Sur l`invariant de Kervaire des noeuds classiques
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1. K s S3 V s1 S2 S3 E X A XA 8 Par d finition m me K s s2 0 si s et s sont deux sections descendantes correspondant deux composantes connexes adjacentes de S X la formule 8 montre plus g n ralement que K s s2 0 pour tout couple sj 2 de sections descendantes Fixons une section descendante s de A il est clair pr sent que Vapplication A Z 2 s gt K s s r pond la question K s s2 n est pas autre chose que k s k s La conclusion de cette digression est la suivante On peut d finir linvariant de Kervaire d un noeud de mani re combinatoire sans parler de surface de Seifert et de forme de Kervaire Voici bri vement comment proc der Un noeud tant donn par l une de ses projections g n riques on consid re a priori V l ment k de Z 2 d termin par les formules 1 ou 2 du th or me 4 Pour montrer qu il s agit bien d un invariant du noeud il suffit de v rifier que cet l ment est invariant par les trois modifications de Reidemester 4 6 cette v rification est imm diate parce que dans les formules 1 ou 2 on a le choix du point a 188 JEAN LANNES 6 Retour sur la forme de Kervaire L objet de ce paragraphe est de montrer que les calculs du 4 d terminent aussi les formes quadratiques qj H M M Z 2 Z 2 consid r es au 3 Puisque l application lin aire joh V H M aM Z 2 est surjective et que la forme bilin2. aire altern e b H M aM Z 2 x H M aM Z 2 est non d g n r e le lemme 3 5 montre que le noyau de jeh coincide avec celui de la forme bilin aire altern e e et que jeh induit une isom trie de V ker e amp d signant la r gularis e de e sur H M aM Z 2 b En d autres termes b s identifie la r gularis e de e Soit maintenant K u le second membre des formules 1 ou 2 du th or me 5 La formule de la d monstration de 3 3 donne k sg u k sa qre G eh u soit encore afe h u K u 9 plus g n ralement d apr s la formule de 3 3 on a Grsy joh u K u e s sa u 10 L application V 7 2 u gt K u K u d signant le second membre de 10 est une forme quadratique associ e 4 e la formule 10 montre que K s annule sur ker e et que K induit une forme quadratique not e K V ker e gt Z 2 associ e Elle montre galement que joh induit une isom trie de Viker e K sur H M M Z 2 Gr En d autres termes qre s identifie la r gularis e de K Voici une application de la formule 9 PROPOSITION 6 La proportion des l ments s de A tels que l invariant de Arf du noeud N vaut 1 est donn e par la formule 01 2 g d signant l entier d fini par 2g rang de e et le symbole le cardinal d un ensemble fini Sur invariant de Kervaire des noeuds classiques 189 D monstration Soient W un Z 2 espace vectoriel de d
3. N est caract ris e par les propri t s suivantes i k stutv k st u k st v k s e u v VseA V uv eVXxV ii k est nulle sur les sections descendantes D montrons tout d abord l unicit La diff rence entre deux applications poss dant les propri t s i et ii est une application affine qui est nulle sur les sections descendantes l unicit r sulte donc du lemme suivant LEMME 3 2 Les sections descendantes engendrent affinement A D monstration Soient un point de X et s 2 les sections descendantes correspondant aux deux composantes connexes de S X adjacentes amp il est clair que s s a 182 JEAN LANNES Suite de la d monstration du th or me 3 1 Il est vident que l invariant de Kervaire v rifie ii il reste montrer qu il v rifie i Pour cela on va utiliser la surface de Seifert du noeud N que l on construit partir de sa projection voir par exemple 8 p 120 Commen ons par d finir la surface de Seifert de l immersion a Les sous ensembles a x x parcourant X sont des 0 sph res plong es dans S Nous notons L la trace des chirurgies orient es correspondant ces 0 sph res L est donc une surface orient e dont le bord est une somme disjointe 8 L H 3 L oL d signant notre S d origine et L le r sultat de la chirurgie Nous appelons surface de Seifert de l immersion a la surface orient e not e M obtenue en collant un disque D sur ch
