Chapitre 2 Ajustements - Cours de mathématiques, Damien Dobler
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1. sous ensemble de gauche longueur de 155 cm 164 cm sous ensemble de droite longueur de 167 cm 172cm On calcule ensuite les points moyens de ces deux sous ensembles wg 159 6 61 2 et wal169 5 70 25 La droite de Mayer cherch e passe par ces deux points 70 25 61 2 RS 150 6 6 On obtient apr s simplification y 0 91x 84 70 Graphiquement on obtient l ajustement suivant y 135 152154156158 160162 164166 168170 172174 2 1 3 Ajustement lin aire par la m thode des moindres carr s On consid re toujours les n points M x yi d un nuage de points L ajustement lin aire par la m thode des moindres carr s consiste d terminer la droite que l on appelle aussi droite de r gression telle que la somme des carr s des n carts e y soit page 33 Math matiques MAB MAP 1 ann e 2 Ajustements minimale ce qui explique le nom de la m thode o est ordonn e du point de la droite de r gression d abscisse x On veut donc minimiser la quantit 125d Sa i l Mise en place de la m thode 1 On s int resse d abord au probl me restreint suivant Parmi toutes les droites de pente donn e mo trouver celle pour laquelle la somme des carr s des carts est minimum Pour commencer on pose que l quation de la droite cherch e est y Mot h o h est le coefficient d terminer A partir de ceci on peut poser que pour tout i2. l cart e est donn par e y mot h La somme des carr s de ces carts est donc n gt e F y a mozi h i 1 n N yi mozi 2h gt Yi Moi n h i 1 Cette expression est un trin me du second degr en b Il est repr sent par une parabole ouverte vers le haut car le coefficient b est multipli par n un nombre positif Ce trin me est donc minimal pour man Ea hmin 2 E i mo Ti Y MoT u L Du m E De 7m Cette relation signifie que parmi toutes les droites de pente mo celle d quation y MOT hmin pour laquelle la somme des carr s des carts est minimum est celle qui passe par le point moyen w T 7 En effet ce dernier v rifie l quation de la droite comme Y MoT Amin On en d duit que la droite de r gression passe n cessairement par le point moyen w 2 Nous sommes donc ramen s au probl me parmi toutes les droites qui passent par w trouver celle pour laquelle la somme des carr s des carts est minimum Pour ceci on r alise une translation du syst me d axe ou un changement de variables de mani re obtenir un nouveau syst me de coordonn es tel que l origine de ce dernier corresponde au point w On note X Y les coordonn es des n points du nuage dans ce nouveau syst me d axes Ainsi pour i 1 2 n on a la relation suivante entre anciennes et nouvelles coordonn es 1 Le trin me ax bx c avec
3. In y In a x In b F TE y M thode de calcul 1 Calculer u x et v ln yi 2 D terminer l quation de la droite de r gression de v par rapport u par la m thode des moindres carr s 3 De l quation v Au B d duire l quation de la courbe d ajustement y b a en utilisant que a e et b e Par exemple on obtient l ajustement ci dessous si on applique cette m thode aux donn es de l exercice 8 2 3 4 Ajustement par une fonction logarithme Les n points x yi ne sont pas align s mais plut t proches d une courbe repr sentant une fonction logarithme de la forme y a ln x b On transforme cette expression pour obtenir une expression de la forme v A u B de la mani re suivante y In x M thode de calcul 1 Calculer u In x et v y 2 D terminer l quation de la droite de r gression de v par rapport u par la m thode des moindres carr s 3 De l quation v Au B d duire l quation de la courbe d ajustement y aln x b en utilisant que a et b B page 41 Math matiques MAB MAP 17 ann e 2 Ajustements Par exemple on obtient l ajustement ci dessous si on applique cette m thode aux donn es de l exercice 9 page 42 Math matiques MAB MAP 1 ann e 2 Ajustements 2 4 Exercices 1 Lors d une exp rience on a relev les valeurs suivantes 1 RERO EME EE a Donner l quation d une droite ajustan
