bachotage 8
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1. ajouter mentalement le r sultat 612 000 000 isol mentalement pour obtenir la somme cherch e Un autre int r t est de rappeler que la valeur des chiffres est donn e par leur position partir de la droite les deux autres exemples pourraient laisser croire qu additionner les nombre form s par les trois chiffrres de gauche a du sens La troisi me somme permet des strat gies vari es additionner classe par classe traiter part la classe des millions traiter part la classe des unit s voire d autres d coupages Par ailleurs quelque soit la m thode choisie le probl me de la retenue se pose 2 Pour trouver le quotient et le reste de la division de 731 par 19 avec ta calculatrice pose 731 19 La calculatrice affiche 38 47368 Conserve la partie avant la virgule 38 est le quotient de la division de 731 par 19 Pour trouver le reste calcul 731 38 x 19 Un mode d emploi acceptable doit tre assez court ne pas utiliser de notion inconnue des l ves partie enti re notation alg brique et comporter au moins un exemple 3 L int r t de l exercice est de faire travailler le calcul mental r fl chi et probablement en particulier les ordres de grandeur Cette r ponse est dans le m me esprit que la pr c dente il s agit de trouver une proc dure qui marche tous les coups sans avoir se soucier des particularit s des nombres propos s Le ma tre peut donc tra ter cette proc dure comme l2. euclidienne l aide d une calculatrice du m me type 3 Un ma tre de cycle 3 propose ses l ves l exercice suivant Affichez sur votre calculatrice le nombre 85 A partir de ce nombre en effectuant au maximum trois op rations atteignez 812 Le m me exercice est repris plusieurs fois en changeant le de d part et le nombre cible et en comparant chaque fois les prod dures propos es Quel est l int r t de cet exercice Un l ve propose la proc dure suivante 85 85 0 puis 0 812 812 Le ma tre fait remarquer que cette proc dure est parfaite puis annonce qu elle est interdite pour les op rations suivantes car on peut toujours faire comme a sans chercher Le m me l ve propose alors pour passer de 49 617 49 617 666 puis 666 49 617 Comment le ma tre doit il selon vous tra ter cette r ponse Exercice 4 On consid re une rectangle ABCD tel que AB 8 cm et AD 5 cm R est le point de AD tel que AR 2 cm T est le point de CD tel que DT 3 cm B La parall le AB passant par R coupe BC en S M est un point quelconque du segment RS on note x la mesure de RM en cm Calculer l aire du quadrilat re AMDT dans le cas ou x 5 s Repr senter sur un m me graphique l aire de AMDT et celle de ABCTM en utilisant les chelles suivantes Sur l axe des ordonn es 1cm repr sente 5 cm sur l axe des abscisses 1 cm repr sente 1 cm E D terminer graphi
3. Bachotage 8 Exercice 1 On consid re trois points A B et C non align s e Construire au compas seul donc sans r gle le point D sym trique de A par rapport BC E est un point qui n appartient ni BC ni AD ni aux parall les BC passant par A ou D Justifier la construction e Construire en utilisant exclusivement la r gle non gradu e le point F sym trique de E par rapport BC Justifier Exercice 2 On consid re une figure ferm e form e de quatre demi cercles dispos s comme l indiquent le figure ci contre B et C sont des points quelconques du segment AD Le p rim tre de la figure est il gal celui du cercle de diam tre AD Justifier A Son aire est elle gale celle du demi disque de diam tre AD Justifier Exercice 3 Montrer qu il n existe pas de nombre entier dont le carr se termine par 19 Didactique 1 Utilisation de la calculatrice en classe 1 Un ma tre de cycle 3 propose ses l ves de s aider de la calculatrice pour effectuer les op rations suivantes Les calculatrices dont disposent les l ves ne peuvent afficher que 8 chiffres Quel est l objectif du ma tre qui propose cet exercice Analyser l apport particulier de chacune des trois op rations propos es 564 000 352 214 000 789 612 134 056 378 241 469 768 957 358 689 768 2 R diger une notice expliquant un l ve de Cycle 3 comment trouver le quotient et le reste d une division
