TP Méthodes Numériques Modélisation d`une
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1. k est le terme de raideur qui d pend aussi du mat riel qui compose la corde En x effet dans l quation classique des ondes on consid rait la corde parfaitement flexible mais en r alit il faut une certaine force pour courber la corde quantifier par ce que l on appelle le module de Young Le coefficient de raideur a pour effet d affecter la r partition des harmoniques 1 JT fn nV1 Bn f fi 2L u en espa ant davantage les hautes fr quences et par cons quent de modifier le timbre Cette effet est quantifi via le param tre d inharmonicit B exprim par r3 Ed 64T o d est le diam tre de la corde et le coefficient de raideur s exprime par gt ADD ET N T2 e Les conditions initiales imposent que la corde soit fix e aux deux extr mit s u 0 t u L t 0 tout en Dera une rotation autour de ces points d attaches dans le cas contraire on au rait par exemple S 0 t 0 mais m contraignant les oscillations dans le plan vertical impos par les moments a 2u o t u 2 L t 0 La corde est pinc e donc d form e suivant la fonction uo x et l ch e l instant t 0 avec une certaine vitesse w x ce qui la fera osciller au cours du temps comme sur la Figure En pratique On dispose des caract ristiques de la corde L d T E u et on en d duit f1 B k Mais comme on pr f re se donner la fr quence d une note f on dit que la longueur L 1 est fix2. T6o w Montrer enfin que pour 2 fr quences donn es wi lt w2 on a Vo EC a5 E 7 Elwe Elwa Teo w1 5 TJ On d finira ainsi comme param tre un vecteur de perte loss w1 27 Teolw1 w2 27 Teolwa servant calculer co et o1 E Conditions initiales uo x et volz A l instant t 0 la corde est pinc e l abscisse x go et tir e la hauteur co donc on consid rera u x 0 uo x une fonction triangle comme illustr e sur la Figure 5 De plus on suppose que la corde est l ch e sans vitesse initiale donc vo x 0 E Enregistrement st r o et positionnement des micros La corde va ensuite osciller pour t gt 0 comme sur la Figure 2 et donc faire vibrer l air par son d placement et provoquer ainsi un son Pour enregistrer ce son il faut donc tre capable de mesurer les variations de d placements de la corde c est le r le des aimants plac s sous les cordes qui g n re par induction une force lectromotrice dans une bobine sous l action des vibrations de la corde modifiant ainsi le champ magn tique comme expliqu Figure 6 Ces aimants font donc office de micros et sont dispos s diff rentes positions sur la guitare comme en t moigne la Figure 7 Dans notre simulation nous allons consid rer 2 micros dont les deux positions au niveau de la corde sont donn es par le vecteur rp p1 p2 rp comme record position Le ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa
3. Bridge Picking location Nut Xo L xo FIGURE 5 tat initial de la corde u x 0 au moment du pincement t 0 vecteur out zeros 2 NF va donc enregistrer aux deux positions p et pz toutes les hauteurs de d placements u p1 et u p2 NF chantillons Ces positions ne co ncidant pas forc ment avec les points de discr tisation x ih il sera n cessaire de faire une interpolation lin aire Listing 1 Param tres d entr e SR 44100 taux d chantillonage B 0 001 param tre d inharmonicit f 110 fr quence fondamentale TF 4 dur e de la simulation xo 0 1 position o la corde est pinc e co 1 hauteur du pincement rp 0 3 0 7 positions des micros loss 100 10 1000 8 couples de fr quence temps d croissance Question 6 Ecrire un programme Scilab qui partir des param tres d entr e fournis e Calcule it rativement le profil de la corde vecteurs u tout en affichant l animation e Calcule et affiche le vecteur out enregistrant les vibrations aux positions des micros rp e Emet le son de la corde en stereo partir du vecteur out Vous pourrez crire les matrices B C directement via les commandes toeplitz et sparse Pour une aide Scilab quant la r alisation de l animation et du son se r f rer l annexe 1 4 Analyses qualitative et quantitative du son produit On commence par s assurer que la note simul e co
