TP MECANIQUE 1: PENDULE CHAOTIQUE
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1. va entra ner un d placement du pendule de 90 Une augmentation infinit simale de moment T au dessus de la valeur Tc mettra le pendule en rotation En unit s normalis es T I mgr I Par ailleurs la pulsion propre du pendule est donn e par mgr I et ainsi T I 0 o a t d termin auparavant dans l exp rience 1 Ainsi T I peut tre d termin et partir de la courbe de calibration couple tension on peut en d duire la tension d excitation critique V correspondante Manipulation Appliquer l aide de l alimentation en tension continue une tension sur l entr e d nomm e Calibrate Torque derri re l excitateur Pendulum Driver Ne jamais d passer 1 5 V Mettre le pendulum driver sur on Enregistrer pour des valeurs de tension vari es des s ries de d0 dt en fonction du temps prendre au moins 500 points Pendule Chaotique Page 25 Afficher les courbes temporelles Vitesse Angulaire Temps puis d terminer dans chaque cas l aide du curseur la vitesse angulaire moyenne correspondante Connaissant b I d duit l aide de la courbe pr c dente en y portant la position du microm tre calculer T I et tracer la courbe T I f V D terminer V Ne pas h siter recommencer les mesures si une valeur para t erron e SIMULATION D UNE JONCTION JOSEPHSON Analogie M canique Supraconductivit Lecture th orique Une jonction de type Josephson est2. n rateur comprise entre 0 5 et 1 5 la moyenne des d placements angulaires extremum du pendule vers la droite et la gauche Les r sultats sont obtenus en enregistrant des s ries d oscillations pour chaque fr quence d excitation Un graphe de Omax t en fonction de ou de v fera appara tre le pic de r sonance Cette exp rience peut tre r p t e pour diff rentes valeurs de Q Comparer les courbes de r sonance obtenues avec les pr visions th oriques Remarque Faire varier les fr quences dans le sens croissant Recommencer la proc dure pr c dente mais cette fois avec des amplitudes d oscillation beaucoup plus grandes de l ordre de 60 80 degr s la fr quence de r sonance Comparer les r sultats obtenus aux pr c dentes Quelle conclusion peut on en tirer Pendule Chaotique Page 32 CHAOS Dans la section pr c dente concernant la r sonance un couple excitateur harmonique faible avait t appliqu au pendule des fr quences encadrant la fr quence naturelle On a vu qu il en r sultait un tat stationnaire galement harmonique la fr quence d phas d un angle et qui pr sentait un maximum d amplitude quand Ce comportement est localis une petite r gion de l espace des tats caract ris e par deux param tres de couple Partout ailleurs dans l espace des tats des mouvements beaucoup plus complexes r sultent de l application d un couple sinuso dal ce syst me non lin
3. aire L quation diff rentielle r gissant le pendule d 6 de I b mer sin 0 T sin t dt d TE o tant d terministe le r sultat classique sera un mouvement p riodique ou multi p riodique En d autres termes les oscillations demeureront r p titives toujours avec la m me p riodicit avec ventuellement plusieurs p riodes d excitation Tandis que cette repr sentation est parfaitement correcte pour de faibles amplitudes d excitation cas pour lequel la non lin arit contribue peu ou pour de grandes fr quences d excitation ce n est plus le cas dans les r gions de l espace des tats d finies approximativement par les conditions et Dans ce domaine de un comportement chaotique va appara tre Pour le pendule le chaos se manifeste par des oscillations et ou des rotations qui ne pr sentent pas un caract re de r p tabilit La courbe d crite dans l espace des phases est en perp tuel changement Le mouvement par cons quent sera intrins quement impr visible Pendule Chaotique Page 33 EXPERIENCE 6 Il est sugg r d explorer exp rimentalement la dynamique chaotique du pendule excit en choisissant diff rentes amplitudes et fr quences dans le domaine pr c demment d fini On observera alors les r sultats dans l espace des phases et sur le diagramme de Poincar appel aussi section de Poincar Une valeur de Q comprise entre 4 et 5 est appropri e ce type d tude
