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LA DEMONSTRATION EN SECONDE

1. 15 Premi re Activit R digez en libert EE ENE 18 PRESENTATION aaa aaea aaa zaa aaa aaa ann nun nannnnnnnnnnnnnnnnnennennsenennnnnsnnnnnenen 18 Il L EXPLICATION DE NOS CHOIX ccccececcececsccececececcececececessececnscsevaneeensceaesans 25 Ill COMMENTAIRES SUR LE FONCTIONNEMENT DE L ACTIVITE ET SUR LES PRODUCTIONS DES ELEVES a n suuuussensuuanrusosuserenessorrenrenuurerosnansnranernnerennnene 26 IV LE TRAVAIL DES ELEVES SUR LES DIX REDACTIONS seems 27 V SUIVIDE CETTE EXPERIENCE luonuseerreserusoersuersorsrensenenreenneenressasrosersrsasernernne 28 Deuxi me Activit Demonstration trOUS ooooocccoconccccorononanos 29 ba GbE NZ 29 Il MISE AU POINT DE LA FICHE cccnnseeneeeeensnnennennnnnnnnnnnnnunnnnnnennnnnnenennnannnnannannnennnnn 31 Ill LES CONDITIONS D UTILISATION DE CETTE FICHE cccccccceccoccecceceseces 3 1 IV ANALYSE DU TEXTE PROPOSE ET DES REPONSES DES ELEVES 32 V LES EFFETS DE CETTE FICHE uuuaaza aaa aaa az aaa aaa aawaaaaawaaaaaaka aaa taa aaaa awk Gia 33 Troisi me Activit Vers une d monstration parfaite 34 CHAPITRE Al DEUX DIFFICULTES PARTICULIERES Vs 37 2 est il sup rieur ou gal 1 2 39 LA DECOUVERTE DU PROBLEME essences 39 ls UNE SEQUENCE EFFICACE EE 42 E CONCLUSI N NG 43 ANGNEMERL a 44 I ETUDE DE QUELQUES EXEMPLES rereronvvnernovr
2. 1 A 2 1 gt e d Comme AE 3 AB et AF 3 AC alors d apr s la r ciproque du th or me de Thal s EF est parall le BC ro oe Dans le triangle ABJ on a donc AE Er AB et El A BJ donc d apr s le th or me de Thal s on en d duit 1 Al 3 AJ et donc A I et J sont align s L erreur est ici l emploi du th or me de Thal s sans en avoir contr l les hypoth ses et donc l utilisation implicite de l alignement des points A I et J dans le but de d montrer cet alignement Comme dans les exemples pr c dents le poids de la figure est en grande partie la cause de cette erreur que l on retrouve fr quemment m me chez des experts en math matiques Pour plusieurs l ves de seconde la distinction entre donn es de l nonc et conjectures faites sur la figure est loin d tre tablie l erreur peut donc tre due un emploi abusif de la figure Mais il se peut aussi que la cause de l oubli soit tout autre et que tout simplement pour cet l ve l alignement ne soit pas n cessaire dans la d monstration 46 Chapitre 3 Deux difficult s particuli res Ces trois exemples recouvrent assez bien les diff rents types d erreurs que l on rencontre dans les copies au sujet de l alignement Pour r sumer une droite en remplace une autre le milieu est assimil l quidistance difficult d emploi de l expression passe par le milieu de difficult d emp
3. e Les fautes de francais Il est vident que beaucoup de fautes sont de ce type Il faut les distinguer soigneusement car elles ne sont pas de m me nature La longueur des phrases leur complexit vont y jouer un r le essentiel On ne peut sans dommage les n gliger car pour beaucoup d leves l apprentissage de la d monstration passe par la prise de conscience qu il s agit d un texte Il faut bien faire une distinction entre les usages et les fautes incontestables par exemple il n est pas d usage de dire notre triangle mais il n y a l rien dincorrect Ou encore le triangle EDC est rectangle face au diam tre DE est une mani re imag e de dire que EDC est rectangle parce qu il est inscrit dans un demi cercle De m me l emploi de l expression on m ne par A la parall le CD alors que dans l nonc tout est d j trac n est il pas une survivance des nombreux programmes de construction crits en 6 me et en 5 me En revanche un l ve qui crit sl deux droites sont perpendiculaires toute parall le Tune l est l autre commet une erreur math matique en utilisant mauvais escient le 1 f Les notations Rappelons qu il ne s agit pas ici de fautes de d monstration L aussi comme nous l avons dit plus haut les usages jouent un r le tr s important g Les l ments qui ne font pas partie int grante de la d monstration Une d monstration peut comporter de tels l ments On p
4. la droite CE D montrer que A est la m diatrice du segment DC La s quence est d crite dans la fiche professeur de la page suivante 18 IREM de RENNES La demonstration en Seconde REDIGEZ EN LIBERTE FICHE PROFESSEUR L objectif de cette activit est de faire sentir aux l ves toutes les libert s qu ils ont pour crire une d monstration mais aussi toute la rigueur qui est n cessaire dans l usage des mots qui servent a l articulation du texte Dur e li faut pr voir environ deux heures de travaux dirig s et une heure et demie en classe complete svoir Affiches ou transparents feutres ffiches 1 h en travaux dirig s Exposer le but et le d roulement de l activit R partir les l ves par groupes de 3 ou 4 l ves Distribuer un texte de probl me par l ve Consigne chaque groupe r dige une d monstration avec le plus de soin possible sur une affiche ou un transparent D bat sur les affiches 30 min 1 h en classe compl te Organiser un d bat sur les diff rentes r dactions des l ves ces derniers critiquent les diff rentes r dactions apparaissant sur les affiches Eviter si possible d intervenir ou de donner une indication sur les remarques faites par les l ves par contre on pourra noter ces derni res sur le support utilis A la fin de la s ance leur dire de r diger individuellement pour la fois suivante une solution
5. Ca ur A A 25 A du Arch d c en de ti MAA Sr eda en ER alos ARM Jos Ape N Med a Ca er Ao a k Le PA det Cr hm zx Wmaugle NOA oh re dde aN do Ne Se Je dm N lan rere a Br A ANO AMM TO alez M drev NG fn e uk Anal D va fo Hogg he mu laur AUS que Se JEG aile de Aal dalte tula aske dee Kat d ah Ja ss Bia Mo cb Ne gl ke O Marat a 5 roe Jan LAN Sew ur enc GES N ar Qe ge ke du 2 Rued AH 83 CONCLUSION Nos r flexions sur le comportement des l ves devant la d monstration nous ont apport plusieurs convictions LAISSER LES ELEVES S EXPRIMER Il est indispensable de laisser aux l ves du temps pour chercher le probl me et pour exprimer leurs id es avec leur vocabulaire par oral par crit seul ou en groupes et pour en discuter Ils pourront alors prendre en compte nos propositions et nos corrections Il ne faut pas officialiser une seule fagon de s exprimer et en particulier pour les d monstrations ne pas leur proposer des r dactions st r otyp es Il n y a rien de plus d routant pour un l ve que de se plier aux exigences de leur nouveau professeur Laissons les uns utiliser des notations d j acquises et les autres s exprimer avec des phrases Par exemple pourquoi imposer de conclure la r solution d une quation par S 2 plus que par la phrase cette quation a pour solutions les r els 2 et a Le principal est que chacun comprenne le sens de ce qu il dit et de
6. nos l ves de seconde des activit s d apprentissage nous souhaitions tudier l volution de leur point de vue sur la d monstration Pour cela nous leur avons propos de r diger en avril une d monstration qu ils avaient d j r dig e au d but d octobre Nous indiquons dans ce paragraphe ce que nous a apport la comparaison de ces deux copies mais aussi ce que chaque enseignant conna t de ses l ves Chaque l ve a d une certaine mani re son style Celui ci n est gu re modifi par les recommandations des enseignants Il semble que l abandon de son propre style pour calquer celui de l enseignant soit plut t un facteur d chec Beaucoup d l ves craignent d oublier quelque chose dans leurs d monstrations Cela les conduit r diger des d monstrations comportant des l ments inutiles conclusions qui ne sont jamais utilis es par la suite th or me trop complet pour la situation En seconde suivant le niveau auquel est parvenu l l ve deux ph nom nes contradictoires peuvent se produire Les uns ayant compris la sp cificit des d monstrations r digent en arrivant en seconde des d monstrations tr s d taill es Ils voluent facilement vers un texte plus succinct mais bien structur Les autres r digent au d but de l ann e des textes plus orient s vers la description de la r solution du probl me que de la d monstration Ils sautent alors souvent des tapes essentielles de la d monstration D
7. par le milieu du troisieme c t Les nonc s peuvent tre exprim s en termes de vecteurs partiellement ou compl tement comme le montrent ces deux nonc s du th or me et AJ 3A alors A l inverse certains enseignants se permettent d noncer la r ciproque 2 sans vecteur et sans pr cision sur les probl mes de sens Si I milieu de AB si IJ BC et IJ gt alors J milieu de AC 63 Deux difficulf s particuli res Chapitre 3 Dans la r ciproque 1 on rencontre trois formulations assez diff rentes EDEN MOEN Dans la projection de AB sur AC parall lement BC e milieu I de AB se projette sur le milieu J de AC Dans un triangle ABC si I est le milieu de AB la parall le a BC passant par coupe AC en son milieu En termes de points align s En termes d intersection de droites Dans un triangle ABC si est le milieu de AB si J est align avec A et C et IJ BC alors J est le milieu de AC Un nonc un peu inattendu pour la r ciproque 3 le point y tant d fini apr s coup BC siAest le point d intersection de IB etde JC I et J sont les milieux de AB et AC Des variations plus mineures de langage apparaissent l allusion au triangle peut dispara tre au lieu de parler de parall le un c t on dit parall le au support d un c t au lieu de qui passe par on rencontre men
8. A faire ventuellement par groupes de 2 ou 3 Ecrire x e 1 oo puis 2 e 1 oo sous forme d in galit s 2 Deuxi me s ance Un autre jour Les l ves ont pu discuter entre eux et confronter leurs id es Le professeur leur parle alors des r sultats obtenus la premi re s ance Nous avons pu remarquer qu un grand nombre de ceux qui affirment que 2 gt 1 n est pas vrai admettent par contre que 2 e 1 oo l est Un d bat peut alors intervenir entre les l ves il est suivi de la quatri me question Question N 4 2 gt 1 Est ce vrai Faux Ni vrai ni faux Avez vous chang d avis 42 Chapite3 50 0 Deux difficult s particuli res II CONCLUSION 39 Se Ce genre de sequence a E ou moins cen mache car i groupes classes SER i varient d ne ann e sur l autre ils peuvent tre actifs et permettre un d bat riche et vari y ou au contraire tre assez passifs et ne pas laisser na tre un d bat cognitif int ressant De toute fa on on ne peut esp rer convaincre toute une classe le s re est de faire r fl chir les l ves le cheminement se faisant longue ch ance il est interessant toutefois de pr ciser que dans une classe de terminale dont les l ves avaient fait une activit de ce type en premi re le probl me ne s est pas repos ce qui laisse supposer que la r flexion s est faite pour une grande partie d entre eux Il semble utile de mettre au point d
9. BE DJ Les droites BE et DJ qui sont respectivement perpendiculaires aux droites parall les AB et CD sont elles m mes parall les Les vecteurs BE et DI ont la m me direction BE U DJ la m me longueur BE DJ et sont de sens contraires d apr s la figure donc ils sont oppos s BE DJ ou BE JD Par suite BEDJ est un parall logramme ses diagonales BD et EJ ont le m me milieu Or BD est une diagonale du parall logramme ABCD donc a pour milieu le centre O de ce parall logramme O est donc le milieu de EJ Points de vue d enseignants Chapitre 1 Dans cette copie tout est crit et d montr Il est pr cis que le sens des vecteurs BE et DJ est donn par la figure Dans les copies B et C cette information est remplac e par par construction Cette remarque sera reprise et d velopp e dans le paragraphe III Par contre nous pensons que globalement les enseignants consid rent que les hypoth ses doivent tre crites et non d duites de la figure car alors la diff rence est trop mince entre ce qui est vraiment donn et ce qui n cessite une d monstration Or cette diff rence est parfois imperceptible pour certains l ves Pour prouver que O est le milieu de EJ prouvons d abord que F BEDJ est un parall logramme Nous avons ABCD est un parall logramme donc AB DC et AB DC ABEF est un carr donc BE 1 AB et BE AB CDJI est un carr donc DJ
10. DC et EB L AB Mais AB DC donc DJ L AB sexpliquent de deux fagons d une part le pas de d monstration correspondant au th or me cit est particuli rement complexe puisqu il comporte trois donn es D autre part les trois pas pr liminaires qui permettent d obtenir ces trois donn es ne sont pas compl tement isol s dans le texte Cela conduit des fautes graves comme l utilisation devant DJ L AB de si ou de mais qui transforme cette conclusion en une donn e Le d bat clarifie ais ment cette situation L absence de conclusion O est donc bien le milieu de EJ est volontaire Il est fr quent en effet de rencontrer des d monstrations o le r sultat est nonc avant et n est pas r p t la fin C est l occasion du d bat que cela pourra tre expliqu aux l ves en pr cisant sans doute que pour eux il est pr f rable de redire la conclusion Le mot mais est souvent mal utilis surtout dans la fiche avec les mots Il est vrai que ce mot est peu utilis au coll ge dans les d monstrations Certains l ves sont g n s par la ponctuation et la grammaire Quelques phrases n ont pas de verbe Il faut dire que certains coll gues de lyc e comme de coll ge crivent leurs d monstrations en style t l graphique En conclusion trois faits sont particuli rement vidents les l ves sont souvent prisonniers d une tournure de d monstration et cela les conduit des fautes
11. La d monstration fastidieuse de r sultats vidents comme le fait qu un trap ze isoc le a un axe de sym trie ne semble pas non plus un bon moyen de faire saisir la v ritable nature de la d monstration C est plut t en partant d un probleme difficile dont chacun connait d j la solution et en travaillant sur des textes exprimant cette solution que peuvent apparaitre naturellement les diff rences entre une d monstration ou le statut de chaque proposition est soigneusement pr cis d un texte indiquant les tapes essentielles de la solution du probl me 3 L volution du contrat didactique Le passage de troisi me en seconde correspond l vidence une modification importante du contrat didactique en ce qui concerne la d monstration Alors qu en troisi me on demande aux l ves d tre tr s explicites dans les nonc s des th or mes utilis s dans leurs d monstrations on les incitera en seconde n noncer que les th or mes les plus importants Pour faire comprendre ce contrat beaucoup d enseignants pensent qu il faut proposer leurs l ves quelques d monstrations types Cela conduit tr s souvent des malentendus catastrophiques C est en effet l acquisition d une certaine libert d criture qui est le bon objectif Nos observations viennent ici confirmer celle de R Duval ceux qui en d but de seconde montrent une certaine originalit dans l criture s adaptent tr s facilement toutes les c
12. Premi re r daction Comme N est le sym trique de M par rapport AO alors AO est la m diatrice de MN O appartenant AO est quidistant de M et N donc OM ON De m me comme P est le sym trique de M par rapport BO alors BO est la m diatrice de MP et OM OP Donc ON OP et O est le milieu de NP Deuxieme r daction M et P sont sym triques par rapport OB donc MP est perpendiculaire a OB De plus AOB est rectangle en O donc OB est perpendiculaire a AO Or si deux droites sont perpendiculaires une m me droite elles sont parall les donc AO MP Dans le triangle MNP AO passe par le milieu de MN parce que M et N sont sym triques par rapport AO Or si une droite passe par le milieu d un c t d un triangle et si elle est parall le un autre c t alors elle coupe le troisi me c t en son milieu Donc AO coupe NP en son milieu O 44 Chapitre 3 Deux difficulf s particuli res Dans les deux cas la faute est vidente ni l galit de longueurs ON OP ni l affirmation AO passe par le milieu de NP ne signifient que O est le milieu de NP I manque pour conclure correctement un pas de d monstration montrant que O N et P sont align s Il est important d analyser ces erreurs car elles sont fr quentes quand on donne cet exercice en seconde les trois quarts des l ves proposent l une des deux r dactions ci dessus Bien
13. certains mots sont moins connus des l ves et demandent une mise au point les l ves sont capables en seconde de faire des progr s tr s rapides dans la r daction des d monstrations si on analyse avec eux les obstacles qu ils rencontrent V LES EFFETS DE CETTE FICHE Il semble que cette fiche modifie de mani re tr s sensible les comportements des l ves Ils crivent des d monstrations moins st r otyp es et avec beaucoup moins de fautes Un r sultat inattendu est l effet sur les enseignants Les conditions actuelles de l enseignement les conduisent en effet tout naturellement s enfermer peu peu dans des formes de d monstrations tr s st r otyp es Le travail avec les l ves sur cette d monstration leur redonnent le go t de la libert d expression et il semble que cela contribue am liorer les performances des l ves 33 Faire d couvrir la structure Chapitre 2 TROISIEME ACTIVITE VERS UNE DEMONSTRATION PARFAITE Lorsque nous corrigeons des copies nous nous demandons ce que l l ve va pouvoir retenir au moment de la correction Beaucoup d entre eux attendent la note et regardent les remarques formul es sans trop de s rieux Aussi pour un l ve qui a visiblement compris le probl me pos mais dont la d monstration est tr s incompl te ne pourrait on pas lui demander de faire un sch ma de sa d monstration lui montrer ses d fauts sur ce sch ma puis lui faire r crire et
14. certains sont en plein d sarroi et regardent aussi bien l nonc que la d monstration certains n ont pas reconnu le th or me des milieux et passent un long moment comprendre cette phrase la plupart ont r alis que l erreur est due au non emploi de la donn e I milieu de BC et essaient de l intercaler un peu partout sans se demander d abord o elle est utile plusieurs finissent pas se rendre compte que l erreur se situe la fin mais sont incapables d en formuler clairement la cause certains essaient de modifier la r daction en utilisant un autre th or me dans le triangle ADE si C est le milieu de DE si CD est parall le AD et si CI 87 I est le milieu de AE quelques groupes finissent quand m me par noncer 8D passe par le milieu de AE ne veut pas dire que I est le milieu de AE On ne sait pas que I est sur AE Cette diff rence de comportement vient bien s r de la diff rence de compr hension de la phrase la d monstration reste vraie si on change la place de I sur BC Pour tre d accord avec cette phrase il faut d j ma triser la relation entre la pr sence d une donn e dans l nonc et l utilisation de cette donn e dans la d monstration une donn e pr sente dans l nonc mais non utilis e peut tre supprim e sans changer la validit de la d monstration Les l ves qui ont compris cela vont bien saisir la contradiction si la donn e
