Développement d`une approche mécano
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1. syst me est d finie partir d une fonction d tat limite G Xi 0 Xi tant les variables de conception de natures al atoires la fonction G s pare le domaine de d faillance et le domaine de s ret Consid rons une transformation isoprobabiliste T de l espace physique variables Xi vers l espace norm variables Ui 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 X gt U vecteur Gaussien N 0 D my 0 0 1 p 0 Vi Vj 8 Une information importante est donn e par les cosinus directeurs qui repr sentent les influences des variables al atoires Ui Dans le cas d une analyse fiabiliste ind pendante du temps on calcule la probabilit d avoir une d faillance de la structure l instant t P t prob G t X t lt 0 9 Dans l tude men e cette information est insuffisante pour le calcul de la probabilit de d faillance sur l intervalle 0 t on introduit alors la probabilit de d faillance cumul e et on se place dans le cadre de la fiabilit en fonction du temps P 0 1 prob ate 0 t t q G T X T lt 0 10 L int r t de cette approche est le fait que le temps devienne un simple param tre traiter les outils de fiabilit ind pendante de temps sont alors suffisant pour le calcul du taux de franchissement Andrieu Renaud 5 V gt Lim rdeca X T 0 gt 0 G T AT X T AT amp lt 0 Le AT 0 T Le2. 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 D veloppement d une approche m cano fiabiliste d assemblages coll s pour applications marines MEJRI Mohamed COGNARD Jean Yves Laboratoire de m canique des structures navales ENSIETA 2 Rue Fran ois Verny 29806 BREST Cedex 9 France R sum Ce papier pr sente le d veloppement d une approche m cano fiabiliste qui porte sur l valuation du risque de d faillance d l ments de structures coll s Dans le cas des applications marines les structures ont des propri t s g om triques et m caniques al atoires et sont soumises en g n ral des chargements de natures stochastiques Dans le but de simplifier la r solution num rique une mod lisation par l ments coh sifs est retenue pour mod liser l adh sif dans l assemblage La probabilit s de d faillance cumul e est alors valu e par deux variantes de la m thode PHI2 Les possibilit s de l approche sont pr sent es sur un exemple Abstract We propose herein a time variant reliability approach based on the prediction of the durability of bonded structures used for naval applications This study takes into account the random and temporal character of material behaviour environmental conditions and loads In order to simplify the numerical study of adhesively bonded assemblies and to limit the numerical cost cohesive zone elements are used to model the adhesive Cumulative probability
3. Temps s 0 50 100 150 200 250 300 350 Figure 2 c Historique de l endommagement 0 002 0 0018 0 0016 0 0014 0 0012 0 001 0 0008 0 0006 0 0004 0 0002 GO Dua D poren avec Dyner Ddx dx et D 024 15 7 joint de colle joint de colle Variable Distribution Moyenne Ecart type a mm Normale 100 10 Knl N mm Normale 6350 10 G J mm Normale 0 470 10 Dy mm Normale 5 10 Tableau 1 Lois probabilistes des variables et param tres 4 R sultats Comparatif PFI_PFC 0 00008 0 00007 Evolution du taux de franchissement 0 00006 0 00005 bbabllite le d falllance 0 00004 Pi 0 00003 Nu Nouvelle M thode PHI2 0 04 0 03 0 02 Comparaison de l erreur Erreur rel tive Erreur relative PHI2 classique PFC Methode PHI2 classique 9 90002 EaR ca Ireongue i lt Erreur relative nouvelle PHI2 x PFC Nouvelle Methode PHI2 TEG Nu M thode PHI2 Classique 0 01 D i x PFI emps s Temps s TA y Temps s T T T 0 T T T 0 T T T 300 305 310 315 320 300 305 310 315 320 300 305 310 315 320 Figure 3 a Impact de la discr tisation sur le Pfi Figure 3 b Allure du taux de franchissement Figure 3 c Evolution de P erreur L analyse de ces courbes permet de dire que la nouvelle m thode PHI2 d velo