4. e Calculer et afficher la transform e de Fourier du signal s out 1 via la commande fft la sym trie vous permet de ne garder qu une partie du spectre ou de reposition ner correctement les fr quences autour de z ro via la commande f ftshift D terminer l indice auquel correspond le pic maximum du spectre Cette fr quence fondamentale est bien celle que vous avez d clar e en entr e e Quantitativement quel est l effet sur le spectre du param tre d inharmonicit B de la position xo o l on pince la corde vers le centre ou pr s de l attache appel e le chevalet e Qualitativement quels sont les effets de B et zo sur le timbre du son jou Le son produit par la corde de la guitare se propage dans l air jusqu l oreille et vient frapper le tympan membrane lastique mince et r sistante qui se d forme sous l action de la pression de l air et vibre la m me fr quence La fonction du tympan est de faire passer l information de l ext rieur air puis oreille externe milieu gazeux l int rieur oreille interne milieu solide et liquide Cette objectif est atteint gr ce au trois osselets marteau enclume trier Ce dernier tant en contact avec l oreille interne Le son actionne le marteau qui vient frapper l enclume dont la base est reli l trier Le passage au travers du tympan va donc transformer les vibrations de l air en vibrations m caniques puis enfin en l informati
5. o pour f 0 la membrane v rifie l quation T y w o A est l op rateur laplacien d finit par w ow Aw w Jr 0y On cherche r soudre le probl me suivant trouver w x y t sur une dur e T solution de w Pap TAw dans Qr Q x 0 Tp w x y t 0 sur Tr T x 0 Tp w x y 0 w x y sur Q ot Comme pour la corde de guitare la membrane est fix e sur le bord circulaire deuxi me qua tion condition de type Dirichlet poss de un d placement initial wo x y troisi me quation et une vitesse initiale nulle quatri me quation Afin de mod liser la vibration d une membrane circulaire il est plus pratique d utiliser les coordonn es polaires notamment pour l criture des conditions aux bords On note a gt 0 le rayon de la membrane circulaire 9 Q x y R 2 y lt a r z y E Dr y a 13 ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa Tdy e ox T tension par unit de longueur p masse par unit de surface f x y t densit surfacique de force ext rieure w x y t d placement transversal FIGURE 9 Forces de tension s exer ant aux extr mit s d un l ment de surface de la membrane Soit x y les coordonn es cart siennes d un point de la membrane et r 0 ses coordonn es dans la base polaire on a a Pos y r sin 0 0 arctan avec r 0 a et 0 0 27 On peut alors cal
6. analytique correspondant la condition initiale est Wex n 0 7 coS 0 37 J0 0 31 Comparer visuellement les deux solutions analytique Wer et num rique w ym en v rifiant qu elles poss dent bien le m me comportement Tracez l erreur relative en 7 0 en fonction du temps pour diff rentes valeurs de la CFL Qu observez vous Question 16 On fixe la CFL 0 8 Tracez l erreur relative globale Wer Wyumlls pour les grilles de taille No 80 N 40 N 40 N 20 et No 160 N 80 Comparez l erreur relative obtenue pour les trois diff rentes grilles et en d duire que le sch ma est d ordre deux en espace S Question 17 On souhaite pr sent repr senter le mode 1 1 pour cela on introduit la condition initiale suivante JA an cos 0 2 Cr ez une animation de la vibration de la membrane diff rents instants Dans le lien suivant http www acs psu edu drussell demos membranecircle circle html diff rents modes de vibration de la membrane sont repr sent s Vous pouvez ainsi comparer vos r sultats w n 0 0 1 10 Pour aller plus loin Nous avons mod liser et simuler le comportement d une membrane id ale tout en contr lant la pr cision du sch ma et sa stabilit On pourrait reprendre ce travail pour un mod le de membrane plus sophistiqu et donc plus r el qui comme pour le mod le avanc qu on a tudi pour la corde de guitare prendrait en compte l