15. est tel que Al B J est le milieu de AC et C celui de 1 3 BK I J et K sont ils align s Figure N 2 B C K Nous te demandons ici de trouver diff rentes m thodes pour d montrer l alignement de I J et K Tu dois r diger au moins trois solutions avec des m thodes diff rentes pour la prochaine s ance 48 IREM de RENNES La d monstration en Seconde suite ALIGNEMENT DES POINTS Exercice N 3 A B F sont trois points non align s a Construire les points E et C tels que AE B et AC 3AF A 3 b Demontrer que EF BC c soient I et A les milieux de EF et BC D montrer que A et A sont align s Voici deux d monstrations des questions b et c ton travail est le suivant Pour la premi re d monstration il y a une faute dans les quatre derni res lignes tu dois trouver l endroit pr cis o elle se trouve puis tu dois expliquer en quoi consiste la faute sans chercher a la corriger videmment tu mets ton explication par crit Dis nous aussi ce que tu penses de la deuxi me d monstration 49 La d monstration en Seconde IREM de RENNES ALIGNEMENT DES POINTS DEMONSTRATION N 1 b Dans le triangle ABC nous avons AE R AF 3 Thal s nous pouvons dire que les droites EF et BC sont paralleles AC donc avec le th or me r ciproque de c Dans le triangle ABA nous savons donc d apr s b que El
16. et la conclusion JD 1 CD de l un des pas de la d monstration la pr sentation AB BE _ et comme AB DC alors BE JD DC JD car ABCD parall logramme Finalement 4 et 5 gt BE JD gt BEDJ parall logramme fait penser que chaque ligne est un pas de d monstration Or la troisi me ligne en confond deux qui sont tr s diff rents Les deux carr s sont gaux et leurs c t s sont parall les Donc leurs diagonales sont gales et parall les en particulier AE JC et AE II JO Le quadrilatere AECJ est un parall logramme deux c t s la fois parall les et de m me longueur O est le milieu de diagonale AC il est aussi le milieu de l autre diagonale EJ du parall logramme AECJ Donc E 0 et J sont align s et O est le milieu de EJ Cette r daction peut paraitre attrayante certains au premier abord en raison de sa forme concise Cependant elle n est pas sans d faut Nous y avons d abord trouv un th or me invent Deux carr s isom triques et dont les c t s sont parall les ont leurs diagonales gales et parall les Ce th or me ne fait partie en aucun cas de la panoplie d un l ve que ce soit l entr e en seconde aussi bien qu la fin de la terminale Nous avons d ailleurs propos plusieurs enseignants de seconde de d montrer cette propri t et nous avons a chaque fois obtenu une d monstration de plus de 10 lignes De plus nous voila une nouvelle fois confron
17. gt affirm que DJ EB en passant par que signifie texte Au fur et mesure de la discussion l l ve qui avait produit cette copie a pu apporter les renseignements demand s avec l aide de certains autres Apr s quinze minutes environ les l ves ont t regroup s par trois et ont eu une vingtaine de minutes pour mettre au point une r daction commune Le principal int ress a tenu rendre la copie personnelle suivante es ALD at un RIG ro Re s du AB de CDC pr APR Gere FE BA eb pees JR deua tome i Dow FEBA EB ue CAG m Jaran den per CDs e Cre ar Julius b thy due Ae Ee Ue 33 Japan dun rolas Jorde CAR d Coc zeck mm Eg de 23 mr pools ek pue Ma drum combo AGEF de DETT mm o omu buts Joe pue AB DC lb E DI Donc DIBE uk un porron 9673 W ET pwr po dum dvogenckeo y omme Bu p wupenk oy Sew mn gar 0 ov k ae ard O et Lo miles du porad CEST Cette exp rience a pu se d rouler avec profit car l l ve tait demandeur et son comportement au sein de la classe tr s positif Il est bien s r difficile de g n raliser une telle activit mais int ressant de savoir que des occasions semblables peuvent se pr senter nous n importe quel moment de l ann e 35 CHAPITRE 3 DEUX DIFFICULTES PARTICULIERES 37 Deux difficult s particuli res PER Chapitre 3 Au cours de notre travail nous avons rencontr deux difficult s qui nous p
18. l es par les d monstrations sur la compr hension de certains concepts Par exemple il appara t clairement dans certains textes que la m diatrice n est pas con ue comme associ e un segment mais un triangle que la m diane est associ e a un sommet et non au c t qu elle traverse la m diane de A c La structure de chaque pas L examen de chacun des pas de d monstration peut faire apparaitre des fautes tr s vari es qu il faut soigneusement distinguer utilisation d un r sultat non d montr et qui ne fait pas partie des donn es utilisation d une hypoth se trang re au th or me ou d un nonc de th or me dont les hypoth ses sont trop riches On a rencontr par exemple Dans un triangle rectangle la droite qui joint les milieux d un c t de l angle droit et de l hypot nuse est parall le au 2 me c t de l angle droit utilisation d un th or me dans lequel il manque une hypoth se En voici deux exemples Tout triangle inscrit dans un cercle est rectangle Si a lt b i lt z oubli que a et b sont de m me signe utilisation d un th or me dont la conclusion est d form e utilisation d un th or me bon mais invent pour les besoins de la cause Nous avons par exemple rencontr dans une copie d enseignant si deux carr s ont leurs c t s gaux et parall les ils ont leurs diagonales parall les utilisation d un th or me inadapt au contexte pa
19. ABEF est un carr donc AB BE par suite BE DJ DCIJ est un carr donc DC DJ Les vecteurs BE et DI ont des supports parall les ont m me longueur et sont de sens contraires done B DJ ou BE JD ce qui prouve que BEDJ est un parall logramme Les diagonales EJ et BD ont le m me milieu Comme O est le milieu de BD c est celui de EJ Dans le carr FEBA EB L AB Dans le parall logramme ABCD AB DC La droite EB est donc perpendiculaire DC Dans le carr DCIJ DJ L DC Les droites EB et DJ tant perpendiculaires une m me droite sont parall les EB AB c t s du carr AFEB AB DC c t s oppos s du parall logramme ABCD DC DJ c t s du carr DCIJ On en d duit DJ EB Les vecteurs EB et DJ ont m me direction m me longueur et m me sens d apr s la construction ils sont gaux Le quadrilat re DJBE est un parall logramme ses diagonales EJ et DB ont m me milieu O tant milieu de BD diagonale du parall logramme ABCD est aussi milieu de EJ Dans la premi re les th or mes ne sont pas nonc s mais sont implicites dans la seconde un th or me est sous entendu et l autre instanci c est dire nonc dans le cas particulier ou on l applique C est l un sujet d inqui tude pour les l ves entrant en seconde faut il ou non noncer les th or mes utilis s Nous croyons qu on a en effet une certaine libert dans
20. AC AD rayon du cercle D autre part CE L CD car CED tant un triangle inscrit dans un demi cercle de diam tre ED est rectangle en C CE A par hypothese Par suite A L CD donc A est la hauteur du triangle isoc le CAD relative a la base CD alors dans ce triangle isocele CAD la hauteur A est aussi la m diatrice de CD D montrons que dans le triangle ACD qui est isoc le en A puisque AC et AD sont des rayons de la droite A est la hauteur relative a CD Le triangle ECD est rectangle en C car il est inscrit dans le cercle et DE est un diam tre de Par cons quent EC est perpendiculaire a CD A tant parall le a EC est donc perpendiculaire CD c est donc la hauteur relative a CD dans le triangle ACD Dans un triangle isoc le la hauteur relative la base est la m diatrice de cette base donc A est la m diatrice de CD 23 La d monstration en Seconde IREM de RENNES Le triangle EDC est rectangle en C car il est inscrit dans le cercle de diam tre ED De plus A est perpendiculaire CD en effet les droites EC et A sont parall les et CD est perpendiculaire EG A est donc la m diatrice de CD car elle est la hauteur issue de A du triangle ACD qui est isoc le de sommet A ED tant un diam tre de et C un point de ce cercle on a donc EC perpendiculaire a CD Comme EC est perpendiculaire a CD et A parall l
21. autres situations ayant le m me objectif On peut au cours de la r solution ventuellement graphique d une quation de la forme x gt Vx demander aux l ves ce qu ils pensent de 2 gt V2 Ceci nous permettra un tant soit peu d valuer les effets de notre fiche 43 Deux difficult s particuli res Chapitre 3 ALIGNEMENT _ C est au hasard de discussions informelles qu a germ l id e d inclure ce th me dans notre recherche En effet il appara t que les d monstrations faisant intervenir l alignement sont fr quemment mal r dig es par les l ves et de surcro t certaines fautes reviennent sans cesse dans les copies malgr nos explications r p t es Cette situation correspond exactement au sujet de notre recherche comment am liorer la r daction des d monstrations par les l ves Nous allons d abord pr senter quelques fautes typiques extraites de copies d l ves de seconde Nous exposerons les grandes tapes de notre travail pour terminer par une analyse plus d taill e des causes d erreur I ETUDE DE QUELQUES EXEMPLES 1 Premier exemple AOB est un triangle rectangle en O M un point du segment AB distinct de A et B On trace le sym trique N de M par rapport a AQ et le sym trique P de M par rapport a BO Montrer que O est le milieu de NP Pour cet exercice deux m thodes diff rentes de r solution contiennent chacune une erreur caract ristique
22. ce domaine il faut sans aucun doute noncer ou sugg rer les th or mes les plus importants de la d monstration mais il n est pas obligatoire de tous les noncer Chapitre 1 Points de vue d enseignants Dans la copie suivante nous avons appr ci les mots de liaison qui permettent de distinguer plus ais ment causes et cons quences et de rompre la monotonie de la r daction 1 Montrons que EB DJ ABEF et CDJI tant des carr s EB L AB DJ 1 DC Or AB II DC le quadrilat re ABCD tant un parall logramme On en d duit que EB U DJ et donc que EB a m me direction que my DJ ABEF tant un carr EB AB De m me CDJI tant un carr DJ DC Or DC AB comme longueur des c t s oppos s DC et AB du parall logramme ABCD Donc EB DJ EB a m me longueur que DJ De plus par construction EB et DJ Les vecteurs EB et DJ ont m me direction m me longueur et m me sens On en d duit qu ils sont gaux et par cons quent EBJD est un parall logramme On sait que les diagonales d un parall logramme se coupent en leur milieu Par cons quent O est le milieu de la diagonale BD du parall logramme ABCD BD est aussi une diagonale du parall logramme EBJD Donc O milieu de BD est galement milieu de EJ Dans le parall logramme ABCD on a AB DC et AB U DC Dans le carr ABEF on a AB BE et AB 1 BE Dans le carr CDJI on a DC DJ et DC 1 DJ On a donc
23. conduits deux conclusions d une part il est vident que l crasante majorit des l ves de seconde ma trise bien l utilisation des mots de liaison dans le langage courant ce n est sans doute pas le cas en quatri me et que devant ce texte de d monstration ils n ont aucune difficult proposer des expressions tr s vari es Les erreurs viennent d une utilisation non conforme aux statuts des propositions et non d une difficult de vocabulaire d autre part la t che est rendue beaucoup plus difficile pour les l ves quand on leur propose des mots de liaison en particulier parce qu une utilisation douteuse en d but de texte de certaines expressions les conduit en fin de texte des fautes grossi res car 1ls veulent utiliser les expressions qu il leur reste Les expressions auxquelles nous avons pens sont car 1l suffit de si en effet de m me on sait que EB DJ notons puisque comme mais donc d apr s le th or me appliquant III LES CONDITIONS D UTILISATION DE CETTE FICHE La fiche est propos e en travail de groupes Cet aspect est essentiel en effet un l ve peut avoir des difficult s trouver seul des mots qui lui paraissent adapt s pour certains des trous du texte alors que cela ne se produit pas pour les groupes d l ves Apr s un travail d un quart d heure une demi heure l enseignant ramasse les copies Au cours d une s ance ult rieure proche il fait une correction sous
24. couvrant peu peu la nature de la d monstration leurs textes vont tre plus complets mais comporter souvent des choses inutiles en fin d ann e Pour les probl mes d alignements sur lesquels nous avons fait travailler nos l ves les progr s sont vidents il ne reste dans un lot de copies que deux erreurs L un des moyens de faire appara tre la structure de la d monstration aux yeux des l ves est d y inclure des indications sur les objectifs de chacune des tapes On constate en effet que ceux qui le font sont rarement en difficult Notre travail semble avoir port ses fruits d une part la plupart de ceux qui le font en d but d ann e continuent le faire la fin Ceux qui y renoncent semblent le faire par souci de bri vet Un nombre non n gligeable d l ves se mettent le faire 81 La diversit des points de vue Chapitre 4 Le changement de contrat qui veut que les th or mes soient moins explicites dans les d monstrations est en g n ral bien compris Les nonc s de th or mes comme la transitivit du parall lisme disparaissent les nonc s plus importants comme le th or me des milieux ne sont le plus souvent qu instanci s Dans certaines copies on observe en d but d ann e des expressions comme je construis Celles ci disparaissent On observe pour ceux qui faisaient peu de fautes au d but de l ann e un progr s consid rable sur la rapidit d criture Comparaison de deux copie
25. des points de vue Chapitre 4 D abord il y a deux remarques concernant les fautes essentielles que comporte cette d monstration il manque le principal de la d monstration le parall lisme de ON et BM L l ve en effet utilise cette hypoth se de mani re explicite dans le dernier pas de sa d monstration alors qu elle n est pas dans les donn es du probl me et qu elle n a pas t d montr e il est inutile que le triangle soit rectangle La faute est diff rente puisqu il s agit de l nonc d un th or me avec une hypoth se inutile Il peut tre difficile d expliquer l l ve que cet nonc qui est bon rajouter une hypoth se ne rend jamais un th or me faux est proscrire d une d monstration Pourtant il y a au moins deux bonnes raisons d une part la r gle est que les seuls nonc s admis sont ceux qui sont dans le cours et celui ci n y est pas mais surtout 1l faut lutter contre la tendance tr s dangereuse de cacher son ignorance de la structure r elle de la d monstration en mettant le maximum d informations Remarquons que nous pouvons appliquer l nonc des milieux est une phrase qui a t barr e par l enseignant bien qu elle intervienne normalement dans une bonne d monstration Deux remarques demandent l l ve une plus grande pr cision de diam tre AB On peut estimer qu il s agit ici d une faute mineure si l on admet que inscrit dans un demi cercle veut di
26. est le r le m me de la d monstration qui n est pas compris Cette difficult peut sans doute tre surmont e partiellement en posant aux l ves des questions plus ouvertes dont la r ponse n est pas vidente et qui motivent la d monstration Il reste enfin deux sources de difficult s que nous allons voquer plus longuement la notion de milieu l emploi de certains th or mes I Le milieu notion complexe En quoi la notion de milieu est elle plus complexe qu il n y para t au premier abord Examinons deux extraits de copies d l ves pour le probl me suivant ABC est un triangle isoc le de sommet A I est le milieu de AC D est le sym trique de B par rapport I Montrer que CA CD 60 Chapitre 3 Deux difficult s particuli res Premiere copie Dans ces d monstrations c est bien la donn e milieu qui est utile deux fois mais les l ves prouvent le besoin de la transformer en longueurs gales pour finalement utiliser un th or me n cessitant des milieux Comme si l information IB ID tait pour eux plus pr cise que I est milieu de BD Il semble que pour les l ves du moins pendant un certain temps la phrase I est milieu de BD comporte une information essentielle IB ID et une information secondaire les points I B D sont align s Tout se passe comme si la question montrer que I est milieu de BD faisait disparaitre le reste du plan puisque la questi
27. f rable d expliquer le sens qu il peut avoir et les raisons qui font pr f rer il suffit au math maticien dans une d monstration Les r ponses des l ves confirment cette analyse il n y a aucune faute pour la fiche avec les mots alors que dans l autre fiche il faut est tr s largement majoritaire Pour le troisi me trou Cette propri t sera bien v rifi e si EB DJ et EB DJ une premi re lecture peut conduire a car Un seul indice contre ce mot se trouve avant le trou le futur dans cette propri t sera Mais cet indice n est pas d cisif car les n gligences de temps dans les d monstrations d enseignants ne sont pas rares C est en fait la suite qui doit faire rejeter car au profit de si En effet on y d montre longuement que EB DJ et que EB DJ et donc ces deux propositions ne sont pas consid r es cet endroit de la d monstration comme acquises Le fait que moins du quart des l ves fassent la faute attendue montre que la ma trise du francais et de la d monstration n est pas loin d tre acquise Le quatri me trou En effet dans le carr ABEF les c t s sont gaux et donc EB AB est l objet de peu d erreurs Presque la moiti des l ves emploient pour le cinqui me trou On d montrerait de m me dans le carr DCW que DC DJ donc ou en effet Ici encore on peut penser que cette erreur est favoris e par une vue trop st r otyp e de la d monstration Une d monstra
28. l ves sur les dix textes que nous proposons Nous avions au d part pos la question sous la forme Enoncez tous les th or mes utilis s dans les d monstrations mais cette t che tait trop vague et trop vaste Nous avons alors essay de distinguer au niveau de la consigne les th or mes explicitement nonc s de ceux qui taient sous entendus mais il est tr s difficile de se faire comprendre Il vaut mieux que cette remarque apparaisse au cours de la discussion 2 Choix des r dactions Nous voulions faire comprendre aux l ves certaines libert s on peut crire le texte dans l ordre que l on souhaite on peut employer des mots de liaison vari s mettre la conclusion au d but d velopper les d tails ou les sous entendre ajouter des indications heuristiques sur le but que l on souhaite atteindre On constate que par exemple l id e qu une d monstration commence obligatoirement par une donn e et se termine par la conclusion reste fortement ancr e chez quelques uns Nous avons donc choisi des r dactions qui 4 nos yeux sont parfaitement correctes en faisant varier certains param tres I ajout ou suppression de certains d tails comme DE passe par le centre donc DE est un diam tre ordre en remontant comme dans le texte 2 en descendant comme dans le texte 1 dans le d sordre comme dans le texte 7 on annonce le r sultat dans les textes 3 et 5 vari t des mots de liaison car
29. les l ves utiliser des mots de liaison peu vari s et cela ne contribue pas leur faire comprendre toute l importance dans les d monstrations du statut des propositions 3 Les notations Les notations que nous utilisons actuellement sont videmment des conventions Elles ont chang et elles changeront encore Par exemple il y a une trentaine d ann es la notation AB pouvait d signer indiff remment le segment la droite ou la distance C est pourquoi de nombreuses fautes de notations des l ves ne peuvent pas tre consid r es comme de v ritables erreurs math matiques Mais on sait aussi que la ma trise des notations est une aide pour viter certaines erreurs et pour clarifier certains concepts Il n est donc pas tonnant que les enseignants aient des attitudes tr s diverses qui vont d une rigueur sans faiblesse une grande tol rance La solution est peut tre dans une attitude plus nuanc e qui sait distinguer les fautes graves des n gligences sans cons quence par exemple crire AB CD au lieu de AB CD est sans doute une erreur anodine par contre J est le milieu de AC peut tre le signe d une confusion essentielle entre la droite et le segment De m me comprendre que les expressions OA est le rayon du cercle et OA est un rayon du cercle n ont pas le m me sens peut tre tr s important pour la compr hension d un nonc 70 Chapitre 4 La diversit des points de vues 4 Les u
