Conception optimale de mécanismes compliants par la
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1. Allaire G Jouve F Optimal design of micro mechanisms by the homogenization method European Journal of Finite Elements vol 11 p 405 416 2002 Allaire G Jouve F A level set method for vibration and multiple loads structural optimiza tion Comput Methods Appl Mech Engre vol 194 p 3269 3290 2005b Allaire G Jouve F Toader A M A level set method for shape optimization C R Acad Sci Paris S rie I vol 334 p 1125 1130 2002b Allaire G Jouve F Toader A M Structural optimization using sensitivity analysis and a level set method J Comp Phys vol 194 n 1 p 363 393 2004 Lobontiu N Garcia E Analytical model of displacement amplification and stiffness optimi zation for a class of flexure based compliant mechanisms Computers and Strucutres vol 81 p 2797 2810 2003 Murat F Simon J Etudes de probl mes d optimal design Lectures Notes in Computer Science 41 Springer Verlag Berlin p 54 62 1976 Osher S Sethian J Front propagating with curvature dependent speed algorithms based on Hamilton Jacobi formulations J Comp Phys vol 78 p 12 49 1988 Sethian J Weigmann A Structural boundary design via level set and immersed interface methods J Comp Phys vol 163 p 489 528 2000 Sigmund O On the design of compliant mechanisms using topology optimization Mech Struct Mach vol 25 p 493 524 19972. Conception optimale de m canismes compliants par la m thode des lignes de niveaux Fran ois Jouve Houari Mechkour 1 Laboratoire J L Lions UMR 7598 Universit Paris 7 Denis Diderot 75252 Paris Cedex 05 France jouve math jussieu fr 2 Centre de Math matiques Appliqu es UMR 7641 cole Polytechnique 91128 Palaiseau France mechkour cmap polytechnique fr R SUM Dans le cadre de l optimisation de structures lastiques nous proposons deux exten sions naturelles de la m thode des lignes de niveaux qui peuvent s av rer utiles aux concepteurs de micro m canismes Nous introduisons deux nouvelles fonctions co t proches de celles utili s es dans le domaine de la conception de m canismes ainsi qu une strat gie pour traiter le cas de m canismes adapt s plusieurs chargements multi chargement Nous illustrons ce travail par quelques exemples num riques ABSTRACT In the context of structural optimization we propose two natural extensions of the level set method for the design of compliant mechanisms Two new objective functions are introduced well suited to the automatic design of compliant mechanisms and a strategy for the design of mechanisms adapted to multiple loads is proposed This work is illustrated with several numericals examples MOTS CL S Optimisation de forme M canismes compliants Courbes de niveau KEYWORDS Shape optimization Compliants mecanisms Level
3. re de l avantage m canique Ja d Solution optimale pour le crit re de l avantage g om trique Jz Nous consid rons enfin un m canisme inverseur d effort optimal pour un multi chargement de deux jeux de forces et le crit re de l avantage g om trique La Figure 3 montre la solution optimale obtenue ainsi que ses d form es sous l action successive des deux chargements On obtient un m canisme compliant capable d effectuer une t che donn e d placement de sortie pour deux types de forces d entr e distinctes appliqu es ind pendemment 1 Institut d lectronique de micro lectronique et de Nano lectronique http www iemn univ lillei fr 6 L objet Volume 8 n 2 2005 ON d Figure 3 Multi chargement avec deux jeux de forces a Description du m canisme b Structure optimale au repos c Structure optimale d form e sous l action de la premi re force d Structure optimale d form e sous l action de la deuxi me force Remerciements Une partie de ce travail a t rendue possible gr ce aux deux contrats CEA 4000154343 et CEA 4000237437 avec le Laboratoire de Robotique et de Mesorobotique LRM du CEA LIST 4 Bibliographie Allaire G De Gournay F Jouve F Optimisation de forme de micro m canismes compliants par la m thode des courbes de niveau Actes du 7 me Colloque National en Calcul des Structures Hermes Giens p 229 234 2005a