4. repr senter le mouvement du pendule dans l espace des phases d0 dt 8 d afficher le diagramme de Poincar qui est la repr sentation du mouvement du pendule dans l espace des phases en l chantillonnant une fois chaque p riode du couple sinuso dal d excitation d afficher les r ponses temporelle et fr quentielle FFT Lancer F4 Acquisition Param tres d Acquisition Permet de fixer les conditions d acquisition nombre de points de m me que la nature des courbes acqu rir diagramme des phases ou de Poincar Pendule Chaotique Page 12 BP Param tres d Acquisition Nom de Fichier Nombre de Points fa Type de Diagramme C Diagramme de Poincar anae Acquisition Lancer d bute l acquisition l arr t se fait l aide de la touche FIN ou END Une fois l acquisition effectu e les onglets du dessus permettent de choisir l ordonn e des courbes afficher vitesse angulaire ou cart angulaire N B Les donn es visualis es dans cette proc dure ne sont pas encore enregistr es Pour cela utiliser le menu Fichiers Enregistrer Menu Traitements Ce menu permet de tracer les courbes des carts ou vitesses angulaires en fonction du temps ou de la fr quence Ce menu contient galement un certain nombre d outils permettant d effectuer des calculs sur les donn es acquises ou de r gler au mieux l affichage de courbes sur l cran Pendule Chaotique P
5. un dispositif supraconducteur compos de deux l ments Le ph nom ne est gouvern par les quations suivantes I I sin d dt 2 V n o est un param tre relatif aux phases des supraconducteurs de chaque c t de la jonction nla constante de Planck divis par 27 I est le courant critique de la jonction et I et V respectivement les supracourant et tension de la jonction Si la jonction a une r sistance de fuite R et une capacit de shunt C alors le courant total de polarisation est compos de trois termes I L sin travers la jonction la V R travers la r sistance I CdV dt travers la capacit 2 h et net 1 sm e 7 Donc 2e dt 2eR dt En comparant cette quation celle du pendule Pendule Chaotique Page 26 2 O br dt dt On peut remarquer les correspondances videntes entre les syst mes m canique et supraconducteur b I lt IR mgr I gt 2el nC T amp gt 1L Ainsi le pendule excit est l quivalent m canique de la jonction Josephson Cependant la fr quence de plasma caract ristique d une jonction est typiquement de l ordre de 10 tandis que pour un pendule vaut moins de 10 Le pendule est effectivement un mod le mouvement lent d une jonction de type Josephson EXPERIENCE 4 Ne faire cette exp rience qu en fin de TP si vous disposez de suffisamment de temps Observation de l hysteresis dans le cas du pendule excit Si un coupl
6. 1000 par exemple pour avoir 5 cycles au minimum Cliquer sur le bouton Valider et l cher en m me temps le pendule Faire des enregistrements pour des angles initiaux Om diff rents ne pas oublier de le faire aussi pour des angles initiaux faibles Charger l un apr s l autre les fichiers enregistr s l aide de la commande Fichiers Ouvrir Faire afficher la courbe correspondant l cart angulaire en fonction du temps Traitement Courbes Temporelles en prenant soin de cocher la case Angle Temps D terminer l aide du mode Curseur Traitement Curseur ou bouton Curseur langle initial 6 de m me que la p riode du signal Noter dans un tableau les valeurs des p riodes T en fonction des valeurs On et tracer la courbe T 6 Remarque importante Faire cette mesure soigneusement parce que la connaissance de To donc de G est capitale pour la suite des manipulations Pendule Chaotique Page 18 EXPERIENCE 2 Pour d terminer l amortissement b I en fonction du r glage du microm tre Remarque Le microm tre est gradu 1 2 mm par 1 2 mm la couronne gradu e comporte 50 subdivisions donnant donc la pr cision du 1 10 de mm M thode 1 Supprimer tout signal de couple excitateur Pendulum Driver teint power off et positionner le microm tre sur la valeur d sir e Mettre l appareil debout axe vertical de sorte que le pendule se d place dans un plan horizontal Ceci suppri
