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Mode d'emploi

1. 0 a b c b Position sur le cercle 78 La trajectoire d une boule dans un billard n est autre qu une succession de rebonds et chacun de ces rebonds peut tre d crit math matiquement par sa position sur le cercle et langle sous lequel il le frappe Pour repr senter ceci math matiquement on lt d roule gt le cercle en une ligne horizontale et au dessus de chaque endroit o la boule a rebondi on place un point une hauteur qui correspond l angle de ce rebond Dans l illustration ci dessus cet angle A tant toujours gal 50 tous les points vont se trouver la m me hauteur Plus g n ralement puisque l angle de rebond est conserv chaque trajectoire va appara tre comme une succession de points r partis sur la m me horizontale C est la rai son pour laquelle le portrait de phase est symbolis par une s rie de lignes horizontales Cette repr sentation met en vidence la r gularit des trajectoires cons quente la par faite sym trie de ce billard Un tel diagramme dans lequel la trajectoire d une boule est r duite une succession de points chacun de ces points donnant la position et l angle d un rebond est un portrait de phase dans le cas pr sent c est celui du billard circulaire Bien entendu cette repr sentation est moins naturelle que le dessin na f des trajectoires mais elle offre l avantage d en r v ler les propri t s cach es Quel serait maint
2. 54 Calcul de l aire de la boucle Une fois le codage effectu la formule de Stokes donne l aire de la boucle au moyen d une int grale 1 XY i o les fonctions X et Y sont respectivement x zx et 1 x Or la fonction 1 z se d rive en 2x par cons quent le produit XY s crit x x x 2x c est dire 2g 2x4 Dans un souci de clart on d signe par f le produit XY On a alors TOE Soe Reste calculer l int grale de cette fonction f entre les valeurs 1 et 1 Pour cela il suffit de trouver une fonction F dont la d riv e est f La fonction dont l expression est Fg 225 22 en est une comme cela se v rifie gr ce au diagramme Fay 2 D 2 x d rivation al I f t 3x 2 5x 3 1 4 L aire de la boucle vaut donc F 1 F 1 ce 21 2c as Le dessin ci dessous illustre ce r sultat en donnant la comparaison des aires de la boucle et du carr de c t 1 Il montre que l aire de cette boucle est l g rement sup rieure la moiti de celle du carr E 15 Les courbes d crites par deux fonctions X et Y sont habituellement appel es courbes param tr es et en r gle g n rale l inconnue x qui repr sente en fait chaque instant du parcours est not e t et par cons quent les fonctions X et Y de la boucle s criraient respectivement t t et 1 t A l instant t 0 on se trouve donc au point de coordonn es X 0
3. En g n ral pour des ensembles plus compliqu s la densit ne s obtient pas de mani re aussi directe et sa d termination demande plus d effort Voici sur l exemple des puissances de 2 comment l on proc de HOn ENRUEMEUIBENEEIE 3 0 375 8 0 25 16 On crit chaque tape le rapport du nombre de cases grises sur le nombre de cases consid r es La valeur obtenue la limite est par d finition la densit de l ensemble Ici 113 les trois premi res tapes font apparaitre les valeurs 0 5 0 375 et 0 25 la poursuite de ce proc d donnerait successivement 0 15625 0 09375 0 05468 etc Ala limite on ob tiendrait la valeur 0 La densit de l ensemble des puissances de 2 est donc z ro On constate au passage qu un ensemble comportant une infinit de nombres peut avoir une densit gale z ro ceci traduit le fait que les l ments de cet ensemble sont de plus en plus clairsem s parmi les nombres entiers Intuitivement on se rend bien compte qu un ensemble tr s clairsem a bien moins de chances de contenir des progressions arithm tiques qu un ensemble plus dense Le th or me de Sz m r di tablit un lien entre la densit d un ensemble et la pr sence de progressions arithm tiques il s nonce Th or me de Sz m r di Si un ensemble a une densit qui n est pas gale z ro alors on peut y trouver des progressions arithm tiques aussi longues que l
4. Si on examine de plus pr s ces toiles on constate que l aiguille repr sent e en noir dans Villustration de la page suivante conserve la possibilit de se retourner en effectuant des angles de plus en plus faibles r p t s de plus en plus de fois XXX Les toiles ainsi construites poss dent un nombre croissant de branches qui sont elles m me de plus en plus fines On assiste donc un ph nom ne de comp tition entre le nombre de branches qui ne cesse de grandir et laire de chacune d elles qui ne fait que d croitre Au bilan ce proc d de construction bien que syst matique ne garantit pas que les figures produites aillent en s amenuisant Ce n est d ailleurs pas le cas un calcul pr cis montre que laire est en diminution jusqu une figure ayant 25 branches avant d augmenter de nouveau mais tr s lentement Il n est cependant pas besoin d aller aussi loin que cette toile 25 branches pour d couvrir des figures plus petites que la delto de celle repr sent e ci dessus droite convient Un calcul direct montre en effet que cette toile 11 branches avec une aire de 0 39140 supplante la delto de Ainsi le candidat naturel pour r pondre la question de Kakeya n est pas le bon La conjecture propos e tacitement par Kakeya s avere donc fausse le myst re s paissit Billards Les quations diff rentielles permettent de conna tre pr cis ment les contours d une fig ure lors
5. Avanc e sur la question de Kakeya La g om trie analytique de Descartes r v le un lien profond entre les courbes et les expres sions alg briques Si l on revient au probl me de Kakeya d une famille infinie de figures les h lices r sulte une courbe celle qui donne leur aire Pour d terminer la plus petite des h lices il faut trouver le point le plus bas de ladite courbe et pour cela rechercher l endroit o la pente vaut z ro N anmoins afin de pouvoir effectuer les calculs il est tout d abord n cessaire d appliquer la grande id e de Descartes et faire correspondre la courbe son expression alg brique Dans le cas de la courbe des aires il se trouve que cette expression est la fonction f a x 2 27556 x x 1 40924 0 70477 Bien s r cette expression ne doit rien au hasard et d coule d un calcul soigneux qui est voqu dans l encart color qui suit l inconnue x repr sentant sur la figure la longueur des pales Il ne reste plus maintenant qu suivre la m me cheminement que celui pr sent plus haut et d terminer la pente en chaque point de la courbe au moyen des r gles de d rivation f 227556 xx 1 40924 x2 0 70477 d rivation 4 f 2 27556 x 2m 1 40924 x1 0 Cette d rivation ne diff re de celle effectu e plus haut que par la nature des nombres qui composent la fonction f Ces nombres ne sont plus entiers mais comportent une infinit de c
6. ge de 53 ans Dans le domaine des sciences l apport le plus fondamental de Ren Descartes demeure sans conteste la c l bre g om trie analytique qui met en correspondance les figures g om triques et les expressions alg briques La d couverte de cette correspondance est le fruit d une id e toute simple Descartes remarque que l objet g om trique le plus l mentaire le point peut tre rep r par deux nombres qui sont ses coordonn es sur chacun des deux axes 18 Une courbe quant a elle peut tre vue comme une succession de points elle se traduit par une relation entre ces deux nombres l un et l autre tant reli s par une formule Il se trouve que pour la courbe que nous avons choisie cette formule est 2x x 0 75 x 0 5 Le graphique ci dessus donne le mode d emploi de cette formule Le point C est rep r par les deux nombres 0 5 et 0 75 que l on crit de mani re concise sous la forme 0 5 0 75 de m me A est rep r par 0 0 et S par 1 1 Dans ces critures le deuxi me nombre c est a dire la verticale peut toujours s obtenir partir du premier pr cis ment au moyen de la formule il suffit pour cela de remplacer chaque fois l inconnue x par la valeur du premier nombre Il en est ainsi pour tous les points de la courbe le deuxi me nombre est toujours fonction du premier via la formule 2x z que l on appelle par cons quent une fonction On la d
7. quation Il a aussi consid rablement simplifi les notations alg briques en liminant toutes sortes de symboles compliqu s et redondants tir s des alphabets grec et h breu Sous son influence l criture des expressions math matiques devient plus coh rente et somme toute assez proche de celle que l on utilise aujourd hui des nombres des lettres de l alphabet latin et des op rations alg briques comme la racine carr e Bien s r l uvre de Descartes ne se limite pas la science il fait partie de ces savants l esprit universel qui se pas sionnent aussi bien pour l optique l anatomie ou l astronomie que pour la philosophie ou la th ologie Il se consacre d ailleurs pleinement toutes ses recherches et s ingA nie fuir les mondanit s qui len loignent Il m ne une vie itin rante commenc e l ge de vingt ans par une carri re militaire au service de diff rents duch s en Hollande puis en Allemagne mais sa vocation pour les sciences et pour le travail intellectuel s affirmant de plus en plus il finit par quitter l arm e Il n en conserve pas moins ce go t de la mobilit puisqu on le trouve en l espace de quelques ann es r sidant en Italie Paris en Bretagne puis de nouveau en Hollande o il s installe successivement Franeker Amsterdam Leyde Deventer Sandport Hardenwijk Endegeest et Egmond de Hoef Il meurt Stockholm aupr s de la reine Christine l
8. Contrairement tous les probl mes qui se sont pos s jusqu pr sent ce n est plus une simple valeur que l on recherche mais bien une fonction f celle dont la repr sentation graphique est justement la courbe enveloppe Afin de d terminer cette fonction inconnue f il est n cessaire de traduire en langage math matique l galit des pentes au point de contact Et puisque la pente d une courbe est donn e par la fonction d riv e f l galit des pentes se r duit donc une galit faisant intervenir la fonction f et sa d riv e f Apr s un calcul dont le d tail est donn dans l encart de la page suivante cette galit des pentes aboutit la relation faa f Cette galit o l inconnue est la fonction f est un exemple d quation diff rentielle La r solution de cette quation montre que la courbe qui se dessine est bien une parabole Les calculs explicit s dans l encart de la page suivante permettent de v rifier que la fonction inconnue est pr cis ment la parabole 0 2527 Avanc e sur la question de Kakeya Un aspect s duisant de la conjecture nonc e plus haut tient au mouvement de l aiguille dans la delto de En effet ce mouvement pouse parfaitement le contour de la figure ce qui signifie en langage math matique que la delto de est la courbe enveloppe des positions successives de l aiguille Cependant on peut fabriquer bien d autres figures qui poss dent cette m me propr
9. Existe t il une ou plusieurs solution s Si oui quelle est elle ou quelles sont elles En g n ral on a tendance oublier la premi re question et s attaquer directement la seconde C est exactement ce qui s est pass dans ce livre jusqu pr sent nous avons cherch une solution sans jamais douter de son existence Pourtant rien n tait l pour garantir cette existence Le th or me de Besicovitch vient nous ramener la r alit le probl me de Kakeya n a pas de solution puisqu il n existe pas de figure plus petite que toutes les autres dans laquelle l aiguille puisse se retourner La construction de Besicovitch Comment diable Besicovitch s y est il pris pour d couvrir des figures dont la petitesse est sans limite mais qui permettent toutes le retournement de l aiguille L id e est de partir d une figure simple de la d couper en morceaux puis de faire se chevaucher les morceaux de mani re r duire son aire tout le probl me tant d obtenir une figure o la rotation de l aiguille reste possible Afin de faciliter la construction on commence par examiner le probl me de Kakeya non plus pour le demi tour complet de l aiguille mais pour une rotation plus modeste un huiti me de tour par exemple Il suffira in fine d accoller quatre exemplaires de la figure ainsi cr e pour que le retournement complet de l aiguille soit pos sible La surface balay e par l aiguille lorsqu
10. origine de l id al d terministe pr n par Laplace il s av re en effet que si l on sait r soudre cette quation diff rentielle et si l on conna t la position et la vitesse de toutes les plan tes un moment donn alors il est th oriquement possible d en d duire leurs mouvements pr cis aussi bien dans les temps futurs que dans le pass Et la pr diction partir d une seule et unique loi de grands v nements astronomiques comme les clipses ou le passage des com tes a profond ment marqu les contemporains de Newton Ces pr dictions par le calcul toutes extraordinaires qu elles fussent concernaient en r alit des v nements relativement proches dans le temps Elles r sultaient en effet de la fameuse quation de Newton mais moyennant certaines approximations en particulier en faisant abstraction des corps peu influents quant l v nement que l on tudiait D s lors que l on a commenc r fl chir l volution du syst me solaire sur des temps longs o des influ ences m me tr s modestes peuvent la longue avoir de r els effets on s est alors heurt des difficult s si consid rables que toute pr diction devenait impossible Un exemple loquent de cette difficult est le probl me de la stabilit du syst me solaire l observation de la course des plan tes autour du soleil r v le un syst me r gulier compos de plan tes qui semblent r it rer ind finiment la m me
11. pr dire leur trajectoire ad vitam aeternam Avec elle d bute une p riode de foi absolue en l id al d terministe il s agit de traduire chaque ph nom ne naturel sous forme d quations diff rentielles lesquelles permettent ensuite partir d une situation donn e de d crire l volution dudit ph nom ne pour tous les temps futurs et pass s Dans l lan et l optimisme de leur d couverte les savants ont alors pens qu ils taient la en pr sence de l outil universel qui allait permettre de d crire les lois de la nature comme en t moigne cette phrase du math maticien et astronome Pierre Simon Laplace portrait en t te de chapitre lt La courbe d crite par une simple mol cule d air ou de vapeur est r gl e d une mani re aussi certaine que les orbites plan taires Une intelligence qui pour un instant donn conna trait toutes les forces dont la nature est anim e et la situation respective des tres qui la composent si d ailleurs elle tait assez vaste pour soumettre ces donn es l analyse embrasserait dans la m me formule les mouvements 65 des plus grands corps de l univers et ceux du plus l ger atome rien ne serait incertain pour elle et l avenir comme le pass serait pr sent ses yeux gt Depuis son origine ce programme n a cess de conna tre des succ s spectaculaires Un des plus marquants est peut tre la pr diction de l existence de la plan te Neptune puisq
12. tis 16 p 36 6 Cette galit peut s interpr ter comme un chemin qui m ne des nombres entiers au nom bre m Par son l gance et sa simplicit elle n a cess d exercer sur les math maticiens une puissante fascination et elle est encore aujourd hui source de questionnements que se passe t il par exemple si on remplace les carr s par des cubes ou par des puissances cinqui mes Nul ne le sait Il s av re m me que le comportement de cette somme lorsque l on remplace les carr s par des puissances lt quelconques gt est l une des question les plus profondes des math matiques l heure actuelle La d couverte de cette formule merveilleuse ne fut pas loin s en faut le seul coup d clat du math maticien suisse Leonhard Euler portrait en t te de chapitre Ce savant exception nel a en effet contribu de mani re fondamentale tous les domaines des math matiques de son temps Son uvre est colossale Sa publication a n cessit 75 livres de 600 pages auxquelles il faut ajouter les 4000 lettres de sa correspondance scientifique Le volume mais surtout la profondeur de ses travaux en font l un des plus grand math maticien de tous les A4 La somme de tous les inverses n a pas une valeur finie Contrairement ce que l intuition pourrait laisser penser la somme infinie des inverses est de m me nature que la somme autrement dit il ne peut en r sulter une quantit finie Le lien entre ces deu
13. Etoil Etoil Non toil Non toil Dans le cadre des domaines toil s le probl me de Kakeya n a toujours pas t r solu On sait seulement qu il n y a pas de th or me du type de celui de Besicovitch puisque Cunningham montr en 1971 qu un tel domaine s il permet le retournement de l aiguille a forc ment une aire sup rieure c est dire 0 02908 La meilleure solution que l on connaisse l heure actuelle est celle de Bloom et Shoenberg et elle date de 1965 Elle s obtient partir d toiles r guli res construites sur le cercle comme expliqu dans le dessin ci dessous Rk x 92 Dans le cas de l toile cing branches qui permet bien la rotation de l aiguille repr sent e droite on trouve une aire gale 0 31680 Si l on augmente le nombre de branches de l toile on observe alors une lente d croissance de son aire le tableau ci dessus en donne quelques valeurs Nombre de branches 11 101 1001 10001 Aire de l toile 0 29044377 0 2843301 0 2842589 0 2842582 Au fur et mesure que le nombre de branches s accroit laire s approche aussi pr s que l on veut de la valeur Nr 0 284258224 Ce nombre est le meilleur connu actuelle ment L nigme des domaines toil s est la suivante peut on descendre au dessous de cette valeur 4 93 94 La conjecture de Kakeya L ann e 1905 marque un tournant dans l histoire de la
14. aura compris les difficult s que rec lent ces grandes questions sont consid rables la premi re d entre elles et non la moindre tant qu en g n ral il n y a pas de fil directeur qui puisse guider le math maticien dans sa recherche de solution Toute proportion gard e c est le m me type de difficult que l on rencontre avec le probl me de Kakeya le champ des figures possibles semble infini et rien n est l qui nous indique le chemin suivre Dans ces conditions le math maticien va tout d abord explorer un grand nombre de fig ures afin de se donner un premier panorama du vaste territoire des solutions possibles et acqu rir une exp rience des formes les plus concluantes Dans ces choix le math maticien privil giera souvent celles ayant les plus belles propri t s il sera sensible aux figures les plus sym triques et celles dont la construction semble le plus en harmonie avec le probl me pos Mais toute autre raison indirecte donnant penser qu une figure est la bonne peut aussi entrer en consid ration Une fois trouv e une telle figure il en fait son candidat favori et cherche ensuite d montrer que celui ci est effectivement la solution du probl me Il se trouve que Kakeya avait un tel candidat en t te il s agissait d une courbe classique des math matiques qui a la forme d un triangle courb et qui est appel e delto de en raison de sa ressemblance avec la lettre A delta de l alphabet
15. couverte importante lui a permis d effectuer une avanc e significative propos de la conjecture de Kakeya Selon cette conjecture une figure qui contient l aiguille dans toutes les directions f t elle de volume nul poss de une dimension fractale gale la dimension de l espace dans lequel on se place Par exemple dans l espace ambiant trois dimensions la conjecture pr voit une dimension fractale gale trois Ce r sultat ne r sout pas la conjecture mais permet de donner un nombre qui minore la dimension fractale Pour la dimension trois ce nombre vaut 2 04 ce qui signifie que la dimension fractale est n cessairement plus grande que 2 04 Le tableau suivant met en parall le pour d autres dimensions les pr visions de la conjecture et les r sultats obtenus par Jean Bourgain Selon la conjecture R sultat de Bourgain En dimension 4 4 2 56 En dimension 5 5 3 08 En dimension 10 10 5 68 En dimension 100 100 52 48 Ces derniers r pondent tous la formule 0 52 x dimension 0 48 qui assure une dimension fractale l g rement sup rieure la moiti de celle que l on recherche C est une avanc e remarquable qui a t rendue possible par la d couverte d un lien tout fait inattendu entre la dimension fractale de la figure de Besicovitch et les r gularit s d crites par Sz m r di dans les ensembles de nombres L approche de Bourgain Le cheminement math matique qui partant du probl me d
16. de son aspect historique cette anecdote est r v latrice d une pratique alors tr s courante celle de se lancer des d fis math matiques Il s agissait de se mesurer au reste de la commu naut en leur adressant des questions que l on avait soi m me r solues et en les dotant g n ralement d une forte somme d argent Certains de ces d fis sont rest s c l bres Fer mat avait remarqu que le nombre 26 tait compris entre 25 qui est le carr de 5 et 27 qui est le cube de 3 Il s tait alors demand si il existait d autres nombres qui soient de la m me fa on entour s d un carr et d un cube N en trouvant pas il entreprit et parvint a d montrer que 26 tait le seul nombre de ce type Il lan a cette question comme un d fi aux math maticiens anglais avec qui il entretenait une relation d amicale comp tition lesquels 31 finirent par s avouer vaincus Il se trouve en effet que la d monstration de ce r sultat est d une telle difficult que seul le g nie de Fermat pour les questions d arithm tique tait en ce temps l capable d en venir bout A peu pr s la m me poque un autre personnage c l bre Blaise Pascal lance son tour un d fi qui met en jeu d apr s le mot de son auteur la courbe la plus simple apr s la droite et le cercle Malgr la tr s forte somme d argent promise au vainqueur personne ne r ussit r pondre au probl me Quelle tait donc cette courbe C
17. l int rieur de la figure Ajoutons qu en toute rigueur cette figure tout comme la droite ne devrait pas tre visible son aire tant nulle Par ce m me proc d on peut fabriquer toutes sortes d objets dont l aire vaut z ro en voici un form partir du triangle 98 Aire 1 Aire 0 8125 Aire 0 66015 Aire 0 A loppos de ce proc d d videment on peut imaginer un proc d d extension En effet cette id e initi e par P ano d un ligne ind finiment repli e et qui ne cesse de se recouper ou de se ramifier donne lieu certaines figures dont l aire reste gale z ro contrairement a celle de P ano mais dont la structure est plus riche que celle d une courbe ordinaire En voici repr sent un exemple que l on nomme arbre de Pythagore Ici tous les l ments qui se succ dent ont une aire gale a z ro pourtant la figure qui en r sulte d aire nulle galement a une allure tr s ressemblante a celle du triangle ou du pentagone vid s Oublions maintenant le mode de fabrication et pr sentons quelques uns de ces tranges objets d pourvus d aire que l on vient de d couvrir En premier lieu se trouve repr sent un objet quasi filiforme connu sous le nom d ile de Gosper L empilement d Apollonius qui lui succ de semble un peu plus dense Viennent ensuite le flocon obtenu partir d hexagones et les fameux polygones vid s trois et cinq c t s suivis de l
18. la somme n a aucune chance d tre finie Plus subtilement le fait d ajouter des nombres qui se rapprochent ind finiment de z ro ne garantit pas pour autant que la somme soit finie Un exemple c l bre est donn par la somme des inverses des entiers She eee oe 3 45 6 7 dont on montre par un raisonnement assez simple pr sent page suivante dans l encart en couleur qu elle n est pas finie Ceci met en vidence la subtilit des sommes infinies m me si les termes tendent vers z ro le r sultat peut tre infini Il est donc difficile en pr sence d une telle somme d affirmer de visu si sa valeur est finie Il s av re que dans de nombreuses situations le calcul int gral permet de trancher et c est en particulier le cas avec la somme infinie la plus c l bre des math matiques savoir celle des inverses des carr s 1 1 1 1 1 ea esi aaa cee ees A 7a 9 m a6 La c l brit de cette somme tient non seulement la simplicit des termes qui la composent mais aussi son r sultat qui voit l apparition tout fait inattendue du nombre 7 une myst rieuse co ncidence se fait jour entre les carr s des nombres entiers et le fameux nombre 7 celui l m me qui relie la circonf rence d un cercle son diam tre C est Euler qui par un raisonnement d une grande ing niosit a r v l cette co ncidence en tablissant l galit merveilleuse i 1 1 T 1 1l 1 4 4 54 54 54
19. n cessite de se livrer un d coupage fastidieux afin d obtenir des morceaux d limit s par la courbe d une fonction l aire de chacun des morceaux se calcule ensuite par la m thode d int gration une simple addition conduisant ensuite l aire du total oe La formule de Stokes offre un calcul direct de l aire emprisonn e par une courbe qui se referme sur elle m me Pour le probleme de Kakeya o l on est sans cesse confront de tels domaines c est donc la formule id ale Elle donne celui qui chemine le long d une telle courbe l aire totale qu il aura circonscrite en retrouvant le point de d part Cette formule s av re tr s int ressante d un point de vue conceptuel puisqu elle r v le toute la force du lien qui existe entre le contour et l int rieur d une figure Elle donne un clairage pr cis sur un fait qui est relativement intuitif conna tre le contour d une figure c est conna tre son int rieur La m thode l arpenteur Fort de ce principe comment dans un cas concret obtenir l aire d une figure au moyen d un simple parcours le long de son bord Voyons cela sur une figure faite de carr s l mentaires et pour laquelle le calcul de l aire ne pose aucun probl me On peut en effet d terminer celle ci en comptant le nombre de carr s mais ce faisant on s attache l int rieur de la figure et non son contour et l on reste par cons quent dans Vesprit de la
20. on veut Ce th or me signifie que si les l ments d un ensemble ne sont pas trop dispers s alors celui ci contient forc ment des progressions arithm tiques de n importe quelle longueur Il va donc bien au del de ce que l on pressentait puisqu il peut s appliquer des ensembles de densit extr mement faibles et garantir dans ceux ci la pr sence de suites de nombres r guli rement espac s de la longueur que l on souhaite Par exemple m me si la densit de l ensemble n est que de 0 01 en moyenne une case sur cent est gris e dans la liste des entiers on y trouvera forc ment des progressions arithm tiques de mille dix mille ou m me un milliard d l ments L int r t du th or me de Sz m r di est donc qu il pr dit une certaine structure dans un ensemble d s que sa densit d passe z ro m me si les l ments sont choisis au hasard une certaine r gularit sera in vitablement pr sente dans l ensemble ainsi fabriqu Pour saisir la force de ce th or me il faut se rendre compte que la disposition des l ments d un ensemble peut tre extr mement d sordonn e L exemple qui suit montre comment on peut construire partir d un ensemble tr s r gulier un ensemble d sordonn de m me densit EX DE Partant d une densit donn e par exemple 0 25 on commence par disposer les l ments de la fa on la plus r guli re qui soit Afin d introduire du d sordre dans cet e
21. s famili res comme le point et la droite En effet ceux ci sont sans paisseur ils ne recouvrent aucune surface laire qu ils occupent est gale z ro De la m me fa on des courbes que l on a l habitude de tracer comme une parabole une sinuso de ou bien une spirale ont galement une aire nulle Le cercle en tant que courbe c est dire en tant que ligne trac e sur le plan ne recouvre lui non plus aucune aire On pourrait croire na vement qu une courbe a forc ment une aire gale z ro les math ma ticiens eux m mes n en ont jamais dout jusqu l ann e 1890 o le math maticien italien Giuseppe P ano fit cette surprenante d couverte il existe des courbes qui remplissent compl tement toute la surface d un carr c est dire des courbes si tortueuses qu elles couvrent sans la moindre lacune tout le carr En particulier l aire occup e par ces courbes est exactement celle du carr elle ne vaut donc pas z ro Ce r sultat a norm ment frapp les esprits de l poque la certitude unanimement partag e selon laquelle une courbe et une surface sont deux choses de nature bien distincte tait ainsi remise en question Il est d ailleurs probl matique de repr senter ces courbes de fa on intelligible puisque l image que l on obtiendra in fine sera toujours un carr uniform ment rempli On peut cependant les imaginer comme des sortes de gribouillis c est dire des courbes un p
22. Kakeya aux nombres premiers La branche des math matiques qui tudie les nombres entiers est appel e l arithm tique Une question centrale de cette science est celle de la compr hension des nombres premiers Les nombres premiers sont les nombres qui ne se divisent que par eux m mes et par un ils sont inscrits en gras dans la liste ci dessous 1234567891011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Par exemple le nombre 15 qui peut s crire 3x 5 n est pas un nombre premier alors que 7 en est un Le nombre 1 par convention n est pas premier On sait depuis Euclide qu il existe une infinit de nombres premiers mais cette infinit n est pas r guli rement r partie Il y a 168 nombres premiers entre 0 et 1000 il en reste 106 entre 10000 et 11000 et seulement 75 entre 1000000 et 1001000 Le ph nom ne de rar faction des nombres premiers que l on observe ici se poursuit ind finiment La d monstration rigoureuse de cette observation fut un grand probl me de l arithm tique du XIX si cle elle a finalement t r solue en 1896 par Jacques Hadamard et Charles Jean de La Vall e Poussin L examen de la liste de nombres ci dessus ne r v le aucun ordre parmi les nombres pre miers ils semblent appara tre de mani re al atoire sans structure sous jacente Or les nombres premiers ne sont justement pas des nombres tir s au hasard puisqu ils ob issent u
23. a t adopt e dans le langage courant pour d signer quelque chose d irr alisable L impossibilit de la quadrature du cercle r v le que m me si le cercle et la droite sont la source de toute la g om trie l mentaire la construction de certaines figures chappe l utilisation de ces deux formes pures ch res Platon Ces grandes questions outre leur int r t propre agissent comme des points de rep re pour l ensemble de la communaut elles annoncent et d limitent clairement ce qui est consid r comme tant la fois fondamental et difficile D ailleurs les math maticiens se r unissent p riodiquement afin d en proposer de nouvelles L exemple le plus c l bre fut le congr s de Paris en 1900 o David Hilbert qui tait sans doute avec Henri Poincar le plus grand math maticien de son temps proposa une liste de vingt trois lt grandes ques tions gt qui eurent une profonde influence sur toutes les math matiques du XX si cle Sur ces vingt trois probl mes cinq restent encore en suspens et font toujours l objet de recherches en ce d but de XXI si cle l occasion du passage au troisi me mill naire un congr s exceptionnel s est tenu lieu Paris o de nouveau une liste de probl mes a t propos e Mais autres temps autres m urs chacun de ces probl mes a t assorti d un prix d un million de dollars offert par la fondation Clay qui les r soudra On l
