UNIVERSITE PAUL SABATIER/INP Septembre 2009 YjY Fonctions
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1. Remarques Attention ne pas confondre borne sup rieure et plus grand l ment not lorsqu il existe max X car la borne sup rieure est le plus petit des majorants de X donc n appartient pas forc ment X par exemple consid rer 0 1 et 0 1 Proposition 1 Dans R toute partie non vide major e admet une borne sup rieure D monstration Admise E Proposition 2 caract risation de la borne sup rieure La borne sup rieure b d une partie X major e de R est caract ris e par YVzrEX rl e YVe gt 0 ILEX b e lt r Remarque Comprendre cette proposition et sa d monstration est essentiel D monstration Vx X x lt b nous dit que X est major par b la deuxi me assertion signifie que tout r el strictement inf rieur b n est pas un majorant de X tout les majorant de X sont donc sup rieur b qui est donc bien la borne sup rieure de X E En consid rant l ensemble X x x X on a aussi des nonc s du m me type pour la borne inf rieure Proposition 3 1 Dans R toute partie non vide minor e admet une borne inf rieure 2 caract risation de la borne inf rieure La borne inf rieure b d une partie X minor e de R est caract ris e par YVzrEX x lt z gt b et Ye gt 0 J3rEX b e gt r Exercices e Soit a R v rifiant Ve gt 0 a lt Montrer que a 0 1 2 Fonctions rudiments de vocabulaire D finition 32. UNIVERSITE PAUL SABATIER I N P Septembre 2009 Fonctions d une variable r elle Continuit 1 PR LIMINAIRES 1 1 La droite r elle rudiments D finition 1 On d finit la valeur absolue d un nombre r el x par x sx gt 0 z max x z T si x lt O Pour x y R x y est la distance entre les deux r els x et y Propri t 1 Soient x y ER ete gt 0 ona 1 z gt 0 et lets 0 2 leyl xl yl 3 z uyl lt x yl 1 Ix yl lt es amp r Ee lt y lt r e 5 lel lul lt le yl D monstration Pour 1 2 3 4 voir votre cours de terminale ou exercice Pour 5 si l on crit x x y y l in galit triangulaire 3 nous donne lt y y soit x ly lt z yl on change alors les r les de x et y pour obtenir l autre in galit CQFD Exercices e D finition 2 Soit X une partie non vide de R et m un nombre r el On dira que m est un majorant de X si VLEX LI M dans ce cas on dira que X est major e et si Vx E X x gt m on dira que m est un minorant de X et X sera minor e Toute partie la fois major e et minor e sera dite born e La borne sup rieure d une partie X C R est lorsqu il existe le plus petit des majorants de X on la note sup X de m me la borne inf rieure d une partie X C R est lorsqu il existe le plus grand des minorants de X on la note inf X 1 2
3. Soient E F deux ensembles et f E F une application On dira que f est injective si et seulement si Yx x E E f x f x x x On dira que f est surjective si et seulement si Yy E F 3xEE y f x On dira que f est bijective si elle est injective et surjective autrement dit si et seulement si Vye F3xeE y f x Il eriste alors une application not e f1 F E v rifiant rof i EREKE injective et surjective non injective mais surjective injective mais non surjective Exemples exercices e La fonction f R R d finie par f x x est surjective mais pas injective par contre la fonction g R R d finie par f x x est ni surjective ni injective Enfin la fonction h R gt R d finie par f x y z est sbijective e Soient E F G trois ensembles et f E F g F G Si go f est injective montrer que f est injective Si g o f est surjective montrer que g est surjective e Montrer que la compos e de deux injections resp surjections bijections est une injection resp surjection bijection D finition 4 1 Soit A C R sym trique par rapport l origine i e x E A x A on dira que f A R est paire si f x f x Vx Si f x f x Yx A on dira que f est impaire 2 On dira qu un r el T est une p riode de f R gt R si f x fla T V
