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1. Plus les termes choisis sont grands plus le r sultat sera proche du nombre d or Exemples 1 2 5 987 1 gt 1 61 2 A 3 666 G10 6180327 Ces fractions comme toute autre fraction je l ai expliqu plus haut peuvent tre crites sous formes de fractions continu es En voici la forme et la frac tion continu e 0 1 0 4 1 1 1 4 gt 1 1 1 1 1 re 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 On remarque que cette forme est tr s particuli re Voici un th or me int ressant sur le sujet Si une fraction continu e poss de n quotients incomplets dont chacun est 2 Un l 2 gal 1 cette fraction est gale r f 1 Comme vous pouvez le remarquer ce th or me utilise la fraction continu e pour obtenir la fraction de base tandis que notre approche est inverse Pour d montrer ce th or me j ai besoin d un Lemme que j admettrai sans d monstration cf Vorobiev pages 160 162 pour la d monstration Soit une fraction continu e wp Le o Pi et Qk sont les num rateur et d nominateur de la fraction irr ductible dwg et aj les quotients partiels de la fraction continu e les relations suivantes sont toujours v rifi es r f 1 Pki Praz Pei 3 1 Qk 1 Qkak Qi 3 2 Pr41Qr PeQuad 1 3 3 Etudions maintenant la fraction continu e suivante dont les quotients in complets sont gaux 12. Py Wk lt Qk 1 Lt 2 On remarque que P 1 Po 2 Qj 1 et que Q2 1 Maintenant calculons w 1 en utilisant le lemme pr sent ci dessus Fr Pn 1 _ Pn n 1 Pn 1 r Qn 1 QnAn 1 Qn 1 Etant donn que tous les quotients partiels sont gaux 1 on peut en d duire les relations suivantes Pa T tn l Qn T Qn 1 Pnan 1 Pa 1 Pa Pa 1 QnAn 1 T Qn 1 Qn T Qn 1 Dans la suite qui nous int resse on a gt Wn 1 u 1 u2 1 u3 2 u4 3 u5 D Donc P u2 Po u3 Q1 u1 et Q2 u2 On obtient ainsi les relations suivantes Pa Un 1 t Qn Un Et pour finir _ Un 1 Un Wn A u 2 2 Notre fraction nt est donc la fraction continu e dont tous les num rateurs et quotients incomplets sont gaux 1 3 3 Convergence vers le nombre d or g Je vais maintenant m int resser la propri t cit e en 3 2 soit que Un 1 lim n Un Je vais d montrer cette propri t dans les lignes qui suivent Soit 1 Wn apo t T ms A 1 azt t une fraction continu e infinie et Pa Pi Pa D 0 A 9 HR 7 Qo Q Qn une suite de fractions correspondantes La limite de cette suite si elle existe est gale la valeur de la fraction continu e infinie Tout d abord d montrons que cette suite a une limite Etudions les deux suites suivantes Qo 9 Q2 r 9 Qon 2 et Eu Pon 1 3 5 Qr Q3 Qni La relation
3. Vous aurez s rement remarqu que ces raisonnements m me s ils permettent de trouver la valeur sous fraction continu e assez rapidement sont moins pratiques lorsqu il s agit de les remettre sous forme de fraction irr ductible Il existe un moyen de contrer le probl me bien que cette m thode ne nous donne pas directement la valeure exacte Il s agit de calculer les valeurs des fractions correspondantes ou r duites c est dire les fractions irr ductibles du type b n 1 Wn F u t by Qn QT a an puis en se reportant chaque fois sur les deux r duites pr c dentes de cal culer la fraction correspondante suivante 18 Prenons la fraction continu e quelconque pr sent e ci dessus Pour commen cer on a besoin des deux premi res r duites Po ao wo Qo 1 P b aoai b WI ap _ _ Q a a Suite cela on calcule w2 de la mani re suivante P b2Po a2P W2 Q2 b2Qo a2Q1 et de mani re g n rale Pn _ bnPa 2 AnPn 1 Qn bnQn 2 AnQn 1 Eclaircissons cela l aide d un exemple celui de V18 4 4 8 Wn 4 Ka 1 17 PR A S wi 4 4 1 4 8 17 140 W2 1 1 8 4 33 1 17 4 140 577 W3 1 4 4 33 136 Cette m thode est bien entendu applicable pour n importe quelle sorte de fractions continu es qu elle soit de base ou g n ralis e Voici la d monstration de cette m thode Tout d abord d finissons deux s
