2PFFdiapo - Serveur UNT-ORI
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1. Aliases et valeurs des contrastes CS BD CE e B AD CF e C AE BF e D AB EF e E AC DF e F BC DE colonne ABC NES ER ON E A E B E C E D E E E F W 0 3794 030181 050044 0 0194 0 0106 0 0131 E AF 0 0169 12 Interpr tation et conclusion e La limite sup rieure critique d un effet exprim e en absorbance a t fix e 0 025 par le responsable du dosage Elle correspond une variation d absorbance de 0 05 quand on passe du niveau bas au niveau haut d un facteur puisque le calcul des effets dans les plans factoriels d termine un ffet moyen et non global e On voit qu except la concentration aucun des 5 facteurs tudi s et des interactions ne d passe cette limite n1 est la fronti re Les valeurs des contrastes obtenues peuvent donc tre attribu es aux in vitables erreurs al atoires de manipulation La proc dure sera qualifi e de robuste vi vis de l exigence de qualit d finie ci dessus o Il n a fallu que 8 essais pour aboutir cette conclusion 13 Une remarque sur la m thodologie e Ilna fallu que 8 essais pour aboutir la conclusion Et s1 un des contrastes s tait r v l significatif 1l aurait et effectu 8 essais compl mentaires pour lever l arih jt e Fn utilisant la m thode exp rimentale 1 seul facteur variable la Jois les autres restant constant aurait fallu f2. BC I BCD gt A ABCD ABC BCD z A D d ou la succession des 4 aliases A D BC ABCD 46 Les aliases dans les 4 fractions du plan complet d signation aliases Fraction 1 A D BC ABCD C AB BD ACD B AC CD ABD I AD ABC B D Fraction 2 A D BC ABCD C AB BD A D B AC CD ABD I AD ABC B D Fraction 3 A D BC ABCD C AB BD ACD B AC CD ABD I AD ABC BCD Fraction 4 A D BC ABCD C AB BD ACD B AC CD ABD I AD ABC BCD 47 Les successions d aliases du tableau pr c dent appellent 2 commentaires e les 4 facteurs principaux sont tous alias s avec des interactions d ordre 2 ce qui est in vitable pour un tel fractionnement mais on voit aussi que 2 facteurs A et D sont alias s entre eux ce qui est r dhibitoire dans un plan factoriel fractionnaire L objectif premier d un plan fractionnaire est d estimer les effets des facteurs principaux ind pendamment les uns des autres e Selon la fraction choisie le signe des aliases est diff rent D par exemple est de signe oppos A dans les fractions 2 et 3 alors qu il est de m me signe dans les fractions 1 et 4 cette remarque est la base du choix des exp riences compl mentaires effectuer lorsqu il y a ambigu t dans l interpr tation des contrastes 48 1 2 mise en uvre des plans 27 Il faut successivement envisager la d termination d
3. e Le facteur concentration devra videmment avoir un effet sur la r ponse la mesure de l absorbance Enrevanche pour que la proc dure soit d clar e robuste acun des 5 autres facteurs ne doit avoir d effet ni m me dint raction avec le facteur concentration e Plut t que d effectuer les 64 dosages n cessit s par un plan 26 les exp rimentateurs d cident de n en faire que 8 plan PAL 3 et c est a priori une bonne id e car en principe 1 ne devrait pas se produire d ambiguite lors de l interpr tation puisque aucun facteur sauf la concentration et aucune interaction ne devrait tre significative 69 D termination des aliases e le plan 2 comporte 64 param tres la moyenne des r ponses et 63 eftets dont 6 effets principauxet 15 effets d interaction d ordre 2 e Dans le plan 2 on ne peut calculer que 8 param tres ind pendants chaque contraste est donc constitu de aliases e Les exp rimentateurs ont d cid de choisir comme g n rateurs d aliases dans la matrice des effets du plan 2 D AB DEF VO F BC 70 e Les 3 relations de d finition ind pendantes sont donc I ABD 1 ET 2 I BCF Les 4 autres relations s obtiennent en les combina 1 x 2 I BCDE 4 CEE ETO D u 6 ELO ABEF 6 1 x 2 x 3 I DEF 7 Ces 7 relations permettent de calculer pour chaque contra t les 8 constituants de chaque succession d aliases
4. 0625 0 069 ___BD 0 0388 0 0500 0 281 BE 0 0488 0 0375 0 119 0 056 GE 01612 0 1000 0 194 DE 0 1638 0 0375 0 006 Tableau r capitulatif des r sultats facteur sensibilit Bruit de s lectivit fond Largeur de fente du monochromateur d exXaitation Largeur de fente du monochromateur de ri fluorescence Temp rature de l chantillon Vitesse de balayage du spectre Tension du photomultiplicateur J 4 Synth se et conclusions e La temp rature de l chantillon n a pas d importance e Pour d tecter la substance M l tat de traces 1l faut une forte sensibilit et le bruit de fond le plus faible possible On ouvrira donc les fentes des monochromateurs d excitation et de fluorescence Pour la tension du P M il faudra trouver un compromis acceptable entre bruit de fond et sensibilit e Dans le cas de l analyse de M en pr sence de substances voisines 1l est recherch une bonne s lectivit et une sensibilit acceptable On choisira donc une vitesse de balayage faible pour la largeur de la fente du monochromateur de fluorescence 1l faudra trouver un COMPTOMIS 4 Les plans 272 e Ils consistent r aliser l exp rimentation avec 4 fois moins d essais que dans le plan factoriel complet correspondant Avec n 5 facteurs 1l sera effectu 8 essais avec M 6 facteurs on en fera 16 efc e Compt