4. e VX V E z 0 Vzex D apr s le th or me 3 1 la diff rence L u k s u E u est une forme lin aire en u puisque L z k s z il suffit donc de calculer k s z pour d terminer L et avoir ainsi l expression de k Soient s s deux l ments de A la propri t i du th or me 3 1 s crit k s2 k s k Sa 82 81 k sa es Sa S27 51 ou encore compte tenu de k s 0 k s2 k s k s S2 1 e 8 Sa S2 1 3 Soient maintenant z un point de X et s_ s les sections descendantes associ es aux composantes connexes de S X respectivement adjacentes Sur invariant de Kervaire des noeuds classiques 185 gauche et droite inf a z On v rifie les formules S S_ Z 4 e s_ s z D e r z 5 reX r lt z Les formules 3 4 et 5 impliquent la suivante k s k s k sa z e r z Compte tenu de k s_ 0 et k s 0 il vient k s z e r z 6 rex D o k s u e x yu x u y 3 e r u z x y zeX reX etx y u x u y e x y u y x y x lt y e x y 1 u x u y Cafd Soient d autre part s et s les sections descendantes associ es aux com posantes connexes de S X respectivement adjacentes gauche et droite sup a z on v rifie les formules si slL z si s_ e r z r rex On en d duit comme pr c dement k s k s k s z e r z e r z reX
5. reX 186 JEAN LANNES ou encore k s k s k s z e r z reX d o l on tire k s z e r z 7 rex et la formule 2 Remarque Les formules 6 et 7 impliquent la suivante e r z 0 VzeX r rex en d autres termes le vecteur ex x appartient au noyau de la forme e Voici une preuve directe de T Soit D un petit disque ferm de R de centre z on note I L les deux composantes connexes dans S de a D aD on note J i 1 2 le segment joignant dans D les deux points de a oJ et C i 1 2 la r union a J UJ on observera que J et J ne se rencontrent pas La somme Vrexe r z r repr sente dans Ho R Z 2 l intersection des deux cercles immerg s C et C on a donc Y x e r z 0 La formule T explique pourquoi k s est donn la fois par les formules 1 et 2 ce qui traduit deux propri t s de l invariant de Kervaire d un noeud En effet les seconds membres de 1 et 2 sont chang s dans les deux cas suivants quand on remplace s par s quand on change l orientation de S un noeud et son image dans un miroir un noeud et son inverse ont m me invariant de Kervaire 5 Digression combinatoire Essayons d abstraire la combinatoire des paragraphes pr c dents On consid re un ensemble fini X et un rev tement deux feuillets X X o X est un sous ensemble fini de S On note V le Z 2 espace vectoriel Z 2 et A l espace aff
6. Comment Math Helvetici 60 1985 179 192 0010 257 1 85 020179 14 01 50 0 20 0 1985 Birkhauser Verlag Basel Sur l invariant de Kervaire des noeuds classiques JEAN LANNES 0 Introduction L objet de cette note est de montrer que l invariant de Kervaire d un noeud de R donn par l une de ses projections g n riques s exprime comme une somme dans Z 2 de termes index s par les paires de points de croisements Le plan du papier est le suivant On rappelle tout d abord la d finition de Vinvariant de Kervaire d un noeud paragraphe 1 On fixe ensuite une immersion g n rique de S dans R et on consid re l ensemble des noeuds de R audessus de cette immersion cet ensemble fini not A est muni trivialement d une structure de Z 2 espace affine paragraphe 2 Au paragraphe 3 on caract rise l invariant de Kervaire parmi les fonctions d finies sur A et valeurs dans Z 2 Cette caract risation permet au paragraphe 4 le calcul de l invariant de Kervaire On montre au paragraphe 5 que les formules du paragraphe 4 peuvent conduire une d finition purement combinatoire de l invariant de Kervaire d un noeud On montre au paragraphe 6 que ces m mes formules permettent d exprimer la forme de Kervaire relative la surface de Seifert du noeud construite partir de sa projection Enfin le paragraphe 7 est consacr quelques exemples Le papier se veut l mentaire aussi a t on essay dans la
