d monstration en g om trie p
99. le rapport institutionnel aux objets probl mes de construction et dessin est stable chapitre C1 Nous avons fait une analyse parall le entre le cas de la g om trie plane et le cas de la g om trie dans l espace Cette tude a mis en vidence et a caract ris l volution des probl mes de construction dans l espace au cours de ce si cle Les probl mes de construction ont t caract ris s par rapport aux deux composantes algorithme de construction et proc d de trac Un des r sultats de cette tude est que les exigences de l institution enseignement secondaire par rapport aux proc d s de trac ne sont pas les m mes pour les p riodes 1 et 3 Pour certaines constructions la r alisation effective de la construction de certains objets de l espace n est pas possible selon les r gles de la repr sentation adopt es la perspective cavali re Par exemple sauf l laborer de fa on arbitraire la repr sentation de l intersection de deux plans ou d une droite et d un plan ne peut pas tre obtenue par des constructions auxiliaires se ramenant l intersection des droites Ceci nous a conduit introduire chapitre C1 1 2 2 la notion de r gle d usage Une r gle d usage est une pratique qui a le statut d une convention elle donne le droit de repr senter un objet g om trique de fa on arbitraire Concernant les probl mes de construction en g om trie dans l espace on peut retenir au moins tro
100. lisation celle d abstraction et celle de repr sentation Une mod lisation met en jeu une certaine abstraction du domaine de r alit concern en ne retenant de ce dernier qu un certain ensemble d objets et de relations qui sont repr sent s dans le mod le Le mod le ne rend compte que d une partie du domaine de r alit A chaque mod le est donc attach un domaine de fonctionnement dans le domaine de r alit d pendant des objets et relations retenus par la mod lisation Un mod le fournit aussi une repr sentation du syst me d objets et de relations retenus pour la mod lisation ou encore pour prendre une image plus parlante une incarnation de ce syst me dans un support d expression Mais toute interpr tation issue du support ne donne pas une information n cessairement valide sur le domaine de r alit On peut ainsi d limiter un domaine d interpr tation l int rieur du support du mod le 1 On trouvera dans Laborde 1992 un d veloppement assez clair de la notion de mod le 20 domaine de mod le r alit interpr tation domaine domaine de th orie E se d interpr tation fonctionnement Laborde 1992 p3 Dans l enseignement le dessin peut tre consid r comme un mod le d un domaine de r alit On peut distinguer deux grandes cat gories de domaines de r alit s ceux de nature th orique et ceux du monde sensible Chaque cat gorie peut comporter elle m me diff rents objets qu on
101. manuels dit s entre 1920 et 1960 1 1 Cas de la g om trie plane Nous nous proposons de d terminer les fonctions du dessin dans la r solution des probl mes de construction en g om trie plane Pour cela nous proc dons l analyse de 4 moins de trouver un changement du rapport institutionnel lors de l analyse des manuels 5 Ceci correspond aux tats du syst me d enseignement E et E2 Cf fig 11 p 61 Chapitre C1 127 deux manuels et plus pr cis ment l analyse des exercices r solus et des paragraphes chapitres ou ouvrages sur les m thodes de r solution de probl mes Du d but du si cle jusqu aux ann es 60 les probl mes de construction en g om trie plane constituent une part importante de l enseignement Ces probl mes sont trait s en classe de Seconde Les manuels de l poque consacrent un paragraphe voire un chapitre entier aux probl mes de construction la d finition d une construction construction la r gle et au compas et la fonction de chaque instrument r gle compas querre y sont largement d taill es Pour notre analyse nous avons choisis deux manuels Le premier est un ouvrage de la classe de Seconde de 1948 que nous pensons assez repr sentatif des manuels de cette p riode Il s agit du manuel G om trie Classes de Seconde C et Moderne par J Desbats les ditions Magnard 1948 qu on d signera par M1 Le second est un ouvrage de 1945 consacr aux m tho
102. n est pas analyse synth se ou alors pour cet enseignant il y a deux types de probl mes de construction Ceux qu on traite dans l enseignement actuel et ceux qu on traite d autres niveaux 1 4 E A Celui l non M me en Terminale c est limite se distinguant par la d marche de r solution C est ce que nous proposons d examiner dans le prochain paragraphe iii Rapports de l enseignant E A l objet probl me de construction dans l espace L enseignant E A n a pas rejet les productions EP a et EP b utilisant une construction effective mais il a relev seulement qu il manquait la justification La production EP 3 utilisant une construction voqu e pour un probl me du type PCef a t rejet e Autrement dit une construction effective pour un probl me du type PCef est conforme aux pratiques de l enseignant et elle r pond ses attentes Or la d marche de r solution dans les productions EP a et EP b n est pas la d marche par analyse synth se Donc les productions propos es l enseignant n ont pas t analys es selon le crit re d marche de r solution par analyse synth se Nous avan ons une hypoth se dans notre analyse L enseignant avait lors de l entretien deux rapports diff rents l objet probl mes de construction dans l espace Ces deux rapports correspondent deux poques de l enseignement o les rapports institutionnels l objet de savoir sont diff rents Un pre
103. om tre constituant d un milieu pour l apprentissage de la notion de figure g om trique Recherches en Didactique des Math matiques 14 1 165 210 LABORDE C 1992 Enseigner la g om trie permanences et r volutions conf rence pl ni re au 7 me congr s international sur l enseignement des math matiques ICME 7 Qu bec Canada ao t 1992 MENSOURI D 1994 Essai de d limitation en termes de probl matiques des effets de contrat et de transposition le cas des relations entre droites et quations dans les classes de Seconde et de Premi re Th se Grenoble Universit Joseph Fourier NOIRFALISE R 1991 Figures pr gnantes en g om trie Rep re 2 51 58 PADILLA V 1990 Les figures aident elles voir en g om trie Annales de didactique et de sciences cognitives 3 223 252 PARZYSZ B 1989 Repr sentations planes et enseignement de la g om trie de l espace au lyc e Contribution l tude de la relation voir savoir Th se Paris Universit Paris 7 PARZYS B 1991 Espace g om trie et dessin Une ing nierie didactique pour l apprentissage l enseignement et l utilisation de la perspective parall le au lyc e Recherches en didactiques des math matiques 11 2 3 211 240 ROBERT A 1995 L preuve sur dossier l oral du CAPES I G om trie Ellipses BIBLIOGRAPHIE COMPLEMENTAIRE 337 338 ARSAC G DEVELAY M TIBERGHIEN A 1989 La transposition didactique en math matiques en ph
104. par rapport une droite sym trie axiale BO n sp cial 4 30 Juillet 1987 Cet extrait montre qu un des objectifs de la classe de sixi me est d une part l enrichissement du champ des figures qui sont des dessins et d autre part la mise en place d un vocabulaire pr cis D s cette classe le dessin prendra dans certaines situations le statut d un mod le d un objet g om trique Selon les programmes l initiation au raisonnement d ductif doit se mettre en place d s les classes de Sixi me et Cinqui me Seulement l l ve peut par exemple prendre des mesures sur le dessin par l utilisation d une r gle gradu e ou constater une propri t par l usage des instruments Prenons l exemple suivant du manuel Puissance Math 6 1990 p 40 Reproduire la figure ci dessous o ABC est un triangle quilat ral et D un point du c t AB Tracer la parall le BC passant par D elle coupe AC en E Quelle semble tre la nature du triangle ADE Comment le v rifier en se servant du compas A 24 Les auteurs de ce manuel distinguent dans une rubrique apprendre raisonner trois types d exercices p 38 e Dans de nombreux exercices on demande de constater certaines propri t s e Dans d autres exercices on demande d examiner si une propri t semble r alis e e Dans certains cas on peut faire la preuve de ce que l on constate Dans l exemple ci dessus l l ve est invit conjecture
105. personnes X de l institution I dans notre cas X est un enseignant l objet se met vivre sous la contrainte du rapport institutionnel RI O Ainsi un rapport personnel R X O va se construire ou va changer sous la contrainte RI O et plus largement sous la contrainte du contrat institutionnel CI Chevallard 1992 p 89 Nous nous sommes plac s dans le cas o on peut supposer que le rapport personnel de l enseignant l objet probl me de construction dans l espace est construit et stable Cela exige de travailler avec des enseignants non d butants et ayant enseign dans les classes de Seconde et ou de Premi re S au cours des derni res ann es Ce travail fait l objet du chapitre C3 Chapitre A 63 Pour la question du r le que peuvent jouer les environnements informatiques quant aux fonctions du dessin mod le d un objet g om trique dans l espace nous nous sommes propos de mettre l preuve l hypoth se environnement informatique de recherche suivante Les probl mes de construction effective et de construction voqu e peuvent coexister dans des environnements informatiques r pondant certains crit res Pour cela nous avons analys la vie des probl mes de constructions effective et voqu e dans l environnement informatique Geospace Chapitre D1 De plus un travail analogue au dispositif exp rimental du chapitre C3 a t fait aupr s des enseignants ayant utilis un environnement
106. placer sur le dessin 10 Obs Alors dans ce cas l est ce qu on va exiger d eux comment ils trouvent le point I l intersection de la droite D avec le plan P comment on trouve le point I 11 E B Il est l Il montre sur le dessin le point I avec un certain contr le le point I doit tre l int rieur du demi parall logramme Nous avons relanc la question en voquant une autre possibilit pour la position du point I par un l ve 12 Obs Si un autre l ve propose 13 E B Ah oui le point I est arbitraire pour nous est arbitraire 14 Obs Dans ce cas l une solution utilisant arbitrairement le point I 15 E B Ah oui c est s r il y aura un probl me si l l ve veut dire ben tiens je coupe l alors que moi je l ai mis l haut Ah oui c est un truc auquel j ai pas pens Il suffit par hasard qu il positionne l intersection juste ici parce que moi je suis tomb pile dans le truc par exception mais lui peut par hasard Il faut le laisser c est vrai ce point I on le met l o on veut c est uniquement une question de c est vrai j ai pas pens a L ennui l direct et puis cet ennui l 8 idem le point I sur la droite D Chapitre C3 225 de positionner un point I pile au mauvais endroit je crois qu il rejoint l autre de toute fa on et on ne peut pas leur imposer un dessin parce que c est trop guid parce qu on leur fait tout de suite le plan N
107. plans LkLn eE ABC Donc 3 appartient TU PCev un probl me o la r alisation sur un dessin ne peut se faire qu l aide d une construction voqu e RU P d la production utilise une r gle d usage consistant tracer l intersection lorsqu elle existe d un plan et d une droite RU P P la production utilise une r gle d usage consistant tracer l intersection lorsqu elle existe de deux plans Exercice production EP c Exercice 7 Soit ABCD un t tra dre I est un point de la face ADC J est un point de la face ABC Construire l intersection de la droite 1J et du plan BCD le pund pw plaw Gorlenant E vue AD emn sum dae A Je pendo Uatn oe 4 ave ET Exercice production EP IV EP IV Soit P un plan d une droite s cante P et A un point n appartenant ni d ni P Construire une droite passant par A s cante d et parall le P R ponse sA Q Pa glan passant IEA ef contenant el comme d est le GUEI pl ep ee cu pen n A e forle passant par Dans Le plia Q je Trace 7 e parratli of parallele L et he pE PT A celle craie Chapitre D2 297 298 1 2 Partie 2 Questionnaire Ce questionnaire porte sur les rubriques suivantes le logiciel utilis il s agit de savoir quels ont t les crit res du ou des choix de logiciel s Fr quence d utilisation dans cette rubrique nous examinerons d une part le nombre d ann es d utilisa
108. publique Nous distinguons trois fonctions du dessin illustrer les tapes sur le dessin l l ve r alise les trac s auxiliaires laisse des marques de compas pour indiquer comment il a construit la m diatrice par exemple met des mesures des c t s colorie des parties de la figure pour les rendre visibles r ponse au probl me pour certains types de probl mes l enjeu est la r alisation d un trac Dans ce cas le dessin fourni fait partie de la r ponse au probl me 5 1 3 Conclusion Nous avons distingu trois niveaux d intervention du dessin dans les probl mes de g om trie plane nonc r solution et solution A chaque niveau le dessin peut avoir une ou plusieurs fonctions 19 Il s agit des modifications m r ologiques cf 5 1 1 p 28 20 Selon la terminologie de l auteur TT d signe le temps du traitement Chapitre A Le dessin peut avoir la fonction d illustration au niveau de l nonc s il est donn par l enseignant ou le manuel au niveau de la r solution ou celui de la solution Dans ces derniers cas c est l l ve qui doit le r aliser Cette fonction d illustration d pend essentiellement du domaine de fonctionnement du dessin La fonction de prise en charge des hypoth ses d pend de l usage des marques typographiques utilis es dans l institution classe de math matique Pour notre tude nous nous int ressons aux fonctions du dessin dans la phase de r solution de pro
109. r gles de la repr sentation adopt e la perspective cavali re Par exemple sauf l laborer de fa on arbitraire la repr sentation de l intersection de deux plans ou d une droite et d un plan ne peut pas tre obtenue par des constructions auxiliaires se ramenant l intersection de droites 6 Ceci nous conduit introduire la notion de r gle d usage Une r gle d usage est une pratique qui a le statut d une convention elle donne le droit de repr senter un objet g om trique de fa on arbitraire Concernant les probl mes de construction en g om trie dans l espace on peut retenir au moins trois r gles d usages concernant les probl mes d incidence RU P P repr senter de fa on arbitraire l intersection lorsqu elle existe de deux plans RU P D repr senter de fa on arbitraire l intersection lorsqu elle existe d un plan et d une droite RU repr senter de fa on arbitraire l intersection lorsqu elle existe d une droite et d un plan de deux plans Nous proposons de dire qu une solution utilisant une de ces r gles est une construction voqu e Dans le cas contraire nous dirons qu une construction est effective lorsqu on peut la r aliser sur le dessin sans aucune r gle d usage Nous distinguerons deux types de probl mes de construction ceux dont la r solution peut se faire l aide d une construction effective qu on notera PCef et ceux dont la r solution ne peut se f
110. r ponse correcte un probl me de construction effective utilisant une construction voqu e est rejet e 331 332 Le trac est exig par les enseignants dans les productions d l ves De plus la r alisation du trac est un moyen pour eux de v rifier le crit re effectif de la construction Nous avons aussi montr que la n gociation des l ments du contrat didactique pour la r solution des probl mes de construction dans l espace se fait par des exigences au niveau du trac Cette tude nous a permis de confirmer l hypoth se de recherche papier crayon selon laquelle les deux types de probl mes de construction effective et voqu e ne peuvent coexister dans l environnement papier crayon et de caract riser les attentes des enseignants par rapport aux productions d l ves relatives aux probl mes de construction en g om trie dans l espace Un dispositif exp rimental analogue a t r alis aupr s des enseignants ayant utilis un environnement informatique pour la g om trie dans l espace chapitre D2 L analyse a montr que le rapport des enseignants un objet d enseignement qui vit dans un environnement informatique d pend en fait de leur rapport l objet environnement informatique lui m me en particulier si l enseignant accepte ou non qu un objet puisse vivre diff remment dans l environnement informatique que dans l environnement papier crayon Dans le cas o il l accepte nous nous
111. r solution des probl mes de construction par analyse synth se Cette m me d marche est reprise dans le manuel de la classe de premi re que nous proposons d analyser En effet dans le manuel de premi re les auteurs proposent deux d marches dans la partie analyse Dans la m thode propos e les auteurs 1 S p 46 distinguent les deux phases analyse et synth se comme le cas du manuel D clic mais la d marche de la partie analyse rejoint celle de Terracher savoir l tude de configurations 154 METHODE Comment r soudre un probl me de construction 1 R alisation d une figure d analyse Analyse de la situation On suppose l existence d au moins une solution au probl me pos On construit artificiellement une figure correspondant cette solution On extrait de la figure la ou les propri t s n cessaires qui vont permettre de r aliser la construction 2 Synth se On revient la case de d part mais on a maintenant gr ce l analyse une id e du parcours suivre en partant des donn es initiales exclusivement on d crit pas pas la m thode de construction d couverte en justifiant chaque tape Ces justifications peuvent amener distinguer diff rents cas discussion on effectue la construction dans chacun des cas o elle est possible Ensuite les auteurs 1 S p 47 montrent comment utiliser cette m thode en activit s de travaux pratiques Dans la plupart des probl mes
112. s l extension du vecteur l espace et la notion de barycentre L tude de ces notions se poursuit en classe de Terminale 2 B O n 20 du 17 mai 1990 Chapitre C2 177 En g om trie dans l espace l objectif plus modeste mais relativement essentiel est de d velopper la ma trise des objets usuels de l espace tudi s dans les classes pr c dentes et de quelques transformations l mentaires op rant sur ceux ci B O n 2 2 mai 1991 1 1 5 Synth se Nous constatons une volution des programmes de g om trie dans l espace au niveau coll ge entre 1982 et 1985 et au niveau lyc e entre 1985 et 1990 Pour les programmes de 1994 il faut noter que les transformations dans l espace ne sont plus au programme de Terminale 1982 1985 1990 Observation d objets physiques et Etude de g om triques Mise en place du vocabulaire des plan objets g om triques horizontal droite verticale Propri t s d incidence parall lisme orthogonalit projections rep re cart sien calcul de distances aires volumes Aspect vectoriel et analytique Notions de descriptive facultative Calcul barycentrique Transformations de l espace G om trie descriptive E g om trie situations de parall lisme et d orthogonalit partir des solides parall l pip de rectangle 6 prisme droit et cylindre de r volution 5 Travaux sur la sph re section par un plan aire e
113. sans le recours une r gle d usage le probl me est dit de construction effective Pendant la p riode 1 les probl mes de construction en g om trie plane et dans l espace utilisent les m mes d marches de r solution Mais au niveau du proc d de trac il y avait une diff rence tant donn que dans le cas de la g om trie dans l espace on faisait appel des primitives de trac comme en g om trie plane et des r gles d usage Pendant la p riode 3 les probl mes de construction en g om trie plane et dans l espace n ont plus la m me d marche de r solution En g om trie plane la d marche de r solution se fait l aide de l analyse synth se largement d velopp e dans les manuels Alors qu en g om trie dans l espace la phase heuristique est absente et la m thode de r solution propos e par les auteurs des manuels est centr e sur l algorithme de construction Cependant au niveau du trac les exigences sont les m mes pour les probl mes de construction en g om trie plane et dans l espace Il s agit de proc d s de trac la r gle et au compas Nous avons aussi tudi les interrelations entre les objets probl mes de construction et dessin et plus pr cis ment les fonctions du dessin dans les probl mes de construction en g om trie dans l espace Au cours de la p riode 1 le dessin tait seulement un support du raisonnement De plus le probl me du trac a t vacu pour les ra
114. segment de ce plan La r gle d interpr tation droite ext plan a t examin e uniquement dans le cas du solide Deux positions ont t privil gi es tre parall le au plan ABCD ou dans un des deux plans ABCD et CDGH Nous pensons que c est la valeur de la variable solide cube qui a induit ces lectures Enfin pour la r gle d interpr tation droite ext plan nous n avons pas pu conclure Rappelons que B Parzysz n a pas non plus conclu ce propos Seulement ce n est pas pour les m mes raisons d velopp es dans le paragraphe 1 1 2 p 70 En effet dans notre cas nous l expliquons en partie par le fait que la repr sentation de la droite d tait presque parall le un cot du parall logramme 6 3 Position relative de deux droites entre elles Le test propos par B Parzysz a confirm la r gle d interpr tation droite droite L analyse des justifications de l exercice 7 n a pas r v l l utilisation de la r gle 31 50 justifications sur 991 sont du type a se voit Ceci n est il pas un l ment du contrat o les justifications autoris es doivent tre de nature g om trique 118 d interpr tation droite sec droite En revanche dans les exercices o notre tude porte sur des solides nous avons constat que cette r gle a souvent t utilis e par les l ves pour d duire que deux droites sont s cantes Un th or me en acte a t mis en vidence dans l analyse de l exe
115. sensible et la th orie est la repr sentation graphique Ces repr sentations sont diverses et ont diff rentes fonctions dans l enseignement 3 STATUT DU DESSIN DANS L ENSEIGNEMENT Nous examinerons dans le paragraphe 3 1 le dessin comme objet physique et ensuite dans le paragraphe 3 2 le dessin comme mod le d un objet th orique ou d un objet physique 3 1 Dessin comme objet physique Dans ce cas le dessin est l objet d tude sur lequel le sujet est amen travailler comme le montre l exercice ci dessous le sujet l l ve doit prendre des mesures sur le dessin fourni C est une t che similaire celle o le sujet doit calculer le p rim tre d un terrain La diff rence r side dans le fait qu on ne travaille pas dans le m me espace le Chapitre A 19 premier rel ve du micro espace et le second du macro espace au sens de Brousseau 1982 Apr s avoir mesur les c t s de la figure calcule son p rim tre c est dire la longueur de son tour Fiches Math matiques CM1 Nathan Ici nous consid rons que le dessin fait partie du monde sensible il est un objet physique 3 2 Dessin comme mod le Laborde 1992 consid re le dessin comme un mod le de l objet g om trique Cette position s inscrit dans une probl matique autour de la notion de mod le que nous lui empruntons pour notre cadre th orique Elle attribue deux fonctions compl mentaires au processus de mod
116. sera int ressant de voir quelles sont les informations manquantes 10 Cf b Position relative d une droite par rapport un plan p 75 82 b Exercice 5 Exercice 5 La droite AB est elle s cante avec le plan P Ici la droite n est pas repr sent e par un segment mais elle est d finie par deux points A et B repr sent s sur le dessin de sorte que A soit au dessus du parall logramme et B au dessous du parall logramme Les r ponses attendues R5a oui car A et B sont de part et d autre du plan P R5b On ne peut rien dire car il manque des informations Nous faisons l hypoth se qu il n y aura pas de r ponse non La variable choisie est le r gionnement de l espace Ainsi les r ponses R5a r v leront l utilisation de la r gle d interpr tation ext plan c Exercice 10 Exercice 10 La droite d est elle parall le au plan P Chapitre B 83 Le segment repr sentant la droite est parall le un c t du parall logramme Le choix d un c t horizontal a t fait pour renforcer la r ponse oui Les r ponses attendues R10a oui car d est parall le une droite du plan P R10b On ne peut rien dire car il manque des informations A travers les r ponses des l ves nous examinerons la conjecture 2 relative la r gle d interpr tation droite plan cas b Nous pensons que les r ponses du type R10a seront majoritaires 3 2 2 Cas o l obj
117. sur lesquels porte notre tude les l ves concluaient que deux droites taient s cantes sans v rifier si elles taient coplanaires En fait nous avons mis en vidence que cette r gle d interpr tation n est pas une simple lecture d une relation spatiale sur la repr sentation mais qu elle est justifi e par un th or me en acte selon lequel Si deux droites sont incluses respectivement dans deux plans s cants alors elles sont s cantes Autrement dit le logiciel offre par ses r troactions des possibilit s susceptibles de disqualifier l interpr tation droite sec droite 14 Nous proposons d examiner les moyens de contr le relatifs aux positions de deux droites dans l espace offerts par le logiciel 2 2 1 Etude d un cas positions relatives de deux droites dans l espace Soient deux droites D1 et D2 dans l espace et d1 d2 leurs repr sentations respectives dans Geospace Si d1 et d2 sont s cantes on sait que les droites D1 et D2 ne sont pas parall les Il reste savoir si elles sont s cantes Pour illustrer les moyens de contr les possibles nous consid rons le cas o les deux droites sont des incluses dans deux plans d finis partir des figures de base Par exemple soit ABCD un t tra dre et D1 IJ une droite du plan ACD D2 LK une droite du plan ABD fig 72 12 Brochure Geospace p 48 13 ibid 14 cf Chapitre B p 76 Chapitre D1 277 278 fig 72 Par d placement on fa
118. techniques de ces trac s ne sont pas explicit s dans les corrig s d exercices Nous en d duisons qu ils sont consid r s comme tant la charge de l l ve et ou de l enseignant Dans les d marches de r solution de probl mes de g om triel pr sent es dans les manuels le dessin a la fonction illustration de l nonc Celle ci tant la charge de l l ve puisque les exercices ne sont pas accompagn s d un dessin Les auteurs invitent les l ves rendre visibles sur le dessin toutes les donn es du probl me avec l objectif de faciliter sa r solution Pour la g om trie dans l espace nous n avons trouv aucun manuel qui soul ve les questions de m thodologie de r solution de probl me en g om trie dans l espace Les exemples pr sent s dans le cours et l analyse des manuels d exercices corrig s nous ont permis d tudier la d marche de r solution des probl mes de construction dans l espace Il s agit de la d marche par analyse synth se Contrairement au cas de la g om trie plane la figure n est pas objet d tude dans la partie analyse Ce qui est conforme ce que nous avons montr dans le chapitre 1 a priori la fonction d exp rimentation du dessin papier crayon ne peut pas tre remplie au m me titre que dans le plan en tant que mod le du domaine de r alit g om trie dans l espace Dans les manuels des primitives de construction sont explicit es Elles peuvent tre utilis
119. une id e de la solution que le dessin est objet d tude pour les probl mes de construction L auteur explicite dans point m thode 4 que la recherche de tels probl mes s engage toujours par une figure d tude qui n est autre que la figure que l on veut r aliser Terracher 2 p 230 12 Chapitre Configurations 13 Exercice r solu 1 et exercice r solu 2 du TP C Terracher seconde p 228 Exercice r solu 1 et exercice r solu 2 du TP D Terracher seconde p 230 231 14 Point m thode tiqu tent des rubriques o l auteur pr sente des m thodes et des commentaires surt la r solution de probl me 38 Toujours dans une rubrique Point m thode Terracher r sume les propri t s qui interviennent dans les probl mes de parall lisme et d orthogonalit A cela il ajoute l importance des figures dans la r solution des probl mes Voil pour la caisse outils conna tre son contenu est indispensable pour r soudre des probl mes Mais cela ne suffit pas Car il ne se passera rien si l on examine la figure d un probl me sans id es derri re la t te il nous faut essayer de rep rer une ventuellement plusieurs figure cl c est le seul moyen de faire intervenir un th or me une propri t etc un outil sauf peut tre un jour de chance ii A partir de travaux de recherche En examinant la question de la construction du savoir math matique Chevallard 1991 p 56 parle d
120. ves qui indiquent qu il manque des donn es ou qu ils explicitent les diff rents cas Donc c est le type de justification correcte Il ressort donc malgr un taux de r ponse On ne peut rien dire assez lev 70 pour les exercices 9 et 11 seulement 30 ont des justifications justes b Justifications Jf L ensemble de ces justifications est bas sur le fait que pour les l ves la droite d est parall le au plan ABCD ou incluse dans ce plan Tous ces l ves en explicitant cette r gle ont conclu qu on ne peut rien d duire El ve A2 r ponse On ne peut rien dire Justification Nous pouvons dire que la droite d est parall le au plan ABCD mais nous ne pouvons pas dire si oui ou non d est dans le plan ABCD Nous constatons galement qu elle a t plus mobilis e pour l exercice 4 que pour les autres exercices Nous expliquons cette diff rence par le fait que dans l exercice 4 la repr sentation de la droite a une partie l int rieur du carr ABCD ce qui n est pas le cas pour les autres exercices c Justifications Jk L absence des marques ou des pointill s a permis des l ves de conclure sur l intersection de deux droites ou d une droite et d un plan Dans cette cat gorie nous n avons consid r que les l ves ayant explicit qu il manquait des marques Chapitre B 99 Pour certains l ves l absence de marque du type fig 32 indiquant d apr s la convention droites non s cantes q
121. 1 1 2 M thodes de r solution des probl mes de construction en g om trie plane 130 1 2 Cas de la g om trie dans l espace iiiennenenens 137 12 11 Ar alyse desmanuels sstse en in AREE AE AAE RAE t s deteste nn 137 1 2 2 Les r gl s d usage intense Mn sante een te na Mnn aa ne EEAS 142 123 Etud duProbl me lis fee ei nn A DRE RATER AE AR AR SE SRE 143 1 2 4 G om trie descriptive street a net rm Mon PET Aea Ea NE aE Ea 145 1 3 Conclusion nn ent Rien T E entente ne ne nelle nn 146 22 TROTSIEME PERIODE a iiei RO AER tee nt n een dre en E ROAA ete nes bee 148 2 1 R solution des probl mes de construction travers les manuels 149 2411 Casd la g om trie plane s nine Dr AIN RER AA ON AE Rd nn 149 2 1 2 Cas de la g om trie dans l espace ses 156 SR CONCIUSION RSR ee en ee ne entente a eee TA 165 3 ANALYSE COMPAREE DES TYPES DE PROBLEMES DE CONSTRUCTION PCEF ET PCEV DANS L ENSBIGNEMENT oa a aE Te M Re ee es AAE E devint este ne 166 3 1 Et de du probl me P25snssmmeennmennemenmenrianrn nement 166 3 2 Analyse compar e des probl mes PI et P2 LL nnnnnnnse 167 32 1 EXamen de la solution STP2is ns nai Ann A Lan oh a 167 3 2 2 EKamen d la sol tion S2P2 st nn ads il nent ins 168 3 3 COMMENAIrPES 22 RE t nT A te Rd die ts tee ane 168 0 ACONG USION EM NP nn nie D RE NO net nn ee tn on ini dense 169 ANALYSE DES PROBLEMES DE CONSTRUCTION DANS L ESPACE APRES 1982 174
122. 181 Des diff rentes rubriques des programmes il ressort que seules les activit s de repr sentation des solides en perspective cavali re et la r alisation de sections planes de solide sont propos es A ce propos le manuel Terracher 1 S 1990 et 1994 explicite l expression la pratique des figures est centrale dans les objectifs du chapitre G om trie et calcul vectoriel dans l espace 8 Nous avons repr sent dans les tableaux tout ce qui se r f rent la g om trie descriptive en italique 9 1 obligatoire pour la premi re E et facultatif pour les autres sections PC Perspective cavali re HP Hors programme Chapitre C2 185 I OBJECTIFS G om trie dans l espace la pratique des figures doit tenir une place centrale Cette phrase extraite des programmes fixe l objectif de ce chapitre de G om trie dans l espace L introduction du calcul vectoriel et la mise en place des premiers l ments de G om trie analytique constituent l essentiel du contenu du pr sent chapitre et vont permettre de renforcer les outils dont nous disposons jusqu pr sent savoir les propri t s d incidence Ce sont les solides usuels T tra dre parall l pip de mais galement sph res cylindres c nes qui seront l objet de nos pr occupations Etudier les propri t s g om triques alignement concours parall lisme orthogonalit Calculer les grandeurs qui leur sont rattach es distances angles
123. 205 1 DISPOSITIF EXPERIMENTAL ee N E SE t er ses ee 206 2 MISEEN PLACE ET ANALYSE DE LA PHASE l sisi 208 2 1 Bilan des observations de classes 208 2 2 Questionnaire Serres Terrestre end Me ane tr eme hn en ne E susn te 210 2 3 Choix et analyse a priori ss 210 2 3 1 Principet mis en Place x rien sem retnrnnine ritrnene en restent A sen en TAT 210 2 3 2 Choixet Analvse d s EXET CE sine tn en a ele nr ten ne lin en eu 210 2 3 3 Choix des productions d l ves et analyse a priori s ssssssssssssssssessesstsetsesstsetsesststrsessssestssesrsessese 215 2 4 ANANE aa tits ein Ps Sn e TE EA SU Ann aeaa la don PE ae TER Re 220 24 1 Commentaires des deux enseignants relatifs aux exercices de constructions s sssessessesesesessee 220 24 2 Commentaires des deux enseignants relatifs des productions d l ves s eseeseseeeseseeereeeerereeee 228 24 3 Rapport des deux enseignants l objet probl mes de construction dans l espace 236 2 35 CONCIUSIONS Re ER E nn taie ete A 241 3 MISEEN PLACE ET ANALYSE DE LA PHASE 2 nn 241 3 1 Choix des Exercices productions d l ves et analyse a priori 242 3 1 1 Variables type de probl me type de construction es ssesssssesessessesersessesttesstsetsessesersesseseenesss 242 3 1 2 Trac piihin a a ME RME RE Nes a cn ce dre it ES 243 3 1 3 R gle discussion uses 243 3 1 4 Choix des diff rentes variables sinoni era ann Rte nn vis 244 3 1 5
124. 3 a mis en vidence les orientations de l institution programmes de l enseignement secondaire relatives la place du dessin des probl mes de construction et de g om trie dans l espace Nous avons montr que d s la fin de la r forme des math matiques modernes le dessin a repris une place importante dans l enseignement ainsi que l tude des configurations d abord dans le plan puis dans l espace Ceci rejoint la position de certains acteurs de la noosph re que nous avons d velopp e dans le chapitre A quant au r le du dessin dans l enseignement des math matiques Pour les probl mes de construction en g om trie dans l espace les programmes distinguent probl mes de construction et probl mes de repr sentations relatives aux probl mes de construction Ces derni res d pendent du mode de repr sentation choisi et de l importance qu accordent les programmes au dessin dans les activit s de 190 g om trie dans l espace Ainsi en 1982 les programmes n accordent gu re d importance au dessin en g om trie dans l espace Cela peut expliquer que les probl mes de repr sentation relatifs aux probl mes de construction ne sont pas au programme de Premi re S Cependant ils rel vent de la section E qui a pour vocation une formation scientifique et technique o la g om trie descriptive est enseign e D s 1985 les programmes introduisent les probl mes de repr sentation associ s aux probl mes de constructio
125. 5 7 M1 pp 53 80 Cf annexe C1 a 8 selon les termes de l auteur 128 48 R alisation des figures A En m me temps qu on lit un nonc on doit dessiner au fur et mesure de leur apparition les divers l ments points droiles cercles introduits par le texte et qui constituent les donn es B Il faut faire de grandes figures tr s soign es aussi exactes que possible C est une erreur de penser que l on raisonnera toujours juste sur une figure fausse C Il est conseill de repr senter avec des traits diff rents ou des couleurs diff rentes ce qui est donn et ce qui est Inconnu ce qui est fixe et ce qui est variable Les l ments gaux seront marqu s de la m me mani re les seg ments par de petites coches les angles par des petits traits courbes en nombre gal Les parall les pourront tre indiqu es e les munissant de fl ches En un mot il faut s efforcer de traduire sur le dessin toutes les conditions fournies par l nonc de fa on que regardant la figure toutes ces conditions devlennent visibles D Ne jamais oublier que si les donn es sont dites quelcon ques c est une grave faute que de les dessiner particuli res En fait une figure est foujours particuli re mais voici ce que nous entendons H fant viter d introduire dans les figures des dispositions remarquables qui ne sont pas indiqu es par l nonc On risque rait alors de laisser cr
126. 5 2 Production GEOSPACE rennes 302 12 2 ANALYSE masaia enin E EA EER ENEE E ER E E A E EE 306 2 1 Enseignant CH orie iiitiji enie EA E detente Net ane EAT E net eee A EERE 306 2 1 1 Productions papier Crayon ss 306 2 1 2 QUESTIONNAIT s is rates rabat M LR MR M OU M EK IES e DAEK ANSETE NEES 307 243 Productions GEOESPACE nn M er fr niet rer en in etre de 308 2 1 4 COnCluSiOn n sine nes ann ee nine Mae 312 2 2 Enseienant Olsen e MAN nt en tt NN ARR ne ns At Ales 313 2 21 Productions papier crayOf2 non ni Mini ne MER MURS MED At A 313 2 2 2 Questionnaire hrs rnb en Pres nr rite tte ane nr ir te etre A ASE AER TAAT 314 2 23 Productions Ge oSpace aient me free res dm M er E en nee else tas de 315 224 Conclusions s same Amine an re n berne Sn ie Es Na 316 2 3 Enseignanti assiste nr te a haea EEEa Reste tin unten de tte nine 317 2 3 1 Productions papier Crayon seen 317 2 32 Questionnaires nn nn E RE in en RE Rent RS Team 318 2 3 3 Productions GeOSpACE ns crc diese cin seder esdesirser see eee esters et en EEEE EE 319 2 34 Conclusio nane bonnet Rise nn inde ne Rien ni 321 Je CONCEUSION ir in ten et nn nn den A tn Ale tien t 321 CONCLUSION ssninesnetentareenerienntinedenan dr else ere nes SODS En EEEE Eate eeo nnes test e tease D 2 4 Bibliographie 13 14 PARTIE A 16 CHAPITRE A PROBLEMATIQUE DU DESSIN partir des travaux sur la probl matique dessin figure nous proposons un
127. 77 Chapitre C2 175 Notons que la g om trie dans l espace est absente des programmes des classes de Quatri me et Troisi me Pour la classe de Seconde le programme propose les th mes suivants Perpendiculaire commune deux droites Distance de deux droites Repr sentation d un solide par des projections orthogonales sur deux plans perpendiculaires bien choisis Repr sentation par perspective cavali re Exemples de figures admettant un centre un axe un plan de sym trie cercle cube t tra dre r gulier Instructions du programme de 2 1982 Deux modes de repr sentation sont pr sents en Seconde en tant qu objets d enseignement En classe de Premi re on tudie l espace avec un point de vue vectoriel L espace n est plus d fini comme un espace vectoriel en soi mais on d finit et on tudie les propri t s des vecteurs comme une extension des vecteurs du plan en tant qu espace vectoriel puisque la notion du plan comme espace vectoriel reste au programme de Premi re Mais aucune th orie des espaces vectoriels n est au programme comme le souligne le programme de Premi re Le professeur proc dera un rappel rapide sans d monstration des propri t s des op rations sur les vecteurs du plan En vue de faciliter la communication il donnera la d finition d un espace vectoriel Aucune th orie g n rale des espaces vectoriels et des applications lin aires n est au programme Progra
128. 86 et 1990 sont en continuit avec ceux de 1982 alors que ces derniers sont en rupture avec les programmes qui les pr c dent Cela ne veut pas dire qu il n y a pas de lien entre le programme de la r forme des math matiques modernes et celui de 1982 On consid re que la dynamique se fait dans le sens d une stabilit de la vie des objets et des interrelations entre eux dans la p riode de 1982 nos jours Pendant cette p riode les classes du lyc e ont connu quatre programmes 1982 1987 1990 et 1994 Nous proposons d tudier les passages entre ces diff rents tats du syst me au cours de cette p riode Une fois le texte du programme publi les manuels constituent une premi re mise l preuve de ce programme En effet ceux ci pr sentent une organisation selon une progression chronologique et une s quentialisation Les objets annonc s dans le programme vont vivre dans les manuels et des interrelations vont s tablir entre les objets sous plusieurs contraintes en particulier selon les objectifs les suggestions et les lignes directrices du programme Le fonctionnement du syst me est valu par les enseignants les groupes d enseignants au sein des IREM des valuations du type Evaluation APMEP etc Cela permet de voir si la r alisation effective correspond au fonctionnement souhait par les textes du programme De l et par d autres facteurs ext rieurs au syst me des r flexions sont men es au sein de la noos
129. 97 des l ves ont fait cette lecture Pour D3 pr s de 90 des l ves ont choisi comme r ponse n a aucun point dans le plan P On peut avancer deux hypoth ses pour ce choix La premi re est que l l ve consid re que la droite D3 est parall le au plan P La deuxi me est que l l ve consid re que la droite D3 n a aucun point commun avec le plan P Et dans ce dernier cas l l ve aurait r pondu la m me chose pour le dessin suivant T L fig 14 Dans le cas de la droite D4 presque 29 des l ves pensent qu elle est s cante avec le plan P Plus de 50 des l ves ont r pondu que le dessin ne permet pas de r pondre B Parzysz l explique par l interpr tation de D4 peut se faire par r f rence celle de D2 pour D2 s cante P le point d intersection avec le plan est clairement d sign gr ce la ponctuation Or ce n est pas le cas pour D4 Qu en conclure En bref les raisons d h siter et de rester perplexe ne manquent pas ici ce qui refl te bien la vari t des r ponses donn es par les l ves et en particulier le pourcentage impressionnant r alis par l item le dessin ne permet pas de r pondre B Parzysz 1989 p 271 1 1 3 Situation 3 Positions relatives de plans entre eux Dans cette situation 128 l ves doivent dire pour chacun des plans P1 P2 et P3 s il est parall le ou s cant avec le plan Q ra Z fig 15 Chapitre B 71
130. B C L analyse de cette figure doit permettre de d gager la configuration du triangle rectangle ou du th or me de l angle droit Exemple 2 Exercice 40 p25 Terracher 1 SE Indiquer un proc d de construction de la perpendiculaire A issue de A en n utilisant qu une r gle non gradu e Sont donn s le cercle C le diam tre A de C et le point A Des l ments de r ponses sont propos s la fin du manuel 40 Tracer les droites passant par A et les extr mit s B et C du diam tre Il y a des angles droits cach s les trouver et utiliser l orthocentre du triangle ABC 152 Terracher premi re SE 1991 p 267 Le trac demand dans l exemple 2 est Mais la configuration cl pour la r solution du probl me est fig 42 fig 43 Cet exemple montre que le trac demand ne permet pas lui seul de d gager l algorithme de construction comme dans le cas de l exemple 1 Mais il faut r aliser des constructions interm diaires pour faire appara tre des configurations cl s pour la r solution du probl me Soulignons cet effet que certains auteurs des manuels explicitent l importance du traitement de la figure dans la phase de r solution du probl me b Analyse du manuel D clic Aucune d finition du probl me de construction n est donn e dans ce manuel Comme le cas du manuel Terracher les auteurs de ce manuel explicitent la d marche de r solution de construction analyse synth se
131. CD puisqu il est distinct de C Tableau 14 Justification div6 Pour les l ves ayant produit cette justification la droite d est s cante avec CD Par exemple l l ve C1 a prolong les droites d et CH fig 33 ce qui lui permet de conclure que d a un point commun avec le plan ABCD E F fig 33 Mais l l ve ne sait pas si la droite a d autres points communs avec le plan El ve C1 r ponse On ne peut rien dire Justification d est s cante avec la droite CD en N La droite d a donc un point commun avec le plan ABCD Cependant on ne peut pas dire si elle en a d autres Elle peut par exemple appartenir au plan CDGH elle peut aussi appartenir aucun plan du cube 22 Conjecture 5 cf Position relative de deux droites p 76 Chapitre B 103 On voit dans cet exemple un raisonnement coh rent d un point de vue logique g om trique part que le fait d est s cante avec la droite CD a t d duit du dessin par la r gle d interpr tation droite sec droite Justification div4 la position de la droite d par rapport au cube dans l exercice 9 induit que la droite est incluse dans le plan CDGH Nous avons rencontr cette interpr tation dans d autres justifications 5 3 2 Cas o les objets tudi s ne sont pas des solides Il s agit des exercices 3 5 et 10 dont les r sultats sont rappel s dans le tableau ci dessous Ex10 o fan jou fun fau ou Ju Jon Gat
132. Choix des enseignants et organisation de la s ance 244 3 1 6 Construction des exercices productions d l ves 245 3 2 Anaye dela phase Z a Re ee tetes en mn Are ne ne ee 250 3 2 1 Examen de la r gle discussion se 250 3 22 Examen de la r gle trac dans la production 252 3 2 3 Examen de la r gle Construction voqu e PCef ss 253 3 2 4 Examen des exercices productions du type construction voqu e pour les probl mes PCev 254 3 2 5 JuSHNCAON EE Hier Mn ns a ane en Mn nt fo ts st ec 258 4 CONCLUSION seine aei es ten nr ne an nn nn nm ne ina arme ere ne rte ni nn este in 259 11 Partie D CHAPITRE DL ns mel ries silos set tone onees dede naesrnce sde a ta Sassa Sss darosi 265 ENVIRONNEMENTS INFORMATIQUES POUR LA GEOMETRIE DANS L ESPACE 265 1 PROBLEMATIQUE DU DESSIN DANS UN ENVIRONNEMENT INFORMATIQUE sssssssssss sesse setrerererer eses 266 2 TUDE D UNLOGICIEL G OESPAGE oaro SR a Ne AE AA SEE aAa aAa ASA 270 D Pr sentation du logiciel ss 271 22 Fonction d exp rimentation d un dessin ei dans le cas de Geospace n c 273 2 2 1 Etude d un cas positions relatives de deux droites dans l espace s s eseseseseesesssseseseerererereerersrses 277 2 22 Moyens de contr le de lecture d un dessin ei ssssessssesssesessssstseestsstsetstsststrseststtnessssestsseseesesse 279 2 3 Etude de la vie des probl mes de construction dans Geospace ssc 280 2 3 1
133. D b Exercice 4 Comme pour l exercice 2 l enseignant n a pas rejet l exercice 4 il l a consid r comme un probl me de seconde et qui a toujours une solution 25 E B Celui l il passe bien en seconde celui l les notions sont assez simples la droite qui est l elle est bien parall le parce qu elle est dans le plan parall le Par contre pourquoi la 9 S cantes ou parall les Ici il a consid r une droite parall le D 226 question le probl me a t il une solution c est l o j ai pas compris la question autant pour l autre il y a une ambigu t enfin on peut avoir des petits probl mes selon les positions des droites on peut tre amen quelque chose qui est impossible l je n ai pas vu de cas impossible La solution propos e utilise galement une r gle d usage du type RU P D 23 E B J ai men le plan qui est parall le P passant par A la droite d qui coupe l autre va couper celui ci en un point I et puis je trace la droite AT qui r pond au probl me En d autres termes il propose une solution que nous avons d taill e dans l annexe de la phase 2 et que nous rappelons Solution S3R P d Cette solution utilise une r gle d usage du type RU P d Soit P le plan parall le P passant par A Comme d est s cante avec P elle est s cante avec P soit B leur point d intersection La droite cherch e est la droite AB fig 64 Nous avons soul
134. D UN DESSIN DE L ESPACE L objet de ce chapitre est de mettre en vidence les cons quences des conventions et repr sentations types d velopp es dans le chapitre pr c dent sur la lecture par les l ves d un dessin de l espace Ce travail nous permettra de valider l hypoth se de recherche Convention selon laquelle les conventions de repr sentation de la perspective cavali re deviennent des r gles d interpr tation d un dessin chez les l ves Nous pr senterons dans un premier temps les r sultats d un test sur la lecture du dessin propos par B Parzysz partir de ces r sultats nous d gagerons des hypoth ses sur les interpr tations possibles que peuvent faire les l ves lors de la lecture d un dessin et nous formulerons des conjectures sur d autres r gles d interpr tation Dans un deuxi me temps nous proposerons un dispositif exp rimental pour valider ces conjectures Les interpr tations que nous cherchons mettre en vidence trouvent leur origine dans les conventions et repr sentations types utilis es dans l enseignement Notre premi re hypoth se est que les conventions de repr sentation de relations d incidence qui ont t explicit es dans les manuels ou par les enseignants sont utilis es dans la lecture du dessin Nous nous int ressons donc plus particuli rement aux interpr tations sous jacentes la lecture d un dessin qui sont des cons quences des dessins prototypiques utilis s de fa on impli
135. GEAECNODLE i UNIVERSITE JOSEPH FOURIER SCIENCES TECHNOLOGIE SANT THESE pr sent e par Abdelhamid CHAACHOUA Pour obtenir le titre de Docteur de l Universit Joseph Fourier Grenoble 1 arr t s minist riels du 5 juillet 1984 et du 30 mars 1992 Sp cialit Didactique des Math matiques Fonctions du dessin dans l enseignement de la g om trie dans l espace Etude d un cas la vie des probl mes de construction et rapports des enseignants ces probl mes Soutenue le 29 mars 1997 Composition du jury Pr sident Rapporteurs Examinateurs Nicolas Balacheff Directeur de Recherche CNRS Gilbert Arsac Professeur des Universit s Lyon 1 Yves Chevallard Professeur des Universit s IUFM d Aix Marseille Madeleine Eberhard Ma tre de Conf rences Universit J Fourier Grenoble 1 Colette Laborde Professeur des Universit s IUFM de Grenoble directeur de Th se Bernard Parzysz Ma tre de Conf rences Universit de Metz Th se pr par e au sein du Laboratoire LEIBNIZ IMAG UJF Y asmina R enedenaits Je tims tat d awd pr mte me vifs rmedamats C d te L akyrde par avr aq pt de dirig te th se Elle a su tat au Img de travail r amp gir me dx sans par autant imp amp sm pant de wue Gr de nmb x hanges aux urs dsquds dle m a fait part de se critiques anstrudives dle m a appris le m ie de he dwr Je ranade N idas B alad ff Dir
136. L 23 4 1 L ens ign ment primaAM s rise destin Hasena Eu ul dE a en reies 23 4 2 L enseignement du coll ge ss 24 4 2 1 G om trie planerad aieea E A A E EE A AE SA SAAE AS AE ARNE Aiae 24 4 2 2 G om trie dans Vespa sis in nn sent en ne ne ie ne ten nt 25 4 3 L e ns isnementdu lobe imtate sante ads tte is 26 5 DESSIN COMME MODELE D UN OBJET GEOMETRIQUE rene 27 5 1 Le dessin comme mod le d un objet de la g om trie plane ss 27 5 1 1 Le dessin travers certains travaux 2 dains in ohne tie die 28 5 1 2 Fonctions du dessin dans les probl mes de g om trie plane s sssesssesssesssssesersessesersesseseeresssseseeses 32 5 1 3 Conclusions smeisents still NES EUR Ne LR NUE NN Net ce 41 352 Le dessin en g om trie dans l espace ss 42 52 1 Passage de l objet g om trique au dessin 45 5 2 2 Conventions et repr sentations types ss 46 5 2 3 Passage du dessin l objet g om trique ses 50 6 OBJET DENO TRERECHERCHE 45e frere dede amine cdot intense ee eme net fes tent d ete dede Pen 51 6 1 Cadre th orique serstreeee anne na frite nt a RNA 55 6 1 1 Evolution du syst me d enseignement 56 6 1 2 Dynamique d lafe ch rhe srssuuenmenemihienet uen Et ue ne de E nid ide dE 61 6 2 Organigramme de la th se inserer 64 Partie B UN DESSIN DE L ESPACE 68 l TEST PROPOSE PAR BR PARZYSZ ren et nn Sn nie ne ten nie eee 68 1 1 R sultatedu test mine ete a Ea a EA E E E EEEO 69 1 1 1 Situati
137. La moiti des r ponses On ne peut rien dire sont justifi es par le manque d informations Pour 14 l ves la droite AB est soit s cante soit parall le au plan P Dans ce dernier cas on ne sait pas si les l ves la voient au dessus ou au dessous du plan D ailleurs un l ve a indiqu qu il ne connaissait pas la position du point A alors que pour un autre l ve c est la position du point B qu il ne connaissait pas L absence des pointill s n a pas permis 4 l ves de conclure c Exercice 10 i Justifications utilis es J10 a Oui car la droite est parall le une droite du plan J10 b Oui car la droite d n est pas s cante avec P J10 c Oui car d est parall le ou confondue avec P J10 d a se voit J10e Oui car la droite d est horizontale JI0f Oui car une droite parall le est repr sent e par une droite parall le J10 g On ne peut rien dire car elle peut tre incluse dans le plan J10h On ne peut rien dire car il manque des indications J10i On ne peut rien dire car il faudrait dessiner le plan contenant d et orthogonal p J10j On ne peut rien dire car il faut que la droite soit dans le plan Oui O R C E a wee e je e iee a ee Tableau 18 ii El ves ayant r pondu Oui La majorit des r ponses sont du type J10a ou J10b Certains l ves ayant justifi par J10a ont pr cis que la droite d est parall le deux droites de P Ce
138. La question que nous soumettons porte sur l exhaustivit des contraintes En effet celles ci ont t d gag es partir de l analyse des programmes et des manuels en tudiant la vie de certains objets et de leur interrelations Il s agit des objets dessin probl mes de construction et g om trie dans l espace Nous avons vu qu il existe des interrelations entre l objet probl me de construction dans l espace et l objet propri t s d incidence Nous nous sommes demand s ci dessus si le changement de vie des probl mes de construction a modifi la vie de l objet propri t d incidence Or on peut se demander si l volution des probl mes de construction n est pas aussi une cons quence d un changement de vie de l objet propri t s d incidence lui m me r sultat d un changement de vie d un autre objet Cela renvoie donc l cologie des propri t s d incidence dans l espace et l tude de ses interrelations avec l objet probl me de construction A partir de cette tude on peut voir si la prise en compte de l objet propri t s d incidence n est pas une autre contrainte pour la vie des probl mes de construction dans l espace La th orie anthropologique nous a permis de mettre en vidence des conditions de possibilit s de fonctionnement d un syst me didactique propos d un objet dessin en g om trie dans l espace et plus pr cis ment dessin dans la r solution des probl mes de construction dans l espa
139. On ne peut rien dire car la droite AB peut tre s cante P ou incluse dans P J5i On ne peut rien dire car il n y a pas de pointill s J5j On ne peut rien dire car on ne conna t pas la position de A JSK On ne peut rien dire car on ne conna t pas la position de B J51 On ne peut rien dire car la droite AB n est pas trac e X r ponse sans justification Oui ig To lio s l3 e 2 hun l3 2 i 2 Tableau 17 OR JSk ii Les l ves ayant r pondu Oui Justifications J5a Certains l ves ont formul par A est au dessus de P et B au dessous de P Ces justifications s inscrivent dans ce que nous avons appel interpr tation au dessus au dessous 5 La justification produite par l l ve A6 montre que le r sultat reste le m me pour d autres positions des points A et B pourvu qu ils restent dans des r gions du plan que l l ve caract rise par ne pas tre du m me c t El ve A6 oui Justification La droite AB est s cante avec le plan P car les points A et B sont plac s des deux c t s du plan Donc quelque soit leur position la droite AB est s cante avec le plan P Justifications J5b On pense que pour les l ves ayant donn ces justifications la droite d n est pas parall le au plan car la repr sentation de la droite AB est parall le aucun cot du parall logramme r gle d interpr tation droite plan 25 Conjecture 2 cf 1 1