7. sans raideur et de diam tre nul La corde initialement au repos occupe un segment le long de l axe des x car on n glige l effet de la pesanteur On d forme la corde dans la direction perpendiculaire y et on la l che Appelons u x t le d placement de la corde l abscisse x et l instant t Ecrivons l quation r gie par la corde pour une portion de corde l aplomb du segment x x dx de masse dm Aux ex tr mit s on a les forces F et F de module T s exer ant tangentiellement comme sur la Figure 1 Exprimons les forces F et F dans la base PME T T cos Qe sin 01E pi T cos bze sin 02e u donc r A G ut Da nn ae dr En consid rant les angles 1 et petits on a cos 4 1 et sin 0 tan 6 P R oT x dz t n Za ra tjdre Par ailleurs en utilisant la seconde loi de Newton qui relie la somme des forces l acc l ration 3 ou ou z F dm Je x tj udt J x t y Ainsi en projetant sur la corde est r gie par l quation des ondes u u y 1 07 dr q avec y yE la vitesse de propagation de l onde E Modes propres de la vibration d une corde Question 1 On cherche une solution de l quation 1 sous la forme u x t U x cos wt Les conditions aux limites tant u 0 t u L t 0 montrer qu on obtient une famille de solutions y l I Cor Bansin nr gt Un NTT ep nE ENSIMAG 1A TP M thode
8. TP M thodes Num riques Mod lisation d une corde de guitare et du tympan K VIN POLISANO MERIEM JEDOUAA kevin polisano imag fr meriem jedouaa imag fr 26 mars 2015 Incus Stapes in oval window Scala vestibuli ue J M Auditory canal Tympanie Round un membrane window Basil cala membrane tympani 1 l ments p dagogiques Objectifs L objectif de ce TP est de vous faire manipuler certaines m thodes num riques tudi es en cours travers une application acoustique afin de vous sensibiliser aux difficult s de d veloppement et de d ploiement des outils num riques Au terme de ce travail vous au rez mod lis physiquement deux probl mes vibratoires en 1D puis en 2D et d velopp des m thodes num riques pour d une part simuler le son d une corde de guitare que vous pourrez couter et d autre part de simuler et visualiser les vibrations de la membrane tympanique Ce TP sera r alis par bin me uniquement Vous programmerez dans l environnement Scilab disponible sur les stations de travail de l ENSIMAG et en t l chargement libre Le TP fera l objet d un rapport pr cis clair et concis mettant en avant les r sultats obtenus ainsi que vos observations sur les m thodes utilis es Il n y a qu un seul rapport rendre par bin me Organisation Une s ance d interactions concernant le TP est pr vue Nous vous invitons venir pr parer cette s ance Plus g n ralemen
9. a physique du mat riel composant la membrane et les diff rents termes d amortissements De cette fa on on peut alors mod liser un instrument de percussion comme un tambour une caisse claire ou une cymbale et en simuler le son mis Enfin on vous propose de d couvrir un ph nom ne vibratoire amusant apr s l effort le r con fort Il s agit des motifs de Chladni que vous seriez capable d expliquer en caract risant les lignes nodales des diff rents modes de la membrane c est dire les points de sa surface qui ne bougent pas au cours du temps w 0 Ainsi si on place de la semoule sur la membrane en vibration les grains se regroupent au niveau des lignes nodales Voyez par vous m me https www youtube com watch v 1yaqUi4b974 20 ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa Annexe aide scilab pour les animations et le son E Produire un son st r o avec Scilab C est tr s simple il suffit d appeler la commande playsnd out 1 size out 1 SR qui va envoyer chacune des 2 composantes de out aux 2 hauts parleurs qui vont reproduire les vibrations enregistr es en tenant compte du taux l chantillonnage SR Vous pouvez enregistrer les sons pour mieux les comparer via la commande savewave son wav out 1 size out 1 SR E Cr er une animation avec Scilab L encore ce n est pas bien compliqu il suffit d utiliser les commandes drawlater et drawnow Listing 2 Cr atio
10. b b3 ba 0 ce 0 b b b3 b On d finit la matrice Toeplitz suivante et son carr Question 4 Montrer que A 1 H o Da B 2 k Do t e e Di O o A oD E Stabilit du sch ma num rique Par une analyse de Von Neumann on montre que la condition de stabilit du sch ma s crit h VW i E jee 1 3 Programmation du sch ma implicite sous Scilab E Choix des param tres oo et c Question 5 Ecrire l quation caract ristique de l EDP en y injectant x t etib et montrer que pour go gt 0 et c gt 0 petits ses racines sont donn es par s o jw o o B 00 0187 w B V8 264 oo 0182 Ainsi la perte o B d cro t avec le nombre d onde B et vaut o quand la raideur n est pas prise en compte Montrer que d pend de la fr quence w o 2 4 Ak2w2 AE A E MP ReE 2K ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa hs n 2 PRO O PR ie O ERTEN O TEREE STEN O SA O E ARNA O Late F k n l ae Orres juer o giam Qosra jao i Time wu no o eese O Dans ana 2 hasta re Ses AEAEE EEEE OE PEPES O wines Step n 1 EPET O PERRETE O a pee e ni na PT O REPERE O dat n D ie Ormes Dresser sa res D ee Os l 3 l 2 l 1 l 1 1 2 1 3 Grid Index FIGURE 4 Les voisins utilis s dans le sch ma num riques On note Tio w la constante de d croissance d pendant de la fr quence w et d finie par 61n 10 g w
