Une méthode pour optimiser la conduite de l`irrigation
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1. tres des tuyaux puissance de la pompe La date finale t T correspond la date de r colte suppos e exog ne Soit Y la fonction de rendement de la plante Cette quantit d pend uniquement de la biomasse finale la date T et est not e Y Mr Le profit par hectare irrigu de l agriculteur s crit T 1 H r Y Mr Crr gt cq Cr 5 t 1 o r est le prix de la production suppos exog ne et d terministe Cpr les co ts fixes de production c le prix de la ressource en eau est une variable binaire qui prend la valeur 1 si l agriculteur irrigue et 0 sinon Cp repr sente les co ts fixes par tour d eau d irrigation dus aux co ts de travail et d nergie 2 2 Les conditions n cessaires d optimalit Le probl me de maximisation du profit de l exploitant agricole est le suivant T 1 Mage ra gt CG 6 Cr r Y Mr Crr 6 t 1 4Cette date pourrait tre endog n is e et d termin e par la condition de transversalit Misi a M fi M V A Vin Vi Mi vi qe pt 1 Qui Qt 41 0 si 0 qt s c 1 st g gt 0 lt lt pour q gt 0 M2 gt 0 V20 Q20 M M Fer Q1 Q On supposera qu en t 1 la biomasse a atteint un niveau exog ne M et que l on d marre avec un r servoir pleine capacit V Les lettres en parenth ses 4 1 Pt 1 11 repr sentent les variables adjointes associ es aux dynamiques des variabl2. 12 L ensemble des conditions 7 12 d crivent le sentier des d cisions d irrigation optimal Il n est pas possible de d gager des solutions analytiques Il convient alors de recourir une approche num rique pour obtenir des solutions ce probl me 3 La proc dure num rique de r solution La difficult de ce probl me r side d une part dans la d finition des fonctions consid r es et d autre part dans la taille de l espace des d cisions admissibles Nous proposons une m thode pour r soudre chacune de ces difficult s l utilisation d une m thode de Monte Carlo pour limiter l espace des possibles section 3 1 et le couplage d un mod le agronomique un mod le de calcul conomique section 3 2 6On consid re qu il n y a pas de cultures suivantes sur la parcelle TPeu de probl mes de contr le peuvent tre r solus de fa on analytique 3 1 Limitation de l espace des possibles utilisation d une m thode de Monte Carlo D finissons tout d abors l espace des d cisions admissibles puis proc dons une limitation de cet espace par une m thode de Monte Carlo 3 1 1 D finition de l espace des admissibles Le mod le g n ral est rendu op rationnel gr ce la d composition de certaines variables notamment les variables de d cisions Alors que dans le mod le analytique les variables de d cision sont les quantit s d eau apport es chaque p riode g
3. a A 6 La dynamique des valeurs in situ du quota est Vi Sis er ad Q441 a 0 si Q gt 0 A 7 e Les conditions de transversalit Les conditions de transversalit permettent de fixer le sentier des d cisions optimal Elles sont d finies de la fa on suivante oll ay Ar 3Mr r dMr A 8 oll eee A PT OVr 9 17
4. algorithme de r solution int grant un mod le agronomique un module de calcul cono mique et un moteur de recherche de l optimum Enfin nous appliquons notre approche pour optimiser les d cisions d irrigation pour des donn es relatives la r gion du Sud Ouest de la France Dans cette r gion la ressource en eau est limit e Cet article est organis comme suit Le mod le de prise de d cisions d irrigation est expos d un point de vue analytique dans la section 2 Nous d gageons alors les conditions n cessaires d optimalit de ce programme La proc dure num rique de r solution est d crite dans la section 3 La section 4 pr sente une application de notre m thode des donn es portant sur le Sud Ouest de la France pour diff rents climats Finalement nous concluons dans la section 5 2 Le mod le Pr sentons dans un premier temps le cadre th orique puis dans un second temps d cri vons les conditions n cessaires d optimalit 2 1 Le cadre d analyse Pour simplifier on consid re un agriculteur unique qui produit et irrigue une seule culture sur une p riode de temps correspondant celle d une campagne Ce producteur agricole fait face une offre d eau limit e not e Q initialement n goci e et disponible pour toute la cam pagne d irrigation L exploitant agricole dispose d une connaissance parfaite des conditions climatiques auxquelles il fait face On consid re une culture don
