TRIGONOMETRIE
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1. m A OA OC m 4 OC OB Chasles Remarque On peut illustrer les notions pr c dentes de la mani re suivante _ gt gt Dans un rep re orthonorm direct O OI OJ on consid re l axe I OJ tangent au cercle C 0 1 Si l on enroule sur le cercle le demi axe positif dans le sens direct et le demi axe n gatif dans le sens r trograde on constate que tous les points de l axe dont les abscisses diff rent de 2x mesure du p rim tre du cercle se superposent sur le m me point M du cercle On obtient ainsi une surjection de l ensemble des points de l axe sur l ensemble des points de cercle ou une bijection de l ensemble des classes de r els modulo 2x vers l ensemble des points du cercle C on On peut poser x m 4 OI OM Exercices 8 Construire une application mm A gt KR 360 et v rifier que l on a aussi les trois propri t s ci dessus pour la mesure en degr s 9 Sil onnote S l ensemble des angles orient s positivement auquel on a ajout l angle nul d montrer que m A gt R 2x est une bijection rad gt gt 10 Si OA OB est d orientation directe d montrer que OA OB Hl m OB OA M4 2 ann e Math matique 53 gt 11 Si A lt B lt C calculer m BA BC et m BC BA En d duire que l angle orient plat d orientation directe a la m me mesure que l angle orient plat d orientation2. an x tan y 1 tan x tany tan x y et tan x y b Formules de duplication sin 2x 2sinx cosx 2 3 2 52 cos 2x cos x sin x 2cos x 1 1 2sin x 2 tan x tan 2x 2 1 tan x c Transformation d une somme en produit cos x y cos x cos y sin x sin y cos x y cos x y 2 cos x cosy cos x y cos x cosy sin x sin y _ cosa COSB 20s E cos P Sur le mod le pr c dent _ cosa COSB 2 sin sin 2 2 4 sina sinf 2 sin p el et sina sinf 2 cos p sin p 2 2 2 2 i n i tana tanf Snar p et tana tan CLUE EA cosa cos B cos amp gt COS d Formules de bissection 2 X _ 1 cosx a _ l cosx me S 1 cosx sinx du 2 PRE S 2 s 852 sinx 1 cosx Indication remplacer 2x par x dans la formule de duplication pour le cosinus r X e Expression rationnelle de sinx cosx tanx en fonction de tan 2 X X xX l tan 2 tan 5 2 tan 5 COSX N et Sinx a et tanx x S de a 1 tan 2 1 tan 2 1 tan 2 Indication remplacer 2x par x dans les formules de duplication 2 ann e Math matique 63 5 Trigonom trie et triangle 1 Triangle rectangle Avec AB L BC on choisit I AB et A I 1 et A AI AJ rep re orthonorm direct gt On pose MEC AB AC x A 1 Les triangles AAM M et AABC sont deux triangles rectangles semblables et l on a NIAO p M M E AB
3. et m rad A B A M AM cosx D adjacent A C A M _ hypot nuse B C _ 6 MM oppos A C amp A M MM sinx hypot nuse B C _ MM o sinx r oppos A B AM cosx 2 X adjacent Exercices 35 Calculer la mesure des angles d un triangle rectangle si AB 1 BC A B 15 et B C 20 36 Quelle est la hauteur d une tour que l on voit sous un angle de 25 lorsqu on est 80m de son pied 37 Quelle est la hauteur d un mur si l chelle de 8 m qui atteint son sommet est inclin e de 60 par rapport l horizontale 38 On donne 6 A B 6 B C 5 et CA 8 Avec p B HE AC h BH et x C H montrer que l on a 6 h 4 8 x et 5 h x Calculer x et h et la mesure des angles du triangle AABC 39 Dans un parall logramme ABCD on donne A B 8 A D 10 et u dg BAD 20 Calculer l aire du parall logramme 40 Calculer la mesure des angles d un triangle isoc le dont un des c t s a une longueur deux fois plus grande que celle de la base Que devient la mesure des angles si un c t est n fois plus long que la base nE N 41 Comment choisir la longueur d un rectangle dont la largeur est 5 sachant que les diagonales se coupent sous un angle mesurant 45 2 ann e Math matique 64 5 2 Triangle quelconque Th or me du cosinus Si A BC p B HEJA CI et u BAC a avec A H m C H
