Sémantique formelle vériconditionnelle
Contents
1. chevalier x trahir z a 17 Des chevaliers ont vu des l phants me formel Syntaxe Exemples de traductions suite Th me 16 Un chevalier a trahi Arthur chevalier x trahir z a 17 Des chevaliers ont vu des l phants chevalier x Jy l phant y voir z y me formel Syntaxe Exemples de traductions suite Th me 16 Un chevalier a trahi Arthur chevalier x trahir z a 17 Des chevaliers ont vu des l phants chevalier x Jy l phant y voir z y 3z3y chevalier x l phant y A voir z y me formel Syntaxe Exemples de traductions suite Th me 16 Un chevalier a trahi Arthur chevalier x trahir z a 17 Des chevaliers ont vu des l phants chevalier x 3y l phant y voir z y 3z3y chevalier x l phant y A voir z y 18 Tous les bretons aiment Arthur me formel Syntaxe Exemples de traductions suite Th me 16 Un chevalier a trahi Arthur chevalier x trahir z a 17 Des chevaliers ont vu des l phants chevalier x Jy l phant y voir z y 3z3y chevalier x l phant y voir z y 18 Tous les bretons aiment Arthur Yz breton z aimer z a Syntaxe me formel Exemples de traductions suite Th me 16 17 18 19 Un chevalier a trah2. e Enjeu sp cifier syst matiquement les conditions de v rit s des phrases de la langue e Une condition de v rit une description d une partie de l tat du monde e les choses sont comme ci et comme a e Il faudra donc se donner les moyens de parler des tats du monde e On d crira le sens des phrases au moyen d un syst me de r gles qui calculent la d notation des expressions e Ce syst me formel v riconditionnel est un syst me logique le calcul des pr dicats gt en effet je e que P on comprendre ces deur types de langage au sein d une m me th orie naturelle et math matiquement pr cise There is in my opinion no important theoretical difference between natural languages and the artificial languages of logicians indeed I consider it possible to comprehend the syntax and semantics of both kinds of languages within a single natural and mathematically precise theory Le syst me formel Le Langage Objet LO Un langage pour crire le sens des phrases Pour d crire la langue comme un syst me formel nous allons utiliser un langage interm diaire que nous appellerons le LO e Pour commencer LO Langage du calcul des pr dicats Int r ts e LO permet de repr senter les sens de fa on pr cise et compacte e LO est univoque sans ambigu t e Comme une langue naturelle LO poss de une syntaxe et une s mantique Le syst me
3. 20 Un chevalier a trahi Arthur Jp De chevalier z trahir z a S chevaliers ont vu des l phants chevalier z 3y l phant y voir z y 3x3y chevalier z l phant y voir z y Tous les bretons aiment Arthur Va breton z aimer z a Aucun chevalier n est intr pide Va a chevalier z intr pide z chevalier z intr pide z Tous les chevaliers cherchent quelque chose chevalier z 3 Va y chose y chercher z Syntaxe me formel Exemples de traductions suite Th me 16 17 18 19 20 Un chevalier a trahi Arthur chevalier x trahir z a Des chevaliers ont vu des l phants chevalier x Jy l phant y voir z y 3z3y chevalier x l phant y voir z y Tous les bretons aiment Arthur Vz breton z aimer z a Aucun chevalier n est intr pide Vz chevalier z intr pide z 3x chevalier z intr pide z Tous les chevaliers cherchent quelque chose Vz chevalier z 3y chose y chercher z y Sy chose y Vz chevalier z chercher z y S mantique M1 LTD me formel Syntaxe Exemples de traductions suite Version De quelles phrases du fran ais ces formules pourraient tre les traductions 21 YVr lcheval z blanc x poss der a x 22 Vx cheval x rapide z 23 3x cheval z rap
4. pour toutes les valeurs de x et obtenir 1 chaque fois Donc ici une seule valeur de y trouver nt Rou me formel 00000000000000000e S mantique Analyse s mantique Fran ais gt Langage objet gt Monde Le syst me formel 00000000000000000e S mantique Analyse s mantique Fran ais gt Langage objet gt Monde traduction interpr tation Le syst me formel 00000000000000000e S mantique Analyse s mantique Syst me formel Fran ais Langage objet gt Monde traductipn interpr tation Le syst me formel 00000000000000000e S mantique Analyse s mantique Syst me formel Fran ais Langage objet gt Monde traductipn interpr tation interpr tation M thode indirecte M thode directe ondition R f rences S mantique R f rence Frege G 1892 ber Sinn und Bedeutung Zeitschrift f r Philosophie und philosophische Kritik 100 22 50 Trad fr Sens et d notation in Ecrits logiques et philosophiques pp 102 126 Paris Seuil 1971 Montague R 1970 Universal grammar Theoria 36 373 398 Montague R 1973 The proper treatment of quantification in ordinary English In Hintikka K J J Moravcsik J M E and Suppes P editors Approaches to Natural Language pages 221 242 Reidel Dordrecht ondition