5. de l optimum Pla ons nous pour un quota fix et pour des conditions climatiques donn es Le mod le agronomique EPIC PHASE d termine pour chaque conduite d irrigation possible le rendement de la culture C est un mod le de simulation de croissance de la plante qui fonctionne pas de temps journalier Il d crit les principales relations du syst me sol climat technique plante Il permet de pr voir la croissance de la plante en fonction de l volution du stock d eau du sol et il value au final le rendement de la culture Ce mod le nous fournit pour un niveau de quota donn et pour des conditions climatiques fix es les couples sp Yx x 1 K s quences de d cisions tir es al atoirement rendements Etant donn s les prix des facteurs et de la production le mod le conomique int gre cette information et calcule le profit pour chaque s quence de d cisions Au final l algorithme d optimisation globale reposant sur un 8Le mod le EPIC Phase a t d velopp par la station d agronomie INRA Toulouse Cabelguenne et Debaeke 1 11 Fic 1 Proc dure num rique de r solution pour un quota donn et pour des conditions climatiques fix es balayage de l espace des s quences d finit la s quence de d cisions qui maximise le profit de l agriculteur Nous obtenons alors le profit maximis 7 Nous r p tons cette proc dure pour diff rents niveaux de quotas et pour diff rents
6. p riodes de floraison et de remplissage des grains Il est constitu de tours d eau espac s de 5 10 jours Ce calendrier r sume le comportement des agriculteurs limit s en ressources disponibles Nous avons fixer la quantit d eau disponible 1500 m3 hectare Pour appr hender la variabilit climatique le mod le utilise les relev s m t orologiques des ann es ant rieures de la station agronomique d Auzeville Chacune des ann es est consi d r e comme un sc nario climatique possible pour la campagne venir Nous disposons d un fichier de 14 ann es climatiques de 1983 1996 contenant les relev s journaliers observ s Il couvre l ensemble des situations climatiques possibles dans la r gion 4 4 R sultats 5 Conclusion R sum de l article Extensions cadre al atoire fonction de demande en eau raisonnement au niveau de l exploitation agricole Nous supposons que des apports plus pr coces en phase v g tative au profit des p riodes plus sensibles l eau sont interdits 10Cette quantit correspond la moyenne des quantit s d eau totales d clar es et utilis es par les agricul teurs de Midi Pyr n es durant la campagne d irrigation 14 R f rences 1 Cabelguenne M Debaeke P 1995 Manuel d utilisation du mod le EWQTPR Epic Phase temps r el version 2 13 Ed Station d Agronomie Toulouse INRA 2 Fishman G S 1995 Monte Carlo Conc
7. 440 F tonne Ce prix de march est connu pour chaque ann e Les co ts totaux com prennent un terme variable li la consommation un terme fixe d au tour d eau et un terme fixe li aux autres frais Les co ts fixes regroupent les frais d engrais 750 F ha de semences 750 F ha de phytosanitaires 450 F ha et d assurance gr le 200 F ha ils sont chiffr s 2150 F ha Les co ts par tour d irrigation sont valu s 150 F ils comprennent les co ts d nergie et de travail Les co ts variables sont fonction du co t marginal du m3 ha de la ressource valu 0 25 F ha 4 3 Hypoth ses Les donn es n cessaires au mod le EPIC PHASE ont t cr es par exp rimentation sur le site d Auzeville Cabelguenne et Debaeke 1 Il s agit d un sol profond argilo sableux de profondeur de 1 60 m avec une r serve utile importante gale 300 mm environ caract ristique de la r gion consid r e 13 La culture s lectionn e pour les simulations est le ma s en raison de son importance relative dans la zone tudi e Les itin raires techniques hors irrigation sont d crits par un calendrier type des op rations culturales hors irrigation qui a t r alis l aide des recom mandations des agronomes de l INRA ainsi que de l observation des pratiques des exploitants de la r gion et consid r comme optimis Le calendrier d irrigation est d fini de mi juin fin ao t mois qui correspondent aux