4. a gt 0 est minimum pour o qui correspond l abscisse du sommet de la parabole page 34 Math matiques MAB MAP 1 ann e 2 Ajustements Dans ce nouveau syst me d axes la droite recherch e passe donc par l origine et admet une quation de la forme Y mX o m est le coefficient d terminer Les carts e sont donc donn par e Y mX La somme des carr s de ces carts est n Te X Yi mX i 1 i Sy om SX me YU i 1 i 1 i l Cette expression est encore un trin me du second degr en m Comme le coefficient de a est positif ce trin me est minimum pour n 2 2 XY 2 XiY j fa De DA i 1 i 1 n Mmin En revenant aux coordonn es x y voir exercices pour la d monstration la droite Dyyx d ajustement de y par rapport x passe par le point w T y et a pour pente 1 PA n 2u TiyYi TY m 15g n 1 gt Il On appelle le nombre Cy la covariance de x et y Le nombre o correspond lui la Ty D varaince de x M thode de calcul et repr sentation graphique 1 Dans un tableau on effectue le calcul des moyennes le LE T i t U 2 On calcule ess Le T t De 2 2 Ory TiYi TY et O3 T TX n lt ns i 1 I ce qui n cessite dans le tableau le calcul des valeurs x y et x On en d duit Izy m z qui est la pente de la droite 3 On crit l quation de la droite D d aj
5. 58 160 162 164166 168170 172174 page 36 Math matiques MAB MAP 17e ann e 2 Ajustements 2 2 Coefficient de corr lation lin aire Jusqu maintenant nous avons vu comment ajuster une droite un nuage constitu de n points x y Par contre nous ne nous sommes pas demand si les points tait suffisamment align s pour que cette d marche ait un sens ou de mani re quivalente si la relation qui lie chaque x et y est bien lin aire du type y mx h Le coefficient de corr lation lin aire est une mesure possible de ce lien Il d termine s il existe une relation lin aire entre les deux caract res et donne galement une indication sur la valeur de l ajustement lin aire D finition 2 2 On appelle coefficient de corr lation lin aire relatif aux caract res x et y le nombre r el Ory T0 y A e Propri t s du coefficient de corr lation 1 r est un nombre r el compris entre 1 et 1 2 Quand r 1 tous les points sont align s Remarques 1 Si r est voisin de 1 la corr lation entre les caract res x et y est forte Ainsi si x augmente y va galement augmenter si r est positif ou diminuer si r est n gatif Les points x y repr sent s dans un graphique seront pratiquement align s 2 Si r est voisin de 0 la corr lation entre les caract res x et y est faible On ne pourra pas d gager une relation lin aire entre les caract res x et y 3 r gt 0 indiq
6. Chapitre 2 Ajustements Dans beaucoup de recherches statistiques on ne s int resse pas qu un seul caract re mais plusieurs en m me temps On s occupe alors fr quemment de leur d pendance les uns avec les autres Quand on consid re deux caract res x et y un couple de valeurs x y i 1 2 n correspond chacun des n individus de la population L ensemble des couples obtenus est appel s rie statistique double On repr sente g n ralement cette s rie dans un rep re cart sien Cette repr sentation graphique de tous les couples x y de la s rie est appel e nuage de points Quand il existe une relation entre les deux caract res on peut r sumer le nuage de points par une courbe telle que le nuage de points a une forte densit au voisinage de la courbe et faible ailleurs D finition 2 1 La d marche d ajustement consiste d terminer une courbe C qui r sume un nuage de points La courbe C permet d estimer les valeurs d un caract re en fonction de valeurs de l autre caract re Les valeurs ainsi estim es sont des approximations Lorsque cette courbe est une droite on parle d ajustement lin aire 2 1 Ajustements lin aires On consid re ici les n points d un nuage repr sentant la s rie des n couples de valeurs xi yi de deux caract res x et y d termin s partir d une population de n individus L ajustement d une droite D ce nuage de points consiste remplacer chaque po