5. gt La d notation ne fait pas tout 2 L toile du matin est l toile du soir 3 L toile du matin est l toile du matin V NUS V NUS V NUS Qu est ce que la s mantique formelle e Tele Sens et d notation Sens et D notation C est le sens qui compte l toile du matin l toile du soir V nus la plan te V nus la deuxi me plan te du syst me solaire l toile du berger Hesperus V NUS Phosphorus m e gt o gt La d notation ne fait pas tout 2 L toile du matin est l toile du soir m n V NUS V NUS 3 L toile du matin est l toile du matin 2 et 3 n ont pas le m me sens l toile du matin et lt l toile du soir n ont pas le m me sens Qu est ce que la s mantique formell 0000 et d notation Sens et D no Triangle s miotique Autres exemples Diff rents sens m mes d notations 4 le vainqueur d I na b le vaincu de Waterloo c le p re du code civil d Napol on etc Un sens mais pas de d notation 5 l actuel roi de France le plus grand nombre entier de N un carr 6 c t s les calendes grecques mp P Laurent Ro Qu est ce que la s mantique formelle e000 S mantique v riconditionnelle S mantique v riconditionnelle Sens d une phrase e La d notation d une phrase d clarative est sa valeur de v rit vrai ou faux 1 ou 0 Par d
6. mantique Exemples d interpr tations suite 34 ne b gt ne p M a ne b gt ne p 1 ssi ne b 0 ou f ne p 1 Sem 4 c b Or ne b M 1 donc il faudrait que ne p M 1 aussi pour que toute la formule soit vraie c Mais ne p 0 d Donc ne b gt ne p 0 35 ne p gt ne b M a ne p gt ne b 1 ssi ne p 0 ou ne b T Sem 4 c b ne p 0 c Donc la suite n a pas d importance et ne b 1 Le syst me formel OOOOOOOOOOO OOOOOO S mantique Sur les formules quantifi es Comment interpr ter et Vre e axe 1 ssi il existe au moins une valeur de x tq e 1 et e 1 ssi pour toute valeur de x p M 1 Le syst me formel Sooooooooooeoooooo S mantique Sur les formules quantifi es Comment interpr ter et e Intuitivement e 3zo 1 ssi il existe au moins de x tq e 1 et e M 1 ssi pour de x vo 1 e Probl me qu est ce qu une valeur de z On n a pas de r gle pour 2 Solution trop simple les constantes vont jouer le r le des e Technique pour interpr ter une formule quantifi e on va remplacer les variables par des constantes Pr caution on postule qu tout individu de A correspond au moins une constante de LO ne formel 000000000000 800000 S mantique Interpr
7. tations S mantique me formel OOOOOOO OOOOOOOOOO Exemples d interpr tations ne p gt gt ne p 1 ssi p ne Sem 1a pl F p Def 8 Puck M ne F ne Def 8 BOTTOM M Est ce que PUCK BOTTOM Non Donc 5 g ne Et donc ne p 0 S mantique M1 LTD S mantique me formel OOOOOOO OOOOOOOOOO Exemples d interpr tations ne p me p o gt gt ne p 1 ssi 0 ne Sem 1a pl F p Def 8 Puck ne F ne Def 8 BOTTOM M Est ce que PUCK BOTTOM Non Donc 5 g ne Et donc ne p 0 ne p S mantique M1 LTD S mantique Le syst me formel elelele elo e ee Exemples d interpr tations 28 ne p me p o gt gt ne p 1 ssi 0 ne Sem 1a pl F p Def 8 Puck ne F ne Def 8 BOTTOM M Est ce que PUCK BOTTOM Non Donc p g ne Et donc ne p 0 ne p a ne p 1 ne p 0 Sem 3 S mantique M1 LTD S mantique Le syst me formel elelele elo e1e Telelelolelelelole Exemples d interpr tations suite 29 mari de o t2 Bp mari de o t2 1 1 ssi o t2 1 mari de M Sem 1 b o M F o OB R
8. 0 Car TITANIA OB RON TH S E HIPPOLYTA OB RON TITANIA 31 mari de t h1 1 a nt Rou mari de t1 h1 1 car TH S E HIPPOLYTA TH S E HiPPOLYTA OB RON TrTANIA 1e formel OOOOOOOOO OOOOOOOO S mantique Exemples d interpr tations suite 32 ne b v ne p a ne b V ne p 1 ssi ne b 1 ou ne p 1 1 Sem 4 b b Or ne b 1 car BOTTOM F ne c Donc ne b v ne p 1 S mantique Le syst me formel Exemples d interpr tations suite 32 33 ne b v ne p a b ne b V ne p l ssi ne b lou ne p zd Sem 4 b Or ne b 1 car Borrom F ne Donc ne b v ne p M 1 ne b ne p ne b ne p 1 ssi ne b 1 et ne p 1 Sem 4 a Or ne p 0 Donc ne b ne p 0 a b c 1e formel OOOOOOOOOO OOOOOOO S mantique Exemples d interpr tations suite 34 ne b gt ne p M a ne b gt 1 1 ssi ne b 0 ou f ne p 1 Sem 4 c b Or ne b M 1 donc il faudrait que ne p M 1 aussi pour que toute la formule soit vraie Mais ne p 0 Donc ne b gt ne p 0 Le syst me formel 0000000000 80000000 S
9. 37 Vz elfe z gt farceur z a Il faut calculer i elfe t1 farceur t ii elfe hi farceur h iii elfe ha farceur h2 iv elfe ha farceur ha v elfe gt farceur 1 4 elfe d farceur d vii etc et trouver le r sultat 1 chaque fois b Donc ici on doit r p ter le calcul autant de fois qu il y a de constantes dans Lo d individus dans A pour montrer que la formule est vraie c Evidemment d s qu on trouve 0 on s arr te a prouve que la formule enti re est fausse me formel OOOOOOOOOOOOOOO OO S mantique M thode rapide pour les cas sit Pour une formule de la forme 3z P z Q z 3z P z QG I 1 ssi PI n Q Z 2 Pour une formule de la forme Vz P x gt Q x Vz P z gt Q z 1 ssi c Q ne formel OOOOOOOOOOOOOOOO O S mantique Plusieurs quantificateurs 38 Vz3yaimer z y a Instructions pour montrer que c est vrai dans M i R p ter le calcul de 3y aimer z y pour toutes les valeurs de x ii A chaque fois trouver une valeur de y pour que aimer z y 1 On doit donc r p ter la recherche de valeur pour y ii autant fois qu il y a de valeur pour z 39 aimer z y a Instructions pour montrer que c est vrai dans M i Trouver une valeur de y pour que aimer z y 1 ii Avec cette valeur r p ter le calcul de aimer z y