8. Une m thode pour optimiser la conduite de Virrigation dans un contexte de raret de la ressource en eau Christophe Bontemps St phane Couture et Jean Philippe Terreaux 14 mai 2002 Version pr liminaire 1 Introduction Le probl me d optimisation de la conduite de l irrigation n est pas un probl me r cent mais tend toujours tre am lior De plus les v nements r cents de s cheresse ou de restrictions de tours d eau pour l irrigation ont soulign l importance d un tel probl me l offre d eau alllou e aux agriculteurs tant de plus en plus limit e Diff rentes domaines de la recherche se sont pench s sur ce probl me cela va de l agronomie l hydrologie tout en passant par l conomie Ce probl me qui semble a priori simple devient en fait tr s vite compliqu r soudre d un point analytique de par essentiellement des diff rentes fonctions qui interviennent dans la description du probl me citons comme exemple la fonction de LEERNA INRA Toulouse bontemps toulouse inra fr CEMAGREF Montpellier couture montpellier cemagref fr IGREF CEMAGREF Montpellier jean philippe terreaux cemagre fr production Mais avant tout il convient de d finir ce probl me qui est le suivant Un exploi tant agricole dispose d une quantit d eau totale limit e qu il doit r partir au mieux au cours de la saison d irrigation sur une parcelle de culture donn e Nous tentons alors de r pond
9. ces arguments Plus le d veloppement de la plante est important plus la plante cro t fm gt 0 Plus la r serve utile est importante plus la plante cro t fy gt 0 La dynamique de la r serve utile est donn e par un bilan net apports pr l vements View Vi Mi Vi qe 2 La fonction g synth tisant le bilan net entr es sorties est une fonction continiment dif f rentiable d croissante avec ces deux premiers arguments et croissante avec le dernier Plus la plante cro t plus elle consomme de l eau Plus le stock d eau est important plus la plante pr l ve de l eau Plus l apport par l irrigation est important plus la r serve utile augmente La quantit d eau disponible au cours de la campagne volue selon le processus suivant Qi41 Qi gt h 3 Le quota a une dynamique d croissante La quantit d eau apport e chaque p riode de d cision q est contrainte par la condition suivante q gt u gt q pour q gt 0 4 La fonction de transition de la biomasse est une fonction tr s complexe faisant intervenir un nombre tr s important de variables Pour faciliter la pr sentation du cadre th orique de notre analyse nous avons simplement consid r ces deux variables comme les plus importantes 3On note fm SAS Une dose d irrigation ne doit pas correspondre des niveaux trop faibles ou trop lev s Les apports minimal et maximal sont contraints par le mat riel diam
10. e estim e comme une fonction du nombre de ti rages qui doit tre d termin pour atteindre un r sultat de pr cision donn e La simulation utilise des nombres al atoirement tir s ce qui n cessite de d finir une m thode permettant de cr er ces nombres Il est n cessaire de d terminer en premier lieu le nombre de simula tions n cessaires pour avoir une solution satisfaisante sans trop allonger les temps de calcul 10 Il faut en second lieu d finir la proc dure de cr ation de nombres pseudo al atoires e Evaluation du nombre de simulations Le premier probl me est la d termination du nombre de simulations afin d obtenir un r sultat satisfaisant Nous cherchons d terminer le nombre de simulations le plus faible n qui garantit une pr cision de grandeur avec un niveau de confiance de 1 avec 0 lt lt 1 soit pour 1 et 5 une pr cision de 1 avec un niveau de confiance de 95 Selon Fishman 2 la d termination de ce nombre peut tre r alis e par l utilisation de l in galit de Tch bychev e Cr ation de nombres pseudo al atoires Le deuxi me probl me est li la d finition de la proc dure de g n ration de suites de nombres pseudo al atoires Hammersley et Handscomb 3 3 2 Algorithme de r solution Nous avons cr une proc dure num rique Figure 1 int grant le mod le agronomique EPIC PHASE 8 un mod le conomique et un algorithme de recherche