4. set L objet Volume 8 n 2 2005 pages 1 15 2 L objet Volume 8 n 2 2005 1 Introduction L utilisation de la repr sentation par courbes de niveau ou level set dans le do maine de l optimisation de structures a r cemment permis de remettre au go t du jour les techniques classiques d optimisation de formes par variation de fronti re Allaire et al 2002b Allaire et al 2004 Wang et al 2003 Plus pr cis ment les techniques initialement introduites pour le suivi de fronti res libres cf Osher et al 1988 per mettent de d viter gr ce une repr sentation des structures sur un maillage fixe donn une fois pour toute une partie des inconv nients classiques des m thodes de gradient bas es sur la d riv e de forme En particulier les probl mes d instabilit s num riques dues au remaillage des formes chaque tape de l algorithme sont sup prim s Les m thodes bas es sur la repr sentation par level set s impl mentent aussi ais ment en 2d qu en 3d Pour autant les avantages connus des m thodes de variation de domaine sont pr serv s facilit de traitement de diff rents mod les physiques et de fonctions co t g n rales D autre part ces m thodes peuvent ais ment devenir topologiques au sens strict du terme en les couplant de fa on ad quate avec des techniques de type gradient topologique Allaire ef al 2005b Les m canismes compliants sont des structures h
5. ES LAVOISIER 14 rue de Provigny F 94236 Cachan cedex T l 01 47 40 67 67 E mail revues lavoisier fr Serveur web http www revuesonline com
6. Wang M Wang D Guo A A level set method for structural topology optimization Com put Methods Appl Engrg vol 192 p 227 246 2003 ANNEXE POUR LE SERVICE FABRICATION A FOURNIR PAR LES AUTEURS AVEC UN EXEMPLAIRE PAPIER DE LEUR ARTICLE ET LE COPYRIGHT SIGNE PAR COURRIER LE FICHIER PDF CORRESPONDANT SERA ENVOYE PAR E MAIL ARTICLE POUR LA REVUE L objet Volume 8 n 2 2005 2 AUTEURS Fran ois Jouve Houari Mechkour 3 TITRE DE L ARTICLE Conception optimale de m canismes compliants par la m thode des lignes de niveaux 4 TITRE ABR G POUR LE HAUT DE PAGE MOINS DE 40 SIGNES Mode d emploi de article hermes cls 5 DATE DE CETTE VERSION 24 janvier 2007 sa COORDONN ES DES AUTEURS adresse postale 1 Laboratoire J L Lions UMR 7598 Universit Paris 7 Denis Diderot 75252 Paris Cedex 05 France jouve math jussieu fr 2 Centre de Math matiques Appliqu es UMR 7641 cole Polytechnique 91128 Palaiseau France mechkour cmap polytechnique fr t l phone 01 44 27 69 67 t l copie 01 69 33 30 11 e mail jouve math jussieu fr 7 LOGICIEL UTILIS POUR LA PR PARATION DE CET ARTICLE BIEX avec le fichier de style article hermes cls version 1 2 du 03 03 2005 8 FORMULAIRE DE COPYRIGHT Retourner le formulaire de copyright sign par les auteurs t l charg sur http www revuesonline com SERVICE DITORIAL HERM
7. ire et al 2005b Mode d emploi de article hermes cls 5 3 R sultats num riques A titre d illustration nous pr sentons d abord un exemple de micro pince com pliante en deux dimensions Il s agit une micro pince ayant le m me cahier des charges qu une micro pince articul e d velopp e l IEMN Les conditions aux li mites points d appui et forces ext rieures ainsi que les caract ristiques m caniques du mat riau utilis sont des donn es du probl me La Figure 1 montre la solution optimale propos e par notre m thode E a b c d Figure 1 Micro pince 2d a Description du m canisme b Structure initiale c Structure optimale au repos d Structure optimale d form e Nous proposons ici de reprendre un cas test trait dans Lobontiu et al 2003 Nous illustrons ainsi les diff rentes formes optimales obtenues par les trois fonctions co t propos es Figure 2 Signalons que la fonction objectif J1 utilis e jusqu alors dans les travaux Allaire et al 2002b Allaire et al 2004 fait le lien entre les deux autres crit res et ceci gr ce sa capacit de pond rer l importance des zones d entr e et de sortie en utilisant la fonction k DEPLACEMENT DESIRE a Dan b c d Figure 2 a Description du m canisme b Solution optimale l aide du crit re de moindres carr s J c Solution optimale pour le crit
8. omog nes sans jonctions des tin es accomplir une action d placement ou effort donn lorsqu elles sont sou mises une sollicitation ext rieure donn e Dans le domaine de l optimisation de m canismes compliants nous avions propos dans un pr c dent travail Allaire et al 2005a des r sultats utilisant ces techniques en les comparant d autres m thodes d optimisation de formes galement efficaces pour la conception optimale de ce genre de structures Allaire et al 2002a Sigmund 1997 Par rapport la version de la m thode des courbes de niveau d crite dans Allaire et al 2004 nous proposons ici deux extensions qui rentrent naturellement dans le cadre de ces algorithmes et qui peuvent s av rer tr s utiles aux concepteurs 1 Nouvelles fonction co t nous introduisons deux nouvelles fonctions co t crites sous une forme int grale qui plus adapt e la d rivation de forme que nous uti lisons Elles sont similaires deux fonctions co t largement utilis es dans le domaine de la conception de micro m canismes en g n ral pos es sous forme ponctuelle ou discr te l avantage m canique Mechanical Advantage ou MA qui maximise le rap port entre les efforts de sortie et d entr e et l avantage g om trique Geometrical Advantage ou GA qui maximise le rapport entre les d placements de sortie et d en tr e Nous comparons sur diff rents cas tests les structures obtenues pour ces n
