Comparaison de différentes approches numériques dans l`analyse
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1. canique s inscrivent dans le cadre de la th orie des plaques poutres et coques Parmi ces derni res Courbon 1955 Mandel 1959 Timoshenko ef al 1961 qui reposent sur de nombreuses hypoth ses l lasticit lin aire par exemple nous citerons uniquement deux analogies simples celle de la poutre lastique doublement encastr e soumise un chargement uniforme q perpendiculaire cette derni re et celle d une plaque ou dalle lastique charg e dans son plan et reposant sur plusieurs appuis Le domaine de validit de telles approches est relativement bien d fini et est conditionn par de nombreuses hypoth ses rapport paisseur sur longueur lin arit sollicitation statique ou dynamique nature des appuis etc Or 1l a t montr sur quelques cas simples Laouafa ef al 2005 que la distribution pour certains plans des sollicitations induites par l excavation perd son uniformit et que l intensit des sollicitations ainsi que leur distribution spatiale dans le massif est de nature complexe Par cons quent les hypoth ses requises par les m thodes analytiques sont rarement respect es Les m thodes analytiques bien qu ais es mettre en uvre n apportent qu une r ponse partielle et parfois erron e Ces approches demandent donc souvent tre compl t es par des m thodes num riques plus raffin es palliant certaines des insuffisances des approches analytiques 3 2 M thodes num riques Parmi le2. en prenant en compte la d formabilit compressibilit K corrig e des appuis au niveau de la couche exploit e Le mod le de comportement actuellement adopt est celui de Mohr Coulomb avec crouissage Au terme des calculs il est offert la possibilit l utilisateur de g n rer des discontinuit s fractures dans les zones plastifi es points mat riels situ s sur le crit re de rupture Ces fractures actuellement verticales transforment des poutres initialement continues portant sur deux appuis partiellement encastr es en poutres consoles poutre devenant libre sur une de leurs extr mit s L utilisation du code PRF2P est tr s interactive Elle n cessite des connaissances et ma trises en g om canique et g ologie de mani re rendre l activation des fissures la plus objective possible Soulignons qu un crit re bas sur l nergie de fracturation classiquement utilis en m canique de la rupture a t int gr Cependant la d termination de ce param tre est illusoire dans le contexte qui est le n tre Les approches num riques classiques l ments finis diff rences finies n cessitent de poser le probl me en terme de conditions aux limites de conditions initiales et de d finir le plus pr cis ment possible les lois d volution g n ralement non lin aires de ce probl me Dans le contexte des travaux souterrains ce pr alable ne peut tre atteint que partiellement 3 Comparaison de diff
3. 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 Comparaison de diff rentes approches num riques dans l analyse des ph nom nes d instabilit de type fontis Nicolas Poirot Sadjia Kecili Laouafa amp Farid Laouafa INERIS Institut National de l Environnement Industriel et des Risques Direction des Risques du Sol et du Sous sol Parc technologique ALATA BP n 2 F 60550 Verneuil en Halatte France nicolas poirot ineris fr R sum Au voisinage d anciennes exploitations souterraines situ es faible profondeur peuvent appara tre des ruptures la surface du sol se caract risant par des crat res appel s fontis Dans l objectif de l am nagement du territoire il est n cessaire de pr dire l ventuelle survenue et les cons quences de ce type de ph nom ne Au vu de la complexit du probl me les m thodes analytiques montrent en g n ral rapidement leurs limites Les m thodes num riques sont quant elles plus performantes Cependant ces derni res n cessitant un grand nombre de donn es dont l information n est que partiellement accessible peuvent conduire des r sultats et conclusions erron s C est pourquoi une approche semi analytique a t d velopp e La comparaison des r sultats obtenus par cette approche ceux issus des calculs par l ments finis sur un cas r el montre que la m thode est pertinente Abstract In the vicinity of old shallow underground mining works fail