7. OCEDURES DE CALIBRATION Le pendule peut tre d crit comme une masse m suspendue une distance r de l axe du syst me Le moment d inertie totale I est d la fois la masse et toute l inertie additionnelle des composants rotatifs fix s sur l axe principalement l aimant annulaire la roue codeuse optique et les disques fix s sur l axe Si un couple T est appliqu au syst me l aide des bobines excitatrices alors l quation du mouvement du pendule s crit do de b mgrsin T 1 o b est le coefficient d amortissement provenant de l interaction lectrodynamique entre le disque magn tique en anneau et la plaque fixe courant tournant EXPERIENCE 1 Ne faire cette exp rience qu en fin de TP si vous disposez de suffisamment de temps Utiliser la fr quence propre donn e To 0 68 seconde La proc dure d enregistrement de fichiers qui sera utilis e dans toutes les autres exp riences est cependant d crite ici D termination de la fr quence propre du pendule Ajuster le microm tre de telle sorte que la plaque de cuivre soit bien s par e du disque magn tique lcm ou plus b est alors approximativement nul Supprimer tout signal de couple T 0 L quation 1 du pendule devient dans ce cas d 6 de I b mgr sin 0 0 2 dt dt d e Pendule Chaotique Page 16 Pour les petits angles Sin 8 8 et Ia fr quence de l oscillation vaut La p riode d oscillation pour un angle ma
8. TP MECANIQUE 1 PENDULE CHAOTIQUE B AMANA et J L LEMAIRE endule Chaotique Page 2 LE PENDULE CHAOTIQUE Introduction Le Pendule excit est un exemple d un syst me m canique non lin aire du 2 me ordre qui peut pr senter des mouvements p riodiques multi p riodiques ou chaotiques Comme aide visuelle pour l analyse du comportement du pendule deux diagrammes particuliers sont construits partir des valeurs de O t et d8 dt o 6 est l angle du pendule avec une direction de r f rence et la vitesse angulaire enregistr es au cours du temps Le diagramme dans l espace des phases La repr sentation du mouvement du pendule dans l espace des phases est construite partir des couples de coordonn es 8 t successifs Si le d placement O est mesur par rapport la position au repos verticale alors le simple mouvement d oscillation sera repr sent par une orbite elliptique dans l espace de phase et sera contenu dans l intervalle x x Lorsque des rotations compl tes ont lieu deux strat gies peuvent tre adopt es a L intervalle des 8 peut tre tendu 37 37 ou 57 57 etc b Le mouvement en dehors de l intervalle x 7 peut tre repli l int rieur de ce domaine Ce second choix est celui qui est le plus souvent adopt dans la litt rature Il a pour avantage la compacit son inconv nient provient du fait que le repliement rend indiscernable les particularit s de certaines o
9. age 13 HA Pendule Chaotique Version 5 0 Octobre 2008 Fichiers Acquisition A Propos Curseur F6 Modeliser F8 Centrer Sur Z ro F9 Ecart Angulaire T emps Loupe F11 Annuler Loupe Annuler la Modelisation Voir les Donn es Mod liser utile pour la mod lisation par une exponentielle d croissante des courbes lors des exp riences de mesure des coefficients d amortissement PE a D Mod lisation Curseur donne les coordonn es de la position courante du curseur Tr s utile pour les mesures X 1 288 s Fin du Mode Curseur y 3014 rad s Traitements Centrage Sur Z ro permet de centrer sur l axe des abscisses les courbes affich es Pendule Chaotique Page 14 Traitements Voir les Donn es permet de visualiser les donn es acquises Menu A Propos Informations sur le logiciel Pchaot2005 Ecrit par B AMANA et J L LEMAIRE D partement de PHYSIQUE de l Universit de CERGY PONTOISE Toute utilisation de ce logiciel en dehors de l Universit de Cergy Pontoise doit tre soumise au consentement des auteurs Onglets en bas d cran Ces onglets permettent de r aliser toutes les actions concernant les diagrammes des phases et de Poincar d afficher les courbes temporelles afin d y effectuer tous les traitements possibles de calculer la transform e de Fourier des donn es acquises ou enregistr es Pendule Chaotique Page 15 PR