11. besoin d introduire des points dits fant mes ou virtuels qu on d signe par u et u 41 ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa Par la suite on d signera par u le vecteur des points de discr tisation de la corde t n m ug m ui T nM UN m UN Question 3 Montrer en utilisant les conditions aux limites que u_1 u1 et uy UN 1 puis que le sch ma num rique peut s crire sous forme matricielle M BUE O 8 avec les matrices de tailles N 1 x N 1 suivantes TN ONE nt LA O 0 ON Q1 Q2 a1 0 D 0 C1 C2 C 0 a 0 re 0 dj Q2 Qi ler 0 E2 0 C1 C2 Ci K 0 i 0 gt 0 a1 Q2 Q 0 0 Ci CO C 0 gt 0 0 0 1 0 gt 0 0 0 1 1 0 0 0 0 oae 0 b b3 b1 b2 b 0 zE 0 W E B gt EUNE 0 E bi b bs bo bi O 0 b b b3 b1 b 0 so e 0 0 0 0 1 Notons que les u et un sont connus et valent z ro on peut donc ne pas en tenir compte dans les calculs ce qui revient consid rer le vecteur n UN et les sous matrices centrales de taille N 1 x N 1 A B et C respectivement de A B et C pour lesquelles on a supprim la premi re et derni re ligne et colonne savoir a Qi 0 tee 0 C2 C1 0 ses 0 ai a2 ai De C1 C2 C1 A 0 Q a2 a 0 C 0 C1 C2 e 0 gt A CRE a 0 0 a 0 0 ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa b3 0b1 b b 0 e 0 bo b3 b b B bi b b3 b Le 0 2 bi
12. culer les d riv es partielles de u dans la base polaire r 0 en utilisant les formules suivantes z DEE a n aa On introduit les variables adimensionn es suivantes o c V repr sente la vitesse de propagation de l onde 14 ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa Question 8 Montrer que le probl me 0 devient EDP suivante en coordonn es polaires Trouver w n 0 7T solution de w w 1 w x 1 w OT Om nm 00 non 0 1 8 0 27 r gt 0 w 1 0 Tr 0 w n 0 0 wo ncos 0 n sin 0 10 COLA ot On ajoute cette quation une condition limite n cessaire en 7 0 w 0 0 T w 1 6 Discr tisation polaire de la surface 2D par un sch ma explicite Le but de cette partie est de discr tiser l quation des ondes dans la base polaire en utilisant un sch ma explicite Pour cela consid rons dans un premier temps une discr tisation de Q suivant une grille cart sienne 0 Ne x 0 N de pas uniforme dx dy form e par des points de coordonn es x y tel que zi idr O lt i lt Nz y jdy O lt j lt N dr ES dy wa On note dt le pas de temps et on approche la solution w x yj ndt par w Le laplacien est discr tis par un sch ma centr d ordre deux et on utilise un sch ma explicite d ordre deux en temps L ordre de ces sch mas peut tre v rifi en utilisant un d veloppement de Taylor Le sch ma explicite obtenu
13. e Aan T Imn ra p Les valeurs num riques des racines des fonctions de Bessel J sont fournies Table 1 Il en d coule que les fr quences propres Nm n ne sont pas des multiples de la fr quence fondamentale Par cons quent le son produit par la membrane n est pas harmonique 18 ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa 1 9 Code scilab du sch ma explicite et analyse des r sultats Afin de r soudre num riquement le sch ma explicite en coordonn es polaires on d finit w comme un tableau de taille N x No 1 avec n idn i 1 Nn 0 jd b j 1 No 1 On pose des conditions p riodiques en 6 w n 0 T w n 0 27 7 Question 14 On prend la condition initiale suivante w n 0 0 Jo 0 3n 13 avec 03 8 65373 la valeur approch e de la troisi me valeur propre de J correspondant la fr quence du mode 0 3 De cette fa on on a do 1 Ecrire un programme scilab qui r sout num riquement le sch ma explicite en coordonn es polaires de l quation 10 avec les donn es suivantes e 80 e N 40 e CFL 0 5 e il Utilisez la fonction besselj de Scilab pour impl menter la condition initiale voir Figure L1 Cr ez une animation repr sentant les vibrations de la membrane diff rents instants w FIGURE 11 Etat initial de la membrane 19 ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa Question 15 La solution