140. a et R8a l l ve utilise une propri t g om trique pour la caract risation d un plan par trois points On notera ces cat gories de r ponses par P Les r ponses R1b Ric Rid Rle et R8b elles expriment que le plan est r duit au polygone qui le repr sente Ces r ponses manifestent l interpr tation du r gionnement de l espace int plan Les r ponses R1b et Rid sont sp cifiques du cas du solide interpr tation solide On notera cette cat gorie de r ponses Pg La variable solide doit renforcer les interpr tations favorisant les r ponses de la cat gorie Pg Donc on pense qu il y aura plus de r ponses du type Pg pour l exercice 1 que pour l exercice 8 Les r ponses R amp c l l ve sait qu un point peut appartenir un plan sans tre l int rieur du polygone le repr sentant Plusieurs hypoth ses sont possibles 1 il ne sait pas que trois points sont toujours dans un m me plan 2 c est un effet du contrat didactique propos de la r solution de probl me soit que l l ve n ait consid r que les l ments donn s dans le probl me soit qu il ait interpr t la question comme si on lui demandait les trois points appartiennent ils l un des plans repr sent s Notons que cette hypoth se peut tre valable pour les autres cat gories de r ponses 3 2 Exercices proposant l tude des positions relatives d une droite par rapport un plan Nous avons distingu deux variable
141. a jouer un r le important dans le passage du premier p le au second Comme le soulignent les instructions des programmes du coll ge l enseignement des math matiques comporte deux aspects Il apprend relier des observations du r el des repr sentations sch mas tableaux figures Il apprend relier ces repr sentations une activit math matique et des concepts BO n sp cial 4 30 Juillet 1987 4 1 L enseignement primaire 2 Selon les termes du B O 3 B O n 9 du 1 mars 1990 Les cycles l cole primaire CNDP 1991 p 58 Chapitre A 23 D s le cycle 2 de l cole primaire en g om trie plane on commence travailler sur le dessin comme objet physique alors qu en g om trie dans l espace l objet physique est le solide 4 2 L enseignement du coll ge 4 2 1 G om trie plane Au d but du coll ge Sixi me Cinqui me en g om trie plane le dessin est toujours consid r comme objet physique Le programme de sixi me se d finit d abord comme un prolongement de l cole primaire De l cole l mentaire les l ves apportent une exp rience des figures les plus usuelles L objectif fondamental en sixi me est encore la description et le trac de figures simples Au terme d un processus progressif le champ des figures tudi es est enrichi le vocabulaire est pr cis et les connaissances sont r organis es l aide de nouveaux outils notamment la sym trie orthogonale
142. a mise l preuve de l hypoth se de recherche fonctions du dessin comme contraintes nous nous proposions d analyser le rapport institutionnel l objet probl me de construction et son volution dans le temps par rapport aux fonctions du dessin dans l institution enseignement secondaire Dans un premier temps nous avons tudi la vie de l objet probl me de construction dans les p riodes o le syst me est en dynamique continue Ce qui correspond aux trois p riodes avant pendant et apr s la r forme des math matiques modernes que nous Chapitre A 61 avons nomm es respectivement p riode 1 p riode 2 et p riode 3 A cette fin nous avons proc d l analyse des probl mes de construction dans le plan et dans l espace par rapport la probl matique du dessin travers l tude de manuels et des programmes au cours de ce si cle Comme le dessin n a pas eu un r le important au cours de la p riode 2 nous nous sommes limit s aux p riodes 1 et 3 Nous cherchions montrer que le dessin n avait pas les m mes fonctions dans la r solution des probl mes de construction dans l espace au cours des deux p riodes 1 et 3 Pour cela nous avons choisi comme m thode l analyse des exercices r solus dans les manuels et des commentaires des auteurs sur les probl mes de construction leur r solution et ventuellement sur la place du dessin Cette analyse a t r alis e pour chacune de ces p riodes des mome
143. a toute une discussion l Ainsi pour cet enseignant la r solution de ces probl mes de construction est caract ris e par deux phases la premi re traite les conditions n cessaires et la deuxi me traite les conditions suffisantes c est la m thode de r solution par analyse synth se Cette d marche de r solution est caract ristique des probl mes de construction du type PCO o la t che demand e est la construction d un objet Chapitre C3 237 v rifiant des conditions d incidence Dans le chapitre C1 nous avons montr que ces probl mes vivaient pendant la p riode 1 1923 69 et tant absents de la p riode 3 1982 94 Le rejet de l exercice par rapport la d marche de r solution analyse synth se est en conformit avec les r sultats du chapitre Cl savoir que les probl mes de construction ont volu par rapport l algorithme de construction et par rapport la d marche de r solution Seulement nous n attendions pas ce que l exercice soit rejet par rapport la d marche de r solution mais plut t par rapport l algorithme de construction Si cet enseignant caract rise les probl mes de construction par la d marche de r solution analyse synth se alors ou bien les probl mes de construction propos s dans les manuels ne sont pas consid r s par cet enseignant comme des probl mes de construction dans l espace tant donn que la d marche de r solution des premiers
144. aire qu l aide d une construction voqu e qu on notera PCev 16 Nous reviendrons sur ce point au paragraphe d p 163 142 Pour les probl mes PCef la r solution peut utiliser une construction voqu e aussi bien qu une construction effective L analyse d autres exercices caract ris s comme des probl mes de construction montre qu ils sont du type PCev Pour illustrer nos propos nous consid rons le probl me suivant relev dans les manuels de l poque On l appellera Probl me 1 Celui ci sera repris dans la suite pour voir s il peut vivre dans l institution enseignement secondaire au cours de la p riode 3 1 2 3 Etude du Probl me 1 Enonc du probl me Soit P un plan d une droite s cante P et un point n appartenant ni d ni P Construire une droite passant par s cante d et parall le P Le probl me admet il une solution Nous proposons deux solutions pour ce probl me selon les r gles d finies ci dessus Nous avons r dig seulement la partie qui correspond la synth se Solution S1P1 Par on trace la parall le d la droite d Comme d est s cante avec P d l est aussi Soit J le point d intersectin de P avec d et K le point d intersection de P avec d Soit A la parall le la droite JK passant par A et JK d finissent un plan Q La droite d contenant les points et J du plan est incluse dans le plan Q La parall le d passant par K es
145. aires volumes Effectuer les repr sentations planes des solides eux m mes ou d une section par un plan en vraie grandeur ou en perspective cavali re Voil explicit e l expression la pratique des figures Terracher 1 SE 1991 p 226 Nous retenons A partir des programmes de 1985 sont propos es des activit s sur la repr sentation en perspective cavali re des solides et la r alisation de sections planes des solides usuels 1 4 Probl mes de construction en g om trie plane Les probl mes de construction sont absents des programmes de 1972 En 1982 les probl mes de construction sont essentiellement au programme de Seconde et Premi re titre de th mes indicatifs Probl mes de constructions r le des diverses m thodes analyse des propri t s de configuration recours une transformation emploi de l outil alg brique Programme de Premi re B O n 30 1982 En 1985 les programmes introduisent des activit s sur les constructions au coll ge Ainsi les programmes de Sixi me accordent une grande place aux activit s de construction Elle accorde une grande place l activit de construction de r alisation de dessin de r solution de probl mes Programme de 6 B O n sp cial 4 30 Juillet 1987 10 La d marche utiliser 186 Tout au long du coll ge les programmes des diff rentes classes explicitent les comp tences d velopper c
146. aissent a priori importants pour l analyse des interviews Le logiciel tudi logiciel du plan logiciel de l espace Le temps d utilisation du logiciel Logiciel utilis Oo Cabri Geospae 1 5 Analyse a priori Nous examinerons les phases productions papier crayon et production Geospace 1 5 1 Productions papier crayon Nous avons mis en vidence dans le chapitre C3 des crit res que doivent v rifier les r ponses des l ves par rapport aux attentes d enseignants pour les probl mes de construction dans l environnement papier crayon selon le rapport institutionnel R24 3 N utilisant pas d environnement informatique 4 R2pap signifie rapport institutionnel l objet probl me de construction dans l espace dans l environnement papier crayon dans l institution enseignement dans l enseignement actuel Chapitre D2 301 Ainsi les productions d l ves pour les probl mes de construction effective doivent tre accompagn es d un dessin d un algorithme de construction effective et d une justification L tude des diff rents cas n est pas exig e si l nonc est accompagn d un dessin sur lequel les donn es sont repr sent es Compte tenu des choix des exercices et des productionsf ils devraient tre valu s selon le rapport R2 comme suit a Exercice production EP I Cet exercice est conforme aux attentes des enseignants selon le rapport institutionnel R2 Cependant on peut attend
147. ale un nouveau programme a t dit en 1994 Nous signalerons des modifications ventuelles du programme dans la partie synth se pour chacun des th mes 1 1 G om trie dans l espace 1 1 1 Programmes de 1972 En Sixi me il s agit d tudier les objets physiques cubes cylindres etc donnant lieu des mesures masses volumes masses volumiques C est en classe de Cinqui me que l tude des objets g om triques de l espace se met en place Premi re tude concr te de l espace Il s agit d une simple description on r visera d abord les notions correspondantes dans le plan Droites demi droites segments plans demi plans positions relatives de deux droites d une droite et d un plan de deux plans droites et plans perpendiculaires sommets faces et ar tes d un t tra dre et d un pav oblique Programme de Cinqui me Arr t du 19 mars 1970 Ensuite la g om trie dans l espace est absente des programmes des classes de Quatri me Troisi me et Seconde Dans les classes de Premi re et Terminale l espace est tudi en tant qu espace vectoriel affine et euclidien 1 1 2 Programmes de 1982 Le programme du coll ge se r duit des observations sur des solides des lignes et la mise en place du vocabulaire pour les objets g om triques qui mod lisent les objets physiques de l espace plans horizontaux droites verticales plans verticaux 1 B O n 22 bis du 9 juin 19
148. amide dont la base ABCD est un quadrilat re K est un point de l ar te OA L est un point de l ar te OD et M un point de l ar te OC Construire l intersection du plan KLM avec le plan ABC R ponse Dans Le plan ocbd En A SD ze ken donc 1e ABC Prinlecsection des plans kin et ABC Te Ln donc Te cb Donc apparti ent Dans Re Plan 0AD Lk Ad T Te ktaj je ABc Donc T appartient kLn et ABC Donc 3 appartient a Prialersection des Plans Lkin ek ABC je lk donc Jefa donc Comme Iet y sont deux Points distincts r kunja 48c 13 246 Exercice production EP II EP II Soit ABCD un t tra dre I est un point du segment AB et J un point du segment AC Construire l intersection de la droite IJ et du plan BCD R ponse fes dao le zJ et 8 c sot coplanainres Ai z H Be a lns H m y a pe E N xf esE s canle avc B c en K J 4 f8c gt 2 f ky Chapitre C3 247 Exercice production EP ITa EP IIa Soit ABCD un t tra dre I est un point du segment AB et J un point du segment AC Construire l intersection de la droite IJ et du plan BCD k Dom le plam 80 Re dute TD ef Bo Ho co pomade j Bc kK dre 3 Kx e Bcd umwe K a BE mc 51 Bb Exercice production EP III EP III ABCDEFGH est un pav droit K est un point du plan ABC J est un point du plan FGH Construire l
149. ande un certain nombre volontairement limit de constructions l mentaires on ne peut d finir une droite que par deux points ou par un point et une direction un point ne peut tre d fini que comme intersection de droites mais on peut aussi choisir un point mobile sur une droite ou un segment Le logiciel GEOSPACE dont INTERSEC est issu permet un plus grand nombre de constructions supprim es ici en raison des objectifs fix s Par exemple on peut d finir un point comme intersection d une droite et d un plan ou une droite comme intersection de deux plans Dans un exercice dont le but est de construire l intersection de deux plans ou celle d une droite et d un plan il a fallu videment supprimer ces possibilit s Donc en modifiant le menu du logiciel GEOSPACE les probl mes du type PCef AS intersect peuvent vivre dans l environnement selon les m mes objectifs fix s par l institution 2 4 Etude du manuel Imagiciel Seconde Nous proposons dans ce paragraphe d tudier le manuel Imagiciel seconde pour la classe de Seconde Le manuel s inscrit dans l esprit des programmes de Seconde de 1990 en proposant des activit s avec des logiciels Imagiciels issus du logiciel Geospace Nous cherchons comparer la partie cours et la partie exercices de ce manuel par rapport un manuel classique Pour les exercices nous nous int resserons plus pr cis ment aux types de probl mes de construction propos
150. angs sur mo travail amp par ler sutim moal Je ran de A na P aula J an She Sary L awgne L udle V ad rd Julim R diand Dris M easari amp R d t N r par lerde qu ils at j au s n du grape de th ar ds un maneat a un autre P ar ma meaqui a tant sacrifi par ma Jeran de ma m ge ma tante Z ukida Chaadaia amp mm mdeM damal M o ffak par lar sutin moal ms mds A kWddhak Z igari amp A kddma la C haadoua pur le stie l aide qu ils m at appot ms sins R Awan B a Sdfaj amp Said M ffak qui m ont aaualli a Fran M amp ranadanamts wt tus ls mmbe ds uips Didatah amp EIA H qui par les d ats siatifiqus ami aux moat aridi sur le plans intdletud amp humain Enfin je ran de tus les asagnants qui moat aauaglli dans lars dasses les d s des dasss de Samde du L y Stadhal qui at acpt de se saim tre aux quetimnairs Table des mati res Partie A PROBLEMATIQUE DU DESSIN sseseennnnnnennnennnnennnnennnnnenenenenenes 17 1 DESSIN FIGURE OBJET GEOMETRIQUE ET OBJET PHYSIQUE ess eseeereeeeesnreeeesseeeeenseneee 17 2 OBJET PHYSIQUE OBJET GEOMETRIQUE nero 19 3 STATUT DU DESSIN DANS L ENSEIGNEMENT sisi 19 3 1 Dessin comme objet physique sense 19 3 2 D ssincomme Mod le nitoriti R aA A E EEEE E E ae trm dit us 20 3 21 Dessin comme mod le d un objet g om trique 21 3 2 2 Dessin comme mod le d un objet physique ss 22 4 EVOLUTION DU STATUT DU DESSIN DANS L ENSEIGNEMENT ACTUE
151. ans la partie synth se permettant de r aliser la construction demand e Souvent on utilise des propri t s de certaines configurations usuelles Consid rons l exemple trait dans le manuel Terracher 2 p 230 Exercice r solu 1 Une construction d Euclide Etant donn un cercle C de centre O et un point A ext rieur C construire la r gle non gradu e et au compas les tangentes au cercle C issues de A 27 Terracher 2 1994 p 230 150 1 La figure d tude Voil ci contre la figure que nous voulons r aliser Compte tenu en effet de la d finition d une tangente un cercle nous voulons trouver P et Q sur le cercle C de fa on que APO et AQO soient des angles droits Le th or me de l angle droit nous dit que dans ces conditions P et Q doivent appartenir au cercle de diam tre OA R sumons P et Q doivent appartenir au cercle C et au cercle de diam tre OA 2 Construction et justification a Le programme de construction Construisons la r gle est au compas le milieu I de OA puis le cercle I de diam tre OA qui est videment de centre I Ce cercle rencontre C en deux points P et Q b La justification Il est clair que OPA et OQA sont des angles droits cf Th or me de l angle droit Cours p 219 Ainsi les droites AP et AQ sont tangentes au cercle C La partie analyse propose de r aliser la figure objet de construction mais sans dire comment la r alis
152. apier crayon sans le b n fice de r gles d usage utilisant des arbitraires ou d avoir recours aux algorithmes de construction selon les sch mas fig 48 50 Autrement dit les probl mes de construction effective et voqu e dans l environnement papier crayon peuvent vivre dans l environnement Geospace avec les m mes exigences au niveau de l algorithme de construction par l utilisation des primitives et donc selon le m me contrat didactique Donc tous les probl mes de construction sont des probl mes de construction effective dans l environnement G ospace La possibilit de construire des plans ou des droites orthogonaux une droite ou un plan permet la vie d autres probl mes de construction C est l un des exemples propos dans la brochure du logiciel construire une perpendiculaire commune deux droites non coplanaires Les primitives g om triques disponibles vont donc permettre d autres probl mes de construction de vivre De la m me fa on on peut se demander si des probl mes de construction ne peuvent plus vivre dans l environnement Geospace En effet la recherche de section plane d un plan avec un solide par exemple n est plus un probl me g om trique en soi dans la mesure o le logiciel permet de construire l intersection de deux plans A cet effet l ensemble Imagiciel 16 propose un logiciel INTERSEC d exercices de construction dans l espace 2 3 2 Le logiciel INTERSEC Ce logicie
153. apitre A cf 6 p 51 selon laquelle la fonction du dessin papier crayon ne peut pas tre remplie au m me titre que dans le plan Seuls les programmes de 1994 proposent une seule formulation la pratique des figures est centrale aussi bien en g om trie plane qu en g om trie dans l espace Eo S 5 quelques solides et patrons 4 Usage des repr sentations en Cf 1985 3 perspective et de la fabrication des patrons 3 Repr sentation d un solide idem 1982 Pratique des figures centrale par des PO sur 2 plans Plus d accent sur la pratique des perpendiculaires bien figures comme repr sentation choisis 8 d objets de l espace Repr sentation par PC Repr sentation l aide des Emploi des repr sentations Pratique des figures centrale projections orthogonales de graphiques croquis projection S assurer qu ils ont une bonne solides tels que t tra dres orthogonale sur un plan bien choisi pratique des r gles permettant la r guliers cubes prismes dessin en vraie grandeur d une r alisation de sections en PC pyramides 1 section plane mais g om trie Mais tout expos sur la PC est HP descriptive et PC non exigibles Pratique des figures centrale Tableau 27 Comme dans le cas de la g om trie plane nous nous interrogeons sur ce que signifie la mention la pratique des figures est centrale Est ce que c est dans le m me sens qu en g om trie plane cf 1 2 5 p
154. as de la g om trie dans l espace le dessin n est pas objet d tude dans la partie analyse Notons que cela est conforme ce que nous avons montr dans le chapitre A a priori la fonction d exp rimentation du dessin papier crayon ne peut pas tre 15 Ces donn es correspondent l ensemble des exercices de g om trie dans l espace des manuels de Seconde et de Premi re 16 cf 3 1 p 166 17 Comme c tait le cas de la p riode 1 Chapitre C2 203 remplie au m me titre que dans le plan en tant que mod le du domaine de r alit g om trie dans l espace Cela justifie que l tude de configurations n ait jamais t pr sent e comme outil de r solution des probl mes de construction Par exemple les programmes de 1982 proposent la mise en oeuvre des transformations pour la r solution des probl mes de construction dans l espace alors que pour les probl mes de construction dans le plan plusieurs outils sont pr sent s comme tude de configuration transformation outil alg brique De plus la d marche de r solution pour les probl mes de construction ci dessus dans le cas du plan et de l espace est analyse synth se 20Donc la partie analyse ne peut pas s appuyer sur le dessin comme mod le d exp rimentation dans le cas des probl mes de construction dans l espace dont la d marche de r solution est analyse synth se Il en r sulte que ces probl mes de construction ne remplissent pas les
155. as en termes de trac s n utilisant comme seuls instruments de dessins que la r gle et le compas constitue un changement de probl matique et le passage du point de vue du math maticien un faux point de vue de dessinateur faux puisque c est l introduire des contraintes trang res son art 29 Les objets g om triques que l on consid re dans les probl mes de construction en g om trie plane sont point droite et cercle Le passage au trac peut se faire sur une feuille de papier l aide des instruments r gle et compas Si de tels probl mes existent dans la g om trie dans l espace le passage au trac va d pendre du mode de repr sentation choisi De plus ce passage se manifeste par une perte d informations compte tenu de la non bijectivit entre l espace g om trique et la feuille de papier moins de consid rer plusieurs projections comme dans le cas de la g om trie descriptive Cette derni re permet de consid rer les probl mes de construction selon une 126 probl matique analogue celle de la construction la r gle et au compas en g om trie plane X UV i ui bu i cle nou i L examen des ouvrages d enseignement depuis le d but de ce si cle nous a permis de rep rer des probl mes que nous avons qualifi s de probl mes de construction dans l espace par rapport au crit re suivant la t che demand e est de construire un objet v rifiant une ou des conditions g om triques
156. atar de R ehe des CN R S d av r ben valu pr id lejury Je ranade Gilet A rsac P rdessar des U nivwsit Lym 1 amp Y ves Chaallard P rdessar des U niwsit l IU FM deM ars lle d avdr agpt derappat sur ma travail Jerana de aussi M add ne Ekrhard M a tre de mf n s Gradiel B nard P arzysz M a tre de mf n M amp d av r ampt de faire partie du jury de satman de atte th se J xprime ma ramnaissane B nard Cappni par sa partidpatin aux diff ates r amp nians de travail par sa grande p im il m a appo t des r l ias sur l as gnaneat de la g m rie dans l spa T esa A ssude par sa antrilitio man travail par ls diff ats hangs qui m ont p mis de pr is des tils d analyse de pr dade Ce travail n aurait pas pu akutir sans le satim moal de ma fanme Y asmina C est gr aux mauraganats qu dle m a praigu amp l int amp qu dle a p t la r ussite de travail que j ai pu surmat des maneats diffidle Je la ranade par sa ampr msin fa ma faike dispniblit pa dant s ann s Je rana ade me amis P aula M ra B altar M arilma B ittar V anda L umgo amp Fran B dlamain par le satin moal l aide qu ils m at apport tait au Img de s ann s jusqu au kut M amp ran danats wnt aussi M ir lle Dupraz par avr acmpt d r e latri dans la phase de radin Je ran de A nnieB esd amp M add ne Ebrhard par les h
157. ation pour les exercices 6 et 7 Seuls les cas les plus fr quents seront analys s i Cas des justifications JO2 en ce qui concerne l exercice 6 Dans le paragraphe 5 4 1 a ci dessus nous avons suppos qu un l ve ayant r pondu oui l exercice 6 en donnant la justification JO2 en prolongeant les droites on voit qu elles sont s cantes devrait r pondre oui la question 7 Or il ressort que tous ceux qui ont justifi par JO2 dans le cas de l exercice 6 ont r pondu On ne peut rien dire dans le cas de l exercice 7 avec la justification JR1 Dans ce cas on peut se demander quel est le type d information qui manque Trois l ves B4 A20 et D18 ont indiqu que d peut tre au dessus ou au dessous de d Ces l ves ont expliqu oralement et en montrant avec leur doigt que d et d peuvent appartenir respectivement deux plans strictement parall les sans qu elles soit parall les Cette explication a t avanc e par l l ve B12 qui avait indiqu sur la feuille On sait pas s il y a un espace entre les deux Ce qui met en vidence une r gle d interpr tation concernant les positions relatives de deux droites dans l espace chez ces l ves Si deux segments repr sentant deux droites d et d sont s cants et si on sait que ces deux droites sont dans deux plans s cants alors d et d sont s cantes Dans cette r gle on ne pr cise pas si l hypoth se ces deux droites sont dans deux plans s cants doit t
158. attentes d enseignants In S minaire de didactique des math matiques et de l informatique pp 163 188 Grenoble LSD2 IMAG CHEVALLARD Y 1992 Le caract re exp rimental de l activit math matique Petit x 30 5 15 CHEVALLARD Y 1991 La transposition didactique Grenoble la pens e sauvage COURIVAUD J 1991 Le traitement graphique des images de g om trie Rep re 4 5 19 DEFORGE Y 1981 Le graphisme technique son histoire et son enseignement Paris PUF DOUADY R 1984 Jeux de cadres et dialectique outil objet dans l enseignement des math matiques Th se d tat Paris Universit de Paris VII DOUADY R 1986 Jeux de cadres et dialectique outil objet Recherches en Didactique des Math matiques 7 2 5 31 FLADE L GOLDBERG E WALSCH W 1990 Utilisation de l informatique dans l enseignement des math matiques potentialit s et limites In S minaire de didactique des math matiques et de l informatique pp 175 187 Grenoble LSD2 IMAG GONSETH F 1946 La g om trie et le probl me de l espace Ed Griffon Neuch tel HILBERT D COHN VOSSEN S 1952 Geometry and imagination New York Ghelessa publishing company HILLEL J KIERAN C 1987 Schemas used by 12 year olds in solving selected turtle geometry tasks Recherches en didactique des math matiques 8 1 2 61 102 339 340 LABORDE C 1988 L enseignement de la g om trie en tant que terrain d exploration de ph nom nes didac
159. au compas rappel es dans la note 1 p 124 Or dans les manuels consult s les corrig s d exercices n explicitent pas toutes les tapes Par exemple une solution peut proposer comme tape de construction e une droite perpendiculaire une droite donn e passant par un point e une droite parall le une droite donn e passant par un point sans donner les moyens pour les r aliser Autrement dit l institution suppose que l l ve sait r aliser ces constructions et donc n exigera pas qu il r alise les diff rentes tapes de construction C est dans ce sens que nous dirons que cette construction est une primitive Une construction est une primitive lorsqu il n est pas n cessaire d expliciter les diff rentes tapes de sa r alisation Elle se fait donc en une seule tape Mais on suppose qu on a les moyens de justifier et de r aliser les diff rentes tapes de la construction Les primitives de construction g om triques peuvent changer d une institution une autre Dans la suite nous appellerons ces primitives de construction Pcplan point droite cercle Preuve de constructibilit ou justification Elle permet de justifier l existence et de discuter les diff rents cas en utilisant les propri t s du cours Trac Toutes les solutions des exercices propos es dans ces manuels sont accompagn es d un dessin dans la partie analyse Celui ci illustre les diff rentes tapes de l algorithme de
160. bl me et plus particuli rement la fonction d exp rimentation Lors de la r solution du probl me l l ve est invit faire ou refaire le dessin pour illustrer l nonc Cette fonction d illustration d pend du domaine de fonctionnement C est partir de ce dessin que le travail exp rimental peut se mettre en place exploration conjectures construction d objets interm diaires Cette phase heuristique se fait avec un aller retour entre les connaissances g om triques et les propri t s spatiales du dessin ce qui d pend du domaine d interpr tation associ au dessin La fonction d exp rimentation est conditionn e par les deux domaines associ s au dessin domaine de fonctionnement et domaine d interpr tation De plus le sujet mettra d autant mieux en oeuvre cette fonction du dessin qu il a la possibilit d appr hender et d interpr ter le dessin 5 2 Le dessin en g om trie dans l espace Si en g om trie plane le dessin intervient trois niveaux et avec diff rentes fonctions on peut se demander ce qu il en est en g om trie dans l espace Cette interrogation nous a conduit examiner tout d abord les probl mes de repr sentation des objets de l espace En effet la repr sentation des objets g om triques de l espace de dimension trois par des dessins sur une feuille de papier de dimension deux se fait par une ou plusieurs projections De ce fait dans le cas d une seule projection il y a forc ment perte
161. cation et distinction entre tracer et construire Nous pr sentons un r sum des diff rentes r ponses tableau 2 pour chaque enseignant Ordre des pr sentations des exercices Ordre 1 EP I EP IHa EP IL EP III EP IV EP IVa El Ordre 2 EP I EP Ia EP IL EP II EP IVa EP IV E2 E3 Construction oui owi ow non non non EPI eu een veu EPIV EPVa Ee El Justification owi f oi f oi o oo EE sification oi oi f owi S o Autres r daction o o o o Trac oi omi f owi faire faire Discussion owi fie oui fJ J J E3 Justification owi owi owi Tableau 43 R ponses des enseignants Phase 2 Nous constatons une r gularit de r ponse pour les trois enseignants Pour le cas des enseignants E1 et E2 il n y a eu de d saccord entre eux que de fa on ponctuelle 3 2 1 Examen de la r gle discussion Nous analyserons l entretien avec les enseignants relativement aux deux variables probl me avec ou sans dessin et la r ponse distingue ou non les diff rents cas 250 a Exercice production EP I C est un probl me avec dessin mais la r ponse ne distingue pas les diff rents cas Tous les enseignants ont manifest le souci de v rifier d s le premier exercice la question de distinction de diff rents cas 4 E3 K L et M sont donn s l elle montre le dessin 5 Obs Oui ce que j ai donn c est l nonc et le dessin l
162. ce Nous pensons que ce travail peut constituer un point de d part d autres tudes cf les questions soulev es dans les paragraphes ci dessus relevant de l cologie ou de l conomie du syst me didactique nous avons formul ci dessus quelques questions pouvant relever de ces tudes 333 334 Une partie de notre travail a consist tudier le rapport institutionnel l objet probl mes de construction dans l espace et le rapport des enseignants cet objet Certains l ments de cette tude peuvent tre consid r s dans la probl matique du contrat didactique En particulier les l ments des observations des enseignants chapitre C3 dans leur classe Ce travail peut contribuer l tude de l articulation entre l conomie et l cologie d un syst me didactique ce propos nous renvoyons au travaux de D Menssouri 1994 et T Assude 1996 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ARSAC G 1989 La construction du concept de figure chez les l ves de 12 ans In Actes de la 13 me conf rence Psychology of Mathematics Education Vol I pp 85 92 Paris Ed GR Didactique ARSAC G CHAPIRON G COLONNA A GERMAIN G GUICHARD Y MANTE M 1992 L initiation au raisonnement d ductif au coll ge Lyon IREM de Lyon et PUL ASSUDE T 1996 De l cologie et de l conomie d un syst me didactique une tude de cas Recherches en didactique des math matiques 16 1 47 70 BALACHEFF N 1994a Transposition
163. ce Nous avons adopt la m me grille de lecture que celle utilis e pour l analyse des manuels classiques dans le chapitre C2 classiques Images logicielles Repr sentation 10 0 E E a Objco d PCev AS intersect 0 0 O PCev SS Obj cond 0 4 PCev SS intersect 0 J0 i PCef AS Obj cond 0 0 Pcef SS Obj cond 0 Uo Pcef SS intersect 3 J0 i Incidence sans constr 17 6 Toal 46 28 Seconde 1990 Nous constatons que des probl mes de construction voqu e sont propos s presque autant de probl mes de construction effective que de construction voqu e Cela montre que les deux types de probl mes peuvent coexister dans l environnement informatique Geospace En effet nous pensons que les primitives offertes par l environnement Geospace 2 3 1 permettent aux deux types de probl mes de vivre selon le m me contrat didactique 2 5 Conclusion L analyse pr c dente montre que des possibilit s offertes par l environnement Geospace permettent d largir le champ d exp rimentation du dessin ei par rapport au dessin papier crayon En particulier la possibilit de se placer dans un plan donn et les types de messages envoy s par l environnement suite des actions du sujet Cependant certains choix des concepteurs peuvent favoriser des conceptions erron es et r duire les domaines de fonctionnement et d interpr tation du dessin ei En effet 19 Les chiffres de cette colonne c
164. cessaires d terminer les conditions en termes de relations avec les objets donn s que doit v rifier l objet construire Ici on suppose que l objet existe Dans notre exemple si BC existe le point C appartient la droite D et au plan A D Le dessin n est pas pr sent comme objet d tude La deuxi me traite les conditions suffisantes donner les moyens en justifiant pour construire l objet partir des donn es Il s agit de v rifier parmi les conditions n cessaires celles qui sont suffisantes Elle prend en charge l existence et ventuellement l unicit Nous reconnaissons l une d marche d analyse synth se Mais il est int ressant de noter que l auteur n a pas explicit qu il s agit d une d marche par analyse synth se 2 Algorithme de construction D o nous d duisons un programme de construction construire l intersection du plan P d fini par A et la droite D avec la droite D tracer la droite AC construire l intersection de AC avec la droite Di c est le point B 3 Preuve de constructibilit En r pondant aux contraintes impos es la solution donne les conditions de l existence et montre que la droite BC est unique 4 Trac La solution est accompagn e d un dessin Fig 12 Seulement il n est pas dit comment le point C a t construit intersection du plan P avec la droite D2 On peut se demander si ce point a t plac de fa on arbitraire N
165. che est la construction d un objet sous conditions PCev SS Obj cond pendant la p riode 1 vers des probl mes de construction effective avec solide et dont la t che est la construction d une intersection PCef AS intersect pendant la p riode 3 Notons une corr lation entre l augmentation des probl mes de repr sentation et le passage de probl mes de construction voqu e aux probl mes de construction effective Cela est en conformit avec les orientations des programmes relatives la pratique du dessin en g om trie dans l espace 3 CONCLUSION RETOUR SUR L EVOLUTION DES PROBLEMES DE CONSTRUCTION AU COURS DE CE SIECLE Nous proposons dans ce paragraphe de r pondre aux questions soulev es en fin du chapitre pr c dent Question 1 200 En plus du crit re construction effective voqu e y a t il d autres crit res permettant de caract riser la diff rence entre les probl mes de construction en g om trie dans l espace entre les p riodes 1 et 3 Question 2 Pourquoi cette volution du type de probl me de construction dans l espace entre les deux p riodes 1 et 3 Pour la premi re question nous avons montr dans le paragraphe pr c dent que les probl mes de construction ont volu non seulement par rapport au crit re effective voqu e mais aussi par rapport aux caract ristiques suivantes avec ou sans solide et type de t che En effet nous avons montr que les probl
166. cherchera mod liser 3 2 1 Dessin comme mod le d un objet g om trique Le dessin est ici consid r comme signifiant d un r f rent th orique Nous sommes alors dans le cas envisag par Capponi et Laborde M diane d un triangle Soit PIA un triangle quelconque et soit PF la m diane passant par P F Comparer les aires des triangles PIF et PAF Pythagore 5 1987 p193 Chapitre A 21 L nonc de l exercice ci dessus est accompagn d un dessin qui renvoie un objet g om trique triangle PIA et sa m diane PF Examinons les rapports entre ce dessin et l objet g om trique Le dessin permet de rendre compte de certaines propri t s de l objet g om trique F milieu du segment AI se traduit sur le dessin par l galit des longueurs des segments IF et FA de plus sur ce dessin sont plac es des marques typographiques sur chacun des segments IF et FA pour d signer l galit de leurs longueurs Par contre le dessin ne peut rendre compte de toutes les propri t s g om triques et il ne le fait que partiellement Il y a deux raisons pour cela La premi re est que certaines relations ne sont pas visibles directement comme l galit des aires des deux triangles PIF et PAF La deuxi me est l ambigu t des relations par exemple un point repr sent sur le segment IF peut appartenir au segment IF ou la droite IF En g om trie dans l espace plusieurs propri t s de
167. cite dans l enseignement La lecture d un dessin va d pendre d une part des propri t s g om triques disponibles chez l l ve et d autre part d une lecture perceptive r sultat d un apprentissage qui n est pas sous la responsabilit de l enseignant et qui est donc pour une part culturel Dans certains cas ces deux aspects peuvent tre en conflit 1 TEST PROPOSE PAR B PARZYSZ A propos de la lecture de dessins dans l espace Parzysz 1989 dans sa th se rend compte d un test construit pour savoir comment les l ves du lyc e interpr tent en ce qui concerne les positions relatives de leurs diff rents constituants quelques dessins classiques relatifs des situations courantes de la g om trie de l espace faisant intervenir des plans des droites et des points Parzysz 1989 p 263 Nous proposons d abord de rappeler les r sultats de ce test 1 Parzysz B 1989 Chapitre 10 de la th se Lecture de situations classiques pp 263 286 68 1 1 R sultats du test Cinq situations ont t propos es des l ves de seconde et premi re Pour chacune de ces situations un dessin accompagn d un texte d crivant les objets repr sent s mais non les relations des objets entre eux est propos L l ve doit indiquer ses r ponses dans un tableau Il doit choisir une proposition parmi celles qui lui sont propos es Ces propositions portent sur les positions relatives des objets ou des relations d inci
168. connu et g r par le logiciel en tant que tel E CH Et donc la machine par le calcul ne le reconna t pas comme l ment du plan Ceci nous interroge sur le rapport de l enseignant l environnement informatique dans la classe de math matiques et en particulier pour ce logiciel Geospace Cette question ne rel ve pas de notre cadre d tude Cependant la suite de l interview nous a apport quelques l ments de r ponse En effet apr s avoir pr cis l enseignant que le point J tait plac sur la droite et ensuite il a t d plac l endroit de l intersection de fa on perceptive l enseignant fait des commentaires sur l emploi des logiciels en math matiques E CH Du point de vue p dagogique je me dis qu il y a un truc qui est compl tement ferm puisqu il y a un logiciel lui il sait trouver le point J et nous on ne sait pas le faire Et pour l l ve il faut qu il consid re Donc le logiciel le trouve par les calculs ils sont hors de port es des l ves donc il y a vraiment une v rit l int rieur de la machine et qui est inaccessible C est fou a d un point de vue p dagogique Si vous mettez un exercice que seul l ordinateur sait le r soudre par le calcul nous on est l pour faire quoi C est a le but que vous fixez que l l ve arrive conclure qu il ne sait pas Nous y reviendrons sur ce point apr s l analyse de l activit GEO 3 c Activit GEO 3 Comme dans la situatio
169. ction Etant donn qu un probl me de construction voqu e ne peut avoir de solution de construction effective trois cas sont distinguer a Construction effective pour un probl me de construction effective Compte tenu des autres variables trois exercices productions sont propos s EP I EP II et EP IIa D apr s les r sultats de la phase 1 les enseignants doivent analyser ces exercices productions selon le rapport institutionnel R2 Nous cherchons en particulier v rifier certains crit res que doivent v rifier les r ponses d l ves du type construction effectives b Construction voqu e pour un probl me de construction effective Nous avons choisis l exercice production EP II pour v rifier la validit de la r gle suivante R gle Construction voqu e PCef Une r ponse correcte un probl me de construction du type PCef utilisant une construction voqu e est rejet e 242 c Construction voqu e pour un probl me de construction voqu e Nous proposons deux exercices productions EP IV et EP IVa dont les productions sont correctes Dans EP IV la solution utilise la r gle d usage RU P P et dans EP IVa la r gle d usage RU P D Nous cherchons voir d une part si les enseignants acceptent ou non les solutions correctes des probl mes de construction voqu e d autre part s il y a une diff rence dans l analyse des enseignants selon qu on utilise la r gle RU P D ou RU P P En
170. ction avec la droite d il a conclu On ne peut rien dire Justification car on n a aucune pr cision sur cette droite Elle peut aussi appartenir au plan HGDC 21 Propos recueillis oralement 100 he Enfin pour l exercice 11 il a prolong les droites AB et CD et ayant un point d intersection avec la droite d il r pond Oui Justification D apr s le dessin Pour l exercice 4 deux l ves ont r pondu que la droite d est dans le plan ABCD en justifiant leur r ponse par l absence des pointill s Car si la droite d n est pas dans le plan ABCD alors elle devrait lui tre s cante Ces l ves n ont pas envisag le cas o la droite peut tre parall le au plan ABCD moins que pour eux le plan ABCD ne soit confondu avec le plan de la feuille et que par cons quent la droite ne puisse tre que derri re ce plan comme l a explicit l l ve A8 El ve A8 r ponse Oui Justification Oui car si elle n avait pas t dans le plan ABCD la partie coupant le cube aurait t en pointill signifiant qu elle n est pas visible en r alit car elle se trouve derri re le plan ABCD d Justifications Ja Utilis es en majorit dans l exercice 4 Les l ves explicitent que d est s cante avec deux droites du plan ABCD en citant souvent les droites AC et CD Nous pensons que pour beaucoup d l ves c est l absence de marques qui induit cette r ponse e Just
171. ctivit s sur le dessin permettent la mise en place des notions et des propri t s g om triques tout au long du coll ge Par exemple propos des transformations tudi es au coll ge les programmes de la classe de Quatri me pr cisent Comme en Sixi me et Cinqui me les activit s porteront d abord sur un travail exp rimental permettant d obtenir un inventaire abondant de figures partir desquelles se d gageront de fa on progressive les propri t s conserv es par translation ou rotation propri t s qu on exploitera dans des trac s Programmes Quatri me B O n 25 du 30 06 88 Le programme de Troisi me pr cise que tous les travaux font appel aux figures usuelles Donc au niveau coll ge l objectif fondamental est la description et la repr sentation des objets g om triques par un dessin Les travaux sur le dessin en g om trie plane permettent de d gager des notions et des propri t s g om triques Au lyc e seul le programme de la classe de Premi re explicite les fonctions du dessin En effet parmi les quatre objectifs essentiels de la g om trie plane les programmes pr cisent que le dessin doit tre utilis dans la partie heuristique du probl me et aussi dans la production de la solution la mise en oeuvre de figures tous les stades de la recherche et de la r daction Programmes de 1 SE B O n 26 1985 1 2 4 Programmes de 1990 Aucune modification des programmes du coll
172. d abord il n a pas fait la construction on ne la voit pas il n a pas r pondu la question pos e Et puis en plus ici moi je ne peux pas faire la construction qu il a dit le plan Q il est d fini d accord on voit bien et P et Q se coupent suivant A mais comment tracer C est pas mal finalement moi j ai pas cherch avant avec ce qu il dit P et Q se coupent suivant A c est juste mais comment je trace A Et puis apr s effectivement si on a on trace dans ce plan la droite passant par A et parall le A 256 E3 constate que la m thode est juste mais le probl me est de d terminer comment tracer la droite A ii Cas de EP IVa L enseignant compare les deux solutions EP IV et EP IVa 37 E3 lit la production 38 E3 Le probl me c est o poser le point J Et ben l c est pareil au niveau de la th orie les deux th ories sont exactes mais ce qu on demande c est la r alisation et l a n avance pas comment je trouve l intersection le point J Il soul ve alors le probl me de la d termination du point J Toujours la recherche d une solution exacte au sens construction effective il demande s il n y a pas d autres solutions 39 E3 Est ce qu il y a une autre avec la solution finale 40 Obs Pour cet exercice il n y a pas de moyen de construire le point J de fa on pr cise 41 E3 Ah a me rassure 42 E3 C est un exercice qui est int ressant qu on pourrait le donner en modules o i
173. de construction on proc de par analyse et synth se Mais encore faut il une m thode d analyse Le plus souvent elle consiste reconna tre au milieu des l ments de la figure suppos e r ussie en r alit faite rebours un mod le connu par exemple un trap ze sugg rant une homoth tie ou un parall logramme une m diatrice etc Une autre m thode d analyse plus originale mais naturelle cependant consiste imaginer ce qui se passerait si on lib rait l objet construire de l une des contraintes impos es Ainsi dans la d marche analyse synth se deux m thodes sont propos es pour l analyse La premi re est de d gager l algorithme de construction partir de l tude de la figure et la seconde par abandon de contraintes Dans les exemples trait s les auteurs soulignent l importance de la figure pour les deux m thodes Notons que les probl mes de construction qui illustrent la deuxi me m thode d analyse utilisent la transformation comme outil Dans ce cas la partie analyse se fait en deux tapes Soit S le syst me des contraintes impos es pour la construction F On cherche un sous syst me de contraintes S de S de contraintes de sorte que la construction soit facile ou connue On r alise la construction selon S On obtient F F sous contraintes S On cherche comment caract riser la construction sous Se C est ce niveau que la transformation intervient on che
174. de construction en g om trie dans l espace Les probl mes de construction sont absents des programmes de 1972 Les textes des programmes de 1982 1985 et 1990 mentionnent les probl mes de construction dans l espace uniquement en classe de Premi re En 1982 les probl mes de construction sont propos s dans le cadre des th mes facultatifs Chapitre C2 187 Les programmes distinguent deux comp tences pr sent es s par ment relatives aux probl mes de construction la r solution des probl mes de construction par la mise en oeuvre des transformations de l espace Utilisation de transformations simples de l espace telles que translations et homoth ties pour la r solution de probl mes de constructions Programme de 1 B O n 30 1982 la d termination d intersection d objets g om triques par la technique de l pure Celle ci est destin e la section E facultatif pour les sections S Autrement dit dans la premi re comp tence la repr sentation est vacu e De m me l tude de configuration n est pas pr sent e comme m thode de r solution des probl mes de construction comme le cas de la g om trie plane En 1985 les probl mes de construction sont propos s en Travaux pratiques Il s agit de la recherche de sections planes de solides usuels Exemples simples de recherche de sections planes sections de prismes de pyramides par des plans parall les au plan de base
175. de g om trie en termes de congruence Annales de didactique et de sciences cognitives 1 57 74 DUVAL R 1994 Les diff rentes fonctionnements d une figure dans une d marche g om trique Rep res17 121 138 DUVAL R 1988 Approche des probl mes de g om trie en terme de congruence Annales de didactique et de sciences cognitives 1 57 74 FISHBEIN E 1993 The theory of figural concepts Educational Studies in Mathematics 24 2 139 162 FREGONA D 1995 Les figures planes comme milieu dans l enseignement de la g om trie interactions contrats et transpositions didactiques Th se Bordeaux Universit Bordeaux I GARDIES J L 1991 Le raisonnement par l absurde Paris PUF GRENIER D 1988 Construction et tude du fonctionnement d un processus d enseignement de la sym trie orthogonale en 6 me Th se Grenoble Universit Joseph Fourier HEATH T L 1956 Euclid The thirteen books of the Elements Vol 1 New York Dover Publications LABORDE C CAPPONI B 1992 Cabri g om tre constituant d un milieu pour l apprentissage de la notion de figure g om trique In S minaire de didactique des Math matiques et de l informatique pp 175 218 Grenoble LSD IMAG LABORDE C CAPPONI B 1995 Mod lisation double sens In Noirfalise ed VIII cole et universit de didactique des math matiques pp 265 278 Clermont Ferrand IREM de Clermont Ferrand LABORDE C CAPPONI B 1994 Cabri g
176. de la phase 1 mais nous n avions pas tudi tous les cas que nous pr sentons dans le tableau suivant 16 p 228 Chapitre C3 243 R ponse de l l ve D autres crit res peuvent tre voqu s lors de l entretien comme la justification et la strat gie adopt e Le choix des exercices n a pas tenu compte de leurs variations 3 1 4 Choix des diff rentes variables Toutes les productions contiennent des l ments de justification mais les niveaux de justifications peuvent changer d un exercice un autre Cette variation n a pas fait objet d tude sp cifique Cependant l entretien peut nous permettre de voir si le niveau de justification des productions correspond leurs attentes ES O ow OT OM ED Oui S Oui Trac Oui Oui oij Etudier l existence Oui Oui Oui Oui Construction effective Oui Oui Oui Construction voqu e __ RU PP RU PP RUED Tableau 42 production d l ves Phase 2 17 3 1 5 Choix des enseignants et organisation de la s ance Nous avons choisi trois enseignants ayant un certain nombre d ann es d exp riences au lyc e El E2 et E3 Pour chacun d eux on leur a pr sent les exercices productions et on leur a demand de les commenter L enseignant E3 a travaill individuellement alors que les enseignants El et E2 ont travaill simultan ment Nous avons fait ce dernier choix pour qu au cas o
177. de mettre en place des techniques de r solution des m thodes C est donc l analyse de cette partie qui nous semble pertinente pour notre tude 2 1 1 Cas de la g om trie plane L tude des probl mes de construction en g om trie plane s inscrit dans la probl matique de r solution de probl mes concernant des configurations ou transformations Nous proposons d analyser trois manuels Terracher 23 D clic 24 et Belin 2 a Analyse du manuel Terracher Aucune d finition du probl me de construction n est explicit e dans ce manuel Cependant un paragraphe est consacr l explicitation de la d marche de r solution 22 Ces parties peuvent avoir d autres tiquettes selon les manuels De plus la deuxi me et la troisi me partie peuvent tre men es en parall le 23 Nous avons utilis les manuels de Seconde 1994 et de Premi re 1995 24 Math matiques Premi re S g om trie Hachette 1995 25 Nous avons utilis les manuels de Seconde 1990 et de Premi re 1991 26 Plus particuli rement dans la partie travaux pratiques Chapitre C1 149 des probl mes de construction la r gle et au compas Certains exercices imposent d autres contraintes sur les instruments utiliser Il nous faut cependant tirer au clair d s maintenant certaines ambigu t s La construction exig e est claire d s lors qu est pr cis l outil de trac utiliser r gle seule c est dire non gradu e com
178. de ne pas avoir pens ce cas l Il voque un implicite lorsqu on demande construire l intersection c est qu elle existe Pour cette raison il pr f re pr ciser construire si possible si on veut que l l ve distingue les diff rents cas Compte tenu de sa premi re remarque si le dessin est donn alors il n est pas n cessaire de discuter les diff rents cas Les enseignants E1 et E2 ont valu la production par rapport la r gle discussion 25 Obs On passe au deuxi me exercice 26 E2 C est toujours la m me remarque on se place dans le cas de la figure Chapitre C3 27 Obs La figure n tait pas donn e Si la r ponse est avant a veut dire que c est l l ve qui a produit le dessin 28 El Alors l il n a pas distingu les deux cas 29 Obs A votre avis l il faut qu il distingue les deux cas 30 El Ah oui Si IJ est parall le BC il n y a pas d intersection Il met bien qu ils sont coplanaires mais il ne distingue pas les diff rents cas Les autres exercices n ont pas t comment s par rapport ce point Ces r sultats confirment la validit de la r gle discussion 3 2 2 Examen de la r gle trac dans la production Soulignons d abord qu aucune remarque n a t faite propos de trac dans les exercices productions EPI EP IT et EP IIa o l l ve a fournit un trac dans toutes ces productions Dans l exercice production EP II l nonc
179. demande pas l historique de la construction Ceci s explique par le fait que l enseignant ne ma trise pas le logiciel Nous lui avons donc propos la d marche de l l ve H Le cube est un objet de base L l ve a demand le cube ensuite il a plac le point J dans le plan EFGH et le point K dans le plan ABC et ensuite il a demand l intersection de JK avec le plan ABFE 10 Elle peut tre sous forme d explication des diff rentes tapes ou seulement un algorithme de construction Nous interpr tons ce terme de justifications dans cette large acception explication 308 E Pour moi c est pas int ressant ils ne sauront pas le reproduire sur papier crayon ils ne sauront pas pourquoi le point est plac l Comme nous l avons pr vu dans l analyse a priori l enseignant pense que cet exercice n est pas int ressant De plus cette r solution ne garantit pas si l l ve saura r soudre ce probl me sur papier crayon autrement dit en tant que probl me de construction effective avec la seule primitive intersection de deux droites Voyant qu il faut faire des constructions interm diaires il se demande quelle peut tre la m thode de r solution E CH c est magique Je suis toujours en train de me demander comment est ce qu on peut faire Je vois bien qu il faut faire des constructions interm diaires Il faut chercher pour trouver des m thodes H On y reviendra apr s b Activit GEO 2 L enseig
180. dence Dans chaque situation l l ve peut en outre choisir Le dessin ne permet pas de r pondre ou Je ne sais pas 1 1 1 Situation 1 Positions de points par rapport un plan Les l ves doivent dire si l un des points A B et C est dans le plan P fig 12 B d fig 12 Les r sultats sont donn s dans le tableau ci dessous 183 l ves est dans le plan P n est pas dans le plan P le dessin ne permet Je ne sais pas pas de r pondre Le point A Be o a o tepme 0 i7 o 63 0 Tableau 1 Les r sultats montrent que pour un plus du quart des l ves le dessin ne permet pas de r pondre Pour 3 4 des l ves ont consid r le point A dans le plan P De m me 3 4 des l ves ont consid r le point B l ext rieur du plan Pour le point C certains mais tr s peu l ont consid r dans le plan P 4 l ves et l auteur conclut que la proportion d l ves r pondant que le point n est pas dans le 2 Annexe A2a 3 Annexe A2a 4 B Parzysz 1989 p 265 Chapitre B 69 plan P est significativement moins lev e au seuil de 95 pour le point C que pour le point B Nous interpr tons naturellement ceci en disant que pour les l ves la situation est moins claire pour le point C que pour le point B Ainsi le point C dessin comme B l ext rieur du parall logramme repr sentant le plan P peut plus tre imagin dans ce plan que le po
181. des de r solution de probl mes de g om trie plane Il s agit de M thode de recherche rationnelle des probl mes de g om trie plane par J Chauvel d L cole et la famille 1945 qu on d signera par M2 Le manuel M1 est un repr sentant des manuels qu on peut utiliser dans les classes de math matiques portant sur les contenus du programme selon une organisation cours exercices Le manuel M2 a pour objet d apporter une aide m thodologique pour l l ve Ces deux manuels sont donc compl mentaires pour notre analyse Nous examinons d abord les fonctions du dessin dans les probl mes de g om trie Ensuite nous proposons d analyser la les m thode s de r solution propos e s par ces manuels pour les probl mes de construction en g om trie plane 1 1 1 Les fonctions du dessin dans les probl mes de g om trie plane Dans le manuel M17 l auteur a consacr un chapitre la d marche de r solution d un probl me en g om trie Comme directives g n rales 8 l auteur pr sente trois l ments pertinents pour traiter un probl me de g om trie lecture d un nonc r alisation des figures et le retour au cours Notons qu au cours de cette p riode les exercices propos s dans les manuels ne sont pas accompagn s d un dessin Autrement dit pendant la r solution la r alisation du dessin est la charge de l l ve 6 Cf par exemple Le ons de g om trie l mentaire J Hadamard 1920 p 74 7