10. LO Notation 1 Soit une expression bien form e de LO a repr sente la de a Notation 2 Soit une expression bien form e de LO et M un mod le a repr sente la de a au mod le M Definition Interpr tation des constantes non logiques Soit un mod le F Si a est une constante d individu alors a F a i e l individu de A assign a par F Si P est une constante de pr dicat alors F P i e un ensemble d individus de A si P est unaire un ensemble de couples d individus de A si P est binaire etc Le syst me formel 000000 D000000 8000000000000 S mantique Interpr tation des formules de LO Dans quels cas une FBF est vraie D finition Interpr tation des formules d but Soit un mod le M A F Sem 1 P a 1 ssi a P M P a b 1 ssi T ba E LP 3 o ur b c 1 ssi a 0 M c 2 etc Sem 2 a B 1 ssi o 6 Sem 3 1 ssi e 0 Sem 4 e 21 1 ssi o 1 et y 1 e V ps ui m i b io 1 ssi 0 1 lv lt 1 ssi o S mantique M1 LTD Le syst me formel Soooooeooooooooooo S mantique Le mod le en dessin z lt 7 TS F aimer EG T EL aa e F mari de Lvs UT F p re de F triste S mantique M1 LTD Le syst me formel OOOOOOO OOOOOOOOOO antique interpr
11. comprendre une infinit d nonc s de la langue La signification d une expression est de la signification de ses parties et de leurs modes de combinaison syntaxique La structure syntaxique est importante 7 a Un h licopt re a survol un porte avions b Un porte avions a survol un h licopt re Est ce que ce principe est robuste Peut il tre mis en chec Qu est ce que la s mantique formelle eo Principe de compositionnalit Principe de compositionnalit Le sens d une phrase est construit i e compos On est capable de comprendre une infinit d nonc s de la langue La signification d une expression est de la signification de ses parties et de leurs modes de combinaison syntaxique La structure syntaxique est importante 7 a Un h licopt re a survol un porte avions b Un porte avions a survol un h licopt re Est ce que ce principe est robuste Peut il tre mis en chec 8 jeter le b b avec l eau du bain se faire appeler Arthur sucrer les fraises prendre un r teau lever un li vre courir sur le haricot 9 to spill the beans to kick the bucket the shit hit the fan Qu est ce que la s mantique formelle eo Principe de compositionnalit Principe de compositionnalit Le sens d une phrase est construit i e compos On est capable de comprendre une infinit d nonc s de la langue La signification d une ex
12. interpr table Qu est ce que la s mantique formelle D finir le sens D finir le sens M thodol e Sens z Ce que l on comprend C est mental et donc lt cach e Mais on ne peut pas se contenter d une m thode qui repose seulement sur l intuition et l introspection il faut des arguments objectifs Laurent Ro Qu est ce que la s mantique formelle D finir le sens D finir le sens M thodol e Sens z Ce que l on comprend C est mental et donc lt cach e Mais on ne peut pas se contenter d une m thode qui repose seulement sur l intuition et l introspection il faut des arguments objectifs e Le sens est entre autres ce qui tourne le langage vers la r alit extralinguistique le monde ext rieur Besoin d ext rioriser l analyse Laurent Ro Qu est ce que la s mantique formelle yst rm R f rences 0 00000000000 O00000000000000000000 Sens et d notation La d notation d une expression l objet du monde que d signe l expression Le sens d une expressions ce qui nous donne la d notation de l expression Variantes terminologiques extension d notation intension sens R Carnap R f rence d notation Laurent Rous Qu est ce que la s mantique formelle t d nota Sens et D notation st le sens qui compte l toile du matin l toile du soir V nus la plan te V nus la deuxi me plan te