11. epts Algorithms and Applications Springer New York 3 Hammersley J M Handscomb D C 1967 Les m thodes de Monte Carlo Dunod Paris 4 Rao N H Sarma P B S and Chander S 1990 Optimal multicrop allocation of sea sonal and intraseasonal irrigation water Water Resources Research 26 4 551 559 5 Yakowitz S 1982 Dynamic programming applications in water resources Water Re sources Research 18 4 673 696 6 Zavaleta L R Lacewell R D and Taylor C R 1980 Open loop stochastic control of grain sorghum irrigation levels and timing American Journal of Agricultural Econo mics 785 792 15 A Les conditions n cessaires d optimalit A 1 L Hamiltonien L Hamiltonien H du probl me 6 s crit Ay c qe Cr Atra gt fel Me Vi pen gt ge Mi Vi qe Qu Qe A 1 L Hamiltonien est la contribution totale l objectif final due au passage de la p riode t la p riode t 1 si l on applique le contr le q et si l on a l tat du syst me Mi Vi Q Il comprend 4 termes le premier repr sente la contribution directe l objectif final les trois autres d crivent les variations des variables d tat et peuvent tre consid r s comme les contributions indirectes chaque p riode de d cision t il faut tenir compte de la contrainte technique 4 que doit respecter la dose apport e Notons v et D les multiplicateurs associ s cette cont
12. es d tat Elles s interpr tent comme les contributions marginales d une unit suppl mentaire de la variable d tat sur l objectif final ou les prix implicites de ces variables chaque p riode de d cision Nous allons maintenant appliquer la th orie du contr le pour d gager des r sultats ana lytiques relatifs aux conditions n cessaires que devrait v rifier le sentier de d cisions optimal Comme f gt 0 la plante cro t toujours entre deux intervalles et donc M t gt 0 Vt 1 7 Une situation o la plante meurt n est pas envisag e On suppose pour les m mes raisons que le r servoir sol n est jamais vide sinon la plante p rit et donc que V t gt 0 Vt 1 7 Il en r sulte que les contraintes d tat pures M t gt 0 et V t gt 0 ne sont jamais satur es sur l intervalle 1 T Les conditions n cessaires d optimalit d crivant le programme d irrigation optimal sont les suivantes e Le principe du maximum discret lt CF Qtil si q 0 Pei C a si q Elgg 7 gt C 1 st q Cette condition 7 d termine l opportunit d une irrigation Si la valeur de l eau dans le r servoir sol p41 est sup rieure la valeur du quota az41 augment e du co t unitaire variable c alors l exploitant agricole irrigue sinon il n irrigue pas e Le syst me des quations adjointes Les valeurs de la biomasse Via To eT of oa aM an
13. ew Pt 1 A1 t IM o VE 8 La variation au cours du temps de peut tre positive ou n gative Elle d pend Comme par hypoth se 2 gt 0 du signe de A1 ROM oie 2a OM M V Pt 1 OM Mf V a et a lt 0 la valeur d avenir de la plante augmente si la productivit marginale de la re dans le r servoir sol est sup rieure la productivit marginale en valeur de la biomasse Les valeurs de la r serve utile li s Pad Of Og Pi Pe At av k Mz v Pt AL M V 9 p peut augmenter ou diminuer au cours de la saison son sens de variation d pend _ oft s Ogt oy du signe A1 av eee Pt 1 Sv PERT qui est ind termin par les hypoth ses pos es La valeur de l eau dans le sol augmente si la productivit marginale de l eau Les d tails des calculs sont donn s en Annexe A dans le r servoir sol est sup rieure la productivit marginale de l eau en tant que facteur de croissance de la biomasse Les valeurs du quota Qt41 Qt 0 si Qi gt 0 10 az est une constante a tant que l irrigant n a pas puis tout son quota e Les conditions de transversalit dY Ar rig MD 11 pr 0 12 La valeur marginale de la biomasse a la date de r colte doit galiser la recette marginale quation 11 L eau contenue dans le r servoir sol n a plus de valeur apr s la r colte quation