4. 8 18L J 0 010833 48L 0 012644 0 0099998 0 01542 0 0091665 0 018197 LL 1416F 16 0 0083332 0 020974 0 0074999 0 023751 0 026527 al 0 0066666 44L 0 029304 0 0058332 0 032081 0 0049999 L 0 034857 12 J 0 0041666 12 0 037634 0 0033333 0 040411 0 0025 10t 10F 0 043188 0 0016666 0 045964 0 00083332 0 2 4 6 8 10 12 FIG 5 Distribution de la plasticit gauche et isovaleurs du d placement vertical droite Calculs par l ments finis EF JOB TITLE 10 JOB TITLE UDEC Version 5 10 UDEC Version 3 10 LEGEND LEGEND 28 Feb 07 9 10 s 28 Feb 07 9 09 cycle 212985 cycle 212985 no zones total 514132 Y displacement contours at yield surface 0 contour interval 1 000E 02 yielded in past xX 29352 24 5 000E 02to 0 000E 00 tensile failure 0 3 block plot 5 000602 4 000602 3 000602 2 000602 1 000602 0 000 E 00 block plot INERIS INERIS Verneuil en Halatte Verneuil en Halatte FIG 6 Distribution de la plasticit gauche et isovaleurs du d placement vertical droite Calculs par diff rences finis DF 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 Le r sultat d une simulation num rique avec le code PRF2P est pr sent sur la figure 4 On constate que l boulement est remont jusqu au dernier banc qui n est pas auto poteur constitu d un mat riau tr s peu r sistant Les mod lisations num riques de ce milieu s
5. NE Se NY _Hauteur Plafond A bas 54 96 Do8 1 g Y gt S N A EN TE F 7 FIG 3 Vue en plan d une carri re souterraine et coupe lithologique du recouvrement gauche Coupe sch matique du recouvrement stratifi utilis dans la construction du mod le num rique PRF2P droite La contribution m canique des poutres contenue dans la variable P est fonction de la CIETAS EE E A L Cui Em1 Vntr Daris Cais aY Pilier Galerie Pilier Ta Mur rigidit flexionnelle des strates des d placements verticaux de ces derni res et naturellement des conditions cin matiques que l on impose aux interfaces d collement autoris ou non Les interfaces ont t suppos es parfaitement lisses et par cons quent aucun effort de cisaillement n existe En consid rant l ensemble des strates le probl me r soudre se ram ne un syst me d quations diff rentielles ordinaires Mandel 1959 fond dans le cadre de la th orie des poutres Courbon 1955 et reliant les d placements aux efforts sollicitations de la forme suivante v x K aw i For v v Vu Ka Par int grations successives on obtient les moments fl chissants les efforts tranchants les efforts normaux et les d placements verticaux v dans l ensemble du massif Ces variables tant fonction des conditions aux limites d finies aux niveaux des appuis la m thode initiale a t enrichie Abass et al 2004
6. e condition que les mat riaux foisonn s venant combler le vide n aient pas conduit par auto comblement l arr t du processus La venue au jour de cette cavit donne alors naissance un crat re appel fontis qui prend en g n ral une forme plus ou moins circulaire dont le diam tre et la profondeur d pendent des caract ristiques des terrains de recouvrement et des dimensions initiales des cavit s souterraines droite TE CEE T a vetia an T i E Pahis x ATEN n CT a PRE D TA a Fe RE cr AR Ep sen TRS CE de Ba ATE LEON PRE a aa e E patee TE i pe a ji T T es e Ta m pe m e Mens a mn ne a a m Ce me me cles co o cn Spf Dje a a un mu en TRAE i n a SEEI Ne RENE JE een 5 Tie is shr La et EE Pr ET LP SP Pt EE re tarte d un crat re ki aurloce et g remplis du uige iniba per he temoin atffonche ot R ice outil or le terrain elfarck s et liani ouie rrene b coment tg giu vida Initio et ch FIG 2 Sch matisation de la cin tique de formation d un fontis d bouchant au jour L exp rience acquise montre que l occurrence de fontis au droit des cavit s souterraines d pend galement de nombreux autres param tres g om triques et g om caniques la hauteur du recouvrement les caract ristiques des joints de discontinuit la hauteur de la couche exploit e le coefficient de foisonnement de chaque couche l histoire des sollicita
7. es Parmi les nombreuses sources conduisant la rupture nous nous int ressons uniquement un ph nom ne de rupture se caract risant par un effondrement localis de faible extension de la surface du sol classiquement nomm fontis f1g 1 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 2 Probl matique du fontis Le fontis est un effondrement localis de la surface du sol apparaissant en g n ral au droit d anciens travaux souterrains peu profonds inf rieurs 50 m Il r sulte de la progression ascendante d un boulement initi au sein de travaux souterrains Le ph nom ne de fontis s initie par une chute de toit c est dire une rupture du ou des premier s banc s rocheux surmontant le vide souterrain fig 1 et 2 Le plus souvent ce d sordre pr curseur se rencontre au niveau des carrefours de galeries o la port e est la plus grande Puis leur tour et selon la nature du recouvrement les bancs rocheux sup rieurs rompent successivement suite leur incomp tence supporter l exc dent de sollicitation du la redistribution du champ de contrainte Le toit de la cavit souterraine remonte et prend une forme de vo te appel e cloche de fontis Le d veloppement du vide adopte en g n ral une forme de chemin e verticale de diam tre sensiblement constant Enfin les ruptures des bancs se d veloppant l boulement souterrain continue remonter et finit par d boucher en surfac