13. langue ensemble des r gles qui d finissent toutes les du langage Le s ne formel ooooooeooooooooooococ Syntaxe Syntaxe de LO R gles de bonne formation Mode d emploi des symboles de LO Synta Syn 1 Si est un terme et P Cns alors P a est une formule Si et sont des termes et P Cns2 alors P a 8 est une formule Si o B et y sont des termes et P Cns3 alors P a 8 est une formule etc Syn 2 Si o et sont des termes alors o est une formule Syn 3 Si y est une formule alors y est une formule Syn 4 Si et 4 sont des formules alors H 1 v V V p gt v et v lt 4 sont des formules Syn 5 Si y est une formule et v une variable alors et sont des formules st me formel OOOOOOO OOOOOO yntaxe Exemples de traductions Th me 11 Merlin est un druide Le syst me formel 00000008000000 e traductions 11 Merlin est un druide druide m Laurent Ro Le syst me formel 00000008000000 e traductions 11 Merlin est un druide druide m 12 Excalibur est une p e magique Laurent Ro Le syst me formel 00000008000000 Syntaxe Exemples de traductions Th me 11 Merlin est un druide druide m 12 Excalibur est une p e magique g p e e magique e me formel OOOOOOO OOOOOO 11 Merlin est un druide
14. tation des formules quantifi es on Interpr t Soit un mod le M A F Sem 5 Heg 1 ssi on trouve au moins une constante dans Cnso telle que v g 1 e Vvy 1 ssi pour toute constante de Cnso amp v o 1 est la formule y dans laquelle on a remplac toutes les occurrences de v par k b x ne x Vy aimer z y V 3z mari de y z Vy aimer b y V 3z marie de y z R alit c est un peu inexact cela ne concerne que les variables dites libres mais on reviendra dessus b x ne x V y aimer z y V 2x mari de y 2 ne b Vy aimer b y v 3x marie de y z nt Rou me formel 0000000000000 0000 S mantique ation des formules quantifi es 36 farceur x M a On va calculer i elfe t1 farceur t i elfe hi farceur hi iii elfe h2 farceur hz iv elfe ha farceur ha v elfe 1 farceur 1 aT vi elfe d farceur d vii etc jusqu ce que l on trouve le r sultat 1 b Evidemment on a int r t commencer par une constante qui marche quand elle existe par exemple o c dams ce cas ie si la formule est vraie on a un seul calcul faire d Mais pour montrer qu une telle formule est fausse il faut faire tous les calculs et trouver 0 chaque fois me formel OOOOOOOOOOOOOO OOO S mantique ation des formules quantifi es
15. z dormir z Syn 5 3 conna tre r2 z gentil z dormir z conna tre r2 z gentil z dormir z 4 7 lt Syn 3 conna tre r2 z gentil z dormir z 1 1 AC yn 1 conna tre T2 z gentil 2 dormir 2 Cnso Var Var Cns Var nt Rou Le syst me formel OOOOOOOOOOO OO Syntaxe Anatomie d une for Appliquer les r gles de sy da Vz3y aimer u z V aimer z u st me formel OOOOOOOOOOO OO Anatomie d une formule Appliquer les r gles de syntaxe Ja Vz3y aimer u z V aimer z u Syn 5 3 Vz3y aimer u z V aimer z u Syn 5 V y aimer u z V aimer z u Syn 5 3 aimer u 2 aimer z u Ps cde aimer u z aimer z u Pa aimer 2 aimer 2 Le syst me formel ooooooooooooe Yzy aimer z y Le syst me formel ooooooooooooeo Synt Anatomie d une formule Appliquer les r gles de syntaxe Yzy aimer z y Syn 5 V y aimer x y Fail Le syst me formel oooooooooooooe Syntaxe R cap 9 La syntaxe de LO nous permet de faire le tri entre les EBF et les s quences de symboles crites n importe comment e La syntaxe de LO anticipe sa s mantique une expression bien form e une expression interpr table meaningful expression w Tout ce qu on crit dans LO doit avoir un sens proprement d fini et tout ce qu
16. Laurent Ro Le syst me formel 00000000000000 Syntaxe Syntaxe de LO Termes et pr dicats Constantes d individus repr sentent des entit s objets du monde que l on sait identifier X les noms propres dans les langues naturelles Variables d individus repr sentent des entit s objets du monde que l on ne sait pas identifier a priori d signateurs anonymes x les pronoms personnels des langues naturelles il elle Definition Terme Les variables et les constantes d individus sont des termes Constantes de pr dicats permettent de dire des choses au sujet des objets du monde ils expriment des propri t s ou des relations Xx adjectifs verbes substantifs Le syst me formel 00800000000000 Syntaxe Syntaxe de LO Pr dicats et arguments Definition Argument On appelle argument d un pr dicat ce quoi s applique ou ce que concerne le pr dicat Definition Arit On appelle arit d un pr dicat le nombre d arguments qu il prend Ainsi si un pr dicat attend n arguments on dit que son arit est n on dit aussi que le pr dicat est n aire ou encore qu il s agit d un pr dicat n places Un pr dicat donn a une et une seule arit l arit est une caract ristique d terminante des pr dicats On consid re qu on conna t l arit de chaque pr dicat e me formel oooeoooooooooo Synt Syntaxe de LO Constantes non logiques est l ensem