4. le du d placement relatif de l interface et les composantes du vecteur contrainte U U U7 U i U S t t t 5 D a 3s pO EEA s SE w ToO Interface EE R a n Tr 0 0 0 8 1 6 2 4 3 2 Figure 1 Mod les g om trique et m canique pour l interface a Mod lisation de l interface b Comportement du mod le en traction Ce mod le Valoroso et al 3 consid re que l endommagement n volue que dans un chargement de traction ou de cisaillement et que la compression n endommage pas l interface n Dans la suite de ce papier on va adopter les notations suivantes K K et K repr sentent les rigidit s en traction en compression et en cisaillement On note par X 0 5 x X 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 la partie positive de X Le crit re retenu pour d crire l volution de l endommagement conduisant l amorce et la propagation de fissure est bas sur une approche en mode mixte L nergie totale est ainsi la combinaison des nergies en modes I et IL Cette approche traduit l interaction entre les deux modes de fissurations Le mod le consiste alors d finir une contrainte quivalente calcul e partir d une moyenne pond r e des contributions de la contrainte normale et tangentielle Un raisonnement analogue est adopt pour d finir le d placement quivalent Les lois d tat sont obtenues partir de l cri
5. massifs classiques par des l ments d interface Allix et al 1 L paisseur de ces l ments est consid r e comme nulle et comme ils utilisent les m mes inconnues nodales que les l ments massifs ils peuvent tre utilis s pour r aliser un m me mod le L interface est ainsi mod lis e par une surface de normale n comprise entre les deux l ments assembl s Q et Q Fig 1 Cependant pour les l ments massifs les composantes du tenseur des contraintes sont d termin es aux points d int gration alors que pour les l ments d interface les composantes du vecteur contrainte agissant sur l interface sont valu es aux points d int gration L utilisation d un mod le avec un comportement endommageable permet de mod liser l initiation de fissures et leurs propagations De plus du fait de la repr sentation de l interface par une zone surfacique la zone possible de la propagation de fissure est ainsi r duite les d gradations de type coh sive et adh sive du joint de colle sont mod lis es globalement De nombreux mod les de ce type existent dans la litt rature Needleman Tvergaard Allix et al Le mod le choisit est crit de fa on param trique et donc permet pour un jeu de donn es bien pr cis de retrouver un mod le du type Tvergaard Allix et al 1 ou Alfano et al 2 Pour les probl mes plans en 2D un mod le d interface est donc une relation entre les composantes normale et tangentiel
6. ne colle dans un assemblage en prenant en compte les d fauts initiaux tout en limitant le co t num rique des simulations Un exemple d tude de la fiabilit d un assemblage coll a t men le couplage m cano fiabiliste a t effectu via le code El ments Finis CASTEM et le code de fiabilit PHIMECAS dans le but d tudier la fiabilit d pendant du temps Cette tude doit tre poursuivie pour des structures industrielles avec des chargements complexes D autre part il faut poursuivre l analyse des param tres du couplage m cano fiabiliste qui pose des probl mes de temps de convergence associ s la forte non lin arit des probl mes d volution de l endommagement et de la propagation des fissures Remerciements Les auteurs remercient la R gion Bretagne pour le financement de ce travail et P DAVIES IFREMER Centre de Brest pour son aide sur l tude exp rimentale R f rences 1 Allix O Corigliano A 1999 Geometrical and interfacial non linearities in the analysis of delamination in composites Int J of Solids and Structures Vol 36 pp 2189 2216 2 JAlfano G Crisfield M A 2001 Finite element interface models for the delamination analysis of laminated composites Mechanical computational issues Int J for numerical methods in engineering Vol 50 pp 1701 1736 3 Valoroso N Champaney L 2006 A damage mechanics based approach for modeling decohesion in adhe