8. es que la g ologie et la g om canique d obtenir des r sultats pertinents L outil semble prometteur mais des am liorations sont toutefois envisag es Elles concernent la prise en compte du cisaillement entre les strates Des travaux sont galement men s sur l tablissement ou la d finition d un crit re de rupture automatique activation de fissure R f rences Abass Fayad A AI Heib M 2005 Une nouvelle m thode de pr diction de fontis gr ce une mod lisation par poutres plastiques Revue Europ enne de G nie Civil vol 9 n 9 10 pp 1067 1093 Abbass Fayad A 2004 Etude de stabilit de fontis au toit des carri res souterraines et traitements apport s aux cons quences induites en surface Th se doctorat INPL Ecole des mines de Nancy France Abbass Fayad A 2004 Manuel d utilisation du code Logiciel de Pr vision des Fontis par Poutre Plastiques PRF2P Rapport INERIS R f INERIS DRS 04 45828 RN04 Al Heib M 2001 Effets et cons quences des mouvements du sous sol sur le b ti Synth se des principales m thodes de pr vention et de protection R f rence INERIS DRS 01 25315RNOI Courbon J 1955 Cours de r sistance des mat riaux Dunod Mandel J 1959 Les calculs en mati re de pressions des terrains Ed La Loire R publicaine 16 pl Jean Jaur s Saint Etienne France Timoshenko S Woinowsky Krieger S 1961 Th orie des plaques et coques Librairie Polytechnique CH B range
9. r Vachat J C 1982 Les d sordres survenant dans les carri res de la r gion parisienne M moire dipl me Ing nieur CNAM Paris
10. rentes approches num riques sur un cas Il s agit d une ancienne carri re de calcaire grossier du bassin parisien exploit e par la m thode des hagues et bourrages D apr s la base de donn es de l Inspection G n rale des 4 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 Carri res de Paris Vachat 1982 le fontis venu au jour dans la carri re de Malakoff pr sentait un diam tre de 2 5 m et une profondeur de 2 m Surface Surface LOOmiban n LOO m fbanc n9 Mam 1 00 mfbanc n 8 Calc_alt 0 50 mfbanc n 7 0 50 mibanc n 1 00 m fbar n Calc_alt 0 50 m fbar n 0 50 mibanc n 1 20 mibanc n 8 00 m Caillasse 1 20 mfbanc n5 8 00 m 0 80 mibanc n Mames 0 80 m fbane n Mames 1 00 m fbar n L 00 m fbane n 3 1 25 m fbar n Calc_alt 1 25 miban n2 0 75 m fban n 0 75 m fban n L 2 00 m 200m 8 00 m 8 00 m FIG 4 Pr sentation g om trique de la cavit et des mat riaux du toit configuration de la galerie gauche Exemple de remont de fontis obtenus avec PRF2P Le d veloppement du fontis a eu lieu au dessus d une galerie de 8 m de largeur et de 2 m de hauteur Du point de vue lithologique le recouvrement pr sente des bancs de calcaire plus ou moins alt r s alternant avec des bancs de marnes et caillasses La hauteur totale du recouvrement est de 8 m T T l l i CARE 0 0015366 0 013333 m 0 0043133 0 0125 0 0070901 0 011666 0 009866
11. s m thodes les plus couramment employ es on citera les mod lisations aux l ments finis EF les mod lisations aux diff rences finies DF et les approches semi analytiques S1 les deux premi res approches sont largement r pandues la troisi me constitue une voie originale suivie et d velopp e l INERIS pour r pondre la probl matique consid r e Il s agit notamment d une approche qui a d bouch sur la mise au point du logiciel PRF2P Abass 2004 Al He b 2001 Cette approche a t d velopp e en consid rant un milieu repr sentatif d un recouvrement type constitu de plusieurs strates tel que celui repr sent sur la figure 3 ci dessous L approche s appuie sur de nombreuses hypoth ses joints lisses entre les strates distribution uniforme due au poids propre etc Abass 2004 2005 En supposant que l intensit de la contrainte normale s exer ant sur la partie sup rieure d une strate est ind pendante de l abscisse x consid r e l quilibre partiel d une strate n conduit Le 0 OF Expression dans laquelle y H et P d signent respectivement le poids volumique du mat riau de la couche n l paisseur de la couche n et l incr ment variation de sollicitation qui est fonction des d formabilit s ou des raideurs des couches n et n 1 fig 3 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 CET AG N VA N AD g af la a TTE T Ne Se
