AAAI Proceedings Template - combien?
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1. Hese ooo et ia couleur if 7 est n est pas nelle est dans l ment tel que la hauteur eur est noire 2 3 l ments tels que la haute n est pas dans t la couleur est corsier El Jeina Figure 1 D tection des erreurs Dans une interface p dagogique il faut pouvoir laisser l l ve la possibilit d exprimer sa solution et donc de commettre des erreurs mais seulement celles qui sont int ressantes du point de vue p dagogique Dans le projet Combien nous avons restreint le domaine en contraignant l l ve l utilisation d une m thode de r solution la m thode constructive Nous avons limin une famille d erreurs inint ressantes en contr lant l interface menus d roulants dynamiquement construits autorisation d utilisation de boutons s quencement Nous avons pu ainsi tablir une liste d erreurs possibles pour chaque machine certaines erreurs tant communes plusieurs machines Nous avons associ tous les types d erreurs r pertori s des sch mas d erreurs Ceux ci sont d finis par une arborescence pattern dans laquelle les n uds sont valu s par des variables et une condition reliant certaines de ces variables A chaque ajout d une sous arborescence partie de solution cr e par l l ve la machine recherche dans sa base les sch mas d erreur qui sont pertinents dans le contexte correspondant Pour chacun de ces sch mas el2. construire une solution Le raisonnement sur les diff rentes tapes de la construction permet de calculer le nombre d l ments de l ensemble d nombrer Progression P dagogique Les machines sont pr vues pour tre utilis es en quasi autoformation Un manuel d utilisation est attach chaque machine L aide contextuelle correspondante est propos e aux diff rentes tapes de la construction de la solution L l ve a sa disposition les machines correspondant chaque classe Ces machines contiennent chacune des exercices appropri s L l ve peut ainsi apprendre reconna tre la classe des exercices La classe de l exercice ne se reconna t pas imm diatement partir de l nonc Par exemple les exercices Dans un groupe de 10 personnes combien y a t il de fa ons de choisir un pr sident un tr sorier deux secr taires et Combien y a t il de mots de 10 lettres prises dans l ensemble p t s r et contenant 1 p 1t 2 s font partie de la m me classe Construction liste Lorsque l l ve aura appris reconna tre la classe d un probl me il lui sera pr sent une machine g n rale partir de laquelle il devra sp cifier la classe de probl me pour pouvoir r soudre R alisation les machines construire Nous avons d fini et r alis un diteur d interfaces EDIREC pour cr er des machines sp cifi es par des interacteurs En utilisant EDIREC nous avons r alis les machines
3. les experts du domaine Les professeurs de math matiques enseignant les d nombrements ont eu plus de mal que les l ves suivre la m thode induite par les machines En effet leur enseignement n aboutit pas l utilisation syst matique de cette m thode Cela les a oblig s changer leur fa on de raisonner Pour les premiers probl mes de la liste ils auraient volontiers donn le nombre r sultat directement sans en donner une justification Pour les probl mes plus d licats de la m me classe ils ont appr ci le fait de devoir justifier chaque tape Validation des interfaces par un ergonome Le but de cette exp rimentation tait de valider l interface du point de vue ergonomique L ergonome a commenc par tester syst matiquement le comportement de l interface sans s occuper de d nombrement Puis finalement s est pris au jeu et s est forc r soudre Conclusion Les trois types d exp rimentateurs ont appr ci l apparence de l interface machine Construction ensemble et le fait que cette m me apparence se retrouve dans les autres machines Cela permet d appr hender les concepts sous jacents Ils ont r alis l int r t de la m thode car cela leur a permis de r soudre des exercices dont la solution n tait pas vidente Ils ont r solu tous les exercices dans l ordre de la liste ce qui ne leur tait pas impos Ils ont tous appr ci la progression qui leur a permis au d part de se familiariser av
4. Un logiciel pour apprendre r soudre des exercices de d nombrement H l ne GIROIRE Fran oise LE CALVEZ Jacques DUMA G rard TISSEAU Marie URTASUN http www math info univ parisS fr combien l Equipe SysDef LIP6 Universit Paris6 8 rue du capitaine Scott 75015 Paris M l lt Pr nom gt lt Nom gt lip6 fr CRIPS5 Universit Ren Descartes 45 rue des Saints P res F 75270 Paris Cedex 06 M l lt Pr nom gt lt Nom gt math info univ parisS fr Lyc e technique Jacquard 2 rue Bouret F 75019 Paris M l dumajd club internet fr R sum Dans le cadre du projet Combien nous avons construit des interfaces p dagogiques pour apprendre r soudre des probl mes de d nombrement Nous pr sentons rapidement la m thode de r solution sur laquelle reposent ces interfaces Nous avons class les probl mes de d nombrement en fonction de leurs sch mas de r solution Chaque interface correspond une classe de probl mes Elle permet l l ve de r soudre et d tecte incr mentalement les erreurs commises Nous indiquons ensuite la progression p dagogique li e l utilisation de ces interfaces Nous pr sentons alors les diff rentes exp rimentations r alis es avec diff rents types de public Mots cl s Environnement d apprentissage interface p dagogique mod lisation r solution de probl mes d tection d erreurs exp rimentation d nombrement Abstract In the Combien project we bu
