Déplacements et Antidéplacements • Produit d`une REFLEXION par
Contents
1. Pour d montrer ce r sultat il suffit d crire les relations vectorielles qui lient les points M Mi et M et en utilisant la relation TJ TV on obtient la relation JM JM Pour Pisom trie g Sp f on D lt op re de la m me mani re et on obtient galement une R flexion d axe D parall le D Avec D image de D par la translation de vecteur w 4V 1 2 Mi 3 cas et Y Non Colin aires l isom trie f t 05 8 ram ne une Sym trie Gliss e d axe A D et de vecteur proj v sur c est dire que f t Sp A tant obtenu par une translation de vecteur w V appliqu e D D mo on a Sp o SA t Donc par composition droite 2 avec Sa on obtient Sp fg SA et par suite t oS fto to SA Orona to t t ot t v BH AB BH AH Par suite on a f t SA CQFD On d montrerait de m me que l isom trie g est une sym trie gliss e d axe A D et de vecteur directeur g p V sur A tant d duit de D par une translation de vecteur w 1 En R sum le produit d une sym trie orthogonale par une translation est une sym trie translation ou sym trie gliss e sauf lorsque le vecteur de la translation est un vecteur normal l axe de sym trie dans ce cas c est une r flexion Rappel le produit d une sym trie orthogonale par une rotation est une r flexion ou une sym trie2. iml ecole alsacienne org Fiches de r vision Term Sp cialit 2000 p 1 3 D placements et Antid placements Produit d une REFLEXION par une TRANSLATION Mode d emploi prendre un paquet de feuilles de brouillons refaire les figures et crire les quations vectorielles correspondant chaque cas R f rences Chapitre 13 Terracher Term S Sp cialit Soit Sp une R flexion d axe D d finie par un point A et un vecteur directeur Soit t une Translation de vecteur V On tudie les transformations f t Sp t Spot NB dans le contexte des transformations du plan les mots produit et compos e not s o sont synonymes NB On dit que deux transformations co ncident en un point si elles donnent la m me image de ce point RAPPELS 1 On appelle Transformation du Plan toute Bijection du Plan sur lui m me Ex translation homoth tie rotation sym trie centrale sym trie axiale similitude et leurs compos es 2 On appelle Isom trie du Plan toute Transformation qui conserve les distances Ex translation hometh tie rotation sym trie centrale sym trie orthogonale similitude 3 On appelle D placement toute Isom trie qui conserve le sens de angles Ex translation koemeth tie rotation sym trie centrale sym trie axiale similitude 4 On appelle Anti D placement toute Isom trie qui inverse le sens des angles EX translation homoth t
3. affixe w de rapport k a et d angle Arg a 2x Th or me des anti d placements toute application complexe de la forme z gt z aZ b avec aE Cet bEC et a 1 est un anti d placement c est dire une r flexion ou une sym trie gliss e Cas particuliers remarquables 1 la transformation z gt z Z est la r flexion d axe Ox dans le plan complexe 2 la transformation z z Z est la r flexion d axe Oy dans le plan complexe 3 la transformation z gt z aZ est la r flexion d axe D dont un vecteur directeur fait avec Ox un angle gal la moiti de l argument de a 4 la transformation z gt z aZ b aveca C et bEC et a 1 est la compos e de la pr c dente avec la translation de la forme z z z bc est donc bien une r flexion ou une sym trie gliss e Pour savoir dans quel cas on se trouve il suffit de rechercher les points fixes ventuels S il y a des points fixes c est une r flexion ou l identit sinon c est une sym trie gliss e La plupart des exercices voir exos faits en classe dans les annales consistent d terminer la position des axes et le vecteur de la translation En g n ral il suffit de suivre exactement les questions des nonc s sans chercher appliquer directement les th or mes ci dessus Dernier rappel la compos e de deux translations est encore une translation mais la compos e de deux sym tries centrales So et So dans cet or
4. dre est une translation de vecteur 200 d mo instantan e faire la figure Enfin la compos e d une sym trie Centrale S et d une Translation t_ est une sym trie centrale dont le centre O se d duit de O par une translation de vecteur w 1v L aussi il suffit de faire les figures et d crire les relations vectorielles associ es pour en faire la preuve NB Attention ces deux derniers produits ne sont pas commutatifs Citation du jour pour les sp cialistes Tor euery problem there is a colution which is simple clean aud wrong Henry Louis Mencken Good Luck
