- et par la découverte que ces grilles proviennent de tables d
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1. c un quadrilat re est un losange d un quadrilat re est un carr e un quadrilat re est un cerf volant f un triangle est isoc le g un triangle est quilat ral 2 Comment d celer des transformations dans une figure 3 Comment justifier que a deux droites sont perpendiculaires b deux droites sont parall les c trois droites sont concourantes d trois points sont align s 4 Comment comparer a des longueurs b des aires c des amplitudes 5 Comment calculer a des longueurs b des aires c des amplitudes 6 Comment justifier que des triangles sont isom triques 7 Comment justifier que des triangles sont semblables page OO O O1 B N Illustrons par un exemple comment faire passer les l ves de la description des objets la construction d outils Prenons le cerf volant Synth se descriptive acceptable A B D ABCD est un cerf volant 1 AB AD 2 BC CD c 3 A 4 AC est bissectrice de et de En utilisant les propri t s des triangles isoc les ABD et BCD c 5 AC est m diatrice de BD B D C est par le biais d exercices de construction que l on peut faire comprendre des l ves du premier degr qu il n est pas obligatoire d utiliser toutes les propri t s d un cerf volant e pour le construire d terminer qu il y a plusieurs mani res de le construire d terminer e On peut utiliser les propri t2. 0 8857143 2 6233766 5 2199413 2 75215586 0 91038491 1 05749277 3 35846159 5 06713782 2 10427829 0 80997961 Le calcul alg brique appara t ici comme un moyen de justifier que les deux premi res suites sont cycliques la premi re suite donne la deuxi me suite donne 1 3 Est il premier Calculer n n p pour des valeurs naturelles de n commencer par 0 1 2 3 et sachant que p est premier Choisir 17 comme valeur de p Analyser les r sultats obtenus Et si on choisit d autres valeurs de p Diff rentes conjectures peuvent appara tre Les r sultats obtenus sont des nombres premiers Les premi res valeurs calcul es sont des nombres premiers 17 19 23 29 37 47 59 73 89 107 127 et peuvent constituer une justification aux yeux d l ves habitu s ne v rifier que quelques exemples La force du contre exemple prendra ici toute sa signification pour n 16 la valeur calcul e est 289 soit le carr de 17 pour n 17 il n est pas n cessaire de calculer pour savoir que 17 17 17 est divisible par 17 Le tableau suivant reprend les premi res valeurs calcul es en rempla ant 17 par p L examen de ce tableau permet de renforcer la conviction que Pour n p 1 la valeur calcul e est p La recherche d un contre exemple pourrait s av rer fastidieuse d autant plus que Ce calcul alg brique constitue la d monstration de cette conjecture celle
3. ci peut m me tre tendue la propri t est vraie pour tout nombre p Pour n p la valeur calcul e p p p n est jamais un nombre premier Le nombre p p p est toujours divisible par p et par p 2 sa forme factoris e p p 2 en constitue la d monstration 1 4 Que vois je Les points A B C et D sont sommets des deux cubes repr sent s en perspective cavali re Quelle est la nature de la figure ABCD Les questions pos es sur des repr sentations de solides constituent le terrain id al pour motiver la justification les impressions visuelles on voit bien que sont souvent trompeuses et l argumentation va s av rer d cisive Dans cette situation c est en raisonnant que vous d couvrirez un magnifique calisson 1 5 Qu avez vous perdu Cette situation semble impossible Le support du quadrillage permet de mieux se rendre compte de l isom trie des pi ces correspondantes et par cons quent renforce l impression de trucage d anomalie La d monstration n cessite d tablir un lien entre l alignement des points les triangles semblables et la pente d une droite D 1 6 Remarquables Trouver un point X sur le c t BC tel que les triangles ABX et AXC aient le m me p rimetre Si la construction du point X est du niveau des l ves les prolongements les questions qu ils posent sont r serv s aux adultes math matis s Voici une fa on de d termin
4. qui doivent tre retravaill s Si vous les utilisez et surtout si vous les adaptez vos cours et vos classes les formateurs du CREM seraient heureux de b n ficier de vos remarques et de vos suggestions ainsi que de vos versions personnalis es B HONCLAIRE CREM 5 rue Emile Vandervelde 1400 NIVELLES 067 21 25 27