14. e u galement fix e une valeur donn e choix de la corde et c est donc la tension T qui permet d accorder sur la note d sir e ce qui permet de travailler sur une corde de longueur fix e pour notre choix de discr tisation Finalement les deux param tres du mod le et y se d duisent des param tres physiques f et B par VB ya 1 2 Discr tisation du mod le par diff rences finies Discr tisons la corde de longueur L 1 en N t 1 positions x lh avec 0 lt i lt S N et h et le temps en NF instants t nk avec k SE o SR est le taux d chantillonnage typique ment 44100 Hz Ainsi on approche la fonction continue u x t par u en la position x lh et au temps tn nk soit u x tn u lh nk u La grille de discr tisation est repr sent e Figure On rappelle les formules Taylor l ordre 4 suivant la variable x et t Ou h u h u ht tu ulz t h 2 r t u x h t u x t 3x a 22 7 aD tT 11 z a Du py EPt yy Eu g FO ot 21 0e 31 08 O T I o x t x t o h u z t k u x t k x t o k ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa FIGURE 2 Repr sentation de l volution du profil de la corde x u x t diff rents instants t n Le h NF ETEN O O ne O IEPENE O PRERA ne O T E E E E a E E n l O D D Dee Oii O ean a u Time n OO sn pres Dre Oee Step l tei aae 0 Os jase
15. e pour l quation des ondes 9 est n 1l n n 1 n n n n n n wij 2W Wij Witiy T Wij t Wig PLU 20 Wij dy 11 dt dx Question 9 En utilisant un d veloppement de Taylor et le sch ma explicite crire les conditions initiales et les conditions limites de l quation o obtenues pour wp p Wij sur la grille cart sienne Question 10 On note maintenant wp w idn jd0 ndt les valeurs aux noeuds de la grille polaire repr sent e Figure Ecrire le sch ma explicite de l quation 10 15 ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa Wi 1 5 1 FIGURE 10 Grille polaire On montre qu une condition limite en 7 0 sur la grille polaire se d termine en utilisant le sch ma explicite en coordonn es cart siennes 11 on obtient n 1 n n 1 a f1 Da Du vi j 1 1 7 Stabilit et pr cision du sch ma 1 7 1 Etude de la stabilit Commencons par une tude de la stabilit du sch ma explicite 10 pour cela on remplace wi dans l quation discr tis e par une solution d compos e en modes de fourier W p et lidz ciaz jdy Pi j n l p Question 11 Soit J le coefficient d amplification montrer que J v rifie l quation du second degr suivante J 7 1 0 avec dt dt y 2 20e cos aidx a g cos a2dy En admettant que le sch ma explicite 9 est stable sous la condition Pa en d duire que cette conditio
16. n d une animation dans une boucle for n i fin drawlater calcul effectif cit Plote drawnow end Pensez garder une fen tre d affichage fixe tout au long de l animation en ajoutant apr s plot Listing 3 Fixer les dimensions du rep re courant a gca a data_bounds xmin ymin xmax ymax Remarques pour afficher simultan ment l animation de la corde u et les 2 onde sonores out 1 et out 2 utilisez la commande subplot Pour acc lerer une animation il suffit de ne pas afficher tous les incr ments de boucle par exemple en utilisant la fonction modulo E Enregistrer les images de l animation et cr er un gif anim Pour enregistrer les images d clarer en t te de fichier driver Rec et ajouter dans la boucle Listing 4 Enregistrer des images sous Scilab nom_image image_ string n gif xs gif winnum nom_image Enfin on cr le gif anim l aide de la commande d ImageMagick suivante dans un terminal convert delay 10 loop O image_ gif animation gif 21