7. ath matiques MAB MAP 17 ann e 2 Ajustements 3 De l quation v Au B d duire l quation de l hyperbole d ajustement y en utilisant que a A et b B I ax b Par exemple on obtient l ajustement ci dessous si on applique cette m thode aux donn es de l exercice 6 2 3 2 Ajustement par une fonction puissance Les n points x yi ne sont pas align s mais plut t proches d une courbe repr sentant une fonction puissance de la forme y b x On transforme cette expression pour obtenir une expression de la forme v A u B de la mani re suivante In y In b x ln y In x ln b M thode de calcul 1 Calculer u In x et v ln y 2 D terminer l quation de la droite de r gression de v par rapport u par la m thode des moindres carr s 3 De l quation v Au B d duire l quation de la courbe d ajustement y b x en utilisant que a et b eP Par exemple on obtient l ajustement ci dessous si on applique cette m thode aux donn es de l exercice 7 Math matiques MAB MAP 17 ann e 2 Ajustements 2 3 3 Ajustement par une fonction exponentielle Les n points x yi ne sont pas align s mais plut t proches d une courbe repr sentant une fonction exponentielle de la forme y b a On transforme cette expression pour obtenir une expression de la forme v A u B de la mani re suivante In y In b a In y In a In b
8. b 0 95 6 y 3 1z 0 33 7T y 0 521 8 y 0 11 1 977 9 y 3In x 0 99 page 46
9. int x yi par un point de m me abscisse et d ordonn les points x i tant align s sur la droite D Il existe plusieurs possibilit s d effectuer ceci Le probl me qu on peut se poser est de trouver la meilleure droite qui r sume le nuage de points Une fois l quation de la droite D d termin e on pourra l utiliser pour faire des in terpolations calculs de valeurs interm diaires et des extrapolations calculs de valeurs futures 30 Math matiques MAB MAP 17 ann e 2 Ajustements 2 1 1 Ajustement lin aire graphique Nous allons travailler sur un exemple pour donner l id e de la d marche mettre en oeuvre Lors d une exp rience on a tudi les caract res taille caract re x en cm et masse caract re y en kg de 9 personnes exp rience fictive On a obtenu les r sultats suivants mewo e e e o ae La m thode graphique consiste tracer l il l aide d une r gle transparente une droite y mx h s ajustant le mieux possible au nuage de points y 1521454156 158 16062 164166 168170172174 Une fois la droite trac e on choisit sur le dessin deux points et B quelconques de la droite pour en d terminer l quation Ces points ne doivent pas obligatoirement faire partie du nuage de points L quation de la droite passant par les points A x1 y4 et B xg yg est donn e par Les points et B choisis dans notre exemple ont comme coordon
10. n es 152 56 et 166 67 La droite passant par ces deux points est 67 56 y 67 z 166 166 152 On obtient apr s simplification y 0 78x 63 43 L quation de la droite tant d termin e et les valeurs de x tant fix es on peut en d duire les valeurs ajust es correspondantes du caract re y et extrapoler la masse d une personne mesurant 180 cm Tae c e s e EN per e pe po e ar ET page 31 Math matiques MAB MAP 17 ann e 2 Ajustements 2 1 2 Ajustement lin aire par la m thode de Mayer Remarque pr liminaire On consid re nouveau les n points M x y d un nuage de points Soit maintenant une droite D quelconque d quation y mx h On appelle e l cart du point M la droite D l A quelle condition doit satisfaire la droite D pour que la somme des carts des points M m la droite soit nulle e 0 Cette relation s crit i l SO ET i 1 ou a a X yui m X m n h 0 i 1 i 1 ou enfin 1 1 D De _ _ TX y Elle signifie donc que la droite D passe par le point moyen w ayant pour abscisse la moyenne T des abscisses et pour ordonn e la moyenne 7 des ordonn es nm Ainsi la condition e 0 ne suffit pas d terminer la droite D puisqu elle lui im i l pose uniquement de passer par un point De plus cette condition n est pas satisfai sante du point de vue de l ajustement elle exige seulement que les cart