4. f xo l lt Yz L La diff rence est que dans la d finition de la continuit uniforme le n marche pour tous les xs il est uniforme en zo Th or me Toute fonction f continue sur un intervalle ferm born a b est uniform ment continue D monstration Admise E Remarques mode d emploi e Dans la pratique pour montrer qu une fonction continue f I R est uniform ment continue sur T on dispose ormi la d finition de deux conditions suffisantes la premi re est que J soit un intervalle ferm born voir th or me plus haut o un peut plus g n ralement que f admette une limite finie aux points fronti res de I voir lexercice 3 de la feuille 6 la seconde est que f soit a Lipschitzienne sur T i e qu il existe deux constantes gt 0 C gt 0 telles que f x f y l lt Cle y Vx y I par exemple pour assurer la continuit uniforme sur R de f x sin yz voir feuille 6 e Pour montrer qu une fonction continue f 1 R n est pas uniform ment continue sur 7 on cherche en g n ral voir de multiples exemples en TD dans 7 deux suites x Yn n v rifiant 13 limp En Yn 0 et IC gt 0 f n f Yn gt C Yn gt no ces deux suites convergent vers lune extr mit 7 l o l uniforme continuit se perd 3 3 Applications r ciproques Th or me Soit f I R une application monotone sur un intervalle 1 s
5. et de la notion de limite Exemples exercices e La fonction f d finie par f x j E r que nous avons vu si x 0 au paragraphe pr c dent admet la limite 0 f 0 1 en 0 elle n est donc pas continue l origine quel type de discontinuit avons nous 2 si x gt 0 1 six lt 0 de deux mani res diff rentes par la d finition et avec les suites quel type de discontinuit avons nous e Montrer que la fonction f d finie sur R par f x n est pas continue en x 0 1 x 1 5 e M mes questions avec f x Le Re et f x lou DRE 1 si x Q 1 si x Propri t 3 Soient f g la b R et cela b si f et g sont continues au point c alors 1 f g est continue au point c 2 Af est continue au poit c pour tout AER 3 f g est continue au point c 4 Si glc 0 alors f g est continue au point c 5 f est continue au point c 6 Soit J un intervalle contenant f la b eth J R une application continue en f c alors go f est continue au point c D monstration Exercice A Applications On en d duit facilement la continuit des fonctions usuelles sur leur do maines de d finition polyn mes fractions rationnelles fonctions trigonom triques log exp 11 ainsi que toutes celles que l on peut d duire des pr c dentes par combinaison lin aire multipli cation composition sur leur domaines de d finition 3 2 Les th or m
6. et strictement d croissante elle admet donc une application r ciproque continue arcos 1 1 0 7 e L application sin 7 2 7 2 1 1 est continue et strictement croissante elle admet donc une application r ciproque continue arcsin 1 1 7 2 7 2 e L application tan 7 2 7 2 R est continue et strictement croissante elle admet donc une application r ciproque continue arctan R 7 2 7x 2 e L application ch R R d finie par ch x e e 2 est continue sa restriction R strictement croissante valeurs dans 1 00 elle admet donc une application r ciproque continue argch 1 oo R e L application sh R R d finie par sh x e e 2 est continue strictement croissante valeurs dans elle admet donc une application r ciproque continue argsh R gt R e cct 22 octobre 2009Lass re Patrice Institut de Math matiques de Toulouse laboratoire E Picard UMR CNRS 5580 Universit Paul Sabatier 118 route de Narbonne 31062 TOULOUSE Page perso http www math univ toulouse fr lassere agreg html M l lassere picard ups tlse fr