17. ON t2 M F t2 TITANIA mari de M F mari de TH S E HIPPOLYTA OB RON TITANIA Est ce que OB RON TITANIA TH S E HIPPOLYTA OB RON TITANIA Oui Donc o t2 mari de 1 Donc mari de o t2 1 Le syst me formel elelele elo e1e Telelelolelelelole S mantique Exemples d interpr tations suite 29 mari de o t3 mari de o t2 1 1 ssi o 1 2 1 mari de M Sem 1 b o F o OB RON t2 M F t2 TITANIA mari de 1 F mari de TH S E HIPPOLYTA OB RON TITANIA e Est ce que OB RON TITANIA TH S E HIPPOLYTA OB RON TITANIA Boe Oui f Donc o t2 mari de g Donc mari de o t3 1 30 mari de t4 o a mari de t2 0 0 Car TITANIA OB RON Z TH S E HIPPOLYTA OB RON TITANIA S mantique ne formel OOOOOOOO OOOOOOOOO Exemples d interpr tations suite 29 mari de o t2 f g mari de o t2 1 ssi o 2 1 mari de Sem 1 b o F o OB RON t2 M F t2 TITANIA mari de 1 F mari de TH S E HIPPOLYTA OB RON TITANIA Est ce que OB RON TITANIA TH S E HIPPOLYTA OB RON TITANIA Oui Donc o t2 mari de Donc mari de o t3 1 30 mari de t2 o a mari de t2 o
18. S mantique formelle v riconditionnelle Laurent Roussarie laurent roussarieQ univ paris8 fr http l roussarie free fr S mantique M1 LTD 2012 t ce que la s mantique formelle Qu jue la s mantique formelle Qu est ce que la s mantique formelle Az Vz c 5 oy M y 2 3 ypa st ce que la s mantique formelle que la s mantique formelle e S mantique formelle gt pr cise syst matique D crire le sens en tant que syst me coh rent et rigoureux Qu est ce que la s mantique formelle Qu e que la s mantique formelle S mantique formelle gt pr cise syst matique D crire le sens en tant que syst me coh rent et rigoureux Cf Chomsky Grammaire G n rative la langue peut tre d crite comme un syst me formel e Montague S mantique Formelle la langue peut tre d crite comme un syst me formel interpr t Qu est ce que la s mantique formelle Qu est ce que la s mantique formelle e S mantique pr cise syst matique D crire le sens en tant que coh rent et rigoureux e Cf Chomsky Grammaire G n rative la langue peut tre d crite comme un syst me formel e Montague S mantique Formelle la langue peut tre d crite comme un syst me formel Definition Syst me s mantique ensemble de r gles qui sp cifient clairement et objectivement la signification de tout nonc qu il reconna t comme
19. ation que 6 alors si dans on remplace 8 par y la nouvelle expression obtenue y 8 a la m me d notation Exemple 10 Le vainqueur d I na est mort en 1821 vrai Qu est ce que la s mantique formelle oe Principe de compositionnalit Principe d extensionnalit dit aussi de Leibniz ou de substitution Eadem sunt qui substitui possunt salva veritate Principe Exte Soit une expression linguistique et 8 un constituant de Si y est une expression qui la m me d notation que 6 alors si dans on remplace 8 par y la nouvelle expression obtenue y 8 a la m me d notation Exemple 10 Le vaincu de Waterloo est mort en 1821 vrai Qu est ce que la s mantique formelle oe Principe de compositionnalit Principe d extensionnalit dit aussi de Leibniz ou de substitution Eadem sunt qui substitui possunt salva veritate Principe Exte Soit une expression linguistique et 8 un constituant de Si y est une expression qui la m me d notation que 6 alors si dans on remplace 8 par y la nouvelle expression obtenue y 8 a la m me d notation Exemple 10 Napol on est mort en 1821 vrai Qu est ce que la s mantique formelle oe Principe de compositionnalit Principe d extensionnalit dit aussi de Leibniz ou de substitution Eadem sunt qui substitui possunt salva veritate Principe Exte Soit une expression linguistique e
20. ble des constantes de pr dicats d arit n dans LO L ensemble des constantes non logiques est Cns Cnso U Cns1 U Cns2 U Cnss e Cnso a b c d a1 a2 83 ba ba e Cns acteur canard gentil italien dormir Cns2 aimer conna tre regarder fr re e Cns3 donner montrer pr senter Ce n est le nom du pr dicat qui d finit son sens Laurent Ro Syntaxe Le syst me formel Constantes logiques Symboles qui permettent de construire des expressions complexes partir d expressions plus simples Ve gt ATUS Az J lt la conjonction et la disjonction ou l implication mat rielle si alors l quivalence mat rielle s et seulement si la n gation il est faux que x symboles de quantification Vx lt quel que soit x pour tout z Jx lt il existe un x tel Le syst me formel 00000800000000 Syntaxe Expressions bien form es EBF Les formules Un langage peut s assimiler l ensemble de toutes ses phrases acceptables i e grammaticales On parlera d EBF e Pour l instant les EBF de LO sont des expressions qui peuvent tre vraies ou fausses Ou FBF formules bien form es w formule de LO phrase d clarative de la