5. s 1 et 2 cela donne A A Dans tous les cas on a construit un cerf volant m me si les formes diff rent Synth se fonctionnelle acceptable D s que je sais que A Lx AB AD B IBC CD D B D je peux d duire que ABCD est un cerf volant et en cadeau je re ois les propri t s suivantes AC est bissectrice de A et de AC est m diatrice de BD On peut aussi utiliser les propri t s 1 et 3 ou encore la propri t 4 ce qui d bouche sur des synth ses fonctionnelles du m me genre 2 2 Utiliser les outils C est bien de fabriquer des outils mais il ne faut pas qu ils dorment dans une armoire Voici quelques exemples d utilisation tangentes a un cercle PA et PB sont tangentes au cercle e A On peut d terminer un cerf volant par P les propri t s 1 et 3 rayons gaux AC et CB angles gaux en A et B 90 et recevoir en cadeau AP BP CP axe de sym trie de la figure cercles s cants On peut d terminer un cerf volant par A les propri t s 1 et 2 rayons gaux AC CB et PA PB et recevoir en cadeau CP est m diatrice de AB Deux documents de travail sont disponibles sur le site Ils reprennent les synth ses descriptives et fonctionnelles des trois premi res ann es du secondaire Ils sont crits en Word7 et les figures sont r alis es par Cabri version Windows Attention ils ne constituent que des mod les
6. Argumenter Pourquoi Quand Comment 1 Quand et pourquoi Au travers de quelques situations adapt es des classes des trois premi res ann es du secondaire nous allons tenter de r pondre cette premi re question en d veloppant deux axes majeurs Il est indispensable de placer les l ves dans des situations qui vont susciter des conflits des questions des tonnements Qui a raison Pourquoi est ce toujours comme cela Comment est ce possible C est en essayant de r pondre de telles questions que l on peut esp rer motiver des l ves des activit s d argumentation Il s agit de faire rechercher des arguments qui sont accessibles et accept s par tous L argumentation n est pas r serv e aux objets g om triques Il est possible de rencontrer des situations num riques qui provoquent le m me genre de question Ce type de situation est accessible avant m me les situations g om triques dans une classe de premi re et permet de rencontrer l alg bre en tant qu outil de g n ralisation de justification 1 1 La grande illusion Choisir un nombre dans la grille par exemple 15 Barrer la ligne et la colonne de ce nombre Choisir un autre nombre barrer sa ligne et sa colonne continuer par exemple 7 puis 5 Quel est le dernier nombre de la grille dans l exemple c est 13 Vous pouvez jouer au magicien en imitant le dialogue
7. er le point X X est le milieu de ED l Pour adultes Ce que l on vient de r aliser sur le c t BC peut videmment s imaginer sur AC et sur AB Ce qui va nous amener le probl me suivant les droites solutions semblent concourantes et pourtant ce ne sont pas des droites remarquables classiques du triangle Il est facile d tablir que Le th or me de C va permet alors d affirmer que les trois droites sont concourantes Et ce n est pas tout Si les droites ne sont pas remarquables on ne peut pas en dire autant des points X Y et Z 2 Comment 2 1 Construire des outils Cr er le besoin d argumenter chez les l ves est primordial mais cela a pour cons quence qu il faut construire avec eux des moyens de justification Nous allons d tailler un moment de cette phase d apprentissage en g om trie Une mani re de proc der est de construire partir des synth ses descriptives listes de propri t s des synth ses fonctionnelles ou bo te outils Si les premi res servent r pondre aux questions Qu est ce que veut dire et doivent tre accompagn es d un index les secondes doivent apporter des r ponses aux questions Comment puis je justifier que et tre munies d un mode d emploi comme celui qui suit Justifier 1 Comment justifier que a un quadrilat re est un parall logramme b un quadrilat re est un rectangle
8. suivant prof Quel est ton dernier nombre l ve 13 prof La somme des trois nombres que tu as choisis est petite h sitation 27 Comment est ce possible Il n est pas difficile de v rifier que la somme des quatre nombres les trois nombres choisis et le nombre restant est toujours 40 Encore faudra t il dans une classe rectifier les ventuelles erreurs de calcul La d monstration passe par une phase de recherche Comment fabriquer une autre grille du m me type et par la d couverte que ces grilles proviennent de tables d additions La somme des quatre nombres est a b c d e f g h ce qui revient a utiliser la commutativit et l associativit comme outils d argumentation Il y a videmment une infinit de solutions pour les nombres a b h On peut aller plus loin et chercher les liens entre ces nombres n ntlin 3ln s 12 n 12 13 15 17 8 n 8 9 11 13 5 n 5 6 8 10 6 n 6 7 9 11 Le calcul alg brique r duction des termes permet alors de calculer cette somme et de trouver 40 1 2 Tourner en rond Choisir deux nombres n et n2 Construire une suite de nombres puis une autre suite Continuer En prenant comme nombres de d part 2 et 5 on obtient comme premi re suite 2 5 25 0 5 0 2 0 4 2 5 comme deuxi me suite 2 5 3 0 8 0 6 2 5 comme troisi me suite 2 5 3 5 1 1
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