17. n de stabilit s crit aussi d Nat 2al Z 2 lt i mr z 16 ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa dxdy 4 dx dy Ainsi en posant h on obtient la condition de courant CFL lt 1 Cart sien 12 d CFL a lt 1 Polaire 1 7 2 Etude de la consistance On souhaite tudier la pr cision du sch ma explicite 11 en coordonn es cart siennes Question 12 En d veloppant w J su Vo Wir 1 par un d veloppement de Taylor montrer que le sch ma est d ordre 2 en temps t e l erreur de troncature est en o dt n n En suivant le m me principe avec les termes en espace why js Wg 1j Wij Wij Wgjp montrer que l erreur de troncature est en o dx dy Ecrire alors l erreur de troncature Fy du sch ma et en d duire que le sch ma est d ordre deux en temps et en espace Ainsi le sch ma explicite est consistant i 1 7 dt dx dy 0 1 8 Solutions analytiques On cherche une solution de notre quation d onde polaire sous la forme w n 8 7 F n 0 cos wr avec w la fr quence de vibration de l onde et F l amplitude Question 13 Ecrire l quation diff rentielle v rifi e par l amplitude F La condition limite F 1 0 0 nous permet de d composer l amplitude F n 0 sous la forme gt F n cos n0 Montrer que chaque Fn v rifie l quation de Bessel suivante avec wn F 1ldF a ERLE da Vo Les solutions de cette quation so
18. nt les fonctions de Bessel Par ailleurs c est une quation du second ordre il existe donc deux solutions lin airement ind pendantes La solution est donc de 17 ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa Anm m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 n 0 2 40483 5 52008 8 65373 11 79153 14 93092 n 1 3 83171 7 01559 10 17347 13 32369 16 47063 n 2 5 13562 8 41724 11 61984 14 79595 17 95982 n 3 6 38016 9 76102 13 01520 16 22347 19 40942 n 4 7 58834 11 06471 14 37254 17 61597 20 82693 TABLE 1 Valeurs des cinq premiers z ros des fonctions de Bessel Jn la forme Fa n dnn n enYn n avec les fonctions de Bessel d ordre n de premi re et deuxi me esp ce suivantes THODE m 0 Ja n cos nt J n n Ya n sin nT Or les fonctions Y x divergent au centre de la membrane 7 0 donc en 0 ainsi la solution analytique de l quation est donn e par w n 0 T cos wT gt dn Jnlwn cos n0 On s lectionne les fr quences en utilisant les conditions limites Par exemple dans le cas n 0 w n 0 T cos wr doJo wn ainsi w d crit les z ros de J puisque la condition aux bords est w 1 0 7 0 Si on note 1 0 la suite de ces z ros on obtient les fr quences propres de vibration de la membrane mo IT 1m Ina p En notant m n la m i me racine de Jn on obtient de m m
19. on nerveuse gr ce aux organes de Corti que le cerveau se chargera d interpr ter On se propose dans la partie suivante de mod liser la membrane tympanique en oscillations libres FIGURE 8 Le signal sonore fait vibrer la membrane tympanique 12 ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa Partie II Mod lisation de la membrane tympanique Dans cette partie la propagation d ondes en deux dimensions est illustr e par une vibration transverse d une membrane lastique 1 5 Mod lisation physique d une membrane circulaire libre fix e sur les bords On note Q le domaine occup par la membrane de masse par unit de surface p constante Consid rons un petit l ment de surface dxdy soumis des forces de tension T dans les directions x et y une force ext rieure de densit surfacique f x y t et w x y t la position transversale du point de coordonn es x y l instant t D apr s la seconde loi de Newton la somme des forces s exer ant sur dxdy s crivent w F pre y dxdy Sachant que la membrane est soumise aux forces suivantes repr sent es Figure 9 savoir 4 tensions F Tdy x y t F Tdy x dz y t F3 Tr x Uh Fi Tdr x y dy t et une force ext rieure F f x y t dxdy la somme des forces s crit o o o o F Tdy Z e de yt av J Tda Ees dy t Fy V F ay Ddrdy 2w 2w Or les termes entre crochets valent Sa et SE d
20. rrespond bien la fr quence fondamentale en entr e Par exemple pour f 110 Hz la note LA vous pouvez v rifier avec une vraie guitare ou encore en d crochant votre t l phone la tonalit est un LA par d faut Mais on se propose ici de le v rifier math matiquement apr s tout votre instrument est peut tre mal accord 10 ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa Bridge _ TS Nut 7 a X 0 X L signal 9 Le 2 x separate Pad Pa w w magnets i NE K s Fa x S a De 17 strings On FR z Pa N Pa N paap vibrating string ri pa a N D es 4 N N a LS rg 7 Pi wire coil wN a 2002 HowStuffWorks FIGURE 6 Sur le sch ma de gauche chaque micro compos d un aimant enregistre les d pla cements d une corde une position donn e point en orange sur le sch ma de droite donnant lieu un signal sonore en vert En effet la corde m tallique vibrant celle ci fait varier le circuit magn tique de l aimant ce qui g n re par induction une force lectromotrice dans la bobine proportionnelle la vitesse de d placement de la corde FIGURE 7 Position des micros sur une guitare Fender Stratocaster comprenant un humbucker micro double bobinage et deux micros simples 11 ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa Question 7 Dans cette question on attend de vous que vous preniez du recul quant vos r sultats obtenus