30. pas le bien fond est l gitim e par des raisons de convenances ou de commodit voire d efficacit dans la communication et non a cause d une faute math matique IX LA NECESSITE DE L ANALYSE Comprendre le point de vue d un l ve sur la d monstration travers l analyse d une copie comprendre les progr s qu il a pu faire en comparant deux copies d terminer les points qu il faut travailler avec lui ne peut se faire sans une analyse assez fine des copies Rappelons qu il ne s agit pas ici de juger la mani re dont le probl me a t r solu mais la r solution tant consid r e comme acquise la mani re dont la d monstration a t r dig e Dans un premier paragraphe nous proposons une grille d analyse que nous utilisons dans la partie III a titre dexemple pour comparer deux copies d un m me l ve Le deuxi me paragraphe sera consacr une r flexion sur la correction des copies Rappelons qu il est aussi n cessaire de se donner les moyens d analyser les textes math matiques que rencontrent les l ves et qui vont jouer un r le essentiel dans l apprentissage de la d monstration C est ce que nous avons fait propos du th or me des milieux dans le chapitre pr c dent I Une grille d analyse pour les d monstrations de seconde L int r t d une grille d analyse est d viter des oublis et des confusions entre des ph nom nes de nature diff rente Elle ne doit en aucun cas tre un carcan dans lequel
31. qu l vidence la r daction ne parle pas d alignement rien ne permet de savoir si l l ve y a pens ou non s il omet volontairement d en parler et pourquoi La question se pose alors de savoir si les remarques du genre tu as oubli de prouver l alignement ou d monstration incompl te que nous noterons sur les copies apportent une aide l l ve Peut tre sera t il surpris par nos exigences surtout si l enseignant n a pas sanctionn une autre r daction dans laquelle un alignement a t oubli 2 Deuxi me exemple C est un cercle de diam tre AB de centre O et C le cercle de diam tre AO M est un point de C distinct de A et B et la droite AM recoupe C en N Montrer que N est le milieu de AM Voici une r ponse d l ve en d but de seconde Consid rons le cercle C d apr s les hypoth ses on sait que N est un point du cercle CL et que AO est son diam tre Or dans un cercle un point pris sur celui ci et joignant les deux extr mit s d un diam tre de ce cercle forme un triangle rectangle Donc AN NO Consid rons le triangle AMO AO et MO sont deux rayons de C Donc AMO est un triangle isoc le Or dans un triangle isoc le la hauteur est aussi m diatrice Donc NO coupe AM en son milieu N Cet l ve a parfaitement r solu le probl me et sa r daction malgr quelques maladresses de style est globalement satisfaisante Examinons
32. question Rep res I R E M N 1 Octobre 1990 R DUVAL et M A EGRET L organisation d ductive du discours Annales de didactique et de sciences cognitives N 2 1989 I R E M de Strasbourg M A EGRET et R DUVAL Comment une classe de quatri me a pris conscience de ce qu est une d marche de d monstration Annales de didactique et de sciences cognitives N 2 1989 I R E M de Strasbourg R DUVAL et M A EGRET Introduction la d monstration et apprentissage du raisonnement d ductif Rep res I R E M N 12 Juillet 1993 89 Imprim et dit par I R E M de RENNES D p t L gal Deuxi me Trimestre 1995 N de publication 9506 Deuxi me Tirage D cembre 1997 LR E M DE RENNES Universit de RENNES I Campus de Beaulieu 35042 RENNES CEDEX T l 02 99 28 26 34 T l 02 99 28 26 08 commande Fax 02 99 28 16 38 e mail dirtrem uniy rennesl fr vise TITRE LA DEMONSTRATION EN SECONDE LR E M RENNES AUTEURS GIRARD M F HILT D HOUDEBINE J JAMIL J RENOUARD F DATE Premi re Edition Juin 1995 Deuxi me Tirage D cembre 1997 NIVEAU Seconde PUBLIC CONCERNE Enseignants de Troisi me et de Seconde MOTS CLES D monstration Correction de copies Modules Alignement RESUME Ce document analyse trois points qui accentuent les difficult s des l ves de seconde dans la r daction des d monstrations La divers
33. qui auraient un peu de mal r soudre le probl me AB Au CD car c t s oppos s d un parall logramme BE L AB car ABEF et CDJI carr s JD L CD donc d apr s 1 JD 1 AB saks et gt BE I JD de plus ABEF et CDJI tant des carr s AB BE et comme AB DC alors BE JD car ABCD DC JD parall logramme Finalement 4 et BE JD BEDJ parall logramme O milieu de la diagonale BD est aussi milieu de EJ Il est s r que l emploi du symbole est exclure d une r daction de seconde D une part il risque de renforcer la confusion que font trop facilement les l ves de seconde entre une proposition de la forme A B et un pas de d monstration dans lequel A est l hypoth se A B r sulte de l application d un th or me et B est la conclusion On en a un exemple typique au milieu de cette d monstration 2 et 3 gt BE A JD D autre part il conduit tout naturellement des r dactions comme celle de la derni re partie de ce texte qui ne nous conviennent nullement En effet sa pr sentation sous forme d une suite d implications ne met pas clairement en vidence que O milieu de la diagonale BD est une hypoth se Pour bien le faire appara tre il aurait fallu placer apr s la conclusion partielle BEDJ est un parall logramme une proposition du type Or on sait que O est milieu de BD Pour ce qui est de l usage des num ros pour d signer des propositio
34. re notation que gt AB 1 2 peut conduire apr s un changement d unit AB 2 4 puis 1 2 2 4 formule videmment troublante d autre part la notation 1 2 peut tre lue comme un nombre d cimal ce qui conduit pr f rer 1 2 enfin l ordre des composantes doit respecter celui choisi pour le rep re Citons encore des notations viter ne serait ce que pour tenir compte du rejet violent de certains correcteurs d examens cela peut aller de notations inattendues A comme ABC pour le triangle ABC des probl mes plus profonds comme l emploi de x2 2x pour la d riv e de la fonction x gt x est la fonction x gt 2x Beaucoup d enseignants n h sitent pas faire ce dernier abus quand il y a beaucoup de notations ou de calculs Il faut dire que le plus souvent il n y a pas d ambiguit sur ce que cela signifie Notons cependant que dans un tel contexte l utilisation de cosx et exp x pour d signer la valeur de la d riv e du cosinus et de l exponentielle en x peut conduire certains l ves crire cos 2x ou exp 2x pour d signer les d riv es des fonctions X H COS 2x etx exp 2x alors que selon les usages ces notations d signent plut t les valeurs des d riv es du cosinus et de l exponentielle au point 2x 71 La diversit des points de vue Chapitre 4 Il y a malheureusement beaucoup de cas ou la communaut enseignante est plus partag e m me si les recomm
35. t moignage de dire Cette voiture tait verte ou jaune alors qu on sait pertinemment qu elle est verte Ici chacun sait que 2 gt 1 pourquoi crire 2 gt 1 qui est moins pr cis 41 Deux difficult s particuli res Chapitre 3 l autre est d ordre linguistique et logique Le sens du mot ou est plus difficile ma triser qu il n y parait Bien que l nonc x gt 1 comporte le mot ou cette expression est ressentie comme la juxtaposition de deux conditions x gt 1 et x 1 Pour certains cela conduit a dire qu il n est ni vrai ni faux puisque l une est vraie et l autre fausse Pour d autres 2 gt 1 devient 2 gt 1 et 2 1 qui est videmment fausse Dans les deux cas le ou n est m me pas entendu II UNE SEQUENCE EFFICACE Nous proposons donc une s quence effectuer d s que le probl me se pose et ce moment l seulement Elle se d roule en quatre tapes les trois premi res lors d une premi re s ance la quatri me lors d une seconde I Premi re s ance Environ 20 minutes Elle est constitu e de trois questions qui sont crites les unes apr s les autres au tableau les l ves y r pondant par crit avant de poser une nouvelle question l enseignant collecte les r ponses la pr c dente Question N 1 2 gt 1 Est ce vrai Faux Ni vrai ni faux Pourquoi Question N 2 2 e 1 oo Est ce vrai Faux Ni vrai ni faux Pourquoi Question N 3
36. th or mes utilis s dans la d monstration peuvent tre nonc s sugg r s ou absents il nous semble qu il y a une certaine libert de choix mais il faut expliciter ce choix aux l ves les mots ou les formes qui indiquent le statut de chaque proposition ne doivent pr senter aucune ambiguit on doit disposer d une vari t suffisante de mots et de formes l aspect st r otyp engendre une imitation qui risque de remplacer la r flexion les r sultats interm diaires qui ne sont pas utilis s aussit t apr s avoir t obtenus doivent tre r nonc s ventuellement sous forme abr g e au moment de leur utilisation comme donn es d un nouveau pas de d monstration 13 CHAPITRE 2 FAIRE DECOUVRIR LA STRUCTURE DES DEMONSTRATIONS Chapitre 2 Falre d couvrir la structure A la lecture des copies de professeurs et d l ves sur une m me d monstration appara t une tr s grande disparit pour les professeurs les exigences ne sont pas les m mes suivant qu ils enseignent en coll ge ou en lyc e mais les diff rences entre les enseignants de seconde peuvent aussi tre consid rables pour la m me d monstration on peut passer de trois lignes une demi page chez les l ves certains types de phrases ou de mots reviennent syst matiquement et on peut assez vite les regrouper suivant leur formation ant rieure ce qui conduit penser qu ils retiennent finalement trop l aspect superfi
37. un quadrilat re non crois Pour deux autres BE A DJ et BE DJ avec E et J situ s de part et d au Les six derniers n ont absolument pas parl de convexit et ont donc consid r la figure comme une hypoth se suppl mentaire Certains nous ont interpell s voici quelques exemples Je crois que le probl me de convexit ne s est pas pos aux l ves jusque l En fait ici implicitement on autorise l utilisation de la figure La d monstration consid re comme hypoth se le r sultat JD BE car le texte n a pas dit carr s situ s de part et d autre et encore moins sym triquement Il faudra bien t t ou tard consid rer cela comme hypoth se Imaginons que la figure n ait pas t donn e En coll ge on dirait construis le carr l ext rieur du parall logramme Ce n est pas non plus tr s rigoureux Si on dit dans le demi plan de fronti re DC qui ne contient pas O on peut l utiliser dans la d monstration Cette question concernant la convexit est donc une de celles pour lesquelles nous devons nous mettre d accord sur ce qui est exigible ou acceptable n cessaire ou suffisant d o la question laquelle nous n avons pas de r ponse jusqu o peut on lire une figure 12 Chaplire 1 Points de vue d enseignants IV L OPINION DES ELEVES Dans une s quence ult rieure nous avons demand des l ves leurs remarques sur les copies F G et
38. utilisant le triangle isoc le 19 La d monstration en Seconde IREM de RENNES ROK EANGE les th or mes 1 h en travaux dirig s Reconnaitre Objectif obliger les l ves a tout lire attentivement faire apparaitre les diff rentes formulations d un th or me et leur faire d couvrir qu un th or me peut tre utilis sans tre nonc Travail en groupes les m mes qu la premi re s ance Distribuer chaque l ve les fiches R digez en libert voir pages suivantes Pr voir 30 min pour la lecture du texte de la r daction N 5 et la production d une feuille par groupe relev e la fin de l heure et sur laquelle apparaissent les r ponses aux questions 1 a b c Le bilan sera fait la s ance suivante Ala fin de la s ance demander aux l ves de r diger une r ponse a la deuxi me question qui sera discut e en classe enti re la fois suivante D bat et bilan 1 h en classe compl te Le professeur rappelle les r sultats obtenus dans les diff rents groupes Il doit mettre en vidence que tous les th or mes sont pr sents dans chaque r daction ind pendamment de la forme utilis e Si cet objectif n est pas atteint pour certains l ves il est pr f rable de laisser le d bat en suspens pour le reprendre un peu plus tard par exemple en module Pour le d bat concernant la question 2 de la fiche l ve voici quelques points que nous avons voulu fai
39. ventuellement lui faire recommencer jusqu ce qu elle soit parfaite Le risque est de se heurter souvent la lassitude des l ves dans cette d marche C est pourquoi 1l ne faut pas h siter transformer cette t che en une activit comme celle que nous allons d crire ci dessous activit qui peut se pr senter au sujet de l exercice trait au chapitre I ou de la d monstration trous ABCD est un parall lograpme de centre O figure ci contre ABEF et CDJI sont des carr s situ s l ext rieur du parall logramme ABCD D montrer que O est le milieu du segment EJ 34 Chapitre 2 Faire d couvrir la structure Voici la copie d un l ve premi re r daction R oc kork Dane Fe SA w BER pork dun zada irom digues ok duc Dos 0 lt bw Ha Se we ue orale Bono A 69 e 3 ark Yo dim Atos mme lo B up tak an Mum mieu cb pues O et Le ara du Cas De M ml A ET Une s ance de travaux dirig s a t consacr e l tude de cette d monstration par l ensemble des l ves de la classe Chacun d eux en a eu une photocopie et il a t pr cis que le but cherch a savoir O milieu de EJ tait atteint avec rigueur mais que par contre il y avait trop d affirmations non d montr es au d part Apr s cing minutes de r flexion personnelle le d bat a pu tre engag Les remarques ont t tr s diverses de e au lieu de E diag jusqu pourquoi as tu 3
40. voulaient La t che est plus difficile qu il n y parait J ai pu alors observer dans nombre de groupes la naissance de vrais d bats comprendre les erreurs de certains Quelques l ves ont enfin pu liminer des erreurs qui jusqu alors taient syst matiques J ai alors recorrig les copies il n y avait souvent rien rectifier parfois des r ajustements a proposer Cette exp rience tr s positive ne m a pris qu un peu moins d une heure de classe Pour un devoir de g om trie la maison j ai demand mes l ves de rendre un plan d taill de leur d monstration J ai mis en vidence des tapes oubli es des passages inutiles ils ont repris la r daction ensuite Quelques uns ont bien corrig leurs erreurs certains ont choisi une m thode diff rente Bien s r plusieurs ont refait exactement les m mes erreurs ou de nouvelles mais cela m a donn une id e de travail en module Apr s un devoir de d but d ann e en seconde particuli rement rat j ai corrig les copies et apport quelques aides aux l ves contre exemples indications de pas manquants remplacements d une expression par une autre j ai ensuite demand chaque l ve de refaire son devoir chez lui Sur toutes les copies j ai alors obtenu des progr s cons quents 86 FAIRE PROGRESSER LES ELEVES Les l ves veulent progresser et r ussir si on ne les d courage pas Mais il faut choisir avec soin le sujet des devoirs
41. 1 DC et DC DJ De j et on d duit BE DJ et BE DJ Par suite le quadrilat re non crois BEDJ ayant deux c t s parall les et de m me longueur est un parall logramme Conclusion BEDJ tant un parall logramme ses deux diagonales DB et EJ ont m me milieu Or O centre du parall logramme ABCD est le milieu de DB Par suite O est aussi milieu de EJ Nous y avons appr ci l annonce imm diate de l objectif de l exercice ce qui permet de faire appara tre clairement la structure de la d monstration et ses diff rents pas m me si ces pas sont imbriqu s Ce type de r daction est en fait plus proche de la d marche r elle que l on suit au cours d une recherche et permet de suivre plus ais ment la logique du raisonnement Elle est donc particuli rement satisfaisante pour le lecteur II DES REDACTIONS CONTESTABLES Nous cherchons expliciter ici les raisons qui nous font rejeter certaines r dactions Les deux segments BE et JD sont gaux et parall les EBJD est donc un parall logramme de centre O milieu de DB et de Copie compl te JE Notre premi re r action a t de nous exclamer Non seulement rien n a t d montr mais ces deux lignes comportent de graves erreurs Examinons d abord la phrase O milieu de DB et de JE Dans ce pas de d monstration O milieu de DB est une hypoth se alors que O milieu de JE est une conclusion Rien dans le te
42. C est un travail de ce type qui est donn dans le chapitre 2 page 34 vers une d monstration parfaite o partir d une copie particuli rement int ressante un travail en classe enti re est engag La production de textes de d monstration en groupes est un autre moyen Pour r ussir il est n cessaire de bien s parer la r daction de la r solution du probl me L ensemble des l ves doit conna tre clairement les id es qui permettent la r solution au moment du travail de r daction Les textes produits sont bien meilleurs et les discussions entre les l ves au cours de la r daction sont tr s formatrices Enfin au moment de la correction la discussion est facilit e En conclusion il nous semble qu il est plus efficace de corriger moins de copies mais de faire autour de chaque correction un travail plus approfondi Il est n cessaire de changer l objectif de la correction Le but essentiel ne doit pas tre de rep rer ce qui est faux pour mettre une note mais au contraire de d couvrir ce qui est d j ma tris et de le faire savoir l l ve et de lui indiquer dans quelles directions il doit aller pour faire des progr s 78 Chapitre 4 La diversit des points de vues III QUELQUES DIFFICULTES FREQUENTES EN SECONDE I Les math matiques ne sont pas raisonnables Pour certains l ves tr s en difficult les math matiques ne sont pas une activit rationnelle Dans leur esprit il ne s agit pas de se
43. E sans toutefois pr ciser qu il s agissait de copies d enseignants Voici ce que nous avons obtenu Copie F Rien n est d montr Copie G Cette copie ne leur a pas plu cause de l exc s de symboles et de num ros CopieE Les l ves l ont globalement appr ci e seule a t reproch e la rapidit du on d duit apr s l utilisation du De et Be Nous constatons qu en g n ral les l ves semblent appr cier les d monstrations longues ceci tant sans doute l h ritage du coll ge Il nous semble donc important de les habituer a diff rents styles de r dactions plus ou moins longues plus ou moins explicites avec des th or mes compl tement nonc s ou non avec des pas de d monstrations s par s ou non Ils sont aussi tr s sensibles la mise en page des d monstrations Une bonne pr sentation faisant clairement apparaitre la structure peut donc tre une aide suppl mentaire pour les l ves EN GUISE DE CONCLUSION Dans tous les cas il est imp ratif quand un enseignant propose une d monstration pouvant servir de mod le pour des l ves de seconde qu il s impose les exigences sulvantes les donn es du probl me qui sont n cessaires dans la d monstration doivent tre express ment indiqu es ou du moins sugg r es les pas de d monstration doivent tre tous rep rables et on doit veiller a ce que chacun ait une conclusion annonc e par une expression adapt e les