5. gliss e car la composition d un d placement et d un anti d placement ne peut tre qu un anti d placement En effet la rotation se d compose en produit de r flexions le probl me se ram ne donc celui d un produit de 3 r flexions selon la position relative des axes on pourra obtenir une r flexion pure ou une sym trie gliss e si l un des axes de la d composition de la rotation est parall le l axe de r flexion donn NB Ces r sultats ne sont pas apprendre par c ur mais les m thodes de d composition ou de recomposition sont remarquables et doivent tre connues pour pouvoir faire les exercices iml ecole alsacienne org Fiches de r vision Term Sp cialit 2000 p 3 3 D placements et Antid placements Produit d une REFLEXION par une TRANSLATION Equations Complexes d un D placement et d un ANTI D PLACEMENT Rappel toute application complexe de la forme z gt 7 az baveca CetbiC et a 1 est une translation si a 1 une rotation si a 1 une homoth tie si a I R On d termine les l ments de ces transformations en recherchant un point fixe solution de l quation obtenue en faisant z z Si a 1 le point fixe est le point d affixe w b 1 a et on peut crire l quation sous la forme a r z a z w a IM IM Arg a et lq ei m Si a 1 la transformation associ e est une similitude de centre I d
6. ie rotationsym trie centrale sym trie orthogonale R flexion similitude Dans les paragraphes qui suivent on va tudier un anti d placement particulier la Sym trie gliss e REMARQUE Le mot de D placement voque videmment le mouvement d une figure plane et rigide que l on fait bouger dans le plan sans jamais la retourner sur elle m me Au contraire l Anti d placement voque le fait que l on a retourn la figure nombre impair de fois On classe les Isom tries galement par le nombre de points fixes qu elles poss dent Aucun point fixe Translations et Sym tries gliss es 1 point fixe Homoth ties Rotations Sym tries Centrales Similitudes Plus d un point fixe R flexion Sym trie Orthogonale NB Th or mes des points fixes on d montre que 1 Si une Isom trie poss de au moins un point fixe c est une Rotation ventuellement l Id ou une R flexion 2 Si une Isom trie poss de au moins 2 points fixes alors cela ne peut tre qu une R flexion ou l Identit 3 Si une Isom trie poss de 3 points fixes non align s cela ne peut tre que l Identit dans le Plan 4 Enfin par cons quence imm diate si deux isom tries co ncident en au moins 3 points non align s alors elles sont n cessairement identiques Cas Particulier si deux Rotations de m me angle co ncident en au moins un point alors elles sont identiques ie qu elles ont m me centre et m me angle Ce r sultat per
7. met de trouver le centre d une rotation en la comparant une rotation connue 1 cas et V colin aires l application f r o S se nomme Sym trie gliss e ou sym trie translation On d montre facilement que cette transformation n admet aucun point fixe donc ce n est pas une R flexion et qu elle n est pas non plus une Translation car l image d un vecteur MN quelconque est un vecteur M N de m me norme mais non colin aire MN Le produit d une Sym trie Orthogonale par une Translation de m me direction que l axe ne se r duit donc aucune des Isom tries simples On doit donc la consid rer comme une isom trie particuli re Dans la R flexion d axe D les distances sont conserv es mais les angles sont invers s par contre dans la translation les distances et les angles sont conserv s Donc globalement l application f est une isom trie qui inverse les angles c est dire un anti d placement La figure montre l vidence que dans ce cas particulier le produit est commutatif g f iml ecole alsacienne org Fiches de r vision Term Sp cialit 2000 p 2 3 D placements et Antid placements Produit d une REFLEXION par une TRANSLATION 2 cas et Y perpendiculaires l isom trie f t o Sp est une R flexion d axe D parall le D Avec D image de D par la translation de vecteur w 1
Download Pdf Manuals
Related Search