Égalité d`aires Énoncé
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1. quation s crit x 4 x 5 0 et v rifier la conjecture faite au 2 Production demand e Construction d une figure dynamique permettant de r aliser une conjecture sur la position du point M Mise en quation du probl me R solution de l quation de l quation en 3 d D apr s une preuve pratique de l acad mie de Versailles 1 Epreuve pratique de maths en 3 Sujet 003 Strasbourg 2009 Solution avec Geogebra Question 1 Le rectangle ABCD a des dimensions fixes enti res le plus simple est d utiliser l outil polygone y et de travailler sur la grille Une fois le rectangle trac aux bonnes dimensions on fixe les points A B Objet fixe CetD dans les propri t s de chaque point pour tre s r de conserver le rectangle Remarques e est souhaitable de r gler axes Grille syst matiquement la grille en Grille Gras Isom trique Couleur EE entrant dans Geogebra Clic droit sur la feuille pour Distance x 1 gli h acc der au menu contextuel Dans le cas pr sent on affiche la grille et on cache les axes inutiles e Pour utiliser un outil il est toujours utile de lire son mode d emploi simplifi en haut droite des ic nes d outils e Siles dimensions du rectangle taient plus exotiques ex 5 55 ou V2 ou autre la r alisation la main sur la grille serait difficile ou impossible dans ce cas il faudrait Ce utiliser outil cercle centre et rayo2. Sujet 003 preuve pratique de math matiques en troisi me Fiche l ve F acad Strasbo de bureau Egalit d aires Minist inist re de l Enseignement sup rieur et de la Recherche Enonc On consid re un rectangle ABCD tel que AB 8 et AD 10 Pour tout point M du segment AB on consid re le point J du segment AD et le point I tels que AMIJ soit un carr On appelle H le point d intersection des droites 1J et BC et K le point d intersection des droites MI et CD Le but de l exercice est de chercher les positions du point M pour lesquelles la somme des aires des quadrilat res AMI et CKIHsoit gale la moiti de l aire du rectangle ABCD 1 l aide d un logiciel de g om trie dynamique faire une figure Appeler l examinateur pour une v rification de la figure 2 Faire afficher les distances AM IH et IK ainsi que les aires des quadrilat res AMI et CKIH Faire varier le point M sur le segment AB et faire une conjecture sur les positions du point M qui semblent convenir au probl me Appeler l examinateur pour une v rification de la figure et de la conjecture 3 On note x la longueur du segment AM a Exprimer en fonction de x l aire du carr AMI b Quelle est la nature du quadrilat re CKIH Exprimer son aire en fonction de x c Traduire le probl me par une quation d inconnue x Appeler l examinateur pour une v rification de la figure d Montrer que cette
3. n ou l outil segment point longueur lt pour avoir la bonne longueur On place un point M libre sur le segment AB l erreur de d butant est de placer M n importe o puis de l amener sur AB Quand le point est plac directement sur le segment il ne peut plus le quitter Le point J est obtenu par intersection du cercle de centre A passant par M et du segment AD On pT i X trace d abord le cercle puis on marque J dki n o R 3 m On m ne ensuite des perpendiculaires ou des parall les H aux bons endroits pour placer puis H et K par intersections x Question 2 Pour afficher les longueurs AM IH et IK on peut tracer les segments correspondants puis dans les Afficher l tiquette Valeur propri t s de l objet utiliser T Pour afficher les aires des quadrilat res on peut commencer par les tracer x puis utiliser mm Pour trouver la conjecture il faut dire quand la somme des 2 aires est 40 ici les valeurs sont simples et on peut le faire de t te il aurait t plus efficace de faire afficher cette somme avec l outil texte ABC avec le texte suivant par exemple attention aux guillemets La somme des 2 aires est X O X est une variable calcul e auparavant contenant cette somme et que l on g n re sur la ligne de saisie du bas de l cran par X poly2 poly3 o poly2 et poly3 sont les valeurs des aires de chacun des polygones En bougeant le point M su
4. r AB et en regardant simultan ment l affichage on arrive la conjecture Il semble que l on trouve 40 quand AM 5 o AM A4 Question 3 La partie informatique est termin e ici il faut d montrer et c est souvent dur pour les l ves Erreur entre c et d il n y a pas de figure montrer mais des calculs et la rigueur un croquis si l on a pas gard la figure de Geogebra aire AMIJ x CKIH est un rectangle car il a 3 angles droits aire CKIH 8 x 10 x x2 8 x 10 x 40 ou 2x 18x 40 0 ou x 9x 20 0 soit x 5 x 4 0 quation produit qui a 2 solutions 5 et 4 Adaptation au lyc e 1 niveau cool m me sujet mais l une des dimensions du rectangle n est pas connue 2 niveau m me sujet sauf que cette fois les dimensions du rectangle sont 2 inconnues a et b Premier int r t il va falloir construire un vrai rectangle dynamique de dimensions libres Deuxi me int r t la conjecture est un peu plus dure deviner on peut aider en demandant de tester quelques valeurs enti res de a et b Troisi me int r t on travaille sur une quation du second degr param tr e sym triquement en a et b facile traiter
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