10. e constant est appliqu au pendule tr s lentement croissant partir de 0 l angle du pendule va galement cro tre tr s lentement Lorsque le couple atteint sa valeur critique LE l angle sera exactement gal 90 Une tr s l g re augmentation de T au dessus de Te va entra ner la soudaine rotation du pendule La vitesse angulaire ne sera pas constante mais au contraire elle va onduler l g rement entre des valeurs maximales et minimales Soit la valeur moyenne de Sur la figure 9 on montre un diagramme th orique de en fonction de Pendule Chaotique Page 27 JOSEPHSON JUNCTION I V Li 2 O O Li N j z ce 4 AVERAGE ANGULAR VELOCITY Figure 9 Remarque une fois que le pendule tourne le couple peut tre diminu au dessous de la valeur critique Te jusqu avant qu une transition brutale vers un tat oscillatoire et non plus rotatif avec 0 ne prenne place C est un exemple du ph nom ne d hyst r sis qui pour le pendule est d l inertie tandis que le m me comportement dans la jonction Josephson provient de la capacit quivalente du dispositif Positionner l amortissement pour un facteur Appliquer des tensions de couple croissantes en commen ant juste en dessous de Ve jusqu La tension de couple est appliqu e en appuyant sur le bouton Drive du g n rateur de couple On fait varier cette tension l aide du potentiom tre Amplitude La valeur de la tension app
11. e et de Traitement des Donnees PendChaot2009 exe MANUEL D UTILISATION DU LOGICIEL du PENDULE Chaotique PendChaot2009 exe Les diff rents menus de PendChaot2009 sont les suivants Fichiers Acquisition Traitements A propos A Pendule Chaotique Version 5 0 Octobre 2008 Fichiers Acquisition Traitements A Propos S Pendule Chaotique Version 5 0 Octobre 2008 Acquisition Traitements A Propos Ouvrir F1 Enregistrer F2 Menu Fichiers Enregistrer Sous Config Imprimante Ctrl C Imprimer Ctrl P Quitter Ctrl X Pendule Chaotique Page 11 Le menu Fichiers comme dans la plupart des logiciels crits sous Windows contient des sous menus Ouvrir Enregistrer Configurer Imprimante Imprimer et Quitter Fichiers Ouvrir permet d ouvrir uniquement les fichiers pr enregistr s sous PendChaot2009 et d afficher les courbes correspondantes Fichiers Enregistrer comme son nom l indique permet de sauvegarder les donn es acquises dans un fichier sous format texte et d extension pch Fichiers Config Imprimante permet de s lectionner l imprimante sur laquelle devra s effectuer l impression des courbes Fichiers Imprimer pour lancer les taches d impression Menu Acquisition Ef Pendule Chaotique Version 5 0 Octobre 2008 Fichiers Traitements A Propos Param tres d Acquisition F3 Le menu Acquisition permet selon la page choisie via l onglet en bas de page d accueil d enregistrer et de
12. er doucement pour le mettre en mouvement Ne pas toucher le roue codeuse A pour obtenir ce r sultat Pendule Chaotique Page 8 Connections Le c ble DB15 est connect entre le pendule et l excitateur Le c ble DB9 est connect entre le pendule et le bo tier d entr es logiques via une terminaison DIN Relier la voie 0 respectivement la voie 1 du bo tier d entr es logiques la voie 0 respectivement la voie 1 du bo tier d entr es sorties de la carte d acquisition FastLab Relier l excitateur sortie output sync et l entr e synchro du bo tier de la carte d acquisition Faire attention ce c blage est n