7. limites infinies 1 Soient f Ja o R une application On dira que f admet pour limite l R lorsque x tends vers oo et on crira lim f x l si et seulement si Ve gt 0 JA e gt 0 z gt Ale Meet De m me on dira que f b R admet pour limite l R lorsque x tends vers oo et on crira liMsr o f x l si et seulement si Ve gt 0 JA e gt 0 z lt Ale f zr l lt e 2 Soient f Ja oo R une application On dira que f admet pour limite lorsque x tends vers 00 et on crira liMs f x 00 si et seulement si YA D IAA e a Se Er De m me on dira que admet f admet pour limite o o lorsque x tends vers et on crira limy to f 0 si et seulement si yA lt 0 IKA gt 0 RE JGA 3 Pour f b R on d finit de la m me mani re les limites lims f x 00 exercice Pr cisions e Silim _ 1 f x lle graphe de f tends vers la droite y l lorque x tends vers 00 autrement dit le graphe de f sera dans le tube l lt y lt l pourvu que x soit assez grand i e pourvu que x gt c est tr s exactement ce que veut dire Ye gt 0 1A gt 0 z gt Ale jf x ll lt e e De m me dire que lim _ f x c est dire que le graphe de f sera au dessus de toute droite horizontale y pourvu que x soit suffisament grand i e pourvu que x gt B autrement dit YA gt 0 3 B A gt 0
8. x gt Ble f x gt A Ces deux situations sont illustr es sur les figures ci dessous 2 B A fig 4 1 lim f x gt fig 42 lt lim f x T 00 Exercices e Montrer que la fonction sinus n admet pas de limite en 00 ix R e Etudier l existence de limite l origine des fonctions suivante f x T 5 0 a si x 0 lz six lt 0 g et h x z LER glz z 1 si z gt 0 il e Soient f x x g x sin x x R montrer soigneusement que pour tout c R lim f et him 906 sin c e Montrer que lim _ 2_ tan x 00 e Montrer que lim arctan x 7 2 2 2 Propri t s Proposition 4 funicit de la limite Si f a b R admet une limite en c Ela b elle est unique Exercice Faire de m me pour les limite gauche droite en l infini Pp 1 D monstration Supposons que f admette deux limites l l au point c et posons IL l Alors vu les hypoth ses nous pouvons crire lim f x 4 4 gt Ye gt 0 1m E gt 0 0O lt r cl lt m e f x hl lt Ee T C lim f x Ve gt 0 3m e gt 0 O lt Iz d lt me f x bl lt e LT cC gt 0 tant arbitraire choisissons 0 3 alors pour tout x a b v rifiant x e lt ma E min n2 nous aurons l la lt f x l l2 f x lt 8 3 8 3 2
9. 6 3 ce qui est absurde CQFD E Proposition 5 f a b R admet une limite l au point c E a b si et seulement si Miian JE i iie e D monstration Exercice cela r sulte des d finitions E Le r sultat qui suit est fondamental il permet de traduire en termes de suite la notion de limite ce qui rend souvent les choses plus faciles manipuler Th or me 1 f a b R admet une limite l ER au point c E a b si et seulement si pour towie Toe Eae ele Nder lt impir e iig jE l Remarque Ce th or me reste valable si a 00 ou l 00 par exemple lim _ f x 4 si et seulement si pour toute suite x tendant vers 00 la suite f x tends vers 4 D monstration e condition n cessaire Par hypoth se lim _ f x l autrement dit 1 Ve gt 0 3n e gt 0 x c lt e f x tl lt e Consid rons maintenant une suite n convergente vers c nous avons donc 2 Ve gt 0 3 N e gt 0 n gt N e gt rn e lt e gt 0 tant fix choisissons N e tel que n gt N e implique zn c lt n e un tel choix est possible vu 2 alors x c lt n e implique vu 1 que f n I lt R sumons nous nous avons montr que pour tout gt 0 il existe un entier N e v rifiant n gt N e f amp n lt ce n est rien d autre que la d finition de lim f n l CQFD e condition suffisante lt On proc de par co
10. aleur de la fonction au point c est sans importance pour sa limite la limite traduit le comportement de la fonction lorsque x est de plus en plus proche du point c Par exemple les fonctions d finies sur 0 1 par f x x et g x x si x 1 f 1 0 admettent toutes les deux 1 comme limite en x 1 1 1 1 f gt g e Avec la d finition de la valeur absolue Ve gt 0 3l gt 0 O lt Ir c lt n e f x il lt e quivaut Ve gt 0 1n e gt 0 c ne lt r lt c n e l e lt f x lt l Ee Autrement dit au voisinage de c et pour tout gt 0 c est l erreur aussi petit qu on le d sire le graphe de f sera une distance inf rieure de l c est f x 1 lt pourvu que x soit proche de c i e pourvu que 0 lt x c lt n e De mani re imag e lim _ f x l si et seulement si pour tout bande horizontale centr e en l et d paisseur 2e voir la figure ci dessous il existe n e gt 0 tel que le graphe de f sur c n c n e c est tout entier inclu dans la bande 1 C F Tje figure 2 lim f x l TeC e Si f n admet pas l comme limite au point c il faut donc trouver un gt 0 tel que pour tout n gt 0 il existe x E e n c n c v rifiant f gt o e I est parfois utile ou plus agr able de se ramener une limite en z ro par un changement de variables i e lim