4. alors en ajoutant un terme inf rieur 1 on peut obtenir pr cis ment le 0 C est ce que l on fait en ajoutant une fraction On remplace dans l quation 4 1 ce r sultat pour x et on obtient 2a 8a 1 0 4 2 De ce point on recommence le m me sch ma avec une nouvelle inconnue d terminer fo 4 lt 0 f25 gt 0 1 a 4 b on remplace dans l quation pr c dente c est dire la 4 2 b 8b 2 0 4 3 17 J3 8 lt 0 fs 9 gt 0 1 b 8 C 2 8c 1 0 4 4 On remarque que cette quation du 2e degr except l inconnue est la m me que l quation 4 2 Son r sultat sera donc le m me et en continuant on reformera une boucle La p riodicit de cette fraction est donc d montr e x 4 4 8 Pour le d veloppement de la v13 par cette m thode assez longue voir les pages annexes Ce raisonnement est tr s utile pour quiconque travaille avec les fractions continu es basiques mais d apr s les raisons que l on a de calculer une racine la premi re m thode est plus rapide et pr sente la fraction d un point de vue plus simple Par exemple la p riode de la fraction que l on obtient par la deuxi me m thode est parfois tr s longue on peut d j le remarquer avec la V13 et elle peut tre encore bien plus longue dans d autres cas et cela peut poser plus de probl me l utilisation que la premi re m thode 4 3 Calcul de fractions correspondantes
5. matiquement plus grandes puis plus petites que la valeur r elle 2 2 Horloges astronomiques La m thode pour obtenir des arrondis par les fractions continu es a t tr s utilis e par le pass Pour prendre un exemple pratique Christian Huygens math maticien astronome et physicien du XVII fut le premier utiliser les fractions continu es pour obtenir le nombre de dents d un rouage afin d approcher au mieux le rapport de vitesse des plan tes dans la construc tion des horloges astronomiques Le cas suivant est tir d un texte sur l horloge astronomique de Strasbourg r f 3 Le r alisateur de cette horloge n est pas Huygens mais Jean Baptiste Schwilgu fin XVII d but XVIII Je ne prendrai pas pour exemple une horloge d Huygens car ce dernier est plus connu pour avoir d couvert le balancier l arri re des pendules qui donne une meilleure r gularit l horloge que pour ses calculs de fractions continu es De plus mes recherches infructueuses semblent montrer qu il n existe plus d horloge cr e de sa main l poque de la construction de l horloge de Strasbourg une roue dent e ne pouvait pas contenir plus de 500 ou moins de 20 dents pour une raison de grosseur de roues et de technique de fabrication Cette horloge astronomique qui existe encore aujourd hui repr sente l heure mais indique galement le mouvement du soleil de la lune et des plan tes Pour comprendre l util
6. On remarque que cette fraction consiste en plusieurs tages de fractions c est pourquoi on les appelles parfois fractions tages Dans mon travail j ai choisi d utiliser le terme de fractions continu es traduction du terme Anglais continued fractions invent au XVII si cle par John Wallis Il existe encore un troisi me terme pour d signer les m mes fractions qui est fraction continue Ce dernier est le plus utilis dans la langue fran aise Bien que la diff rence entre les termes continu e et continue ne soit pas grande ce dernier peut porter confusion car le mot continu peut en maths d signer quelque chose qui s tend l infini et il faut savoir que les fractions continu es peuvent tre infinies mais aussi finies et ne comporter que peu d tages de fractions L anglais vite cette confusion en utilisant continued et non continuous Il en r sulte que les deux appellations d signent la m me chose et sont toutes deux tol r es Revenons sur certains termes bons savoir lorsque l on parle de fractions continu es Tout d abord les grandeurs ag a1 a2 a3 sont appel s quo tients partiels Il faut pr ciser que les quotients partiels sont des entiers positifs except pour ao qui peut tre n gatif Lorsqu on parle de fraction continu e les num rateurs sont gaux 1 Si ce n est pas le cas cette frac tion est appel e fraction c