5. DG AF BE CD GH AG BC DE FH AH BD CE FH Ce plan peut tre consid r comme satisfaisant par les sp cialistes puisque les S effets principaux seront estim s sans ambiguit et que les interactions qu ils soup onnent a priori avoir de importance not es en jaune figurent individuellement dans des contrastes diff rents 19 Les valeurs des contrastes EA 0 20 Eg 0 10 e Ec 3 20 e Ep 0 10 Eg 2 70 EF 0 05 Ec 0 20 o Ey 1 90 4 contrastes en jaune apparaissent significatifs e E AB e E AC e F AD e E AE E AF e E AG e E AH 0 10 0 15 0 30 Analyse des contrastes e 3 facteurs humidit de la poudre mouler C sa oranulom trie E et la temp rature du moule H jouent un r le important dans la d termination duwolume du r cipient fabriqu e En revanche pour les variations de r glage de la machine choisies dans l exp rimentation les niveaux savoir la vitesse d alimentation de la poudre D et les 2 maintiens en pression A B F et G on ne note pas d effet e Un contraste d interactions est sigmificatif dans la succession d alhiases AE BF CH DG c est le contraste CH d ailleurs pr vu qui en est le responsable Iln est pas concevable techniquement que ce soit AE car la granulom trie de la poudre est tout fait ind pendante de la pression de
6. en oeuvre Les principes d tablissement de ces plans sont les m mes que pour les plans 2 et 2 2 Mais comme le nombre d effets du plan complet est grand le nombre d aliases par contraste est lev ret ceci d autant plus que k est grand La d termination des aliases devient de plus en plus fastidieuse fraction du plan tudi e nbre aliases contraste 1 2 1 4 1 8 64 Le concept de r solution Pour construire un plan fractionnaire on consid 21728 la matrice des effets d un plan de base et les facteurs suppl mentaires tudier associ s certaines interactions de pr f rence d ordre lev on esp re quelle faibles ou nulles Mais de plus Il faut s assurer que les facteurs principaux sont alias s ave interactions d ordre le plus lev possible gt Notion de r solution La r solution d un plan fractionnaire Q Un plan est de r solution 3 s il ne confond pas les effets principaux les uns avec les autres mais qu 1l confond des effets principaux avec des interactions d ordre 2 exemple n 6 facteurs Plan 26 lt gt 8 essais lt gt 8 contrastes calcul s S fractionnement bien choisi on peut avoir 6 contrastes avec un facteur principal et un seul si on veut fractionner encore Plan 26 lt gt 4 essais lt gt 4 contrastes calcul s On a n cessairement des facteurs principaux confondus 66 La r solution d un plan fractionnaire Un plan de r
7. rieur on crit I ABCD Cette relation traduit le fait que les 2 colonnes et ABCD ne contiennent que des 1 Elle est appel e la relation de d finition e Pour n importe quelle colonne de la matrice des effets celles c1 ne contenant que des s quences de 1 et 1 on peut crire les relations suivantes IxI 12 1 I AxA A2 I B x B B 1 I A A I A Une colonne de signes et multipli e par elle m me donne une colonne de signes e En multipliant les 2 membres de 1 galit de la relation de d finition par les termes successifs de la matrice des effets puis en simplifiant en utilisant les r gles pr c dentes on Sen tous EEIE Exemples I ABCD I x A A BCD A BCD I x AB A B CD AB CD e Dans le 32 plan inf rieur la relation de d finition est I ABCD Les couples d aliases qui s en d duisent sont donc A BCD AB CD et traduisent le fait que les LS de 1 et 1 de colonnes de la matrice des effets sont cette fois oppos L interaction ABCD qui d termine l ensemble des aliases est ap GENERATEUR D ALIASES 3 mise en uvre des plans 27 1 D termination des couples d aliases par le choix de la relation de d finition Pour un lan 2 il y a toujours int r t choisir interaction d ordre le plus lev e de lamatrice LARA IAE 2 Construction de la matrice des contrastes On utilise la matrice des effets du plan complet con