12. tions thermo hydro m canique que le site a subi la d gradation des propri t s m canique avec le temps vieillissement etc Le ph nom ne appara t donc manifestement complexe et la qualification de la pr disposition d un site d velopper des fontis n est pas ais e N anmoins plusieurs m thodes sont mises en uvre pour tenter d appr cier la pr disposition d un site d velopper de telles ruptures 18 Congr s Fran ais de M canique Grenoble 27 31 ao t 2007 3 M thodes analytiques et num riques utilis es dans l analyse des fontis 3 1 M thodes analytiques Parmi les m thodes analytiques on citera la m thode la plus simple l approche dite volumique qui se contente de comparer le volume disponible au fond au sein des travaux souterrains au volume pond r par un coefficient de foisonnement sup rieur 1 des mat riaux devant s y bouler pour que puisse na tre un d sordre de type fontis en surface Si le volume au fond n est pas suffisant pour accueillir le volume de mat riaux boul s alors la survenue d un d sordre de type fontis est suppos e impossible Cette m thode pr sente l int r t de n cessiter peu de connaissance sur le milieu et donc d tre ais e mettre en uvre En revanche en occultant toute composante m canique du ph nom ne elle s av re tr s s curitaire et ne permet pas de nuancer la pr vision Les m thodes analytiques qui int grent une composante m
13. tratifi avec un code aux l ments finis ont t effectu es en adoptant les m me param tres m caniques et g om triques Les figures 5 et 6 ci dessus illustrent le d veloppement de la plasticit dans le recouvrement ainsi que les isovaleurs du champ de d placement vertical Notons que les deux calculs ont converg Cela signifie que num riquement la configuration est stable Cependant il appartient aux mod lisateurs d appr cier le degr de stabilit en fonction de la densit de la distribution de la plasticit et du poids des hypoth ses qu il a effectu es pour mener bien ces calculs L examen de la figure 5 nous conduit penser ce qui est le cas que la configuration est instable est que le fontis se r alisera 4 Conclusions L examen des zones de plastification obtenues par les deux approches EF et ED confirment que le recouvrement est affect par la plastification Cependant ces deux approches utilis es dans ce cadre semi continu ne parviennent pas fournir la forme g om trique de la cloche d boulement L int gration d algorithme prenant en compte le d veloppement explicite et la propagation de la fracturation dans ces deux approches nous semble difficilement r alisable l heure actuelle La difficult tient beaucoup plus aux incertitudes pesantes sur les conditions initiales du probl me Le logiciel PRF2P Abass et Al He b 2005 permet sous r serve d une certaine ma trise des disciplines tell
14. ures may appear on surface with development of craters called sinkholes In the regional planning program it is necessary to predict the probability of occurrence of this type of phenomenon as well as its consequence Considering the complexity of the problem the analytical methods appear generally unsufficient The numerical methods are as for them more powerful However they require a great number of data that are only partially accessible which can lead to erroneous results and conclusions This is why in order to circumvent these difficulties a semi analytical approach was developed The comparison of the results obtained by this approach with those resulting from calculations by finite elements on a real case shows that the method is relevant Mots clefs fontis mod lisations num riques approche analytique 1 Introduction Sur l ensemble du territoire national l extraction des diff rentes ressources min rales souterraines issues de mines ou de carri res a conduit la cr ation puis l abandon de nombreuses cavit s souterraines Dans l objectif de l am nagement du territoire la question de l tat et de l volution de la stabilit de ces vides souterrains ainsi que des cons quences d un ventuel effondrement sur des ouvrages ou des infrastructures avoisinantes devient primordial L exp rience acquise dans le domaine r v le que plusieurs types de rupture peuvent tre induits par des cavit s souterrain
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