182. dessin sur lequel sont repr sent es des traces de constructions fig 36 Autrement dit en dehors du probl me li l impr cision du trac chaque algorithme de construction propos est associ un proc d de trac qui doit r pondre aux m mes r gles que l algorithme de construction fs Enfin notons que les manuels d finissent ce qu est r soudre un probl me de construction en g om trie plane comme par exemple dans le manuel R soudre un probl me de construction c est donner la possibilit de r aliser un ensemble g om trique au moyen d op rations simples qui sont tracer une droite tracer un cercle 12 Le on de g om trie l mentaire G om trie plane 1920 13 cf Note 124 p 3 14 Dans la partie intitul e G n ralit du Cours de Math matique 2 A CMM Par G Girard A Lentin Ed Hachette 1961 p152 136 Nous verrons dans les exemples qui vont suivre que l on peut en g n ral r duire un probl me de construction la construction d un ou plusieurs points Chaque point tant d fini comme l intersection de deux droites ou d un cercle et d une droite ou de deux cercles toute op ration pourra tre ex cut e avec la r gle et le compas Enfin le probl me de construction demande de r aliser un certain ensemble partir de certaines donn es Une partie du probl me consiste se demander s il y a une solution quelles que soient les donn es C es
183. deuxi me point Le point 3 a t soulev par l enseignant mais la discussion est relative la position du point I choisie par l l ve 7 E B Mais il y a un petit probl me si par hasard la droite D coupe ici on va tre coinc alors l est ce que les l ves vont sentir que peut tre dans le lot de ceux qui ont fait ceux qui feront un dessin il y aura une situation comme a il dira que a ne marche pas votre truc Ceci dit c est int ressant de voir s il y en a un qui si dans la classe si D est comme a je suis coinc l je peux pas faire passer une droite qui passe par D qui coupe D et coupe D et elle passe par A Ici l enseignant fait r f rence au cas o on met le point I sur la droite D fig 63 Ceci soul ve une question qui rejoint le premier point qu est ce que l enseignant entend par si par hasard la droite D coupe ici on va tre coinc 6 Deux interpr tations sont possibles le point I est plac de fa on arbitraire et certains choix peuvent induire des cas particuliers Ces cas g n reront ensuite des discussions du c t g om trique sur l tude des diff rents cas l tude des diff rents cas se fait du c t g om trique qu on traduira au niveau du dessin Nous pensons que c est la premi re interpr tation qui est la plus plausible par rapport aux propos de l enseignant En effet il consid re la situation comme int ressante parce
184. e Geospace GEO2 et GEO 3 n ont pas t rejet s par l enseignant Alors qu ils taient rejet s dans le cas des situations papier crayon Autrement dit le rapport de l enseignant l objet probl me de construction dans l espace est diff rent selon qu on travaille avec l environnement informatique ou l environnement papier crayon Dans l environnement papier crayon il s agit du rapport personnel de l enseignant en conformit avec le rapport institutionnel R2 qu on d signera par R pap alors que dans l environnement Geospace il s agit d un autre rapport qu on d signera par R ei De ces deux rapports merge un rapport personnel de l enseignant l objet probl me de construction dans l espace qu on note R cr En particulier selon ce rapport une solution au probl me de construction doit tre effective c est dire que chaque objet de l algorithme de construction doit pouvoir tre construit partir des primitives g om triques disponibles Dans le cas de l environnement papier crayon les primitives g om triques sont intersection de deux droites et toutes les constructions la r gle et au compas alors qu avec l environnement Geospace les constructions sont effectives par l utilisation des primitives du logiciels 2 3 Enseignant JC 2 3 1 Productions papier crayon a Exercice production EPI Il est consid r comme un exercice classique pour la classe de premi re Mais comme l l ve n envisage pas les
185. e il a utilis la fonction Rappel et d placement des objets libres Il pense que l utilisation de l environnement Geospace est moins riche pour les l ves que l environnement Cabri I Cependant pour les l ves en difficult on peut utiliser Geospace pour trois objectifs manipulation des objets interaction entre l l ve et l environnement et prise en charge par l environnement de certains constructions d intersection 3 CONCLUSION Les trois enseignants ont valu les productions papier crayon selon le rapport R2 L enseignant E CF a pr sent l environnement informatique comme mod le d exp rimentation L enseignant avait deux rapports aux probl mes de construction dans l espace selon qu on travaille dans l environnement papier crayon ou 18 Ici il s agit de Cabri g om tre I Chapitre D2 321 informatique En particulier l analyse des activit s Geospace confirme de nouveau que les probl mes de construction effective et voqu e peuvent coexister dans un environnement informatique Pour l enseignant E CH les productions papier crayon et environnement informatique ont t valu es selon le m me rapport institutionnel R2 Il attend de l utilisation d un environnement informatique des apports au niveau de la perception que l environnement papier crayon ne permet pas de d velopper En revanche au niveau de la r solution des probl mes il attend qu il n y ait pas de changement entre les de
186. e l exp rience graphique comme moyen d exp rimentation en g om trie sur la base du savoir g om trique organis l exploration d un domaine de ph nom nes g om triques conduit formuler des conjectures qui fournissent autant et plus de probl mes de g om trie qu il s agit de r soudre Comment se fait classiquement cette phase de travail que nous avons appel e l exploration de ph nom nes Il s agit avant tout d une phase exp rimentalet6 qui met en rapport la th orie avec l espace sensible par le biais d un montage exp rimental En g om trie le montage est r alis avec des moyens qui sont demeur s essentiellement inchang s sur plusieurs mill naires L exp rience est ici une exp rience graphique qui suppose seulement un support et des instruments de trac Ainsi lors de la r solution d un probl me de g om trie l l ve est souvent invit faire un dessin traduisant les donn es du probl me et ensuite l utiliser comme terrain d exp rimentation Cette double fonction du dessin dans la r solution du probl me de g om trie plane a t soulign e par Bkouche 1983 p 16 La g om trie plane est ainsi lecture de situations planes ce sont les situations planes repr sent es par les figures qui sont objets d tude et ainsi d acc s direct on voit les figures planes et c est sur elles que se constitue le raisonnement pour y d couvrir partir des vidences initiales des propri t
187. e permet de r aliser par rapport l nonc d un probl me de g om trie n expliquent pas comment cette figure peut aussi aider trouver l id e d une solution 2 Pourquoi une figure n apporte t elle pas toujours une aide heuristique Cette deuxi me question se pose du fait qu une figure n aide pas toujours voir 6 Enseignement de la g om trie Bulletin Inter Irem n 23 1983 Chapitre A 29 Ainsi l auteur d place t 1il la question de l utilit d une figure vers des questions sur le fonctionnement de celle ci dans la d marche g om trique Il met en vidence quatre types d appr hensions n cessaires pour d velopper la mani re math matique de regarder une figure en g om trie Duval 1994 p 123 perceptive discursive s quentielle et op ratoire Nous nous proposons de les rappeler l appr hension perceptive elle permet d identifier ou de reconna tre imm diatement une forme ou un objet soit dans un plan soit dans l espace Duval 1994 p 123 l appr hension discursive une figure est regard e par rapport une d nomination soit un une l gende ou une hypoth se qui en fixent explicitement certaines propri t s L appr hension discursive d une figure correspond une explicitation des autres propri t s math matiques d une figure que celles indiqu es par la l gende ou par les hypoth ses Cette explicitation est de nature d ductive Duval 1994 p 124
188. e We fo fm de Je fn jo fs Tableau 15 a Exercice 3 i Justifications obtenues J3a Car la droite a un point qui appartient au plan P J3b Car elle coupe P J3c Car d n est parall le aucune droite de P ou car d n est pas parall le P J3d On le voit bien J3e Absence de pointill s Il faut prolonger pour voir Il faut mettre en vidence l intersection J3f Manque de renseignement J3g d peut tre parall le P 13 l ves J3h On ne conna t pas le degr de la pente de d 2 l ves J3i Il faut savoir quel plan appartient la droite d 3 l ves Ces justifications sont r parties de la fa on suivante Ro on No OR ne EP PP A hub bb bb bebe ph he Tableau 16 104 ii El ves ayant r pondu On ne peut rien dire M me si pr s de 80 de r ponses sont On ne peut rien dire les l ves ont utilis certaines r gles implicites du dessin En effet 6 types de justification pour les r ponses on ne peut rien dire ont t utilis s par les l ves Justifications J3e Ces justifications font appel des conventions de repr sentation de l intersection d une droite et d un plan Leur absence indique qu on ne peut pas conclure El ve A8 On ne peut rien dire Justification On ne peut rien dire car si la droite tait s cante avec P nous devrions voir le point d intersection et la continuation de d en tiret derri re le plan Or
189. e analyse concerne au moins trois p les manipulation directe choix de repr sentation et les primitives g om triques Nous avons amorc un d but de questionnement sur les choix d j effectu s dans le prototype actuel du logiciel Cabri 3D pour montrer que les choix du concepteur doivent tre le produit d une r flexion et d une analyse didactique Nous pensons que ce travail devrait tre poursuivi en particulier pour le p le de repr sentation des objets de l espace Dans le chapitre D1 nous avons aussi entrepris l tude des environnements informatiques par rapport la probl matique du dessin Nous avons examin comment un environnement informatique peut largir le champ d exp rimentation du dessin mod le d un objet g om trique dans l espace par l importance des l ments suivants la manipulation directe l usage des primitives et les r troactions de l environnement perceptives et ou par des messages L hypoth se de travail dessin environnement informatique pour le cas de la g om trie plane est donc valable aussi dans le cas de la g om trie dans l espace Sous certains crit res l environnement informatique peut largir le champ d exp rimentation du dessin mod le d un objet g om trique du plan ou de l espace Il reste voir si effectivement l utilisation d un tel environnement informatique permet au dessin d avoir un r le heuristique dans les r solutions de probl me de g om trie dans
190. e concernaient des solides usuels PCef AS et les probl mes de construction voqu e sont sans solides PCev SS Nous avons adopt ce choix pour les exercices Les diff rentes valeurs prises par ces variables sont r sum es pour le choix des exercices dans le tableau ci dessous Chapitre C3 211 7 JExercicel Exercice2 Exercice 3 Exercice4 Exercices Type probl me _ PCer PCev__ PCef PCer pcer Solide Jui Non Oui Non Oomi Objets intermed _ SOL aor ao Formulation Construire Tracer Construire Tableau 35 Caract ristiques des exercices Conform ment notre hypoth se V1 les exercices 2 et 4 devraient tre rejet s par les enseignants interview s Par rapport l hypoth se V3a les formulations des exercices 1 et 3 doivent tre contest es b Enonc s choisis Nous pr sentons les nonc s d exercices avec quelques commentaires Pour des l ments de solutions de leurs corrig s nous renvoyons l annexe C3 d Exercice 1 ABCD est un parall logramme d un plan P et S est un point ext rieur P Consid rons la pyramide de sommet S et de base ABCD Soit I le milieu de SA J le milieu de SB et K le milieu de SC 1 Construire l intersection du plan CIJ avec les plans P et SDA 2 D montrer que le plan IJK coupe SD en son milieu Cet exercice a t choisi dans le manuel Transmath de seconde2 L nonc du manuel est ABCD est un parall logra
191. e construction soit un probl me de construction effective il faut la donn e de certains l ments et de relations entre eux n cessaires pour que la construction soit effective Ainsi la donn e d un solide correspond la donn e de plans et de leur intersection permettant de r aliser des constructions effectives sous certaines conditions On peut donc penser que le fait que les probl mes de construction mettent en jeu des solides est un choix du c t de l conomie des probl mes de construction effective En d autres termes nous nous demandons si la contrainte Solide n est pas une cons quence de la contrainte Dessin Mais les probl mes de construction ne sont pas les seuls probl mes portant sur les solides En effet le nombre d exercices qui portent sur les solides a augment au cours de cette p riode et l analyse des manuels de Seconde et de Premi re d ditions r centes cf Tableau 34 montre que plus de trois quarts des probl mes de g om trie dans l espace portent sur des solides 202 Manuels 2 et 1 Terracher 1995 Transmath 1995 Pourcentage des probl mes 82 85 portant sur les solides 112 137 95 112 Tableau 34 Il reste examiner la caract ristique t che du probl me Nous reprenons la question que nous avons soulev e dans le paragraphe Type Il Probl mes de construction p 192 En quoi ces deux types de probl mes diff rent ils Pour les deux types de t che on peut p
192. e d placement R troactions par des messages Q3 Quelles sont les types de messages relatifs au contenu envoy s par l environnement Nous avons pr sent dans Tableau 44 les types de messages pouvant tre envoy s par le logiciel suite des actions de l utilisateur Ces messages permettent de disqualifier des interpr tations illicites du dessin Les auteurs ont soulign ce point dans le chapitre intersection de la brochure Et plus pr cis ment propos de la construction d un point comme intersection de deux droites Celle ci n est accept e par le logiciel que si les droites sont coplanaires De plus si les droites ne sont pas coplanaires le logiciel envoi un message les droites ne sont pas coplanaires Les auteurs sugg rent aux enseignants de transmettre l l ve d utiliser le mode Voir pour positionner la figure de fa on bien comprendre pourquoi la construction qu il avait demand e est refus e par la machine 2 Les auteurs font r f rence une faute commise par les l ves La faute bloquante rencontr e dans le travail sur papier consistant utiliser le point d intersection de deux droites qui se coupent sur la repr sentation mais qui ne sont pas coplanaires dans l espace Nous avons mis en vidence ce que les auteurs d clarent comme faute et appel r gle d interpr tation d un dessin par les l ves dans le chapitre B En effet dans les exercices mettant en jeu des solides
193. e de la lecture en perspective cavali re E CH Le fait que les figures sont anim es a d veloppe la perception et la lecture des figures en perspective Je l ai utilis pour introduire la g om trie dans l espace Je ne suis pas revenu apr s J avais eu peut tre l occasion de voir des erreurs qui taient la lecture du premier degr d une figure en perspective cavali re ils la prennent comme une figure plane et les droites perpendiculaires sur la figure ils l imaginent comme perpendiculaires dans l objet Je pense que l utilisation du logiciel doit les aider la lecture des figures A cet effet l enseignant propose des activit s sur la lecture du dessin et sur les interpr tations de la lecture 2 1 3 Productions GEOESPACE a Activit GEO I Apr s la lecture de l nonc l enseignant demande si l l ve a produit seulement cette figure En effet il s attend ce qu il donne des justifications 0 E CH Lui alors il n a fourni que a H On lui a demand de travailler uniquement sur le logiciel E CH On n avait pas demand des productions crites Cherchant comprendre comment l l ve a d termin ce point d intersection il reproche l absence des traces de construction comme celles que l l ve laisse sur son dessin E CH Il pouvait rester des lignes de construction Je ne sais pas pourquoi est ce point l C est vident ou quoi L enseignant ne d place aucun point et ne
194. e deux types de figures figures de base et figures d j cr es Les figures de base sont connues du logiciel et elles sont surtout utiles comme support des constructions le cube les t tra dres les plans d autres sont int ressantes pour elles m mes 6 Les figures d j cr es correspondent celles cr es et enregistr es par l utilisateur Pour travailler sur des objets g om triques qui ne sont pas des solides g om triques l environnement propose trois figures de base plan deux plans parall les et deux plans s cants Le logiciel propose des solides en tant que figures de base comme cube t tra dre t tra dre r gulier prisme cubocta dre Nous proposons dans le tableau ci dessous quelques caract ristiques des possibilit s offertes par Geospace au dessin ei Possibilit s Caract ristiques Il permet de d placer des points d finis comme mobiles selon des directions verticales horizontales sur l cran ou en profondeur par des pas constants Ces d placements ne sont Manipulation directe pas continus Les propri t s g om triques sont conserv es Le dessin ei l cran peut tre d plac enti rement par des translations selon des directions verticales horizontales ou en profondeur d finies par les fl ches du clavier ou des rotations 4 Nous nous sommes bas s sur la brochure de l utilisation du logiciel pour sa pr sentation Activit s math matiq
195. e doit faire des trac s que l nonc soit accompagn ou non d un dessin comme l a explicit l enseignant E3 en pr cisant ce qu il entendait par construire dans l espace 45 On peut E3 En g om trie dans l espace pour moi construire c est voir effectivement Si c est construire une intersection voir le point d intersection sur un dessin donc si le cadre est donn au d but l l ve compl te pour que le point d intersection soit effectivement sur le dessin et si le cadre n est pas donn il faut que l l ve fasse lui m me le dessin Et c est vrai quand on demande construire on attend la fois ce que je viens de dire c est dire de voir le point et en plus l explication c est dire comment on est arriv cette construction c est dire dans les premi res productions l un l ve qui mettrait seulement on dirait qu il a construit mais qu il n expliquerait pas tout ce qui est ici n aurait pas le maximum des points il aurait peut tre que la moiti On lui dirait Donc c est vrai on devrait mettre En fait dans construire on attend de le voir et implicitement une justification donc d duire que le trac est exig dans les productions d l ves 18 3 2 3 Examen de la r gle Construction voqu e PCef L tude de cette r gle se fait par l analyse des r actions des enseignants pour EP Pour les enseignants l l ve n a donn que la m thode g n rale qu on lui a expliqu e
196. e est donc pos en termes de visibilit de la figure D o des l ments de r ponse la deuxi me question de Duval Pour chacune des modifications figurales possibles il y a un ensemble de facteurs li s aux significations perceptives de la figure qui en font varier la visibilit dans le sens d une facilitation ou dans celui d une inhibition 18 Dans le m me sens Padilla 1990 p 224 tudie le r le intuitif des figures g om triques L intuition que donne une figure g om trique ne rel ve pas seulement des lois gestaltistes de la perception Elle d pend aussi d autres types d appr hensions comme l appr hension op ratoire ou l appr hension discursive Duval 1988 Dans le cas de cette appr hension op ratoire le r le intuitif d une figure g om trique d pend de plusieurs facteurs le fait que le regroupement pertinent des parties l mentaires forme une reconfiguration qui est convexe ou non convexe le fait que le fractionnement de la figure en parties l mentaires soit donn au d part o qu il doive tre trouv le fait qu une m me partie l mentaire doive entrer simultan ment dans deux regroupement interm diaires comparer Duval 1988 page 66 67 Ces facteurs permettent d valuer le r le intuitif d une figure et d analyser le type de difficult s qu elle peut pr senter 18 ibid 40 Padilla pr sente aux l ves de 6 me et 5 me six probl mes dont les figu
197. e il a utilis le logiciel Cabri g om tre 13 cf Chapitre D1 14 montre en vraie grandeur tous les objets de ce plan Cf Chapitre D1 E CF je pense par exemple l exercice du plan diagonal d un cube o on demande si c est un carr tout le monde dit oui au d part puis on choisit le plan de face le plan diagonale et on voit que c est un rectangle Gain de temps il fait r f rence aux situations papier crayon o l l ve se trouve dans un cas particulier auquel cas il faut refaire le dessin alors que dans un environnement informatique on gagne beaucoup de temps 2 2 3 Productions Geospace a Activit GEO I La situation est consid r e comme non int ressante si l l ve avait acc s la possibilit qu offre le menu intersection d une droite avec un plan C est l opinion attendue dans l analyse a priori b Activit GEO 2 Contrairement au cas de l activit EP IV l enseignant n a pas rejet l exercice Estimant qu il ne peut pas valuer la r ponse il examine l historique L analyse de cet historique ne lui a pas permis de comprendre comment l l ve a fait tant donn que le point J est un point mobile sur la droite Y E CF Ah J est mobile sur Y Oh l l Mais comment il a fait H explique comment l l ve a fait E CF Il aurait pu demander l intersection d une droite avec un plan mais il ne l a pas fait H Si on d place le point E de sorte que l intersection soit l
198. e la recherche de solution dans laquelle le dessin joue une fonction d exp rimentation Dans le cas de l espace la d marche propos e par les manuels donne l algorithme de construction en expliquant les techniques sous jacentes mais le travail sur le dessin dans une phase pr alable comme dans la phase d analyse des probl mes de construction en g om trie plane n est pas fait Ceci rejoint notre hypoth se selon laquelle le dessin ne peut pas remplir la fonction d exp rimentation en tant que mod le d un objet g om trique de l espace Dans le cas de la g om trie plane les commentaires des auteurs sont centr s sur la phase heuristique et en particulier sur comment d gager partir du dessin les propri t s et ou les outils de r solution pour les probl mes de construction en g om trie plane Alors que pour le cas de l espace les auteurs mettent l accent sur l algorithme de construction et le trac D ailleurs les propri t s d incidence n cessaires la Chapitre C1 165 justification sont presque absentes dans les corrig s des probl mes de construction dans l espace Ceci nous a conduit nous demander s il n y a pas le risque que les probl mes de construction deviennent des probl mes de combinatoire de trac s pour l l ve 3 ANALYSE COMPAREE DES TYPES DE PROBLEMES DE CONSTRUCTION PCEF ET PCEV DANS L ENSEIGNEMENT Dans ce paragraphe nous proposons une analyse compar e des deux types de probl me de constr
199. e les cas sauf si on met I et J de fa on ce que ce soit parall le ou on met dans l hypoth se parall le au plan BCD Il est clair qu il ressort de ces citations le crit re discussion Nous le consid rons comme une clause du contrat didactique que nous appellerons r gle discussion iii Cas de la production EP c La production EP c qui utilise une construction voqu e est rejet e par l enseignant parce que la solution ne pr cise ni le plan utilis ni comment obtenir la droite d intersection de deux plans bien que la solution donne l existence de l objet construire Nous reviendrons sur ce point dans le paragraphe 2 4 3 a p 236 b Enseignant E B Comme dans le paragraphe pr c dent nous caract riserons et nous analyserons les productions attendues par l enseignant i Type de productions attendues Il utilise les m mes crit res que ceux utilis s par l enseignant E A mais d une fa on moins explicite A la fin de l entretien notre demande il donne des crit res sur les productions attendues selon les formulations tracer ou construire 55 E B Je pense que derri re construire on attend une justification comment est ce qu on peut faire r ellement tandis quand on dit quelle est je pense que c est moins fort que construire Avec construire J attends la d marche pour que tout le monde puisse refaire la m me chose Par exemple la production EP b convient pour la for
200. e nous d finissons par Une repr sentation type est un dessin dont l objet est d illustrer une ou des relations g om triques entre les objets g om triques de l espace Elle n a pas fait l objet d une convention explicite Cependant elle fait partie d une tradition d enseignement Nous distinguons une repr sentation type d une repr sentation prototype La deuxi me renvoie aux dessins typiques au sens de Cordier 1991 p 47 La typicalit est une propri t des l ments d une cat gorie qui correspond l id e que certains l ments sous cat gories exemplaires constituent des meilleurs exemples que d autres de leur cat gorie ou encore aux dessins prototypiques au sens de Noirfalise 1991 21 On s int resse des propri t s affines 22 En comparaison avec le cas de la g om trie plane 23 Pour plus de d tails voir Parzysz 1989 o est pr sent e une analyse d taill e des conventions utilis es dans les manuels au cours de ce si cle 46 nous avons tent d illustrer l existence de formes organis es d sign es en l occurrence par le terme de formes prototypes Mobilis es rapidement lors de la lecture ou de l coute de la consigne ces formes servent de patrons de comparaison et orientent la saisie des indices Un exemple de dessin prototypique est donn par Laborde et Capponi 1994 un parall logramme prototypique a sa diagonale perpendiculaire un c t du parall logramme
201. e passe comme si l exercice tait un probl me de construction effective Il admet donc une construction effective que les l ves n ont pas trouv Autrement dit l analyse a t faite selon le rapport institutionnel R2 Une fois qu on a expliqu l enseignant E3 que ces exercices ne pouvaient pas tre r solus sans r gles d usage au niveau du trac il les a consid r comme exercices hors contrat et int ressants proposer aux l ves on leur demande de construire un objet qui est impossible construire des constructions impr cises Nous avons montr que l analyse des solutions est faite selon la technique d velopp e dans les manuels Cf Chapitre C2 en particulier l utilisation et le choix d un plan auxiliaire pour la d termination de l intersection d une droite et d un plan 3 2 5 Justification Comme nous l avons pr cis dans le paragraphe 3 1 4 p 244 l entretien peut r v ler des indices sur le niveau de justification des productions d l ves exig par les enseignants Rappelons que la dimension de justification n a pas fait objet d une tude sp cifique dans notre travail Pour valuer le niveau de justification les enseignants ont demand dans quel contexte l exercice a t propos Les enseignants El et E2 l ont demand d s la lecture de la production EP I 17 E2 Il faut quand m me pr ciser que les plans ne sont pas confondus A la fin comme I et J sont deux points distincts l
202. e plan est illimit De plus pour l exercice 3 il a r pondu On ne peut rien dire Exercice 3 La droite d est elle s cante avec le plan P Ceci montre que les interpr tations faites par cet l ve ne sont pas interpr tation droite sec plan 20 Il reste une possibilit d interpr tation celle que nous avons appel droite ext plan qui caract rise une droite non s cante un plan par l absence de pointill c El ves ayant r pondu On ne peut rien dire Ces l ves ont justifi essentiellement par le fait qu il manque des informations Notons que 5 l ves n ont pas pu conclure car pour cela ils auraient eu besoin de savoir quel plan appartient la droite d J2g b Exercices 4 9 et 11 La proportion de r ponses Oui est plus importante pour l exercice 4 que pour les deux autres exercices i Les justifications utilis es par les l ves Justifications utilis es exclusivement dans les r ponses Oui Ja Oui car la droite d est s cante avec deux droites du plan AC et CD par exemple Jb Oui car le plan est illimit Jc Oui car la droite d n est pas parall le au plan 20 Conjecture 4 cf Position relative d une droite par rapport un plan p 75 Chapitre B 97 Justifications utilis es exclusivement dans les r ponses Non Jd Non car d est parall le au plan Je Non car d est s cante avec le plan Justifications utilis es exclusivement dans les r
203. e sensible Nous supposons que c est soit parce qu ils consid rent la g om trie comme un mod le un dessin renvoie aux objets th oriques soit parce que leur tude se limite au cas de la g om trie plane le dessin lui m me peut tre consid r comme objet physique Dans l enseignement de la g om trie et surtout de la g om trie dans l espace les t ches portent sur trois types d objets e Objet g om trique c est un objet de la g om trie en tant qu une th orie math matique e Objet physique nous l utilisons comme synonyme de l objet mat riel dans le monde sensible e Dessin repr sentation sur un support mat riel Nous proposons d tudier dans ce qui suit les relations que peuvent entretenir ces objets entre eux en partant du sch ma ci dessous 18 Dessin repr sentation d objets g om triques Objet g om trique Dessin repr sentation d objets physiques Sch ma 1 2 OBJET PHYSIQUE OBJET GEOMETRIQUE A un probl me spatial Ps dans le monde sensible on peut associer dans une mod lisation g om trique un probl me g om trique Pg Ainsi chaque objet physique correspondent un ou des objets g om triques Seuls les aspects de l objet physique qui apparaissent pertinents pour la r solution du probl me seront pris en compte par la mod lisation et donc traduits en termes g om triques Un des moyens pour mettre en relation l espace
204. e type de probl mes de construction propos dans les manuels au cours de la p riode 3 L analyse de la r solution des probl mes de construction dans les manuels des ditons 1990 cf Chapitre C1 a mis en vidence que ces probl mes permettent la mise en oeuvre des propri t s d incidence de l espace et les r gles de la repr sentation en perspective cavali re Pour cela nous proposons d tudier l importance qu accordent les manuels aux probl mes de repr sentation des objets de l espace et aux probl mes d incidence a Type I Repr sentations et trac s Ces exercices ont pour objectifs e un travail sur les conventions de repr sentation on demande de traduire sur un dessin des objets et des relations g om triques de type s cante passant par e la mise en oeuvre des r gles de la repr sentation en perspective changement de point de vue diff rentes vues de face d un objet repr sentation d une partie manquante e la r alisation des patrons et des maquettes Certains exercices n cessiteront la mise en oeuvre des propri t s d incidence de fa on plus ou moins implicite Ils visent en plus une mise au point des r gles et des conventions b Type II Probl mes de construction 192 L analyse des manuels nous a permis de mettre en vidence deux cat gories de probl mes de construction les probl mes o la t che demand e est la construction de l intersection de deux objets g om triqu
205. eaux programmes de la classe de seconde Chapitre A 57 P riode 1 Cette p riode n a connu que deux programmes ceux de 1923 et ceux de 1945 Seulement les programmes de 1945 ne pr sentent presque aucune modification par rapport aux pr c dents sur le contenu sinon quelques r organisations pour la mise en place de plusieurs sections dans l enseignement secondaire P riode 2 La r forme des math matiques modernes est entr e en vigueur pour les classes de seconde et de sixi me en 1969 Pour la classe de seconde le programme est alors celui d une transition pour les l ves n ayant pas eu l enseignement de la r forme des math matiques modernes au coll ge Il propose des changements profonds sur le contenu les objectifs l organisation de l enseignement etc En 1973 un nouveau programme de la classe de Seconde est destin aux l ves ayant eu l enseignement de la r forme des math matiques modernes Il pr sente une certaine continuit par rapport au pr c dent P riode 3 Apr s la fin de la r forme des math matiques modernes les programmes de 1982 pr sentent une rupture avec cette r forme En particulier les Instructions expliquent que les programmes en vigueur luttent contre l axiomatique et le formalisme de la p riode pr c dente Pour la classe de seconde une introduction au programme red finit les grandes lignes les nouvelles orientations du programme Les actuels programmes de math matique
206. ent cette convention comme tant la traduction en perspective cavali re d une portion du plan d limit e par un rectangle Les parties cach es sont repr sent es en pointill s les plans sont suppos s opaques Enfin les auteurs voquent le probl me de la lecture du dessin en g om trie dans l espace En conclusion un dessin en g om trie dans l espace est porteur d ambiguit pour justifier un r sultat il va falloir le d duire logiquement de propri t s connues en l illustrant au besoin par une figure dont il importe qu elle soit l gend e Math matiques avec Images Logiciels p 230 A titre d exemple ils consid rent le probl me de la repr sentation type de deux plans parall les 18 Ce logiciel fait partie du fichier ESPACE Il permet la repr sentation de poly dres en perspective cavali re Chapitre D1 283 284 On essaie en g n ral de repr senter des plans parall les par des parall logrammes aux c t s parall les deux deux mais en absence de l gende on ne peut rien dire Math matiques avec Images Logiciels p 232 Ce passage montre bien qu on utilise des repr sentations types pour illustrer des relations g om triques mais au niveau de la lecture rien ne va de soi sans des indications sous forme d une l gende En conclusion nous retenons que les auteurs ont explicit davantage que dans les cas des manuels classiques le probl me de la r
207. ent entre 1982 et 1987 p riode marquant la fin de la r forme des math matiques modernes et l apparition des nouveaux manuels A partir de 1990 on remarque une stabilit quant la vie d objets d enseignement entre les diff rentes institutions manuels de Seconde et manuels de Premi re Cela correspond ce que nous avons d velopp dans le paragraphe volution du syst me d enseignement de la probl matique cf chapitre A p 56 En effet nous avons consid r que la dynamique du syst me d enseignement se fait dans le sens d une stabilit de la vie des objets et des interrelations entre eux dans la p riode de 198 1982 nos jours Ainsi plus on s loigne de 1982 moins la diff rence entre les manuels est significative quant la vie des objets d enseignement Sans tenir compte des sp cificit s des manuels le tableau ci dessous r sume l volution des types de probl mes selon les ditions 1982 1987 et 1991 Il indique pour chaque type de probl mes le nombre total des exercices relev s dans les trois manuels utilis s pour l analyse Ce nombre repr sente le potentiel de probl mes offerts par les trois manuels aux enseignants car nous supposons que les enseignants consultent et utilisent diff rents manuels pour les exercices Rappelons que les ditions de 1994 pr sentent les m mes exercices que les ditions de 1991 Cela correspond une stabilit de la vie de ces objets d enseignement
208. ent un plan ind pendamment de la nature de l objet Cependant il y a plus de r ponses du type P pour l exercice 8 que pour l exercice 1 Presque toutes les r ponses du type P pour l exercice 1 sont du m me type pour l exercice 8 50 56 alors que 17 r ponses sont dans ce type pour l exercice 8 mais d un autre type pour l exercice 1 Ces derni res r ponses sont accompagn es essentiellement des justifications Jle et J1f qui rel vent de la cat gorie Pg cf p 81 Ceci confirme l importance de la variable nature de l objet et plus pr cis ment que l l ve se limite aux plans repr sent s plus souvent dans le cas o l objet tudi est un solide que dans les autres cas 5 l ves ont donn comme justification J8c Pour eux le plan n est pas r duit au parall logramme et ou au polygone le repr sentant comme l illustre l exemple suivant B1 Exercice 8 R ponse On ne peut rien dire Justification On ne sait pas quels plans appartiennent A B et C Si A et C appartiennent P alors A B et C sont dans un m me plan Si A et C appartiennent P et B appartient P alors A B et C ne sont pas dans un m me plan on ne peut donc rien dire Pour cet l ve le point B peut tre dans le plan P Rappelons que plusieurs hypoth ses ont t avanc es 6 dans l analyse a priori pour cette cat gorie de r ponses En particulier il se peut que pour ces l ves seuls existent les plans repr sent s ou e
209. epr sentation des objets dans l espace Nous l expliquons par une hypoth se de travail Parce que ces auteurs ont d velopp ces logiciels ils taient confront eux m mes aux probl mes de repr sentation des objets de l espace au sens o des choix ont dus tre effectu s pour le mode de repr sentation les conventions de repr sentations les repr sentations types etc De plus ces l ments devraient tre impl ment s et g r s par l environnement Cependant les remarques des auteurs sur le probl me de repr sentation dans l espace sont relatives au papier crayon Autrement dit elles sont relatives au dessin en tant que mod le d objets g om triques de l espace sur papier crayon et non comme mod le d un environnement informatique des objets de l espace 2 4 2 Partie exercices Une note des auteurs au d but de la partie exercices pr cise la signification de l expression construire Avertissement Dans les exercices qui suivent l expression construire signifie d finir l aide d tapes successives l objet consid r droite plan cube de telle sorte que celui ci puisse tre mat rialis dans l espace Math matiques avec Images Logiciels p 247 C est le seul manuel notre connaissance qui a explicit la notion de construction dans l espace Nous nous sommes limit s dans l analyse des exercices aux probl mes de construction repr sentation et d inciden
210. eptif dans le cas de l intersection d un plan et d une droite que dans le cas de deux plans Cela rejoint l hypoth se formul e dans le chapitre C3 et qu il reste valider dans les probl mes de construction voqu e l utilisation de la r gle d usage RU P D est plus mobilis e que la r gle RU P P E CH a va mais ce qu on fait on est dans des constructions o on reste ma tre de la position du point qu on donne parce qu on a pas assez d l ments pour avoir une construction pr cise Tandis que dans la premi re figure c tait des positions pr cises des points Pour r aliser le plan Q et trouver l intersection avec P pour l l ve c est plus difficile que ma m thode Ainsi il consid re cette construction comme particuli re tant donn qu il manque des l ments pour construire le point M avec pr cision En d autres termes c est un probl me de construction voqu e alors que le premier est un probl me de construction effective 2 1 2 Questionnaire Il s agit de la premi re ann e o l enseignant utilise un environnement informatique suite une initiative d un coll gue de l tablissement Il l a utilis pour introduire la g om trie dans l espace en Seconde 9 L utilisation est tr s faible 1h30 par l ve Chapitre D2 307 Parmi les objectifs de l utilisation du logiciel l enseignant range l animation des dessins ei comme permettant le d veloppement de la perception et la ma tris
211. er Ensuite de d gager des propri t s ou des configurations usuelles Ces derni res ont pour fonction de mettre en vidence une transformation un th or me ou une relation entre des objets g om triques Dans notre exemple il s agit du th or me de l angle droit Ensuite sont propos s l algorithme de construction et la justification L algorithme de construction reprend les diff rentes tapes dans l ordre et il est accompagn d un dessin fig 40 illustrant des tapes de l algorithme de construction L aspect exp rimental du dessin peut tre plus ou moins important selon les cas Nous illustrons ceci travers deux exemples Exemple 1 Exercice n 68 p 240 Terracher 2 1994 68 Les points B C et H sont donn s Construire un triangle ABC tel que H soit l orthocentre de ce triangle Chapitre C1 151 Dans le livre du professeur l auteur propose la solution suivante 68 Figure d tude il est clair que P et Q appartiennent au cercle de diam tre BC Construction Soit c le cercle de diam tre BC BH recoupe c en P et CH recoupe c en Q Nous avons th or me de l angle droit CH L BQ et BH L CP Ceci montre qu en d signant par A le point d intersection de BQ et CP H est l orthocentre du triangle ABC Livre du professeur Terracher seconde 1994 p 97 La partie analyse du probl me consiste consid rer la figure suivante Un triangle ABC et l orthocentre H
212. er le r le d un environnement informatique relativement aux fonctions du dessin mod le d un objet g om trique de l espace Dans un premier temps nous tudierons dans quelle mesure un environnement informatique permet d largir les domaines d interpr tation et de fonctionnement associ s au dessin mod le d un objet g om trique de l espace Dans un deuxi me temps nous analyserons la vie des probl mes de construction dans l espace dans un environnement informatique pour mettre l preuve l hypoth se de recherche selon laquelle les probl mes de construction effective et voqu e peuvent coexister dans des environnements informatiques r pondant certains crit res Dans le chapitre A nous avons montr que le domaine d interpr tation d un dessin mod le d un objet g om trique dans l espace est tr s r duit et fonctionne selon des r gles diff rentes de celles du dessin mod le d un objet g om trique du plan De m me le domaine de fonctionnement d un dessin mod le d un objet g om trique dans l espace est tr s r duit Ces deux l ments entra nent que la fonction d exp rimentation du dessin papier crayon ne peut pas tre remplie au m me titre que dans le plan conclusion 3 chapitre A p 41 Nous avons formul dans le chapitre A que certains environnements informatiques de par la gestion des objets et relations g om triques offrent au dessin mod le d un objet g om trique du plan un domaine de
213. ercice 3 Exercice 2 Soit D et D deux droites non coplanaires et un point n appartenant pas ces deux droites Construire une droite A passant par A et s cante avec D et D fig 58 L nonc original est Chapitre C3 213 Par un point donn mener une droite qui rencontre deux droites donn es non situ es dans un m me plan Le ons de g om trie l mentaire J Hadamard 1921 p 8 D apr s l hypoth se V1 cet exercice de construction voqu e doit tre rejet Dans le cas contraire on demandera le type de solution attendue Exercice 3 La figure suivante repr sente une pyramide dont la base ABCD est un quadrilat re K est un point de l ar te OA L est un point de l ar te OD et M un point de l ar te OC Tracer l intersection du plan KLM avec la pyramide Si l enseignant ne propose pas de modification pour l exercice 1 en particulier s il ne rejette pas la formulation construire on lui demande la diff rence entre les exercices 1 et 3 Dans tous les cas nous relancerons sous forme des questions directes la diff rence entre les formulations construire tracer quelle est Ceci nous permettra de mettre l preuve l hypoth se V3a Exercice 4 Soit P un plan d une droite s cante P et A un point n appartenant ni d ni P Construire une droite passant par A s cante d et parall le P Le probl me admet il une solution Cet
214. es messages Ces raisons sont valables aussi bien pour le cas du dessin mod le d un objet g om trique du plan que de l espace Dans le cas de la g om trie dans l espace l apport des environnements informatiques pour le r le du dessin dans les probl mes est cependant plus important que dans le cas de la g om trie plane compte tenu des limitations du dessin dans l environnement papier crayon Par ce travail nous avons aussi montr que ces apports d pendent des choix effectu s par les concepteurs au niveau de l interface et donc de l univers interne quant aux modes de repr sentation les conventions adopt es et leur gestion les traitements graphiques possibles les primitives g om triques les actions possibles les r troactions Pour le logiciel Geospace les choix effectu s permettent d avoir un domaine de fonctionnement du dessin plus important et des r troactions susceptibles de disqualifier des interpr tations illicites Cependant ces choix peuvent induire ou renforcer des conceptions erron es chez des l ves comme l association du plan au parall logramme le repr sentant mais aussi des ambigu t s quant l interpr tation des r troactions le Chapitre D1 291 292 logiciel ne g rant les aspects des objets que dans le cas o ils sont d finis partir des figures de base Quant la vie des objets dans un environnement informatique nous avons montr que les deux types de probl mes de constr
215. es l algorithme de construction qui prend en charge les moyens de la r alisation de la construction et la preuve de constructibilit qui justifie la faisabilit de la construction suivant les moyens permis par une th orie donn e Chevallard a soulign la diff rence entre ces deux composantes par rapport la simplicit ou non de la solution ainsi que leur compl mentarit Il a aussi montr que les probl mes de construction sont pour les math maticiens des probl mes de constructibilit Chevallard 1991 p 66 Il souligne cette id e en tudiant un point singulier de l histoire des math matiques la g om trographie On voit donc que la g om trographie s int resse aux proc d s de construction eux m mes en se proposant de les comparer afin de trouver les plus simples selon des crit res d termin s La singularit m me de cette fa on d envisager l tude des proc d s de construction et d j d envisager que l on puisse les tudier pour eux m mes et le peu de succ s qu elle a rencontr montre 1 Chevallard 1991 2 A cet effet on peut consulter LEMOINE G om trographie ou art des constructions g om triques 1902 124 a contrario l omnipr sence des probl mes de constructibilit en math matiques et met en vidence de nouveau et de mani re plus pr cise encore la distinction entre d monstration de constructibilit et algorithme de construction Chevallard 1991 p 67 Dans les probl
216. es qu on notera PC intersect Les probl mes o la t che demand e est la construction d un objet g om trique v rifiant des conditions d incidence qu on notera PC Obj cond Nous avons distingu ces deux types de probl mes pour la raison suivante Les probl mes de construction en g om trie dans l espace sont du type PC Obj cond au cours de la p riode 1 et du type PC intersect dans les manuels actuels En quoi ces deux types de probl mes diff rent ils au niveau de la r solution Nous reprendrons cette question dans le paragraphe 3 de ce chapitre Nous distinguerons galement les probl mes de construction avec ou sans solide Ceci nous permettra de voir l importance de la contrainte solide Les crit res retenus pour la caract risation des probl mes de construction sont donc construction effective ou construction voqu e construction avec ou sans solide construction de l intersection de deux objets ou construction d un objet sous des conditions g om triques c Type III Probl mes d incidence sans construction Dans ces exercices la t che est d tudier ou de d montrer une relation d incidence entre des objets de l espace Aucune construction n est demand e Cependant un dessin peut aider r soudre le probl me Il a comme fonctions essentielles visualiser illustrer 2 1 2 Aspect quantitatif Nous nous sommes int ress s la place occup e par chaque type de probl mes
217. es d interpr tation De plus nous avons pu identifier ces derni res pour un m me exercice travers des r ponses du type oui non ou on ne peut rien dire L analyse a montr que les justifications bas es uniquement sur l vidence de la perception sont minoritaires Presque toutes les justifications utilisent des propri t s g om triques sous contr le perceptif sans doute Seulement certaines tapes de ces justifications se limitent une lecture du dessin en utilisant une r gle d interpr tation 6 1 R gionnement de l espace Les r gles d interpr tation int plan et ext plan taient confirm es par le test de B Parzysz Notons galement que la r gle d interpr tation int plan a t mobilis e par les l ves dans le cas de l exercice 1 Dans le cas de l exercice 5 les l ves ont utilis des justifications faisant appara tre deux r gions au dessus et au dessous du plan Ceci valide la conjecture au dessus au dessous 6 2 Position relative d une droite par rapport un plan La r gle d interpr tation droite int plan a t confirm e par le test de B Parzysz La r gle d interpr tation droite plan a t confirm e par notre questionnaire Cette r gle a permis de justifier qu une droite est parall le un plan lorsqu elle est parall le un segment de celui ci et aussi de justifier qu elle n est pas parall le un plan lorsque sur le dessin elle n est parall le aucun
218. es dans l algorithme de construction Cependant au niveau du trac certaines constructions ne peuvent pas tre r alis es sans faire appel des arbitraires C est ce que nous avons appel des r gles d usage Ainsi au cours de la p riode 1 les solutions de probl mes de construction dans l espace peuvent utiliser la r gle d usage RU selon 19 Sans sp cification de la nature du probl me comme probl me de construction ou de lieux g om trique 20 Ceci ne veut pas dire qu il n en a pas eu Chapitre C1 147 laquelle on peut repr senter de fa on arbitraire l intersection lorsqu elle existe d une droite et d un plan de deux plans Pour la g om trie dans l espace le probl me du trac est voqu par certains auteurs de manuels non par rapport au probl me de la pr cision comme dans le cas de la g om trie plane mais par la mention qu on ne peut pas r aliser toutes les tapes de l algorithme de construction sur un dessin en perspective cavali re Ceci est interpr t comme une insuffisance due au dessin D ailleurs c est ce qui justifie l introduction de la g om trie descriptive 2 TROISIEME PERIODE A partir de la r forme de 1982 les probl mes de construction retrouvent leur place dans l enseignement d abord en g om trie plane et ensuite dans la g om trie dans l espace J Marion 1983 souligne que les activit s de construction g om trique constituent un moyen d atteindre la plupart des objectifs d
219. es deux lieux g cin triques n cessaires pour la d terminalion de chaque point Montrer que la figure obtenue saltisjait aux donn es 3 Discuter le probl me c est dire exprimer les conditions de possibilit F et F doivent avoir au moins un point commun envisager les diff rents cas qui peuvent se pr senter indiquer le nombre de solutions La premi re tape correspond la partie analyse A nsi on suppose le probl me r solu on r alise le dessin on d gage des propri t s de la figure pertinentes pour la construction demand e ou pour une construction interm diaire Pour cela l auteur explique comment appliquer la d marche d intersection de lieux g om triques Les tapes 2 et 3 correspondent la partie synth se c Synth se Dans cette partie les auteurs indiquent effectivement le programme de construction en justifiant les diff rentes tapes Parfois une discussion s impose Par exemple dans l extrait du manuel M2 ci dessus nous identifions la partie synth se aux tapes 2 et 3 L tude des exemples dans ces manuels nous a permis de distinguer trois composantes dans la partie synth se Algorithme de construction 11 Dans les exemples trait s dans ce chapitre l auteur appelle cette tape recherche des propri t s de la figure 134 Un algorithme de construction permet de donner les diff rentes tapes de construction selon les r gles de construction la r gle et
220. es diff rents tats du syst me au cours de ce si cle A la lecture des programmes nous avons distingu deux types de passages entre deux tats E et E 1 Soit le programme l tat E conserve l essentiel du pr c dent dans ce cas on dira qu il y a une continuit dans le passage entre ces deux tats soit le programme propose un changement par rapport au pr c dent non seulement sur le contenu mais aussi sur les lignes directrices les objectifs g n raux etc dans ce cas on dira qu il y a une rupture dans le passage entre ces tats Sur une p riode o les passages entre les tats sont en continuit on dira que le syst me est en dynamique continue Ainsi au cours de ce si cle le syst me d enseignement a connu deux ruptures La premi re correspond la r forme des math matiques modernes de 1969 et la deuxi me aux programmes de la fin de cette r forme en 198227 Nous d gageons alors trois p riodes o le syst me d enseignement est en dynamique continue dans chacune de ces p riodes La premi re correspond aux programmes qui pr c dent la r forme des math matiques modernes de 1923 1969 on la d signe par p riode 1 Ensuite la p riode de la r forme des math matiques modernes de 1969 1982 qu on d signe par p riode 2 Enfin la p riode d apr s la r forme des math matiques modernes de 1982 nos jours qu on d signe par p riode 3 27 Cette date correspond la mise en place des nouv
221. es figures offrent donc un moyen de donner l l ve une part plus active dans son apprentissage Bessot 1983 p 35 Dans la suite de son article il va pr ciser les notions de figure et configuration ainsi que les rapports qu elles entretiennent Il attribue au moins deux r les par rapport la r solution de probl mes aux figures en g om trie d une part elles illustrent les situations tudi es d autre part elles servent de support l intuition au cours de la recherche en faisant appara tre sur un objet visible des relations ou des hypoth ses de relation qui ne sont pas clairement videntes dans un nonc verbal Bessot 1983 p 35 S int ressant aux fonctions du dessin dans la phase de recherche Duval 1994 p 121 a montr que le dessin d sign par le terme figure dans ces travaux peut tre une aide de par certaines fonctions qu il est susceptible de remplir Permettant ainsi de saisir d un coup une situation dans son ensemble les figures sont le moyen le plus direct d en explorer les diff rents aspects d anticiper les r sultats d une d marche de s lectionner une solution Dans le m me article Duval 1994 p 123 examine dans quelle mesure le dessin peut remplir ces fonctions en cherchant en particulier r pondre aux deux questions 1 Comment une figure peut elle fonctionner de fa on heuristique dans une phase de recherche Car la rapidit et l conomie d appr hension qu une figur
222. es logiciels Cabri G om tre et G oplan au coll ge et au lyc e Pour la g om trie dans l espace Cabri I est utilis pour la r solution des probl mes de construction L tablissement dispose de deux logiciels de l espace Geospace et Dessinez l espace 7 mais l enseignant utilise Cabri I parce qu il lui permet de travailler la g om trie plane et la g om trie dans l espace E Parce que Cabri 2D on commence davantage au coll ge par la g om trie plane et a me permet donc de faire les deux Alors que le logiciel Geospace c est typique de la g om trie dans l espace et on ne peut pas l utiliser quand on fait de la g om trie plane 16 au sens algorithme de construction dans les probl mes de construction effective 17 Logiciel dit par IREM de Lorraine Nous avan ons l hypoth se que ce choix est li au probl me d investissement en temps pour l utilisation d un logiciel Il a utilis ce logiciel d abord au coll ge pendant 3 ans et ensuite au lyc e pendant 3 ans galement La fr quence d utilisation est relativement importante au lyc e 6h en Seconde et 10h en Premi re Quant la progression il n utilise pas le logiciel Geospace pour introduire la g om trie dans l espace parce qu il ne lui convient pas ne poss dant pas de primitives de construction comme plan parall le E Pour l introduire c est assez difficile justement parce qu on a pas les outils comme dan