4. r trograde 12 Si OA 1 OB AOB saillantet OA OB d orientation directe alors HO Oh m 2 OA OB 2 et m 7 rad gt 13 Si OA L OB AOB saillant OA OB d orientation directe et O A A O B 1 avec SKA B et M Co 1 N d N AOB d montrer que O d et OA OM OM OB et m 4 2 OA OM 2 Fonctions trigonom triques sinus et cosinus 2 1 Construction et d finition de sinus et de cosinus dans un rep re orthonorm direct Unrep re O OI OJ du plan est dit orthonorm direct si OI L OJ O D O J 1 et OI OJ est d orientation directe On dit aussi que le rep re est orient positivement On rappelle que l application mesure des angles orient s est une bijection de l ensemble des angles orient s positivement auquel on adjoint l angle orient nul vers l ensemble des classes modulo 2 x IR 2x Construction A chaque nombre x R on associe une et une seule classe x A chaque classe x on associe un et un seul angle orient positivement OI OM La demi droite O M coupe le cercle C O1 en un et un seul point M Ce point a un et un seul projet orthogonal M sur l axe OI et un et un seul projet orthogonal M sur OJ cosx estlenombre OM c est dire l abscisse du point M sinx estlenombre OM c est dire l ordonn e du point M 2 ann e Math matique 54 On peut r sumer le compos de ces app
5. Avec tanx i1 f3 cotx 1 tanx V3 tanx t cotx f3 cotx tanx tny x y kx et kEZ et cotx coty x y kx et KEZ r soudre dans R en radians 1 4 7 tanx 1 2 cotx 1 3 tan3x 1 cot4x 1 5 tan 2x J tanx 6 cot 2m 3x cot2x x x tanx cot 2x 1 8 coth x tan2x 9 cot g 0 4 Formules d addition Avec un rep re orthonorm direct O OI OJ et MEC Mead onposem_ OI OM x et rad O 1 gt A OM ON y etonchoisit CEC avec O OM OC rep re orthonorm direct 0 1 gt gt Pour les coordonn es de M N et C dans le rep re O OIL OJ on obtient M cos x sin x N cos x y sin x y et C cos x 3 sin x 5 Dans la base OL OJ ona ON cos x y OI sin x y OJ gt Dans la base OM OC ona Q Z li cos y cosx siny sin x OI cosy sinx sin y cos x OJ cosy OM sin y OC gt cosy cosx OI sin x OJ sin y cos x 3 OI sin x Oj gt gt gt Le vecteur ON s crivant de mani re unique dans la base OI OJ ona 2 ann e cos x y sin x y COS X COS Sin X Sin y sin X COS y COSX Sin y Math matique 62 Exercice 34 D montrer les relations suivantes a cos x y cosx cosy sinx siny et sin x y sinx cosy cosx siny tan x tan y 1 tan x tan y
6. ces formules si l on pose p A A BC B C ou p A A BC C B 47 Dans un triangle a St a 2 y 70 et B 30 calculer betc b Sib 2 a 3 et y 27 calculer cet c Sta 2 a 22 et B 50 calculer betc 48 On donne un parall logramme ABCD avec A B 5 B C 3 et BAD 70 Calculer la longueur des diagonales et l aire du parall logramme 49 Si AB 1 BC et u ABAC a d montrer que l ona A B A C cos a 50 Une fa ade est surmont e d un toit dont les chevrons mesurent 8m La pente du toit tant de 22 quelle est la largeur de cette fa ade Th or me des projections Si A BC p A HE B C u ACBA B et u BCA y alors B C B A cos B lA C cos y Exercices 51 Que devient cette galit si p A HE BC B C ou p A HE BC C B 52 Pour le calcul du rayon d un cercle circonscrit un triangle si A B C C Con et S A B avec dN AB M on rappelle que u AOB 2 ACB a D montrer que l on a u AOB 2 u AOM b Avec A B c 8 O A r et ACB y d montrer que r 2siny On tirera aussi profit des nombreux exercices relatifs aux triangles ou la r solution d quations trigonom triques dans le FUNDAMENTUM de math matique Notions l mentaires de la CRM 2 ann e Math matique 66