14. lante connues sont des p riodes de forte sensiblit de la culture au stress hydrique Nous imposons alors que durant ces p riodes ici t 4 5 6 7 au minimum irrigations sont r alis es Fixons A 2 3 1 2 Balayage de l espace des possibles par une m thode de Monte Carlo Malgr les contraintes impos es aux s quences de d cisions l espace admissible reste encore tr s grand Par exemple pour le cas limit suivant l agriculteur dispose d un quota de 1500 m ha et a choisi de r aliser 4 tours d eau il existe alors 218400 s quences de d cisions possibles Le nombre de s quences est relativement important et il n est pas possible de balayer l ensemble de l espace des admissibles C est pourquoi nous avons opt pour l utilisation d une m thode de Monte Carlo pour obtenir une solution notre probl me L objectif est de tirer al atoirement parmi l ensemble des s quences possibles un certain nombre de points et d arriver ainsi une solution notre probl me e Principes de base La m thode de Monte Carlo est une m thode num rique permettant de r soudre des pro bl mes math matiques tr s complexes pour lesquels il n est pas possible d obtenir sans res trictions trop fortes des solutions analytiques Elle repose sur la r alisation de simulations qui utilisent des s quences de nombres al atoires Elle fournit des solutions approximatives L erreur statistique de ce r sultat peut tr
15. n e sur une p riode de temps correspondant celle de la campagne t 1 T Au cours de cette p riode de temps l agriculteur prend de multiples d cisions Ces derni res contribuent a fixer le niveau de deux variables de choix qui peuvent varier dans le temps la d cision d irriguer et la quantit d eau apport e a chaque date A la date t 1 l agriculteur conna t l eau disponible pour la saison Q la r serve utile V et l tat de la biomasse de la plante M L agriculteur doit prendre des d ci sions d irriguer ou pas chaque date t 1 T 1 et doit choisir la quantit d eau appliqu e not e q chaque date t Par cons quent nous faisons face un probl me dyna mique de choix discrets horizon fini sous offre d eau limit e avec les trois variables d tat Mi Vi Qi pour t 1 T La r serve utile est le stock d eau dans le sol accessible par la plante La formation de la biomasse de la plante est un ph nom ne dynamique d fini par le processus suivant Mi M fel Mi V 1 Cette expression du d veloppement de la biomasse n est en fait qu une forme synth tis e de la dynamique de la croissance de la plante Le changement de biomasse f est suppos n tre qu une fonction de son tat de d veloppement M et du stock d eau contenue dans le sol V La fonction f est suppos e contintiiment diff rentiable et croissante en chacun de
16. qr_1 dans la proc dure num rique nous raisonnons en terme de s quence sur l ensemble des d cisions prises pour toute la campagne La conduite d irrigation est alors un vecteur de quantit s s q qr 1 On suppose par la suite que la saison d irrigation comprend 10 p riodes de d cision Soit s S une s quence de d cisions d finie par S q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8 Qo No avec S l espace des s quences de d cisions admissibles Cet espace S est d fini par S s q lt q10 tel que a lt Q 13 t 1 q lt u lt G pourg gt 0 14 10 A lt Tta gt 0 lt A 15 t 1 ia A y Laso 2 16 t 4 L exploitant agricole dispose d un quota fix Q pour toute la campagne La somme des quantit s apport es pour toutes les p riodes doit tre inf rieure ou gale au quota quation 13 S il d cide d irriguer une date les quantit s apport es sont limit es pour des raisons 9 techniques quation 14 la dose minimale est fix e q 20 et la dose maximale q 80 Les quantit s interm diaires augmentent par pas de 10 Le nombre de tours d eau est aussi limit quation 15 au minimum l agriculteur doit effectuer A tours d eau et au maximum il peut proc der A arrosages Posons A 2 et 8 On impose en plus des contraintes sur certaines variables de d cision On sait d un point de vue agronomique que certaines p riodes de croissance de la p