8. solution 4 ne confond pas les effets principaux avec d autres effets principaux n1 avec des interactions d ordre 2 mais confond des interactions d ordre 2 entre elles Il est meilleur qu un plan 3 exemple plan 271 vu pr c demment D Un plan de r solution 5 ne confond pas d effets principaux et d interactions de 2 me ordre les uns avec les autr s la confusion se fait avec des interactions d ordres sup rieurs C est le meilleur des cas 67 11 2 Exemple d application plan 28 3 exercice 3 Il s agit de l tude de la robustesse d une proc dure d analyse qualit qui d signe la capacit de cette proc dure donner des r sultats exacts m me en pr sence de petits carts des conditions par rapport au protocole exp rimental le mode d emploi variations quise produisent in vitablement lors de l utilisation en routine par n gligence ou manque de soin L exemple porte sur le dosage spectrophotom trique du tartrate d ergotamine 5 facteurs du protocole sont test s la reproductibilit de la pes e B la temp rature de la r action de coloration C le temps de d veloppement de la coloration D la concentration du r actif en vanilline E et en acide sulfurique F Ces 5 facteurs de variation sont exp riment s pour 2 concentrations tr s diff rentes de tartrate d ergotamine d o le 6 me facteur exp rimental la concentration not e A 68
9. LES PLANS FACTORIELS FRACTIONNAIRES Claude HOINARD Facult des Scie nces Phi rmaceutiques Claude Hoinard UFR de Pharmacie de Tours Mai 2009 LES PLANS EXPERIMENTAUX L exp rimentation co te cher il faut avoir pour objectif d obtenir les informations les plus fiables et les plus efficaces possibles en un minimum d essais L EXP RIMENTATION DOIT TRE OPTIMIS E l NEcessitE d une recherche FIIU bien E TE Un plan d exp riences efficace se propose donc de faire varier plusieurs facteurs la fois selon des r gles d organisation pr cises et rigoureuse les plans que nous allons tudier sont multi factoriels et sont appel s habituellement plans factoriels M thodologie dans l tude d un ph nom ne Lors de l tude d un ph nom ne plusieurs questions se posent auxquelles r pondent diff rents types de plans On peut distinguer 3 grandes tapes dans acquisition des connaissances Recherche des facteurs influents Mod lisation quand les facteurs influents ont t identifi s et leur importance quantifi e mon recherche ensuite quation permettant de d crire les variations de la r ponse tudi e en fonction de celles des facteurs influents Optimisation d terminer quelles conditions exp rimentales les valeurs prises par les facteurs influents permettent d obtenir le meilleur r sultat pour la r ponse gt la recherche des facteurs influent
10. Un facteur est d autant plus influent que la valeur absolue de son effet est plus grande il est plus influent qu un facteur B si la valeur absolue de son effet est plus grande Exemple le plan 2 Dans une solution pharmaceutique habituellement fabriqu e 30 C sous agitation 200 tours min un l ger trouble appara t L exp rimentateur d sire conna tre la ou les cause s et pense que 3 facteurs peuvent jouer la temp rature la vitesse d agitation la concentration d un additif pr sent 0 30 Le trouble se mesure par un indice d opacit traduisant j impression visuelle que donne l intensit du louche c est la r ponse Il est d cid d organiser une exp rience factorielle 23 facteurs niveaux A Ore 20 C 40 C B vitesse agitation 100 t mint 300 t min C concentration additif 0 1 0 5 Il y a donc 8 conditions exp rimentales 1 AoBoCo D AoBoC 2 A BoCo 6 A BoC 3 AoB Co 7 ABC 4 A B Co 8 A B C Plan 2 Le domaine exp rimental peut tre repr sent par un cube les points exp riment s sont aux 8 sommets 1 TERO 1 1 1 1 Centre 0 0 0 COS B 1 COS EE BAS BAS temperature A HAUT Plan 25 La matrice d exp riences niveau 1 20 C 100 t min 0 1 niveau 1 40 C 300 t min 0 5 LS RS ICE ES D DCE IDC CCE a TES NS NS NE O NE 11 7 noter l organisation d
11. aire 10 essais 5 facteurs x 2 concentratio Et ceci sans aucune possibilit de d tecter une interactit c est dire une variation d effet 11 3 les plans de TAGUCHI e La mise en uvre des plans fractionnaires n est pas simple et difficilement accessible aux personnels dans 1 industrie ne poss dant pasde formation sup rieure G TAGUCHI a mis au point des plans pr sent s sous forme de tables dont le mode d emploi est tr s simple et attractif car 1l se pr sente sous forme graphique 15 1 4 les logiciels de plans d exp riences Les plans factoriels reposent sur des bases math matiques Un programme informatique sp cialis peut donc prendre en charge tous les calculs effectuer Il existe sur le march plusieurs logiciels de plans d exp riences e Ces logiciels g n rent automatiquement la matrice d exp riences quand on leur indique le nombre de facteurs et le nombre d essais effectuer en choisissant le plan dont la r solution est la plus lev e e Ces logiciels analysent les r sultats apr s entr e des r ponses calcul des effets ou des contrastes et leur Signification statistique quand 1l est possible de les tester e Ces logiciels fournissent la repr sentation graphique des effets contrastes et des interactions de 2 me ordre 76 1 5 exemple d application plan 28 4 L tude porte sur les r glages d une machine de moulage par injection fabriquant