223. es sont des traductions des propri t s g om triques de l objet plan projet de l objet de l espace Ces propri t s constituent le domaine de fonctionnement du dessin Propri t s g om triques de la figure de l espace projection Propri t s g om triques de la figure plane Propri t s spatiales du dessin Chapitre A 45 Examinons d abord les propri t s g om triques qui sont conserv es par la perspective cavali re Il s agit de la conservation du parall lisme de l alignement des barycentres et rapports de longueurs Propri t s g om triques de Propri t s g om triques de Propri t s spatiales du la figure de l espace la figure plane dessin Droites parall les Droites parall les Segments parall les Segments s cants Barycentre Barycentres Barycentres Rapports des longueurs Rapports des longueurs Rapports de longueurs Points align s Points align s Points align s Ainsi si on se limite aux r gles de la perspective cavali re le domaine de fonctionnement du dessin est tr s r duit 2 En plus de ces r gles des conventions et des repr sentations types sont utilis es dans l enseignement permettant ainsi d largir le domaine de fonctionnement du dessin C est ce que nous proposons d examiner dans le prochain paragraphe 5 2 2 Conventions et repr sentations types Dans l enseignement on fait appel d une part des conventions 3 d autre part des repr sentations types qu
224. essin l ils diront mais mon point il est o je ne peux pas le trouver c est que je ne suis pas assez bon c est tout Le probl me de l activit GEO 2 est un probl me de construction voqu e sur l environnement papier crayon et effective dans l environnement informatique Donc il n cessite des contrats didactiques diff rents selon l environnement Ceci rejoint notre hypoth se papier crayon selon laquelle les probl mes de construction effective et les probl mes de construction voqu e ne peuvent pas coexister tant donn que chacun d eux n cessite un contrat diff rent La machine a une seule figure alors que nous on a une infinit de repr sentations pour un m me dessin E CH On retrouve de nouveau le probl me du rupture du contrat didactique entre l environnement informatique et papier crayon E CH Il y a une diff rence parce que la machine a une seule figure alors que nous on a une infinit de repr sentation pour un m me dessin un m me croquis quoi Elle elle peut g rer a parce qu elle a un seul objet Les l ves comprendront difficilement la diff rence que la machine a qu un objet et eux ils en g rent plusieurs Ce probl me est relatif aux conventions de repr sentation des objets de l espace comme la repr sentation du plan par un parall logramme l image de l cran alors qu elle ressemble norm ment l image sur une feuille mais Ainsi l enseignant so
225. est pr sent e c Conclusion Dans les manuels Dimath me et Transmath de Seconde nous avons constat une confusion entre conventions et r gles de la perspective cavali re De plus seulement quelques r gles ou conventions sont explicit es Selon le manuel les conventions ou r gles explicit es varient Cependant tous les manuels font usage des conventions et repr sentations types Ces derni res permettent d illustrer les propri t s d incidence dans l espace Les conventions de repr sentation et les repr sentations types permettent d largir le domaine de fonctionnement du dessin en tant que mod le d un objet g om trique de l espace 5 2 3 Passage du dessin l objet g om trique Nous nous int ressons aux propri t s ou aux relations g om triques qui peuvent tre induites partir de la lecture d un dessin repr sentant un objet g om trique en perspective cavali re Nous savons que le dessin seul ne peut rendre compte de la situation N anmoins si on utilise le dessin comme terrain d exp rimentation lors de la r solution d un probl me alors le probl me de l interpr tation des propri t s spatiales comme tant des propri t s g om triques se pose comme nous l avons dit plus haut 50 Or le domaine d interpr tation d un dessin en g om trie dans l espace est tr s r duit et fonctionne selon une logique diff rente de celle utilis e pour interpr ter un dessin de la g om trie plane
226. et tudi est un solide Nous avons propos quatre exercices 2 4 9 et 11 avec une repr sentation d un solide et un segment repr sentant une droite d Pour l ensemble des exercices nous avons choisi un cube comme solide En plus du fait que c est un solide usuel nous l avons choisi parce que dans l enseignement du coll ge on commence travailler la notion de parall lisme sur un cube Nous pensons que le choix de ce solide pour tudier les probl mes d incidence peut se justifier par la pr sence de faces parall les d ar tes parall les et de deux faces repr sent es en vraie grandeur Ceci nous permettra en particulier de voir si les l ves privil gient les plans verticaux ou horizontaux a Variables Deux variables ont t retenues la question et le r gionnement de l espace par un cube 1 Question Deux types de questions sont examin s tre dans un plan ou tre parall le un plan Ces plans sont d finis par une face de cube ii R gionnement de l espace par un cube Ce r gionnement a des aspects culturels Par exemple dans le cas du dessin fig 30 selon les personnes on pense que d sera vue soit dans le plan CDGH soit dans le plan ABCD soit au dessous du cube alors que dans le cas du dessin fig 31 d sera vue dans le plan ABFE ou au dessus du cube F pS fig 30 84 b Les exercices Exercice 2 Exercice 4 La droite d est elle dans le plan ABCD La droite d e
227. eut parer dans une certaine mesure l insuffisance de nos moyens de repr sentation G om trie dans l espace Classe de premi re C et Moderne Par C Gagnac et al Masson et Cie 1952 Ces auteurs soulignent que pour les d butants la repr sentation des figures est l une des difficult s de la g om trie dans l espace par l insuffisance des moyens de la repr sentation les enseignants peuvent utiliser des mod les mat riels d objets g om triques pour leur enseignement Chapitre C1 137 que cette insuffisance des repr sentations des objets g om triques peut tre prise en charge par la g om trie cot e Dans les chapitres qui traitent les objets droites et plans de l espace les propri t s d incidence relatives ces objets sont tudi es Puis les probl mes de construction sont pr sent s comme terrain d application de ces propri t s Comme nous l avons dit les exercices r solus et les commentaires des auteurs dans les manuels sont des moyens pour caract riser les attentes de l institution propos de l objet de savoir probl mes de construction Nous proposons donc d tudier un exercice r solu dans un manuel de cette p riode a Etude d un exercice r solu dans un manuel d exercices corrig s Nous avons pris l exemple ci dessous dans un manuel o sont pr sent s des exercices corrig s Notons qu aucun rappel de cours commentaire sur les notions trait es ou les m thodes de r so
228. ev la question du choix de la position du point B 24 Obs Et le point B comment le trouve t on 25 E B Oui on a toujours un arbitraire On sait qu il existe mais je n ai pas de moyen de le faire d une fa on pr cise je le vois pas il n y a pas a priori En signalant qu on ne peut pas le faire d une fa on plus pr cise il sous entend selon notre terminologie qu on ne peut pas le faire par des constructions effectives Signalons Chapitre C3 227 que cette formulation a t employ e par l enseignant dans sa classe pour refuser des constructions voqu es propos es par des l ves 10 c Conclusion L analyse des exercices 1 et 3 a confirm l hypoth se V3b En revanche on ne peut rien conclure quant la validit de l hypoth se V3a Dans la suite de notre dispositif nous ne chercherons plus examiner des hypoth ses ci dessus Cependant nous retenons la r gle suivante que nous appellerons r gle formulation La diff rence entre construire et tracer r side au moins au niveau de la justification Et plus pr cis ment la justification est plus exig e dans le cas de construire que dans le cas de tracer Quant l hypoth se V1 nous pouvons rien inf rer des entretiens puisque les deux enseignants n avaient pas la m me position En effet l enseignant E A les a consid r comme des probl mes de construction qu on ne traite plus actuellement en raison du type de raisonnement qu
229. fective En fait nous avons consid r une directive du programme la pratique des figures est centrale en g om trie plane comme en g om trie dans l espace comme contrainte sur la vie des objets de g om trie et en particulier la r solution des probl mes de g om trie Seulement cela ne se traduit pas de la m me fa on en g om trie plane qu en g om trie dans l espace car comme nous l avons d velopp dans le chapitre A dans chacune de ces deux g om tries le dessin ne peut remplir les m mes fonctions et plus particuli rement la fonction d exp rimentation Pour les probl mes de construction cela s est traduit de plus par l volution de la d marche de r solution et donc de la t che du probl me chapitre C2 Cette volution des probl mes de construction va s exprimer par un changement de types d interrelation avec d autres objets comme propri t s d incidence dans l espace En effet la r solution des probl mes de construction n cessite la mobilisation des propri t s d incidence dans l espace Pour les probl mes de construction effective l algorithme de construction doit tre selon les sch mas d velopp s dans le chapitre C2 Dans l analyse des manuels nous avons remarqu que le champ de propri t s d incidence pouvant tre mobilis pour la r solution des probl mes de construction voqu e est plus large que les probl mes de construction effective Cela reste v rifier R le des environneme
230. formatique L tude des rapports des enseignants aux probl mes de construction dans l environnement informatique nous permet de voir si leur rapport 1 R2 signifie rapport institutionnel l objet probl me de construction dans l espace dans l institution enseignement dans l enseignement actuel 294 change ou non tant donn que les probl mes de construction ne vivent pas de la m me fa on dans les deux environnements 1 CHOIX DU DISPOSITIF EXPERIMENTAL Nous avons choisi de travailler avec des enseignants qui ont utilis un environnement informatique pour l enseignement de la g om trie dans l espace en classes de Seconde ou de Premi re Nous distinguons trois parties Productions papier crayon Questionnaire et Production Geospace La premi re partie nous permet de voir si ces enseignants ont le m me rapport l objet probl me de construction dans l espace dans l environnement papier crayon que les enseignants n utilisant pas un environnement informatique c est dire en conformit avec le rapport institutionnel R2 L objet du questionnaire partie 2 est d avoir des informations sur le choix et les conditions d utilisation du logiciel Enfin la troisi me partie a pour objet d tudier les rapports des enseignants l objet probl me de construction dans l espace dans l environnement informatique 1 1 Partie 1 Productions papier crayon Nous avons pr sent aux enseignants des nonc s d e
231. ge par rapport ceux de 1985 En revanche l ensemble des programmes du lyc e d finit comme objectif la pratique des figures est centrale 1 2 5 Synth se Le dessin est presque absent dans les programmes de 1972 D s 1982 les programmes pr cisent le r le du dessin dans l enseignement des math matiques Ainsi les activit s sur le dessin en g om trie plane figurent parmi les objectifs principaux des programmes de 1982 et 1985 4 Cf Annexe Cla 5 Les programmes utilisent les deux mots dessin et figure Il est difficile de cerner la diff rence entre ces deux mots Cependant nous remarquons que le mot dessin est utilis essentiellement au coll ge pour les activit s de r alisation et de reproduction alors que figure est plut t utilis au lyc e Chapitre C2 181 Enfin les programmes de 1990 et 1994 proposent une seule formulation la pratique des figures est centrale pour les trois classes du lyc es 1982 1985 1990 d instruments 4 Tous les travaux font appel aux figures usuelles 3 Pratique des figures centrale Emploi fr quent des figures pour Figures tous les stades de la Pratique des figures centrale l ensemble des vecteurs et des recherche et de la r daction de points en g om trie plane solution des probl mes Analyse des propri t s d une configuration pour les probl mes de construction en g om trie plane Pratique des figures centrale Tablea
232. gie Ce mod le est une lecture des travaux de Chevallard sur la transposition didactique simplifi e par rapport aux besoins de notre tude 6 1 1 Evolution du syst me d enseignement 56 Chevallard 1994 p 141 voit la r forme des math matiques modernes comme une perturbation d un syst me en quilibre dynamique C est dans cette perspective que nous consid rons le syst me d enseignement comme un syst me dynamique dont chaque programme d finit un tat C est un tat de r f rence pour le fonctionnement du syst me Pendant la p riode o le programme ne change pas on dira que l tat du syst me est en position E Au cours des derni res d cennies le syst me d enseignement en France a connu plusieurs tats Une premi re analyse montre un pisode important dans ces changements de programmes la r forme des math matiques modernes Comme l explique Chevallard 1991 p 48 cette r forme est un bouleversement du syst me d enseignement A la commotion de la r forme des math matiques modernes autour des ann es soixante dix l un des bouleversements les plus radicaux sans doute de l histoire de l enseignement des math matiques succ de aujourd hui apr s une p riode transitoire d une dizaine d ann es une volution plus douce d apparence mais qui s loigne tout aussi r solument et de l tat ant rieur la R forme et de celui que cette derni re eut l ambition de promouvoir Examinons d abord l
233. gn s comme relevant du type d exercices qu on ne traite plus actuellement en raison de la nature du raisonnement qu il n cessite 1 4 E A Celui l non M me en Terminale c est limite En fait non D abord c est un probl me de construction Il y a un probl me de condition n cessaire la construction tant faite est ce que a marche Et ensuite il y a la condition suffisante est ce que ce que nous avons trouv a va Et puis l il y a des cas par exemple construire un plan et la droite D coupe a d pend du point comment il est plac par rapport la droite D Il y a toute une discussion l Ceci nous ram ne aux questions suivantes Qu est ce pour l enseignant qu un probl me de construction au sens ci dessus Les autres exercices sont ils des probl mes de construction Nous essaierons de r pondre ces questions apr s l analyse de la partie concernant les productions d l ves dans le paragraphe Probl mes de construction pour E A ii Enseignant E B 222 Contrairement l enseignant E A et notre analyse a priori celui ci n a pas rejet les exercices 2 et 4 Il a propos une solution pour chacun d eux Ces deux solutions utilisent des r gles d usage du type RU P D C est dire on se donne le droit de consid rer l intersection d une droite et d un plan Nous analyserons dans ce qui suit les solutions propos es a Exercice 2 Apr s avoir expos une solution de
234. gnement depuis la fin de la r forme des math matiques modernes le r le que peuvent jouer les environnements informatiques quant aux fonctions du dessin mod le d un objet g om trique dans l espace Par ce travail nous proposons de mettre l preuve l hypoth se de recherche suivante Hypoth se de recherche fonctions du dessin comme contraintes Apr s la fin de la r forme des math matiques modernes le dessin par ses nouvelles fonctions dans l enseignement de la g om trie dans l espace est une contrainte sur la vie de certains objets g om triques de l espace Nous avons choisi d tudier le r le du dessin travers la r solution des probl mes de construction dans l espace En effet nous pensons que les probl mes de construction constituent un lieu privil gi o le dessin joue un r le diff rent dans le plan et dans l espace Nous reformulons la question du r le du dessin dans les probl mes de construction dans l espace en celle de l tude des conditions du fonctionnement de l objet probl me de construction dans l espace et de ses interrelations avec l objet dessin dans une institution didactique enseignement secondaire 54 6 1 Cadre th orique Nous nous pla ons dans une perspective cologique dans la mesure o nous nous int ressons aux interrelations possibles entre l objet dessin et l objet probl me de construction dans l institution enseignement secondaire Pour chaq
235. gramme repr sentant P 3 1 1 R ponses attendues a Exercice 1 Rla Oui car trois points d finissent un plan R1b Oui car les points I J et K sont sur la m me face ABD c est dire que comme les points sont l int rieur du triangle ABD alors ils sont dans un m me plan R1c Oui car les points I J et K sont dans le m me plan ABD Rid Non car les points I J et K ne sont pas sur la m me face Rle Non car les points I J et K ne sont pas dans le m me plan RIf On ne peut rien dire car on ne sait pas si le point I appartient au plan ACD ou une justification quivalente Pour les r ponses R1d et Rle on pourra avoir des justifications plus pr cises du type I appartient ABC alors que J et K appartiennent ACD R1g On ne peut rien dire car il manque des informations R1x absence de r ponse ou sans justification b Exercice 8 R8a Oui car trois points d finissent un plan 80 R8b Non car les points A B et C ne sont pas sur le m me plan par exemple le point B n appartient pas au plan P contenant A et C R8c On ne peut rien dire car le point B peut tre dans le plan P contenant A et C ou des justifications quivalentes R8g On ne peut rien dire car il manque des informations R8x absence de r ponse ou sans justification c Commentaires et interpr tations des r ponses a priori d l ves Les r ponses justes sont Rl
236. gt 1 PREMI RE TAPE faire la figure de mani re active et r fl chie Les conseils qui vont suivre concernant la construction de la figure ne sont s rement pas nouveaux e Faire la figure n est pas une activit passive Le trac de la figure doit tre fait avec r flexion pour bien rep rer les donn es c est dire les hypoth ses jes traduire pius explicitement Par exemple ici Bx est la bissectrice de angle B du triangle ABC se traduit imm diatement par Bx est la droite qui passe par B et qui divise l angle ABC en deux angles gaux Faire ventuellement plusieurs figures d abord une figure approximative pour viter les cas particuliers lors du trac de la figure finale qui elle doit tre soign e pr cise et g n rale 3 Par exemple ici si on trace un triangle presque isoc le en B le point I semble tre sur AC Le trac rapide d une autre figure o le triangle ABC est loin d tre isoc le en B montre que visiblement le point I n est pas sur AC Indiquer sur la figure par l emploi de signes conventionnels certains renseignements donn s par nonc Par exemple ici on fera appara tre sur la figure par le signe conventionnel d usage les hypoth ses M milieu de AB Bx bissectrice de l angie 1 tape Transmath 1995 p 231 Pour la r ussite de cette phase illustration de l nonc il a t conseill par les auteur
237. hapitre a pour objet la mise l preuve de l hypoth se de recherche ID P J D VD Papier crayon soulev e dans le chapitre C1 selon laquelle les deux types de probl mes construction effective et construction voqu e ne peuvent P q P pas coexister tant donn que chacun d eux n cessite un contrat diff rent par rapport aux productions d l ves Ce travail nous permettra de d terminer de plus les fonctions du dessin dans l nonc et dans les P productions d l ves relatives aux probl mes de construction effective C est du c t du contrat qu il faut chercher la validation de cette hypoth se en termes d attentes des enseignants par rapport aux productions d l ves relatives aux probl mes de construction effective et construction voqu e Nous cherchons r pondre aux questions suivantes Question a Quels sont les types de probl mes de construction que l enseignant rejette ou accepte En particulier un probl me de construction voqu e peut il vivre dans l institution classe Si oui comment Si non pourquoi Question b Quelles sont les attentes de l enseignant par rapport aux productions d l ves pour les probl mes de construction Question c Quel est pour l enseignant le statut du dessin qui accompagne un nonc Nous proposons un dispositif exp rimental qui nous permet d acc der des attentes d enseignants Or quel que soit ce dispositif les enseignants ne
238. hez les l ves Cependant il n y a aucune explicitation des programmes du lyc e propos des probl mes de construction Enfin partir de 1990 les probl mes de construction sont au programme de toutes les classes du coll ge et du lyc e Construire les figures usuelles Cf 1985 Construire une parall le une perpendiculaire la r gle et au compas Droites remarquables d un Cf 1985 triangle Triangle quilat ral un carr un hexagone r gulier Une quatri me proportionnelle Probl mes de construction 3 Probl mes de construction Probl mes de construction D OSE Probl mes de construction Ter y Probl mes de construction Tableau 28 Nous constatons que les probl mes de construction en g om trie plane se sont mis en place progressivement travers les diff rents programmes Les programmes de 1982 proposent pour la r solution des probl mes de construction en g om trie plane la mise en oeuvre de diverses m thodes parmi lesquelles l tude de configurations Les programmes de 1985 et 1990 ne donnent aucune pr cision ce propos Cependant l analyse des ditions 1990 de manuels d velopp e dans le chapitre C1 montre que l tude des configurations est un point essentiel pour la r solution des probl mes de construction En fait la d marche de r solution des probl mes de construction en g om trie plane n a pas chang au cours de cette p riode 3 1 5 Probl mes
239. i Terracher Seconde 1990 Aucune convention n est explicit e Seules quelques r gles de repr sentation en perspective cavali re sont illustr es avec un pav droit ii Dimath me seconde 1990 Un paragraphe au d but du chapitre Droites et plans de l espace p 353 intitul conventions de repr sentation pr sente ce que les auteurs d signent comme tant des conventions utilis es dans la repr sentation d une figure de l espace Elles sont Chapitre A 49 illustr es par la repr sentation d un cube et d un dessin repr sentant une droite s cante avec un plan Pour les auteurs ces conventions sont Repr sentation d un cube Un plan est repr sent par une portion de ce plan en g n ral un rectangle dont la vue en perspective est un parall logramme Deux droites parall les sont repr sent es par deux droites parall les Les segments cach s sont repr sent s en pointill s Le milieu d un segment est repr sent par le milieu du segment dessin Ces conventions sont celles de la perspective cavali re Dimath me 1990 p 353 iii Transmath seconde 1990 Deux conventions sont explicit es Premi re convention les ar tes visibles sont dessin es en traits pleins les autres sont dessin es en pointill s Seconde convention deux droites parall les sont repr sent es par deux droites parall les Transmath 1995 p198 Aucune autre r gle ou convention n
240. ide par des projections orthogonales sur deux plans perpendiculaires bien choisis Repr sentation par perspective cavali re Instructions du programme de 2 1982 Un th me sur la repr sentation des solides usuels l aide des projections orthogonales est propos pour les classes de Premi re facultatif pour Premi re S et obligatoire pour Premi re E 1 3 3 Programmes de 1985 La repr sentation d objets g om triques est un des objectifs des programmes du coll ge En particulier les l ves doivent savoir repr senter en perspective cavali re les solides tudi s et leurs patrons Le programme de Seconde est plus explicite et il met davantage l accent sur la pratique des dessins comme repr sentations des solides usuels En classe de Premi re on poursuit les objectifs de la classe de Seconde quant la repr sentation des objets de l espace L emploi des repr sentations graphiques est au centre des diff rentes activit s comme le soulignent les instructions officielles de la classe de Premi re Pour l ensemble des activit s sur les configurations de l espace les l ves doivent tre entra n s l emploi syst matique de repr sentations graphiques croquis avec ponctuation projection orthogonale sur un plan bien choisi dessin en vraie grandeur d une section plane Mais aucune connaissance n est exigible sur la g om trie descriptive et la perspective cavali re Instructions du programme de 1
241. ification Jg Cette justification est apparue essentiellement dans l exercice 9 Elle montre que les l ves n ont consid r que deux plans d finis par les faces du cube en privil giant la Chapitre B 101 face horizontale inf rieure et la face verticale sup rieure Nous pensons que c est la position de la repr sentation de la droite qui a fait merger ces r ponses f Justification Je Deux l ves ont justifi leur r ponses par le fait que la droite d est s cante avec le plan ABCD L l ve A29 pr cise qu elle n est pas parall le au plan ce qui permet de conclure El ve A29 r ponse Non Justification Non car elle n est pas parall le au plan ABCD mais elle y est s cante Ici deux l ments sont en jeu de fa on compl mentaires la perception de l l ve et d n est parall le aucune droite du plan repr sent Pour l l ve B13 la droite d n est pas dans le plan ABCD donc elle lui est s cante El ve B13 r ponse Non Justification Non la droite d n est pas dans le plan mais par contre on peut dire qu elle est s cante au plan ABCD Nous pouvons nous demander si pour cet l ve la droite d est dans le plan CDGH g Justifications Jd Pour les l ves deux possibilit s se pr sentent la droite d est parall le au plan ou incluse dans ce plan Nous pensons que le cas tre s cante n a pas t envisag cause de l absence des pointill s De plus l absence des marques i
242. ignons l auteur sur l interpr tation des r sultats il s agit du fait que les repr sentations de P1 et Q sont disjointes lequel peut induire l id e que les plans eux m mes sont disjoints 6 B Parzysz 1989 p 273 7 O d signe l ensemble des l ves ayant r pondu la fois est parall le Q et commun avec Q Cha n a aucun point 72 B Parzysz 1989 p 274 pour le cas du plan P3 il ajoute ceci somme toute comparable avec les r sultats obtenus pour le plan P1 1 1 4 Situation 4 Position relative de droites entre elles Dans cette situation les l ves doivent dire pour chacune des droites du dessin fig 17 si elle coupe A est parall le A ou est ni parall le ni s cante A D1 D2 NDS D4 fig 17 Les r sultats sont donn s dans le tableau ci dessous 182 l ves coupe la droite A est parall le A n est ni parall le Le dessin ne permet Je ne sais pas ni s cante A pas de r pondre 5 3 8 ooon n 5s i E ni Ca tl wd e oai Tableau 4 Dans le cas de la droite D2 95 des l ves pensent qu elle est parall le A On peut dire que pour ces l ves si deux droites sont repr sent es par deux segments parall les alors elles sont interpr t es comme tant deux droites parall les Ensuite l auteur a propos deux droites D3 et D4 dont les repr sentations sont s cantes avec la droite A De plus pour D3 un point es
243. illon 61 E2 Ah c est pour a Mais l il voyait bien que a marche pas 62 El Oui moi je pense que le fait qu il n y a pas de dessin prouve bien qu ils ont ressenti que la construction n tait pas donn e pr cis ment Ils se sont rendu compte qu il manquait quelque chose 63 E2 C est la r gle du jeu que rien ne se trace au pif Dans le cas o l l ve a fait le dessin au brouillon l enseignant E2 pense que l l ve aurait d se rendre compte que la construction qu il propose ne convient pas par rapport la r gle nonc e par les enseignants E2 et E3 Le dessin est un moyen de v rifier le caract re effectif de la construction L enseignant El pense que l absence du dessin montre que l l ve n a pas r ussi construire le point J de fa on pr cise c est dire sans arbitraires E2 confirme en voquant la r gle selon laquelle on ne peut rien tracer de fa on arbitraire 64 El Moi je ne le donnerais pas 65 E2 Moi aussi 66 El Mais a peut servir pour montrer que ce qu il montre c est pas pr cis Pour les deux enseignants cet exercice ne peut tre donn en valuation Cependant E1 pense qu on peut le proposer pour montrer aux l ves que ce n est pas pr cis b Enseignant E3 Il a eu d abord EP IV puis EP IVa i Cas de EP IV Apr s les remarques sur l absence du dessin l enseignant examine la solution 33 E3 lit la production 34 E3 Donc l le probl me c est
244. instruments de dessin Encart n 1 1990 classe de seconde p 19 Autrement dit on travaille selon les axes 1 5 et 6 du Sch ma 1 p 19 Notons que m me lorsque qu on travaille au niveau des objets th oriques l tude de ces derniers se fait l aide de figures En g om trie plane comme en g om trie dans l espace tout point de vue axiomatique est exclu La pratique des figures doit tenir une place centrale car elle joue un r le d cisif pour la ma trise des notions math matiques mises en jeu Encart n 1 1990 classe de seconde p 15 Le r le central des dessins mentionn par les programmes nous conduit nous int resser aux r les du dessin dans l enseignement de la g om trie dans l espace Plus pr cis ment nous nous sommes demand s quelles sont les fonctions du dessin en tant que mod le d un objet g om trique dans les probl mes de g om trie 5 DESSIN COMME MODELE D UN OBJET GEOMETRIQUE Nous aborderons dans le premier paragraphe le cas de la g om trie plane d une part en mettant en vidence l importance du dessin et diff rentes questions soulev es dans des travaux r cents d autre part en d gageant les fonctions attribu es au dessin dans la pratique de l enseignement apr s la fin de la r forme des math matiques modernes Le cas de la g om trie dans l espace fera l objet du second paragraphe o nous examinerons dans quelle mesure le dessin peut ou non remplir les fonctions d
245. int B Il semble donc que le prolongement mental du plan P dans le sens horizontal se fasse plus facilement que dans le sens vertical B Parzysz 1989 pp 266 267 1 1 2 Situation 2 Positions de droites relativement un plan Cette situation propose d examiner les lectures que font les l ves par rapport aux positions relatives d une droite et d un plan Les l ves doivent dire d apr s le dessin pour chacune des droites si elle est dans le plan P s cante au plan P ou elle n a aucun D4 D2 D3 i Ka x x fig 13 point dans le plan P Les r sultats sont donn s dans le tableau ci dessous 183 l ves est tout enti re coupe P en un n a aucun point Le dessin ne permet Je ne sais dans P point dans le plan P pas de r pondre pas 1 32 taote 148 ai 2 52 O 2 RE 163 La droite 2 2 19 La droite D3 0 1 La droite D4 0 58 Tableau 2 80 des l ves on r pondu que D1 est Tout enti re dans le plan P L existence des pointill s sur la repr sentation de la droite D2 l int rieur du parall logramme repr sentant P va dans le sens de la lecture d une convention de 5 B Parzysz 1989 p 269 70 repr sentation d une droite s cante avec un plan droite sec plan Nous avons fait l hypoth se que les l ves diraient que la droite est s cante avec le plan P Les r sultats confirment notre hypoth se puisque pr s de
246. interrogeons sur les moyens qu a l enseignant pour g rer cette diff rence En absence d un manuel proposant des nouvelles situations pour la vie des objets dans l environnement informatique les enseignants exploitent dans l environnement informatique les situations papier crayon prises dans les manuels classiques Or les situations propos es par les manuels classiques ne prennent pas en compte la dimension informatique Les enseignants justifient l utilisation du logiciel pour d velopper la perception des l ves Cela nous conduit formuler deux propositions Proposition 2 L int gration dans la formation initiale ou continue des enseignants d un enseignement sp cifique de l utilisation des environnements informatiques dans une classe de math matiques est n cessaire Cette formation a pour objectif de leur faire prendre conscience en quoi les environnements informatiques modifient la vie des objets par rapport l environnement papier crayon et de leur donner les moyens en termes d outils de g rer ce changement Proposition 3 Il para t important de mettre disposition des enseignants des manuels sp cifiques non pour l utilisation du logiciel mais proposant des situations pouvant tre r alis es en classe Retour critique sur la m thodologie et perspectives Nous avons montr que sous les contraintes dessin et solide les probl mes de construction ont chang au cours de ce si cle
247. intersection de la droite JK avec le plan ADE R ponse Si TK wet p parallel AdE J iubnseet on o Ju pit L appel P im pl qui contient F K T et im ponb que que apparent Pa ha dme BED Po choite Zq appele E et Aubisection de A ut 248 Exercice production EP IV EP IV Soit P un plan d une droite s cante P et un point n appartenant ni d ni P Construire une droite passant par s cante d et parall le P R ponse plan passant Par ef contenant A Soit Q e d esf secan le avec L Pet se coupent Comme Lng ani le plia JE frace mne More e parrathie eof parta flle L et de passant fe rA e A celte droite 25 cn Exercice production EP IVa EP IVa Soit P un plan d une droite s cante P et A un point n appartenant ni d ni P Construire une droite passant par s cante d et parall le P R ponse t we irure ama parelli di A 4 pessan t par A de Pa pre Ca d comme d uf P d f cope aux P dn I d hl 13 A draik CII ed cenlenue dans P passant per el paral l CIJ ba te race ume dti Ghir doite esl s pars tele et para par A 249 Chapitre C3 3 2 Analyse de la phase 2 Dans cette partie nous analyserons les diff rents entretiens avec les enseignants autour des points suivants dessin de l nonc trac de l l ve construction effective et voqu e justifi
248. intersection des deux plans c est la droite IJ pour la r daction il faut justifier que les deux plans sont distincts 18 E1 Oui il faut le pr ciser 19 E2 C tait un devoir la maison 20 Obs Non c tait en classe ils avaient un brouillon puis il recopiaient sur cette feuille la r daction finale le temps n tait pas limit L enseignant E3 a pr cis le niveau de justification selon que l exercice est donn en devoir surveill ou en classe 17 E3 L je dirais que c est bien Alors l par contre il n explique rien Disons les deux premi res productions ont des explications de mon point de vue a suffit l dans un devoir c est peut tre un petit peu juste on aimerait qu il justifie un peu donc qu il dise que IJ et BC sont toutes les deux dans le plan donc elles se coupent 258 Donc la justification est n cessaire dans les probl mes de construction Le degr de justification d pend du contexte dans lequel l exercice est propos devoir la maison en classe contr le Les exigences peuvent changer d un enseignant un autre 4 CONCLUSION L analyse des exercices et productions des l ves tait faite selon le rapport de l enseignant l objet probl me de construction dans l espace Dans la premi re partie de la phase 1 les enseignants E A et E B n ont pas eu le m me rapport l objet probl me de construction lors de l analyse des exercices sans prod
249. ion difficiles cr er avec les mat riaux qu impliquent ces situations dans le mod le consid r 1 Balacheff 1994a distingue trois univers relatifs un dispositif informatique lunivers interne de la machine l interface comme lieu de communication entre l utilisateur et le dispositif informatique et enfin l univers externe dans lequel on trouve l utilisateur et o lui sont ventuellement accessibles d autres dispositifs Balacheff 1994a p 365 266 Pour ces questions il nous semble qu une tude d un point de vue didactique est n cessaire Nous n envisageons pas de faire cette tude dans le cadre de notre recherche mais d tudier des choix effectu s et des possibilit s offertes par deux environnements informatiques choisis Geospace et Cabri 3D par rapport aux questions que nous nous sommes pos es Balacheff 1994b p 33 caract rise un micromonde par l articulation d un syst me formel et d un domaine de ph nom nologie le syst me formel est constitu d objets primitifs d op rateurs l mentaires et de r gles exprimant comment peuvent tre manipul s objets et op rateurs le domaine de ph nom nologie d termine le type de feedback que le micromonde peut produire comme cons quence des d cisions et des actions de l utilisateur Ainsi la dimension exp rimentale du dessin rel ve du domaine de ph nom nologie En effet nous avons vu que la fonction d exp rimentati
250. ion b en mettant en vidence les attentes de ces enseignants du moins ce qu ils en ont rendu public par rapport aux productions d l ves pour les probl mes de constructions effectives dans l espace Comme nous l avons dit dans la m thodologie de ce chapitre on ne peut acc der toutes les attentes de l enseignant Nous reprendrons donc cette question dans le questionnaire en tenant compte des l ments ci dessus Chapitre C3 209 2 2 Questionnaire 2 3 Choix et analyse a priori 2 3 1 Principe et mise en place Nous avons choisi lors de cette phase d interviewer ces enseignants Nous distinguons deux tapes Dans la premi re nous avons pr sent aux enseignants des exercices qu on leur a demand de commenter Ces exercices leur taient envoy s une semaine avant le rendez vous La consigne tait Comme nous en avions convenu je vous envoie ce document comportant sept exercices suivis de quatre questions Ces questions sont identiques pour tous les exercices Je vous demande de r pondre si c est possible ces questions Dans la deuxi me tape les enseignants ont comment les exercices productions r dig s par nous m me En plus des notes crites l ensemble de l interview a t enregistr Nous avons pr cis aux enseignants que le temps n tait pas limit Lors de l interview d autres questions ont pu leur tre pos es propos de leurs pratiques Ces questions d pendaient du d roulement
251. ion de ces constructions sans les arbitraires et donc la r gle et au compas Dans un autre manuel propos des probl mes de trac les auteurs soulignent qu on ne peut pas traiter les probl mes de construction dans l espace comme ceux de la g om trie plane Exercices NOTA Dans tous les probl mes de construction dans l espace il n est pas question pour l instant de construire les r sultats comme en g om trie plane Nous supposerons que un plan est d termin comme il est dit au n 173 l on sait prendre l intersection d une droite et d un plan ou deux plans l on sait faire dans un plan donn les constructions de la g om trie plane Cours de Math matique 2 A CMM Par G Girard A Lentin Ed Hachette 1961 Chapitre C1 141 En mati re de preuve de constructibilit rien ne justifie a priori une diff renciation entre le plan et l espace En revanche en ce qui concerne la r alisation du trac sur une feuille il est n cessaire de les distinguer En effet dans le plan tout ce qui est constructible est r alisable sur la feuille de papier cela devient impossible dans l espace puisque celui ci n est pas isomorphe la feuille de papier moins de consid rer des modes de construction comme ceux de la g om trie descriptive 1 2 2 Les r gles d usage Pour certaines constructions la r alisation effective de la construction de certains objets de l espace n est pas possible selon les
252. ire l intersection ou tracer l intersection Est ce que vous voyez une diff rence entre ces formulations 55 E B Je pense que derri re construire on attend une justification comment est ce qu on peut faire r ellement tandis quand on dit quelle est je pense que c est moins fort que construire Avec construire J attends la d marche pour que tout le monde puisse refaire la 4 Nous d signons par oui le cas o l exercice tait accept par l enseignant et par non le cas contraire Chapitre C3 221 m me chose Par exemple la production E2 convient pour la formulation tracer alors pour construire on attend en plus une argumentation De m me pour l enseignant E A tracer est du c t du dessin alors que pour construire il faut argumenter 1 66 E A Quand vous dites construire c est vraiment toujours c est argumenter pourquoi c est construit comme a et pourquoi a existe Ceci confirme notre hypoth se V3b En revanche on ne peut rien conclure sur l hypoth se V3a ii Exercice 5 C est un exercice qui a t qualifi de relativement difficile pour les l ves de seconde mais qui est classique pour ce niveau b Cas des exercices du type PCey Comme les deux enseignants n avaient pas la m me position par rapport ces deux exercices leur r ponses seront analys es par rapport chacun d eux i Enseignant E A Les deux exercices ont t d si
253. ironnement papier crayon fig 67 Figure de base deux Plans parall les Les auteurs ont repr sent deux plans parall les par des parall logrammes dont les c t s sont parall les deux deux Il s agit de la repr sentation type Ppp cf Chapitre A 5 2 2 fig 68 Figure de base Deux Plans s cants De m me les plans s cants sont repr sent s par des parall logrammes selon la repr sentation type Pps cf Chapitre A 5 2 2 Les parties cach es sont repr sent es en pointill es fig 69 Figure de base Cube Les sommets du cube sont d sign s Les ar tes cach es sont en pointill es fig 70 En dehors des figures de base l environnement ne g re pas l aspect des objets l opacit et les pointill s pour les parties cach es par des objets Par exemple si on construit un t tra dre partir des points mobiles aucune ar te n est repr sent e en pointill de m me une droite s cante avec une des faces est repr sent e en continu Il y a deux gestions diff rentes des aspects des objets selon leur d finition par rapport au logiciel Cela r duit en cons quence les domaines de fonctionnement et d interpr tation du dessin ei QL d Peut on visualiser un plan particulier en vraie grandeur Le logiciel offre deux possibilit s Examen d un plan et Avoir un plan de face cf Tableau 44 p 272 Ces possibilit s peuvent largir le domaine d interpr tation 2
254. is l exercice qu il sait le refaire quoi Comme dans la production EP a on ne trouve que le programme de construction qui est vu par l enseignant comme recette de cuisine Il remarque l absence de l argumentation parce que l l ve ne dit pas pourquoi ce qu il obtient r pond au probl me On ne sait pas pourquoi O c est l intersection Pourquoi a marche citation ci dessus c Crit re C3 Discuter les diff rents cas si le dessin n est pas donn L enseignant ne fait aucun commentaire pour les productions EP a et EP b concernant le statut du dessin On pense que pour lui les deux nonc s sont accompagn s d un dessin En effet d s qu il commence lire la production EP c et en se rendant compte qu il n y a pas de dessin il se pose des questions sur les donn es du probl me 1 26 E A vous n imposez pas les points I et J Les points I et J ne sont pas impos s par la figure ou ils sont impos s 1 27 Obs Il n y avait que l nonc 1 28 E A L il n a pas discut les cas c est dire l ventuelle possibilit que le plan qu il choisit ne Chapitre C3 233 coupe pas BCD C est pour a en Premi re S pour viter ce genre de probl me on donne dans les valuations les points I et J on les fixe sur la figure de fa on ce qu il n y ait pas d ambigu t 1 30 E A Si on les met sur la figure si on place I et J a veut dire en tant qu enseignant on limin
255. is manuels Ils repr sentent plus de la moiti des exercices 2 4 Editions 1986 87 Il s agit de la premi re dition pour Terracher et Transmath Le manuel Dimath me tant dans sa deuxi me dition s aligne par rapport aux programmes Nous avons relev 138 exercices pour les trois types de probl mes Ceci repr sente le double d exercices relev s dans les ditions 1981 82 Contrairement aux ditions pr c dentes des exercices de type Probl mes de construction type Il et Probl mes d incidence sans construction type II sont propos s plut t en Premi re qu en Seconde dans le manuel Dimath me Ceci peut s expliquer par le fait que les nouveaux programmes de premi re marquent leur tour une rupture avec la r forme des math matiques modernes et qu ils ont pour objectifs de Chapitre C2 195 compl ter les propri t s d incidence vues en seconde la recherche de sections planes et les activit s sur les configurations de l espace 4 Terracher Repr sentation 7 l Js fo lo Jo 7 lb f PCev AS Objcona o o Jo o o lo jo fo lo Bees AS eee f0 fo o fo fo fe fp fp b PCev SS Oeren 0 Peev ss menen Jo fo lo lo lo lo lo l o PCef AS Objcona 3 o js lo j h jo f fo Pee AS imerseet 8 2 io 2 bo fa be b k PCef SS Objcona Jo o Jo fo o Jo Jo lo fo PCef sS imerset s j 6 h hb fj k fb h Incidence sans constr 3 2 s i4 o4 fas h7 i is Toa d le 32 ir so 76 2 j 3o
256. is r gles d usages concernant les probl mes d incidence RU P P repr senter de fa on arbitraire l intersection lorsqu elle existe de deux plans RU P D repr senter de fa on arbitraire l intersection lorsqu elle existe d un plan et d une droite RU repr senter de fa on arbitraire l intersection lorsqu elle existe d une droite et d un plan de deux plans Ainsi au cours de la p riode 1 les solutions de probl mes de construction dans l espace peuvent utiliser la r gle d usage RU D autres institutions peuvent adopter une autre r gle d usage Par exemple dans un ouvrage math matique suisse pour l enseignement de la g om trie dans l espace il est dit de fa on explicite qu on peut introduire la droite d intersection de deux plans s cants Il s agit de la r gle d usage RU P P Ces auteurs soulignent que la diff rence entre le plan et l espace par rapport au trac r side essentiellement sur le caract re effectif ou non du trac Des remarques analogues ont t formul es par des auteurs de manuels fran ais de la p riode 1 comme une note de Hadamard dans son ouvrage sur la g om trie dans l espace chapitre C1 1 2 Nous avons alors distingu deux types de probl mes de construction effective ou voqu e Un probl me de construction voqu e est un probl me dont la r solution ne peut se faire qu l aide des r gles d usage Dans le cas o la r solution du probl me peut se faire
257. ises en gardes sur ces pratiques non conformes aux objectifs du programme pr c dent qui restent valables Par exemple dans les programmes de 1986 des consignes sur des pratiques au niveau de l organisation de l enseignement sont propos es g Pour l organisation de l enseignement il convient d viter deux cueils majeurs L utilisation syst matique pour toutes les notions du programme d une pr sentation centr e sur un expos synth tique et en outre souvent trop ambitieux L abus d exercices aux objectifs scientifiques et didactiques mal d finis La lecture des manuels r v le en particulier une quantit excessive D exercices certes abordables mais qui coup s de tout leur contexte naturel d intervention perdent alors leurs int r t et se r sument des techniques peu motivantes D exercices dont la place naturelle est un niveau plus lev et dont un l ve de seconde m me s il peut les ex cuter ne comprendra pas l int r t D une mani re g n rale il convient de proposer des exercices Arr t s des 14 mars 1986 et 30 juin 1986 publication du CNDP r dition 1989 p 15 Comme on peut le constater cet extrait du programme fait explicitement un proc s des pratiques des manuels de la p riode 1982 1987 Le nouveau programme peut expliciter davantage des objectifs d j mentionn s dans le programme pr c dent Par exemple le programme de 1986 met davantage l accent sur l
258. isons d insuffisance du dessin dans le mode de repr sentation en perspective cavali re et renvoy la g om trie descriptive qui le prend en charge Nous pensons alors que la production d un trac par un l ve n tait pas n cessaire En revanche pendant la p riode 3 le probl me du trac non seulement n est plus vacu mais il est l objet m me du probl me dans le sens o la d marche de r solution propose un algorithme de 1 Introduction la g om trie dans l espace par A Delessert Ed L E P Lausane 1992 327 328 construction qui permet d avoir un proc d de trac la r gle et au compas Autrement dit le trac est devenu une finalit du probl me de construction dans l espace Donc les probl mes de construction en g om trie dans l espace ont volu par rapport la d marche de r solution et par rapport l algorithme de construction avec les exigences du proc d de trac En particulier les probl mes sont pass s de probl mes de construction voqu e pendant la p riode 1 des probl mes de construction effective pendant la p riode 3 L analyse des r solutions des deux types de probl mes de construction effective et voqu e propos es dans les manuels nous a conduit penser que les exigences par rapport aux productions d l ves pour ces deux types de probl mes ne sont pas les m mes ce qui nous a amen l hypoth se de recherche papier crayon Ces deux type
259. iste pas alors M Les droites ne sont pas coplanaires M Droites parall les intersection de deux droites Si l intersection n existe pas alors intersection de deux plans M parall les Ces plans sont Si le point n existe pas alors M Ils sont parall les intersection d une droite et d un plan Tableau 44 7 Il faut distinguer Tiret du pointill qui est r serv la repr sentation des parties cach es 8 Nous d signerons les messages par M Le logiciel propose les primitives suivantes POINT LIGNE PLAN Point Rep r Segments Parall le plan Intersection Droite 2 points Perpendiculaire droite Milieu Parall le D fini par droite et point Centre de gravit Perpendiculaire plan Parall le deux droites Orthocentre Perpendiculaire droite M diateur Barycentre Intersection de plans Transform s Bissectrice Tableau 45 2 2 Fonction d exp rimentation d un dessin ei dans le cas de Geospace Nous proposons d tudier cette fonction par rapport aux deux types de r troactions perceptives et par des messages R troactions perceptives 1 El ments d pendants des primitives g om triques et des choix de repr sentation fig 65 2 QL a Quels sont les objets de base qui sont repr sent s Toutes les figures de base sont repr sent es dans une position donn e Q1 b Un objet d fini partir des primitives g om triques est i
260. it objet d une institutionnalisation Nous nous sommes alors demand s comment les l ves interpr teraient le dessin du type ci dessus fig 27 en l absence de la repr sentation des droites selon l une des convention droites s cantes ou droites non s cantes Et nous formulons la conjecture Chapitre B 77 conjecture 5 Interpr tation droite sec droite Si deux segments repr sentant deux droites sont s cants alors ces deux droites sont s cantes En dehors de possibilit s de comparaison fig 28 d Position relative de deux plans entre eux Les r sultats pr c dents montrent que le dessin prototypique du parall lisme de deux plans induit chez les l ves une r gle d interpr tation que nous notons plan plan Interpr tation plan plan Si deux plans P et Q sont repr sent s par deux parall logrammes ayant des bords parall les alors ces plans sont parall les Dans le cas o seulement deux bords sont parall les cette r gle n est plus vraiment induite En effet dans ce dernier cas le nombre d l ves ayant r pondu que les plans sont parall les est tr s faible 2 POURQUOI UN NOUVEAU QUESTIONNAIRE Le test de B Parzysz a mis en vidence l influence des conventions et des dessins prototypiques sur la lecture des dessins par les l ves Ainsi nous avons d gag des r gles d interpr tation et nous avons formul des conjectures relativement d autres r gles d i
261. it tourner l objet Si au voisinage de l intersection une repr sentation reste en continu alors que l autre repr sentation est en pointill alors les droites D1 et D2 ne sont pas coplanaires fig 73 Si les deux repr sentations sont en continu alors on ne peut rien d duire fig 73 De m me si dans une position d1 et d2 sont parall les alors D1 et D2 ne sont pas s cantes On peut demander l examen de l objet par le choix Position particuli re Le logiciel d termine la position de l objet de fa on ce que le plan choisi soit de face ou de fa on ce que deux droites choisies soient de face Pour tudier l orthogonalit de deux droites non coplanaires dans l espace on peut demander la repr sentation de l objet dans une position particuli re de fa on ce que les deux droites d1 et d2 soient de face Par les primitives g om triques on demande la construction de l intersection des deux droites Si elle ne sont pas s cantes le logiciel envoie un message les droites ne sont pas coplanaires Si les droites D1 et D2 ne sont pas dans deux plans d finis partir des figures de base alors le logiciel ne g re pas l aspect pointill et donc on ne peut rien dire 2 2 2 Moyens de contr le de lecture d un dessin ei L exemple pr c dent montre les possibilit s et les limites des r troactions du logiciel Geospace pour la lecture et l interpr tation d un dessin ei Nous distinguons deux cat go
262. ites Et pourquoi il prend celles l Je veux dire pour un l ve pour un l ve qui ne verrait pas pour lui il voit tant mieux mais disons pour un l ve qui ne verrait pas et qui aurait besoin de raisonner je pense qu on a besoin d abord d exposer la m thode g n rale Il a juste Il dit pas qu il va chercher deux points communs aux plans ABCD et KLMQ il ne l annonce pas du tout C est sa strat gie elle n appara t pas Mais c est vrai c est un exercice typique 1 S Rappelons que la production EP a propose un algorithme de construction Ici l enseignant s attend ce que l l ve donne d abord la m thode g n rale du type pour construire l intersection de deux plans P et P on cherche l intersection de deux droites d du plan P et d du plan P s cantes Le point d intersection de d et d est un point de l intersection des deux plans pour construire l intersection d une droite d et d un plan P on consid re un plan auxiliaire P contenant d et s cant avec P selon une droite A le point d intersection cherch est l intersection des deux droites d et A En fait il n attend pas de l l ve qu il donne la strat gie sous l une des formes cit es mais sous une forme contextualis e au probl me 1 13 E A Il dit pas qu il va chercher deux points communs aux plans ABCD et KLMQ il ne l annonce pas du tout C est sa strat gie elle n appara t pas 13 En d autre termes il at
263. ition didactique s ajoutent ou plut t se combinent celles de mod lisation et d impl mentation informatiques contraintes de la mod lisation computable contraintes logicielles et mat rielles des supports informatiques de r alisation Ce que l on place habituellement sous le terme d informatisation ne constitue pas une simple translit ration les environnements informatiques d apprentissage r sultent d une construction qui est le lieu de transformations nouvelles des objets d enseignement Nous appelons transposition informatique le processus ainsi l oeuvre L introduction des environnements informatiques dans le syst me d enseignement peut modifier les rapports des sujets aux objets math matiques puisque ces derniers vont vivre autrement que dans l environnement papier crayon Ils peuvent offrir des possibilit s pour la vie des objets d enseignement que d autres environnements comme papier crayon ne peuvent pas offrir Comme le souligne F Bellemain 1992 p 89 La transplantation dans l environnement informatique de mod les et de la mat rialisation qui les accompagne pr sente d autres int r ts g n raux L ordinateur s assurant de produire pour chaque objet du mod le labor la mat rialisation qui lui correspond une plus grande possibilit est offerte de manipuler les essais et les tests de conjecture On peut ainsi envisager la mise en place de situations d exploration ou d exp rimentat
264. jet g om trique de l espace A ce propos Bessot et al 1993 p 123 pr sentent un sch ma des mises en relation tablies par une mod lisation g om trique des objets physiques Cette d marche suppose une mod lisation g om trique des objets mat riels et des relations entre ces objets Nous donnons bri vement des l ments de cette mod lisation Un objet mat riel peut tre associ dans une g om trie trois dimensions une figure spatiale ou des figures planes Dans le mod le g om trique figure spatiale objet g om trique compos d ar tes rectilignes de faces planes Chapitre A 43 polygonales de surfaces cylindriques ou sph riques et figures planes se correspondent par projections orthogonales une similitude pr s Le dessin vue ou syst me de vues est un trac mat riel de cette ou ces figures en opposition avec les dessins intervenant dans la g om trie l mentaire ce dessin est une pure au sens o les mesures jouent un r le central pour la distinction dessin figure voir Parzysz 1988 De ce point de vue la notion de projection orthogonale mod lise les relations entre objet mat riel et dessin vue ou syst me de vues Le sch ma 1 ci apr s montre la complexit des mises en relation tablies par cette mod lisation Sch ma 1 relations entre objet mat riel dessin et mod le g om trique Espace physique objet mat riel figures planes figu