7. fraction c est dire la lim w o n gt o0 wn Calculons cette limite Pour cela j ai besoin de la formule de Binet que j admettrai sans d monstration La voici LH 6 EVE Ye V5 Par la suite j utiliserai et 8 pour simplifier les quations Les voici 1 V5 2 1 v5 2 Un 3 13 Et voici un th or me utile Th or me Le terme u de la suite de Fibonacci est l entier le plus proche du nombre c est dire du n terme a de la progression g om trique a V5 Petit rappel Une suite g om trique est une suite du type an Qn_1 f T tant un nombre donn appel la raison Dans notre cas la raison est a dont le premier terme est et la raison est gale a r f 1 Pour d montrer ce th or me il faut prouver que u a est toujours inf rieur 3 en valeur absolue car si cette diff rence tait plus grande un autre entier serait plus proche En rempla ant un par la formule de Binet et a par son quivalent dans le th or me on obtient a Br a a a Br _ 8 V5 V5 V5 v5 B 1 V5 _ _0 618 Sa valeur absolue est donc plus petite que 1 et B 2 est lui aussi plus petit que 1 quel que soit n V5 gt 2 donc Be lt 3 Un an Le th or me est d montr a Nous avons maintenant u le nombre entier le plus proche de Jo Donc Un On Sl 7 et 9 est inf rieure 4 pour tout n Repr
8. je n avais jamais entendu parler de telles fractions auparavant et cela aura t tr s instructif de d couvrir un sujet inconnu et d approfondir mes connaissances la curiosit prenant le pas sur l obligation J avais la crainte au d part de ne pas avoir assez de mati re pour faire un bon travail de maturit Cette crainte n tait pas fond e puisque j ai d couvert une grande quantit de th or mes d montrer J aurais n anmoins aim trouver plus d informations sur certains th mes sp cifiques dont le contenu m int ressait comme l utilisation de ces fractions dans les horloges astrono miques ou l extraction des racines carr es Cette exp rience aura donc t tr s enrichissante non seulement sur le plan positif expos ci dessus mais galement sur les points n gatifs En effet les difficult s rencontr es m ont montr que si l itin raire choisi au d part n aboutit pas toujours c est par la recherche d autres voies que l on s enri chit Le but c est le chemin Pens e Zen 21 Remerciements M Bernard Verrey mon professeur de TM qui m a orient et aid durant ce travail A ma soeur Fanny qui termine son Master en Math matiques et qui a t d une grande aide durant ce travail ainsi qu toutes les personnes de mon entourage qui m ont soutenu 22 Bibliographie 1 N VOROBIEV Caract res de divisibilit suite de Fibonacci Editions de Moscou Initiations aux math matique
9. lag a1 a2 a3 an n o Les fractions continu es contiennent plusieurs propri t s tr s int ressantes Je vais tout d abord pr senter la propri t la plus utilis e Il s agit d ap proximations En g n ral lorsque l on veut trouver l approximation d une fraction on arrondit son num rateur et d nominateur dans le m me sens pour tre le mieux arrondi Si maintenant on s int resse la m me frac tion crite cette fois sous forme de fraction continu e et que l on arrondit cette fraction l approximation sera bien plus pr cise Je vais claircir cette propri t l aide d un exemple _ 2183 gt 2 756313131 792 f Voici les premiers termes de celle ci en fraction continu e 2 1 3 9 1 1 1 6 en arrondissant la premi re fraction pour obtenir des dizaines on obtient 2180 218 gt 2 759493671 790 79 On remarque que l approximation trouv e est bonne jusqu au 2e chiffre apr s la virgule Donnons maintenant l approximation de la fraction continu e 102 2 1 3 9 7 2 7567567 On remarque qu avec uniquement les 4 premiers quotients partiels de la fraction continu e la fraction est plus pr cise que la fraction arrondie plus haut Cette propri t a t grandement utilis e par les math maticiens afin d arriver d excellentes approximations l aide d une m thode tr s simple Ils ont galement remarqu que ces approximations sont syst
10. 1 Pn 1 Qn 1 Pn 1 Qn 1 Pati E Pn 1 An 1 et donc QAn 1 Qn Qn T bn 1 i qn 1 an 1 Qn 1 0n41 Qn 1 dn 1 an 1 La m thode est d montr e Je terminerai la partie concr te de mon travail sur cette d monstration Il me semble en effet avoir atteint mes objectifs c est dire pr senter les fractions continu es ainsi que leur utilit dans certaines activit s 20 Chapitre 5 Conclusion La conclusion qui suit portera non pas sur le contenu mais sur l exp rience et l enrichissement que ce travail m a apport Je n avais encore jamais fait de travail si cons quent non par le nombre de pages finales mais par l importance de la recherche et la connaissance avec laquelle on en ressort Premi rement on m a conseill d apprendre tra vailler avec un programme ATFX qui est un excellent outil pour la r daction de textes comprenant des formules ou des calculs Au d part ce programme semblait tre difficile d acc s et je n tais pas tr s enthousiaste Mais plus le travail avan ait plus je d couvrais l utilit d un tel programme En connais sant les fonctions cela m a permis de gagner du temps sur la mise en page Par la suite l EPFL savoir utiliser ce programme me sera pr cieux En ce qui concerne le contenu du travail j ai eu r ellement beaucoup de plai sir me plonger comme cela dans un sujet durant plusieurs mois Comme je l ai dit dans mon introduction