cessaire pour observer le diagramme de Poincar sur l ordinateur Mise en route et essais des diff rentes fonctions 1 V rifier que l excitateur est teint 2 Allumer l ordinateur A la mise sous tension l ordinateur se met sous Windows 95 Aller dans le r pertoire Pendule puis lancer le logiciel PCHAOT2005 EXE 3 Tourner le bouton amplitude compl tement gauche et allumer l excitateur 4 Si le bouton Drive est allum appuyer une fois pour l teindre Dans ce cas aucune excitation ne sera appliqu e au pendule Bouger doucement le pendule Une trace en spirale doit appara tre qui se rapprochera du milieu de la fen tre jusqu ce que le pendule arr te de bouger Si l amortisseur en cuivre B se trouve moins de 5mm de l aimant annulaire C le mouvement s a
13. esse Angulaire en fonction du temps cocher la case Vitesse Angulaire Temps Choisir l intervalle de temps utile en vue de la mod lisation par la fonction A expo B t en pr cisant les valeurs de 0 et tI dans le tableau qui s ouvre apr s Traitement Courbes Temporelles Afficher la r gion mod liser et d terminer la valeur de l aide du mode Curseur Passer en mode mod lisation Traitement Mod liser Remplir la case A par la valeur obtenue pr c demment tester plusieurs valeurs de B jusqu superposition des courbes exp rimentale et de mod lisation Noter la valeur de B correspondante qui est celle de b I Noter dans un tableau les valeurs de b I en fonction de la position du microm tre Tracer la courbe de b I en fonction de la position du microm tre du menu Traitement M thode 2 Ne faire cette exp rience qu en fin de TP si vous disposez de suffisamment de temps Supprimer tout signal de couple et positionner le microm tre la valeur d sir e D placer la main la masse du pendule d un angle initial faible puis le l cher Sous ces conditions l quation g n rale du mouvement se r duit d 0 de I b mgr0 0 7 dt dt s D Pendule Chaotique Page 21 Dans le cas amorti avec gt b I montrer que la solution analytique vaut 8 8 e cos t o Q b I et 0 a avec mgr I Des oscillations amorties sont montr es sur la figure suivante pou
14. liqu e peut tre lue en branchant un voltm tre la sortie Drive Amplitude derri re le g n rateur de tension excitatrice Pour chaque tension appliqu e enregistrer les valeurs des couples t et d68 dt Noms des fichiers Ex41 Ex42 Mesurer les valeurs de l aide du Curseur et tracer le graphe correspondant Faire d croftre ensuite Pendule Chaotique Page 28 progressivement la tension de couple en enregistrant les vitesses angulaires pour chaque valeur de V jusqu la transition vers un r gime non rotatoire Tracer le graphe correspondant et en d duire la valeur de l hyst r sis Reprendre la proc dure pr c dente pour d autres valeurs de Q et noter le changement dans la valeur de l hyst r sis Pendule Chaotique Page 29 RESONANCE S1 le pendule est soumis un couple harmonique suffisamment faible pour que les oscillations r sultantes soient de faible amplitude ainsi sin8 6 alors l quation du mouvement devient d 6 de I b mer0 Tsin ot dt dt Ca La solution stationnaire de cette quation vaut T I 0 sin o la a 6 D o Ainsi apr s que le r gime transitoire initial se soit amorti le pendule va osciller la fr quence impos e soit mais avec un d phasage La figure 10 illustre la r ponse en amplitude du syst me pour Il appara t que pour un amortissement b I donn les oscillations auront un maximum d amplitude pour une pulsation l g