265. l ve a produit ces r ponses avec ce trac 7 E3 Les points K L et M sont donn s il n y a pas d histoire de parall lisme ou encore 4 E2 Et l nonc ne dit pas qu on traite la figure dans le cas de la figure Obs Non El Parce que l il fait la figure dans ce cas l mais les cas particuliers ne sont pas examin s E2 Et donc l examinateur attend que tous les cas soient envisag s Obs Je ne sais pas O O0 A A pi E1 Moi il me semble qu partir du moment o la figure est donn e on fait le dessin dans le cas de la figure sinon on ne te donne pas les points K L et M sur le dessin Les enseignants v rifient si le dessin est donn ou non pour savoir s il faut exiger la discussion des diff rents cas dans le sens de la r gle discussion L enseignant El a explicit cette r gle b Exercice production EP IIa Pour l enseignant E3 s il n y a pas de dessin dans l nonc alors il faut distinguer les diff rents cas 13 E3 Oui l c est pareil par contre l s il n y a pas de figure il aurait pu penser au cas o c tait parall le Eh ben non au niveau du texte construire l intersection donc si on lui demande construire c est qu on suppose qu il y en a une alors comme c est pas pr cis si IJ est parall le la droite BC il n y a pas de points d intersection Au niveau du texte puisqu on lui demande de construire l intersection on ne peut pas trop le p naliser
266. l ves utilisant la premi re cat gorie de justification analys e ci dessus Seulement nous n avons pas les moyens de le confirmer comme dans la deuxi me cas 41 l ves ayant utilis la justifation JOlpour l exercice 6 ont r pondu on ne peut rien dire pour l exercice 7 Les justifications avanc es sont JR1 30 l ves ou JR2 11 l ves Seulement 6 ont r pondu par oui Ces derniers ne seront pas analys s a Cas des justifications JOI JR1 On retrouve les m mes types de justifications pour l exercice 7 que ceux utilis s par la cat gorie d l ves JO2 JR1 Chez certains on peut mettre en vidence l utilisation du th or me en acte pr c demment cit dans les deux exercices 6 et 7 Par exemple El ve A 10 Exercice 6 Oui Justification Les plans SAB et SCD qui soutiennent d et d ne sont pas parall les ni confondus ils sont donc obligatoirement s cants De ce fait les droites d et d sont s cantes puisqu elles font partie de ces plans Exercice 7 On ne peut rien dire 114 justification Les droites d et d peuvent tre s cantes si elles sont situ es dans un m me plan ou dans des plans s cants Par contre elles peuvent faire partie de deux plans parall les elles ne sont alors pas s cantes b Cas des justifications JO1I JR Ces l ves ont explicit pour l exercice 7 la n cessit que deux droites soient coplanaires pour qu elles soient s cantes condition non
267. l appr hension s quentielle elle concerne l ordre de construction d une figure Cet ordre d pend non seulement des propri t s math matiques de la figure construire mais aussi des contraintes techniques des instruments utilis s Duval 1994 p 126 l appr hension op ratoire elle a une fonction heuristique dans la r solution de probl me C est l appr hension d une figure donn e en ses diff rentes modifications possibles en d autres figures Duval 1994 p 126 Duval 1994 distingue trois types de modifications de la figure e les modifications m r ologiques consistent partager une figure en sous figures consid rer la figure comme sous figures d une autre figure e les modifications optiques consistent agrandir diminuer ou d former une figure e les modifications positionnelles consistent d placer ou tourner une figure dans un plan Les appr hensions perceptives et discursives sont souvent en opposition parce que la figure montre des objets qui se d tachent ind pendamment de tout nonc et que les objets nomm s par l nonc des hypoth ses ne sont pas n cessairement ceux qui apparaissent spontan ment Duval 1988 p 58 Pour l auteur le probl me de la figure g om trique se trouve dans ce d calage En particulier l appr hension perceptive peut tre un obstacle pour la r solution de probl me par exemple lorsque l l ve n arrive pas discerner sur
268. l exercice il conclut que c est un bon exercice de classe de Seconde 9 E B Donc je pense qu en Seconde il est bien donc de le voir assez rapidement d s qu on a vu un petit peu les intersections plan droite il me para t bien La solution propos e par l enseignant pour cet exercice est 7 E B Moi j ai juste vu le probl me C est que moi j ai fait comme a je pense que c est juste la droite D la droite D et le point A on m ne par A une parall le D comme a D On envisage le plan D D l puis la droite D coupe ce plan en un point I puis on trace IA qui va couper D En d autres termes Solution A HR On trace la droite D passant par A et 1 parall le D p Soit P le plan d fini par D et D On consid re I le point d intersection de D avec P Enfin la droite AI r pond au probl me fig 62 Soulignons quelques points propos de cette solution que nous commenterons dans la suite 1 Il utilise une r gle d usage du type RU P D 2 Il ne prend pas en compte les diff rents cas pour l tude de l existence de l intersection de D avec P 5 Les solutions possibles pour cet exercice sont d taill es dans la mise en place de la phase 3 Chapitre C3 3 Il ne prend pas en compte les diff rents cas pour l tude de l existence de l intersection de AT avec D 4 Quel est le r le de la droite D Nous n avons aucun indice pour claircir le
269. l objet g om trique ne peuvent pas tre traduites par des relations spatiales sur une feuille de papier moins de faire appel des codes et des conventions de repr sentations comme par exemple pour la perpendicularit de deux plans De m me les propri t s spatiales du dessin ne peuvent pas toujours renvoyer des propri t s g om triques retenues pour le probl me Par exemple la position du dessin sur une feuille de papier n est pas pertinente pour le probl me g om trique Certaines propri t s spatiales qui renvoient des propri t s g om triques peuvent aussi tre non pertinentes parce que le dessin n est qu une instanciation mat rielle d un objet g om trique Ainsi il se peut que dans le cas d un dessin donn il y ait galit de deux c t s alors que cette relation ne fait pas partie des donn es du probl me r soudre Le dessin fournit alors un cas particulier du probl me Dans la pratique on cherche viter les cas particuliers trop flagrants On peut attacher un domaine de fonctionnement au dessin ensemble des propri t s g om triques repr sent es par certaines propri t s spatiales du dessin Inversement toutes les propri t s spatiales du dessin ne peuvent tre interpr t es comme renvoyant des propri t s de l objet au dessin est attach un domaine d interpr tation B Capponi et C Laborde 1992 p 179 180 3 2 2 Dessin comme mod le d un objet physique Dans certaine
270. l propose 33 exercices autour des probl mes de construction Par rapport la classification des probl mes de construction papier crayon tudi e dans le chapitre C2 tous les exercices propos s sont des probl mes de construction effective avec solide dont la t che est de construire l intersection de deux objets PCef AS intersect Il s agit du m me type de probl me de construction propos dans les manuels actuels Or comme nous l avons dit plus haut ces exercices n ont plus d int r t si le logiciel permet de construire l intersection de deux plans Pour cela le logiciel INTERSEC propose un menu r duit par rapport celui de Geospace 15 Activit s math matiques avec Imagiciels Premi res et Terminales G om trie dans l espace 1992 dit par le C R D P de Poitou Charentes p 38 16 Un ensemble de logiciels Geospace et d autres logiciels issues de Geospace Chapitre D1 281 282 POINT LIGNE Intersection de deux droites Segment Sur une droite Droite 2 points Sur un segment Parall le Ce menu permet aux probl mes de construction de vivre comme dans l environnement papier crayon aux niveau de l algorithme de construction Cette restriction du menu a t explicit e par les auteurs du logiciels L utilisateur doit effectuer la construction demand e comme il le ferait sur papier en utilisant les constructions l mentaires pr vues par le logiciel Le logiciel ex cute la dem
271. l repr sent sur le dessin ei Les points et les droites d finis partir des primitives sont repr sent s En revanche les plans d finis partir des primitives Plan parall le plan Plan perpendiculaire droite 0 ne sont jamais repr sent s Ce choix des auteurs peut s expliquer par la difficult de choisir un parall logramme repr sentant le plan L absence de mat rialisation du plan ne favorise pas l appr hension perceptive et r duit le domaine de fonctionnement du dessin ei QL c Comment sont repr sent s les objets de base ou construits l aide des primitives en particulier la repr sentation utilise t elle des pointill s pour les parties cach es Nous examinons d abord le cas des figures de base relatives au plan et le cas d un solide usuel comme le cube et ensuite les objets pouvant tre construits l aide des primitives 9 cf Annexe D1 a R sum des possibilit s de cr ation du logiciel GEOSPACE 10 cf Annexe D1 a R sum des possibilit s de cr ation du logiciel GEOSPACE Chapitre D1 273 274 Figure de base Plan Le plan est repr sent par un parall logramme fig 67 comme dans les manuels Seulement les sommets sont d sign s par des lettres et les c t s sont consid r s comme des objets de l espace Cela ne correspond pas l usage des manuels et on peut se demander si ce choix ne favorise pas davantage l association du plan au parall logramme que dans l env
272. l y a une pr dominance des structures vectorielle et analytique Seulement la notion d espace vectoriel n est pas un objectif en soi comme dans le cas des pr c dents programmes Cette notion dispara t d s les programmes de 1985 Cependant l accent est mis sur l tude des propri t s d incidence en classe de Seconde et de Premi re d s les programmes de 1985 Dans les programmes de 1990 et 1994 la ma trise des objets usuels est une exigence pour l ensemble des classes du lyc e De plus c est travers l tude des solides usuels que les notions et les propri t s d incidence de la g om trie dans l espace se mettent en place en classe de Seconde Nous retenons donc la tendance des programmes depuis 1982 la g om trie dans l espace du coll ge est une g om trie du solide 1985 la mise en place de la g om trie affine propri t s d incidence en particulier s appuie sur l tude des solides usuels 1990 1 2 Dessin en g om trie plane 1 2 1 Programmes de 1972 Dans les rubriques d finissant le contenu du programme aucune mention relative au dessin n est faite Cependant dans les instructions particuli res des programmes nous avons relev deux passages propos du dessin Les programmes de Sixi me et Cinqui me font r f rence aux activit s sur le dessin afin de constater des propri t s spatiales avant de passer au raisonnement pour justifier Au lyc e les instructions du program
273. la phase 1 L articulation entre les diff rentes parties du dispositif peut tre sch matis e comme ci dessous Observation des enseignants Analyse des manuels du E A et E B en classe chapitre C2 nn Phase 1 Choix du questionnaire Interview des enseignants E A et E B Nouveau questionnaire Phase 2 Interview des enseignants E1 E2 et E3 fig 56 Chapitre C3 207 2 MISE EN PLACE ET ANALYSE DE LA PHASE 1 Nous avons travaill avec deux enseignants d sign s E A et E B dans deux lyc es diff rents et ayant une classe de Seconde pendant l ann e de l observation Nous les avons observ pendant tout l enseignement de la g om trie dans l espace Pour notre tude nous nous sommes int ress essentiellement aux exercices trait s en classe En effet comme les probl mes de construction ne sont pas des objets d tude en soi mais des probl mes permettant la mise en oeuvre des propri t s d incidence dans l espace ils sont trait s essentiellement dans la partie exercices Nous pr sentons dans le paragraphe ci dessous le bilan de ces observations 2 1 Bilan des observations de classes Dans les exercices propos s par les deux enseignants nous retrouvons les types d exercices que nous avons d gag s de l analyse des manuels cf Chapitre C2 2 1 1 p 192 repr sentations et trac s probl mes de construction et probl mes d incidence sans construction Nous nous limitons aux deux premiers type
274. la seule m thode de recherche on est oblig de partir la d couverte des propri t s que contient la figure en triant avec soin celles qui sont susceptibles de s appliquer au probl me que l on cherche r soudre Un d cortiquage s rieux de la question une analyse pr cise sont n cessaires Lorsqu on expose ensuite le r sultat de ses recherches en passant par tous les interm diaires qui ont permis d obtenir la solution on dit que l on fait un expos analytique La m thode analytique est en fait la seule m thode de recherche C est celle qu on emploie dans les probl mes de construction Ensuite l auteur p 62 pr sente la m thode synth tique comme l inverse de la pr c dente Ayant obtenu la solution d une question par un proc d quelconque on l expose g n ralement sans laisser la trace des divers chelons des diff rents t tonnements inh rents la m thode analytique On suit en quelque sorte la marche inverse de l analyse Enfin l auteur voque la n cessit d une discussion sur l existence et le nombre de solutions au probl me Les exemples pr sent s ensuite relatifs aux probl mes de constructions montrent qu il faut construire une figure qui sera l objet d tude L auteur le dit explicitement 9 M1 p 57 10 M1 p 70 Chapitre C1 131 On dessine une figure que l on suppose r pondre la question et sur laquelle on marque avec soin toutes les donn
275. largir le champ d exp rimentation du dessin D o notre hypoth se de travail 25 Pour une description compl te cf Baulac Bellemain et Laborde 1988 Bellemain et Capponi 1992 26 dessins produits par la trace du plomb sur le papier d un b ton sur le sable d lectrons sur l cran de l ordinateur Laborde et Cappponi 1995 p 265 52 Hypoth se de travail dessin environnement informatique Sous certains crit res l environnement informatique peut largir le champ d exp rimentation du dessin mod le d un objet g om trique plan En g om trie plane des t ches et des situations sont propos es afin de donner de l importance la fonction d exp rimentation dans la recherche heuristique de la solution d un probl me D o la question La fonction d exp rimentation peut elle tre remplie dans un dessin papier crayon D P p pap y mod le d un objet g om trique de l espace Nous avons montr dans les paragraphes 5 2 1 p 44 et 5 2 3 p 50 deux r sultats quant aux domaines d interpr tation et de fonctionnement d un dessin mod le d un objet g om trique de l espace Conclusion 1 Le domaine d interpr tation d un dessin mod le d un objet g om trique de l espace est tr s r duit et fonctionne selon des r gles diff rentes de celui du dessin mod le d un objet g om trique du plan Conclusion 2 Les conventions de la perspective cavali re et les repr sentati
276. lation directe que l objet soit cr ou construit Enfin soulignons galement l importance des r troactions par des messages suite des actions du sujet 3 2 Questions et suggestions Les choix faits par l auteur permettent d largir davantage le champ d exp rimentation du dessin ei dans Cabri 3D que l environnement Geospace Cela peut se justifier au moins pour les raisons suivantes L importance des possibilit s de manipulation directe 288 et la capacit de l environnement g rer les aspects des objets quelle que soit leur nature conduisent des r troactions perceptives plus importantes que dans Geospace A cela il faut ajouter que les diff rents aspects de repr sentation l affichage des coordonn es d un point lors de sa saisie ou de son d placement peuvent contribuer une bonne appr hension perceptive du dessin ei Une tude didactique ce propos reste faire Les choix des primitives permettent aux probl mes de construction effective et voqu e de vivre comme dans le cas de Geospace Cependant nous pensons que le choix des primitives doit tre plus large pour permettre plus de probl mes de vivre dans l environnement Cabri 3D 3 Par exemple on peut envisager une primitive pour construire un plan Q parall le un plan P donn et passant par un point donn Pour cet exemple une question se pose sur la repr sentation du plan Q Doit il tre repr sent selon la repr sentation type Ppp cf p
277. le dans la mesure o les trac s de la g om trie tendent culturellement se confondre avec la repr sentation des objets de l espace sensible et non des figures de l espace g om trique les trac s n avaient pas lieu d tre Alors que sous la pression des contraintes qui venaient refouler le th oricisme moderniste l enseignement postmoderne red couvrait le sensible un sensible d op rette la v rit il se trouvait en m me temps d muni pour indiquer ad quatement le rapport entre sensible et g om trique et laissait fleurir la solution empiriste qui feint d ignorer le d calage entre droite g om trique et droite sensible par exemple solution virtuellement ou m me r ellement pr sente dans la solution moderne dont il h ritait La r forme des math matiques modernes a t particuli rement marqu e par une rupture avec le r le et la place du dessin et la place qu on a accordait au dessin dans l enseignement Le dessin n avait plus une place importante dans l enseignement des math matiques modernes Ce point a t soulign par Bessot 1983 p 34 La pr pond rance prise par l affine dans ces programmes d coule de l abandon dans le champ d investigation de la g om trie du domaine des configurations au profit presque exclusif de celui des vecteurs le domaine num rique n tant que peu explor Cela a permis au nom de l id ologie structuraliste et du mythe de la rigueur axiomatique de
278. le Il trouve que c est un exercice int ressant par rapport au type du raisonnement mais qu on ne peut pas le r soudre sur papier crayon ou avec Cabri 1 Alors qu avec la possibilit qu offre ce logiciel on peut r aliser la construction Cependant le logiciel ne rend pas visible les plans E D et E D 2 3 4 Conclusion Les productions papier crayon taient valu es par l enseignant E JC selon le rapport institutionnel R2 Du questionnaire nous retenons que l utilisation de l environnement informatique par cet enseignant a pour objectif l utilisation des propri t s de la g om trie dans l espace pour r soudre un probl me de construction avec les primitives de Cabri I Le dessin est une finalit comme dans les probl mes de construction effective sur papier crayon De plus la t che est plus difficile que lorsqu on travaille sur papier crayon car il faut envisager les diff rents cas En effet comme la validation sur cabri se fait par d placement on est confront une simulation de 3D sur Cabri 2D Il est clair que ces situations sont riches sur le plan du raisonnement et de la mobilisation des propri t s g om triques Cependant le dessin cabri n est pas une aide pour la phase heuristique mais c est un moyen pour la mise en oeuvre des propri t s g om triques comme le cas du papier crayon De plus cet environnement ne permet pas aux probl mes de construction voqu e de vivre Comme moyens de contr l
279. le offre des exemples perp tuels du passage du connu l inconnu 8 Ainsi la g om trie descriptive permet entre outre d tablir des proc d s de construction d un objet g om trique r pondant des contraintes Les premi res constructions pr sent es dans l ouvrage de Monge cit ci dessus sont relatives aux objets droite et plan comme par exemple e Construire une droite parall le une droite donn e et passant par un point donn e Construire un plan parall le un plan donn et passant par un point donn e Construire un plan perpendiculaire une droite donn e et passant par un point donn Ensuite sont tudi es les constructions de plans tangents une surface passant par un point de la surface ou non Enfin Monge examine la construction d intersection des surfaces courbes Ces proc d s de construction sont justifi s par les r gles de la perspective Le dessin permet la r alisation d un trac d une construction et d un support pour la r solution de probl me de la g om trie dans l espace Du fait du mode de repr sentation offert par la g om trie descriptive les domaines de fonctionnement et d interpr tation du dessin deviennent relativement importants comme en g om trie plane Cependant la g om trie descriptive confronte ses utilisateurs au moins deux difficult s L une due ses r gles est qu elle est plus complexe que le mode de repr sentation en perspective parall le Et l autre
280. le choisir Il fait r f rence la technique du plan auxiliaire c Exercice production EP IV L exercice lui para t int ressant mais si on ne peut pas le r soudre l aide d une construction effective on ne peut pas le proposer aux l ves E JC L c est bien sauf il n y a pas de figure Mais je ne sais pas comment il arrivera b tir ce plan comment visualiser le plan C est toujours a parce que si on dit ce plan mais on ne sait pas le construire quoi a sert C est pour a on ne propose ce type d exercice Sinon la d marche est bien On voit que l enseignant utilise le crit re de r alisation effective 16 pour justifier la non viabilit des probl mes de construction voqu e dans l enseignement actuel Cependant l enseignant pense que cet exercice peut tre int ressant dans le cas o on utilise un environnement informatique permettant de r aliser les constructions en particulier celles qu on ne peut pas r aliser de fa on effective en papier crayon E JC Pour cet exercice la d monstration est satisfaite disons moi qui fais pas mal de construction g om triques Soit Q le plan mais comment je vais faire L ordinateur ne le fera pas moins qu il y a une commande qui permet de construire un plan parall le L c est bien et c est a la force des logiciels a permet de r aliser les constructions 2 3 2 Questionnaire Cet enseignant utilise pour la g om trie plane l
281. le d la droite AD Comme AD est s cante avec BCD en D d l est aussi Soit M le point d intersection de d avec BCD Soit la parall le la droite M D passant par M A est parall le au plan P et elle est s cante avec AD fig 53 Les solutions S1P1 et S1P2 donnent toutes le m me algorithme de construction pour r soudre le probl me cependant au niveau du trac il y a une diff rence En effet dans la solution S1P1 les points J et K ne peuvent tre repr sent s que de fa on arbitraire En revanche dans la solution S1P2 on peut proposer une construction effective c est dire sans arbitraire Chapitre C1 167 Dans le trac ci dessus un seul objet a t plac de fa on arbitraire le point M Ce point appartient l intersection du plan BCD et du plan d fini par les droites d et AD 3 2 2 Examen de la solution S2P2 Consid rons le plan Q d fini par le point M et la droite AD Les plans BCD et Q sont s cants selon une droite d puisque AD est s cante BCD et que M n appartient pas BCD Dans le plan le point M n appartient pas d donc il existe une seule droite A passant par M et parall le d donc parall le P De plus elle est s cante avec AD fig 54 On peut faire les m mes remarques que pr c demment Les deux solutions S2P1 et S2P2 donnent toutes les deux un algorithme de construction pour r soudre le probl me en question Cependant a
282. ls croquis mais tout expos sur la perspective est exclu B O n 2 2 mai 1991 1 3 5 Synth se C est en 1985 que les textes du programme du coll ge explicitent pour la premi re fois l usage de la repr sentation en perspective cavali re de quelques solides usuels Sont au programme de Seconde et Premi re la repr sentation d un solide par projections orthogonales 1982 et 1985 et la repr sentation en perspective cavali re Dans les programmes de 1990 et 1994 la pratique des figures est centrale pour l ensemble des classes La seule repr sentation retenue est la perspective cavali re Nous constatons qu il y a un d calage dans les d clarations des programmes relatives au dessin entre la g om trie plane et la g om trie dans l espace Plus pr cis ment les d clarations des programmes sur l importance du dessin en g om trie plane ont pr c d le cas de la g om trie dans l espace De plus les programmes sont plus explicites sur la place du dessin en g om trie plane qu en g om trie dans l espace En effet dans le cas de la g om trie dans l espace l accent est d abord mis sur la repr sentation des objets de l espace dans les programmes de 1982 et de 1985 et contrairement au cas de la 184 g om trie plane cf paragraphe 1 2 5 p 181 aucun objectif sur le r le du dessin dans la r solution de probl me de g om trie dans l espace n est d fini par les programmes Cela rejoint la conclusion 3 du ch
283. ls sont moins nombreux leur poser le probl me les faire venir au tableau les un apr s les autres et puis apr s voir qu on n y arrive pas C est int ressant dans la mesure un texte donn comme a on demande quelque chose qui est impossible Ou mettre construire si possible 43 E3 Quand c est un texte l oral on leur dit construire la droite et puis la fin bien c tait un pi ge on ne peut pas Mais quand c est un crit le texte est faux puisqu on ne peut pas construire Je le donnerais pas en texte crit officiel Sachant qu on ne peut pas construire le point J sans arbitraires l enseignant pense que cet exercice peut tre int ressant dans la mesure o on demande la construction de quelque chose qui est impossible Donc pour cet enseignant le probl me n a pas de solution puisqu on ne peut fournir une construction effective de la droite construire c Conclusion Les deux productions sont rejet es par les enseignants pour les m mes raisons la solution de EP IV ne permet pas la construction du point J et la solution de EP IVa ne permet pas la construction de la droite A La construction est utilis e dans le sens de construction effective Le dessin est un moyen pour v rifier la r alisation de la construction selon les r gles de la construction effective Chapitre C3 257 Au moment de l analyse les enseignants pensaient que les l ves n avaient pas trouv la solution du probl me Tout s
284. lution n est fait Consid rons l exercice suivant in A B ch p 10 3 Mener par un point donn A une droite qui rencontre deux droites donn es D1 D de l espace S Supposons le probl me r solu et soit BC la droite passant par A et rencontrant D en B D en C fig I2 Le probl me revient videmment d ter miner le point C Or un lieu de C est la droite D D autre part le point A et la droite D d terminent un plan P qui contenant les points et B contient la droite AB tout enti re et par suite le point C de cette droite Autrement dit un second lieu de C est le plan P Le point C est donc l intersection de la droite D et du plan P d termin par la droite D et le point A Il suffit ensuite de mener la droite CAB Tl faut 1 que le plan P et la droite D aient au moins un point commun C et par suite que la droite D ne soit pas parall le au plan P d termin par la droite D et le point A 2 Cette condition remplie il faut que la droite CA ne soit pas parall le la droite D ce qui revient dire que la droite D ne soit pas parall le au plan d termin par la droite D et le point Dans ce corrig nous relevons les l ments suivants 15 G om trie Corrig des exercices de G om trie de l espace Librairie Armand Colin par A B ch 1923 138 1 D marche de r solution Nous distinguons deux phases La premi re traite les conditions n
285. m mes objectifs par rapport l outil configuration dans le cas de la g om trie plane ou de l espace L volution de la t che du probl me est li e celle de la d marche de r solution de probl me en g om trie Cette derni re est elle m me subordonn e la place qu on accorde au dessin dans la r solution de probl me Dans le paragraphe 1 de ce chapitre nous avons montr que pendant la p riode 1982 94 les directives des programmes relatives la place du dessin en g om trie plane et en g om trie dans l espace se sont orient es vers la mention la pratique des figures est centrale en g om trie plane comme en g om trie dans l espace Nous consid rons cette mention comme une contrainte sur la vie des objets de g om trie et en particulier la r solution des probl mes de g om trie Seulement cela ne se traduit pas de la m me fa on en g om trie plane qu en g om trie dans l espace car comme nous l avons d velopp dans le chapitre A dans chacune de ces deux g om tries le dessin ne peut pas remplir les m mes fonctions En particulier en g om trie dans l espace la fonction d exp rimentation du dessin ne peut pas tre remplie au m me titre que dans le plan conclusion 3 chapitre A 18 cf 1 5 p 187 19 cf 1 4 p 186 20 Cette constatation r sulte de l examen de manuels d ditions 1982 204 CHAPITRE C3 RAPPORT DES ENSEIGNANTS A L OBJET PROBLEME DE CONSTRUCTION DANS L ESPACE Ce c
286. m mes rapports aux probl mes de construction dans l espace dans le cas de l environnement papier crayon en particulier ils ont utilis les m mes crit res pour analyser les productions d l ves Alors qu une diversit dans l analyse des productions d l ves faite par ces enseignant est apparue dans le cas de l environnement informatique Cette tude montre que le rapport des enseignants aux probl mes de construction dans l espace dans un environnement informatique d pend de leur rapport l objet environnement informatique en particulier si l enseignant accepte ou non que l objet probl me de construction puisse vivre diff remment dans l environnement informatique et dans l environnement papier crayon Dans le cas o il l accepte nous nous interrogeons sur les moyens qu l enseignant de g rer cette diff rence En absence d un manuel proposant des nouvelles situations pour la vie des probl mes de construction dans l environnement informatique les enseignants exploitent les situations papier crayon dans l environnement informatique avec un l int r t de d velopper la perception des objets de l espace Comme si les difficult s des l ves en g om trie dans l espace r sidant essentiellement au niveau de la perception Chapitre D2 323 324 CONCLUSION Des travaux r cents portant sur la r solution des probl mes de g om trie ont soulign l importance de la fonction d exp rimentation du dessin
287. me de la classe de Premi re pr cisent m me quand il s agit d tres math matiques qui ne repr sentent pas l espace physique sch mas et figures sont utiles Dans un espace affine de dimension n 2 on dessinera de telles figures la r gle sur une feuille pour n 3 on les dessinera en perspective ou en g om trie descriptive section E Programme de Premi re Instruction n 71 17 du 14 janvier 1971 Le dessin est relativement marginal dans l ensemble des programmes de l enseignement secondaire Chapitre C2 179 1 2 2 Programmes de 1982 Au d but du coll ge l objectif est d apprendre l usage d instruments pour la r alisation de dessin le dessin g om trique plan avec des instruments sera pratiqu En Quatri me et Troisi me l exp rience acquise sur le dessin est le point de d part de la g om trie plane la g om trie partira de l exp rience acquise avec le dessin g om trique Des observations physiques bien choisies conduiront d gager des faits exp rimentaux qui seront pr sent s comme propositions initiales partir desquelles seront d duites par voie logique des cons quences illustr es par des figures soign es leur recherche d veloppera l imagination des l ves et leurs qualit s de raisonnement B O n 22 bis du 9 juin 1977 Le dessin g om trique est un lieu d observations de faits exp rimentaux Ces faits sont des relations spatiales pr sent
288. me j ai fait l Donc la production n a pas t rejet e pour l absence du dessin mais par rapport au fait qu elle ne fournit pas un algorithme de construction selon les r gles de construction effective d velopp es dans le chapitre C1 p 163 Mais c est au niveau du dessin que les enseignants justifient le rejet de la production parce qu elle ne donne pas un proc d de trac selon les r gles de construction effective ii Cas de EP IV Nous leur avons demand d examiner une autre production pour le m me exercice 53 Obs Pour le m me exercice on a une autre production 54 E2 Il n y a toujours pas de dessin 55 El C est pareil sans le dire L il comprend qu il faut trouver l intersection de ces deux plans mais il n explique pas comment Il y a quand m me l id e de l intersection des deux plans Cette production a donc t contest e Cependant pour El l l ve a mobilis la bonne m thode mais sans la mise en oeuvre en tant que construction effective D o notre question 56 Obs Entre les deux quelle est la plus proche de ce que vous attendiez 57 E2 C est plut t celle l la deuxi me Chapitre C3 255 Cette solution qui est correcte a t consid r e comme incompl te 58 El Moi je n ai pas vraiment d id e sur la question 59 E2 C est tonnant qu ils n ont pas fait de dessin ni sur l un ni l autre 60 Obs Peut tre qu ils l ont fait sur une feuille de brou
289. ment In Bessot A et V rillon P eds Espace graphique et 335 336 graphismes d espace Contribution de psychologues et de didacticiens l tude de la construction des savoirs spatiaux Grenoble La Pens e Sauvage BROUSSEAU G 1982 Etudes de questions d enseignement Un exemple la g om trie In S minaire de didactique des Math matiques et de l informatique pp 183 226 Grenoble LSD IMAG CHEVALLARD Y 1989 Le concept de rapport au savoir rapport personnel rapport institutionnel rapport officiel In S minaire de didactique des Math matiques et de l informatique pp 211 235 Grenoble LSD IMAG CHEVALLARD Y 1992 Concepts fondamentaux de la didactique perspectives apport es par une approche anthropologiques Recherches en didactique des math matiques 12 1 73 112 CHEVALLARD Y 1994 Les processus de transposition didactique et leur th orisation In Arsac et al eds la transposition didactique l preuve pp 135 180 Grenoble La Pens e Sauvage CHEVALLARD Y 1991 Autour de l enseignement de la g om trie Petit x 27 41 76 CORDIER F CORDIER J 1991 L application du th or me de Thal s Un exemple du r le des repr sentations typiques comme biais cognitifs Recherches en didactique des math matiques 11 1 45 64 DELESSERT A 1992 Introduction la g om trie de l espace Lausanne L E P Loisirs et p dagogie DUVAL R 1988 Pour une approche cognitive des probl mes
290. mes de construction ont volu partir des probl mes de construction voqu e sans solide et dont la t che est la construction d un objet sous conditions pendant la p riode 1 aux probl mes de construction effective avec solide et dont la t che est la construction d une intersection pendant la p riode 3 Examinons la question 2 Dans le paragraphe 1 de ce chapitre nous avons montr deux contraintes solide et dessin pouvant expliquer cette volution des probl mes de construction entre les deux p riodes 1 et 3 En effet sous la contrainte dessin la production d un trac est devenue l enjeu du probl me de construction de g om trie dans l espace comme de la g om trie plane Seulement comme nous l avons montr dans le chapitre pr c dent le trac doit tre r alis selon un proc d de trac la r gle et au compas De plus ce dernier exige un algorithme de construction sp cifique caract risant les probl mes de construction effective Sous la contrainte solide les probl mes de construction portent sur l objet solide Donc sous ces deux contraintes les probl mes de construction sont du type probl me de construction effective avec solide Chapitre C2 201 Probl mes de construction PC Contrainte Dessin Proc d de trac la r gle et au compas Contrainte Solide PCef AS dd PCef AS obj cond PCef AS intersect fig 55 Notons que pour qu un probl me d
291. mier rapport correspond au rapport institutionnel l objet probl me de construction dans l espace avant la r forme des math matiques modernes qu on notera R1 C est une p riode o les probl mes de construction sont du type probl mes de 15 l institution tant l enseignement secondaire 238 construction voqu e sans solide dont la t che est de construire un objet sous des conditions g om triques PCev SS Obj cond La d marche de r solution de ces probl mes est par analyse synth se 1 54 E A Voil et dire quand est ce que a existe dans les vieux bouquins de TC par exemple il y avait tout un chapitre sur construire sur ce qu on entend par construire Construire c est effectivement dire si ce que je veux construire existe n cessairement c est comme ci c est comme a raisonnement par conditions n cessaires alors on est amen trouver l l ment mais il fallait discuter c est comme l exercice 2 Autrement dit les exercices 2 et 4 ont t consid r s comme des probl mes de construction dont la d marche de r solution est analyse synth se Un deuxi me rapport correspond au rapport institutionnel actuel qu on notera R2 Ce rapport tait la r f rence pour l analyse des productions d l ves A la fin de l entretien nous avons demand l enseignant ce qu il entendait par les vieux bouquins de TC E A Il s agit des exercices qu on traitait avant ou au d but des ann e
292. mme d un plan P et S est un point ext rieur P Consid rons la pyramide du sommet S et de base ABCD Soit I le milieu de SA J le milieu de SB et K le milieu de SC 1 Quelle est l intersection du plan CIJ avec les plans P et SDA 2 D montrer que le plan IJK coupe SD en son milieu Nous avons modifi la formulation de la premi re question en changeant quelle est l intersection en construire l intersection 2 Transmath 2 1990 p 337 212 fig 57 Cet exercice a pour objectif l application directe des propri t s d incidence et en particulier celle du parall lisme des droites dans l espace Les intersections d terminer sont les droites DI et DC qui sont d j trac es Au niveau du dessin il n y a aucun trac faire sauf joindre les points D et I La solution du probl me ne fait intervenir aucun nouvel objet Ceci peut justifier la formulation du manuel pour la premi re question Quelle est l intersection du plan CIJ avec Nous voulons ainsi conna tre l ventuelle r action des enseignants face la formulation que nous avons propos e A priori cette formulation doit tre rejet e si l enseignant ne consid re pas que c est un probl me de construction dans la mesure o il n y a pas de trac s interm diaires Dans le cas o la formulation propos e n est pas rejet e on demandera l enseignant lors de l entretien la diff rence entre l exercice 1 et l ex
293. mme de Premi re Arr t du 19 mars 1982 En classe de Terminale C et E l tude de l espace se fait travers la notion de calcul barycentrique et les transformations 1 1 3 Programmes de 1985 Dans le programme de la classe de Sixi me un paragraphe est consacr l tude de l objet de l espace parall l pip de rectangle Ceci permet de d gager la notion d orthogonalit et le parall lisme dans l espace Les travaux dans l espace s amplifient en classe de Cinqui me En effet les objets tudi s sont les prismes droits et les cylindres de r volution Le travail sur l orthogonalit et sur le parall lisme se poursuit gr ce l tude de ces objets 176 Des activit s sur le parall l pip de rectangle ont permis de retenir sous la forme d images mentales des situations de parall lisme et d orthogonalit Ce travail se poursuit gr ce l tude de quelques autres prismes droits et du cylindre de r volution L exp rience ainsi acquise permettra de d gager et de mettre en oeuvre sur des exemples simples les propri t s du parall lisme et de l orthogonalit dans l espace mais aucune connaissance ce sujet n est exigible des l ves Programme de 5 B O n sp cial 4 30 Juillet 1987 Un nouveau solide n appartenant pas la famille des poly dres est introduit en classe de Quatri me la sph re Pour la classe de Troisi me il s agit d tudier les objets pyramide et c ne de r volution ainsi
294. mulation tracer alors pour construire on attend en plus une argumentation ii Analyse des crit res a Crit re CI Faire appara tre la strat gie adopt e 234 C est en commentant la production EP c qu il souligne l absence d une strat gie ou d une id e g n rale dans la production EP b 41 E B La premi re production elle est bien mais l id e g n rale est absente tandis que l il y a une id e mais on ne peut pas avec a positionner un point Celui l il a senti mais le passage au dessin il n a pas su faire b Crit re C2 Justification L exigence par rapport ce crit re est fonction du contexte dans lequel on propose les exercices devoir surveill devoir la maison ou un exercice qu il faut faire en classe Ainsi la production EP b r pond au probl me si c tait faire en classe En revanche il faudrait plus de justification si c tait faire la maison 33 E B Si c est un exercice qui est fait comme a en classe a va si c est quelque chose qui tait r dig e la maison il faudrait qu il pr cise que les points O L D C et M sont coplanaires sur la face OCD que les droites LM et DC ne sont pas parall les d apr s le dessin donc elles se coupent en un point I On prolonge il faut plus de d tails mais si c est un truc qui est fait comme a en une demi heure en classe 34 Obs C est dire au niveau de l argumentation 35 E B Voil c
295. n Nous pensons que ceci s inscrit dans la ligne directrice des programmes de l enseignement secondaire En particulier le programme de la classe de Premi re pr cise pour l ensemble des activit s sur les configurations de l espace les l ves doivent tre entra n s l emploi syst matique de repr sentations graphiques Instructions du programme de 1 1987 Dans les programmes de 1990 les probl mes de construction et de repr sentation sont pr sent s sous la m me tiquette Nous d signerons cette orientation par Orientation Dessin Dans le chapitre C1 nous avons montr travers l analyse des manuels que cette orientation s est traduite par des exigences de production des proc d s de trac s la r gle et au compas dans les probl mes de construction en g om trie dans l espace Ces exigences n cessitent des algorithmes de construction sp cifiques caract risant les probl mes de construction effective Nous consid rons l orientation Dessin comme une contrainte sur la vie des probl mes de construction dans l espace Nous avons vu que la tendance des programmes au cours de la p riode 1982 90 est que la g om trie dans l espace au coll ge est une g om trie du solide et qu au lyc e elle doit s appuyer sur l tude du solide Nous d signerons cette orientation par Orientation Solide Nous consid rons l orientation Solide comme une contrainte sur la vie des probl mes de construction dans l espace
296. n g om trie dans l espace ont volu non seulement par rapport l algorithme de construction avec les exigences du proc d de trac mais aussi par rapport la d marche de r solution Mais la construction effective elle seule n explique pas ce dernier point D o la question Question 1 En plus du crit re construction effective voqu e y a t il d autres crit res permettant de caract riser la diff rence entre les probl mes de construction en g om trie dans l espace pendant la p riode 1 et pendant la p riode 3 Au sujet des fonctions du dessin dans les probl mes de construction en g om trie dans l espace nous avons montr qu au cours de la p riode 1 le dessin tait seulement un support du raisonnement De plus le probl me du trac a t vacu pour les raisons d insuffisance du dessin dans le mode de repr sentation en perspective cavali re et renvoy la g om trie descriptive qui le prend en charge Nous pensons que la production d un trac par un l ve n tait pas alors n cessaire En revanche pendant la p riode 3 le probl me du trac n est plus vacu mais il est l objet du probl me dans le sens o la d marche de r solution propose un algorithme de construction qui permet d avoir un proc d de trac la r gle et au compas Autrement dit le trac est devenu une finalit du probl me de construction dans l espace Le dessin est pr sent par les manuels c
297. n pr c dente l enseignant nous demande la solution du probl me Il value la situation comme non int ressante sur le plan de la vision dans l espace E CH Il n a rien fait l l ve Il ne lui a rien apport sur le plan de la vision dans l espace Donc cette valuation se place au niveau du dessin et plus pr cis ment par rapport la r alisation effective de la construction et non sur le plan de la mobilisation des propri t s g om triques et du raisonnement qui constituent une richesse pour cet exercice d La place de cet environnement informatique et son r le pour l enseignant La pr sentation des diff rentes solutions des exercices a suscit des remarques de la part de l enseignant sur l apport d un environnement informatique en classe de math matiques et en g om trie dans l espace en particulier il y a vraiment une v rit l int rieur de la machine et qui est inaccessible E CH L enseignant rejette le fait que l environnement informatique a les moyens de construire le point d intersection d une droite avec un plan par exemple alors qu on ne dispose d aucun moyen pour le faire sur papier crayon L enseignant voit une rupture du contrat didactique entre les deux environnements papier crayon et informatique E CH En fait je crains la confusion qui serait qu ils croient apr s a quand eux ils vont faire a sur papier crayon alors pour eux il n y aura qu un point J ai peur quand ils auront ce d
298. nant lit et constate que c est le m me exercice tudi pr c demment E CH Et le point J il l a obtenu comme intersection de la droite avec le plan Parce que comme je vous disais tout l heure il n y a pas de raison de le placer l ou l ce point J C est le logiciel qui l a plac En effet dans l exercice EP IV il a rejet le fait que le point M de sa solution a t plac de fa on arbitraire sur le dessin Nous lui demandons les moyens qu il peut mettre en oeuvre pour valider la construction de l l ve H Je ne m en souviens plus Alors justement c est une question qui m int resse maintenant qu on a la figure finale comment peut on contr ler la construction E CH C est difficile parce que le point J on sait pas comment il l a obtenu Comme nous l avons soulign ci dessus l enseignant ne ma trisant pas parfaitement ce logiciel il ne dispose d aucun moyen de contr le Nous lui pr sentons donc la d marche de l l ve E CH Ensuite on trace la parall le par E JN C est une bonne lecture de l espace H Maintenant si on trace la droite JN on voit qu elle n est pas dans le plan E CH Ah elle n est pas dans le plan Alors qu est ce qu il a fait comme construction Donc le point J n tait pas pile sur l intersection 11 Exercice EP IV Chapitre D2 309 310 Donc pour l enseignant si le point est plac l endroit de l intersection il devrait tre re
299. ndiquant l intersection de d avec deux droites du plan fait que les l ves concluent au parall lisme de d avec le plan ABCD h Autres justifications Ces justifications sont minoritaires Tableau 14 Trois justifications div2 div3 et div6 consid rent que la droite d est s cante avec la droite CD ou CH pour les exercices 9 et 11 Justification div pour les l ves qui l ont donn e la droite d est incluse dans le plan CDGH de l exercice 9 Justification div3 elle concerne un seul l ve qui a fait un raisonnemnt par absurde dans le cas de l exercice 11 si on suppose que la droite d est dans le plan ABCD alors le point d intersection de d avec la droite CH doit tre sur le plan ABCD El ve A6 r ponse Non Justification le droite d n appartient pas au plan ABCD car si elle lui appartenait en prolongeant la droite CH vers C elle couperait la droite d au m me niveau que la plan ABCD 102 On peut faire deux remarques L l ve consid re d et CH comme s cantes Comme elles ne sont pas coplanaires puisque d est dans le plan ABCD selon l hypoth se il ne peut d duire que d est s cante avec CH que par la r gle d interpr tation droite sec droite 22 On voit d ailleurs que sur le dessin l l ve a prolong la droite CH Etant donn que la droite CH n a qu un point d intersection avec le plan ABCD le point d intersection de d avec la droite CH n appartient pas au plan AB
300. ne droite A Un point ne peut tre d fini que comme intersection de deux droites d j d finies Les points introduits dans l nonc sont consid r s comme des points d finis Ces quatre crit res sont des caract ristiques des constructions effectives On peut dire que l enseignant attend pour un probl me du type PCef une construction effective et que toute construction voqu e est rejet e m me si elle est correcte Nous pouvons formuler une r gle relative aux productions des probl mes de constructions R gle Construction voqu e PCef Une r ponse correcte un probl me de construction du type PCef utilisant une construction voqu e est rejet e ii Cas des exercices du type PCev Dans le paragraphe I 2 a nous avons soulign que les exercices du type PCev exercices 2 et 4 ont t rejet s et consid r s comme des probl mes de construction Les raisons avanc es par l enseignant sont au niveau de la r solution 1 4 E A Celui l non M me en Terminale c est limite En fait non D abord c est un probl me de construction Il y a un probl me de condition n cessaire la construction tant faite est ce que a marche Et ensuite il y a la condition suffisante est ce que ce que nous avons trouv a va Et puis l il y a des cas par exemple construire un plan et la droite D coupe a d pend du point A comment il est plac par rapport la droite D Il y
301. ner les solides car c est un moyen de d velopper l image mentale des l ves propos des objets de l espace 2 1 4 Conclusion Pour les productions papier crayon nous retrouvons les m mes crit res d valuation des productions d l ves que les enseignants n ayant jamais utilis un environnement informatique L utilisation d un environnement informatique pour la g om trie dans l espace a pour objectifs pour l enseignant de d velopper la perception et la ma trise de la lecture du dessin par la possibilit de la repr sentation en vraie grandeur en particulier Ne ma trisant pas le menu du logiciel il n a utilis aucun moyen offert par le logiciel pour contr ler la validit des constructions Ainsi la premi re production a t elle t valu e par la perception et l absence des constructions interm diaires comme sur papier crayon ne lui a pas permis de porter jugement Quant aux situations il pense qu elles ne sont pas int ressantes et ce pour aux moins deux raisons e Elles ne d veloppent pas la perception ce qui est coh rent avec les objectifs fix s par l enseignant pour l utilisation du logiciel e Il y a rupture du contrat didactique quant la r solution des probl mes de construction entre les deux environnements papier crayon et informatique Donc les productions papier crayon et environnement informatique ont t valu es selon le m me rapport institutionnel R2 rapport instit
302. nstruction Pour cela l enseignant pense qu il fallait repr senter des plans contenant les droites pour illustrer la situation E CF C est un bon exercice bien labor pour les l ves il y a tr s peu d objets donc c est du vrai raisonnement derri re Les droites non coplanaires c est pas vident voir Disons le dessin lui m me ne parle pas Mais si on avait repr sent des plans contenant respectivement les droites d et d on peut mieux voir Les droites et les points sont donc rep r s par d autres objets L c est pas vident voir je me demande comment est ce qu il a pu faire 2 2 4 Conclusion Nous avons montr que l enseignant a valu les productions papier crayon selon le rapport institutionnel R2 Les objectifs de l utilisation d un environnement informatique en g om trie dans l espace pour cet enseignant sont d velopper la perception et l utiliser comme mod le d exp rimentation Trois moyens de validations sont utilis s par l enseignant pour les activit s Geospace Le dessin sur l cran est le premier moyen d valuation Mais l absence de traces de constructions interm diaires le rend insuffisant Ensuite et en absence du texte de l l ve l enseignant consulte l historique de la construction Enfin il fait appel aux primitives g om triques en ex cutant des constructions ad quates permettant de conclure Les probl mes de construction voqu e dans l environnement informatiqu
303. nt dans deux plans parall les ou confondus on ne conna t pas la profondeur JR2 Il faut savoir si d et d sont coplanaires Cette justification a t utilis e dans les deux exercices 6 et 7 5 4 2 Analyse compar e des justifications utilis es pour les exercices 6 et 7 Le tableau ci dessous donne la r partition des r ponses des l ves sous la forme a b o a et b repr sentent respectivement le type de r ponse pour l exercice 6 et 7 Ex 7 hote Ex6 Nons ji or 2 0 Tableau 20 SEAE zo Un premier renseignement donn par le tableau est que la majorit des r ponses se trouvent dans l une des cases correspondant Oui O R O R O R et Oui Oui 28 Deux l ves ayant r pondu respectivement oui pour l exercice 6 et sans r ponse pour l exercice 7 et sans r ponse pour l exercice 6 et O R pour l exercice 7 n ont pas t pris en compte dans ce tableau 112 Aussi dans le tableau ci dessous nous avons pr sent les justifications utilis es par les l ves dans le cas des exercices 6 et 7 en consid rant uniquement les r ponses Oui et On ne peut rien dire Tableau 21 Dans ce qui suit nous analyserons les diff rentes justifications utilis es en ce qui concerne l exercice 6 et nous examinerons pour chaque cas les justifications pour l exercice 7 Dans la suite on utilisera la notation a b o a et b repr sentent respectivement les types de justific
304. nt une droite a une extr mit l int rieur du parall logramme et l autre l ext rieur du parall logramme alors cette droite sera consid r e comme tant s cante au plan P c Position relative de deux droites entre elles La situation 4 a mis en vidence une r gle d interpr tation que nous appelons droite droite 76 Interpr tation droite droite Si deux segments repr sentant deux droites sont parall les alors ces deux droites sont parall les De plus les r sultats montrent qu en pr sence d une repr sentation de deux droites s cantes avec un point indiquant l intersection fig 24 les l ves consid rent que les droites dont les repr sentations sont s cantes sans l indication du point d intersection fig 25 fig 25 comme ni parall les ni s cantes fig 24 Nous pensons qu on aura des r sultats analogues dans le cas o sur le m me dessin sont repr sent es deux droites par deux segments avec un blanc sur une droite l endroit de l intersection comme sur la figure fig 26 Les l ves consid reront les droites dont les repr sentations sont s cantes fig 27 comme des droites s cantes X x fig 26 fig 27 Dans le cas de fig 24 nous dirons qu il s agit d une convention droites s cantes si elle a fait objet d une institutionnalisation Dans le cas de fig 26 nous dirons qu il s agit d une convention droites non s cantes si elle a fa
305. nte la partie de la droite qu on ne voit pas et par cons quent la droite d est s cante avec le plan P i Type de production attendue D L entretien a permis de d gager trois crit res relatifs aux productions d l ves pour les probl mes de construction effective du type exercice 3 et 5 Crit re C1 Faire appara tre la strat gie adopt e La solution du probl me doit faire appara tre la strat gie utilis e sous forme contextualis e l exercice Crit re C2 Justification Il faut que la solution soit argument e Le degr de justification d pend du contexte de production devoir la maison devoir surveill ou devoir en classe Il correspond donc l hypoth se justification Crit re C3 Discuter les diff rents cas si le dessin n est pas donn Ce crit re correspond l hypoth se discussion ii Analyse des crit res a Crit re C1 Faire appara tre la strat gie adopt e Chapitre C3 231 La production EP 1 a t critiqu e essentiellement par rapport au fait qu elle n annonce pas la strat gie adopt e 1 13 E A La m me chose sa fa on de r diger c est pas une fa on p dagogique c est dire il n y a pas de strat gie Dans ce type d exercice ce qu on leur demande c est d mettre une strat gie comment on va faire syst matiquement pour trouver l intersection de deux plans Je veux bien il prend des droites Et alors Pourquoi il prend des dro