44. I milieu de BC ne sert pas on peut la supprimer et la d monstration encore valable prouve que tout point de BC est milieu de AE ce qui est absurde Donc cette donn e doit servir II est certain qu aucun l ve n a fait explicitement ce raisonnement avant de r pondre oui ou non la question Etes vous d accord Certains de ceux qui ont r pondu oui l ont fait implicitement Et ces l ves vont sans doute chercher l erreur dans la d monstration Plusieurs r pondent non Mais certains non signifient c est impossible que I soit align avec A et E si I n est pas milieu de BC Autrement dit ils ne se prononcent pas sur la validit d une d monstration n utilisant pas certaine donn e lorsqu on supprime cette donn e du texte Ils ne se prononcent que sur la coh rence entre la conclusion de la d monstration et la r alit de la figure ainsi obtenue Ce non signifie si on supprime cette donn e I n est pas milieu de AE ces l ves vont aussi chercher intercaler dans la d monstration la donn e oubli e 59 Deux difficult s particuli res Chapitre 3 D autres non signifient la d monstration n est plus valable si on enl ve une donn e on n a pas le droit de changer le texte Pour eux c est le prof qui fait une erreur en modifiant le texte Pour ces l ves il n y a pas de contradiction apparente et cette activit ne les a sans doute pas persuad s de l existence d une faute d
45. TION N 1 Le triangle ABM est inscrit dans un demi cercle de diam tre AM donc il est rectangle en B AB est donc la hauteur issue de A dans le triangle AMM De plus le triangle AMM est isoc le de sommet A les diam tres AM et AM ayant m me longueur Le triangle tant isoc le en A la hauteur issue de A ici AB est aussi la m diatrice de MM La m diatrice d un segment coupe celui ci en son milieu d ou B est le milieu de MM DEMONSTRATION N 2 Les triangles ABM et ABM tant inscrits dans des demi cercles de diam tres AM et AM sont rectangles en B Avec le th or me de Pythagore dans chacun de ces triangles AM BM AB BM AM AB AM 2 2r donc mais r rayon des cercles AM BM AB BM AM AB AM Gris d o BM 4r AB et BM 4r AB On en d duit donc que DM BM et que BM BM Cette derni re galit nous montre alors que B est le milieu de MM 51 La d monstration en Seconde WE IREM de RENNES Exercice 1 Objectifs D roulement Exercice 2 Objectif D roulement Apprendre se m fier d une figure Trouver une m thode pour prouver l alignement ou non de trois points Libert de recherche 10 min Aides pour d marrer selon les demandes des l ves Trouver la mesure des angles des triangles AOB BOC GOA ZN Trouver la mesure de HEC Trouver un outil pour prouver l aligne
46. Universite de Rennes 1 Institut de Recherche sur l Enseignement des Math matiques Campus de Beaulieu Avenue Etienne Marey 35042 RENNES CEDEX DECEMBRE 1997 2eme Tirage LS B N 2 85728 018 1 Cette recherche et la r daction de ce document ont t r alis es par GIRARD Marie Francoise Lyc e Jacques Cartier ST MALO HILT Dominique Lyc e Henri Avril LAMBALLE HOUDEBINE Jean IREM Universit de RENNES I JAMIL Jo lle Lyc e Emile Zola RENNES RENOUARD Francoise Lyc e Jacques Cartier ST MALO A galement particip la recherche BOUGEARD Roland Lyc e Henri Avril LAMBALLE La saisie et la mise en page ont t assur es par Dani le QUENTIN la reprographie par Francoise LE BESCOND la reliure par Francoise LE BESCOND et Gabrielle LOTHORE et la couverture par Pierre Yves GIRARD SOMMAIRE GENERAL age TE i CHAPITRE 1 POINTS DE VUE D ENSEIGNANTS SUR LA DEMONSTRATION EN SECONDE aaa aaa aaa aa waza uaazananaaaaanazanaraziaziaiia 3 DES REDACTIONS QUI NOUS PARAISSENT SATISFAISANTES 6 Il DES REDACTIONS CONTESTABLES a nssoeneoreossornnnnerrerenerererrrrerrerenns SRA 8 II LA FIGURE FAIT ELLE PARTIE DE L ENONCE DU PROBLEME 12 IV L OPINION DES ELEVES a usneessennensresersnrerensssserorsrenrsesstareeerrerenrensnaronnesaseneneeeosn 13 EN GUISE DE CONCLUSION sunne a 13 CHAPITRE 2 FAIRE DECOUVRIR LA STRUCTURE DES DEMONSTRATIONS
47. a t que l oubli de l alignement dans une r daction recouvre en fait plusieurs situations distinctes le contrat est mal compris l l ve consid re que l alignement est admis implicitement et qu il suffit de d montrer une galit de longueurs ou encore que l observation de la figure remplace une d monstration l l ve a du mal analyser la formulation d un th or me compliqu et y rep rer les hypoth ses l l ve se laisse pi ger par la figure et oublie de v rifier une hypoth se Ces quelques r sultats ne pr tendent pas faire le tour de la question mais esp rent fournir des pistes permettant de mieux comprendre les comportements des l ves dans bon nombre de situations 66 CHAPITRE 4 LA DIVERSITE DES POINTS DE VUE Chapitre 4 La diversif des points de vues La d monstration est sans doute le domaine des math matiques o la diversit des points de vue constitue le plus grand obstacle a l apprentissage Nous avons d ja vu dans le chapitre 1 que m me ceux des enseignants taient tr s vari s Cette diversit r sulte en particulier des contraintes auxquelles les enseignants se sentent soumis et qu ils imposent en retour leurs l ves Nous en parlerons dans le premier paragraphe Comment les l ves vont ils pouvoir se construire dans ces conditions une id e solide et coh rente de ce qu est la d monstration Toutes nos observations montrent bien que ce n est pas parce q
48. action de solution 57 La d monstration en Seconde o IREM de RENNES LA DEMONSTRATION LITIGIEUSE Dans cet encadr voici l nonc de l exercice tudi la derni re fois et la d monstration propos e par l un de vous Enonc ABCD est un carr est le milieu de BC et E est le sym trique de D par rapport C Montrer que I est le milieu de AE D monstration ABCD est un carr alors AD est parall le a BC On sait que E est le sym trique de D par rapport a C donc C est le milieu de DE Dans le triangle ADE la droite Cl est parall le un c t AD et elle passe par le milieu d un autre c t DE donc elle coupe le troisi me c t AE en son milieu Donc est le milieu de AE Voici le travail que tu dois faire 1 Tu soulignes d une couleur diff rente chaque donn e de l nonc 2 En gardant la couleur choisie pour chaque donn e tu soulignes dans la d monstration l endroit o cette donn e est utilis e 3 Que constates tu 58 Chapitre 3 Deux difficulf s particuli res COMMENTAIRES Le but tait de cr er une situation de conflit cognitif pour obliger les l ves a r agir de ce point de vue l objectif est atteint Plusieurs sont vraiment d concert s La formulation volontairement ouverte de la derni re question permet d observer la d marche des l ves o vont ils rechercher l erreur Les attitudes sont extr mement vari es
49. aire d couvrir la structure Chapitre 2 2 Le th oreme du triangle rectangle inscrit dans un demi cercle Dans un premier temps les l ves nomment beaucoup de r dactions qui a leur avis ne contiennent pas ce th or me mais rapidement il y a de nombreux changements I semble que les premiers indices de rep rage soient les mots du th or me m m m cercle diam tre inscrit triangle Il y a un pas franchir entre triangle rectangle et droites perpendiculaires 3 La comparaison des r dactions I et 2 Pour beaucoup la r daction 2 ne comporte pas de conclusion il faudra institutionnaliser le fait que l ordre dans la r daction d une d monstration n est pas toujours hypoth se th or me conclusion En d but de classe de seconde les l ves ont une pr f rence pour les r dactions longues o tous les th or mes sont nonc s explicitement Us sont marqu s par des formulations utilis es dans leur scolarit ant rieure V SUIVI DE CETTE EXPERIENCE Pour tudier l impact qu a eu cette activit sur les l ves deux tests ont t propos s Dans deux classes d s le mois d octobre une semaine apr s la correction orale d un exercice celui ci a t repos en interrogation crite avec la consigne A r diger avec soin et en libert Ce test a permis de juger la r daction et non la d monstration puisque par exemple sur une classe de 33 l ves 22 ont r ussi la d monst
50. ait fait un choix entre le th or me et l une de ses r ciproques Il exprime simplement que ce th or me est l une des id es essentielles de la r solution Dans cette perspective il a bien du mal comprendre que l enseignant consid re que de confondre un th or me et sa r ciproque est une faute tr s grave de m me cela explique certains nonc s incompr hensibles par exemple toute droite parall le l une est perpendiculaire l autre ne veut il pas dire il faut utiliser des propri t s bien connues des perpendiculaires et des parall les Ce n est sans doute pas en obligeant les l ves noncer explicitement le th or me utilis sous sa forme la plus g n rale que l on va les aider surmonter cette difficult Il semble plus opportun de les orienter vers un nonc instanci du th or me c est dire explicitement adapt la situation du probl me Par exemple plut t que de proposer On vient de montrer que AB L CD et on sait d autre part d apr s l nonc que CD II EF Or on a le th or me si deux droites sont parall les toute perpendiculaire l une est perpendiculaire l autre Donc EF L AB 19 La diversit des points de vue Chapitre 4 Il vaut sans doute mieux remplacer la phrase du milieu par Or si AB L CD et CD EF on sait que AB L EF On constate d ailleurs que les l ves qui s expriment de cette mani re sont souvent moins en difficult
51. andations des programmes essaient de lever les ambiguit s Citons en particulier quelques probl mes pos s par l nonc d une in galit les instructions officielles indiquent que x lt y doit se lire x est strictement inf rieur y et que x lt y doit se lire x est inf rieur y Il n emp che que beaucoup d enseignants et beaucoup d l ves liront la seconde in galit x est inf rieur ou gal y et que moins de 10 francs voudra dire pour la plupart lt 10 m me si le strictement n est pas explicitement exprim De m me l expression demi plan ou demi droite est parfois comprise comme demi plan ferm ou demi droite ferm e parfois demi plan ouvert ou demi droite ouverte L emploi des mots gal et isom trique est aussi l objet de bien des discussions Citons encore un dernier exemple si tout le groupe est tomb d accord pour es dire que le passage de AF 4 AB FB 4 AB est une vidence qui ne demande pas de justification il ne nous a pas paru vident de r pondre la question faut il demander une justification dans le cas o on d duit FB z AB de la formule 3FB AF 7 Il est donc clair que chacun doit r fl chir ses exigences pour voir si elles ont un v ritable fondement math matique ou si elles r sultent simplement de contraintes sociales Un l ve ne peut tre que rassur si on lui explique clairement qu une correction dont il ne comprend
52. ans le chapitre 4 nous esp rons qu elle aidera les enseignants comprendre les difficult s et les progr s de leurs l ves L OBSERVATION DES ELEVES Une analyse m me minutieuse des copies ne permet pas toujours de comprendre les m canismes qui conduisent les l ves l erreur C est pourquoi nous nous sommes efforc s de faire des observations directes du travail de groupes d l ves Concr tement nous pr parions une activit correspondant nos objectifs nous discutions longuement de tous les d tails la concernant et en particulier de la consigne nous essayions de pr voir ce que les l ves feraient effectivement les obstacles qu ils rencontreraient Quand cette activit tait propos e aux l ves pendant que l enseignant de la classe jouait son r le habituel quelques uns d entre nous observaient un groupe d l ves Nous nous efforcions de ne pas intervenir sauf peut tre pour comprendre la d marche de l un d entre eux Dans ces conditions il nous tait possible de valider ou de rejeter les hypoth ses que nous avions mises lors de la mise au point de la fiche Il nous arrivait aussi de d couvrir des obstacles que nous n aurions pas pu soup onner autrement ou de comprendre l origine de certaines fautes observ es sur les copies CHAPITRE SUR LA DEMONSTRATION EN SECONDE Chapitre 1 Points de vue d enseignants Quand les l ves arrivent en seconde ils sont capables d crire pour un pro
53. araissent relever de la d monstration mais qui sont aussi sp cifiques de contextes particuliers En essayant de concevoir des s quences pour les surmonter nous avons peu peu d couvert qu elles taient plus profondes que nous ne le pensions Ce chapitre est le reflet de notre travail ce sujet 38 Chapitre 3 KM 3 3 i j Deux difficult s particuli res 2 EST IL SUPERIEUR OU EGAL A 1 I LA DECOUVERTE DU PROBLEME Quel professeur de math matiques n a jamais entendu dans sa classe Qui mais on ne peut pas dire que x 1 gt x puisque x I n est jamais gal x Et chaque professeur bien entendu de donner une r ponse avec de bons arguments logiques qui doivent convaincre tous les l ves Et pourtant bien souvent quelques jours semaines plus tard la m me exclamation retentit de nouveau nouvelles explications avec des variantes Si la situation se renouvelle encore plusieurs fois on se laisse aller la col re au d couragement en se disant que certains l ves ne comprendront jamais Il faut se rendre l vidence nos discours ne servent rien Notre r flexion aboutit l id e qu une fa on de faire voluer les l ves est de cr er dans la classe une contradiction qui les oblige r viser leurs conceptions sans que l enseignant leur impose son point de vue Nous d cidons alors de tester dans une classe de premi re A1 o le probl me a d j t voqu plusieurs foi
54. atin en passant par Il faudrait peut tre crire en fran ais Il y a derri re cela deux conceptions qui s affrontent les uns demandent implicitement une r daction qui donne suffisamment d indices pour savoir si l l ve a bien r solu le probl me les autres exigent au contraire un texte rigoureusement d ductif Nous avons d couvert ces importantes disparit s en demandant des coll gues de lyc es de r diger une d monstration de l exercice suivant adapt e un l ve entrant en seconde une vingtaine d entre eux ont r pondu Hypoth ses ABCD est un parall logramme de centre O ABEF et CDJI sont des carr s D montrer que O est le milieu du segment EJ Sans utiliser de sym trie I I Pr cision donn e uniquement pour r unir des d monstrations comparables 5 Points de vue d enseignants Chapitre 1 I DES REDACTIONS QUI NOUS PARAISSENT SATISFAISANTES Parmi les r dactions que nous ont propos es nos coll gues plusieurs nous ont paru correspondre l id e de modele pour les l ves Nous en citons cinq en faisant appara tre la diversit des styles et les avantages de cette diversit du point de vue de l apprentissage de la d monstration BE est perpendiculaire AB et DJ est perpendiculaire DC Comme ABCD est un parall logramme AB et CD sont F parall les donc BE et DJ sont paralleles ABCD est un parall logramme donc AB DC
55. aucune erreur dans la d monstration 2 Nous analyserons plus longuement cette difficult dans le paragraphe IV En y regardant mieux l absence de progr s entre l exercice 3 de la fiche N 1 et le test n est pas tonnante car les erreurs introduites dans ces diff rents exercices ne sont pas du m me type et n ont donc pas les m mes causes Un apprentissage sp cifique a chacune est peut tre n cessaire Malgr ses nombreuses imperfections cette fiche a rempli en partie ses objectifs les exercices 1 et 2 permettent de revoir diff rentes m thodes de d monstrations d alignement l exercice 3 s il n est pas efficace pour apprendre aux l ves d celer une erreur permet par contre au professeur de rep rer les l ves en difficult sur ce sujet et de les regrouper pour un travail sp cifique C est aussi le role du test final Reste laborer cet apprentissage c est ce que nous tentons de faire dans ce qui suit 54 Chapitre 3 a Deux difficult s particuli res MUI DEUXIEME ESSAI plusieurs reprises nous avons propos aux l ves des exercices faisant intervenir milieux et alignement nous avons d cortiqu devant eux les fautes de raisonnement et il sen trouve Bun pour refaire la faute au contr le suivant Le probleme est bien l comment convaincre un l ve que sa d monstration contient une erreur comment l amener r aliser quelle est l erreur Puisque d cortiquer l erreur n
56. bl me dont ils ont compris la solution un texte qui ressemble une d monstration Mais il reste un travail important faire aupr s de beaucoup d entre eux pour surmonter leurs difficult s crire un texte satisfaisant Pour que ce travail soit possible il faut que les l ves aient les moyens de savoir ce qu est un texte satisfaisant et leurs r f rences en ce domaine sont les d monstrations des enseignants Malheureusement les enseignants ne sont pas d accord sur ce que l on attend des l ves En effet quand on demande des enseignants de math matiques de r diger une d monstration qui puisse servir de mod le leurs l ves on est tr s surpris par la diversit du r sultat Les uns produisent un texte de francais sans aucun symbole les autres un sch ma de texte ou les propositions sont reli es par des fl ches ou des accolades Les uns d crivent les tapes dans tous leurs d tails et les autres r digent un texte tr s court ne contenant que quelques l ments essentiels leurs yeux Les uns respectent scrupuleusement un certain ordre des propositions alors que les autres pr f rent commencer par la conclusion Les uns font des textes sans aucun commentaire et les autres n h sitent pas y ajouter des commentaires heuristiques On est encore plus surpris par la vigueur des jugements port s par les uns sur la d monstration des autres Ce n est pas une d monstration ou bien A quoi sert tout ce bar
57. ce qu il crit Le t moignage ci dessous montre que cela modifie profond ment notre fa on de faire Pour pr senter une notion nouvelle la notion de fonction par exemple apr s le travail pr paratoire j ai demand aux l ves de formuler eux m mes leur d finition J ai lu toutes les d finitions propos es j ai pu discuter avec chacun demander des pr cisions faire reformuler r expliquer Enfin seulement on a mis au point une d finition commune tous Il y a eu aussi une fiche compl ter par donc ou par car Un travail de groupes a donn lieu a beaucoup de discussions Pour chaque phrase au moins un groupe tait en d saccord avec les autres mais ces derniers ont toujours trouv les arguments pour convaincre je n ai pas eu intervenir 85 CORRIGER LES COPIES AUTREMENT C est sans doute sur la correction des devoirs que nous avons le plus volu Nous avons t oblig s d admettre le peu d efficacit des corrections habituelles Il faut bien inventer autre chose Voici quelques unes de nos tentatives Dans une classe de premi re B apr s un devoir sur les trin mes avec des r sultats tr s disparates il m a sembl inefficace de fournir ma correction J ai donc d cid de faire corriger ces copies par les l ves eux m mes je les ai group s par deux un bon et un moins bon et ai confi deux copies pour qu ils les corrigent et les notent en utilisant tous les documents qu ils