24. bien des progressions arithm tiques de cent mille ou dix mille nombres premiers Il y a toutefois un b mol apporter au r sultat de Green et Tao leur th or me assure l existence de progressions arithm tiques mais il ne donne malheureusement aucune id e de celles ci et leur d termination concr te demeure hors d atteinte Ceci peut sembler bien paradoxal comment est il possible d tre s r de la pr sence d alignements si l on est incapable de les trouver L objectif affich tant de d tecter une certaine r gularit dans un ensemble celui des nombres premiers l id e est de prendre le probl me l envers et de se demander quels sont parmi tous les ensembles de nombres entiers ceux qui poss dent des suites de nombres r guli rement espac s Cette formulation bien plus g n rale et donc a priori bien plus difficile ouvre pourtant une nouvelle perspective s il s av rait par exemple que tous les ensembles poss dent obligatoirement de telles pro gressions arithm tiques alors il en serait de m me pour l ensemble des nombres premiers La pr sence d alignements dans les grilles ci dessus n aurait donc pas a tre interpr t e 112 comme propri t particuli re des nombres premiers mais comme une propri t universelle vraie pour n importe quel ensemble de nombres Tel n est cependant pas le cas il existe de nombreux ensembles qui ne poss dent pas de progressions arithm tiques par e
25. certain point inconnu mais qui est quand m me repr sent En ce point la pente de courbe est f x Selon le lien tabli plus haut cette droite et la courbe ont la m me pente en ce point Si on note p la pente de la droite ceci se traduit par f x p Les triangles 1 et 2 qui ont les m mes angles sont semblables donc a _ f x il 7 goa D autre part dans le triangle 2 la pente p de la droite est le quotient de la distance verticale par la distance horizontale soit Bite e GO 0 Le cumul des deux galit s pr c dentes permet d crire p a d o I ten t p La toute premi re galit permet ensuite de remplacer la pente p par f x On obtient en fin de compte une galit o interviennent les fonctions f et f f x af x Fe Cette relation est inhabituelle elle ne donne pas f x seulement en fonction de x mais aussi en fonction de sa d riv e f x Autrement dit au lieu de trouver directement l expression f x on trouve une galit qui relie la fonction f et sa d riv e f C est une quation diff rentielle que l on crit de mani re condens e f af f 71 Cette nouvelle figure est elle plus conome que la deltoide Il suffit pour le savoir de calculer son aire et de comparer Bien str cette figure tant compos e de deux moiti s identiques on peut se contenter de calculer l aire d une seule de ces moiti s celle de droite par exemple Si c
26. ceuvre de la d marche pr c dente pour cette nouvelle famille nous apprend que laire minimale vaut 0 42217 A titre de comparaison l aire de la delto de est de 0 39269 Autrement dit condition de choisir ses dimensions avec pertinence l h lice triangulaire qui est une figure tr s simple compos e exclusivement de droites et de cercles parvient presque galer la delto de ch re Kakeya Le th or me d Archim de La d rivation des fonctions est un concept universel qui offre tout la fois une compr hension fine des courbes et une mise en vidence de liens insoup onn s entre notions a priori tr s diff rentes Le th or me d Archim de en donne un bel exemple Archim de qui vivait Syracuse au troisi me si cle avant J C est l un des plus grands savants de tous les temps Il est connu du grand public pour la pouss e qui porte son nom et le c l bre Eur ka gt qui aurait ponctu cette d couverte Esprit universel la fois astronome ing nieur et g om tre il est l origine de nombreuses d couvertes dont les plus marquantes sont la vis sans fin le principe du miroir ardent et un calcul r volutionnaire pour l poque des d cimales du nombre r Mais son r sultat le plus remarquable est la mise en lumi re d une correspondance cach e entre la sph re et le cylindre qui l entoure Cette correspondance tablit en particulier l galit entre laire de la sph re et celle de son cylin
27. d un mouvement complexe de l aiguille la connaissance de ces contours tant un pr alable indispensable au calcul rigoureux de l aire de la figure Mais leur r le ne s arr te pas l elles interviennent partout o l on cherche quantifier un mouvement et ce quelle qu en soit la nature trajectoire d une fus e croissance des populations r partition des courants marins conduction de la chaleur etc En fait elles interviennent dans toutes les situations qui connaissent une volution au cours du temps et que l on appelle par 75 opposition aux syst mes statiques des syst mes dynamiques Parmi tous les syst mes dy namiques que l on peut imaginer il en est un qui a jou plus que tout autre un r le pr pond rant dans l histoire des math matiques il s agit du syst me solaire Celui ci oc cupe en effet une place fondamentale dans la vie sur Terre puisqu il est la cause premi re de l alternance des jours et des nuits de l existence des saisons et des rythmes annuels Le d sir constant des hommes de percer le myst re de cette m canique c leste a conduit au cours des temps un v ritable foisonnement d id es La plus belle d entre elles est due l intuition extraordinaire de Newton lorsqu il comprit que le syst me solaire est en r alit r gi par une quation diff rentielle la tr s fameuse loi fondamentale de la dy namique Cette d couverte qui fut largement c l br e en son temps est l
28. dans l espace trois dimensions Dans un tel espace le probl me de Kakeya revient consid rer non plus des figures qui contiennent l aiguille dans toutes les directions du plan mais des objets tridi mensionnels qui contiennent l aiguille dans toutes les directions de l espace Si en dimension deux le disque est la premi re surface qui vient l esprit c est la boule que l on pense pour abriter en dimension trois l aiguille dans toutes les directions Mais il existe bien d autres possibilit s par exemple le t tra dre repr sent ci dessus contient lui aussi l aiguille dans toutes les directions et son volume est moindre que celui de la boule L analogue en trois dimensions du probl me de Kakeya est donc le suivant existe t il un objet qui contient l aiguille dans toutes les directions de l espace qui soit de plus petit volume La r ponse est tout aussi radicale qu en dimension deux un tel objet existe et son volume est nul la construction de cet objet d coule en droite ligne de celle de la figure de Besicovitch en deux dimensions Une fois la question du volume r solue on s interroge tout comme en dimension deux sur la densit gt des figures solutions c est dire leur dimension fractale De fa on tout fait similaire ce qui se passe pour les figures du plan il existe des objets de l espace interm diaires entre une surface et un solide et qui par cons quent auront
29. de peinture choisie plus la couche est fine plus ce quotient s approche de l aire r elle de la surface ondul e qui n est autre que celle du rectangle On retrouve exactement cette aire en calculant la valeur de ce quotient la limite quand la couche de peinture 25 devient de plus en plus fine D une mani re condens e on crit volume de la couche de peinture Aire limite paisseur de cette couche le mot lt limite gt signifiant que l on prend la valeur vers laquelle tend ce quotient lorsque la couche de peinture se fait de plus en plus mince Le rapport du volume par l paisseur qui fournit l aire du rectangle donne pour des objets dans l espace un r sultat qui varie selon la couche de peinture c est pourquoi il est n cessaire de prendre la limite de ce rap port pour acc der l aire On obtient ainsi une formule universelle qui permet de calculer laire d objets de l espace comme la sph re ou la surface ondul e Maintenant si l on se sou vient de ce qui a t fait plus haut concernant la pente d une courbe une analogie appara t distance verticale distance horizontale volume Pente d une droite paisseur Aire d un objet plan Aire objet de l espace limite gomme Pente d une courbe limite ane verticale Bien que l aire et la pente soient deux notions math matiques premi re vue tr s loign es on constate une grande simil
30. du milieu o la fonction f est x ce nombre vaut 0 5 etc Le symbole qui intervient dans cette criture est un S allong tel qu on l crivait avant la R volution C est le S du mot Somme il rappelle que l on effectue une somme d aires de rectangles Bien entendu la m thode des palissades ne s applique pas exclusivement un domaine qui serait limit par les valeurs 0 et 1 on peut choisir d autres valeurs que l on appelle a et b La m me proc dure donne alors l aire d autres domaines comme le sugg re l illustration ci dessous a b Cette aire est not e en toute logique La m thode des palissades est int ressante a plus d un titre elle permet non seulement d obtenir l aire de toutes sortes de domaines mais elle s adapte aussi de nombreuses autres situations En revanche elle est fastidieuse le calcul de l aire d une seule palissade pouvant d j s av rer tr s long Heureusement Comme dans le cas de la d rivation il existe une 37 formule qui permet de s pargner tous ces calculs une formule d une importance capitale qui met en vidence un lien spectaculaire entre le calcul de l aire et la d rivation Elle dit en substance que pour obtenir l aire d une tranche situ e sous la courbe d une fonction f il suffit de conna tre une autre fonction F qui lorsqu on la d rive redonne f C est la fameuse formule d int gration b J f FO Fo o F a et F b so
31. en repr senter que quelques unes et c est l imagination qui fait le reste Chaque membre de cette famille infinie est constitu d un ensemble de trois pales gt dispos es autour d un Reuleaux central la totalit rappelant la forme d une h lice Bien entendu l aiguille peut effectuer une rotation compl te dans chaque h lice qu elle soit situ e au d but ou la fin de la famille Les dessins ci dessous donnent le principe de ce mouvement Reste savoir maintenant quelle h lice gt poss de l aire la plus petite Pour cela il ne suffit pas de conna tre l aire d un seul objet mais celles de toute la famille infinie des h lices Jusqu a pr sent on se livrait des essais sur des figures isol es Comment maintenant appr hender globalement une situation faisant intervenir une infinit d objets La r ponse est tonnmament simple cette infinit d objets va se r soudre en une courbe qui mat rialisera l aire de la famille des h lices dans son ensemble De m me qu une figure isol e correspond un nombre qui est son aire une famille de figures correspond toute une courbe la courbe des aires qui repr sente l infinit des aires possibles des membres de cette famille 13 Aire vy ey 0 0 5 1 Longueur du secteur Cette courbe montre que l aire des h lices commence par d cro tre puis atteint son point le plus bas et se remet ensuite cro tre Le point
32. en une suite de figures dont l aire s amenuise par videments successifs jusqu l annulation Plus pr cis ment on r it re linfini une m me op ration d videment d cid e au d part Con trairement ce que pourrait laisser penser l intuition et en d pit du nombre infini d tapes l objet initial n a pas forc ment disparu il peut en rester une trace qui est alors un objet d aire nulle Aire 1 Aire 0 82498 Aire 0 68059 Aire 0 Dans l illustration ci dessus l objet initial est un assemblage de pentagones et l op ration d videment consiste remplacer chaque pentagone par une r duction ad hoc de la figure de d part L objet qui en r sulte en poursuivant ce proc d ind finiment a une aire gale a z ro chaque tape laire des constructions interm diaires est de plus en plus petite et la limite elle vaut z ro L objet final tant le fruit d une infinit d tapes l esprit a du mal a le concevoir dans sa totalit Cette situation se rencontre fr quemment en math matiques y compris pour les objets les plus simples une droite par exemple se con oit mentalement comme un segment que l on peut prolonger ind finiment d ailleurs c est un segment que l on dessine et c est l imagination qui fait le reste Dans le cas du pentagone au lieu de ce prolongement par extension le travail de l imagination proc de en un videment r it r ind finiment
33. est celle que dessine un point situ au bord d un disque qui roule sur l horizontale la c l bre cycloide d j rencontr e au premier chapitre lt _V VO 4 0 Dans la vie de tous les jours on peut observer une telle courbe en suivant du regard une lumi re fix e sur la roue d un v lo Cette courbe a suscit l int r t des math maticiens car elle est issue d une combinaison tr s naturelle du cercle et de la droite En d pit de sa simplicit elle avait t ignor e par les grecs et ne fut remarqu e qu au d but du XVII si cle Cette courbe tant toute nouvelle ses propri t s restaient d fricher commencer par la question de l aire Celle d un disque est bien connue elle vaut 7R mais quelle est la formule qui donne l aire situ e sous une arche de cyclo de Cette question s av ra tr s difficile et c est Roberval un des grands math maticiens de l poque c l bre en outre pour la balance qui porte son nom qui d couvrit cette fameuse formule Elle s crit 37 R l aire d une arche est donc le triple de celle du disque qui l engendre Roberval s empressa alors de proposer cette question comme d fi tous les g om tres sans qu aucun d entre eux ne parviennent le relever Quant au d fi de Pascal il s agissait d un raffinement de celui de Roberval toujours sur ce m me th me de la cyclo de Comme on le constate avec les d fis de Roberval et de Pascal le calcu
34. et Y 1 c est dire au sommet de la courbe au temps t 1 on atteint le point X 0 et Y 0 qui est le noeud de la boucle o l on se trouvait galement l instant t 1 Plus qu une simple courbe c est un d placement au fil du temps que d finissent les fonctions X et Y Cette d finition param tr e des courbes int gre donc naturellement la notion de mouvement elle est donc particuli rement adapt e Vapplication des grandes lois de la physique qu il s agisse de la course des plan tes ou d une trajectoire de particule 1 55 8 1 Aire de la boucle f f 1 15 Ce calcul est effectu dans tous les d tails dans l encart color de la page pr c dente Les principes de la m thode de l arpenteur n apparaissent pas imm diatement la lecture de la formule de Stokes pourtant il existe un lien important qui relie les deux formules Ce lien qui n est pas vident au premier abord appara t plus clairement dans le tableau ci dessous M thode de l arpenteur Formule de Stokes On distingue parcours horizontal On code en deux fonctions X et Y et vertical on multiplie chaque pas une on multiplie la fonction X par position X par une diff rence la d riv e Y d altitude on fait la somme le long du on fait une somme lt int grale gt parcours le long du parcours En particulier une application la lettre de la formule de Stokes un contour en escal
35. gangue de roche Quant a la question de Kakeya le lien tonnant avec les progressions arithm tiques ne marque pas le bout de nos surprises puisqu une connexion plus fascinante encore a t d couverte par Jean Bourgain entre cette question et l nigme la plus c l bre des math matiques la tr s myst rieuse hypoth se de Riemann Cette hypoth se dont les math maticiens tentent de percer le secret depuis cent cinquante ans offrirait rien moins si elle tait r solue que la compr hension des nombres premiers Les connexions insoup onnables du probl me de Kakeya avec les questions les plus pro fondes des math matiques sont la source de l int r t sans cesse renouvel que les math mati ciens lui portent Qui aurait pu imaginer un tel destin pour une question aussi innocente C est la toute la magie des math matiques qu une interrogation sur une simple aiguille une fois soulev e puisse tre le point de d part d une qu te touchant aux plus grands myst res de la connaissance humaine 123 Remerciements Nous remercions chaleureusement toutes les personnes qui nous ont soutenus r confort s et aid s dans ces longues ann es de r daction Sophie et Sarah R gis Goiffon Damien Gayet St phane Lamy Bruno S venec Jean Fran ois Quint et Bruno Yvonnet qui a g n reusement pr t ses mains et ses outils pour la r alisation des pieds de chapitres gt Quatri me de couverture Equations form
36. int rieur de celle ci Il s agit d un affaiblissement des exigences de la question de Kakeya puisque toute figure qui permet la rotation de l aiguille contient toutes les directions possibles de cette aiguille En effet au cours d une rotation compl te l aiguille balaie successivement toutes les directions du plan c est ce que met en vidence le dessin ci dessous o sont repr sent es les diff rentes positions de l aiguille lors d un retournement ainsi que les directions correspondantes 102 A Vinverse on peut concevoir des figures l int rieur desquelles l aiguille puisse occuper toutes les directions du plan sans pour autant que le mouvement de rotation complet y soit possible l illustration ci dessous en donne un exemple Le dernier dessin r sulte de la superposition de trois morceaux du disque initial si l on peut toujours y placer l aiguille dans n importe quelle direction la rotation compl te y est interdite Ainsi en demandant l aiguille d occuper toutes les directions au lieu d exiger son retournement on se laisse beaucoup plus de libert quant au choix de la figure Dans ces conditions le probl me de Kakeya s nonce de la fa on suivante Nouveau probl me de Kakeya Existe t il une figure de plus petite aire qui contient l aiguille dans toutes ses directions Autrement dit au lieu d une figure permettant le retournement de l aiguille on se con tente d une figu
37. la port e des math matiques il s adresse plus g n ralement tous les esprits curieux qui souhaitent voir les math matiques sous un jour diff rent
38. la sph re et du cylindre qui l entoure sont gales tranche tranche L Cet nonc qui para t d j surprenant lorsque l on se place au niveau de l quateur devient tout fait inattendu au voisinage des p les puisque l on compare la surface d une calotte avec celle d un anneau Insistons bien sur le fait qu une portion de cylindre qui s apparente une portion de plan ne peut en aucun cas se d velopper sur la sph re En effet si l on essaie de rev tir ainsi la sph re des plis et des recouvrements apparaissent in vitablement Cette correspondance entre les aires est donc un petit miracle qu il est ais de v rifier avec l aide du calcul diff rentiel au moyen de la proc dure qui donne l aire d une surface a partir d un volume Bien entendu les calculs pratiques sont un peu plus techniques que ceux n cessaires pour la sph re tout enti re mais ils sont accessibles quiconque veut s en donner la peine Toutefois m me s ils permettent de se convaincre de la validit du th or me d Archim de ces calculs n en donnent pas une compr hension globale Bien au contraire le cheminement suivi pour parvenir au r sultat semble tortueux il faut invoquer un passage la limite d couvrir une analogie avec la d rivation puis effectuer des calculs de volume On obtient certes le th or me mais bien peu de lumi re sur la raison profonde de cette myst rieuse correspondance La d couvert
39. le plus gauche de cette courbe donne l aire du Reuleaux et le plus droite l aire de la figure finale trois secteurs Aucune de ces deux figures extr mes ne poss de la plus petite aire de la famille Cette qualit revient une figure interm diaire pour laquelle on peut lire en horizontale sur le dessin une longueur de pale approximativement gale 0 3 On lit sur l axe vertical que l aire de cette h lice vaut environ 0 5 A titre de comparaison ce nombre est aussi l aire du carr ayant pour diagonale l aiguille et dans lequel cette derni re serait bien en peine de faire un demi tour M me si elle constitue un premier pas cette approche tr s visuelle n est cependant pas compl tement satisfaisante la valeur trouv e est lue sur un graphique avec toute l impr ci sion que cela suppose Parmi l infinit de points qui composent la courbe lequel pr cis ment repr sente la plus petite figure et quelle est alors l aire exacte de cette figure Toute la difficult provient de ce qui fait pr cis ment la force de cette courbe sa plus petite portion rassemble encore une infinit de figures et cette omnipr sence de l infini se dresse comme un obstacle une d termination claire de la meilleure d entre elles A bien y r fl chir et comme annonc plus haut c est en fait la question plus g n rale de la compr hension des courbes que l on se heurte ici Or le calcul diff rentiel est justement le
40. le rapport de tout ceci avec le probl me de Kakeya Il appara t justement lorsque l on s int resse de plus pr s au th or me de Sz m r di par exemple lorsque l on se demande quels endroits les progressions arithm tiques vont figurer Autrement dit on ne se con tente plus de se demander s il existe une progression arithm tique on veut aussi savoir o la chercher La r ponse est relativement ais e si ensemble lui m me n est pas trop compliqu titre d illustration si on construit un ensemble de densit 0 5 en choisissant une case dans chaque barrette de deux cases on constate alors qu il est impossible de cocher plus de six cases sans qu apparaissent trois cases r guli rement espac es 115 Le dessin ci dessus repr sente une configuration o il faut attendre la septi me case gris e pour qu une progression arithm tique voie le jour 6 6 1 7 gt 13 On dit pour cet exemple que le nombre 7 est la borne qui garantit la pr sence de trois nombres en progression arithm tique d s que sept cases sont coch es une telle progres sion est immanquablement appararue Si l ensemble envisag est plus compliqu il faut en g n ral cocher bien plus de sept cases pour avoir la certitude de rencontrer de telles suites Les bornes sont alors des nombres astronomiquement grands En 1999 le math maticien Jean Bourgain mis en vidence un lien entre ces nombres et le probl me de Kakeya Cette d
41. limit es non plus par une succession de petits segments verticaux et horizontaux mais par toute une courbe Autrement dit comment g n raliser la m thode de l arpenteur La formule qui permet une telle g n ralisation est pr cis ment la formule de Stokes elle est fond e sur le m me principe que la m thode de l arpenteur mais sa mise en uvre rec le une difficult il faut tre capable de d crire math matiquement ce que l on appelle arpenter gt une courbe La formule de Stokes Jusqu pr sent chaque courbe tudi e repr sentait une fonction et ceci interdisait tout retour en arri re lors du trac en effet chaque valeur x en horizontale correspond un seul point sur la courbe La premi re courbe ci dessous repr sente bien une fonction ce qui n est pas le cas des deux autres Nous allons maintenant tre confront s des courbes plus g n rales susceptibles de circonvolutions et de croisements dont la boucle repr sent e 52 a droite est un exemple Se pose alors le probleme de d crire math matiquement de telles courbes En particulier un contour comporte forc ment un retour en arri re si bien qu une seule fonction ne permet donc plus de le d crire Pour r soudre cette difficult on distingue comme on l a fait pour la m thode de l arpenteur le parcours en horizontale du parcours en verticale Dans un quadrillage les mouvements en verticale et en horizontale ont lieu alternativement o
42. m thode d int gration et non de la formule de Stokes Il existe cependant un moyen de d terminer cette aire en oubliant compl tement l int rieur de la figure on se contente d arpenter son contour en effectuant quelques additions et soustractions simples 5l 123 45 6 7 Le long du parcours on effectue une addition ou une soustraction chaque ar te verticale rencontr e chacune d entre elles tant num rot e selon sa position en horizontale comme l indiqu dans l illustration de gauche A titre d exemple et avec un d part au point A la proc dure se d roule de la fa on suivante la premi re ar te est horizontale elle compte z ro on monte ensuite d une case sur la verticale n 2 on compte 12 puis vient une horizontale comptant 0 puis la verticale n 3 descendante de longueur 2 on la compte 2x3 la suivante compte 0 la verticale en n 4 monte de trois cases compte 34 etc On additionne le tout le nombre obtenu donne l aire de la figure Aire 2 6 12 5 746 2 2 12 Bien s r ce r sultat est aussi le nombre de carreaux qui composent la figure Ainsi on a bien obtenu l aire du domaine partir de donn es recueillies le long du contour En fait cette d marche peut s appliquer n importe quelle figure compos e de carreaux On convient de l appeler la m thode de l arpenteur Comment passer des cat gories beaucoup plus larges de formes qui seraient d
43. mani re d un bateau voile d utiliser le flux de photons mis en permance par le soleil pour pousser le vais seau Ce mode de propulsion a pour avantage de ne n cessiter aucune source d nergie embarqu e mais produit en contrepartie une pouss e tr s faible Une voile susceptible de mouvoir un appareil spatial doit donc tre de tr s grande dimension Tout le probl me est alors de plier cette voile de fa on optimale pour assurer la fois son logement dans la coiffe de la fus e et son bon d ploiement dans l espace C est donc en d finitive un probl me d origami auquel sont confront s les ing nieurs D ailleurs les meilleurs pliages que l on connaisse jusqu pr sent ont t trouv s de fa on exp rimentale par t tonnement partir de pliages c l bres d couverts par des maitres origamis ils reposent donc sur des bases empiriques Par cons quent rien ne garantit qu ils soient optimaux m me si ils at testent d une efficacit certaine dans la pratique C est l qu intervient la n cessit de transformer ce probl me d origami en une question purement math matique car seule une 83 d monstration peut garantir qu un pliage est bien le meilleur possible En effet chaque so lution empirique est la merci d une autre solution plus astucieuse d o la n cessit d un raisonnement g n ral qui embrasse toutes les possibilit s et permette de clore le probl me de fa on d finitive C e
44. moyen de r soudre cette d licate ma trise de l infini et d acc der ainsi intelligence des lignes courbes gt dont parlait le marquis de l Hospital 14 Dans le cas de la courbe des aires cette lt intelligence gt doit conduire la valeur pr cise du point le plus bas et par cons quent au candidat le plus conome en aire Comment traduire l vidence visuelle de ce point le plus bas en une d termination exacte de sa po sition Si l on chemine par la pens e le long de cette courbe on commence par descendre jusqu au point fatidique partir duquel on entame une remont e comme aurait pu dire La Palice le point le plus bas de la courbe est l endroit o la courbe ne descend plus et ne monte pas encore Nous avons donc besoin de quelque chose qui indique en chaque point de la courbe si on est en train de monter ou de descendre on peut m me tre un peu plus exigeant et demander ce quelque chose gt de mesurer l importance de cette mont e ou de cette descente c est dire de donner pour chaque point un nombre qui soit d autant plus grand que la courbe en ce point est pentue Ce nombre que l on cherche extraire de chaque point de la courbe ressemblerait dans l esprit celui que l on rencontre dans la vie de tous les jours sur les panneaux de signalisation routi re et que l on appelle la pente 100 m Une pente de 7 c est dire de a signifie qu a un d placement horizontal d
45. moyen terme entre la question et la r ponse s appelle une conjecture c est une r ponse plausible une r ponse en suspens en attente d une d monstration Cette attente peut tre longue parfois plusieurs si cles et de tr s nombreuses conjectures demeurent encore aujourd hui sans r ponse c est l une d entre elles la conjecture de Kakeya qui nous accompagnera tout au long de cet ouvrage La question de Kakeya L histoire de cette conjecture d bute par une question si simple d apparence que la r ponse semble aller de soi Mais les apparences sont trompeuses Loin d tre vidente cette ques tion s av re en r alit riche et profonde et pour peu qu on se laisse guider son exploration conduit au c ur des math matiques les plus modernes Cette question si simple gt a t pos e pour la premi re fois au d but du XX si cle par le math maticien japonais S ichi Kakeya Quelle est la plus petite surface a l int rieur de laquelle il est possible de d placer une aiguille de mani re la retourner compl tement De fa on plus concr te c est comme si Kakeya consid rant une aiguille pos e devant lui sur sa table de travail se demandait comment dessiner la plus petite zone possible l int rieur de laquelle il pourrait faire glisser cette aiguille jusqu ce qu elle se retrouve dans sa position initiale la t te prenant la place de la pointe La premi re r ponse qui vient l
46. n tre qu un segment de droite Pass ce cap une rupture se produit et la courbe enveloppe passe l hyperbole Une bonne fa on d appr hender la situation dans son ensemble est de r aliser ce que les savants appellent un portrait de phase Ce portrait de phase donne une image du com portement global du syst me plut t que de repr senter une une les trajectoires comme cela a t fait ci dessus on peut moyennant un petit effort d abstraction r aliser un di agramme symbolique qui les englobe toutes L int r t de cette repr sentation est qu elle permet de r pondre d un seul coup d oeil de nombreuses questions concernant le syst me dans son ensemble Par exemple que se passe t il quand on change de point de d part Quel est l angle qui provoque la rupture Il permet galement de mettre en vidence une ventuelle r gularit de ce syst me ou au contraire la pr sence de chaos en son sein Comment se r alise un tel portrait de phase Pour le comprendre il est pr f rable dans un premier temps de se placer dans une situation plus simple que celle du billard elliptique en susbstituant l ellipse l enceinte la plus sym trique qui soit le cercle La sp cificit d un tel billard circulaire est qu une fois la boule lanc e l angle chaque rebond reste inchang il se perp tue ind finiment Dans la figure ci dessous il est toujours gal 50 50 180 50