9. ou velles fonctions co t avec celles obtenues pour la fonction co t que nous utilisions pr c demment 2 Multi chargement nous proposons une m thode pour traiter les cas multi chargement dans lesquels une m me performance cible peut tre obtenue par diff rentes sollicitations ext rieures Mode d emploi de article hermes cls 3 2 Description de la m thode 2 1 D riv e de forme Soit Q un domaine born de Rt d 2 3 r gulier dans lequel doit d inscrire la forme du m canisme inclus dans un domaine de travail D born qui contient toutes les formes admissibles Nous consid rons un probl me d optimisation de forme du type inf J Q Ae acD a admissible Nous cherchons faire varier la forme du domaine Q afin d optimiser une fonction co t donn e J N Dans le cadre de la conception de m canismes il existe un grand nombre de choix de fonctions co ts Nous limiterons notre tude trois propositions Le premier choix est le suivant AO f kolu uote d2 1 o uo d signe un d placement cible donn et k est une fonction born e sur Q servant typiquement localiser la zone sur laquelle on d sire contr ler le d placement de la structure Le second choix apparent au crit re de l avantage m canique MA s crit S xosila ue de f xa de O Xin Et Xout Sont les fonctions caract ristiques correspondant respectivement aux domaines d entr e et de sortie et lout e
10. st un vecteur qui d termine la direction de sortie souhait e Le dernier choix apparent au crit re de l avantage g om trique GA s crit R Q 2 J 9 f xol loule uE dz 3 Suivant l approche de Murat Simon Murat et al 1976 il est possible de calculer la d riv e de forme qui mesure les variations de la fonction co t pour une variation infinit simale du bord de Q suivant un champ vectoriel 0 il est remarquable que cette d riv e directionnelle ne d pende en fait que de la trace normale 0 n de 0 sur le bord N Les expressions des d riv es sont donn es dans Allaire et al 2004 Allaire et al 2005b Elles d pendent du champ de d placement et de l adjoint p solution du probl me adjoint 4 L objet Volume 8 n 2 2005 2 2 Param trisation des formes par une courbe de niveaux Nous param trons la fronti re de Q par la fonction courbe de niveaux d finie sur D par dW x 0 amp xEedNND dix lt 0 amp TERN 4 Y r gt 0 amp xe D Les quations de l lasticit pour le champ de d placement u ainsi que pour l adjoint p sont prolong es au domaine D tout entier par la m thode du mat riau fictif qui consiste remplir les trous D Q d un mat riau mou simulant le vide tout en vitant la singularit de l op rateur d lasticit 2 3 Algorithme num rique d optimisation Bouger la fronti re de suivant la direction de descente J i Q revien
11. t trans porter 4 par l quation d Hamilton Jacobi dv v Vy 0 5 a IVvl 0 5 o v est d fini pour chaque fonction co t par l expression de la d riv e de forme correspondante Nous utilisons le m me algorithme que Allaire et al 2004 1 Initialisation de la fonction level set 9 correspondant une forme initiale Qo 2 It ration jusqu convergence pour k gt 0 a calcul de l tat ux et de l tat adjoint py par la r solution de deux probl mes d lasticit lin aris e pos s sur Qk b d formation de 4 par r solution de l quation d Hamilton Jacobi 5 La nou velle forme 4 est caract ris e par la fonction courbe de niveaux 1 solu tion de 5 apr s un ou plusieurs pas de temps Atp en partant de la condition initiale Y x avec la vitesse v calcul e en fonction de ux et de pp Le pas de temps At est choisi tel que J Qx31 lt J Qx 3 De temps en temps pour des raisons de stabilit la fonction 4 est r initialis e en r solvant une autre quation d Hamilton Jacobi dont la solution stationnaire est la fonction distance sign e la courbe de niveau 0 L quation 5 est r solue par un sch ma explicite d centr sur une grille cart sienne ou bien par un sch ma sp cifique lorsque le maillage est non structur Des extensions la m thode ci dessus ainsi que nombreux d tails d impl mentation sont d crits dans Allaire et al 2004 Alla
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