58. cependant le texte de plus pr s deux reprises l l ve utilise l alignement des points A M et N sans qu on puisse savoir s il a pens je sais que M et N sont align s parce que c est indiqu dans l nonc plut t que je le vois sur la Jigure D abord quand il crit dans le triangle isoc le la hauteur est aussi m diatrice Donc NO II consid re bien que NO est la hauteur du triangle AMO Or la conclusion pr c dente tant ON L AN et non ON L AM il s est donc servi de l alignement sans qu aucun indice ne l indique dans le texte Iln y a pas davantage d indice dans la conclusion NO coupe AM en son milieu N qui utilise galement cet alignement 45 Deux difficult s particuli res Chapitre 3 Bien s r ceci n a rien de choquant et il ne semble pas raisonnable de faire l l ve une remarque ce sujet encore moins de le sanctionner Cependant s il y a bien pour lui une utilisation abusive de la figure comprendra t il pourquoi ce texte est accept sans probl me alors qu on lui refuse les r dactions pr c dentes Un autre oubli courant chez les l ves va tre mis en vidence sur un nouvel exemple 3 Troisi me exemple Dans un triangle ABC on construit les points E gt et F tels que AE 7AB 1 3 gt el AF 3 AC Soit le milieu de EF et J le milieu de BC Montrer que A I J sont align s Ce qui peut donner
59. ciel d une r daction en privil giant la forme par rapport au fond La question se pose en seconde de savoir si les l ves per oivent les diff rentes fa ons de s exprimer comme quivalentes et si certaines d entre elles ne sont pas des obstacles la compr hension de la d monstration L emploi de formes tr s st r otyp es est en effet souvent un indice du manque de ma trise La structure d un texte d monstratif cherche mettre en vidence le statut des propositions qu il contient Les unes sont des hypoth ses les autres des cons quences d autres encore sont des th or mes ou bien des r sultats interm diaires Beaucoup d l ves et aussi certains enseignants pensent implicitement que la meilleure mani re de faire appara tre ce statut est l ordre dans lequel on va placer les propositions Ceci est doublement dommageable D une part on risque d oublier que ce sont les mots de liaison qui sont en fait les indicateurs essentiels de ces statuts D autre part on va se restreindre de mani re tr s artificielle sur la libert d criture on va d valoriser des d marches tout fait satisfaisantes et tr s naturelles chez les l ves comme les remarques heuristiques ou l utilisation du parce que C est pourquoi nous avons pens qu une activit R digez en libert pr sent e en d but d ann e nos l ves leur permettrait de se lib rer de leur peur devant la r daction d une d monstration notamment en g om
60. clusion Il est clair qu il y a une grande vari t dans la formulation qui donne une grande libert d expression Il est n cessaire de rep rer d abord les vraies fautes c est dire les expressions qui donnent des indications fausses sur le statut des propositions comme l emploi d un donc pour annoncer une donn e Il faut bien les distinguer des simples maladresses Par exemple on trouve souvent st le triangle ABC est isoc le alors sa hauteur est confondue avec sa m diane au lieu de comme le triangle ABC est isoc le sa hauteur est confondue avec sa m diane Nous estimons qu il n y a ici qu une simple maladresse qui consiste noncer le th or me utile au lieu de marquer nettement que le triangle ABC est isoc le est une donn e du probl me La structure du texte peut tre mise en vidence par sa pr sentation dans la page par des accolades ou par des symboles comme par exemple dans la copie G du chapitre 1 C est toujours la question est ce que le statut de chacune des propositions est bien clair qui doit tre le guide pour l analyse de ces pr sentations Cette analyse doit tre compl t e par une tude plus globale le texte est il pauvre en expressions qui indiquent sa structure comporte t il des st r otypes r p titions tr s fr quentes de la m me formulation pour des pas semblables les expressions sont elles vari es 74 Chapitre 4 La diversit des peints de vues
61. comporter en tre intelligent essayant de r soudre des probl mes ayant un sens mais de faire ce que le prof souhaite a propos d activit s d pourvues de signification Les propos rapport s page 40 propos de 2 gt 1 montrent bien un exemple de cette attitude qui ne peut conduire qu l chec Il est bien s r tr s difficile de concevoir les actions entreprendre Nous l avons tent dans le chapitre 3 L id e qui nous a paru la meilleure est de cr er des occasions pour d battre de points qui sont douteux pour les l ves C est l exp rience qui permet de choisir un terrain o la discussion puisse ais ment aboutir La question abord e l occasion de la fiche page 21 de savoir si un th or me a t utilis dans une d monstration m me s il n a pas t nonc explicitement s est av r e un bon sujet alors qu un d bat sur qu est ce qu un th or me l occasion de cette fiche s est termin dans la confusion 2 R solution de probl me et r daction de d monstration Un obstacle un peu moins vident est la confusion que beaucoup font entre la r solution du probl me et la r daction d une d monstration Beaucoup d l ves pensent que le texte qu on leur demande de r diger doit simplement bien mettre en vidence les grandes tapes de la r solution du probl me Cela conduit de nombreux malentendus Par exemple quand un l ve crit d apr s le th or me des milieux il n est pas str qu il
62. e l une l est l autre 20 Chaplire 2 Faire d couvrir la structure des nonc s incomplets Dans un triangle isocele la hauteur et la m diatrice sont confondues Tout triangle inscrit dans un demi cercle est rectangle des nonc s surcharg s Dans un triangle isoc le la hauteur partant du sommet principal est aussi la m diatrice la m diane et la bissectrice de ce sommet Dans ce pas de d monstration il suffisait de dire que la hauteur tait m diatrice de la base D autre part il faut noter que le statut des mots yt m diatrice m diane bissectrice n est pas assimil des fautes fondamentales de r solution La droite issue du sommet d un triangle isoc le est en m me temps la m diatrice la bissectrice la hauteur et la m diane donc A est la m diatrice une confusion entre th or me direct et r ciproque Si deux droites sont perpendiculaires une m me troisi me elles sont parall les au lieu de Si deux droites sont parall les toute perpendiculaire une est perpendiculaire l autre des fautes de fran ais Tout triangle inscrit dans un demi cercle dont un c t est un diam tre est rectangle Lorsqu un triangle est inscrit dans un demi cercle et dont un des c t s est le diam tre du cercle alors ce triangle est rectangle Dans l ensemble on peut penser que les structures du texte d monstratif sont presque acquises puisque la p
63. e d monstration Les observations montrent aussi que les l ves sont dress s utiliser toutes les donn es si on nous la donne c est que a sert Pour eux la d monstration est fausse simplement parce qu elle n utilise pas toutes les donn es On peut penser que la majorit des l ves a t convaincue de l existence d une erreur mais cette fiche ne semble pas encore le bon moyen de leur apprendre d celer une erreur En fait la t che tait ici assez difficile pour plusieurs raisons l erreur se situe tout la fin et elle d coule de l emploi d un th or me d licat difficult que nous reprendrons dans le paragraphe suivant tout ce qui est crit est juste il faut seulement rajouter une tape l alignement de A I et E cet alignement n est pas facile prouver IV ANALYSE DES ERREURS ET DES DIFFICULTES DES ELEVES Sans avoir atteint le but de notre recherche pourquoi l alignement est il si souvent oubli on voit plusieurs causes non sp cifiques d ailleurs aux probl mes d alignement qui concourent cr er la difficult le r le de la figure pour certains l ves elle sert d argument ils constatent un r sultat donc ce r sultat est vrai d autres utilisent la conclusion comme donn e avec ce raisonnement puisque le prof demande de d montrer tel r sultat ce r sultat est certainement vrai donc on peut l utiliser Dans ces deux cas bien sir c
64. e a EC on a donc A perpendiculaire a CD Dans le triangle ACD AC et AD sont gales rayon du cercle on a donc ACD est isocele de sommet A A est la hauteur issue de A et ACD est isoc le on a donc A est la m diatrice de CD Comme le triangle ECD est inscrit dans le cercle de diam tre ED il est rectangle en C Donc la droite EC est perpendiculaire a la droite CD A tant parall le a CE est perpendiculaire CD d apr s le th or me si deux droites sont parall les toute droite perpendiculaire l une est perpendiculaire l autre Or et D sont deux points du cercle de centre A ce qui prouve que AC AD et i que le triangle ADC est isocele de sommetA Par suite A tant la hauteur relative la base CD du triangle isoc le ACD est en m me temps la m diatrice de CD 24 Chapitre 2 Faire d couvrir la structure IX L EXPLICATION DE NOS CHOIX I Choix de la s quence Nous avons opt pour le travail de groupes au d part pour tre s rs que le probl me soit r solu par tous et pour permettre chacun de participer une r daction de d monstration La discussion et la critique sont plus faciles sur des d monstrations produites par les l ves que sur celle de leur professeur Cette discussion permettra l enscignant de d couvrir rapidement les repr sentations implicites des leves La difficult la troisi me s ance est de faire travailler les
65. e par au lieu de J est sur AB on crit aussi J est sur AB Dans les nonc s en forme de si alors le alors peut disparaitre Les noms des points peuvent changer et aussi la disposition de la figure quand il y en a 64 Chapitre 3 Deux difficulf s particuli res 3 Les difficult s des leves La premi re difficult des l ves devant un th or me compliqu est de bien comprendre sa structure et donc son r le quelles en sont les donn es quelle est la conclusion autrement dit que permet il de prouver Il semble qu en entrant en seconde la plupart des l ves ont bien compris qu un th or me est un outil permettant d aboutir une conclusion et l emploient bon escient dans le cas de th or mes simples voir r digez en libert Mais s ils maitrisent mal son contenu ils risquent fort de mal l employer Ainsi le th or me des milieux et ses r ciproques permettent de prouver soit un parall lisme soit une galit de longueurs soit un nulieu mais pas un alignement qui figure toujours dans les hypoth ses L existence de plusieurs r ciproques raisonnables cr e une certaine confusion Le nombre important d hypoth ses est galement une difficult car il est plus difficile de penser v rifier toutes les hypoth ses avant d appliquer le th or me dans une d monstration La vari t des nonc s leur complexit linguistique sont aussi une grande difficult Par exemple l expression coupe le
66. e suffit pas nous avons pens que l l ve admettra que sa solution est fausse si cette solution le conduit une contradiction flagrante Voici donc la s quence que nous avons mise au point et test e 1 Premi re heure En module ou en travaux dirig s ELABORATION D UN TEXTE D EXERCICE PAR LES ELEVES partir d une solution d exercice on demande aux l ves de retrouver l nonc nonc qui va servir ensuite pour toute la s quence On distribue aux l ves la fiche Ecrire l nonc D roulement de la s ance 10 minutes travail individuel les l ves sont bien dispers s dans la classe 10 minutes par groupes de 3 ou 4 les l ves comparent leur texte et se mettent d accord sur un texte commun qu ils recopient sur un transparent ou une affiche 15 minutes chaque groupe tour de r le d l gue un l ve pour pr senter son texte Toutes les productions sont ainsi critiqu es pour aboutir un texte convenant tous 20 minutes les l ves sont de nouveau dispers s et on leur demande de r soudre maintenant l exercice par une m thode non vectorielle et de r diger leur solution sur une feuille rendre au cours suivant COMMENTAIRES SUR CETTE PREMIERE SEANCE La plupart des productions de groupes sont satisfaisantes On y rel ve surtout des maladresses de style ou des erreurs de notations droite pour segment Cependant pour un ou deux groupes on trouve des erreurs de f
67. ellement sur la feuille dur e du test 20 min maximum 53 Deux difficult s particuli res Chapitre 3 Bilan de ce premier essai Pour l exercice 1 de la fiche N 1 les l ves pensent assez rapidement utiliser les angles et le calcul pr sente peu de difficult s Devant le r sultat un angle de 177 beaucoup sont surpris Certains recommencent leurs calculs jusqu au moment o l un d eux pense relire attentivement le texte pour constater que la question est les points sont ils align s Plus de probl me alors sauf pour quelques uns qui concluent 177 180 donc les points sont align s Cette r ponse met en vidence une mauvaise compr hension de la notion VRAI FAUX en math matiques pour ces l ves l angle obtenu est vraiment trop proche de 180 pour conclure au non alignement Dans l exercice 2 de la fiche N 1 nous avons revu plusieurs m thodes et nous avons profit de cette occasion pour d composer devant les l ves des erreurs typiques par exemple l emploi du th or me de Thal s alors qu on ne sait pas que les points sont align s erreur que l on retrouve justement dans l exercice 3 de la fiche N 1 On pouvait d s lors s attendre de bons r sultats pour cet exercice 3 ce qui n a pas vraiment t le cas Les r sultats sont tr s variables d une classe l autre de 5 65 suivant le temps d j consacr au calcul vectoriel et au th or me de Thal s Presque tous les
68. es Chapitre 3 La discussion qui en d coule permettra de pr ciser le contrat l galit de longueurs caract rise la m diatrice et non le milieu tout ce qui n est pas dit dans les donn es doit tre d montr parfois lorsque l alignement fait partie des donn es on n en parle pas dans la d monstration mais c est une n gligence Mais il est certain que ce mod le est fortement enracin et que la faute reviendra encore Seul un travail de longue haleine permettra de la supprimer 2 Emploi d un th or me d licat Certains th or mes sont l occasion de plus de fautes que d autres C est le cas par exemple du th or me des milieux Pour comprendre les raisons de ce ph nom ne nous avons fait une enqu te aupr s des enseignants sur les nonc s qu ils utilisent en classe tudi des copies et des d marches d l ves et analys le contenu math matique du th or me Voici un nonc de ce th or me Th oreme Dans un triangle ABC si est le milieu de AB et J le milieu de AC la droite IJ est parall le BC et IJ A Ce sont 6 propositions qui sont articul es dans ce th or me I sur le segment AB J sur le segment AC Al IB AJ JC IJ BC BC 3 Avec 6 propositions il est naturel de rencontrer plusieurs r ciproques Il y en a en fait trois dont deux s expriment plus naturellement en termes de vecteurs cause de probl me d orientation Voici un nonc simp
69. est parall le a BC ou A B Donc avec le th or me de Thal s direct comme nous mb avons AE AB hous avons aussi Al z AR Ceci prouve que Al et AA sont colin aires donc que A et A sont align s DEMONSTRATION N 2 EN b D apr s les hypoth ses nous avons AE gt BetAF TAC donc nous pouvons crire que es Es EA AF relation de Chasles sotet BA A Donc EF BC toujours avec la relation de Chasles EF et BC tant colin aires on a alors EF BC c Comme est le milieu de EF ona El 0 5 EF et comme A est le milieu de BC on a BA 0 5 BC On a donc Al AE El 3 AB 0 5 ER 1 1 a B 0 5 3 BC Linne at 1 gt 1 3 AB 05 BC 3 AB BA 7 A Ce qui tablit que AI AAT ces vecteurs tant colin aires nous avons donc d montr que les points A et A sont align s 50 IREM de RENNES gt La d monstration en Seconde FICHE N 2 TROUVER LA FAILLE DANS LE RAISONNEMENT E o Vee une exaicice af doux d monstrations fausses de cet exercice Tu dois localiser l endroit pr cis o est commise la faute dire pourquoi il y a faute sans chercher donner une r daction correcte de l exercice Donn es Les deux cercles eier ont m me rayon se coupent en et B AM et AM sont des diam tres de et de Question Montrer que B est le milieu de MM DEMONSTRA
70. et de centre M est un point du cercle C distinct de A et B Le segment AM recoupe le cercle Cz en N i D montrer que N est le milieu de AM A regiger ever Son et EH EE E Den orkan ape Ne Le midte u CA M7 _ Menkes Volrad Que le ge ANS r a Tuang Le teckancjh Aura AMA fr PI W Note a SIO Z AMPS gr un rr da renske en N Foetz Aa nes or a dual ee fee f mica du AU coke Arale au woud jokers alle ne r Abies 1 dol a No PR Ard by Ds llo afr RT Si NE e Q Calea Nef Quer du AM T1 La diversit des points de vue Chapitre 4 Aucune remarque n indique l l ve les points que l enseignant consid re comme positifs Pourtant les mots de liaison utilis s font appara tre assez clairement l organisation des pas et le fait d annoncer ce qu on va d montrer est un point positif Cette br ve analyse montre bien que certains l ves devant cette correction vont tre incapables d interpr ter les remarques pour faire des progr s b Que faire La principale raison de la difficult qu ont les l ves comprendre et utiliser la correction de leur copie vient de ce qu ils n ont pas les moyens d effectuer un v ritable travail sur cette correction Il faut donc chercher des moyens d action avec le double objectif que l l ve comprenne mieux le sens des corrections et qu il ait une v ritable activit Une id e d j appliqu e par beaucoup d enseignants est d adapter la correc
71. eut annoncer en d but d un paragraphe le r sultat que l on veut d montrer ou en d but de d monstration le plan que l on compte suivre On peut indiquer comment on a trouv la solution du probl me On peut ajouter des commentaires sur l importance d un r sultat sur son aspect surprenant qui peut d ailleurs conduire parfois mettre un doute sur sa validit Si ces l ments sont pertinents ils constituent un indice tr s favorable de la ma trise de l l ve 2 La correction des copies La plupart des enseignants passent beaucoup de temps corriger les d monstrations de leurs l ves Ils essaient de leur indiquer les fautes mais aussi ce qu ils auraient d crire L efficacit de ce travail tr s astreignant est loin de satisfaire les enseignants Nous allons essayer de comprendre les raisons de cette relative inefficacit puis de proposer des moyens de modifier cet tat de choses Pour qu un l ve puisse se servir de la correction il faut d abord qu il comprenne clairement la signification de toutes les remarques qu elle contient Plut t que de faire une analyse th orique de cette difficult nous allons prendre la correction tr s soign e d une copie que vous trouverez page suivante et en faire une petite analyse en utilisant les id es de la grille La principale difficult pour l l ve est de rep rer que les remarques de l enseignant peuvent se situer des niveaux tr s diff rents 75 La diversit
72. forme de d bat Pour cela il place sur un r troprojecteur le texte trous puis il met une une les r ponses des l ves en commen ant par les mauvaises et en demandant chaque fois l avis de la classe L exp rience montre que les erreurs sont toujours relev es et que de bons arguments sont trouv s par les l ves En une demi heure environ l accord se fait 31 Faire d couvrir la structure Chapitre 2 IV ANALYSE DU TEXTE PROPOSE ET DES REPONSES DES ELEVES Les trous correspondent des expressions de liaison sauf le septi me Le premier trou O milieu de BD car ABCD est un parall logramme de centre O a conduit beaucoup d erreurs pour la fiche ou les mots de liaison n taient pas propos s et une seule erreur dans l autre cas On peut interpr ter ce fait les l ves rencontrent si rarement dans les d monstrations des livres ou de leurs enseignants les 11 m ff ft m mots car parce que puisque en effet qu ils h sitent les utiliser Dans le deuxi me trou pour montrer que c est aussi le milieu de EJ il suffit de montrer que le math maticien attend il suffit de Mais on sait que dans le langage courant l expression il faut viendrait aussi naturellement Cette deuxi me expression correspond en effet la d marche heuristique que l on pourrait paraphraser la bonne m thode la m thode naturelle est de montrer Au lieu de rejeter ce il faut sans appel il semble pr