11. c est la m thode de r solution par dichotomie on s arr te lorsque b a 2 est inf rieur ou gal la pr cision demand e pourquoi e Ce th or me est trivialement en g n ral faux si f n est pas continue par exemple consid rer 1 i R f z n on gt il est aussi faux si I n est pas un intervalle par exemple l application 1 si x 0 1 si x gt 0 1 si x lt 0 continue d finie sur R par f x l prends les valeurs 1 et 1 mais ne s annule jamais Th or me des valeurs interm diaires Toute application f continue sur un intervalle a b f prends toutes les valeurs comprises entre f a et f b D monstration Si d est compris entre f a et f b appliquer les th or me pr c dent la fonction x f x d E Corollaire L image d un intervalle par une fonction continue est un intervalle D monstration Exercice f 1 sera un intervalle ssi y1 y2 f y y2 f D pour cela appliquer convenablement le th or me des valeurs interm diaires E Remarques e L intervalle peut tre r duit un point si f est constante I R f 12 alors f I 12 12 e Si f n est pas continue tout ceci n a plus de sens par exemple l image f R pour la fonction f x e Si J n est pas un intervalle le r sultat ne subsiste pas non plus consid rez par exemple la fonction continue sur R et d finie par f x L Ser alor
12. es fondamentaux Th or me Soit un intervalle de R et f I R une application continue Si a et b sont deux points de 7 tels que f a f b lt 0 alors il existe c a b tel que f c 0 D monstration Supposons par exemple que a lt b Quitte changer f en f on peut supposer que f a lt 0 lt f b On construit alors deux suites a et b par r currence de la mani re suivante On commence par poser ao a et bo b on a donc f ao lt 0 lt f bo Supposons maintenant an et bn construits tels que a lt bn et f an lt 0 lt f bn posons cn antn alors si f c lt 0 on pose an1 Cn t bn41 bn si f c gt 0 on pose an 1 an t bn41 Cn Dans les deux cas on a an lt an lt bn41 lt bn et f an 1 lt f bn 1 La suite an n est donc croissante b est d croissante et an lt bn Vn N En outre par construction nous avons bn an E Yn EN soit lim a bn 0 les suites sont donc adjacentes elle convergent vers la m me limite c a b et comme par construction f a lt 0 lt f b Vn N en passant la limite la continuit de f au point c nous donne f c 0 CQFD E Remarques e On peut noncer ce r sultat en disant que sur un intervalle une fonction continue qui ne s annule pas doit garder un signe constant e La m thode pr c dente donne un algorithme simple pour trouver la valeur approch e d une solution de l quation f x 0
13. f x l limy_o f c h L Par exemple calculer la limite au point a de la fonction f d finie sur R a par f x Faire de m me pour f x Z n gt 2 g a r a On d finit de m me les limites droite et gauche en un point D finition 7 1 Soient a lt b deux nombres r els f Ja b R une application On dira que f admet pour limite droite l R lorsque x tends vers a et on crira lim _ f x limga z gt a J l si et seulement si Ve gt 0 J3 n e gt 0 a lt r lt a nle f z 1l lt e 2 De m me on dira que f admet pour limite gauche l R lorsque x tends vers b et on crira lims _ f x liMmz b z lt f x L si et seulement si Ve gt 0 3n e gt 0 b nle lt r lt b f z l lt e 3 Enfin pour c E a b on dira que f admet pour limite gauche l R lorsque x tends vers c par valeurs inf rieures si la restriction f a c R de f au segment Ja c admet l comme limite gauche au sens pr c dent On d finit de m me la limite droite au point c ya si x 0 1 Exemple La fonction f 0 2 R d finie par f x 4 1 2 si z 1 admet 1 x 1 si x l 2 comme limite gauche en x 1 et z ro comme limite droite en x 1 elle admet aussi 0 comme limite droite en x 0 et 1 comme limite gauche en x 1 A 1 Exercice e Montrer que limz S tal 2 D finition 8 limites en et