47. nonc pouvait le laisser penser Comment en effet d terminer la plus petite figure dans laquelle on puisse re tourner une aiguille alors que le champ des figures possibles est infini La grande g n ralit de l nonc de Kakeya autorise en effet la consid ration des figures les plus diverses et les exemples rencontr s jusqu pr sent ne laissent entrevoir aucun fil directeur pour guider la r flexion Dans ces conditions une d marche d essais au coup par coup est assez naturelle et 12 permet d effectuer une premi re prise de contact Un objectif raisonnable est par exemple d explorer un grand nombre de formes possibles afin de se donner un premier panorama de ce vaste territoire et acqu rir une exp rience des types de figures les plus concluants Dans ces conditions plut t que de regarder les figures une par une il est plus judicieux de les regrouper par familles et de les traiter en bloc L id e n est plus de consid rer une figure fixe comme un Reuleaux ou un triangle mais de partir d une figure et de la transformer de fa on progressive en une autre Par exemple on peut comme ci dessous construire partir du Reuleaux une s rie de formes g om triques qui permettent toutes le retournement de Vaiguille mais qui occupent des aires diff rentes sur le plan o vy Le Reuleaux se transforme peu peu en une figure trois secteurs Bien entendu il y a une infinit de figures interm diaires mais on ne peut
48. on chaque l ment de C s obtient en effectuant une demi somme d l ments de A et de 0 Ee RE C 105 __ C 4 0 B 6 B 10 Pourquoi introduire un tel ensemble C alors que ce sont les ensembles A et B dont on veut estimer la vitesse de croissance avec l espoir qu elle soit la plus grande possible Une id e 120 souvent fructueuse pour r soudre une question math matique est de supposer l inverse de la conclusion esp r e puis de travailler sur le probl me jusqu mettre en vidence des l ments en contradiction avec cette supposition Ici si l on imagine que les ensembles A et B ont une croissance lente alors c est justement de la consid ration de l ensemble C que va naitre la contradiction Cependant le cheminement qui y conduit est une des parties les plus d licates de la d monstration il est fond sur un th or me des math matiques qui donne une liaison entre le nombre d l ments de A de B et de C d une part et le nombre d aiguilles d autre part Au fur et mesure des tapes A B et C ont des tailles de plus en plus comparables et comme le nombre d aiguilles ne fait qu augmenter la liaison donn e par le th or me interdit ces trois ensembles d avoir une croissante lente En r alit conna tre la fa on dont l aire des paississements rectangulaires volue n est malheureusement pas suffisant pour calculer la dimension fractale d un objet En effet il faut que
49. paisseur gt de ces figures mais c est avant tout une quantit math matique qui tout comme une aire ou une longueur r sulte de formules pr cises Nous n entrerons pas dans le d tail de ces formules car celles ci sans tre d mesur ment compliqu es n cessitent une certaine abstraction Quoiqu il en soit cette dimension fractale donne une prise sur ces figures g om triques compl tement nouvelles qui ne poss dent ni longueur ni surface La g om trie de notre enfance tait peupl e de cercles de triangles de carr s dont on pouvait justement calculer l aire ou la longueur Les objets fractals ne se laissent pas aussi facilement appr hender et la di mension fractale est l une des rares quantit s ayant un sens intuitif dans ce monde d une complexit inou e Un des ph nom nes les plus surprenants r v l s par la dimension fractale est l existence de ces fameuses surfaces sans aire En effet aussi compliqu es que puissent para tre des objets comme l empilement d Apollonius ou l arbre de Pythagore ils n en demeurent pas moins issus de constructions parfaitement ordonn es et ne mettent en vidence qu une toute petite partie de l immense complexit du monde des objets d aire nulle En partic ulier et aussi incroyable que cela puisse para tre il existe des objets d aire nulle dont la dimension fractale est gale a deux par leur fa on d occuper l espace ils s apparentent 100 a des
50. par les deux plus grands savants de l poque Isaac Newton et Gottfried Leibniz Ce calcul diff rentiel ou encore analyse des infiniments pe tits comme on l appelait alors ouvre non seulement la compr hension des courbes mais aussi celle plus concr te du mouvement des corps qu il se produise sur Terre ou dans l espace Autrement dit il permet tout la fois de r pondre aux questions de calcul d aire et aux pr occupations des astronomes d sireux de conna tre la course des objets c lestes Plus encore le calcul diff rentiel s est r v l tre le langage universel avec lequel s crivent les lois de la nature l exemple le plus c l bre tant la loi de la gravitation de Newton Avec cette invention on commence comprendre v ritablement les ph nom nes naturels Pour la premi re fois on est en mesure d aborder les probl mes qui concernent le mouvement et plus g n ralement les ph nom nes qui voluent au cours du temps C est une r volution on passe d une science de la statique une science de la dynamique On a peine imaginer de nos jours l engouement extraordinaire que cette d couverte a pu susciter dans le monde rudit Des personnalit s aussi diff rentes que Fontenelle ou Buffon se passionnent pour cette invention la marquise du Ch telet ma tresse de Voltaire pub lie une impressionnante traduction des Principia ouvrage fondateur de Newton M me Bougainville le c l bre nav
51. petits secteurs 33 x V On fabrique ainsi une nouvelle figure l int rieur m me de cette h lice donc plus petite dans laquelle on peut effectuer une rotation de l aiguille Cette nouvelle figure n tant plus exclusivement d limit e par des droites et des cercles mais galement par des portions de courbes plus complexes la d termination de son aire rel ve du calcul int gral Il se trouve que dans cet exemple ce calcul rec le quelques difficult s c est pourquoi pour commencer nous allons nous pencher sur un exemple plus simple Le partage d Archim de Il existe une fa on harmonieuse et inattendue de partager un carr en trois parts gales Cet l gant partage dont l origine remonte Archim de fait intervenir une courbe bien connue depuis l Antiquit la parabole Cette courbe l instar de la cyclo de est l une des plus l mentaire qui puisse se concevoir elle repr sente la fonction x et sa forme est celle d une cuvette En disposant judicieusement deux paraboles comme dans le dessin ci dessous on r alise un partage quitable du carr en trois parts parabole x cercle Le second dessin montre que ce partage r alis avec des arcs de cercles conduit trois parties d aires in gales Archim de savait que le partage du carr avec deux paraboles produisait des aires rigoureusement identiques et sa conviction tait fond e sur un calcul pr cis d aire sous une par
52. plus grande surface Toutefois l vidente simplicit de ce r sultat est trompeuse il fut extr ment d licat d montrer rigoureuse ment et mobilisa les efforts de nombreux math maticiens Toute la difficult r side dans l ventail infini des figures possibles comment tre certain qu il n existe pas parmi elles un candidat plus performant que le disque En qu te d une r ponse les math maticiens ont eu recours depuis l antiquit de nombreuses fa on de raisonner et ne sont parvenus une d monstration convainquante qu la fin du XIX si cle Il n est bien s r pas question de pr senter une telle d monstration mais plut t d imaginer une voie possible pour aborder ce probl me Les questions isop rim triques mettant en relation un contour et son int rieur c est bien entendu la formule de Stokes que l on pense Il se trouve en effet qu une des d monstrations les plus l gantes que l on connaisse l heure actuelle d coule directement de celle ci Elle a t d couverte par M Gromov en 1986 soit plus d un si cle apr s la premi re d monstration rigoureuse l approche la plus naturelle n est pas forc ment celle qui aboutit le plus vite Mais que se passe t il si l on se pose les m mes questions dans l espace trois dimensions savoir comment dans une aire donn e englober le plus grand volume possible 99 A nouveau toute la difficult du probl me r side dan
53. raisonnement de g om trie par un travail sur des nombres et des formules math matiques on parle ainsi de g om trie analytique Un autre exem ple est la r solution toute r cente du grand th or me de Fermat Il s agit d un probl me d arithm tique que Fermat croyait avoir d montr et qui a r sist aux math maticiens pendant plus de 250 ans Ce n est qu en 1995 que le math maticien Andrew Wiles r ussit le tour de force d en faire la d monstration un exploit qui fut imm diatement salu par la presse On ne peut pas donner ici ne serait ce qu une vague id e de cette d monstration mais il est important de noter que celle ci repose sur la d couverte d un lien entre deux 109 domaines distincts des math matiques les lt formes modulaires gt et les lt courbes el liptiques gt Enfin un autre exemple particuli rement loquent de la f condit de ces con nexions entre disciplines diff rentes est justement donn par le probl me de Kakeya En effet la fin des ann es 90 un lien insoup onn a t mis au jour entre le probl me de Kakeya et la r partition des nombres premiers Ce lien n a pas permis la r solution de la conjecture mais a ouvert la voie une nouvelle fa on d aborder le probl me et a conduit les math maticiens Jean Bourgain portrait en t te de chapitre 4 gauche Nets Katz Izabella Laba et Terence Tao portrait en t te de chapitre droite une solution partielle De
54. re de rayon R est donc 4r R 27 proc dure la sph re de rayon R on obtient bien s r son aire qui est 47R Le d tail de ce calcul se trouve dans l encart color de la page pr c dente Cette valeur aujourd hui bien connue porte en elle m me le fameux r sultat d Archim de En effet l aire de la sph re peut se d composer en un produit de facteurs sous la forme An R 27 R x 2R Cette criture montre que la quantit 47R repr sente galement laire d un cylindre de rayon et de hauteur 2R c est dire aussi haut que large En effet ce cylindre a pour base un cercle de rayon donc de p rim tre 27 R lequel p rim tre multipli par la hauteur 2R donne bien pour le cylindre une aire gale 47 R Ainsi 47R repr sente tout aussi bien l aire de la sph re de rayon de R que celle de son cylindre circonscrit La d composition ci dessus met donc en vidence une co ncidence de formules mais il se pourrait que cette co ncidence soit due au hasard et ne soit pas le signe d une v ritable correspondance g om trique entre les deux objets En fait il n en est rien la co ncidence des formules n est pas du tout fortuite elle cache un r sultat bien plus fort de quelque mani re que l on coupe en horizontale la sph re avec le cylindre qui l entoure l galit des aires demeure On a coutume en hommage ce grand homme d appeler ceci le th or me d Archimede am hd Les aires de
55. riv e La r solution de telles quations c est a dire la recherche de la fonction inconnue f rel ve du savoir faire du math maticien Bien str toutes les quations diff rentielles ne sont pas de la m me difficult si les plus simples d entre elles proc dent de petites manipulations un peu similaires celles que l on effectue pour les quations alg briques d autres en revanche demeurent r tives a toutes formes de r solution C est notamment le cas des quations de Navier Stokes Elles traduisent des ph nom nes naturels qui sont au coeur des pr visions m t orologiques des tudes d a rodynamique et plus g n ralement de tous les mouvements de fluide Pourtant on est bien loin l heure actuelle de savoir traiter de mani re satisfaisante ces quations En fait il se trouve que les savants se heurtent un probl me qui peut sembler incongru mais qui est encore plus fondamental celui de savoir s il existe des solutions ces quations En somme alors que l on peut observer sans peine toute sorte d coulements dans la nature il est incroyablement difficile de les red couvrir math matiquement en partant des quations de Navier Stokes Ces probl mes font partie des plus grandes questions qui se posent en math matiques un des sept probl mes du mill naire dot par la fondation Clay d un prix d un million de dollars est justement de percer jour le secret de ces fameuses quations
56. science En effet quelques mois d intervalle trois r sultats majeurs viennent bouleverser la vision du monde qui tait celle des savants d alors et c est une seule et m me personne qui est l origine de ces trois d couvertes Albert Einstein portrait en t te de chapitre La premi re d entre elles est celle de l effet photo lectrique un ph nom ne physique qui met en vidence l exis tence de ces fameux grains de lumi re gt appel s photons La lumi re n est donc pas seulement une onde comme on le pensait depuis Newton elle rev t galement un aspect corpusculaire les photons qui bombardent une surface m tallique sont capables d en ar racher des lectrons Cette d couverte fondamentale lui vaudra le prix Nobel de Physique N anmoins c est la deuxi me de ces d couvertes qui a donn Einstein sa renomm e uni verselle il s agit de la tr s c l bre th orie de la relativit et de la non moins c l bre formule E mc D sormais le temps n est plus absolu Mati re et nergie se confondent Quant la troisi me d couverte ce n est ni plus ni moins que celle de l existence des atomes Ceux ci totalement invisibles sous la lentille des microscopes de l poque ne pouvaient tre observ s et Einstein n a pu d duire leur existence qu partir de l interpr tation d un ph nom ne inexplicable jusqu alors le mouvement brownien 95 La d couverte de ce mouvement comme
57. signe traditionnellement par la lettre f qui ne repr sente pas un simple nombre mais une quantit qui d pend de la valeur attribu e l inconnue x Apr s l invention de telles fonctions capables de coder gt les courbes Newton et Leibniz r volutionnent les math matiques de leur temps par une nouvelle d couverte on peut a partir d une telle fonction et par un proc d syst matique trouver la formule qui donne la pente en chaque point de la courbe consid r e Appliqu la fonction 2x x ce proc d syst matique qui sera d taill plus loin donne pour la pente la formule pente 2 2x Par exemple on v rifie que lorsque x 0 5 c est dire lorsque l on se trouve sur le point C de la courbe la pente est 2 2 x 0 5 1 Mais bien s r cette formule se v rifie galement pour tous les autres points de la courbe Cette criture 2 2x qui donne la pente en chaque point de la courbe est aussi une fonction on l appelle fonction d riv e on la note f En fin de compte si l inclinaison d une droite est un simple nombre sa pente celle d une courbe est en revanche toute une fonction celle qui indique la pente pour chacune des valeurs de x et qui s appelle la fonction d riv e Le proc d qui permet de passer d une fonction sa fonction d riv e est en g n ral tr s simple en voici un aper u sur quelques fonctions r r3 xi d rivation J et ainsi de suite 1 2x 3x 4
58. simple en fournit la valeur a vaut 0 14433 et b vaut 0 14433 La formule d int gration donne alors l aire de la petite calotte b t FH Fr F 0 14 F 0 14 0 01603 et par suite l aire de toute la figure qui vaut 0 41296 On le constate et ce n est pas une surprise l h lice triangulaire ainsi tronqu e voit son aire diminuer l g rement Bien str le gain est modeste mais il est d sormais possible grace au calcul int gral d envisager des figures aux contours complexes notre champ d investigation s largit soudainement Le paradoxe du peintre Peut on peindre un mur infini avec un nombre fini de pots de peinture Aussi surprenant que cela puisse para tre la r ponse est oui c est le c l bre paradoxe du peintre il est possible de construire un mur dont la longueur est infinie et dont l aire est finie Ainsi un peintre qui recouvrirait ce mur d une couche de peinture uniforme n aurait besoin que d un nombre fini de pots de peinture Comment cela est il possible La cl du paradoxe tient dans le fait que la hauteur de mur n est pas constante mais va en s amenuisant par cons quent plus le peintre se d place vers la droite moins il a besoin de peinture pour 40 couvrir une m me longueur de mur Cela dit il faut garder l esprit que le mur est infini et m me si l on a besoin dune quantit de peinture de moins en moins grande il reste tout a fait surpren
59. une dimension fractale situ e entre deux et trois De tels objets peuvent s obtenir par exemple au moyen d un proc d d videment dans l illustration ci dessous la pi ce de d part est un cube et l objet obtenu la limite s appelle l ponge de Sierpinski sa dimension fractale est de 2 73 environ 105 Vol 1 Vol 0 74074 Vol 0 54869 Vol 0 De m me qu en dimension deux ce genre de construction aboutit des objets paradoxaux que l on peut qualifier de lt solides sans volume gt ils correspondent aux surfaces sans aires du plan ce sont des objets dont la dimension fractale vaut trois tout en ayant un volume gal z ro En parfaite analogie avec la dimension deux il s av re que tous les objets connus Vheure actuelle qui ont un volume nul et qui r pondent au probl me de Kakeya sont de ce type Se pose alors la question de r duire la dimension fractale est il possible qu un objet solution ait une dimension inf rieure trois Contrairement au cas de la di mension deux o le th or me de Davies cl t d finitivement la question personne ne sait l heure actuelle si un tel objet existe Les math maticiens pensent que non ils noncent Conjecture de Kakeya pour la dimension trois La dimension fractale d un objet qui contient l aiguille dans toutes les directions de l espace est trois Ainsi parmi les solides de volume nul ceux qui v rifient la condition de Kakeya se
60. ES T Te aos ES pa g E Ji Sa G7 ee i el Lime i on obtient tonnamment un r sultat fini 45 temps Les t moignages de ses contemporains d crivent Euler comme un travailleur infati gable dot d une m moire effarante On raconte entre autres qu il connaissait les 9000 vers de l En ide par c ur Tout cela n emp chait pas Euler selon les m mes t moignages de manifester une grande gentillesse et une grande accessibilit envers ceux qui l ont c toy En particulier dans sa propre famille la patience et l attention dont il fit preuve l gard de ses treize enfants sont demeur es c l bres Devenu aveugle les douze derni res ann es de sa vie il ne ralentit pas pour autant son rythme de travail et dicta ses publications ses fils ou ses serviteurs Il meurt en 1783 l ge de 76 ans Pr c demment la repr sentation d une somme infinie sous forme d un g teau que l on partage a permis de saisir d un seul coup d il la valeur de cette somme En revanche pour la somme d Euler il n existe pas de repr sentation aussi simple N anmoins une visualisation graphique de cette somme est tout de m me possible au travers d une juxta position de rectangles dont chacun d eux figure par son aire un terme de la somme Plus pr cis ment on choisit des rectangles qui ont tous une largeur gale 1 et une hauteur suc cessivement gale 7 d etc et on laisse provisoirement de c t le
61. En cheminant avec Kakeya Un voyage au c ur des math matiques actuelles Luc Rulli re Jean et Vincent Borrelli Table des mati res 1 Une question anodine La question de Kakeya La grande invention e as ecra g s pu a aie pe amp mu menus 2 La d rivation Qu est ce qu une d riv e La d couverte de Descartes Avanc e sur la question de Kakeya Le th or me d Archim de 3 Le calcul int gral Le partage d Archim de Qu est ce qu une int grale 2 Avanc e sur la question de Kakeya Le paradoxe du peintre 4 La formule de Stokes La m thode l arpenteur Ia formule d Stokes se sae 48 Pas at Ea md M Re Spa 4 Avanc e sur la question de Kakeya Bull s d rSavon seare rema BP ee wh RARE Eux LL a a a ae 5 Les quations diff rentielles LA d HOId RE a a ee Ee NE Di eee Enveloppe de droites Avanc e sur la question de Kakeya Billards RS Re a te DL ae ee Bre ee 6 Le th or me de Besicovitch Le probl me de Kakeya pour les aiguilles parall les La construction de Besicovitch L nigme des domaines toil
62. La delto de Une nouvelle fa on d aborder le probl me de Kakeya conduit tout naturellement une quation diff rentielle au lieu d envisager directement des figures l int rieur desquelles 66 Vaiguille peut se retourner on s int resse aux mouvements possibles de l aiguille afin d en extraire les figures qu ils engendrent Ainsi au lieu de prendre la figure comme point de d part on consid re un mouvement de l aiguille puis on cherche la figure qui lt colle au mieux gt ce mouvement Et pr cis ment au moment o il formule sa question Kakeya a d j en t te une fa on de retourner l aiguille particuli rement simple et harmonieuse tel point qu elle peut se d crire par un petit m canisme l mentaire Ce m canisme se compose de deux roulettes identiques et d un cercle trois fois plus grand On relie les axes des roulettes par une tige de sorte que cet ensemble puisse tourner l int rieur du grand cercle comme l indique la premi re des deux figures qui pr c dent On suppose que tout cet ensemble roule l int rieur du grand cercle et on fait abstraction de la tige de liaison On relie alors les deux roulettes par une aiguille conform ment au second dessin ci dessus et on suit le mouvement de l aiguille dans ce man ge On observe que les extr mit s de l aiguille d crivent une courbe comportant trois portions similaires il s agit d une delto de Au cours de ce mouvemen
63. Reuleaux est plus petit que le disque Bien str ce calcul n aura de sens que si l on fixe la m me longueur pour l aiguille dans le Reuleaux et dans le disque Pour simplifier les calculs on d cide que cette longueur est gale 1 on ne consid re pas d unit particuli re par exemple ce 1 peut signifier 1 m tre 1 pied 1 pouce 1 mile bref ce que l on veut Le disque ayant pour diam tre Vaiguille a donc un rayon gal a 5 aire de ce disque qui s crit 7R vaut donc l ens Il peut sembler plus d licat de d terminer l aire du Reuleaux toutefois on peut ais ment d composer cette figure en formes l mentaires dont l aire est bien connue Ici la d composition fait appara tre un demi disque d aire 5 et deux triangles quilat raux de c t 1 dont chacun a une aire gale VE l aire du Reuleaux est donc T V3 0 10477 5 0 70477 Cette aire est effectivement plus petite que celle du disque Quant l aire d un triangle quilat ral c est le quotient du carr de sa hauteur par le nombre V3 elle vaut donc ici 12 0 57735 ce qui est bien inf rieur 0 70477 jours craindre qu une autre plus petite ne fournisse un meilleur candidat Kakeya s est d ailleurs trouv confront en son temps a cette difficult et ne parvenant pas a la d passer il d cida de proposer cette question a l ensemble des math maticiens C est la une d mar
64. a tion universelle ou la th orie de l volution sont per ues leur juste valeur peu de gens connaissent la v ritable port e du calcul diff rentiel Cette relative m connaissance s ex plique sans doute par la distance qui s pare n cessairement une id e abstraite de la r alit tangible Le calcul diff rentiel requiert la ma trise d un infini et par cons quent se place d s le d part dans le domaine de l abstraction Son approche n est donc pas imm diate et demande in vitablement un travail de l esprit I se trouve que le probl me de Kakeya fait intervenir les notions de courbe et de mouvement qui sont justement la base du calcul diff rentiel La courbe est celle qui d limite le domaine l int rieur duquel l aiguille se retourne le mouvement est celui de l aiguille elle m me dans ce domaine La question de Kakeya offre donc l opportunit de d couvrir en profondeur la grande invention de Leibniz et de Newton 10 La d rivation La peinture classique associe volontiers sagesse et ge mur Par exemple les savants grecs dont on ne poss de aucun portrait d origine ont tous t repr sent s sous les traits de nobles vieillards Plus proche de nous les portraits de grands penseurs comme Darwin Einstein Freud ou Pasteur donnent voir des hommes relativement g s Il est vrai que la reconnaissance ainsi que la plupart des r compenses scientifiques dont le prix Nobel sont g n raleme
65. abole En effet le probl me se r sume s assurer que l aire de chacune des trois pi ces de ce puzzle vaut l aire totale du carr tant 1 Il suffit donc de montrer que l aire d une seule des trois pi ces vaut puisque les deux pi ces en gris clair tant identiques si l une d elle occupe le tiers du carr et il en sera de m me pour la 34 seconde le tiers restant tant d volu la pi ce centrale Toute la difficult consiste donc d terminer l aire de la partie en gris clair sous la parabole x c est dire sous une courbe qui n est ni un cercle ni une droite et pour laquelle les formules l mentaires du calcul des surfaces ne s appliquent pas C est pr cis ment pour r pondre ce type de difficult que les math maticiens ont mis au point le calcul int gral L id e ma tresse de ce calcul est d approcher la surface que l on ne conna t pas par des figures plus simples dont on peut ais ment calculer laire Il en r sulte une valeur qui n est bien entendu qu une approximation de l aire recherch e mais en recommengant ce proc d avec des approximations de plus en plus fines on obtient la limite l aire d sir e Concr tement pour mettre en uvre cette m thode on remplit le domaine de rectangles car ce sont des formes dont il est facile de calculer l aire La disposition de ces rectangles se fait comme pour une palissade la base de ceux ci se situant sur l horizont
66. ale A Ces palissades successives sont int rieures au domaine on les appelle les petites palissades elles comportent sur le dessin cinq dix et quinze lames On peut de la m me mani re imag iner des palissades qui recouvrent compl tement le domaine ce sont les grandes palissades d d Observons que les petites et grandes palissades approchent d autant mieux le domaine que les lames sont fines Il reste maintenant d terminer la surface recouverte par ces grandes et petites palissades ce que l on va faire concr tement sur l exemple d une palissade cinq lames pl 1 x 1 1 0 64 0 36 0 36 0 16 0 161 0 04 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 0 2 L aire d une palissade est la somme des aires de chacun des rectangles qui la composent il suffit donc de savoir calculer l aire d un rectangle quelconque ce qui est tr s facile A titre d exemple l aire du rectangle gris fonc est 0 2 x 0 16 pour la petite palissade et 0 2 x 0 36 pour la grande en r p tant ce calcul aux autres rectangles on obtient au final Aire de la petite palissade cinq lames 0 24 Aire de la grande palissade cinq lames 0 44 Ainsi laire du domaine se situe entre les valeurs 0 24 et 0 44 Dans le tableau qui suit ce m me calcul des aires des petite et grande palissades est r p t avec un nombre de lames de plus en plus grand les valeurs deviennent alors de plus en plus proches l une de l autre Petite pali
67. analogie avec les dimensions deux et trois conduit tout naturellement choisir l hypersph re comme candidat privil gi Cette intuition se v rifie bien le th or me g n ral de l isop rim trie s nonce en effet ainsi Dans un espace de dimension quelconque c est l hypersph re qui permet de circonscrire une portion d espace donn e de la mani re la plus conome qui soit En prolongement de ce qui se passe en dimension deux et trois il existe une formule de Stokes en toute dimension qui permet de d montrer ce r sultat de fa on l gante Dans ce contexte la formule de Stokes pr sent e dans ce chapitre n est qu un cas tr s particulier d une formule de Stokes en toute dimension Il est d usage d appeler ce cas tr s particulier c est dire celui de la dimension deux formule de Green Riemann 64 Les quations diff rentielles Les quations diff rentielles sont pr sentes dans tous les domaines de la science elles r gissent le mouvement des plan tes les lois de l lectricit la dynamique des popula tions etc La premi re d entre elles est apparue en m me temps que le calcul diff rentiel avec Newton et Leibniz aux alentours des ann es 1700 elle a permis de d duire partir d une loi fondamentale les trajectoires des plan tes autour du soleil Plus encore elle a montr que la connaissance un instant donn de la position et de la vitesse de chaque plan te suffit
68. ant qu au total une quantit finie de peinture soit suffisante Le secret de ce mur paradoxal r side pr cis ment dans la mani re dont il s amenuise car il y a de nombreuses fa ons de construire un mur de plus en plus petit mais seules quelques unes d entre elles conduisent une aire globale finie En math maticien on peut voir le mur comme un domaine d limit par la courbe d une fonction il s agit alors de choisir une lt bonne gt fonction afin que la surface du mur soit finie Bien entendu il y a une multitude de fonctions qui rev tent une telle apparence et la r alisation ou non de ce mur paradoxal va d pendre de la fonction que l on choisit L un des choix les plus simples est de prendre pour cette fonction l inverse du carr c est dire celle dont l expression s crit f b Le dessin ci dessous en donne sa courbe repr sentative et le mur correspondant J 1 b Il s agit bien d une courbe qui d croit rapidement la raison en est la suivante plus le nombre x est grand c est dire plus on est droite sur l horizontale plus son inverse 4 est petit Et cet effet est encore accentu quand le nombre x en question est lev au carr comme c est le cas ici On d cide arbitrairement que le mur d bute lorsque x 1 et qu il se prolonge ind finiment le long de l axe horizontal Tout le probl me est maintenant de calculer son aire La longueur du mur tant infinie il est n c
69. arit des formules qui les d finissent Or la notion de d rivation d coule directement des formules qui expriment la pente Ce tableau laisse entrevoir que le calcul de l aire d un objet de l espace rel ve de ce m me principe de d rivation Si tel est bien le cas la premi re pr occupation est de savoir sur quelle fonction appliquer ce fameux principe Comme le volume d une couche de peinture recouvrant une surface donn e d pend videmment de l paisseur x de cette couche la fonction recherch e n est autre que celle qui donne ce volume en fonction de l paisseur Tr s pr cis ment si on d signe cette fonction par f l aire de la surface s obtient alors en deux temps on d termine tout d abord la d riv e f on remplace ensuite x par z ro dans cette d riv e Le nombre que l on trouve n est autre que l aire recherch e La d monstration rigoureuse de ce r sultat sortirait du cadre de cet ouvrage on se contente donc de visualiser cette proc dure au moyen d un diagramme qui met bien en vidence le r le central que joue la d riv e volume de peinture sa d riv e en 0 f f gt Aire Ce diagramme re oit en entr e le volume de peinture et offre en sortie l aire de la surface il peut tre vu comme une proc dure m canique qui transforme un volume en aire et dont le rouage essentiel est un calcul de d riv e Si l on applique plus particuli rement cette 26 Comment obt