11. rne 1956 Montr al 1976 Los Angeles 1984 Barcelone 1992 Atlanta 1996 Ath nes 2004 P kin 2008 Moscou 1980 20 19 22 03 4 Rendre chacun des nuages de points ci dessous sons coefficient de corr lation lin aire 0 98 0 50 0 53 et 0 94 c a M EEES TE Math matiques MAB MAP 1 ann e 2 Ajustements 5 Dans une entreprise qui fabrique et vend un seul produit le relev des ventes men suelles et des charges mensuelles correspondantes en milliers de francs donne le tableau suivant a Donner l quation de la droite ajustant ces valeurs par la m thode des moindres carr s b Calculer le coefficient de corr lation lin aire 6 Ajuster ce nuage de points par une hyperbole de la forme y RDA EL fo of op ou 7 Ajuster ce nuage de points par une fonction puissance de la forme y bx 8 Ajuster ce nuage de points par une fonction exponentielle de la forme y ba 9 Ajuster ce nuage de points par une fonction logarithme de la forme y aln x b Eee nent page 45 Math matiques MAB MAP 1 ann e 2 Ajustements 2 5 Solutions des exercices 1 a 1 y 1 99x 0 9 2 y 1 992 0896 c 1 11 64 2 11 65 2 a 2 y 0 08x 34 01 c 2 23 54 3 hommes a 2 y 66 34 0 02x c 19 44 et 19 35 femmes a 2 y 122 17 0 05x c 21 17 et 20 97 d en 2068 4 a 0 50 b 0 94 c 0 98 d 0 53 5 a y 0 647 5 61
12. s s quilibrent alg briquement les carts peuvent tre grands en valeur absolue Droite de Mayer Une droite tant d termin e par deux points le r sultat ci dessus conduit au proc d suivant On divise l ensemble des points M en 2 sous ensembles peu pr s d gale importance et tels que l abscisse de tout point du premier soit inf rieure l abscisse de tout point du second On les appelle sous ensemble de gauche et sous ensemble de droite La droite D d ajustement de Mayer doit alors v rifier les deux conditions page 32 Math matiques MAB MAP 17 ann e 2 Ajustements la somme des carts des points du sous ensemble de gauche est nulle D passe par le point moyen w du sous ensemble de gauche la somme des carts des points du sous ensemble de droite est nulle D passe par le point moyen wa du sous ensemble de droite Remarques 1 Comme la somme des carts pour l ensemble total est nulle la droite de Mayer passe par le point moyen w de l ensemble total 2 On s pare l ensemble de points en sous ensemble de gauche et sous ensemble de droite pour que les points moyens de ces sous ensembles soient les plus loign s possible de fa on augmenter la pr cision dans la d termination de la droite Exemple On reprend ici les donn es du paragraphe pr c dent sur la taille et la masse de 9 personnes On divise tout d abord l ensemble des couple en deux sous ensembles
13. t ces valeurs 1 l il 2 par la m thode Mayer 3 par la m thode des moindres carr s b Dessiner les droites obtenues en 2 et en 3 c Interpoler la valeur de pour x 6 3 gr ce aux droites obtenues en 2 et en 3 2 Le tableau ci dessous compare des voitures de m me cat gorie Il met en rapport la cylindr e en pouces et le nombre de miles parcourus avec un gallon d essence 3 78 litres aux USA owe EE a Donner l quation d une droite ajustant ces valeurs 1 l il 2 par la m thode des moindres carr s b Dessiner la droite obtenue en 2 c Estimer le nombre de miles par gallon d une voiture ayant une cylindr e de 125 gr ce la droite obtenue en 2 3 Le tableau de la page suivante montre l volution des temps olympiques du 200 m plat en secondes pour les hommes et pour les femmes a Donner l quation des droites celle des performances des hommes et celle des performances des femmes ajustant ces valeurs 1 l il 2 par la m thode des moindres carr s page 43 Math matiques MAB MAP 17e ann e 2 Ajustements b Dessiner les droites obtenues en 2 c Estimer les temps olympiques de 2004 et 2008 puis les comparer aux valeurs r elles Constats d D apr s les droites obtenues en 2 en quelle ann e les femmes courront elles le 200 m plat aussi vite que les hommes e Ces ajustements affines sont ils ad quats OOO EL EEE Helsinki 1952 Melbou