21. druide m 12 Excalibur est une p e magique g p e e magique e 13 Gueni vre aime Arthur mais Arthur n aime pas Gueni vre Le syst me formel 00000008000000 Syntaxe Exemples de traductions Th me 11 Merlin est un druide druide m 12 Excalibur est une p e magique g p e e magique e 13 Gueni vre aime Arthur mais Arthur n aime pas Gueni vre aimer g a Le syst me formel 00000008000000 Syntaxe Exemples de traductions Th me 11 Merlin est un druide druide m 12 Excalibur est une p e magique g p e e magique e 13 Gueni vre aime Arthur mais Arthur n aime pas Gueni vre aimer g a Le syst me formel 00000008000000 Syntaxe Exemples de traductions Th me 11 Merlin est un druide druide m 12 Excalibur est une p e magique g p e e magique e 13 Gueni vre aime Arthur mais Arthur n aime pas Gueni vre aimer g a aimer a g Syntaxe Le syst me formel 00000008000000 Exemples de traductions Th me 11 12 13 14 Merlin est un druide druide m Excalibur est une p e magique p e e magique e Gueni vre aime Arthur mais Arthur n aime pas Gueni vre aimer g a aimer a g Le Graal est une coupe ou un r cipient Le syst me formel 00000008000000 Syntaxe Exemples de traductions Th me 11 Merlin est un druide druide m 12 Exca
22. du syst me solaire l toile du berger Hesperus Phosphorus m o e o gt Laurent Ro Qu est ce que la s mantique formelle t d nota Sens et D notation st le sens qui compte l toile du matin l toile du soir V nus la plan te V nus la deuxi me plan te du syst me solaire l toile du berger Hesperus Phosphorus m e gt o gt Qu est ce que la s mantique formelle t d nota Sens et D notation st le sens qui compte l toile du matin l toile du soir V nus la plan te V nus la deuxi me plan te du syst me solaire l toile du berger Hesperus Phosphorus m e gt o gt V NUS Qu est ce que la s mantique formell e Tele Sens et d notation Sens et D notation C est le sens qui compte l toile du matin l toile du soir V nus la plan te V nus la deuxi me plan te du syst me solaire l toile du berger Hesperus Phosphorus m e gt o gt La d notation ne fait pas tout 2 L toile du matin est l toile du soir 3 L toile du matin est l toile du matin V NUS Qu est ce que la s mantique formelle e Tele Sens et d notation Sens et D notation C est le sens qui compte l toile du matin l toile du soir V nus la plan te V nus la deuxi me plan te du syst me solaire l toile du berger Hesperus Phosphorus m e gt o
23. e l on veut analyser s mantiquement devrait recevoir une formulation dans LO Le syst me formel S mantique rs la s mantique de LO e Rappel le sens est ce qui d termine la d notation e Techniquement le sens d une expression est une sorte de r gle de calcul de sa d notation e Et la d notation d pend de comment est le monde w Nous devons manipuler des configurations du monde e Rappel Sens tat du monde D notation Le syst me formel 0 0000000000000000 s mantique Mod les Une image du monde Un mod le une math matique du monde rien que a Pour d crire le monde il faut Q Sp cifier les objets qu il contient gt le A A est un ensemble d entit s d individus Sp cifier comment le monde est organis indiquer ce qui s y passe Cela revient sp cifier les des individus et les qu ils entretiennent entre eux Or propri t s et relations correspondent aux pr dicats de LO w D terminer une configuration du monde c est faire le lien entre le langage LO pr dicats et les objets du mod le On formalise ce lien l aide d une dite F F Cns gt Le syst me formel OSoeooooooooooooooo Un minimal est un couple A F o est un ensemble d individu c est le et F est une fonction qui chaque constante et pr dicat du langage associe sa d notation dans le mod le F est la i e Inter
24. finition le sens d termine la d notation Donc le sens d une phrase est ce qui nous permet de savoir si elle est vraie ou fausse Principe S mantique v riconditio Conna tre le sens d une phrase d clarative c est savoir comment devrait tre le monde pour que cette phrase soit vraie Dit autrement savoir ce que signifie une phrase c est savoir sous quelles conditions elle est vraie Qu est ce que la s mantique formelle CT fefe S mantique v riconditionnelle S mantique v riconditionnelle D pendance de la d notation Quelle est la d notation de 6 6 Le p re d Alexandre le Grand tait boiteux Laurent Ro OOOOOOOOOOOOO Quelle est la d notation de 6 6 Le p re d Alexandre le Grand tait boiteux Le sens d termine la d notation mais la d notation d pend aussi des circonstances de l tat du monde sens circonstances 9 d notation w faut toujours parler de la d notation d une expression par rapport un certain tat du monde Laurent Roussarie S mantique 1 L st ce que la s mantique formelle rer To S mantique v riconditionnelle S mantique v riconditionnelle Corollaires Principe Si on conna t le sens d une phrase et si on conna t les circonstances tat du monde auxquelles s applique cette phrase alors automatiquement on en conna t la d notation Principe Si on est capable de calculer la d no