70. articulier elle donne acc s aux points pr cis o cette pente s annule A quoi pourrait bien ressembler une lt fonction gt capable d une telle prouesse Concr tement elle se pr sente comme une expression math matique c est dire une formule faisant intervenir une inconnue x et diff rents symboles math matiques On passe donc d un probl me purement g om trique un probl me de courbe et de pentes une formule contenant une inconnue La clef de ce passage tient l existence d un lien cach entre les objets g om triques et les formules math matiques La d couverte de Descartes La mise en vidence de ce lien cach est l uvre de Ren Descartes et elle est aujourd hui consid r e comme l une des plus grandes d couvertes de l histoire des sciences Pourtant au d but du XVII Descartes lui m me n accorde que peu d importance celle ci il s agit pour lui simplement de pr senter de fa on plus alg brique la g om trie des anciens Il faut dire que le projet de Descartes est d mesur il s agit de construire rien moins qu une mathesis universalis une math matique universelle qui tendrait son pouvoir tous les domaines de la connaissance humaine La r alisation de ce projet va occuper une grande partie de sa vie et aboutira entre autres la r daction du Discours de la m thode Plus prosaiquement il est l origine de la notation x y et z pour les quantit s inconnues d une
71. c ne la sph re ne peut se d rouler sur le plan on ne peut donc calculer son aire comme si il s agissait d un objet plat C est 1 un obstacle important la sph re est irr ductiblement un objet de l espace et diff re en cela radicalement du cylindre ou du c ne Comment face cette difficult acc der son aire 2 i a Une observation tr s concr te va permettre de contourner cet obstacle il est paradoxale ment plus facile de mesurer un volume qu une aire En effet pour acc der au volume d un objet il suffit de immerger dans un r cipient gradu et d observer la variation du niveau 24 de l eau et d en d duire le volume recherch En revanche lorsque l on r fl chit un moyen de mesurer son aire on se trouve d muni L id e est donc d obtenir l aire d un objet en passant par un calcul plus accessible de volume Evidemment un volume n est pas une aire mais il y a un moyen de d duire l un partir de l autre et la cl de cette corre spondance on le verra est justement donn e par la d rivation Dans le cas l mentaire des objets plats cette correspondance est plus directement observable car le recours la d rivation n y est pas imm diatement apparent Elle se mat rialise dans la vie de tous les jours au travers d une activit qui semble bien loign e des consid rations d Archim de la peinture d une surface plane comme un mur par exemple Chacun sait que la qua
72. celle de la p niciline ou de la radioactivit fait partie de ces d couvertes fortuites qui ont jalonn l histoire de la science En 1827 le botaniste Robert Brown observe au microscope des poussi res organiques en suspension dans le fluide contenu dans un grain de pollen Il est imm diatement intrigu par l tranget de leur mouvement les particules se meuvent de fa on chaotique et impr dictible l int rieur du liquide en des trajectoires irr guli res et incessantes Brown pensa tout d abord un ph nom ne biologique mais l observation de ces m mes trajectoires pour des particules min rales dans une eau parfaitement vierge le dissuada de cette premi re explica tion En fait la raison de ce ph nom ne a tenu en haleine les savants jusqu cette fameuse ann e 1905 En r alit ce mouvement r sulte de l agitation permanente des mol cules d eau qui en bombardant les particules leur impriment ces trajectoires d sordonn es Ces mol cules d eau ont une taille bien plus petite que celle des poussi res organiques et taient donc hors de port e des moyens optiques de l poque En revanche les poussi res sont elles observables au microscope et leur mouvement perp tuel trahit la pr sence de ces invisibles mol cules d eau en constante agitation C est en comprenant que le mouvement brownien tait du l action de particules bien plus petites qu Einstein put en d duire l existence des atomes D
73. cette connaissance porte non seulement sur des paississements r guliers de l objet en question mais galement sur tous ceux que l on peut obtenir avec des disques de tailles disparates Le dessin ci dessus repr sente deux paississements de tailles diff rentes qui recouvrent une simple courbe En examinant la fa on dont les rayons de ces disques voluent lorsque ceux ci se resserrent autour de l objet les math maticiens en d duisent par des formules savantes sa dimension fractale Dans l illustration cette dimension est gale un mais pour d autres objets elle peut donner toutes sortes de nombres plus compliqu s Nous en avons rencontr quelques uns au chapitre pr c dent comme le de Gosper dont la dimension est de 1 12915 ou encore le triangle vid dont la dimension est de 1 72367 Pour le probleme de Kakeya la consid ration de ces assemblages de disques de toutes tailles est source de difficult s suppl mentaires car cela multiplie linfini le nombre de fa ons d paissir la figure de d part N anmoins les math maticiens ont r ussi s affranchir des innombrables probl mes caus s par cette multiplicit infinie et sont parvenus se ramener une situation tr s similaire celle des paississements r guliers Dans cette nouvelle situation il faut consid rer non pas tous les disques de l paississement mais seulement ceux qui sont contenus dans une certaine fourchette de taille On superpose
74. cette derni re de toutes les autres aiguilles et on la restreint la bande horizontale pour n obtenir plus qu une collection de sept segments reliant les bords de la bande L tape suivante consiste lt paissir gt chaque segment en un rectangle dont la largeur correspond l espacement des directions des aiguilles l int rieur du disque Le r sultat de cette op ration est illustr ci dessous Un des int r ts de cet ensemble de rectangles est qu il fournit l int rieur de la bande consid r e une approximation de la figure de Besicovitch Ceci peut para tre surprenant au vu du dessin ci dessus mais ce n est d qu au tout petit nombre d aiguilles que l on a s lectionn es Une augmentation progressive de ce nombre c est dire un choix d espace ment de plus en plus petit pour les directions conduit des figures qui approchent de mieux en mieux celle de Besicovitch N oublions pas que notre objectif est de d terminer la dimension d un ensemble de Besicov itch Bien que la d termination d une dimension fractale soit une op ration math matique d licate le principe dont il d pend est quant a lui parfaitement accessible Pour les figures du plan ce dernier repose sur une succession de calculs d aire L id e est d paissir l objet dont on d sire connaitre la dimension puis de faire diminuer cet paississement en calcu lant l aire chaque tape La fa on dont l aire d
75. che naturelle pour les scientifiques que de pr senter leurs r sultats et soumet tre les questions non r solues au reste de la communaut Cet change entre savants qui se fait par l interm diaire de revues scientifiques est particuli rement intense puisque ce sont de nos jours plusieurs centaines de milliers de r sultats et de questions qui sont ainsi publi s chaque ann e pour ce qui concerne les seules math matiques Le destin de toutes ces questions est tr s in gal la plupart d entre elles sont presque aussi vite oubli es que r solues d autres si elles ne sont pas oubli es ne d passent cependant pas le cadre d une communaut restreinte de sp cialistes enfin une infime minorit mobilise l attention de nombreux math maticiens et atteint le statut de grande question gt Certaines de ces grandes questions sont devenues c l bres le lecteur aura certainement entendu parler par exemple du probl me de la quadrature du cercle Il se souviendra peut tre qu il y est question partant d un cercle de tracer la r gle et au compas un carr qui occupe la m me surface Ce probl me dont il est fait mention dans un papyrus datant de 1650 avant J C a suscit au cours des ges les efforts de tr s nombreux math maticiens Il ne fut finalement r solu qu la fin du XIX si cle et la solution est surprenante un tel trac est impossible C est pourquoi l expression lt quadrature du cercle gt
76. ci tant l aboutissement d une succession infinie d objets ayant une aire toujours plus petite il se pose alors tout naturellement la question de sa dimension fractale En d autres termes la figure de Besicovitch a t elle un aspect plut t filiforme ou plut t plein Il s av re que la dimension fractale de cette figure est gale deux Tout comme le mouvement Brownien cette figure fait donc partie de ces fameux objets extr mes rencontr s plus haut c est une lt surface sans aire gt Dans le monde des objets d aire nulle elle est aux antipodes des figures filiformes et rev t l aspect lt plein gt d une v ritable surface A posteriori ce r sultat para t assez raisonnable il semble en effet intuitivement naturel qu il faille une certaine place pour contenir l aiguille dans toutes ses directions et on imagine mal qu une figure filiforme puisse convenir En d autres termes la pr sence d une densit minimale pour r pondre au probl me de Kakeya force la figure de Besicovitch recouvrir l espace comme une surface M me si son aire est nulle sa dimension fractale doit tre gale deux comme pour une surface ordinaire Dans ce probl me comme dans toutes les questions en math matiques il faut n anmoins rester m fiant face ses premi res intuitions qui aurait pens au d part de l ouvrage que la question de Kakeya nous aurait amen ces objets d pourvus d aire Pourquoi cette questi
77. constate cette m thode est bien plus directe que les calculs men s en d but de chapitre En contrepartie une difficult appara t celle de trouver la fonction F dite primi tive de f qui figure dans la formule d int gration Pour simplifier la vie du math maticien il existe des tables qui donnent les primitives des fonctions les plus courantes ce qui lui permet d appliquer la formule d int gration m caniquement et d effectuer ainsi tr s rapi dement de nombreux calculs d aire 38 Avanc e sur la question de Kakeya Il est possible gr ce au d placement astucieux de l aiguille d crit au d but de ce chapitre de lib rer un peu de place l int rieur de chaque secteur d une h lice triangulaire Tout le probl me est maintenant de calculer la nouvelle aire c est dire la surface r ellement n cessaire au retournement de l aiguille dans chacun de ces secteurs Cette nouvelle sur face est d limit e par une courbe et c est l aire situ e sous cette courbe que l on aimerait conna tre Malheureusement cette courbe conduit un calcul d aire relativement technique et il est pr f rable quitte perdre un peu de place de la remplacer par une courbe plus famili re la parabole Au final la figure que l on obtient est un triangle paraboles c est a dire une h lice dans laquelle les arcs de cercles ont t remplac s par des arcs de paraboles Une premi re difficult pour construire cette fi
78. de pi ces assembl es selon leurs JA 88 Puis on r unit ces paquets deux par deux en paquets plus gros ce regroupement se faisant non pas sur la base mais a une certaine hauteur sur le dessin ci dessus le segment de jonction est repr sent en trait fort On r it re ce proc d avec les nouveaux paquets de nouvelles hauteurs jusqu n obtenir qu une seule figure La transformation propos e ici partir du triangle de d part compte en tout trois tapes JAY La construction de Besicovitch se r sume donc en une subdivision du triangle initial en lamelles qui sont ensuite assembl es en gerbes successivement par les pieds par la taille puis par les paules Cette man uvre qui peut sembler insolite est cependant une des id es ma tresses de la d monstration de Besicovitch elle permet de contr ler le recoupe ment sur toute la hauteur des gerbes et de diminuer significativement l aire occup e Certes il est bien clair compte tenu de tous ces recoupements que la figure obtenue la fin a une aire inf rieure a celle du triangle initial mais tout le probleme est de savoir de combien En fait un raisonnement mentaire va montrer que cette aire ne d passe pas la moiti de celle du triangle IITA Tout r side dans la comparaison astucieuse des aires des tages de la figure de Besicovitch et celles des tages d un triangle Dans les dessins ci dessus la figure finale est repr sent e en trois
79. donne la pente s crit ici distance verticale de P B 2b b 2x x distance horizontale de PA B b x l L identit b x b x b x permet de simplifier le quotient en 2 b x Pour obtenir la pente de la courbe au point P il faut rendre b de plus en plus proche de la limite le nombre obtenu est 2 x x c est dire 2 2x l expression de f 20 Une expression qui combine ces puissances de x se d rive ensuite de fa on la plus naturelle qui soit par exemple la fonction f 2x x se compose des fonctions x et x figurant dans la liste pr c dente et sa d rivation s effectue terme a terme f 2xx r d rivation ff 2x1 2 On retrouve donc pour la fonction d riv e l expression f 2 2x annonc e pr c demment La connaissance de cette fonction d riv e livre la pente de la courbe en tous ses points elle d noue elle seule la question de l infini laquelle on se heurtait puisque celui ci est tout entier r sum en la pr sence de l inconnue x En d autres termes l infinit de valeurs possibles que l on peut assigner x entre en correspondance avec l infinit des pentes pr sentes sur la courbe Au final la s lection de celui de ses points o la pente est z ro ne r sulte plus que d un petit calcul la pente 2 2x s annule pour la valeur x 1 qui est bien la position en horizontale du point S le sommet de la courbe
80. dre circonscrit c est le th or me d Archim de 23 C est un th or me incroyablement novateur puisqu il porte en germe les m thodes du calcul diff rentiel pr s de 2000 ans avant son invention Archim de lui m me semblait extr mement fier de cette d couverte Voici d ailleurs ce qu crivait de lui au XVIII me si cle Montucla le premier historien des math matiques lt Marcellus t moigna un regret extr me de la mort de ce grand homme Ne pouvant le sauver sa g n rosit se tourna du c t de ceux qui lui appartenaient il leur rendit leurs biens et le corps de ce grand homme pour lui dresser un tombeau Archim de avait d sir qu on y grav t une sph re inscrite dans un cylindre en m moire de sa d couverte sur le rapport de ces corps Cela fut ex cut et c est ce signe que Cic ron tant questeur en Sicile retrouva ce monument au milieu des ronces et des pines qui le d robaient la vue gt Au premier abord il peut para tre facile de v rifier le th or me d Archim de il suffit de calculer l aire de la sph re et celle du cylindre et de constater qu elles sont gales Pour le cylindre qui n est autre qu un rectangle referm sur lui m me ce calcul d aire ne pose pas r ellement de probl me en revanche pour la sph re il se r v le d une grande difficult tant conceptuelle que pratique En effet contrairement certaines figures comme le cylin dre ou le
81. e Kakeya conduit au progres sions arithm tiques de nombres est loin d tre vident et par souci d tre accessible il sera pr sent dans le cadre de la dimension deux Comme on l a vu dans ce cas tr s particulier la conjecture n en est plus une le math maticien Davis a en effet montr d s 1971 que la dimension fractale d une figure de Besicovitch dans le plan est maximale autrement dit qu elle vaut deux Les id es qui vont tre pr sent es ici sont n anmoins valides pour les 116 dimensions plus grandes o le probl me se pose r ellement Tout d bute avec une figure de Besicovitch c est dire un domaine contenant l aiguille dans toutes les directions possibles Comme pr c demment la repr sentation d un tel do maine sera plus illustrative que fid le mais m me imparfaites ces repr sentations sont indispensables pour soutenir le raisonnement La premi re tape dans la d marche de Bourgain est justement de pr senter la figure de Besicovitch sous une forme o elle sera plus facilement manipulable Cela commence par deux remarques intuitives premi rement on peut se contenter pour d terminer la dimension de ne s int resser qu a une portion de la figure Dans notre cas on choisit de pr server une portion qui ne contient que des aiguilles assez verticales Cela revient en gros conserver la moiti de la figure c est dire comme le montre l illustration ci dessous se restreindre la pa
82. e cent m tres correspond un d placement vertical de sept m tres Bien entendu pour mesurer cette pente il n est pas n cessaire de parcourir une distance de cent m tres n importe quel d placement suffit par exemple un d placement de 50 m tres correspond en verticale une mont e de 3 5 m tres La pente sera tout simplement le quotient du d placement en verticale par le d placement en horizontale En math matique contrairement aux pan neaux de signalisation routi re on fait la diff rence entre une route montante comme celle repr sent e ci dessus et une route de m me inclinaison mais qui serait descendante auquel cas on affecte la pente d un signe n gatif De plus comme la route figure naturellement une droite on pr f re parler de la pente d une droite Cette pente ne d pend pas de l en droit o on la mesure si l on place deux points et B sur une droite le rapport entre leurs carts en verticale et en horizontale est toujours le m me Ce fait bien vident n est qu une d clinaison du fameux th or me de Thal s On crit Pente de la droit distance verticale de A B ente de la droite z Z distance horizontale de A B et ceci pour n importe quels points A et B choisis sur la droite Cela signifie en particulier que les triangles gris s de l illustration suivante sont grossissement pr s tous identiques 15 d Dans le cas d une courbe les choses se compl
83. e d Archim de n en appara t que plus impressionnante d autant plus que l illustre savant ne pouvait b n ficier des notations et des concepts modernes qui clarifient consid rablement les diff rentes notions mises en jeu Au III si cle avant J C le concept de d rivation n existe pas les chiffres arabes non plus pas plus que les symboles alg briques comme et Il faudra attendre plus de mille ans pour que les notations alg briques fassent timidement leur apparition et deux mille ans pour que le calcul infinit simal voie le jour Ce th or me d Archim de est donc r ellement un exploit 29 30 Le calcul int gral En 1593 l ambassadeur de Hollande Adrien Romain fut re u par le roi Henri IV en son palais de Fontainebleau Il affirma publiquement que la France ne comptait aucun grand math maticien le roi fit alors appeler un de ses conseillers qu il savait f ru de math matiques Fran ois Viete L ambassadeur qui persistait dans son opinion lan a ce dernier un d fi Saurait il r soudre une quation du quarante cinqui me degr si complexe qu une seule page ne suffisait pas selon la formulation de l poque la con tenir Il ne fallut pas plus d une seule nuit Vi te qui est aujourd hui consid r comme le fondateur de l alg bre moderne pour r soudre cette quation Beau joueur Romain reconnut la grande valeur du math maticien fran ais et devint son ami Au del
84. e espace trois di mension le film obtenu est alors le suivant L habitant d un monde quatre dimensions pourrait sans peine empiler les sph res qui composent ce film le long de la quatri me dimension afin de reconstruire l hypersph re dans son int gralit et appr hender cet objet globalement Exactement comme cela se passe en dimension deux et trois il verrait un objet final qui englobe une partie de l espace am biant quatre dimensions Dans notre monde trois dimension ce film constitue une repr sentation fid le de l hypersph re et offre ainsi une vue sur la quatri me dimension Plus que cela il montre que les objets qui habitent dans la quatri me dimension ne sont pas inaccessibles Les math maticiens savent cela depuis fort longtemps c est pourquoi ils ne 63 limitent pas leurs raisonnements aux dimensions deux et trois mais envisagent galement la dimension quatre et les dimensions plus grandes Sans entrer dans l examen de ces grandes dimensions on peut simplement noter que le passage d une dimension a la suivante est exactement analogue au passage de la dimension deux la dimension trois Chaque di mension a son hypersph re qui peut se voir comme un empilement d hypersph res de la dimension pr c dente Si l on revient au probl me de la reine Didon en toute dimension savoir rechercher la fig ure qui englobe la plus grande portion d espace possible une
85. e fonction F dont la d riv e est f et il ne restera plus alors qu appliquer la c l bre formule d int gration pour obtenir laire recherch e Gr ce au calcul diff rentiel ce passage d un mouvement de l aiguille la valeur de l aire se r sume une proc dure qui ne repose plus en fin de compte que sur un certain savoir faire technique Tous calculs faits on trouve 1 Aire D F 1 F 0 0 29452 0 72 R solution du probl me de l querre Il s agit de r soudre l quation diff rentielle f af f A la diff rence des quations ordinaires rencontr es jusqu pr sent l inconnue est ici une fonction La r solution d une telle quation a donc pour but de trouver l expression de cette fonction inconnue et cette r solution fait appel toute une s rie de proc d s qui d passent le cadre de cet ouvrage On se contentera par cons quent de v rifier que la fonction f x ix est une solution de l quation diff rentielle La premi re tape est de d terminer l expression f x de la d riv e de f TEN ae on Mee ee 2 4 2 La seconde tape est de remplacer f et f dans l quation diff rentielle de d part par les expressions x et x f z sf z f x on remplace L 1 5 l o 2 4 2 Ge Apr s simplification on constate que l expression de gauche et celle de droite sont iden tiques La fonction f x qx est donc une solution de l quation d
86. e penser que dans ces conditions on puisse obtenir des figures d aire encore plus petite Mais ces figures tant d limit es par des courbes plus complexes un probl me de taille va surgir immanquablement comment d terminer leur aire C est pr cis ment ici que le calcul int gral va intervenir car ce calcul qui r sout tr s simplement le probl me de la cyclo de s applique de la m me fa on toutes sortes de courbes complexes De telles courbes ap paraissent immanquablement d s que l on r fl chit plus avant au probl me de Kakeya Par exemple en rempla ant les arcs de cercle de l h lice triangulaire par des courbes plus complexes il est possible d obtenir une figure plus petite qui r ponde au probl me de Kakeya Cette am lioration repose sur l optimisation du trajet de l aiguille l int rieur de la figure Jusqu pr sent le trajet consid r l int rieur de la figure se composait d une suite de rotations et de glissements de l aiguille il est d crit dans les illustrations ci dessous AAAA Une observation attentive de ce mouvement permet d envisager un gain de place Au lieu de faire tourner successivement l aiguille autour des sommets du triangle on fait glisser chaque fois une de ses extr mit s le long d un c t Au total il r sulte bien de ce mou vement une rotation de l aiguille mais il appara t cette fois de petites zones d laiss es de part et d autre de chacun des trois
87. elle effectue un huiti me de tour en pivotant sur l une de ses extr mit s est le secteur angulaire de 45 degr s dont l aiguille est le rayon il est repr sent ci dessous gauche 86 A dk i Bien str si on coupe ce secteur en deux et que l on superpose les deux moiti s on aboutit a une figure dont l aire est nettement plus petite mais qui ne permet plus de tourner l aigu ille de 45 degr s En effet pour effectuer son huiti me de tour l aiguille devrait sauter de la position verticale la plus gauche celle la plus a droite Telle qu elle est repr sent e ici cette figure ne convient pas il faut donc la compl ter pour rendre possible le transfert d une position verticale l autre Or deux verticales tant n cessairement parall les ce probl me de d placement de l aiguille entre ces deux positions n est autre qu un probl me de Kakeya pour les aiguilles parall les Il existe donc une figure permettant ce tranfert et qui occupe de surcro t une aire aussi petite qu on le souhaite Il suffit de la placer cor rectement sur les deux secteurs angulaires pour rendre au huiti me de tour sa continuit Dans les illustrations ci dessus le gain de place entre le secteur angulaire de 45 degr s et la construction propos e n appara t pas clairement il faut cependant imaginer une partie sup rieure extr mement tir e de sorte que l aire des parties gris es soit infime Ce proc d de construction
88. en r alit il n en est rien et c est l une des grandes r v lations de l tude des quations diff rentielles le chaos peut surgir dans des syst mes infiniment plus simples Il est m me possible d observer ces ph nom nes sur des syst mes tellement pur s que les quations diff rentielles semblent avoir disparu Un exemple saisissant d un tel syst me est ce que les math maticiens appellent un billard c est dire un syst me compos d un seul corps dont la trajectoire est astreinte demeurer l int rieur d un espace bien d limit Le corps en question volue en ligne droite jusqu atteindre la limite du domaine o il rebondit alors selon la loi de la r flexion de Descartes c est dire comme un rayon lumineux frappant une surface r fl chissante ZO P R En g n ral les trajectoires apparaissent de plus en plus enchev tr es au fur et mesure des rebonds n anmoins dans certains cas si on laisse la trajectoire se d velopper linfini une r gularit inattendue peut alors se r v ler C est ce qui a lieu en particulier dans un billard qui serait une ellipse parfaite une r gularit appara t et et se fait de plus en plus pr sente au fur et mesure des rebonds de la boule De mani re surprenante il semble qu une barri re invisible interdise la boule de s aven turer l int rieur du billard cette barri re invisible n est autre que la courbe enveloppe de la traject
89. enant le portrait de phase du billard elliptique Contrairement au cas du cercle langle de rebond varie au cours du mouvement et la s rie de points qui sym bolise la trajectoire dans le portrait de phase ne sera plus dispos e sur une horizontale Une tude approfondie montre n anmoins que ces trajectoires demeurent sur des courbes d une grande r gularit quelques unes d entre elles sont repr sent s dans le diagramme ci dessous On retrouve en particulier un ph nom ne d j observ plus haut les trajec toires se divisent en deux types celles qui sont confin es sur le bord du billard et qui correspondent aux courbes ondul es en haut et en bas du diagramme et celles qui for ment un faisceau vertical au centre du billard et qui correspondent aux courbes de forme ovoidale Ces derni res sont associ es entre elles deux par deux de la fa on la plus vidente qui soit une courbe situ e gauche dans le diagramme correspond son sym trique situ droite La trajectoire de la boule ira visiter alternativement les deux courbes selon qu elle rebondira en haut ou en bas dans l enceinte elliptique La courbe en forme de huit renvers qui se trouve entre les deux mat rialise la fronti re qui s pare les deux types de mouvements Ce diagramme est certes moins l mentaire que celui du billard circulaire mais il est 79 tout de m me empreint d une grande r gularit qui signe la pr sence d un
90. enir l aire de la sph re partir de son volume Tout repose sur la d termination d une fonction f qui donne le volume d une couche de peinture selon son paiseur On commence donc par recouvrir une sph re de rayon 1 d une couche de peinture d paisseur x 1 x On applique une se a couche de peinture a Au premier abord le volume de la couche de peinture peut sembler tout aussi inaccessible que l aire que l on recherche L astuce est de remarquer que ce volume est tout simplement la diff rence des volumes entre la sph re peinte de rayon 1 x repr sent e droite et la sph re initiale de rayon 1 Sachant que le volume contenu dans une sph re de rayon R vaut anR le volume de peinture f x s crit comme une diff rence f a Sri Ea Sri qui se simplifie en 4 e ELLE Ara 4ra En d rivant cette expression gr ce aux r gles de d rivation vues plus haut on obtient D ar xa 4 An xe d rivation l JL MO a 3x 4nx2x 4x1 ce qui s crit apr s simplification f x 4na 8x 4r Apr s avoir d termin l expression du volume de la couche de peinture puis la d riv e de ce volume il suffit d appliquer la petite proc dure d crite dans le texte principal pour obtenir l aire de la sph re volume de peinture sa d riv e en x 0 fru Ang 4rx Anr 8x 4m AT L aire de la sph re de rayon 1 tant 47 celle de la sph
91. ensuite cette collection de disques aux paississements rectangulaires des aiguilles comme le montre l illustration ci dessous 121 B 6 B 10 La d marche suivie est alors la m me que pour celle des rectangles une diff rence pr s cependant l aire que l on cherche valuer est celle des parties de rectangles couvertes par les disques en gris fonc sur le dessin Comme pr c demment la cl du raisonnement provient de l tude des ensembles A B et C issus des intersections de la zone en gris fonc avec les trois horizontales Mais cette fois ci le domaine qui nous int resse tant diss min rien ne garantit que les extr mit s et les centres des aiguilles en fassent partie Par exemple sur le dessin de droite le centre de la deuxi me aiguille n est pas dans la zone en gris fonc Et si l on veut estimer l aire comme pr c demment il est n cessaire de savoir quel est le nombre d aiguilles dont les extr mit s et le centre font partie du domaine consid r C est justement ici qu interviennent les progressions arithm tiques En effet compter de telles aiguilles revient d nombrer les progressions arithm tiques de trois l ments Dans le dessin de droite figurent deux progressions arithm tiques 2 2 0 5 0 5 2 4 6 10 gt 10 5 gt 11 mais seule la premi re correspond une aiguille dont les extr mit s et le centre sont dans la zone en gris fonc e En fin de com
92. erve facilement dans la nature La figure de droite repr sente une sph re ench ss e dans un tore c est une autre possibilit un peu inattendue mais non optimale pour s parer deux volumes gaux Contrairement la double bulle elle ne se rencontre pas dans la nature M me si cette solution de la double bulle est visuellement vidente il ne faudrait pas penser qu il est facile de le d montrer c est dire d carter tous les autres candidats Cette l g re variante du probl me de l isop rim trie s est av r e en r alit d une extr me difficult Les math maticiens n en sont venus bout que tr s 60 r cemment puisque la d monstration a t publi e en 2000 Il n y a bien s r aucune raison de se limiter deux bulles mais comme on s en doute le probl me de l isop rim trie pour trois volumes gaux reste l heure actuelle sans r ponse L observation de la fa on dont s agglutinent les bulles de savon sugg re une r ponse possi ble la triple bulle Bien entendu le fait que cette triple bulle puisse se r aliser effectivement dans la nature ne d montre nullement qu il s agit bien du partage optimal de trois vol umes C est l un des aspects frustrants du probl me de l isop rim trie la visualisation des solutions probables ne semble tre d aucune aide pour la r solution N anmoins cet inconv nient n en est plus un lorsqu il s agit de passer la quatri me di