12. cn 0 3125 0 30625 0 00625 9 9 Be Ep E icp Eg Eico 9 _ 9 E E ig E cp Eag Ecp etc e Pour le demi plan inf rieur la valeur d un contraste est la diff rence des 2 effets vrais du plan complet de ses 2 aliases E a E gcp Ea Egcp 0 3000 0 30625 0 00625 Er E E icp z Eg E icp E iB E E cp Eig Ecp etc 2 Principe d exploitation des resultats On admettra toujours que les interactions d ordre sup rieur 2 ont des effets nuls ou n gligeables e Les contrastes E ou E des facteurs principaux peuvent donc tre consid r s comme tant du m me ordre de grandeur que leurs effets E du plan complet si ces facteurs sont alias s avec des interactions d ordre 3 ou plus e Ilen est de m me pour les interactions d ordre 2 alias es avec des interactions d ordres sup rieurs 28 e En revanche une valeur lev e significative d un contraste faisant intervenir des aliases constitu s de 2 interactions d ordre 2 posera probl me puisqwon ne saura pas quelle interaction attribuer l effet ou sice sont les 2 interactions qui sont significatives Il sera n cessaire dans ce cas d effectuer des exp riences compl mentaires pour identifier l interaction ou les interactions significative s 29 l 2 pr vision des aliases Il est possible de pr voir les couples d aliases au moyen d une math matique simple e Dans le 2 plan sup
13. des r cipients en plastique dont la capacit doit tre 1000 mL e L objectif est d valuer l importance de chacun de param tres susceptibles d agir sur la capacit du r cipient termin afin de ma triser ce volume sur les 8 facteurs tudi s 2 concernent les caract ristiques de la poudre mouler la granulom trie et l humidit et les 6 autres sont des r glages du fonctionnement de la machine e Nous utiliserons un logiciel de statistiques MINITAB comportant un module sur les plans d exp riences D O E pour g n rer les essais faire puis analyser les r sultats 17 G n ration de la matrice d exp rience e Le plan complet 8 facteurs comprend 28 interactions d ordre 2 36 effets au maximum peuvent se r v ler int ressants Il ne sert donc rien d effectuer 256 essais et on n en effectuera initialement que 16 le seizi me e La matrice d exp riences est g n r e automatiquement par Minitab on notera que les 4 g n rateurs d aliases sont E BCD F ACD G ABC et H ABD Les successions d aliases de chaque contraste montrent que les 8 facteurs principaux sont alias s avec des interactions d ordres sup rieurs 2 mais que les interactions d ordre 2 sont alias es entre elles C est un plan de r solution IV 78 Les successions d aliases des interactions d ordre 2 sont AB CG DH EF AC BG DF EH AD BH CF EG AE BF CH
14. e examen statistique des contrastes o E A CE 2 175 e Sachant qu un contraste n est consid r comme significatif e E B DE 0 550 que si sa valeur absolue est sup rieure 2 on Voit que 3 e E C AE 3 325 contrastes ceux contenant A C e E D BE 0 100 et E en jaune sont concern s 9 Z Note la dispersion des mesures E E 7 AC 4 BD 4 55 d indice de Er avait t r alis e E AB CD 0 625 ant rieurement gr ce des r p titions On avait obtenu 6 2 7 L erreur type DPN D BC 0 675 d un contraste est og 6 NN 0 95 On consid re souvent qu un effet est BETRI significatif P 0 05 s il d pass 2or soit 1c1 1 9 arrondi 2 57 Interpr tation du plan initial Apr s avoir r alis ces 8 essais e On voit que les facteurs B fournisseurs de excipient et D ordre d addition des constituants du m lange n ont pas d effet appr ciable sur la couleur de la pr paration Leur interaction BD n en a donc pas non plus e En revanche les contrastes des 3 autres facteurs A C et E sont significatifs mais comme 1ls sont tous alias s avec leurs interactions de 2 me ordre 1l est impossible de dire s 1l y a 1 2 ou m me 3 facteurs actifs et s 1l existe ou non une ou plusieurs interaction s significatives Il est indispensable d effectuer une exp rience compl mentaire pour lever l ambiguit 58 Les aliases et la