25. formel Le Langage Objet LO Un langage pour crire le sens des phrases Pour d crire la langue comme un syst me formel nous allons utiliser un langage interm diaire que nous appellerons le LO e Pour commencer LO Langage du calcul des pr dicats Int r ts e LO permet de repr senter les sens de fa on pr cise et compacte e LO est univoque sans ambigu t e Comme une langue naturelle LO poss de une syntaxe et une s mantique gt 1 mar A Le syst me formel 0000000000000 Syntaxe Vocabulai Le vocabulaire de LO comporte e un ensemble de constantes d individus Cip d Base e un ensemble de variables Var z y 2 1 22 92 e un ensemble de constantes de pr dicats acteur gentil dormir canard aimer conna tre donner e un ensemble de symboles logiques 2 V 5 6 V J les crochets et les parenth ses me formel 0 000000000000 Synt Syntaxe de LO Termes et pr dicats Constantes d individus repr sentent des entit s objets du monde que l on sait identifier Xx les noms propres dans les langues naturelles Variables d individus repr sentent des entit s objets du monde que l on ne sait pas identifier a priori d signateurs anonymes x les pronoms personnels des langues naturelles il elle Les variables et les constantes d individus sont des termes
26. i Arthur chevalier x trahir z a Des chevaliers ont vu des l phants chevalier x 3yl l phant y voir z y 3z3y chevalier x l phant y A voir z y Tous les bretons aiment Arthur Vz breton z aimer z a Aucun chevalier n est intr pide Syntaxe me formel Exemples de traductions suite Th me 16 17 18 19 Un chevalier a trahi Arthur Jp chevalier x trahir z a Des chevaliers ont vu des l phants dx To Va chevalier z 3y l phant y voir z y 3y chevalier z l phant y voir z y us les bretons aiment Arthur breton z aimer z a Aucun chevalier n est intr pide chevalier z intr pide z z chevalier z intr pide z Vg Syntaxe me formel Exemples de traductions suite Th me 16 17 18 19 20 Un chevalier a trahi Arthur Jp chevalier x trahir z a Des chevaliers ont vu des l phants dx To Va chevalier z 3y l phant y voir z y 3y chevalier z l phant y voir z y us les bretons aiment Arthur breton z aimer z a Aucun chevalier n est intr pide Va chevalier z intr pide 3x chevalier z intr pide z To us les chevaliers cherchent quelque chose Syntaxe me formel Exemples de traductions suite Th me 16 17 18 19
27. ide x blanc z 24 cheval z V blanc z 25 Vx cheval x rapide x 26 Sx cheval z rapide z S mantique M1 LTD mantique formelle syst me formel O00000000 0000000000000000000000 Syntaxe De quelles phrases du fran ais ces formules pourraient tre les traductions Vz cheval z blanc x poss der a z V cheval x rapide z 3a cheval z rapide x blanc z 3x cheval z V blanc z Vz cheval z rapide z Ha cheval z rapide z Quand on traduit des phrases d une langue naturelle Vz A z gt B x z A z B z Laurent Roussarie S mantique M1 LTD Le syst me formel 00000000008000 Synt Anatomie d une formule Appliquer les r gles de syntaxe 2z conna tre r2 z gentil z dormir z Le syst me formel 00000000008000 Syntaxe Anatomie d Appliquer les r gles de syntaxe 3z connaitre r2 z gentil z dormir z Syn 5 3 conna tre r2 z gentil z dormir z Le syst me formel ooooooooooeooo Syntaxe Anatomie d une fi Appliquer les r gles de syn 3z connaitre r2 z gentil z dormir z Syn 5 3 conna tre r2 z gentil z dormir z a conna tre r2 2 gentil z dormir z 00000000008000 Syntaxe Anatomie d une formule Appliquer les r gles de syntaxe 2z conna tre r2 z gentil
28. libur est une p e magique p e e magique e 13 Gueni vre aime Arthur mais Arthur n aime pas Gueni vre aimer g a aimer a g 14 Le Graal est une coupe ou un r cipient coupe g V r cipient g4 Le syst me formel 00000008000000 Syntaxe Exemples de traductions Th me 11 Merlin est un druide druide m 12 Excalibur est une p e magique p e e magique e 13 Gueni vre aime Arthur mais Arthur n aime pas Gueni vre aimer g a aimer a g 14 Le Graal est une coupe ou un r cipient coupe g V r cipient g4 15 Si Karadoc mange il est content Le syst me formel 00000008000000 Syntaxe Exemples de traductions Th me 11 Merlin est un druide druide m 12 Excalibur est une p e magique p e e magique e 13 Gueni vre aime Arthur mais Arthur n aime pas Gueni vre aimer g a aimer a g 14 Le Graal est une coupe ou un r cipient coupe g V r cipient g4 15 Si Karadoc mange il est content manger k content k gt V x si p alors v gt Le syst me formel 00000000800000 16 Un chevalier a trahi Arthur Le syst me formel 00000000800000 Syntaxe emples de traductions suite 16 Un chevalier a trahi Arthur z chevalier z trahir z a Le syst me formel 00000000800000 Syntaxe Exemples de traductions suit Th me 16 Un chevalier a trahi Arthur