73. it des points de vue des enseignants Une mauvaise connaissance par les l ves des contraintes et des libert s qu ils ont Des difficult s sp cifiques certains contenus l alignement les in galit s larges Divers outils sont propos s des activit s des s quences des grilles d analyse pour les productions des enseignants et des l ves d monstrations nonc s des th or mes corrections FORMAT NOMBRE DE PAGES TIRAGE lere Edition 350 Ex 21x 29 7 89 2 me Tirage 200 Ex LS B N 2 85728 018 1
74. it bien moins vidente et provoque souvent des r ponses du genre c est impossible Un extrait de copie m rite d ailleurs d tre cit d gt se A gt Gs d Ge unta 1 Zen ed Be oax fel pas Phe Gls Aua Z ZZ Fr REL i 2 pa gt l EN ION D qe tar a 4 e hd z yra pui JI fi gr PNE VARG ialt Mani 4 plete echt y 4 d K Gage Asd 4 ajka 32 ma i prot E Fa ei m Yard Or Po ach uf lore lia ees ol PALA Gop 2 y ZE eg AX fer e Ee jk JAA mt WA of por Ven a ne F fk de Ge dag Je po d Visiblement pour cette l ve le professeur lui demande de croire que 2 1 Elle sait bien que ce r sultat est faux mais c est des maths alors Ce genre d argument couramment utilis par les nuls en math n est pas a n gliger car c est grace lui que ces l ves se donnent l autorisation de ne pas comprendre Il est sans doute utile de regarder de plus pr s quels arguments nous permettront d emporter leur conviction 40 Chapitre 3 Deux difficult s particuli res Ceci dit le d bat semble avoir t profitable puisqu en fin de s quence 24 l ves sur 30 pensent que 2 gt 1 est vrai On trouve m me dans une copie la r flexion jai chang d avis devient plus logique sous forme de repr sentation en intervalle que sous la forme 2 gt 1 Et dans une autre copie 2217 est vrai je n ai pas chang davis mais cette fois j ai compris Malgr tout il reste e
75. l ves reconnaissent que la d monstration 2 est correcte en corrigeant parfois la r daction Par contre beaucoup ont du mal localiser l erreur dans la d monstration I et surtout expliquer clairement en quoi elle consiste Ceci prouve bien qu il ne suffit pas d avoir sous les yeux une bonne solution pour comprendre en quoi une autre est mauvaise Le test final Trouver la faille dans le raisonnement devait permettre de contr ler chez les l ves une certaine sensibilisation l alignement Nous voulions en particulier tester les progr s dans la capacit rep rer une erreur du type alignement utilis sans avoir t prouv On constate ce sujet assez peu de changement Les l ves qui avaient d j clairement rep r l erreur de l exercice 3 r ussissent bien le test part quelques exceptions Mais il y a peu de progr s pour les autres Ce test permet de faire une autre constatation int ressante l erreur de la d monstration 1 du test une droite en remplace une autre est rep r e 65 alors que l erreur de la d monstration 2 milieu assimil quidistance est rep r e 43 Plus d un l ve sur deux pense que B est milieu de MM d s que BM BM Cette diff rence sensible met en vidence une difficult propre l galit de longueurs plusieurs l ves ont bien mis en vidence dans la d monstration 1 que l alignement de M B M n est pas une donn e et cependant ils ne voient
76. le de chacune d elles R ciproque 1 Si I milieu de AB JJ BC et J sur AC alors J milieu de AC et BC D e e o 2 1 o o R ciproque 2 Si I milieu de AB et IJ 5 BC alors J milieu de AC R ciproque 3 Si I sur AB et J sur AC silJ 5 BC alors I et J sont les milieux de AB et AC 62 Chapitre 3 Deux difficult s particuli res Souvent la premi re r ciproque est consid r e comme tant le th or me La troisi me r ciproque est refus e par la plupart des enseignants alors qu elle est nonc e par quelques uns Les nonc s des enseignants et des l ves sont en fait tr s divers Pour chacun de ces th or mes la conclusion comporte deux des six propositions nonc es ci dessus On rencontre naturellement des nonc s dont la conclusion ne comporte qu une des propositions Par exemple voici un nonc d riv du th or me Dans le triangle ABC si I milieu de AB et J milieu de AC IJ est parall le BC Les nonc s peuvent ne comporter aucun nom de point Par exemple Pour le th or me La droite qui joint les milieux de deux cot s d un triangle est parallele au troisi me c t Ou encore gt EE Le segment qui joint les milieux de deux c t s d un triangle a pour longueur la moiti du troisi me c t Pour la r cipr 1 Tr 2 pa DARE La droite qui passe par le milieu d un c t et est parallele a un autre c t
77. loi du th or me de Thales Ces erreurs ont d ailleurs une caract ristique commune l alignement n y est pas vraiment oubli mais plut t utilis inconsciemment I nous a donc sembl important de consacrer du temps pour cerner un peu mieux les causes de ces erreurs et tenter d y rem dier II UN PREMIER ESSAI Nous avions tout d abord pens que l oubli de l alignement pouvait avoir trois causes les l ves ne pensent pas ou ne voient pas la n cessit de le d montrer car ils font confiance la figure ils ne sont pas habitu s prouver des alignements donc ils ne mobilisent pas rapidement les m thodes pour le faire ils ma trisent mal le raisonnement et oublient de v rifier les conditions d emploi de certains th or mes D o l id e d une premi re s quence l aide de la fiche N 1 dont l objectif tait d apprendre aux l ves se m fier d une figure a prouver l alignement par des m thodes vari es rep rer dans une d monstration une faute du type alignement non v rifi La fiche N 2 a servi de test quelque temps plus tard et nous a permis de tirer un premier bilan 47 La d monstration en Seconde IREM de RENNES IFICHE N 1 ALIGNEMENT DES POINTS Exercice N 1 ABCD est un carr ABEFG est un pentagone r gulier EHF est un triangle quilat ral H E et C sont ils align s Figure N 1 Exercice N PME S Sur la figure N 2
78. lupart du temps les pas comportent bien les donn es et la conclusion introduites par des mots de liaison adapt s sans st r otype IV LE TRAVAIL DES ELEVES SUR LES DIX REDACTIONS Troisi me s ance I Les th or mes de la r daction 5 Us reconnaissent parfaitement les trois th or mes utilis s dans cette r daction Certains noncent comme th or mes Le centre d un cercle est quidistant de tous les points de ce cercle Si deux points sont sur un cercle ils sont quidistants du centre de ce cercle Tout triangle ayant deux c t s de m me longueur est isoc le alors que la plupart distinguent th or me et d finition Pour noncer le th or me du triangle rectangle inscrit dans un demi cercle on constate que en majorit les l ves transforment de mani re significative le texte de la d monstration r daction 5 pour en faire un nonc ce qui est le signe d une certaine ma trise de l criture d nonc s On note encore une bonne vari t des formes utilis es Quand au th or me Des droites perpendiculaires et parall les il est recopi ou l g rement modifi Le th or me de La hauteur est m diatrice dans un triangle isoc le est g n ralement recopi mais galement compl t par m diane et bissectrice L introduction d l ments inutiles dans le probl me montre certainement une difficult dans la compr hension de la structure d un pas de d monstration 27 F
79. ment de trois points Libert de recherche 10 min Recherche de m thodes d bat avec les l ves pour qu ils aient des pistes pour travailler Parall lisme de MW et IK en utilisant le milieu de BI Avec vecteurs IJ et IK en fonction l de BC et BA Par l analytique rep re B BC BA Avec le th or me de Thal s d licat r diger sans vecteur Les l ves r digent leurs solutions par au moins trois m thodes Sur feuille la maison Nous essayons de relever des d monstrations avec des fautes caract ristiques que nous proposons aux l ves Ceux ci doivent les trouver et corriger en d bat avec la classe enti re 52 IREM de RENNES La d monstration en Seconde MODE D EMPLOI DES FICHES N 1 et N 2 suite Exercice 3 Objectifs Analyser un raisonnement D celer une erreur de raisonnement Etre capable de donner la cause de cette erreur D roulement A faire apr s la correction de l exercice N 2 Les l ves r pondent individuellement sur leur feuille 20 min maximum On corrigera l exercice la s ance suivante avant le test final D monstration 1 Ici l erreur appara t lorsque le triangle ABA est utilis on admet implicitement e AA lorsque nous disons que nous appliquons le th or me de Thal s D monstration 2 Elle prouve clairement l alignement de A A I Cette fiche est le test final les l ves r pondent individu
80. ncore un certain nombre d l ves convaincre Nous d cidons alors de renouveler l exp rience dans une classe de seconde classe o la question x 1 gt x2 n a jamais t voqu e en reposant la meme question 221 Vrai Faux Ni vrai ni faux La surprise est de taille sur 34 l ves 18 r pondent FAUX car 2 gt 1 mais 2 1 15 r pondent NI VRAI NI FAUX car 2 gt 1 mais 2 1 1 r pond VRAI car 2 gt 1 est vrai donc 2 est bien sup rieur ou gal 1 Deux constatations s imposent l affirmation 2 gt 1 n est vraiment pas naturelle Un bref sondage en salle des professeurs ne fait que confirmer cette constatation il n y a gu re que les professeurs de Math matiques qui donnent une bonne r ponse le m me argument conduit les uns conclure faux et les autres ni vrai ni faux surprenant La suite du d bat claire quelque peu les choses tous les l ves admettent sans difficult l quivalence entre x 2 1 et x e 1 De m me 2 e 1 oo est une vidence Notons que les connaissances sur les intervalles sont assez solides et que beaucoup d l ves s appuient sur des sch mas du type On pourrait croire alors que 2 gt 1 sera vrai pour tous il n en est rien Deux causes principales peuvent tre trouv es cette difficult dans le langage courant taire une partie de l information est souvent consid r comme un mensonge N est ce pas un faux
81. ns il pr sente l avantage de bien faire appara tre que ces propositions ont successivement deux statuts Dans un premier temps elles sont la conclusion d un pas de d monstration pour devenir un peu plus tard la proposition d entr e d un nouveau pas Cet usage pr sente l inconv nient de conduire des r dactions dans le style de 2 et 3 BE JD 4 Remarquons d ailleurs que dans cet extrait on peut se demander si repr sente BE JD ou l implication enti re La d monstration en Seconde IREM de RENNES REDIGER UNE DEMONSTRATION D UN PROBLEME DONT ON CONNAIT LA SOLUTION Voici un nonc de probl me Hypoth ses ABCD est un parall logramme de centre O ABEF et CDJI sont des carr s D montrez que O est le milieu du segment EJ Voici un texte indiquant les grandes tapes de la solution du probleme I Les deux segments BE et JD sont parall les et de m me longueur EBJD est donc un parall logramme de centre O milieu de BD et donc de JE R digez la d monstration 10 Chapitre 1 Points de vue d enseignants Enfin la pr sentation en style t l graphique laisse supposer que la structure de Ia d monstration va tre tr s apparente Ici il n en est rien montrons le par deux exemples la disposition des lignes BE 1 AB 2 car ABEF et CDJI carr s JD 1 CD donc d apr s 1 JD 1 AB ne permet pas de distinguer clairement l hypoth se CDJI est un carr
82. nsenneressrnrrsesnnnnsvnenesnnnnnrnennnnvnennnnne 44 Le PREMIER ESSA EE 47 Il DEUXMEMEESSA DE 55 IV ANALYSE DES ERREURS ET DES DIFFICULTES DES ELEVES 60 CHAPITRE 4 LA DIVERSITE DES POINTS DE VUE ooo 67 DES CONTRAINTES POUR LES ENSEIGNANTS ET POUR LES ELEVES 69 IE CA NECESSIFE DE CANA SE jr 72 Hl QUELQUES DIFFICULTES FREQUENTES EN SECONDE use 79 IV LES EVOLUTIONS CONSTATEES SUR LES COPIES DE NOS ELEVES 81 CONCLUSION ve 85 SOMMAIRE DES FICHES FICHES ELEVES REDIGER UNE DEMONSTRATION D UN PROBLEME DONT ON CONNAIT LA SOLUTION ENEE 10 R DIGEZ EN LIBERTE u reed 21 24 DEMONSTRATION A TROUS una W 30 ALIGNEMENT DES POINTS u 48 50 TROUVER LA FAILLE DANS LE RAISONNEMENT 51 ECRIRE LENONGE rrollo do 9 7 LE DEMONSTRATION LITIGIEUSE sisi 58 FICHES PROFESSEURS LA DEMONSTRATION EN SECONDE L enseignement de la d monstration en seconde ne se pose pas dans les m mes termes qu au college En effet on constate qu ce niveau les l ves poss dent d j une certaine ma trise dans la r daction de d monstrations simples Ils connaissent bien les diff rentes expressions qui servent articuler ce type de textes ils savent que ce sont les th or mes du livre qu il faut utiliser Ma s les fautes rencontr es dans les d monstrations un peu plus complexes montrent que trop d l ves n ont pas clairement compris le r le essentiel du
83. on parle du segment BD on a chang d univers on travaille maintenant sur la droite ou le segment BD et la 11 suffit de prouver une galit de longueurs Voici ce propos un extrait de dialogue avec une classe suite un exercice ou il s agissait de montrer que A est le milieu de EB Prof Est ce que le texte dit que les points sont align s El ve Non Prof Est ce quil fallait le d montrer El ve Non Puisque vous demandez de prouver que est milieu de EB c est qu il est sur EB Vous n auriez quand m me pas demand ca pour un autre point Cette r ponse s explique sans doute en partie par le pass des l ves Les premi res recherches qui leur sont propos es en coll ge sont souvent des situations o l alignement fait partie des donn es et il ne reste qu a prouver l galit de longueurs a l aide des nouveaux outils qu ils viennent d acqu rir Pythagore Il est vrai aussi qu on n nonce jamais de th or me du style Un point I est le milieu du segment AB si A I B sont align s et si IA IB Notre premi re t che est donc de rep rer les l ves qui fonctionnent sur le mod le milieu quidistance Ils sont vite d accord sur le fait que l alignement n est pas dans les donn es si c est le cas Il est alors tr s utile de les faire s exprimer oralement ou par crit en posant la question Pourquoi n as tu pas d montr l alignement 61 Deux difficulf s particuli r
84. on s assure que les hypoth ses sont dans les donn es ou d ja d montr es puis on nonce la conclusion Notons enfin que les figures prototypes associ es ce th or me ont en g n ral deux parall les horizontales et il n est pas tonnant que les l ves ne reconnaissent pas la situation quand les parall les sont dans une autre direction Comment aider les l ves s y retrouver Certains nonc s pourtant corrects ne font pas partie de la panoplie admise par l ensemble des coll gues et il faut donc pr venir les l ves du danger d inventer un nonc en se fiant leur intuition Par contre il ne parait pas souhaitable d obliger les l ves adopter tous la m me formulation pour un th or me donn Au contraire un travail effectif analyse classement a partir d nonc s propos s par les l ves eux m mes nous semblent plus pertinent On constate ce sujet que certains l ves ont besoin de l appui d un nonc appris par coeur M me si pour certains d entre eux cela s av re tr s efficace il est n cessaire de ne pas renoncer travailler avec eux sur d autres formulations D une part cela permettra aux meilleurs de s adapter plus facilement aux diverses formulations qu ils rencontrent dans leur scolarit d autre part pour les plus en difficult ce sera une occasion de r fl chir au contenu math matique du th or me 65 Deux difficult s particuli res Chapitre 3 En conclusion il appar
85. on senferme La grille ci dessous n est donc qu une proposition que chacun peut adapter son point de vue son temp rament a sa classe Elle s inspire largement de la grille propos e par R Duval dans un atelier de l Universit d t Des activit s ou des probl mes en math matiques conception et utilisation Rennes 1990 Elle est bien utile pour analyser les copies des l ves mais aussi celles des enseignants et des livres 12 Chapitre 4 La diversit des points de vues a La structure Avant de faire l analyse d une d monstration d l ve il est n cessaire d essayer de comprendre comment il a organis son texte Pour cela il semble que le plus facile est de partir des propositions pour lesquelles il y a des indices dans le texte indiquant qu il s agit de conclusions Puis pour chacune de celles ci on cherchera comment est organis dans le texte le pas qui m ne cette conclusion Ce travail fait plusieurs types de fautes apparaissent b Les fautes de r solution de probl me Souvent apr s cette analyse pr liminaire on s aper oit qu en fait l l ve n a pas tous les l ments qui lui permettraient de r soudre le probl me Il n est pas dans ces conditions capable de r diger une bonne d monstration Il est tr s important de rep rer cette situation car l action entreprendre aupr s de l l ve n est pas de m me nature C est sans doute dans cette rubrique qu il faut classer les difficult s r v
86. onc les points D et E sont diam tralement oppos s Le triangle DCE est inscrit dans le cercle de diam tre ED il est donc rectangle en On a donc CE L CD Or A CE donc A L CD Dans le triangle ACD isoc le en A car AC AD rayon du cercle la droite A est hauteur donc galement m diatrice de CD 21 La d monsiration en Seconde IREM de RENNES Pour d montrer que A est la m diatrice de CD je vais prouver que ACD est un triangie isocele et que A est une hauteur de celui ci ACD est isoc le car C et D sont des points du cercle de centre A A est perpendiculaire CD en effet A est parall le EC et EC est perpendiculaire a CD car C est un point du cercle de diam tre ED Redaction N 3 Montrons d abord que EC est perpendiculaire CD comme les points E et D sont les points d intersection de la droite AB avec le cercle de centre A ED est un diam tre de alors en joignant le point C situ sur le cercle aux extr mit s du diam tre ED on obtient un triangle rectangle en C On a donc EC perpendiculaire a CD Montrons que A est la m diatrice de CD Les deux droites A et EC tant parall les et EC tant perpendiculaire a CD on en d duit que A est perpendiculaire a CD De plus le triangle ACD est isoc le de sommet A puisque AC et AD sont des rayons du cercle on en conclut que A hauteur du triangle ACD est aussi m dia
87. ond comme la droite AE coupe BC en son milieu I Ici le milieu de BC est bien per u comme une donn e mais l alignement A I E vu sur la figure prend aussi force de donn e 55 Deux difficult s particuli res Chapitre 3 Les erreurs sont vite reconnues par ceux qui les ont commises et l accord se fait facilement sur le texte final Pour la nouvelle m thode de r solution plusieurs prouvent que ABEC est un parall logramme ce qui est une m thode vectorielle d guis e D autres pensent a prouver que AI IE AE Enfin beaucoup proposent une solution avec la droite des milieux dans ADE avec la plupart du temps une erreur voisine de celle rencontr e dans la copie suivante Devan bok ox ABCD ex DANS ax SOB Cas ot Aere gt Cec Gu z Pork qu Ee pri de D der capote dome C w l mild oe en rond ADE Ro dink x vr Ark EN N AD amp Le Aone der ma d un coke CR DE den HA up Le Roi zy as Ev Am sa Dir JT ex D Klu de E AE C est sur cette erreur que nous allons travailler dans la suite Si donc aucune copie ne contient ce type de faute l activit peut se terminer l 2 Deuxi me heure 1 Les l ves re oivent la fiche La d monstration litigieuse et y travaillent individuellement environ 5 minutes Puis ils se remettent en groupes 2 Le professeur demande alors quelques l ves d noncer leurs constatations tous voient