306. nte ou entra ne l existence d un objet O3 alors on tudie l existence de O3 Plus pr cis ment si Oi RO amp O l existence de O permet de conclure Par exemple D1 et D2 sont s cantes si et seulement si leur intersection existe On construit un objet O ayant la relation R avec O et on v rifie par d placement si O2 et O sont confondus Par exemple pour v rifier si un point M est le milieu d un segment AB on construit par les primitives le milieu I de AB et on v rifie par d placement que I et M sont confondus 2 3 Etude de la vie des probl mes de construction dans Geospace Nous proposons dans ce paragraphe d tudier la vie des probl mes de construction dans l environnement Geospace partir des primitives g om triques disponibles de ce que le logiciel rend visible au niveau de la repr sentation et des r troactions possibles du logiciel Cela nous permettra d identifier les types de probl mes de construction qui peuvent vivre dans l environnement et d tudier le champ d exp rimentation du dessin dans ces probl mes 2 3 1 Les primitives de GEOSPACE Pour la primitive Point intersection le logiciel propose deux choix intersection d une droite avec un plan et intersection de deux droites A ces primitives il faut ajouter la primitive intersection de deux plans Ces primitives permettent de r soudre des probl mes qui sont des probl mes de construction voqu e dans l environnement p
307. nterpr tation que nous voudrions v rifier De plus ce test n a pas pris en compte la variable solide et plus pr cis ment les dessins repr sentant des solides usuels Nous pensons que c est une variable importante pour la lecture des dessins de l espace d autant plus que ce test a t fait en 1988 alors que depuis les programmes de g om trie dans l espace ont chang dans l enseignement 78 secondaire En particulier le programme du coll ge est ax sur la g om trie du solide et au lyc e les solides occupent une place importante dans les exercices Enfin certains cas d incidence n ont pas t examin s par ce test Nous proposons donc un questionnaire qui nous permettra d examiner les conjectures d velopp es en 1 2 et de tenir compte de la variable solide 3 CHOIX DU QUESTIONNAIRE ET ANALYSE A PRIORI Nous avons propos des l ves un questionnaire dans lequel ils doivent partir d un dessin r pondre des questions portant sur des relations d incidence L l ve doit choisir entre trois r ponses oui non et on ne peut rien dire Chacune des r ponses doit tre justifi e En effet nous pensons que les justifications nous permettront de mieux interpr ter les r ponses d l ves El ment qui n a pas t pris en compte dans le test de Parzysz et dont nous avons montr l int r t dans le paragraphe pr c dent Afin d viter une interf rence entre les interpr tations concernant plusieu
308. ntre la classe de Seconde et la classe de Premi re Terracher conserve les m mes proportions alors que les manuels Dimath me et Transmath inversent les rapports par rapport aux ditions pr c dentes Nous l expliquons par le fait que les programmes pr sentent les objectifs de Premi re comme tant les m mes que de ceux de Seconde par rapport aux probl mes de construction et comme tant compl mentaires en ce qui concerne les propri t s d incidence Ce qui laisse les auteurs de manuels faire un d coupage entre Seconde et Premi re sur les exercices portant sur l incidence ou sur la construction 2 5 1 Type I Repr sentations et trac s Leur nombre cro t chez Terracher et Transmath Ils proposent 31 exercices de ce type essentiellement en classe de Seconde Dimath me adopte la m me position que dans l dition pr c dente par rapport aux probl mes portant sur la repr sentation Chapitre C2 197 2 5 2 Type II Probl mes de construction Soulignons qu il n y a plus aucun probl me de construction voqu e Les 57 exercices propos s par les manuels sont des probl mes de construction effective portant sur la construction d intersections dont 50 sont avec le contexte solide et 7 sans solide 2 5 3 Type III Probl mes d incidence sans construction Les probl mes d incidence sans constructions occupent toujours une place importante sensiblement la m me en proportion 44 en 1985 et 37 en 1990 2 6 Conclu
309. nts informatiques Pour la question du r le que peuvent jouer les environnements informatiques quant aux fonctions du dessin mod le d un objet g om trique dans l espace nous avons mis l preuve l hypoth se environnement informatique Les probl mes de construction effective et de construction voqu e peuvent coexister dans des environnements informatiques r pondant certains crit res Pour cela nous avons analys la vie des probl mes de constructions effective et voqu e dans l environnement informatique Geospace Chapitre D1 Cette tude a montr que les deux types de probl mes de construction effective et voqu e peuvent coexister par l existence des primitives g om triques ne permettant pas l arbitraire dans le dessin L tude de ce logiciel Geospace a montr que si les choix effectu s permettent d largir le champ d exp rimentation du dessin ils peuvent induire ou renforcer des conceptions erron es chez des l ves et des ambigu t s quant l interpr tation des r troactions De plus ces choix sont susceptibles de modifier la vie des objets les interrelations entre les 329 330 objets et donc les rapports des l ves et des enseignants ces objets Cela nous conduit la proposition suivante Proposition 1 Il est n cessaire de mener une analyse didactique pour la conception d un environnement informatique destin l enseignement Pour la g om trie dans l espace cett
310. nts o le rapport institutionnel aux objets probl mes de construction et dessin pourrait tre consid r comme stable Ce travail a constitu l objet du chapitre C1 Cette tude a mis en vidence une volution des probl mes de construction dans l espace caract ris e par rapport la place du dessin dans la r solution de certains probl mes qu on a d sign par probl mes de construction voqu e PCev pour la p riode 1 et probl mes de construction effective PCef pour la p riode 3 En d autres termes l objet probl me de construction vivait diff remment avant et apr s la r forme des math matiques modernes Cela nous a conduit aux questions suivantes Question 1 Quels sont les crit res que permettent de caract riser la diff rence entre les probl mes de construction en g om trie dans l espace entre les p riodes 1 et 3 Question 2 Pourquoi cette volution et plus pr cis ment pourquoi les probl mes de construction dans l espace sont ils du type PCef pendant la p riode 3 et non du type PCev Question 3 Les deux types de probl mes peuvent ils vivre ensemble dans l enseignement actuel 62 Nous avons pens que l analyse des programmes au cours de la p riode 3 diff rents tats pourrait mettre en vidence des contraintes expliquant l volution des probl mes de construction par rapport la p riode 1 Ensuite une deuxi me analyse des manuels permetait d une part de
311. nuels nous conduira tudier de fa on approfondie ces cas dans le chapitre C2 32 En plus de l exercice 1 mais dans lequel la r ponse ne d pend pas du dessin 120 Chapitre B 121 122 PARTIE C 123 CHAPITRE C1 EVOLUTION DES PROBLEMES DE CONSTRUCTION AU COURS DE CE SIECLE Nous nous proposons d analyser la vie des probl mes de construction en g om trie plane et dans l espace et les fonctions du dessin dans leur r solution Plus pr cis ment de montrer que le dessin a rempli des fonctions diff rentes dans la r solution des probl mes de construction au cours des deux p riodes 1920 69 et 1982 nos jours Pour cela nous avons choisi comme m thodologie l analyse des exercices r solus dans les manuels et des commentaires des auteurs sur les probl mes de construction Cette analyse est r alis e respectivement dans chacune de ces p riodes mais des moments o le rapport institutionnel aux objets probl mes de construction et dessin est stable Tout d abord nous caract risons les probl mes de construction par rapport leur r solution et plus pr cis ment par rapport au couple algorithme de construction et proc d de trac Ensuite pour chacune des p riodes 1 et 3 nous analyserons les manuels par rapport aux deux composantes de r solution algorithme de construction et proc d de trac Deux composantes des probl mes de construction la r gle et au compas peuvent tre distingu
312. oductions 216 Nous avons fait le choix qu aucune solution ne soit justifi e Car c est un moyen de r v ler les exigences de l enseignant par rapport la justification Dans le cas o l enseignant l exige on lui demandera le type de justification qu il attend Par rapport la variable Discussion nous nous sommes plac s dans le cas o l l ve ne discute pas les diff rents cas et nous avons fait varier la variable exercice avec ou sans dessin Ainsi dans la production EP a l l ve n a pas discut les diff rents cas mais comme l nonc est accompagn d un dessin et d apr s l hypoth se discussion les enseignants ne doivent pas exiger la discussion En revanche les productions EP b et EP c doivent tre contest es du fait que l l ve n a pas discut les diff rents cas tant donn que le dessin n accompagne pas l nonc Par rapport l hypoth se construction la production EP c doit tre rejet e Nous pensons que la production EP a est conforme aux attentes des enseignants Production EP a L l ve propose une solution ne consid rant que le cas correspondant aux positions des points K L et M sur la repr sentation qui accompagne l nonc La r daction consiste donner les diff rentes tapes de la construction sans expliciter les justifications en particulier sans rappeler les propri t s d incidence qui permettent l encha nement entre les diff rents pas Par exemple avant de conclu
313. oire qu il existe d autres hypoth ses que celles r ellement contenues dans la question traiter EXEMPLES Si on donne deux droites quelconques il faut dessiner deux droites qui se coupent ou se couperaient si on les prolongeait I Ce serait une faute de les dessiner parall les III fig 65 I H Pa Fig 65 Dans la phase de r solution la partie A correspond la fonction d illustration de l nonc L auteur se place dans le cas o le dessin n est pas donn dans l nonc et il est donc la charge de l l ve La partie C invite l l ve rendre les hypoth ses visibles sur le dessin par des marques des couleurs La partie D conseille d viter les cas particuliers Ensuite la phase heuristique est pr sent e dans la partie le retour au cours L auteur de ce manuel num re des conseils pour et comment utiliser le bon th or me ou la bonne propri t mais n accorde aucune place de fa on explicite la figure Chapitre C1 129 Nous retrouvons les m mes conseils dans les manuels de la p riode 3 examin s dans le chapitre A cf 5 1 2 p 32 pour la r alisation des figures par les l ves pour la r solution de probl mes 1 1 2 M thodes de r solution des probl mes de construction en g om trie plane La r solution des probl mes de construction pr sent e dans les manuels s inscrit dans une d marche dite analyse synth se Cette d marche analyse synth
314. oirs g om triques tude du milieu o la figure est enjeu de transmission Cela suppose que dans l enseignement de la g om trie le dessin a des fonctions vari es selon les situations en tant que mod le d un objet g om trique Nous nous int ressons aux fonctions du dessin mod le d un objet g om trique dans les probl mes de g om trie et plus particuli rement dans leur r solution 5 1 2 Fonctions du dessin dans les probl mes de g om trie plane A partir des r flexions d velopp es par des chercheurs ou des enseignants nous avons montr dans le paragraphe pr c dent que le retour du dessin dans l enseignement apr s la r forme des math matiques modernes a t justifi par le r le qu il peut jouer dans la r solution de probl mes et par l dans l apprentissage Nous nous int ressons aux fonctions du dessin dans les probl mes de g om trie Nous distinguons trois niveaux d intervention du dessin dans l nonc dans la r solution dans la solution Nous pr senterons ci dessous les principales fonctions que nous avons d gag es de l analyse des manuels du lyc e et des travaux cit s pr c demment a Fonctions du dessin dans l nonc Dans les manuels souvent les nonc s sont accompagn s d un dessin Ce dernier remplit certaines fonctions pour le traitement du probl me Illustration de l nonc Une des fonctions principales du dessin est d illustrer l nonc en particulier dans le
315. ois points sont repr sent s Par Rappel affichage du texte ci dessous Par Historique Les trois tapes du Rappel sont illustr es par des constructions une par une Chapitre D2 303 304 Par les primitives g om triques V rifier que I appartient au plan ABF en demandant l intersection des droites EL et BF Ensuite v rifier que I est sur la droite JK Par exemple en examinant l intersection des droites JT et IK Une fois que l enseignant aura acc d au proc d de construction nous nous attendons ce qu il rejette cette activit en estimant que l l ve n a mobilis aucune connaissance En effet le point d intersection est obtenu l aide de la primitive intersection droite plan b Activit GEO 2 Le probl me de cette activit tant le m me que celui de EP IV Ce probl me ne peut pas vivre dans l environnement papier crayon sous la contrainte du rapport institutionnel R2 Mais il peut vivre dans un environnement informatique comme Geospace tant donn que les probl mes de construction effective et voqu e peuvent vivre dans Geospace sous le m me contrat et donc selon un nouveau rapport institutionnel Nous cherchons savoir si l enseignant fera la m me analyse du probl me ou non dans les deux activit s Les moyens de validation possibles Par le dessin repr sent sur l cran en se basant sur les conventions de repr sentation on peut avoir une id
316. oisi me par la notion de section plane Cette notion d j introduite en classe de quatri me uniquement dans le cas d une sph re est largie au cas des solides En fait la recherche se limite d terminer la nature d une section plane parall le une face du solide Pour cela on utilise la propri t Si on coupe une pyramide ou un c ne par un plan parall le la base la section obtenue est une r duction de la base Dans le cas d une pyramide on justifie la propri t ci dessus dans une activit en utilisant une propri t d incidence dans l espace Si deux plans sont parall les alors tout plan qui coupe l un coupe l autre et les deux droites d intersection sont parall les la propri t de Thal s Pour la construction il faut ajouter certaines r gles de perspective en particulier la conservation du parall lisme 156 En seconde les propri t s d incidence sont abord es Les l ves doivent savoir identifier l intersection de deux plans d une droite et d un plan notamment par l interm diaire de la recherche de sections planes de solides Les probl mes de constructions sont tudi s uniquement en travaux pratiques et en exercices Nous proposons d analyser trois manuels Terracher 8 Dimath me 2 et D clic 30 a Manuels Terracher 1 Terracher 2 Le TP n 2 intitul Sections planes d un solide pr cise dans l introduction la n cessit d une technique de dessin
317. oivent v rifier les productions d l ves selon le rapport R2pap dans leurs valuations par l enseignant 2 2 2 Questionnaire Il utilise les environnements informatiques dans le plan 2 et dans l espace Pour des raisons mat rielles l utilisation du logiciel Geospace se limite ces deux derni res ann es L int r t de faire travailler les l ves sur un environnement informatique se r sume pour l enseignant en quatre points Motivation Voir dans l espace le fait qu on puisse faire tourner l objet et le voir dans plusieurs positions permet de d velopper la visualisation des objets de l espace Et en particulier dans les classes des filles celles ci ayant plus de difficult s que les gar ons voir dans l espace Chercher l exemple cit par l enseignant est de voir si deux objets sont coplanaires E CF Par exemple en demandant l intersection de deux droites on peut savoir si elles sont coplanaires ou non en fonction de l existence de leur point d intersection C est bien la dimension d exp rimentation et d exploration de la figure par l interm diaire du dessin environnement informatique laquelle l enseignant fait r f rence 3 Contre exemple le fait de pouvoir mettre le dessin dans une position particuli rel permet de fournir des contre exemples des conjectures L exemple donn par l enseignant est la nature de la section plane du plan diagonal d un cube 12 Pour la g om trie plan
318. olution et ventuellement donner d autres crit res qui peuvent caract riser les probl mes de construction dans l espace durant les deux p riodes 172 Chapitre C1 173 CHAPITRE C2 ANALYSE DES PROBLEMES DE CONSTRUCTION DANS L ESPACE APRES 1982 Nous avons mis en vidence dans le chapitre pr c dent une volution des probl mes de construction dans l espace des probl mes de construction voqu e pendant la p riode 1923 69 aux probl mes de construction effective pendant la p riode 1982 94 De plus nous avons donn les premiers l ments pour caract riser la diff rence entre la vie de ces deux types de probl mes de construction dans la r solution des probl mes Nous proposons dans ce chapitre d expliquer et d avancer des hypoth ses sur les raisons de cette volution des probl mes de construction au cours de ce si cle Pour cela nous entreprenons d analyser des programmes et des manuels lors de diff rents tats du programme apr s la r forme des math matiques modernes En d autres termes nous cherchons les contraintes susceptibles d expliquer l volution des probl mes de construction entre les p riodes 1923 69 p riode 1 et 1982 94 p riode 3 Pour quelle raison les manuels proposent ils les probl mes de construction effective depuis 1982 Pour cela il faut interroger l institution programmes officiels des diff rents programmes au cours de la p riode 3 Ces contraintes peuvent tre exprim es dan
319. omme le dessin n est pas dans l nonc l enseignant pense qu il faut discuter les diff rents cas L exercice est consid r comme classique mais la production est incompl te il manque les arguments et le dessin E CF Ils ont vu a en seconde ils doivent savoir qu il faut consid rer le plan AIJ Il manque des arguments C est insuffisant il manque le dessin Il y a l id e qui est correcte mais c est incomplet L enseignant indique le plan AIJ comme plan auxiliaire Il s agit du m me choix que font les manuels parmi les plans auxiliaires possibles on prend un plan d fini par l un des sommets du poly dre Chapitre D2 313 314 c Exercice production EP IV L exercice est rejet parce qu il ne porte pas sur les solides L enseignant pr cise que dans l enseignement actuel les exercices portent sur les solides alors que le travail sur les objets g om triques plan et droite sans solide se fait au niveau du cours pour illustrer des th or mes E CF il n y a pas de solide Je n en fait plus gu re ce genre d exercice Maintenant on se limite aux solides sauf pour le cours l on est oblig de regarder les intersections de plans le seul cas o je fais des dessins comme a c est dans les th or mes Quant la production il pense qu elle donne la m thode mais sans la technique Et donc il y a un probl me en terme de construction d finitive L enseignant utilise tous les crit res que d
320. omme objet d tude dans la d marche de r solution des probl mes de construction de g om trie plane Ce qui n est pas le cas pour les probl mes de construction en g om trie dans l espace Cette diff rence de fonction du dessin dans la phase heuristique entre les probl mes de construction en g om trie plane et de l espace confirme la conclusion 3 du chapitre 1 savoir qu a priori la fonction d exp rimentation du dessin papier crayon ne peut tre remplie au m me titre que dans le plan en tant que mod le du domaine de r alit g om trie dans l espace Ce chapitre nous a permis de caract riser les probl mes de construction en g om trie plane et dans l espace pour les deux p riodes 1 et 3 Et plus particuli rement de sp cifier en quoi les probl mes de construction dans l espace ont volu entre la p riode 39 Il s agit d une reformulation de la question 1 soulev e dans la probl matique cf 6 1 2 p 61 Chapitre C1 171 1 et 3 par rapport aux caract ristiques des probl mes de construction retenues Ceci nous a conduit la question Question 2 Pourquoi cette volution du type de probl me de construction dans l espace entre les deux p riodes 1 et 3 Pour r pondre ces questions nous entreprenons dans le chapitre suivant une analyse des programmes et des manuels pour chacun des programmes de la p riode 3 Cette analyse vise mettre en vidence des contraintes expliquant cette v
321. on dans l exemple 1 les points et B indispensables pour obtenir la section cherch e ne font pas partie du solide le cube D o la consigne Ne pas h siter prolonger les trac s partiellement effectu s 3 Une construction standard Consid rons trois faces d un solide telles que sur la figure ci contre P est un point de la premi re et Q un point de la seconde Le trac ci contre analogue celui de l exemple montre que l on peut toujours construire le point d intersection de la droite PQ avec le plan de la troisi me face b Manuel Dimath me Seul le manuel de Premi re traite en travaux pratiques les probl mes de construction Deux th mes sont abord s la construction de l intersection d une droite avec un plan et la construction de l intersection de deux plans 1 Comment construire l intersection A d une droite D et d un plan P D abord les auteurs pr sentent p 160 la m thode g n rale Prendre un plan auxiliaire L contenant D et coupant P selon une droite A A est le point d intersection de D et de A D Chapitre C1 159 Ensuite un exercice r solu est propos pour illustrer cette m thode il s agit de d terminer l intersection d une droite MN o M et N sont deux points de deux faces distinctes d un cube avec un plan ABCD d fini par une face de ce cube fig 45 On choisit un plan auxiliaire contenant M N et dont on peut facilement trouver l in
322. on c est int ressant de voir si Je pense que c est la bonne m thode L enseignant n a pas consid r le probl me de la position arbitraire du point I comme probl me en soi Ce qui l int ressait c tait comment le dessin peut g n rer la discussion des diff rents cas Nous reviendrons sur ce point dans l analyse de l exercice 4 Enfin pour le quatri me point nous lui avons pos la question sur le r le de la droite D 16 Obs Quel est le r le de la droite D 17 E B Pour d finir le plan P 18 Obs D accord 19 E B Au d part j ai un dessin qui est comme a apr s je positionne ma droite parall le D a fait mon plan l autre droite coupe je trace Cette r ponse peut nous laisser supposer que pour l enseignant il n tait pas possible de d finir un plan par un point et une droite et qu il fallait deux droites coplanaires En fait nous ne le pensons pas puisqu au d but de l entretien nous lui avons demand comment il d finissait avec les l ves de seconde les concepts droite et plan obs Est ce que vous d finissez les concepts droites et plans E B Un plan on le d finit par une droite et un point n appartenant pas la droite ou par deux droites s cantes De plus les observations que nous avons faites dans sa classe le confirment Ainsi nous n avons pas d l ments expliquant le fait d introduire une droite D pour consid rer le plan P d fini par A et
323. on 1 Positions de points par rapport un plan 69 1 1 2 Situation 2 Positions de droites relativement un plan 70 1 1 3 Situation 3 Positions relatives de plans entre eux 71 1 1 4 Situation 4 Position relative de droites entre elles 73 1 2 Conelustontsrresr ina nne nan n na a a ae aiea R sine 74 2 POURQUOI UN NOUVEAU QUESTIONNAIRE seeseseesseeseseseesessrsesesestenesteseseseettneseesereseeeenereeseseseeneseeseseeeee 78 3 CHOIX DU QUESTIONNAIRE ET ANALYSE A PRIORL nn nn sr 79 3 1 Exercices proposant l tude de l incidence de trois points 79 3 1 1 R ponsesattendues sesise internes dense endeesediniiedesii eesedetierde n eese a d s dites d e 80 3 2 Exercices proposant l tude des positions relatives d une droite par rapport un plan 81 3 2 1 Cas o les objets tudi s ne sont pas des solides 82 3 2 2 Cas o l objet tudi est un solide ses 84 3 3 Exercices proposant l tude de la position relative de deux droites entre elles 87 3 3 1 Exercice instantan Minnie dette cer n ee Ru A E er 87 3 3 2 EX ICIC ON LR ER Ra es Ts ne Ne rene nn sa dns tu Te 87 S a DISPOSITIF EXPERIMENTAL 22 nue rre E E dense rise disent te andere rien ne titi 88 5 RECUEIL ET ANALYSE DES DONN ES atian men es itee mn aa scene teen eo en 88 5 1 Analyse globalen roereier ee e ea ao iai E e aimer Ee Monde 89 5 2 Exercices proposant l tude d incidence de trois points 91 5 2 1 Les justification
324. on d l ve nous avons interverti les point I et J par rapport l nonc Cela n a pas t remarqu par les enseignants 219 Chapitre C3 Production EP c Exercice 7 Soit ABCD un t tra dre I est un point de la face ADC J est un point de la face ABC Construire l intersection de la droite 1J et du plan BCD o Je und pw paw tenant IF plan vue AD emn sum dae A Q pendo L itugun o 4 ave G amp F L l ve ne fait pas de dessin mais il propose une construction voqu e 2 4 Analyse 2 4 1 Commentaires des deux enseignants relatifs aux exercices de constructions Ce paragraphe concerne les exercices 1 2 3 4 et 5 Nous rappelons ci dessous les diff rentes valeurs des variables retenues pour le choix des exercices Ceci nous permettra de conna tre les positions de ces enseignants par rapport aux probl mes du type PCef et PCev Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 ui re intermed Formulation Construire Tracer Construire Tableau 37 Caract ristiques des exercices Dans le tableau ci dessous nous pr cisons pour chacun des exercices s il tait accept ou non par les enseignants Ces r sultats nous montrent une convergence relative aux exercices 1 3 et 5 c est dire les probl mes de construction effective Ceci fera l objet 220 du paragraphe a En revanche pour les exercices 2 et 4 c est dire les probl mes de construction v
325. on du dessin s inscrit dans des allers et retours entre les connaissances g om triques et les lectures spatiales et qu elle est subordonn e aux domaines de fonctionnement et d interpr tation du dessin Cela rejoint une hypoth se de travail adopt e par Laborde et Capponi 1995 pp 266 267 pour l analyse de r solution de probl me de g om trie dans un environnement informatique l laboration d une solution un probl me de g om trie est faite d une succession d allers et retours entre th orie et spatio graphique selon le sch ma suivant g om trie probl me r ponse 7 hi repr sentation fpatio graphique qu probl me vidences actions exp rimentations Nous nous int ressons donc aux r troactions des environnements informatiques des d placements ou l utilisation des primitives g om triques par le sujet Ces r troactions d pendent de l univers interne et de l interface Ces l ments conf rent l environnement informatique une dimension d exp rimentation comme l ont soulign Laborde et Capponi 1994 p 177 Comme dans toute situation les r troactions du milieu peuvent tre sollicit es par le sujet qui d cide de se livrer certaines actions dont la sanction par le Chapitre D1 267 milieu fournira des l ments d information sur sa production Il s agit en quelque sorte d une exp rimentation dans le mod le fourni par l environnement informa
326. on permet d laborer une construction qui est g om trique 3 1 Soit 8 partie finie du plan P contenant au moins deux points appel s points de base Un point M est dit constructible la r gle et le compas s il existe une suite de points M1 M2 Mn M du plan P tels que chaque point M est obtenu comme intersection de deux droites ou d une droite et d un cercle ou de deux cercles Ces droites et ces cercles sont obtenus partir de l ensemble E 8 U M diese M de la fa on suivante droite passant par deux points de E cercle de centre un point de E et de rayon la distance entre deux points de E Une droite est dite constructible si elle passe par deux points constructibles Un cercle est dit constructible s il est centr en un point constructible et a pour rayon la distance entre deux points constructibles 2 Un nombre r el est constructible s il est l une des coordonn es d un point du plan muni d un rep re orthonorm constructible Chapitre C1 125 Un autre aspect des probl mes de construction est d envisager le proc d de trac sur une feuille de papier Cet aspect n int ressait pas les math maticiens puisqu ils travaillaient sur des objets id aux utilisant des instruments id aux comme l a soulign Chevallard 1991 p 74 On voit donc que la notion de constructibilit dominante en math matique est math matiquement bien d finie et qu elle l est ind pendamment de toute
327. onc d n est pas AECH Justifications J2a et J2b Ces deux justifications sont des cons quences de la r gle d interpr tation droite plan 7 Plus pr cis ment ces l ves utilisent le fait que si la droite n est parall le aucune droite du plan elle n est pas parall le au plan P Par exemple El ve A2 R ponse Non Justification Une droite d est parall le un plan AECH si et seulement si cette droite est parall le une droite de ce plan Or d n est parall le aucune droite du plan AECH Elle est donc s cante au plan AECH 17 Conjecture 2 Cf 1 2 Positions relatives d une droite avec plan p 4 Chapitre B 95 Cette interpr tation consiste examiner le parall lisme de la droite d avec une droite du plan P Remarquons que cet examen se fait par la r gle d interpr tation droite droite 18 ou droite sec droite 1 Contrairement au cas J2a les justifications J2b explicitent une droite du plan en privil giant les droites verticales comme AC et EH Justification J2c Cette justification est fond e sur une argumentation correcte savoir si une droite d est s cante avec une droite d un plan P alors d est aussi s cante avec ce plan Seulement ces l ves utilisent la r gle d interpr tation droite sec droite pour justifier que d est s cante avec une droite du plan Justification J2b c Ces deux l ves ont justifi par le fait que d devrait tre parall le la
328. ons du choix d tude ou n est pas accessible par exemple lors de l tude d un rapport institutionnel dans une poque du pass le manuel peut tre consid r comme une r alisation effective assez repr sentative des r alisations possibles Assude 1996 p 50 a consid r un manuel comme un texte de savoir elle a avanc comme hypoth se Nous supposons que le texte du savoir est assez repr sentatif d une moyenne pond r e plusieurs contraintes du rapport institutionnel aux objets de savoir math matiques pr sents dans les diff rents syst mes didactiques qui r alisent effectivement ce texte de savoir Chapitre A 55 C est la m me position qu avait pris Menssouri 1994 p 46 propos des manuels Mais les manuels constituent aussi une r alisation effective et objectiv e des enseignements donn s en classe R alisation soumise au regard et au jugement publics et qui se veut repr sentative de la r alit de classe Cette objectivation r side dans la normalisation des fonctionnements diff renci s li s essentiellement l intervention du sujet psychologique toutes les autres contraintes de fonctionnement tant prises en consid ration Nous pouvons dire que cette objectivation est une objectivation de l enseignement par mise l cart de l apprentissage Les manuels sont ainsi un lieu privil gi o le chercheur peut acc der un fonctionnement objectiv du savoir dans l institution didac
329. ons types utilis es dans l enseignement permettent d largir le domaine de fonctionnement du dessin Cela donne au dessin la possibilit de remplir sa fonction d illustration Nous avons montr l int r t des conventions et repr sentations types Mais leur emploi n est pas neutre En effet nous faisons l hypoth se qu il peut avoir des cons quences sur les conceptions des l ves ces derniers pouvant d velopper des interpr tations illicites Nous proposons un dispositif exp rimental dans le chapitre B pour mettre l preuve l hypoth se de recherche Hypoth se de recherche Convention Chapitre A 53 Les conventions de repr sentation de la perspective cavali re deviennent des r gles d interpr tation d un dessin chez les l ves Cette hypoth se les conclusions 1 et 2 et les hypoth ses sur la fonction d exp rimentation d crite ci dessus nous permettent de r pondre la question sur la possibilit qu la fonction d exp rimentation d tre remplie dans le dessin en g om trie dans l espace Conclusion 3 A priori la fonction d exp rimentation du dessin papier crayon ne peut pas tre remplie au m me titre que dans le plan en tant que mod le du domaine de r alit g om trie dans l espace Ceci nous conduit nous interroger sur les fonctions du dessin dans les probl mes de g om trie dans l espace d autant plus que le dessin a pris une place importante dans l ensei
330. oqu e les deux enseignants n avaient pas la m me position Nous d velopperons ce point dans le paragraphe b e JEx2 3 Ex4 Exs E A OUI NON OUI NON OUI 1 S 1 S E B OUI OUI OUI OUI OUI 1 S 1 S Tableau 38 R ponses des enseignants a Cas des exercices du type PCef Comme nous l avons soulign ci dessus les exercices du type PCef ont t accept s Nous analyserons d une part les exercices 1 et 3 o l on examinera en particulier les hypoth ses V3a et V3b relatives la formulation et d autre part l exercice 7 i Exercices 1 et 3 D apr s les enseignants ces exercices peuvent tre propos s des l ves de Premi re mais ils doivent l tre avec des modifications pour les l ves de Seconde 5 E B Ah oui ils sont identiques le 1 et le 3 a fait appel au m me genre de raisonnement En premi re S a passe sans difficult mais en seconde il faut qu il soit guid La formulation de l exercice 1 n a pas t contest e Cela nous a conduit leur demander de fa on explicite la diff rence entre les formulations construire tracer et quelle est Pour les deux enseignants ils distinguent d une part construire et d autre part tracer et quelle est par rapport la variable justification 54 0 Dans la formulation des exercices au niveau des manuels On peut relever des questions du type Quelle est l intersection ou constru
331. orrespondent une moyenne des trois manuels examin s pour les ditions 1991 Cf Tableau 33 p 199 Chapitre D1 285 la repr sentation du plan en tant que figure de base avec d signation des sommets et de dimensions fix es peut favoriser davantage l association du plan au parall logramme que dans l environnement papier crayon les objets figures de base et figures construites partir des primitives ne sont pas g r s de la m me fa on Ainsi dans le cas o il n y a pas de figures de base le domaine de fonctionnement se trouve plus r duit que dans l environnement papier crayon la manipulation des figures de base est limit e des rotations car aucun point de la figure n est mobile Cela limite les possibilit s que peut offrir la manipulation directe quant au domaine d interpr tation Les primitives g om triques disponibles permettent aux probl mes de construction effective et voqu e de vivre dans l environnement Geospace comme le montre l tude du manuel Imagiciel Seconde 3 LE LOGICIEL CABRI 3D Il s agit d un prototype de Cabri 3D pour la g om trie dans l espace Dans ce paragraphe nous ne proposons pas la m me analyse de ce logiciel que Geospace Mais un d but de questionnement sur les choix d j effectu s dans le prototype actuel pour montrer que les choix du concepteur doivent tre le produit d une r flexion et d un travail en particulier pour le probl me de repr senta
332. our le probl me du trac A ce sujet Hadamard pr cise dans une note laquelle plusieurs probl mes de construction renvoient Nota Dans tous les probl mes de construction exerc 424 426 426 bis etc nous supposons sauf indication sp ciale du contraire voir ci dessous qu on sache Faire passer un plan par trois points donn s Prendre l intersection de deux plans d une droite et d un plan Effectuer dans un plan donn d une fa on quelconque dans l espace les constructions connues de la g om trie plane Cette supposition est purement conventionnelle puisqu il n existe aucun moyen de r aliser pratiquement ces op rations toutefois la g om trie descriptive apprend repr senter par des figures planes les figures de l espace et dans ce mode de repr sentation les constructions que nous venons d num rer peuvent tre effectu es avec la r gle et le compas Nous nommerons constructions effectives celles qui devront tre r alis es sans le b n fice de la convention pr c dente Le ons de g om trie l mentaire vol II G om trie dans l espace Par J Hadamard 1921 p 23 Cette note soul ve le probl me du trac D une part compte tenu du mode de repr sentation adopt dans l enseignement on s autorisera utiliser des arbitraires dans la construction ce que nous appelons les r gles d usage D autre part l auteur renvoie la g om trie descriptive qui prend en charge la r alisat
333. ous retenons que dans cette r solution les deux composantes preuve de constructibilit et algorithme de construction sont pr sentes En fait elles apparaissent simultan ment gr ce la d marche de r solution analyse synth se le passage au trac n a pas le m me sens qu en g om trie plane compte tenu des contraintes de la repr sentation en perspective cavali re C est pourquoi nous avons cherch les manuels o les auteurs font des commentaires sur les probl mes de construction dans l espace et ou sur les fonctions du dessin C est l objet du prochain paragraphe Chapitre C1 139 b Commentaires des auteurs de manuels par rapport aux probl mes de construction Certains ouvrages explicitent des r gles relatives aux probl mes de construction 25 G n ralit s Dans ce qui suit on tudiera des probl mes dits de construction de droites ou de plans On regardera comme possible la construction d une droite si l on en conna t 1 ou deux points 2 ou un point et la direction 3 ou deux plans se coupant et la contenant On regardera comme possible la construction d un plan si l on conna t des l ments d terminant ce plan 1 ou trois points non en ligne droite 2 ou un point et une droite ne contenant pas le point 3 ou deux droites concourantes ou deux droites parall les On consid re alors la recherche comme termin e mais elle peut ensuite faire l objet d une discussion
334. pas ou quelques instruments fantaisistes voir exercice 47 49 En revanche dans d autres cas la situation est plus ambigu Nous conviendrons que sauf mention explicite du contraire les trac s usuels parall le perpendiculaire milieu etc sont comme allant de soi Terracher 1 SE page 25 Pour les probl mes de construction l auteur met en place sous forme d un exercice r solu en travaux pratiques une d marche de r solution selon les tapes suivantes la figure d tude puis constructions et justification La premi re partie constitue la phase de recherche partir de l tude de la figure comme le souligne un point m thode Probl mes de construction La recherche de tels probl mes s engage toujours par une figure d tude qui n est autre que la figure que l on veut r aliser 1 Tricher pour la dessiner dans notre exercice nous tra ons d abord les tangentes et nous marquons le point A ensuite c est malhonn te mais efficace 2 Etudier les propri t s de la figure jusqu en savoir assez pour passer l tape suivante donner le programme de construction et justifier Nous retrouvons dans cette m thode la d marche par analyse synth se d velopp e dans le paragraphe p riode 1 Nous proposons d tudier le r le du dessin dans la partie analyse Une fois que le dessin est r alis la d marche propose de d gager des propri t s qu on utilisera d
335. peuvent pas expliciter toutes leurs attentes On peut envisager plusieurs possibilit s parmi lesquelles l observation d un enseignant dans une classe le questionnaire l interview L observation de classes est un moyen d acc der des pratiques de l enseignant dans l institution classe relatives un objet de savoir Par rapport aux probl mes de Chapitre C3 205 construction ces observations nous permettront en particulier de voir sous quelle forme ces objets ici probl mes de construction effective vivent dans la classe et comment l enseignant n gocie le contrat didactique avec les l ves propos des PCef Cependant ce moyen ne nous permet pas de r pondre compl tement la deuxi me partie de la premi re question tant donn que les probl mes PCev ont disparu de la pratique Pour cela nous avons pens faire r agir les enseignants des exercices et des productions d l ves choisis en fonction de nos variables sous forme d un questionnaire et d interview 1 DISPOSITIF EXPERIMENTAL Nous proposons un dispositif exp rimental comportant deux phases Phase 1 Nous avons travaill avec deux professeurs que nous avons observ s lors de l enseignement de la g om trie dans l espace dans les classes de Seconde Ensuite nous avons organis un questionnaire interview avec ces deux enseignants apr s l enseignement de la g om trie dans l espace La partie I du questionnaire porte sur des exercices q
336. ph re sur le fonctionnement et ou dysfonctionnement du syst me Cela conduit un changement ou une adaptation du programme en vigueur La noosph re a donc un r le de r gulateur du syst me comme l a soulign Chevallard 1991 p 46 Un r le qu il faut situer bien en amont de la stricte r daction des programmes C est la noosph re qui doit en quelque sorte traiter les pressions les exigences qui ont leur origine dans divers groupes sociaux dont nous avons voqu l existence Son r le essentiel est cet gard une fonction de r gulation des 28 travers les manuels et la r alisation effective dans les classes Chapitre A 59 exigences qui s exercent sur le syst me d enseignement Sans cela l acte d enseignement en butte des critiques violentes et incessantes deviendra quasiment impossible La noosph re doit permettre notamment de produire des programmes cens s mieux satisfaire les contraintes dont elle a conna tre Au cours de la p riode 3 les changements de programmes ne pr sentent pas de rupture entre les tats E E i 1 Le nouveau programme va d abord rappeler qu il conserve l essentiel du pr c dent Ensuite il pr sente le nouveau en le situant par rapport l ancien Nous analysons quelques volutions possibles entre les deux programmes Dans le cas o le fonctionnement effectif dans les manuels n tait pas conforme au programme l tat E le nouveau va exprimer des m
337. pr sentant D comme une droite parall le D l ext rieur du parall logramme FR rt fig 8 Repr sentation type DPs pour repr senter une droite s cante avec un plan on rend visible le point d intersection l int rieur du parall logramme Pour cela on repr sente par des pointill s une partie de la droite qui est suppos e tre cach e fig 5 fig 6 Une contrainte de cette repr sentation type est que le point d intersection doit tre l int rieur du parall logramme ou l int rieur d une r gion d limit e par un parall logramme incomplet Pour ce dernier cas le point est souvent l int rieur du triangle d fini par les deux c t s qui d limitent le plan 48 b Positions relatives de deux plans Repr sentation type PPs pour repr senter deux plans s cants on rend visible leur droite d intersection l int rieur du parall logramme De plus il y a parall lisme de certains bords avec la droite d intersection fig 9 Repr sentation type PPp deux plans parall les sont repr sent s par deux parall logrammes dont les c t s sont parall les deux deux L b R gles conventions et repr sentations types explicit es dans les manuels fig 10 Les repr sentations types sont utilis es par les trois manuels tudi s pour illustrer les propri t s du cours de fa on implicite Elles permettent de traduire des propri t s g om triques
338. pr sentons l enseignant les diff rentes solutions des exercices Par exemple pour l exercice GEO2 nous proposerons trois solutions SIR P P S2R P d et S3R P d en mettant en vidence la gestion de l environnement informatique des objets g om triques de leurs relations la richesse des diff rentes solutions quant aux propri t s g om triques Ce travail doit amener les enseignants valuer les apports d un tel environnement informatique en g om trie dans l espace 8 Cf Annexe B2 a Chapitre D2 305 306 2 ANALYSE 2 1 Enseignant CH 2 1 1 Productions papier crayon La production EPI est consid r e comme correcte par l enseignant qui est m me surpris par la r daction L enseignant consid re les autres productions comme incompl tes a Exercice production EP c L absence du dessin tait la premi re remarque de l enseignant E CH Et l il n y a pas de figures H On n a donn que de l nonc L enseignant lit l nonc et illustre par un dessin et ensuite il value la production E CH Si c est corriger je dirai qu il n y a pas de figure je ne peux pas comprendre comment on prend le plan Lequel Voil b Exercice production EP IV Avant de lire cette production l enseignant propose de r soudre l exercice Ensuite il compare sa solution par rapport celle de l l ve et il d crit les diff rentes tapes de sa r solution E CH C est pas plus pr cis que a
339. que la notion de section plane parall le la base Pour la classe de Seconde les notions et les th mes n ont pas chang par rapport aux programmes de 1982 En revanche le programme est plus explicite et il met davantage l accent sur la pratique du dessin comme repr sentation des objets de l espace physique et sur la ma trise des solides usuels En classe de Premi re la reconstruction des propri t s d incidence partir du calcul vectoriel comme c tait le cas en 1982 est exclue Les propri t s d incidence compl tent celles qui sont vues en Seconde partir d activit s sp cifiques sans l intervention des vecteurs Un lien avec le calcul vectoriel peut se d gager par la suite 1 1 4 Programmes de 1990 Le programme du coll ge est le m me que celui de 1985 En revanche au lyc e on peut constater un changement important dans les programmes Les solides tudi s au coll ge constituent un terrain privil gi pour l ensemble des activit s du lyc e En particulier en classe de Seconde ces activit s permettront de d gager progressivement quelques nonc s concernant les droites et les plans de l espace et mettre en valeur leur sp cificit par rapport au cas de la g om trie plane mettre en vidence et mettre en oeuvre les propri t s d incidence d orthogonalit de projection sur un plan Le programme de Premi re introduit l tude des transformations op rant sur les objets usuels tudi
340. r pondre nos questions l analyse des justifications ne s en impose que plus 5 2 Exercices proposant l tude d incidence de trois points Nous constatons une augmentation de bonnes r ponses entre l exercice 1 et l exercice 8 Et dans chacun de ces deux exercices au moins un tiers des l ves n a pas r pondu correctement Tableau 8 15 R cor r ponses justes Rat r ponses attendue R maj r ponses majoritaires Chapitre B 91 5 2 1 Les justifications utilis es par les l ves Les justifications avanc es par les l ves correspondent celle de l analyse pr alable Jla Oui car trois points d finissent un plan J1b Oui car les points I J et K sont sur la m me face ABD J1c Oui car les points I J et K sont sur le m me plan ABD Jld Non car les points I J et K ne sont pas sur la m me face Jle Non car les points I J et K ne sont pas sur le m me plan J1f On ne peut rien dire car on ne sait pas si le point I appartient au plan ACD J1g On ne peut rien dire car il manque des informations J8a Oui car trois points d finissent un plan J8b Non car les points A B et C ne sont pas sur le m me plan J8c On ne peut rien dire car le point B peut tre dans le plan P contenant A et C J8g On ne peut rien dire car il manque des informations J1x ou J8x r ponses sans justification Ba Usb jise Use gex ra RENE Tableau 9
341. r sente des difficult s particuli res cause du statut de l objet sur lequel elle porte la figure On retrouve dans cette citation l importance de l aller retour entre le dessin et l nonc Les interdictions voqu es par Arsac ont pour objet de changer le statut du dessin on passe d un dessin objet physique au dessin mod le d un objet g om trique Dans une recherche r cente Fregona 1995 a tudi les rapports d un acteur avec son milieu quand il s agit de tracer une figure superposable une autre par le biais d une situation de communication Fregona 1995 p 7 Avec la structuration du milieu elle a montr que le statut d un dessin est d fini par sa fonction dans la situation et par la position du sujet l ve ou professeur Dans la probl matique Fregona 1995 p 9 adopte une hypoth se de travail les figures sont des instruments ad quats pour transmettre dans la scolarit l mentaire les savoirs g om triques C est dans ce contexte que l auteur a tudi les conditions de constitution d un milieu efficace ou non pour l apprentissage de la g om trie Ces travaux attestent l int r t qu il faut porter au r le du dessin et de la figure dans l enseignement des math matiques r le heuristique des figures dans la r solution de probl mes de g om trie n cessit de changer le rapport des l ves au dessin dessins Chapitre A 31 comme instruments pour la transmission des sav
342. r la nature du triangle ADE et la v rifier l aide de l instrument compas Cette v rification utilise la d finition d un triangle quilat ral et l l ve est amen faire un pas du raisonnement d ductif Nous pensons qu partir de la classe de quatri me l enseignant mettra davantage l accent sur le dessin comme mod le d un objet g om trique En effet ce changement de statut du dessin correspond une phase o l l ve va changer son rapport avec la g om trie par la mise en place de la d monstration Elle se manifeste par des interdictions de prendre des mesures sur le dessin etc 4 2 2 G om trie dans l espace En ce qui concerne la g om trie dans l espace les l ves du coll ge commencent par fabriquer des solides objets physiques partir d un patron fourni Ensuite il leur est propos des activit s autour d un solide objet g om trique ou objet physique repr sent en perspective cavali re et ou par son patron L objectif est d apprendre voir dans l espace Repr senter un parall l pip de rectangle L usage d une perspective cavali re et en perspective la fabrication d un patron sont D crire fabriquer un parall l pip de compl mentaires l aide d un patron le rectangle de dimensions donn es lien sera tabli avec le rectangle BO n sp cial 4 30 Juillet 1987 6 Les t ches fabriquer repr senter t moignent du travail dans l axe 2 du sch ma
343. ramener l tude de la g om trie l expos d un dogme bien l ch mais a conduit par la force des choses ne plus travailler sur des figures La construction de figures reste possible mais n a plus un caract re aussi imp rieux au moins dans le principe de travail La fin de la p riode correspondant aux math matiques modernes a t marqu e en particulier par le fait que la figure doit tre au centre de l apprentissage Ainsi plusieurs travaux en didactique autour de la probl matique du dessin et de la figure ont vu le jour C est ce que nous proposons d examiner dans le paragraphe suivant 5 1 1 Le dessin travers certains travaux 28 Nous nous proposons dans ce paragraphe d examiner travers certains travaux la place et le r le du dessin en tant que mod le d un objet g om trique dans les probl mes de g om trie Dans un colloque Inter Irem sur l enseignement de la g om trief o plusieurs intervenants se sont pench s sur cette question Bessot 1983 soul ve la n cessit d une r flexion sur le r le le fonctionnement et la production des figures en g om trie Il attribue au dessin un r le pour l apprentissage la figure permet l l ve une prise de contact concr te quasi physique avec la situation tudi e il peut ainsi mettre en oeuvre d s le d but ses capacit s par l action la construction le dessin et la r flexion qui doit guider cette action L usage et la pratique d
344. ransfert de propri t s En effet parmi les diff rentes repr sentations planes d objets de l espace la perspective parall le est celle qui permet le plus de conserver des propri t s parall lisme milieux rapports des mesures de segments parall les tout en offrant de l objet une image voisine de celle qu il pr sente la vue Compte tenu de ce mode de repr sentation adopt nous nous proposons d examiner dans quelle mesure le dessin en perspective parall le peut avoir diff rentes fonctions comme en g om trie plane dans les probl mes de g om trie dans l espace Pour examiner le cas de la fonction d illustration nous tudierons comment on peut passer de l objet g om trique au dessin Elle correspond la phase o le sujet r alise un dessin pour traduire les donn es du probl me Cette fonction d pend du domaine de fonctionnement du dessin en tant que mod le d un objet g om trique Pour examiner le cas de la fonction d exp rimentation nous tudierons comment l on passe du dessin l objet g om trique au cours du traitement du dessin on doit interpr ter des propri t s dans le domaine g om trique Cette fonction d pend en partie du domaine d interpr tation du dessin en tant que mod le d un objet g om trique Dans cette mise en relation d un objet g om trique de l espace avec un dessin le repr sentant un autre objet intervient un objet g om trique plan projection sur un plan de l ob
345. rche comment passer de F F d Fonctions du dessin Chapitre C1 155 De l tude pr c dente on peut retenir les points suivants Les auteurs des manuels mettent l accent sur l tude de la figure dans la phase de r solution de probl me en d gageant des propri t s de configurations usuelles En particulier pour les probl mes de construction cette phase correspond l analyse Cette m thode met bien en vidence la fonction d exp rimentation du dessin dans la partie analyse Dans la partie synth se l l ve est invit refaire le dessin pour v rifier l algorithme de construction Enfin certaines constructions seront prises en charge seulement au niveau du trac sans qu elles soient explicit es dans la partie algorithme de construction e Conclusion Aucun des manuels consult s n a d fini un probl me de construction en g om trie plane Cependant ils ont tous explicit la m thode de r solution Il s agit de la d marche par analyse synth se Dans la partie analyse le dessin est objet d tude pour d gager l algorithme de construction Trois m thodes d analyse apparaissent dans les exemples trait s et explicit s dans les manuels tude de configurations Terracher et Belin abandon d hypoth se Belin et intersection de lieux g om triques D clic 2 1 2 Cas de la g om trie dans l espace Les premiers probl mes de construction dans l espace sont introduits en classe de tr
346. rcice 4 la majorit des r ponses sera oui selon la r gle d interpr tation droite int plan alors qu elle seront non pour 9 et 11 De plus nous voulons voir s il y a des r ponses diff rentes et quelle est l influence de la variable r gionnement de l espace par un cube Nous donnons ci dessous les types de r ponses attendues pour chaque exercice i Exercice 4 R4a oui car d a une partie commune avec le plan R4b Oui car d est s cante avec les droites AC et CD ce qui peut aussi tre justifi par le fait qu il n y a pas de blanc l endroit des intersections R4c Oui car sinon il y aurait des pointill s R4d On ne peut rien dire car il manque des informations ii Exercice 9 R9a Non car d est l ext rieur du plan R9b Non car d est dans le plan CDGH R9c Oui car sinon il y aurait des pointill s R9d On ne peut rien dire car il manque des informations iii Exercice 11 R1la Non car d est l ext rieur du plan R11b Oui car d est dans le plan ABCD R11c Oui car sinon il y aurait des pointill s R11d On ne peut rien dire car il manque des informations Les r ponses justes sont R4d R9d et R11d 86 3 3 Exercices proposant l tude de la position relative de deux droites entre elles Pour cet item nous avons propos deux exercices 6 et 7 3 3 1 Exercice 7 Il s agit d examiner la conjecture 5 relative la r gle d interpr tation