7. of failure is computed with two variant of PHI2 method An example showing the differences between the two methods is presented in the sequel Mots cl s Collage structural Mod lisation mod les de zones coh sives Endommagement Etude m cano fiabiliste 1 Introduction Le collage structural destin aux assemblages de grandes dimensions simplifie les proc d s industriels r duit la main d uvre et permet de fait de substantiels gains de productivit Cependant la ma trise de ce proc d n est pas compl tement acquise notamment d un point de vue r alisation tat de surface choix du type de colle proc d cuisson De plus l analyse des contraintes pose quelques probl mes pr sence d effet de bord Les applications navales caract ris es par des joints relativement pais de l ordre de 0 5 mm pr sentent un certain nombre de param tres suppl mentaires qui ne sont pas compl tement ma tris s la g om trie des bords du joint de colle des variations d paisseur du joint de colle le manque possible de colle dans certaines zones Pr dire la dur e de vie de telles structures passe alors par l valuation des risques issus de ces ph nom nes En effet les caract ristiques des colles dont le comportement peut tre assimil en g n ral un comportement viscoplastique endommageable voluent dans le temps De plus dans le cadre des applications navales les structures coll es sont soumi
8. pp e par Sudret est plus efficace pour le calcul de la probabilit de d faillance cumul e que la m thode PHI2 classique titre indicatif on peut avoisiner une erreur relative de 10 avec cette m thode L quation suivante d finit ce que nous appelons erreur relative dans ce papier P err t fe P P moyenne P a t Pa 1 16 Ces diff rences sont dues en grande partie la fa on avec laquelle le taux de franchissement est valu pour les deux m thodes Un autre d tail significatif mentionner est 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 relatif aux temps de calcul ces temps d pendent fortement de la m thode de recherche du pas optimal dans l algorithme de convergence fiabiliste on peut alors multiplier ces temps par 4 en utilisant la m thode de Powell au lieu de celle de Newton On peut alors avoisiner les 10h de calculs pour un point P Une explication possible pour les co ts num riques provient de la fa on de d finir les conditions de contact le probl me devient fortement non lin aire De plus ces probl mes sont tr s sensibles la discr tisation spatiale et temporelle Conclusions Ce travail a t conduit afin d tudier la fiabilit d assemblages de structures coll es pour applications marines L tude pr sent e aborde cette probl matique L utilisation des mod les de type zones coh sives permet de mod liser la d gradation d u
9. ses des sollicitations stochastiques Pour traiter un tel probl me la fiabilit fonction du temps permet de prendre en compte la d pendance temporelle des ph nom nes et des sollicitations ceci permet de palier aux lacunes de la fiabilit ind pendante du temps 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 Une approche m cano fiabiliste prenant en compte les effets de la d gradation de la colle en particulier pr s des d fauts est d velopp e Le couplage m cano fiabiliste n cessite des mod les m caniques robustes pour assurer la qualit de la pr diction fiabiliste Pour ce faire des mod les de type zone coh sive sont utilis s Ces mod les permettent de limiter fortement la d pendance aux maillages pour l tude de la propagation de fissures dans la colle Comme dans le cadre de structures coll es la zone de propagation possible des fissures est bien d finie cette approche num rique est bien adapt e Des r sultats num riques sur le couplage des approches fiabilistes avec la simulation par El ments Finis de la d gradation d une colle dans un assemblage sont pr sent s le but tant d valuer l impact des param tres al atoires sur la tenue en service des assemblages coll s pour applications navales 2 Mod le zone coh sive Partant du fait que l paisseur du joint de colle est n gligeable devant les dimensions de la structure il est naturel de remplacer les l ments
10. sively bonded assemblies Engineering Fracture Mechanics Vol 73 pp 2774 2801 4 Mejri M Cognard J Y Davies P 2006 Development of a reliability approach for the behaviour of adhesively bonded assemblies in marine applications 12 European Conference on Composite Materials Biarritz Aout S Andrieu Renaud C Sudret B amp Lemaire M 2002 The PHI2 method A way to compute time variant reliability Reliability Engineering and System Safety Vol 84 pp 75 86 6 Sudret B 2005 Analytical derivation of the outcrossing rate in time variant reliability problems Reliability and Optimization of Structural Systems 12th WG 7 5 IFIP Conference Aalborg Denmark 7 CAST3M 2004 Cast3m Documentation EUROSIM CEA SEMT 8 PHIMECA Engineering S A 2003 Manuel d utilisation PHIMECA Software Version 1 6 9 Cazuguel M Renaud C amp Cognard J Y 2006 Time variant reliability of non linear structures Application to a representative part of a plate floor Quality and Reliability Engineering Vol 22 special issue on Maritime Risk Modelling and Decision Making pp 101 118