7. re de l autre de telle sorte que l image de l un des secteurs non orient s est incluse dans l autre ou que l un est inclus dans l image de l autre D montrer que l on obtient ainsi une relation d quivalence dans l ensemble des secteurs orient s non nuls non tour On a alors deux classes Oet O appel es orientations du plan L une d elle se nomme orientation directe ou positive et l autre orientation r trograde Pourquoi faut il exclure les secteurs orient s nuls ou tour THEOREME 1 Si l on pose ABC B A R A B C IB A si et seulement si les deux secteurs ont m me orientation et ABC et A B C sont isom triques alors on a une relation d quivalence dans l ensemble des secteurs non nuls non tour D finition 3 On appelle angle orient l un des ensembles suivants a une classe d quivalence de secteurs orient s relativement la relation du th or me pr c dent b l ensemble des secteurs orient s nuls et tour not w et appel angle nul Notation BA BC a B A tant la premi re fronti re du secteur orient ABC B A A pour l ensemble des angles orient s 2 ann e Math matique 5l BA BA o l angle nul orient THEOREME 2 Les relations R et R d finies dans l ensemble des nombres r els par xRy x y k360 etkEZ modulo 360 et XR y x y k2x etkEZ modulo 2x sont des relations d quivalence Notation x YER y
8. s suivantes en distinguant plusieurs cas de figure 7 Cosinus est une fonction paire et sinus une fonction impaire cos x cosx et sin x sinx gt Avec m OI OM x et MEC on on pose p M M e 0 p M M E OJ M SoM et p M M O 2 ann e Math matique 57 Ona m A OI OM m A OI OM x car A OI OM et OI OM rad sont associ s des secteurs orient s isom triques ne sont pas de m me direction si M I Avecp M M E OI on obtient cos x OM cosx et sin x OM OM sinx 8 cos x x cosx et sin x x sinx Avec m OL OM xet MEC on on pose M SoM p p M M E OP p M M E OJ p M ME OI p M M OJ Alors SoM M SoM aa M et OM cai OM et OM e OM Avec m A OI OM x x ona cos x x OM OM cosx et sin x x OM OM sinx 9 cos x x cosx et sin x x sinx Avec cos x x cox x x 27 cos x x cosx et sin x x sin x x 2x sin x x sinx Avec cos y cosy et sin y siny on d duit cos x x cos x et sin x x sin x 10 cos X sinx et sin x cosx un th or me d change 3 Ce th or me est imm diat pour x 0 S T al gt OI OM onutilise S J et SAM M Alors S O D O J et S4 IOM JOM et JOM OJ n est pas de m me Dans les autres cas avec x m orientat
9. x k2x et kEZ la classe d quivalence du nombre x modulo 2x 0 0 2x 4x 6x 2x 2n 4x IR 2x est l ensemble des classes modulo 2x et R 360 l ensemble des classes modulo 360 Exercices l 3 5 Qu est ce que x x A t on nEn 5nr 5 20ER 360 120 R 360 3 j 147 71 172x 5 ER 2x ZE R 2x A quelles classes appartiennent LE a 6 Sil onpose x y x y d montrer que R 2x est un groupe commutatif Rappel On dispose d j de la mesure des angles mode d emploi du rapporteur avec pour A l ensemble des angles non orient s l application p s A 0 360 Jar 0 x satisfaisant aux conditions suivantes 1 Ha gr a 0 a o l angle nul non orient 2 u egel p 180 pour p l angle plat 3 Wa EE AOB u egel AOC u p eel COB lt AOC et COB sont adjacents 4 dege St surjective Exercice 7 Montrer qu avec pa dian 2 a E Ua gr a on a aussi ces quatre propri t s sur 0 2x et que etu sont des bijections radian H degr 2 ann e Math matique 52 On admettra l axiome suivant pour la mesure des angles orient s AXIOME La mesure en radians des angles orient s est une application A gt R 2x gt gt 1 OA OB x m_ 4 OA OB rad M adian satisfaisant aux conditions suivantes 1 m 4 0 2 m OA OB A si x u 4 AOB et OA OB est d orientation directe 3 m OA OB
10. 75 gt gt gt Avec OI OM OI OJ ona OM OJ et M 0 1 et M O et M M Ainsi sin OM OM I et cos t OM OO Q 6 sin x cosx 1 TT 3x En effet avec x 0 APS la propri t est imm diate avec les quatre propri t s 2 3 pr c dentes Avec x 0 gt T le triangle AOMM est un triangle rectangle et avec le th or me de Pythagore on a 8 O M O MO M MY 2 ann e Math matique 56 O M O M car OM MM rectangle 2 2 et 1 cos x sin x Exercices gt gt 14 Avec un rep re orthonorm directe O OL OJ dessiner M sur C O1 7 x M OL OM dans les cas suivants 2 1 2 cosx 5 cosx cosx 0 7 cosx 5 sinx 0 6 snx 0 8 sinx 2 sinx y3 15 Onpose S J et dnC 1 HOJT M et p M M E OI D montrer que AOMM est isoc le Calculer 8 O M en d duire cos sin E Calculer cos 3 9 15 7 2x cos 7 sin 4 2x sin cosl gt 16 Avec un rep re orthonorm directe O OI OJ ona ME C OD M p M E OI et m OIL OM 3 Montrer que AIOM est quilat ral et que Somm O J En d duire x i1 t sin 3 cos 3 sing x i1 x y3 17 D montrer que sing 3 cosg gt 18 cosx 0 e x tkretkEZ lt gt xE U na kr et keZ xErU0 snx 0 x Autres propri t s Ilustrer chacune des propri t