347. rcice 7 Si deux droites sont incluses respectivement dans deux plans s cants alors elles sont s cantes Lorsque nous avons tudi les positions relatives de deux droites nous avons constat que l on a moins de r ponses on ne peut rien dire dans le cas o ces deux droites sont rattach es des plans que si elle sont d finies comme droites de l espace sans rattachement un plan 7 CONCLUSION Des conventions de repr sentation adopt es dans l enseignement ont pour fonction d illustrer une situation spatiale et donc d largir le domaine de fonctionnement du dessin Ces conventions deviennent chez des l ves des r gles d interpr tation pour la lecture du dessin ce qui n tait nullement l intention de l enseignement Ceci valide l hypoth se de recherche convention formul e dans le chapitre 1 Les conventions de repr sentation de la perspective cavali re deviennent des r gles d interpr tation d un dessin chez les l ves Certaines r gles d interpr tation sont apparues uniquement ou plus particuli rement dans l une des classes alors que d autres sont apparues en proportion quivalente dans toutes les classes Nous expliquons ceci par le fait que certaines conventions ne sont pas utilis es par tous les enseignants du moins de fa on syst matique c est en particulier le cas du codage de l intersection de droites Les l ves utilisent de fa on conjugu e ces r gles avec des th or me
348. re spatiale Mod le g om trique Ce travail porte essentiellement sur la lecture des graphismes techniques o le dessin est un syst me de vues et les objets g om triques sont des solides g om triques Cependant ce sch ma reste valable au del du contexte dans lequel il a t produit Nous consid rons donc le sch ma suivant Objet g om trique de l espace Objet g om trique du plan Dessin mod le d objets g om triques mod le d objets physiques Objet physique Sch ma 2 44 Selon la probl matique tudi e on peut consid rer un ou plusieurs sous sch mas du Sch ma 2 Pour notre cas d tude nous nous int ressons aux passages entre un objet g om trique de l espace et un dessin repr sentation de cet objet en perspective cavali re A un objet g om trique de l espace on associe un objet g om trique du plan par une projection sur un plan ce dernier on associe un dessin comme repr sentation mat rielle Pour la suite nous consid rons le sch ma suivant Objet g om trique de l espace Objet g om trique du plan Dessin mod le d objets g om triques Sch ma 3 5 2 1 Passage de l objet g om trique au dessin Le passage d un objet g om trique de l espace un dessin qui le repr sente se fait l aide d une traduction de certaines propri t s g om triques de l objet en des relations spatiales sur le dessin En fait ces relations spatial
349. re des remarques des enseignants sur le niveau de justification b Exercice production E3 L exercice est un probl me de construction effective consid r comme classique par les enseignants En revanche la production devrait tre consid r e incompl te tant donn qu elle ne donne pas les moyens de construction effective sur papier crayon De plus l absence de dessin devrait tre contest e c Exercice production EP IV Nous nous attendions ce que l enseignant soit rejette l exercice et la production soit seulement la production Le rejet de l exercice peut tre argument soit parce que c est un type d exercice qu on ne traite plus dans l enseignement actuel soit avec des arguments plus pr cis comme le raisonnement qu il n cessite ou encore le fait que l exercice ne portant pas sur les solides c est difficile etc Pour le rejet de la production on attend des arguments du type la solution ne donne pas les moyens pour r aliser la construction absence du dessin il faut continuer etc 1 5 2 Production GEOSPACE Si on se limite au dessin repr sent sur l cran comme dessin sur papier crayon alors la production ne r pond pas aux crit res que doivent v rifier les r ponses aux probl mes de construction Seulement dans le cas de cet environnement et contrairement au cas 5 C est un algorithme qui n utilise comme primitive de construction d intersection que l intersection de droi
350. re donn e dans l nonc comme c est le cas de l exercice 6 Sinon on renvoie au probl me d interpr tation des positions relatives d une droite et d un plan Chapitre B 113 Deux autres l ves de la classe B ont argument respectivement par Sur le dessin les droites sont s cantes mais dans l espace cela d pend des fois et Elles peuvent tr s bien ne pas avoir de points en commun dans l espace Pour ces l ves nous ne disposons pas d autres pr cisions ii Cas des justification JO1 en ce qui concerne l exercice 6 On peut penser que ces l ves ont utilis une r gle d interpr tation qui est une variante de la pr c dente En fait nous avan ons l hypoth se que leur justification est bas e sur un th or me en acte Si deux droites sont incluses respectivement dans deux plans s cants alors elles sont s cantes En effet contrairement au cas pr c dent nous avons relev dans les productions que tous les l ves sauf un ont conclu sans tracer des prolongements aux droites d et d sauf un Notons que 5 l ves ont r alis des trac s pour justifier que les plans SAB et SCD sont s cants La majorit des l ves ont justifi le fait que les plans SAB et SCD sont s cants soit en construisant leur intersection soit en argumentant que les deux plans ne sont pas parall les et ou ils ont un point commun S Remarquons que ce th or me en acte a probablement t utilis par les
351. re en relation avec l l ve Ensuite dans chacune des copies nous avons indiqu la r ponse de l l ve O oui N non ou OR on ne peut rien dire et examin si celle ci avait t justifi e 11 Cf Tableau Lecture dessin 1 en annexe A2b 88 5 1 Analyse globale Ci dessous nous proposons d abord une analyse globale sans l examen des justifications Cet examen sera fait plus loin eo le l h ee hot e uo fn o a felohetsjohe blu Toaos ss 1o 35 1 e731 lis a l 23 5 n laof3 ss Ex E x6 Ex Es Ex K9 Ex Ex 10 Ex Ex 11 se holi fo fi lo fs loz lo fa le lar taalo fs a ee muni sos 17l4 fa e Jo his 22 2 fi o li 22 18 0 s fi fo 23 sas 14 3 3 fa 1 hi7 Jiale f2 s le i2 firlo Je f3 fi fie rogoslerlo 23 fisi ss e9 jis io i2 fis 7i ri lo 26 Jiofs 77 Tableau 5 Analyse globale Le pourcentage du nombre des r ponses O R par rapport au nombre global des r ponses est variable d un item un autre il va de 10 85 Nous pouvons avancer au moins trois explications quant cette variation elle ne d pend pas que de la nature de l item elle est due une r ticence des l ves r pondre O R une telle r ponse tant en opposition avec les clauses du contrat p dagogique relatif au probl me Elle est due au fait qu un l ve peut r pondre O R avec le sens Je ne sais pas r pondre Dans toute notre analyse les r ponses incoh
352. re que l intersection des plans KLM et ABCD est la droite 1J il faut dire pourquoi les deux points I et J sont dans ces deux plans Chapitre C3 217 Exercice 2 La figure suivante repr sente une pyramide dont la base ABCD est un quadrilat re K est un point de l ar te OA L est un point de l ar te OD et M un point de l ar te OC Construire l intersection du plan KLM avec la pyramide __ smlersechion de KLH avec Pa face Ca cB dans Le plan Cocb consid rons L intersechion cles droites CLA el Ced j Sans Le pan Cond consichrons totersection des droites LK el CAD Je Patecgckion cles deux Plans est R coite IF at suffit cle rence R intersection de celte droite vers w a sat e segment LP Intersechioa ek K LH avec Ra face 8C Pese men ce CABCD ELen Intersection de KLAJ avec La face Caj an 218 Production EP b Exercice 7 Soit ABCD un t tra dre I est un point de la face ABC J est un point de la face ADC Construire l intersection de la droite IJ et du plan BCD x O ad amp pat d imterechm de lw owk CT we U plan a _ Je hie a ont CAT el upe ad ed Sat O amp e d kue chm oa CTTI et CE Je haw tu oui AT aeh upe BC ex T Cette production est identique du point de vue du choix des variables EP a seulement c est l l ve qui construit le dessin puisqu il n tait pas fourni dans l nonc 3 Dans la producti
353. rentes ou sans justification seront d sign es par la lettre X Elles sont r parties comme l indique le tableau ci dessous 12 On a eu 991 r ponses Les r ponses correctes sont en gras Chapitre B 89 Ex 9 Ex 10 Ex 11 Tot Tableau 6 Ce tableau montre que le nombre de r ponses on ne peut rien dire sans justification est faible 3 On peut donc consid rer que les l ves n ont pas r pondu O R avec le sens Je ne sais pas r pondre Nous avons voulu que les l ves r pondent de fa on spontan e aux questions pos es Seulement les enseignants qui ont pr sent le questionnaire ont constat qu il y a eu retour sur des items au cours du questionnaire par certains l ves A la fin de la s ance il a t demand aux l ves de la classe Sa de signaler s ils avaient effectu un retour aux questions pr c dentes Sur 26 l ves 7 ont indiqu qu ils ont chang d avis au cours du questionnaire Par exemple l l ve B21 a r pondu non pour l exercice 1 en justifiant B1 Le point I est dans le plan ABC et les points J et K sont dans le plan ACD Cette r ponse a t effac e 4 et remplac e par une r ponse Oui accompagn e d une nouvelle justification B1 On peut dire aussi que les points I J K sont dans le plan IJK Le m me changement a eu lieu pour l exercice 8 Nous pensons que pour d autres l ves il n y a pas eu de retour aux questions pr c dentes mais que celles ci ont par
354. res exigent l op ration de reconfiguration interm diaire partage d une figure en sous figures pouvant tre recombin es en une autre figure Les r sultats montrent une diff rence entre les l ves de 6 me et 5 me quant au type d appr hension Plus pr cis ment les l ves de 6 me utilisent leur perception de fa on spontan e plus que les l ves de la classe de 5 me Ce travail a montr galement une diff rence entre le temps du traitement des probl mes Padilla 1990 p 252 Il est remarquable que m me les figures les plus simples ne sont pas si videntes pour les l ves de cette tranche d ge et prennent des TT qui peuvent aller de 1 jusqu 20 pour trouver la solution Cette diff rence entre les temps de traitement est li e l op ration qui a constitu la productivit heuristique de chaque probl me se on Enfin l auteur conclut que voir sur une figure est une d marche complexe et qui rel ve d un apprentissage qui ne doit pas rester ignor Padilla 1990 p 252 La deuxi me difficult est de savoir interpr ter chacune des informations du dessin en distinguant celles qui sont interpr tables en termes de propri t s g om triques C est le domaine d interpr tation associ au dessin c Fonctions du dessin dans la solution propos e par l l ve Nous examinons les fonctions du dessin dans la partie que l l ve consid re comme solution au probl me et qu il rend
355. result of synthesis for in analysis we assume that wich is sought as 1f it were already done yeyovos and we inquire what it is from which this results and again what is the antecedent cause of the latter and so on until by so retracing our steps we come upon something already knowon or belonging to the class of first principales and such a method we call analysis as being solution backwards avaraaiv Avow But in the synthesis reversing the process we take as already done that which was last arrived at in the analysis and by arranging in their natural order as consequences what were befor antecedents and succevely connecting them one with another we arrive finally at the construction of what was sought and this we call synthesis 130 Le raisonnement par analyse synth se a t utilis non seulement en g om trie mais YSE SY aussi dans le calcul litt ral en alg bre Dans notre travail nous nous int ressons l usage de la d marche analyse synth se dans l enseignement fran ais au cours de ce si cle en g om trie et plus particuli rement pour la r solution des probl mes de construction Nous proposons d examiner le manuel MI par rapport la d marche analyse synth se dans la r solution des probl mes de construction en g om trie plane a Examen du manuel M1 J Desbats pr sente la m thode par analyse comme tant celle employ e dans les probl mes de construction et comme tant
356. ries de moyens recours au d placement et recours aux primitives g om triques a Recours au d placement Il s agit de d placer l objet et d tudier l aspect des objets en pointill en continu Comme Geospace ne g re pas l aspect des objets pour des objets qui n ont pas t d finis partir des figures de base le recours au d placement ne peut tre efficace que dans ce cas Dans les d placements nous consid rons aussi les possibilit s Examen d un plan essentiellement pour tudier des objets appartenant un m me plan Position particuli re par exemple pour tudier l orthogonalit de deux droites non coplanaires Soit un t tra dre r gulier ABCD obtenu comme figure de base fig 74 fig 74 On demande Position particuli re en choisissant les droites AD et BD de face leurs repr sentations sont perpendiculaires fig 75 Chapitre D1 279 280 el Droites AD et BC de face fig 75 Les r troactions du milieu sont perceptives b Recours aux primitives g om triques Pour tudier si une relation R entre deux objets O et O2 est vraie on note O R O2 pour d signer que la relation est vraie on ex cute une construction l aide des primitives g om triques offertes par le logiciel de sorte que l on puisse d duire des informations propos de ces deux objets Deux voies sont possibles Si la validit de la relation R entre les deux objets est quivale
357. rimitives de trac la r gle et au trac compas compas Tableau 24 Les probl mes de construction en g om trie plane conservent les m me caract ristiques pendant la p riode 1 et pendant la p riode 3 En revanche pour les probl mes de construction dans l espace nous avons montr que leurs caract ristiques d marche de r solution algorithme de construction et proc d de trac ont volu Pendant la p riode 1 les probl mes de construction en g om trie plane et dans l espace utilisent les m mes d marches de r solution Mais au niveau du proc d de trac il y a une diff rence tant donn que dans le cas de la g om trie dans l espace on fait appel des primitives de trac et des r gles d usage Pendant la p riode 3 les probl mes de construction en g om trie plane et dans l espace n ont plus la m me d marche de r solution En g om trie plane la d marche de r solution se fait l aide de l analyse synth se largement d velopp e dans les manuels Alors que pour les probl mes dans l espace la phase heuristique est absente et la m thode de r solution propos e par les auteurs des manuels est centr e sur l algorithme de construction Cependant au niveau du trac les exigences sont les 170 m mes pour les probl mes de construction en g om trie plane et dans l espace Il s agit de proc d s de trac la r gle et au compas Autrement dit les probl mes de construction e
358. rit res C1 C2 Exercices production car il manque le proc d de trac car il manque le proc d de trac Tableau 41 a Probl mes de construction pour l enseignant E A i Cas d une construction voqu e pour un probl me de construction effective La production EP c a t rejet e parce que la solution ne pr cise ni le plan utilis ni comment obtenir la droite d intersection de ce plan avec le plan BCD 1 30 E A Oui non quand m me un plan moi je mettrais pas a je prends le plan AIJ contenant Et puis c est pas selon une droite A mais selon la droite A d finie par l et J Il faut des choses plus pr cises parce qu apr s a lui permettrait de r diger en faisant bien remarquer que dans ce plan les deux droites IJ et T J sont dans ce plan donc elles sont s cantes Examinons les crit res ou les indices utilis s par l enseignant pour rejeter cette production Nous soulignons cet effet une exigence de l enseignant 1 30 E A Il faut des choses plus pr cises 236 C est dire que Une droite ne peut tre d finie que si elle passe par deux points d j d finis Un plan ne peut tre d fini que par trois points d j d finis 1 2 E A Bon c est la m me chose Disons la m thode est esquiss e Je prends un plan contenant 1J il ne le nomme pas il ne dit pas comment Ce plan coupe BCD selon u
359. robl mes de construction en g om trie dans l espace sont au programme des classes de Premi re A partir de 1985 les probl mes de construction dans l espace sont des probl mes de recherche de sections planes de solide Pour les probl mes de construction dans l espace nous constatons une volution du type de probl me au cours de cette p riode 1982 90 En 1982 les probl mes de construction sont pr sent s par les programmes comme des probl mes dont l objectif est la mise en oeuvre des transformations dans l espace Ces probl mes ne sont pas pr sents dans les programmes de 1985 et 1990 Cela peut tre expliqu par le fait que les transformations ont disparu du programme de la classe de Premi re Les programmes de 1985 et 1990 proposent un autre type de probl me de construction sections planes de solides Nous soulignons que les programmes de 1990 associent les probl mes de construction aux probl mes de repr sentation en perspective cavali re Recherche et repr sentation en perspective cavali re ou en vraie grandeur de sections planes 12 Ce type de probl me est propos par le programme de 1982 obligatoire pour la section E et facultatif pour la section S Chapitre C2 189 A propos des probl mes Sections planes d un solide Les probl mes de sections planes sont propos s par les programmes de 1982 mais en tant que probl me de repr sentation en g om trie descriptive pour les sections
360. roposer des probl mes de construction effective Par exemple le probl me P2 tudi dans le chapitre C1 6 est un probl me de construction effective dont la t che est de construire un objet sous conditions g om triques PCef AS Obj cond Or l analyse des manuels ci dessus r v le que ce type de probl me n est pas propos par les manuels actuels Nous pensons que l explication est au niveau de la d marche de r solution En effet les probl mes de construction dont la t che est de construire un objet sous des conditions g om triques sont plut t des probl mes d existence Leur d marche de r solution se fait par analyse synth se telle que nous l avons d velopp e dans le chapitre C1 aussi bien en g om trie plane qu en g om trie dans l espacel7 La partie analyse tudie les conditions n cessaires d existence de l objet et la partie synth se les conditions suffisantes Cette d marche est toujours utilis e dans les probl mes de construction en g om trie plane Rappelons que dans la partie analyse le dessin est pr sent comme objet d tude conduisant la r solution des probl mes de construction de g om trie plane La partie synth se donne l algorithme de construction avec une justification donc une preuve de constructibilit Ainsi l un des objectifs des probl mes de construction en g om trie plane est de faire fonctionner l tude de configurations pour la r solution des probl mes Dans le c
361. rs objets nous n avons propos qu une question par dessin Ce travail a t r alis suite un enseignement de la g om trie dans l espace en classe de Seconde Nous avons choisi cette classe puisque c est ce niveau que les propri t s d incidence de la g om trie dans l espace sont tudi es 3 1 Exercices proposant l tude de l incidence de trois points Exercice 1 Exercice 8 Les points I J et K sont ils dans un m me plan Les points A B et C sont ils dans un m me plan 9 Cf Chapitre C2 Chapitre B Dans ces deux exercices nous avons repr sent trois points non align s La question porte sur leur appartenance un m me plan Deux variables ont t retenues a Nature des objets tudi s solide ou non Dans l exercice 1 nous avons propos un t tra dre qui est un solide usuel et dans l exercice 8 la repr sentation de deux plans s cants b Etre ou non l int rieur d un polygone Dans l exercice 1 les points I J et K sont l int rieur du triangle ABD les points I J et K sont l ext rieur du triangle BCD Les points J et K sont l int rieur du triangle ACD et I l int rieur du triangle ABC Dans l exercice 8 les points A et C sont l int rieur du parall logramme repr sentant P et l ext rieur du parall logramme repr sentant P le point B est l int rieur du parall logramme repr sentant P et l ext rieur du parall lo
362. rs travaux nous avons montr l importance de la fonction d exp rimentation que le dessin doit remplir dans la phase de r solution d un probl me en g om trie plane Dans le cadre th orique adopt deux domaines sont associ s au dessin en tant que mod le d un objet g om trique domaine de fonctionnement et domaine d interpr tation La fonction d exp rimentation d pend de ces deux domaines De plus partir de ces travaux nous avons soulign l importance de la r troaction perceptive pour cette fonction d exp rimentation Ceci nous a conduit fonder notre tude sur les hypoth ses de travail suivantes Hypoth se fonction d exp rimentation 1 L importance de la fonction d exp rimentation d un dessin dans la phase de r solution d un probl me est conditionn e par deux domaines associ s au dessin domaine de fonctionnement et domaine d interpr tation Chapitre A 51 Hypoth se fonction d exp rimentation 2 Le sujet mettra d autant mieux en oeuvre la fonction d exp rimentation du dessin qu il a la possibilit d appr hender et d interpr ter le dessin Sur papier crayon cette fonction d exp rimentation est limit e pour des raisons mat rielles li es au milieu B Capponi et C Laborde 1994 en ont cit certaines impr cision du trac impossibilit rendre temporairement invisible une partie du dessin limitation du nombre d l ments qu l on peut g rer Du fait du caract re sta
363. s 2 4 1 Partie cours 17 Brochure Geospace p 45 Dans cette partie sont propos s des activit s pr paratoires des propri t s g om triques des exemples et des exercices d application L utilisation des logiciels est sollicit e pour plusieurs exercices et activit s Une premi re diff rence avec les manuels classiques est l importance qu accordent les auteurs au probl me des figures dans l espace Apr s une pr sentation rapide de trois modes de repr sentation g om trie descriptive perspective conique et perspective cavali re les auteurs argumentent le choix de la perspective cavali re comme mode de repr sentation en math matiques par l une des fonctions de la figure savoir aide au raisonnement En math matiques la figure est utilis e en tant qu aide au raisonnement c est pourquoi la perspective cavali re en repr sentant des droites parall les par des droites parall les est essentiellement utilis e Math matiques avec Images Logiciels p 228 Ensuite ils proposent une activit avec l Imagiciel POLYBG 8 pour conjecturer deux propri t s de la perspective cavali re la conservation du parall lisme et la conservation du barycentre en particulier le milieu De m me les auteurs pr sentent deux conventions de la perspective cavali re permettant la repr sentation des objets de l espace La repr sentation d un plan par un parall logramme les auteurs pr sent
364. s D s 1987 ce sont les probl mes de construction effective avec solide qui sont largement repr sent s 47 sur 59 Ceci est une cons quence de la contrainte solide D s les ditions de 1987 les probl mes de construction effective avec solide et dont la t che est la construction d une intersection PCef AS intersect sont majoritaires 43 sur 47 Ils sont les seuls appara tre dans les ditions de 1991 Enfin dans les ditions de 1991 et 1994 o on peut consid rer qu il y a une stabilit et une tradition par rapport la vie des objets d enseignement dans les institutions manuels de Seconde et de Premi re seuls deux types de probl mes de construction sont propos s dans les manuels probl mes de construction effective avec solide et dont la t che est la construction d une intersection PCef AS intersect 50 et probl mes de construction effective sans solide et dont la t che est la construction d une intersection PCef SS intersect 7 Bien que nous n ayons pas fait une tude syst matique de tous les manuels de la p riode 1 tous les probl mes de construction que nous avons relev s dans les manuels de l poque sont des probl mes de construction voqu e sans solide et dont la t che est la construction d un objet sous conditions PCev SS Obj cond Donc on peut conclure que les probl mes de construction ont volu de probl mes de construction voqu e sans solide et dont la t
365. s de ce manuel d viter les cas particuliers c est dire faire un bon dessin de traduire toutes les hypoth ses soit par des relations spatiales soit en utilisant des marques typographiques Cette traduction d pend du domaine de fonctionnement du dessin Une fois le dessin r alis l l ve doit passer la phase dite heuristique mettant en jeu la fonction d exp rimentation du dessin C est la deuxi me tape propos e par les auteurs du manuel Transmath 36 gt DEUXI ME TAPE examiner la figure rep rer des figures cl s en tirer des cons quences imm diates Il ne s agit pas dans ce travail d expliciter toutes les cons quences des hypoth ses Mais il s agit sans se pr occuper encore de la conclusion de se livrer un travail pr paratoire indispensable Essayons de rep rer quelques figures cl s Elles pourront faire penser l utilisation de tel ou tel th or me Transmath 1995 p 232 Les figures cl s qui font penser un th or me sont d sign es dans des manuels par configurations Cette notion de configuration est utilis e pour d signer le couple dessin propri t o le dessin est une illustration de cette propri t Ainsi on parle de configuration de Thal s pour d signer le dessin ci dessous fig 5 De m me des configurations sont associ es des transformations translation avec parall logramme quart de tour avec carr A
366. s 70 Ceci explique le fait que chaque exercice a t analys selon le rapport institutionnel de l poque o il vivait et o l enseignant avait un tel rapport avec l objet exercice Ainsi les exercices du type PCey ont t analys s selon le rapport R1 Nous avons montr que c est plut t la d marche de r solution qui caract rise les probl mes de construction selon le rapport R1 pour cet enseignant Pour l enseignant E A on peut distinguer deux types d exercices de construction les exercices o la construction est syst matique et algorithmique Ici on pense qu il fait r f rence aux probl mes de construction actuels dont la t che est de construire l intersection de deux objets donn s selon les r gles d une construction effective les exercices o il faut construire un objet r pondant des conditions d incidence Dans ces exercices il y a le probl me d existence de l objet qui conduit souvent des discussions Quant la d marche de r solution on utilise souvent la d marche analyse synth se C est bien le type d exercices qui vivaient avant la r forme des math matiques modernes sous le rapport R1 Chapitre C3 b Probl mes de construction pour l enseignant E B Nous proc derons comme pour l enseignant E A 1 Cas d une construction voqu e pour un probl me de construction effective La production EP c a t rejet e pour les m mes raisons donn es par l enseignant E A
367. s R1 R2 et R3 cit es ci dessus En particulier pour les probl mes de construction d intersection d une droite avec un plan ou de deux plans celui ci doit respecter l un des sch mas ci dessus Donc il y a un aller retour entre les exigences du trac et de l algorithme Ainsi les manuels mettent l accent d une part sur la m thode g n rale selon les sch mas ci dessus et d autre part sur des techniques de trac qui d coulent de l algorithme Ces techniques sont joindre deux points et prolonger des segments repr sentant les droites Conclusion Les exigences de trac effectif la r gle et au compas dans les probl mes de construction en g om trie dans l espace n cessitent des algorithmes de construction sp cifiques caract risant les probl mes de construction effective 2 2 Conclusion Nous avons vu que pour les probl mes de construction de g om trie dans l espace on peut r aliser le programme de construction la r gle et au compas selon les m mes r gles que pour les probl mes de construction dans le plan Les objets de base restent point et droite et non droite et cercle Les r solutions propos es dans les manuels ne sont pas les m mes dans le cas des probl mes de construction du plan que dans l espace En effet nous avons montr dans le paragraphe 2 1 1 p 149 que pour le cas de la g om trie plane la d marche de r solution se fait par analyse synth se La premi re prend en charg
368. s de probl mes L objectif des probl mes de repr sentation propos s est la v rification de la coh rence du dessin par l utilisation des propri t s g om triques les r gles et les conventions de repr sentation de la perspective cavali re La r solution des exercices pour les probl mes de construction a amen les enseignants des mises en garde sur la lecture du dessin e le dessin est insuffisant pour conclure Il faut justifier comme dans le plan e deux droites dont les repr sentations sur le dessin sont parall les ne sont pas forc ment parall les dans l espace e le plan ne se limite pas sa repr sentation La r solution des exercices a permis aux enseignants une n gociation du contrat didactique en termes d exigences et de rejet quant la r solution des probl mes de construction effective e La construction de l intersection de deux plans se ram ne la construction de deux points de cette intersection selon le sch ma intersection de deux plans Chapitre C2 i p 163 e La construction de l intersection d une droite avec un plan se ram ne la construction de l intersection de deux droites selon les sch mas a ou b Chapitre C2 ii p 164 208 e Un point est un objet que l on construit comme intersection de deux droites La n gociation de ces l ments a t faite sous forme de rejet de propositions d l ves Le troisi me l ment du contrat a t n goci par
369. s de la g om trie dans l espace pour justifier leurs r ponses Il est noter que ces th or mes ne contredisent nullement les r gles d interpr tation puisque ces derni res ne sont que des illustrations des premiers On peut d duire qu il y a absence de conflits entre les connaissances g om triques et la lecture du dessin Cela ne peut que renforcer l usage de r gles d interpr tation La notion de coplanarit joue un r le important dans les probl mes d incidence de deux droites dans l espace Or le dessin ne peut tre informatif que si l on utilise d autres moyens de contr le bas s sur les r gles de la perspective cavali re comme c est le cas Chapitre B 119 pour l exercice 6 En effet c est le seul exercice de la s rie auquel on peut r pondre par le dessin par l utilisation de la r gle si l intersection de d avec A intersection des plans SAB et SCD est confondue avec l intersection de d et A alors les droites d et d sont s cantes Cette r gle n est pas annonc e dans le cours mais elle doit tre justifi e par l utilisation des propri t s d incidence L application de cette r gle n cessite la construction sur le dessin des intersections des plans SAB et SCD ce qui n est pas toujours possible Cette remarque montre que dans certains cas le dessin peut fournir une r ponse contr lable par les propri t s g om triques et les r gles de la perspective cavali re Il se trouve que l tude des ma
370. s de probl mes ne peuvent pas coexister dans l environnement papier crayon puisque chacun d eux n cessite un contrat diff rent par rapport aux productions d l ves Raisons de cette volution Pour expliquer les raisons de l volution des probl mes de construction dans l espace nous avons analys les programmes et les manuels lors des diff rents tats du programme au cours de la p riode 3 chapitre C2 L int r t de cette d marche est que l analyse faite entre le premier tat des programmes de la p riode 3 et le dernier tat des programmes o on a suppos une stabilit dans la vie des objets a permis de caract riser davantage l volution des probl mes de construction dans l espace et a mis en vidence les contraintes expliquant cette volution L analyse a montr qu apr s 1982 les deux types de probl mes se sont mis vivre dans certains manuels Mais sous les contraintes dessin et solide seuls les probl mes de construction effective ont r sist De plus ils ont pris une place importante dans les ditions de 1987 et 1990 Sous la contrainte dessin la production d un trac est devenue l enjeu du probl me de construction de g om trie dans l espace comme en g om trie plane En particulier le trac doit tre r alis selon un proc d de trac la r gle et au compas De plus ce dernier exige un algorithme de construction sp cifique caract risant les probl mes de construction ef
371. s droites de P sont d sign es par certains comme des bords du plan El ve A16 oui Justification D apr s la figure en perspective d est parall le deux des bords du plan P Comme une droite parall le une autre droite d un plan est parall le ce m me plan d P 108 Pour les justifications J10b aucun l ve n a justifi pourquoi d n est pas s cante avec P si ce n est que certains ont pr cis qu il n y a pas de point d intersection iii El ves ayant r pondu On ne peut rien dire Les r ponses du type J10g devraient tre consid r es comme les pr c dentes puisque nous pensons que l inclusion possible de d dans P tait tablie par le fait que le segment repr sentant d est parall le un c t du parall logramme repr sentant P 5 3 3 Synth se Bien que le nombre de r ponses justes on ne peut rien dire soit important dans le cas des exercices 3 4 5 9 et 11 le nombre de justifications justes ne d passe pas 30 Nous avons montr que la variable solide a privil gi des lectures sp cifiques du dessin En effet La majorit des justifications sont fond es sur une interpr tation selon laquelle la droite d est soit parall le au plan ABCD soit incluse dans ce plan Certains l ves ont consid r que la droite d de l exercice 9 peut tre dans les plans ABCD ou CDGH Le r gionnement de l espace par le cube a t mis en vidence par le fait que les
372. s entendu rapport de l enseignant l objet probl me de construction dans l espace R1 signifie rapport institutionnel l objet probl me de construction dans l espace dans l environnement papier crayon dans l institution enseignement secondaire avant la r forme des math matiques modernes R2 signifie rapport institutionnel l objet probl me de construction dans l espace dans l institution enseignement dans l enseignement actuel Chapitre C3 241 par la phase 1 L objet de la phase 2 est de reprendre certains de ces crit res permettant d tudier d une part le statut du dessin qui accompagne un nonc et d autre part les constructions effectives et voqu es selon le rapport R2 3 1 Choix des Exercices productions d l ves et analyse a priori Nous allons construire des exercices productions d l ves par un choix de certaines variables au niveau de l exercice et de la r ponse de l l ve Les variables retenues pour le choix des exercices sont nonc dessin ED nonc avec dessin ou non type de probl me construction effective ou voqu Les variables retenues pour le choix des productions sont trac l l ve a r alis ou non des trac s illustrant la construction discuter les diff rents cas ou non pour l existence de l objets ou des objets construire type de construction effective ou voqu e 3 1 1 Variables type de probl me type de constru
373. s la g om trie plane droite parall le plan droite perpendiculaire il faut avoir fait tout ce travail J aimerais bien pouvoir trouver un logiciel qui me fait a H Dans ce cas vous l utiliserez pour l introduction de la g om trie dans l espace E Oui je l utiliserais pour introduire Il va de soi maintenant dans les classes du lyc e on ne fait plus de cours magistraux c est fini donc pour les notions de bases sur les positions relatives de plans positions relatives de droites ca serait bien qu un logiciel permet d introduire a avec les notions de pointill s Autrement dit s il disposait d un logiciel permettant de g rer les l ments g om triques et les relations g om triques ainsi que les conventions de repr sentation comme la repr sentation des parties cach es par des pointill s alors il l utiliserait pour introduire la g om trie dans l espace 2 3 3 Productions Geospace a Activit GEO I Comme nous l avons dit dans l analyse a priori l enseignant E JC pense que cet exercice ne pr sente pas d int r t pour la mobilisation des propri t s g om triques Ainsi il attribue cet exercice comme objectif la ma trise du menu du logiciel E JC Donc l c est pour tester s ils ont bien compris le menu S il a appliqu le menu a ne veut pas dire qu il sait faire C est a l inconv nient avec ce syst me Avec Cabri on n aurait pas cette discus
374. s les discours de la noosph re Cela nous permet de r pondre la question 2 soulev e dans la conclusion du chapitre C1 L analyse des manuels est compl mentaire de celle des programmes En effet elle peut valider et affiner les r sultats de l analyse des programmes En particulier nous cherchons voir si au cours de la p riode 3 les probl mes de construction voqu e sont propos s galement par les manuels Cette question rejoint celle de la coexistence des probl mes de construction effective et probl mes de construction voqu e Cf Question 3 A 6 1 2 p 50 Ensuite nous proposons de r pondre la question 1 soulev e dans la conclusion du chapitre pr c dent sur l existence de crit res autres que ceux de construction effective et voqu e pour caract riser l volution des probl mes de construction ente les p riodes l et3 174 1 ANALYSE DES PROGRAMMES DEPUIS LA FIN DE LA REFORME DES MATHEMATIQUES MODERNES Nous entreprenons dans ce paragraphe l analyse de l volution des programmes au cours de la p riode 3 par rapport aux th mes suivants g om trie dans l espace dessin et probl mes de construction Cette tude a t faite travers les textes des programmes 1972 1982 1985 et 1990 L examen des programmes de 1972 nous permettra de rep rer s il y a une rupture dans les programmes par rapport ces th mes au cours de la r forme 1977 82 Notons que pour les classes de Premi re et Termin
375. s pour le choix des exercices nature de l objet tudi et interpr tations possibles quant aux positions relatives d une droite avec un plan Nous allons pr senter les exercices en nous int ressant d abord la premi re variable et ensuite pour chacun d eux nous pr ciserons le choix fait par rapport la deuxi me variable Chapitre B 81 3 2 1 Cas o les objets tudi s ne sont pas des solides Etant donn que le test propos par B Parzysz a confirm la r gle d interpr tation droite int plan 10 nous proposons d examiner les conjectures 2 et 3 relatives aux r gles d interpr tation respectivement droite plan et droite ext plan Il s agit des exercices 3 5 et 10 Dans les trois exercices nous avons repr sent un plan par un parall logramme a Exercice 3 Exercice 3 La droite d est elle s cante avec le plan P Nous avons repr sent la droite l aide d un segment ayant une extr mit l ext rieur y du parall logramme et une deuxi me extr mit l int rieur du parall logramme Les r ponses possibles R3a Oui parce qu un point de la droite appartient au plan R3b Non car sinon on aurait repr sent des pointill s R3c On ne peut rien dire puisqu il manque des informations Nous faisons l hypoth se que la r ponse R3a sera majoritaire Cette r ponse r v le l utilisation de la r gle d interpr tation droite sec plan Pour les r ponses du type R3c il
376. s pour le premier cycle ont entrepris de lutter contre un formalisme qui maltraitant l acquis intuitif des l ves isolerait la d marche p dagogique des r alit s de l exp rience et de l action Le pr sent programme est celui d une classe de Seconde pour tous il convenait de le pr server d une intervention artificielle de descriptions de structures Parce que les sciences exp rimentales la technologie ont pour base des mesures la g om trie de seconde est essentiellement m trique l gard de l espace parce que nous vivons dans un monde fait de solides elle comporte apr s celle de troisi me une tude franchement exp rimentale des relations entre droites et plans de l orthogonalit des valuations de distances et d angle tout d veloppement axiomatique ce propos est exclu Arr t du 26 janvier 1981 publication du CNDP pp 25 26 58 Ensuite les programmes de 1986 puis ceux de 1990 viennent s appuyer sur les pr c dents par rapport aux grandes lignes directrices Comme on peut noter dans la pr sentation du programme de la classe de seconde de 1990 Le programme qui suit conserve pour l essentiel les objectifs et la substance du programme pr c dent d fini par l arr t du 14 mars 1986 et publi au Bulletin officiel de l ducation nationale sp ciale n 1 du 5 f vrier 1987 Arr t du 25 avril 1990 publi au B O n 20 du 17 mai 1990 Ainsi les programmes de la classe de seconde de 19
377. s situations d enseignement surtout l cole primaire et au d but du coll ge le dessin est utilis comme mod le d un objet physique l axe 2 du Sch ma 1 Nous illustrerons les rapports entre le dessin et l objet physique qu il mod lise par l exemple suivant 22 fig 1 Ce dessin rend compte des ar tes et des sommets du cube Mais il ne tient pas compte des d formations ventuelles d une ar te du cube en tant qu objet physique puisque celle ci est repr sent e par un segment Dans l enseignement on utilise ce dessin comme mod le d un cube objet physique pour tudier des propri t s du cube en tant qu objet g om trique Ce dernier est lui m me un mod le de l objet physique On travaille selon les trois axes 1 2 et 3 du sch ma 1 Le dessin a donc plusieurs statuts dans l enseignement Comment ces statuts voluent ils au cours du cursus scolaire de l enseignement secondaire C est cette question que l on se propose de r pondre dans le prochain paragraphe 4 EVOLUTION DU STATUT DU DESSIN DANS L ENSEIGNEMENT ACTUEL Au cours du cycle 1 de l cole primaire l enfant manipule des objets physiques En particulier il doit se situer rep rer des objets par rapport soi ou par rapport des rep res fixes 3 Autrement dit l enfant travaille au niveau de l objet physique Au terme de l enseignement secondaire l l ve est amen travailler au niveau de l objet g om trique Le dessin v
378. s utilis es par les l ves ss 92 52 2 ANA YSE surement iii iesite EnaA tend lise dde seit less dite a sie 92 5 23 Synth ses tite hrs serein trieMrt rhin cle ar R ce dt r dati eue 94 5 3 Exercices proposant d tudier des positions relatives d une droite et d un plan 94 5 31 Cas o l objet tudi est un solide sise 94 553 2 Cas o les objets tudi s ne sont pas des solides sns ssnsssssessesseseesesstsersesstsersessestrsesssseeresssseseese 104 53 3 Synthese MR RSR nn UN EN RS A En SRE Re RE ia 109 5 4 Exercices proposant l tude des positions relatives de deux droites 110 5 4 1 Les justifications utilis es par les l ves ss 110 5 4 2 Analyse compar e des justifications utilis es pour les exercices 6 et 7 112 5 4 3 Conclusion chiirs lire a Eeee Se Mt rt nee UE OM enr Bi 115 6 SYNTHESE DES RESULTATS tn eee nt rte ren ten tn ETN een 115 6 1 R gionnement de l espace inner 118 6 2 Position relative d une droite par rapport un un plan ss 118 6 3 Position relative de deux droites entre elles ss 118 12 SGONCLUSION se nl na ne El Le EEE ee E A A ne Pile dE ne ee 119 Partie C EVOLUTION DES PROBLEMES DE CONSTRUCTION AU COURS DE CE SIECLE 124 L APREMIBRE PERIODE se te ee HAE ETSA a ee fn de nes 127 1 1 Cas de la g om trie plane sn 127 1 1 1 Les fonctions du dessin dans les probl mes de g om trie plane ss s senssssssessessessesesssseesessssesesse 128
379. selon des proportions variables 5 4 Exercices proposant l tude des positions relatives de deux droites Les r sultats relatifs aux exercices 6 et 7 sont pr sent s dans le tableau ci dessous Non T 67 Jo l3 is j lss Tableau 19 La r ponse majoritaire pour l exercice 6 est oui et celle pour l exercice 7 elle est on ne peut rien dire Dans un premier temps nous allons donner les justifications cod es utilis es par les l ves dans le cas des exercices 6 et 7 Ensuite nous examinerons les r ponses dominantes pour ces deux exercices Nous avons cod les justifications par deux lettres et un chiffre la premi re lettre est J d signant justification La deuxi me est O pour les r ponses oui N pour les r ponses non R pour les r ponses on ne peut rien dire Enfin un chiffre num rote les justifications 5 4 1 Les justifications utilis es par les l ves 110 a Les justifications utilis es pour les r ponses oui JO1 d et d sont s cantes car elles sont incluses dans deux plans s cants Certains l ves ont justifi que les plans SAB et SCD sont s cants El ve A10 oui Justification Les plans SAB et SCD qui soutiennent d et d ne sont pas parall les ni confondus elles sont donc obligatoirement s cantes puisqu elles font partie de ces plans JO2 En prolongeant les droites on voit qu elles sont s cantes A priori nous pensons qu un l ve ayant utilis
380. sion Nous avons relev des variations entre les manuels propos d un type d exercice pour des ditions de la m me ann e Cette variation est due au moins aux facteurs suivants La premi re dition d un manuel pr sente des diff rences par rapport aux manuels existants relatives la vie de certains objets d enseignement Par exemple Dimath me en 1982 puis Terracher et Transmath en 1986 Pour les ditions de 1982 nous avons constat des diff rences entre les manuels par rapport aux types de probl mes propos s Ceci est une cons quence de la rupture pr sent e par les programmes de 1982 En effet les programmes de 1982 pr sentent de nouvelles orientations directives de nouveaux objets de nouvelles interrelations entre objets etc Donc selon que les auteurs adh rent ou non aux nouvelles orientations et directives des programmes officiels suivant la fa on dont ils les ont interpr t es les objets connaissent des existences diverses selon les manuels Cependant dans les ditions qui suivent il y a une convergence entre les manuels et il se met en place une tradition Lorsque l institution programmes d finit pour deux classes les m mes objectifs ou des objectifs compl mentaires propos des objets de savoir le d coupage sur le contenu d enseignement propos de ces objets pour les deux classes peut varier d un manuel un autre Ces diff rences entre les manuels ont t relev es essentiellem
381. sion l Avec Cabri 1 quand je fais un cube je leur donne des points il faut que l l ve fasse toute la d marche pour trouver I L enseignant critique les environnements ayant dans des menus des primitives intersection droite plan ou intersection plan plan En effet dans ce cas l l ve ne Chapitre D2 319 320 fait pas toute la d marche au sens de construction effective avec la seule primitive intersection droite droite comme il l a explicit ci dessous en pr cisant qu un point ne peut tre obtenu que comme intersection de deux droites Cependant avec Geospace il faut autoriser la seule primitive intersection de deux droites et ensuite utiliser la primitive intersection d une droite avec un plan comme moyen de validation de la construction H Proposerez vous cet exercice avec ce logiciel E JC Dans ce cas je ne formulerais pas l exercice comme a Je marquerais construire les l ments qui conduisent l intersection Parce que pour moi les l ves me donnent le point comme intersection de deux droites Des fois quand je travaille sur Cabri en g om trie dans l espace je leur disais tracez les droites qui conduisent l intersection C est ce que je ferai ici avec G ospace et ensuite on utilisera le menu intersection d une droite avec un plan pour v rifier la construction de voir si c est le m me L exercice serait l complet Sinon l l ve n aura rien compris b Activit
382. sont sur le m me dessin ne nous ont pas permis de d gager d autres r gles d interpr tation possible Nous formulons cependant des conjectures Conjecture 2 Interpr tation droite plan Soit un parall logramme repr sentant un plan D a Un segment parall le un segment Fr Z 4 les Fr a Fr a n repr sent l int rieur du parall logramme sera interpr t comme droite parall le au plan fig 20 Chapitre B 75 b Un segment parall le un des c t s du parall logramme est interpr t comme une droite parall le ce plan Dans ce cas les c t s du parall logramme sont consid r s comme des droites du plan fig 21 La droite D3 fig 13 tant repr sent e par un segment parall le un c t du parall logramme repr sentant le plan P doit induire chez les l ves selon notre hypoth se r gle d interpr tation droite plan cas b que la droite D3 est parall le au plan P Il aurait donc t int ressant qu une question ait port sur le parall lisme Conjecture 3 Interpr tation droite ext plan Soit un parall logramme repr sentant un plan L absence de pointill s sur la repr sentation d une droite ext rieure au parall logramme peut induire que la droite n est pas s cante avec ce plan LL L fig 22 Conjecture 4 Interpr tation droite sec plan Soit un parall logramme repr sentant un plan Si un segment repr senta
383. ssin pour une repr sentation graphique de cette figure Il examine les cas de la g om trie plane et de la g om trie dans l espace nous y reviendrons dans la suite Laborde et Capponi 1994 pp 168 169 reprennent cette distinction entre dessin figure et objet g om trique en se pla ant dans le triangle r f rent signifiant signifi En tant qu entit mat rielle sur un support le dessin peut tre consid r comme un signifiant d un r f rent th orique objet d une th orie g om trique comme celle de la g om trie euclidienne ou de la g om trie projective La figure g om trique consiste en l appariement d un r f rent donn tous ses dessins elle est alors Chapitre A 17 d finie comme l ensemble des couples form s de deux termes le premier terme tant le r f rent le deuxi me tant un des dessins qui le repr sente le deuxi me terme tant pris dans l univers de tous les dessins possibles du r f rent Le terme figure g om trique renvoie dans cette acception l tablissement d une relation entre un objet g om trique et ses repr sentations possibles Dans cette approche les rapports entre un dessin et son r f rent construits par un sujet lecteur ou producteur du dessin constituent le signifi de la figure g om trique associ pour ce sujet Ce signifi correspond ce que Fishbein 1993 appelle figural concept Dans cette distinction les auteurs n voquent pas le mond
384. ssin de l espace L enseignement fait appel d une part des conventions et d autre part des repr sentations types pour exprimer des propri t s g om triques qui ne peuvent pas tre traduites en des propri t s spatiales sur le dessin afin d largir le domaine de fonctionnement du dessin Dans le chapitre B nous avons valid l hypoth se de recherche Convention Les conventions de repr sentation de la perspective cavali re deviennent des r gles d interpr tation d un dessin chez les l ves Pour cela nous avons repris et modifi un questionnaire propos par Parzysz notamment en exigeant des l ves de fournir des justifications pour leur r ponses Dans ce questionnaire les l ves devaient r pondre des questions portant sur des propri t s d incidence partir du seul dessin qui leur tait fourni L analyse a montr que les justifications bas es uniquement sur l vidence de la perception sont minoritaires Les justifications utilisent des propri t s g om triques sous un contr le perceptif et certaines tapes se limitent une simple lecture du dessin par l utilisation d une r gle d interpr tation De plus nous avons montr qu il y a une absence de conflits entre les connaissances g om triques et la lecture du dessin puisque les conventions et les repr sentations types sont des illustrations des propri t s g om triques Cela ne peut que renforcer l usage des r gles d interpr tation
385. st elle parall le au plan AECH Exercice 9 Exercice 11 H E La droite d est elle dans le plan ABCD La droite d est elle dans le plan ABCD Dans les exercices 4 9 et 11 il s agit de dire si une droite d est dans le plan d fini par la face frontale avant du cube Nous avons fait varier la position du segment repr sentant la droite par rapport au cube c Exercice 2 Les r ponses attendues sont R2a Non car d n est parall le aucune droite du plan C est une cons quence de la r gle d interpr tation droite plan R2b Non d est dans le plan ABCD Nous avons fait l hypoth se que dans ce cas certaines r gions du plan de repr sentation feuille de papier sont consid r es dans le plan de la face frontale Chapitre B 85 R2c Non car d n est pas verticale Dans ce cas nous pensons que pour les l ves seules les droites EHGF et ACHE R2d On ne peut rien dire car il manque des informations verticales sont parall les aux plans verticaux ABCD BDGF Nous cherchons voir dans quelle mesure la variable solide influence le type de justification Comme nous faisons l hypoth se que la majorit des r ponses sera non sans tenir compte de la variable solide nous supposons que la r ponse majoritaire sera du type R2a d Exercices 4 9 et 11 La variable est le r gionnement de l espace par un cube pr sent ci dessus Nous faisons l hypoth se que pour l exe
386. st possible et dans chaque cas de pr ciser le nombre de figures r pondant la question solutions Chapitre C1 133 Dans le manuel M2 p 130 on retrouve une description analogue de cette m thode De plus l auteur explique comment utiliser cette m thode dans les probl mes de construction g om trique 79 Voici comment on applique cette m thode 1 Si les constructions faire n apparaissent pas d une fa on vidente supposer le probl me r solu c est dire consid rer une figure de m me nalure que celle qu on veut construire el chercher d apr s les donn es du probl me des propri t s de la figure qui permettent d effectuer la construction demand e o une autre construction d o lon puisse facilement d duire la construction demand e Pour celte recherche il importe de choisir judicieusement l l ment que l on placera le premier l ment de base sur lequel s appuiera en quelque sorte la construction C est par rapport cet l ment de base que l on recherchera les lieux g om triques qui d terminent les points construire Sur l l ment de base effectuer si cela est n cessaire les constructions auxiliaires destin es rapprocher les l ments connus pour obtenir une figure interm diaire qu on puisse construire avec ces l ments voir ci dessous n 79 b dans lequel AC a t pris comme l ment de base 2 Construire en utilisant les r sultats trouv s l
387. suivantes e Elle n utilise aucun trac arbitraire Autrement dit toutes les constructions l mentaires sont bas es sur les primitives du logiciel e L algorithme utilis se traduirait sur papier crayon par l utilisation d une r gle d usage e La solution ne pr sente aucun int r t par rapport la mise en oeuvre des propri t s d incidence i Enonc ABCDEFGH est un cube K est un point du plan ABC J est un point du plan FGH Construire l intersection de la droite JK avec le plan ADE ii Production A l aide de la primitive intersection droite plan on construit le point d intersection iii Figure pr sent e 1 3 2 Activit GEO 2 C est un probl me de construction voqu e La production a les caract ristiques suivantes e Elle n utilise que les primitives papier crayon e Choix arbitraire d une position d un point de fa on perceptive i Enonc Soit P un plan d une droite s cante P et E un point n appartenant ni d ni P Construire une droite passant par E s cante d et parall le P ii Production Choix d une figure de base Plan ABCD qu on notera P Cr er deux points libres M et N Cr er la droite d passant par M et N Cr er un point libre E Cr er une droite parall le d passant par E qu on notera X Cr er un point J sur la droite X D placer le point J de fa on perceptive jusqu au d but des pointill s D I ON 1 RA