14. i f T est un intervalle alors f est continue sur T En particulier si f Z R est continue et strictement monotone elle induit une application r ciproque f t f 1 I qui est continue D monstration On suppose par exemple f croissante Soit a I qui n est pas la borne sup de T ie si par exemple 7 2 3 alors a 2 3 f tant croissante elle admet en a une limite droite l gt f a penser aux suites Supposons que l gt f a alors x gt a f x gt 1 etr lt a gt f x lt f a La fonction f ne prends donc aucune valeur entre f a et l mais puisque a n est pas le plus grand l ment de 1 il existe b T b gt a qui assure f a lt 1 lt f b et tout ceci est absurde car f T est un intervalle et donc f a f b f 1 Ainsi L f a f est donc bien continue droite sur T sup 1 on montre de m me que f est continue gauche sur T inf f est bien continue sur T Pour l application si f est continue sur l intervalle J alors f T est un intervalle c est le TVI et tant strictement monotone elle r alise une bijection f7 f T I qui sera aussi strictement monotone l crire la premi re partie du th or me assure alors la continuit de f sur f T E Il en r sulte la continuit des applications r ciproques de fonctions usuelles nous les tu dierons plus en d tail bient t Applications e L application cos 0 7 1 1 est continue
15. ion 9 Soit f la b R et c Ela b on dira que f est continue au point c si et seulement si f admet une limite l en c etl f c autrement dit Ve Dante dr el lt nle f flol lt e On dira que f est continue sur a b si elle est continue en chaque point de Ja b Remarque Pour la continuit il faut donc deux choses l existence de la limite l et l galit l f c Si l on reprend l exemple du d but figure 1 ou les deux fonctions admettent 1 comme limite en x 1 seule f est continue 10 1 1 1 f gt g Propri t 2 1 Une fonction f sera continue au point c si et seulement si pour toute suite th n convergente vers c la suite f n n converge vers f c 2 Si f est d finie sur Ja b c mais admet une limite l au point c alors si on pose f c l f f sur Ja b c la fonction f ainsi d finie est continue au point c c est le prolongement par continuit de f au point c 3 Si f la b R n admet pas de limite l au point c la b alors deux cas peuvent se produire ou bien f admet des limites droite et gauche au point c distinctes on dira alors que f pr sente au point c une discontinuit de premi re esp ce ou bien au moins une des deux limites gauche et droite n existe pas on dira alors que f pr sente au point c une discontinuit de seconde esp ce D monstration Ce sont des cons quences imm diates de la d finition de la continuit
16. ntrapos el si f ne tends pas vers l au point c alors il existel amp gt 0 tel que pour tout 7 gt 0 il existe x a b c v rifiant simultan ment 0 lt z cl lt n et f 1 gt o n tant arbitraire on choisit pour tout n N n 1 n il existe alors x Ja b c v rifiant 0 lt x c lt 1 n et f n 1 gt o 0 lt rx c lt 1 n pour tout n gt 1 implique que lim x c mais f x l gt pour tout n gt 1 nous assure que la suite f n n ne peut converger vers l on a donc bien non 1 CQFD E Remarque Cette caract risation de la limite est bien utile pour montrer qu une fonction n admet pas de limite en un point par exemple s il existe une suite x convergente vers c telle que f x diverge alors f n admet pas de limite au point c aussi s il existe deux suites Tn n t Yn n toutes deux convergentes vers c mais telles que les suites f n n et f Yn n convergent vers des limites diff rentes alors encore une fois f n admet pas de limite au point c Exercices e Montrer avec les suites que la fonction sinus n admet pas de limite en 00 e La fonction d finie sur R par f x sin x admet t elle une limite en x 0 1 Contrapos e pour montrer une implication 1 2 il est quivalent de montrer non 2 non 1 c est le raisonnement par contrapos e bien remarquer qu il est different du raisonnement par l absu