15. e tenu du faible nombre d essais par rapport a nombre de facteurs tudi s on peut s attendre avoir assez souvent des ambiguit s lors de l interpr tation des exp riences compl mentaires seront alors n cessaires et conduiront ainsi une exp rimentation fractionn e et progressive du point de vue chronologique 42 Ce concept d exp rimentation progressive vers la connaissance d un proc d est int ressant consid rer en pratique 1l est tr s pr f rable une grosse exp rimentation effectu e en une fois pour de multiples raisons plus de facilit dans l organisation possibilit de r orienter 1 tude en fonction des r sultats partiels moindre co t en cas d chec 43 il 1 fractionnement d un plan en 4 e Reprenons la matrice des effets du plan comp A 2 utilisons maintenant 2 colonnes d interactions pou r aliser le tri des 16 essais les 16 lignes Choisissons par exemple les colonnes ABC et BCD e On obtient 4 fractions chacune de 4 essais dont les caract ristiques sont d signation N des essais caract ristiques s10 DER 210 DIERN BCD 1 BCD 1 45 En n utilisant que les 4 essais d une des fractions on ne peut calculer que 4 contrastes or le plan complet comporte 16 effets en incluant la moyenne des essais chaque contraste est form de 4 aliases que l on peut pr voir Par exemple pour la fraction 1 I ABC A
16. es facteurs tudier de leurs 2 niveaux et de la ou les r ponse s mesurer e La d termination des aliases La matrice des contrastes correspond celle d un plan factoriel complet contenant 2 facteurs de moins que le nombre de facteurs tudier Dans la matrice des effets de ce plan complet on attribue une interaction d ordre2 ou plus s1 possible chacun des 2 facteurs absents d ce plan complet on d finit ainsi 2 g n rateurs d aliases tels qu on est s r de ne pas aliaser des facteurs entre eux Les g n rateurs d aliases d terminent les 2 relations de d finition 49 e La matrice d exp riences les conditions de niveaux des facteurs dans les divers essais est contenue dans la matrice des contrastes L exp rimentation est alors effectu e et les r ponses y mesur es Les contrastes sont ensuite calcul s e Analyse et interpr tation des r sultats Pour tester la signification statistique des contrastes Ibest souvent utile de pr voir quelques essais correspondant des r p titions pour conna tre l erreur type Sp de chaque effet Pour interpr ter les contrastes on admet les r gles suivantes e on n glige les interactions d ordre sup rieur a 2 e quand 2 facteurs ont des effets principaux nuls leur interaction est consid r e nulle e quand un contraste est nul ou n gligeable chacun de ses termes l est aussi 50 1 3 les essais compl mentaires Q
17. es signes pour succession Dus 2 pour succession ous 2 pour succession DUIS 4 r ponse 4 7 1 5 E 11 Effets des facteurs et des interactions Avec les 8 conditions exp rimentales du plan 2 il est possible math matiquement de calculer 8 param tres la moyenne yc des 8 r ponses et 7 effets ind pendants les uns des autres Les effets principaux des 3 facteurs tudi s A B et C dils sont not s E Eg et E gt Les effets de 3 interactions mettant en jeu 2 facteurs A B A C et B C On notera E Eac et Esc leurs effets La signification d une interaction est la m me que pour un plan 2 Il existe une possibilit d interaction entre les 3 facteurs pris ensemble A B C Son effet est not Eygc Les valeurs des effets Les effets d un plan 2 sont obtenus par un calcul faisant intervenir ici les 8 r ponses Ci dessous les valeur des effets donn es par le logiciel Minitab 1 E 4 41 2 Ex 1 86 2 E 0 89 a Ex 0 56 N 2 E 3 89 a Ec 081 Ye 7 94 2 Exec 0 16 moyenne des 8 r ponses interactions EN PRATIQUE _ On trouve assez souvent dans les applications des interactions entre 2 facteurs effet important il est tout fait concevable que 2 facteurs n agissent pas ind pendamment sur la r ponse surtout lorsque es effets principaux de ces 2 facteurs sont grands _ En revanche l existence d une interaction metta
18. g n ration de la matrice d exp riences d un plan compl mentaire e L organisateur a d cid pour exp rimenter une 2 me fraction du plan complet de choisir comme g n rateurs d aliases D ABC 1 et E AC 2 On voit imm diatement que la dissociation entre E et AC sera effectu e cf 11 3 les essais compl mentaires CoMmme 2 indique aussi que CE et C AE les effets de ces 2 facteurs seront galement dissoci s de leur interaction c est un bon plan compl mentaire qui devrait permettre de solutionner les ambiguit s du plan initial e Dans la matrice d exp riences issue du plan 23 il faut inverser les signes et de la colonne AC car AC E le facteur E exp riment est dans cette fraction oppos AC En revanche D remplace ABC sans changement des signes puisqu on a choisi D ABC 99 Valeurs des contrastes et calculs des E Ec Ei Ecg EE Ec E Ec E A CE 2 175 E A CE 0 500 E 1 338 Ecx 0 838 E B DE 0 550 E B DE 100 Ep 0 775 Ep 0 225 E C AE 3 325 E C AE 3 175 Ec 0 075 Ear 3 25 E D BE 0 100 E BE 1 825 Ep 0 863 Egr 0 963 E E AC 4 55 E AC 3 125 Ex 3 838 E4c 0 713 LI Les contrastes dissoci s calcul s partir des valeurs E et E des 2 fractions sont identiques aux valeurs qu on pourrait calculer en consid rant globale