7. D et D la r union du 1 disque D introduit ci dessus et du segment joignant dans D les deux points de x Il est clair que j h x qui appartient H M aM Z 2 S 1 M Z 2 est le dual de Poincar de l ment de H M Z 2 repr sent par Soient x et y deux points distincts de X D et D se rencontrent bien ut es en un point ou sont disjoints suivant que a x et a y sont enlac s ou non 184 JEAN LANNES 4 Calcul de invariant de Kervaire des noeuds N On choisit nouveau un point a de S X et on munit X de la relation d ordre image r ciproque de celle de S a par la section descendante s En d autres termes on a x lt y x et y d signant deux points de X si et seulement si inf a x lt inf a y H est clair l encore que cette relation d ordre ne d pend que de la composante connexe de a dans S X THEOREME 4 L invariant de Kervaire des noeuds N est donn par la formule k s e x yX1 u x u y 1 x lt y ou lt y d signe la sommation sur les couples x y de X x X v rifiant x lt y pour la relation d ordre d finie ci dessus par le choix d un point a et ou u d signe la diff rence entre la section s et la section descendante Sa On a de m me k s e x y u x 1 u y 2 x lt y D monstration On pose E u y e x y u x u y Ya d signant la som mation sur les parties 4 deux l ments de X On a E u v E u E w e u v V u v
8. X On note enfin gt l involution de X associ e au rev tement X gt X Sur l invariant de Kervaire des noeuds classiques 181 A une section s de X X on fait correspondre un noeud de la fa on suivante Soit A S gt R une fonction telle que s s x gt A s x Wx Ee X alors l application B a X A St R est un plongement dont la classe d isotopie est ind pendante du choix de A Le noeud correspondant est not N Nous esp rons que les prochains paragraphes convaincront le lecteur de l utilit du formalisme ci dessus qui peut para tre a priori un tantinet p dant 3 Caract risation de invariant de Kervaire des noeuds N Soit a un point de St X on d finit une section not e Sa du rev tement X X de la fa on suivante On munit S a de la relation d ordre induite par un diff omorphisme orient de S a sur R et on pose s x inf a x Il est clair que s ne d pend que de la composante connexe de a dans S X Nous appelons les sections du type s les sections descendantes Le trac des noeuds correspondants explique cette terminologie ces noeuds sont triviaux Soient x et y deux points distincts de X on note e VX V 7 2 l unique forme bilin aire altern e telle que 1 si a x et 7 y sont enlac s dans S e x y 0 sinon THEOREME 3 1 L application k 7 2 qui associe une section s du rev tement X gt X l invariant de Kervaire du noeud
9. acune des composantes connexes de L La construction de Seifert loc cit montre qu il existe un plongement Ys M R qui tend le plongement B S gt R Le plongement y d termine une parall lisation stable de M compatible avec l orientation cette parall lisation stable est not e f s L ensemble not B des parall lisations stables de M compatibles avec l orientation est un espace affine sous M SO H M Z 2 Comme nous l avons rappel au 1 un l ment t de B d termine une forme quadratique q H M aM Z 2 Z 2 associ e la forme bilin aire altern e not e b H M 8M Z 2 x H M aM 2 2 Z 2 uv gt uUv M L in variant de Kervaire du noeud N est par d finition l invariant de Arf de la forme quadratique qre LEMME 3 3 L invariant de Arf de q not x t v rifie la formule K ttut v K t u K t v t b ju jv VteB V u v e H M Z 2 x H M Z 2 j H M Z 2 gt HM aM Z 2 d signant Visomorphisme inverse de celui induit par l inclusion M gt M aM D monstration L effet d un changement de trivialisation sur la forme de Kervaire est d crit par la formule suivante Griu c a c uUc M Wee H M aM Z 2 soit encore du C q c b ju c Wee H M aM Z 2 Pour s en convaincre on peut consid rer la caract risation de q que nous Sur l invariant de Kervaire des noeuds classiques 183 avons donn e au 1 et utiliser que le J homomor
10. du premier exemple 2 m 1 2mM 1 croisements w 1 2 2m4 1 1 2 2m 1 K u u y isi lt js2m 1 u 0 1 0 1 1 0 w i 1 mod 2 k m m 1 3 mod 2 192 JEAN LANNES REFERENCES 1 C Arr Untersuchungen ber quadratische Formen in K6rpen der Characteristik 2 J Reine Angew Math vol 183 1941 148 167 2 J H Conway An enumeration of knots and links and some of their algebraic properties Computational Problems in Abstract Algebra Pergamon Press New York 1970 3 L H KAUFFMAN The Conway Polynomial Topology vol 20 1980 101 108 4 L H KAUFFMAN Formal knot theory Mathematical notes Princeton University Press 1983 5 J Levine Polynomial invariants of knots of codimension two Ann of Math vol 84 1966 534 554 6 K REIDEMEISTER Knotentheorie Chelsea Publishing Company New York 1948 Copyright 1932 Julius Springer Berlin 7 R ROBERTELLO An invariant of knot cobordism Comm Pure Appl Math vol 18 1965 543 555 8 D ROLFSEN Knots and links Publish or Perish Press 1976 Ecole Polytechnique Centre de Math matiques Route de Saclay F 91128 Palaiseau cedex Regu le 18 juin 1984
