Sujet de l`examen
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1. EHI N N Ona bien s r N N 1 Montrer que la valeur du coefficient af jde N E repr sente exactement le nombre de chemins de longueur k dans le graphe G 2 Est ce que les coefficients af j ne prennent en consid ration que les chemins simples sans cycle Expliquer 3 Lorsqu on veut calculer le nombre de chemins de longueur inf rieure n entre tous les sommets de G l algorithme naturel se fait en O n Expliquer le Peut on adapter l algorithme de Floyd dans ce cas Expliquer votre r ponse 1 Dans cet exercice la longueur d un chemin est le nombre d arcs composant ce chemin 3 4 Universit Paris Diderot L3 Informatique Math Info EIDD Ann e 2010 2011 Exercice 4 Rendre la monnaie 8 points NB cet exercice ne porte pas sur les graphes mais on pourra s inspirer de la m thode utilis e dans l algorithme de Floyd pour la question 2 b On souhaite construire un algorithme pour obtenir une somme S S est un entier partir de n gt 1 sortes de pi ces de valeur v1 Un On suppose que pour chaque valeur v le nombre de pi ces disponibles est illimit On suppose de plus que Un gt Un 1 gt gt v1 et que v 1 1 On consid re l algorithme suivant o les v sont stock es dans un tableau Val Le tableau Sol est utilis pour d crire une mani re de composer une somme Solfi donne le nombre de pi ces de valeur w La somme correspondante est donc EZ Solfi Valfi P2. Prof Moy Dcc a x qui retourne la moyenne des profondeurs des oc currences de x dans a On suppose pour cette fonction qu il y a toujours au moins une occurrence de x dans a Ecrire une fonction R duction a m M o m et M d signent deux entiers tels que m lt M qui retourne un ABR contenant les cl s de a appartenant l intervalle m M Quelle est sa complexit Ecrire une fonction Compl ment a m M o m et M d signent deux entiers tels que m lt M qui retourne un ABR contenant les cl s de a n appartenant pas l intervalle m MT Quelle est sa complexit 1 4 Universit Paris Diderot L3 Informatique Math Info EIDD Ann e 2010 2011 Exercice 2 Arbres couvrants minimaux 6 points Dans cet exercice on consid re des graphes non orient s et valu s G S w On rappelle qu uz arbre couvrant minimal ACM de G est un sous ensemble de tel que S A est connexe et acyclique i e c est doze un arbre et Det w x y est minimal Dans cet exercice on veut calculer un ACM de G en partant de l ensemble d ar tes initial l algorithme devra enlever progressivement des ar tes jusqu obtenir un ACM b ler 2 aE 10 D d Le 3 h E umam Co Ve ZO ne FIGURE 1 Exemple de graphe pour l exercice 2 1 Donner un ACM du graphe G d crit la figure 1 2 Ecrire une fonction Test Chemin G x y qui tant donn s un graphe G et deux sommets x e
3. Universit Paris Diderot L3 Informatique Math Info EIDD Ann e 2010 2011 Questionnaire Pour ceux et celles qui n ont pas rempli la fiche lors du dernier cours un questionnaire est en ligne sur http wwu liafa jussieu fr francoisi 13algo html Merci d y r pondre rapidement Examen d algorithmique Mercredi 5 janvier 2011 h30 11h30 Aucun document autoris Mode d emploi Le bar me est donn titre indicatif Ce sujet est long il n est pas n cessaire de tout faire pour avoir une bonne note Une bonne approche consiste choisir 3 exercices et les traiter correctement La qualit de la r daction des algorithmes et des preuves sera tr s fortement prise en compte pour la note On peut toujours supposer une question r solue et passer la suite Exercice 1 Arbres binaires de recherche 6 points On consid re des arbres binaires de recherche munis des op rations cl a FilsG a FilsD a et EstVide a et des constructeurs ABRVide et ABR x a1 a2 Pour chacune des questions il est possible de d finir et d utiliser d autres fonctions que celles demand es 1 Ecrire une fonction Cl Max a qui retourne la cl maximale contenue dans l ABR non vide de racine a Quelle est sa complexit Ecrire une fonction Compter Occ a x qui retourne le nombre d occurrences de la cl x dans PABR de racine a Quelle est sa complexit Ecrire une fonction