93. es math matiques pures m rite d tre consid r e avec une grande prudence Comment en d pit de ces ph nom nes d routants avancer dans la compr hension des tra jectoires Une d marche fructueuse consiste les consid rer dans leur ensemble plut t que d essayer de les appr hender les unes apr s les autres Pour le dire d une mani re imag e on aimerait dresser un panorama g n ral de la situation en esp rant que celui ci se r v lera clairant et qu il puisse d voiler d ventuelles structures de l ensemble C est pr cis ment ce que permet de faire le portrait de phase il n cessite n anmoins de repr senter un grand nombre de trajectoires ce qui la main se r v le tr s fastidieux Il est donc indispens able de proc der une simulation informatique et c est elle qui est l origine de la figure repr sent e ci dessous 80 Le portrait obtenu garde grosso modo la structure de celui du billard elliptique parfait et rend compte des ph nom nes observ s pr c demment par exemple la relative conservation de certaines trajectoires Ainsi les lignes ondul es correspondent des trajectoires qui ont t pr serv es l image de celle repr sent e gauche dans l illustration qui pr c de ce diagramme En revanche d autres trajectoires ne suivent plus des lignes r guli res mais errent anarchiquement dans des certaines zones brouill es du diagramme Par exemple la trajectoire lt c
94. es travaux ult rieurs lui permettront m me d valuer leur taille Mais l histoire ne s arr te pas l Le mouvement brownien dont la cause tait enfin comprise commen a intriguer les math maticiens Ils se rendirent compte que ce mouvement tait l exemple universel du mouvement al atoire En effet rien d autre que le hasard ne semble r gir la course d une particule et ses incessants changements de direction De ce hasard r sultent des trajectoires particuli rement tortueuses qui ne ressemblent en rien aux courbes que les math maticiens avaient l habitude de rencontrer jusque l Un exemple de telle trajec toire est repr sent ci dessous diff rentes tapes on y observe un d but de trajectoire qui s enchev tre ensuite de plus en plus mesure qu elle se d veloppe La complexit des trajectoires browniennes a t source de grandes difficult s pour les math maticiens mais une fois ces difficult s surmont es le mouvement brownien est devenu un outil incontourn able pour tudier les ph nom nes o le hasard intervient Aujourd hui il est au c ur de la science qui tudie le hasard la science des probabilit s L tude math matique du mouvement brownien a r v l un autre ph nom ne d routant une trajectoire brownienne est une surface sans aire Un tel objet est un tre math matique paradoxal qui a tout d une surface mais dont l aire est pourtant gale z ro Il se trouve que ces fig
95. esprit est le disque dont l aiguille serait le diam tre et qu une simple rotation suffirait alors renverser compl tement Aussi surprenant que cela puisse para tre cette solution l gante et simple ne r pond pas la question de Kakeya il existe d autres fa ons de d placer l aiguille qui balaient de plus petites surfaces Par exemple au lieu de faire tourner l aiguille autour de son centre on lui fait effectuer des rotations successives autour de ses extr mit s Une figure se dessine alors d elle m me le triangle de Reuleaux Aa 6 A Un calcul rigoureux de l aire de cette figure montre qu elle est plus petite que celle du disque ce calcul est propos dans l encart color de la page suivante Ainsi la figure que l on pressent naturellement le disque n est pas la solution au probl me de Kakeya Il se trouve que le Reuleaux ne l est pas davantage on peut en effet retourner une aiguille dans un triangle quilat ral dont l aire est plus petite que celle du Reuleaux Les dessins ci dessous donnent l id e du mouvement de l aiguille l int rieur d un tel triangle A A A Le triangle est il lui m me la bonne solution au probl me de Kakeya Difficile d en tre sur car d s que l on d couvre une figure susceptible de r pondre au probl me il est tou Le triangle de Reuleaux et le triangle quilat ral Il est facile de montrer au moyen d un calcul d aire que le
96. essaire d effectuer ce calcul avec pr caution Si l on imagine pour commencer qu au lieu d tre infini ce mur s arr te une certaine valeur de x appelons cette valeur b l aire de la tranche de mur comprise 41 entre 1 et b peut alors tre d termin e au moyen du calcul int gral Pr cis ment il s agit du nombre ft 1 D apr s la formule d int gration le calcul de ce nombre se r sume la simple d termination d une primitive c est dire d une fonction F dont la d riv e est la fonction f Ici cette d termination n est pas une chose difficile en soi il existe en effet des tables qui donnent l utilisateur les primitives de nombreuses fonctions et o il est possible de lire que la fonction F 1 se d rive en f Il ne reste ainsi plus qu soustraire F 1 F b pour obtenir l aire de la tranche de mur a L id e est maintenant d examiner l aire de portions du mur de plus en plus longues qui correspondent des valeurs de b de plus en plus grandes Le point remarquable est que ces aires se rapprochent ind finiment d une certaine valeur comme cela se manifeste sur le tableau suivant b 2 10 100 1000 10000 ala limite Aire de la tranche de mur 0 5 0 9 0 99 0 999 0 9999 1 On observe que lorsque b grandit l aire de la tranche de mur s approche d aussi pr s que l on veut de la valeur 1 A la limite quand tout le mur est recouvert cette valeur est
97. eu analogues celle repr sent e droite ci dessus mais si denses qu elles recouvrent tout le carr et dont l aire par cons quent est celle du carr Il faut n anmoins prendre garde de telles repr sentations mentales induites par l observation d un dessin car une courbe au sens math matique du terme n a pas d paisseur et ne devrait donc pas tre visible gt Or 97 sur un dessin toute courbe a une paisseur qui est celle du trait qui la repr sente il de vient ainsi facile sur un dessin de tracer une courbe qui recouvre tout le carr il suffit simplement de colorier ledit carr comme le ferait un enfant muni d un crayon Toute la difficult du travail de P ano a bien t de d couvrir une v ritable courbe math matique donc sans paisseur recouvrant le carr Cette courbe tant trop complexe pour pouvoir tre d crite ici on se contentera d en accepter l existence Quoi qu il en soit exemple de P ano montre qu il faut tre prudent si l on utilise les courbes pour construire des objets d aire nulle D autant plus que l on cherche construire des figures qui sont certes d aire nulle mais qui tout en n ayant pas d aire occupent n anmoins suffisamment de place pour que l on puisse y retourner une aiguille Pour obtenir de telles figures qui ne recouvrent aucune surface tout en tant moins rudimentaires qu une simple ligne il existe un proc d tr s direct qui consiste
98. eur cousin sept c t s La signification des nombres qui apparaissent au dessous de chacun d eux sera expliqu e dans les lignes qui suivent dim 1 12 dim 1 31 dim 1 50 99 dim 1 72 dim 1 80 dim 1 83 Si ces figures sont bien toutes d aire nulle on observe cependant qu elles semblent occu per l espace de plus en plus dens ment Ainsi l empilement d Apollonius appara t presque filiforme alors que la derni re figure noircit bien davantage l espace qu elle occupe L aire de ces objets qui r p tons le vaut z ro ne permet donc pas de rendre compte de cette diff rence de densit gt Pour mat rialiser cette impression visuelle on ne parle plus de l aire mais d une autre quantit appel e dimension fractale de la figure C est cette valeur qui est inscrite en dessous de chacun des exemples qui pr c dent Elle est d autant plus proche de un que la figure semble filiforme et plus proche de deux qu elle ressemble une surface et ceci est bien coh rent avec l id e intuitive que l on se fait de la dimension un objet de dimension un ressemble une ligne un objet de dimension deux une surface Les objets pr sent s ici sont interm diaires entre la ligne et la surface par cons quent la di mension qui leur correspond est interm diaire entre un et deux c est la dimension fractale Cette dimension fractale traduit certes l id e intuitive d lt
99. eux dessins ci dessous mettent justement en vidence cette sensibilit gauche on a repr sent un billard elliptique parfait et droite un billard elliptique d form Dans chacun d eux on fait partir d un m me point repr sent par un petit disque blanc deux boules avec deux angles d attaque presque identiques A l issue de quelques rebonds ces deux boules sont encore tr s proches dans le billard parfait alors qu elles se mettent diverger dans le billard perturb 81 Ainsi une petite pertubation des conditions initiales ici langle d attaque entra ne dans un d lai tr s bref une grande divergence des trajectoires Autrement dit si on a une toute petite incertitude sur l angle de d part il est impossible de pr voir m me grossi rement la position de la bille apr s quelques rebonds Cette simple observation a de grandes cons quences dans la pratique puisque toutes les donn es dont on dispose concr tement ont forc ment une certaine marge d erreur Loin d tre un ph nom ne anodin la sensibilit aux conditions initiales est en fait un obstacle la pr vision puisque tr s rapidement la marge d erreur va couvrir tous les v nements possibles on est alors condamn des pr dictions court terme Cette sensibilit aux conditions initiales existe non seulement dans des situations tr s simplifi es comme celle du billard mais aussi dans des situations plus complexes par exemple dans certa
100. grec Contrairement au triangle de Reuleaux les c t s de cette delto de ne sont pas des arcs de cercles mais des courbes plus complexes obtenues partir de cercles en mouvement Pr cis ment elles apparaissent lorsque l on suit le trajet d un point sur un cercle roulant l int rieur d un autre cercle une fois et demi plus grand Le rapport de trois pour deux entre les diam tres des cercles force la figure obtenue pr senter trois pointes Les courbes complexes qui d limitent la delto de font surgir une difficult outre qu elles ne sont pas aussi famili res que la droite ou le cercle elles ne r pondent pas aux formules l mentaires de calcul d aire telles qu on les conna t pour le disque ou le triangle par exem ple Et si l on ne conna t pas l aire de la delto de il devient difficile de la comparer celle d autres figures et donc in fine d tre capable de montrer qu il s agit bien de la solution au probl me de Kakeya Bien entendu ce probl me ne s arr te pas la delto de toute autre figure permettant la rotation de l aiguille n a aucune raison de poss der des c t s droits ou circulaires et par cons quent la d termination de son aire sera probl matique Plus g n ralement c est la question de la compr hension des courbes que l on se trouve confront ici puisqu une figure se r sume aux courbes qui la d limitent une connaissance approfondie de ces courbes doit suff
101. gure est de choisir parmi toutes les paraboles la plus ad quate c est dire celle qui colle au mieux l h lice Elle ne doit tre ni trop large ce qui ferait perdre de la place ni trop troite ce qui emp cherait l aiguille de tourner A ae Trop large Ad quate Trop troite Dans cet exemple o l on a pris pour simplifier une longueur de boucle gale au tiers de celle de l aiguille une tude particuli re montre que la parabole ad quate a pour formule 1 Ay mo C est donc sur cette fonction que vont s appliquer les principes du calcul int gral L aire du triangle paraboles s obtient partir de sa d composition en figures g om triques qua tre triangles quilat raux un grand et trois petits et de trois petites calottes paraboliques 39 Z 3 A 3 L aire du grand et des petits triangles r sulte d un calcul l mentaire celle de la calotte du calcul int gral En effet cette derni re appara t comme tant l aire d limit e par la courbe de la fonction f 5 4x repr sent e ci dessous Cette aire est pr cis ment le nombre b i a qui se calcule au moyen de la formule d int gration Pour ce faire il est n cessaire de conna tre non seulement une primitive F de f mais aussi les nombres a et b qui d limitent le domaine Or il se trouve que la fonction F pr fr se d rive en f quant aux nombres a et b un calcul alg brique tr s
102. haotique gt repr sent e plus haut correspond dans le portrait de phase la zone de flou qui entoure les deux courbes ovoidales Cette simple observation r v le un fait inattendu alors que dans le billard la trajectoire parcourait chaotiquement la totalit de l enceinte elle reste dans le portrait de phase confin e dans une zone certes brouill e mais d limit e et relativement proche de la courbe en forme de huit qu elle aurait suivie dans un billard non perturb Le d sordre caus par la perturbation n est donc pas total le portrait de phase permet d en circonscrire le contour et d en visualiser l ampleur Il faut cependant rester prudent dans l interpr tation de ce portrait de phase il r sulte en effet de calculs num riques effectu s par une machine Finalement la figure que l on obtient peut tre entach e d erreurs dues aux arrondis successifs dans les calculs Elle pourrait galement se r v ler trop incompl te pour refl ter la r alit des choses puisque bien s r seul un nombre fini de trajectoires peut tre repr sent En fait la compr hension du portrait de phase des billards est loin d tre achev e et il se pourrait que nos intuitions et nos interpr tations son sujet s av rent inexactes Il est cependant un ph nom ne im portant que l on rencontre dans les syst mes chaotiques et qui lui est fermement tabli c est celui de la sensibilit aux conditions initiales Les d
103. hiffres apr s la virgule ce qui n affecte en rien le processus de d rivation D autre part ce calcul est aussi l occasion de rencontrer une nouvelle r gle de d rivation un nombre lt isol gt tel 0 70477 se d rive en 0 L expression de f qui r sulte de ce calcul est donc f x x 4 551 1 409 21 Comment on calcule l aire minimale Une d composition de l h lice en figures g om triques l mentaires un triangle de Reuleaux de hauteur 1 x et trois petits secteurs angulaires se r unissant en un demi disque de rayon x permet d obtenir l expression exacte de la fonction qui donne son fr r VS 2 ae V3 T x ia V3 VE Le lecteur ne doit pas tre effray par les critures m a2 ou v3 7 qui ne sont rien d autre que des nombres Une fois valu s ces nombres conduisent la formule de l aire x x 2 27556 x x 1 40924 0 70477 dont on s est content jusqu pr sent Tout le probleme est de trouver la valeur de x pour laquelle la pente de la courbe est z ro Or la fonction qui indique la pente de la courbe pour chaque position de x tant la fonction d riv e de f il nous faut donc d terminer f puis trouver en r solvant une quation la valeur de x pour laquelle f x vaut z ro Appliquons les r gles de d rivation vues plus haut fe m V8 7 z Ar V3 d rivation JL il fie w B ae V8 s 1 4 Il s agit ens
104. i me position elle est constitu e de quatre tages clairement visibles le troisi me tant mis en vidence par une zone gris e Par construction le premier tage est la superposition du premier tage des quatres gerbes visibles l tape num ro un l une de ces gerbes est dessin e gauche son premier tage est gris e Le premier tage de la figure finale a donc une aire plus petite que celle des quatres trap zes puiqu il r sulte de la superposition de 89 ceux ci De m me avec le second tage on compare son aire avec celles des trap zes qui forment ce m me second tage l tape num ro deux l un d entre eux est repr sent dans la seconde illustration L aire du troisi me tage est bien s r inf rieure celle du trap ze qui le contient Quant au dernier tage il est plus petit que le quatri me tage du triangle initial En effet bien qu il soit assez complexe sur la figure finale ce dernier tage est compos des morceaux r organis s de la coiffe du triangle Tout compte fait on obtient donc Aire YW inf rieure 44 24 W Dans cette construction le triangle choisi au d part a une hauteur gale sa base elle vaut 1 Si l on partage la hauteur en 32 segments gaux les tages se placent alors suc cessivement aux altitudes 5 12 et 20 Avec ces donn es laire cumul e des huit l ments repr sent s plus haut vaut 0 23767 puisque celle du triangle est 0 5
105. i t et il se trouve que certaines d entre elles ont une aire plus petite que la delto de Il n est pas n cessaire pour construire une figure meilleure que la delto de de faire appel des mouvements de l aiguille particuli rement compliqu s En fait on peut y arriver au moyen d un mouvement du type de celui d j d crit pour la parabole Pr cis ment on force chacune des deux extr mit s de l aiguille se d placer le long de deux directions fixes comme l indique le dessin ci dessus Une courbe enveloppe se dessine qui semble peu famili re Elle est pourtant bien pr sente concr tement puisque c est celle que d crit une porte de garage dont le haut est contraint de rouler sur une rampe horizontale et le bas sur une rampe verticale Cette courbe est d ailleurs bien connue des ing nieurs sous le nom d astroide Au final le r sultat du mouvement de l aiguille sous l astro de est une rotation d un quart de tour deux figures semblables accol es permettent donc un retournement complet de l aiguille 70 Mise en quation du probl me de l querre Afin de traduire ce probl me en termes math matiques on place l querre dans un rep re et on d cide de choisir le point l altitude 1 sur l axe vertical Pente p fx fx a f 1 x a A une position donn e a de l angle droit de l querre sur l axe horizontal la droite que l on trace touche la courbe en un
106. ier restitue fort logiquement les m mes calculs que ceux de la m thode de l arpenteur Aire Af XY 2 6 12 5 7 6 2 2 Of En r alit pour un domaine en escalier ces deux m thodes sont quivalentes mais bien entendu le champ d action de la formule de Stokes ne se r sume pas ce type de domaines On dit que cette formule g n ralise la m thode de l arpenteur qui peut alors s appliquer une tr s grande diversit de contours Avanc e sur la question de Kakeya Par sa grande g n ralit la formule de Stokes est l outil id al pour envisager de nouvelles figures r pondant la question de Kakeya La meilleure figure trouv e jusqu pr sent le triangle paraboles tire partie d un nouveau mouvement de l aiguille au lieu d effectuer de simples rotations l extr mit de l aiguille glisse sur le long des c t s Lorsque l aiguille tourne autour de chaque sommet en balayant la totalit du triangle ce sont trois petites boucles qui apparaissent chaque extr mit Dans la configuration repr sent e ci dessus le triangle central occupe les trois quarts de l aiguille et la hauteur des petites boucles un quart 56 A Q 5 On l a vu la formule de Stokes donne ais ment l aire d une boucle le probl me est donc maintenant d adapter les dimensions de notre boucle afin qu elle colle au mieux celle que dessine l aiguille Il se trouve qu il est tr s facile de r aliser cette o
107. iff rentielle Visuelle ment on observe que la courbe enveloppe a bien la forme d une parabole la fonction qx semble tre la bonne Tout se complique cependant lorsque l on constate qu il y a une multitude d autres fonctions qui r pondent cette quation par exemple f x 0 f x x 1 f x 2x 4 f x x 1 comme on peut facilement le v rifier Cette quation fourmille de solutions Si l on repr sente ces derni res solutions on s aper oit qu il s agit de droites de l enveloppe fo 7 fx x 1 fix 0 En r alit toutes les droites de l enveloppe sont aussi solutions R soudre le probl me de l querre c est dire trouver la courbe enveloppe d une s rie de droites c est aussi choisir la bonne fonction parmi toutes celles qui satisfont une certaine quation diff rentielle Ici cette bonne fonction est la parabole Tre 73 Apr s multiplication par deux on trouve une aire totale gale 0 58904 ce qui est tr s sup rieur a l aire de la deltoide Ce r sultat peut sembler d cevant puisqu il ne parvient m me pas au niveau du triangle quilateral qui occupe une aire gale a A 0 57735 Pourtant il est possible de l am liorer de fa on d terminante tout en gardant ce m me type de courbes Mais pour cela il faut tre plus astucieux et reprendre la construction non plus en juxtaposant simplement deux morceaux mais en en r unissant un plus grand no
108. igateur est re u 25 ans la Royal Society pour un ouvrage re marquable sur le sujet Tous sont unanimes pour c l brer la grandeur de cette d couverte Buffon parle de sublime M thode gt Voltaire de v rit sublime gt et le marquis de V Hospital auteur du tout premier ouvrage en fran ais sur le calcul diff rentiel parle dans Le remarquable trait de Maria Agnesi portrait en t te de chapitre Le premier des ouvrages populariser le calcul diff rentiel est celui du marquis de l Hospital Il est crit en fran ais la langue savante de l poque et porte le titre tr s loquent d Analyse des infiniments petits pour l intelligence des lignes courbes Ce titre rappelle que c est la compr hension des courbes qui est en jeu de celle ci naitra celle du mouvement et de tous les ph nom nes naturels qui y sont associ s Le livre conna t une grande renomm e et une suite lui sera m me donn e par le grand explorateur Bougainville Un autre ouvrage va galement conna tre un succ s immense celui de Maria Agnesi Institutions analytiques l usage de la jeunesse italienne Ce livre est bien post rieur celui du marquis de l Hospital mais il est le premier faire la synth se des id es de Leibniz et de Newton Il est si remarquablement crit que le pape Benoit XIV f licita publiquement Agnesi lui offrit une couronne et une m daille en or et lui proposa m me fait unique pour une femme un po
109. igures dont les aires sont de plus en plus petites Au fur et mesure de la progression il est de plus en plus difficile de gagner de la place chaque d cimale gagn e co te L observa tion de l ensemble de ces figures semble montrer que l on arrive un palier qui laisse penser que l aire minimale se situe aux alentours de 0 38 ou 0 39 Mais ceci n est qu une vague intuition issue de la consid ration de quelques figures et de m me que pour les origamis seule une d monstration permettrait de valider d finitivement cette intuition Tant qu il n est pas tay par une d monstration le r sultat pressenti peut s av rer compl tement 84 faux et c est d ailleurs ce qui ce arrive ici En 1928 soit onze ans apr s que Kakeya eut pos son probl me un math maticien russe nomm Abram Besicovitch portrait en t te de chapitre obtenait un r sultat totalement d concertant Th or me de Besicovitch Il est possible de retourner une aiguille dans une aire aussi petite que l on veut Ce r sultat va au del de tout ce que l on pouvait esp rer pour ce qui est de l amenuisement de la figure tel point qu il en devient difficile croire Que dit il au juste Il signifie que si l on se donne une aire m me toute petite par exemple gale 0 1 alors il existe une figure dans laquelle l aiguille peut se retourner et dont l aire vaut 0 1 de m me pour 0 01 pour 0 001 etc Au bilan l ai
110. illement du train Il existe en r alit une forme de rupture invisible dans le passage de la ligne droite l arc de cercle m me si ceux ci sont plac s dans la plus grande continuit possible Seul le calcul diff rentiel permet de mettre en vidence cette rupture et propose des courbes autres que le cercle qui s enchainent parfaitement la ligne droite Ces courbes en imprimant une grande r gularit la trajectoire du train assurent tout la fois le confort des voyageurs et une moindre usure du mat riel Bien entendu cet exemple de la courbure des rails de chemin de fer n est pas unique et il existe de nombreux autres domaines d intervention du calcul diff rentiel dans notre quotidien En fait toute la technologie actuelle ne peut s en abstraire il s applique tr s concr tement dans la ma trise des processus industriels dans l optimisation des investissements et des productions bref partout o il est question de trouver les meilleurs compromis De fa on plus universelle le calcul diff rentiel est la source d une multitude d id es et de th ories nouvelles Pour ne citer qu un exemple il a permis l mergence d une nouvelle g om trie dite g om trie diff rentielle qui s est r v l e par la suite tre le cadre indispensable dans lequel Einstein a pu d velopper sa fameuse th orie de la relativit g n rale Alors que de grandes avanc es de la connaissance humaine comme la loi de la gravit
111. iminue donne grosso modo la dimension de l objet de d part plus cette aire diminue vite plus la dimension est petite 118 e ii Le dessin ci dessus repr sente l paississement d un point et d un segment de droite on observe que chaque division par deux de cet paississement se traduit par une aire divis e par quatre dans le cas du point et par deux dans le cas du segment Cette aire diminue donc beaucoup plus vite pour le point que pour le segment et l on sait bien que la dimension de la ligne gale un est plus grande que celle du point qui vaut z ro Les math maticiens exploitent ce ph nom ne et ont des formules qui permettent en mesurant la vitesse de la d croissance de l aire de calculer pr cis ment une dimension Bien s r ces formules ne sont pas n cessaires pour des objets aussi simples qu un point ou une droite mais pour des figures plus complexes elles deviennent in vitables C est en particulier le cas pour des figures compos es d un m me objet qui se r p te l infini en s accumulant dans certaines zones du plan Par exemple dans les dessins ci dessous ce sont des points et des cercles qui par leur amoncellement font appara tre des zones plus denses susceptibles d augmenter la dimension Pour trancher il est alors indispensable de proc der un calcul rigoureux de dimension Un tel calcul montrerait pour les figures en question que ces zones denses n augmentent pas la dimens
112. ines r actions chimiques ou dans la dynamique de certaines populations N anmoins si cette sensibilit aux conditions initiales est bien pr sente jusque dans les grands syst mes physiques que sont la m t orologie ou la course des plan tes autour du soleil son impact sur la pr diction fait toujours l objet de d bats en tre les scientifiques Il se pourrait que les quantit s globales celles auxquelles on s int resse concr tement comme la vitesse du vent ou la pression soient moins sensibles qu on pour rait le penser aux perturbations et que l espoir d une pr diction plus long terme ne soit pas totalement perdu A l heure actuelle cette pr diction n est que de quelques jours pour la m t orologie et de 100 millions d ann es pour la position de la plan te Terre 82 Le th or me de Besicovitch Un nouveau sujet math matique a fait son apparition r cemment les math matiques des origamis La pratique des origamis est dans la tradition japonaise l art du pliage Oru d une feuille de papier Kami Tr s populaire en Extr me Orient il s est propag au fil des si cles dans le monde entier Il rencontre aujourd hui de nouveaux adeptes car on s est rendu compte que les questions de pliages entrent en jeu dans de nombreux probl mes concrets Par exemple elles interviennent dans la r alisation d engins spatiaux propuls s par voile solaire Le principe de ce mode de propulsion est la
113. ion celle ci demeurant donc gale z ro pour l illustration de gauche ci dessous et un pour celle de droite On veut montrer que la dimension d un ensemble de Besicovitch est grande gt il faut donc montrer que l aire d un paississement ne d cro t pas trop vite c est dire pour faire sim ple ne soit pas trop petite Le probl me passe donc par une valuation de l aire des figures qui approximent l ensemble de Besicovitch entre les deux droites Une tude math matique montre que cette aire est reli e aux longueurs des zones d intersection des aiguilles paissies avec les droites Ces longueurs s valuent en comptant des points r guli rement r partis sur lesdites zones Dans le dessin ci dessous on d nombre six points au niveau sup rieur et seulement quatre au niveau inf rieur la diff rence tant due aux intersections entre les rectangles Les points du haut sont r unis en un ensemble que l on appelle et ceux du bas en un autre ensemble B A mesure que l on approche l ensemble de Besicovitch par 119 des rectangles de plus en plus fins donc de plus en plus nombreux les ensembles A et B vont contenir un nombre de points de plus en plus grand mais toujours inf rieur a celui des rectangles cause des multiples intersections que ces derniers forment entre eux Tout le probl me est ensuite d estimer la fa on dont les ensembles A et B grandissent plus leur croissance est rapide plus
114. iquent en effet ledit rapport ne sera pas syst matiquement le m me sauf prendre une courbe en ligne droite L exemple qui suit montre d ailleurs quel point les triangles qui mat rialisent ce rapport peuvent tre dissemblables B B B A A A Impossible donc de parler dans l absolu de pente pour une courbe comme on peut le faire pour une droite Comment concilier malgr tout cette notion de pente telle qu elle s offre nous dans la vie de tous les jours avec ces courbes que l on d sire tudier Comme sou vent en math matiques c est une id e simple qui va nous donner la clef Avant d en venir cette id e on peut reconsid rer en d tail illustration pr c dente et constater en premier lieu que les triangles gris s seraient moins dissemblables si la courbe ressemblait davantage une droite En second lieu on observe que plus les points choisis sont proches l un de l autre plus la courbe qui les joint ressemble une droite L id e est donc de rapprocher le point B au plus pr s gt du point A pour calculer le quotient de la distance verticale sur la distance horizontale B B B A A A quotient 1 5 quotient 1 75 quotient 1 9 Si on poursuit le d placement du point B vers le point A les valeurs 1 99 1 999 1 9999 apparaissent ces nombres se rapprochant aussi pr s que l on veut de la valeur 2 on dit que 2 est la valeur limite des nombres 1 99 1 999 etc et c est cette valeur limi