19. it significatif 1l faut alors effectuer les exp riences de l autre 1 2 plan compl mentaire pour lever ambigu t 36 4 Exemple d application plan 2 Exercice n 1 e Ils agit de la mise au point de 5 r glages d un spectrofluorim tre les 5 facteurs tudi s pour assurer les valeurs les plus appropri es des 3 param tres sensibilit bruit de fond s lectivit pour des enre gistrements e el spectres il y a donc 3 r ponses y pour chaque spectr e Un plan complet n cessiterait 32 spectres 1l n en sera effectu que 16 avec le 1 2 plan sup rieur puisqu on choisit comme relation de d finition I ABCDE I ABCDE aliases des facteurs A BCDE B ACDE les 5 effets principaux sont tous alias s avec C ABDE des interactions d ordre 4 D ABCE E ABCD aliases des interactions d ordre 2 AB CDE AC BDE les 10 interactions d ordre 2 sont toutes D alias es avec des interactions d ordre 3 gt n y aura donc pas d ambiguites d interpr tation des contrastes 38 Tableau des valeurs des contrastes ___ action sensibilit Bruit de fond A 0 0887 0 6750 0 106 B 0 8200 0 0125 3 781 0 0025 0 0250 0 031 D f 0 0600 0 0375 1794 E 13000 1 1500 0 056 AB 0 0200 0 1125 0 144 AC 0 0225 0 0250 0 106 AD 0 1850 0 0125 0 081 AE 0 0950 0 0750 0 081 BC 0 1087 0
20. maintien 2 phase qui se situe en fin de fabrication 81 Synth se e Les caract ristiques de la poudre mouler sont donc tr s importantes consid rer pour le volume du r cipient une l vation de l humidit augmente son volume et une augmentation de la granulome trie le diminue Une l vation de la temp rature du four de la machine augmente aussi le volume mais cette augmentation est li e l humidite elle est plus grande avec une poudre tr s humide qu avec une poudre peu humide e Quantitativement en supposant un mod le du ler degr le volume y est fonction de Xc Xr et Xa y 1005 15 3 20X IDR DEA ID L tape suivante consisterait d terminer des valeurs de Xc XE et Xy pour que y 1000 mL 82
21. ment la matrice des 16 essais effectu s 1l s agit d un plan 2 1 avec comme relation de d finition I ABCD LH Le seuil de signification d un effet calcul est plus petit que la valeur 2 utilis e pr c demment Comme chaque effet caleul fait intervenir les 16 essais on peut crire O 2 7 y 9 Op a 0 675 IT Au risque 0 05 un effet est significatif s1 sa valeur absolue est sup rieure 26 1 35 3 effets peuvent tre consid r s comme significatifs juste la limite E et leur interaction AE 61 Synth se et conclusion e 2 des 5 facteurs tudi s agissent sur la couleur de la pr paration la temp rature du m lange A het plus fortement la nature d un additif E Ces 2 facteurs pr sentent une interaction tr s significative l actiomde la temp rature est diff rente selon qu on utilise S ou S2 e Comme les effets estim s sont tous n gatifs la couleur diminue quand on passe du niveau bas au niveau haut d un facteur il y a donc int r t utiliser une temp rature lev e associ e additif S2 pour avoir la couleur la plus faible 62 11 Les plans 2 K k gt 2 e Ces plans concernent le cas o de nombreux facteurs sont tudi s dans l exp rimentat n 6 7 voire plus et pour utilise une petite fraction du plan comple k 3 le huiti me k 4 le seizi me ceci afin de ne pas effectuer d embl e trop d essais 1 mise
22. naires pn k Notations gt 2 nombre de niveaux par facteur gt h nombre de facteurs tudi s K par rapport au plan complet le nombre d essais r aliser est divis par 25 On choisira donc k en fonction de la charge exp rimentale que l on veut supporter en sachant que plus k est grand plus le volume d exp riences est faible mais plus l interpr tation risque d tre d licate Nombre d essais dun plan fractionnaire Z On peut choisir de n effectuer e Que la moiti des essais du plan complet le plan est not 2 1 e Que le guart des essais du plan complet le plan est note e Que le huiti me des essais du plan complet Me plan est not en TC Remarque nest pas permis de choisir n importe quels essais du plan complet Le fractionnement doit ob ir des r gles d organisation pr cises 20 Les plans 27 l 1 fractionnement d un plan 24 en 2 parties Dans la matrice des effets du plan 24 le tri des 16essais les 16 lignes d apr s la colonne d interaction A BCI permet de s parer 2 groupes de 8 essais chacun e Celui pour lequel ABCD 1 est le demi plan sup rieur il comprend les essais 1 4 6 7 10 11 13 et 16 e Celui pour lequel ABCD 1 est le demi plan inf rieur il comprend les essais 2 3 5 8 9 12 14 et 15 e Le plan complet 2 comporte 16 essais il permet la d termination de 16 param tres ind pendants la moyenne des es