17. rde qui consiste supposer simultan ment 1 et non 2 pour en d duire une contradiction 2 C est la n gation de Ye gt 0 n e gt 0 d lt e f x lt e Proposition 6 propri tes usuelles des limites Soient o lt a lt b lt 00 et f g Ja b admettant en un point c E a b une limite lim _ f h lim g x l2 Alors 1 f est born e sur un voisinage de c 1 Si f est born e au voisinage de c et slim f x 0 alors limzs e f x g x 0 2 lim f x g x h l2 lime MG AU VAER 4 liese J J g x Fa h Re 5 Sil 0 lims 6 imz e f x h E MG ele h n20 PU Z oy imsej h nee hi 2 l 9 th des gendarmes f gt g gt h eme f limz gt c h x l gt limpe glx l a Il est essentiel de bien connaitre les in galit s EF PI lt x y lt z yl D monstration On pourrait bien s r invoquer les cours sur les suites mais cela est peu sportif il faut manipuler les etn 4 Pour x ja b on peut crire Lf x g x hill 1f x g l2 lbf 2 lt lt If lg l lll f ll et comme f admet une limite en c elle est born e au voisinage de c c est 1 donc f x g x l2 tends vers 0 Si x tends vers c c est 1 de m me lo f x h tends vers 0 en c et le r sultat suit 9 a 3 CONTINUIT 3 1 D finitions propri t s g n rales D finit
18. s f R 2 2 qui n est ieie i z K est 12 U R qui n est pas un intervalle 12 si x 0 2 six lt 0 pas un intervalle Th or me Toute fonction f continue sur un intervalle ferm born a b est born e et atteint ses bornes D monstration Peut tre E Remarques e Tout comme le th or me des valeurs interm diaires ce dernier r sultat est dans la pratique fondamental et il est essentiel de bien savoir l utiliser e Le fait que l intervalle doit tre ferm born est essentiel par exemple la fonction continue d finie sur 0 1 par f x x est born e mais n atteint pas sa borne sup rieure qui est 1 de m me la fonction continue sur 0 1 et d finie par g x 1 x 1 n est cette fois pas major e enfin la fonction d finie sur l intervalle ferm non born 0 oo d finie par f x e est born e minor e par 0 mais n atteint pas sa borne inf rieure 4 Continuit uniforme D finition Soit J un intervalle de R f IZ R on dira que f est uniform ment continue sur T si et seulement si Ve gt 0 3n e gt 0 z zo lt nle enr lt e YzoE T Remarques Voici ci dessous les d finitions de la continuit sur Z et celle de la continuit uniforme Vro E I Ye gt 0 Jne zo gt 0 zo lt nle zo f x f xo l lt Ve gt 0 n e gt 0 r zo lt nf f x
19. z ER Sif admet une p riode T non nulle on dira que f est T p riodique Exemples exercices e Si f est impaire et 0 montrer que f 0 0 e Montrer que toute fonction f A R se d compose de mani re unique sous la forme f g h avec g paire et h impaire D finition 5 S il existe m E R tel que Vx EX f x lt m on dira que f est major e sur X on d finit de la m me mani re la notion de fonction minor e sur X Toute fonction f la fois major e et minor e sur X sera dire born e sur X Soit X une partie non vide de R et f X R on dira que f pr sente pointa X un mazimum si Yx E X f x lt fla elle pr sente au point a un maximum local si 1h gt 0 Vre XNa h a hl f x lt fla on le nomme aussi maxrex f x On d finit de la m me mani re les notions de minimum et de minimum local Exercices e Soit f R R d finie par f x T Montrer que f est major e sur R admet elle un maximum Montrer que f est minor e sur R admet elle un minimum 2 LIMITES 2 1 D finitions exemples D finition 6 Soient a lt b deux nombres r els f a b R une application Pour c Ela b on dira que f admet pour limite l R lorsque x tends vers c et on crira lim _ f x l si et seulement si Ven 00 re ne Pere Commentaires e Bien remarquer que 0 lt z c lt n E x ne peut donc tre gal c La v
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