11. CHAPITRE 4 TRIGONOMETRIE 1 Mesure des angles orient s Rappel On obtient des secteurs avec des intersections des r unions de demi plans ou une demi droite ou le plan Exercices 1 D finir un secteur saillant rentrant plat nul tour Notation s ABC CBA 2 Th or me Dans l ensemble S des secteurs si l on dit que deux secteurs sont quivalents si et seulement si il existe une isom trie qui transforme l un en l autre alors on a une relation d quivalence dans S D finition 1 Un angle non orient est une classe d quivalence de secteurs relativement l isom trie L ensemble des angles non orient s est not A 2 ann e Math matique 50 D finition 2 On appelle secteur orient un couple ABC B A o ABC est un secteur et B A une des fronti res du secteur appel e premi re fronti re Exercices 3 Qu est ce qu un secteur orient nul plat tour droit Dans quel cas a t on ABC B A ABC B C D montrer qu avec un secteur non orient plat on peut construire deux secteurs orient s plats 4 Rappel Une translation est le compos de deux sym tries d axes parall les et une rotation le compos de deux sym tries d axes s cants ou confondus On pose que deux secteurs orient s non nuls non tour ont m me orientation lorsqu il existe une translation suivie d une rotation transformant la premi re fronti re de l un dans la premi re fronti
12. ion que IOM O I car on a un nombre impair de sym tries orthogonales qui transforment un secteur en l autre et m OJ OM xX Onaainsi m OL OM m OIL Oj m OJ OM S DAS 2 X 7 G x Si l on pose p M M E ON et p M5 M E O alors M Sap M O p M E OI M et OM OM 2 ann e Math matique 58 Ainsi sin s x OM OM cos x COS y sin y cos x sin 5 5 T TDR En posant y 3 7X on peut crire x sinx Exercices 19 Etablir cos s x sinx et sinG x cosx n 3m 5x 5x 7x 20 Calculer cos 3 sin cos sin y cos sin 36x 2 cos 12x E sin 3x D cos 5x a cos x x ST 145x 218x 15r 73x cos x 5 sin s sin cos sin 21 R soudre l aide de valeurs approch es dans R 1 1 3 cos x 2 0 2 2 sin x 5 0 3 5cos t 1 0 4 2cos x x 1 0 5 2 sin x a 1 0 6 3sin x x 2 0 22 Avec cosx cosy x y k2x ef sinx r soudre les quations suivantes X siny 4U X 1 cosx cos 2x 1 2 sin3x sin 2x 1 3 Il 4 sin 7 cos x 1 cos x 2 8 cos3x 1 23 Exprimer en fonction de cos x ou de sin x sin x 3x cos 5x x cos 4x x cos X 24 R soudre selon le mod le suivant IT 77X i J cosx Sinx lt sin x sinx u x 37X T 4x x k 4x X 4 lt gt ou lt gt ou Ox x k 4x x E 1 1 cos2x sin2x 2 si
13. lications l aide des diagrammes suivants x m gt x gt m4 2 OI OM u cosinus 4 IOMA Cor OM cosx d M E OI d M x H gt x gt m a 4 OI OM 4 sinus T OMANA Cor OM sinx M E OJ M Ainsi et sinx OM avec MECo et M p M OJ et x m A OI OM et cosx OM avec MEC o1 et M p M E OI et x m OL OM 2 2 Propri t s 1 sin x 2x sinx et cos x 2x cosx gt OI OM On dit que sinus et cosinus sont p riodiques de p riode 2x En effet x 2x x modulo 2x et x m rad On a aussi sin x k 2x sinx et cos x k 2x cosx et kEZ 2 ann e Math matique 59 Plus g n ralement une fonction de R vers R est p riodique de p riode p R si L VxeDf x pEDf 2 f x p f x Remarque Si une fonction est p riodique de p riode p elle est p riodique de p riode k p KkKEZ 2 sin0 0 et cos0 1 gt En effet avec OIL OM A OL Ol jet M I ona sin0O OM OO 0 et cos0 OM OM OI 1 3 sinx 0 et cosx 1 gt gt gt gt En effet avec OL OM A OL OI ona OM OI et M 1 0 Ainsi p M M OE OJ et sinx OM OO 0 et cosx OM OM 1 m _ 4 sin 1 et cos 0 gt Avec OI OM OI OJ ona M et p M M OE OI Ainsi sin OM OM OJ 1 et cos OM OO 0 5 aTe d Tsy SU e 003