11. 1 lt z x est galement une fraction continu e 1 T V z En multipliant par x on obtient x x 1 0 et avec le discriminant 1v5 2 Puisque la valeur de la fraction ne peut pas tre n gative on prend la racine positive soit 1 V5 T 14 Chapitre 4 Extraction de racines carr es par les fractions continu es Je vais dans cette partie m int resser des m thodes d extraction de racines carr es l aide de fractions continu es Dans la partie d introduction du chapitre fractions continu es j ai parl de deux math maticiens Bombelli et Cataldi qui avaient utilis des m thodes pour extraire des racines carr es par les fractions continu es A l poque de ces deux math maticiens ces m thodes d extraction taient rapides et plut t efficaces On pouvait en effet trouver les valeurs exactes des racines carr es sous forme de fractions continu es infinies puis en les transformant en criture d cimale les r duites convergeaient assez rapidement vers la valeur exacte Il est pr sent dans ce chapitre deux m thodes d extraction illustr es par deux exemples concrets On y d termine la valeur exacte de la racine carr e sous forme de fraction continu e infinie dans le premier cas la m thode aboutit une fraction continu e g n ralis e tandis que dans le deuxi me plus compliqu on obtient une fraction continu e de base c est dire dont tous
12. Gymnase Auguste Piccard TRAVAIL DE MATURITE Les Fractions Continu es Suite de Fibonacci Romain Gilli ron 3MS3 Travail supervis par Bernard Verrey 12 novembre 2007 R sum Ce travail pr sente quelques possibilit s d utilisation des fractions continu es La premi re partie introduit les notions de base m lant appellations no tations et histoire Il y est pr sent un exemple d utilisation concr te de ces fractions l horlogerie et en particulier l horloge astronomique de Stras bourg dont le cr ateur avait utilis les fractions continu es pour trouver la meilleure approximation des rapports de temps de r volution entre les plan tes afin d obtenir des fractions raisonnables pour la fabrication des engrenages Dans ce travail est d taill le rapport entre Jupiter et la Terre La deuxi me partie pr sente la suite de Fibonacci et la d monstration d une de ses propri t s soit que la division d un terme de la suite par son pr c dent tend vers le nombre d or lorsque les termes croissent Il y est d montr au passage quelques th or mes utiles sur le sujet Cette partie pr sente donc l une des applications de ces fractions sur un plan purement th orique A l image des math maticiens du XVI si cle Bombelli et Cataldi la troisi me partie pr sente deux m thodes d extraction de racines carr es par les frac tions continu es Table des mati res 1 Introduction 2 1 1 Pr senta
13. e La suite de Fibonacci est introduite pour la premi re fois dans le Liber Abaci Plusieurs probl mes sont expos s dans ce livre dont un probl me sur le d veloppement d une famille de lapins En voici l nonc Une paire de lapins adultes donne naissance une paire de b b s lapins chaque mois Chaque paire de b b s lapins met un mois pour devenir adulte puis donne naissance chaque mois une paire de b b s lapins D terminer le nombre de paires de lapins apr s un certain nombre de mois Il est aussi signal que les lapins restent en vie ind finiment r f 4 Voici les r sultats de ce probl me pour les 16 premiers mois 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 Cette suite de nombres est la c l bre suite de Fibonacci Chaque terme est form de la somme des deux termes pr c dents En r alit il existe une quantit de suites de Fibonacci tant donn qu on appelle par ce nom toute suite du type un Un_1 Un_2 quels que soient les deux premiers termes Exemple 3 1 4 5 9 14 23 ou 022 10 12 2 14 16 N anmoins la suite la plus c l bre reste celle dont les deux premiers termes sont gaux 1 3 2 2 Fraction d or De nombreux math maticiens se sont int ress s cette suite et y ont trouv plusieurs propri t s L une de ces propri t s est que la division d un terme par son pr c dent tend vers le c l bre nombre d or p ee 1 618