14. t de 0 53 Il est difficile de conclure une d pendance lin aire entre les caract res x et y LR e 6 CR 5 P 5 r Q r 0 4 o 3 e e 2 rene 1 e o k i 1 2 3 4 5 2 3 Ajustements non lin aires Lorsque le nuage de points manifeste en tendance courbe et que le coefficient de corr lation lin aire n est pas proche de 1 en valeur absolue l ajustement de ce nuage par une droite est hasardeux et aboutira des estimations de mauvaise qualit Dans ce cas on peut tenter d utiliser un des mod les propos s dans ce chapitre En fait chacun de ces mod les utilise le principe d ajustement par la m thode des moindres carr s donc ils utilisent tous une droite mais en transformant au pr alable les donn es pour obtenir un mod le lin aire partir du mod le non lin aire consid r 2 3 1 Ajustement par une fonction homographique Les n points x y ne sont pas align s mais plut t proches d une certaine hyperbole de 1 la forme y ax b Pour utiliser la m thode des moindres carr s on doit transformer cette expression pour obtenir une expression de la forme v A u B On r alise ceci de la mani re suivante 1 y a xr b Soa A u B v M thode de calcul 1 Calculer u x et vi n 2 D terminer l quation de la droite de r gression de v par rapport u par la m thode des moindres carr s page 39 M
15. ue une corr lation positive r lt 0 indique une corr lation n gative M thode de calcul 1 Dans un tableau on effectue le calcul des moyennes arithm tiques r et p Du 2 On calcule Ory Ox Oy ce qui n cessite dans le tableau le calcul des valeurs x y x et y Ory Ozi 3 On en d duit le coefficient de corr lation r page 37 Math matiques MAB MAP 17e ann e 2 Ajustements Exemples 1 Les criquets ont un organe sp cial sur leurs ailes qui produit un son lors qu ils frottent leurs ailes les unes contre les autres En r gle g n rale plus la temp rature est lev e plus ils frottent leurs ailes rapidement On a relev les mesures suivantes On utilise le tableau de calcul suivant D apr s ce tableau on peut calculer 102 z 20 4 EE A 1568 8 2 172 Ory 7 20 4 15 1 5 72 D 18 24 do 1149 5 15 1 1 87 D ie On donne ci dessous la repr sentation graphique du nuage de points consid r dans cet exemple 2 On a repr sent deux jeux de donn es dans les graphiques ci dessous Le coefficient de corr lation entre les caract res x et y est de 0 98 Les points sont pratiquement align s On peut supposer qu il existe une d pendance lin aire entre les caract res x et y page 38 Math matiques MAB MAP 17 ann e 2 Ajustements il N U S C3 Le coefficient de corr lation entre les caract res x et y es
16. ustement de y par rapport x elle passe par le point w T 7 y m x 2 4 On trace cette droite sur le graphique Pour cela D passant par w g y il suffit de trouver un autre point de cette droite page 35 Math matiques MAB MAP 17 ann e 2 Ajustements Remarques 1 Certaines calculatrices ont des fonctions statistiques qui fournissent ces valeurs tr s rapidement Consultez le mode d emploi de votre machine 2 On pourrait galement calculer la pente m en utilisant les X et Y d finis dans la partie mise en place de la m thode Cette d marche peut tre int ressante si les valeurs des x et y sont grandes mais regroup es autour des moyennes afin d obtenir obtenir des produits et des carr s dans le tableau moins grands Exemple On reprend l exemple sur la taille caract re x et la masse caract re y de 9 personnes On compl te tout d hord le tableau suivant 24 025 24 964 25 600 10304 25 921 10 168 26 896 11 690 27889 11 857 27889 11560 28900 12 384 29 584 CE e r or es D apr s ce tableau on peut calculer 1476 587 Z 164 et y 65 22 I CO ND 96 489 242340 Isy g 164 65 22 24 55 et o2 164 30 66 D o m 2 0 80 T quation de Dyyx y 65 22 0 80 x 164 d o y 0 80x 66 10 Graphiquement on obtient l ajustement suivant y 1 1521541561
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