115. ire pour r pondre non seulement la question de l aire mais aussi toute autre question g om trique Jusqu une poque relativement r cente cette connaissance approfondie des courbes n tait pas accessible Au d but du XVII si cle d immenses math maticiens comme Ren Descartes Pierre de Fermat ou encore Blaise Pascal se heurtaient quotidiennement des probl mes de calcul d aire relatifs a ce type de courbes Un des probl mes r put s comme faisant partie des plus difficiles de l poque tait justement de trouver laire d une figure du m me type que la delto de appel e cyclo de 0 Dans cette figure le petit cercle au lieu de rouler dans un cercle plus grand se d place tout simplement sur une droite Comme pour la delto de ce mouvement engendre un trajet qui n est ni une droite ni un cercle mais bel et bien une ligne courbe pour laquelle un v ritable probl me de calcul d aire se pose Bien des efforts et beaucoup de g nie ont permis de mener ce calcul bien en 1634 sans qu aucune m thode syst matique n mergeat il manquait la grande notion unificatrice qui permettrait une r elle compr hension des courbes C est cette grande notion que nous d couvrirons au fil des pages dans notre p r grination autour du probl me de Kakeya La grande invention A la fin du XVII si cle une grande invention voit le jour le tr s fameux calcul diff rentiel invent ind pendemment
116. jouissances obligation d assister debout aux repas de ses condisciples de haut rang Ainsi se trouve consacr e jusque dans l Universit la structure pyramidale de la soci t de l poque De fait la grande majorit des savants sont issus de familles de notables appartenant la bourgeoisie ou la no blesse Descartes tait de petite noblesse seigneur du Perron et aimait le faire savoir Guillaume de l Hospital auteur du premier livre sur le calcul diff rentiel tait marquis de Sainte M me et comte d Autremont Quant Pierre de Fermat il poss dait une noblesse de robe li e sa charge de magistrat Il est bien vident que l appartenance l aristocratie donnait toutes les facilit s et ce n est pas tout fait un hasard si c est un marquis qui le premier publia un livre sur les d couvertes de Newton et Leibniz De nos jours o le savoir est plus largement partag les origines sociales des math maticiens se sont bien diversifi es et l appartenance ou non la grande aristocratie n est plus r ellement un crit re d terminant On assiste d ailleurs un renversement de situation avec l anoblissement dans certains pays des grands math maticiens Ainsi Andrew Wiles qui est parvenu d montrer le tr s fameux th or me de Fermat a t fait Chevalier de l Empire Britannique en l an 2000 par la Reine d Angleterre Parmi les pr d cesseurs de Wiles il en est un dont le nom reviendra souve
117. l annulation mais la di mension elle demeure incompressible Cette conjecture qui peut sembler tr s abstraite puisqu elle se place dans des dimensions autres que celles de l espace tangible pr sente n anmoins un grand int r t pour les chercheurs car elle est en connexion avec d autres lt grandes questions gt des math matiques De sa r solution d coulerait celle de nombreux autres problemes le chapitre suivant en propose un exemple 107 108 Perspectives Depuis les ann es 90 on assiste un regain d int r t pour le probl me de Kakeya car des connexions inattendues ont t mises en vidence entre ce probleme et d autres questions importantes des math matiques De telles connexions sont tr s pris es par les math mati ciens car elles offrent un nouvel clairage donc souvent de nouveaux outils pour aborder la question de d part Par cons quent la mise en vidence de tels liens entre des probl mes a priori diff rents est souvent source de progr s L exemple le plus c l bre d un lien parti culi rement f cond est celui d couvert par Ren Descartes au XVII si cle ce lien qui rapporte la g om trie l analyse est aujourd hui bien connu de tous c est cette fa on de rep rer la position d un objet gr ce des nombres qui se lisent sur des axes Ces nombres sont les coordonn es de l objet nommA es cart siennes en hommage ce savant Elles permettent de remplacer un
118. l des aires tait une question centrale qui pr occupait les plus grands esprits de l poque Cette question va connaitre une avanc e spectaculaire avec l apparition des principes du calcul int gral un calcul dont l mergence n a t possible qu avec la d couverte pr alable du calcul diff rentiel par Newton et Leibniz Avec ces nouveaux principes on a pu clarifier puis simplifier consid rablement toutes ces questions de calcul d aire au point qu aujourd hui les d fis de Roberval et de Pascal sont la port e d un lyc en de classe de Terminale les calculs ne requ rant que quelques lignes Dans le cadre de la question de Kakeya qui porte justement sur l aire des figures ces m mes principes s appliqueront tout naturellement et rendront accessibles un grand nombre de figures nouvelles Jusqu a pr sent les figures rencontr es sont en effet en nombre tr s restreint une petite r trospective en livre les principales en premier lieu le disque dont l aiguille est le diam tre puis le Reuleaux et le triangle et enfin les diff rentes familles d h lices 32 Il est important de remarquer ici que ces surfaces ne font intervenir que des droites et des cercles ceci rend ais le calcul de leur aire mais limite les possibilit s d inventer des figures nouvelles En s autorisant des courbes plus compliqu es on se donne beaucoup plus de libert pour concevoir toutes sortes de figures Il est alors raisonnable d
119. la dimension sera grande En fait on peut montrer que leur croissance est comparable et pour simplifier l explication on va supposer que dans le cas o les rectangles se font nombreux ces deux ensembles ont le m me nombre d l ments A Des ee Bes Plut t que de s int resser et B on aurait tout aussi bien pu envisager n importe quelle autre droite interm diaire a l int rieur de la bande horizontale Il se trouve qu en consid rant pr cis ment la droite centrale sur laquelle on forme l ensemble C repr sent ci dessous un ph nom ne math matique dit lt combinatoire gt a lieu et donne un lien entre les nombres d l ments de A de B et de C et le nombre d aiguilles en pr sence Ce lien va imposer aux ensembles et B une certaine vitesse de croissance ce qui est le but recherch si l on souhaite montrer que la dimension n est pas trop faible Une des clefs de ce lien est que l ensemble C n est pas ind pendant des ensembles A et 6 on le retrouve en faisant des moyennes entre des l ments de A et de B comme le montre le dessin ci dessus Par exemple sur l aiguille la plus gauche le point A est rep r par sa position sur l horizontale il se trouve deux unit s d une origine choisie arbitrairement Le point B de l aiguille lui est six unit s le point C qui est au milieu de et de B se trouve donc quatre unit s ce qui est la demi somme de deux et de six De la m me fa
120. mbre de sorte que ceux ci se chevauchent le plus possible Par exemple on peut commencer par assembler trois l ments qui permettent chacun l aiguille d effectuer un sixi me de tour La construction et la composition de ces l ments est tout fait semblable ce qui a t pr sent plus haut elle est r sum e dans l illustration qui suit Q L aiguille depuis la verticale jusqu la position oblique tout en bas effectue en tout une rotation de 60 au cours de son trajet soit un sixi me de tour Un assemblage de trois l ments de cette sorte permet bien l aiguille d effectuer un demi tour UA xx Contrairement l assemblage pr c dent qui tait une juxtaposition de deux l ments il y a ici empi tement des l ments l un sur l autre L aire du total n est donc pas le triple de laire de chaque l ment elle est moindre et c est l l int r t d un tel assemblage Un calcul de l aire donne Aire X 0 44843 Cette figure est nettement plus conome que la pr c dente bien que ce resultat ne soit pas tout a fait satisfaisant puisque il est encore sup rieur l aire de la delto de c est dire 0 39269 Il se trouve toutefois que les deux figures qui viennent d tre construites ne sont pas isol es elles d coulent d un m me proc d de construction et peuvent donc engendrer en r it rant ce proc d toute une famille infinie de formes toil es 74
121. mbres r pond une certaine structure La disposition des nombres entiers en tableau de six lignes s tant r v l e encourageante il est tentant de poursuivre avec un nombre de lignes plus grand Les dispositions les plus probantes s obtiennent avec six trente deux cent dix lignes etc c est dire un nombre de lignes qui est un produit de nombres premiers cons cutifs 6 2x 3 30 2x3x 5 210 2x3x5 x 7 etc Il se trouve en effet que de cette fa on les alignements de nombres premiers sont les plus longs comparativement au nombre de lignes utilis es Ainsi le tableau a trente lignes com porte des paquets de six nombres premiers nage ESE A A Zag EE EN EE E 111 De la m me mani re une grille de deux cent dix lignes laisserait appara tre des alignements de dix nombres premiers dont voici un exemple 199 409 619 829 1039 1249 1459 1669 1879 2089 De telles suites de nombres r guli rement espac s s appelent des progressions arithm tiques ce sont elles qui sont l origine des alignements que l on observe dans les tableaux Par ex emple l alignement mis en vidence dans l illustration ci dessus repr sente une progression arithm tique de six nombres premiers espac s d une longueur 30 30 30 30 30 30 359 gt 389 gt 419 gt 449 gt 479 gt 509 La recherche d alignements parmi les nombres premiers se r sume ainsi la recherche de progressions arithm tique
122. mension c est dire si l on envisage le probl me d isop rim trie non plus dans un espace sensible deux ou trois dimensions mais dans dans un espace quatre dimensions qui ne nous est pas directement perceptible Dans la quatri me dimension le probl me de la reine Didon s nonce de la m me mani re que dans un espace sensible deux ou trois dimensions comment d limiter de la fa on la plus conome possible une portion d espace en dimension 4 La quatri me dimension n tant plus celle de notre r alit quotidienne chaque terme de cet nonc n cessite un travail de l esprit Il est bien difficile d imaginer par exemple ce que pourrait tre ne serait ce qu une lt portion d espace gt et plus encore demesurer son caract re lt conome gt Il est cependant possible de se faire une id e de ce quoi ressem ble un espace de dimension quatre non pas travers une vision v ritable mais au moyen d un raisonnement par analogie Un espace de dimension deux est un espace plan pour le transformer en un espace de dimension trois il suffit de faire lt pousser une hauteur gt Par extension l espace de dimension quatre est un espace trois dimensions auquel on aurait fait pousser une hauteur 61 hauteur hauteur 2D 3D 3D 4D La hauteur en question doit tre en dehors de l espace d origine elle peut tre vue comme une fl che pointant angle droit hors de la page du livre Dans u
123. n avance d une case puis on monte de deux etc Dans le cas d une boucle les mouvements ont lieu simultan ment et de fa on continue Si l on d sire repr senter cha cun de ces deux mouvements il appara t deux courbes c est dire en fait deux fonctions que l on appelle X et Y La figure ci dessous repr sente le d placement en horizontale c est dire la fonction X lors du parcours d une courbe en forme de boucle X lt X augmente X diminue X augmente temps La courbe la plus droite reproduit la variation de X au cours du temps cette courbe monte puis descend puis remonte comme le fait X dans les trois premiers dessins En verticale le d placement se r sume deux mouvements lun montant l autre descendant la courbe qui en r sulte a la forme d une parabole renvers e Y augmente Y diminue temps Ces fonctions X et Y vont jouer par la suite un r le crucial car ce sont elles qui inter viendront dans la formule de Stokes et qui permettront de calculer l aire englob e par la courbe Les fonctions X et Y ont aussi un autre r le elles forment un codage de la boucle autrement dit la donn e de ces deux fonctions permet de reconstituer la courbe initiale elles la d crivent compl tement 53 codage Dans le cas d une figure en escalier l application de la m thode de l arpenteur n cessitait une connaissance pas a pas de son contour dans le cas de la boucle cet
124. n ci dessous repr sente deux convexes suivis de deux non convexes Pour chacun de ces derniers ont t dessin s deux points tels que le segment les joignant d borde du contour 91 A Convexe Convexe Non convexe Non convexe Le probl me de Kakeya pour les domaines convexes admet une solution le math maticien hongrois Julius Pal d montre en effet en 1921 qu il n existe pas de domaine convexe plus petit que le triangle quilat ral et qui autorise le retournement de l aiguille Dans le cas des figures convexes le probl me de Kakeya est donc clos la solution est tout simplement le triangle quilat ral ayant pour hauteur l aiguille Une autre cat gorie plus large de figures pour laquelle le probl me se pose est celle des domaines toil s Une figure est toil e s il existe un point de cette figure tel que tout segment qui relie ce point un autre point de la figure est enti rement contenu dans celle ci Concr tement cela signifie qu il existe un point du domaine partir duquel un observateur pourrait voir tous les autres points du domaine C est le cas des deux premiers domaines repr sent s ci dessous un observateur qui se placerait au centre de l un d eux pourrait voir la totalit des points Ce n est pas le cas des deux autres domaines par exemple pour l anneau en effet o qu il soit plac l observateur ne peut voir le point qui lui est diam tralement oppos amp
125. n tel espace qui sort du cadre de la page la repr sentation d un objet reste donc tr s d licate puisqu au final il fau dra bien revenir sur la feuille pour le dessiner Dans les figures ci dessous on a repr sent un cercle une sph re et une hypersph re l analogue de la sph re pour la quatri me dimen sion Force est de constater que la repr sentation de cette derni re n est pas tr s clairante P i Cercle Sph re Hypersph re Le lien qui unit ces trois objets est leur d finition m me seul l espace dans lequel ils sont consid r s change En effet chacun d eux est compos des points qui sont quidistants d un m me point central En dimension deux cela donne un cercle en dimension trois une sph re et pour la quatri me dimension une hypersph re Comment donner maintenant une repr sentation de l hypersph re qui soit plus loquente Pour r pondre cette ques tion il est crucial de remarquer que ce n est pas tant l espace quatre dimensions qui pose probl me mais plut t le passage de la troisi me la quatri me dimension c est a dire l ajout d une dimension Or ajouter une dimension est une op ration que l on peut ais ment r aliser dans l espace ordinaire par exemple c est pr cis ment ce qui est fait dans les dessins ci dessus lorsque l on passe du cercle la sph re Un examen attentif de ce passage va permettre d aboutir l hypers
126. nd pas encore la pente en ce point ne peut donc tre ni positive ni n gative elle est n cessairement gale z ro Concernant l tude du probl me de Kakeya ce raisonnement s applique tout aussi bien pour le point le plus bas de la courbe des aires ce point est celui pour lequel la pente de la courbe est gale z ro Le probl me est donc d plac plut t que de chercher le point le plus bas de notre courbe on va partir la recherche d un point o s annule la pente Ce changement de perspective peut sembler bien modeste pourtant il permet de faire un pas tr s important puisque l on passe d une condition g om trique le point le plus bas une condition num rique une valeur de pente gale z ro Jusqu pr sent on raisonnait sur des objets g om triques on va maintenant pouvoir faire des calculs Reste qu ici encore on se trouve confront au probl me de linfini En effet la courbe des aires se compose d une infinit de points et il faudrait calculer une infinit de pentes afin de d terminer exactement l endroit o celle ci vaut z ro C est maintenant que la grande invention de Leibniz et Newton entre en sc ne la fameuse fonction d riv e C est elle Li qui en effectuant l ensemble infini des calculs de pente d un seul coup va permettre de surmonter cette difficult En effet cette fonction d riv e embrasse elle seule toutes les pentes en tous les points de la courbe en p
127. ne d finition pr cise Ils sont les briques l mentaires qui multipli es entre elles vont former tous les nombres entiers Il est donc naturel de penser qu un certain or dre doit tre pr sent dans la r partition des ces nombres La mise en vidence de struc tures dans l ensemble des nombres premiers est d ailleurs activement recherch e par les math maticiens Certaines d entre elles peuvent tre facilement entrevues en disposant les nombres entiers en colonnes judicieusement choisies Ci dessous l ensemble des nombres entiers est plac selon une grille comportant six lignes au sein de cette grille les nombres premiers qui figurent en gris dessinent certains alignements 110 Il est clairement visible que certaines lignes sont exemptes de nombres premiers il s agit des quatri me et sixi me lignes auxquelles s ajoutent si l on fait abstraction de la premi re case de la deuxi me et troisi me lignes En effet ces lignes ne contiennent que des multiples de 2 et de 3 ainsi l exception de ces deux derniers nombres tous les nombres premiers sont regroup s dans la premi re et la cinqui me ligne Ils semblent alors former de petits paquets dont le plus long est compos des nombres 5 11 17 23 29 La pr sence de tels alignements c est dire de nombres premiers r guli rement espac s conforte l intuition vague que la r partition de ces no
128. nesse s accompagne presque immanquablement d une force de travail extraordinaire L ceuvre compl te du philosophe et math maticien Gottfried Leibniz est si volumineuse que son dition entreprise au d but du XX si cle n est toujours pas achev e Sa correspondance a elle seule se compose de 20 000 lettres de sa main et sa publication compl te n cessiterait une centaine d ouvrages Quant Newton vingt ans d une vie quasi monacale enti rement d di s au labeur le conduisirent une grave d pression nerveuse Pour prendre un exemple plus actuel la r cente d monstration du grand th or me de Fermat largement c l br e dans les m dias ne fut obtenue par le math maticien Wiles qu au prix de neuf ann es d isolement et de travail acharn Aussi la comp tition entre math maticiens est rude et la primaut d une d couverte prement disput e Ce fut le cas de l invention du calcul diff rentiel qui fut l occasion d un grave conflit entre Newton et Leibniz Newton en effet d couvre le calcul diff rentiel en 1665 mais ne le publie qu en 1687 soit 22 ans plus tard Leibniz de son c t le d couvre en 1675 c est dire dix ans plus tard que Newton mais le publie presque imm diatement une dizaine d ann es avant Newton Aurait il eu vent de la d couverte de Newton lors de son s jour Londre en 1673 Certains l ont pens et il naquit chez Newton une f roce animosit envers Leibniz N anmoin
129. nsemble tout en pr servant une densit de 4 on d place les cases grises de l illustration ci dessus tout en veillant ce qu il y en ait une seule dans chaque barrette de quatre cases BAG HE E Il n est d j plus vident qu il existe dans cet ensemble des progressions arithm tiques de toutes longueurs On peut encore compliquer les choses en jouant par exemple sur des barrettes de vingt cases au lieu de quatre ce sont alors cinq cases grises qui sont r parties au hasard dans chaque barrette La densit d un tel ensemble est toujours gale 114 a et malgr sa complexit apparente la pr sence de r gularit est encore assur e par le th or me de Sz m r di CHAS Ed Ee EN 7 Il est temps maintenant de revenir au probl me initial savoir la recherche d une certaine forme de r gularit dans lensemble des nombres premiers Le th or me de Sz m r di permet de prendre de la hauteur par rapport ce probl me puisqu il r pond une question plus g n rale peut on trouver un peu de structure dans des ensembles tr s d sordonn s Sous une condition tonnamment faible une densit qui n est pas gale z ro la r ponse est affirmative Il suffit donc d tre capable de montrer que la densit des nombres premiers n est pas z ro pour en d duire automatiquement existence de progressions arithm tiques de toutes longueurs Il s av re toutefois que l ensemble des nombres p
130. nsion fractale Est on en pr sence d un objet plut t filiforme Plut t plein Ou m me pourquoi pas d une surface sans aire Une nouvelle jeunesse pour la question de Kakeya La premi re tentative pour r pondre ces questions r serve une bien mauvaise surprise la succession de figures propos es par Besicovitch n aboutit pas Certes aire devient chaque tape plus proche de z ro pourtant ce processus peut se poursuivre ind finiment sans jamais trouver son aboutisssement en un objet final Et bien s r celui ci n existant pas la question de sa dimension fractale ou celle de son allure g n rale est vide de sens Que s est il donc pass Les choses s clairent en r examinant les figures de Besicovitch celles ci ne restent pas confin es dans une zone pr cise mais ont au contraire tendance a s tendre ind finiment vers le haut Ceci est bien visible sur la repr sentation sch matique ci dessous 101 Le ph nom ne d extension permanente que l on voit ici emp che l apparition d un objet final En effet il repousse toujours plus loin les contours de cet ventuel objet final et le fait dispara tre l infini Cette situation est en fait tr s fr quente et l on peut plus facile ment appr hender ce ph nom ne sur des exemples plus simples comme celui des anneaux pr sent ci dessous 0O Dans cette succession l paisseur des anneaux est divis e par trois et le diam tre multi
131. nt d cern es aux savants vers la fin de leur carri re Pourtant bien souvent les grandes d couvertes en particulier en math matiques sont le fait de tr s jeunes gens Newton et Leibniz portrait en t te de chapitre d couvrent le calcul diff rentiel l ge de vingt trois et vingt neuf ans respectivement Et ce ne sont pas des cas isol s Descartes qui les a pr c d s n a que vingt trois ans lorsqu il pr sente son principe de g om trie analytique et Lindemann en a tout juste trente lorsqu il d montre la fin du XIX si cle l impossibilit de la quadrature du cercle Plus pr s de nous Einstein publie pour la premi re fois sa th orie de la relativit l ge de vingt six ans De nos jours c est souvent l apanage de personnes jeunes que d enlever les questions math matiques laiss es par leurs a n s Et d ailleurs contrairement ce qui a lieu dans les autres sciences la plus haute distinction en math matiques savoir la m daille Fields a t con ue pour r compenser de jeunes personnes elle ne peut tre attribu e qu des scientifiques dont l ge ne d passe pas quarante ans Ce prix cr par le math maticien Fields est l quivalent du prix No bel en math matiques Il est d cern depuis 1936 et r compense tous les quatre ans des 11 math maticiens qui ont fait des d couvertes de premi re importance La moyenne d age des laur ats est de 35 ans Cette extr me jeu
132. nt dans ce chapitre il s agit de Stokes portrait en t te de chapitre celui la m me qui a donn son nom la tr s c l bre formule de Stokes Georges Stokes est issu d une famille relativement modeste d Irlande son p re tait pasteur et sa m re fille de pasteur Apr s des tudes brillantes il ne tarde pas devenir l un des plus grands physiciens du Royaume Uni Et tout comme Wiles il fut anobli et devint ainsi en 1889 le baronnet Sir Georges Gabriel Stokes Que dit la fameuse formule qui porte son nom Elle donne un moyen direct et l gant pour conna tre une aire partir du contour qui englobe cette aire En particulier elle est Voutil tout indiqu pour aborder le probl me de Kakeya puisqu elle permet non seulement de retrouver toutes les aires des figures qui sont apparues jusqu pr sent mais elle donne galement acc s l aire de figures aux contours bien plus complexes Cette formule tout en se situant dans la veine du calcul int gral en repousse les limites L int gration en effet ne s applique qu des domaines tr s particuliers ceux qui se situent au dessous de la courbe d une fonction Or dans la notion de courbe d une fonction il y a l id e d un d roulement sans retour en arri re Les aires concern es par la m thode d int gration sont donc du type de celle qui est ombr e dans le dessin ci dessus L aire d un domaine en g n ral reste accessible mais elle 50
133. nt les deux valeurs que donne la fonction F lorsque l inconnue x est remplac e par le nombre a et par le nombre b Ainsi l aire sous une courbe s obtient directement en effectuant une simple soustraction faisant intervenir une fonction F reli e f par une d rivation Il n est plus n cessaire de se livrer au calcul des aires des grande et petite palissades puis de pousser ce calcul la limite pour enfin obtenir la valeur de l aire C est la un des grands miracles de cette formule d int gration une proc dure laborieuse est remplac e par cette unique soustraction Voici titre d exemple comment traiter un probl me tel que celui du partage d Archim de au moyen de cette formule Comme on l a vu ce probl me se r duit montrer que le nombre 1 fs 0 vaut Z Pour appliquer la formule il est n cessaire de trouver une fonction F dont la d riv e est f c est dire x Un simple coup d ceil sur les d rivations fournies au chapitre pr c dent permet de constater que la d riv e de x est 3x7 Par cons quent la fonction F ir convient comme on peut s en rendre compte en lui appliquant le proc d de d rivation F ixr d rivation J f 4 x 3r r Ainsi puisque sa d riv e est x cette fonction F peut tre utilis e dans la formule d int gration Le calcul de l aire se r sume alors une soustraction b f f Fo Fia 1 fi FQ F0 413 109 3 0 Comme on le
134. ntit de peinture n cessaire pour peindre uniform ment un mur est proportionnelle la surface du mur en question Il y a donc une correspondance entre l aire peinte et le volume de peinture utilis la d termination d une aire est ainsi ramen e celle d un volume Par exemple sur le rectangle repr sent ci dessous l aire ab s obtient en divisant le volume de peinture abx par l paisseur x de la couche On crit volume Aire ee DDT OO paisseur p Cette formule met bien en liaison l aire et le volume malheureusement elle devient caduque d s que l objet en question cesse d tre plan et en particulier elle ne permet pas d acc der laire des sph res Au prix d un passage l infiniment petit il est cependant possi ble d adapter cette m thode des objets non plans et la rendre ainsi plus universelle Il suffit pour cela de reprendre la d marche pr c dente non plus sur une surface plate comme le rectangle mais par exemple sur une surface ondul e qui r sulterait d une simple d formation de ce m me rectangle Si l on cherche retrouver l aire de ce nouvel objet partir d un volume de peinture on constate cette fois que le r sultat obtenu a une allure bien diff rente selon l paisseur de la couche Plus cette couche est fine mieux elle pouse la surface On pressent que le quotient du volume par l paisseur n est pas toujours le m me selon l paisseur
135. oins la rotation de l aiguille On propose d en construire un dans les lignes qui suivent Enveloppe de droites Dans la delto de et contrairement toutes les figures pr c dentes l aiguille pouse dans son mouvement la courbe qui d limite le domaine Pour cette raison ce domaine para t plus conomique quant l aire qu il occupe On se propose de poursuivre dans cette m me veine et de rechercher des courbes qui collent ainsi au mouvement de l aiguille Une aiguille que l on fait glisser sur le plan en un mouvement continu dessine naturellement une courbe qui suit ce mouvement Les diff rentes positions de l aiguille peuvent tre vues comme autant de droites et la courbe ainsi cr e s appelle l enveloppe de toutes ces droites On voudrait maintenant employer ce type de courbes la construction de nouvelles figures pour le probleme de Kakeya Jusqu pr sent on se donnait le domaine l int rieur duquel on essayait de retourner l aiguille On se donne maintenant le mouvement de l aiguille 68 comme point de d part et on se demande quelle est la figure qui l 6pouse le mieux possi ble Chacune des droites c est dire chaque position de l aiguille touche la courbe en un certain point Cela signifie que si l on regarde a la loupe autour de ce point la courbe et la droite se confondent au fur et mesure que le grossissement augmente Il y a donc un lien essentiel entre la courbe et les d
136. oire Elle devient de plus en plus vidente avec le nombre des rebonds et rev t ici la forme d une ellipse Cette courbe enveloppe qui partage ainsi l int rieur du billard est ce que les math maticien appellent une caustique elle signe invariablement la pr sence de r gularit dans le syst me tudi Ici cette r gularit provient de la forme g om trique de Venceinte du billard qui est une ellipse parfaite Une telle lt ellipse gt poss de en effet nombre de propri t s exceptionnelles qui forcent les trajectoires rester confin es dans des zones bien pr cises du billard Toutefois ces zones ne sont pas n cessairement des corridors ellip tiques elles peuvent aussi prendre une autre forme comme le montre l illustration suivante TT Mi WAXY CURE YW vic ANS KAA Dans ce cas le domaine dans lequel la boule est prisonni re est d limit par deux courbes les deux branches d une hyperbole et l encore ce sont les propri t s remarquables de l ellipse qui sont l origine de ce ph nom ne Comment s op re la transition entre ces deux types de trajectoires Dans les deux s ries d illustrations ci dessus le point de d part de la trajectoire est identique il se trouve tout en haut de l ellipse en revanche l angle d attaque est diff rent il est rasant dans le premier cas et beaucoup plus franc dans le second En fait mesure que l angle augmente la courbe enveloppe s applatit jusqu
137. oles elle d coupa une peau en lani res si fines qu elle put encercler en les mettant bout bout un vaste territoire Carthage tait n e Le probl me de la reine Didon une fois les lani res d coup es est donc d entourer avec la longueur form e par celles ci la surface la plus grande possible Le reine Didon a choisi selon la l gende de disposer ses lani res en arc de cercle alors que beaucoup d autres solutions s offraient elle 58 wr e Le choix de la reine bien qu il paraisse vident n est pas si facile a justifier il releve du probl me de l isop rim trie qui s nonce math matiquement de la fa on suivante avec un p rim tre donn quelle figure faut il former pour circonscrire la plus grande surface possible Le probl me du math maticien est donc un peu diff rent de celui de la reine Didon On dispose toujours d un p rim tre donn qui est la longueur totale des lani res en revanche le contour que l on cherche a former avec ce p rim tre doit se refermer sur lui m me La raison de cette formulation est une certaine simplification du probl me la figure recherch e n a pas tre adoss e une forme particuli re la c te Le probl me devient alors libre de cette contrainte il est en quelque sorte plus absolu La solution au probl me de l isop rim trie est la plus simple laquelle on puisse penser le p rim tre tant donn c est le cercle qui entoure la