14. enons le r sultat obtenu en fin de chapitre 3 2 4 Un 1 lim lim n 00 n 0o Un En rempla ant par u trouv plus haut anti V5 ne On 1 lim gt 5 n 00 Vs t 5 et en transformant un peu les 1 5 se simplifient Tl 0n41vV5 l a H j ant Fa n41 V5 lim lim n 0o ape n gt a 0 V5 Puis arti Onyi v5 d yr di E lim _ n qn 14233 noo q4 ve Et ar tant gal on obtient On 1V5 lim a Onti V5 Dre gt T 29 a n 00 ny5 0 V5 1 Gr lim 1 8a v5 n 00 ar Maintenant 0n 1 V5 est inf rieur 2 en valeur absolue et a cro t ind finiment lorsque n gt puisqu a gt 1 Donc On41V5 Vx lim 0 n gt 00 ar et 9 lim nv5 0 n oo on a donc li li a 0 _ et par d finition 1 V5 gt 9 La convergence vers y est d montr e 13 Il existe une m thode plus l gante pour calculer la valeur de la fraction continu e infinie donn e en 3 12 qui n utilise ni la formule de Binet ni le passage la limite Je trouvais n anmoins int ressant de donner tout d abord la m thode n uti lisant que les nombres de la suite de Fibonacci sans utiliser les fractions continu es avant de donner celle ci On peut ainsi mesurer l utilit de ces fractions dans certaines d monstrations en comparaison d autres m thodes plus complexes La voici Prenons 1 1 1 1
15. ilgu a reproduit ces calculs pour tous les autres rapports de temps de r volution des plan tes Cet exemple est un cas concret de l utilit des fractions continu es Je vais dans le chapitre qui suit pr senter un cas abstrait dans lequel les frac tions continu es peuvent galement tre utiles il s agit de la d monstration d un th or me sur la suite de Fibonacci Chapitre 3 La suite de Fibonacci 3 1 Biographie de Fibonacci Le math maticien Leonardo de Pisa est n Pise vers 1175 apr s J C Cet Italien est plus connu sous le nom de Fibonacci qui est un diminutif de Filius Bonaccio fils de Bonaccio Son P re Bonaccio travaillait la colonie de Bujania en Alg rie o il tait responsable du bureau des douanes Fibonacci le rejoignit tr s jeune et selon la volont de son p re qui esp rait faire de lui un marchand fut initi aux calculs indo arabes et apprit lors de ses voyages les savoirs et algorithmes orientaux Dans les environs de 1200 il retourna en Italie o il travailla pendant 25 ans rassembler mettre jour et d velopper toutes les connaissances qu il avait acquises En 1202 il publia son premier livre le Liber Abaci Ce livre est connu pour avoir introduit la num ration arabe en Europe et est l une des oeuvres qui donn rent Fibonacci la r putation d tre le plus accompli des math maticiens du Moyen Age 3 2 Fractions continu es et Fibonacci 3 2 1 Pr sentation de la suit
16. isation de ces fractions par Schwilgu je vais prendre comme exemple l un des rapports que contient cette horloge celui de Jupiter en rapport la Terre La p riode de r volution de Jupiter est de 4330 jours 14 heures 14 minutes et 10 secondes ou 374 163 250 secondes et celle de la terre de 365 jours 5 heures 48 minutes et 48 secondes ou 31 556 928 secondes On sait que par un engrenage constitu de deux roues dent es on peut relier deux axes pa rall les de mani re que les vitesses de rotation de ces deux axes soient dans un rapport donn rapport repr sent par une fraction dont les termes sont les nombres de dents des deux roues r f 3 Il fallait donc que Schwilgu r alise le rapport FE Comme je l ai dit plus haut il ne pouvait produire des roues avec plus de 500 dents Il d veloppa donc sa fraction sous forme de fraction continu e et il obtint 0 11 1 5 1 53 1 15 26 2 1 Il d cida de simplifier cette fraction de la mani re suivante 0 11 1 5 1 53 1 B et il r alisa ce rapport l aide de deux engrenages et Ainsi il entrait dans des proportions r alisables Calculons maintenant l erreur que provoque cet arrondi sur la pr cision de l horloge sur une ann e 384 gt 374163250 31556927 4553 Il y a donc environ une seconde en moins par ann e et seulement 1 minute et 54 secondes de d calage par si cle On remarque donc quel point l ap proximation est pr cise Schw