23. nt en jeu 3 facteurs simultan ment suppose un syst me tr s complexe et ne se rencontre que tr s rarement Dans la suite nous supposerons toujours qu il n existe pas d interactions d ordres sup rieurs mettant en jeu plus de 2 facteurs Limitation l utilisation des plans factoriels complets Les plans 2 sont simples concevoir et riches en informations ils permettent de d crire quantitativement tous les effets des facteurs et de toutes les interactions Ainsi dans une tude comportant 5 facteurs A B C D et E on peut estimer 31 effets ind pendamment les uns des autres 5 effets principaux 10 interactions entre 2 facteurs AB AC DE 10 interactions entre 3 facteurs ABC ABD CDE n5 interactions entre 4 facteurs ABCD BCDE et 1 interaction constitu e des 5 facteurs ABCDE mais il faut effectuer 32 essais 27 D s que le nombre de facteurs augmente leur mise en uvre devient lourde et co teuse car le nombre des essais devient vite tr s important gt Plans fractionnaires l De l int r t des plans fractionnaires Ce sont des plans qui permettent d effectuer e plus souvent moins d essais que les plans factoriels complets Reprenons l exemple d une tude comportant 5 facteurs Nous ne serons int ress s en pratique que par 16 informations les 5 effets principaux les 10 interactions AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE et la moyenne des r ponses yc Pourquoi ferait on le
24. re ef guid par les signes de la succession des aliases du plan initial 53 1 4 Exemple d application plan 2 Exercice n 2 e Cet exemple concerne l tude de l influence de 5 facteurs chacun 2 niveaux sur la couleur d une pr paration pharmaceutique cette derni re devant tre la plus faible possible La r ponse y est un indice de couleur dont la valeur est d autant plus lev e que la couleur est forte e Avec le plan factoriel complet 1l faudrait effectuer 32 pr parations Il est d cid de n en faire initialement que 8 soit le quart plan 27 2 La matrice des contrastes de ce plan est donc celle d un ET PAS 54 Construction des aliases e Les responsables de l exp rimentation ont d cid que les 2 g n rateurs d aliases seraient dans le plan 2 D ABC E AC Les 2 relations de d finition ind pendantes s en d dt I ABCD 1 I ACE 2 De l galit des 2 relations ABCD ACE on obtient E BD 3 Ces 3 relations 1 2 3 permettent de calculer facilement l ensemble des successions d aliases 1 ABCD OS c KOH E 50 RO d o les successions d aliases du plan initial A CE BCD ABDE B DE ACD ABCE C AE ABD BCDE D BE ABC ACDE E AC BD ABCDE AB CD ADE BCE BC AD ABE CDE I ACE BDE ABCD En jaune figurent les actions mentionner dans les en t tes de la matrice des contrastes Analys
25. s Parmi tous les facteurs susceptibles d influer sur le ph nom ne c est dire sur la ou les r ponses mesur es du ph nom ne lesquels ont une influence significative que vaut quantitativement cette influence existe t il des interactions entrafacteurs Les plans qui permettent de rechercher les facteurs influents sont les plans factoriels complets ou fractionnaires les plans factoriels complets 2 Dans les plans factoriels complets 2 n facteurs sont tudi s Chaque facteur est exp riment sous 2 niveaux souvent appel s niveau bas et niveau haut Pour des raisons de calcul ces niveaux sont cod s par leurs valeurs centr es r duites 1 et 1 Toutes les combinaisons des niveaux de ces facteurs sont tudi es au total 2 d finissant un nombre de 2 essais quand chaque condition exp rimentale est effectu e 1 fois et rx2 essais si on r p te r fois chaque exp rience G n ralit s sur les effets Les plans factoriels permettent de mettre en vidence parmi les facteurs tudi s ceux qui ont une influence sur la r ponse ainsi que d ventuelles interactions entre les facteurs La grandeur de cette influence est appel e effet d facteur ou de interaction Un effet positif signifie que la valeur de la r ponse augmente quand le facteur passe du niveau bas au niveau haut un effet n gatif signifie que la r ponse diminue quand on passe du niveau bas au niveau haut