14. ment pour x 0 2x x Cotangente est elle une 2 ann e Math matique 60 fonction p riodique paire impaire A t on cot 3 x tanx Trouver Df et Dg si f x cot2x et g x cot s x 29 a Sans calculer x trouver sin x et cosx st tan x et 2sinx 3cosx 2 OS NC b Sans calculer x trouver sinx et cosx si tan x 30 D montrer que l on a N 2 y 2 a cosx 1 sinx et sinx V1 cos x 1 b 1 tan x 7 cos x c 1 cot x sin X Pour illustrer les fonctions tangentes et cotangentes l aide du cercle trigonom trique si OT i l a x OU 2 Y U x ontrouve des triangles rectangles associ s au cercle trigonom trique gt Dans un rep re orthonorm direct O OI OJ du plan on pose d 1 OI et I Ed d L OJ et 3n JEd et pour M E Con avec m OI OM xetx 0U 5 U a U x ona p M M E O p M M E OJ d N OM C et d N OM D M M IC C Alors tanx G COS X OM OI 1 COS X M M JD JD T et cotx 5 ee JD sin X OM oJ 1 d s appelle l axe des tangentes et d celui des cotangentes Exercices 31 Dessiner tanx et cotx sur les axes des tangentes et des cotangentes si an n x n Six 7x XEU4 3773 4 4 4 6 32 Dessiner M et valuer les mesures de l angle OI OM en degr et en radian dans chacun des cas suivants 2 ann e Math matique 61 tan x cot x 33
15. n x i 1 1 4 sin 2 7 cos 2 7 5 cos 2x 1 2 ann e Math matique sin 3x 5 cos5x cosx 6 9 y k2x et keZ x y k2r sin2x sin 2x 3 cos x 5 cos 2x 3 sin 2x 0 Ix 7x sin 2 x cos 3 x x k2x x x k2x kx x 4 tka 1 x X cos 3 cos sin sin 2x 1 6 sinx cosx 59 25 Repr senter graphiquement f et g pour xE 0 2x avec f x sinx et g x cos x De m me pour xE 0 4n avec f x sin 5 et g x cos pour xE 0 x avec f x sin 2x et g x cos 2x 3 La fonction tangente sin x COS x D finition Avec cosx 0 amp yER y z ki E et xEE sil onpose tan x alors on a une application appel e tangente tan R E R X gt tanx Exercices 26 Trouver les domaines de d finition de f g et h si f x tan 3 x g x tan 5 x h x tan 2x TH I TX A Calculer tan x pour xE 0 gt p n a x 443m 643 6 3 4 l 4 P l aide des valeurs calcul es T 2x Repr senter graphiquement tan pour x 5 27 D montrer les propri t s suivantes pour la fonction tangente a tangente est une fonction impaire tan x tanx b tan x 2x tanx c tanx x tanx tangente est p riodique de p riode x E EE d tan 2 x tan x T 1 e tan 5 x aa 28 On pose cotx Ea fonction cotangente Donner le domaine de d finition de la fonction cotangente et la repr senter graphique
16. n B H h A B c A C b et amp B C a m alors cosa et m c cosa c Avec Pythagore h e m a n gt c osa a b my _ a b C cos a ja a b 2bc cosa cosa Alors b 2bc cosa a Pythagore g n ralis S b a ou cosa 7 be Exercices 42 Si A BC p B HE AC C A d montrer que l on a aussi a b c 2bc cosa 43 Si AE BC p B HE AC A C d montrer que l on a aussi a b e 2bc cosa 44 Calculer la longueur des hauteurs et des m dianes d un triangle dont les c t s a b c sont donn s Quelle est la mesure des angles du triangle a a 8 b 12 c 5 b a 2V3 b 2V2 c V2 V6 45 Avec A BC B C 3 AC 4 et u deg CAB 18 calculer la longueur du li tl li troisi me c t et la mesure des deux autres angles Th or me du sinus Si A BC A B c A C b et B C a p A A E B C p B B E A C p C G E A B a u A CAB B u A ABC et y ABCA alors B B C Cy A A sna SNP siny TS Pour l aire o du triangle A ABC ona 1 1 1 5 B B b ou o 2 A A a ou 2 C C c et mel 1 b e 1 1 b i 1 S 5 c sina a siny ca sin B 2 ann e Math matique 65 alors b csina a b siny sina siny A b c et a b siny c asinf e zs Z sin siny a b c et z _ sin a s n B sin y Exercices 46 Que deviennent
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