17. k gt 2m 1 et donc que la fraction Za se trouve apr s la fraction Gant dans la suite cela nous am ne P P rein 3 10 Qk Q2m 1 En rassemblant ces trois in quations on obtient Pom 1 S Pk x Pk 1 k Pan Q2m 1 Qk Qk 1 Qn P P Q2m 1 Qn Ce r sultat nous prouve que tout terme impair de la suite est sup rieur tout terme pair On pourrait le figurer comme si tous les termes de rang pair se trouvaient en dessous d une droite qui serait notre limite et que tous les nombres de rang impair seraient en dessus Mais rien ne nous prouve encore que cette suite tend vers cette limite Voici donc la d monstration de la convergence En reprennant 3 6 on peut crire Pa 1 Ph m 1 Qn 1 Qn Qn 1 Qn j Vu que tout Qn est un nombre entier et que chaque Qn 1 gt Qn cf 3 7 Qn est forc ment plus grand ou gal n Il est donc vident que Qn 1Qn gt n 1 n et donc que Qn 1Qn gt n On obtient donc 1 1 Qn 1Qn Qu n 11 Pour n o la diff rence de la n 1 et de la n fraction tend en valeur absolue vers z ro Ce qui veut dire que la suite tend lorsque n vers une limite encore inconnue Cette limite est la valeur de la fraction continu e infinie Jusqu ici nous avons travaill sur une fraction continu e g n rale Mainte nant nous allons travailler sur la fraction qui nous int resse c est dire 1 1 1 lt 3 12 Cherchons maintenant la valeur de cette
18. les num rateurs sont gaux 1 4 1 M thode 1 Voici le raisonnement pour la premi re m thode que je pr sente l aide d un exemple celui de Bombelli qui avait calcul la 4 13 Prenons comme point de d part l quation x 13 x 13 0 On remplace par le plus grand carr inf rieur 13 et par le reste x 9 4 0 15 puis on additionne le reste x 9 A4 on factorise l aide des produits remarquables x 3 x 3 4 on divise par la parenth se contenant le nombre positif 4 lt x 3 et finalement on obtient ou x 3 3 Hors 3 x Pour terminer on remplace chaque x par la valeur obtenue l inverse du chapitre 3 et l on obtient une fraction continu e infinie 4 3 3 4 4 3 Tuz ames gt x 8 On peut remarquer que cette fraction est une fraction continu e g n ralis e Lagrange a prouv en 1770 que si le nombre consid r est un irration nel quadratique c est dire solution d une quation du deuxi me degr coefficients entiers alors son d veloppement en fraction continu e est p riodique r f 3 On peut faire le lien entre ce th or me et le cha pitre 3 dont la solution de l quation z x 1 0 tait EVE et que celle ci pouvait tre crite sous forme de fraction continu e infinie qui tait p riodique Toutes les quations pour calculer les racines carr es de nombres entier
19. n exacte suivante 4 V13 3 gt 6 6 Par la suite Cataldi utilisa une m thode similaire pour approcher la valeur de V18 et trouva les 15 premiers convergents de cette racine notant que chaque r sultat tait alternativement plus grand ou plus petit que la valeur r elle voir chapitre 4 pour les m thodes d extraction de racines carr es par les fractions continu es C est aussi lui qui donna naissance la notation actuelle des fractions continu es En parlant de notations il en existe plusieurs pour d signer des fractions continu es La premi re notation consiste en l criture des quotients partiels unique ment C est la notation la plus utilis e w ao a1 a2 a3 Contrairement la premi re notation la seconde contient les quotients partiels mais aussi les num rateurs des fractions Dans le cas de fractions continu es de base elle n est pas utile puisque le num rateur est toujours unitaire Mais dans le cas de fractions continu es g n ralis es il est plus ais de travailler avec cette deuxi me notation 4 4 11 w ap lai az a3 Quant la troisi me notation elle est approximativement la m me que la deuxi me et est galement utilis e pour les fractions g n ralis es 1 1 1 w a0 a a2 a3 4 Il est finalement possible pour les fractions continu es infinies de les crire sous forme de limites ao a1 a2 a3 lim