5. ation et une m thode efficace de d nombrement consiste expliciter cet algorithme et l analyser pour pr voir combien d l ments il va engendrer sans qu il soit n cessaire de l ex cuter c est ce que nous avons appel la m thode constructive C est cette d marche que nous voudrions voir suivre par l l ve Elle est d ailleurs fr quemment utilis e par les l ves et dans les manuels mais de mani re informelle et implicite ce qui cr e des difficult s La m thode a l avantage de permettre l laboration d une d monstration rigoureuse des solutions mais elle exige une mod lisation pr alable de l nonc et utilise des concepts math matiques encore peu familiers des l ves du niveau consid r Classification des probl mes et interfaces L observation de certains experts montre qu ils connaissent des classes de probl mes classiques et qu ils savent leur associer des sch mas valides de d finitions constructives et injectives Ils proc dent en d terminant la classe du probl me par l analyse de son nonc puis instancient le sch ma associ pour engendrer la d finition constructive quivalente L int r t de cette m thode est qu elle garantit la validit des solutions lorsqu elle est applicable Nous avons labor une classification des probl mes de d nombrement en vue de la r solution Le Calvez Urtasun Tisseau Giroire and Duma 1997 A chaque classe de probl mes nous avons associ une machine
6. correspondant aux classes Construction ensemble Construction liste Construction association La figure 1 pr sente la machine Construction ensemble au cours de l laboration de la solution de l exercice n 9 Le contr le de l activit est partag entre la machine et l l ve Toutes les machines se pr sentent sous la m me apparence Construction de la solution Chaque machine se pr sente pour l l ve sous forme d une interface p dagogique qui le conduit construire par tapes successives la solution d un exercice de la classe consid r e d finition de l univers puis des diff rentes tapes de d finition des contraintes Cette solution est repr sent e sous forme d une arborescence dont les n uds sont valu s par des objets du mod le conceptuel du domaine que nous avons d fini Tisseau Giroire Le Calvez Urtasun and Duma 2000 A chaque validation de l l ve la machine construit une sous arborescence qu elle va rattacher l arborescence en construction C est au moment de ce rattachement que la machine recherche les erreurs commises par l l ve en utilisant le m canisme de d tection incr mentale d erreurs qui est d crit dans Giroire Le Calvez Duma Tisseau and Urtasun 2002 Z Machine Construction Ensemble LIOLx lt p Univers gt l 2 r Construction tape Effacer cette tape On veuttirer 1 Lx l ments v rifiant 2 propri t s zl faner fes
7. ec l outil et ensuite de se concentrer sur les difficult s des probl mes Un des buts de notre approche est d apprendre aux l ves qu il faut d montrer un r sultat et qu utiliser une m thode syst matique permet de r soudre des probl mes de plus en plus difficiles Notre logiciel s est av r un bon outil pour apprendre aux l ves justifier leurs r sultats num riques dans les probl mes de d nombrement R f rences Giroire H Le Calvez F Duma J Tisseau G and Urtasun M 2002 Un m canisme de d tection incr mentale d erreurs et son application un logiciel p dagogique Actes de RFIA 2002 1063 1072 Angers Le Calvez F Urtasun M Tisseau G Giroire H and Duma J 1997 Les machines construire des interfaces pour apprendre une m thode constructive de d nombrement 5 mes Journ es francophones EIAO 49 60 Baron Mendelsohn and Nicaud eds Herm s Tisseau G Giroire H Le Calvez F Urtasun M and Duma J 2000 Design principles for a system to teach problem solving by modelling Lecture Notes in Computer Science N 1839 ITS 2000 393 402 Montreal Springer Verlag