88. ontraintes que leur imposent plus ou moins les enseignants 4 Des difficult s particuli res Certains contenus entra nent des difficult s particuli res Au cours de notre travail nous en avons tudi deux les probl mes d alignement et les in galit s larges Elles doivent faire l objet d un travail sp cifique avec l l ve propos des probl mes d alignement on peut se poser la question plus g n rale de l enseignement de certaines m thodes de d monstration sp cifiques certains contenus dans le cas pr sent la m thode du point d doubl Il s agit pour la clart de la d monstration de nommer de deux mani res diff rentes suivant la fa on dont il est construit un point qui est unique sur la figure puis de montrer que ces deux points sont confondus L apprentissage d une telle m thode peut il tre un objectif en seconde Quelles sont les activit s adapt es cet apprentissage Notre travail du chapitre 3 apporte quelques claircissements ces questions L introduction de ce type de m thodes propos de d monstration d alignement sans utiliser de transformation semble assez artificielle beaucoup d l ves surtout s ils ont d j une certaine ma trise des vecteurs qui permet g n ralement d viter cette formulation et peu cherchent la reproduire Cependant quelques uns se risquent appliquer cette nouvelle m thode avec profit L occasion qui parait la meilleure est de l introduire pr
89. ontrer Cette faute a disparu du deuxi me texte et on peut penser que la structure tr s simple de ce texte a t un facteur essentiel de progr s d autre part il nonce un th or me des milieux avec une hypoth se inutile le triangle rectangle On peut remarquer que dans son second texte il n y a plus de th or me explicitement nonc Cela est une volution naturelle au cours de la classe de seconde car on demande aux l ves de faire preuve d une plus grande concision Cependant dans ce second texte les nonc s implicites des th or mes utilis s sont clairement apparents Dans les deux copies les mots ou les expressions qui structurent le texte sont employ s bon escient Mais ils sont beaucoup plus riches dans le premier o l on trouve nous pouvons BEE nous pouvons dire et un participe pr sent La structure de chacun des pas de d monstration est claire dans les deux textes La diff rence vient de ce que dans le deuxi me texte les hypoth ses du pas sont syst matiquement annonc es par un puisque 82 Chapitre 4 La diversit des points de vues DEUXIEME COPIE DE YANN EN AVRIL Seconde C est le cercle de diam tre AB et de centre O C gt est le cercle de diam tre AO et de centre I M est un point du cercle C4 distinct de et B Le segment AM recoupe le cercle C2 en N I D montrer que N est le milieu de AM A r diger avec soin et en libert A que M Akut
90. opos de probl mes o il s agit de d montrer que le transform d un point par une rotation ou une homoth tie co ncide avec un autre point Il semble naturel pour les l ves de nommer le transform d un nom et le point avec lequel il co ncide d un autre nom car il est difficile de r diger la d monstration d une autre fa on 80 Chapitre 4 La diversit des points de vues 5 Une difficult facile surmonter L incompr hension du mot hypoth se est pour certains l ves une v ritable difficult Elle entra ne en effet l incompr hension de certaines questions par exemple dans l tude d une d monstration la question souligne les hypoth ses conduit des l ves souligner les conclusions car il retiennent pour le sens du mot hypoth se celui qu ils ont rencontr en sciences naturelles c est dire un synonyme de conjecture Mais si cette difficult est incontestable il ne s agit pas d une difficult profonde Les l ves ont l habitude d utiliser des mots dont le sens varie avec le contexte et il suffit le plus souvent d une courte discussion o le mot hypoth se est rapproch du mot donn e pour r soudre le probl me Simplement les enseignants de seconde doivent se rappeler que cette difficult existe et intervenir tr s explicitement plusieurs fois dans l ann e pour rappeler le sens du mot hypoth se en math matique IV LES EVOLUTIONS CONSTATEES SUR LES COPIES DE NOS ELEVES Apr s avoir propos
91. or donc en effet comme alors on obtient on en d duit on en conclut de plus on sait que on peut donc en d duire lorsque notons d abord que utilisation du participe pr sent le texte contient des symboles ou non texte long ou texte court structure apparente texte 9 ou non texte 10 nonc explicite des th or mes ou non 25 Faire d couvrir ia structure Chapitre 2 MI COMMENTAIRES SUR LE FONCTIONNEMENT DE L ACTIVITE ET SUR LES PRODUCTIONS DES ELEVES La premi re s ance est r serv e a la r alisation de l affiche Ce travail est tr s bien accueilli par les l ves qui s y investissent avec s rieux Lorsque cette activit est r alis e en d but d ann e cela leur permet de se conna tre plus vite et l enseignant peut les cerner plus rapidement Pour certains groupes une aide est n cessaire pour la recherche de la solution le manque d efficacit de ces groupes s explique soit par l apparition de conflit de pouvoir soit par un travail uniquement individuel Les textes produits par les l ves sont en g n ral de bonne qualit On remarque quils se montrent cependant assez n gligents dans leur ponctuation quand ils crivent eux m mes par contre ils sont exigeants quand ils tudient les d monstrations des autres On y rencontre souvent des notations incorrectes notamment pour les droites les segments et les longueurs On y note des tournures maladroites telles que Un
92. pour qu il teste pr cis ment ce que l on souhaite Au moment de la correction des copies ce n est plus l valuation qui est notre pr occupation principale mais les progr s de nos l ves Aussi avant de jouer du stylo rouge et de barrer une expression ou une phrase nous nous effor ons de comprendre l id e de l l ve Rappelons nous comment une simple faute d orthographe peut conduire un contre sens dans la lecture d une copie cf page 76 L l ve a t il compris une telle correction A moins qu il ait os demander des explications Pour chaque paquet de copies il faut analyser les erreurs Il faut faire quelque chose des erreurs r p t es regrouper les l ves qui les font pr parer un travail sur certaines Peu peu elles prennent leur signification comme le montre le t moignage ci dessous La plupart des erreurs sont maintenant explicables je reconnais telle confusion un contrat mal compris Pour la correction des copies je tiens une fiche pour chaque l ve o je note quand c est possible le type de l erreur commise par exemple argument figure je constate que argument non valable par exemple c est un losange parce que les diagonales sont de m me longueur argument incomplet confusion avec des th or mes voisins Bien str cela ne diminue pas la quantit de travail 87 1 2 3 4 BIBLIOGRAPHIE J HOUDEBINE D montrer ou ne pas d montrer voil la
93. que la donn e I milieu de BC ne sert pas Certains font remarquer qu on se sert de I e BC pour affirmer que CD est parall le AD mais ils sont d accord que la donn e milieu ne sert pas 3 Le professeur crit alors au tableau ou sur transparent La d monstration n utilise pas la donn e I est milieu de BC On peut donc penser que cette d monstration reste vraie m me si on change la place de I sur BC Puis il demande oralement tes vous d accord Il projette alors un transparent avec la figure de l exercice o I est situ au tiers de BC et dit on vient de prouver que ce point en montrant I est milieu de AE Il crit alors au tableau chaque groupe explique Verreur en quelques phrases 56 IREM de RENNES La d monstration en Seconde ECRIRE L ENONCE Vous trouvez sur une feuille de papier le texte suivant En utilisant la relation de Chasles nous pouvons crire Or le point est le milieu du segment BC donc gt gt IB IC O 2 De plus le point E est le sym trique de D par rapport C donc gt gt CE CD 3 Compte tenu de 2 et 3 l galit 1 devient gt gt gt gt IA IE BA CD gt Or le quadrilat re ABCD est un carr donc BA CD et nous obtenons gt o gt finalement IA IE Oce qui prouve que I est le milieu du segment AE Quel nonc d exercice vous parait correspondre cette r d
94. r exemple l utilisation du th or me des milieux pour montrer que deux droites sont perpendiculaires 73 La diversit des points de vue Chapltre 4 On trouve aussi des indices d favorables comme la d monstration d une conclusion qui ne sert en rien la conclusion finale Les l ments inutiles sont souvent un indice de difficult s importantes Par exemple dans une d monstration ou seules la hauteur et la m diatrice nous int ressaient on a souvent rencontr des nonc s du type dans un triangle isoc le la hauteur partant du sommet principal est aussi la m diatrice la m diane et la bissectrice de ce sommet Quand un pas ne comporte pas de faute on peut examiner s il est enti rement explicit donn es du probl me cit es explicitement rappel d un r sultat d j d montr nonc d un th or me conclusion clairement identifiable Pour un l ve en difficult le fait de ne pas tout expliciter est souvent un indice d favorable alors qu il peut s agir d une recherche de concision naturelle pour un l ve qui domine la question d Les expressions qui structurent le texte Il faut se rappeler que la structure proprement dite de la d monstration est indiqu e dans le texte par des expressions des mots ou des dispositions dont le r le principal est de pr ciser le statut des propositions hypoth se th or me r sultat d ja d montr r sultat interm diaire objectif du prochain pas con
95. ration 9 ne sont pas all s jusqu au bout et deux n ont rien fait La r daction est meilleure que d habitude elle est plus vari e Les indices de r ussite sont l apparition plus nette des pas de la d monstration avec une meilleure utilisation des mots de liaison l annonce des objectifs de la d monstration par quelques l ves l utilisation par environ un tiers de la classe des th or mes de fa on instanci e et non explicite le rappel plus fr quent des r sultats ant rieurs Dans une autre classe l exercice de l activit R digez en libert est repropos en interrogation crite au mois d avril les r dactions de quelques l ves avant et apr s ont t examin es Des remarques identiques sont faites le texte d avril est g n ralement plus court les hypoth ses qui taient nonc es en d but d exercice ne le sont plus mais rappel es au moment utile La structure de la d monstration est plus nette l organisation des pas plus vari e Il y a moins de propositions inutiles 28 Chapitre 2 i Faire d couvrir la structure Bien s r il est difficile de g n raliser ce constat et exag r de faire preuve de trop d optimisme Tout ce travail est de longue haleine et ne peut pas toujours donner mati re des activit s de ce type car les diff rentes PS du programme ne s y pr tent pas n cessairement Il est d autre part important de signaler que ce travail a t appr ci par no
96. re apparaitre objectif annonc ou non ordre dans un pas de d monstration cause cons quence emploi du donc on en d duit que ou cons quence cause emploi du car en effet usage ou non des symboles th oremes plus ou moins explicit s pas de d monstration plus ou moins s par s ordre global diff rent conclusion en d but dans la r daction N 2 textes assez courts pour les deux vocabulaire peu vari pour les deux BR SS 20 REDIGEZ EN LIBERTE Voici dix r dactions de la m me d monstration Votre travail est le suivant 1 a Citez tous les th or mes utilis s dans la r daction N 5 b On s int resse au premier th or me rencontr dans cette r daction Quelles sont les r dactions dans lesquelles ce th or me est utilis c Refaites le m me travail pour chacun des autres th or mes 2 Comparez les r dactions N 1 et N 2 en exprimant les ressemblances et les diff rences sous forme de phrases bien r dig es emple Dans la r daction N 1 on d montre que ED est un diam tre alors que dans la r daction N 2 on l admet sans d monstration Enonc u ABC est un triangle avec AB gt AC Le cercle de centre A et de rayon AG coupe la droite AB en D et en E On m ne par A la droite A parall le CE D montrer que A est la m diatrice du segment CD R daction N 1 La droite DE passe par le centre du cercle d
97. re que l un des c t s est le diam tre du demi cercle de m me un peu plus loin d un indique mieux que le premier c t peut tre choisi quelconque dans l application du th or me des milieux La remarque reprendre clairement fait allusion la complexit excessive de la phrase qui entra ne d ailleurs une faute ou au moins une lourdeur de fran ais proposition relative suivie d une proposition au participe pr sent De m me l ajout de et est correspond une faute de fran ais puisque le verbe sous entendu devant parall le ne peut tre passe Une remarque tient a une diff rence de style entre l enseignant et l l ve notre est rejet pour le On comprend le souci de l enseignant de faire dispara tre cette personnalisation mais il n y a ici aucune faute de math matiques ou de fran ais De plus il vaut mieux laisser l l ve libre de son style si l on veut obtenir des progr s rapides sur l essentiel Enfin une faute d orthographe commise par l l ve dans le passage si une droite par du milieu emp che l enseignant de comprendre et le conduit remplacer le passage par si une droite passe par le milieu 76 p AL m Enpre A Avun A Kb AS 1 wee y He Chapitre 4 La diversit des points de vues CORRECTION D UNE COPIE D ELEVE EN DEBUT DE SECONDE C est le cercle de diam tre AB et de centre O C2 est le cercle de diam tre AO
98. s l ves En effet tout au gr de l ann e ils ont fr quemment fait r f rence cette activit R digez en libert DEUXIEME ACTIVITE DEMONSTRATION A TROUS I OBJECTIFS Cette activit permet d appr hender l organisation d une d monstration qui n est pas r dig e dans l ordre et d tudier la structure d un pas En effet on ne peut comprendre une d monstration que si on conna t les degr s de libert que l on a grace aux mots de liaison L objectif de cette fiche est de faire d couvrir aux l ves la rigueur n cessaire dans l usage des mots servant l articulation du texte 29 La d monstration en Seconde IREM de RENNES DEMONSTRATION A TROUS S a Voici un nonc de probl me ABCD est un parall logramme de centre O figure ci contre ABEF et CDJI sont des carr s situ s l ext rieur du parall logramme ABCD D montrer que O est le milieu du segment EJ Completer la d monstration suivante O est le milieu de BD ABCD est un parall logramme de centre O Pour montrer que c est aussi le milieu de EJ Il montrer que EBJD est un parall logramme Cette propri t sera bien v rifi e EB DJ et EB DJ Montrons d abord par une suite d galit s que EB DJ dans le carr ABEF les c t s sont gaux et donc EB AB On d montrerait dans le carr DCIJ que DC DJ Enfin dan
99. s Nous vous proposons pour terminer d analyser les deux copies d un m me l ve quelques mois d intervalle Copie du mois de septembre page 77 elle a t r alis e la suite d un travail de r solution de probl me en petits groupes Copie du mois d avril page 83 le m me texte de probl me est propos mais cette fois sans pr paration particuli re La premi re copie est marqu e par une plus grande libert d criture vari t dans les formulations employ es complexit des phrases personnalisation La seconde est au contraire tr s st r otyp e avec ses formulations puisque alors ses tirets et le donc pr c dant la conclusion Les expressions qui annoncent ce que l on va d montrer ont disparu Il y a ici d une certaine mani re une r gression mais elle tait sans doute in vitable car cet l ve qui ne semblait pas avoir de difficult crire un texte d crivant la r solution d un probl me avait besoin de prendre conscience de la sp cificit des textes d monstratifs et en particulier du fait qu on ne peut utiliser un r sultat qui n est ni d montr n1 exprim dans l nonc On peut remarquer ici que cet l ve qui avait une grande libert d criture n a pas eu de mal s adapter un style plus conforme l usage La premi re copie comporte deux fautes graves d une part l utilisation du r sultat ON BM sans le d montrer ni m me indiquer qu on pourrait le d m
100. s la s quence suivante Chaque l ve r pond individuellement par crit la premi re question 221 Vrai Faux Ni vrai ni faux Justifiez votre r ponse Le professeur r cup re les r ponses et pose alors la deuxi me question 2 1 00 Vrai Faux Ni vrai ni faux Justifiez votre r ponse De nouveau les r ponses sont collect es et le professeur demande alors aux l ves de comparer les questions pos es ce qui donne lieu un d bat dans la classe Pour clore ce d bat il demande chacun de r pondre de nouveau la premi re question en pr cisant s il a chang d avis Voici les r sultats la premi re question sur 30 l ves 16 r pondent VRAI avec les arguments suivants pour 10 une des deux phrases 2 gt 1 2 1 est vraie pour 3 2 120 est vraie pour 1 26 1 0 pour 2 arguments tres confus 10 l ves r pondent FAUX car 2 1 4 l ves r pondent NI VRAI NI FAUX car 2 gt 1 est vrai mais 2 1 est faux 39 Deux difficult s particuli res Chapitre 3 Il est int ressant de remarquer que pour montrer que 2 gt 1 trois l ves utilisent 1 gt 0 Pour ces l ves il est naturel de penser que 1 est positif Le r le de 0 est en effet tr s sp cifique Dans le m me ordre d id e nous avons PO que l quation x 1 gt 0 ne pose pas de probl mes aux l ves alors que x gt 1 leur para
101. s le parall logramme ABCD AB DC Donc Montrons maintenant que EB DJ pour cela que AB est parall le CD ABCD est un parall logramme ABEF et DCH sont des carr s DJ L DC et EB L AB AB A DC DJ L AB si deux droites sont parall les toute droite perpendiculaire l une est perpendiculaire l autre On en d duit bien que EB DJ en le th oreme si deux droites sont perpendiculaires une troisi me droite elles sont parall les 30 Chapitre 2 Faire d couvrir la structure II MISE AU POINT DE LA FICHE Apr s un travail sur le texte lui m me les deux questions qui se sont pos es ont t les suivantes les l ves trouveront ils les mots qui conviennent ont ils un vocabulaire suffisant ce vocabulaire est il disponible pour l criture d une d monstration quelles modalit s p dagogiques doit on utiliser pour l exploitation de la fiche Pour cette deuxi me question les exp riences men es nous conduisent a la proposition du paragraphe II ci apr s Pour clairer la premi re question nous avons propos deux versions de la fiche Dans la premi re la consigne tait simplement de compl ter la d monstration dans la deuxi me les mots de liaison que nous voulions voir appara tre taient propos s aux l ves Les r sultats de cette exp rience nous ont