20. ontinu e g n ralis e auquel cas tout num rateur est autoris Exemple de fraction continu e g n ralis e r f 7 4 1 1 32 T E 2 Ea a a Cette fraction est l une des premi res fractions continu es trouv es dans l histoire Elle a t d couverte au XVII si cle par le math maticien irlan dais William Brouncker qui est l un des nombreux math maticiens avoir travaill sur les fractions continu es Mais revenons cette fraction Il faut savoir que les fractions continu es g n ralis es taient en r alit les premi res fractions continu es d couvertes C est uniquement par la suite que ces fractions ont t class es comme g n ralis es avec l approfondissement des tudes sur le sujet Bien que certains historiens affirment que les fractions continu es aient exist d s le d but des math matiques et il existe la preuve que certains math maticiens les aient d j utilis es avant 1500 par exemple le c l bre Fibonacci on associe souvent le d but de celles ci avec deux math maticiens italiens du XVI si cle Rafael Bombelli celui l m me qui inventa les nombres complexes et Pietro Antonio Cataldi qui v cut jusqu au d but du XVIT Ces deux math maticiens ont travaill sur une nouvelle m thode d extraction des racines carr es l aide des fractions continu es Par exemple Bombelli trouva un algorithme pour extraire la V13 et d couvrit la fractio
21. s 2 M CLEYET MICHAUD Le nombre d or Presses universitaires de France Que sais je Vend me 1975 3 G CHARRIERE L alg bre mode d emploi Fournitures et ditions sco laires du canton de Vaud Suisse 1995 4 R A DUNLAP The Golden Ratio and Fibonacci Numbers World Scientific Publishing Co Singapour 1997 5 Petit Archim de num ros 64 70 1980 6 http www bibmath net bios index php3 action affiche amp quoi fibonacci 7 http www ilemaths net encyclopedie Fraction_continue html 8 http www anemsa com fra index html 23 Annexe A D veloppement de la v13 par la m thode de changements de variables x 13 0 I fi 3 lt 0 fi 4 gt 0 1 3 1 a 4a 6a 1 0 II f 1 lt 0 fr 2 gt 0 pie LE 3b 2b 4 0 III f3 1 lt 0 f32 gt 0 1 b 1 C 3 4c 3 0 IV fa lt 0 f1 2 gt 0 spl HE 48 2d 3 0 V f5 1 lt 0 f5 2 gt 0 d 1 e 6e 4 VI f6 6 lt 0 f6 7 gt 0 6 1 e f Af 6f 1 0 VII 24 1 x 3 LE gt Ro H E RTE L quation VIT est la m me que l quation II le cycle est termin x 3 1 1 1 1 6 25
22. s par ces m thodes remplissent les conditions du th or me et leurs d veloppements en fractions continu es sont donc p riodiques Pour prendre maintenant l exemple de Cataldi v18 on obtient l aide de la m me m thode le r sultat suivant x 18 0 x 4 x 4 2 16 C est videmment encore une fraction continu e g n ralis e et infinie On peut relever la ressemblance entre les deux fractions et terminer par la forme g n rale suivante 4 2 M thode 2 Passons maintenant la deuxi me m thode plus compliqu e mais non moins int ressante Elle consiste chercher tage par tage et l aide de changement d inconnues l approximation la meilleure et en se r f rant au th or me de Lagrange pr sent quelques lignes pr c demment trouver la p riodicit de la fraction Pour la pr senter je vais utiliser un exemple qui n est ni trop court ni trop long afin que la m thode soit bien comprise Je vais donc calculer la v18 On part de la m me tape que pr c demment c est dire x 18 0 4 1 On d finit f1 x x 18 On entoure la solution de l quation par les deux entiers les plus proches ce qui nous donne les meilleures bornes inf rieures et sup rieures enti res f1 4 lt 0 f1 5 gt 0 puis on transforme avec la borne inf rieure au 0 de la mani re suivante 1 x 4 a On peut le faire car s il est le nombre entier le plus proche du z ro
23. suivante d coule directement de l quation 3 3 Vils Cr 3 6 Qk Qk QkQkyi et selon les quations 3 1 et 3 2 P5 lt Pi lt P3 lt Qo lt Q1 lt Q2 lt 3 7 Utilisons les tout d abord pour la premi re suite Pon 2 Pon _ P n 2 Pont1 Pont1 Pon 1 1 Qon 2 Qan Qn 2 Qni Q2n 41 Qo Qen 2Q2n 1 Q2n 1Q2n Etant donn que Qon 2 gt Q2n 1 gt Qon le 1 terme de cette somme est plus petit que le 2e Il en d coule que cette somme est toujours positive Vu qu un terme moins son pr c dent est positif la suite 3 4 est croissante Passons la deuxi me suite Selon le m me proc d on obtient Pon 3 Pont1 1 zj lt Qon 3 Q2n 1 Qon 3Q2n 2 Q2n 2Q2n 1 10 Cela implique que la suite 3 5 est d croissante Utilisons pour la prochaine tape un terme de chaque suite Pon Pom 1 Qn Qom 1 et soit k un nombre impair sup rieur 2n et 2m 1 Prenons la Xa 3 6 Si k est an 1 F est n gatif et CUT ra lt 0 Donc ju _E qi lt 0 et finalement G H y doit tre inf rieur z On obtient la relation suivante P Pk 172 777 3 8 Qk Qk 1 Etant donn que k gt 2n et donc que k 1 gt 2n que la suite 3 4 est PESA D de croissante et que la fraction D se trouve apr s la Gg nous obtenons la n relation suivante P P se 3 9 Qk 1 Qn et puisque la suite 3 5 est d croissante que