8. ier groupe de trois l ves n avait pas abord les d nombrements Ils se sont tout de suite lanc s dans l utilisation de l interface Ils ont consid r cela comme un jeu de d couverte et ont eu beaucoup d changes entre eux Ils n ont pratiquement pas utilis l aide Ils se sont pris au jeu et ont r solu tous les exercices alors que nous pensions qu ils n en r soudraient que quelques uns Les l ves ont demand faire d autres exercices correspondants d autres classes d exercices C est ce moment l qu on leur a montr les autres machines Ces l ves sont arriv s pour le cours en sachant r soudre les exercices de la classe correspondant la machine Construction ensemble et en ayant une id e de la fa on de r soudre les exercices des autres classes Le deuxi me groupe de trois a travaill avec la machine apr s avoir eu cinq heures d exercices de d nombrement sans v ritable cours en classe Bien que ce soient des l ves moins attir s par les math matiques ils ont t plus rapides et ont eu le m me plaisir r soudre les exercices Dans les deux groupes les l ves ont commenc par se focaliser sur la valeur num rique obtenir puis se sont int ress s la d monstration que la machine les conduisait faire Dans les derniers exercices ils ne s int ressaient plus cette valeur num rique mais se focalisaient sur la d finition des diff rentes tapes de la d monstration Public cible
9. ilt pedagogical interfaces to help students learn combinatorics First we present the solving method on which these interfaces are based Combinatorics problems are classified according to their solving schemata Each interface corresponds to a class of problems It allows the student to build a solution and detects the errors incrementally Then we show the pedagogical progression inherent to the use of these interfaces Finally we describe the experiments in different context learners teachers ergonomist Keywords Learning environment pedagogical interface modelling problem solving error detection experiment combinatorics Introduction Le projet Combien a pour but de d finir une m thodologie de conception de diff rents composants d un EIAH Environnement Interactif d Apprentissage Humain Pour valider nos r flexions nous r alisons un syst me p dagogique d aide l apprentissage humain dans le domaine math matique des d nombrements L objectif n est pas tellement de former des experts en d nombrement c est dire capables de d terminer le nombre d l ments d un ensemble mais plut t d entra ner les l ves la mod lisation et de les rendre capables de repr senter une situation par une structure complexe Cette capacit est essentielle dans les activit s de conception comme l atteste l importance croissante accord e actuellement aux m thodes de mod lisation en g nie logiciel Nous pensons
10. le regarde si le pattern s apparie avec la sous arborescence ajout e Dans ce cas elle cherche si la condition du sch ma est v rifi e par les objets qui instancient les variables du pattern li es par la condition S il en est ainsi une erreur a t commise Une base de sch mas d erreurs est associ e chacune des machines Toutes les machines sont construites suivant le m me mod le et poss dent leur propre base d erreurs Exp rimentations Nous avons fait trois types d exp rimentations en parall le Pour chacune des exp rimentations la machine pr sent e est la machine Construction ensemble pourvue d une dizaine d exercices La liste des exercices est ordonn e par ordre de difficult croissante Conditions d exp rimentation Le manuel de pr sentation est disponible en ligne mais aussi sous forme papier En ligne les pages sont accessibles de fa on contextuelle par la commande Dans toutes les exp rimentations la machine a t propos e comme un outil de r solution de probl mes de d nombrement Nous avons demand aux exp rimentateurs d exprimer haute voix toutes leurs pens es L exp rimentation proprement dite a port sur cette machine mais les exp rimentateurs ont pu voir et utiliser deux autres machines la machine Construction liste et la machine Construction association Public cible des l ves de terminale Nous avons proc d deux exp rimentations diff rentes Le prem
11. que les exercices de d nombrement sont un bon point de d part pour cela et que la m me d marche se retrouve dans d autres domaines comme les probabilit s et l algorithmique Nous avons d fini les fondements math matiques d une m thode de r solution la m thode constructive adapt e aux conceptions usuelles des l ves et permettant d acc der la th orie math matique du domaine Tisseau Giroire Le Calvez Urtasun and Duma 2000 Nous avons d fini une classification des probl mes du domaine et les sch mas de r solution associ s aux diff rentes classes Nous avons introduit pour chaque classe une machine construire une solution Chaque machine se pr sente pour l l ve sous forme d une interface p dagogique qui le conduit construire la solution d un exercice de la classe consid r e Nous pr sentons ensuite diverses exp rimentations r alis es avec diff rents types de public M thode Constructive Les exercices de d nombrement de la classe de terminale sont de la forme Etant donn s des ensembles servant de r f rentiels compter dans un certain univers les l ments v rifiant des contraintes de s lection Il est possible de calculer le cardinal de l ensemble d nombrer sans num rer ses l ments mais simplement en raisonnant sur la fa on dont on pourrait les num rer En effet la liste des l ments peut tre donn e comme le r sultat de l ex cution d un algorithme d num r
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