4. Le carr ABCD a des c t s de 4 cm et le trait Reproduis ce c t et termine vert mesure 6 cm l agrandissement Analyser cet exercice pour en d gager l int r t ventuel vous vous F r fererez l extrait suivant des programmes de 2008 pour le cycle 3 agrandissement et r duction de figures planes en lien avec la proportionnalit amp G A B Yves Thomas IUFM des Pays de la Loire site de Nantes Correction des exercices de la feuille de bachotage n 8 Exercice 1 Programme de construction de D Tracer les cercles de centre B et C qui passent par A L autre point commun de des deux cercles est le point D cherch Justification A et D sont sur un m me cercle de centre B donc BA BD donc B est sur la m diatrice de AD A et D sont sur un m me cercle de centre C donc CA CD donc C est sur la m diatrice de AD B et C sont sur la m diatrice de AD donc BC est la m diatrice de AD ce qui revient dire que A et D sont sym triques par rapport BC Programme de construction de F Soit X l intersection de BC et DE Soit Y l intersection de BC et AE Le point F cherch est l intersection des droites AX et DY Justification dans la sym trie d axe BC le sym trique de D est A le sym trique de X est X donc le sym trique de DX est AX Le point E tant sur DX le sym trique de E est donc sur le sym trique de DX ce qui revient dire que F est sur AX O
5. a pr c dente l accepter pour le calcul en cours puis la mettre hors jeu Il peut en profiter pour faire remarquer toute la classe la r gle math matique utilis e implicitement par cet l ve si je dois ajouter un nombre et en soustraire un autre le r sultat est le m me que je commence par l addition ou par la soustraction sous r serve qu il soit possible de faire la soustraction en premier l cole l mentaire Exercice 5 5 15 des billes sont rouges et 6 15 sont vertes par cons quent 4 15 sont bleues Les neuf billes rouges suppl mentaires par rapport aux bleues repr sentent donc 1 15 du total il y a donc en tout 9 x 15 135 billes Exercice 6 Soit p le prix le moins cher dans la situation initiale On a 1 10 p 0 95 p 120 on en tire 1 10 p 0 95 p 114 d ou 0 15p 114 et p 760 Le prix initial le moins cher tant de 760 le prix commun est de 760 x 1 10 836 Exercice 7 La pyramide ADECE peut tre obtenue en enlevant la pyramide ABCE du prisme droit ABCDEF 8 1 Le volume du prisme est x 4 96cm Celui de la pyramide ABCE est Sa 32cm Par cons quent le volume de la pyramide ADECE est de 96 32 64 cm Yves Thomas IUFM des Pays de la Loire site de Nantes Il tait galement possible de calculer laire de la base de ADECE qui est le rectangle ACFD Cette aire mesure 40 cm2 Il faut ensuite d terminer la mesure de la hauteur de la pyramide qui est aussi
6. la hauteur issue de E du triangle DFE Si on appelle h cette hauteur l aire du triangle DEF peut se calculer de deux fa ons diff rentes ce qui donne DF x 10 2 6x8 2 d o DF 4 8 Le volume est alors gal 40 x 4 8 3 64 cmi Exercice 8 399 3 x 133 il n est pas premier 398 est pair il n est pas premier 397 n est divisible ni par 2 ni par 3 ni par 5 ni par 7 car 56 x 7 392 ni par 11 car 36 x 11 396 ni par 13 car 30 x 13 390 ni par 17 car 23 x 17 391 ni par 19 car 20 x 19 380 Si 397 n tait pas premier il aurait donc au moins deux diviseurs sup rieurs 20 d apr s ce qui pr c de or 20 x 20 gt 400 c est donc impossible Par cons quent 397 est le plus grand nombre premier inf rieur 400 Didactique 2 L int r t de cet exercice est de faire observer puis utiliser pour le tracer certaines propri t s g om triques du carr et de la figure propos e en particulier AEFG est un carr bien que ses c t s ne soient pas parall les aux bords de la feuille Les c t s d un carr sont gaux et ses angles sont droits Les points A E et C sont align s ainsi que A D et F mais ces l usage de cet alignement est moins probable Concernant l agrandissement les l ves doivent utiliser implicitement le fait qu il conserve toutes les propri t s ci dessus galit s de longueurs perpendicularit alignement En revanche il est peu probable qu ils utilisent la propo