138. ombreuses questions tr s anciennes demeurent encore en suspens Confront a de telles questions le math maticien n a sou vent d autre choix que de s int resser des cas particuliers ou des questions annexes plus accessibles Ces questions particuli res qui peuvent para tre bien anecdotiques offrent parfois l Histoire l a montr des lumi res d cisives sur les questions les plus g n rales Ce passage du particulier au g n ral n est pas propre aux math matiques et se rencontre dans tous les savoirs A cet gard la l gende selon laquelle une simple pomme tombant de son arbre aurait inspir Isaac Newton les grands principes de la gravitation universelle est r v latrice de la f condit attribu e cette d marche De fa on plus av r e c est bien l observation de colonies de pinsons tr s particuli res certaines les des Galapagos qui a sugg r Darwin sa th orie g n rale de l volution des esp ces Face une question qu elle soit annexe ou fondamentale le savant est confront deux situations il peut avoir une conviction intime de la r ponse sans tre capable de la d montrer ou au contraire n avoir aucune id e de celle ci Bien entendu son travail est grandement facilit s il se trouve dans le premier cas autrement dit lorsqu il dispose en ligne de mire d une id e de la r ponse qui soit suffisamment fond e pour servir de guide la d monstration Cette id e ce
139. omme cela est indiqu dans l avant derni re illustration on appelle f la fonction de la courbe enveloppe l aire sous cette courbe se calcule au moyen d une simple int grale selon la formule aire D Js Comme d habitude le calcul de l int grale n cessite de conna tre l expression de f Les lignes qui suivent donnent sans entrer dans le d tail des calculs les grandes tapes qui conduisent cette fonction f La premi re d entre elles consiste en la d termination d une quation diff rentielle Par un raisonnement g om trique similaire celui du paragraphe pr c dent on obtient l quation a Jar Cette quation peut sembler bien compliqu e mais cela n a ici aucune importance lessen tiel est que l on ait obtenu une relation entre la d riv e et la fonction Pour la r solution de telles quations le math maticien dispose de toute une batterie de techniques et l ap plication de ces techniques livre une expression de la fonction f f csf f 1 23 3 Bien entendu comme le laissait supposer l criture de l quation diff rentielle cette fonc tion solution n est pas tout fait l mentaire elle fait intervenir des racines carr es et cubiques pr sentes sous la forme des puissances un demi et un tiers Les fonctions de ce type sont n anmoins bien connues et leur tude ne pose aucun probl me En particulier il existe des tables dans lesquelles il sera possible de trouver un
140. on a bien abouti une figure qui ne d passe pas la moiti de celle de d part Dans ce cas pr cis ce proc d a permis de diviser l aire du triangle de d part par deux inf rieur De fa on plus g n rale en multipliant le nombre de d coupages du triangle ainsi que le nombre d tages il est possible de diviser l aire non plus par deux mais par un nom bre aussi grand qu on le souhaite Besicovitch propose une formule qui donne selon la r duction d aire que l on d sire le nombre de pi ces la hauteur de chaque tage et les regroupements effectuer Cette formule dit par exemple que onze tages et 24 117 248 pi ces assurent une division par cinq de l aire trente tages et 12 393 906 174 523 604 992 pi ces garantissent une division par dix et ainsi de suite En r sum quitte le d couper en un tr s grand nombre de pi ces on peut r arranger le triangle initial de sorte que son aire devienne aussi petite que l on veut Par cons quent d apr s ce qui a t dit en d but de paragraphe l aiguille peut se d placer entre les deux positions extr mes du secteur angulaire en balayant une aire arbitrairement petite Le th or me de Besicovitch est ainsi d montr puisque de tels secteurs angulaires mis bout bout permettent le retournement complet de l aiguille 90 9 Concr tement la repr sentation des figures ainsi obtenues pose probl me cause du nombre de pi ces qui devient tr s vi
141. on ne conduirait elle pas maintenant des objets dont la dimension fractale serait plus petite que deux Un th or me d montr en 1971 par le math maticien britannique Roy O Davies met un terme cette nouvelle interrogation toute figure d aire nulle r pondant au probl me de Kakeya doit avoir une dimension fractale gale deux Il y a donc une limite dimensionnelle la petitesse de la figure si l on veut qu elle satisfasse la condition de Kakeya c est dire contenir l aiguille dans toutes ses directions 104 La conjecture de Kakeya Le probleme de Kakeya tant totalement r solu quel int r t peut il encore pr senter aux yeux des math maticiens d aujourd hui Il se trouve que certaines questions impor tantes des math matiques sont en connexion avec un probl me de Kakeya en dimension sup rieure gt qui lui n est pas r solu Ceci signifie que si l on savait r soudre ce probl me il en d coulerait des r ponses d autres questions importantes des math matiques qui premi re vue en sont tr s loign es Quel est donc ce probl me de Kakeya en dimen sion sup rieure Jusqu pr sent il tait question de retourner une aiguille l int rieur d une surface plane le plan ayant deux dimensions on aurait pu nommer cette question le probl me de Kakeya en dimension deux Cette autre mani re de poser la question con duit tout naturellement s interroger sur le devenir de ce probl me
142. ordre global dans le syst me du billard elliptique Ce syst me n est donc en rien chaotique mais le chaos n est pas tr s loin Il suffit pour s en rendre compte de d former tr s l g rement Vellipse qui forme le contour du billard et de s int resser nouveau aux comportements des trajectoires On observe alors que certaines trajectoires s av rent relativement peu sensibles cette perturbation dessin de gauche alors que d autres en sont gravement affect es dessin de droite Dans ces dessins la perturbation qui a t appliqu e l ellipse est presque impercepti ble le contour de l enceinte est l g rement plus pointu qu une ellipse v ritable Pourtant certaines trajectoires s en trouvent compl tement boulevers es une toute petite modifi cation a suffi briser l extr me r gularit que l on observait dans le comportement du billard elliptique et on se trouve pour la premi re fois en pr sence d un ph nom ne qui semble chaotique Ceci contredit une intuition naturelle selon laquelle une petite modi fication de la cause induit une petite modification de l effet Dans la vie concr te si on r alise une table de billard en forme d ellipse cette derni re ne pourra pas tre par la force des choses une ellipse parfaite et ce seront les trajectoires perturb es repr sent es ci dessus auxquelles on aura affaire De fa on plus g n rale toute id alisation de la r alit l aide de form
143. p ration r tr cir la boucle c est simplement r tr cir gt les fonctions X et Y Par exemple pour diviser la hauteur par quatre il suffit de diviser la fonction Y par quatre La boucle obtenue poss de alors la hauteur recherch e il ne reste plus qu r gler la largeur c est dire choisir par quel nombre diviser la fonction X Quelques essais montrent que le nombre 5 est une valeur qui convient bien Atit X 7 2D X t sD X t ED En horizontale q x x F z x 2 x x Au total la boucle que nous choisissons est donc d crite par les fonctions j l CA x pour X 1 70 x pour Y En placant une telle boucle en chaque sommet d un triangle quilat ral de hauteur trois quart on obtient un triangle boucles qui permet la rotation de l aiguille Chacune de ces trois boucles est celle du paragraphe pr c dent r duite d un facteur 5 en horizontale et d un facteur 4 en verticale leur aire est donc divis e par 20 le produit de 57 4 par 5 L aire de la boucle initiale tant gale a laire de la boucle ainsi construite est donc de 8 2 I5 20 75 L aire de la figure est donc gale l aire des trois boucles augment e de celle du triangle soit Aire du triangle boucles 0 40475 Le triangle paraboles dont l aire valait 0 41296 est donc l g rement supplant Plus int ressant la valeur 0 40475 laisse entrevoir un no
144. par all logramme n est pas la meilleure il est en effet possible de d placer l aiguille de fa on tr s conome en combinant judicieusement deux rotations Le mouvement commence par un d placement horizontal de l aiguille il est suivi d une petite rotation qui place l aiguille sur une ligne oblique puis d une seconde qui la conduit 89 la hauteur voulue L aire n cessaire ce mouvement est figur e en gris sur l illustration elle est visiblement inf rieure celle que donnerait la solution du parall logramme mais Vint r t majeur de cette nouvelle mani re de d placer l aiguille n est pas la Ce mouvement poss de en effet l tonnante propri t de pouvoir s allonger linfini en permettant un amenuisement sans limite de l aire qu il occupe Il est ainsi possible de d placer l aiguille d une position une autre qui lui est parall le dans une aire aussi petite que l on veut La situation est tr s similaire celle du th or me de Besicovitch n importe quelle quantit m me toute petite correspond l aire d une figure qui permet la translation de l aiguille Par cons quent le probl me de Kakeya pour les aiguilles parall les n a pas de solution il n existe pas de figure meilleure que toutes les autres On se trouve confront la notion d existence d une solution en r alit lorsqu on cherche r soudre un probl me il y a deux questions qui se posent
145. peut tre largi un d coupage du secteur angulaire en un nombre arbitraire de pi ces chaque augmentation du nombre de ces pi ces conduisant un amenuisement de l aire L illustration ci dessous r sume cette construction dans le cas du d coupage en quatre pi ces du secteur initial 87 AV La simple multiplication du nombre de pi ces n offre malheureusement pas une r duction sans limite de l aire finale une tude pr cise de cette construction montre qu il existe un nombre en deca duquel l aire de la figure ne descendra jamais si nombreuses que soient les pi ces de la d coupe Pour surmonter cette difficult Besicovitch profite de l augmentation du nombre de pi ces pour les regrouper de fa on de plus en plus ing nieuse Cette nouvelle fa on de faire consiste en des regroupements successifs et son int r t devient apparent quand le nombre de pi ces est assez grand L exemple qui suit pr sente ce proc d de Besicovitch dans le cas d une subdivision en seize pi ces du secteur angulaire A M Pour plus de facilit dans le dessin et dans le calcul ce proc d de subdivision et de d placement des pi ces est appliqu non plus au secteur angulaire seul mais tout le triangle qui le contient Dans la figure de droite les seize pi ces de la subdivision sont regroup s quatre par quatre La premi re tape dans la construction de Besicovitch est partir de ce regroupement de former quatre paquets
146. ph re par simple analogie Si avec un effort d imagination on con oit un personnage virtuel vivant dans un espace deux dimensions c est dire un tre sans paisseur et compl tement inclus dans le plan celui ci serait alors dans l incapacit de voir la sph re qui vit gt quant elle dans l espace de dimension trois Cet tre imaginaire serait confront en dimensions inf rieures la difficult que l on peut prouver concevoir l hypersph re partir de la dimension trois Il y a pour tant moyen pour ce personnage fictif de se faire une id e pr cise de la sph re condition que celle ci entre en contact avec le plan o il vit Plus pr cis ment il faut que la sph re traverse progressivement l espace plat o habite le personnage Elle s offrirait alors lui comme une succession continue de cercles 62 a 00 O0 Voil donc pour un habitant de la deuxi me dimension une mani re de voir la sph re un film qui se d roule et sur lequel apparait un cercle qui grossit puis r tr cit avant de disparaitre Ce proc d de repr sentation est appel cin ma par les math maticiens Pour nous qui voluons dans un espace trois dimensions il est possible d empiler les cercles qui composent ce film le long de la troisi me dimension de fa on reconstruire la sph re initiale eee De la m me mani re si on imagine une hypersph re qui traverse notr
147. pli par deux chaque tape L aire de ces anneaux d cro t irr m diablement vers z ro mais leur diam tre tant chaque fois plus grand ils s tendent ind finiment dans l espace de la feuille L objet final sans cesse repouss dispara t ainsi linfini R trospectivement on constate que les suites pr sent es auparavant et qui aboutissaient aux fameuses figures fractales taient compos es d objets n exc dant jamais un certain p rim tre ce qui rendait impossible ce ph nom ne d extension infinie Encore une fois en s interrogeant sur la dimension fractale de la figure engendr e par la suite de Besicovitch on a br l les tapes et suppos comme allant de soi l existence d une figure finale En r alit le th or me de Besicovitch donne simplement une suite d objets dont laire d cro t montrant ainsi qu il n y a pas de limite la petitesse des figures o Vaiguille se retourne sans qu il y ait d objet final Cette d convenue n est cependant que passag re car il est possible d obtenir malgr tout une suite de figures qui ait un aboutisse ment condition de s autoriser une petite modification dans la question de Kakeya Cette modification consiste en l abandon du mouvement proprement dit on ne demande plus Vaiguille de se mouvoir l int rieur d une figure jusqu son retournement mais simple ment de pouvoir tre plac e dans toutes les directions possibles l
148. pr cis ment 1 ce qui permet d affirmer que l aire de ce mur infini vaut 1 C est exacte ment celle d un mur carr de hauteur et de longueur gales a 1 Pour peindre le mur infini il ne faut donc pas plus de peinture que pour peindre ce carr c est l une des nombreuses surprises de l infini Ce paradoxe apprend nous m fier de nos premiers r flexes ce n est pas parce qu un objet est infini que toutes les quantit s qui lui sont associ es seront forc ment infinies Les lignes qui suivent en proposent un autre exemple Il s agit encore d un probl me bien concret comment partager un unique g teau entre une infinit de convives Puisqu il y a une infinit de convives la solution qui consiste d couper le g teau en parts gales ne peut convenir La cl du probl me un peu la mani re de ce qui se passait pour le mur infini r side dans un partage du g teau en des 42 parts de plus en plus petites Voici une solution possible on d coupe le g teau en deux parts gales et on donne l une des deux parts au premier convive Il reste une part que l on d coupe encore en deux parts gales On distribue un des morceaux au deuxi me convive et ainsi de suite avec la part qui reste Aussi loin que l on se place dans la liste des convives il reste toujours du g teau le convive suivant a donc droit une part la moiti de ce qui reste De cette mani re non seulement la totalit du g teau e
149. premier terme de la somme d Euler Sur cet escalier infini se superpose la courbe de la fonction f du mur infini Cette visualisation ne permet malheureusement pas de percevoir le lien entre la somme des inverses des carr s et le nombre 7 mais elle permet n anmoins d obtenir au moyen du calcul int gral un renseignement pr cieux cette somme infinie aboutit une valeur finie un r sultat nullement vident en soi En effet le calcul int gral a d j permis plus haut de d terminer que l aire du mur infini occupant toute la partie situ e sous la courbe est pr cis ment gale 1 Par cons quent l escalier infini qui est contenu dans cette zone a une aire inf rieure 1 Apr s ajout du premier terme provisoirement occult la conclusion tombe d elle m me tt 2 Lo 9 16 2 36 H est plus petit que 2 Cette somme tant inf rieure 2 elle est donc finie Ce fait n est pas du tout une vidence et c est le calcul int gral qui en fournit une d monstration clairante 46 47 48 La formule de Stokes A la naissance du calcul diff rentiel les math matiques ont un visage bien diff rent de celui que nous leur connaissons aujourd hui L Europe vient tout juste de sortir du Moyen Age et les math matiques n ont pas encore une place bien d finie dans la soci t Le m tier de math maticien n existe pas et sauf pour de tr s rares exceptions l activit math matique se pratiq
150. pte tout le probleme se r sume a estimer le nom bre de progressions arithm tiques d un ensemble en gris fonc situ l int rieur d un paississement rectangulaire d aiguilles gris clair Cet ensemble poss de une certaine densit qui repr sente simplement la proportion qu il occupe l int rieur des rectangles On est donc bien ramen la question des progressions arithm tiques dans un ensemble d une certaine densit Au del des progr s dont il est la source ce lien entre la recherche de r gularit dans les ensembles et le probl me de Kakeya illustre un fait souvent remarqu en sciences la solution d un probl me passe parfois par des d tours inattendus les r gularit s tudi es par Sz m r di dans le cadre des nombres premiers ont finalement abouti une avanc e significative sur la question de Kakeya Cette d couverte montre une fois de plus que les math matiques ne se r duisent pas un exercice d nu d imagination mais qu elles sont bien au contraire une science vivante o l invention tient une place primordiale La mise au jour de ces liens secrets comme autant de fils invisibles au regard des hommes claire de fa on extraordinaire des pans entiers de la science la joie et l merveillement suscit s par 122 leur d couverte est un peu semblable celle du pal ontologue lorsqu un lt chainon man quant gt entre deux esp ces bien distinctes est enfin d livr de sa
151. raient forc ment les plus denses gt possibles Cette conjecture n a jamais t valid e et le r sultat le plus avanc que l on connaisse est d trois math maticiens Katz Laba et Tao la dimension fractale d un tel objet est n cessairement sup rieure 2 5 C est un r sultat r cent qui a t publi en 1999 Le passage du probl me de Kakeya dans le plan au m me probl me dans l espace se faisant naturellement on peut tout fait envisager un passage similaire vers la quatri me dimen sion On recherche alors des figures qui contiennent l aiguille dans toutes les directions de l espace quatre dimensions et l on s interroge comme pr c demment sur leur dimension fractale L encore on n a jamais trouv de figures solutions dont la dimension fractale est plus petite que quatre On est donc confront mutatis mutandis la m me conjecture que celle nonc e plus haut Tout aussi naturellement on peut extrapoler la question de Kakeya aux dimensions 5 6 7 etc et cela conduit toujours au m me constat il semble que la dimension fractale ne peut pas tre diminu e Les math maticiens r unissent tout ceci en un unique nonc c est la fameuse conjecture de Kakeya Conjecture de Kakeya Dans l espace n dimensions la dimension fractale d un objet qui contient l aiguille dans toutes les directions est n 106 En r sum il peut y avoir une r duction du volume gt jusqu
152. re dans laquelle on puisse placer l aiguille dans n importe quelle direction du plan Ainsi lib r es de la continuit du mouvement les figures de Besicovitch peu vent tre d barrass es de tous les l ments n cessaires cette continuit c est dire des fameuses antennes gt responsables de leur extension verticale Ces nouvelles figures qui r pondent au nouveau probl me de Kakeya demeurent cette fois confin es dans un domaine bien delimit elles ne s tendent plus linfini 103 Ainsi lagu e cette suite n aboutit malheureusement pas davantage mais Besicovitch en a construit une seconde tr s similaire dans sa conception et qui cette fois conduit bien a une figure finale La repr sentation qui en est donn e ci dessous a peu voir avec la r alit mais sert uniquement a fixer les id es A cause de son extr me complexit la figure finale n est pas dessin e elle a le m rite d exis ter et cela nous suffit Avec elle l aire la plus petite possible z ro est enfin atteinte En cette figure myst rieuse le nouveau probl me de Kakeya trouve enfin sa r solution ultime et le th or me de Besicovitch son dernier perfectionnement Nouveau th or me de Besicovitch Il existe une figure d aire nulle qui contient l aiguille dans toutes ses directions Qu en est il de cette figure de Besicovitch qui offre une r ponse si claire et si directe au nouveau probl me de Kakeya Celle
153. re envisag e si minuscule soit elle est celle d une figure o le retournement a lieu Le probl me de Kakeya pour les aiguilles parall les Il est compl tement paradoxal qu il soit possible de d placer une aiguille dans une aire aussi petite que l on veut Pour mieux comprendre ce ph nom ne d routant on va le met tre en vidence dans une variante bien plus l mentaire du probl me de Kakeya celle des aiguille parall les On prend cette fois comme situation de d part deux aiguilles plac es parall lement et on se demande simplement comment passer de l une l autre en cou vrant le moins d espace possible La premi re solution qui vient l esprit prend la forme d un parall logramme il s agit d un simple glissement de l aiguille que l on maintient bien parall le tout au long du mouvement Ce d placement est repr sent gauche dans lil lustration ci dessous Dans le cas tr s particulier o les positions de d part et d arriv e de l aiguille se situent sur une m me ligne le d placement de l aiguille le long de cette ligne suffit relier ces deux positions L aiguille consid r e tant id ale c est dire sans paisseur celle ci parcourt par cons quent un segment de droite et l aire balay e est alors nulle On ne peut bien s r pas faire mieux cette solution est donc optimale En revanche dans le cas g n ral o les positions ne sont pas sur une m me ligne la solution du
154. remiers a une densit gale z ro c est un r sultat c l bre connu depuis 1808 et que les math maticiens appellent le th or me de rar faction de Legendre Et pr cis ment le th or me de Sz m r di ne dit rien sur les ensembles dont la densit vaut z ro de tels ensembles peuvent tr s bien contenir des progressions arithm tiques ou n en contenir aucune Par cons quent au moyen du th or me de Sz m r di on ne peut rien conclure sur la r gularit de l ensemble des nombres premiers Quels sont malgr tout les enseignements que l on peut tirer de cette tude Tout d abord un renversement de perspective plut t que de se focaliser sur l ensemble des nombres pre miers on travaille sur tous les ensembles qui contiennent des progressions arithm tiques et on se demande si celui des nombres premiers en fait partie Ce renversement conduit penser que la pr sence de r gularit dans l ensemble des nombres premiers pourrait r sulter d un th or me valable pour toute une cat gorie d ensembles dont celui des nom bres premiers Il fournit une voie d attaque qui consisterait raffiner gt le th or me de Sz m r di jusqu ce qu il puisse s appliquer une cat gorie d ensemble suffisamment large pour englober celui des nombres premiers C est justement gr ce un tel raffinement que les math maticiens Green et Tao ont r ussi en 2006 prouver cette pr sence de r gularit Quel est
155. roites qui l enveloppent Au point de contact la pente de la courbe et celle de la droite sont gales Reste que cet nonc contient une difficult il ne donne pas l emplacement de ces points de contact On est en pr sence d une s rie de droites et d une courbe chaque droite touchant la courbe en un certain point dont on ignore tout la seule chose que l on sache c est l galit des pentes en ce point Dans le contexte du probl me de Kakeya cette courbe sert fabriquer un domaine dont il faut calculer l aire et cela n cessite de conna tre une fonction dont le graphe est ladite courbe C est ce passage de la condition d galit des pentes l expression de la fonction enveloppe qui va faire appara tre une quation diff rentielle dont la fonction inconnue f est justement la fonction enveloppe recherch e A titre d illustration on va montrer au moyen d une quation diff rentielle qu un certain mouvement d querre engendre une parabole Le mouvement est le suivant on fait glisser l angle droit de l querre sur une droite tout en astreignant un des c t s de l querre coulisser sur un point fixe Les positions successives de l autre c t de l angle droit repr sentent une famille de droites qui dans leur ensemble forment une courbe qui semble tre une parabole Un raisonnement simple faisant intervenir une quation diff rentielle va en donner la confirmation f 69
156. rtie centrale de l arbre v V La seconde remarque est que la dimension est insensible une dilatation de la figure On peut donc indiff remment agrandir ou r tr cir celle ci sans que sa dimension n en soit affect e Si on se donne une bande bord e par deux droites horizontales comme celle repr sent e ci dessus dans l illustration du milieu il est possible d augmenter la figure de mani re ce que toutes les aiguilles qui la composent coupent cette bande de part en part Ceci est r alisable car on a justement pris soin pr c demment de ne consid rer que la portion de figure contenant des aiguilles assez verticales comme repr sent droite sur l illustration pr c dente On r duit de nouveau la portion de figure dont on tudie la dimension la zone recouverte par la bande horizontale Cette r duction une fois encore n affecte pas la dimension de la figure ZW 117 Parmi l infinit des aiguilles qui composent cette derni re on en s lectionne quelques unes dont les directions sont r guli rement espac es Cela signifie que si l on reporte dans un disque les aiguilles ainsi s lectionn es elles se r partiront uniform ment dans le secteur o elles se trouveront Dans l illustration ci dessus les directions de sept aiguilles ont t ainsi repr sent es dans un disque puis les aiguilles elles m mes ont t mises en vidence l int rieur de la figure de Besicovitch Enfin on d pouille
157. s 11 12 18 21 23 31 34 36 39 40 49 5l 52 56 58 65 66 68 70 75 7 La conjecture de Kakeya Le monde des objets d aire nulle Une nouvelle jeunesse pour la question de Kakeya La conjecture de Kakeya 8 Perspectives De Kakeya aux nombres premiers L approche de Bourgain Une question anodine Les math matiques sont une composante active de la pens e humaine elles prennent racine dans la n cessit o nous nous trouvons de conna tre et de comprendre le monde o nous vivons et d acc der aux m canismes secrets qui pr sident sa myst rieuse harmonie Elles permettent par le seul travail de l esprit de repousser toujours plus loin les limites de lunivers connu et proposent en demandant de s abstraire de la r alit sensible une voie pour atteindre la raison premi re des choses Elles sont en outre d une extraordinaire efficacit qui n a cess au cours de l histoire d tonner les plus grands esprits Albert Ein stein se demandait par quel prodige la math matique qui est un produit de la pens e humaine et qui est ind pendante de toute exp rience s adapte d une si admirable mani re aux objets de la r alit gt Que les conclusions d un pur travail de l esprit humain puissent prendre vie dans le monde qui nous entoure est la fois un des grands myst res et une des justifications de l acti
158. s Une telle recherche peut sembler un objectif bien modeste au regard d une connaissance compl te de la structure de l ensemble des nombres premiers Cet objectif est pourtant bien loin d tre atteint l heure actuelle et de nombreuses ques tions l mentaires restent sans r ponse Par exemple on ne conna t pas ce jour juin 2007 d alignements de plus de 24 nombres premiers En effet les grilles repr sent es plus haut ne figurent que les tout premiers nombres entiers et si l on prolongeait ces grilles on observerait un claircissement de plus en plus important qui traduit la rar faction des nombres premiers Dans ces conditions on peut s attendre ce que les alignements de nombres premiers se rar fient norm ment et que la recherche de longs alignements soit une v ritable gageure Cette rar faction pourrait tr s bien galement limiter la taille des alignements peut on trouver des progressions arithm tiques de cent mille ou dix mille nombres premiers La question a longtemps d fi les math maticiens et ce n est que tout r cemment que Ben Green et Terence Tao en sont venus bout Ils ont montr qu il ex iste des progressions arithm tiques de nombres premiers aussi longues que l on veut En clair quel que soit le nombre de termes que l on se donne le th or me de Green et Tao affirme qu il existe un alignement de nombres premiers ayant pour longueur ce nombre de termes En particulier il existe
159. s il appara t peu probable que Leibniz ait vol gt sa d couverte Newton Il est admis aujourd hui que ce fut ind pendamment que ces deux hommes d couvrirent le calcul diff rentiel A ce propos si l on devait absolument attribuer une paternit cette d couverte il faudrait citer les nombreux autres math maticiens qui les ont inspir s comme par exemple Fermat ou Pascal dont les travaux contiennent tous les germes du calcul diff rentiel Leibniz qui est venu aux math matiques apr s avoir lu les oeuvres de Pascal a d ailleurs d clar que ce dernier avait eu les yeux ferm s comme par un sort gt tant celui ci touchait au but En fait comme cela est souvent le cas en science cette invention une fois r v l e para t aussi simple et naturelle qu elle a n cessit de labeur et de r flexion pour tre labor e Elle est en cela un peu comparable l invention du z ro qui fut en son temps une v ritable r volution et qui appara t aujourd hui dans toutes sortes de contextes sans m me que l on y pr te attention Ainsi le calcul diff rentiel appara t il lui aussi dans d innombrables situations souvent tr s loign es de celles dont se pr ocupaient Newton et Leibniz La question de Kakeya peut tre l une de ces situations elle nous donne l occasion d aborder cette grande invention Qu est ce qu une d riv e Le probl me de Kakeya s av re bien plus d licat que la simplicit de son