17. rainte Le Lagrangien L pour la p riode t s crit alors Li Hi r q d 7 3 4 A 2 A 2 Les conditions n cessaires Les conditions n cessaires d optimalit obtenues par la th orie du contr le sont d compo s es en trois cat gories le principe du maximum discret le syst me des quations adjointes et les conditions de transversalit qui doivent cependant tre r solues simultan ment afin d obtenir le programme de d cisions d irrigation optimal e Le principe du maximum discret A chaque p riode de d cision t 1 T 1 la variable de contr le q doit maximiser l Hamiltonien H sous la contrainte 4 Une condition n cessaire d optimalit est que q maximise L chaque tape t pour t 1 7 1 OL 3a 0 gt c pi Qty 0 A 3 t 16 que l on peut r crire lt c at1 si O0 Pi c ay si ue A 4 gt C st q e Le syst me des quations adjointes Le syst me des quations adjointes d finit la dynamique des valeurs in situ c est dire la dynamique des variables adjointes associ es aux variables d tat 1441 Pt 1 41 La dynamique des valeurs in situ de la biomasse est d finie de la fa on suivante PE T 0H Nes O fil Ma Vi 2 firs Ogi Mi Vi qe ROLE yp aM dr une Les valeurs in situ de la r serve utile voluent selon la dynamique suivante Vt 1 7T 1 Pt 1 Pt an A ie H PH Dh
18. re deux questions quand irriguer et combien d eau apport e chaque application Il existe dans la litt rature diff rentes proc dures de mod lisation pour valuer la conduite d irrigation optimale Principalement ces m thodes font appel des techniques de formalisa tion math matique courantes telles que la programmation dynamique Yakowitz 5 Rao et al 4 la th orie du contr le Zavaleta et al 6 Cependant il est tr s difficile d obtenir des solutions analytiques ce probl me il faut alors avoir recours des techniques num riques plus ou moins sophistiqu es L objectif de cet article est de proposer une m thode originale pour r soudre le probl me d allocation optimale d une quantit d eau limit e Dans un premier temps nous d crivons le programme de l exploitant agricole Ce dernier doit r partir au mieux une offre d eau fix e au cours de la saison d irrigation afin de maximiser son profit de fin de campagne Nous d gageons alors en utilisant la th orie du contr le les conditions n cessaires d optimalit et expliquons la prise de d cision du producteur agricole Dans un deuxi me temps nous proposons une m thode num rique permettant d obtenir des solutions notre probl me des solutions analytiques n tant pas calculables Notre m thode repose d une part sur une limi tation des espaces des choix possibles par une m thode de Monte Carlo et d autre part sur un
19. sc narios climatiques 4 Une application 4 1 Description de la r gion Nous appliquons cette m thodologie pour d finir les conduites d irrigation optimales avec des donn es se r f rant la r gion du Sud Ouest de la France Dans cette r gion d limit e 12 par le bassin hydrographique de la Garonne l agriculture repr sente le premier poste de pr l vements d eau et les deux tiers des consommations nettes sur l ann e Elle est souvent cit e comme zone o les conflits autour de la ressource en eau sont importants L irrigation de cette zone est r cente et caract ris e par une part importante de grandes cultures comme le mais Les besoins d irrigation varient de fa on importante en fonction des donn es clima tiques L eau n cessaire pour l irrigation essentiellement par aspersion est pr lev e surtout en rivi re de fa on individuelle ou collective r aliment e artificiellement par des r serves de haute montagne 4 2 Donn es Deux types de donn es ont t utilis es La premi re concerne les donn es n cessaires pour utiliser le mod le de simulation agronomique Il s agit de donn es relatives la culture consid r e aux param tres climatiques et p dologiques et aux itin raires techniques La deuxi me cat gorie porte sur les donn es conomiques n cessaires pour calculer le pro fit de l agriculteur Le prix de march de la culture dans la r gion tudi e est en moyenne de 1
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