7. n d montre de la m me f on que F est sur DY c est donc l intersection de AX et DY Exercice 2 L aire n est en g n ral pas gale celle du demi disque de diam tre AD Si par exemple B est tr s proche de A et C tr s proche de D laire de la figure est nettement inf rieure celle du demi disque T T T T T T T T Le p rim tre de la figure est gal AB BC CD AD AB BC CD AD AD AD TAD 2 2 2 2 2 2 2 2 Il est donc gal au p rim tre du cercle de diam tre AD Exercice 3 Pour que le carr d un nombre entier se termine par 9 il faut que le nombre se termine par 3 ou 7 e Consid rons un nombre entier n de la forme 10 a 3 o a est un entier naturel quelconque n 10a 3 1004 60a 9 10 10a 6a 9 hs 2 i le nombre de dizaines dans n est alors 10a 6a qui est un nombre pair donc n ne peut pas se terminer par 19 e Consid rons un nombre entier n de la forme 10 a 7 o a est un entier naturel quelconque n 10a 7 100a 140a 40 9 10 10a 14a 4 9 le nombre de dizaines dans n est alors 10a 14a 4 qui est un nombre pair donc n ne peut pas se terminer par 19 e Il n existe donc aucun entier dont le carr se termine par 19 Autre solution e Soit n un entier dont le chiffre des unit s est 3 et le chiffre des dizaines d soit x le chiffre des unit s du produit de 3 par d La partie de droite de l alg
8. orithme usuel de la multiplication de n par n est repr sent ci dessous Le chiffre des dizaines du produit est gal au chiffre des unit s de 2x il est donc pair et ne peut pas tre gal 1 e Soit n un entier dont le chiffre des unit s est 7 et le chiffre des dizaines d soit y le chiffre des unit s du produit de 7 par d La partie de droite de l algorithme usuel de la multiplication de n par n est repr sent ci dessous Le chiffre des dizaines du produit est gal au chiffre des unit s de 2y 4 il est donc pair et ne peut pas tre gal 1 in d3 baserend 7 nn 3 ER d7 PTEE x9 y 4 9 ss X E eV ne 9 9 Yves Thomas IUFM des Pays de la Loire site de Nantes Didactique 1 1 L objectif du ma tre est de faire travailler sur les grands nombres et les diff rentes d compositions possibles en privil giant probablement la d composition selon les classes des unit s milliers millions La premi re op ration conduira probablement calculer la machine 564 214 millions et 352 789 unit s Son int r t r side en particulier dans le fait que la somme 352 789 d passe mille On ne peut donc pas recopier m caniquement les trois z ros des nombres propos s dans le r sultat Les deux nombres additionner pour calculer la deuxi me somme n ont pas autant de chiffres Il est int ressant de remarquer que si effectue la machine 134 056 378 241 ce qui ne d passe pas la capacit d affichage il suffit d
9. quement la valeur de x pour laquelle les deux aires sont gales et retrouver ce r sultat par le calcul Existe t il une valeur de x pour laquelle les trois quadrilat res AMDT ABSM et MSCT ont des aires gales Exercice 5 Dans un sac de billes les billes sont toutes d une des trois couleurs suivantes rouge bleu vert Un tiers des billes sont rouges deux cinqui me des billes sont vertes et il y a 9 billes rouges de plus que de billes bleues Quel est le nombre total de billes dans le sac Yves Thomas IUFM des Pays de la Loire site de Nantes Exercice 6 Deux commer ants constatent qu ils vendent le m me article avec une diff rence de prix de 120 Sans ce concerter car cela serait ill gal l un des commer ants augmente son prix de 10 tandis que l autre baisse le sien de 5 L article en question se retrouve alors vendu au m me prix dans les deux boutiques Calculer ce nouveau prix Exercice 7 ABCDEF est un prisme droit Sa base ABC est un triangle rectangle en B On a AB 8 cm BC 6 cm et BE 4 cm On coupe ce prisme en deux parties selon le plan AEC Calculer le volume de la pyramide ADFCE Exercice 8 Quel est le plus grand nombre premier strictement inf rieur 400 Didactique 2 Le document ci contre est extrait du manuel Euro Maths ditions Pour agrandir cette figure on a d j trac Hatier 2009 ci dessous en vert le c t du carr ABCD Sur le document original
10. rtionnalit aspect de l agrandissement mis en avant par les programmes C est cependant possible pour placer E et F sur les droites AC et AD en multipliant les longueurs mesur es sur la figure mod le par 1 5 Yves Thomas IUFM des Pays de la Loire site de Nantes
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