388. t e dans l nonc ne peut pas se faire seulement sous forme d une relation spatiale Mais il est n cessaire de faire appel des marques typographiques puisque l l ve ne peut pas consid rer les relations lues sur le dessin comme hypoth ses Nous la consid rons comme une hypoth se sur le contrat actuel Par exemple dans le cas de la figure fig 3 il est l gitime que l l ve consid re que la droite A est perpendiculaire au segment BC alors que ce ne l est pas dans le cas de la figure fig 2 8 En revanche celles ci peuvent induire des conjectures Chapitre A 33 fig 2 fig 3 Moyen pour rendre visible la figure ou une sous figure pertinente pour la r solution Un dessin est donn de fa on ce que l appr hension perceptive ne soit pas un obstacle pour la r solution de probl me Et plus pr cis ment le dessin est suppos faciliter chez l l ve l extraction de sous figures pertinentes pour la r solution de probl me Consid rons l exercice ci dessous du manuel Terracher Seconde 1995 n 62 p 298 Un triangle ABC I J et K les milieux des c t s un point M quelconque et ses sym triques P Q et R par rapport I J et K telles sont les donn es de l exercice Il s agit alors de montrer que les segments AP BQ et CR ont le m me milieu Etudier les quadrilat res mis en vidence dans la figure est une indication de l auteur pour les l ves Elle veut attirer l at
389. t 1995 pour avoir un rapport institutionnel plus stable 21 Ce qui correspond au premier tat du syst me Es fig 11 p 61 148 2 1 R solution des probl mes de construction travers les manuels Nous nous situons au niveau des classes Seconde et Premi re pour analyser la r solution des probl mes de construction En effet les probl mes de construction en g om trie dans l espace sont tudi s dans ces deux classes La structure des manuels a chang au cours de ce si cle Pendant la p riode 3 les chapitres des manuels du lyc e se composent de quatre parties 22 Activit s pr paratoires ces activit s ont pour objectif d introduire une nouvelle notion de mettre en vidence sur des exemples des propri t s de rappeler des notions d j tudi es qui seront des pr requis Cours cette partie prend en charge les diff rents nonc s d finitions th or mes propri t s retenir Certains nonc s sont d montr s et illustr s par des exemples Travaux pratiques ce sont des exercices r solus autours des th mes d finis dans les programmes Les r solutions sont souvent accompagn es de commentaires ou de m thodes Exercices ils sont regroup s par cat gories Comme nous l avons dit plus haut nous nous int ressons la r solution des probl mes de construction dans l enseignement actuel et aux fonctions du dessin dans cette r solution Une des fonctions des travaux pratiques est
390. t ce qu on appelle la discussion du probl me Comme on peut le voir cette d finition est proche de celle qu on peut trouver dans la sph re savante Cette d finition met en avant une partie importante du probl me qui consiste tudier l existence d une solution ce qui am ne la discussion du probl me Dans les manuels de l poque le travail sur le dessin est absent de la d marche de r solution des probl mes 1 2 Cas de la g om trie dans l espace 1 2 1 Analyse des manuels Dans plusieurs manuels les auteurs commentent dans la pr face l esprit du programme et leurs positions par rapport aux notions trait es Certains auteurs voquent le probl me de la repr sentation des figures de l espace Une des difficult s essentielles pour les d butants est la repr sentation des figures de l espace Les conventions g n ralement adopt es se r v lent souvent insuffisantes et il reste un gros effort d imagination pour r aliser une vision nette de ces figures Certains de nos coll gues ont mis dans le commerce un mat riel fort simple de mod les en carton avec udjonction de tiges de m tal cela est tr s recommandable et chacun peut r aliser ainsi la plupart des figures de ce cours On nous permettra de souhaiter que dans un enseignement moderne une place soit faite la vision st r oscopique sous la forme bien connue des anaglyphes ou toute autre pr sentation L introduction de notions de g om trie cot e p
391. t incluse dans le plan donc la droite d aussi Ainsi les droites d d et JK sont incluses dans le plan Q est donc parall le au plan P Dans le plan JK est s cante avec d et est parall le JK donc A est s cante avec d et elle est parall le au plan P Cette solution montre l existence de la droite A De plus elle donne les diff rentes tapes pour obtenir d partir des l ments de d part partir d un raisonnement d ductif Cependant les points J et K sont plac s de fa on arbitraire 7 17 Mais dans un espace r duit savoir l int rieur du parall logramme Chapitre C1 143 fig 37 Solution S2P1 Consid rons le plan Q d fini par le point A et la droite d Les plans P et Q sont s cants selon une droite d puisque d est s cante P et que A n appartient pas P Dans le plan Q le point A n appartient pas d donc il existe une seule droite A passant par A et parall le d donc parall le P Elle est s cante avec d fig 38 Comme pour la solution S1P1 cette solution montre l existence de la droite A en donnant les diff rentes tapes qui permettent d obtenir A partir des l ments de d part et d un raisonnement d ductif Quant au dessin il faut noter le trac de la droite d de fa on arbitraire Ainsi la solution S1P1 du probl me 1 utilise la r gle d usage RU P D et la solution S2P1 utilise la r gle RU P P 144 1 2 4 G om trie
392. t marqu l endroit o les repr sentations des droites D3 et A sont s cantes ce qui inciterait davantage les l ves lire que les droites sont s cantes selon l hypoth se C droites s cantes Ce qui a t confirm par les r sultats 96 des r ponses Pour D4 aucun accent n a t mis sur l endroit o les repr sentations des droites sont s cantes et le nombre d l ves ayant r pondu que D4 8 B Parzysz 1989 p 279 Chapitre B 73 est s cante avec A est nettement inf rieur celui du cas de D3 Nous rejoignons l explication de l auteur selon laquelle la lecture de D4 se fait par rapport celle de D3 IL est graphiquement manifeste que D3 coupe A gros point mais ce n est pas le cas pour D4 aucun signe au point d intersection des repr sentations Par cons quent peut se dire le lecteur le cas de D4 est distinguer de celui de D3 c est donc que D4 n est pas s cante Et comme manifestement elle ne peut tre parall le l l ve se reporte alors sur la seule solution restante B Parzysz 1989 p 280 Enfin pour la droite D1 61 des l ves ont r pondu juste le dessin ne permet pas de r pondre mais peut tre pour une raison erron e 1 2 Conclusion a R gionnement de l espace La premi re situation a mis en vidence deux r gles d interpr tation relatives un r gionnement d fini par le parall logramme repr sentant un plan int plan et ext plan
393. t que pendant cette premi re partie les enseignants commentaient les exercices non seulement en tant que sujets de l institution enseignement secondaire mais aussi en tant que sujets d autres institutions personne qui fait des math matiques pour E B ou manuels d avant la r forme des math matiques modernes pour E A Ces rapports personnels sont diff rents entre eux et diff rents du rapport institutionnel R2 Dans la deuxi me partie devant les productions d l ves qu ils devaient valuer ils ont manifest des rapports conformes au rapport institutionnel aux probl mes de construction dans l institution classes de Seconde et Premi re de l enseignement fran ais actuel A nsi nous avons mis en vidence quatre crit res pour que les productions d l ves soient conformes aux attentes de l enseignant faire appara tre la strat gie adopt e argumenter discuter les diff rents cas si le dessin n est pas donn et la construction doit tre effective 3 MISE EN PLACE ET ANALYSE DE LA PHASE 2 Dans la phase 1 nous avons montr que devant les productions d l ves les enseignants ont analys les productions d l ves selon des attentes conformes au rapport R2 Certains crit res de ce rapport R2 ont t d gag s d abord dans le chapitre C2 et ensuite 12 Ces deux tapes ont t explicit es dans le paragraphe principe et mise en place de la phase 3 13 chaque fois qu on crira rapport il sera sou
394. t volume 4 Pyramide et c ne de r volution section par un plan parall le la base idem 1982 Mise en relation avec les autres parties du programme Propri t s d incidence comme en seconde puis lien avec le vectoriel Espace vectoriel hors programme Action des transformations sur les configurations usuelles de l espace Tableau 25 Cf 1985 Cf 1985 partir de l tude des objets usuels Etude de droites et plans Propri t s d incidence Orthogonalit Projection sur un plan Poursuite de l tude des objets et configurations simples de l espace Propri t s d incidence Notion de vecteurs Barycentre Ma trise des objets usuels d j tudi s Transformations l mentaires leur action sur les configurations usuelles Produit vectoriel Barycentre Soulignons d abord qu au coll ge la g om trie dans l espace passe de l observation d objets physiques et la mise en place de vocabulaire g om trique au niveau Sixi me et Cinqui me 1982 l tude de solides et l tude de situations mettant en oeuvre des notions de parall lisme et d orthogonalit partir de l tude des solides 1985 nos jours De plus la g om trie dans l espace est au programme des diff rentes classes du coll ge 178 Au lyc e les programmes ont nettement chang au cours de cette p riode Dans les programmes de 1982 l tude des solides est absente i
395. tend une solution du type suivant 4 D terminons l intersection des plans KLM et ABCD Comme les deux plans ne sont pas parall les leur intersection est une droite Pour cela il faut d terminer deux points communs aux deux plans etc De m me pour la production EP b il la caract rise comme recette de cuisine pour l absence de strat gie 13 citation ci dessus 14 Nous traiterons le cas de la production EP a 232 1 24 E A Alors c est la m me chose le dessin moi j ai du mal accepter ce genre de r daction a fait recette de cuisine on sait pas du tout pourquoi il fait a Alors aussi la strat gie rien Enfin pour la production EP c il remarque que l l ve a donn uniquement la strat gie et que la m thode est esquiss e 1 26 E A Disons la m thode est esquiss e Je prends un plan contenant 1J Et bien entendu il manque l algorithme de construction b Crit re C2 Justification Pour la production EP b l enseignant a voqu deux crit res strat gie et argumentation 1 24E A Alors c est la m me chose le dessin moi j ai du mal accepter ce genre de r daction a fait recette de cuisine on sait pas du tout pourquoi il fait a Alors aussi la strat gie rien On ne sait pas pourquoi O c est l intersection Pourquoi a marche Voil c est dire il n y a pas d argumentation il y a une succession c est parce qu il a fait 10 fo
396. tention des l ves sur les sous figures parall logrammes AMCQ MBPC ARBM D autant plus que dans le manuel les parall logrammes ont des int rieurs de diff rentes couleurs Cet exercice a t propos deux classes de Premi re Dans une classe le dessin et l indication n ont pas t donn s Il a t constat que tous les l ves ont plac le point M l ext rieur du triangle ABC fig 4 l exception d un l ve Sur 33 l ves de cette classe un seul a r ussi l exercice en utilisant l outil configuration Dans l autre 9 Dans un travail de recherche en cours sur les vecteurs dans l enseignement secondaire par M Bittar quipe EIAH LEIBNIZ Grenoble 10 Cela devrait tre pr visible tant donn qu un point quelconque n a pas tre l int rieur du triangle 34 classe le dessin et l indication n ont pas t donn s mais l nonc pr cisait que le point M est l int rieur du triangle ABC 15 l ves sur 29 de cette classe ont r ussi l exercice par l outil configuration AT LUN fig 4 Comme le montre le dessin fig 4 lorsque M est l ext rieur du triangle les trois parall logrammes AMCQ MBPC et ARBM se chevauchent Et donc le dessin ne montre pas ces sous figures pertinentes pour la r solution du probl me Cela peut expliquer pourquoi le dessin accompagne l nonc dans le manuel Terracher b Fonctions du dessin dans la r solution Les travaux pr
397. tersection avec ABCD Les auteurs p 161 proposent deux choix possibles pour le plan auxiliaire Le plan auxiliaire est le plan GMN Le point I est l intersection de MN avec A intersection des plans GMN et ABCD Le plan auxiliaire est le plan parall le AF passant par M et N A est l intersection de ce plan et de ABCD Le point I est l intersection de MN avec A 2 Comment tracer l intersection D de deux plans L et P La m thode propos e p 162 est Il suffit de trouver deux points de D On peut obtenir un point de D en construisant l intersection de L avec une droite de P un point de D et sa direction en pratique une droite parall le D c Manuel D clic Pour les probl mes de construction les auteurs proposent deux th mes en travaux pratiques la construction de l intersection d une droite et d un plan et la construction d une section plane Les deux th mes proposent des m thodes g n rales illustr es par des exemples 160 La m thode pour la construction de l intersection d une droite et d un plan propos e par les auteurs p 144 est m thode La droite D n est pas parall le au plan P e On choisit un plan Q contenant la droite D et tel que l on puisse construire la droite A intersection de ce plan Q avec le plan P On cherche dans le plan Q le point d intersection I des deux droites D et A I est alors le point d intersection de la droite D et du plan P
398. tes 6 Tableau 46 choix des exercices production p 295 302 papier crayon on peut valider le proc d de construction par les moyens offerts par le logiciel Geospace Validation par d placement Validation par Historique ou Rappel Rappel donne la liste des objets construits dans l ordre o ils ont t cr es avec leur nom et leur d finition Historique permet de suivre pas pas les constructions effectu es Validation par les primitives g om triques quand c est possible Pour les enseignants ayant utilis le logiciel Geospace nous nous int resserons d abord aux moyens qu ils utiliseront pour valuer la construction En particulier Feraient ils appel l historique de la construction Rappel ou Historique C est le seul moyen d acc der au proc d de construction Valideraient ils la construction par d placement L enseignant peut utiliser le d placement comme un premier moyen de validation de la construction Cela permet d liminer les constructions faites de fa on perceptive comme le cas de l activit GEO Feront ils appel aux primitives g om triques Dans le cas o l enseignant ne mobilise pas ces moyens de validation nous lui pr senterons l historique et si n cessaire d autres moyens de validation a Activit GEO I Les moyens de validation possibles Par le dessin repr sent sur l cran il est difficile d en tirer des informations puisque seuls les tr
399. tiellement influenc leur r ponse relative la suite du questionnaire Pour notre analyse nous ne tiendrons pas compte de ces remarques Nous proposons de comparer les r ponses majoritaires par rapport aux r ponses attendues dans l analyse a priori pour l ensemble des items 13 65 r ponses O R sans justifications sur 561 r ponses O R 14 il restait une trace sur la copie 90 Tableau 7 De ce tableau nous tirons les remarques suivantes 1 Les r ponses majoritaires repr sentent au moins 70 des r ponses l exception des items ex1 ex2 et ex5 o le nombre de r ponses majoritaires varie entre 50 et 70 2 les r ponses sont conformes celles attendues uniquement pour les trois items ex2 ex6 et ex10 3 Les r ponses majoritaires sont celles attendues ou bien celles qui sont correctes De plus le pourcentage des r ponses ne correspondant ni celles attendues Rat ni celles qui sont correctes R cor est tr s faible entre 1 et 10 sauf pour les exercices 1 et 6 Pour mieux comprendre il est n cessaire d examiner les justifications En effet comme on le verra dans l analyse ci dessous en analysant les justifications deux r ponses diff rentes pour un m me exercice par deux l ves peuvent avoir la m me origine De m me certaines r ponses justes seront accompagn es de justifications fausses Cela montre dans ce cas que le recueil des donn es des tableaux est insuffisant pour
400. tion d un environnement informatique et d autre part le volume horaire qui est consacr par rapport la progression Ceci nous permettra de d terminer l impact du temps d utilisation sur l volution du rapport de l enseignant l objet de savoir probl me de construction dans l espace Objectifs on veut conna tre les objectifs de l utilisation d un tel environnement et ce qu il apporte de plus l enseignant que les situations papier crayon Place dans la progression il s agit de savoir si l utilisation d un tel environnement est un moment singulier dans la p riode o l enseignant traite de la g om trie dans l espace ou au contraire si l environnement est utilis diff rents moments de la progression Types de probl mes et organisation de la s ance L objectif de cette rubrique est de savoir s il y a des activit s sp cifiques pour l environnement informatique et d autres r serv es au papier crayon ou si ce sont les m mes activit s mais avec des diff rences au niveau de la gestion ou de la nature des questions pos es 1 3 Partie 3 Productions GEOESPACE Nous avons propos trois activit s accompagn es de productions d l ves sous forme d un dessin ei enregistr dans un fichier comme une trace du travail de l l ve dans l environnement Geospace 1 3 1 Activit GEO 1 C est un probl me de construction effective qui est conforme aux pratiques des manuels La production a les caract ristiques
401. tion des objets de l espace 3 1 Pr sentation du prototype Cabri 3D est un environnement informatique pour la g om trie dans l espace d velopp au sein de l quipe EIAH2 Grenoble Sa conception s inscrit dans la philosophie du logiciel Cabri II En particulier par l importance accord e la manipulation directe et un choix de menus le plus large possible Pour la conception du logiciel l auteur a t confront des choix relatifs l interface Notons que ces questions sont toujours d actualit et que chacune d elles n cessite une tude didactique sp cifique Notre travail peut tre une premi re contribution cette tude Tout d abord pr sentons l environnement dans son tat actuel 20 Ce logiciel est d velopp dans le cadre d une recherche men e par S Qasem 21 Environnements Informatiques d Apprentissage Humain quipe de recherche au sein du laboratoire Leibniz IMAG universit Joseph Fourier Grenoble 22 voir 286 Un rep re orthonorm repr sent est consid r comme une r f rence pour placer les objets fig 76 Chaque point tant rep r par ces coordonn es x y z dans ce rep re Ces coordonn es sont affich es d s que le point est saisi fig 77 De plus un segment en pointill est repr sent indiquant la cote amp Fichier dition Cr ation Constructions Aspect des Objets Divers x 14 72 234 z 14 EL Pi Sans Titre
402. tique Nous distinguons deux types de r troactions perceptives ou sous forme de messages Par r troactions perceptives nous entendons toute information spatiale pouvant tre lue sur le dessin Elles sont des r ponses deux types d actions du sujet utilisation des primitives g om triques et manipulation directe Par r troactions messages nous d signons tout message envoy par l environnement sous forme de texte en r ponses une action du sujet Nous nous int ressons seulement aux r troactions relatives au contenu Par exemple en demandant l intersection de deux droites parall les l environnement peut envoyer le message ces droites sont parall les Ces deux types de r troactions perceptives et par des messages d pendent de trois p les manipulation directe primitives g om triques et choix de repr sentation fig 65 Manipulation directe Choix de repr sentation Primitives g om triques 1 a 5 R troactions R troactions par perceptives des messages fig 65 Le p le choix de repr sentation concerne les choix du concepteur pour repr senter les objets g om triques Par exemple dans le cas de la g om trie dans l espace des choix peuvent tre relatifs au mode de repr sentation perspective cavali re ou autre l utilisation ou non des repr sentations types Chapitre A l ombrage l opacit des objets etc Nous proposons d examiner les deux
403. tique Pour notre tude nous prenons comme hypoth se de travail que le rapport institutionnel peut tre approch par l analyse des programmes et des manuels Cette approche nous permette alors d identifier les fonctions des objets dessin probl me de construction et les interrelations possibles entre eux dans l institution enseignement secondaire un moment donn Mais ceci nous ne serions pas renseign s sur d autres interrelations possibles entre ces objets ayant pu exister ou pouvant exister et sous quelles conditions ou encore sur le pourquoi de ce type d interrelation Sur ce point nous rejoignons Chevallard 1994 p 145 qui affirme que pour chaque question une tude sp cifique s av re n cessaire Pour d terminer d autres interrelations ayant pu exister dans l institution on peut examiner le rapport institutionnel de ces objets et de leur interrelation dans l institution enseignement secondaire mais une autre poque D autant plus que comme nous l avons vu le dessin n a pas la m me place dans l enseignement avant pendant et apr s la r forme des math matiques modernes Une tude de la vie de ces objets et de leur interrelation travers diverses p riodes nous semble donc un moyen pertinent pour r pondre aux questions Pourquoi a t on ce type d interrelation et y a t il d autres interrelations possibles Pour cela nous proposons un mod le partir duquel nous pr senterons notre m thodolo
404. tique il y a des relations spatiales du dessin qui ne sont pas pertinentes pour le probl me alors que d autres le sont Et sur le dessin statique il est difficile de les distinguer Hypoth se fonction d exp rimentation 3 La fonction d exp rimentation du dessin papier crayon est limit e pour des raisons mat rielles Nous consid rons les trois hypoth ses ci dessus comme hypoth ses de travail en ce qui concerne la fonction d exp rimentation du dessin en tant que mod le d un objet g om trique du plan ou de l espace Certains environnement informatiques par la gestion du dessin sur l cran offrent celui ci un domaine de fonctionnement plus important et disqualifier les interpr tations illicites Laborde et Capponi 1994 C est le cas de l environnement informatique Cabri g om tre 5 qui permet de cr er des r alit s spatio graphiques 6 d objets g om triques l aide de commandes exprim es en termes de primitives g om triques droite perpendiculaire m diatrice de milieu de Ces dessins l cran de l ordinateur peuvent tre saisis par l un de leurs l ments que l on d place l aide de la souris le dessin se d forme alors en conservant les propri t s g om triques qui ont servi le construire et celles qui en d coulent dans une g om trie grosso modo euclidienne Laborde et Capponi 1995 p 265 Ces caract ristiques de l environnement Cabri g m tre permettent d
405. tiques Recherches en Didactiques des Math matiques 9 3 337 364 LAUR P NOIRFALISE R 1991 Une introduction la perspective cavali re en classe de 6m Observation didactique de premi res activit s Petit x 28 5 17 LEBESGUE H 1950 Le ons sur les constructions g om triques Paris Gauthier Villards MARION J 1983 Probl mes de constructions g om triques et enseignement de la g om trie Bulletin Inter Irem Enseignement de la g om trie 23 25 27 MERCIER A TONNELLE J 1992 Autour de l enseignement de la g om trie au coll ge deuxi me partie Petit x 29 15 56 PARZYSZ B 1988 Knowing vs Seeing Problems of the plane representation of space geometry figures Educational Studies in Mathematics 19 1 79 92 PIAGET INHELDER 1947 La repr sentation de l espace chez l enfant 1977 Paris PUF PLUVINAGE F 1989 Aspects multidimensionnels du raisonnement g om trique Annales de Didactique et de Sciences cognitives 2 5 24 SALIN M H BERTHELOT R 1994 Ph nom nes li s l insertion de situations adidactiques dans l enseignement l mentaire de la g om trie In Artigue M Gras R Laborde C Tavignot P eds Vingt ans de didactique des math matiques en France pp 275 82 Grenoble La Pens e Sauvage SINACEUR H 1991 La dialectique de l espace selon Ferdinand Gonseth in Actes du 8 me colloque Inter IREM Epist mologie et Histoire des Math matiques Lyon IREM de Lyon
406. tiques actuelles et donc ils ne devraient pas tre rejet s par les enseignants Nous nous sommes appuy s en partie sur les r sultats des observations de classes pour concevoir ces r ponses Nous cherchons d terminer les exigences de ces enseignants par rapport aux productions d l ves des exercices du type PCef En particulier on cherche tudier ou valider les hypoth ses suivantes Hypoth se Discussion si le dessin accompagne l nonc il n est pas n cessaire de discuter les diff rents cas Hypoth se Justification le proc d de construction doit tre justifi Hypoth se Dessin l l ve doit fournir un dessin dans sa production Hypoth se Construction Une construction voqu e est rejet e Nous avons ainsi retenu les variables suivantes pour le choix des productions Trac la production est accompagn e ou non d un dessin illustrant l nonc et avec ventuellement des trac s auxiliaires Discuter les diff rents cas cette variable est li e une variable relative l nonc savoir si l nonc est accompagn d un dessin ou non Type de construction Construction effective ou construction voqu e Les caract ristiques de chaque exercice sont rappel es dans ce tableau Exercice Exercice 3 Exercice 5 Exercice 5 avec dessin sans dessin sans dessin Spam fe fe fe M CE CE CE Tableau 36 Caract ristiques des exercices pr
407. types de r troaction par rapport aux domaines de fonctionnement et d interpr tation d un dessin dans l environnement informatique qu on 268 notera dessin ei Nous pr sentons ci dessous quelques l ments sous forme de questions susceptibles d largir le champ d exp rimentation du dessin ei Nous les utiliserons comme une grille d analyse des environnements informatiques R troactions perceptives Nous pr sentons ci dessous des questions portant sur les choix des concepteurs relatifs aux r troactions perceptives Nous avons relev deux cat gories de choix possibles Ceux qui d pendent des primitives g om triques et des choix de repr sentation et ceux qui d pendent de la manipulation directe et des choix de repr sentation 1 El ments d pendants des primitives g om triques et des choix de repr sentation fig 65 2 QL a Quels sont les objets de base qui sont repr sent s En particulier repr sentation d un plan des solides usuels comme la sph re Q1 b Un objet d fini partir des primitives g om triques est il repr sent sur le dessin ei Par exemple la repr sentation du point d intersection de la droite et du plan que la repr sentation de la droite soit l ext rieur du parall logramme repr sentant le plan fig 66 ou non et pourvu qu elle existe permet d largir le domaine de fonctionnement du dessin ei fig 66 QL c Comment sont repr sent s les objets de base o
408. u 26 Nous faisons l hypoth se que la mention la pratique des figures est centrale renvoie aux objectifs explicit s dans les programmes pr c dents emploi fr quent des figures analyse des propri t s d une configuration pour les probl mes de g om trie figures tous les stades de la recherche et de la r daction de solution de probl mes Autrement dit nous supposons que l institution programmes estime que les objectifs d velopp s dans les pr c dents programmes propos du dessin sont devenu transparents pour les acteurs auteurs des manuels enseignants Nous retenons donc Depuis 1982 les programmes successifs accordent de plus en plus l importance la pratique du dessin diff rents stades de la r solution de probl mes de g om trie plane 1 3 Dessin en g om trie dans l espace 1 3 1 Programmes de 1972 La repr sentation des objets g om triques de l espace est absente des programmes du coll ge Au lyc e seules les sections E tudient les repr sentations d objets de l espace dans la partie g om trie descriptive 6 Les programmes du coll ge sont les m mes que ceux de 1985 7 cf Chapitre paragraphe 6 1 1 p 56 182 1 3 2 Programmes de 1982 La repr sentation des objets g om triques de l espace est absente des programmes du coll ge En classe de Seconde deux modes de repr sentation sont propos s titre de th me d tude Repr sentation d un sol
409. u construits l aide des primitives en particulier la repr sentation utilise t elle des pointill s pour les parties cach es Par exemple les parties cach es d une repr sentation de section plane d un solide avec un plan peuvent tre repr sent es ou non par des pointill s Chapitre D1 269 270 Un autre exemple est la repr sentation d un plan parall le un plan donn et passant par un point donn Est il repr sent par un parall logramme bords parall les au premiers c est dire selon la repr sentation type QL d Peut on visualiser un plan particulier en vraie grandeur Cette possibilit permet de visualiser les objets d un plan donn en vraie grandeur 2 El ments d pendants de la manipulation directe et des choix de repr sentation fig 65 1 Q2 a La repr sentation des parties cach es par des pointill s est elle g r e en temps r el par l environnement informatique lors du d placement Par exemple lors dans son d placement une droite rencontre un parall logramme repr sentant un plan y a t il apparition des pointill s si la droite est s cante au plan et sans que le point d intersection ne soit d fini Q2 b Les propri t s g om triques sont elles conserv es par la manipulation directe R troactions par des messages Les messages envoy s par l environnement sont des r ponses des actions au niveau des primitives g om triques fig 65 3 Le contenu
410. u niveau du trac des figures il y a une diff rence Pour la solution S2P2 on peut aussi proposer une construction effective qui revient la solution SP2 3 3 Commentaires Nous avons modifi le probl me 1 qui est un probl me de construction voqu e en un probl me 2 qui est un probl me de construction effective dans le contexte d un solide bien choisi Ensuite nous avons proc d une analyse compar e par rapport au type de construction Nous avons propos une solution S1P2 pour le probl me P2 Celle ci donne un algorithme de construction selon les r gles PCespace point droite plan qui est justifi par les propri t s d incidence Or cet algorithme est insuffisant pour obtenir un proc d de trac la r gle et au compas en particulier pour la construction du point M intersection de la droite d avec le plan BCD Pour cela un autre algorithme de 38 Il s agit des r gles que doivent v rifier les probl mes de construction dans l espace pendant la p riode 1 p 140 168 construction est n cessaire pour r pondre une exigence du proc d de trac construction la r gle et au compas comme dans la solution SP2 par exemple Nous nous demandons si ces deux probl mes peuvent coexister un moment donn dans une institution enseignement secondaire Cette tude compar e des deux probl mes P1 et P2 a montr que la diff rence entre ces deux types de probl mes de construction r side
411. u on leur a demand d analyser Cette partie leur a t remise une semaine avant afin qu ils puissent disposer du temps n cessaire pour l analyse L objet de cette partie du questionnaire est de r pondre la question a En effet nous avons propos aux enseignants des probl mes de construction parmi lesquels des probl mes qui ne vivent plus dans l enseignement actuel La deuxi me partie du questionnaire concerne l analyse de productions d l ves que nous proposons aux enseignants Cette analyse nous permettra de r pondre aux questions b et c Lors de cette exp rimentation nous avons choisi des enseignants n ayant jamais utilis un environnement informatique et ayant enseign dans une classe de seconde Ce choix nous garantit que l analyse des exercices et des productions sera faite par les enseignants selon leur rapport l objet probl me de construction dans l espace dans l environnement papier crayon qui doit tre en conformit avec le rapport institutionnel de l enseignant cet objet Phase 2 Il s agit de reconduire le questionnaire de la phase 1 modifi afin de valider les r sultats obtenus de l analyse de la phase 1 206 Nous avons choisi des enseignants n ayant jamais utilis un environnement informatique ayant enseign dans une classe de seconde n ayant jamais enseign au lyc e pendant la r forme des math matiques modernes Ce crit re a t retenu suite aux r sultats de
412. uction l enseignant E A a rejet les probl mes de construction voqu e partir de l nonc sans production d l ves en justifiant que ce sont des exercices qu on ne traite plus actuellement en raison de la d marche de r solution par analyse synth se l enseignant E B n a pas rejet les probl mes de construction voqu e et il a propos des solutions voqu es Alors que dans la deuxi me partie de la phase 1 il a rejet toute construction voqu e Dans la deuxi me partie de la phase 1 les enseignants ont analys les exercices productions d l ves selon un rapport en conformit avec le rapport institutionnel l objet probl me de construction dans l espace dans l institution enseignement secondaire actuel R2 Par exemple l enseignant E B a rejet une construction voqu e dans une production d l ve se qui est conforme au rapport institutionnel R2 alors que dans la premi re partie il a propos une construction voqu e dans l analyse des exercices Nous avons consid r l analyse des exercices productions comme une garantie pour que les rapports des enseignants soient en conformit avec le rapport institutionnel au cours de la phase 2 Les r actions des enseignants aux productions d l ves nous ont apport des r ponses aux questions pos es au d but du chapitre Nous nous limiterons pour notre analyse la deuxi me partie de la phase 1 et la phase 2 Examen de la question
413. uction effective PCef et voqu e PCev Pour cela nous avons adapt le probl me P1 du type PCev tudi dans le paragraphe 1 2 3 p 143 de fa on le transformer en probl me de type PCef Nous d signons ce probl me modifi par P2 3 1 Etude du probl me P2 Soit ABCD un t tra dre M un point du plan ABC Construire une droite A passant par M parall le au plan BCD et s cante avec la droite AD C fig 51 Une solution est SP2 7 Dans le plan ABC on trace la droite AM Elle coupe BC en I On trace la droite ID Par M on trace la droite A parall le ID A est donc parall le BCD Les droites A ID et AT sont coplanaires Comme ID est s cante avec AD A l est aussi Donc A r pond au probl me 37 C est une solution type telle qu on la proposerait dans l enseignement actuel 166 w fig 52 Cet algorithme doit tre justifi par les propri t s d incidence de l espace 3 2 Analyse compar e des probl mes P1 et P2 Les deux probl mes P1 et P2 proposent de construire une droite passant par un point donn s cante avec une droite donn e et parall le un plan donn Dans le probl me P2 les donn es point droite et plan sont d finies partir d un solide Les solutions S1P1 et S2P1 du probl me P1 peuvent tre consid r es comme solution de P2 On les note alors respectivement S1P2 et S2P2 3 2 1 Examen de la solution S1P2 Par M on trace la parall
414. uction effective et voqu e peuvent coexister dans un environnement informatique par l existence des primitives g om triques Alors que dans l environnement papier crayon ces deux types de probl me ne peuvent pas coexister chacun d eux n cessitant un contrat diff rent Chapitre C3 Cela valide notre hypoth se de recherche savoir que Les probl mes de construction effective et de construction voqu e peuvent coexister dans des environnements informatiques sous certains crit res Il reste savoir si le rapport des enseignants ayant utilis un environnement informatique est diff rent de ceux n ayant jamais utilis un environnement informatique C est l objet de notre prochain chapitre D2 Chapitre D1 293 CHAPITRE D2 RAPPORT A L OBJET PROBLEME DE CONSTRUCTION DANS L ESPACE DES ENSEIGNANTS AYANT UTILISE UN ENVIRONNEMENT INFORMATIQUE Nous nous proposons d tudier si le rapport de l enseignant l objet de savoir probl mes de construction dans l espace est diff rent selon que l enseignant utilise ou non un tel environnement Pour cela nous proposons un dispositif exp rimental analogue celui que nous avons utilis dans le chapitre C3 aupr s des enseignants n ayant pas utilis un environnement informatique Dans le chapitre C3 nous avons montr que les deux types de probl mes construction effective et construction voqu e ne peuvent pas coexister dans l environnement papier crayon tant donn
415. uctions Dans l analyse de l entretien on doit se poser la question de l influence de la production EP b sur EP c En effet les deux productions sont associ es au m me nonc exercice 5 et la production EP b utilise une construction effective qui est correcte Ceci peut favoriser le rejet de la production EP c par une simple comparaison avec EP b Nous avons r sum sous forme de tableau Tableau 40 R ponses des enseignants les r ponses des enseignants par rapport aux points suivants Trac on attend des remarques sur les conventions de repr sentation ou sur le fait qu il manque le dessin dans la production Discussion ce qui nous int resse sont les cas o l enseignant exige ou non une discussion des cas possibles dans la production Cela nous permettra de voir s il y a une corr lation avec la variable Dessin Construction on mettra oui si la construction est accept e Justification l enseignant peut estimer qu il manque la justification qu on d signera par manque Autres d autres types de remarques 11 Rappelons les choix des exercices EP 1 exercice 3 avec dessin EP 2 et EP 3 Exercice 5 sans dessin Chapitre C3 229 pb de pointill s pb de pointill s Discussion RE faire faire Construction accept e accept e rejet e Justification faire faire faire Autres manque la manque la strat gie strat gie strat gie mo A A o e po o f a e CE AL M CS UE Tableau 40
416. ue Autrement dit c est un mod le d un objet g om trique La description et la repr sentation des objets g om triques usuels du plan et de l espace le calcul des grandeurs attach es ces objets demeurent des objectifs fondamentaux Avec les travaux sur les solides les outils acquis comme le th or me de Pythagore ou nouveau comme le th or me de Thal s sont mis en oeuvre la fois dans le plan et dans l espace La recherche de sections planes d un solide doit se limiter des exemples tr s simples B O n 12 du 23 mars 1989 3 Les instructions ne font plus r f rence la fabrication de solides objets physiques La mise en oeuvre des outils g om triques se fait par les travaux sur les solides objets g om triques travers leur repr sentation 4 3 L enseignement du lyc e 4 C est nous qui soulignons 5 C est nous qui soulignons 26 Le dessin est maintenant d finitivement consid r comme un mod le d un objet g om trique en g om trie plane et de l espace Pour la g om trie dans l espace le travail sur les objets g om triques peut faire appel au dessin mod le de l objet g om trique et ou faire appel l utilisation de maquettes comme le souligne le programme de la classe de seconde Les activit s exploiteront conjointement des maquettes des objets tudi s et des repr sentations de ces objets effectu es selon les probl mes pos s main lev e ou l aide des
417. ue les deux droites dont les repr sentations sont s cantes ne sont pas s cantes permet de conclure que les droites sont s cantes Par exemple pour l exercice 4 on d duit que la droite d est s cante avec les droites AC et CD et donc d est incluse dans le plan ABCD TT ed fig 32 Cette justification est apparue essentiellement dans une seule classe Classe Sc Tableau 12 Il se trouve que dans cette classe l enseignant a utilis cette convention pour montrer que deux droites ne sont pas s cantes Cette convention a t explicit e par cet enseignant alors que cela n a pas t le cas des autres enseignants Enseignant C je leur ai toujours dit que si on met un blanc avant et apr s alors les droites ne sont pas s cantes et dans l autre cas elle le sont 21 M me si cet enseignant a utilis cette convention pour lever l ambigu t quant l intersection de deux droites d une part celle ci n a pas t utilis e par l ensemble des l ves et d autre part on peut se demander comment l l ve utilise cette convention lorsqu il est amen r aliser la construction partir d un probl me Pour illustrer cette remarque consid rons le cas de l l ve C3 Il a r pondu oui pour l exercice 4 Justification D apr s le dessin Si d n appartient pas ABCD il y aurait un espace blanc l endroit des intersections pour l exercice 9 il a prolong les droites AC et BD et n obtenant pas d interse
418. ue objet de l institution I il existe un rapport institutionnel de cette institution cet objet Celui ci nonce en gros ce qui se fait dans I avec O comment O y est mis en jeu ou encore en termes plus imag s ce qui est le destin de O dans I Chevallard 1989 p 213 Pour d terminer le rapport institutionnel on peut proc der l analyse des programmes des manuels et ou d une r alisation effective dans une classe Cette derni re est soumise d autres contraintes relatives au fonctionnement interne d une classe Dans les programmes l institution d finit les objets enseigner ses attentes en termes d exigences et de recommandations les finalit s et les enjeux de l enseignement Seulement le rapport institutionnel un objet ne peut pas tre compl tement d fini dans les programmes Menssouri 1994 p 44 en avance deux raisons La premi re est que les programmes ne constituent pas un texte de savoir mais seulement un discours sur un hypoth tique texte de savoir La deuxi me raison est que m me en disposant d un certain texte de savoir toutes les pratiques propos des objets de savoir figurant dans ce texte ne peuvent pas tre cit es L analyse des manuels est n cessaire et compl mentaire de l analyse des programmes pour acc der au rapport institutionnel un objet O En particulier lorsque l acc s au fonctionnement effectif dans une classe n est pas n cessaire pour les rais
419. ues avec Imagiciels Premi res et Terminales G om trie dans l espace 1992 dit par le C R D P de Poitou Charentes 5 ibid p 7 6 ibid p 15 Chapitre D1 271 272 Zooo i i s Traitement graphique Changement de perspective Visualiser un particulier Types de message Couleur permet de modifier la couleur des points des segments et des droites Apparence d un solide un dessin ei repr sentant un solide g om trique peut tre repr sent soit en mode fil de fer transparent ou opaque Apparence d un point il peut tre repr sent par une marque et ou une lettre ou cach Apparence d un segment ou d une droite trois possibilit s sont offertes Non dessin cach Continu ou Tiret trac discontinu de petits segments Passer d une perspective orthogonale une perspective oblique Le logiciel offre deux possibilit s Examen d un plan le logiciel met le plan choisi en position de face Seuls les objets de ce plan sont repr sent s Tous ces objets sont repr sent s en vraie grandeur Avoir un plan de face le dessin ei est plac de sorte que le plan choisi soit de face c est dire parall le au plan de projection On voit l ensemble des objets repr sent s Action du sujet droite passant par un point A Si A est un point de D alors et perpendiculaire une droite M Le point est sur la droite donn e D Si le point n ex
420. ul ve le fait que le dessin ei et le dessin pc se ressemblent d un point de vue de la repr sentation graphique mais ils ne sont pas de m me nature E CH Et cette id e que l image de l cran alors qu elle ressemble norm ment l image sur une feuille de papier mais ne sont pas de m me nature parce qu il y a un seul objet derri re alors que nous on a une infinit sur papier Chapitre D2 311 312 Il faut conna tre compl tement le menu E CH L enseignant soul ve qu une des difficult s d int gration d un environnement informatique dans l enseignement des math matiques r side dans la connaissance parfaite du logiciel par les l ves qui est difficile et co teuse en temps possibilit de faire tourner avoir la repr sentation en vraie grandeur Quant l utilisation de Geospace il voit l int r t dans la possibilit de repr senter en vraie grandeur des objets d un plan E CH C est dire le logiciel leur donne la possibilit d aller demander la repr sentation exacte d un plan finalement Par exemple quand je leur ai demand est ce que HIE est un triangle rectangle Ils pouvait eux aller demander voir le plan en face C tait une possibilit que leur donnait le logiciel non seulement faire tourner pour d velopper chez eux l intuition mais aussi imaginer un plan particulier dans un solide C est la repr sentation en vraie grandeur Et aussi la possibilit de faire tour
421. un crit re de pr cision pour l obtention du point d intersection 1 P Dites comment est ce qu on peut l obtenir d une fa on certaine 10 P C est pas pr cis comment on voit un point Soulignons que D Grenier 1988 p 336 a observ l utilisation par un enseignant du crit re de pr cision pour rejeter une construction qui n est pas faite selon ses attentes sans qu il explicite ce qu est une construction pr cise L enseignant a utilis le mot pr cis pour r futer des productions d l ves qu il ne voulait pas Or ce mot a un sens pour lui qui n est pas celui donn par les l ves Pour les deux premiers l ments le crit re utilis est le choix du bon plan et de la bonne droite C est dire un choix permettant de r pondre aux contraintes des sch mas d intersection de deux plans ou d une droite et d un plan 21 P Il faut trouver une bonne droite 35 P Il faut choisir le bon plan Donc gr ce aux exigences du trac les enseignants mettent en place les r gles que doit v rifier une construction effective Quant aux crit res que doivent remplir les productions d l ves pour les probl mes de construction dans l espace ces enseignants exigent e Trac dans la production e Algorithme de construction e Justification Nous retrouvons ces crit res dans les corrig s propos s par l enseignant Cette observation nous a permis d avoir des l ments de r ponses la quest
422. ur une figure de l espace repr sent e sur un plan par un dessin vue ou perspective Les angles et les rapports entre les diff rents segments ne sont pas en g n ral conserv s si bien qu un tel dessin est insuffisant pour les applications pratiques D o la n cessit de m thodes g om triques permettant la repr sentation sur un plan d une figure de l espace et la r solution sur le dessin obtenu des probl mes relatifs la figure de l espace G om trie dans l espace Classe de Premi re des Lyc es et coll ges par C Leboss et C H mery diteur Fernand Nathan 1947 p 181 Notons la distinction entre dessin et figure chez ces auteurs Le dessin c est le trac sur une feuille de papier d une figure qui est du monde g om trique La g om trie descriptive est pr sent e comme moyen permettant de r soudre sur le dessin des probl mes portant sur la figure g om trique de l espace Monge a d fini dans son trait la g om trie descriptive par Cet art a deux objets Le premier est de repr senter avec exactitude sur des dessins qui n ont que deux dimensions les objets qui en ont trois et qui sont susceptibles de d finitions rigoureuses Chapitre C1 145 Le second objet de la g om trie descriptive est de d duire de la description exacte des corps tout ce qui suit n cessairement de leurs formes et de leurs positions respectives Dans ce sens elle est un moyen de rechercher la v rit el
423. utilis e ou non v rifi e pour l exercice 6 du moins de fa on explicite 5 4 3 Conclusion L analyse pr c dente a mis en vidence un th or me en acte qu on appellera droites s cantes utilis par certains l ves Si deux droites sont incluses respectivement dans deux plans s cants alors elles sont s cantes Cette r gle a t explicit e dans leur justification sans qu ils aient recours aux trac s Nous avons montr que dans ce cas il ne s agit pas d une r gle d interpr tation du dessin Il reste tudier dans quelle mesure le dessin renforce ou non ce th or me en acte Pour d autres l ves nous avons mis en vidence la r gle d interpr tation droite sec droite sous condition que les plans contenant ces deux droites ne soient pas parall les 6 SYNTHESE DES RESULTATS Dans le tableau Tableau 22 30 nous avons r sum les r sultats du test de B Parzysz et de notre questionnaire Test ITestde B Pays B Parzysz _ 29 Interpr tation droite sec droite Si deux segments repr sentants deux droites sont s cants alors les deux droites sont s cantes _30 Dans ce tableau nous avons utilis le codage suivant a Cas de figure non tudi dans le questionnaire OUI R gle d interpr tation confirm e NON R gle d interpr tation non confirm e Chapitre B 115 Nous avons montr que la contrainte justifier nous a permis de mettre en vidence des r gl
424. utionnel l objet probl me de construction dans l espace dans l environnement papier crayon dans l institution enseignement secondaire cf Chapitre C3 2 5p 241 2 2 Enseignant CF 2 2 1 Productions papier crayon Cet enseignant commente d abord les exercices puis les productions a Exercice production EP I L exercice est consid r parmi les activit s qu on peut proposer en fin de la classe de Seconde ou en Premi re caract ris s par une technique de r solution savoir de travailler dans les plans auxiliaires E CF pour moi ce sont des activit s d s la fin seconde d but premi re Pour ces exercices la technique c est qu il se rep rent dans des plans annexes ce qui n est pas facile Quant la production l enseignant demande d abord si les points K L et M taient plac s ce qu il lui permet de conclure qu il n tait pas n cessaire de discuter les diff rents cas Ensuite l examen de la r ponse lui t moigne que l l ve a d j vu la technique en classe E CF On voit qu ils ont vu la technique en classe On voit qu il y a un travail bien organis q q quil y g Donc l enseignant value l exercice et la production par rapport une technique de r solution utilis e dans les probl mes de construction effective sur des solides et o la notion de plan auxiliaire joue un r le important selon l un des sch mas d velopp s dans le chapitre C2 b Exercice production EP c C
425. ux environnements En effet il pense que les situations dans l environnement informatique ne doivent pas g n rer une rupture du contrat didactique quant la r solution de probl me par rapport l environnement papier crayon Enfin pour l enseignant E JC les probl mes de construction voqu e n ont pas t rejet s comme dans le cas de l enseignant E CH II affirme que l utilisation de Geospace est moins int ressante que celle de Cabri puisque dans ce dernier les situations sont plus riches du point de vue du raisonnement et de la mobilisation de propri t s d incidence utilis s Geospace pour l espace l espace papier crayon institutionnel R2 institutionnel R2 institutionnel R2 Objectifs D velopper la perception D velopper la perception Richesses des situations environnements Ma trise de la lecture des Mod le raisonnement informatiques dessins d exp rimentation Activit s Aucun moyen de Moyens de validation Moyens de validation Geospace validation utilis dessin historique et les Rappel d placement des Activit s non relations g om triques objets libres int ressantes Situations int ressantes Situations moins riches rupture du contrat par la richesse dulqu avec cabri I Mais didact au papier crayon raisonnement int ressantes pour les ne d veloppent pas la l ves en difficult s perception 322 Nous constatons que les enseignants avaient les
426. vec P selon d Seulement il faut choisir un plan P de sorte que son intersection avec P la droite d soit facile d terminer 21 E3 donc il a une id e de d part le probl me c est qu il n a pas trouv le plan P 34 E1 il fallait prendre un plan auxiliaire mais il n a pas su trouver lequel quoi De plus les plans auxiliaires peuvent tre d finis par les points donn s du probl me 25 E3 Donc le plan P qu il cherchait pouvait tre ce plan qui est parall le AB etc Oui c est pas vident pour un exercice de premi re je ne trouve pas a vident Parce que souvent les plans auxiliaires qu on trouve se trouvent avec des points alors l j ai essay j avais un peu le r flexe d essayer de tracer AK c est pas comme a qu on doit pouvoir y arriver Pour cet enseignant cet exercice est en rupture du contrat didactique pour le choix du plan auxiliaire En effet dans les exemples trait s dans les manuels le plan auxiliaire est d fini par les sommets du solide alors que dans la production le plan auxiliaire est d fini par la droite d et un sommet du solide Nous concluons par la validit de la r gle Construction voqu e PCef 3 2 4 Examen des exercices productions du type construction voqu e pour les probl mes PCev Il s agit de EP IV et EP IVa Les productions ont t rejet es par les enseignants mais aucun commentaire n a t fait propos de l nonc L ordre
427. xercices avec des productions d l ves Ce sont des productions d l ves qui n utilisent pas d environnement informatique Ainsi nous avons choisi trois exercices productions EP c EP I et EP IV cf Chapitre C3 CS OUI Our ED OL On Eoo IE o EN NE Construction voqu e PU PP RU PP Tableau 46 choix des exercices productions 2 Rappelons certains codes utilis s dans ce tableau CS le cas o l nonc fait r f rence un ou plusieurs solides ED les nonc s qui sont accompagn s d un dessin repr sentant les donn es Pcef un probl me o la r solution peut se faire l aide d une construction effective Chapitre D2 295 296 Ce choix est suffisant pour v rifier si les rapports des enseignants aux probl mes de construction sont en conformit avec le rapport institutionnel R2 cf Analyse a priori 1 5 1 p 301 Exercice production EP I EP I La figure suivante repr sente une pyramide dont la base ABCD est un quadrilat re K est un point de l ar te OA L est un point de l ar te OD et M un point de l ar te OC Construire l intersection du plan KLM avec le plan ABC R ponse Dans amp plan poeb tenja ten EY Ie Ln donc ze xin Te cb dond I ABC Donc y appartient Prinlersection des plans kn et ABC a amp Plan ont Gujntm 5 ze ktn je Lk donc Jefa donc je BS xLn et 48C 5 5 artient on x fPrialersection des
428. xplicit s Seulement on n a pas les moyens de le v rifier 16 cf c p 81 Chapitre B 93 5 2 3 Synth se Un l ve sur deux a mobilis la propri t trois points non align s d finissent un plan ind pendamment de la nature de l objet Les l ves se limitent davantage aux plans repr sent s sur le dessin plus souvent dans le cas o l objet tudi est un solide que dans les autres cas Seulement 11 l ves ont mobilis la r gle d interpr tation r gionnement dans l espace int plan 5 3 Exercices proposant d tudier des positions relatives d une droite et d un plan Nous distinguons deux cas selon la variable nature de l objet tudi 5 3 1 Cas o l objet tudi est un solide Nous rappelons dans le tableau ci dessous les r sultats globaux pour les exercices de cette cat gorie Ex 4 Ex 11 O Em2 Oui Non o r Oui Non O R Oui Non O R Oui Non or Toaifji Jr 31 3 s n h2 hs n ho js 7 Tableau 10 Il ressort que pour les exercices 4 9 et 11 plus de 70 des r ponses sont justes c est dire On ne peut rien dire alors que pour l exercice 2 pr s de 68 de r ponses sont fausses Deux explications possibles peuvent tre avanc es La question pos e dans l exercice 2 est de savoir si la droite est parall le un plan alors que dans les autres exercices il s agit de savoir si une droite appartient un plan Le rapport de l l ve avec le dessin a chang
429. ysique en biologie Lyon IREM de Lyon ARSAC G 1992 L volution d une th orie en didactique l exemple de la transposition didactique Recherches en didactique des math matiques 12 1 7 32 ARTIGUE M 1991 Analyse de processus d enseignement en environnement informatique Petit x 26 5 27 ASSUDE T 1992 Un ph nom ne d arr t de la transposition didactique Ecologie de l objet Racine carr et analyse du curriculum Th se Grenoble Universit Joseph Fourier AUDIBERT G 1991 La g om trie dans l enseignement Rep re 4 21 52 AUDIBERT G 1992 L espace en g om trie Topologie structurale 18 49 62 AUDIBERT G 1986 L enseignement de la g om trie de l espace Bulletin APMEP 355 501 526 AUDIBERT G KEITA B 1987 La perspective cavali re et la repr sentation de l espace In Didactique et Acquisition des Connaissances scientifiques Actes du Colloque de s vres pp 87 108 Grenoble La Pens e Sauvage BALACHEFF N SUTHERLAND R 1994 Epistemological domain of validity of microworlds The case of Logo and Cabri g om tre In Lewis R Mendelsohn P eds Lessons from Learning IFIP Transactions A 46 137 150 Amsterdam North Holland and Elsevier Science B V BAUTIER T BOURDAREL J COLMEZ F PARZYSZ B 1987 Repr sentation plane de figures de l espace In Didactique et Acquisition des Connaissances scientifiques Actes du Colloque de s vres pp 127 147 Grenoble La Pens e Sauvage

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