102. sages Il est normal que beaucoup d usages d pendent de chaque enseignant Par exemple pour l application du th or me des milieux on verra certains enseignants dans certaines classes demander syst matiquement d indiquer le triangle dans lequel le th or me est appliqu pendant que d autres ne l exigeront pas Par contre nous pensons qu il faut condamner fermement toutes les r gles tr s artificielles impos es par quelques uns Par exemple nous ne pouvons tre d accord avec un enseignant qui d clare qu il mettra z ro toute d monstration qui ne respecte pas des consignes du genre l hypoth se doit tre soulign e en rouge et la conclusion en vert il faut crire toutes les donn es du probl me avant de commencer la d monstration il faut les num roter quand on nomme un triangle rectangle il faut mettre le sommet de l angle droit en premier quand on nomme un triangle isoc le c est le sommet commun aux deux c t s gaux qu il faut nommer en premier De la m me mani re on ne peut accepter que certains enseignants introduisent sans pr cautions des notations inusuelles par exemple J m AB pour I est le milieu de AB ou encore AB 1 2 pour les coordonn es de AB sont 1 2 dans le rep re gt 7 e gt O i j ne sont pas des notations suffisamment fr quentes pour qu on puisse les utiliser dans l nonc d un contr le Remarquons pour cette derni
103. statut des propositions dans les d monstrations et que le r le de la figure n est pas assez clair pour eux Une autre difficult vient du changement de contrat didactique entre la troisi me et la seconde LE THEME DE CE TRAVAIL Un petit sondage aupr s des coll gues nous a convaincus que la premi re question aborder tait Qu entend on par d monstration bien r dig e Quel est le contrat avec les l ves de seconde ce sujet Pour y r pondre nous avons demand des coll gues de r diger des d monstrations qui pourraient servir de mod le pour des l ves de seconde Nous avons d couvert une diversit de points de vue plus grande que nous ne l avions imagin e nous en parlons dans le chapitre 4 Nous avons alors essay de d gager des points sur lesquels il peut y avoir un consensus de tous les enseignants et des points o chacun peut garder sa libert C est l objet de notre premier chapitre Il tait alors plus facile d aborder la deuxi me question Comment am liorer la r daction des d monstrations de nos l ves de seconde L analyse de copies d l ves l observation de travaux de groupes nous ont convaincus qu il tait n cessaire d intervenir sur deux plans D abord faire mieux comprendre aux l ves la structure des d monstrations et en particulier le r le essentiel qu y joue le statut des propositions Les fausses contraintes que beaucoup d l ves s imposent et qui r sultent sans do
104. t s au probleme de l galit les deux carr s sont gaux comme dans la d monstration F il y a ici confusion entre galit des figures et galit de leurs dimensions Nous rejetons donc cette r daction les diagonales sont gales nous parait plus acceptable si toutefois diagonale se traduit par longueur de diagonale comme le rayon d un cercle mais dans la phrase les diagonales sont parall les et gales la confusion entre segments droites et longueurs est intol rable Enfin nous y avons trouv une derni re ligne tout fait inutile en guise de conclusion puisqu elle est la r p tition de ce qui est crit une ligne avant 11 Points de vue d enseignants Chapitre 1 HI LA FIGURE FAIT ELLE PARTIE DE L ENONCE DU PROBLEME Certains enseignants ont t sensibilis s par le probleme de convexit d autres ne l ont pas du tout abord Dans notre esprit il n intervenait pas dans l exercice du fait que nous proposions la figure Pour liminer ce probl me tait ce suffisant de donner la figure ou aurait il fallu ajouter une hypoth se telle que Deux carr s ABEF et CDJI situ s de part et d autre de ABCD Dans les 17 copies examin es nombre de nos coll gues ont abord la question et ce sous diff rentes formes Pour six d entre eux Les vecteurs BE et DJ ont des supports parall les ont m me longueur et sont de sens contraires donc BE JD Pour trois autres BEDJ est
105. te diff rence est in vitable Pour faire appara tre clairement aux yeux des l ves les particularit s des textes d monstratifs il est n cessaire de ne leur pr senter que des textes dont les structures soient tr s apparentes Cependant cela va entra ner des exigences vis vis des l ves qui rel vent plus de contraintes sociales que de raisons r ellement math matiques Ces exigences peuvent tre institutionnelles mais elles ne sont trop souvent que les lubies nuisibles de quelques uns enseignants inspecteurs correcteurs d examens Voici quelques exemples dont nous avons discut I Les nonc s de th or mes Comme nous le notions plus haut un l ve r digeant une d monstration en seconde n a pas le droit d utiliser un th or me qui n a pas t explicitement nonc pendant le cours On comprend ais ment la n cessit de cette contrainte mais elle engendre deux types de difficult s 69 La diversif des points de vue Chapitre 4 D une part les enseignants ne respectent pas toujours ce principe Par exemple dans un probl me de g om trie dans l espace certains r sultats seront admis sans d monstration comme des r sultats connus alors que rencontr s dans un probl me plan ils auraient fait l objet d une longue d monstration Ainsi devant un cube sur lequel on a trac la m diane d une face on admettra que la longueur de cette m diane est gale au c t alors que dans la figure plane compos e d
106. tion au niveau de l l ve Par exemple il est sans doute inutile de corriger certaines fautes mineures de notations pour un l ve dont les d monstrations comportent des grosses fautes de raisonnement Cette id e peut tre un peu plus syst matique par exemple on peut convenir avec un l ve ou avec la classe que l on ne corrigera pendant un certain temps qu une sorte d erreurs De cette mani re la complexit des objectifs du prof se d gagera plus clairement corriger les vraies fautes de d monstration mais aussi les fautes de fran ais les fautes de notations les non respects de certains usages etc Pour qu un l ve travaille sur la correction il faut cr er une v ritable motivation Un bon moyen de l obtenir est de partir du principe que la d monstration r dig e par l l ve est le point de d part du travail et que le jugement c est dire la note ne tiendra compte que des am liorations apport es ce texte initial Concr tement on fait une correction d une premi re copie en donnant simplement des suggestions sur les fautes possibles une des pistes est d indiquer la nature de la faute en utilisant une grille comme celle du paragraphe pr c dent On fait une correction au tableau puis on demande aux l ves de modifier les copies en tenant compte des indices donn s Ce travail sur les copies corrig es peut tre fait sur sa propre copie comme sur celle d un camarade en travail individuel ou en travail de groupes
107. tion est une suite de d ductions et sa structure est de ce fait lin aire L expression de m me indique au contraire une d marche parall le Il est fr quent au coll ge que ce type de d marche soit dissimul par la globalisation de deux pas de d monstrations en un seul ce qui donnerait ici Dans les carr s ABEF et DCIJ les c t s sont gaux donc EB AB et DC DJ R DUVAL a not qu en quatri me cette globalisation est pour certains un obstacle la compr hension de la structure des d monstrations Les erreurs dans le cinqui me et le sixi me trous enfin on sait que dans le parall logramme ABCD AB DC semblent troitement li es par exemple en effet est suivi de de m me Notons cependant l emploi de que dans le sixi me trou qui aurait d tre d favoris par le point Il y a tr s peu d erreurs dans le septi me trou 32 Chapitre 2 Faire d couvrir la structure Le huiti me et le neuvi me trous sont li s Pour cela notons que AB est parall le CD puisque ABCD est un parall logramme Il y a tr s peu d erreurs pour la fiche sans mot Les erreurs pour la fiche avec mots sexpliquent sans doute par la n cessit de ne pas r utiliser certains termes La m me situation se produit pour les treizi me et quatorzi me trous L h or me si deux et en appliquant le th or me Les difficult s constat es pour les trous 10 11 et 12 comme ABEF et DCIJ sont des carr s CD L
108. triangle inscrit dans un cercle ayant pour c t le diam tre du cercle et le sommet sur le cercle est rectangle La signification du mot inscrit ne semble pas claire puisqu il est pr cis que le sommet est sur le cercle Certaines expressions sont discutables Citons en quelques unes A est la m diatrice du triangle ADC Comme ADC est isoc le en A et que A est perpendiculaire DC donc A est une hauteur du triangle ADC en A Et comme la hauteur d un triangle isoc le est en m me temps la m diatrice donc A est la m diatrice de CD En effet il y a plusieurs hauteurs A est la hauteur issue de A or dans un triangle isoc le la hauteur issue du sommet principal est aussi m diatrice du segment oppos Donc A est hauteur et m diatrice du segment CD Ces erreurs ne sont pas importantes mais elles peuvent cacher des fautes conceptuelles m diatrice du triangle CD est le diam tre du cercle Certains recopient l nonc c tait impos en troisi me Certains n emploient pas de mots de liaison Quant aux th or mes beaucoup sont nonc s correctement et au moment de la confrontation la deuxi me s ance les nonc s incorrects sont rapidement rep r s et rejet s avec des arguments de bonne qualit Les fautes rencontr es sont de diff rents types des nonc s faux Tout triangle inscrit dans un cercle est rectangle Si deux droites sont perpendiculaires toute parall l
109. trice de CD OA x daction N 4 donc EC L CD ED est un diam ire de C est un point de ce cercle EC L CD et A EC donc A L CD Dans le triangle ACD AC AD rayon du cercle donc ACD est isoc le en Aestla hauteur issue de A donc A est la m diatrice de CD ACD est isoc le 22 IREM de RENNES La d monstration en Seconde D montrons d abord que A est perpendiculaire CD Le segment DE est un diam tre du cercle et C est un point de ce cercle or on sait qu un triangle form par un point d un cercle et les extr mit s d un diam tre est rectangle et a pour hypot nuse ce diam tre On peut donc en d duire que le triangle CED est rectangle en C et ainsi EC et CD sont perpendiculaires Par hypoth se nous savons aussi que EC et A sont parall les or lorsque deux droites sont parall les toute droite perpendiculaire a l une est perpendiculaire a l autre Par cons quent A est perpendiculaire a CD Prouvons maintenant que A est la m diatrice de CD Le triangle ACD est isoc le de sommet A car AC et AD sont des rayons du cercle de plus A tant perpendiculaire a CD est la hauteur relative a la base Or dans un triangle isoc le la hauteur relative a la base est aussi la m diatrice de cette base Ainsi A est la m diatrice de CD Pour d montrer que A est la m diatrice de DC notons d abord que CDA est un triangle isoc le de sommet A car
110. trie et de faire preuve de plus d initiative dans la recherche de la solution Puis dans le courant de l ann e il est souhaitable pour varier les activit s propos es aux l ves de les faire travailler sur une fiche trous exercice qui conduit mieux cerner le statut des propositions et par suite faire un meilleur usage des mots de liaison Enfin il ne faut pas oublier de leur montrer de temps en temps les limites de leur libert en obligeant certains produire une copie presque parfaite au bout d un certain nombre d essais condition bien s r qu ils soient r ceptifs ce genre d exercices 17 Faire d couvrir la structure Chapitre 2 PREMIERE ACTIVITE REDIGEZ EN LIBERTE I PRESENTATION Cette activit a pour objectif principal de faire travailler les l ves sur dix r dactions diff rentes de la m me d monstration pour leur faire mieux sentir les libert s et les contraintes Pour cela nous avons choisi l exercice suivant dont la d monstration est suffisamment complexe utilisation de trois th or mes triangle inscrit dans un demi cercle parall les et perpendiculaires hauteur et m diatrice dans un triangle isoc le mais ne pose pas de probl me de connaissances a des l ves en d but de seconde Enonc ABC est un triangle tel que AB gt AC Le cercle de centre A et de rayon AC coupe la droite AB en D et E On m ne par la droite A parall le
111. troisi me c t en son milieu ne peut tre consid r e du point de vue du langage comme quivalente si J est sur AC J est le milieu de AC car la s paration hypoth se conclusion est moins nette dans le premier cas On observe dans ce cas l oubli de v rifier que J est sur AC pour conclure que J est le milieu de AC Un ph nom ne identique peut tre observ pour un th or me plus simple et tr s familier pour les l ves les diagonales d un parall logramme se coupent en leur milieu Celui ci peut aussi s noncer Dans un parall logramme le milieu d une diagonale est aussi le milieu de l autre Beaucoup d enseignants consid rent en premi re analyse que ces deux nonc s sont quivalents Pourtant ils ne comportent pas en fait les m mes hypoth ses ni la m me conclusion ni les m mes quantificateurs Le texte de d monstration On sait que ABCD est un parall logramme comme I est le milicu de AC c est aussi le milieu de BD correspond au deuxi me nonc le premier conduisant en principe une d monstration en deux pas On sait que ABCD est un parall logramme donc AC et BD ont m me milieu Comme I est le milieu de AC c est aussi le milieu de BD Bien s r peu d enseignants vont s int resser cette nuance Il n emp che qu elle peut contribuer mettre un flou dans l esprit de certains l ves sur le point essentiel quand on veut utiliser un th or me dans un pas de d monstration
112. ue l l ve de seconde ne sait pas raisonner qu il a des difficult s en math matiques mais plut t parce qu il ne comprend pas la forme de la rationalit des math matiques C est pourquoi le travail essentiel est de la lui faire mieux comprendre Un discours normatif est ici de peu d efficacit Si l on veut viter les discussions superficielles il nous parait indispensable de se donner des moyens d analyse C est l objet du paragraphe 2 Le dernier paragraphe essayera de les utiliser pour comprendre les difficult s et les progr s des l ves I DES CONTRAINTES POUR LES ENSEIGNANTS ET POUR LES ELEVES La d monstration enseign e aujourd hui en seconde se veut le reflet de la d marche du math maticien moderne En fait elle en diff re sensiblement D abord la r gle qui veut que seuls les th or mes d j d montr s explicitement puissent tre utilis s dans une d monstration est rarement respect e par le math maticien qui s autorise utiliser tous les r sultats que la communaut math matique laquelle il s adresse est pr te accepter comme valide Cela lui vite en particulier de d montrer des vidences D autre part il n est pas rare de rencontrer une grande libert d criture la d monstration est parsem e de consid rations heuristiques m thodologiques historiques les notations varient avec les auteurs enfin beaucoup de pas de d monstrations sont peine esquiss s beaucoup sont sous entendus Cet
113. un carr et de sa m diane le m me r sultat fera l objet d une d monstration par exemple avec les vecteurs En fait la rigueur vis a vis de ce principe volue dans la scolarit Par exemple en quatri me on fera une longue d monstration pour montrer qu un trap ze isoc le admet un axe de sym trie alors qu en terminale on l admettra sans probl me Que faire alors en seconde D autre part certains nonc s de th or mes sont rejet s par les uns et accept s par les autres Par exemple la r ciproque du th or me des milieux qui s nonce 12 SID gt BC et si I est sur AB et J sur AC alors I et J sont les milieux de AB et AC est souvent propos e par les l ves alors qu elle est consid r e comme hors programme Cependant nous nous sommes aper us que quelques enseignants l noncent explicitement l occasion de la r solution d un probl me Les l ves vont ils tre g n s par cette incoh rence En tout cas elle peut jouer un r le institutionnel tr s grave puisque le jour du bac une copie utilisant cette r ciproque peut tre sanctionn e ou non 2 L ordre de la d monstration Beaucoup d enseignants pensent qu une d monstration doit tre r dig e dans l ordre C est ajouter une contrainte tr s artificielle D une part l utilisation du car ou du parce que est tr s naturelle chez les l ves et souvent performante D autre part crire des d monstrations dans l ordre peut conduire
114. ute d un apprentissage par imitation sont une cause importante d checs Pour agir sur ce point nous proposons dans le chapitre 2 une s quence d enseignement qui fait travailler les l ves sur plusieurs r dactions d une m me d monstration Cette s quence est bien adapt e par sa forme pour servir de support un module Ensuite certains obstacles sp cifiques nous ont paru demander une action particuli re Nous avons travaill sur deux d entre eux et nous proposons dans le chapitre 3 des activit s pour essayer d aider les l ves les surmonter APPRENTISSAGE DE LA DEMONSTRATION ET RESOLUTION DE PROBLEMES Il est n cessaire de dissiper d s le d part un malentendu l objet de ce fascicule n est pas la r solution de probl mes mais l apprentissage de la d monstration En d autres termes notre objectif est de trouver le moyen de faciliter et d am liorer la r daction de d monstrations par les l ves pour un probl me dont ils connaissent l essentiel de la solution et non de les aider trouver la solution de ce probl me ANALYSER DES DEMONSTRATIONS Pour r pondre nos deux questions il tait n cessaire d analyser des d monstrations d l ves et d enseignants L exp rience nous a montr la difficult de rep rer dans une copie tous les indices utiles pour faire un diagnostic C est pourquoi nous nous sommes efforc s d expliciter notre d marche Cela se traduit par une grille d analyse qui est d crite d
115. xte ne distingue le statut de ces deux propositions ce qui nous para t inacceptable dans une copie d enseignant Notre r le ne consiste t 1l pas justement aider nos l ves distinguer hypoth se et conclusion dans un pas de d monstration D autre part cette copie comporte une erreur de langage les segments BE et JD sont gaux Si les longueurs BE et JD sont bien gales les segments ne le sont pas Chapitre 1 Points de vue d enseignants Apr s analyse il nous a sembl qu en seconde une d monstration devait contenir des indices permettant de rep rer les donn es de l nonc qui sont effectivement utilis es dans la d monstration Ici il n y a aucun indice pour aucune des donn es utilis es chacun des pas de d monstration Bien s r dans ce texte chacun des pas de d monstration est pr sent par un l ment mais cela ne permet pas de le rep rer Par exemple la premi re phrase se pr sente au mieux comme le r sum de deux pas de d monstration un dont la conclusion est le parall lisme un autre l galit Or au niveau de seconde c est sans doute huit pas de d monstration qui sont n cessaires comme le font appara tre les autres r dactions propos es par les enseignants On peut consid rer ce texte comme une r daction donnant l id e de la solution du probl me On pourrait d ailleurs exploiter comme tel ce type de texte en donnant la fiche page suivante comme travail des l ves

LA DEMONSTRATION EN SECONDE

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