21. s Gjengs E OE EIAN jom O 0 l 1 l 1 N Grid Index FIGURE 3 Grille de discr tisation en temps et en espace ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa Question 2 En calculant u x h t u x h t resp u x t k u x t k montrer comme dans le cours que o DES t jnt Pappa E e et donc ou ie du 9x ai tk S pe uit 2u ua ou Ra SOET E geeet AG Qu pu 3 De m me en calculant u x 2h t u x 2h t A u x h t u x h t 6u x t montrer Sa tx pa ui 2 Au 6u du uro En d rivant chaque terme de la relation 3 gr ce au fait que u t x t k ulz t k 2K TE o 1 montrer que t 9x2 2kh En d duire que le sch ma implicite associ l EDP est ou 1 a n n 1 maril o pii m O pmi ur A E e 2u u n 1 n 1l n 1l QU AU Fauga F biui o F bzu F bazur F bou F biuro n 1 n 1l n 1 0 Hi k 201k k 201k az 1 ook or l oge k k yk 4r k DER S ke DU ND oo 1 h h4 T o e S e a e Les voisins consid r s sont ainsi repr sent s Figure 4 On constate alors qu il n y a pas de pro bl me d indices pour les points l 2 N 2 ON ni pour 0 et l N car la corde tant fix e aux extr mit s on a par hypoth se Vn ug un 0 En revanche pour l 1 et l N 1 on obtient respectivement l 2 1 et l 2 N 1 on a donc
22. s Num riques Polisano amp Jedouaa et donc par le principe de superposition que u s crit comme somme de tous les modes propres OS YE To Z X u x t 2 sin nr cos r avec o pL B u x 0 sin nr dx Comment varie la fr quence fondamentale f donc la note entendue quand la longueur de la corde augmente quand la longueur est divis e par 2 quand la masse lin ique diminue quand la tension augmente E Cas de la corde r elle avec raideur et amortissements La corde r elle est r gie par l quation aux d riv es partielles suivante Du 0u 0U Ou du ae l ae on Vo otor o u o u u 0 t u L t za 0t za 2t 0 2 u z 0 uol S0 vola Ou e 209 est le terme d amortissement du aux frottements de l air qui tend ramener la corde dans sa position d quilibre Cette force de r sistance d pend de la longueur de la corde L de la vitesse de propagation de l onde y et du spectre de fr quence 3 u ddr o a aey les propri t s intrins ques du mat riel transformant l nergie cin tique en nergie thermique et donc contribuant galement ramener la corde l tat d quilibre e 20 regroupe les termes de r sistances internes et de processus dissipatifs induits par FIGURE 1 Forces de tension s exer ant aux extr mit s d une portion de corde infinit simale ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa 4 u
23. t n h sitez pas demander des conseils des pr cisions ou poser vos questions par mail aux enseignants de TP Le travail demand dans ce TP est cons quent Nous vous encourageons fortement d buter le travail le plus t t possible Livrables Notez que ce sujet ne constitue que la base de ce qui vous est demand soyez critique par rapport vos r sultats proposez d autres id es solutions ou tests La mise en oeuvre de techniques de visualisation est fortement encourag e La derni re page de votre compte rendu devra tre une sorte de manuel d utilisation o vous expliquerez comment utiliser vos programmes La lisibilit du code et la pertinence des commentaires seront pris en compte dans la note du TP La qualit de la r daction de la synth se de l analyse des r sultats obtenus sont des crit res importants pour la note Le TP est rendre avant le 4 mai 2015 17h sous Teide le livrable devra contenir e le compte rendu au format PDF ne contenant pas de code e le code Scilab que vous avez utilis e les images animations qui mettent en valeur votre travail ENSIMAG 1A TP M thodes Num riques Polisano amp Jedouaa Partie I Mod lisation et simulation d une corde de guitare 1 1 Mod lisation physique On consid re une corde de guitare de longueur L en m de masse lin ique pu en kg m dont on applique une force tension T en Newton aux extr mit s d o elle est fix e E Cas suppos
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