11. st encastr e au b ti L volution de la rigidit de la structure en fonction du chargement appliqu est un indicateur de l tat de la structure L int grale de l endommagement sur la longueur du joint de colle traduit la d gradation de la colle et par suite donne une indication sur la variation de la rigidit de l assemblage en fonction 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 de la d gradation de la colle Des conditions aux limites type contact ont t introduite afin d assurer la non interp n tration entre les l vres sup rieure et inf rieure du joint de colle Le couplage m cano fiabiliste est effectu via le code El ments Finis CASTEM 7 et le code de fiabilit PHIMECA 8 Cazuguel et al 9 Pour les calculs effectu s un Pentium 4 3Ghz 1Giga de RAM a t utilis Le tableau 1 repr sente les variables retenues pour l tude d un exemple m cano fiabiliste L quation 15 respectivement les domaines de s ret et de d faillance Ds et Df 1 ija 08 07 Evolution de l endommagement du joint de colle Figure 2 a Structure tudi e Position sur le joint de colle 0 2 4 6 8 10 Figure 2 b Evolution de T endommagement dans le temps repr sente la fonction seuil qui s pare Evolution de l endommagement de la structure End mmajementmoydi
12. terme franchissement d signe ici le passage du domaine de s ret Ds au domaine de d faillance Df Une approximation FORM est adopt e dans le reste des calculs on remplace la surface d tat limite par son hyper plan tangent au point de conception P Dans le paragraphe qui suit une approche par la m thode PHI2 sera adopt e On pr sente ici l approche PHI2 classique et on la compare avec une approche revisit e par Sudret 6 Les deux d marches diff rent par l criture du taux de franchissement pi SPORE PPO PETANAN 12 PHI2 x AT AT ve n roleg EL 13 rol Avec P t olt t P r et Poglt t AT t a t AT 14 En r sum le calcul de la probabilit de d faillance cumul e n cessite la connaissance de la probabilit de d faillance instantan e et des sensibilit s du mod le aux diff rentes variables al atoires Il est alors possible de calculer le taux de franchissement caract risant la probabilit d avoir au moins un passage du domaine de s ret vers le domaine de d faillance Ensuite la probabilit de d faillance cumul e peut tre d termin e 3 2 Exemple tudi L exemple tudi correspond l initiation et la propagation de fissure dans une structure coll e Deux plaques rectangulaires d aluminium de hauteur b 5mm pour une longueur a 100mm sont coll es Le bord sup rieur gauche est soumis un d placement impos Dy strictement croissante La plaque inf rieure e
13. ture du potentiel thermodynamique EN D Sud D 0 DIK QU KAU J15 KU oF 5 2 3 t gT CD UD a k lu Deer 0 a Rae 1 aa a A aa 4 Y K K n IKU FKP K u wF Soit y lrts t 2 Y tant la force thermodynamique en mode mixte La d t rioration de l interface est prise en compte par la variable interne d endommagement D Le param tre y ou module de couplage permet d crire la contribution des deux modes I et II u 1 4 Yo Y Y Y 6 y dt D I 1 y m I 1 y m Le rapport amp 4K Kt quantifie l apport de chaque mode L volution de l endommagement s exprime partir de la force thermodynamique critique en mode mixte Y es Les taux de restitution d nergie dus aux modes I et IT sont alors donn s par Y Y lt 0O D20 4 D 0 G YDdt iefLIi T 0 La figure 1b pr sente la r ponse de ce mod le diff rentes valeurs de rigidit normale K les param tres choisis sont K 35600 4500 N mm3 amp 1 6 G 630 J m 4 une sollicitation normale pour des 3 Etude fiabiliste 3 1 El ments de th orie Dans le cas g n ral un des r sultats fiabilistes pertinents est l indice de fiabilit B qui selon la d finition de Hasofer et Lind repr sente dans l espace des variables norm es centr es r duites la distance de l origine la fronti re de l tat limite standard On se place dans le cas o la fiabilit d un
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