15. me l effet de la gravit Dans ce cas l quation de mouvement devient Si l on impose une rotation initiale au pendule la main montrer que sa vitesse angulaire va d cro tre tout simplement avec le temps selon d 2 ex ID 6 dt d e f o Hi est la vitesse initiale Ceci appara t sur la figure 7 endule Chaotique Page 19 DAMPED PENDULUM growity OFF NORMALIZED YCLOCITY 1 6 20 24 NORMALIZFD TIME Figure 7 En enregistrant une s rie temporelle de donn es et en comparant les valeurs de d6 dt en fonction du temps avec celle d une exponentielle d croissante en ajustant la valeur de b I on peut construire le graphe de b I en fonction de la valeur lue au microm tre Mode op ratoire Mettre le pendule debout axe de rotation la verticale utiliser le niveau mis votre disposition pour s assurer que l axe du pendule est bien vertical Positionner le microm tre sur la valeur d sir e Faire ex cuter la commande Fichiers Enregistrer ou appuyer sur le bouton Enregistrer Pendule Chaotique Page 20 Donner une rotation au pendule la main puis cliquer imm diatement sur le bouton Valider ou frapper sur la touche Entr e Enregistrer des valeurs de d8 dt pour des positions vari es du microm tre Charger l un apr s l autre les fichiers enregistr s Pour chaque fichier afficher la courbe temporelle Traitement Courbes Temporelles de la Vit
16. r deux valeurs de b I gt Da DAMPED FENDULUM groviiy ON 2 4 DJ E r 5 2 Figure 8 Le temps a t normalis en unit s de To Puisque wo d j t d termin dans l exp rience 1 et 6 est l angle initial l expression ci dessus pourrait tre compar e aux donn es exp rimentales en ajustant la valeur du seul param tre Le param tre relatif d amortissement est alors donn par b I 20 En r p tant cette proc dure pour un certain nombre de positions du microm tre on peut construire la courbe de calibration de b I en fonction de la distance s parant la plaque d amortissement de l aimant annulaire Manipulation 1 Positionner le microm tre sur la valeur d sir e Pendule Chaotique Page 22 2 Enregistrer le fichier 500 donn es au minimum Recommencer pour une s rie de positions diff rentes du microm tre 3 A l aide de la fonction curseur menu Traitement Curseur ou bouton Curseur d terminer le d cr ment logarithmique cf TP Utilisation d un Logiciel d Acquisition de Donn es Noter dans un tableau les valeurs de amp en fonction de la position du microm tre Tracer la courbe de b I 2 en fonction de la valeur lue au microm tre Dans le compte rendu on prendra soin d expliquer comment l on a d termin le d cr ment logarithmique Facultatif Si vous avez eu le temps de faire les deux m thodes comparer les r sultats obtenus par l
17. rbites Un exemple en est donn par les deux figures suivantes obtenues partir des m mes donn es exp rimentales endule Chaotique Page 3 oo PERIOD 3 M TIN PESIO 3 MOTION 12 24 14 08 Figure 1 et 2 Dans ce cas particulier la repr sentation non repli e montre la r p titivit dans l espace des phases d orbites ferm es Dans le cas o un d calage d ensemble dans le sens des aiguilles d une montre ou l inverse est superpos aux oscillations il ne sera pas possible de contenir les orbites dans des intervalles finis de 6 Un intervalle tendu pourra cependant aider visualiser le mouvement comme on peut le constater sur la figure suivante PERIOD 4 MOTION Figure 3 La figure 4 montre une orbite chaotique typique trac e sur 5 cycles endule Chaotique Page 4 Figure 4 Le diagramme de Poincar Le diagramme de Poincar est galement trac dans l espace des phases mais 1l est obtenu en chantillonnant le mouvement du pendule une seule fois chaque p riode du couple sinuso dal d excitation Cela peut tre consid r comme une succession d images stroboscopiques du mouvement dans l espace des phases Un mouvement p riodique simple appara tra dans le plan de phase comme un point unique r p titif Un mouvement deux p riodes produira un diagramme de Poincar ne comprenant que deux points Et ainsi de suite Parce que ces points repr sentent des tats p
