Traitement MathsOntologique du sujet Polynésie (bac S 2013)
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1. on peut profiter de ce que l algorithme est stock dans une fonction pour d terminer partir de combien de rectangles une pr cision donn e est atteinte pour le calcul de l int grale Bien qu on puisse faire cela dans une simple boucle incr menter n jusqu ce que la pr cision voulue soit atteinte on gagnera plus tard le faire encore une fois dans une fonction appel e seuil et ayant pour variable epsilon la pr cision voulue Pour calculer une valeur pr cise de l int grale on peut demander laFonction quelle est son int grale entre 0 et 1 par laFonction int graleDe 0 jusque 1 La fonction seuil poss de outre sa variable d entr e epsilon une variable locale appel e n Celle ci est initialis e 1 puis incr ment e par n n suivant jusqu ce que la diff rence entre la valeur approch e et la vraie valeur soit en valeur absolue inf rieure epsilon x o0 Transcript z quarante cinq x O Workspace laFonction algo seuil vraie laFonction x x augmenteDe 2 multiphePar x oppos expi vraie laFonction Int graleDe 0 Jusque 1 algo f N 0 jusque N diminueDel picore k f valeur k N ND somme seuil epsilon n n 1 algo valeur laFonction valeur n vraie abs lt epsilon jusqueWrai n n suivant Ma 1 Transcript affiche seuil valeur 0 01 avecDesMots Ensuite il suffit de calculer l image de 0 01 par cett2. 1 Le premier langage objet con u par Alan Kay dans les ann es 1970 pour g rer les souris fen tres etc et pour mettre la programmation la port e des enfants C est en Smalltalk qu est programm Scratch 2 Sous cette forme la fonction est dite anonyme ou lambda fonction Le terme de fonction jetable serait plus appropri 3 Pour calculer l image de 2 par laFonction on crit laFonction valeur 2 MathsOntologie permet d esquisser la repr sentation graphique de la fonction pour v rifier qu il n y a pas d erreur d alg bre On constate au passage 1 que le programme s crit dans une fen tre sp ciale appel e Workspace 2 que les variables ici il n y en a qu une doivent tre d clar es au d but entre traits verticaux Pour ex cuter le programme une fois qu on l a r dig on doit s lectionner le script avec la souris puis faire un clic droit et choisir Do It Remarque On peut aussi dessiner les fameux rectangles dont la somme des aires approche l int grale de la fonction sur 0 1 Pour cela on cr e un pseudo tableau d effectifs en pla ant des valeurs de x dans la liste des entr es d un dictionnaire et leurs images dans la liste des valeurs du dictionnaire Puis bien que ces valeurs ne soient ni des effectifs ni des fr quences MathsOntologie peut dessiner l histogramme Workspace laFonction rectangles l Fonction x x 2 multipliePar x oppos exp rectang
3. Traitement MathsOntologique du sujet Polyn sie bac S 2013 MathsOntologie est la fois un langage de programmation et le logiciel permettant de programmer dans ce langage Le langage se veut proche du Fran ais et est une traduction fran aise de Smalltalk Le logiciel est t l chargeable ici https dl dropbox com u 10996692 MathsOntologie zip et le manuel d utilisation du logiciel est ici http www reunion iufm fr recherche irem IMG pdf mathsontologie pdf Plusieurs exemples d utilisation sont d crits sur le site de l IREM de La R union notamment les sujets d algorithmique du bac 2013 http www reunion iufm fr recherche irem spip php article644 Une approche un peu plus l mentaire du pr sent sujet y est d ailleurs propos e Cet article va donc se focaliser sur la puissance de l approche fonctionnelle de MathsOntologie Dans MathsOntologie les fonctions sont r dig es entre crochets avec la liste des ant c dents pr c d s d un double point et la valeur retourn e par la fonction Par exemple la fonction de l nonc x x 2 e va s crire x x 2 x exp Ce qui est puissant c est que cette fonction peut tre affect e une variable laFonction pour tre r utilis e dans le programme MathsOntologie permet de d crire l expression alg brique de f x par des mots Workspace laFonction laFonction x x 2 multipliePar x oppos expi laFonction dessineDe 0 jusque 1
4. e fonction pour apprendre qu il faut 45 rectangles minimum pour que la somme de leurs aires approche l int grale 0 01 pr s Mais galement puisqu on a une fonction d finie sur 0 c on peut la repr senter graphiquement x o Workspace laFonction algo seuil vraie laFonction x x 2 multipliePar x oppos exp vrale laFonction int graleDe 0 jusque 1 algo f N 0 jusque N diminueDel picore k f valeur k N NT somme seuil epsilon n n 1 algo valeur Fonction valeur n vraie abs lt epsilon jusqueVrar n n survant n L seuil dessineDe 0 001 Jusque 1 On s en doutait un peu la fonction est en escalier et tend vers l infini en 0 Mais est ce que cet escalier ressemble une hyperbole Pour le savoir il suffit de retourner au lieu de n son inverse 7 Autrement dit est ce que le nombre de rectangles est ou non inversement proportionnel la pr cision souhait e laFonction algo seuil vraie laFonction x x 2 multiphePar x oppos exp vraie laFonction int graleDe 0 jusque 1 algo f N 0 jusque N diminueDel picore k f valeur K N NT somme seuil epsilon n n 1 algo valeur laFonction valeur n vraie abs lt epsilon jusqueVrai n n suivant n inverse L seuil dessineDe 0 001 jusque 1 Les points en bas gauche n ont pas vraiment l air ali
5. gn s Mais une tude plus pouss e par exemple avec une r gression permettrait d y r pondre
6. les Dictionary new 0 jusque 3 fais k rectangles en k 4 place laFonction valeur k 4 1 rectangles dessineHistogramme L algorithme du bac sera lui aussi une fonction de MathsOntologie mais elle aura deux ant c dents e une fonction il s agit donc d une fonctionnelle une fonction qui porte sur des fonctions et non sur des nombres e unentier N le nombre de rectangles Cet algorithme se traduit en MathsOntologie par les tapes suivantes 1 on construit une liste d entiers allant de 0 N 1 2 on la fait picorer par la fonction f on obtient alors une liste de valeurs de f ou plus pr cis ment de f N 3 onse procure la somme des l ments de cette nouvelle liste 4 Ou par le raccourci clavier Alt A qui s lectionne tout 5 Ou le raccourci clavier Alt D qui ex cute le script s lectionn 6 Ou cl s en Smalltalk keys Pour avoir la somme des aires des 4 rectangles on appelle alors l algorithme avec pour valeurs laFonction et 4 x oo Transcript z 1 6419091078075088 x o Workspace laFonction algo laFonction x x 2 multipliePar x oppos expl algo f N 0 jusque N diminueDel picore zk f valeur k N NT somme Transcript affiche algo valeur laFonction valeur 4 On apprend au passage que pour afficher un nombre on demande au transcript une fen tre autre que le workspace de l afficher Maintenant que le sujet du bac est trait
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