11. imension finie et q W Z 2 une forme quadratique non d g n r e alors l invariant de Arf de q not x q peut tre d fini par la formule a 0 q 1 21 2 dim w 1 ou encore q D _1 Cy yi pean Comme d apr s ce qui pr c de g est le genre de la surface de Seifert M de l immersion a et que l invariant de Arf de qj est nul on a 450 1 tere H M M 2 2 2 28 d o grace 9 12 ce qui compte tenu du th or me 4 d montre la proposition 7 Exemples Voici le mode d emploi du th or me 4 Soit N un noeud donn par l une de ses projections g n riques On choisit une origine sur N indiqu e sur les figures par un tiret transverse au trac du noeud en dehors de l ensemble X des points de croisements On parcourt ensuite N en suivant l orientation indiqu e par une fl che sur les figures La succession des passages aux points de croisements d termine une application 7 1 2 2n X n d signant le cardinal de X qui est un rev tement deux feuillets On d finit une bijection v 1 2 n X en posant v i inf j 01 2 i moins formellement on num rote les points de croisements 4 mesure qu on les rencontre En pratique en m me temps qu on num rote les points de croise 190 JEAN LANNES ments on met en m moire l application w v e 1 2 2n gt 1 2 n autrement dit on crit le 2n uple w 1
12. ine sous V form des sections du rev tement X X On d finit comme au 2 le sous ensemble de A des sections descendantes et la forme bilin aire altern e e VX V 7 2 Sur l invariant de Kervaire des noeuds classiques 187 PROPOSITION 5 Il existe une application k A 7 2 poss dant les propri t s i et ii du th or me 3 1 si et seulement si la condition T de la fin du 4 est satisfaite Dans ce cas cette application k est unique et est donn e par les formules 1 et 2 du th or me 4 D monstration La deuxi me partie de cette proposition a d j t prouv e Montrons que la condition I est n cessaire Consid rons les sections descen dantes s_ SL s introduites dans la d monstration du th or me 4 On a s s 2 st s_ xelr z r s s z xe r z r si k poss de la propri t 1 du th or me 3 1 il vient k s k s k s k st e e r z r 2 rex ry e r z rex Si en outre k poss de la propri t ii alors x e r z 0 pour tout z dans X R ciproquement supposons I satisfaite On d finit alors une application l A X X 2Z 2 en posant I s z e s t z t d signant l une des sections s_ S s sh et on note L A X V 7 2 le prolongement lin aire par rapport V de K L s u zex I z u z On consid re enfin Fapplication K A xA gt Z 2 s1 82 gt E s2 8 L s S2 81 On v rifie la formule K 51 52 K s2 53
13. mesure du possible d tre self contained 1 Rappel sur l invariant de Kervaire d un noeud L invariant de Kervaire d un noeud a t d couvert par Robertello dans 7 il a t tudi et sa d finition reformul e par beaucoup d auteurs voir en particulier Particle 5 de J Levine On trouvera dans 3 une m thode de calcul de cet invariant bas e sur le travail de J H Conway 2 diff rant sensiblement de celle de notre papier Soit N un noeud dans R On sait qu il existe une surface compacte orient e M plong e dans R dont le bord est N on dit que M est une surface de Seifert du noeud Le plongement de M dans R induit une parall lisation stable de M not e 179 180 JEAN LANNES t qui d termine une application q H M M Z 2 Z 2 telle que l on a pour tous u v dans H M 3M ZIZ q ut v q u q v u U v M En d autres termes q est une forme quadratique appel e forme de Kervaire associ e 4 la forme bilin aire non d g n r e H M aM Z 2 x H M 8M Z 2 gt Z 2 u v gt uUv M On montre que la classe de q dans le groupe de Witt quadratique WQ Z 2 est ind pendante du choix de M c est en fait un invariant de la classe de cobordisme du noeud N Or le groupe WQ Z 2 ne contient qu un seul l ment non trivial l unique isomorphisme de WO Z 2 sur Z 2 est appel l invariant de Arf parce qu il coincide avec l invariant de A