26. s 32 essais du plan complet Un plan 2 1 2 ne comportant que 16 essais suffit pour obtenir tous les renseignements ci dessus N De l int r t des plans fractionnaires ETO Dans un plan factoriel complet 2 le nombre d essais est multipli par 2 chaque fois que le nombre n de facteurs tudi s augmente d une unit la charge exp rimentale devient vite prohibitive en nombre d essais gt Les plans factoriels fractionnaires qui comme leur nom l indique correspondent des fractions du plan complet permettent de r duire cette charge exp rimentale en ne focalisant l attention que sur les effets les plus importants effets principaux et ventuellement interactions de 2 me ordre Remarques sur les plans fractionnaires 2 Un plan fractionnaire r alise des conomies d essais Mais il y a videmment des contreparties des ambigu tes risquent de survenir lors de l interpr tation des r sultats ceci d autant plus fr quemment que le fractionnement du plan complet est plus grand On sera parfois amen effectuer des exp riences compl mentaires pour lever ces ambigu tes a Ces plans fractionnaires sont ceux qui sont utilises lors de la phase de recherche de tous les facteurs agissan t sur un proc d screening des facteurs du proc d phase dans laguelle on est amen tudier simultan ment de nombreux facteurs parfois proches de la dizaine 18 Les plans factoriels fraction
27. sais estimant la r ponse au centre du domaine et 15 effets vrais e Avec seulement 8 essais on ne peut calculer que 8 param tres ind pendants que l on appellera des effets apparents ou mieux des contrastes 22 les 8 contrastes E du demi plan sup rieur compar s aux effets vrais E du plan complet E gcp 0 3125 E E 4cp 0 2625 lt E 4pgp 0 4375 E 4gc 0 0875 E g E cp 0 2125 E c E pp 0 0625 E p E gc 0 0875 E agcp E m 61 4625 EN TE Ec 0 61875 E n 0 18125 23 les 8 contrastes E du demi plan inf rieur compar s aux effets vrais E du plan complet E 0 3000 MEET ETS E E sn 0 8000 5 0 61875 0 18125 Eb E age 0 0750 24 EIERS D Les tableaux pr c dents montrent que les effets apparents sont gaux 2 2 en valeur absolue un E gcp EB E acp E a cDR efc Ea E 8cr S E acp N E cp herc Les actions sont dites alias es 2 par 2 BCD est l ahiase de A ef r ciproquement ACD l aliase de B CD l aliase de AB etc On crit symboliquement 1 2 plan sup A BCD ou A BCD 1 2 plan inf B ACD ou B ACD AB CD ou AB CD etc 25 Relation entre contrastes et effets vrais du plan complet e Pour le demi plan sup rieur la valeur d un contraste est la somme des 2 effets vrais du plan complet de ses 2 aliases E i E scn Ea Eg
28. tenant un facteur de moins que le plan tudi Il est utile de modifier les en t tes des colonnes en faisant figurer les facteurs et les interactions de 2 me ordre Dans le cas pr c dent on aurait pu utiliser une autre colonne un autre g n rateur d aliases pour fractionner le plan complet ABC par exemple Dans ce cas la relation de d finition I ABC permet de pr voir que est alias avec BC B avec AC etc C est un moins bon plan que le pr c dent les contrastes des facteurs B et C seront plus 34 difficiles interpr ter Par exemple pour un plan 2 pour lequel la relation de d finition est I 2ABCD les aliases sont A BCD B ACD C ABD AN s EA O D AC BD BC AD ABC D I ABCD on utilisera la matrice des effets du plan 2 dont les 8 en t figurent gauche c1 dessus Noter que la colonne ABC est aussi celle du facteur D on remplacera donc ABC par D dans l en t te 3 Analyse des contrastes Quand l exp rimentation est termin e et les valeurs y des r ponses connues les contrastes sont calcul s de la m me fa on que pour un plan factoriel complet Les techniques statistiques qui permettent de d eider si un contraste peut tre consid r comme significatif ou nen sont les m mes que pour les plans complets 4 Interpr tation des r sultats Dans ce type de plan fractionnaire 1l peut arriver qu un couple d aliases mettant en jeu 2 interactions de 2 me ordre so
29. uand l analyse statistique fait appara tre des contrastes significatifs il est parfois difficile de les interpr ter m me en ne tenant compte que des facteurs principaux et desinteractions de 2 me ordre Par exemple dans la fraction 1 du plan 2 pr c dent Supposons que le contraste A D BC soit seul tre significatif On peut certes dire que ce n est pas l interaction BC qui agit puisque les contrastes de B AC CD et C AB BD n ont pas d effets 2e r gle pr c dente Mais on ne sait pas s1 c est le facteur A ou le facteur D qui a une action il est aussi possible que les facteurs agissent tous les 2 Il y a donc une ambiguit dans l interpr tation qui n cessite une exp rimentation compl mentaire 51 On sait cependant que la valeur du contraste E est reli aux effets r els inconnus E et Ep du plan complet par E E 2 E E BC n glig En exp rimentant en plus la fraction 2 ou la fraction 3 on obtiendra un contraste E dont la valeur s crit E Ep x E E BC n glig Ces 2 quations permettent de calculer les valeurs des 2 effets E et E on obtient E E E E E E I2 e En conclusion l exp rimentation d une fraction compl mentaire de la fraction initiale utilis e permet de dissocier les aliases et donc de lever ambigu t apparue lors de 1 interpr tation du plan initial Le choix de la fraction compl mentai
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