29. pr tation des constantes d individus e chaque constante F associe de A e Ex F a ARTHUR e Interpr tation des pr dicats unaires chaque pr dicat unaire F associe un d individus de A Ex F chevalier l ensemble de tous les chevaliers de LANCELOT PERCEVAL BOHORT KARADOC GAUVAIN e Interpr tation des pr dicats binaires e chaque pr dicat binaire F associe un d individus de A e F aimer x Y X aime v ne formel 000 800000000000000 S mantique Exemple de mod le A Midsummer Night s Model Le mod le M A F est d fini comme suit A TH S E HIPPOLYTA HERMIA H L NA LYSANDRE D M TRIUS EG E PUCK OB RON TITANIA BOTTOM F t1 TH S E F h1 HIPPOLYTA F h2 HERMIA F h3 H L NA 1 LvsANDRE F d D M TRIUS F e EG E F p PUCK F o OB RON F t2 TITANIA F b BOTTOM TH S E HIPPOLYTA F elfe OB RON TITANIA PUCK HiPPOLY TA T H S E F ne BOTTOM LYSANDRE HERMIA F farceur TH S E OB RON TITANIA PUCK F aimer 4 HERMIA LY SANDRE F triste H L NA D M TRIUS HERMIA Pisas TH S E HIPPOLYTA H L NA D M TRIUS OB RON TITANIA TITANA BOTTOM F p re de Hermia nt Rou yst me formel o101010 S mantique Interpr ion des expressions de
30. pression est de la signification de ses parties et de leurs modes de combinaison syntaxique La structure syntaxique est importante 7 a Un h licopt re a survol un porte avions b Un porte avions a survol un h licopt re Est ce que ce principe est robuste Peut il tre mis en chec w Expressions idiomatiques 8 jeter le b b avec l eau du bain se faire appeler Arthur sucrer les fraises prendre un r teau lever un li vre courir sur le haricot 9 to spill the beans to kick the bucket the shit hit the fan Qu est ce que la s mantique formelle Principe ompositionnalit Eadem sunt qui substitui possunt salva veritate Qu est ce que la s mantique formelle oe Principe de compositionnalit Principe d extensionnalit dit aussi de Leibniz ou de substitution Eadem sunt qui substitui possunt salva veritate Principe Exte Soit une expression linguistique et 8 un constituant de Si y est une expression qui a la m me d notation que 6 alors si dans on remplace 8 par y la nouvelle expression obtenue y 8 a la m me d notation Qu est ce que la s mantique formelle oe Principe de compositionnalit Principe d extensionnalit dit aussi de Leibniz ou de substitution Eadem sunt qui substitui possunt salva veritate Principe Exte Soit une expression linguistique et 8 un constituant de Si y est une expression qui la m me d not
31. t 8 un constituant de Si y est une expression qui la m me d notation que 6 alors si dans on remplace 8 par y la nouvelle expression obtenue y 8 a la m me d notation Exemple 10 Louis XVI est mort en 1821 faux Qu est ce que la s mantique formelle oe Principe de compositionnalit Principe d extensionnalit dit aussi de Leibniz ou de substitution Eadem sunt qui substitui possunt salva veritate Principe Exte Soit une expression linguistique et 8 un constituant de Si y est une expression qui la m me d notation que 6 alors si dans on remplace 8 par y la nouvelle expression obtenue y 8 a la m me d notation Exemple 10 Louis XVI est mort en 1821 faux Qu est ce que la s mantique formelle oe Principe de compositionnalit Principe d extensionnalit dit aussi de Leibniz ou de substitution Eadem sunt qui substitui possunt salva veritate Principe Exte Soit une expression linguistique et 8 un constituant de Si y est une expression qui la m me d notation que 6 alors si dans on remplace 8 par y la nouvelle expression obtenue y 8 a la m me d notation Exemple 10 Louis XVI est mort en 1821 faux Le syst me s mantique que nous allons voir est extensionnel Les langues naturelles ne sont pas extensionnelles Qu est ce que la s mantique formelle eo Conclusion et transition Conclusion interm diaire
32. tation d une expression et a fortiori si on arrive trouver cette d notation c est qu on conna t le sens de cette expression Si on conna t le sens d une phrase et si on admet qu elle est vraie alors on apprend une certaine information sur le monde ou l tat du monde auquel cette phrase se rapporte Principe Qu est ce que la s mantique formelle 000 S mantique v riconditionnelle S mantique v riconditionnelle M thodologie e En s mantique c est le sens qui compte mais la d notation est importante pour retrouver le sens e On cherchera d voiler le sens des expressions en essayant de calculer leurs d notations e Sens r gles de calcul de la d notation Laurent Ro Qu est ce que la s mantique formelle eo Principe de compositionnalit Principe de compositionnalit Le sens d une phrase est construit i e compos On est capable de comprendre une infinit d nonc s de la langue La signification d une expression est fonction de la signification de ses parties et de leurs modes de combinaison syntaxique La structure syntaxique est importante 7 a Un h licopt re a survol un porte avions b Un porte avions a survol un h licopt re Laurent Ro Qu est ce que la s mantique formelle eo Principe de compositionnalit Principe de compositionnalit Le sens d une phrase est construit i e compos On est capable de
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