18. rement inf rieure la pulsation naturelle En r alit l expression de cette fr quence optimum d excitation vaut b 1 2 Pendule Chaotique Page 30 AMPLITUCE degrees DRIVE FREQUENCY Figure 10 L quation de d part peut tre mise sous la forme o est le facteur de qualit de la r sonance pour ce syst me de second ordre Sur la figure pr c dente les diff rents pics correspondent des valeurs de de 4 0 2 0 et 1 33 Remarquons que le r glage du microm tre d termine b I et par cons quent contr le effectivement le facteur Q sur une gamme de valeur consid rable L quation du mouvement est une approximation lin aire de l quation diff rentielle g n rale et n est valable que pour un mouvement du pendule ayant de faibles d placements angulaires c est dire un fort amortissement et ou faible couple d excitation Autrement la non lin arit due si 8 deviendra importante et des carts par rapport aux pr dictions pr c dentes interviendront Pendule Chaotique Page 31 EXPERIENCE 5 Etude du pendule la r sonance R gler le microm tre de sorte que le facteur Q soit de l ordre de 4 ou 5 cela sera d termin partir des valeurs de b T et d j connues R gler l amplitude du Pendulum Driver pour avoir des oscillations du pendule d environ 20 30 degr s lorsque la fr quence d excitation est gale D terminer ensuite dans une gamme de fr quence du g
19. riodiques stables du syst me ils sont appel s attracteurs Dans le cas du chaos par contre il n y a pas de p riodicit fixe sous jacente et ainsi chaque point nouveau sera diff rent de tous les autres dans l espace des phases Cependant au fur et mesure que les points s accumulent sur le diagramme de Poincar une structure distincte pourra merger On la d signe sous le nom d attracteur trange Un exemple obtenu partir de 2000 points enregistr s l aide du pendule est montr ci apr s Pendule Chaotique Page 5 STRANGE ATTRACTOR Figure 5 Travaux propos s Avant d aborder l aspect pendule chaotique un certain nombre d exp riences concernent successivement le pendule libre le pendule amorti le pendule excit et l tude de la r sonance Afin de vous aider dans la r alisation de ce TP il est imp ratif d avoir lu avant d aborder le travail pratique proprement dit la description du pendule chaotique son manuel d utilisation et celui du logiciel associ Pendule Chaotique Page 6 DESCRIPTION DE L APPAREIL L appareil consiste en un petit pendule dont l axe de rotation repose sur des roulements bille excit par une couple sinuso dal d amplitude et fr quence r glable Un amortissement d pendant de la vitesse est produit par les courants de freinage induits dans une plaque de cuivre par un aimant en anneau situ en regard La distance aimant plaque de c
20. rr tera en quelques oscillations En tournant la vis microm trique F le coefficient d amortissement peut tre modifi Lorsque l on ajuste l amortissement au vol c est dire quand le pendule est encore en train d osciller il est recommand de d placer l amortisseur en cuivre B vers l aimant annulaire C de fa on augmenter l amortissement du syst me Pendule Chaotique Page 9 Attention Ne pas d placer l amortisseur en cuivre jusqu toucher l aimant annulaire CARACT RISTIQUES TECHNIQUES DU SYST ME EM50 Daedalon Corporation Excitateur fr quence 0 3 3 Hz lecture LED 4 digits r solution 0 001 Hz cadence de mesure de la lecture Is controles Power switch interrupteur g n ral Drive switch interrupteur de l excitation Frequency adjust r glage de la fr quence Torque amplitude adjust r glage de l amplitude du couple Pendule r solution angulaire 0 1 longueur 2 cm fr quence naturelle seul 1 5 Hz 066 Hz avec tous les composants amortissement Q du pendule de 2 45 contr le de l amortissement par vis microm trique 0 12 mn amortissement par courant tourbillonnant d pendant de la vitesse cadence de mesure 50 KHz Ordinateur PC AT avec coprocesseur Ecrans accept s MCGA CGA EGA Mono VGA et Hercules Fr quence d horloge lt 20 MHz recommand e pour des r sultats fiables Pendule Chaotique Page 10 Le Logiciel de Captur