24. tion du travail 2 2 Les fractions continu es 3 2 Pr sentations er 722 he an per 20 A nr te ne 3 2 2 Horloges astronomiques 5 3 La suite de Fibonacci 7 3 1 Biographie de Fibonacci 7 3 2 Fractions continu es et Fibonacci T 3 2 1 Pr sentation de la suite 0 T 32 27 Fraction d Or z ir 415 lee dy d SEVE OA a e EL et a 8 3 3 Convergence vers le nombre d or 10 4 Extraction de racines carr es par les fractions continu es 15 41 Methode Tr 222 23 Me ma M nr D e Di 15 4 91 M thode 2i man Hate nn not ten te RD ne Cie 42e 17 4 3 Calcul de fractions correspondantes 18 5 Conclusion 21 Bibliographie 23 A Annexe D veloppement de la v13 par la m thode 2 24 Chapitre 1 Introduction 1 1 Pr sentation du travail J ai toujours t attir par les math matiques D montrer des th or mes pouvoir tre s r 100 de mes r ponses il n y avait aucun autre domaine tudi en cours dans lequel je puisse avoir d s le d but des certitudes non pas parce que je les avais apprises mais parce que je les avais v rifi es ou trouv es par moi m me C est pourquoi je n ai pas h sit prendre l option math physique au d but du gymnase et maintenant prendre un travail de maturit sur les math matiques Au d but de ce travail j avais l intention d crire un texte regroupant plu sie
25. uites de fonctions r cursivement po x qo 1 pi x x po ao b nt x Pn x Pn 1 Qn 1 T bn Pn 2 an 2 2 qn 1 an 1 T bn g qn 2 an 2 Prouvons par r currence que Z nlan Yn o 5 est la fraction irr ductible correspondante comme expliqu auparavant 19 V rifons P a une po ao ok Qo qo ao P b aga b a AE E NEE 041 1 _ p a ok Q al a q ai Supposons vrai pour n P b a TT ao _ Prl n Qn aj azt 22 Qn Qn La fraction suivante est la m me o le terme a est remplac par an met 2 et par hypoth se de r currence on peut crire la deuxi me galit bn 1 Pati Gp bi PE Pn An t a Qni i q 2 gt E qnan Briet az E NAON ani an nl bn 1 Palanta j Mais la fraction est gale Rte bn 1 Pn 1 an 1 An ne nu n 1 t bn Pn 2 Un 2 An Qn 1 Qn 1 H Pnau 1 an 1 bn An 2 An 2 n 1 n l en multipliant cette fraction par z on obtient _ Qn n l Pn 1 Un 1 T bn 1 Pn 1 QUn 1 An 1 bn i Pn 2 an 2 Qn Qn 1 qn 1 an 1 a bn 1 qn 1 an 1 An 1 bn qn 2 an 2 on met an en vidence _ An 1 Qn Prat F bn Pn 2 an 2 F bn 1 S Pn 1 Qn 1 An 1 Qn Qn 1 04n 1 F bn qn 2 an 2 bn 1 qn 1 an 1 et finalement on obtient _ n l Pnlan T bn
26. urs th or mes d montr s sur le sujet de Fibonacci et de sa c l bre suite de nombres J avais entendu parler de cette suite et je d sirais d couvrir com ment celle ci pouvait appara tre dans tant de domaines diff rents trouver une utilisation dans des domaines qui a priori n avaient aucun point com mun Pendant que j tudiais la premi re d monstration j ai d couvert que l on utilisait des fractions continu es pour la d montrer Je n avais encore jamais entendu parler de telles fractions et j ai eu envie de me pencher sur ces frac tions particuli res pour en d couvrir certaines propri t s et comprendre leur utilit sur un plan pratique J ai vite remarqu que ces fractions pouvaient tre utiles dans bon nombre de domaines et ai t surpris par la quantit de th or mes que l on pouvait trouver contenant ces fractions et le nombre de mati res tournant autour d elles Dans ce travail je vais expliquer ce que sont ces fractions continu es pr senter quelques th or mes en rapport avec la suite de Fibonacci ainsi que sur ces fractions et pr senter l un des domaines pratiques dans lequel elles peuvent tre utilis es les horloges astronomiques Je conclurai avec un bilan de l exp rience qu a t ce travail et de ce qu elle m a apport Chapitre 2 Les fractions continu es 2 1 Pr sentation Une fraction continu e est une fraction du type 1 w A 5 ai ao T a az
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