14. phisme 7 SO Of est un isomorphisme On en d duit K t u K t q ju et le r sultat Compte tenu du lemme pr c dent la preuve du th or me 3 1 sera achev e d s qu on aura d montr les deux lemmes suivants LEMME 3 4 L application f A B est affine et l application lin aire sous jacente V H M Z 2 est la _ composition ci dessous not e h V H L dL Z 2 gt H M aM Z 2 PTS H M Z 2 LEMME 3 5 Les formes bilin aires altern es e et b sont reli es par la formule elu v b jeh u jeh v V u vie Vx V D monstration de 3 4 Il suffit de v rifier la formule f s x f s h x Pour cela on observe que les surfaces de Seifert y M et y M diff rent seulement au voisinage de x par le remplacement d une bande tordue d un demi tour dans un certain sens par une bande tordue d un demi tour dans le sens oppos Soyons un peu plus formel Par construction la 0 sph re a x de S borde dans M un 1 disque que l on note D un voisinage tubulaire de D dans M est de la forme D x D o D est encore un 1 disque Les bandes auxquelles nous avons fait allusion ci dessus sont y D x Dj et Y D X Dj On v rifie que la diff rence f s x f s est l image dans H M Z 2 du g n rateur de H Dj dD Z 2 par la composition H D 6D Z 2 H D x Dy D xX8D Z 2 HM M D x D 8D Z 2 gt H M 2Z 2 D monstration de 3 5 Soient M la surface sans bord M Js
15. rf d fini plus g n ralement pour tout corps de caract ristique 2 1 l invariant de Arf de q est appel l invariant de Kervaire ou parfois de Arf du noeud N La forme de Kervaire q qui est d finie pour toute surface compacte orient e M munie d une parall lisation stable t peut tre caract ris e de la fa on suivante Soient C une sous vari t de dimension 1 compacte sans bord de M 3M dont le fibr normal dans M est orient et tc la parall lisation stable de C induite par t alors la valeur de q sur l l ment de H M aM Z 2 repr sent par C est la classe de C tc dans le groupe de cobordisme stablement parall lis Of Z 2 c est aussi dans le cas particulier o M est une surface de Seifert la r duction modulo 2 de l enlacement dans R de C et de sa translat e selon la normale orient e M 2 Formalisme relatif aux noeuds de R au dessus d une immersion g n rique de S dans R Soit S gt R une immersion g n rique On note respectivement X et X Pensemble des points doubles de a la source et au but La restriction de a X X est un rev tement trivial deux feuillets dont l ensemble des sections est not A Cet ensemble est un espace affine sous le Z 2 espace vectoriel V Z 2 la diff rence entre deux sections s s est la fonction caract ristique du sous ensemble x s x s2 x de X On observera que l on peut aussi consid rer V comme le Z 2 espace vectoriel de base
16. w 2 2n que l on note encore w La bijection v identifie l espace vectoriel V Z 2 Z 2 et un l ment u de V un n uple u u2 u d l ments de Z 2 La fonction polyn me K u second membre des formules 1 et 2 du th or me 4 s crit K u Y 1 uw u ou K u w 1 w DEA G DeA A d signant le sous ensemble de 1 2 n x 1 2 n form des couples i j tels que i lt j et infw j lt sup w i lt sup w j ou ce qui revient au m me inf w i lt inf w j lt sup w i lt sup w j c est dire tels que le quadruple i j i j appara t dans cet ordre l dans le 2n uple w La diff rence u entre le noeud N et le noeud descendant correspondant l origine choisie se d finit comme suit u 0 ou 1 respectivement suivant que la premi re fois o l on passe par le point de croisement num ro i l on se trouve sur le brin sup rieur ou inf rieur du noeud L invariant de Kervaire k du noeud N est la valeur de K pour cet l ment u Nous terminons par trois exemples 7 1 Le noeud de tr fle w 1 2 3 1 2 3 K u u 14 u u 14 u3 u 1 u3 u 0 1 0 k 1 Sur l invariant de Kervaire des noeuds classiques 191 7 2 Le noeud de huit 3 w 1 2 3 1 4 3 2 4 K u u 1 u2 u 1 u3 u 1 u4 u3 1 u4 u1 u4 1 u3 u3 u 0 1 0 0 k 1 7 3 Le noeud torique de type 2 2m 1 g n ralisation
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