4. ces de chaque cat gorie i 1 n est limit tant donn s une somme S un ensemble de pi ces compos de n pi ces de valeur vi ngo pi ces de valeur vz etc trouver le nombre minimal de pi ces n cessaires pour r aliser la somme S et correspondant une solution faisable avec FE 4 4
5. le que vy Vrai et y Faux si i j pren a def On d finit la suite de matrice ME pour k 0 n 1 de la mani re suivante M Id et ME mE 1 M pour beta te 1 Montrer que MX pour k 0 n 1 repr sente la matrice d accessibilit en exactement k transitions de G le coefficient of de M est Vrai ssi il existe un chemin de longueur k entre x et zj 2 Soit M la matrice bool enne correspondant la fermeture r flexive et transitive de la relation induite par G le coefficient y de M est Vrai si et seulement si il existe un chemin de longueur quelconque de x z dans G Montrer que M Pi M i Quelle est la complexit de l algorithme qui calcule M partir des M 3 Adapter l algorithme de Floyd pour calculer M plus efficacement Donner sa complexit 4 Etant donn s une matrice bool enne M repr sentant la fermeture r flexive et transitive de G S A et un nouvel arc x x donner un algorithme qui calcule la fermeture r flexive et transitive du graphe G S AU x y Donner sa complexit Seconde partie On souhaite maintenant compter le nombre de chemins possibles entre les sommets du graphe G Pour cela nous allons utiliser une matrice d adjacence N coefficient a dans 0 1 y 1 si x x et i 0 sinon On consid re pr sent la multiplication classique sur les matrices et on note N Id la matrice identit compos e de 1 sur la diagonale et M
6. roc dure Somme S Val begin Sol tableau d entiers de taille n initialis avec 0 0 j n tant que gt 0 faire Solj S Valj S S Valli j j 1 retourner Sol end On rappelle que d signe la division enti re et le reste de la division enti re a Pourquoi cet algorithme termine t il A quelle famille d algorithme appartient il b Montrer qu il fournit une solution au probl me c d une mani re de composer S c Donner le r sultat renvoy dans le cas S 236 et v 1 vg 3 v3 50 et v4 70 2 On veut maintenant trouver un algorithme qui renvoie le nombre minimal de pi ces pour composer la somme partir des pi ces de valeur v1 Un a Montrer sur un exemple que la solution renvoy e par l algorithme Somme n est pas toujours optimale de ce point de vue b Proposer un algorithme qui r sout le probl me i e donne le nombre minimal de pi ces On pourra par exemple calculer le nombre minimal Nb z k de pi ces de valeur v1 Uk n cessaire pour constituer la somme x pour tout x lt S et k lt n le nombre Nb S n tant alors la solution recherch e c Adapter votre algorithme pour calculer une solution optimale c est dire un en semble de pi ces de somme S et de taille minimale 3 Comparer la complexit de l algorithme Somme avec celui tabli la question pr c dente 4 Comment r soudre le probl me lorsque le nombre de pi
7. t y retourne Vrai si et seulement si il existe un chemin de x y 3 Etant donn s un graphe G S A w et une ar te x y de on note G z y le graphe G priv de x y c est dire S A x y w Montrer que si G est connexe alors on G x y est connexe si et seulement si il existe un chemin de x y dans G x v 4 D duire des deux questions pr c dentes un algorithme qui tant donn un graphe G S A w connexe calcule un ACM en partant de A Expliquer votre algorithme et prouver sa correction A quelle famille d algorithme appartient il Quelle est sa complexit Appliquer le sur le graphe de la figure 1 2 4 Universit Paris Diderot L3 Informatique Math Info EIDD Ann e 2010 2011 Exercice 3 Relation d accessibilit 8 points On id re un graphe orient G S A avec x 2 On note M la matrice d adjacence de G c est dire la matrice bool enne i 1 lt lt telle que Vrai si x 7 et a Faux sinon On d finit la somme et le produit de matrices bool ennes de mani re standard la multipli cation est remplac e par la conjonction et l addition par la disjonction V Ainsi soient B et C trois matrices bool ennes n x n avec les coefficients 2 bi ou amp on a f gE A Bss Ci Qij Vb AG a B ssi C aig A bee k l n l sua def _ def 2 On note Id la matrice bool enne lt i jen tel
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