160. s le nombre infini de figures qui s of frent nous trois d entre elles ont t dessin es ici et nouveau la meilleure solution est la plus naturelle la sph re La d monstration de ce r sultat comme on peut s en douter est loin d tre imm diate elle n cessite de d couvrir un lien entre la surface des figures leur lt peau gt et le volume qu elles contiennent L outil ad quat serait donc une formule de Stokes en trois dimension Vol ve Formule de Stokes portant sur la surface Oe Une telle formule existe qui est une g n ralisation la dimension trois de celle pr sent e dans ce chapitre Avec cette nouvelle formule la d monstration l gante voqu e plus haut reste valide Encore une fois c est la formule de Stokes qui donne une cl pour r pondre au probl me de l isop rim trie dans la troisi me dimension L observation d une bulle de savon qui est bien sph rique comme chacun sait confirme ce r sultat Mais les choses se compliquent rapidement lorsque l on envisage deux bulles de savon c est dire lorsque l on pose le probl me de l isop rim trie pour deux volumes comment avec une aire donn e enfermer deux volumes gaux les plus grands possibles Dans le champ infini des figures possibles c est la double bulle repr sent e gauche qui donne la solution Il s agit de deux sph res accol es s par es par un film plat une con figuration que l on obs
161. ssade Aire du domaine Grande palissade dix lames 0 285 0 0 385 cent lames 0 32835 0 3____ 0 33835 mille lames 0 33283 0 33___ 0 33383 dix mille lames 0 33328 0 333__ 0 33338 L aire de la partie gris e sous la parabole de la premi re illustration n a d autre alternative que de valoir 0 33333 c est a dire de cette suite d approximations de plus en plus fines r sulte bien une valeur exacte Puisque cette valeur est justement un tiers la d coupe du carr selon des paraboles divise bien ce dernier en trois parties d aires gales Qu est ce qu une int grale Cette m thode des palissades n est pas sp cifique l exemple pr c dent elle est en fait tr s g n rale et permet de calculer l aire d une zone d limit e par une courbe Regardons en guise d exemple les trois courbes ci dessous x 0 1 0 0 1 On reconna t gauche la fameuse parabole x vient ensuite une simple droite puis une courbe plus g n rale On leur applique la m thode des palissades et on r unit les r sultats dans le tableau Aire la limite de Aire du Aire la limite de la petite palissade domaine gris la grande palissade parabole 0 33333 1 3 0 33333 droite 0 49999 0 5 0 50000 courbe 0 74999 0 75 0 75000 36 La premi re ligne est un condens du paragraphe pr c dent les trois valeurs qui y figurent sont un seul et m me nombre qui est l aire du domaine sit
162. st distribu e mais tous les convives bien qu en nombre infini auront t servis Si l on consid re cela avec l il du math maticien et si l on d signe par le nombre 1 la totalit du g teau la part du premier convive correspond donc au nombre celle du deuxi me correspond au nombre 7 etc be Puisque la r union de toutes les parts est gale au g teau tout entier cela signifie que la somme 1 1 1 1 1 L 51 8 i 32 ot est gale 1 Une telle somme constitu e d une infinit de nombre s appelle une s rie num rique ou encore une somme infinie Dans le cas du partage du g teau le r sultat obtenu est loin d tre anodin puisqu il s agit de la valeur 1 c est dire d une valeur finie On peut ainsi ajouter une infinit de nombres et obtenir un r sultat fini M me si ce ph nom ne peut para tre surprenant il se rencontre tous les jours dans l criture d cimale des nombres par exemple l criture 0 33333 L 3 signifie que la somme infinie 0 3 0 03 0 003 0 0003 0 00003 est gale au nombre 2 Ceci souligne une fois de plus que m me en pr sence de linfini on peut aboutir une quantit finie Ce n est videmment pas toujours le cas Si on ajoute 43 une quantit constante disons 1 pour fixer les id es la somme 141414141414 n a pas une valeur finie En r alit si le nombre que l on ajoute chaque tape ne se rapproche pas de z ro
163. st pourquoi les math maticiens des origamis recherchent un pliage valid par une d monstration qui serait alors sans contestation possible le plus appropri au logement de la voile dans la fus e Bien que le contexte du probl me de Kakeya soit diff rent de celui des origamis la de marche adopt e pour le r soudre est n anmoins tr s similaire celle que les concepteurs de voiles solaires ont suivie une approche empirique partir de formes g om triques d j connues Comme dans le cas des pliages cette fa on de proc der a l avantage de conduire rapidement la d couverte de figures de plus en plus petites mais elle ne l ve jamais l incertitude quant a la solution du probl me global A chaque nouvelle figure se pose la m me question a t on enfin trouv le contour optimal c est dire celui dont l aire est la plus petite et l int rieur duquel l aiguille puisse tre retourn e En fait jusqu pr sent la r ponse a toujours t n gative chaque figure nouvelle a toujours fini par tre sup plant e par une construction plus astucieuse M me la delto de qui avait pourtant toutes les faveurs de Kakeya n y pas r sist On semble donc engag dans une course dont on ne voit pas l issue A 0 78539 0 70477 0 57735 0 48649 0 41296 0 40475 0 39269 0 39140 L illustration ci dessus donne en r sum les grandes tapes de cette course une succession de f
164. ste de professeur l universit de Bologne En r alit ce livre avait t crit initialement pour l ducation de ses vingt jeunes fr res dont elle s occupait quotidiennement Maria Agnesi tait en effet d une intelligence d une nergie et d un d vouement exceptionnels Sa renomm e s tendait sur toute l Europe et des savants de tous les pays se pressaient chez la lt x signora Agnesi gt pour avoir la chance de discourir avec elle de philosophie sciences naturelles litt rature ou math matiques l incroyable tendue de ses connaissances ainsi que sa parfaite loquence en faisaient un personnage r ellement exceptionnel Elle connaissait sept langues dont le fran ais qu elle parlait la perfection depuis ge de cinq ans 20 ans elle publiait un recueil de philosophie et de sciences naturelles et 30 ans son fameux ouvrage sur le calcul diff rentiel A cette occasion Fontenelle d clara que la candidature de Maria Agnesi l Acad mie des sciences e t t un triomphe si celle ci avait pu admettre une femme En d pit de son immense renomm e elle renoncera aux sciences quelques ann es plus tard pour entrer dans les ordres Elle terminera sa vie aider les malades et les n cessiteux apr s leur avoir l gu tous ses biens Les ouvrages du marquis de l Hospital et de Maria Agnesi peuvent tre consid r s comme les tout premiers livres de cours sur le calcul diff rentiel Bien s r beauco
165. surfaces mais ils conservent une aire gale a z ro La repr sentation mentale de telles figures est un d fi l imagination car rien ne semble plus paradoxal qu une surface qui serait d pourvue d aire La clef de ce paradoxe provient du fait qu une telle figure n est pas r ellement une surface au sens o on l entend habituellement elle occupe l espace comme une surface mais n en est pas une Plus surprenant encore ces objets a priori artificiels et tr s abstraits se rencontrent dans la nature et le mouvement brownien gr ce auquel Einstein a pu d montrer l existence des atomes en fait justement partie C est le math maticien Paul L vy qui a r v l cent ans apr s sa d couverte l appartenance du mouvement brownien au monde des surfaces sans aire Tout ceci peut para tre fort loign du probl me de Kakeya pourtant si on examine la surprenante r ponse de Besicovitch on se rend compte que celle ci fournit pour chaque aire aussi petite soit elle une figure permettant le retournement de l aiguille Ainsi ce que produit la construction de Besicovitch n est autre qu une succession de figures de plus en plus petites en aire Ceci n est pas sans rappeler les diff rentes suites de figures rencontr es plus haut aboutissant toutes des objets d aire nulle comme l arbre de Pythagore ou le pentagone vid Quel peut tre l objet final qui d coule de la succession de Besicovitch Qu en est il de sa dime
166. t tout se passe comme si l aiguille roulait sur chacune des trois portions de la courbe successivement Le long de son trajet elle semble ainsi pouser le contour de la figure et utiliser au mieux tout l espace disponible La formule de Stokes appliqu e au contour de cette delto de donne une aire gale 4 soit 0 39269 Il est remarquable que cette valeur soit exactement la moiti de l aire de la premi re figure qui vient l esprit quand on aborde le probleme de Kakeya le disque ayant pour diam tre l aiguille 67 En r alit la deltoide est la plus conome en aire de toutes les figures construites jusqu pr sent Par sa sym trie par la fa on dont l aiguille la parcourt on peut penser que c est elle qui r pond au probl me de Kakeya Il ne s agit la que d une conjecture c est dire d un fait dont on a quelques raisons de penser qu il est vrai mais qui cependant reste d montrer Pour fixer les id es on d cide de l appeler la conjecture de la delto de La deltoide est la meilleure figure quant au probl me de Kakeya Confront une conjecture il n y a que deux alternatives soit on est convaincu de sa v racit auquel cas on s attache en trouver une d monstration soit au contraire on en doute et on cherche alors un contre exemple Dans le cas de la conjecture de la delto de un tel contre exemple prendrait la forme d une figure plus petite que la delto de permettant n anm
167. te astronomique et cause des lt antennes gt qu il faut ajouter au bout de chacune d elles pour permettre le d placement de l aiguille de l une l autre Le dessin ci dessus repr sente gauche la figure quatre pi ces au grand complet et droite une repr sentation plus sch matique Ensuite plus le nombre de pi ces grandit plus les antennes s allongent de fa on ce que se poursuive la diminution de l aire 0 Finalement le proc d de Besicovitch rend possible la construction d une succession infinie de figures dont l aire devient aussi faible qu on le souhaite et qui r pondent toutes au probl me de Kakeya L nigme des domaines toil s Apr s cette solution de Besicovitch une question se pose en a t on termin avec le probl me de Kakeya On peut effectivement se satisfaire de cette construction et clore ici notre recherche On peut aussi consid rer nouveau ladite construction et trouver insat isfaisante une figure compos e de milliards et de milliards de pi ces assembl es entre elles de mani re complexe C est pourquoi certains math maticiens ont poursuivi l tude de ce probl me en se restreignant cette fois des cat gories de figures plus simples L une d en tre elle tr s utilis e en math matique est celle des convexes Une figure est dite convexe si tout segment dont les extr mit s sont dans cette figure est enti rement contenu dans celle ci L illustratio
168. te connaissance pr cise du contour est donn e par les expressions math matiques des deux fonctions X et Y Sans entrer dans les d tails les expressions math matiques qui correspondent la boucle que l on tudie sont x x pour X et 1 x pour Y codage Conna tre le contour c est conna tre le domaine lui m me la donn e de ces deux fonctions doit donc suffire calculer aire de ce domaine c est exactement ce que propose la formule de Stokes dont voici un descriptif on commence par calculer la d riv e de la fonction Y on fait le produit de cette d riv e par la fonction X on obtient la fonction XY on calcule une int grale de cette nouvelle fonction En r sum cette formule de Stokes s crit b Aire du domaine XY a Les valeurs a et b qui apparaissent dans la formule sont celles qui d limitent x dans les fonctions X et Y par exemple pour la boucle ces valeurs sont 1 et 1 On a galement Vhabitude d crire cette formule sous une forme qui exprime davantage ce lien entre con tour et int rieur Aire xy et on lit int grale de XY le long du contour Ainsi connaissant les deux fonctions X et Y qui d crivent la boucle on est ramen pour calculer son aire d terminer une int grale l int grale d une fonction f qui n est autre que le produit des deux fonctions X et Y Dans le cas de la boucle cette int grale se calcule facilement et on trouve
169. te qui est dite pente de la courbe au point A On abr ge ceci par la formule 16 distance verticale de A B Pente de la courbe au point A limite f distance horizontale de A B le mot limite gt signifiant que l on prend la valeur limite lorsque le point B se rapproche du point A Tout ceci ne vaut pas seulement pour le point A mais pour chaque point de la courbe Dans l illustration ci dessous le m me proc d est appliqu deux autres points le point S au sommet de la courbe et un point C interm diaire Contrairement la droite une courbe n a pas de pente globale mais une pente en chaque point S pente 0 A pente 2 Ainsi toute droite correspond un nombre appel pente qui est conforme l id e intu itive que l on s en fait il est d autant plus lev que la droite est pentue on lui affecte un signe n gatif pour diff rencier la droite lt descendante gt d une droite lt montante gt Une courbe quant elle poss de en chacun de ses points une pente mais celle ci est plus d licate valuer car elle n cessite de d terminer une valeur la limite en laquelle se r sume tout un infini Une des grandes vertus de cette pente est qu elle donne une condition pr cise pour qu un point soit au plus haut ou au plus bas sur une courbe il faut que la pente vaille z ro Par exemple le sommet not S ci dessus est le point o la courbe ne monte plus et ne desce
170. trajectoire Mais cette impression pourrait bien tre trompeuse certes les plan tes tournent autour du soleil selon une ellipse mais ceci n est en r alit qu approximatif puisque toutes les plan tes exercent entre elles une influence mutuelle qui d forme leur trajet Il se pourrait que dans le futur ces trajectoires se modifient sensiblement jusqu ce que certaines plan tes chappent l attraction du soleil ou encore qu une collision se produise En d autres termes les toutes petites per tubations inflig es aux ellipses peuvent elles la longue menacer l quilibre du syst me solaire lui m me A la fin du XIX si cle et apr s que de nombreux math maticiens et astronomes eurent tudi la question Poincar mit en vidence un ph nom ne qui allait changer radicalement le point de vue des scientifiques sur ces questions la nature chao tique de certaines trajectoires de la m canique celeste Cette apparition du chaos dans la r solution des quations diff rentielles est un obstacle majeur aux pr dictions moyen terme On n a par exemple aucune id e de la position de la plan te Terre un horizon de cent millions d ann es ce qui est peu comparativement aux 5 6 millards d ann es d exis tence du syst me solaire On pourrait penser que cette apparition du chaos r sulte de l extr me complexit du 76 systeme solaire due a la pr sence de nombreux corps qui interagissent entre eux mais
171. u sous la parabole Les deux lignes suivantes sont contrairement aux apparences exactement de m me nature en effet on est confront ici une fac tie de la repr sentation des nombres il est des cas o un m me nombre peut admettre deux critures d cimales diff rentes par exemple 0 99999 et 1 ou encore 0 49999 et 0 5 La m thode des palissades donne donc sans aucune ambigu t l aire situ e sous la droite et l aire situ e sous la courbe repr sent e en troisi me position Cela tant on peut se demander s il en est ainsi pour toutes les courbes autrement dit s il est des cas pour lesquels les aires qui r sultent des petite et grande palissades sont diff rentes De fa on tout fait surprenante de tels cas existent bel et bien mais ils font intervenir des fonctions un peu excentriques qui chappent cette th orie Dans ces cas la notion m me d aire sous la courbe n a plus de signification vidente Pour toutes les fonctions usuelles celles qui nous int ressent les petites et grandes palissades conduisent au m me nombre qui est l aire situ e sous la courbe qui repr sente la fonction f Pour crire ce nombre les math maticiens utilisent le symbole 1 Ji 0 cette notation due a Leibniz se lit lt int grale de 0 1 de la fonction f gt Par exemple pour le dessin le plus gauche de Villustration qui pr c de la fonction f est la fonction x et ce nombre vaut 0 33333 pour le dessin
172. u il a suffit de pointer la lunette l endroit pr dit par les calculs pour observer cette nouvelle plan te Cepen dant c est cette m me tude du syst me solaire qui verra na tre les premi res incertitudes quant au bien fond de ce programme d terministe En effet en cherchant comprendre le comportement des plan tes sur des temps tr s longs le math maticien Henri Poincar a d couvert l existence de ph nom nes chaotiques Ces ph nom nes demeurent encore aujourd hui un s rieux obstacle aux pr dictions moyen terme Ils n offrent pas de con tradiction th orique au d terminisme mais en marquent les premi res limites Les quations diff rentielles sont par nature radicalement diff rentes de celles que l on tudie d s les ann es de coll ge les quations alg briques Ces derni res font intervenir une inconnue symbolis e par la lettre x que l on essaie de d terminer au moyen de calculs alg briques Par exemple l quation 2x 1 0 donne pour solution 5 Dans une quation diff rentielle l inconnue n est plus un simple nombre mais une fonction toute enti re que l on symbolise par la lettre f De plus comme leur nom l indique ces quations font intervenir le calcul diff rentiel c est dire le calcul de d riv es A titre purement il lustratif on peut citer l quation diff rentielle 2f f 0 qui signifie que l on cherche une fonction f gale au double de sa d
173. ue comme un loisir pendant le temps libre A nsi le grand math maticien Pierre de Fermat excerce la profession de Juge Supr me la Cour Souveraine du Parlement Toulouse une fonction qui l am ne traiter d affaires mettant en jeu la vie des accus s John Wallis rapporte qu il n a pu rencontrer Fermat car celui ci tait occup par une lt x p nible affaire gt dans laquelle un pr tre tait convaincu d abus de pouvoir Fermat a fini par imposer une sentence qui fait grand bruit la condamnation au b cher du pr tre fautif Le cas de Fermat n est pas isol Leibniz lui m me a excerc pour le Prince de Hanovre la fonction de diplomate aupr s de Louis XIV sa mission tant de d tourner vers les Ottomans les intentions belliqueuses du Roi Soleil qui menacaient les Etats Allemands Bien entendu dans ce monde du dix septi me si cle l activit math matique ne pouvait concerner qu une frange ais e de la population puisque l ducation n tait accessible qu cette minorit M me pour le grand Newton l acc s l universit n allait pas de soi Bien qu issu d une famille relativement favoris e de propri taires terriens il ne peut entrer l universit de Cambridge qu la condition d accepter le statut d tudiant valet Il est alors au service des tudiants plus nantis que lui il doit servir leurs repas nettoyer leurs 49 chambres et m me vider leurs pots Ajoutons ces r
174. uite de r soudre l quation f x 0 c est dire 2x V3 x V3 7 0 et l on aboutit bien au r sultat d j annonc E e Ceci est la valeur exacte de la longueur de chaque extr mit chaque lt pale gt de l h lice pour laquelle l aire est la plus petite En rempla ant x par cette valeur dans l expression Tr 3 r V38 7 x Tr V3 on obtient l aire minimale qui vaut par cons quent Va V8 5 Von al E NE Sg ne NE VE PE or V8 Une simplification de cette expression conduit enfin au r sultat n n V3 An 2V3 T Aire minimale 0 48649 22 Cette expression est gale z ro lorsque x vaut 0 309 qui est le quotient de 1 409 par 4 551 Ainsi la plus petite aire r alisable avec ce genre de figures a lieu lorsque la longueur de la pale est gale 0 309 Il suffit ensuite de calculer l aire de cette h lice grace la fonction f pour obtenir enfin Aire de la plus petite h lice 0 48649 Ce nombre est plus petit que 0 5 l h lice correspondante est donc effectivement plus pe tite que le carr qui nous a servi de point de comparaison Ce r sultat est cependant loin d tre d finitif il peut tre am lior substantiellement en rempla ant par exemple la famille des h lices par celle des h lices triangulaires celles dont la partie centrale est un triangle quilat ral A AS we La mise en
175. ules d riv es cauchemars ou captivantes nigmes D couvrez ou red cou vrez les grandes id es qui font la force des math matiques en suivant l incroyable destin e de la question de Kakeya Ou comment une devinette apparemment enfantine a pu croitre et se ramifier jusqu a se transformer en un v ritable d fi lanc aux plus grands cerveaux de notre temps Con u comme une p r grination autour de la question de Kakeya ce livre expose claire ment et concr tement le pourquoi et le comment des r sultats math matiques les grandes id es y sont progressivement pr sent es au gr des rebondissements de l histoire L accent est mis sur la d rivation et le calcul int gral qui posent tant de probl mes aux lyc ens et aux tudiants Pr sent es en contexte ces notions incontournables deviennent enfin videntes et donnent acc s au g nie de leurs d couvreurs Aux antipodes du cours r barbatif ce voyage au c ur des math matique d aujourd hui en tra nera le lecteur vers un monde trange et paradoxal o il sera confront de myst rieuses surfaces sans aires un surgissement inattendu du chaos ainsi qu aux insaisissables qua tri me et cinqui me dimension Ce livre est destin e aux lyc ens et aux tudiants d sireux de saisir davantage le sens r el des notions qui leur sont enseign es il conviendra galement toutes les person nes ayant un bagage scientifique ou technique qui voudraient comprendre
176. up d autres vont suivre le calcul diff rentiel investissant de plus en plus largement toutes les domaines de la science Aujourd hui ce dernier est tr s largement enseign et on en apprend d s le lyc e l op ration la plus fondamentale savoir la d rivation des fonctions son introduction de la beaut de ce calcul gt et de sa force pour s affranchir de diffi cult s qu on aurait jamais os tenter auparavant gt Bref chacun est bien conscient de la r volution que toutes ces id es nouvelles sont en train de provoquer Aujourd hui plus de 300 ans apr s il est tr s facile de se rendre compte quel point cet enthousiasme initial tait justifi Non seulement le calcul diff rentiel a p n tr toutes les branches des sciences depuis l astronomie jusqu aux sciences du vivant mais il s est aussi introduit m me si nous n en avons pas toujours conscience jusque dans notre vie quotidienne Par exemple un simple voyage en train peut tre l occasion d observer une mat rialisation inattendue du calcul diff rentiel Celle ci concerne le trac des voies ferr es qui doit prendre en compte de subtiles contraintes sur la forme des rails notamment dans la construction des virages En effet pour r aliser ces changements de direction on serait tent de faire succ der une ligne droite un arc de cercle qui la prolonge Mais cette solu tion certes naturelle provoquerait pourtant presque coup sur le d ra
177. ures tranges sont au c ur du probl me de Kakeya tel qu il se pose aujourd hui En effet alors que l affaire semblait class e apr s le remarquable r sultat de Besicovitch Virruption de ces figures inconnues va donner au probl me une nouvelle actualit Il en d coulera ce que les math maticiens appellent la conjecture de Kakeya 96 Le monde des objets d aire nulle Le th or me de Besicovitch dit qu il est possible de retourner l aiguille dans une figure d aire aussi petite que l on souhaite Au vu de ce r sultat il est tr s tentant pour l esprit de simplifier la situation et de se poser une question plus directe existe t il une figure d aire nulle dans laquelle le retournement soit possible Si tel est le cas la r ponse au probl me de Kakeya tiendrait en quelques mots lt la plus petite aire c est z ro gt Cette simple formulation rec le une difficult conceptuelle importante par quel miracle cer taines lt surfaces gt pourraient elles avoir une aire gale z ro Comment une figure qui n est pas rien puisque l aiguille s y retourne pourrait elle ne recouvrir aucune aire C est alors que le mouvement brownien entre en sc ne Cette ligne qui est plus qu une ligne cette surface qui n en est pas une ouvre une premi re fen tre sur un vaste territoire celui des objets d aire nulle En premier lieu ce monde des objets d aire nulle comporte certaines figures g om triques tr
178. uveau d fi on se souvient que la toute premi re figure laquelle on pense pour r pondre au probl me de Kakeya est le disque dont l aire est 7 laire du demi disque vaut donc 0 39269 Coincidence cette valeur est pr cis ment l aire de la deltoide Trouver une figure d aire inf rieure au demi disque et dans laquelle on puisse retourner l aiguille revient donc d couvrir une surface encore meilleure que ce que Kakeya imaginait de mieux inf rieure a Il se trouve que toutes les constructions d velopp es jusqu pr sent ne permettent pas de r pondre a ce d fi Nous le rel verons donc dans le prochain chapitre Bulles de savon Des questions math matiques tr s profondes trouvent parfois leur origine dans des proble mes tr s anciens C est le cas du c l bre probl me de l isop rim trie dont on trouve la trace dans une l gende datant de la plus haute antiquit celle de la fondation de Carthage Cette l gende raconte que Didon fille du roi de Tyr devenue reine a la mort de ce dernier fut chass e par son fr re Pygmalion et dut s enfuir pr cipitamment avec une partie de Vartistocratie tyrienne Apr s de nombreuses aventures ils finirent par accoster sur les c tes africaines et demand rent au roi Hiarbas de leur accorder une terre pour s intaller Perfidement celui ci leur promit lt autant de terre que peut contenir la peau d un b uf gt La reine Didon respecta scrupuleusement ces par
179. vit math matique Les math matiques sont souvent per ues comme un travail tr s rigoureux qui se r sume es sentiellement en une d sesp rante manipulation d quations En r alit il s agit avant tout d un travail intellectuel m lant intuition et raisonnement plut t que d un d roulement sans imagination de r gles alg briques Comment percer en effet le plus petit myst re sans intu ition et comment s assurer de la v racit de sa pens e sans raisonnement L imagination et le raisonnement sont donc les deux facettes de l activit math matique et c est de leur combinaison que jaillit la r ponse aux grandes nigmes Le fruit de cette combinaison est ce que les math maticiens appellent une d monstration C est un cheminement logique qui partant de faits consid r s comme vrais se d veloppe au moyen d une suite de d ductions pour aboutir a la conclusion esp r e Une affirmation tay e par une d monstration in terdit d finitivement toute contradiction elle acquiert le statut de fait math matique et pourra son tour s int grer dans d autres d monstrations Au contraire une affirmation qui en est exempte n a pas d utilit effective c est pourquoi les math maticiens attachent un int r t primordial la recherche de d monstrations En g n ral une question tant pos e il est tr s difficile de d couvrir ce fameux chemine ment qui m ne a la solution ceci explique pourquoi de n
180. x 19 De la pente a la fonction d riv e Le passage d une fonction a sa fonction d riv e n est pas si myst rieux qu il n y para it En r alit un raisonnement l mentaire permet de comprendre l origine des formules de d rivation rencontr es jusqu pr sent Ce raisonnement est propos ici pour la courbe figurant dans le texte principal et qui repr sente la fonction f 2x x Afin de se familiariser avec ce raisonnement il est d abord d velopp dans un cas particulier celui du calcul de la pente au point C 0 751 C 075 05 1 x 0 5 0 8 0 5 0 6 1 0 75 __ 0 96 0 75 __ 0 84 0 75 __ 1 0 5 0 5 0 8 0 5 0 7 0 6 0 5 0 9 Dans le tableau ci dessous sont port es pour diff rentes positions du point B les valeurs du quotient de la distance verticale par la distance horizontale entre B et C position x du point B 1 0 8 0 6 0 51 0 501 0 5001 la limite valeur du quotient 0 5 0 7 0 9 0 99 0 999 0 9999 il On lit tout au bout du tableau la valeur de la pente au point C savoir 1 Au prix d un petit effort d abstraction on peut appliquer la m me proc dure non plus au point C mais en un point quelconque P rep r en horizontale par l inconnue x Le r sultat de cette d marche ne sera plus un nombre mais une expression d pendant de x qui n est autre que la fonction d riv e de f 2b b 2x x2 4 Le quotient qui
181. x sommes devient apparent si l on regroupe les termes de la somme des inverses en blocs comme indiqu ci dessous 2 termes 4 termes 8 termes _ ee SSS es le ei ete eee OS A es en ee Se ee ee E S45 425454 54 54 54 5454 54 54 54 54 1 UE a al ye f tr 8 ik iil by ils ib ey Ale Les blocs qui suivent regroupent 16 termes 32 termes etc L int r t de ces regroupements est que la somme contenue dans chaque bloc est syst matiquement plus grande que 2 en effet 5 sup rieur qa sup rieur 4 4 qui font st etrts sup rieur i i i i qui font dtbtitit titits sup rieur btt qui font et ainsi de suite Puisqu il y a une infinit de blocs tous sup rieurs la somme i 4 ne peut en aucun cas tre finie Il existe de nombreuses r gles en math matiques qui permettent dans certains cas de d cider si une somme infinie donne ou non un r sultat fini Malgr cela l tude de ces sommes infinies demeure extr mement d licate voici deux r sultats qui illustrent la difficult du sujet Si l on raye un terme sur deux de la somme infinie des inverses has thtatht octet 2 4 6 as on obtient nouveau la somme des inverses o chacun des termes serait divis par deux et par cons quent la valeur qui en r sulte demeure infinie En revanche si on limine seulement les fractions o appara t le chiffre 9 ye ee 20 AU on eal don al il je Tar CS
182. xemple l ensemble compos de tous les nombres qui sont des puissances de 2 2 4 8 16 32 64 128 256 En effet dans cet ensemble entre un nombre et son suivant il y a plus d cart qu entre ce nombre et n importe lequel de ceux qui le pr c dent Par cons quent il est impossible de trouver ne serait ce que trois nombres r guli rement espac s dans l ensemble des puissances de 2 A l extr me inverse il existe des ensembles qui sont d une tr s grande r gularit comme par exemple l ensemble des nombres impairs 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Cet ensemble tant constitu d une progression arithm tique ind finiment prolong e il contient bien entendu des progressions arithm tiques de toutes longueurs Comme on le constate il n y a pas de r gle g n rale certains ensembles en poss dent et d autres non mais il n est pas toujours aussi facile de les distinguer Cependant en 1975 le math maticien Endre Sz m r di a d couvert un proc d qui permet d affirmer qu un ensemble donn poss de des progressions arithm tiques de toutes longueurs Ce proc d repose sur le calcul d un nombre appel densit de l ensemble Si on repr sente l ensemble en question au moyen de cases grises dispos es sur une grille la densit est grosso modo le rapport entre le nombre de cases grises et le nombre total de cases On dit par exemple que la densit de l ensemble des nombres impairs vaut

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