21. uivre est r glable par une vis microm trique Un capteur de position angulaire roue codeuse solidaire de l axe du pendule permet de rep rer les angles avec une pr cision de 0 1 Cette pr cision permet de faire des mesures quantitatives excellentes du mouvement du pendule Les oscillations forc es sont produites par un moteur sans balais ni enroulement Son rotor est en fait l aimant annulaire 8 p les fix sur l axe du pendule Le stator est constitu de 4 bobinages mont s sur un circuit imprim et aliment par un oscillateur de pr cision 4 0 001H Ce dispositif conduit un couple d excitation sinuso dal Un dispositif lectronique mont sur une carte d extension plac e dans l ordinateur d code la position et le sens de rotation du pendule la cadence de 50 KHz Manuel d utilisation pour le pendule chaotique EM50 Attention La roue codeuse A faite d un fin disque d aluminium ne doit pas tre manipul e au risque d tre endommag e Ne pas la toucher en excitant le pendule manuellement endule Chaotique Page 7 A roue codeuse E bobines d excitation B amortisseur en cuivre F vis microm trique C aimant annulaire M pendule D capteur de la roue codeuse MANUEL D UTILISATION Tourner la vis microm trique F en sens inverse des aiguilles d une montre pour carter l aimant annulaire C de l amortisseur en cuivre B Le pendule M doit alors se mouvoir librement Le touch
22. une et l autre Faire ressortir les avantages et les d savantages de chacune d elles Pendule Chaotique Page 23 EXPERIENCE 3 D termination de la relation entre la tension d entr e et le moment exp rience de calibration du couple Mettre l appareil debout avec l axe du pendule vertical de sorte que l effet de la gravitation soit annul Commencer en appliquant une tension continue de 0 5 V environ sur l excitateur Ajuster le microm tre amortissement de sorte que le pendule ne tourne pas plus de 1000 tours par minute de plus faire en sorte que la courbe enregistr e reste dans les limites de l cran Dans ces conditions l quation du mouvement s crit d 6 d8 T 8 FR dt Le pendule va acc l rer jusqu atteindre une vitesse limite On a alors 2 TAi qui report dans l quation pr c dente donne dt T _ o de I f dt limitee 9 En mesurant la vitesse limite pour diff rentes tensions appliqu es on peut construire le graphe du couple T I en fonction de V qui aura l allure suivante Pendule Chaotique Page 24 T pente b l Vc Vc tension critique qui met le pendule juste 90 Un tel graphe r v lera les d fauts de lin arit du circuit excitateur depuis les bobines excitatrices jusqu la g om trie du disque magn tique annulaire Le couple critique du pendule vaut T mgr Dans le cas o l axe du pendule est horizontal cette valeur du couple appliqu
23. ximal de d placement peut tre obtenu de fa on analytique partir de l quation diff rentielle 2 TT EKo 4 o K k est une int grale elliptique de premi re esp ce k sin 6 2 et To est la p riode du pendule dans le cas des oscillations infinit simales La variation de la p riode avec l angle de d placement maximal est illustr e sur la figure 6 o T Toest la p riode normalis e Cette exp rience doit tre r alis e avec un soin particulier Fe SA meon UNDAMPED PENDULUM 1 2 5 NORMALIZED PFRION o 10 20 30 49 ou EG 70 89 30 ANGLE dugreus Figure 6 D termination exp rimentale de To Pendule Chaotique Page 17 Mesurer la p riode du pendule pour une s rie d angles maximaux d croissants et extrapoler les donn es l amplitude nulle comme sur la figure 6 La pulsation naturelle est alors gale G 277 Ts Pour cela proc der de la fa on suivante Ecarter le pendule manuellement d un angle 6 de sa position de repos Faire ex cuter la commande Fichiers Enregistrer ou appuyer sur le bouton Enregistrer et donner un nom de fichier de m me que le nombre de points Il est conseill de donner des noms de fichiers simples de mani re pouvoir les rattacher plus tard l exp rience laquelle ils appartiennent exemple EX11 Ex12 pour fichiers 1 2 de l exp rience 1 et de choisir un nombre de points assez lev
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